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1 Tópico 4 – Capacitores 1 E.R. .. No instante t 0 = 0, um capacitor de 2 500 μF, descarrega- do, é ligado a uma fonte de 12 V, por meio de uma chave colocada na posição 1. Em um determinado instante t 1 , o capacitor atinge plena carga. 12 V C (1) (2) 1,0 Ω + Em um instante t 2 , posterior a t 1 , passa-se a chave para a posição 2, e o capacitor se descarrega através de uma lâmpada de 1,0 Ω de resistência, durante 0,020 s. a) Calcule a carga Q do capacitor no instante t 1 , em milicoulombs. b) Calcule a energia potencial E P armazenada no capacitor no ins- tante t 1 , em joules. c) Calcule a intensidade média i m da corrente na lâmpada, durante a descarga do capacitor, em ampère. d) Esboce o gráfico da tensão U no capacitor, em função do tempo t, durante o processo de carga. e) Esboce o gráfico da intensidade i da corrente na lâmpada, em função do tempo t, durante o processo de descarga do capacitor. Resolução: a) Atingida a plena carga, a ddp U entre os terminais do capacitor é igual à fem do gerador: U = 12 V. Sendo C = 2 500 μF a capacitância do capacitor, temos: Q = C U = 2 500 μF · 12 V = 2 500 · 10 –6 F · 12 V = 30 · 10 –3 C Q = 30 mC b) Sendo C = 2 500 · 10 –6 F e U = 12 V, podemos escrever: E CU E J P P = = = - 2 6 2 2 2 500 10 12 2 0 18 , c) Sendo Q = 30 · 10 –3 C e Δt = 0,020 s, temos: i Q t i A m m = Δ = = - 30 10 0 020 15 3 , , d) Durante o processo de carga, a ddp U no capacitor cresce de zero até 12 V, quando se estabiliza: 12 U (V) 0 t 1 t e) Durante a descarga do capacitor, a ddp U entre os seus termi- nais, que é igual à ddp aplicada na lâmpada, diminui. Por isso, a intensidade da corrente na lâmpada decresce com o tempo a partir do instante t 2 , até anular-se. Em t 2 , o valor de i é igual a 12 10 V , ou seja, 12 A. , Ω 12 i (A) 0 t 2 t 0,020 s Respostas: a) 30 μC; b) 0,18 J; c) 1,5 A; d) ver gráfico; e) ver gráfico 2 Um capacitor de 10 μF é ligado aos terminais da associação em série de duas pilhas de 1,5 V. Determine: a) a carga elétrica armazenada no capacitor; b) a energia potencial elétrica armazenada no capacitor. Resolução: a) Q = C U = 10 μF . 3,0 V Q = 30 μC b) E CU F V E J p p = = ( ) = 2 2 2 10 30 2 45 μ μ , Respostas: a) 30 μC; b) 45 μJ 3 A ddp entre os terminais de um capacitor ligado há muito tem- po em um gerador, isto é, plenamente carregado, é igual a 9 V. Esse mesmo gerador participa agora do circuito esquematizado na fi- gura, em que o amperímetro A, suposto ideal, indica 1,8 A. + ε r A 4,9 Ω Determine a força eletromotriz e a resistência interna desse gerador. Resolução: Quando o capacitor está carregado, não circula corrente pelos termi- nais do gerador. Assim, U = ε = 9 V. Na situação da figura, pela lei de Ohm nos terminais do resistor de 4,9 Ω, vale que: Tópico 4

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Page 1: 001 018 TFvol03 Parte2 Topico4 AF · PDF fileTópico 4 – Capacitores 1 1 E.R. .. No instante t 0 = 0, um capacitor de 2 500 μF, descarrega-do, é ligado a uma fonte de 12 V, por

1Tópico 4 – Capacitores

1 E.R. .. No instante t0 = 0, um capacitor de 2 500 μF, descarrega-do, é ligado a uma fonte de 12 V, por meio de uma chave colocada na posição 1. Em um determinado instante t1, o capacitor atinge plena carga.

12 VC

(1) (2)

1,0 Ω

+–

Em um instante t2, posterior a t1, passa-se a chave para a posição 2, e o capacitor se descarrega através de uma lâmpada de 1,0 Ω de resistência, durante 0,020 s.

a) Calcule a carga Q do capacitor no instante t1, em milicoulombs.

b) Calcule a energia potencial EP armazenada no capacitor no ins-tante t1, em joules.

c) Calcule a intensidade média im da corrente na lâmpada, durante a descarga do capacitor, em ampère.

d) Esboce o gráfico da tensão U no capacitor, em função do tempo t, durante o processo de carga.

e) Esboce o gráfico da intensidade i da corrente na lâmpada, em função do tempo t, durante o processo de descarga do capacitor.

Resolução:

a) Atingida a plena carga, a ddp U entre os terminais do capacitor é igual à fem do gerador: U = 12 V.

Sendo C = 2 500 μF a capacitância do capacitor, temos:

Q = C U = 2 500 μF · 12 V = 2 500 · 10–6 F · 12 V = 30 · 10–3 C

Q = 30 mC

b) Sendo C = 2 500 · 10–6 F e U = 12 V, podemos escrever:

E

C UE JP P= = ⋅ ⋅ ⇒ =

−2 6 2

2

2 500 10 12

20 18,

c) Sendo Q = 30 · 10–3 C e Δt = 0,020 s, temos:

i

Q

ti Am m=

∆= ⋅ ⇒ =

−30 10

0 0201 5

3

,,

d) Durante o processo de carga, a ddp U no capacitor cresce de zero até 12 V, quando se estabiliza:

12U (V)

0 t1 t

e) Durante a descarga do capacitor, a ddp U entre os seus termi-nais, que é igual à ddp aplicada na lâmpada, diminui. Por isso, a intensidade da corrente na lâmpada decresce com o tempo a partir do instante t2, até anular-se. Em t2, o valor de i é igual a 12

1 0

V, ou seja, 12 A.

, Ω

12i (A)

0 t2 t0,020 s

Respostas: a) 30 μC; b) 0,18 J; c) 1,5 A; d) ver gráfico; e) ver gráfico

2 Um capacitor de 10 μF é ligado aos terminais da associação em série de duas pilhas de 1,5 V. Determine:

a) a carga elétrica armazenada no capacitor;

b) a energia potencial elétrica armazenada no capacitor.

Resolução:a) Q = C U = 10 μF . 3,0 V ⇒

Q = 30 μC

b) EC U F V

E Jp p= = ⋅( ) ⇒ =2 2

2

10 3 0

245

µ µ,

Respostas: a) 30 μC; b) 45 μJ

3 A ddp entre os terminais de um capacitor ligado há muito tem-po em um gerador, isto é, plenamente carregado, é igual a 9 V.Esse mesmo gerador participa agora do circuito esquematizado na fi-gura, em que o amperímetro A, suposto ideal, indica 1,8 A.

+–

ε

r

A

4,9 Ω

Determine a força eletromotriz e a resistência interna desse gerador.

Resolução:Quando o capacitor está carregado, não circula corrente pelos termi-nais do gerador. Assim, U = ε = 9 V.Na situação da figura, pela lei de Ohm nos terminais do resistor de 4,9 Ω, vale que:

Tópico 4

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2 Tópico 4 – Capacitores

U = R · i ⇒ U = 4,9 · 1,8

U = 8,82 V

Aplicando a equação do gerador aos dados já obtidos:

U = ε – r · i8,82 = 9 – r · 1,8

1,8 r = 0,18 ⇒ r = 0,1 Ω

Respostas: ε = 9 V e r = 0,1Ω

4 E.R. Considere o circuito a seguir:

+–

2 Ω

12 V

4 Ω

8 Ω

10 Ω 2 µF

B

A

Supondo encerrado o processo de carga do capacitor, determine:a) a diferença de potencial entre os pontos A e B;b) a carga elétrica armazenada no capacitor.

Resolução:a) Em um circuito de corrente contínua, só há corrente no ramo em

que se encontra o capacitor durante o seu processo de carga (ou descarga). Assim, encerrado esse processo, anula-se a corrente no citado ramo, que pode ser eliminado para efeito do cálculo da intensidade de corrente no resto do circuito:

+–

2 Ω

12 V

4 Ω

8 Ω

10 Ω

B

A

i

Calculemos a intensidade de corrente no circuito:ε = Req i ⇒ 12 = 24 i ⇒ i = 0,5 A

A diferença de potencial entre A e B é dada por:

UAB = RAB i = 10 · 0,5 ⇒

UAB = 5 V

b) A carga elétrica do capacitor é dada por:

Q = C UAB.

Sendo C = 2 μF = 2 · 10–6 F e UAB = 5 V, obtemos:

Q = 2 · 10–6 · 5 ⇒

Q = 10 μC

Respostas: a) 5 V; b) 10 μC

5 (Mack-SP) Considerando o esquema a seguir, quando se liga a chave K no ponto X, o amperímetro ideal A acusa uma intensidade de corrente elétrica igual a 250 mA. Ao se ligar a chave K no ponto Y, o capacitor adquire uma carga elétrica de:

1 Ω

23 Ω 1 nF

YK

X

A

ε

a) 1 nC. b) 6 nC. c) 9 nC. d) 23 nC. e) 24 nC.

Resolução:Chave ligada em X:

ε

1 Ω23 Ω

i = 250 mAA

i =R+r

6 V

ε

ε

ε

0 2523 1

, =+

=

Chave ligada em Y:

1 Ω

1 nF

6 V

Q = C U

Q = 1 6 = 6 nC

⋅⋅

Resposta: b

6 (UFPel-RS) No circuito a seguir têm-se três resistores, um capa-citor e um gerador. Sabe-se que o capacitor encontra-se carregado.

2 ohm 10 ohm

4 ohm12 V 3 µF

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3Tópico 4 – Capacitores

Com base nessas informações, calcule:a) a corrente fornecida pela bateria;b) a ddp nos terminais do resistor de 4 Ω;c) a carga elétrica armazenada no capacitor.

Resolução:Se o capacitor está carregado, o ramo da direita do circuito do enuncia-do não apresenta corrente. Assim, o circuito pode ser simplificado para:

+12 V

2 Ω

4 Ω

a) i =12

2 + 4

i =12

6= 2A

b) U = R i

U = 4 2

U = 8V

⋅⋅

c) No capacitor, a ddp é a mesma dos terminais do resistor de 4 Ω. Logo:

Q = C 4

Q = 3 10 8

Q = 24 10 C ou

⋅ ⋅

6

6 24 Cµ

Respostas: a) 2 A; b) 8 V; c) 24 μC

7 Um capacitor plano a ar é ligado a uma bateria, carregando-se plenamente. Mantendo-o ligado à citada bateria, aumenta-se um pou-co a distância entre suas placas. Consequentemente:a) a diferença de potencial entre as placas aumenta.b) a diferença de potencial entre as placas diminui.c) a capacitância do capacitor aumenta.d) a carga elétrica do capacitor diminui.e) a intensidade do campo elétrico entre as placas aumenta.

Resolução:• U é constante, pois o capacitor permanece ligado à bateria.

• CA

d= ε

C: aumentando d, C diminui.

• Q = C U: C diminui ⇒ Q diminui.

Resposta: d

8 Um capacitor plano é ligado a uma bateria e, após ser carre-gado, é desligado dela. Em seguida, aumenta-se um pouco a distância entre as suas armaduras. Em virtude dessa última operação:a) a capacitância do capacitor aumenta.b) a diferença de potencial entre as armaduras do capacitor não se altera.c) a carga elétrica do capacitor diminui.d) a intensidade do campo elétrico entre as armaduras do capacitor

aumenta.e) a energia potencial elétrica armazenada no capacitor aumenta.

Resolução:• Q é constante, pois o capacitor está desligado.

• CA

d= ε

: aumentando d, C diminui.

• UQ

C= : C diminui ⇒ U aumenta.

• Ep = QU

2: U aumenta ⇒ Ep aumenta.

Resposta: e

9 Um capacitor plano a vácuo (vácuo entre as armaduras) é li-gado a um gerador. Mantendo-o ligado ao citado gerador, introduz-se uma placa de um material dielétrico entre as suas armaduras. Conse-quentemente:a) a capacitância do capacitor diminui.b) a diferença de potencial entre as armaduras do capacitor aumenta.c) a carga elétrica do capacitor aumenta.d) a intensidade do campo elétrico entre as armaduras do capacitor

aumenta.e) a energia potencial elétrica armazenada no capacitor diminui.

Resolução:

• C = εA

d: ε aumenta ⇒ C aumenta.

• Q = CU : U não varia ⇒ Q aumenta.

• Ed = U : U e d não variam ⇒ E não varia.

• Ep = C U2

2: U não varia e C aumenta ⇒ Ep aumenta.

Resposta: c

10 Um capacitor plano a vácuo é carregado por um gerador e, em seguida, desligado dele. Introduz-se, então, uma placa de um dielétrico entre as armaduras do capacitor. Consequentemente:a) a capacitância do capacitor diminui.b) a diferença de potencial entre as armaduras do capacitor diminui.c) a carga elétrica do capacitor aumenta.d) a intensidade do campo elétrico entre as armaduras do capacitor

aumenta.e) a energia potencial elétrica armazenada no capacitor aumenta.

Resolução:

• C = εA

d: ε aumenta ⇒ C aumenta.

• Q = Q

C: Q não varia e C aumenta ⇒ U diminui.

• E = U

d: d não varia e U diminui ⇒ E diminui.

• Ep = Q U

2: Q não varia e U diminui ⇒ Ep aumenta.

Resposta: b

11 Calcule a capacitância do capacitor constituído por duas placas metálicas planas e paralelas, de 1,0 m2 cada, separadas por uma cama-da de ar de 1,0 cm de espessura. A permissividade do ar vale, no Siste-ma Internacional de Unidades, aproximadamente 8,8 · 10–12.

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4 Tópico 4 – Capacitores

Resolução:

C =A

d

C8,8 10 1

C = 8,8 1

ε ⋅

= ⋅ ⋅⋅

12

21 10

00 F ou 0,88 n F−10

Resposta: 0,88 nF

12 (UFC-CE) As figuras I, II, III e IV são partes de um circuito RC cuja corrente i tem o sentido convencional.

I) a

rεb

i

II) b + Q – Q

C

c

III) C d

IV)

R

d ai

Analise as figuras e assinale dentre as alternativas a seguir a que apre-senta corretamente as diferenças de potenciais entre os diversos pon-tos do circuito.

a) Vb – Va = ε + i r; Vc – Vb = Q

C;

Vd – Va = – R i; Vd – Vc = 0

b) Vb – Va = – (ε – i r); Vc – Vb = Q

C;

Vd – Va = – R i; Vd – Vc = 0

c) Vb – Va = ε – i r; Vc – Vb = −Q

C;

Vd – Va = R i; Vd – Vc = 0

d) Vb – Va = – (ε + i r); Vc – Vb = −Q

C;

Vd – Va = – R i; Vd – Vc = 0

e) Vb – Va = – (ε – i r); Vc – Vb = −Q

C;

Vd – Va = – R i; Vd – Vc = 0

Resolução:Mesmo que o estudante não conheça o circuito RC, as letras que apare-cem nas partes do circuito permitem montá-lo:

CJT/Zapt

|i

i

a

b+ Q – Q

r

C

E

Rd

c

Sendo i 0, o capacitor ainda não atingiu a carga final.• No gerador: Vb – Va = ε – r i• No capacitor:

U

Q

CV V

Q

Cou V V

Q

Cb c c b= ⇒ − = − = −

• No fio ideal: U = 0 ⇒ Vd – Vc = 0• No resistor: U = R i ⇒ Vd – Va = R i

Resposta: c

13 E.R. Dado o circuito elétrico esquematizado na figura, obtenha:

a) a carga no capacitor enquanto a chave Ch estiver aberta;b) a carga final no capacitor após o fechamento da chave.

+

20 Ω 20 Ω

30 V

10 Ω

N

M

Ch3 F

Resolução:a) Com a chave aberta, temos, no trecho MN:

UMP = R i = 20 · 0 = 0

Como UMP + UPN = 30 V, a ddp no capacitor está determinada:

0 + UPN = 30 ⇒ UPN = 30 V

Então:

Q = C UPN = 3 μF · 30 V ⇒

Q = 90 μC

20 Ω

N

P

i = 0

30 V

M

UMP

UPNC = 3 µF

b) Com a chave fechada, os dois resistores de 20 Ω associam-se em paralelo, o que equivale a 10 Ω:

+–

20 Ω 20 Ω

30 V3 µF10 Ω

NN

M M

P P+–30 V

3 µF10 Ω

10 Ω

NN

M

P P

i

i i

Então, temos 15 V entre M e P e 15 V entre P e N.

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5Tópico 4 – Capacitores

Assim, para o capacitor:Q = C UPN = 3 μF · 15 V ⇒

Q = 45 μC

Respostas: a) 90 μC; b) 45 μC

14 (Puccamp-SP) O circuito esquematizado a seguir é constituído de um gerador ideal, dois capacitores e três resistores, cujos valores es-tão indicados na figura.

R1 = 1,0 Ω

C1 = 2,0 · 10-9 F C2 = 3,0 · 10-9 Fε = 1,0 V

R2 = 2,0 Ω

R3 = 3,0 Ω

É correto afirmar que a:a) carga do capacitor C1 é de 1,2 · 10–8 C.b) carga do capacitor C2 é de 1,8 · 10–8 C.c) corrente elétrica no circuito tem intensidade de 1,0 A.d) ddp (tensão) em R2 vale 3,0 V.e) ddp (tensão) em R3 vale 9,0 V.

Resolução:

Logo após ligarmos o circuito, os capacitores estão descarregados, e tudo funciona como se tivéssemos a seguinte configuração:

12 V

R3 = 3 Ω

R2 = 2 ΩR1 = 1 Ω

i =12

1+2+3i = 2A

Cálculo das tensões nos resistores:

R1 : U1 = 1 · 2 = 2V

R2 : U2 = 2 · 2 = 4V

R3 : U3 = 3 · 2 = 6V

Cargas dos capacitores (depois de carregados):

12 V

2 V 4 V

6 V10 V

C1 : Q1 = C1 · U1 ⇒ Q1 = 2 · 10–9 · 10 = 2 · 10–8

C

C2 : Q2 = C2 · U2 ⇒ Q2 = 3 · 10–9 · 6 = 1,8 · 10–8

C

Resposta: b

15 O circuito a seguir está fechado há muito tempo, o que significa que o capacitor já está plenamente carregado.

10 Ω

20 Ω

ε1 = 12 V ε2 = 6 VC =1,5 µF+

+

Sendo desprezíveis as resistências internas das baterias, calcule:a) a carga do capacitor;b) a potência dissipada no resistor de 10 Ω.

Resolução:

a) • ε1 = ε2 + Reqi ⇒ 12 = 6 + 30i ⇒ i = 0,2 A

• No capacitor: U = ε1 – 20i = 12 – 20 . 0,2 ⇒ U = 8 V

Q = C U = 1,5 μF . 8 V ⇒

Q = 12 μC

b) Pot = R i2 = 10 0,22 ⇒

Pot = 0,4 W

Respostas: a) 12 μC; b) 0,4 W

16 No circuito esquematizado na figura, o gerador é considerado ideal e o capacitor já está carregado:

10 Ω 2 Ω

2 Ω 4 Ω

2 µF

12 V

Determine:a) a carga elétrica do capacitor;b) a resistência do resistor que deveria substituir o resistor de 10 Ω

para que o capacitor não se carregasse.

Resolução:a)

10 Ω 2 Ω

2 Ω 4 Ω

2 µF

12 V

A

B i1

i2

i2

i1

C

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6 Tópico 4 – Capacitores

12 = (2 + 4)i1 ⇒ i1 2A

12 = (10 + 2)i2 ⇒ i2 = 1A

νA – νB = 2i1 = 2 · 2 ⇒ νA – νB = 4

νA – νC = 10i2 = 10 · 1 ⇒ νA – νC = 10

νB – νC = 6V (u no capacitor)

Q = CU = 2μ 6V ⇒ Q = 12μC

b) Deveríamos ter νB = νC: ponte de Wheatstone em equilíbrio.Para isso:

R 4 = 2 · 2 ⇒ R = 1 Ω

Respostas: a) 12 μC; b) 1 Ω

17 (Mack-SP) O capacitor do circuito indicado na figura está eletri-zado sob tensão de 100 V. Fecha-se a chave k e aguarda-se o capacitor descarregar totalmente. Qual a energia dissipada no resistor de resis-tência igual a 1 ohm?

13 µF

k

10 ohm

5 ohm

1 ohm

+

Resolução:Energia armazenada no capacitor:

EC U

E J

p

p

= = ⋅ ⋅

= ⋅

2 6 2

2

2

13 10 100

2

6 5 10,

Após o fechamento da chave, a tensão é a mesma em todos os elemen-tos do circuito, a cada instante. Como a energia dissipada nos resistores obedece a uma expressão do tipo:

EU

Rt

K

Rtemos

K K KK

d

2

2

1 5 106 5 10 5 10

∆ =

+ + = ⋅ ⇒ = ⋅− −

, :

, 22 (SI)

A energia dissipada no resistor dee 1 vale, então:

E

Ω

d d

K

RE= = ⋅ ⇒ = ⋅

−−5 10

15 10

22

Resposta: 5 · 10–2

18 Um capacitor plano a ar, cuja capacitância é de 10 nF, é carre-gado por uma bateria de 12 V. A seguir, ele é desligado da bateria e a distância entre suas armaduras é reduzida à metade. Determine:

a) a carga elétrica do capacitor e sua energia potencial elétrica quan-do ele foi desligado da bateria, estando encerrado o processo de carga;

b) a diferença de potencial entre as armaduras depois que elas foram aproximadas;

c) a energia potencial elétrica do capacitor depois que suas armadu-ras foram aproximadas.

Resolução:a) Carga inicial Q = C · U Q = 10 · 10–9 · 12 Q = 1,2 · 10–7C

Energia potencial

E =Q U

E =1,2 10

E = 7 J

p

p

p

⋅ ⋅

2

12

2

2 10

7

7,

b) Se a distância cai pela metade, a capacitância dobra. Logo, C' = 20n Fe

U' = Q

C ' ⇒ U' =

1,2 10

2 10

⋅⋅

7

8

U' = 6V

c) Ep' = Q U⋅

2 Ep' = 1 2 10 6

2

7, ⋅ ⋅−

Ep' = 3,6 · 10–7 J

Respostas: a) 7,2 . 10–7 J; b) 6 V; c) 3,6 . 10–7 J

19 A figura representa duas placas planas, isoladas, uniformemen-te eletrizadas com cargas constantes +Q e –Q, e situadas no vácuo.

Vácuo

+ Q

q

– Q

Uma carga de prova q, colocada entre as placas, submete-se a uma for-ça elétrica de intensidade F0. Se a região entre as placas for preenchida por um material isolante de constante dielétrica εr, a intensidade da força elétrica atuante na mesma carga de prova passa a ser F.a) F é maior, menor ou igual a F0? Justifique sua resposta.b) Expresse F em função de F0.

Resolução:a) O campo elétrico induzido no material isolante reduz o campo elé-

trico resultante entre as placas. Por isso: F < F0.b) Sejam C0 e U0 a capacitância e a ddp entre as placas no vácuo: Q = C0 · U0

Com a introdução do dielétrico, a capacitância passa a ser C = εr C0 e a

ddp entre as placas passa a ser U = U

r

0

ε, já que a carga Q é constante:

Q = CU = εrC0 · U

r

0

ε = C0U0.

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7Tópico 4 – Capacitores

Sendo E0 e E as intensidades do vetor campo elétrico entre as placas nas situações inicial e final, respectivamente, temos:

E d U EU

d

E d UE

d

U

d

E

Então

F q E

r

r

0 0 00

0

0

0

= ⇒ =

= ⇒ = =

=

εε

:

00

0 0F q E qE

FF

r r

= = ⇒ =ε ε

Notemos que, como εr é maior que 1, F é realmente menor que F0.

Respostas: a) εr é maior que 1, então F é realmente menor que F0;

b) F

r

0

ε

20 (ITA-SP) Considere o vão existente entre cada tecla de um com-putador e a base do seu teclado. Em cada vão existem duas placas me-tálicas, uma delas presa na base do teclado e a outra, na tecla. Em con-junto, elas funcionam como um capacitor de placas planas paralelas imersas no ar. Quando se aciona a tecla, diminui a distância entre as pla-cas e a capacitância aumenta. Um circuito elétrico detecta a variação da capacitância, indicativa do movimento da tecla. Considere então um dado teclado, cujas placas metálicas têm 40 mm2 de área e 0,7 mm de distância inicial entre si. Considere ainda que a permissividade do ar seja ε0 = 9 · 10–12 F/m.

Tecla

Base do teclado

0,7mm

Se o circuito eletrônico é capaz de detectar uma variação da capaci-tância a partir de 0,2 pF, então qualquer tecla deve ser deslocada de pelo menos:a) 0,1 mm c) 0,3 mm e) 0,5 mmb) 0,2 mm d) 0,4 mm

Resolução: • A = 40 . 10–6m2, di = 0,7–6 . 10 m;

ε0 = 9 . 10–12 F

m; ΔCmín = 0,2 pF.

• Capacitância inicial: CA

dIi

i

= ( )ε0

Capacitância após deslocamento mínimo da tecla (Δdmín):

CA

d dII

i mín

=−

( )ε0

• ( )− ( ) =−

II I C A

d d dmínmín i

: ∆∆

ε01

1 1

Substituindo os valores fornecidos, obtemos:

Δdmín = 2 · 10–4 m = 0,2 mm

Resposta: b

21 E.R. Em cada um dos circuitos a seguir, calcule a carga elétrica e a tensão nos capacitores, supondo encerrado o processo de carga:

a)

+ –

C1 = 10 µF C2 = 2,5 µF

ε = 20 V

b)

+ –

C1 = 5 nF

C2 = 10 nF

ε = 20 V

Resolução:a) Os dois capacitores estão associados em série e por isso armaze-

nam cargas Q iguais. A carga armazenada na capacitância equi-valente também é igual a Q:

+ –

C1 = 10 µF C2 = 2,5 µF

ε = 20 V

+Q +Q– Q – Q

i = 0

U2U1

U

+ –

Ceq

ε = 20 V

|+Q – Q

i = 0U

Como i = 0, temos U = ε = 20 V.

A capacitância equivalente é dada por:

CC C

C CC Feq eq=

+= ⋅

+⇒ =1 2

1 2

10 2 5

10 2 52

,

Vamos, então, calcular Q:

Q = Ceq U = 2 μF · 20 V ⇒ Q = 40 μC

Portanto:

Q1 = Q = 40 μC

e

Q2 = Q = 40 μC

Da expressão C = Q

U, temos U =

Q

C, que nos permite calcular U1 e U2:

UQ

C

C

FU V1

11

40

104= = ⇒ =µ

µ

e

UQ

C

C

FU V2

22

40

2 516= = ⇒ =µ

µ,

Note que o valor de U2 também pode ser obtido lembrando que U1 + U2 = U = 20 V.

Page 8: 001 018 TFvol03 Parte2 Topico4 AF · PDF fileTópico 4 – Capacitores 1 1 E.R. .. No instante t 0 = 0, um capacitor de 2 500 μF, descarrega-do, é ligado a uma fonte de 12 V, por

8 Tópico 4 – Capacitores

b) Os dois capacitores estão em paralelo e, portanto, U = ε = 100 V para ambos:

U1 = U = 100 V

e

U2 = U = 100 V

Da expressão C = Q

U, temos Q = C U, que nos permite calcular as

cargas Q1 e Q2:

Q1 = C1 U = 5 nF · 100 V = 500 nC ⇒

Q1 = 0,5 μC

Q2 = C2 U = 10 nF · 100 V = 1 000 nC ⇒

Q2 = 1 μC

Resposta: a) Q1 e Q2 = 40 μC, U1 = 4 V e U2 = 16 V; b) U1 e U2 = 100V, Q1 = 0,5 μC, e Q2 = 1 μC

22 No circuito a seguir, o processo de carga dos capacitores de ca-pacitâncias C1 = 18 μF e C2 = 6 μF já se encerrou.

ε = 12 V

C1

C2

+

Determine:a) a carga armazenada em cada capacitor (Q1 e Q2);b) o módulo da diferença de potencial (U1) no capacitor de capacitân-

cia C1.

Resolução:

a) • Ceq = C C

C C1 2

1 2

18 6

18 6+= ⋅

+ ⇒ Ceq = 4,5 μF

• Q = Ceq ε = 4,5 · 12 ⇒ Q = 54 μC ⇒ Q1 = Q2 = 54μC

b) Q1 = C1U1 ⇒ 54 = 18 U1 ⇒ Q1 = 3V

Respostas: a) 54 μC; b) 3 V

23 O circuito representado na figura a seguir contém três resisto-res, uma bateria de resistência interna desprezível, dois capacitores de capacitâncias C1 = 0,20 μF e C2 = 0,50 μF e uma chave K. Após o fecha-mento da chave, inicia-se o processo de carga dos capacitores. Calcule suas cargas finais.

ε = 24 V C1

4,0 Ω 3,0 Ω

BK

A

5,0 ΩC2

+

CJT/Zapt

Resolução: • ε = Reqi ⇒ 24 = 12,0i ⇒ i = 2,0 A• UAB = (3,0 + 5,0)i = 8,0 . 2,0 ⇒ UAB = 16 V• Q1 = C1UAB = 0,20 . 16 =

Q1 = 3,2 μC

Q2 = C2UAB = 0,50 . 0,16 ⇒

Q2 = 8,0 μC

Resposta: Q1 = 3,2 μC e Q2 = 8,0 μC

24 (UFPE) No circuito a seguir os capacitores de placas paralelas C1 e C2 têm placas de mesma área separadas pelas distâncias d1 e d2, respectivamente.Muito tempo após a chave S ter sido fechada, as cargas nas placas des-ses capacitores já atingiram seus valores máximos, Q1 e Q2, respectiva-

mente. Se d2 = 2d1, determine o valor da razão Q

Q1

2

.

S

C2

C1 d2d1

Resolução:

C =A

d; C =

A

d

C

C=

A

dA

d

11

22

1

2

1

ε ε

ε

ε

⋅ ⋅

22

2

1

2 11

2

=d

d

Como d = 2d , temosC

C= 2

Os capacitores estão em paralelo. Logo, U1 = U2 = U.As cargas são dadas por:

Q = C U Q = C U

Q

Q=

C U

C

1 1 2 2

1

2

1

2

⋅ ⋅

⋅⋅ UU

Q

Q= 21

2

Resposta: 2

25 E.R. A figura a seguir representa uma associação mista de capa-citores. Determine a capacitância equivalente à da associação.

2 µF

3 µF 2 µF

BNMA

6 µF

4 µF 4 µF

Page 9: 001 018 TFvol03 Parte2 Topico4 AF · PDF fileTópico 4 – Capacitores 1 1 E.R. .. No instante t 0 = 0, um capacitor de 2 500 μF, descarrega-do, é ligado a uma fonte de 12 V, por

9Tópico 4 – Capacitores

Resolução:Entre os pontos M e N, temos duas associações de capacitores em série: uma no ramo superior, de capacitância equivalente C1, e outra no ramo inferior, de capacitância equivalente C2:

1 1

1

1

1

2

42

11C

C F= + = ⇒ = µ

1 1

3

1

6

1

2

2 1 3

6

6

61

22C

C F= + + = + + = ⇒ = µ

Redesenhando a associação, obtemos:

2 µF

BNMA

C1 = 2 µF

C2 = 1 µF

Com isso, temos C1 em paralelo com C2. Então, a capacitância equiva-lente CMN, entre os pontos M e N, é dada por:

CMN = 2 + 1 ⇒ CMN = 3 μF

Agora, passamos a ter:

2 µF 3 µF

BA

A capacitância equivalente entre A e B é dada por:

1 1

2

1

3

3 2

6

5

6

6

51 2

C

C C F

AB

AB AB

= + = + =

= ⇒ = , µ

Resposta: 1,2 μF

26. Nas associações de capacitores a seguir, calcule a capacitância equivalente entre os pontos A e B:a) 4 µF 12 µF

BA

b)

BA

100 nF

20 nF

c)

BA

4 µF

5 µF

10 µF

6 µF

Resolução:

a C C F

b C C

AB AB

AB AB

)

)

= ⋅+

⇒ =

= + ⇒ =

4 12

4 123

100 20 1

µ

220

4 6 5 15paralelo

nF

c F F e F em) ,• ⇒µ µ µ µFF

F em com F CAB

:• = ⋅10 15

10 15

10sérieµ µ

++15

CAB

F= 6 µ

a C C F

b C C

AB AB

AB AB

)

)

= ⋅+

⇒ =

= + ⇒ =

4 12

4 123

100 20 1

µ

220

4 6 5 15paralelo

nF

c F F e F em) ,• ⇒µ µ µ µFF

F em com F CAB

:• = ⋅10 15

10 15

10sérieµ µ

++15

CAB

F= 6 µ

Respostas: a) 3 μF; b) 120 nF; c) 6 μF

27 (UFPE) Três capacitores C1 = C2 = 1,0 μF e C3 = 3,0 μF estão asso-ciados como mostra a figura. A associação de capacitores está subme-tida a uma diferença de potencial de 120 V fornecida por uma bateria.Calcule o módulo da diferença de potencial entre os pontos B e C, em volts.

B CC3

C2

C1

A

120 V

Resolução:

Associação em paralelo: C' = C1 + C2 = 1 + 1 = 2 μF

Associação em série: C''=C' C

C' C=

2 3

2 3= =1,3

3

⋅+

⋅+

6

522 Fµ

Carga total Q" = C" · U

Q" = 1,2 · 120 = 144 μF Q" = Q' = Q3 = 144 μF (série)

U =U =Q

CU =

144

3= V

BC 33

33

⇒ 48

Resposta: 48 V

28 Determine a capacitância equivalente entre A e B nas associa-ções de capacitores esquematizadas a seguir:

a)

B

A

8 nF

8 nF

4 nF

12 nF7 nF

15 nF

b)

B

A

12 µF

10 µF

10 µF

4 µF

2 µF

c)

BA

8 µF

8 µF

8 µF8 µF

8 µF 8 µF

Page 10: 001 018 TFvol03 Parte2 Topico4 AF · PDF fileTópico 4 – Capacitores 1 1 E.R. .. No instante t 0 = 0, um capacitor de 2 500 μF, descarrega-do, é ligado a uma fonte de 12 V, por

10 Tópico 4 – Capacitores

Resolução:

a)

B

A C'''

7 nF3 nF

15 nF

4 nF

B

A C''

C'

7128

84

15

C'=8 8

8 8=

64=4 nF

C"=12

12 4=

48

⋅+⋅+

164

116=3 nF

B

A CIV

15 nF

10 nF4 nF

C =10 15

10 15=

150=6n FIV ⋅

+ 25

Ceq = 4 + 6 = 10 nF

b)

B

A

12

10

10

4

C"

C'

C µ

C

'

"

=10

10=5 F

= =48

⋅+⋅+

10

1012 4

12 4 16==8 Fµ

B

A5 µF

2 µF

3 µF

Ceq = 5 + 2 + 3 = 10 μF

c)

BA16 16

8

8

B

B

BA

A8

8 8

88

A

Ceq = 8 + 8 + 8 = 24 μF

Respostas: a) 10 nF; b) 10 μF; c) 24 μF

8

8

29 E.R. O conjunto de capacitores esquematizado a seguir está ligado a um gerador de corrente contínua:

+ –

2 Ω

C1 = 6 µF

C3 = 1 µF

C2 = 12 µF

30 V

Encerrado o processo de carga, determine a carga elétrica e a tensão entre as armaduras de cada capacitor.

Resolução:Inicialmente, vamos determinar a capacitância C1, 2, equivalente à associação de C1 e C2 em série:

1 1 1 1

6

1

12

2 1

12

3

12

4

1 2 1 2

1 2

C C C

C F

,

,

= + = + = + =

= µ

Redesenhando o circuito, temos:

+ –

2 Ω

C3 = 1 µF

C1,2 = 4 µF

30 VU

i = 0

Note que o capacitor C3 está sujeito à mesma tensão que existe em C1, 2, igual a 30 V. Sua carga elétrica é, então, dada por:

Q3 = C3 U

Q3 = 1 μF · 30 V

Q3 = 30 μC

A carga em C1, 2, que é igual às cargas de C1 e de C2, é calculada por:

Q1, 2 = C1, 2 U

Q1, 2 = 4 μF · 30 V

Q1, 2 = 120 μC

Assim, os capacitores C1 e C2, que estão em série, têm cargas:

Q1 = Q2 = 120 μC

enquanto suas tensões são calculadas por:

Q=C U U =Q

C

UQ

C

C

FU V

U

= = ⇒ =

=

11

11

2

120

620

µµ

QQ

C

C

FU V

Portanto:

Q C

2

22

1

120

1210

120

= ⇒ =

=

µµ

µ e U V

Q C e U V

Q C e U

1

2 2

3 3

20

120 10

30

== ==

µµ ==30 V

C

Page 11: 001 018 TFvol03 Parte2 Topico4 AF · PDF fileTópico 4 – Capacitores 1 1 E.R. .. No instante t 0 = 0, um capacitor de 2 500 μF, descarrega-do, é ligado a uma fonte de 12 V, por

11Tópico 4 – Capacitores

Respostas: Q1 = 120 μC e U1 = 20 V; Q2 = 120 μC e U2 = 10 V; Q3 = 30 μC e U3 = 30 V

30 No circuito esquematizado a seguir, calcule as cargas QA e QB

dos capacitores A e B, supondo encerrados os processos de carga.

+–

+–

12 V

9 V 2 Ω

1 Ω

A

B 5 µF

5 µF

CJT/Zapt

Resolução:

εeq = Reqi ⇒ 21 = 3i ⇒ i = 7 A

Nos terminais da associação dos capacitores:

U = 9 – 1 . 7 ⇒ U = 2 V

Q = Ceq U = 2,5 μF . 2 V ⇒ Q = 5 μC

QA = QB = 5 μC

Resposta: 5 μC

31 (Mack-SP) Nas figuras a seguir, estão ilustradas duas associa-ções de capacitores, as quais serão submetidas a uma mesma ddp de 12 V, assim que as respectivas chaves, ka e kb, forem fechadas. As rela-ções entre as cargas elétricas (Q) adquiridas pelos capacitores serão:

12 V12 V

ka

C1 = 1 µF C3 = 1 µF C4 = 4 µF

C2 = 4 µF

+ –+ –

a) Q1 = Q3 e Q2 = Q4

b) Q1 = Q3 e Q2 = 1

5 4Q

c) Q1 = 4 Q3 e Q2 = 4 Q4

d) Q Q e Q Q1 3 2 4

5

45= =

e) Q Q e Q Q1 3 2 4

1

4

1

4= =

Resolução:

Com a chave ka fechada, temos

1 µF

4 µF

12 V

Q1 = C1 · uQ1 = 1 · 12 = 12 μC

Q2 = C2 · UQ2 = 4 · 12 = 48 μC

Com a chave Kb fechada,

1 µF 4 µF

12 V

Q = U

Q =0,8 12

Q =9,6

TOTAL

TOTAL

TOTAL

C' ⋅⋅

C

C µ

'

'

=

=4

=0,8 F

1 4

1 4

5

⋅+

Q3 = Q4 = 9,6 μC

Resposta: d

32 No circuito, calcule as tensões nos capacitores, ligados há muito tempo.

C1 = 3 µF

C2 = 6 µF

12 V6 V+

+

Kb

Page 12: 001 018 TFvol03 Parte2 Topico4 AF · PDF fileTópico 4 – Capacitores 1 1 E.R. .. No instante t 0 = 0, um capacitor de 2 500 μF, descarrega-do, é ligado a uma fonte de 12 V, por

12 Tópico 4 – Capacitores

Resolução:Temos 6 + 12 = U1 + U2

183 10 6 10

183

6 10

36 10

6 6 6

6

1

=⋅

+⋅

⇒ =⋅

= ⋅

− − −

Q Q Q

Q C

U == = ⋅⋅

⇒ =

= = ⋅⋅

Q

CU V

UQ

C

1

6

6 1

22

6

36 10

3 1012

36 10

6 1106

6 2−⇒ =U V

Respostas: U1 = 12 V e U2 = 6 V

33 Calcule a carga elétrica armazenada e a ddp em cada um dos capacitores do circuito a seguir:

C1 = 5 µF

C3 = 2 µF

C2 = 20 µF

C4 = 12 µF

60 V– +

Resolução:

5 µF

2 µF

20 µF

60 V

12 µF

– +

C µ

C µ

'

"

=5 20

5 +20F

=4 +2 =6

⋅ = =100

254

FF

C =6 12

Feq

⋅+

= =6 12

72

184 µ

Q =Q =C U

Q =4 60 =240 µC

TOTAL 4 eq

TOTAL

U =Q

C

U U =20 V

4

4 4

4

4

240

12= →

U = V

Q =C U

Q =2 40 =80 C

Q

3

3 3 3

3

60 20 40− =⋅⋅

′µ

== − ==

240 80 160

160

C

Q =Q C (série)

U =Q

1 2

1

µ

µ

11

1

1

2

2

C

U =160

V

U =Q

C

U = V

532

160

208

2

2

=

=

U = V

Q =C U

Q =2 40 =80 C

Q

3

3 3 3

3

60 20 40− =⋅⋅

′µ

== − ==

240 80 160

160

C

Q =Q C (série)

U =Q

1 2

1

µ

µ

11

1

1

2

2

C

U =160

V

U =Q

C

U = V

532

160

208

2

2

=

=

Respostas: U1 = 32 V;

U2 = 8 V;

U3 = 40 V;

U4 = 20 V;

Q1 = 160 μC;

Q2 = 160 μC;

Q3 = 80 μC;

Q4 = 240 μC

34 Os capacitores representados no esquema a seguir são planos e diferem apenas quanto ao meio existente entre as armaduras. No de capacitância C1, o meio entre as armaduras é o vácuo e, no de capaci-tância C2, é um material dielétrico.

ε

r

C1 C2

Sabendo que os processos de carga desses capacitores já se encerra-ram, compare:

a) suas capacitâncias, C1 e C2;

b) as diferenças de potencial U1 e U2 entre seus terminais;

c) suas cargas Q1 e Q2;

d) as intensidades E1 e E2 do campo elétrico entre suas armaduras.

Resolução:

a CA

de C C C C

b U U

r r)

)

10

2 1 2 1

1 2

1= = = ⇒ > >( )= =

εε ε

εεε ε

ε

c C e Q C

Q Q

d E

) Q

)

C >C1 1 2 2

2 1 2 1

1

= =⇒ >

=dd

e Ed

E E2 1 2= ⇒ =ε

Respostas: a) C2 > C1;

b) U1 = U2;

c) Q2 > Q1;

d) E1 = E2

35 (FCC-SP) Na figura, C1 e C2 são capacitores de placas paralelas, sendo que a constante dielétrica de C1 é 1 e a de C2 é 10.

Page 13: 001 018 TFvol03 Parte2 Topico4 AF · PDF fileTópico 4 – Capacitores 1 1 E.R. .. No instante t 0 = 0, um capacitor de 2 500 μF, descarrega-do, é ligado a uma fonte de 12 V, por

13Tópico 4 – Capacitores

C

A

C2

C1

B

D

S

No instante t = 0, liga-se a chave S e os dois capacitores carregam-se. Em seguida, desliga-se a chave S. Retirando-se o dielétrico do capacitor C2, verifica-se que:a) a carga total diminui, mas as diferenças de potencial UCB e UBA man-

têm- se.b) a carga total continua a mesma, mas a diferença de potencial UBA

aumenta.c) a carga total e as diferenças de potencial continuam as mesmas.d) a carga total continua a mesma e a diferença de potencial UBA dimi-

nui.e) nenhuma dessas alternativas se realiza.

Resolução:• Com a chave desligada, a carga não se altera.

• C2 diminui ⇒ UBA = Q

Caumenta2

2

Resposta: b

36 E.R. Um capacitor A, de capacitância CA = 1 μF, ficou ligado, durante muito tempo, a uma bateria de força eletromotriz igual a 90 V e resistência interna r. Após ser desligado da bateria, esse capaci-tor foi associado, conforme a figura, a um outro capacitor B, de ca-pacitância CB = 2 μF, inicialmente descarregado. Determine a carga elétrica final de cada um dos capacitores.

CA CB+ –

Resolução:Quando ligamos um capacitor aos terminais de um gerador de cor-rente contínua, só existe corrente no circuito durante o processo de carga do capacitor. Terminado esse processo, a corrente no circuito anula-se e a diferença de potencial nos terminais do capacitor ou do gerador é igual à força eletromotriz, pois U = ε – r i e i = 0.

Calculando a carga elétrica armazenada no capacitor A, temos:

QA = CA U

QA = 1 μF · 90 V ⇒ QA = 90 μC

Inicialmente, o capacitor B estava descarregado. Então:

QB = 0

Quando o capacitor A é ligado ao B, parte da sua carga passa para as armaduras do B, ficando as cargas elétricas finais na razão direta das capacitâncias e obedecendo ao Princípio da conservação das cargas.

Assim, temos:

Q

C

Q

Ce Q Q C

Logo:

Q Q

A

A

B

BA B

A

' '' '

'

= + =

⋅=−

90

1 10 6

µ

BBB A

A A A

Q Q

Então:

Q Q C Q

'' '

' '

2 102

2 90

6⋅⇒ =

+ = ⇒

µ ''

' '

=

= ⋅ ⇒ =

30

2 30 60

C

e

Q C Q CB B

µ

µ µ

Resposta: Q'A = 30 μC; Q'B = 60 μC

37 (UFPI) Considere dois condensadores de capacitâncias C1 e C2. O capacitor C1 está inicialmente carregado com uma carga Q, enquan-to o outro está descarregado. Após se conectarem os dois capacitores em paralelo, as cargas finais nos condensadores C1 e C2 serão dadas res-pectivamente por:

a)C

C C

C C

CQ

b)C

1

1 2

1 2

1

1

+

+

CC C

C

C CQ

c)C

C C

1 2

1

1 2

1

1 2

+

+

C

C CQ

d)C

C C

2

1 2

1

1 2

C C

CQ

e)C C

C

1 2

2

1 2

1

C C

CQ1 2

2

Resolução:

U =U =U =Q

C1 21

Antes da conexão dos condensadores, Q1 = Q e Q2 = 0. Logo, Q1 + Q2 = Q

Após a conexão, Q Q Q eQ

C

Q

C1'

2' 1

'

1

2'

2

+ = =

QC

CQ

C

CQ Q Q

QC

C

1' 1

'

22'

1'

22'

2'

2' 1

2

= ⋅

⋅ + =

+

1

=Q

QC C

CQ

2' 1 2

2

+

=

Page 14: 001 018 TFvol03 Parte2 Topico4 AF · PDF fileTópico 4 – Capacitores 1 1 E.R. .. No instante t 0 = 0, um capacitor de 2 500 μF, descarrega-do, é ligado a uma fonte de 12 V, por

14 Tópico 4 – Capacitores

Q QC

C C

Q QC

C C

2' 2

1 2

1' 1

1 2

=+

=+

Resposta: b

38 (UFV-MG)

C1

C1

C3C2

A

εC2

B

C1 = 2 μF C2 = 2 μF C3 = 1 μF ε = 10 V

Dois capacitores C1 e C2, ambos de 2 μF, são ligados em paralelo a uma fonte cuja tensão é de 10 volts. Depois de serem carregados, retira-se a fonte e introduz-se em paralelo um terceiro capacitor de 1 μF (descar-regado), como mostram as figuras acima. Qual a diferença de potencial VAB da nova associação?

Resolução:

22

4 µF

10 V

Antes:Q C Q C U

Q1 1 1= = ⋅20 µ

22 2 2C Q C U

Q

= = ⋅20 µ

TTOTAL=40 Cµ

Depois Q1 + Q2 + Q3 = 40 μC (conservação das cargas)

V U =U =U

VQ Q Q

VQ

AB 1 2 3

AB1'

2'

3'

AB1'

=

= = =

=+

2 2 1

QQ Q

V V 8V

2'

3'

AB AB

++ +

= ⇒ =

2 2 140

5

usando a propriedade das proporções

Resposta: 8 V

39 Dois capacitores, A e B, tal que a capacitância de A é o triplo da de B, são ligados separadamente aos terminais de uma bateria. A carga elétrica total adquirida por esses capacitores é de 18 μC. Em seguida, eles são ligados a um terceiro capacitor C, descarregado, conforme in-dica a figura:

CB CCCA+ –

+ –

Determine a carga elétrica final de cada capacitor, sabendo que a capa-citância de C é igual à metade da de B.

Resolução:CA = 3 CB

CB = 2 CC e QAB = 18 μC

Como os capacitores estão em paralelo, UA = UB = UC. Então:

Q

C

Q

C

Q

C

Q

C

Q

C

Q

C

Q Q Q

A

A

B

B

C

C

A

C

B

C

C

C

A B C

= = ⇒ = =

+ ++ +

6 2

6 2 11 6 2 118

9 612

18

9 24

= = =

= ⇒ =

= ⇒ =

Q Q Q

QQ µC

QQ

A B C

AA

BB

µµC

QQ µCC

C

18

9 12= ⇒ =

Resposta: QA = 12 μC; QB = 4 μC; QC = 2 μC

40 Sendo R uma resistência elétrica e C uma capacitância, prove que, no Sistema Internacional, a unidade do produto RC é o segundo (s).

Resolução:

U Ri ohmvolt

ampère

volt

coulomb

segundo

volt= ⇒ = = = ⋅⋅

= ⇒ =

segundo

coulomb

CQ

U

coulomb

voltAssim

farad

::

ohm faradvolt segundo

coulomb

coulomb

volt⋅ = ⋅ ⋅

ΩΩ⋅ =F s

Resposta: Ω . F = s

41 No circuito da figura a seguir, as chaves estão abertas e os ca-pacitores descarregados. Calcule as cargas finais nos capacitores de capacitâncias C1 e C2 quando:a) se fecha somente Ch;b) se fecham também Ch1 e Ch2.

Ch1

C1 = 6 µF C2 = 3 µF

r = 1 Ω

2 Ω

ε = 10 V

1 Ω

Ch

Ch2

– +

Page 15: 001 018 TFvol03 Parte2 Topico4 AF · PDF fileTópico 4 – Capacitores 1 1 E.R. .. No instante t 0 = 0, um capacitor de 2 500 μF, descarrega-do, é ligado a uma fonte de 12 V, por

15Tópico 4 – Capacitores

Resolução:

a) C1

10 V 1 Ω

C2

C = µFeq

6 3

6 3

18

92

⋅+

= =

Depois do carregamento, a corrente no circuito cessa e U = 10V

QTOTAL = Ceq · UQTOTAL = 2 · 10 = 20 μC

Q1 = 20 μC

Q2 = 20 μC

b) C1 = 6 µF C2 = 3 µF

2 r 1 r

10 V 1 Ω

CB A

i =10

=2,5a

U =2,5 V Q =3 2,5 =7,AC 2

4→ ⋅ 55 C

U =5 V Q =3 5 =30 CBC 1

µµ→ ⋅

Resposta: a) Q1 = 20 μC e Q2 = 20 μC; b) Q1 = 30 μC e Q2 = 7,5 μC

42 Calcule a energia elétrica armazenada em um capacitor de pla-cas planas e paralelas, que apresentam densidade superficial de carga uniforme e de valor absoluto σ, sabendo que o volume limitado pelas armaduras é V. Admita que entre as placas existe ar (ou vácuo), cuja permissividade absoluta é ε0.

Resolução:

A energia armazenada é dada por:

EC

SendoA

dU E d

d

=

= =

=

U

C e temos:

E

2

0

0

2ε σ

ε,

εε σε σ

εσε

02 2

02 2

0

2

02 2 2

V

A

d

d

A dE

⋅= ⇒ =

Resposta: σε

2

02

V

43 (ITA-SP) Algumas células do corpo humano são circundadas por paredes revestidas externamente por uma película com carga positiva e, internamente, por outra película semelhante, mas com carga negativa de mesmo módulo. Considere sejam conhecidas: densidade superficial de ambas as cargas σ = ± 0,50 · 10–6 C/m2; ε0 9,0 · 10–12 C2/Nm2; parede com volume de 4,0 · 10–16 m3 e constante dielétrica k = 5,0. Assinale, então, a estimativa da energia total acumulada no campo elétrico dessa parede.a) 0,7 eV b) 1,7 eV c) 7,0 eV d) 17 eV e) 70 eV

Resolução:Tratando essa parede como um capacitor plano, temos:

A

V = A d

CJT/Zapt

⇒ = ( )

= ⇒ = ( )

= =( )

σ σ

σε

σε

σ

Q

AQ A I

EU

dU

dII

EQU A

p 2

⋅⋅( )=

σ

ε

σ

ε

d V

k2 2

2

0

=•

=•

E Ep p=

⋅( ) ⋅ ⋅( )⋅ ⋅ ⋅

⇒− −

0 50 10 4 10

2 5 0 9 0 10

62

16

12

,

, ,== ⋅

⋅ →⋅ → ⇒ ≅

1

910

1 6 10 1

1 9 10

17

19

17

J

J eV

J E Ep p

,

, 77 0, eV

Resposta: c

44 Na figura a seguir, temos um capacitor esférico. A armadura in-terna A foi eletrizada com uma carga positiva Q. A armadura externa B, por sua vez, foi ligada à Terra. Na região entre as armaduras, existe um dielétrico de permissividade absoluta ε. Sendo RA e RB os raios de cur-vatura das armaduras A e B, prove que a capacitância desse capacitor é dada por:

C =R R

R RA B

B A

4πε−

QA

B

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16 Tópico 4 – Capacitores

Resolução:

Ao se ligar B à Terra, B adquire, por indução total, uma carga –Q.

Assim:

νA

A B

K A

R

K Q

R= + −( )

Mas Q = C U ⇒ Q = C (νA – νB), em que νB = 0.

Então:

Q C Q CK Q

R

K Q

R

C KR R

R R

AA B

B A

A B

= ⇒ = −

=−

ν

1

⇒ = ⋅

= ⇒ =

CK

R R

R R

KK

Então

A B

B A

1

1

4

14

πεπε

:

CCR R

R RA B

B A

=−

4πε

Resposta: 4πε R R

R RA B

B A−

45 (ITA-SP) Vivemos dentro de um capacitor gigante, onde as pla-cas são a superfície da Terra, com carga –Q, e a ionosfera, uma camada condutora na atmosfera, a uma altitude h = 60 km, carregada com car-ga +Q. Sabendo que, nas proximidades do solo junto à superfície da Terra, o módulo do campo elétrico médio é de 100 V/m e considerando h << raio da Terra ≅ 6 400 km, determine a capacitância desse capacitor gigante e a energia elétrica armazenada.

Considere 1

49 0 10

0

9 2 2

πε( ) = ⋅, Nm /C .

Resolução:

Sendo h muito menor que o raio R da Terra, podemos considerar esse “capacitor gigante” como sendo a associação em paralelo de muitos capacitores planos elementares cada um com área a e capacitância

CA

h=ε

0 .

Sendo A = 4πR2 a área total, temos;

• = = ⋅ ⋅⋅ ⋅( )⋅

C Ctotal

Σ

1

4 9 0 104 6 4 10

6 0 10

9

62

3

ππ

,,

,

CC F

EC U C E h

total

ptotal total

= ⋅

• = =( )

−7 6 10

2

2

2

,

22 2 2 32

12

2

7 6 10 100 60 10

2

1 4 10

=⋅( ) ⋅( ) ⋅ ⋅( )

= ⋅

−,

,Ep

JJ

Resposta: 7,6 . 10–2 F e 1,4 . 1012 J, respectivamente

46 Na figura, temos uma balança de braços iguais, em equilíbrio, sustentando uma placa metálica retangular P em um dos pratos. Uma outra placa Q, idêntica à primeira, é mantida fixa na posição indicada. Inicialmente, as duas placas estão neutras.

P

Qd

Sendo ε a permissividade do ar entre as placas e A a área de cada face das placas, determine o peso que se deve acrescentar ao prato direito da balança para que o equilíbrio inicial mantenha-se inalterado quan-do se estabelece uma diferença de potencial U entre as placas P e Q.

Resolução:As placas P e Q constituem um capacitor plano de capacidade C, dada por:

Cd

A=ε

Quando esse capacitor é eletrizado sob ddp igual a U, sua carga vale:

Q CUAU

d= = ε

O campo elétrico entre as placas tem intensidade E, dada por:

EU

d=

Metade dessa intensidade é devida a uma placa e a outra metade é

devida à outra placa EE E= +

2 2 e cada placa submete-se apenas ao

campo criado pela outra. Assim, a placa P é atraída pela placa Q por uma força de intensidade F, dada por:

F qE AU

d

U

d

FAU

d

= = ⋅

=

2 2

2

2

2

ε

ε

Resposta: εAU

d

2

22

47 (Unisa-SP) No circuito da figura, qual é a carga (em coulombs) armazenada no capacitor quando o amperímetro marca corrente i = 0,2 A? O gerador e o amperímetro são ideais.ε = 12 V; R = 10 Ω; C = 2 · 10–3 F.

R

i

A

Resolução: Nesse capacitor em processo de carga, temos:U = ε – R i = 12 – 10 · 0,2 ⇒ U = 10 VQ = C U = 2 · 10–3 · 10 ⇒ Q = 2 · 10–2 C

Resposta: 2 · 10–2 C

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17Tópico 4 – Capacitores

48 (Olimpíada Brasileira de Física) Um circuito RC é um caso par-ticular de um circuito elétrico contendo apenas uma resistência e um capacitor. Considere um desses circuitos em que os dois componentes são ligados a uma fonte e a duas chaves que podem permitir ou não a passagem de corrente nos ramos do circuito.

CCh-B

Ch-A

V

R

No caso do capacitor totalmente descarregado, ao fecharmos somente a chave A, ele começará a se carregar. A função que rege o carregamen-to do capacitor, nessa circunstância, é

Q(t) = CV (1 – e–t/RC).

Quando o capacitor estiver completamente carregado com uma deter-minada carga Q0, abre-se a chave A e fecha-se a chave B, iniciando-se a descarga do capacitor. Nesse caso, a relação entre a carga Q no capaci-tor e o tempo é dada pela função Q(t) = Q0 e–t/RC.

Sendo assim:

a) Qual a relação entre os tempos para se carregar o capacitor até a metade de sua carga máxima e o tempo para descarregar o mesmo capacitor a partir de sua carga máxima até a metade da mesma?

b) Em que instante ocorre o maior valor de corrente no circuito quando o capacitor está sendo carregado? Considerando V = 20 V, R = 50 Ω e C = 5 μF, qual a carga armazenada no capacitor quando a corrente no circuito for i = 0,1 A?

c) Para os valores do item b, qual a energia máxima liberada na descar-ga desse capacitor?

Resolução:

a) Q0 é a carga máxima acumulada no capacitor.

Para descarregar metade da carga:

Q=Q

=Q e 0,5 =e In 0,002

− −⇒ ⇒

td

RC

td

RC 55 = td = In 0,5− ⇒ −td

RCRC

Para carregar até a metade da carga:

Q=Q

= , masQ =002

1CV e CVtc

RC−

−⇒⇒ − ⇒ − − ⇒

− −0,5 =1 e 0,5 = e t =

c

tc

RC

tc

RC −−RC In 0,5

Q=Q

= , masQ =002

1CV e CVtc

RC−

−⇒⇒ − ⇒ − − ⇒

− −0,5 =1 e 0,5 = e t =

c

tc

RC

tc

RC −−RC In 0,5

Logo, os tempos são iguais.

b) O maior valor de corrente é no instante em que se liga a chave A (t = 0), pois, não existindo carga acumulada no capacitor, a resistên-cia fica submetida à tensão máxima V.

Quando a corrente for i = 0,1 A, temos:

Vcapacitor = V – Ri = 20 – 50 · 0,1 = 15 V

A carga acumulada no capacitor é:

Q = CV = 5 · 10–6 · 15 = 45 · 10–6 C = 45 μC.

c) A energia máxima liberada ocorrerá quando o capacitor se descar-regar a partir de sua carga máxima:

E CV=1

= =1 Q

C

120 =0,00

22

2 2 25 102 6= ⋅( )− 11 =1 Jm

Respostas: a) Os tempos são iguais; b) 0 e 45 μC;

c) E CV=1

= =1 Q

C

120 =0,00

22

2 2 25 102 6= ⋅( )− 11 =1 Jm

49 O gerador representado no circuito é ideal e sua força eletro-motriz vale 36 V. Os condutores AB e CD, de 100 m cada um, são homo-gêneos e apresentam resistência de 1,5 Ω por metro de comprimento. O fio BD tem resistência desprezível. O capacitor, de capacitância igual a 5 μF, está ligado aos pontos A e C:

C Y D

BX

36 V+–

A

a) Calcule a carga elétrica armazenada no capacitor.

b) Os pontos X e Y distam de A e C, respectivamente. Calcule, em função de , a carga que o capacitor é capaz de armazenar quando ligado aos pontos X e Y.

Resolução:

a) Q = C U ⇒ Q = 5 · 36 ⇒ Q = 180 μC

b) Inicialmente, calculemos a corrente elétrica no circuito, lembran-do que, após o processo de carga do capacitor, não há corrente no ramo em que ele se encontra. Os condutores AB e CD têm 150 Ω de resistência cada um. Assim:

ε = Req i ⇒ 36 = 300 i ⇒ i = 0,12 A

UXY = ε – (RAX + RCY)i = 36 – (1,5 + 1,5 ) 0,12

UXY = 36 – 0,36

Q = C UXY ⇒ Q = 5 (36 – 0,36 )

Q = 180 – 1,8 ( em metros e Q em microcoulombs)

Respostas: a) 180 μC; 180 – 1,8

50 (IME-RJ) Entre duas placas metálicas paralelas e que consti-tuem um capacitor de capacitância C = 0,08 μF, coloca-se esticado um fio de náilon que vibra na frequência fundamental f1 = 100 Hz.

Retira-se o fio, altera-se a distância entre as placas e coloca-se entre elas outro fio de náilon, com as mesmas propriedades físicas do primeiro, porém de comprimento tal que, agora, a frequência fundamental de vibração seja f2 = 250 Hz.

Sabendo que as placas permanecem sempre carregadas com Q = 2 μC, determine a tensão elétrica entre elas na segunda distância da expe-riência.

Obs.: Não considere o efeito dielétrico do fio de náilon e suponha o fio igualmente tracionado nos dois casos.

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18 Tópico 4 – Capacitores

P1 P2

Resolução:

1

C1 = 0,08 μF

Q = 2 μC

UQ

CU V

11

1

2

0 0825= = ⇒ =

,f1 = 100 Hz

2

Q = 2 µCU2 C2f2 = 250 Hz

Como fN v

e N

fv

fv

temos:= =

= =

=

21

2100

2

11

2

,

22

2

1250

2

5=

⇒ =

Como CA

d= ε

e Q = C U, temos:

QA

U

QA

U

U UU U

=

=

⇒ = ⇒ =

ε

ε

11

22

1

2

2

22 1

2

11

2 225

2

310U U= ⇒ =

Resposta: 10

51 Metade da região entre as placas de um capacitor plano é pre-enchida por um dielétrico de constante dielétrica k1, e a outra metade é preenchida por outro dielétrico de constante dielétrica k2.

k2k1

Sendo A a área de cada placa, d a distância que as separa e ε0 a permissi-vidade do vácuo, prove que a capacitância C desse capacitor é dada por:

C =k k A

d

ε0 1 2

2

+( )

Resolução:

As duas metades desse capacitor podem ser consideradas dois capaci-tores associados em paralelo. Então:

C C Ck

A

d

kA

d

CA

dk k

= + = +

= +( )1 2

0 1 0 2

01 2

2 2

2

ε ε

ε

Resposta: CA

dk k= +( )ε

01 22

52 (ITA-SP) A figura mostra um capacitor de placas paralelas de área A separadas pela distância d. Inicialmente o dielétrico entre as placas é o ar e a carga máxima suportada é Qi. Para que esse capacitor suporte uma carga máxima Qf , foi introduzida uma placa de vidro de

constante dielétrica k e espessura d

2. Sendo mantida a diferença de

potencial entre as placas, calcule a razão entre as cargas Qf e Qi.

A

ararvidro

Configuração inicial Configuração final

d

Resolução:

CJT/Zapt

+

+

+

+

F(+)

M ⇒ F (–)

M

Com n placas, temos uma associação de (n – 1) capacitores planos de

área A, em paralelo, cada um deles com capacitância igual a ε

0A

d.

Então, a capacitância do sistema é dada por:

C nA

d= −1 0

ε

Resposta: nA

d−1 0

ε

53 A figura a seguir representa um dos tipos de capacitores usa-dos no circuito de sintonia dos receptores de rádio. Esse capacitor é constituído de um conjunto fixo (terminal F) e de um conjunto móvel (terminal M) de placas metálicas semicirculares, cada uma delas de área A, situadas no ar (permissividade ε0).Quando giramos o conjunto móvel, alteramos a área útil do capacitor e, com isso, alteramos a sua capacitância C. Para diferentes valores de C, o receptor sintoniza, por ressonância, diferentes frequências de ondas de rádio, ou seja, sintoniza diferentes emissoras.Sendo n o número total de placas, determine a capacitância máxima desse capacitor.

Page 19: 001 018 TFvol03 Parte2 Topico4 AF · PDF fileTópico 4 – Capacitores 1 1 E.R. .. No instante t 0 = 0, um capacitor de 2 500 μF, descarrega-do, é ligado a uma fonte de 12 V, por

19Tópico 4 – Capacitores

F

M

F M

d

Capacitor visto de cima.

Resolução:

+

+

+

+

F(+)

M ⇒ F (–)

M

Com n placas, temos uma associação de (n – 1) capacitores planos de

área A, em paralelo, cada um deles com capacitância igual a ε

0A

d, no

máximo.

Então, a capacitância máxima do sistema é dada por:

C nA

d= −( )1 0

ε

Resposta: nA

d−( )1 0

ε

54 (UFMS) No circuito a seguir, IC, I' e I representam, respectiva-mente, as intensidades das correntes que passam pelo capacitor de capacitância 10 mF, inicialmente descarregado, pelo resistor de 10 Ω, e pelo gerador de força eletromotriz 12 V e resistência interna de 5 Ω.Seja Q a carga armazenada no capacitor após um tempo t qualquer do fechamento da chave K.

I

Ic

I'A

K

5 Ω

10 Ω12 V 10 mF

B

Considere os gráficos a seguir:a)

12

80

(volts)

Q (mC)

b)

2,4

0,8

80

(ampères)

Q (mC)

c)

2,4

80

(ampères)

Q (mC)

d)

0,8

80

(ampères)

Q (mC)

CJT/Zapt

Page 20: 001 018 TFvol03 Parte2 Topico4 AF · PDF fileTópico 4 – Capacitores 1 1 E.R. .. No instante t 0 = 0, um capacitor de 2 500 μF, descarrega-do, é ligado a uma fonte de 12 V, por

20 Tópico 4 – Capacitores

e)

0,8

80

(ampères)

Q (mC)

É correto afirmar que:

(01) o gráfico c representa IC em função de Q.

(02) o gráfico d representa I' em função de Q.

(04) o gráfico e representa I' em função de Q.

(16) o gráfico a representa a ddp (VA – VB) em função de Q.

(64) o gráfico b representa I em função de Q.

Dê como resposta a soma dos números associados às afirmações cor-retas.

Resolução:01. Incorreta. Quando o capacitador está totalmente carregado, temos:

Como I =E

r +R

temosI = I =0,8

eq

,

12

5 10+∴ A

A A

B

I = I

B

5 Ω

12 V

10 Ω

Assim: VA –VB = E – r I = 12 – 5 0,8 ∴ VA – VB = 8VDessa forma, a máxima carga do capacitor será:Q = C U = C (VA – VB) ∴ Qmáx = 80 mC

E como VA – VB =Q

C, o gráfico será uma reta crescente:

8

80

VA – VB (V)

Q (mC)

02. Correta. No gerador, temos:VA – VB = E – r I

VA – VB = 12 – 5 I ⇒ I =12 (V V

5A B

– – )

Como V VQ

C=

Q

10:

I =

Q

(A; mC)

A B– =

−1210

5

O gráfico correspondente é:

2,4

0,8

80

I (A)

Q (mC)

04. Correta. No resistor: i =U

RI'=

V V Q/CI'=

Q(A;A B⇒ = ⇒

10 10 100mmC)

Como I = IC + I' ⇒ IC = I – I' = 12 Q/10 Q

I =Q

(A; mC)C

− − ⇒ −5 100

240 3

100

O gráfico fica:

2,4

80

IC (A)

Q (mC)

08. Incorreta. Do item 04: I'=Q

(A; mC)100

0,8

80

I' (A)

Q (mC)

Lembre que Qmáx = 80 mC.

16) Correta: Veja itens 04 e 08.

Resposta: 02 + 04 + 16 = 22

Page 21: 001 018 TFvol03 Parte2 Topico4 AF · PDF fileTópico 4 – Capacitores 1 1 E.R. .. No instante t 0 = 0, um capacitor de 2 500 μF, descarrega-do, é ligado a uma fonte de 12 V, por

21Tópico 4 – Capacitores

55 (IME-RJ) A figura a seguir mostra duas placas metálicas retan-gulares e paralelas, com 4 m de altura e afastadas de 4 cm, constituindo um capacitor de 5 μF. No ponto S, equidistante das bordas superiores das placas, encontra-se um corpo puntiforme com 2 g de massa e car-regado com +4 μC.O corpo cai livremente e, após 0,6 s de queda livre, a chave K é fechada, ficando as placas ligadas ao circuito capacitivo em que a fonte E tem 60 V de tensão. Determine:

a) com qual das placas o corpo irá se chocar (justifique sua resposta);

b) a que distância da borda inferior da placa se dará o choque.

Dado: aceleração da gravidade: g = 10 m/s2.

4 m

4 cm

S

+

20 µF

20 µF

15 µF

E

KP2P1

Resolução:

1. Como a partícula tem carga positiva, ela irá se deslocar atraída por cargas negativas. Analisando o circuito, nota-se que o terminal negati-vo da fonte motor está ligado à placa P1 do capacitor. Portanto, a partí-cula de carga + 4 . 106 C irá se chocar com a placa P1.

2. Antes do fechamento da chave K, a partícula cai em queda livre por 0,6 s (intervalo 1): v2y = v0y + gt1 = 0 + 10 · 0,6 ⇒ v2y = 6 m/s

v =v +2 g y = y = m2 0 1 1y y

2 226

2 101 80⋅ ⋅

⋅∴∆ ∆ ,

Após o fechamento da chave K, surge uma força entre as placas dada

por F =q E=q U

dx⋅ ⋅

(I), onde U é a tensão entre as placas, e d = 4 cm.

Analisando-se os capacitores em paralelo, após o fechamento da chave K, conclui-se que o circuito é equivalente a:

20 µF

40 µF

60 V–

+

Q=C V =C C

C CV

40 20

6060 =

eq1 2

1 2

⋅+

⋅ ⋅ ⋅µ µ

µ8800 µC

Logo, a tensão U vale:

U =Q

C=

800

40U =20 V

µ

µ⇒ (II)

Substituindo (II) em (I):

F =4

4 10F =2 10 N

X X

µ ⋅⋅

⇒ ⋅−−20

2

3

Portanto, a partícula passará a sofrer uma aceleração (aX):

a =F

m=

2 10

2 10=1 m/s

XX 2⋅

3

3

O tempo gasto do fechamento de K até a colisão pode ser obtido pela equação cinemática:

∆∆

x =a t

2t =

2 x

a=

2

12X

22

22

22 100 2⇒

⋅ ⋅ ⋅ =−

, 00 s

Então,

∆y =v t +gt

=6 0,20 +10 0,20

y2 2

2

2y

2

2 2⋅ ⋅ ⇒∆ =1,40m

Logo, a distância da borda inferior ao ponto de colisão é:Δy = 4 – Δy1 – Δy2 ⇒ Δy = 0,8 m

Respostas: a) P1; o terminal negativo da fonte motor está ligado à placa P1 do capacitor; b) 0,8 m