1

∆ευτέρα, 12 Οκτωβρίου 2009

Ροπογεννήτριες: Ροπογεννήτρια συνάρτηση µιας τ.µ. Χ, ορίζεται ως η αναναµενόµενη τιµή:

( ) ( )( )

( ) ( )

,

, ,

, ,

xu

uX XX

xu

e P X x ή ί

M u E e x u

e f x dx X x ή ί

διακριτ περ πτωση

συνεχ ς περ πτωση

=

= ∈ = ∈ =

∑

∫ℝ ℝ

∆ιδιάστατη:

( ) ( )1 1 2 2

1 2, 1 2,x u x u

X XM u u E e+=

Πολυδιάστατη:

( ) 1

v

i i

i

x u

XM u E e =

∑ =

Θεώρηµα:

Ν.δ.ό. ( ) ( )

0

X

u

dM uE x

du=

=

Απόδειξη:

α) ∆ιακριτή Περίπτωση:

( ) ( )1

nxu

X

i

M u e P X x=

= = ⇒∑

( ) ( )1

nxuX

i

dM u de P X x

du du =

= = =∑ ( )1

nxu

i

de P X x

du=

= =∑ ( )1

nxu

i

xe P X x=

= ⇒∑

( ) ( )1 00

nxuX

i uu

dM uxe P X x

du = ==

= = =∑ ( )0

1 0

nx

i u

xe P X x⋅

= =

= =∑

( ) ( )1

n

i

x P X x E x=

⋅ = =∑

Γενικά:

( ) ( )0

k

k X

k

u

d M uE x

du=

=

β) Συνεχής Περίπτωση:

( )XM u = ( )uxe f x dx

∞

−∞

=∫ ( )2 2 3 3

1 ...2 3!

u x u xux f x dx

∞

−∞

+ + + + =

∫

( ) ( ) ( )2 2

...2

u xf x dx uxf x dx f x dx

∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞

+ + + =∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )2

2 ...2

uf x dx u xf x dx x f x dx

∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞

+ + + ⇒∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )2 3

2 31 ...2 3!

ux

X

u uM u E e uE x E x E x = = + + + + ροπογεννήτρια.

2

Οπότε ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22 3

00

...2!

x

uu

dM u uE x uE x E x E x

du==

= + + + =

και

( ) ( ) ( ) ( )2

2 3 2

20

0

...x

uu

d M uE x uE x E x

du ==

= + + =

………………………..

( ) ( ) ( ) ( )1

00

...

k

k k kx

ku

u

d M uE x uE x E x

du

+

==

= + + =

Παραδείγµατα

Χ~Poisson(λ)

( ) ux

XM u E e = = ( )0

ux

x

e P X x∞

=

= =∑ 0 !

xux

x

e ex

λ λ∞−

=

⋅ =∑ ( )

0 !

xu

x

ee

x

λλ∞

−

=

=∑

( )1u

u u ee ee e e eλλ λ λ λ −− −⋅ = = ⇒ ( ) ( )1ue

XM u eλ −

=

( )0

0

ue uX

uu

dM ue e

du

λ λ λ−

==

= ⋅ = 0e eλ λ λ λ− ⋅ =

Χ~∆ιωνυµική(n,p)

( ) ( )0

nxu

X

i

M u e P X x=

= = =∑ ( )0

1n

n xxu x

i

ne p p

x

−

=

− ⇒

∑ ( ) ( )

0

1n

x n xu

i

npe p

x

−

=

− =

∑

( )( )1n

upe p+ − = ( )n

upe q+ ⇒

( ) ( )( )( )1n

uXdM u dpe p

du du= + − =

( )( )( ) ( )( ) 1

1 1n n

u u udpe p n pe p pe

du

−+ − = + −

( ) ( )( ) 1

00

1n

u uX

uu

dM un pe p pe

du

−

==

= + − = ( )( ) 1

0 01n

n pe p pe−

+ − =

( ) 11

nn p p p

−+ − = [ ]np E x=

3

Θεώρηµα:

Για την κανονική µορφή της Ε.Ο.Κ. ισχύουν:

α) Αναµενόµενη τιµή: ( ) ( )i

i

A nE T X

n

∂= ∂

.

β) Συνδιακύµανση: ( ) ( ) ( )2

,i j

i j

A nCov T X T X

n n

∂ = ∂ ∂

.

γ) Ροπογεννήτρια: ( ) ( ) ( ) ( ){ }1

exp exps

T i i

i

M u E u T X A u n A n=

= = + −

∑ � � �

Απόδειξη:

α) ( ), 1f x n dx

∞

−∞

= ⇒∫ ( ) ( ) ( )1

exps

i i

i

nT x A n h x dx

∞

=−∞

− =

∑∫

( ) ( ) ( )1

exp exp 1s

i i

i

A n nT x h x dx

∞

=−∞

− = ⇒

∑∫

( ) ( ) ( )1

exp exps

i i

i

nT x h x dx A n

∞

=−∞

=

∑∫ .

Παραγωγίζοντας ως προς in , παίρνουµε:

( ) ( ) ( ){ }1

exp exps

i i

ii i

nT x h x dx A nn n

∞

=−∞

∂ ∂ = ⇒ ∂ ∂

∑∫

και, αλλάζοντας τη σειρά «παραγώγιση - ολοκλήρωση» παίρνουµε:

( ) ( ) ( ){ } ( )1

exp exps

i i

ii i

A nnT x h x dx A n

n n

∞

=−∞

∂ ∂ = ⇒ ∂ ∂

∑∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

exp exps s

i i i i

i ii i

A nnT x nT x h x dx A n

n n

∞

= =−∞

∂∂ = ⇒ ∂ ∂

∑ ∑∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

exp exp *s

i i i

i i

A nT x nT x h x dx A n

n

∞

=−∞

∂ = ⇒ ∂

∑∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

exp exps

i i i

i i

A nA n T x nT x h x dx

n

∞

=−∞

∂ − = ⇒ ∂

∑∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

exp exps

i i i

i i

A nT x nT x A n h x dx

n

∞

=−∞

∂ − = ⇒ ∂

∑∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

exps

i i i

i i

A nT x nT x A n h x dx

n

∞

=−∞

∂ − = ⇒ ∂

∑∫ ( )( ) ( )i

i

A nE T x

n

∂=

∂

β) Παραγωγίζουµε την (*) ως προς j

n .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

exp exps

i i i

ij j i

A nT x nT x h x dx A n

nη η

∞

=−∞

∂∂ ∂ = ⇒ ∂ ∂ ∂

∑∫

4

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1

expexp exp

s

i i i

ij j i i j

A nA n A nT x nT x h x dx A n

n n n n n

∞

=−∞

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ⇒ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∑∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

2

1

exp exp exps

i i i

ij i j i j

A nA n A nT x nT x h x dx A n A n

n n n n n

∞

=−∞

∂ ∂ ∂ ∂ = + ⇒ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∑∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1

exp exps

i j i i

i j i j i

A n A nA nT x T x nT x h x dx A n

n n n n

∞

=−∞

∂ ∂ ∂ = + ⇒ ∂ ∂ ∂ ∂ ∑∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2

1

exps

i j i i

i j i j i

A n A n A nT x T x nT x A n h x dx

n n n n

∞

=−∞

∂ ∂ ∂ − = + ⇒ ∂ ∂ ∂ ∂ ∑∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

i j i j

j i

A nE T x T x E T x E T x

n n

∂ − = ⇒ ∂ ∂

( ) ( ) ( )2

,i j

j i

A nCov T x T x

n n

∂ = ∂ ∂

διότι, ως γνωστόν: [ ] [ ] [ ] [ ],Cov X Y E X Y E X E Y= ⋅ −

γ) ( )( )

( ) ( )1

1

exp ;

s

i i

i

su T x

T i i

i

M u E e u T x f x n dx=

∞

=−∞

∑ = = =

∑∫

( ) ( ) ( ) ( )1 1

exp exps s

i i i i

i i

u T x nT x A n h x dx

∞

= =−∞

− =

∑ ∑∫

(και, προσθαφαιρώντας το ( )A u n+ )

( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )1

exp exp exps

i i i

i

A n A u n u n T x A u n h x dx

∞

=−∞

− + + − + =

∑∫

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )1

exp exps

i i i

i

A u n A n u n T x A u n h x dx

∞

=−∞

+ − + − + ⇒

∑∫

( ) ( ) ( ){ }expT

M u A u n A n= + −

διότι: ( ) ( ) ( ) ( )1

exp 1s

i i i

i

u n T x A u n h x dx

∞

=−∞

+ − + =

∑∫

Συνοπτικά:

( )( ) ( )i

i

A nE T x

n

∂=

∂ ( ) ( ) ( )2

,i j

j i

A nCov T x T x

n n

∂ = ∂ ∂

( ) ( ) ( ){ }expT

M u A u n A n= + −

και για 1s = (ειδική περίπτωση)

( )( ) ( )AE T x

ηη

∂=

∂ ( ) ( ) ( ) ( )2

2,

ACov T x T x V T x

ηη

∂= = ∂

( ) ( ) ( ){ }expT

M u A u Aη η= + −

5

Ασκήσεις

Έστω ~X Poisson

( );!

x

f x ex

λ λλ −= = ( ) ( ){ } 1

exp exp log!

x

xλ λ− = ( ){ } 1

exp log!

x

xλ λ− =

{ } 1exp log

!x

xλ λ− . Άρα ανήκει ΕΟΚ µε:

( ) logn λ λ= , ( )T x x= , ( )B λ λ= − , ( ) 1

!h x

x=

Κανονική µορφή:

( ) logn nλ λ= = ⇒ neλ =

( ) { } 1; exp log

!f x x

xλ λ λ= − ⇒ ( ) { } 1

; exp!

f x x ex

ηη η= − , δηλαδή ( )A eηη .

( ) ( ) ( )A nE T x E x

n

∂= = = ∂

( )n

ne

en

λ∂

= =∂

( ) ( ) ( ) ( )2

2,

A nCov T x T x V T x

n

∂= = = ∂

( )2

2

n

ne

en

λ∂

= =∂

( )TM u = ( ) ( ){ }exp A u n A n+ − = { }exp u n ne e

+ − = ( ){ }exp 1n u

e e − =

( ){ }exp 1u

eλ −

Άσκηση: ( )~ ,X Binomial v p• ν γνωστό, p άγνωστο.

( ) ( ), 1v xx

vf x p p p

p

− = − =

( )11

x

vv pp

x p

− = −

( )exp ln ln 11

v px v p

x p

+ − −

άρα ανήκει στην ΕΟΚ, µε ( )v

h xx

=

, ( )T X x= , ( ) ln1

pn p

p=

− και

( ) ( )ln 1B p v p= − −

Μετατρέπουµε σε κανονική µορφή: ( ) ( ) ( ){ } ( )exp n p T x A n h x− − , θέτοντας:

( ) ln1

pn p n

p= = ⇒

− 1

npe

p= ⇒

− n np e pe= − ⇒ n n

p pe e+ = ⇒

( )1 n np e e+ = ⇒

1

n

n

ep

e=

+

6

( ), exp ln 11

n

n

v ef x n xn v

x e

= + − = +

1

exp ln1

n n

n

v e exn v

x e

+ −+ = +

1exp ln

1n

vxn v

x e

+ = + ( ){ }exp ln 1 n

vxn v e

x

− +

, δηλαδή

( ) ( )ln 1 nA n v e= +

( ) ( ) ( )E T X E X A nn

∂= = = ∂

( )( )ln 1 nv e

n

∂+ =

∂

1

1

n

nv e

e=

+ vp

( ) ( ) ( ),Cov T X T X V X= = ( )2

2A n

n

∂=

∂

1

n

n

ev

n e

∂= ∂ +

( )( )2

1

1

n n n n

n

e e e ev

e

+ −=

+

( )( ) ( )2 2

1

1 1

n n n n

n n

e e e ev

e e

+ − = + +

2

1 1

n n

n n

e ev

e e

− = + +

( )2v p p− = ( )1vp p−

( ) ( ) ( ){ }expT

M u A u n A n= + − = ( ) ( ){ }exp ln 1 ln 1u n n

v e v e++ − + =

( ) ( ){ }exp ln 1 ln 1v v

u n ne e

++ − + = 1

exp ln1

vu n

n

e

e

+ + = +

1

1

vu n

n

e

e

+ += +

11

11

v

u pe

p

p

p

+ −=

+ −

1

1

vup pe

p p

− += − +

( )vuq pe+ .

7

Πολυδιάστατη Κατανοµή Θεώρηµα

Αν 1 2, ,..., vX X X τ.δ., όπου η κατανοµή κάθε iX ανήκει στη µονοδιάστατη s-

παραµετρική Ε.Ο.Κ. µε ( )1 2, ,..., sT T T T= , τότε το ( )1 2, ,..., vX X X X= ανήκει σε

πολυδιάστατη s-παραµετρική Ε.Ο.Κ. µε διάνυσµα συναρτήσεως

( )1 2* *, *,..., *sT T T T= , όπου ( )1

* , 1,2,..., , 1,2,...,v

i i j

j

T T X i s j v=

= = =∑ (ν-διάστατη

κατανοµή µε s παραµέτρους.

*τ.δ. σηµαίνει ανεξάρτητες και ισόνοµες.

Απόδειξη:

Έστω ( ),jXf x θ η σ.π.π. της τ.µ. , 1,2,...,

jX i v= και επίσης ότι f EOK∈ , θα

έχουµε ότι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

, exp , 1j X j

s

X i i j j j f

i

f x n T x h x x Sθ β θ θ=

= ∀ ∈

∑ .

Έστω ( ),Xf x θ η από κοινού σ.π.π. του τυχαίου διανύσµατος

( )1 2, ,..., vX X X X= .

1 2

...X X X Xv

f f f fS S S S= × × ×

( ) ( )1

, ,v

X X j

j

f x f xθ θ=

=∏ , λόγω της ανεξαρτησίας των 1 2, ,..., vX X X .

Και από την (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11

, expv s

X i i j j

ij

f x n T x h xθ β θ θ==

= =

∑∏

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

expvv s

v

i i j j

j i j

n T x h xβ θ θ= = =

=

∑ ∑ ∏

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

expvs v

v

i i j j

i j j

n T x h xβ θ θ= = =

=

∑ ∑ ∏

( ) ( ) ( ) ( )* * *

1

exps

i i

i

n T x h xβ θ θ=

∑ ,

όπου: ( ) ( )*

1

v

i i j

j

T x T x=

=∑ , ( ) ( )* v

β θ β θ= και ( ) ( )*

1

v

j

j

h x h x=

=∏ ,

άρα η κατανοµή του X είναι ν- διάστατη, s- παραµετρική και ανήκει στην

ΕΟΚ.

8

Παράδειγµα ( ) ( ) ( )2

1 2, , 0,θ θ θ µ σ= = ∈Θ = × ∞ℝ .

Έστω 1 2, ,..., vX X X τ.δ. από κανονική κατανοµή ( )2,N µ σ , µε 2,µ σ άγνωστα,

Ν.δ.ό. η από κοινού σ.π.π. του τ.δ. ( )1 2, ,..., vX X X X= ανήκει στη ν-διάστατη

και διπαραµετρική ΕΟΚ και να υπολογιστούν τα εξής:

2

1

v

j

j

E x=

∑ ,

1

v

j

j

E x=

∑ και 2

1 1

,v v

j j

j j

Cov x x= =

∑ ∑ .

Απόδειξη:

κατά τα γνωστά θα έχουµε: ( ) ( )2

2

22

1; , exp ,

22

j

j f

xf x x S

µµ σ

σπσ

− = − ∈ =

ℝ

2 22

2 2 2

1 2 1exp ln

2 2 2 22

x xµ µσ

σ σ σπ

= − − + − =

2 22

2 2 2

2 1 1exp ln

2 2 2 2 2

x xµ µσ

σ σ σ π

= − − − =

22 2

2 2 2

1 1 1exp ln

2 2 2 2j jx x

µ µσ

σ σ σ π

= − + − −

,

22 2

2 2 2

1 1 1exp ln

2 2 2 2j jx x

µ µσ

σ σ σ π

= − + − −

( )2

1 2

1,

2n µ σ

σ= − , ( ) 2

1 j jT x x= , ( )2

2 2,n

µµ σ

σ= , ( )2 j jT x x= ,

( )2

2 2

2

1, exp ln

2 2

µβ µ σ σ

σ

= − −

, ( ) 1

2jh x

π=

Από το θεώρηµα έχουµε ότι:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 * 2 2 * *

1

; , , exp ,s

X i i

i

f x n T x h xµ σ β µ σ µ σ=

=

∑ ,

όπου:

( ) ( )* 2 2, ,

v

β µ σ β µ σ = = 2

2

2

1exp ln

2 2

v

µσ

σ

− − =

22

2

1exp ln

2 2v v

µσ

σ − −

( ) ( )* 2

1 1

1 1

v v

j j

j j

T x T x x= =

= =∑ ∑ ,

( ) ( )*

2 2

1 1

v v

j j

j j

T x T x x= =

= =∑ ∑

και ( ) ( )*

1

v

j

j

h x h x=

= =∏ 1

2

v

π

=

( ) 22v

π−

9

Μετατροπή σε κανονική µορφή:

Κατά τα γνωστά:

( )2

1 12

1,

2n nµ σ

σ= − = ⇒

2

1

1

2nσ = −

( )2

2 22,n n

µµ σ

σ= = ⇒ 2

2nµ σ= ⇒ 2

1

1

2n

nµ

= − ⇒

2

12

n

nµ = −

( ) ( ) ( )( )2

1 2 1 2 1 2, , , ,A n n B n n n nµ σ= = 2

2

2

1ln

2 2v v

µσ

σ+ =

2

2

1

1

1

2 1 1ln

2 212

2

n

nv v

n

n

− + − = −

2

2

2

1

1

1

1 14ln

1 2 2

n

nv v

n

n

+ − =

− ( )

2

1 212

1

ln 24 2

vn n vn

n− − − =

( )2

21

1

ln 24 2

vn vn

n− − − =

2

2

2

2

1ln 2

1 2 24

2

vv

µσ

σσ

− − − − = −

2

4

2

2

1ln

4 2

vv

µσ

σσ

− =

( )2

2

2ln

4 2

v vµσ

σ+

2

1

v

j

j

E x=

=

∑ ( )*

1E T x = ( )1 2

1

,A n n

n

∂=

∂ ( )

2

21

1 1

ln 24 2

vn vn

n n

∂− − − = ∂

( )2

2

2

1 1

12

4 2 2

vn v

n n− − =

−

2

2

2

1 14 2

vn v

n n− =

2

2

2

22

11 2422

vv

µσ

σσ

− =

−−

2

42

4

1

v

v

µσ σ

σ

+ =

2 2v vµ σ+

1

v

j

j

E x=

=

∑ ( )*

2E T x = ( )1 2

2

,A n n

n

∂=

∂ ( )

2

21

2 1

ln 24 2

vn vn

n n

∂− − − = ∂

2

1

24

vn

n− =

2

12

vn

n− =

2

2

12

2

vµσ

σ

− =

−

vµ

10

2

1 1

,v v

j j

j j

Cov x x= =

=

∑ ∑ ( ) ( )* *

1 2,Cov T x T x = ( )2

1 2

1 2

,A n n

n n

∂=

∂ ∂

( )1 2

1 2

,A n n

n n

∂ ∂= ∂ ∂

2

1 12

vn

n n

∂− = ∂

2

2

12

vn

n=

2

2

2

12

2

vµσ

σ

=

−

2

4

12

4

vµσ

σ

= 2

4

1

2

vµσ

σ

= 4

2

2vµ σσ

= 22vµσ