08 is Curs Principal - Estimare si identificare

1/17

136136

qq MetodeMetode de de identificareidentificare ii validarevalidareTeorema 2 (Teorema fundamental a MCMMP)TeoremaTeorema 22 ((TeoremaTeorema fundamentalfundamental a a MCMMPMCMMP))

Urmtoarele Urmtoarele 3 i3 ipoteze se consider verificatepoteze se consider verificate::a.a. matricea matricea este perfect determinist este perfect determinist;;b.b. matricea matricea RR (sau (sau RRNN) e) este strict pozitiv definit ste strict pozitiv definit (adi(adic inversabilc inversabil) p) pentru toate entru toate

dimensiunile orizontului de msur suficient de maridimensiunile orizontului de msur suficient de mari; ; c. perturbaia v aparine clasei za(0,2) (adic este un zgomot alb de medie nul i

dispersie necunoscut 2).MCMMPMCMMP oferofer 3 3 estimaestimaiiii remarcabileremarcabile::

( ) 1 T TN = Y [ ] [ ] [ ]def T Nv n y n n= ( )22 21 11 1 [ ] [ ] [ ]NN Ndef

TN

n nN N

v n y n n= =

= = n Nvectorulvectorul

parametrilorparametrilorzgomotulzgomotul

perturbatorperturbator dispersiadispersia zgomotuluizgomotului perturbatorperturbator{ , }N N n N

AcesteaAcestea verificverific urmtoareleurmtoarele proprietproprietii::

1.1. EstimaEstimaia vectorului parametrilor adevraia vectorului parametrilor adevrai este i este nedeviatnedeviat..2. Matricea de auto-covarian a erorii de estimare pentru vectorul parametrilor

adevrai este egal cu: ( ) 12 1 2( ) TN = = P R 3.3. EstimaEstimaia vectorului parametrilor adevraia vectorului parametrilor adevrai este i este consistentconsistent..

qq..pp TeoremaTeorema fundamentalfundamental a a MCMMPMCMMP

2/17

137137

qq MetodeMetode de de identificareidentificare ii validarevalidareTeorema 2 (Teorema fundamental a MCMMP final)TeoremaTeorema 22 ((TeoremaTeorema fundamentalfundamental a a MCMMPMCMMP final)final)

4.4. Fie Fie clasa estimaclasa estimaiilor nedeviate ale lui iilor nedeviate ale lui ** care se pot exprima ca transformri liniare care se pot exprima ca transformri liniare deterministe ale vectorului de date de iedeterministe ale vectorului de date de ieire msurate ire msurate YY. Atunci, estima. Atunci, estimaia vectorului ia vectorului parametrilor adevraparametrilor adevrai apari aparine lui ine lui i, i, n plus, face parte dintre cele mai eficiente n plus, face parte dintre cele mai eficiente estimaestimaii din aceast clasii din aceast clas..

5.5. AmbeleAmbele eestimastimaiiii aale dispersiei zgomotului alb sunt consistente le dispersiei zgomotului alb sunt consistente (deci (deci i asimptotic nedeviate).i asimptotic nedeviate).

6.6. PentruPentru N N = = NN, e, estimastimaia ia dispersieidispersiei zgomotuluizgomotului albalb este deviat este deviat, dar, dar,, pentrupentru N N = = NN--nn, , ea ea este nedeviateste nedeviat..

DemonstraieDemonstraDemonstraieie

naintenainte de a de a demonstrademonstra concluziileconcluziile teoremeiteoremei, , suntsunt necesarenecesare ctevacteva calculecalcule preliminarepreliminare. . VVa fi dedus relaa fi dedus relaia care exist ntre vectorul parametrilor adevraiia care exist ntre vectorul parametrilor adevrai i i cel al parametrilor estimaicel al parametrilor estimai. .

P (*)PP ((**)) [ ] [ ] [ ]Ty n n v n= + [ [1] [2] [ ]]

defT Nv v v N= V " R VectorulVectorul global al global al perturbaperturbaiiloriilor..

1,n N = +Y V

( ) 1 T TN = Y( )

( )1

1

( )T TNT T

= + == +

V

V


3/17

138138

qq MetodeMetode de de identificareidentificare ii validarevalidareDemonstraie (Teorema 2)DemonstraDemonstraieie ((TeoremaTeorema 2)2)

OperatorulOperatorul de de deparazitaredeparazitare fiindfiind ortogonalortogonal pepe celcel reprezentatreprezentat de de matriceamatricea regresorilorregresorilor, , estimaiaestimaia perturbaieiperturbaiei se se poatepoate obineobine prinprin proieciaproiecia perturbaieiperturbaiei necunoscutenecunoscute pepehiperplanulhiperplanul parazitparazit. .

nn continuarecontinuare, , vava fi fi exprimatexprimat estimaestimaia vectorulia vectoruluiui perturbaieiperturbaiei, , nn vedereavederea determinriideterminriiuneiunei expresiiexpresii adecvateadecvate ii pentrupentru dispersiadispersia estimatestimat a a zgomotuluizgomotului alb.alb.

VectorulVectorul global global estimatestimat al al perturbaperturbaiiloriilor..

( ) 1 T T= = =V Y Y Y QYl [ [1] [2] [ ]]

defT Nv v v N= V " R

Vectorul perturbaiei se poate estima proiectndvectorul datelor de ieire pe hiperplanul parazit.VectorulVectorul perturbaperturbaieiiei se se poatepoate estimaestima proiectproiectndndvectorulvectorul datelordatelor de de ieieireire pepe hiperplanulhiperplanul parazitparazit..

( )= = + =V QY Q V QV= +Y V

RezultRezult imediatimediat cc: : 2 21 1 1 1 N T T T T TN N N N

= = = = V V V Q QV V Q V V QV((datoritdatorit

proprietproprietiloriloroperatoruluioperatorului QQ))

AcumAcum, se pot , se pot demonstrademonstra concluziileconcluziile teoremeiteoremei. . 1.1. NNedeviedeviereaerea estimaestimaiiloriilor parametrilorparametrilor necunoscunecunoscuii

{ }NE ( ) 1 { }T T E= + V .= ( ) 1 T TN = + V

( ){ }1T TE = + Va.a.a. c.c.c.


4/17

139139


2.2. MatriceaMatricea de autode auto--covariancovarian a a eroriierorii de de estimareestimare

{ } ( ) ( )( )def TN N NE = P ( ) { } ( )1 1T T T TE = VV ( )2 1 .T =

( ) 1 T TN = + V( ) ( ){ }1 1T T T TE = VV

a.a.a.

c.c.c.

=

( ) ( )( )2 1 1T T T = 2

N I3.3. ConsistenConsistenaa estimaestimaiiloriilor parametrilorparametrilor necunoscunecunoscuii

lim NN

.= ( ) 1 T TN = + V a.&b.a.&ba.&b..

c.c.c.

1{ [ ] [ ]}T E n v n

= + 1

1 1

1 1lim [ ] [ ] [ ] [ ]N N

T

N n n

n n n v nN N

= =

= + a.a.a.

=

1[ ] { [ ]}T n E v n

= +

* Consistena este cea mai importantproprietate statistic.

** ConsistenConsistenaa esteeste ceacea maimai importantimportantproprietateproprietate statisticstatistic..

Demonstraia s-a bazat pe faptul c limita irului matricilor RN continu s fie inversabil cel puin pentru o realizare infinit a procesului furnizor de date.

DemonstraDemonstraia sia s--a bazat pe faptul c limita a bazat pe faptul c limita irului irului matricilor matricilor RRNN continu s fie inversabil cel pucontinu s fie inversabil cel puin in pentru o realizare infinit a procesului furnizor de datepentru o realizare infinit a procesului furnizor de date..

media aritmetic media aritmetic ideal a produselorideal a produselor [ ] [ ]Tn n


5/17

140140


4.4. EficienEficienaa estimaestimaiiloriilor parametrilorparametrilor necunoscunecunoscuii

= AY

{ }( ) ( { })E E + = +A V A V n=A I

{ }E = c.c.c.

= =A

PentruPentru simplitatesimplitate, , indiceleindicele NN vava fifi omisomis din din notaianotaia vectoruluivectorului parametrilorparametrilor necunoscuinecunoscui. .

( ) 1 T T= Y n NA R

= AY

Fie Fie o alt estimao alt estimaie nedeviatie nedeviatdin clasa din clasa , e, eventual diferit de ventual diferit de ceaceaoferitoferit de de MCMMPMCMMP..

NedeviereNedeviereNedeviere a.a.a.

Conform definiiei, estimaiaConform definiiei, estimaia este cel puin tot att de eficient ca estimaiaeste cel puin tot att de eficient ca estimaia dacdac:: ( ) ( ) ( ) ( ) . 0P P P P

PentruPentru a a demonstrademonstra aceastaceast inegalitateinegalitate, se , se pleacpleac de la de la operatoruloperatorul liniarliniar ,def= A A

care care verificverific proprietateaproprietatea remarcabilremarcabil de a de a fifi ortogonalortogonal pepe operatoruloperatorul reprezentatreprezentatde de matriceamatricea regresorilorregresorilor (ca (ca ii operatoruloperatorul QQ): ):

.n n = = = A A I I 0 Cu Cu ajutorulajutorul operatoruluioperatorului , se , se poatepoate determinadetermina o o relarelaieie ntrentre celecele doudou estimaestimaiiii::

( )= = + AY A Y = +Y ( )= + + V .= + V= +Y V

Estimaia oferit de MCMMP face parte din clasa de estimaii definit n enunul teoremei.EstimaEstimaiaia oferitoferit de de MCMMPMCMMP face face parteparte din din clasaclasa de de estimaestimaiiii definitdefinit nn enunenunulul teoremeiteoremei..

a.a.a.


6/17

141141


4.4. EficienEficienaa estimaestimaiiloriilor parametrilorparametrilor necunoscunecunoscuii ((continuarecontinuare))

AadarAadarAadar = + V( ) ( )( ){ }def TE = P { } ( )( )TE = + + V V

( )= P=

{ }T TE+ VV { }( ) T TE + V { }( )TE + V TermeniiTermenii ncruciaincruciai ((transpuitranspui unulunul altuiaaltuia) se ) se anuleazanuleaz: : { }( ) T TE V

( ) 1 T T= + V( ){ }1T T T TE = VV ( ) 1 { }T T T TE= VV

a.a.a.

=c.c.c.

( ) 12 T T T= .= 00

RezultRezult atunciatunci cc: : { }( ) ( ) T TE= + VV P P 2( ) T+ = Pc.c.c. & & deterministdeterminist

2( ) ( ) T = 0P P

* O demonstraie alternativ a eficieneiutilizeaz un raionament bazat pe un rezultat din Teoria Matricilor.

** O O demonstrademonstraieie alternativalternativ a a eficieneficieneieiutilizeazutilizeaz un un raraionamentionament bazatbazat pepe un un rezultatrezultat din din TeoriaTeoria MatricilorMatricilor..


7/17

142142


5.5. ConsistenConsistenaa estimaestimaiiloriilor dispersieidispersiei zgomotuluizgomotului albalb

2 1N

T

N = V QV Proprietatea rezult dup cteva calculeelementare, innd cont de ipotezele teoremei.ProprietateaProprietatea rezultrezult dupdup cctevateva calculecalculeelementareelementare, , ininndnd cont de cont de ipotezeleipotezele teoremeiteoremei..Exerciiu

ExerciiuExerciiu

6.6. ProprietProprietii de de nedevierenedeviere ale ale estimaestimaiiloriilor dispersieidispersiei zgomotuluizgomotului albalb

// DeviatDeviat( )221

1 [ ] [ ]Ndef

TN N

ny n n

N = = NedeviatNedeviat( )22

1

1 [ ] [ ]Ndef

TN n N

ny n n

N n = =

Ambele aseriuni vor fi demonstrate simultan, folosind Ambele aseriuni vor fi demonstrate simultan, folosind operatorul numit operatorul numit urm a unei matriciurm a unei matrici ((tracetrace). ).

1

( )ndef

iii

a=

= ATrsumasuma elementelorelementelorde de pepe diagonaldiagonal

Proprieti elementare ale operatorului TrProprietProprietii elementareelementare ale ale operatoruluioperatorului TrTr

LiniaritateLiniaritate( ) ( ) ( ) + = +A B A BTr Tr Tr

InvarianInvarian la la comutareacomutarea matricilormatricilorn N

* Proprietate care se verific indiferent dac produsul celor dou matrici este sau nu comutativ.

** PProprietate roprietate care care se verific se verific indiferent dac produsul celor dou indiferent dac produsul celor dou matrici este sau nu comutativmatrici este sau nu comutativ..

2 1 N TN

= V QVE{ } { }2 1 N T

N

E E = V QVR{ }1 ( )T

N

E= V QVTr

{ }1 ( )TN

E= QVVTr

( ) ( )=AB BATr Tr


8/17

143143


6.6. ProprietProprietii de de nedevierenedeviere ale ale estimaestimaiiloriilor dispersieidispersiei zgomotuluizgomotului alb (alb (continuarecontinuare))

AadarAadarAadar { } { }2 1 ( )N TN

E E = QVVTr

{ } { }( )2 1 N TN

EE = Q VVTra.a.a.

2

( )N

= QTrc.c.c.

( )2 1T TNN

= I Tr

( ){ }2 1T TN

N = Tr

=

( ){ }2 1T TN

N = Tr =

( )2 nN

N = ITr

2

N

N n = Egalitatea obinut demonstreaz proprietatea de deviere/nedevieEgalitatea obinut demonstreaz proprietatea de deviere/nedeviere a estimaiire a estimaiilorlordispersiei zgomotului alb i justific alegerea constantei dispersiei zgomotului alb i justific alegerea constantei NN. .

* Dac ipoteza b. din enunul Teoremei este necesar pentru buna definire a estimaiei parametrilor necunoscui, ipotezele a. i c. sunt destul de restrictive.

** Dac ipoteza Dac ipoteza b.b. din enundin enunul Teoremei ul Teoremei este necesar pentru buna definire a este necesar pentru buna definire a estimaestimaiei parametrilor necunoscuiei parametrilor necunoscui, i, ipotezele ipotezele a.a. i i c.c. sunt destul de restrictive.sunt destul de restrictive.

Ipotezele teoremei au fost alese cu grij, astfel nct att consistena ct i nedeviereaestimaiilor s fie verificate.

IIpotezele teoremei au fost alese potezele teoremei au fost alese cu grijcu grij, astfel , astfel ncnct att att t consistenconsistenaa cct t i i nedeviereanedeviereaestimaestimaiilor s fie verificateiilor s fie verificate..


9/17

MCMMP induce o tehnic de extragere a datelor utile din datele msurate, cu ajutorul proieciilor ortogonale, adicneredundante.

MCMMPMCMMP induce o induce o tehnictehnic de de extragereextragere a datelor utile din datele msuratea datelor utile din datele msurate, , cu ajutorul proieccu ajutorul proieciilor ortogonaleiilor ortogonale, , adicadicneredundanteneredundante..

144144

qq MetodeMetode de de identificareidentificare ii validarevalidareSumarul relaiilor matriciale din contextul MCMMPSumarulSumarul relaiilorrelaiilor matricialematriciale din din contextulcontextul MCMMPMCMMP

Contextul de lucruContextulContextul de de lucrulucru

P (*)PP ((**)) M ()MM (())= +Y V ( )= +Y

{ }E =V 02{ }T NE = VV I

( ) = V

Criteriul ptraticCriteriulCriteriul ptraticptratic

2 2( ) ( )def= = Y V

Estimaiile oferite de MCMMPEstimaEstimaiileiile oferiteoferite de de MCMMPMCMMP

( ) ( )1 1 T T T TN = = + Y VN= = =V Y QY QV

2 1 1 N

T T

N N = = V V V QV

( ) 2 N

T T TN N = = = = Y QY V QV V VV

YY

RRnn

RRNN

YY^^YY^^

^^^^* Zgomotul estimat se obine prin

proiectarea datelor de ieire msurate pe hiperplanul parazit.

** ZZgomotul estimat se obgomotul estimat se obine prin ine prin proiectarea datelor de ieproiectarea datelor de ieire ire msurate pe hiperplanumsurate pe hiperplanul l parazitparazit..

Extracia datelor utile din date afectate de zgomot nu este ns perfect, calitatea ei depinznd de matricea regresorilor.

ExtracExtracia datelor utile din date ia datelor utile din date afectate de zgomot afectate de zgomot nu este nu este ns ns perfectperfect, calitatea ei depinz, calitatea ei depinznd nd de matricea regresorilorde matricea regresorilor. .

( )SNR SNR ( ) Y


10/17

145145

qq MetodeMetode de de identificareidentificare ii validarevalidare

Condiia a. (determinismul matricii regresorilor) este adesea nlocuitprin condiia ca perturbaia i vectorul regresorilor s nu fie corelate.

CondiCondiiaia a.a. ((determinismuldeterminismul matriciimatricii regresorilorregresorilor) ) esteeste adeseaadesea nlocuitnlocuitprinprin condicondiiaia ca ca perturbaperturbaiaia ii vectorulvectorul regresorilorregresorilor ss nunu fie fie corelatecorelate. .

Cum pot Cum pot fifi relaxaterelaxate condiiilecondiiile restrictive din restrictive din cadrulcadrul TeoremeiTeoremeifundamentalefundamentale frfr a a afectaafecta consistenaconsistena estimaiilorestimaiilor??

{ }[ ] [ ] 0E n v m =,n m N

Se Se poatepoate artaarta ((dedeii esteeste maimai complicatcomplicat), ), cc nouanoua condicondiieienunu conduce la conduce la pierdereapierderea consistenconsisteneiei. .

CondiCondiiaia esteeste sugeratsugerat de de expresiaexpresia idealideal a a parametrilorparametrilor adevraadevraii. .

{ }( ) { }( ) 111 1

1 1[ ] [ ] [ ] [ ] lim [ ] [ ] lim [ ] [ ]N N

T T

N Nn n

E n n E n y n n n n y nN N

= =

= = ( ) ( )1{ [ ] [ ]} { [ ] [ ]} { [ ] [ ]}TE n n E n y n E n v n =

N

Mai Mai multmult, , datoritdatorit timpuluitimpului mort mort intrinsecintrinsec al al procesuluiprocesului, , nn anumiteanumite cazuricazuri esteeste posibilposibilverificareaverificarea condicondiieiiei de de necorelarenecorelare chiarchiar ii nn cazulcazul identificriiidentificrii nn buclbucl nchisnchis. .

Condiia b. (inversabilitatea matricii de covarian) este indispensabilpentru buna definire a estimaiei vectorului parametrilor necunoscui.

CondiCondiiaia b.b. ((inversabilitateainversabilitatea matriciimatricii de de covariancovarian) ) esteeste indispensabilindispensabilpentrupentru bunabuna definiredefinire a a estimaestimaieiiei vectoruluivectorului parametrilorparametrilor necunoscunecunoscuii. .

1

1

1 1

1 1 [ ] [ ] [ ] [ ]N N

TN N N

n nn n n y n

N N

= =

= = R r * Dealtfel, aceasta nu este

o condiie restrictiv.** DealtfelDealtfel, , aceastaaceasta nunu esteeste

o o condicondiieie restrictivrestrictiv..

q.q Variante de baz ale MCMMPqq..qq VarianteVariante de de bazbaz ale ale MCMMPMCMMP

11/17

Centrarea datelor pe medieCentrareaCentrarea datelordatelor pepe mediemedieEstimatorul Markov EstimatorulEstimatorul Markov Markov

CazulCazul zgomotelorzgomotelor coloratecolorate, , de de mediemedie nulnul

CazulCazul zgmotelorzgmotelor albe albe de de mediemedie nenulnenul

146146

qq..qq VarianteVariante de de bazbaz ale ale MCMMPMCMMPqq MetodeMetode de de identificareidentificare ii validarevalidare

Condiia c. (perturbaia este un zgomot alb) se verific rareori n practic. CondiCondiiaia c.c. ((perturbaperturbaiaia esteeste un un zgomotzgomot albalb) se ) se verificverific rareorirareori nn practicpractic. .

Pentru relaxarea ei, exist dou abordri. PentruPentru relaxarearelaxarea eiei, , existexist doudou abordriabordri. .

Erori sistematice de msur)EroriErori sistematicesistematice de de msurmsur ))

Cazul zgomotelor colorate, de medie nul. Estimatorul Markov. CazulCazul zgomotelorzgomotelor coloratecolorate, de , de mediemedie nulnul. . EstimatorulEstimatorul Markov. Markov.

* Cazuri frecventntlnite n aplicaii.

** CazuriCazuri frecventfrecventntntlnitelnite nn aplicaaplicaiiii..

{ }TE = >VV 0mmatricatricee de autode auto--covariancovarian nu neaprat nu neaprat

diagonaldiagonal, d, darar simetric simetric i strict pozitiv definiti strict pozitiv definit

Deoarece media zgomotului continu s fie nul, att nedevierea ct i consistena estimaiiloroferite de MCMMP se conserv.

DeoareceDeoarece media zgomotului continu s fie nul media zgomotului continu s fie nul, , atatt t nedeviereanedevierea cct t i i consistenconsistenaa estimaestimaiiiloriloroferite de oferite de MCMMPMCMMP se conservse conserv..

// Se Se pierdepierde eficieneficienaa estimaestimaieiiei..( ) ( )1 1( ) T T T =P ExerciiuExerciiuExerciiu

Estimatorul CMMP se poate nlocui cu estimatorul Markov, care se construiete plecnd de la descompunerea Cholesky a matricii .

EstimatorulEstimatorul CMMPCMMP se se poatepoate nlocuinlocui cu cu estimatorulestimatorul MarkovMarkov, care se , care se construieconstruietete plecplecndnd de la de la descompunereadescompunerea CholeskyCholesky a a matriciimatricii ..

Cum se Cum se poatepoate remediaremedia acestacest efectefect??

T= > C C 0= +Y VT C

Y VTransformareTransformare echivalentechivalent a a ecuaecuaieiiei procesuluiprocesuluiT T T = +C Y C C V = +Y V

12/17

147147

qq MetodeMetode de de identificareidentificare ii validarevalidareCazul zgomotelor colorate, de medie nul. Estimatorul Markov. (final )CazulCazul zgomotelorzgomotelor coloratecolorate, de , de mediemedie nulnul. . EstimatorulEstimatorul Markov. Markov. (final )(final )

1{ } { }T T TE E =VV C VV C EsteEste alb alb noulnoul zgomotzgomot??= +Y V AadarAadarAadar

TC Y TC TC V

DADA

1{ }T TE =C VV C1T =C C 1T T =C C CC N= IEstimaia MarkovEstimaia

Estimaia MarkovMarkov

( ) ( )1 11 1T T T T = = Y Y * Cea mai eficient din clasa .** CeaCea maimai eficienteficient din din clasaclasa ..

( ) 11( ) T =P ExerciiuExerciiuExerciiu ( ) ( )P P MarkovMarkov CMMPCMMP ( )11T T T 0

* i are chiardispersie unitar.

** ii are are chiarchiardispersiedispersie unitarunitar..

EsteEste acestacest estimator estimator implementabilimplementabil??

MatriceaMatricea de autode auto--covariancovarian a a zgomotuluizgomotului coloratcolorat nunu esteeste cunoscutcunoscut..ChiarChiar dacdac matriceamatricea de autode auto--covariancovarian a a zgomotuluizgomotului coloratcolorat arar fifi estimatestimat nn prealabilprealabil, ,

dimensiuneadimensiunea acesteiaacesteia esteeste egalegal cu a cu a orizontuluiorizontului de de msurmsur, , astfelastfel cc inversareainversarea esteeste o o operaoperaieie consumatoareconsumatoare de de timptimp..

n cazul zgomotelor colorate de medie nul, se utilizeaz tot MCMMP, chiar dac nu este cea mai eficient.

nn cazulcazul zgomotelorzgomotelor coloratecolorate de de mediemedie nulnul, se , se utilizeazutilizeaz tot tot MCMMPMCMMP, , chiarchiar dacdac nunu esteeste ceacea maimai eficienteficient..

n general, nu, din dou motive:nn general, general, nunu, din , din doudou motive:motive:

qq..qq VarianteVariante de de bazbaz ale ale MCMMPMCMMP

13/17

[ ] [ ] [ ]Ty n n v n= +

CentrareaCentrarea datelordatelor pepe mediemedie((stastaionarizareaionarizarea datelordatelor))

148148

qq MetodeMetode de de identificareidentificare ii validarevalidareCazul zgomotelor albe, de medie nenul. Centrarea datelor pe medie. CazulCazul zgomotelorzgomotelor albe, de albe, de mediemedie nenulnenul. . CentrareaCentrarea datelordatelor pepe mediemedie. .

{ [ ]} 0E v n v= eroareeroare sistematicsistematic de de msurmsur

((necunoscutnecunoscut))

ExerciiuExerciiuExerciiu // ConsistenConsistenaa ii nedeviereanedevierea estimaestimaieiiei se se pierdpierd..

Cum se Cum se poatepoate remediaremedia acestacest efectefect??

CentrareaCentrarea datelordatelor pepe mediemedie((stastaionarizareaionarizarea datelordatelor))

n acest curs +nn acestacest curs curs ++MetodaMetoda CelorCelor Mai Mai MiciMici PPtratetrate cu cu

ParametriParametri ExtinExtinii ((MCMMPPEMCMMPPE))

Exist dou strategii.ExistExist doudou strategiistrategii..

ExerciiuExerciiuExerciiu

Se Se pleacpleac de la de la observaobservaiaia cc zgomotulzgomotul stastaionarizationarizat are are mediemedie nulnul. .

( )( ){ } 22 0{ [ ] [ ]} [ ] [ ] [ ]E v n v m E v n v v m v n m v= = { [ ]}

defv v E v n v v = { }[ ] 0E v n v v= =

De De notatnotat cc zgomotulzgomotul stastaionarizationarizat nunu maimai esteeste albalb, , cici ccoolloorraatt. . ExerciiuExerciiuExerciiu

,n m N Conform Conform cazuluicazului anterior, anterior, zgomotelezgomotele coloratecolorate nunu producproducpierdereapierderea consistenconsisteneiei, , dacdac au media au media nulnul. .

TransformareTransformare echivalentechivalent a a ecuaecuaieiiei procesuluiprocesului

[ ] [ ] [ ]Ty n n v v n= + + n Nn N

parametruparametru necunoscutnecunoscutsuplimentarsuplimentar


14/17

Se poate folosi fie Estimatorul Markov, fie Estimatorul CMMP.

Se Se poatepoate folosifolosi fie fie EstimatorulEstimatorul MarkovMarkov, , fie fie EstimatorulEstimatorul CMMPCMMP. .

Zgomotul noii ecuaii de proces are medie nul, dar este colorat.ZgomotulZgomotul noiinoii ecuaecuaiiii de de procesproces are are mediemedie nulnul, , dardar esteeste ccoolloorraatt..

[ ] [ ] [ ]Ty n n v n= + n N

Ty v= +

149149

qq MetodeMetode de de identificareidentificare ii validarevalidareCazul zgomotelor albe, de medie nenul. Centrarea datelor pe medie. (final)CazulCazul zgomotelorzgomotelor albe, de albe, de mediemedie nenulnenul. . CentrareaCentrarea datelordatelor pepe mediemedie. . (final)(final)

AadarAadarAadar [ ] [ ] [ ]Ty n n v v n= + + n N

Se Se poatepoate aplicaaplica operatoruloperatorul de de medieremediere statisticstatistic: : { [ ]} { [ ]} { [ ]}TE y n E n E v n= + y T v

* Medii ale datelor msurate.** MediiMedii ale ale datelordatelor msuratemsurate..

EcuaEcuaiaia mediilormediilor se se scadescade din din ceacea a a procesuluiprocesului: : ( )[ ] [ ] [ ]TTy n y n v n = + [ ]y n [ ]T n* Date staionarizate

(centrate pe medie).** Date Date stastaionarizateionarizate

((centratecentrate pepe mediemedie).).

1

1 1

[ ] [ ] [ ] [ ]N N

TN

n nn n n y n

= =

= ( )22

1

1 [ ] [ ]N

NT

NnN

y n n=

= j j jT

NN N Nv y= mediimedii

temporaletemporaleestimateestimate

EroareaEroareasistematicsistematicestimatestimat..

ExerciiuExerciiuExerciiu

SS se se dezvoltedezvolte MCMMPPEMCMMPPE plecplecndnd de la de la exprimareaexprimarea ecuaecuaieiieiprocesuluiprocesului cu cu ajutorulajutorul vectoruluivectorului extinsextins de de parametriparametri. .

def

e v

=

Se Se poatepoate artaarta cc estimaestimaiileiile oferiteoferitede de MCMMPPEMCMMPPE suntsunt aceleaaceleaii ca ca nncazulcazul stastaionarizriiionarizrii datelordatelor..

ecuaecuaiaia mediilormediilor


15/17

Analiza estimaiei oferite de MCMMP pentru modelele ARXAnalizaAnaliza estimaieiestimaiei oferiteoferite de de MCMMPMCMMP pentrupentru modelelemodelele ARXARX[z{{][[z{{z{{]]

1,1 1, 1,1,

1,1 1 , 1,1,

1 1[ ] [ ] [ ] [ ]

1 1[ ] [ ] [ ] [ ]

N N

i nan ni j naj nb

N N N

i nbn n i j nbj na

y n i y n j y n i u n jN N

u n i y n j u n i u n jN N

= =

= =

=

R

150150

qq MetodeMetode de de identificareidentificare ii validarevalidare( Cele mai folosite n Automatic.(( CeleCele maimai folositefolosite nn AutomaticAutomatic..

P (*)PP ((**)) 1 1( ) [ ] ( ) [ ] [ ]A q y n B q u n v n = +n N

[ ] [ ] [ ]Ty n n v n= + n N

polinoamepolinoame cu cu parametriparametri adevraadevraii, , avavndnd gradelegradele nana, , respectivrespectiv nbnb n na nb = +

1,{( [ ], [ ])}N n Nu n y n =Ddate date msuratemsurate

[ ][ ]1 2 1 2

[ ] [ 1] [ 2] [ ] [ 1] [ 2] [ ]def

T

defT

na nb

n y n y n y n na u n u n u n nb

a a a b b b

= =" "

" "

(( vectorulvectorul parametrilorparametrilor necunoscunecunoscuii** vectorulvectorul regresorilorregresorilor

* Aceti vectori au cte dou componente.** AceAcetiti vectorivectori au au cctete doudou componentecomponente..

[ ]Nyr i j , [ ]Nu yr i j

, [ ]Ny ur i j [ ]Nur i j

1 1,

1 1,

1 [ ] [ ]

1 [ ] [ ]

N

n i na

N N

n j nb

y n i y nN

u n j y nN

=

=

=

r [ ]Nyr i

, [ ]Ny ur j

nn cadrulcadrul matriciimatricii RRN N , , indiceleindicele ii parcurgeparcurge liniileliniile, , iariar indiceleindicele jj parcurgeparcurge coloanelecoloanele. . * Matricea nu este neaprat simetric.** MatriceaMatricea nunu esteeste neapratneaprat simetricsimetric..

PentruPentru a a evaluaevalua elementeleelementele matriciimatricii ii ale ale vectoruluivectorului se se apeleazapeleaz la la convenconveniaia prelungiriiprelungirii cu cu zerorurizeroruri a a secvensecvenelorelor de date de date msuratemsurate. .


16/17

1,,, 1,1,

1,, , 1,1,

[ ] [ ]

lim { [ ] [ ]}[ ] [ ]

i nay u yi j naj nb

TNN

i nby u u i j nbj na

r i j r i j

E n nr i j r i j

= = R

151151

qq MetodeMetode de de identificareidentificare ii validarevalidareAnaliza estimaiei oferite de MCMMP pentru modelele ARX [zz{]AnalizaAnaliza estimaieiestimaiei oferiteoferite de de MCMMPMCMMP pentrupentru modelelemodelele ARXARX [[zz{zz{]]

1

1,,, 1,1, 1,1

1,, ,, 1, 1,1,

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

N NNi nay u yi j na yj nb i na

N N N N N Ni nby u u y ui j nb j nbj na

r i j r i j r i

r i j r i j r j

= = R r

( ) ( )2 22 11 1

1 1 [ ] [ ] [ ] [ ]N N

T TN N N N

n nN N

y n n y n n = =

= = R r DacDac perturbaperturbaiaia esteeste un un zgomotzgomot albalb de de mediemedie nulnul ii dispersiedispersie necunoscutnecunoscut..// VectorulVectorul regresorilorregresorilor nunu esteeste perfect determinist.perfect determinist. Nu poate fi aplicat Teorema fundamental a

MCMMP pentru a testa consistena estimaiilor.NuNu poatepoate fifi aplicataplicat TeoremaTeorema fundamentalfundamental aaMCMMPMCMMP pentrupentru a a testatesta consistenconsistenaa estimaestimaiiloriilor..

Cum Cum poatepoate fifi testattestat consistenaconsistena nn cazulcazul acestuiacestui model?model?

Prin relaxarea condiiei a. din ipoteza Teoremei 2.PrinPrin relaxarearelaxarea condicondiieiiei a.a. din din ipotezaipoteza TeoremeiTeoremei 22..

//Mai Mai multmult, , estimaestimaiaia vectoruluivectorului parametrilorparametrilornecunoscunecunoscuii esteeste deviatdeviat..

1,

, 1,

[ ]lim { [ ] [ ]}

[ ]

y i naNN

y u j nb

r iE n y n

r j

= = r

IEIEIE


17/17

{ }[ ] [ ] 0E n v n =( ) ( )1lim { [ ] [ ]} { [ ] [ ]}TNN E n n E n v n = +

152152

qq MetodeMetode de de identificareidentificare ii validarevalidare

( ) ( )1{ [ ] [ ]} { [ ] [ ]} { [ ] [ ]}TE n n E n y n E n v n = lim NNR lim NNr O condiie suficient de consistenO O condicondiieie suficientsuficient de de consistenconsisten

{ }[ ] [ ] 0E v n y n i ={ }[ ] [ ] 0E v n u n j =

1,i na

1,j nb Pentru modelul ARX, urPentru modelul ARX, urmtoarele mtoarele 3 i3 ipoteze se consider verificatepoteze se consider verificate::

Mai Mai precisprecis, se , se poatepoate demonstrademonstra rezultatulrezultatul de de maimai josjos. .

a.a. semnalul de intrare are ordin de persistensemnalul de intrare are ordin de persisten suficient de mare suficient de mare, astfel , astfel ncnct matricea t matricea RRNN s fie inversabil pentru toate dimensiunile orizontului de msus fie inversabil pentru toate dimensiunile orizontului de msur suficient de marir suficient de mari;;

c.c. semnalul de intrare (comansemnalul de intrare (comand sau referind sau referin) este necorelat cu perturba) este necorelat cu perturbaia ia b. perturbaia v aparine clasei za(0,2) (cu dispersia necunoscut 2);

).).{ }[ ] [ ] 0E u n v m =(( , , ,n m ZAtunci estimaiile oferite de Atunci estimaiile oferite de MCMMPMCMMP sunt consistente.sunt consistente.

Se Se observobserv cc numainumai unauna dintredintre celecele doudou condicondiiiii suficientesuficientede de consistenconsisten esteeste precizatprecizat nn cadrulcadrul propozipropoziieiiei. .

* Ieirea de la momente anterioareeste necorelat cu zgomotul de la momentul curent datorit timpuluimort intrinsec al procesului.

** IeIeireairea de la de la momentemomente anterioareanterioareesteeste necorelatnecorelat cu cu zgomotulzgomotul de la de la momentulmomentul curentcurent datoritdatorit timpuluitimpuluimort mort intrinsecintrinsec al al procesuluiprocesului..

IIntrarea ar trebui generat ntrarea ar trebui generat artificialartificial, departe de sursa de , departe de sursa de perturbaperturbaii care afecteaz ieii care afecteaz ieirea procesului, irea procesului, cu ordin de cu ordin de persistenpersisten c ct mai maret mai mare..

Propoziia 4PropoziPropoziiaia 44

Analiza estimaiei oferite de MCMMP pentru modelele ARX [zzz]AnalizaAnaliza estimaieiestimaiei oferiteoferite de de MCMMPMCMMP pentrupentru modelelemodelele ARXARX [[zzzzzz]]qq..qq VarianteVariante de de bazbaz ale ale MCMMPMCMMP

Metode de identificare i validare Metode de identificare i validare Metode de identificare i validare Metode de identificare i validare Metode de identificare i validare Metode de identificare i validare Metode de identificare i validare Metode de identificare i validare Metode de identificare i validare Metode de identificare i validare Metode de identificare i validare Metode de identificare i validare Metode de identificare i validare Metode de identificare i validare Metode de identificare i validare Metode de identificare i validare Metode de identificare i validare

08 is Curs Principal - Estimare si identificare

Documents

Transcript of 08 is Curs Principal - Estimare si identificare