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1 MATH 5108 Réalisé par GHADA YOUNES Centre LEscale 2010.
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11
MATH 5108MATH 5108Réalisé par GHADA YOUNES
Centre L’Escale
2010
Les fonctions Les fonctions TrigonométriquesTrigonométriques
( 2 de 4)( 2 de 4)
Les graphiquesLes graphiques
33
Rôle des paramètresRôle des paramètres
a, b, h et ka, b, h et k
dans l'équation canonique:dans l'équation canonique:
f(x) = a sin b (x-h) +kf(x) = a sin b (x-h) +k
44
La fonction de base sinus:La fonction de base sinus:
f (x) = sin xf (x) = sin x
55
x
sin x
1
-1
2π
a=1
Période:
p = 2π
Graphique
3π/2ππ/2-π/2-π-3π/2-2π
66
Rôle du paramètre a
a>0: modifie l'amplitude de la fonction
a<0: un a négatif produit une réflexion par rapport à l'axe des “x”
77
x
sinx
1
-1
2π
-1,5
f(x) = 1,5 sinx1,5
a>1
3π/2ππ/2-π/2-π-3π/2-2π
88
0 < a < 1
x
sin x
1
-1
0,5
-0,5
f(x) = 0,5 sinx
2π3π/2ππ/2-π/2-π-3π/2-2π
99
a<0a<0ex: a = -1,5ex: a = -1,5
x
sin x
1,5
-1,5
f(x) = -1,5 sinx
g(x) = 1,5 sinx
2π3π/2ππ/2-π/2-π-3π/2-2π
1010
Rôle du paramètre b
1 - Modifie la période de la fonction
2 - Un b négatif provoque une réflexion
par rapport à l'axe des y dans la
fonction sin
1111
formule: formule: I b II b I= 2= 2π//pp
La période est inversement proportionnelle au paramètre b.
1212
pour (p = 4 π)
• calcul: IbI = 2π /4π IbI = ½ OU 0,5
• Équation: f(x) = sin(x/2)
Calcul de b:
pour (p = π)
• calcul: IbI = 2π /π IbI = 2
• Équation: f(x) = sin2x
1313
b >1b >1ex: b =2ex: b =2
sin x
x
1
-1g(x) =sinx
f(x) = sin2x
P = π
2πππ/2-π/2-π
P = 2π
1414
b<1b<1ex :b =1/2ex :b =1/2
sinx
1
-1
f(x) = sin x/2
x
P = 4π
4π-4π -2π -π -π/2 π/2 π 2π
1515
b<0b<0 ex: b = -1/2
sin x
1g(x) = sin x/2
f(x) = sin ( - x/2)
x
-1
4π2π-2π-4π
1616
Rôle du paramètre hRôle du paramètre h Le déphasageLe déphasage
h < 0: f(x) subit une translation horizontale h < 0: f(x) subit une translation horizontale vers la gauche de hvers la gauche de h
h > 0:h > 0: f(x) subit une translation horizontale f(x) subit une translation horizontale vers la droite de h vers la droite de h
1717
h>0h>0ex: Le déphasage ex: Le déphasage h = + h = +π/2 π/2
g(x) =sinx
0 x
1
f(x) = sin(x-π/2)
π/2
π/2
sin x
-1
2π-2π 5π/23π/2-π/2-3π/2
1818
h<0h<0ex: Le déphasage h = - ex: Le déphasage h = - π/2 π/2
g(x) =sinx
0
-π/2
x
1
-1
f(x) =sin(x+π/2)
sin x
-5π/2 3π/2π/2-π/2-3π/2-2π 2π
1919
Rôle du paramètre kRôle du paramètre k
k provoque une translation verticale de la fonctionk provoque une translation verticale de la fonction
k<0: déplacement vers le bas de k.
k>0: déplacement vers le haut de k.
2020
x
sinx
1
-1 K =-1
Si k = -1
2π3π/2ππ/2-π/2-3π/2-2π
2121
Donc, Donc,
5 étapes à suivre5 étapes à suivrePour tracer un graphique:Pour tracer un graphique:
2222
1- Ramener l'équation sous la forme y = a sin b(x-h)+k ou y = a cos b(x-h)+k
2- Trouver p, a, h et k translation: T (h, k)
3- Tracer y = sin x ou y = cos x
4- Rajouter les paramètres un à un (dans l'ordre)
5- Vérifier les signes pour la réflexion
2323
Applications
2424
Tracer la fonction:Tracer la fonction:
f(x) = 1,5 sin2 (x+f(x) = 1,5 sin2 (x+π/2) + 1π/2) + 1
2525
Trouver les valeurs de:Trouver les valeurs de:p, a, h p, a, h etet k k
2626
f(x) = 1,5 sin2 (x+π/2) + 1f(x) = 1,5 sin2 (x+π/2) + 1
h = -π/2π/2
π/2π/2
déplacement horizontal
de π/2 vers la gauche
a=1,5
1,5
un allongement vertical
k=1
11
déplacement vertical de +1
vers le haut
2
b=2
P = 2 π/ IbI
P= 2 π/2 = π
2727
g(x)=sinx
1
-1
x
sinx
TRACER LA FONCTION DE BASE: f(x) = sin x
2πππ/2-π/2-π-2π
2828
Rajouter les paramètres un à unRajouter les paramètres un à un
(dans l'ordre) (dans l'ordre)
2929
la période: P = πf(x) = sin2x
g(x)=sinx
1
-1
sinx
x2πππ/2-2π -π -π/2
3030
UN ALLONGEMENT VERTICAL: a = 1,5
f(x) =1,5 sin 2x
g(x)=sinx
1
sinx
x
-1,5
-1
1,5
2πππ/2-π/2-π-2π
3131
h = -π/2 translation horizontale de π/2 vers la gauche
f(x) = 1,5 sin2 (x + π/2)
1
-1,5
1,5
sinx
x
-1
2πππ/2-π/2-π-2π
3232
k = 1 translation verticale de 1 vers le haut
f(x) =1,5 sin2 (x+π/2) + 1
1
-1
2,5
-1,5
sinx
x2πππ/2-π/2-2π -π
3333
La fonction de base La fonction de base cosinus:cosinus:
f (x) = cos xf (x) = cos x
3434
graphiquegraphique
x
cos x
1
-1
a=1
Période:
P = 2π
2π3π/2ππ/2-π/2-π-3π/2-2π
3535
Applications
3636
Tracer la fonction :Tracer la fonction :
f(x) = 1,5 cos2 (x-f(x) = 1,5 cos2 (x-π/4) + 1π/4) + 1
3737
Trouver les valeurs de:Trouver les valeurs de:p, a, h p, a, h etet k k
3838
f(x) = 1,5 cos2 (x-π/4 ) +1f(x) = 1,5 cos2 (x-π/4 ) +1
h = π/4π/4
π/4π/4
déplacement horizontal
de π/4 vers la droite
a=1,5
1,5
un allongement vertical
k=1
11
déplacement vertical de +1
vers le haut
2
b=2
P = 2π/ IbI
P = 2π/2 = π
3939
la période: P = π
g(x) = cosx
1
-1
π/2π/2 3π/43π/4-π/2-π/2
2π2πππ
-π/4-π/4 ππ/4/4
f(x) = cos2 x
x
cos x
5π/45π/4
3π/23π/2
7π/47π/4
4040
UN ALLONGEMENT VERTICAL (a = 1,5)f(x) = 1,5 cos 2x
g(x) = cos x
2π2π-π/2-π/2 π/2π/2
-1
-1,5
1,5
3π/23π/2ππ
cos x
x
4141
déplacement horizontal de π/4 vers la droite ( h = π/4)
f(x) =1,5 cos2 (x-π/4)
g(x) = cosx
-1
-1,5
1,5
π/2π/2 3π/23π/2-π/2-π/2 ππ-π/4-π/4 π/4π/4 2π2π
cos x
x
4242
déplacement vertical de 1 vers le haut (k = 1)
f(x) =1,5 cos2 (x-π/4) + 1
g(x) = cosx
1
-1
-1,5
π/2π/2 3π/23π/2-π/2-π/2 ππ 2π2π
cos x
x
2,5
1,5
4343
La fonction tangenteLa fonction tangente fonction de base: fonction de base: f(x) = tan xf(x) = tan x
• La période: P = π I bI = π /P
I bI = π / π = 1
• Les équations des asymptotes
x = n π/2 ( n est un entier)
4444
Tan x
x 3π/2 -π -π/2 0 π/2 π 3π/2
-1
1
P = π
f(x) = tan x
4545
ApplicationsApplicationsCahier d’apprentissage MAT-5108, Brault et Bouthillier
Sous-module 08 Pages 309 et 310
Sous-module 09Pages 302 à 325
4646
Je tiens à remercier Mme France Garnier
pour son soutien techno-pédagogique.