00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής...

39

Transcript of 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής...

Page 1: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

1 Eισαγωγικά Mολονότι ο πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος αποτελεί microια παγκόσmicroια αρχή που ισχύει σε όλες τις φυσικές διεργασίες που συmicroβαίνουν στην Σύmicroπαν όmicroως δέν δίνει απάντηση στο ερώτηmicroα αν microπορεί να πραγmicroατοποιηθεί κάποιο φυσικό φαινόmicroενο Πράγmicroατι microπορούmicroε να σκεφθούmicroε φυσικά φαινόmicroενα που δεν παρα βιάζουν τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο αλλά ποτέ δεν έχουν πραγmicroατοποιη θεί Λόγου χάρη η αυθόρmicroητη microεταφορά θερmicroότητας από ένα ψυχρό πρός ένα θερmicroό σώmicroα δεν έχει ποτέ παρατηρηθεί microολονότι αυτό επιτρέπεται από τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο Eπίσης η αυθόρmicroητη συmicroπίεση ενός ιδανικού αερίου σε δοχείο microε αδιαβατικά και σταθερά τοιχώmicroατα δεν έχει ποτέ πραγmicroατο ποιηθεί microολονότι το φαινόmicroενο αυτό δεν πραβιάζει τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο Aπάντηση στο ερώτηmicroα αν είναι δυνατή η πραγmicroατοποίηση ενός φυσικού φαινοmicroένου δίνει ο δεύτερος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος ο οποίος αποτελεί κατά ένα τρόπο την ικανή συνθήκη γιά να εξελιχθεί το φαινόmicroενο ενώ ο πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος αποτελεί την αναγκαία συνθήκη για την εξέλιξη του φαινοmicroένου O δεύτερος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος έχει τρείς ισοδύναmicroες διατυ πώσεις εκ των οποίων οι δύο έχουν ποιοτικό χαρακτήρα δηλαδή δεν περιγρά φονται από κάποια microαθηmicroατική σχέση ενώ η τρίτη διατύπωση γνωστή ως εντροπική διατύπωση έχει ποσοτικό χαρακτήρα ο οποίος σχετίζεται microε την έννοια της εντροπίας 2 Διατύπωση των Kelvin-Plank H διατύπωση αυτή είναι αποτέλεσmicroα της εmicroπειρίας που έχουmicroε αποκτήσει εξετάζοντας τη λειτουργία των θερmicroικών microηχανών Λέγοντας θερmicroική microηχανή εννοούmicroε κάθε σύστηmicroα microέσω του οποίου η θερmicroότητα microετασχηmicroατίζεται σε ωφέλιmicroο microηχανικό έργο Mία θερmicroική microηχανή περιλαmicroβάνει ένα χώρο εντός του οποίου ένα υλικό microέσο (πχ ένα αέριο ή microείγmicroα αερίων) υποβάλλεται συνεχώς στην ίδια κυκλική διεργασία κατά την εξέλιξη της οποίας συmicroβαί νουν τα εξής Tο υλικό microέσο απορροφά θερmicroότητα από microία πηγή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 ένα microέρος αυτής το αποδίδει στο περιβάλλον της microηχανής microε τη microορφή microηχανικού έργου καί το υπόλοιπο εκχωρείται σε microία άλλη πηγή θερmicroότητας B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 (T2ltT1) Mέχρι στιγmicroής δεν έχει επινοηθεί θερmicroική microηχανή που να microετασχηmicroατίζει πλήρως τη θερmicroότητα σε microηχανικό έργο δηλαδή δεν υπάρχει θερmicroική microηχανή που να λειτουργεί microόνο microε microία πηγή θερmicroότητας από την οποία το υλικό microέσο της microηχανής να αντλεί θερmicroότητα την οποία να microετατρέπει εξ ολοκλήρου σε microηχανικό έργο Aν Q1 είναι η θερmicroότητα που εκχωρεί η πηγή A στο υλικό microέσο της θερmicroικής microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της Q2 η αντίστοιχη θερmicroότητα που απο δίδει το microέσο στην πηγή θερmicroότητας B καί W το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής τότε συmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο θα ισχύει η σχέση

Q1 + Q2 = U + W Q1 - Q2 = W (1)

διότι ΔU=0 Q1gt0 και Q2lt0 Tο πηλίκο WQ1 ορίζεται ως θερmicroοδυναmicroικός συντε λεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής και συmicroβολίζεται microε α δηλαδή ισχύει

Σχήmicroα 1

=W

Q1

(1)

=Q1 - Q2

Q1

= 1 -Q2

Q1

(2)

Eπειδή γιά όλες τις θερmicroικές microηχανές ισχύει

|Q2 | 0 εύκολα προκύπτει ότι αlt1 Oι Kelvin και Plank γενικεύοντας το συmicroπέρασmicroα αυτό διατύπωσαν την ακό λουθη πρόταση η οποία αποτελεί την αρχική microορφή του δεύτερου θερmicroοδυνα microικού νόmicroου Δεν είναι δυνατή microια κυκλική φυσική διεργασία ενός θερmicroοδυναmicroικού συστήmicroα τος microε microοναδικό αποτέλεσmicroα την ολοκληρωτική microετατροπή της θερmicroότητας σε microηχανικό έργο 3 Διατύπωση του Clausius H διατύπωση αυτή οφείλεται στην εmicroπειρία που αποκτήθηκε από τη microελέτη των ψυκτικών microηχανών Λέγοντας ψυκτική microηχανή εννοούmicroε microία διάταξη κατά τη λειτουργία της οποίας microεταφέρεται συνεχώς θερmicroότητα από ένα ψυχρό πρός ένα θερmicroό σώmicroα microε τον εξής τρόπο Ένα κατάλληλο υλικό microέσο υποβάλ λεται σε κυκλική διεργασία κατά την οποία προσλαmicroβάνοντας έργο από το πε ριβάλλον αντλεί θερmicroότητα από microία πηγή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 καί την microεταφέρει σε microία πηγή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 (T1gtT2) Mέχρι στιγmicroής δεν έχει κατασκευαστεί ψυχτική microηχανή η οποία να microεταφέρει θερmicroό τητα από ένα ψυχρό πρός ένα θερmicroό σώmicroα χωρίς να καταναλώνει έργο καί σχεδόν επικρατεί βεβαιότητα ότι και στό microέλλον δεν θα υπάρξει τέτοια ψυχτι κή microηχανή Aν Q2 είναι η θερmicroότητα που παρέχει ανά κύκλο η πηγή B χαmicroη λής θερmicroοκρασίας T2 στο υλικό microέσον της ψυκτικής microηχανής W το αντίστοιχο έργο που αντλεί το microέσον από το περιβάλλον καί Q1 η αντίστοιχη θερmicroότητα που εκχωρείται στην πηγή A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 τότε σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο ισχύει η σχέση

Q1 + Q2 = U + W Q2 = W -Q1

Q2 = - W + Q1

W = Q1 - Q2 (1)

Σχήmicroα 2 διότι ΔU=0 Wlt0 και Q1lt0 Tο πηλίκο Q2⎜W⎜ ορίζεται ως συντελεστής από δοσης της ψυκτικής microηχανής καί συmicroβολίζεται microε α δηλαδή ισχύει

=Q2

W

(1)

=Q2

Q1 - Q2

Eπειδή γιά όλες τις ψυκτικές microηχανές ισχύει ⎜W⎜gt0 θα είναι λόγω της (1) καί ⎜Q1⎜gtQ2 oπότε ο συντελεστής απόδοσης microιάς ψυκτικής microηχανής δεν microπορεί να απειριστεί O Clausius γενικεύοντας το συmicroπέρασmicroα αυτό διατύπωσε την ακό λουθη πρόταση η οποία αποτελεί microια άλλη microορφή του δευτερoυ θερmicroοδυναmicroι κού νόmicroου Δεν είναι δυνατή microια κυκλική φυσική διεργασία ενός θερmicroοδυναmicroικού συστήmicroα τος microε microοναδικό αποτέλεσmicroα τη microεταφορά θερmicroότητας από ψυχρό σε θερmicroό σώmicroα 4 Iσοδυναmicroία της διατύπωσης Clausius προς τη διατύπωση Kelvin-Plank Θα δείξουmicroε ότι οι δύο προηγούmicroενες διατυπώσεις του δεύτερου θερmicroοδυ ναmicroικού νόmicroου είναι microεταξύ τους ισοδύναmicroες Προς τούτο αρκεί να δείξουmicroε ότι η άρνηση της διατύπωσης του Clausius συνεπάγεται και άρνηση της διατύ πωσης των Kelvin-Plank και αντίστροφα Θεωρούmicroε λοιπόν ότι υπάρχει ιδανι κή ψυκτική microηχανή που σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microεταφέρει από microια πηγή θερmicroότητας B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 θερmicroότητα Q2 σε microια πηγή θερ microότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 (T1gtT2) χωρίς να καταναλώνει έργο Θεωρούmicroε ακόmicroη ότι microεταξύ των πηγών θερmicroότητας A και B εργάζεται microια θερ microική microηχανή η οποία λειτουργώντας σύmicroφωνα microε τη διατύπωση των Kelvin-Plank παίρνει σε κάθε κύκλο λειτουργίας της καταλληλη ποσότητα θερmicroότη τας Q1 από την πηγή A ώστε να δίνει θερmicroότητα Q2 στην πηγή B και να παράγει microηχανικό έργο W (σχήmicroα 3) Tότε το σύστηmicroα των δύο αυτών microηχα νών θα αποτελούσε microια θερmicroική microηχανή που θα microετέτρεπε όλη τη θερmicroότητα

Q1 σε microηχανικό έργο W γεγονός που σηmicroαίνει την άρνηση της διατύπωσης των Kelvin- Plank

Σχήmicroα 3 Σχήmicroα 4 Έστω τώρα ότι υπάρχει ιδανική θερmicroική microηχανή δηλαδή microια θερmicroική microηχανή που microετατρέπει σε κάθε κύκλο λειτουργίας της την θερmicroότητα Q1 που παίρνει από microια πηγή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 πλήρως σε microηχανικό έργο W Θεωρούmicroε τώρα και microια ψυκτική microηχανή που λειτουργεί microεταξύ των πηγών A και B ακολουθώντας την διατύπωση του Clausius (σχήmicroα 4) Eίναι δυνατόν η ψυκτική αυτή microηχανή παίρνωντας το έργο W να δίνει σε κάθε κύκλο λειτουργίας της θερmicroότητα Q1 στην πηγή A αφαιρώντας συγχρόνως κατάλληλη ποσότητα θερmicroότητας Q2 από την πηγή B Tότε όmicroως το σύστηmicroα των δύο microηχανών θα αποτελούσε microια ιδανική ψυκτική microηχανή γεγονός που ισοδυναmicroεί microε άρνηση της διατύπωσης του Clausius 5 Θερmicroική microηχανή του Carnot O Γάλλος microηχανικός Sadi Carnot επιθυmicroώντας να διευκρινίσει πιο είναι το ανώτατο όριο του θερmicroοδυναmicroικού συντελεστή απόδοσης microιας θερmicroικής microηχα νής που λειτουργεί ανάmicroεσα σε δύο δεδοmicroένες θερmicroοκρασίες T1 καί T2 επινό ησε ένα microοντέλο θερmicroικής microηχανής microε τα εξής χαρακτηριστικά α Tο υλικό microέσο της microηχανής αυτής είναι ένα ιδανικό αέριο β Kατά τη λειτουργία της microηχανής το υλικό της microέσο υφίσταται συνεχώς microια αντιστρεπτή κυκλική διεργασία που είναι γνωστή ως κύκλος Carnot καί αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές Aπό microια ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB στη διάρκεια της οποίας το υλικό microέσο απορροφά από τη δεξαmicroενή θερmicroότητας υψηλής θερmicroοκρασίας T1 θερmicroότητα Q1 (Q1gt0) Aπό microια αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ στη διάρκεια της οποίας η θερmicroοκρασία του υλικού microέσου microειώνεται από T1 σε T2 Aπό microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ κατά την οποία το microέσο εκχωρεί θερmicroότητα Q2 (Q2lt0) στη δεξαmicroενή θερmicroότητας χαmicroηλής θερmicroοκ ρασίας T2 Tέλος το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση microέσω microιας αδιαβατικής συmicroπίεσης ΔrarrA κατά την οποία η θερmicroοκρασία του αυξάνεται από T1 σε T2 (σχήmicroα 5) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αC της microηχανής του Carnot σύmicroφωνα microε όσα αναφέρθηκαν στο προηγούmicroενο εδάφιο είναι

C = 1 -Q2

Q1

(1)

Όmicroως γιά τις θερmicroότητες Q1 καί Q2 ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 5

Q1 = nRT1 ln

VB

VA

$

amp και

Q2 = nRT2 lnV

V

$

amp

όπου VAVBVΓVΔ οι όγκοι των αερίων στις καταστάσεις A B Γ καί Δ αντιστοίχως και n ο αριθmicroός των mol του αερίου Έτσι η σχέση (1) γράφεται

C = 1 -T2ln(V

V

)

T1ln(VBVA ) (2)

Eξάλλου γιά τις αδιαβατικές microεταβολές BrarrΓ καί ΔrarrA ισχύουν οι σχέσεις

T1 B

-1

V = T2

-1

V

T1 A

-1

V = T2

-1

V

( )

BV

AV

$

amp

-1

=V

V

$

amp

-1

BV

AV=

V

V

lnBV

AV

$

amp = ln

V

V

$

amp

lnBV

AV

$

amp = -ln

V

V

$

amp

οπότε η σχέση (2) δίνει

C= 1 -

T2

T1

(3)

Παρατηρούmicroε από τη σχέση (3) ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης microιας θερmicroικής microηχανής Carnot εξαρτάται microόνο από τις θερmicroοκρασίες T1 καί T2 των δεξαmicroενών θερmicroότητας που χρησιmicroοποιεί και microάλιστα όσο πιο microικρός είναι ο λόγος T2T1 τόσο microεγαλύτερος είναι ο συντελεστής αC

6 Oρισmicroός της εντροπίας O Clausius επιθυmicroώντας να δώσει microαθηmicroατική microορφή στον δεύτερο θερmicroοδυ ναmicroικό νόmicroο επινόησε την έννοια της εντροπίας ένα microέγεθος που άνοιξε ευρύ τατους ορίζοντες για την ανάπτυξη της Θερmicroοδυναmicroικής Aφετηρία για να ορί σει ο Clausius την έντροπία υπήρξε ο κύκλος του Carnot τον οποίο σκέφθηκε να διαmicroερίσει σε microεγάλο πλήθος στοιχειωδών microεταβολών και σχηmicroάτισε για κάθε microια το πηλίκο της θερmicroότητας dQ που ανταλλάσσει το αέριο microε το περι βάλλον του προς την αντίστοιχη θερmicroοκρασία T υπό την οποία γίνεται η ανταλ λαγή και στη συνέχεια άθροισε όλα αυτά τα πηλίκα Aναπαράγοντας τις ιδέες του Clausius για τον κύκλο Carnot ΑΒΓΔ (σχήmicroα 6) θα έχουmicroε

dQT( )

(C) = dQT( )

(AB) + dQT( )

(B) + dQT( )

( ) + dQT( )

(A) (1)

Σχήmicroα 6

Όmicroως οι microεταβολές BΓ και ΔA είναι αδιαβατικές και εποmicroένως τα αντίστοιχα αθροίσmicroατα είναι microηδενικά δηλαδή ισχύει

dQT( )

(B ) = dQT( )

(A) = 0 (2)

Eξάλλου εάν Q1 είναι το ποσό θερmicroότητας που παίρνει το αέριο κατά την ισό θερmicroη εκτόνωσή του AB Q2 το ποσό της θερmicroότητας που δίνει κατά την ισό

θερmicroη συmicroπίεση του ΓΔ και T1 T2 οι αντίστοιχες απόλυτες θερmicroοκρασίες του θα έχουmicroε τις σχέσεις

dQT( )

(AB) = Q1T1 και

dQT( )

() = Q2 T2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) και (3) έχουmicroε

Q

T

$

amp

(C)

=Q1

T1

+Q2

T2

(4)

Όmicroως σε microια κυκλική microεταβολή Carnot ισχύει η σχέση

Q1

T1

=-Q2

T2

Q1

T1

+Q2

T2

= 0

οπότε η (4) γράφεται

dQT( )

(C) = 0 (5)

H σχέση (5) δηλώνει ότι σε κάθε κυκλική microεταβολή Carnot ενός αερίου το αλγεβρικό άθροισmicroα των πηλίκων των στοιχειωδών θερmicroότητων που αυτό ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του προς την αντίστοιχη απόλυτη θερmicroοκρασία υπό την οποία γίνεται η ανταλλαγή είναι ίση microε microηδέν O Clausius έδειξε ότι η σχέση (5) έχει γενικώτερο χαρακτήρα δηλαδή ισχύει για κάθε αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή ενός σώmicroατος και το γεγονός αυτό του επέτρεψε να ισχυρι σθεί ότι για κάθε σώmicroα υπάρχει ένα φυσικό microέγεθος χαρακτηριστικό της κατά στασής του και ανεξάρτητο του τρόπου microε τον οποίο το σώmicroα βρέθηκε στην κατάσταση αυτή Tο microέγεθος αυτό ο Clausius το ονόmicroάσε εντροπία του σώmicroα τος και το συmicroβόλισε microε S Mολονότι η σχέση (4) εγγυάται την ύπαρξη της εντροπίας σε κάθε κατάσταση ισορροπίας του σώmicroατος δεν microας επιτρέπει να την ορίσουmicroε Mας επιτρέπει όmicroως να ορίσουmicroε τη microεταβολή της εντροπίας κατά microια αντιστρεπτή πορεία του από microια αρχική κατάσταση σε microια τελική κατάσταση Σε περίπτωση που το σώmicroα εκτελεί microια στοιχειώδη αντιστρεπτή microεταβολή κατά την εξέλιξη της οποίας ανταλλάσσει microε το περιβάλλον ένα πολύ microικρό (στοιχειώδες) ποσό θερmicroότητας dQ και βρίσκεται σε απόλυτη θερmicroοκρασία T τότε η αντίστοιχη στοιχειώδης microεταβολή dS της εντροπίας του ορίζεται από τη σχέση

dS = dQT (7) Eάν η αντιστρεπτή microεταβολή δεν είναι στοιχειώδης τότε η συνολική microεταβολή ΔSολ της εντροπίας του σώmicroατος όταν αυτό οδηγείται από microιά αρχική κατά σταση α σε microιά τελική κατάσταση τ θα είναι ίση microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των στοιχειωδών microεταβολών dS1 dS2 dSn της εντροπίας του που αντιστοιχούν στις στοιχειώδεις αντιστρεπτές microεταβολές στις οποίες διαmicroερίζεται η θεωρούmicroε νη microεταβολή δηλαδή θα ισχύει ΔSολ=dS1+dS2+ +dSn

S =

dQ1

T1

+dQ

2

T2

+ +dQ

n

Tn

=dQ

T

$

amp

$

(8)

Παρατηρήσεις i) Όταν αναφερόmicroαστε σε θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα στο οποίο εξελλίσεται microιά οποιαδήποτε διαδικασία (αντιστρεπτή ή όχι) η microεταβολή της εντροπίας του συστήmicroατος είναι ίση microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των microεταβολών της εντροπίας των σωmicroάτων που το αποτελούν ii) Όταν ένα θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα οδηγείται microε αντιστρεπτό τρόπο από microιά αρχική σε microία τελική κατάσταση ισορροπίας η microεταβολή της εντροπίας του είναι ακριβώς αντίθετη της microεταβολής που παθαίνει η εντροπία του περιβάλ λοντος του συστήmicroατος Aυτό είναι άmicroεση συνέπεια του ορισmicroού που έχουmicroε δώσει για την αντιστρεπτή microεταβολή και δικαιολογείται ως εξής Kατά την εξέλιξη της αντιστρεπτής microεταβολής το θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του στοιχειώδη ποσά θερmicroότητας ευρισκόmicroενο σε θερmicroοδυ ναmicroική ισορροπία microε αυτό που σηmicroαίνει ότι υπάρχει κάθε στιγmicroή ανάmicroεσά τους microιά πολύ microικρή διαφορά θερmicroοκρασίας Έτσι αν το σύστηmicroα πάρει από το περι βάλλον του κατά τρόπο αντιστρεπτό την στοιχειώδη θερmicroότητα dQ υπό θερmicroο κρασία T η microέν εντροπία του συστήmicroατος θrsquo αυξηθεί κατά dQT ενώ του περιβάλλοντος του θα ελαττωθεί κατά dQT οπότε η αντίστοιχη microεταβολή της εντροπίας του συστήmicroατος και του περιβάλλοντος θα είναι ίση microε microηδέν Omicroως το θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα και το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν που θεωρείται αποmicroονώmicroενο σύστηmicroα δηλαδή σύστηmicroα που δεν ανταλλάσει ύλη και ενέργεια οπότε microπορούmicroε να διατυπώσουmicroε την παρακάτω γενική πρόταση Kατά τις αντιστρεπτές microεταβολές των θερmicroοδυναmicroικών συστηmicroάτων η εντροπία του Σύmicroπαντος διατηρείται σταθερή iii) Όταν ένα σώmicroα υποβάλλεται σε αντιστρεπτή ή microη αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή της θερmicroοδυναmicroικής του κατάστασης τότε η συνολική microεταβολή της εντροπίας του είναι microηδέν Στην περίπτωση που η κυκλική microεταβολή είναι αντιστρεπτή η παραπάνω ιδιότητα περιγράφεται από τη σχέση

dQT( )

(C) = 0

όπου ο υπολογισmicroός του αθροίσmicroατος θα γίνει κατα microήκος της κλειστής καmicroπύ λης γραmicromicroής (C) η οποία απεικονίζει σε κατάλληλο ορθογώνιο σύστηmicroα αξό νων τη θεωρούmicroενη κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή του σώmicroατος 7 Yπολογισmicroός της microεταβολής της εντροπίας σε ειδικές περιπτώσεις O υπολογισmicroός της microεταβολής της εντροπίας ενός σωmicroάτος όταν αυτό microετέχει σε microια φυσική διεργασία παρουσιάζει στη γενική περίπτωση microαθηmicroατική δυσκολία η οποία εξαρτάται από το είδος της διεργασίας στην οποία υποβάλλε ται Σε microερικές όmicroως περιπτώσεις ο υπολογισmicroός της είναι εφικτός microε απλοική microαθηmicroατική διαδικασία όπως λογουχάρη στην περίπτωση της ισόθερmicroης και

αντιστρεπτής microεταβολής ή στην περίπτωση της αδιαβατικής και αντιστρεπτής microεταβολής της κατάστασης ιδανικού αερίου α Iσόθερmicroη microεταβολή Aς δεχθούmicroε ότι microια microάζα n mol ιδανικού αερίου υποβάλλεται σε ισόθερmicroή και αντιστρεπτή microεταβολή της θερmicroοδυναmicroικής του κατάστασης υπό θερmicroοκρασία T κατά την οποία ο όγκος του microεταβάλλεται από V1 σε V2 Eπειδή η θερmicroοκρα σία του αερίου παραmicroένει σταθερή microπορεί να βγεί κοινός παράγοντας σε όλους τους όρους του αθροίσmicroατος Σ(dQT) oπότε για τη microεταβόλή ΔSισοθ της εντρο πίας του αερίου θα έχουmicroε τη σχέση

S

$=

1

T dQ( ) =

Q$

T

Όmicroως η θερmicroότητα Qισοθ που ανταλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του είναι ίση microε το αντίστοιχο έργο Wισοθ του αερίου οπότε η προηγούmicroενη σχέση γράφε ται

S$

=W

$

T=

nRT

Tln

V2

V1

$

amp = nRln

V2

V1

$

amp

Παρατηρούmicroε ότι κατά την ισόθερmicroη αντιστρεπτή εκτόνωση του αερίου (V2gtV1) ισχύει ΔSgt0 που σηmicroαίνει ότι η εντροπία του αυξάνεται Aκριβώς τα αντίστρο φα συmicroβαίνουν κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του αερίου (V2ltV1) οπότε ΔSlt0 β Aδιαβατική microεταβολή Όταν το αέριο υφίσταται αδιαβατική και αντιστρεπτή microεταβολή τότε όλα τα στοιχειώδη ποσά θερmicroότητας dQ που ανταλάσσει microε το περιβάλλον του είναι microηδενικά οπότε η microεταβολή της εντροπίας του θα είναι microηδενική δηλαδή θα ισχύει

ΔSαδιαβ = 0 Λόγω της παραπάνω ιδιότητας microια αδιαβατική και αντιστρεπτή microεταβολή της κατάστασης ιδανικού αερίου ονοmicroάζεται και ισεντροπική microεταβολή 8 Eντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου Aς θεωρήσουmicroε ένα σώmicroα που microετέχει microιας φυσικής διαδικασίας η οποία το οδηγεί από microια αρχική σε microια τελική κατάσταση θερmicroοδυναmicroικής ισορροπίας Kατά την διαδικασία αυτή η εντροπία του σώmicroατος microεταβάλλεται ανεξάρτητα από τον τρόπο που εξελίσσεται η διαδικασία αυτή αφού η εντροπία του σώmicroα τος είναι microονότιmicroη συνάρτηση της κατάστασής του Στην περίπτωση που το σώmicroα οδηγείται στην τελική κατάσταση κατά microη αντιστρεπτό τρόπο δεν microπο ρούmicroε για τον υπολογισmicroό της microεταβολής της εντροπίας του να χρησιmicroοποι ήσουmicroε τη σχέση (8) του εδαφίου 6 διότι όπως αναφέρθηκε παραπάνω αυτή έχει νόηmicroα microόνο σε αντιστρεπτές διαδικασίες Mπορούmicroε όmicroως να επιλέξουmicroε microια κατάλληλη αντιστρεπτή πορεία που οδηγεί το σώmicroα στην τελική του κατά

σταση και να υπολογίσουmicroε πάνω σrsquo αυτή την πορεία την microεταβολή της εντρο πίας του σώmicroατος χρησιmicroοποιώντας τη σχέση (8) H microεταβολή αυτή θα αντιπροσωπεύει και τη microεταβολή της εντροπίας του σώmicroατος κατά την αντί στοιχη microη αντιστρεπτή διαδικασία Στα επόmicroενα θα επιχειρήσουmicroε να υπολογί σουmicroε τη microεταβολή της εντροπίας σε microερικές χαρακτηριστικές microη αντιστρε πτές διεργασίες και να αξιολογήσουmicroε τα αποτελέσmicroατα των υπολογισmicroών α Eλεύθερη εκτόνωση ιδανικού αερίου Aς θεωρήσουmicroε ένα ιδανικό αέριο που βρίσκεται σε δοχείο microε αδιαβατικά τοιχώmicroατα Tο δοχείο αυτό χωρίζεται microε τη βοήθεια ενός διαφράγmicroατος σε δύο χώρους που τον ένα καταλαmicroβάνει το αέριο ενώ ο άλλος χώρος είναι κενός Aν αφαιρέσουmicroε το διάφραγmicroα τότε το αέριο εκτονώνεται από τον αρχικό του όγκο V1 στον όγκο V2 του δοχείου χωρίς να ανταλλάσσει θερmicroότητα και έργο microε το περιβάλλον του (Q=0 και W=0) Tο φαινόmicroενο αυτό ονοmicroάζεται ελεύθερη εκτόνωση του αερίου αποτελεί δε microη αντιστρεπτό φαινόmicroενο αφού ποτέ δεν παρατηρήθηκε αυτόmicroατη αδιαβατική συmicroπίεση του αερίου στην αρχική του κατάσταση Eφαρmicroόζοντας στο αέριο τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε για την microεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας την σχέση ΔU=0 που σηmicroαίνει ότι κατά την ελεύθερη εκτόνωση του αέριου η εσωτερική του ενέρ γεια άρα και η θερmicroοκρασία του παρέmicroεινε η ίδια Έτσι η αρχική και η τελική κατάσταση του αέριου βρίσκονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη χωρίς

Σχήmicroα 7 Σχήmicroα 8 όmicroως οι ενδιάmicroεσες καταστάσεις του αερίου να βρίσκονται πάνω στην καmicroπύλη αυτή αφού δεν είναι καταστάσεις ισορροπίας και εποmicroένως δεν απεικονίζονται σε διάγραmicromicroα P-V Γίνεται τώρα φανερό ότι για να υπολογίσουmicroε τη microεταβολή ΔS της εντροπίας του αέριου θα χρησιmicroοποιήσουmicroε την αντίστοιχη ισόθερmicroη αντιστρεπτή εκτόνωση που microπορεί να το οδηγήσει από την αρχική κατάσταση A1 όγκου V1 στην τελική κατάσταση A2 όγκου V2 (σχήmicroα 8) Για τη microεταβολή αυτή έχουmicroε

S = nR ln V2V

1( ) (1) όπου n ο αριθmicroός των mol του αερίου και R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανι κών αερίων Eπειδή V2gtV1 θα ισχύει και ln(V2V1)gt0 οπότε σύmicroφωνα microε την (1) η microεταβολή της εντροπίας του αερίου κατά την ελεύθερη εκτόνωση του είναι θετική δηλαδή η εντροπία του αυξάνεται Eξάλλου η εντροπία του περι βάλλοντος του αερίου δεν παθαίνει καmicroιά microεταβολή στη διάρκεια αυτής της microη αντιστρεπτής διαδικασίας αφού το περιβάλλον δεν συmicromicroετέχει ενεργειακά σ΄

αυτήν Έτσι microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι τουλάχιστον γιrsquo αυτή την microη αντιστρεπτή microεταβολή η εντροπία του αερίου και του περιβάλλοντος αυξάνει Όmicroως το αέριο microαζί microε το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν οπότε η ελεύθερη εκτόνωση ενός αερίου οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του Σύmicroπαν τος Pοή θερmicroότητας δια microέσου χάλκινης ράβδου Tο φαινόmicroενο ροής θερmicroότητας από microια δεξαmicroενή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 προς microια άλλη δεξαmicroενή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 (T1gtT2) δια microέσου χάλκινης ράβδου είναι microη αντιστρεπτό φαινόmicroενο Kατά την εξέλιξη του φαινοmicroένου αυτού η εντροπία της χάλκινης ράβδου δεν microεταβάλλεται αφού η θερmicroοκρασία σε κάθε διατοmicroή της είναι χρονικά σταθερή και όση θερmicroότητα φθάνει στην διατοmicroή αυτή microέσα σrsquo ένα χρονικό διάστηmicroα τόση φεύ γει από τη διατοmicroή στο διάστηmicroα αυτό Έτσι η ολική microεταβολή ΔSολ της εντρο πίας του συστήmicroατος είναι ίση microε το άθροισmicroα της microεταβολής ΔSA της εντρο πίας της δεξαmicroενής A και της microεταβολής ΔSB της εντροπίας της δεξαmicroενής B δηλαδή ισχύει ΔSσυστ=ΔSA+ΔSB (2) Για να υπολογίσουmicroε τις microεταβολές ΔSA και ΔSB πρέπει να βρούmicroε microια αντισ τρεπτή διαδικασία microεταφοράς της θερmicroότητας Q από τη δεξαmicroενή A στη B Tέτοια διαδικασία microπορεί να εξασφαλιστεί αν διαθέτουmicroε microια δεξαmicroενή θερmicroό τητας που τη θερmicroοκρασία της microπορούmicroε να ελέγχουmicroε αυτόmicroατα η οποία

Σχήmicroα 9

να έρχεται διαδοχικά σε επαφή πρώτα microε την A και στη συνέχεια σε επαφή microε την B Mε τον τρόπο αυτό η δεξαmicroενή ελεγχόmicroενης θερmicroοκρασίας θα microεταφέρει κατά αντιστρεπτό τρόπο την θερmicroότητα Q από την A στην B οπότε για τις microεταβολές ΔSA και ΔSB θα έχουmicroε τις σχέσεις

SA = -QT1

SB = QT2

(+ )

SA + SB =Q

T2

-Q

T1

= QT1 - T2

T1T2

$

amp (3)

------------------------------- Προς στιγmicroή αγνοούmicroε όλες τις άλλες φυσικές διαδικασίες που συmicroβαίνουν στο περιβάλλον του αέριου και εντοπίζουmicroε την προσοχή microας στο πως επηρεάζεται το περιβάλλον από την ελεύθερη εκτόνωση του αερίου Mε τη βοήθεια microιας τέτοιας πηγής microπορούmicroε να εξασφαλίσουmicroε κάθε στιγmicroή microικρή διαφορά θερmicroοκρασίας ανάmicroεσα στην πηγή αυτή και στις πηγές A και B οπότε η ροή θερmicroότητας θα γίνεται κατά τρόπο αντιστρεπτό

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουmicroε τη σχέση

S

$= Q

T1 - T2

T1T2

$

amp (4)

Aπό την (4) προκύπτει ΔSσυστgt0 που σηmicroαίνει ότι κατά τη ροή θερmicroότητας από τη δεξαmicroενή A στην B δια microέσου της χάλκινης ράβδου η εντροπία του συστή microατος αυξάνεται Eξάλλου το περιβάλλον του συστήmicroατος των δύο δεξαmicroενών θερmicroότητας και της χάλκινης ράβδου δεν συmicromicroετέχει ενεργειακά σ΄ αυτή τη microη αντιστρεπτή διεργασία οπότε microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι η εντροπία του δεν microεταβάλλεται δηλαδή ισχύει ΔSπερ=0 Όmicroως το σύστηmicroα και το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν οπότε η ροή θερmicroότητας διrsquo αγωγής οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του Σύmicroπαντος Στο ίδιο συmicroπέρασmicroα καταλήγουmicroε εάν εξετάσουmicroε και άλλες φυσικές διαδικασίες που εξελλίσονται κατά microη αντιστρε πτό τρόπο όλες δε οι πειραmicroατικές microας εmicroπειρίες που αναφέρονται σε microη αντι στρεπτά φαινόmicroενα είναι συmicroβιβαστές microε την ακόλουθη πρόταση Kάθε microη αντιστρεπτή διαδικασία που συmicroβαίνει στο Σύmicroπαν οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του H πρόταση αυτή αποτελεί την εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroο δυναmicroικού νόmicroου και microολονότι δεν υπάρχει αυστηρή microαθηmicroατική απόδειξη αυτής πρέπει να τονίσουmicroε ότι η πρόταση είναι συνεπής προς όλα τα φυσικά φαινόmicroενα που εξελίσσονται στο Σύmicroπαν κατά microη αντιστρεπτό τρόπο Όπως θα δειχθεί στο επόmicroενο εδάφιο η εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυνα microικού νόmicroου είναι ισοδύναmicroη microε τη διατύπωση Kelvin-Plank που σηmicroαίνει ότι η αποδοχή ή παραβίαση της microιας συνεπάγεται την αποδοχή ή παραβίαση της άλλης Παρατήρήση Kάθε φυσική διαδικασία που συmicroβαίνει microέσα σrsquo ένα αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα δηλαδή σrsquo ένα σύστηmicroα που δεν ανταλλάσσει ύλη και ενέργεια microε το περιβάλ λον του θεωρείται αυθόρmicroητο φυσικό φαινόmicroενο αφού για την πραγmicroατο ποίησή του δεν χρειάζεται εξωτερική επίδραση Όmicroως microε την έννοια αυτή τα αυθόρmicroητα φαινόmicroενα είναι και microη αντιστρεπτά οπότε σύmicroφωνα microε την εντρο πική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου συνοδεύονται από αύξηση της εντροπίας του αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος Mπορούmicroε λοιπόν να διατυπώσουmicroε την παρακάτω πρόταση που είναι γνωστή ως αρχή αύξησης της εντροπίας ενός αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος Kάθε αυθόρmicroητη διαδικασία που συmicroβαίνει σrsquo ένα αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του 9 Iσοδυναmicroία της εντροπικής διατύπωσης προς την διατύπώση Kelvin-Plank Θα δείξουmicroε ότι η άρνηση της εντροπικής διατύπωσης του δεύτερου θερmicroοδυ ναmicroικού νόmicroου συνεπάγεται άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank Προς τούτο θεωρούmicroε microία θερmicroική microηχανή Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ των πηγών θερmicroότητας A και B αντιστοίχων θερmicroοκρασίων T1 και T2 microε T2ltT1 και

υποθέτουmicroε ότι σε κάθε κύκλο λειτουργίας της το θερmicroαντικό της σώmicroα (ιδανικό αέριο) απορροφά από την πηγή A θερmicroότητα Q1 και δίνει στην πηγή B θερmicroότητα Q2 Eπί πλέον υποθέτουmicroε ότι κατά τη λειτουργία της θερmicroικής αυτής microηχανής παραβιάζεται η εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυνα microικού νόmicroου δηλαδή ότι η εντροπία του Σύmicroπαντος microειώνεται Tότε θα ισχύει ΔSΣυmicroπlt0 ΔSmicroηχ+ΔSπερlt0 (1) Όmicroως η microεταβολή ΔSπερ της εντροπίας του περιβάλλοντος της θερmicroικής microηχα νής του Carnot είναι microηδενική διότι αυτό παίρνει microόνο έργο από τη microηχανή ενώ η microεταβολή ΔSmicroηχ της εντροπίας της microηχανής θα είναι

ΔSmicroηχ=ΔSαερ+ΔSA+ΔSB

Smicro = 0 +-Q1

T1

+Q2

T2

(2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

-Q1

T1

+Q2

T2

lt 0

Q1

T1

gtQ2

T2

(3)

Όmicroως η σχέση (3) σηmicroαίνει ότι η θερmicroική microηχανή του Carnot δεν λειτουργεί σύmicroφωνα microε τη διατύπωση των kelvin-Plank διότι τότε θα έπρεπε να ισχύει η σχέση

Q1 T1 = Q2 T2 Δηλαδή η παραβίαση της εντροπικής διατύπωσης του

δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου συνεπάγεται και την παραβίαση της διατύπω σης Kelvin-Plank 10 Aρχή υποβάθmicroισης της ενέργειας Aς θεωρήσουmicroε ένα σύστηmicroα από δύο σώmicroατα A και B που βρίσκονται σε αντί στοιχες θερmicroοκρασίες T1 και T2 microε T1gtT2 το οποίο είναι αποmicroονωmicroένο microε το περιβάλλον του Eάν τα δύο σώmicroατα έλθουν σε επαφή τότε είναι γνωστό ότι θα microεταβιβαστεί θερmicroότητα από το σώmicroα υψηλής θερmicroοκρασίας T1 προς το σώmicroα χαmicroηλώτερης θερmicroοκρασίας T2 microέχρις ότου τα δύο σώmicroατα αποκτήσουν κοινή θερmicroοκρασία Tκ για την οποία ισχύει T2ltTκltT1 Kατά την microη αντιστρεπτή αυτή διαδικασία το σύστηmicroα δεν ανταλλάσσει έργο και θερmicroότητα microε το περιβάλλον του αφού αποτελεί αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα microε αποτέλεσmicroα η εσωτερική του ενέργεια να παραmicroένει σταθερή (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) ενώ σύmicroφωνα microε την εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου η εντροπία του συστήmicroατος αυξάνεται Eξάλλου το σύστηmicroα στην αρχική του κατάσταση εmicroφανίζει microιά ορισmicroένη ικανότητα παραγωγής οργανωmicroένης ενέργειας αφού microπορεί νrsquo αποδώσει microηχανικό έργο microε τη microεσολάβηση microιας θερmicroικής microηχανής ανάmicroεσα στα δύο σώmicroατα Aντίθετα στην τελική του κατάσταση το σύστηmicroα έχει χάσει την ικανότητά του να δώσει οργανωmicroένη ενέργεια αφού τώρα είναι αδύνατη η λειτουργία microιάς θερmicroικής microηχανής microεταξύ των δύο σωmicroάτων καθό σον τα δύο σώmicroατα βρίσκονται στην ίδια θερmicroοκρασία Aπό την σύγκριση των δύο καταστάσεων βγαίνει το συmicroπέρασmicroα ότι microολονότι η εσωτερική ενέργεια του συστήmicroατος δεν άλλαξε η ικανότητα του για παραγωγή οργανωmicroένης ενέργειας δηλαδή ενέργειας που microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί ωφέλιmicroα έχει microηδε νιστεί ενώ ταυτόχρονα η εντροπία του συστήmicroατος παρουσιάζεται αυξηmicroένη Δηλαδή η αυξηmicroένη εντροπία του συστήmicroατος έχει υποβαθmicroίσει την ποιότητα

της εσωτερικής του ενέργειας microε την έννοια ότι αυτό δεν είναι τώρα σε θέση να δώσει ωφέλιmicroη ενέργεια Γενικώτερα αν αναφερθούmicroε στα microη αντιστρεπτά φυσικά φαινόmicroενα που συmicroβαίνουν στο Σύmicroπαν microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι συνοδεύονται microε ενεργειακή υποβάθmicroισή του δηλαδή microε απώλεια της δυνατότητάς του για παραγωγή ενέργειας ανώτερης ποιότητας microολονότι η εσωτερική του ενέργεια παραmicroένει αναλλοίωτη Aυτό σηmicroαίνει ότι microε την πάροδο του χρόνου το Σύmicroπαν τείνει σε microιά κατάσταση microέγιστης εντροπίας που του περιορίζει την ποιότητα του ενεργειακού του περιεχόmicroενου και το οδη γεί στον λεγόmicroενο θερmicroικό ή εντροπικό θάνατο Ένα άλλο χαρακτηριστικό παράδειγmicroα που microας δείχνει ότι η αύξηση της εντροπίας ενός αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος ελαττώνει την ικανότητα του για παραγωγή οργανωmicroένης ενέρ γειας είναι το εξής Aφήνουmicroε ένα σώmicroα να πέσει από ύψος h στο πάτωmicroα του δωmicroατίου microας Tο σώmicroα ξεκινάει την διαδροmicroή του microε microιά οργανωmicroένη δυνα microική ενέργεια mgh η οποία microετά την κρούση του microε το πάτωmicroα microετασχη microατίζεται σε ανοργάνωτη θερmicroική ενέργεια που κατανέmicroεται στο σώmicroα στο πάτωmicroα στον αέρα και στους τοίχους του δωmicroατίου microε αποτέλεσmicroα νrsquo αυξηθεί λίγο η θερmicroοκρασία τους Kατά την microη αντιστρεπτή αυτή διαδικασία η ολική ενέργεια του συστήmicroατος διατηρήθηκε σταθερή αυξήθηκε όmicroως η εντροπία του H αυξηmicroένη εντροπία του συστήmicroατος κάνει αδύνατη την αντίστροφη εξέλιξη του φαινοmicroένου δηλαδή την microετατροπή της προηγούmicroενης θερmicroικής ενέργειας σε δυναmicroική ενέργεια microε αυθόρmicroητη ανύψωση του σώmicroατος στην αρχική του θέση και ταυτόχρονη ψύξη όλων των σωmicroάτων που πήραν microέρος στο φαινόmicroενο Έτσι το σύστηmicroά παρουσιάζεται στην τελική του κατάσταση microε υποβαθmicroισmicroένο ενεργειακό περιεχόmicroενο δηλαδή έχει microειωθεί η ποιότητα της ενέργειάς του αφού αυτό έχασε την ικανότητά του να δίνει ωφέλιmicroο έργο Παρατήρηση H θερmicroότητα ως microορφή ενέργειας είναι ποσοτικά ισοδύναmicroη microε τις άλλες microορφές ενέργειας (microηχανική ηλεκτρική χηmicroική κλπ) αλλά ποιοτικά είναι υποβαθmicroισmicroένη ως προς αυτές Aυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η θερmicroότητα δεν microπορεί να microετασχηmicroατιστεί ολοκληρωτικά σε ενέργεια άλλης microορφής ενώ αντίθετα οι άλλες microορφές ενέργειας microε απλές διαδικασίες microετασχηmicroατίζονται ολοκληρωτικά σε θερmicroότητα lsquoΕτσι η θερmicroότητα θεωρείται ως ενέργεια κατώτε ρης ποιότητας ή ως microη οργανωmicroένη ενέργεια ως προς τις άλλες microορφές ενέρ γειας οι οποίες θεωρούνται ως ενέργειες ανώτερης ποιότητας

PM fysikos

Iδανικό αέριο εκτελεί διαδοχικά τις παρακάτω θερmicroικές διαδικασίες α) Mιά αντιστρεπτή ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται

β) Mιά αντιστρεπτή ισόχωρη microεταβολή κατά την οποία η πίεση του αερίου γίνεται η microισή της αρχικής του πιέσεως i) Nα σχεδιαστούν τα διαγράmicromicroατα P-V P-T και V-T των δύο αυτών συνεχόmicroενων microεταβολών ii) Nα βρεθεί η συνολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του Δίνονται τα καταστατικά microεγέθη V0 P0 και T0 της αρ χικής κατάστασης του αερίου ΛYΣH i) Kατά την αντιστρεπτή ισοβαρή εκτόνωση ArarrB του ιδανικού αερί ου από τον όγκο V0 στον όγκο 2V0 η απόλυτη θερmicroοκρασία του αυξάνει από την τιmicroή T0 στην τιmicroή 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) Στην αντιστρεπτή ισόχωρη microεταβολή BrarrΓ που ακολουθεί ο όγκος του αέριου microένει σταθερός και ίσος microε 2V0 ενω η πίεσή του ελαττώνεται από την τιmicroή Pο στην τιmicroή P02 microε απο τέλεσmicroα να ελαττώνεται και η θερmicroοκρασία του αέριου από την τιmicroή 2T0 στην

Σχήmicroα 10 Σχήmicroα 11 Σχήmicroα 12

τιmicroή T0 (νόmicroος Charles) Όλα τα παραπάνω εκφράζονται συmicroβολικά ως εξής

A(P0 V0 T0) rarr B(P0 2V0 2T0) rarr Γ(P02 2V0 T0) Tα σχήmicroατα (10) (11) (12) αποτελούν τα ζητούmicroενα διαγράmicromicroατα της microεταβο λής ArarrBrarrΓ του ιδανικού αερίου ii) Aφού κατά την αντιστρεπτή διαδικασία ArarrBrarrΓ η θερmicroοκρασία του αερίου τελικά δεν microεταβάλλεται η ολική microεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας είναι microηδέν διότι η εσωτερική ενέργεια microιας ορισmicroένης microάζας ιδανικού αερίου είναι συνάρτηση microόνο της θερmicroοκρασίας του Δηλαδή ισχύει

ΔUολ = 0 (1) Eφαρmicroόζοντας για το ιδανικό αέριο τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο κατά τη microεταβολή ArarrBrarrΓ παίρνουmicroε τη σχέση

Q= U

+ W

(1)

Q= 0 + W

= W

Q= WAB + WB

= P0(2V0 - V0 ) + 0 Q= P0V0

Mια θερmicroική microηχανή Carnot λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1=500 0K και T2=200 0K H microηχανή απορροφά από τη θερmicroή δεξαmicroενή θερmicroότητα microε ρυθmicroό q1=2105 Js i) Nα βρεθεί η ωφέλιmicroη ισχύς της microηχανής ii) Nα βρεθεί ο ρυθmicroός microε τον οποίο πρέπει να microεταφέρεται θερmicroότη τα στην ψυχρή πηγή microιας θερmicroικής microηχανής που λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδο σης ίσο microε 80 του συντελεστή απόδοσης της microηχανής Carnot και την ίδια ωφέλιmicroη ισχύ microε αυτή ΛYΣH i) Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot στο ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής τότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αC της microηχανής θα ικανοποιεί τη σχέση

C =W

Q1

W = CQ1

W

t=CQ1

t (1)

Όmicroως το πηλίκο Wt αποτελεί την ωφέλιmicroη ισχύ N της microηχανής ενώ το πηλίκο Q1t αποτελεί το ρυθmicroό q1 microεταφοράς θερmicroότητας από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το αέριο που χρησιmicroοποιεί οπότε η σχέση (1) γράφεται N = Cq1 = (1 - T2T1 )q1

N=(1-200500)2 105 Js=12 105 Js ii) Aς θεωρήσουmicroε τη θερmicroική microηχανή που εργάζεται microεταξύ των θερmicroοκρα σιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης α=08αC και ωφέλιmicroη ισχύ N Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το ενεργό υλικό που χρησιmicroοποιεί και Q2 η αντίστοιχη θερmicroότητα που microεταφέρεται από το υλικό αυτό προς την ψυχρή δεξαmicroενή της θα έχουmicroε τις σχέσεις

Q1 = W+Q2

08C = WQ1

W

08C

= W+Q2

W1

08C

- 1

$

amp =Q2

W

t

1

08C

- 1

$

amp =

Q2

t

microε C

= 1- T2T

1= 35 Όmicroως το πηλίκο Q2t αποτελεί το ρυθmicroό q2 microεταφοράς

θερmicroότητας στην ψυχρή πηγή της θερmicroικής microηχανής ενώ το πηλίκο Wt αποτελεί την ισχύ N της microηχανής οπότε η (2) γράφεται q2 = N(54C - 1) = 12 10

5(25 12 - 1) Js = 13 10

5Js

Mια θερmicroική microηχανή αποτελείται από δύο θερmicroι κές microηχανές Carnot και η ψυχρή πηγή της microιας αποτελεί θερmicroή πηγή της άλλης Eάν α1 α2 είναι οι θερmicroοδυναmicroικοί συντελεστές από δοσης των δύο microηχανών T1 η απόλυτη θερmicroοκρασία της θερmicroής πηγής της πρώτης και T3 η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της δεύτερης να δείξετε τις σχέσεις αολ = α1 + α2 - α1α2 και αολ = 1 - T3 T1 όπου αολ ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της σύνθετης microηχανής Carnot ΛYΣH Έστω ότι σε χρόνο t microεταφέρεται θερmicroότητα Q1 από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot M1 προς το ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W1 είναι το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής αυτής O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α1 της microηχανής θα είναι 1 = W1Q1 W1 = 1Q1 (1)

Σχήmicroα 13 Eξάλλου εάν Q2 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t στην ψυχρή πηγή της microηχανής M1 αυτή θα αποτελεί και την αντίστοιχη θερmicroότητα που λαmicroβάνει το αέριο της δεύτερης microηχανής Carnot M2 οπότε το ωφέλιmicroο έργο W2 της microηχανής αυτής σε χρόνο t θα υπολογίζεται microέσω της σχέσεως W2 = 2Q2 (2) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αολ του συστήmicroατος των δύο microηχα νών θα είναι

=

W1 + W2

Q1

(2)

(1)

=1Q1 + 2Q2

Q1

= 1 +2Q2

Q1

(3)

Όmicroως εάν T2 είναι η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της M1 ή της

θερmicroής πηγής της M2 θα ισχύει η σχέση

Q1

T1

=Q2

T2

Q2

Q1

=T2

T1

= 1 -1 (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) έχουmicroε

= 1 +2(1 - 1 ) = 1 +2 -12 (5) Eπειδή α1=1-T2T1 και α2=1-T3T2 η σχέση (5) γράφεται

= 1 -T

2

T1

+1 -T

3

T2

- 1 -T

2

T1

$

amp amp 1 -T

3

T2

$

amp amp

= 2 -

T2

T1

-T

3

T2

- 1+T

2

T1

-T

2

T1

T

3

T2

= 1 -T

3

T1

Mιά microάζα n mol microονοατοmicroικού ιδανικού αέριου (CV=3R2) όγκου V0 και πιέσεως P0 υποβάλλεται σε αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή που αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβο λές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB κατά την οποία η πίεση του αε ρίου διπλασιάζεται ii) από microια ισόθερmicroη εκτόνωση BrarrΓ κατά την οποία ο όγκος του αερίου διπλασιάζεται και iii) από microια ισοβαρή συmicroπίεση ΓrarrA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να βρείτε τη θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 14) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) Aπό το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη θέρmicroανση του αέριου υπό σταθερό όγκο V0 κατά την οποία η πίεση του αέριου από P0 γίνεται 2P0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Charles)

ii) Aπό το καmicroπύλογραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη εκτόνωση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία ο όγκος του αέριου από V0 γίνεται 2V0 οπότε η πίεσή του από 2P0 γίνεται P0 (νόmicroος Boyle) και iii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή συmicroπίεση του αέριου microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A(P0V0T0) Eξάλλου σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο η θερmicroότητα Q που το αέριο ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του κατά τον κύκλο ABΓA η microεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας και το έργο W που παράγει το αέριο συνδέονται microε τη σχέση

Q = ΔU + W Q = 0 + W Q = W (1)

Σχηmicroα 14 Όmicroως το έργο W είναι ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των επί microέρους έργων WAB WBΓ και WΓA που αντιστοιχούν στις microεταβολές ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA Έτσι θα έχουmicroε τη σχέση

W= WAB

+ WB

+WA

W = 0 +2nRT0ln (2V0 V0) + P0 (V0 - 2V0)

W=2nRT0ln2 -P

0V

0= 2P

0V

0ln2 -P

0V

0 (1)

Q=P0V0(2ln2 - 1) (2) β) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α microιας θερmicroικής microηχανής η οποία θα λειτουργούσε microε βάση τον κύκλο ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του προς την θερmicroότητα Qπρ που προσφέ ρεται σrsquo αυτό σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microηχανής δηλαδή ισχύει

=

W

Q

(1)

=Q

Q

(2)

=P0V0 (2ln2 - 1)

Q

(3)

Όmicroως για τη θερmicroότητα Qπρ ισχύει η σχέση

Q = QAB + QB = nCV(2T0 - T0 ) +2nRT0ln(2V0V0)

Q= nCVT0 +2nRT0ln2 = nT0 (CV +2Rln2) (4)

όπου CV η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερό όγκο Όmicroως το αέριο που εξετάζουmicroε ισχύει CV =3R2 και η (4) γράφεται

Q= nT0(3R2 +2Rln2) = nRT0(32 +2ln2)

Q= P0V0 (32 + 2ln2) (5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (5) παίρνουmicroε τη σχέση

=

P0V0 (2ln2 - 1)

P0V0(32 + 2ln2)=

2ln2 - 1

32 +2ln2

=

2(2ln2 - 1)

3 + 4ln2

Mιά ορισmicroένη microάζα microονοατοmicroικού ιδανικού αερί ου (CV=3R2) όγκου V0 πιέσεως P0 και απόλυτης θερmicroοκρασίας T0 υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται i) από microια ισοβαρή εκτόνωση ArarrB κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται ii) από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να υπολογίσετε το έργο που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το συντελεστή απόδοσης της κυκλικής αυτής microεταβολής ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 15) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή εκτόνωση του αέριου υπό πίεση P0 κατά την οποία ο όγκος του από V0 γίνεται 2V0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) ii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη ψύξη του αερίου υπό σταθερό όγκο 2V0 κατά την οποία το αέριο ψύχεται από τη θερmicroοκρασία 2T0 στη θερmicroοκρασία T0 οπότε η πίεσή του από P0 γίνεται P02 (νόmicroος Charles) και iii) από το καmicroπυλόγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη συmicroπί εση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία ο όγκος του ελατ τώνεται από 2V0 σε V0 ενώ η πίεση του αυξάνει από P02 σε P0 (νόmicroος Boyle) Eξάλλου το έργο W που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του θα είναι

ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των έργων WAB WBΓ και WΓA που ανταλλάσσει το αέριο κατά τη διάρκεια των επί microέρους microεταβολών ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA δηλαδή θα ισχύει

Σχήmicroα 15

W = WAB + WB+W

A = P0(2V0 -V0) + 0 +nRT0ln(V0 2V0)

W = P0V0 +nRT0ln(12) W= P0V

0- nRT

0ln2 (1)

όπου n ο αριθmicroός των mol του αέριου και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Όmicroως σύmicroφωνα microε την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων ισχύει P0V0=nRT0 οπότε η (1) γράφεται

W= P0V

0-P

0V

0ln2

W = P

0V

01 - ln2( ) (2)

β) O συντελεστής απόδοσης α του κύκλου ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W προς την θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου δηλαδή ισχύει

=

W

QAB

(1)

=P0V0 (1 - ln2)

nCP(2T0 - T0 )

=nRT0 (1 - ln2)

nCpT0

(3)

όπου CP η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερή πίεση Eπειδή γιατο αέριο έχουmicroε CP=5R2 η σχέση (3) γράφεται

=

nRT0 (1 - ln2)

5nRT02 =

2(1- ln2)

5 (4)

Ένα ιδανικό αέριο υποβάλλεται σε κυκλική αντισ τρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από microια ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB θερmicroοκρασίας T1 από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ όγκου V1 από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ θερmicroοκρασίας T2 και από microια ισόχωρη θέρmicroανση ΔrarrA όγκου V2=V12 Eάν ο λόγος CPCV του αερίου είναι γ

να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του το αέριο απορροφά από το εξωτερικό του περιβάλλον τα ποσά θερmicroότητας QΔA και QAB που ανιστοι χούν στην ισόχωρη θέρmicroανσή του ΔrarrA και στην ισόθερmicroη συmicroπίεσή του ArarrB Άρα ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβο λής είναι

=

W

Q$A + QAB

(1)

Σχήmicroα 16 όπου Wολ το ολικό έργο που παρέχει το αέριο στο περιβάλλον του Όmicroως για το έργο αυτό ισχύει

W= W

A+ W

AB+ W

B$+ W

$= 0 + W

AB+ 0 + W

$

W

= W

AB+W

$= nRT

1ln

V1

V12

$

amp amp + nRT2ln

V12

V1

$

amp amp

W= nRT

1ln2 - nRT

2ln2 W

= nR(T1 - T2 )ln2 (2) Εξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και QΔA ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1lnV1

V1 2

$

amp amp = nRT1ln2

και

QA = nCV (T1 - T2 ) =

nR(T1 - T2)

- 1 οπότε η (1) δίνει

=

nR(T1 - T2)ln2

nR(T1 - T2)( - 1) + nRT1ln2

=( - 1)(T1 - T2 )ln2

T1 - T2 + ( - 1)T1ln2

i) Nα δείξετε ότι η άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank για το δεύτερο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο συνεπάγεται και άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Nα δείξετε ότι microια κυκλική microεταβολή ορισmicroένης microάζας ιδανικού αέριου που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση από microια αδια βατική εκτόνωση και από microια αδιαβατική συmicroπίεση βρίσκεται σε αντίφαση microε το δεύτερo θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο δηλαδή microια τέτοια κυκ λική microεταβολή είναι αδύνατη ΛYΣH i) Έστω ότι υπάρχει θερmicroική microηχανή που σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microετατρέπει ολοκληρωτικά την θερmicroότητα Q1 που παίρνει από την πηγή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 σε microηχανικό έργο W χωρίς να δίνει θερmicroότητα στην πηγή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 Θεωρούmicroε τώρα microια κατάλ

Σχήmicroα 17 Σχήmicroα 18 ληλη ψυκτική microηχανή η οποία όταν λειτουργεί ανάmicroεσα στις ίδιες πηγές θερ microότητας microεταφέρει θερmicroότητα Q1 στην πηγή A καταναλώνοντας το έργο W που παράγει η θερmicroική microηχανή Tότε η ψυκτική αυτή microηχανή θα παίρνει από την πηγή B microια ορισmicroένη θερmicroότητα Q2 και εποmicroένως το σύστηmicroα των δύο microηχανών θα ισοδυναmicroεί microε microια ψυκτική microηχανή η οποία θα απάγει θερmicroότητα Q2 από την ψυχρή πηγή B χωρίς κατανάλωση έργου πράγmicroα που αποτελεί άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Έστω ότι microια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί την κυκλική microεταβο λή ABΓA που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB microια αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ και microια αδιαβατική συmicroπίεση ΓrarrA (σχήmicroα 18) Eφαρmicroόζοντας για τη microεταβολή αυτή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση QAB + QBΓ + QΓA = ΔUολ + Wολ QAB + 0 + 0 = 0 + Wολ QAB = Wολ (1)

H σχέση (1) δηλώνει ότι κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής ABΓA η θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο microετατρέπεται ολοκληρωτικά σε έργο γεγονός που έρχεται σε αντίθεση microε τη διατύπωση των Kelvin-Plank Παρατήρηση H microη πραγmicroατοποίση της κυκλικής microεταβολής ABΓA ισοδυναmicroεί microε το ότι οι αδιαβατικές καmicroπύλες BΓ και ΓA δεν είναι δυνατό να τέmicroνονται

Mιά ορισmicroένη microάζα ιδανικού αερίου εκτελεί κύκλο Carnot ABΓΔA Eάν V1 V2 V3 V4 είναι οι όγκοι του αέριου που αντιστοιχούν στις κατατάσεις A B Γ και Δ και T1 T2 είναι οι απόλυτες θερmicroοκρασίες της ισόθερmicroης εκτόνωσης και της ισόθερmicroης συmicroπίεσης του αέριου αντιστοίχως (T1gtT2) να δείξετε τις σχέσεις

V1V3 = V2V4 και W = nR(T1 - T2)ln(V2V1) όπου n τα mol του αερίου R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανικών αερίων και W το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του ΛYΣH Για την ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ισχύει P1

V1= P

2V

2 (1)

Για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Poisson ισχύει

P2V

2

= P3V

3

(2)

Σχήmicroα 19

Για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle έχουmicroε

P3V

3= P

4V

4 (3)

Tέλος για την αδιαβατική συmicroπίεση ΔrarrA σύmicroφωνα microε τον νόmicroο του Poisson έχουmicroε

P4V

4

= P1V

1

(4) όπου γ ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αερίου Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (4) κατά microέλη παίρνου microε τη σχέση

P1V

1P

2V

2

P3V

3P

4V

4

= P2V

2P

3V

3

P4V

4P

1V

1

2

-1

V 4

-1

V =3

-1

V 1

-1

V V3

V1= V

2V

4 (5)

Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκ λικής microεταβολής ABΓΔA είναι σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσει microε το περιβάλλον του Δηλαδή ισχύει η σχέση

W= Q

= QAB + QB

+ Q$

+ Q$A = QAB + Q

$ (6)

διότι για τις αδιαβατικές microεταβολές BrarrΓ και ΔrarrA έχουmicroε QBΓ =QΔA =0 Eξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και Q

ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1ln(V2 V1 )

Q

= nRT2ln(V4 V3 )

$

(+ )

QAB + Q

= nR T1lnV2

V1

$

amp amp + T2lnV4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(6)

W

= nR T

1ln

V2

V1

$

amp amp + T2ln

V4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(7)

Όmicroως από τη σχέση (5) έχουmicroε

V2

V1

=V

3

V4

lnV

2

V1

$

amp amp = lnV

3

V4

$

amp amp

lnV

2

V1

$

amp amp = - lnV

4

V3

$

amp amp

οπότε η (7) γράφεται

W

= nR(T1 - T2)ln

V2

V1

$

amp amp (8)

Mια θερmicroική microηχανή αναγκάζει ιδανικό αέριο σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση κατά την οποία η πίεση του αερίου τριπλασιάζεται

ii) από microια ισοβαρή εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται iii) από microια ισόχωρη ψύξη microέχρις ότου η πίεση του αερίου ανακτή σει την αρχική της τιmicroή και iv) απο microια ισοβαρή συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Eάν P0 V0 είναι η πίεση και ο όγκος αντιστοίχως του αερίου στην αρχική του κατάσταση και γ ο λόγος CPCV των γραmicromicroοmicroοριακών του ειδικών θερmicroοτήτων να βρείτε την προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroό τητα κατά την εξέλιξη του κύκλου γ) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής και να τον συγκρίνετε microε το συντελεστή απόδοσης της microηχα νής Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ της microέγιστης και της ελά χιστης θερmicroοκρασίας του αερίου της microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόχωρη θέρmicroανση AB του αερίου η πίεσή του τριπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Charles θα τριπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του αερίου δηλαδή από T0 θα γίνει 3T0 Κατά την ισοβα ρή εκτόνωση BΓ ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται οπότε και η απόλυτη θερmicroοκρασία του θα τριπλασιάζεται (νόmicroοςGay-Lussac) δηλαδή από 3T0 θα γίνει 9T0 Kατά την ισόχωρη ψύξη ΓΔ του αερίου η πίεση του απο την τιmicroή 3P0 λαmicroβάνει την τιmicroή P0 δηλαδή υποτριπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο του

Σχήmicroα 20 Charles πρέπει να υποτριπλασιασθεί και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή από 9T0 πρέπει να γίνει 3T0 Aυτό σηmicroαίνει ότι οι καταστάσεις B και Δ βρίσ κονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη θερmicroοκρασίας 3T0 Mε βάση τις παρα πάνω διαπιστώσεις το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου έχει τη microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (20) β) Kατά την εξέλιξη του κύκλου στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα στο στάδιο της ισόχωρης θέρmicroανσης AB και της ισοβαρούς εκτόνωσης BΓ δηλαδή ισχύει

Q = QAB + QB = nCV 3T0 - T0( ) + nCP 9T0 - 3T0( )

Q

= 2nCVT0 + 6nCPT0 = 2n CV + 3CP( )T0 (1)

Όmicroως οι γραmicromicroοmicroοριακές ειδικές θερmicroότητες CV και CP του αερίου ικανοποιούν τις σχέσεις

CP

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= R - 1

CP

= R - 1

$ (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε

Q

=

2nRT0

- 1(1+ 3) = 2P0V0

1+3

- 1

$

amp (3)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (4)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε το εmicroβαδόν του σκιασmicroένου ορθογωνίου ABΓΔ δηλαδή ισχύει W = micro$(ABamp) = (3P0 -P0)(3V0 -V0) = 4P0V0 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3)(4) και (5) έχουmicroε

=4P0V0

2P0V0

- 1

1+3

$

amp =

2( - 1)

1+ 3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται στην κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓΔA της οποίας το διάγραmicromicroα P-T φαίνεται στο σχήmicroα (21) i) Eάν οι θερmicroοδυναmicroικές microεταβλητές της κατάστασης A είναι P0 V0 και T0 να βρείτε τη θερmicroότητα που απορροφά το αέριο στη διάρκεια του κύκλου αφού προηγουmicroένως σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V του κύκλου ii) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση υπό θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου διπλασιάζεται οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ο όγκος του αερίου θα υποδιπλασιάζεται δηλαδή από V0 θα γίνει V02 H microεταβολή BΓ είναι ισοβαρής θέρmicroανση υπο πίεση 2P0 κατά την οποία η απόλυ

τη θερmicroοκρασία του αερίου διπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο Gay-Lussac θα διπλασιάζεται και ο όγκος του αερίου δηλαδή από V02 θα γίνει V0 H microετα βολή ΓΔ είναι ισόθερmicroη εκτόνωση υπό θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου υποδιπλασιάζεται οπότε ο όγκος του θα διπλασιάζεται (νόmicroος

Σχήmicroα 21 Σχήmicroα 22 Boyle) δηλαδή από V0 θα γίνει 2V0 Mε βάση τα παραπάνω οδηγούmicroαστε στο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου το οποίο έχει την microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (22) Στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του BΓ και της ισόθερmicroης εκτόνωσής του ΓΔ δηλαδή ισχύει η σχέση Q = QB +Q$ = nCP(2T0 - T0) + nR2T0ln(2V0V0 )

Q

= 5nRT02 + 2nRT0 ln2 Q

= P0V0 (52 + 2ln2) (1)

ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (2)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της υπο λογίζεται από τη σχέση

W = W

AB+ W

B + W$ + W$A

W

= nRT0ln

V0

2V0

$

amp +2P

0V

0-V

0

2

$

amp +

+

nR2T0ln2V0

V0

$

amp amp +P0(V0 - 2V0 )

W

= -nRT0ln2+P

0V

0+2nRT

0ln2 -P

0V

0=nRT

0ln2=P

0V

0ln2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) έχουmicroε

=P0V0ln2

P0V0(52 +2ln2)=

ln2

52 + 2ln2

Tο αέριο microιας θερmicroικής microηχανής είναι ιδανικό και υποβάλλεται σε αντιστρεπτό κύκλο ο οποίος αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή εκτόνωση AB microέχρις τετραπλασιασmicroού του όγ κου του αερίου ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση BΓ microέχρις ότου η πίεση του αερίου γίνει ίση microε το 132 της αρχικής της τιmicroής PA και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A όγκου VA α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Nα βρείτε το λόγο γ=CPCV του αερίου και να δείξετε ότι η θερ microότητα που απορροφά κατά την εξέλιξη του κύκλου είναι ίση microε 15PAVA2 γ) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Gay-Lussac θα τετραπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή απο TA θα γίνει 4TA Σύmicroφωνα microε το πρόβληmicroα κατά την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου η πίεση του microειώνε ται από την τιmicroή PA στην τιmicroή PA32 ο δε όγκος του αυξάνεται από την τιmicroή

Σχήmicroα 23 4VA στην τιmicroή VΓ Όmicroως microέσω της ισόθερmicroης συmicroπίεσης ΓA το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle θα έχουmicroε τη σχέση

PV

= P

AV

A V

= 32VA

Mε βάση τα παραπάνω το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (23) β) Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου το νόmicroο του Poisson παίρνουmicroε τη σχέση PB

VB

= PV

PA(4VA)

= (PA32)(32VA )

4

= 32-1 2

2= 2

5( -1) 2 = 5( - 1) = 53 που σηmicroαίνει ότι το αέριο είναι microονοατοmicroικό Eξάλλου η θερmicroότητα που απορροφά το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου ABΓA είναι ίση microε την θερmicroό τητα QAB που απορροφά κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του AB δηλαδή ισχύει Q

= QAB = nCP(4TA - TA) = 5nR(3TA 2)

Q

= 15nRTA2 = 15PAVA2 (1)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓ είναι

= W

Q$

(2) Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου του (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) οπότε θα έχουmicroε

W= Q$ = QAB + QB+ QA = nCP(4TA -TA ) + 0 + nRTAln(VA32VA )

W

= 5nR(3TA 2) - nRTAln(25)

W

= PAVA (152 - 5ln2) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) παίρνουmicroε

=PAVA(152 - 5ln2)

15PAVA2=

15 - 10ln2

15= 1 -

2ln2

3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) την ισόθερmicroη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του αερίου οκταπλασιάζεται ii) την ισόχωρη ψύξη BΓ και iii) την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0=3105 Ntm2 όγκου

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 2: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

Q1 + Q2 = U + W Q1 - Q2 = W (1)

διότι ΔU=0 Q1gt0 και Q2lt0 Tο πηλίκο WQ1 ορίζεται ως θερmicroοδυναmicroικός συντε λεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής και συmicroβολίζεται microε α δηλαδή ισχύει

Σχήmicroα 1

=W

Q1

(1)

=Q1 - Q2

Q1

= 1 -Q2

Q1

(2)

Eπειδή γιά όλες τις θερmicroικές microηχανές ισχύει

|Q2 | 0 εύκολα προκύπτει ότι αlt1 Oι Kelvin και Plank γενικεύοντας το συmicroπέρασmicroα αυτό διατύπωσαν την ακό λουθη πρόταση η οποία αποτελεί την αρχική microορφή του δεύτερου θερmicroοδυνα microικού νόmicroου Δεν είναι δυνατή microια κυκλική φυσική διεργασία ενός θερmicroοδυναmicroικού συστήmicroα τος microε microοναδικό αποτέλεσmicroα την ολοκληρωτική microετατροπή της θερmicroότητας σε microηχανικό έργο 3 Διατύπωση του Clausius H διατύπωση αυτή οφείλεται στην εmicroπειρία που αποκτήθηκε από τη microελέτη των ψυκτικών microηχανών Λέγοντας ψυκτική microηχανή εννοούmicroε microία διάταξη κατά τη λειτουργία της οποίας microεταφέρεται συνεχώς θερmicroότητα από ένα ψυχρό πρός ένα θερmicroό σώmicroα microε τον εξής τρόπο Ένα κατάλληλο υλικό microέσο υποβάλ λεται σε κυκλική διεργασία κατά την οποία προσλαmicroβάνοντας έργο από το πε ριβάλλον αντλεί θερmicroότητα από microία πηγή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 καί την microεταφέρει σε microία πηγή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 (T1gtT2) Mέχρι στιγmicroής δεν έχει κατασκευαστεί ψυχτική microηχανή η οποία να microεταφέρει θερmicroό τητα από ένα ψυχρό πρός ένα θερmicroό σώmicroα χωρίς να καταναλώνει έργο καί σχεδόν επικρατεί βεβαιότητα ότι και στό microέλλον δεν θα υπάρξει τέτοια ψυχτι κή microηχανή Aν Q2 είναι η θερmicroότητα που παρέχει ανά κύκλο η πηγή B χαmicroη λής θερmicroοκρασίας T2 στο υλικό microέσον της ψυκτικής microηχανής W το αντίστοιχο έργο που αντλεί το microέσον από το περιβάλλον καί Q1 η αντίστοιχη θερmicroότητα που εκχωρείται στην πηγή A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 τότε σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο ισχύει η σχέση

Q1 + Q2 = U + W Q2 = W -Q1

Q2 = - W + Q1

W = Q1 - Q2 (1)

Σχήmicroα 2 διότι ΔU=0 Wlt0 και Q1lt0 Tο πηλίκο Q2⎜W⎜ ορίζεται ως συντελεστής από δοσης της ψυκτικής microηχανής καί συmicroβολίζεται microε α δηλαδή ισχύει

=Q2

W

(1)

=Q2

Q1 - Q2

Eπειδή γιά όλες τις ψυκτικές microηχανές ισχύει ⎜W⎜gt0 θα είναι λόγω της (1) καί ⎜Q1⎜gtQ2 oπότε ο συντελεστής απόδοσης microιάς ψυκτικής microηχανής δεν microπορεί να απειριστεί O Clausius γενικεύοντας το συmicroπέρασmicroα αυτό διατύπωσε την ακό λουθη πρόταση η οποία αποτελεί microια άλλη microορφή του δευτερoυ θερmicroοδυναmicroι κού νόmicroου Δεν είναι δυνατή microια κυκλική φυσική διεργασία ενός θερmicroοδυναmicroικού συστήmicroα τος microε microοναδικό αποτέλεσmicroα τη microεταφορά θερmicroότητας από ψυχρό σε θερmicroό σώmicroα 4 Iσοδυναmicroία της διατύπωσης Clausius προς τη διατύπωση Kelvin-Plank Θα δείξουmicroε ότι οι δύο προηγούmicroενες διατυπώσεις του δεύτερου θερmicroοδυ ναmicroικού νόmicroου είναι microεταξύ τους ισοδύναmicroες Προς τούτο αρκεί να δείξουmicroε ότι η άρνηση της διατύπωσης του Clausius συνεπάγεται και άρνηση της διατύ πωσης των Kelvin-Plank και αντίστροφα Θεωρούmicroε λοιπόν ότι υπάρχει ιδανι κή ψυκτική microηχανή που σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microεταφέρει από microια πηγή θερmicroότητας B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 θερmicroότητα Q2 σε microια πηγή θερ microότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 (T1gtT2) χωρίς να καταναλώνει έργο Θεωρούmicroε ακόmicroη ότι microεταξύ των πηγών θερmicroότητας A και B εργάζεται microια θερ microική microηχανή η οποία λειτουργώντας σύmicroφωνα microε τη διατύπωση των Kelvin-Plank παίρνει σε κάθε κύκλο λειτουργίας της καταλληλη ποσότητα θερmicroότη τας Q1 από την πηγή A ώστε να δίνει θερmicroότητα Q2 στην πηγή B και να παράγει microηχανικό έργο W (σχήmicroα 3) Tότε το σύστηmicroα των δύο αυτών microηχα νών θα αποτελούσε microια θερmicroική microηχανή που θα microετέτρεπε όλη τη θερmicroότητα

Q1 σε microηχανικό έργο W γεγονός που σηmicroαίνει την άρνηση της διατύπωσης των Kelvin- Plank

Σχήmicroα 3 Σχήmicroα 4 Έστω τώρα ότι υπάρχει ιδανική θερmicroική microηχανή δηλαδή microια θερmicroική microηχανή που microετατρέπει σε κάθε κύκλο λειτουργίας της την θερmicroότητα Q1 που παίρνει από microια πηγή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 πλήρως σε microηχανικό έργο W Θεωρούmicroε τώρα και microια ψυκτική microηχανή που λειτουργεί microεταξύ των πηγών A και B ακολουθώντας την διατύπωση του Clausius (σχήmicroα 4) Eίναι δυνατόν η ψυκτική αυτή microηχανή παίρνωντας το έργο W να δίνει σε κάθε κύκλο λειτουργίας της θερmicroότητα Q1 στην πηγή A αφαιρώντας συγχρόνως κατάλληλη ποσότητα θερmicroότητας Q2 από την πηγή B Tότε όmicroως το σύστηmicroα των δύο microηχανών θα αποτελούσε microια ιδανική ψυκτική microηχανή γεγονός που ισοδυναmicroεί microε άρνηση της διατύπωσης του Clausius 5 Θερmicroική microηχανή του Carnot O Γάλλος microηχανικός Sadi Carnot επιθυmicroώντας να διευκρινίσει πιο είναι το ανώτατο όριο του θερmicroοδυναmicroικού συντελεστή απόδοσης microιας θερmicroικής microηχα νής που λειτουργεί ανάmicroεσα σε δύο δεδοmicroένες θερmicroοκρασίες T1 καί T2 επινό ησε ένα microοντέλο θερmicroικής microηχανής microε τα εξής χαρακτηριστικά α Tο υλικό microέσο της microηχανής αυτής είναι ένα ιδανικό αέριο β Kατά τη λειτουργία της microηχανής το υλικό της microέσο υφίσταται συνεχώς microια αντιστρεπτή κυκλική διεργασία που είναι γνωστή ως κύκλος Carnot καί αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές Aπό microια ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB στη διάρκεια της οποίας το υλικό microέσο απορροφά από τη δεξαmicroενή θερmicroότητας υψηλής θερmicroοκρασίας T1 θερmicroότητα Q1 (Q1gt0) Aπό microια αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ στη διάρκεια της οποίας η θερmicroοκρασία του υλικού microέσου microειώνεται από T1 σε T2 Aπό microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ κατά την οποία το microέσο εκχωρεί θερmicroότητα Q2 (Q2lt0) στη δεξαmicroενή θερmicroότητας χαmicroηλής θερmicroοκ ρασίας T2 Tέλος το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση microέσω microιας αδιαβατικής συmicroπίεσης ΔrarrA κατά την οποία η θερmicroοκρασία του αυξάνεται από T1 σε T2 (σχήmicroα 5) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αC της microηχανής του Carnot σύmicroφωνα microε όσα αναφέρθηκαν στο προηγούmicroενο εδάφιο είναι

C = 1 -Q2

Q1

(1)

Όmicroως γιά τις θερmicroότητες Q1 καί Q2 ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 5

Q1 = nRT1 ln

VB

VA

$

amp και

Q2 = nRT2 lnV

V

$

amp

όπου VAVBVΓVΔ οι όγκοι των αερίων στις καταστάσεις A B Γ καί Δ αντιστοίχως και n ο αριθmicroός των mol του αερίου Έτσι η σχέση (1) γράφεται

C = 1 -T2ln(V

V

)

T1ln(VBVA ) (2)

Eξάλλου γιά τις αδιαβατικές microεταβολές BrarrΓ καί ΔrarrA ισχύουν οι σχέσεις

T1 B

-1

V = T2

-1

V

T1 A

-1

V = T2

-1

V

( )

BV

AV

$

amp

-1

=V

V

$

amp

-1

BV

AV=

V

V

lnBV

AV

$

amp = ln

V

V

$

amp

lnBV

AV

$

amp = -ln

V

V

$

amp

οπότε η σχέση (2) δίνει

C= 1 -

T2

T1

(3)

Παρατηρούmicroε από τη σχέση (3) ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης microιας θερmicroικής microηχανής Carnot εξαρτάται microόνο από τις θερmicroοκρασίες T1 καί T2 των δεξαmicroενών θερmicroότητας που χρησιmicroοποιεί και microάλιστα όσο πιο microικρός είναι ο λόγος T2T1 τόσο microεγαλύτερος είναι ο συντελεστής αC

6 Oρισmicroός της εντροπίας O Clausius επιθυmicroώντας να δώσει microαθηmicroατική microορφή στον δεύτερο θερmicroοδυ ναmicroικό νόmicroο επινόησε την έννοια της εντροπίας ένα microέγεθος που άνοιξε ευρύ τατους ορίζοντες για την ανάπτυξη της Θερmicroοδυναmicroικής Aφετηρία για να ορί σει ο Clausius την έντροπία υπήρξε ο κύκλος του Carnot τον οποίο σκέφθηκε να διαmicroερίσει σε microεγάλο πλήθος στοιχειωδών microεταβολών και σχηmicroάτισε για κάθε microια το πηλίκο της θερmicroότητας dQ που ανταλλάσσει το αέριο microε το περι βάλλον του προς την αντίστοιχη θερmicroοκρασία T υπό την οποία γίνεται η ανταλ λαγή και στη συνέχεια άθροισε όλα αυτά τα πηλίκα Aναπαράγοντας τις ιδέες του Clausius για τον κύκλο Carnot ΑΒΓΔ (σχήmicroα 6) θα έχουmicroε

dQT( )

(C) = dQT( )

(AB) + dQT( )

(B) + dQT( )

( ) + dQT( )

(A) (1)

Σχήmicroα 6

Όmicroως οι microεταβολές BΓ και ΔA είναι αδιαβατικές και εποmicroένως τα αντίστοιχα αθροίσmicroατα είναι microηδενικά δηλαδή ισχύει

dQT( )

(B ) = dQT( )

(A) = 0 (2)

Eξάλλου εάν Q1 είναι το ποσό θερmicroότητας που παίρνει το αέριο κατά την ισό θερmicroη εκτόνωσή του AB Q2 το ποσό της θερmicroότητας που δίνει κατά την ισό

θερmicroη συmicroπίεση του ΓΔ και T1 T2 οι αντίστοιχες απόλυτες θερmicroοκρασίες του θα έχουmicroε τις σχέσεις

dQT( )

(AB) = Q1T1 και

dQT( )

() = Q2 T2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) και (3) έχουmicroε

Q

T

$

amp

(C)

=Q1

T1

+Q2

T2

(4)

Όmicroως σε microια κυκλική microεταβολή Carnot ισχύει η σχέση

Q1

T1

=-Q2

T2

Q1

T1

+Q2

T2

= 0

οπότε η (4) γράφεται

dQT( )

(C) = 0 (5)

H σχέση (5) δηλώνει ότι σε κάθε κυκλική microεταβολή Carnot ενός αερίου το αλγεβρικό άθροισmicroα των πηλίκων των στοιχειωδών θερmicroότητων που αυτό ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του προς την αντίστοιχη απόλυτη θερmicroοκρασία υπό την οποία γίνεται η ανταλλαγή είναι ίση microε microηδέν O Clausius έδειξε ότι η σχέση (5) έχει γενικώτερο χαρακτήρα δηλαδή ισχύει για κάθε αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή ενός σώmicroατος και το γεγονός αυτό του επέτρεψε να ισχυρι σθεί ότι για κάθε σώmicroα υπάρχει ένα φυσικό microέγεθος χαρακτηριστικό της κατά στασής του και ανεξάρτητο του τρόπου microε τον οποίο το σώmicroα βρέθηκε στην κατάσταση αυτή Tο microέγεθος αυτό ο Clausius το ονόmicroάσε εντροπία του σώmicroα τος και το συmicroβόλισε microε S Mολονότι η σχέση (4) εγγυάται την ύπαρξη της εντροπίας σε κάθε κατάσταση ισορροπίας του σώmicroατος δεν microας επιτρέπει να την ορίσουmicroε Mας επιτρέπει όmicroως να ορίσουmicroε τη microεταβολή της εντροπίας κατά microια αντιστρεπτή πορεία του από microια αρχική κατάσταση σε microια τελική κατάσταση Σε περίπτωση που το σώmicroα εκτελεί microια στοιχειώδη αντιστρεπτή microεταβολή κατά την εξέλιξη της οποίας ανταλλάσσει microε το περιβάλλον ένα πολύ microικρό (στοιχειώδες) ποσό θερmicroότητας dQ και βρίσκεται σε απόλυτη θερmicroοκρασία T τότε η αντίστοιχη στοιχειώδης microεταβολή dS της εντροπίας του ορίζεται από τη σχέση

dS = dQT (7) Eάν η αντιστρεπτή microεταβολή δεν είναι στοιχειώδης τότε η συνολική microεταβολή ΔSολ της εντροπίας του σώmicroατος όταν αυτό οδηγείται από microιά αρχική κατά σταση α σε microιά τελική κατάσταση τ θα είναι ίση microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των στοιχειωδών microεταβολών dS1 dS2 dSn της εντροπίας του που αντιστοιχούν στις στοιχειώδεις αντιστρεπτές microεταβολές στις οποίες διαmicroερίζεται η θεωρούmicroε νη microεταβολή δηλαδή θα ισχύει ΔSολ=dS1+dS2+ +dSn

S =

dQ1

T1

+dQ

2

T2

+ +dQ

n

Tn

=dQ

T

$

amp

$

(8)

Παρατηρήσεις i) Όταν αναφερόmicroαστε σε θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα στο οποίο εξελλίσεται microιά οποιαδήποτε διαδικασία (αντιστρεπτή ή όχι) η microεταβολή της εντροπίας του συστήmicroατος είναι ίση microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των microεταβολών της εντροπίας των σωmicroάτων που το αποτελούν ii) Όταν ένα θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα οδηγείται microε αντιστρεπτό τρόπο από microιά αρχική σε microία τελική κατάσταση ισορροπίας η microεταβολή της εντροπίας του είναι ακριβώς αντίθετη της microεταβολής που παθαίνει η εντροπία του περιβάλ λοντος του συστήmicroατος Aυτό είναι άmicroεση συνέπεια του ορισmicroού που έχουmicroε δώσει για την αντιστρεπτή microεταβολή και δικαιολογείται ως εξής Kατά την εξέλιξη της αντιστρεπτής microεταβολής το θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του στοιχειώδη ποσά θερmicroότητας ευρισκόmicroενο σε θερmicroοδυ ναmicroική ισορροπία microε αυτό που σηmicroαίνει ότι υπάρχει κάθε στιγmicroή ανάmicroεσά τους microιά πολύ microικρή διαφορά θερmicroοκρασίας Έτσι αν το σύστηmicroα πάρει από το περι βάλλον του κατά τρόπο αντιστρεπτό την στοιχειώδη θερmicroότητα dQ υπό θερmicroο κρασία T η microέν εντροπία του συστήmicroατος θrsquo αυξηθεί κατά dQT ενώ του περιβάλλοντος του θα ελαττωθεί κατά dQT οπότε η αντίστοιχη microεταβολή της εντροπίας του συστήmicroατος και του περιβάλλοντος θα είναι ίση microε microηδέν Omicroως το θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα και το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν που θεωρείται αποmicroονώmicroενο σύστηmicroα δηλαδή σύστηmicroα που δεν ανταλλάσει ύλη και ενέργεια οπότε microπορούmicroε να διατυπώσουmicroε την παρακάτω γενική πρόταση Kατά τις αντιστρεπτές microεταβολές των θερmicroοδυναmicroικών συστηmicroάτων η εντροπία του Σύmicroπαντος διατηρείται σταθερή iii) Όταν ένα σώmicroα υποβάλλεται σε αντιστρεπτή ή microη αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή της θερmicroοδυναmicroικής του κατάστασης τότε η συνολική microεταβολή της εντροπίας του είναι microηδέν Στην περίπτωση που η κυκλική microεταβολή είναι αντιστρεπτή η παραπάνω ιδιότητα περιγράφεται από τη σχέση

dQT( )

(C) = 0

όπου ο υπολογισmicroός του αθροίσmicroατος θα γίνει κατα microήκος της κλειστής καmicroπύ λης γραmicromicroής (C) η οποία απεικονίζει σε κατάλληλο ορθογώνιο σύστηmicroα αξό νων τη θεωρούmicroενη κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή του σώmicroατος 7 Yπολογισmicroός της microεταβολής της εντροπίας σε ειδικές περιπτώσεις O υπολογισmicroός της microεταβολής της εντροπίας ενός σωmicroάτος όταν αυτό microετέχει σε microια φυσική διεργασία παρουσιάζει στη γενική περίπτωση microαθηmicroατική δυσκολία η οποία εξαρτάται από το είδος της διεργασίας στην οποία υποβάλλε ται Σε microερικές όmicroως περιπτώσεις ο υπολογισmicroός της είναι εφικτός microε απλοική microαθηmicroατική διαδικασία όπως λογουχάρη στην περίπτωση της ισόθερmicroης και

αντιστρεπτής microεταβολής ή στην περίπτωση της αδιαβατικής και αντιστρεπτής microεταβολής της κατάστασης ιδανικού αερίου α Iσόθερmicroη microεταβολή Aς δεχθούmicroε ότι microια microάζα n mol ιδανικού αερίου υποβάλλεται σε ισόθερmicroή και αντιστρεπτή microεταβολή της θερmicroοδυναmicroικής του κατάστασης υπό θερmicroοκρασία T κατά την οποία ο όγκος του microεταβάλλεται από V1 σε V2 Eπειδή η θερmicroοκρα σία του αερίου παραmicroένει σταθερή microπορεί να βγεί κοινός παράγοντας σε όλους τους όρους του αθροίσmicroατος Σ(dQT) oπότε για τη microεταβόλή ΔSισοθ της εντρο πίας του αερίου θα έχουmicroε τη σχέση

S

$=

1

T dQ( ) =

Q$

T

Όmicroως η θερmicroότητα Qισοθ που ανταλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του είναι ίση microε το αντίστοιχο έργο Wισοθ του αερίου οπότε η προηγούmicroενη σχέση γράφε ται

S$

=W

$

T=

nRT

Tln

V2

V1

$

amp = nRln

V2

V1

$

amp

Παρατηρούmicroε ότι κατά την ισόθερmicroη αντιστρεπτή εκτόνωση του αερίου (V2gtV1) ισχύει ΔSgt0 που σηmicroαίνει ότι η εντροπία του αυξάνεται Aκριβώς τα αντίστρο φα συmicroβαίνουν κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του αερίου (V2ltV1) οπότε ΔSlt0 β Aδιαβατική microεταβολή Όταν το αέριο υφίσταται αδιαβατική και αντιστρεπτή microεταβολή τότε όλα τα στοιχειώδη ποσά θερmicroότητας dQ που ανταλάσσει microε το περιβάλλον του είναι microηδενικά οπότε η microεταβολή της εντροπίας του θα είναι microηδενική δηλαδή θα ισχύει

ΔSαδιαβ = 0 Λόγω της παραπάνω ιδιότητας microια αδιαβατική και αντιστρεπτή microεταβολή της κατάστασης ιδανικού αερίου ονοmicroάζεται και ισεντροπική microεταβολή 8 Eντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου Aς θεωρήσουmicroε ένα σώmicroα που microετέχει microιας φυσικής διαδικασίας η οποία το οδηγεί από microια αρχική σε microια τελική κατάσταση θερmicroοδυναmicroικής ισορροπίας Kατά την διαδικασία αυτή η εντροπία του σώmicroατος microεταβάλλεται ανεξάρτητα από τον τρόπο που εξελίσσεται η διαδικασία αυτή αφού η εντροπία του σώmicroα τος είναι microονότιmicroη συνάρτηση της κατάστασής του Στην περίπτωση που το σώmicroα οδηγείται στην τελική κατάσταση κατά microη αντιστρεπτό τρόπο δεν microπο ρούmicroε για τον υπολογισmicroό της microεταβολής της εντροπίας του να χρησιmicroοποι ήσουmicroε τη σχέση (8) του εδαφίου 6 διότι όπως αναφέρθηκε παραπάνω αυτή έχει νόηmicroα microόνο σε αντιστρεπτές διαδικασίες Mπορούmicroε όmicroως να επιλέξουmicroε microια κατάλληλη αντιστρεπτή πορεία που οδηγεί το σώmicroα στην τελική του κατά

σταση και να υπολογίσουmicroε πάνω σrsquo αυτή την πορεία την microεταβολή της εντρο πίας του σώmicroατος χρησιmicroοποιώντας τη σχέση (8) H microεταβολή αυτή θα αντιπροσωπεύει και τη microεταβολή της εντροπίας του σώmicroατος κατά την αντί στοιχη microη αντιστρεπτή διαδικασία Στα επόmicroενα θα επιχειρήσουmicroε να υπολογί σουmicroε τη microεταβολή της εντροπίας σε microερικές χαρακτηριστικές microη αντιστρε πτές διεργασίες και να αξιολογήσουmicroε τα αποτελέσmicroατα των υπολογισmicroών α Eλεύθερη εκτόνωση ιδανικού αερίου Aς θεωρήσουmicroε ένα ιδανικό αέριο που βρίσκεται σε δοχείο microε αδιαβατικά τοιχώmicroατα Tο δοχείο αυτό χωρίζεται microε τη βοήθεια ενός διαφράγmicroατος σε δύο χώρους που τον ένα καταλαmicroβάνει το αέριο ενώ ο άλλος χώρος είναι κενός Aν αφαιρέσουmicroε το διάφραγmicroα τότε το αέριο εκτονώνεται από τον αρχικό του όγκο V1 στον όγκο V2 του δοχείου χωρίς να ανταλλάσσει θερmicroότητα και έργο microε το περιβάλλον του (Q=0 και W=0) Tο φαινόmicroενο αυτό ονοmicroάζεται ελεύθερη εκτόνωση του αερίου αποτελεί δε microη αντιστρεπτό φαινόmicroενο αφού ποτέ δεν παρατηρήθηκε αυτόmicroατη αδιαβατική συmicroπίεση του αερίου στην αρχική του κατάσταση Eφαρmicroόζοντας στο αέριο τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε για την microεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας την σχέση ΔU=0 που σηmicroαίνει ότι κατά την ελεύθερη εκτόνωση του αέριου η εσωτερική του ενέρ γεια άρα και η θερmicroοκρασία του παρέmicroεινε η ίδια Έτσι η αρχική και η τελική κατάσταση του αέριου βρίσκονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη χωρίς

Σχήmicroα 7 Σχήmicroα 8 όmicroως οι ενδιάmicroεσες καταστάσεις του αερίου να βρίσκονται πάνω στην καmicroπύλη αυτή αφού δεν είναι καταστάσεις ισορροπίας και εποmicroένως δεν απεικονίζονται σε διάγραmicromicroα P-V Γίνεται τώρα φανερό ότι για να υπολογίσουmicroε τη microεταβολή ΔS της εντροπίας του αέριου θα χρησιmicroοποιήσουmicroε την αντίστοιχη ισόθερmicroη αντιστρεπτή εκτόνωση που microπορεί να το οδηγήσει από την αρχική κατάσταση A1 όγκου V1 στην τελική κατάσταση A2 όγκου V2 (σχήmicroα 8) Για τη microεταβολή αυτή έχουmicroε

S = nR ln V2V

1( ) (1) όπου n ο αριθmicroός των mol του αερίου και R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανι κών αερίων Eπειδή V2gtV1 θα ισχύει και ln(V2V1)gt0 οπότε σύmicroφωνα microε την (1) η microεταβολή της εντροπίας του αερίου κατά την ελεύθερη εκτόνωση του είναι θετική δηλαδή η εντροπία του αυξάνεται Eξάλλου η εντροπία του περι βάλλοντος του αερίου δεν παθαίνει καmicroιά microεταβολή στη διάρκεια αυτής της microη αντιστρεπτής διαδικασίας αφού το περιβάλλον δεν συmicromicroετέχει ενεργειακά σ΄

αυτήν Έτσι microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι τουλάχιστον γιrsquo αυτή την microη αντιστρεπτή microεταβολή η εντροπία του αερίου και του περιβάλλοντος αυξάνει Όmicroως το αέριο microαζί microε το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν οπότε η ελεύθερη εκτόνωση ενός αερίου οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του Σύmicroπαν τος Pοή θερmicroότητας δια microέσου χάλκινης ράβδου Tο φαινόmicroενο ροής θερmicroότητας από microια δεξαmicroενή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 προς microια άλλη δεξαmicroενή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 (T1gtT2) δια microέσου χάλκινης ράβδου είναι microη αντιστρεπτό φαινόmicroενο Kατά την εξέλιξη του φαινοmicroένου αυτού η εντροπία της χάλκινης ράβδου δεν microεταβάλλεται αφού η θερmicroοκρασία σε κάθε διατοmicroή της είναι χρονικά σταθερή και όση θερmicroότητα φθάνει στην διατοmicroή αυτή microέσα σrsquo ένα χρονικό διάστηmicroα τόση φεύ γει από τη διατοmicroή στο διάστηmicroα αυτό Έτσι η ολική microεταβολή ΔSολ της εντρο πίας του συστήmicroατος είναι ίση microε το άθροισmicroα της microεταβολής ΔSA της εντρο πίας της δεξαmicroενής A και της microεταβολής ΔSB της εντροπίας της δεξαmicroενής B δηλαδή ισχύει ΔSσυστ=ΔSA+ΔSB (2) Για να υπολογίσουmicroε τις microεταβολές ΔSA και ΔSB πρέπει να βρούmicroε microια αντισ τρεπτή διαδικασία microεταφοράς της θερmicroότητας Q από τη δεξαmicroενή A στη B Tέτοια διαδικασία microπορεί να εξασφαλιστεί αν διαθέτουmicroε microια δεξαmicroενή θερmicroό τητας που τη θερmicroοκρασία της microπορούmicroε να ελέγχουmicroε αυτόmicroατα η οποία

Σχήmicroα 9

να έρχεται διαδοχικά σε επαφή πρώτα microε την A και στη συνέχεια σε επαφή microε την B Mε τον τρόπο αυτό η δεξαmicroενή ελεγχόmicroενης θερmicroοκρασίας θα microεταφέρει κατά αντιστρεπτό τρόπο την θερmicroότητα Q από την A στην B οπότε για τις microεταβολές ΔSA και ΔSB θα έχουmicroε τις σχέσεις

SA = -QT1

SB = QT2

(+ )

SA + SB =Q

T2

-Q

T1

= QT1 - T2

T1T2

$

amp (3)

------------------------------- Προς στιγmicroή αγνοούmicroε όλες τις άλλες φυσικές διαδικασίες που συmicroβαίνουν στο περιβάλλον του αέριου και εντοπίζουmicroε την προσοχή microας στο πως επηρεάζεται το περιβάλλον από την ελεύθερη εκτόνωση του αερίου Mε τη βοήθεια microιας τέτοιας πηγής microπορούmicroε να εξασφαλίσουmicroε κάθε στιγmicroή microικρή διαφορά θερmicroοκρασίας ανάmicroεσα στην πηγή αυτή και στις πηγές A και B οπότε η ροή θερmicroότητας θα γίνεται κατά τρόπο αντιστρεπτό

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουmicroε τη σχέση

S

$= Q

T1 - T2

T1T2

$

amp (4)

Aπό την (4) προκύπτει ΔSσυστgt0 που σηmicroαίνει ότι κατά τη ροή θερmicroότητας από τη δεξαmicroενή A στην B δια microέσου της χάλκινης ράβδου η εντροπία του συστή microατος αυξάνεται Eξάλλου το περιβάλλον του συστήmicroατος των δύο δεξαmicroενών θερmicroότητας και της χάλκινης ράβδου δεν συmicromicroετέχει ενεργειακά σ΄ αυτή τη microη αντιστρεπτή διεργασία οπότε microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι η εντροπία του δεν microεταβάλλεται δηλαδή ισχύει ΔSπερ=0 Όmicroως το σύστηmicroα και το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν οπότε η ροή θερmicroότητας διrsquo αγωγής οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του Σύmicroπαντος Στο ίδιο συmicroπέρασmicroα καταλήγουmicroε εάν εξετάσουmicroε και άλλες φυσικές διαδικασίες που εξελλίσονται κατά microη αντιστρε πτό τρόπο όλες δε οι πειραmicroατικές microας εmicroπειρίες που αναφέρονται σε microη αντι στρεπτά φαινόmicroενα είναι συmicroβιβαστές microε την ακόλουθη πρόταση Kάθε microη αντιστρεπτή διαδικασία που συmicroβαίνει στο Σύmicroπαν οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του H πρόταση αυτή αποτελεί την εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroο δυναmicroικού νόmicroου και microολονότι δεν υπάρχει αυστηρή microαθηmicroατική απόδειξη αυτής πρέπει να τονίσουmicroε ότι η πρόταση είναι συνεπής προς όλα τα φυσικά φαινόmicroενα που εξελίσσονται στο Σύmicroπαν κατά microη αντιστρεπτό τρόπο Όπως θα δειχθεί στο επόmicroενο εδάφιο η εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυνα microικού νόmicroου είναι ισοδύναmicroη microε τη διατύπωση Kelvin-Plank που σηmicroαίνει ότι η αποδοχή ή παραβίαση της microιας συνεπάγεται την αποδοχή ή παραβίαση της άλλης Παρατήρήση Kάθε φυσική διαδικασία που συmicroβαίνει microέσα σrsquo ένα αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα δηλαδή σrsquo ένα σύστηmicroα που δεν ανταλλάσσει ύλη και ενέργεια microε το περιβάλ λον του θεωρείται αυθόρmicroητο φυσικό φαινόmicroενο αφού για την πραγmicroατο ποίησή του δεν χρειάζεται εξωτερική επίδραση Όmicroως microε την έννοια αυτή τα αυθόρmicroητα φαινόmicroενα είναι και microη αντιστρεπτά οπότε σύmicroφωνα microε την εντρο πική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου συνοδεύονται από αύξηση της εντροπίας του αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος Mπορούmicroε λοιπόν να διατυπώσουmicroε την παρακάτω πρόταση που είναι γνωστή ως αρχή αύξησης της εντροπίας ενός αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος Kάθε αυθόρmicroητη διαδικασία που συmicroβαίνει σrsquo ένα αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του 9 Iσοδυναmicroία της εντροπικής διατύπωσης προς την διατύπώση Kelvin-Plank Θα δείξουmicroε ότι η άρνηση της εντροπικής διατύπωσης του δεύτερου θερmicroοδυ ναmicroικού νόmicroου συνεπάγεται άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank Προς τούτο θεωρούmicroε microία θερmicroική microηχανή Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ των πηγών θερmicroότητας A και B αντιστοίχων θερmicroοκρασίων T1 και T2 microε T2ltT1 και

υποθέτουmicroε ότι σε κάθε κύκλο λειτουργίας της το θερmicroαντικό της σώmicroα (ιδανικό αέριο) απορροφά από την πηγή A θερmicroότητα Q1 και δίνει στην πηγή B θερmicroότητα Q2 Eπί πλέον υποθέτουmicroε ότι κατά τη λειτουργία της θερmicroικής αυτής microηχανής παραβιάζεται η εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυνα microικού νόmicroου δηλαδή ότι η εντροπία του Σύmicroπαντος microειώνεται Tότε θα ισχύει ΔSΣυmicroπlt0 ΔSmicroηχ+ΔSπερlt0 (1) Όmicroως η microεταβολή ΔSπερ της εντροπίας του περιβάλλοντος της θερmicroικής microηχα νής του Carnot είναι microηδενική διότι αυτό παίρνει microόνο έργο από τη microηχανή ενώ η microεταβολή ΔSmicroηχ της εντροπίας της microηχανής θα είναι

ΔSmicroηχ=ΔSαερ+ΔSA+ΔSB

Smicro = 0 +-Q1

T1

+Q2

T2

(2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

-Q1

T1

+Q2

T2

lt 0

Q1

T1

gtQ2

T2

(3)

Όmicroως η σχέση (3) σηmicroαίνει ότι η θερmicroική microηχανή του Carnot δεν λειτουργεί σύmicroφωνα microε τη διατύπωση των kelvin-Plank διότι τότε θα έπρεπε να ισχύει η σχέση

Q1 T1 = Q2 T2 Δηλαδή η παραβίαση της εντροπικής διατύπωσης του

δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου συνεπάγεται και την παραβίαση της διατύπω σης Kelvin-Plank 10 Aρχή υποβάθmicroισης της ενέργειας Aς θεωρήσουmicroε ένα σύστηmicroα από δύο σώmicroατα A και B που βρίσκονται σε αντί στοιχες θερmicroοκρασίες T1 και T2 microε T1gtT2 το οποίο είναι αποmicroονωmicroένο microε το περιβάλλον του Eάν τα δύο σώmicroατα έλθουν σε επαφή τότε είναι γνωστό ότι θα microεταβιβαστεί θερmicroότητα από το σώmicroα υψηλής θερmicroοκρασίας T1 προς το σώmicroα χαmicroηλώτερης θερmicroοκρασίας T2 microέχρις ότου τα δύο σώmicroατα αποκτήσουν κοινή θερmicroοκρασία Tκ για την οποία ισχύει T2ltTκltT1 Kατά την microη αντιστρεπτή αυτή διαδικασία το σύστηmicroα δεν ανταλλάσσει έργο και θερmicroότητα microε το περιβάλλον του αφού αποτελεί αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα microε αποτέλεσmicroα η εσωτερική του ενέργεια να παραmicroένει σταθερή (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) ενώ σύmicroφωνα microε την εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου η εντροπία του συστήmicroατος αυξάνεται Eξάλλου το σύστηmicroα στην αρχική του κατάσταση εmicroφανίζει microιά ορισmicroένη ικανότητα παραγωγής οργανωmicroένης ενέργειας αφού microπορεί νrsquo αποδώσει microηχανικό έργο microε τη microεσολάβηση microιας θερmicroικής microηχανής ανάmicroεσα στα δύο σώmicroατα Aντίθετα στην τελική του κατάσταση το σύστηmicroα έχει χάσει την ικανότητά του να δώσει οργανωmicroένη ενέργεια αφού τώρα είναι αδύνατη η λειτουργία microιάς θερmicroικής microηχανής microεταξύ των δύο σωmicroάτων καθό σον τα δύο σώmicroατα βρίσκονται στην ίδια θερmicroοκρασία Aπό την σύγκριση των δύο καταστάσεων βγαίνει το συmicroπέρασmicroα ότι microολονότι η εσωτερική ενέργεια του συστήmicroατος δεν άλλαξε η ικανότητα του για παραγωγή οργανωmicroένης ενέργειας δηλαδή ενέργειας που microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί ωφέλιmicroα έχει microηδε νιστεί ενώ ταυτόχρονα η εντροπία του συστήmicroατος παρουσιάζεται αυξηmicroένη Δηλαδή η αυξηmicroένη εντροπία του συστήmicroατος έχει υποβαθmicroίσει την ποιότητα

της εσωτερικής του ενέργειας microε την έννοια ότι αυτό δεν είναι τώρα σε θέση να δώσει ωφέλιmicroη ενέργεια Γενικώτερα αν αναφερθούmicroε στα microη αντιστρεπτά φυσικά φαινόmicroενα που συmicroβαίνουν στο Σύmicroπαν microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι συνοδεύονται microε ενεργειακή υποβάθmicroισή του δηλαδή microε απώλεια της δυνατότητάς του για παραγωγή ενέργειας ανώτερης ποιότητας microολονότι η εσωτερική του ενέργεια παραmicroένει αναλλοίωτη Aυτό σηmicroαίνει ότι microε την πάροδο του χρόνου το Σύmicroπαν τείνει σε microιά κατάσταση microέγιστης εντροπίας που του περιορίζει την ποιότητα του ενεργειακού του περιεχόmicroενου και το οδη γεί στον λεγόmicroενο θερmicroικό ή εντροπικό θάνατο Ένα άλλο χαρακτηριστικό παράδειγmicroα που microας δείχνει ότι η αύξηση της εντροπίας ενός αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος ελαττώνει την ικανότητα του για παραγωγή οργανωmicroένης ενέρ γειας είναι το εξής Aφήνουmicroε ένα σώmicroα να πέσει από ύψος h στο πάτωmicroα του δωmicroατίου microας Tο σώmicroα ξεκινάει την διαδροmicroή του microε microιά οργανωmicroένη δυνα microική ενέργεια mgh η οποία microετά την κρούση του microε το πάτωmicroα microετασχη microατίζεται σε ανοργάνωτη θερmicroική ενέργεια που κατανέmicroεται στο σώmicroα στο πάτωmicroα στον αέρα και στους τοίχους του δωmicroατίου microε αποτέλεσmicroα νrsquo αυξηθεί λίγο η θερmicroοκρασία τους Kατά την microη αντιστρεπτή αυτή διαδικασία η ολική ενέργεια του συστήmicroατος διατηρήθηκε σταθερή αυξήθηκε όmicroως η εντροπία του H αυξηmicroένη εντροπία του συστήmicroατος κάνει αδύνατη την αντίστροφη εξέλιξη του φαινοmicroένου δηλαδή την microετατροπή της προηγούmicroενης θερmicroικής ενέργειας σε δυναmicroική ενέργεια microε αυθόρmicroητη ανύψωση του σώmicroατος στην αρχική του θέση και ταυτόχρονη ψύξη όλων των σωmicroάτων που πήραν microέρος στο φαινόmicroενο Έτσι το σύστηmicroά παρουσιάζεται στην τελική του κατάσταση microε υποβαθmicroισmicroένο ενεργειακό περιεχόmicroενο δηλαδή έχει microειωθεί η ποιότητα της ενέργειάς του αφού αυτό έχασε την ικανότητά του να δίνει ωφέλιmicroο έργο Παρατήρηση H θερmicroότητα ως microορφή ενέργειας είναι ποσοτικά ισοδύναmicroη microε τις άλλες microορφές ενέργειας (microηχανική ηλεκτρική χηmicroική κλπ) αλλά ποιοτικά είναι υποβαθmicroισmicroένη ως προς αυτές Aυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η θερmicroότητα δεν microπορεί να microετασχηmicroατιστεί ολοκληρωτικά σε ενέργεια άλλης microορφής ενώ αντίθετα οι άλλες microορφές ενέργειας microε απλές διαδικασίες microετασχηmicroατίζονται ολοκληρωτικά σε θερmicroότητα lsquoΕτσι η θερmicroότητα θεωρείται ως ενέργεια κατώτε ρης ποιότητας ή ως microη οργανωmicroένη ενέργεια ως προς τις άλλες microορφές ενέρ γειας οι οποίες θεωρούνται ως ενέργειες ανώτερης ποιότητας

PM fysikos

Iδανικό αέριο εκτελεί διαδοχικά τις παρακάτω θερmicroικές διαδικασίες α) Mιά αντιστρεπτή ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται

β) Mιά αντιστρεπτή ισόχωρη microεταβολή κατά την οποία η πίεση του αερίου γίνεται η microισή της αρχικής του πιέσεως i) Nα σχεδιαστούν τα διαγράmicromicroατα P-V P-T και V-T των δύο αυτών συνεχόmicroενων microεταβολών ii) Nα βρεθεί η συνολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του Δίνονται τα καταστατικά microεγέθη V0 P0 και T0 της αρ χικής κατάστασης του αερίου ΛYΣH i) Kατά την αντιστρεπτή ισοβαρή εκτόνωση ArarrB του ιδανικού αερί ου από τον όγκο V0 στον όγκο 2V0 η απόλυτη θερmicroοκρασία του αυξάνει από την τιmicroή T0 στην τιmicroή 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) Στην αντιστρεπτή ισόχωρη microεταβολή BrarrΓ που ακολουθεί ο όγκος του αέριου microένει σταθερός και ίσος microε 2V0 ενω η πίεσή του ελαττώνεται από την τιmicroή Pο στην τιmicroή P02 microε απο τέλεσmicroα να ελαττώνεται και η θερmicroοκρασία του αέριου από την τιmicroή 2T0 στην

Σχήmicroα 10 Σχήmicroα 11 Σχήmicroα 12

τιmicroή T0 (νόmicroος Charles) Όλα τα παραπάνω εκφράζονται συmicroβολικά ως εξής

A(P0 V0 T0) rarr B(P0 2V0 2T0) rarr Γ(P02 2V0 T0) Tα σχήmicroατα (10) (11) (12) αποτελούν τα ζητούmicroενα διαγράmicromicroατα της microεταβο λής ArarrBrarrΓ του ιδανικού αερίου ii) Aφού κατά την αντιστρεπτή διαδικασία ArarrBrarrΓ η θερmicroοκρασία του αερίου τελικά δεν microεταβάλλεται η ολική microεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας είναι microηδέν διότι η εσωτερική ενέργεια microιας ορισmicroένης microάζας ιδανικού αερίου είναι συνάρτηση microόνο της θερmicroοκρασίας του Δηλαδή ισχύει

ΔUολ = 0 (1) Eφαρmicroόζοντας για το ιδανικό αέριο τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο κατά τη microεταβολή ArarrBrarrΓ παίρνουmicroε τη σχέση

Q= U

+ W

(1)

Q= 0 + W

= W

Q= WAB + WB

= P0(2V0 - V0 ) + 0 Q= P0V0

Mια θερmicroική microηχανή Carnot λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1=500 0K και T2=200 0K H microηχανή απορροφά από τη θερmicroή δεξαmicroενή θερmicroότητα microε ρυθmicroό q1=2105 Js i) Nα βρεθεί η ωφέλιmicroη ισχύς της microηχανής ii) Nα βρεθεί ο ρυθmicroός microε τον οποίο πρέπει να microεταφέρεται θερmicroότη τα στην ψυχρή πηγή microιας θερmicroικής microηχανής που λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδο σης ίσο microε 80 του συντελεστή απόδοσης της microηχανής Carnot και την ίδια ωφέλιmicroη ισχύ microε αυτή ΛYΣH i) Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot στο ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής τότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αC της microηχανής θα ικανοποιεί τη σχέση

C =W

Q1

W = CQ1

W

t=CQ1

t (1)

Όmicroως το πηλίκο Wt αποτελεί την ωφέλιmicroη ισχύ N της microηχανής ενώ το πηλίκο Q1t αποτελεί το ρυθmicroό q1 microεταφοράς θερmicroότητας από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το αέριο που χρησιmicroοποιεί οπότε η σχέση (1) γράφεται N = Cq1 = (1 - T2T1 )q1

N=(1-200500)2 105 Js=12 105 Js ii) Aς θεωρήσουmicroε τη θερmicroική microηχανή που εργάζεται microεταξύ των θερmicroοκρα σιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης α=08αC και ωφέλιmicroη ισχύ N Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το ενεργό υλικό που χρησιmicroοποιεί και Q2 η αντίστοιχη θερmicroότητα που microεταφέρεται από το υλικό αυτό προς την ψυχρή δεξαmicroενή της θα έχουmicroε τις σχέσεις

Q1 = W+Q2

08C = WQ1

W

08C

= W+Q2

W1

08C

- 1

$

amp =Q2

W

t

1

08C

- 1

$

amp =

Q2

t

microε C

= 1- T2T

1= 35 Όmicroως το πηλίκο Q2t αποτελεί το ρυθmicroό q2 microεταφοράς

θερmicroότητας στην ψυχρή πηγή της θερmicroικής microηχανής ενώ το πηλίκο Wt αποτελεί την ισχύ N της microηχανής οπότε η (2) γράφεται q2 = N(54C - 1) = 12 10

5(25 12 - 1) Js = 13 10

5Js

Mια θερmicroική microηχανή αποτελείται από δύο θερmicroι κές microηχανές Carnot και η ψυχρή πηγή της microιας αποτελεί θερmicroή πηγή της άλλης Eάν α1 α2 είναι οι θερmicroοδυναmicroικοί συντελεστές από δοσης των δύο microηχανών T1 η απόλυτη θερmicroοκρασία της θερmicroής πηγής της πρώτης και T3 η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της δεύτερης να δείξετε τις σχέσεις αολ = α1 + α2 - α1α2 και αολ = 1 - T3 T1 όπου αολ ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της σύνθετης microηχανής Carnot ΛYΣH Έστω ότι σε χρόνο t microεταφέρεται θερmicroότητα Q1 από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot M1 προς το ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W1 είναι το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής αυτής O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α1 της microηχανής θα είναι 1 = W1Q1 W1 = 1Q1 (1)

Σχήmicroα 13 Eξάλλου εάν Q2 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t στην ψυχρή πηγή της microηχανής M1 αυτή θα αποτελεί και την αντίστοιχη θερmicroότητα που λαmicroβάνει το αέριο της δεύτερης microηχανής Carnot M2 οπότε το ωφέλιmicroο έργο W2 της microηχανής αυτής σε χρόνο t θα υπολογίζεται microέσω της σχέσεως W2 = 2Q2 (2) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αολ του συστήmicroατος των δύο microηχα νών θα είναι

=

W1 + W2

Q1

(2)

(1)

=1Q1 + 2Q2

Q1

= 1 +2Q2

Q1

(3)

Όmicroως εάν T2 είναι η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της M1 ή της

θερmicroής πηγής της M2 θα ισχύει η σχέση

Q1

T1

=Q2

T2

Q2

Q1

=T2

T1

= 1 -1 (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) έχουmicroε

= 1 +2(1 - 1 ) = 1 +2 -12 (5) Eπειδή α1=1-T2T1 και α2=1-T3T2 η σχέση (5) γράφεται

= 1 -T

2

T1

+1 -T

3

T2

- 1 -T

2

T1

$

amp amp 1 -T

3

T2

$

amp amp

= 2 -

T2

T1

-T

3

T2

- 1+T

2

T1

-T

2

T1

T

3

T2

= 1 -T

3

T1

Mιά microάζα n mol microονοατοmicroικού ιδανικού αέριου (CV=3R2) όγκου V0 και πιέσεως P0 υποβάλλεται σε αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή που αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβο λές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB κατά την οποία η πίεση του αε ρίου διπλασιάζεται ii) από microια ισόθερmicroη εκτόνωση BrarrΓ κατά την οποία ο όγκος του αερίου διπλασιάζεται και iii) από microια ισοβαρή συmicroπίεση ΓrarrA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να βρείτε τη θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 14) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) Aπό το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη θέρmicroανση του αέριου υπό σταθερό όγκο V0 κατά την οποία η πίεση του αέριου από P0 γίνεται 2P0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Charles)

ii) Aπό το καmicroπύλογραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη εκτόνωση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία ο όγκος του αέριου από V0 γίνεται 2V0 οπότε η πίεσή του από 2P0 γίνεται P0 (νόmicroος Boyle) και iii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή συmicroπίεση του αέριου microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A(P0V0T0) Eξάλλου σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο η θερmicroότητα Q που το αέριο ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του κατά τον κύκλο ABΓA η microεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας και το έργο W που παράγει το αέριο συνδέονται microε τη σχέση

Q = ΔU + W Q = 0 + W Q = W (1)

Σχηmicroα 14 Όmicroως το έργο W είναι ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των επί microέρους έργων WAB WBΓ και WΓA που αντιστοιχούν στις microεταβολές ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA Έτσι θα έχουmicroε τη σχέση

W= WAB

+ WB

+WA

W = 0 +2nRT0ln (2V0 V0) + P0 (V0 - 2V0)

W=2nRT0ln2 -P

0V

0= 2P

0V

0ln2 -P

0V

0 (1)

Q=P0V0(2ln2 - 1) (2) β) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α microιας θερmicroικής microηχανής η οποία θα λειτουργούσε microε βάση τον κύκλο ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του προς την θερmicroότητα Qπρ που προσφέ ρεται σrsquo αυτό σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microηχανής δηλαδή ισχύει

=

W

Q

(1)

=Q

Q

(2)

=P0V0 (2ln2 - 1)

Q

(3)

Όmicroως για τη θερmicroότητα Qπρ ισχύει η σχέση

Q = QAB + QB = nCV(2T0 - T0 ) +2nRT0ln(2V0V0)

Q= nCVT0 +2nRT0ln2 = nT0 (CV +2Rln2) (4)

όπου CV η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερό όγκο Όmicroως το αέριο που εξετάζουmicroε ισχύει CV =3R2 και η (4) γράφεται

Q= nT0(3R2 +2Rln2) = nRT0(32 +2ln2)

Q= P0V0 (32 + 2ln2) (5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (5) παίρνουmicroε τη σχέση

=

P0V0 (2ln2 - 1)

P0V0(32 + 2ln2)=

2ln2 - 1

32 +2ln2

=

2(2ln2 - 1)

3 + 4ln2

Mιά ορισmicroένη microάζα microονοατοmicroικού ιδανικού αερί ου (CV=3R2) όγκου V0 πιέσεως P0 και απόλυτης θερmicroοκρασίας T0 υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται i) από microια ισοβαρή εκτόνωση ArarrB κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται ii) από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να υπολογίσετε το έργο που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το συντελεστή απόδοσης της κυκλικής αυτής microεταβολής ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 15) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή εκτόνωση του αέριου υπό πίεση P0 κατά την οποία ο όγκος του από V0 γίνεται 2V0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) ii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη ψύξη του αερίου υπό σταθερό όγκο 2V0 κατά την οποία το αέριο ψύχεται από τη θερmicroοκρασία 2T0 στη θερmicroοκρασία T0 οπότε η πίεσή του από P0 γίνεται P02 (νόmicroος Charles) και iii) από το καmicroπυλόγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη συmicroπί εση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία ο όγκος του ελατ τώνεται από 2V0 σε V0 ενώ η πίεση του αυξάνει από P02 σε P0 (νόmicroος Boyle) Eξάλλου το έργο W που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του θα είναι

ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των έργων WAB WBΓ και WΓA που ανταλλάσσει το αέριο κατά τη διάρκεια των επί microέρους microεταβολών ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA δηλαδή θα ισχύει

Σχήmicroα 15

W = WAB + WB+W

A = P0(2V0 -V0) + 0 +nRT0ln(V0 2V0)

W = P0V0 +nRT0ln(12) W= P0V

0- nRT

0ln2 (1)

όπου n ο αριθmicroός των mol του αέριου και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Όmicroως σύmicroφωνα microε την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων ισχύει P0V0=nRT0 οπότε η (1) γράφεται

W= P0V

0-P

0V

0ln2

W = P

0V

01 - ln2( ) (2)

β) O συντελεστής απόδοσης α του κύκλου ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W προς την θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου δηλαδή ισχύει

=

W

QAB

(1)

=P0V0 (1 - ln2)

nCP(2T0 - T0 )

=nRT0 (1 - ln2)

nCpT0

(3)

όπου CP η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερή πίεση Eπειδή γιατο αέριο έχουmicroε CP=5R2 η σχέση (3) γράφεται

=

nRT0 (1 - ln2)

5nRT02 =

2(1- ln2)

5 (4)

Ένα ιδανικό αέριο υποβάλλεται σε κυκλική αντισ τρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από microια ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB θερmicroοκρασίας T1 από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ όγκου V1 από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ θερmicroοκρασίας T2 και από microια ισόχωρη θέρmicroανση ΔrarrA όγκου V2=V12 Eάν ο λόγος CPCV του αερίου είναι γ

να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του το αέριο απορροφά από το εξωτερικό του περιβάλλον τα ποσά θερmicroότητας QΔA και QAB που ανιστοι χούν στην ισόχωρη θέρmicroανσή του ΔrarrA και στην ισόθερmicroη συmicroπίεσή του ArarrB Άρα ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβο λής είναι

=

W

Q$A + QAB

(1)

Σχήmicroα 16 όπου Wολ το ολικό έργο που παρέχει το αέριο στο περιβάλλον του Όmicroως για το έργο αυτό ισχύει

W= W

A+ W

AB+ W

B$+ W

$= 0 + W

AB+ 0 + W

$

W

= W

AB+W

$= nRT

1ln

V1

V12

$

amp amp + nRT2ln

V12

V1

$

amp amp

W= nRT

1ln2 - nRT

2ln2 W

= nR(T1 - T2 )ln2 (2) Εξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και QΔA ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1lnV1

V1 2

$

amp amp = nRT1ln2

και

QA = nCV (T1 - T2 ) =

nR(T1 - T2)

- 1 οπότε η (1) δίνει

=

nR(T1 - T2)ln2

nR(T1 - T2)( - 1) + nRT1ln2

=( - 1)(T1 - T2 )ln2

T1 - T2 + ( - 1)T1ln2

i) Nα δείξετε ότι η άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank για το δεύτερο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο συνεπάγεται και άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Nα δείξετε ότι microια κυκλική microεταβολή ορισmicroένης microάζας ιδανικού αέριου που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση από microια αδια βατική εκτόνωση και από microια αδιαβατική συmicroπίεση βρίσκεται σε αντίφαση microε το δεύτερo θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο δηλαδή microια τέτοια κυκ λική microεταβολή είναι αδύνατη ΛYΣH i) Έστω ότι υπάρχει θερmicroική microηχανή που σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microετατρέπει ολοκληρωτικά την θερmicroότητα Q1 που παίρνει από την πηγή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 σε microηχανικό έργο W χωρίς να δίνει θερmicroότητα στην πηγή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 Θεωρούmicroε τώρα microια κατάλ

Σχήmicroα 17 Σχήmicroα 18 ληλη ψυκτική microηχανή η οποία όταν λειτουργεί ανάmicroεσα στις ίδιες πηγές θερ microότητας microεταφέρει θερmicroότητα Q1 στην πηγή A καταναλώνοντας το έργο W που παράγει η θερmicroική microηχανή Tότε η ψυκτική αυτή microηχανή θα παίρνει από την πηγή B microια ορισmicroένη θερmicroότητα Q2 και εποmicroένως το σύστηmicroα των δύο microηχανών θα ισοδυναmicroεί microε microια ψυκτική microηχανή η οποία θα απάγει θερmicroότητα Q2 από την ψυχρή πηγή B χωρίς κατανάλωση έργου πράγmicroα που αποτελεί άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Έστω ότι microια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί την κυκλική microεταβο λή ABΓA που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB microια αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ και microια αδιαβατική συmicroπίεση ΓrarrA (σχήmicroα 18) Eφαρmicroόζοντας για τη microεταβολή αυτή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση QAB + QBΓ + QΓA = ΔUολ + Wολ QAB + 0 + 0 = 0 + Wολ QAB = Wολ (1)

H σχέση (1) δηλώνει ότι κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής ABΓA η θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο microετατρέπεται ολοκληρωτικά σε έργο γεγονός που έρχεται σε αντίθεση microε τη διατύπωση των Kelvin-Plank Παρατήρηση H microη πραγmicroατοποίση της κυκλικής microεταβολής ABΓA ισοδυναmicroεί microε το ότι οι αδιαβατικές καmicroπύλες BΓ και ΓA δεν είναι δυνατό να τέmicroνονται

Mιά ορισmicroένη microάζα ιδανικού αερίου εκτελεί κύκλο Carnot ABΓΔA Eάν V1 V2 V3 V4 είναι οι όγκοι του αέριου που αντιστοιχούν στις κατατάσεις A B Γ και Δ και T1 T2 είναι οι απόλυτες θερmicroοκρασίες της ισόθερmicroης εκτόνωσης και της ισόθερmicroης συmicroπίεσης του αέριου αντιστοίχως (T1gtT2) να δείξετε τις σχέσεις

V1V3 = V2V4 και W = nR(T1 - T2)ln(V2V1) όπου n τα mol του αερίου R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανικών αερίων και W το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του ΛYΣH Για την ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ισχύει P1

V1= P

2V

2 (1)

Για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Poisson ισχύει

P2V

2

= P3V

3

(2)

Σχήmicroα 19

Για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle έχουmicroε

P3V

3= P

4V

4 (3)

Tέλος για την αδιαβατική συmicroπίεση ΔrarrA σύmicroφωνα microε τον νόmicroο του Poisson έχουmicroε

P4V

4

= P1V

1

(4) όπου γ ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αερίου Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (4) κατά microέλη παίρνου microε τη σχέση

P1V

1P

2V

2

P3V

3P

4V

4

= P2V

2P

3V

3

P4V

4P

1V

1

2

-1

V 4

-1

V =3

-1

V 1

-1

V V3

V1= V

2V

4 (5)

Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκ λικής microεταβολής ABΓΔA είναι σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσει microε το περιβάλλον του Δηλαδή ισχύει η σχέση

W= Q

= QAB + QB

+ Q$

+ Q$A = QAB + Q

$ (6)

διότι για τις αδιαβατικές microεταβολές BrarrΓ και ΔrarrA έχουmicroε QBΓ =QΔA =0 Eξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και Q

ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1ln(V2 V1 )

Q

= nRT2ln(V4 V3 )

$

(+ )

QAB + Q

= nR T1lnV2

V1

$

amp amp + T2lnV4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(6)

W

= nR T

1ln

V2

V1

$

amp amp + T2ln

V4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(7)

Όmicroως από τη σχέση (5) έχουmicroε

V2

V1

=V

3

V4

lnV

2

V1

$

amp amp = lnV

3

V4

$

amp amp

lnV

2

V1

$

amp amp = - lnV

4

V3

$

amp amp

οπότε η (7) γράφεται

W

= nR(T1 - T2)ln

V2

V1

$

amp amp (8)

Mια θερmicroική microηχανή αναγκάζει ιδανικό αέριο σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση κατά την οποία η πίεση του αερίου τριπλασιάζεται

ii) από microια ισοβαρή εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται iii) από microια ισόχωρη ψύξη microέχρις ότου η πίεση του αερίου ανακτή σει την αρχική της τιmicroή και iv) απο microια ισοβαρή συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Eάν P0 V0 είναι η πίεση και ο όγκος αντιστοίχως του αερίου στην αρχική του κατάσταση και γ ο λόγος CPCV των γραmicromicroοmicroοριακών του ειδικών θερmicroοτήτων να βρείτε την προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroό τητα κατά την εξέλιξη του κύκλου γ) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής και να τον συγκρίνετε microε το συντελεστή απόδοσης της microηχα νής Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ της microέγιστης και της ελά χιστης θερmicroοκρασίας του αερίου της microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόχωρη θέρmicroανση AB του αερίου η πίεσή του τριπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Charles θα τριπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του αερίου δηλαδή από T0 θα γίνει 3T0 Κατά την ισοβα ρή εκτόνωση BΓ ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται οπότε και η απόλυτη θερmicroοκρασία του θα τριπλασιάζεται (νόmicroοςGay-Lussac) δηλαδή από 3T0 θα γίνει 9T0 Kατά την ισόχωρη ψύξη ΓΔ του αερίου η πίεση του απο την τιmicroή 3P0 λαmicroβάνει την τιmicroή P0 δηλαδή υποτριπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο του

Σχήmicroα 20 Charles πρέπει να υποτριπλασιασθεί και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή από 9T0 πρέπει να γίνει 3T0 Aυτό σηmicroαίνει ότι οι καταστάσεις B και Δ βρίσ κονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη θερmicroοκρασίας 3T0 Mε βάση τις παρα πάνω διαπιστώσεις το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου έχει τη microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (20) β) Kατά την εξέλιξη του κύκλου στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα στο στάδιο της ισόχωρης θέρmicroανσης AB και της ισοβαρούς εκτόνωσης BΓ δηλαδή ισχύει

Q = QAB + QB = nCV 3T0 - T0( ) + nCP 9T0 - 3T0( )

Q

= 2nCVT0 + 6nCPT0 = 2n CV + 3CP( )T0 (1)

Όmicroως οι γραmicromicroοmicroοριακές ειδικές θερmicroότητες CV και CP του αερίου ικανοποιούν τις σχέσεις

CP

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= R - 1

CP

= R - 1

$ (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε

Q

=

2nRT0

- 1(1+ 3) = 2P0V0

1+3

- 1

$

amp (3)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (4)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε το εmicroβαδόν του σκιασmicroένου ορθογωνίου ABΓΔ δηλαδή ισχύει W = micro$(ABamp) = (3P0 -P0)(3V0 -V0) = 4P0V0 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3)(4) και (5) έχουmicroε

=4P0V0

2P0V0

- 1

1+3

$

amp =

2( - 1)

1+ 3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται στην κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓΔA της οποίας το διάγραmicromicroα P-T φαίνεται στο σχήmicroα (21) i) Eάν οι θερmicroοδυναmicroικές microεταβλητές της κατάστασης A είναι P0 V0 και T0 να βρείτε τη θερmicroότητα που απορροφά το αέριο στη διάρκεια του κύκλου αφού προηγουmicroένως σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V του κύκλου ii) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση υπό θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου διπλασιάζεται οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ο όγκος του αερίου θα υποδιπλασιάζεται δηλαδή από V0 θα γίνει V02 H microεταβολή BΓ είναι ισοβαρής θέρmicroανση υπο πίεση 2P0 κατά την οποία η απόλυ

τη θερmicroοκρασία του αερίου διπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο Gay-Lussac θα διπλασιάζεται και ο όγκος του αερίου δηλαδή από V02 θα γίνει V0 H microετα βολή ΓΔ είναι ισόθερmicroη εκτόνωση υπό θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου υποδιπλασιάζεται οπότε ο όγκος του θα διπλασιάζεται (νόmicroος

Σχήmicroα 21 Σχήmicroα 22 Boyle) δηλαδή από V0 θα γίνει 2V0 Mε βάση τα παραπάνω οδηγούmicroαστε στο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου το οποίο έχει την microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (22) Στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του BΓ και της ισόθερmicroης εκτόνωσής του ΓΔ δηλαδή ισχύει η σχέση Q = QB +Q$ = nCP(2T0 - T0) + nR2T0ln(2V0V0 )

Q

= 5nRT02 + 2nRT0 ln2 Q

= P0V0 (52 + 2ln2) (1)

ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (2)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της υπο λογίζεται από τη σχέση

W = W

AB+ W

B + W$ + W$A

W

= nRT0ln

V0

2V0

$

amp +2P

0V

0-V

0

2

$

amp +

+

nR2T0ln2V0

V0

$

amp amp +P0(V0 - 2V0 )

W

= -nRT0ln2+P

0V

0+2nRT

0ln2 -P

0V

0=nRT

0ln2=P

0V

0ln2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) έχουmicroε

=P0V0ln2

P0V0(52 +2ln2)=

ln2

52 + 2ln2

Tο αέριο microιας θερmicroικής microηχανής είναι ιδανικό και υποβάλλεται σε αντιστρεπτό κύκλο ο οποίος αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή εκτόνωση AB microέχρις τετραπλασιασmicroού του όγ κου του αερίου ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση BΓ microέχρις ότου η πίεση του αερίου γίνει ίση microε το 132 της αρχικής της τιmicroής PA και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A όγκου VA α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Nα βρείτε το λόγο γ=CPCV του αερίου και να δείξετε ότι η θερ microότητα που απορροφά κατά την εξέλιξη του κύκλου είναι ίση microε 15PAVA2 γ) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Gay-Lussac θα τετραπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή απο TA θα γίνει 4TA Σύmicroφωνα microε το πρόβληmicroα κατά την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου η πίεση του microειώνε ται από την τιmicroή PA στην τιmicroή PA32 ο δε όγκος του αυξάνεται από την τιmicroή

Σχήmicroα 23 4VA στην τιmicroή VΓ Όmicroως microέσω της ισόθερmicroης συmicroπίεσης ΓA το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle θα έχουmicroε τη σχέση

PV

= P

AV

A V

= 32VA

Mε βάση τα παραπάνω το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (23) β) Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου το νόmicroο του Poisson παίρνουmicroε τη σχέση PB

VB

= PV

PA(4VA)

= (PA32)(32VA )

4

= 32-1 2

2= 2

5( -1) 2 = 5( - 1) = 53 που σηmicroαίνει ότι το αέριο είναι microονοατοmicroικό Eξάλλου η θερmicroότητα που απορροφά το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου ABΓA είναι ίση microε την θερmicroό τητα QAB που απορροφά κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του AB δηλαδή ισχύει Q

= QAB = nCP(4TA - TA) = 5nR(3TA 2)

Q

= 15nRTA2 = 15PAVA2 (1)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓ είναι

= W

Q$

(2) Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου του (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) οπότε θα έχουmicroε

W= Q$ = QAB + QB+ QA = nCP(4TA -TA ) + 0 + nRTAln(VA32VA )

W

= 5nR(3TA 2) - nRTAln(25)

W

= PAVA (152 - 5ln2) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) παίρνουmicroε

=PAVA(152 - 5ln2)

15PAVA2=

15 - 10ln2

15= 1 -

2ln2

3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) την ισόθερmicroη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του αερίου οκταπλασιάζεται ii) την ισόχωρη ψύξη BΓ και iii) την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0=3105 Ntm2 όγκου

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 3: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

Q1 + Q2 = U + W Q2 = W -Q1

Q2 = - W + Q1

W = Q1 - Q2 (1)

Σχήmicroα 2 διότι ΔU=0 Wlt0 και Q1lt0 Tο πηλίκο Q2⎜W⎜ ορίζεται ως συντελεστής από δοσης της ψυκτικής microηχανής καί συmicroβολίζεται microε α δηλαδή ισχύει

=Q2

W

(1)

=Q2

Q1 - Q2

Eπειδή γιά όλες τις ψυκτικές microηχανές ισχύει ⎜W⎜gt0 θα είναι λόγω της (1) καί ⎜Q1⎜gtQ2 oπότε ο συντελεστής απόδοσης microιάς ψυκτικής microηχανής δεν microπορεί να απειριστεί O Clausius γενικεύοντας το συmicroπέρασmicroα αυτό διατύπωσε την ακό λουθη πρόταση η οποία αποτελεί microια άλλη microορφή του δευτερoυ θερmicroοδυναmicroι κού νόmicroου Δεν είναι δυνατή microια κυκλική φυσική διεργασία ενός θερmicroοδυναmicroικού συστήmicroα τος microε microοναδικό αποτέλεσmicroα τη microεταφορά θερmicroότητας από ψυχρό σε θερmicroό σώmicroα 4 Iσοδυναmicroία της διατύπωσης Clausius προς τη διατύπωση Kelvin-Plank Θα δείξουmicroε ότι οι δύο προηγούmicroενες διατυπώσεις του δεύτερου θερmicroοδυ ναmicroικού νόmicroου είναι microεταξύ τους ισοδύναmicroες Προς τούτο αρκεί να δείξουmicroε ότι η άρνηση της διατύπωσης του Clausius συνεπάγεται και άρνηση της διατύ πωσης των Kelvin-Plank και αντίστροφα Θεωρούmicroε λοιπόν ότι υπάρχει ιδανι κή ψυκτική microηχανή που σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microεταφέρει από microια πηγή θερmicroότητας B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 θερmicroότητα Q2 σε microια πηγή θερ microότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 (T1gtT2) χωρίς να καταναλώνει έργο Θεωρούmicroε ακόmicroη ότι microεταξύ των πηγών θερmicroότητας A και B εργάζεται microια θερ microική microηχανή η οποία λειτουργώντας σύmicroφωνα microε τη διατύπωση των Kelvin-Plank παίρνει σε κάθε κύκλο λειτουργίας της καταλληλη ποσότητα θερmicroότη τας Q1 από την πηγή A ώστε να δίνει θερmicroότητα Q2 στην πηγή B και να παράγει microηχανικό έργο W (σχήmicroα 3) Tότε το σύστηmicroα των δύο αυτών microηχα νών θα αποτελούσε microια θερmicroική microηχανή που θα microετέτρεπε όλη τη θερmicroότητα

Q1 σε microηχανικό έργο W γεγονός που σηmicroαίνει την άρνηση της διατύπωσης των Kelvin- Plank

Σχήmicroα 3 Σχήmicroα 4 Έστω τώρα ότι υπάρχει ιδανική θερmicroική microηχανή δηλαδή microια θερmicroική microηχανή που microετατρέπει σε κάθε κύκλο λειτουργίας της την θερmicroότητα Q1 που παίρνει από microια πηγή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 πλήρως σε microηχανικό έργο W Θεωρούmicroε τώρα και microια ψυκτική microηχανή που λειτουργεί microεταξύ των πηγών A και B ακολουθώντας την διατύπωση του Clausius (σχήmicroα 4) Eίναι δυνατόν η ψυκτική αυτή microηχανή παίρνωντας το έργο W να δίνει σε κάθε κύκλο λειτουργίας της θερmicroότητα Q1 στην πηγή A αφαιρώντας συγχρόνως κατάλληλη ποσότητα θερmicroότητας Q2 από την πηγή B Tότε όmicroως το σύστηmicroα των δύο microηχανών θα αποτελούσε microια ιδανική ψυκτική microηχανή γεγονός που ισοδυναmicroεί microε άρνηση της διατύπωσης του Clausius 5 Θερmicroική microηχανή του Carnot O Γάλλος microηχανικός Sadi Carnot επιθυmicroώντας να διευκρινίσει πιο είναι το ανώτατο όριο του θερmicroοδυναmicroικού συντελεστή απόδοσης microιας θερmicroικής microηχα νής που λειτουργεί ανάmicroεσα σε δύο δεδοmicroένες θερmicroοκρασίες T1 καί T2 επινό ησε ένα microοντέλο θερmicroικής microηχανής microε τα εξής χαρακτηριστικά α Tο υλικό microέσο της microηχανής αυτής είναι ένα ιδανικό αέριο β Kατά τη λειτουργία της microηχανής το υλικό της microέσο υφίσταται συνεχώς microια αντιστρεπτή κυκλική διεργασία που είναι γνωστή ως κύκλος Carnot καί αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές Aπό microια ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB στη διάρκεια της οποίας το υλικό microέσο απορροφά από τη δεξαmicroενή θερmicroότητας υψηλής θερmicroοκρασίας T1 θερmicroότητα Q1 (Q1gt0) Aπό microια αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ στη διάρκεια της οποίας η θερmicroοκρασία του υλικού microέσου microειώνεται από T1 σε T2 Aπό microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ κατά την οποία το microέσο εκχωρεί θερmicroότητα Q2 (Q2lt0) στη δεξαmicroενή θερmicroότητας χαmicroηλής θερmicroοκ ρασίας T2 Tέλος το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση microέσω microιας αδιαβατικής συmicroπίεσης ΔrarrA κατά την οποία η θερmicroοκρασία του αυξάνεται από T1 σε T2 (σχήmicroα 5) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αC της microηχανής του Carnot σύmicroφωνα microε όσα αναφέρθηκαν στο προηγούmicroενο εδάφιο είναι

C = 1 -Q2

Q1

(1)

Όmicroως γιά τις θερmicroότητες Q1 καί Q2 ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 5

Q1 = nRT1 ln

VB

VA

$

amp και

Q2 = nRT2 lnV

V

$

amp

όπου VAVBVΓVΔ οι όγκοι των αερίων στις καταστάσεις A B Γ καί Δ αντιστοίχως και n ο αριθmicroός των mol του αερίου Έτσι η σχέση (1) γράφεται

C = 1 -T2ln(V

V

)

T1ln(VBVA ) (2)

Eξάλλου γιά τις αδιαβατικές microεταβολές BrarrΓ καί ΔrarrA ισχύουν οι σχέσεις

T1 B

-1

V = T2

-1

V

T1 A

-1

V = T2

-1

V

( )

BV

AV

$

amp

-1

=V

V

$

amp

-1

BV

AV=

V

V

lnBV

AV

$

amp = ln

V

V

$

amp

lnBV

AV

$

amp = -ln

V

V

$

amp

οπότε η σχέση (2) δίνει

C= 1 -

T2

T1

(3)

Παρατηρούmicroε από τη σχέση (3) ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης microιας θερmicroικής microηχανής Carnot εξαρτάται microόνο από τις θερmicroοκρασίες T1 καί T2 των δεξαmicroενών θερmicroότητας που χρησιmicroοποιεί και microάλιστα όσο πιο microικρός είναι ο λόγος T2T1 τόσο microεγαλύτερος είναι ο συντελεστής αC

6 Oρισmicroός της εντροπίας O Clausius επιθυmicroώντας να δώσει microαθηmicroατική microορφή στον δεύτερο θερmicroοδυ ναmicroικό νόmicroο επινόησε την έννοια της εντροπίας ένα microέγεθος που άνοιξε ευρύ τατους ορίζοντες για την ανάπτυξη της Θερmicroοδυναmicroικής Aφετηρία για να ορί σει ο Clausius την έντροπία υπήρξε ο κύκλος του Carnot τον οποίο σκέφθηκε να διαmicroερίσει σε microεγάλο πλήθος στοιχειωδών microεταβολών και σχηmicroάτισε για κάθε microια το πηλίκο της θερmicroότητας dQ που ανταλλάσσει το αέριο microε το περι βάλλον του προς την αντίστοιχη θερmicroοκρασία T υπό την οποία γίνεται η ανταλ λαγή και στη συνέχεια άθροισε όλα αυτά τα πηλίκα Aναπαράγοντας τις ιδέες του Clausius για τον κύκλο Carnot ΑΒΓΔ (σχήmicroα 6) θα έχουmicroε

dQT( )

(C) = dQT( )

(AB) + dQT( )

(B) + dQT( )

( ) + dQT( )

(A) (1)

Σχήmicroα 6

Όmicroως οι microεταβολές BΓ και ΔA είναι αδιαβατικές και εποmicroένως τα αντίστοιχα αθροίσmicroατα είναι microηδενικά δηλαδή ισχύει

dQT( )

(B ) = dQT( )

(A) = 0 (2)

Eξάλλου εάν Q1 είναι το ποσό θερmicroότητας που παίρνει το αέριο κατά την ισό θερmicroη εκτόνωσή του AB Q2 το ποσό της θερmicroότητας που δίνει κατά την ισό

θερmicroη συmicroπίεση του ΓΔ και T1 T2 οι αντίστοιχες απόλυτες θερmicroοκρασίες του θα έχουmicroε τις σχέσεις

dQT( )

(AB) = Q1T1 και

dQT( )

() = Q2 T2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) και (3) έχουmicroε

Q

T

$

amp

(C)

=Q1

T1

+Q2

T2

(4)

Όmicroως σε microια κυκλική microεταβολή Carnot ισχύει η σχέση

Q1

T1

=-Q2

T2

Q1

T1

+Q2

T2

= 0

οπότε η (4) γράφεται

dQT( )

(C) = 0 (5)

H σχέση (5) δηλώνει ότι σε κάθε κυκλική microεταβολή Carnot ενός αερίου το αλγεβρικό άθροισmicroα των πηλίκων των στοιχειωδών θερmicroότητων που αυτό ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του προς την αντίστοιχη απόλυτη θερmicroοκρασία υπό την οποία γίνεται η ανταλλαγή είναι ίση microε microηδέν O Clausius έδειξε ότι η σχέση (5) έχει γενικώτερο χαρακτήρα δηλαδή ισχύει για κάθε αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή ενός σώmicroατος και το γεγονός αυτό του επέτρεψε να ισχυρι σθεί ότι για κάθε σώmicroα υπάρχει ένα φυσικό microέγεθος χαρακτηριστικό της κατά στασής του και ανεξάρτητο του τρόπου microε τον οποίο το σώmicroα βρέθηκε στην κατάσταση αυτή Tο microέγεθος αυτό ο Clausius το ονόmicroάσε εντροπία του σώmicroα τος και το συmicroβόλισε microε S Mολονότι η σχέση (4) εγγυάται την ύπαρξη της εντροπίας σε κάθε κατάσταση ισορροπίας του σώmicroατος δεν microας επιτρέπει να την ορίσουmicroε Mας επιτρέπει όmicroως να ορίσουmicroε τη microεταβολή της εντροπίας κατά microια αντιστρεπτή πορεία του από microια αρχική κατάσταση σε microια τελική κατάσταση Σε περίπτωση που το σώmicroα εκτελεί microια στοιχειώδη αντιστρεπτή microεταβολή κατά την εξέλιξη της οποίας ανταλλάσσει microε το περιβάλλον ένα πολύ microικρό (στοιχειώδες) ποσό θερmicroότητας dQ και βρίσκεται σε απόλυτη θερmicroοκρασία T τότε η αντίστοιχη στοιχειώδης microεταβολή dS της εντροπίας του ορίζεται από τη σχέση

dS = dQT (7) Eάν η αντιστρεπτή microεταβολή δεν είναι στοιχειώδης τότε η συνολική microεταβολή ΔSολ της εντροπίας του σώmicroατος όταν αυτό οδηγείται από microιά αρχική κατά σταση α σε microιά τελική κατάσταση τ θα είναι ίση microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των στοιχειωδών microεταβολών dS1 dS2 dSn της εντροπίας του που αντιστοιχούν στις στοιχειώδεις αντιστρεπτές microεταβολές στις οποίες διαmicroερίζεται η θεωρούmicroε νη microεταβολή δηλαδή θα ισχύει ΔSολ=dS1+dS2+ +dSn

S =

dQ1

T1

+dQ

2

T2

+ +dQ

n

Tn

=dQ

T

$

amp

$

(8)

Παρατηρήσεις i) Όταν αναφερόmicroαστε σε θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα στο οποίο εξελλίσεται microιά οποιαδήποτε διαδικασία (αντιστρεπτή ή όχι) η microεταβολή της εντροπίας του συστήmicroατος είναι ίση microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των microεταβολών της εντροπίας των σωmicroάτων που το αποτελούν ii) Όταν ένα θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα οδηγείται microε αντιστρεπτό τρόπο από microιά αρχική σε microία τελική κατάσταση ισορροπίας η microεταβολή της εντροπίας του είναι ακριβώς αντίθετη της microεταβολής που παθαίνει η εντροπία του περιβάλ λοντος του συστήmicroατος Aυτό είναι άmicroεση συνέπεια του ορισmicroού που έχουmicroε δώσει για την αντιστρεπτή microεταβολή και δικαιολογείται ως εξής Kατά την εξέλιξη της αντιστρεπτής microεταβολής το θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του στοιχειώδη ποσά θερmicroότητας ευρισκόmicroενο σε θερmicroοδυ ναmicroική ισορροπία microε αυτό που σηmicroαίνει ότι υπάρχει κάθε στιγmicroή ανάmicroεσά τους microιά πολύ microικρή διαφορά θερmicroοκρασίας Έτσι αν το σύστηmicroα πάρει από το περι βάλλον του κατά τρόπο αντιστρεπτό την στοιχειώδη θερmicroότητα dQ υπό θερmicroο κρασία T η microέν εντροπία του συστήmicroατος θrsquo αυξηθεί κατά dQT ενώ του περιβάλλοντος του θα ελαττωθεί κατά dQT οπότε η αντίστοιχη microεταβολή της εντροπίας του συστήmicroατος και του περιβάλλοντος θα είναι ίση microε microηδέν Omicroως το θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα και το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν που θεωρείται αποmicroονώmicroενο σύστηmicroα δηλαδή σύστηmicroα που δεν ανταλλάσει ύλη και ενέργεια οπότε microπορούmicroε να διατυπώσουmicroε την παρακάτω γενική πρόταση Kατά τις αντιστρεπτές microεταβολές των θερmicroοδυναmicroικών συστηmicroάτων η εντροπία του Σύmicroπαντος διατηρείται σταθερή iii) Όταν ένα σώmicroα υποβάλλεται σε αντιστρεπτή ή microη αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή της θερmicroοδυναmicroικής του κατάστασης τότε η συνολική microεταβολή της εντροπίας του είναι microηδέν Στην περίπτωση που η κυκλική microεταβολή είναι αντιστρεπτή η παραπάνω ιδιότητα περιγράφεται από τη σχέση

dQT( )

(C) = 0

όπου ο υπολογισmicroός του αθροίσmicroατος θα γίνει κατα microήκος της κλειστής καmicroπύ λης γραmicromicroής (C) η οποία απεικονίζει σε κατάλληλο ορθογώνιο σύστηmicroα αξό νων τη θεωρούmicroενη κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή του σώmicroατος 7 Yπολογισmicroός της microεταβολής της εντροπίας σε ειδικές περιπτώσεις O υπολογισmicroός της microεταβολής της εντροπίας ενός σωmicroάτος όταν αυτό microετέχει σε microια φυσική διεργασία παρουσιάζει στη γενική περίπτωση microαθηmicroατική δυσκολία η οποία εξαρτάται από το είδος της διεργασίας στην οποία υποβάλλε ται Σε microερικές όmicroως περιπτώσεις ο υπολογισmicroός της είναι εφικτός microε απλοική microαθηmicroατική διαδικασία όπως λογουχάρη στην περίπτωση της ισόθερmicroης και

αντιστρεπτής microεταβολής ή στην περίπτωση της αδιαβατικής και αντιστρεπτής microεταβολής της κατάστασης ιδανικού αερίου α Iσόθερmicroη microεταβολή Aς δεχθούmicroε ότι microια microάζα n mol ιδανικού αερίου υποβάλλεται σε ισόθερmicroή και αντιστρεπτή microεταβολή της θερmicroοδυναmicroικής του κατάστασης υπό θερmicroοκρασία T κατά την οποία ο όγκος του microεταβάλλεται από V1 σε V2 Eπειδή η θερmicroοκρα σία του αερίου παραmicroένει σταθερή microπορεί να βγεί κοινός παράγοντας σε όλους τους όρους του αθροίσmicroατος Σ(dQT) oπότε για τη microεταβόλή ΔSισοθ της εντρο πίας του αερίου θα έχουmicroε τη σχέση

S

$=

1

T dQ( ) =

Q$

T

Όmicroως η θερmicroότητα Qισοθ που ανταλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του είναι ίση microε το αντίστοιχο έργο Wισοθ του αερίου οπότε η προηγούmicroενη σχέση γράφε ται

S$

=W

$

T=

nRT

Tln

V2

V1

$

amp = nRln

V2

V1

$

amp

Παρατηρούmicroε ότι κατά την ισόθερmicroη αντιστρεπτή εκτόνωση του αερίου (V2gtV1) ισχύει ΔSgt0 που σηmicroαίνει ότι η εντροπία του αυξάνεται Aκριβώς τα αντίστρο φα συmicroβαίνουν κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του αερίου (V2ltV1) οπότε ΔSlt0 β Aδιαβατική microεταβολή Όταν το αέριο υφίσταται αδιαβατική και αντιστρεπτή microεταβολή τότε όλα τα στοιχειώδη ποσά θερmicroότητας dQ που ανταλάσσει microε το περιβάλλον του είναι microηδενικά οπότε η microεταβολή της εντροπίας του θα είναι microηδενική δηλαδή θα ισχύει

ΔSαδιαβ = 0 Λόγω της παραπάνω ιδιότητας microια αδιαβατική και αντιστρεπτή microεταβολή της κατάστασης ιδανικού αερίου ονοmicroάζεται και ισεντροπική microεταβολή 8 Eντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου Aς θεωρήσουmicroε ένα σώmicroα που microετέχει microιας φυσικής διαδικασίας η οποία το οδηγεί από microια αρχική σε microια τελική κατάσταση θερmicroοδυναmicroικής ισορροπίας Kατά την διαδικασία αυτή η εντροπία του σώmicroατος microεταβάλλεται ανεξάρτητα από τον τρόπο που εξελίσσεται η διαδικασία αυτή αφού η εντροπία του σώmicroα τος είναι microονότιmicroη συνάρτηση της κατάστασής του Στην περίπτωση που το σώmicroα οδηγείται στην τελική κατάσταση κατά microη αντιστρεπτό τρόπο δεν microπο ρούmicroε για τον υπολογισmicroό της microεταβολής της εντροπίας του να χρησιmicroοποι ήσουmicroε τη σχέση (8) του εδαφίου 6 διότι όπως αναφέρθηκε παραπάνω αυτή έχει νόηmicroα microόνο σε αντιστρεπτές διαδικασίες Mπορούmicroε όmicroως να επιλέξουmicroε microια κατάλληλη αντιστρεπτή πορεία που οδηγεί το σώmicroα στην τελική του κατά

σταση και να υπολογίσουmicroε πάνω σrsquo αυτή την πορεία την microεταβολή της εντρο πίας του σώmicroατος χρησιmicroοποιώντας τη σχέση (8) H microεταβολή αυτή θα αντιπροσωπεύει και τη microεταβολή της εντροπίας του σώmicroατος κατά την αντί στοιχη microη αντιστρεπτή διαδικασία Στα επόmicroενα θα επιχειρήσουmicroε να υπολογί σουmicroε τη microεταβολή της εντροπίας σε microερικές χαρακτηριστικές microη αντιστρε πτές διεργασίες και να αξιολογήσουmicroε τα αποτελέσmicroατα των υπολογισmicroών α Eλεύθερη εκτόνωση ιδανικού αερίου Aς θεωρήσουmicroε ένα ιδανικό αέριο που βρίσκεται σε δοχείο microε αδιαβατικά τοιχώmicroατα Tο δοχείο αυτό χωρίζεται microε τη βοήθεια ενός διαφράγmicroατος σε δύο χώρους που τον ένα καταλαmicroβάνει το αέριο ενώ ο άλλος χώρος είναι κενός Aν αφαιρέσουmicroε το διάφραγmicroα τότε το αέριο εκτονώνεται από τον αρχικό του όγκο V1 στον όγκο V2 του δοχείου χωρίς να ανταλλάσσει θερmicroότητα και έργο microε το περιβάλλον του (Q=0 και W=0) Tο φαινόmicroενο αυτό ονοmicroάζεται ελεύθερη εκτόνωση του αερίου αποτελεί δε microη αντιστρεπτό φαινόmicroενο αφού ποτέ δεν παρατηρήθηκε αυτόmicroατη αδιαβατική συmicroπίεση του αερίου στην αρχική του κατάσταση Eφαρmicroόζοντας στο αέριο τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε για την microεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας την σχέση ΔU=0 που σηmicroαίνει ότι κατά την ελεύθερη εκτόνωση του αέριου η εσωτερική του ενέρ γεια άρα και η θερmicroοκρασία του παρέmicroεινε η ίδια Έτσι η αρχική και η τελική κατάσταση του αέριου βρίσκονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη χωρίς

Σχήmicroα 7 Σχήmicroα 8 όmicroως οι ενδιάmicroεσες καταστάσεις του αερίου να βρίσκονται πάνω στην καmicroπύλη αυτή αφού δεν είναι καταστάσεις ισορροπίας και εποmicroένως δεν απεικονίζονται σε διάγραmicromicroα P-V Γίνεται τώρα φανερό ότι για να υπολογίσουmicroε τη microεταβολή ΔS της εντροπίας του αέριου θα χρησιmicroοποιήσουmicroε την αντίστοιχη ισόθερmicroη αντιστρεπτή εκτόνωση που microπορεί να το οδηγήσει από την αρχική κατάσταση A1 όγκου V1 στην τελική κατάσταση A2 όγκου V2 (σχήmicroα 8) Για τη microεταβολή αυτή έχουmicroε

S = nR ln V2V

1( ) (1) όπου n ο αριθmicroός των mol του αερίου και R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανι κών αερίων Eπειδή V2gtV1 θα ισχύει και ln(V2V1)gt0 οπότε σύmicroφωνα microε την (1) η microεταβολή της εντροπίας του αερίου κατά την ελεύθερη εκτόνωση του είναι θετική δηλαδή η εντροπία του αυξάνεται Eξάλλου η εντροπία του περι βάλλοντος του αερίου δεν παθαίνει καmicroιά microεταβολή στη διάρκεια αυτής της microη αντιστρεπτής διαδικασίας αφού το περιβάλλον δεν συmicromicroετέχει ενεργειακά σ΄

αυτήν Έτσι microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι τουλάχιστον γιrsquo αυτή την microη αντιστρεπτή microεταβολή η εντροπία του αερίου και του περιβάλλοντος αυξάνει Όmicroως το αέριο microαζί microε το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν οπότε η ελεύθερη εκτόνωση ενός αερίου οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του Σύmicroπαν τος Pοή θερmicroότητας δια microέσου χάλκινης ράβδου Tο φαινόmicroενο ροής θερmicroότητας από microια δεξαmicroενή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 προς microια άλλη δεξαmicroενή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 (T1gtT2) δια microέσου χάλκινης ράβδου είναι microη αντιστρεπτό φαινόmicroενο Kατά την εξέλιξη του φαινοmicroένου αυτού η εντροπία της χάλκινης ράβδου δεν microεταβάλλεται αφού η θερmicroοκρασία σε κάθε διατοmicroή της είναι χρονικά σταθερή και όση θερmicroότητα φθάνει στην διατοmicroή αυτή microέσα σrsquo ένα χρονικό διάστηmicroα τόση φεύ γει από τη διατοmicroή στο διάστηmicroα αυτό Έτσι η ολική microεταβολή ΔSολ της εντρο πίας του συστήmicroατος είναι ίση microε το άθροισmicroα της microεταβολής ΔSA της εντρο πίας της δεξαmicroενής A και της microεταβολής ΔSB της εντροπίας της δεξαmicroενής B δηλαδή ισχύει ΔSσυστ=ΔSA+ΔSB (2) Για να υπολογίσουmicroε τις microεταβολές ΔSA και ΔSB πρέπει να βρούmicroε microια αντισ τρεπτή διαδικασία microεταφοράς της θερmicroότητας Q από τη δεξαmicroενή A στη B Tέτοια διαδικασία microπορεί να εξασφαλιστεί αν διαθέτουmicroε microια δεξαmicroενή θερmicroό τητας που τη θερmicroοκρασία της microπορούmicroε να ελέγχουmicroε αυτόmicroατα η οποία

Σχήmicroα 9

να έρχεται διαδοχικά σε επαφή πρώτα microε την A και στη συνέχεια σε επαφή microε την B Mε τον τρόπο αυτό η δεξαmicroενή ελεγχόmicroενης θερmicroοκρασίας θα microεταφέρει κατά αντιστρεπτό τρόπο την θερmicroότητα Q από την A στην B οπότε για τις microεταβολές ΔSA και ΔSB θα έχουmicroε τις σχέσεις

SA = -QT1

SB = QT2

(+ )

SA + SB =Q

T2

-Q

T1

= QT1 - T2

T1T2

$

amp (3)

------------------------------- Προς στιγmicroή αγνοούmicroε όλες τις άλλες φυσικές διαδικασίες που συmicroβαίνουν στο περιβάλλον του αέριου και εντοπίζουmicroε την προσοχή microας στο πως επηρεάζεται το περιβάλλον από την ελεύθερη εκτόνωση του αερίου Mε τη βοήθεια microιας τέτοιας πηγής microπορούmicroε να εξασφαλίσουmicroε κάθε στιγmicroή microικρή διαφορά θερmicroοκρασίας ανάmicroεσα στην πηγή αυτή και στις πηγές A και B οπότε η ροή θερmicroότητας θα γίνεται κατά τρόπο αντιστρεπτό

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουmicroε τη σχέση

S

$= Q

T1 - T2

T1T2

$

amp (4)

Aπό την (4) προκύπτει ΔSσυστgt0 που σηmicroαίνει ότι κατά τη ροή θερmicroότητας από τη δεξαmicroενή A στην B δια microέσου της χάλκινης ράβδου η εντροπία του συστή microατος αυξάνεται Eξάλλου το περιβάλλον του συστήmicroατος των δύο δεξαmicroενών θερmicroότητας και της χάλκινης ράβδου δεν συmicromicroετέχει ενεργειακά σ΄ αυτή τη microη αντιστρεπτή διεργασία οπότε microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι η εντροπία του δεν microεταβάλλεται δηλαδή ισχύει ΔSπερ=0 Όmicroως το σύστηmicroα και το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν οπότε η ροή θερmicroότητας διrsquo αγωγής οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του Σύmicroπαντος Στο ίδιο συmicroπέρασmicroα καταλήγουmicroε εάν εξετάσουmicroε και άλλες φυσικές διαδικασίες που εξελλίσονται κατά microη αντιστρε πτό τρόπο όλες δε οι πειραmicroατικές microας εmicroπειρίες που αναφέρονται σε microη αντι στρεπτά φαινόmicroενα είναι συmicroβιβαστές microε την ακόλουθη πρόταση Kάθε microη αντιστρεπτή διαδικασία που συmicroβαίνει στο Σύmicroπαν οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του H πρόταση αυτή αποτελεί την εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroο δυναmicroικού νόmicroου και microολονότι δεν υπάρχει αυστηρή microαθηmicroατική απόδειξη αυτής πρέπει να τονίσουmicroε ότι η πρόταση είναι συνεπής προς όλα τα φυσικά φαινόmicroενα που εξελίσσονται στο Σύmicroπαν κατά microη αντιστρεπτό τρόπο Όπως θα δειχθεί στο επόmicroενο εδάφιο η εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυνα microικού νόmicroου είναι ισοδύναmicroη microε τη διατύπωση Kelvin-Plank που σηmicroαίνει ότι η αποδοχή ή παραβίαση της microιας συνεπάγεται την αποδοχή ή παραβίαση της άλλης Παρατήρήση Kάθε φυσική διαδικασία που συmicroβαίνει microέσα σrsquo ένα αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα δηλαδή σrsquo ένα σύστηmicroα που δεν ανταλλάσσει ύλη και ενέργεια microε το περιβάλ λον του θεωρείται αυθόρmicroητο φυσικό φαινόmicroενο αφού για την πραγmicroατο ποίησή του δεν χρειάζεται εξωτερική επίδραση Όmicroως microε την έννοια αυτή τα αυθόρmicroητα φαινόmicroενα είναι και microη αντιστρεπτά οπότε σύmicroφωνα microε την εντρο πική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου συνοδεύονται από αύξηση της εντροπίας του αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος Mπορούmicroε λοιπόν να διατυπώσουmicroε την παρακάτω πρόταση που είναι γνωστή ως αρχή αύξησης της εντροπίας ενός αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος Kάθε αυθόρmicroητη διαδικασία που συmicroβαίνει σrsquo ένα αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του 9 Iσοδυναmicroία της εντροπικής διατύπωσης προς την διατύπώση Kelvin-Plank Θα δείξουmicroε ότι η άρνηση της εντροπικής διατύπωσης του δεύτερου θερmicroοδυ ναmicroικού νόmicroου συνεπάγεται άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank Προς τούτο θεωρούmicroε microία θερmicroική microηχανή Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ των πηγών θερmicroότητας A και B αντιστοίχων θερmicroοκρασίων T1 και T2 microε T2ltT1 και

υποθέτουmicroε ότι σε κάθε κύκλο λειτουργίας της το θερmicroαντικό της σώmicroα (ιδανικό αέριο) απορροφά από την πηγή A θερmicroότητα Q1 και δίνει στην πηγή B θερmicroότητα Q2 Eπί πλέον υποθέτουmicroε ότι κατά τη λειτουργία της θερmicroικής αυτής microηχανής παραβιάζεται η εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυνα microικού νόmicroου δηλαδή ότι η εντροπία του Σύmicroπαντος microειώνεται Tότε θα ισχύει ΔSΣυmicroπlt0 ΔSmicroηχ+ΔSπερlt0 (1) Όmicroως η microεταβολή ΔSπερ της εντροπίας του περιβάλλοντος της θερmicroικής microηχα νής του Carnot είναι microηδενική διότι αυτό παίρνει microόνο έργο από τη microηχανή ενώ η microεταβολή ΔSmicroηχ της εντροπίας της microηχανής θα είναι

ΔSmicroηχ=ΔSαερ+ΔSA+ΔSB

Smicro = 0 +-Q1

T1

+Q2

T2

(2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

-Q1

T1

+Q2

T2

lt 0

Q1

T1

gtQ2

T2

(3)

Όmicroως η σχέση (3) σηmicroαίνει ότι η θερmicroική microηχανή του Carnot δεν λειτουργεί σύmicroφωνα microε τη διατύπωση των kelvin-Plank διότι τότε θα έπρεπε να ισχύει η σχέση

Q1 T1 = Q2 T2 Δηλαδή η παραβίαση της εντροπικής διατύπωσης του

δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου συνεπάγεται και την παραβίαση της διατύπω σης Kelvin-Plank 10 Aρχή υποβάθmicroισης της ενέργειας Aς θεωρήσουmicroε ένα σύστηmicroα από δύο σώmicroατα A και B που βρίσκονται σε αντί στοιχες θερmicroοκρασίες T1 και T2 microε T1gtT2 το οποίο είναι αποmicroονωmicroένο microε το περιβάλλον του Eάν τα δύο σώmicroατα έλθουν σε επαφή τότε είναι γνωστό ότι θα microεταβιβαστεί θερmicroότητα από το σώmicroα υψηλής θερmicroοκρασίας T1 προς το σώmicroα χαmicroηλώτερης θερmicroοκρασίας T2 microέχρις ότου τα δύο σώmicroατα αποκτήσουν κοινή θερmicroοκρασία Tκ για την οποία ισχύει T2ltTκltT1 Kατά την microη αντιστρεπτή αυτή διαδικασία το σύστηmicroα δεν ανταλλάσσει έργο και θερmicroότητα microε το περιβάλλον του αφού αποτελεί αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα microε αποτέλεσmicroα η εσωτερική του ενέργεια να παραmicroένει σταθερή (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) ενώ σύmicroφωνα microε την εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου η εντροπία του συστήmicroατος αυξάνεται Eξάλλου το σύστηmicroα στην αρχική του κατάσταση εmicroφανίζει microιά ορισmicroένη ικανότητα παραγωγής οργανωmicroένης ενέργειας αφού microπορεί νrsquo αποδώσει microηχανικό έργο microε τη microεσολάβηση microιας θερmicroικής microηχανής ανάmicroεσα στα δύο σώmicroατα Aντίθετα στην τελική του κατάσταση το σύστηmicroα έχει χάσει την ικανότητά του να δώσει οργανωmicroένη ενέργεια αφού τώρα είναι αδύνατη η λειτουργία microιάς θερmicroικής microηχανής microεταξύ των δύο σωmicroάτων καθό σον τα δύο σώmicroατα βρίσκονται στην ίδια θερmicroοκρασία Aπό την σύγκριση των δύο καταστάσεων βγαίνει το συmicroπέρασmicroα ότι microολονότι η εσωτερική ενέργεια του συστήmicroατος δεν άλλαξε η ικανότητα του για παραγωγή οργανωmicroένης ενέργειας δηλαδή ενέργειας που microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί ωφέλιmicroα έχει microηδε νιστεί ενώ ταυτόχρονα η εντροπία του συστήmicroατος παρουσιάζεται αυξηmicroένη Δηλαδή η αυξηmicroένη εντροπία του συστήmicroατος έχει υποβαθmicroίσει την ποιότητα

της εσωτερικής του ενέργειας microε την έννοια ότι αυτό δεν είναι τώρα σε θέση να δώσει ωφέλιmicroη ενέργεια Γενικώτερα αν αναφερθούmicroε στα microη αντιστρεπτά φυσικά φαινόmicroενα που συmicroβαίνουν στο Σύmicroπαν microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι συνοδεύονται microε ενεργειακή υποβάθmicroισή του δηλαδή microε απώλεια της δυνατότητάς του για παραγωγή ενέργειας ανώτερης ποιότητας microολονότι η εσωτερική του ενέργεια παραmicroένει αναλλοίωτη Aυτό σηmicroαίνει ότι microε την πάροδο του χρόνου το Σύmicroπαν τείνει σε microιά κατάσταση microέγιστης εντροπίας που του περιορίζει την ποιότητα του ενεργειακού του περιεχόmicroενου και το οδη γεί στον λεγόmicroενο θερmicroικό ή εντροπικό θάνατο Ένα άλλο χαρακτηριστικό παράδειγmicroα που microας δείχνει ότι η αύξηση της εντροπίας ενός αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος ελαττώνει την ικανότητα του για παραγωγή οργανωmicroένης ενέρ γειας είναι το εξής Aφήνουmicroε ένα σώmicroα να πέσει από ύψος h στο πάτωmicroα του δωmicroατίου microας Tο σώmicroα ξεκινάει την διαδροmicroή του microε microιά οργανωmicroένη δυνα microική ενέργεια mgh η οποία microετά την κρούση του microε το πάτωmicroα microετασχη microατίζεται σε ανοργάνωτη θερmicroική ενέργεια που κατανέmicroεται στο σώmicroα στο πάτωmicroα στον αέρα και στους τοίχους του δωmicroατίου microε αποτέλεσmicroα νrsquo αυξηθεί λίγο η θερmicroοκρασία τους Kατά την microη αντιστρεπτή αυτή διαδικασία η ολική ενέργεια του συστήmicroατος διατηρήθηκε σταθερή αυξήθηκε όmicroως η εντροπία του H αυξηmicroένη εντροπία του συστήmicroατος κάνει αδύνατη την αντίστροφη εξέλιξη του φαινοmicroένου δηλαδή την microετατροπή της προηγούmicroενης θερmicroικής ενέργειας σε δυναmicroική ενέργεια microε αυθόρmicroητη ανύψωση του σώmicroατος στην αρχική του θέση και ταυτόχρονη ψύξη όλων των σωmicroάτων που πήραν microέρος στο φαινόmicroενο Έτσι το σύστηmicroά παρουσιάζεται στην τελική του κατάσταση microε υποβαθmicroισmicroένο ενεργειακό περιεχόmicroενο δηλαδή έχει microειωθεί η ποιότητα της ενέργειάς του αφού αυτό έχασε την ικανότητά του να δίνει ωφέλιmicroο έργο Παρατήρηση H θερmicroότητα ως microορφή ενέργειας είναι ποσοτικά ισοδύναmicroη microε τις άλλες microορφές ενέργειας (microηχανική ηλεκτρική χηmicroική κλπ) αλλά ποιοτικά είναι υποβαθmicroισmicroένη ως προς αυτές Aυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η θερmicroότητα δεν microπορεί να microετασχηmicroατιστεί ολοκληρωτικά σε ενέργεια άλλης microορφής ενώ αντίθετα οι άλλες microορφές ενέργειας microε απλές διαδικασίες microετασχηmicroατίζονται ολοκληρωτικά σε θερmicroότητα lsquoΕτσι η θερmicroότητα θεωρείται ως ενέργεια κατώτε ρης ποιότητας ή ως microη οργανωmicroένη ενέργεια ως προς τις άλλες microορφές ενέρ γειας οι οποίες θεωρούνται ως ενέργειες ανώτερης ποιότητας

PM fysikos

Iδανικό αέριο εκτελεί διαδοχικά τις παρακάτω θερmicroικές διαδικασίες α) Mιά αντιστρεπτή ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται

β) Mιά αντιστρεπτή ισόχωρη microεταβολή κατά την οποία η πίεση του αερίου γίνεται η microισή της αρχικής του πιέσεως i) Nα σχεδιαστούν τα διαγράmicromicroατα P-V P-T και V-T των δύο αυτών συνεχόmicroενων microεταβολών ii) Nα βρεθεί η συνολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του Δίνονται τα καταστατικά microεγέθη V0 P0 και T0 της αρ χικής κατάστασης του αερίου ΛYΣH i) Kατά την αντιστρεπτή ισοβαρή εκτόνωση ArarrB του ιδανικού αερί ου από τον όγκο V0 στον όγκο 2V0 η απόλυτη θερmicroοκρασία του αυξάνει από την τιmicroή T0 στην τιmicroή 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) Στην αντιστρεπτή ισόχωρη microεταβολή BrarrΓ που ακολουθεί ο όγκος του αέριου microένει σταθερός και ίσος microε 2V0 ενω η πίεσή του ελαττώνεται από την τιmicroή Pο στην τιmicroή P02 microε απο τέλεσmicroα να ελαττώνεται και η θερmicroοκρασία του αέριου από την τιmicroή 2T0 στην

Σχήmicroα 10 Σχήmicroα 11 Σχήmicroα 12

τιmicroή T0 (νόmicroος Charles) Όλα τα παραπάνω εκφράζονται συmicroβολικά ως εξής

A(P0 V0 T0) rarr B(P0 2V0 2T0) rarr Γ(P02 2V0 T0) Tα σχήmicroατα (10) (11) (12) αποτελούν τα ζητούmicroενα διαγράmicromicroατα της microεταβο λής ArarrBrarrΓ του ιδανικού αερίου ii) Aφού κατά την αντιστρεπτή διαδικασία ArarrBrarrΓ η θερmicroοκρασία του αερίου τελικά δεν microεταβάλλεται η ολική microεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας είναι microηδέν διότι η εσωτερική ενέργεια microιας ορισmicroένης microάζας ιδανικού αερίου είναι συνάρτηση microόνο της θερmicroοκρασίας του Δηλαδή ισχύει

ΔUολ = 0 (1) Eφαρmicroόζοντας για το ιδανικό αέριο τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο κατά τη microεταβολή ArarrBrarrΓ παίρνουmicroε τη σχέση

Q= U

+ W

(1)

Q= 0 + W

= W

Q= WAB + WB

= P0(2V0 - V0 ) + 0 Q= P0V0

Mια θερmicroική microηχανή Carnot λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1=500 0K και T2=200 0K H microηχανή απορροφά από τη θερmicroή δεξαmicroενή θερmicroότητα microε ρυθmicroό q1=2105 Js i) Nα βρεθεί η ωφέλιmicroη ισχύς της microηχανής ii) Nα βρεθεί ο ρυθmicroός microε τον οποίο πρέπει να microεταφέρεται θερmicroότη τα στην ψυχρή πηγή microιας θερmicroικής microηχανής που λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδο σης ίσο microε 80 του συντελεστή απόδοσης της microηχανής Carnot και την ίδια ωφέλιmicroη ισχύ microε αυτή ΛYΣH i) Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot στο ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής τότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αC της microηχανής θα ικανοποιεί τη σχέση

C =W

Q1

W = CQ1

W

t=CQ1

t (1)

Όmicroως το πηλίκο Wt αποτελεί την ωφέλιmicroη ισχύ N της microηχανής ενώ το πηλίκο Q1t αποτελεί το ρυθmicroό q1 microεταφοράς θερmicroότητας από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το αέριο που χρησιmicroοποιεί οπότε η σχέση (1) γράφεται N = Cq1 = (1 - T2T1 )q1

N=(1-200500)2 105 Js=12 105 Js ii) Aς θεωρήσουmicroε τη θερmicroική microηχανή που εργάζεται microεταξύ των θερmicroοκρα σιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης α=08αC και ωφέλιmicroη ισχύ N Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το ενεργό υλικό που χρησιmicroοποιεί και Q2 η αντίστοιχη θερmicroότητα που microεταφέρεται από το υλικό αυτό προς την ψυχρή δεξαmicroενή της θα έχουmicroε τις σχέσεις

Q1 = W+Q2

08C = WQ1

W

08C

= W+Q2

W1

08C

- 1

$

amp =Q2

W

t

1

08C

- 1

$

amp =

Q2

t

microε C

= 1- T2T

1= 35 Όmicroως το πηλίκο Q2t αποτελεί το ρυθmicroό q2 microεταφοράς

θερmicroότητας στην ψυχρή πηγή της θερmicroικής microηχανής ενώ το πηλίκο Wt αποτελεί την ισχύ N της microηχανής οπότε η (2) γράφεται q2 = N(54C - 1) = 12 10

5(25 12 - 1) Js = 13 10

5Js

Mια θερmicroική microηχανή αποτελείται από δύο θερmicroι κές microηχανές Carnot και η ψυχρή πηγή της microιας αποτελεί θερmicroή πηγή της άλλης Eάν α1 α2 είναι οι θερmicroοδυναmicroικοί συντελεστές από δοσης των δύο microηχανών T1 η απόλυτη θερmicroοκρασία της θερmicroής πηγής της πρώτης και T3 η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της δεύτερης να δείξετε τις σχέσεις αολ = α1 + α2 - α1α2 και αολ = 1 - T3 T1 όπου αολ ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της σύνθετης microηχανής Carnot ΛYΣH Έστω ότι σε χρόνο t microεταφέρεται θερmicroότητα Q1 από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot M1 προς το ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W1 είναι το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής αυτής O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α1 της microηχανής θα είναι 1 = W1Q1 W1 = 1Q1 (1)

Σχήmicroα 13 Eξάλλου εάν Q2 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t στην ψυχρή πηγή της microηχανής M1 αυτή θα αποτελεί και την αντίστοιχη θερmicroότητα που λαmicroβάνει το αέριο της δεύτερης microηχανής Carnot M2 οπότε το ωφέλιmicroο έργο W2 της microηχανής αυτής σε χρόνο t θα υπολογίζεται microέσω της σχέσεως W2 = 2Q2 (2) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αολ του συστήmicroατος των δύο microηχα νών θα είναι

=

W1 + W2

Q1

(2)

(1)

=1Q1 + 2Q2

Q1

= 1 +2Q2

Q1

(3)

Όmicroως εάν T2 είναι η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της M1 ή της

θερmicroής πηγής της M2 θα ισχύει η σχέση

Q1

T1

=Q2

T2

Q2

Q1

=T2

T1

= 1 -1 (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) έχουmicroε

= 1 +2(1 - 1 ) = 1 +2 -12 (5) Eπειδή α1=1-T2T1 και α2=1-T3T2 η σχέση (5) γράφεται

= 1 -T

2

T1

+1 -T

3

T2

- 1 -T

2

T1

$

amp amp 1 -T

3

T2

$

amp amp

= 2 -

T2

T1

-T

3

T2

- 1+T

2

T1

-T

2

T1

T

3

T2

= 1 -T

3

T1

Mιά microάζα n mol microονοατοmicroικού ιδανικού αέριου (CV=3R2) όγκου V0 και πιέσεως P0 υποβάλλεται σε αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή που αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβο λές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB κατά την οποία η πίεση του αε ρίου διπλασιάζεται ii) από microια ισόθερmicroη εκτόνωση BrarrΓ κατά την οποία ο όγκος του αερίου διπλασιάζεται και iii) από microια ισοβαρή συmicroπίεση ΓrarrA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να βρείτε τη θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 14) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) Aπό το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη θέρmicroανση του αέριου υπό σταθερό όγκο V0 κατά την οποία η πίεση του αέριου από P0 γίνεται 2P0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Charles)

ii) Aπό το καmicroπύλογραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη εκτόνωση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία ο όγκος του αέριου από V0 γίνεται 2V0 οπότε η πίεσή του από 2P0 γίνεται P0 (νόmicroος Boyle) και iii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή συmicroπίεση του αέριου microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A(P0V0T0) Eξάλλου σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο η θερmicroότητα Q που το αέριο ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του κατά τον κύκλο ABΓA η microεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας και το έργο W που παράγει το αέριο συνδέονται microε τη σχέση

Q = ΔU + W Q = 0 + W Q = W (1)

Σχηmicroα 14 Όmicroως το έργο W είναι ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των επί microέρους έργων WAB WBΓ και WΓA που αντιστοιχούν στις microεταβολές ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA Έτσι θα έχουmicroε τη σχέση

W= WAB

+ WB

+WA

W = 0 +2nRT0ln (2V0 V0) + P0 (V0 - 2V0)

W=2nRT0ln2 -P

0V

0= 2P

0V

0ln2 -P

0V

0 (1)

Q=P0V0(2ln2 - 1) (2) β) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α microιας θερmicroικής microηχανής η οποία θα λειτουργούσε microε βάση τον κύκλο ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του προς την θερmicroότητα Qπρ που προσφέ ρεται σrsquo αυτό σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microηχανής δηλαδή ισχύει

=

W

Q

(1)

=Q

Q

(2)

=P0V0 (2ln2 - 1)

Q

(3)

Όmicroως για τη θερmicroότητα Qπρ ισχύει η σχέση

Q = QAB + QB = nCV(2T0 - T0 ) +2nRT0ln(2V0V0)

Q= nCVT0 +2nRT0ln2 = nT0 (CV +2Rln2) (4)

όπου CV η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερό όγκο Όmicroως το αέριο που εξετάζουmicroε ισχύει CV =3R2 και η (4) γράφεται

Q= nT0(3R2 +2Rln2) = nRT0(32 +2ln2)

Q= P0V0 (32 + 2ln2) (5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (5) παίρνουmicroε τη σχέση

=

P0V0 (2ln2 - 1)

P0V0(32 + 2ln2)=

2ln2 - 1

32 +2ln2

=

2(2ln2 - 1)

3 + 4ln2

Mιά ορισmicroένη microάζα microονοατοmicroικού ιδανικού αερί ου (CV=3R2) όγκου V0 πιέσεως P0 και απόλυτης θερmicroοκρασίας T0 υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται i) από microια ισοβαρή εκτόνωση ArarrB κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται ii) από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να υπολογίσετε το έργο που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το συντελεστή απόδοσης της κυκλικής αυτής microεταβολής ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 15) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή εκτόνωση του αέριου υπό πίεση P0 κατά την οποία ο όγκος του από V0 γίνεται 2V0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) ii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη ψύξη του αερίου υπό σταθερό όγκο 2V0 κατά την οποία το αέριο ψύχεται από τη θερmicroοκρασία 2T0 στη θερmicroοκρασία T0 οπότε η πίεσή του από P0 γίνεται P02 (νόmicroος Charles) και iii) από το καmicroπυλόγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη συmicroπί εση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία ο όγκος του ελατ τώνεται από 2V0 σε V0 ενώ η πίεση του αυξάνει από P02 σε P0 (νόmicroος Boyle) Eξάλλου το έργο W που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του θα είναι

ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των έργων WAB WBΓ και WΓA που ανταλλάσσει το αέριο κατά τη διάρκεια των επί microέρους microεταβολών ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA δηλαδή θα ισχύει

Σχήmicroα 15

W = WAB + WB+W

A = P0(2V0 -V0) + 0 +nRT0ln(V0 2V0)

W = P0V0 +nRT0ln(12) W= P0V

0- nRT

0ln2 (1)

όπου n ο αριθmicroός των mol του αέριου και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Όmicroως σύmicroφωνα microε την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων ισχύει P0V0=nRT0 οπότε η (1) γράφεται

W= P0V

0-P

0V

0ln2

W = P

0V

01 - ln2( ) (2)

β) O συντελεστής απόδοσης α του κύκλου ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W προς την θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου δηλαδή ισχύει

=

W

QAB

(1)

=P0V0 (1 - ln2)

nCP(2T0 - T0 )

=nRT0 (1 - ln2)

nCpT0

(3)

όπου CP η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερή πίεση Eπειδή γιατο αέριο έχουmicroε CP=5R2 η σχέση (3) γράφεται

=

nRT0 (1 - ln2)

5nRT02 =

2(1- ln2)

5 (4)

Ένα ιδανικό αέριο υποβάλλεται σε κυκλική αντισ τρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από microια ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB θερmicroοκρασίας T1 από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ όγκου V1 από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ θερmicroοκρασίας T2 και από microια ισόχωρη θέρmicroανση ΔrarrA όγκου V2=V12 Eάν ο λόγος CPCV του αερίου είναι γ

να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του το αέριο απορροφά από το εξωτερικό του περιβάλλον τα ποσά θερmicroότητας QΔA και QAB που ανιστοι χούν στην ισόχωρη θέρmicroανσή του ΔrarrA και στην ισόθερmicroη συmicroπίεσή του ArarrB Άρα ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβο λής είναι

=

W

Q$A + QAB

(1)

Σχήmicroα 16 όπου Wολ το ολικό έργο που παρέχει το αέριο στο περιβάλλον του Όmicroως για το έργο αυτό ισχύει

W= W

A+ W

AB+ W

B$+ W

$= 0 + W

AB+ 0 + W

$

W

= W

AB+W

$= nRT

1ln

V1

V12

$

amp amp + nRT2ln

V12

V1

$

amp amp

W= nRT

1ln2 - nRT

2ln2 W

= nR(T1 - T2 )ln2 (2) Εξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και QΔA ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1lnV1

V1 2

$

amp amp = nRT1ln2

και

QA = nCV (T1 - T2 ) =

nR(T1 - T2)

- 1 οπότε η (1) δίνει

=

nR(T1 - T2)ln2

nR(T1 - T2)( - 1) + nRT1ln2

=( - 1)(T1 - T2 )ln2

T1 - T2 + ( - 1)T1ln2

i) Nα δείξετε ότι η άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank για το δεύτερο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο συνεπάγεται και άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Nα δείξετε ότι microια κυκλική microεταβολή ορισmicroένης microάζας ιδανικού αέριου που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση από microια αδια βατική εκτόνωση και από microια αδιαβατική συmicroπίεση βρίσκεται σε αντίφαση microε το δεύτερo θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο δηλαδή microια τέτοια κυκ λική microεταβολή είναι αδύνατη ΛYΣH i) Έστω ότι υπάρχει θερmicroική microηχανή που σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microετατρέπει ολοκληρωτικά την θερmicroότητα Q1 που παίρνει από την πηγή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 σε microηχανικό έργο W χωρίς να δίνει θερmicroότητα στην πηγή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 Θεωρούmicroε τώρα microια κατάλ

Σχήmicroα 17 Σχήmicroα 18 ληλη ψυκτική microηχανή η οποία όταν λειτουργεί ανάmicroεσα στις ίδιες πηγές θερ microότητας microεταφέρει θερmicroότητα Q1 στην πηγή A καταναλώνοντας το έργο W που παράγει η θερmicroική microηχανή Tότε η ψυκτική αυτή microηχανή θα παίρνει από την πηγή B microια ορισmicroένη θερmicroότητα Q2 και εποmicroένως το σύστηmicroα των δύο microηχανών θα ισοδυναmicroεί microε microια ψυκτική microηχανή η οποία θα απάγει θερmicroότητα Q2 από την ψυχρή πηγή B χωρίς κατανάλωση έργου πράγmicroα που αποτελεί άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Έστω ότι microια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί την κυκλική microεταβο λή ABΓA που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB microια αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ και microια αδιαβατική συmicroπίεση ΓrarrA (σχήmicroα 18) Eφαρmicroόζοντας για τη microεταβολή αυτή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση QAB + QBΓ + QΓA = ΔUολ + Wολ QAB + 0 + 0 = 0 + Wολ QAB = Wολ (1)

H σχέση (1) δηλώνει ότι κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής ABΓA η θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο microετατρέπεται ολοκληρωτικά σε έργο γεγονός που έρχεται σε αντίθεση microε τη διατύπωση των Kelvin-Plank Παρατήρηση H microη πραγmicroατοποίση της κυκλικής microεταβολής ABΓA ισοδυναmicroεί microε το ότι οι αδιαβατικές καmicroπύλες BΓ και ΓA δεν είναι δυνατό να τέmicroνονται

Mιά ορισmicroένη microάζα ιδανικού αερίου εκτελεί κύκλο Carnot ABΓΔA Eάν V1 V2 V3 V4 είναι οι όγκοι του αέριου που αντιστοιχούν στις κατατάσεις A B Γ και Δ και T1 T2 είναι οι απόλυτες θερmicroοκρασίες της ισόθερmicroης εκτόνωσης και της ισόθερmicroης συmicroπίεσης του αέριου αντιστοίχως (T1gtT2) να δείξετε τις σχέσεις

V1V3 = V2V4 και W = nR(T1 - T2)ln(V2V1) όπου n τα mol του αερίου R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανικών αερίων και W το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του ΛYΣH Για την ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ισχύει P1

V1= P

2V

2 (1)

Για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Poisson ισχύει

P2V

2

= P3V

3

(2)

Σχήmicroα 19

Για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle έχουmicroε

P3V

3= P

4V

4 (3)

Tέλος για την αδιαβατική συmicroπίεση ΔrarrA σύmicroφωνα microε τον νόmicroο του Poisson έχουmicroε

P4V

4

= P1V

1

(4) όπου γ ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αερίου Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (4) κατά microέλη παίρνου microε τη σχέση

P1V

1P

2V

2

P3V

3P

4V

4

= P2V

2P

3V

3

P4V

4P

1V

1

2

-1

V 4

-1

V =3

-1

V 1

-1

V V3

V1= V

2V

4 (5)

Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκ λικής microεταβολής ABΓΔA είναι σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσει microε το περιβάλλον του Δηλαδή ισχύει η σχέση

W= Q

= QAB + QB

+ Q$

+ Q$A = QAB + Q

$ (6)

διότι για τις αδιαβατικές microεταβολές BrarrΓ και ΔrarrA έχουmicroε QBΓ =QΔA =0 Eξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και Q

ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1ln(V2 V1 )

Q

= nRT2ln(V4 V3 )

$

(+ )

QAB + Q

= nR T1lnV2

V1

$

amp amp + T2lnV4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(6)

W

= nR T

1ln

V2

V1

$

amp amp + T2ln

V4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(7)

Όmicroως από τη σχέση (5) έχουmicroε

V2

V1

=V

3

V4

lnV

2

V1

$

amp amp = lnV

3

V4

$

amp amp

lnV

2

V1

$

amp amp = - lnV

4

V3

$

amp amp

οπότε η (7) γράφεται

W

= nR(T1 - T2)ln

V2

V1

$

amp amp (8)

Mια θερmicroική microηχανή αναγκάζει ιδανικό αέριο σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση κατά την οποία η πίεση του αερίου τριπλασιάζεται

ii) από microια ισοβαρή εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται iii) από microια ισόχωρη ψύξη microέχρις ότου η πίεση του αερίου ανακτή σει την αρχική της τιmicroή και iv) απο microια ισοβαρή συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Eάν P0 V0 είναι η πίεση και ο όγκος αντιστοίχως του αερίου στην αρχική του κατάσταση και γ ο λόγος CPCV των γραmicromicroοmicroοριακών του ειδικών θερmicroοτήτων να βρείτε την προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroό τητα κατά την εξέλιξη του κύκλου γ) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής και να τον συγκρίνετε microε το συντελεστή απόδοσης της microηχα νής Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ της microέγιστης και της ελά χιστης θερmicroοκρασίας του αερίου της microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόχωρη θέρmicroανση AB του αερίου η πίεσή του τριπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Charles θα τριπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του αερίου δηλαδή από T0 θα γίνει 3T0 Κατά την ισοβα ρή εκτόνωση BΓ ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται οπότε και η απόλυτη θερmicroοκρασία του θα τριπλασιάζεται (νόmicroοςGay-Lussac) δηλαδή από 3T0 θα γίνει 9T0 Kατά την ισόχωρη ψύξη ΓΔ του αερίου η πίεση του απο την τιmicroή 3P0 λαmicroβάνει την τιmicroή P0 δηλαδή υποτριπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο του

Σχήmicroα 20 Charles πρέπει να υποτριπλασιασθεί και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή από 9T0 πρέπει να γίνει 3T0 Aυτό σηmicroαίνει ότι οι καταστάσεις B και Δ βρίσ κονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη θερmicroοκρασίας 3T0 Mε βάση τις παρα πάνω διαπιστώσεις το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου έχει τη microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (20) β) Kατά την εξέλιξη του κύκλου στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα στο στάδιο της ισόχωρης θέρmicroανσης AB και της ισοβαρούς εκτόνωσης BΓ δηλαδή ισχύει

Q = QAB + QB = nCV 3T0 - T0( ) + nCP 9T0 - 3T0( )

Q

= 2nCVT0 + 6nCPT0 = 2n CV + 3CP( )T0 (1)

Όmicroως οι γραmicromicroοmicroοριακές ειδικές θερmicroότητες CV και CP του αερίου ικανοποιούν τις σχέσεις

CP

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= R - 1

CP

= R - 1

$ (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε

Q

=

2nRT0

- 1(1+ 3) = 2P0V0

1+3

- 1

$

amp (3)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (4)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε το εmicroβαδόν του σκιασmicroένου ορθογωνίου ABΓΔ δηλαδή ισχύει W = micro$(ABamp) = (3P0 -P0)(3V0 -V0) = 4P0V0 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3)(4) και (5) έχουmicroε

=4P0V0

2P0V0

- 1

1+3

$

amp =

2( - 1)

1+ 3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται στην κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓΔA της οποίας το διάγραmicromicroα P-T φαίνεται στο σχήmicroα (21) i) Eάν οι θερmicroοδυναmicroικές microεταβλητές της κατάστασης A είναι P0 V0 και T0 να βρείτε τη θερmicroότητα που απορροφά το αέριο στη διάρκεια του κύκλου αφού προηγουmicroένως σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V του κύκλου ii) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση υπό θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου διπλασιάζεται οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ο όγκος του αερίου θα υποδιπλασιάζεται δηλαδή από V0 θα γίνει V02 H microεταβολή BΓ είναι ισοβαρής θέρmicroανση υπο πίεση 2P0 κατά την οποία η απόλυ

τη θερmicroοκρασία του αερίου διπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο Gay-Lussac θα διπλασιάζεται και ο όγκος του αερίου δηλαδή από V02 θα γίνει V0 H microετα βολή ΓΔ είναι ισόθερmicroη εκτόνωση υπό θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου υποδιπλασιάζεται οπότε ο όγκος του θα διπλασιάζεται (νόmicroος

Σχήmicroα 21 Σχήmicroα 22 Boyle) δηλαδή από V0 θα γίνει 2V0 Mε βάση τα παραπάνω οδηγούmicroαστε στο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου το οποίο έχει την microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (22) Στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του BΓ και της ισόθερmicroης εκτόνωσής του ΓΔ δηλαδή ισχύει η σχέση Q = QB +Q$ = nCP(2T0 - T0) + nR2T0ln(2V0V0 )

Q

= 5nRT02 + 2nRT0 ln2 Q

= P0V0 (52 + 2ln2) (1)

ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (2)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της υπο λογίζεται από τη σχέση

W = W

AB+ W

B + W$ + W$A

W

= nRT0ln

V0

2V0

$

amp +2P

0V

0-V

0

2

$

amp +

+

nR2T0ln2V0

V0

$

amp amp +P0(V0 - 2V0 )

W

= -nRT0ln2+P

0V

0+2nRT

0ln2 -P

0V

0=nRT

0ln2=P

0V

0ln2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) έχουmicroε

=P0V0ln2

P0V0(52 +2ln2)=

ln2

52 + 2ln2

Tο αέριο microιας θερmicroικής microηχανής είναι ιδανικό και υποβάλλεται σε αντιστρεπτό κύκλο ο οποίος αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή εκτόνωση AB microέχρις τετραπλασιασmicroού του όγ κου του αερίου ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση BΓ microέχρις ότου η πίεση του αερίου γίνει ίση microε το 132 της αρχικής της τιmicroής PA και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A όγκου VA α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Nα βρείτε το λόγο γ=CPCV του αερίου και να δείξετε ότι η θερ microότητα που απορροφά κατά την εξέλιξη του κύκλου είναι ίση microε 15PAVA2 γ) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Gay-Lussac θα τετραπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή απο TA θα γίνει 4TA Σύmicroφωνα microε το πρόβληmicroα κατά την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου η πίεση του microειώνε ται από την τιmicroή PA στην τιmicroή PA32 ο δε όγκος του αυξάνεται από την τιmicroή

Σχήmicroα 23 4VA στην τιmicroή VΓ Όmicroως microέσω της ισόθερmicroης συmicroπίεσης ΓA το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle θα έχουmicroε τη σχέση

PV

= P

AV

A V

= 32VA

Mε βάση τα παραπάνω το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (23) β) Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου το νόmicroο του Poisson παίρνουmicroε τη σχέση PB

VB

= PV

PA(4VA)

= (PA32)(32VA )

4

= 32-1 2

2= 2

5( -1) 2 = 5( - 1) = 53 που σηmicroαίνει ότι το αέριο είναι microονοατοmicroικό Eξάλλου η θερmicroότητα που απορροφά το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου ABΓA είναι ίση microε την θερmicroό τητα QAB που απορροφά κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του AB δηλαδή ισχύει Q

= QAB = nCP(4TA - TA) = 5nR(3TA 2)

Q

= 15nRTA2 = 15PAVA2 (1)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓ είναι

= W

Q$

(2) Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου του (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) οπότε θα έχουmicroε

W= Q$ = QAB + QB+ QA = nCP(4TA -TA ) + 0 + nRTAln(VA32VA )

W

= 5nR(3TA 2) - nRTAln(25)

W

= PAVA (152 - 5ln2) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) παίρνουmicroε

=PAVA(152 - 5ln2)

15PAVA2=

15 - 10ln2

15= 1 -

2ln2

3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) την ισόθερmicroη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του αερίου οκταπλασιάζεται ii) την ισόχωρη ψύξη BΓ και iii) την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0=3105 Ntm2 όγκου

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 4: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

Q1 σε microηχανικό έργο W γεγονός που σηmicroαίνει την άρνηση της διατύπωσης των Kelvin- Plank

Σχήmicroα 3 Σχήmicroα 4 Έστω τώρα ότι υπάρχει ιδανική θερmicroική microηχανή δηλαδή microια θερmicroική microηχανή που microετατρέπει σε κάθε κύκλο λειτουργίας της την θερmicroότητα Q1 που παίρνει από microια πηγή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 πλήρως σε microηχανικό έργο W Θεωρούmicroε τώρα και microια ψυκτική microηχανή που λειτουργεί microεταξύ των πηγών A και B ακολουθώντας την διατύπωση του Clausius (σχήmicroα 4) Eίναι δυνατόν η ψυκτική αυτή microηχανή παίρνωντας το έργο W να δίνει σε κάθε κύκλο λειτουργίας της θερmicroότητα Q1 στην πηγή A αφαιρώντας συγχρόνως κατάλληλη ποσότητα θερmicroότητας Q2 από την πηγή B Tότε όmicroως το σύστηmicroα των δύο microηχανών θα αποτελούσε microια ιδανική ψυκτική microηχανή γεγονός που ισοδυναmicroεί microε άρνηση της διατύπωσης του Clausius 5 Θερmicroική microηχανή του Carnot O Γάλλος microηχανικός Sadi Carnot επιθυmicroώντας να διευκρινίσει πιο είναι το ανώτατο όριο του θερmicroοδυναmicroικού συντελεστή απόδοσης microιας θερmicroικής microηχα νής που λειτουργεί ανάmicroεσα σε δύο δεδοmicroένες θερmicroοκρασίες T1 καί T2 επινό ησε ένα microοντέλο θερmicroικής microηχανής microε τα εξής χαρακτηριστικά α Tο υλικό microέσο της microηχανής αυτής είναι ένα ιδανικό αέριο β Kατά τη λειτουργία της microηχανής το υλικό της microέσο υφίσταται συνεχώς microια αντιστρεπτή κυκλική διεργασία που είναι γνωστή ως κύκλος Carnot καί αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές Aπό microια ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB στη διάρκεια της οποίας το υλικό microέσο απορροφά από τη δεξαmicroενή θερmicroότητας υψηλής θερmicroοκρασίας T1 θερmicroότητα Q1 (Q1gt0) Aπό microια αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ στη διάρκεια της οποίας η θερmicroοκρασία του υλικού microέσου microειώνεται από T1 σε T2 Aπό microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ κατά την οποία το microέσο εκχωρεί θερmicroότητα Q2 (Q2lt0) στη δεξαmicroενή θερmicroότητας χαmicroηλής θερmicroοκ ρασίας T2 Tέλος το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση microέσω microιας αδιαβατικής συmicroπίεσης ΔrarrA κατά την οποία η θερmicroοκρασία του αυξάνεται από T1 σε T2 (σχήmicroα 5) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αC της microηχανής του Carnot σύmicroφωνα microε όσα αναφέρθηκαν στο προηγούmicroενο εδάφιο είναι

C = 1 -Q2

Q1

(1)

Όmicroως γιά τις θερmicroότητες Q1 καί Q2 ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 5

Q1 = nRT1 ln

VB

VA

$

amp και

Q2 = nRT2 lnV

V

$

amp

όπου VAVBVΓVΔ οι όγκοι των αερίων στις καταστάσεις A B Γ καί Δ αντιστοίχως και n ο αριθmicroός των mol του αερίου Έτσι η σχέση (1) γράφεται

C = 1 -T2ln(V

V

)

T1ln(VBVA ) (2)

Eξάλλου γιά τις αδιαβατικές microεταβολές BrarrΓ καί ΔrarrA ισχύουν οι σχέσεις

T1 B

-1

V = T2

-1

V

T1 A

-1

V = T2

-1

V

( )

BV

AV

$

amp

-1

=V

V

$

amp

-1

BV

AV=

V

V

lnBV

AV

$

amp = ln

V

V

$

amp

lnBV

AV

$

amp = -ln

V

V

$

amp

οπότε η σχέση (2) δίνει

C= 1 -

T2

T1

(3)

Παρατηρούmicroε από τη σχέση (3) ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης microιας θερmicroικής microηχανής Carnot εξαρτάται microόνο από τις θερmicroοκρασίες T1 καί T2 των δεξαmicroενών θερmicroότητας που χρησιmicroοποιεί και microάλιστα όσο πιο microικρός είναι ο λόγος T2T1 τόσο microεγαλύτερος είναι ο συντελεστής αC

6 Oρισmicroός της εντροπίας O Clausius επιθυmicroώντας να δώσει microαθηmicroατική microορφή στον δεύτερο θερmicroοδυ ναmicroικό νόmicroο επινόησε την έννοια της εντροπίας ένα microέγεθος που άνοιξε ευρύ τατους ορίζοντες για την ανάπτυξη της Θερmicroοδυναmicroικής Aφετηρία για να ορί σει ο Clausius την έντροπία υπήρξε ο κύκλος του Carnot τον οποίο σκέφθηκε να διαmicroερίσει σε microεγάλο πλήθος στοιχειωδών microεταβολών και σχηmicroάτισε για κάθε microια το πηλίκο της θερmicroότητας dQ που ανταλλάσσει το αέριο microε το περι βάλλον του προς την αντίστοιχη θερmicroοκρασία T υπό την οποία γίνεται η ανταλ λαγή και στη συνέχεια άθροισε όλα αυτά τα πηλίκα Aναπαράγοντας τις ιδέες του Clausius για τον κύκλο Carnot ΑΒΓΔ (σχήmicroα 6) θα έχουmicroε

dQT( )

(C) = dQT( )

(AB) + dQT( )

(B) + dQT( )

( ) + dQT( )

(A) (1)

Σχήmicroα 6

Όmicroως οι microεταβολές BΓ και ΔA είναι αδιαβατικές και εποmicroένως τα αντίστοιχα αθροίσmicroατα είναι microηδενικά δηλαδή ισχύει

dQT( )

(B ) = dQT( )

(A) = 0 (2)

Eξάλλου εάν Q1 είναι το ποσό θερmicroότητας που παίρνει το αέριο κατά την ισό θερmicroη εκτόνωσή του AB Q2 το ποσό της θερmicroότητας που δίνει κατά την ισό

θερmicroη συmicroπίεση του ΓΔ και T1 T2 οι αντίστοιχες απόλυτες θερmicroοκρασίες του θα έχουmicroε τις σχέσεις

dQT( )

(AB) = Q1T1 και

dQT( )

() = Q2 T2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) και (3) έχουmicroε

Q

T

$

amp

(C)

=Q1

T1

+Q2

T2

(4)

Όmicroως σε microια κυκλική microεταβολή Carnot ισχύει η σχέση

Q1

T1

=-Q2

T2

Q1

T1

+Q2

T2

= 0

οπότε η (4) γράφεται

dQT( )

(C) = 0 (5)

H σχέση (5) δηλώνει ότι σε κάθε κυκλική microεταβολή Carnot ενός αερίου το αλγεβρικό άθροισmicroα των πηλίκων των στοιχειωδών θερmicroότητων που αυτό ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του προς την αντίστοιχη απόλυτη θερmicroοκρασία υπό την οποία γίνεται η ανταλλαγή είναι ίση microε microηδέν O Clausius έδειξε ότι η σχέση (5) έχει γενικώτερο χαρακτήρα δηλαδή ισχύει για κάθε αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή ενός σώmicroατος και το γεγονός αυτό του επέτρεψε να ισχυρι σθεί ότι για κάθε σώmicroα υπάρχει ένα φυσικό microέγεθος χαρακτηριστικό της κατά στασής του και ανεξάρτητο του τρόπου microε τον οποίο το σώmicroα βρέθηκε στην κατάσταση αυτή Tο microέγεθος αυτό ο Clausius το ονόmicroάσε εντροπία του σώmicroα τος και το συmicroβόλισε microε S Mολονότι η σχέση (4) εγγυάται την ύπαρξη της εντροπίας σε κάθε κατάσταση ισορροπίας του σώmicroατος δεν microας επιτρέπει να την ορίσουmicroε Mας επιτρέπει όmicroως να ορίσουmicroε τη microεταβολή της εντροπίας κατά microια αντιστρεπτή πορεία του από microια αρχική κατάσταση σε microια τελική κατάσταση Σε περίπτωση που το σώmicroα εκτελεί microια στοιχειώδη αντιστρεπτή microεταβολή κατά την εξέλιξη της οποίας ανταλλάσσει microε το περιβάλλον ένα πολύ microικρό (στοιχειώδες) ποσό θερmicroότητας dQ και βρίσκεται σε απόλυτη θερmicroοκρασία T τότε η αντίστοιχη στοιχειώδης microεταβολή dS της εντροπίας του ορίζεται από τη σχέση

dS = dQT (7) Eάν η αντιστρεπτή microεταβολή δεν είναι στοιχειώδης τότε η συνολική microεταβολή ΔSολ της εντροπίας του σώmicroατος όταν αυτό οδηγείται από microιά αρχική κατά σταση α σε microιά τελική κατάσταση τ θα είναι ίση microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των στοιχειωδών microεταβολών dS1 dS2 dSn της εντροπίας του που αντιστοιχούν στις στοιχειώδεις αντιστρεπτές microεταβολές στις οποίες διαmicroερίζεται η θεωρούmicroε νη microεταβολή δηλαδή θα ισχύει ΔSολ=dS1+dS2+ +dSn

S =

dQ1

T1

+dQ

2

T2

+ +dQ

n

Tn

=dQ

T

$

amp

$

(8)

Παρατηρήσεις i) Όταν αναφερόmicroαστε σε θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα στο οποίο εξελλίσεται microιά οποιαδήποτε διαδικασία (αντιστρεπτή ή όχι) η microεταβολή της εντροπίας του συστήmicroατος είναι ίση microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των microεταβολών της εντροπίας των σωmicroάτων που το αποτελούν ii) Όταν ένα θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα οδηγείται microε αντιστρεπτό τρόπο από microιά αρχική σε microία τελική κατάσταση ισορροπίας η microεταβολή της εντροπίας του είναι ακριβώς αντίθετη της microεταβολής που παθαίνει η εντροπία του περιβάλ λοντος του συστήmicroατος Aυτό είναι άmicroεση συνέπεια του ορισmicroού που έχουmicroε δώσει για την αντιστρεπτή microεταβολή και δικαιολογείται ως εξής Kατά την εξέλιξη της αντιστρεπτής microεταβολής το θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του στοιχειώδη ποσά θερmicroότητας ευρισκόmicroενο σε θερmicroοδυ ναmicroική ισορροπία microε αυτό που σηmicroαίνει ότι υπάρχει κάθε στιγmicroή ανάmicroεσά τους microιά πολύ microικρή διαφορά θερmicroοκρασίας Έτσι αν το σύστηmicroα πάρει από το περι βάλλον του κατά τρόπο αντιστρεπτό την στοιχειώδη θερmicroότητα dQ υπό θερmicroο κρασία T η microέν εντροπία του συστήmicroατος θrsquo αυξηθεί κατά dQT ενώ του περιβάλλοντος του θα ελαττωθεί κατά dQT οπότε η αντίστοιχη microεταβολή της εντροπίας του συστήmicroατος και του περιβάλλοντος θα είναι ίση microε microηδέν Omicroως το θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα και το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν που θεωρείται αποmicroονώmicroενο σύστηmicroα δηλαδή σύστηmicroα που δεν ανταλλάσει ύλη και ενέργεια οπότε microπορούmicroε να διατυπώσουmicroε την παρακάτω γενική πρόταση Kατά τις αντιστρεπτές microεταβολές των θερmicroοδυναmicroικών συστηmicroάτων η εντροπία του Σύmicroπαντος διατηρείται σταθερή iii) Όταν ένα σώmicroα υποβάλλεται σε αντιστρεπτή ή microη αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή της θερmicroοδυναmicroικής του κατάστασης τότε η συνολική microεταβολή της εντροπίας του είναι microηδέν Στην περίπτωση που η κυκλική microεταβολή είναι αντιστρεπτή η παραπάνω ιδιότητα περιγράφεται από τη σχέση

dQT( )

(C) = 0

όπου ο υπολογισmicroός του αθροίσmicroατος θα γίνει κατα microήκος της κλειστής καmicroπύ λης γραmicromicroής (C) η οποία απεικονίζει σε κατάλληλο ορθογώνιο σύστηmicroα αξό νων τη θεωρούmicroενη κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή του σώmicroατος 7 Yπολογισmicroός της microεταβολής της εντροπίας σε ειδικές περιπτώσεις O υπολογισmicroός της microεταβολής της εντροπίας ενός σωmicroάτος όταν αυτό microετέχει σε microια φυσική διεργασία παρουσιάζει στη γενική περίπτωση microαθηmicroατική δυσκολία η οποία εξαρτάται από το είδος της διεργασίας στην οποία υποβάλλε ται Σε microερικές όmicroως περιπτώσεις ο υπολογισmicroός της είναι εφικτός microε απλοική microαθηmicroατική διαδικασία όπως λογουχάρη στην περίπτωση της ισόθερmicroης και

αντιστρεπτής microεταβολής ή στην περίπτωση της αδιαβατικής και αντιστρεπτής microεταβολής της κατάστασης ιδανικού αερίου α Iσόθερmicroη microεταβολή Aς δεχθούmicroε ότι microια microάζα n mol ιδανικού αερίου υποβάλλεται σε ισόθερmicroή και αντιστρεπτή microεταβολή της θερmicroοδυναmicroικής του κατάστασης υπό θερmicroοκρασία T κατά την οποία ο όγκος του microεταβάλλεται από V1 σε V2 Eπειδή η θερmicroοκρα σία του αερίου παραmicroένει σταθερή microπορεί να βγεί κοινός παράγοντας σε όλους τους όρους του αθροίσmicroατος Σ(dQT) oπότε για τη microεταβόλή ΔSισοθ της εντρο πίας του αερίου θα έχουmicroε τη σχέση

S

$=

1

T dQ( ) =

Q$

T

Όmicroως η θερmicroότητα Qισοθ που ανταλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του είναι ίση microε το αντίστοιχο έργο Wισοθ του αερίου οπότε η προηγούmicroενη σχέση γράφε ται

S$

=W

$

T=

nRT

Tln

V2

V1

$

amp = nRln

V2

V1

$

amp

Παρατηρούmicroε ότι κατά την ισόθερmicroη αντιστρεπτή εκτόνωση του αερίου (V2gtV1) ισχύει ΔSgt0 που σηmicroαίνει ότι η εντροπία του αυξάνεται Aκριβώς τα αντίστρο φα συmicroβαίνουν κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του αερίου (V2ltV1) οπότε ΔSlt0 β Aδιαβατική microεταβολή Όταν το αέριο υφίσταται αδιαβατική και αντιστρεπτή microεταβολή τότε όλα τα στοιχειώδη ποσά θερmicroότητας dQ που ανταλάσσει microε το περιβάλλον του είναι microηδενικά οπότε η microεταβολή της εντροπίας του θα είναι microηδενική δηλαδή θα ισχύει

ΔSαδιαβ = 0 Λόγω της παραπάνω ιδιότητας microια αδιαβατική και αντιστρεπτή microεταβολή της κατάστασης ιδανικού αερίου ονοmicroάζεται και ισεντροπική microεταβολή 8 Eντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου Aς θεωρήσουmicroε ένα σώmicroα που microετέχει microιας φυσικής διαδικασίας η οποία το οδηγεί από microια αρχική σε microια τελική κατάσταση θερmicroοδυναmicroικής ισορροπίας Kατά την διαδικασία αυτή η εντροπία του σώmicroατος microεταβάλλεται ανεξάρτητα από τον τρόπο που εξελίσσεται η διαδικασία αυτή αφού η εντροπία του σώmicroα τος είναι microονότιmicroη συνάρτηση της κατάστασής του Στην περίπτωση που το σώmicroα οδηγείται στην τελική κατάσταση κατά microη αντιστρεπτό τρόπο δεν microπο ρούmicroε για τον υπολογισmicroό της microεταβολής της εντροπίας του να χρησιmicroοποι ήσουmicroε τη σχέση (8) του εδαφίου 6 διότι όπως αναφέρθηκε παραπάνω αυτή έχει νόηmicroα microόνο σε αντιστρεπτές διαδικασίες Mπορούmicroε όmicroως να επιλέξουmicroε microια κατάλληλη αντιστρεπτή πορεία που οδηγεί το σώmicroα στην τελική του κατά

σταση και να υπολογίσουmicroε πάνω σrsquo αυτή την πορεία την microεταβολή της εντρο πίας του σώmicroατος χρησιmicroοποιώντας τη σχέση (8) H microεταβολή αυτή θα αντιπροσωπεύει και τη microεταβολή της εντροπίας του σώmicroατος κατά την αντί στοιχη microη αντιστρεπτή διαδικασία Στα επόmicroενα θα επιχειρήσουmicroε να υπολογί σουmicroε τη microεταβολή της εντροπίας σε microερικές χαρακτηριστικές microη αντιστρε πτές διεργασίες και να αξιολογήσουmicroε τα αποτελέσmicroατα των υπολογισmicroών α Eλεύθερη εκτόνωση ιδανικού αερίου Aς θεωρήσουmicroε ένα ιδανικό αέριο που βρίσκεται σε δοχείο microε αδιαβατικά τοιχώmicroατα Tο δοχείο αυτό χωρίζεται microε τη βοήθεια ενός διαφράγmicroατος σε δύο χώρους που τον ένα καταλαmicroβάνει το αέριο ενώ ο άλλος χώρος είναι κενός Aν αφαιρέσουmicroε το διάφραγmicroα τότε το αέριο εκτονώνεται από τον αρχικό του όγκο V1 στον όγκο V2 του δοχείου χωρίς να ανταλλάσσει θερmicroότητα και έργο microε το περιβάλλον του (Q=0 και W=0) Tο φαινόmicroενο αυτό ονοmicroάζεται ελεύθερη εκτόνωση του αερίου αποτελεί δε microη αντιστρεπτό φαινόmicroενο αφού ποτέ δεν παρατηρήθηκε αυτόmicroατη αδιαβατική συmicroπίεση του αερίου στην αρχική του κατάσταση Eφαρmicroόζοντας στο αέριο τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε για την microεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας την σχέση ΔU=0 που σηmicroαίνει ότι κατά την ελεύθερη εκτόνωση του αέριου η εσωτερική του ενέρ γεια άρα και η θερmicroοκρασία του παρέmicroεινε η ίδια Έτσι η αρχική και η τελική κατάσταση του αέριου βρίσκονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη χωρίς

Σχήmicroα 7 Σχήmicroα 8 όmicroως οι ενδιάmicroεσες καταστάσεις του αερίου να βρίσκονται πάνω στην καmicroπύλη αυτή αφού δεν είναι καταστάσεις ισορροπίας και εποmicroένως δεν απεικονίζονται σε διάγραmicromicroα P-V Γίνεται τώρα φανερό ότι για να υπολογίσουmicroε τη microεταβολή ΔS της εντροπίας του αέριου θα χρησιmicroοποιήσουmicroε την αντίστοιχη ισόθερmicroη αντιστρεπτή εκτόνωση που microπορεί να το οδηγήσει από την αρχική κατάσταση A1 όγκου V1 στην τελική κατάσταση A2 όγκου V2 (σχήmicroα 8) Για τη microεταβολή αυτή έχουmicroε

S = nR ln V2V

1( ) (1) όπου n ο αριθmicroός των mol του αερίου και R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανι κών αερίων Eπειδή V2gtV1 θα ισχύει και ln(V2V1)gt0 οπότε σύmicroφωνα microε την (1) η microεταβολή της εντροπίας του αερίου κατά την ελεύθερη εκτόνωση του είναι θετική δηλαδή η εντροπία του αυξάνεται Eξάλλου η εντροπία του περι βάλλοντος του αερίου δεν παθαίνει καmicroιά microεταβολή στη διάρκεια αυτής της microη αντιστρεπτής διαδικασίας αφού το περιβάλλον δεν συmicromicroετέχει ενεργειακά σ΄

αυτήν Έτσι microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι τουλάχιστον γιrsquo αυτή την microη αντιστρεπτή microεταβολή η εντροπία του αερίου και του περιβάλλοντος αυξάνει Όmicroως το αέριο microαζί microε το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν οπότε η ελεύθερη εκτόνωση ενός αερίου οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του Σύmicroπαν τος Pοή θερmicroότητας δια microέσου χάλκινης ράβδου Tο φαινόmicroενο ροής θερmicroότητας από microια δεξαmicroενή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 προς microια άλλη δεξαmicroενή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 (T1gtT2) δια microέσου χάλκινης ράβδου είναι microη αντιστρεπτό φαινόmicroενο Kατά την εξέλιξη του φαινοmicroένου αυτού η εντροπία της χάλκινης ράβδου δεν microεταβάλλεται αφού η θερmicroοκρασία σε κάθε διατοmicroή της είναι χρονικά σταθερή και όση θερmicroότητα φθάνει στην διατοmicroή αυτή microέσα σrsquo ένα χρονικό διάστηmicroα τόση φεύ γει από τη διατοmicroή στο διάστηmicroα αυτό Έτσι η ολική microεταβολή ΔSολ της εντρο πίας του συστήmicroατος είναι ίση microε το άθροισmicroα της microεταβολής ΔSA της εντρο πίας της δεξαmicroενής A και της microεταβολής ΔSB της εντροπίας της δεξαmicroενής B δηλαδή ισχύει ΔSσυστ=ΔSA+ΔSB (2) Για να υπολογίσουmicroε τις microεταβολές ΔSA και ΔSB πρέπει να βρούmicroε microια αντισ τρεπτή διαδικασία microεταφοράς της θερmicroότητας Q από τη δεξαmicroενή A στη B Tέτοια διαδικασία microπορεί να εξασφαλιστεί αν διαθέτουmicroε microια δεξαmicroενή θερmicroό τητας που τη θερmicroοκρασία της microπορούmicroε να ελέγχουmicroε αυτόmicroατα η οποία

Σχήmicroα 9

να έρχεται διαδοχικά σε επαφή πρώτα microε την A και στη συνέχεια σε επαφή microε την B Mε τον τρόπο αυτό η δεξαmicroενή ελεγχόmicroενης θερmicroοκρασίας θα microεταφέρει κατά αντιστρεπτό τρόπο την θερmicroότητα Q από την A στην B οπότε για τις microεταβολές ΔSA και ΔSB θα έχουmicroε τις σχέσεις

SA = -QT1

SB = QT2

(+ )

SA + SB =Q

T2

-Q

T1

= QT1 - T2

T1T2

$

amp (3)

------------------------------- Προς στιγmicroή αγνοούmicroε όλες τις άλλες φυσικές διαδικασίες που συmicroβαίνουν στο περιβάλλον του αέριου και εντοπίζουmicroε την προσοχή microας στο πως επηρεάζεται το περιβάλλον από την ελεύθερη εκτόνωση του αερίου Mε τη βοήθεια microιας τέτοιας πηγής microπορούmicroε να εξασφαλίσουmicroε κάθε στιγmicroή microικρή διαφορά θερmicroοκρασίας ανάmicroεσα στην πηγή αυτή και στις πηγές A και B οπότε η ροή θερmicroότητας θα γίνεται κατά τρόπο αντιστρεπτό

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουmicroε τη σχέση

S

$= Q

T1 - T2

T1T2

$

amp (4)

Aπό την (4) προκύπτει ΔSσυστgt0 που σηmicroαίνει ότι κατά τη ροή θερmicroότητας από τη δεξαmicroενή A στην B δια microέσου της χάλκινης ράβδου η εντροπία του συστή microατος αυξάνεται Eξάλλου το περιβάλλον του συστήmicroατος των δύο δεξαmicroενών θερmicroότητας και της χάλκινης ράβδου δεν συmicromicroετέχει ενεργειακά σ΄ αυτή τη microη αντιστρεπτή διεργασία οπότε microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι η εντροπία του δεν microεταβάλλεται δηλαδή ισχύει ΔSπερ=0 Όmicroως το σύστηmicroα και το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν οπότε η ροή θερmicroότητας διrsquo αγωγής οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του Σύmicroπαντος Στο ίδιο συmicroπέρασmicroα καταλήγουmicroε εάν εξετάσουmicroε και άλλες φυσικές διαδικασίες που εξελλίσονται κατά microη αντιστρε πτό τρόπο όλες δε οι πειραmicroατικές microας εmicroπειρίες που αναφέρονται σε microη αντι στρεπτά φαινόmicroενα είναι συmicroβιβαστές microε την ακόλουθη πρόταση Kάθε microη αντιστρεπτή διαδικασία που συmicroβαίνει στο Σύmicroπαν οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του H πρόταση αυτή αποτελεί την εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroο δυναmicroικού νόmicroου και microολονότι δεν υπάρχει αυστηρή microαθηmicroατική απόδειξη αυτής πρέπει να τονίσουmicroε ότι η πρόταση είναι συνεπής προς όλα τα φυσικά φαινόmicroενα που εξελίσσονται στο Σύmicroπαν κατά microη αντιστρεπτό τρόπο Όπως θα δειχθεί στο επόmicroενο εδάφιο η εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυνα microικού νόmicroου είναι ισοδύναmicroη microε τη διατύπωση Kelvin-Plank που σηmicroαίνει ότι η αποδοχή ή παραβίαση της microιας συνεπάγεται την αποδοχή ή παραβίαση της άλλης Παρατήρήση Kάθε φυσική διαδικασία που συmicroβαίνει microέσα σrsquo ένα αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα δηλαδή σrsquo ένα σύστηmicroα που δεν ανταλλάσσει ύλη και ενέργεια microε το περιβάλ λον του θεωρείται αυθόρmicroητο φυσικό φαινόmicroενο αφού για την πραγmicroατο ποίησή του δεν χρειάζεται εξωτερική επίδραση Όmicroως microε την έννοια αυτή τα αυθόρmicroητα φαινόmicroενα είναι και microη αντιστρεπτά οπότε σύmicroφωνα microε την εντρο πική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου συνοδεύονται από αύξηση της εντροπίας του αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος Mπορούmicroε λοιπόν να διατυπώσουmicroε την παρακάτω πρόταση που είναι γνωστή ως αρχή αύξησης της εντροπίας ενός αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος Kάθε αυθόρmicroητη διαδικασία που συmicroβαίνει σrsquo ένα αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του 9 Iσοδυναmicroία της εντροπικής διατύπωσης προς την διατύπώση Kelvin-Plank Θα δείξουmicroε ότι η άρνηση της εντροπικής διατύπωσης του δεύτερου θερmicroοδυ ναmicroικού νόmicroου συνεπάγεται άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank Προς τούτο θεωρούmicroε microία θερmicroική microηχανή Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ των πηγών θερmicroότητας A και B αντιστοίχων θερmicroοκρασίων T1 και T2 microε T2ltT1 και

υποθέτουmicroε ότι σε κάθε κύκλο λειτουργίας της το θερmicroαντικό της σώmicroα (ιδανικό αέριο) απορροφά από την πηγή A θερmicroότητα Q1 και δίνει στην πηγή B θερmicroότητα Q2 Eπί πλέον υποθέτουmicroε ότι κατά τη λειτουργία της θερmicroικής αυτής microηχανής παραβιάζεται η εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυνα microικού νόmicroου δηλαδή ότι η εντροπία του Σύmicroπαντος microειώνεται Tότε θα ισχύει ΔSΣυmicroπlt0 ΔSmicroηχ+ΔSπερlt0 (1) Όmicroως η microεταβολή ΔSπερ της εντροπίας του περιβάλλοντος της θερmicroικής microηχα νής του Carnot είναι microηδενική διότι αυτό παίρνει microόνο έργο από τη microηχανή ενώ η microεταβολή ΔSmicroηχ της εντροπίας της microηχανής θα είναι

ΔSmicroηχ=ΔSαερ+ΔSA+ΔSB

Smicro = 0 +-Q1

T1

+Q2

T2

(2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

-Q1

T1

+Q2

T2

lt 0

Q1

T1

gtQ2

T2

(3)

Όmicroως η σχέση (3) σηmicroαίνει ότι η θερmicroική microηχανή του Carnot δεν λειτουργεί σύmicroφωνα microε τη διατύπωση των kelvin-Plank διότι τότε θα έπρεπε να ισχύει η σχέση

Q1 T1 = Q2 T2 Δηλαδή η παραβίαση της εντροπικής διατύπωσης του

δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου συνεπάγεται και την παραβίαση της διατύπω σης Kelvin-Plank 10 Aρχή υποβάθmicroισης της ενέργειας Aς θεωρήσουmicroε ένα σύστηmicroα από δύο σώmicroατα A και B που βρίσκονται σε αντί στοιχες θερmicroοκρασίες T1 και T2 microε T1gtT2 το οποίο είναι αποmicroονωmicroένο microε το περιβάλλον του Eάν τα δύο σώmicroατα έλθουν σε επαφή τότε είναι γνωστό ότι θα microεταβιβαστεί θερmicroότητα από το σώmicroα υψηλής θερmicroοκρασίας T1 προς το σώmicroα χαmicroηλώτερης θερmicroοκρασίας T2 microέχρις ότου τα δύο σώmicroατα αποκτήσουν κοινή θερmicroοκρασία Tκ για την οποία ισχύει T2ltTκltT1 Kατά την microη αντιστρεπτή αυτή διαδικασία το σύστηmicroα δεν ανταλλάσσει έργο και θερmicroότητα microε το περιβάλλον του αφού αποτελεί αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα microε αποτέλεσmicroα η εσωτερική του ενέργεια να παραmicroένει σταθερή (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) ενώ σύmicroφωνα microε την εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου η εντροπία του συστήmicroατος αυξάνεται Eξάλλου το σύστηmicroα στην αρχική του κατάσταση εmicroφανίζει microιά ορισmicroένη ικανότητα παραγωγής οργανωmicroένης ενέργειας αφού microπορεί νrsquo αποδώσει microηχανικό έργο microε τη microεσολάβηση microιας θερmicroικής microηχανής ανάmicroεσα στα δύο σώmicroατα Aντίθετα στην τελική του κατάσταση το σύστηmicroα έχει χάσει την ικανότητά του να δώσει οργανωmicroένη ενέργεια αφού τώρα είναι αδύνατη η λειτουργία microιάς θερmicroικής microηχανής microεταξύ των δύο σωmicroάτων καθό σον τα δύο σώmicroατα βρίσκονται στην ίδια θερmicroοκρασία Aπό την σύγκριση των δύο καταστάσεων βγαίνει το συmicroπέρασmicroα ότι microολονότι η εσωτερική ενέργεια του συστήmicroατος δεν άλλαξε η ικανότητα του για παραγωγή οργανωmicroένης ενέργειας δηλαδή ενέργειας που microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί ωφέλιmicroα έχει microηδε νιστεί ενώ ταυτόχρονα η εντροπία του συστήmicroατος παρουσιάζεται αυξηmicroένη Δηλαδή η αυξηmicroένη εντροπία του συστήmicroατος έχει υποβαθmicroίσει την ποιότητα

της εσωτερικής του ενέργειας microε την έννοια ότι αυτό δεν είναι τώρα σε θέση να δώσει ωφέλιmicroη ενέργεια Γενικώτερα αν αναφερθούmicroε στα microη αντιστρεπτά φυσικά φαινόmicroενα που συmicroβαίνουν στο Σύmicroπαν microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι συνοδεύονται microε ενεργειακή υποβάθmicroισή του δηλαδή microε απώλεια της δυνατότητάς του για παραγωγή ενέργειας ανώτερης ποιότητας microολονότι η εσωτερική του ενέργεια παραmicroένει αναλλοίωτη Aυτό σηmicroαίνει ότι microε την πάροδο του χρόνου το Σύmicroπαν τείνει σε microιά κατάσταση microέγιστης εντροπίας που του περιορίζει την ποιότητα του ενεργειακού του περιεχόmicroενου και το οδη γεί στον λεγόmicroενο θερmicroικό ή εντροπικό θάνατο Ένα άλλο χαρακτηριστικό παράδειγmicroα που microας δείχνει ότι η αύξηση της εντροπίας ενός αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος ελαττώνει την ικανότητα του για παραγωγή οργανωmicroένης ενέρ γειας είναι το εξής Aφήνουmicroε ένα σώmicroα να πέσει από ύψος h στο πάτωmicroα του δωmicroατίου microας Tο σώmicroα ξεκινάει την διαδροmicroή του microε microιά οργανωmicroένη δυνα microική ενέργεια mgh η οποία microετά την κρούση του microε το πάτωmicroα microετασχη microατίζεται σε ανοργάνωτη θερmicroική ενέργεια που κατανέmicroεται στο σώmicroα στο πάτωmicroα στον αέρα και στους τοίχους του δωmicroατίου microε αποτέλεσmicroα νrsquo αυξηθεί λίγο η θερmicroοκρασία τους Kατά την microη αντιστρεπτή αυτή διαδικασία η ολική ενέργεια του συστήmicroατος διατηρήθηκε σταθερή αυξήθηκε όmicroως η εντροπία του H αυξηmicroένη εντροπία του συστήmicroατος κάνει αδύνατη την αντίστροφη εξέλιξη του φαινοmicroένου δηλαδή την microετατροπή της προηγούmicroενης θερmicroικής ενέργειας σε δυναmicroική ενέργεια microε αυθόρmicroητη ανύψωση του σώmicroατος στην αρχική του θέση και ταυτόχρονη ψύξη όλων των σωmicroάτων που πήραν microέρος στο φαινόmicroενο Έτσι το σύστηmicroά παρουσιάζεται στην τελική του κατάσταση microε υποβαθmicroισmicroένο ενεργειακό περιεχόmicroενο δηλαδή έχει microειωθεί η ποιότητα της ενέργειάς του αφού αυτό έχασε την ικανότητά του να δίνει ωφέλιmicroο έργο Παρατήρηση H θερmicroότητα ως microορφή ενέργειας είναι ποσοτικά ισοδύναmicroη microε τις άλλες microορφές ενέργειας (microηχανική ηλεκτρική χηmicroική κλπ) αλλά ποιοτικά είναι υποβαθmicroισmicroένη ως προς αυτές Aυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η θερmicroότητα δεν microπορεί να microετασχηmicroατιστεί ολοκληρωτικά σε ενέργεια άλλης microορφής ενώ αντίθετα οι άλλες microορφές ενέργειας microε απλές διαδικασίες microετασχηmicroατίζονται ολοκληρωτικά σε θερmicroότητα lsquoΕτσι η θερmicroότητα θεωρείται ως ενέργεια κατώτε ρης ποιότητας ή ως microη οργανωmicroένη ενέργεια ως προς τις άλλες microορφές ενέρ γειας οι οποίες θεωρούνται ως ενέργειες ανώτερης ποιότητας

PM fysikos

Iδανικό αέριο εκτελεί διαδοχικά τις παρακάτω θερmicroικές διαδικασίες α) Mιά αντιστρεπτή ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται

β) Mιά αντιστρεπτή ισόχωρη microεταβολή κατά την οποία η πίεση του αερίου γίνεται η microισή της αρχικής του πιέσεως i) Nα σχεδιαστούν τα διαγράmicromicroατα P-V P-T και V-T των δύο αυτών συνεχόmicroενων microεταβολών ii) Nα βρεθεί η συνολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του Δίνονται τα καταστατικά microεγέθη V0 P0 και T0 της αρ χικής κατάστασης του αερίου ΛYΣH i) Kατά την αντιστρεπτή ισοβαρή εκτόνωση ArarrB του ιδανικού αερί ου από τον όγκο V0 στον όγκο 2V0 η απόλυτη θερmicroοκρασία του αυξάνει από την τιmicroή T0 στην τιmicroή 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) Στην αντιστρεπτή ισόχωρη microεταβολή BrarrΓ που ακολουθεί ο όγκος του αέριου microένει σταθερός και ίσος microε 2V0 ενω η πίεσή του ελαττώνεται από την τιmicroή Pο στην τιmicroή P02 microε απο τέλεσmicroα να ελαττώνεται και η θερmicroοκρασία του αέριου από την τιmicroή 2T0 στην

Σχήmicroα 10 Σχήmicroα 11 Σχήmicroα 12

τιmicroή T0 (νόmicroος Charles) Όλα τα παραπάνω εκφράζονται συmicroβολικά ως εξής

A(P0 V0 T0) rarr B(P0 2V0 2T0) rarr Γ(P02 2V0 T0) Tα σχήmicroατα (10) (11) (12) αποτελούν τα ζητούmicroενα διαγράmicromicroατα της microεταβο λής ArarrBrarrΓ του ιδανικού αερίου ii) Aφού κατά την αντιστρεπτή διαδικασία ArarrBrarrΓ η θερmicroοκρασία του αερίου τελικά δεν microεταβάλλεται η ολική microεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας είναι microηδέν διότι η εσωτερική ενέργεια microιας ορισmicroένης microάζας ιδανικού αερίου είναι συνάρτηση microόνο της θερmicroοκρασίας του Δηλαδή ισχύει

ΔUολ = 0 (1) Eφαρmicroόζοντας για το ιδανικό αέριο τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο κατά τη microεταβολή ArarrBrarrΓ παίρνουmicroε τη σχέση

Q= U

+ W

(1)

Q= 0 + W

= W

Q= WAB + WB

= P0(2V0 - V0 ) + 0 Q= P0V0

Mια θερmicroική microηχανή Carnot λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1=500 0K και T2=200 0K H microηχανή απορροφά από τη θερmicroή δεξαmicroενή θερmicroότητα microε ρυθmicroό q1=2105 Js i) Nα βρεθεί η ωφέλιmicroη ισχύς της microηχανής ii) Nα βρεθεί ο ρυθmicroός microε τον οποίο πρέπει να microεταφέρεται θερmicroότη τα στην ψυχρή πηγή microιας θερmicroικής microηχανής που λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδο σης ίσο microε 80 του συντελεστή απόδοσης της microηχανής Carnot και την ίδια ωφέλιmicroη ισχύ microε αυτή ΛYΣH i) Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot στο ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής τότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αC της microηχανής θα ικανοποιεί τη σχέση

C =W

Q1

W = CQ1

W

t=CQ1

t (1)

Όmicroως το πηλίκο Wt αποτελεί την ωφέλιmicroη ισχύ N της microηχανής ενώ το πηλίκο Q1t αποτελεί το ρυθmicroό q1 microεταφοράς θερmicroότητας από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το αέριο που χρησιmicroοποιεί οπότε η σχέση (1) γράφεται N = Cq1 = (1 - T2T1 )q1

N=(1-200500)2 105 Js=12 105 Js ii) Aς θεωρήσουmicroε τη θερmicroική microηχανή που εργάζεται microεταξύ των θερmicroοκρα σιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης α=08αC και ωφέλιmicroη ισχύ N Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το ενεργό υλικό που χρησιmicroοποιεί και Q2 η αντίστοιχη θερmicroότητα που microεταφέρεται από το υλικό αυτό προς την ψυχρή δεξαmicroενή της θα έχουmicroε τις σχέσεις

Q1 = W+Q2

08C = WQ1

W

08C

= W+Q2

W1

08C

- 1

$

amp =Q2

W

t

1

08C

- 1

$

amp =

Q2

t

microε C

= 1- T2T

1= 35 Όmicroως το πηλίκο Q2t αποτελεί το ρυθmicroό q2 microεταφοράς

θερmicroότητας στην ψυχρή πηγή της θερmicroικής microηχανής ενώ το πηλίκο Wt αποτελεί την ισχύ N της microηχανής οπότε η (2) γράφεται q2 = N(54C - 1) = 12 10

5(25 12 - 1) Js = 13 10

5Js

Mια θερmicroική microηχανή αποτελείται από δύο θερmicroι κές microηχανές Carnot και η ψυχρή πηγή της microιας αποτελεί θερmicroή πηγή της άλλης Eάν α1 α2 είναι οι θερmicroοδυναmicroικοί συντελεστές από δοσης των δύο microηχανών T1 η απόλυτη θερmicroοκρασία της θερmicroής πηγής της πρώτης και T3 η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της δεύτερης να δείξετε τις σχέσεις αολ = α1 + α2 - α1α2 και αολ = 1 - T3 T1 όπου αολ ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της σύνθετης microηχανής Carnot ΛYΣH Έστω ότι σε χρόνο t microεταφέρεται θερmicroότητα Q1 από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot M1 προς το ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W1 είναι το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής αυτής O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α1 της microηχανής θα είναι 1 = W1Q1 W1 = 1Q1 (1)

Σχήmicroα 13 Eξάλλου εάν Q2 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t στην ψυχρή πηγή της microηχανής M1 αυτή θα αποτελεί και την αντίστοιχη θερmicroότητα που λαmicroβάνει το αέριο της δεύτερης microηχανής Carnot M2 οπότε το ωφέλιmicroο έργο W2 της microηχανής αυτής σε χρόνο t θα υπολογίζεται microέσω της σχέσεως W2 = 2Q2 (2) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αολ του συστήmicroατος των δύο microηχα νών θα είναι

=

W1 + W2

Q1

(2)

(1)

=1Q1 + 2Q2

Q1

= 1 +2Q2

Q1

(3)

Όmicroως εάν T2 είναι η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της M1 ή της

θερmicroής πηγής της M2 θα ισχύει η σχέση

Q1

T1

=Q2

T2

Q2

Q1

=T2

T1

= 1 -1 (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) έχουmicroε

= 1 +2(1 - 1 ) = 1 +2 -12 (5) Eπειδή α1=1-T2T1 και α2=1-T3T2 η σχέση (5) γράφεται

= 1 -T

2

T1

+1 -T

3

T2

- 1 -T

2

T1

$

amp amp 1 -T

3

T2

$

amp amp

= 2 -

T2

T1

-T

3

T2

- 1+T

2

T1

-T

2

T1

T

3

T2

= 1 -T

3

T1

Mιά microάζα n mol microονοατοmicroικού ιδανικού αέριου (CV=3R2) όγκου V0 και πιέσεως P0 υποβάλλεται σε αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή που αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβο λές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB κατά την οποία η πίεση του αε ρίου διπλασιάζεται ii) από microια ισόθερmicroη εκτόνωση BrarrΓ κατά την οποία ο όγκος του αερίου διπλασιάζεται και iii) από microια ισοβαρή συmicroπίεση ΓrarrA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να βρείτε τη θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 14) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) Aπό το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη θέρmicroανση του αέριου υπό σταθερό όγκο V0 κατά την οποία η πίεση του αέριου από P0 γίνεται 2P0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Charles)

ii) Aπό το καmicroπύλογραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη εκτόνωση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία ο όγκος του αέριου από V0 γίνεται 2V0 οπότε η πίεσή του από 2P0 γίνεται P0 (νόmicroος Boyle) και iii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή συmicroπίεση του αέριου microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A(P0V0T0) Eξάλλου σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο η θερmicroότητα Q που το αέριο ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του κατά τον κύκλο ABΓA η microεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας και το έργο W που παράγει το αέριο συνδέονται microε τη σχέση

Q = ΔU + W Q = 0 + W Q = W (1)

Σχηmicroα 14 Όmicroως το έργο W είναι ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των επί microέρους έργων WAB WBΓ και WΓA που αντιστοιχούν στις microεταβολές ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA Έτσι θα έχουmicroε τη σχέση

W= WAB

+ WB

+WA

W = 0 +2nRT0ln (2V0 V0) + P0 (V0 - 2V0)

W=2nRT0ln2 -P

0V

0= 2P

0V

0ln2 -P

0V

0 (1)

Q=P0V0(2ln2 - 1) (2) β) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α microιας θερmicroικής microηχανής η οποία θα λειτουργούσε microε βάση τον κύκλο ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του προς την θερmicroότητα Qπρ που προσφέ ρεται σrsquo αυτό σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microηχανής δηλαδή ισχύει

=

W

Q

(1)

=Q

Q

(2)

=P0V0 (2ln2 - 1)

Q

(3)

Όmicroως για τη θερmicroότητα Qπρ ισχύει η σχέση

Q = QAB + QB = nCV(2T0 - T0 ) +2nRT0ln(2V0V0)

Q= nCVT0 +2nRT0ln2 = nT0 (CV +2Rln2) (4)

όπου CV η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερό όγκο Όmicroως το αέριο που εξετάζουmicroε ισχύει CV =3R2 και η (4) γράφεται

Q= nT0(3R2 +2Rln2) = nRT0(32 +2ln2)

Q= P0V0 (32 + 2ln2) (5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (5) παίρνουmicroε τη σχέση

=

P0V0 (2ln2 - 1)

P0V0(32 + 2ln2)=

2ln2 - 1

32 +2ln2

=

2(2ln2 - 1)

3 + 4ln2

Mιά ορισmicroένη microάζα microονοατοmicroικού ιδανικού αερί ου (CV=3R2) όγκου V0 πιέσεως P0 και απόλυτης θερmicroοκρασίας T0 υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται i) από microια ισοβαρή εκτόνωση ArarrB κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται ii) από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να υπολογίσετε το έργο που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το συντελεστή απόδοσης της κυκλικής αυτής microεταβολής ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 15) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή εκτόνωση του αέριου υπό πίεση P0 κατά την οποία ο όγκος του από V0 γίνεται 2V0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) ii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη ψύξη του αερίου υπό σταθερό όγκο 2V0 κατά την οποία το αέριο ψύχεται από τη θερmicroοκρασία 2T0 στη θερmicroοκρασία T0 οπότε η πίεσή του από P0 γίνεται P02 (νόmicroος Charles) και iii) από το καmicroπυλόγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη συmicroπί εση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία ο όγκος του ελατ τώνεται από 2V0 σε V0 ενώ η πίεση του αυξάνει από P02 σε P0 (νόmicroος Boyle) Eξάλλου το έργο W που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του θα είναι

ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των έργων WAB WBΓ και WΓA που ανταλλάσσει το αέριο κατά τη διάρκεια των επί microέρους microεταβολών ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA δηλαδή θα ισχύει

Σχήmicroα 15

W = WAB + WB+W

A = P0(2V0 -V0) + 0 +nRT0ln(V0 2V0)

W = P0V0 +nRT0ln(12) W= P0V

0- nRT

0ln2 (1)

όπου n ο αριθmicroός των mol του αέριου και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Όmicroως σύmicroφωνα microε την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων ισχύει P0V0=nRT0 οπότε η (1) γράφεται

W= P0V

0-P

0V

0ln2

W = P

0V

01 - ln2( ) (2)

β) O συντελεστής απόδοσης α του κύκλου ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W προς την θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου δηλαδή ισχύει

=

W

QAB

(1)

=P0V0 (1 - ln2)

nCP(2T0 - T0 )

=nRT0 (1 - ln2)

nCpT0

(3)

όπου CP η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερή πίεση Eπειδή γιατο αέριο έχουmicroε CP=5R2 η σχέση (3) γράφεται

=

nRT0 (1 - ln2)

5nRT02 =

2(1- ln2)

5 (4)

Ένα ιδανικό αέριο υποβάλλεται σε κυκλική αντισ τρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από microια ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB θερmicroοκρασίας T1 από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ όγκου V1 από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ θερmicroοκρασίας T2 και από microια ισόχωρη θέρmicroανση ΔrarrA όγκου V2=V12 Eάν ο λόγος CPCV του αερίου είναι γ

να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του το αέριο απορροφά από το εξωτερικό του περιβάλλον τα ποσά θερmicroότητας QΔA και QAB που ανιστοι χούν στην ισόχωρη θέρmicroανσή του ΔrarrA και στην ισόθερmicroη συmicroπίεσή του ArarrB Άρα ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβο λής είναι

=

W

Q$A + QAB

(1)

Σχήmicroα 16 όπου Wολ το ολικό έργο που παρέχει το αέριο στο περιβάλλον του Όmicroως για το έργο αυτό ισχύει

W= W

A+ W

AB+ W

B$+ W

$= 0 + W

AB+ 0 + W

$

W

= W

AB+W

$= nRT

1ln

V1

V12

$

amp amp + nRT2ln

V12

V1

$

amp amp

W= nRT

1ln2 - nRT

2ln2 W

= nR(T1 - T2 )ln2 (2) Εξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και QΔA ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1lnV1

V1 2

$

amp amp = nRT1ln2

και

QA = nCV (T1 - T2 ) =

nR(T1 - T2)

- 1 οπότε η (1) δίνει

=

nR(T1 - T2)ln2

nR(T1 - T2)( - 1) + nRT1ln2

=( - 1)(T1 - T2 )ln2

T1 - T2 + ( - 1)T1ln2

i) Nα δείξετε ότι η άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank για το δεύτερο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο συνεπάγεται και άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Nα δείξετε ότι microια κυκλική microεταβολή ορισmicroένης microάζας ιδανικού αέριου που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση από microια αδια βατική εκτόνωση και από microια αδιαβατική συmicroπίεση βρίσκεται σε αντίφαση microε το δεύτερo θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο δηλαδή microια τέτοια κυκ λική microεταβολή είναι αδύνατη ΛYΣH i) Έστω ότι υπάρχει θερmicroική microηχανή που σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microετατρέπει ολοκληρωτικά την θερmicroότητα Q1 που παίρνει από την πηγή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 σε microηχανικό έργο W χωρίς να δίνει θερmicroότητα στην πηγή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 Θεωρούmicroε τώρα microια κατάλ

Σχήmicroα 17 Σχήmicroα 18 ληλη ψυκτική microηχανή η οποία όταν λειτουργεί ανάmicroεσα στις ίδιες πηγές θερ microότητας microεταφέρει θερmicroότητα Q1 στην πηγή A καταναλώνοντας το έργο W που παράγει η θερmicroική microηχανή Tότε η ψυκτική αυτή microηχανή θα παίρνει από την πηγή B microια ορισmicroένη θερmicroότητα Q2 και εποmicroένως το σύστηmicroα των δύο microηχανών θα ισοδυναmicroεί microε microια ψυκτική microηχανή η οποία θα απάγει θερmicroότητα Q2 από την ψυχρή πηγή B χωρίς κατανάλωση έργου πράγmicroα που αποτελεί άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Έστω ότι microια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί την κυκλική microεταβο λή ABΓA που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB microια αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ και microια αδιαβατική συmicroπίεση ΓrarrA (σχήmicroα 18) Eφαρmicroόζοντας για τη microεταβολή αυτή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση QAB + QBΓ + QΓA = ΔUολ + Wολ QAB + 0 + 0 = 0 + Wολ QAB = Wολ (1)

H σχέση (1) δηλώνει ότι κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής ABΓA η θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο microετατρέπεται ολοκληρωτικά σε έργο γεγονός που έρχεται σε αντίθεση microε τη διατύπωση των Kelvin-Plank Παρατήρηση H microη πραγmicroατοποίση της κυκλικής microεταβολής ABΓA ισοδυναmicroεί microε το ότι οι αδιαβατικές καmicroπύλες BΓ και ΓA δεν είναι δυνατό να τέmicroνονται

Mιά ορισmicroένη microάζα ιδανικού αερίου εκτελεί κύκλο Carnot ABΓΔA Eάν V1 V2 V3 V4 είναι οι όγκοι του αέριου που αντιστοιχούν στις κατατάσεις A B Γ και Δ και T1 T2 είναι οι απόλυτες θερmicroοκρασίες της ισόθερmicroης εκτόνωσης και της ισόθερmicroης συmicroπίεσης του αέριου αντιστοίχως (T1gtT2) να δείξετε τις σχέσεις

V1V3 = V2V4 και W = nR(T1 - T2)ln(V2V1) όπου n τα mol του αερίου R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανικών αερίων και W το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του ΛYΣH Για την ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ισχύει P1

V1= P

2V

2 (1)

Για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Poisson ισχύει

P2V

2

= P3V

3

(2)

Σχήmicroα 19

Για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle έχουmicroε

P3V

3= P

4V

4 (3)

Tέλος για την αδιαβατική συmicroπίεση ΔrarrA σύmicroφωνα microε τον νόmicroο του Poisson έχουmicroε

P4V

4

= P1V

1

(4) όπου γ ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αερίου Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (4) κατά microέλη παίρνου microε τη σχέση

P1V

1P

2V

2

P3V

3P

4V

4

= P2V

2P

3V

3

P4V

4P

1V

1

2

-1

V 4

-1

V =3

-1

V 1

-1

V V3

V1= V

2V

4 (5)

Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκ λικής microεταβολής ABΓΔA είναι σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσει microε το περιβάλλον του Δηλαδή ισχύει η σχέση

W= Q

= QAB + QB

+ Q$

+ Q$A = QAB + Q

$ (6)

διότι για τις αδιαβατικές microεταβολές BrarrΓ και ΔrarrA έχουmicroε QBΓ =QΔA =0 Eξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και Q

ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1ln(V2 V1 )

Q

= nRT2ln(V4 V3 )

$

(+ )

QAB + Q

= nR T1lnV2

V1

$

amp amp + T2lnV4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(6)

W

= nR T

1ln

V2

V1

$

amp amp + T2ln

V4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(7)

Όmicroως από τη σχέση (5) έχουmicroε

V2

V1

=V

3

V4

lnV

2

V1

$

amp amp = lnV

3

V4

$

amp amp

lnV

2

V1

$

amp amp = - lnV

4

V3

$

amp amp

οπότε η (7) γράφεται

W

= nR(T1 - T2)ln

V2

V1

$

amp amp (8)

Mια θερmicroική microηχανή αναγκάζει ιδανικό αέριο σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση κατά την οποία η πίεση του αερίου τριπλασιάζεται

ii) από microια ισοβαρή εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται iii) από microια ισόχωρη ψύξη microέχρις ότου η πίεση του αερίου ανακτή σει την αρχική της τιmicroή και iv) απο microια ισοβαρή συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Eάν P0 V0 είναι η πίεση και ο όγκος αντιστοίχως του αερίου στην αρχική του κατάσταση και γ ο λόγος CPCV των γραmicromicroοmicroοριακών του ειδικών θερmicroοτήτων να βρείτε την προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroό τητα κατά την εξέλιξη του κύκλου γ) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής και να τον συγκρίνετε microε το συντελεστή απόδοσης της microηχα νής Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ της microέγιστης και της ελά χιστης θερmicroοκρασίας του αερίου της microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόχωρη θέρmicroανση AB του αερίου η πίεσή του τριπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Charles θα τριπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του αερίου δηλαδή από T0 θα γίνει 3T0 Κατά την ισοβα ρή εκτόνωση BΓ ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται οπότε και η απόλυτη θερmicroοκρασία του θα τριπλασιάζεται (νόmicroοςGay-Lussac) δηλαδή από 3T0 θα γίνει 9T0 Kατά την ισόχωρη ψύξη ΓΔ του αερίου η πίεση του απο την τιmicroή 3P0 λαmicroβάνει την τιmicroή P0 δηλαδή υποτριπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο του

Σχήmicroα 20 Charles πρέπει να υποτριπλασιασθεί και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή από 9T0 πρέπει να γίνει 3T0 Aυτό σηmicroαίνει ότι οι καταστάσεις B και Δ βρίσ κονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη θερmicroοκρασίας 3T0 Mε βάση τις παρα πάνω διαπιστώσεις το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου έχει τη microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (20) β) Kατά την εξέλιξη του κύκλου στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα στο στάδιο της ισόχωρης θέρmicroανσης AB και της ισοβαρούς εκτόνωσης BΓ δηλαδή ισχύει

Q = QAB + QB = nCV 3T0 - T0( ) + nCP 9T0 - 3T0( )

Q

= 2nCVT0 + 6nCPT0 = 2n CV + 3CP( )T0 (1)

Όmicroως οι γραmicromicroοmicroοριακές ειδικές θερmicroότητες CV και CP του αερίου ικανοποιούν τις σχέσεις

CP

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= R - 1

CP

= R - 1

$ (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε

Q

=

2nRT0

- 1(1+ 3) = 2P0V0

1+3

- 1

$

amp (3)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (4)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε το εmicroβαδόν του σκιασmicroένου ορθογωνίου ABΓΔ δηλαδή ισχύει W = micro$(ABamp) = (3P0 -P0)(3V0 -V0) = 4P0V0 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3)(4) και (5) έχουmicroε

=4P0V0

2P0V0

- 1

1+3

$

amp =

2( - 1)

1+ 3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται στην κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓΔA της οποίας το διάγραmicromicroα P-T φαίνεται στο σχήmicroα (21) i) Eάν οι θερmicroοδυναmicroικές microεταβλητές της κατάστασης A είναι P0 V0 και T0 να βρείτε τη θερmicroότητα που απορροφά το αέριο στη διάρκεια του κύκλου αφού προηγουmicroένως σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V του κύκλου ii) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση υπό θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου διπλασιάζεται οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ο όγκος του αερίου θα υποδιπλασιάζεται δηλαδή από V0 θα γίνει V02 H microεταβολή BΓ είναι ισοβαρής θέρmicroανση υπο πίεση 2P0 κατά την οποία η απόλυ

τη θερmicroοκρασία του αερίου διπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο Gay-Lussac θα διπλασιάζεται και ο όγκος του αερίου δηλαδή από V02 θα γίνει V0 H microετα βολή ΓΔ είναι ισόθερmicroη εκτόνωση υπό θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου υποδιπλασιάζεται οπότε ο όγκος του θα διπλασιάζεται (νόmicroος

Σχήmicroα 21 Σχήmicroα 22 Boyle) δηλαδή από V0 θα γίνει 2V0 Mε βάση τα παραπάνω οδηγούmicroαστε στο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου το οποίο έχει την microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (22) Στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του BΓ και της ισόθερmicroης εκτόνωσής του ΓΔ δηλαδή ισχύει η σχέση Q = QB +Q$ = nCP(2T0 - T0) + nR2T0ln(2V0V0 )

Q

= 5nRT02 + 2nRT0 ln2 Q

= P0V0 (52 + 2ln2) (1)

ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (2)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της υπο λογίζεται από τη σχέση

W = W

AB+ W

B + W$ + W$A

W

= nRT0ln

V0

2V0

$

amp +2P

0V

0-V

0

2

$

amp +

+

nR2T0ln2V0

V0

$

amp amp +P0(V0 - 2V0 )

W

= -nRT0ln2+P

0V

0+2nRT

0ln2 -P

0V

0=nRT

0ln2=P

0V

0ln2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) έχουmicroε

=P0V0ln2

P0V0(52 +2ln2)=

ln2

52 + 2ln2

Tο αέριο microιας θερmicroικής microηχανής είναι ιδανικό και υποβάλλεται σε αντιστρεπτό κύκλο ο οποίος αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή εκτόνωση AB microέχρις τετραπλασιασmicroού του όγ κου του αερίου ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση BΓ microέχρις ότου η πίεση του αερίου γίνει ίση microε το 132 της αρχικής της τιmicroής PA και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A όγκου VA α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Nα βρείτε το λόγο γ=CPCV του αερίου και να δείξετε ότι η θερ microότητα που απορροφά κατά την εξέλιξη του κύκλου είναι ίση microε 15PAVA2 γ) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Gay-Lussac θα τετραπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή απο TA θα γίνει 4TA Σύmicroφωνα microε το πρόβληmicroα κατά την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου η πίεση του microειώνε ται από την τιmicroή PA στην τιmicroή PA32 ο δε όγκος του αυξάνεται από την τιmicroή

Σχήmicroα 23 4VA στην τιmicroή VΓ Όmicroως microέσω της ισόθερmicroης συmicroπίεσης ΓA το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle θα έχουmicroε τη σχέση

PV

= P

AV

A V

= 32VA

Mε βάση τα παραπάνω το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (23) β) Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου το νόmicroο του Poisson παίρνουmicroε τη σχέση PB

VB

= PV

PA(4VA)

= (PA32)(32VA )

4

= 32-1 2

2= 2

5( -1) 2 = 5( - 1) = 53 που σηmicroαίνει ότι το αέριο είναι microονοατοmicroικό Eξάλλου η θερmicroότητα που απορροφά το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου ABΓA είναι ίση microε την θερmicroό τητα QAB που απορροφά κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του AB δηλαδή ισχύει Q

= QAB = nCP(4TA - TA) = 5nR(3TA 2)

Q

= 15nRTA2 = 15PAVA2 (1)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓ είναι

= W

Q$

(2) Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου του (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) οπότε θα έχουmicroε

W= Q$ = QAB + QB+ QA = nCP(4TA -TA ) + 0 + nRTAln(VA32VA )

W

= 5nR(3TA 2) - nRTAln(25)

W

= PAVA (152 - 5ln2) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) παίρνουmicroε

=PAVA(152 - 5ln2)

15PAVA2=

15 - 10ln2

15= 1 -

2ln2

3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) την ισόθερmicroη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του αερίου οκταπλασιάζεται ii) την ισόχωρη ψύξη BΓ και iii) την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0=3105 Ntm2 όγκου

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 5: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

C = 1 -Q2

Q1

(1)

Όmicroως γιά τις θερmicroότητες Q1 καί Q2 ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 5

Q1 = nRT1 ln

VB

VA

$

amp και

Q2 = nRT2 lnV

V

$

amp

όπου VAVBVΓVΔ οι όγκοι των αερίων στις καταστάσεις A B Γ καί Δ αντιστοίχως και n ο αριθmicroός των mol του αερίου Έτσι η σχέση (1) γράφεται

C = 1 -T2ln(V

V

)

T1ln(VBVA ) (2)

Eξάλλου γιά τις αδιαβατικές microεταβολές BrarrΓ καί ΔrarrA ισχύουν οι σχέσεις

T1 B

-1

V = T2

-1

V

T1 A

-1

V = T2

-1

V

( )

BV

AV

$

amp

-1

=V

V

$

amp

-1

BV

AV=

V

V

lnBV

AV

$

amp = ln

V

V

$

amp

lnBV

AV

$

amp = -ln

V

V

$

amp

οπότε η σχέση (2) δίνει

C= 1 -

T2

T1

(3)

Παρατηρούmicroε από τη σχέση (3) ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης microιας θερmicroικής microηχανής Carnot εξαρτάται microόνο από τις θερmicroοκρασίες T1 καί T2 των δεξαmicroενών θερmicroότητας που χρησιmicroοποιεί και microάλιστα όσο πιο microικρός είναι ο λόγος T2T1 τόσο microεγαλύτερος είναι ο συντελεστής αC

6 Oρισmicroός της εντροπίας O Clausius επιθυmicroώντας να δώσει microαθηmicroατική microορφή στον δεύτερο θερmicroοδυ ναmicroικό νόmicroο επινόησε την έννοια της εντροπίας ένα microέγεθος που άνοιξε ευρύ τατους ορίζοντες για την ανάπτυξη της Θερmicroοδυναmicroικής Aφετηρία για να ορί σει ο Clausius την έντροπία υπήρξε ο κύκλος του Carnot τον οποίο σκέφθηκε να διαmicroερίσει σε microεγάλο πλήθος στοιχειωδών microεταβολών και σχηmicroάτισε για κάθε microια το πηλίκο της θερmicroότητας dQ που ανταλλάσσει το αέριο microε το περι βάλλον του προς την αντίστοιχη θερmicroοκρασία T υπό την οποία γίνεται η ανταλ λαγή και στη συνέχεια άθροισε όλα αυτά τα πηλίκα Aναπαράγοντας τις ιδέες του Clausius για τον κύκλο Carnot ΑΒΓΔ (σχήmicroα 6) θα έχουmicroε

dQT( )

(C) = dQT( )

(AB) + dQT( )

(B) + dQT( )

( ) + dQT( )

(A) (1)

Σχήmicroα 6

Όmicroως οι microεταβολές BΓ και ΔA είναι αδιαβατικές και εποmicroένως τα αντίστοιχα αθροίσmicroατα είναι microηδενικά δηλαδή ισχύει

dQT( )

(B ) = dQT( )

(A) = 0 (2)

Eξάλλου εάν Q1 είναι το ποσό θερmicroότητας που παίρνει το αέριο κατά την ισό θερmicroη εκτόνωσή του AB Q2 το ποσό της θερmicroότητας που δίνει κατά την ισό

θερmicroη συmicroπίεση του ΓΔ και T1 T2 οι αντίστοιχες απόλυτες θερmicroοκρασίες του θα έχουmicroε τις σχέσεις

dQT( )

(AB) = Q1T1 και

dQT( )

() = Q2 T2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) και (3) έχουmicroε

Q

T

$

amp

(C)

=Q1

T1

+Q2

T2

(4)

Όmicroως σε microια κυκλική microεταβολή Carnot ισχύει η σχέση

Q1

T1

=-Q2

T2

Q1

T1

+Q2

T2

= 0

οπότε η (4) γράφεται

dQT( )

(C) = 0 (5)

H σχέση (5) δηλώνει ότι σε κάθε κυκλική microεταβολή Carnot ενός αερίου το αλγεβρικό άθροισmicroα των πηλίκων των στοιχειωδών θερmicroότητων που αυτό ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του προς την αντίστοιχη απόλυτη θερmicroοκρασία υπό την οποία γίνεται η ανταλλαγή είναι ίση microε microηδέν O Clausius έδειξε ότι η σχέση (5) έχει γενικώτερο χαρακτήρα δηλαδή ισχύει για κάθε αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή ενός σώmicroατος και το γεγονός αυτό του επέτρεψε να ισχυρι σθεί ότι για κάθε σώmicroα υπάρχει ένα φυσικό microέγεθος χαρακτηριστικό της κατά στασής του και ανεξάρτητο του τρόπου microε τον οποίο το σώmicroα βρέθηκε στην κατάσταση αυτή Tο microέγεθος αυτό ο Clausius το ονόmicroάσε εντροπία του σώmicroα τος και το συmicroβόλισε microε S Mολονότι η σχέση (4) εγγυάται την ύπαρξη της εντροπίας σε κάθε κατάσταση ισορροπίας του σώmicroατος δεν microας επιτρέπει να την ορίσουmicroε Mας επιτρέπει όmicroως να ορίσουmicroε τη microεταβολή της εντροπίας κατά microια αντιστρεπτή πορεία του από microια αρχική κατάσταση σε microια τελική κατάσταση Σε περίπτωση που το σώmicroα εκτελεί microια στοιχειώδη αντιστρεπτή microεταβολή κατά την εξέλιξη της οποίας ανταλλάσσει microε το περιβάλλον ένα πολύ microικρό (στοιχειώδες) ποσό θερmicroότητας dQ και βρίσκεται σε απόλυτη θερmicroοκρασία T τότε η αντίστοιχη στοιχειώδης microεταβολή dS της εντροπίας του ορίζεται από τη σχέση

dS = dQT (7) Eάν η αντιστρεπτή microεταβολή δεν είναι στοιχειώδης τότε η συνολική microεταβολή ΔSολ της εντροπίας του σώmicroατος όταν αυτό οδηγείται από microιά αρχική κατά σταση α σε microιά τελική κατάσταση τ θα είναι ίση microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των στοιχειωδών microεταβολών dS1 dS2 dSn της εντροπίας του που αντιστοιχούν στις στοιχειώδεις αντιστρεπτές microεταβολές στις οποίες διαmicroερίζεται η θεωρούmicroε νη microεταβολή δηλαδή θα ισχύει ΔSολ=dS1+dS2+ +dSn

S =

dQ1

T1

+dQ

2

T2

+ +dQ

n

Tn

=dQ

T

$

amp

$

(8)

Παρατηρήσεις i) Όταν αναφερόmicroαστε σε θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα στο οποίο εξελλίσεται microιά οποιαδήποτε διαδικασία (αντιστρεπτή ή όχι) η microεταβολή της εντροπίας του συστήmicroατος είναι ίση microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των microεταβολών της εντροπίας των σωmicroάτων που το αποτελούν ii) Όταν ένα θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα οδηγείται microε αντιστρεπτό τρόπο από microιά αρχική σε microία τελική κατάσταση ισορροπίας η microεταβολή της εντροπίας του είναι ακριβώς αντίθετη της microεταβολής που παθαίνει η εντροπία του περιβάλ λοντος του συστήmicroατος Aυτό είναι άmicroεση συνέπεια του ορισmicroού που έχουmicroε δώσει για την αντιστρεπτή microεταβολή και δικαιολογείται ως εξής Kατά την εξέλιξη της αντιστρεπτής microεταβολής το θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του στοιχειώδη ποσά θερmicroότητας ευρισκόmicroενο σε θερmicroοδυ ναmicroική ισορροπία microε αυτό που σηmicroαίνει ότι υπάρχει κάθε στιγmicroή ανάmicroεσά τους microιά πολύ microικρή διαφορά θερmicroοκρασίας Έτσι αν το σύστηmicroα πάρει από το περι βάλλον του κατά τρόπο αντιστρεπτό την στοιχειώδη θερmicroότητα dQ υπό θερmicroο κρασία T η microέν εντροπία του συστήmicroατος θrsquo αυξηθεί κατά dQT ενώ του περιβάλλοντος του θα ελαττωθεί κατά dQT οπότε η αντίστοιχη microεταβολή της εντροπίας του συστήmicroατος και του περιβάλλοντος θα είναι ίση microε microηδέν Omicroως το θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα και το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν που θεωρείται αποmicroονώmicroενο σύστηmicroα δηλαδή σύστηmicroα που δεν ανταλλάσει ύλη και ενέργεια οπότε microπορούmicroε να διατυπώσουmicroε την παρακάτω γενική πρόταση Kατά τις αντιστρεπτές microεταβολές των θερmicroοδυναmicroικών συστηmicroάτων η εντροπία του Σύmicroπαντος διατηρείται σταθερή iii) Όταν ένα σώmicroα υποβάλλεται σε αντιστρεπτή ή microη αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή της θερmicroοδυναmicroικής του κατάστασης τότε η συνολική microεταβολή της εντροπίας του είναι microηδέν Στην περίπτωση που η κυκλική microεταβολή είναι αντιστρεπτή η παραπάνω ιδιότητα περιγράφεται από τη σχέση

dQT( )

(C) = 0

όπου ο υπολογισmicroός του αθροίσmicroατος θα γίνει κατα microήκος της κλειστής καmicroπύ λης γραmicromicroής (C) η οποία απεικονίζει σε κατάλληλο ορθογώνιο σύστηmicroα αξό νων τη θεωρούmicroενη κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή του σώmicroατος 7 Yπολογισmicroός της microεταβολής της εντροπίας σε ειδικές περιπτώσεις O υπολογισmicroός της microεταβολής της εντροπίας ενός σωmicroάτος όταν αυτό microετέχει σε microια φυσική διεργασία παρουσιάζει στη γενική περίπτωση microαθηmicroατική δυσκολία η οποία εξαρτάται από το είδος της διεργασίας στην οποία υποβάλλε ται Σε microερικές όmicroως περιπτώσεις ο υπολογισmicroός της είναι εφικτός microε απλοική microαθηmicroατική διαδικασία όπως λογουχάρη στην περίπτωση της ισόθερmicroης και

αντιστρεπτής microεταβολής ή στην περίπτωση της αδιαβατικής και αντιστρεπτής microεταβολής της κατάστασης ιδανικού αερίου α Iσόθερmicroη microεταβολή Aς δεχθούmicroε ότι microια microάζα n mol ιδανικού αερίου υποβάλλεται σε ισόθερmicroή και αντιστρεπτή microεταβολή της θερmicroοδυναmicroικής του κατάστασης υπό θερmicroοκρασία T κατά την οποία ο όγκος του microεταβάλλεται από V1 σε V2 Eπειδή η θερmicroοκρα σία του αερίου παραmicroένει σταθερή microπορεί να βγεί κοινός παράγοντας σε όλους τους όρους του αθροίσmicroατος Σ(dQT) oπότε για τη microεταβόλή ΔSισοθ της εντρο πίας του αερίου θα έχουmicroε τη σχέση

S

$=

1

T dQ( ) =

Q$

T

Όmicroως η θερmicroότητα Qισοθ που ανταλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του είναι ίση microε το αντίστοιχο έργο Wισοθ του αερίου οπότε η προηγούmicroενη σχέση γράφε ται

S$

=W

$

T=

nRT

Tln

V2

V1

$

amp = nRln

V2

V1

$

amp

Παρατηρούmicroε ότι κατά την ισόθερmicroη αντιστρεπτή εκτόνωση του αερίου (V2gtV1) ισχύει ΔSgt0 που σηmicroαίνει ότι η εντροπία του αυξάνεται Aκριβώς τα αντίστρο φα συmicroβαίνουν κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του αερίου (V2ltV1) οπότε ΔSlt0 β Aδιαβατική microεταβολή Όταν το αέριο υφίσταται αδιαβατική και αντιστρεπτή microεταβολή τότε όλα τα στοιχειώδη ποσά θερmicroότητας dQ που ανταλάσσει microε το περιβάλλον του είναι microηδενικά οπότε η microεταβολή της εντροπίας του θα είναι microηδενική δηλαδή θα ισχύει

ΔSαδιαβ = 0 Λόγω της παραπάνω ιδιότητας microια αδιαβατική και αντιστρεπτή microεταβολή της κατάστασης ιδανικού αερίου ονοmicroάζεται και ισεντροπική microεταβολή 8 Eντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου Aς θεωρήσουmicroε ένα σώmicroα που microετέχει microιας φυσικής διαδικασίας η οποία το οδηγεί από microια αρχική σε microια τελική κατάσταση θερmicroοδυναmicroικής ισορροπίας Kατά την διαδικασία αυτή η εντροπία του σώmicroατος microεταβάλλεται ανεξάρτητα από τον τρόπο που εξελίσσεται η διαδικασία αυτή αφού η εντροπία του σώmicroα τος είναι microονότιmicroη συνάρτηση της κατάστασής του Στην περίπτωση που το σώmicroα οδηγείται στην τελική κατάσταση κατά microη αντιστρεπτό τρόπο δεν microπο ρούmicroε για τον υπολογισmicroό της microεταβολής της εντροπίας του να χρησιmicroοποι ήσουmicroε τη σχέση (8) του εδαφίου 6 διότι όπως αναφέρθηκε παραπάνω αυτή έχει νόηmicroα microόνο σε αντιστρεπτές διαδικασίες Mπορούmicroε όmicroως να επιλέξουmicroε microια κατάλληλη αντιστρεπτή πορεία που οδηγεί το σώmicroα στην τελική του κατά

σταση και να υπολογίσουmicroε πάνω σrsquo αυτή την πορεία την microεταβολή της εντρο πίας του σώmicroατος χρησιmicroοποιώντας τη σχέση (8) H microεταβολή αυτή θα αντιπροσωπεύει και τη microεταβολή της εντροπίας του σώmicroατος κατά την αντί στοιχη microη αντιστρεπτή διαδικασία Στα επόmicroενα θα επιχειρήσουmicroε να υπολογί σουmicroε τη microεταβολή της εντροπίας σε microερικές χαρακτηριστικές microη αντιστρε πτές διεργασίες και να αξιολογήσουmicroε τα αποτελέσmicroατα των υπολογισmicroών α Eλεύθερη εκτόνωση ιδανικού αερίου Aς θεωρήσουmicroε ένα ιδανικό αέριο που βρίσκεται σε δοχείο microε αδιαβατικά τοιχώmicroατα Tο δοχείο αυτό χωρίζεται microε τη βοήθεια ενός διαφράγmicroατος σε δύο χώρους που τον ένα καταλαmicroβάνει το αέριο ενώ ο άλλος χώρος είναι κενός Aν αφαιρέσουmicroε το διάφραγmicroα τότε το αέριο εκτονώνεται από τον αρχικό του όγκο V1 στον όγκο V2 του δοχείου χωρίς να ανταλλάσσει θερmicroότητα και έργο microε το περιβάλλον του (Q=0 και W=0) Tο φαινόmicroενο αυτό ονοmicroάζεται ελεύθερη εκτόνωση του αερίου αποτελεί δε microη αντιστρεπτό φαινόmicroενο αφού ποτέ δεν παρατηρήθηκε αυτόmicroατη αδιαβατική συmicroπίεση του αερίου στην αρχική του κατάσταση Eφαρmicroόζοντας στο αέριο τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε για την microεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας την σχέση ΔU=0 που σηmicroαίνει ότι κατά την ελεύθερη εκτόνωση του αέριου η εσωτερική του ενέρ γεια άρα και η θερmicroοκρασία του παρέmicroεινε η ίδια Έτσι η αρχική και η τελική κατάσταση του αέριου βρίσκονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη χωρίς

Σχήmicroα 7 Σχήmicroα 8 όmicroως οι ενδιάmicroεσες καταστάσεις του αερίου να βρίσκονται πάνω στην καmicroπύλη αυτή αφού δεν είναι καταστάσεις ισορροπίας και εποmicroένως δεν απεικονίζονται σε διάγραmicromicroα P-V Γίνεται τώρα φανερό ότι για να υπολογίσουmicroε τη microεταβολή ΔS της εντροπίας του αέριου θα χρησιmicroοποιήσουmicroε την αντίστοιχη ισόθερmicroη αντιστρεπτή εκτόνωση που microπορεί να το οδηγήσει από την αρχική κατάσταση A1 όγκου V1 στην τελική κατάσταση A2 όγκου V2 (σχήmicroα 8) Για τη microεταβολή αυτή έχουmicroε

S = nR ln V2V

1( ) (1) όπου n ο αριθmicroός των mol του αερίου και R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανι κών αερίων Eπειδή V2gtV1 θα ισχύει και ln(V2V1)gt0 οπότε σύmicroφωνα microε την (1) η microεταβολή της εντροπίας του αερίου κατά την ελεύθερη εκτόνωση του είναι θετική δηλαδή η εντροπία του αυξάνεται Eξάλλου η εντροπία του περι βάλλοντος του αερίου δεν παθαίνει καmicroιά microεταβολή στη διάρκεια αυτής της microη αντιστρεπτής διαδικασίας αφού το περιβάλλον δεν συmicromicroετέχει ενεργειακά σ΄

αυτήν Έτσι microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι τουλάχιστον γιrsquo αυτή την microη αντιστρεπτή microεταβολή η εντροπία του αερίου και του περιβάλλοντος αυξάνει Όmicroως το αέριο microαζί microε το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν οπότε η ελεύθερη εκτόνωση ενός αερίου οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του Σύmicroπαν τος Pοή θερmicroότητας δια microέσου χάλκινης ράβδου Tο φαινόmicroενο ροής θερmicroότητας από microια δεξαmicroενή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 προς microια άλλη δεξαmicroενή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 (T1gtT2) δια microέσου χάλκινης ράβδου είναι microη αντιστρεπτό φαινόmicroενο Kατά την εξέλιξη του φαινοmicroένου αυτού η εντροπία της χάλκινης ράβδου δεν microεταβάλλεται αφού η θερmicroοκρασία σε κάθε διατοmicroή της είναι χρονικά σταθερή και όση θερmicroότητα φθάνει στην διατοmicroή αυτή microέσα σrsquo ένα χρονικό διάστηmicroα τόση φεύ γει από τη διατοmicroή στο διάστηmicroα αυτό Έτσι η ολική microεταβολή ΔSολ της εντρο πίας του συστήmicroατος είναι ίση microε το άθροισmicroα της microεταβολής ΔSA της εντρο πίας της δεξαmicroενής A και της microεταβολής ΔSB της εντροπίας της δεξαmicroενής B δηλαδή ισχύει ΔSσυστ=ΔSA+ΔSB (2) Για να υπολογίσουmicroε τις microεταβολές ΔSA και ΔSB πρέπει να βρούmicroε microια αντισ τρεπτή διαδικασία microεταφοράς της θερmicroότητας Q από τη δεξαmicroενή A στη B Tέτοια διαδικασία microπορεί να εξασφαλιστεί αν διαθέτουmicroε microια δεξαmicroενή θερmicroό τητας που τη θερmicroοκρασία της microπορούmicroε να ελέγχουmicroε αυτόmicroατα η οποία

Σχήmicroα 9

να έρχεται διαδοχικά σε επαφή πρώτα microε την A και στη συνέχεια σε επαφή microε την B Mε τον τρόπο αυτό η δεξαmicroενή ελεγχόmicroενης θερmicroοκρασίας θα microεταφέρει κατά αντιστρεπτό τρόπο την θερmicroότητα Q από την A στην B οπότε για τις microεταβολές ΔSA και ΔSB θα έχουmicroε τις σχέσεις

SA = -QT1

SB = QT2

(+ )

SA + SB =Q

T2

-Q

T1

= QT1 - T2

T1T2

$

amp (3)

------------------------------- Προς στιγmicroή αγνοούmicroε όλες τις άλλες φυσικές διαδικασίες που συmicroβαίνουν στο περιβάλλον του αέριου και εντοπίζουmicroε την προσοχή microας στο πως επηρεάζεται το περιβάλλον από την ελεύθερη εκτόνωση του αερίου Mε τη βοήθεια microιας τέτοιας πηγής microπορούmicroε να εξασφαλίσουmicroε κάθε στιγmicroή microικρή διαφορά θερmicroοκρασίας ανάmicroεσα στην πηγή αυτή και στις πηγές A και B οπότε η ροή θερmicroότητας θα γίνεται κατά τρόπο αντιστρεπτό

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουmicroε τη σχέση

S

$= Q

T1 - T2

T1T2

$

amp (4)

Aπό την (4) προκύπτει ΔSσυστgt0 που σηmicroαίνει ότι κατά τη ροή θερmicroότητας από τη δεξαmicroενή A στην B δια microέσου της χάλκινης ράβδου η εντροπία του συστή microατος αυξάνεται Eξάλλου το περιβάλλον του συστήmicroατος των δύο δεξαmicroενών θερmicroότητας και της χάλκινης ράβδου δεν συmicromicroετέχει ενεργειακά σ΄ αυτή τη microη αντιστρεπτή διεργασία οπότε microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι η εντροπία του δεν microεταβάλλεται δηλαδή ισχύει ΔSπερ=0 Όmicroως το σύστηmicroα και το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν οπότε η ροή θερmicroότητας διrsquo αγωγής οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του Σύmicroπαντος Στο ίδιο συmicroπέρασmicroα καταλήγουmicroε εάν εξετάσουmicroε και άλλες φυσικές διαδικασίες που εξελλίσονται κατά microη αντιστρε πτό τρόπο όλες δε οι πειραmicroατικές microας εmicroπειρίες που αναφέρονται σε microη αντι στρεπτά φαινόmicroενα είναι συmicroβιβαστές microε την ακόλουθη πρόταση Kάθε microη αντιστρεπτή διαδικασία που συmicroβαίνει στο Σύmicroπαν οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του H πρόταση αυτή αποτελεί την εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroο δυναmicroικού νόmicroου και microολονότι δεν υπάρχει αυστηρή microαθηmicroατική απόδειξη αυτής πρέπει να τονίσουmicroε ότι η πρόταση είναι συνεπής προς όλα τα φυσικά φαινόmicroενα που εξελίσσονται στο Σύmicroπαν κατά microη αντιστρεπτό τρόπο Όπως θα δειχθεί στο επόmicroενο εδάφιο η εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυνα microικού νόmicroου είναι ισοδύναmicroη microε τη διατύπωση Kelvin-Plank που σηmicroαίνει ότι η αποδοχή ή παραβίαση της microιας συνεπάγεται την αποδοχή ή παραβίαση της άλλης Παρατήρήση Kάθε φυσική διαδικασία που συmicroβαίνει microέσα σrsquo ένα αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα δηλαδή σrsquo ένα σύστηmicroα που δεν ανταλλάσσει ύλη και ενέργεια microε το περιβάλ λον του θεωρείται αυθόρmicroητο φυσικό φαινόmicroενο αφού για την πραγmicroατο ποίησή του δεν χρειάζεται εξωτερική επίδραση Όmicroως microε την έννοια αυτή τα αυθόρmicroητα φαινόmicroενα είναι και microη αντιστρεπτά οπότε σύmicroφωνα microε την εντρο πική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου συνοδεύονται από αύξηση της εντροπίας του αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος Mπορούmicroε λοιπόν να διατυπώσουmicroε την παρακάτω πρόταση που είναι γνωστή ως αρχή αύξησης της εντροπίας ενός αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος Kάθε αυθόρmicroητη διαδικασία που συmicroβαίνει σrsquo ένα αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του 9 Iσοδυναmicroία της εντροπικής διατύπωσης προς την διατύπώση Kelvin-Plank Θα δείξουmicroε ότι η άρνηση της εντροπικής διατύπωσης του δεύτερου θερmicroοδυ ναmicroικού νόmicroου συνεπάγεται άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank Προς τούτο θεωρούmicroε microία θερmicroική microηχανή Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ των πηγών θερmicroότητας A και B αντιστοίχων θερmicroοκρασίων T1 και T2 microε T2ltT1 και

υποθέτουmicroε ότι σε κάθε κύκλο λειτουργίας της το θερmicroαντικό της σώmicroα (ιδανικό αέριο) απορροφά από την πηγή A θερmicroότητα Q1 και δίνει στην πηγή B θερmicroότητα Q2 Eπί πλέον υποθέτουmicroε ότι κατά τη λειτουργία της θερmicroικής αυτής microηχανής παραβιάζεται η εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυνα microικού νόmicroου δηλαδή ότι η εντροπία του Σύmicroπαντος microειώνεται Tότε θα ισχύει ΔSΣυmicroπlt0 ΔSmicroηχ+ΔSπερlt0 (1) Όmicroως η microεταβολή ΔSπερ της εντροπίας του περιβάλλοντος της θερmicroικής microηχα νής του Carnot είναι microηδενική διότι αυτό παίρνει microόνο έργο από τη microηχανή ενώ η microεταβολή ΔSmicroηχ της εντροπίας της microηχανής θα είναι

ΔSmicroηχ=ΔSαερ+ΔSA+ΔSB

Smicro = 0 +-Q1

T1

+Q2

T2

(2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

-Q1

T1

+Q2

T2

lt 0

Q1

T1

gtQ2

T2

(3)

Όmicroως η σχέση (3) σηmicroαίνει ότι η θερmicroική microηχανή του Carnot δεν λειτουργεί σύmicroφωνα microε τη διατύπωση των kelvin-Plank διότι τότε θα έπρεπε να ισχύει η σχέση

Q1 T1 = Q2 T2 Δηλαδή η παραβίαση της εντροπικής διατύπωσης του

δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου συνεπάγεται και την παραβίαση της διατύπω σης Kelvin-Plank 10 Aρχή υποβάθmicroισης της ενέργειας Aς θεωρήσουmicroε ένα σύστηmicroα από δύο σώmicroατα A και B που βρίσκονται σε αντί στοιχες θερmicroοκρασίες T1 και T2 microε T1gtT2 το οποίο είναι αποmicroονωmicroένο microε το περιβάλλον του Eάν τα δύο σώmicroατα έλθουν σε επαφή τότε είναι γνωστό ότι θα microεταβιβαστεί θερmicroότητα από το σώmicroα υψηλής θερmicroοκρασίας T1 προς το σώmicroα χαmicroηλώτερης θερmicroοκρασίας T2 microέχρις ότου τα δύο σώmicroατα αποκτήσουν κοινή θερmicroοκρασία Tκ για την οποία ισχύει T2ltTκltT1 Kατά την microη αντιστρεπτή αυτή διαδικασία το σύστηmicroα δεν ανταλλάσσει έργο και θερmicroότητα microε το περιβάλλον του αφού αποτελεί αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα microε αποτέλεσmicroα η εσωτερική του ενέργεια να παραmicroένει σταθερή (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) ενώ σύmicroφωνα microε την εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου η εντροπία του συστήmicroατος αυξάνεται Eξάλλου το σύστηmicroα στην αρχική του κατάσταση εmicroφανίζει microιά ορισmicroένη ικανότητα παραγωγής οργανωmicroένης ενέργειας αφού microπορεί νrsquo αποδώσει microηχανικό έργο microε τη microεσολάβηση microιας θερmicroικής microηχανής ανάmicroεσα στα δύο σώmicroατα Aντίθετα στην τελική του κατάσταση το σύστηmicroα έχει χάσει την ικανότητά του να δώσει οργανωmicroένη ενέργεια αφού τώρα είναι αδύνατη η λειτουργία microιάς θερmicroικής microηχανής microεταξύ των δύο σωmicroάτων καθό σον τα δύο σώmicroατα βρίσκονται στην ίδια θερmicroοκρασία Aπό την σύγκριση των δύο καταστάσεων βγαίνει το συmicroπέρασmicroα ότι microολονότι η εσωτερική ενέργεια του συστήmicroατος δεν άλλαξε η ικανότητα του για παραγωγή οργανωmicroένης ενέργειας δηλαδή ενέργειας που microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί ωφέλιmicroα έχει microηδε νιστεί ενώ ταυτόχρονα η εντροπία του συστήmicroατος παρουσιάζεται αυξηmicroένη Δηλαδή η αυξηmicroένη εντροπία του συστήmicroατος έχει υποβαθmicroίσει την ποιότητα

της εσωτερικής του ενέργειας microε την έννοια ότι αυτό δεν είναι τώρα σε θέση να δώσει ωφέλιmicroη ενέργεια Γενικώτερα αν αναφερθούmicroε στα microη αντιστρεπτά φυσικά φαινόmicroενα που συmicroβαίνουν στο Σύmicroπαν microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι συνοδεύονται microε ενεργειακή υποβάθmicroισή του δηλαδή microε απώλεια της δυνατότητάς του για παραγωγή ενέργειας ανώτερης ποιότητας microολονότι η εσωτερική του ενέργεια παραmicroένει αναλλοίωτη Aυτό σηmicroαίνει ότι microε την πάροδο του χρόνου το Σύmicroπαν τείνει σε microιά κατάσταση microέγιστης εντροπίας που του περιορίζει την ποιότητα του ενεργειακού του περιεχόmicroενου και το οδη γεί στον λεγόmicroενο θερmicroικό ή εντροπικό θάνατο Ένα άλλο χαρακτηριστικό παράδειγmicroα που microας δείχνει ότι η αύξηση της εντροπίας ενός αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος ελαττώνει την ικανότητα του για παραγωγή οργανωmicroένης ενέρ γειας είναι το εξής Aφήνουmicroε ένα σώmicroα να πέσει από ύψος h στο πάτωmicroα του δωmicroατίου microας Tο σώmicroα ξεκινάει την διαδροmicroή του microε microιά οργανωmicroένη δυνα microική ενέργεια mgh η οποία microετά την κρούση του microε το πάτωmicroα microετασχη microατίζεται σε ανοργάνωτη θερmicroική ενέργεια που κατανέmicroεται στο σώmicroα στο πάτωmicroα στον αέρα και στους τοίχους του δωmicroατίου microε αποτέλεσmicroα νrsquo αυξηθεί λίγο η θερmicroοκρασία τους Kατά την microη αντιστρεπτή αυτή διαδικασία η ολική ενέργεια του συστήmicroατος διατηρήθηκε σταθερή αυξήθηκε όmicroως η εντροπία του H αυξηmicroένη εντροπία του συστήmicroατος κάνει αδύνατη την αντίστροφη εξέλιξη του φαινοmicroένου δηλαδή την microετατροπή της προηγούmicroενης θερmicroικής ενέργειας σε δυναmicroική ενέργεια microε αυθόρmicroητη ανύψωση του σώmicroατος στην αρχική του θέση και ταυτόχρονη ψύξη όλων των σωmicroάτων που πήραν microέρος στο φαινόmicroενο Έτσι το σύστηmicroά παρουσιάζεται στην τελική του κατάσταση microε υποβαθmicroισmicroένο ενεργειακό περιεχόmicroενο δηλαδή έχει microειωθεί η ποιότητα της ενέργειάς του αφού αυτό έχασε την ικανότητά του να δίνει ωφέλιmicroο έργο Παρατήρηση H θερmicroότητα ως microορφή ενέργειας είναι ποσοτικά ισοδύναmicroη microε τις άλλες microορφές ενέργειας (microηχανική ηλεκτρική χηmicroική κλπ) αλλά ποιοτικά είναι υποβαθmicroισmicroένη ως προς αυτές Aυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η θερmicroότητα δεν microπορεί να microετασχηmicroατιστεί ολοκληρωτικά σε ενέργεια άλλης microορφής ενώ αντίθετα οι άλλες microορφές ενέργειας microε απλές διαδικασίες microετασχηmicroατίζονται ολοκληρωτικά σε θερmicroότητα lsquoΕτσι η θερmicroότητα θεωρείται ως ενέργεια κατώτε ρης ποιότητας ή ως microη οργανωmicroένη ενέργεια ως προς τις άλλες microορφές ενέρ γειας οι οποίες θεωρούνται ως ενέργειες ανώτερης ποιότητας

PM fysikos

Iδανικό αέριο εκτελεί διαδοχικά τις παρακάτω θερmicroικές διαδικασίες α) Mιά αντιστρεπτή ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται

β) Mιά αντιστρεπτή ισόχωρη microεταβολή κατά την οποία η πίεση του αερίου γίνεται η microισή της αρχικής του πιέσεως i) Nα σχεδιαστούν τα διαγράmicromicroατα P-V P-T και V-T των δύο αυτών συνεχόmicroενων microεταβολών ii) Nα βρεθεί η συνολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του Δίνονται τα καταστατικά microεγέθη V0 P0 και T0 της αρ χικής κατάστασης του αερίου ΛYΣH i) Kατά την αντιστρεπτή ισοβαρή εκτόνωση ArarrB του ιδανικού αερί ου από τον όγκο V0 στον όγκο 2V0 η απόλυτη θερmicroοκρασία του αυξάνει από την τιmicroή T0 στην τιmicroή 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) Στην αντιστρεπτή ισόχωρη microεταβολή BrarrΓ που ακολουθεί ο όγκος του αέριου microένει σταθερός και ίσος microε 2V0 ενω η πίεσή του ελαττώνεται από την τιmicroή Pο στην τιmicroή P02 microε απο τέλεσmicroα να ελαττώνεται και η θερmicroοκρασία του αέριου από την τιmicroή 2T0 στην

Σχήmicroα 10 Σχήmicroα 11 Σχήmicroα 12

τιmicroή T0 (νόmicroος Charles) Όλα τα παραπάνω εκφράζονται συmicroβολικά ως εξής

A(P0 V0 T0) rarr B(P0 2V0 2T0) rarr Γ(P02 2V0 T0) Tα σχήmicroατα (10) (11) (12) αποτελούν τα ζητούmicroενα διαγράmicromicroατα της microεταβο λής ArarrBrarrΓ του ιδανικού αερίου ii) Aφού κατά την αντιστρεπτή διαδικασία ArarrBrarrΓ η θερmicroοκρασία του αερίου τελικά δεν microεταβάλλεται η ολική microεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας είναι microηδέν διότι η εσωτερική ενέργεια microιας ορισmicroένης microάζας ιδανικού αερίου είναι συνάρτηση microόνο της θερmicroοκρασίας του Δηλαδή ισχύει

ΔUολ = 0 (1) Eφαρmicroόζοντας για το ιδανικό αέριο τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο κατά τη microεταβολή ArarrBrarrΓ παίρνουmicroε τη σχέση

Q= U

+ W

(1)

Q= 0 + W

= W

Q= WAB + WB

= P0(2V0 - V0 ) + 0 Q= P0V0

Mια θερmicroική microηχανή Carnot λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1=500 0K και T2=200 0K H microηχανή απορροφά από τη θερmicroή δεξαmicroενή θερmicroότητα microε ρυθmicroό q1=2105 Js i) Nα βρεθεί η ωφέλιmicroη ισχύς της microηχανής ii) Nα βρεθεί ο ρυθmicroός microε τον οποίο πρέπει να microεταφέρεται θερmicroότη τα στην ψυχρή πηγή microιας θερmicroικής microηχανής που λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδο σης ίσο microε 80 του συντελεστή απόδοσης της microηχανής Carnot και την ίδια ωφέλιmicroη ισχύ microε αυτή ΛYΣH i) Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot στο ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής τότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αC της microηχανής θα ικανοποιεί τη σχέση

C =W

Q1

W = CQ1

W

t=CQ1

t (1)

Όmicroως το πηλίκο Wt αποτελεί την ωφέλιmicroη ισχύ N της microηχανής ενώ το πηλίκο Q1t αποτελεί το ρυθmicroό q1 microεταφοράς θερmicroότητας από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το αέριο που χρησιmicroοποιεί οπότε η σχέση (1) γράφεται N = Cq1 = (1 - T2T1 )q1

N=(1-200500)2 105 Js=12 105 Js ii) Aς θεωρήσουmicroε τη θερmicroική microηχανή που εργάζεται microεταξύ των θερmicroοκρα σιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης α=08αC και ωφέλιmicroη ισχύ N Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το ενεργό υλικό που χρησιmicroοποιεί και Q2 η αντίστοιχη θερmicroότητα που microεταφέρεται από το υλικό αυτό προς την ψυχρή δεξαmicroενή της θα έχουmicroε τις σχέσεις

Q1 = W+Q2

08C = WQ1

W

08C

= W+Q2

W1

08C

- 1

$

amp =Q2

W

t

1

08C

- 1

$

amp =

Q2

t

microε C

= 1- T2T

1= 35 Όmicroως το πηλίκο Q2t αποτελεί το ρυθmicroό q2 microεταφοράς

θερmicroότητας στην ψυχρή πηγή της θερmicroικής microηχανής ενώ το πηλίκο Wt αποτελεί την ισχύ N της microηχανής οπότε η (2) γράφεται q2 = N(54C - 1) = 12 10

5(25 12 - 1) Js = 13 10

5Js

Mια θερmicroική microηχανή αποτελείται από δύο θερmicroι κές microηχανές Carnot και η ψυχρή πηγή της microιας αποτελεί θερmicroή πηγή της άλλης Eάν α1 α2 είναι οι θερmicroοδυναmicroικοί συντελεστές από δοσης των δύο microηχανών T1 η απόλυτη θερmicroοκρασία της θερmicroής πηγής της πρώτης και T3 η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της δεύτερης να δείξετε τις σχέσεις αολ = α1 + α2 - α1α2 και αολ = 1 - T3 T1 όπου αολ ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της σύνθετης microηχανής Carnot ΛYΣH Έστω ότι σε χρόνο t microεταφέρεται θερmicroότητα Q1 από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot M1 προς το ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W1 είναι το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής αυτής O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α1 της microηχανής θα είναι 1 = W1Q1 W1 = 1Q1 (1)

Σχήmicroα 13 Eξάλλου εάν Q2 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t στην ψυχρή πηγή της microηχανής M1 αυτή θα αποτελεί και την αντίστοιχη θερmicroότητα που λαmicroβάνει το αέριο της δεύτερης microηχανής Carnot M2 οπότε το ωφέλιmicroο έργο W2 της microηχανής αυτής σε χρόνο t θα υπολογίζεται microέσω της σχέσεως W2 = 2Q2 (2) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αολ του συστήmicroατος των δύο microηχα νών θα είναι

=

W1 + W2

Q1

(2)

(1)

=1Q1 + 2Q2

Q1

= 1 +2Q2

Q1

(3)

Όmicroως εάν T2 είναι η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της M1 ή της

θερmicroής πηγής της M2 θα ισχύει η σχέση

Q1

T1

=Q2

T2

Q2

Q1

=T2

T1

= 1 -1 (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) έχουmicroε

= 1 +2(1 - 1 ) = 1 +2 -12 (5) Eπειδή α1=1-T2T1 και α2=1-T3T2 η σχέση (5) γράφεται

= 1 -T

2

T1

+1 -T

3

T2

- 1 -T

2

T1

$

amp amp 1 -T

3

T2

$

amp amp

= 2 -

T2

T1

-T

3

T2

- 1+T

2

T1

-T

2

T1

T

3

T2

= 1 -T

3

T1

Mιά microάζα n mol microονοατοmicroικού ιδανικού αέριου (CV=3R2) όγκου V0 και πιέσεως P0 υποβάλλεται σε αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή που αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβο λές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB κατά την οποία η πίεση του αε ρίου διπλασιάζεται ii) από microια ισόθερmicroη εκτόνωση BrarrΓ κατά την οποία ο όγκος του αερίου διπλασιάζεται και iii) από microια ισοβαρή συmicroπίεση ΓrarrA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να βρείτε τη θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 14) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) Aπό το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη θέρmicroανση του αέριου υπό σταθερό όγκο V0 κατά την οποία η πίεση του αέριου από P0 γίνεται 2P0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Charles)

ii) Aπό το καmicroπύλογραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη εκτόνωση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία ο όγκος του αέριου από V0 γίνεται 2V0 οπότε η πίεσή του από 2P0 γίνεται P0 (νόmicroος Boyle) και iii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή συmicroπίεση του αέριου microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A(P0V0T0) Eξάλλου σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο η θερmicroότητα Q που το αέριο ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του κατά τον κύκλο ABΓA η microεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας και το έργο W που παράγει το αέριο συνδέονται microε τη σχέση

Q = ΔU + W Q = 0 + W Q = W (1)

Σχηmicroα 14 Όmicroως το έργο W είναι ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των επί microέρους έργων WAB WBΓ και WΓA που αντιστοιχούν στις microεταβολές ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA Έτσι θα έχουmicroε τη σχέση

W= WAB

+ WB

+WA

W = 0 +2nRT0ln (2V0 V0) + P0 (V0 - 2V0)

W=2nRT0ln2 -P

0V

0= 2P

0V

0ln2 -P

0V

0 (1)

Q=P0V0(2ln2 - 1) (2) β) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α microιας θερmicroικής microηχανής η οποία θα λειτουργούσε microε βάση τον κύκλο ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του προς την θερmicroότητα Qπρ που προσφέ ρεται σrsquo αυτό σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microηχανής δηλαδή ισχύει

=

W

Q

(1)

=Q

Q

(2)

=P0V0 (2ln2 - 1)

Q

(3)

Όmicroως για τη θερmicroότητα Qπρ ισχύει η σχέση

Q = QAB + QB = nCV(2T0 - T0 ) +2nRT0ln(2V0V0)

Q= nCVT0 +2nRT0ln2 = nT0 (CV +2Rln2) (4)

όπου CV η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερό όγκο Όmicroως το αέριο που εξετάζουmicroε ισχύει CV =3R2 και η (4) γράφεται

Q= nT0(3R2 +2Rln2) = nRT0(32 +2ln2)

Q= P0V0 (32 + 2ln2) (5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (5) παίρνουmicroε τη σχέση

=

P0V0 (2ln2 - 1)

P0V0(32 + 2ln2)=

2ln2 - 1

32 +2ln2

=

2(2ln2 - 1)

3 + 4ln2

Mιά ορισmicroένη microάζα microονοατοmicroικού ιδανικού αερί ου (CV=3R2) όγκου V0 πιέσεως P0 και απόλυτης θερmicroοκρασίας T0 υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται i) από microια ισοβαρή εκτόνωση ArarrB κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται ii) από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να υπολογίσετε το έργο που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το συντελεστή απόδοσης της κυκλικής αυτής microεταβολής ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 15) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή εκτόνωση του αέριου υπό πίεση P0 κατά την οποία ο όγκος του από V0 γίνεται 2V0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) ii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη ψύξη του αερίου υπό σταθερό όγκο 2V0 κατά την οποία το αέριο ψύχεται από τη θερmicroοκρασία 2T0 στη θερmicroοκρασία T0 οπότε η πίεσή του από P0 γίνεται P02 (νόmicroος Charles) και iii) από το καmicroπυλόγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη συmicroπί εση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία ο όγκος του ελατ τώνεται από 2V0 σε V0 ενώ η πίεση του αυξάνει από P02 σε P0 (νόmicroος Boyle) Eξάλλου το έργο W που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του θα είναι

ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των έργων WAB WBΓ και WΓA που ανταλλάσσει το αέριο κατά τη διάρκεια των επί microέρους microεταβολών ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA δηλαδή θα ισχύει

Σχήmicroα 15

W = WAB + WB+W

A = P0(2V0 -V0) + 0 +nRT0ln(V0 2V0)

W = P0V0 +nRT0ln(12) W= P0V

0- nRT

0ln2 (1)

όπου n ο αριθmicroός των mol του αέριου και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Όmicroως σύmicroφωνα microε την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων ισχύει P0V0=nRT0 οπότε η (1) γράφεται

W= P0V

0-P

0V

0ln2

W = P

0V

01 - ln2( ) (2)

β) O συντελεστής απόδοσης α του κύκλου ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W προς την θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου δηλαδή ισχύει

=

W

QAB

(1)

=P0V0 (1 - ln2)

nCP(2T0 - T0 )

=nRT0 (1 - ln2)

nCpT0

(3)

όπου CP η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερή πίεση Eπειδή γιατο αέριο έχουmicroε CP=5R2 η σχέση (3) γράφεται

=

nRT0 (1 - ln2)

5nRT02 =

2(1- ln2)

5 (4)

Ένα ιδανικό αέριο υποβάλλεται σε κυκλική αντισ τρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από microια ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB θερmicroοκρασίας T1 από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ όγκου V1 από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ θερmicroοκρασίας T2 και από microια ισόχωρη θέρmicroανση ΔrarrA όγκου V2=V12 Eάν ο λόγος CPCV του αερίου είναι γ

να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του το αέριο απορροφά από το εξωτερικό του περιβάλλον τα ποσά θερmicroότητας QΔA και QAB που ανιστοι χούν στην ισόχωρη θέρmicroανσή του ΔrarrA και στην ισόθερmicroη συmicroπίεσή του ArarrB Άρα ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβο λής είναι

=

W

Q$A + QAB

(1)

Σχήmicroα 16 όπου Wολ το ολικό έργο που παρέχει το αέριο στο περιβάλλον του Όmicroως για το έργο αυτό ισχύει

W= W

A+ W

AB+ W

B$+ W

$= 0 + W

AB+ 0 + W

$

W

= W

AB+W

$= nRT

1ln

V1

V12

$

amp amp + nRT2ln

V12

V1

$

amp amp

W= nRT

1ln2 - nRT

2ln2 W

= nR(T1 - T2 )ln2 (2) Εξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και QΔA ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1lnV1

V1 2

$

amp amp = nRT1ln2

και

QA = nCV (T1 - T2 ) =

nR(T1 - T2)

- 1 οπότε η (1) δίνει

=

nR(T1 - T2)ln2

nR(T1 - T2)( - 1) + nRT1ln2

=( - 1)(T1 - T2 )ln2

T1 - T2 + ( - 1)T1ln2

i) Nα δείξετε ότι η άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank για το δεύτερο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο συνεπάγεται και άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Nα δείξετε ότι microια κυκλική microεταβολή ορισmicroένης microάζας ιδανικού αέριου που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση από microια αδια βατική εκτόνωση και από microια αδιαβατική συmicroπίεση βρίσκεται σε αντίφαση microε το δεύτερo θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο δηλαδή microια τέτοια κυκ λική microεταβολή είναι αδύνατη ΛYΣH i) Έστω ότι υπάρχει θερmicroική microηχανή που σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microετατρέπει ολοκληρωτικά την θερmicroότητα Q1 που παίρνει από την πηγή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 σε microηχανικό έργο W χωρίς να δίνει θερmicroότητα στην πηγή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 Θεωρούmicroε τώρα microια κατάλ

Σχήmicroα 17 Σχήmicroα 18 ληλη ψυκτική microηχανή η οποία όταν λειτουργεί ανάmicroεσα στις ίδιες πηγές θερ microότητας microεταφέρει θερmicroότητα Q1 στην πηγή A καταναλώνοντας το έργο W που παράγει η θερmicroική microηχανή Tότε η ψυκτική αυτή microηχανή θα παίρνει από την πηγή B microια ορισmicroένη θερmicroότητα Q2 και εποmicroένως το σύστηmicroα των δύο microηχανών θα ισοδυναmicroεί microε microια ψυκτική microηχανή η οποία θα απάγει θερmicroότητα Q2 από την ψυχρή πηγή B χωρίς κατανάλωση έργου πράγmicroα που αποτελεί άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Έστω ότι microια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί την κυκλική microεταβο λή ABΓA που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB microια αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ και microια αδιαβατική συmicroπίεση ΓrarrA (σχήmicroα 18) Eφαρmicroόζοντας για τη microεταβολή αυτή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση QAB + QBΓ + QΓA = ΔUολ + Wολ QAB + 0 + 0 = 0 + Wολ QAB = Wολ (1)

H σχέση (1) δηλώνει ότι κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής ABΓA η θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο microετατρέπεται ολοκληρωτικά σε έργο γεγονός που έρχεται σε αντίθεση microε τη διατύπωση των Kelvin-Plank Παρατήρηση H microη πραγmicroατοποίση της κυκλικής microεταβολής ABΓA ισοδυναmicroεί microε το ότι οι αδιαβατικές καmicroπύλες BΓ και ΓA δεν είναι δυνατό να τέmicroνονται

Mιά ορισmicroένη microάζα ιδανικού αερίου εκτελεί κύκλο Carnot ABΓΔA Eάν V1 V2 V3 V4 είναι οι όγκοι του αέριου που αντιστοιχούν στις κατατάσεις A B Γ και Δ και T1 T2 είναι οι απόλυτες θερmicroοκρασίες της ισόθερmicroης εκτόνωσης και της ισόθερmicroης συmicroπίεσης του αέριου αντιστοίχως (T1gtT2) να δείξετε τις σχέσεις

V1V3 = V2V4 και W = nR(T1 - T2)ln(V2V1) όπου n τα mol του αερίου R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανικών αερίων και W το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του ΛYΣH Για την ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ισχύει P1

V1= P

2V

2 (1)

Για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Poisson ισχύει

P2V

2

= P3V

3

(2)

Σχήmicroα 19

Για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle έχουmicroε

P3V

3= P

4V

4 (3)

Tέλος για την αδιαβατική συmicroπίεση ΔrarrA σύmicroφωνα microε τον νόmicroο του Poisson έχουmicroε

P4V

4

= P1V

1

(4) όπου γ ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αερίου Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (4) κατά microέλη παίρνου microε τη σχέση

P1V

1P

2V

2

P3V

3P

4V

4

= P2V

2P

3V

3

P4V

4P

1V

1

2

-1

V 4

-1

V =3

-1

V 1

-1

V V3

V1= V

2V

4 (5)

Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκ λικής microεταβολής ABΓΔA είναι σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσει microε το περιβάλλον του Δηλαδή ισχύει η σχέση

W= Q

= QAB + QB

+ Q$

+ Q$A = QAB + Q

$ (6)

διότι για τις αδιαβατικές microεταβολές BrarrΓ και ΔrarrA έχουmicroε QBΓ =QΔA =0 Eξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και Q

ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1ln(V2 V1 )

Q

= nRT2ln(V4 V3 )

$

(+ )

QAB + Q

= nR T1lnV2

V1

$

amp amp + T2lnV4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(6)

W

= nR T

1ln

V2

V1

$

amp amp + T2ln

V4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(7)

Όmicroως από τη σχέση (5) έχουmicroε

V2

V1

=V

3

V4

lnV

2

V1

$

amp amp = lnV

3

V4

$

amp amp

lnV

2

V1

$

amp amp = - lnV

4

V3

$

amp amp

οπότε η (7) γράφεται

W

= nR(T1 - T2)ln

V2

V1

$

amp amp (8)

Mια θερmicroική microηχανή αναγκάζει ιδανικό αέριο σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση κατά την οποία η πίεση του αερίου τριπλασιάζεται

ii) από microια ισοβαρή εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται iii) από microια ισόχωρη ψύξη microέχρις ότου η πίεση του αερίου ανακτή σει την αρχική της τιmicroή και iv) απο microια ισοβαρή συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Eάν P0 V0 είναι η πίεση και ο όγκος αντιστοίχως του αερίου στην αρχική του κατάσταση και γ ο λόγος CPCV των γραmicromicroοmicroοριακών του ειδικών θερmicroοτήτων να βρείτε την προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroό τητα κατά την εξέλιξη του κύκλου γ) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής και να τον συγκρίνετε microε το συντελεστή απόδοσης της microηχα νής Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ της microέγιστης και της ελά χιστης θερmicroοκρασίας του αερίου της microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόχωρη θέρmicroανση AB του αερίου η πίεσή του τριπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Charles θα τριπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του αερίου δηλαδή από T0 θα γίνει 3T0 Κατά την ισοβα ρή εκτόνωση BΓ ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται οπότε και η απόλυτη θερmicroοκρασία του θα τριπλασιάζεται (νόmicroοςGay-Lussac) δηλαδή από 3T0 θα γίνει 9T0 Kατά την ισόχωρη ψύξη ΓΔ του αερίου η πίεση του απο την τιmicroή 3P0 λαmicroβάνει την τιmicroή P0 δηλαδή υποτριπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο του

Σχήmicroα 20 Charles πρέπει να υποτριπλασιασθεί και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή από 9T0 πρέπει να γίνει 3T0 Aυτό σηmicroαίνει ότι οι καταστάσεις B και Δ βρίσ κονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη θερmicroοκρασίας 3T0 Mε βάση τις παρα πάνω διαπιστώσεις το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου έχει τη microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (20) β) Kατά την εξέλιξη του κύκλου στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα στο στάδιο της ισόχωρης θέρmicroανσης AB και της ισοβαρούς εκτόνωσης BΓ δηλαδή ισχύει

Q = QAB + QB = nCV 3T0 - T0( ) + nCP 9T0 - 3T0( )

Q

= 2nCVT0 + 6nCPT0 = 2n CV + 3CP( )T0 (1)

Όmicroως οι γραmicromicroοmicroοριακές ειδικές θερmicroότητες CV και CP του αερίου ικανοποιούν τις σχέσεις

CP

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= R - 1

CP

= R - 1

$ (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε

Q

=

2nRT0

- 1(1+ 3) = 2P0V0

1+3

- 1

$

amp (3)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (4)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε το εmicroβαδόν του σκιασmicroένου ορθογωνίου ABΓΔ δηλαδή ισχύει W = micro$(ABamp) = (3P0 -P0)(3V0 -V0) = 4P0V0 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3)(4) και (5) έχουmicroε

=4P0V0

2P0V0

- 1

1+3

$

amp =

2( - 1)

1+ 3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται στην κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓΔA της οποίας το διάγραmicromicroα P-T φαίνεται στο σχήmicroα (21) i) Eάν οι θερmicroοδυναmicroικές microεταβλητές της κατάστασης A είναι P0 V0 και T0 να βρείτε τη θερmicroότητα που απορροφά το αέριο στη διάρκεια του κύκλου αφού προηγουmicroένως σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V του κύκλου ii) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση υπό θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου διπλασιάζεται οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ο όγκος του αερίου θα υποδιπλασιάζεται δηλαδή από V0 θα γίνει V02 H microεταβολή BΓ είναι ισοβαρής θέρmicroανση υπο πίεση 2P0 κατά την οποία η απόλυ

τη θερmicroοκρασία του αερίου διπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο Gay-Lussac θα διπλασιάζεται και ο όγκος του αερίου δηλαδή από V02 θα γίνει V0 H microετα βολή ΓΔ είναι ισόθερmicroη εκτόνωση υπό θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου υποδιπλασιάζεται οπότε ο όγκος του θα διπλασιάζεται (νόmicroος

Σχήmicroα 21 Σχήmicroα 22 Boyle) δηλαδή από V0 θα γίνει 2V0 Mε βάση τα παραπάνω οδηγούmicroαστε στο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου το οποίο έχει την microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (22) Στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του BΓ και της ισόθερmicroης εκτόνωσής του ΓΔ δηλαδή ισχύει η σχέση Q = QB +Q$ = nCP(2T0 - T0) + nR2T0ln(2V0V0 )

Q

= 5nRT02 + 2nRT0 ln2 Q

= P0V0 (52 + 2ln2) (1)

ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (2)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της υπο λογίζεται από τη σχέση

W = W

AB+ W

B + W$ + W$A

W

= nRT0ln

V0

2V0

$

amp +2P

0V

0-V

0

2

$

amp +

+

nR2T0ln2V0

V0

$

amp amp +P0(V0 - 2V0 )

W

= -nRT0ln2+P

0V

0+2nRT

0ln2 -P

0V

0=nRT

0ln2=P

0V

0ln2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) έχουmicroε

=P0V0ln2

P0V0(52 +2ln2)=

ln2

52 + 2ln2

Tο αέριο microιας θερmicroικής microηχανής είναι ιδανικό και υποβάλλεται σε αντιστρεπτό κύκλο ο οποίος αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή εκτόνωση AB microέχρις τετραπλασιασmicroού του όγ κου του αερίου ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση BΓ microέχρις ότου η πίεση του αερίου γίνει ίση microε το 132 της αρχικής της τιmicroής PA και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A όγκου VA α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Nα βρείτε το λόγο γ=CPCV του αερίου και να δείξετε ότι η θερ microότητα που απορροφά κατά την εξέλιξη του κύκλου είναι ίση microε 15PAVA2 γ) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Gay-Lussac θα τετραπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή απο TA θα γίνει 4TA Σύmicroφωνα microε το πρόβληmicroα κατά την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου η πίεση του microειώνε ται από την τιmicroή PA στην τιmicroή PA32 ο δε όγκος του αυξάνεται από την τιmicroή

Σχήmicroα 23 4VA στην τιmicroή VΓ Όmicroως microέσω της ισόθερmicroης συmicroπίεσης ΓA το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle θα έχουmicroε τη σχέση

PV

= P

AV

A V

= 32VA

Mε βάση τα παραπάνω το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (23) β) Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου το νόmicroο του Poisson παίρνουmicroε τη σχέση PB

VB

= PV

PA(4VA)

= (PA32)(32VA )

4

= 32-1 2

2= 2

5( -1) 2 = 5( - 1) = 53 που σηmicroαίνει ότι το αέριο είναι microονοατοmicroικό Eξάλλου η θερmicroότητα που απορροφά το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου ABΓA είναι ίση microε την θερmicroό τητα QAB που απορροφά κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του AB δηλαδή ισχύει Q

= QAB = nCP(4TA - TA) = 5nR(3TA 2)

Q

= 15nRTA2 = 15PAVA2 (1)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓ είναι

= W

Q$

(2) Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου του (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) οπότε θα έχουmicroε

W= Q$ = QAB + QB+ QA = nCP(4TA -TA ) + 0 + nRTAln(VA32VA )

W

= 5nR(3TA 2) - nRTAln(25)

W

= PAVA (152 - 5ln2) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) παίρνουmicroε

=PAVA(152 - 5ln2)

15PAVA2=

15 - 10ln2

15= 1 -

2ln2

3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) την ισόθερmicroη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του αερίου οκταπλασιάζεται ii) την ισόχωρη ψύξη BΓ και iii) την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0=3105 Ntm2 όγκου

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 6: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

οπότε η σχέση (2) δίνει

C= 1 -

T2

T1

(3)

Παρατηρούmicroε από τη σχέση (3) ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης microιας θερmicroικής microηχανής Carnot εξαρτάται microόνο από τις θερmicroοκρασίες T1 καί T2 των δεξαmicroενών θερmicroότητας που χρησιmicroοποιεί και microάλιστα όσο πιο microικρός είναι ο λόγος T2T1 τόσο microεγαλύτερος είναι ο συντελεστής αC

6 Oρισmicroός της εντροπίας O Clausius επιθυmicroώντας να δώσει microαθηmicroατική microορφή στον δεύτερο θερmicroοδυ ναmicroικό νόmicroο επινόησε την έννοια της εντροπίας ένα microέγεθος που άνοιξε ευρύ τατους ορίζοντες για την ανάπτυξη της Θερmicroοδυναmicroικής Aφετηρία για να ορί σει ο Clausius την έντροπία υπήρξε ο κύκλος του Carnot τον οποίο σκέφθηκε να διαmicroερίσει σε microεγάλο πλήθος στοιχειωδών microεταβολών και σχηmicroάτισε για κάθε microια το πηλίκο της θερmicroότητας dQ που ανταλλάσσει το αέριο microε το περι βάλλον του προς την αντίστοιχη θερmicroοκρασία T υπό την οποία γίνεται η ανταλ λαγή και στη συνέχεια άθροισε όλα αυτά τα πηλίκα Aναπαράγοντας τις ιδέες του Clausius για τον κύκλο Carnot ΑΒΓΔ (σχήmicroα 6) θα έχουmicroε

dQT( )

(C) = dQT( )

(AB) + dQT( )

(B) + dQT( )

( ) + dQT( )

(A) (1)

Σχήmicroα 6

Όmicroως οι microεταβολές BΓ και ΔA είναι αδιαβατικές και εποmicroένως τα αντίστοιχα αθροίσmicroατα είναι microηδενικά δηλαδή ισχύει

dQT( )

(B ) = dQT( )

(A) = 0 (2)

Eξάλλου εάν Q1 είναι το ποσό θερmicroότητας που παίρνει το αέριο κατά την ισό θερmicroη εκτόνωσή του AB Q2 το ποσό της θερmicroότητας που δίνει κατά την ισό

θερmicroη συmicroπίεση του ΓΔ και T1 T2 οι αντίστοιχες απόλυτες θερmicroοκρασίες του θα έχουmicroε τις σχέσεις

dQT( )

(AB) = Q1T1 και

dQT( )

() = Q2 T2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) και (3) έχουmicroε

Q

T

$

amp

(C)

=Q1

T1

+Q2

T2

(4)

Όmicroως σε microια κυκλική microεταβολή Carnot ισχύει η σχέση

Q1

T1

=-Q2

T2

Q1

T1

+Q2

T2

= 0

οπότε η (4) γράφεται

dQT( )

(C) = 0 (5)

H σχέση (5) δηλώνει ότι σε κάθε κυκλική microεταβολή Carnot ενός αερίου το αλγεβρικό άθροισmicroα των πηλίκων των στοιχειωδών θερmicroότητων που αυτό ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του προς την αντίστοιχη απόλυτη θερmicroοκρασία υπό την οποία γίνεται η ανταλλαγή είναι ίση microε microηδέν O Clausius έδειξε ότι η σχέση (5) έχει γενικώτερο χαρακτήρα δηλαδή ισχύει για κάθε αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή ενός σώmicroατος και το γεγονός αυτό του επέτρεψε να ισχυρι σθεί ότι για κάθε σώmicroα υπάρχει ένα φυσικό microέγεθος χαρακτηριστικό της κατά στασής του και ανεξάρτητο του τρόπου microε τον οποίο το σώmicroα βρέθηκε στην κατάσταση αυτή Tο microέγεθος αυτό ο Clausius το ονόmicroάσε εντροπία του σώmicroα τος και το συmicroβόλισε microε S Mολονότι η σχέση (4) εγγυάται την ύπαρξη της εντροπίας σε κάθε κατάσταση ισορροπίας του σώmicroατος δεν microας επιτρέπει να την ορίσουmicroε Mας επιτρέπει όmicroως να ορίσουmicroε τη microεταβολή της εντροπίας κατά microια αντιστρεπτή πορεία του από microια αρχική κατάσταση σε microια τελική κατάσταση Σε περίπτωση που το σώmicroα εκτελεί microια στοιχειώδη αντιστρεπτή microεταβολή κατά την εξέλιξη της οποίας ανταλλάσσει microε το περιβάλλον ένα πολύ microικρό (στοιχειώδες) ποσό θερmicroότητας dQ και βρίσκεται σε απόλυτη θερmicroοκρασία T τότε η αντίστοιχη στοιχειώδης microεταβολή dS της εντροπίας του ορίζεται από τη σχέση

dS = dQT (7) Eάν η αντιστρεπτή microεταβολή δεν είναι στοιχειώδης τότε η συνολική microεταβολή ΔSολ της εντροπίας του σώmicroατος όταν αυτό οδηγείται από microιά αρχική κατά σταση α σε microιά τελική κατάσταση τ θα είναι ίση microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των στοιχειωδών microεταβολών dS1 dS2 dSn της εντροπίας του που αντιστοιχούν στις στοιχειώδεις αντιστρεπτές microεταβολές στις οποίες διαmicroερίζεται η θεωρούmicroε νη microεταβολή δηλαδή θα ισχύει ΔSολ=dS1+dS2+ +dSn

S =

dQ1

T1

+dQ

2

T2

+ +dQ

n

Tn

=dQ

T

$

amp

$

(8)

Παρατηρήσεις i) Όταν αναφερόmicroαστε σε θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα στο οποίο εξελλίσεται microιά οποιαδήποτε διαδικασία (αντιστρεπτή ή όχι) η microεταβολή της εντροπίας του συστήmicroατος είναι ίση microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των microεταβολών της εντροπίας των σωmicroάτων που το αποτελούν ii) Όταν ένα θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα οδηγείται microε αντιστρεπτό τρόπο από microιά αρχική σε microία τελική κατάσταση ισορροπίας η microεταβολή της εντροπίας του είναι ακριβώς αντίθετη της microεταβολής που παθαίνει η εντροπία του περιβάλ λοντος του συστήmicroατος Aυτό είναι άmicroεση συνέπεια του ορισmicroού που έχουmicroε δώσει για την αντιστρεπτή microεταβολή και δικαιολογείται ως εξής Kατά την εξέλιξη της αντιστρεπτής microεταβολής το θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του στοιχειώδη ποσά θερmicroότητας ευρισκόmicroενο σε θερmicroοδυ ναmicroική ισορροπία microε αυτό που σηmicroαίνει ότι υπάρχει κάθε στιγmicroή ανάmicroεσά τους microιά πολύ microικρή διαφορά θερmicroοκρασίας Έτσι αν το σύστηmicroα πάρει από το περι βάλλον του κατά τρόπο αντιστρεπτό την στοιχειώδη θερmicroότητα dQ υπό θερmicroο κρασία T η microέν εντροπία του συστήmicroατος θrsquo αυξηθεί κατά dQT ενώ του περιβάλλοντος του θα ελαττωθεί κατά dQT οπότε η αντίστοιχη microεταβολή της εντροπίας του συστήmicroατος και του περιβάλλοντος θα είναι ίση microε microηδέν Omicroως το θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα και το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν που θεωρείται αποmicroονώmicroενο σύστηmicroα δηλαδή σύστηmicroα που δεν ανταλλάσει ύλη και ενέργεια οπότε microπορούmicroε να διατυπώσουmicroε την παρακάτω γενική πρόταση Kατά τις αντιστρεπτές microεταβολές των θερmicroοδυναmicroικών συστηmicroάτων η εντροπία του Σύmicroπαντος διατηρείται σταθερή iii) Όταν ένα σώmicroα υποβάλλεται σε αντιστρεπτή ή microη αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή της θερmicroοδυναmicroικής του κατάστασης τότε η συνολική microεταβολή της εντροπίας του είναι microηδέν Στην περίπτωση που η κυκλική microεταβολή είναι αντιστρεπτή η παραπάνω ιδιότητα περιγράφεται από τη σχέση

dQT( )

(C) = 0

όπου ο υπολογισmicroός του αθροίσmicroατος θα γίνει κατα microήκος της κλειστής καmicroπύ λης γραmicromicroής (C) η οποία απεικονίζει σε κατάλληλο ορθογώνιο σύστηmicroα αξό νων τη θεωρούmicroενη κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή του σώmicroατος 7 Yπολογισmicroός της microεταβολής της εντροπίας σε ειδικές περιπτώσεις O υπολογισmicroός της microεταβολής της εντροπίας ενός σωmicroάτος όταν αυτό microετέχει σε microια φυσική διεργασία παρουσιάζει στη γενική περίπτωση microαθηmicroατική δυσκολία η οποία εξαρτάται από το είδος της διεργασίας στην οποία υποβάλλε ται Σε microερικές όmicroως περιπτώσεις ο υπολογισmicroός της είναι εφικτός microε απλοική microαθηmicroατική διαδικασία όπως λογουχάρη στην περίπτωση της ισόθερmicroης και

αντιστρεπτής microεταβολής ή στην περίπτωση της αδιαβατικής και αντιστρεπτής microεταβολής της κατάστασης ιδανικού αερίου α Iσόθερmicroη microεταβολή Aς δεχθούmicroε ότι microια microάζα n mol ιδανικού αερίου υποβάλλεται σε ισόθερmicroή και αντιστρεπτή microεταβολή της θερmicroοδυναmicroικής του κατάστασης υπό θερmicroοκρασία T κατά την οποία ο όγκος του microεταβάλλεται από V1 σε V2 Eπειδή η θερmicroοκρα σία του αερίου παραmicroένει σταθερή microπορεί να βγεί κοινός παράγοντας σε όλους τους όρους του αθροίσmicroατος Σ(dQT) oπότε για τη microεταβόλή ΔSισοθ της εντρο πίας του αερίου θα έχουmicroε τη σχέση

S

$=

1

T dQ( ) =

Q$

T

Όmicroως η θερmicroότητα Qισοθ που ανταλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του είναι ίση microε το αντίστοιχο έργο Wισοθ του αερίου οπότε η προηγούmicroενη σχέση γράφε ται

S$

=W

$

T=

nRT

Tln

V2

V1

$

amp = nRln

V2

V1

$

amp

Παρατηρούmicroε ότι κατά την ισόθερmicroη αντιστρεπτή εκτόνωση του αερίου (V2gtV1) ισχύει ΔSgt0 που σηmicroαίνει ότι η εντροπία του αυξάνεται Aκριβώς τα αντίστρο φα συmicroβαίνουν κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του αερίου (V2ltV1) οπότε ΔSlt0 β Aδιαβατική microεταβολή Όταν το αέριο υφίσταται αδιαβατική και αντιστρεπτή microεταβολή τότε όλα τα στοιχειώδη ποσά θερmicroότητας dQ που ανταλάσσει microε το περιβάλλον του είναι microηδενικά οπότε η microεταβολή της εντροπίας του θα είναι microηδενική δηλαδή θα ισχύει

ΔSαδιαβ = 0 Λόγω της παραπάνω ιδιότητας microια αδιαβατική και αντιστρεπτή microεταβολή της κατάστασης ιδανικού αερίου ονοmicroάζεται και ισεντροπική microεταβολή 8 Eντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου Aς θεωρήσουmicroε ένα σώmicroα που microετέχει microιας φυσικής διαδικασίας η οποία το οδηγεί από microια αρχική σε microια τελική κατάσταση θερmicroοδυναmicroικής ισορροπίας Kατά την διαδικασία αυτή η εντροπία του σώmicroατος microεταβάλλεται ανεξάρτητα από τον τρόπο που εξελίσσεται η διαδικασία αυτή αφού η εντροπία του σώmicroα τος είναι microονότιmicroη συνάρτηση της κατάστασής του Στην περίπτωση που το σώmicroα οδηγείται στην τελική κατάσταση κατά microη αντιστρεπτό τρόπο δεν microπο ρούmicroε για τον υπολογισmicroό της microεταβολής της εντροπίας του να χρησιmicroοποι ήσουmicroε τη σχέση (8) του εδαφίου 6 διότι όπως αναφέρθηκε παραπάνω αυτή έχει νόηmicroα microόνο σε αντιστρεπτές διαδικασίες Mπορούmicroε όmicroως να επιλέξουmicroε microια κατάλληλη αντιστρεπτή πορεία που οδηγεί το σώmicroα στην τελική του κατά

σταση και να υπολογίσουmicroε πάνω σrsquo αυτή την πορεία την microεταβολή της εντρο πίας του σώmicroατος χρησιmicroοποιώντας τη σχέση (8) H microεταβολή αυτή θα αντιπροσωπεύει και τη microεταβολή της εντροπίας του σώmicroατος κατά την αντί στοιχη microη αντιστρεπτή διαδικασία Στα επόmicroενα θα επιχειρήσουmicroε να υπολογί σουmicroε τη microεταβολή της εντροπίας σε microερικές χαρακτηριστικές microη αντιστρε πτές διεργασίες και να αξιολογήσουmicroε τα αποτελέσmicroατα των υπολογισmicroών α Eλεύθερη εκτόνωση ιδανικού αερίου Aς θεωρήσουmicroε ένα ιδανικό αέριο που βρίσκεται σε δοχείο microε αδιαβατικά τοιχώmicroατα Tο δοχείο αυτό χωρίζεται microε τη βοήθεια ενός διαφράγmicroατος σε δύο χώρους που τον ένα καταλαmicroβάνει το αέριο ενώ ο άλλος χώρος είναι κενός Aν αφαιρέσουmicroε το διάφραγmicroα τότε το αέριο εκτονώνεται από τον αρχικό του όγκο V1 στον όγκο V2 του δοχείου χωρίς να ανταλλάσσει θερmicroότητα και έργο microε το περιβάλλον του (Q=0 και W=0) Tο φαινόmicroενο αυτό ονοmicroάζεται ελεύθερη εκτόνωση του αερίου αποτελεί δε microη αντιστρεπτό φαινόmicroενο αφού ποτέ δεν παρατηρήθηκε αυτόmicroατη αδιαβατική συmicroπίεση του αερίου στην αρχική του κατάσταση Eφαρmicroόζοντας στο αέριο τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε για την microεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας την σχέση ΔU=0 που σηmicroαίνει ότι κατά την ελεύθερη εκτόνωση του αέριου η εσωτερική του ενέρ γεια άρα και η θερmicroοκρασία του παρέmicroεινε η ίδια Έτσι η αρχική και η τελική κατάσταση του αέριου βρίσκονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη χωρίς

Σχήmicroα 7 Σχήmicroα 8 όmicroως οι ενδιάmicroεσες καταστάσεις του αερίου να βρίσκονται πάνω στην καmicroπύλη αυτή αφού δεν είναι καταστάσεις ισορροπίας και εποmicroένως δεν απεικονίζονται σε διάγραmicromicroα P-V Γίνεται τώρα φανερό ότι για να υπολογίσουmicroε τη microεταβολή ΔS της εντροπίας του αέριου θα χρησιmicroοποιήσουmicroε την αντίστοιχη ισόθερmicroη αντιστρεπτή εκτόνωση που microπορεί να το οδηγήσει από την αρχική κατάσταση A1 όγκου V1 στην τελική κατάσταση A2 όγκου V2 (σχήmicroα 8) Για τη microεταβολή αυτή έχουmicroε

S = nR ln V2V

1( ) (1) όπου n ο αριθmicroός των mol του αερίου και R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανι κών αερίων Eπειδή V2gtV1 θα ισχύει και ln(V2V1)gt0 οπότε σύmicroφωνα microε την (1) η microεταβολή της εντροπίας του αερίου κατά την ελεύθερη εκτόνωση του είναι θετική δηλαδή η εντροπία του αυξάνεται Eξάλλου η εντροπία του περι βάλλοντος του αερίου δεν παθαίνει καmicroιά microεταβολή στη διάρκεια αυτής της microη αντιστρεπτής διαδικασίας αφού το περιβάλλον δεν συmicromicroετέχει ενεργειακά σ΄

αυτήν Έτσι microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι τουλάχιστον γιrsquo αυτή την microη αντιστρεπτή microεταβολή η εντροπία του αερίου και του περιβάλλοντος αυξάνει Όmicroως το αέριο microαζί microε το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν οπότε η ελεύθερη εκτόνωση ενός αερίου οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του Σύmicroπαν τος Pοή θερmicroότητας δια microέσου χάλκινης ράβδου Tο φαινόmicroενο ροής θερmicroότητας από microια δεξαmicroενή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 προς microια άλλη δεξαmicroενή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 (T1gtT2) δια microέσου χάλκινης ράβδου είναι microη αντιστρεπτό φαινόmicroενο Kατά την εξέλιξη του φαινοmicroένου αυτού η εντροπία της χάλκινης ράβδου δεν microεταβάλλεται αφού η θερmicroοκρασία σε κάθε διατοmicroή της είναι χρονικά σταθερή και όση θερmicroότητα φθάνει στην διατοmicroή αυτή microέσα σrsquo ένα χρονικό διάστηmicroα τόση φεύ γει από τη διατοmicroή στο διάστηmicroα αυτό Έτσι η ολική microεταβολή ΔSολ της εντρο πίας του συστήmicroατος είναι ίση microε το άθροισmicroα της microεταβολής ΔSA της εντρο πίας της δεξαmicroενής A και της microεταβολής ΔSB της εντροπίας της δεξαmicroενής B δηλαδή ισχύει ΔSσυστ=ΔSA+ΔSB (2) Για να υπολογίσουmicroε τις microεταβολές ΔSA και ΔSB πρέπει να βρούmicroε microια αντισ τρεπτή διαδικασία microεταφοράς της θερmicroότητας Q από τη δεξαmicroενή A στη B Tέτοια διαδικασία microπορεί να εξασφαλιστεί αν διαθέτουmicroε microια δεξαmicroενή θερmicroό τητας που τη θερmicroοκρασία της microπορούmicroε να ελέγχουmicroε αυτόmicroατα η οποία

Σχήmicroα 9

να έρχεται διαδοχικά σε επαφή πρώτα microε την A και στη συνέχεια σε επαφή microε την B Mε τον τρόπο αυτό η δεξαmicroενή ελεγχόmicroενης θερmicroοκρασίας θα microεταφέρει κατά αντιστρεπτό τρόπο την θερmicroότητα Q από την A στην B οπότε για τις microεταβολές ΔSA και ΔSB θα έχουmicroε τις σχέσεις

SA = -QT1

SB = QT2

(+ )

SA + SB =Q

T2

-Q

T1

= QT1 - T2

T1T2

$

amp (3)

------------------------------- Προς στιγmicroή αγνοούmicroε όλες τις άλλες φυσικές διαδικασίες που συmicroβαίνουν στο περιβάλλον του αέριου και εντοπίζουmicroε την προσοχή microας στο πως επηρεάζεται το περιβάλλον από την ελεύθερη εκτόνωση του αερίου Mε τη βοήθεια microιας τέτοιας πηγής microπορούmicroε να εξασφαλίσουmicroε κάθε στιγmicroή microικρή διαφορά θερmicroοκρασίας ανάmicroεσα στην πηγή αυτή και στις πηγές A και B οπότε η ροή θερmicroότητας θα γίνεται κατά τρόπο αντιστρεπτό

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουmicroε τη σχέση

S

$= Q

T1 - T2

T1T2

$

amp (4)

Aπό την (4) προκύπτει ΔSσυστgt0 που σηmicroαίνει ότι κατά τη ροή θερmicroότητας από τη δεξαmicroενή A στην B δια microέσου της χάλκινης ράβδου η εντροπία του συστή microατος αυξάνεται Eξάλλου το περιβάλλον του συστήmicroατος των δύο δεξαmicroενών θερmicroότητας και της χάλκινης ράβδου δεν συmicromicroετέχει ενεργειακά σ΄ αυτή τη microη αντιστρεπτή διεργασία οπότε microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι η εντροπία του δεν microεταβάλλεται δηλαδή ισχύει ΔSπερ=0 Όmicroως το σύστηmicroα και το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν οπότε η ροή θερmicroότητας διrsquo αγωγής οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του Σύmicroπαντος Στο ίδιο συmicroπέρασmicroα καταλήγουmicroε εάν εξετάσουmicroε και άλλες φυσικές διαδικασίες που εξελλίσονται κατά microη αντιστρε πτό τρόπο όλες δε οι πειραmicroατικές microας εmicroπειρίες που αναφέρονται σε microη αντι στρεπτά φαινόmicroενα είναι συmicroβιβαστές microε την ακόλουθη πρόταση Kάθε microη αντιστρεπτή διαδικασία που συmicroβαίνει στο Σύmicroπαν οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του H πρόταση αυτή αποτελεί την εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroο δυναmicroικού νόmicroου και microολονότι δεν υπάρχει αυστηρή microαθηmicroατική απόδειξη αυτής πρέπει να τονίσουmicroε ότι η πρόταση είναι συνεπής προς όλα τα φυσικά φαινόmicroενα που εξελίσσονται στο Σύmicroπαν κατά microη αντιστρεπτό τρόπο Όπως θα δειχθεί στο επόmicroενο εδάφιο η εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυνα microικού νόmicroου είναι ισοδύναmicroη microε τη διατύπωση Kelvin-Plank που σηmicroαίνει ότι η αποδοχή ή παραβίαση της microιας συνεπάγεται την αποδοχή ή παραβίαση της άλλης Παρατήρήση Kάθε φυσική διαδικασία που συmicroβαίνει microέσα σrsquo ένα αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα δηλαδή σrsquo ένα σύστηmicroα που δεν ανταλλάσσει ύλη και ενέργεια microε το περιβάλ λον του θεωρείται αυθόρmicroητο φυσικό φαινόmicroενο αφού για την πραγmicroατο ποίησή του δεν χρειάζεται εξωτερική επίδραση Όmicroως microε την έννοια αυτή τα αυθόρmicroητα φαινόmicroενα είναι και microη αντιστρεπτά οπότε σύmicroφωνα microε την εντρο πική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου συνοδεύονται από αύξηση της εντροπίας του αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος Mπορούmicroε λοιπόν να διατυπώσουmicroε την παρακάτω πρόταση που είναι γνωστή ως αρχή αύξησης της εντροπίας ενός αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος Kάθε αυθόρmicroητη διαδικασία που συmicroβαίνει σrsquo ένα αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του 9 Iσοδυναmicroία της εντροπικής διατύπωσης προς την διατύπώση Kelvin-Plank Θα δείξουmicroε ότι η άρνηση της εντροπικής διατύπωσης του δεύτερου θερmicroοδυ ναmicroικού νόmicroου συνεπάγεται άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank Προς τούτο θεωρούmicroε microία θερmicroική microηχανή Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ των πηγών θερmicroότητας A και B αντιστοίχων θερmicroοκρασίων T1 και T2 microε T2ltT1 και

υποθέτουmicroε ότι σε κάθε κύκλο λειτουργίας της το θερmicroαντικό της σώmicroα (ιδανικό αέριο) απορροφά από την πηγή A θερmicroότητα Q1 και δίνει στην πηγή B θερmicroότητα Q2 Eπί πλέον υποθέτουmicroε ότι κατά τη λειτουργία της θερmicroικής αυτής microηχανής παραβιάζεται η εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυνα microικού νόmicroου δηλαδή ότι η εντροπία του Σύmicroπαντος microειώνεται Tότε θα ισχύει ΔSΣυmicroπlt0 ΔSmicroηχ+ΔSπερlt0 (1) Όmicroως η microεταβολή ΔSπερ της εντροπίας του περιβάλλοντος της θερmicroικής microηχα νής του Carnot είναι microηδενική διότι αυτό παίρνει microόνο έργο από τη microηχανή ενώ η microεταβολή ΔSmicroηχ της εντροπίας της microηχανής θα είναι

ΔSmicroηχ=ΔSαερ+ΔSA+ΔSB

Smicro = 0 +-Q1

T1

+Q2

T2

(2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

-Q1

T1

+Q2

T2

lt 0

Q1

T1

gtQ2

T2

(3)

Όmicroως η σχέση (3) σηmicroαίνει ότι η θερmicroική microηχανή του Carnot δεν λειτουργεί σύmicroφωνα microε τη διατύπωση των kelvin-Plank διότι τότε θα έπρεπε να ισχύει η σχέση

Q1 T1 = Q2 T2 Δηλαδή η παραβίαση της εντροπικής διατύπωσης του

δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου συνεπάγεται και την παραβίαση της διατύπω σης Kelvin-Plank 10 Aρχή υποβάθmicroισης της ενέργειας Aς θεωρήσουmicroε ένα σύστηmicroα από δύο σώmicroατα A και B που βρίσκονται σε αντί στοιχες θερmicroοκρασίες T1 και T2 microε T1gtT2 το οποίο είναι αποmicroονωmicroένο microε το περιβάλλον του Eάν τα δύο σώmicroατα έλθουν σε επαφή τότε είναι γνωστό ότι θα microεταβιβαστεί θερmicroότητα από το σώmicroα υψηλής θερmicroοκρασίας T1 προς το σώmicroα χαmicroηλώτερης θερmicroοκρασίας T2 microέχρις ότου τα δύο σώmicroατα αποκτήσουν κοινή θερmicroοκρασία Tκ για την οποία ισχύει T2ltTκltT1 Kατά την microη αντιστρεπτή αυτή διαδικασία το σύστηmicroα δεν ανταλλάσσει έργο και θερmicroότητα microε το περιβάλλον του αφού αποτελεί αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα microε αποτέλεσmicroα η εσωτερική του ενέργεια να παραmicroένει σταθερή (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) ενώ σύmicroφωνα microε την εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου η εντροπία του συστήmicroατος αυξάνεται Eξάλλου το σύστηmicroα στην αρχική του κατάσταση εmicroφανίζει microιά ορισmicroένη ικανότητα παραγωγής οργανωmicroένης ενέργειας αφού microπορεί νrsquo αποδώσει microηχανικό έργο microε τη microεσολάβηση microιας θερmicroικής microηχανής ανάmicroεσα στα δύο σώmicroατα Aντίθετα στην τελική του κατάσταση το σύστηmicroα έχει χάσει την ικανότητά του να δώσει οργανωmicroένη ενέργεια αφού τώρα είναι αδύνατη η λειτουργία microιάς θερmicroικής microηχανής microεταξύ των δύο σωmicroάτων καθό σον τα δύο σώmicroατα βρίσκονται στην ίδια θερmicroοκρασία Aπό την σύγκριση των δύο καταστάσεων βγαίνει το συmicroπέρασmicroα ότι microολονότι η εσωτερική ενέργεια του συστήmicroατος δεν άλλαξε η ικανότητα του για παραγωγή οργανωmicroένης ενέργειας δηλαδή ενέργειας που microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί ωφέλιmicroα έχει microηδε νιστεί ενώ ταυτόχρονα η εντροπία του συστήmicroατος παρουσιάζεται αυξηmicroένη Δηλαδή η αυξηmicroένη εντροπία του συστήmicroατος έχει υποβαθmicroίσει την ποιότητα

της εσωτερικής του ενέργειας microε την έννοια ότι αυτό δεν είναι τώρα σε θέση να δώσει ωφέλιmicroη ενέργεια Γενικώτερα αν αναφερθούmicroε στα microη αντιστρεπτά φυσικά φαινόmicroενα που συmicroβαίνουν στο Σύmicroπαν microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι συνοδεύονται microε ενεργειακή υποβάθmicroισή του δηλαδή microε απώλεια της δυνατότητάς του για παραγωγή ενέργειας ανώτερης ποιότητας microολονότι η εσωτερική του ενέργεια παραmicroένει αναλλοίωτη Aυτό σηmicroαίνει ότι microε την πάροδο του χρόνου το Σύmicroπαν τείνει σε microιά κατάσταση microέγιστης εντροπίας που του περιορίζει την ποιότητα του ενεργειακού του περιεχόmicroενου και το οδη γεί στον λεγόmicroενο θερmicroικό ή εντροπικό θάνατο Ένα άλλο χαρακτηριστικό παράδειγmicroα που microας δείχνει ότι η αύξηση της εντροπίας ενός αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος ελαττώνει την ικανότητα του για παραγωγή οργανωmicroένης ενέρ γειας είναι το εξής Aφήνουmicroε ένα σώmicroα να πέσει από ύψος h στο πάτωmicroα του δωmicroατίου microας Tο σώmicroα ξεκινάει την διαδροmicroή του microε microιά οργανωmicroένη δυνα microική ενέργεια mgh η οποία microετά την κρούση του microε το πάτωmicroα microετασχη microατίζεται σε ανοργάνωτη θερmicroική ενέργεια που κατανέmicroεται στο σώmicroα στο πάτωmicroα στον αέρα και στους τοίχους του δωmicroατίου microε αποτέλεσmicroα νrsquo αυξηθεί λίγο η θερmicroοκρασία τους Kατά την microη αντιστρεπτή αυτή διαδικασία η ολική ενέργεια του συστήmicroατος διατηρήθηκε σταθερή αυξήθηκε όmicroως η εντροπία του H αυξηmicroένη εντροπία του συστήmicroατος κάνει αδύνατη την αντίστροφη εξέλιξη του φαινοmicroένου δηλαδή την microετατροπή της προηγούmicroενης θερmicroικής ενέργειας σε δυναmicroική ενέργεια microε αυθόρmicroητη ανύψωση του σώmicroατος στην αρχική του θέση και ταυτόχρονη ψύξη όλων των σωmicroάτων που πήραν microέρος στο φαινόmicroενο Έτσι το σύστηmicroά παρουσιάζεται στην τελική του κατάσταση microε υποβαθmicroισmicroένο ενεργειακό περιεχόmicroενο δηλαδή έχει microειωθεί η ποιότητα της ενέργειάς του αφού αυτό έχασε την ικανότητά του να δίνει ωφέλιmicroο έργο Παρατήρηση H θερmicroότητα ως microορφή ενέργειας είναι ποσοτικά ισοδύναmicroη microε τις άλλες microορφές ενέργειας (microηχανική ηλεκτρική χηmicroική κλπ) αλλά ποιοτικά είναι υποβαθmicroισmicroένη ως προς αυτές Aυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η θερmicroότητα δεν microπορεί να microετασχηmicroατιστεί ολοκληρωτικά σε ενέργεια άλλης microορφής ενώ αντίθετα οι άλλες microορφές ενέργειας microε απλές διαδικασίες microετασχηmicroατίζονται ολοκληρωτικά σε θερmicroότητα lsquoΕτσι η θερmicroότητα θεωρείται ως ενέργεια κατώτε ρης ποιότητας ή ως microη οργανωmicroένη ενέργεια ως προς τις άλλες microορφές ενέρ γειας οι οποίες θεωρούνται ως ενέργειες ανώτερης ποιότητας

PM fysikos

Iδανικό αέριο εκτελεί διαδοχικά τις παρακάτω θερmicroικές διαδικασίες α) Mιά αντιστρεπτή ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται

β) Mιά αντιστρεπτή ισόχωρη microεταβολή κατά την οποία η πίεση του αερίου γίνεται η microισή της αρχικής του πιέσεως i) Nα σχεδιαστούν τα διαγράmicromicroατα P-V P-T και V-T των δύο αυτών συνεχόmicroενων microεταβολών ii) Nα βρεθεί η συνολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του Δίνονται τα καταστατικά microεγέθη V0 P0 και T0 της αρ χικής κατάστασης του αερίου ΛYΣH i) Kατά την αντιστρεπτή ισοβαρή εκτόνωση ArarrB του ιδανικού αερί ου από τον όγκο V0 στον όγκο 2V0 η απόλυτη θερmicroοκρασία του αυξάνει από την τιmicroή T0 στην τιmicroή 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) Στην αντιστρεπτή ισόχωρη microεταβολή BrarrΓ που ακολουθεί ο όγκος του αέριου microένει σταθερός και ίσος microε 2V0 ενω η πίεσή του ελαττώνεται από την τιmicroή Pο στην τιmicroή P02 microε απο τέλεσmicroα να ελαττώνεται και η θερmicroοκρασία του αέριου από την τιmicroή 2T0 στην

Σχήmicroα 10 Σχήmicroα 11 Σχήmicroα 12

τιmicroή T0 (νόmicroος Charles) Όλα τα παραπάνω εκφράζονται συmicroβολικά ως εξής

A(P0 V0 T0) rarr B(P0 2V0 2T0) rarr Γ(P02 2V0 T0) Tα σχήmicroατα (10) (11) (12) αποτελούν τα ζητούmicroενα διαγράmicromicroατα της microεταβο λής ArarrBrarrΓ του ιδανικού αερίου ii) Aφού κατά την αντιστρεπτή διαδικασία ArarrBrarrΓ η θερmicroοκρασία του αερίου τελικά δεν microεταβάλλεται η ολική microεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας είναι microηδέν διότι η εσωτερική ενέργεια microιας ορισmicroένης microάζας ιδανικού αερίου είναι συνάρτηση microόνο της θερmicroοκρασίας του Δηλαδή ισχύει

ΔUολ = 0 (1) Eφαρmicroόζοντας για το ιδανικό αέριο τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο κατά τη microεταβολή ArarrBrarrΓ παίρνουmicroε τη σχέση

Q= U

+ W

(1)

Q= 0 + W

= W

Q= WAB + WB

= P0(2V0 - V0 ) + 0 Q= P0V0

Mια θερmicroική microηχανή Carnot λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1=500 0K και T2=200 0K H microηχανή απορροφά από τη θερmicroή δεξαmicroενή θερmicroότητα microε ρυθmicroό q1=2105 Js i) Nα βρεθεί η ωφέλιmicroη ισχύς της microηχανής ii) Nα βρεθεί ο ρυθmicroός microε τον οποίο πρέπει να microεταφέρεται θερmicroότη τα στην ψυχρή πηγή microιας θερmicroικής microηχανής που λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδο σης ίσο microε 80 του συντελεστή απόδοσης της microηχανής Carnot και την ίδια ωφέλιmicroη ισχύ microε αυτή ΛYΣH i) Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot στο ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής τότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αC της microηχανής θα ικανοποιεί τη σχέση

C =W

Q1

W = CQ1

W

t=CQ1

t (1)

Όmicroως το πηλίκο Wt αποτελεί την ωφέλιmicroη ισχύ N της microηχανής ενώ το πηλίκο Q1t αποτελεί το ρυθmicroό q1 microεταφοράς θερmicroότητας από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το αέριο που χρησιmicroοποιεί οπότε η σχέση (1) γράφεται N = Cq1 = (1 - T2T1 )q1

N=(1-200500)2 105 Js=12 105 Js ii) Aς θεωρήσουmicroε τη θερmicroική microηχανή που εργάζεται microεταξύ των θερmicroοκρα σιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης α=08αC και ωφέλιmicroη ισχύ N Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το ενεργό υλικό που χρησιmicroοποιεί και Q2 η αντίστοιχη θερmicroότητα που microεταφέρεται από το υλικό αυτό προς την ψυχρή δεξαmicroενή της θα έχουmicroε τις σχέσεις

Q1 = W+Q2

08C = WQ1

W

08C

= W+Q2

W1

08C

- 1

$

amp =Q2

W

t

1

08C

- 1

$

amp =

Q2

t

microε C

= 1- T2T

1= 35 Όmicroως το πηλίκο Q2t αποτελεί το ρυθmicroό q2 microεταφοράς

θερmicroότητας στην ψυχρή πηγή της θερmicroικής microηχανής ενώ το πηλίκο Wt αποτελεί την ισχύ N της microηχανής οπότε η (2) γράφεται q2 = N(54C - 1) = 12 10

5(25 12 - 1) Js = 13 10

5Js

Mια θερmicroική microηχανή αποτελείται από δύο θερmicroι κές microηχανές Carnot και η ψυχρή πηγή της microιας αποτελεί θερmicroή πηγή της άλλης Eάν α1 α2 είναι οι θερmicroοδυναmicroικοί συντελεστές από δοσης των δύο microηχανών T1 η απόλυτη θερmicroοκρασία της θερmicroής πηγής της πρώτης και T3 η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της δεύτερης να δείξετε τις σχέσεις αολ = α1 + α2 - α1α2 και αολ = 1 - T3 T1 όπου αολ ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της σύνθετης microηχανής Carnot ΛYΣH Έστω ότι σε χρόνο t microεταφέρεται θερmicroότητα Q1 από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot M1 προς το ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W1 είναι το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής αυτής O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α1 της microηχανής θα είναι 1 = W1Q1 W1 = 1Q1 (1)

Σχήmicroα 13 Eξάλλου εάν Q2 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t στην ψυχρή πηγή της microηχανής M1 αυτή θα αποτελεί και την αντίστοιχη θερmicroότητα που λαmicroβάνει το αέριο της δεύτερης microηχανής Carnot M2 οπότε το ωφέλιmicroο έργο W2 της microηχανής αυτής σε χρόνο t θα υπολογίζεται microέσω της σχέσεως W2 = 2Q2 (2) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αολ του συστήmicroατος των δύο microηχα νών θα είναι

=

W1 + W2

Q1

(2)

(1)

=1Q1 + 2Q2

Q1

= 1 +2Q2

Q1

(3)

Όmicroως εάν T2 είναι η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της M1 ή της

θερmicroής πηγής της M2 θα ισχύει η σχέση

Q1

T1

=Q2

T2

Q2

Q1

=T2

T1

= 1 -1 (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) έχουmicroε

= 1 +2(1 - 1 ) = 1 +2 -12 (5) Eπειδή α1=1-T2T1 και α2=1-T3T2 η σχέση (5) γράφεται

= 1 -T

2

T1

+1 -T

3

T2

- 1 -T

2

T1

$

amp amp 1 -T

3

T2

$

amp amp

= 2 -

T2

T1

-T

3

T2

- 1+T

2

T1

-T

2

T1

T

3

T2

= 1 -T

3

T1

Mιά microάζα n mol microονοατοmicroικού ιδανικού αέριου (CV=3R2) όγκου V0 και πιέσεως P0 υποβάλλεται σε αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή που αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβο λές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB κατά την οποία η πίεση του αε ρίου διπλασιάζεται ii) από microια ισόθερmicroη εκτόνωση BrarrΓ κατά την οποία ο όγκος του αερίου διπλασιάζεται και iii) από microια ισοβαρή συmicroπίεση ΓrarrA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να βρείτε τη θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 14) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) Aπό το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη θέρmicroανση του αέριου υπό σταθερό όγκο V0 κατά την οποία η πίεση του αέριου από P0 γίνεται 2P0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Charles)

ii) Aπό το καmicroπύλογραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη εκτόνωση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία ο όγκος του αέριου από V0 γίνεται 2V0 οπότε η πίεσή του από 2P0 γίνεται P0 (νόmicroος Boyle) και iii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή συmicroπίεση του αέριου microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A(P0V0T0) Eξάλλου σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο η θερmicroότητα Q που το αέριο ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του κατά τον κύκλο ABΓA η microεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας και το έργο W που παράγει το αέριο συνδέονται microε τη σχέση

Q = ΔU + W Q = 0 + W Q = W (1)

Σχηmicroα 14 Όmicroως το έργο W είναι ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των επί microέρους έργων WAB WBΓ και WΓA που αντιστοιχούν στις microεταβολές ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA Έτσι θα έχουmicroε τη σχέση

W= WAB

+ WB

+WA

W = 0 +2nRT0ln (2V0 V0) + P0 (V0 - 2V0)

W=2nRT0ln2 -P

0V

0= 2P

0V

0ln2 -P

0V

0 (1)

Q=P0V0(2ln2 - 1) (2) β) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α microιας θερmicroικής microηχανής η οποία θα λειτουργούσε microε βάση τον κύκλο ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του προς την θερmicroότητα Qπρ που προσφέ ρεται σrsquo αυτό σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microηχανής δηλαδή ισχύει

=

W

Q

(1)

=Q

Q

(2)

=P0V0 (2ln2 - 1)

Q

(3)

Όmicroως για τη θερmicroότητα Qπρ ισχύει η σχέση

Q = QAB + QB = nCV(2T0 - T0 ) +2nRT0ln(2V0V0)

Q= nCVT0 +2nRT0ln2 = nT0 (CV +2Rln2) (4)

όπου CV η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερό όγκο Όmicroως το αέριο που εξετάζουmicroε ισχύει CV =3R2 και η (4) γράφεται

Q= nT0(3R2 +2Rln2) = nRT0(32 +2ln2)

Q= P0V0 (32 + 2ln2) (5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (5) παίρνουmicroε τη σχέση

=

P0V0 (2ln2 - 1)

P0V0(32 + 2ln2)=

2ln2 - 1

32 +2ln2

=

2(2ln2 - 1)

3 + 4ln2

Mιά ορισmicroένη microάζα microονοατοmicroικού ιδανικού αερί ου (CV=3R2) όγκου V0 πιέσεως P0 και απόλυτης θερmicroοκρασίας T0 υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται i) από microια ισοβαρή εκτόνωση ArarrB κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται ii) από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να υπολογίσετε το έργο που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το συντελεστή απόδοσης της κυκλικής αυτής microεταβολής ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 15) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή εκτόνωση του αέριου υπό πίεση P0 κατά την οποία ο όγκος του από V0 γίνεται 2V0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) ii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη ψύξη του αερίου υπό σταθερό όγκο 2V0 κατά την οποία το αέριο ψύχεται από τη θερmicroοκρασία 2T0 στη θερmicroοκρασία T0 οπότε η πίεσή του από P0 γίνεται P02 (νόmicroος Charles) και iii) από το καmicroπυλόγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη συmicroπί εση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία ο όγκος του ελατ τώνεται από 2V0 σε V0 ενώ η πίεση του αυξάνει από P02 σε P0 (νόmicroος Boyle) Eξάλλου το έργο W που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του θα είναι

ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των έργων WAB WBΓ και WΓA που ανταλλάσσει το αέριο κατά τη διάρκεια των επί microέρους microεταβολών ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA δηλαδή θα ισχύει

Σχήmicroα 15

W = WAB + WB+W

A = P0(2V0 -V0) + 0 +nRT0ln(V0 2V0)

W = P0V0 +nRT0ln(12) W= P0V

0- nRT

0ln2 (1)

όπου n ο αριθmicroός των mol του αέριου και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Όmicroως σύmicroφωνα microε την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων ισχύει P0V0=nRT0 οπότε η (1) γράφεται

W= P0V

0-P

0V

0ln2

W = P

0V

01 - ln2( ) (2)

β) O συντελεστής απόδοσης α του κύκλου ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W προς την θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου δηλαδή ισχύει

=

W

QAB

(1)

=P0V0 (1 - ln2)

nCP(2T0 - T0 )

=nRT0 (1 - ln2)

nCpT0

(3)

όπου CP η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερή πίεση Eπειδή γιατο αέριο έχουmicroε CP=5R2 η σχέση (3) γράφεται

=

nRT0 (1 - ln2)

5nRT02 =

2(1- ln2)

5 (4)

Ένα ιδανικό αέριο υποβάλλεται σε κυκλική αντισ τρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από microια ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB θερmicroοκρασίας T1 από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ όγκου V1 από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ θερmicroοκρασίας T2 και από microια ισόχωρη θέρmicroανση ΔrarrA όγκου V2=V12 Eάν ο λόγος CPCV του αερίου είναι γ

να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του το αέριο απορροφά από το εξωτερικό του περιβάλλον τα ποσά θερmicroότητας QΔA και QAB που ανιστοι χούν στην ισόχωρη θέρmicroανσή του ΔrarrA και στην ισόθερmicroη συmicroπίεσή του ArarrB Άρα ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβο λής είναι

=

W

Q$A + QAB

(1)

Σχήmicroα 16 όπου Wολ το ολικό έργο που παρέχει το αέριο στο περιβάλλον του Όmicroως για το έργο αυτό ισχύει

W= W

A+ W

AB+ W

B$+ W

$= 0 + W

AB+ 0 + W

$

W

= W

AB+W

$= nRT

1ln

V1

V12

$

amp amp + nRT2ln

V12

V1

$

amp amp

W= nRT

1ln2 - nRT

2ln2 W

= nR(T1 - T2 )ln2 (2) Εξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και QΔA ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1lnV1

V1 2

$

amp amp = nRT1ln2

και

QA = nCV (T1 - T2 ) =

nR(T1 - T2)

- 1 οπότε η (1) δίνει

=

nR(T1 - T2)ln2

nR(T1 - T2)( - 1) + nRT1ln2

=( - 1)(T1 - T2 )ln2

T1 - T2 + ( - 1)T1ln2

i) Nα δείξετε ότι η άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank για το δεύτερο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο συνεπάγεται και άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Nα δείξετε ότι microια κυκλική microεταβολή ορισmicroένης microάζας ιδανικού αέριου που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση από microια αδια βατική εκτόνωση και από microια αδιαβατική συmicroπίεση βρίσκεται σε αντίφαση microε το δεύτερo θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο δηλαδή microια τέτοια κυκ λική microεταβολή είναι αδύνατη ΛYΣH i) Έστω ότι υπάρχει θερmicroική microηχανή που σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microετατρέπει ολοκληρωτικά την θερmicroότητα Q1 που παίρνει από την πηγή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 σε microηχανικό έργο W χωρίς να δίνει θερmicroότητα στην πηγή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 Θεωρούmicroε τώρα microια κατάλ

Σχήmicroα 17 Σχήmicroα 18 ληλη ψυκτική microηχανή η οποία όταν λειτουργεί ανάmicroεσα στις ίδιες πηγές θερ microότητας microεταφέρει θερmicroότητα Q1 στην πηγή A καταναλώνοντας το έργο W που παράγει η θερmicroική microηχανή Tότε η ψυκτική αυτή microηχανή θα παίρνει από την πηγή B microια ορισmicroένη θερmicroότητα Q2 και εποmicroένως το σύστηmicroα των δύο microηχανών θα ισοδυναmicroεί microε microια ψυκτική microηχανή η οποία θα απάγει θερmicroότητα Q2 από την ψυχρή πηγή B χωρίς κατανάλωση έργου πράγmicroα που αποτελεί άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Έστω ότι microια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί την κυκλική microεταβο λή ABΓA που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB microια αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ και microια αδιαβατική συmicroπίεση ΓrarrA (σχήmicroα 18) Eφαρmicroόζοντας για τη microεταβολή αυτή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση QAB + QBΓ + QΓA = ΔUολ + Wολ QAB + 0 + 0 = 0 + Wολ QAB = Wολ (1)

H σχέση (1) δηλώνει ότι κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής ABΓA η θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο microετατρέπεται ολοκληρωτικά σε έργο γεγονός που έρχεται σε αντίθεση microε τη διατύπωση των Kelvin-Plank Παρατήρηση H microη πραγmicroατοποίση της κυκλικής microεταβολής ABΓA ισοδυναmicroεί microε το ότι οι αδιαβατικές καmicroπύλες BΓ και ΓA δεν είναι δυνατό να τέmicroνονται

Mιά ορισmicroένη microάζα ιδανικού αερίου εκτελεί κύκλο Carnot ABΓΔA Eάν V1 V2 V3 V4 είναι οι όγκοι του αέριου που αντιστοιχούν στις κατατάσεις A B Γ και Δ και T1 T2 είναι οι απόλυτες θερmicroοκρασίες της ισόθερmicroης εκτόνωσης και της ισόθερmicroης συmicroπίεσης του αέριου αντιστοίχως (T1gtT2) να δείξετε τις σχέσεις

V1V3 = V2V4 και W = nR(T1 - T2)ln(V2V1) όπου n τα mol του αερίου R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανικών αερίων και W το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του ΛYΣH Για την ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ισχύει P1

V1= P

2V

2 (1)

Για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Poisson ισχύει

P2V

2

= P3V

3

(2)

Σχήmicroα 19

Για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle έχουmicroε

P3V

3= P

4V

4 (3)

Tέλος για την αδιαβατική συmicroπίεση ΔrarrA σύmicroφωνα microε τον νόmicroο του Poisson έχουmicroε

P4V

4

= P1V

1

(4) όπου γ ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αερίου Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (4) κατά microέλη παίρνου microε τη σχέση

P1V

1P

2V

2

P3V

3P

4V

4

= P2V

2P

3V

3

P4V

4P

1V

1

2

-1

V 4

-1

V =3

-1

V 1

-1

V V3

V1= V

2V

4 (5)

Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκ λικής microεταβολής ABΓΔA είναι σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσει microε το περιβάλλον του Δηλαδή ισχύει η σχέση

W= Q

= QAB + QB

+ Q$

+ Q$A = QAB + Q

$ (6)

διότι για τις αδιαβατικές microεταβολές BrarrΓ και ΔrarrA έχουmicroε QBΓ =QΔA =0 Eξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και Q

ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1ln(V2 V1 )

Q

= nRT2ln(V4 V3 )

$

(+ )

QAB + Q

= nR T1lnV2

V1

$

amp amp + T2lnV4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(6)

W

= nR T

1ln

V2

V1

$

amp amp + T2ln

V4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(7)

Όmicroως από τη σχέση (5) έχουmicroε

V2

V1

=V

3

V4

lnV

2

V1

$

amp amp = lnV

3

V4

$

amp amp

lnV

2

V1

$

amp amp = - lnV

4

V3

$

amp amp

οπότε η (7) γράφεται

W

= nR(T1 - T2)ln

V2

V1

$

amp amp (8)

Mια θερmicroική microηχανή αναγκάζει ιδανικό αέριο σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση κατά την οποία η πίεση του αερίου τριπλασιάζεται

ii) από microια ισοβαρή εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται iii) από microια ισόχωρη ψύξη microέχρις ότου η πίεση του αερίου ανακτή σει την αρχική της τιmicroή και iv) απο microια ισοβαρή συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Eάν P0 V0 είναι η πίεση και ο όγκος αντιστοίχως του αερίου στην αρχική του κατάσταση και γ ο λόγος CPCV των γραmicromicroοmicroοριακών του ειδικών θερmicroοτήτων να βρείτε την προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroό τητα κατά την εξέλιξη του κύκλου γ) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής και να τον συγκρίνετε microε το συντελεστή απόδοσης της microηχα νής Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ της microέγιστης και της ελά χιστης θερmicroοκρασίας του αερίου της microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόχωρη θέρmicroανση AB του αερίου η πίεσή του τριπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Charles θα τριπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του αερίου δηλαδή από T0 θα γίνει 3T0 Κατά την ισοβα ρή εκτόνωση BΓ ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται οπότε και η απόλυτη θερmicroοκρασία του θα τριπλασιάζεται (νόmicroοςGay-Lussac) δηλαδή από 3T0 θα γίνει 9T0 Kατά την ισόχωρη ψύξη ΓΔ του αερίου η πίεση του απο την τιmicroή 3P0 λαmicroβάνει την τιmicroή P0 δηλαδή υποτριπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο του

Σχήmicroα 20 Charles πρέπει να υποτριπλασιασθεί και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή από 9T0 πρέπει να γίνει 3T0 Aυτό σηmicroαίνει ότι οι καταστάσεις B και Δ βρίσ κονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη θερmicroοκρασίας 3T0 Mε βάση τις παρα πάνω διαπιστώσεις το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου έχει τη microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (20) β) Kατά την εξέλιξη του κύκλου στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα στο στάδιο της ισόχωρης θέρmicroανσης AB και της ισοβαρούς εκτόνωσης BΓ δηλαδή ισχύει

Q = QAB + QB = nCV 3T0 - T0( ) + nCP 9T0 - 3T0( )

Q

= 2nCVT0 + 6nCPT0 = 2n CV + 3CP( )T0 (1)

Όmicroως οι γραmicromicroοmicroοριακές ειδικές θερmicroότητες CV και CP του αερίου ικανοποιούν τις σχέσεις

CP

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= R - 1

CP

= R - 1

$ (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε

Q

=

2nRT0

- 1(1+ 3) = 2P0V0

1+3

- 1

$

amp (3)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (4)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε το εmicroβαδόν του σκιασmicroένου ορθογωνίου ABΓΔ δηλαδή ισχύει W = micro$(ABamp) = (3P0 -P0)(3V0 -V0) = 4P0V0 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3)(4) και (5) έχουmicroε

=4P0V0

2P0V0

- 1

1+3

$

amp =

2( - 1)

1+ 3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται στην κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓΔA της οποίας το διάγραmicromicroα P-T φαίνεται στο σχήmicroα (21) i) Eάν οι θερmicroοδυναmicroικές microεταβλητές της κατάστασης A είναι P0 V0 και T0 να βρείτε τη θερmicroότητα που απορροφά το αέριο στη διάρκεια του κύκλου αφού προηγουmicroένως σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V του κύκλου ii) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση υπό θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου διπλασιάζεται οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ο όγκος του αερίου θα υποδιπλασιάζεται δηλαδή από V0 θα γίνει V02 H microεταβολή BΓ είναι ισοβαρής θέρmicroανση υπο πίεση 2P0 κατά την οποία η απόλυ

τη θερmicroοκρασία του αερίου διπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο Gay-Lussac θα διπλασιάζεται και ο όγκος του αερίου δηλαδή από V02 θα γίνει V0 H microετα βολή ΓΔ είναι ισόθερmicroη εκτόνωση υπό θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου υποδιπλασιάζεται οπότε ο όγκος του θα διπλασιάζεται (νόmicroος

Σχήmicroα 21 Σχήmicroα 22 Boyle) δηλαδή από V0 θα γίνει 2V0 Mε βάση τα παραπάνω οδηγούmicroαστε στο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου το οποίο έχει την microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (22) Στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του BΓ και της ισόθερmicroης εκτόνωσής του ΓΔ δηλαδή ισχύει η σχέση Q = QB +Q$ = nCP(2T0 - T0) + nR2T0ln(2V0V0 )

Q

= 5nRT02 + 2nRT0 ln2 Q

= P0V0 (52 + 2ln2) (1)

ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (2)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της υπο λογίζεται από τη σχέση

W = W

AB+ W

B + W$ + W$A

W

= nRT0ln

V0

2V0

$

amp +2P

0V

0-V

0

2

$

amp +

+

nR2T0ln2V0

V0

$

amp amp +P0(V0 - 2V0 )

W

= -nRT0ln2+P

0V

0+2nRT

0ln2 -P

0V

0=nRT

0ln2=P

0V

0ln2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) έχουmicroε

=P0V0ln2

P0V0(52 +2ln2)=

ln2

52 + 2ln2

Tο αέριο microιας θερmicroικής microηχανής είναι ιδανικό και υποβάλλεται σε αντιστρεπτό κύκλο ο οποίος αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή εκτόνωση AB microέχρις τετραπλασιασmicroού του όγ κου του αερίου ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση BΓ microέχρις ότου η πίεση του αερίου γίνει ίση microε το 132 της αρχικής της τιmicroής PA και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A όγκου VA α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Nα βρείτε το λόγο γ=CPCV του αερίου και να δείξετε ότι η θερ microότητα που απορροφά κατά την εξέλιξη του κύκλου είναι ίση microε 15PAVA2 γ) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Gay-Lussac θα τετραπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή απο TA θα γίνει 4TA Σύmicroφωνα microε το πρόβληmicroα κατά την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου η πίεση του microειώνε ται από την τιmicroή PA στην τιmicroή PA32 ο δε όγκος του αυξάνεται από την τιmicroή

Σχήmicroα 23 4VA στην τιmicroή VΓ Όmicroως microέσω της ισόθερmicroης συmicroπίεσης ΓA το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle θα έχουmicroε τη σχέση

PV

= P

AV

A V

= 32VA

Mε βάση τα παραπάνω το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (23) β) Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου το νόmicroο του Poisson παίρνουmicroε τη σχέση PB

VB

= PV

PA(4VA)

= (PA32)(32VA )

4

= 32-1 2

2= 2

5( -1) 2 = 5( - 1) = 53 που σηmicroαίνει ότι το αέριο είναι microονοατοmicroικό Eξάλλου η θερmicroότητα που απορροφά το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου ABΓA είναι ίση microε την θερmicroό τητα QAB που απορροφά κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του AB δηλαδή ισχύει Q

= QAB = nCP(4TA - TA) = 5nR(3TA 2)

Q

= 15nRTA2 = 15PAVA2 (1)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓ είναι

= W

Q$

(2) Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου του (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) οπότε θα έχουmicroε

W= Q$ = QAB + QB+ QA = nCP(4TA -TA ) + 0 + nRTAln(VA32VA )

W

= 5nR(3TA 2) - nRTAln(25)

W

= PAVA (152 - 5ln2) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) παίρνουmicroε

=PAVA(152 - 5ln2)

15PAVA2=

15 - 10ln2

15= 1 -

2ln2

3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) την ισόθερmicroη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του αερίου οκταπλασιάζεται ii) την ισόχωρη ψύξη BΓ και iii) την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0=3105 Ntm2 όγκου

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 7: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

θερmicroη συmicroπίεση του ΓΔ και T1 T2 οι αντίστοιχες απόλυτες θερmicroοκρασίες του θα έχουmicroε τις σχέσεις

dQT( )

(AB) = Q1T1 και

dQT( )

() = Q2 T2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) και (3) έχουmicroε

Q

T

$

amp

(C)

=Q1

T1

+Q2

T2

(4)

Όmicroως σε microια κυκλική microεταβολή Carnot ισχύει η σχέση

Q1

T1

=-Q2

T2

Q1

T1

+Q2

T2

= 0

οπότε η (4) γράφεται

dQT( )

(C) = 0 (5)

H σχέση (5) δηλώνει ότι σε κάθε κυκλική microεταβολή Carnot ενός αερίου το αλγεβρικό άθροισmicroα των πηλίκων των στοιχειωδών θερmicroότητων που αυτό ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του προς την αντίστοιχη απόλυτη θερmicroοκρασία υπό την οποία γίνεται η ανταλλαγή είναι ίση microε microηδέν O Clausius έδειξε ότι η σχέση (5) έχει γενικώτερο χαρακτήρα δηλαδή ισχύει για κάθε αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή ενός σώmicroατος και το γεγονός αυτό του επέτρεψε να ισχυρι σθεί ότι για κάθε σώmicroα υπάρχει ένα φυσικό microέγεθος χαρακτηριστικό της κατά στασής του και ανεξάρτητο του τρόπου microε τον οποίο το σώmicroα βρέθηκε στην κατάσταση αυτή Tο microέγεθος αυτό ο Clausius το ονόmicroάσε εντροπία του σώmicroα τος και το συmicroβόλισε microε S Mολονότι η σχέση (4) εγγυάται την ύπαρξη της εντροπίας σε κάθε κατάσταση ισορροπίας του σώmicroατος δεν microας επιτρέπει να την ορίσουmicroε Mας επιτρέπει όmicroως να ορίσουmicroε τη microεταβολή της εντροπίας κατά microια αντιστρεπτή πορεία του από microια αρχική κατάσταση σε microια τελική κατάσταση Σε περίπτωση που το σώmicroα εκτελεί microια στοιχειώδη αντιστρεπτή microεταβολή κατά την εξέλιξη της οποίας ανταλλάσσει microε το περιβάλλον ένα πολύ microικρό (στοιχειώδες) ποσό θερmicroότητας dQ και βρίσκεται σε απόλυτη θερmicroοκρασία T τότε η αντίστοιχη στοιχειώδης microεταβολή dS της εντροπίας του ορίζεται από τη σχέση

dS = dQT (7) Eάν η αντιστρεπτή microεταβολή δεν είναι στοιχειώδης τότε η συνολική microεταβολή ΔSολ της εντροπίας του σώmicroατος όταν αυτό οδηγείται από microιά αρχική κατά σταση α σε microιά τελική κατάσταση τ θα είναι ίση microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των στοιχειωδών microεταβολών dS1 dS2 dSn της εντροπίας του που αντιστοιχούν στις στοιχειώδεις αντιστρεπτές microεταβολές στις οποίες διαmicroερίζεται η θεωρούmicroε νη microεταβολή δηλαδή θα ισχύει ΔSολ=dS1+dS2+ +dSn

S =

dQ1

T1

+dQ

2

T2

+ +dQ

n

Tn

=dQ

T

$

amp

$

(8)

Παρατηρήσεις i) Όταν αναφερόmicroαστε σε θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα στο οποίο εξελλίσεται microιά οποιαδήποτε διαδικασία (αντιστρεπτή ή όχι) η microεταβολή της εντροπίας του συστήmicroατος είναι ίση microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των microεταβολών της εντροπίας των σωmicroάτων που το αποτελούν ii) Όταν ένα θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα οδηγείται microε αντιστρεπτό τρόπο από microιά αρχική σε microία τελική κατάσταση ισορροπίας η microεταβολή της εντροπίας του είναι ακριβώς αντίθετη της microεταβολής που παθαίνει η εντροπία του περιβάλ λοντος του συστήmicroατος Aυτό είναι άmicroεση συνέπεια του ορισmicroού που έχουmicroε δώσει για την αντιστρεπτή microεταβολή και δικαιολογείται ως εξής Kατά την εξέλιξη της αντιστρεπτής microεταβολής το θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του στοιχειώδη ποσά θερmicroότητας ευρισκόmicroενο σε θερmicroοδυ ναmicroική ισορροπία microε αυτό που σηmicroαίνει ότι υπάρχει κάθε στιγmicroή ανάmicroεσά τους microιά πολύ microικρή διαφορά θερmicroοκρασίας Έτσι αν το σύστηmicroα πάρει από το περι βάλλον του κατά τρόπο αντιστρεπτό την στοιχειώδη θερmicroότητα dQ υπό θερmicroο κρασία T η microέν εντροπία του συστήmicroατος θrsquo αυξηθεί κατά dQT ενώ του περιβάλλοντος του θα ελαττωθεί κατά dQT οπότε η αντίστοιχη microεταβολή της εντροπίας του συστήmicroατος και του περιβάλλοντος θα είναι ίση microε microηδέν Omicroως το θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα και το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν που θεωρείται αποmicroονώmicroενο σύστηmicroα δηλαδή σύστηmicroα που δεν ανταλλάσει ύλη και ενέργεια οπότε microπορούmicroε να διατυπώσουmicroε την παρακάτω γενική πρόταση Kατά τις αντιστρεπτές microεταβολές των θερmicroοδυναmicroικών συστηmicroάτων η εντροπία του Σύmicroπαντος διατηρείται σταθερή iii) Όταν ένα σώmicroα υποβάλλεται σε αντιστρεπτή ή microη αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή της θερmicroοδυναmicroικής του κατάστασης τότε η συνολική microεταβολή της εντροπίας του είναι microηδέν Στην περίπτωση που η κυκλική microεταβολή είναι αντιστρεπτή η παραπάνω ιδιότητα περιγράφεται από τη σχέση

dQT( )

(C) = 0

όπου ο υπολογισmicroός του αθροίσmicroατος θα γίνει κατα microήκος της κλειστής καmicroπύ λης γραmicromicroής (C) η οποία απεικονίζει σε κατάλληλο ορθογώνιο σύστηmicroα αξό νων τη θεωρούmicroενη κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή του σώmicroατος 7 Yπολογισmicroός της microεταβολής της εντροπίας σε ειδικές περιπτώσεις O υπολογισmicroός της microεταβολής της εντροπίας ενός σωmicroάτος όταν αυτό microετέχει σε microια φυσική διεργασία παρουσιάζει στη γενική περίπτωση microαθηmicroατική δυσκολία η οποία εξαρτάται από το είδος της διεργασίας στην οποία υποβάλλε ται Σε microερικές όmicroως περιπτώσεις ο υπολογισmicroός της είναι εφικτός microε απλοική microαθηmicroατική διαδικασία όπως λογουχάρη στην περίπτωση της ισόθερmicroης και

αντιστρεπτής microεταβολής ή στην περίπτωση της αδιαβατικής και αντιστρεπτής microεταβολής της κατάστασης ιδανικού αερίου α Iσόθερmicroη microεταβολή Aς δεχθούmicroε ότι microια microάζα n mol ιδανικού αερίου υποβάλλεται σε ισόθερmicroή και αντιστρεπτή microεταβολή της θερmicroοδυναmicroικής του κατάστασης υπό θερmicroοκρασία T κατά την οποία ο όγκος του microεταβάλλεται από V1 σε V2 Eπειδή η θερmicroοκρα σία του αερίου παραmicroένει σταθερή microπορεί να βγεί κοινός παράγοντας σε όλους τους όρους του αθροίσmicroατος Σ(dQT) oπότε για τη microεταβόλή ΔSισοθ της εντρο πίας του αερίου θα έχουmicroε τη σχέση

S

$=

1

T dQ( ) =

Q$

T

Όmicroως η θερmicroότητα Qισοθ που ανταλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του είναι ίση microε το αντίστοιχο έργο Wισοθ του αερίου οπότε η προηγούmicroενη σχέση γράφε ται

S$

=W

$

T=

nRT

Tln

V2

V1

$

amp = nRln

V2

V1

$

amp

Παρατηρούmicroε ότι κατά την ισόθερmicroη αντιστρεπτή εκτόνωση του αερίου (V2gtV1) ισχύει ΔSgt0 που σηmicroαίνει ότι η εντροπία του αυξάνεται Aκριβώς τα αντίστρο φα συmicroβαίνουν κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του αερίου (V2ltV1) οπότε ΔSlt0 β Aδιαβατική microεταβολή Όταν το αέριο υφίσταται αδιαβατική και αντιστρεπτή microεταβολή τότε όλα τα στοιχειώδη ποσά θερmicroότητας dQ που ανταλάσσει microε το περιβάλλον του είναι microηδενικά οπότε η microεταβολή της εντροπίας του θα είναι microηδενική δηλαδή θα ισχύει

ΔSαδιαβ = 0 Λόγω της παραπάνω ιδιότητας microια αδιαβατική και αντιστρεπτή microεταβολή της κατάστασης ιδανικού αερίου ονοmicroάζεται και ισεντροπική microεταβολή 8 Eντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου Aς θεωρήσουmicroε ένα σώmicroα που microετέχει microιας φυσικής διαδικασίας η οποία το οδηγεί από microια αρχική σε microια τελική κατάσταση θερmicroοδυναmicroικής ισορροπίας Kατά την διαδικασία αυτή η εντροπία του σώmicroατος microεταβάλλεται ανεξάρτητα από τον τρόπο που εξελίσσεται η διαδικασία αυτή αφού η εντροπία του σώmicroα τος είναι microονότιmicroη συνάρτηση της κατάστασής του Στην περίπτωση που το σώmicroα οδηγείται στην τελική κατάσταση κατά microη αντιστρεπτό τρόπο δεν microπο ρούmicroε για τον υπολογισmicroό της microεταβολής της εντροπίας του να χρησιmicroοποι ήσουmicroε τη σχέση (8) του εδαφίου 6 διότι όπως αναφέρθηκε παραπάνω αυτή έχει νόηmicroα microόνο σε αντιστρεπτές διαδικασίες Mπορούmicroε όmicroως να επιλέξουmicroε microια κατάλληλη αντιστρεπτή πορεία που οδηγεί το σώmicroα στην τελική του κατά

σταση και να υπολογίσουmicroε πάνω σrsquo αυτή την πορεία την microεταβολή της εντρο πίας του σώmicroατος χρησιmicroοποιώντας τη σχέση (8) H microεταβολή αυτή θα αντιπροσωπεύει και τη microεταβολή της εντροπίας του σώmicroατος κατά την αντί στοιχη microη αντιστρεπτή διαδικασία Στα επόmicroενα θα επιχειρήσουmicroε να υπολογί σουmicroε τη microεταβολή της εντροπίας σε microερικές χαρακτηριστικές microη αντιστρε πτές διεργασίες και να αξιολογήσουmicroε τα αποτελέσmicroατα των υπολογισmicroών α Eλεύθερη εκτόνωση ιδανικού αερίου Aς θεωρήσουmicroε ένα ιδανικό αέριο που βρίσκεται σε δοχείο microε αδιαβατικά τοιχώmicroατα Tο δοχείο αυτό χωρίζεται microε τη βοήθεια ενός διαφράγmicroατος σε δύο χώρους που τον ένα καταλαmicroβάνει το αέριο ενώ ο άλλος χώρος είναι κενός Aν αφαιρέσουmicroε το διάφραγmicroα τότε το αέριο εκτονώνεται από τον αρχικό του όγκο V1 στον όγκο V2 του δοχείου χωρίς να ανταλλάσσει θερmicroότητα και έργο microε το περιβάλλον του (Q=0 και W=0) Tο φαινόmicroενο αυτό ονοmicroάζεται ελεύθερη εκτόνωση του αερίου αποτελεί δε microη αντιστρεπτό φαινόmicroενο αφού ποτέ δεν παρατηρήθηκε αυτόmicroατη αδιαβατική συmicroπίεση του αερίου στην αρχική του κατάσταση Eφαρmicroόζοντας στο αέριο τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε για την microεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας την σχέση ΔU=0 που σηmicroαίνει ότι κατά την ελεύθερη εκτόνωση του αέριου η εσωτερική του ενέρ γεια άρα και η θερmicroοκρασία του παρέmicroεινε η ίδια Έτσι η αρχική και η τελική κατάσταση του αέριου βρίσκονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη χωρίς

Σχήmicroα 7 Σχήmicroα 8 όmicroως οι ενδιάmicroεσες καταστάσεις του αερίου να βρίσκονται πάνω στην καmicroπύλη αυτή αφού δεν είναι καταστάσεις ισορροπίας και εποmicroένως δεν απεικονίζονται σε διάγραmicromicroα P-V Γίνεται τώρα φανερό ότι για να υπολογίσουmicroε τη microεταβολή ΔS της εντροπίας του αέριου θα χρησιmicroοποιήσουmicroε την αντίστοιχη ισόθερmicroη αντιστρεπτή εκτόνωση που microπορεί να το οδηγήσει από την αρχική κατάσταση A1 όγκου V1 στην τελική κατάσταση A2 όγκου V2 (σχήmicroα 8) Για τη microεταβολή αυτή έχουmicroε

S = nR ln V2V

1( ) (1) όπου n ο αριθmicroός των mol του αερίου και R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανι κών αερίων Eπειδή V2gtV1 θα ισχύει και ln(V2V1)gt0 οπότε σύmicroφωνα microε την (1) η microεταβολή της εντροπίας του αερίου κατά την ελεύθερη εκτόνωση του είναι θετική δηλαδή η εντροπία του αυξάνεται Eξάλλου η εντροπία του περι βάλλοντος του αερίου δεν παθαίνει καmicroιά microεταβολή στη διάρκεια αυτής της microη αντιστρεπτής διαδικασίας αφού το περιβάλλον δεν συmicromicroετέχει ενεργειακά σ΄

αυτήν Έτσι microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι τουλάχιστον γιrsquo αυτή την microη αντιστρεπτή microεταβολή η εντροπία του αερίου και του περιβάλλοντος αυξάνει Όmicroως το αέριο microαζί microε το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν οπότε η ελεύθερη εκτόνωση ενός αερίου οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του Σύmicroπαν τος Pοή θερmicroότητας δια microέσου χάλκινης ράβδου Tο φαινόmicroενο ροής θερmicroότητας από microια δεξαmicroενή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 προς microια άλλη δεξαmicroενή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 (T1gtT2) δια microέσου χάλκινης ράβδου είναι microη αντιστρεπτό φαινόmicroενο Kατά την εξέλιξη του φαινοmicroένου αυτού η εντροπία της χάλκινης ράβδου δεν microεταβάλλεται αφού η θερmicroοκρασία σε κάθε διατοmicroή της είναι χρονικά σταθερή και όση θερmicroότητα φθάνει στην διατοmicroή αυτή microέσα σrsquo ένα χρονικό διάστηmicroα τόση φεύ γει από τη διατοmicroή στο διάστηmicroα αυτό Έτσι η ολική microεταβολή ΔSολ της εντρο πίας του συστήmicroατος είναι ίση microε το άθροισmicroα της microεταβολής ΔSA της εντρο πίας της δεξαmicroενής A και της microεταβολής ΔSB της εντροπίας της δεξαmicroενής B δηλαδή ισχύει ΔSσυστ=ΔSA+ΔSB (2) Για να υπολογίσουmicroε τις microεταβολές ΔSA και ΔSB πρέπει να βρούmicroε microια αντισ τρεπτή διαδικασία microεταφοράς της θερmicroότητας Q από τη δεξαmicroενή A στη B Tέτοια διαδικασία microπορεί να εξασφαλιστεί αν διαθέτουmicroε microια δεξαmicroενή θερmicroό τητας που τη θερmicroοκρασία της microπορούmicroε να ελέγχουmicroε αυτόmicroατα η οποία

Σχήmicroα 9

να έρχεται διαδοχικά σε επαφή πρώτα microε την A και στη συνέχεια σε επαφή microε την B Mε τον τρόπο αυτό η δεξαmicroενή ελεγχόmicroενης θερmicroοκρασίας θα microεταφέρει κατά αντιστρεπτό τρόπο την θερmicroότητα Q από την A στην B οπότε για τις microεταβολές ΔSA και ΔSB θα έχουmicroε τις σχέσεις

SA = -QT1

SB = QT2

(+ )

SA + SB =Q

T2

-Q

T1

= QT1 - T2

T1T2

$

amp (3)

------------------------------- Προς στιγmicroή αγνοούmicroε όλες τις άλλες φυσικές διαδικασίες που συmicroβαίνουν στο περιβάλλον του αέριου και εντοπίζουmicroε την προσοχή microας στο πως επηρεάζεται το περιβάλλον από την ελεύθερη εκτόνωση του αερίου Mε τη βοήθεια microιας τέτοιας πηγής microπορούmicroε να εξασφαλίσουmicroε κάθε στιγmicroή microικρή διαφορά θερmicroοκρασίας ανάmicroεσα στην πηγή αυτή και στις πηγές A και B οπότε η ροή θερmicroότητας θα γίνεται κατά τρόπο αντιστρεπτό

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουmicroε τη σχέση

S

$= Q

T1 - T2

T1T2

$

amp (4)

Aπό την (4) προκύπτει ΔSσυστgt0 που σηmicroαίνει ότι κατά τη ροή θερmicroότητας από τη δεξαmicroενή A στην B δια microέσου της χάλκινης ράβδου η εντροπία του συστή microατος αυξάνεται Eξάλλου το περιβάλλον του συστήmicroατος των δύο δεξαmicroενών θερmicroότητας και της χάλκινης ράβδου δεν συmicromicroετέχει ενεργειακά σ΄ αυτή τη microη αντιστρεπτή διεργασία οπότε microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι η εντροπία του δεν microεταβάλλεται δηλαδή ισχύει ΔSπερ=0 Όmicroως το σύστηmicroα και το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν οπότε η ροή θερmicroότητας διrsquo αγωγής οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του Σύmicroπαντος Στο ίδιο συmicroπέρασmicroα καταλήγουmicroε εάν εξετάσουmicroε και άλλες φυσικές διαδικασίες που εξελλίσονται κατά microη αντιστρε πτό τρόπο όλες δε οι πειραmicroατικές microας εmicroπειρίες που αναφέρονται σε microη αντι στρεπτά φαινόmicroενα είναι συmicroβιβαστές microε την ακόλουθη πρόταση Kάθε microη αντιστρεπτή διαδικασία που συmicroβαίνει στο Σύmicroπαν οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του H πρόταση αυτή αποτελεί την εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroο δυναmicroικού νόmicroου και microολονότι δεν υπάρχει αυστηρή microαθηmicroατική απόδειξη αυτής πρέπει να τονίσουmicroε ότι η πρόταση είναι συνεπής προς όλα τα φυσικά φαινόmicroενα που εξελίσσονται στο Σύmicroπαν κατά microη αντιστρεπτό τρόπο Όπως θα δειχθεί στο επόmicroενο εδάφιο η εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυνα microικού νόmicroου είναι ισοδύναmicroη microε τη διατύπωση Kelvin-Plank που σηmicroαίνει ότι η αποδοχή ή παραβίαση της microιας συνεπάγεται την αποδοχή ή παραβίαση της άλλης Παρατήρήση Kάθε φυσική διαδικασία που συmicroβαίνει microέσα σrsquo ένα αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα δηλαδή σrsquo ένα σύστηmicroα που δεν ανταλλάσσει ύλη και ενέργεια microε το περιβάλ λον του θεωρείται αυθόρmicroητο φυσικό φαινόmicroενο αφού για την πραγmicroατο ποίησή του δεν χρειάζεται εξωτερική επίδραση Όmicroως microε την έννοια αυτή τα αυθόρmicroητα φαινόmicroενα είναι και microη αντιστρεπτά οπότε σύmicroφωνα microε την εντρο πική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου συνοδεύονται από αύξηση της εντροπίας του αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος Mπορούmicroε λοιπόν να διατυπώσουmicroε την παρακάτω πρόταση που είναι γνωστή ως αρχή αύξησης της εντροπίας ενός αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος Kάθε αυθόρmicroητη διαδικασία που συmicroβαίνει σrsquo ένα αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του 9 Iσοδυναmicroία της εντροπικής διατύπωσης προς την διατύπώση Kelvin-Plank Θα δείξουmicroε ότι η άρνηση της εντροπικής διατύπωσης του δεύτερου θερmicroοδυ ναmicroικού νόmicroου συνεπάγεται άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank Προς τούτο θεωρούmicroε microία θερmicroική microηχανή Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ των πηγών θερmicroότητας A και B αντιστοίχων θερmicroοκρασίων T1 και T2 microε T2ltT1 και

υποθέτουmicroε ότι σε κάθε κύκλο λειτουργίας της το θερmicroαντικό της σώmicroα (ιδανικό αέριο) απορροφά από την πηγή A θερmicroότητα Q1 και δίνει στην πηγή B θερmicroότητα Q2 Eπί πλέον υποθέτουmicroε ότι κατά τη λειτουργία της θερmicroικής αυτής microηχανής παραβιάζεται η εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυνα microικού νόmicroου δηλαδή ότι η εντροπία του Σύmicroπαντος microειώνεται Tότε θα ισχύει ΔSΣυmicroπlt0 ΔSmicroηχ+ΔSπερlt0 (1) Όmicroως η microεταβολή ΔSπερ της εντροπίας του περιβάλλοντος της θερmicroικής microηχα νής του Carnot είναι microηδενική διότι αυτό παίρνει microόνο έργο από τη microηχανή ενώ η microεταβολή ΔSmicroηχ της εντροπίας της microηχανής θα είναι

ΔSmicroηχ=ΔSαερ+ΔSA+ΔSB

Smicro = 0 +-Q1

T1

+Q2

T2

(2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

-Q1

T1

+Q2

T2

lt 0

Q1

T1

gtQ2

T2

(3)

Όmicroως η σχέση (3) σηmicroαίνει ότι η θερmicroική microηχανή του Carnot δεν λειτουργεί σύmicroφωνα microε τη διατύπωση των kelvin-Plank διότι τότε θα έπρεπε να ισχύει η σχέση

Q1 T1 = Q2 T2 Δηλαδή η παραβίαση της εντροπικής διατύπωσης του

δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου συνεπάγεται και την παραβίαση της διατύπω σης Kelvin-Plank 10 Aρχή υποβάθmicroισης της ενέργειας Aς θεωρήσουmicroε ένα σύστηmicroα από δύο σώmicroατα A και B που βρίσκονται σε αντί στοιχες θερmicroοκρασίες T1 και T2 microε T1gtT2 το οποίο είναι αποmicroονωmicroένο microε το περιβάλλον του Eάν τα δύο σώmicroατα έλθουν σε επαφή τότε είναι γνωστό ότι θα microεταβιβαστεί θερmicroότητα από το σώmicroα υψηλής θερmicroοκρασίας T1 προς το σώmicroα χαmicroηλώτερης θερmicroοκρασίας T2 microέχρις ότου τα δύο σώmicroατα αποκτήσουν κοινή θερmicroοκρασία Tκ για την οποία ισχύει T2ltTκltT1 Kατά την microη αντιστρεπτή αυτή διαδικασία το σύστηmicroα δεν ανταλλάσσει έργο και θερmicroότητα microε το περιβάλλον του αφού αποτελεί αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα microε αποτέλεσmicroα η εσωτερική του ενέργεια να παραmicroένει σταθερή (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) ενώ σύmicroφωνα microε την εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου η εντροπία του συστήmicroατος αυξάνεται Eξάλλου το σύστηmicroα στην αρχική του κατάσταση εmicroφανίζει microιά ορισmicroένη ικανότητα παραγωγής οργανωmicroένης ενέργειας αφού microπορεί νrsquo αποδώσει microηχανικό έργο microε τη microεσολάβηση microιας θερmicroικής microηχανής ανάmicroεσα στα δύο σώmicroατα Aντίθετα στην τελική του κατάσταση το σύστηmicroα έχει χάσει την ικανότητά του να δώσει οργανωmicroένη ενέργεια αφού τώρα είναι αδύνατη η λειτουργία microιάς θερmicroικής microηχανής microεταξύ των δύο σωmicroάτων καθό σον τα δύο σώmicroατα βρίσκονται στην ίδια θερmicroοκρασία Aπό την σύγκριση των δύο καταστάσεων βγαίνει το συmicroπέρασmicroα ότι microολονότι η εσωτερική ενέργεια του συστήmicroατος δεν άλλαξε η ικανότητα του για παραγωγή οργανωmicroένης ενέργειας δηλαδή ενέργειας που microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί ωφέλιmicroα έχει microηδε νιστεί ενώ ταυτόχρονα η εντροπία του συστήmicroατος παρουσιάζεται αυξηmicroένη Δηλαδή η αυξηmicroένη εντροπία του συστήmicroατος έχει υποβαθmicroίσει την ποιότητα

της εσωτερικής του ενέργειας microε την έννοια ότι αυτό δεν είναι τώρα σε θέση να δώσει ωφέλιmicroη ενέργεια Γενικώτερα αν αναφερθούmicroε στα microη αντιστρεπτά φυσικά φαινόmicroενα που συmicroβαίνουν στο Σύmicroπαν microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι συνοδεύονται microε ενεργειακή υποβάθmicroισή του δηλαδή microε απώλεια της δυνατότητάς του για παραγωγή ενέργειας ανώτερης ποιότητας microολονότι η εσωτερική του ενέργεια παραmicroένει αναλλοίωτη Aυτό σηmicroαίνει ότι microε την πάροδο του χρόνου το Σύmicroπαν τείνει σε microιά κατάσταση microέγιστης εντροπίας που του περιορίζει την ποιότητα του ενεργειακού του περιεχόmicroενου και το οδη γεί στον λεγόmicroενο θερmicroικό ή εντροπικό θάνατο Ένα άλλο χαρακτηριστικό παράδειγmicroα που microας δείχνει ότι η αύξηση της εντροπίας ενός αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος ελαττώνει την ικανότητα του για παραγωγή οργανωmicroένης ενέρ γειας είναι το εξής Aφήνουmicroε ένα σώmicroα να πέσει από ύψος h στο πάτωmicroα του δωmicroατίου microας Tο σώmicroα ξεκινάει την διαδροmicroή του microε microιά οργανωmicroένη δυνα microική ενέργεια mgh η οποία microετά την κρούση του microε το πάτωmicroα microετασχη microατίζεται σε ανοργάνωτη θερmicroική ενέργεια που κατανέmicroεται στο σώmicroα στο πάτωmicroα στον αέρα και στους τοίχους του δωmicroατίου microε αποτέλεσmicroα νrsquo αυξηθεί λίγο η θερmicroοκρασία τους Kατά την microη αντιστρεπτή αυτή διαδικασία η ολική ενέργεια του συστήmicroατος διατηρήθηκε σταθερή αυξήθηκε όmicroως η εντροπία του H αυξηmicroένη εντροπία του συστήmicroατος κάνει αδύνατη την αντίστροφη εξέλιξη του φαινοmicroένου δηλαδή την microετατροπή της προηγούmicroενης θερmicroικής ενέργειας σε δυναmicroική ενέργεια microε αυθόρmicroητη ανύψωση του σώmicroατος στην αρχική του θέση και ταυτόχρονη ψύξη όλων των σωmicroάτων που πήραν microέρος στο φαινόmicroενο Έτσι το σύστηmicroά παρουσιάζεται στην τελική του κατάσταση microε υποβαθmicroισmicroένο ενεργειακό περιεχόmicroενο δηλαδή έχει microειωθεί η ποιότητα της ενέργειάς του αφού αυτό έχασε την ικανότητά του να δίνει ωφέλιmicroο έργο Παρατήρηση H θερmicroότητα ως microορφή ενέργειας είναι ποσοτικά ισοδύναmicroη microε τις άλλες microορφές ενέργειας (microηχανική ηλεκτρική χηmicroική κλπ) αλλά ποιοτικά είναι υποβαθmicroισmicroένη ως προς αυτές Aυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η θερmicroότητα δεν microπορεί να microετασχηmicroατιστεί ολοκληρωτικά σε ενέργεια άλλης microορφής ενώ αντίθετα οι άλλες microορφές ενέργειας microε απλές διαδικασίες microετασχηmicroατίζονται ολοκληρωτικά σε θερmicroότητα lsquoΕτσι η θερmicroότητα θεωρείται ως ενέργεια κατώτε ρης ποιότητας ή ως microη οργανωmicroένη ενέργεια ως προς τις άλλες microορφές ενέρ γειας οι οποίες θεωρούνται ως ενέργειες ανώτερης ποιότητας

PM fysikos

Iδανικό αέριο εκτελεί διαδοχικά τις παρακάτω θερmicroικές διαδικασίες α) Mιά αντιστρεπτή ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται

β) Mιά αντιστρεπτή ισόχωρη microεταβολή κατά την οποία η πίεση του αερίου γίνεται η microισή της αρχικής του πιέσεως i) Nα σχεδιαστούν τα διαγράmicromicroατα P-V P-T και V-T των δύο αυτών συνεχόmicroενων microεταβολών ii) Nα βρεθεί η συνολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του Δίνονται τα καταστατικά microεγέθη V0 P0 και T0 της αρ χικής κατάστασης του αερίου ΛYΣH i) Kατά την αντιστρεπτή ισοβαρή εκτόνωση ArarrB του ιδανικού αερί ου από τον όγκο V0 στον όγκο 2V0 η απόλυτη θερmicroοκρασία του αυξάνει από την τιmicroή T0 στην τιmicroή 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) Στην αντιστρεπτή ισόχωρη microεταβολή BrarrΓ που ακολουθεί ο όγκος του αέριου microένει σταθερός και ίσος microε 2V0 ενω η πίεσή του ελαττώνεται από την τιmicroή Pο στην τιmicroή P02 microε απο τέλεσmicroα να ελαττώνεται και η θερmicroοκρασία του αέριου από την τιmicroή 2T0 στην

Σχήmicroα 10 Σχήmicroα 11 Σχήmicroα 12

τιmicroή T0 (νόmicroος Charles) Όλα τα παραπάνω εκφράζονται συmicroβολικά ως εξής

A(P0 V0 T0) rarr B(P0 2V0 2T0) rarr Γ(P02 2V0 T0) Tα σχήmicroατα (10) (11) (12) αποτελούν τα ζητούmicroενα διαγράmicromicroατα της microεταβο λής ArarrBrarrΓ του ιδανικού αερίου ii) Aφού κατά την αντιστρεπτή διαδικασία ArarrBrarrΓ η θερmicroοκρασία του αερίου τελικά δεν microεταβάλλεται η ολική microεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας είναι microηδέν διότι η εσωτερική ενέργεια microιας ορισmicroένης microάζας ιδανικού αερίου είναι συνάρτηση microόνο της θερmicroοκρασίας του Δηλαδή ισχύει

ΔUολ = 0 (1) Eφαρmicroόζοντας για το ιδανικό αέριο τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο κατά τη microεταβολή ArarrBrarrΓ παίρνουmicroε τη σχέση

Q= U

+ W

(1)

Q= 0 + W

= W

Q= WAB + WB

= P0(2V0 - V0 ) + 0 Q= P0V0

Mια θερmicroική microηχανή Carnot λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1=500 0K και T2=200 0K H microηχανή απορροφά από τη θερmicroή δεξαmicroενή θερmicroότητα microε ρυθmicroό q1=2105 Js i) Nα βρεθεί η ωφέλιmicroη ισχύς της microηχανής ii) Nα βρεθεί ο ρυθmicroός microε τον οποίο πρέπει να microεταφέρεται θερmicroότη τα στην ψυχρή πηγή microιας θερmicroικής microηχανής που λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδο σης ίσο microε 80 του συντελεστή απόδοσης της microηχανής Carnot και την ίδια ωφέλιmicroη ισχύ microε αυτή ΛYΣH i) Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot στο ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής τότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αC της microηχανής θα ικανοποιεί τη σχέση

C =W

Q1

W = CQ1

W

t=CQ1

t (1)

Όmicroως το πηλίκο Wt αποτελεί την ωφέλιmicroη ισχύ N της microηχανής ενώ το πηλίκο Q1t αποτελεί το ρυθmicroό q1 microεταφοράς θερmicroότητας από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το αέριο που χρησιmicroοποιεί οπότε η σχέση (1) γράφεται N = Cq1 = (1 - T2T1 )q1

N=(1-200500)2 105 Js=12 105 Js ii) Aς θεωρήσουmicroε τη θερmicroική microηχανή που εργάζεται microεταξύ των θερmicroοκρα σιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης α=08αC και ωφέλιmicroη ισχύ N Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το ενεργό υλικό που χρησιmicroοποιεί και Q2 η αντίστοιχη θερmicroότητα που microεταφέρεται από το υλικό αυτό προς την ψυχρή δεξαmicroενή της θα έχουmicroε τις σχέσεις

Q1 = W+Q2

08C = WQ1

W

08C

= W+Q2

W1

08C

- 1

$

amp =Q2

W

t

1

08C

- 1

$

amp =

Q2

t

microε C

= 1- T2T

1= 35 Όmicroως το πηλίκο Q2t αποτελεί το ρυθmicroό q2 microεταφοράς

θερmicroότητας στην ψυχρή πηγή της θερmicroικής microηχανής ενώ το πηλίκο Wt αποτελεί την ισχύ N της microηχανής οπότε η (2) γράφεται q2 = N(54C - 1) = 12 10

5(25 12 - 1) Js = 13 10

5Js

Mια θερmicroική microηχανή αποτελείται από δύο θερmicroι κές microηχανές Carnot και η ψυχρή πηγή της microιας αποτελεί θερmicroή πηγή της άλλης Eάν α1 α2 είναι οι θερmicroοδυναmicroικοί συντελεστές από δοσης των δύο microηχανών T1 η απόλυτη θερmicroοκρασία της θερmicroής πηγής της πρώτης και T3 η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της δεύτερης να δείξετε τις σχέσεις αολ = α1 + α2 - α1α2 και αολ = 1 - T3 T1 όπου αολ ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της σύνθετης microηχανής Carnot ΛYΣH Έστω ότι σε χρόνο t microεταφέρεται θερmicroότητα Q1 από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot M1 προς το ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W1 είναι το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής αυτής O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α1 της microηχανής θα είναι 1 = W1Q1 W1 = 1Q1 (1)

Σχήmicroα 13 Eξάλλου εάν Q2 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t στην ψυχρή πηγή της microηχανής M1 αυτή θα αποτελεί και την αντίστοιχη θερmicroότητα που λαmicroβάνει το αέριο της δεύτερης microηχανής Carnot M2 οπότε το ωφέλιmicroο έργο W2 της microηχανής αυτής σε χρόνο t θα υπολογίζεται microέσω της σχέσεως W2 = 2Q2 (2) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αολ του συστήmicroατος των δύο microηχα νών θα είναι

=

W1 + W2

Q1

(2)

(1)

=1Q1 + 2Q2

Q1

= 1 +2Q2

Q1

(3)

Όmicroως εάν T2 είναι η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της M1 ή της

θερmicroής πηγής της M2 θα ισχύει η σχέση

Q1

T1

=Q2

T2

Q2

Q1

=T2

T1

= 1 -1 (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) έχουmicroε

= 1 +2(1 - 1 ) = 1 +2 -12 (5) Eπειδή α1=1-T2T1 και α2=1-T3T2 η σχέση (5) γράφεται

= 1 -T

2

T1

+1 -T

3

T2

- 1 -T

2

T1

$

amp amp 1 -T

3

T2

$

amp amp

= 2 -

T2

T1

-T

3

T2

- 1+T

2

T1

-T

2

T1

T

3

T2

= 1 -T

3

T1

Mιά microάζα n mol microονοατοmicroικού ιδανικού αέριου (CV=3R2) όγκου V0 και πιέσεως P0 υποβάλλεται σε αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή που αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβο λές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB κατά την οποία η πίεση του αε ρίου διπλασιάζεται ii) από microια ισόθερmicroη εκτόνωση BrarrΓ κατά την οποία ο όγκος του αερίου διπλασιάζεται και iii) από microια ισοβαρή συmicroπίεση ΓrarrA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να βρείτε τη θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 14) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) Aπό το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη θέρmicroανση του αέριου υπό σταθερό όγκο V0 κατά την οποία η πίεση του αέριου από P0 γίνεται 2P0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Charles)

ii) Aπό το καmicroπύλογραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη εκτόνωση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία ο όγκος του αέριου από V0 γίνεται 2V0 οπότε η πίεσή του από 2P0 γίνεται P0 (νόmicroος Boyle) και iii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή συmicroπίεση του αέριου microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A(P0V0T0) Eξάλλου σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο η θερmicroότητα Q που το αέριο ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του κατά τον κύκλο ABΓA η microεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας και το έργο W που παράγει το αέριο συνδέονται microε τη σχέση

Q = ΔU + W Q = 0 + W Q = W (1)

Σχηmicroα 14 Όmicroως το έργο W είναι ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των επί microέρους έργων WAB WBΓ και WΓA που αντιστοιχούν στις microεταβολές ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA Έτσι θα έχουmicroε τη σχέση

W= WAB

+ WB

+WA

W = 0 +2nRT0ln (2V0 V0) + P0 (V0 - 2V0)

W=2nRT0ln2 -P

0V

0= 2P

0V

0ln2 -P

0V

0 (1)

Q=P0V0(2ln2 - 1) (2) β) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α microιας θερmicroικής microηχανής η οποία θα λειτουργούσε microε βάση τον κύκλο ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του προς την θερmicroότητα Qπρ που προσφέ ρεται σrsquo αυτό σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microηχανής δηλαδή ισχύει

=

W

Q

(1)

=Q

Q

(2)

=P0V0 (2ln2 - 1)

Q

(3)

Όmicroως για τη θερmicroότητα Qπρ ισχύει η σχέση

Q = QAB + QB = nCV(2T0 - T0 ) +2nRT0ln(2V0V0)

Q= nCVT0 +2nRT0ln2 = nT0 (CV +2Rln2) (4)

όπου CV η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερό όγκο Όmicroως το αέριο που εξετάζουmicroε ισχύει CV =3R2 και η (4) γράφεται

Q= nT0(3R2 +2Rln2) = nRT0(32 +2ln2)

Q= P0V0 (32 + 2ln2) (5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (5) παίρνουmicroε τη σχέση

=

P0V0 (2ln2 - 1)

P0V0(32 + 2ln2)=

2ln2 - 1

32 +2ln2

=

2(2ln2 - 1)

3 + 4ln2

Mιά ορισmicroένη microάζα microονοατοmicroικού ιδανικού αερί ου (CV=3R2) όγκου V0 πιέσεως P0 και απόλυτης θερmicroοκρασίας T0 υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται i) από microια ισοβαρή εκτόνωση ArarrB κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται ii) από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να υπολογίσετε το έργο που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το συντελεστή απόδοσης της κυκλικής αυτής microεταβολής ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 15) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή εκτόνωση του αέριου υπό πίεση P0 κατά την οποία ο όγκος του από V0 γίνεται 2V0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) ii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη ψύξη του αερίου υπό σταθερό όγκο 2V0 κατά την οποία το αέριο ψύχεται από τη θερmicroοκρασία 2T0 στη θερmicroοκρασία T0 οπότε η πίεσή του από P0 γίνεται P02 (νόmicroος Charles) και iii) από το καmicroπυλόγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη συmicroπί εση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία ο όγκος του ελατ τώνεται από 2V0 σε V0 ενώ η πίεση του αυξάνει από P02 σε P0 (νόmicroος Boyle) Eξάλλου το έργο W που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του θα είναι

ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των έργων WAB WBΓ και WΓA που ανταλλάσσει το αέριο κατά τη διάρκεια των επί microέρους microεταβολών ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA δηλαδή θα ισχύει

Σχήmicroα 15

W = WAB + WB+W

A = P0(2V0 -V0) + 0 +nRT0ln(V0 2V0)

W = P0V0 +nRT0ln(12) W= P0V

0- nRT

0ln2 (1)

όπου n ο αριθmicroός των mol του αέριου και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Όmicroως σύmicroφωνα microε την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων ισχύει P0V0=nRT0 οπότε η (1) γράφεται

W= P0V

0-P

0V

0ln2

W = P

0V

01 - ln2( ) (2)

β) O συντελεστής απόδοσης α του κύκλου ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W προς την θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου δηλαδή ισχύει

=

W

QAB

(1)

=P0V0 (1 - ln2)

nCP(2T0 - T0 )

=nRT0 (1 - ln2)

nCpT0

(3)

όπου CP η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερή πίεση Eπειδή γιατο αέριο έχουmicroε CP=5R2 η σχέση (3) γράφεται

=

nRT0 (1 - ln2)

5nRT02 =

2(1- ln2)

5 (4)

Ένα ιδανικό αέριο υποβάλλεται σε κυκλική αντισ τρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από microια ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB θερmicroοκρασίας T1 από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ όγκου V1 από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ θερmicroοκρασίας T2 και από microια ισόχωρη θέρmicroανση ΔrarrA όγκου V2=V12 Eάν ο λόγος CPCV του αερίου είναι γ

να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του το αέριο απορροφά από το εξωτερικό του περιβάλλον τα ποσά θερmicroότητας QΔA και QAB που ανιστοι χούν στην ισόχωρη θέρmicroανσή του ΔrarrA και στην ισόθερmicroη συmicroπίεσή του ArarrB Άρα ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβο λής είναι

=

W

Q$A + QAB

(1)

Σχήmicroα 16 όπου Wολ το ολικό έργο που παρέχει το αέριο στο περιβάλλον του Όmicroως για το έργο αυτό ισχύει

W= W

A+ W

AB+ W

B$+ W

$= 0 + W

AB+ 0 + W

$

W

= W

AB+W

$= nRT

1ln

V1

V12

$

amp amp + nRT2ln

V12

V1

$

amp amp

W= nRT

1ln2 - nRT

2ln2 W

= nR(T1 - T2 )ln2 (2) Εξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και QΔA ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1lnV1

V1 2

$

amp amp = nRT1ln2

και

QA = nCV (T1 - T2 ) =

nR(T1 - T2)

- 1 οπότε η (1) δίνει

=

nR(T1 - T2)ln2

nR(T1 - T2)( - 1) + nRT1ln2

=( - 1)(T1 - T2 )ln2

T1 - T2 + ( - 1)T1ln2

i) Nα δείξετε ότι η άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank για το δεύτερο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο συνεπάγεται και άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Nα δείξετε ότι microια κυκλική microεταβολή ορισmicroένης microάζας ιδανικού αέριου που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση από microια αδια βατική εκτόνωση και από microια αδιαβατική συmicroπίεση βρίσκεται σε αντίφαση microε το δεύτερo θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο δηλαδή microια τέτοια κυκ λική microεταβολή είναι αδύνατη ΛYΣH i) Έστω ότι υπάρχει θερmicroική microηχανή που σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microετατρέπει ολοκληρωτικά την θερmicroότητα Q1 που παίρνει από την πηγή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 σε microηχανικό έργο W χωρίς να δίνει θερmicroότητα στην πηγή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 Θεωρούmicroε τώρα microια κατάλ

Σχήmicroα 17 Σχήmicroα 18 ληλη ψυκτική microηχανή η οποία όταν λειτουργεί ανάmicroεσα στις ίδιες πηγές θερ microότητας microεταφέρει θερmicroότητα Q1 στην πηγή A καταναλώνοντας το έργο W που παράγει η θερmicroική microηχανή Tότε η ψυκτική αυτή microηχανή θα παίρνει από την πηγή B microια ορισmicroένη θερmicroότητα Q2 και εποmicroένως το σύστηmicroα των δύο microηχανών θα ισοδυναmicroεί microε microια ψυκτική microηχανή η οποία θα απάγει θερmicroότητα Q2 από την ψυχρή πηγή B χωρίς κατανάλωση έργου πράγmicroα που αποτελεί άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Έστω ότι microια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί την κυκλική microεταβο λή ABΓA που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB microια αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ και microια αδιαβατική συmicroπίεση ΓrarrA (σχήmicroα 18) Eφαρmicroόζοντας για τη microεταβολή αυτή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση QAB + QBΓ + QΓA = ΔUολ + Wολ QAB + 0 + 0 = 0 + Wολ QAB = Wολ (1)

H σχέση (1) δηλώνει ότι κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής ABΓA η θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο microετατρέπεται ολοκληρωτικά σε έργο γεγονός που έρχεται σε αντίθεση microε τη διατύπωση των Kelvin-Plank Παρατήρηση H microη πραγmicroατοποίση της κυκλικής microεταβολής ABΓA ισοδυναmicroεί microε το ότι οι αδιαβατικές καmicroπύλες BΓ και ΓA δεν είναι δυνατό να τέmicroνονται

Mιά ορισmicroένη microάζα ιδανικού αερίου εκτελεί κύκλο Carnot ABΓΔA Eάν V1 V2 V3 V4 είναι οι όγκοι του αέριου που αντιστοιχούν στις κατατάσεις A B Γ και Δ και T1 T2 είναι οι απόλυτες θερmicroοκρασίες της ισόθερmicroης εκτόνωσης και της ισόθερmicroης συmicroπίεσης του αέριου αντιστοίχως (T1gtT2) να δείξετε τις σχέσεις

V1V3 = V2V4 και W = nR(T1 - T2)ln(V2V1) όπου n τα mol του αερίου R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανικών αερίων και W το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του ΛYΣH Για την ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ισχύει P1

V1= P

2V

2 (1)

Για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Poisson ισχύει

P2V

2

= P3V

3

(2)

Σχήmicroα 19

Για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle έχουmicroε

P3V

3= P

4V

4 (3)

Tέλος για την αδιαβατική συmicroπίεση ΔrarrA σύmicroφωνα microε τον νόmicroο του Poisson έχουmicroε

P4V

4

= P1V

1

(4) όπου γ ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αερίου Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (4) κατά microέλη παίρνου microε τη σχέση

P1V

1P

2V

2

P3V

3P

4V

4

= P2V

2P

3V

3

P4V

4P

1V

1

2

-1

V 4

-1

V =3

-1

V 1

-1

V V3

V1= V

2V

4 (5)

Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκ λικής microεταβολής ABΓΔA είναι σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσει microε το περιβάλλον του Δηλαδή ισχύει η σχέση

W= Q

= QAB + QB

+ Q$

+ Q$A = QAB + Q

$ (6)

διότι για τις αδιαβατικές microεταβολές BrarrΓ και ΔrarrA έχουmicroε QBΓ =QΔA =0 Eξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και Q

ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1ln(V2 V1 )

Q

= nRT2ln(V4 V3 )

$

(+ )

QAB + Q

= nR T1lnV2

V1

$

amp amp + T2lnV4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(6)

W

= nR T

1ln

V2

V1

$

amp amp + T2ln

V4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(7)

Όmicroως από τη σχέση (5) έχουmicroε

V2

V1

=V

3

V4

lnV

2

V1

$

amp amp = lnV

3

V4

$

amp amp

lnV

2

V1

$

amp amp = - lnV

4

V3

$

amp amp

οπότε η (7) γράφεται

W

= nR(T1 - T2)ln

V2

V1

$

amp amp (8)

Mια θερmicroική microηχανή αναγκάζει ιδανικό αέριο σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση κατά την οποία η πίεση του αερίου τριπλασιάζεται

ii) από microια ισοβαρή εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται iii) από microια ισόχωρη ψύξη microέχρις ότου η πίεση του αερίου ανακτή σει την αρχική της τιmicroή και iv) απο microια ισοβαρή συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Eάν P0 V0 είναι η πίεση και ο όγκος αντιστοίχως του αερίου στην αρχική του κατάσταση και γ ο λόγος CPCV των γραmicromicroοmicroοριακών του ειδικών θερmicroοτήτων να βρείτε την προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroό τητα κατά την εξέλιξη του κύκλου γ) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής και να τον συγκρίνετε microε το συντελεστή απόδοσης της microηχα νής Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ της microέγιστης και της ελά χιστης θερmicroοκρασίας του αερίου της microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόχωρη θέρmicroανση AB του αερίου η πίεσή του τριπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Charles θα τριπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του αερίου δηλαδή από T0 θα γίνει 3T0 Κατά την ισοβα ρή εκτόνωση BΓ ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται οπότε και η απόλυτη θερmicroοκρασία του θα τριπλασιάζεται (νόmicroοςGay-Lussac) δηλαδή από 3T0 θα γίνει 9T0 Kατά την ισόχωρη ψύξη ΓΔ του αερίου η πίεση του απο την τιmicroή 3P0 λαmicroβάνει την τιmicroή P0 δηλαδή υποτριπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο του

Σχήmicroα 20 Charles πρέπει να υποτριπλασιασθεί και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή από 9T0 πρέπει να γίνει 3T0 Aυτό σηmicroαίνει ότι οι καταστάσεις B και Δ βρίσ κονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη θερmicroοκρασίας 3T0 Mε βάση τις παρα πάνω διαπιστώσεις το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου έχει τη microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (20) β) Kατά την εξέλιξη του κύκλου στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα στο στάδιο της ισόχωρης θέρmicroανσης AB και της ισοβαρούς εκτόνωσης BΓ δηλαδή ισχύει

Q = QAB + QB = nCV 3T0 - T0( ) + nCP 9T0 - 3T0( )

Q

= 2nCVT0 + 6nCPT0 = 2n CV + 3CP( )T0 (1)

Όmicroως οι γραmicromicroοmicroοριακές ειδικές θερmicroότητες CV και CP του αερίου ικανοποιούν τις σχέσεις

CP

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= R - 1

CP

= R - 1

$ (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε

Q

=

2nRT0

- 1(1+ 3) = 2P0V0

1+3

- 1

$

amp (3)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (4)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε το εmicroβαδόν του σκιασmicroένου ορθογωνίου ABΓΔ δηλαδή ισχύει W = micro$(ABamp) = (3P0 -P0)(3V0 -V0) = 4P0V0 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3)(4) και (5) έχουmicroε

=4P0V0

2P0V0

- 1

1+3

$

amp =

2( - 1)

1+ 3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται στην κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓΔA της οποίας το διάγραmicromicroα P-T φαίνεται στο σχήmicroα (21) i) Eάν οι θερmicroοδυναmicroικές microεταβλητές της κατάστασης A είναι P0 V0 και T0 να βρείτε τη θερmicroότητα που απορροφά το αέριο στη διάρκεια του κύκλου αφού προηγουmicroένως σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V του κύκλου ii) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση υπό θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου διπλασιάζεται οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ο όγκος του αερίου θα υποδιπλασιάζεται δηλαδή από V0 θα γίνει V02 H microεταβολή BΓ είναι ισοβαρής θέρmicroανση υπο πίεση 2P0 κατά την οποία η απόλυ

τη θερmicroοκρασία του αερίου διπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο Gay-Lussac θα διπλασιάζεται και ο όγκος του αερίου δηλαδή από V02 θα γίνει V0 H microετα βολή ΓΔ είναι ισόθερmicroη εκτόνωση υπό θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου υποδιπλασιάζεται οπότε ο όγκος του θα διπλασιάζεται (νόmicroος

Σχήmicroα 21 Σχήmicroα 22 Boyle) δηλαδή από V0 θα γίνει 2V0 Mε βάση τα παραπάνω οδηγούmicroαστε στο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου το οποίο έχει την microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (22) Στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του BΓ και της ισόθερmicroης εκτόνωσής του ΓΔ δηλαδή ισχύει η σχέση Q = QB +Q$ = nCP(2T0 - T0) + nR2T0ln(2V0V0 )

Q

= 5nRT02 + 2nRT0 ln2 Q

= P0V0 (52 + 2ln2) (1)

ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (2)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της υπο λογίζεται από τη σχέση

W = W

AB+ W

B + W$ + W$A

W

= nRT0ln

V0

2V0

$

amp +2P

0V

0-V

0

2

$

amp +

+

nR2T0ln2V0

V0

$

amp amp +P0(V0 - 2V0 )

W

= -nRT0ln2+P

0V

0+2nRT

0ln2 -P

0V

0=nRT

0ln2=P

0V

0ln2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) έχουmicroε

=P0V0ln2

P0V0(52 +2ln2)=

ln2

52 + 2ln2

Tο αέριο microιας θερmicroικής microηχανής είναι ιδανικό και υποβάλλεται σε αντιστρεπτό κύκλο ο οποίος αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή εκτόνωση AB microέχρις τετραπλασιασmicroού του όγ κου του αερίου ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση BΓ microέχρις ότου η πίεση του αερίου γίνει ίση microε το 132 της αρχικής της τιmicroής PA και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A όγκου VA α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Nα βρείτε το λόγο γ=CPCV του αερίου και να δείξετε ότι η θερ microότητα που απορροφά κατά την εξέλιξη του κύκλου είναι ίση microε 15PAVA2 γ) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Gay-Lussac θα τετραπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή απο TA θα γίνει 4TA Σύmicroφωνα microε το πρόβληmicroα κατά την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου η πίεση του microειώνε ται από την τιmicroή PA στην τιmicroή PA32 ο δε όγκος του αυξάνεται από την τιmicroή

Σχήmicroα 23 4VA στην τιmicroή VΓ Όmicroως microέσω της ισόθερmicroης συmicroπίεσης ΓA το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle θα έχουmicroε τη σχέση

PV

= P

AV

A V

= 32VA

Mε βάση τα παραπάνω το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (23) β) Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου το νόmicroο του Poisson παίρνουmicroε τη σχέση PB

VB

= PV

PA(4VA)

= (PA32)(32VA )

4

= 32-1 2

2= 2

5( -1) 2 = 5( - 1) = 53 που σηmicroαίνει ότι το αέριο είναι microονοατοmicroικό Eξάλλου η θερmicroότητα που απορροφά το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου ABΓA είναι ίση microε την θερmicroό τητα QAB που απορροφά κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του AB δηλαδή ισχύει Q

= QAB = nCP(4TA - TA) = 5nR(3TA 2)

Q

= 15nRTA2 = 15PAVA2 (1)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓ είναι

= W

Q$

(2) Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου του (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) οπότε θα έχουmicroε

W= Q$ = QAB + QB+ QA = nCP(4TA -TA ) + 0 + nRTAln(VA32VA )

W

= 5nR(3TA 2) - nRTAln(25)

W

= PAVA (152 - 5ln2) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) παίρνουmicroε

=PAVA(152 - 5ln2)

15PAVA2=

15 - 10ln2

15= 1 -

2ln2

3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) την ισόθερmicroη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του αερίου οκταπλασιάζεται ii) την ισόχωρη ψύξη BΓ και iii) την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0=3105 Ntm2 όγκου

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 8: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

S =

dQ1

T1

+dQ

2

T2

+ +dQ

n

Tn

=dQ

T

$

amp

$

(8)

Παρατηρήσεις i) Όταν αναφερόmicroαστε σε θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα στο οποίο εξελλίσεται microιά οποιαδήποτε διαδικασία (αντιστρεπτή ή όχι) η microεταβολή της εντροπίας του συστήmicroατος είναι ίση microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των microεταβολών της εντροπίας των σωmicroάτων που το αποτελούν ii) Όταν ένα θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα οδηγείται microε αντιστρεπτό τρόπο από microιά αρχική σε microία τελική κατάσταση ισορροπίας η microεταβολή της εντροπίας του είναι ακριβώς αντίθετη της microεταβολής που παθαίνει η εντροπία του περιβάλ λοντος του συστήmicroατος Aυτό είναι άmicroεση συνέπεια του ορισmicroού που έχουmicroε δώσει για την αντιστρεπτή microεταβολή και δικαιολογείται ως εξής Kατά την εξέλιξη της αντιστρεπτής microεταβολής το θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του στοιχειώδη ποσά θερmicroότητας ευρισκόmicroενο σε θερmicroοδυ ναmicroική ισορροπία microε αυτό που σηmicroαίνει ότι υπάρχει κάθε στιγmicroή ανάmicroεσά τους microιά πολύ microικρή διαφορά θερmicroοκρασίας Έτσι αν το σύστηmicroα πάρει από το περι βάλλον του κατά τρόπο αντιστρεπτό την στοιχειώδη θερmicroότητα dQ υπό θερmicroο κρασία T η microέν εντροπία του συστήmicroατος θrsquo αυξηθεί κατά dQT ενώ του περιβάλλοντος του θα ελαττωθεί κατά dQT οπότε η αντίστοιχη microεταβολή της εντροπίας του συστήmicroατος και του περιβάλλοντος θα είναι ίση microε microηδέν Omicroως το θερmicroοδυναmicroικό σύστηmicroα και το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν που θεωρείται αποmicroονώmicroενο σύστηmicroα δηλαδή σύστηmicroα που δεν ανταλλάσει ύλη και ενέργεια οπότε microπορούmicroε να διατυπώσουmicroε την παρακάτω γενική πρόταση Kατά τις αντιστρεπτές microεταβολές των θερmicroοδυναmicroικών συστηmicroάτων η εντροπία του Σύmicroπαντος διατηρείται σταθερή iii) Όταν ένα σώmicroα υποβάλλεται σε αντιστρεπτή ή microη αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή της θερmicroοδυναmicroικής του κατάστασης τότε η συνολική microεταβολή της εντροπίας του είναι microηδέν Στην περίπτωση που η κυκλική microεταβολή είναι αντιστρεπτή η παραπάνω ιδιότητα περιγράφεται από τη σχέση

dQT( )

(C) = 0

όπου ο υπολογισmicroός του αθροίσmicroατος θα γίνει κατα microήκος της κλειστής καmicroπύ λης γραmicromicroής (C) η οποία απεικονίζει σε κατάλληλο ορθογώνιο σύστηmicroα αξό νων τη θεωρούmicroενη κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή του σώmicroατος 7 Yπολογισmicroός της microεταβολής της εντροπίας σε ειδικές περιπτώσεις O υπολογισmicroός της microεταβολής της εντροπίας ενός σωmicroάτος όταν αυτό microετέχει σε microια φυσική διεργασία παρουσιάζει στη γενική περίπτωση microαθηmicroατική δυσκολία η οποία εξαρτάται από το είδος της διεργασίας στην οποία υποβάλλε ται Σε microερικές όmicroως περιπτώσεις ο υπολογισmicroός της είναι εφικτός microε απλοική microαθηmicroατική διαδικασία όπως λογουχάρη στην περίπτωση της ισόθερmicroης και

αντιστρεπτής microεταβολής ή στην περίπτωση της αδιαβατικής και αντιστρεπτής microεταβολής της κατάστασης ιδανικού αερίου α Iσόθερmicroη microεταβολή Aς δεχθούmicroε ότι microια microάζα n mol ιδανικού αερίου υποβάλλεται σε ισόθερmicroή και αντιστρεπτή microεταβολή της θερmicroοδυναmicroικής του κατάστασης υπό θερmicroοκρασία T κατά την οποία ο όγκος του microεταβάλλεται από V1 σε V2 Eπειδή η θερmicroοκρα σία του αερίου παραmicroένει σταθερή microπορεί να βγεί κοινός παράγοντας σε όλους τους όρους του αθροίσmicroατος Σ(dQT) oπότε για τη microεταβόλή ΔSισοθ της εντρο πίας του αερίου θα έχουmicroε τη σχέση

S

$=

1

T dQ( ) =

Q$

T

Όmicroως η θερmicroότητα Qισοθ που ανταλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του είναι ίση microε το αντίστοιχο έργο Wισοθ του αερίου οπότε η προηγούmicroενη σχέση γράφε ται

S$

=W

$

T=

nRT

Tln

V2

V1

$

amp = nRln

V2

V1

$

amp

Παρατηρούmicroε ότι κατά την ισόθερmicroη αντιστρεπτή εκτόνωση του αερίου (V2gtV1) ισχύει ΔSgt0 που σηmicroαίνει ότι η εντροπία του αυξάνεται Aκριβώς τα αντίστρο φα συmicroβαίνουν κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του αερίου (V2ltV1) οπότε ΔSlt0 β Aδιαβατική microεταβολή Όταν το αέριο υφίσταται αδιαβατική και αντιστρεπτή microεταβολή τότε όλα τα στοιχειώδη ποσά θερmicroότητας dQ που ανταλάσσει microε το περιβάλλον του είναι microηδενικά οπότε η microεταβολή της εντροπίας του θα είναι microηδενική δηλαδή θα ισχύει

ΔSαδιαβ = 0 Λόγω της παραπάνω ιδιότητας microια αδιαβατική και αντιστρεπτή microεταβολή της κατάστασης ιδανικού αερίου ονοmicroάζεται και ισεντροπική microεταβολή 8 Eντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου Aς θεωρήσουmicroε ένα σώmicroα που microετέχει microιας φυσικής διαδικασίας η οποία το οδηγεί από microια αρχική σε microια τελική κατάσταση θερmicroοδυναmicroικής ισορροπίας Kατά την διαδικασία αυτή η εντροπία του σώmicroατος microεταβάλλεται ανεξάρτητα από τον τρόπο που εξελίσσεται η διαδικασία αυτή αφού η εντροπία του σώmicroα τος είναι microονότιmicroη συνάρτηση της κατάστασής του Στην περίπτωση που το σώmicroα οδηγείται στην τελική κατάσταση κατά microη αντιστρεπτό τρόπο δεν microπο ρούmicroε για τον υπολογισmicroό της microεταβολής της εντροπίας του να χρησιmicroοποι ήσουmicroε τη σχέση (8) του εδαφίου 6 διότι όπως αναφέρθηκε παραπάνω αυτή έχει νόηmicroα microόνο σε αντιστρεπτές διαδικασίες Mπορούmicroε όmicroως να επιλέξουmicroε microια κατάλληλη αντιστρεπτή πορεία που οδηγεί το σώmicroα στην τελική του κατά

σταση και να υπολογίσουmicroε πάνω σrsquo αυτή την πορεία την microεταβολή της εντρο πίας του σώmicroατος χρησιmicroοποιώντας τη σχέση (8) H microεταβολή αυτή θα αντιπροσωπεύει και τη microεταβολή της εντροπίας του σώmicroατος κατά την αντί στοιχη microη αντιστρεπτή διαδικασία Στα επόmicroενα θα επιχειρήσουmicroε να υπολογί σουmicroε τη microεταβολή της εντροπίας σε microερικές χαρακτηριστικές microη αντιστρε πτές διεργασίες και να αξιολογήσουmicroε τα αποτελέσmicroατα των υπολογισmicroών α Eλεύθερη εκτόνωση ιδανικού αερίου Aς θεωρήσουmicroε ένα ιδανικό αέριο που βρίσκεται σε δοχείο microε αδιαβατικά τοιχώmicroατα Tο δοχείο αυτό χωρίζεται microε τη βοήθεια ενός διαφράγmicroατος σε δύο χώρους που τον ένα καταλαmicroβάνει το αέριο ενώ ο άλλος χώρος είναι κενός Aν αφαιρέσουmicroε το διάφραγmicroα τότε το αέριο εκτονώνεται από τον αρχικό του όγκο V1 στον όγκο V2 του δοχείου χωρίς να ανταλλάσσει θερmicroότητα και έργο microε το περιβάλλον του (Q=0 και W=0) Tο φαινόmicroενο αυτό ονοmicroάζεται ελεύθερη εκτόνωση του αερίου αποτελεί δε microη αντιστρεπτό φαινόmicroενο αφού ποτέ δεν παρατηρήθηκε αυτόmicroατη αδιαβατική συmicroπίεση του αερίου στην αρχική του κατάσταση Eφαρmicroόζοντας στο αέριο τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε για την microεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας την σχέση ΔU=0 που σηmicroαίνει ότι κατά την ελεύθερη εκτόνωση του αέριου η εσωτερική του ενέρ γεια άρα και η θερmicroοκρασία του παρέmicroεινε η ίδια Έτσι η αρχική και η τελική κατάσταση του αέριου βρίσκονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη χωρίς

Σχήmicroα 7 Σχήmicroα 8 όmicroως οι ενδιάmicroεσες καταστάσεις του αερίου να βρίσκονται πάνω στην καmicroπύλη αυτή αφού δεν είναι καταστάσεις ισορροπίας και εποmicroένως δεν απεικονίζονται σε διάγραmicromicroα P-V Γίνεται τώρα φανερό ότι για να υπολογίσουmicroε τη microεταβολή ΔS της εντροπίας του αέριου θα χρησιmicroοποιήσουmicroε την αντίστοιχη ισόθερmicroη αντιστρεπτή εκτόνωση που microπορεί να το οδηγήσει από την αρχική κατάσταση A1 όγκου V1 στην τελική κατάσταση A2 όγκου V2 (σχήmicroα 8) Για τη microεταβολή αυτή έχουmicroε

S = nR ln V2V

1( ) (1) όπου n ο αριθmicroός των mol του αερίου και R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανι κών αερίων Eπειδή V2gtV1 θα ισχύει και ln(V2V1)gt0 οπότε σύmicroφωνα microε την (1) η microεταβολή της εντροπίας του αερίου κατά την ελεύθερη εκτόνωση του είναι θετική δηλαδή η εντροπία του αυξάνεται Eξάλλου η εντροπία του περι βάλλοντος του αερίου δεν παθαίνει καmicroιά microεταβολή στη διάρκεια αυτής της microη αντιστρεπτής διαδικασίας αφού το περιβάλλον δεν συmicromicroετέχει ενεργειακά σ΄

αυτήν Έτσι microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι τουλάχιστον γιrsquo αυτή την microη αντιστρεπτή microεταβολή η εντροπία του αερίου και του περιβάλλοντος αυξάνει Όmicroως το αέριο microαζί microε το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν οπότε η ελεύθερη εκτόνωση ενός αερίου οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του Σύmicroπαν τος Pοή θερmicroότητας δια microέσου χάλκινης ράβδου Tο φαινόmicroενο ροής θερmicroότητας από microια δεξαmicroενή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 προς microια άλλη δεξαmicroενή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 (T1gtT2) δια microέσου χάλκινης ράβδου είναι microη αντιστρεπτό φαινόmicroενο Kατά την εξέλιξη του φαινοmicroένου αυτού η εντροπία της χάλκινης ράβδου δεν microεταβάλλεται αφού η θερmicroοκρασία σε κάθε διατοmicroή της είναι χρονικά σταθερή και όση θερmicroότητα φθάνει στην διατοmicroή αυτή microέσα σrsquo ένα χρονικό διάστηmicroα τόση φεύ γει από τη διατοmicroή στο διάστηmicroα αυτό Έτσι η ολική microεταβολή ΔSολ της εντρο πίας του συστήmicroατος είναι ίση microε το άθροισmicroα της microεταβολής ΔSA της εντρο πίας της δεξαmicroενής A και της microεταβολής ΔSB της εντροπίας της δεξαmicroενής B δηλαδή ισχύει ΔSσυστ=ΔSA+ΔSB (2) Για να υπολογίσουmicroε τις microεταβολές ΔSA και ΔSB πρέπει να βρούmicroε microια αντισ τρεπτή διαδικασία microεταφοράς της θερmicroότητας Q από τη δεξαmicroενή A στη B Tέτοια διαδικασία microπορεί να εξασφαλιστεί αν διαθέτουmicroε microια δεξαmicroενή θερmicroό τητας που τη θερmicroοκρασία της microπορούmicroε να ελέγχουmicroε αυτόmicroατα η οποία

Σχήmicroα 9

να έρχεται διαδοχικά σε επαφή πρώτα microε την A και στη συνέχεια σε επαφή microε την B Mε τον τρόπο αυτό η δεξαmicroενή ελεγχόmicroενης θερmicroοκρασίας θα microεταφέρει κατά αντιστρεπτό τρόπο την θερmicroότητα Q από την A στην B οπότε για τις microεταβολές ΔSA και ΔSB θα έχουmicroε τις σχέσεις

SA = -QT1

SB = QT2

(+ )

SA + SB =Q

T2

-Q

T1

= QT1 - T2

T1T2

$

amp (3)

------------------------------- Προς στιγmicroή αγνοούmicroε όλες τις άλλες φυσικές διαδικασίες που συmicroβαίνουν στο περιβάλλον του αέριου και εντοπίζουmicroε την προσοχή microας στο πως επηρεάζεται το περιβάλλον από την ελεύθερη εκτόνωση του αερίου Mε τη βοήθεια microιας τέτοιας πηγής microπορούmicroε να εξασφαλίσουmicroε κάθε στιγmicroή microικρή διαφορά θερmicroοκρασίας ανάmicroεσα στην πηγή αυτή και στις πηγές A και B οπότε η ροή θερmicroότητας θα γίνεται κατά τρόπο αντιστρεπτό

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουmicroε τη σχέση

S

$= Q

T1 - T2

T1T2

$

amp (4)

Aπό την (4) προκύπτει ΔSσυστgt0 που σηmicroαίνει ότι κατά τη ροή θερmicroότητας από τη δεξαmicroενή A στην B δια microέσου της χάλκινης ράβδου η εντροπία του συστή microατος αυξάνεται Eξάλλου το περιβάλλον του συστήmicroατος των δύο δεξαmicroενών θερmicroότητας και της χάλκινης ράβδου δεν συmicromicroετέχει ενεργειακά σ΄ αυτή τη microη αντιστρεπτή διεργασία οπότε microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι η εντροπία του δεν microεταβάλλεται δηλαδή ισχύει ΔSπερ=0 Όmicroως το σύστηmicroα και το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν οπότε η ροή θερmicroότητας διrsquo αγωγής οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του Σύmicroπαντος Στο ίδιο συmicroπέρασmicroα καταλήγουmicroε εάν εξετάσουmicroε και άλλες φυσικές διαδικασίες που εξελλίσονται κατά microη αντιστρε πτό τρόπο όλες δε οι πειραmicroατικές microας εmicroπειρίες που αναφέρονται σε microη αντι στρεπτά φαινόmicroενα είναι συmicroβιβαστές microε την ακόλουθη πρόταση Kάθε microη αντιστρεπτή διαδικασία που συmicroβαίνει στο Σύmicroπαν οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του H πρόταση αυτή αποτελεί την εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroο δυναmicroικού νόmicroου και microολονότι δεν υπάρχει αυστηρή microαθηmicroατική απόδειξη αυτής πρέπει να τονίσουmicroε ότι η πρόταση είναι συνεπής προς όλα τα φυσικά φαινόmicroενα που εξελίσσονται στο Σύmicroπαν κατά microη αντιστρεπτό τρόπο Όπως θα δειχθεί στο επόmicroενο εδάφιο η εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυνα microικού νόmicroου είναι ισοδύναmicroη microε τη διατύπωση Kelvin-Plank που σηmicroαίνει ότι η αποδοχή ή παραβίαση της microιας συνεπάγεται την αποδοχή ή παραβίαση της άλλης Παρατήρήση Kάθε φυσική διαδικασία που συmicroβαίνει microέσα σrsquo ένα αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα δηλαδή σrsquo ένα σύστηmicroα που δεν ανταλλάσσει ύλη και ενέργεια microε το περιβάλ λον του θεωρείται αυθόρmicroητο φυσικό φαινόmicroενο αφού για την πραγmicroατο ποίησή του δεν χρειάζεται εξωτερική επίδραση Όmicroως microε την έννοια αυτή τα αυθόρmicroητα φαινόmicroενα είναι και microη αντιστρεπτά οπότε σύmicroφωνα microε την εντρο πική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου συνοδεύονται από αύξηση της εντροπίας του αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος Mπορούmicroε λοιπόν να διατυπώσουmicroε την παρακάτω πρόταση που είναι γνωστή ως αρχή αύξησης της εντροπίας ενός αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος Kάθε αυθόρmicroητη διαδικασία που συmicroβαίνει σrsquo ένα αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του 9 Iσοδυναmicroία της εντροπικής διατύπωσης προς την διατύπώση Kelvin-Plank Θα δείξουmicroε ότι η άρνηση της εντροπικής διατύπωσης του δεύτερου θερmicroοδυ ναmicroικού νόmicroου συνεπάγεται άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank Προς τούτο θεωρούmicroε microία θερmicroική microηχανή Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ των πηγών θερmicroότητας A και B αντιστοίχων θερmicroοκρασίων T1 και T2 microε T2ltT1 και

υποθέτουmicroε ότι σε κάθε κύκλο λειτουργίας της το θερmicroαντικό της σώmicroα (ιδανικό αέριο) απορροφά από την πηγή A θερmicroότητα Q1 και δίνει στην πηγή B θερmicroότητα Q2 Eπί πλέον υποθέτουmicroε ότι κατά τη λειτουργία της θερmicroικής αυτής microηχανής παραβιάζεται η εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυνα microικού νόmicroου δηλαδή ότι η εντροπία του Σύmicroπαντος microειώνεται Tότε θα ισχύει ΔSΣυmicroπlt0 ΔSmicroηχ+ΔSπερlt0 (1) Όmicroως η microεταβολή ΔSπερ της εντροπίας του περιβάλλοντος της θερmicroικής microηχα νής του Carnot είναι microηδενική διότι αυτό παίρνει microόνο έργο από τη microηχανή ενώ η microεταβολή ΔSmicroηχ της εντροπίας της microηχανής θα είναι

ΔSmicroηχ=ΔSαερ+ΔSA+ΔSB

Smicro = 0 +-Q1

T1

+Q2

T2

(2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

-Q1

T1

+Q2

T2

lt 0

Q1

T1

gtQ2

T2

(3)

Όmicroως η σχέση (3) σηmicroαίνει ότι η θερmicroική microηχανή του Carnot δεν λειτουργεί σύmicroφωνα microε τη διατύπωση των kelvin-Plank διότι τότε θα έπρεπε να ισχύει η σχέση

Q1 T1 = Q2 T2 Δηλαδή η παραβίαση της εντροπικής διατύπωσης του

δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου συνεπάγεται και την παραβίαση της διατύπω σης Kelvin-Plank 10 Aρχή υποβάθmicroισης της ενέργειας Aς θεωρήσουmicroε ένα σύστηmicroα από δύο σώmicroατα A και B που βρίσκονται σε αντί στοιχες θερmicroοκρασίες T1 και T2 microε T1gtT2 το οποίο είναι αποmicroονωmicroένο microε το περιβάλλον του Eάν τα δύο σώmicroατα έλθουν σε επαφή τότε είναι γνωστό ότι θα microεταβιβαστεί θερmicroότητα από το σώmicroα υψηλής θερmicroοκρασίας T1 προς το σώmicroα χαmicroηλώτερης θερmicroοκρασίας T2 microέχρις ότου τα δύο σώmicroατα αποκτήσουν κοινή θερmicroοκρασία Tκ για την οποία ισχύει T2ltTκltT1 Kατά την microη αντιστρεπτή αυτή διαδικασία το σύστηmicroα δεν ανταλλάσσει έργο και θερmicroότητα microε το περιβάλλον του αφού αποτελεί αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα microε αποτέλεσmicroα η εσωτερική του ενέργεια να παραmicroένει σταθερή (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) ενώ σύmicroφωνα microε την εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου η εντροπία του συστήmicroατος αυξάνεται Eξάλλου το σύστηmicroα στην αρχική του κατάσταση εmicroφανίζει microιά ορισmicroένη ικανότητα παραγωγής οργανωmicroένης ενέργειας αφού microπορεί νrsquo αποδώσει microηχανικό έργο microε τη microεσολάβηση microιας θερmicroικής microηχανής ανάmicroεσα στα δύο σώmicroατα Aντίθετα στην τελική του κατάσταση το σύστηmicroα έχει χάσει την ικανότητά του να δώσει οργανωmicroένη ενέργεια αφού τώρα είναι αδύνατη η λειτουργία microιάς θερmicroικής microηχανής microεταξύ των δύο σωmicroάτων καθό σον τα δύο σώmicroατα βρίσκονται στην ίδια θερmicroοκρασία Aπό την σύγκριση των δύο καταστάσεων βγαίνει το συmicroπέρασmicroα ότι microολονότι η εσωτερική ενέργεια του συστήmicroατος δεν άλλαξε η ικανότητα του για παραγωγή οργανωmicroένης ενέργειας δηλαδή ενέργειας που microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί ωφέλιmicroα έχει microηδε νιστεί ενώ ταυτόχρονα η εντροπία του συστήmicroατος παρουσιάζεται αυξηmicroένη Δηλαδή η αυξηmicroένη εντροπία του συστήmicroατος έχει υποβαθmicroίσει την ποιότητα

της εσωτερικής του ενέργειας microε την έννοια ότι αυτό δεν είναι τώρα σε θέση να δώσει ωφέλιmicroη ενέργεια Γενικώτερα αν αναφερθούmicroε στα microη αντιστρεπτά φυσικά φαινόmicroενα που συmicroβαίνουν στο Σύmicroπαν microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι συνοδεύονται microε ενεργειακή υποβάθmicroισή του δηλαδή microε απώλεια της δυνατότητάς του για παραγωγή ενέργειας ανώτερης ποιότητας microολονότι η εσωτερική του ενέργεια παραmicroένει αναλλοίωτη Aυτό σηmicroαίνει ότι microε την πάροδο του χρόνου το Σύmicroπαν τείνει σε microιά κατάσταση microέγιστης εντροπίας που του περιορίζει την ποιότητα του ενεργειακού του περιεχόmicroενου και το οδη γεί στον λεγόmicroενο θερmicroικό ή εντροπικό θάνατο Ένα άλλο χαρακτηριστικό παράδειγmicroα που microας δείχνει ότι η αύξηση της εντροπίας ενός αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος ελαττώνει την ικανότητα του για παραγωγή οργανωmicroένης ενέρ γειας είναι το εξής Aφήνουmicroε ένα σώmicroα να πέσει από ύψος h στο πάτωmicroα του δωmicroατίου microας Tο σώmicroα ξεκινάει την διαδροmicroή του microε microιά οργανωmicroένη δυνα microική ενέργεια mgh η οποία microετά την κρούση του microε το πάτωmicroα microετασχη microατίζεται σε ανοργάνωτη θερmicroική ενέργεια που κατανέmicroεται στο σώmicroα στο πάτωmicroα στον αέρα και στους τοίχους του δωmicroατίου microε αποτέλεσmicroα νrsquo αυξηθεί λίγο η θερmicroοκρασία τους Kατά την microη αντιστρεπτή αυτή διαδικασία η ολική ενέργεια του συστήmicroατος διατηρήθηκε σταθερή αυξήθηκε όmicroως η εντροπία του H αυξηmicroένη εντροπία του συστήmicroατος κάνει αδύνατη την αντίστροφη εξέλιξη του φαινοmicroένου δηλαδή την microετατροπή της προηγούmicroενης θερmicroικής ενέργειας σε δυναmicroική ενέργεια microε αυθόρmicroητη ανύψωση του σώmicroατος στην αρχική του θέση και ταυτόχρονη ψύξη όλων των σωmicroάτων που πήραν microέρος στο φαινόmicroενο Έτσι το σύστηmicroά παρουσιάζεται στην τελική του κατάσταση microε υποβαθmicroισmicroένο ενεργειακό περιεχόmicroενο δηλαδή έχει microειωθεί η ποιότητα της ενέργειάς του αφού αυτό έχασε την ικανότητά του να δίνει ωφέλιmicroο έργο Παρατήρηση H θερmicroότητα ως microορφή ενέργειας είναι ποσοτικά ισοδύναmicroη microε τις άλλες microορφές ενέργειας (microηχανική ηλεκτρική χηmicroική κλπ) αλλά ποιοτικά είναι υποβαθmicroισmicroένη ως προς αυτές Aυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η θερmicroότητα δεν microπορεί να microετασχηmicroατιστεί ολοκληρωτικά σε ενέργεια άλλης microορφής ενώ αντίθετα οι άλλες microορφές ενέργειας microε απλές διαδικασίες microετασχηmicroατίζονται ολοκληρωτικά σε θερmicroότητα lsquoΕτσι η θερmicroότητα θεωρείται ως ενέργεια κατώτε ρης ποιότητας ή ως microη οργανωmicroένη ενέργεια ως προς τις άλλες microορφές ενέρ γειας οι οποίες θεωρούνται ως ενέργειες ανώτερης ποιότητας

PM fysikos

Iδανικό αέριο εκτελεί διαδοχικά τις παρακάτω θερmicroικές διαδικασίες α) Mιά αντιστρεπτή ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται

β) Mιά αντιστρεπτή ισόχωρη microεταβολή κατά την οποία η πίεση του αερίου γίνεται η microισή της αρχικής του πιέσεως i) Nα σχεδιαστούν τα διαγράmicromicroατα P-V P-T και V-T των δύο αυτών συνεχόmicroενων microεταβολών ii) Nα βρεθεί η συνολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του Δίνονται τα καταστατικά microεγέθη V0 P0 και T0 της αρ χικής κατάστασης του αερίου ΛYΣH i) Kατά την αντιστρεπτή ισοβαρή εκτόνωση ArarrB του ιδανικού αερί ου από τον όγκο V0 στον όγκο 2V0 η απόλυτη θερmicroοκρασία του αυξάνει από την τιmicroή T0 στην τιmicroή 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) Στην αντιστρεπτή ισόχωρη microεταβολή BrarrΓ που ακολουθεί ο όγκος του αέριου microένει σταθερός και ίσος microε 2V0 ενω η πίεσή του ελαττώνεται από την τιmicroή Pο στην τιmicroή P02 microε απο τέλεσmicroα να ελαττώνεται και η θερmicroοκρασία του αέριου από την τιmicroή 2T0 στην

Σχήmicroα 10 Σχήmicroα 11 Σχήmicroα 12

τιmicroή T0 (νόmicroος Charles) Όλα τα παραπάνω εκφράζονται συmicroβολικά ως εξής

A(P0 V0 T0) rarr B(P0 2V0 2T0) rarr Γ(P02 2V0 T0) Tα σχήmicroατα (10) (11) (12) αποτελούν τα ζητούmicroενα διαγράmicromicroατα της microεταβο λής ArarrBrarrΓ του ιδανικού αερίου ii) Aφού κατά την αντιστρεπτή διαδικασία ArarrBrarrΓ η θερmicroοκρασία του αερίου τελικά δεν microεταβάλλεται η ολική microεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας είναι microηδέν διότι η εσωτερική ενέργεια microιας ορισmicroένης microάζας ιδανικού αερίου είναι συνάρτηση microόνο της θερmicroοκρασίας του Δηλαδή ισχύει

ΔUολ = 0 (1) Eφαρmicroόζοντας για το ιδανικό αέριο τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο κατά τη microεταβολή ArarrBrarrΓ παίρνουmicroε τη σχέση

Q= U

+ W

(1)

Q= 0 + W

= W

Q= WAB + WB

= P0(2V0 - V0 ) + 0 Q= P0V0

Mια θερmicroική microηχανή Carnot λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1=500 0K και T2=200 0K H microηχανή απορροφά από τη θερmicroή δεξαmicroενή θερmicroότητα microε ρυθmicroό q1=2105 Js i) Nα βρεθεί η ωφέλιmicroη ισχύς της microηχανής ii) Nα βρεθεί ο ρυθmicroός microε τον οποίο πρέπει να microεταφέρεται θερmicroότη τα στην ψυχρή πηγή microιας θερmicroικής microηχανής που λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδο σης ίσο microε 80 του συντελεστή απόδοσης της microηχανής Carnot και την ίδια ωφέλιmicroη ισχύ microε αυτή ΛYΣH i) Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot στο ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής τότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αC της microηχανής θα ικανοποιεί τη σχέση

C =W

Q1

W = CQ1

W

t=CQ1

t (1)

Όmicroως το πηλίκο Wt αποτελεί την ωφέλιmicroη ισχύ N της microηχανής ενώ το πηλίκο Q1t αποτελεί το ρυθmicroό q1 microεταφοράς θερmicroότητας από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το αέριο που χρησιmicroοποιεί οπότε η σχέση (1) γράφεται N = Cq1 = (1 - T2T1 )q1

N=(1-200500)2 105 Js=12 105 Js ii) Aς θεωρήσουmicroε τη θερmicroική microηχανή που εργάζεται microεταξύ των θερmicroοκρα σιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης α=08αC και ωφέλιmicroη ισχύ N Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το ενεργό υλικό που χρησιmicroοποιεί και Q2 η αντίστοιχη θερmicroότητα που microεταφέρεται από το υλικό αυτό προς την ψυχρή δεξαmicroενή της θα έχουmicroε τις σχέσεις

Q1 = W+Q2

08C = WQ1

W

08C

= W+Q2

W1

08C

- 1

$

amp =Q2

W

t

1

08C

- 1

$

amp =

Q2

t

microε C

= 1- T2T

1= 35 Όmicroως το πηλίκο Q2t αποτελεί το ρυθmicroό q2 microεταφοράς

θερmicroότητας στην ψυχρή πηγή της θερmicroικής microηχανής ενώ το πηλίκο Wt αποτελεί την ισχύ N της microηχανής οπότε η (2) γράφεται q2 = N(54C - 1) = 12 10

5(25 12 - 1) Js = 13 10

5Js

Mια θερmicroική microηχανή αποτελείται από δύο θερmicroι κές microηχανές Carnot και η ψυχρή πηγή της microιας αποτελεί θερmicroή πηγή της άλλης Eάν α1 α2 είναι οι θερmicroοδυναmicroικοί συντελεστές από δοσης των δύο microηχανών T1 η απόλυτη θερmicroοκρασία της θερmicroής πηγής της πρώτης και T3 η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της δεύτερης να δείξετε τις σχέσεις αολ = α1 + α2 - α1α2 και αολ = 1 - T3 T1 όπου αολ ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της σύνθετης microηχανής Carnot ΛYΣH Έστω ότι σε χρόνο t microεταφέρεται θερmicroότητα Q1 από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot M1 προς το ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W1 είναι το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής αυτής O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α1 της microηχανής θα είναι 1 = W1Q1 W1 = 1Q1 (1)

Σχήmicroα 13 Eξάλλου εάν Q2 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t στην ψυχρή πηγή της microηχανής M1 αυτή θα αποτελεί και την αντίστοιχη θερmicroότητα που λαmicroβάνει το αέριο της δεύτερης microηχανής Carnot M2 οπότε το ωφέλιmicroο έργο W2 της microηχανής αυτής σε χρόνο t θα υπολογίζεται microέσω της σχέσεως W2 = 2Q2 (2) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αολ του συστήmicroατος των δύο microηχα νών θα είναι

=

W1 + W2

Q1

(2)

(1)

=1Q1 + 2Q2

Q1

= 1 +2Q2

Q1

(3)

Όmicroως εάν T2 είναι η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της M1 ή της

θερmicroής πηγής της M2 θα ισχύει η σχέση

Q1

T1

=Q2

T2

Q2

Q1

=T2

T1

= 1 -1 (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) έχουmicroε

= 1 +2(1 - 1 ) = 1 +2 -12 (5) Eπειδή α1=1-T2T1 και α2=1-T3T2 η σχέση (5) γράφεται

= 1 -T

2

T1

+1 -T

3

T2

- 1 -T

2

T1

$

amp amp 1 -T

3

T2

$

amp amp

= 2 -

T2

T1

-T

3

T2

- 1+T

2

T1

-T

2

T1

T

3

T2

= 1 -T

3

T1

Mιά microάζα n mol microονοατοmicroικού ιδανικού αέριου (CV=3R2) όγκου V0 και πιέσεως P0 υποβάλλεται σε αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή που αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβο λές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB κατά την οποία η πίεση του αε ρίου διπλασιάζεται ii) από microια ισόθερmicroη εκτόνωση BrarrΓ κατά την οποία ο όγκος του αερίου διπλασιάζεται και iii) από microια ισοβαρή συmicroπίεση ΓrarrA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να βρείτε τη θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 14) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) Aπό το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη θέρmicroανση του αέριου υπό σταθερό όγκο V0 κατά την οποία η πίεση του αέριου από P0 γίνεται 2P0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Charles)

ii) Aπό το καmicroπύλογραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη εκτόνωση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία ο όγκος του αέριου από V0 γίνεται 2V0 οπότε η πίεσή του από 2P0 γίνεται P0 (νόmicroος Boyle) και iii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή συmicroπίεση του αέριου microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A(P0V0T0) Eξάλλου σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο η θερmicroότητα Q που το αέριο ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του κατά τον κύκλο ABΓA η microεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας και το έργο W που παράγει το αέριο συνδέονται microε τη σχέση

Q = ΔU + W Q = 0 + W Q = W (1)

Σχηmicroα 14 Όmicroως το έργο W είναι ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των επί microέρους έργων WAB WBΓ και WΓA που αντιστοιχούν στις microεταβολές ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA Έτσι θα έχουmicroε τη σχέση

W= WAB

+ WB

+WA

W = 0 +2nRT0ln (2V0 V0) + P0 (V0 - 2V0)

W=2nRT0ln2 -P

0V

0= 2P

0V

0ln2 -P

0V

0 (1)

Q=P0V0(2ln2 - 1) (2) β) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α microιας θερmicroικής microηχανής η οποία θα λειτουργούσε microε βάση τον κύκλο ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του προς την θερmicroότητα Qπρ που προσφέ ρεται σrsquo αυτό σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microηχανής δηλαδή ισχύει

=

W

Q

(1)

=Q

Q

(2)

=P0V0 (2ln2 - 1)

Q

(3)

Όmicroως για τη θερmicroότητα Qπρ ισχύει η σχέση

Q = QAB + QB = nCV(2T0 - T0 ) +2nRT0ln(2V0V0)

Q= nCVT0 +2nRT0ln2 = nT0 (CV +2Rln2) (4)

όπου CV η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερό όγκο Όmicroως το αέριο που εξετάζουmicroε ισχύει CV =3R2 και η (4) γράφεται

Q= nT0(3R2 +2Rln2) = nRT0(32 +2ln2)

Q= P0V0 (32 + 2ln2) (5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (5) παίρνουmicroε τη σχέση

=

P0V0 (2ln2 - 1)

P0V0(32 + 2ln2)=

2ln2 - 1

32 +2ln2

=

2(2ln2 - 1)

3 + 4ln2

Mιά ορισmicroένη microάζα microονοατοmicroικού ιδανικού αερί ου (CV=3R2) όγκου V0 πιέσεως P0 και απόλυτης θερmicroοκρασίας T0 υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται i) από microια ισοβαρή εκτόνωση ArarrB κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται ii) από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να υπολογίσετε το έργο που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το συντελεστή απόδοσης της κυκλικής αυτής microεταβολής ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 15) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή εκτόνωση του αέριου υπό πίεση P0 κατά την οποία ο όγκος του από V0 γίνεται 2V0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) ii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη ψύξη του αερίου υπό σταθερό όγκο 2V0 κατά την οποία το αέριο ψύχεται από τη θερmicroοκρασία 2T0 στη θερmicroοκρασία T0 οπότε η πίεσή του από P0 γίνεται P02 (νόmicroος Charles) και iii) από το καmicroπυλόγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη συmicroπί εση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία ο όγκος του ελατ τώνεται από 2V0 σε V0 ενώ η πίεση του αυξάνει από P02 σε P0 (νόmicroος Boyle) Eξάλλου το έργο W που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του θα είναι

ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των έργων WAB WBΓ και WΓA που ανταλλάσσει το αέριο κατά τη διάρκεια των επί microέρους microεταβολών ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA δηλαδή θα ισχύει

Σχήmicroα 15

W = WAB + WB+W

A = P0(2V0 -V0) + 0 +nRT0ln(V0 2V0)

W = P0V0 +nRT0ln(12) W= P0V

0- nRT

0ln2 (1)

όπου n ο αριθmicroός των mol του αέριου και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Όmicroως σύmicroφωνα microε την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων ισχύει P0V0=nRT0 οπότε η (1) γράφεται

W= P0V

0-P

0V

0ln2

W = P

0V

01 - ln2( ) (2)

β) O συντελεστής απόδοσης α του κύκλου ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W προς την θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου δηλαδή ισχύει

=

W

QAB

(1)

=P0V0 (1 - ln2)

nCP(2T0 - T0 )

=nRT0 (1 - ln2)

nCpT0

(3)

όπου CP η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερή πίεση Eπειδή γιατο αέριο έχουmicroε CP=5R2 η σχέση (3) γράφεται

=

nRT0 (1 - ln2)

5nRT02 =

2(1- ln2)

5 (4)

Ένα ιδανικό αέριο υποβάλλεται σε κυκλική αντισ τρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από microια ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB θερmicroοκρασίας T1 από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ όγκου V1 από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ θερmicroοκρασίας T2 και από microια ισόχωρη θέρmicroανση ΔrarrA όγκου V2=V12 Eάν ο λόγος CPCV του αερίου είναι γ

να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του το αέριο απορροφά από το εξωτερικό του περιβάλλον τα ποσά θερmicroότητας QΔA και QAB που ανιστοι χούν στην ισόχωρη θέρmicroανσή του ΔrarrA και στην ισόθερmicroη συmicroπίεσή του ArarrB Άρα ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβο λής είναι

=

W

Q$A + QAB

(1)

Σχήmicroα 16 όπου Wολ το ολικό έργο που παρέχει το αέριο στο περιβάλλον του Όmicroως για το έργο αυτό ισχύει

W= W

A+ W

AB+ W

B$+ W

$= 0 + W

AB+ 0 + W

$

W

= W

AB+W

$= nRT

1ln

V1

V12

$

amp amp + nRT2ln

V12

V1

$

amp amp

W= nRT

1ln2 - nRT

2ln2 W

= nR(T1 - T2 )ln2 (2) Εξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και QΔA ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1lnV1

V1 2

$

amp amp = nRT1ln2

και

QA = nCV (T1 - T2 ) =

nR(T1 - T2)

- 1 οπότε η (1) δίνει

=

nR(T1 - T2)ln2

nR(T1 - T2)( - 1) + nRT1ln2

=( - 1)(T1 - T2 )ln2

T1 - T2 + ( - 1)T1ln2

i) Nα δείξετε ότι η άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank για το δεύτερο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο συνεπάγεται και άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Nα δείξετε ότι microια κυκλική microεταβολή ορισmicroένης microάζας ιδανικού αέριου που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση από microια αδια βατική εκτόνωση και από microια αδιαβατική συmicroπίεση βρίσκεται σε αντίφαση microε το δεύτερo θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο δηλαδή microια τέτοια κυκ λική microεταβολή είναι αδύνατη ΛYΣH i) Έστω ότι υπάρχει θερmicroική microηχανή που σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microετατρέπει ολοκληρωτικά την θερmicroότητα Q1 που παίρνει από την πηγή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 σε microηχανικό έργο W χωρίς να δίνει θερmicroότητα στην πηγή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 Θεωρούmicroε τώρα microια κατάλ

Σχήmicroα 17 Σχήmicroα 18 ληλη ψυκτική microηχανή η οποία όταν λειτουργεί ανάmicroεσα στις ίδιες πηγές θερ microότητας microεταφέρει θερmicroότητα Q1 στην πηγή A καταναλώνοντας το έργο W που παράγει η θερmicroική microηχανή Tότε η ψυκτική αυτή microηχανή θα παίρνει από την πηγή B microια ορισmicroένη θερmicroότητα Q2 και εποmicroένως το σύστηmicroα των δύο microηχανών θα ισοδυναmicroεί microε microια ψυκτική microηχανή η οποία θα απάγει θερmicroότητα Q2 από την ψυχρή πηγή B χωρίς κατανάλωση έργου πράγmicroα που αποτελεί άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Έστω ότι microια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί την κυκλική microεταβο λή ABΓA που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB microια αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ και microια αδιαβατική συmicroπίεση ΓrarrA (σχήmicroα 18) Eφαρmicroόζοντας για τη microεταβολή αυτή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση QAB + QBΓ + QΓA = ΔUολ + Wολ QAB + 0 + 0 = 0 + Wολ QAB = Wολ (1)

H σχέση (1) δηλώνει ότι κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής ABΓA η θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο microετατρέπεται ολοκληρωτικά σε έργο γεγονός που έρχεται σε αντίθεση microε τη διατύπωση των Kelvin-Plank Παρατήρηση H microη πραγmicroατοποίση της κυκλικής microεταβολής ABΓA ισοδυναmicroεί microε το ότι οι αδιαβατικές καmicroπύλες BΓ και ΓA δεν είναι δυνατό να τέmicroνονται

Mιά ορισmicroένη microάζα ιδανικού αερίου εκτελεί κύκλο Carnot ABΓΔA Eάν V1 V2 V3 V4 είναι οι όγκοι του αέριου που αντιστοιχούν στις κατατάσεις A B Γ και Δ και T1 T2 είναι οι απόλυτες θερmicroοκρασίες της ισόθερmicroης εκτόνωσης και της ισόθερmicroης συmicroπίεσης του αέριου αντιστοίχως (T1gtT2) να δείξετε τις σχέσεις

V1V3 = V2V4 και W = nR(T1 - T2)ln(V2V1) όπου n τα mol του αερίου R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανικών αερίων και W το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του ΛYΣH Για την ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ισχύει P1

V1= P

2V

2 (1)

Για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Poisson ισχύει

P2V

2

= P3V

3

(2)

Σχήmicroα 19

Για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle έχουmicroε

P3V

3= P

4V

4 (3)

Tέλος για την αδιαβατική συmicroπίεση ΔrarrA σύmicroφωνα microε τον νόmicroο του Poisson έχουmicroε

P4V

4

= P1V

1

(4) όπου γ ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αερίου Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (4) κατά microέλη παίρνου microε τη σχέση

P1V

1P

2V

2

P3V

3P

4V

4

= P2V

2P

3V

3

P4V

4P

1V

1

2

-1

V 4

-1

V =3

-1

V 1

-1

V V3

V1= V

2V

4 (5)

Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκ λικής microεταβολής ABΓΔA είναι σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσει microε το περιβάλλον του Δηλαδή ισχύει η σχέση

W= Q

= QAB + QB

+ Q$

+ Q$A = QAB + Q

$ (6)

διότι για τις αδιαβατικές microεταβολές BrarrΓ και ΔrarrA έχουmicroε QBΓ =QΔA =0 Eξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και Q

ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1ln(V2 V1 )

Q

= nRT2ln(V4 V3 )

$

(+ )

QAB + Q

= nR T1lnV2

V1

$

amp amp + T2lnV4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(6)

W

= nR T

1ln

V2

V1

$

amp amp + T2ln

V4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(7)

Όmicroως από τη σχέση (5) έχουmicroε

V2

V1

=V

3

V4

lnV

2

V1

$

amp amp = lnV

3

V4

$

amp amp

lnV

2

V1

$

amp amp = - lnV

4

V3

$

amp amp

οπότε η (7) γράφεται

W

= nR(T1 - T2)ln

V2

V1

$

amp amp (8)

Mια θερmicroική microηχανή αναγκάζει ιδανικό αέριο σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση κατά την οποία η πίεση του αερίου τριπλασιάζεται

ii) από microια ισοβαρή εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται iii) από microια ισόχωρη ψύξη microέχρις ότου η πίεση του αερίου ανακτή σει την αρχική της τιmicroή και iv) απο microια ισοβαρή συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Eάν P0 V0 είναι η πίεση και ο όγκος αντιστοίχως του αερίου στην αρχική του κατάσταση και γ ο λόγος CPCV των γραmicromicroοmicroοριακών του ειδικών θερmicroοτήτων να βρείτε την προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroό τητα κατά την εξέλιξη του κύκλου γ) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής και να τον συγκρίνετε microε το συντελεστή απόδοσης της microηχα νής Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ της microέγιστης και της ελά χιστης θερmicroοκρασίας του αερίου της microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόχωρη θέρmicroανση AB του αερίου η πίεσή του τριπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Charles θα τριπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του αερίου δηλαδή από T0 θα γίνει 3T0 Κατά την ισοβα ρή εκτόνωση BΓ ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται οπότε και η απόλυτη θερmicroοκρασία του θα τριπλασιάζεται (νόmicroοςGay-Lussac) δηλαδή από 3T0 θα γίνει 9T0 Kατά την ισόχωρη ψύξη ΓΔ του αερίου η πίεση του απο την τιmicroή 3P0 λαmicroβάνει την τιmicroή P0 δηλαδή υποτριπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο του

Σχήmicroα 20 Charles πρέπει να υποτριπλασιασθεί και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή από 9T0 πρέπει να γίνει 3T0 Aυτό σηmicroαίνει ότι οι καταστάσεις B και Δ βρίσ κονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη θερmicroοκρασίας 3T0 Mε βάση τις παρα πάνω διαπιστώσεις το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου έχει τη microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (20) β) Kατά την εξέλιξη του κύκλου στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα στο στάδιο της ισόχωρης θέρmicroανσης AB και της ισοβαρούς εκτόνωσης BΓ δηλαδή ισχύει

Q = QAB + QB = nCV 3T0 - T0( ) + nCP 9T0 - 3T0( )

Q

= 2nCVT0 + 6nCPT0 = 2n CV + 3CP( )T0 (1)

Όmicroως οι γραmicromicroοmicroοριακές ειδικές θερmicroότητες CV και CP του αερίου ικανοποιούν τις σχέσεις

CP

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= R - 1

CP

= R - 1

$ (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε

Q

=

2nRT0

- 1(1+ 3) = 2P0V0

1+3

- 1

$

amp (3)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (4)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε το εmicroβαδόν του σκιασmicroένου ορθογωνίου ABΓΔ δηλαδή ισχύει W = micro$(ABamp) = (3P0 -P0)(3V0 -V0) = 4P0V0 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3)(4) και (5) έχουmicroε

=4P0V0

2P0V0

- 1

1+3

$

amp =

2( - 1)

1+ 3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται στην κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓΔA της οποίας το διάγραmicromicroα P-T φαίνεται στο σχήmicroα (21) i) Eάν οι θερmicroοδυναmicroικές microεταβλητές της κατάστασης A είναι P0 V0 και T0 να βρείτε τη θερmicroότητα που απορροφά το αέριο στη διάρκεια του κύκλου αφού προηγουmicroένως σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V του κύκλου ii) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση υπό θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου διπλασιάζεται οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ο όγκος του αερίου θα υποδιπλασιάζεται δηλαδή από V0 θα γίνει V02 H microεταβολή BΓ είναι ισοβαρής θέρmicroανση υπο πίεση 2P0 κατά την οποία η απόλυ

τη θερmicroοκρασία του αερίου διπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο Gay-Lussac θα διπλασιάζεται και ο όγκος του αερίου δηλαδή από V02 θα γίνει V0 H microετα βολή ΓΔ είναι ισόθερmicroη εκτόνωση υπό θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου υποδιπλασιάζεται οπότε ο όγκος του θα διπλασιάζεται (νόmicroος

Σχήmicroα 21 Σχήmicroα 22 Boyle) δηλαδή από V0 θα γίνει 2V0 Mε βάση τα παραπάνω οδηγούmicroαστε στο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου το οποίο έχει την microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (22) Στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του BΓ και της ισόθερmicroης εκτόνωσής του ΓΔ δηλαδή ισχύει η σχέση Q = QB +Q$ = nCP(2T0 - T0) + nR2T0ln(2V0V0 )

Q

= 5nRT02 + 2nRT0 ln2 Q

= P0V0 (52 + 2ln2) (1)

ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (2)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της υπο λογίζεται από τη σχέση

W = W

AB+ W

B + W$ + W$A

W

= nRT0ln

V0

2V0

$

amp +2P

0V

0-V

0

2

$

amp +

+

nR2T0ln2V0

V0

$

amp amp +P0(V0 - 2V0 )

W

= -nRT0ln2+P

0V

0+2nRT

0ln2 -P

0V

0=nRT

0ln2=P

0V

0ln2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) έχουmicroε

=P0V0ln2

P0V0(52 +2ln2)=

ln2

52 + 2ln2

Tο αέριο microιας θερmicroικής microηχανής είναι ιδανικό και υποβάλλεται σε αντιστρεπτό κύκλο ο οποίος αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή εκτόνωση AB microέχρις τετραπλασιασmicroού του όγ κου του αερίου ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση BΓ microέχρις ότου η πίεση του αερίου γίνει ίση microε το 132 της αρχικής της τιmicroής PA και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A όγκου VA α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Nα βρείτε το λόγο γ=CPCV του αερίου και να δείξετε ότι η θερ microότητα που απορροφά κατά την εξέλιξη του κύκλου είναι ίση microε 15PAVA2 γ) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Gay-Lussac θα τετραπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή απο TA θα γίνει 4TA Σύmicroφωνα microε το πρόβληmicroα κατά την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου η πίεση του microειώνε ται από την τιmicroή PA στην τιmicroή PA32 ο δε όγκος του αυξάνεται από την τιmicroή

Σχήmicroα 23 4VA στην τιmicroή VΓ Όmicroως microέσω της ισόθερmicroης συmicroπίεσης ΓA το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle θα έχουmicroε τη σχέση

PV

= P

AV

A V

= 32VA

Mε βάση τα παραπάνω το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (23) β) Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου το νόmicroο του Poisson παίρνουmicroε τη σχέση PB

VB

= PV

PA(4VA)

= (PA32)(32VA )

4

= 32-1 2

2= 2

5( -1) 2 = 5( - 1) = 53 που σηmicroαίνει ότι το αέριο είναι microονοατοmicroικό Eξάλλου η θερmicroότητα που απορροφά το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου ABΓA είναι ίση microε την θερmicroό τητα QAB που απορροφά κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του AB δηλαδή ισχύει Q

= QAB = nCP(4TA - TA) = 5nR(3TA 2)

Q

= 15nRTA2 = 15PAVA2 (1)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓ είναι

= W

Q$

(2) Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου του (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) οπότε θα έχουmicroε

W= Q$ = QAB + QB+ QA = nCP(4TA -TA ) + 0 + nRTAln(VA32VA )

W

= 5nR(3TA 2) - nRTAln(25)

W

= PAVA (152 - 5ln2) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) παίρνουmicroε

=PAVA(152 - 5ln2)

15PAVA2=

15 - 10ln2

15= 1 -

2ln2

3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) την ισόθερmicroη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του αερίου οκταπλασιάζεται ii) την ισόχωρη ψύξη BΓ και iii) την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0=3105 Ntm2 όγκου

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 9: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

αντιστρεπτής microεταβολής ή στην περίπτωση της αδιαβατικής και αντιστρεπτής microεταβολής της κατάστασης ιδανικού αερίου α Iσόθερmicroη microεταβολή Aς δεχθούmicroε ότι microια microάζα n mol ιδανικού αερίου υποβάλλεται σε ισόθερmicroή και αντιστρεπτή microεταβολή της θερmicroοδυναmicroικής του κατάστασης υπό θερmicroοκρασία T κατά την οποία ο όγκος του microεταβάλλεται από V1 σε V2 Eπειδή η θερmicroοκρα σία του αερίου παραmicroένει σταθερή microπορεί να βγεί κοινός παράγοντας σε όλους τους όρους του αθροίσmicroατος Σ(dQT) oπότε για τη microεταβόλή ΔSισοθ της εντρο πίας του αερίου θα έχουmicroε τη σχέση

S

$=

1

T dQ( ) =

Q$

T

Όmicroως η θερmicroότητα Qισοθ που ανταλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του είναι ίση microε το αντίστοιχο έργο Wισοθ του αερίου οπότε η προηγούmicroενη σχέση γράφε ται

S$

=W

$

T=

nRT

Tln

V2

V1

$

amp = nRln

V2

V1

$

amp

Παρατηρούmicroε ότι κατά την ισόθερmicroη αντιστρεπτή εκτόνωση του αερίου (V2gtV1) ισχύει ΔSgt0 που σηmicroαίνει ότι η εντροπία του αυξάνεται Aκριβώς τα αντίστρο φα συmicroβαίνουν κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του αερίου (V2ltV1) οπότε ΔSlt0 β Aδιαβατική microεταβολή Όταν το αέριο υφίσταται αδιαβατική και αντιστρεπτή microεταβολή τότε όλα τα στοιχειώδη ποσά θερmicroότητας dQ που ανταλάσσει microε το περιβάλλον του είναι microηδενικά οπότε η microεταβολή της εντροπίας του θα είναι microηδενική δηλαδή θα ισχύει

ΔSαδιαβ = 0 Λόγω της παραπάνω ιδιότητας microια αδιαβατική και αντιστρεπτή microεταβολή της κατάστασης ιδανικού αερίου ονοmicroάζεται και ισεντροπική microεταβολή 8 Eντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου Aς θεωρήσουmicroε ένα σώmicroα που microετέχει microιας φυσικής διαδικασίας η οποία το οδηγεί από microια αρχική σε microια τελική κατάσταση θερmicroοδυναmicroικής ισορροπίας Kατά την διαδικασία αυτή η εντροπία του σώmicroατος microεταβάλλεται ανεξάρτητα από τον τρόπο που εξελίσσεται η διαδικασία αυτή αφού η εντροπία του σώmicroα τος είναι microονότιmicroη συνάρτηση της κατάστασής του Στην περίπτωση που το σώmicroα οδηγείται στην τελική κατάσταση κατά microη αντιστρεπτό τρόπο δεν microπο ρούmicroε για τον υπολογισmicroό της microεταβολής της εντροπίας του να χρησιmicroοποι ήσουmicroε τη σχέση (8) του εδαφίου 6 διότι όπως αναφέρθηκε παραπάνω αυτή έχει νόηmicroα microόνο σε αντιστρεπτές διαδικασίες Mπορούmicroε όmicroως να επιλέξουmicroε microια κατάλληλη αντιστρεπτή πορεία που οδηγεί το σώmicroα στην τελική του κατά

σταση και να υπολογίσουmicroε πάνω σrsquo αυτή την πορεία την microεταβολή της εντρο πίας του σώmicroατος χρησιmicroοποιώντας τη σχέση (8) H microεταβολή αυτή θα αντιπροσωπεύει και τη microεταβολή της εντροπίας του σώmicroατος κατά την αντί στοιχη microη αντιστρεπτή διαδικασία Στα επόmicroενα θα επιχειρήσουmicroε να υπολογί σουmicroε τη microεταβολή της εντροπίας σε microερικές χαρακτηριστικές microη αντιστρε πτές διεργασίες και να αξιολογήσουmicroε τα αποτελέσmicroατα των υπολογισmicroών α Eλεύθερη εκτόνωση ιδανικού αερίου Aς θεωρήσουmicroε ένα ιδανικό αέριο που βρίσκεται σε δοχείο microε αδιαβατικά τοιχώmicroατα Tο δοχείο αυτό χωρίζεται microε τη βοήθεια ενός διαφράγmicroατος σε δύο χώρους που τον ένα καταλαmicroβάνει το αέριο ενώ ο άλλος χώρος είναι κενός Aν αφαιρέσουmicroε το διάφραγmicroα τότε το αέριο εκτονώνεται από τον αρχικό του όγκο V1 στον όγκο V2 του δοχείου χωρίς να ανταλλάσσει θερmicroότητα και έργο microε το περιβάλλον του (Q=0 και W=0) Tο φαινόmicroενο αυτό ονοmicroάζεται ελεύθερη εκτόνωση του αερίου αποτελεί δε microη αντιστρεπτό φαινόmicroενο αφού ποτέ δεν παρατηρήθηκε αυτόmicroατη αδιαβατική συmicroπίεση του αερίου στην αρχική του κατάσταση Eφαρmicroόζοντας στο αέριο τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε για την microεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας την σχέση ΔU=0 που σηmicroαίνει ότι κατά την ελεύθερη εκτόνωση του αέριου η εσωτερική του ενέρ γεια άρα και η θερmicroοκρασία του παρέmicroεινε η ίδια Έτσι η αρχική και η τελική κατάσταση του αέριου βρίσκονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη χωρίς

Σχήmicroα 7 Σχήmicroα 8 όmicroως οι ενδιάmicroεσες καταστάσεις του αερίου να βρίσκονται πάνω στην καmicroπύλη αυτή αφού δεν είναι καταστάσεις ισορροπίας και εποmicroένως δεν απεικονίζονται σε διάγραmicromicroα P-V Γίνεται τώρα φανερό ότι για να υπολογίσουmicroε τη microεταβολή ΔS της εντροπίας του αέριου θα χρησιmicroοποιήσουmicroε την αντίστοιχη ισόθερmicroη αντιστρεπτή εκτόνωση που microπορεί να το οδηγήσει από την αρχική κατάσταση A1 όγκου V1 στην τελική κατάσταση A2 όγκου V2 (σχήmicroα 8) Για τη microεταβολή αυτή έχουmicroε

S = nR ln V2V

1( ) (1) όπου n ο αριθmicroός των mol του αερίου και R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανι κών αερίων Eπειδή V2gtV1 θα ισχύει και ln(V2V1)gt0 οπότε σύmicroφωνα microε την (1) η microεταβολή της εντροπίας του αερίου κατά την ελεύθερη εκτόνωση του είναι θετική δηλαδή η εντροπία του αυξάνεται Eξάλλου η εντροπία του περι βάλλοντος του αερίου δεν παθαίνει καmicroιά microεταβολή στη διάρκεια αυτής της microη αντιστρεπτής διαδικασίας αφού το περιβάλλον δεν συmicromicroετέχει ενεργειακά σ΄

αυτήν Έτσι microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι τουλάχιστον γιrsquo αυτή την microη αντιστρεπτή microεταβολή η εντροπία του αερίου και του περιβάλλοντος αυξάνει Όmicroως το αέριο microαζί microε το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν οπότε η ελεύθερη εκτόνωση ενός αερίου οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του Σύmicroπαν τος Pοή θερmicroότητας δια microέσου χάλκινης ράβδου Tο φαινόmicroενο ροής θερmicroότητας από microια δεξαmicroενή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 προς microια άλλη δεξαmicroενή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 (T1gtT2) δια microέσου χάλκινης ράβδου είναι microη αντιστρεπτό φαινόmicroενο Kατά την εξέλιξη του φαινοmicroένου αυτού η εντροπία της χάλκινης ράβδου δεν microεταβάλλεται αφού η θερmicroοκρασία σε κάθε διατοmicroή της είναι χρονικά σταθερή και όση θερmicroότητα φθάνει στην διατοmicroή αυτή microέσα σrsquo ένα χρονικό διάστηmicroα τόση φεύ γει από τη διατοmicroή στο διάστηmicroα αυτό Έτσι η ολική microεταβολή ΔSολ της εντρο πίας του συστήmicroατος είναι ίση microε το άθροισmicroα της microεταβολής ΔSA της εντρο πίας της δεξαmicroενής A και της microεταβολής ΔSB της εντροπίας της δεξαmicroενής B δηλαδή ισχύει ΔSσυστ=ΔSA+ΔSB (2) Για να υπολογίσουmicroε τις microεταβολές ΔSA και ΔSB πρέπει να βρούmicroε microια αντισ τρεπτή διαδικασία microεταφοράς της θερmicroότητας Q από τη δεξαmicroενή A στη B Tέτοια διαδικασία microπορεί να εξασφαλιστεί αν διαθέτουmicroε microια δεξαmicroενή θερmicroό τητας που τη θερmicroοκρασία της microπορούmicroε να ελέγχουmicroε αυτόmicroατα η οποία

Σχήmicroα 9

να έρχεται διαδοχικά σε επαφή πρώτα microε την A και στη συνέχεια σε επαφή microε την B Mε τον τρόπο αυτό η δεξαmicroενή ελεγχόmicroενης θερmicroοκρασίας θα microεταφέρει κατά αντιστρεπτό τρόπο την θερmicroότητα Q από την A στην B οπότε για τις microεταβολές ΔSA και ΔSB θα έχουmicroε τις σχέσεις

SA = -QT1

SB = QT2

(+ )

SA + SB =Q

T2

-Q

T1

= QT1 - T2

T1T2

$

amp (3)

------------------------------- Προς στιγmicroή αγνοούmicroε όλες τις άλλες φυσικές διαδικασίες που συmicroβαίνουν στο περιβάλλον του αέριου και εντοπίζουmicroε την προσοχή microας στο πως επηρεάζεται το περιβάλλον από την ελεύθερη εκτόνωση του αερίου Mε τη βοήθεια microιας τέτοιας πηγής microπορούmicroε να εξασφαλίσουmicroε κάθε στιγmicroή microικρή διαφορά θερmicroοκρασίας ανάmicroεσα στην πηγή αυτή και στις πηγές A και B οπότε η ροή θερmicroότητας θα γίνεται κατά τρόπο αντιστρεπτό

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουmicroε τη σχέση

S

$= Q

T1 - T2

T1T2

$

amp (4)

Aπό την (4) προκύπτει ΔSσυστgt0 που σηmicroαίνει ότι κατά τη ροή θερmicroότητας από τη δεξαmicroενή A στην B δια microέσου της χάλκινης ράβδου η εντροπία του συστή microατος αυξάνεται Eξάλλου το περιβάλλον του συστήmicroατος των δύο δεξαmicroενών θερmicroότητας και της χάλκινης ράβδου δεν συmicromicroετέχει ενεργειακά σ΄ αυτή τη microη αντιστρεπτή διεργασία οπότε microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι η εντροπία του δεν microεταβάλλεται δηλαδή ισχύει ΔSπερ=0 Όmicroως το σύστηmicroα και το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν οπότε η ροή θερmicroότητας διrsquo αγωγής οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του Σύmicroπαντος Στο ίδιο συmicroπέρασmicroα καταλήγουmicroε εάν εξετάσουmicroε και άλλες φυσικές διαδικασίες που εξελλίσονται κατά microη αντιστρε πτό τρόπο όλες δε οι πειραmicroατικές microας εmicroπειρίες που αναφέρονται σε microη αντι στρεπτά φαινόmicroενα είναι συmicroβιβαστές microε την ακόλουθη πρόταση Kάθε microη αντιστρεπτή διαδικασία που συmicroβαίνει στο Σύmicroπαν οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του H πρόταση αυτή αποτελεί την εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroο δυναmicroικού νόmicroου και microολονότι δεν υπάρχει αυστηρή microαθηmicroατική απόδειξη αυτής πρέπει να τονίσουmicroε ότι η πρόταση είναι συνεπής προς όλα τα φυσικά φαινόmicroενα που εξελίσσονται στο Σύmicroπαν κατά microη αντιστρεπτό τρόπο Όπως θα δειχθεί στο επόmicroενο εδάφιο η εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυνα microικού νόmicroου είναι ισοδύναmicroη microε τη διατύπωση Kelvin-Plank που σηmicroαίνει ότι η αποδοχή ή παραβίαση της microιας συνεπάγεται την αποδοχή ή παραβίαση της άλλης Παρατήρήση Kάθε φυσική διαδικασία που συmicroβαίνει microέσα σrsquo ένα αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα δηλαδή σrsquo ένα σύστηmicroα που δεν ανταλλάσσει ύλη και ενέργεια microε το περιβάλ λον του θεωρείται αυθόρmicroητο φυσικό φαινόmicroενο αφού για την πραγmicroατο ποίησή του δεν χρειάζεται εξωτερική επίδραση Όmicroως microε την έννοια αυτή τα αυθόρmicroητα φαινόmicroενα είναι και microη αντιστρεπτά οπότε σύmicroφωνα microε την εντρο πική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου συνοδεύονται από αύξηση της εντροπίας του αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος Mπορούmicroε λοιπόν να διατυπώσουmicroε την παρακάτω πρόταση που είναι γνωστή ως αρχή αύξησης της εντροπίας ενός αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος Kάθε αυθόρmicroητη διαδικασία που συmicroβαίνει σrsquo ένα αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του 9 Iσοδυναmicroία της εντροπικής διατύπωσης προς την διατύπώση Kelvin-Plank Θα δείξουmicroε ότι η άρνηση της εντροπικής διατύπωσης του δεύτερου θερmicroοδυ ναmicroικού νόmicroου συνεπάγεται άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank Προς τούτο θεωρούmicroε microία θερmicroική microηχανή Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ των πηγών θερmicroότητας A και B αντιστοίχων θερmicroοκρασίων T1 και T2 microε T2ltT1 και

υποθέτουmicroε ότι σε κάθε κύκλο λειτουργίας της το θερmicroαντικό της σώmicroα (ιδανικό αέριο) απορροφά από την πηγή A θερmicroότητα Q1 και δίνει στην πηγή B θερmicroότητα Q2 Eπί πλέον υποθέτουmicroε ότι κατά τη λειτουργία της θερmicroικής αυτής microηχανής παραβιάζεται η εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυνα microικού νόmicroου δηλαδή ότι η εντροπία του Σύmicroπαντος microειώνεται Tότε θα ισχύει ΔSΣυmicroπlt0 ΔSmicroηχ+ΔSπερlt0 (1) Όmicroως η microεταβολή ΔSπερ της εντροπίας του περιβάλλοντος της θερmicroικής microηχα νής του Carnot είναι microηδενική διότι αυτό παίρνει microόνο έργο από τη microηχανή ενώ η microεταβολή ΔSmicroηχ της εντροπίας της microηχανής θα είναι

ΔSmicroηχ=ΔSαερ+ΔSA+ΔSB

Smicro = 0 +-Q1

T1

+Q2

T2

(2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

-Q1

T1

+Q2

T2

lt 0

Q1

T1

gtQ2

T2

(3)

Όmicroως η σχέση (3) σηmicroαίνει ότι η θερmicroική microηχανή του Carnot δεν λειτουργεί σύmicroφωνα microε τη διατύπωση των kelvin-Plank διότι τότε θα έπρεπε να ισχύει η σχέση

Q1 T1 = Q2 T2 Δηλαδή η παραβίαση της εντροπικής διατύπωσης του

δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου συνεπάγεται και την παραβίαση της διατύπω σης Kelvin-Plank 10 Aρχή υποβάθmicroισης της ενέργειας Aς θεωρήσουmicroε ένα σύστηmicroα από δύο σώmicroατα A και B που βρίσκονται σε αντί στοιχες θερmicroοκρασίες T1 και T2 microε T1gtT2 το οποίο είναι αποmicroονωmicroένο microε το περιβάλλον του Eάν τα δύο σώmicroατα έλθουν σε επαφή τότε είναι γνωστό ότι θα microεταβιβαστεί θερmicroότητα από το σώmicroα υψηλής θερmicroοκρασίας T1 προς το σώmicroα χαmicroηλώτερης θερmicroοκρασίας T2 microέχρις ότου τα δύο σώmicroατα αποκτήσουν κοινή θερmicroοκρασία Tκ για την οποία ισχύει T2ltTκltT1 Kατά την microη αντιστρεπτή αυτή διαδικασία το σύστηmicroα δεν ανταλλάσσει έργο και θερmicroότητα microε το περιβάλλον του αφού αποτελεί αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα microε αποτέλεσmicroα η εσωτερική του ενέργεια να παραmicroένει σταθερή (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) ενώ σύmicroφωνα microε την εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου η εντροπία του συστήmicroατος αυξάνεται Eξάλλου το σύστηmicroα στην αρχική του κατάσταση εmicroφανίζει microιά ορισmicroένη ικανότητα παραγωγής οργανωmicroένης ενέργειας αφού microπορεί νrsquo αποδώσει microηχανικό έργο microε τη microεσολάβηση microιας θερmicroικής microηχανής ανάmicroεσα στα δύο σώmicroατα Aντίθετα στην τελική του κατάσταση το σύστηmicroα έχει χάσει την ικανότητά του να δώσει οργανωmicroένη ενέργεια αφού τώρα είναι αδύνατη η λειτουργία microιάς θερmicroικής microηχανής microεταξύ των δύο σωmicroάτων καθό σον τα δύο σώmicroατα βρίσκονται στην ίδια θερmicroοκρασία Aπό την σύγκριση των δύο καταστάσεων βγαίνει το συmicroπέρασmicroα ότι microολονότι η εσωτερική ενέργεια του συστήmicroατος δεν άλλαξε η ικανότητα του για παραγωγή οργανωmicroένης ενέργειας δηλαδή ενέργειας που microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί ωφέλιmicroα έχει microηδε νιστεί ενώ ταυτόχρονα η εντροπία του συστήmicroατος παρουσιάζεται αυξηmicroένη Δηλαδή η αυξηmicroένη εντροπία του συστήmicroατος έχει υποβαθmicroίσει την ποιότητα

της εσωτερικής του ενέργειας microε την έννοια ότι αυτό δεν είναι τώρα σε θέση να δώσει ωφέλιmicroη ενέργεια Γενικώτερα αν αναφερθούmicroε στα microη αντιστρεπτά φυσικά φαινόmicroενα που συmicroβαίνουν στο Σύmicroπαν microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι συνοδεύονται microε ενεργειακή υποβάθmicroισή του δηλαδή microε απώλεια της δυνατότητάς του για παραγωγή ενέργειας ανώτερης ποιότητας microολονότι η εσωτερική του ενέργεια παραmicroένει αναλλοίωτη Aυτό σηmicroαίνει ότι microε την πάροδο του χρόνου το Σύmicroπαν τείνει σε microιά κατάσταση microέγιστης εντροπίας που του περιορίζει την ποιότητα του ενεργειακού του περιεχόmicroενου και το οδη γεί στον λεγόmicroενο θερmicroικό ή εντροπικό θάνατο Ένα άλλο χαρακτηριστικό παράδειγmicroα που microας δείχνει ότι η αύξηση της εντροπίας ενός αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος ελαττώνει την ικανότητα του για παραγωγή οργανωmicroένης ενέρ γειας είναι το εξής Aφήνουmicroε ένα σώmicroα να πέσει από ύψος h στο πάτωmicroα του δωmicroατίου microας Tο σώmicroα ξεκινάει την διαδροmicroή του microε microιά οργανωmicroένη δυνα microική ενέργεια mgh η οποία microετά την κρούση του microε το πάτωmicroα microετασχη microατίζεται σε ανοργάνωτη θερmicroική ενέργεια που κατανέmicroεται στο σώmicroα στο πάτωmicroα στον αέρα και στους τοίχους του δωmicroατίου microε αποτέλεσmicroα νrsquo αυξηθεί λίγο η θερmicroοκρασία τους Kατά την microη αντιστρεπτή αυτή διαδικασία η ολική ενέργεια του συστήmicroατος διατηρήθηκε σταθερή αυξήθηκε όmicroως η εντροπία του H αυξηmicroένη εντροπία του συστήmicroατος κάνει αδύνατη την αντίστροφη εξέλιξη του φαινοmicroένου δηλαδή την microετατροπή της προηγούmicroενης θερmicroικής ενέργειας σε δυναmicroική ενέργεια microε αυθόρmicroητη ανύψωση του σώmicroατος στην αρχική του θέση και ταυτόχρονη ψύξη όλων των σωmicroάτων που πήραν microέρος στο φαινόmicroενο Έτσι το σύστηmicroά παρουσιάζεται στην τελική του κατάσταση microε υποβαθmicroισmicroένο ενεργειακό περιεχόmicroενο δηλαδή έχει microειωθεί η ποιότητα της ενέργειάς του αφού αυτό έχασε την ικανότητά του να δίνει ωφέλιmicroο έργο Παρατήρηση H θερmicroότητα ως microορφή ενέργειας είναι ποσοτικά ισοδύναmicroη microε τις άλλες microορφές ενέργειας (microηχανική ηλεκτρική χηmicroική κλπ) αλλά ποιοτικά είναι υποβαθmicroισmicroένη ως προς αυτές Aυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η θερmicroότητα δεν microπορεί να microετασχηmicroατιστεί ολοκληρωτικά σε ενέργεια άλλης microορφής ενώ αντίθετα οι άλλες microορφές ενέργειας microε απλές διαδικασίες microετασχηmicroατίζονται ολοκληρωτικά σε θερmicroότητα lsquoΕτσι η θερmicroότητα θεωρείται ως ενέργεια κατώτε ρης ποιότητας ή ως microη οργανωmicroένη ενέργεια ως προς τις άλλες microορφές ενέρ γειας οι οποίες θεωρούνται ως ενέργειες ανώτερης ποιότητας

PM fysikos

Iδανικό αέριο εκτελεί διαδοχικά τις παρακάτω θερmicroικές διαδικασίες α) Mιά αντιστρεπτή ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται

β) Mιά αντιστρεπτή ισόχωρη microεταβολή κατά την οποία η πίεση του αερίου γίνεται η microισή της αρχικής του πιέσεως i) Nα σχεδιαστούν τα διαγράmicromicroατα P-V P-T και V-T των δύο αυτών συνεχόmicroενων microεταβολών ii) Nα βρεθεί η συνολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του Δίνονται τα καταστατικά microεγέθη V0 P0 και T0 της αρ χικής κατάστασης του αερίου ΛYΣH i) Kατά την αντιστρεπτή ισοβαρή εκτόνωση ArarrB του ιδανικού αερί ου από τον όγκο V0 στον όγκο 2V0 η απόλυτη θερmicroοκρασία του αυξάνει από την τιmicroή T0 στην τιmicroή 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) Στην αντιστρεπτή ισόχωρη microεταβολή BrarrΓ που ακολουθεί ο όγκος του αέριου microένει σταθερός και ίσος microε 2V0 ενω η πίεσή του ελαττώνεται από την τιmicroή Pο στην τιmicroή P02 microε απο τέλεσmicroα να ελαττώνεται και η θερmicroοκρασία του αέριου από την τιmicroή 2T0 στην

Σχήmicroα 10 Σχήmicroα 11 Σχήmicroα 12

τιmicroή T0 (νόmicroος Charles) Όλα τα παραπάνω εκφράζονται συmicroβολικά ως εξής

A(P0 V0 T0) rarr B(P0 2V0 2T0) rarr Γ(P02 2V0 T0) Tα σχήmicroατα (10) (11) (12) αποτελούν τα ζητούmicroενα διαγράmicromicroατα της microεταβο λής ArarrBrarrΓ του ιδανικού αερίου ii) Aφού κατά την αντιστρεπτή διαδικασία ArarrBrarrΓ η θερmicroοκρασία του αερίου τελικά δεν microεταβάλλεται η ολική microεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας είναι microηδέν διότι η εσωτερική ενέργεια microιας ορισmicroένης microάζας ιδανικού αερίου είναι συνάρτηση microόνο της θερmicroοκρασίας του Δηλαδή ισχύει

ΔUολ = 0 (1) Eφαρmicroόζοντας για το ιδανικό αέριο τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο κατά τη microεταβολή ArarrBrarrΓ παίρνουmicroε τη σχέση

Q= U

+ W

(1)

Q= 0 + W

= W

Q= WAB + WB

= P0(2V0 - V0 ) + 0 Q= P0V0

Mια θερmicroική microηχανή Carnot λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1=500 0K και T2=200 0K H microηχανή απορροφά από τη θερmicroή δεξαmicroενή θερmicroότητα microε ρυθmicroό q1=2105 Js i) Nα βρεθεί η ωφέλιmicroη ισχύς της microηχανής ii) Nα βρεθεί ο ρυθmicroός microε τον οποίο πρέπει να microεταφέρεται θερmicroότη τα στην ψυχρή πηγή microιας θερmicroικής microηχανής που λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδο σης ίσο microε 80 του συντελεστή απόδοσης της microηχανής Carnot και την ίδια ωφέλιmicroη ισχύ microε αυτή ΛYΣH i) Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot στο ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής τότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αC της microηχανής θα ικανοποιεί τη σχέση

C =W

Q1

W = CQ1

W

t=CQ1

t (1)

Όmicroως το πηλίκο Wt αποτελεί την ωφέλιmicroη ισχύ N της microηχανής ενώ το πηλίκο Q1t αποτελεί το ρυθmicroό q1 microεταφοράς θερmicroότητας από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το αέριο που χρησιmicroοποιεί οπότε η σχέση (1) γράφεται N = Cq1 = (1 - T2T1 )q1

N=(1-200500)2 105 Js=12 105 Js ii) Aς θεωρήσουmicroε τη θερmicroική microηχανή που εργάζεται microεταξύ των θερmicroοκρα σιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης α=08αC και ωφέλιmicroη ισχύ N Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το ενεργό υλικό που χρησιmicroοποιεί και Q2 η αντίστοιχη θερmicroότητα που microεταφέρεται από το υλικό αυτό προς την ψυχρή δεξαmicroενή της θα έχουmicroε τις σχέσεις

Q1 = W+Q2

08C = WQ1

W

08C

= W+Q2

W1

08C

- 1

$

amp =Q2

W

t

1

08C

- 1

$

amp =

Q2

t

microε C

= 1- T2T

1= 35 Όmicroως το πηλίκο Q2t αποτελεί το ρυθmicroό q2 microεταφοράς

θερmicroότητας στην ψυχρή πηγή της θερmicroικής microηχανής ενώ το πηλίκο Wt αποτελεί την ισχύ N της microηχανής οπότε η (2) γράφεται q2 = N(54C - 1) = 12 10

5(25 12 - 1) Js = 13 10

5Js

Mια θερmicroική microηχανή αποτελείται από δύο θερmicroι κές microηχανές Carnot και η ψυχρή πηγή της microιας αποτελεί θερmicroή πηγή της άλλης Eάν α1 α2 είναι οι θερmicroοδυναmicroικοί συντελεστές από δοσης των δύο microηχανών T1 η απόλυτη θερmicroοκρασία της θερmicroής πηγής της πρώτης και T3 η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της δεύτερης να δείξετε τις σχέσεις αολ = α1 + α2 - α1α2 και αολ = 1 - T3 T1 όπου αολ ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της σύνθετης microηχανής Carnot ΛYΣH Έστω ότι σε χρόνο t microεταφέρεται θερmicroότητα Q1 από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot M1 προς το ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W1 είναι το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής αυτής O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α1 της microηχανής θα είναι 1 = W1Q1 W1 = 1Q1 (1)

Σχήmicroα 13 Eξάλλου εάν Q2 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t στην ψυχρή πηγή της microηχανής M1 αυτή θα αποτελεί και την αντίστοιχη θερmicroότητα που λαmicroβάνει το αέριο της δεύτερης microηχανής Carnot M2 οπότε το ωφέλιmicroο έργο W2 της microηχανής αυτής σε χρόνο t θα υπολογίζεται microέσω της σχέσεως W2 = 2Q2 (2) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αολ του συστήmicroατος των δύο microηχα νών θα είναι

=

W1 + W2

Q1

(2)

(1)

=1Q1 + 2Q2

Q1

= 1 +2Q2

Q1

(3)

Όmicroως εάν T2 είναι η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της M1 ή της

θερmicroής πηγής της M2 θα ισχύει η σχέση

Q1

T1

=Q2

T2

Q2

Q1

=T2

T1

= 1 -1 (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) έχουmicroε

= 1 +2(1 - 1 ) = 1 +2 -12 (5) Eπειδή α1=1-T2T1 και α2=1-T3T2 η σχέση (5) γράφεται

= 1 -T

2

T1

+1 -T

3

T2

- 1 -T

2

T1

$

amp amp 1 -T

3

T2

$

amp amp

= 2 -

T2

T1

-T

3

T2

- 1+T

2

T1

-T

2

T1

T

3

T2

= 1 -T

3

T1

Mιά microάζα n mol microονοατοmicroικού ιδανικού αέριου (CV=3R2) όγκου V0 και πιέσεως P0 υποβάλλεται σε αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή που αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβο λές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB κατά την οποία η πίεση του αε ρίου διπλασιάζεται ii) από microια ισόθερmicroη εκτόνωση BrarrΓ κατά την οποία ο όγκος του αερίου διπλασιάζεται και iii) από microια ισοβαρή συmicroπίεση ΓrarrA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να βρείτε τη θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 14) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) Aπό το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη θέρmicroανση του αέριου υπό σταθερό όγκο V0 κατά την οποία η πίεση του αέριου από P0 γίνεται 2P0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Charles)

ii) Aπό το καmicroπύλογραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη εκτόνωση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία ο όγκος του αέριου από V0 γίνεται 2V0 οπότε η πίεσή του από 2P0 γίνεται P0 (νόmicroος Boyle) και iii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή συmicroπίεση του αέριου microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A(P0V0T0) Eξάλλου σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο η θερmicroότητα Q που το αέριο ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του κατά τον κύκλο ABΓA η microεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας και το έργο W που παράγει το αέριο συνδέονται microε τη σχέση

Q = ΔU + W Q = 0 + W Q = W (1)

Σχηmicroα 14 Όmicroως το έργο W είναι ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των επί microέρους έργων WAB WBΓ και WΓA που αντιστοιχούν στις microεταβολές ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA Έτσι θα έχουmicroε τη σχέση

W= WAB

+ WB

+WA

W = 0 +2nRT0ln (2V0 V0) + P0 (V0 - 2V0)

W=2nRT0ln2 -P

0V

0= 2P

0V

0ln2 -P

0V

0 (1)

Q=P0V0(2ln2 - 1) (2) β) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α microιας θερmicroικής microηχανής η οποία θα λειτουργούσε microε βάση τον κύκλο ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του προς την θερmicroότητα Qπρ που προσφέ ρεται σrsquo αυτό σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microηχανής δηλαδή ισχύει

=

W

Q

(1)

=Q

Q

(2)

=P0V0 (2ln2 - 1)

Q

(3)

Όmicroως για τη θερmicroότητα Qπρ ισχύει η σχέση

Q = QAB + QB = nCV(2T0 - T0 ) +2nRT0ln(2V0V0)

Q= nCVT0 +2nRT0ln2 = nT0 (CV +2Rln2) (4)

όπου CV η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερό όγκο Όmicroως το αέριο που εξετάζουmicroε ισχύει CV =3R2 και η (4) γράφεται

Q= nT0(3R2 +2Rln2) = nRT0(32 +2ln2)

Q= P0V0 (32 + 2ln2) (5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (5) παίρνουmicroε τη σχέση

=

P0V0 (2ln2 - 1)

P0V0(32 + 2ln2)=

2ln2 - 1

32 +2ln2

=

2(2ln2 - 1)

3 + 4ln2

Mιά ορισmicroένη microάζα microονοατοmicroικού ιδανικού αερί ου (CV=3R2) όγκου V0 πιέσεως P0 και απόλυτης θερmicroοκρασίας T0 υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται i) από microια ισοβαρή εκτόνωση ArarrB κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται ii) από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να υπολογίσετε το έργο που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το συντελεστή απόδοσης της κυκλικής αυτής microεταβολής ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 15) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή εκτόνωση του αέριου υπό πίεση P0 κατά την οποία ο όγκος του από V0 γίνεται 2V0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) ii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη ψύξη του αερίου υπό σταθερό όγκο 2V0 κατά την οποία το αέριο ψύχεται από τη θερmicroοκρασία 2T0 στη θερmicroοκρασία T0 οπότε η πίεσή του από P0 γίνεται P02 (νόmicroος Charles) και iii) από το καmicroπυλόγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη συmicroπί εση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία ο όγκος του ελατ τώνεται από 2V0 σε V0 ενώ η πίεση του αυξάνει από P02 σε P0 (νόmicroος Boyle) Eξάλλου το έργο W που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του θα είναι

ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των έργων WAB WBΓ και WΓA που ανταλλάσσει το αέριο κατά τη διάρκεια των επί microέρους microεταβολών ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA δηλαδή θα ισχύει

Σχήmicroα 15

W = WAB + WB+W

A = P0(2V0 -V0) + 0 +nRT0ln(V0 2V0)

W = P0V0 +nRT0ln(12) W= P0V

0- nRT

0ln2 (1)

όπου n ο αριθmicroός των mol του αέριου και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Όmicroως σύmicroφωνα microε την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων ισχύει P0V0=nRT0 οπότε η (1) γράφεται

W= P0V

0-P

0V

0ln2

W = P

0V

01 - ln2( ) (2)

β) O συντελεστής απόδοσης α του κύκλου ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W προς την θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου δηλαδή ισχύει

=

W

QAB

(1)

=P0V0 (1 - ln2)

nCP(2T0 - T0 )

=nRT0 (1 - ln2)

nCpT0

(3)

όπου CP η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερή πίεση Eπειδή γιατο αέριο έχουmicroε CP=5R2 η σχέση (3) γράφεται

=

nRT0 (1 - ln2)

5nRT02 =

2(1- ln2)

5 (4)

Ένα ιδανικό αέριο υποβάλλεται σε κυκλική αντισ τρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από microια ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB θερmicroοκρασίας T1 από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ όγκου V1 από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ θερmicroοκρασίας T2 και από microια ισόχωρη θέρmicroανση ΔrarrA όγκου V2=V12 Eάν ο λόγος CPCV του αερίου είναι γ

να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του το αέριο απορροφά από το εξωτερικό του περιβάλλον τα ποσά θερmicroότητας QΔA και QAB που ανιστοι χούν στην ισόχωρη θέρmicroανσή του ΔrarrA και στην ισόθερmicroη συmicroπίεσή του ArarrB Άρα ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβο λής είναι

=

W

Q$A + QAB

(1)

Σχήmicroα 16 όπου Wολ το ολικό έργο που παρέχει το αέριο στο περιβάλλον του Όmicroως για το έργο αυτό ισχύει

W= W

A+ W

AB+ W

B$+ W

$= 0 + W

AB+ 0 + W

$

W

= W

AB+W

$= nRT

1ln

V1

V12

$

amp amp + nRT2ln

V12

V1

$

amp amp

W= nRT

1ln2 - nRT

2ln2 W

= nR(T1 - T2 )ln2 (2) Εξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και QΔA ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1lnV1

V1 2

$

amp amp = nRT1ln2

και

QA = nCV (T1 - T2 ) =

nR(T1 - T2)

- 1 οπότε η (1) δίνει

=

nR(T1 - T2)ln2

nR(T1 - T2)( - 1) + nRT1ln2

=( - 1)(T1 - T2 )ln2

T1 - T2 + ( - 1)T1ln2

i) Nα δείξετε ότι η άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank για το δεύτερο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο συνεπάγεται και άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Nα δείξετε ότι microια κυκλική microεταβολή ορισmicroένης microάζας ιδανικού αέριου που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση από microια αδια βατική εκτόνωση και από microια αδιαβατική συmicroπίεση βρίσκεται σε αντίφαση microε το δεύτερo θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο δηλαδή microια τέτοια κυκ λική microεταβολή είναι αδύνατη ΛYΣH i) Έστω ότι υπάρχει θερmicroική microηχανή που σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microετατρέπει ολοκληρωτικά την θερmicroότητα Q1 που παίρνει από την πηγή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 σε microηχανικό έργο W χωρίς να δίνει θερmicroότητα στην πηγή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 Θεωρούmicroε τώρα microια κατάλ

Σχήmicroα 17 Σχήmicroα 18 ληλη ψυκτική microηχανή η οποία όταν λειτουργεί ανάmicroεσα στις ίδιες πηγές θερ microότητας microεταφέρει θερmicroότητα Q1 στην πηγή A καταναλώνοντας το έργο W που παράγει η θερmicroική microηχανή Tότε η ψυκτική αυτή microηχανή θα παίρνει από την πηγή B microια ορισmicroένη θερmicroότητα Q2 και εποmicroένως το σύστηmicroα των δύο microηχανών θα ισοδυναmicroεί microε microια ψυκτική microηχανή η οποία θα απάγει θερmicroότητα Q2 από την ψυχρή πηγή B χωρίς κατανάλωση έργου πράγmicroα που αποτελεί άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Έστω ότι microια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί την κυκλική microεταβο λή ABΓA που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB microια αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ και microια αδιαβατική συmicroπίεση ΓrarrA (σχήmicroα 18) Eφαρmicroόζοντας για τη microεταβολή αυτή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση QAB + QBΓ + QΓA = ΔUολ + Wολ QAB + 0 + 0 = 0 + Wολ QAB = Wολ (1)

H σχέση (1) δηλώνει ότι κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής ABΓA η θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο microετατρέπεται ολοκληρωτικά σε έργο γεγονός που έρχεται σε αντίθεση microε τη διατύπωση των Kelvin-Plank Παρατήρηση H microη πραγmicroατοποίση της κυκλικής microεταβολής ABΓA ισοδυναmicroεί microε το ότι οι αδιαβατικές καmicroπύλες BΓ και ΓA δεν είναι δυνατό να τέmicroνονται

Mιά ορισmicroένη microάζα ιδανικού αερίου εκτελεί κύκλο Carnot ABΓΔA Eάν V1 V2 V3 V4 είναι οι όγκοι του αέριου που αντιστοιχούν στις κατατάσεις A B Γ και Δ και T1 T2 είναι οι απόλυτες θερmicroοκρασίες της ισόθερmicroης εκτόνωσης και της ισόθερmicroης συmicroπίεσης του αέριου αντιστοίχως (T1gtT2) να δείξετε τις σχέσεις

V1V3 = V2V4 και W = nR(T1 - T2)ln(V2V1) όπου n τα mol του αερίου R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανικών αερίων και W το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του ΛYΣH Για την ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ισχύει P1

V1= P

2V

2 (1)

Για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Poisson ισχύει

P2V

2

= P3V

3

(2)

Σχήmicroα 19

Για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle έχουmicroε

P3V

3= P

4V

4 (3)

Tέλος για την αδιαβατική συmicroπίεση ΔrarrA σύmicroφωνα microε τον νόmicroο του Poisson έχουmicroε

P4V

4

= P1V

1

(4) όπου γ ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αερίου Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (4) κατά microέλη παίρνου microε τη σχέση

P1V

1P

2V

2

P3V

3P

4V

4

= P2V

2P

3V

3

P4V

4P

1V

1

2

-1

V 4

-1

V =3

-1

V 1

-1

V V3

V1= V

2V

4 (5)

Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκ λικής microεταβολής ABΓΔA είναι σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσει microε το περιβάλλον του Δηλαδή ισχύει η σχέση

W= Q

= QAB + QB

+ Q$

+ Q$A = QAB + Q

$ (6)

διότι για τις αδιαβατικές microεταβολές BrarrΓ και ΔrarrA έχουmicroε QBΓ =QΔA =0 Eξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και Q

ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1ln(V2 V1 )

Q

= nRT2ln(V4 V3 )

$

(+ )

QAB + Q

= nR T1lnV2

V1

$

amp amp + T2lnV4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(6)

W

= nR T

1ln

V2

V1

$

amp amp + T2ln

V4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(7)

Όmicroως από τη σχέση (5) έχουmicroε

V2

V1

=V

3

V4

lnV

2

V1

$

amp amp = lnV

3

V4

$

amp amp

lnV

2

V1

$

amp amp = - lnV

4

V3

$

amp amp

οπότε η (7) γράφεται

W

= nR(T1 - T2)ln

V2

V1

$

amp amp (8)

Mια θερmicroική microηχανή αναγκάζει ιδανικό αέριο σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση κατά την οποία η πίεση του αερίου τριπλασιάζεται

ii) από microια ισοβαρή εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται iii) από microια ισόχωρη ψύξη microέχρις ότου η πίεση του αερίου ανακτή σει την αρχική της τιmicroή και iv) απο microια ισοβαρή συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Eάν P0 V0 είναι η πίεση και ο όγκος αντιστοίχως του αερίου στην αρχική του κατάσταση και γ ο λόγος CPCV των γραmicromicroοmicroοριακών του ειδικών θερmicroοτήτων να βρείτε την προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroό τητα κατά την εξέλιξη του κύκλου γ) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής και να τον συγκρίνετε microε το συντελεστή απόδοσης της microηχα νής Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ της microέγιστης και της ελά χιστης θερmicroοκρασίας του αερίου της microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόχωρη θέρmicroανση AB του αερίου η πίεσή του τριπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Charles θα τριπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του αερίου δηλαδή από T0 θα γίνει 3T0 Κατά την ισοβα ρή εκτόνωση BΓ ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται οπότε και η απόλυτη θερmicroοκρασία του θα τριπλασιάζεται (νόmicroοςGay-Lussac) δηλαδή από 3T0 θα γίνει 9T0 Kατά την ισόχωρη ψύξη ΓΔ του αερίου η πίεση του απο την τιmicroή 3P0 λαmicroβάνει την τιmicroή P0 δηλαδή υποτριπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο του

Σχήmicroα 20 Charles πρέπει να υποτριπλασιασθεί και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή από 9T0 πρέπει να γίνει 3T0 Aυτό σηmicroαίνει ότι οι καταστάσεις B και Δ βρίσ κονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη θερmicroοκρασίας 3T0 Mε βάση τις παρα πάνω διαπιστώσεις το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου έχει τη microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (20) β) Kατά την εξέλιξη του κύκλου στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα στο στάδιο της ισόχωρης θέρmicroανσης AB και της ισοβαρούς εκτόνωσης BΓ δηλαδή ισχύει

Q = QAB + QB = nCV 3T0 - T0( ) + nCP 9T0 - 3T0( )

Q

= 2nCVT0 + 6nCPT0 = 2n CV + 3CP( )T0 (1)

Όmicroως οι γραmicromicroοmicroοριακές ειδικές θερmicroότητες CV και CP του αερίου ικανοποιούν τις σχέσεις

CP

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= R - 1

CP

= R - 1

$ (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε

Q

=

2nRT0

- 1(1+ 3) = 2P0V0

1+3

- 1

$

amp (3)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (4)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε το εmicroβαδόν του σκιασmicroένου ορθογωνίου ABΓΔ δηλαδή ισχύει W = micro$(ABamp) = (3P0 -P0)(3V0 -V0) = 4P0V0 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3)(4) και (5) έχουmicroε

=4P0V0

2P0V0

- 1

1+3

$

amp =

2( - 1)

1+ 3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται στην κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓΔA της οποίας το διάγραmicromicroα P-T φαίνεται στο σχήmicroα (21) i) Eάν οι θερmicroοδυναmicroικές microεταβλητές της κατάστασης A είναι P0 V0 και T0 να βρείτε τη θερmicroότητα που απορροφά το αέριο στη διάρκεια του κύκλου αφού προηγουmicroένως σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V του κύκλου ii) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση υπό θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου διπλασιάζεται οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ο όγκος του αερίου θα υποδιπλασιάζεται δηλαδή από V0 θα γίνει V02 H microεταβολή BΓ είναι ισοβαρής θέρmicroανση υπο πίεση 2P0 κατά την οποία η απόλυ

τη θερmicroοκρασία του αερίου διπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο Gay-Lussac θα διπλασιάζεται και ο όγκος του αερίου δηλαδή από V02 θα γίνει V0 H microετα βολή ΓΔ είναι ισόθερmicroη εκτόνωση υπό θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου υποδιπλασιάζεται οπότε ο όγκος του θα διπλασιάζεται (νόmicroος

Σχήmicroα 21 Σχήmicroα 22 Boyle) δηλαδή από V0 θα γίνει 2V0 Mε βάση τα παραπάνω οδηγούmicroαστε στο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου το οποίο έχει την microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (22) Στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του BΓ και της ισόθερmicroης εκτόνωσής του ΓΔ δηλαδή ισχύει η σχέση Q = QB +Q$ = nCP(2T0 - T0) + nR2T0ln(2V0V0 )

Q

= 5nRT02 + 2nRT0 ln2 Q

= P0V0 (52 + 2ln2) (1)

ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (2)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της υπο λογίζεται από τη σχέση

W = W

AB+ W

B + W$ + W$A

W

= nRT0ln

V0

2V0

$

amp +2P

0V

0-V

0

2

$

amp +

+

nR2T0ln2V0

V0

$

amp amp +P0(V0 - 2V0 )

W

= -nRT0ln2+P

0V

0+2nRT

0ln2 -P

0V

0=nRT

0ln2=P

0V

0ln2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) έχουmicroε

=P0V0ln2

P0V0(52 +2ln2)=

ln2

52 + 2ln2

Tο αέριο microιας θερmicroικής microηχανής είναι ιδανικό και υποβάλλεται σε αντιστρεπτό κύκλο ο οποίος αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή εκτόνωση AB microέχρις τετραπλασιασmicroού του όγ κου του αερίου ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση BΓ microέχρις ότου η πίεση του αερίου γίνει ίση microε το 132 της αρχικής της τιmicroής PA και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A όγκου VA α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Nα βρείτε το λόγο γ=CPCV του αερίου και να δείξετε ότι η θερ microότητα που απορροφά κατά την εξέλιξη του κύκλου είναι ίση microε 15PAVA2 γ) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Gay-Lussac θα τετραπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή απο TA θα γίνει 4TA Σύmicroφωνα microε το πρόβληmicroα κατά την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου η πίεση του microειώνε ται από την τιmicroή PA στην τιmicroή PA32 ο δε όγκος του αυξάνεται από την τιmicroή

Σχήmicroα 23 4VA στην τιmicroή VΓ Όmicroως microέσω της ισόθερmicroης συmicroπίεσης ΓA το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle θα έχουmicroε τη σχέση

PV

= P

AV

A V

= 32VA

Mε βάση τα παραπάνω το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (23) β) Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου το νόmicroο του Poisson παίρνουmicroε τη σχέση PB

VB

= PV

PA(4VA)

= (PA32)(32VA )

4

= 32-1 2

2= 2

5( -1) 2 = 5( - 1) = 53 που σηmicroαίνει ότι το αέριο είναι microονοατοmicroικό Eξάλλου η θερmicroότητα που απορροφά το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου ABΓA είναι ίση microε την θερmicroό τητα QAB που απορροφά κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του AB δηλαδή ισχύει Q

= QAB = nCP(4TA - TA) = 5nR(3TA 2)

Q

= 15nRTA2 = 15PAVA2 (1)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓ είναι

= W

Q$

(2) Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου του (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) οπότε θα έχουmicroε

W= Q$ = QAB + QB+ QA = nCP(4TA -TA ) + 0 + nRTAln(VA32VA )

W

= 5nR(3TA 2) - nRTAln(25)

W

= PAVA (152 - 5ln2) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) παίρνουmicroε

=PAVA(152 - 5ln2)

15PAVA2=

15 - 10ln2

15= 1 -

2ln2

3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) την ισόθερmicroη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του αερίου οκταπλασιάζεται ii) την ισόχωρη ψύξη BΓ και iii) την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0=3105 Ntm2 όγκου

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 10: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

σταση και να υπολογίσουmicroε πάνω σrsquo αυτή την πορεία την microεταβολή της εντρο πίας του σώmicroατος χρησιmicroοποιώντας τη σχέση (8) H microεταβολή αυτή θα αντιπροσωπεύει και τη microεταβολή της εντροπίας του σώmicroατος κατά την αντί στοιχη microη αντιστρεπτή διαδικασία Στα επόmicroενα θα επιχειρήσουmicroε να υπολογί σουmicroε τη microεταβολή της εντροπίας σε microερικές χαρακτηριστικές microη αντιστρε πτές διεργασίες και να αξιολογήσουmicroε τα αποτελέσmicroατα των υπολογισmicroών α Eλεύθερη εκτόνωση ιδανικού αερίου Aς θεωρήσουmicroε ένα ιδανικό αέριο που βρίσκεται σε δοχείο microε αδιαβατικά τοιχώmicroατα Tο δοχείο αυτό χωρίζεται microε τη βοήθεια ενός διαφράγmicroατος σε δύο χώρους που τον ένα καταλαmicroβάνει το αέριο ενώ ο άλλος χώρος είναι κενός Aν αφαιρέσουmicroε το διάφραγmicroα τότε το αέριο εκτονώνεται από τον αρχικό του όγκο V1 στον όγκο V2 του δοχείου χωρίς να ανταλλάσσει θερmicroότητα και έργο microε το περιβάλλον του (Q=0 και W=0) Tο φαινόmicroενο αυτό ονοmicroάζεται ελεύθερη εκτόνωση του αερίου αποτελεί δε microη αντιστρεπτό φαινόmicroενο αφού ποτέ δεν παρατηρήθηκε αυτόmicroατη αδιαβατική συmicroπίεση του αερίου στην αρχική του κατάσταση Eφαρmicroόζοντας στο αέριο τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε για την microεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας την σχέση ΔU=0 που σηmicroαίνει ότι κατά την ελεύθερη εκτόνωση του αέριου η εσωτερική του ενέρ γεια άρα και η θερmicroοκρασία του παρέmicroεινε η ίδια Έτσι η αρχική και η τελική κατάσταση του αέριου βρίσκονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη χωρίς

Σχήmicroα 7 Σχήmicroα 8 όmicroως οι ενδιάmicroεσες καταστάσεις του αερίου να βρίσκονται πάνω στην καmicroπύλη αυτή αφού δεν είναι καταστάσεις ισορροπίας και εποmicroένως δεν απεικονίζονται σε διάγραmicromicroα P-V Γίνεται τώρα φανερό ότι για να υπολογίσουmicroε τη microεταβολή ΔS της εντροπίας του αέριου θα χρησιmicroοποιήσουmicroε την αντίστοιχη ισόθερmicroη αντιστρεπτή εκτόνωση που microπορεί να το οδηγήσει από την αρχική κατάσταση A1 όγκου V1 στην τελική κατάσταση A2 όγκου V2 (σχήmicroα 8) Για τη microεταβολή αυτή έχουmicroε

S = nR ln V2V

1( ) (1) όπου n ο αριθmicroός των mol του αερίου και R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανι κών αερίων Eπειδή V2gtV1 θα ισχύει και ln(V2V1)gt0 οπότε σύmicroφωνα microε την (1) η microεταβολή της εντροπίας του αερίου κατά την ελεύθερη εκτόνωση του είναι θετική δηλαδή η εντροπία του αυξάνεται Eξάλλου η εντροπία του περι βάλλοντος του αερίου δεν παθαίνει καmicroιά microεταβολή στη διάρκεια αυτής της microη αντιστρεπτής διαδικασίας αφού το περιβάλλον δεν συmicromicroετέχει ενεργειακά σ΄

αυτήν Έτσι microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι τουλάχιστον γιrsquo αυτή την microη αντιστρεπτή microεταβολή η εντροπία του αερίου και του περιβάλλοντος αυξάνει Όmicroως το αέριο microαζί microε το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν οπότε η ελεύθερη εκτόνωση ενός αερίου οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του Σύmicroπαν τος Pοή θερmicroότητας δια microέσου χάλκινης ράβδου Tο φαινόmicroενο ροής θερmicroότητας από microια δεξαmicroενή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 προς microια άλλη δεξαmicroενή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 (T1gtT2) δια microέσου χάλκινης ράβδου είναι microη αντιστρεπτό φαινόmicroενο Kατά την εξέλιξη του φαινοmicroένου αυτού η εντροπία της χάλκινης ράβδου δεν microεταβάλλεται αφού η θερmicroοκρασία σε κάθε διατοmicroή της είναι χρονικά σταθερή και όση θερmicroότητα φθάνει στην διατοmicroή αυτή microέσα σrsquo ένα χρονικό διάστηmicroα τόση φεύ γει από τη διατοmicroή στο διάστηmicroα αυτό Έτσι η ολική microεταβολή ΔSολ της εντρο πίας του συστήmicroατος είναι ίση microε το άθροισmicroα της microεταβολής ΔSA της εντρο πίας της δεξαmicroενής A και της microεταβολής ΔSB της εντροπίας της δεξαmicroενής B δηλαδή ισχύει ΔSσυστ=ΔSA+ΔSB (2) Για να υπολογίσουmicroε τις microεταβολές ΔSA και ΔSB πρέπει να βρούmicroε microια αντισ τρεπτή διαδικασία microεταφοράς της θερmicroότητας Q από τη δεξαmicroενή A στη B Tέτοια διαδικασία microπορεί να εξασφαλιστεί αν διαθέτουmicroε microια δεξαmicroενή θερmicroό τητας που τη θερmicroοκρασία της microπορούmicroε να ελέγχουmicroε αυτόmicroατα η οποία

Σχήmicroα 9

να έρχεται διαδοχικά σε επαφή πρώτα microε την A και στη συνέχεια σε επαφή microε την B Mε τον τρόπο αυτό η δεξαmicroενή ελεγχόmicroενης θερmicroοκρασίας θα microεταφέρει κατά αντιστρεπτό τρόπο την θερmicroότητα Q από την A στην B οπότε για τις microεταβολές ΔSA και ΔSB θα έχουmicroε τις σχέσεις

SA = -QT1

SB = QT2

(+ )

SA + SB =Q

T2

-Q

T1

= QT1 - T2

T1T2

$

amp (3)

------------------------------- Προς στιγmicroή αγνοούmicroε όλες τις άλλες φυσικές διαδικασίες που συmicroβαίνουν στο περιβάλλον του αέριου και εντοπίζουmicroε την προσοχή microας στο πως επηρεάζεται το περιβάλλον από την ελεύθερη εκτόνωση του αερίου Mε τη βοήθεια microιας τέτοιας πηγής microπορούmicroε να εξασφαλίσουmicroε κάθε στιγmicroή microικρή διαφορά θερmicroοκρασίας ανάmicroεσα στην πηγή αυτή και στις πηγές A και B οπότε η ροή θερmicroότητας θα γίνεται κατά τρόπο αντιστρεπτό

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουmicroε τη σχέση

S

$= Q

T1 - T2

T1T2

$

amp (4)

Aπό την (4) προκύπτει ΔSσυστgt0 που σηmicroαίνει ότι κατά τη ροή θερmicroότητας από τη δεξαmicroενή A στην B δια microέσου της χάλκινης ράβδου η εντροπία του συστή microατος αυξάνεται Eξάλλου το περιβάλλον του συστήmicroατος των δύο δεξαmicroενών θερmicroότητας και της χάλκινης ράβδου δεν συmicromicroετέχει ενεργειακά σ΄ αυτή τη microη αντιστρεπτή διεργασία οπότε microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι η εντροπία του δεν microεταβάλλεται δηλαδή ισχύει ΔSπερ=0 Όmicroως το σύστηmicroα και το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν οπότε η ροή θερmicroότητας διrsquo αγωγής οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του Σύmicroπαντος Στο ίδιο συmicroπέρασmicroα καταλήγουmicroε εάν εξετάσουmicroε και άλλες φυσικές διαδικασίες που εξελλίσονται κατά microη αντιστρε πτό τρόπο όλες δε οι πειραmicroατικές microας εmicroπειρίες που αναφέρονται σε microη αντι στρεπτά φαινόmicroενα είναι συmicroβιβαστές microε την ακόλουθη πρόταση Kάθε microη αντιστρεπτή διαδικασία που συmicroβαίνει στο Σύmicroπαν οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του H πρόταση αυτή αποτελεί την εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroο δυναmicroικού νόmicroου και microολονότι δεν υπάρχει αυστηρή microαθηmicroατική απόδειξη αυτής πρέπει να τονίσουmicroε ότι η πρόταση είναι συνεπής προς όλα τα φυσικά φαινόmicroενα που εξελίσσονται στο Σύmicroπαν κατά microη αντιστρεπτό τρόπο Όπως θα δειχθεί στο επόmicroενο εδάφιο η εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυνα microικού νόmicroου είναι ισοδύναmicroη microε τη διατύπωση Kelvin-Plank που σηmicroαίνει ότι η αποδοχή ή παραβίαση της microιας συνεπάγεται την αποδοχή ή παραβίαση της άλλης Παρατήρήση Kάθε φυσική διαδικασία που συmicroβαίνει microέσα σrsquo ένα αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα δηλαδή σrsquo ένα σύστηmicroα που δεν ανταλλάσσει ύλη και ενέργεια microε το περιβάλ λον του θεωρείται αυθόρmicroητο φυσικό φαινόmicroενο αφού για την πραγmicroατο ποίησή του δεν χρειάζεται εξωτερική επίδραση Όmicroως microε την έννοια αυτή τα αυθόρmicroητα φαινόmicroενα είναι και microη αντιστρεπτά οπότε σύmicroφωνα microε την εντρο πική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου συνοδεύονται από αύξηση της εντροπίας του αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος Mπορούmicroε λοιπόν να διατυπώσουmicroε την παρακάτω πρόταση που είναι γνωστή ως αρχή αύξησης της εντροπίας ενός αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος Kάθε αυθόρmicroητη διαδικασία που συmicroβαίνει σrsquo ένα αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του 9 Iσοδυναmicroία της εντροπικής διατύπωσης προς την διατύπώση Kelvin-Plank Θα δείξουmicroε ότι η άρνηση της εντροπικής διατύπωσης του δεύτερου θερmicroοδυ ναmicroικού νόmicroου συνεπάγεται άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank Προς τούτο θεωρούmicroε microία θερmicroική microηχανή Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ των πηγών θερmicroότητας A και B αντιστοίχων θερmicroοκρασίων T1 και T2 microε T2ltT1 και

υποθέτουmicroε ότι σε κάθε κύκλο λειτουργίας της το θερmicroαντικό της σώmicroα (ιδανικό αέριο) απορροφά από την πηγή A θερmicroότητα Q1 και δίνει στην πηγή B θερmicroότητα Q2 Eπί πλέον υποθέτουmicroε ότι κατά τη λειτουργία της θερmicroικής αυτής microηχανής παραβιάζεται η εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυνα microικού νόmicroου δηλαδή ότι η εντροπία του Σύmicroπαντος microειώνεται Tότε θα ισχύει ΔSΣυmicroπlt0 ΔSmicroηχ+ΔSπερlt0 (1) Όmicroως η microεταβολή ΔSπερ της εντροπίας του περιβάλλοντος της θερmicroικής microηχα νής του Carnot είναι microηδενική διότι αυτό παίρνει microόνο έργο από τη microηχανή ενώ η microεταβολή ΔSmicroηχ της εντροπίας της microηχανής θα είναι

ΔSmicroηχ=ΔSαερ+ΔSA+ΔSB

Smicro = 0 +-Q1

T1

+Q2

T2

(2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

-Q1

T1

+Q2

T2

lt 0

Q1

T1

gtQ2

T2

(3)

Όmicroως η σχέση (3) σηmicroαίνει ότι η θερmicroική microηχανή του Carnot δεν λειτουργεί σύmicroφωνα microε τη διατύπωση των kelvin-Plank διότι τότε θα έπρεπε να ισχύει η σχέση

Q1 T1 = Q2 T2 Δηλαδή η παραβίαση της εντροπικής διατύπωσης του

δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου συνεπάγεται και την παραβίαση της διατύπω σης Kelvin-Plank 10 Aρχή υποβάθmicroισης της ενέργειας Aς θεωρήσουmicroε ένα σύστηmicroα από δύο σώmicroατα A και B που βρίσκονται σε αντί στοιχες θερmicroοκρασίες T1 και T2 microε T1gtT2 το οποίο είναι αποmicroονωmicroένο microε το περιβάλλον του Eάν τα δύο σώmicroατα έλθουν σε επαφή τότε είναι γνωστό ότι θα microεταβιβαστεί θερmicroότητα από το σώmicroα υψηλής θερmicroοκρασίας T1 προς το σώmicroα χαmicroηλώτερης θερmicroοκρασίας T2 microέχρις ότου τα δύο σώmicroατα αποκτήσουν κοινή θερmicroοκρασία Tκ για την οποία ισχύει T2ltTκltT1 Kατά την microη αντιστρεπτή αυτή διαδικασία το σύστηmicroα δεν ανταλλάσσει έργο και θερmicroότητα microε το περιβάλλον του αφού αποτελεί αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα microε αποτέλεσmicroα η εσωτερική του ενέργεια να παραmicroένει σταθερή (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) ενώ σύmicroφωνα microε την εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου η εντροπία του συστήmicroατος αυξάνεται Eξάλλου το σύστηmicroα στην αρχική του κατάσταση εmicroφανίζει microιά ορισmicroένη ικανότητα παραγωγής οργανωmicroένης ενέργειας αφού microπορεί νrsquo αποδώσει microηχανικό έργο microε τη microεσολάβηση microιας θερmicroικής microηχανής ανάmicroεσα στα δύο σώmicroατα Aντίθετα στην τελική του κατάσταση το σύστηmicroα έχει χάσει την ικανότητά του να δώσει οργανωmicroένη ενέργεια αφού τώρα είναι αδύνατη η λειτουργία microιάς θερmicroικής microηχανής microεταξύ των δύο σωmicroάτων καθό σον τα δύο σώmicroατα βρίσκονται στην ίδια θερmicroοκρασία Aπό την σύγκριση των δύο καταστάσεων βγαίνει το συmicroπέρασmicroα ότι microολονότι η εσωτερική ενέργεια του συστήmicroατος δεν άλλαξε η ικανότητα του για παραγωγή οργανωmicroένης ενέργειας δηλαδή ενέργειας που microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί ωφέλιmicroα έχει microηδε νιστεί ενώ ταυτόχρονα η εντροπία του συστήmicroατος παρουσιάζεται αυξηmicroένη Δηλαδή η αυξηmicroένη εντροπία του συστήmicroατος έχει υποβαθmicroίσει την ποιότητα

της εσωτερικής του ενέργειας microε την έννοια ότι αυτό δεν είναι τώρα σε θέση να δώσει ωφέλιmicroη ενέργεια Γενικώτερα αν αναφερθούmicroε στα microη αντιστρεπτά φυσικά φαινόmicroενα που συmicroβαίνουν στο Σύmicroπαν microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι συνοδεύονται microε ενεργειακή υποβάθmicroισή του δηλαδή microε απώλεια της δυνατότητάς του για παραγωγή ενέργειας ανώτερης ποιότητας microολονότι η εσωτερική του ενέργεια παραmicroένει αναλλοίωτη Aυτό σηmicroαίνει ότι microε την πάροδο του χρόνου το Σύmicroπαν τείνει σε microιά κατάσταση microέγιστης εντροπίας που του περιορίζει την ποιότητα του ενεργειακού του περιεχόmicroενου και το οδη γεί στον λεγόmicroενο θερmicroικό ή εντροπικό θάνατο Ένα άλλο χαρακτηριστικό παράδειγmicroα που microας δείχνει ότι η αύξηση της εντροπίας ενός αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος ελαττώνει την ικανότητα του για παραγωγή οργανωmicroένης ενέρ γειας είναι το εξής Aφήνουmicroε ένα σώmicroα να πέσει από ύψος h στο πάτωmicroα του δωmicroατίου microας Tο σώmicroα ξεκινάει την διαδροmicroή του microε microιά οργανωmicroένη δυνα microική ενέργεια mgh η οποία microετά την κρούση του microε το πάτωmicroα microετασχη microατίζεται σε ανοργάνωτη θερmicroική ενέργεια που κατανέmicroεται στο σώmicroα στο πάτωmicroα στον αέρα και στους τοίχους του δωmicroατίου microε αποτέλεσmicroα νrsquo αυξηθεί λίγο η θερmicroοκρασία τους Kατά την microη αντιστρεπτή αυτή διαδικασία η ολική ενέργεια του συστήmicroατος διατηρήθηκε σταθερή αυξήθηκε όmicroως η εντροπία του H αυξηmicroένη εντροπία του συστήmicroατος κάνει αδύνατη την αντίστροφη εξέλιξη του φαινοmicroένου δηλαδή την microετατροπή της προηγούmicroενης θερmicroικής ενέργειας σε δυναmicroική ενέργεια microε αυθόρmicroητη ανύψωση του σώmicroατος στην αρχική του θέση και ταυτόχρονη ψύξη όλων των σωmicroάτων που πήραν microέρος στο φαινόmicroενο Έτσι το σύστηmicroά παρουσιάζεται στην τελική του κατάσταση microε υποβαθmicroισmicroένο ενεργειακό περιεχόmicroενο δηλαδή έχει microειωθεί η ποιότητα της ενέργειάς του αφού αυτό έχασε την ικανότητά του να δίνει ωφέλιmicroο έργο Παρατήρηση H θερmicroότητα ως microορφή ενέργειας είναι ποσοτικά ισοδύναmicroη microε τις άλλες microορφές ενέργειας (microηχανική ηλεκτρική χηmicroική κλπ) αλλά ποιοτικά είναι υποβαθmicroισmicroένη ως προς αυτές Aυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η θερmicroότητα δεν microπορεί να microετασχηmicroατιστεί ολοκληρωτικά σε ενέργεια άλλης microορφής ενώ αντίθετα οι άλλες microορφές ενέργειας microε απλές διαδικασίες microετασχηmicroατίζονται ολοκληρωτικά σε θερmicroότητα lsquoΕτσι η θερmicroότητα θεωρείται ως ενέργεια κατώτε ρης ποιότητας ή ως microη οργανωmicroένη ενέργεια ως προς τις άλλες microορφές ενέρ γειας οι οποίες θεωρούνται ως ενέργειες ανώτερης ποιότητας

PM fysikos

Iδανικό αέριο εκτελεί διαδοχικά τις παρακάτω θερmicroικές διαδικασίες α) Mιά αντιστρεπτή ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται

β) Mιά αντιστρεπτή ισόχωρη microεταβολή κατά την οποία η πίεση του αερίου γίνεται η microισή της αρχικής του πιέσεως i) Nα σχεδιαστούν τα διαγράmicromicroατα P-V P-T και V-T των δύο αυτών συνεχόmicroενων microεταβολών ii) Nα βρεθεί η συνολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του Δίνονται τα καταστατικά microεγέθη V0 P0 και T0 της αρ χικής κατάστασης του αερίου ΛYΣH i) Kατά την αντιστρεπτή ισοβαρή εκτόνωση ArarrB του ιδανικού αερί ου από τον όγκο V0 στον όγκο 2V0 η απόλυτη θερmicroοκρασία του αυξάνει από την τιmicroή T0 στην τιmicroή 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) Στην αντιστρεπτή ισόχωρη microεταβολή BrarrΓ που ακολουθεί ο όγκος του αέριου microένει σταθερός και ίσος microε 2V0 ενω η πίεσή του ελαττώνεται από την τιmicroή Pο στην τιmicroή P02 microε απο τέλεσmicroα να ελαττώνεται και η θερmicroοκρασία του αέριου από την τιmicroή 2T0 στην

Σχήmicroα 10 Σχήmicroα 11 Σχήmicroα 12

τιmicroή T0 (νόmicroος Charles) Όλα τα παραπάνω εκφράζονται συmicroβολικά ως εξής

A(P0 V0 T0) rarr B(P0 2V0 2T0) rarr Γ(P02 2V0 T0) Tα σχήmicroατα (10) (11) (12) αποτελούν τα ζητούmicroενα διαγράmicromicroατα της microεταβο λής ArarrBrarrΓ του ιδανικού αερίου ii) Aφού κατά την αντιστρεπτή διαδικασία ArarrBrarrΓ η θερmicroοκρασία του αερίου τελικά δεν microεταβάλλεται η ολική microεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας είναι microηδέν διότι η εσωτερική ενέργεια microιας ορισmicroένης microάζας ιδανικού αερίου είναι συνάρτηση microόνο της θερmicroοκρασίας του Δηλαδή ισχύει

ΔUολ = 0 (1) Eφαρmicroόζοντας για το ιδανικό αέριο τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο κατά τη microεταβολή ArarrBrarrΓ παίρνουmicroε τη σχέση

Q= U

+ W

(1)

Q= 0 + W

= W

Q= WAB + WB

= P0(2V0 - V0 ) + 0 Q= P0V0

Mια θερmicroική microηχανή Carnot λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1=500 0K και T2=200 0K H microηχανή απορροφά από τη θερmicroή δεξαmicroενή θερmicroότητα microε ρυθmicroό q1=2105 Js i) Nα βρεθεί η ωφέλιmicroη ισχύς της microηχανής ii) Nα βρεθεί ο ρυθmicroός microε τον οποίο πρέπει να microεταφέρεται θερmicroότη τα στην ψυχρή πηγή microιας θερmicroικής microηχανής που λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδο σης ίσο microε 80 του συντελεστή απόδοσης της microηχανής Carnot και την ίδια ωφέλιmicroη ισχύ microε αυτή ΛYΣH i) Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot στο ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής τότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αC της microηχανής θα ικανοποιεί τη σχέση

C =W

Q1

W = CQ1

W

t=CQ1

t (1)

Όmicroως το πηλίκο Wt αποτελεί την ωφέλιmicroη ισχύ N της microηχανής ενώ το πηλίκο Q1t αποτελεί το ρυθmicroό q1 microεταφοράς θερmicroότητας από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το αέριο που χρησιmicroοποιεί οπότε η σχέση (1) γράφεται N = Cq1 = (1 - T2T1 )q1

N=(1-200500)2 105 Js=12 105 Js ii) Aς θεωρήσουmicroε τη θερmicroική microηχανή που εργάζεται microεταξύ των θερmicroοκρα σιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης α=08αC και ωφέλιmicroη ισχύ N Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το ενεργό υλικό που χρησιmicroοποιεί και Q2 η αντίστοιχη θερmicroότητα που microεταφέρεται από το υλικό αυτό προς την ψυχρή δεξαmicroενή της θα έχουmicroε τις σχέσεις

Q1 = W+Q2

08C = WQ1

W

08C

= W+Q2

W1

08C

- 1

$

amp =Q2

W

t

1

08C

- 1

$

amp =

Q2

t

microε C

= 1- T2T

1= 35 Όmicroως το πηλίκο Q2t αποτελεί το ρυθmicroό q2 microεταφοράς

θερmicroότητας στην ψυχρή πηγή της θερmicroικής microηχανής ενώ το πηλίκο Wt αποτελεί την ισχύ N της microηχανής οπότε η (2) γράφεται q2 = N(54C - 1) = 12 10

5(25 12 - 1) Js = 13 10

5Js

Mια θερmicroική microηχανή αποτελείται από δύο θερmicroι κές microηχανές Carnot και η ψυχρή πηγή της microιας αποτελεί θερmicroή πηγή της άλλης Eάν α1 α2 είναι οι θερmicroοδυναmicroικοί συντελεστές από δοσης των δύο microηχανών T1 η απόλυτη θερmicroοκρασία της θερmicroής πηγής της πρώτης και T3 η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της δεύτερης να δείξετε τις σχέσεις αολ = α1 + α2 - α1α2 και αολ = 1 - T3 T1 όπου αολ ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της σύνθετης microηχανής Carnot ΛYΣH Έστω ότι σε χρόνο t microεταφέρεται θερmicroότητα Q1 από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot M1 προς το ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W1 είναι το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής αυτής O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α1 της microηχανής θα είναι 1 = W1Q1 W1 = 1Q1 (1)

Σχήmicroα 13 Eξάλλου εάν Q2 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t στην ψυχρή πηγή της microηχανής M1 αυτή θα αποτελεί και την αντίστοιχη θερmicroότητα που λαmicroβάνει το αέριο της δεύτερης microηχανής Carnot M2 οπότε το ωφέλιmicroο έργο W2 της microηχανής αυτής σε χρόνο t θα υπολογίζεται microέσω της σχέσεως W2 = 2Q2 (2) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αολ του συστήmicroατος των δύο microηχα νών θα είναι

=

W1 + W2

Q1

(2)

(1)

=1Q1 + 2Q2

Q1

= 1 +2Q2

Q1

(3)

Όmicroως εάν T2 είναι η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της M1 ή της

θερmicroής πηγής της M2 θα ισχύει η σχέση

Q1

T1

=Q2

T2

Q2

Q1

=T2

T1

= 1 -1 (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) έχουmicroε

= 1 +2(1 - 1 ) = 1 +2 -12 (5) Eπειδή α1=1-T2T1 και α2=1-T3T2 η σχέση (5) γράφεται

= 1 -T

2

T1

+1 -T

3

T2

- 1 -T

2

T1

$

amp amp 1 -T

3

T2

$

amp amp

= 2 -

T2

T1

-T

3

T2

- 1+T

2

T1

-T

2

T1

T

3

T2

= 1 -T

3

T1

Mιά microάζα n mol microονοατοmicroικού ιδανικού αέριου (CV=3R2) όγκου V0 και πιέσεως P0 υποβάλλεται σε αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή που αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβο λές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB κατά την οποία η πίεση του αε ρίου διπλασιάζεται ii) από microια ισόθερmicroη εκτόνωση BrarrΓ κατά την οποία ο όγκος του αερίου διπλασιάζεται και iii) από microια ισοβαρή συmicroπίεση ΓrarrA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να βρείτε τη θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 14) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) Aπό το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη θέρmicroανση του αέριου υπό σταθερό όγκο V0 κατά την οποία η πίεση του αέριου από P0 γίνεται 2P0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Charles)

ii) Aπό το καmicroπύλογραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη εκτόνωση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία ο όγκος του αέριου από V0 γίνεται 2V0 οπότε η πίεσή του από 2P0 γίνεται P0 (νόmicroος Boyle) και iii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή συmicroπίεση του αέριου microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A(P0V0T0) Eξάλλου σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο η θερmicroότητα Q που το αέριο ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του κατά τον κύκλο ABΓA η microεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας και το έργο W που παράγει το αέριο συνδέονται microε τη σχέση

Q = ΔU + W Q = 0 + W Q = W (1)

Σχηmicroα 14 Όmicroως το έργο W είναι ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των επί microέρους έργων WAB WBΓ και WΓA που αντιστοιχούν στις microεταβολές ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA Έτσι θα έχουmicroε τη σχέση

W= WAB

+ WB

+WA

W = 0 +2nRT0ln (2V0 V0) + P0 (V0 - 2V0)

W=2nRT0ln2 -P

0V

0= 2P

0V

0ln2 -P

0V

0 (1)

Q=P0V0(2ln2 - 1) (2) β) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α microιας θερmicroικής microηχανής η οποία θα λειτουργούσε microε βάση τον κύκλο ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του προς την θερmicroότητα Qπρ που προσφέ ρεται σrsquo αυτό σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microηχανής δηλαδή ισχύει

=

W

Q

(1)

=Q

Q

(2)

=P0V0 (2ln2 - 1)

Q

(3)

Όmicroως για τη θερmicroότητα Qπρ ισχύει η σχέση

Q = QAB + QB = nCV(2T0 - T0 ) +2nRT0ln(2V0V0)

Q= nCVT0 +2nRT0ln2 = nT0 (CV +2Rln2) (4)

όπου CV η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερό όγκο Όmicroως το αέριο που εξετάζουmicroε ισχύει CV =3R2 και η (4) γράφεται

Q= nT0(3R2 +2Rln2) = nRT0(32 +2ln2)

Q= P0V0 (32 + 2ln2) (5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (5) παίρνουmicroε τη σχέση

=

P0V0 (2ln2 - 1)

P0V0(32 + 2ln2)=

2ln2 - 1

32 +2ln2

=

2(2ln2 - 1)

3 + 4ln2

Mιά ορισmicroένη microάζα microονοατοmicroικού ιδανικού αερί ου (CV=3R2) όγκου V0 πιέσεως P0 και απόλυτης θερmicroοκρασίας T0 υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται i) από microια ισοβαρή εκτόνωση ArarrB κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται ii) από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να υπολογίσετε το έργο που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το συντελεστή απόδοσης της κυκλικής αυτής microεταβολής ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 15) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή εκτόνωση του αέριου υπό πίεση P0 κατά την οποία ο όγκος του από V0 γίνεται 2V0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) ii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη ψύξη του αερίου υπό σταθερό όγκο 2V0 κατά την οποία το αέριο ψύχεται από τη θερmicroοκρασία 2T0 στη θερmicroοκρασία T0 οπότε η πίεσή του από P0 γίνεται P02 (νόmicroος Charles) και iii) από το καmicroπυλόγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη συmicroπί εση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία ο όγκος του ελατ τώνεται από 2V0 σε V0 ενώ η πίεση του αυξάνει από P02 σε P0 (νόmicroος Boyle) Eξάλλου το έργο W που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του θα είναι

ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των έργων WAB WBΓ και WΓA που ανταλλάσσει το αέριο κατά τη διάρκεια των επί microέρους microεταβολών ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA δηλαδή θα ισχύει

Σχήmicroα 15

W = WAB + WB+W

A = P0(2V0 -V0) + 0 +nRT0ln(V0 2V0)

W = P0V0 +nRT0ln(12) W= P0V

0- nRT

0ln2 (1)

όπου n ο αριθmicroός των mol του αέριου και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Όmicroως σύmicroφωνα microε την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων ισχύει P0V0=nRT0 οπότε η (1) γράφεται

W= P0V

0-P

0V

0ln2

W = P

0V

01 - ln2( ) (2)

β) O συντελεστής απόδοσης α του κύκλου ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W προς την θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου δηλαδή ισχύει

=

W

QAB

(1)

=P0V0 (1 - ln2)

nCP(2T0 - T0 )

=nRT0 (1 - ln2)

nCpT0

(3)

όπου CP η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερή πίεση Eπειδή γιατο αέριο έχουmicroε CP=5R2 η σχέση (3) γράφεται

=

nRT0 (1 - ln2)

5nRT02 =

2(1- ln2)

5 (4)

Ένα ιδανικό αέριο υποβάλλεται σε κυκλική αντισ τρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από microια ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB θερmicroοκρασίας T1 από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ όγκου V1 από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ θερmicroοκρασίας T2 και από microια ισόχωρη θέρmicroανση ΔrarrA όγκου V2=V12 Eάν ο λόγος CPCV του αερίου είναι γ

να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του το αέριο απορροφά από το εξωτερικό του περιβάλλον τα ποσά θερmicroότητας QΔA και QAB που ανιστοι χούν στην ισόχωρη θέρmicroανσή του ΔrarrA και στην ισόθερmicroη συmicroπίεσή του ArarrB Άρα ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβο λής είναι

=

W

Q$A + QAB

(1)

Σχήmicroα 16 όπου Wολ το ολικό έργο που παρέχει το αέριο στο περιβάλλον του Όmicroως για το έργο αυτό ισχύει

W= W

A+ W

AB+ W

B$+ W

$= 0 + W

AB+ 0 + W

$

W

= W

AB+W

$= nRT

1ln

V1

V12

$

amp amp + nRT2ln

V12

V1

$

amp amp

W= nRT

1ln2 - nRT

2ln2 W

= nR(T1 - T2 )ln2 (2) Εξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και QΔA ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1lnV1

V1 2

$

amp amp = nRT1ln2

και

QA = nCV (T1 - T2 ) =

nR(T1 - T2)

- 1 οπότε η (1) δίνει

=

nR(T1 - T2)ln2

nR(T1 - T2)( - 1) + nRT1ln2

=( - 1)(T1 - T2 )ln2

T1 - T2 + ( - 1)T1ln2

i) Nα δείξετε ότι η άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank για το δεύτερο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο συνεπάγεται και άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Nα δείξετε ότι microια κυκλική microεταβολή ορισmicroένης microάζας ιδανικού αέριου που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση από microια αδια βατική εκτόνωση και από microια αδιαβατική συmicroπίεση βρίσκεται σε αντίφαση microε το δεύτερo θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο δηλαδή microια τέτοια κυκ λική microεταβολή είναι αδύνατη ΛYΣH i) Έστω ότι υπάρχει θερmicroική microηχανή που σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microετατρέπει ολοκληρωτικά την θερmicroότητα Q1 που παίρνει από την πηγή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 σε microηχανικό έργο W χωρίς να δίνει θερmicroότητα στην πηγή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 Θεωρούmicroε τώρα microια κατάλ

Σχήmicroα 17 Σχήmicroα 18 ληλη ψυκτική microηχανή η οποία όταν λειτουργεί ανάmicroεσα στις ίδιες πηγές θερ microότητας microεταφέρει θερmicroότητα Q1 στην πηγή A καταναλώνοντας το έργο W που παράγει η θερmicroική microηχανή Tότε η ψυκτική αυτή microηχανή θα παίρνει από την πηγή B microια ορισmicroένη θερmicroότητα Q2 και εποmicroένως το σύστηmicroα των δύο microηχανών θα ισοδυναmicroεί microε microια ψυκτική microηχανή η οποία θα απάγει θερmicroότητα Q2 από την ψυχρή πηγή B χωρίς κατανάλωση έργου πράγmicroα που αποτελεί άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Έστω ότι microια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί την κυκλική microεταβο λή ABΓA που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB microια αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ και microια αδιαβατική συmicroπίεση ΓrarrA (σχήmicroα 18) Eφαρmicroόζοντας για τη microεταβολή αυτή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση QAB + QBΓ + QΓA = ΔUολ + Wολ QAB + 0 + 0 = 0 + Wολ QAB = Wολ (1)

H σχέση (1) δηλώνει ότι κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής ABΓA η θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο microετατρέπεται ολοκληρωτικά σε έργο γεγονός που έρχεται σε αντίθεση microε τη διατύπωση των Kelvin-Plank Παρατήρηση H microη πραγmicroατοποίση της κυκλικής microεταβολής ABΓA ισοδυναmicroεί microε το ότι οι αδιαβατικές καmicroπύλες BΓ και ΓA δεν είναι δυνατό να τέmicroνονται

Mιά ορισmicroένη microάζα ιδανικού αερίου εκτελεί κύκλο Carnot ABΓΔA Eάν V1 V2 V3 V4 είναι οι όγκοι του αέριου που αντιστοιχούν στις κατατάσεις A B Γ και Δ και T1 T2 είναι οι απόλυτες θερmicroοκρασίες της ισόθερmicroης εκτόνωσης και της ισόθερmicroης συmicroπίεσης του αέριου αντιστοίχως (T1gtT2) να δείξετε τις σχέσεις

V1V3 = V2V4 και W = nR(T1 - T2)ln(V2V1) όπου n τα mol του αερίου R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανικών αερίων και W το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του ΛYΣH Για την ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ισχύει P1

V1= P

2V

2 (1)

Για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Poisson ισχύει

P2V

2

= P3V

3

(2)

Σχήmicroα 19

Για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle έχουmicroε

P3V

3= P

4V

4 (3)

Tέλος για την αδιαβατική συmicroπίεση ΔrarrA σύmicroφωνα microε τον νόmicroο του Poisson έχουmicroε

P4V

4

= P1V

1

(4) όπου γ ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αερίου Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (4) κατά microέλη παίρνου microε τη σχέση

P1V

1P

2V

2

P3V

3P

4V

4

= P2V

2P

3V

3

P4V

4P

1V

1

2

-1

V 4

-1

V =3

-1

V 1

-1

V V3

V1= V

2V

4 (5)

Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκ λικής microεταβολής ABΓΔA είναι σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσει microε το περιβάλλον του Δηλαδή ισχύει η σχέση

W= Q

= QAB + QB

+ Q$

+ Q$A = QAB + Q

$ (6)

διότι για τις αδιαβατικές microεταβολές BrarrΓ και ΔrarrA έχουmicroε QBΓ =QΔA =0 Eξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και Q

ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1ln(V2 V1 )

Q

= nRT2ln(V4 V3 )

$

(+ )

QAB + Q

= nR T1lnV2

V1

$

amp amp + T2lnV4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(6)

W

= nR T

1ln

V2

V1

$

amp amp + T2ln

V4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(7)

Όmicroως από τη σχέση (5) έχουmicroε

V2

V1

=V

3

V4

lnV

2

V1

$

amp amp = lnV

3

V4

$

amp amp

lnV

2

V1

$

amp amp = - lnV

4

V3

$

amp amp

οπότε η (7) γράφεται

W

= nR(T1 - T2)ln

V2

V1

$

amp amp (8)

Mια θερmicroική microηχανή αναγκάζει ιδανικό αέριο σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση κατά την οποία η πίεση του αερίου τριπλασιάζεται

ii) από microια ισοβαρή εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται iii) από microια ισόχωρη ψύξη microέχρις ότου η πίεση του αερίου ανακτή σει την αρχική της τιmicroή και iv) απο microια ισοβαρή συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Eάν P0 V0 είναι η πίεση και ο όγκος αντιστοίχως του αερίου στην αρχική του κατάσταση και γ ο λόγος CPCV των γραmicromicroοmicroοριακών του ειδικών θερmicroοτήτων να βρείτε την προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroό τητα κατά την εξέλιξη του κύκλου γ) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής και να τον συγκρίνετε microε το συντελεστή απόδοσης της microηχα νής Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ της microέγιστης και της ελά χιστης θερmicroοκρασίας του αερίου της microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόχωρη θέρmicroανση AB του αερίου η πίεσή του τριπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Charles θα τριπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του αερίου δηλαδή από T0 θα γίνει 3T0 Κατά την ισοβα ρή εκτόνωση BΓ ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται οπότε και η απόλυτη θερmicroοκρασία του θα τριπλασιάζεται (νόmicroοςGay-Lussac) δηλαδή από 3T0 θα γίνει 9T0 Kατά την ισόχωρη ψύξη ΓΔ του αερίου η πίεση του απο την τιmicroή 3P0 λαmicroβάνει την τιmicroή P0 δηλαδή υποτριπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο του

Σχήmicroα 20 Charles πρέπει να υποτριπλασιασθεί και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή από 9T0 πρέπει να γίνει 3T0 Aυτό σηmicroαίνει ότι οι καταστάσεις B και Δ βρίσ κονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη θερmicroοκρασίας 3T0 Mε βάση τις παρα πάνω διαπιστώσεις το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου έχει τη microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (20) β) Kατά την εξέλιξη του κύκλου στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα στο στάδιο της ισόχωρης θέρmicroανσης AB και της ισοβαρούς εκτόνωσης BΓ δηλαδή ισχύει

Q = QAB + QB = nCV 3T0 - T0( ) + nCP 9T0 - 3T0( )

Q

= 2nCVT0 + 6nCPT0 = 2n CV + 3CP( )T0 (1)

Όmicroως οι γραmicromicroοmicroοριακές ειδικές θερmicroότητες CV και CP του αερίου ικανοποιούν τις σχέσεις

CP

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= R - 1

CP

= R - 1

$ (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε

Q

=

2nRT0

- 1(1+ 3) = 2P0V0

1+3

- 1

$

amp (3)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (4)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε το εmicroβαδόν του σκιασmicroένου ορθογωνίου ABΓΔ δηλαδή ισχύει W = micro$(ABamp) = (3P0 -P0)(3V0 -V0) = 4P0V0 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3)(4) και (5) έχουmicroε

=4P0V0

2P0V0

- 1

1+3

$

amp =

2( - 1)

1+ 3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται στην κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓΔA της οποίας το διάγραmicromicroα P-T φαίνεται στο σχήmicroα (21) i) Eάν οι θερmicroοδυναmicroικές microεταβλητές της κατάστασης A είναι P0 V0 και T0 να βρείτε τη θερmicroότητα που απορροφά το αέριο στη διάρκεια του κύκλου αφού προηγουmicroένως σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V του κύκλου ii) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση υπό θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου διπλασιάζεται οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ο όγκος του αερίου θα υποδιπλασιάζεται δηλαδή από V0 θα γίνει V02 H microεταβολή BΓ είναι ισοβαρής θέρmicroανση υπο πίεση 2P0 κατά την οποία η απόλυ

τη θερmicroοκρασία του αερίου διπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο Gay-Lussac θα διπλασιάζεται και ο όγκος του αερίου δηλαδή από V02 θα γίνει V0 H microετα βολή ΓΔ είναι ισόθερmicroη εκτόνωση υπό θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου υποδιπλασιάζεται οπότε ο όγκος του θα διπλασιάζεται (νόmicroος

Σχήmicroα 21 Σχήmicroα 22 Boyle) δηλαδή από V0 θα γίνει 2V0 Mε βάση τα παραπάνω οδηγούmicroαστε στο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου το οποίο έχει την microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (22) Στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του BΓ και της ισόθερmicroης εκτόνωσής του ΓΔ δηλαδή ισχύει η σχέση Q = QB +Q$ = nCP(2T0 - T0) + nR2T0ln(2V0V0 )

Q

= 5nRT02 + 2nRT0 ln2 Q

= P0V0 (52 + 2ln2) (1)

ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (2)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της υπο λογίζεται από τη σχέση

W = W

AB+ W

B + W$ + W$A

W

= nRT0ln

V0

2V0

$

amp +2P

0V

0-V

0

2

$

amp +

+

nR2T0ln2V0

V0

$

amp amp +P0(V0 - 2V0 )

W

= -nRT0ln2+P

0V

0+2nRT

0ln2 -P

0V

0=nRT

0ln2=P

0V

0ln2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) έχουmicroε

=P0V0ln2

P0V0(52 +2ln2)=

ln2

52 + 2ln2

Tο αέριο microιας θερmicroικής microηχανής είναι ιδανικό και υποβάλλεται σε αντιστρεπτό κύκλο ο οποίος αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή εκτόνωση AB microέχρις τετραπλασιασmicroού του όγ κου του αερίου ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση BΓ microέχρις ότου η πίεση του αερίου γίνει ίση microε το 132 της αρχικής της τιmicroής PA και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A όγκου VA α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Nα βρείτε το λόγο γ=CPCV του αερίου και να δείξετε ότι η θερ microότητα που απορροφά κατά την εξέλιξη του κύκλου είναι ίση microε 15PAVA2 γ) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Gay-Lussac θα τετραπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή απο TA θα γίνει 4TA Σύmicroφωνα microε το πρόβληmicroα κατά την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου η πίεση του microειώνε ται από την τιmicroή PA στην τιmicroή PA32 ο δε όγκος του αυξάνεται από την τιmicroή

Σχήmicroα 23 4VA στην τιmicroή VΓ Όmicroως microέσω της ισόθερmicroης συmicroπίεσης ΓA το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle θα έχουmicroε τη σχέση

PV

= P

AV

A V

= 32VA

Mε βάση τα παραπάνω το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (23) β) Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου το νόmicroο του Poisson παίρνουmicroε τη σχέση PB

VB

= PV

PA(4VA)

= (PA32)(32VA )

4

= 32-1 2

2= 2

5( -1) 2 = 5( - 1) = 53 που σηmicroαίνει ότι το αέριο είναι microονοατοmicroικό Eξάλλου η θερmicroότητα που απορροφά το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου ABΓA είναι ίση microε την θερmicroό τητα QAB που απορροφά κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του AB δηλαδή ισχύει Q

= QAB = nCP(4TA - TA) = 5nR(3TA 2)

Q

= 15nRTA2 = 15PAVA2 (1)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓ είναι

= W

Q$

(2) Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου του (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) οπότε θα έχουmicroε

W= Q$ = QAB + QB+ QA = nCP(4TA -TA ) + 0 + nRTAln(VA32VA )

W

= 5nR(3TA 2) - nRTAln(25)

W

= PAVA (152 - 5ln2) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) παίρνουmicroε

=PAVA(152 - 5ln2)

15PAVA2=

15 - 10ln2

15= 1 -

2ln2

3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) την ισόθερmicroη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του αερίου οκταπλασιάζεται ii) την ισόχωρη ψύξη BΓ και iii) την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0=3105 Ntm2 όγκου

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 11: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

αυτήν Έτσι microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι τουλάχιστον γιrsquo αυτή την microη αντιστρεπτή microεταβολή η εντροπία του αερίου και του περιβάλλοντος αυξάνει Όmicroως το αέριο microαζί microε το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν οπότε η ελεύθερη εκτόνωση ενός αερίου οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του Σύmicroπαν τος Pοή θερmicroότητας δια microέσου χάλκινης ράβδου Tο φαινόmicroενο ροής θερmicroότητας από microια δεξαmicroενή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 προς microια άλλη δεξαmicroενή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 (T1gtT2) δια microέσου χάλκινης ράβδου είναι microη αντιστρεπτό φαινόmicroενο Kατά την εξέλιξη του φαινοmicroένου αυτού η εντροπία της χάλκινης ράβδου δεν microεταβάλλεται αφού η θερmicroοκρασία σε κάθε διατοmicroή της είναι χρονικά σταθερή και όση θερmicroότητα φθάνει στην διατοmicroή αυτή microέσα σrsquo ένα χρονικό διάστηmicroα τόση φεύ γει από τη διατοmicroή στο διάστηmicroα αυτό Έτσι η ολική microεταβολή ΔSολ της εντρο πίας του συστήmicroατος είναι ίση microε το άθροισmicroα της microεταβολής ΔSA της εντρο πίας της δεξαmicroενής A και της microεταβολής ΔSB της εντροπίας της δεξαmicroενής B δηλαδή ισχύει ΔSσυστ=ΔSA+ΔSB (2) Για να υπολογίσουmicroε τις microεταβολές ΔSA και ΔSB πρέπει να βρούmicroε microια αντισ τρεπτή διαδικασία microεταφοράς της θερmicroότητας Q από τη δεξαmicroενή A στη B Tέτοια διαδικασία microπορεί να εξασφαλιστεί αν διαθέτουmicroε microια δεξαmicroενή θερmicroό τητας που τη θερmicroοκρασία της microπορούmicroε να ελέγχουmicroε αυτόmicroατα η οποία

Σχήmicroα 9

να έρχεται διαδοχικά σε επαφή πρώτα microε την A και στη συνέχεια σε επαφή microε την B Mε τον τρόπο αυτό η δεξαmicroενή ελεγχόmicroενης θερmicroοκρασίας θα microεταφέρει κατά αντιστρεπτό τρόπο την θερmicroότητα Q από την A στην B οπότε για τις microεταβολές ΔSA και ΔSB θα έχουmicroε τις σχέσεις

SA = -QT1

SB = QT2

(+ )

SA + SB =Q

T2

-Q

T1

= QT1 - T2

T1T2

$

amp (3)

------------------------------- Προς στιγmicroή αγνοούmicroε όλες τις άλλες φυσικές διαδικασίες που συmicroβαίνουν στο περιβάλλον του αέριου και εντοπίζουmicroε την προσοχή microας στο πως επηρεάζεται το περιβάλλον από την ελεύθερη εκτόνωση του αερίου Mε τη βοήθεια microιας τέτοιας πηγής microπορούmicroε να εξασφαλίσουmicroε κάθε στιγmicroή microικρή διαφορά θερmicroοκρασίας ανάmicroεσα στην πηγή αυτή και στις πηγές A και B οπότε η ροή θερmicroότητας θα γίνεται κατά τρόπο αντιστρεπτό

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουmicroε τη σχέση

S

$= Q

T1 - T2

T1T2

$

amp (4)

Aπό την (4) προκύπτει ΔSσυστgt0 που σηmicroαίνει ότι κατά τη ροή θερmicroότητας από τη δεξαmicroενή A στην B δια microέσου της χάλκινης ράβδου η εντροπία του συστή microατος αυξάνεται Eξάλλου το περιβάλλον του συστήmicroατος των δύο δεξαmicroενών θερmicroότητας και της χάλκινης ράβδου δεν συmicromicroετέχει ενεργειακά σ΄ αυτή τη microη αντιστρεπτή διεργασία οπότε microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι η εντροπία του δεν microεταβάλλεται δηλαδή ισχύει ΔSπερ=0 Όmicroως το σύστηmicroα και το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν οπότε η ροή θερmicroότητας διrsquo αγωγής οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του Σύmicroπαντος Στο ίδιο συmicroπέρασmicroα καταλήγουmicroε εάν εξετάσουmicroε και άλλες φυσικές διαδικασίες που εξελλίσονται κατά microη αντιστρε πτό τρόπο όλες δε οι πειραmicroατικές microας εmicroπειρίες που αναφέρονται σε microη αντι στρεπτά φαινόmicroενα είναι συmicroβιβαστές microε την ακόλουθη πρόταση Kάθε microη αντιστρεπτή διαδικασία που συmicroβαίνει στο Σύmicroπαν οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του H πρόταση αυτή αποτελεί την εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroο δυναmicroικού νόmicroου και microολονότι δεν υπάρχει αυστηρή microαθηmicroατική απόδειξη αυτής πρέπει να τονίσουmicroε ότι η πρόταση είναι συνεπής προς όλα τα φυσικά φαινόmicroενα που εξελίσσονται στο Σύmicroπαν κατά microη αντιστρεπτό τρόπο Όπως θα δειχθεί στο επόmicroενο εδάφιο η εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυνα microικού νόmicroου είναι ισοδύναmicroη microε τη διατύπωση Kelvin-Plank που σηmicroαίνει ότι η αποδοχή ή παραβίαση της microιας συνεπάγεται την αποδοχή ή παραβίαση της άλλης Παρατήρήση Kάθε φυσική διαδικασία που συmicroβαίνει microέσα σrsquo ένα αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα δηλαδή σrsquo ένα σύστηmicroα που δεν ανταλλάσσει ύλη και ενέργεια microε το περιβάλ λον του θεωρείται αυθόρmicroητο φυσικό φαινόmicroενο αφού για την πραγmicroατο ποίησή του δεν χρειάζεται εξωτερική επίδραση Όmicroως microε την έννοια αυτή τα αυθόρmicroητα φαινόmicroενα είναι και microη αντιστρεπτά οπότε σύmicroφωνα microε την εντρο πική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου συνοδεύονται από αύξηση της εντροπίας του αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος Mπορούmicroε λοιπόν να διατυπώσουmicroε την παρακάτω πρόταση που είναι γνωστή ως αρχή αύξησης της εντροπίας ενός αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος Kάθε αυθόρmicroητη διαδικασία που συmicroβαίνει σrsquo ένα αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του 9 Iσοδυναmicroία της εντροπικής διατύπωσης προς την διατύπώση Kelvin-Plank Θα δείξουmicroε ότι η άρνηση της εντροπικής διατύπωσης του δεύτερου θερmicroοδυ ναmicroικού νόmicroου συνεπάγεται άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank Προς τούτο θεωρούmicroε microία θερmicroική microηχανή Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ των πηγών θερmicroότητας A και B αντιστοίχων θερmicroοκρασίων T1 και T2 microε T2ltT1 και

υποθέτουmicroε ότι σε κάθε κύκλο λειτουργίας της το θερmicroαντικό της σώmicroα (ιδανικό αέριο) απορροφά από την πηγή A θερmicroότητα Q1 και δίνει στην πηγή B θερmicroότητα Q2 Eπί πλέον υποθέτουmicroε ότι κατά τη λειτουργία της θερmicroικής αυτής microηχανής παραβιάζεται η εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυνα microικού νόmicroου δηλαδή ότι η εντροπία του Σύmicroπαντος microειώνεται Tότε θα ισχύει ΔSΣυmicroπlt0 ΔSmicroηχ+ΔSπερlt0 (1) Όmicroως η microεταβολή ΔSπερ της εντροπίας του περιβάλλοντος της θερmicroικής microηχα νής του Carnot είναι microηδενική διότι αυτό παίρνει microόνο έργο από τη microηχανή ενώ η microεταβολή ΔSmicroηχ της εντροπίας της microηχανής θα είναι

ΔSmicroηχ=ΔSαερ+ΔSA+ΔSB

Smicro = 0 +-Q1

T1

+Q2

T2

(2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

-Q1

T1

+Q2

T2

lt 0

Q1

T1

gtQ2

T2

(3)

Όmicroως η σχέση (3) σηmicroαίνει ότι η θερmicroική microηχανή του Carnot δεν λειτουργεί σύmicroφωνα microε τη διατύπωση των kelvin-Plank διότι τότε θα έπρεπε να ισχύει η σχέση

Q1 T1 = Q2 T2 Δηλαδή η παραβίαση της εντροπικής διατύπωσης του

δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου συνεπάγεται και την παραβίαση της διατύπω σης Kelvin-Plank 10 Aρχή υποβάθmicroισης της ενέργειας Aς θεωρήσουmicroε ένα σύστηmicroα από δύο σώmicroατα A και B που βρίσκονται σε αντί στοιχες θερmicroοκρασίες T1 και T2 microε T1gtT2 το οποίο είναι αποmicroονωmicroένο microε το περιβάλλον του Eάν τα δύο σώmicroατα έλθουν σε επαφή τότε είναι γνωστό ότι θα microεταβιβαστεί θερmicroότητα από το σώmicroα υψηλής θερmicroοκρασίας T1 προς το σώmicroα χαmicroηλώτερης θερmicroοκρασίας T2 microέχρις ότου τα δύο σώmicroατα αποκτήσουν κοινή θερmicroοκρασία Tκ για την οποία ισχύει T2ltTκltT1 Kατά την microη αντιστρεπτή αυτή διαδικασία το σύστηmicroα δεν ανταλλάσσει έργο και θερmicroότητα microε το περιβάλλον του αφού αποτελεί αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα microε αποτέλεσmicroα η εσωτερική του ενέργεια να παραmicroένει σταθερή (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) ενώ σύmicroφωνα microε την εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου η εντροπία του συστήmicroατος αυξάνεται Eξάλλου το σύστηmicroα στην αρχική του κατάσταση εmicroφανίζει microιά ορισmicroένη ικανότητα παραγωγής οργανωmicroένης ενέργειας αφού microπορεί νrsquo αποδώσει microηχανικό έργο microε τη microεσολάβηση microιας θερmicroικής microηχανής ανάmicroεσα στα δύο σώmicroατα Aντίθετα στην τελική του κατάσταση το σύστηmicroα έχει χάσει την ικανότητά του να δώσει οργανωmicroένη ενέργεια αφού τώρα είναι αδύνατη η λειτουργία microιάς θερmicroικής microηχανής microεταξύ των δύο σωmicroάτων καθό σον τα δύο σώmicroατα βρίσκονται στην ίδια θερmicroοκρασία Aπό την σύγκριση των δύο καταστάσεων βγαίνει το συmicroπέρασmicroα ότι microολονότι η εσωτερική ενέργεια του συστήmicroατος δεν άλλαξε η ικανότητα του για παραγωγή οργανωmicroένης ενέργειας δηλαδή ενέργειας που microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί ωφέλιmicroα έχει microηδε νιστεί ενώ ταυτόχρονα η εντροπία του συστήmicroατος παρουσιάζεται αυξηmicroένη Δηλαδή η αυξηmicroένη εντροπία του συστήmicroατος έχει υποβαθmicroίσει την ποιότητα

της εσωτερικής του ενέργειας microε την έννοια ότι αυτό δεν είναι τώρα σε θέση να δώσει ωφέλιmicroη ενέργεια Γενικώτερα αν αναφερθούmicroε στα microη αντιστρεπτά φυσικά φαινόmicroενα που συmicroβαίνουν στο Σύmicroπαν microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι συνοδεύονται microε ενεργειακή υποβάθmicroισή του δηλαδή microε απώλεια της δυνατότητάς του για παραγωγή ενέργειας ανώτερης ποιότητας microολονότι η εσωτερική του ενέργεια παραmicroένει αναλλοίωτη Aυτό σηmicroαίνει ότι microε την πάροδο του χρόνου το Σύmicroπαν τείνει σε microιά κατάσταση microέγιστης εντροπίας που του περιορίζει την ποιότητα του ενεργειακού του περιεχόmicroενου και το οδη γεί στον λεγόmicroενο θερmicroικό ή εντροπικό θάνατο Ένα άλλο χαρακτηριστικό παράδειγmicroα που microας δείχνει ότι η αύξηση της εντροπίας ενός αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος ελαττώνει την ικανότητα του για παραγωγή οργανωmicroένης ενέρ γειας είναι το εξής Aφήνουmicroε ένα σώmicroα να πέσει από ύψος h στο πάτωmicroα του δωmicroατίου microας Tο σώmicroα ξεκινάει την διαδροmicroή του microε microιά οργανωmicroένη δυνα microική ενέργεια mgh η οποία microετά την κρούση του microε το πάτωmicroα microετασχη microατίζεται σε ανοργάνωτη θερmicroική ενέργεια που κατανέmicroεται στο σώmicroα στο πάτωmicroα στον αέρα και στους τοίχους του δωmicroατίου microε αποτέλεσmicroα νrsquo αυξηθεί λίγο η θερmicroοκρασία τους Kατά την microη αντιστρεπτή αυτή διαδικασία η ολική ενέργεια του συστήmicroατος διατηρήθηκε σταθερή αυξήθηκε όmicroως η εντροπία του H αυξηmicroένη εντροπία του συστήmicroατος κάνει αδύνατη την αντίστροφη εξέλιξη του φαινοmicroένου δηλαδή την microετατροπή της προηγούmicroενης θερmicroικής ενέργειας σε δυναmicroική ενέργεια microε αυθόρmicroητη ανύψωση του σώmicroατος στην αρχική του θέση και ταυτόχρονη ψύξη όλων των σωmicroάτων που πήραν microέρος στο φαινόmicroενο Έτσι το σύστηmicroά παρουσιάζεται στην τελική του κατάσταση microε υποβαθmicroισmicroένο ενεργειακό περιεχόmicroενο δηλαδή έχει microειωθεί η ποιότητα της ενέργειάς του αφού αυτό έχασε την ικανότητά του να δίνει ωφέλιmicroο έργο Παρατήρηση H θερmicroότητα ως microορφή ενέργειας είναι ποσοτικά ισοδύναmicroη microε τις άλλες microορφές ενέργειας (microηχανική ηλεκτρική χηmicroική κλπ) αλλά ποιοτικά είναι υποβαθmicroισmicroένη ως προς αυτές Aυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η θερmicroότητα δεν microπορεί να microετασχηmicroατιστεί ολοκληρωτικά σε ενέργεια άλλης microορφής ενώ αντίθετα οι άλλες microορφές ενέργειας microε απλές διαδικασίες microετασχηmicroατίζονται ολοκληρωτικά σε θερmicroότητα lsquoΕτσι η θερmicroότητα θεωρείται ως ενέργεια κατώτε ρης ποιότητας ή ως microη οργανωmicroένη ενέργεια ως προς τις άλλες microορφές ενέρ γειας οι οποίες θεωρούνται ως ενέργειες ανώτερης ποιότητας

PM fysikos

Iδανικό αέριο εκτελεί διαδοχικά τις παρακάτω θερmicroικές διαδικασίες α) Mιά αντιστρεπτή ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται

β) Mιά αντιστρεπτή ισόχωρη microεταβολή κατά την οποία η πίεση του αερίου γίνεται η microισή της αρχικής του πιέσεως i) Nα σχεδιαστούν τα διαγράmicromicroατα P-V P-T και V-T των δύο αυτών συνεχόmicroενων microεταβολών ii) Nα βρεθεί η συνολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του Δίνονται τα καταστατικά microεγέθη V0 P0 και T0 της αρ χικής κατάστασης του αερίου ΛYΣH i) Kατά την αντιστρεπτή ισοβαρή εκτόνωση ArarrB του ιδανικού αερί ου από τον όγκο V0 στον όγκο 2V0 η απόλυτη θερmicroοκρασία του αυξάνει από την τιmicroή T0 στην τιmicroή 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) Στην αντιστρεπτή ισόχωρη microεταβολή BrarrΓ που ακολουθεί ο όγκος του αέριου microένει σταθερός και ίσος microε 2V0 ενω η πίεσή του ελαττώνεται από την τιmicroή Pο στην τιmicroή P02 microε απο τέλεσmicroα να ελαττώνεται και η θερmicroοκρασία του αέριου από την τιmicroή 2T0 στην

Σχήmicroα 10 Σχήmicroα 11 Σχήmicroα 12

τιmicroή T0 (νόmicroος Charles) Όλα τα παραπάνω εκφράζονται συmicroβολικά ως εξής

A(P0 V0 T0) rarr B(P0 2V0 2T0) rarr Γ(P02 2V0 T0) Tα σχήmicroατα (10) (11) (12) αποτελούν τα ζητούmicroενα διαγράmicromicroατα της microεταβο λής ArarrBrarrΓ του ιδανικού αερίου ii) Aφού κατά την αντιστρεπτή διαδικασία ArarrBrarrΓ η θερmicroοκρασία του αερίου τελικά δεν microεταβάλλεται η ολική microεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας είναι microηδέν διότι η εσωτερική ενέργεια microιας ορισmicroένης microάζας ιδανικού αερίου είναι συνάρτηση microόνο της θερmicroοκρασίας του Δηλαδή ισχύει

ΔUολ = 0 (1) Eφαρmicroόζοντας για το ιδανικό αέριο τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο κατά τη microεταβολή ArarrBrarrΓ παίρνουmicroε τη σχέση

Q= U

+ W

(1)

Q= 0 + W

= W

Q= WAB + WB

= P0(2V0 - V0 ) + 0 Q= P0V0

Mια θερmicroική microηχανή Carnot λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1=500 0K και T2=200 0K H microηχανή απορροφά από τη θερmicroή δεξαmicroενή θερmicroότητα microε ρυθmicroό q1=2105 Js i) Nα βρεθεί η ωφέλιmicroη ισχύς της microηχανής ii) Nα βρεθεί ο ρυθmicroός microε τον οποίο πρέπει να microεταφέρεται θερmicroότη τα στην ψυχρή πηγή microιας θερmicroικής microηχανής που λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδο σης ίσο microε 80 του συντελεστή απόδοσης της microηχανής Carnot και την ίδια ωφέλιmicroη ισχύ microε αυτή ΛYΣH i) Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot στο ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής τότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αC της microηχανής θα ικανοποιεί τη σχέση

C =W

Q1

W = CQ1

W

t=CQ1

t (1)

Όmicroως το πηλίκο Wt αποτελεί την ωφέλιmicroη ισχύ N της microηχανής ενώ το πηλίκο Q1t αποτελεί το ρυθmicroό q1 microεταφοράς θερmicroότητας από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το αέριο που χρησιmicroοποιεί οπότε η σχέση (1) γράφεται N = Cq1 = (1 - T2T1 )q1

N=(1-200500)2 105 Js=12 105 Js ii) Aς θεωρήσουmicroε τη θερmicroική microηχανή που εργάζεται microεταξύ των θερmicroοκρα σιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης α=08αC και ωφέλιmicroη ισχύ N Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το ενεργό υλικό που χρησιmicroοποιεί και Q2 η αντίστοιχη θερmicroότητα που microεταφέρεται από το υλικό αυτό προς την ψυχρή δεξαmicroενή της θα έχουmicroε τις σχέσεις

Q1 = W+Q2

08C = WQ1

W

08C

= W+Q2

W1

08C

- 1

$

amp =Q2

W

t

1

08C

- 1

$

amp =

Q2

t

microε C

= 1- T2T

1= 35 Όmicroως το πηλίκο Q2t αποτελεί το ρυθmicroό q2 microεταφοράς

θερmicroότητας στην ψυχρή πηγή της θερmicroικής microηχανής ενώ το πηλίκο Wt αποτελεί την ισχύ N της microηχανής οπότε η (2) γράφεται q2 = N(54C - 1) = 12 10

5(25 12 - 1) Js = 13 10

5Js

Mια θερmicroική microηχανή αποτελείται από δύο θερmicroι κές microηχανές Carnot και η ψυχρή πηγή της microιας αποτελεί θερmicroή πηγή της άλλης Eάν α1 α2 είναι οι θερmicroοδυναmicroικοί συντελεστές από δοσης των δύο microηχανών T1 η απόλυτη θερmicroοκρασία της θερmicroής πηγής της πρώτης και T3 η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της δεύτερης να δείξετε τις σχέσεις αολ = α1 + α2 - α1α2 και αολ = 1 - T3 T1 όπου αολ ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της σύνθετης microηχανής Carnot ΛYΣH Έστω ότι σε χρόνο t microεταφέρεται θερmicroότητα Q1 από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot M1 προς το ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W1 είναι το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής αυτής O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α1 της microηχανής θα είναι 1 = W1Q1 W1 = 1Q1 (1)

Σχήmicroα 13 Eξάλλου εάν Q2 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t στην ψυχρή πηγή της microηχανής M1 αυτή θα αποτελεί και την αντίστοιχη θερmicroότητα που λαmicroβάνει το αέριο της δεύτερης microηχανής Carnot M2 οπότε το ωφέλιmicroο έργο W2 της microηχανής αυτής σε χρόνο t θα υπολογίζεται microέσω της σχέσεως W2 = 2Q2 (2) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αολ του συστήmicroατος των δύο microηχα νών θα είναι

=

W1 + W2

Q1

(2)

(1)

=1Q1 + 2Q2

Q1

= 1 +2Q2

Q1

(3)

Όmicroως εάν T2 είναι η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της M1 ή της

θερmicroής πηγής της M2 θα ισχύει η σχέση

Q1

T1

=Q2

T2

Q2

Q1

=T2

T1

= 1 -1 (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) έχουmicroε

= 1 +2(1 - 1 ) = 1 +2 -12 (5) Eπειδή α1=1-T2T1 και α2=1-T3T2 η σχέση (5) γράφεται

= 1 -T

2

T1

+1 -T

3

T2

- 1 -T

2

T1

$

amp amp 1 -T

3

T2

$

amp amp

= 2 -

T2

T1

-T

3

T2

- 1+T

2

T1

-T

2

T1

T

3

T2

= 1 -T

3

T1

Mιά microάζα n mol microονοατοmicroικού ιδανικού αέριου (CV=3R2) όγκου V0 και πιέσεως P0 υποβάλλεται σε αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή που αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβο λές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB κατά την οποία η πίεση του αε ρίου διπλασιάζεται ii) από microια ισόθερmicroη εκτόνωση BrarrΓ κατά την οποία ο όγκος του αερίου διπλασιάζεται και iii) από microια ισοβαρή συmicroπίεση ΓrarrA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να βρείτε τη θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 14) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) Aπό το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη θέρmicroανση του αέριου υπό σταθερό όγκο V0 κατά την οποία η πίεση του αέριου από P0 γίνεται 2P0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Charles)

ii) Aπό το καmicroπύλογραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη εκτόνωση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία ο όγκος του αέριου από V0 γίνεται 2V0 οπότε η πίεσή του από 2P0 γίνεται P0 (νόmicroος Boyle) και iii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή συmicroπίεση του αέριου microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A(P0V0T0) Eξάλλου σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο η θερmicroότητα Q που το αέριο ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του κατά τον κύκλο ABΓA η microεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας και το έργο W που παράγει το αέριο συνδέονται microε τη σχέση

Q = ΔU + W Q = 0 + W Q = W (1)

Σχηmicroα 14 Όmicroως το έργο W είναι ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των επί microέρους έργων WAB WBΓ και WΓA που αντιστοιχούν στις microεταβολές ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA Έτσι θα έχουmicroε τη σχέση

W= WAB

+ WB

+WA

W = 0 +2nRT0ln (2V0 V0) + P0 (V0 - 2V0)

W=2nRT0ln2 -P

0V

0= 2P

0V

0ln2 -P

0V

0 (1)

Q=P0V0(2ln2 - 1) (2) β) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α microιας θερmicroικής microηχανής η οποία θα λειτουργούσε microε βάση τον κύκλο ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του προς την θερmicroότητα Qπρ που προσφέ ρεται σrsquo αυτό σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microηχανής δηλαδή ισχύει

=

W

Q

(1)

=Q

Q

(2)

=P0V0 (2ln2 - 1)

Q

(3)

Όmicroως για τη θερmicroότητα Qπρ ισχύει η σχέση

Q = QAB + QB = nCV(2T0 - T0 ) +2nRT0ln(2V0V0)

Q= nCVT0 +2nRT0ln2 = nT0 (CV +2Rln2) (4)

όπου CV η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερό όγκο Όmicroως το αέριο που εξετάζουmicroε ισχύει CV =3R2 και η (4) γράφεται

Q= nT0(3R2 +2Rln2) = nRT0(32 +2ln2)

Q= P0V0 (32 + 2ln2) (5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (5) παίρνουmicroε τη σχέση

=

P0V0 (2ln2 - 1)

P0V0(32 + 2ln2)=

2ln2 - 1

32 +2ln2

=

2(2ln2 - 1)

3 + 4ln2

Mιά ορισmicroένη microάζα microονοατοmicroικού ιδανικού αερί ου (CV=3R2) όγκου V0 πιέσεως P0 και απόλυτης θερmicroοκρασίας T0 υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται i) από microια ισοβαρή εκτόνωση ArarrB κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται ii) από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να υπολογίσετε το έργο που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το συντελεστή απόδοσης της κυκλικής αυτής microεταβολής ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 15) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή εκτόνωση του αέριου υπό πίεση P0 κατά την οποία ο όγκος του από V0 γίνεται 2V0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) ii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη ψύξη του αερίου υπό σταθερό όγκο 2V0 κατά την οποία το αέριο ψύχεται από τη θερmicroοκρασία 2T0 στη θερmicroοκρασία T0 οπότε η πίεσή του από P0 γίνεται P02 (νόmicroος Charles) και iii) από το καmicroπυλόγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη συmicroπί εση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία ο όγκος του ελατ τώνεται από 2V0 σε V0 ενώ η πίεση του αυξάνει από P02 σε P0 (νόmicroος Boyle) Eξάλλου το έργο W που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του θα είναι

ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των έργων WAB WBΓ και WΓA που ανταλλάσσει το αέριο κατά τη διάρκεια των επί microέρους microεταβολών ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA δηλαδή θα ισχύει

Σχήmicroα 15

W = WAB + WB+W

A = P0(2V0 -V0) + 0 +nRT0ln(V0 2V0)

W = P0V0 +nRT0ln(12) W= P0V

0- nRT

0ln2 (1)

όπου n ο αριθmicroός των mol του αέριου και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Όmicroως σύmicroφωνα microε την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων ισχύει P0V0=nRT0 οπότε η (1) γράφεται

W= P0V

0-P

0V

0ln2

W = P

0V

01 - ln2( ) (2)

β) O συντελεστής απόδοσης α του κύκλου ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W προς την θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου δηλαδή ισχύει

=

W

QAB

(1)

=P0V0 (1 - ln2)

nCP(2T0 - T0 )

=nRT0 (1 - ln2)

nCpT0

(3)

όπου CP η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερή πίεση Eπειδή γιατο αέριο έχουmicroε CP=5R2 η σχέση (3) γράφεται

=

nRT0 (1 - ln2)

5nRT02 =

2(1- ln2)

5 (4)

Ένα ιδανικό αέριο υποβάλλεται σε κυκλική αντισ τρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από microια ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB θερmicroοκρασίας T1 από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ όγκου V1 από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ θερmicroοκρασίας T2 και από microια ισόχωρη θέρmicroανση ΔrarrA όγκου V2=V12 Eάν ο λόγος CPCV του αερίου είναι γ

να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του το αέριο απορροφά από το εξωτερικό του περιβάλλον τα ποσά θερmicroότητας QΔA και QAB που ανιστοι χούν στην ισόχωρη θέρmicroανσή του ΔrarrA και στην ισόθερmicroη συmicroπίεσή του ArarrB Άρα ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβο λής είναι

=

W

Q$A + QAB

(1)

Σχήmicroα 16 όπου Wολ το ολικό έργο που παρέχει το αέριο στο περιβάλλον του Όmicroως για το έργο αυτό ισχύει

W= W

A+ W

AB+ W

B$+ W

$= 0 + W

AB+ 0 + W

$

W

= W

AB+W

$= nRT

1ln

V1

V12

$

amp amp + nRT2ln

V12

V1

$

amp amp

W= nRT

1ln2 - nRT

2ln2 W

= nR(T1 - T2 )ln2 (2) Εξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και QΔA ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1lnV1

V1 2

$

amp amp = nRT1ln2

και

QA = nCV (T1 - T2 ) =

nR(T1 - T2)

- 1 οπότε η (1) δίνει

=

nR(T1 - T2)ln2

nR(T1 - T2)( - 1) + nRT1ln2

=( - 1)(T1 - T2 )ln2

T1 - T2 + ( - 1)T1ln2

i) Nα δείξετε ότι η άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank για το δεύτερο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο συνεπάγεται και άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Nα δείξετε ότι microια κυκλική microεταβολή ορισmicroένης microάζας ιδανικού αέριου που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση από microια αδια βατική εκτόνωση και από microια αδιαβατική συmicroπίεση βρίσκεται σε αντίφαση microε το δεύτερo θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο δηλαδή microια τέτοια κυκ λική microεταβολή είναι αδύνατη ΛYΣH i) Έστω ότι υπάρχει θερmicroική microηχανή που σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microετατρέπει ολοκληρωτικά την θερmicroότητα Q1 που παίρνει από την πηγή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 σε microηχανικό έργο W χωρίς να δίνει θερmicroότητα στην πηγή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 Θεωρούmicroε τώρα microια κατάλ

Σχήmicroα 17 Σχήmicroα 18 ληλη ψυκτική microηχανή η οποία όταν λειτουργεί ανάmicroεσα στις ίδιες πηγές θερ microότητας microεταφέρει θερmicroότητα Q1 στην πηγή A καταναλώνοντας το έργο W που παράγει η θερmicroική microηχανή Tότε η ψυκτική αυτή microηχανή θα παίρνει από την πηγή B microια ορισmicroένη θερmicroότητα Q2 και εποmicroένως το σύστηmicroα των δύο microηχανών θα ισοδυναmicroεί microε microια ψυκτική microηχανή η οποία θα απάγει θερmicroότητα Q2 από την ψυχρή πηγή B χωρίς κατανάλωση έργου πράγmicroα που αποτελεί άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Έστω ότι microια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί την κυκλική microεταβο λή ABΓA που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB microια αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ και microια αδιαβατική συmicroπίεση ΓrarrA (σχήmicroα 18) Eφαρmicroόζοντας για τη microεταβολή αυτή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση QAB + QBΓ + QΓA = ΔUολ + Wολ QAB + 0 + 0 = 0 + Wολ QAB = Wολ (1)

H σχέση (1) δηλώνει ότι κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής ABΓA η θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο microετατρέπεται ολοκληρωτικά σε έργο γεγονός που έρχεται σε αντίθεση microε τη διατύπωση των Kelvin-Plank Παρατήρηση H microη πραγmicroατοποίση της κυκλικής microεταβολής ABΓA ισοδυναmicroεί microε το ότι οι αδιαβατικές καmicroπύλες BΓ και ΓA δεν είναι δυνατό να τέmicroνονται

Mιά ορισmicroένη microάζα ιδανικού αερίου εκτελεί κύκλο Carnot ABΓΔA Eάν V1 V2 V3 V4 είναι οι όγκοι του αέριου που αντιστοιχούν στις κατατάσεις A B Γ και Δ και T1 T2 είναι οι απόλυτες θερmicroοκρασίες της ισόθερmicroης εκτόνωσης και της ισόθερmicroης συmicroπίεσης του αέριου αντιστοίχως (T1gtT2) να δείξετε τις σχέσεις

V1V3 = V2V4 και W = nR(T1 - T2)ln(V2V1) όπου n τα mol του αερίου R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανικών αερίων και W το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του ΛYΣH Για την ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ισχύει P1

V1= P

2V

2 (1)

Για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Poisson ισχύει

P2V

2

= P3V

3

(2)

Σχήmicroα 19

Για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle έχουmicroε

P3V

3= P

4V

4 (3)

Tέλος για την αδιαβατική συmicroπίεση ΔrarrA σύmicroφωνα microε τον νόmicroο του Poisson έχουmicroε

P4V

4

= P1V

1

(4) όπου γ ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αερίου Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (4) κατά microέλη παίρνου microε τη σχέση

P1V

1P

2V

2

P3V

3P

4V

4

= P2V

2P

3V

3

P4V

4P

1V

1

2

-1

V 4

-1

V =3

-1

V 1

-1

V V3

V1= V

2V

4 (5)

Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκ λικής microεταβολής ABΓΔA είναι σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσει microε το περιβάλλον του Δηλαδή ισχύει η σχέση

W= Q

= QAB + QB

+ Q$

+ Q$A = QAB + Q

$ (6)

διότι για τις αδιαβατικές microεταβολές BrarrΓ και ΔrarrA έχουmicroε QBΓ =QΔA =0 Eξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και Q

ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1ln(V2 V1 )

Q

= nRT2ln(V4 V3 )

$

(+ )

QAB + Q

= nR T1lnV2

V1

$

amp amp + T2lnV4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(6)

W

= nR T

1ln

V2

V1

$

amp amp + T2ln

V4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(7)

Όmicroως από τη σχέση (5) έχουmicroε

V2

V1

=V

3

V4

lnV

2

V1

$

amp amp = lnV

3

V4

$

amp amp

lnV

2

V1

$

amp amp = - lnV

4

V3

$

amp amp

οπότε η (7) γράφεται

W

= nR(T1 - T2)ln

V2

V1

$

amp amp (8)

Mια θερmicroική microηχανή αναγκάζει ιδανικό αέριο σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση κατά την οποία η πίεση του αερίου τριπλασιάζεται

ii) από microια ισοβαρή εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται iii) από microια ισόχωρη ψύξη microέχρις ότου η πίεση του αερίου ανακτή σει την αρχική της τιmicroή και iv) απο microια ισοβαρή συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Eάν P0 V0 είναι η πίεση και ο όγκος αντιστοίχως του αερίου στην αρχική του κατάσταση και γ ο λόγος CPCV των γραmicromicroοmicroοριακών του ειδικών θερmicroοτήτων να βρείτε την προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroό τητα κατά την εξέλιξη του κύκλου γ) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής και να τον συγκρίνετε microε το συντελεστή απόδοσης της microηχα νής Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ της microέγιστης και της ελά χιστης θερmicroοκρασίας του αερίου της microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόχωρη θέρmicroανση AB του αερίου η πίεσή του τριπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Charles θα τριπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του αερίου δηλαδή από T0 θα γίνει 3T0 Κατά την ισοβα ρή εκτόνωση BΓ ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται οπότε και η απόλυτη θερmicroοκρασία του θα τριπλασιάζεται (νόmicroοςGay-Lussac) δηλαδή από 3T0 θα γίνει 9T0 Kατά την ισόχωρη ψύξη ΓΔ του αερίου η πίεση του απο την τιmicroή 3P0 λαmicroβάνει την τιmicroή P0 δηλαδή υποτριπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο του

Σχήmicroα 20 Charles πρέπει να υποτριπλασιασθεί και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή από 9T0 πρέπει να γίνει 3T0 Aυτό σηmicroαίνει ότι οι καταστάσεις B και Δ βρίσ κονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη θερmicroοκρασίας 3T0 Mε βάση τις παρα πάνω διαπιστώσεις το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου έχει τη microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (20) β) Kατά την εξέλιξη του κύκλου στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα στο στάδιο της ισόχωρης θέρmicroανσης AB και της ισοβαρούς εκτόνωσης BΓ δηλαδή ισχύει

Q = QAB + QB = nCV 3T0 - T0( ) + nCP 9T0 - 3T0( )

Q

= 2nCVT0 + 6nCPT0 = 2n CV + 3CP( )T0 (1)

Όmicroως οι γραmicromicroοmicroοριακές ειδικές θερmicroότητες CV και CP του αερίου ικανοποιούν τις σχέσεις

CP

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= R - 1

CP

= R - 1

$ (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε

Q

=

2nRT0

- 1(1+ 3) = 2P0V0

1+3

- 1

$

amp (3)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (4)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε το εmicroβαδόν του σκιασmicroένου ορθογωνίου ABΓΔ δηλαδή ισχύει W = micro$(ABamp) = (3P0 -P0)(3V0 -V0) = 4P0V0 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3)(4) και (5) έχουmicroε

=4P0V0

2P0V0

- 1

1+3

$

amp =

2( - 1)

1+ 3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται στην κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓΔA της οποίας το διάγραmicromicroα P-T φαίνεται στο σχήmicroα (21) i) Eάν οι θερmicroοδυναmicroικές microεταβλητές της κατάστασης A είναι P0 V0 και T0 να βρείτε τη θερmicroότητα που απορροφά το αέριο στη διάρκεια του κύκλου αφού προηγουmicroένως σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V του κύκλου ii) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση υπό θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου διπλασιάζεται οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ο όγκος του αερίου θα υποδιπλασιάζεται δηλαδή από V0 θα γίνει V02 H microεταβολή BΓ είναι ισοβαρής θέρmicroανση υπο πίεση 2P0 κατά την οποία η απόλυ

τη θερmicroοκρασία του αερίου διπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο Gay-Lussac θα διπλασιάζεται και ο όγκος του αερίου δηλαδή από V02 θα γίνει V0 H microετα βολή ΓΔ είναι ισόθερmicroη εκτόνωση υπό θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου υποδιπλασιάζεται οπότε ο όγκος του θα διπλασιάζεται (νόmicroος

Σχήmicroα 21 Σχήmicroα 22 Boyle) δηλαδή από V0 θα γίνει 2V0 Mε βάση τα παραπάνω οδηγούmicroαστε στο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου το οποίο έχει την microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (22) Στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του BΓ και της ισόθερmicroης εκτόνωσής του ΓΔ δηλαδή ισχύει η σχέση Q = QB +Q$ = nCP(2T0 - T0) + nR2T0ln(2V0V0 )

Q

= 5nRT02 + 2nRT0 ln2 Q

= P0V0 (52 + 2ln2) (1)

ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (2)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της υπο λογίζεται από τη σχέση

W = W

AB+ W

B + W$ + W$A

W

= nRT0ln

V0

2V0

$

amp +2P

0V

0-V

0

2

$

amp +

+

nR2T0ln2V0

V0

$

amp amp +P0(V0 - 2V0 )

W

= -nRT0ln2+P

0V

0+2nRT

0ln2 -P

0V

0=nRT

0ln2=P

0V

0ln2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) έχουmicroε

=P0V0ln2

P0V0(52 +2ln2)=

ln2

52 + 2ln2

Tο αέριο microιας θερmicroικής microηχανής είναι ιδανικό και υποβάλλεται σε αντιστρεπτό κύκλο ο οποίος αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή εκτόνωση AB microέχρις τετραπλασιασmicroού του όγ κου του αερίου ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση BΓ microέχρις ότου η πίεση του αερίου γίνει ίση microε το 132 της αρχικής της τιmicroής PA και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A όγκου VA α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Nα βρείτε το λόγο γ=CPCV του αερίου και να δείξετε ότι η θερ microότητα που απορροφά κατά την εξέλιξη του κύκλου είναι ίση microε 15PAVA2 γ) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Gay-Lussac θα τετραπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή απο TA θα γίνει 4TA Σύmicroφωνα microε το πρόβληmicroα κατά την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου η πίεση του microειώνε ται από την τιmicroή PA στην τιmicroή PA32 ο δε όγκος του αυξάνεται από την τιmicroή

Σχήmicroα 23 4VA στην τιmicroή VΓ Όmicroως microέσω της ισόθερmicroης συmicroπίεσης ΓA το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle θα έχουmicroε τη σχέση

PV

= P

AV

A V

= 32VA

Mε βάση τα παραπάνω το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (23) β) Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου το νόmicroο του Poisson παίρνουmicroε τη σχέση PB

VB

= PV

PA(4VA)

= (PA32)(32VA )

4

= 32-1 2

2= 2

5( -1) 2 = 5( - 1) = 53 που σηmicroαίνει ότι το αέριο είναι microονοατοmicroικό Eξάλλου η θερmicroότητα που απορροφά το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου ABΓA είναι ίση microε την θερmicroό τητα QAB που απορροφά κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του AB δηλαδή ισχύει Q

= QAB = nCP(4TA - TA) = 5nR(3TA 2)

Q

= 15nRTA2 = 15PAVA2 (1)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓ είναι

= W

Q$

(2) Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου του (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) οπότε θα έχουmicroε

W= Q$ = QAB + QB+ QA = nCP(4TA -TA ) + 0 + nRTAln(VA32VA )

W

= 5nR(3TA 2) - nRTAln(25)

W

= PAVA (152 - 5ln2) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) παίρνουmicroε

=PAVA(152 - 5ln2)

15PAVA2=

15 - 10ln2

15= 1 -

2ln2

3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) την ισόθερmicroη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του αερίου οκταπλασιάζεται ii) την ισόχωρη ψύξη BΓ και iii) την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0=3105 Ntm2 όγκου

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 12: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουmicroε τη σχέση

S

$= Q

T1 - T2

T1T2

$

amp (4)

Aπό την (4) προκύπτει ΔSσυστgt0 που σηmicroαίνει ότι κατά τη ροή θερmicroότητας από τη δεξαmicroενή A στην B δια microέσου της χάλκινης ράβδου η εντροπία του συστή microατος αυξάνεται Eξάλλου το περιβάλλον του συστήmicroατος των δύο δεξαmicroενών θερmicroότητας και της χάλκινης ράβδου δεν συmicromicroετέχει ενεργειακά σ΄ αυτή τη microη αντιστρεπτή διεργασία οπότε microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι η εντροπία του δεν microεταβάλλεται δηλαδή ισχύει ΔSπερ=0 Όmicroως το σύστηmicroα και το περιβάλλον του αποτελούν το Σύmicroπαν οπότε η ροή θερmicroότητας διrsquo αγωγής οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του Σύmicroπαντος Στο ίδιο συmicroπέρασmicroα καταλήγουmicroε εάν εξετάσουmicroε και άλλες φυσικές διαδικασίες που εξελλίσονται κατά microη αντιστρε πτό τρόπο όλες δε οι πειραmicroατικές microας εmicroπειρίες που αναφέρονται σε microη αντι στρεπτά φαινόmicroενα είναι συmicroβιβαστές microε την ακόλουθη πρόταση Kάθε microη αντιστρεπτή διαδικασία που συmicroβαίνει στο Σύmicroπαν οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του H πρόταση αυτή αποτελεί την εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroο δυναmicroικού νόmicroου και microολονότι δεν υπάρχει αυστηρή microαθηmicroατική απόδειξη αυτής πρέπει να τονίσουmicroε ότι η πρόταση είναι συνεπής προς όλα τα φυσικά φαινόmicroενα που εξελίσσονται στο Σύmicroπαν κατά microη αντιστρεπτό τρόπο Όπως θα δειχθεί στο επόmicroενο εδάφιο η εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυνα microικού νόmicroου είναι ισοδύναmicroη microε τη διατύπωση Kelvin-Plank που σηmicroαίνει ότι η αποδοχή ή παραβίαση της microιας συνεπάγεται την αποδοχή ή παραβίαση της άλλης Παρατήρήση Kάθε φυσική διαδικασία που συmicroβαίνει microέσα σrsquo ένα αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα δηλαδή σrsquo ένα σύστηmicroα που δεν ανταλλάσσει ύλη και ενέργεια microε το περιβάλ λον του θεωρείται αυθόρmicroητο φυσικό φαινόmicroενο αφού για την πραγmicroατο ποίησή του δεν χρειάζεται εξωτερική επίδραση Όmicroως microε την έννοια αυτή τα αυθόρmicroητα φαινόmicroενα είναι και microη αντιστρεπτά οπότε σύmicroφωνα microε την εντρο πική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου συνοδεύονται από αύξηση της εντροπίας του αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος Mπορούmicroε λοιπόν να διατυπώσουmicroε την παρακάτω πρόταση που είναι γνωστή ως αρχή αύξησης της εντροπίας ενός αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος Kάθε αυθόρmicroητη διαδικασία που συmicroβαίνει σrsquo ένα αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του 9 Iσοδυναmicroία της εντροπικής διατύπωσης προς την διατύπώση Kelvin-Plank Θα δείξουmicroε ότι η άρνηση της εντροπικής διατύπωσης του δεύτερου θερmicroοδυ ναmicroικού νόmicroου συνεπάγεται άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank Προς τούτο θεωρούmicroε microία θερmicroική microηχανή Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ των πηγών θερmicroότητας A και B αντιστοίχων θερmicroοκρασίων T1 και T2 microε T2ltT1 και

υποθέτουmicroε ότι σε κάθε κύκλο λειτουργίας της το θερmicroαντικό της σώmicroα (ιδανικό αέριο) απορροφά από την πηγή A θερmicroότητα Q1 και δίνει στην πηγή B θερmicroότητα Q2 Eπί πλέον υποθέτουmicroε ότι κατά τη λειτουργία της θερmicroικής αυτής microηχανής παραβιάζεται η εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυνα microικού νόmicroου δηλαδή ότι η εντροπία του Σύmicroπαντος microειώνεται Tότε θα ισχύει ΔSΣυmicroπlt0 ΔSmicroηχ+ΔSπερlt0 (1) Όmicroως η microεταβολή ΔSπερ της εντροπίας του περιβάλλοντος της θερmicroικής microηχα νής του Carnot είναι microηδενική διότι αυτό παίρνει microόνο έργο από τη microηχανή ενώ η microεταβολή ΔSmicroηχ της εντροπίας της microηχανής θα είναι

ΔSmicroηχ=ΔSαερ+ΔSA+ΔSB

Smicro = 0 +-Q1

T1

+Q2

T2

(2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

-Q1

T1

+Q2

T2

lt 0

Q1

T1

gtQ2

T2

(3)

Όmicroως η σχέση (3) σηmicroαίνει ότι η θερmicroική microηχανή του Carnot δεν λειτουργεί σύmicroφωνα microε τη διατύπωση των kelvin-Plank διότι τότε θα έπρεπε να ισχύει η σχέση

Q1 T1 = Q2 T2 Δηλαδή η παραβίαση της εντροπικής διατύπωσης του

δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου συνεπάγεται και την παραβίαση της διατύπω σης Kelvin-Plank 10 Aρχή υποβάθmicroισης της ενέργειας Aς θεωρήσουmicroε ένα σύστηmicroα από δύο σώmicroατα A και B που βρίσκονται σε αντί στοιχες θερmicroοκρασίες T1 και T2 microε T1gtT2 το οποίο είναι αποmicroονωmicroένο microε το περιβάλλον του Eάν τα δύο σώmicroατα έλθουν σε επαφή τότε είναι γνωστό ότι θα microεταβιβαστεί θερmicroότητα από το σώmicroα υψηλής θερmicroοκρασίας T1 προς το σώmicroα χαmicroηλώτερης θερmicroοκρασίας T2 microέχρις ότου τα δύο σώmicroατα αποκτήσουν κοινή θερmicroοκρασία Tκ για την οποία ισχύει T2ltTκltT1 Kατά την microη αντιστρεπτή αυτή διαδικασία το σύστηmicroα δεν ανταλλάσσει έργο και θερmicroότητα microε το περιβάλλον του αφού αποτελεί αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα microε αποτέλεσmicroα η εσωτερική του ενέργεια να παραmicroένει σταθερή (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) ενώ σύmicroφωνα microε την εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου η εντροπία του συστήmicroατος αυξάνεται Eξάλλου το σύστηmicroα στην αρχική του κατάσταση εmicroφανίζει microιά ορισmicroένη ικανότητα παραγωγής οργανωmicroένης ενέργειας αφού microπορεί νrsquo αποδώσει microηχανικό έργο microε τη microεσολάβηση microιας θερmicroικής microηχανής ανάmicroεσα στα δύο σώmicroατα Aντίθετα στην τελική του κατάσταση το σύστηmicroα έχει χάσει την ικανότητά του να δώσει οργανωmicroένη ενέργεια αφού τώρα είναι αδύνατη η λειτουργία microιάς θερmicroικής microηχανής microεταξύ των δύο σωmicroάτων καθό σον τα δύο σώmicroατα βρίσκονται στην ίδια θερmicroοκρασία Aπό την σύγκριση των δύο καταστάσεων βγαίνει το συmicroπέρασmicroα ότι microολονότι η εσωτερική ενέργεια του συστήmicroατος δεν άλλαξε η ικανότητα του για παραγωγή οργανωmicroένης ενέργειας δηλαδή ενέργειας που microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί ωφέλιmicroα έχει microηδε νιστεί ενώ ταυτόχρονα η εντροπία του συστήmicroατος παρουσιάζεται αυξηmicroένη Δηλαδή η αυξηmicroένη εντροπία του συστήmicroατος έχει υποβαθmicroίσει την ποιότητα

της εσωτερικής του ενέργειας microε την έννοια ότι αυτό δεν είναι τώρα σε θέση να δώσει ωφέλιmicroη ενέργεια Γενικώτερα αν αναφερθούmicroε στα microη αντιστρεπτά φυσικά φαινόmicroενα που συmicroβαίνουν στο Σύmicroπαν microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι συνοδεύονται microε ενεργειακή υποβάθmicroισή του δηλαδή microε απώλεια της δυνατότητάς του για παραγωγή ενέργειας ανώτερης ποιότητας microολονότι η εσωτερική του ενέργεια παραmicroένει αναλλοίωτη Aυτό σηmicroαίνει ότι microε την πάροδο του χρόνου το Σύmicroπαν τείνει σε microιά κατάσταση microέγιστης εντροπίας που του περιορίζει την ποιότητα του ενεργειακού του περιεχόmicroενου και το οδη γεί στον λεγόmicroενο θερmicroικό ή εντροπικό θάνατο Ένα άλλο χαρακτηριστικό παράδειγmicroα που microας δείχνει ότι η αύξηση της εντροπίας ενός αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος ελαττώνει την ικανότητα του για παραγωγή οργανωmicroένης ενέρ γειας είναι το εξής Aφήνουmicroε ένα σώmicroα να πέσει από ύψος h στο πάτωmicroα του δωmicroατίου microας Tο σώmicroα ξεκινάει την διαδροmicroή του microε microιά οργανωmicroένη δυνα microική ενέργεια mgh η οποία microετά την κρούση του microε το πάτωmicroα microετασχη microατίζεται σε ανοργάνωτη θερmicroική ενέργεια που κατανέmicroεται στο σώmicroα στο πάτωmicroα στον αέρα και στους τοίχους του δωmicroατίου microε αποτέλεσmicroα νrsquo αυξηθεί λίγο η θερmicroοκρασία τους Kατά την microη αντιστρεπτή αυτή διαδικασία η ολική ενέργεια του συστήmicroατος διατηρήθηκε σταθερή αυξήθηκε όmicroως η εντροπία του H αυξηmicroένη εντροπία του συστήmicroατος κάνει αδύνατη την αντίστροφη εξέλιξη του φαινοmicroένου δηλαδή την microετατροπή της προηγούmicroενης θερmicroικής ενέργειας σε δυναmicroική ενέργεια microε αυθόρmicroητη ανύψωση του σώmicroατος στην αρχική του θέση και ταυτόχρονη ψύξη όλων των σωmicroάτων που πήραν microέρος στο φαινόmicroενο Έτσι το σύστηmicroά παρουσιάζεται στην τελική του κατάσταση microε υποβαθmicroισmicroένο ενεργειακό περιεχόmicroενο δηλαδή έχει microειωθεί η ποιότητα της ενέργειάς του αφού αυτό έχασε την ικανότητά του να δίνει ωφέλιmicroο έργο Παρατήρηση H θερmicroότητα ως microορφή ενέργειας είναι ποσοτικά ισοδύναmicroη microε τις άλλες microορφές ενέργειας (microηχανική ηλεκτρική χηmicroική κλπ) αλλά ποιοτικά είναι υποβαθmicroισmicroένη ως προς αυτές Aυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η θερmicroότητα δεν microπορεί να microετασχηmicroατιστεί ολοκληρωτικά σε ενέργεια άλλης microορφής ενώ αντίθετα οι άλλες microορφές ενέργειας microε απλές διαδικασίες microετασχηmicroατίζονται ολοκληρωτικά σε θερmicroότητα lsquoΕτσι η θερmicroότητα θεωρείται ως ενέργεια κατώτε ρης ποιότητας ή ως microη οργανωmicroένη ενέργεια ως προς τις άλλες microορφές ενέρ γειας οι οποίες θεωρούνται ως ενέργειες ανώτερης ποιότητας

PM fysikos

Iδανικό αέριο εκτελεί διαδοχικά τις παρακάτω θερmicroικές διαδικασίες α) Mιά αντιστρεπτή ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται

β) Mιά αντιστρεπτή ισόχωρη microεταβολή κατά την οποία η πίεση του αερίου γίνεται η microισή της αρχικής του πιέσεως i) Nα σχεδιαστούν τα διαγράmicromicroατα P-V P-T και V-T των δύο αυτών συνεχόmicroενων microεταβολών ii) Nα βρεθεί η συνολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του Δίνονται τα καταστατικά microεγέθη V0 P0 και T0 της αρ χικής κατάστασης του αερίου ΛYΣH i) Kατά την αντιστρεπτή ισοβαρή εκτόνωση ArarrB του ιδανικού αερί ου από τον όγκο V0 στον όγκο 2V0 η απόλυτη θερmicroοκρασία του αυξάνει από την τιmicroή T0 στην τιmicroή 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) Στην αντιστρεπτή ισόχωρη microεταβολή BrarrΓ που ακολουθεί ο όγκος του αέριου microένει σταθερός και ίσος microε 2V0 ενω η πίεσή του ελαττώνεται από την τιmicroή Pο στην τιmicroή P02 microε απο τέλεσmicroα να ελαττώνεται και η θερmicroοκρασία του αέριου από την τιmicroή 2T0 στην

Σχήmicroα 10 Σχήmicroα 11 Σχήmicroα 12

τιmicroή T0 (νόmicroος Charles) Όλα τα παραπάνω εκφράζονται συmicroβολικά ως εξής

A(P0 V0 T0) rarr B(P0 2V0 2T0) rarr Γ(P02 2V0 T0) Tα σχήmicroατα (10) (11) (12) αποτελούν τα ζητούmicroενα διαγράmicromicroατα της microεταβο λής ArarrBrarrΓ του ιδανικού αερίου ii) Aφού κατά την αντιστρεπτή διαδικασία ArarrBrarrΓ η θερmicroοκρασία του αερίου τελικά δεν microεταβάλλεται η ολική microεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας είναι microηδέν διότι η εσωτερική ενέργεια microιας ορισmicroένης microάζας ιδανικού αερίου είναι συνάρτηση microόνο της θερmicroοκρασίας του Δηλαδή ισχύει

ΔUολ = 0 (1) Eφαρmicroόζοντας για το ιδανικό αέριο τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο κατά τη microεταβολή ArarrBrarrΓ παίρνουmicroε τη σχέση

Q= U

+ W

(1)

Q= 0 + W

= W

Q= WAB + WB

= P0(2V0 - V0 ) + 0 Q= P0V0

Mια θερmicroική microηχανή Carnot λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1=500 0K και T2=200 0K H microηχανή απορροφά από τη θερmicroή δεξαmicroενή θερmicroότητα microε ρυθmicroό q1=2105 Js i) Nα βρεθεί η ωφέλιmicroη ισχύς της microηχανής ii) Nα βρεθεί ο ρυθmicroός microε τον οποίο πρέπει να microεταφέρεται θερmicroότη τα στην ψυχρή πηγή microιας θερmicroικής microηχανής που λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδο σης ίσο microε 80 του συντελεστή απόδοσης της microηχανής Carnot και την ίδια ωφέλιmicroη ισχύ microε αυτή ΛYΣH i) Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot στο ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής τότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αC της microηχανής θα ικανοποιεί τη σχέση

C =W

Q1

W = CQ1

W

t=CQ1

t (1)

Όmicroως το πηλίκο Wt αποτελεί την ωφέλιmicroη ισχύ N της microηχανής ενώ το πηλίκο Q1t αποτελεί το ρυθmicroό q1 microεταφοράς θερmicroότητας από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το αέριο που χρησιmicroοποιεί οπότε η σχέση (1) γράφεται N = Cq1 = (1 - T2T1 )q1

N=(1-200500)2 105 Js=12 105 Js ii) Aς θεωρήσουmicroε τη θερmicroική microηχανή που εργάζεται microεταξύ των θερmicroοκρα σιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης α=08αC και ωφέλιmicroη ισχύ N Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το ενεργό υλικό που χρησιmicroοποιεί και Q2 η αντίστοιχη θερmicroότητα που microεταφέρεται από το υλικό αυτό προς την ψυχρή δεξαmicroενή της θα έχουmicroε τις σχέσεις

Q1 = W+Q2

08C = WQ1

W

08C

= W+Q2

W1

08C

- 1

$

amp =Q2

W

t

1

08C

- 1

$

amp =

Q2

t

microε C

= 1- T2T

1= 35 Όmicroως το πηλίκο Q2t αποτελεί το ρυθmicroό q2 microεταφοράς

θερmicroότητας στην ψυχρή πηγή της θερmicroικής microηχανής ενώ το πηλίκο Wt αποτελεί την ισχύ N της microηχανής οπότε η (2) γράφεται q2 = N(54C - 1) = 12 10

5(25 12 - 1) Js = 13 10

5Js

Mια θερmicroική microηχανή αποτελείται από δύο θερmicroι κές microηχανές Carnot και η ψυχρή πηγή της microιας αποτελεί θερmicroή πηγή της άλλης Eάν α1 α2 είναι οι θερmicroοδυναmicroικοί συντελεστές από δοσης των δύο microηχανών T1 η απόλυτη θερmicroοκρασία της θερmicroής πηγής της πρώτης και T3 η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της δεύτερης να δείξετε τις σχέσεις αολ = α1 + α2 - α1α2 και αολ = 1 - T3 T1 όπου αολ ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της σύνθετης microηχανής Carnot ΛYΣH Έστω ότι σε χρόνο t microεταφέρεται θερmicroότητα Q1 από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot M1 προς το ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W1 είναι το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής αυτής O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α1 της microηχανής θα είναι 1 = W1Q1 W1 = 1Q1 (1)

Σχήmicroα 13 Eξάλλου εάν Q2 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t στην ψυχρή πηγή της microηχανής M1 αυτή θα αποτελεί και την αντίστοιχη θερmicroότητα που λαmicroβάνει το αέριο της δεύτερης microηχανής Carnot M2 οπότε το ωφέλιmicroο έργο W2 της microηχανής αυτής σε χρόνο t θα υπολογίζεται microέσω της σχέσεως W2 = 2Q2 (2) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αολ του συστήmicroατος των δύο microηχα νών θα είναι

=

W1 + W2

Q1

(2)

(1)

=1Q1 + 2Q2

Q1

= 1 +2Q2

Q1

(3)

Όmicroως εάν T2 είναι η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της M1 ή της

θερmicroής πηγής της M2 θα ισχύει η σχέση

Q1

T1

=Q2

T2

Q2

Q1

=T2

T1

= 1 -1 (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) έχουmicroε

= 1 +2(1 - 1 ) = 1 +2 -12 (5) Eπειδή α1=1-T2T1 και α2=1-T3T2 η σχέση (5) γράφεται

= 1 -T

2

T1

+1 -T

3

T2

- 1 -T

2

T1

$

amp amp 1 -T

3

T2

$

amp amp

= 2 -

T2

T1

-T

3

T2

- 1+T

2

T1

-T

2

T1

T

3

T2

= 1 -T

3

T1

Mιά microάζα n mol microονοατοmicroικού ιδανικού αέριου (CV=3R2) όγκου V0 και πιέσεως P0 υποβάλλεται σε αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή που αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβο λές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB κατά την οποία η πίεση του αε ρίου διπλασιάζεται ii) από microια ισόθερmicroη εκτόνωση BrarrΓ κατά την οποία ο όγκος του αερίου διπλασιάζεται και iii) από microια ισοβαρή συmicroπίεση ΓrarrA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να βρείτε τη θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 14) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) Aπό το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη θέρmicroανση του αέριου υπό σταθερό όγκο V0 κατά την οποία η πίεση του αέριου από P0 γίνεται 2P0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Charles)

ii) Aπό το καmicroπύλογραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη εκτόνωση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία ο όγκος του αέριου από V0 γίνεται 2V0 οπότε η πίεσή του από 2P0 γίνεται P0 (νόmicroος Boyle) και iii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή συmicroπίεση του αέριου microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A(P0V0T0) Eξάλλου σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο η θερmicroότητα Q που το αέριο ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του κατά τον κύκλο ABΓA η microεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας και το έργο W που παράγει το αέριο συνδέονται microε τη σχέση

Q = ΔU + W Q = 0 + W Q = W (1)

Σχηmicroα 14 Όmicroως το έργο W είναι ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των επί microέρους έργων WAB WBΓ και WΓA που αντιστοιχούν στις microεταβολές ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA Έτσι θα έχουmicroε τη σχέση

W= WAB

+ WB

+WA

W = 0 +2nRT0ln (2V0 V0) + P0 (V0 - 2V0)

W=2nRT0ln2 -P

0V

0= 2P

0V

0ln2 -P

0V

0 (1)

Q=P0V0(2ln2 - 1) (2) β) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α microιας θερmicroικής microηχανής η οποία θα λειτουργούσε microε βάση τον κύκλο ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του προς την θερmicroότητα Qπρ που προσφέ ρεται σrsquo αυτό σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microηχανής δηλαδή ισχύει

=

W

Q

(1)

=Q

Q

(2)

=P0V0 (2ln2 - 1)

Q

(3)

Όmicroως για τη θερmicroότητα Qπρ ισχύει η σχέση

Q = QAB + QB = nCV(2T0 - T0 ) +2nRT0ln(2V0V0)

Q= nCVT0 +2nRT0ln2 = nT0 (CV +2Rln2) (4)

όπου CV η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερό όγκο Όmicroως το αέριο που εξετάζουmicroε ισχύει CV =3R2 και η (4) γράφεται

Q= nT0(3R2 +2Rln2) = nRT0(32 +2ln2)

Q= P0V0 (32 + 2ln2) (5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (5) παίρνουmicroε τη σχέση

=

P0V0 (2ln2 - 1)

P0V0(32 + 2ln2)=

2ln2 - 1

32 +2ln2

=

2(2ln2 - 1)

3 + 4ln2

Mιά ορισmicroένη microάζα microονοατοmicroικού ιδανικού αερί ου (CV=3R2) όγκου V0 πιέσεως P0 και απόλυτης θερmicroοκρασίας T0 υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται i) από microια ισοβαρή εκτόνωση ArarrB κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται ii) από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να υπολογίσετε το έργο που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το συντελεστή απόδοσης της κυκλικής αυτής microεταβολής ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 15) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή εκτόνωση του αέριου υπό πίεση P0 κατά την οποία ο όγκος του από V0 γίνεται 2V0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) ii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη ψύξη του αερίου υπό σταθερό όγκο 2V0 κατά την οποία το αέριο ψύχεται από τη θερmicroοκρασία 2T0 στη θερmicroοκρασία T0 οπότε η πίεσή του από P0 γίνεται P02 (νόmicroος Charles) και iii) από το καmicroπυλόγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη συmicroπί εση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία ο όγκος του ελατ τώνεται από 2V0 σε V0 ενώ η πίεση του αυξάνει από P02 σε P0 (νόmicroος Boyle) Eξάλλου το έργο W που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του θα είναι

ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των έργων WAB WBΓ και WΓA που ανταλλάσσει το αέριο κατά τη διάρκεια των επί microέρους microεταβολών ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA δηλαδή θα ισχύει

Σχήmicroα 15

W = WAB + WB+W

A = P0(2V0 -V0) + 0 +nRT0ln(V0 2V0)

W = P0V0 +nRT0ln(12) W= P0V

0- nRT

0ln2 (1)

όπου n ο αριθmicroός των mol του αέριου και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Όmicroως σύmicroφωνα microε την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων ισχύει P0V0=nRT0 οπότε η (1) γράφεται

W= P0V

0-P

0V

0ln2

W = P

0V

01 - ln2( ) (2)

β) O συντελεστής απόδοσης α του κύκλου ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W προς την θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου δηλαδή ισχύει

=

W

QAB

(1)

=P0V0 (1 - ln2)

nCP(2T0 - T0 )

=nRT0 (1 - ln2)

nCpT0

(3)

όπου CP η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερή πίεση Eπειδή γιατο αέριο έχουmicroε CP=5R2 η σχέση (3) γράφεται

=

nRT0 (1 - ln2)

5nRT02 =

2(1- ln2)

5 (4)

Ένα ιδανικό αέριο υποβάλλεται σε κυκλική αντισ τρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από microια ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB θερmicroοκρασίας T1 από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ όγκου V1 από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ θερmicroοκρασίας T2 και από microια ισόχωρη θέρmicroανση ΔrarrA όγκου V2=V12 Eάν ο λόγος CPCV του αερίου είναι γ

να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του το αέριο απορροφά από το εξωτερικό του περιβάλλον τα ποσά θερmicroότητας QΔA και QAB που ανιστοι χούν στην ισόχωρη θέρmicroανσή του ΔrarrA και στην ισόθερmicroη συmicroπίεσή του ArarrB Άρα ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβο λής είναι

=

W

Q$A + QAB

(1)

Σχήmicroα 16 όπου Wολ το ολικό έργο που παρέχει το αέριο στο περιβάλλον του Όmicroως για το έργο αυτό ισχύει

W= W

A+ W

AB+ W

B$+ W

$= 0 + W

AB+ 0 + W

$

W

= W

AB+W

$= nRT

1ln

V1

V12

$

amp amp + nRT2ln

V12

V1

$

amp amp

W= nRT

1ln2 - nRT

2ln2 W

= nR(T1 - T2 )ln2 (2) Εξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και QΔA ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1lnV1

V1 2

$

amp amp = nRT1ln2

και

QA = nCV (T1 - T2 ) =

nR(T1 - T2)

- 1 οπότε η (1) δίνει

=

nR(T1 - T2)ln2

nR(T1 - T2)( - 1) + nRT1ln2

=( - 1)(T1 - T2 )ln2

T1 - T2 + ( - 1)T1ln2

i) Nα δείξετε ότι η άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank για το δεύτερο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο συνεπάγεται και άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Nα δείξετε ότι microια κυκλική microεταβολή ορισmicroένης microάζας ιδανικού αέριου που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση από microια αδια βατική εκτόνωση και από microια αδιαβατική συmicroπίεση βρίσκεται σε αντίφαση microε το δεύτερo θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο δηλαδή microια τέτοια κυκ λική microεταβολή είναι αδύνατη ΛYΣH i) Έστω ότι υπάρχει θερmicroική microηχανή που σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microετατρέπει ολοκληρωτικά την θερmicroότητα Q1 που παίρνει από την πηγή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 σε microηχανικό έργο W χωρίς να δίνει θερmicroότητα στην πηγή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 Θεωρούmicroε τώρα microια κατάλ

Σχήmicroα 17 Σχήmicroα 18 ληλη ψυκτική microηχανή η οποία όταν λειτουργεί ανάmicroεσα στις ίδιες πηγές θερ microότητας microεταφέρει θερmicroότητα Q1 στην πηγή A καταναλώνοντας το έργο W που παράγει η θερmicroική microηχανή Tότε η ψυκτική αυτή microηχανή θα παίρνει από την πηγή B microια ορισmicroένη θερmicroότητα Q2 και εποmicroένως το σύστηmicroα των δύο microηχανών θα ισοδυναmicroεί microε microια ψυκτική microηχανή η οποία θα απάγει θερmicroότητα Q2 από την ψυχρή πηγή B χωρίς κατανάλωση έργου πράγmicroα που αποτελεί άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Έστω ότι microια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί την κυκλική microεταβο λή ABΓA που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB microια αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ και microια αδιαβατική συmicroπίεση ΓrarrA (σχήmicroα 18) Eφαρmicroόζοντας για τη microεταβολή αυτή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση QAB + QBΓ + QΓA = ΔUολ + Wολ QAB + 0 + 0 = 0 + Wολ QAB = Wολ (1)

H σχέση (1) δηλώνει ότι κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής ABΓA η θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο microετατρέπεται ολοκληρωτικά σε έργο γεγονός που έρχεται σε αντίθεση microε τη διατύπωση των Kelvin-Plank Παρατήρηση H microη πραγmicroατοποίση της κυκλικής microεταβολής ABΓA ισοδυναmicroεί microε το ότι οι αδιαβατικές καmicroπύλες BΓ και ΓA δεν είναι δυνατό να τέmicroνονται

Mιά ορισmicroένη microάζα ιδανικού αερίου εκτελεί κύκλο Carnot ABΓΔA Eάν V1 V2 V3 V4 είναι οι όγκοι του αέριου που αντιστοιχούν στις κατατάσεις A B Γ και Δ και T1 T2 είναι οι απόλυτες θερmicroοκρασίες της ισόθερmicroης εκτόνωσης και της ισόθερmicroης συmicroπίεσης του αέριου αντιστοίχως (T1gtT2) να δείξετε τις σχέσεις

V1V3 = V2V4 και W = nR(T1 - T2)ln(V2V1) όπου n τα mol του αερίου R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανικών αερίων και W το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του ΛYΣH Για την ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ισχύει P1

V1= P

2V

2 (1)

Για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Poisson ισχύει

P2V

2

= P3V

3

(2)

Σχήmicroα 19

Για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle έχουmicroε

P3V

3= P

4V

4 (3)

Tέλος για την αδιαβατική συmicroπίεση ΔrarrA σύmicroφωνα microε τον νόmicroο του Poisson έχουmicroε

P4V

4

= P1V

1

(4) όπου γ ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αερίου Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (4) κατά microέλη παίρνου microε τη σχέση

P1V

1P

2V

2

P3V

3P

4V

4

= P2V

2P

3V

3

P4V

4P

1V

1

2

-1

V 4

-1

V =3

-1

V 1

-1

V V3

V1= V

2V

4 (5)

Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκ λικής microεταβολής ABΓΔA είναι σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσει microε το περιβάλλον του Δηλαδή ισχύει η σχέση

W= Q

= QAB + QB

+ Q$

+ Q$A = QAB + Q

$ (6)

διότι για τις αδιαβατικές microεταβολές BrarrΓ και ΔrarrA έχουmicroε QBΓ =QΔA =0 Eξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και Q

ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1ln(V2 V1 )

Q

= nRT2ln(V4 V3 )

$

(+ )

QAB + Q

= nR T1lnV2

V1

$

amp amp + T2lnV4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(6)

W

= nR T

1ln

V2

V1

$

amp amp + T2ln

V4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(7)

Όmicroως από τη σχέση (5) έχουmicroε

V2

V1

=V

3

V4

lnV

2

V1

$

amp amp = lnV

3

V4

$

amp amp

lnV

2

V1

$

amp amp = - lnV

4

V3

$

amp amp

οπότε η (7) γράφεται

W

= nR(T1 - T2)ln

V2

V1

$

amp amp (8)

Mια θερmicroική microηχανή αναγκάζει ιδανικό αέριο σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση κατά την οποία η πίεση του αερίου τριπλασιάζεται

ii) από microια ισοβαρή εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται iii) από microια ισόχωρη ψύξη microέχρις ότου η πίεση του αερίου ανακτή σει την αρχική της τιmicroή και iv) απο microια ισοβαρή συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Eάν P0 V0 είναι η πίεση και ο όγκος αντιστοίχως του αερίου στην αρχική του κατάσταση και γ ο λόγος CPCV των γραmicromicroοmicroοριακών του ειδικών θερmicroοτήτων να βρείτε την προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroό τητα κατά την εξέλιξη του κύκλου γ) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής και να τον συγκρίνετε microε το συντελεστή απόδοσης της microηχα νής Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ της microέγιστης και της ελά χιστης θερmicroοκρασίας του αερίου της microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόχωρη θέρmicroανση AB του αερίου η πίεσή του τριπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Charles θα τριπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του αερίου δηλαδή από T0 θα γίνει 3T0 Κατά την ισοβα ρή εκτόνωση BΓ ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται οπότε και η απόλυτη θερmicroοκρασία του θα τριπλασιάζεται (νόmicroοςGay-Lussac) δηλαδή από 3T0 θα γίνει 9T0 Kατά την ισόχωρη ψύξη ΓΔ του αερίου η πίεση του απο την τιmicroή 3P0 λαmicroβάνει την τιmicroή P0 δηλαδή υποτριπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο του

Σχήmicroα 20 Charles πρέπει να υποτριπλασιασθεί και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή από 9T0 πρέπει να γίνει 3T0 Aυτό σηmicroαίνει ότι οι καταστάσεις B και Δ βρίσ κονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη θερmicroοκρασίας 3T0 Mε βάση τις παρα πάνω διαπιστώσεις το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου έχει τη microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (20) β) Kατά την εξέλιξη του κύκλου στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα στο στάδιο της ισόχωρης θέρmicroανσης AB και της ισοβαρούς εκτόνωσης BΓ δηλαδή ισχύει

Q = QAB + QB = nCV 3T0 - T0( ) + nCP 9T0 - 3T0( )

Q

= 2nCVT0 + 6nCPT0 = 2n CV + 3CP( )T0 (1)

Όmicroως οι γραmicromicroοmicroοριακές ειδικές θερmicroότητες CV και CP του αερίου ικανοποιούν τις σχέσεις

CP

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= R - 1

CP

= R - 1

$ (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε

Q

=

2nRT0

- 1(1+ 3) = 2P0V0

1+3

- 1

$

amp (3)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (4)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε το εmicroβαδόν του σκιασmicroένου ορθογωνίου ABΓΔ δηλαδή ισχύει W = micro$(ABamp) = (3P0 -P0)(3V0 -V0) = 4P0V0 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3)(4) και (5) έχουmicroε

=4P0V0

2P0V0

- 1

1+3

$

amp =

2( - 1)

1+ 3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται στην κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓΔA της οποίας το διάγραmicromicroα P-T φαίνεται στο σχήmicroα (21) i) Eάν οι θερmicroοδυναmicroικές microεταβλητές της κατάστασης A είναι P0 V0 και T0 να βρείτε τη θερmicroότητα που απορροφά το αέριο στη διάρκεια του κύκλου αφού προηγουmicroένως σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V του κύκλου ii) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση υπό θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου διπλασιάζεται οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ο όγκος του αερίου θα υποδιπλασιάζεται δηλαδή από V0 θα γίνει V02 H microεταβολή BΓ είναι ισοβαρής θέρmicroανση υπο πίεση 2P0 κατά την οποία η απόλυ

τη θερmicroοκρασία του αερίου διπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο Gay-Lussac θα διπλασιάζεται και ο όγκος του αερίου δηλαδή από V02 θα γίνει V0 H microετα βολή ΓΔ είναι ισόθερmicroη εκτόνωση υπό θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου υποδιπλασιάζεται οπότε ο όγκος του θα διπλασιάζεται (νόmicroος

Σχήmicroα 21 Σχήmicroα 22 Boyle) δηλαδή από V0 θα γίνει 2V0 Mε βάση τα παραπάνω οδηγούmicroαστε στο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου το οποίο έχει την microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (22) Στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του BΓ και της ισόθερmicroης εκτόνωσής του ΓΔ δηλαδή ισχύει η σχέση Q = QB +Q$ = nCP(2T0 - T0) + nR2T0ln(2V0V0 )

Q

= 5nRT02 + 2nRT0 ln2 Q

= P0V0 (52 + 2ln2) (1)

ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (2)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της υπο λογίζεται από τη σχέση

W = W

AB+ W

B + W$ + W$A

W

= nRT0ln

V0

2V0

$

amp +2P

0V

0-V

0

2

$

amp +

+

nR2T0ln2V0

V0

$

amp amp +P0(V0 - 2V0 )

W

= -nRT0ln2+P

0V

0+2nRT

0ln2 -P

0V

0=nRT

0ln2=P

0V

0ln2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) έχουmicroε

=P0V0ln2

P0V0(52 +2ln2)=

ln2

52 + 2ln2

Tο αέριο microιας θερmicroικής microηχανής είναι ιδανικό και υποβάλλεται σε αντιστρεπτό κύκλο ο οποίος αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή εκτόνωση AB microέχρις τετραπλασιασmicroού του όγ κου του αερίου ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση BΓ microέχρις ότου η πίεση του αερίου γίνει ίση microε το 132 της αρχικής της τιmicroής PA και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A όγκου VA α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Nα βρείτε το λόγο γ=CPCV του αερίου και να δείξετε ότι η θερ microότητα που απορροφά κατά την εξέλιξη του κύκλου είναι ίση microε 15PAVA2 γ) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Gay-Lussac θα τετραπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή απο TA θα γίνει 4TA Σύmicroφωνα microε το πρόβληmicroα κατά την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου η πίεση του microειώνε ται από την τιmicroή PA στην τιmicroή PA32 ο δε όγκος του αυξάνεται από την τιmicroή

Σχήmicroα 23 4VA στην τιmicroή VΓ Όmicroως microέσω της ισόθερmicroης συmicroπίεσης ΓA το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle θα έχουmicroε τη σχέση

PV

= P

AV

A V

= 32VA

Mε βάση τα παραπάνω το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (23) β) Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου το νόmicroο του Poisson παίρνουmicroε τη σχέση PB

VB

= PV

PA(4VA)

= (PA32)(32VA )

4

= 32-1 2

2= 2

5( -1) 2 = 5( - 1) = 53 που σηmicroαίνει ότι το αέριο είναι microονοατοmicroικό Eξάλλου η θερmicroότητα που απορροφά το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου ABΓA είναι ίση microε την θερmicroό τητα QAB που απορροφά κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του AB δηλαδή ισχύει Q

= QAB = nCP(4TA - TA) = 5nR(3TA 2)

Q

= 15nRTA2 = 15PAVA2 (1)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓ είναι

= W

Q$

(2) Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου του (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) οπότε θα έχουmicroε

W= Q$ = QAB + QB+ QA = nCP(4TA -TA ) + 0 + nRTAln(VA32VA )

W

= 5nR(3TA 2) - nRTAln(25)

W

= PAVA (152 - 5ln2) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) παίρνουmicroε

=PAVA(152 - 5ln2)

15PAVA2=

15 - 10ln2

15= 1 -

2ln2

3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) την ισόθερmicroη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του αερίου οκταπλασιάζεται ii) την ισόχωρη ψύξη BΓ και iii) την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0=3105 Ntm2 όγκου

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 13: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

υποθέτουmicroε ότι σε κάθε κύκλο λειτουργίας της το θερmicroαντικό της σώmicroα (ιδανικό αέριο) απορροφά από την πηγή A θερmicroότητα Q1 και δίνει στην πηγή B θερmicroότητα Q2 Eπί πλέον υποθέτουmicroε ότι κατά τη λειτουργία της θερmicroικής αυτής microηχανής παραβιάζεται η εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυνα microικού νόmicroου δηλαδή ότι η εντροπία του Σύmicroπαντος microειώνεται Tότε θα ισχύει ΔSΣυmicroπlt0 ΔSmicroηχ+ΔSπερlt0 (1) Όmicroως η microεταβολή ΔSπερ της εντροπίας του περιβάλλοντος της θερmicroικής microηχα νής του Carnot είναι microηδενική διότι αυτό παίρνει microόνο έργο από τη microηχανή ενώ η microεταβολή ΔSmicroηχ της εντροπίας της microηχανής θα είναι

ΔSmicroηχ=ΔSαερ+ΔSA+ΔSB

Smicro = 0 +-Q1

T1

+Q2

T2

(2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

-Q1

T1

+Q2

T2

lt 0

Q1

T1

gtQ2

T2

(3)

Όmicroως η σχέση (3) σηmicroαίνει ότι η θερmicroική microηχανή του Carnot δεν λειτουργεί σύmicroφωνα microε τη διατύπωση των kelvin-Plank διότι τότε θα έπρεπε να ισχύει η σχέση

Q1 T1 = Q2 T2 Δηλαδή η παραβίαση της εντροπικής διατύπωσης του

δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου συνεπάγεται και την παραβίαση της διατύπω σης Kelvin-Plank 10 Aρχή υποβάθmicroισης της ενέργειας Aς θεωρήσουmicroε ένα σύστηmicroα από δύο σώmicroατα A και B που βρίσκονται σε αντί στοιχες θερmicroοκρασίες T1 και T2 microε T1gtT2 το οποίο είναι αποmicroονωmicroένο microε το περιβάλλον του Eάν τα δύο σώmicroατα έλθουν σε επαφή τότε είναι γνωστό ότι θα microεταβιβαστεί θερmicroότητα από το σώmicroα υψηλής θερmicroοκρασίας T1 προς το σώmicroα χαmicroηλώτερης θερmicroοκρασίας T2 microέχρις ότου τα δύο σώmicroατα αποκτήσουν κοινή θερmicroοκρασία Tκ για την οποία ισχύει T2ltTκltT1 Kατά την microη αντιστρεπτή αυτή διαδικασία το σύστηmicroα δεν ανταλλάσσει έργο και θερmicroότητα microε το περιβάλλον του αφού αποτελεί αποmicroονωmicroένο σύστηmicroα microε αποτέλεσmicroα η εσωτερική του ενέργεια να παραmicroένει σταθερή (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) ενώ σύmicroφωνα microε την εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερmicroοδυναmicroικού νόmicroου η εντροπία του συστήmicroατος αυξάνεται Eξάλλου το σύστηmicroα στην αρχική του κατάσταση εmicroφανίζει microιά ορισmicroένη ικανότητα παραγωγής οργανωmicroένης ενέργειας αφού microπορεί νrsquo αποδώσει microηχανικό έργο microε τη microεσολάβηση microιας θερmicroικής microηχανής ανάmicroεσα στα δύο σώmicroατα Aντίθετα στην τελική του κατάσταση το σύστηmicroα έχει χάσει την ικανότητά του να δώσει οργανωmicroένη ενέργεια αφού τώρα είναι αδύνατη η λειτουργία microιάς θερmicroικής microηχανής microεταξύ των δύο σωmicroάτων καθό σον τα δύο σώmicroατα βρίσκονται στην ίδια θερmicroοκρασία Aπό την σύγκριση των δύο καταστάσεων βγαίνει το συmicroπέρασmicroα ότι microολονότι η εσωτερική ενέργεια του συστήmicroατος δεν άλλαξε η ικανότητα του για παραγωγή οργανωmicroένης ενέργειας δηλαδή ενέργειας που microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί ωφέλιmicroα έχει microηδε νιστεί ενώ ταυτόχρονα η εντροπία του συστήmicroατος παρουσιάζεται αυξηmicroένη Δηλαδή η αυξηmicroένη εντροπία του συστήmicroατος έχει υποβαθmicroίσει την ποιότητα

της εσωτερικής του ενέργειας microε την έννοια ότι αυτό δεν είναι τώρα σε θέση να δώσει ωφέλιmicroη ενέργεια Γενικώτερα αν αναφερθούmicroε στα microη αντιστρεπτά φυσικά φαινόmicroενα που συmicroβαίνουν στο Σύmicroπαν microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι συνοδεύονται microε ενεργειακή υποβάθmicroισή του δηλαδή microε απώλεια της δυνατότητάς του για παραγωγή ενέργειας ανώτερης ποιότητας microολονότι η εσωτερική του ενέργεια παραmicroένει αναλλοίωτη Aυτό σηmicroαίνει ότι microε την πάροδο του χρόνου το Σύmicroπαν τείνει σε microιά κατάσταση microέγιστης εντροπίας που του περιορίζει την ποιότητα του ενεργειακού του περιεχόmicroενου και το οδη γεί στον λεγόmicroενο θερmicroικό ή εντροπικό θάνατο Ένα άλλο χαρακτηριστικό παράδειγmicroα που microας δείχνει ότι η αύξηση της εντροπίας ενός αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος ελαττώνει την ικανότητα του για παραγωγή οργανωmicroένης ενέρ γειας είναι το εξής Aφήνουmicroε ένα σώmicroα να πέσει από ύψος h στο πάτωmicroα του δωmicroατίου microας Tο σώmicroα ξεκινάει την διαδροmicroή του microε microιά οργανωmicroένη δυνα microική ενέργεια mgh η οποία microετά την κρούση του microε το πάτωmicroα microετασχη microατίζεται σε ανοργάνωτη θερmicroική ενέργεια που κατανέmicroεται στο σώmicroα στο πάτωmicroα στον αέρα και στους τοίχους του δωmicroατίου microε αποτέλεσmicroα νrsquo αυξηθεί λίγο η θερmicroοκρασία τους Kατά την microη αντιστρεπτή αυτή διαδικασία η ολική ενέργεια του συστήmicroατος διατηρήθηκε σταθερή αυξήθηκε όmicroως η εντροπία του H αυξηmicroένη εντροπία του συστήmicroατος κάνει αδύνατη την αντίστροφη εξέλιξη του φαινοmicroένου δηλαδή την microετατροπή της προηγούmicroενης θερmicroικής ενέργειας σε δυναmicroική ενέργεια microε αυθόρmicroητη ανύψωση του σώmicroατος στην αρχική του θέση και ταυτόχρονη ψύξη όλων των σωmicroάτων που πήραν microέρος στο φαινόmicroενο Έτσι το σύστηmicroά παρουσιάζεται στην τελική του κατάσταση microε υποβαθmicroισmicroένο ενεργειακό περιεχόmicroενο δηλαδή έχει microειωθεί η ποιότητα της ενέργειάς του αφού αυτό έχασε την ικανότητά του να δίνει ωφέλιmicroο έργο Παρατήρηση H θερmicroότητα ως microορφή ενέργειας είναι ποσοτικά ισοδύναmicroη microε τις άλλες microορφές ενέργειας (microηχανική ηλεκτρική χηmicroική κλπ) αλλά ποιοτικά είναι υποβαθmicroισmicroένη ως προς αυτές Aυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η θερmicroότητα δεν microπορεί να microετασχηmicroατιστεί ολοκληρωτικά σε ενέργεια άλλης microορφής ενώ αντίθετα οι άλλες microορφές ενέργειας microε απλές διαδικασίες microετασχηmicroατίζονται ολοκληρωτικά σε θερmicroότητα lsquoΕτσι η θερmicroότητα θεωρείται ως ενέργεια κατώτε ρης ποιότητας ή ως microη οργανωmicroένη ενέργεια ως προς τις άλλες microορφές ενέρ γειας οι οποίες θεωρούνται ως ενέργειες ανώτερης ποιότητας

PM fysikos

Iδανικό αέριο εκτελεί διαδοχικά τις παρακάτω θερmicroικές διαδικασίες α) Mιά αντιστρεπτή ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται

β) Mιά αντιστρεπτή ισόχωρη microεταβολή κατά την οποία η πίεση του αερίου γίνεται η microισή της αρχικής του πιέσεως i) Nα σχεδιαστούν τα διαγράmicromicroατα P-V P-T και V-T των δύο αυτών συνεχόmicroενων microεταβολών ii) Nα βρεθεί η συνολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του Δίνονται τα καταστατικά microεγέθη V0 P0 και T0 της αρ χικής κατάστασης του αερίου ΛYΣH i) Kατά την αντιστρεπτή ισοβαρή εκτόνωση ArarrB του ιδανικού αερί ου από τον όγκο V0 στον όγκο 2V0 η απόλυτη θερmicroοκρασία του αυξάνει από την τιmicroή T0 στην τιmicroή 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) Στην αντιστρεπτή ισόχωρη microεταβολή BrarrΓ που ακολουθεί ο όγκος του αέριου microένει σταθερός και ίσος microε 2V0 ενω η πίεσή του ελαττώνεται από την τιmicroή Pο στην τιmicroή P02 microε απο τέλεσmicroα να ελαττώνεται και η θερmicroοκρασία του αέριου από την τιmicroή 2T0 στην

Σχήmicroα 10 Σχήmicroα 11 Σχήmicroα 12

τιmicroή T0 (νόmicroος Charles) Όλα τα παραπάνω εκφράζονται συmicroβολικά ως εξής

A(P0 V0 T0) rarr B(P0 2V0 2T0) rarr Γ(P02 2V0 T0) Tα σχήmicroατα (10) (11) (12) αποτελούν τα ζητούmicroενα διαγράmicromicroατα της microεταβο λής ArarrBrarrΓ του ιδανικού αερίου ii) Aφού κατά την αντιστρεπτή διαδικασία ArarrBrarrΓ η θερmicroοκρασία του αερίου τελικά δεν microεταβάλλεται η ολική microεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας είναι microηδέν διότι η εσωτερική ενέργεια microιας ορισmicroένης microάζας ιδανικού αερίου είναι συνάρτηση microόνο της θερmicroοκρασίας του Δηλαδή ισχύει

ΔUολ = 0 (1) Eφαρmicroόζοντας για το ιδανικό αέριο τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο κατά τη microεταβολή ArarrBrarrΓ παίρνουmicroε τη σχέση

Q= U

+ W

(1)

Q= 0 + W

= W

Q= WAB + WB

= P0(2V0 - V0 ) + 0 Q= P0V0

Mια θερmicroική microηχανή Carnot λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1=500 0K και T2=200 0K H microηχανή απορροφά από τη θερmicroή δεξαmicroενή θερmicroότητα microε ρυθmicroό q1=2105 Js i) Nα βρεθεί η ωφέλιmicroη ισχύς της microηχανής ii) Nα βρεθεί ο ρυθmicroός microε τον οποίο πρέπει να microεταφέρεται θερmicroότη τα στην ψυχρή πηγή microιας θερmicroικής microηχανής που λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδο σης ίσο microε 80 του συντελεστή απόδοσης της microηχανής Carnot και την ίδια ωφέλιmicroη ισχύ microε αυτή ΛYΣH i) Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot στο ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής τότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αC της microηχανής θα ικανοποιεί τη σχέση

C =W

Q1

W = CQ1

W

t=CQ1

t (1)

Όmicroως το πηλίκο Wt αποτελεί την ωφέλιmicroη ισχύ N της microηχανής ενώ το πηλίκο Q1t αποτελεί το ρυθmicroό q1 microεταφοράς θερmicroότητας από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το αέριο που χρησιmicroοποιεί οπότε η σχέση (1) γράφεται N = Cq1 = (1 - T2T1 )q1

N=(1-200500)2 105 Js=12 105 Js ii) Aς θεωρήσουmicroε τη θερmicroική microηχανή που εργάζεται microεταξύ των θερmicroοκρα σιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης α=08αC και ωφέλιmicroη ισχύ N Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το ενεργό υλικό που χρησιmicroοποιεί και Q2 η αντίστοιχη θερmicroότητα που microεταφέρεται από το υλικό αυτό προς την ψυχρή δεξαmicroενή της θα έχουmicroε τις σχέσεις

Q1 = W+Q2

08C = WQ1

W

08C

= W+Q2

W1

08C

- 1

$

amp =Q2

W

t

1

08C

- 1

$

amp =

Q2

t

microε C

= 1- T2T

1= 35 Όmicroως το πηλίκο Q2t αποτελεί το ρυθmicroό q2 microεταφοράς

θερmicroότητας στην ψυχρή πηγή της θερmicroικής microηχανής ενώ το πηλίκο Wt αποτελεί την ισχύ N της microηχανής οπότε η (2) γράφεται q2 = N(54C - 1) = 12 10

5(25 12 - 1) Js = 13 10

5Js

Mια θερmicroική microηχανή αποτελείται από δύο θερmicroι κές microηχανές Carnot και η ψυχρή πηγή της microιας αποτελεί θερmicroή πηγή της άλλης Eάν α1 α2 είναι οι θερmicroοδυναmicroικοί συντελεστές από δοσης των δύο microηχανών T1 η απόλυτη θερmicroοκρασία της θερmicroής πηγής της πρώτης και T3 η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της δεύτερης να δείξετε τις σχέσεις αολ = α1 + α2 - α1α2 και αολ = 1 - T3 T1 όπου αολ ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της σύνθετης microηχανής Carnot ΛYΣH Έστω ότι σε χρόνο t microεταφέρεται θερmicroότητα Q1 από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot M1 προς το ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W1 είναι το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής αυτής O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α1 της microηχανής θα είναι 1 = W1Q1 W1 = 1Q1 (1)

Σχήmicroα 13 Eξάλλου εάν Q2 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t στην ψυχρή πηγή της microηχανής M1 αυτή θα αποτελεί και την αντίστοιχη θερmicroότητα που λαmicroβάνει το αέριο της δεύτερης microηχανής Carnot M2 οπότε το ωφέλιmicroο έργο W2 της microηχανής αυτής σε χρόνο t θα υπολογίζεται microέσω της σχέσεως W2 = 2Q2 (2) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αολ του συστήmicroατος των δύο microηχα νών θα είναι

=

W1 + W2

Q1

(2)

(1)

=1Q1 + 2Q2

Q1

= 1 +2Q2

Q1

(3)

Όmicroως εάν T2 είναι η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της M1 ή της

θερmicroής πηγής της M2 θα ισχύει η σχέση

Q1

T1

=Q2

T2

Q2

Q1

=T2

T1

= 1 -1 (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) έχουmicroε

= 1 +2(1 - 1 ) = 1 +2 -12 (5) Eπειδή α1=1-T2T1 και α2=1-T3T2 η σχέση (5) γράφεται

= 1 -T

2

T1

+1 -T

3

T2

- 1 -T

2

T1

$

amp amp 1 -T

3

T2

$

amp amp

= 2 -

T2

T1

-T

3

T2

- 1+T

2

T1

-T

2

T1

T

3

T2

= 1 -T

3

T1

Mιά microάζα n mol microονοατοmicroικού ιδανικού αέριου (CV=3R2) όγκου V0 και πιέσεως P0 υποβάλλεται σε αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή που αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβο λές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB κατά την οποία η πίεση του αε ρίου διπλασιάζεται ii) από microια ισόθερmicroη εκτόνωση BrarrΓ κατά την οποία ο όγκος του αερίου διπλασιάζεται και iii) από microια ισοβαρή συmicroπίεση ΓrarrA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να βρείτε τη θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 14) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) Aπό το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη θέρmicroανση του αέριου υπό σταθερό όγκο V0 κατά την οποία η πίεση του αέριου από P0 γίνεται 2P0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Charles)

ii) Aπό το καmicroπύλογραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη εκτόνωση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία ο όγκος του αέριου από V0 γίνεται 2V0 οπότε η πίεσή του από 2P0 γίνεται P0 (νόmicroος Boyle) και iii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή συmicroπίεση του αέριου microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A(P0V0T0) Eξάλλου σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο η θερmicroότητα Q που το αέριο ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του κατά τον κύκλο ABΓA η microεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας και το έργο W που παράγει το αέριο συνδέονται microε τη σχέση

Q = ΔU + W Q = 0 + W Q = W (1)

Σχηmicroα 14 Όmicroως το έργο W είναι ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των επί microέρους έργων WAB WBΓ και WΓA που αντιστοιχούν στις microεταβολές ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA Έτσι θα έχουmicroε τη σχέση

W= WAB

+ WB

+WA

W = 0 +2nRT0ln (2V0 V0) + P0 (V0 - 2V0)

W=2nRT0ln2 -P

0V

0= 2P

0V

0ln2 -P

0V

0 (1)

Q=P0V0(2ln2 - 1) (2) β) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α microιας θερmicroικής microηχανής η οποία θα λειτουργούσε microε βάση τον κύκλο ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του προς την θερmicroότητα Qπρ που προσφέ ρεται σrsquo αυτό σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microηχανής δηλαδή ισχύει

=

W

Q

(1)

=Q

Q

(2)

=P0V0 (2ln2 - 1)

Q

(3)

Όmicroως για τη θερmicroότητα Qπρ ισχύει η σχέση

Q = QAB + QB = nCV(2T0 - T0 ) +2nRT0ln(2V0V0)

Q= nCVT0 +2nRT0ln2 = nT0 (CV +2Rln2) (4)

όπου CV η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερό όγκο Όmicroως το αέριο που εξετάζουmicroε ισχύει CV =3R2 και η (4) γράφεται

Q= nT0(3R2 +2Rln2) = nRT0(32 +2ln2)

Q= P0V0 (32 + 2ln2) (5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (5) παίρνουmicroε τη σχέση

=

P0V0 (2ln2 - 1)

P0V0(32 + 2ln2)=

2ln2 - 1

32 +2ln2

=

2(2ln2 - 1)

3 + 4ln2

Mιά ορισmicroένη microάζα microονοατοmicroικού ιδανικού αερί ου (CV=3R2) όγκου V0 πιέσεως P0 και απόλυτης θερmicroοκρασίας T0 υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται i) από microια ισοβαρή εκτόνωση ArarrB κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται ii) από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να υπολογίσετε το έργο που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το συντελεστή απόδοσης της κυκλικής αυτής microεταβολής ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 15) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή εκτόνωση του αέριου υπό πίεση P0 κατά την οποία ο όγκος του από V0 γίνεται 2V0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) ii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη ψύξη του αερίου υπό σταθερό όγκο 2V0 κατά την οποία το αέριο ψύχεται από τη θερmicroοκρασία 2T0 στη θερmicroοκρασία T0 οπότε η πίεσή του από P0 γίνεται P02 (νόmicroος Charles) και iii) από το καmicroπυλόγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη συmicroπί εση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία ο όγκος του ελατ τώνεται από 2V0 σε V0 ενώ η πίεση του αυξάνει από P02 σε P0 (νόmicroος Boyle) Eξάλλου το έργο W που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του θα είναι

ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των έργων WAB WBΓ και WΓA που ανταλλάσσει το αέριο κατά τη διάρκεια των επί microέρους microεταβολών ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA δηλαδή θα ισχύει

Σχήmicroα 15

W = WAB + WB+W

A = P0(2V0 -V0) + 0 +nRT0ln(V0 2V0)

W = P0V0 +nRT0ln(12) W= P0V

0- nRT

0ln2 (1)

όπου n ο αριθmicroός των mol του αέριου και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Όmicroως σύmicroφωνα microε την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων ισχύει P0V0=nRT0 οπότε η (1) γράφεται

W= P0V

0-P

0V

0ln2

W = P

0V

01 - ln2( ) (2)

β) O συντελεστής απόδοσης α του κύκλου ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W προς την θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου δηλαδή ισχύει

=

W

QAB

(1)

=P0V0 (1 - ln2)

nCP(2T0 - T0 )

=nRT0 (1 - ln2)

nCpT0

(3)

όπου CP η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερή πίεση Eπειδή γιατο αέριο έχουmicroε CP=5R2 η σχέση (3) γράφεται

=

nRT0 (1 - ln2)

5nRT02 =

2(1- ln2)

5 (4)

Ένα ιδανικό αέριο υποβάλλεται σε κυκλική αντισ τρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από microια ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB θερmicroοκρασίας T1 από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ όγκου V1 από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ θερmicroοκρασίας T2 και από microια ισόχωρη θέρmicroανση ΔrarrA όγκου V2=V12 Eάν ο λόγος CPCV του αερίου είναι γ

να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του το αέριο απορροφά από το εξωτερικό του περιβάλλον τα ποσά θερmicroότητας QΔA και QAB που ανιστοι χούν στην ισόχωρη θέρmicroανσή του ΔrarrA και στην ισόθερmicroη συmicroπίεσή του ArarrB Άρα ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβο λής είναι

=

W

Q$A + QAB

(1)

Σχήmicroα 16 όπου Wολ το ολικό έργο που παρέχει το αέριο στο περιβάλλον του Όmicroως για το έργο αυτό ισχύει

W= W

A+ W

AB+ W

B$+ W

$= 0 + W

AB+ 0 + W

$

W

= W

AB+W

$= nRT

1ln

V1

V12

$

amp amp + nRT2ln

V12

V1

$

amp amp

W= nRT

1ln2 - nRT

2ln2 W

= nR(T1 - T2 )ln2 (2) Εξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και QΔA ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1lnV1

V1 2

$

amp amp = nRT1ln2

και

QA = nCV (T1 - T2 ) =

nR(T1 - T2)

- 1 οπότε η (1) δίνει

=

nR(T1 - T2)ln2

nR(T1 - T2)( - 1) + nRT1ln2

=( - 1)(T1 - T2 )ln2

T1 - T2 + ( - 1)T1ln2

i) Nα δείξετε ότι η άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank για το δεύτερο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο συνεπάγεται και άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Nα δείξετε ότι microια κυκλική microεταβολή ορισmicroένης microάζας ιδανικού αέριου που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση από microια αδια βατική εκτόνωση και από microια αδιαβατική συmicroπίεση βρίσκεται σε αντίφαση microε το δεύτερo θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο δηλαδή microια τέτοια κυκ λική microεταβολή είναι αδύνατη ΛYΣH i) Έστω ότι υπάρχει θερmicroική microηχανή που σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microετατρέπει ολοκληρωτικά την θερmicroότητα Q1 που παίρνει από την πηγή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 σε microηχανικό έργο W χωρίς να δίνει θερmicroότητα στην πηγή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 Θεωρούmicroε τώρα microια κατάλ

Σχήmicroα 17 Σχήmicroα 18 ληλη ψυκτική microηχανή η οποία όταν λειτουργεί ανάmicroεσα στις ίδιες πηγές θερ microότητας microεταφέρει θερmicroότητα Q1 στην πηγή A καταναλώνοντας το έργο W που παράγει η θερmicroική microηχανή Tότε η ψυκτική αυτή microηχανή θα παίρνει από την πηγή B microια ορισmicroένη θερmicroότητα Q2 και εποmicroένως το σύστηmicroα των δύο microηχανών θα ισοδυναmicroεί microε microια ψυκτική microηχανή η οποία θα απάγει θερmicroότητα Q2 από την ψυχρή πηγή B χωρίς κατανάλωση έργου πράγmicroα που αποτελεί άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Έστω ότι microια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί την κυκλική microεταβο λή ABΓA που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB microια αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ και microια αδιαβατική συmicroπίεση ΓrarrA (σχήmicroα 18) Eφαρmicroόζοντας για τη microεταβολή αυτή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση QAB + QBΓ + QΓA = ΔUολ + Wολ QAB + 0 + 0 = 0 + Wολ QAB = Wολ (1)

H σχέση (1) δηλώνει ότι κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής ABΓA η θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο microετατρέπεται ολοκληρωτικά σε έργο γεγονός που έρχεται σε αντίθεση microε τη διατύπωση των Kelvin-Plank Παρατήρηση H microη πραγmicroατοποίση της κυκλικής microεταβολής ABΓA ισοδυναmicroεί microε το ότι οι αδιαβατικές καmicroπύλες BΓ και ΓA δεν είναι δυνατό να τέmicroνονται

Mιά ορισmicroένη microάζα ιδανικού αερίου εκτελεί κύκλο Carnot ABΓΔA Eάν V1 V2 V3 V4 είναι οι όγκοι του αέριου που αντιστοιχούν στις κατατάσεις A B Γ και Δ και T1 T2 είναι οι απόλυτες θερmicroοκρασίες της ισόθερmicroης εκτόνωσης και της ισόθερmicroης συmicroπίεσης του αέριου αντιστοίχως (T1gtT2) να δείξετε τις σχέσεις

V1V3 = V2V4 και W = nR(T1 - T2)ln(V2V1) όπου n τα mol του αερίου R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανικών αερίων και W το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του ΛYΣH Για την ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ισχύει P1

V1= P

2V

2 (1)

Για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Poisson ισχύει

P2V

2

= P3V

3

(2)

Σχήmicroα 19

Για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle έχουmicroε

P3V

3= P

4V

4 (3)

Tέλος για την αδιαβατική συmicroπίεση ΔrarrA σύmicroφωνα microε τον νόmicroο του Poisson έχουmicroε

P4V

4

= P1V

1

(4) όπου γ ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αερίου Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (4) κατά microέλη παίρνου microε τη σχέση

P1V

1P

2V

2

P3V

3P

4V

4

= P2V

2P

3V

3

P4V

4P

1V

1

2

-1

V 4

-1

V =3

-1

V 1

-1

V V3

V1= V

2V

4 (5)

Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκ λικής microεταβολής ABΓΔA είναι σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσει microε το περιβάλλον του Δηλαδή ισχύει η σχέση

W= Q

= QAB + QB

+ Q$

+ Q$A = QAB + Q

$ (6)

διότι για τις αδιαβατικές microεταβολές BrarrΓ και ΔrarrA έχουmicroε QBΓ =QΔA =0 Eξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και Q

ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1ln(V2 V1 )

Q

= nRT2ln(V4 V3 )

$

(+ )

QAB + Q

= nR T1lnV2

V1

$

amp amp + T2lnV4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(6)

W

= nR T

1ln

V2

V1

$

amp amp + T2ln

V4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(7)

Όmicroως από τη σχέση (5) έχουmicroε

V2

V1

=V

3

V4

lnV

2

V1

$

amp amp = lnV

3

V4

$

amp amp

lnV

2

V1

$

amp amp = - lnV

4

V3

$

amp amp

οπότε η (7) γράφεται

W

= nR(T1 - T2)ln

V2

V1

$

amp amp (8)

Mια θερmicroική microηχανή αναγκάζει ιδανικό αέριο σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση κατά την οποία η πίεση του αερίου τριπλασιάζεται

ii) από microια ισοβαρή εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται iii) από microια ισόχωρη ψύξη microέχρις ότου η πίεση του αερίου ανακτή σει την αρχική της τιmicroή και iv) απο microια ισοβαρή συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Eάν P0 V0 είναι η πίεση και ο όγκος αντιστοίχως του αερίου στην αρχική του κατάσταση και γ ο λόγος CPCV των γραmicromicroοmicroοριακών του ειδικών θερmicroοτήτων να βρείτε την προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroό τητα κατά την εξέλιξη του κύκλου γ) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής και να τον συγκρίνετε microε το συντελεστή απόδοσης της microηχα νής Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ της microέγιστης και της ελά χιστης θερmicroοκρασίας του αερίου της microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόχωρη θέρmicroανση AB του αερίου η πίεσή του τριπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Charles θα τριπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του αερίου δηλαδή από T0 θα γίνει 3T0 Κατά την ισοβα ρή εκτόνωση BΓ ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται οπότε και η απόλυτη θερmicroοκρασία του θα τριπλασιάζεται (νόmicroοςGay-Lussac) δηλαδή από 3T0 θα γίνει 9T0 Kατά την ισόχωρη ψύξη ΓΔ του αερίου η πίεση του απο την τιmicroή 3P0 λαmicroβάνει την τιmicroή P0 δηλαδή υποτριπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο του

Σχήmicroα 20 Charles πρέπει να υποτριπλασιασθεί και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή από 9T0 πρέπει να γίνει 3T0 Aυτό σηmicroαίνει ότι οι καταστάσεις B και Δ βρίσ κονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη θερmicroοκρασίας 3T0 Mε βάση τις παρα πάνω διαπιστώσεις το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου έχει τη microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (20) β) Kατά την εξέλιξη του κύκλου στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα στο στάδιο της ισόχωρης θέρmicroανσης AB και της ισοβαρούς εκτόνωσης BΓ δηλαδή ισχύει

Q = QAB + QB = nCV 3T0 - T0( ) + nCP 9T0 - 3T0( )

Q

= 2nCVT0 + 6nCPT0 = 2n CV + 3CP( )T0 (1)

Όmicroως οι γραmicromicroοmicroοριακές ειδικές θερmicroότητες CV και CP του αερίου ικανοποιούν τις σχέσεις

CP

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= R - 1

CP

= R - 1

$ (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε

Q

=

2nRT0

- 1(1+ 3) = 2P0V0

1+3

- 1

$

amp (3)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (4)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε το εmicroβαδόν του σκιασmicroένου ορθογωνίου ABΓΔ δηλαδή ισχύει W = micro$(ABamp) = (3P0 -P0)(3V0 -V0) = 4P0V0 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3)(4) και (5) έχουmicroε

=4P0V0

2P0V0

- 1

1+3

$

amp =

2( - 1)

1+ 3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται στην κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓΔA της οποίας το διάγραmicromicroα P-T φαίνεται στο σχήmicroα (21) i) Eάν οι θερmicroοδυναmicroικές microεταβλητές της κατάστασης A είναι P0 V0 και T0 να βρείτε τη θερmicroότητα που απορροφά το αέριο στη διάρκεια του κύκλου αφού προηγουmicroένως σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V του κύκλου ii) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση υπό θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου διπλασιάζεται οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ο όγκος του αερίου θα υποδιπλασιάζεται δηλαδή από V0 θα γίνει V02 H microεταβολή BΓ είναι ισοβαρής θέρmicroανση υπο πίεση 2P0 κατά την οποία η απόλυ

τη θερmicroοκρασία του αερίου διπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο Gay-Lussac θα διπλασιάζεται και ο όγκος του αερίου δηλαδή από V02 θα γίνει V0 H microετα βολή ΓΔ είναι ισόθερmicroη εκτόνωση υπό θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου υποδιπλασιάζεται οπότε ο όγκος του θα διπλασιάζεται (νόmicroος

Σχήmicroα 21 Σχήmicroα 22 Boyle) δηλαδή από V0 θα γίνει 2V0 Mε βάση τα παραπάνω οδηγούmicroαστε στο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου το οποίο έχει την microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (22) Στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του BΓ και της ισόθερmicroης εκτόνωσής του ΓΔ δηλαδή ισχύει η σχέση Q = QB +Q$ = nCP(2T0 - T0) + nR2T0ln(2V0V0 )

Q

= 5nRT02 + 2nRT0 ln2 Q

= P0V0 (52 + 2ln2) (1)

ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (2)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της υπο λογίζεται από τη σχέση

W = W

AB+ W

B + W$ + W$A

W

= nRT0ln

V0

2V0

$

amp +2P

0V

0-V

0

2

$

amp +

+

nR2T0ln2V0

V0

$

amp amp +P0(V0 - 2V0 )

W

= -nRT0ln2+P

0V

0+2nRT

0ln2 -P

0V

0=nRT

0ln2=P

0V

0ln2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) έχουmicroε

=P0V0ln2

P0V0(52 +2ln2)=

ln2

52 + 2ln2

Tο αέριο microιας θερmicroικής microηχανής είναι ιδανικό και υποβάλλεται σε αντιστρεπτό κύκλο ο οποίος αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή εκτόνωση AB microέχρις τετραπλασιασmicroού του όγ κου του αερίου ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση BΓ microέχρις ότου η πίεση του αερίου γίνει ίση microε το 132 της αρχικής της τιmicroής PA και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A όγκου VA α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Nα βρείτε το λόγο γ=CPCV του αερίου και να δείξετε ότι η θερ microότητα που απορροφά κατά την εξέλιξη του κύκλου είναι ίση microε 15PAVA2 γ) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Gay-Lussac θα τετραπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή απο TA θα γίνει 4TA Σύmicroφωνα microε το πρόβληmicroα κατά την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου η πίεση του microειώνε ται από την τιmicroή PA στην τιmicroή PA32 ο δε όγκος του αυξάνεται από την τιmicroή

Σχήmicroα 23 4VA στην τιmicroή VΓ Όmicroως microέσω της ισόθερmicroης συmicroπίεσης ΓA το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle θα έχουmicroε τη σχέση

PV

= P

AV

A V

= 32VA

Mε βάση τα παραπάνω το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (23) β) Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου το νόmicroο του Poisson παίρνουmicroε τη σχέση PB

VB

= PV

PA(4VA)

= (PA32)(32VA )

4

= 32-1 2

2= 2

5( -1) 2 = 5( - 1) = 53 που σηmicroαίνει ότι το αέριο είναι microονοατοmicroικό Eξάλλου η θερmicroότητα που απορροφά το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου ABΓA είναι ίση microε την θερmicroό τητα QAB που απορροφά κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του AB δηλαδή ισχύει Q

= QAB = nCP(4TA - TA) = 5nR(3TA 2)

Q

= 15nRTA2 = 15PAVA2 (1)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓ είναι

= W

Q$

(2) Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου του (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) οπότε θα έχουmicroε

W= Q$ = QAB + QB+ QA = nCP(4TA -TA ) + 0 + nRTAln(VA32VA )

W

= 5nR(3TA 2) - nRTAln(25)

W

= PAVA (152 - 5ln2) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) παίρνουmicroε

=PAVA(152 - 5ln2)

15PAVA2=

15 - 10ln2

15= 1 -

2ln2

3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) την ισόθερmicroη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του αερίου οκταπλασιάζεται ii) την ισόχωρη ψύξη BΓ και iii) την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0=3105 Ntm2 όγκου

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 14: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

της εσωτερικής του ενέργειας microε την έννοια ότι αυτό δεν είναι τώρα σε θέση να δώσει ωφέλιmicroη ενέργεια Γενικώτερα αν αναφερθούmicroε στα microη αντιστρεπτά φυσικά φαινόmicroενα που συmicroβαίνουν στο Σύmicroπαν microπορούmicroε να ισχυριστούmicroε ότι συνοδεύονται microε ενεργειακή υποβάθmicroισή του δηλαδή microε απώλεια της δυνατότητάς του για παραγωγή ενέργειας ανώτερης ποιότητας microολονότι η εσωτερική του ενέργεια παραmicroένει αναλλοίωτη Aυτό σηmicroαίνει ότι microε την πάροδο του χρόνου το Σύmicroπαν τείνει σε microιά κατάσταση microέγιστης εντροπίας που του περιορίζει την ποιότητα του ενεργειακού του περιεχόmicroενου και το οδη γεί στον λεγόmicroενο θερmicroικό ή εντροπικό θάνατο Ένα άλλο χαρακτηριστικό παράδειγmicroα που microας δείχνει ότι η αύξηση της εντροπίας ενός αποmicroονωmicroένου συστήmicroατος ελαττώνει την ικανότητα του για παραγωγή οργανωmicroένης ενέρ γειας είναι το εξής Aφήνουmicroε ένα σώmicroα να πέσει από ύψος h στο πάτωmicroα του δωmicroατίου microας Tο σώmicroα ξεκινάει την διαδροmicroή του microε microιά οργανωmicroένη δυνα microική ενέργεια mgh η οποία microετά την κρούση του microε το πάτωmicroα microετασχη microατίζεται σε ανοργάνωτη θερmicroική ενέργεια που κατανέmicroεται στο σώmicroα στο πάτωmicroα στον αέρα και στους τοίχους του δωmicroατίου microε αποτέλεσmicroα νrsquo αυξηθεί λίγο η θερmicroοκρασία τους Kατά την microη αντιστρεπτή αυτή διαδικασία η ολική ενέργεια του συστήmicroατος διατηρήθηκε σταθερή αυξήθηκε όmicroως η εντροπία του H αυξηmicroένη εντροπία του συστήmicroατος κάνει αδύνατη την αντίστροφη εξέλιξη του φαινοmicroένου δηλαδή την microετατροπή της προηγούmicroενης θερmicroικής ενέργειας σε δυναmicroική ενέργεια microε αυθόρmicroητη ανύψωση του σώmicroατος στην αρχική του θέση και ταυτόχρονη ψύξη όλων των σωmicroάτων που πήραν microέρος στο φαινόmicroενο Έτσι το σύστηmicroά παρουσιάζεται στην τελική του κατάσταση microε υποβαθmicroισmicroένο ενεργειακό περιεχόmicroενο δηλαδή έχει microειωθεί η ποιότητα της ενέργειάς του αφού αυτό έχασε την ικανότητά του να δίνει ωφέλιmicroο έργο Παρατήρηση H θερmicroότητα ως microορφή ενέργειας είναι ποσοτικά ισοδύναmicroη microε τις άλλες microορφές ενέργειας (microηχανική ηλεκτρική χηmicroική κλπ) αλλά ποιοτικά είναι υποβαθmicroισmicroένη ως προς αυτές Aυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η θερmicroότητα δεν microπορεί να microετασχηmicroατιστεί ολοκληρωτικά σε ενέργεια άλλης microορφής ενώ αντίθετα οι άλλες microορφές ενέργειας microε απλές διαδικασίες microετασχηmicroατίζονται ολοκληρωτικά σε θερmicroότητα lsquoΕτσι η θερmicroότητα θεωρείται ως ενέργεια κατώτε ρης ποιότητας ή ως microη οργανωmicroένη ενέργεια ως προς τις άλλες microορφές ενέρ γειας οι οποίες θεωρούνται ως ενέργειες ανώτερης ποιότητας

PM fysikos

Iδανικό αέριο εκτελεί διαδοχικά τις παρακάτω θερmicroικές διαδικασίες α) Mιά αντιστρεπτή ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται

β) Mιά αντιστρεπτή ισόχωρη microεταβολή κατά την οποία η πίεση του αερίου γίνεται η microισή της αρχικής του πιέσεως i) Nα σχεδιαστούν τα διαγράmicromicroατα P-V P-T και V-T των δύο αυτών συνεχόmicroενων microεταβολών ii) Nα βρεθεί η συνολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του Δίνονται τα καταστατικά microεγέθη V0 P0 και T0 της αρ χικής κατάστασης του αερίου ΛYΣH i) Kατά την αντιστρεπτή ισοβαρή εκτόνωση ArarrB του ιδανικού αερί ου από τον όγκο V0 στον όγκο 2V0 η απόλυτη θερmicroοκρασία του αυξάνει από την τιmicroή T0 στην τιmicroή 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) Στην αντιστρεπτή ισόχωρη microεταβολή BrarrΓ που ακολουθεί ο όγκος του αέριου microένει σταθερός και ίσος microε 2V0 ενω η πίεσή του ελαττώνεται από την τιmicroή Pο στην τιmicroή P02 microε απο τέλεσmicroα να ελαττώνεται και η θερmicroοκρασία του αέριου από την τιmicroή 2T0 στην

Σχήmicroα 10 Σχήmicroα 11 Σχήmicroα 12

τιmicroή T0 (νόmicroος Charles) Όλα τα παραπάνω εκφράζονται συmicroβολικά ως εξής

A(P0 V0 T0) rarr B(P0 2V0 2T0) rarr Γ(P02 2V0 T0) Tα σχήmicroατα (10) (11) (12) αποτελούν τα ζητούmicroενα διαγράmicromicroατα της microεταβο λής ArarrBrarrΓ του ιδανικού αερίου ii) Aφού κατά την αντιστρεπτή διαδικασία ArarrBrarrΓ η θερmicroοκρασία του αερίου τελικά δεν microεταβάλλεται η ολική microεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας είναι microηδέν διότι η εσωτερική ενέργεια microιας ορισmicroένης microάζας ιδανικού αερίου είναι συνάρτηση microόνο της θερmicroοκρασίας του Δηλαδή ισχύει

ΔUολ = 0 (1) Eφαρmicroόζοντας για το ιδανικό αέριο τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο κατά τη microεταβολή ArarrBrarrΓ παίρνουmicroε τη σχέση

Q= U

+ W

(1)

Q= 0 + W

= W

Q= WAB + WB

= P0(2V0 - V0 ) + 0 Q= P0V0

Mια θερmicroική microηχανή Carnot λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1=500 0K και T2=200 0K H microηχανή απορροφά από τη θερmicroή δεξαmicroενή θερmicroότητα microε ρυθmicroό q1=2105 Js i) Nα βρεθεί η ωφέλιmicroη ισχύς της microηχανής ii) Nα βρεθεί ο ρυθmicroός microε τον οποίο πρέπει να microεταφέρεται θερmicroότη τα στην ψυχρή πηγή microιας θερmicroικής microηχανής που λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδο σης ίσο microε 80 του συντελεστή απόδοσης της microηχανής Carnot και την ίδια ωφέλιmicroη ισχύ microε αυτή ΛYΣH i) Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot στο ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής τότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αC της microηχανής θα ικανοποιεί τη σχέση

C =W

Q1

W = CQ1

W

t=CQ1

t (1)

Όmicroως το πηλίκο Wt αποτελεί την ωφέλιmicroη ισχύ N της microηχανής ενώ το πηλίκο Q1t αποτελεί το ρυθmicroό q1 microεταφοράς θερmicroότητας από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το αέριο που χρησιmicroοποιεί οπότε η σχέση (1) γράφεται N = Cq1 = (1 - T2T1 )q1

N=(1-200500)2 105 Js=12 105 Js ii) Aς θεωρήσουmicroε τη θερmicroική microηχανή που εργάζεται microεταξύ των θερmicroοκρα σιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης α=08αC και ωφέλιmicroη ισχύ N Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το ενεργό υλικό που χρησιmicroοποιεί και Q2 η αντίστοιχη θερmicroότητα που microεταφέρεται από το υλικό αυτό προς την ψυχρή δεξαmicroενή της θα έχουmicroε τις σχέσεις

Q1 = W+Q2

08C = WQ1

W

08C

= W+Q2

W1

08C

- 1

$

amp =Q2

W

t

1

08C

- 1

$

amp =

Q2

t

microε C

= 1- T2T

1= 35 Όmicroως το πηλίκο Q2t αποτελεί το ρυθmicroό q2 microεταφοράς

θερmicroότητας στην ψυχρή πηγή της θερmicroικής microηχανής ενώ το πηλίκο Wt αποτελεί την ισχύ N της microηχανής οπότε η (2) γράφεται q2 = N(54C - 1) = 12 10

5(25 12 - 1) Js = 13 10

5Js

Mια θερmicroική microηχανή αποτελείται από δύο θερmicroι κές microηχανές Carnot και η ψυχρή πηγή της microιας αποτελεί θερmicroή πηγή της άλλης Eάν α1 α2 είναι οι θερmicroοδυναmicroικοί συντελεστές από δοσης των δύο microηχανών T1 η απόλυτη θερmicroοκρασία της θερmicroής πηγής της πρώτης και T3 η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της δεύτερης να δείξετε τις σχέσεις αολ = α1 + α2 - α1α2 και αολ = 1 - T3 T1 όπου αολ ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της σύνθετης microηχανής Carnot ΛYΣH Έστω ότι σε χρόνο t microεταφέρεται θερmicroότητα Q1 από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot M1 προς το ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W1 είναι το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής αυτής O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α1 της microηχανής θα είναι 1 = W1Q1 W1 = 1Q1 (1)

Σχήmicroα 13 Eξάλλου εάν Q2 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t στην ψυχρή πηγή της microηχανής M1 αυτή θα αποτελεί και την αντίστοιχη θερmicroότητα που λαmicroβάνει το αέριο της δεύτερης microηχανής Carnot M2 οπότε το ωφέλιmicroο έργο W2 της microηχανής αυτής σε χρόνο t θα υπολογίζεται microέσω της σχέσεως W2 = 2Q2 (2) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αολ του συστήmicroατος των δύο microηχα νών θα είναι

=

W1 + W2

Q1

(2)

(1)

=1Q1 + 2Q2

Q1

= 1 +2Q2

Q1

(3)

Όmicroως εάν T2 είναι η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της M1 ή της

θερmicroής πηγής της M2 θα ισχύει η σχέση

Q1

T1

=Q2

T2

Q2

Q1

=T2

T1

= 1 -1 (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) έχουmicroε

= 1 +2(1 - 1 ) = 1 +2 -12 (5) Eπειδή α1=1-T2T1 και α2=1-T3T2 η σχέση (5) γράφεται

= 1 -T

2

T1

+1 -T

3

T2

- 1 -T

2

T1

$

amp amp 1 -T

3

T2

$

amp amp

= 2 -

T2

T1

-T

3

T2

- 1+T

2

T1

-T

2

T1

T

3

T2

= 1 -T

3

T1

Mιά microάζα n mol microονοατοmicroικού ιδανικού αέριου (CV=3R2) όγκου V0 και πιέσεως P0 υποβάλλεται σε αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή που αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβο λές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB κατά την οποία η πίεση του αε ρίου διπλασιάζεται ii) από microια ισόθερmicroη εκτόνωση BrarrΓ κατά την οποία ο όγκος του αερίου διπλασιάζεται και iii) από microια ισοβαρή συmicroπίεση ΓrarrA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να βρείτε τη θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 14) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) Aπό το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη θέρmicroανση του αέριου υπό σταθερό όγκο V0 κατά την οποία η πίεση του αέριου από P0 γίνεται 2P0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Charles)

ii) Aπό το καmicroπύλογραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη εκτόνωση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία ο όγκος του αέριου από V0 γίνεται 2V0 οπότε η πίεσή του από 2P0 γίνεται P0 (νόmicroος Boyle) και iii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή συmicroπίεση του αέριου microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A(P0V0T0) Eξάλλου σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο η θερmicroότητα Q που το αέριο ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του κατά τον κύκλο ABΓA η microεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας και το έργο W που παράγει το αέριο συνδέονται microε τη σχέση

Q = ΔU + W Q = 0 + W Q = W (1)

Σχηmicroα 14 Όmicroως το έργο W είναι ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των επί microέρους έργων WAB WBΓ και WΓA που αντιστοιχούν στις microεταβολές ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA Έτσι θα έχουmicroε τη σχέση

W= WAB

+ WB

+WA

W = 0 +2nRT0ln (2V0 V0) + P0 (V0 - 2V0)

W=2nRT0ln2 -P

0V

0= 2P

0V

0ln2 -P

0V

0 (1)

Q=P0V0(2ln2 - 1) (2) β) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α microιας θερmicroικής microηχανής η οποία θα λειτουργούσε microε βάση τον κύκλο ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του προς την θερmicroότητα Qπρ που προσφέ ρεται σrsquo αυτό σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microηχανής δηλαδή ισχύει

=

W

Q

(1)

=Q

Q

(2)

=P0V0 (2ln2 - 1)

Q

(3)

Όmicroως για τη θερmicroότητα Qπρ ισχύει η σχέση

Q = QAB + QB = nCV(2T0 - T0 ) +2nRT0ln(2V0V0)

Q= nCVT0 +2nRT0ln2 = nT0 (CV +2Rln2) (4)

όπου CV η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερό όγκο Όmicroως το αέριο που εξετάζουmicroε ισχύει CV =3R2 και η (4) γράφεται

Q= nT0(3R2 +2Rln2) = nRT0(32 +2ln2)

Q= P0V0 (32 + 2ln2) (5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (5) παίρνουmicroε τη σχέση

=

P0V0 (2ln2 - 1)

P0V0(32 + 2ln2)=

2ln2 - 1

32 +2ln2

=

2(2ln2 - 1)

3 + 4ln2

Mιά ορισmicroένη microάζα microονοατοmicroικού ιδανικού αερί ου (CV=3R2) όγκου V0 πιέσεως P0 και απόλυτης θερmicroοκρασίας T0 υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται i) από microια ισοβαρή εκτόνωση ArarrB κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται ii) από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να υπολογίσετε το έργο που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το συντελεστή απόδοσης της κυκλικής αυτής microεταβολής ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 15) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή εκτόνωση του αέριου υπό πίεση P0 κατά την οποία ο όγκος του από V0 γίνεται 2V0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) ii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη ψύξη του αερίου υπό σταθερό όγκο 2V0 κατά την οποία το αέριο ψύχεται από τη θερmicroοκρασία 2T0 στη θερmicroοκρασία T0 οπότε η πίεσή του από P0 γίνεται P02 (νόmicroος Charles) και iii) από το καmicroπυλόγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη συmicroπί εση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία ο όγκος του ελατ τώνεται από 2V0 σε V0 ενώ η πίεση του αυξάνει από P02 σε P0 (νόmicroος Boyle) Eξάλλου το έργο W που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του θα είναι

ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των έργων WAB WBΓ και WΓA που ανταλλάσσει το αέριο κατά τη διάρκεια των επί microέρους microεταβολών ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA δηλαδή θα ισχύει

Σχήmicroα 15

W = WAB + WB+W

A = P0(2V0 -V0) + 0 +nRT0ln(V0 2V0)

W = P0V0 +nRT0ln(12) W= P0V

0- nRT

0ln2 (1)

όπου n ο αριθmicroός των mol του αέριου και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Όmicroως σύmicroφωνα microε την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων ισχύει P0V0=nRT0 οπότε η (1) γράφεται

W= P0V

0-P

0V

0ln2

W = P

0V

01 - ln2( ) (2)

β) O συντελεστής απόδοσης α του κύκλου ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W προς την θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου δηλαδή ισχύει

=

W

QAB

(1)

=P0V0 (1 - ln2)

nCP(2T0 - T0 )

=nRT0 (1 - ln2)

nCpT0

(3)

όπου CP η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερή πίεση Eπειδή γιατο αέριο έχουmicroε CP=5R2 η σχέση (3) γράφεται

=

nRT0 (1 - ln2)

5nRT02 =

2(1- ln2)

5 (4)

Ένα ιδανικό αέριο υποβάλλεται σε κυκλική αντισ τρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από microια ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB θερmicroοκρασίας T1 από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ όγκου V1 από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ θερmicroοκρασίας T2 και από microια ισόχωρη θέρmicroανση ΔrarrA όγκου V2=V12 Eάν ο λόγος CPCV του αερίου είναι γ

να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του το αέριο απορροφά από το εξωτερικό του περιβάλλον τα ποσά θερmicroότητας QΔA και QAB που ανιστοι χούν στην ισόχωρη θέρmicroανσή του ΔrarrA και στην ισόθερmicroη συmicroπίεσή του ArarrB Άρα ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβο λής είναι

=

W

Q$A + QAB

(1)

Σχήmicroα 16 όπου Wολ το ολικό έργο που παρέχει το αέριο στο περιβάλλον του Όmicroως για το έργο αυτό ισχύει

W= W

A+ W

AB+ W

B$+ W

$= 0 + W

AB+ 0 + W

$

W

= W

AB+W

$= nRT

1ln

V1

V12

$

amp amp + nRT2ln

V12

V1

$

amp amp

W= nRT

1ln2 - nRT

2ln2 W

= nR(T1 - T2 )ln2 (2) Εξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και QΔA ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1lnV1

V1 2

$

amp amp = nRT1ln2

και

QA = nCV (T1 - T2 ) =

nR(T1 - T2)

- 1 οπότε η (1) δίνει

=

nR(T1 - T2)ln2

nR(T1 - T2)( - 1) + nRT1ln2

=( - 1)(T1 - T2 )ln2

T1 - T2 + ( - 1)T1ln2

i) Nα δείξετε ότι η άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank για το δεύτερο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο συνεπάγεται και άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Nα δείξετε ότι microια κυκλική microεταβολή ορισmicroένης microάζας ιδανικού αέριου που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση από microια αδια βατική εκτόνωση και από microια αδιαβατική συmicroπίεση βρίσκεται σε αντίφαση microε το δεύτερo θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο δηλαδή microια τέτοια κυκ λική microεταβολή είναι αδύνατη ΛYΣH i) Έστω ότι υπάρχει θερmicroική microηχανή που σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microετατρέπει ολοκληρωτικά την θερmicroότητα Q1 που παίρνει από την πηγή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 σε microηχανικό έργο W χωρίς να δίνει θερmicroότητα στην πηγή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 Θεωρούmicroε τώρα microια κατάλ

Σχήmicroα 17 Σχήmicroα 18 ληλη ψυκτική microηχανή η οποία όταν λειτουργεί ανάmicroεσα στις ίδιες πηγές θερ microότητας microεταφέρει θερmicroότητα Q1 στην πηγή A καταναλώνοντας το έργο W που παράγει η θερmicroική microηχανή Tότε η ψυκτική αυτή microηχανή θα παίρνει από την πηγή B microια ορισmicroένη θερmicroότητα Q2 και εποmicroένως το σύστηmicroα των δύο microηχανών θα ισοδυναmicroεί microε microια ψυκτική microηχανή η οποία θα απάγει θερmicroότητα Q2 από την ψυχρή πηγή B χωρίς κατανάλωση έργου πράγmicroα που αποτελεί άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Έστω ότι microια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί την κυκλική microεταβο λή ABΓA που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB microια αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ και microια αδιαβατική συmicroπίεση ΓrarrA (σχήmicroα 18) Eφαρmicroόζοντας για τη microεταβολή αυτή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση QAB + QBΓ + QΓA = ΔUολ + Wολ QAB + 0 + 0 = 0 + Wολ QAB = Wολ (1)

H σχέση (1) δηλώνει ότι κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής ABΓA η θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο microετατρέπεται ολοκληρωτικά σε έργο γεγονός που έρχεται σε αντίθεση microε τη διατύπωση των Kelvin-Plank Παρατήρηση H microη πραγmicroατοποίση της κυκλικής microεταβολής ABΓA ισοδυναmicroεί microε το ότι οι αδιαβατικές καmicroπύλες BΓ και ΓA δεν είναι δυνατό να τέmicroνονται

Mιά ορισmicroένη microάζα ιδανικού αερίου εκτελεί κύκλο Carnot ABΓΔA Eάν V1 V2 V3 V4 είναι οι όγκοι του αέριου που αντιστοιχούν στις κατατάσεις A B Γ και Δ και T1 T2 είναι οι απόλυτες θερmicroοκρασίες της ισόθερmicroης εκτόνωσης και της ισόθερmicroης συmicroπίεσης του αέριου αντιστοίχως (T1gtT2) να δείξετε τις σχέσεις

V1V3 = V2V4 και W = nR(T1 - T2)ln(V2V1) όπου n τα mol του αερίου R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανικών αερίων και W το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του ΛYΣH Για την ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ισχύει P1

V1= P

2V

2 (1)

Για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Poisson ισχύει

P2V

2

= P3V

3

(2)

Σχήmicroα 19

Για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle έχουmicroε

P3V

3= P

4V

4 (3)

Tέλος για την αδιαβατική συmicroπίεση ΔrarrA σύmicroφωνα microε τον νόmicroο του Poisson έχουmicroε

P4V

4

= P1V

1

(4) όπου γ ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αερίου Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (4) κατά microέλη παίρνου microε τη σχέση

P1V

1P

2V

2

P3V

3P

4V

4

= P2V

2P

3V

3

P4V

4P

1V

1

2

-1

V 4

-1

V =3

-1

V 1

-1

V V3

V1= V

2V

4 (5)

Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκ λικής microεταβολής ABΓΔA είναι σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσει microε το περιβάλλον του Δηλαδή ισχύει η σχέση

W= Q

= QAB + QB

+ Q$

+ Q$A = QAB + Q

$ (6)

διότι για τις αδιαβατικές microεταβολές BrarrΓ και ΔrarrA έχουmicroε QBΓ =QΔA =0 Eξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και Q

ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1ln(V2 V1 )

Q

= nRT2ln(V4 V3 )

$

(+ )

QAB + Q

= nR T1lnV2

V1

$

amp amp + T2lnV4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(6)

W

= nR T

1ln

V2

V1

$

amp amp + T2ln

V4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(7)

Όmicroως από τη σχέση (5) έχουmicroε

V2

V1

=V

3

V4

lnV

2

V1

$

amp amp = lnV

3

V4

$

amp amp

lnV

2

V1

$

amp amp = - lnV

4

V3

$

amp amp

οπότε η (7) γράφεται

W

= nR(T1 - T2)ln

V2

V1

$

amp amp (8)

Mια θερmicroική microηχανή αναγκάζει ιδανικό αέριο σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση κατά την οποία η πίεση του αερίου τριπλασιάζεται

ii) από microια ισοβαρή εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται iii) από microια ισόχωρη ψύξη microέχρις ότου η πίεση του αερίου ανακτή σει την αρχική της τιmicroή και iv) απο microια ισοβαρή συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Eάν P0 V0 είναι η πίεση και ο όγκος αντιστοίχως του αερίου στην αρχική του κατάσταση και γ ο λόγος CPCV των γραmicromicroοmicroοριακών του ειδικών θερmicroοτήτων να βρείτε την προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroό τητα κατά την εξέλιξη του κύκλου γ) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής και να τον συγκρίνετε microε το συντελεστή απόδοσης της microηχα νής Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ της microέγιστης και της ελά χιστης θερmicroοκρασίας του αερίου της microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόχωρη θέρmicroανση AB του αερίου η πίεσή του τριπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Charles θα τριπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του αερίου δηλαδή από T0 θα γίνει 3T0 Κατά την ισοβα ρή εκτόνωση BΓ ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται οπότε και η απόλυτη θερmicroοκρασία του θα τριπλασιάζεται (νόmicroοςGay-Lussac) δηλαδή από 3T0 θα γίνει 9T0 Kατά την ισόχωρη ψύξη ΓΔ του αερίου η πίεση του απο την τιmicroή 3P0 λαmicroβάνει την τιmicroή P0 δηλαδή υποτριπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο του

Σχήmicroα 20 Charles πρέπει να υποτριπλασιασθεί και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή από 9T0 πρέπει να γίνει 3T0 Aυτό σηmicroαίνει ότι οι καταστάσεις B και Δ βρίσ κονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη θερmicroοκρασίας 3T0 Mε βάση τις παρα πάνω διαπιστώσεις το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου έχει τη microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (20) β) Kατά την εξέλιξη του κύκλου στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα στο στάδιο της ισόχωρης θέρmicroανσης AB και της ισοβαρούς εκτόνωσης BΓ δηλαδή ισχύει

Q = QAB + QB = nCV 3T0 - T0( ) + nCP 9T0 - 3T0( )

Q

= 2nCVT0 + 6nCPT0 = 2n CV + 3CP( )T0 (1)

Όmicroως οι γραmicromicroοmicroοριακές ειδικές θερmicroότητες CV και CP του αερίου ικανοποιούν τις σχέσεις

CP

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= R - 1

CP

= R - 1

$ (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε

Q

=

2nRT0

- 1(1+ 3) = 2P0V0

1+3

- 1

$

amp (3)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (4)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε το εmicroβαδόν του σκιασmicroένου ορθογωνίου ABΓΔ δηλαδή ισχύει W = micro$(ABamp) = (3P0 -P0)(3V0 -V0) = 4P0V0 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3)(4) και (5) έχουmicroε

=4P0V0

2P0V0

- 1

1+3

$

amp =

2( - 1)

1+ 3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται στην κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓΔA της οποίας το διάγραmicromicroα P-T φαίνεται στο σχήmicroα (21) i) Eάν οι θερmicroοδυναmicroικές microεταβλητές της κατάστασης A είναι P0 V0 και T0 να βρείτε τη θερmicroότητα που απορροφά το αέριο στη διάρκεια του κύκλου αφού προηγουmicroένως σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V του κύκλου ii) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση υπό θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου διπλασιάζεται οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ο όγκος του αερίου θα υποδιπλασιάζεται δηλαδή από V0 θα γίνει V02 H microεταβολή BΓ είναι ισοβαρής θέρmicroανση υπο πίεση 2P0 κατά την οποία η απόλυ

τη θερmicroοκρασία του αερίου διπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο Gay-Lussac θα διπλασιάζεται και ο όγκος του αερίου δηλαδή από V02 θα γίνει V0 H microετα βολή ΓΔ είναι ισόθερmicroη εκτόνωση υπό θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου υποδιπλασιάζεται οπότε ο όγκος του θα διπλασιάζεται (νόmicroος

Σχήmicroα 21 Σχήmicroα 22 Boyle) δηλαδή από V0 θα γίνει 2V0 Mε βάση τα παραπάνω οδηγούmicroαστε στο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου το οποίο έχει την microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (22) Στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του BΓ και της ισόθερmicroης εκτόνωσής του ΓΔ δηλαδή ισχύει η σχέση Q = QB +Q$ = nCP(2T0 - T0) + nR2T0ln(2V0V0 )

Q

= 5nRT02 + 2nRT0 ln2 Q

= P0V0 (52 + 2ln2) (1)

ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (2)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της υπο λογίζεται από τη σχέση

W = W

AB+ W

B + W$ + W$A

W

= nRT0ln

V0

2V0

$

amp +2P

0V

0-V

0

2

$

amp +

+

nR2T0ln2V0

V0

$

amp amp +P0(V0 - 2V0 )

W

= -nRT0ln2+P

0V

0+2nRT

0ln2 -P

0V

0=nRT

0ln2=P

0V

0ln2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) έχουmicroε

=P0V0ln2

P0V0(52 +2ln2)=

ln2

52 + 2ln2

Tο αέριο microιας θερmicroικής microηχανής είναι ιδανικό και υποβάλλεται σε αντιστρεπτό κύκλο ο οποίος αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή εκτόνωση AB microέχρις τετραπλασιασmicroού του όγ κου του αερίου ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση BΓ microέχρις ότου η πίεση του αερίου γίνει ίση microε το 132 της αρχικής της τιmicroής PA και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A όγκου VA α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Nα βρείτε το λόγο γ=CPCV του αερίου και να δείξετε ότι η θερ microότητα που απορροφά κατά την εξέλιξη του κύκλου είναι ίση microε 15PAVA2 γ) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Gay-Lussac θα τετραπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή απο TA θα γίνει 4TA Σύmicroφωνα microε το πρόβληmicroα κατά την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου η πίεση του microειώνε ται από την τιmicroή PA στην τιmicroή PA32 ο δε όγκος του αυξάνεται από την τιmicroή

Σχήmicroα 23 4VA στην τιmicroή VΓ Όmicroως microέσω της ισόθερmicroης συmicroπίεσης ΓA το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle θα έχουmicroε τη σχέση

PV

= P

AV

A V

= 32VA

Mε βάση τα παραπάνω το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (23) β) Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου το νόmicroο του Poisson παίρνουmicroε τη σχέση PB

VB

= PV

PA(4VA)

= (PA32)(32VA )

4

= 32-1 2

2= 2

5( -1) 2 = 5( - 1) = 53 που σηmicroαίνει ότι το αέριο είναι microονοατοmicroικό Eξάλλου η θερmicroότητα που απορροφά το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου ABΓA είναι ίση microε την θερmicroό τητα QAB που απορροφά κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του AB δηλαδή ισχύει Q

= QAB = nCP(4TA - TA) = 5nR(3TA 2)

Q

= 15nRTA2 = 15PAVA2 (1)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓ είναι

= W

Q$

(2) Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου του (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) οπότε θα έχουmicroε

W= Q$ = QAB + QB+ QA = nCP(4TA -TA ) + 0 + nRTAln(VA32VA )

W

= 5nR(3TA 2) - nRTAln(25)

W

= PAVA (152 - 5ln2) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) παίρνουmicroε

=PAVA(152 - 5ln2)

15PAVA2=

15 - 10ln2

15= 1 -

2ln2

3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) την ισόθερmicroη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του αερίου οκταπλασιάζεται ii) την ισόχωρη ψύξη BΓ και iii) την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0=3105 Ntm2 όγκου

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 15: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

β) Mιά αντιστρεπτή ισόχωρη microεταβολή κατά την οποία η πίεση του αερίου γίνεται η microισή της αρχικής του πιέσεως i) Nα σχεδιαστούν τα διαγράmicromicroατα P-V P-T και V-T των δύο αυτών συνεχόmicroενων microεταβολών ii) Nα βρεθεί η συνολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του Δίνονται τα καταστατικά microεγέθη V0 P0 και T0 της αρ χικής κατάστασης του αερίου ΛYΣH i) Kατά την αντιστρεπτή ισοβαρή εκτόνωση ArarrB του ιδανικού αερί ου από τον όγκο V0 στον όγκο 2V0 η απόλυτη θερmicroοκρασία του αυξάνει από την τιmicroή T0 στην τιmicroή 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) Στην αντιστρεπτή ισόχωρη microεταβολή BrarrΓ που ακολουθεί ο όγκος του αέριου microένει σταθερός και ίσος microε 2V0 ενω η πίεσή του ελαττώνεται από την τιmicroή Pο στην τιmicroή P02 microε απο τέλεσmicroα να ελαττώνεται και η θερmicroοκρασία του αέριου από την τιmicroή 2T0 στην

Σχήmicroα 10 Σχήmicroα 11 Σχήmicroα 12

τιmicroή T0 (νόmicroος Charles) Όλα τα παραπάνω εκφράζονται συmicroβολικά ως εξής

A(P0 V0 T0) rarr B(P0 2V0 2T0) rarr Γ(P02 2V0 T0) Tα σχήmicroατα (10) (11) (12) αποτελούν τα ζητούmicroενα διαγράmicromicroατα της microεταβο λής ArarrBrarrΓ του ιδανικού αερίου ii) Aφού κατά την αντιστρεπτή διαδικασία ArarrBrarrΓ η θερmicroοκρασία του αερίου τελικά δεν microεταβάλλεται η ολική microεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας είναι microηδέν διότι η εσωτερική ενέργεια microιας ορισmicroένης microάζας ιδανικού αερίου είναι συνάρτηση microόνο της θερmicroοκρασίας του Δηλαδή ισχύει

ΔUολ = 0 (1) Eφαρmicroόζοντας για το ιδανικό αέριο τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο κατά τη microεταβολή ArarrBrarrΓ παίρνουmicroε τη σχέση

Q= U

+ W

(1)

Q= 0 + W

= W

Q= WAB + WB

= P0(2V0 - V0 ) + 0 Q= P0V0

Mια θερmicroική microηχανή Carnot λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1=500 0K και T2=200 0K H microηχανή απορροφά από τη θερmicroή δεξαmicroενή θερmicroότητα microε ρυθmicroό q1=2105 Js i) Nα βρεθεί η ωφέλιmicroη ισχύς της microηχανής ii) Nα βρεθεί ο ρυθmicroός microε τον οποίο πρέπει να microεταφέρεται θερmicroότη τα στην ψυχρή πηγή microιας θερmicroικής microηχανής που λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδο σης ίσο microε 80 του συντελεστή απόδοσης της microηχανής Carnot και την ίδια ωφέλιmicroη ισχύ microε αυτή ΛYΣH i) Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot στο ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής τότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αC της microηχανής θα ικανοποιεί τη σχέση

C =W

Q1

W = CQ1

W

t=CQ1

t (1)

Όmicroως το πηλίκο Wt αποτελεί την ωφέλιmicroη ισχύ N της microηχανής ενώ το πηλίκο Q1t αποτελεί το ρυθmicroό q1 microεταφοράς θερmicroότητας από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το αέριο που χρησιmicroοποιεί οπότε η σχέση (1) γράφεται N = Cq1 = (1 - T2T1 )q1

N=(1-200500)2 105 Js=12 105 Js ii) Aς θεωρήσουmicroε τη θερmicroική microηχανή που εργάζεται microεταξύ των θερmicroοκρα σιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης α=08αC και ωφέλιmicroη ισχύ N Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το ενεργό υλικό που χρησιmicroοποιεί και Q2 η αντίστοιχη θερmicroότητα που microεταφέρεται από το υλικό αυτό προς την ψυχρή δεξαmicroενή της θα έχουmicroε τις σχέσεις

Q1 = W+Q2

08C = WQ1

W

08C

= W+Q2

W1

08C

- 1

$

amp =Q2

W

t

1

08C

- 1

$

amp =

Q2

t

microε C

= 1- T2T

1= 35 Όmicroως το πηλίκο Q2t αποτελεί το ρυθmicroό q2 microεταφοράς

θερmicroότητας στην ψυχρή πηγή της θερmicroικής microηχανής ενώ το πηλίκο Wt αποτελεί την ισχύ N της microηχανής οπότε η (2) γράφεται q2 = N(54C - 1) = 12 10

5(25 12 - 1) Js = 13 10

5Js

Mια θερmicroική microηχανή αποτελείται από δύο θερmicroι κές microηχανές Carnot και η ψυχρή πηγή της microιας αποτελεί θερmicroή πηγή της άλλης Eάν α1 α2 είναι οι θερmicroοδυναmicroικοί συντελεστές από δοσης των δύο microηχανών T1 η απόλυτη θερmicroοκρασία της θερmicroής πηγής της πρώτης και T3 η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της δεύτερης να δείξετε τις σχέσεις αολ = α1 + α2 - α1α2 και αολ = 1 - T3 T1 όπου αολ ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της σύνθετης microηχανής Carnot ΛYΣH Έστω ότι σε χρόνο t microεταφέρεται θερmicroότητα Q1 από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot M1 προς το ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W1 είναι το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής αυτής O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α1 της microηχανής θα είναι 1 = W1Q1 W1 = 1Q1 (1)

Σχήmicroα 13 Eξάλλου εάν Q2 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t στην ψυχρή πηγή της microηχανής M1 αυτή θα αποτελεί και την αντίστοιχη θερmicroότητα που λαmicroβάνει το αέριο της δεύτερης microηχανής Carnot M2 οπότε το ωφέλιmicroο έργο W2 της microηχανής αυτής σε χρόνο t θα υπολογίζεται microέσω της σχέσεως W2 = 2Q2 (2) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αολ του συστήmicroατος των δύο microηχα νών θα είναι

=

W1 + W2

Q1

(2)

(1)

=1Q1 + 2Q2

Q1

= 1 +2Q2

Q1

(3)

Όmicroως εάν T2 είναι η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της M1 ή της

θερmicroής πηγής της M2 θα ισχύει η σχέση

Q1

T1

=Q2

T2

Q2

Q1

=T2

T1

= 1 -1 (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) έχουmicroε

= 1 +2(1 - 1 ) = 1 +2 -12 (5) Eπειδή α1=1-T2T1 και α2=1-T3T2 η σχέση (5) γράφεται

= 1 -T

2

T1

+1 -T

3

T2

- 1 -T

2

T1

$

amp amp 1 -T

3

T2

$

amp amp

= 2 -

T2

T1

-T

3

T2

- 1+T

2

T1

-T

2

T1

T

3

T2

= 1 -T

3

T1

Mιά microάζα n mol microονοατοmicroικού ιδανικού αέριου (CV=3R2) όγκου V0 και πιέσεως P0 υποβάλλεται σε αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή που αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβο λές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB κατά την οποία η πίεση του αε ρίου διπλασιάζεται ii) από microια ισόθερmicroη εκτόνωση BrarrΓ κατά την οποία ο όγκος του αερίου διπλασιάζεται και iii) από microια ισοβαρή συmicroπίεση ΓrarrA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να βρείτε τη θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 14) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) Aπό το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη θέρmicroανση του αέριου υπό σταθερό όγκο V0 κατά την οποία η πίεση του αέριου από P0 γίνεται 2P0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Charles)

ii) Aπό το καmicroπύλογραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη εκτόνωση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία ο όγκος του αέριου από V0 γίνεται 2V0 οπότε η πίεσή του από 2P0 γίνεται P0 (νόmicroος Boyle) και iii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή συmicroπίεση του αέριου microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A(P0V0T0) Eξάλλου σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο η θερmicroότητα Q που το αέριο ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του κατά τον κύκλο ABΓA η microεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας και το έργο W που παράγει το αέριο συνδέονται microε τη σχέση

Q = ΔU + W Q = 0 + W Q = W (1)

Σχηmicroα 14 Όmicroως το έργο W είναι ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των επί microέρους έργων WAB WBΓ και WΓA που αντιστοιχούν στις microεταβολές ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA Έτσι θα έχουmicroε τη σχέση

W= WAB

+ WB

+WA

W = 0 +2nRT0ln (2V0 V0) + P0 (V0 - 2V0)

W=2nRT0ln2 -P

0V

0= 2P

0V

0ln2 -P

0V

0 (1)

Q=P0V0(2ln2 - 1) (2) β) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α microιας θερmicroικής microηχανής η οποία θα λειτουργούσε microε βάση τον κύκλο ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του προς την θερmicroότητα Qπρ που προσφέ ρεται σrsquo αυτό σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microηχανής δηλαδή ισχύει

=

W

Q

(1)

=Q

Q

(2)

=P0V0 (2ln2 - 1)

Q

(3)

Όmicroως για τη θερmicroότητα Qπρ ισχύει η σχέση

Q = QAB + QB = nCV(2T0 - T0 ) +2nRT0ln(2V0V0)

Q= nCVT0 +2nRT0ln2 = nT0 (CV +2Rln2) (4)

όπου CV η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερό όγκο Όmicroως το αέριο που εξετάζουmicroε ισχύει CV =3R2 και η (4) γράφεται

Q= nT0(3R2 +2Rln2) = nRT0(32 +2ln2)

Q= P0V0 (32 + 2ln2) (5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (5) παίρνουmicroε τη σχέση

=

P0V0 (2ln2 - 1)

P0V0(32 + 2ln2)=

2ln2 - 1

32 +2ln2

=

2(2ln2 - 1)

3 + 4ln2

Mιά ορισmicroένη microάζα microονοατοmicroικού ιδανικού αερί ου (CV=3R2) όγκου V0 πιέσεως P0 και απόλυτης θερmicroοκρασίας T0 υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται i) από microια ισοβαρή εκτόνωση ArarrB κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται ii) από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να υπολογίσετε το έργο που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το συντελεστή απόδοσης της κυκλικής αυτής microεταβολής ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 15) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή εκτόνωση του αέριου υπό πίεση P0 κατά την οποία ο όγκος του από V0 γίνεται 2V0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) ii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη ψύξη του αερίου υπό σταθερό όγκο 2V0 κατά την οποία το αέριο ψύχεται από τη θερmicroοκρασία 2T0 στη θερmicroοκρασία T0 οπότε η πίεσή του από P0 γίνεται P02 (νόmicroος Charles) και iii) από το καmicroπυλόγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη συmicroπί εση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία ο όγκος του ελατ τώνεται από 2V0 σε V0 ενώ η πίεση του αυξάνει από P02 σε P0 (νόmicroος Boyle) Eξάλλου το έργο W που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του θα είναι

ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των έργων WAB WBΓ και WΓA που ανταλλάσσει το αέριο κατά τη διάρκεια των επί microέρους microεταβολών ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA δηλαδή θα ισχύει

Σχήmicroα 15

W = WAB + WB+W

A = P0(2V0 -V0) + 0 +nRT0ln(V0 2V0)

W = P0V0 +nRT0ln(12) W= P0V

0- nRT

0ln2 (1)

όπου n ο αριθmicroός των mol του αέριου και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Όmicroως σύmicroφωνα microε την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων ισχύει P0V0=nRT0 οπότε η (1) γράφεται

W= P0V

0-P

0V

0ln2

W = P

0V

01 - ln2( ) (2)

β) O συντελεστής απόδοσης α του κύκλου ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W προς την θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου δηλαδή ισχύει

=

W

QAB

(1)

=P0V0 (1 - ln2)

nCP(2T0 - T0 )

=nRT0 (1 - ln2)

nCpT0

(3)

όπου CP η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερή πίεση Eπειδή γιατο αέριο έχουmicroε CP=5R2 η σχέση (3) γράφεται

=

nRT0 (1 - ln2)

5nRT02 =

2(1- ln2)

5 (4)

Ένα ιδανικό αέριο υποβάλλεται σε κυκλική αντισ τρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από microια ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB θερmicroοκρασίας T1 από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ όγκου V1 από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ θερmicroοκρασίας T2 και από microια ισόχωρη θέρmicroανση ΔrarrA όγκου V2=V12 Eάν ο λόγος CPCV του αερίου είναι γ

να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του το αέριο απορροφά από το εξωτερικό του περιβάλλον τα ποσά θερmicroότητας QΔA και QAB που ανιστοι χούν στην ισόχωρη θέρmicroανσή του ΔrarrA και στην ισόθερmicroη συmicroπίεσή του ArarrB Άρα ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβο λής είναι

=

W

Q$A + QAB

(1)

Σχήmicroα 16 όπου Wολ το ολικό έργο που παρέχει το αέριο στο περιβάλλον του Όmicroως για το έργο αυτό ισχύει

W= W

A+ W

AB+ W

B$+ W

$= 0 + W

AB+ 0 + W

$

W

= W

AB+W

$= nRT

1ln

V1

V12

$

amp amp + nRT2ln

V12

V1

$

amp amp

W= nRT

1ln2 - nRT

2ln2 W

= nR(T1 - T2 )ln2 (2) Εξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και QΔA ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1lnV1

V1 2

$

amp amp = nRT1ln2

και

QA = nCV (T1 - T2 ) =

nR(T1 - T2)

- 1 οπότε η (1) δίνει

=

nR(T1 - T2)ln2

nR(T1 - T2)( - 1) + nRT1ln2

=( - 1)(T1 - T2 )ln2

T1 - T2 + ( - 1)T1ln2

i) Nα δείξετε ότι η άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank για το δεύτερο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο συνεπάγεται και άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Nα δείξετε ότι microια κυκλική microεταβολή ορισmicroένης microάζας ιδανικού αέριου που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση από microια αδια βατική εκτόνωση και από microια αδιαβατική συmicroπίεση βρίσκεται σε αντίφαση microε το δεύτερo θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο δηλαδή microια τέτοια κυκ λική microεταβολή είναι αδύνατη ΛYΣH i) Έστω ότι υπάρχει θερmicroική microηχανή που σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microετατρέπει ολοκληρωτικά την θερmicroότητα Q1 που παίρνει από την πηγή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 σε microηχανικό έργο W χωρίς να δίνει θερmicroότητα στην πηγή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 Θεωρούmicroε τώρα microια κατάλ

Σχήmicroα 17 Σχήmicroα 18 ληλη ψυκτική microηχανή η οποία όταν λειτουργεί ανάmicroεσα στις ίδιες πηγές θερ microότητας microεταφέρει θερmicroότητα Q1 στην πηγή A καταναλώνοντας το έργο W που παράγει η θερmicroική microηχανή Tότε η ψυκτική αυτή microηχανή θα παίρνει από την πηγή B microια ορισmicroένη θερmicroότητα Q2 και εποmicroένως το σύστηmicroα των δύο microηχανών θα ισοδυναmicroεί microε microια ψυκτική microηχανή η οποία θα απάγει θερmicroότητα Q2 από την ψυχρή πηγή B χωρίς κατανάλωση έργου πράγmicroα που αποτελεί άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Έστω ότι microια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί την κυκλική microεταβο λή ABΓA που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB microια αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ και microια αδιαβατική συmicroπίεση ΓrarrA (σχήmicroα 18) Eφαρmicroόζοντας για τη microεταβολή αυτή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση QAB + QBΓ + QΓA = ΔUολ + Wολ QAB + 0 + 0 = 0 + Wολ QAB = Wολ (1)

H σχέση (1) δηλώνει ότι κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής ABΓA η θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο microετατρέπεται ολοκληρωτικά σε έργο γεγονός που έρχεται σε αντίθεση microε τη διατύπωση των Kelvin-Plank Παρατήρηση H microη πραγmicroατοποίση της κυκλικής microεταβολής ABΓA ισοδυναmicroεί microε το ότι οι αδιαβατικές καmicroπύλες BΓ και ΓA δεν είναι δυνατό να τέmicroνονται

Mιά ορισmicroένη microάζα ιδανικού αερίου εκτελεί κύκλο Carnot ABΓΔA Eάν V1 V2 V3 V4 είναι οι όγκοι του αέριου που αντιστοιχούν στις κατατάσεις A B Γ και Δ και T1 T2 είναι οι απόλυτες θερmicroοκρασίες της ισόθερmicroης εκτόνωσης και της ισόθερmicroης συmicroπίεσης του αέριου αντιστοίχως (T1gtT2) να δείξετε τις σχέσεις

V1V3 = V2V4 και W = nR(T1 - T2)ln(V2V1) όπου n τα mol του αερίου R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανικών αερίων και W το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του ΛYΣH Για την ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ισχύει P1

V1= P

2V

2 (1)

Για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Poisson ισχύει

P2V

2

= P3V

3

(2)

Σχήmicroα 19

Για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle έχουmicroε

P3V

3= P

4V

4 (3)

Tέλος για την αδιαβατική συmicroπίεση ΔrarrA σύmicroφωνα microε τον νόmicroο του Poisson έχουmicroε

P4V

4

= P1V

1

(4) όπου γ ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αερίου Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (4) κατά microέλη παίρνου microε τη σχέση

P1V

1P

2V

2

P3V

3P

4V

4

= P2V

2P

3V

3

P4V

4P

1V

1

2

-1

V 4

-1

V =3

-1

V 1

-1

V V3

V1= V

2V

4 (5)

Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκ λικής microεταβολής ABΓΔA είναι σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσει microε το περιβάλλον του Δηλαδή ισχύει η σχέση

W= Q

= QAB + QB

+ Q$

+ Q$A = QAB + Q

$ (6)

διότι για τις αδιαβατικές microεταβολές BrarrΓ και ΔrarrA έχουmicroε QBΓ =QΔA =0 Eξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και Q

ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1ln(V2 V1 )

Q

= nRT2ln(V4 V3 )

$

(+ )

QAB + Q

= nR T1lnV2

V1

$

amp amp + T2lnV4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(6)

W

= nR T

1ln

V2

V1

$

amp amp + T2ln

V4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(7)

Όmicroως από τη σχέση (5) έχουmicroε

V2

V1

=V

3

V4

lnV

2

V1

$

amp amp = lnV

3

V4

$

amp amp

lnV

2

V1

$

amp amp = - lnV

4

V3

$

amp amp

οπότε η (7) γράφεται

W

= nR(T1 - T2)ln

V2

V1

$

amp amp (8)

Mια θερmicroική microηχανή αναγκάζει ιδανικό αέριο σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση κατά την οποία η πίεση του αερίου τριπλασιάζεται

ii) από microια ισοβαρή εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται iii) από microια ισόχωρη ψύξη microέχρις ότου η πίεση του αερίου ανακτή σει την αρχική της τιmicroή και iv) απο microια ισοβαρή συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Eάν P0 V0 είναι η πίεση και ο όγκος αντιστοίχως του αερίου στην αρχική του κατάσταση και γ ο λόγος CPCV των γραmicromicroοmicroοριακών του ειδικών θερmicroοτήτων να βρείτε την προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroό τητα κατά την εξέλιξη του κύκλου γ) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής και να τον συγκρίνετε microε το συντελεστή απόδοσης της microηχα νής Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ της microέγιστης και της ελά χιστης θερmicroοκρασίας του αερίου της microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόχωρη θέρmicroανση AB του αερίου η πίεσή του τριπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Charles θα τριπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του αερίου δηλαδή από T0 θα γίνει 3T0 Κατά την ισοβα ρή εκτόνωση BΓ ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται οπότε και η απόλυτη θερmicroοκρασία του θα τριπλασιάζεται (νόmicroοςGay-Lussac) δηλαδή από 3T0 θα γίνει 9T0 Kατά την ισόχωρη ψύξη ΓΔ του αερίου η πίεση του απο την τιmicroή 3P0 λαmicroβάνει την τιmicroή P0 δηλαδή υποτριπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο του

Σχήmicroα 20 Charles πρέπει να υποτριπλασιασθεί και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή από 9T0 πρέπει να γίνει 3T0 Aυτό σηmicroαίνει ότι οι καταστάσεις B και Δ βρίσ κονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη θερmicroοκρασίας 3T0 Mε βάση τις παρα πάνω διαπιστώσεις το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου έχει τη microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (20) β) Kατά την εξέλιξη του κύκλου στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα στο στάδιο της ισόχωρης θέρmicroανσης AB και της ισοβαρούς εκτόνωσης BΓ δηλαδή ισχύει

Q = QAB + QB = nCV 3T0 - T0( ) + nCP 9T0 - 3T0( )

Q

= 2nCVT0 + 6nCPT0 = 2n CV + 3CP( )T0 (1)

Όmicroως οι γραmicromicroοmicroοριακές ειδικές θερmicroότητες CV και CP του αερίου ικανοποιούν τις σχέσεις

CP

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= R - 1

CP

= R - 1

$ (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε

Q

=

2nRT0

- 1(1+ 3) = 2P0V0

1+3

- 1

$

amp (3)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (4)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε το εmicroβαδόν του σκιασmicroένου ορθογωνίου ABΓΔ δηλαδή ισχύει W = micro$(ABamp) = (3P0 -P0)(3V0 -V0) = 4P0V0 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3)(4) και (5) έχουmicroε

=4P0V0

2P0V0

- 1

1+3

$

amp =

2( - 1)

1+ 3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται στην κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓΔA της οποίας το διάγραmicromicroα P-T φαίνεται στο σχήmicroα (21) i) Eάν οι θερmicroοδυναmicroικές microεταβλητές της κατάστασης A είναι P0 V0 και T0 να βρείτε τη θερmicroότητα που απορροφά το αέριο στη διάρκεια του κύκλου αφού προηγουmicroένως σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V του κύκλου ii) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση υπό θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου διπλασιάζεται οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ο όγκος του αερίου θα υποδιπλασιάζεται δηλαδή από V0 θα γίνει V02 H microεταβολή BΓ είναι ισοβαρής θέρmicroανση υπο πίεση 2P0 κατά την οποία η απόλυ

τη θερmicroοκρασία του αερίου διπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο Gay-Lussac θα διπλασιάζεται και ο όγκος του αερίου δηλαδή από V02 θα γίνει V0 H microετα βολή ΓΔ είναι ισόθερmicroη εκτόνωση υπό θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου υποδιπλασιάζεται οπότε ο όγκος του θα διπλασιάζεται (νόmicroος

Σχήmicroα 21 Σχήmicroα 22 Boyle) δηλαδή από V0 θα γίνει 2V0 Mε βάση τα παραπάνω οδηγούmicroαστε στο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου το οποίο έχει την microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (22) Στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του BΓ και της ισόθερmicroης εκτόνωσής του ΓΔ δηλαδή ισχύει η σχέση Q = QB +Q$ = nCP(2T0 - T0) + nR2T0ln(2V0V0 )

Q

= 5nRT02 + 2nRT0 ln2 Q

= P0V0 (52 + 2ln2) (1)

ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (2)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της υπο λογίζεται από τη σχέση

W = W

AB+ W

B + W$ + W$A

W

= nRT0ln

V0

2V0

$

amp +2P

0V

0-V

0

2

$

amp +

+

nR2T0ln2V0

V0

$

amp amp +P0(V0 - 2V0 )

W

= -nRT0ln2+P

0V

0+2nRT

0ln2 -P

0V

0=nRT

0ln2=P

0V

0ln2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) έχουmicroε

=P0V0ln2

P0V0(52 +2ln2)=

ln2

52 + 2ln2

Tο αέριο microιας θερmicroικής microηχανής είναι ιδανικό και υποβάλλεται σε αντιστρεπτό κύκλο ο οποίος αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή εκτόνωση AB microέχρις τετραπλασιασmicroού του όγ κου του αερίου ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση BΓ microέχρις ότου η πίεση του αερίου γίνει ίση microε το 132 της αρχικής της τιmicroής PA και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A όγκου VA α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Nα βρείτε το λόγο γ=CPCV του αερίου και να δείξετε ότι η θερ microότητα που απορροφά κατά την εξέλιξη του κύκλου είναι ίση microε 15PAVA2 γ) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Gay-Lussac θα τετραπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή απο TA θα γίνει 4TA Σύmicroφωνα microε το πρόβληmicroα κατά την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου η πίεση του microειώνε ται από την τιmicroή PA στην τιmicroή PA32 ο δε όγκος του αυξάνεται από την τιmicroή

Σχήmicroα 23 4VA στην τιmicroή VΓ Όmicroως microέσω της ισόθερmicroης συmicroπίεσης ΓA το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle θα έχουmicroε τη σχέση

PV

= P

AV

A V

= 32VA

Mε βάση τα παραπάνω το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (23) β) Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου το νόmicroο του Poisson παίρνουmicroε τη σχέση PB

VB

= PV

PA(4VA)

= (PA32)(32VA )

4

= 32-1 2

2= 2

5( -1) 2 = 5( - 1) = 53 που σηmicroαίνει ότι το αέριο είναι microονοατοmicroικό Eξάλλου η θερmicroότητα που απορροφά το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου ABΓA είναι ίση microε την θερmicroό τητα QAB που απορροφά κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του AB δηλαδή ισχύει Q

= QAB = nCP(4TA - TA) = 5nR(3TA 2)

Q

= 15nRTA2 = 15PAVA2 (1)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓ είναι

= W

Q$

(2) Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου του (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) οπότε θα έχουmicroε

W= Q$ = QAB + QB+ QA = nCP(4TA -TA ) + 0 + nRTAln(VA32VA )

W

= 5nR(3TA 2) - nRTAln(25)

W

= PAVA (152 - 5ln2) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) παίρνουmicroε

=PAVA(152 - 5ln2)

15PAVA2=

15 - 10ln2

15= 1 -

2ln2

3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) την ισόθερmicroη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του αερίου οκταπλασιάζεται ii) την ισόχωρη ψύξη BΓ και iii) την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0=3105 Ntm2 όγκου

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 16: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

Mια θερmicroική microηχανή Carnot λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1=500 0K και T2=200 0K H microηχανή απορροφά από τη θερmicroή δεξαmicroενή θερmicroότητα microε ρυθmicroό q1=2105 Js i) Nα βρεθεί η ωφέλιmicroη ισχύς της microηχανής ii) Nα βρεθεί ο ρυθmicroός microε τον οποίο πρέπει να microεταφέρεται θερmicroότη τα στην ψυχρή πηγή microιας θερmicroικής microηχανής που λειτουργεί microεταξύ των θερmicroοκρασιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδο σης ίσο microε 80 του συντελεστή απόδοσης της microηχανής Carnot και την ίδια ωφέλιmicroη ισχύ microε αυτή ΛYΣH i) Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot στο ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής τότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αC της microηχανής θα ικανοποιεί τη σχέση

C =W

Q1

W = CQ1

W

t=CQ1

t (1)

Όmicroως το πηλίκο Wt αποτελεί την ωφέλιmicroη ισχύ N της microηχανής ενώ το πηλίκο Q1t αποτελεί το ρυθmicroό q1 microεταφοράς θερmicroότητας από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το αέριο που χρησιmicroοποιεί οπότε η σχέση (1) γράφεται N = Cq1 = (1 - T2T1 )q1

N=(1-200500)2 105 Js=12 105 Js ii) Aς θεωρήσουmicroε τη θερmicroική microηχανή που εργάζεται microεταξύ των θερmicroοκρα σιών T1 T2 και εχει θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης α=08αC και ωφέλιmicroη ισχύ N Eάν Q1 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερmicroή πηγή της microηχανής προς το ενεργό υλικό που χρησιmicroοποιεί και Q2 η αντίστοιχη θερmicroότητα που microεταφέρεται από το υλικό αυτό προς την ψυχρή δεξαmicroενή της θα έχουmicroε τις σχέσεις

Q1 = W+Q2

08C = WQ1

W

08C

= W+Q2

W1

08C

- 1

$

amp =Q2

W

t

1

08C

- 1

$

amp =

Q2

t

microε C

= 1- T2T

1= 35 Όmicroως το πηλίκο Q2t αποτελεί το ρυθmicroό q2 microεταφοράς

θερmicroότητας στην ψυχρή πηγή της θερmicroικής microηχανής ενώ το πηλίκο Wt αποτελεί την ισχύ N της microηχανής οπότε η (2) γράφεται q2 = N(54C - 1) = 12 10

5(25 12 - 1) Js = 13 10

5Js

Mια θερmicroική microηχανή αποτελείται από δύο θερmicroι κές microηχανές Carnot και η ψυχρή πηγή της microιας αποτελεί θερmicroή πηγή της άλλης Eάν α1 α2 είναι οι θερmicroοδυναmicroικοί συντελεστές από δοσης των δύο microηχανών T1 η απόλυτη θερmicroοκρασία της θερmicroής πηγής της πρώτης και T3 η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της δεύτερης να δείξετε τις σχέσεις αολ = α1 + α2 - α1α2 και αολ = 1 - T3 T1 όπου αολ ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της σύνθετης microηχανής Carnot ΛYΣH Έστω ότι σε χρόνο t microεταφέρεται θερmicroότητα Q1 από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot M1 προς το ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W1 είναι το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής αυτής O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α1 της microηχανής θα είναι 1 = W1Q1 W1 = 1Q1 (1)

Σχήmicroα 13 Eξάλλου εάν Q2 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t στην ψυχρή πηγή της microηχανής M1 αυτή θα αποτελεί και την αντίστοιχη θερmicroότητα που λαmicroβάνει το αέριο της δεύτερης microηχανής Carnot M2 οπότε το ωφέλιmicroο έργο W2 της microηχανής αυτής σε χρόνο t θα υπολογίζεται microέσω της σχέσεως W2 = 2Q2 (2) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αολ του συστήmicroατος των δύο microηχα νών θα είναι

=

W1 + W2

Q1

(2)

(1)

=1Q1 + 2Q2

Q1

= 1 +2Q2

Q1

(3)

Όmicroως εάν T2 είναι η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της M1 ή της

θερmicroής πηγής της M2 θα ισχύει η σχέση

Q1

T1

=Q2

T2

Q2

Q1

=T2

T1

= 1 -1 (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) έχουmicroε

= 1 +2(1 - 1 ) = 1 +2 -12 (5) Eπειδή α1=1-T2T1 και α2=1-T3T2 η σχέση (5) γράφεται

= 1 -T

2

T1

+1 -T

3

T2

- 1 -T

2

T1

$

amp amp 1 -T

3

T2

$

amp amp

= 2 -

T2

T1

-T

3

T2

- 1+T

2

T1

-T

2

T1

T

3

T2

= 1 -T

3

T1

Mιά microάζα n mol microονοατοmicroικού ιδανικού αέριου (CV=3R2) όγκου V0 και πιέσεως P0 υποβάλλεται σε αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή που αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβο λές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB κατά την οποία η πίεση του αε ρίου διπλασιάζεται ii) από microια ισόθερmicroη εκτόνωση BrarrΓ κατά την οποία ο όγκος του αερίου διπλασιάζεται και iii) από microια ισοβαρή συmicroπίεση ΓrarrA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να βρείτε τη θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 14) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) Aπό το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη θέρmicroανση του αέριου υπό σταθερό όγκο V0 κατά την οποία η πίεση του αέριου από P0 γίνεται 2P0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Charles)

ii) Aπό το καmicroπύλογραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη εκτόνωση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία ο όγκος του αέριου από V0 γίνεται 2V0 οπότε η πίεσή του από 2P0 γίνεται P0 (νόmicroος Boyle) και iii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή συmicroπίεση του αέριου microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A(P0V0T0) Eξάλλου σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο η θερmicroότητα Q που το αέριο ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του κατά τον κύκλο ABΓA η microεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας και το έργο W που παράγει το αέριο συνδέονται microε τη σχέση

Q = ΔU + W Q = 0 + W Q = W (1)

Σχηmicroα 14 Όmicroως το έργο W είναι ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των επί microέρους έργων WAB WBΓ και WΓA που αντιστοιχούν στις microεταβολές ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA Έτσι θα έχουmicroε τη σχέση

W= WAB

+ WB

+WA

W = 0 +2nRT0ln (2V0 V0) + P0 (V0 - 2V0)

W=2nRT0ln2 -P

0V

0= 2P

0V

0ln2 -P

0V

0 (1)

Q=P0V0(2ln2 - 1) (2) β) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α microιας θερmicroικής microηχανής η οποία θα λειτουργούσε microε βάση τον κύκλο ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του προς την θερmicroότητα Qπρ που προσφέ ρεται σrsquo αυτό σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microηχανής δηλαδή ισχύει

=

W

Q

(1)

=Q

Q

(2)

=P0V0 (2ln2 - 1)

Q

(3)

Όmicroως για τη θερmicroότητα Qπρ ισχύει η σχέση

Q = QAB + QB = nCV(2T0 - T0 ) +2nRT0ln(2V0V0)

Q= nCVT0 +2nRT0ln2 = nT0 (CV +2Rln2) (4)

όπου CV η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερό όγκο Όmicroως το αέριο που εξετάζουmicroε ισχύει CV =3R2 και η (4) γράφεται

Q= nT0(3R2 +2Rln2) = nRT0(32 +2ln2)

Q= P0V0 (32 + 2ln2) (5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (5) παίρνουmicroε τη σχέση

=

P0V0 (2ln2 - 1)

P0V0(32 + 2ln2)=

2ln2 - 1

32 +2ln2

=

2(2ln2 - 1)

3 + 4ln2

Mιά ορισmicroένη microάζα microονοατοmicroικού ιδανικού αερί ου (CV=3R2) όγκου V0 πιέσεως P0 και απόλυτης θερmicroοκρασίας T0 υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται i) από microια ισοβαρή εκτόνωση ArarrB κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται ii) από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να υπολογίσετε το έργο που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το συντελεστή απόδοσης της κυκλικής αυτής microεταβολής ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 15) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή εκτόνωση του αέριου υπό πίεση P0 κατά την οποία ο όγκος του από V0 γίνεται 2V0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) ii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη ψύξη του αερίου υπό σταθερό όγκο 2V0 κατά την οποία το αέριο ψύχεται από τη θερmicroοκρασία 2T0 στη θερmicroοκρασία T0 οπότε η πίεσή του από P0 γίνεται P02 (νόmicroος Charles) και iii) από το καmicroπυλόγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη συmicroπί εση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία ο όγκος του ελατ τώνεται από 2V0 σε V0 ενώ η πίεση του αυξάνει από P02 σε P0 (νόmicroος Boyle) Eξάλλου το έργο W που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του θα είναι

ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των έργων WAB WBΓ και WΓA που ανταλλάσσει το αέριο κατά τη διάρκεια των επί microέρους microεταβολών ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA δηλαδή θα ισχύει

Σχήmicroα 15

W = WAB + WB+W

A = P0(2V0 -V0) + 0 +nRT0ln(V0 2V0)

W = P0V0 +nRT0ln(12) W= P0V

0- nRT

0ln2 (1)

όπου n ο αριθmicroός των mol του αέριου και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Όmicroως σύmicroφωνα microε την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων ισχύει P0V0=nRT0 οπότε η (1) γράφεται

W= P0V

0-P

0V

0ln2

W = P

0V

01 - ln2( ) (2)

β) O συντελεστής απόδοσης α του κύκλου ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W προς την θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου δηλαδή ισχύει

=

W

QAB

(1)

=P0V0 (1 - ln2)

nCP(2T0 - T0 )

=nRT0 (1 - ln2)

nCpT0

(3)

όπου CP η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερή πίεση Eπειδή γιατο αέριο έχουmicroε CP=5R2 η σχέση (3) γράφεται

=

nRT0 (1 - ln2)

5nRT02 =

2(1- ln2)

5 (4)

Ένα ιδανικό αέριο υποβάλλεται σε κυκλική αντισ τρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από microια ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB θερmicroοκρασίας T1 από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ όγκου V1 από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ θερmicroοκρασίας T2 και από microια ισόχωρη θέρmicroανση ΔrarrA όγκου V2=V12 Eάν ο λόγος CPCV του αερίου είναι γ

να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του το αέριο απορροφά από το εξωτερικό του περιβάλλον τα ποσά θερmicroότητας QΔA και QAB που ανιστοι χούν στην ισόχωρη θέρmicroανσή του ΔrarrA και στην ισόθερmicroη συmicroπίεσή του ArarrB Άρα ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβο λής είναι

=

W

Q$A + QAB

(1)

Σχήmicroα 16 όπου Wολ το ολικό έργο που παρέχει το αέριο στο περιβάλλον του Όmicroως για το έργο αυτό ισχύει

W= W

A+ W

AB+ W

B$+ W

$= 0 + W

AB+ 0 + W

$

W

= W

AB+W

$= nRT

1ln

V1

V12

$

amp amp + nRT2ln

V12

V1

$

amp amp

W= nRT

1ln2 - nRT

2ln2 W

= nR(T1 - T2 )ln2 (2) Εξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και QΔA ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1lnV1

V1 2

$

amp amp = nRT1ln2

και

QA = nCV (T1 - T2 ) =

nR(T1 - T2)

- 1 οπότε η (1) δίνει

=

nR(T1 - T2)ln2

nR(T1 - T2)( - 1) + nRT1ln2

=( - 1)(T1 - T2 )ln2

T1 - T2 + ( - 1)T1ln2

i) Nα δείξετε ότι η άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank για το δεύτερο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο συνεπάγεται και άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Nα δείξετε ότι microια κυκλική microεταβολή ορισmicroένης microάζας ιδανικού αέριου που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση από microια αδια βατική εκτόνωση και από microια αδιαβατική συmicroπίεση βρίσκεται σε αντίφαση microε το δεύτερo θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο δηλαδή microια τέτοια κυκ λική microεταβολή είναι αδύνατη ΛYΣH i) Έστω ότι υπάρχει θερmicroική microηχανή που σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microετατρέπει ολοκληρωτικά την θερmicroότητα Q1 που παίρνει από την πηγή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 σε microηχανικό έργο W χωρίς να δίνει θερmicroότητα στην πηγή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 Θεωρούmicroε τώρα microια κατάλ

Σχήmicroα 17 Σχήmicroα 18 ληλη ψυκτική microηχανή η οποία όταν λειτουργεί ανάmicroεσα στις ίδιες πηγές θερ microότητας microεταφέρει θερmicroότητα Q1 στην πηγή A καταναλώνοντας το έργο W που παράγει η θερmicroική microηχανή Tότε η ψυκτική αυτή microηχανή θα παίρνει από την πηγή B microια ορισmicroένη θερmicroότητα Q2 και εποmicroένως το σύστηmicroα των δύο microηχανών θα ισοδυναmicroεί microε microια ψυκτική microηχανή η οποία θα απάγει θερmicroότητα Q2 από την ψυχρή πηγή B χωρίς κατανάλωση έργου πράγmicroα που αποτελεί άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Έστω ότι microια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί την κυκλική microεταβο λή ABΓA που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB microια αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ και microια αδιαβατική συmicroπίεση ΓrarrA (σχήmicroα 18) Eφαρmicroόζοντας για τη microεταβολή αυτή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση QAB + QBΓ + QΓA = ΔUολ + Wολ QAB + 0 + 0 = 0 + Wολ QAB = Wολ (1)

H σχέση (1) δηλώνει ότι κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής ABΓA η θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο microετατρέπεται ολοκληρωτικά σε έργο γεγονός που έρχεται σε αντίθεση microε τη διατύπωση των Kelvin-Plank Παρατήρηση H microη πραγmicroατοποίση της κυκλικής microεταβολής ABΓA ισοδυναmicroεί microε το ότι οι αδιαβατικές καmicroπύλες BΓ και ΓA δεν είναι δυνατό να τέmicroνονται

Mιά ορισmicroένη microάζα ιδανικού αερίου εκτελεί κύκλο Carnot ABΓΔA Eάν V1 V2 V3 V4 είναι οι όγκοι του αέριου που αντιστοιχούν στις κατατάσεις A B Γ και Δ και T1 T2 είναι οι απόλυτες θερmicroοκρασίες της ισόθερmicroης εκτόνωσης και της ισόθερmicroης συmicroπίεσης του αέριου αντιστοίχως (T1gtT2) να δείξετε τις σχέσεις

V1V3 = V2V4 και W = nR(T1 - T2)ln(V2V1) όπου n τα mol του αερίου R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανικών αερίων και W το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του ΛYΣH Για την ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ισχύει P1

V1= P

2V

2 (1)

Για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Poisson ισχύει

P2V

2

= P3V

3

(2)

Σχήmicroα 19

Για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle έχουmicroε

P3V

3= P

4V

4 (3)

Tέλος για την αδιαβατική συmicroπίεση ΔrarrA σύmicroφωνα microε τον νόmicroο του Poisson έχουmicroε

P4V

4

= P1V

1

(4) όπου γ ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αερίου Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (4) κατά microέλη παίρνου microε τη σχέση

P1V

1P

2V

2

P3V

3P

4V

4

= P2V

2P

3V

3

P4V

4P

1V

1

2

-1

V 4

-1

V =3

-1

V 1

-1

V V3

V1= V

2V

4 (5)

Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκ λικής microεταβολής ABΓΔA είναι σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσει microε το περιβάλλον του Δηλαδή ισχύει η σχέση

W= Q

= QAB + QB

+ Q$

+ Q$A = QAB + Q

$ (6)

διότι για τις αδιαβατικές microεταβολές BrarrΓ και ΔrarrA έχουmicroε QBΓ =QΔA =0 Eξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και Q

ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1ln(V2 V1 )

Q

= nRT2ln(V4 V3 )

$

(+ )

QAB + Q

= nR T1lnV2

V1

$

amp amp + T2lnV4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(6)

W

= nR T

1ln

V2

V1

$

amp amp + T2ln

V4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(7)

Όmicroως από τη σχέση (5) έχουmicroε

V2

V1

=V

3

V4

lnV

2

V1

$

amp amp = lnV

3

V4

$

amp amp

lnV

2

V1

$

amp amp = - lnV

4

V3

$

amp amp

οπότε η (7) γράφεται

W

= nR(T1 - T2)ln

V2

V1

$

amp amp (8)

Mια θερmicroική microηχανή αναγκάζει ιδανικό αέριο σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση κατά την οποία η πίεση του αερίου τριπλασιάζεται

ii) από microια ισοβαρή εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται iii) από microια ισόχωρη ψύξη microέχρις ότου η πίεση του αερίου ανακτή σει την αρχική της τιmicroή και iv) απο microια ισοβαρή συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Eάν P0 V0 είναι η πίεση και ο όγκος αντιστοίχως του αερίου στην αρχική του κατάσταση και γ ο λόγος CPCV των γραmicromicroοmicroοριακών του ειδικών θερmicroοτήτων να βρείτε την προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroό τητα κατά την εξέλιξη του κύκλου γ) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής και να τον συγκρίνετε microε το συντελεστή απόδοσης της microηχα νής Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ της microέγιστης και της ελά χιστης θερmicroοκρασίας του αερίου της microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόχωρη θέρmicroανση AB του αερίου η πίεσή του τριπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Charles θα τριπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του αερίου δηλαδή από T0 θα γίνει 3T0 Κατά την ισοβα ρή εκτόνωση BΓ ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται οπότε και η απόλυτη θερmicroοκρασία του θα τριπλασιάζεται (νόmicroοςGay-Lussac) δηλαδή από 3T0 θα γίνει 9T0 Kατά την ισόχωρη ψύξη ΓΔ του αερίου η πίεση του απο την τιmicroή 3P0 λαmicroβάνει την τιmicroή P0 δηλαδή υποτριπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο του

Σχήmicroα 20 Charles πρέπει να υποτριπλασιασθεί και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή από 9T0 πρέπει να γίνει 3T0 Aυτό σηmicroαίνει ότι οι καταστάσεις B και Δ βρίσ κονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη θερmicroοκρασίας 3T0 Mε βάση τις παρα πάνω διαπιστώσεις το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου έχει τη microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (20) β) Kατά την εξέλιξη του κύκλου στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα στο στάδιο της ισόχωρης θέρmicroανσης AB και της ισοβαρούς εκτόνωσης BΓ δηλαδή ισχύει

Q = QAB + QB = nCV 3T0 - T0( ) + nCP 9T0 - 3T0( )

Q

= 2nCVT0 + 6nCPT0 = 2n CV + 3CP( )T0 (1)

Όmicroως οι γραmicromicroοmicroοριακές ειδικές θερmicroότητες CV και CP του αερίου ικανοποιούν τις σχέσεις

CP

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= R - 1

CP

= R - 1

$ (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε

Q

=

2nRT0

- 1(1+ 3) = 2P0V0

1+3

- 1

$

amp (3)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (4)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε το εmicroβαδόν του σκιασmicroένου ορθογωνίου ABΓΔ δηλαδή ισχύει W = micro$(ABamp) = (3P0 -P0)(3V0 -V0) = 4P0V0 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3)(4) και (5) έχουmicroε

=4P0V0

2P0V0

- 1

1+3

$

amp =

2( - 1)

1+ 3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται στην κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓΔA της οποίας το διάγραmicromicroα P-T φαίνεται στο σχήmicroα (21) i) Eάν οι θερmicroοδυναmicroικές microεταβλητές της κατάστασης A είναι P0 V0 και T0 να βρείτε τη θερmicroότητα που απορροφά το αέριο στη διάρκεια του κύκλου αφού προηγουmicroένως σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V του κύκλου ii) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση υπό θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου διπλασιάζεται οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ο όγκος του αερίου θα υποδιπλασιάζεται δηλαδή από V0 θα γίνει V02 H microεταβολή BΓ είναι ισοβαρής θέρmicroανση υπο πίεση 2P0 κατά την οποία η απόλυ

τη θερmicroοκρασία του αερίου διπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο Gay-Lussac θα διπλασιάζεται και ο όγκος του αερίου δηλαδή από V02 θα γίνει V0 H microετα βολή ΓΔ είναι ισόθερmicroη εκτόνωση υπό θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου υποδιπλασιάζεται οπότε ο όγκος του θα διπλασιάζεται (νόmicroος

Σχήmicroα 21 Σχήmicroα 22 Boyle) δηλαδή από V0 θα γίνει 2V0 Mε βάση τα παραπάνω οδηγούmicroαστε στο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου το οποίο έχει την microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (22) Στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του BΓ και της ισόθερmicroης εκτόνωσής του ΓΔ δηλαδή ισχύει η σχέση Q = QB +Q$ = nCP(2T0 - T0) + nR2T0ln(2V0V0 )

Q

= 5nRT02 + 2nRT0 ln2 Q

= P0V0 (52 + 2ln2) (1)

ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (2)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της υπο λογίζεται από τη σχέση

W = W

AB+ W

B + W$ + W$A

W

= nRT0ln

V0

2V0

$

amp +2P

0V

0-V

0

2

$

amp +

+

nR2T0ln2V0

V0

$

amp amp +P0(V0 - 2V0 )

W

= -nRT0ln2+P

0V

0+2nRT

0ln2 -P

0V

0=nRT

0ln2=P

0V

0ln2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) έχουmicroε

=P0V0ln2

P0V0(52 +2ln2)=

ln2

52 + 2ln2

Tο αέριο microιας θερmicroικής microηχανής είναι ιδανικό και υποβάλλεται σε αντιστρεπτό κύκλο ο οποίος αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή εκτόνωση AB microέχρις τετραπλασιασmicroού του όγ κου του αερίου ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση BΓ microέχρις ότου η πίεση του αερίου γίνει ίση microε το 132 της αρχικής της τιmicroής PA και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A όγκου VA α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Nα βρείτε το λόγο γ=CPCV του αερίου και να δείξετε ότι η θερ microότητα που απορροφά κατά την εξέλιξη του κύκλου είναι ίση microε 15PAVA2 γ) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Gay-Lussac θα τετραπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή απο TA θα γίνει 4TA Σύmicroφωνα microε το πρόβληmicroα κατά την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου η πίεση του microειώνε ται από την τιmicroή PA στην τιmicroή PA32 ο δε όγκος του αυξάνεται από την τιmicroή

Σχήmicroα 23 4VA στην τιmicroή VΓ Όmicroως microέσω της ισόθερmicroης συmicroπίεσης ΓA το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle θα έχουmicroε τη σχέση

PV

= P

AV

A V

= 32VA

Mε βάση τα παραπάνω το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (23) β) Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου το νόmicroο του Poisson παίρνουmicroε τη σχέση PB

VB

= PV

PA(4VA)

= (PA32)(32VA )

4

= 32-1 2

2= 2

5( -1) 2 = 5( - 1) = 53 που σηmicroαίνει ότι το αέριο είναι microονοατοmicroικό Eξάλλου η θερmicroότητα που απορροφά το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου ABΓA είναι ίση microε την θερmicroό τητα QAB που απορροφά κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του AB δηλαδή ισχύει Q

= QAB = nCP(4TA - TA) = 5nR(3TA 2)

Q

= 15nRTA2 = 15PAVA2 (1)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓ είναι

= W

Q$

(2) Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου του (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) οπότε θα έχουmicroε

W= Q$ = QAB + QB+ QA = nCP(4TA -TA ) + 0 + nRTAln(VA32VA )

W

= 5nR(3TA 2) - nRTAln(25)

W

= PAVA (152 - 5ln2) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) παίρνουmicroε

=PAVA(152 - 5ln2)

15PAVA2=

15 - 10ln2

15= 1 -

2ln2

3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) την ισόθερmicroη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του αερίου οκταπλασιάζεται ii) την ισόχωρη ψύξη BΓ και iii) την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0=3105 Ntm2 όγκου

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 17: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

Mια θερmicroική microηχανή αποτελείται από δύο θερmicroι κές microηχανές Carnot και η ψυχρή πηγή της microιας αποτελεί θερmicroή πηγή της άλλης Eάν α1 α2 είναι οι θερmicroοδυναmicroικοί συντελεστές από δοσης των δύο microηχανών T1 η απόλυτη θερmicroοκρασία της θερmicroής πηγής της πρώτης και T3 η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της δεύτερης να δείξετε τις σχέσεις αολ = α1 + α2 - α1α2 και αολ = 1 - T3 T1 όπου αολ ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της σύνθετης microηχανής Carnot ΛYΣH Έστω ότι σε χρόνο t microεταφέρεται θερmicroότητα Q1 από τη θερmicroή πηγή της microηχανής Carnot M1 προς το ιδανικό αέριο που χρησιmicroοποιεί και W1 είναι το αντίστοιχο ωφέλιmicroο έργο της microηχανής αυτής O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α1 της microηχανής θα είναι 1 = W1Q1 W1 = 1Q1 (1)

Σχήmicroα 13 Eξάλλου εάν Q2 είναι η θερmicroότητα που microεταφέρεται σε χρόνο t στην ψυχρή πηγή της microηχανής M1 αυτή θα αποτελεί και την αντίστοιχη θερmicroότητα που λαmicroβάνει το αέριο της δεύτερης microηχανής Carnot M2 οπότε το ωφέλιmicroο έργο W2 της microηχανής αυτής σε χρόνο t θα υπολογίζεται microέσω της σχέσεως W2 = 2Q2 (2) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης αολ του συστήmicroατος των δύο microηχα νών θα είναι

=

W1 + W2

Q1

(2)

(1)

=1Q1 + 2Q2

Q1

= 1 +2Q2

Q1

(3)

Όmicroως εάν T2 είναι η απόλυτη θερmicroοκρασία της ψυχρής πηγής της M1 ή της

θερmicroής πηγής της M2 θα ισχύει η σχέση

Q1

T1

=Q2

T2

Q2

Q1

=T2

T1

= 1 -1 (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) έχουmicroε

= 1 +2(1 - 1 ) = 1 +2 -12 (5) Eπειδή α1=1-T2T1 και α2=1-T3T2 η σχέση (5) γράφεται

= 1 -T

2

T1

+1 -T

3

T2

- 1 -T

2

T1

$

amp amp 1 -T

3

T2

$

amp amp

= 2 -

T2

T1

-T

3

T2

- 1+T

2

T1

-T

2

T1

T

3

T2

= 1 -T

3

T1

Mιά microάζα n mol microονοατοmicroικού ιδανικού αέριου (CV=3R2) όγκου V0 και πιέσεως P0 υποβάλλεται σε αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή που αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβο λές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB κατά την οποία η πίεση του αε ρίου διπλασιάζεται ii) από microια ισόθερmicroη εκτόνωση BrarrΓ κατά την οποία ο όγκος του αερίου διπλασιάζεται και iii) από microια ισοβαρή συmicroπίεση ΓrarrA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να βρείτε τη θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 14) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) Aπό το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη θέρmicroανση του αέριου υπό σταθερό όγκο V0 κατά την οποία η πίεση του αέριου από P0 γίνεται 2P0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Charles)

ii) Aπό το καmicroπύλογραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη εκτόνωση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία ο όγκος του αέριου από V0 γίνεται 2V0 οπότε η πίεσή του από 2P0 γίνεται P0 (νόmicroος Boyle) και iii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή συmicroπίεση του αέριου microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A(P0V0T0) Eξάλλου σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο η θερmicroότητα Q που το αέριο ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του κατά τον κύκλο ABΓA η microεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας και το έργο W που παράγει το αέριο συνδέονται microε τη σχέση

Q = ΔU + W Q = 0 + W Q = W (1)

Σχηmicroα 14 Όmicroως το έργο W είναι ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των επί microέρους έργων WAB WBΓ και WΓA που αντιστοιχούν στις microεταβολές ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA Έτσι θα έχουmicroε τη σχέση

W= WAB

+ WB

+WA

W = 0 +2nRT0ln (2V0 V0) + P0 (V0 - 2V0)

W=2nRT0ln2 -P

0V

0= 2P

0V

0ln2 -P

0V

0 (1)

Q=P0V0(2ln2 - 1) (2) β) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α microιας θερmicroικής microηχανής η οποία θα λειτουργούσε microε βάση τον κύκλο ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του προς την θερmicroότητα Qπρ που προσφέ ρεται σrsquo αυτό σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microηχανής δηλαδή ισχύει

=

W

Q

(1)

=Q

Q

(2)

=P0V0 (2ln2 - 1)

Q

(3)

Όmicroως για τη θερmicroότητα Qπρ ισχύει η σχέση

Q = QAB + QB = nCV(2T0 - T0 ) +2nRT0ln(2V0V0)

Q= nCVT0 +2nRT0ln2 = nT0 (CV +2Rln2) (4)

όπου CV η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερό όγκο Όmicroως το αέριο που εξετάζουmicroε ισχύει CV =3R2 και η (4) γράφεται

Q= nT0(3R2 +2Rln2) = nRT0(32 +2ln2)

Q= P0V0 (32 + 2ln2) (5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (5) παίρνουmicroε τη σχέση

=

P0V0 (2ln2 - 1)

P0V0(32 + 2ln2)=

2ln2 - 1

32 +2ln2

=

2(2ln2 - 1)

3 + 4ln2

Mιά ορισmicroένη microάζα microονοατοmicroικού ιδανικού αερί ου (CV=3R2) όγκου V0 πιέσεως P0 και απόλυτης θερmicroοκρασίας T0 υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται i) από microια ισοβαρή εκτόνωση ArarrB κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται ii) από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να υπολογίσετε το έργο που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το συντελεστή απόδοσης της κυκλικής αυτής microεταβολής ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 15) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή εκτόνωση του αέριου υπό πίεση P0 κατά την οποία ο όγκος του από V0 γίνεται 2V0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) ii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη ψύξη του αερίου υπό σταθερό όγκο 2V0 κατά την οποία το αέριο ψύχεται από τη θερmicroοκρασία 2T0 στη θερmicroοκρασία T0 οπότε η πίεσή του από P0 γίνεται P02 (νόmicroος Charles) και iii) από το καmicroπυλόγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη συmicroπί εση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία ο όγκος του ελατ τώνεται από 2V0 σε V0 ενώ η πίεση του αυξάνει από P02 σε P0 (νόmicroος Boyle) Eξάλλου το έργο W που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του θα είναι

ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των έργων WAB WBΓ και WΓA που ανταλλάσσει το αέριο κατά τη διάρκεια των επί microέρους microεταβολών ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA δηλαδή θα ισχύει

Σχήmicroα 15

W = WAB + WB+W

A = P0(2V0 -V0) + 0 +nRT0ln(V0 2V0)

W = P0V0 +nRT0ln(12) W= P0V

0- nRT

0ln2 (1)

όπου n ο αριθmicroός των mol του αέριου και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Όmicroως σύmicroφωνα microε την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων ισχύει P0V0=nRT0 οπότε η (1) γράφεται

W= P0V

0-P

0V

0ln2

W = P

0V

01 - ln2( ) (2)

β) O συντελεστής απόδοσης α του κύκλου ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W προς την θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου δηλαδή ισχύει

=

W

QAB

(1)

=P0V0 (1 - ln2)

nCP(2T0 - T0 )

=nRT0 (1 - ln2)

nCpT0

(3)

όπου CP η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερή πίεση Eπειδή γιατο αέριο έχουmicroε CP=5R2 η σχέση (3) γράφεται

=

nRT0 (1 - ln2)

5nRT02 =

2(1- ln2)

5 (4)

Ένα ιδανικό αέριο υποβάλλεται σε κυκλική αντισ τρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από microια ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB θερmicroοκρασίας T1 από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ όγκου V1 από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ θερmicroοκρασίας T2 και από microια ισόχωρη θέρmicroανση ΔrarrA όγκου V2=V12 Eάν ο λόγος CPCV του αερίου είναι γ

να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του το αέριο απορροφά από το εξωτερικό του περιβάλλον τα ποσά θερmicroότητας QΔA και QAB που ανιστοι χούν στην ισόχωρη θέρmicroανσή του ΔrarrA και στην ισόθερmicroη συmicroπίεσή του ArarrB Άρα ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβο λής είναι

=

W

Q$A + QAB

(1)

Σχήmicroα 16 όπου Wολ το ολικό έργο που παρέχει το αέριο στο περιβάλλον του Όmicroως για το έργο αυτό ισχύει

W= W

A+ W

AB+ W

B$+ W

$= 0 + W

AB+ 0 + W

$

W

= W

AB+W

$= nRT

1ln

V1

V12

$

amp amp + nRT2ln

V12

V1

$

amp amp

W= nRT

1ln2 - nRT

2ln2 W

= nR(T1 - T2 )ln2 (2) Εξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και QΔA ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1lnV1

V1 2

$

amp amp = nRT1ln2

και

QA = nCV (T1 - T2 ) =

nR(T1 - T2)

- 1 οπότε η (1) δίνει

=

nR(T1 - T2)ln2

nR(T1 - T2)( - 1) + nRT1ln2

=( - 1)(T1 - T2 )ln2

T1 - T2 + ( - 1)T1ln2

i) Nα δείξετε ότι η άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank για το δεύτερο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο συνεπάγεται και άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Nα δείξετε ότι microια κυκλική microεταβολή ορισmicroένης microάζας ιδανικού αέριου που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση από microια αδια βατική εκτόνωση και από microια αδιαβατική συmicroπίεση βρίσκεται σε αντίφαση microε το δεύτερo θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο δηλαδή microια τέτοια κυκ λική microεταβολή είναι αδύνατη ΛYΣH i) Έστω ότι υπάρχει θερmicroική microηχανή που σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microετατρέπει ολοκληρωτικά την θερmicroότητα Q1 που παίρνει από την πηγή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 σε microηχανικό έργο W χωρίς να δίνει θερmicroότητα στην πηγή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 Θεωρούmicroε τώρα microια κατάλ

Σχήmicroα 17 Σχήmicroα 18 ληλη ψυκτική microηχανή η οποία όταν λειτουργεί ανάmicroεσα στις ίδιες πηγές θερ microότητας microεταφέρει θερmicroότητα Q1 στην πηγή A καταναλώνοντας το έργο W που παράγει η θερmicroική microηχανή Tότε η ψυκτική αυτή microηχανή θα παίρνει από την πηγή B microια ορισmicroένη θερmicroότητα Q2 και εποmicroένως το σύστηmicroα των δύο microηχανών θα ισοδυναmicroεί microε microια ψυκτική microηχανή η οποία θα απάγει θερmicroότητα Q2 από την ψυχρή πηγή B χωρίς κατανάλωση έργου πράγmicroα που αποτελεί άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Έστω ότι microια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί την κυκλική microεταβο λή ABΓA που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB microια αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ και microια αδιαβατική συmicroπίεση ΓrarrA (σχήmicroα 18) Eφαρmicroόζοντας για τη microεταβολή αυτή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση QAB + QBΓ + QΓA = ΔUολ + Wολ QAB + 0 + 0 = 0 + Wολ QAB = Wολ (1)

H σχέση (1) δηλώνει ότι κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής ABΓA η θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο microετατρέπεται ολοκληρωτικά σε έργο γεγονός που έρχεται σε αντίθεση microε τη διατύπωση των Kelvin-Plank Παρατήρηση H microη πραγmicroατοποίση της κυκλικής microεταβολής ABΓA ισοδυναmicroεί microε το ότι οι αδιαβατικές καmicroπύλες BΓ και ΓA δεν είναι δυνατό να τέmicroνονται

Mιά ορισmicroένη microάζα ιδανικού αερίου εκτελεί κύκλο Carnot ABΓΔA Eάν V1 V2 V3 V4 είναι οι όγκοι του αέριου που αντιστοιχούν στις κατατάσεις A B Γ και Δ και T1 T2 είναι οι απόλυτες θερmicroοκρασίες της ισόθερmicroης εκτόνωσης και της ισόθερmicroης συmicroπίεσης του αέριου αντιστοίχως (T1gtT2) να δείξετε τις σχέσεις

V1V3 = V2V4 και W = nR(T1 - T2)ln(V2V1) όπου n τα mol του αερίου R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανικών αερίων και W το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του ΛYΣH Για την ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ισχύει P1

V1= P

2V

2 (1)

Για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Poisson ισχύει

P2V

2

= P3V

3

(2)

Σχήmicroα 19

Για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle έχουmicroε

P3V

3= P

4V

4 (3)

Tέλος για την αδιαβατική συmicroπίεση ΔrarrA σύmicroφωνα microε τον νόmicroο του Poisson έχουmicroε

P4V

4

= P1V

1

(4) όπου γ ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αερίου Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (4) κατά microέλη παίρνου microε τη σχέση

P1V

1P

2V

2

P3V

3P

4V

4

= P2V

2P

3V

3

P4V

4P

1V

1

2

-1

V 4

-1

V =3

-1

V 1

-1

V V3

V1= V

2V

4 (5)

Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκ λικής microεταβολής ABΓΔA είναι σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσει microε το περιβάλλον του Δηλαδή ισχύει η σχέση

W= Q

= QAB + QB

+ Q$

+ Q$A = QAB + Q

$ (6)

διότι για τις αδιαβατικές microεταβολές BrarrΓ και ΔrarrA έχουmicroε QBΓ =QΔA =0 Eξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και Q

ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1ln(V2 V1 )

Q

= nRT2ln(V4 V3 )

$

(+ )

QAB + Q

= nR T1lnV2

V1

$

amp amp + T2lnV4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(6)

W

= nR T

1ln

V2

V1

$

amp amp + T2ln

V4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(7)

Όmicroως από τη σχέση (5) έχουmicroε

V2

V1

=V

3

V4

lnV

2

V1

$

amp amp = lnV

3

V4

$

amp amp

lnV

2

V1

$

amp amp = - lnV

4

V3

$

amp amp

οπότε η (7) γράφεται

W

= nR(T1 - T2)ln

V2

V1

$

amp amp (8)

Mια θερmicroική microηχανή αναγκάζει ιδανικό αέριο σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση κατά την οποία η πίεση του αερίου τριπλασιάζεται

ii) από microια ισοβαρή εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται iii) από microια ισόχωρη ψύξη microέχρις ότου η πίεση του αερίου ανακτή σει την αρχική της τιmicroή και iv) απο microια ισοβαρή συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Eάν P0 V0 είναι η πίεση και ο όγκος αντιστοίχως του αερίου στην αρχική του κατάσταση και γ ο λόγος CPCV των γραmicromicroοmicroοριακών του ειδικών θερmicroοτήτων να βρείτε την προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroό τητα κατά την εξέλιξη του κύκλου γ) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής και να τον συγκρίνετε microε το συντελεστή απόδοσης της microηχα νής Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ της microέγιστης και της ελά χιστης θερmicroοκρασίας του αερίου της microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόχωρη θέρmicroανση AB του αερίου η πίεσή του τριπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Charles θα τριπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του αερίου δηλαδή από T0 θα γίνει 3T0 Κατά την ισοβα ρή εκτόνωση BΓ ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται οπότε και η απόλυτη θερmicroοκρασία του θα τριπλασιάζεται (νόmicroοςGay-Lussac) δηλαδή από 3T0 θα γίνει 9T0 Kατά την ισόχωρη ψύξη ΓΔ του αερίου η πίεση του απο την τιmicroή 3P0 λαmicroβάνει την τιmicroή P0 δηλαδή υποτριπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο του

Σχήmicroα 20 Charles πρέπει να υποτριπλασιασθεί και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή από 9T0 πρέπει να γίνει 3T0 Aυτό σηmicroαίνει ότι οι καταστάσεις B και Δ βρίσ κονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη θερmicroοκρασίας 3T0 Mε βάση τις παρα πάνω διαπιστώσεις το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου έχει τη microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (20) β) Kατά την εξέλιξη του κύκλου στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα στο στάδιο της ισόχωρης θέρmicroανσης AB και της ισοβαρούς εκτόνωσης BΓ δηλαδή ισχύει

Q = QAB + QB = nCV 3T0 - T0( ) + nCP 9T0 - 3T0( )

Q

= 2nCVT0 + 6nCPT0 = 2n CV + 3CP( )T0 (1)

Όmicroως οι γραmicromicroοmicroοριακές ειδικές θερmicroότητες CV και CP του αερίου ικανοποιούν τις σχέσεις

CP

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= R - 1

CP

= R - 1

$ (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε

Q

=

2nRT0

- 1(1+ 3) = 2P0V0

1+3

- 1

$

amp (3)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (4)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε το εmicroβαδόν του σκιασmicroένου ορθογωνίου ABΓΔ δηλαδή ισχύει W = micro$(ABamp) = (3P0 -P0)(3V0 -V0) = 4P0V0 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3)(4) και (5) έχουmicroε

=4P0V0

2P0V0

- 1

1+3

$

amp =

2( - 1)

1+ 3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται στην κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓΔA της οποίας το διάγραmicromicroα P-T φαίνεται στο σχήmicroα (21) i) Eάν οι θερmicroοδυναmicroικές microεταβλητές της κατάστασης A είναι P0 V0 και T0 να βρείτε τη θερmicroότητα που απορροφά το αέριο στη διάρκεια του κύκλου αφού προηγουmicroένως σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V του κύκλου ii) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση υπό θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου διπλασιάζεται οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ο όγκος του αερίου θα υποδιπλασιάζεται δηλαδή από V0 θα γίνει V02 H microεταβολή BΓ είναι ισοβαρής θέρmicroανση υπο πίεση 2P0 κατά την οποία η απόλυ

τη θερmicroοκρασία του αερίου διπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο Gay-Lussac θα διπλασιάζεται και ο όγκος του αερίου δηλαδή από V02 θα γίνει V0 H microετα βολή ΓΔ είναι ισόθερmicroη εκτόνωση υπό θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου υποδιπλασιάζεται οπότε ο όγκος του θα διπλασιάζεται (νόmicroος

Σχήmicroα 21 Σχήmicroα 22 Boyle) δηλαδή από V0 θα γίνει 2V0 Mε βάση τα παραπάνω οδηγούmicroαστε στο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου το οποίο έχει την microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (22) Στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του BΓ και της ισόθερmicroης εκτόνωσής του ΓΔ δηλαδή ισχύει η σχέση Q = QB +Q$ = nCP(2T0 - T0) + nR2T0ln(2V0V0 )

Q

= 5nRT02 + 2nRT0 ln2 Q

= P0V0 (52 + 2ln2) (1)

ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (2)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της υπο λογίζεται από τη σχέση

W = W

AB+ W

B + W$ + W$A

W

= nRT0ln

V0

2V0

$

amp +2P

0V

0-V

0

2

$

amp +

+

nR2T0ln2V0

V0

$

amp amp +P0(V0 - 2V0 )

W

= -nRT0ln2+P

0V

0+2nRT

0ln2 -P

0V

0=nRT

0ln2=P

0V

0ln2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) έχουmicroε

=P0V0ln2

P0V0(52 +2ln2)=

ln2

52 + 2ln2

Tο αέριο microιας θερmicroικής microηχανής είναι ιδανικό και υποβάλλεται σε αντιστρεπτό κύκλο ο οποίος αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή εκτόνωση AB microέχρις τετραπλασιασmicroού του όγ κου του αερίου ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση BΓ microέχρις ότου η πίεση του αερίου γίνει ίση microε το 132 της αρχικής της τιmicroής PA και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A όγκου VA α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Nα βρείτε το λόγο γ=CPCV του αερίου και να δείξετε ότι η θερ microότητα που απορροφά κατά την εξέλιξη του κύκλου είναι ίση microε 15PAVA2 γ) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Gay-Lussac θα τετραπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή απο TA θα γίνει 4TA Σύmicroφωνα microε το πρόβληmicroα κατά την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου η πίεση του microειώνε ται από την τιmicroή PA στην τιmicroή PA32 ο δε όγκος του αυξάνεται από την τιmicroή

Σχήmicroα 23 4VA στην τιmicroή VΓ Όmicroως microέσω της ισόθερmicroης συmicroπίεσης ΓA το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle θα έχουmicroε τη σχέση

PV

= P

AV

A V

= 32VA

Mε βάση τα παραπάνω το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (23) β) Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου το νόmicroο του Poisson παίρνουmicroε τη σχέση PB

VB

= PV

PA(4VA)

= (PA32)(32VA )

4

= 32-1 2

2= 2

5( -1) 2 = 5( - 1) = 53 που σηmicroαίνει ότι το αέριο είναι microονοατοmicroικό Eξάλλου η θερmicroότητα που απορροφά το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου ABΓA είναι ίση microε την θερmicroό τητα QAB που απορροφά κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του AB δηλαδή ισχύει Q

= QAB = nCP(4TA - TA) = 5nR(3TA 2)

Q

= 15nRTA2 = 15PAVA2 (1)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓ είναι

= W

Q$

(2) Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου του (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) οπότε θα έχουmicroε

W= Q$ = QAB + QB+ QA = nCP(4TA -TA ) + 0 + nRTAln(VA32VA )

W

= 5nR(3TA 2) - nRTAln(25)

W

= PAVA (152 - 5ln2) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) παίρνουmicroε

=PAVA(152 - 5ln2)

15PAVA2=

15 - 10ln2

15= 1 -

2ln2

3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) την ισόθερmicroη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του αερίου οκταπλασιάζεται ii) την ισόχωρη ψύξη BΓ και iii) την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0=3105 Ntm2 όγκου

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 18: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

θερmicroής πηγής της M2 θα ισχύει η σχέση

Q1

T1

=Q2

T2

Q2

Q1

=T2

T1

= 1 -1 (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) έχουmicroε

= 1 +2(1 - 1 ) = 1 +2 -12 (5) Eπειδή α1=1-T2T1 και α2=1-T3T2 η σχέση (5) γράφεται

= 1 -T

2

T1

+1 -T

3

T2

- 1 -T

2

T1

$

amp amp 1 -T

3

T2

$

amp amp

= 2 -

T2

T1

-T

3

T2

- 1+T

2

T1

-T

2

T1

T

3

T2

= 1 -T

3

T1

Mιά microάζα n mol microονοατοmicroικού ιδανικού αέριου (CV=3R2) όγκου V0 και πιέσεως P0 υποβάλλεται σε αντιστρεπτή κυκλική microεταβολή που αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβο λές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB κατά την οποία η πίεση του αε ρίου διπλασιάζεται ii) από microια ισόθερmicroη εκτόνωση BrarrΓ κατά την οποία ο όγκος του αερίου διπλασιάζεται και iii) από microια ισοβαρή συmicroπίεση ΓrarrA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να βρείτε τη θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 14) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) Aπό το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη θέρmicroανση του αέριου υπό σταθερό όγκο V0 κατά την οποία η πίεση του αέριου από P0 γίνεται 2P0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Charles)

ii) Aπό το καmicroπύλογραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη εκτόνωση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία ο όγκος του αέριου από V0 γίνεται 2V0 οπότε η πίεσή του από 2P0 γίνεται P0 (νόmicroος Boyle) και iii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή συmicroπίεση του αέριου microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A(P0V0T0) Eξάλλου σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο η θερmicroότητα Q που το αέριο ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του κατά τον κύκλο ABΓA η microεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας και το έργο W που παράγει το αέριο συνδέονται microε τη σχέση

Q = ΔU + W Q = 0 + W Q = W (1)

Σχηmicroα 14 Όmicroως το έργο W είναι ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των επί microέρους έργων WAB WBΓ και WΓA που αντιστοιχούν στις microεταβολές ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA Έτσι θα έχουmicroε τη σχέση

W= WAB

+ WB

+WA

W = 0 +2nRT0ln (2V0 V0) + P0 (V0 - 2V0)

W=2nRT0ln2 -P

0V

0= 2P

0V

0ln2 -P

0V

0 (1)

Q=P0V0(2ln2 - 1) (2) β) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α microιας θερmicroικής microηχανής η οποία θα λειτουργούσε microε βάση τον κύκλο ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του προς την θερmicroότητα Qπρ που προσφέ ρεται σrsquo αυτό σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microηχανής δηλαδή ισχύει

=

W

Q

(1)

=Q

Q

(2)

=P0V0 (2ln2 - 1)

Q

(3)

Όmicroως για τη θερmicroότητα Qπρ ισχύει η σχέση

Q = QAB + QB = nCV(2T0 - T0 ) +2nRT0ln(2V0V0)

Q= nCVT0 +2nRT0ln2 = nT0 (CV +2Rln2) (4)

όπου CV η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερό όγκο Όmicroως το αέριο που εξετάζουmicroε ισχύει CV =3R2 και η (4) γράφεται

Q= nT0(3R2 +2Rln2) = nRT0(32 +2ln2)

Q= P0V0 (32 + 2ln2) (5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (5) παίρνουmicroε τη σχέση

=

P0V0 (2ln2 - 1)

P0V0(32 + 2ln2)=

2ln2 - 1

32 +2ln2

=

2(2ln2 - 1)

3 + 4ln2

Mιά ορισmicroένη microάζα microονοατοmicroικού ιδανικού αερί ου (CV=3R2) όγκου V0 πιέσεως P0 και απόλυτης θερmicroοκρασίας T0 υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται i) από microια ισοβαρή εκτόνωση ArarrB κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται ii) από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να υπολογίσετε το έργο που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το συντελεστή απόδοσης της κυκλικής αυτής microεταβολής ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 15) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή εκτόνωση του αέριου υπό πίεση P0 κατά την οποία ο όγκος του από V0 γίνεται 2V0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) ii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη ψύξη του αερίου υπό σταθερό όγκο 2V0 κατά την οποία το αέριο ψύχεται από τη θερmicroοκρασία 2T0 στη θερmicroοκρασία T0 οπότε η πίεσή του από P0 γίνεται P02 (νόmicroος Charles) και iii) από το καmicroπυλόγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη συmicroπί εση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία ο όγκος του ελατ τώνεται από 2V0 σε V0 ενώ η πίεση του αυξάνει από P02 σε P0 (νόmicroος Boyle) Eξάλλου το έργο W που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του θα είναι

ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των έργων WAB WBΓ και WΓA που ανταλλάσσει το αέριο κατά τη διάρκεια των επί microέρους microεταβολών ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA δηλαδή θα ισχύει

Σχήmicroα 15

W = WAB + WB+W

A = P0(2V0 -V0) + 0 +nRT0ln(V0 2V0)

W = P0V0 +nRT0ln(12) W= P0V

0- nRT

0ln2 (1)

όπου n ο αριθmicroός των mol του αέριου και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Όmicroως σύmicroφωνα microε την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων ισχύει P0V0=nRT0 οπότε η (1) γράφεται

W= P0V

0-P

0V

0ln2

W = P

0V

01 - ln2( ) (2)

β) O συντελεστής απόδοσης α του κύκλου ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W προς την θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου δηλαδή ισχύει

=

W

QAB

(1)

=P0V0 (1 - ln2)

nCP(2T0 - T0 )

=nRT0 (1 - ln2)

nCpT0

(3)

όπου CP η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερή πίεση Eπειδή γιατο αέριο έχουmicroε CP=5R2 η σχέση (3) γράφεται

=

nRT0 (1 - ln2)

5nRT02 =

2(1- ln2)

5 (4)

Ένα ιδανικό αέριο υποβάλλεται σε κυκλική αντισ τρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από microια ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB θερmicroοκρασίας T1 από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ όγκου V1 από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ θερmicroοκρασίας T2 και από microια ισόχωρη θέρmicroανση ΔrarrA όγκου V2=V12 Eάν ο λόγος CPCV του αερίου είναι γ

να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του το αέριο απορροφά από το εξωτερικό του περιβάλλον τα ποσά θερmicroότητας QΔA και QAB που ανιστοι χούν στην ισόχωρη θέρmicroανσή του ΔrarrA και στην ισόθερmicroη συmicroπίεσή του ArarrB Άρα ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβο λής είναι

=

W

Q$A + QAB

(1)

Σχήmicroα 16 όπου Wολ το ολικό έργο που παρέχει το αέριο στο περιβάλλον του Όmicroως για το έργο αυτό ισχύει

W= W

A+ W

AB+ W

B$+ W

$= 0 + W

AB+ 0 + W

$

W

= W

AB+W

$= nRT

1ln

V1

V12

$

amp amp + nRT2ln

V12

V1

$

amp amp

W= nRT

1ln2 - nRT

2ln2 W

= nR(T1 - T2 )ln2 (2) Εξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και QΔA ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1lnV1

V1 2

$

amp amp = nRT1ln2

και

QA = nCV (T1 - T2 ) =

nR(T1 - T2)

- 1 οπότε η (1) δίνει

=

nR(T1 - T2)ln2

nR(T1 - T2)( - 1) + nRT1ln2

=( - 1)(T1 - T2 )ln2

T1 - T2 + ( - 1)T1ln2

i) Nα δείξετε ότι η άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank για το δεύτερο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο συνεπάγεται και άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Nα δείξετε ότι microια κυκλική microεταβολή ορισmicroένης microάζας ιδανικού αέριου που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση από microια αδια βατική εκτόνωση και από microια αδιαβατική συmicroπίεση βρίσκεται σε αντίφαση microε το δεύτερo θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο δηλαδή microια τέτοια κυκ λική microεταβολή είναι αδύνατη ΛYΣH i) Έστω ότι υπάρχει θερmicroική microηχανή που σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microετατρέπει ολοκληρωτικά την θερmicroότητα Q1 που παίρνει από την πηγή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 σε microηχανικό έργο W χωρίς να δίνει θερmicroότητα στην πηγή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 Θεωρούmicroε τώρα microια κατάλ

Σχήmicroα 17 Σχήmicroα 18 ληλη ψυκτική microηχανή η οποία όταν λειτουργεί ανάmicroεσα στις ίδιες πηγές θερ microότητας microεταφέρει θερmicroότητα Q1 στην πηγή A καταναλώνοντας το έργο W που παράγει η θερmicroική microηχανή Tότε η ψυκτική αυτή microηχανή θα παίρνει από την πηγή B microια ορισmicroένη θερmicroότητα Q2 και εποmicroένως το σύστηmicroα των δύο microηχανών θα ισοδυναmicroεί microε microια ψυκτική microηχανή η οποία θα απάγει θερmicroότητα Q2 από την ψυχρή πηγή B χωρίς κατανάλωση έργου πράγmicroα που αποτελεί άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Έστω ότι microια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί την κυκλική microεταβο λή ABΓA που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB microια αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ και microια αδιαβατική συmicroπίεση ΓrarrA (σχήmicroα 18) Eφαρmicroόζοντας για τη microεταβολή αυτή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση QAB + QBΓ + QΓA = ΔUολ + Wολ QAB + 0 + 0 = 0 + Wολ QAB = Wολ (1)

H σχέση (1) δηλώνει ότι κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής ABΓA η θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο microετατρέπεται ολοκληρωτικά σε έργο γεγονός που έρχεται σε αντίθεση microε τη διατύπωση των Kelvin-Plank Παρατήρηση H microη πραγmicroατοποίση της κυκλικής microεταβολής ABΓA ισοδυναmicroεί microε το ότι οι αδιαβατικές καmicroπύλες BΓ και ΓA δεν είναι δυνατό να τέmicroνονται

Mιά ορισmicroένη microάζα ιδανικού αερίου εκτελεί κύκλο Carnot ABΓΔA Eάν V1 V2 V3 V4 είναι οι όγκοι του αέριου που αντιστοιχούν στις κατατάσεις A B Γ και Δ και T1 T2 είναι οι απόλυτες θερmicroοκρασίες της ισόθερmicroης εκτόνωσης και της ισόθερmicroης συmicroπίεσης του αέριου αντιστοίχως (T1gtT2) να δείξετε τις σχέσεις

V1V3 = V2V4 και W = nR(T1 - T2)ln(V2V1) όπου n τα mol του αερίου R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανικών αερίων και W το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του ΛYΣH Για την ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ισχύει P1

V1= P

2V

2 (1)

Για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Poisson ισχύει

P2V

2

= P3V

3

(2)

Σχήmicroα 19

Για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle έχουmicroε

P3V

3= P

4V

4 (3)

Tέλος για την αδιαβατική συmicroπίεση ΔrarrA σύmicroφωνα microε τον νόmicroο του Poisson έχουmicroε

P4V

4

= P1V

1

(4) όπου γ ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αερίου Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (4) κατά microέλη παίρνου microε τη σχέση

P1V

1P

2V

2

P3V

3P

4V

4

= P2V

2P

3V

3

P4V

4P

1V

1

2

-1

V 4

-1

V =3

-1

V 1

-1

V V3

V1= V

2V

4 (5)

Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκ λικής microεταβολής ABΓΔA είναι σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσει microε το περιβάλλον του Δηλαδή ισχύει η σχέση

W= Q

= QAB + QB

+ Q$

+ Q$A = QAB + Q

$ (6)

διότι για τις αδιαβατικές microεταβολές BrarrΓ και ΔrarrA έχουmicroε QBΓ =QΔA =0 Eξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και Q

ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1ln(V2 V1 )

Q

= nRT2ln(V4 V3 )

$

(+ )

QAB + Q

= nR T1lnV2

V1

$

amp amp + T2lnV4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(6)

W

= nR T

1ln

V2

V1

$

amp amp + T2ln

V4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(7)

Όmicroως από τη σχέση (5) έχουmicroε

V2

V1

=V

3

V4

lnV

2

V1

$

amp amp = lnV

3

V4

$

amp amp

lnV

2

V1

$

amp amp = - lnV

4

V3

$

amp amp

οπότε η (7) γράφεται

W

= nR(T1 - T2)ln

V2

V1

$

amp amp (8)

Mια θερmicroική microηχανή αναγκάζει ιδανικό αέριο σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση κατά την οποία η πίεση του αερίου τριπλασιάζεται

ii) από microια ισοβαρή εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται iii) από microια ισόχωρη ψύξη microέχρις ότου η πίεση του αερίου ανακτή σει την αρχική της τιmicroή και iv) απο microια ισοβαρή συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Eάν P0 V0 είναι η πίεση και ο όγκος αντιστοίχως του αερίου στην αρχική του κατάσταση και γ ο λόγος CPCV των γραmicromicroοmicroοριακών του ειδικών θερmicroοτήτων να βρείτε την προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroό τητα κατά την εξέλιξη του κύκλου γ) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής και να τον συγκρίνετε microε το συντελεστή απόδοσης της microηχα νής Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ της microέγιστης και της ελά χιστης θερmicroοκρασίας του αερίου της microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόχωρη θέρmicroανση AB του αερίου η πίεσή του τριπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Charles θα τριπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του αερίου δηλαδή από T0 θα γίνει 3T0 Κατά την ισοβα ρή εκτόνωση BΓ ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται οπότε και η απόλυτη θερmicroοκρασία του θα τριπλασιάζεται (νόmicroοςGay-Lussac) δηλαδή από 3T0 θα γίνει 9T0 Kατά την ισόχωρη ψύξη ΓΔ του αερίου η πίεση του απο την τιmicroή 3P0 λαmicroβάνει την τιmicroή P0 δηλαδή υποτριπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο του

Σχήmicroα 20 Charles πρέπει να υποτριπλασιασθεί και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή από 9T0 πρέπει να γίνει 3T0 Aυτό σηmicroαίνει ότι οι καταστάσεις B και Δ βρίσ κονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη θερmicroοκρασίας 3T0 Mε βάση τις παρα πάνω διαπιστώσεις το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου έχει τη microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (20) β) Kατά την εξέλιξη του κύκλου στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα στο στάδιο της ισόχωρης θέρmicroανσης AB και της ισοβαρούς εκτόνωσης BΓ δηλαδή ισχύει

Q = QAB + QB = nCV 3T0 - T0( ) + nCP 9T0 - 3T0( )

Q

= 2nCVT0 + 6nCPT0 = 2n CV + 3CP( )T0 (1)

Όmicroως οι γραmicromicroοmicroοριακές ειδικές θερmicroότητες CV και CP του αερίου ικανοποιούν τις σχέσεις

CP

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= R - 1

CP

= R - 1

$ (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε

Q

=

2nRT0

- 1(1+ 3) = 2P0V0

1+3

- 1

$

amp (3)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (4)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε το εmicroβαδόν του σκιασmicroένου ορθογωνίου ABΓΔ δηλαδή ισχύει W = micro$(ABamp) = (3P0 -P0)(3V0 -V0) = 4P0V0 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3)(4) και (5) έχουmicroε

=4P0V0

2P0V0

- 1

1+3

$

amp =

2( - 1)

1+ 3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται στην κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓΔA της οποίας το διάγραmicromicroα P-T φαίνεται στο σχήmicroα (21) i) Eάν οι θερmicroοδυναmicroικές microεταβλητές της κατάστασης A είναι P0 V0 και T0 να βρείτε τη θερmicroότητα που απορροφά το αέριο στη διάρκεια του κύκλου αφού προηγουmicroένως σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V του κύκλου ii) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση υπό θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου διπλασιάζεται οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ο όγκος του αερίου θα υποδιπλασιάζεται δηλαδή από V0 θα γίνει V02 H microεταβολή BΓ είναι ισοβαρής θέρmicroανση υπο πίεση 2P0 κατά την οποία η απόλυ

τη θερmicroοκρασία του αερίου διπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο Gay-Lussac θα διπλασιάζεται και ο όγκος του αερίου δηλαδή από V02 θα γίνει V0 H microετα βολή ΓΔ είναι ισόθερmicroη εκτόνωση υπό θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου υποδιπλασιάζεται οπότε ο όγκος του θα διπλασιάζεται (νόmicroος

Σχήmicroα 21 Σχήmicroα 22 Boyle) δηλαδή από V0 θα γίνει 2V0 Mε βάση τα παραπάνω οδηγούmicroαστε στο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου το οποίο έχει την microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (22) Στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του BΓ και της ισόθερmicroης εκτόνωσής του ΓΔ δηλαδή ισχύει η σχέση Q = QB +Q$ = nCP(2T0 - T0) + nR2T0ln(2V0V0 )

Q

= 5nRT02 + 2nRT0 ln2 Q

= P0V0 (52 + 2ln2) (1)

ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (2)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της υπο λογίζεται από τη σχέση

W = W

AB+ W

B + W$ + W$A

W

= nRT0ln

V0

2V0

$

amp +2P

0V

0-V

0

2

$

amp +

+

nR2T0ln2V0

V0

$

amp amp +P0(V0 - 2V0 )

W

= -nRT0ln2+P

0V

0+2nRT

0ln2 -P

0V

0=nRT

0ln2=P

0V

0ln2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) έχουmicroε

=P0V0ln2

P0V0(52 +2ln2)=

ln2

52 + 2ln2

Tο αέριο microιας θερmicroικής microηχανής είναι ιδανικό και υποβάλλεται σε αντιστρεπτό κύκλο ο οποίος αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή εκτόνωση AB microέχρις τετραπλασιασmicroού του όγ κου του αερίου ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση BΓ microέχρις ότου η πίεση του αερίου γίνει ίση microε το 132 της αρχικής της τιmicroής PA και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A όγκου VA α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Nα βρείτε το λόγο γ=CPCV του αερίου και να δείξετε ότι η θερ microότητα που απορροφά κατά την εξέλιξη του κύκλου είναι ίση microε 15PAVA2 γ) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Gay-Lussac θα τετραπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή απο TA θα γίνει 4TA Σύmicroφωνα microε το πρόβληmicroα κατά την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου η πίεση του microειώνε ται από την τιmicroή PA στην τιmicroή PA32 ο δε όγκος του αυξάνεται από την τιmicroή

Σχήmicroα 23 4VA στην τιmicroή VΓ Όmicroως microέσω της ισόθερmicroης συmicroπίεσης ΓA το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle θα έχουmicroε τη σχέση

PV

= P

AV

A V

= 32VA

Mε βάση τα παραπάνω το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (23) β) Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου το νόmicroο του Poisson παίρνουmicroε τη σχέση PB

VB

= PV

PA(4VA)

= (PA32)(32VA )

4

= 32-1 2

2= 2

5( -1) 2 = 5( - 1) = 53 που σηmicroαίνει ότι το αέριο είναι microονοατοmicroικό Eξάλλου η θερmicroότητα που απορροφά το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου ABΓA είναι ίση microε την θερmicroό τητα QAB που απορροφά κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του AB δηλαδή ισχύει Q

= QAB = nCP(4TA - TA) = 5nR(3TA 2)

Q

= 15nRTA2 = 15PAVA2 (1)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓ είναι

= W

Q$

(2) Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου του (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) οπότε θα έχουmicroε

W= Q$ = QAB + QB+ QA = nCP(4TA -TA ) + 0 + nRTAln(VA32VA )

W

= 5nR(3TA 2) - nRTAln(25)

W

= PAVA (152 - 5ln2) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) παίρνουmicroε

=PAVA(152 - 5ln2)

15PAVA2=

15 - 10ln2

15= 1 -

2ln2

3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) την ισόθερmicroη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του αερίου οκταπλασιάζεται ii) την ισόχωρη ψύξη BΓ και iii) την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0=3105 Ntm2 όγκου

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 19: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

ii) Aπό το καmicroπύλογραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη εκτόνωση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία ο όγκος του αέριου από V0 γίνεται 2V0 οπότε η πίεσή του από 2P0 γίνεται P0 (νόmicroος Boyle) και iii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή συmicroπίεση του αέριου microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A(P0V0T0) Eξάλλου σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο η θερmicroότητα Q που το αέριο ανταλλάσσει microε το περιβάλλον του κατά τον κύκλο ABΓA η microεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας και το έργο W που παράγει το αέριο συνδέονται microε τη σχέση

Q = ΔU + W Q = 0 + W Q = W (1)

Σχηmicroα 14 Όmicroως το έργο W είναι ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των επί microέρους έργων WAB WBΓ και WΓA που αντιστοιχούν στις microεταβολές ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA Έτσι θα έχουmicroε τη σχέση

W= WAB

+ WB

+WA

W = 0 +2nRT0ln (2V0 V0) + P0 (V0 - 2V0)

W=2nRT0ln2 -P

0V

0= 2P

0V

0ln2 -P

0V

0 (1)

Q=P0V0(2ln2 - 1) (2) β) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α microιας θερmicroικής microηχανής η οποία θα λειτουργούσε microε βάση τον κύκλο ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του προς την θερmicroότητα Qπρ που προσφέ ρεται σrsquo αυτό σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microηχανής δηλαδή ισχύει

=

W

Q

(1)

=Q

Q

(2)

=P0V0 (2ln2 - 1)

Q

(3)

Όmicroως για τη θερmicroότητα Qπρ ισχύει η σχέση

Q = QAB + QB = nCV(2T0 - T0 ) +2nRT0ln(2V0V0)

Q= nCVT0 +2nRT0ln2 = nT0 (CV +2Rln2) (4)

όπου CV η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερό όγκο Όmicroως το αέριο που εξετάζουmicroε ισχύει CV =3R2 και η (4) γράφεται

Q= nT0(3R2 +2Rln2) = nRT0(32 +2ln2)

Q= P0V0 (32 + 2ln2) (5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (5) παίρνουmicroε τη σχέση

=

P0V0 (2ln2 - 1)

P0V0(32 + 2ln2)=

2ln2 - 1

32 +2ln2

=

2(2ln2 - 1)

3 + 4ln2

Mιά ορισmicroένη microάζα microονοατοmicroικού ιδανικού αερί ου (CV=3R2) όγκου V0 πιέσεως P0 και απόλυτης θερmicroοκρασίας T0 υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται i) από microια ισοβαρή εκτόνωση ArarrB κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται ii) από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να υπολογίσετε το έργο που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το συντελεστή απόδοσης της κυκλικής αυτής microεταβολής ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 15) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή εκτόνωση του αέριου υπό πίεση P0 κατά την οποία ο όγκος του από V0 γίνεται 2V0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) ii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη ψύξη του αερίου υπό σταθερό όγκο 2V0 κατά την οποία το αέριο ψύχεται από τη θερmicroοκρασία 2T0 στη θερmicroοκρασία T0 οπότε η πίεσή του από P0 γίνεται P02 (νόmicroος Charles) και iii) από το καmicroπυλόγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη συmicroπί εση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία ο όγκος του ελατ τώνεται από 2V0 σε V0 ενώ η πίεση του αυξάνει από P02 σε P0 (νόmicroος Boyle) Eξάλλου το έργο W που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του θα είναι

ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των έργων WAB WBΓ και WΓA που ανταλλάσσει το αέριο κατά τη διάρκεια των επί microέρους microεταβολών ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA δηλαδή θα ισχύει

Σχήmicroα 15

W = WAB + WB+W

A = P0(2V0 -V0) + 0 +nRT0ln(V0 2V0)

W = P0V0 +nRT0ln(12) W= P0V

0- nRT

0ln2 (1)

όπου n ο αριθmicroός των mol του αέριου και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Όmicroως σύmicroφωνα microε την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων ισχύει P0V0=nRT0 οπότε η (1) γράφεται

W= P0V

0-P

0V

0ln2

W = P

0V

01 - ln2( ) (2)

β) O συντελεστής απόδοσης α του κύκλου ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W προς την θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου δηλαδή ισχύει

=

W

QAB

(1)

=P0V0 (1 - ln2)

nCP(2T0 - T0 )

=nRT0 (1 - ln2)

nCpT0

(3)

όπου CP η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερή πίεση Eπειδή γιατο αέριο έχουmicroε CP=5R2 η σχέση (3) γράφεται

=

nRT0 (1 - ln2)

5nRT02 =

2(1- ln2)

5 (4)

Ένα ιδανικό αέριο υποβάλλεται σε κυκλική αντισ τρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από microια ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB θερmicroοκρασίας T1 από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ όγκου V1 από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ θερmicroοκρασίας T2 και από microια ισόχωρη θέρmicroανση ΔrarrA όγκου V2=V12 Eάν ο λόγος CPCV του αερίου είναι γ

να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του το αέριο απορροφά από το εξωτερικό του περιβάλλον τα ποσά θερmicroότητας QΔA και QAB που ανιστοι χούν στην ισόχωρη θέρmicroανσή του ΔrarrA και στην ισόθερmicroη συmicroπίεσή του ArarrB Άρα ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβο λής είναι

=

W

Q$A + QAB

(1)

Σχήmicroα 16 όπου Wολ το ολικό έργο που παρέχει το αέριο στο περιβάλλον του Όmicroως για το έργο αυτό ισχύει

W= W

A+ W

AB+ W

B$+ W

$= 0 + W

AB+ 0 + W

$

W

= W

AB+W

$= nRT

1ln

V1

V12

$

amp amp + nRT2ln

V12

V1

$

amp amp

W= nRT

1ln2 - nRT

2ln2 W

= nR(T1 - T2 )ln2 (2) Εξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και QΔA ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1lnV1

V1 2

$

amp amp = nRT1ln2

και

QA = nCV (T1 - T2 ) =

nR(T1 - T2)

- 1 οπότε η (1) δίνει

=

nR(T1 - T2)ln2

nR(T1 - T2)( - 1) + nRT1ln2

=( - 1)(T1 - T2 )ln2

T1 - T2 + ( - 1)T1ln2

i) Nα δείξετε ότι η άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank για το δεύτερο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο συνεπάγεται και άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Nα δείξετε ότι microια κυκλική microεταβολή ορισmicroένης microάζας ιδανικού αέριου που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση από microια αδια βατική εκτόνωση και από microια αδιαβατική συmicroπίεση βρίσκεται σε αντίφαση microε το δεύτερo θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο δηλαδή microια τέτοια κυκ λική microεταβολή είναι αδύνατη ΛYΣH i) Έστω ότι υπάρχει θερmicroική microηχανή που σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microετατρέπει ολοκληρωτικά την θερmicroότητα Q1 που παίρνει από την πηγή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 σε microηχανικό έργο W χωρίς να δίνει θερmicroότητα στην πηγή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 Θεωρούmicroε τώρα microια κατάλ

Σχήmicroα 17 Σχήmicroα 18 ληλη ψυκτική microηχανή η οποία όταν λειτουργεί ανάmicroεσα στις ίδιες πηγές θερ microότητας microεταφέρει θερmicroότητα Q1 στην πηγή A καταναλώνοντας το έργο W που παράγει η θερmicroική microηχανή Tότε η ψυκτική αυτή microηχανή θα παίρνει από την πηγή B microια ορισmicroένη θερmicroότητα Q2 και εποmicroένως το σύστηmicroα των δύο microηχανών θα ισοδυναmicroεί microε microια ψυκτική microηχανή η οποία θα απάγει θερmicroότητα Q2 από την ψυχρή πηγή B χωρίς κατανάλωση έργου πράγmicroα που αποτελεί άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Έστω ότι microια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί την κυκλική microεταβο λή ABΓA που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB microια αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ και microια αδιαβατική συmicroπίεση ΓrarrA (σχήmicroα 18) Eφαρmicroόζοντας για τη microεταβολή αυτή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση QAB + QBΓ + QΓA = ΔUολ + Wολ QAB + 0 + 0 = 0 + Wολ QAB = Wολ (1)

H σχέση (1) δηλώνει ότι κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής ABΓA η θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο microετατρέπεται ολοκληρωτικά σε έργο γεγονός που έρχεται σε αντίθεση microε τη διατύπωση των Kelvin-Plank Παρατήρηση H microη πραγmicroατοποίση της κυκλικής microεταβολής ABΓA ισοδυναmicroεί microε το ότι οι αδιαβατικές καmicroπύλες BΓ και ΓA δεν είναι δυνατό να τέmicroνονται

Mιά ορισmicroένη microάζα ιδανικού αερίου εκτελεί κύκλο Carnot ABΓΔA Eάν V1 V2 V3 V4 είναι οι όγκοι του αέριου που αντιστοιχούν στις κατατάσεις A B Γ και Δ και T1 T2 είναι οι απόλυτες θερmicroοκρασίες της ισόθερmicroης εκτόνωσης και της ισόθερmicroης συmicroπίεσης του αέριου αντιστοίχως (T1gtT2) να δείξετε τις σχέσεις

V1V3 = V2V4 και W = nR(T1 - T2)ln(V2V1) όπου n τα mol του αερίου R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανικών αερίων και W το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του ΛYΣH Για την ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ισχύει P1

V1= P

2V

2 (1)

Για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Poisson ισχύει

P2V

2

= P3V

3

(2)

Σχήmicroα 19

Για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle έχουmicroε

P3V

3= P

4V

4 (3)

Tέλος για την αδιαβατική συmicroπίεση ΔrarrA σύmicroφωνα microε τον νόmicroο του Poisson έχουmicroε

P4V

4

= P1V

1

(4) όπου γ ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αερίου Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (4) κατά microέλη παίρνου microε τη σχέση

P1V

1P

2V

2

P3V

3P

4V

4

= P2V

2P

3V

3

P4V

4P

1V

1

2

-1

V 4

-1

V =3

-1

V 1

-1

V V3

V1= V

2V

4 (5)

Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκ λικής microεταβολής ABΓΔA είναι σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσει microε το περιβάλλον του Δηλαδή ισχύει η σχέση

W= Q

= QAB + QB

+ Q$

+ Q$A = QAB + Q

$ (6)

διότι για τις αδιαβατικές microεταβολές BrarrΓ και ΔrarrA έχουmicroε QBΓ =QΔA =0 Eξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και Q

ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1ln(V2 V1 )

Q

= nRT2ln(V4 V3 )

$

(+ )

QAB + Q

= nR T1lnV2

V1

$

amp amp + T2lnV4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(6)

W

= nR T

1ln

V2

V1

$

amp amp + T2ln

V4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(7)

Όmicroως από τη σχέση (5) έχουmicroε

V2

V1

=V

3

V4

lnV

2

V1

$

amp amp = lnV

3

V4

$

amp amp

lnV

2

V1

$

amp amp = - lnV

4

V3

$

amp amp

οπότε η (7) γράφεται

W

= nR(T1 - T2)ln

V2

V1

$

amp amp (8)

Mια θερmicroική microηχανή αναγκάζει ιδανικό αέριο σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση κατά την οποία η πίεση του αερίου τριπλασιάζεται

ii) από microια ισοβαρή εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται iii) από microια ισόχωρη ψύξη microέχρις ότου η πίεση του αερίου ανακτή σει την αρχική της τιmicroή και iv) απο microια ισοβαρή συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Eάν P0 V0 είναι η πίεση και ο όγκος αντιστοίχως του αερίου στην αρχική του κατάσταση και γ ο λόγος CPCV των γραmicromicroοmicroοριακών του ειδικών θερmicroοτήτων να βρείτε την προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroό τητα κατά την εξέλιξη του κύκλου γ) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής και να τον συγκρίνετε microε το συντελεστή απόδοσης της microηχα νής Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ της microέγιστης και της ελά χιστης θερmicroοκρασίας του αερίου της microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόχωρη θέρmicroανση AB του αερίου η πίεσή του τριπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Charles θα τριπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του αερίου δηλαδή από T0 θα γίνει 3T0 Κατά την ισοβα ρή εκτόνωση BΓ ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται οπότε και η απόλυτη θερmicroοκρασία του θα τριπλασιάζεται (νόmicroοςGay-Lussac) δηλαδή από 3T0 θα γίνει 9T0 Kατά την ισόχωρη ψύξη ΓΔ του αερίου η πίεση του απο την τιmicroή 3P0 λαmicroβάνει την τιmicroή P0 δηλαδή υποτριπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο του

Σχήmicroα 20 Charles πρέπει να υποτριπλασιασθεί και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή από 9T0 πρέπει να γίνει 3T0 Aυτό σηmicroαίνει ότι οι καταστάσεις B και Δ βρίσ κονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη θερmicroοκρασίας 3T0 Mε βάση τις παρα πάνω διαπιστώσεις το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου έχει τη microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (20) β) Kατά την εξέλιξη του κύκλου στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα στο στάδιο της ισόχωρης θέρmicroανσης AB και της ισοβαρούς εκτόνωσης BΓ δηλαδή ισχύει

Q = QAB + QB = nCV 3T0 - T0( ) + nCP 9T0 - 3T0( )

Q

= 2nCVT0 + 6nCPT0 = 2n CV + 3CP( )T0 (1)

Όmicroως οι γραmicromicroοmicroοριακές ειδικές θερmicroότητες CV και CP του αερίου ικανοποιούν τις σχέσεις

CP

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= R - 1

CP

= R - 1

$ (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε

Q

=

2nRT0

- 1(1+ 3) = 2P0V0

1+3

- 1

$

amp (3)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (4)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε το εmicroβαδόν του σκιασmicroένου ορθογωνίου ABΓΔ δηλαδή ισχύει W = micro$(ABamp) = (3P0 -P0)(3V0 -V0) = 4P0V0 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3)(4) και (5) έχουmicroε

=4P0V0

2P0V0

- 1

1+3

$

amp =

2( - 1)

1+ 3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται στην κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓΔA της οποίας το διάγραmicromicroα P-T φαίνεται στο σχήmicroα (21) i) Eάν οι θερmicroοδυναmicroικές microεταβλητές της κατάστασης A είναι P0 V0 και T0 να βρείτε τη θερmicroότητα που απορροφά το αέριο στη διάρκεια του κύκλου αφού προηγουmicroένως σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V του κύκλου ii) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση υπό θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου διπλασιάζεται οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ο όγκος του αερίου θα υποδιπλασιάζεται δηλαδή από V0 θα γίνει V02 H microεταβολή BΓ είναι ισοβαρής θέρmicroανση υπο πίεση 2P0 κατά την οποία η απόλυ

τη θερmicroοκρασία του αερίου διπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο Gay-Lussac θα διπλασιάζεται και ο όγκος του αερίου δηλαδή από V02 θα γίνει V0 H microετα βολή ΓΔ είναι ισόθερmicroη εκτόνωση υπό θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου υποδιπλασιάζεται οπότε ο όγκος του θα διπλασιάζεται (νόmicroος

Σχήmicroα 21 Σχήmicroα 22 Boyle) δηλαδή από V0 θα γίνει 2V0 Mε βάση τα παραπάνω οδηγούmicroαστε στο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου το οποίο έχει την microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (22) Στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του BΓ και της ισόθερmicroης εκτόνωσής του ΓΔ δηλαδή ισχύει η σχέση Q = QB +Q$ = nCP(2T0 - T0) + nR2T0ln(2V0V0 )

Q

= 5nRT02 + 2nRT0 ln2 Q

= P0V0 (52 + 2ln2) (1)

ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (2)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της υπο λογίζεται από τη σχέση

W = W

AB+ W

B + W$ + W$A

W

= nRT0ln

V0

2V0

$

amp +2P

0V

0-V

0

2

$

amp +

+

nR2T0ln2V0

V0

$

amp amp +P0(V0 - 2V0 )

W

= -nRT0ln2+P

0V

0+2nRT

0ln2 -P

0V

0=nRT

0ln2=P

0V

0ln2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) έχουmicroε

=P0V0ln2

P0V0(52 +2ln2)=

ln2

52 + 2ln2

Tο αέριο microιας θερmicroικής microηχανής είναι ιδανικό και υποβάλλεται σε αντιστρεπτό κύκλο ο οποίος αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή εκτόνωση AB microέχρις τετραπλασιασmicroού του όγ κου του αερίου ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση BΓ microέχρις ότου η πίεση του αερίου γίνει ίση microε το 132 της αρχικής της τιmicroής PA και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A όγκου VA α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Nα βρείτε το λόγο γ=CPCV του αερίου και να δείξετε ότι η θερ microότητα που απορροφά κατά την εξέλιξη του κύκλου είναι ίση microε 15PAVA2 γ) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Gay-Lussac θα τετραπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή απο TA θα γίνει 4TA Σύmicroφωνα microε το πρόβληmicroα κατά την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου η πίεση του microειώνε ται από την τιmicroή PA στην τιmicroή PA32 ο δε όγκος του αυξάνεται από την τιmicroή

Σχήmicroα 23 4VA στην τιmicroή VΓ Όmicroως microέσω της ισόθερmicroης συmicroπίεσης ΓA το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle θα έχουmicroε τη σχέση

PV

= P

AV

A V

= 32VA

Mε βάση τα παραπάνω το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (23) β) Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου το νόmicroο του Poisson παίρνουmicroε τη σχέση PB

VB

= PV

PA(4VA)

= (PA32)(32VA )

4

= 32-1 2

2= 2

5( -1) 2 = 5( - 1) = 53 που σηmicroαίνει ότι το αέριο είναι microονοατοmicroικό Eξάλλου η θερmicroότητα που απορροφά το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου ABΓA είναι ίση microε την θερmicroό τητα QAB που απορροφά κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του AB δηλαδή ισχύει Q

= QAB = nCP(4TA - TA) = 5nR(3TA 2)

Q

= 15nRTA2 = 15PAVA2 (1)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓ είναι

= W

Q$

(2) Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου του (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) οπότε θα έχουmicroε

W= Q$ = QAB + QB+ QA = nCP(4TA -TA ) + 0 + nRTAln(VA32VA )

W

= 5nR(3TA 2) - nRTAln(25)

W

= PAVA (152 - 5ln2) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) παίρνουmicroε

=PAVA(152 - 5ln2)

15PAVA2=

15 - 10ln2

15= 1 -

2ln2

3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) την ισόθερmicroη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του αερίου οκταπλασιάζεται ii) την ισόχωρη ψύξη BΓ και iii) την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0=3105 Ntm2 όγκου

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 20: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

Q= nCVT0 +2nRT0ln2 = nT0 (CV +2Rln2) (4)

όπου CV η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερό όγκο Όmicroως το αέριο που εξετάζουmicroε ισχύει CV =3R2 και η (4) γράφεται

Q= nT0(3R2 +2Rln2) = nRT0(32 +2ln2)

Q= P0V0 (32 + 2ln2) (5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (5) παίρνουmicroε τη σχέση

=

P0V0 (2ln2 - 1)

P0V0(32 + 2ln2)=

2ln2 - 1

32 +2ln2

=

2(2ln2 - 1)

3 + 4ln2

Mιά ορισmicroένη microάζα microονοατοmicroικού ιδανικού αερί ου (CV=3R2) όγκου V0 πιέσεως P0 και απόλυτης θερmicroοκρασίας T0 υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται i) από microια ισοβαρή εκτόνωση ArarrB κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται ii) από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής και να υπολογίσετε το έργο που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλ λον του β) Nα βρείτε το συντελεστή απόδοσης της κυκλικής αυτής microεταβολής ΛYΣH α) Tο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA (σχήmicroα 15) αποτελείται από τα εξής τmicroήmicroατα i) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή εκτόνωση του αέριου υπό πίεση P0 κατά την οποία ο όγκος του από V0 γίνεται 2V0 οπότε η θερmicroοκρασία του από T0 γίνεται 2T0 (νόmicroος Gay-Lussac) ii) από το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα BΓ που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη ψύξη του αερίου υπό σταθερό όγκο 2V0 κατά την οποία το αέριο ψύχεται από τη θερmicroοκρασία 2T0 στη θερmicroοκρασία T0 οπότε η πίεσή του από P0 γίνεται P02 (νόmicroος Charles) και iii) από το καmicroπυλόγραmicromicroο τmicroήmicroα ΓA που αντιστοιχεί στην ισόθερmicroη συmicroπί εση του αέριου υπό σταθερή θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία ο όγκος του ελατ τώνεται από 2V0 σε V0 ενώ η πίεση του αυξάνει από P02 σε P0 (νόmicroος Boyle) Eξάλλου το έργο W που ανταλλάσσει το αέριο microε το περιβάλλον του θα είναι

ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των έργων WAB WBΓ και WΓA που ανταλλάσσει το αέριο κατά τη διάρκεια των επί microέρους microεταβολών ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA δηλαδή θα ισχύει

Σχήmicroα 15

W = WAB + WB+W

A = P0(2V0 -V0) + 0 +nRT0ln(V0 2V0)

W = P0V0 +nRT0ln(12) W= P0V

0- nRT

0ln2 (1)

όπου n ο αριθmicroός των mol του αέριου και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Όmicroως σύmicroφωνα microε την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων ισχύει P0V0=nRT0 οπότε η (1) γράφεται

W= P0V

0-P

0V

0ln2

W = P

0V

01 - ln2( ) (2)

β) O συντελεστής απόδοσης α του κύκλου ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W προς την θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου δηλαδή ισχύει

=

W

QAB

(1)

=P0V0 (1 - ln2)

nCP(2T0 - T0 )

=nRT0 (1 - ln2)

nCpT0

(3)

όπου CP η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερή πίεση Eπειδή γιατο αέριο έχουmicroε CP=5R2 η σχέση (3) γράφεται

=

nRT0 (1 - ln2)

5nRT02 =

2(1- ln2)

5 (4)

Ένα ιδανικό αέριο υποβάλλεται σε κυκλική αντισ τρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από microια ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB θερmicroοκρασίας T1 από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ όγκου V1 από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ θερmicroοκρασίας T2 και από microια ισόχωρη θέρmicroανση ΔrarrA όγκου V2=V12 Eάν ο λόγος CPCV του αερίου είναι γ

να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του το αέριο απορροφά από το εξωτερικό του περιβάλλον τα ποσά θερmicroότητας QΔA και QAB που ανιστοι χούν στην ισόχωρη θέρmicroανσή του ΔrarrA και στην ισόθερmicroη συmicroπίεσή του ArarrB Άρα ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβο λής είναι

=

W

Q$A + QAB

(1)

Σχήmicroα 16 όπου Wολ το ολικό έργο που παρέχει το αέριο στο περιβάλλον του Όmicroως για το έργο αυτό ισχύει

W= W

A+ W

AB+ W

B$+ W

$= 0 + W

AB+ 0 + W

$

W

= W

AB+W

$= nRT

1ln

V1

V12

$

amp amp + nRT2ln

V12

V1

$

amp amp

W= nRT

1ln2 - nRT

2ln2 W

= nR(T1 - T2 )ln2 (2) Εξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και QΔA ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1lnV1

V1 2

$

amp amp = nRT1ln2

και

QA = nCV (T1 - T2 ) =

nR(T1 - T2)

- 1 οπότε η (1) δίνει

=

nR(T1 - T2)ln2

nR(T1 - T2)( - 1) + nRT1ln2

=( - 1)(T1 - T2 )ln2

T1 - T2 + ( - 1)T1ln2

i) Nα δείξετε ότι η άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank για το δεύτερο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο συνεπάγεται και άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Nα δείξετε ότι microια κυκλική microεταβολή ορισmicroένης microάζας ιδανικού αέριου που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση από microια αδια βατική εκτόνωση και από microια αδιαβατική συmicroπίεση βρίσκεται σε αντίφαση microε το δεύτερo θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο δηλαδή microια τέτοια κυκ λική microεταβολή είναι αδύνατη ΛYΣH i) Έστω ότι υπάρχει θερmicroική microηχανή που σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microετατρέπει ολοκληρωτικά την θερmicroότητα Q1 που παίρνει από την πηγή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 σε microηχανικό έργο W χωρίς να δίνει θερmicroότητα στην πηγή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 Θεωρούmicroε τώρα microια κατάλ

Σχήmicroα 17 Σχήmicroα 18 ληλη ψυκτική microηχανή η οποία όταν λειτουργεί ανάmicroεσα στις ίδιες πηγές θερ microότητας microεταφέρει θερmicroότητα Q1 στην πηγή A καταναλώνοντας το έργο W που παράγει η θερmicroική microηχανή Tότε η ψυκτική αυτή microηχανή θα παίρνει από την πηγή B microια ορισmicroένη θερmicroότητα Q2 και εποmicroένως το σύστηmicroα των δύο microηχανών θα ισοδυναmicroεί microε microια ψυκτική microηχανή η οποία θα απάγει θερmicroότητα Q2 από την ψυχρή πηγή B χωρίς κατανάλωση έργου πράγmicroα που αποτελεί άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Έστω ότι microια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί την κυκλική microεταβο λή ABΓA που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB microια αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ και microια αδιαβατική συmicroπίεση ΓrarrA (σχήmicroα 18) Eφαρmicroόζοντας για τη microεταβολή αυτή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση QAB + QBΓ + QΓA = ΔUολ + Wολ QAB + 0 + 0 = 0 + Wολ QAB = Wολ (1)

H σχέση (1) δηλώνει ότι κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής ABΓA η θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο microετατρέπεται ολοκληρωτικά σε έργο γεγονός που έρχεται σε αντίθεση microε τη διατύπωση των Kelvin-Plank Παρατήρηση H microη πραγmicroατοποίση της κυκλικής microεταβολής ABΓA ισοδυναmicroεί microε το ότι οι αδιαβατικές καmicroπύλες BΓ και ΓA δεν είναι δυνατό να τέmicroνονται

Mιά ορισmicroένη microάζα ιδανικού αερίου εκτελεί κύκλο Carnot ABΓΔA Eάν V1 V2 V3 V4 είναι οι όγκοι του αέριου που αντιστοιχούν στις κατατάσεις A B Γ και Δ και T1 T2 είναι οι απόλυτες θερmicroοκρασίες της ισόθερmicroης εκτόνωσης και της ισόθερmicroης συmicroπίεσης του αέριου αντιστοίχως (T1gtT2) να δείξετε τις σχέσεις

V1V3 = V2V4 και W = nR(T1 - T2)ln(V2V1) όπου n τα mol του αερίου R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανικών αερίων και W το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του ΛYΣH Για την ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ισχύει P1

V1= P

2V

2 (1)

Για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Poisson ισχύει

P2V

2

= P3V

3

(2)

Σχήmicroα 19

Για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle έχουmicroε

P3V

3= P

4V

4 (3)

Tέλος για την αδιαβατική συmicroπίεση ΔrarrA σύmicroφωνα microε τον νόmicroο του Poisson έχουmicroε

P4V

4

= P1V

1

(4) όπου γ ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αερίου Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (4) κατά microέλη παίρνου microε τη σχέση

P1V

1P

2V

2

P3V

3P

4V

4

= P2V

2P

3V

3

P4V

4P

1V

1

2

-1

V 4

-1

V =3

-1

V 1

-1

V V3

V1= V

2V

4 (5)

Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκ λικής microεταβολής ABΓΔA είναι σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσει microε το περιβάλλον του Δηλαδή ισχύει η σχέση

W= Q

= QAB + QB

+ Q$

+ Q$A = QAB + Q

$ (6)

διότι για τις αδιαβατικές microεταβολές BrarrΓ και ΔrarrA έχουmicroε QBΓ =QΔA =0 Eξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και Q

ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1ln(V2 V1 )

Q

= nRT2ln(V4 V3 )

$

(+ )

QAB + Q

= nR T1lnV2

V1

$

amp amp + T2lnV4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(6)

W

= nR T

1ln

V2

V1

$

amp amp + T2ln

V4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(7)

Όmicroως από τη σχέση (5) έχουmicroε

V2

V1

=V

3

V4

lnV

2

V1

$

amp amp = lnV

3

V4

$

amp amp

lnV

2

V1

$

amp amp = - lnV

4

V3

$

amp amp

οπότε η (7) γράφεται

W

= nR(T1 - T2)ln

V2

V1

$

amp amp (8)

Mια θερmicroική microηχανή αναγκάζει ιδανικό αέριο σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση κατά την οποία η πίεση του αερίου τριπλασιάζεται

ii) από microια ισοβαρή εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται iii) από microια ισόχωρη ψύξη microέχρις ότου η πίεση του αερίου ανακτή σει την αρχική της τιmicroή και iv) απο microια ισοβαρή συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Eάν P0 V0 είναι η πίεση και ο όγκος αντιστοίχως του αερίου στην αρχική του κατάσταση και γ ο λόγος CPCV των γραmicromicroοmicroοριακών του ειδικών θερmicroοτήτων να βρείτε την προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroό τητα κατά την εξέλιξη του κύκλου γ) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής και να τον συγκρίνετε microε το συντελεστή απόδοσης της microηχα νής Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ της microέγιστης και της ελά χιστης θερmicroοκρασίας του αερίου της microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόχωρη θέρmicroανση AB του αερίου η πίεσή του τριπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Charles θα τριπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του αερίου δηλαδή από T0 θα γίνει 3T0 Κατά την ισοβα ρή εκτόνωση BΓ ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται οπότε και η απόλυτη θερmicroοκρασία του θα τριπλασιάζεται (νόmicroοςGay-Lussac) δηλαδή από 3T0 θα γίνει 9T0 Kατά την ισόχωρη ψύξη ΓΔ του αερίου η πίεση του απο την τιmicroή 3P0 λαmicroβάνει την τιmicroή P0 δηλαδή υποτριπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο του

Σχήmicroα 20 Charles πρέπει να υποτριπλασιασθεί και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή από 9T0 πρέπει να γίνει 3T0 Aυτό σηmicroαίνει ότι οι καταστάσεις B και Δ βρίσ κονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη θερmicroοκρασίας 3T0 Mε βάση τις παρα πάνω διαπιστώσεις το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου έχει τη microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (20) β) Kατά την εξέλιξη του κύκλου στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα στο στάδιο της ισόχωρης θέρmicroανσης AB και της ισοβαρούς εκτόνωσης BΓ δηλαδή ισχύει

Q = QAB + QB = nCV 3T0 - T0( ) + nCP 9T0 - 3T0( )

Q

= 2nCVT0 + 6nCPT0 = 2n CV + 3CP( )T0 (1)

Όmicroως οι γραmicromicroοmicroοριακές ειδικές θερmicroότητες CV και CP του αερίου ικανοποιούν τις σχέσεις

CP

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= R - 1

CP

= R - 1

$ (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε

Q

=

2nRT0

- 1(1+ 3) = 2P0V0

1+3

- 1

$

amp (3)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (4)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε το εmicroβαδόν του σκιασmicroένου ορθογωνίου ABΓΔ δηλαδή ισχύει W = micro$(ABamp) = (3P0 -P0)(3V0 -V0) = 4P0V0 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3)(4) και (5) έχουmicroε

=4P0V0

2P0V0

- 1

1+3

$

amp =

2( - 1)

1+ 3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται στην κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓΔA της οποίας το διάγραmicromicroα P-T φαίνεται στο σχήmicroα (21) i) Eάν οι θερmicroοδυναmicroικές microεταβλητές της κατάστασης A είναι P0 V0 και T0 να βρείτε τη θερmicroότητα που απορροφά το αέριο στη διάρκεια του κύκλου αφού προηγουmicroένως σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V του κύκλου ii) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση υπό θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου διπλασιάζεται οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ο όγκος του αερίου θα υποδιπλασιάζεται δηλαδή από V0 θα γίνει V02 H microεταβολή BΓ είναι ισοβαρής θέρmicroανση υπο πίεση 2P0 κατά την οποία η απόλυ

τη θερmicroοκρασία του αερίου διπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο Gay-Lussac θα διπλασιάζεται και ο όγκος του αερίου δηλαδή από V02 θα γίνει V0 H microετα βολή ΓΔ είναι ισόθερmicroη εκτόνωση υπό θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου υποδιπλασιάζεται οπότε ο όγκος του θα διπλασιάζεται (νόmicroος

Σχήmicroα 21 Σχήmicroα 22 Boyle) δηλαδή από V0 θα γίνει 2V0 Mε βάση τα παραπάνω οδηγούmicroαστε στο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου το οποίο έχει την microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (22) Στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του BΓ και της ισόθερmicroης εκτόνωσής του ΓΔ δηλαδή ισχύει η σχέση Q = QB +Q$ = nCP(2T0 - T0) + nR2T0ln(2V0V0 )

Q

= 5nRT02 + 2nRT0 ln2 Q

= P0V0 (52 + 2ln2) (1)

ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (2)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της υπο λογίζεται από τη σχέση

W = W

AB+ W

B + W$ + W$A

W

= nRT0ln

V0

2V0

$

amp +2P

0V

0-V

0

2

$

amp +

+

nR2T0ln2V0

V0

$

amp amp +P0(V0 - 2V0 )

W

= -nRT0ln2+P

0V

0+2nRT

0ln2 -P

0V

0=nRT

0ln2=P

0V

0ln2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) έχουmicroε

=P0V0ln2

P0V0(52 +2ln2)=

ln2

52 + 2ln2

Tο αέριο microιας θερmicroικής microηχανής είναι ιδανικό και υποβάλλεται σε αντιστρεπτό κύκλο ο οποίος αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή εκτόνωση AB microέχρις τετραπλασιασmicroού του όγ κου του αερίου ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση BΓ microέχρις ότου η πίεση του αερίου γίνει ίση microε το 132 της αρχικής της τιmicroής PA και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A όγκου VA α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Nα βρείτε το λόγο γ=CPCV του αερίου και να δείξετε ότι η θερ microότητα που απορροφά κατά την εξέλιξη του κύκλου είναι ίση microε 15PAVA2 γ) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Gay-Lussac θα τετραπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή απο TA θα γίνει 4TA Σύmicroφωνα microε το πρόβληmicroα κατά την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου η πίεση του microειώνε ται από την τιmicroή PA στην τιmicroή PA32 ο δε όγκος του αυξάνεται από την τιmicroή

Σχήmicroα 23 4VA στην τιmicroή VΓ Όmicroως microέσω της ισόθερmicroης συmicroπίεσης ΓA το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle θα έχουmicroε τη σχέση

PV

= P

AV

A V

= 32VA

Mε βάση τα παραπάνω το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (23) β) Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου το νόmicroο του Poisson παίρνουmicroε τη σχέση PB

VB

= PV

PA(4VA)

= (PA32)(32VA )

4

= 32-1 2

2= 2

5( -1) 2 = 5( - 1) = 53 που σηmicroαίνει ότι το αέριο είναι microονοατοmicroικό Eξάλλου η θερmicroότητα που απορροφά το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου ABΓA είναι ίση microε την θερmicroό τητα QAB που απορροφά κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του AB δηλαδή ισχύει Q

= QAB = nCP(4TA - TA) = 5nR(3TA 2)

Q

= 15nRTA2 = 15PAVA2 (1)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓ είναι

= W

Q$

(2) Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου του (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) οπότε θα έχουmicroε

W= Q$ = QAB + QB+ QA = nCP(4TA -TA ) + 0 + nRTAln(VA32VA )

W

= 5nR(3TA 2) - nRTAln(25)

W

= PAVA (152 - 5ln2) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) παίρνουmicroε

=PAVA(152 - 5ln2)

15PAVA2=

15 - 10ln2

15= 1 -

2ln2

3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) την ισόθερmicroη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του αερίου οκταπλασιάζεται ii) την ισόχωρη ψύξη BΓ και iii) την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0=3105 Ntm2 όγκου

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 21: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

ίσο microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των έργων WAB WBΓ και WΓA που ανταλλάσσει το αέριο κατά τη διάρκεια των επί microέρους microεταβολών ArarrB BrarrΓ και ΓrarrA δηλαδή θα ισχύει

Σχήmicroα 15

W = WAB + WB+W

A = P0(2V0 -V0) + 0 +nRT0ln(V0 2V0)

W = P0V0 +nRT0ln(12) W= P0V

0- nRT

0ln2 (1)

όπου n ο αριθmicroός των mol του αέριου και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Όmicroως σύmicroφωνα microε την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων ισχύει P0V0=nRT0 οπότε η (1) γράφεται

W= P0V

0-P

0V

0ln2

W = P

0V

01 - ln2( ) (2)

β) O συντελεστής απόδοσης α του κύκλου ABΓA είναι ίσος microε το πηλίκο του έργου W προς την θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου δηλαδή ισχύει

=

W

QAB

(1)

=P0V0 (1 - ln2)

nCP(2T0 - T0 )

=nRT0 (1 - ln2)

nCpT0

(3)

όπου CP η γραmicromicroοmicroοριακή ειδική θερmicroότητα του αέριου υπό σταθερή πίεση Eπειδή γιατο αέριο έχουmicroε CP=5R2 η σχέση (3) γράφεται

=

nRT0 (1 - ln2)

5nRT02 =

2(1- ln2)

5 (4)

Ένα ιδανικό αέριο υποβάλλεται σε κυκλική αντισ τρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από microια ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB θερmicroοκρασίας T1 από microια ισόχωρη ψύξη BrarrΓ όγκου V1 από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ θερmicroοκρασίας T2 και από microια ισόχωρη θέρmicroανση ΔrarrA όγκου V2=V12 Eάν ο λόγος CPCV του αερίου είναι γ

να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του το αέριο απορροφά από το εξωτερικό του περιβάλλον τα ποσά θερmicroότητας QΔA και QAB που ανιστοι χούν στην ισόχωρη θέρmicroανσή του ΔrarrA και στην ισόθερmicroη συmicroπίεσή του ArarrB Άρα ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβο λής είναι

=

W

Q$A + QAB

(1)

Σχήmicroα 16 όπου Wολ το ολικό έργο που παρέχει το αέριο στο περιβάλλον του Όmicroως για το έργο αυτό ισχύει

W= W

A+ W

AB+ W

B$+ W

$= 0 + W

AB+ 0 + W

$

W

= W

AB+W

$= nRT

1ln

V1

V12

$

amp amp + nRT2ln

V12

V1

$

amp amp

W= nRT

1ln2 - nRT

2ln2 W

= nR(T1 - T2 )ln2 (2) Εξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και QΔA ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1lnV1

V1 2

$

amp amp = nRT1ln2

και

QA = nCV (T1 - T2 ) =

nR(T1 - T2)

- 1 οπότε η (1) δίνει

=

nR(T1 - T2)ln2

nR(T1 - T2)( - 1) + nRT1ln2

=( - 1)(T1 - T2 )ln2

T1 - T2 + ( - 1)T1ln2

i) Nα δείξετε ότι η άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank για το δεύτερο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο συνεπάγεται και άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Nα δείξετε ότι microια κυκλική microεταβολή ορισmicroένης microάζας ιδανικού αέριου που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση από microια αδια βατική εκτόνωση και από microια αδιαβατική συmicroπίεση βρίσκεται σε αντίφαση microε το δεύτερo θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο δηλαδή microια τέτοια κυκ λική microεταβολή είναι αδύνατη ΛYΣH i) Έστω ότι υπάρχει θερmicroική microηχανή που σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microετατρέπει ολοκληρωτικά την θερmicroότητα Q1 που παίρνει από την πηγή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 σε microηχανικό έργο W χωρίς να δίνει θερmicroότητα στην πηγή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 Θεωρούmicroε τώρα microια κατάλ

Σχήmicroα 17 Σχήmicroα 18 ληλη ψυκτική microηχανή η οποία όταν λειτουργεί ανάmicroεσα στις ίδιες πηγές θερ microότητας microεταφέρει θερmicroότητα Q1 στην πηγή A καταναλώνοντας το έργο W που παράγει η θερmicroική microηχανή Tότε η ψυκτική αυτή microηχανή θα παίρνει από την πηγή B microια ορισmicroένη θερmicroότητα Q2 και εποmicroένως το σύστηmicroα των δύο microηχανών θα ισοδυναmicroεί microε microια ψυκτική microηχανή η οποία θα απάγει θερmicroότητα Q2 από την ψυχρή πηγή B χωρίς κατανάλωση έργου πράγmicroα που αποτελεί άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Έστω ότι microια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί την κυκλική microεταβο λή ABΓA που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB microια αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ και microια αδιαβατική συmicroπίεση ΓrarrA (σχήmicroα 18) Eφαρmicroόζοντας για τη microεταβολή αυτή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση QAB + QBΓ + QΓA = ΔUολ + Wολ QAB + 0 + 0 = 0 + Wολ QAB = Wολ (1)

H σχέση (1) δηλώνει ότι κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής ABΓA η θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο microετατρέπεται ολοκληρωτικά σε έργο γεγονός που έρχεται σε αντίθεση microε τη διατύπωση των Kelvin-Plank Παρατήρηση H microη πραγmicroατοποίση της κυκλικής microεταβολής ABΓA ισοδυναmicroεί microε το ότι οι αδιαβατικές καmicroπύλες BΓ και ΓA δεν είναι δυνατό να τέmicroνονται

Mιά ορισmicroένη microάζα ιδανικού αερίου εκτελεί κύκλο Carnot ABΓΔA Eάν V1 V2 V3 V4 είναι οι όγκοι του αέριου που αντιστοιχούν στις κατατάσεις A B Γ και Δ και T1 T2 είναι οι απόλυτες θερmicroοκρασίες της ισόθερmicroης εκτόνωσης και της ισόθερmicroης συmicroπίεσης του αέριου αντιστοίχως (T1gtT2) να δείξετε τις σχέσεις

V1V3 = V2V4 και W = nR(T1 - T2)ln(V2V1) όπου n τα mol του αερίου R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανικών αερίων και W το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του ΛYΣH Για την ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ισχύει P1

V1= P

2V

2 (1)

Για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Poisson ισχύει

P2V

2

= P3V

3

(2)

Σχήmicroα 19

Για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle έχουmicroε

P3V

3= P

4V

4 (3)

Tέλος για την αδιαβατική συmicroπίεση ΔrarrA σύmicroφωνα microε τον νόmicroο του Poisson έχουmicroε

P4V

4

= P1V

1

(4) όπου γ ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αερίου Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (4) κατά microέλη παίρνου microε τη σχέση

P1V

1P

2V

2

P3V

3P

4V

4

= P2V

2P

3V

3

P4V

4P

1V

1

2

-1

V 4

-1

V =3

-1

V 1

-1

V V3

V1= V

2V

4 (5)

Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκ λικής microεταβολής ABΓΔA είναι σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσει microε το περιβάλλον του Δηλαδή ισχύει η σχέση

W= Q

= QAB + QB

+ Q$

+ Q$A = QAB + Q

$ (6)

διότι για τις αδιαβατικές microεταβολές BrarrΓ και ΔrarrA έχουmicroε QBΓ =QΔA =0 Eξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και Q

ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1ln(V2 V1 )

Q

= nRT2ln(V4 V3 )

$

(+ )

QAB + Q

= nR T1lnV2

V1

$

amp amp + T2lnV4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(6)

W

= nR T

1ln

V2

V1

$

amp amp + T2ln

V4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(7)

Όmicroως από τη σχέση (5) έχουmicroε

V2

V1

=V

3

V4

lnV

2

V1

$

amp amp = lnV

3

V4

$

amp amp

lnV

2

V1

$

amp amp = - lnV

4

V3

$

amp amp

οπότε η (7) γράφεται

W

= nR(T1 - T2)ln

V2

V1

$

amp amp (8)

Mια θερmicroική microηχανή αναγκάζει ιδανικό αέριο σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση κατά την οποία η πίεση του αερίου τριπλασιάζεται

ii) από microια ισοβαρή εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται iii) από microια ισόχωρη ψύξη microέχρις ότου η πίεση του αερίου ανακτή σει την αρχική της τιmicroή και iv) απο microια ισοβαρή συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Eάν P0 V0 είναι η πίεση και ο όγκος αντιστοίχως του αερίου στην αρχική του κατάσταση και γ ο λόγος CPCV των γραmicromicroοmicroοριακών του ειδικών θερmicroοτήτων να βρείτε την προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroό τητα κατά την εξέλιξη του κύκλου γ) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής και να τον συγκρίνετε microε το συντελεστή απόδοσης της microηχα νής Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ της microέγιστης και της ελά χιστης θερmicroοκρασίας του αερίου της microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόχωρη θέρmicroανση AB του αερίου η πίεσή του τριπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Charles θα τριπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του αερίου δηλαδή από T0 θα γίνει 3T0 Κατά την ισοβα ρή εκτόνωση BΓ ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται οπότε και η απόλυτη θερmicroοκρασία του θα τριπλασιάζεται (νόmicroοςGay-Lussac) δηλαδή από 3T0 θα γίνει 9T0 Kατά την ισόχωρη ψύξη ΓΔ του αερίου η πίεση του απο την τιmicroή 3P0 λαmicroβάνει την τιmicroή P0 δηλαδή υποτριπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο του

Σχήmicroα 20 Charles πρέπει να υποτριπλασιασθεί και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή από 9T0 πρέπει να γίνει 3T0 Aυτό σηmicroαίνει ότι οι καταστάσεις B και Δ βρίσ κονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη θερmicroοκρασίας 3T0 Mε βάση τις παρα πάνω διαπιστώσεις το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου έχει τη microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (20) β) Kατά την εξέλιξη του κύκλου στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα στο στάδιο της ισόχωρης θέρmicroανσης AB και της ισοβαρούς εκτόνωσης BΓ δηλαδή ισχύει

Q = QAB + QB = nCV 3T0 - T0( ) + nCP 9T0 - 3T0( )

Q

= 2nCVT0 + 6nCPT0 = 2n CV + 3CP( )T0 (1)

Όmicroως οι γραmicromicroοmicroοριακές ειδικές θερmicroότητες CV και CP του αερίου ικανοποιούν τις σχέσεις

CP

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= R - 1

CP

= R - 1

$ (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε

Q

=

2nRT0

- 1(1+ 3) = 2P0V0

1+3

- 1

$

amp (3)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (4)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε το εmicroβαδόν του σκιασmicroένου ορθογωνίου ABΓΔ δηλαδή ισχύει W = micro$(ABamp) = (3P0 -P0)(3V0 -V0) = 4P0V0 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3)(4) και (5) έχουmicroε

=4P0V0

2P0V0

- 1

1+3

$

amp =

2( - 1)

1+ 3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται στην κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓΔA της οποίας το διάγραmicromicroα P-T φαίνεται στο σχήmicroα (21) i) Eάν οι θερmicroοδυναmicroικές microεταβλητές της κατάστασης A είναι P0 V0 και T0 να βρείτε τη θερmicroότητα που απορροφά το αέριο στη διάρκεια του κύκλου αφού προηγουmicroένως σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V του κύκλου ii) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση υπό θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου διπλασιάζεται οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ο όγκος του αερίου θα υποδιπλασιάζεται δηλαδή από V0 θα γίνει V02 H microεταβολή BΓ είναι ισοβαρής θέρmicroανση υπο πίεση 2P0 κατά την οποία η απόλυ

τη θερmicroοκρασία του αερίου διπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο Gay-Lussac θα διπλασιάζεται και ο όγκος του αερίου δηλαδή από V02 θα γίνει V0 H microετα βολή ΓΔ είναι ισόθερmicroη εκτόνωση υπό θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου υποδιπλασιάζεται οπότε ο όγκος του θα διπλασιάζεται (νόmicroος

Σχήmicroα 21 Σχήmicroα 22 Boyle) δηλαδή από V0 θα γίνει 2V0 Mε βάση τα παραπάνω οδηγούmicroαστε στο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου το οποίο έχει την microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (22) Στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του BΓ και της ισόθερmicroης εκτόνωσής του ΓΔ δηλαδή ισχύει η σχέση Q = QB +Q$ = nCP(2T0 - T0) + nR2T0ln(2V0V0 )

Q

= 5nRT02 + 2nRT0 ln2 Q

= P0V0 (52 + 2ln2) (1)

ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (2)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της υπο λογίζεται από τη σχέση

W = W

AB+ W

B + W$ + W$A

W

= nRT0ln

V0

2V0

$

amp +2P

0V

0-V

0

2

$

amp +

+

nR2T0ln2V0

V0

$

amp amp +P0(V0 - 2V0 )

W

= -nRT0ln2+P

0V

0+2nRT

0ln2 -P

0V

0=nRT

0ln2=P

0V

0ln2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) έχουmicroε

=P0V0ln2

P0V0(52 +2ln2)=

ln2

52 + 2ln2

Tο αέριο microιας θερmicroικής microηχανής είναι ιδανικό και υποβάλλεται σε αντιστρεπτό κύκλο ο οποίος αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή εκτόνωση AB microέχρις τετραπλασιασmicroού του όγ κου του αερίου ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση BΓ microέχρις ότου η πίεση του αερίου γίνει ίση microε το 132 της αρχικής της τιmicroής PA και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A όγκου VA α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Nα βρείτε το λόγο γ=CPCV του αερίου και να δείξετε ότι η θερ microότητα που απορροφά κατά την εξέλιξη του κύκλου είναι ίση microε 15PAVA2 γ) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Gay-Lussac θα τετραπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή απο TA θα γίνει 4TA Σύmicroφωνα microε το πρόβληmicroα κατά την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου η πίεση του microειώνε ται από την τιmicroή PA στην τιmicroή PA32 ο δε όγκος του αυξάνεται από την τιmicroή

Σχήmicroα 23 4VA στην τιmicroή VΓ Όmicroως microέσω της ισόθερmicroης συmicroπίεσης ΓA το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle θα έχουmicroε τη σχέση

PV

= P

AV

A V

= 32VA

Mε βάση τα παραπάνω το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (23) β) Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου το νόmicroο του Poisson παίρνουmicroε τη σχέση PB

VB

= PV

PA(4VA)

= (PA32)(32VA )

4

= 32-1 2

2= 2

5( -1) 2 = 5( - 1) = 53 που σηmicroαίνει ότι το αέριο είναι microονοατοmicroικό Eξάλλου η θερmicroότητα που απορροφά το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου ABΓA είναι ίση microε την θερmicroό τητα QAB που απορροφά κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του AB δηλαδή ισχύει Q

= QAB = nCP(4TA - TA) = 5nR(3TA 2)

Q

= 15nRTA2 = 15PAVA2 (1)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓ είναι

= W

Q$

(2) Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου του (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) οπότε θα έχουmicroε

W= Q$ = QAB + QB+ QA = nCP(4TA -TA ) + 0 + nRTAln(VA32VA )

W

= 5nR(3TA 2) - nRTAln(25)

W

= PAVA (152 - 5ln2) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) παίρνουmicroε

=PAVA(152 - 5ln2)

15PAVA2=

15 - 10ln2

15= 1 -

2ln2

3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) την ισόθερmicroη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του αερίου οκταπλασιάζεται ii) την ισόχωρη ψύξη BΓ και iii) την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0=3105 Ntm2 όγκου

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 22: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του το αέριο απορροφά από το εξωτερικό του περιβάλλον τα ποσά θερmicroότητας QΔA και QAB που ανιστοι χούν στην ισόχωρη θέρmicroανσή του ΔrarrA και στην ισόθερmicroη συmicroπίεσή του ArarrB Άρα ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβο λής είναι

=

W

Q$A + QAB

(1)

Σχήmicroα 16 όπου Wολ το ολικό έργο που παρέχει το αέριο στο περιβάλλον του Όmicroως για το έργο αυτό ισχύει

W= W

A+ W

AB+ W

B$+ W

$= 0 + W

AB+ 0 + W

$

W

= W

AB+W

$= nRT

1ln

V1

V12

$

amp amp + nRT2ln

V12

V1

$

amp amp

W= nRT

1ln2 - nRT

2ln2 W

= nR(T1 - T2 )ln2 (2) Εξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και QΔA ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1lnV1

V1 2

$

amp amp = nRT1ln2

και

QA = nCV (T1 - T2 ) =

nR(T1 - T2)

- 1 οπότε η (1) δίνει

=

nR(T1 - T2)ln2

nR(T1 - T2)( - 1) + nRT1ln2

=( - 1)(T1 - T2 )ln2

T1 - T2 + ( - 1)T1ln2

i) Nα δείξετε ότι η άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank για το δεύτερο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο συνεπάγεται και άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Nα δείξετε ότι microια κυκλική microεταβολή ορισmicroένης microάζας ιδανικού αέριου που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση από microια αδια βατική εκτόνωση και από microια αδιαβατική συmicroπίεση βρίσκεται σε αντίφαση microε το δεύτερo θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο δηλαδή microια τέτοια κυκ λική microεταβολή είναι αδύνατη ΛYΣH i) Έστω ότι υπάρχει θερmicroική microηχανή που σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microετατρέπει ολοκληρωτικά την θερmicroότητα Q1 που παίρνει από την πηγή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 σε microηχανικό έργο W χωρίς να δίνει θερmicroότητα στην πηγή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 Θεωρούmicroε τώρα microια κατάλ

Σχήmicroα 17 Σχήmicroα 18 ληλη ψυκτική microηχανή η οποία όταν λειτουργεί ανάmicroεσα στις ίδιες πηγές θερ microότητας microεταφέρει θερmicroότητα Q1 στην πηγή A καταναλώνοντας το έργο W που παράγει η θερmicroική microηχανή Tότε η ψυκτική αυτή microηχανή θα παίρνει από την πηγή B microια ορισmicroένη θερmicroότητα Q2 και εποmicroένως το σύστηmicroα των δύο microηχανών θα ισοδυναmicroεί microε microια ψυκτική microηχανή η οποία θα απάγει θερmicroότητα Q2 από την ψυχρή πηγή B χωρίς κατανάλωση έργου πράγmicroα που αποτελεί άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Έστω ότι microια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί την κυκλική microεταβο λή ABΓA που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB microια αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ και microια αδιαβατική συmicroπίεση ΓrarrA (σχήmicroα 18) Eφαρmicroόζοντας για τη microεταβολή αυτή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση QAB + QBΓ + QΓA = ΔUολ + Wολ QAB + 0 + 0 = 0 + Wολ QAB = Wολ (1)

H σχέση (1) δηλώνει ότι κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής ABΓA η θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο microετατρέπεται ολοκληρωτικά σε έργο γεγονός που έρχεται σε αντίθεση microε τη διατύπωση των Kelvin-Plank Παρατήρηση H microη πραγmicroατοποίση της κυκλικής microεταβολής ABΓA ισοδυναmicroεί microε το ότι οι αδιαβατικές καmicroπύλες BΓ και ΓA δεν είναι δυνατό να τέmicroνονται

Mιά ορισmicroένη microάζα ιδανικού αερίου εκτελεί κύκλο Carnot ABΓΔA Eάν V1 V2 V3 V4 είναι οι όγκοι του αέριου που αντιστοιχούν στις κατατάσεις A B Γ και Δ και T1 T2 είναι οι απόλυτες θερmicroοκρασίες της ισόθερmicroης εκτόνωσης και της ισόθερmicroης συmicroπίεσης του αέριου αντιστοίχως (T1gtT2) να δείξετε τις σχέσεις

V1V3 = V2V4 και W = nR(T1 - T2)ln(V2V1) όπου n τα mol του αερίου R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανικών αερίων και W το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του ΛYΣH Για την ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ισχύει P1

V1= P

2V

2 (1)

Για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Poisson ισχύει

P2V

2

= P3V

3

(2)

Σχήmicroα 19

Για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle έχουmicroε

P3V

3= P

4V

4 (3)

Tέλος για την αδιαβατική συmicroπίεση ΔrarrA σύmicroφωνα microε τον νόmicroο του Poisson έχουmicroε

P4V

4

= P1V

1

(4) όπου γ ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αερίου Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (4) κατά microέλη παίρνου microε τη σχέση

P1V

1P

2V

2

P3V

3P

4V

4

= P2V

2P

3V

3

P4V

4P

1V

1

2

-1

V 4

-1

V =3

-1

V 1

-1

V V3

V1= V

2V

4 (5)

Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκ λικής microεταβολής ABΓΔA είναι σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσει microε το περιβάλλον του Δηλαδή ισχύει η σχέση

W= Q

= QAB + QB

+ Q$

+ Q$A = QAB + Q

$ (6)

διότι για τις αδιαβατικές microεταβολές BrarrΓ και ΔrarrA έχουmicroε QBΓ =QΔA =0 Eξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και Q

ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1ln(V2 V1 )

Q

= nRT2ln(V4 V3 )

$

(+ )

QAB + Q

= nR T1lnV2

V1

$

amp amp + T2lnV4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(6)

W

= nR T

1ln

V2

V1

$

amp amp + T2ln

V4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(7)

Όmicroως από τη σχέση (5) έχουmicroε

V2

V1

=V

3

V4

lnV

2

V1

$

amp amp = lnV

3

V4

$

amp amp

lnV

2

V1

$

amp amp = - lnV

4

V3

$

amp amp

οπότε η (7) γράφεται

W

= nR(T1 - T2)ln

V2

V1

$

amp amp (8)

Mια θερmicroική microηχανή αναγκάζει ιδανικό αέριο σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση κατά την οποία η πίεση του αερίου τριπλασιάζεται

ii) από microια ισοβαρή εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται iii) από microια ισόχωρη ψύξη microέχρις ότου η πίεση του αερίου ανακτή σει την αρχική της τιmicroή και iv) απο microια ισοβαρή συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Eάν P0 V0 είναι η πίεση και ο όγκος αντιστοίχως του αερίου στην αρχική του κατάσταση και γ ο λόγος CPCV των γραmicromicroοmicroοριακών του ειδικών θερmicroοτήτων να βρείτε την προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroό τητα κατά την εξέλιξη του κύκλου γ) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής και να τον συγκρίνετε microε το συντελεστή απόδοσης της microηχα νής Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ της microέγιστης και της ελά χιστης θερmicroοκρασίας του αερίου της microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόχωρη θέρmicroανση AB του αερίου η πίεσή του τριπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Charles θα τριπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του αερίου δηλαδή από T0 θα γίνει 3T0 Κατά την ισοβα ρή εκτόνωση BΓ ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται οπότε και η απόλυτη θερmicroοκρασία του θα τριπλασιάζεται (νόmicroοςGay-Lussac) δηλαδή από 3T0 θα γίνει 9T0 Kατά την ισόχωρη ψύξη ΓΔ του αερίου η πίεση του απο την τιmicroή 3P0 λαmicroβάνει την τιmicroή P0 δηλαδή υποτριπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο του

Σχήmicroα 20 Charles πρέπει να υποτριπλασιασθεί και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή από 9T0 πρέπει να γίνει 3T0 Aυτό σηmicroαίνει ότι οι καταστάσεις B και Δ βρίσ κονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη θερmicroοκρασίας 3T0 Mε βάση τις παρα πάνω διαπιστώσεις το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου έχει τη microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (20) β) Kατά την εξέλιξη του κύκλου στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα στο στάδιο της ισόχωρης θέρmicroανσης AB και της ισοβαρούς εκτόνωσης BΓ δηλαδή ισχύει

Q = QAB + QB = nCV 3T0 - T0( ) + nCP 9T0 - 3T0( )

Q

= 2nCVT0 + 6nCPT0 = 2n CV + 3CP( )T0 (1)

Όmicroως οι γραmicromicroοmicroοριακές ειδικές θερmicroότητες CV και CP του αερίου ικανοποιούν τις σχέσεις

CP

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= R - 1

CP

= R - 1

$ (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε

Q

=

2nRT0

- 1(1+ 3) = 2P0V0

1+3

- 1

$

amp (3)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (4)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε το εmicroβαδόν του σκιασmicroένου ορθογωνίου ABΓΔ δηλαδή ισχύει W = micro$(ABamp) = (3P0 -P0)(3V0 -V0) = 4P0V0 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3)(4) και (5) έχουmicroε

=4P0V0

2P0V0

- 1

1+3

$

amp =

2( - 1)

1+ 3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται στην κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓΔA της οποίας το διάγραmicromicroα P-T φαίνεται στο σχήmicroα (21) i) Eάν οι θερmicroοδυναmicroικές microεταβλητές της κατάστασης A είναι P0 V0 και T0 να βρείτε τη θερmicroότητα που απορροφά το αέριο στη διάρκεια του κύκλου αφού προηγουmicroένως σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V του κύκλου ii) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση υπό θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου διπλασιάζεται οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ο όγκος του αερίου θα υποδιπλασιάζεται δηλαδή από V0 θα γίνει V02 H microεταβολή BΓ είναι ισοβαρής θέρmicroανση υπο πίεση 2P0 κατά την οποία η απόλυ

τη θερmicroοκρασία του αερίου διπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο Gay-Lussac θα διπλασιάζεται και ο όγκος του αερίου δηλαδή από V02 θα γίνει V0 H microετα βολή ΓΔ είναι ισόθερmicroη εκτόνωση υπό θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου υποδιπλασιάζεται οπότε ο όγκος του θα διπλασιάζεται (νόmicroος

Σχήmicroα 21 Σχήmicroα 22 Boyle) δηλαδή από V0 θα γίνει 2V0 Mε βάση τα παραπάνω οδηγούmicroαστε στο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου το οποίο έχει την microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (22) Στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του BΓ και της ισόθερmicroης εκτόνωσής του ΓΔ δηλαδή ισχύει η σχέση Q = QB +Q$ = nCP(2T0 - T0) + nR2T0ln(2V0V0 )

Q

= 5nRT02 + 2nRT0 ln2 Q

= P0V0 (52 + 2ln2) (1)

ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (2)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της υπο λογίζεται από τη σχέση

W = W

AB+ W

B + W$ + W$A

W

= nRT0ln

V0

2V0

$

amp +2P

0V

0-V

0

2

$

amp +

+

nR2T0ln2V0

V0

$

amp amp +P0(V0 - 2V0 )

W

= -nRT0ln2+P

0V

0+2nRT

0ln2 -P

0V

0=nRT

0ln2=P

0V

0ln2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) έχουmicroε

=P0V0ln2

P0V0(52 +2ln2)=

ln2

52 + 2ln2

Tο αέριο microιας θερmicroικής microηχανής είναι ιδανικό και υποβάλλεται σε αντιστρεπτό κύκλο ο οποίος αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή εκτόνωση AB microέχρις τετραπλασιασmicroού του όγ κου του αερίου ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση BΓ microέχρις ότου η πίεση του αερίου γίνει ίση microε το 132 της αρχικής της τιmicroής PA και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A όγκου VA α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Nα βρείτε το λόγο γ=CPCV του αερίου και να δείξετε ότι η θερ microότητα που απορροφά κατά την εξέλιξη του κύκλου είναι ίση microε 15PAVA2 γ) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Gay-Lussac θα τετραπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή απο TA θα γίνει 4TA Σύmicroφωνα microε το πρόβληmicroα κατά την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου η πίεση του microειώνε ται από την τιmicroή PA στην τιmicroή PA32 ο δε όγκος του αυξάνεται από την τιmicroή

Σχήmicroα 23 4VA στην τιmicroή VΓ Όmicroως microέσω της ισόθερmicroης συmicroπίεσης ΓA το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle θα έχουmicroε τη σχέση

PV

= P

AV

A V

= 32VA

Mε βάση τα παραπάνω το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (23) β) Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου το νόmicroο του Poisson παίρνουmicroε τη σχέση PB

VB

= PV

PA(4VA)

= (PA32)(32VA )

4

= 32-1 2

2= 2

5( -1) 2 = 5( - 1) = 53 που σηmicroαίνει ότι το αέριο είναι microονοατοmicroικό Eξάλλου η θερmicroότητα που απορροφά το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου ABΓA είναι ίση microε την θερmicroό τητα QAB που απορροφά κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του AB δηλαδή ισχύει Q

= QAB = nCP(4TA - TA) = 5nR(3TA 2)

Q

= 15nRTA2 = 15PAVA2 (1)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓ είναι

= W

Q$

(2) Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου του (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) οπότε θα έχουmicroε

W= Q$ = QAB + QB+ QA = nCP(4TA -TA ) + 0 + nRTAln(VA32VA )

W

= 5nR(3TA 2) - nRTAln(25)

W

= PAVA (152 - 5ln2) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) παίρνουmicroε

=PAVA(152 - 5ln2)

15PAVA2=

15 - 10ln2

15= 1 -

2ln2

3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) την ισόθερmicroη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του αερίου οκταπλασιάζεται ii) την ισόχωρη ψύξη BΓ και iii) την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0=3105 Ntm2 όγκου

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 23: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

=

nR(T1 - T2)ln2

nR(T1 - T2)( - 1) + nRT1ln2

=( - 1)(T1 - T2 )ln2

T1 - T2 + ( - 1)T1ln2

i) Nα δείξετε ότι η άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank για το δεύτερο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο συνεπάγεται και άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Nα δείξετε ότι microια κυκλική microεταβολή ορισmicroένης microάζας ιδανικού αέριου που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση από microια αδια βατική εκτόνωση και από microια αδιαβατική συmicroπίεση βρίσκεται σε αντίφαση microε το δεύτερo θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο δηλαδή microια τέτοια κυκ λική microεταβολή είναι αδύνατη ΛYΣH i) Έστω ότι υπάρχει θερmicroική microηχανή που σε κάθε κύκλο λειτουργίας της microετατρέπει ολοκληρωτικά την θερmicroότητα Q1 που παίρνει από την πηγή θερmicroότητας A υψηλής θερmicroοκρασίας T1 σε microηχανικό έργο W χωρίς να δίνει θερmicroότητα στην πηγή B χαmicroηλής θερmicroοκρασίας T2 Θεωρούmicroε τώρα microια κατάλ

Σχήmicroα 17 Σχήmicroα 18 ληλη ψυκτική microηχανή η οποία όταν λειτουργεί ανάmicroεσα στις ίδιες πηγές θερ microότητας microεταφέρει θερmicroότητα Q1 στην πηγή A καταναλώνοντας το έργο W που παράγει η θερmicroική microηχανή Tότε η ψυκτική αυτή microηχανή θα παίρνει από την πηγή B microια ορισmicroένη θερmicroότητα Q2 και εποmicroένως το σύστηmicroα των δύο microηχανών θα ισοδυναmicroεί microε microια ψυκτική microηχανή η οποία θα απάγει θερmicroότητα Q2 από την ψυχρή πηγή B χωρίς κατανάλωση έργου πράγmicroα που αποτελεί άρνηση της διατύπωσης του Clausius ii) Έστω ότι microια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί την κυκλική microεταβο λή ABΓA που αποτελείται από microια ισόχωρη θέρmicroανση ArarrB microια αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ και microια αδιαβατική συmicroπίεση ΓrarrA (σχήmicroα 18) Eφαρmicroόζοντας για τη microεταβολή αυτή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση QAB + QBΓ + QΓA = ΔUολ + Wολ QAB + 0 + 0 = 0 + Wολ QAB = Wολ (1)

H σχέση (1) δηλώνει ότι κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής ABΓA η θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο microετατρέπεται ολοκληρωτικά σε έργο γεγονός που έρχεται σε αντίθεση microε τη διατύπωση των Kelvin-Plank Παρατήρηση H microη πραγmicroατοποίση της κυκλικής microεταβολής ABΓA ισοδυναmicroεί microε το ότι οι αδιαβατικές καmicroπύλες BΓ και ΓA δεν είναι δυνατό να τέmicroνονται

Mιά ορισmicroένη microάζα ιδανικού αερίου εκτελεί κύκλο Carnot ABΓΔA Eάν V1 V2 V3 V4 είναι οι όγκοι του αέριου που αντιστοιχούν στις κατατάσεις A B Γ και Δ και T1 T2 είναι οι απόλυτες θερmicroοκρασίες της ισόθερmicroης εκτόνωσης και της ισόθερmicroης συmicroπίεσης του αέριου αντιστοίχως (T1gtT2) να δείξετε τις σχέσεις

V1V3 = V2V4 και W = nR(T1 - T2)ln(V2V1) όπου n τα mol του αερίου R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανικών αερίων και W το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του ΛYΣH Για την ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ισχύει P1

V1= P

2V

2 (1)

Για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Poisson ισχύει

P2V

2

= P3V

3

(2)

Σχήmicroα 19

Για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle έχουmicroε

P3V

3= P

4V

4 (3)

Tέλος για την αδιαβατική συmicroπίεση ΔrarrA σύmicroφωνα microε τον νόmicroο του Poisson έχουmicroε

P4V

4

= P1V

1

(4) όπου γ ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αερίου Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (4) κατά microέλη παίρνου microε τη σχέση

P1V

1P

2V

2

P3V

3P

4V

4

= P2V

2P

3V

3

P4V

4P

1V

1

2

-1

V 4

-1

V =3

-1

V 1

-1

V V3

V1= V

2V

4 (5)

Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκ λικής microεταβολής ABΓΔA είναι σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσει microε το περιβάλλον του Δηλαδή ισχύει η σχέση

W= Q

= QAB + QB

+ Q$

+ Q$A = QAB + Q

$ (6)

διότι για τις αδιαβατικές microεταβολές BrarrΓ και ΔrarrA έχουmicroε QBΓ =QΔA =0 Eξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και Q

ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1ln(V2 V1 )

Q

= nRT2ln(V4 V3 )

$

(+ )

QAB + Q

= nR T1lnV2

V1

$

amp amp + T2lnV4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(6)

W

= nR T

1ln

V2

V1

$

amp amp + T2ln

V4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(7)

Όmicroως από τη σχέση (5) έχουmicroε

V2

V1

=V

3

V4

lnV

2

V1

$

amp amp = lnV

3

V4

$

amp amp

lnV

2

V1

$

amp amp = - lnV

4

V3

$

amp amp

οπότε η (7) γράφεται

W

= nR(T1 - T2)ln

V2

V1

$

amp amp (8)

Mια θερmicroική microηχανή αναγκάζει ιδανικό αέριο σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση κατά την οποία η πίεση του αερίου τριπλασιάζεται

ii) από microια ισοβαρή εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται iii) από microια ισόχωρη ψύξη microέχρις ότου η πίεση του αερίου ανακτή σει την αρχική της τιmicroή και iv) απο microια ισοβαρή συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Eάν P0 V0 είναι η πίεση και ο όγκος αντιστοίχως του αερίου στην αρχική του κατάσταση και γ ο λόγος CPCV των γραmicromicroοmicroοριακών του ειδικών θερmicroοτήτων να βρείτε την προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroό τητα κατά την εξέλιξη του κύκλου γ) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής και να τον συγκρίνετε microε το συντελεστή απόδοσης της microηχα νής Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ της microέγιστης και της ελά χιστης θερmicroοκρασίας του αερίου της microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόχωρη θέρmicroανση AB του αερίου η πίεσή του τριπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Charles θα τριπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του αερίου δηλαδή από T0 θα γίνει 3T0 Κατά την ισοβα ρή εκτόνωση BΓ ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται οπότε και η απόλυτη θερmicroοκρασία του θα τριπλασιάζεται (νόmicroοςGay-Lussac) δηλαδή από 3T0 θα γίνει 9T0 Kατά την ισόχωρη ψύξη ΓΔ του αερίου η πίεση του απο την τιmicroή 3P0 λαmicroβάνει την τιmicroή P0 δηλαδή υποτριπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο του

Σχήmicroα 20 Charles πρέπει να υποτριπλασιασθεί και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή από 9T0 πρέπει να γίνει 3T0 Aυτό σηmicroαίνει ότι οι καταστάσεις B και Δ βρίσ κονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη θερmicroοκρασίας 3T0 Mε βάση τις παρα πάνω διαπιστώσεις το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου έχει τη microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (20) β) Kατά την εξέλιξη του κύκλου στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα στο στάδιο της ισόχωρης θέρmicroανσης AB και της ισοβαρούς εκτόνωσης BΓ δηλαδή ισχύει

Q = QAB + QB = nCV 3T0 - T0( ) + nCP 9T0 - 3T0( )

Q

= 2nCVT0 + 6nCPT0 = 2n CV + 3CP( )T0 (1)

Όmicroως οι γραmicromicroοmicroοριακές ειδικές θερmicroότητες CV και CP του αερίου ικανοποιούν τις σχέσεις

CP

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= R - 1

CP

= R - 1

$ (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε

Q

=

2nRT0

- 1(1+ 3) = 2P0V0

1+3

- 1

$

amp (3)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (4)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε το εmicroβαδόν του σκιασmicroένου ορθογωνίου ABΓΔ δηλαδή ισχύει W = micro$(ABamp) = (3P0 -P0)(3V0 -V0) = 4P0V0 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3)(4) και (5) έχουmicroε

=4P0V0

2P0V0

- 1

1+3

$

amp =

2( - 1)

1+ 3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται στην κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓΔA της οποίας το διάγραmicromicroα P-T φαίνεται στο σχήmicroα (21) i) Eάν οι θερmicroοδυναmicroικές microεταβλητές της κατάστασης A είναι P0 V0 και T0 να βρείτε τη θερmicroότητα που απορροφά το αέριο στη διάρκεια του κύκλου αφού προηγουmicroένως σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V του κύκλου ii) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση υπό θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου διπλασιάζεται οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ο όγκος του αερίου θα υποδιπλασιάζεται δηλαδή από V0 θα γίνει V02 H microεταβολή BΓ είναι ισοβαρής θέρmicroανση υπο πίεση 2P0 κατά την οποία η απόλυ

τη θερmicroοκρασία του αερίου διπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο Gay-Lussac θα διπλασιάζεται και ο όγκος του αερίου δηλαδή από V02 θα γίνει V0 H microετα βολή ΓΔ είναι ισόθερmicroη εκτόνωση υπό θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου υποδιπλασιάζεται οπότε ο όγκος του θα διπλασιάζεται (νόmicroος

Σχήmicroα 21 Σχήmicroα 22 Boyle) δηλαδή από V0 θα γίνει 2V0 Mε βάση τα παραπάνω οδηγούmicroαστε στο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου το οποίο έχει την microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (22) Στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του BΓ και της ισόθερmicroης εκτόνωσής του ΓΔ δηλαδή ισχύει η σχέση Q = QB +Q$ = nCP(2T0 - T0) + nR2T0ln(2V0V0 )

Q

= 5nRT02 + 2nRT0 ln2 Q

= P0V0 (52 + 2ln2) (1)

ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (2)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της υπο λογίζεται από τη σχέση

W = W

AB+ W

B + W$ + W$A

W

= nRT0ln

V0

2V0

$

amp +2P

0V

0-V

0

2

$

amp +

+

nR2T0ln2V0

V0

$

amp amp +P0(V0 - 2V0 )

W

= -nRT0ln2+P

0V

0+2nRT

0ln2 -P

0V

0=nRT

0ln2=P

0V

0ln2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) έχουmicroε

=P0V0ln2

P0V0(52 +2ln2)=

ln2

52 + 2ln2

Tο αέριο microιας θερmicroικής microηχανής είναι ιδανικό και υποβάλλεται σε αντιστρεπτό κύκλο ο οποίος αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή εκτόνωση AB microέχρις τετραπλασιασmicroού του όγ κου του αερίου ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση BΓ microέχρις ότου η πίεση του αερίου γίνει ίση microε το 132 της αρχικής της τιmicroής PA και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A όγκου VA α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Nα βρείτε το λόγο γ=CPCV του αερίου και να δείξετε ότι η θερ microότητα που απορροφά κατά την εξέλιξη του κύκλου είναι ίση microε 15PAVA2 γ) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Gay-Lussac θα τετραπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή απο TA θα γίνει 4TA Σύmicroφωνα microε το πρόβληmicroα κατά την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου η πίεση του microειώνε ται από την τιmicroή PA στην τιmicroή PA32 ο δε όγκος του αυξάνεται από την τιmicroή

Σχήmicroα 23 4VA στην τιmicroή VΓ Όmicroως microέσω της ισόθερmicroης συmicroπίεσης ΓA το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle θα έχουmicroε τη σχέση

PV

= P

AV

A V

= 32VA

Mε βάση τα παραπάνω το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (23) β) Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου το νόmicroο του Poisson παίρνουmicroε τη σχέση PB

VB

= PV

PA(4VA)

= (PA32)(32VA )

4

= 32-1 2

2= 2

5( -1) 2 = 5( - 1) = 53 που σηmicroαίνει ότι το αέριο είναι microονοατοmicroικό Eξάλλου η θερmicroότητα που απορροφά το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου ABΓA είναι ίση microε την θερmicroό τητα QAB που απορροφά κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του AB δηλαδή ισχύει Q

= QAB = nCP(4TA - TA) = 5nR(3TA 2)

Q

= 15nRTA2 = 15PAVA2 (1)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓ είναι

= W

Q$

(2) Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου του (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) οπότε θα έχουmicroε

W= Q$ = QAB + QB+ QA = nCP(4TA -TA ) + 0 + nRTAln(VA32VA )

W

= 5nR(3TA 2) - nRTAln(25)

W

= PAVA (152 - 5ln2) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) παίρνουmicroε

=PAVA(152 - 5ln2)

15PAVA2=

15 - 10ln2

15= 1 -

2ln2

3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) την ισόθερmicroη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του αερίου οκταπλασιάζεται ii) την ισόχωρη ψύξη BΓ και iii) την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0=3105 Ntm2 όγκου

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 24: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

H σχέση (1) δηλώνει ότι κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής ABΓA η θερmicroότητα QAB που προσφέρεται στο αέριο microετατρέπεται ολοκληρωτικά σε έργο γεγονός που έρχεται σε αντίθεση microε τη διατύπωση των Kelvin-Plank Παρατήρηση H microη πραγmicroατοποίση της κυκλικής microεταβολής ABΓA ισοδυναmicroεί microε το ότι οι αδιαβατικές καmicroπύλες BΓ και ΓA δεν είναι δυνατό να τέmicroνονται

Mιά ορισmicroένη microάζα ιδανικού αερίου εκτελεί κύκλο Carnot ABΓΔA Eάν V1 V2 V3 V4 είναι οι όγκοι του αέριου που αντιστοιχούν στις κατατάσεις A B Γ και Δ και T1 T2 είναι οι απόλυτες θερmicroοκρασίες της ισόθερmicroης εκτόνωσης και της ισόθερmicroης συmicroπίεσης του αέριου αντιστοίχως (T1gtT2) να δείξετε τις σχέσεις

V1V3 = V2V4 και W = nR(T1 - T2)ln(V2V1) όπου n τα mol του αερίου R η παγκόσmicroια σταθερά των ιδανικών αερίων και W το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του ΛYΣH Για την ισόθερmicroη εκτόνωση ArarrB σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ισχύει P1

V1= P

2V

2 (1)

Για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Poisson ισχύει

P2V

2

= P3V

3

(2)

Σχήmicroα 19

Για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrΔ σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle έχουmicroε

P3V

3= P

4V

4 (3)

Tέλος για την αδιαβατική συmicroπίεση ΔrarrA σύmicroφωνα microε τον νόmicroο του Poisson έχουmicroε

P4V

4

= P1V

1

(4) όπου γ ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αερίου Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (4) κατά microέλη παίρνου microε τη σχέση

P1V

1P

2V

2

P3V

3P

4V

4

= P2V

2P

3V

3

P4V

4P

1V

1

2

-1

V 4

-1

V =3

-1

V 1

-1

V V3

V1= V

2V

4 (5)

Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκ λικής microεταβολής ABΓΔA είναι σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσει microε το περιβάλλον του Δηλαδή ισχύει η σχέση

W= Q

= QAB + QB

+ Q$

+ Q$A = QAB + Q

$ (6)

διότι για τις αδιαβατικές microεταβολές BrarrΓ και ΔrarrA έχουmicroε QBΓ =QΔA =0 Eξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και Q

ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1ln(V2 V1 )

Q

= nRT2ln(V4 V3 )

$

(+ )

QAB + Q

= nR T1lnV2

V1

$

amp amp + T2lnV4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(6)

W

= nR T

1ln

V2

V1

$

amp amp + T2ln

V4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(7)

Όmicroως από τη σχέση (5) έχουmicroε

V2

V1

=V

3

V4

lnV

2

V1

$

amp amp = lnV

3

V4

$

amp amp

lnV

2

V1

$

amp amp = - lnV

4

V3

$

amp amp

οπότε η (7) γράφεται

W

= nR(T1 - T2)ln

V2

V1

$

amp amp (8)

Mια θερmicroική microηχανή αναγκάζει ιδανικό αέριο σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση κατά την οποία η πίεση του αερίου τριπλασιάζεται

ii) από microια ισοβαρή εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται iii) από microια ισόχωρη ψύξη microέχρις ότου η πίεση του αερίου ανακτή σει την αρχική της τιmicroή και iv) απο microια ισοβαρή συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Eάν P0 V0 είναι η πίεση και ο όγκος αντιστοίχως του αερίου στην αρχική του κατάσταση και γ ο λόγος CPCV των γραmicromicroοmicroοριακών του ειδικών θερmicroοτήτων να βρείτε την προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroό τητα κατά την εξέλιξη του κύκλου γ) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής και να τον συγκρίνετε microε το συντελεστή απόδοσης της microηχα νής Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ της microέγιστης και της ελά χιστης θερmicroοκρασίας του αερίου της microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόχωρη θέρmicroανση AB του αερίου η πίεσή του τριπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Charles θα τριπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του αερίου δηλαδή από T0 θα γίνει 3T0 Κατά την ισοβα ρή εκτόνωση BΓ ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται οπότε και η απόλυτη θερmicroοκρασία του θα τριπλασιάζεται (νόmicroοςGay-Lussac) δηλαδή από 3T0 θα γίνει 9T0 Kατά την ισόχωρη ψύξη ΓΔ του αερίου η πίεση του απο την τιmicroή 3P0 λαmicroβάνει την τιmicroή P0 δηλαδή υποτριπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο του

Σχήmicroα 20 Charles πρέπει να υποτριπλασιασθεί και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή από 9T0 πρέπει να γίνει 3T0 Aυτό σηmicroαίνει ότι οι καταστάσεις B και Δ βρίσ κονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη θερmicroοκρασίας 3T0 Mε βάση τις παρα πάνω διαπιστώσεις το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου έχει τη microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (20) β) Kατά την εξέλιξη του κύκλου στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα στο στάδιο της ισόχωρης θέρmicroανσης AB και της ισοβαρούς εκτόνωσης BΓ δηλαδή ισχύει

Q = QAB + QB = nCV 3T0 - T0( ) + nCP 9T0 - 3T0( )

Q

= 2nCVT0 + 6nCPT0 = 2n CV + 3CP( )T0 (1)

Όmicroως οι γραmicromicroοmicroοριακές ειδικές θερmicroότητες CV και CP του αερίου ικανοποιούν τις σχέσεις

CP

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= R - 1

CP

= R - 1

$ (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε

Q

=

2nRT0

- 1(1+ 3) = 2P0V0

1+3

- 1

$

amp (3)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (4)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε το εmicroβαδόν του σκιασmicroένου ορθογωνίου ABΓΔ δηλαδή ισχύει W = micro$(ABamp) = (3P0 -P0)(3V0 -V0) = 4P0V0 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3)(4) και (5) έχουmicroε

=4P0V0

2P0V0

- 1

1+3

$

amp =

2( - 1)

1+ 3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται στην κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓΔA της οποίας το διάγραmicromicroα P-T φαίνεται στο σχήmicroα (21) i) Eάν οι θερmicroοδυναmicroικές microεταβλητές της κατάστασης A είναι P0 V0 και T0 να βρείτε τη θερmicroότητα που απορροφά το αέριο στη διάρκεια του κύκλου αφού προηγουmicroένως σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V του κύκλου ii) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση υπό θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου διπλασιάζεται οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ο όγκος του αερίου θα υποδιπλασιάζεται δηλαδή από V0 θα γίνει V02 H microεταβολή BΓ είναι ισοβαρής θέρmicroανση υπο πίεση 2P0 κατά την οποία η απόλυ

τη θερmicroοκρασία του αερίου διπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο Gay-Lussac θα διπλασιάζεται και ο όγκος του αερίου δηλαδή από V02 θα γίνει V0 H microετα βολή ΓΔ είναι ισόθερmicroη εκτόνωση υπό θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου υποδιπλασιάζεται οπότε ο όγκος του θα διπλασιάζεται (νόmicroος

Σχήmicroα 21 Σχήmicroα 22 Boyle) δηλαδή από V0 θα γίνει 2V0 Mε βάση τα παραπάνω οδηγούmicroαστε στο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου το οποίο έχει την microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (22) Στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του BΓ και της ισόθερmicroης εκτόνωσής του ΓΔ δηλαδή ισχύει η σχέση Q = QB +Q$ = nCP(2T0 - T0) + nR2T0ln(2V0V0 )

Q

= 5nRT02 + 2nRT0 ln2 Q

= P0V0 (52 + 2ln2) (1)

ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (2)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της υπο λογίζεται από τη σχέση

W = W

AB+ W

B + W$ + W$A

W

= nRT0ln

V0

2V0

$

amp +2P

0V

0-V

0

2

$

amp +

+

nR2T0ln2V0

V0

$

amp amp +P0(V0 - 2V0 )

W

= -nRT0ln2+P

0V

0+2nRT

0ln2 -P

0V

0=nRT

0ln2=P

0V

0ln2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) έχουmicroε

=P0V0ln2

P0V0(52 +2ln2)=

ln2

52 + 2ln2

Tο αέριο microιας θερmicroικής microηχανής είναι ιδανικό και υποβάλλεται σε αντιστρεπτό κύκλο ο οποίος αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή εκτόνωση AB microέχρις τετραπλασιασmicroού του όγ κου του αερίου ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση BΓ microέχρις ότου η πίεση του αερίου γίνει ίση microε το 132 της αρχικής της τιmicroής PA και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A όγκου VA α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Nα βρείτε το λόγο γ=CPCV του αερίου και να δείξετε ότι η θερ microότητα που απορροφά κατά την εξέλιξη του κύκλου είναι ίση microε 15PAVA2 γ) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Gay-Lussac θα τετραπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή απο TA θα γίνει 4TA Σύmicroφωνα microε το πρόβληmicroα κατά την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου η πίεση του microειώνε ται από την τιmicroή PA στην τιmicroή PA32 ο δε όγκος του αυξάνεται από την τιmicroή

Σχήmicroα 23 4VA στην τιmicroή VΓ Όmicroως microέσω της ισόθερmicroης συmicroπίεσης ΓA το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle θα έχουmicroε τη σχέση

PV

= P

AV

A V

= 32VA

Mε βάση τα παραπάνω το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (23) β) Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου το νόmicroο του Poisson παίρνουmicroε τη σχέση PB

VB

= PV

PA(4VA)

= (PA32)(32VA )

4

= 32-1 2

2= 2

5( -1) 2 = 5( - 1) = 53 που σηmicroαίνει ότι το αέριο είναι microονοατοmicroικό Eξάλλου η θερmicroότητα που απορροφά το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου ABΓA είναι ίση microε την θερmicroό τητα QAB που απορροφά κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του AB δηλαδή ισχύει Q

= QAB = nCP(4TA - TA) = 5nR(3TA 2)

Q

= 15nRTA2 = 15PAVA2 (1)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓ είναι

= W

Q$

(2) Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου του (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) οπότε θα έχουmicroε

W= Q$ = QAB + QB+ QA = nCP(4TA -TA ) + 0 + nRTAln(VA32VA )

W

= 5nR(3TA 2) - nRTAln(25)

W

= PAVA (152 - 5ln2) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) παίρνουmicroε

=PAVA(152 - 5ln2)

15PAVA2=

15 - 10ln2

15= 1 -

2ln2

3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) την ισόθερmicroη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του αερίου οκταπλασιάζεται ii) την ισόχωρη ψύξη BΓ και iii) την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0=3105 Ntm2 όγκου

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 25: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

P4V

4

= P1V

1

(4) όπου γ ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αερίου Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (4) κατά microέλη παίρνου microε τη σχέση

P1V

1P

2V

2

P3V

3P

4V

4

= P2V

2P

3V

3

P4V

4P

1V

1

2

-1

V 4

-1

V =3

-1

V 1

-1

V V3

V1= V

2V

4 (5)

Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκ λικής microεταβολής ABΓΔA είναι σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσει microε το περιβάλλον του Δηλαδή ισχύει η σχέση

W= Q

= QAB + QB

+ Q$

+ Q$A = QAB + Q

$ (6)

διότι για τις αδιαβατικές microεταβολές BrarrΓ και ΔrarrA έχουmicroε QBΓ =QΔA =0 Eξάλλου για τις θερmicroότητες QAB και Q

ισχύουν οι σχέσεις

QAB = nRT1ln(V2 V1 )

Q

= nRT2ln(V4 V3 )

$

(+ )

QAB + Q

= nR T1lnV2

V1

$

amp amp + T2lnV4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(6)

W

= nR T

1ln

V2

V1

$

amp amp + T2ln

V4

V3

$

amp amp

(

) )

+

(7)

Όmicroως από τη σχέση (5) έχουmicroε

V2

V1

=V

3

V4

lnV

2

V1

$

amp amp = lnV

3

V4

$

amp amp

lnV

2

V1

$

amp amp = - lnV

4

V3

$

amp amp

οπότε η (7) γράφεται

W

= nR(T1 - T2)ln

V2

V1

$

amp amp (8)

Mια θερmicroική microηχανή αναγκάζει ιδανικό αέριο σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισόχωρη θέρmicroανση κατά την οποία η πίεση του αερίου τριπλασιάζεται

ii) από microια ισοβαρή εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται iii) από microια ισόχωρη ψύξη microέχρις ότου η πίεση του αερίου ανακτή σει την αρχική της τιmicroή και iv) απο microια ισοβαρή συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Eάν P0 V0 είναι η πίεση και ο όγκος αντιστοίχως του αερίου στην αρχική του κατάσταση και γ ο λόγος CPCV των γραmicromicroοmicroοριακών του ειδικών θερmicroοτήτων να βρείτε την προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroό τητα κατά την εξέλιξη του κύκλου γ) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής και να τον συγκρίνετε microε το συντελεστή απόδοσης της microηχα νής Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ της microέγιστης και της ελά χιστης θερmicroοκρασίας του αερίου της microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόχωρη θέρmicroανση AB του αερίου η πίεσή του τριπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Charles θα τριπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του αερίου δηλαδή από T0 θα γίνει 3T0 Κατά την ισοβα ρή εκτόνωση BΓ ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται οπότε και η απόλυτη θερmicroοκρασία του θα τριπλασιάζεται (νόmicroοςGay-Lussac) δηλαδή από 3T0 θα γίνει 9T0 Kατά την ισόχωρη ψύξη ΓΔ του αερίου η πίεση του απο την τιmicroή 3P0 λαmicroβάνει την τιmicroή P0 δηλαδή υποτριπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο του

Σχήmicroα 20 Charles πρέπει να υποτριπλασιασθεί και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή από 9T0 πρέπει να γίνει 3T0 Aυτό σηmicroαίνει ότι οι καταστάσεις B και Δ βρίσ κονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη θερmicroοκρασίας 3T0 Mε βάση τις παρα πάνω διαπιστώσεις το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου έχει τη microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (20) β) Kατά την εξέλιξη του κύκλου στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα στο στάδιο της ισόχωρης θέρmicroανσης AB και της ισοβαρούς εκτόνωσης BΓ δηλαδή ισχύει

Q = QAB + QB = nCV 3T0 - T0( ) + nCP 9T0 - 3T0( )

Q

= 2nCVT0 + 6nCPT0 = 2n CV + 3CP( )T0 (1)

Όmicroως οι γραmicromicroοmicroοριακές ειδικές θερmicroότητες CV και CP του αερίου ικανοποιούν τις σχέσεις

CP

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= R - 1

CP

= R - 1

$ (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε

Q

=

2nRT0

- 1(1+ 3) = 2P0V0

1+3

- 1

$

amp (3)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (4)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε το εmicroβαδόν του σκιασmicroένου ορθογωνίου ABΓΔ δηλαδή ισχύει W = micro$(ABamp) = (3P0 -P0)(3V0 -V0) = 4P0V0 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3)(4) και (5) έχουmicroε

=4P0V0

2P0V0

- 1

1+3

$

amp =

2( - 1)

1+ 3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται στην κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓΔA της οποίας το διάγραmicromicroα P-T φαίνεται στο σχήmicroα (21) i) Eάν οι θερmicroοδυναmicroικές microεταβλητές της κατάστασης A είναι P0 V0 και T0 να βρείτε τη θερmicroότητα που απορροφά το αέριο στη διάρκεια του κύκλου αφού προηγουmicroένως σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V του κύκλου ii) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση υπό θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου διπλασιάζεται οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ο όγκος του αερίου θα υποδιπλασιάζεται δηλαδή από V0 θα γίνει V02 H microεταβολή BΓ είναι ισοβαρής θέρmicroανση υπο πίεση 2P0 κατά την οποία η απόλυ

τη θερmicroοκρασία του αερίου διπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο Gay-Lussac θα διπλασιάζεται και ο όγκος του αερίου δηλαδή από V02 θα γίνει V0 H microετα βολή ΓΔ είναι ισόθερmicroη εκτόνωση υπό θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου υποδιπλασιάζεται οπότε ο όγκος του θα διπλασιάζεται (νόmicroος

Σχήmicroα 21 Σχήmicroα 22 Boyle) δηλαδή από V0 θα γίνει 2V0 Mε βάση τα παραπάνω οδηγούmicroαστε στο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου το οποίο έχει την microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (22) Στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του BΓ και της ισόθερmicroης εκτόνωσής του ΓΔ δηλαδή ισχύει η σχέση Q = QB +Q$ = nCP(2T0 - T0) + nR2T0ln(2V0V0 )

Q

= 5nRT02 + 2nRT0 ln2 Q

= P0V0 (52 + 2ln2) (1)

ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (2)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της υπο λογίζεται από τη σχέση

W = W

AB+ W

B + W$ + W$A

W

= nRT0ln

V0

2V0

$

amp +2P

0V

0-V

0

2

$

amp +

+

nR2T0ln2V0

V0

$

amp amp +P0(V0 - 2V0 )

W

= -nRT0ln2+P

0V

0+2nRT

0ln2 -P

0V

0=nRT

0ln2=P

0V

0ln2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) έχουmicroε

=P0V0ln2

P0V0(52 +2ln2)=

ln2

52 + 2ln2

Tο αέριο microιας θερmicroικής microηχανής είναι ιδανικό και υποβάλλεται σε αντιστρεπτό κύκλο ο οποίος αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή εκτόνωση AB microέχρις τετραπλασιασmicroού του όγ κου του αερίου ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση BΓ microέχρις ότου η πίεση του αερίου γίνει ίση microε το 132 της αρχικής της τιmicroής PA και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A όγκου VA α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Nα βρείτε το λόγο γ=CPCV του αερίου και να δείξετε ότι η θερ microότητα που απορροφά κατά την εξέλιξη του κύκλου είναι ίση microε 15PAVA2 γ) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Gay-Lussac θα τετραπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή απο TA θα γίνει 4TA Σύmicroφωνα microε το πρόβληmicroα κατά την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου η πίεση του microειώνε ται από την τιmicroή PA στην τιmicroή PA32 ο δε όγκος του αυξάνεται από την τιmicroή

Σχήmicroα 23 4VA στην τιmicroή VΓ Όmicroως microέσω της ισόθερmicroης συmicroπίεσης ΓA το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle θα έχουmicroε τη σχέση

PV

= P

AV

A V

= 32VA

Mε βάση τα παραπάνω το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (23) β) Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου το νόmicroο του Poisson παίρνουmicroε τη σχέση PB

VB

= PV

PA(4VA)

= (PA32)(32VA )

4

= 32-1 2

2= 2

5( -1) 2 = 5( - 1) = 53 που σηmicroαίνει ότι το αέριο είναι microονοατοmicroικό Eξάλλου η θερmicroότητα που απορροφά το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου ABΓA είναι ίση microε την θερmicroό τητα QAB που απορροφά κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του AB δηλαδή ισχύει Q

= QAB = nCP(4TA - TA) = 5nR(3TA 2)

Q

= 15nRTA2 = 15PAVA2 (1)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓ είναι

= W

Q$

(2) Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου του (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) οπότε θα έχουmicroε

W= Q$ = QAB + QB+ QA = nCP(4TA -TA ) + 0 + nRTAln(VA32VA )

W

= 5nR(3TA 2) - nRTAln(25)

W

= PAVA (152 - 5ln2) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) παίρνουmicroε

=PAVA(152 - 5ln2)

15PAVA2=

15 - 10ln2

15= 1 -

2ln2

3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) την ισόθερmicroη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του αερίου οκταπλασιάζεται ii) την ισόχωρη ψύξη BΓ και iii) την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0=3105 Ntm2 όγκου

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 26: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

ii) από microια ισοβαρή εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται iii) από microια ισόχωρη ψύξη microέχρις ότου η πίεση του αερίου ανακτή σει την αρχική της τιmicroή και iv) απο microια ισοβαρή συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Eάν P0 V0 είναι η πίεση και ο όγκος αντιστοίχως του αερίου στην αρχική του κατάσταση και γ ο λόγος CPCV των γραmicromicroοmicroοριακών του ειδικών θερmicroοτήτων να βρείτε την προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroό τητα κατά την εξέλιξη του κύκλου γ) Nα βρείτε το θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής και να τον συγκρίνετε microε το συντελεστή απόδοσης της microηχα νής Carnot η οποία λειτουργεί microεταξύ της microέγιστης και της ελά χιστης θερmicroοκρασίας του αερίου της microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόχωρη θέρmicroανση AB του αερίου η πίεσή του τριπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Charles θα τριπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του αερίου δηλαδή από T0 θα γίνει 3T0 Κατά την ισοβα ρή εκτόνωση BΓ ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται οπότε και η απόλυτη θερmicroοκρασία του θα τριπλασιάζεται (νόmicroοςGay-Lussac) δηλαδή από 3T0 θα γίνει 9T0 Kατά την ισόχωρη ψύξη ΓΔ του αερίου η πίεση του απο την τιmicroή 3P0 λαmicroβάνει την τιmicroή P0 δηλαδή υποτριπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο του

Σχήmicroα 20 Charles πρέπει να υποτριπλασιασθεί και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή από 9T0 πρέπει να γίνει 3T0 Aυτό σηmicroαίνει ότι οι καταστάσεις B και Δ βρίσ κονται πάνω στην ίδια ισόθερmicroη καmicroπύλη θερmicroοκρασίας 3T0 Mε βάση τις παρα πάνω διαπιστώσεις το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου έχει τη microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (20) β) Kατά την εξέλιξη του κύκλου στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα στο στάδιο της ισόχωρης θέρmicroανσης AB και της ισοβαρούς εκτόνωσης BΓ δηλαδή ισχύει

Q = QAB + QB = nCV 3T0 - T0( ) + nCP 9T0 - 3T0( )

Q

= 2nCVT0 + 6nCPT0 = 2n CV + 3CP( )T0 (1)

Όmicroως οι γραmicromicroοmicroοριακές ειδικές θερmicroότητες CV και CP του αερίου ικανοποιούν τις σχέσεις

CP

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= R - 1

CP

= R - 1

$ (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε

Q

=

2nRT0

- 1(1+ 3) = 2P0V0

1+3

- 1

$

amp (3)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (4)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε το εmicroβαδόν του σκιασmicroένου ορθογωνίου ABΓΔ δηλαδή ισχύει W = micro$(ABamp) = (3P0 -P0)(3V0 -V0) = 4P0V0 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3)(4) και (5) έχουmicroε

=4P0V0

2P0V0

- 1

1+3

$

amp =

2( - 1)

1+ 3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται στην κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓΔA της οποίας το διάγραmicromicroα P-T φαίνεται στο σχήmicroα (21) i) Eάν οι θερmicroοδυναmicroικές microεταβλητές της κατάστασης A είναι P0 V0 και T0 να βρείτε τη θερmicroότητα που απορροφά το αέριο στη διάρκεια του κύκλου αφού προηγουmicroένως σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V του κύκλου ii) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση υπό θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου διπλασιάζεται οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ο όγκος του αερίου θα υποδιπλασιάζεται δηλαδή από V0 θα γίνει V02 H microεταβολή BΓ είναι ισοβαρής θέρmicroανση υπο πίεση 2P0 κατά την οποία η απόλυ

τη θερmicroοκρασία του αερίου διπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο Gay-Lussac θα διπλασιάζεται και ο όγκος του αερίου δηλαδή από V02 θα γίνει V0 H microετα βολή ΓΔ είναι ισόθερmicroη εκτόνωση υπό θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου υποδιπλασιάζεται οπότε ο όγκος του θα διπλασιάζεται (νόmicroος

Σχήmicroα 21 Σχήmicroα 22 Boyle) δηλαδή από V0 θα γίνει 2V0 Mε βάση τα παραπάνω οδηγούmicroαστε στο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου το οποίο έχει την microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (22) Στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του BΓ και της ισόθερmicroης εκτόνωσής του ΓΔ δηλαδή ισχύει η σχέση Q = QB +Q$ = nCP(2T0 - T0) + nR2T0ln(2V0V0 )

Q

= 5nRT02 + 2nRT0 ln2 Q

= P0V0 (52 + 2ln2) (1)

ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (2)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της υπο λογίζεται από τη σχέση

W = W

AB+ W

B + W$ + W$A

W

= nRT0ln

V0

2V0

$

amp +2P

0V

0-V

0

2

$

amp +

+

nR2T0ln2V0

V0

$

amp amp +P0(V0 - 2V0 )

W

= -nRT0ln2+P

0V

0+2nRT

0ln2 -P

0V

0=nRT

0ln2=P

0V

0ln2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) έχουmicroε

=P0V0ln2

P0V0(52 +2ln2)=

ln2

52 + 2ln2

Tο αέριο microιας θερmicroικής microηχανής είναι ιδανικό και υποβάλλεται σε αντιστρεπτό κύκλο ο οποίος αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή εκτόνωση AB microέχρις τετραπλασιασmicroού του όγ κου του αερίου ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση BΓ microέχρις ότου η πίεση του αερίου γίνει ίση microε το 132 της αρχικής της τιmicroής PA και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A όγκου VA α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Nα βρείτε το λόγο γ=CPCV του αερίου και να δείξετε ότι η θερ microότητα που απορροφά κατά την εξέλιξη του κύκλου είναι ίση microε 15PAVA2 γ) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Gay-Lussac θα τετραπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή απο TA θα γίνει 4TA Σύmicroφωνα microε το πρόβληmicroα κατά την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου η πίεση του microειώνε ται από την τιmicroή PA στην τιmicroή PA32 ο δε όγκος του αυξάνεται από την τιmicroή

Σχήmicroα 23 4VA στην τιmicroή VΓ Όmicroως microέσω της ισόθερmicroης συmicroπίεσης ΓA το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle θα έχουmicroε τη σχέση

PV

= P

AV

A V

= 32VA

Mε βάση τα παραπάνω το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (23) β) Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου το νόmicroο του Poisson παίρνουmicroε τη σχέση PB

VB

= PV

PA(4VA)

= (PA32)(32VA )

4

= 32-1 2

2= 2

5( -1) 2 = 5( - 1) = 53 που σηmicroαίνει ότι το αέριο είναι microονοατοmicroικό Eξάλλου η θερmicroότητα που απορροφά το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου ABΓA είναι ίση microε την θερmicroό τητα QAB που απορροφά κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του AB δηλαδή ισχύει Q

= QAB = nCP(4TA - TA) = 5nR(3TA 2)

Q

= 15nRTA2 = 15PAVA2 (1)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓ είναι

= W

Q$

(2) Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου του (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) οπότε θα έχουmicroε

W= Q$ = QAB + QB+ QA = nCP(4TA -TA ) + 0 + nRTAln(VA32VA )

W

= 5nR(3TA 2) - nRTAln(25)

W

= PAVA (152 - 5ln2) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) παίρνουmicroε

=PAVA(152 - 5ln2)

15PAVA2=

15 - 10ln2

15= 1 -

2ln2

3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) την ισόθερmicroη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του αερίου οκταπλασιάζεται ii) την ισόχωρη ψύξη BΓ και iii) την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0=3105 Ntm2 όγκου

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 27: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

Q = QAB + QB = nCV 3T0 - T0( ) + nCP 9T0 - 3T0( )

Q

= 2nCVT0 + 6nCPT0 = 2n CV + 3CP( )T0 (1)

Όmicroως οι γραmicromicroοmicroοριακές ειδικές θερmicroότητες CV και CP του αερίου ικανοποιούν τις σχέσεις

CP

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= CV

+R

CP

= CV

$

CV

= R - 1

CP

= R - 1

$ (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε

Q

=

2nRT0

- 1(1+ 3) = 2P0V0

1+3

- 1

$

amp (3)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (4)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε το εmicroβαδόν του σκιασmicroένου ορθογωνίου ABΓΔ δηλαδή ισχύει W = micro$(ABamp) = (3P0 -P0)(3V0 -V0) = 4P0V0 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3)(4) και (5) έχουmicroε

=4P0V0

2P0V0

- 1

1+3

$

amp =

2( - 1)

1+ 3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται στην κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓΔA της οποίας το διάγραmicromicroα P-T φαίνεται στο σχήmicroα (21) i) Eάν οι θερmicroοδυναmicroικές microεταβλητές της κατάστασης A είναι P0 V0 και T0 να βρείτε τη θερmicroότητα που απορροφά το αέριο στη διάρκεια του κύκλου αφού προηγουmicroένως σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V του κύκλου ii) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση υπό θερmicroοκρασία T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου διπλασιάζεται οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle ο όγκος του αερίου θα υποδιπλασιάζεται δηλαδή από V0 θα γίνει V02 H microεταβολή BΓ είναι ισοβαρής θέρmicroανση υπο πίεση 2P0 κατά την οποία η απόλυ

τη θερmicroοκρασία του αερίου διπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο Gay-Lussac θα διπλασιάζεται και ο όγκος του αερίου δηλαδή από V02 θα γίνει V0 H microετα βολή ΓΔ είναι ισόθερmicroη εκτόνωση υπό θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου υποδιπλασιάζεται οπότε ο όγκος του θα διπλασιάζεται (νόmicroος

Σχήmicroα 21 Σχήmicroα 22 Boyle) δηλαδή από V0 θα γίνει 2V0 Mε βάση τα παραπάνω οδηγούmicroαστε στο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου το οποίο έχει την microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (22) Στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του BΓ και της ισόθερmicroης εκτόνωσής του ΓΔ δηλαδή ισχύει η σχέση Q = QB +Q$ = nCP(2T0 - T0) + nR2T0ln(2V0V0 )

Q

= 5nRT02 + 2nRT0 ln2 Q

= P0V0 (52 + 2ln2) (1)

ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (2)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της υπο λογίζεται από τη σχέση

W = W

AB+ W

B + W$ + W$A

W

= nRT0ln

V0

2V0

$

amp +2P

0V

0-V

0

2

$

amp +

+

nR2T0ln2V0

V0

$

amp amp +P0(V0 - 2V0 )

W

= -nRT0ln2+P

0V

0+2nRT

0ln2 -P

0V

0=nRT

0ln2=P

0V

0ln2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) έχουmicroε

=P0V0ln2

P0V0(52 +2ln2)=

ln2

52 + 2ln2

Tο αέριο microιας θερmicroικής microηχανής είναι ιδανικό και υποβάλλεται σε αντιστρεπτό κύκλο ο οποίος αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή εκτόνωση AB microέχρις τετραπλασιασmicroού του όγ κου του αερίου ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση BΓ microέχρις ότου η πίεση του αερίου γίνει ίση microε το 132 της αρχικής της τιmicroής PA και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A όγκου VA α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Nα βρείτε το λόγο γ=CPCV του αερίου και να δείξετε ότι η θερ microότητα που απορροφά κατά την εξέλιξη του κύκλου είναι ίση microε 15PAVA2 γ) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Gay-Lussac θα τετραπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή απο TA θα γίνει 4TA Σύmicroφωνα microε το πρόβληmicroα κατά την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου η πίεση του microειώνε ται από την τιmicroή PA στην τιmicroή PA32 ο δε όγκος του αυξάνεται από την τιmicroή

Σχήmicroα 23 4VA στην τιmicroή VΓ Όmicroως microέσω της ισόθερmicroης συmicroπίεσης ΓA το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle θα έχουmicroε τη σχέση

PV

= P

AV

A V

= 32VA

Mε βάση τα παραπάνω το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (23) β) Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου το νόmicroο του Poisson παίρνουmicroε τη σχέση PB

VB

= PV

PA(4VA)

= (PA32)(32VA )

4

= 32-1 2

2= 2

5( -1) 2 = 5( - 1) = 53 που σηmicroαίνει ότι το αέριο είναι microονοατοmicroικό Eξάλλου η θερmicroότητα που απορροφά το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου ABΓA είναι ίση microε την θερmicroό τητα QAB που απορροφά κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του AB δηλαδή ισχύει Q

= QAB = nCP(4TA - TA) = 5nR(3TA 2)

Q

= 15nRTA2 = 15PAVA2 (1)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓ είναι

= W

Q$

(2) Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου του (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) οπότε θα έχουmicroε

W= Q$ = QAB + QB+ QA = nCP(4TA -TA ) + 0 + nRTAln(VA32VA )

W

= 5nR(3TA 2) - nRTAln(25)

W

= PAVA (152 - 5ln2) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) παίρνουmicroε

=PAVA(152 - 5ln2)

15PAVA2=

15 - 10ln2

15= 1 -

2ln2

3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) την ισόθερmicroη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του αερίου οκταπλασιάζεται ii) την ισόχωρη ψύξη BΓ και iii) την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0=3105 Ntm2 όγκου

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 28: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

τη θερmicroοκρασία του αερίου διπλασιάζεται και σύmicroφωνα microε το νόmicroο Gay-Lussac θα διπλασιάζεται και ο όγκος του αερίου δηλαδή από V02 θα γίνει V0 H microετα βολή ΓΔ είναι ισόθερmicroη εκτόνωση υπό θερmicroοκρασία 2T0 κατά την οποία η πίεση του αερίου υποδιπλασιάζεται οπότε ο όγκος του θα διπλασιάζεται (νόmicroος

Σχήmicroα 21 Σχήmicroα 22 Boyle) δηλαδή από V0 θα γίνει 2V0 Mε βάση τα παραπάνω οδηγούmicroαστε στο διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓΔA του αερίου το οποίο έχει την microορφή που φαίνεται στο σχήmicroα (22) Στο αέριο προσφέρεται θερmicroότητα κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του BΓ και της ισόθερmicroης εκτόνωσής του ΓΔ δηλαδή ισχύει η σχέση Q = QB +Q$ = nCP(2T0 - T0) + nR2T0ln(2V0V0 )

Q

= 5nRT02 + 2nRT0 ln2 Q

= P0V0 (52 + 2ln2) (1)

ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι = W

Q

$ (2)

Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της υπο λογίζεται από τη σχέση

W = W

AB+ W

B + W$ + W$A

W

= nRT0ln

V0

2V0

$

amp +2P

0V

0-V

0

2

$

amp +

+

nR2T0ln2V0

V0

$

amp amp +P0(V0 - 2V0 )

W

= -nRT0ln2+P

0V

0+2nRT

0ln2 -P

0V

0=nRT

0ln2=P

0V

0ln2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) έχουmicroε

=P0V0ln2

P0V0(52 +2ln2)=

ln2

52 + 2ln2

Tο αέριο microιας θερmicroικής microηχανής είναι ιδανικό και υποβάλλεται σε αντιστρεπτό κύκλο ο οποίος αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή εκτόνωση AB microέχρις τετραπλασιασmicroού του όγ κου του αερίου ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση BΓ microέχρις ότου η πίεση του αερίου γίνει ίση microε το 132 της αρχικής της τιmicroής PA και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A όγκου VA α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Nα βρείτε το λόγο γ=CPCV του αερίου και να δείξετε ότι η θερ microότητα που απορροφά κατά την εξέλιξη του κύκλου είναι ίση microε 15PAVA2 γ) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Gay-Lussac θα τετραπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή απο TA θα γίνει 4TA Σύmicroφωνα microε το πρόβληmicroα κατά την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου η πίεση του microειώνε ται από την τιmicroή PA στην τιmicroή PA32 ο δε όγκος του αυξάνεται από την τιmicroή

Σχήmicroα 23 4VA στην τιmicroή VΓ Όmicroως microέσω της ισόθερmicroης συmicroπίεσης ΓA το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle θα έχουmicroε τη σχέση

PV

= P

AV

A V

= 32VA

Mε βάση τα παραπάνω το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (23) β) Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου το νόmicroο του Poisson παίρνουmicroε τη σχέση PB

VB

= PV

PA(4VA)

= (PA32)(32VA )

4

= 32-1 2

2= 2

5( -1) 2 = 5( - 1) = 53 που σηmicroαίνει ότι το αέριο είναι microονοατοmicroικό Eξάλλου η θερmicroότητα που απορροφά το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου ABΓA είναι ίση microε την θερmicroό τητα QAB που απορροφά κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του AB δηλαδή ισχύει Q

= QAB = nCP(4TA - TA) = 5nR(3TA 2)

Q

= 15nRTA2 = 15PAVA2 (1)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓ είναι

= W

Q$

(2) Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου του (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) οπότε θα έχουmicroε

W= Q$ = QAB + QB+ QA = nCP(4TA -TA ) + 0 + nRTAln(VA32VA )

W

= 5nR(3TA 2) - nRTAln(25)

W

= PAVA (152 - 5ln2) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) παίρνουmicroε

=PAVA(152 - 5ln2)

15PAVA2=

15 - 10ln2

15= 1 -

2ln2

3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) την ισόθερmicroη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του αερίου οκταπλασιάζεται ii) την ισόχωρη ψύξη BΓ και iii) την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0=3105 Ntm2 όγκου

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 29: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

=P0V0ln2

P0V0(52 +2ln2)=

ln2

52 + 2ln2

Tο αέριο microιας θερmicroικής microηχανής είναι ιδανικό και υποβάλλεται σε αντιστρεπτό κύκλο ο οποίος αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή εκτόνωση AB microέχρις τετραπλασιασmicroού του όγ κου του αερίου ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση BΓ microέχρις ότου η πίεση του αερίου γίνει ίση microε το 132 της αρχικής της τιmicroής PA και iii) από microια ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A όγκου VA α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής β) Nα βρείτε το λόγο γ=CPCV του αερίου και να δείξετε ότι η θερ microότητα που απορροφά κατά την εξέλιξη του κύκλου είναι ίση microε 15PAVA2 γ) Nα βρείτε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερmicroικής microηχανής ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Gay-Lussac θα τετραπλασιάζεται και η απόλυτη θερmicroοκρασία του δηλαδή απο TA θα γίνει 4TA Σύmicroφωνα microε το πρόβληmicroα κατά την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου η πίεση του microειώνε ται από την τιmicroή PA στην τιmicroή PA32 ο δε όγκος του αυξάνεται από την τιmicroή

Σχήmicroα 23 4VA στην τιmicroή VΓ Όmicroως microέσω της ισόθερmicroης συmicroπίεσης ΓA το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A οπότε σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle θα έχουmicroε τη σχέση

PV

= P

AV

A V

= 32VA

Mε βάση τα παραπάνω το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (23) β) Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου το νόmicroο του Poisson παίρνουmicroε τη σχέση PB

VB

= PV

PA(4VA)

= (PA32)(32VA )

4

= 32-1 2

2= 2

5( -1) 2 = 5( - 1) = 53 που σηmicroαίνει ότι το αέριο είναι microονοατοmicroικό Eξάλλου η θερmicroότητα που απορροφά το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου ABΓA είναι ίση microε την θερmicroό τητα QAB που απορροφά κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του AB δηλαδή ισχύει Q

= QAB = nCP(4TA - TA) = 5nR(3TA 2)

Q

= 15nRTA2 = 15PAVA2 (1)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓ είναι

= W

Q$

(2) Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου του (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) οπότε θα έχουmicroε

W= Q$ = QAB + QB+ QA = nCP(4TA -TA ) + 0 + nRTAln(VA32VA )

W

= 5nR(3TA 2) - nRTAln(25)

W

= PAVA (152 - 5ln2) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) παίρνουmicroε

=PAVA(152 - 5ln2)

15PAVA2=

15 - 10ln2

15= 1 -

2ln2

3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) την ισόθερmicroη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του αερίου οκταπλασιάζεται ii) την ισόχωρη ψύξη BΓ και iii) την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0=3105 Ntm2 όγκου

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 30: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

Mε βάση τα παραπάνω το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (23) β) Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου το νόmicroο του Poisson παίρνουmicroε τη σχέση PB

VB

= PV

PA(4VA)

= (PA32)(32VA )

4

= 32-1 2

2= 2

5( -1) 2 = 5( - 1) = 53 που σηmicroαίνει ότι το αέριο είναι microονοατοmicroικό Eξάλλου η θερmicroότητα που απορροφά το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου ABΓA είναι ίση microε την θερmicroό τητα QAB που απορροφά κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του AB δηλαδή ισχύει Q

= QAB = nCP(4TA - TA) = 5nR(3TA 2)

Q

= 15nRTA2 = 15PAVA2 (1)

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓ είναι

= W

Q$

(2) Όmicroως το ωφέλιmicroο έργο Wωφ της microηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο microε την ολική θερmicroότητα που ανταλλάσσει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου του (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) οπότε θα έχουmicroε

W= Q$ = QAB + QB+ QA = nCP(4TA -TA ) + 0 + nRTAln(VA32VA )

W

= 5nR(3TA 2) - nRTAln(25)

W

= PAVA (152 - 5ln2) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1)(2) και (3) παίρνουmicroε

=PAVA(152 - 5ln2)

15PAVA2=

15 - 10ln2

15= 1 -

2ln2

3

Oρισmicroένη microάζα ιδανικού microονοατοmicroικού αερίου (CV=3R2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επιmicroέρους microεταβολές i) την ισόθερmicroη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του αερίου οκταπλασιάζεται ii) την ισόχωρη ψύξη BΓ και iii) την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA microέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0=3105 Ntm2 όγκου

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 31: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

V0=410-2 m3 και θερmicroοκρασίας T0=600 0K α) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής του αερίου β) Nα υπολογίσετε το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του γ) Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης της θερ microικής microηχανής που λειτουργεί microε βάση τον κύκλο ABΓA ΛYΣH α) Eπειδή κατά την ισόθερmicroη εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του οκταπλασιάζεται σύmicroφωνα microε το νόmicroο του Boyle η πίεση του θα γίνει οκτώ φορές microικρότερη δηλαδή από P0 θα γίνει P08 Kατά την ισόχωρη ψύξη BΓ η πίεση του αερίου microειώνεται από την τιmicroή P08 στην τιmicroή PΓ η οποία θα βρεθεί εάν εφαρmicroόσουmicroε για την αδιαβατική συmicroπίεση ΓA του αερίου το νόmicroο του Poisson οπότε θα έχουmicroε τη σχέση

Σχήmicroα 24 P(8V0 )

= PAV0

P23

= P0

P

2153

= P0 P

= P02

5= P

A32

Eφαρmicroόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουmicroε P

V

= nRT 8P

0V

032 = nRT

nRT

04 = nRT

T

= T04

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισmicroούς το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microετα βολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήmicroα (24) β) Tο έργο Wολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής του είναι ίσο microε την αντίστοιχη θερmicroότητα Qολ (πρώτος θερmicroοδυναmicroικός νόmicroος) δηλαδή θα ισχύει

W

= Q

= QAB + QB+ Q

A = nRT0ln8V0

V0

$

amp + nCV

T0

4- T0

$

amp + 0

W

= nRT0ln(2

3) +

2nR

3

- 3T0

4

$

amp = 3nRT0 ln2 -

1

2

$

amp

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 32: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

W= 3P0V0(ln2 - 12) = 72 10

3J

γ) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στην κυκλική microεταβολή ABΓA είναι = W Q$ = W QAB Όmicroως η προσφερόmicroενη στο αέριο θερmicroότητα QAB δίνεται από τη σχέση

QAB = nRT0 ln

8V0

V0

$

amp amp = P0V0 ln(23) = 3P0V0 ln2 = 252104

J

Άρα

=

72103 J

252104J

= 0285

Mια ορισmicroένη microάζα ιδανικού αέριου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή που αποτελείται από microια ισοβαρή θέρmicroανση πιέσεως P1 από microια αδιαβατική εκτόνωση από microια ισοβα ρή ψύξη πιέσεως P2 microε P2gtP1 και τέλος από microια αδιαβατική συmicroπί εση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατά σταση Eάν ο λόγος των δύο γραmicromicroοmicroοριακών ειδικών θερmicroοτήτων CP και CV του αέριου είναι γ να βρεθεί ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής microεταβολής ΛYΣH Kατά την εξέλιξη της κυκλικής microεταβολής κλmicroνκ (σχήmicroα 25) το αέριο απορροφά θερmicroότητα Qκλ microόνο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του κrarrλ οπότε ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής microεταβολής είναι α = WολQκλ (1) όπου Wολ το ολικό έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την κυκ λική αυτή microεταβολή Eφαρmicroόζοντας εξάλλου για την κυκλική microεταβολή τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο παίρνουmicroε τη σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ Qκλ + Qλmicro + Qmicroν + Qνκ = 0 + Wολ Qκλ + 0 + Qmicroν + 0 = Wολ Wολ = Qκλ + Qmicroν (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουmicroε

=

Q

+ Qmicro$

Q

= 1+Qmicro$

Q

= 1+nCp(T

- Tmicro)

nCp(T- T

$)

= 1+

T Tmicro

T T

$

(3)

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 33: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

όπου Tν Tmicro Tλ και Tκ οι απόλυτες θερmicroοκρασίες του αερίου στις καταστάσεις ν micro λ και κ αντιστοίχως Όmicroως για τις αδιαβατικές microεταβολές λrarrmicro και νrarrκ ισχύουν οι σχέσεις

Σχήmicroα 25

TP1

1-

= TP2

1-

T$P1

1-

= TmicroP2

1-

$

T = T(P1P2 )

1-

Tmicro = T$ (P1P2 )

1-

$

( )

T - Tmicro = (T - T )(P1P2 )

1-$

$

T - Tmicro

T - T

= -(P1P2 )

1-$

$ (4)

Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουmicroε τη σχέση

= 1 - (P1 P2)

1-

Iδανικό αέριο ορισmicroένης microάζας υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής επί microέρους microεταβολές i) από microια ισοβαρή microεταβολή κατά την οποία ο όγκος του διπλασι άζεται ii) από microια αδιαβατική εκτόνωση και iii) από microια ισόθερmicroη microεταβολή microέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση Nα υπολογίσετε τον θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης microιας θερ microικής microηχανής η οποία εργάζεται microε βάση την παραπάνω κυκλική microεταβολή ΛYΣH O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής η οποία λειτουργεί microε βάση την κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA του ιδα νικού αερίου (σχήmicroα 26) δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 34: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

=

W

Q$

=W

QAB

(1)

όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη της κυκλικής του microεταβολής και Qπρ η αντίστοιχη θερmicroότητα που προσφέρεται σrsquo αυτό η οποία

Σχήmicroα 26 όmicroως είναι ίση microε την θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του ArarrB Σύmicroφωνα microε τον πρώτο θερmicroοδυναmicroικό νόmicroο για την κυκλική microεταβολή του αερίου ισχύει η σχέση Qολ = ΔUολ + Wολ QAB + QBΓ + QΓA = 0 + Wολ Wολ = QAB + 0 + QΓA Wολ = QAB + QΓA (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουmicroε τη σχέση

=

QAB + QA

QAB

= 1 +Q

A

QAB

(3)

Όmicroως για τις θερmicroότητες QΓA και QAB ισχύουν οι σχέσεις

QA = W

A = nRT1ln(V1 V)

QAB = nCp(2T1 - T1 ) = nCpT1

$ (4)

όπου n o αριθmicroός των mol του αερίου CP η γραmicromicroοmicroοριακή του ειδική θερmicroό τητα υπό σταθερή πίεση και R η παγκόσmicroια σταθερά των αερίων Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

= 1 +

R

CP

lnV

1

V

$

amp amp (5)

Eφαρmicroόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση BrarrΓ το νόmicroο του Poisson και για την ισόθερmicroη συmicroπίεση ΓrarrA το νόmicroο του Boyle παίρνουmicroε τις σχέσεις

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 35: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

P1(2V1)

= PV

PV = P1V1

$

( )

P1P 2

V

1

V = PV

P1V

1

2V

1

-1

= V

-1

V1

V

$

amp amp

-1

=1

2

lnV

1

V

$

amp amp

-1

= ln1

2

$

amp

( - 1)ln

V1

V

$

amp amp = -ln2

lnV

1

V

$

amp amp = -ln2

- 1 (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουmicroε

= 1-

- 1

$

amp

Rln2

CP

(7)

όmicroως ισχύει CP=γR(γ-1) οπότε η σχέση (7) γράφεται

= 1-

- 1

$

amp

- 1

$

amp

Rln2

R = 1 - ln2

Mονοατοmicroικό ιδανικό αέριο (CV=3R2) υποβάλλε ται σε κυκλική αντιστρεπτή microεταβολή ABΓA της οποίας το διάγραmicro microα V-T φαίνεται στο σχήmicroα (27) i) Nα σχεδιάσετε το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής αυτής microεταβολής ii) Eάν x είναι ο λόγος V2V1 να δείξετε ότι ο θερmicroοδυναmicroικός συν τελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο ικανοποιεί τη σχέση

=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

ΛYΣH i) H microεταβολή AB είναι ισοβαρής εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου αυξάνεται από V1 σε V2 και η απόλυτη θερmicroοκρασία του από T1 σε T2 H microεταβολή BΓ είναι ισόχωρη ψύξη κατά την οποία η πίεση του αερίου microειώνεται από P1 σε P2 και η θερmicroοκρασία του από T2 σε T1 Tέλος η microεταβολή ΓA είναι ισόθερmicroη συmicroπίεση microέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A Στο σχήmicroα (28) φαίνεται το διάγραmicromicroα P-V της κυκλικής microεταβολής ABΓA του αερίου ii) O θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α της θερmicroικής microηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA δίνεται από τη σχέση

=

W

Q$

=WAB +WBamp + WampA

QAB

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 36: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

=WAB + 0 +W

A

QAB

=WAB +W

A

QAB

(1)

Όmicroως το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι WAB = P1 (V2 - V1) = P1V1(V2 V1 - 1) = P1V1(x - 1) (2)

Σχήmicroα 27 Σχήmicroα 28 Tο έργο WAΓ ου αερίου κατά την ισόθερmicroη συmicroπίεση του ΓA είναι

WA

= nRT1ln

V1

V2

$

amp amp = -nRT1ln

V2

V1

$

amp amp = -nRT1lnx (3)

Eξάλλου η θερmicroότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισοβαρή εκτόνωσή του AB είναι

QAB = nCP(T2 - T1) =

5nR

2(T2 - T1) (4)

Όmicroως για την AB ισχύει ο νόmicroος του Gay-Lussac οπότε θα έχουmicroε

V1

T1

=V

2

T2

T2

= T1

V2

V1

= T1x

Έτσι η (4) γράφεται

QAB = 5nRT1(x - 1)2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) (2) (3) και (5) έχουmicroε

=nRT1(x - 1) +nRT1lnx

5nRT1 (x - 1)2=

x - 1 - lnx

5(x - 1)2

=2

5-

2lnx

5 x - 1( )=

2

51 -

lnx

x - 1

$

amp

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 37: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

Mια θερmicroική microηχανή χρησιmicroοποιεί ως ενεργό microέσο ιδανικό αέριο το οποίο microπορεί να εκτελεί το θερmicroοδυναmicroικό κύκλο ABΓA ή τον κύκλο AMNA όπου οι microεταβολές BΓ και AM είναι αδια βατικές ενώ οι microεταβολές ΓA και MN είναι ισόθερmicroες θερmicroοκρασι ών T0 και T02 αντιστοίχως (σχήmicroα 29) Σε ποιά περίπτωση η microηχανή παρουσιάζει microεγαλύτερο θερmicroοδυναmicroικό συντελεστή απόδοσης ΛYΣH Eάν α1 είναι ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση τον κύκλο ABΓA θα ισχύει

1 =WABA

QAB

=QABA

QAB

=QAB + QB

+QA

QAB

Σχήmicroα 29

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 =QAB + 0 +Q

A

QAB

= 1+Q

A

QAB

1 = 1 -nRT0 ln(VA V

)

nCP(2T0 - T0)= 1 -

R ln(VVA )

CP

(1)

Eξάλλου ο θερmicroοδυναmicroικός συντελεστής απόδοσης α2 της θερmicroικής microηχανής που εργάζεται microε βάση το κύκλο AMNA υπολογίζεται από τη σχέση

2 =

WAMNA

QNA

=QAMNA

QNA

=

QAM + QMN + QNA

QNA

2 =0 + QMN + QNA

QNA

= 1+QMN

QNA

2 = 1+

nRT0 ln(VNVM)2

nCV (T0 - T02)= 1 -

R ln(VVA)

CV

Όmicroως ισχύει CPgtCV δηλαδή RCPltRCV και επειδή ln(VΓVA)gt0 θα έχουmicroε

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos

Page 38: 00. Β! ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ · β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή

R ln(VVA)

CP

ltR ln(V

VA )

CV

οπότε από τις (1) και (2) προκύπτει α1 gtα2

PM fysikos