1. Fie A un plan afin real, raportat la reperul cartezian R...

2
1. Fie A un plan afin real, raportat la reperul cartezian R =(O; e 1 ,e 2 ) ¸ si dou˘ a drepte concurente D 1 : X 1 - X 2 +2=0 ¸ si D 2 :2X 1 - X 2 - 3=0. a se g˘ aseasc˘ a expresiile analitice ale proiect ¸iilor p 1 : A→ D 1 ¸ si p 2 : A→ D 2 (pe D 1 paralel˘ a cu D 2 , respectiv pe D 2 paralel˘ a cu D 1 ). 2. ˆ In spat ¸iul afin real 3-dim A, raportat la reperul cartezian R = {O; e 1 ,e 2 ,e 3 }, se d˘ a dreapta afin˘ a D : X 1 - 1 2 = X 2 - 1 2 = X 3 +1 -1 . Fie W subspat ¸iul vectorial generat de vectorii v 1 =2e 1 - e 2 + e 3 ¸ si v 2 = e 1 +3e 2 - 2e 3 ¸ si σ : A→D proiect ¸ia lui A pe dreapta D, f˘ acut˘ a paralel cu W . S˘ a se determine: a) Coordonatele punctului σ(P ), unde P (2, -3, -2). b) Imaginea prin σ a dreptei afine X 1 +1 7 = X 2 - 3 7 = X 3 +1 -4 . c) Imaginea prin σ a planului afin X 1 - 5X 2 - 7X 3 + 12 = 0. d) Ecuat ¸ia subspat ¸iului afin σ -1 (P ), unde P (3, 3, -2). 3. Fie A un plan afin real raportat la reperul cartezian R = {O; e 1 ,e 2 } ¸ si σ : A→A aplicat ¸ia definit˘ a prin y 1 = -15x 1 + 25x 2 + 41 y 2 = -9x 1 + 15x 2 + 23 . a) S˘ a se arate c˘ a aplicat ¸ia σ este afin˘ a. b) S˘ a se demonstreze c˘ a σ are un singur punct fix. c) S˘ a se demonstreze c˘ a imaginea prin σ a planului A este o dreapt˘ a afin˘ a. 4. ˆ In R 3 , cu structura canonic˘ a de spat ¸iu afin, se consider˘ a aplicat ¸ia afin˘ a σ : R 3 R 3 , definit˘ a prin σ(O)= (1, 0, 0), σ(E 1 ) = (3, 0, 0), σ(E 2 ) = (1, 2, 0), σ(E 3 ) = (1, -1, 1), unde (O; e 1 ,e 2 ,e 3 ) este reperul afin natural din R 3 . a) Este σ o transformare afin˘ a? b) S˘ a se scrie ecuat ¸iile lui σ fat ¸˘ a de reperul cartezian natural din R 3 . c) S˘ a se determine punctele fixe ale lui σ. d) S˘ a se determine σ(D) ¸ si σ(π), unde D : x 1 = y - 1 1 = z +1 1 , iar π : λx + y + z =1, λ R; s˘ a se arate c˘ a D π ⇐⇒ σ(D) σ(π). e) S˘ a se determine translat ¸ia τ 1 ¸ si centro-afinitatea τ 0 de centru P 0 (1, 1, 1), astfel ˆ ıncˆ at σ = τ 1 τ 0 . 5. ˆ In R 3 , cu structura canonic˘ a de spat ¸iu afin, se consider˘ a punctele P 0 (1, -1, 2), A(0, 1, 0), B(1, 0, -1). Se cere: a) Omotetia H de centru P 0 ¸ si raport ρ =3. b) Simetria s, fat ¸˘ a de P 0 . c) S˘ a se determine punctul s(H(C)), unde C = 2 3 A + 1 3 B. d) S˘ a se determine (s ◦H) -1 (D), unde D este dreapta x - 1 1 = y 1 = z +1 -1 . 6. Fie σ : R 3 R 2 aplicat ¸ia afin˘ a pentru care σ(A i )= A i , i = 0, 3, unde A 0 (0, 1, 0), A 1 (0, 1, 1), A 2 (1, 1, 1), A 3 (0, 0, 1), iar A ) (1, 2), A 1 (2, 0), A 2 (4, -1), A 3 ((5, -1). Se cere: a) Matricea aplicat ¸iei liniare induse de σ; b) Ecuat ¸iile lui σ; c) Contraimaginea lui M (2, 3). 7. ˆ Intr-un plan afin A, raportat la reperul (O; e 1 ,e 2 ), se dau punctele A 0 (1, 1) ¸ si A 0 (7, 2) ¸ si vectorii v 1 (2, 0), v 2 (0, 3), v 1 (6, 2), v 2 (12, 3). S˘ a se scrie ecuat ¸iile transform˘ arii afine σ : A→A, dac˘ a σ(A)= A , iar t(v 1 )= v 1 , t(v 2 )= v 2 , unde t este aplicat ¸ia liniar˘ a indus˘ a de σ. 8. Fie planul afin real A, raportat la reperul cartezian R =(O; e 1 ,e 2 ) ¸ si aplicat ¸ia afin˘ a σ : A→A, dat˘ a prin x =3x +4y - 12 y =4x - 3y +6 . S˘ a se determine: a) Punctul care apart ¸ine dreptei 7x - 2y - 24 = 0 ¸ si care, prin aplicat ¸ia σ, se transform˘ ıntr-un punct de pe aceea¸ si dreapt˘ a; b) Dreapta afin˘ a care trece prin A(1, 1) ¸ si care are proprietatea c˘ a, prin aplicat ¸ia σ, se transform˘ a tot ˆ ıntr-o dreapt˘ a care trece prin A. 9. ˆ Intr-un spat ¸iu afin 3-dimensional A se dau punctele A 1 (1, 0, 0), A 1 (1, -10, 5), A 2 (0, 1, 0), A 2 (-4, -2, 6), A 3 (1, 1, -1), A 3 (2, -2, 0). Fie σ : A→A o aplicat ¸ie afin˘ a pentru care σ(A i )= A i , i = 1, 3 ¸ si σ(O)= O (-3, -6, 7). a) S˘ a se scrie ecuat ¸iile lui σ; b) S˘ a se determine imaginea prin σ a dreptei y = z, x =0; 1

Transcript of 1. Fie A un plan afin real, raportat la reperul cartezian R...

Page 1: 1. Fie A un plan afin real, raportat la reperul cartezian R ...math.ubbcluj.ro/~ltopan/lista_6.pdf · c) S˘a se arate c˘a imaginea lui σ este un plan α, a c˘arei ecuat¸ie se

1. Fie A un plan afin real, raportat la reperul cartezian R = (O; e1, e2) si doua drepte concurente D1 : X1 −X2 + 2 = 0 si D2 : 2X1 − X2 − 3 = 0. Sa se gaseasca expresiile analitice ale proiectiilor p1 : A → D1 sip2 : A → D2 (pe D1 paralela cu D2, respectiv pe D2 paralela cu D1).

2. In spatiul afin real 3-dim A, raportat la reperul cartezian R = {O; e1, e2, e3}, se da dreapta afina D :X1 − 1

2=

X2 − 12

=X3 + 1−1

. Fie W subspatiul vectorial generat de vectorii v1 = 2e1 − e2 + e3 si v2 = e1 + 3e2 − 2e3 si

σ : A → D proiectia lui A pe dreapta D, facuta paralel cu W . Sa se determine:a) Coordonatele punctului σ(P ), unde P (2,−3,−2).

b) Imaginea prin σ a dreptei afineX1 + 1

7=

X2 − 37

=X3 + 1−4

.

c) Imaginea prin σ a planului afin X1 − 5X2 − 7X3 + 12 = 0.d) Ecuatia subspatiului afin σ−1(P ′), unde P ′(3, 3,−2).

3. Fie A un plan afin real raportat la reperul cartezian R = {O; e1, e2} si σ : A → A aplicatia definita prin{y1 = −15x1 + 25x2 + 41y2 = −9x1 + 15x2 + 23 .

a) Sa se arate ca aplicatia σ este afina.b) Sa se demonstreze ca σ are un singur punct fix.c) Sa se demonstreze ca imaginea prin σ a planului A este o dreapta afina.

4. In R3, cu structura canonica de spatiu afin, se considera aplicatia afina σ : R3 → R3, definita prin σ(O) =(1, 0, 0), σ(E1) = (3, 0, 0), σ(E2) = (1, 2, 0), σ(E3) = (1,−1, 1), unde (O; e1, e2, e3) este reperul afin natural dinR3.

a) Este σ o transformare afina?b) Sa se scrie ecuatiile lui σ fata de reperul cartezian natural din R3.c) Sa se determine punctele fixe ale lui σ.

d) Sa se determine σ(D) si σ(π), unde D :x

1=

y − 11

=z + 1

1, iar π : λx + y + z = 1, λ ∈ R; sa se arate ca

D ‖ π ⇐⇒ σ(D) ‖ σ(π).e) Sa se determine translatia τ1 si centro-afinitatea τ0 de centru P0(1, 1, 1), astfel ıncat σ = τ1 ◦ τ0.

5. In R3, cu structura canonica de spatiu afin, se considera punctele P0(1,−1, 2), A(0, 1, 0), B(1, 0,−1). Secere:

a) Omotetia H de centru P0 si raport ρ = 3.b) Simetria s, fata de P0.

c) Sa se determine punctul s(H(C)), unde C =23A +

13B.

d) Sa se determine (s ◦ H)−1(D), unde D este dreaptax− 1

1=

y

1=

z + 1−1

.

6. Fie σ : R3 → R2 aplicatia afina pentru care σ(Ai) = A′i, i = 0, 3, unde A0(0, 1, 0), A1(0, 1, 1), A2(1, 1, 1),

A3(0, 0, 1), iar A′)(1, 2), A′

1(2, 0), A′2(4,−1), A′

3((5,−1). Se cere:a) Matricea aplicatiei liniare induse de σ;b) Ecuatiile lui σ;c) Contraimaginea lui M ′(2, 3).

7. Intr-un plan afin A, raportat la reperul (O; e1, e2), se dau punctele A0(1, 1) si A′0(7, 2) si vectorii v1(2, 0),

v2(0, 3), v′1(6, 2), v′2(12, 3). Sa se scrie ecuatiile transformarii afine σ : A → A, daca σ(A) = A′, iar t(v1) = v′1,t(v2) = v′2, unde t este aplicatia liniara indusa de σ.

8. Fie planul afin real A, raportat la reperul cartezian R = (O; e1, e2) si aplicatia afina σ : A → A, data prin{x′ = 3x + 4y − 12y′ = 4x− 3y + 6 . Sa se determine:

a) Punctul care apartine dreptei 7x − 2y − 24 = 0 si care, prin aplicatia σ, se transforma ıntr-un punct depe aceeasi dreapta;

b) Dreapta afina care trece prin A(1, 1) si care are proprietatea ca, prin aplicatia σ, se transforma tot ıntr-odreapta care trece prin A.

9. Intr-un spatiu afin 3-dimensional A se dau punctele A1(1, 0, 0), A′1(1,−10, 5), A2(0, 1, 0), A′

2(−4,−2, 6),A3(1, 1,−1), A′

3(2,−2, 0). Fie σ : A → A o aplicatie afina pentru care σ(Ai) = A′i, i = 1, 3 si σ(O) =

O′(−3,−6, 7).a) Sa se scrie ecuatiile lui σ;b) Sa se determine imaginea prin σ a dreptei y = z, x = 0;

1

Page 2: 1. Fie A un plan afin real, raportat la reperul cartezian R ...math.ubbcluj.ro/~ltopan/lista_6.pdf · c) S˘a se arate c˘a imaginea lui σ este un plan α, a c˘arei ecuat¸ie se

c) Sa se arate ca imaginea lui σ este un plan α, a carei ecuatie se cere;d) Fie M un punct variabil din planul α si M ′ = σ(M). Sa se arate ca exista un punct O1 ∈ α si un scalar

k, astfel ıncat O1M′ = kOM . Sa se determine coordonatele lui O1 si scalarul k. Ce fel de aplicatie este σ|α?

10. Intr-un plan afin A, fie ABC un triunghi si σ : A → A o afinitate, astfel ıncat σ(A) = B, σ(B) = C,σ(C) = A. Sa se arate ca:

a) σ admite un singur punct fix, centrul de greutate al triunghiului;b) σ nu are nici o dreapta fixa.

11. Fie aplicatia σ : R2 → R2, data prin{

x′ = x− yy′ = 2x− y

.

a) Sa se arate ca σ este o aplicatie bijectiva centro-afina, al carei centru se va preciza;b) Daca s : R2 → R2 este simetria de centru O a lui R2, iar σ−1 este inversa lui σ, sa se arate ca

σ−1 = σ ◦ s = s ◦ σ;c) Sa se demonstreze ca aplicatiile σ, σ2, σ3, σ4 formeaza un grup comutativ ın raport cu compunerea

functiilor.

12. In R2, cu structura canonica de spatiu afin, se considera forma patratica afina H(P ) = ax21+bx1x2+cx1+d.

Sa se deduca forma polara asociata.

13. Fie A un spatiu afin real 3-dimensional si G : A×A → R

G(P,Q) = 4x1y1 + 2x1y3 + x2y2 − 3x2y3 + 2x3y1 − 3x3y2 − x3y3 + x2 + y2 − 1,

unde P (x1, x2, x3), Q(y1, y2, y3).a) Sa se arate ca G este o forma biafina simetrica;b) Sa se scrie forma biliniara si formele liniare induse de G;c) Sa se determine rangul lui G;d) Sa se aduca la forma normala forma patratica afina H, corespunzatoare lui G. Sa se precizeze reperul

din A ın care H are forma normala.

14. In R3, se considera formele:H1(P ) = x2 + y2 − z2 + 6xy + 4xz + 4yz − 4x− 4y − 10z − 2,H2(P ) = 2(x2 + z2 + 2xz)− 4x− 3y − 7z + 5,H3(P ) = x2 + 4y2 + 9z2 − 4xy + 6xz − 12yz − 4.Pentru fiecare din aceste forme, se cere:

a) Invariantii ρ, r si p;b) Forma canonica si transformarea de coordonate care determina reperul canonic corespunzator;c) Multimea centrelor.

15. In planul afin A, raportat la reperul cartezian R = (O; e1, e2), se da conica de ecuatie 2x2 − 3xy + y2 +5x− 3y +2 = 0. Sa se arate ca aceasta are un unic punct singular P , sa se determine acest punct si sa se scrieecuatia conicei ın reperul cartezian R′ = (P ; e1, e2).

16. Sa se determine punctul singular al cuadricei −x2 + y2− 3z2 + 2xy− 2x− 2y + 1 = 0 si sa se scrie ecuatiacuadricei ıntr-un reper cu originea ın acest punct.

17. In planul afin real, raportat la un reper cartezian, se dau conicele:a) H ≡ x2 + 6xy + y2 + 6x + 2y − 1 = 0;b) H ≡ x2 − 4xy + 4y2 + 2x− 2y − 1 = 0;c) H ≡ 4x2 − 4xy + 4y2 + 4x− 2y + 1 = 0;d) H ≡ 9x2 − 6xy + y2 − 6x + 2y = 0. Pentru fiecare din acestea, se cere:

1) Forma patratica vectoriala h si forma liniara f induse de H;2) Matricele asociate lui h si H, precum si determinantii acestora;3) Sa se precizeze daca conica are centre si, ın caz afirmativ, sa se determine centrele.d) Forma afina normala a conicei si reperul cartezian ın care aceasta se realizeaza. Carei clase afine apartine

conica?

18. Aceleasi cerinte ca la problema anterioara, ın cazul cuadricelor:a) H ≡ 3x2 + y2 − z2 + 6xz − 4y = 0;b) H ≡ 2x2 + y2 + 3z2 − 4yz + 2x− 6z + 1 = 0;c) H ≡ x2 + 2y2 + 3z2 + 2x− 4y − 12z + 8 = 0;d) H ≡ x2 − 5z2 + 3xy + 2yz − 7x− 6y − 2z + 10 = 0.

2