1.mfcosmos.com/wp-content/uploads/2013/05/krouseis2...1. Δύο μεταλλικές σφαίρες...

22
1. Δύο μεταλλικές σφαίρες με μάζες m 1 = 1kg και m 2 = 2kg αντίστοιχα, πλησιά- ζουν η μια την άλλη με αντίθετες ταχύτητες μέτρου υ 0 = 3 m/s. Η κρούση είναι μετωπική και ελαστική. α. Να βρεθούν οι τελικές ταχύτητες των σφαιρών. β. Να βρείτε το μέτρο της δύναμης που ασκεί η μία σφαίρα στην άλλη, αν η διάρκεια της κρούσης είναι 0,1s. γ. Το ποσοστό επί τοις % της ενέργειας της σφαίρας m 2 που μεταβιβάζεται κατά την κρούση στην σφαίρα m 1 . Λύση: α. Από τη θεωρία χρησιμοποιούμε τις σχέσεις: 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2m m -m υ= υ+ υ m +m m +m (1) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2m m -m υ = υ+ υ m +m m +m (2) Με αντικατάσταση παίρνουμε: ( ) [ ] 1 22 1-2 m m m υ= -3 + 3 = -4 + (-1) = -5 1+2 1+2 s s s [ ] 2 21 2-1 m m m υ = 3+ (-3) = 2 + (-1) =1 1+2 1+2 s s s β. Στη διάρκεια της κρούσης οι δυνάμεις 1 2 F, F G G είναι αντίθετες (Δράση - αντίδρα- ση). Από 2ο νόμο του Νεύτωνα έχουμε: Δp F= Δt G G Το μέτρο της 1 F G είναι: 1 1 1 1 1 1 2 Δp mυ-mυ -5-3 F = = N = 80N F Δt Δt 0,1 = = m1 m1 ðñéí ìåôÜ m2 m2 õ0 õ´1 õ´2 õ0

Transcript of 1.mfcosmos.com/wp-content/uploads/2013/05/krouseis2...1. Δύο μεταλλικές σφαίρες...

Page 1: 1.mfcosmos.com/wp-content/uploads/2013/05/krouseis2...1. Δύο μεταλλικές σφαίρες με μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα, πλησιά- ζουν

1. Δύο μεταλλικές σφαίρες με μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα, πλησιά-ζουν η μια την άλλη με αντίθετες ταχύτητες μέτρου υ0= 3 m/s. Η κρούσηείναι μετωπική και ελαστική.

α. Να βρεθούν οι τελικές ταχύτητες των σφαιρών.β. Να βρείτε το μέτρο της δύναμης που ασκεί η μία σφαίρα στην άλλη, αν

η διάρκεια της κρούσης είναι 0,1s.γ. Το ποσοστό επί τοις % της ενέργειας της σφαίρας m2 που μεταβιβάζεται

κατά την κρούση στην σφαίρα m1.Λύση:α. Από τη θεωρία χρησιμοποιούμε τις σχέσεις:

2 1 21 2 1

1 2 1 2

2m m - mυ = υ + υm + m m + m

′ (1)

1 2 12 1 2

1 2 1 2

2m m - mυ = υ + υm + m m + m

′ (2)

Με αντικατάσταση παίρνουμε:

( ) [ ]1

2 2 1- 2 m m mυ = -3 + 3 = -4 + (-1) = -51+ 2 1+ 2 s s s

⋅ ′

[ ]22 1 2-1 m m mυ = 3+ (-3) = 2 + (-1) =1

1+ 2 1+ 2 s s s

⋅ ′

β. Στη διάρκεια της κρούσης οι δυνάμεις 1 2F , F είναι αντίθετες (Δράση - αντίδρα-

ση). Από 2ο νόμο του Νεύτωνα έχουμε: Δp

F =Δt

Το μέτρο της 1F είναι: 1 1 1 1 11 2

Δp m υ - m υ -5 -3F = = N = 80N F

Δt Δt 0,1′

= =

m1

m1

ðñéí

ìåôÜ

m2

m2

õ0

õ´1 õ´2

õ0

DELTA
Typewritten Text
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
DELTA
Typewritten Text
DELTA
Typewritten Text
DELTA
Typewritten Text
Page 2: 1.mfcosmos.com/wp-content/uploads/2013/05/krouseis2...1. Δύο μεταλλικές σφαίρες με μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα, πλησιά- ζουν

ö

öh

s NT

w1w1,y

w1,x

m2 k

(1)

(2)

γ. Το ζητούμενο ποσοστό βρίσκεται:2

μεταβ

αρχ(m )

E100%

2 2

2 2 22 0 2 20 2 2

2 22 0 0

2 0

1 1m υ m υ υ υ υ 8002 2 100% = 100% = 1- 100% = %

1 9υ υm υ2

′− ′ ′−

2. Από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου, ύψους h= 1,6m και γωνίας κλίσηςφ=30ο, αφήνεται να ολισθήσει σώμα μάζας m1=1 kg. Στη βάση του κεκλι-μένου επιπέδου το σώμα συναντά λείο οριζόντιο επίπεδο στο οποίο κινεί-ται μέχρις ότου συγκρουστεί πλαστικά με σώμα μάζας m2=4 kg. Το συσ-σωμάτωμα κινούμενο συναντά και συσπειρώνει ιδανικό οριζόντιο ελατή-ριο, το οποίο έχει μόνιμα στερεωμένο το ένα του άκρο. Αν ο συντελεστής

τριβής ολίσθησης επί του κεκλιμένου επιπέδου είναι 3/4µ = , να υπολο-γιστούν:α. η μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου,β. το ποσοστό επί τοις εκατό της ελάττωσης της αρχικής ενέργειας του

σώματος m1 κατά την ολίσθησή του επί του κεκλιμένου επιπέδου,γ. το ποσοστό επί τοις εκατό της αρχικής ενέργειας του σώματος m1 που

έγινε θερμότητα κατά την κρούση.Δίνονται: g = 10 m/s2, k = 1000 N/m.Δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας κατά τη στιγμή που το σώμα m1 συναντάτο οριζόντιο επίπεδο. Γενικές εξετάσεις 1989

Λύση:α. Βρίσκουμε την ταχύτητα

υ1 του σώματος m1 τηστιγμή της κρούσης, ε-φαρμόζοντας ΘΜΚE γιατο m1 από (1) σε (2)

(τελ) (αρχ) βαρ T

21 1 1

Κ - Κ = W + W

1m υ -0 = m gh -Ts

2

Η τριβή έχει μέτρο: 1T = μ N = μ w συνφ = 15/4 Ν

Page 3: 1.mfcosmos.com/wp-content/uploads/2013/05/krouseis2...1. Δύο μεταλλικές σφαίρες με μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα, πλησιά- ζουν

Η απόσταση s που διανύει το σώμα m1 είναι:

hs = = 3,2m

ημφΆρα παίρνουμε:

21 1

1 151υ =1 10 1,6 - 3,2 υ = 2 2 m/s

2 4⋅ ⋅ ⋅ ⇒

Eφαρμόζουμε Α.Δ.Ο. για την πλαστική κρού-ση.

( )1 1 1 2 Κm υ + 0 = m + m υ+→

K2 2υ = m/s

5⇒

Eφαρμόζουμε ΑΔET για για κίνηση του συσσωματώματος μέχρι την μέγιστησυσπείρωση του ελατηρίου (θέση 3).

( ) 2 2(2) ταλ(3) 1 2 K max

2 -2max max

1 1K = U m + m υ = kx

2 21 8 1

5 = 1000x x = 4 10 m2 25 2

⇒ ⇒

⇒ ⋅

β. Το ζητούμενο ποσοστό βρίσκεται από τη σχέση:

1

T

αρχ(m )

W100%

U⇒

1

Ts100%

m gh⇒

153,2

4 100% = 75%1 10 1,6⋅ ⋅

γ. Το ζητούμενο ποσοστό βρίσκεται από τη σχέση:

1

απωλ(κρουση)

αρχ(m )

E100%

E⇒

( )2 21 1 1 2 Κ

1

1 1m υ - m + m υ

2 2 100%m g h

1 1 8

1 8- 5 4-0,82 2 25 100% = 100% = 20%1 10 1,6 16

⋅ ⋅

k

k

k

õ1

õÊ

m2

mïë

xmax

(2)

(2)

(3)

Page 4: 1.mfcosmos.com/wp-content/uploads/2013/05/krouseis2...1. Δύο μεταλλικές σφαίρες με μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα, πλησιά- ζουν

V

2(M+m )g

T

l

õ2

2

2m

m

M

M+

l

V

l

3. Σώμα μάζας m=3kg είναι α-κίνητο σε λείο οριζόντιο δά-πεδο, όπως φαίνεται στο σχή-μα. Λόγω εσωτερικής αιτίαςτο σώμα διασπάται σε δύοκομμάτια με μάζες m1=2m2.Μετά τη διάσπαση κινούνταιαντίθετα και το m1 συγκρούεται πλαστικά με το σώμα m΄. Το συσσωμάτωμαμετά την κρούση αρχίζει να κάνει γ.α.τ. με εξίσωση: x=Α·ημ(10t) S.I.To m2 συγκρούεται πλαστικά με το ακίνητο σώμα Μ=3kg, το οποίο κρέ-μεται από το νήμα μήκους l=3m.Aμέσως μετά την κρούση η τάση τουνήματος είναι Τ=220/3 Ν. Δίνονται Κ=400 Ν/m και g=10 m/s2.Να βρεθούν:α. Οι ταχύτητες των κομματιών μετά τη διάσπαση.β. Η μέγιστη γωνία εκτροπής του νήματος.γ. Η τάση του νήματος αν το m2 διαπερνούσε το Μ και έβγαινε με ταχύτη-

τα υ΄=8m/s;δ. Η απώλεια ενέργειας της κρούσης μεταξύ m2 και Μ σε κάθε περίπτωση;ε. Η μάζα m΄ και το πλάτος ταλάντωσης του συσσωματώματος m1 +m΄;

Λύση:α. Είναι: m1+m2=m=3Kg και m1=2m2 Άρα: m1=2Kg και m2=1Kg

Αμέσως μετά την κρούση μεταξύ των m2 και Μ έχουμε:

Τ-Β=Fκεντρ

22(m + M)V

T - B = V = 5m/s⇒ ⇒l

Εφαρμόζουμε ΑΔΟ για την πλαστική κρούση μεταξύ των m2 και Μ:

( )2 2 2 2m υ + 0 = m + M V υ = 20m/s+→ ⇒

Εφαρμόζουμε ΑΔΟ για την διάσπαση του σώματος m.

2 2 1 1 10 = m υ m υ υ = 10m/s1 2m 2m=+→ − →

k m´m

l

Ì

Page 5: 1.mfcosmos.com/wp-content/uploads/2013/05/krouseis2...1. Δύο μεταλλικές σφαίρες με μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα, πλησιά- ζουν

β. Eφαρμόζουμε AΔME για το συσσωμάτωμα και έχουμε:

V

V

2(M+m )g

Th

ll

-hl

ö

( ) ( )2αρχ τελ 2 2

1K = U M m V = M m gh h 1,25m

2⇒ + + ⇒ =

- h 3 -1,25συνφ = συνφ = = 0,583h 3

⇒l

γ. Εφαρμόζουμε ΑΔΟ για την κρούση: 2 2 2m υ + 0 = m υ + MV = 4m/sV+ ′ ′ ′→ ⇒

õ õ´

Ìg

2 22

m m

T

M

l l

Άρα: Τ-Mg=Fκεντρ

2 2MV MVT - Μg = T = Mg + T = 46N

l l

′ ′⇒ ⇒ ⇒

δ. 2

2 2(α) 2 2

1 1ΔΕ = m υ - (M + m )V = 150J2 2

2 2 22 2

1 1 1m υ - MV - m V΄ =144J

2 2 2( ) 2γ∆Ε =

ε. Από την εξίσωση ταλάντωσης έχουμε: ω=10 rad/s

Aλλά ( ) 21 12

ΚD = m + m΄ ω m΄ = - m m΄ = 2kg

ωD K=→ ⇒

õ

õ 21

2

1mm

Page 6: 1.mfcosmos.com/wp-content/uploads/2013/05/krouseis2...1. Δύο μεταλλικές σφαίρες με μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα, πλησιά- ζουν

Εφαρμόζουμε ΑΔΟ για την πλαστική κρούση μεταξύ των m1 και m΄:

( )1 1 1 Κm υ + 0 = m + m΄ υ = 5m/sΚ+← υ ⇒

Εφαρμόζουμε ΑΔET : ( ) 2ολ 1

1 1Κ = Ε m + m΄ = DA A = 0,5m2 2

2

Κ⇒ υ ⇒

4. Σώμα μάζας Μ =0,25 kg, πουείναι δεμένο στην άκρη ορι-ζόντιου ελατηρίου σταθεράςΚ=100Ν/m εκτελεί γ.α.τ. με

πλάτος Α = 2 / 2 m πάνω σελείο οριζόντιο επίπεδο. Τηστιγμή που είναι U=K και το ελατήριο είναι επιμηκυμένο (x>0), όπως στοσχήμα, βλήμα μάζας m = 0,25 kg κινούμενο οριζόντια με ταχύτητα u0 =20m/s, σφηνώνεται στο κέντρο του σώματος μάζας Μ. Να βρείτε:α. Tο πλάτος της νέας ταλάντωσης.β. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας των σωμάτων που έγινε

θερμότητα κατά την κρούση.γ. Το μέγιστο ρυθμό μεταβολής της ορμής του συσσωματώματος.

Λύση:α. Εφαρμόζοντας την AΔΕΤ για τον ταλαντωτή μάζας M, θα βρούμε την θέση και

την ταχύτητα που έχει τη στιγμή που πάει να γίνει η κρούση.

2 2max 1

U K E 1 12U U 2 Dx DA

U K 2 2ολ+ =

⇒ = ⇒ ==

221 1 1 1

A 2 2 2x x A x m x 0,5m

2 2 2 2⇒ = ⇒ = ± ⇒ = ± ⇒ = ±

D

2 2 2 2 2 2o 1 1 1 1

1 1 1U K E Dx M DA x

2 2 2

λ+ = ⇒ + υ = ⇒ Κ +Μυ = ΚΑ ⇒

( ) ( )2 2

1

1

x1

Κ Α −υ = ±

Μ

Αντικαθιστώντας στην (1) x1 = +0,5m και Α = 2 / 2 m βρίσκουμε:

1 10m / sυ = ±Άρα έχουμε δύο περιπτώσεις:

K õ0

Ö.M.È.É.

M

m

Page 7: 1.mfcosmos.com/wp-content/uploads/2013/05/krouseis2...1. Δύο μεταλλικές σφαίρες με μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα, πλησιά- ζουν

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ:Το σώμα μάζας Μ πριν τηνκρούση κινείται προς τα δεξιάμε ταχύτητα υ1 = +10 m/s.Εφαρμόζοντας την ΑΔΟ, έχου-με:

Μυ1 - mu0 = ( Μ + m )υΚ

Αντικαθιστώντας τις τιμές πουέχουμε βρίσκουμε:

υK=-5 m/s

Η Θ.Ι του συσσωματώματος εί-ναι ίδια με την Θ.Ι του αρχικού ταλαντωτή, στη θέση φ.μ. του ελαστηρίου.Εφαρμόζουμε: την ΑΔΕΤ για τον ταλαντωτή μάζας (Μ + m) αμέσως μετά τηνκρούση και έχουμε:

( ) D K2 2 2ολ 1

2 2 21 1

1 1 1U+Κ Ε D x + Μ + m = DA΄

2 2 2

6K x + (Μ + m)υ = KA΄ Α΄ = m

4

=Κ= ⇒ υ →

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ:Το σώμα μάζας Μ πριν την κρού-ση κινείται προς τα αριστερά μεταχύτητα υ1 =-10 m/s.Εφαρμόζοντας την ΑΔΟ, έχου-με:

Μυ1 + mu0 = ( Μ + m )υΚ

Αντικαθιστώντας τις τιμές πουέχουμε βρίσκουμε:

υK=15 m/s

Η Θ.Ι του συσσωματώματος εί-ναι ίδια με την Θ.Ι του αρχικού ταλαντωτή, στη θέση φ.μ. του ελαστηρίου.Εφαρμόζουμε: την ΑΔΕΤ για τον ταλαντωτή μάζας (Μ + m) αμέσως μετά τηνκρούση έχουμε:

K

K

õõ

õ

x

01

K

1

Ö.M.È.É.

M

M+m

m

K

K

õõ

õ

x

01

K

1

Ö.M.È.É.

M

M+m

m

Page 8: 1.mfcosmos.com/wp-content/uploads/2013/05/krouseis2...1. Δύο μεταλλικές σφαίρες με μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα, πλησιά- ζουν

( ) D K2 2 2ολ 1

2 2 21 1

1 1 1U+Κ Ε D x + Μ + m = DA΄

2 2 2

22K x + (Μ + m)υ = KA΄ Α΄ = m

4

=Κ= ⇒ υ →

β. Το ζητούμενο ποσοστό είναι:

2 2 20 1 Καρχ τελ

αρχ 2 20 1

1 1 1mυ Μυ (m + Μ)υΚ - Κ 2 2 2100% 100%

1 1Κ mυ Μυ2 2

+ −=

+

Για την 1η περίπτωση βρίσκουμε 95% και για την 2η 55%

γ. Δp Δp= D xFΔt Δt

⇔ = − ⋅∑ . Άρα:max

ΔpK A΄

Δt = ⋅

max,1 max,2

Δp 6 Δp 22100 25 6 N και 100 25 22 N

Δt 4 Δt 4 = ⋅ = = ⋅ =

5. Η σφαίρα του παρακάτω σχήματος μάζας m=1,6kg και ακτίνας R (πολύμικρή), αφήνεται να κυλήσει από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου ύψους

h=7/4m, γωνίας κλίσης φ=30ο, με συντελεστή τριβής μ = 3/6 . Όταν φθά-σει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου συγκρούεται ακαριαία μετωπικά μεσώμα μάζας Μ=4kg, το οποίο είναι συνδεδεμένο στη μιά άκρη ιδανικούοριζόντιου ελατηρίου σταθεράς Κ=400 Ν/m, του οποίου η άλλη άκρη είναιδεμένη σε ακλόνητο κατακόρυφο τοίχωμα.Το οριζόντιο δάπεδο είναι λείο και μετά τη κρούση η σφαίρα ακινητοποι-είται.α. Να δείξετε ότι η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.β. Να βρείτε τη ταχύτητα υcm της m πριν τη κρούση.

KM

m

h

ö

Page 9: 1.mfcosmos.com/wp-content/uploads/2013/05/krouseis2...1. Δύο μεταλλικές σφαίρες με μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα, πλησιά- ζουν

γ. Να βρείτε τη ταχύτητα υ της Μ μετά τη κρούση.δ. Να βρείτε το ποσοστό της αρχικής ενέργειας της m που έγινε θερμότητα

κατά την κρούση.ε. Να βρείτε τη μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου.

Δίνονται: 22I mR5

= , g=10 m/s2.

Λύση:α. Η συνθήκη για να έχουμε κύ-

λιση χωρίς ολίσθηση είναι:Τσ<μ·Ν

Αντικαθιστώντας στην τελευ-ταία την τιμή της Τσ καιΝ=w·συνφ, παίρνουμε:

Τσ<μ·w·συνφ=4Ν (1)

Για τη μεταφορική κίνηση

cm σ cmxF = mα wημφ -T = mα⇒∑ (2)

Για τη στροφική κίνηση

(K)γωντ = Ι.α∑ ⇒Τσ

.R=I.αγων (3)

Στην κύλιση ισχύει: αcm= αγων·R (4)Λύνουμε τις σχέσεις (2) και (4) ως προς Τσ και αγων αντίστοιχα και αντικαθι-στούμε στην (3), οπότε παίρνουμε:

( )cmwημφ - m Rα = 2 cmα2mR

5 R⇒ αcm= 3,57m/s2

Άρα από την (2) έχουμε: Τσ=2,3 ΝΆρα βλέπουμε ότι ικανοποιείται η σχέση (1).

β. Εφαρμόζουμε A.Δ.Μ.Ε. από (Ι) σε (ΙΙ).

UΙ+KΙ=UΙΙ+KΙΙ ⇒ m·g·h + 0= 0 + 2cm

1mυ

2+ 21

Iω2

m·g·h = 2cm

1mυ

2+

22cmυ1 2mR

2 5 R

⇒ cmυ m/s5=

ö

K

w

Í

Ôóx

w

yw

ö

cmácmõ

Page 10: 1.mfcosmos.com/wp-content/uploads/2013/05/krouseis2...1. Δύο μεταλλικές σφαίρες με μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα, πλησιά- ζουν

γ. Εφαρμόζοντας την ΑΔΟ, έχουμε: mυcm = Μυ ⇒ υ=2m/sδ. Το ζητούμενο ποσοστό είναι:

2 2

αρχ μετα

αρχ

1 1mgh Μυ ΜυΕ - Κ 2 2100% 100% = 100%

Ε mgh mgh1

− = −

=71,43%

ε. Η Θ.Ι του ταλαντωτή M, είναι η θέση φ.μ. του ελαστηρίου. Η max συσπείρωσητου ελατηρίου είναι και το πλάτος της ταλάντωσης. Άρα εφαρμόζουμε την ΑΔΕΤγια τον ταλαντωτή μάζας Μ αμέσως μετά την κρούση και έχουμε:

D K2 2 2 2ολ

1 1 2U+Κ Ε Μυ = DA Μυ = KA Α = m

2 2 10== ⇒ → ⇒

6. Το κιβώτιο του σχήματος μάζας m=4,5 kg ηρεμεί πάνω σε αμαξίδιο μάζαςΜ= 15 kg, το οποίο μπορεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο οριζόντιo δάπεδο.Ένα βλήμα μάζας m΄= 0,5 kg κινείται με ταχύτητα μέτρου υ0= 50 m/sευθύγραμμα και σφηνώνεται ακαριαία στο κέντρο του κύβου. Ο συντελε-στής τριβής ολίσθησης μεταξύ του κιβωτίου και του δαπέδου του αμαξι-δίου είναι μ= 0,5.Να βρείτε:α. τη τελική ταχύτητα του συστήματος αμαξίδιο - κιβώτιο - βλήμα,β. τις απώλειες ενέργειας σε όλο το φαινόμενο.γ. το διάστημα που διανύει το συσσωμάτωμα βλήμα - κιβώτιο πάνω στο

αμαξίδιο καιδ. το χρόνο κίνησης του συσσωματώματος βλήμα - κιβώτιο ως προς το

αμαξίδιο. (g=10 m/s2)

Λύση:

α. Eφαρμόζουμε Α.Δ.Ο. για την ακαριαία πλαστική κρούση βλήματος - κιβωτίου:

ολ(πριν) ολ(μετα)p = p ( )0 1m΄υ = m΄+ m υ+⇒ ⇒ υ1=5 m/s

Tα σώματα (m+m΄) και Μ του συστήματος δέχονται τις δυνάμεις που φαίνονται

m

õ0

M

Page 11: 1.mfcosmos.com/wp-content/uploads/2013/05/krouseis2...1. Δύο μεταλλικές σφαίρες με μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα, πλησιά- ζουν

στο σχήμα. Tο συσσωμάτωμα (m+m΄) δέ-χεται:

το βάρος του w , την κάθετη δύναμη N από

το αμαξίδιο και την τριβή T από το αμαξί-διο.

Tο αμαξίδιο Μ δέχεται:

το βάρος του 1w , την κάθετη δύναμη 1N

από το δάπεδο, την τριβή T΄ από το (m+m΄)

και την κάθετη δύναμη N΄ από το (m+m΄)

Οι δυνάμεις T , T΄ , N και N΄ είναι δυνάμεις εσωτερικές.

Το μέτρο της τριβής Τ είναι: T = μΝ = μ(m΄+ m)g = 25 N

Τ=Τ΄ και Ν=Ν΄ (Δράση - Αντίδραση)

Το σύστημα είναι μονωμένο, άρα ισχύει η Α.Δ.Ο.

( ) ( )1 K Km + m΄ υ + 0 = m΄+ m υ + M υ⇒ ⇒ υK=1,25 m/s

β. Α.Δ.Ε. από την αρχή μέχρι την υΚ.

Εαρχ=Ετελ + Εαπωλ, ολ⇒20

1m΄υ

2= ( ) 2

K1

m΄+ m υ2

+ 2K

1M υ

2+ Εαπωλ, ολ ⇒

625 J=15,625 J + Εαπωλ, ολ ⇒ Εαπωλ, ολ=609,375 J

γ. Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Κ.Ε. για κάθε σώμα.

( ) ( ) ( )2 2τελ αρχ T Κ 1

1 1m΄+ m : Κ - K = W m΄+ m υ - m΄+ m υ = -T x + L

2 2⇒

õ1 õK

m+ m´ m´m+

M M õK

x L

T

N1

N

w

w1

M

m+ m´

Page 12: 1.mfcosmos.com/wp-content/uploads/2013/05/krouseis2...1. Δύο μεταλλικές σφαίρες με μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα, πλησιά- ζουν

2τελ αρχ Τ΄ Κ

1Μ : Κ - K = W M υ -0 = Τ΄x2

Προσθέτουμε κατά μέλη και επειδή Τ=Τ΄ παίρνουμε:

( ) ( )2 2 2Κ Κ 1

1 1 1m΄+ m υ + M υ - m΄+ m υ = -ΤL

2 2 2

Με αντικατάσταση παίρνουμε: L=1,875m

δ. Το συσσωμάτωμα (m+m΄) κάνει ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση.

21

25NF Tα = = = =5m/sm΄+ m m΄+ m kg

Σ5

υΚ=υ1 - α1.t⇒1,25m/s=5m/s - 5m/s2.t⇒ t=0,75s

7. Σώμα Σ1 μάζας m = 1 kg ισορροπεί συνδεδεμέ-νο στο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατη-ρίου σταθεράς Κ=200 Ν/m, του οποίου το άλλοάκρο στερεώνεται σε οροφή. Βλήμα Σ2, ίσηςμάζας με το σώμα, κινείται κατακόρυφα προς ταπάνω και συγκρούεται τη χρονική στιγμή t=0

με ταχύτητα μέτρου υ = 3 m/s μετωπικά καιπλαστικά με το Σ1. H διάρκεια της κρούσης θε-ωρείται αμελητέα. Δίνεται g = 10 m/s2 και θετι-κή φορά προς τα πάνω.α. Να γράψετε την εξίσωση της κίνησης του συστήματος.β. Να βρείτε, το χρονικό διάστημα μέχρι να μηδενιστεί για 2η φορά η

ταχύτητα του συστήματος.γ. Ποιο είναι το ποσοστό επί τοις % της αρχικής ενέργειας του βλήματος

που χάθηκε κατά την κρούση; (g=10 m/s2)

Λύση:α. Η ζητούμενη εξίσωση είναι: x=Αημ(ωt+φ0)

Η αρχική επιμήκυνση του ελατηρίου είναι:

Θ.Ι. m: ελ 1 1 1mg

F = mg Kx = mg x = x = 0,05mK

⇒ ⇒ ⇒

Εφαρμόζουμε Α.Δ.Ο.για την πλαστική κρούση του συστήματος βλήμα - σώμα:

K

Ó1

Ó2 õ

Page 13: 1.mfcosmos.com/wp-content/uploads/2013/05/krouseis2...1. Δύο μεταλλικές σφαίρες με μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα, πλησιά- ζουν

+⇒ mυ + 0 = 2m.υΚ ⇒ K K

υ 3 m= =

2 2 sυ ⇒ υ

Το συσσωμάτωμα 2m εκτελείγ.α.τ. με D=k, γύρω από τηΘ.Ι. του.Θ.Ι. 2m:

ελ 2

2 2

F = 2mg Kx = 2mg

2mgx = x = 0,1m

K

⇒ ⇒

Τη στιγμή που το 2m αποκτάταχύτητα Kυ απέχει από τηΘ.Ι. του κατά:

3 2 1x = x - x = 0,05m

Εφαρμόζουμε ΑΔΕΤ:

Uταλ+K=Εολ ⇒2 2 2

3 Κ1 1 1

Dx + 2mυ = DA2 2 2

Αντικαθιστώντας βρίσκουμε: A = 0,1m

Τη χρονική στιγμή t0 = 0 το συσσωμάτωμα βρίσκεται στη θέση 3x = x = +A/2 .

Άρα: 0

0 0

0

φA 1 6ημφ ημφ

52 2 φ6

π = η= Α ⋅ ⇒ = ⇒ π =

Επειδή είναι υΚ>0, συμπεραίνουμε ότι: 0

πφ =6

D 200 rad= = rad/s ω = 10

2 m 2 sω ⇒

Τελικά έχουμε: πx 0,1 ημ 10t

6 = ⋅ +

S.I.

β. Η ταχύτητα γίνεται υ=0 στις ακραίες θέσεις. Αυτό για 2η φορά γίνεται στη θέση-Α. Επομένως από την εξίσωση x-t, έχουμε:

K K

m

m

2m

õ

Ö.Ì.

È.É. m

È.É. 2m

õKx1

x

x3

x2

Page 14: 1.mfcosmos.com/wp-content/uploads/2013/05/krouseis2...1. Δύο μεταλλικές σφαίρες με μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα, πλησιά- ζουν

π π π 3π 2-0,1 0,1 ημ 10t ημ 10t 1 10t t s

6 6 6 2 15

π = ⋅ + ⇒ + = − ⇒ + = ⇒ =

γ. απωλ(κρουση)

αρχ(βλημ)

E100%

E⇒

2 2Κ

2

1 1mυ - 2mυ

2 2 100%1

mυ2

⇒2 2

Κ2

υ - 2υ100% = 50%

υ

8. Ένας παρατηρητής κινείται σε μια ευθεία που ενώνει δύο ηχητικές πηγές

S1, S2 οι οποίες παράγουν ήχο συχνότητας Sf = 400Hz . Ο παρατηρητής

κινείται από την πηγή S1 προς τον S2 με ταχύτητα Aυ = 2m/s .

12

α. Να υπολογίσετε τη συχνότητα των διακροτημάτων που ακούει ο παρα-τηρητής.

β. Ποιος είναι ο αριθμός των μέγιστων που ακούει ο παρατηρητής σε 3s;Δίνεται ηχυ = 340m/s .

Λύση:α. Εφαρμόζουμε την σχέση του φαινομένου Doppler, για τον ήχο από την 1η πηγή:

ηχ ΑΑ,1 S Α,1 Α,1

ηχ

υ - υ 338f = f f = 400Ηz f = 397,647Ηz

υ 340⇒ ⇒

Εφαρμόζουμε την σχέση του φαινομένου Doppler, για τον ήχο από την 2η πηγή:

Α ηχΑ,2 S Α,2 Α,2

ηχ

υ + υ 342f = f f = 400Ηz f = 402,353Ηz

υ 340⇒ ⇒

Η συχνότητα του διακροτήματος είναι: δ Α,2 Α,1f = f f 4,7 z− = Η

β. Ο παρατηρητής κάθε Τδ =0,213 s ακούει 1 μέγιστο. Άρα σε 3s ακούει:

3sΝ = = 14,080,213s

δηλ 14 μέγιστα.

Page 15: 1.mfcosmos.com/wp-content/uploads/2013/05/krouseis2...1. Δύο μεταλλικές σφαίρες με μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα, πλησιά- ζουν

1. Σώμα μάζας m1 = 0,5kg κινείται σε λείο

οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητα μέτρουυ

1 = 80m/s και συγκρούεται πλαστικά

με ακίνητο σώμα μάζας m2

= 3,5kg.Μετά την κρούση το συσσωμάτωμαανεβαίνει σε κεκλιμένο επίπεδο κλίσηςφ=300, που παρουσιάζει συντελεστή

τριβής μ= 3/3 . Ζητούνται:α. Η ταχύτητα του συσσωματώματος μετά τη κρούση.β. Το ύψος που θα φτάσει το συσσωμάτωμα.γ. Το ποσοστό επί της % της αρχικής ενέργειας που χάνεται κατά την κρούση.δ. Το συσσωμάτωμα θα κατέβει προς τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου;Δίνεται g=10m/s2.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

2. Το σώμα μάζας m1=1kg εκτοξεύεται από το σημείο (Σ) του οριζοντίου

δαπέδου με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,5 με

ö1m

2m1õ

DELTA
Typewritten Text
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
DELTA
Typewritten Text
DELTA
Typewritten Text
DELTA
Typewritten Text
Page 16: 1.mfcosmos.com/wp-content/uploads/2013/05/krouseis2...1. Δύο μεταλλικές σφαίρες με μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα, πλησιά- ζουν

ταχύτητα μέτρου υ0 όπως

στο σχήμα. Το σώμα αφούδιανύσει απόσταση d = 10 m,συγκρούεται κεντρικά καιελαστικά με το σώμα μάζαςm

2=2kg το οποίο είναι δεμέ-

νο στο ένα άκρο αβαρούςνήματος μήκους l =3,6m,του οποίου το άλλο άκρο εί-ναι δεμένο στο ακλόνητο σημείο Κ. Το σώμα m

2 μόλις που κάνει ανακύ-

κλωση. Αν δίνεται g = 10m/s2:α. Ποια είναι η ταχύτητα του σώματος m2 αμέσως μετά την κρούση;β. Ποια είναι η αρχική ταχύτητα υ0 του σώματος m1;γ. Τι ποσοστό της ενέργειας του σώματος m1 μεταβιβάζεται κατά την διάρ-

κεια της κρούσης στο m2;...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

3. Δύο σφαίρες αμελητέων ακτίνων με μάζες m1και m2, όπου m1= m2, αφή-νονται διαδοχικά να πέσουν από το ίδιο ύψος h = 18 m επί οριζoντίoυεπιπέδου. Οι σφαίρες κινούνται επάνω στην ίδια κατακόρυφο. Aφήνεταιπρώτα η σφαίρα μάζας m1 και μετά η σφαίρα μάζας m2. Η σφαίρα μάζαςm1 προσκρούει στο οριζόντιο επίπεδο και αρχίζει να κινείται κατακόρυφαπρος τα επάνω. Μόλις αποχωρισθεί από το επίπεδο, συγκρούεται μετωπι-κά με την κατερχόμενη σφαίρα μάζας m2. Να βρεθεί το ύψος h2 στο οποίο

mmõ

1

20

l

d

(Ó)

(K)

Page 17: 1.mfcosmos.com/wp-content/uploads/2013/05/krouseis2...1. Δύο μεταλλικές σφαίρες με μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα, πλησιά- ζουν

θα φθάσει η σφαίρα μάζας m2.Να θεωρηθεί ότι, όταν οι σφαίρες συγκρούονται, έχουν διανύσει την ίδιακατακόρυφη απόσταση h από το σημείο εκκίνησης. Όλες οι κρούσεις είναιελαστικές και η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

4. Σφαίρα μάζας m=1 kg αφήνεται από την κορυφή λείου κεκλιμένου επιπέ-δου φ=30ο μήκους s=8,1m. Όταν φθάσει στη βάση του κεκλιμένου επιπέ-δου συγκρούεται ακαριαία μετωπικά και πλαστικά με σώμα μάζας m΄=2kgτο οποίο είναι συνδεδεμένο στη μιά άκρη ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου,του οποίου η άλλη άκρη είναι δεμένη σε ακλόνητο κατακόρυφο τοίχωμα.Το ελατήριο σταθεράς Κ=600Ν/m είναι στο φυσικό του μήκος.

K m´

ö

m

Να βρείτε:α. τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου,β. το ποσοστό επί τοις % της αρχικής ενέργειας της m που έγινε θερμότητα

κατά τη κρούση,γ. Τη θερμότητα σε όλο το φαινόμενο.

Δίνονται ο συντελεστής τριβής μεταξύ του συσσωματώματος και του ορι-ζόντιου δαπέδου είναι μ=0,25 και g=10 m/s2.

Page 18: 1.mfcosmos.com/wp-content/uploads/2013/05/krouseis2...1. Δύο μεταλλικές σφαίρες με μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα, πλησιά- ζουν

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

5. Ο δίσκος μάζας m=2 kg ενός δυναμομέτρου εί-ναι στερεωμένος στο άκρο κατακόρυφου ελα-τήριου σταθεράς Κ=400 N/m, το άλλο άκρο τουοποίου στερεώνεται σε ακλόνητη οροφή. Μίασφαίρα μάζας m΄=m, αφήνεται ελεύθερη απόύψος h. Η κρούση είναι πλαστική και μετωπι-κή.Να βρεθούν:

α. το ύψος h ώστε το πλάτος ταλάντωσης ναείναι 0,1 m,

β. το ποσοστό επί τοις % της αρχικής ενέργειαςτης m΄ που έγινε θερμότητα κατά τη κρούση,

γ. Να βρείτε τον ελάχιστο χρόνο για να γίνει μέγιστη η ταχύτητα τουσυσσωματώματος.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

K

h

m

Page 19: 1.mfcosmos.com/wp-content/uploads/2013/05/krouseis2...1. Δύο μεταλλικές σφαίρες με μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα, πλησιά- ζουν

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

6. Το σώμα μάζας m=1kg, του σχήματος κάνει απλή αρμονική ταλάντωσηπλάτους 10cm. Τη στιγμή που περνά από τη θέση ισορροπίας του πέφτεικατακόρυφα σώμα μάζας m΄=1kg και συσσωματώνεται με το σώμα m.

α. Nα βρείτε το νέο πλάτος ταλάντωσης.β. Το ποσοστό επί τοις % της απώλειας ενέργειας ταλάντωσης.γ. Το λόγο των περιόδων ταλάντωσης.Δίνονται: π2 = 10, g = 10 m/s2, K1 =100 N/m, K2 =200 N/m...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

7. Στο σχήμα το σώμα μάζας m1=1kg είναι δεμένο στο άκρο ελατηρίου στα-θεράς Κ=100 Ν/m και εκτελεί γ.α.τ πλάτους 0,3m. Όταν το σώμα μάζας m1

Ê1 Ê2

m

Page 20: 1.mfcosmos.com/wp-content/uploads/2013/05/krouseis2...1. Δύο μεταλλικές σφαίρες με μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα, πλησιά- ζουν

είναι στην θέση x=0,15 3 m, κινούμενοπρος τα δεξιά συγκρούεται πλαστικά μεένα άλλο σώμα μάζας m2=3kg, που κινεί-ται αντίρροπα με το πρώτο και με ταχύ-τητα 0,5m/s.α. Να γράψετε την εξίσωση x=f(t) για την γ.α.τ. του συσσωματώματος,

θεωρώντας t=0 τη στιγμή της κρούσης.β. Να βρείτε την απώλεια της κινητικής ενέργειαςπου έγινε θερμότητα κατά

τη κρούση.γ. Το λόγο των συχνοτήτων των δύο ταλαντώσεων.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

8. Από την κορυφή λείου κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης θ=30o στερεώ-νεται διαμέσου ιδανικού ελατηρίου σώμα μάζας m2=1 kg και το σύστημαισορροπεί πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Από τηβάση του κεκλιμένου επιπέδου βάλλεται με υ0=5 m/s σώμα μάζας m1=1 kg.

Ê m1

s

Ê

õ

m 2

0

è

1m

Page 21: 1.mfcosmos.com/wp-content/uploads/2013/05/krouseis2...1. Δύο μεταλλικές σφαίρες με μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα, πλησιά- ζουν

Η αρχική απόσταση των σωμάτων είναι s=0,9 m και η σταθερά του ελα-τηρίου Κ=100 N/m. Τα σώματα συγκρούονται ακαριαία, μετωπικά καιελαστικά. Να βρείτε:α. την εξίσωση x=f(t) για την γ.α.τ. του m2, θεωρώντας t=0 τη στιγμή της

κρούσης.β. την ταχύτητα του m1, όταν ξαναφτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέ-

δου,γ. Πού βρίσκεται το m2 όταν το m1 ξαναφτάνει στη βάση του κεκλιμένου

επιπέδου; (g=10 m/s2)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

9. Η ράβδος ΑΒ του σχήματος μάζας Μ=2 kgκαι μήκους l=2 m μπορεί να στρέφεται γύρωαπό το (Α), όπως φαίνεται στο σχήμα. Έναβλήμα μάζας m=0,1g κινείται οριζόντια μεταχύτητα μέτρου υ0 και διαπερνά τη ράβδοέχοντας μετά την κρούση ταχύτητα μέτρουυ0/2, σε απόσταση d= 0,8 l από το Α. Η ρά-βδος μετά τη κρούση εκτρέπεται κατά 60ο.

α. Nα υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακήςταχύτητας της ράβδου αμέσως μετά τηνκρούση.

β. Nα υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας υ0 του βλήματος.

Â

m

Á

d

õ

Page 22: 1.mfcosmos.com/wp-content/uploads/2013/05/krouseis2...1. Δύο μεταλλικές σφαίρες με μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα, πλησιά- ζουν

γ. Nα υπολογίσετε την απώλεια ενέργειας κατά τη κρούση.

Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής

της είναι 2ΜI = 3

l .

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

10. H ακίνητη ηχητική πηγή του σχήματος εκπέμπει ήχο συχνότητας f=400tστο S.I. Ένας ακροατής Α είναι αρχικά ακίνητος σε απόσταση 100m καιαρχίζει να κινείται με σταθερή ταχύτητα προς την πηγή. Μετά από 4s oακροατής φτάνει στην πηγή.α. Να παρασταθεί γραφικά με τον χρόνο η συχνότητα που αντιλαμβάνε-

ται ο παρατηρητής μέχρι να φτάσει στην πηγή.β. Ποια είναι η συχνότητα που αντιλαμβάνεται αμέσως μόλις προσπερά-

σει την πηγή;γ. Ποιος είναι ο αριθμός των κυμάτων που ακούει ο παρατηρητής από

την στιγμή που είναι δίπλα στη πηγή και 2s μετά;Δίνεται η ταχύτητα του ήχου ηχυ = 340m/s .

S

õÁ