ΕΡΓΑΣΙΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α

Α1.Αν δυο διανύσματα του επιπέδου με και που έχουν συντελεστές διεύθυνσης

λ1, λ2 αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: . (Μον.8) Α2. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων του επιπέδου; (Μον. 7) Α3.Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις:

α) Αν Α(x1, y1) και Β(x2, y2) δύο σημεία του επιπέδου τότε ΑΒ=

β) Αν //x΄x τότε = 0.

γ)

δ)

0ο

ε) Αν // τότε τα σημεία Α,Β και Γ θα σχηματίζουν τρίγωνο. (Μον. 10) ΘΕΜΑ Β Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με κορυφές τα σημεία Β(4,5), Γ(2,-1), Δ(-1,-3). Β1. Να βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής Α. (Μον. 5)

Β2. Αν Α(1,3) να αποδείξετε ότι τα διανύσματα 2 και

(

είναι κάθετα (Μον. 5) Β3.Να βρείτε το συμμετρικό σημείο του Δ ως προς το Γ. (Μον. 5) Β4.Να αποδείξετε ότι τα σημεία Ε(9,13), Β και Δ είναι συνευθειακά. (Μον. 5)

Β5. Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα είναι σταθερό, όπου Μ ένα οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου. (Μον. 5) ΘΕΜΑ Γ Δίνονται τα σημεία Α(0,-1), Β(1,-1), Γ(-1,2) και τα διανύσματα θέσεως τους ως προς την αρχή των αξόνων

Ο: = = (0,-1), και (-1,2).

Γ1.Αν ( ν ρείτε τη γωνί που σχημ τίζε το δ άνυσμ με τον άξον

x’x. (Μον. 5)

Γ2.Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα , και είναι μη συγγραμμικά ανά δύο και να γράψετε το

διάνυσμα ως γραμμικό συνδυασμό των και . (Μον. 5) Γ3. Αν Κ, Λ, Μ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι α) ΚΛ2> ΜΚ2 + ΜΛ2

β) το τρίγωνο A

είναι ορθογώνιο. (Μον. 6) Γ4. Να βρείτε σημείο Ρ του επιπέδου ώστε το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεών του από τα σημεία Α, Β και Γ να είναι ελάχιστο. (Μον. 5)

Γ5. Αν για το διάνυσμα ισχύει: 2 + 2< ( 2 + 2 ) ∙ να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει

το . (Μον. 4)

ΘΕΜΑ Δ

Δ1.Δίνεται η εξίσωση x2 + ( x + 2 2 = 0, η οποία δεν μπορεί να έχει 2 άνισες ρίζες. Να

αποδείξετε ότι και (Μον. 5)

Δ2.Να βρείτε το μη μοναδιαίο διάνυσμα για το οποίο ισχύουν:

και

( ) = 45oκαι

έχει θετική τεταγμένη. (Μον. 6)

Δ3.Αν και να αποδείξετε ότι , όπου τα διανύσματα των

ερωτημάτων Δ1 και Δ2. (Μον. 5)

Δ4.Να αποδείξετε ότι όπου

, τα διανύσματα των προηγούμενων ερωτημάτων Δ1, Δ2 και Δ3. (Μον. 5)

Δ5. Αν επιπλέον ισχύειότι det ( , ) ≠ 0 και δίνονται τα διανύσματα , , για τα οποία ισχύει η σχέση:

( )∙ + ( )∙ = . Να αποδείξετε ότι ∕∕ , όπου , τα διανύσματα των ερωτημάτων Δ1 καΔ2. (Μον. 4)