1 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ...

Επιμέλεια: Λαβίδας Κωνσταντίνος, Μαθηματικός

1 OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1) Να αποδείξετε ότι: )()(lim 00

xPxPxx

Απόδειξη

Έστω 01

1

1 ...)( αxαxαxαxP ν

ν

ν

ν

Σύμφωνα με τις ιδιότητες του ορίου στο R0x :

)...(lim)(lim 0

1

100

αxαxαxP ν

ν

ν

νxxxx

0

1

1000

lim...)(lim)(lim αxαxαxx

ν

νxx

ν

νxx

0

1

1000

lim...limlim αxαxαxx

ν

xxν

ν

xxν

)(... 00

1

010 xPαxαxα ν

ν

ν

ν

. Επομένως, )()(lim 00

xPxPxx

2) Να αποδείξετε ότι: )(

)(

)(

)(lim

0

0

0 xQ

xP

xQ

xP

xx

Απόδειξη

Έστω η ρητή συνάρτηση )(

)()(

xQ

xPxf , όπου )(xP , )(xQ πολυώνυμα του x και

0x με 0)( 0 xQ . Τότε, )(

)(

)(lim

)(lim

)(

)(lim)(lim

0

0

0

0

00 xQ

xP

xQ

xP

xQ

xPxf

xx

xx

xxxx

.

Επομένως, )(

)(

)(

)(lim

0

0

0 xQ

xP

xQ

xP

xx

, εφόσον 0)( 0 xQ

3) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα ],[ .

Αν η f είναι συνεχής στο ],[ και )()( ff , να αποδείξετε ότι για κάθε

αριθμό η μεταξύ των )(f και )(f υπάρχει ένας, τουλάχιστον ),(0 x

τέτοιος, ώστε )( 0xf (Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών -ΘΕΤ)

Απόδειξη

Ας υποθέσουμε ότι )()( βfαf . Τότε θα ισχύει )()( βfηαf . Αν θεωρήσουμε

τη συνάρτηση ηxfxg )()( , ],[ βαx , παρατηρούμε ότι:

η g είναι συνεχής στο ],[ βα και

επιπλέον 0)()( ηαfαg

0)()( ηβfβg οπότε

0)()( βgαg

Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει ),(0 βαx τέτοιο,

ώστε 0)()( 00 ηxfxg , οπότε ηxf )( 0 .


2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

4) Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο 0x ,

τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Απόδειξη

Για 0xx έχουμε : )()()(

)()( 0

0

0

0 xxxx

xfxfxfxf

,

Οπότε

)(

)()(lim)]()([lim 0

0

0

00

0

xxxx

xfxfxfxf

xxxx

)(lim)()(

lim 00

0

0

0

xxxx

xfxf

xxxx

00)( 0 xf , αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x .

Επομένως, )()(lim 00

xfxfxx

, οπότε η f είναι συνεχής στο 0x .

5) Να αποδείξετε ότι 0)( c

Απόδειξη

Έστω η σταθερή συνάρτηση cxf )( , c .

Αν 0x είναι ένα οποιοδήποτε σημείο του , τότε για 0xx ισχύει:

0)()(

00

0

xx

cc

xx

xfxf. Επομένως, 0

)()(lim

0

0

0

xx

xfxf

xx,

οπότε 0)( c .

6) Να αποδείξετε ότι 1)( x

Απόδειξη

Έστω η συνάρτηση xxf )( .


1)()(

0

0

0

0

xx

xx

xx

xfxf. Επομένως, 11lim

)()(lim

00

0

0

xxxx xx

xfxf,

Οπότε 1)( x .

7) Να αποδείξετε ότι 1)( νν xνx

Απόδειξη

Έστω η συνάρτηση νxxf )( , }1,0{N .


1

00

21

0

1

00

21

0

0

0

0

0 ...)...)(()()(

xxxxxx

xxxxxx

xx

xx

xx

xfxf,


Επομένως

1

0

1

0

1

0

1

0

1

00

21

0

0 ...)...(lim)()(

lim00

xxxxxxxxxx

xfxf

xxxx,

Οπότε 1)( νν xνx .

8) Να αποδείξετε ότι x

x2

1

Απόδειξη

Έστω η συνάρτηση xxf )( .


000

0

00

00

0

0

0

0 1

)()(

)()(

xxxxxx

xx

xxxx

xxxx

xx

xx

xx

xfxf

,

Επομένως 00

00

0

0 2

11lim

)()(lim

xxxxx

xfxf

xxxx

,

Οπότε x

x2

1

.

9) Να αποδείξετε ότι 1)( νν xνx

Απόδειξη

Έστω η συνάρτηση xxf )( , *N .

Πράγματι, για κάθε *N έχουμε:

1

2

1

2)(

)(1)1(1)(

xx

x

x

xx

xx


x2συν

1)εφ(

Απόδειξη

Έστω η συνάρτήση xxf εφ)( με }0συν|{ xxD f R

Πράγματι, για κάθε fDx έχουμε:

x

xxxx

x

xxxx

x

xx

22 συν

ημημσυνσυν

συν

)συν(ημσυν)ημ(

συν

ημ)εφ(

xx

xx22

22

συν

1

συν

ημσυν


11) Να αποδείξετε ότι αν οι συναρτήσεις gf , είναι παραγωγίσιμες στο 0x , τότε η

συνάρτηση gf είναι παραγωγίσιμη στο 0x και ισχύει:

)()()()( 000 xgxfxgf

Απόδειξη

Για 0xx , ισχύει:

0

0

0

0

0

00

0

0 )()()()()()()()())(())((

xx

xgxg

xx

xfxf

xx

xgxfxgxf

xx

xgfxgf

.

Επειδή οι συναρτήσεις gf , είναι παραγωγίσιμες στο 0x , έχουμε:

),()()()(

lim)()(

lim))(())((

lim 00

0

0

0

0

0

0

000

xgxfxx

xgxg

xx

xfxf

xx

xgfxgf

xxxxxx

Οπότε )()()()( 000 xgxfxgf .

12) Να αποδείξετε ότι 1)( xx , *a

Απόδειξη

Έστω η συνάρτηση xxf )( , *a

Πράγματι, αν xexy ln και θέσουμε xu ln , τότε έχουμε uey .

Επομένως, 1ln 1

)(

xx

xx

eueey xuu.

(ή)

Έστω η συνάρτηση xxf )( , *a

Πράγματι, ln xx e οπότε

ln ln ln 11( ) ( ) ( ln )a x a x a x aax e e a x e a x ax

x x

Οπότε 1)( xx

13) Να αποδείξετε ln)( xx

Απόδειξη

Έστω η συνάρτηση xxf )( , 0α

Πράγματι, αν lnxx ey και θέσουμε lnxu , τότε έχουμε uey .

Επομένως, lnln)( ln xxuu eueey .

(ή)

Έστω η συνάρτηση xxf )( , 0α

Πράγματι,lnx x ae οπότε

ln ln ln( ) ( ) ( ln ) ln lnx x a x a x a xa e e x a e a a a


Οπότε ln)( xx


x1

)||(ln

Απάντηση

Έστω η συνάρτηση ||ln)( xxf , *Rx

Πράγματι.

— αν 0x , τότε x

xx1

)(ln)||(ln , ενώ

— αν 0x , τότε )ln(||ln xx , οπότε, αν θέσουμε )ln( xy και xu ,

έχουμε uy ln . Επομένως, xx

uu

uy1

)1(1

1

)(ln

Οπότε για κάθε * x

x1

)||(ln

15) Να αποδείξετε ότι αν για μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ ισχύει: η f

είναι συνεχής στο Δ και η 0)( xf για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ,

τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. (Συνέπειες του ΘΜΤ – (Θεώρ.))

Απόδειξη

Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε Δxx 21 , ισχύει )()( 21 xfxf . Πράγματι

Αν 21 xx , τότε προφανώς )()( 21 xfxf .

Αν 21 xx , τότε στο διάστημα ],[ 21 xx η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος

μέσης τιμής. Επομένως, υπάρχει ),( 21 xxξ τέτοιο, ώστε

12

12 )()()(

xx

xfxfξf

. (1)

Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει 0)( ξf ,οπότε, λόγω της (1), είναι

)()( 21 xfxf . Αν 12 xx , τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι )()( 21 xfxf .

Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι )()( 21 xfxf . Δηλαδή, cxf )( με .c

16) Να αποδείξετε ότι αν για δυο συναρτήσεις gf , ορισμένες σε ένα διάστημα Δ.

ισχύουν: οι gf , είναι συνεχείς στο Δ και )()( xgxf για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό

σημείο x του Δ, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε Δx να ισχύει:

cxgxf )()( (Συνέπειες του ΘΜΤ – (Πόρισμα))

Απόδειξη

Η συνάρτηση gf είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο Δx ισχύει

0)()()()( xgxfxgf . Επομένως, η συνάρτηση gf είναι σταθερή στο Δ. Άρα,

υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε Δx να ισχύει cxgxf )()( , οπότε

cxgxf )()( .


17) Να αποδείξετε ότι αν για μια συνάρτηση f, η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα

διάστημα Δ, η 0)( xf σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε η f είναι

γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.

Απόδειξη

Έστω Δxx 21 , με 21 xx . Θα δείξουμε ότι )()( 21 xfxf .

Πράγματι, στο διάστημα ],[ 21 xx η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ.

Επομένως, υπάρχει ),( 21 xxξ τέτοιο, ώστε 12

12 )()()(

xx

xfxfξf

,

οπότε έχουμε ))(()()( 1212 xxξfxfxf

Επειδή 0)( ξf και 012 xx , έχουμε 0)()( 12 xfxf , οπότε )()( 21 xfxf .

18) Να αποδείξετε ότι αν για μια συνάρτηση f, η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα

διάστημα Δ, η 0)( xf σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε η f είναι

γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ.

Απόδειξη

Έστω Δxx 21 , με 21 xx . Θα δείξουμε ότι )()( 21 xfxf .

Πράγματι, στο διάστημα ],[ 21 xx η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ.

Επομένως, υπάρχει ),( 21 xxξ τέτοιο, ώστε 12

12 )()()(

xx

xfxfξf

,

οπότε έχουμε ))(()()( 1212 xxξfxfxf

Επειδή 0)( f και 012 xx , έχουμε 0)()( 12 xfxf , οπότε )()( 21 xfxf

19) Να αποδείξετε ότι για μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και 0x ένα

εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 0x και

είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε: 0)( 0 xf (Θεώρημα Fermat)

Απόδειξη

Ας υποθέσουμε ότι η f παρουσιάζει στο 0x τοπικό μέγιστο. Επειδή το 0x είναι

εσωτερικό σημείο του Δ και η f παρουσιάζει σ’ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει 0δ

τέτοιο, ώστε ),( 00 xx και )()( 0xfxf , για κάθε ),( 00 xxx .

Επειδή, επιπλέον, η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x , ισχύει

0

0

0

0

0

)()(lim

)()(lim)(

00 xx

xfxf

xx

xfxfxf

xxxx

.

Επομένως,

— αν ),( 00 xxx , τότε, λόγω της (1), θα είναι 0)()(

0

0

xx

xfxf, οπότε θα


έχουμε 0)()(

lim)(0

0

00

xx

xfxfxf

xx (2)

— αν ),( 00 xxx , τότε, λόγω της (1), θα είναι 0)()(

0

0

xx

xfxf, οπότε θα

έχουμε 0)()(

lim)(0

0

00

xx

xfxfxf

xx. (3)

Έτσι, από τις (2) και (3) έχουμε 0)( 0 xf .

20) Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα ),( , με εξαίρεση ίσως

ένα σημείο του 0x , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν

0)( xf στο ),( 0x και 0)( xf στο ),( 0 x , τότε το )( 0xf είναι τοπικό

μέγιστο της f.

Απόδειξη

Eπειδή 0)( xf για κάθε ),( 0xx και η f είναι συνεχής στο 0x , η f είναι

γνησίως αύξουσα στο ],( 0x . Έτσι έχουμε )()( 0xfxf , για κάθε ],( 0xx . (1)

Επειδή 0)( xf για κάθε ),( 0 xx και η f είναι συνεχής στο 0x , η f είναι

γνησίως φθίνουσα στο ),[ 0 βx . Έτσι έχουμε: )()( 0xfxf , για κάθε ),[ 0 xx . (2)

Επομένως, λόγω των (1) και (2), ισχύει: )()( 0xfxf , για κάθε ),( x ,

που σημαίνει ότι το )( 0xf είναι μέγιστο της f στο ),( βα και άρα τοπικό μέγιστο

αυτής.


ένα σημείο του 0x , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν

0)( xf στο ),( 0x και 0)( xf στο ),( 0 x , τότε το )( 0xf είναι τοπικό

ελάχιστο της f.

Απόδειξη

Eπειδή 0)( xf για κάθε ),( 0xx και η f είναι συνεχής στο 0x , η f είναι

γνησίως φθίνουσα στο ],( 0x . Έτσι έχουμε )()( 0xfxf (1), για κάθε ],( 0xx .

Επειδή 0)( xf για κάθε ),( 0 xx και η f είναι συνεχής στο 0x , η f είναι

γνησίως αύξουσα στο ),[ 0 βx . Έτσι έχουμε: )()( 0xfxf (2), για κάθε ),[ 0 xx .

Επομένως, λόγω των (1) και (2), ισχύει: )()( 0xfxf , για κάθε ),( x ,

που σημαίνει ότι το )( 0xf είναι μέγιστο της f στο ),( και άρα τοπικό μέγιστο

αυτής.



ένα σημείο του 0x , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η

)(xf διατηρεί πρόσημο στο ),(),( 00 xx , τότε το )( 0xf δεν είναι τοπικό

ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο ),( .

Απόδειξη

Έστω 0)( xf , για κάθε ),(),( 00 xxx .

Επειδή η f είναι συνεχής στο 0x θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα

διαστήματα ],( 0x και ),[ 0 x . Επομένως, για 201 xxx ισχύει

)()()( 201 xfxfxf . Άρα το )( 0xf δεν είναι τοπικό ακρότατο της f. Θα

δείξουμε, τώρα, ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ),( . Πράγματι, έστω

),(, 21 xx με 21 xx .

— Αν ],(, 021 xxx , επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο ],( 0x , θα ισχύει

)()( 21 xfxf .

— Αν ),[, 021 xxx , επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο ),[ 0 x , θα ισχύει

)()( 21 xfxf .

— Τέλος, αν 201 xxx , τότε όπως είδαμε )()()( 201 xfxfxf .

Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει )()( 21 xfxf , οπότε η f είναι γνησίως

αύξουσα στο ),( βα .


3 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

23) Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα

της f στο Δ, να αποδείξετε ότι: α) όλες οι συναρτήσεις της μορφής

cxFxG )()( , c R, είναι παράγουσες της f στο Δ και β) κάθε άλλη

παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή cxFxG )()( , c R.

Απόδειξη

α) Κάθε συνάρτηση της μορφής cxFxG )()( , όπου c R , είναι μια

παράγουσα της f στο Δ, αφού )()())(()( xfxFcxFxG , για κάθε x .

β) Έστω G είναι μια άλλη παράγουσα της f στο Δ. Τότε για κάθε x ισχύουν

)()( xfxF και )()( xfxG , οπότε )()( xFxG , για κάθε x .

Άρα, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε cxFxG )()( , για κάθε x .

24) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα ],[ . Αν G είναι μια

παράγουσα της f στο ],[ , τότε να αποδείξετε ότι:

)()()( GGdttf

(θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού)

Απόδειξη

Η συνάρτηση x

dttfxF

)()( είναι μια παράγουσα της f στο ],[ . Επειδή

και η G είναι μια παράγουσα της f στο ],[ , θα υπάρχει c R τέτοιο, ώστε

cxFxG )()( . (1)

Από την (1), για x , έχουμε

ccdttfcFG )()()( , οπότε

)(Gc .

Επομένως, )()()( GxFxG ,

οπότε, για x , έχουμε

)()()()()( GdttfGFG

και άρα

)()()( GGdttf .

25) Έστω, δυο συναρτήσεις f και g, συνεχείς στο διάστημα με 0)()( xgxf για

κάθε ],[ x και Ω το χωρίο που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις

των gf , και τις ευθείες x και x . Να αποδείξετε ότι

dxxgxfE ))()(()( .

Απόδειξη

Πράγματι,

dxxgxfdxxgdxxf ))()(()()()()()( 21 .


Επομένως,

dxxgxfE ))()(()( .

26) Έστω, δυο συναρτήσεις f και g, συνεχείς στο διάστημα με )()( xgxf για κάθε

],[ x και Ω το χωρίο που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των

gf , και τις ευθείες x και x . Να αποδείξετε ότι

dxxgxfE ))()(()( .

Απόδειξη

Πράγματι, επειδή οι συναρτήσεις gf , είναι συνεχείς στο ],[ , θα υπάρχει αριθμός

c R τέτοιος ώστε 0)()( cxgcxf , για κάθε ],[ x . Είναι φανερό ότι το

χωρίο Ω σχηματίζεται μεταξύ των δύο καινούργιων συναρτήσεων 0)( cxf

0)( cxg έχει το ίδιο εμβαδόν με το χωρίο Ω που σχηματίζεται από τις

συναρτήσεις gf , .

Επομένως

dxxgxfdxcxgcxf ))()(()])(())([()()( .

Άρα,

dxxgxfE ))()(()( .

27) Να αποδείξετε ότι το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τον άξονα xx , τη

γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g, με 0)( xg για κάθε ],[ x και τις

ευθείες x και x είναι

dxxgE )()(

Απόδειξη

Πράγματι, επειδή ο άξονας xx είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης

0)( xf , έχουμε

dxxgxfE ))()(()(

dxxgdxxg )()]([ .

Επομένως, αν για μια συνάρτηση g ισχύει 0)( xg για κάθε ],[ x , τότε

dxxgE )()(

1 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ...

Documents

Transcript of 1 OΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ...