1 MATH 5108 Réalisé par GHADA YOUNES Centre LEscale 2010.

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MATH 5108MATH 5108Réalisé par GHADA YOUNES

Centre L’Escale

2010

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Les fonctions Les fonctions TrigonométriquesTrigonométriques

( 2 de 4)( 2 de 4)

Les graphiquesLes graphiques

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33

Rôle des paramètresRôle des paramètres

a, b, h et ka, b, h et k

dans l'équation canonique:dans l'équation canonique:

f(x) = a sin b (x-h) +kf(x) = a sin b (x-h) +k

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La fonction de base sinus:La fonction de base sinus:

f (x) = sin xf (x) = sin x

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55

x

sin x

1

-1

a=1

Période:

p = 2π

Graphique

3π/2ππ/2-π/2-π-3π/2-2π

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66

Rôle du paramètre a

a>0: modifie l'amplitude de la fonction

a<0: un a négatif produit une réflexion par rapport à l'axe des “x”

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77

x

sinx

1

-1

-1,5

f(x) = 1,5 sinx1,5

a>1

3π/2ππ/2-π/2-π-3π/2-2π

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88

0 < a < 1

x

sin x

1

-1

0,5

-0,5

f(x) = 0,5 sinx

2π3π/2ππ/2-π/2-π-3π/2-2π

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99

a<0a<0ex: a = -1,5ex: a = -1,5

x

sin x

1,5

-1,5

f(x) = -1,5 sinx

g(x) = 1,5 sinx

2π3π/2ππ/2-π/2-π-3π/2-2π

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1010

Rôle du paramètre b

1 - Modifie la période de la fonction

2 - Un b négatif provoque une réflexion

par rapport à l'axe des y dans la

fonction sin

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formule: formule: I b II b I= 2= 2π//pp

La période est inversement proportionnelle au paramètre b.

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1212

pour (p = 4 π)

• calcul: IbI = 2π /4π IbI = ½ OU 0,5

• Équation: f(x) = sin(x/2)

Calcul de b:

pour (p = π)

• calcul: IbI = 2π /π IbI = 2

• Équation: f(x) = sin2x

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1313

b >1b >1ex: b =2ex: b =2

sin x

x

1

-1g(x) =sinx

f(x) = sin2x

P = π

2πππ/2-π/2-π

P = 2π

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1414

b<1b<1ex :b =1/2ex :b =1/2

sinx

1

-1

f(x) = sin x/2

x

P = 4π

4π-4π -2π -π -π/2 π/2 π 2π

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1515

b<0b<0 ex: b = -1/2

sin x

1g(x) = sin x/2

f(x) = sin ( - x/2)

x

-1

4π2π-2π-4π

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1616

Rôle du paramètre hRôle du paramètre h Le déphasageLe déphasage

h < 0: f(x) subit une translation horizontale h < 0: f(x) subit une translation horizontale vers la gauche de hvers la gauche de h

h > 0:h > 0: f(x) subit une translation horizontale f(x) subit une translation horizontale vers la droite de h vers la droite de h

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1717

h>0h>0ex: Le déphasage ex: Le déphasage h = + h = +π/2 π/2

g(x) =sinx

0 x

1

f(x) = sin(x-π/2)

π/2

π/2

sin x

-1

2π-2π 5π/23π/2-π/2-3π/2

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1818

h<0h<0ex: Le déphasage h = - ex: Le déphasage h = - π/2 π/2

g(x) =sinx

0

-π/2

x

1

-1

f(x) =sin(x+π/2)

sin x

-5π/2 3π/2π/2-π/2-3π/2-2π 2π

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1919

Rôle du paramètre kRôle du paramètre k

k provoque une translation verticale de la fonctionk provoque une translation verticale de la fonction

k<0: déplacement vers le bas de k.

k>0: déplacement vers le haut de k.

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2020

x

sinx

1

-1 K =-1

Si k = -1

2π3π/2ππ/2-π/2-3π/2-2π

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2121

Donc, Donc,

5 étapes à suivre5 étapes à suivrePour tracer un graphique:Pour tracer un graphique:

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2222

1- Ramener l'équation sous la forme y = a sin b(x-h)+k ou y = a cos b(x-h)+k

2- Trouver p, a, h et k translation: T (h, k)

3- Tracer y = sin x ou y = cos x

4- Rajouter les paramètres un à un (dans l'ordre)

5- Vérifier les signes pour la réflexion

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2323

Applications

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2424

Tracer la fonction:Tracer la fonction:

f(x) = 1,5 sin2 (x+f(x) = 1,5 sin2 (x+π/2) + 1π/2) + 1

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2525

Trouver les valeurs de:Trouver les valeurs de:p, a, h p, a, h etet k k

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2626

f(x) = 1,5 sin2 (x+π/2) + 1f(x) = 1,5 sin2 (x+π/2) + 1

h = -π/2π/2

π/2π/2

déplacement horizontal

de π/2 vers la gauche

a=1,5

1,5

un allongement vertical

k=1

11

déplacement vertical de +1

vers le haut

2

b=2

P = 2 π/ IbI

P= 2 π/2 = π

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2727

g(x)=sinx

1

-1

x

sinx

TRACER LA FONCTION DE BASE: f(x) = sin x

2πππ/2-π/2-π-2π

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2828

Rajouter les paramètres un à unRajouter les paramètres un à un

(dans l'ordre) (dans l'ordre)

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2929

la période: P = πf(x) = sin2x

g(x)=sinx

1

-1

sinx

x2πππ/2-2π -π -π/2

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3030

UN ALLONGEMENT VERTICAL: a = 1,5

f(x) =1,5 sin 2x

g(x)=sinx

1

sinx

x

-1,5

-1

1,5

2πππ/2-π/2-π-2π

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3131

h = -π/2 translation horizontale de π/2 vers la gauche

f(x) = 1,5 sin2 (x + π/2)

1

-1,5

1,5

sinx

x

-1

2πππ/2-π/2-π-2π

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3232

k = 1 translation verticale de 1 vers le haut

f(x) =1,5 sin2 (x+π/2) + 1

1

-1

2,5

-1,5

sinx

x2πππ/2-π/2-2π -π

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La fonction de base La fonction de base cosinus:cosinus:

f (x) = cos xf (x) = cos x

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3434

graphiquegraphique

x

cos x

1

-1

a=1

Période:

P = 2π

2π3π/2ππ/2-π/2-π-3π/2-2π

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3535

Applications

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3636

Tracer la fonction :Tracer la fonction :

f(x) = 1,5 cos2 (x-f(x) = 1,5 cos2 (x-π/4) + 1π/4) + 1

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3737

Trouver les valeurs de:Trouver les valeurs de:p, a, h p, a, h etet k k

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3838

f(x) = 1,5 cos2 (x-π/4 ) +1f(x) = 1,5 cos2 (x-π/4 ) +1

h = π/4π/4

π/4π/4

déplacement horizontal

de π/4 vers la droite

a=1,5

1,5

un allongement vertical

k=1

11

déplacement vertical de +1

vers le haut

2

b=2

P = 2π/ IbI

P = 2π/2 = π

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3939

la période: P = π

g(x) = cosx

1

-1

π/2π/2 3π/43π/4-π/2-π/2

2π2πππ

-π/4-π/4 ππ/4/4

f(x) = cos2 x

x

cos x

5π/45π/4

3π/23π/2

7π/47π/4

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4040

UN ALLONGEMENT VERTICAL (a = 1,5)f(x) = 1,5 cos 2x

g(x) = cos x

2π2π-π/2-π/2 π/2π/2

-1

-1,5

1,5

3π/23π/2ππ

cos x

x

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4141

déplacement horizontal de π/4 vers la droite ( h = π/4)

f(x) =1,5 cos2 (x-π/4)

g(x) = cosx

-1

-1,5

1,5

π/2π/2 3π/23π/2-π/2-π/2 ππ-π/4-π/4 π/4π/4 2π2π

cos x

x

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4242

déplacement vertical de 1 vers le haut (k = 1)

f(x) =1,5 cos2 (x-π/4) + 1

g(x) = cosx

1

-1

-1,5

π/2π/2 3π/23π/2-π/2-π/2 ππ 2π2π

cos x

x

2,5

1,5

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4343

La fonction tangenteLa fonction tangente fonction de base: fonction de base: f(x) = tan xf(x) = tan x

• La période: P = π I bI = π /P

I bI = π / π = 1

• Les équations des asymptotes

x = n π/2 ( n est un entier)

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Tan x

x 3π/2 -π -π/2 0 π/2 π 3π/2

-1

1

P = π

f(x) = tan x

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ApplicationsApplicationsCahier d’apprentissage MAT-5108, Brault et Bouthillier

Sous-module 08 Pages 309 et 310

Sous-module 09Pages 302 à 325

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Je tiens à remercier Mme France Garnier

pour son soutien techno-pédagogique.