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Introduction

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P. CisaillementIntroduction Voilement PSHEAR CSHEAR Forces Contraintes Plaques Pan. Sandwich Plaques

P. Cisaillement Introduction Voilement PSHEAR CSHEAR Forces Contraintes

Ne subit que des dformations de cisaillement xy Trs utilis en aronautique

Plaques

Llment de panneau de cisaillement (PSHEAR, CSHEAR)

Pan. Sandwich Plaques

Figure 1: Exemple dun panneau de cisaillement

Deux composantes qui travaillent ensemble

Plaque mince qui reprend les eorts de cisaillement Raidisseurs (tiges priphriques) qui reprennent les eorts axiaux4 / 48

Voilement

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La commande PSHEAR

P. Cisaillement Introduction Voilement PSHEAR CSHEAR Forces Contraintes

Un des problmes associs ce genre de structure est le voilement ou le ambement local:

P. Cisaillement Introduction Voilement PSHEAR CSHEAR Forces Contraintes

Tout comme pour la commande PBAR, la commande PSHEAR permet de dnir les proprits du panneau de cisaillement. PSHEAR, PID, MID, T, NSM, F1, F2

Plaques Pan. Sandwich Plaques

Plaques Pan. Sandwich Plaques

Figure 2: Voilement dun panneau de cisaillement

PID MID T NSM F1, F2

Il y a une contrainte de cisaillement critique cr partir de laquelle le voilement apparat.

Le numro associ cette proprit Le numro du matriau associ cette proprit Lpaisseur (uniforme) du panneau Masse non structurale par unit de surface Facteur decacit en extension (gnre les raidisseurs)

Le calcul de cette contrainte peut tre trs compliqu

Comme pour les poutres, on doit aussi sassurer que la contrainte de Tresca (ou de von Mises) ne dpasse pas les limites permises

La commande CSHEAR

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La commande CSHEAR - suiteG3 G4P. Cisaillement Introduction Voilement PSHEAR CSHEAR Forces Contraintes

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P. Cisaillement Introduction Voilement PSHEAR CSHEAR Forces Contraintes

Tout comme pour la commande CBAR, la commande CSHEAR permet de connecter le panneau de cisaillement aux noeuds du modle. CSHEAR, EID PID Gi EID, PID, G1, G2, G3, G4

Plaques Pan. Sandwich Plaques

Le numro associ cet lment Le numro de la proprit associe cet lment Les 4 noeuds dnissant les 4 coins de llmentG3 G4

Yelem

Plaques Pan. Sandwich Plaques

G1

G2

Xelem

Les noeuds doivent tre numrots conscutivement autour du primtre

Yelem

G1

G2

Xelem

Figure 3: Schmatisation dun panneau de cisaillement dans NASTRAN

On ne pourrait pas avoir par exemple: CSHEAR, 101, 101, G1, G3, G2, G4 Mais CSHEAR, 101, 101, G1, G4, G3, G2 serait valable Axe local x positif de G1 G2 Axe local y x positif vers G4 Chaque noeud possde deux degrs de libert actifs: Tx et Ty Tous les angles internes doivent tre infrieurs 180

Explications relatives aux facteurs F1 et F2Dnition des facteurs F1 et F2P. Cisaillement Introduction Voilement PSHEAR CSHEAR Forces ContraintesG3 G4

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Explications relatives aux facteurs F1 et F2

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Yelem

P. Cisaillement Introduction Voilement PSHEAR CSHEAR Forces Contraintes

Dnition des facteurs F1 et F2 Si on entre: F1 1.01 laire de la section des barreaux AF1 devient: AF1 = F1 T P A L12 + L34

PlaquesG1

G2

Xelem

Plaques Pan. Sandwich

o T est lpaisseur de la plaque, P A la surface de la plaque et L12 et L34 sont les longueurs des segments G1 G2 et G3 G4 . Pour AF2 , la relation devient: AF2 =

Pan. Sandwich Plaques

NASTRAN cre des barreaux droits qui sont placs sur les cts de llment Le facteur F1 fait rfrence aux cts G1 G2 et G3 G4 Le facteur F2 fait rfrence aux cts G2 G3 et G4 G1 Les barreaux sont fabriqus partir du mme matriau que le panneau de cisaillement Les facteurs F1 et F2 servent dnir laire de la section du barreau droit

Plaques

F2 T P A L23 + L14

Un facteur F1 = 1.0 signie que le panneau reprend aussi des eorts de traction selon la direction x Si on a F1 = F2 = 1.0, le panneau de cisaillement reprend des eorts de traction selon x et y

Toute linformation ncessaire est prsente pour calculer la matrice de rigidit de ces barreaux.

Explications relatives aux facteurs F1 et F2

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Forces dans les panneaux de cisaillementK4P. Cisaillement Introduction Voilement PSHEAR CSHEAR Forces Contraintes

10 / 48F41 q3

P. Cisaillement Introduction Voilement PSHEAR CSHEAR Forces Contraintes

Dnition des facteurs F1 et F2 Si on entre F1 ou F2 > 1.01, alors NASTRAN calcule laire de la section du barreau par: AF1 AF2 1 = F1T 2 2 1 = F2T 2 2

K3

F43 G4

F32

G3 F34

q4 K1 K2 G2 F12 F14 G1 q1 F23

q2 F21

Plaques Pan. Sandwich Plaques

Plaques Pan. Sandwich Plaques

Figure 4: Forces dans un panneau de cisaillement Fij qi Ki Force dans les barreaux connects aux noeuds i et j. Les tensions sont positives. Flux de cisaillement sur un ct i du panneau, suppos constant. Donn en unit de force par unit de longueur Force au noeud i ncessaire pour lquilibre si un noeud nest pas co-planaire

Contraintes dans les panneaux de cisaillementP. Cisaillement Introduction Voilement PSHEAR CSHEAR Forces Contraintes

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Contraintes dans les panneaux de cisaillementLa contrainte critique cr de voilementP. Cisaillement Introduction Voilement PSHEAR CSHEAR Forces Contraintes

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Comme la plaque ne reprend que des eorts de cisaillement dans le plan, on naura que la contrainte xy Comme le ux de cisaillement est constant, la contrainte de cisaillement est donne par: xy = qxy T

Le voilement est un phnomne complexe qui dpend de plusieurs facteurs On ne connat pas de solutions exactes qui permette de prdire le voilement pour tous les cas possibles

Plaques Pan. Sandwich Plaques

Plaques

On doit donc se contenter dapproches empiriques

o T est lpaisseur de la plaque. La marge de scurit que donne NASTRAN est calcule par SAFETY MARGIN = SS 1 xy

Pan. Sandwich Plaques

On a observ exprimentalement que: cr = K E 1 2 T b2

o SS est la limite ultime en cisaillement donne dans la commande MAT1

o T est lpaisseur de la plaque et b la plus petite dimension entre la largeur et la longueur. K est un facteur empirique qui dpend des conditions aux limites et de la gomtrie.

Contraintes dans les panneaux de cisaillementLa contrainte critique cr de voilementP. Cisaillement Introduction Voilement PSHEAR CSHEAR Forces Contraintes

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Pour une plaque dont le rapport longueur sur largeur est voisin de 2, on a: K = KSS = 5.43 K = KEE = 9.5 pour une plaque simplement supporte pour une plaque encastre

P. Cisaillement Plaques Description Gomtrie CQUAD4 Membrane Flexion transverse PSHELL Pan. Sandwich Plaques

Plaques Pan. Sandwich Plaques

On utilisera cette quation dans le cadre du TP1.

Les lments nis de plaques

DescriptionP. Cisaillement Plaques Description Gomtrie CQUAD4 Membrane Flexion transverse PSHELL

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Description - suiteP. Cisaillement Plaques Description Gomtrie CQUAD4 Membrane Flexion transverse PSHELL

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Pan. Sandwich Plaques

Llment de plaque est trs utilis dans la modlisation de structures mcaniques Le comportement que lon peut modliser avec des plaques est plus riche que celui que lon obtient avec des panneaux de cisaillement Utiles pour reprsenter des structures o lpaisseur est faible devant toutes les autres dimensions Les codes lments nis orent en gnral deux types dlments de plaque: des quadrangles et des triangles

Les quadrangles donnent en gnral des rsultats plus prcis que les triangles Les triangles sont habituellement utiliss pour mailler des zones o la gomtrie est complexe ou pour eectuer une transition entre deux maillages de densit direntes:

Pan. Sandwich Plaques

Figure 6: Utilisation de triangles et quadrangles Figure 5: lments nis de plaques

Les quadrangles peuvent avoir 4 ou 8 noeuds et les triangles 3 ou 6 (on verra plus tard la dirence entre ces lments)

GomtrieExemple dune plaque 4 noeudsP. Cisaillement Plaques Description Gomtrie CQUAD4 Membrane Flexion transverse PSHELLyelement

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Gomtrie - suite

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P. CisaillementG3

G4 + = -----------2 xelement

Plaques Description Gomtrie CQUAD4 Membrane Flexion transverse PSHELL

G3

Face suprieure

Pan. Sandwich Plaqueszelement G1 G2

Pan. Sandwich Plaques

G1 G2 Face infrieure Feuillet moyen

Figure 7: lment de plaque de NASTRAN

Figure 8: Gomtrie dun lment de plaque Les noeuds sont toujours au feuillet moyen de la plaque z = 0 au feuillet moyen La surface suprieure (utile pour linterprtation du signe des forces) se trouve en z > 0 La surface infrieure se trouve en z < 0

Comme pour le panneau de cisaillement, les noeuds doivent tre nots de manire squentielle Laxe local x coupe langle 2 en 2 et est positif de G1 G2 Laxe local y x, positif dans la direction de G1 G4 et dans le plan de la plaque Laxe loacl z est dni positif en appliquant la rgle de la main droite autour des noeuds19 / 48

La commande CQUAD4P. Cisaillement Plaques Description Gomtrie CQUAD4 Membrane Flexion transverse PSHELL

La commande CQUAD4 - suiteNotesP. Cisaillement Plaques Description Gomtrie CQUAD4 Membrane Flexion transverse PSHELL

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Pour la plaque 4 noeuds utilise dans le TP1, on utilise la commande CQUAD4 pour dnir la gomtrie de llment

CQUAD4, EID, PID, , , ,

G1, T1,

G2, T2,

G3, T3,

G4, THETA, ZOFF, T4

Les points G1 G4 doivent tre entrs squentiellement Les angles intrieurs doivent tre infrieurs 180 degrs La continuation est optionnelle: si on a une paisseur de plaque constante, ne pas lutiliser Les rsultats sont donns dans le repre local de llment

Pan. Sandwich Plaques

EID PID Gi THETA ZOFF Ti

Le numro associ cet lment Le numro de la proprit associe cet lment Les 4 noeuds dnissant les 4 coins de llment Commande utilise pour les composites - pas utilise dans ce cours Oset dans la direction z des noeuds vers le feuillet moyen. Similaire au vecteur dexcentricit des poutres. paisseur de la plaque aux noeuds i. Utiliss seulement si on a une plaque dpaisseur variable (la commande PSHELL dnit une paisseur par dfaut).

Pan. Sandwich Plaques

Comportements modliss: eet de membraneP. Cisaillement Plaques Description Gomtrie CQUAD4 Membrane Flexion transverse PSHELL

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Comportements modliss: eet de exion (et torsion)P. Cisaillement Plaques Description Gomtrie CQUAD4 Membrane Flexion transverse PSHELL

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Ne reprend que les forces dans le plan de la plaque

Ne reprend que les moments appliqus sur la plaque

Pan. Sandwich Plaques

Pan. Sandwich Plaques

Figure 9: Eorts repris par un lment de plaque Fx , Fy et Fxy : forces uniformes par unit de longueur Contraintes uniformes travers lpaisseur:

Figure 10: Moments repris par une plaque Mx : Moment de exion par unit de longueur qui entrane une contrainte x . Positif si la face suprieure de llment est en compression (attention, ce nest pas la convention usuelle). My : Moment de exion par unit de longueur qui entrane une contrainte y . Positif si la face suprieure de llment est en compression (attention, ce nest pas la convention usuelle). Mxy : Moment de torsion par unit de longueur qui entrane une contrainte xy (attention, ce nest pas la convention usuelle).24 / 48

x =

Fx t

y =

Fy t

xy =

Fxy t

o t est lpaisseur de la plaque 2 Degrs de libert par noeud: Tx et Ty Dformations dans une membrane: x , y et xy

Comportements modliss: eet de exion - suitePour le calcul des contraintesP. Cisaillement Plaques Description Gomtrie CQUAD4 Membrane Flexion transverse PSHELL

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Comportements modliss: eet de exion - suitePour le cisaillement, on aura:P. Cisaillement Plaques Description Gomtrie CQUAD4 Membrane Flexion transverse PSHELL

xy = o

2Mxy Z1 J

(Torsion dune section ouverte symtrique) (3) T3 3

Figure 11: Dimensions pour le calcul des contraintes On aura que: Mx Z1 x = RI I0 o I0 =

J=

(4)

Pan. Sandwich Plaques

Pan. Sandwich Plaques

;

My Z1 y = RI I 0 Irel I0

(1)

Degrs de libert actifs

T3 12

et RI =

(2)

On rappelle que les moments sont donns par unit de longeur. Le second moment I0 est donc pour une plaque pleine (section rectangulaire) Le facteur RI est pour des plaques qui ne sont pas pleines, comme le panneau sandwich

Comme on na que de la torsion et de la exion, seuls les degrs de libert Tz , Rx et Ry sont activs Si lon combine avec leet de membrane, on active les degrs de libert suivants: Tx , Ty , Tz , Rx et Ry . La rotation Rz nest jamais active

Comportements modliss: cisaillement transverse

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Comportements modliss: cisaillement transverse - suite

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P. Cisaillement Plaques Description Gomtrie CQUAD4 Membrane Flexion transverse PSHELL

P. Cisaillement Plaques Description Gomtrie CQUAD4 Membrane Flexion transverse PSHELL

Pan. Sandwich Plaques

Pan. Sandwich Plaques

Figure 12: Eorts tranchants et cisaillement transverse Reprend les eorts tranchants par unit de longueur qui entranent un cisaillement hors-plan Vx et Vy sont des eorts tranchants par unit de longueur qui sappliquent dans le plan normal aux axes x et y respectivement Contraintes de cisaillement attribuables leort tranchant On doit absolument activer leet de exion pour activer leet de cisaillement transverse

La distribution de cisaillement est parabolique sur les cts de la plaque On calculera la contrainte moyenne de cisaillement par: xz = Vx L Vx = AS RS T et y z = Vy L Vy = AS RS T (5)

o L est la longueur dun ct (Vx est donn par unit de longueur), AS est laire eective en cisaillement et o RS est le rapport de laire eective en cisaillement sur laire de la section de la plaque. Pour une plaque pleine, RS = 5 (voir poutre de 6 section rectangulaire).

La commande PSHELLPSHELL, PID, MID1, T, MID2, , Z1, Z2, MID4 Ri, MID3,

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La commande PSHELL - suitePSHELL, PID, MID1, T, MID2, , Z1, Z2, MID4 Ri, MID3,

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Rs, NSM,P. Cisaillement Plaques Description Gomtrie CQUAD4 Membrane Flexion transverse PSHELL

Rs, NSM,

P. Cisaillement Plaques Description Gomtrie CQUAD4 Membrane Flexion transverse PSHELL

PID MID1 T MID2

Pan. Sandwich Plaques

Ri

MID3

Numro de la proprit de plaque Numro du matriau pour activer leet de membrane. Si le champ est vide, leet membrane nest pas activ paisseur par dfaut de la plaque Numro du matriau associ leet de exion. Si ce champ est vide, leet de exion nest pas activ. Ce champ doit absolument contenir une valeur si lon veut activer leet de cisaillement transverse. Rapport du second moment de section de la plaque sur celui 3 calcul par dfaut ( T ). La valeur par dfaut est 1.0 et cor12 respond une plaque pleine. Numro du matriau associ leet de cisaillement transverse. Si ce champ est vide, leet de cisaillement transverse nest pas activ

Rs

Pan. Sandwich Plaques

NSM Z1, Z2 MID4

Rapport de lpaisseur eective en cisaillement de la plaque sur lpaisseur entre (paramtre T). La valeur par dfaut est 5 6 et correspond une plaque pleine. Masse non structurale par unit de surface Distance du feuillet moyen aux bres externes pour le calcul des contraintes Numro du matriau utilis pour leet de couplage entre la exion et la membrane. Commande avance, pas utilise dans ce cours.

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Introduction

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P. Cisaillement Plaques

P. Cisaillement Plaques Pan. Sandwich Introduction Fonctionnement Codage

Pan. SandwichIntroduction Fonctionnement Codage Plaques

Un panneau sandwich est une structure qui se comporte comme une plaque qui a une trs grande rigidit, une bonne rsistance et une faible masse Ces structures sont trs utilises dans le transport et la construction Fabrication

Plaques

Le panneau Sandwich

Figure 13: Panneau sandwich

2 revtements extrieurs (aluminium, composites, etc.) Un noyau qui est souvent un nid dabeille ou une mousse

IntroductionNid dabeilleP. Cisaillement Plaques Pan. Sandwich Introduction Fonctionnement Codage

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FonctionnementP. Cisaillement Plaques

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95 % de vide 5 % de matriau

Pan. Sandwich Introduction Fonctionnement Codage

Plaques

Plaques

Revtements rsistent aux eorts de exion et de membrane Les revtements sont maintenus carts du plan moyen par le noyau, ce qui augmente considrablement la rigidit en exion de la structure Le noyau rsiste aux eorts tranchants hors-plans Le noyau a comme rle de maintenir les revtements loin lun de lautre

RevtementFigure 14: Schmatisation du nid dabeille

Structure alvolaire paroi trs mince A une trs faible densit car fait en trs grande partie de vide

NoyauFigure 15: Gomtrie du panneau sandwich

Dnition dun panneau sandwich avec la commande PSHELL33 / 48RevtementP. Cisaillement Plaques Pan. Sandwich Introduction Fonctionnement Codage

Dnition dun panneau sandwich avec la commande PSHELL34 / 48RevtementP. Cisaillement Plaques

XX H Noyau ZZ

Noyau

Plaques

Pour entrer les proprits dun panneau sandwich, il faut utiliser la commande PSHELL astucieusement Ri, MID3, Rs, NSM,

Pan. Sandwich Introduction Fonctionnement Codage

Plaques

PSHELL, PID, MID1, T, MID2, , Z1, Z2, MID4

Comme les eets de membrane, exion et cisaillement transverse sont activs, il faut remplir les champs MID1, MID2 et MID3 Le paramtre T reprsente lpaisseur qui reprend les eorts de membrane. Dans ce cas-ci, on a: T = ts + ti (6)

Ce ne sont que les revtements qui reprennent les eorts de exion Comme ils ne sont pas au plan neutre, il faut utiliser le principe des axes parallles pour faire le calcul du second moment de section. Avec ce principe on a que IZZ = IXX + AH 2 (voir gure en haut) On rappelle que les calculs sont faits par unit de longueur 3 t3 s IXX = bts , ce qui fait par unit de longueur: IXX = 12 12 2 = bt k 2 , ce qui fait par unit de longueur : t k 2 AH s s s s t3 t3 2 2 i s On aura donc: I = 12 + 12 + ts ks + ti ki

Dnition dun panneau sandwich avec la commande PSHELL35 / 48RevtementP. Cisaillement Plaques Pan. Sandwich Introduction Fonctionnement Codage

Dnition dun panneau sandwich avec la commande PSHELL36 / 48Pour laire eective en cisaillement transverseP. Cisaillement

XX H Noyau ZZ

Plaques Pan. Sandwich Introduction Fonctionnement Codage

Plaques

Plaques

On suppose que la contrainte de cisaillement est nulle dans les revtements et constante dans le nid dabeille Pour calculer cette aire eective, on condense le nid dabeille et lon calcule la quantit de matire qui peut supporter le cisaillement1.0

Le second moment de section calcul par dfaut par NASTRAN 3 est I0 = (ts +ti ) 12 Au nal, on aura:

RI =

2 2 I t3 + t3 + 12ts ks + 12ti ki i = s I0 (ts + ti )3

(7)

0.05

Figure 16: Schmatisation de laire eective en cisaillement pour le panneau sandwich Lpaisseur du nid dabeille est donne par h = ks + ki ts +ti 2 Pour une largeur unitaire, laire eective en cisaillement est donc, pour 5% de matire: As = 0.05h

PSHELL, PID, MID1, T, MID2, , Z1, Z2, MID4

Ri, MID3,

Rs, NSM,

Dnition dun panneau sandwich avec la commande PSHELL37 / 48PSHELL, PID, MID1, T, MID2, , Z1, Z2, MID4

38 / 48

Ri, MID3,

Rs, NSM,P. Cisaillement Plaques

P. Cisaillement Plaques Pan. Sandwich Introduction Fonctionnement Codage

Plaques

Laire de la section de la plaque calcul par NASTRAN est la largeur multiplie par le paramtre T On rappelle que lon avait T = ti + ts . Donc, laire de la section, pour une largeur unitaire, est de A = ti + ts Le rapport de laire eective en cisaillement sur laire de la section de la plaque (paramtre Rs) devient: Rs = Calcul des contraintes Pour le calcul des contraintes, il ne faut pas oublier dentrer les bonnes valeurs pour les champs Z1 et Z2 On aura: ts ti Z1 = ks + et Z2 = ki + (9) 2 2

Pan. Sandwich Plaques Introduction Tresca von Mises Comparaison Exemple

Calcul des contraintes dans les lments de plaques

As 0.05h = A ti + ts

(8)

IntroductionP. Cisaillement Plaques Pan. Sandwich Plaques Introduction Tresca von Mises Comparaison Exemple

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IntroductionP. Cisaillement Plaques Pan. Sandwich Plaques Introduction Tresca von Mises Comparaison Exemple

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Dans une plaque, le calcul des contraintes est beaucoup plus simple que dans une poutre

Si lon active leet de exion

En eet, la gomtrie est la mme pour toutes les plaques du mme type et en plus elle est simple Si lon active leet membrane uniquement

Les contraintes x , y et xy varient linairement dans lpaisseur et peuvent tre calcules par une quation simple issue de la thorie des poutres

Les contraintes x , y et xy sont constantes dans lpaisseur

Figure 17: Illustration des forces et contraintes dans une plaque o leet membrane est activ

Figure 18: Illustration des forces prsentes dans une plaque o leet exion est activ

IntroductionP. Cisaillement Plaques Pan. Sandwich Plaques Introduction Tresca von Mises Comparaison Exemple

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Exemple du calcul de la contrainte de Tresca

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Si lon active leet de cisaillement transverse La distribution des contraintes de cisaillement xz et xy nest pas constante: elle est parabolique On sait que son maximum est atteint au feuillet moyen On sait comment calculer la valeur de ce maximum puisque la gomtrie est trs simpleP. Cisaillement Plaques Pan. Sandwich Plaques Introduction Tresca von Mises Comparaison Exemple

Supposons un tat plan de contraintes (i.e. eet de membrane et exion uniquement) o lon a par dnition z = xz = xy = 0 On sait que lon peut trouver un repre (ou systme daxes) o cet tat va tre reprsent par des contraintes axiales uniquement. Cest le repre principal. Il va aussi y avoir un repre o le cisaillement est maximal, qui se trouve un angle 2 = 90 du repre principal.

Figure 19: Illustration des distributions des contraintes de cisaillement transverse dans les plaques minces

Avec toutes ces donnes, il est possible de connatre avec prcision ltat de contraintes en tous points de la plaque43 / 48

Figure 20: Reprsentation schmatique par le cercle de Mohr du repre des contraintes principales

Exemple du calcul de la contrainte de TrescaP. Cisaillement Plaques Pan. Sandwich Plaques Introduction Tresca von Mises Comparaison Exemple

Le critre de von MisesOrigines physiquesP. Cisaillement Plaques Pan. Sandwich Plaques Introduction Tresca von Mises Comparaison Exemple

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On a vu que le critre de Tresca sexprime sous la forme: max = 1 2 1 = 2 2 1 2 2 2 x 2x y + y + 4xy < SY (10) 2

o SY est la limite dcoulement du matriau. On remarquera que cette quation est donne pour un tat plan de contrainte quelconque. On pourra dnir une contrainte de Tresca: T r = 1 2 < SY (11)

Lorsque lon soumet le matriau un chargement, il se dforme. On doit fournir un certain travail pour induire cette dformation. Lnergie dploye pour le travail est emmagasine dans le matriau sous forme dnergie interne. Lorsque le matriau atteint son domaine plastique, une partie du travail que lon dploie pour le dformer sert faire glisser certains plans cristallographiques de manire irrversible.

Le critre de von Mises Il y a plasticit dans le matriau quand lnergie de dformation de distorsion dans le matriau induite par un chargement atteint une certaine valeur seuil.

Le critre de von MisesP. Cisaillement Plaques Pan. Sandwich Plaques Introduction Tresca von Mises Comparaison Exemple

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Le critre de von MisesP. Cisaillement Plaques

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On sait que lnergie de dformation de distorsion dans le matriau est donne par: 1 UD = (1 2 )2 + (2 3 )2 + (3 1 )2 12G (12)

Pour un tat plan de contraintes (3 = 0), on aura: S2 1 2 2 (1 2 )2 + 1 + 2 < Y 12G 6G (15)

Pan. Sandwich Plaques Introduction Tresca von Mises Comparaison Exemple

o G est le module de cisaillement. On mesure habituellement lnergie de dformation seuil UD lors dun essai de traction. On calcule cette nergie pour = SY Dans un essai de traction, lcoulement, 1 = SY , 2 = 3 = 0. On aura donc: UD = 2 2SY S2 = Y 12G 6G

Ceci conduit : 1 2 2 (1 2 )2 + 1 + 2 = V M < SY 2 (16)

Toujours pour un tat plan de contraintes mais qui nest pas selon les axes principaux, on aura: V M =2 2 2 x + y x y + 3xy

(13)

(17)

Le critre de von Mises prend donc la forme suivante: UD < UD

(14)

Comparaison des critres de Tresca et von MisesP. Cisaillement Plaques Pan. Sandwich Plaques Introduction Tresca von Mises Comparaison Exemple

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Exemple de calcul

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Pour un tat plan de contraintes, on peut reprsenter le domaine dlasticit dans le plan des contraintes principales de ces deux critres:

P. Cisaillement Plaques Pan. Sandwich Plaques Introduction Tresca von Mises Comparaison Exemple

Figure 22: Exemple de rsultats typiques pour des lments de plaques Tresca T r = 1 2 3.54 (14.89) V M = 1 2 2 (1 2 )2 + 1 + 2 2 1 [18.432 + 3.542 + 14.892 ] 2 16.94MPa von Mises

Figure 21: Comparaison des domaines dlasticit des critres de Tresca et von Mises. Le domaine dlasticit est lintrieur des formes gomtriques dessines.

18.43MPa

On peut voir que le critre de von Mises est moins conservateur que le critre de Tresca

On peut voir que la contrainte de Tresca est plus importante, donc conservatrice, par rapport la contrainte de von Mises.