1 Ejercicios para practicar: 1) Efecta todos los posibles productos entre las siguientes matrices:

Sol:

2) Calcula A2 3A I, siendo A = e I la matriz identidad de orden 2.Sol: 3) Realiza la operacin B A + C A, sacando previamente factor comn a la matriz A.

Sol: 4) Realiza esta operacin con matrices:

Sol: 5) Dadas las matrices A y B comprueba que

Sol: las dos operaciones dan luego se cumple. 6) Estudia si la matriz A + B es simtrica

Sol No lo es

7) Dada la matriz A calcula Ak : Sol:

8) Sea la matriz: A S calcula A86

Sol: 9) Halla la matriz inversa de las siguientes matrices Sol:

10) Halla los determinantes de las siguientes matrices:

Sol : |A|=255 |B|=0 11) Halla los determinantes de las siguientes matrices

Sol :|A|=-265 |B|=867 12) Comprueba la identidad |A| = |At| siendo:

Sol :| A| = |At|=-180 13) Dadas las matrices A y B comprueba que |A B| = |A| |B|

Sol |A B| =1 071 y |A| |B|=1 071 14) Dada la siguiente matriz A halla a) el menor complementario del elemento a21 b) el menor complementario del elemento a13:

Sol: M21=24 M13=46 15) Dada la matriz A calcula a) el adjunto del elemento a12 b) el adjunto del elemento a31

Sol: A12= 35 A12=-63 16) Halla el rango de las siguientes matrices:

Sol r(A) =3 pq |A| 0; rg(B) =2 17) Sea la matriz A Determina si es invertible y, en su caso, calcula la matriz inversa.

Sol: 18) Calcular el rango de A Sol: Los determinantes de los 4 menores de orden 3 son cero y como existe un menor de orden 2 distinto de cero r(A)=2

2 Ejercicios de selectividad: 1) Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son |A| = 1/2 y |B| = -2. Halla: (a) [0'5 puntos] |A3|.Sol: 1/8 (b) [0'5 puntos] |A-1|.Sol:2 (c) [0'5 puntos] |-2A|.Sol:-4 (d) [0'5 puntos] |ABt|, siendo Bt la matriz traspuesta de B.Sol:-1 (e) [0'5 puntos] El rango de B.Sol: rg(B)=3

2) De la matriz A = se sabe que det(A) = 4. Se pide:

(a) [125 puntos] Halla det(3At) y det . Indica las propiedades que utilizas. (At es la matriz traspuesta de A).Sol: 36, 24 (b) [075 puntos] Calcula det(A-1.At).Sol:1 (c) [05 puntos] Si B es una matriz cuadrada tal que B3 = I, siendo I la matriz identidad, halla det(B). Sol:1 3) Sean F1, F2 , F3 , las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz B de orden 3, cuyo determinante vale -2. Calcula, indicando las propiedades que utilices: (a) [0'5 puntos] El determinante de B -1.Sol: -1/2 (b) [0'5 puntos] El determinante de (B t)4 (Bt es la matriz traspuesta de B. Sol: 16 (c) [0'5 puntos] El determinante de 2B. Sol: -16 (d) [1 punto] El determinante de una matriz cuadrada cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 5F1 - F3, 3F3, F2.Sol:30

4) Sabiendo que , calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: (a) [1 punto] | - 3A| y |A -1|

(b) [0'75 puntos] (c) [0'75 puntos] (e) (f) Sol:a)1/2, b)-4, c)-2 e)30 f)-2 5) Calcular por transformaciones elementales (sin emplear la regla de Sarrus) y justificandolos pasos, el determinante: Sol:0 6). Sean C1,C2 y C3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcular, indicando las propiedades utilizadas: a) El determinante de A3. b) El determinante de A1. c) El determinante de 2A. d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 3C1 C3, 2C3 y C2.

Sol:

7) Sea la matriz (a) [1 punto] Para qu valores del parmetro k no existe la matriz inversa de la matriz A? Justifica la respuesta. (b) [15 puntos] Para k = 0, resuelve la ecuacin matricial (X + I).A = At, donde I de nota la matriz identidad y At la matriz traspuesta de A. Sol: a) La matriz A no tiene inversa si k = 1/2. B) 8) Dada la matriz (a) [05 puntos] Demuestra que se verifica la igualdad A3 = - I, siendo I la matriz identidad de orden 3. (b) [125 puntos] Justifica que A es invertible y halla su inversa. (c) [075 puntos) Calcula razonadamente A100. Sol: b) A100.=- A 9) Consideramos la matriz

10) Sean A , B , C y X matrices que verifican AXB = C a) Si las matrices son cuadradas de orden 3, y se sabe que el determinante de A es 3, el de B es -1 y el de C es 6, calcula el determinante de las matrices X y 2X Sol:-16 b) Calcula la matriz X Sol: 11)a) [1 puntos] Dadas las matrices Calcula, si existe, la matriz inversa de A b) [15 puntos] Calcula las matrices X e Y que satisfacen las ecuaciones matriciales XA = A + 2B y AY = A + 2B

Sol: a) b) X= Y= 12) Dada la matriz (a) [125 puntos] Determina los valores de para los que la matriz A2 + 3A no tiene inversa. Sol: = -1 y = -4. (b) [125 puntos] Para = 0, halla la matriz X que verifica la ecuacin AX + A = 2I, siendo I la matriz identidad de orden 2.

Sol:

13) Sean las matrices (a) [125 puntos] Calcula los valores de para los que la matriz inversa de A es (1/12).A. Sol: = - 3. (b) [125 puntos] Para = -3, determina la matriz X que verifica la ecuacin At.X = B, siendo At

la matriz traspuesta de A. Sol: 14) Considera , siendo a un nmero real.

(a) [1 punto] Calcula el valor de a para que A2 A = Sol a=4 (b) [ 1 punto] Calcula, en funcin de a, los determinantes 2 A y At, siendo At la traspuesta de A. Sol:- 4a2 , - a2 (c) [05 puntos] Existe algn valor de a para el que la matriz A sea simtrica? Razona la respuesta. Sol:No

15)Sean las matrices A = ,B = , y C = (a) [1 punto] Tiene A inversa? En caso afirmativo, calclala (b) [1'5 puntos] Determina la matriz X que cumple que A.X + C.Bt = B.Bt , siendo Bt la matriz transpuesta de B.

Sol:a) b)

16)Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea A = . (a) [125 puntos] Determina el valor de b para el que A2 2A + I = O. (b) [125 puntos] Para b = 2 halla la matriz X que cumple que A X 2At = O, donde At denota la matriz transpuesta de A.

Sol: a) la nica solucin que verifica las cuatro ecuaciones es b = 2. b)

17) Sea la matriz A = . (a) [125 puntos] Comprueba que se verifica 2A A2 = I. (b) [125 puntos] Calcula A-1. (Sugerencia: Puedes utilizar la igualdad del apartado (a)). Sol: 18) Dadas las matrices A = (a) [175 puntos] Calcula el rango de dependiendo de los valores de . Sol: Si 1 y -2, rg(A) = 3.Si Si = 1 rg(A) =1 Si = -2, rg(A)=-2 (b) [075 puntos] Para = 2, resuelve la ecuacin matricial A.X = B. Sol: 19) [25 puntos] Sea I la matriz identidad de orden 3 y .

Calcula, si existe, el valor de k para el cual (A kI)2 es la matriz nula. Sol: k = 1

20) Considera la matriz . (a) [1 punto] Determina la matriz B = A2 2A (b) [075 puntos] Determina los valores de para los que la matriz B tiene inversa. Sol: -1 y 3

21)a) [1 punto] Calcula la matriz inversa de . (b) [15 puntos] Escribe en forma matricial el siguiente sistema y resulvelo usando la matriz A -1 hallada en el apartado anterior.

Sol: a) b) (x,y,z) =(3,-2,0)

22)Sea A la matriz e I la matriz identidad de orden 3. (a) [125 puntos] Calcula los valores de para los que el determinante de A 2I es cero. Sol: = 2, = 1 y = - 1 (b) [125 puntos] Calcula la matriz inversa de A 2I para = 2. Sol:

23)Obtn un vector no nulo v =(a, b, c), de manera que las matrices siguientes tengan

simultneamente rango 2. A = B = Sol: v =(c, c/2, c)

24)Considera la matriz .

(a) [1 punto] Halla los valores del parmetro m para los que el rango de A es menor que 3

25)Dada la matriz

(a) [125 puntos] Estudia el rango de A en funcin de los valores del parmetro k.

(b) [125 puntos] Para k = 0, halla la matriz inversa de A.

a)Sol:Si rango(A) = 3 Si ,rango(A) = 2

b)

Practicar 1)Discute los siguientes sistemas:

a)Sol:SCD b)SI 2)-Resuelve por Cramer:

Sol a)(1,3,5) b)(3,1-1) 3) Resuelve matricialmente los sistemas:

a) b)

Sol: a)x = 2, y = 1, z = 1 b) x = 3, y = 2, z = 1 4) Resuelve estos sistemas de ecuaciones utilizando el mtodo de Gauss:

Sol: a)SCD x = 1, y = 2, z = 3; b)Sistema incompatible c) SCI Soluciones: x = 3 + 2t, y = t, z = 2 + t 5) Estudia y resuelve por el mtodo de Gauss:

a)SCD b) SCI c)SCD Solucin: (1, 1, 1) d)SCI

Selectividad 1. (3/B/m4/2012)(junio)Considera el sistema de ecuaciones:

x + y + z = +1 3y + 2z = 2+3

3x + (-1) y + z =

(a) [1 punto] Resuelve el sistema para = 1. Solucin (x,y,z) = (1/3 /3, 5/3 2 /3, ) con a R. (b) [1 punto] Halla los valores de para los que el sistema tiene una nica solucin.SoL:El sistema tiene solucin nica si 1. (c) [05 puntos] Existe algn valor de para que el sistema admita la solucin (-1/2,0,1/2)?Sol:para = -1

2. (3/A/m6/2012)(Septiembre)Considera el siguiente sistema de ecuaciones con dos incgnitas:

kx + 2y = 2 2x + ky = k x - y = -1

(a) [05 puntos] Prueba que el sistema es compatible para cualquier valor del parmetro k. (b) [1 punto] Especifica para qu valores del parmetro k es determinado y para cules indeterminado. Sol:Si k 2 y k -2. SCD en el caso k=2 SCD y si k=-2 SCI

(c) [1 punto] Halla las soluciones en cada caso Solucin (x,y) = (0,1),para determinado par k = -2, (x,y) = (-1+,),

3. (3/A/m5/2012)Considera el sistema de ecuaciones: x + ky + 2z = k + 1

x + 2y + kz = 3(k+1) x + y + z = k + 2

(a) [1'25 puntos] Determina los valores de k para los que el sistema tiene ms de una solucin. Sol:Sik 0, k -3 y k 2 SCD;Si k = -3 SCI;K=2 SCI, K=0 SCI (b) [0'5 puntos] Existe algn valor de