Mια γεννήτρια συνεχούς ρεύµατος, ηλεκτρεγερτικής δύναµης E και εσωτερικής αντίστασης r, τροφοδοτεί µια µεταβλητή αντί σταση R, µε 0≤R<+∞ . i) Nα δείξετε ότι για R=r η ισχύς της R γίνεται µέγιστη. ii) Nα παραστήσετε γραφικά σε συνάρτηση µε την R, την τάση στους πόλους της γεννήτριας και την ηλεκτρική ισχύ της αντίστασης R. iii) Nα παραστήσετε γραφικά σε συνάρτηση µε την ένταση I του ρεύµα τος που διαρρέει το κύκλωµα, την τάση της γεννήτριας και την ισχύ της αντίστασης R. ΛYΣH: i) Έστω I η ένταση του ρεύµατος, που διαρρέει την γεννήτρια, για µια τυχαία τιµή της µεταβλητής αντίστασης R. Σύµφωνα µε τον νόµο του Ohm για κλειστό κύκλωµα θα ισχύει:

�

I =E

R + r (1)

H τάση στους πόλους της γεννήτριας δίνεται από την σχέση:

Vγεν = E - Ir !(1 )

V

!"#= E !

Er

R + r=

E(R + r) ! Er

R + r !

V

!"#=

ER

R + r µε 0 ≤ R < +∞ (2)

H σχέση (2) είναι µιά οµογραφική συνάρτηση, της οποίας η γραφική παράσταση είναι καµπύλη γραµµή, που διέρχεται από την αρχή των αξόνων, από το σηµείο (r, E/2) και πλησιάζει ασυµπτωτικά την τιµή E. (σχ. 22.α). Eξάλλου η ηλεκτρική ισχύς της αντίστασης R υπολογίζεται από την σχέση:

P = I2R !(1 )

�

P =E

2R

(R + r)2

µε 0≤R<+∞ (3)

Aπό την (3) προκύπτουν τα εξής. α) Για R=0 ισχύει P=0, που σηµαίνει ότι η γραφική παράσταση της (3) διέρχεται από την αρχή των αξόνων. β) H (3) γράφεται:

�

P =E

2R

R2+ r

2+ 2Rr

=E

2

R + (r2

R) + 2r (4)

Σχήµα 22.α Σχήµα 22.β

Όµως ισχύει Rr2/R=r2 =σταθερό, οπότε το άθροισµα R+r2/R γίνεται ελάχιστο, όταν: R = r2/R ! R2 = r2 ! R = r Tότε όµως η ηλεκτρική ισχύς P παίρνει την µεγαλύτερη τιµή της:

�

Pmax =E

2r

(r + r)2

=E

2r

4r2

=E

2

4r

γεγονός που σηµαίνει ότι, η γραφική παράσταση της σχέσεως (3) παρουσιάζει για R=r, τοπικό µέγιστο. γ) Για R→ +∞ η (4) δίνει P→ 0, γεγονός που σηµαίνει ότι η γραφική παράσταση της (3) πλησιάζει ασυµπτωτικά τον άξονα των R (σχ. 22.β). ii) Aπό την Vγεν =E-Ir προκύπτει ότι, η σχέση µεταξύ της τάσεως της γεννήτριας και της έντασης του ρεύµατος που την διαρρέει είναι γραµµική, που σηµαίνει ότι η γραφική της παράσταση θα είναι µια ευθεία γραµµή (σχ. 22.γ). Eξάλλου το πεδίο ορισµού της συνάρτησης αυτής είναι το διάστηµα (0, E/r], όπου η τιµή 0 αντιστοι χεί σε R→ +∞ και η τιµή E/r αντιστοιχεί σε R=0. Tέλος η ισχύς P της αντίστασης R είναι ίση µε την ηλεκτρική ισχύ EI της γεννήτριας µείον την ισχύ απωλειών I2r αυτής, λόγω φαινοµένου joule στην εσωτερική της αντίσταση r, δηλαδή ισχύει: P = EI - rI 2 µε 0<I≤E/r (5)

H σχέση (5) είναι ένα τριώνυµο δευτέρου βαθµού µε µεταβλητές I και P, για το οποίο ισχύουν τα εξής:

Σχήµα 22.γ Σχήµα 22.δ Όταν I→ 0 τότε P → 0, ενώ για I=E/2r έχουµε P=Pmax =E2/4r. Tέλος για I=E/r έχου µε P=0. H γραφική παράσταση της (5) είναι η παραβολή του σχήµατος (22.δ).

Για να µετρήσουµε την ηλεκτρεγερτική δύναµη µιας γεννήτριας συνεχούς ρεύµατος, εσωτερικής αντίστασης r, χρησιµοποιού µε ένα βολτόµετρο. i) Ποιά πρέπει να είναι η ελάχιστη τιµή της εσωτερικής αντίστασης του βολτοµέτρου, ώστε το λάθος που γίνεται κατά την µέτρηση της ηλεκτρε γερτικής δύναµης να µη υπερβαίνει το 1/1000 της τιµής της; ii) Nα παραστήσετε γραφικά σε συνάρτηση µε την εσωτερική αντίσταση του βολτοµέτρου, το εκατοστιαίο σφάλµα µέτρησης της ηλεκτρεγερτικής δύναµης. ΛYΣH: i) H ένδειξη Vβ του βολτοµέτρου είναι ίση µε την πτώση τάσεως IRβ πάνω στην εσωτερική του αντίσταση Rβ, δηλαδή ισχύει η σχέση:

V! = IR! =

ER!

R! + r < E (1)

Tο λάθος ΔE που κάνουµε, µετρώντας την ηλεκτρεγερτική δύναµη E της γεννήτ ριας µε βάση την ένδειξη του βολτοµέτρου, είναι:

!E = E - V" !(1 )

!E = E -ER"

R" + r (2)

Όµως θέλουµε να ισχύει:

!E !

E

1000 !

( 2 )

E -ER!

R! + r!

E

1000 !

E -E

1000!

ER!

R! + r !

999R! + 999r ! 1000R! ! 999r ! R! ! Rmin= 999r (3)

ii) Aπό την σχέση (2) προκύπτει ότι, το απόλυτο σφάλµα µέτρησης της E είναι:

!E =Er

R" + r

Σχήµα 23 Eάν το σφάλµα αυτό αποτελεί τα x/100 της E, θα ισχύει:

Er

R! + r=

xE

100 !

x =100r

R! + r (4)

µε 0≤R<+∞ και x το εκατοστιαίο σφάλµα µέτρησης της E. H σχέση (4) είναι µια οµογραφική συνάρτηση, της οποίας η γραφική παράσταση είναι η καµπύλη του σχήµατος (23).

Tο κύκλωµα του σχήµατος (24) χρησιµοποιείται για την µέτρηση της ηλεκτρικής αντίστασης R. Eάν V είναι η ένδειξη του βολτοµέτρου (B) και I η ένδειξη του αµπεροµέτρου (A), να δείξετε ότι το πηλίκο V/I αποτελεί µια φαινοµενική τιµή R΄ της αντίστασης R, για την οποία ισχύει η σχέση:

1

R=

1

R!-

1

R"

όπου Rβ η αντίσταση του βολτοµέτρου. Nα βρείτε ακόµη την συνθήκη, ώστε το πηλίκο V/I να προσεγγίζει την αντίσταση R. ΛYΣH: Eπειδή η ένδειξη I του αµπεροµέτρου είναι διαφορετική από την ένταση IR του ρεύµατος που διαρρέει την αντίσταση R, το πηλίκο V/I δεν αντιπροσωπεύει

την πραγµατική τιµή της αντίστασης R, αλλά µια φαινοµενική τιµή R΄ αυτής. Eξάλλου ισχύει η σχέση:

I = IR + Iβ !

I

V=

IR

V+

IB

V !

1

R'=

1

R+

1

R!

!

1

R=

1

R!!

1

R"

(1)

Σχήµα 24 Eάν το βολτόµετρο που χρησιµοποιούµε έχει πολύ µεγάλη εσωτερική αντίσταση (Rβ→ +∞), τότε το κλάσµα 1/Rβ τείνει προς το µηδέν και η σχέση (1) γράφεται:

�

1/R! 1/R' ! R ≈ R' Έτσι στην περίπτωση αυτή το πηλίκο V/I προσεγγίζει την πραγµατική τιµή της αντίστασης R. Παρατήρηση: H αντίσταση R µπορεί να υπολογιστεί σε συνάρτηση µε τις ενδεί ξεις V και I των δύο οργάνων και την εσωτερική αντίσταση Rβ του βολτοµέτρου. Πράγµατι έχουµε την σχέση:

R =

V

IR

=V

I- I!

=V

I -V R!

Ένα βολτόµετρο εσωτερικής αντίστασης Rβ συνδέεται σε σειρά µε µια αντίσταση R και το σύστηµα χρησιµοποιείται για την µέτρηση ηλεκτρικών τάσεων. Mε ποιο συντελεστή πρέπει να πολλαπλα σιάζεται η ένδειξη του βολτοµέτρου, ώστε να µας δίνει την τάση που θέ λουµε να µετρήσουµε; Eάν η µέγιστη τάση που µπορεί να µετρήσει το βολτόµετρο είναι V0 και η µέγιστη τάση που µετρά το σύστηµα βολτό µετρο-αντίσταση R είναι Vmax, να βρεθεί ο λόγος Rβ /R.

ΛYΣH: Έστω Vβ η ένδειξη του βολτοµέτρου, όταν το σύστηµα βολτόµετρο–αντίσ ταση R χρησιµοποιείται για την µέτρηση της τάσεως V ανάµεσα στα σηµεία M και N ενός κυκλώµατος Κ (σχ. 25). Tότε θα ισχύουν οι σχέσεις:

V! = I!R!

I! =V

R! + R

!

"

# # #

$

# # #

!

V! =VR!

R! + R ! V! (R! + R) = VR! !

�

V = V! (R! + R)/R! !

�

V = V! (1+ R/R! ) (1) Aπό την (1) παρατηρούµε ότι, η διαφορά δυναµικού V στις άκρες M και N του κυκ λώµατος προκύπτει από την ένδειξη Vβ του βολτόµετρου, όταν αυτή πολλαπλα σιάζεται µε τον συντελεστή (1+R/Rβ). Eφαρµόζοντας την σχέση (1) για V=Vmax και Vβ =V0 έχουµε:

Σχήµα 25 Vmax = V0(1 + R/Rβ) !

Vmax

V0

= 1 +R

R!

!

R

R!

=V

max

V0

- 1 !

R

R!

=V

max- V

0

V0

!

R!

R =

V0

Vmax

- V0

Δίνεται η ηλεκτρική συνδεσµολογία του σχήµατος (26), στην οποία το βολτόµετρο (B) έχει αντίσταση Rβ =1000 Ω. Eάν ο δια κόπτης Δ είναι ανοικτός η ένδειξη του βολτόµετρου είναι V1 =100 V, ενώ όταν ο διακόπτης κλείσει η ένδειξη του βολτόµετρου γίνεται V2 =90 V του δε αµπεροµέτρου (A) είναι I=4 A. Nα βρεθούν τα χαρακτηριστικά στοιχεία της ηλεκτρικής γεννήτριας. ΛYΣH: Όταν ο διακόπτης Δ είναι ανοιχτός, τότε το βολτόµετρο (B) και η γεννήτ ρια θα διαρρέονται µε το ίδιο ρεύµα, που η έντασή του I1 δίνεται από την σχέση:

�

I1 = E/(R! + r) (1) όπου E η ηλεκτρεγερτική δύναµη της γεννήτριας και r η εσωτερική της αντίστα ση. Έτσι η ένδειξη V1 του βολτόµετρου θα είναι:

V1 = I1Rβ !(1)

V1=

ER!

R! + r ! V1 (R! + r) = ER! (2)

Όταν ο διακόπτης Δ είναι κλειστός, τότε η γεννήτρια θα διαρρέεται µε ρεύµα έντα σης I0, το βολτόµετρο µε ρεύµα έντασης I2 =V2/Rβ και το αµπερόµετρο (Α) µε ρεύ µα έντασης I. Σύµφωνα µε τον πρώτο κανόνα του Kirchoff θα έχουµε:

I0 = I2 + I = V2/Rβ + I (3) όπου V2 η νέα τάση στους πόλους της γεννήτριας, για την οποία ισχύει:

V2 = E - I0r !(3)

�

V2 = E - (V2/R! + I)r !

V2

R!

+ I =E -V

2

r ! (V2 + IR! )r = (E - V2 )R! !

Σχήµα 26

(V2 + IR! )r = ER! - V2R! !(2)

(V2 + IR! )r = V1 (R! + r) -V2R! !

(V2 + IR! - V1 )r = (V1 - V2 )R! !

r =(V1 - V2 )R!

V2 - V1 + IR!

!

r =

(100 ! 90)V1000 !

(90 ! 100 + 4000)V » 2.5 Ω

Eξάλλου η σχέση (2) δίνει:

E =

V1 (R! + r)

R!

= V1 1 +r

R!

!

"

# #

$

%

& & !(4)

E = 100 V 1 +

2,5

1000

!

" #

$

% & = 100,25 V

H ηλεκτρική συνδεσµολογία του σχήµατος (27) χρησι µοποιείται για τον εντοπισµό σύνδεσης µε την Γή, ενός σηµείου Γ της διπλής µεταλλικής γραµµής (AM, BN). Mετακινώντας τον δροµέα Δ πάνω στο σύρµα AB διαπιστώνουµε ότι, µέσα από το γαλβανόµετρο (G) δεν διέρχεται ρεύµα, όταν ο λόγος RAΔ/RΔB είναι ίσος µε 3. Eάν το µε ταλλικό σύρµα MN θεωρείται µε αµελητέα αντίσταση, να βρεθεί η απόσ ταση x του σηµείου Γ από το άκρο B. Δίνεται AM=BN=L. ΛYΣH: Στο σχήµα (28) φαίνεται το ισοδύναµο κύκλωµα της εξεταζόµενης συνδε σµολογίας, το οποίο αποτελεί µια γέφυρα Wheatstone. Eπειδή µέσα από το γαλβα νόµετρο (G) δεν διέρχεται ηλεκτρικό ρεύµα, η γέφυρα Wheatstone βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας, οπότε ισχύει η σχέση: RAΔxR* = RΔB(2L - x)R* ! RAΔx = RΔB(2L - x) (1) όπου R* η ανά µονάδα µήκους αντίσταση των συρµάτων AM και BN. Όµως ισχύει

Σχήµα 27 Σχήµα 28 RAΔ/RΔB =3, δηλαδή RAΔ =3RΔB, οπότε η (1) γράφεται:

3RMBx = RMB(2L - x) ! 3x = 2L- x ! x = L/2

Mία συσκευή θέρµανσης Σ, µε στοιχεία κανονικής λειτουργίας V0 και P0, τροφοδοτείται µε γεννήτρια συνεχούς ρεύµατος σταθερής πολικής τάσεως V, διά µέσου ενός διαιρέτη τάσεως, του οποί ου οι δύο αντιστάσεις είναι ίσες. i) Nα βρείτε την τιµή των δύο αντιστάσεων του διαιρέτη τάσεως, ώστε η συσκευή Σ να λειτουργεί κανονικά, καθώς και την συνθήκη που εξασφα λίζει λύση στο παραπάνω πρόβληµα. ii) Nα βρείτε τον συντελεστή απόδοσης του εξωτερικού κυκλώµατος της γεννήτριας, όταν η συσκευή λειτουργεί κανονικά. ΛYΣH: i) Eάν IΣ είναι η ένταση του ρεύµατος που διαρρέει την συσκευή θέρµαν σης Σ και I0 η ένταση του ρεύµατος κανονικής λειτουργίας της συσκευής, τότε πρέπει να ισχύει: IΣ = I0 (1) Όµως ισχύει και η σχέση:

P0 = V0 I0 !

�

I0= P

0/V0

(1)

!

�

I!= P

0/V0 (2)

Eξάλλου η ένταση IR του ρεύµατος στην αντίσταση R του κλάδου MB θα είναι:

�

I!= V

MB/R = V

!/R !

�

IR

= V0/R (3)

Σχήµα 29 όπου VΣ η τάση στις άκρες της συσκευής, που ταυτίζεται µε την τάση V0 κανονι κής λειτουργίας. Σύµφωνα µε τον πρώτo κανόνα του Kirchoff θα έχουµε I=IΣ +IR , η οποία λόγω των (2) και (3) γράφεται;

I0=

P0

V0

+V

0

R (4)

Eφαρµόζοντας τον νόµο του Ohm πάνω στον κλάδο AM έχουµε:

VA,M = IR !(4)

V -VM,B =P0

V0

+V0

R

!

"

# #

$

%

& & R !

V -V

0=

P0R

V0

+ V0

! P0R = (V - 2V0)V0 !

R =(V - 2V0)V0

P0

(5)

Για να έχει λύση το πρόβληµα πρέπει:

R > 0 !( 5 )

V - 2V0 > 0 ! V > 2V0. ii) Eάν n είναι ο συντελεστής απόδοσης του εξωτερικού κυκλώµατος της γεννήτ ριας, θα ισχύει η σχέση:

n = P!/P"# (6)

όπου PΣ η ηλεκτρική ισχύς της συσκευής και Pηλ η ηλεκτρική ισχύς του εξωτερι κού κυκλώµατος της γεννήτριας (ωφέλιµη ισχύς της γεννήτριας). Όµως έχουµε PΣ=P0 και Pηλ =VI, οπότε η (6) γράφεται:

n =

P0

VI !

(4)

n =P

0

VP

0

V0

+V

0

R

!

"

# #

$

%

& &

Στην ηλεκτρική συνδεσµολογία του σχήµατος (30) οι ηλεκτρικές γεννήτριες Γ1 και Γ2 έχουν αµελητέα εσωτερική αντίσταση και αντίστοιχες ηλεκτρεγερτικές δυνάµεις E1 και E2. Kατά µήκος των µεταλλικών συρµάτων AB και A΄B΄, που παρουσιάζουν αντίστοιχες ηλεκ τρικές αντιστάσεις R και R΄, µπορούν να µετακινούνται οι µεταλλικοί δροµείς M και M΄, που συνδέονται µε τους ακροδέκτες ενός γαλβανόµετ ρου. Nα βρείτε τις τιµές της αντίστασης x του τµήµατος A΄M΄, για τις οποίες η ένδειξη του γαλβανόµετρου µηδενίζεται, όταν ο δροµέας M µετα κινείται πάνω στο σύρµα AB.

ΛYΣH: Eάν x, x΄ είναι οι ηλεκτρικές αντιστάσεις των συρµάτων AM και A΄M΄ αντιστοίχως, για τις οποίες δεν διέρχεται ηλεκτρικό ρεύµα από το γαλβανόµετρο (G). Τότε όλα τα τµήµατα του κυκλώµατος ABB΄A΄A θα διαρρέονται µε το ίδιο ρεύµα, έστω έντασης I. Eφαρµόζοντας στους βρόχους (AMM΄A΄A) και (AMBB΄M΄ A΄A) τον δεύτερo κανόνα του Kirchoff παίρνουµε αντιστοίχως τις σχέσεις:

Σχήµα 30

�

E1

= Ix + 0.RG

+ Ix'

E1

+ E2

= IR + IR'

!

"

#

!

E1 = I(x + x' )

E1 + E2 = I(R + R')

!

" #

$ # !

(:)

E1

E1+ E

2

=x + x'

R + R' !

x + x'=

E1 (R + R' )

E1 + E2

!

x =E1 (R + R')

E1 + E2

- x' (1)

Όµως θέλουµε η (1) να ισχύει για κάθε x που ικανοποιεί την σχέση 0≤x≤R, οπότε πρέπει να έχουµε:

0 !

E1 (R + R')

E1 + E2

- x'! R !

E1(R + R')

E1 + E2

-R ! x'!E1 (R + R')

E1 + E2

Δίνεται το κύκλωµα του σχήµατος (31), στο οποίο οι γεννήτριες Γ1, Γ2, Γ3 έχουν αµελητέες εσωτερικές αντιστάσεις και αντί στοιχες ηλεκτρεγερτικές δυνάµεις E1, E2 και E3. Nα βρεθεί σε συνάρτη ση µε τα µεγέθη E1, E2 και E3, το δυναµικό του σηµείου N. ΛYΣH: Δεχόµαστε ότι οι γεννήτριες Γ1 και Γ2 διαρρέονται µε ηλεκτρικά ρεύµατα, εντάσεων I1 και I2 αντιστοίχως, που οι συµβατικές τους φορές είναι αυτές που σηµειώνονται στο σχήµα (31). Eξάλλου ο κλάδος ΔΘ του κυκλώµατος δεν διαρρέ εται από ρεύµα, διότι στην αντίθετη περίπτωση θα παραβιαζόταν στον κόµβο Δ ο πρώτος κανόνας του Kirchoff. Για τον υπολογισµό του δυναµικού του σηµείου N, ακολούθουµε στο κύκλωµα την διαδροµή NΔΘ, οπότε θα έχουµε τις σχέσεις:

VN

- V!

= I23R

V!- V

"= - E

3

!

" #

$ # !

(+ )

VN- V

!= I

23R - E

3 (1)

Σχήµα 31

Όµως ισχύει VΘ =0, οπότε η σχέση (1) γράφεται:

VN

= I23R -E

3 (2)

Eφαρµόζοντας τον δεύτερο κανόνα του Kirchoff στους βρόχους (BΑΜNB) και (MΓΔNM) αντιστοίχως, παίρνουµε τις σχέσεις: E1 = I12R + (I1 + I2)R ! E1 = I13R + I2R (3) και E2 = I23R + (I1 + I2)R ! E2 = I1R + I24R (4) Aπαλοίφοντας µεταξύ των εξισώσεων (3) και (4 ) την ένταση I1, παίρνουµε τελικά:

�

I2= (3E2 - E1)/11R oπότε η (2) γράφεται:

�

VN = 3R(3E2 - E1)/11R - E3

Στο κύκλωµα του σχήµατος (32) η γεννήτρια Γ έχει ηλεκτρεγερτική δύναµη E=171 V και αµελητέα εσωτερική αντίσταση. Eάν η ένδειξη του αµπεροµέτρου (A) είναι I=1 A, του δε βολτόµετρου (B) V=160 V, να βρεθούν οι εσωτερικές αντιστάσεις των δύο οργάνων. Δίνε ται R=10 Ω και R΄=200 Ω. ΛYΣH: Tα σηµεία προσγείωσης Κ και Λ του κυκλώµατος συνδέονται µεταξύ τους διαµέσου της Γης, το δε ευθύγραµµο τµήµα ΚΛ θεωρείται αγωγός µε αµελητέα

ηλεκτρική αντίσταση. Eξάλλου, εάν I1, I2 είναι οι εντάσεις των ρευµάτων που διαρρέουν την αντίσταση R΄ και το βολτόµετρο (B) αντιστοίχως, θα έχουµε:

�

I1

=V

!! V

K

R'=

V"! V

N

R'=

V

R' (1)

Σχήµα 32

διότι VΔ =VΓ και VΚ =VN. Aπό τον πρώτο κανόνα του Kirchoff στον κόµβο M έχουµε:

I = I1 + I2 !( 1 )

I =V

R'+

V

R!

!

V

R!

= I -V

R'

=IR'-V

R' !

R! =VR'

IR'! V (2)

Eφαρµόζοντας τον δεύτερο κανόνα του Kirchoff στον βρόχο (MΓNM) παίρνουµε: E = IR + IRα + I2Rβ ! E = IR + IRα + V !

E - V- IR = IRα !

R!=

E - V - IR

I (3)

όπου Rα και Rβ οι ζητούµενες εσωτερικές αντιστάσεις του αµπεροµέτρου και του βολτοµέτρου. Aντικαθιστώντας στις (2) και (3) τα γνωστά µεγέθη έχουµε:

R! =

160V200"

1A 200" ! 160V= 800"

και

R

!=

(171 ! 160)V ! 1A10"

1A= 1"

Στο κύκλωµα του σχήµατος (33) η γεννήτρια Γ έχει εσωτερική αντίσταση r και ηλεκτρεγερτική δύναµη E. Eάν η ένδειξη του βολτοµέτρου (B) είναι ίση µε µηδέν, να βρεθούν σε συνάρτηση µε τα µε γέθη E, r και R, η ηλεκτρική αντίσταση Rx και η ένταση του ηλεκτρικού ρεύµατος που διαρρέει την γεννήτρια. ΛYΣH: Έστω I, I1, I2 οι εντάσεις των ρευµάτων στα τµήµατα του κυκλώµατος, όταν το βολτόµετρο (B) δεν διαρρέεται µε ρεύµα. (σχ. 33) Σύµφωνα µε τον πρώτο

Σχήµα 33

κανόνα του Kirchhoff στον κόµβο O, έχουµε την σχέση: I = I1 + I2 (1) Eξάλλου, εφαρµόζοντας τον δεύτερο κανόνα του Kirchoff στους βρόχους (AMOA), (OANO) και (MONM) παίρνουµε αντιστοίχως τις σχέσεις:

βρόχος (AMOA): E = Ir + I1R + I1.2R ! E = Ir + 3RI1 (2) βρόχος (OANO): E = Ir + I2Rx + I2.4R ! E = Ir + I(Rx + 4R) (3) βρόχος (MONM): 0 = 2RI1 - 4RI2 ! I1 = 2I2 (4) H (1) λόγω της (4) δίνει:

I = 2I2 + I2 = 3I2 ! I2 = I/3 (5)

οπότε η (4) γράφεται: I2 = 2I/3 (6) Aντικαθιστώντας τις τιµές των I1 και I2 στις εξισώσεις (2) και (3) έχουµε:

E = Ir + 3R(2I/3)

E = Ir + (Rx + 4R)(I/3)

!

" #

$ # !

E = I(r + 2R)

E = I(r + R/3 + 4R/3)

!

" #

$ # !

( : )

1 =r + 2R

r + Rx/3 + 4R/3

!

r +

Rx

3+

4R

3= r + 2R !

Rx

/3 = 2R ! 4R/3 ! Rx

= 2R Eξάλλου, από την σχέση E=I(r+2R) έχουµε: I = E/(r + 2R)

Δίνεται το κύκλωµα του σχήµατος (34), στο οποίο οι γεννήτριες Γ1, Γ2, Γ3 και Γ4 έχουν αµελητέα εσωτερική αντίσταση και αντίστοιχες ηλεκτρεγερτικές δυνάµεις E1 =110 V, E2 =20 V, E3 =60 V και E4 =15 V. Nα υπολογίσετε την διαφορά δυναµικού ανάµεσα στα σηµεία A και B του κυκλώµατος. ΛYΣH: Eάν I1, I2 είναι οι εντάσεις των ρευµάτων που διαρρέουν τις γεννήτριες Γ1 και Γ2 αντιστοίχως (η γεννήτρια Γ3 είναι προφανές ότι, δεν διαρρέεται από ρεύµα), τότε ο κλάδος ΘΛKΓ του κυκλώµατος, σύµφωνα µε τον πρώτο κανόνα του Kirc hoff στον κόµβο Θ, θα διαρρέεται από ρεύµα έντασης I1+I2, το οποίο θα κυκλοφο ρεί διαµέσου της Γης και µάλιστα το αγώγιµο τµήµα AK αυτής θεωρείται µε αµε λητέα ηλεκτρική αντίσταση. Για τον υπολογισµό της διαφοράς δυναµικού ανά µεσα στα σηµεία A και B ακολουθούµε την διαδροµή ANΔMB του κυκλώµατος, οπότε θα έχουµε:

Σχήµα 34

VA

-VN

= -I1R

VN

- V!

= E1

V!

- VM

= 0.R

VM

-VB

= -E3

!

"

# #

$

# #

!( + )

VA-V

B= -I

1R + E

1- E

3 (1)

Eξάλλου εφαρµόζοντας στους βρόχους (ΘNΔΓΘ) και (ΘΓKΛΘ) τον δεύτερο κανόνα του Kirchoff έχουµε:

βρόχος (ΘNΔΓΘ): -E1 + E2 = - I1R + I2R !

E2- E

1

R= I

1- I

2 (2)

βρόχος (ΘΓKΛΘ): - E2 - E4 = - I2R - (I1 + I2)R !

E2+ E

4

R= 2I

2+ I

1 (3)

Aπαλοίφωντας την ένταση I2 ανάµεσα στις εξισώσεις (2) και (3) παίρνουµε τελικά

�

I1 = (E1 + E4)/3R οπότε η σχέση (1) γράφεται:

VA -VB = -

(E1 + E4)R

3R+ E1 - E3

= E1- E

3-E

1+ E

4

3 (4)

Aντικαθιστώντας στην σχέση (4) τα γνωστά µεγέθη παίρνουµε:

VA -VB = 110 - 60 -

110 + 15

3

!

" #

$

% & V = 8,34 V

Στο κύκλωµα του σχήµατος (35) η γεννήτρια Σ έχει αµελητέα εσωτερική αντίσταση, το δε βολτόµετρο (B) έχει εσωτερική αν τίσταση Rβ=1000 Ω και παρέχει την ένδειξη V=50 V. Eάν R1=100 Ω και R2=200 Ω, να βρεθεί το δυναµικό του σηµείου A, όταν ανοίξει ο διακόπ της (δ). ΛYΣH: Όταν ο διακόπτης (δ) είναι ανοιχτός, τότε οι αντιστάσεις R1, R2 καθώς και η γεννήτρια Σ θα διαρρέονται µε το ίδιο ρεύµα, που θα κυκλοφορεί διά µέσου της Γης. Eάν I0 είναι η ένταση του ρεύµατος αυτού, τότε σύµφωνα µε τον δεύτερo κανόνα του kirchoff στον βρόχο (MANΓΔM), θα ισχύει η σχέση:

E = I0R1 + I0R2 ! E = I0(R1 + R2) !

�

I0 = E/(R1 + R2) (1) Eξάλλου, θεωρώντας τον κλάδο ANΓ έχουµε:

VA

-VN

= I0R

2

VN

- V!

= I0.0

!

" #

$ # !

( + )

VA-V

!= I

0R

2 !

( 1 )

V

A! 0 =

ER2

R1+ R

2

!

VA=

ER2

R1+ R

2

(2)

όπου VA το ζητούµενο δυναµικό και E η H.E.Δ. της γεννήτριας Σ. ΄Oταν ο διακόπ της (δ) είναι κλειστός, η γεννήτρια θα διαρρέεται από ρεύµα έντασης:

�

I = E/(R1 + R') (3)

Σχήµα 35

όπου R΄ η ισοδύναµη αντίσταση των R2 και Rβ, για την οποία ισχύει:

R'=

R2R!

R2 + R!

=200"1000"

1200"= 166,66" .

΄Oµως η ένδειξη V του βολτόµετρου είναι:

V = IR' !(3)

V =ER'

R1+ R'

! E =

V(R1 + R')

R' (4)

οπότε η (2 γράφεται:

VA =

V(R1 + R')R2

R'(R1 + R2 ) (5)

Aντικαθιστώντας στην (5) τα γνωστά µεγέθη, παίρνουµε:

VA =

50V (100 + 166,66)! 200!

166,66! 300!= 53,33V

Στο κύκλωµα του σχήµατος (36) οι γεννήτριες Γ1 και Γ2 έχουν αµελητέες εσωτερικές αντιστάσεις και αντίστοιχες ηλεκτρεγερ τικές δυνάµεις E1=10 V και E2=8 V. Eάν το αµπερόµετρο (A) έχει αµε

λητέα εσωτερική αντίσταση, να παραστήσετε γραφικά την ένδειξη του αµπεροµέτρου σε συνάρτηση µε την αντίσταση x του τµήµατος ΓM, όταν ο µεταλλικός δροµέας M µετακινείται πάνω στο σύρµα ΓB, αντίστασης R=100 Ω. Δίνεται R΄=5 Ω. ΛYΣH: Eπειδή το αµπερόµετρο (A) έχει αµελητέα εσωτερική αντίσταση, η τάση στις άκρες του είναι µηδενική, γεγονός που σηµαίνει ότι και η τάση στις άκρες της αντίστασης RMB είναι µηδενική, δηλαδή στην αντίσταση αυτή δεν κυκλοφορεί ηλεκτρικό ρεύµα. Έτσι, εάν I1, I2 είναι οι εντάσεις των ρευµάτων που διαρρέουν τις γεννήτριες Γ1 και Γ2 αντιστοίχως, τότε η ένδειξη Iα του αµπερόµετρου θα είναι:

Σχήµα 36 Σχήµα 37

Iα = I1 + I2 (1) Eφαρµόζοντας στους βρόχους (ΓKΛBMΓ) και (ΓΘHMΓ) τον δεύτερo κανόνα του Kirchoff, παίρνουµε τις σχέσεις:

E1

= I!x + I

1R'

E2

= I!x + I

2R'

!

" #

$ # !

(+ )

�

E1 + E2 = 2I!x + (I1 + I2)R'

(1)

!

�

E1

+ E2

= 2I!x + I

!R' !

I!=

E1+ E

2

2x + R' µε 0 ≤ x ≤ R (2)

H σχέση (2) είναι µιά οµογραφική συνάρτηση, της οποίας η γραφική παράσταση είναι η καµπύλη του σχήµατος (37).

Δίνεται η ηλεκτρική συνδεσµολογία του σχήµατος (38) στην οποία η γεννήτρια συνεχούς ρεύµατος έχει αµελητέα εσωτε ρική αντίσταση και ηλεκτρεγερτική δύναµη E, ενώ το µεταλλικό σύρµα AΓ έχει µήκος L και η αντίστασή του ανά µονάδα µήκους είναι r*. Nα εκφράσετε την ένδειξη του βολτόµετρου (B) σε συνάρτηση µε την από σταση x του δροµέα M από το άκρο A του σύρµατος. Δίνεται η εσω τερική αντίσταση Rβ του βολτόµετρου.

ΛYΣH: Eάν I, Iβ είναι οι εντάσεις των ρευµάτων στην γεννήτρια και στο βολτο µετρο αντιστοίχως, θα έχουµε: E = VAΓ ! E = VAM + VMΓ ! E = Ixr* + (I - Iβ)(L - x)r* !

E = I(xr* + Lr* - xr*) – Iβ (L - x)r* ! E = I Lr* - Iβ (L - x)r* (1)

Σχήµα 38 Aκόµη ισχύουν οι σχέσεις:

VM! = (I - I" )(L - x)r*

VM! = I"R"

!

" #

$ # ! (I - I!)(L - x)r* = I!R! !

I(L- x)r* = I! R! + (L - x)r![ ] !

I=I! R! + (L - x)r

r

!

(2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουµε

E =

I! R! + (L - x)r![ ]Lr

!

(L - x)r!

- I!(L - x)r! !

E(L - x) = I! R!L + (L - x)Lr* - (L - x)

2Lr*[ ] !

I! =

E(L - x)

-r*x2+ r*Lx + LR!

(3)

H ένδειξη Vβ του βολτόµετρου είναι:

Vβ = IβRβ !( 3 )

V! =ER!(L - x)

-r!x

2+ r

!Lx + LR!

µε 0 ≤ x ≤ L

Δίνεται η ηλεκτρική συνδεσµολογία του σχήµατος (39), στην οποία το βολτόµετρο (B) έχει πολύ µεγάλη εσωτερική αντίστα ση, ώστε να θεωρείται περίπου µηδενική η ένταση του ρεύµατος που το διαρρέει. Oι θέσεις των τριών δροµέων της συνδεσµολογίας είναι τέτοιες, ώστε όταν κλείσει ο διακόπτης Δ να µη µεταβληθεί η ένδειξη του βολτο µέτρου. Eάν x, ψ είναι οι ηλεκτρικές αντιστάσεις των τµηµάτων AM και MB αντιστοίχως του µεταλλικού σύρµατος AB, να δείξετε την σχέση: r = R΄x/ψ - R όπου r η εσωτερική αντίσταση της γεννήτριας Γ. ΛYΣH: Πριν κλείσει ο διακόπτης Δ όλα τα στοιχεία του βρόχου (AMBZNΔA) διαρ ρέονται από το ίδιο ρεύµα έντασης I, αφού µέσα από το βολτόµετρο διέρχεται ρεύµα ασήµαντης έντασης. Για την ένταση αυτή ισχύει η σχέση:

I =

E

R + R'+ r + x+ !=

E

R*+ x+ !

µε R* = R + R΄ + r (1)

H ένδειξη Vβ του βολτοµέτρου είναι ίση µε τη διαφορά δυναµικού VM,N, δηλαδή ίση µε την πτώση τάσεως κατά µήκος του συστήµατος των αντιστάσεων ψ και R΄. Έτσι θα έχουµε:

Vβ = VM,N = I(ψ + R΄) !(1)

V! =E(" + R')

R!+ x + "

(2)

Σχήµα 39 Σχήµα 40 Όταν κλείσει ο διακόπτης Δ τότε τα σηµεία A και B βραχυκυκλώνονται, αφού το σύρµα AΔB θεωρείται µε αµελητέα αντίσταση, που σηµαίνει ότι τα σηµεία αυτά αποκτούν κοινό δυναµικό και εποµένως µπορούµε να τα ταυτίσουµε (σχ. 40). Στο κύκλωµα αυτό οι αντιστάσεις x και ψ δεν διαρρέονται από ρεύµα αφού και στο βολτόµετρο δεν κυκλοφορεί ρεύµα, ενώ η γεννήτρια και οι αντιστάσεις R, R΄ διαρ ρέονται από ρεύµα έντασης I', για την οποία ισχύει:

I'=

E

R + R! + r=

E

R!

(3)

H νέα ένδειξη V'β του βολτόµετρου είναι ίση µε τη διαφορά δυναµικού VM,N, η οποία όµως είναι ίση µε τη διαφορά δυναµικού VA,N, αφού τα σηµεία A και M είναι ισοδυναµικά (αυτό συµβαίνει διότι οι αντιστάσεις x και ψ δεν διαρρέονται από ρεύ µα). Έτσι θα έχουµε την σχέση:

V΄β = VA,N = I'R΄ !(3)

�

V'! = ER'/R! (4)

Όµως σύµφωνα µε το πρόβληµα ισχύει Vβ =V’β , η οποία µε βάση τις σχέσεις (2) και (4) δίνει:

E(! +R" )

R!+! +x

=ER'

R!

! (! +R')R!= R'(R

!+!+ x) !

!R!+ R'R

!= R'R

!+ R'! + R'x ! !R

!= R'! +R'x !

! (R + R' +r ) = R'! +R'x ! !R+!R'+! r = R'! +R'x ! !R+! r = R'x ! r!= R'x - R! ! r = R'x/! -R

Δίνεται η ηλεκτρική συνδεσµολογία του σχήµατος (41), στην οποία οι γεννήτριες συνεχούς ρεύµατος Γ και Γ΄ έχουν αµελη τέα εσωτερική αντίσταση και αντίστοιχες ηλεκτρεγερτικές δυνάµεις E=20 V και E΄=4 V. Tο µήκος του σύρµατος AB είναι L=1 m και η ανά µονάδα µήκους ανίσταση του είναι R* =1 Ω/m, η δε αντίσταση του γαλβα νοµέτρου (G) είναι Rγ=1 Ω. i) Nα βρείτε την ένταση του ρεύµατος που διαρρέει το γαλβανόµετρο, σε συνάρτηση µε την απόσταση x του δροµέα M από το άκρο A του σύρµα τος AB. ii) Nα δείξετε ότι υπάρχει µια θέση του δροµέα M πάνω στο σύρµα AB, για την οποία η ένδειξη του γαλβανόµετρου µηδενίζεται. iii) Eάν Imax =1 A είναι η µέγιστη επιτρεπόµενη ένταση ρεύµατος στο γαλ βανόµετρο, να βρείτε ποια προστατευτική αντίσταση Rπ πρέπει να συνδε θεί σε σειρά µε αυτό, ώστε να µη καταστρέφεται, όταν ο δροµέας M µετα τοπίζεται πάνω στο σύρµα µεταξύ των άκρων του A και B. ΛYΣH: i) Θεωρούµε τον δροµέα M σε τυχαία θέση M, η οποία απέχει από το άκρο A του σύρµατος AB απόσταση x (0≤x≤L). Eάν I, Iγ είναι οι εντάσεις των ρευµάτων στους κλάδους της γεννήτριας και του γαλβανόµετρου αντιστοίχως, τότε εφαρµό

ζοντας τον δεύτερο κανόνα του kirchoff στους βρόχους (HAMBZH) και (BΘΔMB), παίρνουµε τις σχέσεις:

E = IRAM + (I - Iγ)RMB (1) και E΄ = - IγRγ + (I - Iγ)RMB (2) Όµως οι ηλεκτρικές αντιστάσεις RAM και RMB των τµηµάτων AM και MB του σύρ µατος AB είναι RAM = R*x και RMB = (L-x)R* οπότε οι σχέσεις (1) και (2) γράφονται:

Σχήµα 41

E = IR!x + (I - I!)R!(L - x)

E = -I!R

!+ (I - I

!)R!(L - x)

"

# $

% $ !

E = I(R!x + R!L -R!x) - I!R!(L - x)

E'= IR!(L - x) - I!R

!+ R! (L - x)[ ]

" # $

% $ !

E = R!LI -R!(L - x)I!

E'= R!(L - x)I- R!

+ R!(L - x)[ ] I!

" # $

% $ (3)

Aπαλοίφοντας την ένταση I µεταξύ των εξισώσεων (3) παίρνουµε τελικά:

�

I! =Ex - E'L

R!

+ R" (L - x) µε 0 ≤ x ≤ L (4)

Έστω x* η τιµή της απόστασης x για την οποία ο αριθµητής Ex* -E'L µηδενίζεται. Tότε θα ισχύει:

Ex* - E΄L = 0 ! x!=

E'L

E=

4V1m

20V= 0,2m

δηλαδή η τιµή x* είναι επιτρεπτή, αφού ανήκει στο κλειστό διάστηµα [0, L] Eξάλ λου, για την τιµή αυτή ο παρανοµαστής Rγ +R*(L-x) δεν µηδενίζεται, οπότε σύµ

φωνα µε την (4) η ένταση Iγ µηδενίζεται για x=x* =0,2 m. Άρα υπάρχει θέση του δροµέα M για την οποία η ένδειξη του γαλβανόµετρου µηδενίζεται. ii) Oταν το γαλβανόµετρο συνδέεται κατά σειρά µε µια προστατευτική αντίσταση Rπ, τότε η σχέση (4) παίρνει την µορφή:

I!=

Ex - E'L

(R!+ R

")L + R

!(L - x)x

(5)

H (5) για x=0 δίνει

�

I!=- E'L (R

!+R

") < 0, δηλαδή η συµβατική φορά του ρεύµα

τος στο γαλβανόµετρο είναι αντίθετη αυτής που φαίνεται στο σχήµα και η ένταση του είναι ίση µε E'L/(Rγ +Rπ). Eξάλλου για x=L η (6) δίνει

I!=

E -E'

R!+ R

"

> 0

δηλαδή η συµβατική φορά του ρεύµατος είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα και η έντασή του ίση µε (E-E’)/(Rγ+Rπ). Όµως από τα δεδοµένα του προβλήµατος προκύπ τει ότι E'<E-E', οπότε:

(E ! E')L

R!+ R

"

> E'L

R!+ R

"

Aυτό σηµαίνει ότι, όταν ο δροµέας M βρεθεί στην θέση B θα διέρχεται µέσα από το γαλβανόµετρο ρεύµα της µεγαλύτερης δυνατής έντασης. Aν τώρα απαιτήσουµε η ένταση αυτή να µη υπερβαίνει την τιµή Imax =1 A, το γαλβανόµετρο δεν θα καταστ ρέφεται καθώς ο δροµέας θα µετατοπίζεται από την θέση A προς την θέση B. Tότε όµως θα πρέπει να ισχύει:

E - E'

R!+ R

"

! Imax

!

R!+ R

"!

E - E'

Imax

!

R!!

E -E'

Imax

-R"

Στο κύκλωµα του σχήµατος (42) η γεννήτρια έχει ηλεκτρεγερτική δύναµη E και αµελητέα εσωτερική αντίσταση, το δε βολ τόµετρο έχει εσωτερική αντίσταση Rβ. Eάν η αντίσταση του ποτενσιοµέτ ρου είναι R, να παρασταθεί γραφικά η ένταση I του ηλεκτρικού ρεύµα τος που διαρρέει την γεννήτρια, σε συνάρτηση µε την αντίσταση x του τµήµατος AM, όταν ο δροµέας µετακινείται από το άκρο A προς το άκρο B του ποτενσιοµέτρου. ΛYΣH: Eάν x είναι η αντίσταση του τµήµατος AM του ποτενσιοµέτρου, τότε η αντίσταση του τµήµατος MB θα είναι R-x. Eξάλλου η ολική αντίσταση του εξωτε ρικού κυκλώµατος της γεννήτριας είναι:

R!" =

xR#

x + R#

+ R - x = xR#

R# + x- 1

!

"

# #

$

%

& & + R !

R!" = x

R# - R# - x

R# + x

!

"

# #

$

%

& & + R =-x

2

R# + x+ R (1)

Σύµφωνα µε τον νόµο του Ohm για κλειστό κύκλωµα η ένταση I του ηλεκτρικού ρεύµατος στην γεννήτρια, δίνεται από την σχέση:

I =

E

R!"

!(1)

�

I =E

-x2 /(R! + x) + R µε 0 ≤ x ≤ R

Σχήµα 42 Σχήµα 43 Θεωρώντας την συνάρτηση:

�

f(x) = -x2 /(R! + x) µε 0 ≤ x ≤ R παρατηρούµε τα εξής: i) Iσχύει: f(0) = 0 και

�

f(R) = -R2 /(R! + R) < 0 ii) Για x1, x2 ! [0, R] µε x2 > x1 ισχύει:

f(x2) - f(x1) =

-x2

2

R! + x2

+ x1

2

R! + x1

!

f(x2) - f(x1 =

x1

2R! + x1

2x2 - x1 x2

2 - x2

2R!

(x1 + R!)(x2 + R!) !

f(x2) - f(x1) =

x1x2 (x1 - x2) + R! x1

2 - x2

2( ) (x1 + R!)(x2 + R! )

< 0

Τα παραπάνω σηµαίνουν ότι η συνάρτηση f(x) είναι φθίνουσα στο κλειστό διάστη µα [0, R], δηλαδή καθώς ο δροµέας M µετακινείται από το άκρο A στο άκρο B η ένταση I αυξάνει συνεχώς από την τιµή E/R στην τιµή I* =E.(R+Rβ)/RRβ (σχ. 43).

P.M. fysikos