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Expressions régulières et hash tables

Expressions rationnelles/régulières

Hash Tables

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Expressions rationnelles

Qu'est-ce une expression rationnelle (régulière)?

Définition et propriétés

Exercices

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Définitions : alphabet, mot, langage

Définition Un alphabet Σ est un ensemble fini de symboles, comme par exemple de lettres, de chiffres ou d'autres sigles.

Exemples Σ = {a,b,c} Σ = {0,1}

Définition Un mot w défini sur un alphabet est une suite ou séquence finie de symboles appartenant à Σ.

Exemples Si Σ = {a,b,c}, w = abc est un mot défini sur Σ.La séquence de 0 symboles est nommée le mot vide et s’écrit : ε.

Définition Un langage L défini sur un alphabet Σ est un ensemble de mots définis sur l'alphabet en question. Cet ensemble de mots peut être infini.

Exemple Soit l'alphabet Σ = {a,b,c}, le langage L = {acbb, accbb, acccbb, …} est le langage de tous le mots qui débutent par le symbole a, suivi d'au moins un symbole c et qui se terminent par deux symboles b.

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Opérations sur les langages

Union L'union L1 U L2 de deux langages L1 et L2 définis sur un alphabet Σ correspond exactement à l'union d'ensembles.

Exemple

Soient Σ= {a,b,c}, L1 ={a,b} et L2 ={bac,b, c}, on a L1 U L2 = {a,b,bac,c}

Concaténation Soient L1 et L2 deux langages définis sur un alphabet Σ, l'opération de concaténation est définie comme suit

L1 . L2 = {w1.w2 , t.q. w1 appartient à L1 et w2 appartient à L2 }

L'élément neutre est donc l'ensemble Lε = {ε} (L. Lε = L, Lε .L = L)

Exemple

Soient Σ= {a,b,c}, L1 ={a,b} et L2 ={bac,b,a}, on a L1 . L2 = {abac,bbac,ab,bb,aa,ba}

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Opérations sur les langagesPuissance La puissance d'un langage L, notée Ln où n >= 0, est définie par

1) L0 = {ε}

2) Ln+1 = Ln . L

Kleene star ou fermeture itérative La fermeture itérative (ou de Kleene) d'un langage L, notée L*, est l'ensemble de mots résultant d'une concaténation d'un nombre fini de mots de L. Formellement :

L* = L0 U L1 U L2 U L3 …

Le mot vide appartient donc à L* mais pas à L+ qui est défini comme suit :

L+ = L1 U L2 U L3 … = L . L*

Exemples

Soient Σ= {a}, L = {a}. Alors L0 ={ε}, L1={a}, L2 ={aa}, L3={aaa},…, L+ = {a,aa,aaa,aaaa,aaaaa,…..}, L* = {ε, a,aa,aaa,aaaa,aaaaa,…..}.

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Formalisme de spécification des langages

Pour spécifier (décrire formellement) un langage, différents formalismes sont à notre disposition. La première solution serait d’énumérer de manière exhaustive les composants du langage.

Cela est une définition extensionnelle. C'est irréalisable si le langage est infini.

Pour décrire un langage infini on utilise des formalismes plus riches, comme les grammaires, les machine de Turing, etc.

Le formalisme le plus simple est celui des expressions rationnelles ou régulières.

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Qu'est-ce une expression rationnelle (régulière)?

Définition Soit un alphabet Σ. Une expression régulière définie sur Σ, ainsi que les ensembles qu'elle dénote, sont définis récursivement comme suit :

1) Ø est une expression régulière dénotant l'ensemble vide,

2) ε est une expression régulière dénotant l'ensemble {ε},

3) pour tous a dans Σ, a est une expression régulière dénotant l'ensemble {a},

4) si r et s sont des expressions régulières dénotant respectivement les ensembles R et S, alors (r + s), (rs), (r*) sont des expressions régulières dénotant respectivement les ensembles R U S, R . S, et R*,

5) Rien d'autre n'est considéré comme une expression régulière.

Le langage que dénote une expression régulière r s’écrit L(r).

Note terminologique: expression régulière = expression rationnelle.

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Expressions rationnelles - exemples

Soit l'alphabet Σ = {a,b} et l'expression régulière r = (a(a+b)*), alors le langage généré par r est L(r) ={a} . {a,b}*

Son extension contient donc {a,aa,aaa,aaaa,…,ab,aba,abbaaababa, …}.

C’est le langage de toutes les chaînes de a et de b commençant par un a.

Soit l'alphabet Σ = {0,1}, l'expression régulière s= (0*1)* dénote l'ensemble

L(s) = {{0}*. {1}}* ou bien

L(s) = {x t.q. x appartient à {0,1}* et x est vide ou représente un nombre impair}

Son extension contient donc {ε,1,01,010101, 100001, … }.

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Exercices : expressions rationnelles

Exercice 1 Vrai ou faux?

baa appartient à (a*b*a*b*)

b* a* intersection a* b* = a* U b*

abcd appartient à (a(cd)*b*)

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Exercices : expressions rationnelles

Exercice 2

Français Expressions régulières

Écrire les expressions régulières sur Σ = {a,b,c} dénotant les langages suivants :

tous les mots contenant a

tous les mots ne contenant pas ac

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Solutions

Soit Σ = {a,b,c} ,

tous les mots contenant a

tous les mots ne contenant pas ac

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Solutions

Soit Σ = {a,b,c} ,

tous les mots contenant a

(a|b|c)* a (a|b|c)*

tous les mots ne contenant pas ac

c* (a | (bc*))*

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Solutions

Décrire en français le langage dénoté par les expressions régulières suivantes :

(a|b)*b(a|b)*a(a|b)*

b*(abb*)*aa(bb*a)*b*

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Exercices : expressions rationnelles

Exercice 3 Expressions régulières Français

Décrire en français le langage dénoté par les expressions régulières suivantes :

(a|b)*b(a|b)*a(a|b)*

Toutes les chaînes de a et de b qui ne correspondent pas à a*b*.Ou : toutes les chaînes de a et de b où au moins un b précède un a.

b*(abb*)*aa(bb*a)*b*

Toutes les chaînes de a et de b où la sous-chaîne « aa » apparaît exactement une fois.

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Exercices : expressions rationnelles

Exercice 4

Français Expressions régulières

Écrire les expressions régulières sur Σ = {a,b} dénotant les langages suivants :

tous les mots de longueur 2

tous les mots de longueur paire

tous les mos contenant un nombre impair de b

tous les mots ne contenant pas plus que deux a consécutifs

tous les mots ne contenant pas aba

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SolutionsÉcrire les expressions régulières sur Σ = {a,b} dénotant les langages suivants:

tous les mots de longueur 2

(aa|ab|ba|bb)

tous les mots de longueur paire

(aa|ab|ba|bb) *

tous les mos contenant un nombre impair de b

a*ba*(ba*ba*)*

tous les mots ne contenant pas plus que deux a consécutifs

(b|ab|aab)*(ε|a|aa)

tous les mots ne contenant pas aba

b* (aa*bbb*)* a* (ε|b)

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Exercices : expressions rationnelles

Exercice 5 Expressions régulières Français

Décrire en français les langages dénotés par les expressions régulières suivantes :

(11+0)*(00+1)*

(1+01+001)*(ε+0+00)

0*(10*10*10*)*

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Solutions

Décrire en français les langages dénotés par les expressions régulières suivantes :

(11+0)*(00+1)*

(1+01+001)*(ε+0+00)

0*(10*10*10*)*

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Solutions

Décrire en français les langages dénotés par les expressions régulières suivantes:

(11+0)*(00+1)*

L(x) ={ x t.q x ne contient pas la séquence 1010}

(1+01+001)*(ε+0+00)

tous les mots ne contenant pas plus que deux 0 consécutifs

0*(10*10*10*)*

tous les mots contenant un nombre de 1 multiple de 3

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Hash Tables

Plusieurs applications informatiques, et parmi eux, celle qui intéressent le TALN, nécessitent seulement les opérations INSERT, DELETE et SEARCH.

Par exemple, les compilateurs maintient une table des symboles, qu’ils consultent pour vérifier les noms et les types des variables.

Les hash tables (tableaux d’hashage) sont des structures des données très appropriées pour mettre en place un dictionnaire et le consulter.

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Tableaux d’accès direct

La techniques des tableaux à accès direct marche assez bien si l’ensemble m des clés uniques est petit.

On utilise un tableau T[0..m-1] où chaque position correspond à une clé.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1

3 5

7

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Tableaux d’accès direct

Les opérations sont très simples et exécutées en temps constant O(1).

Recherche(T,k)

return T[k]

Insert(T,x)

T[key(x)] <- x

Delete(T,x)

T[key(x)] <- NIL

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Tableaux d’hashage

Désavantage de l’adresse directe

Si l’ensemble des clés possibles U est grand, il y a des problèmes de mémoire

Si l’ensemble des clés réellement utilisées est beaucoup plus petit que U, une grande partie de la mémoire est gaspillée.

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Tableaux d’hachage

Avec l’adresse directe, un élément à clé k est placé en position k.

Avec hashage, il est stocké en position h(k).

Le seul problème avec cette technique sont les collisions.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 3

5

7

H(k1)

H(k5)

H(k3)=h(k7)

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Tableaux d’hashage

Collision: lorsque deux éléments ayant clés différentes ont la même valeur d’hashage.

Solution (partielle):

fonctions d’hashage pseudo-aléatoire

(random-looking hash functions).

Chaining: les éléments sont associés à la même position dans une

liste chaînée.

la complexité de recherche, insertion et effacement est

proportionnelle à la longueur de cette liste.

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Fonction d’hashage

Une bonne fonction d’hashage satisfait (approximativement) la présupposition d’hashage uniforme:

pour toutes positions, une clé a la même probabilité d’être associé à cette position

En général, une bonne technique consiste à développer une fonction indépendante de toutes régularités des distribution dans les données.

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Fonctions d’hashage

Hashage par divisions: h(k) = k mod m

m est choisi tel que le résultat de la division

dépend de toute les chiffres de k

(pas puissance de 2 ou de 10, m=prime)

Hashage par multiplication: h(k) = floor(m(k A mod 1))

en général, on choisit une puissance de 2

Hashage universel= hashage aléatoire

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Open addressing Open addressing est une techniques autre que chaining pour résoudre les collisions

On n’utilise aucune structure externe, mais on relie les cases disponibles par double hashage.

h(k,i) = (h1(k) + ih2(k)) mod m

Cela évite les clusters des valeurs dans le tableau qui surgissent avec d’autres techniques.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

79

69

98