1 ΓΕΛ ΑΧΑΡΝΩΝ Λυμένες ασκήσεις στις εγγράψιμες...

1ο ΓΕΛ ΑΧΑΡΝΩΝ

Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 1

Λυμένες ασκήσεις στις εγγράψιμες γωνίες

1) Αν δοθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ , ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου , για τα οποία ισχύει ˆ 90 .

Λύση

Αν θεωρήσουμε τον κύκλο με διάμετρο ΑΒ τότε είναι γνωστό ότι για κάθε σημείο Μ του κύκλου εκτός από τα Α , Β είναι ˆ 90 , ως εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο . Αυτό σημαίνει ότι ο κύκλος σαν σύνολο σημείων είναι υποσύνολο του γεωμετρικού τόπου . Για να δείξουμε ότι είναι ο γεωμετρικός τόπος πρέπει να δείξουμε ότι κάθε άλλο σημείο που δεν ανήκει στο κύκλο δεν ανήκει και στον τόπο . Πράγματι αν πάρουμε ένα σημείο Σ εκτός του κύκλου τότε η γωνία

ˆ 90 , αφού η θ είναι εξωτερική στο ΣΛΒ και η ορθή εξωτερική στο ΑΛΜ . Επίσης αν πάρουμε ένα σημείο Ν μέσα στο κύκλο τότε η γωνία

ˆ 90 , αφού η ω είναι εξωτερική στο ΝΚΒ και φ εξωτερική στο ΑΜΚ . Τελικά ο γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος διαμέτρου ΑΒ χωρίς τα Α ,Β. 2) Πότε ένας κύκλος διαμέτρου ΑΒ διέρχεται από σημείου Μ του επιπέδου ;

Λύση Με βάση τα όσα είπαμε και στο προηγούμενο ερώτημα η απάντηση είναι όταν ˆ 90 . 3) Γιατί στο παρακάτω σχήμα οι χορδές ΑΒ και ΓΔ είναι ίσες ; Θα συνέβαινε το ίδιο αν ˆ ˆ 120 .

Λύση



Είναι = 120 αφού η αντίστοιχη επίκεντρη είναι 120 . Επίσης 240 αφού η αντίστοιχη εγγεγραμμένη είναι 120 οπότε το υπόλοιπο τόξο 360 240 120 . Επομένως οι χορδές ΑΒ και ΓΔ είναι ίσες γιατί αντιστοιχούν σε ίσα τόξα του ίδιο κύκλου . Το γεγονός αυτό οφείλεται στην σύμπτωση το αποτέλεσμα της αφαίρεσης 360 240 120 . Αν οι γωνίες ήταν ίσες αλλά όχι 120 δεν θα συνέβαινε το ίδιο . 4) Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε την προβολή του Β πάνω στην ε .

Λύση

Είναι ˆ 90 ως εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο . Αυτό σημαίνει ότι ΒΜ ε και επειδή από το Β στην ε μπορούμε να φέρουμε μόνο μια κάθετη , συμπεραίνουμε ότι η προβολή του Β στην ε είναι το σημείο Μ . 5) Ποια είναι η σχέση των γωνιών ω και φ στο παρακάτω σχήμα , όπου οι ΜΑ , ΜΒ είναι εφαπτομένες του κύκλου ;

Λύση

Είναι 1 1ˆ ˆ αφού οι γωνίες 1 1

ˆ ˆ, σχηματίζονται από χορδή και εφαπτομένη με αντίστοιχο τόξο το ίδιο με αυτό της εγγεγραμμένης γωνίας φ . Στο έτσι και αλλιώς ισοσκελές τρίγωνο ΑΜΒ είναι ω + 2φ = 180 , που είναι η σχέση που συνδέει τις γωνίες ω και φ .



6) Αν οι ΑΒ και ΑΓ είναι εφαπτομένες του κύκλου , να εξηγήσετε γιατί

1 ( )2

.

Λύση

Όπως δείξαμε στο προηγούμενο ερώτημα είναι 180 2 (1) .

Επίσης 2 (2) αφού η φ είναι εγγεγραμμένη με αντίστοιχο τόξο το . Επίσης 360 (3) . Από (1) , (2) , (3) έχουμε ότι 360 360 2 2 360 4 2(180 2 ) 2

δηλαδή 1 ( )2

.

7) Να υπολογίσετε τις γωνίες στα παρακάτω σχήματα



Α) Η γωνία χ είναι η αντίστοιχη επίκεντρη της γωνίας Α και άρα θα είναι διπλάσια . Επομένως 88 . Η γωνία Α βαίνει σε τόξο 88 . Συνεπώς

το υπόλοιπο τόξο είναι 360 88 272 . Επομένως η επίκεντρη ψ

είναι το μισό του αντιστοίχου τόξου της , δηλαδή 272 1362

.

Β) Η εγγεγραμμένη γωνία χ βαίνει σε τόξο 130 και άρα 130 652

Το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ορθογώνιο αφού η γωνία Α βαίνει σε ημικύκλιο . Επομένως οι γωνίες χ , ψ είναι συμπληρωματικές και επομένως

90 65 25 . Το ίδιο ισχύει και για τις γωνίες ω και 60 και επομένως 90 60 30 . Γ) Τα εφαπτόμενα τμήματα ΜΑ , ΜΒ είναι ίσα και επομένως το τρίγωνο ΑΜΒ είναι ισοσκελές . Συνεπώς 180 55 55 70 . Η γωνία χ είναι η αντίστοιχη επίκεντρη της γωνίας 55 που σχηματίζεται από χορδή και εφαπτομένη και επομένως 2 55 110 .

Δ) Το τρίγωνο ΔΚΓ είναι ισοσκελές και άρα 180 150 152

.

Η εγγεγραμμένη γωνία φ είναι ίση με το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης

ˆ και επομένως 150 752

Οι εγγεγραμμένες γωνίες ψ και ˆ βαίνουν στο ίδιο τόξο και επομένως είναι ίσες , δηλαδή 32 . Οι εγγεγραμμένες γωνίες θ και ˆ είναι ίσες ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο και επομένως ˆ ˆ 20 15 20 35 . Το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου ΑΔΓ είναι 180 και άρα ˆ ˆ ˆ ˆ32 15 20 180 75 32 15 15 20 180 23 .

Η γωνία ρ είναι εξωτερική στο τρίγωνο με κορυφές τα Γ , Δ και το σημείο τομής των ΒΔ , ΑΓ και άρα ˆ ˆ ˆ15 20 23 15 15 20 73 .

Ε) Αν φέρουμε την ακτίνα ΚΒ τότε το τρίγωνο ΑΒΚ είναι ισόπλευρο αφού όλες οι πλευρές είναι ίσες με την ακτίνα του κύκλου . Επομένως όλες οι γωνίες είναι 60 .Η γωνία χ που σχηματίζεται από χορδή και εφαπτομένη

είναι ίση με το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης , δηλαδή 60ˆ 302

.

ΣΤ) Το τόξο έχει αντίστοιχη επίκεντρη 120 και άρα = 120 . Το τόξο έχει είναι διπλάσιο από την εγγεγραμμένη 15 που βαίνει σε αυτό και άρα = 2 15 30 .

Από γνωστή εφαρμογή ξέρουμε ότι 1 1 1ˆ ( ) (120 30 ) 90 452 2 2



8) Θεωρούμε δύο κάθετες χορδές ΑΒ και ΓΔ ενός κύκλου (Κ , α) τέτοιες ώστε να ισχύει ˆ50 45 . Να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου ΑΓΒΔ .

Λύση

Οι γωνίες ˆ ˆ, βαίνουν στο τόξο 50 ,οπότε

50ˆ ˆ 252

Οι γωνίες ˆ ˆ, είναι ίσες ως εγγεγραμμένες που

βαίνουν στο ίδιο τόξο και επομένως ˆ ˆ 45 . Επομένως ˆ ˆ ˆ 25 45 70 . Από τα ορθογώνια τρίγωνα του σχήματος συμπεραίνουμε ότι

ˆˆ 90 90 45 45 και ˆ ˆ90 90 25 65 . Επομένως ˆ ˆ ˆ 45 65 110 .

Επίσης 100 130ˆ 110

2 2

.

Τέλος ˆ ˆˆ ˆ360 70 . 9) Θεωρούμε τον περιγεγραμμένο κύκλο τριγώνου ΑΒΓ, στο οποίο ΑΒ < ΑΓ . Φέρουμε το ύψος ΑΔ και έστω Ε το αντιδιαμετρικό σημείο του Α . Να δείξετε ότι οι γωνίες ˆ ˆ έχουν κοινή διχοτόμο .



Λύση

Για να δείξουμε ότι οι γωνίες ˆ ˆ έχουν κοινή διχοτόμο , αρκεί να δείξουμε ότι 1 2

ˆ ˆ . Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ έχουμε ότι 1

ˆ ˆ90 (1) . Η γωνία ˆ είναι ορθή ως εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο .Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓΕ έχουμε ότι

2ˆ ˆ90 (2) . Επίσης ˆ ˆ (3) ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο

ίδιο τόξο . Από ( 1 ) , (2) ,(3) έχουμε ότι 1 2ˆ ˆ .

10) Ας είναι Δ , Ε , Ζ τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου τριγώνου ΑΒΓ με τις πλευρές του . Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΔΕΖ με τη βοήθεια των γωνιών του ΑΒΓ .

Λύση

Το τρίγωνο ΑΖΕ είναι ισοσκελές αφού τα εφαπτόμενα τμήματα ΑΖ και ΑΕ είναι ίσα . Έτσι για τη γωνία ω έχουμε

ˆ ˆ180ˆ 2 180 902 2

.

Όμως η γωνία ω σχηματίζεται από χορδή και εφαπτομένη και άρα θα είναι ίση με την εγγεγραμμένη Δ γιατί έχουν το ίδιο αντίστοιχο τόξο .

Επομένως ˆˆ 902

. Ομοίως ˆˆ 902

και ˆˆ 902

.



11) Αν δύο κύκλοι τέμνονται στα σημεία Α , Β και Γ , Δ είναι τα αντιδιαμετρικά σημεία του Α στους δύο κύκλους , να δείξετε ότι η ευθεία ΓΔ διέρχεται από το σημείο Β .

Λύση

Για να δείξουμε ότι τα σημεία Γ , Β , Δ είναι συνευθειακά , αρκεί να δείξουμε ότι ˆ 180 . Φέρνουμε την κοινή χορδή ΑΒ των δύο κύκλων . Η γωνία ˆ είναι εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο και επομένως

ˆ =90 . Ομοίως ˆ 90 . Τελικά ˆ ˆ ˆ 90 90 180 . 12) Σε κύκλο διαμέτρου ΑΒ να φέρετε τη χορδή ΑΓ για την οποία να ισχύει

ˆ 30 . Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Γ τέμνει την ευθεία ΑΒ στο σημείο Δ . Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ισοσκελές .

Λύση

Η γωνία ˆ είναι ορθή ως εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο . Η γωνία ˆ σχηματίζεται από χορδή και εφαπτομένη και άρα είναι ίση με τη γωνία ˆ που είναι εγγεγραμμένη με το ίδιο αντίστοιχο τόξο . Επομένως ˆ = 30 . Τελικά ˆ ˆ ˆ 90 30 120 . Από το τρίγωνο ΑΓΔ έχουμε ότι ˆ 180 120 30 30 πράγμα που σημαίνει ότι το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ισοσκελές .



13) Να γράψετε τον κύκλο με διάμετρο την ακτίνα ΚΑ του κύκλου ( Κ , α ) . Να δείξετε ότι κάθε χορδή του κύκλου (Κ , α ) διχοτομείται από τον άλλο κύκλο .

Λύση

Θα δείξουμε ότι το σημείο Μ είναι το μέσο της ΑΒ . Το τρίγωνο ΑΒΚ είναι ισοσκελές αφού ΚΑ = ΚΒ ως ακτίνες του ίδιου κύκλου . Στο τρίγωνο αυτό η ΜΚ είναι ύψος αφού η γωνία ˆ είναι ορθή ως εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο στο μικρό κύκλο . Επομένως το ύψος ΜΚ είναι και διάμεσος και συνεπώς Μ μέσο της ΑΒ .

14) Ας είναι Ε , Ζ , Η , Θ τα μέσα των διαδοχικών τόξων , , , ενός κύκλου . Να δείξετε ότι . Συμβαίνει το ίδιο όταν Ε , Ζ , Η , Θ τα μέσα των χορδών ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΑ ;

Λύση

Θα δείξουμε ότι ˆ 90 . Τη γωνία φ την έχουμε υπολογίσει στην εφαρμογή και είναι

3602 2 2 2ˆ 902 2 2 4 4

Αν Ε , Ζ , Η , Θ τα μέσα των χορδών ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΑ τότε το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι παρ/μο και δεν είναι απαραίτητο οι διαγώνιές του να τέμνονται κάθετα .



15) Να αποδείξετε ότι δύο χορδές του κύκλου , κάθετες στα άκρα τρίτης χορδής είναι ίσες .

Λύση

Θεωρούμε λοιπόν δύο χορδές ΑΔ και ΒΓ για τις οποίες ισχύει

. Θα δείξουμε ότι ΑΔ = ΒΓ . Αφού η εγγεγραμμένη γωνία ˆ είναι ορθή συμπεραίνουμε ότι το αντίστοιχο τόξο της είναι ημικύκλιο . Επομένως ημικύκλιο θα είναι και το τόξο και συνεπώς και η εγγεγραμμένη γωνία ˆ είναι ορθή . Το τετράπλευρο λοιπόν ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο αφού έχει 3 ορθές και επομένως για τις απέναντι πλευρές ισχύει ΑΔ = ΒΓ . 16) Θεωρούμε τον περιγεγραμμένο κύκλο (Ο , ρ) τριγώνου ΑΒΓ και το ορθόκεντρό του Η . Από την κορυφή Β φέρουμε τη χορδή ΒΔ του κύκλου , κάθετη στη ΒΓ . Να δείξετε ότι :

α) , β) ΒΔ = ΑΗ , γ) 2

, όπου Μ μέσο της ΒΓ .

Λύση

α) Επειδή η εγγεγραμμένη γωνία ˆ είναι ορθή συμπεραίνουμε ότι η ΓΔ είναι διάμετρος . Επομένως ορθή θα είναι και η εγγεγραμμένη γωνία ˆ , πράγμα που σημαίνει ότι . β) Επειδή , συμπεραίνουμε ότι ΑΗ // ΒΔ . Επίσης , οπότε είναι και ΒΗ // ΑΔ . Το τετράπλευρο λοιπόν ΑΔΒΗ είναι παρ/μο και επομένως οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες , πράγμα που σημαίνει ότι ΒΔ = ΑΗ .



γ) Το απόστημα ΟΜ συνδέει τα μέσα των πλευρών ΓΔ , ΒΓ του τριγώνου

ΒΓΔ και επομένως είναι 2

και επειδή από πριν είναι ΒΔ = ΑΗ

έχουμε ότι 2

.

17) Δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά ή εσωτερικά στο σημείο Α . Από το Α φέρουμε δύο ευθείες που τέμνουν τον έναν κύκλο στα σημεία Β , Γ και τον άλλο στα Δ , Ε . Να δείξετε ότι ΒΓ // ΔΕ .

Λύση

Θέλουμε να δείξουμε ότι ΒΓ // ΔΕ . Οι ΒΓ , ΔΕ τέμνονται από την ΓΔ . Αν λοιπόν δείξουμε ότι σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ ίσες τότε πράγματι ΒΓ // ΔΕ . Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι ˆ̂ . Φέρνουμε την κοινή εφαπτομένη ε . Είναι 1

ˆ̂ (1) αφού η 1̂ σχηματίζεται από χορδή και εφαπτομένη με αντίστοιχο τόξο το ίδιο με αυτό της εγγεγραμμένης γωνίας ̂ . Για τον ίδιο λόγο είναι 2

ˆ ˆ (2) . Τέλος είναι 1 2

ˆ ˆ (3) ως κατά κορυφή . Από (1) , (2) , (3) έχουμε ότι ˆ̂ .

Αντίστοιχα όταν οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά . 18) Σε κύκλο διαμέτρου ΑΒ φέρουμε δύο παράλληλες χορδές ΑΓ και ΒΔ . Να δείξετε ότι α) ΑΓ = ΒΔ και β) ΓΔ διάμετρος

Λύση



α) Επειδή ΑΓ // ΒΔ είναι 1 1

ˆ ˆ ως εντός εναλλάξ . Επομένως και τα αντίστοιχα τόξα τους είναι ίσα , δηλαδή . Επειδή η ΑΒ είναι διάμετρος τα τόξα , είναι ημικύκλια .

Έτσι 180 180 οπότε και οι αντίστοιχες χορδές είναι ίσες δηλαδή ΑΓ = ΒΔ . β) Το τετράπλευρο ΑΓΒΔ είναι παρ/μο αφού ΑΓ // ΒΔ και ΑΓ = ΒΔ . Οι διαγώνιες του λοιπόν διχοτομούνται , πράγμα που σημαίνει ότι η ΓΔ θα περάσει από το μέσο της ΑΒ που είναι το κέντρο του κύκλου . Επομένως και η ΓΔ είναι διάμετρος . Φυσικά το ΑΓΒΔ είναι και ορθογώνιο αφού οι διαγώνιές του ως διάμετροι είναι και ίσες . 19) Στον περιγεγραμμένο κύκλο τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε τις χορδές ΒΔ και ΓΕ παράλληλες στις πλευρές ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα . Να δείξετε ότι η χορδή ΔΕ είναι παράλληλη προς την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α .

Λύση

Οι ευθείες ε και ΔΕ τέμνονται από τη ΑΚ . Αν λοιπόν δείξουμε ότι σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ ίσες , τότε θα είναι παράλληλες .



Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι ˆ ˆ . Η ˆ σχηματίζεται από χορδή

και εφαπτομένη με αντίστοιχο τόξο οπότε ˆ =

2 .

Επίσης από την εφαρμογή έχουμε ότι

ˆ2

.

Επομένως για να είναι ˆ ˆ αρκεί να είναι . Επειδή ΒΔ // ΑΓ σχηματίζονται εγγεγραμμένες γωνίες ίσες ˆ ˆ ως εντός εναλλάξ οπότε και τα αντίστοιχα τόξα θα είναι ίσα δηλαδή . Ομοίως ΓΕ // ΑΒ οπότε . Τελικά . 20) Θεωρούμε τον περιγεγραμμένο κύκλο ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ . Αν Μ οποιοδήποτε σημείο του τόξου να δείξετε ότι ΜΒ + ΜΓ = ΜΑ .

Λύση

Πάνω στη ΜΑ θεωρούμε ένα σημείο Ν έτσι ώστε ΜΝ = ΜΓ . Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι ΜΒ = ΝΑ . Αυτό θα προκύψει από την ισότητα των τριγώνων ΑΓΝ και ΒΜΓ . Τα τρίγωνα αυτά έχουν ΑΓ = ΒΓ ως πλευρές του ισοπλεύρου ΑΒΓ ,

1 1ˆ ˆ ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο και

1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ60

αφού το τρίγωνο ΝΓΜ είναι ισοσκελές ( ΝΓ = ΜΝ ) με μια γωνία του

1ˆ ˆ = 60 , δηλαδή ισόπλευρο και άρα ˆ 60 .

Τα τρίγωνα λοιπόν ΑΓΝ και ΒΜΓ είναι ίσα ( Γ – Π – Γ ) και συνεπώς ΜΝ = ΜΓ . 21) Από σημείο Α εκτός κύκλου φέρουμε την εφαπτομένη ΑΒ και μια ευθεία που τέμνει τον κύκλο στα σημεία Γ και Δ . Αν η διχοτόμος της γωνίας

ˆ τέμνει τη ΓΔ στο Ε , να δείξετε ότι ΑΕ = ΑΒ .



Λύση

Για να δείξουμε ότι ΑΒ = ΑΕ αρκεί να δείξουμε ότι 1

ˆ ˆ . Είναι 1

ˆ ˆ (1) . Επίσης 1 1

ˆˆ (2) ( 1̂ εξωτερική στο ΕΒΔ ) Τέλος 1 1

ˆ̂ (3) αφού η 1̂ σχηματίζεται από χορδή και εφαπτομένη με αντίστοιχο τόξο το ίδιο με αυτό της εγγεγραμμένης 1̂ . Από (1) , (2) , (3) έχουμε ότι 1

ˆ ˆ .

22) Δύο κάθετες χορδές ΑΒ και ΓΔ κύκλου (Κ, α ) τέμνονται στο σημείο Ε . Αν Μ και Ν είναι τα μέσα των χορδών ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα , να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΚΜΕΝ είναι παρ/μο .

Λύση

Αρκεί να δείξουμε ότι οι απέναντι πλευρές του ΚΜΕΝ είναι ίσες .



Θα δείξουμε ότι ΚΝ = ΕΜ και όμοια θα είναι και ΕΝ = ΜΚ . Παίρνουμε το αντιδιαμετρικό σημείο Ζ του Β . Το τρίγωνο ΒΓΖ είναι ορθογώνιο αφού η γωνία ˆ είναι εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο . Στο τρίγωνο αυτό τα Κ , Ν είναι μέσα των πλευρών

ΒΖ , ΒΓ οπότε ΚΝ = 2 (1) .

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΕΔ η ΕΜ είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην

υποτείνουσα , οπότε 2

(2) .

Από τις (1) , (2) καταλαβαίνουμε ότι για να δείξουμε ότι ΕΜ = ΚΝ , αρκεί να δείξουμε ότι οι χορδές ΓΖ και ΑΔ είναι ίσες ή ισοδύναμα αρκεί να δείξουμε ότι . Είναι 2 1

ˆ̂ ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο .

Επίσης 1 1 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ90 90 , οπότε είναι και .

Όμως . 23) Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ο κύκλος με διάμετρο την ΑΒ τέμνει την υποτείνουσα ΒΓ στο Μ . Να δείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου στο Μ διέρχεται από το μέσο της ΑΓ .

Λύση

Η γωνία ˆ είναι ορθή ως εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο . Επομένως ˆ 90 και ΑΜ ύψος στο ΑΒΓ . Έτσι 1

ˆ ˆ ˆ90 (1) και 1ˆ ˆ (2) ( 1̂ χορδή και εφαπτομένη )

Από (1) , (2) έχουμε ότι 1 1ˆ ˆ δηλαδή ΑΔ = ΔΜ (3) .

Επίσης 2 1 1ˆˆ ˆ ˆ90 90 οπότε ΔΜ = ΔΓ (4) .

Από (3) , (4) έχουμε ότι ΑΔ = ΔΓ , δηλαδή Δ μέσο της ΑΓ .

24) Δύο κύκλοι (Ο , ρ ) και ( Κ , α ) εφάπτονται εξωτερικά στο Α . Μια ευθεία ε εφάπτεται του ( Ο , ρ ) και τέμνει τον άλλο στα σημεία Γ και Δ . Να δείξετε ότι η ΑΒ είναι η διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας Α του ΑΓΔ .



Λύση

Αρκεί να δείξουμε ότι ˆ ˆ . Προεκτείνουμε την ΑΔ που τέμνει το κύκλο ( Ο , ρ ) στο Ε . Φέρνουμε την κοινή εφαπτομένη δ των δύο κύκλων που τέμνει την ε στο Ζ . Τα εφαπτόμενα τμήματα ΑΖ , ΒΖ είναι ίσα οπότε 1 1

ˆ ˆ (1) . Η γωνία ˆ σχηματίζεται από χορδή και εφαπτομένη και συνεπώς είναι ίση με την αντίστοιχη εγγεγραμμένη 1̂ , ˆ = 1̂ (2) . Τέλος η γωνία ˆ είναι εξωτερική στο ΑΒΔ και έτσι

ˆ = 1̂ + 1̂ (3) και 1ˆ ˆ ˆ (4) .

Από (1) , (2) , (3) , (4) έχουμε ότι ˆ ˆ . 25) Να αποδείξετε ότι δύο ίσα τρίγωνα έχουν ίσους περιγεγραμμένους κύκλους

Λύση

Αρκεί να δείξουμε ότι έχουν ίσες ακτίνες , δηλαδή αρκεί ΚΒ = ΟΕ . Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι ίσα , οπότε ΒΓ = ΕΖ και ˆ ˆ . Αφού ˆ ˆ θα είναι ίσες και αντίστοιχες επίκεντρες , δηλαδή ˆˆ Τα ισοσκελή τρίγωνα ΒΚΓ και ΕΟΖ είναι ίσα ( Γ – Π – Γ ) , αφού

ΒΓ = ΕΖ και ˆˆ180 180ˆ ˆ ˆ ˆ

2 2

.



Από την ισότητα των τριγώνων αυτών έχουμε ότι ΚΒ = ΟΕ . 26) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ˆ ˆ 90 , να δείξετε ότι το ύψος ΑΔ του τριγώνου είναι εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου του .

Λύση

Φέρνουμε την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α και θα δείξουμε ότι είναι ύψος του τριγώνου ΑΒΓ . Αφού ˆ ˆ 90 έχουμε ότι ˆ ˆ 90 (1) . Η γωνία ˆ σχηματίζεται από χορδή και εφαπτομένη με αντίστοιχο τόξο το ίδιο με αυτό της εγγεγραμμένης Γ , οπότε ˆ ˆ (2) . Από (1) , (2) έχουμε ότι ˆ ˆ 90 Επίσης η γωνία Β είναι εξωτερική στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ και συνεπώς ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( 90 ) 90 90 . Αυτό σημαίνει ότι δηλαδή ΑΔ ύψος του ΑΒΓ και επειδή σε σημείο του κύκλου μπορούμε να φέρουμε μία μόνο εφαπτομένη του κύκλου , συμπεραίνουμε ότι η εφαπτομένη στο Α και το ύψος ΑΔ ταυτίζονται . 27) Δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά στο Α . Αν ΒΓ μια κοινή εξωτερική εφαπτομένη των κύκλων , να δείξετε ότι ˆ 90 .

Λύση



Φέρνουμε την κοινή εφαπτομένη τους που τέμνει τη ΒΓ στο σημείο Μ . Η γωνία ˆ σχηματίζεται από χορδή και εφαπτομένη με αντίστοιχη

επίκεντρη τη ˆ . Συνεπώς ˆ = ˆ

2 (1) .

Όμοια στον άλλο κύκλο ισχύει ˆ = ˆ

2 (2) .

Τέλος οι ακτίνες ΟΒ και ΚΓ είναι κάθετες στη κοινή εφαπτομένη ΒΓ και επομένως οι γωνίες ˆ ˆ 90 . Από το τραπέζιο λοιπόν ΟΒΓΚ έχουμε ότι ˆ ˆ 180 (3) . Από (1) , (2) , (3) έχουμε ότι

ˆ ˆˆ ˆ 180ˆ ˆ ˆ 902 2 2 2

.

28) Θεωρούμε χορδή ΑΒ κύκλου ( Ο , ρ ) και την εφαπτομένη ε του κύκλου στο σημείο Α . Πάνω στην ε παίρνουμε σημείο Γ τέτοιο ώστε ΑΓ = ΑΒ . Αν Δ το σημείο τομής της ΒΓ με τον κύκλο να δείξετε ότι ΔΓ = ΔΑ .

Λύση



1η περίπτωση ( σχήμα 1 ) Αρκεί να δείξουμε ότι 1 2 1

ˆ ˆ ˆ . Επειδή ΑΒ = ΑΓ έχουμε ότι 1 1ˆ ˆ (1)

Η γωνία 1 2ˆ ˆ̂ (2) ως εξωτερική στο ΑΒΔ .

Τέλος 1ˆ ˆ (3) αφού η 1̂ σχηματίζεται από χορδή και εφαπτομένη με

αντίστοιχο τόξο το ίδιο με την εγγεγραμμένη ̂ . Συνδυάζοντας τις (1 ) , (2) , (3) έχουμε ότι 1 2 1

ˆ ˆ ˆ . 2η περίπτωση ( σχήμα 2 ) Αρκεί να δείξουμε ότι ˆ ˆ . Επειδή ΑΒ = ΑΓ έχουμε ότι ˆ ˆ (1) και ˆ ˆ (2) ( χορδή και εφαπτομένη ) . Από (1) ,(2) έχουμε ότι ˆ ˆ . 29) Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ˆ ˆ2 . Η εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου του στο σημείο Α τέμνει την προέκταση της ΒΓ στο Δ . Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΒΔΑ είναι ισοσκελή .

Λύση

Από την υπόθεση έχουμε ότι ˆ ˆ2 (1) . Η γωνία 1̂ σχηματίζεται από χορδή και εφαπτομένη με αντίστοιχο τόξο το ίδιο με αυτό της εγγεγραμμένης Δ , οπότε ˆ ˆ (2) . Επίσης η γωνία Β είναι εξωτερική στο τρίγωνο ΑΒΔ και άρα

1ˆ ˆ̂ (3) .

Συνδυάζοντας τις (1) , (2) , (3) έχουμε ότι 1ˆ ˆ ˆ πράγμα που σημαίνει ότι

τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ είναι ισοσκελή .



30) Θεωρούμε κύκλο ( Ο , ρ ) και δύο κάθετες χορδές του ΑΒ , ΓΔ που τέμνονται στο Κ . Αν Μ μέσο του ΑΔ , να δείξετε ότι .

Λύση

Αρκεί να δείξουμε ότι 2

ˆ ˆ 90 . Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΚΔ η ΚΜ είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα . Επομένως το τρίγωνο ΚΜΔ είναι ισοσκελές και άρα 1

ˆ̂ και επειδή 1 2

ˆ ˆ ως κατά κορυφή , έχουμε ότι 2ˆ̂ (1) .

Οι γωνίες Α και Γ είναι εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο και επομένως ˆ ˆ (2) .Τέλος από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΚΔ έχουμε ότι ˆ ˆ 90 (3) . Από (1) , (2) , (3) έχουμε ότι 2

ˆ ˆˆ ˆ 90 .

31) Θεωρούμε κύκλο (Ο , ρ ) , Μ εξωτερικό σημείο και ΜΑ , ΜΒ εφαπτόμενες του κύκλου . Αν η διακεντρική ευθεία ΜΟ τέμνει τον κύκλο στα σημεία Γ και Δ , να δείξετε ότι οι ημιευθείες ΑΓ , ΑΔ διχοτομούν τις γωνίες Α και Αεξ του τριγώνου ΜΑΒ .

Λύση

Είναι γνωστό ότι τα εφαπτόμενα τμήματα ΜΑ , ΜΒ είναι ίσα και ότι η διακεντρική ευθεία ΟΜ είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ . Έτσι στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΜΒ η διχοτόμος ΟΜ είναι και φορέας του ύψους και άρα . Η γωνία ˆ είναι εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο και άρα είναι ορθή .Επίσης η γωνία 2̂ σχηματίζεται από χορδή και εφαπτομένη και συνεπώς 2

ˆ ˆ (1) . Επίσης 1ˆ ˆ (2) ως οξείες με

τις πλευρές τους κάθετες ( , ) . Από (1) , (2) έχουμε ότι 1 2

ˆ ˆ δηλαδή ΑΓ διχοτόμος της γωνίας Α του τριγώνου ΜΑΒ . Και επειδή συμπεραίνουμε ότι ΑΔ διχοτόμος της Αεξ .



Λυμένες ασκήσεις στα εγγράψιμα τετράπλευρα

1) Ποια παρ/μα είναι εγγράψιμα σε κύκλο ;

Λύση Είδαμε στην εφαρμογή 1 ότι για να είναι ένα παρ/μο εγγράψιμο πρέπει αναγκαστικά να είναι ορθογώνιο . Συνεπώς εγγράψιμα παρ/μα είναι τα ω ορθογώνια και τα τετράγωνα .

2) Πότε ένας ρόμβος είναι εγγράψιμος σε κύκλο ;

Λύση Με όσα είπαμε και παραπάνω πρέπει να είναι και ορθογώνιο . Επομένως όταν είναι τετράγωνο .

3) Οι μεσοκάθετες των 3 πλευρών τετραπλεύρου διέρχονται από το ίδιο σημείο Κ . Το τετράπλευρο αυτό είναι εγγράψιμο ;

Λύση

Αφού το Κ ανήκει στη μεσοκάθετο του ΒΓ είναι ΚΓ = ΚΒ . Αφού το Κ ανήκει στη μεσοκάθετο του ΑΒ είναι ΚΑ = ΚΒ . Αφού το Κ ανήκει στη μεσοκάθετο του ΑΔ είναι ΚΑ = ΚΔ . Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι ΚΑ = ΚΒ = ΚΓ = ΚΔ , δηλαδή τα Α , Β , Γ , Δ ισαπέχουν από το Κ , πράγμα που σημαίνει ότι ανήκουν σε περιφέρεια κύκλου με κέντρο το Κ και επομένως το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο . 4) Αν ένα τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου Κ , οι μεσοκάθετες των πλευρών του είναι συντρέχουσες ευθείες ;

Λύση Αφού το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο , οι κορυφές του ανήκουν σε περιφέρεια κύκλου με κέντρο το Κ . Επομένως ΚΑ = ΚΒ = ΚΓ = ΚΔ ως ακτίνες του ίδιου κύκλου . Αυτό σημαίνει ότι το Κ ισαπέχει από τα Α , Β , Γ , Δ και άρα το Κ ανήκει και στις 4 μεσοκάθετες των πλευρών του τετραπλεύρου . Η απάντηση λοιπόν είναι ότι είναι συντρέχουσες ευθείες , αφού διέρχονται από το Κ . 5) Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε τα ύψη ΑΔ , ΒΕ , ΓΖ και έστω Η το ορθόκεντρο του . Για ποιο λόγο είναι εγγράψιμα σε κύκλο τα τετράπλευρα ΑΕΗΖ , ΒΔΗΖ , ΓΔΗΕ , ΑΒΔΕ , ΒΓΕΖ και ΑΓΔΖ ;



Λύση

Το ΑΕΗΖ είναι εγγράψιμο αφού οι απέναντι γωνίες του ˆ ˆ, είναι ορθές και άρα παραπληρωματικές . Το ΒΔΗΖ είναι εγγράψιμο αφού οι απέναντι γωνίες του ˆ ˆ, είναι ορθές και άρα παραπληρωματικές . Το ΓΔΗΕ είναι εγγράψιμο αφού οι απέναντι γωνίες του ˆˆ , είναι ορθές και άρα παραπληρωματικές . Το ΑΒΔΕ είναι εγγράψιμο αφού η πλευρά ΑΒ φαίνεται από τις απέναντι κορυφές Δ και Ε υπό τις ίσες ως ορθές γωνίες ˆ ˆ, . Το ΒΓΕΖ είναι εγγράψιμο αφού η πλευρά ΒΓ φαίνεται από τις απέναντι κορυφές Ζ και Ε υπό τις ίσες ως ορθές γωνίες ˆ ˆ, . Το ΑΓΔΖ είναι εγγράψιμο αφού η πλευρά ΑΓ φαίνεται από τις απέναντι κορυφές Δ και Ζ υπό τις ίσες ως ορθές γωνίες ˆ ˆ, . 6) α) Γιατί οι διαγώνιοι εγγεγραμμένου σε κύκλο ορθογωνίου είναι διάμετροι του κύκλου ; Σε ποια περίπτωση το ορθογώνιο αυτό είναι τετράγωνο ; β) Πως κατασκευάζεται τετράγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο ;

Λύση α)Οι γωνίες του ορθογωνίου είναι ορθές . Επίσης είναι και εγγεγραμμένες στο περιγεγραμμένο κύκλο του τετραπλεύρου και ως ορθή θα πρέπει να βαίνει σε ημικύκλιο .Αυτό σημαίνει ότι η διαγώνιός του ως χορδή του κύκλου έχει αντίστοιχο τόξο ημικύκλιο και άρα είναι διάμετρος του κύκλου . Αν επιπλέον οι διαγώνιοι του τέμνονται κάθετα τότε είναι και τετράγωνο . β) Αρκεί να σχεδιάσουμε δύο κάθετες διαμέτρους του κύκλου και να ενώσουμε τα άκρα των διαμέτρων αυτών . 7) Να αποδείξετε ότι ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν είναι εγγράψιμο σε κύκλο .

Λύση



Ευθύ Θα δείξουμε ότι αν είναι ισοσκελές θα είναι και εγγράψιμο . Είναι ˆ ˆ (1) αφού είναι ισοσκελές . Επίσης ˆ ˆ 180 (2) ως εντός και επί τα αυτά . Από (1) , (2) έχουμε ότι ˆˆ 180 που σημαίνει ότι ΑΒΓΔ εγγράψιμο διότι έχει τις απέναντι γωνίες του παραπληρωματικές . Αντίστροφα Θα δείξουμε ότι αν είναι εγγράψιμο θα είναι και ισοσκελές . Αφού είναι εγγράψιμο θα έχει τις απέναντι γωνίες του παραπληρωματικές και επομένως ˆˆ 180 (1) . Επίσης ˆ ˆ 180 (2) ως εντός και επί τα αυτά . Από (1) , (2) έχουμε ότι ˆ ˆ πράγμα που σημαίνει ότι το τραπέζιο είναι ισοσκελές . 8) Να αποδείξετε ότι δύο χορδές του κύκλου που δεν είναι διάμετροι δεν μπορούν να διχοτομούνται .

Λύση

Έστω ότι οι διαγώνιοι διχοτομούνται . Θα καταλήξουμε σε άτοπο . Αν οι διαγώνιοι διχοτομούνται τότε θα είναι διαγώνιοι παρ/μου . Αυτό το παρ/μο ως εγγράψιμο θα πρέπει να είναι αναγκαστικά ορθογώνιο . Επομένως οι διαγώνιοί του θα είναι διάμετροι του κύκλου που είναι αντίθετο με την υπόθεση . Έτσι καταλήξαμε σε άτοπο και άρα δεν μπορεί να διχοτομούνται χωρίς να είναι διάμετροι .

9) Δύο κύκλοι τέμνονται στα σημεία Α και Β . Δύο ευθείες που διέρχονται από τα Α και Β τέμνουν τον έναν κύκλο στα Γ και Δ και τον άλλο στα Ε και Ζ . Να αποδείξετε ότι ΓΔ // ΕΖ .



Σε ποια περίπτωση ισχύει και ΓΔ = ΕΖ ;

Λύση

Το ΑΒΔΓ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και επομένως 1

ˆ ˆ 180 (1) . Το ΑΒΖΕ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και επομένως 2

ˆ ˆ 180 (2) . Τέλος 1 2

ˆ ˆ 180 (3) . Προσθέτουμε τις (1) , (2) κατά μέλη και έχουμε 1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ 180 180 Και από τη (3) έχουμε ˆ ˆ ˆ ˆ180 180 180 180 . Η τελευταία σχέση μας λέει ότι οι ΓΔ και ΕΖ τεμνόμενες από την ΓΕ σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά γωνίες παραπληρωματικές . Αυτό σημαίνει ότι ΓΔ // ΕΖ . Αν επιπλέον είναι και ΓΔ = ΕΖ τότε το ΓΔΖΕ είναι παρ/μο οπότε ΓΕ // ΔΖ . Για να είναι λοιπόν και ΓΔ = ΕΖ θα έπρεπε οι δύο ευθείες που φέραμε από τα Α και Β να είναι και παράλληλες . 10) Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε τα ύψη ΑΔ και ΒΕ . Να αποδείξετε ότι η ΔΕ είναι παράλληλη προς την εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου του ΑΒΓ στο σημείο Γ .

Λύση

Θα δείξουμε ότι ΔΕ // ε . Οι ΔΕ και ε τεμνόμενες από την ΑΓ σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες 1 1

ˆ ˆ . Αν δείξουμε ότι 1 1ˆ ˆ τότε θα

είναι και ΔΕ // ε .Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι 1 1ˆ ˆ .



Το ΑΒΔΕ είναι εγγράψιμο αφού η πλευρά ΑΒ φαίνεται από τις απέναντι κορυφές Δ και Ε υπό τις ίσες ως ορθές γωνίες ˆ ˆ . Επομένως η γωνία Β θα είναι ίση με την εξωτερική 1̂ της ˆ αφού και οι δύο είναι παραπληρωματικές με την ˆ . Άρα 1

ˆ ˆ (1) . Επίσης η 1̂ σχηματίζεται από χορδή και εφαπτομένη και επομένως θα είναι ίση με την εγγεγραμμένη Β αφού έχουν ίδιο αντίστοιχο τόξο . Άρα 1

ˆ ˆ (2) Από (1) , (2) έχουμε ότι 1 1

ˆ ˆ . 11) Ας είναι Ε ένα τυχαίο σημείο του ύψους ΑΔ τριγώνου ΑΒΓ και Ζ , Η οι προβολές του Ε στις πλευρές ΑΒ , ΑΓ αντίστοιχα . Να δείξετε ότι υπάρχει κύκλος που διέρχεται από τα σημεία Β , Γ , Η , Ζ .

Λύση

Θέλουμε να δείξουμε ότι υπάρχει κύκλος που διέρχεται από τα σημεία Β , Γ , Η , Ζ , δηλαδή να δείξουμε ότι το ΒΓΗΖ εγγράψιμο . Αρκεί να δείξουμε ότι έχει δύο απέναντι γωνίες παραπληρωματικές . Θα δείξουμε ότι ˆ ˆ 180 . Το ΒΔΕΖ είναι εγγράψιμο αφού

ˆˆ 90 90 180 . Επομένως είναι και ˆ ˆ 180 (1) . Επίσης ΑΖΕΗ εγγράψιμο αφού ˆ ˆ 90 90 180 και άρα η πλευρά ΑΖ φαίνεται από τις απέναντι κορυφές Ε και Η υπό ίσες γωνίες , δηλαδή

1 1ˆ ˆ (2) . Επομένως με τη βοήθεια των (1) , (2) έχουμε

1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ180 180 180 αφού 1

ˆ ˆ180 και

1ˆ ˆ180 δηλαδή ˆ ˆ 180 που είναι το ζητούμενο .

12) Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών κυρτού τετραπλεύρου , τεμνόμενες ανά δύο σε διαφορετικά σημεία , σχηματίζουν εγγράψιμο τετράπλευρο .

Λύση



Έστω λοιπόν το κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και οι διχοτόμοι των γωνιών του που τεμνόμενες ανά δύο σε διαφορετικά σημεία σχηματίζουν το τετράπλευρο ΕΖΗΘ . Θέλουμε να δείξουμε ότι το ΕΖΗΘ είναι εγγράψιμο και για να το πετύχουμε αυτό αρκεί να δείξουμε ότι οι απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές . Αρκεί να δείξουμε λοιπόν ότι 1 1

ˆ ˆ 180 .

Είναι 1 1 1 1

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ, , ,2 2 2 2

αφού φέραμε τις διχοτόμους

Είναι 1 2 1 1

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ180 1802 2

(1) .

Επίσης 1 2 1 1

ˆˆˆˆ ˆ ˆ180 1802 2

(2) .

Από (1) , (2) έχουμε

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 360ˆ ˆ 180 180 360 360 1802 2 2 2 2 2

αφού ˆ ˆˆ ˆ 360 . 13) Σε τρίγωνο ΑΒΓ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και Γ τέμνονται στο σημείο Ι , ενώ οι διχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών Β και Γ τέμνονται στο σημείο Κ . Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΙΓΚ είναι εγγράψιμο σε κύκλο και να βρείτε το κέντρο του .

Λύση

Αφού ΒΙ , ΒΚ διχοτόμοι έχουμε ότι 1 2 3 4

ˆ ˆ ˆ ˆ .

Επίσης 1 2 3 4 2 3 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ180 2 2 180 90

Δηλαδή ˆ 90 (1) .Όμοια έχουμε ότι ˆ 90 (2) . Από (1) , (2) έχουμε ότι ˆ ˆ 90 90 180 , πράγμα που σημαίνει ότι το τετράπλευρο ΙΒΚΓ είναι εγγράψιμο διότι έχει τις απέναντι γωνίες του παραπληρωματικές . Στο εγγράψιμο αυτό τετράπλευρο η γωνία ˆ 90 πράγμα που σημαίνει ότι η αντίστοιχη χορδή της στον περιγεγραμμένο κύκλο ΙΚ είναι διάμετρος.Το κέντρο λοιπόν του κύκλου είναι το μέσο της διαμέτρου ΙΚ



14) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες ενός κύκλου στα άκρα δύο κάθετων χορδών του σχηματίζουν τετράπλευρο εγγράψιμο σε κύκλο .

Λύση

Έστω λοιπόν οι κάθετες χορδές ΑΒ και ΓΔ και οι εφαπτόμενες στα άκρα αυτών που σχηματίζουν το τετράπλευρο ΕΖΗΘ . Θέλουμε να δείξουμε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι εγγράψιμο και για να το πετύχουμε αυτό , ένας τρόπος είναι να δείξουμε ότι οι απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές .Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι ˆˆ 180 . Το τρίγωνο ΖΓΒ είναι ισοσκελές αφού τα εφαπτόμενα τμήματα ΖΓ και ΖΒ είναι ίσα . Έτσι ˆ ˆ180 2 . Η γωνία ˆ σχηματίζεται από χορδή και εφαπτομένη και άρα είναι ίση με την ˆ που είναι εγγεγραμμένη που βαίνει στο ίδιο τόξο . Επομένως ˆˆ 180 2 (1) . Όμοια βρίσκουμε ότι ˆ ˆ ˆ180 2 180 2 (2) . Επίσης ˆ ˆ 90 (3) ως οξείες γωνίες του ορθογωνίου ΚΑΓ . Από (1) , (2) , (3) έχουμε :

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ180 2 180 2 360 2( ) 360 2 90 180 . 15) Να δείξετε ότι σε ένα τρίγωνο τα μέσα των πλευρών του και το ίχνός ενός ύψους του είναι κορυφές είναι κορυφές εγγράψιμου τετραπλεύρου .

Λύση



Έστω το ύψος ΑΔ και τα μέσα των πλευρών Κ , Λ , Μ . Θα δείξουμε ότι ΚΛΜΔ εγγράψιμο . Επειδή Κ , Λ μέσα έχουμε ότι ΚΛ // ΒΓ δηλ ΚΛΜΔ τραπέζιο .

Επειδή Λ , Μ μέσα έχουμε ότι 2

(1) .

Επειδή ΚΔ διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ορθογωνίου ΑΒΔ

έχουμε ότι 2

(2) .

Από (1) , (2) έχουμε ότι ΚΔ = ΛΜ που σημαίνει ότι το τραπέζιο ΚΛΜΔ είναι ισοσκελές .Από μία άσκηση ξέρουμε ότι κάθε ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγράψιμο . Επομένως το ΚΛΜΔ είναι εγγράψιμο . 16) Θεωρούμε τον περιγεγραμμένο κύκλο ( Κ , ρ ) τριγώνου ΑΒΓ και φέρουμε τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ . Να δείξετε ότι η ακτίνα ΚΑ είναι κάθετη στη ΔΕ

Λύση

Αν φέρουμε την εφαπτόμενη ε στο σημείο Α τότε η ακτίνα ΚΑ είναι κάθετη στην ε . Για να δείξουμε ότι η ΚΑ είναι κάθετη στη ΔΕ αρκεί να δείξουμε ότι ΔΕ // ε . Αυτό όμως ισχύει και το έχουμε δείξει στην άσκηση 10 17) Να αποδείξετε ότι οι προβολές κάθε σημείου του περιγεγραμμένου κύκλου τριγώνου ΑΒΓ είναι συνευθειακά σημεία και αντιστρόφως .

Λύση



Ευθύ Έστω Δ τυχαίο σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του ΑΒΓ και έστω Κ , Λ , Μ οι προβολές του Δ στις πλευρές του ΑΒΓ . Θα δείξουμε ότι Κ , Λ , Μ συνευθειακά και για αυτό αρκεί να δείξουμε ότι ˆ 180 . Το τετράπλευρο ΑΚΔΛ είναι εγγράψιμο αφού ˆˆ 90 90 180 . Επομένως η πλευρά ΚΔ θα φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες και άρα ˆ ˆ (1) . Το τετράπλευρο ΔΛΜΓ είναι εγγράψιμο διότι η πλευρά ΓΔ φαίνεται από τις απέναντι κορυφές Δ , Μ υπό τις ίσες ως ορθές γωνίες ˆ ˆ και επομένως είναι ˆ ˆ 180 (2) . Τέλος από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ΑΒΓΔ έχουμε ότι

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ180 180 (3) . Από (1) , (2) , (3) έχουμε ότι :

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 180 Αντίστροφο Αν Κ , Λ , Μ συνευθειακά θα δείξουμε ότι το Δ ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του ΑΒΓ , δηλαδή θα δείξουμε ότι ΑΒΓΔ εγγράψιμο . Για να δείξουμε ότι ΑΒΓΔ εγγράψιμο αρκεί να δείξουμε ότι

ˆ ˆ 180 ή ισοδύναμα αρκεί να δείξουμε ότι ˆˆ . Όπως και πριν έχουμε ότι ˆ ˆ και ˆ ˆ 180 και τώρα ξέρουμε ότι ˆ 180 .Συνδυάζοντας αυτές τις σχέσεις έχουμε ότι

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 180 δηλαδή ˆˆ . 18) Να αποδείξετε ότι τα συμμετρικά κάθε σημείου του περιγεγραμμένου κύκλου ενός σημείου ως προς τις πλευρές του είναι συνευθειακά σημεία .

Λύση



Έστω λοιπόν τα Π , Ρ , Σ τα συμμετρικά τυχαίου σημείου Δ του περιγεγραμμένου κύκλου του ΑΒΓ ως προς τις πλευρές . Θα δείξουμε ότι Π , Ρ , Σ συνευθειακά . Στο τρίγωνο ΔΠΡ , τα Κ , Λ είναι μέσα οπότε ΚΛ // ΠΡ . Όμοια στο ΔΡΣ , τα Λ , Μ μέσα οπότε ΜΛ // ΡΣ . Όμως από πριν ξέρουμε ότι Κ , Λ , Μ συνευθειακά , οπότε και Π , Ρ , Σ συνευθειακά , αφού από το Ρ διέρχεται μοναδική παράλληλη στη ΚΜ . 19) Σε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ θεωρούμε τους κύκλους που εφάπτονται μιας πλευράς και των προεκτάσεων των δύο άλλων προσκείμενων πλευρών του . Να δείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων αυτών είναι κορυφές εγγράψιμου τετραπλεύρου .

Λύση

Σχεδιάσαμε έναν από αυτούς τους κύκλους και ας δούμε τι συμβαίνει για το κέντρο του Ο .Τα τμήματα ΟΚ , ΟΛ ,ΟΜ είναι ίσα ως ακτίνες του κύκλου πράγμα που σημαίνει ότι το ισαπέχει απ΄ τις πλευρές ΔΑ , ΑΒ , ΓΒ και επομένως ανήκει στις διχοτόμους των εξωτερικών γωνιών Α και Β .

Επομένως ˆ ˆ

ˆ 1802 2

.

Αντίστοιχα έχουμε και για τα κέντρα των υπόλοιπων κύκλων . Εμείς θέλουμε να δείξουμε το τετράπλευρο που σχηματίζουν αυτά τα κέντρα είναι εγγράψιμο . Αρκεί να δείξουμε ότι το άθροισμα δύο απέναντι γωνιών του είναι 180 . Το άθροισμα όμως των απέναντι γωνιών του σύμφωνα με τις σχέσεις που δείξαμε είναι

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ180 180 360

2 2 2 2 2ˆ ˆˆ ˆ180 180 180 180 4 180 360360 360 360 180 180

2 2



20) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα ύψη του ΑΔ , ΒΕ . Αν Η το ορθόκεντρο του τριγώνου , Ζ το μέσο της πλευράς ΑΓ και Θ το μέσο του τμήματος ΑΗ , να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΔΖΕΘ είναι εγγράψιμο σε κύκλο .

Λύση

Αρκεί να δείξουμε ότι ˆ ˆ 180 .Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ορθογώνιο και η ΔΖ διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα . Το τρίγωνο λοιπόν ΔΖΓ είναι ισοσκελές με ΔΖ=ΖΓ και η Ζ ως εξωτερική στο τρίγωνο αυτό είναι ˆ ˆ2 (1) Επίσης το ΑΕΗ ορθογώνιο και ΕΘ διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα Το τρίγωνο λοιπόν ΕΘΗ είναι ισοσκελές με ΘΗ=ΘΕ και άρα ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ180 2 180 2 2(90 ) 2 (2) .

Τέλος από το ορθογώνιο ΒΕΓ έχουμε ότι ˆ ˆ 90 (3) . Συνδυάζοντας τις (1) , (2) , (3) έχουμε ότι ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2( ) 2 90 180 . 21) Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ και μια ευθεία ε που τέμνει το ημικύκλιο στα σημεία Γ και Δ . Ας είναι Ε η προβολή του Α πάνω στην ε και Ζ , Η οι προβολές των Γ , Δ στη ΑΒ . Να δείξετε ότι ˆ ˆ .

Λύση

Το τετράπλευρο ΑΕΔΗ είναι εγγράψιμο αφού ˆ ˆ 90 90 180 . Επομένως η πλευρά ΑΗ θα φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες , πράγμα που σημαίνει ότι ˆˆ (1) . Το τετράπλευρο ΑΕΖΓ είναι εγγράψιμο αφού ˆ ˆ 90 90 180 . Επομένως η πλευρά ΑΕ θα φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες , πράγμα που σημαίνει ότι ˆ ˆ (2) . Οι γωνίες ˆ ˆ (3) ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο . Τέλος ˆˆ (4) ως οξείες με τις πλευρές τους κάθετες , αφού και αφού η ˆ είναι εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο . Από (1) , (2) , (3) , (4) έχουμε ότι ˆ ˆ .

1 ΓΕΛ ΑΧΑΡΝΩΝ Λυμένες ασκήσεις στις εγγράψιμες...

Documents

Transcript of 1 ΓΕΛ ΑΧΑΡΝΩΝ Λυμένες ασκήσεις στις εγγράψιμες...