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Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Leggi fondamentali, pag. 1

Resistenza elettrica

Resistenza: capacità di un elemento di opporsi al flusso delle cariche elettriche. Si misura in ohm (Ω).

AR lρ=

Sezione A Materiale con resistività ρl

(R ≥ 0)


Legge di Ohm

La tensione v su un resistore è direttamente proporzionale alla corrente i che lo attraversa.

La costante di proporzionalità è la resistenza R.

v+

–

i

R

iRv ⋅=(con la convenzione

degli utilizzatori)

1 Ω = 1 V/A


Corto circuito

La tensione v è nulla qualunque sia la corrente i

v+

–

i

R = 0

0=⋅= iRv

v = 0+

–

i


Circuito aperto

La corrente i è nulla qualunque sia la tensione v

v+

–

i

R = ∞

0lim ==∞→ R

viR

v+

–

i = 0


Conduttanza

Conduttanza: capacità di un elemento di condurre la corrente elettrica. Si misura in siemens (S)

vi

RG ==

1(G ≥ 0)

1 S = 1 Ω–1 = 1 A/V


Potenza dissipata da un resistore

( )GiiRiiRivp

22 =⋅=⋅⋅=⋅=

22

vGRv

Rvvivp ⋅==⋅=⋅=


Potenza dissipata da un resistore

La potenza è funzione non lineare della corrente o della tensione.Ricordando che R ≥ 0 e G ≥ 0 si ha che p ≥ 0 e quindi un resistore assorbe sempre potenza dal circuito (elemento passivo).

GiGv

RviRivp

22

22 =⋅==⋅=⋅=


Rami, nodi e maglie

Ramo: singolo elemento a due terminali (bipolo) incluso nel circuito.

v +–

iR2

R1

R3


Rami, nodi e maglie

Nodo: punto di interconnessione di due o piùrami.

v +–

iR2

R1

R3

a b

c


Rami, nodi e maglie

Maglia: percorso chiuso ottenuto passando non più di una volta attraverso una qualunque sequenza di nodi.

v +–

iR2

R1

R3


Rami, nodi e maglie

Maglia indipendente: maglia che contiene un ramo che non appartiene a nessun’altra maglia.

Maglie indipendenti danno luogo ad equazioni indipendenti

Nrami = Nmaglie indipendenti + Nnodi – 1


Elementi in serie e in parallelo

Due o più elementi sono detti in serie se sono concatenati (percorsi dalla stessa corrente)

i i i


Elementi in serie e in parallelo

Due o più elementi sono detti in parallelo se sono collegati alla stessa coppia di nodi

(stessa tensione ai capi)

v+

–


Legge di Kirchhoff delle correnti (KCL)

La somma algebrica delle correnti che entrano in un nodo è zero

iN

i1i2

i3 01

=∑=

N

nni



La somma delle correnti che entrano in un nodo è uguale alla somma delle correnti che

escono dal nodo

i5

i1i2

i341532 iiiii +=++

Esempio:

i4



Generalizzazione: la somma algebrica delle correnti che entrano in una superficie chiusa è

zero

iN

i1i2 i3

01

=∑=

N

nni

i4


Generatori di corrente in parallelo

i1 i2 i3

iT

a

b

iS

iT

a

b

iS = i1 – i2 + i3

Il generatore di destra è equivalente al circuito di sinistra (hanno la stessa relazione i–v ai terminali ab).


Legge di Kirchhoff delle tensioni (KVL)

La somma algebrica delle tensioni lungo un percorso chiuso (maglia) è zero

01

=∑=

M

mmvv2

+

–+ –v1

+ –vM

+– v3 v4 +–


Legge di Kirchhoff delle tensioni (KVL)

La somma delle cadute di tensione è uguale alla somma degli aumenti di tensione

v1+–

v2

v4+–

+ + v3– –

+– v5

41532 vvvvv +=++

Esempio:


Generatori di tensione in serie

v1+–

vS+–

Il generatore di destra è equivalente al circuito di sinistra (hanno la stessa relazione i–v ai terminali ab).

v2

+

–v3

+–

a

b

–+ vab

+a

–b

vS = v1 – v2 + v3

vab


Resistori in serie

v +–

v1+ + v2

– –

R1 R2a

b

i KVL:

– v + v1 + v2 = 0

Legge di Ohm:

v1 = R1· i v2 = R2· i

v = (R1 + R2)· i = Req· i


Resistori in serie

v +–

v1+ + v2

– –

R1 R2a

b

i

Req = R1 + R2

v +–

v+ –

Reqa

b

i


Partitore di tensione

v +–

v1+ + v2

– –

R1 R2a

b

i

Req = R1 + R2

21eq RRv

Rvi

+==

vRR

RiRv21

111 +

=⋅= vRR

RiRv21

222 +

=⋅=


Resistori in serie: generalizzazione

v +–

v1+ + vN

– –

R1 RNa

b

i

vRRR

RvN21

nn +++=

K

v +–

v+ –

Reqa

b

i

∑=

=+++=N

1nnN21eq RRRRR K


Resistori in parallelo

v +–

i1

R1

a

b

i KCL:

i = i1 + i2

Legge di Ohm:

i1 = v/R1 i2 = v/R2

i2

R2

eq

21

2121 Rv

RRRR

vRv

Rvi =

+⋅

=+=



v +–

i1

R1

a

b

i2

R2v +

–

iReq

a

b

21

21eq RR

RRR+⋅

=

ii



v +–

i1

G1

a

b

i2

G2v +

–

iGeq

a

b

21eq GGG +=vGvGvGi ⋅=⋅+⋅= eq21

ii


Partitore di corrente

iRRRRiRv

21

21eq +

⋅=⋅=

iGG

GiRR

Ri21

1

21

21 +

=+

=

21eq GGi

Giv

+==

v +–

i1

a

b

i2

R2R1

Req = 1/Geq

iGG

GiRR

Ri21

2

21

12 +

=+

=

i


Resistori in parallelo: generalizzazione

iGGG

GiN21

nn +++=

K∑=

=+++=N

1nnN21eq GGGGG K

v +–

i1

a

b

iN

GNG1v +

–

iGeq

a

b

ii


Configurazioni a stella e a triangolo

v +–

R3R2

R1

R6R5

R4

Configurazione a stella

Configurazione a triangolo


Trasformazione stella/triangolo

RaRb

Rc

1

2

3

4

R2R1

R3

1

2

3

4

cba

cb1 RRR

RRR++

⋅=

cba

ac2 RRR

RRR++

⋅=

cba

ba3 RRR

RRR++

⋅=

1

133221a R

RRRRRRR ⋅+⋅+⋅=

2

133221b R


3

133221c R


triangolo ⇒ stella

stella ⇒ triangolo

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