22/04/2023 Alberto Sanchez, PhD 1

CONVOLUCIÓN

22/04/2023 Alberto Sanchez, PhD 2

Convolución

• La convolución es una operación entre señales,– Señales continuas: Integral de Convolución

– Señales discretas: Sumatorio de Convolución

• Cumple con las siguientes propiedades:– Conmutativa: – Asociativa: – Distributiva con la suma:

22/04/2023 Alberto Sanchez, PhD 3

Convolución

La convolución se puede entender como un proceso de desplazamiento en el tiempo,

f(t)

T3 T4 T1 T2

g(t)

t t

22/04/2023 Alberto Sanchez, PhD 4

Convolución

T1

𝑓 (𝜏 )

T3 T4 T2

𝑔 (𝜏 )

τ τ𝑓 (𝜏 )

T3 T4 -T1-T2

𝑔 (−𝜏 )

τ τ𝑓 (𝜏 )

T3 T4

𝑔 (𝑡−𝜏 )

τ τt-T1t-T2

22/04/2023 Alberto Sanchez, PhD 5

Convolución𝑓 (𝜏 )

T3 T4t-T1t-T2

𝑓 ∗𝑔

t-T1t-T2

T1+T3 T2+T4

22/04/2023 Alberto Sanchez, PhD 6

Convolución

𝑓 ∗𝑔

T1+T3 T2+T4

𝑓 (𝜏 )

T3 T4t-T1t-T2 t-T1t-T2

22/04/2023 Alberto Sanchez, PhD 7

Ejemplo – Señales ContinuasCalcular la convolución de las señal consigo mismo.

22/04/2023 Alberto Sanchez, PhD 8

Ejemplo – Señales Continuas

1.

2.

𝑡+12

𝑡−12𝑡−

12

𝑡+12𝑡−

12

𝑡+12

𝑡−12 𝑡+

12

3.

4.

22/04/2023 Alberto Sanchez, PhD 9

Ejemplo – Señales DiscretasHallar la convolución entre las señales,

y

Solución:

n<0:

n>0:

n

n

22/04/2023 Alberto Sanchez, PhD 10

Resp. de Sistemas con ConvoluciónLa respuesta de sistemas lineales e invariantes en el tiempo puede ser calculada utilizando el operador de convolución.

Gu(t) y(t)

22/04/2023 Alberto Sanchez, PhD 11

Resp. de Sistemas con Convolución

Una aproximación a puede ser,

Δ 𝜆(𝑁 1−12 ) Δ𝜆 (𝑁 2+

12 )Δ 𝜆0

𝑢 (Δ 𝜆 )

22/04/2023 Alberto Sanchez, PhD 12

Resp. de Sistemas con Convolución

Entonces,

22/04/2023 Alberto Sanchez, PhD 13

Resp. de Sistemas con ConvoluciónLa respuesta impulsiva aproximada es,

La respuesta del sistema a la entrada es,

22/04/2023 Alberto Sanchez, PhD 14

Resp. de Sistemas con ConvoluciónOperando internamente,

En el limite,

22/04/2023 Alberto Sanchez, PhD 15

Resp. de Sistemas con ConvoluciónEs decir que,

Se puede demostrar de forma similar, que lo anterior también cumple para sistemas discretos.

La respuesta de un SLIC a cualquier entrada, se puede calcular convolucionando la entrada con la respuesta impulsiva del sistema.