1

1. Διανυσματικός Λογισμός Επανάληψη

(Vector Calculus)

Βαθμωτά και διανυσματικά μεγέθη (scalar and vector quantities)

Η διανυσματική ανάλυση είναι μαθηματικό εργαλείο με το οποίο οι ηλεκτρομαγνητικές έννοιες εκφράζονται πιο βολικά και κατανοούνται καλύτερα. Πρέπει πρώτα να μάθουμε τους κανόνες και τις τεχνικές της προτού να μπορέσουμε με βεβαιότητα να την εφαρμόσουμε. Πιο κάτω εισάγουμε τις βασικές έννοιες του διανυσματικού λογισμού στα καρτεσιανά και άλλα ισότιμα συστήματα. Βαθμωτό λέγεται κάθε φυσικό μέγεθος που καθορίζεται τελείως όταν είναι γνωστή η αριθμητική του τιμή και η μονάδα μετρήσεως (μάζα, απόσταση, θερμοκρασία). Διανυσματικό λέγεται το φυσικό μέγεθος που για τον καθορισμό του χρειάζονται εκτός από το μέτρο δύο επιπλέον στοιχεία, η κατεύθυνση και η φορά (ταχύτητα, μετατόπιση, ένταση ηλεκτρικών πεδίων). Μοναδιαίο διάνυσμα: λέγεται το διάνυσμα του οποίου το μέτρο είναι ίσον με ένα (π.χ. 1) και η κατεύθυνσή του είναι κατά μήκος του Α. Το μέτρο του Α δίνεται από το τύπο

222zyx AAAA ++=

2

Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσμάτων

Δύο διανύσματα Α και Β μπορούν να προστεθούν και να δώσουν ένα άλλο διάνυσμα Γ όπου Γ=Α + Β. Η πράξη γίνεται συνιστώσα με συνιστώσα π.χ. αν

Α=(Αχ,Αy,Az) και Β=(Βχ,Βy,Bz) τότε Γ= (Αχ+Βχ)ax+(Αy+By)ay+(Az+Bz)az.

Η ίδια διαδικασία ισχύει και για την αφαίρεση διανυσμάτων.

Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός - Α+Β=Β+Α - κΑ=Ακ - Α+(Β+Γ)=(Α+Β)+Γ - κ(ρΑ)=(κρ)Α - κ(Α+Β)=κΑ+κΒ όπου κ και ρ είναι βαθμωτά μεγέθη.

CA

B

CA

B

Πρόσθεση

Αφαίρεση

3

Διάνυσμα θέσης και απόστασης

(Position and Distance Vectors)

Διάνυσμα θέσης: Ένα σημείο Ρ στις καρτεσιανές συντεταγμένες μπορεί να αντιπροσωπευθεί με (x,y,z). Το διάνυσμα θέσης ορίζεται ως η κατευθείαν απόσταση από το σημείο αναφοράς στο σημείο Ρ το οποίο είναι

rp= OP=xax+yay+zaz Το σημείο (3,4,5), για παράδειγμα, και το διάνυσμα θέσης του 3aχ+4ay+5az φαίνονται στο πιο κάτω σχήμα.

Διάνυσμα Απόστασης: Αν έχουμε δύο σημεία, Ρ (xp,yp,zp) και Q (xQ,yQ,zQ), το διάνυσμα απόστασης είναι η απόσταση από το Ρ στο Q όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα.

rPQ

rQ

rP

Q

P

Ο

4

Παράδειγμα 1.1 Αν Α= 10ax – 4ay + 6az και Β= 2ax + ay , υπολογίστε (α) τη συνιστώσα του Α στη κατεύθυνση του ay (β) το μέτρο του 3Α – Β (γ) ένα μοναδιαίο διάνυσμα στη κατεύθυνση του Α + 2Β. (sd 1.1 p9)

5

Παράδειγμα 1.2 Τα σημεία Ρ και Q βρίσκονται στο (0,2,4) και (-3,1,5) αντίστοιχα. Υπολογίστε (α) Το διάνυσμα θέσης του P (β) Το διάνυσμα απόστασης απó το Ρ στο Q (γ) Την απόσταση μεταξύ Ρ και Q (δ) Ένα διάνυσμα παράλληλο του ΡQ με μέτρο 10. (sd 1.2 p 10)

6

Πολλαπλασιασμός διανυσμάτων (Vector multiplication)

Όταν πολλαπλασιάζουμε δύο διανύσματα Α και Β το αποτέλεσμα είναι είτε βαθμωτό είτε διάνυσμα, εξαρτώμενο πάντα από τον τρόπο που γίνεται ο πολλαπλασιασμός. Οι δύο τρόποι για πολλαπλασιασμό διανυσμάτων είναι:

(α) Εσωτερικό γινόμενο (dot product)

)cos( ABAB θ=⋅BA Επίσης ισχύουν τα εξής:

Α . Β = Β . Α Α . (Β + Γ) = Α . Β + Α . Γ

(β) Εξωτερικό γινόμενο (cross product)

kaBA )sin( ABAB θ=×

zyx

zyx

zyx

BBBAAA

aaa=×BA

όπου ak είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο που περιλαμβάνει τα σημεία Α, Β και το σημείο αναφοράς όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα.

7

Επίσης Α x B ≠ B x A A x B = -B x A

A x (B x Γ) ≠ (A x B) x Γ Α x (B + Γ) = Α x B + A x Γ

Α x A = 0

Τριπλό εσωτερικό γινόμενο (scalar triple product)

A . (B x Γ) = Β . (Γ x A) = Γ . (A x B)

όπου Α . (Β x Γ) = zyx

zyx

zyx

BBBAAA

ΓΓΓ

Τριπλό εξωτερικό γινόμενο (vector triple product)

A x (B x Γ) = B (A . Γ) – Γ (A . B)

8

Παράδειγμα 1.3 Δίνονται τα διανύσματα Α = 3ax + 4ay + az και Β = 2ay – 5az. Υπολογίστε τη γωνία μεταξύ Α και Β. (sd 1.5 p18)

9

Παράδειγμα 1.4 Δίνονται τρία μεγέθη πεδίων Ρ = 2ax - az

Σ = 2ax – ay + 2az T = 2ax – 3ay + az Υπολογίστε (α) (Ρ + Σ) x (Ρ – Σ) (β) Σ . Τ x Ρ (γ) Ρ . Σ x Τ (δ) sin(θΣΤ) (ε) Ρ x (Σ x Τ) (στ) ένα μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στο Σ και στο Τ (ζ) τη συνιστώσα του Ρ στη κατεύθυνση του Σ. (s.d 1.6 p19)

10

11

Συστήματα Συντεταγμένων και μετασχηματισμός

(Coordinate Systems and Transformation)

Γενικά, τα φυσικά μεγέθη που θα εξετάζουμε στον ηλεκτρομαγνητισμό, είναι συναρτήσεις του διαστήματος και του χρόνου. Προκειμένου να περιγραφούν οι μεταβολές των μεγεθών στο χώρο, πρέπει να είμαστε σε θέση να καθορίσουμε όλα τα σημεία μεμονωμένα στο διάστημα κατά τρόπο κατάλληλο. Αυτό απαιτεί ένα κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων. Παρακάτω θα περιοριστούμε στα τρία πιό γνωστά συστήματα συντεταγμένων: καρτεσιανό (Cartesian), κυκλικό κυλινδρικό (circular cylindrical) και το σφαιρικό (spherical).

Καρτεσιανές συντεταγμένες (Cartesian Coordinates)

Ένα σημείο Ρ μπορούμε να το παρουσιάσουμε ως (x,y,z). Ένα διάνυσμα Α, σε καρτεσιανές συντεταγμένες, μπορεί να γραφτεί ως

(Αx,Ay,Az) ή Axax +Ayay +Azaz

Κυκλικές κυλινδρικές συντεταγμένες

(Circular Cylindrical Coordinates)

Το κυκλικό κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων είναι πολύ βολικό όταν έχουμε να κάνουμε με προβλήματα που έχουν κυλινδρική συμμετρία. Ένα σημείο Ρ σε κυλινδρικές συντεταγμένες γράφεται ως (ρ,φ,z) και φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Από το σχήμα μπορούμε να δούμε ότι το ρ είναι η ακτίνα του κυλίνδρου, το φ είναι η γωνία που μετριέται από τον άξονα x στο επίπεδο xy και το z είναι το ίδιο όπως στις καρτεσιανές συντεταγμένες. Ένα διάνυσμα Α μπορεί να γραφτεί ως

(Αρ,Αφ,Αz) ή Αρaρ+Αφaφ+Αzaz

12

Η σχέση μεταξύ των μεταβλητών (x,y,z,) του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων και του κυλινδρικού συστήματος (ρ,φ,z) είναι:

22 yx +=ρ , xy1tan −=φ , zz =

ή

φρ cos=x , φρ sin=y , zz =

13

Σφαιρικές συντεταγμένες (Spherical Coordinates)

Το σύστημα σφαιρικών συντεταγμένων είναι πιο βολικό όταν έχουμε να κάνουμε με προβλήματα που έχουν κάποιο βαθμό σφαιρικής συμμετρίας. Ένα σημείο Ρ μπορεί να γραφτεί ως (r,θ,φ) όπως φαίνεται πιο κάτω σχήμα. Από το σχήμα βλέπουμε ότι το r είναι η απόσταση από το σημείο αναφοράς στο σημείο Ρ, το θ είναι η γωνία μεταξύ του άξονα z και το διάνυσμα θέσης του Ρ και το φ είναι η γωνία που μετριέται από τον άξονα x στο επίπεδο xy. Ένα διάνυσμα Α μπορεί να γραφτεί ως

(Αr,Αθ,Αφ) ή Αrar+Αθaθ+Αφaφ

Η σχέση μεταξύ των μεταβλητών (x,y,z,) του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων και του σφαιρικού συστήματος (r,θ,φ) είναι:

222 zyxr ++= , zyx 22

1tan+

= −θ , xy1tan −=φ

ή

φθ cossinrx = , φθ sinsinry = , θcosrz =

14

15

Παράδειγμα 1.5 Δίνεται το σημείο Ρ (-2,6,3). Εκφράστε το Ρ σε κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες. (sd2.1 p40)

16

Παράδειγμα 1.6 Εκφράστε το διάνυσμα

φθr aaaB ++= θcos10 rr

σε καρτεσιανές και κυλινδρικές συντεταγμένες. Υπολογίστε το Β(-3,4,0) και

το Β(5, 2π ,-2). (sd2.2 p43)

17

Διανυσματικός Λογισμός (Vector calculus)

Οι έννοιες που εισάγονται πιο κάτω παρέχουν την κατάλληλη γλώσσα για να εκφράσουν ορισμένες θεμελιώδεις ιδέες στην ηλεκτρομαγνητική ή τα μαθηματικά γενικά.

Διαφορικό μήκος, εμβαδόν και όγκος

(Differential length, area, and volume) Διαφορικό μήκος, εμβαδόν και όγκος είναι χρήσιμα στο διανυσματικό λογισμό. Καθορίζονται στα καρτεσιανά, κυλινδρικά, και σφαιρικά συστήματα συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες (Cartesian Coordinates)

Το διαφορικό μήκος είναι zyx aaadl dzdydx ++=

Το διαφορικό κάθετο εμβαδόν είναι z

y

x

adS

adSadS

dxdy

dxdzdydz

=

==

Ο διαφορικός όγκος είναι dxdydzdv = Σημείωση: dl και dS είναι διανύσματα όμως το dv είναι βαθμωτό όπως βλέπουμε στο πιο κάτω σχήμα.

18

19

Kυλινδρικές συντεταγμένες (Cylindrical coordinates)

Το διαφορικό μήκος είναι zφρ aaadl dzdd ++= φρρ

Το διαφορικό κάθετο εμβαδόν είναι z

φ

ρ

adS

adS

adS

ρφρ

ρ

φρ

dd

dzd

dzd

=

=

=

Ο διαφορικός όγκος είναι dzdddv φρρ=

20

Σφαιρικές συντεταγμένες (spherical coordinates)

Το διαφορικό μήκος είναι φθr aaadl φθθ drrddr sin++=

Το διαφορικό κάθετο εμβαδόν είναι φ

θ

r

adSadS

adS

θφθφθθ

rdrddrdr

ddr

===

sinsin2

Ο διαφορικός όγκος είναι φθθ ddrdrdv sin2=

21

Ολοκληρώματα επικαμπύλια, επιφάνειας και όγκου

(Line, surface, and volume integrals).

Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα (Line Integral) Δίνεται το διανυσματικό πεδίο Α και η καμπύλη L, καθορίζουμε το ολοκλήρωμα

∫ ∫=L

b

a

dlAd θcos. lA

ως το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα (line integral) του Α γύρω από την L.

Αν η πορεία του ολοκληρώματος είναι μία κλειστή καμπύλη η πιο πάνω εξίσωση γίνεται

∫L

dlA.

όπου ονομάζεται η κυκλοφορία (circulation) του Α γύρω από την L.

22

Ολοκλήρωμα Επιφάνειας (Surface Integral) Δίνεται το διανυσματικό πεδίο Α , σε μια περιοχή που περιέχει την επιφάνεια S. Καθορίζουμε το ολοκλήρωμα επιφάνειας (surface integral) ως

∫ ∫==ΨS S

dSdSA naA.cosθ

ή πιο απλά ∫=ΨS

dSA.

Ολοκλήρωμα Όγκου (Volume Integral) Επίσης καθορίζουμε το ολοκλήρωμα

dvv

v∫ ρ

ως το ολοκλήρωμα όγκου (volume integral) του βαθμωτού ρv γύρω από τον όγκο V.

23

Παράδειγμα 1.7 Δίνεται F= x2ax-xzay-y2az. Υπολογίστε την κυκλοφορία (circulation) του F γύρω από την (κλειστή) πορεία όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. (sd 3.2 p67)

24

25

Τελεστής Ανάδελτα (Del operator)

Γράφεται ∇ και είναι διανυσματικός διαφορικός τελεστής (vector differential operator) Σε καρτεσιανές συντεταγμένες γράφεται

zyx aaazyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

Αυτός ο διανυσματικός διαφορικός τελεστής δεν είναι ένα διάνυσμα, αλλά όταν λειτουργεί σε μια βαθμωτή συνάρτηση το αποτέλεσμα είναι ένα διάνυσμα.

Η κλίση ενός βαθμωτού V, γράφεται V∇ Σε κυλινδρικές συντεταγμένες ο τελεστής Ανάδελτα (Del operator) γράφεται

z∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ zφρ αaaφρρ

1

Σε σφαιρικές συντεταγμένες ο τελεστής Ανάδελτα (Del operator) γράφεται

φθθ ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇sin11

rrr φθr aaa

26

Κλίση ενός βαθμωτού πεδίου (Gradient of a scalar) Εξ ορισμού, η κλίση ενός βαθμωτού πεδίου V είναι ένα διάνυσμα που αντιπροσωπεύει και το μέγεθος και την κατεύθυνση του μέγιστου ποσοστού αύξησης του V στο χώρο. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες

zyx aaazV

yV

xVVgradV

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇=

Σε κυλινδρικές συντεταγμένες zφρ aaazVVVV∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇φρρ

1

Σε σφαιρικές συντεταγμένες φθr aaaφθθ ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=∇V

rV

rrVV

sin11

27

Παράδειγμα 1.8 Υπολογίστε την κλίση (grad) των πιο κάτω βαθμωτών πεδίων: (α) yxeV z cosh2sin−= (β) φρ 2cos2 zU = (γ) φθ cossin10 2rW = (sd 3.3 p73)

28

Απόκλιση ενός διανύσματος και θεώρημα απόκλισης

(Divergence of a vector and divergence theorem)

Από προηγουμένως έχουμε παρατηρήσει ότι η καθαρή εκροή της ροής ενός διανυσματικού πεδίου Α από μια κλειστή επιφάνεια S λαμβάνεται από το ολοκλήρωμα

∫ SA d. Τώρα καθορίζουμε την απόκλιση του Α (div A) ως την καθαρή εκροή προς τα έξω για κάθε μονάδα όγκου όταν ο όγκος τείνει στο 0.

V

ddiv S

V Δ=∇=

∫→Δ

SAAA

.lim. 0

όπου ΔV είναι ο εσωκλειόμενος όγκος από την κλειστή επιφάνεια S. Η απόκλιση του Α σε ένα σημείο Ρ(xo,yo,zo) σε καρτεσιανές συντεταγμένες

είναι: zA

yA

xA zyx

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ A.

Σε κυλινδρικές συντεταγμένες είναι:

zAA z

∂∂

+∂

∂+

∂

Α∂=∇

φρρρ

ρφρ 1)(1.A

Σε σφαιρικές συντεταγμένες είναι:

φφ

θθθ

θθ

∂Α∂

+∂

Α∂+

∂∂

=∇sin1)sin(

sin1)(1.

2

2 rrrAr

rrA

29

Θεώρημα απόκλισης

∫ ∫∇=S V

dvd ASA ..

Ιδιότητες της απόκλισης ενός διανυσματικού πεδίου 1.Το αποτέλεσμα της απόκλισης ενός διανυσματικού πεδίου είναι βαθμωτό πεδίο. 2.Η απόκλιση ενός βαθμωτού V δεν έχει νόημα.

3. BABA ..).( ∇+∇=+∇

30

Παράδειγμα 1.9 Υπολογίστε την απόκλιση των πιο κάτω διανυσματικών πεδίων: (α) Ρ =x2yzax + xzaz (β) Q =ρsinφaρ + ρ2zaφ +zcosφaz

(γ) Τ = φθr aaa θφθθ coscossincos12 ++ r

r. (sd 3.6 p79)

31

Παράδειγμα 1.10 Αν G(r)=10e-2z(ρaρ+az), υπολογίστε τη ροή του G έξω από ολόκληρη την επιφάνεια του κυλίνδρου ρ=1, 10 ≤≤ z . Επιβεβαιώστε το αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας το θεώρημα της απόκλισης. (Βλέπετε πιο κάτω σχήμα) (sd 3.7 p80)

sbt Ψ+Ψ+Ψ=⋅=Ψ ∫∫ dSG

Για tΨ 1z = , )( zadS ϕρρ dd=

21

0

22

1

0

21

0

2

0

2 102

)2(10)2(1010 −−

=

−

= =

− ====⋅=Ψ ∫∫ ∫∫∫ eededdett πρπρρπϕρρ

ρρ

π

ϕ

dSG

Για bΨ 0z = , )( zadS −= ϕρρ dd

πρπρρπϕρρρρ

π

ϕ

102

)2(10)2(10101

0

21

0

1

0

2

0

0 −=−=−=−=⋅=Ψ ∫∫ ∫∫∫== =

dddebb dSG

Για sΨ 1 =ρ , )( ρadS ϕρdzd=

( )21

0

21

0

221

0

2

0

22 1102

)2(10)2()1(1010 −−

=

−

= =

− −=−===⋅=Ψ ∫∫ ∫∫∫ eedzedzdez

z

z

z

z

ss πππϕρπ

ϕ

dSG

( ) 01101010 22 =−+−=Ψ+Ψ+Ψ=⋅=Ψ⇒ −−∫∫ eesbt πππdSG

32

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα της απόκλισης (αφού έχουμε κλειστή επιφάνεια)

( )dVV∫∫∫∫∫ ⋅∇=⋅=Ψ GdSG

Όμως ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 020201010111 22

222

=−=∂

∂+

∂∂

=∂

∂+

∂∂

+∂

∂=⋅∇ −−

−−zz

zzz ee

zee

zGGG

ρρ

ρϕρρρ

ρϕρG

Το G δεν έχει πηγή ( ) 0=⋅∇=Ψ⇒ ∫∫∫ dV

V

G

33

Περιστροφή ενός διανύσματος και το θεώρημα του Stoke

(Curl of a vector and Stoke’s Theorem)

Καθορίζουμε την περιστροφή (Curl) του Α ως αξονικό διάνυσμα του οποίου το μέγεθος είναι η μέγιστη κυκλοφορία του Α ανά μονάδα εμβαδού καθώς το εμβαδόν τείνει στο μηδέν και η κατεύθυνση του είναι η κάθετη κατεύθυνση του εμβαδού όταν το εμβαδόν είναι προσανατολισμένο έτσι ώστε να γίνει η κυκλοφορία μέγιστη.

nαlA

AA⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

Δ=×∇=

∫→Δ S

dcurl L

S

.lim 0

όπου ΔS είναι το εμβαδόν που καθορίζεται από την καμπύλη L και an το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στην επιφάνεια ΔS. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες το curl του Α μπορούμε εύκολα να το βρούμε χρησιμοποιώντας

zyx

zyx

AAAzyx

aaa

∂∂

∂∂

∂∂

=×∇ A

Σε κυλινδρικές συντεταγμένες το curl του Α μπορούμε εύκολα να το βρούμε χρησιμοποιώντας

z

z

AAAz

aaa

φρ

φρ

ρφρ

ρ

ρ ∂∂

∂∂

∂∂

=×∇1A

34

Σε σφαιρικές συντεταγμένες το curl του Α μπορούμε εύκολα να το βρούμε χρησιμοποιώντας

φθ

φθ

θφθ

θ

θArrAA

r

arraa

r

r

r

sin

sin

sin1

2 ∂∂

∂∂

∂∂

=×∇ A

Ιδιότητες του curl:

1. Το curl ενός διανυσματικού πεδίου έχει ως αποτέλεσμα ένα άλλο διανυσματικό πεδίο.

2. Το curl ενός βαθμωτού πεδίου δεν έχει νόημα 3. BABA ×∇+×∇=+×∇ )( 4. BAABABBABA ).().().().()( ∇−∇+∇−∇=××∇ 5. 0).( =×∇∇ A 6. 0=∇×∇ V

Θεώρημα του Stoke

∫ ∫ ×∇=L S

dd SAlA ).(.

35

Παράδειγμα 1.11 Υπολογίστε το curl των πιο κάτω διανυσματικών πεδίων: (α) Ρ =x2yzax + xzaz (β) Q =ρsinφaρ + ρ2zaφ +zcosφaz

(γ) Τ = φθr aaa θφθθ coscossincos12 ++ r

r. (sd 3.8 p87)

(α) zyx aaaP ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

=×∇yP

xP

xP

zP

zP

yP xyzxyz

( ) ( ) ( ) z2

y2

x 000 aaa zxzyx −+−+−=

( ) z2

y2 aa zxzyx −−=

(β)

( )zρ

1 aaaQ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=×∇ϕρ

ρρϕρ

ρϕϕ

ρϕ QQQz

Qz

QQ zz

( ) ( ) z2

ρ2 cos3100sin aaa ϕρρ

ρρϕ

ρ ϕ −+−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= zz

( ) ( ) zρ3 cos3sin1 aa ϕρρϕ

ρ−+−−= zz

(γ)

( ) ( ) ( )ϕ

ϑϑ

ϕϑϕ

ϑϕϑϕϑϑ

ϑaaaT ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂=×∇ rr T

rrT

rrrTT

rTT

r1

sin11sin

sin1

r

( ) ( ) ( )

( )ϕ

ϑ

ϑ

ϑϑϕ

ϑϕ

ϑ

ϑϕϑϕ

ϑϑϑ

ϑ

a

aa

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂

−∂

∂+

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

−∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

=

22

2

r

cossincos1

coscos

sin11sincossincos

sin1

rr

rr

rrr

rr

r

( ) ( ) ϕϑϑϑϕϑϑϕϑ

ϑaaa ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−++= 2r

sinsincos21cos01sinsin2cossin1

rr

rrr

r

36

ϕϑ ϕθϑϕϑϑ aaa ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += 3r

1cos2sincossinsin

2cosrrr

37

Παράδειγμα 1.12

Αν Α=ρcosφ aρ+sinφ aφ, υπολογίστε το ∫ lA d. γύρω από την πορεία της καμπύλης, όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Επιβεβαιώστε την απάντηση σας χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Stoke. (sd 3.9 p89)

38

39

Το Λαπλασιανό ενός βαθμωτού (The Laplacian of a scalar)

Το Λαπλασιανό ενός βαθμωτού πεδίου V, το οποίο γράφεται ως V2∇ , ορίζεται ως η απόκλιση της κλίσης του V (the divergence of the gradient of V).

Σε καρτεσιανές συντεταγμένες γράφεται ως 2

2

2

2

2

22

zV

yV

xV

V∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

Σε κυλινδρικές συντεταγμένες γράφεται ως

2

2

2

2

22 11

zVV

V

V∂∂

+∂∂

+∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂=∇

φρρρ

ρ

ρ

Σε σφαιρικές συντεταγμένες γράφεται ως

2

2

2222

22

sin1

sinsin11

φθθθ

θθ ∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=∇V

rV

rrV

rrr

V

40

Εξίσωση του Λαπλάς (Laplace’s equation)

02 =∇ V Έχουμε εξετάσει μόνο το Laplacian ενός βαθμωτού. Μπορούμε επίσης να

καθορίσουμε το Λαπλασιανό ενός διανύσματος, το οποίο γράφεται A2∇ .

AAA ×∇×∇−⋅∇∇=∇ )(2

41

Παράδειγμα 1.13 Υπολογίστε τα Λαπλασιανά των πιο κάτω βαθμωτών πεδίων: (α) yxeV z cosh2sin−= (β) φρ 2cos2 zU = (γ) φθ cossin10 2rW = . (sd 3.11 p93)

42

Ταξινόμηση διανυσματικών πεδίων (Vector field classification)

Ένα διανυσματικό πεδίο χαρακτηρίζεται από την απόκλισή του (divergence) και την περιστροφή του (curl), για αυτό όλα τα διανυσματικά πεδία μπορούν να ταξινομηθούν σε σχέση με το αν μηδενίζεται ή όχι η απόκλιση τους ή το curl τους. Π.χ. (α) 0,0. =×∇=∇ AA (β) 0,0. =×∇≠∇ AA (γ) 0,0. ≠×∇=∇ AA (δ) 0,0. ≠×∇≠∇ AA Σωληνοειδές (solenoidal) : για ένα συγκεκριμένο διανυσματικό πεδίο Α, αν το 0. =∇ A (η απόκλιση είναι ίση με μηδέν) τότε το Α ονομάζεται σωληνοειδές και οι γραμμές ροής (flux lines) του Α που μπαίνουν σε μια κλειστή επιφάνεια πρέπει και να βγουν όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Αστρόβιλο ή συντηρητικό (irrotational or conservative): για ένα συγκεκριμένο διανυσματικό πεδίο Α, αν το 0=×∇ A (το curl του είναι ίσο με μηδέν) τότε το Α ονομάζεται αστρόβιλο (irrotational) όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Eπίσης το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του Α είναι ανεξάρτητο από την πορεία (independent of path).

xaAA

A

k==×∇

=∇0

0.

03.

00.

=×∇=∇

==×∇

≠∇

AA

rAA

A

kk

kAA

rkAA

A

20.

00.

=×∇=∇×=≠×∇

=∇

kAA

rrkAA

A

23.

00.

=×∇=∇

+×=≠×∇

≠∇

cc

43

Παράδειγμα 1.14 Να αποδείξετε ότι το διανυσματικό πεδίο Α είναι συντηρητικό (conservative) αν το Α έχει μία από τις δύο πιο κάτω ιδιότητες: (α) Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της εφαπτόμενης συνιστώσας του Α σε μία πορεία που ξεκινά από το σημείο Ρ και καταλήγει στο Q είναι ανεξάρτητο της πορείας που ακολουθείται. (β) Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της εφαπτόμενης συνιστώσας του Α γύρω από όποια κλειστή πορεία είναι 0. (sd 3.12 p96)