1

Autocorrelación

2

Gauss-Markov y OLS

Condiciones de Gauss-Markov en modelo lineal

yi = xi‘β + εi, (1)

(A1) E{εi}=0

(A2) {εi ,… εN} es independente de {x1,… xN}

(A3) Todos los errores tienen la misma varianza (homoscedasticidad): V{εi} = σ2.

(A4) Los errores no estan mutuamente correlacionados (no autocorrelación): cov{εi,,εj} = 0, i ≠ j.

3

Propiedades de los Estimadores

Bajo (A1) y (A2):

1. Estimadores OLS insesgados

2. E{b} = β.

Bajo (A1), (A2), (A3) y (A4):

2. La variancia de los estimadores OLS es

V{b} = σ2( Σi xi xi’ )-1

3. s2 es insesgada para σ2.

4. Estimadores OLS son BLUE-MELI: Best Linear Unbiased Estimator para β.

4

Condiciones Gauss-Markov

Vector N-dimensional de errores: ε,

Matriz de variables explicativas: X

E{ ε | X} = 0 (3)

y

V{ε | X} = σ2I, (4)

Donde I es una matriz identidad NxN

La distribucion de los termnos de error, dado X, tiene media cero y variazas y covarianzas constantes.

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Violación 1: heteroscedasticidad

Diferentes terminos de errror tienen distintas varianzas. Por qué?

Varianzas evolucionan en el tiempo Varianzas dependen de una o mas variables

explicativas (ej. Tamaño de firma, ingreso)

Ejemplo : Gasto de hogares en alimentos en funcion de ingreso o gasto total. Para ingresos altos esperamos altos ahorros, pero también mas variabilidad.

(c) John Wiley and Sons, 2012 6

Violacion 1: heteroscedasticidad

(c) John Wiley and Sons, 2012 7

Violación 2: autocorrelación

Autocorrelación (correlation serial) ocurre si diferentes terminos de error terms estan correlacionados. Ocurre en series de tiempo

Cuando puede ocurrir? No observables (imperfecciones en el modelo) de

un periodo se pasan parcialmente al siguiente El Modelo no capta patrones estacionales El Modelo se basa en muestras solapadas (ej.

Retornos trimestrales observados mensualmente) Modelo mal especificado: variable omitida,

dinamica incorrecta, etc.)

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ConsecuenciasAmbos casos son similares

Si (3) se cumple, OLS es insesgado

Sin embargo, si (4) no se cumple:• OLS no es mas BLUE• Los standard errors son incorrectos.

Tres formas generales para encarar el problema:• Usar un estimador alternativo (mas eficiente que OLS);• Usar standard errors alternativos; o• Reconsiderar el modelo.

La primera opción es cada vez menos popular

La tercera es la mas empleada en caso de autocorrelación.

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AutocorrelacionAutocorrelacion ocurre con series de tiempo donde los

datos tienen un ordenamiento secuencial

• Indexamos las observaciones en estos casos como

t = 1,…,T, mas que i = 1,..,N.

El error recoje la influencia de todas las variables no incluidas en el modelo

Si hay alguna persistencia de esos factores, la autocorrelación (positiva) puede aparecer

• Autocorrelacion puede ser un indicador de mala especificación (variable omitida, forma funcional, dinamica).

• De esta forma, los test de autocorrelacion son tambien interpretados como tests de especificiación

Autocorrelacion

• Las consecuencias de la autocorrelación son idénticas a las de la heteroscedasticidad. Los estimadores por MCO son insesgados pero ineficientes. Estimadores eficientes pueden ser obtenidos incorporando la estructura específica de la autocorrelación del error en el proceso de estimación.

(c) John Wiley and Sons, 2012 10

Autocorrelacion

• Las expresiones convencionales para las variancias de los estimadores por MCO serán sesgadas y por lo tanto, toda hipótesis de prueba será inválida. En particular la presencia de autocorrelación serial sesga negativamente las varianzas de los estimadores, generando estadísticos t artificialmente altos.

(c) John Wiley and Sons, 2012 11

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Autocorrelacion PositivaDemanda de helado explicada por ingreso y precios

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Autocorrelation de primer orden

Existen muchas formas de autocorrelacion. La mas popular es la de primer orden

Consideremos

Donde el termino de error depende de su predecesor en forma lineal

donde vt es un error con media cero y varianza constante. Entonces las condiciones de Gauss-Markov se cumplen si ρ = 0.

(c) John Wiley and Sons, 2012 14

Propiedades de εt

Para determinar las propiedades de εt, suponemos | ρ | < 1 (estacionariedad).

Entonces:

(note que esto requiere -1 < ρ < 1.)

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Propiedades de εt

Ademas

y

En general

(s > 0).

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Autocorrelación de primer orden

Esta forma de autocorrelacion implica que todos los terminos de errror estan correlacionados. Sus covarianzas decrecen si la distancia en el tiempo es mayor.

Para transformar el modelo en uno que satisfaga las condiciones de Gauss-Markov usamos

Si conocemos ρ, esto produce el estimador GLS.

Nota: la primera observacion se pierde con esta transformacion.

En general ρ es desconocido

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Estimacion de ρ

1. Estimar el modelo original por OLS. Esto nos da los residuos de OLS.

Paritmos del supuesto

Es natural estimar ρ regresando el residuo de OLS et contra su lag et-1. Esto nos da

Si bien este estimador es sesgado, es consistente para ρ.

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Test para auto-correlacion de primer orden - Durbin-Watson test

Es el test mas usual y se presenta como rutina en estimaciones

Requerimientos: (a) intercepto en el modelo, (b) supuesto (A2), no debe haber variables dependientes rezagadas

El estadistico esta definido como

Que es aproximadamente:

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Test para auto-correlacion de primer orden - Durbin-Watson test• La distribution es “particular”.

• Depende de las xt.

En general, valores de dw cercanos a 2 estan bien. Mientras que valores de dw cercanos a 0 implican autocorrelacion positiva

El valor crítico exacto es desconocido, pero se pueden conocer limites superiores e inferiores de la distribucion.

Entonces para auto positiva:

• dw < limite inferior: rechazo

• dw > limite superior: no rechazo

• dw en el medio : duda.

La región de duda se hace mas pequeña cuando crece T

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Limites de valores criticos del Durbin-Watson test

El Test LM de correlación Serial (Breusch-Godfrey)

• Esta prueba es una alternativa para probar la correlación serial. La prueba pertenece a la clase de pruebas conocidas como multiplicadores de Lagrange (LM).

• A diferencia del Durbin-Watson para la AR (1), la prueba LM puede ser utilizada para mayores ordenes de autocorrelación y es aplicable si hay variables dependientes rezagadas como explicativas. Por lo tanto, se recomienda su uso en lugar de la estadística DW en estos casos.

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El Test LM de correlación Serial (Breusch-Godfrey)

• La hipótesis nula de la prueba LM es que no hay correlación serial del orden pre-especificado.

• El Obs * R-cuadrado es el estadístico LM Breusch-Godfrey. La prueba LM se distribuye asintóticamente como una Chi2.

• La hipótesis nula de la prueba es que no hay correlación serial en los residuos hasta el orden especificado.

• EViews reporta una estadística con la etiqueta "estadístico F" y un "Obs * R al cuadrado" (-el número de observaciones por el R-cuadrado).

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(c) John Wiley and Sons, 2012 23

Ejemplo: demanda de helado

Articulo clásico de Hildreth y Lu (1960), 30 (!) observaciones de cuatro semanas entre 1951-1953.

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Ejemplo: demanda de helado

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OLS resultados

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Valores observados y estimados

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Los enfoques para el cálculo en presencia de autocorrelación involucran el cálculo explícito de la estructura en el término de error, como en la ecuación presentada, lo que implica una estimación del parámetro , y su incorporación al modelo.

Considere el modelo simple:

ttt XY

Dónde

ttt u 1

METODOS DE CORRECCION – FGLS-EGLS

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Rezagando la ecuación del modelo un período, multiplicando por rho y restándo esta nueva ecuación de la original tenemos:

111 )()1( tttttt XXYY

Note que

ttt u 1

A partir del modelo original pueden recuperarse los errores y obtener una estimación de rho. Esta estimación se utiliza para redefinir las variables:

1 ttt YYW 7.14

y

1 ttt XXV

Luego tW puede ser corrido contra tV , donde el coeficiente de tV será una estimación del

, y tamibién es posibe recuperar a partir de la constante dividida 1 .

• El procedimiento conocido como “Cochrane – Orcutt” (FGLS) realiza esto de manera iterativa para ajustar el valor del rho a partir de sucesivas regresiones del término de error y recalculando la regresión en variables transformadas por cada nuevo valor obtenido del rho. Este proceso iterativo continúa hasta que las diferencias en el estimado son minimas. La mayoría de los paquetes econométricos para computadora contienen una rutina para los estimadores Cochrane – Orcutt.

• En EViews la rutina se invoca incorporando el término AR(1) al final de la ecuación a estimar.

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30

Estimacion de ρ

OLS de residuos contra lags

R2 = 0.149

test:

Se rechaza la H 0 de ausencia de autocorrelacion. FGLS (EGLS) o cambio de especificación de modelo?

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FGLS/EGLS

Nota: estadisticos con * refieren al modelo transformado

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Modelo alternativo: temperatura con rezago

.

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Patrones Alternativos de autocorrelacion

Consideremos

con autocorrelacion positiva de primer orden

Esto implica que los todos los errores estan correlacionados, con autocorrelaciones descendentes en la medida en que estan mas separados en el tiempo.

Dos alternativas:

1. Patrones de mayor orden

2. Patrones tipo Media Movil

(c) John Wiley and Sons, 2012 34

Higher order autocorrelation

Con datos trimestrales o mensuales (macro) , ordenes mayores de autocorrelacion son posibles. Por ejemplo, con datos trimestrales:

o

Conocido como autocorrelacion de 4o orden.

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Autocorrelacion por Media Movil en los errores

Ocurre si la correlacion entre diferentes errores se limita a un rezago temporal limitado.

El caso mas simple (1er orden):

εt se correlaciona con εt-1 , pero no con εt-2 o εt-3, etc.

Los errores por media movil surgen por construccion cuando hay muestras superpuestas.

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Que hacer cuando encontramos autocorrelacion?

En orden de preferencia:

1. Reconsiderar el modelo:

1a: cambiar la forma funcional (ej use log(x) en lugar de x),

1b: extender el modelo incluyendo variables explicativas adicionales (estacionales) o rezagos;

2. Computar errores standard consistentes con heteroscedasticidad y autocorrelacion (HAC standard errors) para el estimador OLS;

3. Reconsiderar opciones 1 y 2;

4. Use EGLS/FGLS .

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Forma funcional incorrecta

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Dinamica incompletaSupongamos

yt = xt’β + εt

Que describe E{yt | xt } = xt’β, aun cuando εt = ρεt-1 + vt

Sin embargo, tambien describe

E{yt | xt, xt-1, yt-1} = xt’β + ρ (yt-1 – xt-1’β).

Entonces, tambien podemos escribir

yt = xt’β + ρ yt-1 – ρxt-1’β + vt,

Donde el termino de error no presenta correlacion serial. En muchos casos incluir valores rezagados de x e y elimina la correlacion serial.

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HAC standard errors

Similar a los White standard errors para heteroscedasticitdad, es posible corregir los OLS standard errors por hetero y autocorrelation.

Esto se conoce como correccion de Newey-West.

Es apropiado si la autocorrelacion esta restringida a un maximo numero de lags (errores MA)

El numero de lags puede ser elegido por el investigador, aunque muchos programas (e.g. Eviews/Stata) tienen elecciones por defecto que dependen del tamaño de la muestra.