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Lino MiramontiUniversità degli Studi di Milano

Facoltà di scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Per il corso di Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare a.a. 2003-2004

Interazione della radiazione con la

materia

2

• Particelle cariche pesanti (α, p, d, μ, , ioni pesanti...) {>105 MeV}

• Particelle cariche leggere (β±, e±) {0.511 MeV}

• Particelle neutre (n,ν)

• Radiazione elettromagnetica (γ, X)

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Energia (1-2 MeV – 10-20 MeV) trattate in modo non relativistico.

Le particelle interagenti sono poco deviate dalla loro traiettoria iniziale. In prima approssimazione la traiettoria può essere considerata rettilinea.

Massa p ~ 938 MeVMassa α ~ 3728 MeV

L’interazione avviene principalmente con gli elettroni del mezzo!

ECCITAZIONE

IONIZZAZIONE

Se gli elettroni sono condotti a livelli superiori

Se gli elettroni sono strappati all’atomo (o alla molecola)

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Indichiamo con dE/dx la quantità di energia persa per unità di percorso

cm

MeV

I

cm

A

ZNz

cm

e

dx

Ed eA

e

22

22

2

4 2ln

14

Dove: e, é la carica elementaremec

2 rappresenta l’energia a riposo dell’elettrone,

z é il numero di cariche elementari della particella incidente, ρ rappresenta la densità del materiale nel quale l’interazione a luogo, A e Z sono rispettivamente la massa atomica ed in numero atomico del mezzo, NA è il numero di Avogadro

I è una costante caratteristica del mezzo che rappresenta il potenziale medio d’eccitazione degli elettroni.

forma semplificata della

formula di Bethe,

valida per

1

c

v

La quantità –dE/dx è chiamata perdita d’energia per collisione e rappresenta il potere di rallentamento del mezzo per una particella data.

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1) A basse energie domina il termine 1/β2

2) Minimo di Ionizzazione: 2-3 m0c2

3) Risalita relativistica

1)

2)

3)

Esempio da: Review of Particle Physics

Massa muone ~ 105 MeV

Massa pione ~ 135 MeV

Massa protone ~ 938 MeV

6

Il numero di coppie create per unità di lunghezza di percorso è proporzionale alla frazione dE/dx d’energia persa dalla particella. Quest’ultima aumenta man mano che l’energia della particella diminuisce passando per un massimo alla fine del percorso.

Curva di Bragg per particelle alfa

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Percorso delle particelle pesanti Percorso delle particelle pesanti

Definiamo percorso della particella la distanza che questa percorre all’interno del mezzo prima d’aver perso tutta la propria energia:

iniziale inizialeE E

dEdxdE

dxR0 0

1

. R R m e

I

I 0

t

Ogni particella possiede una traiettoria propria e tutte le particelle aventi la stessa energia iniziale hanno un percorso che le differenzia statisticamente le une dalle altre.

Dispersione nel percorso

La fluttuazione sul valore medio del percorso è

detto straggling

Percorso medio RmRe percorso estrapolato

Il percorso medio Rm è definito come lo spessore del mezzo assorbente necessario a ridurre a metà il numero di particelle iniziali I0

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Formula empirica approssimata del percorso di una particella α di energia compresa tra i 4 MeV e i 10 MeV in aria:

)(32.0)( 5.1 MeVEcmRaria

La regola di Bragg permette anche di stabilire il valore del rapporto dei percorsi di una data particella in due mezzi differenti; se indichiamo con A1 ed ρ1 la massa atomica e la densità del mezzo uno e con A2 ed ρ2

la massa atomica e la densità del mezzo due possiamo scrivere:

2

1

1

2

2

1

A

A

R

R

Grazie alla precedente è possibile calcolare il percorso di una particella in un qualunque mezzo; infatti sapendo che la densità dell’aria é ρaria = 1.3 10-3 g cm-3 e

che Aaria ≈ 14.5 potremo scrivere:

)104()(101.1)( 5.14 MeVperMeVEA

cmRmezzo

Esempio: α del 226Ra (4.78 MeV).In aria percorre ~ 3.3 cmNel silicio percorre ~ 26 μm

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Col termine particelle cariche leggere intendiamo gli elettroni (e- ed β-) ed i positroni (e+ ed β+).

Per le particelle cariche leggere, gli effetti relativistici non possono essere trascurati, avendo queste una massa a riposo molto più piccola delle rispettive particelle cariche pesanti.

Le particelle cariche leggere sono soggette non solo alla collisione con gli elettroni atomici del mezzo in cui interagiscono, ma subiscono anche un secondo tipo di meccanismo di perdita di energia dovuto alla interazione coi nuclei atomici. Questo secondo tipo di interazione, importante per energie elevate dell’elettrone incidente, è detta

perdita di energia per irraggiamento.

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Perdita di energia per ionizzazione

La perdita di energia per unità di percorso è più fluttuante che nel caso delle particelle pesanti; la lunghezza della traiettoria subisce quindi una dispersione statistica più importante.

La formula Bethe e Bloch è data per due domini di energia dell’elettrone incidente:

)5.0(2

16.1ln

1306.0

22

2

per

cm

MeV

I

cm

A

ZN

dx

Ed eA

)1(2

)(ln

1153.0

22

222

2

per

cm

MeV

cmI

cmEE

A

ZN

dx

Ed

e

eA

Nel caso non relativistico il potere di rallentamento decresce in funzione dell’energia E dell’elettrone come avveniva per le particelle cariche pesanti, mentre nel caso relativistico il potere di rallentamento cresce lentamente con ln E.

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Perdita di energia per irraggiamento

Per energie ancora più elevate, l’assorbimento degli elettroni cresce ancora più rapidamente

La teoria di Maxwell prevede che una particella carica soggetta ad una accelerazione irraggi dell’energia sotto forma elettromagnetica. L’emissione di fotoni attraverso questo processo è chiamato irraggiamento da frenamento o bremsstrahlung.

cm

MeV

cm

cmEcmEr

A

ZN

dx

Ed

e

eee

A

3

4)(2ln4)(

137

12

222

2 2

2

cm

er

ee

è il raggio classico dell’elettrone che vale re = 2.817 fm

800

)( ZMeVE

dx

Ed

dx

Ed

neionizzazio

ntoirraggiame

Energia critica

Confronto tra i due diversi processi di perdita di energia per gli elettroni:

12

Percorso delle particelle leggerePercorso delle particelle leggere

lunghezza reale percorsa

distanza massima

Relazione empirica che lega il percorso degli elettroni in funzione della loro energia:

MeVEkeVEcm

gR E 5.210412.0 ln0854.0265.1

2

MeVEMeVEcm

gR 205.2106.053.0

2

Il percorso è praticamente indipendente dalla natura dal mezzo in cui avviene l’interazione!

Solo dalla densità!

Per gli elettroni la perdita frazionaria di energia è una quantità molto fluttuante (in confronto a quella delle particelle cariche pesanti) deviazioni importanti dalla sua direzione di movimento.

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Si tratta di una radiazione elettromagnetica emessa da particelle cariche che attraversano un mezzo trasparente con un velocità maggiore della velocità della luce in quel mezzo.

equivalente del bang supersonico

n

cv

Velocità luce nel vuoto

Indice di rifrazione

Durante l’intervallo di tempo t l’onda si propaga di una distanza pari a

e la particella si muove ad una distanza pari a

Da queste due distanze si ottiene la direzione di propagazione dell’onda Cerenkov:

n

ct

ct

ntcn

tc

C

1cos

θC é detto angolo di Cerenkov

Questo tipo di radiazione é possibile solo quando n

1

Oltre ai processi di collisione e radiazione, un altro fenomeno di perdita di energia, che interessa le particelle cariche, nell’interazione con un mezzo materiale, é dato dall’effetto Cerenkov.

14

Consideriamo ad esempio un elettrone che attraversa del vetro e vediamo quale energia minima deve possedere per emettere luce Cerenkov.

Possiamo scrivere:

2

2

22

1cm

cmcmET e

ee

Per il vetro l’indice di rifrazione n é di circa 1.5 e quindi:

667.01

nc

v

Introducendo il valore e ricordando che la massa a riposo dell’elettrone é 511 keV,

otteniamo che l’elettrone deve possedere un’ energia cinetica di almeno 175 keV.

e-

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I neutroni a differenza delle particelle cariche e dei fotoni non interagiscono con il campo elettromagnetico associato agli atomi

Classificazione dei neutroni in base alla loro energia

neutroni freddi < 1/40 eV

neutroni termici ≈ 1/40 eV

neutroni epitermici 1/40 eV – 1 keV

neutroni intermedi 1 keV – 0.5 MeV

neutroni rapidi 0.5 MeV – 100 MeV

neutroni di grande energia > 100 MeV

Possiamo distinguere le interazioni dei neutroni a secondo che le particelle emesse siano identiche o no alle particelle incidenti.

Nel primo caso parleremo di diffusione e nel secondo caso di reazioni nucleari.

E=kT

Per T=300 °K E=1/40 eV

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La diffusione dei neutroni può essere di tipo elastico od inelastico.

Diffusione elasticaDiffusione elastica:

Rappresenta un meccanismo importante di rallentamento dei neutroni rapidi (E>0.5 MeV). Imponendo le leggi della conservazione dell’energia e della quantità di moto troviamo che l’energia di rinculo E r trasmessa al nucleo dalla particella incidente è:

202

cos)1(

4E

A

AE r

E0

ER

neutrone AN.B.: L’energia trasmessa diventa sempre più importante col decrescere della massa atomica dei nuclei bersaglio; per questo motivo i materiali comunemente utilizzati per rallentare i neutroni sono composti da nuclei leggeri quali

ad esempio paraffina ed acqua. (Moderatori)

Diffusione inelasticaDiffusione inelastica:

Avviene quando il neutrone possiede un’energia cinetica superiore all’energia del primo livello eccitato del nucleo bersaglio. In questo caso, il neutrone può essere riemesso lasciando il nucleo in uno stato eccitato. Tale processo é molto meno probabile della diffusione inelastica, ma diviene competitivo alle alte energie.

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Nel processo di reazione nucleare il neutrone incidente viene catturato dal nucleo con conseguente emissione di particelle diverse da quella incidente

•Le reazioni di cattura radiativa (n,γ) avvengono principalmente con i neutroni d’energia inferiore al keV.

•Per energie più elevate, sono possibili reazioni nucleari con produzione di particelle cariche, in particolare di particelle alfa e protoni:

•Per nuclei molto pesanti (A>200) la cattura di un neutrone può provocare la fissione di un nucleo in due nuclei più leggeri con emissione di altri neutroni e radiazione gamma. Per alcuni nuclei, come ad esempio l’235U ed il 239Pu, la fissione avviene con i neutroni termici, ma per altri nuclei, sono necessari neutroni rapidi con energie di qualche MeV

XXn AZ

AZ

1

YXn A

ZAZ

11

YXn A

ZAZ

32

pYXn AZ

AZ 1

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Se denotiamo con Φn il numero di neutroni per cm2 e per secondo, la perdita relativa d’intensità dopo aver attraversato uno spessore dx può essere scritta:

Possiamo scrivere la sezione d’urto totale come la somma della sezione d’urto d’assorbimento e della sezione d’urto di diffusione:

Per un fascio collimato di neutroni, possiamo definire un coefficiente di attenuazione lineare Σtot:

Integrando rispetto a dx vediamo che l’intensità di un fascio incidente dopo aver attraversato uno schermo di spessore x, é attenuato secondo una legge esponenziale:

dxNd

n

n

diffasstot

cmA

Ntot

Atot

11

xnn

totex )0()(

dove σ è la sezione d’urto totale di un evento nucleare qualsiasi (diffusione, cattura neutronica, fissione ecc.)

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I fotoni nell’attraversare un mezzo assorbente possono interagire sia con gli elettroni degli atomi sia con il nucleo atomico: Interazione con gli elettroni:

Diffusione ComptonDiffusione RayleighEffetto fotoelettrico

Interazione col nucleo:Reazioni fotonucleari Produzione di coppie

I fotoni nell’attraversare un mezzo assorbente possono interagire sia con gli elettroni degli atomi sia con il nucleo atomico: Interazione con gli elettroni:

Diffusione ComptonDiffusione RayleighEffetto fotoelettrico

Interazione col nucleo:Reazioni fotonucleari Produzione di coppie

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A differenza delle particelle cariche i fotoni interagiscono con la materia in modo discontinuo e la loro intensità non viene mai ridotta a zero.

xeIxI 0)(

dove μ è detto coefficiente di attenuazione (o di assorbimento) e dipende sia dall’energia del fotone sia dalle caratteristiche del mezzo attraversato.

La lunghezza di attenuazione λ è definita come l’inverso del coefficiente di attenuazione μ: ][1

cm

cm

1

Indichiamo con σ la sezione d’urto che esprimeremo in cm2/atomi:

atomi

cm

N

A

A

2

rappresenta la probabilità che una data collisione tra due particelle avvenga. Essa ha le dimensioni di una superficie e spesso viene misurata in barn (1 barn = 10-24 cm2).

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Effetto fotoelettrico Effetto fotoelettrico

Interazione di un fotone con un elettrone atomico.

Durante l’interazione il fotone cede tutta la sua energia all’elettrone.

beEhE

L’effetto fotoelettrico è un effetto a soglia, potendosi verificare solo quando l’energia del fotone incidente è superiore all’energia di legame dell’elettrone.

La sezione d’urto per effetto fotoelettrico, che indicheremo con σ foto risulta:

2

225

1

5.3

cmEpern

cmEpern

E

cmZ

e

e

n

efoto

137

12

ch

e

costante di struttura fine

A

Zfoto

5

A

Zfoto

5

AN

A Ricordando che

22

Effetto Compton Effetto Compton

Interazione di un fotone con un elettrone “libero”

La differenza di energia tra fotone incidente e fotone diffuso sarà impartita all’elettrone sotto forma di energia cinetica.

A differenza dell’effetto fotoelettrico il fotone non cede tutta la sua energia in una sola interazione, ma rilascia solo una frazione della propria energia deviando rispetto alla direzione incidente.

e-

h

h

‘

2

3

8eCompton r

La sezione d’urto per l’effetto Compton (nella trattazione non relativistica) risulta:

mcm

er

ee

152

2

108.2

Raggio classico dell’e-

A

ZCompton

A

ZCompton

23

Calcoliamo la perdita di energia del fotone incidente in funzione dell’angolo di diffusione.

Per la conservazione della quantità di moto abbiamo: '' eppp

cos2)( '2

'22

'2' pppppppe

mac

h

c

Ep

c

h

c

Ep

'''

Sia γ il fotone (di frequenza ν) incidente su un elettrone a riposoSia γ’ il fotone diffuso (di frequenza ν’)Sia e’ l’elettrone dopo l’urtoIndichiamo θ l’angolo di diffusione

cos

'2

'22

2' c

h

c

h

c

h

c

hpe

Quindi

e-

h

h

‘

24

ora hE

22242 cmcpcmE eeee

22'

42' cpcmE eee

'' hE

Quindi 22'

422 ' cpcmhcmh eee

esplicitando rispetto a :2'ep2

42222'

)'(

c

cmhcmhp ee

e

Per la conservazione dell’energia abbiamo:'' ee EEEE

25

Combinando le 2 equazioni si ottiene: cos

'2

')'( 22

2

4222

c

h

c

h

c

h

c

h

c

cmhcmh e

Sviluppando e ricordando che

c

')cos1(

'2

cc

cmcc

h esi ottiene

e quindi )cos1(' cm

h

ecm

h

eC è detta lunghezza d’onda Compton

dell’elettrone e vale 2.426 10-12 m.

La conoscenza della lunghezza d’onda λ del fotone incidente (e quindi la sua energia E=hν) e l’angolo di diffusione θ permettono di calcolare il valore dell’energia cinetica impressa all’elettrone:

)cos1(

)cos1()('

2

2

hcm

hhhE

ecinetica

•Per θ=0° l’energia trasferita è nulla, e quindi l’energia del fotone è conservata.•Per θ=180° il fotone è rimbalzato all’indietro ed l’energia trasferita è massimale e vale .

)(2

)(22

2

hcm

h

e

26

Produzione di coppie Produzione di coppie

Un fotone si materializza creando una coppia elettrone-positrone:

Tale processo può verificarsi solo se il fotone possiede un’energia maggiore della somma delle masse delle due particelle prodotte; ossia deve avere un’energia Eγ ≥ 1.022 MeV

L’eccesso di energia del fotone incidente verrà trasformato in energia cinetica del positrone e dell’elettrone:

2

022.1)(

MeVEEcinetica

annichilazione del positrone:

e-

h

e+

ee (due fotoni, di energia pari a 511 keV)

La sezione d’urto per produzione di coppie vale:

22

32

)( cm

Z

epp

A

Zpp

2

A

Zpp

2

27

Il coefficiente di attenuazione totale μtot, è la somma dei

coefficienti dei tre processi considerati, e cioè:

ppComptonfototot

Il numero di fotoni diffusi o assorbiti in uno spessore dx é proporzionale al flusso di fotoni incidenti Φ(x) e alla probabilità totale d’interazione μtot:

dxxxd tot )()(

Dopo aver attraversato uno spessore x, l’intensità del fascio é:

xtotex )0()( Esempio: γ del 208Tl (2.61 MeV).Nel piombo μtot= 0.477 1/cm quindi λ = 2.1 cm

http://www.physics.nist.gov/PhysRefData/XrayMassCoef/cover.html

28

Gli elettroni/positroni di alta energia emettono per irraggiamento (bremsstrahlung) fotoni

I fotoni di alta energia creano coppie elettroni/positroni

Cascata elettromagnetica

Il processo ha termine non appena l’energia scende al di sotto dell’energia critica

29

X0 = Lunghezza di radiazione

Per gli elettroni X0 è il cammino necessario affinché l’energia si riduce ad 1/e P = 69%

Per i fotoni X0 è lo spessore entro cui la materializzazione e+/e- ha probabilità P = 1-e-7/9 = 54%

0X

E

dx

Ed

rad

31

187ln

41 2

0 ZA

rN

XeA

Fornisce la probabilità affinché avvenga un irraggiamento e

una formazione di coppie

31

183ln

)(

4

9

722

32

Zcm

Z

epp

7

91

0

X

La cascata elettromagnetica raggiunge una lunghezza di circa 20 X0 ed un diametro di circa indipendentemente dal materiale.

Es. Nel Piombo (X0 = 0.56 cm) quindi la cascata ha una lunghezza di circa una dozzina di cm ed una larghezza di 3-4 cm

cE

MeVX

212 0

Materiale (g/cm2) (cm)

Aria 36.20 30050

Acqua 36.08 36.1

Piombo 6.37 0.56

30

31

A- A high energy cosmic ray comes into the picture from the top and gives a knock-on electron, just like the knock-on electron on the incoming track from the bottom of the picture.

B- The  mini electromagnetic shower studied in this picture starts here. In modern detectors,  these showers are measured in electromagnetic calorimeters.

C-The positron in this picture loses energy abruptly, emitting a photon tangentially. This is SYNCHROTRON RADIATION. This photon then knocks an electron out of an atom -  the Compton effect.

D- A photon has been emitted by an accelerating electron. (All electromagnetic radiation comes from accelerating charges.)

E-This positive partner looks like an electron, but curls in opposite direction. This is a positron. The positron-electron pair has been produced from a high energy gamma ray in the field of a nucleus.

32

Bibliografia

H. Henge, Introduction to nuclear physics, Addison-Wesley, London, 1970.

R.D. Evans, The atomic nucleus, McGraw-Hill, New York, 1967.

J.E. Turner, Atoms, Radiation, and Radiation Protection. 2nd ed. New York: John Wiley & Sons; 1995.

L.Miramonti, Radioattività e Interazione della radiazione con la materia. Edizioni CUSL Milano 2001.