1@ˆ ˆ p - A. H. Ridha Home Page · Energie et propagation d’ondes sonors I Eq. de la...

Ecoulements Compressibles Objets du chapitre

Ecoulement (in)compressible ? – Compressibilte : κ =1

ρ

∂ρ

∂p

I Que veut dire un ecoulement compressible ?

I Comment et quand sait on qu’un ecoulement est compressible ouincompressible ?

I Comment definit on la vitesse du son ?

I Definition du choc.

I Quand a lieu un choc d’onde sonor ?

Definition de nombre de Mach.

I Le nombre de Mach, M =vitesse de l’ecoulement

vitesse du son=

u

aI Pour un gaz parfait :

I M < 0, 3 =⇒ ecoulement incompressible (< 10% erreur)I M > 0, 3 =⇒ ecoulement compressible

Adil Ridha (Universite de Caen) Ecoulement compressible 2008-2009 1 / 38

Ecoulements Compressibles Classification

Classification d’ecoulements compressibles

I Ecoulement subsonqiue : 0, 8 > M

I Ecoulement transonqiue : 0, 8 < M < 1, 2

I Ecoulement sonqiue : M = 1

I Ecoulement supersonqiue : M > 1, 2

I Ecoulement hypersonqiue : M > 5


Ecoulements Compressibles Classification

Attribus d’ecoulements compressibles

I Tout information propage dans la direction qui depend de nombre locale deMach.

I La densite ne plus constante, le principe de Bernoulli n’est plus valable.

I On n’est peut plus ignorer le couplage entre l’energie cinetique et l’energieinterne.

I Les ecoulements subsonique, sonique et supersonique peuvent se presenterdans tout domaine d’ecoulement type mixte.


Ecoulements Compressibles Rappel Thermodynamique

Rappel : Thermodynamique

I Gaz parfait : p = RρT , e = cvT , h = cpT , cp − cv = R, γ = cp/cv

I Premier principe : de = d′q − pd

(1

ρ

)

I Deuxieme principe : ds ≥ d′q

T

I ds =de + pd(1/ρ)

T= cv

dT

T− R

dρ

ρ, processus reversible.

I Processus isentropique : ds = 0 =⇒ p

ργ= Cte.,

T

ργ−1= Cte.

I Compressibilite : κ = − 1

ϑ

∂ϑ

∂p, ϑ =

1

ρ, =⇒

κT = − 1

ϑ

(∂ϑ

∂p

)

T

κs = − 1

ϑ

(∂ϑ

∂p

)

s


Ecoulements Compressibles Equations de mouvement

Equations de bilans - 1er et 2eme principes de la Thermodynamique

Eq. de masse :Dρ

Dt+ ρ∇•v = 0. Eq. d’Euler : ρ

Dv

Dt= −∇p

Eq. de l’energie : ρ

[De

Dt+ p

D

Dt

(1

ρ

)]=

echange thermiquepar conduction︷︸︸︷−∇(λ∇T ) +

dissipation thermiquedue a la viscosite︷︸︸︷

Φ

1er et 2eme principes : Tds = de + pd

(1

ρ

), processus reversible

D’ou : Tds

dt= T

Ds

Dt=

De

Dt+ p

D

Dt

(1

ρ

).

Alors :

Fluide parfait :λ=µ=0︷︸︸︷

−∇(λ∇T ) + Φ = 0 =⇒ ds = 0. Donc : processus isentropique.

Enthalpie : de + pd

(1

ρ

)= dh +

1

ρdp. D’ou : ρ

Dh

Dt=

Dp

Dt−∇(λ∇T ) + Φ


Ecoulements Compressibles Vitesse du son

Onde sonor : onde de petites perturbations de pression propageant a la vitesse duson (a) relativement a la vitesse de source de perturbation

Configuration

x

a

p

ρ

T

a + da

p+ dp

T + dT

ρ+ dρ

I Conservation de masse : ρ a = (ρ+ dρ)(a + da)

I Au premier approximation : a = −ρda

dρI Conservation de la quantite de mouvement :

−ρa2 + (ρ+ dρ)(a + da)2 = dp − (p + dp)

I Au premier approximation : a2 + 2aρda

dρ= −dp

dρ

I =⇒ a2 =dp

dρ

I En generale : a2 =

(∂p

∂ρ

)

s

,

car l’ecoulement est en fluide parfait.


Ecoulements Compressibles Ondes sonors

Ondes sonors : propagation des petites perturbations de pression

I Le fluide est suppose initialement au repos (p0, ρ0, T0, v0 = 0).

I On considere des perturbations infinitesimales :

p = p0 + p′, ρ = ρ0 + ρ′, v ≡ 0 + v, ρ′ � ρ0, p′ � p0 et |v| � 1.

I =⇒ Eq. de masse (1) :∂ρ′

∂t+ ρ0∇•v = 0.

I =⇒ Eq. d’Euler (2) :∂v

∂t= − 1

ρ0∇p′. v = ∇ϕ =⇒ p′ = −ρ0

∂ϕ

∂t

I =⇒ Eq. d’etat d’un gaz parfait (3) : ρ′ = p′(∂ρ0

∂p0

)

s

= κsρ0p′

I Posons a20 =

1

ρ0κs=

(∂p0

∂ρ0

)

s

.



Equations d’onde pour ϕ, p′ et v

∂2ϕ

∂t2− a2

0∇2ϕ = 0 (4a)

∂2p′

∂t2− a2

0∇2p′ = 0 (4b)

∂2v

∂t2− a2

0∇2v = 0. (4c)

Eqs. (4) representent les equations type d’ondes.

a0 : la celerite de propagation d’ondes sonores (acoustiques), en abrege celerite duson.



Ondes planes : ondes unidirectionnelles propageant parallelement a Ox∂2ϕ

∂t2− a2

0

∂2ϕ

∂x2= 0 (5a)

∂2p′

∂t2− a2

0

∂2p′

∂x2= 0 (5b)

∂2u

∂t2− a2

0

∂2u

∂x2= 0. (5c)

∂u

∂t= − 1

ρ0

∂p′

∂x.

p′ = −ρ0∂ϕ

∂t.

ρ′ = κsρ0p′.

Solutions generales

ϕ(x , t) =

onde propageant vers x>0︷︸︸︷f (x − a0t) +

onde propageant vers x<0︷︸︸︷g(x + a0t)

Posons ϕ = f (x − a0t) =⇒ u =∂ϕ

∂x= f ′(x − a0t)

=⇒ p′ = −ρ0∂ϕ

∂t= ρ0a0f

′(x − a0t) =⇒ p′ = ρ0a0u =⇒ u =a0ρ′

ρ0



Interpretation : Ondes de compressions–detentes p′ ↗=⇒ u ↗,=⇒ ρ′ ↗sens de deplacement en masse

u uu u u u u u

compression,p>

p 0

compression,p>

p 0

compression,p>

p 0

compression,p>

p 0

compression,p>

p 0

detente,p<

p 0

detente,p<

p 0

detente,p<

p 0

detente,p<

p 0

sens de propagation



Visualisation d’onde sonor



Un film d’ondes sonors

Visualisation d’ondes sonors


Ecoulements Compressibles Compressibilte et la vitesse du son

Compressibilite et la vitesse du son

I Coefficient de compressibilte isotherme : κT =1

ρ

(∂ρ

∂p

)

T

I Coefficient de compressibilte isontropique : κs =1

ρ

(∂ρ

∂p

)

s

I γ =κTκs

I Vitesse du son : a0 =

(γ

ρ0κT

)1/2

.

I Pour un gaz parfait : a0 =

(γp0

ρ0

)1/2


Ecoulements Compressibles Energie d’ondes sonors

Energie et propagation d’ondes sonors

I Eq. de la conservation d’energie en fluide parfait : ρDe

Dt= −p∇•v.

I Etat de base, le fluide est repos : (p0, ρ0,T0, e0, v0 = 0)

I Perturbation : (p′, ρ′,T ′, e′, v) tels que (.)0 � (.)′, |v| � 1.

I Au premier ordre d’approximation :

I (1)- Eq. d’energie : ρ0∂e′

∂t= −(p0 + p′)∇•v

I (2)- Eq. de continuite : ∇•v = − 1

ρ0

∂ρ′

∂t

I Compte tenu de ρ′ = ρ0κsp′, l’eq. en (2), se tranforme en : ∇•v = −κs

∂p′

∂t

I L’eq. en (1) devient : ρ0De′

Dt= κs(p0 + p′)

Dp′

DtI En integrant et utilisant l’etat (.)0 pour determiner la constante,

l’on obtient : ρ0e′ = κsp0p

′ +

energie acoustique potentielle︷︸︸︷1

2κsp′2


Ecoulements Compressibles Source sonor en mouvement

Source mobile en mouvement

SSS

UUU2α

UtUtUt

atat

at

U < a U = a U > a

Trois cas distingues

I U < a : Ecoulement subsonique ;

distance source︷︸︸︷Ut <

distance onde︷︸︸︷at.

I U > a : Ecoulement supersonique ;

distance source︷︸︸︷Ut >

distance onde︷︸︸︷at.

I =⇒ sinα =at

Ut=

a

U=

1

M. Nombre de Mach, M =

U

a. Angle de Mach, α.

On appel l’enveloppe ainsi formee Cone de Mach.

I U = a : Ecoulement sonique.


Ecoulements Compressibles Source sonor en mouvement

Source mobile en mouvement

SSS

UUU2α

UtUtUt

atat

at

U < a U = a U > a

I U < a : Perturbations de pressions propagent plus rapidement que la source=⇒ les ondes sont audibles en aval de source

I U = a : Perturbations de pressions ne peuvent plus propager en aval desource =⇒ les ondes sont inaudibles en aval de source.

I U > a : Formation d’ondes de choc.


Ecoulements Compressibles Formation d’onde de choc

Formation de l’onde de choc : U > a, M > 1

I Accumulation de perturbations generee aux instances et positions differentesconduit a la production d’une onde de pression plus forte (onde de choc).

I Nul information de pression ne peut se communiquer a l’aval du cone deMach. Il existe alors une region de silence.

I Il n’y a plus de communication entre les conditions de l’ecoulement en aval etcelles en amont de l’onde.


Ecoulements Compressibles Formation d’onde de choc

”Franchissement” du mur de son


Ecoulements Compressibles Ondes de compression

Onde de compression, p = RρT , p ∝ ργ , a =√γRT

x

t Onde initiale

se propageant

a la vitesse a

Ondes de pression successives

se rattrapent avec

les precedentes pour former

une onde plus forte (choc)

Les ondes suivantes se

propagent a des vitesses plus

grandes que les precedentes

du a l’accroissement de

temperature (densite)


Ecoulements Compressibles Ondes de compression

Ondes de compression, p = RρT , p ∝ ργ , a =√γRT

x

t Onde initiale

se propageant

a la vitesse a

Ondes de pression successives

se rattrapent avec

les precedentes pour former

une onde plus forte (choc)

Les ondes suivantes se

propagent a des vitesses plus

grandes que les precedentes

du a l’accroissement de

temperature (densite)

Ondes de compression se caracterisent par :

I l’accroissement de desnite et detemperature,

I l’augmentation de vitesse de son(a =

√γRT ),

I les ondes declenchees apresl’onde initale se propage a desvitesses de propagation plus enplus grandes,

I ces ondes ratrappenteventuellement l’onde initiale,

I Un raidissemnt de la pented’onde conduisant a une ondede compression encore plusforte (onde de choc).


Ecoulements Compressibles Ondes d’expansion

Ondes d’expansion, p = RρT , p ∝ ργ, a =√γRT

Onde de choc

Onde d’expansion

(de detente)

Un objet en mouvement

a vitesse supersonique


Ecoulements Compressibles Ondes d’expansion

Onde de choc

Onde d’expansion

(de detente)

Un objet en mouvement

a vitesse supersonique

Ondes d’expansion peuvent conduire a :

I un decroissement dans la densite etla temperature,

I =⇒ une baisse de vitesse de son.

I =⇒ une vitesse de propagationplus lente que celle de l’ondeprecedente

I les ondes tendent a se separerl’une de l’autre,

I le changement associes aux ondesd’expansion sont plus graduels quecelle d’ondes de compression.

Ondes de choc sur un profil d’aile


Onde de choc en une dimension L’exemple d’un piston en mouvement

��

��

��

��

up > c

x

u

upup

u = 0

c

ρ1, p1ρ2, p2

Onde de choc produite par un piston en mouvement a la vitesse upI c < up vitesse du choc.

I Vitesse de fluid en amont du choc (aval du piston) u = up.

I Vitesse de fluide non perturbe en aval du choc u = 0.


Onde de choc en une dimension L’exemple d’un piston en mouvement

Mouvement relativement a l’onde du choc

��

��

��

��

x

u

u2 = up − c

u2 = up − c

u1 = c

u1 = c

c

ρ1, p1ρ2, p2

I Conservation de masse : ρ1cS = ρ2(up − c)S

I Quantite de mouvement : −ρ1c2S + ρ2(up − c)2S = (p1 − p2)S

I D’ou : JpK = p2 − p1 = ρ1c2 − ρ2

1c2

ρ2=ρ1

ρ2(ρ2 − ρ1) c2 =

ρ1

ρ2JρKc2

I Quand p2 → p1, ρ2 → ρ1 : c ∼=(

∆p

∆ρ

)1/2

∼=(∂p

∂ρ

)1/2

= a, vitesse de son.


Onde de choc normale : Ecoulement unidimensionnel Conditions de saut

ρ1, p1, T1, u1 ρ2, p2, T2, u2

x

Choc normale : conditions de saut pour un gaz parfait, cp etcv constantes

I Conservation de masse (1) :dρu

dx= 0,

I Eq. d’Euler (2) : ρudu

dx= −dp

dx,

I Eq. d’energie (3) : ρcpdT

dx=

dp

dx,

ou on a pose dh = cpdT .

I Eq. d’etat (4) : p = RρT

I Eq. (1) donne : ρ1u1 = ρ2u2

I (1) fois u : udρu

dx= 0 (5)

I Ajouter (2) + (5) :

udρu

dx+ ρu

du

dx= −dp

dx,

I Resultat (6) :d

dx

(ρu2)

= −dp

dx.

I En integrant :ρ1u

21 + p1 = ρ2u

22 + p2 (7)

I En combinant (3) et (2) :

cpT1 +1

2u2

1 = cpT2 +1

2u2

2


Onde de choc normale : Ecoulement unidimensionnel Conditions de saut

ρ1, p1, T1, u1 ρ2, p2, T2, u2

x

Choc normale : conditions de saut pour un gaz parfait, cp etcv constantes

I Pour un gaz parfait :

a2 =

(∂p

∂ρ

)

s

=∂

∂ρ(Cte.× ργ) = γ

p

ρ= γRT = γ(cp − cv )T = (γ − 1)cpT

I Eq. d’energie se reecrit :a2

1

γ − 1+

1

2u2

1 =a2

2

γ − 1+

1

2u2

2

I Introduisons le nombre de Mach :

M =vitesse de l’ecoulement

vitesse de son dans le milieu fluide=

u

a

I Quand M = 1 =⇒ u = uc = ac :a2

1

γ − 1+

1

2u2

1 =a2

2

γ − 1+

1

2u2

2 =γ + 1

γ − 1

a2c

2


Onde de choc normale : Ecoulement unidimensionnel L’equation de Rankine-Hugoniot

Relations de saut : l’equation de Rankine-Hugoniot

I Eq. de la conservation de masse (1) :dρu

dx= 0 ⇐⇒ ρ1u1 = ρ2u2

I Eq. de quantite de mouvement (2) :

ρudu

dx= −dp

dx⇐⇒ ρ1u

21 + p1 = ρ2u

22 + p2

I Eq. d’energie (3) : ρcpdT

dx=

dp

dx⇐⇒ ρ

dh

dx= ρ

d

dx

(−1

2u2

)

I =⇒ h2 − h1 =1

2

(u2

1 − u22

)=

1

2(u1 + u2) (u1 − u2) ,

I soit, en utilisant (1) et (2) : h2 − h1 =1

2(u1 + u2)

p2 − p1

ρ1u1

I En utilisant (1), on obtient l’equation de Rankine-Hugoniot :

h2 − h1 =1

2

(1

ρ1+

1

ρ2

)(p2 − p1)


Onde de choc normale : Ecoulement unidimensionnel Relation de saut entre p et ρ

Relations de saut entre la pression et la densite

I Gaz parfait : h = cpT =γ

γ − 1

p

ρ

I Alors, h2 − h1 =1

2

(1

ρ1+

1

ρ2

)(p2 − p1) donne :

(∗) p2

p1=

[1 +

ρ1

ρ2− 2γ

γ − 1

] [1− γ + 1

γ − 1

ρ1

ρ2

]−1

,courbe dite adiabatedynamique du gaz


Onde de choc normale : Ecoulement unidimensionnel Relation de saut entre p et ρ

Illustration de courbe de Rankine-Hugoniot d’un gaz parfait a γ = 1.4.

Une singularite se produit quandρ1

ρ2=γ − 1

γ + 1

0

2

4

6

8

10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ρ1/ρ2

p 2/p

1

γ − 1

γ + 1

p2p1

=

(ρ2ρ1

)γ

p2p1

=

[1 +

ρ1ρ2

− 2γ

γ − 1

] [1− γ + 1

γ − 1

ρ1ρ2

]−1


Ecoulement unidimensionnel isentropique

Ecoulement unidimensionnel isentropique

I Il s’agit d’un ecoulement en fluide parfait d’un gaz parfait, en regimepermanent dans une conduite de section A(x).

I Objet : etudier l’evolution des variables physiques en fonction de nombre deMach le long de la conduite.

I Pourquoi ?

1. Obtenier d’informations sur l’evolution de l’ecoulement,2. mettre en evidence des parametres importants,3. Introduire ulterieurement des facteurs pouvant tenir compte des deviations de

l’etat ideal.


Ecoulement unidimensionnel isentropique Etat de stagnation (.)0

L’etat de stagnation du modele de gaz parfait, cp et cv constantes

I Il s’agit de l’etat ou le fluide est en etat d’equilibre a vitesse nulle sans faisantintervenir aucune force exterieure.

I On notera un tel etat par l’indice zero “0”

I Eq. d’energie : h +1

2u2 = h0 =⇒ cpT +

1

2u2 = cpT0 pour un gaz parfait.

I D’ou :T0

T= 1 +

1

2

u2

cpT

I Gaz parfait : R = cp − cv = cp(γ − 1)

γet donc

a2 =γp

ρ= γRT

a20 =

γp0

ρ0= γRT0


Ecoulement unidimensionnel isentropique Relations de saut en fonction de M

Relations de saut en fonction de M de part et d’autre du choc

I Rapport des temperatures :T0

T= 1 +

γ − 1

2M2

I Rapport des pressions :p0

p=

(T0

T

)γ/(γ−1)

=

(1 +

γ − 1

2M2

)γ/(γ−1)

I Rapport des densites :ρ0

ρ=

(T0

T

)1/(γ−1)

=

(1 +

γ − 1

2M2

)1/(γ−1)

I Rapport des vitesses de son :a0

a=

(T0

T

)1/2

=

(1 +

γ − 1

2M2

)1/2

I Notons le choc par l’indice c . Alors, M = Mc = 1. Et

1.Tc

T0=

a2c

a20

=2

γ + 1

2.pcp0

=

(2

γ + 1

)γ/(γ−1)

3.ρcρ0

=

(2

γ + 1

)1/(γ−1)


Ecoulement unidimensionnel isentropique Relations de saut en fonction de M

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10

ρ/ρ0

p/p0

T/T0

Nombre de Mach, M

Evolution des proprietes physiques par rapport aux conditions de stagnation avecle nombre de Mach ; un gaz parfait a γ = 1.4


Tuyere-de-Laval Theormes de Hugoniot

Cham

bre

destagnation,

p 0,ρ

0,T

0,−→ v

=0.

Con

ditionsal’entree

Tuyere de Laval

Con

ditionsala

sortie,

p s≤

p 0,ρ

s,T

s

u

T

p

ρ

u+ du

T + dT

ρ+ dρ

p+ dpdA

dx< 0

dA

dx= 0

dA

dx> 0

Tuyere de Laval avec un volume de contole.Nous cherchons a determiner l’evolution de grandeurs physiques en fonction de

nombre de Mach M et la section de conduite A(x).



La demarche

I Conservation de masse : ρuA = constante = ρcucAc

I D’ou (1) :dρ

ρ+

du

u+

dA

A= 0.

I Eq. d’energie (2) : dh + udu = 0

I avec la relation thermodynamique (3) : Tds = dh − dp

ρ

I conduit, pour un processus isentropique, a (4) :dp

ρ+ udu = 0

I En utilisant l’eq. d’etat p = RρT , puis en divisant par RρT , on obtient :

dp

p=

dρ

ρ+

dT

T(5)

I En remplacantdu

ude (1) dans (4) :

dp

ρ− u2

du

u︷︸︸︷[dA

A+

dρ

ρ

]= 0 (6)



La demarche, suite ... Theoremes de Hugoniot

I Processus istentropique est un processus polytrope : pρ−γ = Cte.

I Alors : dρ =dρ

dpdp =

1

a2dp

I Eq. (6) devient :

[1− u2

a2

]dp

ρ= u2 dA

A,

I ou en fonction de M : dp = ρu2 1

1−M2

dA

A

I soitdp

p= −γ M2

M2 − 1

dA

A

I On obtient aussi :

Idu

u=

1

M2 − 1

dA

A

Idρ

ρ= − M2

M2 − 1

dA

A

IdT

T= (1− γ)

M2

M2 − 1

dA

A

IdM

M=

1 + 12(γ − 1)M2

M2 − 1

dA

A


Tuyere-de-Laval Variations le long de Tuyere de Laval

Variation de grandeurs physiques le long de Tuyere1. Cas subsonique : M < 1

M < 1 :

dA

dx< 0 =⇒

dM

dx> 0,

dp

dx< 0,

du

dx> 0

dA

dx> 0 =⇒

dM

dx< 0,

dp

dx> 0,

du

dx< 0

2. Cas supersonique : M > 1

M > 1 :

dA

dx< 0 =⇒

dM

dx< 0,

dp

dx> 0,

du

dx< 0

dA

dx> 0 =⇒

dM

dx> 0,

dp

dx< 0,

du

dx> 0

3. Cas sonique : M = 1 quand dA/dx = 0.


Tuyere-de-Laval Variations le long de Tuyere de Laval

dA

dx= 0

0

p/p0

ps/p0 = 11

1′

2

2′

3

Valeurs

decroissanttes

de ps

ps/p0

xxc

Supersonique M > 1

Subsonique M < 1(a)

p0

ρ0

T0

Tuyere de Laval

01′2

2′

3 Valeurs

decroissanttes

de ps

M

M = 1

xxc

(b)

Variations de la pression statique,

(a), et de nombre de Mach, (b),

dans une tuyere

convergente–convergente. p0

designe la pression de stagnation

(supposee constante) regnant a

l’entree de tuyere, ps la pression

statique a la sortie de tuyere.


1@ˆ ˆ p - A. H. Ridha Home Page · Energie et propagation d’ondes sonors I Eq. de la...

Documents

Transcript of 1@ˆ ˆ p - A. H. Ridha Home Page · Energie et propagation d’ondes sonors I Eq. de la...