01 Table des matieres Analyse partie 01 4e · 1.1.5 Primitives 15 1.1.6 * Méthodes...

Picchione Serge 2017-2018

ANALYSE PARTIE 01

4ème année 1.1 Calcul intégral 1

1.1.1 Le symbole Σ 1

1.1.2 Définitions 2

1.1.3 Propriétés de l’intégrale définie 8

1.1.4 Le théorème fondamental de l’analyse 13

1.1.5 Primitives 15

1.1.6 * Méthodes d’intégration particulières * 28

1.1.7 Applications du calcul intégral 31

1.1.8 Ce qu’il faut absolument savoir 43 1.2 Logarithmes et exponentielles 44

1.2.1 La fonction logarithme naturel 44

1.2.2 Logarithmes en base quelconque 50

1.2.3 La fonction exponentielle 55

1.2.4 Exponentielle en base quelconque 59

1.2.5 * Étude de fonctions exp et log * 62

1.2.6 Ce qu’il faut absolument savoir 65 1.3 Solutions des exercices 66

Picchione Serge 2017-2018

AVANT-PROPOS • Ce document a été conçu pour l’enseignement des mathématiques dispensé au Collège de Genève en quatrième année, en analyse. Cela dit, il peut servir de support de cours pour d’autres filières d’enseignement. • Vous trouverez dans ce chapitre de la théorie (définitions, théorèmes, démonstrations, etc.) et des exercices qui vous permettront progressivement de vous familiariser et de maîtriser les diverses notations et concepts mathématiques. À la fin du chapitre se trouvent les solutions des exercices, des activités et des Q.C.M. à l’exception de ceux faisant intervenir des démonstrations. • La théorie et les exercices accompagnés d’un astérisque (*), sont destinés aux élèves ayant choisi l’option, niveau avancé (MA2). • Pour mieux repérer les points importants de la théorie, les définitions sont dans un encadré blanc et les théorèmes dans un encadré grisé. • Pour vérifier votre niveau de compréhension à la fin de l’étude d’un sous chapitre, vous pouvez vous référer aux sections : « Ce qu’il faut absolument savoir » et « Questionnaire à choix multiples ». • Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l’adresse suivante :

http://www.sismondi.ch/disciplines/mathematiques/espace-perso-profs/serge-picchione • Pour finir, un grand merci aux collègues de divers établissements scolaires qui ont partagé leurs cours : Nicolas Chabal, Yves Drevous, Bernard Gisin, Alain Klopfenstein, Maurizio Lalicata, Bernard Lenggenhager, Romanita Nagy Gauxachs, Adrien Schleining et Serge Zoutter.

BON TRAVAIL !

P.S. / 2017-2018 1 Calcul intégral / 4 N-A

1.1 Calcul Intégral

1.1.1 Le symbole Σ Définition

b

k a

f ( k )=∑ signifie « somme pour l'indice k allant de a jusqu'à b de f(k) »

Avec : • a, b et k des nombres entiers. • f(k) : expression mathématique faisant intervenir k (en tant que nombre ou indice).

Exemples

a) 10

k 1

k = 1 + 2 + 3 + ... +9 + 10=∑ b)

202 2 2 2 2

k 3

k = 3 + 4 +... +19 + 20=∑

c) n

k 1 2 3 nk 1

a = a + a + a + ... + a=∑ d)

4

k 2

k( k 1) 2( 2 1) 3( 3 1) 4( 4 1) 20 =

− = − + − + − =∑

e) 10

k 1 10 fois

2 2 2 2 ....... 2 10 2 20 (indépendant dek) =

= + + + + = ⋅ =∑

Exercice 1 Calculer/développer les sommes suivantes :

a) 5

i 0

i=∑ b)

42

i 0

i=∑ c)

6

i 0

2 i=

⋅∑ d) 6

i 0

2 i=

⋅∑

e) 6

i 0

( 2 i 1)=

⋅ +∑ f) 8

i 3

i 3=

⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠∑ g)

8

i 3

( i 3 )=

−∑ h) ( )4

k 1

k 1

3 −

=

−∑

i) 428

k 137

2=∑ j)

5k

kk 2

( 1) c=

−∑ k) 4

i

i 1

i ci 1=

⋅+∑ l) ( )

3

k 0

f 2 k h h=

+ ⋅ ⋅∑

Exercice 2 Écrire à l’aide de la notation Σ :

a) 1 + 3 + 5 + ......... + 73 b) 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + +2 4 8 16 32 64 128 256

c) 6 8 10 12 ....... 24+ + + + + d) 1 2 4 8 16 32 64 1 3 5 7 9 11 13

+ + + + + +

e) 1 2 3 4 5 6c 2c 3c 4c 5c 6c− + − + − f) ( ) ( ) ( )1 1 0 2 2 1 3 3 2f c ( x x ) f c ( x x ) f c ( x x )− + − + − Exercice 3 (Propriétés de Σ)

Les égalités suivantes sont-elles correctes ? Justifier vos réponses.

Indication : remplacer la notation somme par la notation avec des pointillés : n

k 1 2 n 1 nk 1

a a a ... a a−=

= + + + +∑

a) ( )n n n

k k k kk 1 k 1 k 1

a b a b= = =

+ = +∑ ∑ ∑ b) n n

k kk 1 k 1

c a c a= =

⋅ = ⋅∑ ∑ c) ( )2n n

2k k

k 1 k 1

a a= =

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

d) ( )n n n

k k k kk 1 k 1 k 1

a b a b= = =

⋅ = ⋅∑ ∑ ∑ e) n

k 1

c n c=

= ⋅∑ f) n m m

k k kk 1 k n 1 k 1

a a a avec n<m= = + =

+ =∑ ∑ ∑


1.1.2 Définitions Considérons une fonction f continue et positive sur [a;b].

Problème

Calculer l’aire A du domaine situé sous le graphique de la fonction f , au-dessus de l’axe des x et entre les droites x = a et x = b (a < b).

Idée I Approximer l'aire A par l'aire d'une série de rectangles. On fractionne l’intervalle [a;b] en sous-intervalles dont la longueur représente la base des rectangles, et l’on choisit un ci dans chaque sous-intervalles dont l’image f(ci ) représente la hauteur du rectangle. a = x0 < x1 < x2 < x3 = b

Dans cet exemple, nous avons approximé l'aire A par l'aire de 3 rectangles :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i

3 3

1 1 0 2 2 1 3 3 2 i i i 1 i ii 1 i 1

noté x

A f c (x -x ) + f c (x -x ) + f c (x -x ) = f c · x x f c · x−= =

Δ

≈ − = Δ∑ ∑

Remarque : Il est clair que dans cet exemple l'approximation de A est grossière. Idée II Augmenter indéfiniment le nombre n de rectangles pour être plus précis. n = 3 rectangles n = 6 rectangles

Remarque : Plus le nombre n de rectangles est grand, meilleure est l'approximation de A.

Si nous prenons n rectangles, nous aurons : n

i ii 1

A f ( c ) x=

≅ ⋅ Δ∑

avec 0 1 2 n 1 na x x x .. x x b−= < < <… < < = et i i i 1x x x 0−Δ = − >

Une telle somme est appelée somme de Riemann ; elle dépend évidemment de f, mais aussi du choix de la base des rectangles (le choix des 1 2 3x ,x ,x ,....) et le choix des nombres ci pour le calcul de la hauteur des rectangles f(ci) .

a b

f

x

y

0

A

y

b= x3 x1 x2

f(c3)f

x 0 x0=a

f(c2) f(c1)

c1 c2 c3

y

b

f

x 0 a

y

b

f

x 0 a


Activité I Soit la fonction f définie par 2f ( x ) x= , a 0= et b 1= . a) On divise l’intervalle [ ]0;1 en 2 sous-intervalles de mêmes longueurs.

Calculer la somme de Riemann 2

i ii 1

f ( c ) xΔ=∑ en prenant les ic au milieu de [ ]i 1 ix ; x−

Proposer une illustration du problème. b) On divise maintenant l’intervalle [ ]0;1 en 5 sous-intervalles de mêmes longueurs.

Calculer la somme de Riemann 5

i ii 1

f ( c ) xΔ=∑ en prenant les ic au milieu de [ ]i 1 ix ; x−

Proposer une illustration du problème.


Pour obtenir l'aire exacte A nous allons prendre la limite de la somme des aires de ces rectangles lorsque leurs bases deviennent aussi petites que l'on veut, donc lorsque les ixΔ tendent vers 0

( )ix 0Δ → . Cela signifie que le nombre de rectangles n tend vers l'infini ( )n →∞ .

La réponse à notre problème est donc : n

i in i 1

A lim f ( c ) xΔ⋅→∞

=

= ∑

Définitions

a) Si n

i in i 1

lim f ( c ) x⋅→∞

=

Δ∑ existe et ∈ , et qu'elle est la même pour toutes les sommes de Riemann,

on dit que la fonction f est intégrable (au sens de Riemann) et on note : b n

i in i 1a

f ( x )dx lim f ( c ) x⋅→∞

=

= Δ∑∫

b)b

a

f ( x )dx∫ est appelé intégrale définie de f, depuis a jusqu'à b.

Exemple On cherche à calculer b n

i in i 1a

f ( x )dx lim f ( c ) x⋅→∞

=

= Δ∑∫ pour 2f ( x ) x= ; a 0= ; b 1=

et ib a 1x

n n−

Δ = = (équidistant), ib a ic a i i 1,2,3,......,n

n n−

= + ⋅ = =

Illustration :

Calculons déjà n

i ii 1

f ( c ) x⋅

=

Δ∑ :

n n

i ii 1 i 1

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 23

i 1f ( c ) x fn n

1 1 2 1 3 1 n 1....... (développement )n n n n n n n n

1 1 2 3 n....... (algèbre : mise en évidence de1 / n)n n n n n1 1 2 3 ...... nn

⋅ ⋅

= =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⎛ ⎞Δ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎡ ⎤

= + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= + + + +⎣ ⎦

∑ ∑

( )( )

2

3

2

(algèbre : mise en évidence de1 / n )

n n 1 2n 11 (formule de la somme des carrés )n 61 1 1 (algèbre)3 2n 6n

+ +⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

= + +

Finalement : 1

22n

0

1 1 1 1x dx lim 0,33 2n 6n 3→∞

⎛ ⎞= + + = =⎜ ⎟⎝ ⎠∫

y

1=b

f

x a=0 3/n ..... 1/n

f(2/n) f(3/n)

1/n 1/n 1/n

2/n

f(1/n)

......

f(1)

..... 1/n


Remarques a) Le signe ∫ symbolise un S stylisé pour somme.

b) b

a

f ( x )dx∫ est un nombre réel (pas ± ∞). Ce n’est pas une fonction.

c) Dans l’expression b

a

f ( x )dx∫ , x est appelée la variable d’intégration, les nombres a et b

les bornes d'intégration ; a est la borne inférieure, b est la borne supérieure. d) Toutes les fonctions ne sont pas intégrables (au sens de Riemann).

Théorème (Cauchy)

Si la fonction f est continue sur [a;b] alors f est intégrable sur [a;b]. e) Certaines fonctions discontinues peuvent également être intégrables, par exemple les fonctions en escalier.

f) b b

a a

f ( x )dx f ( t )dt=∫ ∫ (l’intégrale définie ne dépend pas du nom de la variable d’intégration)

g) On peut se libérer de la contrainte a < b et envisager deux cas :

Si a = b , on définit a

a

f ( x ) dx 0=∫

Si a > b , on définit b a

a b

f ( x ) dx f ( x ) dx= −∫ ∫

h) On constate aisément à travers l’exemple précédant que le calcul de l’intégrale définie est difficile ; on fait appel à un certain nombre d’astuces ou de connaissances algébriques comme par exemple ici, la formule de la somme des carrés des n premiers nombres naturels. i) Pour pouvoir utiliser cette notion d’intégrale définie de façon efficace, il nous faudra trouver un moyen « plus simple » pour la calculer. Ce moyen, que nous allons étudier plus loin, est le théorème fondamental de l’analyse.


a b x

y

f

c

Question Si la fonction f est continue sur [ ]a;b , b

a

f ( x )dx∫ sera-t-elle toujours positive ?

1er cas : Si f est continue et positive sur [a;b] c’est à dire [ ]f(x) 0 x a;b ≥ ∀ ∈

alors b

a

f ( x )dx 0≥∫ et représente l’aire A > 0 du domaine compris entre

le graphique de la fonction f , l’axe des x et les bornes x = a et x = b.

Explications :

Nous avons calculé l'aire des rectangles avec le produit i if ( c ) xΔ⋅ . Si f est positive sur [a;b] on a if ( c ) 0≥ et i i i 1x x x 0−Δ = − > pour i 1,2,3,...,n= ce qui implique que i if ( c ) x 0Δ⋅ ≥ pour i 1,2,3,...,n=

et donc bn

i in i 1 a

lim f ( c ) x f ( x )dx 0⋅→∞

=

Δ = ≥∑ ∫

2ème cas : Si f est continue et négative sur [a;b] c’est à dire [ ]f(x) 0 x a;b ≤ ∀ ∈

alors b

a

f ( x )dx 0≤∫ et b

a

f ( x )dx 0− ≥∫ représente l’aire A > 0 du domaine

compris entre le graphique de la fonction f , l’axe des x et les bornes x = a et x = b.

Explications :

Nous avons calculé l'aire des rectangles avec le produit i if ( c ) xΔ⋅ . Si f est négative sur [a;b] on a if ( c ) 0≤ et i i i 1x x x 0−Δ = − > pour i 1,2,3,...,n= ce qui implique que i if ( c ) x 0Δ⋅ ≤ pour i 1,2,3,...,n=

et donc bn

i in i 1 a

lim f ( c ) x f ( x )dx 0Δ⋅→∞

=

= ≤∑ ∫

Remarque

Si f change de signe sur [a;b] , alors l’aire A > 0 du domaine hachuré situé entre le graphique de la

fonction f , l’axe des x et entre les droites x = a et x = b est : c b

a c

0 0

0

A f ( x )dx f ( x )dx

> <

>

= −∫ ∫

On peut aussi calculer l’aire A > 0 à l’aide de la valeur absolue : c b

a c

0 0

A f ( x )dx f ( x )dx

> >

= +∫ ∫

x

y

b

f

0 a

f(ci) ≥ 0

ci xi-1 xi

Δxi > 0

x

y

b

f

0 a

f(ci) ≤ 0

ci xi-1 xi

Δxi > 0


a=0 b=2

f y

x

2 = f(2)

2-0

2

a b x

y f

c

Exercice 4

1) Calculer les intégrales définies ci-dessous à l'aide d'une représentation graphique (graphique de la fonction, bornes et axes) .

Exemple : ( )2

0 Forme :triangle

2 0 2x dx 2

2↑

− ⋅= =∫

a) 4

2

5 dx−∫ b)

10

1

2 dx−∫ c) ( )6

2

x 3 dx+∫ d) 4

3

dx−∫

e) 1

1

x dx−∫ f) ( )

2

2

x 1 dx−

− +∫ g) ( )1

1

x 2 dx−

+∫ h) 1

1

x dx−∫

2) Calculer l’aire A du domaine compris entre le graphique de la fonction f , l’axe des x et les bornes x = a et x = b et exprimer le résultat à l’aide d’une intégrale.

a) f ( x ) 2 ; a 1 ; b 10= − = = b) f ( x ) x 1 ; a 2 ; b 2= − + = − =

c) f ( x ) x ; a 1 ; b 1 = − = − = d) f ( x ) 3x 2 ; a 0 ; b 1= − = =

3) Sachant que :b b b

1 2 2 3 3 4

0 0 0

1 1 1x dx b ; x dx b ; x dx b2 3 4

= = =∫ ∫ ∫ , quelle conjecture

(affirmation que l'on pense être vraie) peut-on faire quant à b

n *

0

x dx n∈∫ ?

4) Soit f une fonction définie par son graphique sur l’intervalle [ ]a;c .

On sait que : b

a

f ( x )dx 10= −∫ et c

b

f ( x )dx 5=∫

Calculer :

a) c

a

f ( x )dx∫

b) Calculer l’aire A > 0 du domaine hachuré compris entre le graphique de la fonction f , l’axe des x et les bornes x = a et x = c et exprimer le résultat à l’aide d’une intégrale.

c) Peut-on calculer l’aire A > 0 du point b) à l’aide de la formule suivante ? c

a

f ( x )dx∫ .

d) Comparer les résultats obtenus au point a) et b). Que constate-t-on ?


1.1.3 Propriétés de l’intégrale définie Soient f et g deux fonctions intégrables sur [a;b] et k ∈ , alors :

1) b b

a a

k f ( x ) dx k f ( x )dx⋅ = ⋅∫ ∫

2) b b b

a a a

( f ( x ) g( x ))dx f ( x )dx g( x )dx+ = +∫ ∫ ∫

3) b b b

a a a

( f ( x ) g( x ))dx f ( x )dx g( x )dx− = −∫ ∫ ∫

4) c b c

a a b

f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx= +∫ ∫ ∫

5) Si [ ]f ( x ) 0 x a;b≥ ∀ ∈ alorsb

a

f ( x )dx 0≥∫

6) Si [ ]f ( x ) 0 x a;b≤ ∀ ∈ alorsb

a

f ( x )dx 0≤∫

7) Si [ ]f ( x ) g( x ) x a;b≥ ∀ ∈ alors b b

a a

f ( x )dx g( x )dx≥∫ ∫

Exemple

Sachant que : 1

01 dx 1=∫ ,

1

0

1x dx2

=∫ et 1 2

0

1x dx3

=∫

( )( P2 )1 1 1 12 2

0 0 0 0

( P1 ) Hyp. Alg.1 1 12

0 0 0

Calculons : x 4x 3 dx x dx 4x dx 3dx

1 1 2 12 18 2x dx 4 x dx 3 1dx 4 3 13 2 6 3

+ − = + + −

+ −= + ⋅ − ⋅ = + ⋅ − ⋅ = = −

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Remarque b b b

a a a

( f ( x ) g( x ))dx f ( x )dx g( x )dx⋅ ≠ ⋅∫ ∫ ∫ et b b b

a a a

f ( x ) dx f ( x )dx / g( x )dxg( x )

≠∫ ∫ ∫

Démonstration ou explication des propriétés

1) b n n

i i i iDéfinition Propiétén ni 1 i 1a de l'intégrale des sommes

k f ( x )dx = lim k f ( c ) x = lim k f ( c ) x⋅ ⋅→∞ →∞

= =

⎡ ⎤⋅ ⋅ Δ ⋅ Δ⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ ∑∫

bn

i iPropiété Définitionn i 1 ades limites de l'intégrale

= k lim f ( c ) x = k f ( x )dx⋅→∞

=

⋅ Δ ⋅∑ ∫

Illustration :

L'aire grise = 3 ⋅ l'aire hachurée.

( )b

a3 f x dx⋅∫ = 3 ⋅ ( )

b

af x dx∫

a b x

y

f

3 ⋅ f


2) ( )b n

i i iDéfinition n i 1a de l'intégrale

( f ( x ) g( x ))dx = lim f ( c ) g( c ) x⋅→∞

=

+ + Δ =∑∫

n n n

i i i i i i i iDistributivité Propiétésn ni 1 i 1 i 1des sommes

bn n

i i i iPropiétés Définitionn ni 1 i 1 ades limites de l'intégrale

lim f ( c ) x g( c ) x = lim f ( c ) x g( c ) x

= lim f ( c ) x lim g( c ) x = f ( x )dx

⋅ ⋅ ⋅ ⋅→∞ →∞

= = =

⋅ ⋅→∞ →∞

= =

⎡ ⎤= Δ + Δ Δ + Δ⎢ ⎥⎣ ⎦

Δ + Δ +

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∫b

a

g( x )dx∫

Cette propriété se lit : « L'intégrale d’une somme est égale à la somme des intégrales ». Cette propriété semble évidente si l'on considère sa signification géométrique (f et g positives). Illustration :

3) Mêmes arguments que en 2). 4) Cette propriété semble évidente si l'on considère sa signification géométrique (f positive). Illustration : 5) et 6) Déjà étudié précédemment. 7) Cette propriété semble évidente si l'on considère sa signification géométrique (f positive). Illustration :

a b x

y

f

f+g g

L'aire sous la courbe f + l'aire sous la courbe g = l'aire sous la courbe f + g.

a b cx

y

f

( )b

af x dx∫ ( )

c

bf x dx∫

( ) ( ) ( )+ =∫ ∫ ∫b c c

a b af x dx f x dx f x dx

Si [ ]f ( x ) g( x ) x a;b≥ ∀ ∈ alors b b

a a

f ( x )dx g( x )dx≥∫ ∫

a b x

y

g

f


Exercice 5

Sachant que : ( )1

0f x dx 3=∫ , ( )

2

1f x dx 4=∫ et ( )

3

2f x dx 8= −∫ calculer, en utilisant

les propriétés des intégrales :

a) ( )2

0f x dx∫ b) ( )

1

03 f x dx⋅∫

c) ( )3

08 f x dx⋅∫ d) ( )

1

32 f x dx⋅∫

Exercice 6

Sachant que : k 2 3

0

1x dx k3

=∫ et k 2

0

1x dx k2

=∫ avec k 0> calculer, en utilisant

les propriétés des intégrales :

a) 1 2

04x dx∫ b) ( )

3

07 2x dx−∫

c) ( )1 2

0x 3x 6 dx− +∫ d) ( )

2 2

0x 2 dx−∫

Exercice 7

Rappel : k 2 3

0

1x dx k3

=∫ et k 2

0

1x dx k2

=∫ avec k 0> .

De plus : a, b, c, α, β, γ sont des nombres réels, avec la seule condition que 0 a b< < . Calculer, en utilisant les propriétés des intégrales :

a) b

a

c dx∫ b) b

a

c x dx⋅∫

c) b

2

a

c x dx⋅∫ d) ( )b

2

a

x x dxα β γ⋅ + ⋅ +∫

e) b

a

x dx∫ Esquisser un graphique ! f) 0

cos( x ) dxπ

∫ Esquisser un graphique !

Exercice 8

Exprimer à l'aide d'une seule intégrale : ( utiliser les propriétés des intégrales )

a) 9 5

5 3

f ( x )dx f ( x )dx−

+∫ ∫ b) 4 4

1 6

f ( x )dx f ( x )dx−∫ ∫

c) e d

c c

f ( x )dx f ( x )dx−∫ ∫ c d e< < d) 6 2

2 2

f ( x )dx f ( x )dx−

−

+∫ ∫

e) ( )( ) ( )( )4 6

1 4f t dt f t dt⋅∫ ∫ f)

x h x

a a

f ( t )dt f ( t )dt+

−∫ ∫ h 0>


Théorème de la moyenne

Si f est continue sur [ ]a;b ,

alors il existe au moins un nombre [ ]c a;b∈ tel que b

a

f ( x )dx f ( c ) ( b a )= ⋅ −∫

Illustration Exemple ( )f x x= est continue sur [ ]0;1 .

( )

( )

[ ]

b

a1

0

f ( x )dx f ( c ) b a

x dx c 1 0

1c 0;12

= ⋅ −

⇔ = ⋅ −

⇔ = ∈

∫

∫

Remarques

a) L’interprétation géométrique que l’on peut faire de ce théorème est le suivant : « f(c) est la hauteur d’un rectangle de largeur b - a dont l’aire égale l'aire sous la courbe f, l’axe des x et entre x = a et x = b » . b) La valeur c dont parle le théorème de la moyenne peut ne pas être unique.

c) On appelle b

a

1f ( c ) f ( x )dxb a

= ⋅− ∫ , la valeur moyenne de f sur [ ]a;b .

Une notation utilisée pour écrire la valeur moyenne de f sur [ ]a;b est la lettre μ . d) Une fonction discontinue ne satisfait pas forcément la conclusion du théorème de la moyenne.

μ = f(c)

a b

f

x

y

0 c

b - a

( )b

af x dx∫

x 0 1

f y

( )1 f 1=

1c2

=

( )1 f c2=


Démonstration

1) Si f est une fonction constante sur [ ]a;b , le théorème est évident et il existe une infinité

de nombre [ ]c a;b∈ tel que ( )b

a

f ( x )dx f ( c ) b a= ⋅ −∫ .

2) Soit f une fonction non constante sur [ ]a;b :

Comme f est continue sur [a,b] fermé, le théorème des bornes permet de conclure qu’il existe un nombre [ ]u a;b∈ tel que ( )f u m = (minimum sur [a;b]) et un nombre [ ]v a;b∈

tel que ( )f v M = (maximum sur [a;b]) tel que : m f ( x ) M≤ ≤ [ ]x a;b∀ ∈

De plus : [ ]( ) [ ]f a;b m;M= . Illustration

On peut ainsi écrire : b b b

a a a

mdx f ( x )dx M dx≤ ≤∫ ∫ ∫ ( propriété 7 des intégrales )

b

a

m( b a ) f ( x )dx M( b a )⇔ − ≤ ≤ −∫ ( calcul d’intégrales )

b

a

1m f ( x )dx Mb a

⇔ ≤ ≤− ∫ ( algèbre : on multiplie par1 / ( b a )− )

La valeur [ ]b

a

1 f ( x )dx m;Mb a

⋅ ∈− ∫ et comme [ ]( ) [ ]f a;b m;M= , il existe donc au moins

une préimage [ ]c a;b∈ par f tel que : b b

a a

1f ( c ) f ( x )dx f ( x )dx f ( c ) ( b a )b a

= ⋅ ⇒ = ⋅ −− ∫ ∫

Exercice 9

Déterminer un nombre c qui satisfait la conclusion du théorème de la moyenne, puis déterminer la valeur moyenne μ de f sur [ ]a;b .

a) 3

2

0

3x dx 27=∫ b) 1

24

3 9dxx 4

−

−

=∫ c) 1

2

2

( x 1)dx 6−

+ =∫

d) 3

2

1

( 3x 2x 3 )dx 32−

− + =∫ e) 8

1

3 x 1 dx 54−

+ =∫ f) 1

32

8 dx 3x

−

−

= −∫

m=f(u)

M=f(v)

a b

f

x

y

0 u v

( )b

af x dx∫


1.1.4 Le théorème fondamental de l’analyse Activité II a) Soit ( )f t k = k ∈

i) Calculer l’aire ombrée en fonction de x. Autrement dit, déterminer x

0

F( x ) f ( t )dt= ∫ .

ii) Calculer la dérivée de F. Autrement dit, déterminer ( )F’ x . iii) Que constate-t-on ? b) Soit ( )f t t=

i) Calculer l’aire ombrée en fonction de x. Autrement dit, déterminer x

0

F( x ) f ( t )dt= ∫ .

ii) Calculer la dérivée de F. Autrement dit, déterminer ( )F’ x . iii) Que constate-t-on ? Exercice 10

Soit la fonction ( )f t t 1= + . a) Calculer l’aire ombrée en fonction de x.

Autrement dit, déterminer x

0

F( x ) f ( t )dt= ∫ .

b) Calculer la dérivée de F. Autrement dit, déterminer ( )F’ x .

c) Que constate-t-on ?

t x 0

y

F(x)

f k

F(x)

0 x

f y

t

F(x)

0 x

fy

t

1


Théorème fondamental de l’analyse (Newton 1642-1727 et Leibniz 1646-1716)

Soit f une fonction continue sur [ ]a;b .

On définit une nouvelle fonction F par x

a

F( x ) f ( t )dt= ∫ pour [ ]x a;b∈

Alors F est dérivable et [ ]F'( x ) f ( x ) x a;b= ∀ ∈ .

Illustration Remarque

Ce résultat montre que la fonction F qui calcule « l’aire » située sous le graphique de la fonction f, au dessus de l’axe des x et entre les droites t = a et t = x est une fonction qui, dérivée, donne la fonction f. Démonstration

• On doit démontrer que : [ ]h 0

F( x h ) F( x )F '( x ) lim f ( x ) x a;bh→

+ −= = ∀ ∈

• Soit h 0> . F( x h ) F( x )+ − représente l'aire sous la courbe f de a à x+h , moins l'aire sous la courbe f de a à x, c'est à dire l'aire sous la courbe f de x à x+h.

h 0

F( x h ) F( x )F '( x ) limh→

+ −= ( définition de la dérivée de F )

x h x

a ah 0

f ( t )dt f ( t )dtlim

h

+

→

−=

∫ ∫ ( définition de la fonction F )

x h

h 0x

1lim f ( t )dth

+

→= ⋅ ∫ ( propriété 4 des intégrales )

h 0lim f ( c )→

= ( théorème de la moyenne avec [ ]c x;x h∈ + )

c xlim f ( c )→

= ( comme [ ]c x;x h∈ + , si h 0 alors c x→ → )

f ( x )= ( f est continue )

a t

y

f

x

F( x )

a t

y

f

x

F( x h ) F( x )+ −

x+h

h

c

f(c)


1.1.5 Primitives Nous savons comment trouver, lorsque c’est possible, la fonction dérivée d’une fonction f . Ce processus est appelé « dérivation d’une fonction ». Le théorème fondamental de l’analyse montre l’intérêt du problème inverse qui consiste à trouver une nouvelle fonction F dont f serait la dérivée. Ce processus s’appelle « intégration d’une fonction ».

La définition suivante ne fait qu’attribuer à F un nom particulier. Définition

Toute fonction F telle que [ ]F'( x ) f ( x ) x a;b= ∀ ∈ est une primitive de f sur [ ]a;b .

Illustration D D D D D

I I I I I...... F f f ' f '' ..... D = Dérivation

I = Intégration Exemples

a) 2F( x ) x 7= + est une primitive de f ( x ) 2x= car ( )'2F '( x ) x 7 2x f ( x )= + = =

b) F( x ) cos( x )= − est une primitive de f(x) = sin(x) car ( )'F '( x ) cos( x ) sin( x ) f ( x )= − = =

c) n 11F( x ) xn 1

+=+

est une primitive de { }n / 1∀ ∈ −nf(x) = x

car ( ) ( )'

'n 1 n 1 n 1 1 n1 1 1F '( x ) x x n 1 x x f ( x )n 1 n 1 n 1

+ + + −⎛ ⎞= = ⋅ = ⋅ + ⋅ = =⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

Remarque

Selon le théorème fondamental de l’analyse, toute fonction continue sur [ ]a;b admet l’existence

d’une primitive sur [ ]a;b .

Activité III

i) Dériver les fonctions suivantes : 3F( x ) 2x= ( ) 3G x 2x 5= + 3H( x ) 2x 40= − ii) Que peut-on remarquer ? iii) Peut-on en déduire une règle générale ?


Théorème sur les primitives

Deux primitives d’une même fonction ne diffèrent que d’une constante.

Autrement dit, si F et G sont deux primitives de f sur [ ]a;b ,

alors [ ] etG( x ) F( x ) C x a;b C= + ∀ ∈ ∈ .

Démonstration

Soit F une primitive de f alors [ ]F'( x ) f ( x ) x a;b= ∀ ∈ .

Soit G une primitive de f alors [ ]G'( x ) f ( x ) x a;b= ∀ ∈ .

Donc F'( x ) G'( x ) G'( x ) F '( x ) 0= ⇔ − = (algèbre)

( )'G( x ) F( x ) 0⇔ − = (propriétés des dérivées)

G( x ) F( x ) C⇔ − = (corollaire du thm. de Lagrange)

G( x ) F( x ) C⇔ = + (algèbre)

Définition / Notation

L’ensemble de toutes les primitives d’une fonction f sur [ ]a;b se nomme intégrale indéfinie

de f et se note f ( x ) dx∫ .

Autrement dit : ( ) [ ]'f ( x ) dx F( x ) C ou F( x ) C f ( x ) x a;b= + + = ∀ ∈∫

Exemples

a) ( )Prop. Thm.

2 23x x dx 3 x dx x dx 3− + = − + = −∫ ∫ ∫3x

3⋅

2x C2

+ + car '2

3 2xx C 3x x2

⎛ ⎞− + + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

b) Thm.

cos( x )dx sin( x ) C= +∫ car ( )'sin( x ) C cos( x )+ =

d)

3 11 3 5Alg . Alg . 2Thm.2 2 2

3 12

x 2x xdx x x dx x dx C x C5

+

+= ⋅ = = + = +∫ ∫ ∫ car

'522 x C x x

5⎛ ⎞

+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

e) 3 1 2Alg . Thm.

33 2

1 x x 1dx x dx C C Cx 3 1 2 2x

− + −−= = + = + = − +

− + −∫ ∫ car '

2 31 1C

2x x⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎝ ⎠

f) ( ) ( ) ( )11

Thm.10 113t 11 13t 1 dt C 3t 1 C3 11 33

++ = ⋅ + = ⋅ + +∫ car ( ) ( )

'11 101 3t 1 C 3t 1

33⎛ ⎞⋅ + + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

Remarque

Une intégrale indéfinie est un ensemble de fonctions alors qu’une intégrale définie est, comme nous l’avons déjà vu, un nombre réel.


Théorème de Newton-Leibniz (lien entre primitives et calcul d’une intégrale définie)

Soit f une fonction continue sur [ ]a;b et F une primitive de f sur [ ]a;b .

Alors, on a: b

a

f ( t )dt F( b ) F( a )= −∫

Exemples

a) 11 3 3 3

2

0 0

x 1 0 1x dx3 3 3 3

= = − =∫ ( )1 31 3 32

1 1

1x 1 2x dx3 3 3 3− −

−= = − =∫

b) 2

/ 2

00

sin( x )dx cos( x ) cos ( cos( 0 )) 0 1 12

π

π π⎛ ⎞= − = − − − = + =⎜ ⎟⎝ ⎠∫

2

2

00

sin( x )dx cos( x ) 0π

π= − =∫ 2

2sin( x )dx cos( x ) 2π

π

ππ

= − = −∫

c) 1

12 2

00

( 2x 3 ) cos( x 3x )dx s in( x 3x ) sin( 4 )+ ⋅ + = + =∫

Remarques a) Nous avons utilisé la notation suivante : b

aF(b) - F(a) = F(x)

b) Selon le théorème fondamental de l’analyse, toute fonction continue sur [ ]a;b admet l’existence

d’une primitive sur [ ]a;b mais, malheureusement, certaines fonctions continues ont des primitives très difficiles à trouver, voire non exprimables à l’aide des opérations usuelles, comme par exemple pour la fonction

2xx e− . Il n'est donc pas toujours possible d'appliquer le théorème de Newton-Leibniz pour déterminer la valeur d'une intégrale définie. Cependant on peut toujours approcher, l’intégrale définie d’une fonction continue à l’aide de la définition des sommes de Riemann (voir début du chapitre). Démonstration

• Soit f une fonction continue sur [ ]a;b .

Si x

a

G( x ) f ( t )dt= ∫ alors G'( x ) f ( x )= [ ]x a;b∀ ∈ (théorème fondamental)

• b a b

a a a

0

G( b ) G( a ) f ( t )dt f ( t )dt f ( t )dt

=

− = − =∫ ∫ ∫ .

• Une autre primitive de G est : F( x ) G( x ) C C= + ∈ (théorème sur les primitives)

• ( ) ( )b

a

F( b ) F( a ) G( b ) C G( a ) C G( b ) G( a ) f ( t )dt− = + − + = − = ∫ .


Exercice 11

Déterminer l’ensemble des primitives des fonctions suivantes.

Exemple : ( )4 2 4

3 3 2x x x2x 8x dx 2 x dx 8 x dx 2 8 C 4x C4 2 2

+ = + = ⋅ + ⋅ + = + +∫ ∫ ∫

1) ( 4x 3 )dx+∫ 2) 2( 9t 4t 3 )dt− +∫ 3) 2( 4x 8x 1)dx− +∫

4) 3 21 3 dzz z

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 5) 2( 3x 1) dx−∫ 6) 3( 3x 1) dx−∫

7) 7( 3x 1) dx−∫ 8) x( 2x 3 )dx+∫ 9) 3 cos( u )du4∫

10) 1 sin( x )dx5

−∫ 11) 2a dx∫ 12) 2( b a )du−∫

13) 43x dx∫ 14) ( )3 2x 5x 3x 2 dx− + −∫ 15) ( )2x 5x 6 dx− +∫

16) ( )8( x 1) 1 dx+ +∫ 17) 13( 2 x ) dx−∫ 18) 2 26 x( 3x 1) dx+∫

19) 21 dx

( x 1)−∫ 20) 212x 1 dxx

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 21) 2 5( 2x 3 )( x 3x 1) dx− − +∫

22) 2 42 54 dxx x

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 23)

3

2x 3 dx

x−

∫ 24) 6( 3w 2 ) dw+∫

25) t t dt⋅∫ 26)3

1 dtt∫ 27) 2( 2t 5 ) t 5t 6 dt− ⋅ − +∫

28) 2

3

3x dx9 x+∫ 29) sin( 3x )dx∫ 30) 21 tan ( 2x )dx+∫

31) 1 cos( 4x )dx2∫ 32) 5sin ( x )cos( x )dx∫ 33) 4sin( x )cos ( x )dx∫

34) sin( x )( 1 cos( x ))dx−∫ 35) 2x 2x 1 dx+∫ 36) 2

3

5x dxx 1+∫

Indications : i) n n 11x dx x Cn 1

+= ++∫ ii) ( )( ) ( ) ( )( )g' f x f ' x dx g f x⋅ =∫

Exercice 12

Calculer les intégrales définies suivantes. (réponses en valeurs exactes)

Exemple : ( )3 44 43 33 3

2 22

2x 3 65 652x dx 2 x dx 2 2 24 4 4 4 2− −

−

⎡ ⎤− ⎛ ⎞= = ⋅ = ⋅ − = ⋅ =⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

1) 1

3

2

( x 3x 2 )dx−

− +∫ 2) 2

3

0

( 1 t ) dt−∫ 3) 1

2 4

1

( 2 3x 5x )dx−

+ −∫

4) 1

2 2

0

x ( 2x 1) dx+∫ 5) 1 2

3 20

v dv( v 1)+∫ 6)

2

21

1 1 dxxx

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠∫


Suite exercice 12

7) 3

0

1 xdx+∫ 8) 0

2 2

1

2x( 1 x ) dx−

+∫ 9) 24

20

( 1 tan( x )) dxcos ( x )

π

+∫

10)

32

2

2

sin ( x )cos( x )dx

π

π∫ 11)

42

0

t t 9 dt+∫ 12) 4

14

1 t dtt

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠∫

13) 4

2

cos( 3t )dt

π

π−

∫ 14) 2 2

212

x 1 dxx+

∫ 15) 3

2 22

1 1 dx( x 1) ( x 1)⎛ ⎞

−⎜ ⎟− +⎝ ⎠∫

16) 1

32

3 dx( 4x 1)

−

− +∫ 17) 2 3

21

x 2 dxx+

∫ 18) 2 2

30

5x dxx 1+∫

19)

32

3

2

2 sin ( 3x ) cos( 3x )dx

π

π

⋅ ⋅∫ 20) 3

5

1

( 6a b ) dx+∫ 21*)

12

20

2 dx1 x−∫

Exercice 13 Calculer la ou les valeur(s) de k telle(s) que ( )k

2

2x 3 dx 8−

− + = −∫

Exercice 14

A l’aide de la propriété suivante :

« Si f est continue sur [ ]a;b alors [ ]( ) [ ]f a;b m;M= et b

a

m( b a ) f ( x )dx M( b a )− ≤ ≤ −∫ »

Illustration

Montrer que : a) ( )2

o

0 sin x dxπ

π≤ ≤∫ b) ( )3

3

2cos x dx3 3

π

π

π π

−

≤ ≤∫

m

M

a b

f

x

y

0

( )b

af x dx∫


Exercice 15

On considère la fonction 2xf ( x ) + 2x + 1

2= − représentée ci-dessous.

Le théorème de la moyenne affirme que : « Si f est continue sur [ ]a;b , alors Il existe au moins

un nombre [ ]c a;b∈ tel queb

a

f ( x )dx f ( c ) ( b a )= ⋅ −∫ »

a) Estimer à l'oeil une valeur possible du nombre [ ]c 1;4∈ et f(c).

b) Calculer précisément le nombre [ ]c 1;4∈ et f(c). Y a-t-il plusieurs réponses possibles ? Exercice 16

Quel est le nombre c qui satisfait la conclusion du théorème de la valeur moyenne pour l’intégrale donnée et quelle est la valeur moyenne μ de f sur [ ]a;b ?

a) 10 3

0

x dx5∫ b)

03

2

x 1dx−

+∫ c) 5

0

x 4dx+∫ d) 2

3

6 xdx−

−∫

Exercice 17

a) Calculer 2

0

sin( x )dxπ

∫

b) Calculer l’aire de la surface délimitée par la fonction sinus et l’axe horizontal entre 0 et 2π.

Exercice 18

Calculer l'aire de la surface bornée située entre la parabole 2f ( x ) x 2x 8= − + + et l'axe des x . Exercice 19

Calculer l'aire de la surface déterminée par la parabole f ( x ) ( x 1)( x 3 )= − + , l'axe des x et les droites verticales x 2= − et x 0= .

f


Exercice 20

Soit la fonction f définie par 3f ( x ) x 9x= − . a) Calculer les zéros de la fonction f.

b) Esquisser le graphique de f pour [ ]x 4;4∈ − .

c) Calculer l’aire de la surface A1 située entre le graphique de f , l’axe des x et entre les droites x 2 et x 0= − = .

d) Calculer l’aire de la surface A2 située entre le graphique de f , l’axe des x et entre les droites x 0 et x 3= = .

e) Calculer l’aire de la surface A3 située entre le graphique de f , l’axe des x et entre les droites x 3 et x 4= = .

f) La somme des aires 1 2 3A A A+ + correspond-elle à 4

3

2

( x 9x )dx−

−∫ ? Justifier.

Exercice 21

Soient f et g les fonctions définies par : 3f ( x ) x= et 2g( x ) x 2x= − +

Déterminer l’aire de la surface ombrée limitée par les courbes représentant f et g et l’axe Ox.


Exercice 22 On considère la fonction ( )f x 3 x= − représentée ci-dessous.

a) Calculer l’aire du domaine grisé D, limité par le graphique de f et le deux axes de coordonnées.

b) Calculer la valeur moyenne μ de la fonction f sur l’intervalle [ ]0;9 .

c) Représenter sur le repère ci-dessus la droite d’équation y μ= , où μ est la valeur moyenne trouvée à la question précédente.

Compléter l’égalité suivante et donner une interprétation géométrique :

( ) ( ).......

.....

9 0 ......... dxμ ⋅ − = ∫

d) On partage le domaine D (de la question a) en deux parties par la droite horizontale d’équation y μ= , où μ est la valeur moyenne trouvée à la question précédente.

Ces deux parties ont-elles la même aire ? Justifier.

On considère la fonction : ( ) ( )x

0

A x f t dt= ∫ .

e) Déterminer les zéros de la fonction A.

f) La fonction A est-elle négative si x 9> ? Justifier.

g) Calculer ( )A' x .

h) Déterminer le tableau des variations de la fonction A .

i) Déterminer les éventuels extremums de A sur l’intervalle ] [0;+∞ .

D


Exercice 23

Soit la fonction f définie par ( ) 21f x x 12

= + dont la représentation graphique est ci-dessous.

Soit la fonction F définie par ( )x

2

1

1F x t 1 dt2

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ .

a) Calculer ( )F 3,5 .

b) Déterminer la valeur moyenne μ de la fonction f sur l’intervalle [ ]1;3,5 .

c) Représenter sur le repère ci-dessus la droite d’équation y μ= , où μ est la valeur moyenne trouvée à la question précédente.

Compléter l’égalité suivante et donner une interprétation géométrique :

( ) ( ).......

.....

3,5 1 ......... dxμ ⋅ − = ∫

d) Déterminer les zéros de la fonction F.

e) La fonction F est-elle négative si x 1< ? Justifier.

f) Calculer ( )F' x .

g) Déterminer le tableau des variations de la fonction F .

h) Déterminer les éventuels extremums de F sur l’intervalle ] [;−∞ +∞ .


Exercice 24

Soit la fonction f définie par ( ) 1f xx

= dont la représentation graphique est ci-dessous.

Soit la fonction F définie par ( )x

1

1F x dtt

= ∫ .

a) Déterminer le domaine de définition de f et de F.

b) Sans chercher à exprimer ( )F x , compléter :

( )F’ x = …………………………

( )F x 0 si x = = …………………. ( zéros de F )

c) Déterminer toutes les valeurs x telles que ( )F x 0> .

Déterminer toutes les valeurs x telles que ( )F x 0< .

d) À l’aide du graphique de f , estimer une valeur pour ( )F 2 .

e) À l’aide du graphique de f , estimer une valeur pour ( )F 3 .


Exercice 25 Vrai ou faux ? Justifier.

a) Toutes les primitives de la fonction ( ) 1f xx

= sont les fonctions de la forme :

( )F x 2 x C C= + ∈ .

b) Si F( x ) est une primitive de f ( x ) alors xF( x ) e+ est aussi une primitive de f ( x ) .

c) Sans calculer l'intégrale suivante, il est possible d'affirmer que ( )1

2

4

x x 1 dx 0−

−

+ + ≥∫ .

d) Si f est une fonction continue sur [ ];a b et si ( ) 0b

a

f x dx =∫ , alors ( ) 0f x = pour tout x

de [ ];a b .

e) La fonction F définie par 2

1

( )x

tF x e dt= −∫ est décroissante sur .

f) Sachant que 2

0

f ( x )dx 2=∫ , il est possible d' affirmer que ( )2

0

3 f ( x ) 4 dx 2⋅ − =∫ .

g) 0

sin( x ) dx 2 sin( x )dxπ π

π−

= ⋅∫ ∫

h) a a

2 2

a 0

x dx 2 x dx−

= ⋅∫ ∫

i) ( )0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )a a a

f x g x dx f x dx g x dx⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

j) Si 2

0

f ( x ) dx 4=∫ , alors il existe une valeur [ ]c 0;2∈ telle f ( c ) 2 4⋅ = .

k) Sachant que 1

0

f ( x )dx 5=∫ , 2

1

f ( x )dx 9= −∫ et 0

3

f ( x )dx 2−

=∫ , il est possible d’affirmer

que 2

3

f ( x )dx 2−

= −∫ .

l) Soient f et g deux fonctions continues tel que ( ) ( )g x f x< sur l’intervalle [ ]a;b .

L’aire A >0 du domaine limité et borné par les graphes de f et de g est donnée par :

( ) ( )b

a

A g x f x dx= −∫ .


Exercice 26 * On donne la fonction f définie par ( ) ( )2 2 2f ( x ) x 1 x b= − − a) Déterminer les zéros de la fonction f (le graphique est là à titre indicatif).

b) Déterminer le nombre réel b (b > 1) de sorte que l’aire du domaine D1 soit égale à la somme des aires des domaines D2 et D3. Exercice 27 *

Déterminer l’expression algébrique de la cubique f (fonction polynomiale de degré 3) de zéros { }0;1;2 lorsque l’intégrale entre 0 et 1 nommée S1 vaut 4.

Remarque : Le graphique est là à titre indicatif.

Exercice 28 *

On considère la fonction ( ) ( )f x sin x= − .

a) Déterminer l’expression algébrique de la parabole ( )P x de sorte que S1 = S2.

b) Calculer les coordonnées de l'extremum de P.

−3π2

−π −π2

π2

π 3 π2

x

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

y

−3π2

−π −π2

π2

π 3 π2

x

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

y

P f

S1 S2

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4x

-6

-4

-2

2

4

6

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4x

-6

-4

-2

2

4

6

y

f

D2 D3

D1

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3x

-6

-4

-2

2

4

6

y

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3x

-6

-4

-2

2

4

6

y

f

S1


Exercice 29 *

On considère la fonction 2f ( x ) x 6 x= − + et la droite d qui passe par l’origine O(0 ;0) et le point P(a ; f(a)).

1) Calculer l'aire de la surface bornée A, limitée par la courbe représentant f et l’axe Ox.

2) Exprimer la pente de la droite d en fonction du paramètre a.

3) Exprimer l'équation de la droite d en fonction du paramètre a.

4) Exprimer la surface S1 en fonction du paramètre a.

5) Exprimer la surface S2 en fonction du paramètre a.

6) Calculer a de telle sorte que l’aire de la surface S3 vaille la moitié de A.

-1 1 2 3 4 5 6 7x

-2

2

4

6

8

10

y

-1 1 2 3 4 5 6 7x

-2

2

4

6

8

10

y

S3

S1 S2

d

f

P•

a

f(a)

O •


1.1.6 Méthodes d’intégration particulières * Le théorème fondamental permet de calculer des intégrales définies à l'aide du calcul de primitives. Au stade où nous en sommes, nous savons calculer un certain nombre de primitives simples (par exemple les fonctions puissances, les fonctions trigonométriques simples ....) mais il est difficile de calculer les primitives de : ( )x sin x dx⋅∫ ou 2x 1 x dx⋅ −∫ .

Les formules qui suivent vont nous permettre de calculer des intégrales de ce type. Formule de l'intégration par parties *

b bb

aa a

f '( x ) g( x )dx f ( x ) g( x ) f ( x ) g'( x )dx⋅ = ⋅ − ⋅∫ ∫

Exemples *

a) 0 0 0P.P.

0 0

x sin( x )dx x cos( x ) cos( x )dx x cos( x ) sin( x )π π

π π π π⋅ = − ⋅ + = − ⋅ + =∫ ∫

On a : g( x ) x g'( x ) 1 f '( x ) sin( x ) f ( x ) cos( x )= = = = −

b) 2 2 2

2 2 2

1 1 1P.P.1 1 1

1ln( x )dx 1 ln( x )dx x ln( x ) xdx x ln( x ) x 2 ln( 2 ) 1x

= ⋅ = ⋅ − = − = −∫ ∫ ∫

On a : 1g( x ) ln( x ) g'( x ) ( table CRM ) f '( x ) 1 f ( x ) xx

= = = =

c) ( )1 1 11 1

2P.P. 0

0 0 0

x dx x x 1 dx 2x x 1 2 x 1 dxx 1

−= + = ⋅ + − ⋅ ++∫ ∫ ∫

( )131

20

0

4 2 2 42x x 1 x 13 3

− +⎛ ⎞= ⋅ + − ⋅ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

On a : ( ) ( )1 12 2g( x ) x g'( x ) 1 f '( x ) x 1 f ( x ) 2 x 1−

= = = + = + Démonstration * On part de ( )f ( x ) g( x ) ' f '( x ) g( x ) f ( x ) g'( x )⋅ = ⋅ + ⋅ (règle de dérivation du produit de 2 fonctions)

On intègre :

( ) [ ]b b

a a

( f ( x )g( x ) ' dx f '( x )g( x ) f ( x )g'( x ) dx= +∫ ∫

↓ La primitive de '( f g ) est f g⋅ ⋅

↓ Propriété 2) b b

b

aa a

f ( x )g( x ) f '( x )g( x )dx f ( x )g'( x )dx⇔ = +∫ ∫

↓ Mise en évidence b b

b

aa a

f '( x )g( x )dx f ( x )g( x ) f ( x )g'( x )dx⇔ = −∫ ∫


Formule de l'intégration par substitution ou changement de variable *

( )( )f ( b )b

a f ( a )

g f x f '( x ) dx g( t ) dt avec t f ( x )⋅ = =∫ ∫

Remarques * a) t f ( x )= et dt f '( x ) dx= .

b) La relation ci-dessus indique que, sous certaines conditions, deux fonctions différentes ont la même intégrale définie. Exemples *

a) ( )( ) ( )

32 2 3 32 2 2

Sub.f ' x g( t )1 1 0 0g f x

1 1 1 2x x 1dx x 1 2x dx t dt t 32 2 2 3

⎛ ⎞⎜ ⎟− = − ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

Substitution :

f

2f

f ( x ) f '( x )

x 1 t 0t x 1 dt 2x dx et

x 2 t 3

⎧ = → =⎪= − ⇒ = ⎨⎪ = → =⎩

b) ( )( ) ( )

( )2

1 / 2 22 2 2

Sub. P.P.0 0 0g( t ) 0f ' xg f x

1 11 t dt 1 sin( x ) cos( x )dx cos ( x )dx x sin( x )cos( x )2 2 2 4

ππ

π π π⎛ ⎞− = − ⋅ = = + = =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫

Substitution :

1

1

f

ff ( x ) f '( x )

t 0 x 0t sin( x ) dt cos( x )dx et

t 1 x2π

−

−

⎧= → =⎪

= ⇒ = ⎨⎪ = → =⎩

Démonstration * • Considérons G une primitive de g c'est-à-dire ( ) ( )G' x g x= .

• On a ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )G f '( x ) G' f x f ' x g f x f ' x g f x f ' x= ⋅ = ⋅ = ⋅ ,

ce qui signifie que G f est une primitive de ( )g f f '⋅ .

Donc ( ) ( ) ( ) ( )( )b

a

g f ( x ) f '( x ) dx G f b G f a⋅ = −∫ .

• On a aussi ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )f ( b )

f ( a )g( t ) dt G f ( b ) G f a G f b G f a= − = −∫ .

• D’où ( )f ( b )b

a f ( a )

g f ( x ) f '( x ) dx g( t ) dt⋅ =∫ ∫ .


Exercice 30 *

Déterminer les valeurs des intégrales suivantes en utilisant la méthode par parties :

a) 0

x sin( 2x )dxπ

⋅∫ b) 2

0

x cos( x )dx

π

⋅∫ c) 2

2

0

x sin( x )dx

π

⋅∫

d) 2

0

sin( x ) cos( x )dx

π

⋅∫ e) 3

0

x 1 xdx⋅ +∫ f) 10

1

ln( x )dx∫

Exercice 31 *

Soit nnI sin ( x )dx n= ∈∫

a) Calculer : 0 1 2 3I , I , I et I .

b) Établir une formule de récurrence qui donne In en fonction de In-2.

c) Utiliser la formule de récurrence pour calculer I3 et I4.

Indications : i) 2sin ( x ) sin( x ) sin( x )= ⋅ ii) 3 2sin ( x ) sin ( x ) sin( x )= ⋅ iii) 2 2cos ( x ) 1 sin ( x )= −

Exercice 32 * Déterminer la valeur des intégrales suivantes en utilisant la substitution donnée :

a)

12

2

0

x 1 x dx⋅ −∫ 2t 1 x= − b) 0

2

t t 2 dt−

⋅ +∫ 2t x 2= −

c) 1

1/ 2

2x 1 dxx 1++∫ 2x u 1= − d)

4

0

x dx1 x+∫ ( )2x t 1= −

Exercice 33 *

Calculez l’intégrale suivante 7

30

x dxx 1+∫ de trois manières différentes :

a) en effectuant le changement de variable 3x t 1= − ,

b) en effectuant le changement de variable x t 1= − ,

c) en effectuant une intégration par parties.


Exercice 34 *

Rappel : Un cercle est un ensemble de points situés à une même distance d'un point donné.

Considérons un cercle de rayon r centré en ( )0;0 .

a) Trouver la relation entre les coordonnées x et y d'un point P appartenant au cercle et le rayon r du cercle.

b) Déterminer l’expression algébrique de la fonction f+ et f- décrivant respectivement le demi-cercle supérieur et inférieur. c) Quelle est le domaine de définition de f+ et de f- ? d) A l'aide des intégrales calculer l'aire A du disque de rayon r centré en ( )0;0 .

Indication : Utiliser la substitution suivante : x r sin( t )= ⋅

1.1.7 Applications du calcul intégral • Aire du domaine situé entre deux courbes

Soit f et g deux fonctions continues telles que ( ) ( ) [ ]f x g x 0 x a;b≥ ≥ ∀ ∈ et D le domaine borné limité par les graphiques de f et de g et par les verticales d'équations x = a et x = b. Problème On veut calculer l'aire A > 0 du domaine D. Illustration Proposition

Soit f et g deux fonctions continues telles que ( ) ( ) [ ]f x g x 0 x a;b≥ ≥ ∀ ∈ .

L'aire A > 0 du domaine D limité par les graphiques de f et de g et par les verticales d'équations x = a et x = b est donnée par :

( )b

a

A f ( x ) g( x ) dx= −∫ .

Démonstration ( )

Propriétésdes

b b bintégrales

a a a

A f ( x )dx g( x )dx f ( x ) g( x ) dx= − = −∫ ∫ ∫

a b

f

x

y

0

D g

• x

y

(0;0)

P(x;y)

r

•f+

f-


1 2 3 4 5x

5

10

15

20y

1 2 3 4 5x

5

10

15

20y

Exemple Calculons l’aire A du domaine borné, limité par les graphiques de 2f ( x ) x 2= + et de g( x ) x 1= + et par les verticales d'équations x = 1 et x = 3.

( ) ( )( )33 3 2

2

1 1

x x 20A x 2 x 1 dx x3 2 3

⎛ ⎞= + − + = − + =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

Exercice 35

Calculer l’aire du domaine grisé et borné compris entre les représentations de f et g.

1) f ( x ) x= et 2g( x ) x= 2) 2f ( x ) x= et g( x ) 4x=

-0.5 0.5 1 1.5 2x

-0.5

0.5

1

1.5

2y

-0.5 0.5 1 1.5 2x

-0.5

0.5

1

1.5

2y

3) f ( x ) 5= et 2g( x ) x 1= + 4) 3f ( x ) x= et 2g( x ) x=

5) 2f ( x ) x 3x 2= − + et 2g( x ) x x 6= − − + 6) 2f ( x ) x 4= − et 21g( x ) x 14

= −

7) 4 2 2f ( x ) x 4x et g( x ) 4x= − = 8*) f ( x ) sin( x ) et g( x ) cos( x )= =

(on demande l'aire d'une des surfaces)

-1 1 2 3 4x

2

4

6

8

10

12y

-1 1 2 3 4x

2

4

6

8

10

12y

A

f

g


Axe de rotation

f

x

y

• Volume d'un solide de révolution Les intégrales définies sont aussi utiles pour calculer des volumes. Archimède utilisait déjà la méthode d’exhaustion pour déterminer les volumes des cônes et des sphères. Kepler lui aussi chercha le volume d’un tonneau à l’aide de découpages. Définition

On appelle solide de révolution un corps obtenu par rotation d’une surface plane autour d'un axe coplanaire extérieur ou tangent à cette surface.

Exemples

a) En faisant tourner un rectangle autour de l’un de ses côtés (axe tangent) on obtient un cylindre droit. b) En faisant tourner un rectangle autour d’un axe de rotation extérieur a cette surface on obtient un autre solide de révolution. C’est « un anneau ». Remarque

Chaque point de la surface engendrant un solide de révolution décrit un cercle en tournant autour de l'axe de rotation. Proposition

Soit f une fonction continue sur [a;b].

Le volume V du solide engendré par la rotation de la surface limitée par le graphique de f, l'axe des x et les verticales d'équations x = a et x = b, autour de l'axe des x est donné par :

b2

a

V f ( x )dxπ= ⋅ ∫

Exemple

Cherchons le volume V du solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe des x du domaine compris entre

le graphique de la fonction xf ( x )2

= l'axe des x et les

droites x = 0 et x = 2.

222 2 2 32 2

0 0 0 0

x 1 xV dx x dx x dx2 4 4 4 3

8 2 2,094 3 3

π ππ π

π π

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = = ⋅ =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦

= ⋅ = ≅

∫ ∫ ∫

Axe de rotation


Démonstration de la proposition Idée : Séparer le solide de révolution en plusieurs « tranches simples ».

• On partage l’intervalle [ ]a ;b en n sous intervalles [ ]i 1 ix ; x− de largeur i i i 1x x xΔ −= − dans le but de découper le solide en n « tranches ». • Si i i i 1x x xΔ −= − est assez petit, une « tranche » peut être approximée par un cylindre droit. Dans ce cas, le volume d’un cylindre droit est donné par : 2

i i ihauteuraire de

la base

V f ( c ) xπ Δ= ⋅ ⋅ pour

[ ]i i 1 ic x ; x−∈ . • Il en résulte que le volume du solide de révolution est à peu près égal à la somme de petits

cylindres notée n

i 1 2 ni 1

V V V V=

= + + +∑ où iV représente le volume d’un petit cylindre.

• En faisant tendre n vers l’infini, nous obtenons un nombre :

bn n n

2 2 2i i i i in n ni 1 i 1 i 1 a

somme deRiemann

V lim V lim f ( c ) x lim f ( c ) x f ( x ) dxπ Δ π Δ π→∞ →∞ →∞

= = =

= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅∑ ∑ ∑ ∫

et qui représente le volume cherché.


2

5

4

Exercice 36

Les graphiques des fonctions ( )2xf x

8= et ( )g x 2= délimitent avec les axes de coordonnées

les deux domaines A et B ci-dessous.

a) Calculer le volume du corps de révolution engendré par la rotation du domaine A autour de l’axe horizontal.

b) Calculer le volume du corps de révolution engendré par la rotation du domaine B autour de l’axe horizontal. Exercice 37

Le domaine délimité par la courbe d’équation y f ( x )= , l’axe x et les droites x a= et x b= tourne autour de l’axe x. Esquisser le corps obtenu et calculer son volume. a) f ( x ) x 1 a 1 b 3= + = = b) f ( x ) 4x a 0 b 10= = =

c) 1f ( x ) 0 a bx

= < < d) f ( x ) x a 0 b 1= = =

Exercice 38

On fait tourner autour de l’axe x le domaine délimité par les graphiques des fonctions f et g.

Esquisser le corps obtenu et calculer son volume V.

a) 2f ( x ) x 5= − + et g( x ) x 3= + b) 2f ( x ) x= et 2g( x ) 4 x= − Exercice 39

a) A l'aide des intégrales, calculer le volume V d'un cône circulaire droit de hauteur h et de rayon r.

b) Comparer votre résultat avec celui de la table C.R.M. Exercice 40

A l'aide des intégrales, calculer le volume V du « gobelet » (cône circulaire droit tronqué).

h

r

y

x


• x

y

(0;0)

P(x;y)

r

•f+

f-

h

•

r r - h

Exercice 41

a) A l'aide des intégrales, calculer le volume V d'une sphère de rayon r.

b) Comparer votre résultat avec celui de la table C.R.M. Indication : Montrer d’abord que : 2 2y r x= ± − Exercice 42 *

a) A l'aide des intégrales, calculer le volume V d'une calotte.

b) Comparer votre résultat avec celui de la table C.R.M. Indication : On coupe une sphère de rayon r par un plan à une distance r - h du centre de la sphère. Exercice 43 *

a) À l'aide des intégrales, calculer le volume V du tore (bouée) en fonction de r et R.

b) Calculer le volume V du tore (bouée) en fonction de a et b.

c) Comparer vos résultats avec ceux de la table C.R.M.

d) Aider un bijoutier à déterminer la nature d'une bague (or, argent, bronze, alu, etc.) qui a la forme d'un tore.

Il a mesuré la bague : 2a = 3 cm et 2b = 2 cm et pesé la bague : masse 16,17 gr≅

Il possède aussi la table C.R.M. avec la masse volumique des éléments.


0Q •

• •

•

•

• 1Q

k 1Q −

kQ nQ

• •

f

x

y

0

• Longueur d’un arc du graphique de f *

Certaines problèmes pratiques, demandent de connaître la longueur de la courbe représentative d’une fonction f .

La formule que nous allons établir prend naissance dans le procédé qui serait naturellement utilisé pour mesurer un fil tordu : découper le fil en petits morceaux par les points 0 1 2 nQ ,Q , Q ,....... , Q et mesurer approximativement chaque petit morceau, entre k 1 kQ et Q− ( pour chaque k ) , comme s’il s’agissait d’un segment de droite. (voir illustration ci-dessous)

La somme de ces mesures constituerait une approximation de la longueur totale du fil. Il est évident que, plus les points sont nombreux, meilleure est l’approximation. C’est donc par un passage à la limite sur la somme des longueurs des segments que nous allons obtenir la longueur exacte. Ce qui nous conduit à une intégrale définie. Illustration Proposition *

Soit f une fonction qui est continue sur [ ]a;b et sa dérivée, f ' aussi continue sur [ ]a;b .

La longueur de l’arc du graphique baL de f depuis ( )A a; f ( a ) jusqu’à ( )B b; f ( b )

est donnée par : ( )b

2ba

a

L 1 f '( x ) dx= +∫

Exemple *

Calculons la longueur de l’arc du graphique de f

définie par 4x 48f ( x )24x+

= depuis ( )A 2; f ( 2 )

jusqu’à ( )B 4; f ( 4 ) .

• On calcule d’abord : '4 4

2x 48 x 16f '( x )

24x 8x⎛ ⎞+ −

= =⎜ ⎟⎝ ⎠

• 2 24 44 4

42 2 2

2 2

x 16 1 x 16L 1 dx dx8x 64 x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− += + = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫

44 3

22

2 2

1 16 x 16 17x dx 2,838 x 3 x 6

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ + = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

-1 1 2 3 4 5x

-1

1

2

3

4

5y

A

•

•

B


A=Q •

• •

•

•

•

1Q

k 1Q −

kQnQ =

• • f

x

y

0a x= 1x

k 1x − kx nx b=kxΔ

( )kf xkyΔ( )k 1f x − kL

kc

Démonstration de la proposition *

• On partage l’intervalle [ ]a ;b en n sous intervalles [ ]k 1 kx ; x− de largeur k k k 1x x xΔ −= −

dans le but de découper la courbe en n « parties » . On a : ( )( )k k kQ x ; f x . • Si kxΔ est assez petit, la longueur de la courbe entre k 1 kQ et Q− peut être approximée par la

longueur du segment de droite [ ]k 1 kQ Q− : ( ) ( )2 2k k kL x yΔ Δ= + ( Théorème de Pythagore )

• On peut réécrire :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 22 2 2k k k k k k k kL x y x f ' c x 1 f ' c xΔ Δ Δ Δ Δ= + = + ⋅ = + ⋅ avec [ ]k k 1 kc x ; x−∈

• Il en résulte que la longueur de l’arc du graphique de f du point A au point B est à peu près égal

à la somme de petits segments : n

k 1 2 nk 1

L L L L=

= + + +∑ .

• En faisant tendre n vers l’infini, nous obtenons un nombre :

( )( ) ( )bn n 2 2b

a k k kn nk 1 k 1 asomme deRiemann

L lim L lim 1 f ' c x 1 f '( x ) dxΔ→∞ →∞

= =

= = + ⋅ = +∑ ∑ ∫

et qui représente la longueur de l’arc du graphique de f cherché du point A au point B . Exercice 44 *

a) Calculer la longueur de l’arc du graphique de f définie par : 1) 3f ( x ) x= depuis ( )A 0; f ( 0 ) jusqu’à ( )B 5; f ( 5 ) .

2) f ( x ) ax b= + depuis ( )A c; f ( c ) jusqu’à ( )B d; f ( d ) .

3) x xa aaf ( x ) e e

2−⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

depuis ( )A 0; f ( 0 ) jusqu’à ( )B a; f ( a ) .

4) 2 2f ( x ) r x= − depuis ( )A r; f ( r )− jusqu’à ( )B r; f ( r ) .


• Autres problèmes en relation avec la Physique * Exercice 45 * La sécurité routière a pensé que le nombre des accidents de la route diminuerait si l'on parvenait à contrôler plus efficacement la vitesse des camions. Elle a alors proposé que tous les camions soient équipés d'un tachygraphe (appareil qui enregistre la vitesse du véhicule à chaque instant). Ci-dessous vous trouverez le graphique d'un enregistrement de la vitesse d'un camion en fonction du temps, pour une durée de 2 heures.

a) Estimer, le plus précisément possible, la distance totale parcourue par le camion durant ces deux heures.

b) Estimer la vitesse moyenne de ce même camion durant ce même laps de temps. Pouvez-vous faire apparaître cette vitesse moyenne sur le graphique ?

temps

vitesse [km/h]

8h20 8h00 8h40 9h00 9h20 9h40 10h00

10

20

50

80

70

60

40

30

0


Exercice 46 * a) Introduction

Si on considère la distance x en fonction du temps t d'un objet, alors la dérivée de x(t) en t est définie comme la vitesse instantanée de l’objet au temps t .

Vitesse moyenne entre t et t + Δt = x x( t t ) x( t )t t

Δ ΔΔ Δ

+ −=

Vitesse instantanée au temps t = t 0 t 0

x x( t t ) x( t )lim limt tΔ Δ

Δ ΔΔ Δ→ →

+ −=

b) Loi horaire

La fonction vitesse est définie comme le taux de variation instantané de la distance, c’est-à-dire comme la dérivée de la fonction distance, ce que nous pouvons encore formuler :

« la fonction distance est une primitive de la fonction vitesse » . v( t ) est la vitesse instantanée à l’instant t x( t ) est la distance parcourue à l’instant t

t 0

x( t t ) x( t )v( t ) x ( t ) limtΔ

ΔΔ→

+ −′= = x( t ) v( t )dt= ∫

C’est une condition initiale qui permet de déterminer la constante d’intégration. De manière analogue, la fonction accélération est définie comme le taux de variation instantané de la vitesse, c’est-à-dire comme la dérivée de la fonction vitesse, ce que nous pouvons encore formuler :

« la fonction vitesse est une primitive de la fonction accélération » . a( t ) est l’accélération instantanée à l’instant t v( t )est la vitesse parcourue à l’instant t

t 0

v( t t ) v( t )a( t ) v ( t ) limtΔ

ΔΔ→

+ −′= = v( t ) a( t ) dt= ∫

Naturellement, c’est une condition initiale qui permet de déterminer la constante d’intégration.

x(t+Δt)

x(t)

t t+Δt

Δx

Δt

t

x


Enoncé c)

Une pierre est lancée vers le bas à partir d’une hauteur de 300 m. La vitesse instantanée de la pierre est donnée par ( )v t 10t 5= + où t est exprimé en secondes et v en mètres par seconde.

Déterminer :

1) à quelle altitude elle se trouve après 3 secondes.

2) à quel moment elle touche le sol.

3) sa vitesse instantanée au moment de l’impact au sol en kilomètres par heure.

4) la vitesse moyenne de la pierre sur les 5 premières secondes en kilomètres par heure. Enoncé d)

La vitesse instantanée v sur la piste d’un petit avion est donnée par ( ) 21v t t 3t2

= + où t est exprimé

en secondes et v en mètres par seconde. 1) Déterminer la distance parcourue pendant les dix premières secondes.

2) Calculer la vitesse moyenne de cet avion sur les dix premières secondes.

3) Pour déterminer la distance parcourue pendant les cinq premières secondes, il suffit de diviser le résultat précédent par deux. Vrai ou faux ? Justifiez Enoncé e)

Une voiture roulant à 20 [m/s] freine brusquement avec une accélération de -6 [ 2m / s ].

1) Quel temps mettra la voiture pour s’arrêter ?

2) Quelle distance parcourra la voiture avant de s’arrêter ?

Enoncé f)

Un TGV lancé à 240 [km/h] doit s’arrêter. Son accélération est alors proportionnelle au temps :

a( t ) t= − 2m

s⎡ ⎤⎣ ⎦ . Sur quelle distance a-t-il freiné ?


Exercice 47 * Une ville est alimentée en eau par l'intermédiaire d'un lac de rétention en amont d'un barrage. Soit D(t) le débit à l'entrée du lac exprimé en méga litres par jours. a) D peut-elle être une fonction négative ? nulle ?

b) Si ( ) 1D t 20 t4

= − , calculer la quantité d'eau Q

entrée dans le lac durant les 20 premiers jours. c) Les vannes du barrage sont fermées et la quantité initiale d'eau au temps t = 0 est de Q(0) = 1500 mégalitres. Après combien de jours le barrage aura atteint sa capacité maximale de 2000 mégalitres ?

d) Si les vannes du barrage sont fermées le lac peut-il déborder ? Si oui, de combien ? Exercice 48 *

Un météorologue estime que la température T en degré centigrade d’une froide journée d’hiver

varie en fonction de l’heure selon la fonction ( ) t tT t sin 8 cos 33 12π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

où t est exprimé

en heures et t 0= correspond à minuit.

Quelle est la température moyenne (moyenne des températures) exacte entre 6 heures et midi ?

Indication : utiliser le théorème de la moyenne. Exercice 49 *

La consommation en carburant d’un bateau à moteur s’élève à ( ) 225C t t t= − litres par heure. Si le moteur est mis en marche en 0t = , combien de carburant exactement aura-t-il consommé après 2 heures ? Exercice 50 *

Une fabrique de maillots de bain australienne réalise la plupart de ses ventes en été, mais répartit sa fabrication sur l'ensemble de l'année si bien que les coûts de production sont constants tout au long de l'année. De ce fait, la compagnie peut être confrontée à des difficultés de trésorerie. Les coûts estimés de fabrication s'élèvent à 9000 Fr par semaine et le revenu estimé peut se

calculer par la formule t10' 000 1,1 cos26π⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Fr par semaine où t est le nombre de semaines

écoulées depuis le début de l'année. Quel est le montant du profit que cette société peut espérer réaliser pour l'année à venir ?


1.1.8 Ce qu’il faut absolument savoir 1♥ Connaître la signification mathématique du symbole Σ ok

2♥ Connaître la définition de l’intégrale définie de f ok

3♥ Connaître les propriétés de l’intégrale définie de f ok

4♥ Savoir utiliser les propriétés de l’intégrale définie pour calculer une intégrale définie ok

5♥ Connaître et comprendre le théorème de la moyenne ok

6♥ Connaître et comprendre le théorème fondamental de l’analyse ok

7♥ Connaître la définition de la primitive de f ok

8♥ Connaître et comprendre le théorème de Newton - Leibniz ok

9♥* Savoir utiliser la méthode d’intégration par partie pour calculer une intégrale ok

10♥* Savoir utiliser la méthode de changement de variable pour calculer une intégrale ok

11♥ Calculer avec les intégrales, l’aire du domaine situé entre deux courbes ok

12♥ Calculer avec les intégrales, le volume d’un solide de révolution ok

13♥* Calculer avec les intégrales, la longueur de l’arc du graphique de f ok

14♥* Calculer avec les intégrales, les fonctions x(t) et v(t) à l’aide de a(t) ok

P.S. / 2017-2018 44 Logarithmes et exponentielles / 4 N-A

1 2 3 4 5t

1

2

3

4

y

1 2 3 4 5t

1

2

3

4

y

f

ln(x2)

x2 0 x1

ln(x1)

1.2 Logarithmes et exponentielles

1.2.1 La fonction logarithme naturel

• Considérons la fonction F définie par une intégrale : ( )x

p

1

F x t dt p x= ∈ ∈∫

• En utilisant le théorème de Newton-Leibniz avec p 2= on obtient la fonction :

( )x xx 2 1 3 3 3 3

2

1 1 1

t t x 1 x 1F x t dt2 1 3 3 3 3 3

+

= = = = − = −+∫

On constate, dans le cas p = 2 que la « fonction intégrale" F peut-être exprimée à l’aide de fonctions « simples » (polynomiales et rationnelles) et d’opérations élémentaires (+ ; - : * ; / ).

• Que se passe-t-il si p 1 = − ? ( )x xx x 1 1 0 0 0

1

1 1 1 1

1 t t x 1F x t dt dtt 1 1 0 0 0

− +−= = = = = − ∉

− +∫ ∫

Nous savons que 1f ( t )t

= est continue sur * et que toute fonction continue sur un intervalle

fermé est intégrable (attention * n'est pas un intervalle). Le théorème fondamental de l’analyse nous permet d’affirmer que f possède une primitive F et donc, il existe une fonction F dont la dérivée est f .

A défaut d’obtenir pour F une expression analytique (polynôme,etc.) nous pouvons la noter ln que l’on prononcera, logarithme naturel et l'étudier à partir de sa définition :

x

1

1ln( x ) dtt

= ∫

Nous pouvons « visualiser » cette fonction ln, puisqu'elle représente « l'aire » définie

par la fonction 1f ( t )t

= :

x

1

1Aire de la surface ombrée dt ln( x )t

= =∫

Remarques a) Si 0 x 1 < < alors

x 1

1 x

0

1 1ln( x ) dt dt 0t t

>

= = − <∫ ∫

b) Si x 1 > alors

x

1

1ln( x ) dt 0t

= >∫


À partir de la définition : x

1

1ln( x ) dtt

= ∫ nous pouvons obtenir les propriétés suivantes de

la fonction ln : 1) *Df +=

Nous verrons au point 9) que ( )x 0lim ln x

+→= −∞ ; ln admet donc une asymptote verticale en x = 0.

Le domaine de définition exclut donc zéro et toutes les valeurs de x < 0. De ce fait, il n'y a pas d'ordonnée à l'origine. 2) ( )ln 1 0=

Par définition de l’intégrale : 1

1

1ln( 1) dt 0t

= =∫ . La fonction ln admet un zéro en x = 1.

3) La dérivée de la fonction ln est : ( )( )' *1ln x xx += ∀ ∈

D'après le théorème fondamental, x

1

1ln( x ) dtt

= ∫ est une primitive de 1f ( x )x

= *x +∀ ∈ .

4) ln est une fonction continue et strictement croissante sur *+ .

• Comme ln est dérivable sur *

+ , elle est continue sur *+ (voir théorèmes précédents).

• Sa dérivée ( )( )' 1ln x 0x

= > *x +∀ ∈ ce qui implique que ln(x) est strictement croissante sur *+ .

Remarques

Comme ln est continue et strictement croissante sur *+ , on a :

( )( )( )

ln x 0 si 0 x 1

ln x 0 si x 1ln x 0 si x 1

⎧ < < <⎪

= =⎨⎪ > >⎩

et elle n’admet pas d’extremum locaux sur son domaine.

5) ( ) ( ) ( ) *1 2 1 2 1 2ln x x = ln x + ln x x ,x +⋅ ∀ ∈

Soit *p +∈ une constante.

( )( ) ( ) ( )( )' ''2 2 2

2 2

1 1ln p x = p x = = ln xp x x

⋅ ⋅⋅

Propriété 3) et dérivée de la composition de deux fonctions.

( ) ( )2 2ln p x = ln x C C⇔ ⋅ + ∈ Théorème sur les primitives Déterminons la constante C∈ : posons x2 = 1

( ) ( ) ( ) ( )ln p 1 ln 1 C ln p 0 C C ln p⇔ ⋅ = + ⇔ = + ⇔ =

Donc ( ) ( ) ( )2 2ln p x =ln x ln p⋅ +

Propriété 2)

Posons p = x1

Finalement ( ) ( ) ( )1 2 1 2ln x x =ln x ln x⋅ +


6) ( ) ( ) ( )* *11 1 1 2 1 2

1 2

1 xln ln x x et ln ln x ln x x ,xx x+ +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ∀ ∈ = − ∀ ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6.a) Posons : 11

1x 1x⋅ =

11

1ln x = ln(1) =0x

⎛ ⎞⇔ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠ Propriété 2)

11

1ln( x ) ln = 0x

⎛ ⎞⇔ + ⎜ ⎟

⎝ ⎠ Propriété 5)

11

1ln ln( x )x

⎛ ⎞⇔ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ En récrivant l’égalité.

6.b) Posons :

11

2 2

x 1xx x

= ⋅

( )11 1

2 2 2

x 1 1ln ln x ln x lnx x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ = ⋅ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Propriété 5)

1 2ln( x ) ln( x )= − Propriété 6.a)

7) ( )n *ln x n ln( x ) n , x += ⋅ ∀ ∈ ∀ ∈

( )( ) ( ) ( )( )' ' 'n nn

1 1ln x = x = n = n ln xx x

⋅ ⋅ ⋅ Propriété 3) et dérivée de la composition de deux fonctions.

( ) ( )nln x = n ln x C C⇔ ⋅ + ∈ Théorème sur les primitives

Déterminons la constante C∈ : posons x = 1

( ) ( )nln 1 = n ln 1 C⇔ ⋅ + 0 =n 0 C⇔ ⋅ + C 0⇔ =

Donc ( ) ( )nln x = n ln x⋅

Propriété 2)

Remarque

Si *n∈ alors ( )P.5 )

n

n fois n fois

ln x ln( x x ..... x ) ln( x ) ln( x ) ......... ln( x ) n ln( x )= ⋅ ⋅ ⋅ = + + + = ⋅


Etudions la fonction ln aux bornes de son domaine de définition :

Calculons donc xlim ln( x )→∞

et x 0lim ln( x )

+→.

8*) xlim ln( x )→∞

= +∞ Pas d’asymptotes horizontales

Pour démontrer cette propriété, nous allons raisonner d'après ce dessin :

Nous savons que x

1

1ln( x ) dtt

= ∫ représente l'aire définie entre 1 et x par la fonction 1f ( t )t

=

et cette aire est supérieure à celle définie par les rectangles dessinés sous la courbe, dont la base vaut toujours 1 et la hauteur vaut 1/n .

Par exemple : 4

1

1 1 1 1ln( 4 ) dtt 2 3 4

= > + +∫

donc x

1

1 1 1 1 1 1 1ln( x ) dtt 2 3 4 5 6 x

= > + + + + +…+∫

et x x

x x x xi 21

1 1 1 1 1 1 1 1lim ln( x ) lim dt lim limt i 2 3 4 5 6 x→∞ →∞ →∞ →∞

=

⎛ ⎞= > = + + + + +…+⎜ ⎟⎝ ⎠

∑∫

Pour calculer cette dernière somme, nous allons faire la comparaison entre cette somme et une autre somme qui est plus petite, car on y a remplacé certaines fractions par d'autres plus petites

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 3 4 5 6 7 8 9 16 17 32

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + + +… + +…+ +…⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

>

4 fois 8 fois 16 fois

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 4 4 8 8 8 8 16 16 32 32

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + + +… + +…+ +…⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Et dans chacune des parenthèses on remarque que l'on obtient chaque fois 1/2 , et l'on pourra obtenir autant de fois 1/2 que l'on veut, car notre somme contient une infinité de termes. Donc notre somme est plus grande que celle qui correspond à une infinité de 1/2 et qui tend donc vers l'infini.

Remarque * La fonction ln ne possède donc pas d'asymptotes horizontales.

1 2 3 4

12

14

13

f

x

y

1


-1 1 2 3 4 5x

-2

-1

1

2

y

ln

0

9*) x 0lim ln( x )

+→= −∞ Existence d’une asymptote verticale en x = 0.

Posons 1xy

=

yx 0

1lim ln( x ) lim lny+ →+∞→

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠ Car y → +∞ ⇔ x → 0+

=ylim( ln( y ))→∞

− Propriété 6a)

ylim ln( y )→∞

= − Propriété des limites

= − ∞ Propriété 8) Remarque * La fonction ln possède une asymptote verticale en x = 0. Définition

Nous appellerons logarithme naturel (et nous noterons ln) la fonction de *+ dans

définie par : x

1

1ln( x ) dtt

= ∫ .

Représentation graphique de la fonction ln

À part ( )ln 1 , nous ne pouvons pour le moment calculer aucune image en valeur exacte. Mais, en connaissant les 2 limites, en sachant que la fonction est continue et strictement croissante sur *

+ et en utilisant le fait que la pente de la tangente est donnée par 1 / x (donc la courbe "s'aplatit rapidement"), nous pouvons esquisser la représentation graphique de la fonction ln : Remarque Pour calculer ln( x ) on peut utiliser une somme de Riemann :

n

ii 1 i

1ln( x ) xc

Δ=

≅ ⋅∑ avec 0 1 n 1 n1 x x .. x x x−= < <… < < = et i i i 1x x x 0−Δ = − >

La réponse est alors une valeur approchée.


Le nombre e Un nombre joue un rôle aussi important en analyse mathématique que le nombre π en géométrie, c'est le nombre e. Proposition

L’équation ( )ln x 1 = possède une solution et elle est unique.

Démonstration

• 1

1

1ln( 1) dt 0t

= =∫ .

• 4

1

1 1 1 1 13ln( 4 ) dt 1t 2 3 4 12

= > + + = >∫ .

• Comme la fonction logarithme naturel est continue sur l'intervalle [ ]1;4 , elle prend toutes les valeurs comprises entre ln( 1) 0= et ln( 4 ) 1> . Il existe donc au moins un nombre entre 1 et 4 dont le logarithme naturel vaut 1, et comme la fonction ln est strictement croissante, ce nombre est unique et nous le noterons e.

Nous savons maintenant que ln( e ) 1= et que 1 e 4< < . On peut démontrer que le nombre e est un nombre irrationnel et que sa valeur est approximativement : 2,718…… Définition

L’unique solution de l’équation ( )ln x 1 = est appelée e , nombre d’Euler (1707-1783).

Autrement dit : ( )ln e 1 =

Illustration

Remarques

a) Voici une formule permettant de calculer sa valeur à la précision souhaitée :

n 0

1 1 1 1 1 1e 1 ...n! 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5

∞

=

= = + + + + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∑

b) On peut calculer facilement : ( ) ( )nln e n ln e n 1 n= ⋅ = ⋅ =

1 2 3 4

12

14

13 f

x

y

1

-1 1 2 3 4 5x

-2

-1

1

2y

e

1

ln


1.2.2 Logarithmes en base quelconque

Définitions

1) On appelle fonction logarithmique tout fonction proportionnelle à ln : log( x ) k ln( x ) = ⋅ . 2) On appelle base d'une fonction logarithmique le nombre a tel que ( )log a 1= . Ainsi ln est le logarithme en base e, appelé logarithme naturel.

Pour un logarithme en base a, nous aurons :

a a1log ( x ) k ln( x ) et 1 log ( a ) k ln( a ) , d ' où k

ln( a )= ⋅ = = ⋅ =

En conclusion : *a

ln( x )log ( x )= xln( a ) +∀ ∈

et sa dérivée : ( )( ) ( )'

' *a

ln( x ) 1 1 1 1log x ' ln( x ) xln( a ) ln( a ) ln( a ) x ln( a ) x +

⎛ ⎞= = ⋅ = ⋅ = ∀ ∈⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠

Exemple *2

ln( x )log ( x ) xln( 2 ) += ∀ ∈ et ( )( )' *

21log x x

ln( 2 ) x += ∀ ∈⋅

Remarque Les propriétés démontrées pour ln (base e) sont aussi valables pour alog (base a).

Exercice 51

a) Exprimer à l'aide d'un seul logarithme les expressions suivantes :

Exemple : 5 7 5 75 ln( x ) 7 ln( z ) ln( x ) ln( z ) ln( x z )+ = + = ⋅

1) 2ln( x ) 3ln( z )− = 2) 1 1ln( x ) ln( z )2 3

+ =

3) ln( x ) 2 ln( y ) ln( z )− + = 4) 1 1ln( 2 ) ln( ) ln( x ) ln( a )2 2

π+ + − =

b) Calculer y en fonction de ( ) ( ) ( )ln a , ln b et ln c .

Exemple : ( ) ( ) ( ) ( )2

2ay ln ln a ln c 2 ln a ln cc

⎛ ⎞= = − = ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

1) 2

4aby lnc

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ 2)

3ay lnc

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ 3) ay ln

b⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

4) 2

3a by lnc

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ 5) ( )y ln ab= 6)

2aby lnc

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

c) Calculer et simplifier : ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

103

54

ln e ln e ln 1 1yln e ln e

+ += −


Exercice 52

Déterminer les dérivées des fonctions suivantes (éventuellement commencer par simplifier l’écriture) :

1) f ( x ) ln( 4x 5 )= − 2) ( )2f ( x ) ln 3 x= − 3) 5f ( x ) ln( 3x )=

4) 2 3f ( x ) ln(( x x 1) )= + − 5) f ( x ) x ln( x ) x= − 6) f ( x ) ln(cos( x ))=

7) ln( x )f ( x )x

= 8) f ( x ) ln(ln( x ))= 9) f ( x ) ln( x 3 )= −

10) f ( x ) x ln( x )= ⋅ 11) f ( x ) ln( 5x )= − 12) x 1f ( x ) lnx 1+⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

13) 2 1f ( x ) lnx

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

14) 2x 1f ( x ) ln3x 2

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠ 15) ( )f ( x ) ln 2=

16) ( )3f ( x ) log x= 17) ( )4f ( x ) log 3x= 18) ( )210f ( x ) log x 5= +

Exercice 53

a) Déterminer les extremums locaux de la fonction f définie par 2f ( x ) x 8 ln( x )= − *x +∈ . b) Soit ( )3f ( x ) ln( x ) 2= + . Pour quelle valeur de x , f a-t-elle une tangente horizontale ? Exercice 54 * Démontrer que : 1) 3log est strictement croissante sur *

+ .

2) 13

log est strictement décroissante sur *+ .

3) Si 0 < a < 1 alors loga est strictement décroissante sur *+ .

4) Si a > 1 alors loga est strictement croissante sur *+ .

5) ( ) ( ) ( ) *a 1 2 a 1 a 2 1 2log x x log x log x x ,x +⋅ = + ∀ ∈

6) ( ) ( )n * *a alog x n log x x n+= ⋅ ∀ ∈ ∀ ∈

-2 -1 1 2 3 4 5 6x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4y

log3

log1/3


Exercice 55

Déterminer la valeur des intégrales suivantes : (réponse en valeur exacte)

1) 3

4

1 dxx 2

−

− +∫ 2) 2

20

x dxx 1−∫ 3)

3

21

5x dxx 3+∫

4) 1

1

1 1 dx3 x 3 x−

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ −⎝ ⎠∫ 5) 1

20

4x dxx 4−∫ 6)

7

2

6 dxx∫

7) 3

0

tan( x ) dx

π

∫ 8) 2

5

5 dx2x 1

−

− +∫ 9) 1

22

10x 3 dx5x 3x 1

−

−

++ +∫

10) 2

1

ln( x ) dxx∫ 11)

2

sin( x ) dx1 cos( x )

π

π −∫ 12) ( )5

2

ln e dx∫

13*) 2

1

ln( x )dx∫ (indication : intégration par partie)

Indications

a) ( )'x si x 0 1 si x 0x et x sgn( x )

x si x 0 1 si x 0≥ >⎧ ⎧

= = =⎨ ⎨− < − <⎩ ⎩

b) Les primitives de 1x

sont ( )ln x C+ *x C∀ ∈ ∀ ∈ .

Exercice 56

On considère la surface S délimitée par la courbe d’équation 6yx

= et les droites d’équation

y x 1= + et x = 4.

a) Dessiner cette surface S dans un système orthonormé.

b) Calculer l’aire de cette surface S et le volume du corps de révolution obtenu en faisant tourner la surface S autour de l’axe Ox.


Exercice 57 * (intégration de fonctions rationnelles)

Exemple

( ) ( )' '2 2 22 2 2

x 2 1 2xdx ln x 1 C car ln x 1 C x 1x 1 x 1 x 1+

≠ − + − + = ⋅ − =− − −∫

Pour intégrer certaines fonctions rationnelles on va la décomposer en « fractions partielles » :

( ) ( ) ( ) ( )D.F .P.

2x 2 3 1 1 1 3 1 1 1dx dx dx dxx 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1

3 1ln x 1 ln x 1 C2 2

⎛ ⎞+ ⎛ ⎞= ⋅ + − ⋅ = ⋅ − ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− − + − +⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞= ⋅ − + − ⋅ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫

Décomposition en fraction partielle (D.F.P.) :

( ) ( )2

x 2 x 2 a bx 1 x 1 x 1 x 1 x 1+ +

= = +− − + − +

On factorise le dénominateur et on l’écrit comme la somme de deux fractions « simples ».

Les inconnues sont a et b.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

a x 1 b x 1x 2x 1 x 1 x 1 x 1

+ + −+⇔ =

− + − + On additionne les deux fractions du membre

de droite (PPCM).

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

a b x a bx 2x 1 x 1 x 1 x 1

+ + −+⇔ =

− + − + On développe le polynôme se trouvant

au numérateur.

a b 1 3 1a et ba b 2 2 2+ =⎧

⇔ = = −⎨ − =⎩

On compare les coefficients des polynômes

se trouvant au numérateur. a b a bc c= ⇔ =

Résolution d’un système linéaire 2 x 2.

( ) ( ) ( ) ( )x 2 3 1 1 1

x 1 x 1 2 x 1 2 x 1+ ⎛ ⎞= ⋅ + − ⋅⎜ ⎟− + − +⎝ ⎠

Nous avons finalement décomposé la fraction rationnelle en « fractions partielles ».

Exercice Déterminer les primitives suivantes en utilisant la décomposition en fraction partielle.

1) 2x 1 dx

x 16+−∫ 2) 2

x 4 dxx 3x 2

++ +∫ 3) 2

2x 9 dxx 5x 6− −− −∫

4) 3 2

3 22x 5x 5x 1 dx

x 2x x− + +− +∫ (effectuer une division euclidienne au préalable)


Exercice 58 *

Voici une autre démonstration des propriétés 5) et 7) de la fonction ln.

Compléter la colonne de droite avec les arguments nécessaires.

5) ( ) ( ) ( ) *1 2 1 2 1 2ln x x = ln x + ln x x ,x +⋅ ∀ ∈

( ) 1 2x x

1 2 1

1ln x x dtt

⋅⋅ = ∫ ............................................

= 1 1 2

1

x x x

1 x

1 1dt dtt t

⋅+∫ ∫ ............................................

= 1 2x x

11 11

1 1dt x ·dut x ·u

+∫ ∫ ............................................

= 1 2x x

1 1

1 1dt dut u

+∫ ∫ ............................................

( ) ( )1 2= ln x + ln x ............................................

7) ( )n *ln x n ln( x ) n , x += ⋅ ∀ ∈ ∀ ∈

( )nxn

1

1ln x dtt

= ∫ ............................................

=x n 1

n1

1 n u duu

−⋅ ⋅∫ ............................................

=x

1

1n duu

⋅ ∫ ............................................

( )n ln x= ⋅ ............................................


Rappels

Définition : Soit f : A → B une fonction.

f : A → B est bijective ⇔ ∀ y ∈ B ∃ un unique x ∈ A tel que y = f(x).

Définition : Soit f : A→B une fonction bijective.

f -1 : B → A est telle que f -1(y) = x ⇔ f (x) = y ∀ x ∈ A et ∀ y ∈ B

f -1 est appelée la fonction réciproque de la fonction f.

Remarques :

f admet une fonction réciproque de B vers A ⇔ f est une fonction bijective de A vers B.

La fonction réciproque d'une bijection est aussi bijective.

1.2.3 La fonction exponentielle Nous voulons considérer la réciproque de la fonction ln. Pour cela il faut tout d'abord montrer que cette réciproque existe, donc que ln est une fonction bijective de *

+ vers .

• La fonction ln est définie sur *+ .

• xx 0

lim ln( x ) et lim ln( x )+ →∞→

= −∞ = +∞ .

• ( )( )' 1ln x 0x

= > *x +∀ ∈ donc ln est continue sur *+ et strictement croissante sur *

+ .

En considérant les trois propriétés ci-dessus on peut conclure que : *y il existe un unique x tel que y ln( x )+∀ ∈ ∈ = .

Autrement dit : la fonction ln est bijective de *+ vers .

Nous pouvons donc définir une fonction réciproque de ln, que nous noterons exp : Définition

La fonction exp est la réciproque de la fonction ln. Autrement dit : *y ln( x ) x exp( y ) x et y+= ⇔ = ∀ ∈ ∀ ∈

À partir de cette définition nous pouvons donner une représentation graphique de la fonction exp. Rappel

Dans un repère orthonormé, les graphiques d’une fonction f et de sa réciproque f -1 présentent une symétrie par rapport à la droite i (graphique de la fonction identité i(x) = x). Remarque La fonction exp est une fonction bijective de vers *

+ car elle est la réciproque de la fonction bijective ln de *

+ vers .

f A B

f -1

x y

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6x

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6y

ln

exp i


À partir de cette définition, nous pouvons obtenir les propriétés suivantes de la fonction exp :

0) xexp( x ) e x= ∀ ∈ avec e 2,7182818 ...=

( ) ( )exp x exp x 1= ⋅ Algèbre

( )1

exp x ln e=

⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

Définition du nombre e : ln( e ) 1=

( )( )xexp ln e= Propriété 7) de la fonction ln

xe=

Définition de la réciproque :

y ln( x ) x exp( y ) donc x exp(ln( x ))= ⇔ = =

Définition

La réciproque du logarithme naturel est appelée exponentielle (de base e ) et elle est définie par : ( ) xexp x e= de dans *

+ .

Remarques

a) Le nombre e est un nombre irrationnel et sa valeur est approximativement de 2,718……

e est appelé constante d’Euler (1707-1783).

b) y *y ln( x ) x e x et y+= ⇔ = ∀ ∈ ∀ ∈

On peut aussi écrire : ( ) ( )ln xy *ln e y et e x x et y+= = ∀ ∈ ∀ ∈

1) *fD et exp( )= +=

car exp est la réciproque de la fonction ln qui est bijective de *+ vers .

La fonction exp n'admet pas de zéro.

2) 0e 1= (ordonnée à l'origine)

( )ln xe x= Définition de la réciproque

( )ln 1e 1= En posant x = 1

0e 1= Propriété 2) de la fonction ln


3) La fonction exp est dérivable et ( )'x xe e=

On a ( )xln e x= Définition de la réciproque

( ) [ ]' 'x ln e x⎡ ⎤⇔ =⎣ ⎦ Deux fonctions égales ont la même dérivée

xx

1 · e ' 1e

⎡ ⎤⇔ =⎣ ⎦ Dérivée d’une fonction composée

⇔ 'x xe e⎡ ⎤ =⎣ ⎦ En multipliant par xe

4) La fonction exp est continue et strictement croissante sur .

exp est continue sur car dérivable .

Elle est strictement croissante sur car sa dérivée ( )'x xe e 0= > x∀ ∈ . Remarque Comme exp est continue et strictement croissante sur elle n’admet pas d’extremum locaux sur son domaine.

5) 1 2 1 2x x x x1 2e e e x ,x+⋅ = ∀ ∈

( ) ( ) ( )1 2 1 2x x x xln e e ln e ln e⋅ = + Propriété 5) de la fonction ln

( )1 2x x1 2ln e e x x⇔ ⋅ = + Définition de la réciproque

( ) ( )1 2 1 2x x x xln e e ln e +⇔ ⋅ = Définition de la réciproque

1 2 1 2x x x xe e e +⇔ ⋅ = ln est bijective ( ) ( )( )ln x ln y x y= ⇒ =

6) 1

1 1 2

1 2

xx x x

1 2x x1 ee et e x ,x

e e− −= = ∀ ∈

6.a)

( )1

1

xx1ln ln e

e⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Propriété 6) de la fonction ln

1 1x1ln x

e⎛ ⎞⇔ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Définition de la réciproque

( )1

1

xx1ln ln e

e−⎛ ⎞⇔ =⎜ ⎟

⎝ ⎠ Définition de la réciproque

1

1

xx1 e

e−⇔ = ln est bijective ( ) ( )( )ln x ln y x y= ⇒ =


6.b)

11

2 2

xx

x xe 1ee e

= ⋅

11 2

2

xx x

xe e ee

−⇔ = ⋅ Propriété 6.a)

11 2

2

xx x

xe ee

−⇔ = Propriété 5)

7) ( )nx n xe e n x⋅= ∀ ∈ ∀ ∈

( )( ) ( )nx xln e n ln e = ⋅ Propriété 7) de la fonction ln

( )( )nxln e n x⇔ = ⋅ Définition de la réciproque

( )( ) ( )nx n xln e ln e ⋅⇔ = Définition de la réciproque

( )nx n xe e ⋅⇔ = ln est bijective ( ) ( )( )ln x ln y x y= ⇒ =

Etudions la fonction exp aux bornes de son domaine de définition :

8*) a) x

xlim e→∞

= +∞ et b) x

x lim e 0→−∞

= Existence d’une asymptote horizontale en y = 0.

Posons ( )x ln y= Substitution

On a : ( )x ln y y→∞⇔ →∞⇔ →∞

Et ( )x ln y y 0+→ −∞⇔ → −∞⇔ → Définition de y et propriétés 8) et 9) de la fonction ln

a) ( )ln yx

x y ylim e lim e lim y→∞ →∞ →∞

= = = +∞

b) ( )ln yx

x y 0 y 0lim e lim e lim y 0

+ +→−∞ → →= = =

Par ce qui précède


1.2.4 Exponentielle en base quelconque

Nous avons défini le logarithme en base a par aln( x )log (x) =ln( a )

.

Comme la fonction alog est aussi bijective, nous pouvons définir la fonction expa comme la réciproque de la fonction alog .

Autrement dit : Illustration

*a ay log ( x ) x exp ( y ) x et y+= ⇔ = ∀ ∈ ∀ ∈

On peut aussi écrire :

a a a alog (exp ( y )) y et exp (log ( x )) x= =

Propriétés 1) x

aexp (x) = a Exemple : x2exp ( x ) 2=

( ) yz ln( a ) y ln( a ) ya

z

ln( x )y log ( x ) y ln( x ) y ln( a ) x e x e x e x aln( a )

⋅

=

= ⇔ = ⇔ = ⋅ ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

2) Les propriétés démontrées pour exp (exponentielle en base e) sont aussi valables pour expa .

En effet : ( )xx ln( a ) ln( a ) x

aexp ( x ) a e e ⋅= = =

3) ( ) ( )'x xa ln a a= ⋅ Exemple : ( ) ( )'x x2 ln 2 2= ⋅

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )'' x ' 'ln a xx ln( a ) ln( a ) x xa e e e ln a x ln a a⋅⋅= = = ⋅ ⋅ = ⋅

Exercice 59

a) Exprimer à l'aide de la base e les expressions suivantes et simplifier le résultat :

Exemple : ( ) ( )( ) ( ) ( )x 3ln 2 ln 2 x 3 ln 2 x ln 2 3x 3 x x 38 2 2 2 2 e e e+

+ ++⋅ = ⋅ = = = =

1) ( )23x 216 2 −⋅ = 2) x-1 3

x-29 (3 ) =

3⋅ 3)

3x

3x101252

⋅ = 4) ( )

x3x 2

4x

e e

e

−⋅

=

b) Calculer y en fonction de a b ce , e et e .

Exemple : ( ) ( )3 23a 2b 3a 2b a by e e e e e+= = ⋅ = ⋅

1) 2b cy e −= = 2) ( )2b

a b c3y e 3 e + += + = 3) b

2a 2y e e−= + = 4) 2a c1y

e −= =

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6x

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6y

log2

exp2 i


Exercice 60

Calculer les dérivées des fonctions suivantes (éventuellement commencer par simplifier l’écriture) :

1) 3xf ( x ) e= 2) xf ( x ) 4 e−= ⋅ 3) xf ( x ) k e λ− ⋅= ⋅

4) 7f ( x ) e= 5) xf ( x ) x e= ⋅ 6) xef ( x )

x=

7) 2x 3f ( x ) e −= 8) 2 3xf ( x ) ( 2x 3 )e= − 9) xf ( x ) e=

10) ln( x )f ( x ) e= 11) 3x xf ( x ) e e−= − 12) x

xe 1f ( x )e 1+

=−

13) xf ( x ) ln( e 1)= − 14) 2x 1f ( x ) x ln( e )+= ⋅ 15) x x 1 x 2f ( x ) e e e+ −= ⋅ ⋅

16) ( )2xf ( x ) e= 17) xf ( x ) 3 2= ⋅ 18) 2 xf ( x ) 4 3= ⋅ Exercice 61

Déterminer la valeur des intégrales suivantes : (réponse en valeur exacte)

1) 1

x

1

e dx−∫ 2)

13x

0

4 e dx⋅∫ 3) ( )ln( 2 )

3x x

0

e 1 e dx+ ⋅∫

4) 1

2 x x

1

( e 4e )dx−

+∫ 5) 3

2 x 1

2

5e dx+∫ 6) 2

2x 1

1

3xe dx−

−∫

7) 3 2 x

2 x 31

4e dxe +∫ 8) 2

2

x 11

3x dxe −

−∫ 9)

e

20

x dxx 1+∫

10) ( ) 21

3x 3x 3

0

2x 1 e dx− −− ⋅∫ 11) ( ) 21

2 x 10 x

0

2x 5 e dx++∫ 12) 1

2

0

e dx−∫

Exercice 62

Calculer l'aire de la surface comprise entre l'axe horizontal, les deux droites verticales

x 1= et x 1= − et les courbes représentatives de xy e= et xy e−= . Exercice 63

Calculer en valeur exacte le volume de l’objet représenté

ci-contre en utilisant la fonction : x3f ( x ) e 1= −

( )22 e 1−


Exercice 64 *

Démontrer que :

1) Si 0 < a < 1 alors expa est strictement décroissante sur .

2) Si a > 1 alors expa est strictement croissante sur .

3) Si k > 0 alors kxy= e est strictement croissante sur .

4) Si k > 0 alors -kxy= e est strictement décroissante sur .

5) 1 2 1 2x x x x1 2a a a x ,x+⋅ = ∀ ∈

6) ( ) 21 1 2

xx x x1 2a a x ,x ⋅= ∀ ∈

Exercice 65 *

On donne la fonction f définie par ( ) xf x e−=

a) Esquisser le graphique de f sur l’intervalle [ ]4 ;4 − (mais sans étudier la fonction).

b) Soient A et B deux points situés sur le graphique de f : l’abscisse du point A est λ (λ > 0) et celle du point B est -λ.

On considère alors le triangle AOB où O est l’origine du repère.

Pour quelle valeur λ l’aire de ce triangle est-elle maximale et que vaut l’aire maximale de ce triangle ?

Exercice 66 *

Déterminer les valeurs des intégrales suivantes en utilisant la méthode "par parties": (réponse en valeur exacte)

a) 3

x

2

xe dx∫ b) 9

23

ln( x )dxx∫ c) ( )

32 2 x

1

3x 2x 4 e dx+ −∫ d) 9

2

1

ln( x ) x dx ⋅∫

Exercice 67 *

Déterminer la primitive axK e cos( bx )dx⋅= ∫ *a,b∈

Exercice 68 *

Soit 1 n x

n 0I x e dx n= ∈∫

a) Calculer I0 et I1.

b) Etablir une formule de récurrence qui donne In+1 en fonction de In.

c) Utiliser la formule de récurrence pour calculer I2, I3 et I4.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4x

-1

1

2

3

4

5

6

7y exp 3 exp 1/3


1.2.5 Étude de fonctions exp et log * Théorème de Cauchy * (1789-1857)

Soient f et g deux fonctions continues sur [ ]a;b , dérivables sur ] [a;b

et tel que g'( x ) 0≠ sur [ ]a;b .

Alors il existe un ] [c a;b ∈ tel que f ( b ) f ( a ) f '( c )g( b ) g( a ) g'( c )

−=

−

Démonstration *

Prenons une fonction F définie par F( x ) ( f ( b ) f ( a )) ( g( x ) g( a )) ( g( b ) g( a )) ( f ( x ) f ( a ))= − ⋅ − − − ⋅ − Cette fonction est dérivable et continue car f et g le sont et F( a ) F( b ) 0= = .

Par le théorème de Rolle, on sait qu’il existe un ] [c a;b∈ tel que F'( c ) 0= . F'( x ) ( f ( b ) f ( a )) g'( x ) ( g( b ) g( a )) f '( x )

f '( c ) f ( b ) f ( a )F '( c ) ( f ( b ) f ( a )) g'( c ) ( g( b ) g( a )) f '( c ) 0g'( c ) g( b ) g( a )

= − ⋅ − − ⋅−

= − ⋅ − − ⋅ = ⇒ =−

Théorème de l’Hospital * (1661-1704)

Soient f et g deux fonctions continues sur [ ]a;b , dérivables sur ] [a;b

et tel que g'( x ) 0≠ sur [ ]a;b et f ( a ) g( a ) 0= = .

Si x a

f '( x )limg'( x )+→

existe alors x a x a

f '( x ) f ( x )lim limg'( x ) g( x )+ +→ →

=

Démonstration *

Thm. deCauchy Notation

x a x a x a x a c a x aa c x

f ( x ) f ( x ) 0 f ( x ) f ( a ) f '( c ) f '( c ) f '( x )lim lim lim lim lim limg( x ) g( x ) 0 g( x ) g( a ) g'( c ) g'( c ) g'( x )+ + + + + +→ → → → → →< <

− −= = = = =

− −

Remarques *

a) Le théorème reste valable si x a x alim f ( x ) et lim g( x )

+ +→ →= ±∞ = ±∞

b) Le théorème reste valable pour les limites à gauche.

c) Dans ce qui précède, a peut être un nombre réel, +∞ ou -∞. Application * (pour lever les indéterminations de certaines limites)

a) 5 4

7 6 2R.H .x 1 x 1 x 1

x 1 0 5x 5 5lim lim limx 1 0 7 x 7 x 7→ → →

− ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟− ⎝ ⎠

b) 2

R.H . R.H .x 0 x 0 x 0

3x 0 6 x 0 6lim lim lim 61 cos( x ) 0 sin( x ) 0 cos( x )→ → →

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

c) R.H .x x x

ln( x ) 1 / x 1lim lim lim 06 x 6 6 x→∞ →∞ →∞

⎛ ⎞∞= = = =⎜ ⎟∞⎝ ⎠


Tableau récapitulatif des résultats concernant les opérations sur les limites

lim f lim g lim (f + g) lim (f - g) lim (f ⋅ g) lim(f / g)

n m n + m n - m n ⋅ m n / m

n 0 n n 0 ±∞

0 m m - m 0 0

0 0 0 0 0 ?

n ±∞ ±∞ ±∞ ±∞ 0

±∞ m ±∞ ±∞ ±∞ ±∞

0 ±∞ ±∞ ±∞ ? 0

±∞ 0 ±∞ ±∞ ? ±∞

+∞ +∞ +∞ ? +∞ ?

+∞ - ∞ ? +∞ -∞ ?

-∞ +∞ ? -∞ -∞ ?

-∞ -∞ -∞ ? +∞ ? Dans les cas signalés par un point d’interrogation (?), il y a indétermination. Exercice 69 *

Calculer les limites suivantes en vous aidant si nécessaire de la règle de l’Hospital :

1) ( )( )x 0

cos x 1lim

cos 2x 1→

−−

2) ( )x 0

sin xlim

x→ 3) 2x

ln( x )limx→∞

4) 4x

ln( x )limx→∞ −

5) x 2

x 2

e elimx 2→

−−

6) x

x

elimx→∞

7) x

3x

elimx→∞

8) x

xx 0

x.elim1 e→ −

9) xx

xlime→∞

10) 3

xx

xlime→∞

11) x

xlim x e→∞

⋅ 12) x

xlim x e→−∞

⋅

13) 2 x

xlim x e→∞

⋅ 14) 2 x

xlim x e→−∞

⋅ 15)xlim x ln( x )→∞

⋅ 16) 3

xx

xlime→−∞

17) ( )2 x

xlim x 2 e→+∞

− ⋅ 18) ( )2 x

xlim x 2 e→−∞

− ⋅


Exercice 70 *

1) Étudier entièrement les fonctions suivantes :

a) ln( x )f ( x )x

= b) x 2 xg( x ) 2e e= −

c) 3

x

xh( x )e

= d) ( )23 ln( x )j( x )

2x−

= (sans dérivée seconde)

Rappel Une étude de fonction comprend les points suivants :

1) Domaine de définition de f.

2) Zéros et ordonnée à l'origine de f (intersections de f avec les axes).

3) Tableau des signes de f .

4) Recherche des asymptotes (verticales, horizontales et obliques) de f et intersections avec f.

5) Calcul de la dérivée première f ' (domaine de définition de f ' et zéros de f ') .

6) Étude de la continuité de f à l’aide de la dérivée de f .

7) Tableau des signes de f ' / variations de f et détermination des extremums de f .

8) * Calcul de la dérivée seconde f '' (domaine de définition de f '' et zéros de f '') .

9) * Tableau des signes de f '' / courbures de f et détermination des points d’inflexions de f.

10) Représentation soignée du graphique de f ainsi que de ses asymptotes et des points principaux. (reprendre les points ci-dessus et calcul de quelques images si nécessaire)

On s'assurera de la cohérence des résultats obtenus.


1.2.6 Ce qu’il faut absolument savoir 15♥ Connaître la définition de la fonction logarithme naturel ok

16♥ Connaître les propriétés de la fonction logarithme naturel ok

17♥ Calculer la dérivée ou l’intégrale d’une fonction « simple » faisant intervenir la fonction ln ok

18♥ Connaître la définition du nombre e, appelé constante d’Euler ok

19♥ Connaître la définition de la fonction exponentielle ok

20♥ Connaître les propriétés de la fonction exponentielle ok

21♥ Calculer la dérivée ou l’intégrale d’une fonction « simple » faisant intervenir la fonction exp ok

22♥ * Connaître et comprendre le théorème de Cauchy ok

23♥ * Connaître et comprendre le théorème de l’Hospital ok

24♥ * Étudier complètement une fonction comportant la fonction ln ou exp en utilisant une démarche rigoureuse ok

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 66 Solutions des exercices / Analyse / 4 N-A

1.3 Solutions des exercices Ex 1 a) 15 b) 30 c) 42 d) 42 e) 49 f) 30

g) 15 h) -20 i) 584 j) 2 3 4 5c c c c− + −

k) 1 2 3 41 2 3 4c c c c2 3 4 5

+ + + l) ( ) ( ) ( ) ( )f 2 h f 2 h h f 2 2h h f 2 3h h⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅

Ex 2 a) 36

i 0

( 2 i 1)=

⋅ +∑ b) 8

ii 1

12=

∑ c) 12

i 3

2 i=

⋅∑ d) i6

i 0

22 i 1= ⋅ +∑

e) 6

k 1k

k 1

( 1) k c+

=

− ⋅ ⋅∑ f) ( ) ( )3

i i i 1i 1

f c · x x −=

−∑

Ex 3 a) Oui b) Oui c) Non d) Non e) Oui f) Oui Ex 4 1a) 30 1b) 9 2− 1c) 28 1d) 7 1e) 0 1f) 4 1g) 4 1h) 1

2a) 9 2 2b) 5 2c) 1 2d) 5/6

3) b

n n 1

0

1x dx bn 1

+= ⋅+∫

4) a) c

a

f ( x )dx 5= −∫ b) b c

a b

0 0

A f ( x )dx f ( x )dx 15

> >

= + =∫ ∫ c) Non ; c

a

A f ( x )dx 5 5≠ = − =∫

d) Résultats différents. Une intégrale ne calcule pas forcément l’aire d’un domaine. Ex 5 a) 7 b) 9 c) -8 d) 8

Ex 6 a) 43

b) 12 c) 296

d) 83

Ex 7 a) c ( b a )⋅ − b) 2 2b ac

2 2⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 3 3b ac

3 3⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

d) 3 3 2 2b a b a ( b a )

3 3 2 2α β γ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − + ⋅ − + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

e) 2 2b a

2 2−

f) 0 par raison de symétrie.

Ex 8 a) 9

3

f ( x )dx−∫ b)

6

1

f ( x )dx∫ c) e

d

f ( x )dx∫

d) 6

2

f ( x )dx∫ e) ( )1

6f t dt∫ f) ( )

x h

xf t dt

+

∫ h 0>

Ex 9 a) c 3 f ( c ) 9= = b) 3c 2 f ( c )4

= − = c) c 1 et c 1 f ( c ) 2= − = =

d) 5c 1 et c f ( c ) 83

= − = = e) c 3 f ( c ) 6= = f) 38c f ( c ) 33

= − = −

Ex 10 a) 2xF( x ) x

2= + b) F '( x ) x 1= + c) F '( x ) f ( x ) x= ∀ ∈


Ex 11

1) 2F( x ) 2x 3x C= + + 2) 3 2F( t ) 3t 2t 3t C= − + + 3)3

2xF( x ) 4 4x x C3

= − + +

4) 2

1 3F( z ) C2z z

= − + + 5) 31F( x ) ( 3x 1) C9

= − + 6) 41F( x ) ( 3x 1) C12

= − +

7) 81F( x ) ( 3x 1) C24

= − + 8) 3 22 3F( x ) x x C3 2

= + + 9) 3F( u ) sin( u ) C4

= +

10) 1F( x ) cos( x ) C5

= + 11) 2F( x ) a x C= + 12) 2F( u ) ( b a )u C= − +

13) 53xF( x ) C

5= + 14)

4 3 2x 5x 3xF( x ) 2x C4 3 2

= − + − + 15)3 2x 5xF( x ) 6 x C

3 2= − + +

16) 91F( x ) ( x 1) x C9

= + + + 17) 141F( x ) ( 2 x ) C14

= − − + 18) 2 31F( x ) ( 3x 1) C3

= + +

19) 1F( x ) Cx 1

= − +−

20) 2 1F( x ) x x Cx

= + + + 21) 2 61F( x ) ( x 3x 1) C6

= − + +

22) 3

2 5F( x ) 4x Cx 3x

= − + + 23)2x 3F( x ) C

2 x= + + 24) 71F( w ) ( 3w 2 ) C

21= + +

25)522F( t ) t C

5= + 26)

233F( t ) t C

2= + 27)

32 22F( t ) ( t 5t 6 ) C

3= − + +

28) 3F( x ) 2 9 x C= + + 29) 1F( x ) cos( 3x ) C3

= − + 30) 1F( x ) tan( 2x ) C2

= +

31) 1F( x ) sin( 4x ) C8

= + 32) 61F( x ) sin ( x ) C6

= + 33) 51F( x ) cos ( x ) C5

= − +

34) 21F( x ) ( 1 cos( x )) C2

= − + 35) ( )321F( x ) 2x 1 C6

= + + 36) 310F( x ) x 1 C3

= + +

Ex 12

1) 274

2) 0 3) 4 4) 3215

5) 16

6) 52 22

−

7) 143

8) 73

− 9) 73

10) 23

− 11) 983

12) 94

−

13) 2 16 3

− 14) 3 15) 512

16) 5147

− 17) 52

18) 203

19) 0 20) 52 ( 6a b )⋅ + 21*) 3π

Ex 13 k 6 et k 3= = − Ex 15 b) c 1 et c 3= = ; f ( 1 ) 2,5 et f ( 3 ) 2,5= = Ex 16 a) ( )3 3c 250 f 250 50= ⇒ = b) c 1 f ( c ) 0= − ⇒ =

c) 544 38c f ( c )225 15

= ⇒ = d) 94 38c f ( c )225 15

= − ⇒ =

Ex 17 a) 0 b) A 4= Ex 18 A 36=

Ex 19 22A3

=

Ex 20 a) { }Z( f ) 3;0;3= − c) 1A 14= d) 2A 20,25=

e) 3A 12,25= f) Non, car 6 46,5≠

Ex 21 1112


Ex 22

a) ( ) ( )9

0

Aire D 3 x dx 9= − =∫ b) 1μ =

c) ( ) ( )9

0Aire rectan gleAire grisée

9 0 3 x dxμ ⋅ − = −∫ d) Ces deux parties n’ont pas la même aire.

e) Zéros de A : 81x 0 et x 20,254

= = = f) Non, elle est positive jusqu’à 81x 20,254

= = , ensuite elle est négative.

g) ( ) ( )Thm. fondamental

A' x f x 3 x= = −

h) ( ) ( )Thm. fondamental

A' x 0 f x 0 3 x 0 x 9= ⇔ = ⇔ − = ⇔ =

i) A possède un maximum en x = 9 et ( )( a )

maxA A 9 9= = Ex 23

a) ( )3,5

2

1

1 455F 3,5 t 1 dt 9,482 48

⎛ ⎞= + = ≅⎜ ⎟⎝ ⎠∫ b) 91 3,8

24μ = ≅

c) y 3,8μ= ≅ ( )3,5

2

1Aire rectan gleAire grisée

13,5 0 t 1 dt2

μ ⎛ ⎞⋅ − = +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ d) Zéros de F : x 1=

e) Oui, elle est négative si x 1< et positive si x 1> . f) ( ) ( )Thm. fondamental

21F ' x f x x 12

= = +

g) ( ) ( )Thm. fondamental

21F ' x 0 f x 0 x 1 0 pas de solution dans2

= ⇔ = ⇔ + =

h) F ne possède pas d’extremums sur l’intervalle ] [;−∞ +∞ . Ex 24

a) { }*fD \ 0= = et ] [*

FD 0;+= = +∞ b) ( ) ( )Thm. fondamental 1F ' x f x

x= =

( )F x 0 si x 1= = ( zéros de F )

c) Si x 1> alors ( )F x 0> . Si 0 x 1< < alors ( )F x 0< .

d) ( ) ( )3F 2 0,75 Re marque : F 2 0,754

≅ = <

e) ( ) ( )7F 3 1,16 Re marque : F 3 1,166

≅ = <

Ex 25 a) Faux b) Faux c) Vrai d) Faux e) Vrai f) Faux

g) Faux h) Vrai i) Faux j) Faux k) Vrai l) Vrai Ex 26 * a) x 1= ou x 1= − ou x b= ou x b= − b) b 5= Ex 27 * ( ) ( )f ( x ) 16 x x 1 x 2= − −

x 9 ( )A’ x f ( x )= + 0 -

( )A x max

x 1

( )F’ x f ( x )= + + +

( )F x


Ex 28 * a) 23 2

12 12P( x ) x xπ π

= − + b) Extremum: 3;P ;2 2 2π π π

π⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Ex 29 * 1) A 36= 2) pente = 6 a− 3) d(x) = (6-a)x

4) 3

21

aS 3a2

= − 5) 3

22

aS 3a 363

= − + 6) 3 a 108=

Ex 30 * a) 2π

− b) 12π− c) 2π − d) 1I

2= e) 116

15 f) 10 ln( 10 ) 9⋅ −

Ex 31 * a) 0I x C= + 1I cos( x ) C= − +

( )21I x cos( x ) sin( x ) C2

= − + 3

3cos ( x )I cos( x ) C

3= − + +

b) ( ) ( )n 1

n n 2 n 2

n 11I cos( x ) sin ( x ) I x ) n 1 In n

−− −

−= − + ⋅ + − ⋅

c) 33

1I cos( x ) cos ( x ) K3

= − + +

34

1 3 3I cos( x ) sin ( x ) cos( x ) sin( x ) x K4 8 8

= − − + +

Ex 32 * a) 1 3 3 13 8⎛ ⎞

− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 16 215

− c) 2 23

d) 2 ln( 3 )⋅

Ex 33 * a) 14110

b) 14110

c) 14110

Ex 35 1) 1A3

= 2) 32A3

= 3) 32A3

= 4) 1A12

=

5) A 9= 6) A 8= 7) 512A 215

= 8*) A 2 2=

Ex 36 a) ( )24 2

0

x 16Volume A dx8 5

ππ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎝ ⎠∫

b) ( ) ( ) 64Volume B Volume cylindre Volume A5π

= − =

Ex 37 a) 56V3π

= b) 16000V3

π= c) 1 1V

a bπ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

d) V2π

=

Ex 38 a) 153V5π

= b) 64 2V3π

=

Ex 39 21V r h3π=

Ex 40 140V3π

=

Ex 41 34V r3

= π

Ex 42 * ( )21V h 3r h3

= π −


Ex 43 * a) 2 2V 2 Rr= π b) ( ) ( )221V a b a b4

= π + − d) La bague est en argent.

Ex 44 * 1) 335 12.427

≅ 2) ( )21 a d c+ ⋅ − 3) a 1e2 e⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

4) rπ ⋅

Ex 45 * a) [ ]101,7 km b) [ ]50.85 km / h Ex 46 * c1) [ ]Altitude 240 m= c2) t 7.26 secondes≅ c3) ( ) [ ]km

hv 7.26 280≅

c4) [ ]kmhmV 108= d1) [ ]d 317 m≅ d2) [ ]km

hmV 114=

d3) Faux elle vaut, [ ] [ ]317d 58 m m2

≅ ≠ . e1) 10t [ s ]3

=

e2) ( ) [ ]x 10 / 3 33.3 m= f) ( ) [ ]x 11,6 1033,5 m≅ (environ 1 km !!) Ex 47 * a) Non, D( t ) 0 t≥ ∀ b) 350 mégalitres. c) Le lac contiendra 2000 mégalitres au 31ème jour. d) Le lac peut déborder car entre le 31ème et le 80ème jour il y a encore 300 mégalitres qui rentrent. Ex 48 * mT 2,1≅ ° Ex 49 * 9,589≅ Ex 50 * 104' 000 Fr

Ex 51 a1) 2

3

x lnz

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

a2) ( )3ln x z⋅ a3) 2

x.zlny

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

a4) 2 xlna

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

b1) ln( a ) 2 ln( b ) 4 ln( c )+ ⋅ − ⋅ b2) 3 1ln( a ) ln( c )2 2

−

b3) 1ln( a ) ln( b )2

− b4) 2 ln( a ) ln( b ) 3 ln( c )⋅ + − ⋅

b5) 1 1ln( a ) ln( b )2 2

+ b6) 1ln( a ) 2 ln( b ) ln( c )2

+ −

c) 0

Ex 52 1) 4f '( x )4x 5

=−

2) '2

xf ( x )3 x−

=−

3) 5f '( x )x

=

4) 2

6 x 3f '( x )x x 1

+=

+ − 5) f '( x ) ln( x )= 6) f '( x ) tan( x )= −

7) 2

1 ln( x )f '( x )x

−= 8) 1 1f '( x )

ln( x ) x= ⋅ 9) 1f '( x )

x 3=

−

10) f '( x ) ln(x) + 1= 11) 1f '( x )x

= 12) 2

2f '( x )x 1−

=−

13) 2ln( x )f '( x )x

= 14) 7f '( x )( 2x 1)( 3x 2 )

=− +

15) f '( x ) 0=

16) 1f '( x )ln( 3 ) x

=⋅

17) 1f '( x )ln( 4 ) x

=⋅

18) 2f '( x )ln( 10 ) x

=⋅


Ex 53 a) f admet un minimum local en x = 2 et la valeur minimum est f ( 2 ) 4 8 ln( 2 ) 1.55= − ≅ −

b) 2

1x 0,135e

=

Ex 55 1) ( )ln 2− 2) ln( 3 )2

3) ( )5 ln 32⋅ 4) ln( 4 )

5) 9ln16

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

6) 7ln2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

7) ln( 2 ) 8) 5 ln( 3 )2

−

9) ln( 5 ) 10) 2ln ( 2 )2

11) ln( 2 ) 12) 3

13*) ln( 4 ) 1− Ex 56 Aire 3,841≅ Volume 23,6 π≅ ⋅ Ex 57 * 1) 5 3ln x 4 ln x 4 C

8 8⋅ − + ⋅ + + 2) 3 ln x 1 2 ln x 2 C⋅ + − ⋅ + +

3) 3 ln x 6 ln x 1 C− ⋅ − + + + 4) 32x ln x 2 ln x 1 Cx 1

+ − − − +−

Ex 59 a1) ( ) ( )ln 2 6 x ln 2 4e + a2) ( ) ( )ln 3 2x ln 3e + a3) ( ) ( )ln 5 3x ln 5 3e +

a4) 3xe− b1) ( )2b

c

ey

e= b2) ( ) ( )2b a b c3y e 3 e e e= + ⋅ ⋅

b3) ( )

b2a

1y ee

= + b4) ( )

c

2a

eye

=

Ex 60 1) 3xf '( x ) 3 e= ⋅ 2) ( ) xf '( x ) 4 e−= − ⋅ 3) ( ) xf '( x ) k e λλ −= − ⋅ ⋅

4) f '( x ) 0= 5) xf '( x ) ( x 1)e= + 6) x

2

( x 1)ef '( x )x−

=

7) 2x 3f '( x ) 2xe −= 8) 2 3xf '( x ) ( 6 x 4x 9 )e= + − 9) x1f '( x ) e

2=

10) f '( x ) 1= 11) 3x xf '( x ) 3e e −= + 12) x

x 2

2ef '( x )( e 1)−

=−

13) x

x

ef '( x )e 1

=−

14) 2f '( x ) 3x 1= + 15) 3x 1f '( x ) 3e −=

16) 2 xf '( x ) 2e= 17) ( ) xf '( x ) 3 ln 2 2= ⋅ ⋅ 18) ( ) xf '( x ) 4 ln 9 9= ⋅ ⋅

Ex 61 1) 2e 1e− 2)

3e 143−

⋅ 3) 654

4) 2 2 11 1e 4e e 4e2 2

− −+ − − 5) 7 55 ( e e )2

− 6) 33 ( e 1)2

−

7) 3

8e

8) 3

3 1 12 e⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

9) ( )21 ln( e 1)2

+

10) 0 11) 12e 1

2− 12) 2

2e

Ex 62 12 1 1,26e

⎛ ⎞− − ≅⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex 63 4 23 21V e 6e2 2

π ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex 65 * b) 1λ = et ( )maxA A 1 1 / e= =


-4 -3 -2 -1 1 2x

-5

-4

-3

-2

-1

1

2y

-5 5 10 15 20 25x

-1.0

-0.5

0.5

1.0y

Ex 66 * a) 3 22e e− b) 2 ln( 3 )9

+ c) 6 241e 3e4+ d) 728243 ln( 9 )

9⋅ −

Ex 68 * a) 0I e 1= − et 1I 1= c) 2I e 2= − , 3I 6 2e= − et 4I 9e 24= −

Ex 69 * 1) 1/4 2) 1 3) 0 4) 0 5) e2 6) +∞

7) +∞ 8) -1 9) 0 10) 0 11) +∞ 12) 0

13) +∞ 14) 0 15) +∞ 16) −∞ 17) +∞ 18) 0

Ex 70 *

a) 1) *

fD +=

2) Zéros : { }Z( f ) 1=

Ordonnée à l'origine : f ( 0 ) = ∅

4) A.V. d’équation x = 0 A.H. d’équation y = 0 A.O. pas d’A.O.

5) ( ) 2

1 ln( x )f ' xx

−=

{ }*f 'D Z( f ') e+= =

7) 1Max e;e

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

8*) ( ) 3

2 ln( x ) 3f '' xx

−= { }* 3

f ''D Z( f '') e+= =

9*) 3

3

3Inf e ;2 e

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 1) gD =

2) Zéros : { }Z( g ) ln(2)= Ordonnée à l'origine : g( 0 ) 1=

4) A.V. aucune A.H. d’équation y = 0 A.O. aucune

5) ( ) x 2xg' x 2e - 2e=

{ }g'D Z( g') 0= =

7) ( )Max 0;1

8*) ( ) x 2xg'' x 2e - 4e= { }g''D Z( g'') ln( 2 )= = −

9*) 3Inf ln( 2 );4

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠


-2 2 4 6 8x

-2

-1

1

2

3y

-10 10 20 30x

-1

1

2

3y

c) 1) hD = 2) Zéros : ( ) { }Z h 0=

Ordonnée à l'origine : ( )h 0 0=

4) A.V. aucune A.H. d’équation y = 0 A.O. aucune

5) ( ) ( )2

x

x 3 xh' x

e−

=

h'D = et ( ) { }Z h' 0;3=

7) ( ) ( )Pallier 0;0 Max 3;1.34

8*) ( ) ( )2

x

x x 6 x 6h'' x

e− +

= h''D = et ( ) { }Z h'' 0 ;1.27;4.73≅

9*) ( ) ( ) ( )Inf 0;0 Inf 1.27;0.58 Inf 4.37;0.93

d) 1) *jD +=

2) Zéros : { }3 3Z( j ) e ; e−=

Ordonnée à l'origine : j( 0 ) = ∅

4) A.V. d’équation x = 0 A.H. d’équation y = 0 A.O. aucune

5) ( ) ( ) ( )2

ln( x ) 3 ln( x ) 1j' x

2x− ⋅ +

=

{ }* 1 3j'D Z( j') e ;e−

+= =

7) ( ) ( )1 3 3Max e ;e Min e ; 3e− −−

Notes personnelles _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

01 Table des matieres Analyse partie 01 4e · 1.1.5 Primitives 15 1.1.6 * Méthodes...

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