1) descrizione dello stato tensionale totale [σ q · Legami costitutivi 1 q 1) descrizione dello...

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Legami costitutivi 1 q 1) descrizione dello stato tensionale totale [σ] che equilibra i carichi esterni q con gli strumenti analitici della Meccanica del continuo sottosuolo eterogeneo e multifase assimilato a mezzo omogeneo monofase 2) ripartizione delle tensioni totali tra scheletro solido (tensioni efficaci [σ’]) e acqua (pressioni interstiziali u) necessità di considerare le condizioni idrauliche al contorno e gli effetti prodotti dal moto dell’acqua nello scheletro solido q s 3) determinazione sperimentale del legame costitutivo del terreno in relazione alla combinazione di componenti normali e tangenziali schemi sperimentali e modello costitutivo q

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Legami costitutivi

1

q

1) descrizione dello stato tensionale totale [σ]che equilibra i carichi esterni q con gli strumenti analiticidella Meccanica del continuo

⇓sottosuolo eterogeneo e multifase assimilato a

mezzo omogeneo monofase

2) ripartizione delle tensioni totalitra scheletro solido (tensioni efficaci [σ’])e acqua (pressioni interstiziali u)

necessità di considerare lecondizioni idrauliche al contorno

e gli effetti prodotti dal moto dell’acquanello scheletro solido

q

s

3) determinazione sperimentale del legamecostitutivo del terrenoin relazione alla combinazione di componentinormali e tangenziali

⇓schemi sperimentali e modello costitutivo

q

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Legami costitutivi

3

Sforzi Meccanismi deformativi Legame costitutivo

Proprietà meccaniche

Stati

limite

Normali

Schiacciamento grani *

Scorrimenti **

Variazioni di densità ***

Non lineare

a rigidezza

crescente

Compressibilità Esercizio

N → s

w →

Coppia di particelle deformabili

Sistema di particelle rigide

Relazione sforzi-deformazioni

scarico: non

reversibile!

carico: non lineare!

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Legami costitutivi

5

Sforzi Meccanismi deformativi Legame costitutivo

Proprietà meccaniche

Stati

limite

Tangenziali

Rottura grani/contatti

Rotolamenti

Variazioni di densità

Scorrimenti

*

**

***

****

Non lineare

a rigidezza

decrescente

Deformabilità

Resistenza

Esercizio

Ultimo

Coppia di particelle deformabili

Sistema di particelle rigide

Relazione sforzi-deformazioni

scarico: non

reversibile!

carico: non lineare!

T →

u →

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Legami costitutivi

6

Gli invarianti di tensione media (o sferica) p e deviatorica q (e di deformazionevolumetrica v e distorsionale s) sono le variabili più adeguate per descriveregraficamente il comportamento di un elemento di terreno per effetto dei diversiprocessi e combinazioni di sollecitazione a cui viene sottoposto

Per gli invarianti in tensioni efficaci p’ e q’, analogamente alle componenti s e , vale:

q

p

stato iniziale

percorso tensionale(stress-path)

q

p, p’

u pp’

Il percorso delle tensioni efficaci (Effective Stress Path, ESP) è quindi traslato in orizzontale di u (in genere variabile) rispetto a quello delle tensioni totali (Total Stress Path, TSP)

TSPESP

1 2 3 1 2 3 3

3 3

up p u

s s s s s s + + + + − = = = −

( ) ( )2 21 1

2 2i j i jij ij

q qs s s s = − = − =

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1

Legami costitutivi

7

percorso s1 s2 s3 p q Schema

Compressione isotropa

s s 0

Taglio semplice

0 - 0 √3

Compressione cilindrica per carico

s 0 0 s/3 s

Estensione cilindrica per scarico

-s 0 0 s/3 s

q

p

p

p

p

3

-1

3

q

q

q

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Equazioni n. Incognite n.

a) equilibrio scheletro solido 3 a) tensioni totali sij 6

b) congruenza scheletro solido 3 b) tensioni efficaci s’ij 6

c) legame costitutivo scheletro solido 6 c) deformazioni scheletro solido εij 6

d) legge di moto fluido 3 d) pressione interstiziale u 1

e) equazione di stato fluido 1 e) densità fluido ρf 1

f) equazione di continuità fluido 1 f) componenti moto fluido vij 3

g) accoppiamento fasi ( ) 6

Totale 23 Totale 23

Legamicostitutivi

8

Nel trattare il mezzo multifase, occorrerebbe a rigore tener contodi caratteri individuali ed accoppiamento di scheletro solido e fluidi.

Bilancio di equazioni e incognite (mezzo bifase):

+ condizioni al contorno (frontiera del dominio di analisi)

+ condizioni iniziali (t = 0) e/o finali (t = )

(entrambe espresse in termini di tensioni/pressioni/deformazioni/moto fluido)↓

Approccio rigoroso ⇒ soluzione sistema di eq. differenziale troppo complesso!

u Is s = −

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Equazioni n. Incognite n.

a) equilibrio scheletro solido 3 a) tensioni totali sij 6

b) congruenza scheletro solido 3 b) tensioni efficaci s’ij 6

c) legame costitutivo scheletro solido 6 c) deformazioni scheletro solido εij 6

d) legge di moto fluido 3 d) pressione interstiziale u 1

e) equazione di stato fluido 1 e) densità fluido ρf 1

f) equazione di continuità fluido 1 f) componenti moto fluido vij 3

g) accoppiamento fasi ( ) 6

Totale 23 Totale 23

Legami costitutivi

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Sfrutta livelli di semplificazione differenziati, in relazione agli aspetti da trattare caso per caso

Ipotesi generalmente introdotte:

⇒ eliminazione equazioni/incognite e)• Acqua incomprimibile

• Scheletro solido con legge costitutiva semplificata (p.es. elastico lineare, rigido-plastico)

• Disaccoppiamento della soluzione del problema idraulico da quello meccanico(p.es.: si determinano le [s ], si risolvono le d)-f), si applicano le g), si ricavano le )

• Aria infinitamente comprimibile

u Is s = −

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Legami costitutivi

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Azioni di compressioneRealtà

(osservazione sperimentale)Idealizzazione

(modello costitutivo)

Azioni di taglio

p’

v

q()

s ()

Realtà(osservazione sperimentale)

Idealizzazione(modello costitutivo)

p’

v

q()

s ()

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Legami costitutivi

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AnalisiStati Limite di Esercizio (SLE)

AnalisiStati Limite Ultimi

(SLU)

Mezzo elastico lineare Mezzo rigido - plastico

q()

s ()

q()

s ()

• Soluzione dipendente solo dagli incrementi sij

• Reversibilità del legame tensio-deformativo

• Applicabilità principio sovrapposizione effetti

• Soluzione dipendente dallo stato iniziale

• Deformazioni non reversibili

• Principio sovrapposizione effetti non valido

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Legami costitutivi

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Elasticità = relazione biunivoca [σ]:[ε]

Parametro Caso generale

Modulo di Young

Elasticità lineare

Ipotesi di isotropia Ei e νij non dipendono dal sistema di assi (x, y, z)

Ei = E ∀ iνij = ν ∀ i,j

si

i

i

j

Coefficiente di Poissonj

Solido continuo elastico ideale = lineare, omogeneo, isotropo

Ipotesi di omogeneità Ei e νij non dipendono da P(x, y, z)

ii

i

dE

d

s

= i i

i

i i

Es s

= =

j

ij

i

d

d

= −

j j

ij

i i

= − = −

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Legami costitutivi

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Il legame costitutivo (Hooke)è espresso dalle relazioni :

esprimibili nella forma matriciale:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1

1

1

2 1

2 1

2 1

x x y z

y y x z

z z x y

xy xy

yz yz

zx zx

E

E

E

E

E

E

s s s

s s s

s s s

= − +

= − + = − + + = + = + =

( )

( )

( )

1

1

1

2 1

2 1

2 1

x x

y y

z z

xy xy

yz yz

zx zx

E E E

E E E

E E E

E

E

E

s

s

s

− −

− −

− −

= + +

+

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Legami costitutivi

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avendo posto:

È conveniente scrivere le relazioni elastiche in termini di invarianti:

Modulo di rigidezza volumetrica:

Modulo di rigidezza tangenziale:

Questa formulazione si traduce nel duplice vantaggio di:

• scrivere la relazione costitutiva in forma matriciale compatta:

• disaccoppiare l’analisi di fenomeni di:

- variazioni di volume (εv), causate da variazioni di tensione media p- variazioni di forma (εs), causate da variazioni di tensione deviatorica q

( )( )

( ) ( )2 21 2 1 2

3 1 21 2

2 1 2 123 3

3 3 3

v x y z x y z

s

pp

E E K

qE E I I q

E E G

s s s

−−= + + = = + + = =

+ += − = = − = =

( )3 1 2v

p EK

= =

( )3 2 1s

q EG

= =

+

( )per 0.5K → →

per 0.53

EG

→ →

10

10

3

v

s

pKq

G

=

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Δ𝜎Δ𝑢 Δ𝜎′ = Δ𝜎 − Δ𝑢

Legami costitutivi

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Nella meccanica dei terreni (che materiali elastici non sono),l’uso del legame elastico è applicabile secondo due diverse procedure:

al solido continuo poroso(Scheletro solido)

nell’insieme dei due continui sovrapposti(Mezzo monofase equivalente)

Analisi ‘in tensioni efficaci’ (s’)

Parametri elastici con apici (E’, ν’, K’, G’)

Analisi ‘in tensioni totali’ (s)

Parametri elastici senza apici (E, ν, K, G)

Applicazione rigorosa del PTE Ignorando la ripartizione tra le fasi

Δ𝜎

Δ𝜎′

𝜀

Δ𝜎𝜀

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Legami costitutivi

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Proprietà del mezzo plastico:

esiste una soglia di sollecitazione (tensione di snervamento, sy, o, più in generale, la funzione di plasticizzazione F, nello spazio delle tensioni) oltre la quale si manifestano deformazioni plastiche permanenti (p) (non recuperabili → non elastiche) indipendenti dalla durata del processo di carico (non viscose)

▪ oltre lo snervamento, l’incremento del vettore deformazione plastica (definito formalmente dalla legge di flusso e dalla legge di incrudimento) è funzione:• dello stato tensionale raggiunto (sempre)• dell’incremento di stato tensionale (se il mezzo è incrudente)

Materiale duttile: ‘strain hardening’ (incrudimento positivo)

Plasticità perfetta

▪ se il mezzo è perfettamente plastico (non incrudente):• snervamento e rottura coincidono (il mezzo continua a deformarsi con stato tensionale

costante)

Materiale fragile: ‘strain softening’ (incrudimento negativo)

𝜎

𝜀𝜀𝑒𝜀𝑝

𝜎𝑦

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Modelli meccanici di riferimento

Legami costitutivi

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Blocco scorrevole

per attrito

Mezzo granulare

complesso

Mezzo granulare

elementare

(stati possibili)

(stati impossibili)curva limite

F→

N → s

Il criterio di resistenza di un terreno è definibile attraverso una superficie (o curva) limite:

luogo geometrico che separa stati tensionali possibili da quelli impossibili

Il criterio di resistenza è indipendente dal percorso tensionale che conduce il terreno a rottura

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u

Legami costitutivi

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La superficie limite (luogo degli stati tensionali di rottura) è, in genere:- indipendente dalla giacitura dell’elemento- ben approssimabile con un andamento lineare

nel piano di Mohrcomponenti di tensione

tangenziale e normale s (s‘) (lungo il piano di rottura)

nel piano/spazio delle tensioni principali

massima s1 (s‘1) e minima s3 (s‘3)

nel piano degli invarianti di tensione

deviatorica q e media p (p’)

Si può esprimere mediante un legame analitico tra componenti di tensione totale o efficace:

Criterio di Mohr-Coulomb Criterio di Rankine Teoria dello Stato Critico

𝜏

𝜎 𝜎′u 𝜎3 𝜎3′

𝜎1 𝜎1′

u

P

P’P

P’

𝑞

𝑝 𝑝′

u

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Legami costitutivi

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Esprimendo il comportamento a rottura in termini di : s ’,la curva limite generalmente osservabile nel piano di Mohr

è simmetrica rispetto all’asse s ’ (non è così per gli altri due criteri)e caratterizzabile dall’espressione:

Dal punto di vista fenomenologico, si può dire che:

c ’ = coesione = resistenza allo scorrimento in assenza di tensioni normali

c’c’

s’

tan = attrito = incremento della resistenza allo scorrimento con s ’( = angolo di resistenza al taglio)

tanc s = +

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Legami costitutivi

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Terreno incoerente ( 0, c’= 0)

Terreno coesivo ( = 0, c’ 0)

Mezzo di Coulomb

(in T.E.)

Mezzo di Tresca

(in T.T.)

Terreno con attrito e coesione c ’

s ’

c ’

τ = c ’ + σ ’ tan

s ’

τ = σ ’ tan

s

c =cu

= c

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Legami costitutivi

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Elastico (isotropo, lineare)

Basic

Rigido perfettamente plastico

q(p’)

s

(v)

q

p’

Stati tensionali

possibili

q

s

q

p’

Stati tensionalipossibili

Stati tensionaliimpossibili

superficiedi snervamento(e rottura)

qy

Elastico (isotropo, lineare) – plastico perfetto

SimpleStati tensionali

impossibiliq

s

q

p’

Stati tensionalipossibili

superficiedi snervamento(e rottura)

qy

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Legami costitutivi

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Elastico (isotropo, lineare) – plastico incrudente (Cam Clay e modifiche, MCC)

• la superficie di plasticizzazione F non coincide con quella di rottura;

• la superficie di plasticizzazione ‘evolve’ (incrudisce) con lo sviluppo di deformazioni plastiche;

• in percorsi deviatorici fino al raggiungimento delle condizioni di stato critico ;

• sviluppo di deformazioni plastiche anche per percorsi di carico prevalentemente isotropi.

Advanced ( … 1970 !)