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Legami costitutivi
1
q
1) descrizione dello stato tensionale totale [σ]che equilibra i carichi esterni q con gli strumenti analiticidella Meccanica del continuo
⇓sottosuolo eterogeneo e multifase assimilato a
mezzo omogeneo monofase
2) ripartizione delle tensioni totalitra scheletro solido (tensioni efficaci [σ’])e acqua (pressioni interstiziali u)
⇓
necessità di considerare lecondizioni idrauliche al contorno
e gli effetti prodotti dal moto dell’acquanello scheletro solido
q
s
3) determinazione sperimentale del legamecostitutivo del terrenoin relazione alla combinazione di componentinormali e tangenziali
⇓schemi sperimentali e modello costitutivo
q
Legami costitutivi
3
Sforzi Meccanismi deformativi Legame costitutivo
Proprietà meccaniche
Stati
limite
Normali
Schiacciamento grani *
Scorrimenti **
Variazioni di densità ***
Non lineare
a rigidezza
crescente
Compressibilità Esercizio
N → s
w →
Coppia di particelle deformabili
Sistema di particelle rigide
Relazione sforzi-deformazioni
scarico: non
reversibile!
carico: non lineare!
Legami costitutivi
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Sforzi Meccanismi deformativi Legame costitutivo
Proprietà meccaniche
Stati
limite
Tangenziali
Rottura grani/contatti
Rotolamenti
Variazioni di densità
Scorrimenti
*
**
***
****
Non lineare
a rigidezza
decrescente
Deformabilità
↓
Resistenza
Esercizio
↓
Ultimo
Coppia di particelle deformabili
Sistema di particelle rigide
Relazione sforzi-deformazioni
scarico: non
reversibile!
carico: non lineare!
T →
u →
Legami costitutivi
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Gli invarianti di tensione media (o sferica) p e deviatorica q (e di deformazionevolumetrica v e distorsionale s) sono le variabili più adeguate per descriveregraficamente il comportamento di un elemento di terreno per effetto dei diversiprocessi e combinazioni di sollecitazione a cui viene sottoposto
Per gli invarianti in tensioni efficaci p’ e q’, analogamente alle componenti s e , vale:
q
p
stato iniziale
percorso tensionale(stress-path)
q
p, p’
u pp’
Il percorso delle tensioni efficaci (Effective Stress Path, ESP) è quindi traslato in orizzontale di u (in genere variabile) rispetto a quello delle tensioni totali (Total Stress Path, TSP)
TSPESP
1 2 3 1 2 3 3
3 3
up p u
s s s s s s + + + + − = = = −
( ) ( )2 21 1
2 2i j i jij ij
q qs s s s = − = − =
1
Legami costitutivi
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percorso s1 s2 s3 p q Schema
Compressione isotropa
s s 0
Taglio semplice
0 - 0 √3
Compressione cilindrica per carico
s 0 0 s/3 s
Estensione cilindrica per scarico
-s 0 0 s/3 s
q
p
p
p
p
3
-1
3
q
q
q
Equazioni n. Incognite n.
a) equilibrio scheletro solido 3 a) tensioni totali sij 6
b) congruenza scheletro solido 3 b) tensioni efficaci s’ij 6
c) legame costitutivo scheletro solido 6 c) deformazioni scheletro solido εij 6
d) legge di moto fluido 3 d) pressione interstiziale u 1
e) equazione di stato fluido 1 e) densità fluido ρf 1
f) equazione di continuità fluido 1 f) componenti moto fluido vij 3
g) accoppiamento fasi ( ) 6
Totale 23 Totale 23
Legamicostitutivi
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Nel trattare il mezzo multifase, occorrerebbe a rigore tener contodi caratteri individuali ed accoppiamento di scheletro solido e fluidi.
Bilancio di equazioni e incognite (mezzo bifase):
+ condizioni al contorno (frontiera del dominio di analisi)
+ condizioni iniziali (t = 0) e/o finali (t = )
(entrambe espresse in termini di tensioni/pressioni/deformazioni/moto fluido)↓
Approccio rigoroso ⇒ soluzione sistema di eq. differenziale troppo complesso!
u Is s = −
Equazioni n. Incognite n.
a) equilibrio scheletro solido 3 a) tensioni totali sij 6
b) congruenza scheletro solido 3 b) tensioni efficaci s’ij 6
c) legame costitutivo scheletro solido 6 c) deformazioni scheletro solido εij 6
d) legge di moto fluido 3 d) pressione interstiziale u 1
e) equazione di stato fluido 1 e) densità fluido ρf 1
f) equazione di continuità fluido 1 f) componenti moto fluido vij 3
g) accoppiamento fasi ( ) 6
Totale 23 Totale 23
Legami costitutivi
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Sfrutta livelli di semplificazione differenziati, in relazione agli aspetti da trattare caso per caso
Ipotesi generalmente introdotte:
⇒ eliminazione equazioni/incognite e)• Acqua incomprimibile
• Scheletro solido con legge costitutiva semplificata (p.es. elastico lineare, rigido-plastico)
• Disaccoppiamento della soluzione del problema idraulico da quello meccanico(p.es.: si determinano le [s ], si risolvono le d)-f), si applicano le g), si ricavano le )
• Aria infinitamente comprimibile
u Is s = −
Legami costitutivi
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Azioni di compressioneRealtà
(osservazione sperimentale)Idealizzazione
(modello costitutivo)
Azioni di taglio
p’
v
q()
s ()
Realtà(osservazione sperimentale)
Idealizzazione(modello costitutivo)
p’
v
q()
s ()
Legami costitutivi
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AnalisiStati Limite di Esercizio (SLE)
AnalisiStati Limite Ultimi
(SLU)
Mezzo elastico lineare Mezzo rigido - plastico
q()
s ()
q()
s ()
• Soluzione dipendente solo dagli incrementi sij
• Reversibilità del legame tensio-deformativo
• Applicabilità principio sovrapposizione effetti
• Soluzione dipendente dallo stato iniziale
• Deformazioni non reversibili
• Principio sovrapposizione effetti non valido
Legami costitutivi
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Elasticità = relazione biunivoca [σ]:[ε]
Parametro Caso generale
Modulo di Young
Elasticità lineare
Ipotesi di isotropia Ei e νij non dipendono dal sistema di assi (x, y, z)
Ei = E ∀ iνij = ν ∀ i,j
si
i
i
j
Coefficiente di Poissonj
Solido continuo elastico ideale = lineare, omogeneo, isotropo
Ipotesi di omogeneità Ei e νij non dipendono da P(x, y, z)
ii
i
dE
d
s
= i i
i
i i
Es s
= =
j
ij
i
d
d
= −
j j
ij
i i
= − = −
Legami costitutivi
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Il legame costitutivo (Hooke)è espresso dalle relazioni :
esprimibili nella forma matriciale:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
1
2 1
2 1
2 1
x x y z
y y x z
z z x y
xy xy
yz yz
zx zx
E
E
E
E
E
E
s s s
s s s
s s s
= − +
= − + = − + + = + = + =
( )
( )
( )
1
1
1
2 1
2 1
2 1
x x
y y
z z
xy xy
yz yz
zx zx
E E E
E E E
E E E
E
E
E
s
s
s
− −
− −
− −
= + +
+
Legami costitutivi
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avendo posto:
È conveniente scrivere le relazioni elastiche in termini di invarianti:
Modulo di rigidezza volumetrica:
Modulo di rigidezza tangenziale:
Questa formulazione si traduce nel duplice vantaggio di:
• scrivere la relazione costitutiva in forma matriciale compatta:
• disaccoppiare l’analisi di fenomeni di:
- variazioni di volume (εv), causate da variazioni di tensione media p- variazioni di forma (εs), causate da variazioni di tensione deviatorica q
( )( )
( ) ( )2 21 2 1 2
3 1 21 2
2 1 2 123 3
3 3 3
v x y z x y z
s
pp
E E K
qE E I I q
E E G
s s s
−−= + + = = + + = =
+ += − = = − = =
( )3 1 2v
p EK
= =
−
( )3 2 1s
q EG
= =
+
( )per 0.5K → →
per 0.53
EG
→ →
10
10
3
v
s
pKq
G
=
Δ𝜎Δ𝑢 Δ𝜎′ = Δ𝜎 − Δ𝑢
Legami costitutivi
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Nella meccanica dei terreni (che materiali elastici non sono),l’uso del legame elastico è applicabile secondo due diverse procedure:
al solido continuo poroso(Scheletro solido)
nell’insieme dei due continui sovrapposti(Mezzo monofase equivalente)
Analisi ‘in tensioni efficaci’ (s’)
Parametri elastici con apici (E’, ν’, K’, G’)
Analisi ‘in tensioni totali’ (s)
Parametri elastici senza apici (E, ν, K, G)
Applicazione rigorosa del PTE Ignorando la ripartizione tra le fasi
Δ𝜎
Δ𝜎′
𝜀
Δ𝜎𝜀
Legami costitutivi
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Proprietà del mezzo plastico:
esiste una soglia di sollecitazione (tensione di snervamento, sy, o, più in generale, la funzione di plasticizzazione F, nello spazio delle tensioni) oltre la quale si manifestano deformazioni plastiche permanenti (p) (non recuperabili → non elastiche) indipendenti dalla durata del processo di carico (non viscose)
▪ oltre lo snervamento, l’incremento del vettore deformazione plastica (definito formalmente dalla legge di flusso e dalla legge di incrudimento) è funzione:• dello stato tensionale raggiunto (sempre)• dell’incremento di stato tensionale (se il mezzo è incrudente)
Materiale duttile: ‘strain hardening’ (incrudimento positivo)
Plasticità perfetta
▪ se il mezzo è perfettamente plastico (non incrudente):• snervamento e rottura coincidono (il mezzo continua a deformarsi con stato tensionale
costante)
Materiale fragile: ‘strain softening’ (incrudimento negativo)
𝜎
𝜀𝜀𝑒𝜀𝑝
𝜎𝑦
Modelli meccanici di riferimento
Legami costitutivi
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Blocco scorrevole
per attrito
Mezzo granulare
complesso
Mezzo granulare
elementare
(stati possibili)
(stati impossibili)curva limite
F→
N → s
Il criterio di resistenza di un terreno è definibile attraverso una superficie (o curva) limite:
luogo geometrico che separa stati tensionali possibili da quelli impossibili
Il criterio di resistenza è indipendente dal percorso tensionale che conduce il terreno a rottura
u
Legami costitutivi
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La superficie limite (luogo degli stati tensionali di rottura) è, in genere:- indipendente dalla giacitura dell’elemento- ben approssimabile con un andamento lineare
nel piano di Mohrcomponenti di tensione
tangenziale e normale s (s‘) (lungo il piano di rottura)
nel piano/spazio delle tensioni principali
massima s1 (s‘1) e minima s3 (s‘3)
nel piano degli invarianti di tensione
deviatorica q e media p (p’)
Si può esprimere mediante un legame analitico tra componenti di tensione totale o efficace:
Criterio di Mohr-Coulomb Criterio di Rankine Teoria dello Stato Critico
𝜏
𝜎 𝜎′u 𝜎3 𝜎3′
𝜎1 𝜎1′
u
P
P’P
P’
𝑞
𝑝 𝑝′
u
Legami costitutivi
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Esprimendo il comportamento a rottura in termini di : s ’,la curva limite generalmente osservabile nel piano di Mohr
è simmetrica rispetto all’asse s ’ (non è così per gli altri due criteri)e caratterizzabile dall’espressione:
Dal punto di vista fenomenologico, si può dire che:
c ’ = coesione = resistenza allo scorrimento in assenza di tensioni normali
c’c’
s’
tan = attrito = incremento della resistenza allo scorrimento con s ’( = angolo di resistenza al taglio)
tanc s = +
Legami costitutivi
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Terreno incoerente ( 0, c’= 0)
Terreno coesivo ( = 0, c’ 0)
Mezzo di Coulomb
(in T.E.)
Mezzo di Tresca
(in T.T.)
Terreno con attrito e coesione c ’
s ’
c ’
τ = c ’ + σ ’ tan
s ’
τ = σ ’ tan
s
c =cu
= c
Legami costitutivi
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Elastico (isotropo, lineare)
Basic
Rigido perfettamente plastico
q(p’)
s
(v)
q
p’
Stati tensionali
possibili
q
s
q
p’
Stati tensionalipossibili
Stati tensionaliimpossibili
superficiedi snervamento(e rottura)
qy
Elastico (isotropo, lineare) – plastico perfetto
SimpleStati tensionali
impossibiliq
s
q
p’
Stati tensionalipossibili
superficiedi snervamento(e rottura)
qy
Legami costitutivi
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Elastico (isotropo, lineare) – plastico incrudente (Cam Clay e modifiche, MCC)
• la superficie di plasticizzazione F non coincide con quella di rottura;
• la superficie di plasticizzazione ‘evolve’ (incrudisce) con lo sviluppo di deformazioni plastiche;
• in percorsi deviatorici fino al raggiungimento delle condizioni di stato critico ;
• sviluppo di deformazioni plastiche anche per percorsi di carico prevalentemente isotropi.
Advanced ( … 1970 !)