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26/01/2013

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Projeto de pilares

1. Conceituação

2. Anteprojeto

3. Esbeltez do pilar λ

4. Excentricidades

5. Disposições construtivas

6. Pilares intermediários e de extremidade

7. Pilares de canto

8. Método geral

Proj. Dim. e Det. Estr. CA – 09 Projeto de pilares


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1. Conceituação

Pilares são os elementos verticais que transmitem as reações de vigas e de lajes à fundação.

São elementos lineares de eixo reto, usualmente na vertical, em que as forças normais de compressão são preponderantes (NBR6118:2007 – 14.4.1.2).

A segurança estrutural de um edifício depende primordialmente da estabilidade dos pilares, razão pela qual estes elementos podem ser considerados os mais

importantes.

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Diferenciação

a > 5b

4

Regra usual: o momento traciona o lado externo do edifício no topo do pilar e o lado interno na base (diagrama dente de serra).

Situação geralProj. Dim. e Det. Estr. CA – 09 Projeto de pilares

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Cada trecho de pilar (lance) é analisado de forma isolada da estrutura real, sendo considerados efeitos locais, mínimos e de fluência.

Metodologia


Quanto mais esbelto for o pilar, mais detalhado e cuidadoso deve ser o projeto pois os efeitos locais de 2ª ordem são mais importantes e é maior a tendência à instabilidade.

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Instabilidade na flexo-compressão

Pilares de CA não estão sujeitos à flambagem !

O problema é de verificação de deformações pois as ações aplicadas são muito menores do que a carga de Euler Pcr .

( )/

( )ext i

int

2

2

i3 22

M e y P

1M EI

rd y

1 Pdx e yr EIdy

1dx

= +

=

= = − +

+

P

P


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Instabilidade na flexo-compressão

� Enquanto o material permanecer no regime elástico não haverá problema de instabilidade.

� A configuração fletida é uma configuração de equilíbrio estável e a ruína ocorre por falha do material.


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Esquema estático

De modo simplificado, os pilares são considerados como barras elasticamente ligadas às vigas nas extremidades e sujeitos à flexo-compressão decorrente das excentricidades das cargas verticais.

As cargas verticais são obtidas através das reações das vigas que chegam até cada pilar, considerando a continuidade das vigas, além do peso próprio Gdo elemento. G pode ser admitido aplicado no topo do pilar, como simplificação a favor da segurança.


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Comprimento equivalente Le

Lo = vão livre do pilar entre vigashp = dimensão da seção transversal do pilar na direção

consideradaL = vão teórico tomado como a distância entre os eixos

dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado (NBR 6118:2003 – 15.6).

Para elementos em balanço, tal como ocorre em galpões ou em pontes, o comprimento equivalente de pilares com uma extremidade livre, deve ser tomado como o dobro do anterior:

o pe

o v

L h L

L L h

+≤

= +

eL 2 L= ⋅


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2. Anteprojeto

Na fase de anteprojeto é comum avaliar a carga vertical dos pilares por meio de áreas de influência com carga estimada de q = 12 kN/m2

para pisos residenciais e comerciais e de 0,6 ~ 0,8.qpara coberturas (admitindo alvenarias típicas de tijolos cerâmicos com pé-direito de ~3m e espaçamento médio de ~4m) para cada um dos n pavimentos acima do piso.

Carga na fundação ≈ n q S + 0,7 q SNk = q S (n + 0,7)


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Refinamento

Para melhor avaliação da estimativa da carga na fundação, o efeito da continuidade das vigas pode ser considerado admitindo, no cálculo da área de influência S, as parcelas da distância entre os pilares como segue:

Vão de viga bi-apoiada : a = 0,5L b = 0,5L

Vão interno de viga contínua : a = 0,5L b = 0,5L

Vão de extremidade de viga contínua : a = 0,4L b = 0,6L


12

Classificação dos pilares

As vigas que terminam no pilar determinam os planos de momento de engastamento elástico viga/pilar.

intermediárioduas vigas

passam pelo pilar

de extremidadeuma viga

termina no pilar

de cantoduas vigas

terminam no pilar


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Seção transversal

a

b

a

b

a

b

Para facilitar a execução das formas, geralmente é utilizada a seção transversal retangular.

x x h

Outras formas por razões arquitetônicas:

A menor dimensão deve ser superior a 19 cm (NBR 6118:2007 –13.2.3) e a maior dimensão não deve exceder 5 vezes a menor dimensão, evitando o pilar-parede (NBR 6118:2007 – 18.4.1).

Na prática, recomenda-se limitar a relação entre as dimensões:

a

b < a

max

b 19 cm

a 2 3 b

≥

≤ ≈


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Seção reduzida

A seção pode ser reduzida desde que seja aplicado o coeficiente adicional γn da Tabela 13.1 da NBR 6118:2007 sobre o coeficiente de majoração γf para todos os esforços solicitantes.

Em qualquer caso, não são permitidos pilares com seção transver-sal de área inferior a 360 cm² e nem dimensão b ≤ 12cm.

Tabela 13.1 – Valores do coeficiente adicional γn

b ≥19 18 17 16 15 14 13 12

γn 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35

onde: γn = 1,95 – 0,05 · b

b é a menor dimensão da seção transversal do pilar, em cm


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Na fase de anteprojeto, os momentos atuantes podem ser consi-derados com a majoração da carga Nk (obtida através da área de influência e inicialmente suposta centrada) por um coeficiente αadotado em função do tipo de pilar.

Estimativa da carga no pilar

Pilar intermediário : α = 1,3

Pilar de extremidade: α = 1,6

Pilar de canto : α = 1,8

A carga estimada de cálculo para determinação das dimensões do pilar pode ser então obtida como sendo:

d est f n kN N= γ ⋅ γ ⋅ α ⋅


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Compressão simples

Na fase de anteprojeto, a situação de cálculo considerada é de pilar sujeito à compressão simples com encurtamento de εcc = 2 ‰ (reta b da Fig. 17.1 da NBR 6118:2003).

Rcc = 0,85 fcd Acc = 0,85 fcd (Ac - As)Rsc = σs2 As

Ac = área geométrica bruta da seção do pilarσs2 = 42 kN/cm2 é a tensão de compressão

no aço para encurtamento de 2 ‰

2s1 A

a

b

1 A2

1/2 Rsc

ccR

sc1/2 R

sA

A

Seção Transversal Vista A

Nd = Rcc + Rsc


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Substituindo as resultantes na equação de equilíbrio, têm-se:

Nd = 0,85 Ac fcd + As (σs2 - 0,85 fcd)

Dessa forma, a área da seção do pilar fica conhecida quando é imposta uma determinada taxa de armadura ρ , resultando:

Nd = Ac

σid = tensão ideal de cálculo

Tensão ideal

��

[ ]cd s2 cd0,85 f ( - 0,85 f )+ ρ σ

d2d

c cid 2

id

N kN N

A A cm

kN/cm

→

= →σ σ →

Podendo obter


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Adotando taxa de armadura ρ entre 1% e 3%, é possível obter valores da tensão ideal para concretos usuais em edifícios:

Valores usuais

[ ]id cd s2 cd0,85 f ( - 0,85 f )σ = + ρ σ

Valores de tensão ideal segundo a classe do concreto e a taxa de armadura (kN/cm2)


concreto fck (kN/cm2) ρ = 1% ρ = 2% ρ = 3%

C20 2,0 1,62 2,03 2,44

C25 2,5 1,92 2,33 2,74

C30 3,0 2,22 2,63 3,03

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3. Esbeltez do pilar λ

eLesbeltez: =

iλ

raio de giração: i = AΙ x

hretângulo: i =

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Segundo a NBR 6118:2007 - 15.8.1:

λ ≤ λ1 → pilar pouco esbelto → é permitido desprezar ainstabilidade local

λ1 < λ ≤ 90 → pilar medianamente esbelto → é permitidosimplificar a instabilidade local

90 < λ ≤ 140 → pilar esbelto → é necessário considerar a fluência do concreto

140 <λ ≤ 200 → pilar excessivamente esbelto → é necessário cálculo exato da instabilidade local e considerar a fluência do concreto

x x h


20

Esbeltez limite λ1

11

b

35e25 = 1

902h

≥ λ + → ≤α

>

α = + → = ≤≤

Bb 1 min

A

0,4 M

0,6 0,4 1 quando e eM

1,0

MA = maior valor entre os momentos de extremidade MA e MB

,

,

B A B

B A B

M 0 quando M e M tracionam a mesma face

M 0 quando M e M tracionam faces diferentes

>

<

h = dimensão do pilar na direção principal considerada

e1 = excentricidade de primeira ordem

emín = excentricidade mínima

adotado por simplicidade, na prática


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4. Excentricidades

Os pilares de edifícios devem ser calculados na situação de flexo-compressão e, geralmente, é mais útil considerar os momentos fletores atuantes admitindo a aplicação da carga de compressão com excentricidade:

As excentricidades a serem consideradas são:emín = excentricidade mínima (desaprumos)e1 = excentricidade de primeira ordem (geométrica e

elástica)e2 = excentricidade de segunda ordem (instabilidade

local do pilar)e = excentricidade total (seção crítica)

e = M / N


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Excentricidades


Obtidos durante a análise estrutural elástica do edifício

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Excentricidade mínima

As imperfeições geométricas executivas e a incerteza do ponto exato de aplicação das reações das vigas sobre os pilares exigem a consideração de uma excentricidade mínimadessas cargas a ser comparada com a excentricidade total em cada direção principal (NBR 6118:2007 - 11.3.3.4.3).

onde h é a dimensão do pilar na direção principal considerada.

emín = 1,5 + 0,03h (cm)


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Excentricidade geométrica

Sempre que o centro do apoio da viga não coincidir com o centro geométrico do pilar, deve ser considerada essa excentricidade geométrica inicial como parte da excentricidade de primeira ordem.

No entanto, em pisos residenciais ecomerciais o travamento oferecidopelas vigas e lajes nas extremidadesdos pilares permite desprezar essaparcela de excentricidade.

***

CG do apoio

CG do apoio

V2

V1

PLANTA

da V2 CG do pilar

da V1


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Momentos de apoios internos de viga

Para pilares intermediários onde o comprimento do apoio na direção da viga é menor do que 1/4 da altura do pilar, a carga sobre o pilar pode ser considerada centrada.

Em caso contrário, a viga deve ser conside-rada perfeitamente engastada em cada tramo adjacente ao pilar e deve ser aplicado no pilar intermediário omomento resultanteentre aqueles de engas-tamento perfeito da viga em cada tramo (NBR 6118:2007 – 14.6.7.1.b).

sup

viga sup

infM

PILAR

½ M

M M VIGA

½ Minf


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Excentricidade de 1a ordem e1

Conhecidos os momentos nas extremidades do pilar (no topo e na base) tanto para os pilares de extremidade de vigas quanto para os pilares intermediários, as excentricidades elásticas de primeira ordem ficam determinadas como sendo:

onde i é o pavimento considerado.

Obs.: mesmo que os momentos fletores sejam iguais entre os pisos, a força normal varia e, também, a excentricidade e1.

1,i 1,i-11,i 1,i-1

i i-1

M Me = e =

N N


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Instabilidade local

Quando a esbeltez do pilar é superior à esbeltez limite (λ > λ1), o efeito de instabilidade local ou de deformações de 2a ordem (deformações elásticas que modificam a posição inicial das cargas)deve ser adicionado à excentricidade de primeira ordem.

ei → excentricidade inicial de 1a

ordem do pilar

e2 → excentricidade originada após adeformaçãoelástica

2

N N

M=N.e M=N.(e +e )

NN

e+ei 2ie

i i


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Força normal reduzida

É a relação entre os valores de cálculo da ação aplicada e da resistência da seção bruta de concreto e pode ser utilizada para avaliar a seção do pilar.


d2d

cc cd 2

cd

N kN N

A cm A f

f kN/cm

→

ν = →⋅ →

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Seção crítica

1b 1 2

min

excentricidade total

e e e e

e

= α ⋅ + ≥

A seção crítica é avaliada pela combinação das excentricidades parciais (NBR 6118:2003 – 15.8.3.3.2):

Na prática, para edifícios usuais: MA ≅ –MB → αb ≅ 0,4para e1 ≤ emin → αb = 1,0


-

+

MB

e1B

M e 22

e A 1A

M

e= MNe

2a. ordem1a. ordem

30

Excentricidade de 2a ordem e2

Para pilares medianamente esbeltos (λ ≤ 90) com seção constantee armadura simétrica e constante no lance considerado, é válido ométodo do pilar padrão com rigidez κ (kapa) aproximada, sendo estimada a excentricidade e2 diretamente com (ver Scandelai

(2004) – Mestrado EESC–USP):

1b

2

1

2

2 1 1

e h é a dimensão do pilar

h

k 13.840

e k kh 10 2 5 10 2

ξ = α

λ= −

ξ ξ ξ = − + − +

Para pilares pouco esbeltos (λ ≤ λ1), é permitido adotar e2 = 0 !


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Efeito da fluência

-

g

e g

N

N Ngcc

g

g g

c ce 2

e

Me L 2,718 1

N

M e N são esforços solicitantes na CQP

1300

desaprumo, (H em metros)1

100 HE I

N 10 (carga crítica de Euler)L

(coeficiente de fluência 2

ϕ = + θ −

θ ≥

=

ϕ = , em geral)

Para λ > 90 é obrigatório considerar o efeito da fluência, podendo ser avaliado de modo simplificado pela adição da excentricidade suplementar ecc à excentricidade total e.


32

Diâmetro das barras longitudinais: 10mm ≤ øL ≤ b / 8

(b = menor dimensão do pilar)

5. Disposições construtivas

agreg h

L

2 cm40 cm

1,2 d s2 b

⋅ ≤ ≤ ⋅φ

Espaçamento horizontal das barras:

hs

>10mmøL

>5mmtø


(NBR 6118:07 -18.4.2)

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Taxa de armadura:

Disposições construtivas

v

L

20 cm

s b

12

≤ φ

Espaçamento vertical dos estribos:

mins

maxc

0,4% A4,0% (incluindo emendas)A

≥ ρ =ρ =

≤ ρ =

Diâmetro dos estribos:/

tL

5 mm

4

φ ≥ φ

Os estribos devem ser posicionados em toda altura do pilar,inclusive e, obrigatoriamente, na região de cruzamento com vigas

ou lajes.


34

Segundo a NBR 6118:2007, estão protegidas contra flambagem as barras longitudinais até 20 φt da quina do estribo, desde que não haja mais do que 2 barras (fora a da quina) nesse trecho, sendo utilizado estribo suplementar quando necessário.

Proteção contra flambagem das barras

20ø

suplementarestribo

t20ø t estriboduplo


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Detalhamento da armadura

Geralmente, pilares estão sujeitos à flexão oblíqua.

Cada armadura deve ficar no seu plano de flexão.

A taxa total de armadura deve respeitar a taxa máxima ρmax = 4,0% (já considerando haver a região de emendas de barras).

Obs: para armadura em uma camada, é adotado d´=4cm.


36

6. Pilares intermediários e de extremidade

Nestes pilares há predominância da flexo-compressão normal ou reta em uma direção principal de inércia, quando a seção transversal é simétrica com pelo menos um eixo de simetria.

O dimensionamento da armadura é efetuado separadamente em cada direção, não sendo somados os resultados obtidos e escolhendo um arranjo para as barras que satisfaça às duas situações independentes.


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Tipos de flexão composta


Nd

e

CG

cσ

cσ

CG

As

Nd

Md

sA'Nd

σt

e

σc

M

N

d

d

A's

sA

Flexão com pequena excentricidade

Flexão com grande excentricidade

tensões não mudam de sinal

tensões mudam de sinal

38

Flexão normal composta – FNC


N h/2

sA

d

sR

h/2

sA'

Md

=

R'd's

cR

a

d

d s c s

d s c s

d(N > 0 compressãoN R' R R

h h hM R

)

' d' R a R d2 2 2

= + +

= − + − + −

→

c s sε ε ε'

x d - x x - d'= =

Equações de equilíbrio:

Equações de compatibilidade:

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Resolução do sistema de equações

Conhecendo o concreto e as dimensões da seção transversal, o sistema fica com 3 equações independentes e 7 incógnitas:

As , A´s , σsd , σ´sd, εs , ε´s , x

Como as tensões no aço dependem da deformação, o sistema pode ser reduzido a 5 incógnitas:

As , A´s , εs , ε´s , x

Para evitar dificuldades de montagem da armadura, usualmente é adotado no dimensionamento de pilares:

As = A´s

Restando ainda 1 grau de liberdade, a solução é obtida fixando, por exemplo, a posição da linha neutra x para serem determinados εs e ε´s , então calculados σsd , σ´sd, As e A´s.


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Flexão normal composta - cálculo prático

2

d

cd

M ebh f h

µ = = ν⋅

d

cd

Nbh f

ν =⋅

yd yds

cd cd

f fAbh f f

ω = = ρ

2

forças e momentos kN e kN.cm

dimensões lineares cm

tensões resistentes kN/cm

→

→ →

Usar os ábacos de flexo-compressão reta com armadura simétrica

h/2M

N

d

d

A's

sA

=

R'

h/2

s

cR

sR

d'a

d

Força normal reduzida

Momento fletor reduzido

Taxa mecânica da armadura


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Curvas de interação


Impondo uma seção de CA (aço e concreto) e variando a posição da Linha Neutra, é obtido cada ponto da curva representando

uma posição de equilíbrio de um par de esforços Nd e Md.

42

Ábacos de FNC

Para elementos comprimidos, deve ser respeitada armadura mínima com taxa ρmin = 0,4%


traçãocompressãoν

µ

Domínio 5

Domínio 4a

Domínio 4Domínio 3

Domínio 2

Domínio 1As = 0

ωω

2

1

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Ábacos de Pinheiro (EESC-USP)Proj. Dim. e Det. Estr. CA – 09 Projeto de pilares

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7. Pilares de canto

Estes pilares estão sujeitos predominantemente a flexo-compressãooblíqua e o dimensionamento da armadura geralmente é efetuadoatravés de métodos numéricos ou ábacos específicos, já que aposição da linha neutra depende do arranjo adotado da armadura.

De modo simplificado, é permito verificar a segurança de umadeterminada seção transversal de pilar sujeita a flexão compostaoblíqua por transformação afim da seção. Para tanto, é imposto umarranjo para a armadura e são calculados os momentos resistentes de 2 flexões compostas retas independentes de modo a satisfazer aexpressão de iteração seguinte (NBR 6118:03 – 17.2.5.2)


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Cálculo aproximado

onde: x e y são as direções principais de inércia da seção do pilarµRx e µRy são as componentes do momento resistente na

flexão oblíqua a serem verificadas quando atua a força de compressão Nd

µRx* e µRy* são os momentos resistentes na flexão composta reta para cada direção principal quando atua a mesma força de compressão Nd

α é tomado como 1 para o caso geral (a favor da segurança) e como 1,2 para o caso de seção transversal retangular

RyR

Rx* Ry

x

*

1

αα

µ µ

+ =

µµ

É permitido verificar uma seção transversal sujeita a FOC por transforma-ção afim com a imposição de um arranjo para a armadura e o cálculo de momentos resistentes de 2 FNCs independentes com:


46

Verificação da flexão oblíqua

Fixando uma taxa geométrica ρ para cada direção principal de inércia (não superpondo a armadura) e admitindo que o momento reduzido resistente é igual ao maior momento aplicado em uma mesma direção, por exemplo x,

µRx = µx

é possível verificar se o momento aplicado na outra direção y é menor do que o momento resistente nessa mesma direção y.

Ry*Rx

y Ry*

1/

x 1

αα µ µ ≤ ⋅ −

µ µµ

=

µRx* e µRy* = momentos resistentes na flexão reta

µx e µy = momentos aplicados na flexão oblíqua


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Flexão oblíqua composta – FOC

Geralmente, o dimensionamento exige a utilização de processo numérico com a discretização da seção em elementos com dimensões finitas pois o cálculo exato é de difícil solução.


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Flexão oblíqua composta – FOC

A resolução conduz a uma superfície no espaço para um terno Nd, Mxd e Myd para um dado arranjo da armadura, sendo comum o uso

de ábacos para uma dada força de compressão Nd (ou ν).


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Programa Oblíqua – CESEC/UFPR


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8. Método geral

Para λ > 90, o Método Geral determina e2 de modo mais preciso.

a) Dividir o pilar em n trechos: Δx = L/n

b) Arbitrar valor para a flecha a: yo = a

c) Calcular M2d = a Nd

d) Calcular Mo= M1d + M2d → µo = µ1 + µ2

e) Obter a curvatura 1/ro

f) Obter

g) Repetir c) para obter µ1 e 1/r1

h) Obter

i) Continuar para as demais seções com:

j) Verificar se yn=0 (forma estável)

h) Se yn≠0, arbitrar nova flecha a

0

0

2

1

x 1y y

2 r∆

= −

22 1 o

1

1y 2y y x

r

= − − ∆

2i+1 i i-1

i

1y 2y y x

r

= − − ∆


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Relações Momento Curvatura

EM

y

1 M r y

σε =

σ =Ι

ε⇒ = =

Ι

Admitindo a linearidade física do material:


52

Relações Momento Curvatura

,cc o

c s

ss o

y3 5‰

r1r d y

10‰r

ε = ε + ≤

ε − ε =

ε = ε − ≤

Fixando 1/r e utilizando as equações de equilíbrio, pode ser determinado o par N e M que satisfaz os

limites máximos de deformação dos materiais.

para cada 1/r, pode ser determinado εo


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Diagrama Normal, Momento, Curvatura

A rigidez secante é obtida a partir de diagramas N, M, 1/r:

é necessário conhecer Nd, As, concreto e aço. Na prática, o

processo só é viável com uso de computadores.


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