1. FOLYTONOS CSOPORTOK 0-0

Lie-csoportok

1. Folytonos csoportok

Kontinuum számosságú csoport⇒ elemek jellemzése valós paraméterek-

kel (koordinátákkal):

g(α1, . . . , αn)= g(~α)∈G ~α∈U ⊆ Rn

U paraméter-tartomány topológiája⇒ csoport topológiája (két csoport-

elem közeli ha paraméter-vektoraik közeliek) ⇒ g : U → G leképezés

folytonos.

Csoport dimenziója = elemek megkülönböztetéséhez szükséges paramé-

terek minimális száma ('n-paraméteres csoport' ).

1. FOLYTONOS CSOPORTOK 0-1

Példa: eltolások csoportja háromparaméteres, míg az összes mozgá-

sé (euklidészi izometriák = eltolások + forgatások + tükrözések) hat-

paraméteres.

µ : U×U→U folytonos leképezés, µ(~α, ~β

)az ~α és ~β paraméter-vektorú

csoportelemek szorzatának paraméter-vektora

g(~α)g(~β) = g(µ(~α, ~β

))

~α paraméter-vektorú csoportelem inverzének paraméter-vektora ι(~α),

g(~α)−1 = g(ι(~α))

megfelel® ι : U→U folytonos leképezéssel.

Egységelem paraméter-vektora (konvenció): ~0=(0, . . . , 0).

1. FOLYTONOS CSOPORTOK 0-2

Csoportaxiómák

µ(~α,µ

(~β, ~γ

))= µ

(µ(~α, ~β

), ~γ)

asszociativitás

µ(~α, ~0

)= µ

(~0, ~α

)= ~α egységelem

µ(~α, ι(~α))

= µ(ι(~α), ~α)= ~0 inverzelem

Lie-csoport: kompatibilis algebrai és di�erenciálható struktúra.

µ :U×U→U és ι :U→U leképezések konvergens Taylor-sorba fejthet®k

az origó (egységelem paraméter-vektora) egy kis környezetében.

Gleason-Montgomery-Zippin tétele: kétszeres folytonos di�erenciálható-

ság + csoportaxiómák ⇒ konvergens Taylor-sor!

Di�eomor�zmus: inverzével együtt di�erenciálható leképezés.

Lokális izomor�zmus: egységelem elég kis környezetében értelmezett m¶-

velettartó di�eomor�zmus.

1. FOLYTONOS CSOPORTOK 0-3

(U1,µ1, ι1) és (U2,µ2, ι2) közötti lokális izomor�zmus olyan φ :W1→W2

(inverzével együtt) di�erenciálható leképezés ~0∈W1⊆U1 és ~0∈W2⊆U2

euklideszi részhalmazok között, amelyre

µ2

(φ( ~α), φ( ~β)) = φ

(µ1

(~α, ~β

))Lokális szerkezet ugyanaz, különbség a globális

topológiai tulajdonságokban:

kompaktság: U paraméter-tartomány zárt és korlátos (minden nyílt

lefedéséb®l kiválasztható véges lefedés);

összefügg®ség: U bármely két pontja összeköthet® U-n belül haladó

folytonos görbével;

egyszeres összefügg®ség: minden U belsejében futó zárt görbe foly-

tonosan összehúzható egy pontra (csak összefügg® G-re).

1. FOLYTONOS CSOPORTOK 0-4

Példák:

1. valós számok (R,+) additív csoportja

egyparaméteres (minden számot önmaga paraméterez, U=R)µ(α, β)=α+β és ι(α)=−αegyszeresen összefügg® és nem-kompakt;

2. komplex fázisok U(1)={z∈C | |z|=1} multiplikatív csoportja

egyparaméteres (g :α 7→exp(ıα) exponenciális paraméterezés)

µ(α, β)=α+β és ι(α)=−α (lokálisan izomorf (R,+)-szal)

kompakt és nem egyszeresen összefügg®;

3. 3d forgáscsoport

háromparaméteres (pl. Euler-szögek)

origótól mért távolság invariáns⇒ forgatás leírható 3x3-as ortogo-

nális mátrix segítségével (azonosítható SO(3) mátrixcsoporttal)

kompakt és összefügg®, de nem egyszeresen összefügg®;

1. FOLYTONOS CSOPORTOK 0-5

4. SU(2)={U ∈Mat2 (C) | detU=1, U†U=1

}izospin-csoport

dimSU(2)=3 (képzetes kvaterniók és/vagy Pauli-mátrixok)

egyszeresen összefügg® és kompakt;

5. E(3) euklidészi csoport = R3 izometriáinak csoportja

hatparaméteres: 3 transzláció + 3 forgatás

összefügg® és nem-kompakt;

6. O(n)={A∈GL(n) |AAt=1} ortogonális csoportdimO(n)= n(n−1)

2

nem összefügg® (tükrözések), de kompakt;

7. P Poincaré-csoport = Minkowski-térid® szimmetriacsoportja

10 paraméteres: 3 térbeli + 1 id®beli eltolás + 6 négydimenziós

forgatás (3 térbeli forgatás és 3 Lorentz-boost)

transzláció részcsoport és Lorent-csoport féldirekt szorzata

nem összefügg® és nem kompakt.

1. FOLYTONOS CSOPORTOK 0-6

G0 részcsoport: egységelemb®l kiinduló, G-beli folytonos görbék vég-

pontjai (egységelem komponense).

Összefügg® csoportra G=G0.

G/G0 mellékosztályok! G összefügg® komponensei

Minden összefügg® G-re létezik G univerzális fed®csoport, amely egysze-

resen összefügg®, lokálisan izomorf G-vel, és

G ∼= G/Z

ahol Z a G véges centrális részcsoportja.

Például U(1) univerzális fed®csoportja (R,+), míg SO(3)-é SU(2).

2. LIE-ALGEBRA 0-7

2. Lie-algebra

Egyparaméteres (lokális) részcsoport: 0 egy kicsiny környezetében di�e-

renciálható ς : R→U leképezés, amelyre µ(ς(t1) , ς(t2)

)= ς(t1+t2).

Ciklikus részcsoportokkal analóg szerep Lie-csoportok elméletében.

Kanonikus paraméterezés: minden ς : t 7→(α1t, . . . , αnt) lineáris leképezés

lokális egyparaméteres részcsoport (α1, . . . , αn)∈U esetén.

Minden Lie-csoportnak létezik kanonikus paraméterezése.

Kanonikus paraméterezés esetén ι(~α)=−~α és

µ(~α, ~β

)i= αi + βi +

n∑j,k=1

cjki αjβk +magasabb rend¶ tagok

cjki valós együtthatók a Lie-csoport struktúraállandói.

2. LIE-ALGEBRA 0-8

Lie tételei⇒ struktúraállandók meghatározzák magasabb rend¶ tagokat!

Lokálisan izomorf csoportok struktúraállandói megegyeznek (megfelel®en

választott paraméterezések esetén).

Tulajdonságok:

cjki + ckji = 0 antiszimmetria∑m

(cjmi cklm + ckmi cljm + clmi cjkm

)= 0 Jacobi-azonosság

Lie tételei ⇒ antiszimmetriát és Jacobi-azonosságot kielégít® tetsz®le-

ges valós cjki együtthatók egy Lie-csoport struktúraállandói (megfelel®

kanonikus paraméterezésben).

Különböz® (kanonikus) paraméterezésekben számított struktúraállandók

között lineáris összefüggés ⇒ csoportszerkezet linearizálása.

2. LIE-ALGEBRA 0-9

Lie-algebra: L lineáris tér egy � [a, b]-vel jelölt � kétváltozós m¶velettel

(kommutátor), amely mindkét változójában lineáris, azaz [λa+µb, c] =

λ[a, c]+µ[b, c] és [a, λb+µc] = λ[a, b]+µ[a, c] minden a, b, c ∈ L és λ, µ

skalárok esetén, antiszimmetrikus

[a, b] + [b, a] = 0

és teljesül a

[a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = 0 Jacobi-azonosság

Kommutátor lineáris ⇒ elegend® ismerni báziselemek kommutátorait.

Lie�mor�zmus: kommutátor®rz® φ :L1→L2 lineáris leképezés

φ([a, b]

)=[φ(a), φ(b)]

2. LIE-ALGEBRA 0-10

Példák:

1. R3 a vektoriális szorzattal

~a×(~b×~c) = (~a · ~c)~b− (~a · ~b)~c

2. n×n-es mátrixok [A,B]=AB −BA kommutátorral;

3. A:V →V lineáris operátorok gl(V ) összessége a szokásos [A,B] =

AB −BA kommutátorral (általános lineáris Lie�algebra);

4. sl(V )={A∈gl(V ) |Tr(A)=0};

5. meg�gyelhet® mennyiségek a Poisson-zárójellel (klasszikus mecha-

nika kanonikus formalizmusa);

6. impulzusmomentum komponensei (kvantummechanika).

2. LIE-ALGEBRA 0-11

Csoport Lie-algebrája: (valós) n=dimG dimenziós Lie-algebra, amely-

ben megfelel®en választott B={b1, . . . , bn} bázis esetén

[bi, bj ] =∑k

cijk bk

ahol cijk -k a csoport struktúraállandói (csoportszerkezet linearizálása);

Lie�izomor�a erejéig egyértelm¶.

Alternatív de�níciók: egységelem érint®tere, invariáns vektormez®k, stb.

egyparaméteres alcsoportok! Lie�algebra egydimenziós alterei

Lokálisan izomorf csoportok Lie�algebrái izomorfak: például (R,+) és

U(1) (egydimenziós Lie-algebra), vagy SU(2) és SO(3).

2. LIE-ALGEBRA 0-12

Transzformációcsoport: ~α∈U⊆Rn esetén g(~α) :Rm→Rm di�erenciál-

ható leképezés (általában: di�erenciálható sokaság di�eomor�zmusa).

T1, . . . , Tn in�nitezimális generátorok

Ti =m∑j=1

(∂g(~α)j∂αi

)~α=~0

∂

∂xj

Els®rend¶ parciális di�erenciál-operátorok.

In�nitezimális generátorok kommutátora szintén els®rend¶!

[Ti, Tj ] = Ti◦Tj − Tj◦Ti =∑k

cijk Tk

cijk együtthatók a transzformációcsoport struktúraállandói.

2. LIE-ALGEBRA 0-13

Példák

1. 3d transzlációcsoport: legyen g(~α) az ~α∈R3 vektorral való eltolás

g(~α) :R3 → R3

~x 7→ ~x+ ~α

Ekkor

Ti =∑j

∂(xj+αj)

∂αi

∂

∂xj=

∂

∂xi

azaz az in�nitezimális generátorok a koordináták szerinti parciális

deriváltak. Mivel ezek sorrendje lényegtelen (Young�tétel), ezért a

struktúraállandók mind zérusok:

[Ti, Tj ] = 0

2. LIE-ALGEBRA 0-14

2. 2d forgáscsoport: α∈R-re

g(α) :

(x

y

)7→(cosα x−sinα y

sinα x+cosα y

)

T =∂(cosα x−sinα y)

∂α

∂

∂x+∂(sinα x+cosα y)

∂α

∂

∂y=−y ∂

∂x+ x

∂

∂y

3. 1d konform csoport: a, b∈R-re g(a, b):x→ax+b

Megjegyzés: g(1, 0) a csoport egységeleme!

Ta =∂(ax+b)

∂a

∣∣∣a=1,b=0

= x∂

∂x

Tb =∂(ax+b)

∂b

∣∣∣a=1,b=0

=∂

∂x

[Ta, Tb]=x∂

∂x

(∂

∂x

)− ∂

∂x

(x∂

∂x

)=− ∂

∂x=−Tb

3. ÁBRÁZOLÁSOK 0-15

3. Ábrázolások

gl(V ) általános lineáris Lie�algebra: GL(V ) általános lineáris csoport

Lie-algebrája.

Lie-algebra ábrázolása: L-b®l gl(V )-be képz® Lie�mor�zmus, azaz olyan

φ:L→gl(V ) lineáris leképezés, amelyre

[φ(a) , φ(b)] = φ(a)φ(b)− φ(b)φ(a)

Lie-algebra ábrázolásai! univerzális fed®csoport ábrázolásai

Általában projektív ábrázolásai a csoportnak(azok valódiak közülük, ame-

lyek magja tartalmazza a Z<G centrális részcsoportot).

Ábrázolások vizsgálata lineáris algebrai eszközökkel.

4. HAAR-MÉRTÉK 0-16

4. Haar-mérték

Csoportelemekre vett összegzés Haar-integrál.

Integrálás: f 7→´Gf lineáris funkcionál komplex érték¶ függvények terén.

Kompatibilitás csoportszerkezettel: transzláció-invariancia

ˆG

f =

ˆG

gf =

ˆG

fg

minden g ∈ G-re, ahol gf(h) = f(gh) és fg(h) = f(hg) az f : G → Ckomplex érték¶ függvény bal-, illetve jobb-eltoltja.

Paraméter-tartományra vett Lebesgue-Stieltjes�integrál.

Haar-mérték: karakterisztikus függvények integráljából.

Kompakt csoportra mindig létezik normalizált Haar-mérték.

5. A FORGÁSCSOPORT 0-17

5. A forgáscsoport

Rögzített ponton (origó) átmen® tengelyek körüli forgatások csoportja.

Descartes-koordináták lineárisan transzformálódnak, együttható-mátrix

ortogonális és egységnyi determinánsú⇒ forgáscsoport azonosítható SO(3)

csoporttal (n dimenzióban SO(n)).

Tetsz®leges forgatás el®állítható három, egymásra mer®leges tengely kö-

rüli forgatás szorzataként:

O(~α) = Ox(αx)Oy(αy)Oz(αz)

ahol

Oz(α) :

x

y

z

7→cosα x−sinα y

sinα x+cosα y

z

5. A FORGÁSCSOPORT 0-18

⇒ in�nitezimális generátor

Lz = x∂

∂y− y

∂

∂x

Hasonló megfontolásból

Lx = y∂

∂z− z

∂

∂y

Ly = z∂

∂x− x

∂

∂z

Generátorok anti�hermitikus operátorok L2(R3)Hilbert-téren

〈f, Lig〉 =ˆf(x, y, z)Lig(x, y, z) dxdydz = −〈Lif, g〉

Lie-algebra: Lx, Ly, Lz generátorok lineáris kombinációi.

5. A FORGÁSCSOPORT 0-19

Kommutátorok

[Lx, Ly] =

(y∂

∂z−z ∂

∂y

)(z∂

∂x−x ∂

∂z

)−(z∂

∂x−x ∂

∂z

)(y∂

∂z−z ∂

∂y

)= y

∂

∂z

(z∂

∂x−x ∂

∂z

)− z

∂

∂y

(z∂

∂x−x ∂

∂z

)− z

∂

∂x

(y∂

∂z−z ∂

∂y

)+ x

∂

∂z

(y∂

∂z−z ∂

∂y

)= y

∂

∂x+yz

∂2

∂z∂x− yx

∂2

∂z2− z2

∂2

∂y∂x+zx

∂2

∂y∂x

−zy ∂2

∂x∂z+z2

∂2

∂x∂y+xy

∂2

∂z2− x

∂

∂y− xz

∂2

∂z∂y= y

∂

∂x− x

∂

∂y= −Lz

és hasonló módon

[Lx, Lz] =Ly

[Ly, Lz] =− Lx

5. A FORGÁSCSOPORT 0-20

Tetsz®leges ~n egységvektorral jellemzett tengely körüli forgatások gene-

rátora

L~n = nxLx + nyLy + nzLz

Kommutátorok

[L~n, L ~m] = L~n× ~m

⇒ forgáscsoport Lie�algebrája izomorf 3d vektorok Lie�algebrájával (vek-

toriális szorzattal mint kommutátorral).

Önadjungált Ji = −ıLi generátorok (komplexi�kált algebrában) kom-

mutátorai (εijk a Levi-Civita�tenzor)

[Ji, Jj ] = ıεijkJk

Impulzusmomentum komponenseinek csererelációi (Noether�tétel).

5. A FORGÁSCSOPORT 0-21

Casimir�operátor

J2 = J2x + J2

y + J2z

(impulzusmomentum négyzete) nem eleme a Lie-algebrának, csak annak

fed®algebrájának (burkolóalgebrájának), és kommutál minden generá-

torral,[Ji,J

2]=0 ⇒ irreducibilis ábrázolásban J2 skalárral való szorzás

J2 = j(j + 1)

valamely egész vagy fél-egész j értékre (impulzusmomentum-kvantumszám).

Egységelemhez közeli U ∈SU(2) mátrix alakja

U = 1+ ıεA

valamely A mátrixra (ε in�nitezimális valós paraméter).

1=detU=1+ıεTr(A) miatt Tr(A)=0.

5. A FORGÁSCSOPORT 0-22

Unitaritás miatt 1=UU†=(1+ıεA)(1−ıεA†)=1+ıε(A−A†), így A† = A,

azaz A önadjungált (hermitikus) mátrix.

2x2-es spúrtalan, önadjungált mátrixok terének bázisa: Pauli�mátrixok.

σ1 =

(0 1

1 0

)

σ2 =

(0 ı

−ı 0

)

σ3 =

(1 0

0 −1

)

[σi2,σj2

]=σi2

σj2− σj

2

σi2

= ıεijkσk2

5. A FORGÁSCSOPORT 0-23

Lie-algebrák izomorfak ⇒ SU(2) és SO(3) lokálisan izomorfak.

SU(2) egyszeresen összefügg®, centruma Z = {1,−1} ⇒ SU(2) a forgás-

csoport univerzális fed®csoportja

SO(3) ∼= SU(2)/Z

Forgáscsoport projektív ábrázolásai! SU(2) közönséges ábrázolásai.

Irreducibilis SU(2) ábrázolásban −1 képe e2πıj .

⇒ tenzor vagy spinor ábrázolások attól függ®en, hogy j értéke egész vagy

fél-egész.