00 master document A v2 - Αποθετήριο Κάλλιπος: …...ΣΥΝ∆ΕΣΜΟΣ...

www.kallipos.gr

www.seab.gr

www.edulll.gr

ΑΓΓΕΛΟΣ ΠΡΩΤΟΠΑΠΑΣ

ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ∆.Π.Θ.

ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

www.kallipos.gr

ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Συγγραφή

ΑΓΓΕΛΟΣ ΠΡΩΤΟΠΑΠΑΣ

Καθηγητής ∆.Π.Θ.

Κριτικός αναγνώστης

ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΧΟΙΝΑΣ

Καθηγητής ∆.Π.Θ.

Συντελεστές έκδοσης

ΓΡΑΦΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΓΓΕΛΟΣ ΠΡΩΤΟΠΑΠΑΣ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ: ΝΙΚΟΣ ΖΗΝΑΣ

Copyright ΣΕΑΒ, 2015

Το παρόν έργο αδειοδοτείται υπό τους όρους της άδειας Creative Commons Αναφορά ∆ηµιουργού - Μη Εµπορική

Χρήση - Παρόµοια ∆ιανοµή 3.0. Για να δείτε ένα αντίγραφο της άδειας αυτής επισκεφτείτε τον ιστότοπο

https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/gr/

ΣΥΝ∆ΕΣΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΑΚΑ∆ΗΜΑΪΚΩΝ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΩΝ

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 15780 Ζωγράφου

www.kallipos.gr

ISBN: 978-960-603-493-0

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ

1 Εισαγωγή 1

1.1 ΣΚΟΠΟΣ…………………………………………………….... 1

1.2 ΤΥΠΟΙ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟ∆ΟΜΗΣ……………………………….. 1

1.3 ΑΡΧΕΣ ΣΧΕ∆ΙΑΣΜΟΥ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟ∆ΟΜΗΣ……….......... 2

1.4 ΜΕΡΙΚΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΣΧΕ∆ΙΑΣΜΟ ΕΡΓΩΝ

ΥΠΟ∆ΟΜΗΣ………………………………………………….

4

1.5 Η ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΤΗΣ ΣΥΣΤΗΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ…….......... 5

1.6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΠΟ∆ΕΙΓΜΑΤΑ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

………………………………………………………………..

11

1.7 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ………………………………… 18

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ………………………………….. 22

2 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Χωρίς

Περιορισµούς 24

2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ…………………………………………………… 24

2.1.1. Βασικοί ορισµοί …………...…………………………… 25

2.2 ΑΝΑΓΚΑΙΕΣ ΚΑΙ ΙΚΑΝΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ…. 26

2.2.1. Συνάρτηση µιας µεταβλητής…………………………… 26

2.2.2. Συνάρτηση πολλών µεταβλητών………………………. 27

2.2.3 Συναρτήσεις τετραγωνικής µορφής n-µεταβλητών…….. 32

2.3 ΚΥΡΤΕΣ ΚΑΙ ΚΟΙΛΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ……………………. 35

2.3.1. Ορισµοί και ιδιότητες…………………………………... 35

2.3.2. Κυρτότητα και απόλυτα ακρότατα…………………….. 37


3 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με

Περιορισµούς Ισότητες

42

3.1 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ……….. 42

3.2 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΣ∆ΙΟΡΙΣΜΟ ΤΟΥ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ. 42

3.2.1 Λύση µε άµεση αντικατάσταση…………………………. 42

3.2.2 Μεταβολή υπό περιορισµούς………….……………… 42

3.2.3 Πολλαπλασιαστές Lagrange ……………………………. 45

3.3 ΙΚΑΝΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΣΤΗ ΜΕΘΟ∆Ο ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΩΝ

LAGRANGE……………………….

47



Περιορισµούς Ανισότητες 61

4.1 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ……. 61

4.2 ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ……………………………………….. 66

4.3 ΓΕΝΙΚΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ…………………………………… 68


5 Υπολογιστικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Χωρίς

Περιορισµούς 74

5.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ……………………………………………………. 74

5.2 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ∆ΟΙ ΓΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ

ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ……………………………………………….

75

5.2.1 Ανοικτή αναζήτηση……………………………………... 75

5.2.2 Εξαντλητική αναζήτηση………………………………… 76

5.2.3 Aναζήτηση µε διαίρεση του διαστήµατος………………. 76

5.2.3.1 Μέθοδος διχοτόµησης του διαστήµατος……………… 77

5.2.3.2 Μέθοδος της χρυσής τοµής…………………………… 78

5.2.4 Aναζήτηση µε τετραγωνική παρεµβολή………………... 80

5.2.5 Aναζήτηση µε τη µέθοδο Newton………………………. 82

5.2.6 Aναζήτηση µε τη µέθοδο της τέµνουσας……………….. 88 5.3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ∆ΟΙ ΓΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ

ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ…………………………………..

90 5.3.1 Επαναληπτικές µέθοδοι καθόδου……………………….. 90

5.3.2 Επαναληπτική µέθοδος στη κατεύθυνση των αξόνων….. 94


6 Γραµµικός Προγραµµατισµός 100

6.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ……………………………………………………. 100

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Γ.Π. …………………. 101

6.3 ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ………………………………. 104

6.4 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ m ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ n

ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ (n > m)…………………..

106

6.5 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX…………………………………… 108

6.6 Η ΜΕΘΟ∆ΟΣ SIMPLEX ∆ΥΟ ΦΑΣΕΩΝ…………………… 116

6.7 Η ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΟΥ Μ………………………….. 119

6.8 ∆ΥΪΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE……... 121

6.9 ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ…………………………………. 124


7 ∆υναµικός Προγραµµατισµός 131

7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ……………………………………………………. 131

7.2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ∆ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ….. 132

7.3 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ-ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ………………. 145


8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 152

8.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ……………………………………………………. 152

8.2 ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ…………………... 154

8.2.1 Προσδιορισµός µιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης….. 154

8.2.2. Έλεγχος Βελτιστότητας (Μέθοδος MODI)…………….. 159

8.2.3. Επιλογή της Μεταβλητής που θα Εξέλθει από την Βάση 161

8.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΧΩΡΙΣ ΙΣΟΖΥΓΙΟ………………………… 168

8.4 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΠΡΟΣ∆ΙΟΡΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΒΡΟΓΧΟΥ……… 171

8.5 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΩΣ ∆ΙΜΕΛΕΣ ΓΡΑΦΗΜΑ 173

8.5.1 Εισαγωγή………………………………………………... 173

8.5.2 Ορισµοί και Θεωρήµατα από τη Θεωρία Γραφηµάτων… 179

8.6 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ……………………………… 185

8.7 Η ΟΥΓΓΡΙΚΗ ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ

ΑΝΑΘΕΣΗΣ…………………………………………………...

188


ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΡΧΕΙΩΝ ΒΙΝΤΕΟ∆ΙΑΛΕΞΕΩΝ

(εάν το link δεν ανοίγει µε Internet Exporer, copy-paste σε Firefox Mozilla ή σε Google Chrome)

1 Εισαγωγή AVI

1.1 ΣΚΟΠΟΣ…………………………………………………….... 1A

1.2 ΤΥΠΟΙ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟ∆ΟΜΗΣ……………………………….. 1A

1.3 ΑΡΧΕΣ ΣΧΕ∆ΙΑΣΜΟΥ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟ∆ΟΜΗΣ……….......... 1A

1.4 ΜΕΡΙΚΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΣΧΕ∆ΙΑΣΜΟ ΕΡΓΩΝ

ΥΠΟ∆ΟΜΗΣ………………………………………………….

1A

1.5 Η ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΤΗΣ ΣΥΣΤΗΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ…….......... 1A

ΛΥΜΕΝΟ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ……..………………………………….. 1A


………………………………………………

1B

1C

2 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Χωρίς

Περιορισµούς AVI

2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ…………………………………………………… 2A


2.2 ΑΝΑΓΚΑΙΕΣ ΚΑΙ ΙΚΑΝΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ….

2.2.1. Συνάρτηση µιας µεταβλητής…………………………… 2A

2.2.2. Συνάρτηση πολλών µεταβλητών………………………. 2B

2.2.3 Συναρτήσεις τετραγωνικής µορφής n-µεταβλητών…….. 2C

2.3 ΚΥΡΤΕΣ ΚΑΙ ΚΟΙΛΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ……………………. 2D

ΛΥΜΕΝΟ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 4.1…..………………………………….. 2D

ΛΥΜΕΝΟ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ……..………………………………….. 2E


Περιορισµούς Ισότητες AVI

3.1 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ……….. 3A

3.2 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΣ∆ΙΟΡΙΣΜΟ ΤΟΥ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ.

3.2.1 Λύση µε άµεση αντικατάσταση…………………………. 3A


3.2.2 Μεταβολή υπό περιορισµούς………….……………… 3A

3.2.3 Πολλαπλασιαστές Lagrange ……………………………. 3B

ΛΥΜΕΝΟ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ……..………………………………….. 3B

ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΩΝ LAGRANGE……….

ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΚΛΙΣΗΣ ΓΙΑ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ….

3C

3C


Περιορισµούς Ανισότητες AVI

4.1 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ……. 4A

ΛΥΜΕΝΟ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 4.2..………………………………….. 4A

4.2 ΓΕΝΙΚΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ…………………………………… 4Β

ΛΥΜΕΝΟ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 4.3..………………………………….. 4Β


5 Υπολογιστικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Χωρίς

Περιορισµούς AVI

5.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ……………………………………………………. 5A


ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ………………………………………………. 5A

5.2.1 Ανοικτή αναζήτηση……………………………………... 5A

5.2.2 Εξαντλητική αναζήτηση………………………………… 5A

5.2.3 Aναζήτηση µε διαίρεση του διαστήµατος………………. 5A

5.2.3.1 Μέθοδος διχοτόµησης του διαστήµατος……………… 5A

5.2.4 Aναζήτηση µε τετραγωνική παρεµβολή………………... 5B

5.2.5 Aναζήτηση µε τη µέθοδο Newton………………………. 5C

5.2.6 Aναζήτηση µε τη µέθοδο της τέµνουσας……………….. 5C

5.3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ∆ΟΙ ΓΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ

ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ………………………………….. 5D

5.3.1 Επαναληπτικές µέθοδοι καθόδου……………………….. 5D

5.3.2 Επαναληπτική µέθοδος στη κατεύθυνση των αξόνων….. 5E


6 Γραµµικός Προγραµµατισµός AVI

6.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ……………………………………………………. 6A

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Γ.Π. …………………. 6A

6.3 ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ………………………………. 6B

6.4 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ m ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ n

ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ (n > m)………………….. 6B

6.5 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX…………………………………… 6C

ΛΥΜΕΝΟ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ……..………………………………….. 6D


6.6 Η ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΟΥ Μ………………………….. 6F

ΛΥΜΕΝΟ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ……..………………………………….. 6G

6.7 Η ΜΕΘΟ∆ΟΣ SIMPLEX ∆ΥΟ ΦΑΣΕΩΝ…………………… 6H

ΛΥΜΕΝΟ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ……..………………………………….. 6H

7 ∆υναµικός Προγραµµατισµός AVI

7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ……………………………………………………. 7A

7.2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ∆ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ….. 7A

ΛΥΜΕΝΟ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 7.2…..………………………………….. 7A

ΛΥΜΕΝΟ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 7.3…..………………………………….. 7B

ΛΥΜΕΝΟ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 7.4…..………………………………….. 7B

8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης AVI

8.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ……………………………………………………. 8A

8.2 ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ…………………... 8A

8.2.1 Προσδιορισµός µιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης….. 8A

8.2.2. Έλεγχος Βελτιστότητας (Μέθοδος MODI)…………….. 8A

8.2.3. Επιλογή της Μεταβλητής που θα Εξέλθει από την Βάση 8A

8.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΧΩΡΙΣ ΙΣΟΖΥΓΙΟ………………………… 8B


8.6 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ……………………………… 8C

8.7 Η ΟΥΓΓΡΙΚΗ ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ.. 8C

ΛΥΜΕΝΟ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ……..………………………………….. 8C

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΞΕΝΟΓΛΩΣΣΩΝ ΟΡΩΝ

adjoint συζυγής bordered Hessian matrix Εσιανός συνοριακός πίνακας concave function κοίλη συνάρτηση

convex function κυρτή συνάρτηση

convex set κυρτό σύνολο

design υπολογισµός ή τεχνικός σχεδιασµός distributed model λεπτοµερές υπόδειγµα

goal επιδίωξη

lumped model σωρευτικό υπόδειγµα

objective στόχος planning σχεδιασµός project συγκεκριµένο έργο

purpose σκοπός saddle point σηµείο σάγµατος slack variable συµπληρωµατική µεταβλητή

surplus variable πλεονασµατική µεταβλητή

tradeoffs σταθµίσεις

ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΝΤΟΜΕΥΣΕΩΝ

Ε.Ε. Επιχειρησιακή Έρευνα Operations Research

Γ.Π. Γραµµικός Προγραµµατισµός Linear Programming

∆.Π. ∆υναµικός Προγραµµατισµός Dynamic Programming

Π.Μ. Πρόβληµα Μεταφοράς Transportation Problem

CPM Μέθοδος Κρίσιµης ∆ιαδροµής Critical Path Method

PERT Τεχνική Αξιολόγησης και Αναθεώρησης Προγραµµατος

Program Evaluation and Review

Technique

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Ελληνική Βιβλιογραφία

Βασιλείου Π.- Χ., Τσακλίδης Γ., Τσάντας Ν. (2001) Ασκήσεις στην επιχειρησιακή έρευνα, Τόµος 1, Ζήτη Πελαγία & Σια

Ο.Ε., ISBN: 960- 431-679-6.

Βασιλείου Π.- Χ., Τσακλίδης Γ., Τσάντας Ν. (2003) Ασκήσεις στην επιχειρησιακή έρευνα, Τόµος 2, Ζήτη Πελαγία & Σια

Ο.Ε., ISBN: 960- 431-501-3.

Καρλαύτης Μ., Λαγαρός Ν. (2010) Επιχειρησιακή Έρευνα και Βελτιστοποίηση για Μηχανικούς, Εκδόσεις Συµµετρία,

ISBN: 978-960-266-298-4

Κιντής Ανδρέας Α., Yamane Taro (2002) Μαθηµατικά οικονοµικο-διοικητικών επιστηµών Τόµος 2, Gutenberg, 3η έκδ.,

ISBN: 978-960-01-0427-1.

Λουκάκης Μ. (1994) Γραµµικός Προγραµµατισµός - Αριστοποίηση σε ∆ίκτυα, Εκδόσεις Σοφία, 3η έκδ.

Ξηρόκωστας ∆ηµήτρης (1999) Αντικείµενο και µεθοδολογία: Γραµµικός προγραµµατισµός, Εκδόσεις Συµµετρία,

ISBN : 960-266-040-6.

Ξηρόκωστας ∆ηµήτρης (1999) Επιχειρησιακή έρευνα µη γραµµικός και δυναµικός προγραµµατισµός, Εκδόσεις Συµµετρία, ISBN : 960-266-067-8.

Παπαρρίζος Κωνσταντίνος (2008). Γραµµικός Προγραµµατισµός. Αλγόριθµοι και Εφαρµογές. Εκδόσεις Ζυγός, ISBN:

9608065135.

Σίσκος Ιωάννης (1998) Γραµµικός προγραµµατισµός, 1η Έκδοση, Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών, ISBN 960-7981-00-6.

Τασόπουλος Αναστ. (2004) Μαθηµατικός Προγραµµατισµός Α΄, Εκδόσεις Σταµούλη ΑΕ, 2η έκδ., ISBN: 978-960-351-

551-5.

Τζιρτζιλάκης Ευστρ. (2008), Στοιχεία Βελτιστοποίησης, Αυτοέκδοση, ISBN: 978-960-930431-3.

Υψηλάντης Παντελής (2012) Επιχειρησιακή Έρευνα, Προποµπός, ISBN: 978-960-7860-66-8.

Αγγλική Βιβλιογραφία σε Ελληνική Μετάφραση

Bronson R. και Govindasami N. (2010) Schaum's Επιχειρησιακή Έρευνα, 2η έκδ., Κλειδάριθµος ΕΠΕ, ISBN: 978-960-

461-314-4.

Bronson R. and Govindasami N. (1997) Schaum's Outline of Operations Research, 2nd Ed, ISBN-10: 0070080208

Du D. Z., P. M. Pardalos, W. Wu (2005), Μαθηµατική Θεωρία Βελτιστοποίη-σης, Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών, 1η εκδ.,

ISBN: 960-8105-79-X.

Du Ding-Zhu, Panos M. Pardalos, Weili Wu (2001), Mathematical Theory of Optimization, Springer, ISBN:

9781402000157.

Hillier Frederick S., Lieberman Gerald J. (1985), Εισαγωγή στην επιχειρησιακή έρευνα, Εκδόσεις Παπαζήση, ISBN: 960-

02-0231-1.

Hillier Frederick S., Lieberman Gerald J. (2001), Introduction to Operations Research, 7th

Edition, McGraw-Hill, ISBN:

9780072416183.

Taha Hamdy, (2011) Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Α. Τζιόλα & Υιοί Ο.Ε., ISBN: 978-960-418-327-2.

Taha Hamdy, (2011) Operations Research: An Introduction 9th Edition, ISBN: 9780131391994.

Αγγλική Βιβλιογραφία

Bazaraa Mokhtar S., John J. Jarvis, Hanif D. Sherali (2010) Linear Program-ming and Network Flows, 4th Edition,

John Wiley & Sons, ISBN-10: 0470462728.

Bertsekas Dimitri P. (1996), Constrained Optimization and Lagrange Multiplier Methods, Athena Scientific, ISBN: 1-

886529-04-3.

Bertsekas Dimitri P. (1999), Nonlinear Programming, 2nd Edition, Athena Scientific, ISBN: 1-886529-00-0.

Bertsekas Dimitri P. (2001), Dynamic Programming & Optimal Control, 2nd

Edition, Athena Scientific, ISBN: 1-886529-

08-6.

Bertsimas Dimitris, John N. Tsitsiklis (1997), Introduction to Linear Optimization, Athena Scientific, ISBN: 1-886529-

40-19-1.

Murty Katta G. (1976) Linear and combinatorial programming, John Wiley & Sons, ISBN: 0471573701.

Ossenbruggen Paul J. (1984), Systems Analysis for Civil Engineers: Technological and Economic Factors in Design, 1st

Edition, Wiley, ISBN: 0471098892.

Rao Singiresu S. (2009), Engineering Optimization: Theory and Practice, 4th Edition, Wiley, ISBN: 978-0-470-18352-6.

Ravindran A., Don T. Phillips, James J. Solberg (1987) Operations Research Principles and Practice, 2nd Edition, John

Wiley & Sons, ISBN: 0471854859.

Revelle Charles S., Earl Whitlatch, Jeff Wright (2003), Civil and Environmental Systems Engineering, Prentice Hall, 2nd

Edition, ISBN-10: 0130478229.

Stark Robert M. and Robert L. Nichols (1972), Mathematical Foundations for Design: Civil Engineering Systems,

McGraw Hill, ISBN-13: 9780070608573.

White D. J. (1969) Dynamic programming, Holden-Day Inc, SBN: 050016245.

KΕΦΑΛΑΙΟ 1

Εισαγωγή

1.1 ΣΚΟΠΟΣ

Το παρόν Κεφάλαιο 1 παρουσιάζει περιληπτικά τη φύση και τον σκοπό των

έργων και υπηρεσιών όπου ο µηχανικός έχει αυξηµένο και υπεύθυνο ρόλο.

Ιδιαίτερα καταγράφονται οι τύποι των δραστηριοτήτων και εγκαταστάσεων

που συνιστούν τα συστήµατα υποδοµής της κοινωνίας. Τα τεχνικά έργα

σχεδιάζονται, χρηµατοδοτούνται, πραγµατοποιούνται, συντηρούνται και

λειτουργούν στα πλαίσια ενός γενικότερου συστήµατος υποδοµών και µπορεί

να εµπίπτουν στη δραστηριότητα του ιδιωτικού ή του δηµόσιου τοµέα. Η

σηµασία τέτοιων έργων για τον σύγχρονο πολιτισµό είναι τεράστια και πολλές

µελέτες υποδεικνύουν ότι υπάρχει θετική συσχέτιση ανάµεσα στο µέγεθος των

έργων υποδοµής και την ισχύ της εθνικής οικονοµίας. Το εισαγωγικό αυτό

κεφάλαιο περιλαµβάνει επίσης µερικές γενικές αρχές και βασικούς ορισµούς

που εφαρµόζονται στο σχεδιασµό τεχνικών έργων, καθώς και µια σύντοµη

παρουσίαση της µεθόδου της συστηµικής ανάλυσης. Το κεφάλαιο

ολοκληρώνεται µε παραδείγµατα δηµιουργίας υποδειγµάτων για συστήµατα ή

υπο-συστήµατα έργων µηχανικού, για τα οποία θα χρησιµοποιηθούν οι

µεθοδολογίες που αναπτύσσονται στα επόµενα κεφάλαια του βιβλίου.

1.2 ΤΥΠΟΙ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟ∆ΟΜΗΣ

Τα έργα υποδοµής έχουν σαν βασικό σκοπό την εξυπηρέτηση, την ανάπτυξη

και τη βελτίωση της κοινωνίας. Εµπεριέχουν τη σύλληψη, σχεδιασµό, τεχνική

µελέτη, κατασκευή και λειτουργία εγκαταστάσεων που είναι ουσιώδεις για τη

σύγχρονη ζωή, από συστήµατα µεταφορών έως υπεράκτιες εξέδρες εξόρυξης

πετρελαίου. Ο όρος «δηµόσια έργα» αναφέρεται συνήθως σε µεγάλα τεχνικά

έργα και παραπέµπει σε σκοπούς και λειτουργίες όπως οι παρακάτω:

• Εθνικοί οδοί, δρόµοι, γέφυρες, σήραγγες

• Μέσα µαζικής µεταφοράς, χώροι στάθµευσης, και άλλα έργα επίγειας

µεταφοράς

• Αεροδρόµια και άλλες αεροπορικές εγκαταστάσεις

• Συστήµατα ύδρευσης, επεξεργασίας και διανοµής νερού

• Συστήµατα συλλογής, επεξεργασίας, και διάθεσης υγρών λυµάτων

• Συστήµατα συλλογής, επεξεργασίας, και διάθεσης στερεών αποβλήτων

2

• Ανάπτυξη υδατικών πόρων για άρδευση, πληµµυρική προστασία,

αναψυχή, και ναυσιπλοΐα

• Λιµενικές, παράκτιες και υπεράκτιες εγκαταστάσεις

• Παραγωγή και διάθεση υδροηλεκτρικής ενέργειας

• Κτίρια κατοικίας και κτίρια γραφείων και καταστηµάτων

• Κτίρια ειδικών χρήσεων (δικαστήρια, σχολεία, βιβλιοθήκες,

νοσοκοµεία, αστυνοµικά τµήµατα, πυροσβεστικοί σταθµοί, φυλακές)

• Μουσεία, στάδια, και άλλα έργα πολιτισµού και αναψυχής

Τα παραπάνω έργα αποτελούν το σηµαντικότερο µέρος της υλικής υποδοµής

µιας χώρας. Απαιτούν σηµαντικές επενδύσεις κεφαλαίου, παρέχουν «δηµόσιες

υπηρεσίες» ή λύνουν προβλήµατα που θεωρούνται ότι εµπίµπτουν στο χώρο

ευθύνης του δηµόσιου τοµέα. Η αναγκαιότητα και η σκοπιµότητα των

περισσότερων από τα έργα αυτά αξιολογείται συνήθως µε γενικές µεθόδους

προσδιορισµού των οικονοµικών χαρακτηριστικών τους (κόστη και οφέλη).

Τις τελευταίες τέσσερις δεκαετίες το ισχυροποιηµένο «περιβαλλοντικό

κίνηµα» έχει ενθαρρύνει πολιτικές σχεδιασµού και διαχείρισης των πόρων για

την προστασία και εµπλουτισµό του φυσικού περιβάλλοντος, προωθώντας

νέους τύπους τεχνικών έργων:

• Έργα συντήρησης αρχαιολογικών, ιστορικών, βιολογικών, και

γεωλογικών αξιοθέατων

• Έργα προστασίας οικολογικών συστηµάτων

• Έργα βελτίωσης της ποιότητας των νερών, του εδάφους και του αέρα

• Έργα ενίσχυσης της τοπικής και περιφερειακής οικονοµικής ανάπτυξης

και απασχόλησης (ιχθυοκαλλιέργειες, δασοκαλλιέργειες)

• Έργα βελτίωσης της υγείας και ασφάλειας του πληθυσµού

• Συστήµατα ενίσχυσης της ετοιµότητας αντιµετώπισης εκτάκτων

καταστάσεων

• Άλλα έργα βελτίωσης της «ποιότητας της ζωής»

Η κείµενη νοµοθεσία επιβάλλει για όλα τα σηµαντικά τεχνικά έργα την

εκπόνηση αναλύσεων και µελετών περιβαλλοντικών επιπτώσεων, οι οποίες

µπορεί επίσης να περιλαµβάνουν µελέτες αισθητικών και κοινωνικών

επιπτώσεων.

1.3 ΑΡΧΕΣ ΣΧΕ∆ΙΑΣΜΟΥ ΤΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟ∆ΟΜΗΣ

Το σύνολο των υποδοµών µιας χώρας αντανακλά την κοινωνική και ιστορική

εξέλιξη και χαρακτηρίζει το επίπεδο της συλλογικής προσπάθειας. Οι µορφές

και λειτουργίες των υποδοµών συµβάλλουν στο να κατανοούνται οι

3

οµοιότητες και διαφορές ανάµεσα σε περιοχές, οµάδες ανθρώπων, και

πολιτισµούς. Η υλική υποδοµή συνίσταται από διάφορες κατασκευές, κτίρια,

αγωγούς, δρόµους, τροχιόδροµους, γέφυρες, σήραγγες, και δίκτυα. Εξίσου

σηµαντικό και ευµετάβλητο είναι το «λογισµικό» για την υλική υποδοµή, όλοι

οι επίσηµοι και ανεπίσηµοι κανόνες για τη λειτουργία αυτών των συστηµάτων.

Πόσο ζωτικά είναι τα έργα υποδοµής; Χρειάζεται µόνο να σκεφτούµε πως θα

ήταν η ζωή, αν ο κάθε πολίτης ήταν χωριστά υπεύθυνος για τη διάθεση των

αποβλήτων, την άντληση και τον καθαρισµό του νερού, και την εξεύρεση

τρόπων µετακίνησης. Το εύρος, ασφάλεια, βάθος, και ποικιλία των

κοινωνικών επαφών που βιώνουµε σήµερα εξαρτώνται σε µεγάλο βαθµό από

την ποιότητα της υποδοµών.

Η εθνική κυβέρνηση έχει και θα συνεχίσει να έχει έναν πρωτεύοντα ρόλο στο

σχεδιασµό και τη χρηµατοδότηση δηµόσιων έργων. Αυτό περιλαµβάνει την

κατανοµή κονδυλίων για επενδύσεις, και τους κανονισµούς και επίβλεψη του

σχεδιασµού. Σε µεταβαλλόµενο βαθµό, ανάλογα µε τη χώρα και την τοποθεσία

κάθε συγκεκριµένου έργου, η κατανοµή κονδυλίων ενδεχοµένως εξαρτάται

από µακροοικονοµικές µελέτες, και µπορεί επίσης να εξαρτάται από

πολιτικούς και θεσµικούς παράγοντες. Συνήθως πολλοί φορείς σε όλα τα

επίπεδα της κυβέρνησης σχεδιάζουν, µελετούν και λειτουργούν δηµόσια έργα,

αξιοποιώντας τους δικούς τους υπαλλήλους και/ή συµβαλλόµενοι µε ιδιωτικές

εταιρείες.

Οι επαγγελµατίες που εµπλέκονται στον χώρο των έργων υποδοµής

αναγνωρίζουν τη διεπιστηµονική φύση του σχεδιασµού τους. Εκτός από τη

λειτουργική αποτελεσµατικότητα του συγκεκριµένου έργου, και τις επιδράσεις

του στη δηµόσια υγεία και ασφάλεια όσων επηρεάζονται από αυτό, οι

υπεύθυνοι σχεδιασµού καλούνται να θεωρήσουν τις επωφελείς και

ανεπιθύµητες περιβαλλοντικές, κοινωνικές, και οικονοµικές επιπτώσεις του

συγκεκριµένου έργου. Πρέπει επίσης να συνυπολογίσουν άλλους παράγοντες,

π.χ. πολιτικής, θεσµικής, αισθητικής, νοµικής και οικονοµικής φύσης, που

καθορίζουν κατά πόσον ένα συγκεκριµένο έργο είναι αποδεκτό και µπορεί να

υλοποιηθεί µε επιτυχία. Οι φορείς σχεδιασµού σήµερα δεν αρκεί να

στελεχώνονται µόνο µε υπαλλήλους εξειδικευµένους σε επιστηµονικά πεδία

όπως η µηχανική, τα οικονοµικά, η βιολογία, η νοµική, και οι κοινωνικές και

πολιτικές επιστήµες. Υπεύθυνοι σχεδιασµού είναι συνήθως άτοµα µε τεχνική

εξειδίκευση, που όµως έχουν επιπρόσθετα βασική κατανόηση των άλλων

επιστηµών και την ικανότητα να συνεργάζονται µε άλλους επαγγελµατίες.

4

Όσοι επηρεάζονται από τις επωφελείς και ανεπιθύµητες επιπτώσεις των

συγκεκριµένων έργων πρέπει να συµµετέχουν στον σχεδιασµό. Ο

αποτελεσµατικός σχεδιασµός έργων υποδοµής απαιτεί όχι µόνο κατάλληλη

σχέση και συνεργασία ανάµεσα στους υπεύθυνους σχεδιασµού στο εθνικό,

περιφερειακό και τοπικό επίπεδο, και ανάµεσα στους υπεύθυνους στο επίπεδο

τοµέα και συγκεκριµένου έργου, αλλά επίσης και ενεργό συµµετοχή των

επωφελούµενων από το συγκεκριµένο έργο και άλλων ενδιαφερόµενων για

τον σχεδιασµό στα διάφορα στάδια της εξέλιξης του. Τα ενδιαφερόµενα µέρη

µπορεί να περιλαµβάνουν κοινωνικές οµάδες πίεσης µε ειδικά συµφέροντα,

αλλά και άτοµα που δεν επηρεάζονται άµεσα από το αποτέλεσµα του

σχεδιασµού.

Το φυσικό, περιβαλλοντικό, κοινωνικό και πολιτικό πλαίσιο µέσα στο οποίο

λαµβάνει χώρα ο σχεδιασµός διαφέρει επίσης από τόπο σε τόπο. Έτσι ο

υπεύθυνος σχεδιασµού, όταν προσπαθεί να υιοθετήσει µια γενική προσέγγιση

και λεπτοµερείς µεθοδολογίες, πρέπει να αναγνωρίσει ότι κάθε συγκεκριµένο

έργο παρουσιάζει ποικιλία ιδιοµορφιών και περιορισµών. Τεχνικές

σχεδιασµού που έχουν εφαρµοστεί προηγουµένως µε επιτυχία για

συγκεκριµένα έργα διαφόρων τύπων µπορούν να αποτελέσουν οδηγό για τον

σχεδιασµό παρόµοιων έργων στο µέλλον. Όµως, για τα περισσότερα έργα είναι

πιθανό ότι ο υπεύθυνος θα θελήσει να κάνει τροποποιήσεις ανάλογα µε τις

νέες συνθήκες κάτω από τις οποίες είναι υποχρεωµένος να εργαστεί.

1.4 ΜΕΡΙΚΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΜΟ ΕΡΓΩΝ

ΥΠΟ∆ΟΜΗΣ

Το συγκεκριµένο έργο (project) είτε µόνο ή σαν συνιστώσα ενός συνολικού

σχεδίου ή ενός προγράµµατος είναι και θα συνεχίζει να είναι το κύριο όχηµα

για σχεδιασµό και υλοποίηση των έργων υποδοµής.

Ο σχεδιασµός περιλαµβάνει την αναγνώριση, µορφοποίηση, και ανάλυση του

συγκεκριµένου έργου. ∆ραστηριότητες σχεδιασµού επίσης περιλαµβάνονται

και σε επόµενες φάσεις του έργου όπως υλοποίηση, µελέτη, κατασκευή, και

λειτουργία. Οι µηχανικοί συνήθως διακρίνουν τον σχεδιασµό (planning) και

τον υπολογισµό ή τεχνικό σχεδιασµό (design), χρησιµοποιώντας τον δεύτερο

όρο για την εκπόνηση λεπτοµερειακών µελετών µηχανικού, σχεδίων και

προδιαγραφών για κατασκευές, εξοπλισµούς και άλλες συνιστώσες του

συγκεκριµένου έργου.

Ενώ οι όροι σκοπός (purpose), επιδίωξη (goal), και στόχος (objective) έχουν

παρόµοια σηµασία στην καθηµερινή γλώσσα, στον σχεδιασµό έργων

υποδοµής έχουν διαφορετική σηµασία. Παραδοσιακά ο όρος «σκοπός»

5

αναφέρεται σε µια κατηγορία αναγκών και προβληµάτων σε έναν οικονοµικό

τοµέα όπως υδατικοί πόροι ή µεταφορές, ενώ ο όρος «επιδίωξη» ή «στόχος»

υπονοεί µια ευρύτερη αξία όπως περιβαλλοντική ποιότητα ή κοινωνική

ισότητα. Οι όροι «επιδίωξη» ή «στόχος» επίσης χρησιµοποιούνται σε διάφορες

επιστήµες για να εκφράσουν µετρήσιµες ποσότητες για το επιθυµητό

αποτέλεσµα ενός συγκεκριµένου έργου, όπως κόστος (ελαχιστοποίηση),

καθαρό όφελος (µεγιστοποίηση), ιδιότητα (π.χ. υψόµετρο πληµµύρας, αριθµός

βακτηριδίων, µονάδες δηµόσιων κατοικιών, κ.λπ.). Οι πολιτικές σχετίζονται µε

επιδιώξεις ή στόχους και υπόκεινται σε διάφορους νοµικούς, θεσµικούς και

άλλους περιορισµούς που περιστέλλουν την ανάπτυξη και διαχείριση µέσα σε

καθορισµένα όρια.

Έχοντας αφετηρία δύο εκδοχές σχεδιασµού, που καθεµιά είναι βέλτιστη όσον

αφορά διαφορετικούς στόχους, είναι δυνατό να εξετάζονται σταθµίσεις

(tradeoffs) οι οποίες αυξάνουν την απόδοση για τον έναν στόχο µειώνοντας

την απόδοση για τον άλλο. Συχνά µια τέτοια διαδικασία οδηγεί στην πιο

ικανοποιητική συµβιβαστική λύση, µε την έννοια ότι µπορεί να

συµπεριλαµβάνονται µέτρα που βελτιώνουν την ποιότητα του περιβάλλοντος,

αλλά προκαλούν µείωση στο καθαρό οικονοµικό όφελος.

Στο σχεδιασµό, χρειάζεται να δοθεί επαρκής προσοχή στις εξωτερικότητες

(θετικές και αρνητικές) οικονοµικής, κοινωνικής, και περιβαλλοντικής φύσης,

οι οποίες είναι επιδράσεις αποδιδόµενες σε µια λύση, αλλά δεν εµπίπτουν στο

κύριο αντικείµενο του συγκεκριµένου έργου.

1.5 Η ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΤΗΣ ΣΥΣΤΗΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

Παρ΄ όλο που έργα υποδοµής έχουν κατασκευαστεί συνεχώς επί χιλιετίες, ο

σύγχρονος σχεδιασµός τέτοιων έργων έχει εξελιχθεί µόνο τα τελευταία 70

χρόνια. Από τεχνολογική και οικονοµική άποψη, ο σχεδιασµός έργων

υποδοµής µέσα σε ένα πολύπλευρο, πολυσκοπικό, πολυστοχικό περιφερειακό

πλαίσιο είναι η λογική εξέλιξη παλαιών µεθόδων, όπως αυτή προσδιορίστηκε

από την ανάπτυξη σύγχρονων τεχνικών όπως ανάλυση συστηµάτων,

επιχειρησιακή έρευνα, και προγραµµατισµός υπολογιστών. Μείζονες

αλλαγές, επιπλέον αυτών των τεχνολογικών εξελίξεων, έχουν επέλθει µε την

εισαγωγή συµπληρωµατικών ζητηµάτων (ιδιαίτερα περιβαλλοντικών και

κοινωνικών παραγόντων) που συνήθως δεν είναι ποσοτικοποιήσιµα µε την

παραδοσιακή έννοια (όπως είναι δυνατόν να ποσοτικοποιούνται οι δοµικοί,

λογιστικοί, λειτουργικοί, και άλλοι τεχνολογικοί παράγοντες). ∆ηλαδή, στον

κεντρικό ρόλο των µηχανικών στον σχεδιασµό των έργων, προστέθηκε η

συµβολή οικονοµολόγων, ιδιαίτερα µετά την απαίτηση για ανάλυση οφέλους-

κόστους, και πιο πρόσφατα η συµµετοχή οικολόγων, κοινωνιολόγων, και

6

άλλων περιβαλλοντικών και κοινωνικών επιστηµόνων µετά την απαίτηση για

προετοιµασία µιας ειδικής µελέτης («Μελέτη Περιβαλλοντικών Επιπτώσεων»)

για κάθε δράση που έχει «σηµαντικές» παράπλευρες επιπτώσεις.

Η µέθοδος της συστηµικής ανάλυσης, η οποία παρουσιάζεται σχηµατικά στο

Σχήµα 1.1, είναι µια σύγχρονη µέθοδος σχεδιασµού που είναι σε θέση να

παράγει υπηρεσίες και έργα αποτελεσµατικά όσο αφορά το κόστος,

αποδοτικά για το σκοπό που προορίζονται, και υλοποιήσιµα µέσω των

υφιστάµενων πόρων. Η ανάλυση συστηµάτων, σαν πρωτογενής έννοια, µπορεί

να αναφέρεται σε οποιαδήποτε συστηµατική και επιστηµονική προσέγγιση για

επίλυση προβληµάτων. Περιλαµβάνει παραδοσιακές µεθόδους καθώς και τις

πιο πρόσφατα αναπτυγµένες µαθηµατικές µεθόδους του επιστηµονικό πεδίου

της επιχειρησιακής έρευνας.

Μια συστηµική προσέγγιση τυπικά περιλαµβάνει τα εξής βήµατα:

Βήµα 1 - Εξειδίκευση των στόχων: Βασικός σκοπός κάθε έργου ή

προγράµµατος είναι η προστασία της υγείας και ευηµερίας του ανθρώπου και

του περιβάλλοντος γενικότερα. Άλλοι σκοποί µπορεί να προκύπτουν από

ερωτήσεις όπως: Πρόκειται για έργο τοπικής ή εθνικής σηµασίας; Εξυπηρετεί

τα συµφέροντα συγκεκριµένης κοινωνικής οµάδας (π.χ. αγρότες) ή το σύνολο

του πληθυσµού; Προάγεται το επενδυτικό κέρδος ή ασκείται κοινωνική

πολιτική (επιδοτήσεις, ανακατανοµή εισοδήµατος, φορολογικές ελαφρύνσεις);

Στα πλαίσια των τεχνικών έργων οι σκοποί (π.χ. η διατήρηση αποδεκτής

ποιότητας νερού για τις επιθυµητές χρήσεις) µεταφράζονται πρακτικά σε

στόχους τήρησης συγκεκριµένων προδιαγραφών ή ορίων (π.χ. συγκέντρωση

διαλυµένου οξυγόνου πάνω από 6 mg/l) που περιέχονται σε κανονισµούς και

κωδικοποιούν αφ’ ενός την υπάρχουσα γνώση για τις ιδιότητες των υλικών,

την κατανόηση των φυσικών φαινοµένων κ.λπ. και αφ’ ετέρου τις

επικρατούσες κοινωνικές αντιλήψεις και το επίπεδο οικονοµικής ανάπτυξης.

Βήµα 2 - Καθορισµός των κριτηρίων αποτελεσµατικότητας: Τα κριτήρια

µε τα οποία κρίνεται η αποδοτικότητα µιας στρατηγικής είναι ανάγκη να είναι

σε συµφωνία µε τους στόχους, όπως ορίστηκαν παραπάνω, ώστε ο µελετητής

να µπορεί να γνωρίζει πότε οι στόχοι έχουν επιτευχθεί ή πόσο αποτελεσµατικό

είναι ένα συγκεκριµένο έργο σε σχέση µε την εκπλήρωση των στόχων. Με

βάση τα παραπάνω, τα κριτήρια αποτελεσµατικότητας συνήθως συγκρίνουν

τις αποκρίσεις του συστήµατος σε διάφορες φορτίσεις µε τους στόχους που

καθορίστηκαν στο Βήµα 1. Το τελευταίο εξηγεί την ιδιαίτερη σηµασία των

υποδειγµάτων υπολογισµού της συµπεριφοράς του συστήµατος όταν

χρησιµοποιούνται διαφορετικοί συνδυασµοί εξωτερικών φορτίσεων.

7

Σχήµα 1.1. Η µέθοδος της συστηµικής ανάλυσης

Στόχοι

Υποδείγµατα Προσοµοίωσης

Ανάλυση Εναλλακτικές Λύσεις

Κριτήρια Αποτελεσµατικότητας

Ανθρώπινη Υγεία Ποιότητα Νερού Αισθητική Αναβάθµιση

Συγκεντρώσεις ρύπων– όρια Αριθµός ατυχηµάτων

Τεχνική, οικονοµική, θεσµική υλοποιησιµότητα

Φυσικές, Χηµικές, Βιολογικές ∆ιεργασίες

Βέλτιστη Λύση

Υλοποίηση

Αξιολόγηση Αποτελεσµάτων

∆είκτης επίδοσης Περιορισµοί Συστήµατα Ελέγχου

Πιλοτικές εφαρµογές Ιεράρχηση Εµπειρική γνώση

Μετρήσεις πεδίου Συνεχής βελτίωση

8

Βήµα 3 - Κατάλληλα υποδείγµατα υπολογισµού της συµπεριφοράς: Η

κατασκευή και χρήση υποδειγµάτων επιτρέπει να εκτιµάται η φύση και η

συµπεριφορά της σχεδιαζόµενης λύσης και να ελέγχεται η

αποτελεσµατικότητα εναλλακτικών καταστάσεων φόρτισης. Φυσικά, το τελικό

αποτέλεσµα εφαρµογής τέτοιων υποδειγµάτων πρέπει να είναι συµβατό, τόσο

µε τους στόχους που έχουν τεθεί, όσο και µε τα κριτήρια αποτελεσµατικότητας

που έχουν επιλεγεί. Με αυτόν τον τρόπο ο µελετητής µπορεί να αποφασίσει

κάτω από ποιες συνθήκες εκπληρούνται οι στόχοι και να µετρήσει την

αποτελεσµατικότητα οποιασδήποτε λύσης.

Βήµα 4 - Θεώρηση πολλών εναλλακτικών λύσεων: Κατά την επιλογή των

τιµών µεταβλητών σχεδιασµού και τη διαµόρφωση των εναλλακτικών λύσεων

πρέπει να λαµβάνονται υπόψη οι υπάρχοντες περιορισµοί ώστε τα

αποτελέσµατα να είναι πρακτικά, αποδεκτά και εφαρµόσιµα. Τέτοιοι

περιορισµοί είναι δυνατό να προέρχονται από τη δυσκολία πρακτικής

εφαρµογής ορισµένων µέτρων, από τις υπερβολικά αρνητικές επιπτώσεις σε

παραγωγικές δραστηριότητες, από την αναµενόµενη αντιδηµοτικότητα

ορισµένων µέτρων, από περιορισµένη διαθεσιµότητα ορισµένων αγαθών κ.λπ.

Για παράδειγµα η δυνατότητα εξυπηρέτησης ενός συστήµατος ύδρευσης

µπορεί να αυξηθεί:

Α. µε µείωση της ζήτησης µε περιορισµό της χρήσης νερού

Β. µε εκµετάλλευση των υπόγειων νερών

Γ. µε εισαγωγή νερού από άλλες υδρολογικές λεκάνες

∆. µε κατασκευή νέων ταµιευτήρων στην ίδια υδρολογική λεκάνη

Για κάθε εναλλακτική λύση ανακύπτουν νέα ερωτήµατα που πρέπει να

απαντηθούν, π.χ. στην επιλογή ∆ πόσοι ταµιευτήρες, που, πόσο µεγάλοι, πως

θα χρηµατοδοτηθεί η κατασκευή τους;

Βήµα 5 - Σύγκριση εναλλακτικών λύσεων και ανάλυση ευαισθησίας: Η

εργασία αυτή περιλαµβάνει τη συστηµατική αξιολόγηση όλων των διαθέσιµων

λύσεων µε εκτίµηση της σχετικής τους αποτελεσµατικότητας όσον αφορά τους

στόχους, το κόστος και την εφαρµοσιµότητα. Με αυτόν τον τρόπο εξετάζεται

η ευαισθησία του συστήµατος (π.χ. της ποιότητας αέρα στο κέντρο µιας πόλης)

σε σχέση µε διάφορα εναλλακτικά µέτρα (π.χ. µε την απαγόρευση της

κυκλοφορίας των ΙΧ), ή ακόµα και σε σχέση µε τον βαθµό αυστηρότητας

ορισµένων µέτρων (π.χ. µε τον βαθµό καθαρότητας των καυσίµων).

Το τελικό προϊόν αυτής της διαδικασίας µπορεί να συνοψίζεται σε έναν πίνακα

που καταχωρεί την αποτελεσµατικότητα των εναλλακτικών λύσεων σε σχέση

µε την εκπλήρωση των στόχων που έχουν τεθεί και κατατάσσει τα µέτρα αυτά

9

ιεραρχικά. Η εργασία αυτή διευκολύνεται µε τα επιλεγµένα υποδείγµατα για το

σύστηµα και τεχνικές προσοµοίωσης σε υπολογιστή. Ενδέχεται να βασίζεται

σε µια σωρευτική και απλοποιηµένη περιγραφή του κοινωνικού, οικονοµικού

και φυσικού συστήµατος (lumped model) η οποία παρέχει τη δυνατότητα

προσδιορισµού της «καλύτερης» λύσης µε βελτιστοποίηση.

Βήµα 6 - ∆ιαµόρφωση βέλτιστων στρατηγικών: Η «βέλτιστη» λύση που

προέκυψε από το προηγούµενο βήµα επιβεβαιώνεται ως «εφικτή» µε χρήση

λεπτοµερέστερων υποδειγµάτων (distributed model). Οι επιπτώσεις της λύσης

κατανοούνται και εκτιµώνται µε προσοµοίωση. Επιλέγεται ένα σύνολο από

εφαρµόσιµα µέτρα, µε τα οποία πληρούνται όλοι οι στόχοι που έχουν τεθεί µε

το ελάχιστο δυνατόν κόστος. Η διαµόρφωση πραγµατικά βέλτιστων

στρατηγικών απαιτεί, µεταξύ άλλων, λεπτοµερείς τεχνικές αναλύσεις, καθώς

επίσης και οικονοµική θεώρηση κάθε εναλλακτικής λύσης. Αν δεν υπάρχουν

τέτοια αναλυτικά τεχνικοοικονοµικά στοιχεία, συνήθως επιχειρείται να

διαµορφωθούν λογικές και πραγµατικά αποτελεσµατικές στρατηγικές µε κοινή

λογική, εµπειρία, και ακολουθώντας απλούς κανόνες.

Στην περίπτωση που δεν είναι διαθέσιµα κατάλληλα υποδείγµατα, η λήψη

αποφάσεων θα µπορούσε να βασιστεί µόνο σε µετρήσεις των µεταβλητών

κατάστασης του συστήµατος. Εάν π.χ. οι συγκεντρώσεις ρύπων στα νερά ενός

ποταµού υπερβαίνουν τα επιτρεπτά όρια, τότε διαµορφώνονται και

υλοποιούνται στρατηγικές ελέγχου που αποτελούνται από απλά και

εφαρµόσιµα µέτρα, η αποδοτικότητα και επάρκεια των οποίων κρίνεται από

τις βελτιώσεις που επιφέρουν, όπως προκύπτουν από τις συνεχιζόµενες

µετρήσεις της ποιότητας των νερών. Για να γίνουν τα παραπάνω είναι

απαραίτητη η καλή εµπειρική κατανόηση της υπάρχουσας κατάστασης, η

οποία µπορεί να χρησιµοποιηθεί από το προσωπικό για διαµόρφωση ενός

πλαισίου κανόνων (έµπειρο σύστηµα). Στην παραπάνω εµπειρική ή

στοιχειώδη προσέγγιση, η διαµόρφωση στρατηγικών βασίζεται περισσότερο

στη διαίσθηση και εµπειρία του προσωπικού των υπηρεσιών σχεδιασµού, παρά

σε αυστηρή διαδικασία ανάλυσης. Επιπλέον, η κάθε στρατηγική πρώτα

εφαρµόζεται και µετά διαπιστώνεται η αποτελεσµατικότητά της. Η έλλειψη

δυνατότητας ελέγχου της αποτελεσµατικότητας κάθε λύσης εκ των προτέρων

και η ως εκ τούτου ανάγκη πειραµατισµού µε εφαρµογή µέτρων µπορεί να

αποδειχτεί εξαιρετικά δαπανηρή και χρονοβόρα διαδικασία.

Ένα πιο εξελιγµένο σχήµα για διαµόρφωση λύσεων περιλαµβάνει τη

δηµιουργία των κατάλληλων υποδειγµάτων συµπεριφοράς του συστήµατος.

Τα διαθέσιµα στοιχεία από µετρήσεις χρησιµοποιούνται για την επαλήθευση

και βαθµονόµηση των υποδειγµάτων, έτσι ώστε οι προβλέψεις τους να

10

ανταποκρίνονται στην πραγµατικότητα. Αποτέλεσµα της εφαρµογής των

υποδειγµάτων είναι η λήψη µια σαφέστερης εικόνας σε σχέση µε την

αποτελεσµατικότητα του σχεδιασµού καθώς είναι δυνατόν να εντοπιστούν

πιθανές παραβάσεις των προδιαγραφών. Σε αυτή την περίπτωση είναι δυνατό

να διαµορφωθούν εναλλακτικές στρατηγικές ελέγχου, η αποτελεσµατικότητα

των οποίων σε σχέση µε τη βελτίωση της υφισταµένης κατάστασης και την

επίτευξη των επιθυµητών στόχων µπορεί εύκολα να υπολογιστεί µε χρήση των

ήδη επαληθευµένων υποδειγµάτων.

Μετά την εφαρµογή υπάρχει η δυνατότητα συνεχούς βελτίωσης µε

επαναλαµβανόµενα βήµατα µέχρι να επιτευχθεί ένα ικανοποιητικό επίπεδο.

Με αυτόν τον τρόπο εξαλείφεται, σε µεγάλο βαθµό, η ανάγκη των

πειραµατισµών κατά την εφαρµογή της στρατηγικής και τούτο προφανώς

προσφέρει σηµαντικά περιθώρια εξοικονόµησης χρόνου και χρήµατος. Εν

τούτοις τα πλεονεκτήµατα αυτά µπορούν να επιτευχθούν µόνο δια µέσου

εντατικότερης ανάλυσης και αυτή µπορεί να απλοποιηθεί µόνο µε τη βοήθεια

κατάλληλων και πρακτικών εργαλείων, που καθίστανται έτσι απαραίτητα

προκειµένου η όλη διαδικασία να είναι αποδοτική και κατάλληλη για ευρεία

εφαρµογή.

Βήµα 7- Υλοποίηση της διαµορφωµένης στρατηγικής: Σαν γενικός

κανόνας, τα µέτρα που επιλέγονται µέσω της στρατηγικής χρειάζονται

περαιτέρω ανάλυση και επαλήθευση, πριν από την εφαρµογή τους. Η έκταση

της περαιτέρω ανάλυσης εξαρτάται φυσικά από το κόστος του συγκεκριµένου

µέτρου και από τον βαθµό της αβεβαιότητας που αισθανόµαστε σε σχέση µε

τις προβλέψεις µας. Πέρα από την πρόσθετη ανάλυση και επαλήθευση, είναι

πιθανό ότι για µερικά πολύπλοκα µέτρα απαιτείται και µελέτη εφαρµογής πριν

την εκτέλεσή τους. Στρατηγικές που περιλαµβάνουν συγκεκριµένα τεχνικά ή

θεσµικά µέτρα αντί νοµοθετικές διατάξεις και όρια αποβλήτων ή εκποµπών,

είναι πολύ πιο εφαρµόσιµες στην πράξη.

Βήµα 8 - Εκτίµηση των αποτελεσµάτων: Η εργασία αυτή περιλαµβάνει την

ενδεχόµενη προσαρµογή της αρχικής στρατηγικής. Υπενθυµίζεται ότι οι

διαδικασίες διαµόρφωσης στρατηγικών δεν αποτελούν µια µοναδική

προσπάθεια, αλλά αντίθετα µια συνεχή διεργασία, η οποία προοδευτικά

βελτιώνεται από την ανάδραση των προηγούµενων εµπειριών και

αποτελεσµάτων.

Σαν τελευταία παρατήρηση πρέπει να αναφερθεί ότι τα τεχνικά έργα

σχεδιάζονται και κατασκευάζονται επί αιώνες χωρίς συγκεκριµένη αναφορά

και επίγνωση του πλαισίου της συστηµικής ανάλυσης. Όµως, στη σύγχρονη

11

πραγµατικότητα η πολυπλοκότητα των συστηµάτων και η εξέλιξη της

τεχνολογίας επιτάσσουν τον ολοκληρωµένο σχεδιασµό µέσω µιας βέλτιστης

οικονοµικής προσέγγισης. Παρά το γεγονός ότι ο βαθµός χρήσης τέτοιων

µεθοδολογιών διαφέρει σε κάθε χώρα και για κάθε τύπο έργου, η υπάρχουσα

εµπειρία δείχνει ότι τα αναµενόµενα οφέλη από τέτοιο σχεδιασµό είναι

σηµαντικά, ιδιαίτερα στις αναπτυσσόµενες χώρες, σε σχέση τόσο µε την

ποιότητα του τελικού αποτελέσµατος όσο και µε την επιτυγχανόµενη

οικονοµία και ταχύτητα υλοποίησης.

Η αυστηρή εφαρµογή της συστηµικής αντίληψης στην παραγωγή των

τεχνικών έργων είναι µια απαιτητική υπόθεση, καθώς απαιτεί τα λεπτοµερή

χαρακτηριστικά του συστήµατος, σειρά από τεχνικο-οικονοµικές µελέτες,

εφαρµογή υποδειγµάτων υπολογισµού της συµπεριφοράς, ανάλυση

ευαισθησίας και διαµόρφωση βέλτιστων στρατηγικών σε σχέση µε τους

στόχους που έχουν τεθεί. Οι παραπάνω απαιτήσεις, παρά τα πιθανά οφέλη,

καθιστούν την εφαρµογή των αυστηρών συστηµικών αναλύσεων

απαγορευτική στην πράξη για έργα µικρής κλίµακας. Εν τούτοις, η λήψη

αποφάσεων είναι µια αναγκαία και διαρκής διαδικασία και η επινόηση

τεχνικών συστηµικής ανάλυσης µε απλοποιηµένες απαιτήσεις, που είναι

αποδεκτές από τη µεγάλη πλειοψηφία των µελετητών και ικανές να

βελτιώσουν την αποτελεσµατικότητα των προωθούµενων µέτρων, αποκτούν

µεγάλη πρακτική σηµασία.


Στην Ενότητα 1.5 αναδείχθηκε ο κεντρικός ρόλος που κατέχουν τα

υποδείγµατα του συστήµατος στη µέθοδο της συστηµικής ανάλυσης. Το

µαθηµατικό υπόδειγµα είναι ένα ουσιώδες εργαλείο στον σύγχρονο σχεδιασµό

και διαχείριση έργων και συστηµάτων. Σε γενικές γραµµές, ένα τέτοιο

υπόδειγµα αποτελείται από µια ή περισσότερες δηλώσεις, εκφρασµένες µε

µαθηµατικούς όρους, οι οποίες περιγράφουν σχέσεις ανάµεσα σε εξαρτηµένες

και ανεξάρτητες µεταβλητές, όπως παρουσιάζεται στο Σχήµα 1.2. Η ανάλυση

των µαθηµατικών υποδειγµάτων έχει διευκολυνθεί σηµαντικά µε τη

διαθεσιµότητα σύγχρονων ηλεκτρονικών υπολογιστών που επιτρέπουν τη

λύση πολλών προβληµάτων τα οποία δε θα ήταν πρακτικό ή δυνατό να

αναλυθούν µε άλλα µέσα.

Πίνακες, γραφήµατα, µαθηµατικές εξισώσεις, λογικές δηλώσεις, και λεκτικές

περιγραφές είναι µέσα περιγραφής των ορίων του συστήµατος, των στοιχείων

εισόδου και εξόδου του συστήµατος και των σχέσεων τους, και οποιασδήποτε

ανάδρασης ανάµεσα στις µεταβλητές εξόδου και εισόδου.

12

Εάν ο στόχος του ελάχιστου κόστους είναι σταθερός και αποκλειστικός,

ενδεχοµένως να είναι δυνατό να αναπτυχθεί µόνο µια λύση για παρουσίαση

στους υπεύθυνους αποφάσεων. Όµως σε πολλές περιπτώσεις οι στόχοι δεν

είναι γνωστοί µε τόση σαφήνεια, και διάφορα εναλλακτικά σχήµατα αξίζει να

παρουσιάζονται στους υπεύθυνους αποφάσεων διότι συνεισφέρουν µε

αποτελεσµατικούς τρόπους στις συνιστώσες των στόχων.

Τεχνικό Σύστηµα

Ανεξάρτητες

µεταβλητές x

Μεταβλητές

απόφασης u

Εξαρτηµένες

µεταβλητές y

Εξωγενείς

µεταβλητές ξ

Σχήµα 1.2. Σχηµατική περιγραφή µαθηµατικού υποδείγµατος

Υπάρχουν διάφοροι τύποι µαθηµατικών υποδειγµάτων του συστήµατος

ανάλογα µε τα είδη των µαθηµατικών συναρτήσεων που χρησιµοποιούνται.

Παρακάτω επιχειρείται η κατηγοριοποίηση των µαθηµατικών υποδειγµάτων

που χρησιµοποιούνται σε συστήµατα υδατικών πόρων:

(α) Αλγεβρική εξίσωση: Μπορεί να προκύψει µε προσαρµογή καµπύλης σε

εµπειρικές µετρήσεις π.χ. όγκος φερτών = fn(έκταση λεκάνης απορροής) 2

210)( xaxaaxfy ++==

(β) Εξίσωση διαφορών: Μπορεί να περιγράφουν χρονικά µεταβαλλόµενα

συστήµατα µε καθυστέρηση, µνήµη, πολλαπλές µεταβλητές κ.λπ., π.χ.

σχέση βροχής – απορροής kkkkk xbyay +=+1

σχέση στάθµης – απορροής 2

111

γγ ++ = kk yz

(γ) Κανονική διαφορική εξίσωση: Μπορεί να προκύψει από ισοζύγιο µάζας, ή

διεργασίες αποµείωσης ή προσαύξησης της εξεταζόµενης µεταβλητής

κατάστασης, π.χ. µεταβολή της ποσότητας διαλυµένου οξυγόνου y(t) σε λίµνη

που δέχεται ρυπαντικό φορτίο x(t)

)()( txbtyadt

dy+= , όπου a, b είναι παράµετροι

13

(δ) Ολοκληρωτική εξίσωση: Όπως η γνωστή από την υδρολογία σχέση

βροχόπτωσης – παροχής (υδρογράφηµα) µε τη µορφή ολοκληρώµατος

∫=t

t

dxtgty

0

)(),()( τττ

(ε) ∆ιαφορική εξίσωση µε µερικές παραγώγους: Όπως η εξίσωση ροής σε

υπόγειο υδροφορέα

PRhT −=∇∇+∂

∂)(

t

hS

όπου S συντελεστής αποθήκευσης παράµετρος

T µεταφορικότητα παράµετρος

h υδραυλικό φορτίο εξαρτηµένη µεταβλητή

R κατείσδυση εξωγενής µεταβλητή

P ένταση άντλησης µεταβλητή απόφασης

Παράδειγµα 1.1 Κρεµαστή ράβδος – διαµόρφωση εξισώσεων

Ένα στοιχείο µήκους L θα φτιαχτεί από αρκετά ισχυρό υλικό ώστε µε λογικό

εµβαδόν διατοµής, να αντέχει σε φορτίο F. Η ράβδος θα κρεµαστεί

κατακόρυφα, στερεωµένη στην οροφή ενός χώρου από τη µια άκρη, και η

επιµήκυνση λόγω φορτίου δε θα ξεπερνά δ µονάδες.

Α. Περιγραφή προβλήµατος και στόχου

Μετά από συνεργασία του ιδιοκτήτη του χώρου και του µηχανικού-µελετητή

προκύπτει κοινή κατανόηση του προβλήµατος και του στόχου, ώστε να µην

προκύψουν αργότερα διαφωνίες για την προτεινόµενη λύση.

Β. Συµβολικό υπόδειγµα

L µήκος του στοιχείου σε µέτρα (δίδεται)

∆L επιµήκυνση (m)

Ax εµβαδόν της διατοµής του στοιχείου (m2)

Α το σηµείο επαφής οροφής µε το στοιχείο (δίδεται)

Β το κάτω άκρο του στοιχείου (δίδεται)

Ε µέτρο ελαστικότητας του υλικού

F το αξονικό φορτίο (δίδονται οι ακραίες τιµές του)

FA, FB αξονικά φορτία στα ακραία σηµεία Α και Β

UA, UB µετακινήσεις των σηµείων Α και Β εξαιτίας των FA και FB

δ µεγίστη επιτρεπτή τιµή του UB

Το υπόδειγµα αυτό συνδέει τη γνώση που έχει ο µηχανικός για το πραγµατικό

υπόδειγµα που ακολουθεί πιο κάτω.

14

Β

[Πραγµατικός κόσµος] [Συµβολικό µοντέλο] [Μαθηµατικό Μοντέλο]

Από τις µεταβλητές µερικές ελέγχονται άµεσα από τον µηχανικό και άλλες όχι.

Εάν πρέπει να καθορίσουµε το Ax και το E αυτές οι µεταβλητές ονοµάζονται

«µεταβλητές απόφασης». Οι άλλες µεταβλητές, για δεδοµένο F, µπορούν να

υπολογισθούν σαν συναρτήσεις των Ax, E και F.

Γ. Σχηµατικό υπόδειγµα

Στο Σχήµα 1.3 εµφανίζεται η απλοποιηµένη περιγραφή του πραγµατικού

συστήµατος, όπως την κατανοεί ο µηχανικός. Είναι ζητούµενο να ελεγχθεί

κατά πόσο η περιγραφή αυτή ενσωµατώνει τα βασικά χαρακτηριστικά του

συστήµατος.

Μέλη συστήµατος Ιδιότητες ή χαρακτηριστικά

Σηµείο επαφής Α FA, UA

Σηµείο επαφής Β FB, UB

Στοιχείο ΑΒ F, ∆L, Ax, E

Σχήµα 1.3. Σχηµατικό υπόδειγµα του συστήµατος

∆. Μαθηµατικά υποδείγµατα

Γιά τη συµπεριφορά του συστήµατος:

L

∆LE

A

F=

x

(1) νόµος ελαστικής συµπεριφοράς

Για τις αλληλεπιδράσεις των µελών:

∆L = UB - UA (2)

UA= 0 (3)

F = FB (4)

FA = FB (5)

Για την αντίδραση του συστήµατος σε εξωτερικά ερεθίσµατα:

Το φορτίο FB είναι η εισροή (input) στο σύστηµα και οι µετακινήσεις, UA και

UB είναι οι εκροές (output). Από τις (1), (2) και (3),

L

UΒ

FΒ

Α

15

∆L = UBEA

LF

x

= (6)

Για τη σχεδίαση της ράβδου απαιτείται: UB ≤ δ δ

FLEA

ή x ≥ (7)

και για διακύµανση του F µεταξύ των τιµών F1 και F2 δ

FLEA 2

x

≥ (8)

Έτσι ο µηχανικός συµπεραίνει ότι οποιαδήποτε επιλογή Αx και Ε που

ικανοποιεί την (8) θα πρέπει να είναι αποδεκτή. Πως θα γίνει η επιλογή; Η

αισθητική επιβάλλει περιορισµούς στο εµβαδό της διατοµής ενώ ο ιδιοκτήτης

επιθυµεί µια οικονοµική λύση. Έστω ότι διαµορφώνονται τα επιπλέον

κριτήρια:

Κυκλική τοµή, όχι µεγαλύτερη από 10 cm2, και όσο πιο µικρό κόστος γίνεται.

Αν το κόστος ανά µονάδα όγκου του υλικού είναι Κ τότε το κόστος για το

υλικό είναι Κ L Ax. Το πρόβληµα λοιπόν για την επιλογή του υλικού

διατυπώνεται ως εξής:

Κ L Ax ελάχιστο και δA

FLE

x

2 ≥

Είναι λογικό να υποθέσουµε ότι όσο πιο ακριβό είναι το υλικό τόσο πιο

µεγάλο το Ε, και έστω ότι υπάρχει µια γραµµική συσχέτιση µεταξύ του Κ και

του Ε. Τότε το πρόβληµα γράφεται

Ε ελάχιστο και δA

FLE

x

2 ≥

Από πίνακες µε τις ιδιότητες των υλικών αναζητείται το υλικό που έχει το

µικρότερο Ε αλλά όχι µικρότερο από την τιµή δA

FL

x

2 .

Παράδειγµα 1.2 (Ossenbruggen) ∆ικτύωµα Ελάχιστου Βάρους

Θεωρείστε το δικτύωµα του Σχήµατος 1.4. ∆ιατυπώστε ένα µαθηµατικό

υπόδειγµα για να σχεδιαστεί ένα απλό δικτύωµα ελάχιστου βάρους. Η κρίσιµη

επιτρεπόµενη θλιπτική και εφελκυστική τάση για τα στοιχεία του δικτυώµατος

είναι 10 ksi και 20 ksi αντίστοιχα. Το δικτύωµα πρόκειται να κατασκευαστεί

από χάλυβα. Όλα τα στοιχεία µε ίδιο τύπο φόρτισης έχουν το ίδιο εµβαδόν

διατοµής.

16

Σχήµα 1.4. Στατικά Ορισµένο ∆ικτύωµα

Μεταβλητές Απόφασης. Τα δοµικά στοιχεία θα διαστασιολογηθούν ανάλογα µε

τον τύπο της φόρτισης που δέχονται (θλίψη ή εφελκυσµός). Έτσι οι

µεταβλητές ελέγχου ορίζονται ως

x1 = A1 = εµβαδόν διατοµής θλιπτικού στοιχείου (in2)

x2 = A2 = εµβαδόν διατοµής εφελκυστικού στοιχείου (in2)

Το διάνυσµα µεταβλητών απόφασης είναι u = [x1 x2]T

Αντιδράσεις. Οι αντιδράσεις στα σηµεία στήριξης Α και C προσδιορίζονται µε

την εξίσωση στατικής ισορροπίας για όλο το δικτύωµα.

0=∑ xF ΗΑ = 0

0=∑ yF - VΑ + VC – 100 = 0 VA = 50 kips

0=∑ AM 80 VC – 120 . 100 = 0 ⇒ VC = 150 kips

∆υνάµεις και τάσεις στοιχείων. Χρησιµοποιώντας τη µέθοδο των κόµβων

υπολογίζουµε τις δυνάµεις σε κάθε στοιχείο. Για τον κόµβο D γράφουµε

(προσοχή στα πρόσηµα):

0=∑ xF -BD + 4/5 CD = 0 ⇒ BD = 133 kips

(εφελκυσµός στη ράβδο BD)

0=∑ yF 3/5 CD – 100 = 0 ⇒ CD = 167 kips

(θλίψη στη ράβδο CD)

Οι τάσεις των στοιχείων αυτών είναι: σBD = 133/ A2

και σCD = 167/ A1

P=100 kips

30 ft

40 ft 40 ft 40 ft

A

B

C

D

VCVA

HA

D

PCD

BD

17

Παρόµοια για τον κόµβο Β γράφουµε:

0=∑ xF BD - 4/5 BC - 4/5 AB = 0

⇒ 133- 8/5 AB = 0 ⇒ AB = 83.3 kips

(εφελκυσµός στη ράβδο AB)

0=∑Fy -3/5 AB + 3/5 BC = 0 ⇒ AB = BC

(θλίψη στη ράβδο BC)

Οι τάσεις των στοιχείων αυτών είναι: σΑΒ = 83.3/ A2

σΒC = 83.3/ A1

και παρόµοια υπολογίζουµε σΑC = 66.7/ A1

Περιορισµοί. Οι τάσεις των στοιχείων πρέπει να είναι µικρότερες ή ίσες της

κρίσιµης επιτρεπόµενης θλιπτικής και εφελκυστικής τάσης 10 ksi και 20 ksi

αντίστοιχα

Στοιχείο AB εφελκυσµός σΑΒ = 83.3/ A2 ≤ 20 ή A2 ≥ 4.2 in2

Στοιχείο AC θλίψη σΑC = 66.7/ A1 ≤ 10 ή A1 ≥ 6.7 in2

Στοιχείο BC θλίψη σBC = 83.3/ A1 ≤ 10 ή A1 ≥ 8.3 in2

Στοιχείο BD εφελκυσµός σBD = 133/ A2 ≤ 20 ή A2 ≥ 6.7 in2

Στοιχείο CD θλίψη σCD = 167/ A1 ≤ 10 ή A1 ≥ 16.7 in2

Όλοι οι περιορισµοί ικανοποιούνται αν A1 ≥ 16.7 in2 και A2 ≥ 6.7 in

2

Στο επίπεδο A1 - A2 οι περιορισµοί ικανοποιούνται στη γραµµοσκιασµένη

περιοχή, η οποία για τον λόγο αυτόν ονοµάζεται «εφικτή περιοχή».

Αντικειµενική συνάρτηση. Το βάρος κάθε στοιχείου είναι ίσο µε το ειδικό

βάρος του χάλυβα (490 lb/ft3 ή 3.4 lb/ft-in

2) επί τον όγκο του στοιχείου. Το

συνολικό βάρος του δικτυώµατος είναι το άθροισµα των βαρών των στοιχείων

που το αποτελούν, δηλαδή

z = 3.4 [VΑΒ + VΑC + VΒC + VΒD + VCD ]

όπου V = όγκος κάθε στοιχείου = µήκος του στοιχείου επί το εµβαδόν της

διατοµής του.

z = 3.4 [50 Α2 + 80 Α1 + 50 Α1 + 80 Α2 + 50 Α1 ]

ή

z = 612 Α1 + 442 Α2

Μαθηµατικό υπόδειγµα. Η µαθηµατική διατύπωση του προβλήµατος έχει

ολοκληρωθεί. Συνοψίζοντας:

min z = 612 Α1 + 442 Α2

υπό τους περιορισµούς Α1 , Α2 ≥ 0

B BD

BC

AB

18

0

10

20

30

0 10 20 30

A1 ≥ 16.7 in2

A2 ≥ 6.7 in2

Επίλυση. Η λύση προκύπτει γραφικά αυξάνοντας την τιµή της

αντικειµενικής συνάρτησης µέχρι να έχει τουλάχιστον ένα κοινό σηµείο µε την

εφικτή περιοχή. Το ελάχιστο βάρος του δικτυώµατος προκύπτει για A1 = 16.7

in2 και A2 = 6.7 in

2 και είναι 13182 lb.

Παρατηρήσεις. Η δηµιουργία του υποδείγµατος χρησιµοποιεί βασικές αρχές

της µηχανικής και του στατικού σχεδιασµού. Στις περισσότερες περιπτώσεις

γνώσεις µηχανικής και τεχνικής οικονοµικής θα είναι επαρκείς για τη

διαµόρφωση του υποδείγµατος. Η βέλτιστη λύση θα ικανοποιεί ταυτόχρονα

την αντικειµενική συνάρτηση και τους περιορισµούς. Η προσέγγιση αυτή θα

πρέπει να αποφέρει ένα καλύτερο αποτέλεσµα, καθώς το βάρος του

δικτυώµατος θα είναι ελάχιστο (και εποµένως η λύση πιο οικονοµική) ενώ θα

αξιοποιείται η γνώση για τη συµπεριφορά του δικτυώµατος και τις ιδιότητες

του υλικού.

1.7 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

Οι ρίζες της Επιχειρησιακής Έρευνας (Ε.Ε.) µπορεί να ανιχνευθούν πολλές

δεκαετίες πριν, όταν γίνονταν οι πρώτες προσπάθειες χρήσης της

επιστηµονικής προσέγγισης για τη διοίκηση οργανισµών ή τον κεντρικό

σχεδιασµό της οικονοµίας χωρών. Όµως η αρχή των µεθόδων που σήµερα

αποκαλούνται επιχειρησιακή έρευνα, γενικά αποδίδεται στις στρατιωτικές

υπηρεσίες των συµµαχικών δυνάµεων στην αρχή του ∆ευτέρου Παγκοσµίου

Πολέµου, για τον επιµερισµό σπάνιων πόρων µε ένα αποτελεσµατικό τρόπο σε

19

διάφορες στρατιωτικές λειτουργίες και σε δραστηριότητες της κάθε

λειτουργίας. Από την εποχή του πολέµου, η Ε.Ε. έχει επεκταθεί σηµαντικά στη

βιοµηχανία, επιχειρήσεις, και κυβέρνηση. Αυτή η επέκταση αποδίδεται στη

βελτίωση των τεχνικών Ε.Ε. και στη διαθεσιµότητα ισχυρών ηλεκτρονικών

υπολογιστών.

Στις περισσότερες µεθόδους Ε.Ε. εφαρµόζεται µια κοινή προσέγγιση (Σχήµα

1.2). Το σύστηµα περιγράφεται µε ένα µαθηµατικό υπόδειγµα. Το υπόδειγµα

αυτό αποτελείται από εξισώσεις, λογικές δηλώσεις, και άλλες οδηγίες για την

επεξεργασία διαθέσιµων στοιχείων και/ή τη δηµιουργία και επεξεργασία

συνθετικών στοιχείων. Οι σχέσεις που περιγράφουν το σύστηµα,

συσχετίζοντας τις µεταβλητές εισόδου και εξόδου, εκφράζονται µε

παραµέτρους που συνήθως απαιτείται να προσδιοριστούν µε παρατηρήσεις

και µετρήσεις των µεταβλητών εξόδου και που µπορεί να είναι σταθερές ή να

µεταβάλλονται µε προκαθορισµένο τρόπο. Μεταβλητές που δεν είναι δυνατόν

να ελεγχθούν ονοµάζονται εξωγενείς και µπορεί να περιγράφονται µε

συναρτήσεις πιθανότητας. Αντίθετα µεταβλητές των οποίων οι τιµές είναι

δυνατόν να καθοριστούν πλήρως ή µερικώς κατά την επιθυµία του υπεύθυνου

(καταβάλλοντας το ανάλογο κόστος) ονοµάζονται µεταβλητές απόφασης.

Μια πολιτική, ή σύνολο αποφάσεων, προκύπτει για κάθε σύνολο τιµών των

µεταβλητών απόφασης. Απαγορεύσεις εφαρµοζόµενες στο υπόδειγµα, ή

περιορισµοί, µπορεί να περιλαµβάνουν φυσικές, οικονοµικές, ή οποιεσδήποτε

άλλες ποσότητες εκφράσιµες µε µαθηµατικούς όρους. Μια πολιτική που δεν

παραβιάζει οποιουσδήποτε περιορισµούς είναι µια εφικτή πολιτική, και το

σύνολο όλων των εφικτών πολιτικών συνιστά τον χώρο των εφικτών

πολιτικών.

Οι µεταβλητές κατάστασης αντιπροσωπεύουν τον ελάχιστο αριθµό

µεταβλητών που απαιτούνται για να περιγράψουν τις συνθήκες του

συστήµατος σε οποιοδήποτε σηµείου χρόνου ή χώρου.

Σε µια τεχνική επιχειρησιακής έρευνας, η αντικειµενική συνάρτηση είναι

ένας τρόπος να εκφράζονται οι έννοιες της βελτιστότητας ή καλύτερου

αποτελέσµατος. Με γενικότερους όρους, η αντικειµενική συνάρτηση είναι

ένας δείκτης επίδοσης µε βάση τον οποίο µπορεί να κριθούν οι συνέπειες ή

παράγωγα του συστήµατος: Για παράδειγµα, στο πλαίσιο των έργων, η

αντικειµενική συνάρτηση µπορεί να καθορίζει το κόστος σαν συνάρτηση των

διαφόρων µεγεθών των πόρων που χρησιµοποιούνται ή δηµιουργούνται.

20

Συνοψίζοντας τα παραπάνω, η µεθοδολογία της Ε.Ε. απαιτεί:

(1) Υπόδειγµα του συστήµατος στη γενική µορφή y = fn(x, u, ξ)

όπου y εξαρτηµένες µεταβλητές y = [y1 y2 …yn]T

x ανεξάρτητες µεταβλητές x = [x1 x2 …xp]T

u µεταβλητές απόφασης (ελέγχου) u = [u1 u2 …um]T

ξ εξωγενείς µεταβλητές

(2) ∆είκτης επίδοσης (αντικειµενική συνάρτηση) που σχετίζεται µε το

οικονοµικό αποτέλεσµα µιας συγκεκριµένης πολιτικής που εφαρµόζεται στο

πρόβληµα

min J = J(y, u)

(3) Σύνολο περιορισµών F(y, u) = 0 ισότητες

G(y, u) ≥ 0 ανισότητες

Για όλα τα σύνθετα προβλήµατα, η λύση επιτυγχάνεται µε υπολογιστικές

διαδικασίες. Για τον λόγο αυτόν, οι εφαρµογές επιχειρησιακής έρευνας

απαιτούν έναν πλήρη και σαφή ορισµό του συστήµατος και άµεσες δηλώσεις

που αναµένουν ενδιάµεσα αποτελέσµατα και προσδιορίζουν εναλλακτικούς

τρόπους επεξεργασίας πληροφοριών. Η συστηµατική διαδικασία που

κατευθύνει τη λύση ενός προβλήµατος προγραµµατισµού αναφέρεται σαν

αλγόριθµος. Συχνά για τη λύση είναι απαραίτητη η εφαρµογή τεχνικών

επιχειρησιακής έρευνας, προσεγγίσεων, απλουστευτικών παραδοχών, και

µετασχηµατισµών σε µαθηµατικές µορφές που είναι επιλύσιµες. Είναι

σηµαντικό να εξασφαλίζεται ότι, αφού εφαρµοστούν τέτοιες διαδικασίες, το

υπόδειγµα παραµένει µια ισχύουσα αναπαράσταση του συστήµατος.

Σε ένα γραµµικό υπόδειγµα, η αντικειµενική συνάρτηση και οι περιορισµοί

είναι σε γραµµική µορφή. Σε ένα µη γραµµικό υπόδειγµα, µερικοί ή όλοι οι

περιορισµοί και/ή η αντικειµενική συνάρτηση είναι µη γραµµικοί.

Στα προσδιοριστικά υποδείγµατα, ή στοιχεία υποδειγµάτων, σε κάθε

µεταβλητή και παράµετρο αποδίδεται ένας καθορισµένος σταθερός αριθµός ή

µια σειρά σταθερών αριθµών για οποιοδήποτε σύνολο συνθηκών. Σε ένα

πιθανολογικό (ή στοχαστικό) υπόδειγµα, οι µεταβλητές και παράµετροι και η

δοµή του υποδείγµατος µπορεί να είναι πιο δύσκολο να καθοριστούν.

Τα στατικά υποδείγµατα δε λαµβάνουν άµεσα υπόψη τη µεταβλητή του

χρόνου, σε αντίθεση µε τα δυναµικά υποδείγµατα. Η διάκριση αυτή δεν είναι

πάντοτε περιοριστική στον γραµµικό προγραµµατισµό (Γ.Π.), δυναµικό

προγραµµατισµό (∆.Π.), και άλλες επώνυµες τεχνικές επιχειρησιακής έρευνας,

21

καθώς οι περισσότερες µπορεί να χρησιµοποιούνται τόσο για στατικά όσο και

για δυναµικά προβλήµατα.

Σε ένα υπόδειγµα σωρευτικών παραµέτρων, οι διάφορες παράµετροι και

εξαρτηµένες µεταβλητές είναι οµοιογενείς σε όλο το σύστηµα. Ένα υπόδειγµα

κατανεµηµένων παραµέτρων λαµβάνει υπόψη τις αποκλίσεις συµπεριφοράς

από σηµείο σε σηµείο µέσα σε όλο το σύστηµα.

Οι κύριες τεχνικές υποδειγµάτων έχουν ταξινοµηθεί ως:

(1) υποδείγµατα και τεχνικές αναλυτικής βελτιστοποίησης,

(2) πιθανολογικά υποδείγµατα και τεχνικές,

(3) στατιστικές τεχνικές, και

(4) προσοµοίωση και έρευνα ή τεχνικές δειγµατοληψίας.

Τα υποδείγµατα αναλυτικής βελτιστοποίησης περιλαµβάνουν τις µεθόδους που

χρησιµοποιούν κλασσικό λογισµό και πολλαπλασιαστές Lagrange καθώς

επίσης και τις τεχνικές µαθηµατικού προγραµµατισµού: γραµµικό, µη

γραµµικό, δυναµικό και βέλτιστο έλεγχο. Υποδείγµατα δικτύων όπως PERT

και η µέθοδος κρίσιµης διαδροµής (CPM) χρησιµοποιούνται συχνά για τον

χρονικό προγραµµατισµό έργων σχεδιασµού και κατασκευής. Στα επόµενα

κεφάλαια θα αναπτυχθούν µε λεπτοµέρεια οι παραπάνω τεχνικές και η

εφαρµογή τους σε προβλήµατα µηχανικού.

Για την πληρότητα της παρουσίασης αναφέρονται επιπλέον ένας αριθµός

τεχνικών που όµως δε θα αναπτυχθούν περαιτέρω στο παρόν πόνηµα:

1. Πιθανολογικές τεχνικές συνηθίζεται να περιγράφουν στοιχεία στοχαστικών

συστηµάτων µέσω κατάλληλων στατιστικών παραµέτρων. Τεχνικές ουρών

αναµονής και θεωρίας αποθεµάτων είναι αυτού του τύπου. Υποδείγµατα

ουρών αναµονής που προβλέπουν τέτοια χαρακτηριστικά όπως µέσος όρος και

απόκλιση του χρόνου αναµονής, µπορεί να παρέχουν στοιχεία εισόδου σε

υποδείγµατα βελτιστοποίησης τα οποία χρησιµοποιούν είτε αναλυτικές

τεχνικές ή προσεγγίσεις. προσοµοίωσης και έρευνας.

2. Στατιστικές τεχνικές περιλαµβάνουν τέτοιες µεθόδους όπως ανάλυση

πολλών µεταβλητών, στατιστική επαγωγή, και θεωρία αποφάσεων. Αυτές οι

τεχνικές έχουν ευρύτατη εφαρµογή στην ανάλυση παρατηρήσεων, και ο

ενδιαφερόµενος αναγνώστης µπορεί να τις βρει να αναπτύσσονται µε

λεπτοµέρεια σε άλλα βοηθήµατα.

3. Η προσοµοίωση και έρευνα ή τεχνικές δειγµατοληψίας χρησιµοποιούνται

ευρέως στον σχεδιασµό. Η προσοµοίωση είναι µια περιγραφική τεχνική που

ενσωµατώνει τις ποσοτικοποιήσιµες σχέσεις ανάµεσα στις µεταβλητές και

περιγράφει το αποτέλεσµα της λειτουργίας ενός συστήµατος κάτω από ένα

δεδοµένο σύνολο στοιχείων εισόδου και λειτουργικών συνθηκών. Εάν

22

καθορίζεται µια αντικειµενική συνάρτηση, οι τιµές της για διάφορες δοκιµές

δηµιουργεί µια «επιφάνεια απόκρισης». Το υπόδειγµα κατόπιν χρησιµοποιείται

για λήψη αποφάσεων, συνδυάζοντας το µε δειγµατοληψία ή τεχνικές έρευνας

που εξερευνούν την επιφάνεια απόκρισης και αναζητούν σχεδόν βέλτιστες ή

βέλτιστες λύσεις.

4. Ένα πολύπλοκο σύστηµα υποδοµής µπορεί να πρέπει να αναλυθεί µε βάση

πολύπλευρη λειτουργία, πολυσκοπικά παράγωγα, και πολλούς στόχους.

Υποδείγµατα προσοµοίωσης έχουν αναπτυχθεί για τέτοια συστήµατα.

Αποσύνθεση και πολυκριτηριακές προσεγγίσεις και άλλες ειδικές µέθοδοι

ασχολούνται µε σταθµίσεις ανάµεσα σε διάφορους σκοπούς και στόχους.

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ

1.1 Με βάση τις σπουδές και εµπειρία σας µέχρι σήµερα, για ένα

συγκεκριµένο έργο ή πρόγραµµα που σχεδιάζεται στην τοπική σας κοινότητα

µε χαρακτήρα δηµόσιου έργου (π.χ. ένα δηµοτικό σύστηµα ύδρευσης ή ένα

δηµοτικό χώρο στάθµευσης), προσδιορίστε τους τοπικούς, περιφερειακούς και

εθνικούς φορείς που ενδεχοµένως να έχουν δικαιοδοσία σχετικά µε άδειες,

αποζηµιώσεις, ρυθµίσεις κ.λπ. που απαιτούνται για την κατασκευή και

χρηµατοδότηση.

1.2 Κατά τη διάρκεια του µαθήµατος, συλλέξτε άρθρα εφηµερίδων ή

ενηµερωτικές εκποµπές στην τηλεόραση αναφορικά µε δηµόσια έργα και

κάνετε µια εκτίµηση των ζητηµάτων που τονίζονται στον έντυπο ή

ηλεκτρονικό τύπο. Τέτοια ζητήµατα µπορεί να σχετίζονται µε τον σκοπό του

συγκεκριµένου έργου, την πολιτική και νοµοθετική ιστορία, κόστη και

ρυθµίσεις για χρηµατοδότηση, τις εναλλακτικές λύσεις, αναγνώριση των

ευεργετούµενων, κ.λπ. Σχολιάστε κατά πόσο χρησιµοποιούνται και σε τι

βαθµό οι νέοι στόχοι και µεθοδολογίες που αναφέρθηκαν στο παρόν κεφάλαιο.

1.3 Η βιβλιοθήκη του πανεπιστηµίου αποφάσισε να µένει ανοικτή όλο το

24ωρο. Μετά από µελέτη στατιστικών στοιχείων εκτιµάται ότι ο ελάχιστος

αριθµός υπαλλήλων που απαιτούνται ανά 4ωρο είναι όπως στον παρακάτω

πίνακα:

∆ιάστηµα (ώρες) 0-4 4-8 8-12 12-16 16-20 20-24

Ελάχιστος αριθµός υπαλλήλων 4 8 10 9 14 3

Αν κάθε υπάλληλος εργάζεται συνέχεια 8 ώρες κάθε µέρα, αναπτύξτε ένα

µαθηµατικό µοντέλο που περιγράφει το σύστηµα και µε την επίλυση του

µπορεί να βρεθεί ο ελάχιστος αριθµός των υπαλλήλων που απαιτούνται για να

23

επιτευχθεί ο στόχος της συνεχούς λειτουργίας της βιβλιοθήκης. ∆ε ζητείται να

επιλύσετε το πρόβληµα.

1.4 Προσπαθήστε να εφαρµόσετε τη µέθοδο των Παραδειγµάτων 1.1 και 1.2

µε τα ίδια βήµατα, στο εξής σύστηµα (Meredith et al., Design and Planning of

Engineering Systems, Prentice Hall, 1973, σελίδα 82).

1.5 Μια εταιρεία κατασκευάζει προκατασκευασµένες οικίες και θέλει να

µεγιστοποιήσει το κέρδος της για χρονικό διάστηµα 20 εβδοµάδων µε 5

εργάσιµες µέρες ανά βδοµάδα, επιλέγοντας κατάλληλα το µείγµα των

διαφόρων τύπων οικιών που κατασκευάζει. Η εταιρεία διαθέτει δύο

ειδικευµένα, ένα για τις εργασίες των θεµελιώσεων και ένα για τις ανωδοµές,

και υπάρχουν απεριόριστα αποθέµατα όλων των τύπων οικιών. Ο αριθµός των

απαιτούµενων ηµερών εργασίας συνεργείου για τους διάφορους τύπους οικιών

και το αντίστοιχο καθαρό κέρδος της εταιρείας δίδονται στο παρακάτω πίνακα:

Τύπος Α Β Γ ∆ Ε

Θεµελίωση 1 7 4 8 12

Ανωδοµή 4 3 6 2 8

Κέρδος (χιλ. €) 25 75 75 50 160

Αναπτύξτε ένα µαθηµατικό µοντέλο που περιγράφει το σύστηµα και µε την

επίλυση του µπορεί να βρεθεί ο αριθµός των οικιών κάθε τύπου που πρέπει να

κατασκευαστούν. ∆ιατυπώστε την αντικειµενική συνάρτηση και τους

περιορισµούς. ∆ε ζητείται να επιλύσετε το πρόβληµα.

1 2 4

3FB

FC

B

C

A

KΕΦΑΛΑΙΟ 2

Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Χωρίς Περιορισµούς

2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Το γενικό πρόβληµα βελτιστοποίησης διατυπώνεται ως εξής:

Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης u που ελαχιστοποιούν την

αντικειµενική συνάρτηση J κάτω από ένα σύνολο περιορισµών

min J = J(y, u)

κάτω από F(y, u) = 0 ισότητες (p το πλήθος)

G(y, u) ≥ 0 ανισότητες (r το πλήθος)

όπου y εξαρτηµένες µεταβλητές y = [y1 y2 …yn]T

u µεταβλητές απόφασης u = [u1 u2 …um]T

J, F, G γνωστές συναρτήσεις

Οι τεχνικές για τον προσδιορισµό του ελαχίστου (ή µεγίστου) κατατάσσονται

σε τρεις κατηγορίες:

(1) Εξαντλητική (άµεση) έρευνα

Συνίσταται στην κατάτµηση του χώρου των εφικτών λύσεων (όπως

προσδιορίζεται από τους περιορισµούς) και ακριβή υπολογισµό της

αντικειµενικής συνάρτησης για διακριτές τιµές των µεταβλητών απόφασης και

των αντίστοιχων εξαρτηµένων µεταβλητών (Κεφάλαιο 5).

(2) Μαθηµατικός προγραµµατισµός

Στα επόµενα αναπτύσσονται οι διάφορες µορφές του: γραµµικός (Κεφάλαιο 6)

και µη γραµµικός προγραµµατισµός (Κεφάλαιο 4) , πολλαπλασιαστές

Lagrange (Κεφάλαιο 3), βηµατική αναζήτηση µε διάνυσµα κλίσης (Κεφάλαιο

5) και άλλα.

(3) Προσεγγίσεις αποσύνθεσης/διαχωρισµού

Στα επόµενα αναπτύσσονται ο δυναµικός προγραµµατισµός και ο βέλτιστος

έλεγχος (Κεφάλαιο 7).

25

f(x)

2.1.1. Βασικοί ορισµοί

Στην παρούσα ενότητα παρουσιάζονται γνωστά αποτελέσµατα του λογισµού

συναρτήσεων µε τρόπο που είναι µεν αυστηρός, αλλά σε καµιά περίπτωση δεν

µπορεί να είναι πλήρης από θεωρητική άποψη. Οι συναρτήσεις που

συζητούνται είναι συνεχείς στο πεδίο ορισµού τους και το πεδίο τιµών τους

είναι το σύνολο των πραγµατικών αριθµών:

f: I→ R,

όπου το διάστηµα Ι µπορεί να είναι Ι = [a,b] µε a, b ∈ R

ή Ι = (-∞, b] ή Ι = [a, +∞) ή I = R και υπάρχουν τα όρια f(x)limx ±∞→

.

Οι προϋποθέσεις που απαιτεί η κλασσική ανάλυση συχνά περιορίζουν

σηµαντικά την εφαρµογή αυτών των µεθόδων σε πρακτικά προβλήµατα.

Όµως, αποτελούν το απαραίτητο υπόβαθρο για την κατανόηση των

γενικότερων αριθµητικών και άλλων µεθόδων βελτιστοποίησης που

περιγράφονται στη συνέχεια.

Εικόνα 2.1. Ακρότατα συνάρτησης µιας µεταβλητής

Οι θέσεις των ακροτάτων της f(x) είναι σηµεία του Ι, όπου η f παίρνει µέγιστη

ή ελάχιστη τιµή.

Απόλυτο ακρότατο: το σηµείο x* όπου f(x) ≤ f(x

*), ∀x∈I (µέγιστο)

ή όπου f(x) ≥ f(x*), ∀x∈I (ελάχιστο)

Τοπικό ακρότατο:

το σηµείο x*

όπου f(x) ≤ f(x*), ∀x∈I: | x- x

*| ≤ ε, ε > 0 (µέγιστο)

ή όπου f(x) ≥ f(x*), ∀x∈I: | x- x

*| ≤ ε, ε > 0 (ελάχιστο)

Στάσιµο (κρίσιµο) σηµείο: το σηµείο x0 ∈ I (όχι όµως συνοριακό σηµείο του Ι)

όπου f′(x0) = 0

x

απόλυτο ελάχιστο

απόλυτο µέγιστο τοπικό (σχετικό)

µέγιστο

τοπικό (σχετικό)

ελάχιστο

σηµείο καµπής

26

2.2 ΑΝΑΓΚΑΙΕΣ ΚΑΙ ΙΚΑΝΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ

2.2.1. Συνάρτηση µιας µεταβλητής

Θεώρηµα 1 (αναγκαία συνθήκη ακροτάτου): Αν η J(u) ορίζεται στο διάστηµα

a ≤ u ≤ b και έχει ένα σχετικό ακρότατο στο σηµείο u = u* όπου a < u

* < b,

τότε το σηµείο u* είναι στάσιµο σηµείο

(η πρώτη παράγωγος της J(u) υπάρχει και µηδενίζεται στο σηµείο u = u* )

ή J′(u*) = 0

Παρατήρηση: Το αντίστροφο δεν ισχύει, π.χ. στα σηµεία καµπής (αλλαγή

καµπυλότητας) η πρώτη αλλά και η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης

µηδενίζονται. To Θεώρηµα 1 επιτρέπει τον άµεσο προσδιορισµό των

απολύτων ακροτάτων συγκρίνοντας τις τιµές της συνάρτησης

(α) στα κρίσιµα σηµεία,

(β) στα γωνιακά σηµεία όπου η συνάρτηση δεν έχει παράγωγο, και

(γ) στα συνοριακά σηµεία του Ι.

Η µέγιστη και ελάχιστη τιµή είναι τα απόλυτα ακρότατα της συνάρτησης.

Για να προσδιοριστεί εάν το ακρότατο είναι µέγιστο ή ελάχιστο χρειάζεται να

ελέγχεται η τιµή της δεύτερης παραγώγου στα κρίσιµα σηµεία, σύµφωνα µε το

ακόλουθο Θεώρηµα 2.

Θεώρηµα 2 (ικανή συνθήκη ακροτάτου): Έστω J(n)

(u) η πρώτη µη µηδενική

παράγωγος της J(u) στο σηµείο u = u* . Τότε η τιµή της J(u

*) είναι

τοπικό ελάχιστο της J(u) αν J(n)

(u*) > 0 και n άρτιος

τοπικό µέγιστο της J(u) αν J(n)

(u*) < 0 και n άρτιος

ούτε µέγιστο ούτε ελάχιστο της J(u) αν n περιττός

Παραδείγµατα 2.1

(1) J(u) = u2 στο σηµείο u

* = 0 J

(1) = 2u = 0 J

(2) = 2 > 0 ⇒ ελάχιστο

(2) J(u) = u3 στο σηµείο u

* = 0 J

(1) = 3 u

2 = 0 J

(2) = 6 u = 0 J

(3) = 6 > 0

⇒ ούτε µέγιστο ούτε ελάχιστο

(3) J(x) = x3 - 9x

2 + 5 J

(1) = 3 x

2 – 18 x = 3 x (x – 6) = 0 x

* = 0 x

* = 6

J(2)

= 6 x – 18 στο x* = 0 J

(2) (0) = -18 < 0 ⇒ µέγιστο f = 5

στο x* = 6 J

(2) (6) = 18 > 0 ⇒ ελάχιστο f = -103

(4) J(x) = 2 x + 3, x ∈[0, 5] J(1)

= 2 > 0 γνησίως αύξουσα για κάθε x

ελάχιστο στο x = 0 f = 3

µέγιστο στο x = 5 f = 13

27

(5) J(x) = x3 - 9x

2 + 24x + 3 J

(1) = 3 x

2 – 18 x + 24 = 0 x

* = 2 x

* = 4

J(2)

= 6 x – 18 στο x* = 2 J

(2) (2) = -6 < 0 ⇒ µέγιστο f = 23

στο x* = 4 J

(2) (4) = 6 > 0 ⇒ ελάχιστο f = 19

2.2.2. Συνάρτηση πολλών µεταβλητών

Έστω u το διάνυσµα των µεταβλητών απόφασης u = [u1 u2 …um]T ∈R

m

Ζητούνται οι τιµές που u

min J = J(u)

∆ιάνυσµα Κλίσης: ∇ J = T

m1 u

J

u

J

∂

∂

∂

∂L

Εσσιανός Πίνακας Hessian: Είναι το συµµετρικό µητρώο (m,m)

∂

∂∂∂

∂

∂∂∂

∂

∂

=

2m

2

1m

2

m1

2

21

2

u

J

uu

J

uu

J

u

J

H(J)

L

MOM

L

Κάθε συµµετρικός πίνακας (καθώς επίσης και κάθε Ερµιτιανός πίνακα µε

µιγαδικά στοιχεία, όπου τα συµµετρικά στοιχεία ως προς την κύρια διαγώνιο

είναι συζυγείς µιγαδικοί αριθµοί, aij = āji):

(1) Έχει πραγµατικές ιδιοτιµές

(2) Τα ιδιοδιανύσµατα είναι ορθογώνια

Ορισµός: Ο συµµετρικός πίνακας Α(n,n) είναι θετικά ορισµένος Α > 0,

αν ∀x∈Rn ≠ 0: x

TAx > 0

Αναγκαία συνθήκη για τοπικό ακρότατο: ∇ J = 0 ή

0u

J

u

J

m1

=∂

∂==

∂

∂L

Ικανή συνθήκη για τοπικό ακρότατο: H(J) > 0 τοπικό ελάχιστο

H(J) < 0 τοπικό µέγιστο

Ο έλεγχος της συνθήκης H(J) > 0 (τοπικό ελάχιστο) γίνεται µε τους εξής δύο

τρόπους:

(1) όλες οι ιδιοτιµές του H είναι θετικές

Οι ιδιοτιµές υπολογίζονται από την εξίσωση det(H – λ Ι) = 0 και ικανοποιούν

τη σχέση H x = λ x.

Προφανώς επειδή H > 0: xΤH x = λ x

Τx > 0 και επειδή x

Τx= Σx

2 > 0 ⇒ λ > 0

28

(2) το πρόσηµο όλων των (m το πλήθος) κύριων µερικών οριζουσών του H

είναι θετικό

Κύριες µερικές ορίζουσες είναι οι ορίζουσες των τετραγωνικών πινάκων που

διαµορφώνονται αρχίζοντας από το στοιχείο 11xx2

1

2

Jx

J=

∂

∂

δηλαδή ∆1 = 11xxJ , ∆2 = 2

xxxxxx 212211J-JJ , κ.λπ.

Ο έλεγχος της συνθήκης H(J) < 0 (τοπικό µέγιστο) γίνεται µε τους εξής δύο

τρόπους:

(1) όλες οι ιδιοτιµές του H είναι αρνητικές

(2) το πρόσηµο των κύριων µερικών οριζουσών του H είναι (-1)j , j = 1, 2,

…m, δηλαδή εναλλάσσεται αρχίζοντας από –1.

Παρατηρήσεις

(1) αν ο πίνακας Hessian είναι ηµιορισµένος (≥) χρειάζεται να ελεγχθούν οι

παράγωγοι ανώτερης τάξης όπως και στην περίπτωση µιας µεταβλητής

(2) στην περίπτωση δύο µεταβλητών, αν ο πίνακας Hessian δεν είναι ούτε

θετικά ούτε αρνητικά ορισµένος στο στάσιµο σηµείο, το σηµείο είναι µικτό

(saddle point ή σηµείο σάγµατος) και η συνάρτηση έχει µέγιστο ως προς τη µια

µεταβλητή και ελάχιστο ως προς την άλλη. Μικτά σηµεία µπορεί να υπάρχουν

και για περισσότερες από δύο µεταβλητές.

Παράδειγµα 2.2

min f(x1, x2) = (x1 – 2)2 + (x2 – 1)

2

1x0)1x(2x

f2x0)2x(2

x

f22

2

11

1

=⇒=−=∂

∂=⇒=−=

∂

∂

2x

f2

1

2

=∂

∂ 2

x

f2

2

2

=∂

∂ 0

xx

f

21

2

=∂∂

∂

=

20

02H

⇒>Η⇒>==∆>= 00420

02,02∆ 21 τοπικό ελάχιστο στο (2,1)

29


Να βρεθούν οι πραγµατικές τιµές του α για τις οποίες η συνάρτηση

222

22

yxα1

1yxy xy)f(x,

++−++= έχει τοπικό ελάχιστο στο σηµείο (0,0).

2222y2222

2

x)yxα1(

y2y 2xf

)yxα1(

xα2y x2f

++++=

++++=

3222

2

xy3222

222

yy3222

2222

xx)yxα1(

yxα8- 1f

)yxα1(

)y3xα(12 2f

)yxα1(

)yx3α-(1α2 2f

++=

++

−++=

++

++=

Στο σηµείο (0,0) έχουµε fx (0,0) = 0, fy(0,0) = 0 εποµένως το σηµείο (0,0) είναι

στάσιµο σηµείο.

∆1(0,0) = fxx(0,0) = 2 + 2 α2 > 0 ∀α∈R,

∆2(0,0)= )0,0(

2

xyyyxx |f-ff = (2 + 2 α2)(2+2) – 1 = (8 α

2 +7) > 0 ∀α∈R

Εποµένως για κάθε πραγµατική τιµή του α υπάρχει τοπικό ελάχιστο στο (0,0).


Κατά µήκος ποταµού υπάρχουν δύο εργοστάσια παραγωγής. Το επίπεδο

παραγωγής κάθε εργοστασίου χαρακτηρίζεται από την ποσότητα των εκροών

του xi. Το κόστος παραγωγής δίδεται από τη σχέση Ki(xi) = ai iixbe (ai, bi > 0),

ενώ τα έσοδα από πωλήσεις των προϊόντων είναι pi > 0 ανά µονάδα εκροής.

Ζητείται να προσδιοριστεί το επίπεδο παραγωγής κάθε εργοστασίου, ώστε να

µεγιστοποιείται το καθαρό κέρδος.

Α. Μεµονωµένη θεώρηση

Εργοστάσιο 1

Κόστος παραγωγής K1(x1) = a1 11xbe Έσοδα από πωλήσεις = p1 x1

Kαθαρό κέρδος z1 = p1 x1 - a1 11xbe

Μέγιστο αν 1

1

dx

dz= 0 ⇒ p1 - a1 b1 11xb

e = 0 ⇒

=

11

1

1

*

1ba

pln

b

1x

Έλεγχος 2

1

1

2

dx

zd = - a1 b1

2 11xbe < 0 ⇒ x1

* µέγιστο

Για p1 = 10, a1 = 358 και b1 = 0.008 προκύπτει x1* = 156.3 και z1

*= 312.9

Εργοστάσιο 2

Το κόστος παραγωγής θα είναι υψηλότερο λόγω των εκροών x1 ανάντη του

εργοστασίου 2 (χειρότερη ποιότητα νερού, πρόσθετα έξοδα για επεξεργασία)

30

Kαθαρό κέρδος z2 = p2 x2 – a2 1dxe 22xb

e

Μέγιστο αν 2

2

dx

dz= 0 ⇒ p2 – a2 b2 1dx

e 22xbe = 0,

2

2

2

2

dx

zd< 0

στο σηµείο

=

11

1

1

*

1ba

pln

b

1x ⇒

=

1d/b

1

11

22

2

2

*

2p

ba

ba

pln

b

1x

Για p2 = 18, a2 = 467, b2 = 0.01, d = 0.001, και x1* = 156.3

προκύπτει x2* = 119.3 και z2

*= 347.4

Συνολικό καθαρό κέρδος για µεµονωµένη θεώρηση z*= z1

*+ z2

*= 660.3

Β. Συστηµική θεώρηση

z = p1 x1 - a1 eb

1x

1 + p2 x2 – a2 1dxe 22xb

e

Μέγιστο αν

∂∂∂∂

2

1

x

z

x

z

= 0 ⇒

221

22111

xb

2

dx

22

xbdx

2

xb

111

e be a-p

ee d a-e b a -p= 0

⇒ 77.121eba

pln

b

1x

1dx

22

2

2

*

2 =

=

1

111

dx

22

2dx

2

xb

111eba

pe d a-e b a -p = 0 ⇒ 49.131

ba

bdpp

lnb

1x

11

221

1

*

1 =

−=

=

∂∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

221221

22122111

xbdx2

22

xbdx

22

xbdx

22

xbdx2

2

xb2

11

2

2

2

12

221

2

2

1

2

ee b a-ee d b a-

ee d b a-ee d a-e b a -

x

z

xx

z

xx

z

x

z

Στο σηµείο (x1*, x2

*) ελέγχουµε για θετικά/αρνητικά ορισµένο πίνακα Hessian.

∆1 = 21

2

x

z

∂

∂< 0

∆2 = 2

21

2

22

2

21

2

xx

z

x

z

x

z

∂

∂−

∂

∂

∂

∂= 22111 xbdxxb2

2

2

121 ee e b b a a > 0

ώστε Η < 0 ⇒ στο σηµείο (x1*, x2

*) υπάρχει τοπικό µέγιστο z

* = 681.80

Συνοψίζοντας τα αποτελέσµατα, η συστηµική προσέγγιση οδηγεί σε

µεγαλύτερο συνολικό καθαρό κέρδος. Το Εργοστάσιο 1 πρέπει να λειτουργεί

σε επίπεδο µικρότερο από το ατοµικό βέλτιστο, ευνοώντας την παραγωγή του

Εργοστασίου 2 ώστε το αποτέλεσµα για την κοινωνία να είναι καλύτερο.

31

Μεµονωµένη Συστηµική

x1* 156.3 131.5

x2* 119.3 121.8

max z* 660.3 681.8

Γ. Προσθήκη εγκατάστασης επεξεργασίας των εκροών του Εργοστασίου 1

Έστω 0 ≤ r ≤ 1 ο βαθµός αποµάκρυνσης των εκροών του Εργοστασίου 1,

δηλαδή ποσότητα ω = (1-r)x1 εκρέει στον ποταµό και rx1 αποµακρύνεται. Το

κόστος επεξεργασίας αυξάνει σηµαντικά µε την τιµή του r και δίδεται από τη

συνάρτηση

γ

1β

1

γ

β

11ω

ωx xα

r-1

r xα r),K(x

−=

= , µε τιµές των

παραµέτρων α = 1.64, β = 0.7, γ = 0.3.

H επιτρεπόµενη εκροή στον ποταµό ω = (1-r)x1 µπορεί να εκληφθεί σαν µια

ποσότητα που καθορίζεται από την κεντρική κυβέρνηση. Η συστηµική

θεώρηση τροποποιείται ως εξής:

z = p x1 - a1 11xbe -

γ

1β

1ω

ωx xα

− + p2 x2 – a2

dωe 22xbe

Μέγιστο αν

∂∂∂∂

2

1

x

z

x

z

= 0

−

−

22

2211

xb

2

dω

22

xb

1

dω

2

1-γ

1β

1

γ

11-β

1

xb

111

e be a-p

e x

ωe d a-

ω

1

ω

ωxγ xα-

ω

ωx xβ α -e b a -p

= 0

⇒

−

=

= dω

ba

pln

b

1

eba

pln

b

1x

22

2

2

dω

22

2

2

*

2

Τα σηµεία τοπικού ακρότατου (µεγίστου) µπορεί να βρεθούν για διάφορες

τιµές του ω, υπολογισµό του x2* και στη συνέχεια υπολογισµό του x1

* µε

δοκιµές.

ω x1* z1

* x2

* z2

* z

*

5 142.96 162.96 134.42 619.58 782.54

15 146.86 206.06 133.42 601.58 807.58

30 148.64 228.54 131.92 574.58 803.12

45 149.48 240.84 130.43 547.00 787.84

32

ω

z

∂∂

= -

−

−

2

1

1-γ

1β

1ω

x

ω

ωx γx α – a2 d e

dω 22 xbe =

( ) 1γγ-1

1

1β

1

ωωx

x γα+

+

−– a2 d e

dω 22 xbe

= 0

µε δοκιµές η βέλτιστη λύση προκύπτει ως

ω* = 18.5, x1

* = 147.5, x2

* = 133.1, οπότε r

* = 0.875 και z

* = 808.4.

∆. Επιβολή προστίµου από την κυβέρνηση για εκροές του Εργοστασίου 1

Για να αποθαρρύνει τις εκροές του Εργοστασίου 1 η κυβέρνηση µπορεί να

επιβάλλει πρόστιµο q ανά µονάδα εκροών. Το συνολικό καθαρό κέρδος είναι:

z = p1 x1 - a1 11xbe -

γ

1β

1ω

ωx xα

− - q ω + p2 x2 – a2 e

dω 22 xbe

ω

z

∂∂

= -

−

−

2

1

1-γ

1β

1ω

x

ω

ωx γx α – a2 d e

dω 22 xbe – q

= 0

µε δοκιµές η βέλτιστη λύση προκύπτει ως

ω* = 18.5, x1

* = 147.5, q

* = 1.80, οπότε r

* = 0.875 και z

* = 808.4

Αντί να καθορίσει την επιτρεπόµενη εκροή ω* η κυβέρνηση µπορεί να

επιβάλλει πρόστιµο q* = 1.80 ανά µονάδα εκροών. Όµως η ορθή χρέωση για

τις εκροές θα πρέπει να προσδιοριστεί µε εκτίµηση της αξίας της καταστροφής

που προκαλείται κατάντη.

Μερικές παρατηρήσεις για το παραπάνω παράδειγµα είναι:

(1) χρειάζεται συνολική (συστηµική) θεώρηση του προβλήµατος

(2) στη µεµονωµένη θεώρηση δεν µπορεί να µη συνυπολογίζεται ποιος έχει

την πολιτική ισχύ

(3) υπάρχουν οι µηχανισµοί για την επιβολή του βέλτιστου βαθµού

αποµάκρυνσης ή προστίµων και µε τι κόστος είναι αποτελεσµατικοί;

2.2.3 Συναρτήσεις τετραγωνικής µορφής n-µεταβλητών

Οι τετραγωνικές συναρτήσεις συχνά χρησιµοποιούνται για να προσεγγίζονται

γενικές συναρτήσεις µε ανάπτυξη σε σειρά Taylor στη γειτονιά ενός σηµείου

που ενδιαφέρει. Για τον λόγο αυτόν εξετάζονται παρακάτω µε µεγαλύτερη

λεπτοµέρεια.

Ορισµός

Τετραγωνική µορφή n-µεταβλητών x1, x2,…xn είναι µια συνάρτηση της µορφής

f(x1, x2,…xn) = ji

n

ji1ji,

ij

2

i

n

1i

ii x xa xa ∑∑≠==

+

όπου οι συντελεστές aij και aji είναι συµµετρικοί (aij = aji)

33

Κάθε τετραγωνική µορφή µπορεί να γραφεί σαν f(x) = ½ xTQx - b

T x, όπου x

είναι ένα διάνυσµα (n,1) των µεταβλητών, Q είναι συµµετρικός πίνακας (n,n)

και b είναι ένα διάνυσµα (n,1). Τα διαγώνια στοιχεία του Q είναι οι διπλάσιοι

συντελεστές των τετραγώνων των µεταβλητών και τα µη διαγώνια στοιχεία

είναι οι συντελεστές των αντίστοιχων γινοµένων µεταβλητών µε i ≠ j. Τα

στοιχεία του b είναι οι συντελεστές των όρων πρώτου βαθµού κάθε

µεταβλητής µε αντίθετο πρόσηµο.


Να προσδιοριστούν οι πίνακες Q και b για τη συνάρτηση

f(x,y,z) = x2 - 2 y

2 + 5 z

2 – x y + 4 x z – yz + 4 x – 2 z

a11 = 1, a22 = -2, a33 = 5, a12 = -1/2, a13 = 2, a23 = -1/2, , b1 = -4, b2 = 0, b3 = 2

−

=

=

=

2

0

4

b,

101-4

1-4-1-

41-2

Q,

z

y

x

x

Είναι εύκολο να προσέξει κανείς ότι ο πίνακας Q είναι ο Εσσιανός πίνακας της

τετραγωνικής συνάρτησης f.

Ελαχιστοποίηση τετραγωνικής συνάρτησης

xmin f(x) = ½ x

TQx – b

T x

όπου Q συµµετρικός πίνακας (n,n) και b διάνυσµα συντελεστών (n,1) b ∈Rn

∆ιάνυσµα Κλίσης: ∇ f(x) =

T

n1 x

f

x

f

∂∂

∂∂

L = Qx – b

Πίνακας Hessian:

∂∂∂

=∇=ji

22

xx

f)xf(H(f) = Q

Αναγκαία συνθήκη για τοπικό ελάχιστο x*

∇ f(x) = 0 ⇒ Qx – b = 0 ⇒ Qx* = b

Περίπτωση 1: Q > 0 (θετικά ορισµένος Q)

Το x* = Q

-1b είναι το σηµείο του µοναδικού απόλυτου ελαχίστου µε τιµή

f(x*) = ½ (Q

-1b)

TQ Q

-1b – b

T Q

-1b = ½ b

T Q

-1 Q Q

-1b – b

T Q

-1b = – ½ b

T Q

-1b

34

Περίπτωση 2: Q ≥ 0 (θετικά ηµιορισµένος Q)

(α) αν b ∈ Range(Q) υπάρχουν πολλά x*: Qx

* = b και όλα είναι απόλυτα

ελάχιστα

(β) αν b ∉ Range(Q) δεν υπάρχει απόλυτο ελάχιστο

Περίπτωση 3: Q έχει µια τουλάχιστον αρνητική ιδιοτιµή

δεν υπάρχει απόλυτο ελάχιστο, µόνο µικτό σηµείο (σηµείο σάγµατος)


(1) Q =

11

11 b =

0

0

f(x1, x2) = ½ [x1 x2]

11

11

2

1

x

x – [0 0]

2

1

x

x= ½ [x1 + x2 x1 + x2]

2

1

x

x

= ½ (x12+ 2 x2 x1 + x2

2) = ½ (x1 + x2)

2

det(Q – λ I) =

−

−

λ11

1λ1= (1 – λ)

2 – 1 = λ

2-2λ = λ(λ-2) = 0

οι ιδιοτιµές του πίνακα Q είναι λ = 0 και λ = 2. Συνεπώς Q ≥ 0

Qx = b ⇒

11

11

2

1

x

x=

+

+

21

21

xx

xx=

0

0⇒ x1 = -x2

Εποµένως για x1 = -x2 το b ∈ Range(Q) και όλα είναι απόλυτα ελάχιστα µε τιµή

f(a,-a) = 0

(2) Q =

00

01 b =

− 2

0

f(x1, x2) = ½ [x1 x2]

00

01

2

1

x

x- [0 -2]

2

1

x

x= ½ [x1 0]

2

1

x

x+ 2 x2 = ½ x1

2+2 x2

det(Q – λ I) =

−

−

λ0

0λ1= - (1 – λ) λ = 0

οι ιδιοτιµές του πίνακα Q είναι λ = 0 και λ = 1. Συνεπώς Q ≥ 0

Qx = b ⇒

00

01

2

1

x

x=

0

x1=

− 2

0⇒ αδύνατο

Εποµένως b ∉ Range(Q) και δεν υπάρχει απόλυτο ελάχιστο.

35

2.3 ΚΥΡΤΕΣ ΚΑΙ ΚΟΙΛΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2.3.1. Ορισµοί και ιδιότητες

Ορισµός

Η συνάρτηση µιας µεταβλητής f(x) είναι κυρτή (convex) συνάρτηση αν για

κάθε ζεύγος τιµών της x΄ και x΄΄ ισχύει f[λx΄΄ + (1-λ) x΄] ≤ λf(x΄΄) + (1-λ) f(x΄)

για όλες τις τιµές του λ: 0 ≤ λ ≤ 1

Η συνάρτηση είναι αυστηρά κυρτή αν η ασθενής ανισότητα ≤ µπορεί να

αντικατασταθεί µε ισχυρή ανισότητα <. Η συνάρτηση είναι κοίλη (concave) ή

αυστηρά κοίλη αν το σύµβολο ≤ αντικατασταθεί µε ≥ ή > αντίστοιχα.

Γεωµετρική ερµηνεία

Τα σηµεία [x΄, f(x΄)] και [x΄΄, f(x΄΄)] είναι δύο σηµεία της καµπύλης που

αναπαριστά την f(x) και τα διάφορα σηµεία του ευθύγραµµου τµήµατος που

συνδέει τα παραπάνω σηµεία δίδονται σαν γραµµικοί συνδυασµοί

[λx΄΄ + (1-λ) x΄, λf(x΄΄) + (1-λ) f(x΄)] όταν 0 ≤ λ ≤ 1.

Η f(x) είναι κυρτή εάν, για κάθε ζεύγος σηµείων στην καµπύλη που

αναπαριστά γραφικά τη συνάρτηση, το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει τα δύο

αυτά σηµεία βρίσκεται εξ ολοκλήρου πάνω από ή επί της καµπύλης της f(x).

Με άλλα λόγια η f(x) είναι κυρτή αν στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω. Το

αντίθετο συµβαίνει µε την κοίλη συνάρτηση. Η ευθεία είναι η οριακή

περίπτωση τόσο της κυρτής όσο και της κοίλης συνάρτησης. Όταν χρειάζεται

να αποκλειστεί η ευθεία, χρησιµοποιείται η αυστηρά κυρτή (κοίλη)

συνάρτηση.

Μαθηµατικά τα παραπάνω εκφράζονται ως εξής (εφ’ όσον η f(x) έχει δεύτερη

παράγωγο)

Κυρτή συνάρτηση f(2)

(x) ≥ 0 Αυστηρά κυρτή f(2)

(x) > 0

Κοίλη συνάρτηση f(2)

(x) ≤ 0 Αυστηρά κοίλη f(2)

(x) < 0

Τα παραπάνω γενικεύονται στα επόµενα και για την περίπτωση συνάρτησης

πολλών µεταβλητών.

Ορισµός

Ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει τα σηµεία

(x1΄, x2΄,…xm΄) = x΄ ∈ Rm

και (x1΄΄, x2΄΄,…xm΄΄) = x΄΄ ∈ Rm

είναι το σύνολο των σηµείων (x1, x2,…xm) = x = λ x΄΄ + (1-λ) x΄

για όλες τις τιµές του λ: 0 ≤ λ ≤ 1

36

Π.χ. Εάν (x1΄, x2΄) = (2, 6) (x1΄΄, x2΄΄) = (3, 4)

τότε (x1, x2) = [3λ + 2(1-λ), 4λ + 6(1-λ)] = [λ + 2, -2λ + 6] 0 ≤ λ ≤ 1

Ορισµός

Η συνάρτηση πολλών µεταβλητών f(x) = f(x1, x2,…xn) είναι κυρτή (convex)

συνάρτηση αν για κάθε ζεύγος σηµείων x΄ και x΄΄ ισχύει

f[λx΄΄ + (1-λ) x΄] ≤ λf(x΄΄) + (1-λ) f(x΄) για όλες τις τιµές του λ: 0 ≤ λ ≤ 1

Αντίστοιχα µεταφέρονται οι έννοιες της αυστηράς κυρτής, κοίλης και

αυστηράς κοίλης συνάρτησης.

Μαθηµατικά τα παραπάνω εκφράζονται µε τη βοήθεια του πίνακα Hess ως

εξής (εφ’ όσον η f(x) έχει δεύτερες παραγώγους):

Κυρτή συνάρτηση Η(f) ≥ 0 Αυστηρά κυρτή Η(f) > 0

Κοίλη συνάρτηση Η(f) ≤ 0 Αυστηρά κοίλη Η(f) < 0

∆ηλαδή γνώση του αν η συνάρτηση είναι κυρτή ή κοίλη ισοδυναµεί µε την

ικανή συνθήκη για την ύπαρξη ακροτάτου που διατυπώθηκε προηγούµενα.

Ιδιότητες κυρτών συναρτήσεων

1) Εάν η f(x) = f(x1, x2,…xn) είναι κυρτή, τότε η - f(x) είναι κοίλη.

2) Το άθροισµα κυρτών συναρτήσεων είναι κυρτή συνάρτηση.

Οι ιδιότητες αποδεικνύονται µε εφαρµογή του ορισµού των κυρτών

συναρτήσεων.

Ορισµός

Κυρτό σύνολο (convex set) είναι ένα σύνολο σηµείων για τα οποία το

ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει κάθε ζεύγος αυτών βρίσκεται εξ ολοκλήρου

εντός του συνόλου.

∆ηλαδή το υποσύνολο X ⊂ Rn είναι κυρτό, εάν ∀x1, x2 ∈X

και για κάθε λ: 0 ≤ λ ≤ 1, ισχύει ότι x = λ x1 + (1-λ) x2 ∈X

Ιδιότητες κυρτών συνόλων

1) Η τοµή κυρτών συνόλων είναι κυρτό σύνολο.

2) Ένα υπερεπίπεδο είναι κυρτό σύνολο. Η γραµµική εξίσωση aTx = b ορίζει

ένα υπερεπίπεδο και οι γραµµικές ανισότητες aTx ≤ b και a

Tx ≥ b ορίζουν

κυρτούς ηµίχωρους, υποσύνολα του Rn.

37

Πρόταση 1

Έστω η f(x): Rn R και είναι παραγωγίσιµη πρώτης τάξης. Τότε η f(x) είναι

κυρτή στο κυρτό σύνολο X ⊂ Rn εάν και µόνο εάν

f(y) ≥ f(x) + ∇f(x)T (y – x) ∀x,y∈X

Απόδειξη:

Επειδή η f(x) είναι κυρτή: f[λy + (1-λ) x] ≤ λf(y) + (1-λ) f(x)

⇒ f[x – λ (y - x)] - f(x)≤ λ [f(y) - f(x)]

⇒λ

f(x) - x)]-(y λ -f[x ≤ f(y) - f(x). Καθώς λ → 0: ∇f(x)

T (y – x) ≤ f(y) - f(x).

Η πρόταση σηµαίνει ότι η γραµµική προσέγγιση υποεκτιµά µια κυρτή

συνάρτηση. Π.χ. για την τετραγωνική προσέγγιση

f(x) = f(x*) + ∇f(x

*)T (x – x

*) + ½ (x – x

*)TQ(x – x

*),

αν Q ≥ 0 (δηλαδή η f(x) είναι κυρτή συνάρτηση, επειδή ο πίνακας Hess είναι

θετικά ηµιορισµένος) τότε f(x) ≥ f(x*) + ∇f(x

*)

T (x – x

*).

2.3.2. Κυρτότητα και απόλυτα ακρότατα

Οι παρακάτω προτάσεις επιτρέπουν τον εντοπισµό των απόλυτων ακροτάτων

συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Συνδυάζουν τις ιδιότητες κυρτότητας ή µη

τόσο της συνάρτησης όσο και του συνόλου των εφικτών λύσεων που

καθορίζεται από τους περιορισµούς. Αν η αντικειµενική συνάρτηση δεν είναι

ούτε κυρτή ούτε κοίλη και το σύνολο των περιορισµών δεν είναι κυρτό, δεν

είναι δυνατό να εξαχθούν συµπεράσµατα για την ύπαρξη απόλυτου

ακρότατου.

Πρόταση 2

Αν η αντικειµενική συνάρτηση f(x): Rn R είναι κυρτή συνάρτηση και το

σύνολο των περιορισµών είναι κυρτό, τότε κάθε τοπικό ελάχιστο της f(x) που

ικανοποιεί τους περιορισµούς θα είναι απόλυτο ελάχιστο.

Πρόταση 3

Αν η αντικειµενική συνάρτηση f(x): Rn R είναι κοίλη συνάρτηση και το

σύνολο των περιορισµών είναι κυρτό, τότε το απόλυτο ελάχιστο της f(x) θα

βρίσκεται σε ένα ή περισσότερα ακραία σηµεία του συνόλου των περιορισµών.

38

Πρόταση 4

Αν η αντικειµενική συνάρτηση f(x): Rn R είναι κοίλη συνάρτηση και το

σύνολο των περιορισµών είναι κυρτό, τότε κάθε τοπικό µέγιστο της f(x) που

ικανοποιεί τους περιορισµούς θα είναι απόλυτο µέγιστο.

Πρόταση 5

Αν η αντικειµενική συνάρτηση f(x): Rn R είναι κυρτή συνάρτηση και το

σύνολο των περιορισµών είναι κυρτό, τότε το απόλυτο µέγιστο της f(x) θα

βρίσκεται σε ένα ή περισσότερα ακραία σηµεία του συνόλου των περιορισµών.


2.1 Εξετάστε τα ακρότατα χωρίς περιορισµούς της συνάρτησης

f(x1, x2, x3) = x1+ 2 x3 + x2 x3– 23

22

21 xxx −−

2/1x0x21x

f11

1

=⇒=−=∂∂

2323

2

x2x0x2xx

f=⇒=−=

∂∂

3/4x3/2x0x2x2x

f3232

3

=⇒=⇒=−+=∂∂

2x

f21

2

−=∂

∂ 2

x

f22

2

−=∂

∂ 2

x

f23

2

−=∂

∂ 0

xx

f

xx

f

31

2

21

2

=∂∂

∂=

∂∂∂

1xx

f

32

2

=∂∂

∂

−

−

−

=

210

120

002

H

⇒<Η⇒<−=−=−

−−=∆>=

−

−=∆<−= 0064.2

21

12204

20

02,02∆ 321

τοπικό µέγιστο στο σηµείο (1/2, 2/3, 4/3)

2.2 Εξετάστε τα ακρότατα χωρίς περιορισµούς της συνάρτησης

f(x1, x2, x3) = 20 -9 x1- 10 x2 - 12 x3 – 2 x1 x2– 2 x2 x3+ 23

22

21 x3x2x ++

)3(0x6x212x

f)2(0x4x2x210

x

f)1(0x2x29

x

f32

3231

212

1

=+−−=∂∂

=+−−−=∂∂

=+−−=∂∂

(1): x1 = x2 + 9/2 (3): x3= 1/3 x2 + 2

(2): -10 – 2 (x2 + 9/2) – 2 (1/3 x2 + 2) + 4 x2 = -23 +4/3 x2 = 0 ⇒

x2 = 69/4 x1 = 87/4 x3 = 31/4

39

2x

f21

2

=∂

∂ 4

x

f22

2

=∂

∂ 6

x

f23

2

=∂

∂ 0

xx

f2

xx

f

31

2

21

2

=∂∂

∂−=

∂∂∂

2xx

f

32

2

−=∂∂

∂

−

−−

−

=

620

242

022

H

⇒>Η⇒>=−+=−−

+−

−=∆>=

−

−=∆>= 0016)12(220.2

60

222

62

24204

42

22,02∆ 321

τοπικό ελάχιστο στο σηµείο (87/4, 69/4, 31/4)

2.3 (Ossenbruggen) Χρησιµοποιείστε την αρχή της συνολικής δυναµικής

ενέργειας για να προσδιορίσετε τη θέση ισορροπίας του συστήµατος µε δύο

ελατήρια-µάζες της εικόνας.

(α) Χρησιµοποιείστε άλγεβρα πινάκων για τη λύση

(β) Αποδείξτε ότι το σύστηµα είναι ευσταθές.

Θεωρείστε µόνο το νεκρό βάρος των µαζών

Η συνολική δυναµική ενέργεια του συστήµατος V συνίσταται από το άθροισµα

της ελαστικής ενέργειας των ελατηρίων ½ k e2 και της ενέργειας λόγω της

βαρύτητας των µαζών –Wx, όπου e είναι η επιµήκυνση του ελατηρίου και x η

µετατόπιση από τη θέση ισορροπίας.

V = ½ k1 x12

+ ½ k2 (x2 – x1)2

– W1 x1 – W2 x2

V = ½ 2000 x12

+ ½ 500 (x22

– 2 x1 x2 + x12)2

– 2000 x1– 4000 x2

τοπικό ελάχιστο στο σηµείο (4, 12), άρα το σύστηµα είναι ευσταθές.

x1

x2

W1 = 2000 lb

W2 = 4000 lb

k1 = 2000 lb/in

k2 = 500 lb/in

40

2.4 (Ossenbruggen) Προσδιορίστε τη θέση του τοπικού ελαχίστου της

συνάρτησης

f(x1, x2) = ex

1 - 5 x1 + (x2 – 2)2

τοπικό ελάχιστο στο σηµείο (ln5, 2).

2.5 (Ossenbruggen) Προσδιορισµός ενός βέλτιστου επιπέδου παραγωγής

Μια εταιρεία σχεδιάζει την παραγωγή δύο τύπων προϊόντων. Οι τιµές πώλησης

ανά µονάδα είναι €100 και €150 για τα προϊόντα 1 και 2 αντίστοιχα. Τα κόστη

παραγωγής είναι C1 = 50 q11.1 για το προϊόν 1 και C2 = 110 q2

1.05 για το προϊόν 2.

Υποθέστε ότι υπάρχει ικανή ζήτηση και όλα τα αγαθά που θα παραχθούν θα

πωληθούν.

(α) Προσδιορίστε το βέλτιστο επίπεδο παραγωγής ώστε να µεγιστοποιείται το

κέρδος.

(β) Αποδείξτε ότι η βέλτιστη λύση είναι ένα τοπικό µέγιστο.

Το καθαρό κέρδος είναι ίσο µε τα έσοδα µείον τα κόστη, P = R – C.

P = 100 q1 + 150 q2 - 50 q11.1 - 110 q2

1.05

τοπικό µέγιστο στο σηµείο (394, 186).

2.6 (Ossenbruggen) Επίδραση της δυνατότητας παραγωγής στο βέλτιστο

επίπεδο

Συνέχεια από το προηγούµενο πρόβληµα 2.5, εξαιτίας του περιορισµένου

χώρου των εγκαταστάσεων, ο µέγιστος αριθµός µονάδων που µπορεί να

παράγει η εταιρεία οποιαδήποτε χρονική στιγµή είναι 500.

(α) ∆ιαµορφώστε ένα µαθηµατικό πρόβληµα για τον προσδιορισµό του

βέλτιστου επιπέδου παραγωγής ώστε να µεγιστοποιείται το κέρδος.

(β) Προσδιορίστε το βέλτιστο επίπεδο παραγωγής και αποδείξτε ότι είναι ένα

απόλυτο µέγιστο.

Max P = 100 q1 + 150 q2 - 50 q11.1

- 110 q21.05

q1 + q2 ≤ 500

q1 ≥ 0, q2 ≥ 0

Από την προηγούµενη λύση (394, 186) παρατηρούµε ότι παραβιάζεται ο

περιορισµός. Συνεπώς ο περιορισµός είναι ενεργός και ισχύει σαν ισότητα q1 +

q2 = 500 ή q1 = 500 - q2

Max P = 100 (500 - q2) + 150 q2 - 50 (500 - q2)1.1

- 110 q21.05

Από την αναγκαία συνθήκη προκύπτει πιθανή θέση ακρότατου (344, 156). Η

ικανή συνθήκη δίδει P(2) < 0, άρα το κρίσιµο σηµείο είναι τοπικό µέγιστο και η

συνάρτηση είναι κοίλη.

Από την Πρόταση 4, εάν το σύνολο των περιορισµών είναι κυρτό σύνολο, το

τοπικό ακρότατο θα είναι απόλυτο ακρότατο. Πράγµατι οι γραµµικοί

41

περιορισµοί ορίζουν κυρτούς ηµίχωρους, η τοµή των οποίων είναι κυρτό

σύνολο.

2.7 Από ένα ορθογώνιο φύλλο λαµαρίνας µε διαστάσεις a και b αφαιρούνται

τέσσερα γωνιακά τετράγωνα κοµµάτια µε διάσταση d, και οι πλευρές κατόπιν

τσακίζονται προς τα πάνω για να σχηµατιστεί ένα ανοικτό ορθογώνιο κιβώτιο.

Βρείτε το βάθος του κιβωτίου που µεγιστοποιεί τον όγκο του.

2.8 Το κέρδος ανά στρέµµα µιας αγροτικής επιχείρησης δίδεται από τη

συνάρτηση

2

2

2

1212121 x3 - x4 - x x4 x26 x20 ) x,f(x ++=

όπου x1 και x2 συµβολίζουν το κόστος εργασίας και λιπασµάτων αντίστοιχα.

Βρείτε το µέγιστο κέρδος.

2.9 Η εισροή σε µια δεξαµενή καθαρισµού βιοµηχανικών αποβλήτων

µεταβάλλεται µε τον χρόνο t (µέρες) ως εξής: Qin = 2 + sin(2πt) Mgal/µέρα

(α) Βρείτε το συνολικό όγκο αποβλήτων που εισρέει στη δεξαµενή κάθε µέρα.

(β) Η εκροή από τη δεξαµενή είναι σταθερή και ίση µε Qout = 2 Mgal/µέρα.

∆εδοµένου ότι η µεταβολή του αποθηκευµένου όγκου νερού στη δεξαµενή

είναι ίση µε Qin - Qout βρείτε τον απαιτούµενο όγκο της δεξαµενής (κάντε την

παραδοχή ότι στη δυσµενέστερη χρονική στιγµή η δεξαµενή είναι άδεια).

KΕΦΑΛΑΙΟ 3


Με Περιορισµούς Ισότητες

3.1 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ

Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την

αντικειµενική συνάρτηση κάτω από ένα σύνολο m-περιορισµών µε τη µορφή

ισοτήτων

x

min f(x) x ∈ Rn

κάτω από gj(x) = 0 j = 1, 2, …, m

Προκειµένου να αναζητηθεί λύση, απαιτείται m < n. Αλλοιώς, το πρόβληµα θα

αφορούσε απλά την ύπαρξη ή όχι λύσης στο σύστηµα m εξισώσεων µε

µικρότερο αριθµό αγνώστων n.

3.2 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΣ∆ΙΟΡΙΣΜΟ ΤΟΥ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ

3.2.1 Λύση µε άµεση αντικατάσταση

Επιλύονται οι m εξισώσεις – περιορισµοί εκφράζοντας m µεταβλητές σαν

συναρτήσεις των υπολοίπων n-m µεταβλητών. Οι m µεταβλητές

αντικαθίστανται στη συνάρτηση f και προκύπτει µια νέα συνάρτηση µε µόνο

n-m µεταβλητές που πρέπει να ελαχιστοποιηθεί χωρίς περιορισµούς, σύµφωνα

µε τις µεθόδους που ήδη παρουσιάστηκαν στο Κεφάλαιο 2.

3.2.2 Μεταβολή υπό περιορισµούς

Για απλοποίηση της παρουσίασης, έστω n = 2 και m = 1.

Η αναζήτηση ακρότατου γίνεται στα στάσιµα σηµεία για τα οποία η αναγκαία

συνθήκη είναι το ολικό διαφορικό της συνάρτησης f να είναι µηδέν

0dxx

fdx

x

f df 2

2

1

1

=∂∂

+∂∂

= (1)

Στην περιοχή του ακρότατου (x1*, x2

*) ικανοποιείται επίσης ο περιορισµός

g(x1, x2) = 0. Εξετάζουµε τα σύνολα επιτρεπτών µεταβολών (dx1, dx2) που δεν

παραβιάζουν τον περιορισµό και εποµένως ικανοποιούν τη σχέση

0dxx

gdx

x

g dg 2

2

1

1

=∂∂

+∂∂

= (2)

43

Από τη (2) µε 0x

g

2

≠∂∂

(3)

προκύπτει 1

2

12 dx

x

g

x

g

dx

∂∂∂∂

−= και αντικαθιστώντας στην (1)

0dx

x

g

x

g

x

f

x

f df 1

2

1

21

=

∂∂∂∂

∂∂

−∂∂

= στο σηµείο (x1*, x2

*) (4)

0x

g

x

f

x

g

x

f

1221

=∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

⇒ 0x,x

gf,0

x

g

x

g

x

f

x

f

21

21

21 =

⇒=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

J (5)

Η γενική µορφή των συνθηκών (3) και (4) µπορεί να αποδειχθεί ότι είναι

0x,,x,x

g,,g,g

m21

m21 ≠

K

KJ όπου x1, x2, …, xm ανεξάρτητες µεταβλητές (6)

0x,,x,x,x

g,,g,g f,

m21k

m21 =

K

KJ k = m+1, m+2,…, n n-m εξισώσεις (7)

Ο υπολογισµός των οριζουσών Jacobi τάξης m+1 είναι από µόνος του

πολύπλοκος. Επιπλέον, η ικανή συνθήκη για ακρότατο απαιτεί τον υπολογισµό

των δευτέρων παραγώγων της συνάρτησης υπό τους περιορισµούς και µπορεί

να γίνει υπολογιστικά απαγορευτική. Γι’ αυτό η µέθοδος των µεταβολών υπό

περιορισµούς έχει εφαρµογή µόνο σε προβλήµατα µε λίγες µεταβλητές και

περιορισµούς.


min f(y) = ½ (y12 + y2

2 + y32 + y4

2)

κάτω από g1(y) = y1 + 2y2

+ 3y3

+ 5y4 – 10 = 0

g2(y) = y1 + 2y2

+ 5y3

+ 6y4 – 15 = 0

Επειδή n = 4 και m = 2 χρειάζεται να επιλεγούν m = 2 ανεξάρτητες µεταβλητές

ώστε να ικανοποιούν τη συνθήκη 0x,x

g,g

21

21 ≠

J

44

Έστω x1 = y1, x2 = y2

021

21

y

g

y

g

y

g

y

g

x,x

g,g

2

2

1

2

2

1

1

1

21

21 ==

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

J δεν ικανοποιείται η συνθήκη

Έστω x1 = y1, x2 = y3

0251

31

y

g

y

g

y

g

y

g

x,x

g,g

3

2

1

2

3

1

1

1

21

21 ≠==

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

J ικανοποιείται η συνθήκη

Η δεύτερη αναγκαία συνθήκη είναι

0x,x,x

g,g f,

21k

21 =

J k = 3, 4 2 εξισώσεις

k = 3 x3 = y2

512

312

yyy

y

g

y

g

y

g

y

g

y

g

y

g

y

f

y

f

y

f

x

g

x

g

x

g

x

g

x

g

x

g

x

f

x

f

x

f

312

3

2

1

2

2

2

3

1

1

1

2

1

312

2

2

1

2

3

2

2

1

1

1

3

1

213

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= y2 (5-3) – y1

(10-6) + y3

(2-2) = 2 y2

– 4 y1

= 0

k = 4 x4 = y4

516

315

yyy

y

g

y

g

y

g

y

g

y

g

y

g

y

f

y

f

y

f

x

g

x

g

x

g

x

g

x

g

x

g

x

f

x

f

x

f

314

3

2

1

2

4

2

3

1

1

1

4

1

314

2

2

1

2

4

2

2

1

1

1

4

1

214

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= y4 (5-3) – y1

(25-18) + y3

(5-6) = 2 y4

– 7 y1

- y3

= 0

Εποµένως οι ικανές συνθήκες για ακρότατο της f είναι:

2 y2 – 4 y1

= 0 ⇒ y1

= 1/2 y2

2 y4 – 7 y1

- y3

= 0 ⇒ y3

= 2 y4

– 7 y1

= 2 y4

– 7/2 y2

Αντικαθιστώντας στους περιορισµούς προκύπτει

g1(y) = 1/2 y2 + 2y2

+ 3(2 y4

– 7/2 y2) + 5y4 – 10 = 0 ⇒ – 8 y2 + 11 y4 = 10

g2(y) = 1/2 y2 + 2y2

+ 5(2 y4

– 7/2 y2)

+ 6y4 – 15 = 0 ⇒ – 15 y2 + 16 y4 = 15

45

Η λύση είναι: y2* = -5/37 y4

* = 30/37 y1

* = -5/74 y3

* = 155/74

3.2.3 Πολλαπλασιαστές Lagrange

Συνεχίζοντας την ανάλυση της προηγουµένης ενότητας για n = 2 και m = 1 και

εισάγοντας τη µεταβλητή

2

2

x

g

x

f

λ

∂∂∂∂

−= στην εξίσωση (4) προκύπτει

0x

g λ

x

f

11

=∂∂

+∂∂

Εξάλλου από τον ορισµό του λ προκύπτει:

0x

g λ

x

f

22

=∂∂

+∂∂

Επίσης στο σηµείο ακρότατου (x1*, x2

*) ισχύει και ο περιορισµός g(x1, x2) = 0

Είναι προφανές ότι αυτές οι τρεις αναγκαίες συνθήκες µπορεί να βρεθούν µε

παραγώγιση της συνάρτησης Lagrange L(x1, x2, λ) = f(x1, x2) + λ g(x1, x2) ως

προς τις µεταβλητές x1, x2, και λ και αναζήτηση των στάσιµων σηµείων της,

όπως στην περίπτωση βελτιστοποίησης χωρίς περιορισµούς. Ο συντελεστής λ

ονοµάζεται πολλαπλασιαστής Lagrange.

Στην γενική περίπτωση

L(x, λ) = f(x1, x2, …, xn) +∑=

m

1j

λj gj(x1, x2, …, xn)

λ,xmin L(x, λ) x ∈ R

n λ ∈ R

m

0x

L

i

=∂∂

i = 1, 2, …, n (8)

0λ

L

j

=∂∂

j = 1, 2, …, m (9)

Οι σχέσεις (8) και (9) αποτελούν σύστηµα από n + m εξισώσεις µε n + m

αγνώστους x και λ.

Ερµηνεία των πολλαπλασιαστών Lagrange

Έστω ότι οι περιορισµοί γράφονται στη µορφή gj(x) = bj j = 1, 2, …, m

L(x, λ) = f(x) +∑=

m

1j

λj [gj(x) – bj]

46

Θεωρώντας ότι το επίπεδο κάθε περιορισµού bj µπορεί να µεταβληθεί, στην

περιοχή του ακροτάτου ισχύει

*** xxj

jxxj

jxx

j b

fλλ

b

f0

b

L=== ∂

∂=⇒−

∂∂

==∂∂

δηλαδή ο πολλαπλασιαστής Lagrange λj αντιπροσωπεύει την οριακή µεταβολή

(βελτίωση ή γενικά αλλαγή) στη συνάρτηση f που προκύπτει από τη διαφορική

χαλάρωση του επιπέδου bj του περιορισµού (σκιώδης τιµή).


Επίλυση του παραδείγµατος 3.1 µε πολλαπλασιαστές Lagrange

L(y, λ) = ½ (y12 + y2

2 + y3

2 + y4

2) +λ1 (y1

+ 2y2

+ 3y3

+ 5y4 – 10) +λ2 (y1

+ 2y2

+ 5y3

+ 6y4 – 15)

=∂∂

1y

Ly1

+ λ1 + λ2 = 0 ⇒ y1

= - λ1 - λ2

=∂∂

2y

Ly2

+ 2 λ1 + 2 λ2 = 0 ⇒ y2

= -2 λ1 -2 λ2

=∂∂

3y

Ly3

+ 3 λ1 + 5 λ2 = 0 ⇒ y3

= -3 λ1 -5 λ2

=∂∂

4y

Ly4

+ 5 λ1 + 6 λ2 = 0 ⇒ y4

= -5 λ1 -6 λ2

g1(y) = -λ1 - λ2 -2 (2 λ1 +2 λ2) - 3(3 λ1 +5 λ2) - 5(5 λ1 + 6 λ2) - 10 = 0 ⇒ -39 λ1 - 50 λ2 - 10 = 0

g2(y) = -λ1 - λ2 -2 (2 λ1 +2 λ2) -5(3 λ1 +5 λ2) - 6(5 λ1 + 6 λ2) - 15 = 0 ⇒ - 50 λ1 - 66 λ2 - 15 = 0

74

90

50 x 50 39x 66

50 x 15 66x 10λ*

1 =−+−

= 74

85

50 x 50 39x 66

50 x 10 15x 39λ*

2 −=−+−

=

y1* = -5/74 y2

* = -5/37 y3

* = 155/74 y4

* = 30/37


Σχεδιασµός ανοικτής δεξαµενής συγκράτησης φερτών µε δεδοµένα την

παροχή Q και τον επιθυµητό χρόνο παραµονής Τ, ώστε να ελαχιστοποιείται το

κόστος που είναι ανάλογο της ολικής επιφάνειας της δεξαµενής. Μέσα στη

δεξαµενή και κάθετα στη ροή υπάρχει διαπερατό τοίχωµα.

Έστω x, y, z οι διαστάσεις της δεξαµενής (η φορά της ροής είναι κατά το x).

Ο όγκος της δεξαµενής δίδεται εµµέσως V = Q T = x y z

και το πρόβληµα είναι:

min (x y + 2 x z + 3 y z) κάτω από x y z = V

47

L = x y + 2 x z + 3 y z + λ (x y z - V)

=∂∂

x

L y + 2 z + λ y z = 0 ⇒ x y + 2 x z = - λ V

=∂∂

y

Lx + 3 z + λ x z = 0 ⇒ x y + 3 z y = - λ V

=∂∂

z

L 2 x + 3 y + λ x y = 0 ⇒ 2 x z + 3 y z = - λ V

λ

L=

∂∂

x y z – V = 0

3/1

3 V

48 λV

λ

48 zy x

λ 3

12y

λ 2

12x

λ 6

12 z

12

λV 3 x z

12

λV 2 zy

12

λV 6y x

λV-

λV-

λV-

zx

yz

xy

031

230

201

−=⇒=−=⇒

−=

−=

−=

⇒

−=

−=

−=

⇒

=

x* = (9/2 V)

1/3 y

* = (4/3 V)

1/3 z

* = (1/6 V)

1/3


Να βρεθεί η ακτίνα r και το ύψος h δεξαµενής νερού κλειστού κυλινδρικού

σχήµατος µε δεδοµένο όγκο ώστε να έχει ελάχιστη επιφάνεια.

min Α = (2 π r h + 2 π r2) κάτω από V = π r

2 h

L = 2 π r h + 2 π r2 + λ (π r

2 h - V)

=∂∂

r

L 2πh + 2 π 2r + λ 2π r h = 0 ⇒ 2 πh + 4 πr +(-2/r) 2π r h = 0 ⇒ h

* = 2 r

*

=∂∂

h

L 2 π r + λ π r

2 = 0 ⇒ π r (2 + λ r) = 0 ⇒ λ

* = -2/r

λ

L=

∂

∂π r

2 h – V = 0 ⇒ π r

2 2 r = V ⇒ r

* = (V/2π)

1/3 ⇒ A* = 6 πr

2 = 6π (V/2π)

2/3

3.3 ΙΚΑΝΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΣΤΗ ΜΕΘΟ∆Ο ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΩΝ

LAGRANGE

Χρειάζεται να ελεγχθεί η ικανή συνθήκη για το πρόβληµα βελτιστοποίησης

χωρίς περιορισµούς, δηλαδή να ελεγχθεί το πρόσηµο του πίνακα Hessian της

συνάρτησης Lagrange. Παρατηρώντας ότι

48

ji

i

j

j

ijiji

2

gx

gg

xλ

L

xλx

L=

∂

∂=

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

∂

0λλ

L

ji

2

=∂∂

∂

ο πίνακας Hessian παίρνει τη µορφή

=

==

0B

BL

0G

GLH(L)

00 0

00 0

0 0 0

ggg

ggg

ggg

ggg

ggg

ggg

LLL

LLL

LLL

T

ij

ji

ijij

mmm2m1

2n2221

1n1211

mn2n1n

m22212

m12111

nnn2n1

2n2221

1n1211

L

L

L

L

MM

K

L

MM

L

Ο παραπάνω πίνακας λέγεται συνοριακός πίνακας του Hess (Bordered Hessian

Matrix). Σύµφωνα µε όσα ήδη αναπτύχθηκαν αν Η > 0 υπάρχει τοπικό

ελάχιστο, ενώ αν Η < 0 υπάρχει τοπικό µέγιστο. Πρέπει να διευκρινιστεί ότι οι

συνθήκες αυτές είναι ικανές για την ύπαρξη ακρότατου, αλλά όχι και

αναγκαίες. Με άλλα λόγια ένα στάσιµο σηµείο µπορεί να είναι ακρότατο χωρίς

να ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες (δηλαδή να ισχύει Η > 0 ή Η < 0).

Αποδεικνύεται ότι για να ελεγχθούν οι ικανές συνθήκες, αρκεί να ελεγχθούν οι

ρίζες του n-m βαθµού πολυωνύµου

00B

BsILdet

T

nnij =−

ή

0

00 0

00 0

0 0 0

g g g

g g g

g g g

ggg

ggg

ggg

s-LLL

Ls-LL

LLsL

mmm2m1

2n2221

1n1211

mn2n1n

m22212

m12111

nnn2n1

2n2221

1n1211

=

−

L

L

L

L

MM

K

L

MM

L

49

και αν όλες οι n-m ρίζες s είναι θετικές τότε υπάρχει τοπικό ελάχιστο, ενώ αν

είναι αρνητικές τότε υπάρχει τοπικό µέγιστο.


Να διερευνηθούν τα ακρότατα της f(x, y) = xy κάτω από h(x, y) = x + y = 6.

L(x, y) = xy + λ (x + y − 6).

=∂∂

x

L y + λ = 0, =

∂∂

y

L x + λ = 0,

λ

L=

∂

∂ x + y − 6 = 0 ⇒ -2λ = 6

λ = -3 x = 3, y = 3

Η λύση αυτή πρέπει να ελεγχθεί µε τις ικανές συνθήκες ώστε να διαπιστωθεί

αν είναι µέγιστο, ελάχιστο ή τίποτε.

Ο συνοριακός πίνακας του Hess είναι H =

=

011

101

110

0gg

gLL

gLL

1211

122221

111211

det

−

−

011

11

11

s

s

= 0 ⇒ -s (-1) – 1 (-1) + 1 (1+s) = s + 1 + 1 + s = 2s + 2 = 0 s = -1 < 0

Εποµένως το κρίσιµο σηµείο (x = 3, y = 3) είναι µέγιστο.

Παράδειγµα 3.6 - Προσδιορισµός της κατεύθυνσης επικλινέστερης ανόδου

Πρόταση: Η κλίση της συνάρτησης f(x) αντιπροσωπεύει την κατεύθυνση

επικλινέστερης ανόδου (δηλαδή την κατεύθυνση στην οποία η συνάρτηση

µεταβάλλεται εντονότερα), ενώ η αρνητική κλίση της συνάρτησης δείχνει την

κατεύθυνση επικλινέστερης καθόδου.

Έστω u το µοναδιαίο διάνυσµα στην κατεύθυνση s.

Για ένα βήµα ds, έχουµε dr = u ds

==

=⇒

=

2

1

2

1

2

1

u

uu

ds

dxds

dx

ds

rd

dx

dxrd

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

ux

fu

x

f

ds

dx

x

f

ds

dx

x

f

ds

dfdx

x

fdx

x

f df

∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

=⇒∂∂

+∂∂

=

50

Η παράγωγος ds

dfεκφράζει τη µεταβολή της συνάρτησης στην κατεύθυνση s.

Εάν 0 ds

df> στη φορά του dr τότε είναι κατεύθυνση ανόδου, αλλοιώς καθόδου.

Το πρόβληµα προσδιορισµού της κατεύθυνσης επικλινέστερης ανόδου παίρνει

τη µορφή:

ds

dfmax

uκάτω από |u|

2 = 1 ⇒ u1

2 + u2

2 = 1

L(u1, u2, λ) = ) u -u -(1 λ ux

fu

x

f 2

2

2

12

2

1

1

+∂∂

+∂∂

λ 2

x

f

u 0u λ 2x

f

u

L1

11

11

∂∂

=⇒=−∂∂

=∂∂

λ 2

x

f

u 0u λ 2x

f

u

L2

22

22

∂∂

=⇒=−∂∂

=∂∂

⇒=

∂∂

+

∂∂

⇒=+⇒==∂∂ 2

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1 λ4x

f

x

f1 u u 0 u -u -1

λ

L

2/12

2

2

1 x

f

x

fλ2

∂∂

+

∂∂

=

Αλλά

2/12

2

2

1

2

1

x

f

x

ff

x

f

x

f

f

∂∂

+

∂∂

=∇⇒

∂∂∂∂

=∇ και συνεπώς

f

x

f

u ii ∇

∂∂

= και f

fu

∇∇

=

δηλαδή η κατεύθυνση της µέγιστης µεταβολής της συνάρτησης είναι η

κατεύθυνση της κλίσης της συνάρτησης. Ο ρυθµός µεταβολής υπολογίζεται ως

ff

f

f

x

f

x

f

s

f2

2

2

2

1

max

∇=∇

∇=

∇

∂∂

+

∂∂

=

∂∂

δηλαδή είναι ίσος µε το µέγεθος του διανύσµατος κλίσης της συνάρτησης.

51

Παρατήρηση

Το πρόβληµα µπορεί να τεθεί ισοδύναµα ως εξής:

max z = a x1 + b x2 κάτω από x12 + x2

2 = 1

L(x1, x2, λ) = ) x- x-(1 λ xb xa 2

2

2

121 ++

λ 2

ax 0x λ 2a

x

L11

1

=⇒=−=∂∂

λ 2

bx 0x λ 2b

x

L22

2

=⇒=−=∂∂

( ) 2/1222222

2

2

1

2

2

2

1 baλ2λ4ba1 x x0 x- x-1 λ

L+=⇒=+⇒=+⇒==

∂∂

( ) 2/1221

ba

ax

+=

( ) 2/1222

ba

bx

+=

Επειδή [ ]1/222 bazb

az +=∇⇒

=∇ και

z

zz

∇∇

=

Η αντικειµενική συνάρτηση είναι ευθεία και έχει µέγιστο στο σηµείο (-a, -b)

και ελάχιστο στο (a, b).

Απόδειξη µε έλεγχο της ικανής συνθήκης

⇒=−

−

⇒=−

−

0

0b/λa/λ

b/λsλ2-0

a/λ0sλ2-

0

0gg

gsLL

gLsL

1211

122221

111211

- (2λ + s) (-b2/λ

2) + a/λ (2λ + s) a/λ = (2λ + s) (b

2/λ

2 + a

2/λ

2) = (2λ + s) 4 = 0 ⇒

s = -2λ οπότε επειδή s = - (a2 + b

2)1/2

< 0 το σηµείο αντιστοιχεί σε τοπικό

µέγιστο.


3.1 Ο Οργανισµός Αστικών Λεωφορείων έχει προσδιορίσει ότι το µέσο κόστος

για την εξυπηρέτηση των επιβατών σε ένα σύστηµα δύο γραµµών είναι €1.20

ανά επιβάτη. Η επιχείρηση αναζητεί µια µέθοδο για να καθιερώσει τις τιµές

εισιτηρίων, λαµβάνοντας υπόψη το µήκος της διαδροµής του επιβάτη και τον

αριθµό των επιβατών σε κάθε γραµµή. ∆ηλαδή, οι επιβάτες της γραµµής µε

τον µεγαλύτερο αριθµό επιβατών ενδέχεται να πληρώνουν µικρότερο εισιτήριο

απ’ ότι οι επιβάτες της γραµµής µε τη µικρότερη ζήτηση. Παρόµοια, οι

επιβάτες της γραµµής µε το µεγαλύτερο µήκος ενδέχεται να πληρώνουν

µεγαλύτερο εισιτήριο απ’ ότι οι επιβάτες της γραµµής µε το µικρότερο µήκος.

52

Εµπορικό Κέντρο

Πυκνοκατοικηµένη

ΠεριοχήΑραιοκατοικηµένη

Περιοχή

1

2

∆ιαδροµή i Μέσο µήκος διαδροµής Li Μέσος αριθµός επιβατών ni

1 10 600

2 15 1,400

Ένα δίκαιο σύστηµα θεωρείται ότι ελαχιστοποιεί τις αποκλίσεις του κόστους

της διαδροµής ανάµεσα σε όλους τους επιβάτες. Σαν µέτρο

αποτελεσµατικότητας λαµβάνεται η σταθµισµένη εξίσωση διασποράς

22

1

)(1

rrnN

V

i

ii −= ∑=

όπου V είναι η διασπορά του κόστους της διαδροµής, ri είναι το έσοδο από το

εισιτήριο που πληρώνει κάθε επιβάτης της γραµµής i και r είναι το µέσο

έσοδο από το εισιτήριο που πληρώνουν οι επιβάτες, ή ∑=

=2

1

1

i

iirnN

r , και Ν είναι

ο συνολικός αριθµός επιβατών.

(α) ∆ιαµορφώστε το µαθηµατικό υπόδειγµα για να προσδιορίσετε τις τιµές

εισιτηρίων, ώστε οι επιβάτες να επιµερίζονται δίκαια το κόστος µε βάση το

µήκος της διαδροµής και τη ζήτηση.

(β) Προσδιορίστε τη βέλτιστη λύση µε τη µέθοδο των πολλαπλασιαστών

Lagrange.

Επίλυση

Έστω p1 και p2 οι τιµές εισιτηρίων που θα πληρώνουν οι επιβάτες των

γραµµών 1 και 2 αντίστοιχα, ανά µονάδα µήκους - επιβάτη. Εποµένως ri = pi Li

To µέτρο αποτελεσµατικότητας γράφεται

V = n1/N (r1 -r)2

+ n2/N (r2 -r)

2 =

600/2000 (10p1 – 1.2)2

+ 1400/2000 (15p2 – 1.2)

2

Υποθέτουµε ότι η επιχείρηση δεν έχει κέρδη, δηλαδή τα έσοδα από τα

εισιτήρια καλύπτουν το κόστος, ή

p1 n1 L1 + p2 n2 L2 =rN p1 600 10 + p2 1400 15 = 1.2 2000 6 p1 + 21 p2 = 2.4

Το µαθηµατικό υπόδειγµα είναι

53

min V = 600/2000 (10p1 – 1.2)2

+ 1400/2000 (15p2 – 1.2)

2

κάτω από 6 p1 + 21 p2 = 2.4

p1 ≥ 0, p2 ≥ 0

(β) L(p1, p2, λ) =

600/2000 (10p1 – 1.2)2

+ 1400/2000 (15p2 – 1.2)

2 + λ (2.4 - 6 p1 - 21 p2)

10

λ1.20 0λ610)2.110(6.0

L11

1

+=⇒=−−=

∂∂

ppp

15

λ1.20 0λ2115)2.115(4.1

L22

2

+=⇒=−−=

∂∂

ppp

4.215

λ1.2021

10

λ1.20 6 021 6-2.4

λ

L21 =

++

+⇒=−=

∂∂

pp ⇒ 0.72 +0.6 λ +1.68 + 1.4 λ = 2.4

⇒ λ = 0 οπότε p1 = €0.12 και p2 = €0.08 ανά µονάδα µήκους – επιβάτη.

Έλεγχος του πίνακα Hess αποδεικνύει ότι είναι θετικά ορισµένος, άρα τοπικό

ελάχιστο και κυρτή συνάρτηση. Από την πρόταση 3 έπεται ότι είναι απόλυτο

ελάχιστο.

3.2 (Σηµειώσεις ΚΠΑ) Εξετάστε τα ακρότατα του προβλήµατος µε τη µέθοδο

των πολλαπλασιαστών Lagrange. Να ελέγξετε και τη σχετική ικανή συνθήκη.

Min f(x) = x12

+ x22

+ x32

g1(x) = x1 + x2

+ 3x3 – 2 = 0

g2(x) = 5 x1 + 2 x2

+ x3 – 5 = 0

L(x, λ) = (x12

+ x22 + x3

2) - λ1 (x1

+ x2

+ 3x3 – 2) - λ2 (5 x1

+ 2 x2

+ x3 – 5)

=∂∂

1x

L2x1

- λ1 - 5 λ2 = 0 ⇒ x1

= 0.5 λ1 + 2.5 λ2

=∂∂

2x

L2 x2

- λ1 - 2 λ2 = 0 ⇒ x2

= 0.5 λ1 + λ2

=∂∂

3x

L2 x3

- 3 λ1 - λ2 = 0 ⇒ x3

= 1.5 λ1 + 0.5 λ2

g1(x) = (0.5 λ1 + 2.5 λ2)+ (0.5 λ1+λ2) + 3(1.5 λ1 + 0.5 λ2) – 2 = 0 ⇒ 5.5 λ1+ 5 λ2 – 2 = 0

g2(x) = 5 (0.5λ1 + 2.5λ2) + 2 (0.5 λ1+λ2)

+ (1.5λ1 + 0.5λ2) – 5 = 0 ⇒ 5 λ1 + 15 λ2 –5 = 0

λ1* = 1/11.5 = 0.087 λ2

* = 0.3043

x1* = 0.8043 x2

* = 0.3478 x3

* = 0.2827

54

HB =

00125

00311

13200

21020

51002

HB > 0

∆4 = 444.1))2(1)9(2(2

311

200

020

1

031

320

102

2

0311

3200

1020

1002

−=−−+−=−=

3.3 (Σηµειώσεις ΚΠΑ) Εξετάστε τα ακρότατα του προβλήµατος µε τη µέθοδο

των πολλαπλασιαστών Lagrange. Να ελέγξετε και τη σχετική ικανή συνθήκη.

Min f(x) = x12

+ x22

+ x32

g1(x) = 4 x1 + x2

2 + 2 x3 – 14 = 0

3.4 Το όριο ενός οικισµού µπορεί να προσεγγιστεί µε την εξίσωση µιας

έλλειψης: x2/α

2 + y

2/β

2 = 1. Η πυκνότητα πληθυσµού του οικισµού δίδεται από

τη σχέση: f(x,y) = A |xy|. Προσδιορίστε τις τοποθεσίες και τις τιµές της

µέγιστης πυκνότητας πληθυσµού.

3.5 (Bertsekas) - Βέλτιστος Έλεγχος σε ∆ιακριτό Χρόνο

Θεωρείστε τη διαχείριση του ισοζυγίου νερού ενός µεµονωµένου ταµιευτήρα.

Έστω

xk = στάθµη του νερού στον ταµιευτήρα τη χρονική στιγµή k (µεταβλητή

κατάστασης), η στάθµη x0 τη χρονική στιγµή 0 είναι γνωστή

rk = εισροή νερού στον ταµιευτήρα τη χρονική στιγµή k, (µεταβλητή εισόδου),

γνωστή για k = 0, …Ν

uk = εκροή από τον ταµιευτήρα τη χρονική στιγµή k (µεταβλητή απόφασης),

ζητούµενο για k = 0, …Ν

gk(uk) = κόστος απόφασης για εκροή uk τη στιγµή k

Συνολικό Κόστος Πολιτικής = ∑=

1-N

0k

kk )(ug

Περιορισµός (ισοζύγιο µάζας ταµιευτήρα):

xk+1 = xk - uk - rk k = 0, …Ν-1 και x0 γνωστό

55

Έστω

=

1-N

0

x

x

x M και

=

1-N

0

u

u

u M

Σηµείωση: κάθε xk είναι συνάρτηση της πολιτικής u ή

xk = x0 – u0 - ..... – uk-1+ r0 + ..... + rk-1 = Φk(u)

Μια τεχνική που µπορεί να χρησιµοποιείται για να απαλείφονται οι

περιορισµοί συνίσταται στη χρησιµοποίηση συναρτήσεων ποινής, δηλαδή

στην εισαγωγή µιας συνιστώσας κόστους (συνήθως τετραγωνικής µορφής)

όταν η στάθµη αποµακρύνεται από την επιθυµητή τιµή για κάθε χρονική

στιγµή k (επιθυµητή τροχιά). Για την ειδική περίπτωση όπου ενδιαφέρει µόνο

η τελική απόκλιση από την επιθυµητή τιµή, το κόστος γράφεται

Κόστος Πολιτικής = ( )2

NN

1-N

0k

kk xx )(ug −Κ+∑=

όπου Nx είναι η γνωστή επιθυµητή τελική στάθµη

∆ηλαδή η πολιτική µε µικρότερο κόστος πρέπει να έχει τελική τιµή στάθµης

ούτε πολύ ψηλά ούτε πολύ χαµηλά σε σχέση µε την επιθυµητή τελική τιµή.

Προκύπτει άµεσα ότι το κόστος παίρνει τη µορφή

Κόστος Πολιτικής = ( ) ∑=

+−)Κ=1-N

0k

kk

2

NN )(ugxu(Φ)uJ(

Ζητείται να βρεθεί η πολιτική u που ελαχιστοποιεί το κόστος: )uJ(min u

Γενικότερα το κόστος µπορεί να έχει τη µορφή

( ) ∑=

+)=1-N

0k

kkNN )(ugu(ΦG)uJ(

Επίλυση

Αναγκαίες συνθήκες για ακρότατο σηµείο:

0u

x

x

G

u

g

u

J0

u

J

k

N

N

N

k

k

ku

k

* =∂

∂

∂

∂+

∂

∂=

∂∂

⇒=∂∂

Αλλά xΝ = ΦΝ(u) = x0 – ∑∑==

−=∂

∂⇒+

1-N

0k k

N

k

1-N

0k

k 1u

xru

56

Οπότε οι αναγκαίες συνθήκες γράφονται

kx

G

u

g

N

N

k

k ∀∂

∂=

∂

∂

δηλαδή

το οριακό κέρδος από κάθε απόφαση πρέπει να είναι ίσο µε το οριακό κέρδος

από τη µεταβολή της τελικής κατάστασης.

Γενίκευση για πολλούς ταµιευτήρες σε σειρά

r - u - x x 1

k

1

k

1

k

1

1k =+

r-u u - x x 2

k

1

k

2

k

2

k

2

1k +=+

Έστω n

n

k

1

k

k R

x

x

x ∈

= M το διάνυσµα κατάστασης και m

m

k

1

k

k R

u

u

u ∈

= M το

διάνυσµα απόφασης τη χρονική στιγµή k για m ταµιευτήρες. Το σύστηµα

εξισώσεων ισοζυγίου µάζας γράφεται )u ,x(f x kkk1k =+ , ώστε

RR:f nmn

k →+

Με γνωστά το x0 και το

=

1-N

0

u

u

u M , το

=

1-N

0

x

x

x M = Φ(u) µπορεί να

υπολογιστεί.

Κόστος

( ) ( )44444 344444 21

4342143421

u αποφάσεων τωνµόνο συνάρτηση

1-N

0k

kkkNN

1-N

0k

κατάστασηςενδιάµεσης κόστος

kkk

κατάστασηςτελική ς κόστος

NN u,u(Φgu(ΦG )u,x(g)x(G)uJ( ∑∑==

)+)=+=

Για το µη γραµµικό σύστηµα )u ,x(f x kkk1k =+

µε συνάρτηση κόστους )u ,x(g g kkkk =

57

µπορεί να αποδειχθεί ότι µε

[ ]

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=∇∇=∇

mk,

nk,

mk,

k,1

k,1

nk,

k,1

k,1

k,1uk,1u

n)(m,

ku

u

f

u

f

u

f

u

f

fffkkk

L

L :

(m,1)

ku

(n,1)

1k

n)(m,

ku

m,1)(

u gpfJ(u)kkk

∇+∇=∇ +

όπου το pk ικανοποιεί τη συζυγή (adjoint) εξίσωση

(n,1)

Nx

n,1)(

N

(n,1)

kx

(n,1)

1k

n)(n,

kx

n,1)(

k gpµε1 ..., 1,-NkgpfpNkk

∇==∇+∇= +

3.5 (Bertsekas) - Γραµµικός/Τετραγωνικός Βέλτιστος Έλεγχος

Θεωρείστε τη γενική περίπτωση του προβλήµατος 3.4 µε γραµµική δυναµική

εξίσωση συστήµατος και τετραγωνικό κριτήριο κόστους (για απλοποίηση

συµβολισµού η υπογράµµιση των διανυσµάτων παραλείπεται).

xk+1 = A xk + B uk x0 γνωστό, m

k

n

k Ru Rx ∈∈

( )

>≥

++= ∑=

0R 0,Qu R u xQ x xQ x 2

1 J

m)(m,n)n,(

1-N

0k

k

T

kk

T

kN

T

N

Πρόταση: Το πρόβληµα έχει ένα µοναδικό απόλυτο ελάχιστο

Με γνωστό το x0 : ∑=

++ +=

τ

0k

k

τ-k

0

1k

1k u Β A xA x = γραµµική ως προς u

Ώστε η συνάρτηση κόστους J(u) είναι τετραγωνική συνάρτηση του u και

µπορεί να πάρει τη µορφή

[ ][ ]

−

=

1-N

0

T

1-N

0

T

1-N

T

0

u

u

b

u

u

Nm x Nmuu2

1J(u) MML

58

Το πρόβληµα ανάγεται, εποµένως, σε πρόβληµα ελαχιστοποίησης χωρίς

περιορισµούς της −= u bu Q~

u 2

1 J(u) TT

και έχει ένα µοναδικό απόλυτο ελάχιστο αν 0Q~

>

Καθώς 0J(u) 0,u >≠∀ αυτή η συνθήκη ισχύει από τον ορισµό του θετικά

ορισµένου πίνακα

b Q~

u -1* =

Έστω

=*

1-N

*

0

*

x

x

x M και

=*

1-N

*

0

*

u

u

u M

Αναγκαία συνθήκη για ελάχιστο 0)J(u*

u =∇

Καθώς fk = A xk + B ukT

ku Bfk

=∇⇒

kkuk

T

kk

T

kk u Rgu R u xQ xgk

=∇⇒+=

*

1k

T-1*

k

*

k

*

1k

T pBRu u RpB0 ++ −=⇒+=

Συζυγής εξίσωση: *

N

*

N xQp =

1 ...., 1,-Nk xQpAp *

k

*

1k

T*

k =+= +

Εξίσωση συστήµατος: *

1k

T-1*

k

*

1k pBBR A x x ++ −=

γνωστόxx 0

*

0 =

Οι παραπάνω 2nN εξισώσεις έχουν 2nN αγνώστους *

k

*

k και xp .

Πρόταση:

0k

*

kk

*

k x τοαπό ςανεξάρτητο n)(n, καςείναι πίνα Κ όπου k, xKp ∀=

Απόδειξη: Για k=N ισχύει 0QK xQp N

*

N

*

N ≥=⇒=

Για k=N-1 ⇒+−=−= )u BA x(ΚBRxΚBRu *

1-N

*

1-NΝ

T-1*

NΝ

T-1*

1-Ν

⇒−=+ *

1-ΝΝ

T-1*

1-ΝΝ

T-1 A xΚBRu B)ΚBR I(

⇒+−= *

1-ΝΝ

T-1-1

Ν

T-1*

1-Ν A xΚBR B)ΚBR I(u *

1-ΝΝ

T-1

Ν

T*

1-Ν A xΚB B)ΚBR(u +−=

(καθώς 0K και 0R N ≥> , υπάρχει ο αντίστροφος του πίνακα)

Τώρα =+= *

1-N

*

1-N

*

N u B A x x

59

( ) *

1-ΝΝ

T-1

Ν

T*

N xAΚB B)ΚBR( B -A x +=

πολλαπλασιάζοντας µε ΑΤΚΝ και προσθέτοντας *

1-Ν xQ για να λάβουµε το *

1-Νp

( )[ ] *

1-Ν

K

Ν

T-1

Ν

T

NN

T

p

*

1-N

*

NN

T xQA ΚB B)ΚBR( BK - KA xQxKA

1-N*

1-N

44444444 344444444 21444 3444 21++=+

ισχύει xKp *

1-N1-N

*

1-N = . Παρόµοια: *

kk

*

k xKp =

Εξίσωση Ricatti

KN = Q

Kk = AT [Kk+1 - Kk+1 B(R+ B

T Kk+1 B)

-1 B

T Kk+1] A+ Q k=N-1,…1

• Επίλυση της Εξίσωσης Ricatti προς τα πίσω δίνει τους πίνακες Κk

(εξαρχής)

• Υπολογισµός της βέλτιστης τροχιάς του συστήµατος και των

µεταβλητών ελέγχου

1-N ..., 1, 0,kA xΚB B)ΚBR(u *

k1k

T-1

1k

T*

k =+−= ++

(1) δοµή του προβλήµατος: γραµµικοί περιορισµοί και τετραγωνική

συνάρτηση κόστους

(2) η βέλτιστη µεταβλητή ελέγχου είναι γραµµική συνάρτηση της µεταβλητής

κατάστασης σε κάθε χρονική στιγµή k

µπορεί να αποδειχθεί ότι το βέλτιστο κόστος είναι τετραγωνική συνάρτηση της

µεταβλητής κατάστασης σε κάθε χρονική στιγµή k ή το κόστος για εκκίνηση

από το xk* τη στιγµή k είναι ) xK (x

2

1 J *

kk

T*

k

*

k = . ∆εδοµένου ότι τα κόστη

είναι 0K0 k ≥⇒≥

(3) έπεται ότι ) xK (x 2

1 J(u)min 00

T

0u

=

(4) η πολυπλοκότητα επίλυσης της εξίσωσης Ricatti είναι 0(Ν) ενώ n, m << N.

3.6 Μια βιοµηχανία κατασκευάζει ένα αγαθό χρησιµοποιώντας δύο πρώτες

ύλες, Χ και Υ. Η ποσότητα του αγαθού που παράγεται από x µονάδες της X

και y της Y δίδεται από τη συνάρτηση Q(x, y) = x1/4

y3/4

. Εάν η

βιοµηχανία δαπανά €1280 κάθε βδοµάδα για πρώτες ύλες, ποια είναι µια

πιθανή τιµή για τη µέγιστη δυνατή εβδοµαδιαία παραγωγή, δεδοµένου ότι µια

µονάδα της X κοστίζει €16 και µια µονάδα της Y κοστίζει €1;

60

3.7 Στη µέθοδο της γραµµικής παλινδρόµησης αναζητείται µια γραµµική

σχέση ανάµεσα στην εξαρτηµένη µεταβλητή ûi και την ανεξάρτητη µεταβλητή

yi µε τη µορφή

ûi = k yi + a ∀i = 1, 2, … (1)

όπου k και a είναι σταθερές που πρέπει να προσδιοριστούν. Έχοντας

παρατηρήσει Ν ζεύγη yi, ui µε i = 1, 2, …N, το συνολικό τετραγωνικό

σφάλµα, Ε, που γίνεται όταν χρησιµοποιείται η (1) γράφεται:

Ε = ∑=

N

1i

(ui - ûi)2

α) Θέτοντας σαν κριτήριο την ελαχιστοποίηση του σφάλµατος E, γράψτε την

αναγκαία συνθήκη για ελάχιστο και υπολογίστε τις σταθερές k και a.

β) Ελέγξτε την ικανή συνθήκη για την περίπτωση i = 2.

3.8 Εξετάστε τα ακρότατα του προβλήµατος µε τη µέθοδο των

πολλαπλασιαστών Lagrange. Να ελέγξετε και τη σχετική ικανή συνθήκη.

min f(x) = x2

+ y2

+ z2

g1(x) = 3x + y

+ z - 5 = 0 (1)

g2(x) = x + y

+ z -1 = 0 (2)

L(x, λ) = (x2

+ y2

+ z2) - λ1 (3x

+ y

+ z - 5) - λ2 (x

+ y

+ z -1)

=∂∂

x

L2x

+ 3 λ1 + λ2 = 0

=∂∂

y

L2 y

+ λ1 + λ2 = 0

=∂∂

z

L2 z

+ λ1 + λ2 = 0 ⇒ y

= z

(1)-(2): 2 x = 4 ⇒ x = 2 y + z = -1 y = z = -1/2 λ1

* = -5/2, λ2

* = 7/2

Ο συνοριακός πίνακας Hess είναι

Η=

00311

00111

31200

11020

11002

και έχει µία ιδιοτιµή s = 2 > 0.

KΕΦΑΛΑΙΟ 4


Με Περιορισµούς Ανισότητες

4.1 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ


αντικειµενική συνάρτηση κάτω από ένα σύνολο m-περιορισµών µε τη µορφή

ανισοτήτων

x

min f(x) x ∈ Rn

κάτω από gj(x) ≤ bj j = 1, 2, …, m

Για τον προσδιορισµό του ελαχίστου µπορεί να χρησιµοποιηθεί η θεωρία που

αναπτύχθηκε για το πρόβληµα µε περιορισµούς ισότητες (πολλαπλασιαστές

Lagrange). Γι’ αυτό εισάγεται µια συµπληρωµατική (slack) ή πλεονασµατική

(surplus) µεταβλητή (που επίσης ονοµάζονται µεταβλητές απόκλισης) σε κάθε

ανισότητα

bj - gj(x) = sj2 ≥ 0

δηµιουργώντας έναν νέο περιορισµό µε µορφή ισότητας

gj(x) + sj2

- bj = 0

Η επίλυση του προβλήµατος µε περιορισµούς ισότητες θα αποφέρει τις τιµές

των νέων µεταβλητών sj2.

Αν sj = 0 gj(x) = bj j ∈ J1 ενεργοί περιορισµοί λj ≠ 0

Αν sj ≠ 0 gj(x) ≤ bj j ∈ J2 ανενεργοί περιορισµοί λj = 0

Όπως εξηγήθηκε στο Κεφάλαιο 3 ο πολλαπλασιαστής Lagrange εκφράζει τη

µεταβολή της αντικειµενικής συνάρτησης λόγω µιας µεταβολής στο επίπεδο bj

του διαθέσιµου πόρου (περιορισµού). Αν ο περιορισµός είναι ανενεργός, η

µεταβολή του bj δεν επηρεάζει τη βέλτιστη τιµή της αντικειµενικής

συνάρτησης και εποµένως λj = 0. Το αντίθετο συµβαίνει αν ο περιορισµός

είναι ενεργός και εποµένως λj ≠ 0.

Στην γενική περίπτωση η συνάρτηση Lagrange γράφεται

L(x, s, λ) = f(x) +∑=

m

1j

λj (gj(x) + sj2

- bj )

λ ,s ,xmin L(x, s, λ) x ∈ R

n λ, s ∈ R

m

∑=

=∂

∂+

∂∂

=∂∂ m

1j i

j

j

ii

0x

g λ

x

f

x

L i = 1, 2, …, n (1)

62

0b - s )x(gλ

Lj

2

jj

j

=+=∂∂

j = 1, 2, …, m (2)

0s λ2s

Ljj

j

==∂∂

j = 1, 2, …, m (3) είτε λj = 0 ανενεργός

είτε sj = 0 ενεργός

Ορίζεται J1 το σύνολο των p το πλήθος ενεργών περιορισµών (λj ≠ 0)

J2 το σύνολο των m-p το πλήθος ανενεργών περιορισµών (λj = 0)

∑∈

=∂

∂+

∂∂

1Jj i

j

j

i

0x

g λ

x

f i = 1, 2, …, n n εξισώσεις (1)

gj(x) = bj για j ∈ J1 p εξισώσεις

gj(x) + sj2

= bj για j ∈ J2 m - p εξισώσεις (2)

sj > 0 για j ∈ J2 (3)

Οι σχέσεις (1)-(3) αποτελούν σύστηµα n + m εξισώσεων µε τους εξής n + m

αγνώστους:

xj i = 1, 2, …, n n άγνωστοι

λj ≠ 0 j ∈ J1 ενεργοί περιορισµοί p άγνωστοι

sj ≠ 0 j ∈ J2 ανενεργοί περιορισµοί m - p άγνωστοι

Όµως ο αριθµός των ενεργών περιορισµών δεν είναι γνωστός εκ των προτέρων

και απαιτούνται διαδοχικές παραδοχές για να προσδιοριστεί η λύση του

συστήµατος. Μπορεί να αποδειχθεί ότι για ελαχιστοποίηση απαιτείται λj ≥ 0,

ενώ για µεγιστοποίηση λj ≤ 0.

Τα παραπάνω γενικεύονται στις λεγόµενες συνθήκες Kuhn – Tucker (K-T),

που είναι οι αναγκαίες πρώτης τάξης συνθήκες για ακρότατο σηµείο σε

πρόβληµα ελαχιστοποίησης µε περιορισµούς ισότητες και ανισότητες.

xmin f(x) x ∈ R

n

κάτω από gj(x) ≤ 0 j = 1, 2, …, m

hk(x) = 0 k = 1, 2, …, p

∑ ∑= =

=∂

∂+

∂∂

+∂∂ p

1k

m

1j i

j

j

i

kk

i

0x

g µ

x

h λ

x

f i = 1, 2, …, n (1)

hk(x) = 0 k = 1, 2, …, p (2)

µj gj(x) = 0 (3)

µj ≥ 0 (4)

Για πρόβληµα µεγιστοποίησης η (4) γράφεται µj ≤ 0.

63

Οι συνθήκες Kuhn – Tucker είναι επίσης ικανές για µέγιστο, αν η f(x) είναι

κοίλη και το σύνολο των περιορισµών κυρτό ή για ελάχιστο αν η f(x) είναι

κυρτή και το σύνολο των περιορισµών κυρτό, σύµφωνα µε τις Προτάσεις 3 και

5 του Κεφαλαίου 2. Εποµένως η διαδικασία είναι να χρησιµοποιούνται οι

συνθήκες (1)-(4) για να εντοπίζονται κρίσιµα σηµεία και κατόπιν να ελέγχεται

η κυρτότητα για να αποφασίζεται αν υπάρχει απόλυτο ακρότατο.


max f(x) = - 2 x12

- x24 + 2 x1

+ 10 x2

κάτω από g1(x) = 2 1xe + x1 x2 + x2

2 ≤ 10 (1)

x1 , x2 > 0

H(f) =

−

−22x120

04 ∆1 = -4 < 0 , ∆2 = 48 x2

2 > 0 ⇒ H(f) < 0

⇒ η f(x) είναι αυστηρά κοίλη

H(g) =

21

12 1xe ∆1 = 2 1x

e > 0 , ∆2 = 4 1x

e - 1 > 0 ⇒ H(g) > 0

⇒ η g(x) είναι αυστηρά κυρτή

Αν εντοπιστεί τοπικό µέγιστο που ικανοποιεί τους περιορισµούς µε βάση την

Πρόταση 4 της Ενότητας 2.3.2 θα είναι απόλυτο µέγιστο. Οι συνθήκες Κ-Τ

γράφονται:

=∂

∂

1x

L - 4 x1 + 2 + µ1 (2 1x

e + x2)

= 0 ( µ1 = 0) ⇒ x1 = 0.5

=∂

∂

2x

L- 4 x2

3 + 10 + µ1 (x1 + 2 x2) = 0 x2 = (2.5)

1/3 = 1.3572

µ1 (2 1xe

+ x1 x2 + x2

2 - 10) = 0

µ1 ≤ 0

Έστω (1) ανενεργός ⇒ µ1 = 0, οπότε x1 = 0.5 x2 = 1.3572

Έλεγχος περιορισµού

(1) (2 e0.5

+ 0.5 1.3572 + 1.35722

- 10) = -4.182 ≤ 0 ικανοποιείται

Άρα το σηµείο (0.5, 1.3572) είναι απόλυτο µέγιστο.


min f(x) = 2 x12

+ 2 x1 x2 + x22 – 10 x1

– 10 x2

κάτω από g1(x) = x12

+ x22

– 5 ≤ 0 (1)

g2(x) = 3 x1 + x2

– 6 ≤ 0 (2)

Όταν το πρόβληµα έχει 2 µεταβλητές (n = 2) πολλές φορές είναι χρήσιµη η

απεικόνιση του στο επίπεδο x1 - x2 ώστε να εµφανίζονται τα σηµεία προς

διερεύνηση και να χαρακτηρίζονται οι περιορισµοί ως ενεργοί ή ανενεργοί.

64

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A

B

Ο (1) είναι εξίσωση κύκλου µε

κέντρο το (0,0) και ακτίνα 5 και

ο (2) εξίσωση ευθείας όπως

φαίνεται στο σχήµα µε σηµεία

τοµής Α και Β. Η εφικτή περιοχή

είναι το εσωτερικό του κύκλου

εκτός από το κυκλικό τµήµα µε

χορδή ΑΒ και είναι κυρτή ως τοµή

κυρτών συνόλων. Στα σηµεία Α, Β

και οι δύο περιορισµοί είναι

ενεργοί. Από το απόλυτο ελάχιστο

χωρίς περιορισµούς f = -25 στο

(0,5), αυξάνοντας την τιµή της

αντικειµενικής συνάρτησης γίνεται

ενεργός µόνο ο (2) f = -24.8, µετά

µόνο ο (1) f = -20 και µετά και οι

δύο περιορισµοί f = -19.53 στο Α.

=∂∂ 1xL/ 4 x1 + 2 x2 – 10 + 2 µ1 x1 + 3 µ2 = 0

=∂∂ 2xL/ 2 x1 + 2 x2 – 10 + 2 µ1 x2

+ µ2

= 0

µ1 (x12

+ x22

– 5) = 0

µ2 (3 x1 + x2

– 6) = 0

µ1 ≥ 0, µ2 ≥ 0

Έστω (1) και (2) ανενεργοί ⇒ µ1 = µ2 = 0, 4 x1 + 2 x2 = 10 και 2 x1 + 2 x2 = 10

⇒ x1 = 0 και x2 = 5, σηµείο εκτός του κύκλου, παραβιάζεται ο (1)

Έστω (1) ανενεργός και (2) ενεργός ⇒ µ1 = 0 και 3 x1 + x2

= 6

4 x1 + 2 x2 – 10 + 3 µ2 = 0 ⇒ 4 x1 + 2 x2 = 10 - 3 µ2

2 x1 + 2 x2 – 10 + µ2

= 0 ⇒ 2 x1 + 2 x2

= 10 - µ2

⇒ x1 = - µ2 x2

= 5 + ½ µ2

3 x1 + x2

= 6 ⇒ - 3 µ2 + 5 + ½ µ2 = 6 ⇒ - 5 µ2 + 10 = 12 ⇒ µ2 = -2/5 < 0

x1 = 2/5 x2 = 24/5

Έλεγχος περιορισµών

(2) 3 . 2/5 + 24/5

= 6 ικανοποιείται ⇒ ο (2) ενεργός

(1) (2/5)2

+ (24/5)2

= 580/25 > 5 δεν ικανοποιείται

Έστω (1) ενεργός και (2) ανενεργός ⇒ x12

+ x22

= 5 και µ2 = 0

4 x1 + 2 x2 – 10 + 2 µ1 x1 = 0 ⇒ (2 µ1 + 4) x1 + 2 x2 = 10

2 x1 + 2 x2 – 10 + 2 µ1 x2

= 0 ⇒ 2 x1 + (2 + 2 µ1) x2

= 10

65

⇒ x1 =

4µ12µ4

µ20

1

2

1

1

++ x2

=

4µ12µ4

µ2020

1

2

1

1

+++

x12

+ x22

= 5 ⇒ 54µ12µ4

µ2020

4µ12µ4

µ202

1

2

1

1

2

1

2

1

1 =

+++

+

++

⇒ 400 µ12 + 400 + 800 µ1 + 400 µ1

2 = 5 (4 µ1

2 + 12 µ1

+ 4)

2

Η τεταρτοβάθµια αυτή εξίσωση έχει τη λύση µ1 = 1 > 0 ⇒ x1 = 1 x2 = 2

Έλεγχος περιορισµών

(2) 3 . 1 + 2

= 5 ≤ 6 ικανοποιείται ⇒ ο (2) ανενεργός

(1) (1)2

+ (2)2

= 5 ικανοποιείται ⇒ ο (1) ενεργός

Στο σηµείο (1, 2) η συνάρτηση έχει τοπικό ελάχιστο f* = -20.

H(f) =

22

24 ∆1 = 4 > 0 , ∆2 = 4 > 0 ⇒ H(f) > 0

⇒ η f(x) είναι αυστηρά κυρτή

Με βάση την Πρόταση 2 της Ενότητας 2.3.2 θα είναι απόλυτο ελάχιστο.


min f(x) = x12

+ x22 + x3

2

κάτω από g1(x) = 2 x1 + x2

– 5 ≤ 0 (1)

g2(x) = x1 + x3

– 2 ≤ 0 (2)

g3(x) = 1 - x1 ≤ 0 (3)

g4(x) = 2 – x2 ≤ 0 (4)

g5(x) = - x3 ≤ 0 (5)

=∂∂

1x

L 2 x1 + 2 µ1 + µ2 – µ3 = 0 (1)’

=∂∂

2x

L2 x2

+ µ1 – µ4

= 0 (2)’

=∂∂

3x

L2 x3

+ µ2 – µ5

= 0 (3)’

µi gi(x) = 0

µi ≥ 0

A. Έστω όλοι ανενεργοί ⇒ µi = 0 ⇒ xi = 0 άτοπο, παραβιάζεται ο (3)

66

Β. Έστω ο (3) ενεργός και οι άλλοι ανενεργοί ⇒ x1 = 1 και µ1 = µ2 = µ4 = µ5 = 0

Από (1)’ ⇒ µ3 = 2 > 0 (2)’ ⇒ x2 = 0 άτοπο, παραβιάζεται ο (4)

Γ. Έστω ο (3) και ο (4) ενεργοί και οι άλλοι ανενεργοί ⇒ x1 = 1, x2 = 2

και µ1 = µ2 = µ5 = 0

Από (1)’ ⇒ µ3 = 2 > 0 (2)’ ⇒ µ4 = 4 > 0 (3)’ ⇒ x3 = 0

στο σηµείο (1, 2, 0) ικανοποιούνται όλες οι ικανές συνθήκες πρώτης τάξης.

4.2 ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΟΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

Το πρόβληµα του Γραµµικού Προγραµµατισµού (Γ.Π.) είναι µια ειδική

περίπτωση του προβλήµατος του γενικού προβλήµατος που διατυπώθηκε ήδη,

στην οποία η αντικειµενική συνάρτηση και οι περιορισµοί είναι γραµµικές

συναρτήσεις των µεταβλητών απόφασης. ∆ηλαδή το γενικό πρόβληµα

x

min f(x) x ∈ Rn

κάτω από gi(x) ≤ bi i = 1, 2, …, m

x ≥ 0

στο Γ.Π. διατυπώνεται στην εξής µορφή:

j

n

1j

jx

xc)xf(min ∑=

= x ∈ Rn

κάτω από ένα σύνολο m γραµµικών περιορισµών

gi(x) = ij

n

1j

ij bxa ≤∑=

i = 1, 2, …, m (Ι) – πρωτεύουσες συνθήκες

xj ≥ 0 j = 1, 2, …, n

Στην περίπτωση αυτή, εάν το σύνολο που ορίζεται από τους περιορισµούς

είναι ένα κυρτό σύνολο, οι αναγκαίες συνθήκες βελτιστοποίησης, οι συνθήκες

Κ-Τ, είναι και ικανές συνθήκες.

Σύµφωνα µε τους παραπάνω συµβολισµούς, είναι προφανές ότι στον Γ.Π.:

.ijax

igκαιc

x

f

jj

j

=∂

∂=

∂∂

Συµβολίζοντας τώρα τους πολλαπλασιαστές

Lagrange (οι οποίοι στον Γ.Π. για λόγους που θα εξηγηθούν στο Κεφάλαιο 6

ονοµάζονται δυϊκές µεταβλητές) µε Y1, Y2, …, Ym, οι συνθήκες Κ-Τ είναι οι

εξής:

67

0x

g Y

x

f m

1i j

ii

j∑=

=∂

∂+

∂∂

j = 1, 2, …, n

Yi gi(x) = 0 i = 1, 2, …, m

Yi ≥ 0

ή

0a Y cm

1i

ijij ∑=

=+ j = 1, 2, …, n (1) (ΙΙ)– δευτερεύουσες συνθήκες

Yi gi(x) = 0 i = 1, 2, …, m (2)

Yi ≥ 0 (3)

Κατά συνέπεια, η βέλτιστη λύση ( )∗∗∗n21 ,...xx,x θα πρέπει, όχι µόνο να

ικανοποιεί τους αρχικούς περιορισµούς του προβλήµατος (πρωτεύουσες

συνθήκες), αλλά συνδυαζόµενη µε τις τιµές ( )m21 ,...YY,Y να ικανοποιεί όλες

τις παραπάνω συνθήκες βελτιστοποίησης.

Υπάρχει µια ιδιάζουσα σχέση µεταξύ των συνθηκών (I) και των συνθηκών (II).

Αν η συνθήκες (II) ήταν οι πρωτεύουσες συνθήκες, αν δηλαδή είχαν τέτοια

µορφή οι αρχικοί περιορισµοί του προβλήµατος Γ.Π., τότε οι συνθήκες (I) θα

ήταν δυϊκές συνθήκες.


Να γραφτούν οι συνθήκες βελτιστοποίησης του προβλήµατος:

Maximize 300 x1 + 500 x2

Έτσι ώστε x1 ≤ 400 (1)

x2 ≤ 600 (2)

3 x1 +2 x2 ≤ 1800 (3)

x1, x2 ≥ 0

Έστω Y1 , Y2 και Y3 οι δυϊκές µεταβλητές για τους τρεις περιορισµούς. Οι

πρωτεύουσες συνθήκες είναι ακριβώς οι περιορισµοί του δοθέντος

προβλήµατος. Οι δυϊκές συνθήκες είναι οι εξής :

300 + Υ1 + 3 Υ3 = 0 (4)

500 + Υ2 + 2 Υ3 = 0 (5)

Υ1 (x1 – 400) = 0 (6)

Υ2 (x2 – 600) = 0 (7)

Υ3 (3 x1 + 2 x2 - 1800) = 0

68

Υ1, Υ2 , Υ3 ≤ 0

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι δεν µπορούµε να λύσουµε για το x χωρίς

ταυτόχρονα να προσδιοριστεί και το Υ, και αντίστροφα. Για το παραπάνω

παράδειγµα παρουσιάζεται η γραφική λύση του αρχικού στο Κεφάλαιο 6. Εδώ

εφαρµόζεται η γενική µέθοδος για περιορισµούς ανισότητες.

A. Έστω όλοι ανενεργοί ⇒ Υi = 0 ⇒ άτοπο, παραβιάζεται ο (4)

Β. Έστω οι (1), (3) ανενεργοί και ο (2) ενεργός ⇒ Υ1 = Υ3 = 0 ⇒ άτοπο,

παραβιάζεται ο (4)

Γ. Έστω οι (2), (3) ανενεργοί και ο (1) ενεργός ⇒ Υ2 = Υ3 = 0 ⇒ άτοπο,


∆. Έστω οι (1), (2) ανενεργοί και ο (3) ενεργός ⇒ Υ1 = Υ2 = 0 ⇒

άτοπο, γιατί από τον (4) Υ3 = -100, ενώ από τον (5) Υ3 = -250

Ε. Έστω ο (1) ανενεργός και οι (2), (3) ενεργοί ⇒ Υ1 = 0, Υ2 ≠ 0, Υ3 ≠ 0 ⇒

Από (4) ⇒ Υ3 = -100, από (5) ⇒ Υ2 = -300 , από (2) ⇒ x2 = 600, από (3) ⇒ x1

= 200 ≤ 400, ικανοποιείται και ο (1). Άρα το σηµείο (200, 600) είναι ακρότατο.

ΣΤ. Έστω ο (2) ανενεργός και οι (1), (3) ενεργοί ⇒ Υ2 = 0, Υ1 ≠ 0, Υ3 ≠ 0 ⇒

Από (5) ⇒ Υ3 = -250, από (4) ⇒ Υ1 = 450 > 0 άτοπο.

Ζ. ΣΤ. Έστω ο (3) ανενεργός και οι (1), (2) ενεργοί ⇒ Υ3 = 0, Υ1 ≠ 0, Υ2 ≠ 0 ⇒

Από (4) ⇒ Υ1 = -300, από (5) ⇒ Υ2 = -500 , από (2) ⇒ x2 = 600, από (1) ⇒ x1

= 400 , από (3) ⇒ 3 400 +2 600 = 2400 > 1800, παραβιάζεται ο (3), άτοπο.

4.3 ΓΕΝΙΚΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ

Για το γενικό πρόβληµα µε µη γραµµική αντικειµενική συνάρτηση και µη

γραµµικούς m-περιορισµούς µε τη µορφή ανισοτήτων και µη γραµµικούς p-

περιορισµούς µε τη µορφή ισοτήτων

xmin f(x) x ∈ R

n

κάτω από gj(x) ≤ 0 j = 1, 2, …, m

hk(x) = 0 k = 1, 2, …, p

οι συνθήκες Kuhn – Tucker, που είναι οι αναγκαίες πρώτης τάξης συνθήκες

για ακρότατο σηµείο είναι:

69

∑ ∑= =

=∂

∂+

∂∂

+∂∂ p

1k

m

1j i

j

j

i

kk

i

0x

g µ

x

h λ

x

f i = 1, 2, …, n (1)

hk(x) = 0 k = 1, 2, …, p (2)

gj(x) ≤ 0 j = 1, 2, …, m (3)

µj gj(x) = 0 (4)

µj ≥ 0 (5)

Για πρόβληµα µεγιστοποίησης η (5) γράφεται µj ≤ 0.

Για την επίλυση του προβλήµατος εφαρµόζεται η εξής υπολογιστική

διαδικασία (αλγόριθµος):

Βήµα Α. Επιλύονται οι εξισώσεις (1) και (2) ως προς τις µεταβλητές xi και λk

θεωρώντας ότι όλοι οι ανισοτικοί περιορισµοί είναι ανενεργοί, οπότε

µj = 0.

Βήµα Β. Ελέγχεται εάν για τις τιµές των xi που υπολογίστηκαν πληρούνται

όλοι οι ανισοτικοί περιορισµοί (3) και (5). Εάν ναι, τότε έχει

εντοπιστεί σηµείο τοπικού ακρότατου και ο υπολογισµός σταµατά.

Εάν όχι, τότε προχωρούµε στο Βήµα Γ.

Βήµα Γ. Όλοι οι ανισοτικοί περιορισµοί που παραβιάζονται από τις τιµές των

xi που υπολογίστηκαν θεωρούνται ενεργοί, δηλαδή λαµβάνονται σαν

ισότητες.

Βήµα ∆. Επιλύεται το νέο σύστηµα εξισώσεων (1), (2), και ορισµένων από

τις (3) για τις οποίες λαµβάνονται τα αντίστοιχα µj ≠ 0, ως προς τις

µεταβλητές xi , λk και µj ≠ 0.

Βήµα Ε. Ελέγχεται και πάλι εάν για τις τιµές των xi που υπολογίστηκαν

πληρούνται όλοι οι ανισοτικοί περιορισµοί (3) και (5). Εάν ναι, τότε

το πρόβληµα έχει λυθεί και ο υπολογισµός σταµατά. Εάν όχι, τότε

προχωρούµε στο Βήµα ΣΤ.

Βήµα ΣΤ. Όλοι οι νέοι ανισοτικοί περιορισµοί που παραβιάζονται από τις νέες

τιµές των xi που υπολογίστηκαν στο Βήµα Ε θεωρούνται ενεργοί,

δηλαδή λαµβάνονται σαν ισότητες. Ταυτόχρονα

αποενεργοποιούνται εκείνοι οι περιορισµοί που ήταν ενεργοί, αλλά

οι τιµές των αντίστοιχων συντελεστών µj παραβιάζουν τις (5),

δηλαδή οι σχετικές εξισώσεις από τις (3) παραλείπονται. Έτσι

επανερχόµαστε στο Βήµα ∆ και συνεχίζεται ο υπολογισµός, έως

ότου ευρεθεί λύση για σηµείο ακρότατου.

Η παραπάνω αλγοριθµική διαδικασία αποδεικνύεται ότι συγκλίνει µετά από

πεπερασµένο αριθµό βηµάτων, εφ’ όσον το πρόβληµα έχει λύση.

70


4.1 (Ossenbruggen) - ∆ιαστασιολόγηση εγκατάστασης επεξεργασίας

αποβλήτων

Μια χηµική διαδικασία επεξεργασίας βιοµηχανικών αποβλήτων απαιτεί χρόνο

συγκράτησης τουλάχιστον 15 λεπτά. Η αντίδραση πραγµατοποιείται σε

σύστηµα συνεχούς ροής µε παροχή 2 ft3/sec. Σχεδιάστε έναν ανοικτό

κυλινδρικό αντιδραστήρα ελαχίστου κόστους. Για απλοποίηση υποθέστε ότι το

µοναδιαίο κόστος κατασκευής είναι συνάρτηση µόνο του εµβαδού της

επιφάνειας της δεξαµενής. Η δεξαµενή θα έχει σταθερό πάχος τοιχίου.

(α) ∆ιαµορφώστε ένα µαθηµατικό υπόδειγµα για να ελαχιστοποιείται το

συνολικό κόστος κατασκευής.

(β) Θεωρείστε ότι οι περιορισµοί είναι ενεργοί και χρησιµοποιείστε τη µέθοδο

των πολλαπλασιαστών Lagrange για να διαστασιολογήσετε τη δεξαµενή.

(γ) Χρησιµοποιείστε τις συνθήκες Kuhn-Tucker για να επιλύσετε το πρόβληµα

και να ελέγξετε για απόλυτο ελάχιστο.

Επίλυση

(α) Έστω r η ακτίνα της βάσης και l το ύψος της κυλινδρικής δεξαµενής. Για

να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος κατασκευής αρκεί να

ελαχιστοποιείται το συνολικό εµβαδόν της επιφάνειας της δεξαµενής.

Α = 2πrl + πr2

Για συνεχή ροή ο χρόνος συγκράτησης είναι ο όγκος της δεξαµενής δια της

παροχής

V/Q ≥ 15 min πr2 l ≥ 15 60 2 = 1800 ft

3

Το µαθηµατικό υπόδειγµα είναι (παρόµοιο µε το Παράδειγµα 2.3):

Min Α = 2πrl + πr2

κάτω από - πr2 l + 1800 ≤ 0 (1)

r , l ≥ 0

(β) L = 2 π r l + π r2 + λ (- πr

2 l + 1800)

=∂

∂

r

L 2 π l + 2 π r - λ 2 π r l = 0 ⇒ 2 π l + 2 π r - (2/r) 2 π r l = 0 ⇒ l

* = r

*

=∂∂

l

L 2 π r - λ π r

2 = 0 ⇒ π r (2 - λ r) = 0 ⇒ λ

* = 2/r

λ

L=

∂

∂ - π r

2 l + 1800 = 0 ⇒ π r

2 r = 1800

⇒ r* = (1800/π)

1/3 = 8.304 ft ⇒ A

* = 3 π r

2 = 3π (1800/π)

2/3 A

* = 650 ft

2

(γ) L = 2 π r l + π r2 + µ (- πr

2 l + 1800)

71

=∂∂

r

L 2 π l + 2 π r - µ 2 π r l = 0 (1)΄

=∂∂

l

L 2 π r - µ π r

2 = 0 (2)΄

µ g(x) = 0

µ ≥ 0

A. Έστω ο (1) ανενεργός ⇒ µ = 0 ⇒ από (2)΄ r = 0 , από (1)΄ l = 0,

παραβιάζεται ο περιορισµός.

Β. Έστω ο (1) ενεργός ⇒ µ ≠ 0 επίλυση όπως στο µέρος (β) από (2)΄ µ = 2/r ,

από (1)΄ l = r. Από (1) ⇒ r = l = 8.304 ft ⇒ µ = 2/8.304 > 0, οι συνθήκες

ικανοποιούνται.

Έλεγχος για απόλυτο ελάχιστο

H(f) =

02

22

πππ

∆1 = 2π > 0 , ∆2 = -4π2 < 0 ⇒ H(f) < 0

⇒ η f(x) είναι αυστηρά κοίλη

H(g) =

−

−−

02

22

r

rl

πππ

∆1 = -2πl < 0 , ∆2 = -4π

2r

2 < 0 ⇒ H(g) < 0

⇒ η f(x) δεν είναι τίποτε

4.2 (Stark-Nichols)

min f(x) = 6 x12

+ 4 x22

- 4 x1 x2 - 3 x2

κάτω από g1(x) = ex

1 + ½ x1 x2 + ½ x2

2 ≤ 5 (1)

x1 , x2 ≥ 0

H(f) =

−

−

84

412 ∆1 = 12 > 0 , ∆2 = 80 > 0 ⇒ H(f) > 0


H(g) =

12/1

2/11xe ∆1 = e

x1 > 0 , ∆2 = e

x1 – 1/4 > 0 ⇒ H(g) > 0

⇒ η g(x) είναι αυστηρά κυρτή

=∂

∂

1x

L 12 x1 - 4 x2 + µ1 (e

x1 + ½ x2) = 0 (µ1 = 0) ⇒ x1 = 0.15 x2 = 0.45

=∂

∂

2x

L8 x2

- 4 x1 – 3 + µ1 (½ x1 + x2) = 0

µ1 (ex

1 + ½ x1 x2 + ½ x2

2 - 5) = 0

µ1 ≥ 0

72

Έστω (1) ανενεργός ⇒ και x1 = 0.15 x2 = 0.45

Έλεγχος περιορισµού

(1) (e0.15

+ 0.5 0.15 0.45 + 0.15 0.452

- 5) = -3.77 ≤ 0 ικανοποιείται

Άρα το σηµείο (0.15, 0.45) είναι απόλυτο ελάχιστο.

4.3 (Stark-Nichols)

min f(x) = ½ x12

+ ½ x22

– x1 –2 x2

κάτω από g1(x) = 2 x1 + 3 x2

– 6 ≤ 0 (1)

g2(x) = x1 + 4 x2

– 5 ≤ 0 (2)

x1 , x2 ≥ 0 (3)

H(f) =

10

01 ∆1 = 1 > 0 , ∆2 = 1 > 0 ⇒ H(f) > 0


Οι περιορισµοί είναι γραµµικοί και συνεπώς συνιστούν ένα κυρτό σύνολο.

=∂

∂

1x

L x1 – 1 + 2 µ1 + µ2 = 0 (1)΄

=∂

∂

2x

Lx2

– 2 + 3 µ1 + 4 µ2 = 0 (2)΄

µi gi(x) = 0

µi ≥ 0

A. Έστω όλοι ανενεργοί ⇒ µi = 0 ⇒ x1 = 1 x2

= 2 άτοπο, παραβιάζονται ο (1)

και ο (2)

Β. Έστω και οι δύο ενεργοί (1), (2) ⇒ x1 = 9/5 x2

= 4/5

(1)΄: 9/5 – 1 + 2 µ1 + µ2 = 0 2 µ1 + µ2 = -4/5 µ2 = 24/25

(2)΄: 4/5 – 2 + 3 µ1 + 4 µ2 = 0 3 µ1 + 4 µ2 = 6/5 µ1 = -22/25 άτοπο

Γ. Έστω ο (1) ενεργός και ο (2) ανενεργός ⇒ µ2 = 0

x1 – 1 + 2 µ1 = 0 x1 = 1 - 2 µ1 x1 = 9/13

x2 – 2 + 3 µ1 = 0 x2

= 2 - 3 µ1 x2

= 20/13

2 x1 + 3 x2

= 6 ⇒ 2(1 - 2 µ1) + 3 (2 - 3 µ1)

= 6 ⇒ 8 - 13 µ1

= 6 ⇒ µ1

= 2/13

Έλεγχος περιορισµού (2): 9/13 + 4 . 20/13

– 5 ≤ 0 1.84 ≤ 0 άτοπο,


∆. Έστω ο (2) ενεργός και ο (1) ανενεργός ⇒ µ1 = 0

x1 – 1 + µ2 = 0 x1 = 1 – µ2 x1 = 13/17

x2 – 2 + 4 µ2 = 0 x2

= 2 - 4 µ2 x2

= 18/17

73

x1 + 4 x2

= 5 ⇒ (1 – µ2) + 4 (2 - 4 µ2)

= 5 ⇒ 9 - 17 µ2

= 5 ⇒ µ1

= 4/17

Έλεγχος περιορισµού (1): 2 13/17 + 3 18/17

- 6 ≤ 0 -1.29 ≤ 0, ΟΚ

στο σηµείο (13/17, 18/17) ικανοποιούνται όλες οι ικανές συνθήκες πρώτης

τάξης και επειδή η συνάρτηση είναι κυρτή επί κυρτού συνόλου, το σηµείο

είναι απόλυτο ελάχιστο.

4.3 Να διαµορφωθούν και να σχολιαστούν οι συνθήκες βελτιστοποίησης των

παρακάτω δύο προβληµάτων:

Maximize 16 x1 + 5 x2 + 9 x3

Έτσι ώστε x1 + x2 + 2 x3 ≤ 16

7 x1 +5 x2 + 3 x3 ≤ 25

x1, x2, x3 ≥ 0

Minimize 16 Y1 + 25 Y2

Έτσι ώστε Υ1 + 7 Υ2 ≥ 16

Υ1 + 5 Υ2 ≥ 5

2 Υ1 + 3 Υ2 ≥ 9

Υ1, Υ2 ≥ 0

4.4 Εξετάστε το πρόβληµα µεγιστοποίησης της συνάρτησης

max f(x, y) = x2 + x + 4 y

2

κάτω από τους περιορισµούς

2x + 2y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0.

KΕΦΑΛΑΙΟ 5

Υπολογιστικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Χωρίς Περιορισµούς



αντικειµενική συνάρτηση

x

min f(x) x ∈ Rn

Στα περισσότερα πρακτικά προβλήµατα η αντικειµενική συνάρτηση έχει

πολύπλοκη µορφή γεγονός που καθιστά προβληµατική την εφαρµογή των

αναλυτικών µεθόδων που ήδη αναπτύχθηκαν. Στο παρόν Κεφάλαιο 5 η

παρουσίαση υπολογιστικών µεθόδων θα περιοριστεί στο πρόβληµα χωρίς

περιορισµούς, αν και είναι αληθές ότι σπάνια στην πράξη οι µεταβλητές

απόφασης είναι αδέσµευτες. Όµως η περίπτωση χωρίς περιορισµούς είναι

σηµαντική για τους εξής λόγους:

(1) στην περιοχή του ακρότατου πολλά προβλήµατα µπορεί να

αντιµετωπιστούν χωρίς περιορισµούς,

(2) πολλά προβλήµατα µε περιορισµούς µετασχηµατίζονται σε άλλα χωρίς

περιορισµούς,

(3) η κατανόηση των υπολογιστικών µεθόδων χωρίς περιορισµούς είναι

απαραίτητη για τη γενίκευση τους σε προβλήµατα µε περιορισµούς.

Οι υπολογιστικές τεχνικές βελτιστοποίησης χωρίς περιορισµούς µπορεί να

καταταγούν σε δύο κατηγορίες: µέθοδοι άµεσης αναζήτησης και µέθοδοι

καθόδου. Οι µέθοδοι άµεσης αναζήτησης απαιτούν µόνο τον υπολογισµό της

αντικειµενικής συνάρτησης και δε χρησιµοποιούν τις µερικές παραγώγους της

για τον εντοπισµό του ακρότατου. Γι’ αυτό συχνά ονοµάζονται και µέθοδοι

χωρίς κλίση (κατεύθυνση) και είναι λιγότερο αποτελεσµατικές. Οι µέθοδοι

καθόδου (ή µέθοδοι κλίσης) απαιτούν υπολογισµό της συνάρτησης αλλά και

των παραγώγων της (πρώτης και πιθανώς ανώτερης τάξης). Επειδή

χρησιµοποιούν περισσότερες πληροφορίες εντοπίζουν ταχύτερα τα ακρότατα.

Όλες οι υπολογιστικές τεχνικές είναι από τη φύση τους επαναληπτικές, δηλαδή

εκκινούν από µια αρχική λύση (σηµείο) και διαδοχικά προχωρούν προς το

σηµείο ακρότατου µε δοκιµές. Οι διαφορές ανάµεσα στις διάφορες µεθόδους

75

έγκεινται στο πως επιλέγουν σε ποια κατεύθυνση θα συνεχίσει η έρευνα και

πόσο θα είναι το βήµα σε αυτή την κατεύθυνση.


ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Η γενική ιδέα είναι το νέο σηµείο ελέγχου για ακρότατο να προκύπτει από την

επαναληπτική σχέση

xk+1 = xk + αk(xk) ώστε f(xk+1) < f(xk),

όπου αk είναι το βήµα. Ορισµένες ειδικές περιπτώσεις είναι:

5.2.1 Ανοικτή αναζήτηση


Ζητείται να µεγιστοποιηθεί η συνάρτηση

>+

≤=

2 x 3 x -

2x x/2 f(x)

χωρίς περιορισµούς αρχίζοντας τις επαναλήψεις από το σηµείο x0 = -1

Η συνάρτηση απεικονίζεται στο Σχήµα 5.1 και είναι φανερό ότι δεν είναι

παραγωγίσιµη στο σηµείο του ακροτάτου. Εποµένως το ακρότατο δεν µπορεί

να εντοπιστεί µε αναλυτική διαδικασία και πρέπει να χρησιµοποιηθούν

αριθµητικές µέθοδοι.

Σταθερό βήµα s = 0.4 xk+1 = xk + 0.4

k 0 1’ 1 2 3 4 5 6 7 8

xk -1 -1.4 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1 1.4 1.8 2.2

f(xk) -0.5 -0.7 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.8

Η κατεύθυνση αναζήτησης προσδιορίζεται για k = 1 προς µεγαλύτερες τιµές

του x. Η συνάρτηση διαρκώς βελτιώνεται (αυξάνει) µέχρι το k = 8.

Εντοπίζεται η θέση του µεγίστου στο διάστηµα (1.8, 2.2) όπου απαιτείται

λεπτοµερέστερη έρευνα µε µικρότερο βήµα.

Επιταχυνόµενο βήµα s0 = 0.2 xk+1 = xk + sk sk+1 = 2 sk

k 0 1 2 3 4 5

sk 0.2 0.4 0.8 1.6 3.2 6.4

xk -1 -0.8 -0.4 0.4 2.0 5.2

f(xk) -0.5 -0.4 -0.2 0.2 1.0 -2.2

Η συνάρτηση διαρκώς βελτιώνεται (αυξάνει) µέχρι το k = 4. Εντοπίζεται η

θέση του µεγίστου στο διάστηµα (2.0, 5.2) όπου απαιτείται λεπτοµερέστερη

έρευνα.

76

Σχήµα 5.1. Μεγιστοποίηση µη παραγωγίσιµης συνάρτησης

5.2.2 Εξαντλητική αναζήτηση


Ζητείται να µεγιστοποιηθεί η συνάρτηση f(x) = x (1.5 – x) χωρίς περιορισµούς

στο διάστηµα [0,1] µε ακρίβεια ενός δεκαδικού για το διάστηµα.

∆s = (1 – 0)/10 = 0.1

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

xk 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

f(xk) 0 0.14 0.26 0.36 0.44 0.50 0.54 0.56 0.56 0.54


λεπτοµερέστερη έρευνα.

5.2.3 Αναζήτηση µε διαίρεση του διαστήµατος Η τεχνική αυτή βασίζεται στον υπολογισµό των τιµών της συνάρτησης στα

άκρα του διαστήµατος ορισµού και σε δύο ενδιάµεσα σηµεία. Ανάλογα µε τις

τιµές αυτές επιλέγεται ένα µικρότερο διάστηµα στο οποίο τεκµηριωµένα

υπάρχει το ακρότατο της συνάρτησης. Στο διάγραµµα απεικονίζονται οι τιµές

της f(x) στα ακραία σηµεία x1 και x3 και στο ενδιάµεσο σηµείο x2.

Προκειµένου το ελάχιστο της f(x) να είναι στο διάστηµα [x1, x3], πρέπει να

ισχύει για τις τιµές της συνάρτησης f(x): f1 > f2 και f3> f2. Εξετάζεται τώρα ένα

ακόµη ενδιάµεσο σηµείο x4 και υπάρχουν δύο περιπτώσεις:

α) f4α > f2 οπότε το ελάχιστο κείται στο διάστηµα [x1, x4] (Σχήµα 5.2 αριστερά)

και

β) f4β < f2 οπότε το ελάχιστο κείται στο διάστηµα [x2, x3] (Σχήµα 5.2 δεξιά)

Σε κάθε περίπτωση εντοπίζεται ένα µικρότερο διάστηµα που περιέχει το

σηµείο που ελαχιστοποιεί τη συνάρτηση και συνεχίζεται η διαδικασία.

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

-1 0 1 2 3 4

77

X1 X2

f1

f2

f3

f4α

X3X4 X1 X2

f1

f2

f3

f4β

X3X4

Ανάλογα µε τον τρόπο επιλογής των ενδιάµεσων σηµείων x2 και x4,

παρουσιάζονται οι εξής δύο µέθοδοι:

1) µέθοδος διχοτόµησης του διαστήµατος

2) µέθοδος της χρυσής τοµής

Για µεγιστοποίηση της συνάρτησης f(x) τα ανωτέρω προσαρµόζονται

αντίστοιχα.

Σχήµα 5.2. Αναζήτηση µε διαίρεση του διαστήµατος

5.2.3.1 Μέθοδος διχοτόµησης του διαστήµατος

Παράδειγµα 5.3α


στο διάστηµα [0, 1] µε έλεγχο των σηµείων s/2 ± δ (µέσο διαστήµατος ± δ),

όπου δ = 0.0005.

Στα ακραία σηµεία οι τιµές της f(x) είναι: f(0) = 0, f(1) = 0.5.

k = 1 s/2 = (1-0)/2 = 0.5

x1- = 0.5 - 0.0005 = 0.4995 f = 0.49975

x1+ = 0.5 + 0.0005 = 0.5005 f = 0.50025

η αναζήτηση συνεχίζεται στο διάστηµα [0.4995, 1]

k = 2 s/2 = 0.4995 +(1-0.4995)/2 = 0.74975

x2- = 0.74975 - 0.0005 = 0.74925 f = 0.5624994

x2+ = 0.74975 + 0.0005 = 0.75025 f = 0.5624999


k = 3 s/2 = 0.74925 +(1-0.74925)/2 = 0.874625

x2- = 0.874625 - 0.0005 = 0.874125 f = 0.547092984

78

x2+ = 0.874625 + 0.0005 = 0.875125 f = 0.546843734

η αναζήτηση συνεχίζεται στο διάστηµα [0.74925, 0.875125]

k = 4 s/2 = 0.74925 +(0.875125-0.74925)/2 = 0.8121875

x2- = 0.8121875 - 0.0005 = 0.8116875 f = 0.558694652

x2+ = 0.8121875 + 0.0005 = 0.8126875 f = 0.558570277


k = 5 s/2 = 0.74925 +(0.8116875-0.74925)/2 = 0.78046875

x2- = 0.78046875 - 0.0005 = 0.77996875 f = 0.561601874

x2+ = 0.78046875 + 0.0005 = 0.78096875 f = 0.561540937


∆εδοµένου ότι το απόλυτο µέγιστο για τη συνάρτηση υπολογίζεται αναλυτικά

ότι είναι στο σηµείο x = 0.75 και έχει τιµή f*

= 0.5625, η διαδικασία προχωρά

στη σωστή κατεύθυνση και για k = 10 εντοπίζει το ακρότατο µε ακρίβεια

τέταρτου δεκαδικού ψηφίου (x = 0.750241211, f* = 0.562499942).

5.2.3.2 Μέθοδος της χρυσής τοµής Όπως φαίνεται στο Σχήµα 5.2 το νέο διάστηµα αναζήτησης θα είναι είτε το [x1,

x4] µήκους a+c είτε το [x2, x3] µήκους b. Η µέθοδος της χρυσής τοµής απαιτεί

τα διαστήµατα αυτά να είναι ίσα, ώστε η ταχύτητα σύγκλισης να παραµένει

ίδια ανεξάρτητα από το διάστηµα που θα επιλεγεί. ∆εδοµένου ότι a = x2 – x1, b

= x3 – x2 και c = x4 – x2 η συνθήκη a+c = b ισοδυναµεί µε

x2 – x1 + x4 – x2 = x3 – x2 ή x4 = x1 – x2 + x3 (5.1)

Με τον τύπο αυτόν υπολογίζεται το σηµείο x4.

Για το σηµείο x2 η µέθοδος απαιτεί το διάστηµα ελέγχου της συνάρτησης να

µικραίνει µε την ίδια σταθερή αναλογία σε κάθε επανάληψη. Εάν το διάστηµα

αυτό είναι το [x1, x4] πρέπει ο λόγος των αποστάσεων του x2 από τα x1 και x4

και από τα x1 και x3 να είναι σταθερός,

δηλαδή c / a = a / b (5.2)

Εάν το διάστηµα είναι το [x2, x3] πρέπει ο λόγος των αποστάσεων του x4 από

τα x2 και x3 και από τα x1 και x3 να είναι σταθερός,

δηλαδή c / (b - c) = a / b (5.3)

Έστω φ = b / a, τότε αντικαθιστώντας c = a / φ στην (5.3):

(a / φ) / (b – (a / φ)) = 1/ φ ⇒ a / φ = 1/φ (b - (a / φ)) ⇒ 1 = (φ - 1/φ)

⇒ φ2 - φ - 1 = 0 (5.4)

Η θετική λύση της (5.4) είναι η «χρυσή αναλογία» φ = 1 + 51/2

/ 2 = 1.618

Το x2 υπολογίζεται από τη φ = b / a = (x3 - x2)/ (x2 – x1)

⇒ φ (x2 – x1) = (x3 - x2) ⇒ (1+φ) x2 = x3 + φ x1

79

⇒ x2 = φ/(1+φ) x1 + 1/(1+φ) x3 (5.5)

και το x4 αντικαθιστώντας τη (5.5) στη (5.1)

x4 = x1 – x2 + x3 = x1 – φ/(1+φ) x1 - 1/(1+φ) x3 + x3

⇒ x4 = 1/(1+φ) x1 + φ/(1+φ) x3 (5.6)

Εάν ε είναι η παράµετρος ανοχής, ως συνθήκη τερµατισµού του αλγορίθµου

συνιστάται η εξής:

| x4 - x1 | < ε (|x2 |+|x3|)

Παράδειγµα 5.3β


στο διάστηµα [0, 1] µε τη µέθοδο της χρυσής τοµής και παράµετρο ανοχής ε

= 0.001.

Στα ακραία σηµεία οι τιµές της f(x) είναι: f(0) = 0, f(1) = 0.5.

k = 1 x2 = 0.38197 f = 0.42705

x4 = 0.61803 f = 0.54508


k = 2 x2 = 0.61803 f = 0.54508

x4 = 0.76393 f = 0.56231


k = 3 x2 = 0.76393 f = 0.56231

x4 = 0.85410 f = 0.55166


k = 4 x2 = 0.70820 f = 0.56075

x4 = 0.76393 f = 0.56231


Έλεγχος συνθήκης τερµατισµού:

| x4 - x1 | < ε (|x2 |+|x3|) |0.76393 - 0.61803| = 0.09017 > 0.001 (0.7082+0.8541)

= 0.00156

Συνεπώς η διαδικασία συνεχίζεται όπως φαίνεται στον πίνακα.

k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 … k=12 k=13 k=14

x1 0 0.38197 0.61803 0.61803 0.7082 0.74767 0.74767 0.74886

x3 1 1 1 0.8541 0.8541 … 0.7527 0.75078 0.75078

x2 0.38197 0.61803 0.76393 0.7082 0.76393 … 0.74959 0.74886 0.74959

x4 0.61803 0.76393 0.8541 0.76393 0.79837 … 0.75078 0.74959 0.75004

συνθ - - - - - - - OK

f(x1) 0 0.42705 0.54508 0.54508 0.56075 0.56249 0.56249 0.5625

f(x3) 0.5 0.5 0.5 0.55166 0.55166 … 0.56249 0.5625 0.5625

f(x2) 0.42705 0.54508 0.56231 0.56075 0.56231 0.5625 0.5625 0.5625

f(x4) 0,54508 0,56231 0,55166 0,56231 0,56016 … 0,5625 0,5625 0,5625

80

Έλεγχος συνθήκης τερµατισµού στη 14η επανάληψη:

| x4 - x1 | < ε (|x2 |+|x3|) |0.75004-0.74886| = 0.00073

< 0.001(0.74959+0.75078) = 0.0015

Συνεπώς η διαδικασία τερµατίζεται.

5.2.4 Αναζήτηση µε τετραγωνική παρεµβολή

Η συνάρτηση f(x) που απαιτείται να ελαχιστοποιηθεί προσεγγίζεται µε µια

τετραγωνική συνάρτηση (παραβολή) της µορφής h(x) = a + b x + c x2 για την

οποία είναι γνωστό ότι

1) η αναγκαία συνθήκη για ελάχιστο είναι

2c

bx02cxb

x

h * −=⇒=+=d

dκαι

2) η ικανή συνθήκη για ελάχιστο είναι 0cx

h2

2

>=d

d

Για τον υπολογισµό των σταθερών a, b, και c χρειάζεται να υπολογιστεί η

συνάρτηση σε τρία σηµεία. Έστω Α, Β, και C τα σηµεία στα οποία η f(x)

παίρνει τις τιµές fA, fB, και fC . Αντικαθιστώντας στην h(x):

fA = a + b A + c A2

fB = a + b B + c B2

fC = a + b C + c C2

Η επίλυση αυτού του συστήµατος δίνει:

−−−−+−+−

=A)C)(CB)(B(A

A)AB(BfA)CA(CfB)BC(Cfa CBA

−−−+−+−

=A)C)(CB)(B(A

)B-(Af)A(Cf)C(Bfb

22

C

22

B

22

A

−−−+−+−

−=A)C)(CB)(B(A

B)-(AfA)(CfC)(Bfc CBA

Το ελάχιστο της h(x) προκύπτει (εφόσον c > 0) στη θέση

+−+−+−+−

=−=B)-(AfA)(CfC)(Bf

)B-(Af)A(Cf)C(Bf

2

1

2c

bx

CBA

22

C

22

B

22

A*

Για να εφαρµοστεί η µέθοδος τα σηµεία Α, Β, και C λαµβάνονται σαν 0, t, και

2t αντίστοιχα όπου t είναι το προεπιλεγµένο βήµα δοκιµών. Συνήθως το Α

λαµβάνεται καταρχήν ίσο µε 0. Οι τιµές της συνάρτησης f(x) πρέπει να είναι fA

> fB και fC> fB ώστε το ελάχιστο της h(x) να είναι στο διάστηµα [Α, C].

81


Ζητείται να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση

min f(x) = x5 - 5x

3 - 20x + 5, µε αναζήτηση µε τετραγωνική παρεµβολή

χρησιµοποιώντας βήµα δοκιµών t = 0.5 και Α = 0

Επανάληψη 1

fA = f(0) = 5

fB = f(t) = f(0.5) = -5.59375 < fΑ ΟΚ

fC = f(2t) = f(1) = -19.0 < fB δεν ικανοποιεί

Θέτουµε

fA = f(0) = 5

fB = f(2t) = f(1) = -19.0 < fΑ ΟΚ

fC = f(4t) = f(2) = -43.0< fB δεν ικανοποιεί

Θέτουµε

fA = f(0) = 5

fB = f(4t) = f(2) = -43.0 < fΑ ΟΚ

fC = f(8t) = f(4) = 629 > fB ΟΚ

Η τετραγωνική προσέγγιση της f(x) έχει ελάχιστο στο σηµείο

1333.12)-(02960)(4)43(4)5(2

)2-(0296)0(4)43()45(2

2

1x

222222* =

+−−+−

+−−+−=

Οι τιµές των συντελεστών υπολογίζονται σαν

a = 5, b = -204, c = 90 >0 ενώ h(x*) = h(1.1333) = -116.5.

Η τιµή της συνάρτησης f(x*) = f(1.1333) = -23.07

Έλεγχος | (h(x*) - f(x

*))/ f(x

*)| = |(-116.5- (-23.07))/(-23.07)| = 4.04 η

προσέγγιση δεν είναι αρκετά ακριβής.


Επειδή x* < Β λαµβάνουµε Α = x

* = 1.1333

Θέτουµε

fA = f(1.1333) = -23.07

fB = f(4t) = f(2) = -43.0 < fΑ ΟΚ

fC = f(8t) = f(4) = 629 > fB ΟΚ

658.12)-(1.1333296)1333.1(4)43(4)(-23.07)(2

)2-(1.1333296)1333.1(4)43()4(-23.07)(2

2

1x

222222* =

+−−+−+−−+−

=


a = 288, b = -417, c = 125.3 >0 ενώ h(x*) = h(1.658) = -59.7.


82


*))/ f(x

*)| = |(-59.7- (-38.37))/(-38.37)| = 0.556 η

προσέγγιση δεν είναι αρκετά ακριβής.


Επειδή x* < Β λαµβάνουµε Α = x

* = 1.658

Θέτουµε

fA = f(1.658) = -38.37

fB = f(4t) = f(2) = -43.0 < fΑ ΟΚ

fC = f(8t) = f(4) = 629 > fB ΟΚ

874.12)-(1.658296)658.1(4)43(4)(-38.37)(2

)2-(1.658296)658.1(4)43()4(-38.37)(2

2

1x

222222* =

+−−+−+−−+−

=


a = 484, b = -561, c = 149.7 >0 ενώ h(x*) = h(1.874) = -41.5.



*))/ f(x

*)| = |(-41.5- (-42.3))/(-42.3)| = 0.01891 η

προσέγγιση θεωρείται αρκετά ακριβής.

5.2.5 Αναζήτηση µε τη µέθοδο Newton

Η θεωρητική βάση των µεθόδων Newton προκύπτει από την ανάπτυξη της

συνάρτησης σε σειρά Taylor διατηρώντας τους όρους µέχρι δεύτερης τάξης:

f(xk+1) = f(xk) + kxx

f

d

d (xk+1 - xk) + ½

kx

2

2

x

f

d

d (xk+1 - xk)

2 + …

στην περιοχή του στάσιµου σηµείου (πιθανό ακρότατο) f(xk+1) ≅ f(xk) ⇒

kxx

f

d

d (xk+1 - xk) + ½

kx

2

2

x

f

d

d (xk+1 - xk)

2 = 0 ⇒

kxx

f

d

d + ½

kx

2

2

x

f

d

d (xk+1 - xk) = 0

⇒ xk+1 = xk -2kxx

f

d

d /

kx

2

2

x

f

d

d ⇒ xk+1 = xk -2

1

x

2

2

k

x

f

−

d

d

kxx

f

d

d

Είναι προφανές ότι για την εφαρµογή της µεθόδου αναζήτησης Newton

απαιτούνται οι παράγωγοι πρώτης και δεύτερης τάξης της συνάρτησης,

πράγµα που περιορίζει τη χρήση της όταν ο υπολογισµός των παραγώγων

αυτών είναι δύσκολος. Ένα άλλο πρόβληµα είναι ότι µπορεί να παρατηρηθεί

συνεχής εναλλαγή µεταξύ δύο τιµών µε αποτέλεσµα τη µη σύγκλιση ή την

πολύ αργή σύγκλιση. Αυτό µπορεί να θεραπευτεί µε την εφαρµογή ενός

συντελεστή βήµατος.

83



στο διάστηµα [0, 1] µε τη µέθοδο αναζήτησης Newton.

f'(x) = -2x + 1.5 f''(x) = -2

Η µέθοδος Newton γράφεται xk+1 = xk - 2 (-2 xk + 1.5)/(-2) = xk - 2 xk + 1.5

xk+1 = 1.5 - xk. Για x0 = 0 ⇒ x1 = 1.5 ⇒ x2 = 0 … Η συνάρτηση παλινδροµεί για

οποιαδήποτε αρχική τιµή x0 = χ, µεταξύ των τιµών χ και 1.5 - χ.

Αν χρησιµοποιηθεί βήµα α: xk+1 = xk – 2α (-2 xk + 1.5)/(-2) = xk – 2α xk + 1.5α

xk+1 = 1.5α + (1 - 2α) xk. Για x0 = 0, α = 0.8 ⇒ x1 = 1.2 ⇒ x2 = 0.48 ⇒ x3 =

0.912 ⇒ x4 = 0.6528 … Η µέθοδος ταχύτατα εντοπίζει το σηµείο µεγίστου x =

0.75 µε την επιθυµητή ακρίβεια.


Ζητείται να προσδιοριστούν τα ακρότατα της συνάρτησης του Παραδείγµατος

5.4 f(x) = x5 – 5 x

3 – 20x + 5 µε τη µέθοδο αναζήτησης Newton.

f'(x) = 5x4 – 15 x

2 – 20 έχει τις πραγµατικές λύσεις x = 2 και x = -2

f''(x) = 20x3 – 30 x για x = 2 f''(x) > 0 ⇒ τοπικό ελάχιστο f(2) = -43

για x = -2 f''(x) < 0 ⇒ τοπικό µέγιστο f(-2) = 53

Σχήµα 5.3. Γράφηµα της συνάρτησης του Παραδείγµατος 5.6

Η µέθοδος Newton γράφεται xk+1 = xk –2 (5xk4 – 15 xk

2 – 20)/(20xk

3 – 30 xk)

k 0 1 2 3 4 5 100 200

xk -5 -2.68 -1.82 -2.26 -1.85 -2.22 -1.95 -1.96

xk+1 -2.68 -1.82 -2.26 -1.85 -2.22 -1.86 -2.06 -2.04

f(xk) -2395 17.03 51.64 48.97 51.93 50.24 52.88 52.93

-60

-40

-20

0

20

40

60

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

84

k 0 1 2 3 4 5 100 200

xk 7 3.62 2.09 1.92 2.09 1.93 2.05 2.04

xk+1 3.62 2.09 1.92 2.09 1.93 2.09 1.96 1.97

f(xk) 14957 314.84 -42.57 -42.73 -42.59 -42.74 -42.88 -42.93

Η επαναληπτική µέθοδος Newton που αναπτύχθηκε παραπάνω αποτελεί

εφαρµογή σε προβλήµατα βελτιστοποίησης της µεθόδου Newton-Raphson για

τον προσδιορισµό των λύσεων της εξίσωσης f(x) = 0. Πράγµατι, αυτό είναι

απαραίτητο όταν εφαρµόζεται η αναγκαία συνθήκη για ακρότατο, δηλαδή η

πρώτη παράγωγος της συνάρτησης να µηδενίζεται. Ιδιαίτερα όταν η µορφή της

πρώτης παραγώγου είναι περίπλοκη, η αναλυτική λύση της εξίσωσης f’(x) =

h(x) = 0 ενδέχεται να µην είναι εύκολη ή δυνατή. Εάν η τιµή xk+1 είναι λύση,

τότε h(xk+1) = 0 οπότε, διατηρώντας µόνο τον πρώτο όρο στην ανάπτυξη κατά

Taylor:

0 = h(xk) + kxx

h

d

d (xk+1 - xk) xk+1 = xk - h(xk) /

kxx

h

d

d ⇒ xk+1 = xk -

1

x kx

h−

d

dh(xk)

Ο τύπος αυτός είναι ίδιος µε τον τύπο για τη µέθοδο αναζήτησης Newton (µε

µόνη διαφορά τον συντελεστή 2). Μεγάλη σηµασία για την επιτυχία της

επαναληπτικής µεθόδου Newton-Raphson έχει η εκτίµηση της αρχικής τιµής.

Αν είναι εκτός µιας συγκεκριµένης περιοχής από τη λύση της εξίσωσης, η

µέθοδος ενδεχοµένως να αποτύχει. Επίσης πολύ κοντά σε ένα στάσιµο σηµείο

η πρώτη παράγωγος της h(x) είναι περίπου µηδέν και η επόµενη τιµή δοκιµής

θα πλησιάζει το άπειρο. Τέλος µπορεί να παρατηρηθεί συνεχής εναλλαγή

µεταξύ δύο τιµών µε αποτέλεσµα τη µη σύγκλιση ή την πολύ αργή σύγκλιση.

Συνιστάται η γραφική απεικόνιση τόσο της f(x) όσο και της h(x) για την

επιλογή του κατάλληλου αρχικού σηµείου.

Παράδειγµα 5.7 (Ossenbruggen) - ∆ικτύωµα ελάχιστου βάρους

Θεωρείστε το δικτύωµα της Εικόνας. Προσδιορίστε τη γωνία α και τα εµβαδά

των διατοµών των στοιχείων 1, 2, και 3 ώστε το δικτύωµα να έχει ελάχιστο

βάρος. Υποθέστε ότι τα στοιχεία σε θλίψη (1 και 2) έχουν ίδια διατοµή και

µήκος. Η κρίσιµη επιτρεπόµενη θλιπτική ή εφελκυστική τάση για τα στοιχεία

του δικτυώµατος είναι 20 ksi.

(α) ∆ιαµορφώστε το µαθηµατικό πρόβληµα.

(β) Χρησιµοποιείστε γραφική µέθοδο για να βρείτε τη βέλτιστη λύση.

(γ) Χρησιµοποιείστε την επαναληπτική µέθοδο Newton για να βρείτε τη

βέλτιστη λύση.

85

Σχήµα 5.4. ∆ικτύωµα του Παραδείγµατος 5.7

Επίλυση

Ως µεταβλητές απόφασης ορίζονται οι ως

A1 = εµβαδόν διατοµής στοιχείων 1 και 2 (in2)

A3 = εµβαδόν διατοµής στοιχείου 3 (in2)

Αντιδράσεις. Οι αντιδράσεις στα σηµεία στήριξης Α και Β προσδιορίζονται µε

την εξίσωση στατικής ισορροπίας για όλο το δικτύωµα.

0=∑ xF ΗΑ = 0

0=∑Fy - VΑ + VΒ – 10 = 0 VA = 5 kips ↑

0=∑ AM 20 VΒ – 10 . 10 = 0 VΒ = 5 kips ↑

∆υνάµεις και τάσεις στοιχείων. Χρησιµοποιώντας τη µέθοδο των κόµβων

υπολογίζουµε τις δυνάµεις σε κάθε στοιχείο. Για τον κόµβο C γράφουµε

(προσοχή στα πρόσηµα):

0=∑ xF AC sin a + CB sin a – 10 = 0 AC = 5/sin a (θλίψη)

0=∑Fy AC cos a + CB cos a = 0 CB = AC = 5/sin a (θλίψη)

Για τον κόµβο Β γράφουµε (προσοχή στα πρόσηµα):

0=∑ xF ΑΒ - CB cos a = 0 AB = 5cos a /sin a (εφελκυσµός)

Περιορισµοί. Οι τάσεις των στοιχείων αυτών είναι:

σCB = σΑC = 5/ sin a A1 ≤ 20 ή A1 ≥ 1 /4sin a

σAB = 5cos a /sin a A3 ≤ 20 ή A3 ≥ cos a /4sin a

10 ft 10 ft

P=10 kips

A

C

B

1 2

3

α

86

0

5

10

15

20

25

30

35

0 20 40 60 80 100

tan2α - sin

2α

1+ cos2α

Το βάρος κάθε στοιχείου είναι ίσο µε το ειδικό βάρος του χάλυβα επί τον όγκο

του στοιχείου. Άρα ελάχιστο βάρος ισοδυναµεί µε ελάχιστο όγκο. Ο συνολικός

όγκος του δικτυώµατος είναι το άθροισµα των όγκων των στοιχείων που το

αποτελούν, δηλαδή

z = (VΑΒ + VΑC + VΒC)

όπου V = όγκος κάθε στοιχείου = µήκος του στοιχείου επί το εµβαδόν της

διατοµής του.

z = (20 Α3 + 2 . 10/ cos a Α1)

ή

z = 20 ( Α3 + Α1/cos a )

Μαθηµατικό υπόδειγµα. Η κατάστρωση του προβλήµατος έχει ολοκληρωθεί.

Συνοψίζοντας έχουµε:

min z = 20 ( Α3 + Α1/cos a )


A1 ≥ 1 /4sin a

A3 ≥ cos a /4sin a

A1 , A3 ≥ 0

(β) Για ελάχιστο βάρος και οι δύο περιορισµοί πρέπει να είναι ενεργοί.

Αντικαθιστώντας στην αντικειµενική συνάρτηση έχουµε:

min z = 20 cos a /4sin a + 20 /(4sin a cos a) = 5/sin a (cos a + 1/cos a)

Εφαρµόζοντας την αναγκαία συνθήκη έχουµε:

dz/dα = - 5cos a /sin 2a (cos a + 1/cos a) + 5/sin a (- sin a + sin a/cos

2a) = 0

dz/dα = - cos a (cos a + 1/cos a) + (-sin 2a + sin

2a /cos

2a) = 0

dz/dα = - cos2a - 1 + (-sin

2a + tan

2a) = 0 ⇒ tan

2a - sin

2a = 1 + cos

2a

Η γραφική επίλυση αυτής της εξίσωσης δίνει a ≅ 55°, οπότε A1 = A2 = 0.31 in

2 , A3 = 0.35 in

2

Σχήµα 5.5. Γραφική επίλυση εξίσωσης του Παραδείγµατος 5.7

87

(γ) Για να εφαρµοστεί η επαναληπτική µέθοδος Newton γράφουµε:

dz/dα =

h(α) = - cos2a - 1 + (-sin

2a + tan

2a) = - cos

2a - sin

2a - 1 + tan

2a = -2 + tan

2a

h’(α) = 2 tana d(tana)/dα = 2 tana (1/cos2a)

αk+1 = αk - /cos tan 2

tan 2-

k2

k

k2

αα

α+

k 0 1 2

αk (rad) 0.9599 0.955368457 0.955316625

αk+1 0.955368457 0.955316625 0.955316618

h(αk) 0.039337 0.00044 5.64E-08

Ο πίνακας δείχνει ότι πολύ γρήγορα η µέθοδος εντόπισε τη λύση σαν α =

0.955316625 rad = 54.736° Η αναλυτική λύση βρίσκεται εύκολα από την

h(α) = 0 = -2 + tan2a ⇒ tan

2a = 2 ⇒ a = tan

-1 (2)

1/2 = 54.73561°

Επειδή h’(α) = 2 tana /cos2a > 0 για (0 ≤ α ≤ π/2) το σηµείο αυτό είναι τοπικό

ελάχιστο.

Η επιλογή του αρχικού σηµείου είναι σηµαντική, όπως φαίνεται στο παρακάτω

παράδειγµα:

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

αk

(rad)

0.2618 3.6188 4.9406 5.0389 5.1560 5.2623 5.3177 5.3276 5.3279 5.3279

αk+1 -3.357 -1.321 -0.0983 -0.117 -0.106 -0.055 -0.010 -0.000 0.0000 0.0000

h(αk) -1.9282 -1.7326 16.5350 6.7194 2.4288 0.6616 0.0889 0.0022

1.48E-

06

5.56E-

13

Η µέθοδος συγκλίνει γρήγορα στη λύση α = 5.3279 rad = 305.2661° η οποία

όµως είναι εκτός του διαστήµατος [0, 90°]. Το γράφηµα της συνάρτησης z(a)

= 5/sin a (cos a + 1/cos a) δείχνει ότι έχει πολλά σηµεία τοπικού ακρότατου

(για το γράφηµα η συνάρτηση δεν υπολογίζεται σε τιµές της α, όπου γίνεται

άπειρη, π.χ. α = κ π/2, κ = 0, 1, 2, …). Αν το αρχικό σηµείο επιλεγεί κοντά σε

κάποιο από αυτά, τότε η µέθοδος θα συγκλίνει σε αυτό το ακρότατο.

Σχήµα 5.6. Γράφηµα της συνάρτησης του Παραδείγµατος 5.8

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

88

5.2.6 Αναζήτηση µε τη µέθοδο της τέµνουσας

Η µέθοδος της τέµνουσας χρησιµοποιεί το πρόσηµο και το µέγεθος της

παραγώγου της συνάρτησης για να µικραίνει το διάστηµα αναζήτησης σε κάθε

επανάληψη. Έστω δύο σηµεία a και b για τα οποία ισχύει f’(a).f’(b) < 0,

δηλαδή η παράγωγος της συνάρτησης αλλάζει πρόσηµο από το a στο b, άρα

µηδενίζεται σε κάποιο σηµείο x* στο εσωτερικό του διαστήµατος (a, b) (Σχήµα

5.8).

Σχήµα 5.7. Η µέθοδος της τέµνουσας

Προκειµένου να προσδιοριστεί το σηµείο x* η παράγωγος f’(x) προσεγγίζεται

µε την τέµνουσα ως ευθεία γραµµή f’(x) = m x + p, όπου f’(a) = m a + p και

f’(b) = m b + p.

Από τις συνθήκες αυτές προκύπτει m =b - a

(b)f' - (a)f' και

p = f’(a) - b - a

(b)f' - (a)f' a.

Το σηµείο όπου η f’(x) µηδενίζεται είναι το xnew = - p/m = a - (b)f' - (a)f'

b) - (a (a)f' .

89

Στη συνέχεια ελέγχεται η τιµή της f’(xnew) και η αναζήτηση συνεχίζεται στο

διάστηµα (a, xnew) ή στο διάστηµα (xnew, b) εξασφαλίζοντας ότι η παράγωγος

της συνάρτησης αλλάζει πρόσηµο από το δεξιό στο αριστερό άκρο του

διαστήµατος.


Ζητείται να προσδιοριστούν τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = 1/9 x3 – 2/3 x

2

στο διάστηµα (1.5, 6) µε τη µέθοδο της τέµνουσας.

Υπολογίζονται οι τιµές της παραγώγου f'(x) = 1/3 x2 – 4/3 x στα άκρα του

διαστήµατος:

f’(1.5) = -1.25 και f’(6) = 4. Επειδή f’(a).f’(b) < 0 (η παράγωγος από αρνητική

γίνεται θετική, άρα υπάρχει τοπικό ελάχιστο στο διάστηµα (1.5, 6)),

υπολογίζεται το σηµείο

xnew = a - (b)f' - (a)f'

b) - (a (a)f' = 1.5 - (-1.25) (1.5 - 6)/(-1.25-4) = 2.5714

µε f’(xnew) = -1.2245.

Συνεπώς η αναζήτηση συνεχίζεται στο διάστηµα (2.5714, 6), όπως φαίνεται

στον πίνακα, και εντοπίζεται το ελάχιστο στο σηµείο x = 4.

k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 k=8 k=9

a 1.5 2.5714 3.3750 3.7674 3.9194 3.9728 3.9909 3.9970 3.9990

b 6 6 6 6 6 6 6 6 6

f'(a) -1.25 -1.2245 -0.7031 -0.2920 -0.1054 -0.0361 -0.0121 -0.0041 -0.0014

f'(b) 4 4 4 4 4 4 4 4 4

xnew 2.5714 3.3750 3.7674 3.9194 3.9728 3.9909 3.9970 3.9990 3.9997

f'(xnew) -1.2245 -0.7031 -0.2920 -0.1054 -0.0361 -0.0121 -0.0041 -0.0014 -0.0005

k=10 k=11 k=12

a 3.9997 3.9999 4.0000

b 6 6 6

f'(a) -0.0005 -0.0002 -5E-05

f'(b) 4 4 4

xnew 3.9999 4.0000 4.0000

f'(xnew) -0.0002 -0.0001 0.0000

90

5.3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ∆ΟΙ ΓΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ

ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

5.3.1 Επαναληπτικές µέθοδοι καθόδου

Η γενική ιδέα είναι το νέο σηµείο ελέγχου για ακρότατο να προκύπτει από την

επαναληπτική σχέση

xk+1 = xk + αk dk ώστε f(xk+1) < f(xk)

όπου αk είναι το βήµα και dk είναι η κατεύθυνση αναζήτησης που επιλέγεται µε

έναν συνδυασµό των τιµών της συνάρτησης f(xk) και των πρώτων και

δεύτερων παραγώγων της ∇f(xk), ∇2f(xk). Γράφοντας

dk= - Dk ∇f(xk) , όπου Dk είναι ένας θετικά ορισµένος πίνακας (n,n),

διακρίνονται οι εξής περιπτώσεις:

(α) Dk = Ιnn ⇒ dk= - ∇f(xk) µέθοδος επικλινέστερης καθόδου (µέθοδος κλίσης)

Όπως αποδείχθηκε στο Κεφάλαιο 2, η κατεύθυνση στην οποία µια συνάρτηση

έχει τη µεγαλύτερη µεταβολή της είναι η κατεύθυνση του διανύσµατος κλίσης.

Η µέθοδος είναι απλή στην εφαρµογή της, επειδή απαιτεί τον υπολογισµό µόνο

των πρώτων παραγώγων. Όµως, έχει προβλήµατα σε στενές κοιλάδες της

συνάρτησης, αν υπερεκτιµηθεί το βήµα µπορεί να πηγαίνει µπρος-πίσω

συνεχώς και να συγκλίνει πολύ αργά.

(β) Dk = |∇2f(xk)|

-1 ⇒ dk= - |∇2

f(xk)|-1

∇f(xk) µέθοδος Newton

Είναι η γενίκευση της µεθόδου µιας µεταβλητής 3.2.5 για την περίπτωση

πολλών µεταβλητών. Για ελαχιστοποίηση κυρτής συνάρτησης (∇2f(xk) > 0),

όταν βρεθεί κοντά στο ακρότατο εστιάζει ταχύτατα. Πράγµατι από την

ανάπτυξη σε σειρά Taylor

f(xk+1) = f(xk) + ∇f(xk)T (xk+1 - xk) + ½ (xk+1 - xk)

T ∇2

f(xk) (xk+1 - xk) + …

όταν f(xk+1) ≅ f(xk) ⇒ ∇f(xk)T + ½ (xk+1 - xk)

T ∇2

f(xk) = 0

⇒ xk+1 = xk - 2 [∇2f(xk)]

-1∇f(xk)

(γ) Dk = D0 = |∇2f(x0)|

-1 ⇒ dk= - |∇2

f(x0)|-1

∇f(xk) τροποποιηµένη µέθοδος

Newton

Είναι υπολογιστικά απλούστερη από την (β) γιατί ο πίνακας Hess υπολογίζεται

µόνο µια φορά στο αρχικό σηµείο (ή κάποιο άλλο σηµείο).

(δ) οτιδήποτε συνδυασµός των (α) και (β) υβριδικές µέθοδοι

Κανόνες επιλογής βήµατος

(α) αk = α > 0 ∀k σταθερό βήµα

Μπορεί να είναι µεγάλο ή µικρό χωρίς να µπορεί να γίνει διόρθωση

91

(β) αk = s kmβ β ∈[0, 1] κανόνας διχοτόµησης

Το βήµα s µειώνεται σε κάθε επανάληψη κατά τον παράγοντα µείωσης β. Ο

εκθέτης mk µπορεί να καθορίζεται κάθε φορά σαν ο µικρότερος ακέραιος ώστε

m ≥ 0: f(xk) - f(xk + s βm

dk) > 0.

(γ) αk = arg 0α

min>

f(xk + α dk) κανόνας ελαχιστοποίησης

Ίσως είναι δυνατό να επιλυθεί αυτό το νέο πρόβληµα ελαχιστοποίησης µιας

µεταβλητής, οπότε η επιλογή του βήµατος είναι βέλτιστη.

Ο αλγόριθµος για τη µέθοδο κλίσης συνοψίζεται ως εξής:

1) εκκίνηση στο σηµείο x0 k = 0

2) εύρεση της κατεύθυνσης αναζήτησης dk

3) εύρεση του βήµατος ώστε η τιµή f(xk + αk dk) να είναι ελάχιστο ή απλά να

βελτιώνει την αντικειµενική συνάρτηση ⇒ αk*

4) εύρεση του xk+1 = xk + αk* dk

5) έλεγχος αν | xk+1 - xk | < ε, όπου ε είναι το επιθυµητό όριο ακρίβειας

6) επιστροφή στο Βήµα 2 αν παραβιάζεται το επιθυµητό όριο ακρίβειας.


min f (x1, x2) = x1 - x2 + 2 x12 + 2 x1 x2 + x2

2 χωρίς περιορισµούς

αρχίζοντας από το σηµείο x1 = x2 = 0

Χρησιµοποιείται η µέθοδος επικλινέστερης καθόδου και ο κανόνας

ελαχιστοποίησης για την επιλογή βήµατος

xk+1 = xk +αk dk = xk - αk ∇f(xk)

∇f = [1 + 4 x1 + 2 x2 -1 + 2 x1 + 2 x2]T


d1 = - ∇f(x1) = [-1 1]T

x2 = x1 + α1 d1 = [–α1 α1]T

f(x2) = f(x1 + α1 d1) = –α1 - α1 + 2 α12 - 2 α1 α1 + α1

2 = - 2 α1 + α1

2

=∂∂

1α

f - 2 + 2 α1 = 0 α1 = 1 x2 = [0 + 1 (-1) 0 +1 1]

T = [-1 1]

T ≠ x1


d2 = - ∇f(x2) = - [1 + 4 (-1) + 2 .1 -1 + 2 (-1) + 2 . 1]T = [1 1]

T

x3 = x2 + α2 d2 = [-1 + α2 1 1 + α2 1 ]T

= [-1 + α2 1 + α2 ]T

f(x3) = f(x2 + α2 d2) = (-1 + α2) – (1 + α2) + 2 (-1 + α2)

2 + 2 (-1 + α2) (1 + α2) + (1 + α2)

2 = 5 α2

2 - 2 α2 - 1

92

=∂∂

2α

f 10 α2 - 2 = 0 α2 = 0.2 x3 = [-1 + 0.2 (1) 1 +0.2 1]

T = [-0.8 1.2]

T ≠ x2


d3 = - ∇f(x3) = - [1 + 4 (-0.8) + 2 1.2 -1 + 2 (-0.8) + 2 1.2] = [-0.2 0.2]T

x4 = x3 + α3 d3 = [-0.8 + α3 (-0.2) 1.2 + α3 0.2]T = [-0.8 – 0.2 α3 1.2 + 0.2 α3]

T

f(x4) = f(x3 + α3 d3)

= (-0.8 – 0.2 α3) – (1.2 + 0.2 α3) + 2 (-0.8 – 0.2 α3)2 + 2 (-0.8 – 0.2 α3) (1.2 + 0.2 α3) +

(1.2 + 0.2 α3)2 = 0.04 α3

2 - 0.08 α3 – 1.20

=∂∂

3α

f 0.08 α3 - 0.08 = 0 α3 = 1 x4 = [-0.8 + 1 (-0.2) 1.2 + 1 0.2]

T = [-1 1.4]

T

Συνεχίζοντας τις επαναλήψεις µέχρι xk+1 ≅ xk και ∇f(xk) ≅ 0 (Σχήµα

προκύπτει x*

= [-1 1.5]T

Σχήµα 5.8. Απεικόνιση των επαναλήψεων του Παραδείγµατος 5.9

Παράδειγµα 5.10 (Bertsekas) Μεγιστοποίηση των εσόδων µιας επιχείρησης

Θεωρούµε το πρόβληµα εύρεσης της βέλτιστης τιµής πώλησης µιας µονάδας

y και του δαπάνης για διαφήµιση z µιας επιχείρησης που επιθυµεί να

µεγιστοποιήσει τα έσοδά της Ε. ∆ίδονται οι εξής σχέσεις:

Ε = yx – [z +g2(x)]

x = g1(y,z) = a1 + a2 y +a3 z +a4 yz + a5 z2

g2(x) = e1 + e2 x

όπου Ε έσοδα

x αριθµός των µονάδων που θα πωληθούν

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

93

y τιµή πώλησης µονάδας

z δαπάνη διαφήµισης

g1(y,z) προβλεπόµενος αριθµός των µονάδων που θα πωληθούν όταν η

τιµή πώλησης µονάδας είναι y και η δαπάνη διαφήµισης είναι z

g2(x) κόστος παραγωγής x µονάδων

Άρα τα έσοδα µπορεί να εκφραστούν σαν ένα πολυώνυµο τρίτου βαθµού δύο

µεταβλητών y και z. Υποθέτουµε ότι οι παράµετροι έχουν τις ακόλουθες τιµές:

a1 = 50,000 a2 = -5,000 a3 = 40 a4 = -1 a5 = -0.002

e1 = 100,000 e2 = 2

Να βρεθούν οι τιµές των y και z που ελαχιστοποιούν τη συνάρτηση –Ε (ή

ισοδύναµα να µεγιστοποιήσουν τα έσοδα Ε της επιχείρησης) χρησιµοποιώντας

τη µέθοδο της επικλινέστερης καθόδου και τη µέθοδο Newton χωρίς

περιορισµούς. Να δοκιµαστούν τουλάχιστον δύο σηµεία εκκίνησης και

διάφορες τεχνικές επιλογής του βήµατος.

Αντικαθιστώντας τις τιµές των παραµέτρων προκύπτει η συνάρτηση των

εσόδων Ε(y, z) = -81 z + 60,000 y – 5,000 y

2 +42 yz + 0.004 z

2 – y

2 z –0.002 y z

2 –200,000

Το γράφηµα της συνάρτησης δίδεται µε διαφορετικές κλίµακες στους άξονες

y, z. Πρόκειται για πολύ δύσκολη περίπτωση, διότι η συνάρτηση µοιάζει µε

µια πολύ στενή λωρίδα κατά µήκος του άξονα z. Η µέγιστη τιµή είναι f* =

796,000 στο σηµείο y* = 10.559 και z

* = 7,330.9. Ο πίνακας Hessian στο

ακρότατο σηµείο είναι ∇2f(x

*) =

034.04.8

4.88.24661 xk+1 = xk - αk Dk ∇f(xk)

Μέθοδος

επικλινέστερης

καθόδου µε σταθερά

κλίµακα

Μέθοδος

επικλινέστερης

καθόδου µε κλίµακα

δευτέρας παραγώγου

Mέθοδος Newton Τροποποιηµένη

µέθοδος Newton

4 4,000 4 4,000 4 4,000 4 4,000

16 5,365 10.88 8,875 -5 96 10.88 8,875

10.78 5,886 9.90 7,249 1.49 1,219 10.78 6,747

11.09 7,343 10.5 7,324 -2.16 1,407 10.58 7,303

1.97 1,354 10.559 7,331

10.55 7,333 10.558 7,330.9

-20 15,000 -20 15,000 -20 15,000 -20 15,000

32 14,992 6 14,988 2.86 15,009 6 14,988

-11 -39,578 6 8,437 0.69 16,995 6 8,437

10.12 8,435 2.6 15,315 10.26 8,435

1.22 16,576 10.65 7,144

10.56 7,315

10.55 7,332

94

Στην εφαρµογή της µεθόδου επικλινέστερης καθόδου προσαρµόζεται το

διάνυσµα κλίσης µε διαφορετικές κλίµακες στους άξονες y, z.

Χρησιµοποιούνται δύο πίνακες προσαρµογής που επιχειρούν να προσεγγίσουν

τον πίνακα Hess µε έναν διαγώνιο πίνακα

(1) Σταθεροί παράγοντες κλίµακας Dk =

350

00001.0.

(2) Χρήση δεύτερων παραγώγων Dk =

∂

∂∂

∂

−

−

1

2

2

1

2

2

)z

f(0

0)y

f(

.

Η προσαρµογή της κλίµακας των αξόνων είναι αποτελεσµατική όταν τα

ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Hess είναι σχεδόν παράλληλα µε τους άξονες (ο

πίνακας είναι σχεδόν διαγώνιος). Παρατηρούµε ότι µερικές από τις µεθόδους

αποκλίνουν και δεν είναι δυνατόν να εντοπίσουν το ακρότατο σηµείο.

5.3.2 Επαναληπτική µέθοδος στην κατεύθυνση των αξόνων

Στη µέθοδο αυτή αναζήτηση γίνεται εναλλάξ στην κατεύθυνση των αξόνων,

δηλαδή χρησιµοποιείται η επαναληπτική σχέση

xk+1 = xk +αk dk ώστε f(xk+1) < f(xk)

όπου αk είναι το βήµα και dk είναι η κατεύθυνση αναζήτησης που επιλέγεται να

είναι το µοναδιαίο διάνυσµα κατά µήκος του k-στου άξονα, ή dk = [0 0 0 1

..0]Τ. Το βήµα προσδιορίζεται µε τον κανόνα της ελαχιστοποίησης.


Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση του Παραδείγµατος 5.9

min f (x1, x2) = x1 - x2 + 2 x12 + 2 x1 x2 + x2

2 χωρίς περιορισµούς

αρχίζοντας από το σηµείο x1 = x2 = 0

Χρησιµοποιείται η µέθοδος της αναζήτησης στην κατεύθυνση των αξόνων και

ο κανόνας ελαχιστοποίησης για την επιλογή βήµατος.

Επανάληψη 1 d1 = [1 0]T

x2 = x1 + α1 d1 = [α1 0]T

f(x2) = f(x1 + α1 d1) = α1 - 0 + 2 α12 + 2 α1 0 + 0

2 = α1 + 2 α1

2 = α1 + 2 α1

2

=∂∂

1α

f 1 + 4 α1 = 0 α1 = -0.25 x2 = [-0.25 0]

T ≠ x1


x3 = x2 + α2 d2 = [-0.25+0 0+α2]T

= [-0.25 α2]T

f(x3)= f(x2 + α2 d2) = -0.25 - α2 + 2 (-0.25)2 + 2 (-0.25) α2 + α2

2 = -1.5 α2 +α2

2 + c

=∂∂

2α

f -1.5 + 2 α2 = 0 α2 = 0.75 x3 = [-0.25 0.75]

T ≠ x2

95


x4 = x3 + α3 d3 = [ -0.25+α3 0.75]T

f(x4)=f(x3 + α3 d3)= (-0.25+α3) – 0.75 +2 (-0.25+α3)2 + 2 (-0.25+α3) 0.75 + 0.75

2

= -0.25 + α3 – 0.75 + 2 (0.252+α3

2 - 2 0.25 α3) - 0.5 0.75 + 1.5 α3 + 0.75

2

= 2 α32

+ 1.5 α3 + c

=∂∂

3α

f 1.5 + 4 α3 = 0 α3 = -0.375 x4 = [-0.625 0.75]

T ≠ x3


x5 = x4 + α4 d4 = [ -0.625 0.75 +α4]T

f(x5) = f(x4 + α4 d4) = (-0.625) – 0.75 - α4 + 2 (-0.625)2 + 2 (-0.625) (0.75 + α4)

+ (0.75 + α4)2 = -0.75 α4 +α4

2 + c

=∂∂

4α

f -0.75 + 2 α4 = 0 α4 = 0.375 x5 = [-0.625 1.125]

T ≠ x4


x6 = x5 + α5 d5 = [ -0.625+α5 1.125]T

f(x6) = f(x5 + α5 d5) = (-0.625+α5) – 1.125 + 2 (-0.625+α5)2 + 2 (-0.625+α5)

1.125 + 1.1252 = -0.625 + α5 – 1.125 + 2 (0.625

2+α5

2 - 2 0.625 α5) - 1.25 1.125

+ 2.25 α5 + 1.1252 = 2 α5

2 + 0.75 α5 + c

=∂∂

5α

f 0.75 + 4 α5 = 0 α5 = -0.1875 x6 = [-0.8125 1.125]

T ≠ x5


x7 = x6 + α6 d6 = [ -0.8125 1.125 + α6]T

f(x7) = f(x6 + α6 d6) = (-0.8125) – 1.125 - α6 + 2 (-0.8125)2 + 2 (-0.8125)

(1.125+α6) + (1.125+α6)2 = -3.75 α6 +α6

2 + c

=∂∂

6α

f -3.75 + 2 α6 = 0 α6 = 0.1875 x7 = [-0.8125 1.3125]

T ≠ x6


x8 = x7 + α7 d7 = [ -0.8125+α7 1.3125]T

f(x8) = f(x7 + α7 d7) = (-0.8125+α7) – 1.3125 + 2 (-0.8125+α7)2 + 2 (-0.8125+α7)

1.3125 + 1.31252

= -0.8125 + α7 – 1.3125 + 2 (0.81252+α7

2 - 2 0.8125 α7) - 1.625 1.3125 +

2.625 α7 + 1.31252

= 2 α72

+ 0.375 α7 + c

=∂∂

7α

f 0.375 + 4 α7 = 0 α7 = -0.09375 x8 = [-0.90625 1.3125]

T ≠ x6


x9 = x8 + α8 d8 = [ -0.90625 1.3125 + α8]T

f(x9) = f(x8 + α8 d8) = (-0.90625) – 1.3125 - α8 + 2 (-0.90625)2 + 2 (-0.90625)

(1.3125 + α8) + (1.3125 + α8)2 = -0.1875 α8 +α8

2 + c

=∂∂

8α

f -0.1875 + 2 α8 = 0 α8 = 0.09375 x9 = [-0.90625 1.40625]

T ≠ x8

96


x10 = x9 + α9 d9 = [ -0.90625+α9 1.40625]T

f(x10) = f(x9 + α9 d9) = (-0.90625+α9) – 1.40625 + 2 (-0.90625+α9)

2 + 2 (-0.90625+α9) 1.40625 + 1.40625

2

= -0.90625 + α9 – 1.40625 + 2 (0.906252+α9

2 - 2 0.90625 α9) - 1.8125 1.40625 +

2.8125 α9 + 1.406252 = 2 α9

2 + 0.1875 α9 + c

=∂∂

9α

f 0.1875 + 4 α9 = 0 α7 = -0.046875 x8 = [-0.953125 1.40625]

T ≠ x6


x11 = x10 + α10 d10 = [ -0.953125 1.40625 + α10]T

f(x11) = f(x10 + α10 d10)

= (-0.953125) – 1.40625 - α10 + 2 (-0.953125)2 + 2 (-0.953125) (1.40625 + α10)

+ (1.40625 + α10)2 = -0.09375 α10 +α10

2 + c

=∂∂

10α

f -0.09375 + 2 α10 = 0 α10 = 0.04688 x11 = [-0.953125 1.453125]

T ≠ x10

Η διαδικασία συγκλίνει στη βέλτιστη λύση x*

= [-1 1.5]T , όπου η τιµή της

συνάρτησης είναι f(x*) = -1.25.


5.1 Ζητείται να µεγιστοποιηθεί η συνάρτηση f(x) = x (1.5 – x) χωρίς

περιορισµούς αρχίζοντας τις επαναλήψεις µε επιταχυνόµενο βήµα από το

σηµείο x0 = 0 , s0 = 0.05 µε sk+1 = 2 sk και xk+1 = x0 + sk

k 0 1 1’ 2 3 4 5 6

sk 0.05 -0.05 0.1 0.2 0.4 0.8 1.6

xk 0 -0.05 0.05 0.1 0.2 0.4 0.8 1.6

f(xk) 0 -0.0775 0.0725 0.14 0.26 0.44 0.56 -.16

Η κατεύθυνση αναζήτησης προσδιορίζεται για k = 1 προς µεγαλύτερες τιµές

του x. H συνάρτηση διαρκώς βελτιώνεται (αυξάνει) µέχρι το k = 6.


λεπτοµερέστερη έρευνα.

5.2 (Ossenbruggen) Μέγιστη παροχή σε αγωγό κυκλικής διατοµής

Η παροχή της ροής µε ελεύθερη επιφάνεια σε αγωγό υπολογίζεται µε τον τύπο

του Manning

Q = (1.49/n) A R2/3

S01/2

όπου Q είναι η παροχή σε ft3/sec, n είναι ο συντελεστής τραχύτητας, A είναι το

εµβαδόν της βρεχόµενης διατοµής σε ft2, R είναι η υδραυλική ακτίνα ίση µε

A/P σε ft, P είναι η βρεχόµενη περίµετρος σε ft, και S0 είναι η κλίση του

αγωγού.

97

Θεωρείστε έναν αγωγό κυκλικής διατοµής από σκυρόδεµα (n = 0.013) µε

κλίση 0.0001.

(α) ∆ιαµορφώστε το µαθηµατικό πρόβληµα.

(β) Χρησιµοποιείστε την επαναληπτική µέθοδο Newton για να βρείτε τη

βέλτιστη λύση.

Επίλυση

P = π r + 2 α r

A = ½ π r2+ π r

2 2α/2π + ½ 2 r cos α r sin α = ½ π r

2+ r

2 α + ½ r

2 sin 2α

max Q = (1.49/n) A5/3

P-2/3

S01/2

max Q = (1.49/n) S01/2

(½ π r2+ r

2 α + ½ r

2 sin 2α)

5/3 (π r + 2 α r)

-2/3

κάτω από 0 ≤ α ≤ π/2

(β) Αναγκαία συνθήκη ακροτάτου

dQ/dα = (1.49/n) S01/2

5/3 (½ π r2+ r

2 α + ½ r

2 sin 2α)

2/3 (r

2 + r

2 cos 2α) (π r +

2 α r)-2/3

+ (1.49/n) S01/2

(½ π r2+ r

2 α + ½ r

2 sin 2α)

5/3 (-2/3) (π r + 2 α r)

-5/3(2 r)

Με απλοποίηση η παράγωγος γράφεται (σηµειώστε ότι οι τιµές των n, S0, και r

δεν επηρεάζουν):

dQ/dα = 0

(1.49/n) S01/2

r2

5/3 (½ π r2+ r

2 α + ½ r

2 sin 2α)

2/3 (1+ cos 2α) (π r + 2 α r)

-2/3 +

(1.49/n) S01/2

(½ π r2+ r

2 α + ½ r

2 sin 2α)

5/3 (-2/3) (π r + 2 α r)

-5/3(2 r)

= r2

5/3 (1+ cos 2α) + (½ π r2+ r

2 α + ½ r

2 sin 2α) (-2/3) (π r + 2 α r)

-1(2 r)

= 5 (1+ cos 2α) + (½ π + α + ½ sin 2α) (-4) (π + 2 α)-1

= 5 (π + 2 α) (1+ cos 2α) + (π + 2 α + sin 2α) (-2)

= 5 (π + 2 α) +5 (π + 2 α) cos 2α – 2 (π + 2 α) - 2 sin 2α

= 3 (π + 2 α) +5 (π + 2 α) cos 2α - 2 sin 2α

α

r

98

dQ/dα = h(α) = (π + 2 α) (3+ 5 cos 2α) - 2 sin 2α = 0

h’(α) = 2 (3+ 5 cos 2α) +(π + 2 α) (-10 sin 2α) - 4 cos 2α

= 6+ 6 cos 2α +(π + 2 α) (-10 sin 2α)

αk+1 = αk - )sin2 )(-102(π2cos6

2sin 2-)2 cos 4(3 ) 2 (π

kkk

kkk

ααα

ααα

+++++

k 0 1 2

αk (rad) 1.1000 1.0678 1.0683

αk+1 0.0322 -0.0004 0.0000

h(αk) 1.0678 1.0683 1.0683

Ο πίνακας δείχνει ότι πολύ γρήγορα η µέθοδος εντόπισε τη λύση σαν α =

1.0683 rad = 61.21° για την οποία αντιστοιχεί παροχή Q = 7.192 ft3/sec. Η

δεύτερη παράγωγος h’(α) = -41.77 < 0, άρα το σηµείο είναι τοπικό µέγιστο.

Η επιλογή του αρχικού σηµείου είναι σηµαντική, όπως φαίνεται στα παρακάτω

παραδείγµατα:

k 0 1 2 3 4

αk

(rad) 0.5 1.3564 0.9408 1.0664 1.0683

αk+1 -0.8564 0.4155 -0.1256 -0.0018 0.0000

h(αk) 1.3564 0.9408 1.0664 1.0683 1.0683

k 0 1 2 3 4 5

αk

(rad) 0.4 1.7330 2.2408 2.0366 2.0079 2.0071

αk+1 -1.3330 -0.5078 0.2042 0.0287 0.0008 0.0000

h(αk) 1.7330 2.2408 2.0366 2.0079 2.0071 2.0071

Με αλλαγή του αρχικού σηµείου από 0.5 σε 0.4 η µέθοδος συγκλίνει στη λύση

α = 2.0071 rad = 114.99° που δεν είναι αποδεκτή γιατί είναι εκτός του

διαστήµατος [0, 90°]. Η γραφική απεικόνιση της συνάρτησης είναι µια καλή

πρακτική για την επιλογή του αρχικού σηµείου.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 20 40 60 80 100

α

Q/(

1.4

9/n

)So

1/2

r8/3

99

5.3 Να µεγιστοποιηθεί η f (x1, x2) = 4 x1 + 6 x2 - 2 x12 - 2 x1 x2 – 2 x2

2

χωρίς περιορισµούς

αρχίζοντας από το σηµείο x1 = x2 = 1. Χρησιµοποιείστε τη µέθοδο της

επικλινέστερης καθόδου και το κανόνα ελαχιστοποίησης για την επιλογή

βήµατος

Επίλυση

Η διαδικασία δίνει διαδοχικά

k 1 2 3 4 5 6

∇f(xk) (-2, 0) (0, 1) (-0.5,0) (0, 0.25) (-0.125,

0)

(0,

0.0625)

αk 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25

x1k 0.5 0.5 0.375 0.375 0.34375 0.34375

x2k 1 1.25 1.25 1.3125 1.3125 1.3125

Το ακριβές µέγιστο είναι x* = (0.3333, 1.3333).

5.4 Επιλύστε τα παρακάτω δύο προβλήµατα µε την υπολογιστική µέθοδο

Newton. Χρησιµοποιείστε τον κανόνα ελαχιστοποίησης για την επιλογή

βήµατος.

(α) min f(x1, x2, x3) = x12 + x2

2 + x3

2 + x1 - x2 - x3 χωρίς περιορισµούς

αρχίζοντας από το σηµείο x1 = x2 = x3 = 0

(β) min f(x1, x2, x3) = f(x1,x2,x3) = x12

+ x22 – 6 x1 - e

x3

+ x3

χωρίς περιορισµούς, αρχίζοντας από το σηµείο x1 = x2 = 2, x3 = 0.

KΕΦΑΛΑΙΟ 6

Γραµµικός Προγραµµατισµός


Ο γραµµικός προγραµµατισµός (Γ.Π.) είναι µια µέθοδος βελτιστοποίησης που

εφαρµόζεται για την επίλυση προβληµάτων στα οποία η αντικειµενική

συνάρτηση και οι περιορισµοί είναι γραµµικές συναρτήσεις των µεταβλητών

απόφασης. Η αναγνώριση προβληµάτων αυτής της κατηγορίας τοποθετείται

στη δεκαετία του 1930 από οικονοµολόγους που αναζητούσαν µεθόδους για

τον βέλτιστο καταµερισµό εξαντλήσιµων πόρων. O Dantzig το 1947,

εργαζόµενος για την αεροπορία των Η.Π.Α., επινόησε τη µέθοδο Simplex για

τη λύση του γενικού προβλήµατος Γ.Π.

Από τότε οι εφαρµογές Γ.Π. είναι αναρίθµητες. Από τις πλέον αποδοτικές

αφορούν το µίγµα υποπροϊόντων σε διϋλιστήρια πετρελαίου και γενικότερα τη

χηµική βιοµηχανία, έλεγχο αποθεµάτων σε βιοµηχανίες παραγωγής

καταναλωτικών προϊόντων, δίκτυα διανοµής τροφίµων από τα εργοστάσια

παραγωγής σε αποθήκες, δίκτυα τηλεπικοινωνιών κ.ά.

Το γενικό πρόβληµα Γ.Π. διατυπώνεται στην ακόλουθη µορφή:

Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν τη

γραµµική αντικειµενική συνάρτηση

j

n

1j

jx

xc)xf(min ∑=

= x ∈ Rn

κάτω από ένα σύνολο m γραµµικών περιορισµών

ij

n

1j

ij bxa =∑=

i = 1, 2, …, m

xj ≥ 0 j = 1, 2, …, n

Το πρόβληµα έχει ενδιαφέρον µόνον όταν m < n, αλλιώς ανάγεται στην

αναζήτηση λύσης ενός συστήµατος n εξισώσεων µε n αγνώστους.

Εναλλακτικά η διατύπωση του προβλήµατος µε µορφή πινάκων έχει ως εξής:

xc)xf(minT

x= x ∈ Rn

κάτω από

Α x = b A(m,n) b∈ Rm

x ≥ 0

101

Οι παραδοχές που γίνονται στο γενικό πρόβληµα Γ.Π. είναι:

1) ελαχιστοποίηση της γραµµικής αντικειµενικής συνάρτησης

2) οι περιορισµοί έχουν τη µορφή ισοτήτων

3) οι µεταβλητές απόφασης είναι µη αρνητικές

Οι παραδοχές αυτές δεν επιφέρουν απώλεια της γενικότητας της µεθόδου,

διότι οποιοδήποτε πρόβληµα Γ.Π. µπορεί να διατυπωθεί στην παραπάνω

µορφή µε τους παρακάτω µετασχηµατισµούς:

1) µεγιστοποίηση µιας συνάρτησης ισοδυναµεί µε ελαχιστοποίηση της

ίδιας συνάρτησης µε αρνητικό πρόσηµο

2) περιορισµοί µε τη µορφή ανισοτήτων του τύπου «µικρότερο ή ίσο» ή

«µεγαλύτερο ή ίσο» µπορεί να µετατραπούν σε ισότητες µε την

προσθήκη µιας νέας µη αρνητικής συµπληρωµατικής (slack) ή

πλεονασµατικής (surplus) µεταβλητής αντίστοιχα (µεταβλητές

απόκλισης)

3) µια µεταβλητή µε µη καθορισµένο πρόσηµο µπορεί να γραφεί σαν

διαφορά δύο νέων µη αρνητικών µεταβλητών.

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Γ.Π.

Στη περίπτωση µόνο δύο µεταβλητών απόφασης είναι δυνατόν να µελετηθεί το

πρόβληµα Γ.Π. µε µια απλή γραφική µέθοδο, η οποία παρέχει και τη

γεωµετρική ερµηνεία της γενικής λύσης, δηλαδή εξηγεί τις περιπτώσεις

• µοναδικής και πεπερασµένης βέλτιστης λύσης

• άπειρος αριθµός βέλτιστων λύσεων

• µη φραγµένη λύση

• καµιά λύση

• µοναδικό εφικτό σηµείο

Επίσης η γραφική µέθοδος εξηγεί ότι

• η εφικτή περιοχή είναι κυρτό πολύγωνο

• η βέλτιστη λύση αν υπάρχει είναι σε µια κορυφή της εφικτής περιοχής

Παράδειγµα 6.1 – Αρδευτικό έργο

Σε µια περιοχή το νερό που είναι διαθέσιµο ετησίως είναι 1800 acre-ft. Η

απαίτηση νερού των µοναδικών δύο καλλιεργειών Α και Β είναι 3 και 2 acre-

ft/acre αντίστοιχα. Για να σταθεροποιηθούν οι τιµές στην αγορά επιβάλλεται

να περιοριστούν οι καλλιέργειες Α και Β σε 400 και 600 acres αντίστοιχα,

οπότε το κέρδος που προκύπτει είναι $300/acre για την Α και $500/acre για τη

102

Β. Ζητείται να καθοριστεί η έκταση που θα αποδοθεί σε κάθε καλλιέργεια

ώστε να µεγιστοποιείται το κέρδος.

Ορίζοντας σαν µεταβλητές απόφασης x1 και x2 την έκταση σε acres που θα

αποδοθεί στις καλλιέργειες Α και Β αντίστοιχα, το πρόβληµα διατυπώνεται ως

εξής

max f(x1, x2) = 300 x1 + 500 x2

κάτω από x1 ≤ 400 (1)

x2 ≤ 600 (2)

3 x1 + 2 x2

≤ 1800 (3)

x1 ≥ 0 (4)

x2 ≥ 0 (5)

Οι περιορισµοί ορίζουν το σύνολο των εφικτών λύσεων που όπως φαίνεται στο

Σχήµα 6.1 είναι κυρτό. Μετατοπίζοντας την ευθεία που αναπαριστά την

αντικειµενική συνάρτηση παράλληλα στον εαυτό της προς τα δεξιά, η τιµή της

αυξάνει και µεγιστοποιείται στο σηµείο (200,600).

Σχήµα 6.1. Γραφική λύση προβλήµατος Γ.Π.

Παράδειγµα Γ.Π.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 100 200 300 400 500 600 700

Χ1

Χ2

3 Χ1 + 2 Χ2 = 1800 X2 = 600

X1 = 400 f = 300 X1 + 500 X2

103


1) Καθώς µετατοπίζεται η αντικειµενική συνάρτηση f, το µέγιστο

επιτυγχάνεται όταν η ευθεία στην πιο απόµακρη θέση της έχει τουλάχιστον ένα

κοινό σηµείο µε την εφικτή περιοχή

2) η βέλτιστη τιµή επιτυγχάνεται στην κορυφή x1* = 200, x2

* = 600 µε τιµή της

αντικειµενικής συνάρτησης f* = $360,000

3) η αντικειµενική συνάρτηση f θα µπορούσε να ταυτίζεται µε το σύνορο της

εφικτής περιοχής 3 x1 + 2 x2

= 1800 ⇒ άπειρος αριθµός βέλτιστων λύσεων

4) η εφικτή περιοχή µπορεί να µην είναι κλειστό πολύγωνο ⇒ µη φραγµένη

λύση

5) η εφικτή περιοχή µπορεί να είναι το κενό σύνολο ⇒ ασυνέπεια στους

περιορισµούς

6) η εφικτή περιοχή µπορεί να είναι ένα µοναδικό σηµείο

Ερµηνεία µε βάση τους πολλαπλασιαστές Lagrange

Εξετάζεται ποιοι περιορισµοί είναι ενεργοί στο βέλτιστο σηµείο

x1* = 200 < 400 ανενεργός ⇒ λ = 0

x2* = 600 = 600 ενεργός ⇒ λ ≠ 0

3 x1 + 2 x2

= 1800 ενεργός ⇒ λ ≠ 0

Επειδή έχει αποδειχθεί ότι ο πολλαπλασιαστής Lagrange εκφράζει την οριακή

µεταβολή της αντικειµενικής συνάρτησης για µια µεταβολή του επιπέδου του

περιορισµού ή*xib

fλ

∂∂

=

Είναι προφανές ότι στο παράδειγµα µπορεί να µεταβληθεί το επίπεδο του

περιορισµού (1) αυξητικά χωρίς να επηρεαστεί η βέλτιστη τιµή της

αντικειµενικής συνάρτησης.

Λύση µε το MS Excel

Το πρόγραµµα φύλων εργασίας MS Excel έχει τη δυνατότητα να επιλύει

προβλήµατα Γ.Π. Τα δεδοµένα και οι εξισώσεις του παραδείγµατος

διατάσσονται όπως φαίνεται στον πίνακα:

Α B C D E F

Obj Function Cost Coeff Variables Solution Constraints Constants 4 =B4*D4+B5*D5 300 x1= =D4 400 5 500 x2= =D5 600 6 =3*D4+2*D5 1800 7 =D4 0 8 =D5 0

104

Ακολουθώντας τις οδηγίες χρήσης του πρόσθετου προκύπτει η λύση όπως

φαίνεται παρακάτω (µε πλάγια γραφή εµφανίζονται τιµές που υπολογίζει το

πρόγραµµα επίλυσης):

Α B C D E F

Obj Function Cost Coeff Variables Solution Constraints Constants 4 360000 300 x1= 200 200 400 5 500 x2= 600 600 600 6 1800 1800 7 200 0 8 600 0

6.3 ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ

1. Υπερεπίπεδο. Στον n-διάστατο χώρο το σύνολο των σηµείων x (διανύσµατα)

που ικανοποιούν τη γραµµική εξίσωση aT x = b ονοµάζεται υπερεπίπεδο.

Ένα υπερεπίπεδο χωρίζει το n-διάστατο χώρο Rn σε δύο κλειστούς ηµιχώρους

Η+ = x| aT x ≥ b και Η- = x| aT x ≤ b, κλειστούς διότι περιλαµβάνουν και το

υπερεπίπεδο («ή ίσο» στις ανισότητες).

2. Κυρτό σύνολο. Το σύνολο S των σηµείων τέτοιων ώστε αν x1 και x2 είναι

οποιαδήποτε δύο σηµεία του συνόλου, το ευθύγραµµο τµήµα που τα ενώνει

ανήκει επίσης στο σύνολο ή S κυρτό σύνολο ⇔ εάν x1 , x2 ∈ S τότε τα σηµεία

x = α x1 + (1 – α) x2 ∈ S ∀α ∈ [0, 1]

3. Κορυφή (ακραίο σηµείο). Είναι ένα σηµείο σε ένα κυρτό σύνολο που δεν

ανήκει στο ευθύγραµµο τµήµα που συνδέει δύο άλλα σηµεία του συνόλου.

4. Κυρτό πολύεδρο. Ένα σύνολο σηµείων που είναι κοινά σε έναν ή

περισσότερους ηµιχώρους (είναι κυρτό µε βάση το Θεώρηµα 1).

5. Εφικτή λύση. Στο πρόβληµα Γ.Π. κάθε λύση που ικανοποιεί τους

περιορισµούς Α x = b , x ≥ 0.

6. Βασική λύση. Μια λύση του Α x = b στην οποία n – m µεταβλητές είναι ίσες

µε µηδέν.

7. Βάση. Το σύνολο των m µεταβλητών που δεν είναι µηδέν σε µια βασική

λύση (όχι οι τιµές τους).

8. Βασική εφικτή λύση. Μια βασική λύση που ικανοποιεί x ≥ 0

105

9. Μη εκφυλισµένη βασική εφικτή λύση. Μια βασική εφικτή λύση µε ακριβώς m

µεταβλητές xi > 0.

10. Βέλτιστη λύση. Μια εφικτή λύση που βελτιστοποιεί την αντικειµενική

συνάρτηση.

11. Βέλτιστη βασική λύση. Μια βασική εφικτή λύση που βελτιστοποιεί την

αντικειµενική συνάρτηση.

Θεώρηµα 1: Η τοµή οποιουδήποτε αριθµού κυρτών συνόλων είναι επίσης

κυρτό σύνολο.

Εάν Ri i = 1, 2,…, k κυρτά σύνολα ⇒ R = k

1i=∩Ri

∀ x1 , x2 ∈ R τότε τα σηµεία x = α x1 + (1 – α) x2 ∈ R ∀α ∈ [0, 1]

Θεώρηµα 2: Η εφικτή περιοχή του προβλήµατος Γ.Π. είναι κυρτή.

S = x| Α x = b , x ≥ 0 x1 ∈ S: Α x1 = b x1 ≥ 0

x2 ∈ S: Α x2 = b x2 ≥ 0

⇒ Α [λ x1 + (1 – λ) x2] = λ b + (1 – λ) b = b

Άρα το σηµείο x = λ x1 + (1 – λ) x2 ικανοποιεί τον περιορισµό Α x = b και

∀λ ∈ [0, 1] , x ≥ 0. Άρα η εφικτή περιοχή S είναι κυρτό σύνολο.

Θεώρηµα 3: Ένα τοπικό ελάχιστο που ανήκει σε ένα κυρτό σύνολο είναι

απόλυτο ελάχιστο.

Αν το Α είναι το τοπικό ελάχιστο και το Β είναι το απόλυτο ελάχιστο, όλα τα

σηµεία στο ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ είναι στην εφικτή περιοχή και εκείνα που

είναι κοντά στο Α θα δίνουν τιµές στην αντικειµενική συνάρτηση µικρότερες

της fA.

Πόρισµα: Ένα τοπικό ελάχιστο για ένα πρόβληµα Γ.Π. είναι απόλυτο

ελάχιστο.

Θεώρηµα 4: Κάθε βασική εφικτή λύση είναι ακραίο σηµείο του κυρτού

συνόλου των εφικτών λύσεων.

Έστω x = [b1΄ b2΄ …bm΄ 0 0 0 ]T ≥ 0 µια βασική εφικτή λύση. Για να είναι το

x ακραίο σηµείο (κορυφή) χρειάζεται να δειχτεί ότι δεν υπάρχει εφικτή λύση

y, z ώστε x = λ y + (1-λ) z 0 ≤ λ ≤ 1

Αν αυτό ίσχυε, τότε xj = λ yj + (1-λ) zj = 0 για j = m+1, …, n ⇒ yj = zj = 0

Επειδή x, y, z είναι εφικτές λύσεις Αx = Αy = Αz = b. Άρα x = y = z και το

σηµείο x δεν µπορεί να είναι γραµµικός συνδυασµός δύο λύσεων y, z

διαφορετικών από το x.

106

Θεώρηµα 5 (Karatheodoris): Έστω S ένα κλειστό, φραγµένο πολύεδρο µε xie, i

= 1, …, p το σύνολο των κορυφών του. Τότε κάθε διάνυσµα x ∈ S µπορεί να

γραφεί σαν γραµµικός συνδυασµός των κορυφών

x = ∑=

p

1i

e

ii x λ λi ≥ 0 µε ∑=

p

1i

iλ = 1

Θεώρηµα 6: Έστω S ένα κλειστό κυρτό πολύεδρο. Τότε το ελάχιστο µιας

γραµµικής συνάρτησης στο S επιτυγχάνεται σε µια κορυφή του S.

Έστω το ελάχιστο x* ≠ xie cT x* < cT xi

e , i = 1, …, p

⇒ ∑∑==

<p

1i

e

i

T

i

p

1i

*T

i xc λxc λ ⇒ ∑∑==

<p

1i

e

ii

Tp

1i

i

*Tx λc λxc

Από το Θεώρηµα 5, µπορεί να επιλεγούν τα λi ώστε το ελάχιστο να γραφεί ως

x* = ∑=

p

1i

e

i

*

i x λ λi* ≥ 0 µε ∑

=

p

1i

*

iλ = 1

οπότε *T*T

xcxc < άτοπο.

6.4 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ m ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ

n ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ (m < n)

Περιστροφή είναι η πράξη απαλοιφής της µεταβλητής xi από n-1 εξισώσεις

ενώ στην εξίσωση n ο συντελεστής της µεταβλητής xi είναι aij = 1. Για ένα

συνεπές σύστηµα (που έχει τουλάχιστον µια λύση) Α x = b , διαδοχικές

περιστροφές οδηγούν το σύστηµα στην κανονική µορφή µε µεταβλητές

περιστροφής x1, x2, …, xm.

1 . x1 + 0 . x2 + 0 . xm + a1,m+1΄΄

xm+1 + …. + a1,n΄΄

xn = b1΄΄

0 . x1 + 1 . x2 + 0 . xm + a2,m+1΄΄

xm+1 + …. + a2,n΄΄

xn = b2΄΄

0 . x1 + 0 . x2 + 1 . xm + am,m+1΄΄

xm+1 + …. + am,n΄΄

xn = bm”

µεταβλητές περιστροφής µεταβλητές χωρίς περιστροφή

(ανεξάρτητες)

σταθερές

Το κανονικό σύστηµα έχει την προφανή λύση

xi = bi΄΄ i = 1, …, m (βασικές µεταβλητές)

xi = 0 i = m+1, …, n (µη βασικές µεταβλητές)

Η λύση αυτή είναι βασική λύση γιατί έχει n – m µεταβλητές ίσες µε µηδέν. Αν

επιπλέον ισχύει bi΄΄ ≥ 0 είναι βασική εφικτή λύση. Είναι δυνατόν να βρεθούν

άλλες βασικές λύσεις από την παραπάνω µορφή κανονικού συστήµατος

εκτελώντας περιστροφή γύρω από τον (µη µηδενικό) συντελεστή µιας από τις

107

µη βασικές µεταβλητές. Η πράξη αυτή θα µεταβάλλει τον συντελεστή και µιας

βασικής µεταβλητής και θα την καταστήσει µη βασική.


2 x1 + 3 x2 - 2 x3 - 7 x4 = 1

x1 + x2 + x3 + 3 x4 = 6

x1 - x2 + x3 + 5 x4 = 4

Περιστροφή γύρω από το a11 = 2

x1 + 3/2 x2 - x3 - 7/2 x4 = 1/2

0 - 1/2 x2 + 2 x3 + 13/2 x4 = 11/2

0 - 5/2 x2 + 2 x3 + 17/2 x4 = 7/2

Περιστροφή γύρω από το a22΄ = - 1/2

x1 + 0 +5 x3 +16 x4 = 17

0 + x2 - 4 x3 - 13 x4 = - 11

0 + 0 - 8 x3 - 24 x4 = - 24

Περιστροφή γύρω από το a33΄΄ = - 8

x1 + 0 + 0 + x4 = 2

0 + x2 + 0 - x4 = 1

0 + 0 + x3 +3 x4 = 3

Το σύστηµα είναι σε κανονική µορφή και έχει την προφανή λύση

x4 = 0 x1 = 2 x2 = 1 x3 = 3 (βασική εφικτή λύση) βάση x1, x2, x3

Περιστροφή γύρω από το a34΄΄ = 3

x1 + 0 - 1/3 x3 + 0 = 1

0 + x2 +1/3 x3 + 0 = 2

0 + 0 +1/3 x3 + x4 = 1


x3 = 0 x1 = 1 x2 = 2 x4 = 1 (βασική εφικτή λύση) βάση x1, x2, x4

Περιστροφή γύρω από το a23΄΄ = 1/3

x1 + 1 x2 + 0 + 0 = 3

0 + 3 x2 + x3 + 0 = 6

0 - x2 + 0 + x4 = -1


x2 = 0 x1 = 3 x3 = 6 x4 = -1 (βασική λύση, µη εφικτή) βάση x1, x3, x4

108

Περιστροφή γύρω από το a12΄΄ = 1

x1 + x2 + 0 + 0 = 3

- 3 x1 + 0 + x3 + 0 = -3

x1 + 0 + 0 + x4 = 2


x1 = 0 x2 = 3 x3 = -3 x4 = 2 (βασική λύση, µη εφικτή) βάση x2, x3, x4

∆εδοµένου ότι οι βασικές λύσεις είναι οι κορυφές της εφικτής περιοχής και ότι

η λύση του προβλήµατος Γ.Π. είναι πάνω σε µια από τις κορυφές, µπορούµε

να δηµιουργήσουµε όλες τις βασικές λύσεις και να διαλέξουµε εκείνη που

είναι εφικτή και ελαχιστοποιεί την αντικειµενική συνάρτηση.

Μια και για κάθε βασική λύση θέτουµε n-m µεταβλητές ίσες µε το µηδέν από

τις n µεταβλητές απόφασης, ο αριθµός των βασικών λύσεων είναι ίσος µε τον

αριθµό των συνδυασµών m από n, δηλαδή

m! m)!(n

n!

m

n

−=

Το πλήθος των βασικών λύσεων για n = 10, m = 5 προκύπτει ότι είναι 252,

ενώ για n = 20, m = 10 είναι 184,700. Εποµένως χρειάζεται ένα υπολογιστικό

σχήµα που θα οργανώσει την εξέταση των βασικών λύσεων πιο

αποτελεσµατικά έτσι ώστε να βελτιώνεται η αντικειµενική συνάρτηση σε κάθε

νέα δοκιµή. Αυτός είναι ο ρόλος της µεθόδου Simplex που αναπτύσσεται στη

συνέχεια. Η µέθοδος αυτή βρίσκει σε κάθε δοκιµή µια νέα βασική εφικτή λύση

που δίνει στην αντικειµενική συνάρτηση µικρότερη ή ίση τιµή. Έτσι εντοπίζει

γρήγορα την κορυφή που αντιστοιχεί στο ελάχιστο σε πεπερασµένο αριθµό

βηµάτων.

6.5 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX

Η περιγραφή του αλγόριθµου Simplex προϋποθέτει καταρχήν ότι µια βασική

εφικτή λύση είναι διαθέσιµη. Σε επόµενη ενότητα θα εξηγηθεί πως αυτό

µπορεί να επιτυγχάνεται πάντοτε.

Έστω ότι µε µια σειρά περιστροφών το πρόβληµα έχει αναχθεί σε κανονική

µορφή που περιλαµβάνει και την αντικειµενική συνάρτηση, όπου η f

λαµβάνεται σαν βασική µεταβλητή

1 . x1 + 0 . x2 + 0 . xm + a1,m+1΄΄

xm+1 + …. + a1,n΄΄

xn = b1΄΄

0 . x1 + 1 . x2 + 0 . xm + a2,m+1΄΄

xm+1 + …. + a2,n΄΄

xn = b2΄΄

0 . x1 + 0 . x2 + 1 . xm + am,m+1΄΄

xm+1 + …. + am,n΄΄

xn = bm΄΄

- f + cm+1΄΄

xm+1 + …. + cm” xn = - f0

΄΄

109

Υπάρχει η προφανής βασική λύση xi = bi΄΄ i = 1, …, m

xj = 0 j = m+1, …, n

f = f0΄΄

Αν επιπλέον ισχύει bi΄΄≥ 0 η λύση αυτή είναι επίσης βασική εφικτή λύση.

Θεώρηµα: Μια βασική εφικτή λύση είναι βέλτιστη αν όλοι οι συντελεστές

κόστους των µη βασικών µεταβλητών cj΄΄ , j = m+1, …, n είναι µη αρνητικοί.

Απόδειξη: Η αντικειµενική συνάρτηση έχει τη µορφή "fx"cf" 0j

n

1mj

j =+ ∑+=

Επειδή xj = 0 , j = m+1, …, n στη βασική λύση και µπορεί να λάβουν µόνο µη

αρνητικές τιµές, αν κάποιος συντελεστής cj΄΄ > 0 η τιµή της αντικειµενικής

συνάρτησης δεν µπορεί να µειωθεί θέτοντας xj > 0 (αντί για µηδέν), δηλαδή

αλλάζοντας τη µη βασική µεταβλητή xj σε βασική. Επίσης, αν κάποιος

συντελεστής cj΄΄ = 0, η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης δεν αλλάζει όταν xj

> 0, δηλαδή η αντίστοιχη µη βασική µεταβλητή xj γίνει βασική (υπάρχουν

πολλαπλές βέλτιστες λύσεις). Εποµένως, αν οι συντελεστές cj΄΄ είναι µη

αρνητικοί, η βασική εφικτή λύση είναι η µοναδική βέλτιστη λύση για το

σύνολο των µη βασικών µεταβλητών xj, j = m+1, …, n.

Βελτίωση της αντικειµενικής συνάρτησης

Περιλαµβάνοντας τις βασικές και µη βασικές µεταβλητές η αντικειµενική

συνάρτηση έχει τη µορφή "fx"cx"cf" 0j

n

1mj

ji

m

1i

i =++ ∑∑+==

Αν τουλάχιστον ένας συντελεστής κόστους µη βασικής µεταβλητής είναι

αρνητικός, cj΄΄ < 0, η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης µπορεί να βελτιωθεί

θέτοντας xj > 0 (αντί για µηδέν), δηλαδή αλλάζοντας τη µη βασική µεταβλητή

xj σε βασική και προσθέτοντας αντίστοιχα µια από τις βασικές µεταβλητές στις

µη βασικές. Αν υπάρχουν περισσότερα από ένα cj΄΄ < 0, επιλέγεται

cs* = min cj

΄΄ < 0

Πως αλλάζουν οι βασικές µεταβλητές;

x1 = b1΄΄ – a1,s

΄΄ xs b1

΄΄ ≥ 0

….

xm = bm΄΄ – am,s

΄΄ xs bm

΄΄ ≥ 0

f = f0΄΄ + cs

΄΄ xs cs΄΄ < 0

Αυξάνοντας την τιµή της µεταβλητής xs > 0, (επειδή cs΄΄ < 0) θα µειώσει την f

σηµαντικά, αλλά ταυτόχρονα, αν κάποιο ai,s΄΄ > 0, θα επιφέρει xi < 0,

παραβιάζοντας τον περιορισµό xi ≥ 0.

110

Προφανώς

1) αν ai,s΄΄ ≤ 0 ∀i = 1, 2, …, m ⇒ η xs µπορεί να πάρει άπειρα µεγάλη τιµή

⇒ µη φραγµένη λύση

2) αν ai,s΄΄ > 0 για κάποιο i = 1, 2, …, m ⇒ η µεγαλύτερη τιµή της xs που

δεν κάνει το xi < 0 είναι

=

> "a

"bmin x

is

i

0"a

*

ssi,

3) αν ai,s΄΄ > 0 και bi

΄΄ = 0 ⇒ εκφυλισµένη λύση (οι µη βασικές µεταβλητές

είναι περισσότερες από n-m), η f δεν µπορεί να βελτιωθεί, οι xi και xs

είναι µηδενικές.

Πρόταση:

Χρησιµοποιώντας το κριτήριο

=

> "a

"bmin x

is

i

0"a

*

si,s

δεν αποφέρει αρνητικό bi΄΄.

Έστω b1, b2 > 0 και a1, a2 > 0 και 1

1

2

2

a

b

a

b≤ .

Περιστροφή στο a2 δίνει b1΄ = b1 – b2 / a2 . a1

Αν b1΄ < 0 ⇒ b1 – b2 / a2 . a1 < 0 ⇒

1

1

2

2

a

b

a

b> άτοπο ⇒ η νέα λύση είναι πάντοτε

βασική εφικτή λύση.

Παράδειγµα 6.3 - Μοναδική λύση

Να επιλυθεί το Παράδειγµα 6.1 µε τη µέθοδο Simplex

max f = 300 x1 + 500 x2 min z = - 300 x1 - 500 x2

κ.α. x1 ≤ 400 κ.α. x1 ≤ 400

x2 ≤ 600 ⇔ x2 ≤ 600

3 x1 + 2 x2 ≤ 1800 3 x1 + 2 x2 ≤ 1800

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

Με εισαγωγή πλεονασµατικών µεταβλητών x3, x4, x5 ≥ 0 διατυπώνεται σε

κανονική µορφή:

x1 + x3 = 400

x2 + x4 = 600

3 x1 + 2 x2 + x5 = 1800

- 300 x1 - 500 x2 - z = 0

111

επειδή όλα τα bj είναι θετικά, υπάρχει άµεσα διαθέσιµη µια βασική εφικτή

λύση. Απλά θέτουµε τις αρχικές µεταβλητές απόφασης x1 = x2 = 0 και

χρησιµοποιούµε σαν βασικές µεταβλητές τις πλεονασµατικές µεταβλητές

οπότε x3 = 400, x4 = 600, x5 = 1800 (ικανοποιείται ο περιορισµός xi ≥ 0).

Εισάγουµε τον ακόλουθο πίνακα. όπου η βασική εφικτή λύση είναι προφανής

Μεταβλητές Βασικές

Μεταβλητές x1 x2 x3 x4 x5 bj bj/ai

x3 1 0 1 0 0 400

x4 0 1 0 1 0 600 600

x5 3 2 0 0 1 1800 900

- z -300 -500 0 0 0 0

πλέον αρνητικός συντελεστής κόστους ⇒ το x2 εισέρχεται στην επόµενη βάση

µικρότερο ⇒ το x4 αποµακρύνεται από την υπάρχουσα βάση

(1) έλεγχος συντελ. κόστους ci < 0 για να βρεθεί ποιά µη βασική µεταβλητή

εισέρχεται στην επόµενη βάση

(2) αποφασίζεται ποιά µεταβλητή αποµακρύνεται από την υπάρχουσα βάση

υπολογίζοντας για ai > 0 τον ελάχιστο λόγο bj/ai = min

(3) περιστροφή στην εντοπισθείσα µεταβλητή της υπάρχουσας βάσης, δηλαδή

διαίρεση της εξίσωσης περιστροφής δια του συντελεστού περιστροφής

και πολλαπλασιασµός της εξίσωσης περιστροφής κατάλληλα και

πρόσθεση για να µηδενιστεί ο συντελεστής της µεταβλητής που

εισέρχεται στη βάση



x3 1 0 1 0 0 400 400

x2 0 1 0 1 0 600

x5 3 0 0 -2 1 600 200

- z -300 0 0 500 0 300000



112


Μεταβλητές x1 x2 x3 x4 x5 bj

x3 0 0 1 2/3 -1/3 200

x2 0 1 0 1 0 600

x1 1 0 0 -2/3 1/3 200

- z 0 0 0 300 100 360000

οι συντελεστές κόστους των µη βασικών µεταβλητών x4 , x5 είναι θετικοί ⇒

βρέθηκε µοναδική βέλτιστη λύση

x4 = x5 = 0 x1 = 200 x2 = 600 x3 = 200 -z = f = 360000

Παράδειγµα 6.4 - Μοναδική λύση

max f = x1 + 2 x2 + x3 min z = - x1 - 2 x2 - x3

κ.α. 2 x1 + x2 - x3 ≤ 2 κ.α. 2 x1 + x2 - x3 ≤ 2

-2 x1 + x2 - 5 x3 ≥ -6 ⇔ 2 x1 - x2 + 5 x3 ≤ 6

4 x1 + x2 + x3 ≤ 6 4 x1 + x2 + x3 ≤ 6

xi ≥ 0 xi ≥ 0

Με εισαγωγή πλεονασµατικών µεταβλητών x4 , x5 , x6 ≥ 0 διατυπώνεται σε

κανονική µορφή:

2 x1 + x2 - x3 + x4 = 2

2 x1 - x2 + 5 x3 + x5 = 6

4 x1 + x2 + x3 + x6 = 6

- x1 - 2 x2 - x3 - z = 0

Επειδή όλα τα bj είναι θετικά, υπάρχει άµεσα διαθέσιµη µια βασική εφικτή

λύση. Απλά θέτουµε τις αρχικές µεταβλητές απόφασης = 0 και

χρησιµοποιούµε σαν βασικές µεταβλητές τις πλεονασµατικές µεταβλητές

(ικανοποιείται ο περιορισµός xi ≥ 0). ∆ιαµορφώνουµε τον ακόλουθο πίνακα.


Βασικές Μεταβλητές x1 x2 x3 x4 x5 x6 bj bj/ai

x4 2 1 -1 1 0 0 2 2

x5 2 -1 5 0 1 0 6

x6 4 1 1 0 0 1 6 6

- z -1 -2 -1 0 0 0 0



113

Βασικές

Μεταβλητές x1 x2 x3 x4 x5 x6 bj bj/ai

x2 2 1 -1 1 0 0 2

x5 4 0 4 1 1 0 8 2

x6 2 0 2 -1 0 1 4 2

- z 3 0 -3 2 0 0 4


ισοπαλία επιλέγεται κάποιο αυθαίρετα ⇒ το x5 αποµακρύνεται από την υπάρχουσα βάση

Βασικές

Μεταβλητές x1 x2 x3 x4 x5 x6 bj bj/ai

x2 3 1 0 5/4 1/4 0 4

x3 1 0 1 1/4 1/4 0 2

x6 0 0 0 -3/2 -1/2 1 0

- z 6 0 0 2 3/4 3/4 0 10

όλοι οι συντελεστές κόστους είναι θετικοί ⇒ βέλτιστη λύση

x1 = x4 = x5 = 0 x2 = 4 x3 = 2 x6 = 0 f = -z = 10

Παράδειγµα 6.5 - Μη φραγµένη λύση

max f = 3 x1 + 2 x2 min z = -3 x1 - 2 x2

κ.α. x1 - x2 ≤ 1 κ.α. x1 - x2 + x3 = 1

3 x1 - 2 x2 ≤ 6 ⇔ 3 x1 -2 x2 + x4 = 6

xi ≥ 0 xi ≥ 0

Με εισαγωγή πλεονασµατικών µεταβλητών x3 , x4 ≥ 0 το πρόβληµα

διατυπώνεται σε κανονική µορφή:

x1 - x2 + x3 = 1

3 x1 - 2 x2 + x4 = 6

-3x1 - 2 x2 - z = 0

Επειδή όλα τα bj είναι θετικά, έχουµε βασική εφικτή λύση θέτοντας τις αρχικές

µεταβλητές απόφασης = 0 και χρησιµοποιώντας σαν βασικές µεταβλητές τις

πλεονασµατικές µεταβλητές (ικανοποιείται ο περιορισµός xi ≥ 0). Όταν

υπάρχει διαθέσιµη µια βασική εφικτή λύση λέµε ότι αρχίζει η Φάση ΙΙ της

µεθόδου Simplex. ∆ιαµορφώνουµε τον ακόλουθο πίνακα

114


Μεταβλητές x1 x2 x3 x4 bj bj/ai

x3 1 -1 1 0 1 1

x4 3 -2 0 1 6 2

- z -3 -2 0 0 0



Βασικές


x1 1 -1 1 0 1

x4 0 1 -3 1 3 3

- z 0 -5 3 0 3


το x4 αποµακρύνεται από την υπάρχουσα βάση

Βασικές


x1 1 0 -2 1 4

x2 0 1 -3 1 3

- z 0 0 -12 5 18

το x3 έχει αρνητικό συντελεστή κόστους, αλλά όλα τα ai είναι επίσης αρνητικά

⇒ η z µπορεί να µειώνεται άπειρα για x3 > 0

Αν όλα τα ai είναι αρνητικά ή µηδέν ⇒ µη φραγµένη λύση

Παράδειγµα 6.6 - Άπειρες λύσεις

max f = 40 x1 + 100 x2 ⇔ min z = - 40 x1 - 100 x2

κ.α. 10 x1 + 5 x2 ≤ 2500

4 x1 + 10 x2 ≤ 2000

2 x1 + 3 x2 ≤ 900

xi ≥ 0

Με εισαγωγή πλεονασµατικών µεταβλητών x3 , x4 , x5 ≥ 0 το πρόβληµα


10 x1 + 5 x2 + x3 = 2500

4 x1 + 10 x2 + x4 = 2000

2 x1 + 3 x2 + x5 = 900

- 40 x1 - 100 x2 - z = 0

115

Επειδή όλα τα bj είναι θετικά, και πάλι χρησιµοποιούµε σαν βασικές

µεταβλητές τις πλεονασµατικές µεταβλητές.



x3 10 5 1 0 0 2500 500

x4 4 10 0 1 0 2000 200

x5 2 3 0 0 1 900 300

- z -40 -100 0 0 0 0



Βασικές


x1 x2 x3 x4 x5 bj bj/ai

x3 8 0 1 -1/2 0 1500 180

x2 4/10 1 0 1/10 0 200 500

x5 8/10 0 0 -3/10 1 300 350

- z 0 0 0 10 0 20000

Η βασική λύση είναι

x1 = x4 = 0 x2 = 200 x3 = 1500 x5 = 300 f = -z = 20000

Επειδή η µη βασική µεταβλητή x1 έχει µηδενικό συντελεστή κόστους, µπορεί

να γίνει βασική (> 0) χωρίς να αλλάξει η τιµή της f.

Βασικές


x1 1 0 1/8 -1/16 0 1500/8

x2 0 1 -1/20 5/40 0 1000/8

x5 0 0 -1/10 -5/20 1 150

- f 0 0 0 10 0 20000

Η βασική λύση είναι

x3 = x4 = 0 x1 = 1500/8 x2 = 125 x5 = 150 f = -z = 20000

Έστω x1 και x2 οι δύο λύσεις µε f = cT

x1 = cT

x2

Κάθε γραµµικός συνδυασµός των δύο λύσεων x3 = λ x1 + (1-λ)

x2 είναι επίσης

λύση: cT

x3 = λ cT

x1 + (1-λ) c

T x2 = λ f + (1-λ)

f = f

Άρα το πρόβληµα έχει άπειρες λύσεις.

116

6.6 Η ΜΕΘΟ∆ΟΣ SIMPLEX ∆ΥΟ ΦΑΣΕΩΝ

Η βασική εφικτή λύση µπορεί να υπάρχει ή όχι και, αν υπάρχει, µπορεί να µην

είναι άµεσα διαθέσιµη, όπως υποθέσαµε µέχρι τώρα. Π.χ. έστω ο περιορισµός

x1 - x2 ≥ 5 ⇒ - x1 + x2 ≤ -5 ⇒ - x1 + x2 + x3 = -5 x1 , x2 , x3 > 0

Τώρα δεν µπορεί να τεθεί x1 = x2 = 0 και να χρησιµοποιηθεί στη βάση η

συµπληρωµατική µεταβλητή x3 επειδή έχει αρνητική τιµή x3 = -5.

Φάση Ι: ελέγχει αν το πρόβληµα έχει µια εφικτή λύση µε χρήση του

αλγόριθµου Simplex και κατόπιν παράγει τη βασική εφικτή λύση σε κανονική

µορφή.

Φάση ΙΙ: ελέγχει αν το πρόβληµα έχει ένα φραγµένο βέλτιστο και κατόπιν

βρίσκει τη βασική εφικτή λύση που είναι βέλτιστη.

Βήµατα της Φάσης Ι

(1) διαµόρφωση του αρχικού συστήµατος ώστε όλα τα bj ≥ 0 και Ax = b, x ≥ 0

περιλαµβανοµένων των συµπληρωµατικών ή πλεονασµατικών µεταβλητών,

π.χ. x1 - x2 - x3 = 5

(2) εισαγωγή τεχνητών µεταβλητών y1 , …ym ≥ 0 ώστε Ax + Ιmm y = b, b ≥ 0

(3) εισαγωγή της µεταβλητής ανεφικτότητας w = y1 + y2+ …+ ym (w ≥ 0) w = b1 - a11 x1 - …. - a1n xn + b2 – a21 x1 - …. – a2n xn +…+ bm – am1 x1 - …. – amn xn

w = (b1 + b2 +…+ bm) – (a11 + a21 +….+ am1) x1 - … - (a1n + a2n + …. + amn) xn

w = w0 + d1 x1 + … + dn xn

Ας εξεταστεί το πρόβληµα Γ.Π.

xdw)xw(minT

0x

+= x ∈ Rn

κάτω από

Α x + Ιmm y = b A(n,m) b∈ Rm

cT x – f = 0

x ≥ 0 y ≥ 0

Είναι προφανές ότι έχει την κανονική µορφή

a11 x1 + a12 x2 + a1n xn + y1 = b1

a21 x1 + … + a2n xn + y2 = b2

am1 x1 + ... + amn xn + ym = bm

c1 x1 + ... + cn xn - f = 0

d1 x1 + ... + dn xn - w = - w0

117

για την οποία η βασική εφικτή λύση είναι προφανής: x = 0, y = b ≥ 0

που δίδει τις τιµές f = 0 και w = w0 ≥ 0.

Εποµένως µπορεί να χρησιµοποιηθεί ο αλγόριθµος Simplex και να βελτιωθεί η

βασική εφικτή λύση ώστε να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση w.

Έλεγχος

(1) αν w* > 0 δεν υπάρχει εφικτή λύση (κάποιο yi ≠ 0, Ax ≠ b)

(2) αν w* = 0 όλα τα yi = 0 και ο πίνακας είναι σε κανονική µορφή, και µια

βασική εφικτή λύση του αρχικού προβλήµατος είναι διαθέσιµη. Η Φάση Ι

συνοψίζεται ως εξής:

x = 0 x ≥ 0

y ≥ 0 y = 0

w = w0 ⇒ w = 0

f = 0 f = cT x

I y = b A x = b

Βήµατα της Φάσης IΙ

Παραλείπεται η w και οι µεταβλητές yi και βελτιώνεται η λύση για να βρεθεί η

βέλτιστη, αν υπάρχει.

Παράδειγµα 6.7 – Μέθοδος Simplex δύο φάσεων

min f = 2 x1 + 3 x2 + 2 x3 - x4 + x5

κ.α. 3 x1 - 3 x2 + 4 x3 + 2 x4 - x5 = 0

x1 + x2 + x3 + 3 x4 + x5 = 2

xi ≥ 0

Σε αναζήτηση µιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης κάποιος θα µπορούσε να

δοκιµάσει θέτοντας x1 = x2 = x3 = 0, οπότε x4 = 2/5 και x5 = 4/5. Η λύση αυτή

είναι ότι χρειάζεται για να αρχίσει η Φάση ΙΙ, και µάλιστα, όπως θα δειχθεί,

είναι και η βέλτιστη λύση του προβλήµατος. Όµως η λύση βρέθηκε από

σύµπτωση. Με εισαγωγή πλεονασµατικών µεταβλητών y1, y2 ≥ 0 το πρόβληµα


3 x1 -3 x2 +4 x3 +2 x4 - x5 + y1 = 0

x1 + x2 + x3 +3 x4 + x5 + y2 = 2

2 x1 +3 x2 +2 x3 - x4 + x5 - f = 0

Είναι σαφές ότι η λύση xi = 0, yi = bi ≥ 0 είναι µια βασική εφικτή λύση (όπου

y1 = 0, y2 = 2). Το άθροισµα των τεχνητών µεταβλητών είναι:

w = y1 + y2 = 2 - 4 x1 + 2 x2 - 5 x3 - 5 x4 + 0 x5

118

Φάση Ι


Μεταβλητές x1 x2 x3 x4 x5 y1 y2 bj bj/ai

y1 3 -3 4 2 -1 1 0 0 0

y2 1 1 1 3 1 0 1 2 2/3

- f 2 3 2 -1 1 0 0 0

- w -4 2 -5 -5 0 0 0 -2


µικρότερο ⇒ το y1 αποµακρύνεται από την υπάρχουσα βάση

Βασικές

Μεταβλητές X1 x2 x3 x4 x5 y1 y2 bj bj/ai

x4 3/2 -3/2 2 1 -1/2 1/2 0 0

y2 -7/2 11/2 -5 0 5/2 -3/2 1 2 4/11

- f 7/2 3/2 4 0 1/2 1/2 0 0

- w 7/2 -11/2 5 0 -5/2 5/2 0 -2



Βασικές

Μεταβλητές x1 x2 x3 x4 x5 y1 y2 bj

x4 6/11 0 7/11 1 2/11 1/11 3/11 6/11

x2 -7/11 1 -10/11 0 5/11 -3/11 2/11 4/11

- f 98/22 0 118/22 0 -4/22 20/22 -6/22 -12/22

- w 0 0 0 0 0 1 1 0

η βασική λύση που εντοπίστηκε είναι

x1 = x3 = x5 = 0 x4 = 6/11 x2 = 4/11

µε f = 12/22 και w = 0 (ώστε y1 = y2 = 0) ⇒ τέλος της Φάσης Ι

Φάση ΙΙ

∆ιαµορφώνουµε τον νέο πίνακα παραλείποντας τις στήλες µε τις τεχνητές

µεταβλητές y1, y2 και τη γραµµή µε τη µεταβλητή ανεφικτότητας w. Βασικές


x4 6/11 0 7/11 1 2/11 6/11 3

x2 -7/11 1 -10/11 0 5/11 4/11 4/5

- f 98/22 0 118/22 0 -4/22 -12/22



119

Βασικές


x4 4/5 -2/5 1 1 0 2/5

x5 -7/5 11/5 -2 0 1 4/5

- f 21/5 2/5 5 0 0 -2/5


x1 = x2 = x3 = 0 x4 = 2/5 x5 = 4/5 f = 2/5

6.7 Η ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΟΥ Μ

Όπως στην Ενότητα 6.6, αν δεν µπορεί να βρεθεί άµεσα µια βασική εφικτή

λύση απλά προσθέτοντας πλεονασµατικές µεταβλητές π.χ. x1 - x2 ≥ 5

⇒ x1 - x2 - x3 = 5, xi ≥ 0

(οπότε δεν µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε x1 = x2 = 0, x3 = -5 < 0),

µπορούµε να εισάγουµε µια τεχνητή µεταβλητή y1 ≥ 0, έτσι ώστε

x1 - x2 - x3 + y1 = 5, xi ≥ 0, y1 ≥ 0 και να χρησιµοποιήσουµε x1 = x2 = x3 = 0,

y1 = 5 για να δηµιουργηθεί µια βασική εφικτή λύση. Επειδή η y1 είναι τεχνητή

µεταβλητή, ο µόνος τρόπος για να ικανοποιηθούν οι περιορισµοί είναι να

υποχρεώνεται το y1 να πάρει τιµή 0 µετά την επίλυση του προβλήµατος µε τη

µέθοδο Simplex. Αυτό επιτυγχάνεται θέτοντας max f = cT x - M y1 όπου το Μ

είναι ένας µεγάλος αριθµός >> ci. Για να βελτιώσει τη λύση η µέθοδος

Simplex θα υποχρεώσει το y1 να είναι 0, ώστε να µη µειώνεται η f. Για

πρόβληµα ελαχιστοποίησης γράφουµε αντίστοιχα min f = cT x + M y1.

Παράδειγµα 6.8 – Μέθοδος µεγάλου Μ

Επιλύεται το πρόβληµα έργου άρδευσης του Παραδείγµατος 6.1 µε τον

πρόσθετο περιορισµό ότι πρέπει να αποδοθούν στις καλλιέργειες τουλάχιστον

200 acre.

max f = 300 x1 + 500 x2 min z = -300 x1 - 500 x2 + 10000 y1

κ.α. x1 ≤ 400 κ.α. x1 + x3 = 400

x2 ≤ 600 ⇔ x2 + x4 = 600

3 x1 + 2 x2 ≤ 1800 3 x1 + 2 x2 + x5 = 1800

x1 + x2 ≥ 200 x1 + x2 - x6 + y1 = 200

xi ≥ 0 xi ≥ 0, y1 ≥ 0

x1 + x3 = 400

x2 + x4 = 600

3 x1 +2 x2 + x5 = 1800

x1 + x2 - x6 + y1 = 200

-300 x1 - 500 x2 +10000 y1 - z = 0

120

επειδή όλα τα bj είναι θετικά, και χρησιµοποιούµε σαν βασικές µεταβλητές τις

πλεονασµατικές µεταβλητές x3, x4, x5 και την y1.

Μεταβλητές Βασικές Μεταβλητές x1 x2 x3 x4 x5 x6 y1 bj bj/ai

x3 1 0 1 0 0 0 0 400

x4 0 1 0 1 0 0 0 600 600

x5 3 2 0 0 1 0 0 1800 900

y1 1 1 0 0 0 -1 1 200 200

- z -300 -500 0 0 0 0 10000 0

Επειδή η y1 είναι βασική µεταβλητή πρέπει να µηδενιστεί ο συντελεστής

10000 στη στήλη της.


Μεταβλητές x1 x2 x3 x4 x5 x6 y1 bj bj/ai

x3 1 0 1 0 0 0 0 400

x4 0 1 0 1 0 0 0 600 600

x5 3 2 0 0 1 0 0 1800 900

y1 1 1 0 0 0 -1 1 200 200

- z -10300 -10500 0 0 0 10000 0 -2000000



Βασικές


x3 1 0 1 0 0 0 0 400

x4 -1 0 0 1 0 1 -1 400 400

x5 1 0 0 0 1 2 -2 1400 700

x2 1 1 0 0 0 -1 1 200

- z 200 0 0 0 0 -500 10500 100000



121

Βασικές


x3 1 0 1 0 0 0 0 400 400

x6 -1 0 0 1 0 1 -1 400

x5 3 0 0 -2 1 0 0 600 200

x2 0 1 0 1 0 0 0 600

- z -300 0 0 500 0 0 10000 300000



Βασικές


x3 0 0 1 -2/3 -1/3 0 0 200

x6 0 0 0 1/3 1/3 1 -1 600

x1 1 0 0 -2/3 1/3 0 0 200

x2 0 1 0 1 0 0 0 600

- z 0 0 0 300 100 0 10000 360000


x1 = 200 x2 = 600 x3 = 200 x4 = 0 x5 = 0 x6 = 600 y1 = 0

z* = -360000 => max f = 360000

∆ιαπιστώνεται ότι η λύση είναι ίδια µε εκείνη του Προβλήµατος 6.1 παρά τη

χρήση ενός επιπλέον περιορισµού. Αυτό εξηγείται εύκολα αν απεικονιστεί ο

περιορισµός x1 + x2 ≥ 200 στο Σχήµα 6.1 και διαπιστωθεί ότι δεν είναι ενεργός

και άρα δεν επηρεάζει τη βέλτιστη λύση (200, 600). Όµως η επίλυση µε τη

µέθοδο Simplex κατέστη περισσότερο πολύπλοκη και απαίτησε υπολογισµό

τεσσάρων πινάκων (αντί για δύο).

6.8 ∆ΥΪΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE

Στην Ενότητα 4.2 διατυπώθηκαν οι συνθήκες Kuhn-Tucker για το πρόβληµα

του γραµµικού προγραµµατισµού (γραµµική αντικειµενική συνάρτηση και

γραµµικοί περιορισµοί) και παρατηρήθηκε ότι υπάρχει µια ιδιάζουσα σχέση

µεταξύ του αρχικού προβλήµατος και των συνθηκών Κ-Τ. Στη γενική

περίπτωση η σχέση αυτή συνοψίζεται ως εξής:

122

πρωτότυπο

πρόβληµα

δυϊκό

πρόβληµα

min f = cT x max f’ = b

T y

κάτω από κάτω από

Α x = b ΑT y = c

x ≥ 0 y ≥ 0

x ∈ Rn y ∈ R

m

X Y µεταβλητές απόφασης

N m αριθµός µεταβλητών απόφασης

M n αριθµός περιορισµών

C B συντελεστές κόστους

A AT πίνακας συντελεστών

≤ ≥ τύπος περιορισµών

Min Max τύπος προβλήµατος

Η κατάστρωση του δυϊκού προβλήµατος

(1) είναι πολύ χρήσιµη για προβλήµατα µε πολλές µεταβλητές

απόφασης και λίγους περιορισµούς (το δυϊκό είναι απλούστερο

να λυθεί γιατί έχει λίγες µεταβλητές απόφασης)

(2) έχει εφαρµογή στις αναλύσεις ευαισθησίας

(3) έχει µια φυσική ερµηνεία όταν το πρόβληµα Γ.Π. προέρχεται από

την περιοχή της οικονοµίας ή εξετάζεται υπό το πρίσµα της

θεωρίας παιγνίων

Η συνάρτηση Lagrange του πρωτότυπου προβλήµατος είναι:

∑ ∑∑= ==

−+=

m

1j

n

1i

jiijj

n

1i

ii bxa λ xc)xL( (1)

*Tm

1j

ij

*

ji

m

1j

ij

*

ji

i

λA -cήa λc0a λcx

L=−=⇒=+=

∂∂ ∑∑

==

(2)

bxAή0bxaλ

L *n

1i

j

*

iij

j

==−=∂∂ ∑

=

(3)

(3), (1) ⇒ )xf(x c xc)xL(**T

n

1i

*

ii

* ===∑=

βέλτιστη λύση πρωτότυπου

(1), (2) ⇒

)λ(fλb -)b(λbxa λxa λ)xL(*'

m

1j

*T

j

*

j

m

1j

n

1i

j

*

iij

*

j

n

1i

*

i

m

1j

ij

*

j −==−=

−+

−= ∑∑ ∑∑ ∑

== == =

βέλτιστη λύση δυϊκού

123

Θεώρηµα: Αν το δυϊκό και το πρωτότυπο έχουν βέλτιστες λύσεις ⇒ f* = f’*

*

*

'

*

* yb

f

b

fλ =

∂∂

=∂∂

=

η λύση του δυϊκού δίνει την ευαισθησία των µεταβλητών της αντικειµενικής

συνάρτησης σε αλλαγές στα επίπεδα των περιορισµών του πρωτοτύπου.

Παράδειγµα 6.9 - Οικονοµική ερµηνεία του δυϊκού προβλήµατος

Ένα εργοστάσιο παράγει δύο είδη υφάσµατος 1 και 2 που χρησιµοποιούν

διαφορετική αναλογία των υλικών (βαµβάκι, µετάξι, µαλλί) και πωλούνται µε

διαφορετική τιµή. Τα υλικά είναι διαθέσιµα σε περιορισµένες ποσότητες όπως

δείχνει ο πίνακας:

βαµβάκι µετάξι Μαλλί τιµή

ύφασµα 1 x1 2 1 1 30

ύφασµα 2 x2 1 1 2 40

διαθέσιµο 18 10 14

Πρωτότυπο πρόβληµα Γ.Π.

Ο στόχος του παραγωγού είναι να µεγιστοποιήσει το όφελός του

max f = 30 x1 + 40 x2

κ.α. 2 x1 + x2 ≤ 18

x1 + x2 ≤ 10

x1 + 2 x2 ≤ 14

xi ≥ 0

Έστω ότι κάποιος θέλει να αγοράσει το εργοστάσιο και τα υλικά και έστω y1 ,

y2 , y3 οι τιµές που θέλει να πληρώσει για βαµβάκι, µετάξι, και µαλλί. ∆ηλαδή,

ο στόχος του αγοραστή είναι να ελαχιστοποιήσει το κόστος του

min f’ = 18 y1 + 10 y2 + 14 y3

Για να αποδεχθεί την προσφορά το εργοστάσιο πρέπει να κερδίζει

περισσότερα από το να πωλήσει τα υλικά, παρά από το να τα χρησιµοποιήσει

για να παράγει προϊόντα προς πώληση. ∆ηλαδή

2 y1 + y2 + y3 ≥ 30

y1 + y2 + 2 y3 ≥ 40

yi ≥ 0

Έτσι προκύπτει ακριβώς το δυϊκό του πρωτότυπου προβλήµατος Γ.Π.

124

Λύση πρωτότυπου Λύση δυϊκού

x1 = 6 y1 = 0

x2 = 4 y2 = 20

y3 = 10

f = 340 f = 340


Επειδή 2 . 6 + 4 = 16 ≤ 18

6 + 4 = 10 = 10

6 + 2 . 4 = 14 = 14

οι περιορισµοί που καθορίζουν τη λύση είναι για το µετάξι και το µαλλί. Το

βαµβάκι µένει αχρησιµοποίητο και έτσι η τιµή του στο δυϊκό είναι µηδέν. Η

ερµηνεία στο γράφηµα είναι: η ευθεία του περιορισµού για το βαµβάκι µπορεί

να µετακινηθεί λίγο δεξιά ή αριστερά χωρίς να αλλάξει η βέλτιστη λύση.

Οι τιµές των µεταβλητών του δυϊκού προβλήµατος εκφράζει την αλλαγή στην

αντικειµενική συνάρτηση ανά µονάδα αλλαγής του διαθέσιµου πόρου. Εδώ

προκύπτει y1 = 0, δηλαδή µια επιπλέον µονάδα βαµβάκι δεν αλλάζει την

αντικειµενική συνάρτηση. Αυτή είναι ακριβώς η σηµασία των

πολλαπλασιαστών Lagrange

*j

*

j

*

jb

fyλ

∂∂

==

6.9 ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ

Έστω το πρόβληµα Γ.Π.

xc)xf(minT

x= x ∈ Rn

κάτω από

Α x = b A(n,m) b∈ Rm

x ≥ 0

και έστω ότι µετά την εφαρµογή του αλγόριθµου Simplex έχει βρεθεί µια

βασική εφικτή λύση xB: B xB = b

Έστω ότι υπάρχει µια µοναδιαία µεταβολή στο επίπεδο του περιορισµού k

και έστω ek = [0 0 ..1 …0]T

το διάνυσµα µεταβολών των περιορισµών. Τότε b΄ = b + ek και

B xB΄ = b + ek ⇒ xB΄ = B-1 b + B-1 ek = xB + λk

125

όπου λk = B-1 ek = B-1

0

1

0

M = στήλη k του πίνακα B-1 =

mk

2k

1k

λ

λ

λ

M

⇒ xB΄ =

+

+

+

mkBm

2kB2

1kB1

λx

λx

λx

M

Η µεταβολή της αντικειµενικής συνάρτησης είναι

∆f = cBT λk ∑

=

=m

1i

ikBi λc = cBT B-1 ek = rk


6.1 Να επιλυθεί το Παράδειγµα 1.2 - Στατικά Ορισµένο ∆ικτύωµα Ελάχιστου

Βάρους, δηλαδή να βρεθούν οι βέλτιστες διατοµές για τα στοιχεία του

δικτυώµατος, µε τη γραφική µέθοδο.

6.2 Ένας εργολάβος εξετάζει δύο λατοµεία για να προµηθευτεί υλικά για ένα

έργο. Το µοναδιαίο κόστος για φόρτωση και µεταφορά του υλικού στο

εργοτάξιο είναι $5/m3 από το λατοµείο 1 και $7/m3 από το λατοµείο 2. Πρέπει

να µεταφέρει τουλάχιστον 10,000 m3 στο εργοτάξιο. Το µίγµα που µεταφέρει

πρέπει να αποτελείται από τουλάχιστον 50% άµµο, όχι περισσότερο από 60%

χαλίκι, και όχι περισσότερο από 8% άργιλο. Το υλικό από το λατοµείο 1

αποτελείται από 30% άµµο και 70% χαλίκι, ενώ το υλικό από το λατοµείο 2

αποτελείται από 60% άµµο, 30% χαλίκι και 10% άργιλο.

(α) ∆ιαµορφώστε ένα υπόδειγµα ελαχίστου κόστους.

(β) Προσδιορίστε τη βέλτιστη λύση µε τη γραφική µέθοδο.

(γ) Προσδιορίστε τους ενεργούς και ανενεργούς περιορισµούς.

(δ) Προσδιορίστε την αναλογία άµµου, χαλικιού και αργίλου στη βέλτιστη

λύση.

Επίλυση

(α) Το υλικό από το λατοµείο 1 είναι φθηνότερο αλλά δεν µπορεί να

χρησιµοποιηθεί µόνο του, επειδή δεν περιέχει το απαιτούµενο ποσοστό άµµου.

Χρειάζεται να αναµιχθεί υλικό και από τα δύο λατοµεία. Έτσι οι µεταβλητές

απόφασης ορίζονται ως

126

x1 = όγκος υλικού από το λατοµείο 1 (m3)


Η συνάρτηση κόστους είναι

c = 5 x1 + 7 x2

Περιορισµοί.

1) ελάχιστος απαιτούµενος όγκος x1 + x2 ≥ 10,000

2) τουλάχιστον 50% άµµο 0.3 x1 + 0.6 x2 ≥ 0.5 (x1 + x2)

3) όχι περισσότερο 60% χαλίκι 0.7 x1 + 0.3 x2 ≤ 0.6 (x1 + x2)

4) όχι περισσότερο 8% άργιλο 0.1 x2 ≤ 0.08 (x1 + x2)

Μαθηµατικό υπόδειγµα. Η κατάστρωση του προβλήµατος έχει ολοκληρωθεί.

Συνοψίζοντας έχουµε:

Min z = 5 x1 + 7 x2


x1 + x2 ≥ 10,000 x1 + x2 ≥ 10,000 (1)

0.3 x1 + 0.6 x2 ≥ 0.5 (x1 + x2) - 2 x1 + x2 ≥ 0 (2)

0.7 x1 + 0.3 x2 ≤ 0.6 (x1 + x2) ή - x1 + 3 x2 ≥ 0 (3)

0.1 x2 ≤ 0.08 (x1 + x2) 4 x1 - x2 ≥ 0 (4)

x1 , x2 ≥ 0 x1 , x2 ≥ 0 (5)

Η γραφική λύση δίνει x1* = 3,300 m3 , x2

* = 6,700 m3.

Ενεργοί περιορισµοί οι (1) και (2). Ο (3) πάντα ανενεργός.

Το βέλτιστο µίγµα έχει 50.1% άµµο, 43.2% χαλίκι και 6.7% άργιλο και κόστος

$63,400.

6.3 Μια τεχνική εταιρεία έχει σύµβαση για την εκσκαφή δύο τάφρων πλάτους

2 και 6 m. ∆εν µπορεί να µεταφέρει πάνω από 10,000 m3 τη µέρα λόγω

περιορισµένου αριθµού φορτηγών οχηµάτων. Σύµφωνα µε το πρόγραµµα

πρέπει να σκάβονται 1,600 m3 τη µέρα από την τάφρο των 2 m και 3,000 m3 τη

µέρα από την τάφρο των 6 m. Η εταιρεία έχει 12 χειριστές εκσκαπτικών που

µπορεί να διατεθούν σε εκσκαπτικά του 0.5 m3 ή του 2.5 m3 τα οποία έχουν τα

εξής χαρακτηριστικά απόδοσης και κόστους:

Εκσκαπτικό Λειτουργικό κόστος Ηµερήσια απόδοση

0.5 m3 $394 µηχάνηµα-µέρα 200 m3/µέρα για την τάφρο των 2 m

2.5 m3 $1,110 µηχάνηµα-µέρα 1,000 m3/µέρα για την τάφρο των 6 m


(β) Υποθέστε ότι 8 και 4 χειριστές διατίθενται στο εκσκαπτικό των 0.5 και 2.5

m3 αντίστοιχα. Προσδιορίστε τους ενεργούς και ανενεργούς περιορισµούς και

τις τιµές των µεταβλητών απόκλισης.

127

Επίλυση

(α) Οι µεταβλητές απόφασης ορίζονται ως

x1 = αριθµός χειριστών που διατίθενται στο εκσκαπτικό των 0.5 m3

x2 = αριθµός χειριστών που διατίθενται στο εκσκαπτικό των 2.5 m3

Η συνάρτηση κόστους είναι

c = 394 x1 + 1110 x2


1) µέγιστος µεταφερόµενος όγκος 200 x1 +1000 x2 ≤ 10,000

2) απαίτηση εκσκαφής (τάφρος 2 m) 200 x1 ≥ 1600

3) απαίτηση εκσκαφής (τάφρος 6 m) 1000 x2 ≥ 3000

4) διαθέσιµοι χειριστές x1 + x2 ≤ 12

5) x1 , x2 ≥ 0

6.4 Ένας εργολάβος εξετάζει δύο λατοµεία για να προµηθευτεί υλικά για ένα

έργο. Το µοναδιαίο κόστος για φόρτωση και µεταφορά του υλικού στο

εργοτάξιο είναι $5/m3 από το λατοµείο 1 και $7/m3 από το λατοµείο 2. Πρέπει

να µεταφέρει τουλάχιστον 10,000 m3 στο εργοτάξιο. Το υλικό από το λατοµείο

1 αποτελείται από 30% άµµο και 70% χαλίκι, ενώ το υλικό από το λατοµείο 2

αποτελείται από 60% άµµο και 40% χαλίκι. Το µίγµα που µεταφέρει πρέπει να

αποτελείται από τουλάχιστον 5,000 m3 άµµο και όχι περισσότερο από 6,000 m3

χαλίκι.


(β) Γράψτε το πρόβληµα σε κανονική µορφή χρησιµοποιώντας µεταβλητές

απόκλισης.

(γ) Προσδιορίστε µια βασική λύση και ελέγξτε αν είναι εφικτή.

(δ) Με κατάλληλες περιστροφές προσδιορίστε και άλλη µια βασική λύση.

(ε) Πόσες βασικές λύσεις πρέπει να υπολογιστούν για να εντοπιστεί η βέλτιστη

λύση;

Επίλυση

(α) Όπως στο πρόβληµα 4.2 οι µεταβλητές απόφασης ορίζονται ως



Μαθηµατικό υπόδειγµα.

Min z = 5 x1 + 7 x2


x1 + x2 ≥ 10,000 (1)

0.3 x1 + 0.6 x2 ≥ 5,000 (2)

0.7 x1 + 0.3 x2 ≤ 6,000 (3)

128

x1 , x2 ≥ 0 (4)

(β) και (γ)

x1 + x2 - x3 = 10,000

0.3 x1 + 0.6 x2 - x4 = 5,000

0.7 x1 + 0.3 x2 + x5 = 6,000


x1 = 0 x2 = 0 x3 = -10,000 x4 = -5,000 x5 = 6,000 (βασική µη εφικτή λύση)

(δ) Περιστροφή γύρω από το a11 = 1

x1 + x2 - x3 = 10,000

0 + 0.3 x2 + 0.3 x3 - x4 = 2,000

0 - 0.4 x2 - 0.7 x3 + x5 = -1,000


x1 = 10,000 x2 = 0 x3 = 0 x4 = -2,000 x5 = -1,000 (βασική µη εφικτή λύση)

κ.λπ.

6.5 Να λυθεί το πρόβληµα µεγιστοποίησης µε τη µέθοδο Simplex.

max z = 3 x1 + x2


x1 – 2 x2 ≤ 10 (1)

2 x1 + x2 ≤ 24 (2)

x1 - x2 ≤ 5 (3)

x1 , x2 ≥ 0 (4)

Υποδείξτε τη διαδροµή προς τη βέλτιστη λύση σε ένα γράφηµα.

6.6 Να λυθεί το πρόβληµα µεγιστοποίησης µε τη µέθοδο Simplex δύο φάσεων.

min z = x2


3 x1 + 4 x2 ≥ 9 (1)

5 x1 + 2 x2 ≤ 8 (2)

3 x1 - x2 ≤ 0 (3)

x1 , x2 ≥ 0 (4)

Υποδείξτε τη διαδροµή προς τη βέλτιστη λύση σε ένα γράφηµα.

6.7 (Stark – Nicholls)

Μια εταιρεία ετοίµου σκυροδέµατος εµπορεύεται δύο µίγµατα Α και Β. Η

εταιρεία µπορεί να παράγει µέχρι 14 φορτία ανά ώρα του µίγµατος Α ή µέχρι 7

φορτία ανά ώρα του µίγµατος Β. Τα διαθέσιµα φορτηγά µπορούν να

129

µεταφέρουν µέχρι 7 φορτία ανά ώρα του µίγµατος Α ή µέχρι 12 φορτία ανά

ώρα του µίγµατος Β, εξαιτίας της διαφοράς των αποστάσεων µεταφοράς. Η

εγκατάσταση φόρτωσης δεν µπορεί να εξυπηρετήσει πάνω από 8 φορτία ανά

ώρα, ανεξάρτητα από το µίγµα. Η εταιρεία αναµένει κέρδος $5 ανά φορτίο του

µίγµατος Α και $10 ανά φορτίο του µίγµατος Β.

(α) ∆ιαµορφώστε ένα υπόδειγµα µεγίστου κέρδους.

(β) Γράψτε το πρόβληµα σε κανονική µορφή χρησιµοποιώντας µεταβλητές

απόκλισης.

(γ) Προσδιορίστε τον αριθµό των βασικών µεταβλητών και τον αριθµό των

βασικών λύσεων που πρέπει να υπολογιστούν για να εντοπιστεί η βέλτιστη

λύση. Συµπληρώστε έναν πίνακα µε όλες τις βασικές λύσεις.

(δ) ∆ηµιουργείστε τη γραφική απεικόνιση του προβλήµατος και υποδείξτε

όσες βασικές λύσεις εµφανίζονται στο γράφηµα

(ε) Προσδιορίστε µε τη γραφική µέθοδο τον αριθµό των φορτίων ανά ώρα για

κάθε µίγµα που πρέπει να παράγει η εταιρεία.

(στ) Προσδιορίστε τους ενεργούς και ανενεργούς περιορισµούς.

Επίλυση

(α) Οι µεταβλητές απόφασης ορίζονται ως

x1 = φορτία ανά ώρα του µίγµατος Α

x2 = φορτία ανά ώρα του µίγµατος Β

Η συνάρτηση κέρδους είναι

Max c = 5 x1 + 10 x2


1) παραγωγή σε µια ώρα (1/14) x1 + (1/7) x2 ≤ 1

2) µεταφορά σε µια ώρα (1/7) x1 + (1/12) x2 ≤ 1

3) φόρτωση x1 + x2 ≤ 8

4) µη αρνητικές µεταβλητές x1 , x2 ≥ 0

(β)

(1/14) x1 + (1/7) x2 + x3 = 1

(1/7) x1 + (1/12) x2 + x4 = 1

x1 + x2 + x5 = 8

Υπάρχουν n = 5 µεταβλητές απόφασης και m = 3 περιορισµοί, εποµένως οι

βασικές µεταβλητές είναι m=3 και οι µη βασικές είναι n-m = 2.

(γ) και (δ) Θέτοντας κάθε φορά 2 µεταβλητές ίσες µε µηδέν συµπληρώνεται ο

πίνακας (οι συνδυασµοί είναι 5!/(3! 2!) = 10):

130

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x1 0 0 0 0 14 7 8 70/17 2 28/5

x2 0 7 12 8 0 0 0 84/17 6 12/5

x3 1 0 -5/7 -1/7 0 1/2 3/7 0 0 9/35

x4 1 5/12 0 1/3 -1 0 -1/7 0 3/14 0

x5 8 1 -4 0 -6 1 0 -18/17 0 0

Σηµείο Α Ε Β ∆ Ε

Πέντε βασικές λύσεις αντιστοιχούν στις κορυφές της εφικτής περιοχής και οι

υπόλοιπες πέντε παραβιάζουν τον περιορισµό για µη αρνητικές τιµές.

(ε) Η αντικειµενική συνάρτηση είναι παράλληλη µε τον περιορισµό (1), οπότε

όλα τα σηµεία στο τµήµα Ε∆ αποτελούν βέλτιστη λύση.

(στ) Ενεργός είναι µόνο ο (1), εκτός από το σηµείο Ε, όπου είναι ενεργός και ο

(3).

KΕΦΑΛΑΙΟ 7

∆υναµικός Προγραµµατισµός


Η θεωρία αποφάσεων διακρίνεται σε δύο µεγάλες κατηγορίες, µε βάση το αν ο

υπεύθυνος απόφασης είναι µοναδικός φορέας ή πολλοί φορείς. Μέχρι τώρα

αναπτύχθηκαν µέθοδοι της πρώτης κατηγορίας, οι οποίες µπορεί να

διακριθούν σε στατικές ή µονοσταδιακές και σε σειριακές ή πολυσταδιακές

όπου ο χρόνος µπορεί να είναι διακριτός ή συνεχής. Στο στατικό πρόβληµα

αφορά την ελαχιστοποίηση της συνάρτησης κόστους που είναι µια συνάρτηση

του διανύσµατος µεταβλητών απόφασης

)uJ(minu

u ∈ Rn

Στο σειριακό πρόβληµα το διάνυσµα των µεταβλητών κατάστασης του

συστήµατος εξελίσσεται στον χρόνο ή στον χώρο σύµφωνα µε ένα σύστηµα

εξισώσεων στις οποίες εµπλέκονται και οι µεταβλητές απόφασης. Η

συνάρτηση κόστους είναι το άθροισµα του κόστους µετάβασης σε κάθε

σταδίου και τελικά εξαρτάται από τη (γνωστή) αρχική κατάσταση και τις τιµές

των µεταβλητών απόφασης σε κάθε στάδιο.

Για το µη γραµµικό σύστηµα )u ,x(f x kkk1k =+

µε συνάρτηση κόστους µετάβασης )u ,x(g g kkkk =

το συνολικό κόστος είναι

Κόστος ( )4444 34444 214342143421

u αποφάσεων τωνµόνο συνάρτηση

00NN

1-N

0k

κατάστασηςενδιάµεσης κόστος

kkk


NN )u,xJ(u,x(ΦG )u,x(g)x(G)uJ( +)=+= ∑=

Ζητείται να βρεθεί η σειρά αποφάσεων (πολιτική) u που ελαχιστοποιεί το

κόστος: )uJ(min u

Η λύση του παραπάνω προβλήµατος αναπτύχθηκε ήδη στο Κεφάλαιο 3 σαν

εφαρµογή για εξάσκηση 3.4 για τον βέλτιστο έλεγχο, χρησιµοποιώντας

κλασσικές µεθόδους βελτιστοποίησης. Η προσέγγιση αυτή απαιτεί οι

συναρτήσεις να είναι συνεχείς και παραγωγίσιµες και να µην υπάρχουν

περιορισµοί.

Ο δυναµικός προγραµµατισµός (∆.Π.) είναι µια µέθοδος που διαχωρίζει το

πρόβληµα πολυσταδιακής βελτιστοποίησης σε µια σειρά προβληµάτων

µονοσταδιακής βελτιστοποίησης που µπορεί να επιλυθούν µε µια από τις ήδη

132

γνωστές µεθόδους. Ο διαχωρισµός γίνεται µε τέτοιο τρόπο ώστε η βέλτιστη

λύση του αρχικού προβλήµατος να µπορεί να προκύψει από τις βέλτιστες

λύσεις των επί µέρους προβληµάτων, η µέθοδος επίλυσης των οποίων δεν

επηρεάζει το αποτέλεσµα.


Έστω ένας ταµιευτήρας και

xk = στάθµη του νερού στον ταµιευτήρα τη χρονική στιγµή k (µεταβλητή

κατάστασης), η στάθµη x0 τη χρονική στιγµή 0 είναι γνωστή

rk = εισροή νερού στον ταµιευτήρα τη χρονική στιγµή k, (µεταβλητή εισόδου),

γνωστή για k = 0, …Ν

uk = εκροή από τον ταµιευτήρα τη χρονική στιγµή k (µεταβλητή απόφασης),

ζητούµενο για k = 0, …Ν

Εξίσωση κατάστασης (ισοζύγιο µάζας ταµιευτήρα):

xk+1 = xk - uk + rk k = 0, …Ν-1 και x0 γνωστό

gk(xk , uk) = κόστος απόφασης για εκροή uk τη στιγµή k

Συνολικό Κόστος = ∑=

+=1-N

0k

µετάβασηςενδιάµεσης κόστος

kkk


NN )u,(xg)x(g)uJ(43421321

Την χρονική στιγµή k:

• είναι γνωστή η κατάσταση xk

• λαµβάνεται η απόφαση uk

• υπολογίζεται το κόστος gk(xk , uk)

• δηµιουργείται η νέα κατάσταση xk+1

7.2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ∆ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

Ορισµός: Πολιτική π = µ0, …, µΝ-1 είναι ένα σύνολο συναρτήσεων που

προσδιορίζει τις τιµές των µεταβλητών απόφασης uk από τις τιµές των

µεταβλητών κατάστασης xk, δηλαδή uk = µk(xk)

Το πρόβληµα είναι να ελαχιστοποιηθεί το κόστος για όλες τις δυνατές

πολιτικές π

)x(J)x(Jmin 0*

0ππ

=

Έστω Sk = το σύνολο όλων των δυνατών καταστάσεων τη χρονική στιγµή k

(Sk ⊂ Rn)

Ck = το σύνολο όλων των δυνατών αποφάσεων τη χρονική στιγµή k

(Ck ⊂ Rm

)

133

Για κάθε xk ∈ Sk ⇒ uk = µk(xk) ∈ Ck

Uk(xk) = το σύνολο όλων των εφικτών αποφάσεων τη χρονική στιγµή k,

αν η κατάσταση είναι xk (δηλαδή λαµβάνει υπόψη τους

περιορισµούς του προβλήµατος, Uk(xk) ⊂ Ck).

Ορισµός: Αποδεκτή Πολιτική π = µ0, …, µΝ-1 είναι ένα σύνολο

συναρτήσεων που έχουν πεδίο τιµών το σύνολο Uk(xk) ή µk : Sk → Ck και

µk(xk) ∈ Uk(xk) ∀ xk ∈ Sk

Αναδροµική µορφή του Κόστους Μετάβασης

Θεώρηµα: Το κόστος ενδιάµεσης µετάβασης εξαρτάται µόνο από την

τρέχουσα κατάσταση τη χρονική στιγµή k και παίρνει τη µορφή (η

υπογράµµιση των διανυσµάτων παραλείπεται στο εξής)

Jk(xk) = gk(xk, uk) + Jk+1(fk(xk, uk))

Απόδειξη

JΝ = gΝ(xΝ) = JΝ(xΝ)

JΝ-1 = gΝ(xΝ) + gΝ-1(xΝ-1, uΝ-1) = gΝ-1(xΝ-1, uΝ-1) + JΝ(xΝ)

= gΝ-1(xΝ-1, µΝ-1(xΝ-1)) + JΝ(f Ν(x Ν-1, µΝ-1(xΝ-1))) = J Ν-1(xΝ-1)

JΝ-2 = gΝ(xΝ) + gΝ-1(xΝ-1, uΝ-1) + gΝ-2(xΝ-2, uΝ-2) = gΝ-2(xΝ-2, uΝ-2) + J Ν-1(xΝ-1)

= gΝ-2(xΝ-2, µΝ-2(xΝ-2)) + JΝ-1(f Ν-1(x Ν-2, µΝ-2(xΝ-2))) = J Ν-2(xΝ-2)

κ.λπ.

Σύµφωνα µε το προηγούµενο θεώρηµα το πρόβληµα ελαχιστοποίησης σε κάθε

στάδιο γράφεται

JΝ*(xΝ) = gΝ(xΝ)

Jk*(xk) =

)x(Uu kkk

min∈

[gk(xk, uk) + Jk+1*(f k(xk, uk))] k = N-1, N-2, ...,0

όπου Jk*(xk) = J

*(xk) = βέλτιστο κόστος για το πρόβληµα αρχίζοντας από την

κατάσταση xk τη χρονική στιγµή k και έτσι J0*(x0) = J

*(x0) = ελάχιστο κόστος

µετάβασης από x0 σε xΝ

Θεώρηµα (Βασικό του ∆.Π.)

Εάν ∃ π*

= µ0*, ..., µΝ-1

* έτσι ώστε µk

*(xk) επιτυγχάνει το ελάχιστο για κάθε xk

τότε η π* είναι η βέλτιστη πολιτική

134

Αλγόριθµος (προς τα πίσω)

JΝ*(xΝ) = gΝ(xΝ)

Για k = N-1, N-2, ...,0

Για κάθε xk ∈ Sk

Για κάθε uk ∈ Uk(xk)

υπολόγισε το Jk(xk) = gk(xk, uk) + Jk+1*(xk+1)

και ελαχιστοποίησε το ως προς uk ⇒ J*(xk)

Αρχή Βελτιστότητας

Εάν η µ0*, ..., µΝ-1

* είναι βέλτιστη για το αρχικό πρόβληµα,

τότε η µk*, ..., µΝ-1

* είναι βέλτιστη για το πρόβληµα που αρχίζει τη στιγµή k

Η αρχή αυτή προτάθηκε από τον R. Bellman, ο οποίος από τις αρχές της

δεκαετίας του 1950 ανέπτυξε τη θεωρία του ∆.Π. σε 60 βιβλία και 600 άρθρα

περιοδικών. Είναι χαρακτηριστικό της ιδιοµορφίας της εργασίας του ότι η

πρώτη δηµοσίευση του για το ∆.Π. απορρίφθηκε σαν απλοϊκή.

Το Θεώρηµα και η Αρχή Βελτιστότητας σηµαίνουν ότι η βέλτιστη πολιτική θα

αποφέρει ελάχιστο κόστος µετάβασης στην τελική κατάσταση από

οποιοδήποτε ενδιάµεσο στάδιο k.

Η απόδειξη της Αρχής της Βελτιστότητας χρησιµοποιεί τις εξής δύο

προτάσεις:

1) yx,

min [h1(x) + h2(x, y)] = x

min [h1(x) + y

min h2(x, y)]

2) µ

min [h(x, µ(x)] = u

min [h(x,u)]

Απόδειξη µε µαθηµατική επαγωγή προς τα πίσω

Για i = N JΝ*(xΝ) = gΝ(xΝ) = J

*(xΝ)

Έστω ισχύει για i+1

Ji+1*(xi+1) = J

*(xi+1) =

µ ..., , µ-1-Ν1i

min+

[gN(xN) + ∑+=

1-N

1ik

gk(xk, µk(xk))]

Για i έχουµε

J*(xi) =

µ ..., , µ-1-Νi

min [gN(xN) + ∑=

1-N

ik

gk(xk, µk(xk))]

135

= µ ..., , µ

-1-Νi

min [gi(xi, µi(xi)) + gN(xN) + ∑+=

1-N

1ik

gk(xk, µk(xk))]

συνάρτηση του µi συνάρτηση του µi+1,.. ,µΝ-1

χρησιµοποιώντας την (1)

= i µ

min gi(xi, µi(xi)) + µ ..., ,µ

-1-Ν1i

min+

[gN(xN) + ∑+=

1-N

1ik

gk(xk, µk(xk))]

= i µ

min gi(xi, µi(xi)) + J*(xi+1)

= i µ

min gi(xi, µi(xi)) + J i+1*(xi+1)

χρησιµοποιώντας την (2)

= )x(Uu iii

min∈

gi(xi, ui) + J i+1*( f i(xi, ui)) = J i

*(x i)

Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµος ∆.Π. |C| x |S| x N

Εξαντλητικός υπολογισµός για κάθε k Sk → Ck |C||S|

Για Ν στάδια π = µ0, ..., µΝ-1 |C|

|S|

Ν =|C|

|S|Ν

Εποµένως ο αλγόριθµος ∆.Π. είναι πολύ ταχύτερος, όµως για µεγάλο αριθµό

µεταβλητών απόφασης και πολλά στάδια ο υπολογιστικός φόρτος µπορεί να

είναι τεράστιος (“curse of dimensionality”).

Παράδειγµα 7.2 - Συντοµότερη διαδροµή σε δίκτυο

Ζητείται ο αγωγός µε το ελάχιστο κόστος ανάµεσα στα Α-Ζ όπου τα κόστη

µετάβασης είναι όπως αναγράφονται στην εικόνα:

• κανένας βρόγχος δεν έχει αρνητικό κόστος (αλλοιώς το κόστος

ελαχιστοποιείται επαναλαµβάνοντας τον βρόγχο αυτόν πολλές

φορές πριν την άφιξη)

• αν η σύνδεση ij δεν υπάρχει θέτουµε cij = άπειρο

• λαµβάνεται cii = 0

A

B1

B3

B2

C1 D1

D3

D2 ZC2

C3

10

15

12

8 8

9

6

12

1414

129

129

7 715 15

9 9

11 11

13 13

136

κατάσταση xk = κόµβος στο k στάδιο

στάδιο µετάβαση µεταξύ κόµβων

έλεγχος απόφαση ποιά είναι η επόµενη κατάσταση

δυναµική εξίσωση xk+1 = uk

κόστος gk(xk, uk) = ijux cckk=

αλγόριθµος ∆.Π. JΝ(xΝ) = gΝ(xΝ) =

=

=∞

Zx αν0

Ax αν

N

N

Jk(xk) = ku

min [kk uxc + Jk+1(uk)] ή Jk(i) =

jmin [cij + Jk+1(j)] = βέλτιστο

κόστος να φτάσουµε στον κόµβο j ξεκινώντας από τον i

στάδιο κατάσταση απόφαση νέα

κατάσταση

κόστος κόστος µέχρι

τώρα

ολικό

κόστος

k i j j cij Jj*

4 D1 Z Z 9 0 9

D2 Z Z 6 0 6

D3 Z Z 12 0 12

3 C1 D1 D1 8 9 17

D2 D2 12 6 18

D3 D3 9 12 21

3 C2 D1 D1 9 9 18

D2 D2 11 6 17

D3 D3 13 12 25

3 C3 D1 D1 7 9 16

D2 D2 15 6 21

D3 D3 14 12 26

2 B1 C1 C1 8 17 25

C2 C2 12 17 29

C3 C3 9 16 25

2 B2 C1 C1 9 17 26

C2 C2 11 17 28

C3 C3 13 16 29

2 B3 C1 C1 7 17 24

C2 C2 15 17 32

C3 C3 14 16 30

1 A B1 B1 10 25 35

B2 B2 15 26 41

B3 B3 12 24 36

Βέλτιστη πολιτική: Α [10] Β1 [8] C1 [8] D1 [9] Z f* =35 ή

Α [10] Β1 [9] C3 [7] D1 [9] Z f* =35

Εξαντλητικός υπολογισµός: 33 = n

N-1 N ≥ 3

∆υναµικός Προγραµµατισµός: 3x3x2 + 3x2 = (N-2) n2 + 2n

(N ο αριθµός των σταδίων, n ο αριθµός των κόµβων σε κάθε ενδιάµεσο στάδιο)

137

Παράδειγµα 7.3 - Σύστηµα Ύδρευσης

Συνολική διαθέσιµη ποσότητα νερού Q = 5. Ζητείται να γίνει βέλτιστη

διάθεση σε τρεις καταναλωτές j = 1, 2, 3 όταν είναι γνωστό ότι

Οφέλη )1(aB jjxb

j

−−= e

Κόστη jd

jj xcC =

Η λύση θα προκύψει σε 3 στάδια, όπου σε κάθε στάδιο θα ληφθεί απόφαση για

έναν καταναλωτή.

Μεταβλητή κατάστασης Sj = διαθέσιµο νερό στο στάδιο j

Μεταβλητή απόφασης xj = νερό που διατέθηκε στον j καταναλωτή

(στάδιο)

Εξίσωση κατάστασης Sj+1 = Sj - xj

Αντικειµενική συνάρτηση jjj d

jj

xb

jjj xc)1(a)x(g −−= −e

Αλγόριθµος ∆υναµικού Προγραµµατισµού

JΝ*(SΝ) = gΝ(SΝ) = 0

Jj*(xj) =

jxmax [gj(xj) + Jj+1

*( Sj - xj)] j = N-1, N-2, ...,0

S1 = 5 S2 = S1 - x1 S3 = S2 - x2 S4 = S3 – x3

x*

1 = 0 x*

2 = 1 x*

3 = 4

f* = 18

j aj bj cj dj

1 100 0.1 10 0.6

2 50 0.4 10 0.8

3 100 0.2 25 0.4

Στάδιο 1

x1

g1(x1)

Στάδιο 2

x2

g2(x2)

Στάδιο 3

x3

g3(x3)

138

S3 x3 S4 g3(x3,S3) J4*(S4) J3(S3) J3

*(S3) x3*

0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0 0

1 0 -6.9 0 -6.9

2 0 2 0 0 0 0 0

1 1 -6.9 0 -6.9

2 0 -0.02 0 -0.02

3 0 3 0 0 0

1 2 -6.9 0 -6.9

2 1 -0.02 0 -0.02

3 0 6.3 0 6.3 6.3 3

4 0 4 0 0 0

1 3 -6.9 0 -6.9

2 2 -0.02 0 -0.02

3 1 6.3 0 6.3

4 0 11.5 0 11.5 11.5 4

5 0 5 0 0 0

1 4 -6.9 0 -6.9

2 3 -0.02 0 -0.02

3 2 6.3 0 6.3

4 1 11.5 0 11.5

5 0 15.6 0 15.6 15.6 5

S2 x2 S3 g2(x2, S2) J3*(S3) J2(S2) J2

*(S2) x2*

0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0

1 0 6.5 0 6.5 6.5 1

2 0 2 0 0 0

1 1 6.5 0 6.5

2 0 10.1 0 10.1 10.1 2

3 0 3 0 6.3 6.3

1 2 6.5 0 6.5

2 1 10.1 0 10.1

3 0 10.9 0 10.9 10.9 3

4 0 4 0 11.5 11.5

1 3 6.5 6.3 12.8 12.8 1

2 2 10.1 0 10.1

3 1 10.9 0 10.9

4 0 9.6 0 9.6

5 0 5 0 15.6 15.6

1 4 6.5 11.5 18 18.0 1

2 3 10.1 6.3 16.4

3 2 10.9 0 10.9

4 1 9.6 0 9.6

5 0 7 0 7

S1 x1 S2 g1(x1, S1) J2*(S2) J1(S1) J1

*(S1) x1*

5 0 5 0 18.0 18.0 18.0 0

1 4 -0.5 12.8 12.3

2 3 3.0 10.9 13.9

3 2 6.6 10.1 16.7

4 1 10.0 6.5 16.5

5 0 13.1 0 13.1

139

Αλγόριθµος προς τα µπρος Jk+1*(sk+1) =

kxmax [gk(xk, sk) + Jk

*(sk)]

S1 x1 S2 g1(x1, S1) J1*(S1) J2(S2) J2

*(S2) S2*

5 0 5 0 0 0 5

1 4 -0.5 -0.5 -0.5 4

2 3 2.97 2.97 2.97 3

3 2 6.59 6.59 6.59 2

4 1 10.0 10.0 10.0 1

5 0 13.08 13.08 13.08 0

S2 x2 S3 g2(x2, S2) J2*(S2) J3(S3) J3

*(S3) S3*

0 0 0 0 13.1 13.1

1 0 1 0 10.0 10

1 0 6.48 10.0 16.5

2 0 2 0 6.59 6.59

1 1 6.48 6.59 13.07

2 0 10.12 6.59 16.7 16.7 0

3 0 3 0 2.97 2.97

1 2 6.48 2.97 9.45

2 1 10.12 2.97 13.09 13.09 1

3 0 10.9 2.97 13.9

4 0 4 0 -0.5 -0.5

1 3 6.48 -0.5 6.0

2 2 10.12 -0.5 9.6

3 1 10.9 -0.5 10.4

4 0 9.6 -0.5 9.1

5 0 5 0 0 0

1 4 6.48 0 6.5 6.5 4

2 3 10.12 0 10.1 10.1 3

3 2 10.9 0 10.9 10.9 2

4 1 9.6 0 9.6

5 0 7 0 7

S3 x3 S4 g3(x3, S3) J3*(S3) J4(S4) J4

*(S4) S4*

0 0 0 0 16.7 16.7

1 0 1 0 13.09 13.09

1 0 -6.9 13.09 6.2

2 0 2 0 10.9 10.9

1 1 -6.9 10.9 4.0

2 0 -0.02 10.9 10.88

3 0 3 0 10.1 10.1

1 2 -6.9 10.1 3.2

2 1 -0.02 10.1 10.48

3 0 6.3 10.1 16.4

4 0 4 0 6.5 6.5

1 3 -6.9 6.5 -0.4

2 2 -0.02 6.5 6.48

3 1 6.3 6.5 12.8

4 0 11.5 6.5 18.0 18.0 0

5 0 5 0 0 0

1 4 -6.9 0 -6.9

2 3 -0.02 0 -0.02

3 2 6.3 0 6.3

4 1 11.5 0 11.5

5 0 15.6 0 15.6

140

Παράδειγµα 7.4 – ∆υναµικός Προγραµµατισµός µε πολλές µεταβλητές

κατάστασης

Ένας εργολάβος χρησιµοποιεί ζεύγη προωθητή-εκσκαφέα για να

διεκπεραιώνει εκσκαφές. Καθώς ο προωθητής ή ο εκσκαφέας παλιώνει, το

ετήσιο κέρδος από το ζεύγος µειώνεται, εξαιτίας του αυξηµένου κόστους

συντήρησης. Απλοποιώντας το πρόβληµα, ας υποθέσουµε ότι ο εργολάβος δε

χρησιµοποιεί τον προωθητή πάνω από 4 έτη και τον εκσκαφέα πάνω από 2 έτη

και ότι το εκτιµώµενο καθαρό κέρδος από το ζεύγος, ανάλογα µε την ηλικία

των µηχανηµάτων, είναι όπως στον πίνακα:

Το κόστος ενός νέου προωθητή ή εκσκαφέα είναι $9,000 και $3,000

αντίστοιχα. Αντικαταστάσεις στο τέλος του έτους i χρεώνονται στο ίδιο έτος.

Στο τέλος κάθε έτους ο εργολάβος επιλέγει µια από τις εξής τέσσερις

πολιτικές:

Κόστος (χιλιάδες $)

Κ Καµµία αντικατάσταση 0

Π Αντικατάσταση µόνο του προωθητή 9

Ε Αντικατάσταση µόνο του εκσκαφέα 3

∆ Αντικατάσταση και των δύο 12

Να προσδιοριστεί η πολιτική αντικατάστασης που µεγιστοποιεί το κέρδος για

µια δεδοµένη χρονική περίοδο (ορίζοντας σχεδιασµού Ν). Να επιλυθεί το

πρόβληµα για Ν = 4.

Η λύση θα προκύψει σε 4 στάδια, όπου σε κάθε στάδιο θα ληφθεί η απόφαση

αντικατάστασης.

Μεταβλητή κατάστασης: Si = [s1i s2i]T = ηλικία προωθητή 1 ή εκσκαφέα 2

στην αρχή του έτους i

∆υνατές αποφάσεις: Ui = Κ, Π, Ε, ∆ = σύνολο αποφάσεων στο τέλος του

έτους i

Μεταβλητές απόφασης: ui = [u1i u2i]T = µεταβολή στην ηλικία προωθητή 1 ή

εκσκαφέα 2 λόγω της απόφασης αντικατάστασης στο τέλος του έτους i,

εποµένως

Ui = Κ, Π, Ε, ∆ =

[0,0]Τ, [-(s1i + 1), 0]

Τ, [0, -(1 + s2i)]

Τ, [-(s1i + 1), -(1 + s2i)]

Τ

Εξίσωση κατάστασης Si+1 = Si + 1 + ui

Ηλικία προωθητή 0 1 2 3 0 1 2 3

Ηλικία εκσκαφέα 0 0 0 0 1 1 1 1

Καθαρό κέρδος (χιλιάδες $) 11 9 6 3 9 7 4 2

141

Αντικειµενική συνάρτηση

gi(Si, xi) = Κέρδος από την κατάσταση Si - Κόστος απόφασης xi



Ji*(xi) =

ixmax [gi (Si, xj) + Jj+1

*(Si+1)] j = N-1, N-2, ...,0

S3 x3 S4 g3(x3, S3) J4*(S4) J3(S3) J3

*(S3) x3

*

[0,0] Κ [1,1] 11 0 11 11 Κ

[1,0] Κ [2,1] 9 0 9 9 Κ

[2,0] Κ [3,1] 6 0 6 6 Κ

[3,0] Κ [4,1] 1 3 0 3 3 Κ

[0,1] Κ [1,2] 1 9 0 9 9 Κ

[1,1] Κ [2,2] 1 7 0 7 7 Κ

[2,1] Κ [3,2] 1 4 0 4 4 Κ

[3,1] Κ [4,2] 1 2 0 2 2 Κ

1 Είναι προφανές ότι οι καταστάσεις αυτές δεν είναι δυνατές µε βάση τους κανόνες

αντικατάστασης των µηχανηµάτων. Όµως επειδή η τελική κατάσταση δεν ενδιαφέρει, η

βέλτιστη πολιτική για το τελευταίο έτος είναι να µη γίνει καµιά αντικατάσταση πράγµα που

έχει µηδενικό κόστος.

S2 x2 S3 g2(x2, S2) J3

*(S3) J2(S2) J2

*(S2) x2

*

[0,0] Κ [1,1] 11 - 0 7 18 18 Κ

Π [0,1] 11 - 9 9 11

Ε [1,0] 11 - 3 9 17

∆ [0,0] 11 - 12 11 10

[1,0] Κ [2,1] 9 - 0 4 13 13 Κ

Π [0,1] 9 - 9 9 9

Ε [2,0] 9 - 3 6 12

∆ [0,0] 9 - 12 11 8

[2,0] Κ [3,1] 6 - 0 2 8 8 Κ

Π [0,1] 6 - 9 9 6

Ε [3,0] 6 - 3 3 6

∆ [0,0] 6 - 12 11 5

[3,0] Κ ---

Π [0,1] 3 - 9 9 3 3 Π

Ε ----

∆ [0,0] 3 - 12 11 2

[0,1] Κ ----

Π ----

Ε [1,0] 9 - 3 9 15 15 Ε

∆ [0,0] 9 - 12 11 8

[1,1] Κ ----

Π ----

Ε [2,0] 7 - 3 6 10 10 Ε

∆ [0,0] 7 - 12 11 6

142

[2,1] Κ ----

Π ----

Ε [3,0] 4 - 3 3 4 4 Ε

∆ [0,0] 4 - 12 11 3

[3,1] Κ ----

Π ----

Ε ----

∆ [0,0] 2 - 12 11 1 1 ∆

S1 x1 S2 g1(x1, S1) J2

*(S2) J1(S1) J1

*(S1) x1

*

[0,0] Κ [1,1] 11 - 0 10 21 21 Κ

Π [0,1] 11 - 9 15 17

Ε [1,0] 11 - 3 13 21 21 Ε

∆ [0,0] 11 - 12 18 17

[1,0] Κ [2,1] 9 - 0 4 13

Π [0,1] 9 - 9 15 15 15 Π

Ε [2,0] 9 - 3 8 14

∆ [0,0] 9 - 12 18 15 15 ∆

[2,0] Κ [3,1] 6 - 0 1 7

Π [0,1] 6 - 9 15 12 12 Π

Ε [3,0] 6 - 3 3 6

∆ [0,0] 6 - 12 18 12 12 ∆

[3,0] Κ ---

Π [0,1] 3 - 9 15 9 9 Π

Ε ----

∆ [0,0] 3 - 12 18 9 9 ∆

[0,1] Κ ----

Π ----

Ε [1,0] 9 - 3 13 19 19 Ε

∆ [0,0] 9 - 12 18 15

[1,1] Κ ----

Π ----

Ε [2,0] 7 - 3 8 12

∆ [0,0] 7 - 12 18 13 13 ∆

[2,1] Κ ----

Π ----

Ε [3,0] 4 - 3 3 4

∆ [0,0] 4 - 12 18 10 10 ∆

[3,1] Κ ----

Π ----

Ε ----

∆ [0,0] 2 - 12 18 8 8 ∆

S0 x0 S1 g0(x0, S0) J1

*(S1) J0(S0) J0

*(S0) x0

*

[0,0] Κ [1,1] 11 - 0 13 24 24 Κ

Π [0,1] 11 - 9 19 21

Ε [1,0] 11 - 3 15 23

143

∆ [0,0] 11 - 12 21 20

[1,0] Κ [2,1] 9 - 0 10 19 19 Κ

Π [0,1] 9 - 9 19 19 19 Π

Ε [2,0] 9 - 3 12 18

∆ [0,0] 9 - 12 21 18

[2,0] Κ [3,1] 6 - 0 8 14

Π [0,1] 6 - 9 19 16 16 Π

Ε [3,0] 6 - 3 9 12

∆ [0,0] 6 - 12 21 15

[3,0] Κ ---

Π [0,1] 3 - 9 19 13 13 Π

Ε ----

∆ [0,0] 3 - 12 21 12

[0,1] Κ ----

Π ----

Ε [1,0] 9 - 3 15 21 21 Ε

∆ [0,0] 9 - 12 21 18

[1,1]

Κ ----

Π ----

Ε [2,0] 7 - 3 12 16 16 Ε

∆ [0,0] 7 - 12 21 16 16 ∆

[2,1] Κ ----

Π ----

Ε [3,0] 4 - 3 9 10

∆ [0,0] 4 - 12 21 13 13 ∆

[3,1] Κ ----

Π ----

Ε ----

∆ [0,0] 2 - 12 21 11 11 ∆

Εποµένως η πολιτική αντικατάστασης που µεγιστοποιεί το κέρδος για

ορίζοντα σχεδιασµού Ν = 4 είναι:

[0,0] Κ [1,1] ∆ [0,0] Κ [1,1]

+11 - 0 + 7 - 12 + 11 - 0 +7 = $24 χιλιάδες


(1) Ο αλγόριθµος προς τα πίσω είναι σαφές ότι µπορεί να επεκταθεί για

οποιοδήποτε ορίζοντα σχεδιασµού.

(2) Μια πιο λεπτοµερής ανάλυση µπορεί να χρησιµοποιήσει αποπληθωρισµό

των καθαρών εσόδων.

(3) Σε µια γενικότερη ανάλυση τα κόστη αντικατάστασης και οι δυνατότητες

παραγωγής µπορεί να µεταβάλλονται για κάθε έτος (Bellman R., and S.E.

Dreyfus, “Applied Dynamic Programming”, Princeton University Press,

Princeton, New Jersey, 1962, σ. 118).

144

Παράδειγµα 7.5 – Αντικειµενική συνάρτηση µε µορφή γινοµένου

Η επαναληπτική σχέση του αλγόριθµου του δυναµικού προγραµµατισµού

µπορεί να προκύπτει σαν γινόµενο του κόστους µετάβασης για κάθε στάδιο.

Για παράδειγµα, σε συστήµατα που αποτελούνται από πολλές συνιστώσες σε

σειρά (κινητήρας-αντλία-στρόβιλος) η συνολική απόδοση είναι το γινόµενο

των αποδόσεων των επί µέρους στοιχείων, οι οποίες είναι αυξανόµενες

συναρτήσεις του κόστους. Ας υποθέσουµε ότι υπάρχουν διαθέσιµες C

χρηµατικές µονάδες για τη λειτουργία ενός συστήµατος µε n συνιστώσες. Η

απόδοση της i συνιστώσας είναι Ei = Ei(Ci). Ζητείται να προσδιοριστούν τα

κόστη Ci ώστε η απόδοση του συστήµατος )()( i

n

1i

in CECH ∏=

= να είναι

µέγιστη, όπου ∑=

=n

1i

iCC

Για ένα σύστηµα µε δύο συνιστώσες Η2(C) = E2(C2) H1(C - C2)

ενώ γενικά ισχύει Ηn(C) = En(Cn) Hn-1(C – Cn)

Σε µια απλή περίπτωση εάν ισχύει Ei(Ci) = a Ci + b

ή (µε a =1 , b = 0) Ei(Ci) = Ci έχουµε:

n = 1 1c

max Η1(C) = E1(C1) = C1 ⇒ Η1*(C) = C

n = 2 2c

maxΗ2(C) = E2(C2) H1*(C - C2) = C2 (C - C2) ⇒ C2

* = C/2 ,

Η2*(C) = (C/2)

2

Έστω ότι για n = k-1 ισχύει Ηk-1*(C) =

1k

1-k

−

C

n = k kc

maxΗk(C) = Ek(Ck) Hk-1*(C – Ck) = Ck

1k

k

1-k

−

− CC⇒ Ck

* = C/k

, Ηk*(C) = (C/k)

k

Απόδειξη:

kdC

dΗk(Ck) =

1k

k

1-k

−

− CC+ Ck

2k

k

1-k

−

− CC (k-1)

−1-k

1=

2k

k

1-k

−

− CC

−

−k

k

1-kC

CC= 0 ⇒ C – Ck – k Ck + Ck = 0 ⇒ Ck

* = C/k

Η µέγιστη απόδοση είναι

145

Hk*( C) =

k

C

1k

1-k

k

−

−C

C

=

k

C

1k

1-k

k

1)-k(−

C

=

k

C

1k

k

−

C

⇒ Hk*( C) =

k

k

C

Εποµένως µε µαθηµατική επαγωγή, ισχύει

Cn* = C/n, Ηn

*(C) =

n

n

C, n = 1, 2, 3….

7.3 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ-ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ας υποθέσουµε γραµµική δυναµική εξίσωση συστήµατος και τετραγωνικό

κριτήριο κόστους

xk+1 = Ak xk + Bk uk x0 γνωστό, xk ∈ Rn

uk ∈ Rm

J = ½ xNTQN xN + ∑

=

1-N

0k

½ xkTQk xk + ½ uk

TRk uk

ποινή κατάστασης ποινή απόφασης

Qk ≥ 0, Rk > 0 ⇒ π Jπ ≥ 0

(για ελαχιστοποίηση οι µεταβλητές κατάστασης και απόφασης πρέπει να είναι

κοντά στο µηδέν)

Αλγόριθµος ∆.Π.

JN(xN) = ½ xNTQN xN

Jk(xk) = ku

min ½ xkTQk xk + ½ uk

TRk uk + Jk+1(Ak xk + Bk uk)

για k = N-1

JN-1(xN-1) = 1-Nu

min ½ xN-1TQN-1 xN-1 + ½ uN-1

TRN-1 uN-1 +

½ (AN-1 xN-1 + BN-1 uN-1)TQN(AN-1 xN-1 + BN-1 uN-1)

= 1-Nu

min ½ xN-1TQN-1 xN-1 + ½ uN-1

TRN-1 uN-1 +

½ (xN-1T AN-1

T QN AN-1 xN-1)+ ½ (xN-1

T AN-1

T QN BN-1 uN-1)+

½ (uN-1T BN-1

T QN AN-1 xN-1)+ ½ (uN-1

T BN-1

T QN BN-1 uN-1)

(οι διαγώνιοι όροι είναι ίσοι ως ανάστροφοι και βαθµωτοί διαστάσεων (1,1))

= 1-Nu

min ½ xN-1T(QN-1 + AN-1

T QN AN-1)xN-1 +

146

½ uN-1T(RN-1 + BN-1

T QN BN-1 )uN-1 +(xN-1

T AN-1

T QN BN-1 uN-1)

dJN-1/duN-1 = 0 = (RN-1 + BN-1T QN BN-1 )uN-1 + BN-1

T QN AN-1 xN-1

⇒ uN-1* = - (RN-1 + BN-1

T QN BN-1 )

-1BN-1

T QN AN-1 xN-1= LN-1 xN-1

*

χρησιµοποιώντας αυτή την εξίσωση στη συνάρτηση JN-1 προκύπτει

JN-1*(xN-1

*) = ½ xN-1

T KN-1 xN-1

όπου

KN-1 = AN-1T [QN - QN BN-1(RN-1 + BN-1

T QN BN-1 )

-1 BN-1

T QN ] AN-1+ QN-1

συµµετρικός πίνακας και KN-1 ≥ 0, καθόσον JN-1≥ 0

για k = N-2

J N-2(xN-2) = 2-Nu

min ½ x N-2TQN-2x N-2+ ½ u N-2

TRN-2uN-2 +

½ (AN-2 xN-2 + BN-2 uN-2)TKN-1(AN-2 xN-2 + BN-2 uN-2)

αλλαγές Ν-1 → Ν-2, QN → ΚN-1 οπότε γενικά

uk = - (Rk + Bk

T Kk+1 Bk )

-1Bk

T Kk+1 Ak xk = Lk xk

Jk(xk) = ½ xkT

Kk xk

όπου

KN = QN

Kk = AkT [Kk+1 - Kk+1 Bk(Rk+ Bk

T Kk+1 Bk)

-1 Bk

T Kk+1 ] Ak+ Qk

(1) δοµή του προβλήµατος: γραµµικοί περιορισµοί και τετραγωνική

συνάρτηση κόστους

(2) η βέλτιστη µεταβλητή ελέγχου είναι γραµµική συνάρτηση της µεταβλητής

κατάστασης σε κάθε χρονική στιγµή k (Lk)

το βέλτιστο κόστος είναι τετραγωνική συνάρτηση της µεταβλητής κατάστασης

σε κάθε χρονική στιγµή k (Κk)

οι πίνακες Lk και Κk είναι συναρτήσεις των Ak, Bk, Qk, Rk οπότε µπορεί να

υπολογιστούν και αποθηκευτούν (ανεξάρτητοι από τη δυναµική σε πραγµατικό

χρόνο)

(3) ∆οµή του ελέγχου

147

το κόστος για εκκίνηση από το xk* τη στιγµή k είναι Jk

*= ½ xk

*T Kk xk

*

Είναι εµφανώς ένα απλό και εύχρηστο σύστηµα ελέγχου, αλλά είναι επιθυµητό

το Lk να είναι ένας πίνακας χρονικά αµετάβλητος (σταθερό κέρδος): uk = L xk

(4) Για γραµµικά χρονικά αµετάβλητα συστήµατα οι πίνακες A, B, Q, και R

είναι χρονικά αµετάβλητοι, όµως οι Lk και Κk µεταβάλλονται χρονικά

Kk = AT [Kk+1 - Kk+1 B(R+ B

T Kk+1 B)

-1 B

T Kk+1 ] A+ Q

Lk = - (R + BT Kk+1 B )

-1B

T Kk+1 A

κάτω από ορισµένες συνθήκες καθώς k → άπειρο, Lk → L και Κk → Κ

τότε χρειάζεται να επιλυθεί η αλγεβρική εξίσωση Ricatti (εξίσωση Πινάκων)

K = AT [K - K B(R+ B

T K B)

-1 B

T K ] A+ Q

η οποία έχει περισσότερες από µία λύσεις, όµως µόνο µία είναι θετικά

ηµιορισµένη (≥ 0).

Παράδειγµα 7.6 – Γραµµικός-τετραγωνικός έλεγχος

H οικολογική ισορροπία µιας λίµνης απαιτεί η συγκέντρωση c µιας χηµικής

ουσίας να µην αποµακρύνεται σηµαντικά από την τιµή c* στη διάρκεια του

καλοκαιριού. Αν δε ληφθούν µέτρα, η συγκέντρωση µειώνεται µε ρυθµό a

ανάλογο της απόκλισης από την επιθυµητή τιµή c*. Είναι δυνατόν να υπάρξει

παρέµβαση, όπου για κάθε µονάδα της µεταβλητής ελέγχου u, η απόκλιση της

συγκέντρωσης c αυξάνεται κατά β µονάδες. Η ποινή αποµάκρυνσης από την

τιµή c* και το κόστος ανά µονάδα της µεταβλητής u είναι q και r αντίστοιχα

και αυξάνονται τετραγωνικά (q ≥ 0, r ≥ 0). Ζητείται η πολιτική (σειρά των

τιµών της u) που πρέπει να εφαρµοστεί ώστε να επιτευχθεί το ελάχιστο

κόστος.

Κατάστρωση Λύσης

Ορίζουµε xk = ck – c* την απόκλιση της συγκέντρωσης από την επιθυµητή τιµή

κατά τη χρονική στιγµή k.

Lk

xk+1 = Ak xk + Bk uk

xk

uk

148

Η δυναµική εξίσωση του συστήµατος είναι

ck+1 - c* = ck - c* – a (ck - c*) + β uk

xk+1 = α xk + β uk x0 = δ γνωστό όπου α = 1 – a

Το κόστος J δίδεται από την εξίσωση

Η λύση του προβλήµατος δίδεται από

uk= - (r+b2

Kk+1)-1

ab Kk+1 xk

και το ελάχιστο κόστος αρχίζοντας από τη χρονική στιγµή k της βέλτιστης

λύσης είναι

Jk = ½ Kk xk2

όπου η τιµή της Κk υπολογίζεται από την αναδροµική σχέση (εξίσωση Ricatti)

KΝ = q

Kk = α2 [Kk+1 - β

2 Kk+1

2 (r+b

2 Kk+1)

-1 ] + q k = 0, 1, … N-1

Ειδικές περιπτώσεις

Χαµηλό κόστος µεταβλητής ελέγχου (q >> r) KΝ = Kk = q

u0 = - b/a x0 uk = 0 k = 1, 2, … N-1 J0 = ½ q x02

Χαµηλή ποινή απόκλισης (q << r) KΝ = Kk = 0

uk = 0 k = 0, 1, … N-1 J0 = 0


7.1 (Stark – Nichols)

Μια εταιρεία παραγωγής αδρανών διαθέτει τέσσερα όµοια µηχανήµατα

θραύσης-διαλογής και τέσσερις τοποθεσίες πρώτης ύλης που µπορεί να

χρησιµοποιήσει σε ένα έργο. Το κέρδος εξαρτάται από τον συνδυασµό

µηχανήµατος – τοποθεσίας σύµφωνα µε τον παρακάτω πίνακα. Ζητείται να

προσδιοριστεί ο αριθµός των µηχανηµάτων που πρέπει να χρησιµοποιηθούν σε

κάθε τοποθεσία, ώστε να µεγιστοποιηθεί το έργο.

∑−

=

++=1

0

2

k

2

k

2

NN ur ½ x q ½ x q ½ JN

k

149

Το πρόβληµα είναι παρόµοιο µε το Παράδειγµα 7.3 - Σύστηµα Ύδρευσης. Εδώ

ο συνολικά διαθέσιµος αριθµός µηχανηµάτων Ν = 4. Η λύση θα προκύψει σε

4 στάδια, όπου σε κάθε στάδιο θα ληφθεί απόφαση για µια τοποθεσία.

Μεταβλητή κατάστασης

Sj = διαθέσιµος αριθµός µηχανηµάτων στη j τοποθεσία (στάδιο)

Μεταβλητή απόφασης

xj = αριθµός µηχανηµάτων που διατέθηκε στη j τοποθεσία




Jj*(xj) =


*( Sj - xj)] j = N-1, N-2, ...,0

Η βέλτιστη λύση είναι:

Σύνολο

Τοποθεσία 1 2 3 4

Μηχανήµατα 1 0 1 2 4

Κέρδος 35 0 39 81 155

7.2 Στο παράδειγµα 7.4 θεωρείστε δεδοµένο ότι ο εργολάβος αρχίζει µε νέα

µηχανήµατα S1 = [0,0]Τ και επιλύστε το πρόβληµα χρησιµοποιώντας τον

αλγόριθµο προς τα µπρος του δυναµικού προγραµµατισµού.

7.3 Θεωρείστε την ακόλουθη παραλλαγή του Παραδείγµατος 7.3 που αφορά

ένα σύστηµα άρδευσης (Πηγή: Hall, W.A., and J. Dracup, Water Resources

Engineering, McGraw-Hill, New York, 1970).

Μια διώρυγα άρδευσης πρόκειται να κατασκευαστεί για να εξυπηρετεί τρεις

περιοχές σε απόσταση 30, 50 και 75 km κατάντη του σηµείου εκτροπής. Η

συνολική διαθέσιµη ποσότητα νερού ετησίως είναι Q = 800 µονάδες. Ζητείται

να γίνει βέλτιστη διάθεση του νερού στις τρεις περιοχές j = 1, 2, 3 όταν είναι

γνωστό ότι τα οφέλη και κόστη είναι όπως στον πίνακα

Τοποθεσία

Αριθµός

µηχανηµάτων

4 3 2 1

1 47 39 24 35

2 81 62 47 51

3 105 84 72 61

4 132 91 87 68

150

όπου Βj ετήσιο όφελος από την άρδευση στην περιοχή j (χιλιάδες $)

c αποπληθωρισµένο κόστος του αγωγού µεταφοράς (χιλιάδες $/km)

Η λύση θα προκύψει σε 3 στάδια, όπου σε κάθε στάδιο θα ληφθεί απόφαση για

µια περιοχή.

Μεταβλητή κατάστασης Sj = διαθέσιµο νερό στο στάδιο j

Μεταβλητή απόφασης xj = νερό που διατέθηκε στη j περιοχή (στάδιο)


Αντικειµενική συνάρτηση: Το καθαρό όφελος gj(xj) για διάθεση ποσότητας xj

είναι ίσο µε το όφελος Bj µείον το κόστος του αγωγού (= c x (µήκος αγωγού

από την προηγούµενη υδροληψία)



Jj*(xj) =


*( Sj - xj)] j = N-1, N-2, ...,0

S3 x3 S4 B3(x3) c3(x3) J4*(S4) J3(S3) J3

*(S3) x3

*

0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0

1 0 900 -190 0 710 710 1

2 0 2 0 0 0 0

1 1 900 -190 0 710

2 0 1250 -268 0 982 982 2

3 0 3 0 0 0 0

1 2 900 -190 0 710

2 1 1250 -268 0 982

3 0 1500 -330 0 1170 1170 3

4 0 4 0 0 0 0

1 3 900 -190 0 710

2 2 1250 -268 0 982

3 1 1500 -330 0 1170

4 0 1690 -380 0 1310 1310 4

Παρατηρούµε ότι το κόστος του αγωγού από τη 2 στην 3 εξαρτάται από την απόφαση πόση

ποσότητα νερού θα διατεθεί στην 3, και όχι από το πόση ποσότητα είναι διαθέσιµη.

Ποσότητα νερού Β1 Β2 Β3 c

200 600 400 900 7.6

400 980 760 1250 10.7

600 1310 1090 1500 13.2

800 1600 1380 1690 15.2

151

S2 x2 S3 B2(x2) c2(S2) J3*(S3) J2(S2) J2

*(S2) x2

*

0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 -152 710 558 558 0

1 0 400 -152 0 248

2 0 2 0 -214 982 768

1 1 400 -214 710 896 896 1

2 0 760 -214 0 496

3 0 3 0 -264 1170 906

1 2 400 -264 982 1118

2 1 760 -264 710 1206 1206 2

3 0 1090 -264 0 826

4 0 4 0 -304 1310 1006

1 3 400 -304 1170 1266

2 2 760 -304 982 1438

3 1 1090 -304 710 1496 1496 3

4 0 1380 -304 0 1076

Παρατηρούµε ότι το κόστος του αγωγού από την 1 στη 2 εξαρτάται από την απόφαση πόση

ποσότητα νερού είναι διαθέσιµη και όχι από το πόση ποσότητα θα διατεθεί στην 2, διότι όλη η

ποσότητα πρέπει να παροχετευθεί για να είναι διαθέσιµη κατάντη.

S1 x1 S2 Β1(x1) c1(S1) J2*(S2) J1(S1) J1

*(S1) x1

*

4 0 4 0 -456 1496 1040

1 3 600 -456 1206 1350

2 2 980 -456 896 1420 1420 2

3 1 1310 -456 558 1412

4 0 1600 -456 0 1144

KΕΦΑΛΑΙΟ 8

Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης


Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα

προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του

κόστους µεταφοράς συγκεκριµένων ποσοτήτων ενός προϊόντος από έναν

αριθµό τόπων παραγωγής σε έναν αριθµό τόπων κατανάλωσης. Όπως θα

καταστεί σαφές, τα Π.Μ. είναι δυνατόν να επιλυθούν εφαρµόζοντας τη µέθοδο

Simplex που παρουσιάστηκε στο Κεφάλαιο 6 για την επίλυση επίλυση

προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού. Όµως η ειδική δοµή των Π.Μ.

διευκολύνει την εφαρµογή απλούστερων µεθόδων για την επίλυσή τους, χωρίς

να αλλοιώνεται η βασική θεωρία της µεθόδου Simplex.

Έστω ότι υπάρχουν m κέντρα παραγωγής R1, R2, …, Rm και n κέντρα

κατανάλωσης D1, D2, …, Dn. Έστω ai οι διαθέσιµες ποσότητες σε κάθε κέντρο

παραγωγής (i = 1, 2, …, m) και bj οι απαιτούµενες ποσότητες σε κάθε κέντρο

κατανάλωσης (j = 1, 2, …, n). Έστω cij το κόστος µεταφοράς µιας µονάδας του

προϊόντος από το κέντρο i στο κέντρο j. Στόχος είναι να µεταφερθούν

ποσότητες xij από το κέντρο i στο κέντρο j ώστε να ελαχιστοποιείται το

συνολικό κόστος και ταυτοχρόνως να ικανοποιούνται οι περιορισµοί

προσφοράς και ζήτησης.

Η µαθηµατική διατύπωση του προβλήµατος έχει ως εξής:

min f = ∑∑= =

m

i

n

j1 1

cij xij (συνολικό κόστος) (8.1) κάτω από

∑=

n

j 1

xij = ai για i = 1, 2, .., m (περιορισµοί προσφοράς) (8.2)

∑=

m

i 1

xij = bj για j = 1, 2, .., n (περιορισµοί ζήτησης) (8.3)

xij ≥ 0 (8.4)

Είναι προφανές ότι το παραπάνω είναι ένα πρόβληµα γραµµικού

προγραµµατισµού µε n m µεταβλητές και m + n περιορισµούς µε τη µορφή

ισοτήτων.

Επιπλέον γίνεται η παραδοχή ισοζυγίου προσφοράς και ζήτησης

∑=

m

i 1

ai =∑=

n

j 1

bj (8.5)

153

η οποία σε κάθε περίπτωση µπορεί να εξασφαλιστεί ότι ισχύει µε την

προσθήκη εικονικού κέντρου παραγωγής ή εικονικού κέντρου κατανάλωσης

µε µηδενικά µοναδιαία κόστη µεταφοράς.

(ισχύει ∑=

m

i 1

ai =∑=

m

i 1

(∑=

n

j 1

xij ) =∑=

n

j 1

(∑=

m

i 1

xij) =∑=

n

j 1

bj)

Η πλήρης ανάπτυξη του γενικού Π.Μ. διατυπώνεται στην ακόλουθη µορφή:

x11 + x12 .. + x1n = a1

x21 + x22 .. + x2n = a2

...

xm1 + xm2 … + xmn = am

x11 + x21 ... +

xm1

= b1

x12 + x22 ... + xm2 = b2

x1n + x2n ... + xmn = bn

c11

x11

+c12

x12

.. +c1n

x1n

+c21

x21

+c2n

x2n

… + cm1΄΄

xm1

+

….

+ cmn”

xmn

= f΄΄

Παρατηρούνται τα εξής ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά:

1) όλες οι µεταβλητές απόφασης xij έχουν συντελεστή µονάδα στον πίνακα

2) οι συντελεστές των xij στους περιορισµούς εµφανίζονται σε τριγωνική

διάταξη

3) κάθε µεταβλητή xij εµφανίζεται µόνο µια φορά στις πρώτες m εξισώσεις και

µόνο µια φορά στις επόµενες n εξισώσεις

Οι ιδιότητες αυτές επιτρέπουν την εφαρµογή πολλών ειδικών τεχνικών στα

Π.Μ., όπως η αντιστοιχία µε τη θεωρία γραφηµάτων που θα συζητηθεί σε

επόµενες ενότητες.

Εναλλακτικά η διατύπωση του προβλήµατος µε µορφή πινάκων έχει ως εξής:

xc)xf(minT

x= x ∈ Im+n (όπου Ι το σύνολο των ακεραίων) (8.6)

κάτω από

Α x = b A(n+m, nm) b∈ Im+n (8.7)

x ≥ 0 (8.8)

Για κάθε Π.Μ. µπορεί να διαµορφωθεί ο πίνακας επίλυσης του προβλήµατος

µε τις γραµµές να αντιστοιχούν στα κέντρα παραγωγής και τις στήλες στα

κέντρα κατανάλωσης.

154

Κατανάλωση 1 Κατανάλωση 2 Κατανάλωση 3 Κατανάλωση n

Παραγωγή 1

c11 c12 c13 c1n

a1 x11 x12 x13 … x1n

Παραγωγή 2

c21 c22 c23 c2n

a2 x21 x22 x23 … x2n

Παραγωγή 3

c31 c32 c33 c3n

a3 x31 x32 x33 … x3n

….

… … … … … …

Παραγωγή m

cm1 cm2 cm3 cmn

am xm1 xm2 xm3 … xmn

b1 b1 b3 … bn

8.2 ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

Η στρατηγική επίλυσης των Π.Μ. ακολουθεί τα εξής βήµατα (αντιστοιχα της

µεθόδου Simplex):

1) Προσδιορισµός µιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης.

2) Έλεγχος εάν η βασική εφικτή λύση είναι βέλτιστη. Εάν είναι, η

επαναληπτική διαδικασία τερµατίζεται. Εάν όχι, ακολουθεί το

επόµενο βήµα.

3) Επιλογή µιας από τις υπάρχουσες µη βασικές µεταβλητές για να

εισέλθει στη βάση.

4) Επιλογή µιας από τις υπάρχουσες βασικές µεταβλητές για να εξέλθει

από τη βάση.

5) Προσδιορισµός µιας νέας βασικής εφικτής λύσης και επιστροφή στο

βήµα 2).

8.2.1 Προσδιορισµός µιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης

Το σύστηµα των περιορισµών του Π.Μ. (8.2) και (8.3) έχει m+n εξισώσεις.

Όµως, επειδή ισχύει η (8.5) ο αριθµός των ανεξάρτητων εξισώσεων των

περιορισµών (και άρα των βασικών µεταβλητών) είναι m+n-1.

Παρουσιάζονται τρεις από τις µεθόδους προσδιορισµού µιας αρχικής βασικής

εφικτής λύσης µε ακριβώς m+n-1 βασικές (µη µηδενικές) µεταβλητές.

(i) Μέθοδος της βορειοδυτικής γωνίας

Ο κανόνας αυτός συνίσταται στην τοποθέτηση της µέγιστης δυνατής

ποσότητας στη µεταβλητή x11 χωρίς να παραβιάζεται ο περιορισµός

παραγωγής (πρώτη γραµµή) ή ζήτησης (πρώτη στήλη). Η γραµµή (ή στήλη)

που εξαντλήθηκε διαγράφεται, καθώς οι υπόλοιπες µεταβλητές σε αυτή

θεωρούνται µη βασικές (µηδενικές). Εάν εξαντλείται ταυτόχρονα και η

155

γραµµή και η στήλη (a1 = b1), αυθαίρετα διαγράφεται µια από τις δύο. Η πάνω

αριστερά µεταβλητή του νέου πίνακα εξετάζεται στη συνέχεια και

τοποθετείται η µέγιστη δυνατή ποσότητα σε αυτή. Και πάλι η γραµµή (ή

στήλη) που εξαντλήθηκε διαγράφεται. Η διαδικασία συνεχίζεται µέχρι να

διαγραφούν όλες οι γραµµές και στήλες. Στο τελευταίο βήµα θα έχουν µείνει

µόνο µια γραµµή και µια στήλη που θα διαγραφούν ταυτόχρονα.

Παράδειγµα 8.1α – Ύδρευση νησιών

Οι ανάγκες σε νερό των νησιών 1, 2 και 3 είναι 110, 50 και 65 µονάδες όγκου

αντίστοιχα και µπορούν να ικανοποιηθούν από µε τρεις διαφορετικούς

τρόπους (πηγές) 1, 2, και 3 µε δυναµικότητα 125, 75 και 25 αντίστοιχα. Το

κόστος µεταφοράς νερού από κάθε πηγή σε κάθε νησί φαίνονται στον πίνακα.

Ζητείται να καθοριστεί η ποσότητα νερού που θα µεταφερθεί από κάθε πηγή

σε κάθε νησί ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος.

Ελέγχεται ότι υπάρχει ισοζύγιο 125 + 75 + 25 = 225 = 110 + 50 + 65.

Η βασική λύση θα έχει m+n-1 = 3+3-1 = 5 µη µηδενικές µεταβλητές.

ΠΡΟΣ

ΑΠO

Νησί 1 Νησί 2 Νησί 3 Περιορισµός

Παραγωγής

100 120 150 Πηγή 1

110 15 125

120 50 140 Πηγή 2

35 40 75

130 110 170 Πηγή 3

25 25

110 50 65 225 Περιορισµός

Ζήτησης

Εφαρµόζοντας τη µεθόδο της βορειοδυτικής γωνίας τοποθετούνται κατά σειρά

οι εξής ποσότητες: x11 = 110, x12 = 15, x22 = 35, x23 = 40, και x33 = 25.

Συνολικό κόστος µεταφοράς = 110 x 100 + 15 x 120 + 35 x 50 + 40 x 140 + 25

x 170 = 24,400

156

(ii) Μέθοδος του ελαχίστου µοναδιαίου κόστους

Ο προηγούµενος κανόνας της Β∆ γωνίας δε λαµβάνει καθόλου υπόψη τα

µοναδιαία κόστη και για τον λόγο αυτόν η βασική εφικτή λύση που προκύπτει

µπορεί να είναι πολύ διαφορετική από τη βέλτιστη µε αποτέλεσµα να

απαιτούνται πολλές επαναλήψεις για τον υπολογισµό της βελτιστης λύσης. Ο

κανόνας του ελαχίστου µοναδιαίου κόστους συνήθως υπολογίζει µια καλύτερη

(µικρότερου κόστους) λύση από τον κανόνα της Β∆ γωνίας.

Εντοπίζεται το ελάχιστο από όλα τα µοναδιαία κόστη

cpq =

ji,min cij

και τοποθετείται η µέγιστη δυνατή ποσότητα στη µεταβλητή xpq, δηλαδή το

µικρότερο από τον περιορισµό παραγωγής (p γραµµή) και ζήτησης (q στήλη).

Η γραµµή (ή στήλη) που εξαντλήθηκε διαγράφεται, καθώς οι υπόλοιπες

µεταβλητές σε αυτή θεωρούνται µη βασικές (µηδενικές). Εάν εξαντλείται

ταυτόχρονα και η γραµµή και η στήλη (ap = bq), αυθαίρετα διαγράφεται µια

από τις δύο. Στη συνέχεια, εξετάζονται τα µοναδιαία κόστη που απέµειναν,

εντοπίζεται το ελάχιστο και τοποθετείται η µέγιστη δυνατή ποσότητα στην

αντίστοιχη µεταβλητή, χωρίς να παραβιάζεται ο περιορισµός παραγωγής ή

ζήτησης. Η διαδικασία συνεχίζεται µέχρι να διαγραφούν όλες οι γραµµές και

στήλες και να αποδοθούν τιµές σε m+n-1 βασικές µεταβλητές.

Παράδειγµα 8.1β – Ύδρευση νησιών (συνέχεια)

Το ελάχιστο από όλα τα µοναδιαία κόστη είναι το c22 = 50 και τοποθετείται η

µέγιστη δυνατή ποσότητα στη µεταβλητή x22 = 50 λόγω του περιορισµού

ζήτησης στη στήλη 2. ∆ιαγράφεται η στήλη 2 και εξετάζονται τα µοναδιαία

κόστη που απέµειναν. Το ελάχιστο είναι το c11 = 100 και τοποθετείται η

µέγιστη δυνατή ποσότητα στην αντίστοιχη µεταβλητή x11 = 110 λόγω του

περιορισµού ζήτησης στη στήλη 1. ∆ιαγράφεται η στήλη 1 και από τα

µοναδιαία κόστη που απέµειναν c23 = 140, οπότε τίθεται x23 = 25 λόγω του

περιορισµού προσφοράς στη γραµµή 2. ∆ιαγράφεται η γραµµή 2, παρατηρείται

c13 = 150, οπότε τίθεται x13 = 15 λόγω του περιορισµού προσφοράς στη γραµµή

1. Τέλος, τίθεται x33 = 25.

Εποµένως µε τη µεθόδο του ελαχίστου µοναδιαίου κόστους τοποθετούνται

κατά σειρά οι εξής ποσότητες: x22 = 50, x11 = 110, x23 = 25, x13 = 15, και x33 =

25.

Συνολικό κόστος µεταφοράς = 110 x 100 + 50 x 50 + 15 x 150 + 25 x 140 + 25

x 170 = 23,500 µικρότερο από το κόστος που υπολογίστηκε µε τη µέθοδο της

Β∆ γωνίας.

157

ΠΡΟΣ

ΑΠO


Παραγωγής

100 120 150 Πηγή 1

110 15 125

120 50 140 Πηγή 2

50 25 75

130 110 170 Πηγή 3

25 25


Ζήτησης

(iii) Μέθοδος Vogel

Ο κανόνας αυτός συνήθως αποφέρει µια αρχική βασική λύση που είναι πολύ

κοντά, και σε πολλές περιπτώσεις ίση, µε τη βέλτιστη λύση. Εκτός από το

ελάχιστο µοναδιαίο κόστος λαµβάνει υπόψη και τη µέγιστη οριακή βελτίωση

που µπορεί να επιτευχθεί εάν τοποθετηθεί ποσότητα σε µια γραµµή ή στήλη

έναντι κάποιας άλλης γραµµής ή στήλης. Τα βήµατα της µεθόδου είναι:

(α) Υπολογίζεται η διαφορά µεταξύ των δύο µικρότερων τιµών κόστους σε

κάθε γραµµή και στήλη και εντοπίζεται η µεγαλύτερη. Εάν δύο διαφορές είναι

ίσες, επιλέγεται µία αυθαίρετα.

(β) Σε αυτή τη γραµµή ή στήλη τοποθετείται στη θέση µε το µικρότερο κόστος

η µέγιστη δυνατή ποσότητα µε βάση τον περιορισµό παραγωγής (γραµµή) και

ζήτησης (στήλη). Η γραµµή (ή στήλη) που εξαντλήθηκε διαγράφεται, καθώς οι

υπόλοιπες µεταβλητές σε αυτή θεωρούνται µη βασικές (µηδενικές). Εάν

εξαντλείται ταυτόχρονα και η γραµµή και η στήλη, αυθαίρετα διαγράφεται µια

από τις δύο.

(γ) Ελέγχεται εάν έχουν διαγραφεί όλες οι γραµµές και οι στήλες. Εάν ναι, η

διαδικασία τερµατίζεται. Εάν όχι, συνεχίζεται στο επόµενο βήµα (δ).

(δ) Υπολογίζεται η διαφορά µεταξύ των δύο µικρότερων τιµών κόστους σε

κάθε γραµµή και στήλη από αυτές που έχουν αποµείνει και εντοπίζεται η

µεγαλύτερη. Εάν δύο διαφορές είναι ίσες, επιλέγεται µία αυθαίρετα.

Επιστροφή στο βήµα (β).

158

Παράδειγµα 8.1γ – Ύδρευση νησιών (συνέχεια)

(α) Οι διαφορές µεταξύ των δύο µικρότερων τιµών κόστους σε κάθε γραµµή

είναι 20, 70, 20 και σε κάθε στήλη 20, 60, 10. Μεγαλύτερη είναι η 70 στη

γραµµή 2.

(β) Στη γραµµή 2 τοποθετείται η µέγιστη δυνατή ποσότητα στη µεταβλητή µε

το µικρότερο κόστος x22 = 50 λόγω του περιορισµού ζήτησης στη στήλη 2.

∆ιαγράφεται η στήλη 2.

(γ) ∆εν έχουν διαγραφεί όλες οι γραµµές και οι στήλες και η διαδικασία

συνεχίζεται.

(δ) Οι διαφορές µεταξύ των δύο µικρότερων τιµών κόστους σε κάθε γραµµή

από αυτές που έχουν αποµείνει είναι 50, 20, 40 και στήλη 20, 10. Η

µεγαλύτερη είναι η 50 στη γραµµή 1.

(β1) Στη γραµµή 1 τοποθετείται η µέγιστη δυνατή ποσότητα στη µεταβλητή µε



(γ1) ∆εν έχουν διαγραφεί όλες οι γραµµές και οι στήλες και η διαδικασία


(δ1) Για να συµπληρωθεί το ισοζύγιο στις γραµµές τοποθετούνται οι

ποσότητες x13 = 15, x22 = 25 και x33 = 25.

ΠΡΟΣ

ΑΠO


Παραγωγής

100 120 150 Πηγή 1

110 15 125

120 50 140 Πηγή 2

50 25 75

130 110 170 Πηγή 3

25 25


Ζήτησης

Εποµένως µε τη µεθόδο Vogel τοποθετούνται κατά σειρά οι εξής ποσότητες:

x22 = 50, x11 = 110, x23 = 25, x13 = 15, και x33 = 25. Η λύση είναι ίδια µε τη

µέθοδο ελαχίστου µοναδιαίου κόστους και το συνολικό κόστος µεταφοράς

είναι 23,500.

159

8.2.2. Έλεγχος Βελτιστότητας (Μέθοδος MODI)

Μετά τον εντοπισµό µιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης απαιτείται να

ελεγχθεί εάν η λύση αυτή είναι βέλτιστη. Αυτό είναι δυνατόν χρησιµοποιώντας

το ίδιο κριτήριο βελτιστότητας, όπως στη µέθοδο Simplex. ∆ηλαδή, η λύση

µπορεί να βελτιωθεί εάν κάποια µη βασική µεταβλητή έχει αρνητικό

συντελεστή κόστους στην αντικειµενική συνάρτηση και, εποµένως, εάν

εισέλθει στη βάση αντικαθιστώντας µια από τις βασικές µεταβλητές, θα

προκύψει µια λύση µε µικρότερο κόστος.

Κατ’ αναλογία της µεθόδου των πολλαπλασιαστών Lagrange, εισάγοντας

πολλαπλασιαστές

ui, i = 1, 2,…, m για κάθε έναν από τους περιορισµούς (8.2) και

vj, j = 1, 2,…, n για κάθε έναν από τους περιορισµούς (8.3)

και αφαιρώντας το άθροισµα κάθε οµάδας περιορισµών από την αντικειµενική

συνάρτηση (8.1) προκύπτει:

f = ∑∑= =

m

i

n

j1 1

cij xij ⇒

f - ∑=

m

i 1

ui ai - ∑=

n

j 1

vj bj = ∑∑= =

m

i

n

j1 1

cij xij - ∑=

m

i 1

ui∑=

n

j 1

xij - ∑=

n

j 1

vj∑=

m

i 1

xij

∑∑= =

m

i

n

j1 1

cij xij - ∑∑= =

m

i

n

j1 1

ui xij - ∑∑= =

m

i

n

j1 1

vj xi = ∑∑= =

m

i

n

j1 1

(cij - ui - vj) xij

Η εξίσωση αυτή µπορεί να γραφεί

∑∑= =

m

i

n

j1 1

(cij - ui - vj) xij = f - ∑=

m

i 1

ui ai - ∑=

n

j 1

vj bj (8.9)

∑∑= =

m

i

n

j1 1

c'ij xij = f – f0 (8.10)

όπου c'ij = cij - ui - vj (8.11)

και f0 =∑=

m

i 1

ui ai + ∑=

n

j 1

vj bj (8.12)

Αποδείχτηκε λοιπόν ότι εάν ui, i = 1, 2,…, m και vj, j = 1, 2,…, n πραγµατικοί

αριθµοί, τότε κάθε βέλτιστη λύση του Π.Μ. µε πίνακα κόστους [cij] είναι

βέλτιστη λύση του Π.Μ. µε πίνακα κόστους [cij - ui - vj] και αντίστροφα.

Συνεπώς, η πρόσθεση ή αφαίρεση ενός αριθµού από κάθε στοιχείο µιας

γραµµής ή µιας στήλης του πίνακα κόστους ενός Π.Μ. δε µεταβάλλει τις

160

βέλτιστες λύσεις του. Προφανώς η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης

µεταβάλλεται.

Επειδή οι νέοι συντελεστές κόστους c'ij που αντιστοιχούν στις βασικές

µεταβλητές πρέπει να είναι ίσοι µε µηδέν, οι πολλαπλασιαστές ui και vj

επιλέγονται ώστε:

c'ij = cij - ui - vj = 0 για κάθε βασική µεταβλητή xij (8.13)

Ο συνολικός αριθµός των πολλαπλασιαστών είναι m+n, ίσος µε τον αριθµό

των περιορισµών. Όµως, όπως εξηγήθηκε προηγουµένως, οι ανεξάρτητοι

περιορισµοί είναι m+n-1 και ο ένας που αποµένει µπορεί να θεωρηθεί ότι δε

χρειάζεται. Ο επί πλέον περιορισµός πρακτικά δεν υφίσταται και συνεπώς ο

πολλαπλασιαστής του είναι µηδέν. Η επιλογή του επί πλέον περιορισµού δεν

επηρεάζει τη λύση και οποιοσδήποτε από τους πολλαπλασιαστές ui ή vj µπορεί

να τεθεί ίσος µε µηδέν και οι υπόλοιποι m+n-1 να υπολογιστούν από το

σύστηµα εξισώσεων (8.13). Ο αριθµός των εξισώσεων αυτών είναι m+n-1,

ίσος µε τον αριθµό των βασικών µεταβλητών.

Αφού υπολογιστούν οι τιµές των πολλαπλασιαστών ui και vj από το σύστηµα

εξισώσεων (8.13) στη συνέχεια υπολογίζονται από την εξίσωση (8.11) οι νέοι

συντελεστές κόστους c'ij που αντιστοιχούν στις µη βασικές µεταβλητές. Η

διαθέσιµη βασική λύση είναι βέλτιστη εάν οι νέοι συντελεστές κόστους c'ij

είναι µη αρνητικοί c'ij ≥ 0 για όλες τις µη βασικές µεταβλητές. Εάν ένας ή

περισσότεροι συντελεστές είναι αρνητικοί η αντίστοιχη µεταβλητή µπορεί να

εισέλθει στη βάση και να βελτιώσει την τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης.

Επιλέγεται να εισέλθει η µεταβλητή µε τον πλέον αρνητικό συντελεστή.

Παράδειγµα 8.2 – Ύδρευση νησιών – Έλεγχος βελτιστότητας

Εξετάζεται εάν η αρχική βασική λύση που προέκυψε µε τη µέθοδο της Β∆

γωνίας είναι βέλτιστη. Οι βασικές µεταβλητές εµφανίζονται στα µη κενά κελιά

του πίνακα. Για να αποτελούν βάση ο αριθµός τους πρέπει να είναι m+n-1,

εδώ 3+3-1 = 5 µη µηδενικές µεταβλητές, δηλαδή πρέπει να ικανοποιείται η

συνθήκη: # µη κενών = # γραµµών + # στηλών – 1.

Γράφονται οι εξισώσεις (8.13) και θέτοντας u1 = 0, υπολογίζονται οι

πολλαπλασιαστές:

u1 + v1 = 100 ⇒ v1 = 100

u1 + v2 = 120 ⇒ v2 = 120

u2 + v2 = 50 ⇒ u2 = 50 - 120 = -70

u2 + v3 = 140 ⇒ v3 = 140 – (-70) = 210

u3 + v3 = 170 ⇒ u3 = 170 – 210 = -40

161

Για τις µη βασικές µεταβλητές, που αντιστοιχούν στα κενά κελιά του πίνακα,

υπολογίζονται οι νέοι συντελεστές κόστους (ή δείκτες βελτίωσης) από την

εξίσωση (8.11):

c'21 = c21 - u2 - v1 = 120 – (-70) - 100 = 90

c'31 = c31 - u3 - v1 =130 – (-40) - 100 = 70

c'32 = c32 - u3 - v2 = 110 – (-40) - 120 = 30

c'13 = c13 - u1 - v3 = 150 – 0 - 210 = -60 < 0

Ο δείκτης βελτίωσης c'13 είναι αρνητικός, άρα η λύση δεν είναι βέλτιστη.

Μπορεί να βελτιωθεί εάν η µη βασική µεταβλητή x13 εισέλθει στη βάση,

αντικαθιστώντας µια από τις υπάρχουσες βασικές µεταβλητές. Για κάθε

µονάδα ποσότητας που θα τοποθετείται στη x13 η τιµή της αντικειµενικής

συνάρτησης µειώνεται κατά 60 µονάδες κόστους. Όµως, η ποσότητα της x13

δεν µπορεί να είναι αυθαίρετα µεγάλη, διότι πρέπει να ικανοποιείται ο

περιορισµός παραγωγής (1η γραµµή) και ζήτησης (3

η στήλη).

8.2.3. Επιλογή της Μεταβλητής που θα Εξέλθει από τη Βάση

Όπως και στη µέθοδο Simplex, η τιµή της µη βασικής µεταβλητής xpq που

εισέρχεται στη βάση δεν µπορεί να είναι αυθαίρετα µεγάλη, διότι πρέπει να

ικανοποιείται ο περιορισµός παραγωγής (p γραµµή) και ζήτησης (q στήλη). Η

συνθήκη αυτή επιτρέπει να επιλεγεί η βασική µεταβλητή που θα εξέλθει από

τη βάση, αλλά και η τιµή που θα έχει η νέα βασική µεταβλητή xpq. Τα ειδικά

χαρακτηριστικά του Π.Μ. επιτρέπουν το ζήτηµα αυτό να αντιµετωπιστεί µε

γεωµετρικό τρόπο, όπως εξηγείται στο Παράδειγµα 8.3.

Παράδειγµα 8.3 – Ύδρευση νησιών – Βελτίωση βασικής λύσης

Αποδείχτηκε στο Παράδειγµα 8.2 ότι εάν η µη βασική µεταβλητή x13, η τιµή

της αντικειµενικής συνάρτησης θα µειωθεί. Εάν όµως εισαχθεί ποσότητα θ > 0

στο κενό κελί (1,3), πρέπει να µειωθεί κατά θ η τιµή σε κάποιο από τα µη κενά

κελιά (1,1) ή (1,2) ώστε να µη παραβιάζεται ο περιορισµός παραγωγής 125

µονάδων στην 1η γραµµή. Παρόµοια, πρέπει να µειωθεί κατά θ η τιµή σε

κάποιο από τα µη κενά κελιά (2,3) ή (3,3) ώστε να µη παραβιάζεται ο

περιορισµός ζήτησης 65 µονάδων στην 3η στήλη.

Αποδεικνύεται ότι εάν η παρούσα βασική λύση δεν είναι εκφυλισµένη (δηλαδή

εάν έχει ακριβώς m+n-1 βασικές µεταβλητές) µπορεί να οριστεί µε µοναδικό

τρόπο ένας κλειστός βρόγχος µε αρχή και τέλος την υπό εξέταση µη βασική

µεταβλητή που εισέρχεται στη βάση. Ο βρόγχος ορίζεται µε οριζόντια ή

κατακόρυφα ευθύγραµµα τµήµατα τα οποία συνδέουν κελιά µε βασικές

µεταβλητές (κορυφές του βρόγχου). Ο αριθµός των κορυφών του βρόγχου

είναι άρτιος και εναλλάξ αντιστοιχούν σε πρόσθεση ή αφαίρεση ποσότητας θ >

0, ώστε να ικανοποιούνται οι περιορισµοί. Η βασική µεταβλητή που εξέρχεται

162

από τη βάση (και γίνεται µη βασική, δηλαδή ίση µε µηδέν) αντιστοιχεί στην

κορυφή που έχει τη µικρότερη τιµή από όλες τις κορυφές που αντιστοιχούν σε

αφαίρεση ποσότητας (αλλοιώς, η κορυφή αυτή θα καταστεί αρνητική).

Στο παράδειγµα, για την υπό εξέταση µη βασική µεταβλητή x13, που

εισέρχεται στη βάση, ο βρόγχος ορίζεται από τα κελιά (1,2), (2,2), (2,3) και

(1,3). Στα (1,3) και (2,2) προστίθεται ποσότητα, ενώ από τα (1,2) και (2,3)

αφαιρείται ποσότητα θ > 0. Από τις κορυφές που αντιστοιχούν σε αφαίρεση

ποσότητας µικρότερη τιµή έχει η (1,2) (min 15, 40). Εποµένως, η x12

εξέρχεται από τη βάση (µηδενίζεται), θ = 15, και διαµορφώνεται ο νέος

πίνακας µε νέες τιµές στις κορυφές του βρόγχου.

ΠΡΟΣ

ΑΠO


Παραγωγής

100 120 150

Πηγή 1

110

15-θ θ 125

120 50 140 Πηγή 2

35+θ 40-θ 75

130 110 170 Πηγή 3

25 25

Περιορισµός

Ζήτησης 110 50 65 225

ΠΡΟΣ

ΑΠO


Παραγωγής

100 120 150 Πηγή 1

110 15 125

120 50 140 Πηγή 2

50 25 75

130 110 170 Πηγή 3

25 25


Ζήτησης 110 50 65 225

163

Έλεγχος βελτιστότητας

Για τα µη κενά κελιά του πίνακα γράφονται οι εξισώσεις (8.13) και θέτοντας

u1 = 0, υπολογίζονται οι πολλαπλασιαστές:

u1 + v1 = 100 ⇒ v1 = 100

u1 + v3 = 150 ⇒ v3 = 150

u2 + v2 = 50 ⇒ v2 = 50 – (-10) = 60

u2 + v3 = 140 ⇒ u2 = 140 – 150 = -10

u3 + v3 = 170 ⇒ u3 = 170 – 150 = 20




c'21 = c21 - u2 - v1 = 120 – (-10) - 100 = 30

c'31 = c31 - u3 - v1 = 130 – 20 - 100 = 10

c'12 = c12 - u1- v2 = 120 – 0 - 60 = 60

c'32 = c32 - u3 - v2 = 110 – 20 - 60 = 30

Όλοι οι δείκτες βελτίωσης είναι µη αρνητικοί, άρα η λύση είναι βέλτιστη.

Παρατηρείται ότι η µέθοδοι ελάχιστου µοναδιαίου κόστους και Vogel

προσδιόρισαν τη βέλτιστη λύση σαν αρχική βασική εφικτή λύση.

Παράδειγµα 8.4 – Ύδρευση νησιών - Πολλαπλές λύσεις

Οι ανάγκες σε νερό των νησιών 1, 2, 3 και 4 είναι 1000, 1200, 3000 και 1700

µονάδες όγκου αντίστοιχα και µπορούν να ικανοποιηθούν από µε τρεις

διαφορετικούς τρόπους (πηγές) 1, 2, και 3 µε δυναµικότητα 2100, 2300 και

2500 αντίστοιχα. Το κόστος µεταφοράς νερού από κάθε πηγή σε κάθε νησί

φαίνονται στον πίνακα. Ζητείται να καθοριστεί η ποσότητα νερού που θα

µεταφερθεί από κάθε πηγή σε κάθε νησί ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος.

Ελέγχεται ότι υπάρχει ισοζύγιο

1000 + 1200 + 3000 + 1700 = 6900 = 2100 + 2300 + 2500.


(α) Προσδιορισµός µιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης µε τη µέθοδο της Β∆

γωνίας

164

ΠΡΟΣ

ΑΠO

Νησί 1 Νησί 2 Νησί 3 Νησί 4 Περιορισµός

Παραγωγής

5 3 8 6 Πηγή 1

1000 1100 2100

4 5 7 6 Πηγή 2

100 2200 2300

6 7 9 8 Πηγή 3

800 1700 2500


Ζήτησης 1000 1200 3000 1700 6900


οι εξής ποσότητες: x11 = 1000, x12 = 1100, x22 = 100, x23 = 2200, x33 = 800 και

x33 = 1700.

Συνολικό κόστος =

1000 x 5 + 1100 x 3 + 100 x 5 + 2200 x 7 + 800 x 9 + 1700 x 8 = 45,000

(β) Έλεγχος βελτιστότητας µε τη µέθοδο MODI

Οι βασικές µεταβλητές εµφανίζονται στα µη κενά κελιά του πίνακα και

αποτελούν βάση γιατί ο αριθµός τους είναι 3+4-1 = 6. Γράφονται οι εξισώσεις

(8.13) και θέτοντας u1 = 0, υπολογίζονται οι πολλαπλασιαστές:

u1 + v1 = 5 ⇒ v1 = 5

u1 + v2 = 3 ⇒ v2 = 3

u2 + v2 = 5 ⇒ u2 = 5 - 3 = 2

u2 + v3 = 7 ⇒ v3 = 7 - 2 = 5

u3 + v3 = 9 ⇒ u3 = 9 – 5 = 4

u3 + v4 = 8 ⇒ v4 = 8 - 4 = 4




c'13 = c13 – u1 – v3 = 8 – 0 - 5 = 3

c'14 = c14 – u1 – v4 = 6 – 0 - 4 = 2

c'21 = c21 – u2 – v1 = 4 – 2 - 5 = -3 < 0

c'24 = c24 – u2 – v4 = 6 – 2 - 4 = 0

c'31 = c31 - u3 - v1 = 6 – 4 - 5 = -3 < 0

c'32 = c32 - u3 - v2 = 7 – 4 - 3 = 0

165

Οι δείκτες βελτίωσης c'21 και c'31 είναι αρνητικοί, άρα η λύση δεν είναι

βέλτιστη. Μπορεί να βελτιωθεί εάν µια εκ των µη βασικών µεταβλητών x21 ή

x31 εισέλθει στη βάση, αντικαθιστώντας µια από τις υπάρχουσες βασικές

µεταβλητές. Για κάθε µονάδα ποσότητας που θα τοποθετείται στη νέα βασική

µεταβλητή (x21 ή x31) η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης µειώνεται κατά 3

µονάδες κόστους. Η επιλογή µεταξύ δύο ή περισσοτέρων µη βασικών

µεταβλητών µε τον ίδιο δείκτη βελτίωσης απαιτεί τον προσδιορισµό και των

τιµών που θα έχει κάθε µεταβλητή όταν εισαχθεί στη βάση. Θα επιλεγεί εκείνη

µε τη µεγαλύτερη τιµή προκειµένου να επιτευχθεί η µεγαλύτερη δυνατή

µείωση της τιµής της αντικειµενικής συνάρτησης που ισούται µε το γινόµενο

του δείκτη βελτίωσης επί την τιµή της µεταβλητής που εισέρχεται στη βάση. Η

διαδικασία αυτή απαιτεί πολλούς υπολογισµούς και στην πράξη επιλέγεται

αυθαίρετα µια από τις µη βασικές µεταβλητές µε τον ίδιο δείκτη βελτίωσης για

να εισαχθεί στη βάση, έστω η x21.

(γ) Επιλογή της µεταβλητής που θα εξέλθει από τη βάση

Για τη µη βασική µεταβλητή x21, που εισέρχεται στη βάση, ο βρόγχος ορίζεται

από τα κελιά (2,1), (2,2), (1,2) και (1,1). Στα (2,1) και (1,2) προστίθεται

ποσότητα, ενώ από τα (2,2) και (1,1) αφαιρείται ποσότητα θ > 0. Από τις

κορυφές που αντιστοιχούν σε αφαίρεση ποσότητας µικρότερη τιµή έχει η (2,2)

(min 1000, 100). Εποµένως, η x22 εξέρχεται από τη βάση (µηδενίζεται), θ =

100, και διαµορφώνεται ο νέος πίνακας µε νέες τιµές στις κορυφές του

βρόγχου.

Συνολικό κόστος

= 900 x 5 + 1200 x 3 + 100 x 4 + 2200 x 7 + 800 x 9 + 1700 x 8 = 44,700

ΠΡΟΣ

ΑΠO


Παραγωγής

5 3 8 6 Πηγή 1

900 1200 2100

4 5 7 6 Πηγή 2

100 2200 2300

6 7 9 8 Πηγή 3

800 1700 2500


Ζήτησης 1000 1200 3000 1700 6900

166

(δ) Έλεγχος βελτιστότητας µε τη µέθοδο MODI




u1 + v1 = 5 ⇒ v1 = 5

u1 + v2 = 3 ⇒ v2 = 3

u2 + v1 = 4 ⇒ u2 = 4 - 5 = -1

u2 + v3 = 7 ⇒ v3 = 7 – (-1) = 8

u3 + v3 = 9 ⇒ u3 = 9 – 8 = 1

u3 + v4 = 8 ⇒ v4 = 8 - 1 = 7




c'13 = c13 – u1 – v3 = 8 - 0 - 8 = 0

c'14 = c14 – u1 – v4 = 6 - 0 - 7 = - 1 < 0

c'22 = c22 – u2 – v2 = 5 - (-1) - 3 = 3

c'24 = c24 – u2 – v4 = 6 - (-1) - 7 = 0

c'31 = c31 - u3 - v1 = 6 - 1 - 5 = 0

c'32 = c32 - u3 - v2 = 7 - 1 - 3 = 3



αντικαθιστώντας µια από τις υπάρχουσες βασικές µεταβλητές.

(ε) Επιλογή της µεταβλητής που θα εξέλθει από τη βάση

Για τη µη βασική µεταβλητή x14, που εισέρχεται στη βάση, ο βρόγχος ορίζεται

από τα κελιά (1,4), (1,1), (2,1), (2,3), (3,3) και (3,4). Στα (1,4), (2,1) και (3,3)

προστίθεται ποσότητα, ενώ από τα (1,1), (2,3) και (3,4) αφαιρείται ποσότητα θ

> 0. Από τις κορυφές που αντιστοιχούν σε αφαίρεση ποσότητας µικρότερη

τιµή έχει η (1,1) (min 900, 2200, 1700). Εποµένως, η x11 εξέρχεται από τη

βάση (µηδενίζεται), θ = 900, και διαµορφώνεται ο νέος πίνακας µε νέες τιµές

στις κορυφές του βρόγχου.


1000 x 4 + 1200 x 3 + 1300 x 7 + 1700 x 9 + 900 x 6 + 800 x 8 = 43,800

167

ΠΡΟΣ

ΑΠO


Παραγωγής

5 3 8 6 Πηγή 1

1200 900 2100

4 5 7 6

Πηγή 2

1000

1300 2300

6 7 9 8 Πηγή 3

1700 800 2500


Ζήτησης 1000 1200 3000 1700 6900

(στ) Έλεγχος βελτιστότητας µε τη µέθοδο MODI




u1 + v2 = 3 ⇒ v2 = 3

u1 + v4 = 6 ⇒ v4 = 6

u2 + v1 = 4 ⇒ v1 = 4 - 0 = 4

u2 + v3 = 7 ⇒ u2 = 7 – 7 = 0

u3 + v3 = 9 ⇒ v3 = 9 – 2 = 7

u3 + v4 = 8 ⇒ u3 = 8 - 6 = 2




c'11 = c11 – u1 – v1 = 5 - 0 - 4 = 1

c'13 = c13 – u1 – v3 = 8 - 0 - 7 = 1

c'22 = c22 – u2 – v2 = 5 - 0 - 3 = 2

c'24 = c24 – u2 – v4 = 6 - 0 - 6 = 0

c'31 = c31 - u3 - v1 = 6 - 2 - 4 = 0

c'32 = c32 - u3 - v2 = 7 - 2 - 3 = 2

∆εν υπάρχει αρνητικός δείκτης βελτίωσης, άρα η λύση είναι βέλτιστη. Επειδή

οι δείκτες βελτίωσης των µεταβλητών x24 και x31 είναι µηδέν, εάν οποιαδήποτε

από τις µεταβλητές αυτές εισέλθει στη βάση, αντικαθιστώντας µια από τις

υπάρχουσες βασικές µεταβλητές, η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης δε θα

αλλάξει. Το πρόβληµα έχει πολλαπλές λύσεις µε το ίδιο βέλτιστο κόστος

43,800. Π.χ. εάν η x24 εισέλθει στη βάση, ο βρόγχος ορίζεται από τα κελιά

168

(2,4), (2,3), (3,3), και (3,4). Στα (2,4) και (3,3) προστίθεται ποσότητα, ενώ από

τα (2,3) και (3,4) αφαιρείται ποσότητα θ > 0. Από τις κορυφές που

αντιστοιχούν σε αφαίρεση ποσότητας µικρότερη τιµή έχει η (3,4) (min 800,

1300). Εποµένως, η x34 εξέρχεται από τη βάση (µηδενίζεται), θ = 800, και

διαµορφώνεται ο νέος πίνακας µε νέες τιµές στις κορυφές του βρόγχου.


1000 x 4 + 1200 x 3 + 500 x 7 + 2500 x 9 + 900 x 6 + 800 x 6 = 43,800

ΠΡΟΣ

ΑΠO


Παραγωγής

5 3 8 6 Πηγή 1

1200 900 2100

4 5 7 6 Πηγή 2

1000 500 800 2300

6 7 9 8 Πηγή 3

2500 2500


Ζήτησης 1000 1200 3000 1700 6900

8.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΧΩΡΙΣ ΙΣΟΖΥΓΙΟ

Σε προβλήµατα που δεν υπάρχει ισοζύγιο προσφοράς και ζήτησης εισάγεται

εικονικό κέντρο παραγωγής ή κατανάλωσης ανάλογα εάν είναι µεγαλύτερη η

ζήτηση ή η προσφορά αντίστοιχα. Τα µοναδιαία κόστη µεταφοράς για το

εικονικό κέντρο θεωρούνται µηδενικά. Η τεχνική αυτή παρουσιάζεται στα

Παραδείγµατα 8.5 και 8.6.

Παράδειγµα 8.4 – Ύδρευση νησιών – Πλεόνασµα προσφοράς







Το Παράδειγµα 8.4 είναι ίδιο µε το Παράδειγµα 8.3, εκτός από τη

δυναµικότητα της πηγής 1 που αντί για 2100 είναι ίση µε 3000. ∆ηλαδή η

συνολική παραγωγή είναι ίση µε 7800, ενώ η συνολική κατανάλωση

παραµένει ίση µε 6900. Για την επίλυση του προβλήµατος εισάγεται εικονικό

κέντρο κατανάλωσης (Νησί 5) µε ανάγκη σε νερό 7800 – 6900 = 900 µονάδες,

169

ώστε να υπάρχει ισοζύγιο προσφοράς και ζήτησης. Ο πίνακας επίλυσης µε τη

βασική εφικτή λύση που βρίσκεται µε τη µέθοδο της Β∆ γωνίας φαίνεται

παρακάτω.

ΠΡΟΣ

ΑΠO

Νησί 1 Νησί 2 Νησί 3 Νησί 4 Εικονικό

Νησί 5


Παραγωγής

5 3 8 6 0 Πηγή 1

1000 1200 800 3000

4 5 7 6 0 Πηγή 2

2200 100 2300

6 7 9 8 0 Πηγή 3

1600 900 2500 Περιορισµός

Ζήτησης 1000 1200 3000 1700 900 7800

Με εφαρµογή της διαδικασίας επίλυσης προκύπτει η βέλτιστη λύση που

φαίνεται στον παρακάτω πίνακα µε συνολικό κόστος µεταφοράς 42100. Η

λύση αυτή δεν είναι µοναδική, υπάρχουν πολλαπλές βέλτιστες λύσεις µε το

ίδιο κόστος.

ΠΡΟΣ

ΑΠO

Νησί 1 Νησί 2 Νησί 3 Νησί 4 Εικονικό

Νησί 5


Παραγωγής

5 3 8 6 0 Πηγή 1

1200 100 1700 3000

4 5 7 6 0 Πηγή 2

2300 2300

6 7 9 8 0 Πηγή 3

1000 600 900 2500 Περιορισµός

Ζήτησης 1000 1200 3000 1700 900 7800

170

Παράδειγµα 8.5 – Ύδρευση νησιών – Πλεόνασµα ζήτησης







Το Παράδειγµα 8.5 είναι ίδιο µε το Παράδειγµα 8.3, εκτός από το γεγονός ότι

οι ανάγκες σε νερό των νησιών είναι αυξηµένες κατά 200 µονάδες για κάθε

νησί. ∆ηλαδή η συνολική παραγωγή παραµένει ίση µε 6900, ενώ η συνολική

κατανάλωση έχει αυξηθεί σε 7700. Για την επίλυση του προβλήµατος

εισάγεται εικονικό κέντρο παραγωγής (Πηγή 4) µε δυναµικότητα 7700 – 6900

= 800 µονάδες, ώστε να υπάρχει ισοζύγιο προσφοράς και ζήτησης. Ο πίνακας

επίλυσης µε τη βασική εφικτή λύση που βρίσκεται µε τη µέθοδο της Β∆

γωνίας φαίνεται παρακάτω.

ΠΡΟΣ

ΑΠO


Παραγωγής

5 3 8 6 Πηγή 1

1200 900 2100

4 5 7 6 Πηγή 2

500 1800 2300

6 7 9 8 Πηγή 3

1400 1100 2500

0 0 0 0 Εικονική

Πηγή 4 800 800


Ζήτησης 1200 1400 3200 1900 7700

Με εφαρµογή της διαδικασίας επίλυσης προκύπτει η βέλτιστη λύση που

φαίνεται στον παρακάτω πίνακα µε συνολικό κόστος µεταφοράς 42200. Η

λύση αυτή δεν είναι µοναδική, υπάρχουν πολλαπλές βέλτιστες λύσεις µε το

ίδιο κόστος.

171

ΠΡΟΣ

ΑΠO


Παραγωγής

5 3 8 6 Πηγή 1

1400 700 2100

4 5 7 6 Πηγή 2

1200 1100 2300

6 7 9 8 Πηγή 3

1300 1200 2500

0 0 0 0 Εικονική

Πηγή 4 800 800


Ζήτησης 1200 1400 3200 1900 7700

8.4 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΠΡΟΣ∆ΙΟΡΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΒΡΟΓΧΟΥ

Όπως αναλύεται στην Ενότητα 8.5 οι θέσεις των βασικών µεταβλητών στον

πίνακα του Π.Μ. δε δηµιουργούν κανένα βρόγχο. Αν προστεθεί µια νέα θέση,

που αντιστοιχεί σε µια µη βασική µεταβλητή, δηµιουργείται ένας µοναδικός

βρόγχος. Σε µια από τις κορυφές του βρόγχου αυτού είναι η βασική µεταβλητή

που θα εξέλθει από τη βάση. Για Π.Μ. µικρού µεγέθους, όπως αυτά που

επιλύθηκαν στις προηγούµενες ενότητες, ο προσδιορισµός του µοναδικού

βρόγχου για τη µη βασική µεταβλητή xpq είναι εύκολος και γίνεται µε απλή

εξέταση των θέσεων των βασικών µεταβλητών ώστε να αποτελούν κορυφές

του βρόγχου. Όµως, για έναν πίνακα µεταφοράς µεγάλων διαστάσεων

απαιτείται αλγόριθµος για τον προσδιορισµό του µοναδικού βρόγχου. Ένας

από τους διαθέσιµους αλγόριθµους είναι ο παρακάτω:

Βήµα 1: Εντοπίζονται οι γραµµές που έχουν µια µόνο θέση που δεν έχει

διαγραφεί και διαγράφεται η θέση αυτή.

Βήµα 2: Επαναλαµβάνεται η ίδια διαδικασία για τις στήλες

Βήµα 3: Εάν κάθε γραµµή και κάθε στήλη περιέχει δύο ή καµµιά θέσεις που

δεν έχουν διαγραφεί, η διαδικασία τερµατίζεται και οι αποµένουσες θέσεις

σχηµατίζουν τον µοναδικό βρόγχο. ∆ιαφορετικά επαναλαµβάνεται το Βήµα 1

κ.λπ.

Παράδειγµα 8.6 - Αλγόριθµος προδιορισµού του βρόγχου

Στον 1ο πίνακα του Παραδείγµατος 8.4 οι θέσεις των βασικών µεταβλητών

φαίνονται µε γεµάτα κυκλάκια και η θέση της µη βασικής µεταβλήτης που θα

εισέλθει στη βάση µε άδειο κυκλάκι.

172

Ο

Βήµα 1: ∆εν υπάρχει γραµµή που να έχει µια µόνο θέση που δεν έχει

διαγραφεί.

Βήµα 2: Η στήλη 2 έχει µια µόνο θέση την (1,2) που διαγράφεται.

Χ Ο

Βήµα 3: Κάθε γραµµή και κάθε στήλη περιέχει δύο ή καµµιά θέσεις που δεν

έχουν διαγραφεί, η διαδικασία τερµατίζεται και οι αποµένουσες θέσεις

σχηµατίζουν τον µοναδικό βρόγχο.

Παράδειγµα 8.6 - Αλγόριθµος προδιορισµού του βρόγχου (συνέχεια)

Στον πίνακα Π.Μ. µε m = 4 και n =5 οι θέσεις των m+n-1 = 8 βασικών

µεταβλητών φαίνονται µε γεµάτα κυκλάκια και η θέση της µη βασικής

µεταβλήτης που θα εισέλθει στη βάση µε άδειο κυκλάκι.

Ο

Βήµα 1: Η γραµµή 4 έχει µια µόνο θέση τη (4,5) που διαγράφεται.

Ο

Χ

173

Βήµα 2: Η στήλη 3 έχει µια µόνο θέση τη (2,3) που διαγράφεται. Η στήλη 4

έχει µια µόνο θέση τη (3,4) που διαγράφεται.

Ο Χ

Χ

Χ

Βήµα 3: Κάθε γραµµή και κάθε στήλη περιέχει δύο ή καµµιά θέσεις που δεν

έχουν διαγραφεί, η διαδικασία τερµατίζεται και οι αποµένουσες θέσεις

σχηµατίζουν τον µοναδικό βρόγχο.

8.5 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΩΣ ∆ΙΜΕΛΕΣ ΓΡΑΦΗΜΑ

8.5.1 Εισαγωγή

Το πρόβληµα µεταφοράς µπορεί να απεικονιστεί ως διµελές γράφηµα (δίκτυο).

Οι πηγές συµβολίζονται µε S στα δεξιά και οι προορισµοί µε D στα δεξιά. Τα

επίπεδα κατανάλωσης και παραγωγής φαίνονται σε αγκύλες [επίπεδο], και τα

κόστη µεταφοράς σε παρενθέσεις (κόστος). Οι µη πραγµατοποιήσιµες

συνδέσεις δεν περιλαµβάνονται στο γράφηµα. Εάν για οποιοδήποτε λόγο η

σύνδεση από ένα κέντρο παραγωγής σε ένα κέντρο κατανάλωσης δεν µπορεί

να πραγµατοποιηθεί, το µοναδιαίο κόστος της συγκεκριµένης σύνδεσης

θεωρείται πολύ µεγάλο και ίσο µε Μ στον πίνακα επίλυσης.

Παράδειγµα 8.7 – Το Π.Μ. ως διµελές γράφηµα

Στο παρακάτω διάγραµµα φαίνεται ένα πρόβληµα µεταφοράς σε µορφή

δικτύου.

(α) Να διατυπωθεί ο πίνακας επίλυσης του προβλήµατος µεταφοράς µε τις

γραµµές να αντιστοιχούν στις πηγές και τις στήλες να αντιστοιχούν

στους προορισµούς.

(β) Να εφαρµοστεί η µέθοδος Vogel για να βρεθεί µια αρχική λύση, να

εξεταστεί εάν είναι βέλτιστη λύση και να υπολογιστεί το κόστος της.

174

ΠΡΟΣ

ΑΠO

Ζήτηση 1 Ζήτηση 2 Ζήτηση 3 Περιορισµός

Παραγωγής

10 20 15 Προσφορά 1

500


400


Ζήτησης 400 200 300 900


είναι 5, 3 και σε κάθε στήλη 2, 5, 3. Μεγαλύτερη είναι η 5 στη γραµµή 1.

(β) Στη γραµµή 1 τοποθετείται η µέγιστη δυνατή ποσότητα στη µεταβλητή µε






από αυτές που έχουν αποµείνει είναι 5, 3 και στήλη 5, 3. Η µεγαλύτερη είναι η

5 στη γραµµή 1 ή στη στήλη 2.

(β1) Αυθαίρετα, στη γραµµή 1 τοποθετείται η µέγιστη δυνατή ποσότητα στη

µεταβλητή µε το µικρότερο κόστος x13 = 100 λόγω του περιορισµού

προσφοράς στη γραµµή 1. ∆ιαγράφεται η γραµµή 1.



(δ1) Για να συµπληρωθεί το ισοζύγιο στις στήλες τοποθετούνται οι ποσότητες

x32 = 200 και x33 = 200.

S1

S2

D3

D2

D1

[500]

[400]

[-400]

[-300]

[-200]

(10)

(20)(15)

(12)

(15)

(18)

175

ΠΡΟΣ

ΑΠO


Παραγωγής


400 100 500


200 200 400


Ζήτησης 400 200 300 900





u1 + v1 = 10 ⇒ v1 = 10

u1 + v3 = 15 ⇒ v3 = 15

u2 + v2 = 15 ⇒ u2 = 15 - 15 = 0

u2 + v3 = 18 ⇒ v3 = 18 - 0 = 18




c'12 = c12 – u1 – v2 = 20 – 0 - 15 = 5

c'21 = c21 – u2 – v1 = 12 – 0 - 10 = 2

Οι δείκτες βελτίωσης είναι θετικοί, άρα η λύση είναι βέλτιστη και µοναδική.

Συνολικό κόστος = 400 x 10 + 100 x 15 + 200 x 15 + 200 x 18 = 12,100.

Παράδειγµα 8.8 – Το Π.Μ. ως διµελές γράφηµα (συνέχεια)

Εάν η σύνδεση S1 – D1 είναι αδύνατη, πως αλλάζει η λύση του Παραδείγµατος

8.6;

Εάν η σύνδεση S1 – D1 είναι αδύνατη, το µοναδιαίο κόστος της τίθεται ίσο µε

Μ, όπου Μ ένας πολύ µεγάλος αριθµός συγκριτικά µε τα άλλα µοναδιαία

κόστη.

176

ΠΡΟΣ

ΑΠO


Παραγωγής

Μ 20 15 Προσφορά 1

500


400


Ζήτησης 400 200 300 900


είναι 5, 3 και σε κάθε στήλη Μ-12, 5, 3. Μεγαλύτερη είναι η Μ-12 στη στήλη

1.

(β) Στη στήλη 1 τοποθετείται η µέγιστη δυνατή ποσότητα στη µεταβλητή µε το

µικρότερο κόστος x21 = 400 λόγω του περιορισµού ζήτησης ή προσφοράς στη

στήλη 1 ή γραµµή 2. Αυθαίρετα, διαγράφεται η στήλη 1.




από αυτές που έχουν αποµείνει είναι 5, 3 και στήλη 5, 3. Η µεγαλύτερη είναι η

5 στη γραµµή 1 ή στη στήλη 2.

(β1) Αυθαίρετα στη γραµµή 1 τοποθετείται η µέγιστη δυνατή ποσότητα στη

µεταβλητή µε το µικρότερο κόστος x13 = 300 λόγω του περιορισµού ζήτησης

στη στήλη 3. ∆ιαγράφεται η στήλη 3.



(δ1) Για να συµπληρωθεί το ισοζύγιο τοποθετείται η ποσότητα x12 = 200.

ΠΡΟΣ

ΑΠO


Παραγωγής

Μ 20 15 Προσφορά 1

0 200 300 500


400 400


Ζήτησης 400 200 300 900

177


Οι βασικές µεταβλητές εµφανίζονται στα µη κενά κελιά του πίνακα και δεν

αποτελούν βάση γιατί ο αριθµός τους είναι 3 ≠ 2+3-1 = 4. Η λύση αυτή

ονοµάζεται εκφυλισµένη. Αυθαίρετα επιλέγουµε ένα από τα µη κενά κελιά

και θεωρούµε ότι περιέχει βασική µεταβλητή µε τιµή ίση µε µηδέν, ώστε να

ικανοποιείται η συνθήκη. Έστω ότι η x11 = 0 είναι βασική µεταβλητή.



u1 + v1 = Μ ⇒ v1 = Μ

u1 + v2 = 20 ⇒ v2 = 20

u1 + v3 = 15 ⇒ v3 = 15

u2 + v1 = 12 ⇒ u2 = 12 - Μ




c'22 = c22 – u2 – v2 = 15 – (12-Μ) - 20 = Μ - 17

c'23 = c23 – u2 – v3 = 18 – (12-Μ) - 15 = Μ - 9


Συνολικό κόστος = 400 x 12 + 200 x 20 + 300 x 15 = 13,300.

Παράδειγµα 8.9 – Ύδρευση νησιών - Εκφυλισµένη λύση

Οι ανάγκες σε νερό των νησιών 1, 2 και 3 είναι 175, 75 και 25 µονάδες όγκου

αντίστοιχα και µπορούν να ικανοποιηθούν από µε τρεις διαφορετικούς

τρόπους (πηγές) 1, 2, και 3 µε δυναµικότητα 125, 35 και 65 αντίστοιχα. Το

κόστος µεταφοράς νερού από κάθε πηγή σε κάθε νησί φαίνονται στον πίνακα.

Ζητείται να καθοριστεί η ποσότητα νερού που θα µεταφερθεί από κάθε πηγή

σε κάθε νησί ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος. (Το παράδειγµα είναι ίδιο

µε το Παράδειγµα 8.1, αλλά έχει αυξηθεί η ανάγκη του Νησιού 1 κατά 15

µονάδες και αντίστοιχα µειωθεί η ανάγκη του Νησιού 2).

Ελέγχεται ότι υπάρχει ισοζύγιο 175 + 75 + 25 = 225 = 125 + 35 + 65.


178

ΠΡΟΣ

ΑΠO


Παραγωγής

100 120 150 Πηγή 1

125 0 125

120 50 140 Πηγή 2

35 40 75

130 110 170 Πηγή 3

25 25


Ζήτησης 125 35 65 225


οι εξής ποσότητες: x11 = 125 (διαγράφεται η γραµµή 1 και η στήλη 1), x22 = 35,

x23 = 40, και x33 = 25. Οι βασικές µεταβλητές εµφανίζονται στα µη κενά κελιά

του πίνακα και δεν αποτελούν βάση γιατί ο αριθµός τους είναι 4 ≠ 3+3-1 = 5.

Η λύση αυτή ονοµάζεται εκφυλισµένη. Αυθαίρετα επιλέγουµε ένα από τα µη

κενά κελιά και θεωρούµε ότι περιέχει βασική µεταβλητή µε τιµή ίση µε µηδέν,

ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη (όµως, όπως θα συζητηθεί στην Ενότητα

8.4.3, το γράφηµα των βασικών µεταβλητών δεν πρέπει να περιέχει βρόγχο,

π.χ. δεν µπορεί να θεωρηθεί ως βασική µεταβλητή η x32 επειδή δηµιουργεί

βρόγχο µε τις x33, x23, και x22). Έστω ότι η x12 = 0 είναι βασική µεταβλητή.


πολλαπλασιαστές και οι δείκτες βελτίωσης ακριβώς όπως στο Παράδειγµα 8.2.



αντικαθιστώντας µια από τις υπάρχουσες βασικές µεταβλητές. Ο βρόγχος

ορίζεται από τα κελιά (1,3), (1,2), (2,2), και (2,3). Στα (1,3) και (2,2)

προστίθεται ποσότητα, ενώ από τα (1,2) και (2,3) αφαιρείται ποσότητα θ > 0.

Από τις κορυφές που αντιστοιχούν σε αφαίρεση ποσότητας µικρότερη τιµή

έχει η (1,2) (min 0, 40). Εποµένως, η x12 εξέρχεται από τη βάση

(µηδενίζεται), θ = 0, και διαµορφώνεται ο νέος πίνακας µε νέες τιµές στις

κορυφές του βρόγχου. Προφανώς, επειδή οι µη µηδενικές βασικές µεταβλητές

δεν άλλαξαν, η τιµη της αντικειµενικής συνάρτησης παραµένει ίδια. Απλά

άλλαξε η µηδενική βασική µεταβλητή x12 µε τη x13.

179

ΠΡΟΣ

ΑΠO


Παραγωγής

100 120 150 Πηγή 1

125 0 125

120 50 140 Πηγή 2

35 40 75

130 110 170 Πηγή 3

25 25


Ζήτησης 125 35 65 225



u1 + v1 = 100 ⇒ v1 = 100

u1 + v3 = 150 ⇒ v3 = 150

u2 + v2 = 50 ⇒ v2 = 50 – (-10) = 60

u2 + v3 = 140 ⇒ u2 = 140 – 150 = -10

u3 + v3 = 170 ⇒ u3 = 170 – 150 = 20




c'12 = c12 - u1 – v2 = 120 – 0 - 60 = 60

c'21 = c21 - u2 - v1 = 120 – (-10) - 100 = 30

c'31 = c31 - u3 - v1 =130 – 20 - 100 = 10

c'32 = c32 - u3 - v2 = 110 – 20 - 60 = 30


Συνολικό κόστος = 125 x 100 + 35 x 50 + 40 x 140 + 25 x 170 = 24,100.

8.5.2 Ορισµοί και Θεωρήµατα από τη Θεωρία Γραφηµάτων

1. Γράφηµα. Είναι ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι ένα σύνολο κορυφών (ή

κόµβων) και E ένα σύνολο ακµών (ή πλευρών ή συνδέσεων). Κάθε ακµή είναι

ένα ζεύγος κορυφών (v1, v2). Ο αριθµός των κορυφών είναι η τάξη και ο

αριθµός των κορυφών το µέγεθος του γραφήµατος.

2. Ανεξάρτητο σύνολο. Είναι ένα σύνολο κορυφών που δε συνδέονται µεταξύ

τους µε ακµή.

3. ∆ιµελές γράφηµα. Υπάρχει διαµέριση κορυφών σε δύο ανεξάρτητα σύνολα

G = (Χ, Υ, E), όπου X και Y ανεξάρτητα σύνολα. Υπάρχουν ακµές µόνο µεταξύ

180

1

2

3'

2'

1'

m n

S D

κάποιας κορυφής στο Χ και κάποιας κορυφής στο Υ. Στο Π.Μ. κάθε µεταβλητή

xij αντιστοιχεί σε µια ακµή (i, j) ∈ S x D, όπου S και D τα σύνολα των πηγών

και προορισµών αντίστοιχα, και υποδηλώνει µεταφορά από το i στο j. ∆εν

υπάρχει ακµή µεταξύ δύο κορυφών -πηγών ή δύο κορυφών-προορισµών.

Εποµένως το Π.Μ. είναι διµελές γράφηµα G = (S, D, E) τάξης m+n (V = S ∪

D). Εάν υπάρχουν όλες οι m . n ακµές το διµελές γράφηµα είναι πλήρες.

4. Βαθµός κορυφής deg(vi). Ο αριθµός των ακµών που εφάπτονται στην

κορυφή.

5. ∆ιαδροµή. Είναι µια ακολουθία «διαδοχικών» ακµών, δηλαδή ακµών που η

κατάληξη πρώτης είναι η αρχή της δεύτερης. Στο γράφηµα του Π.Μ. που

φαίνεται στο σχήµα Ε = (1,1’), (1,2’), (1,n), (2,2’), (m,1’), (m,n) και η

(1,1’), (1’,m), (m,n) ή 1-1’-m-n είναι µια διαδροµή (δεν λαµβάνεται υπόψη η

κατεύθυνση στις ακµές).

6. Μονοπάτι. Είναι µια διαδροµή χωρίς επανάληψη κορυφών και ακµών. Π.χ. η

1-1’-m-n είναι µονοπάτι, ενώ η 1-1’-m-n-1-2’ δεν είναι.

7. Κύκλος. Είναι ένα µονοπάτι που τα άκρα του ταυτίζονται και δηµιουργείται

ένας βρόγχος. Π.χ. η 1-1’-m-n-1 είναι κύκλος.

8. Υπογράφηµα G’ = (V’, E’) του G = (V, E). Είναι ένα γράφηµα που προκύπτει

από το G εάν παραληφθούν κάποιες κορυφές και ακµές. Ισχύει V’⊆V και

E’⊆E.

9. ∆ένδρο. Είναι ένα γράφηµα G που δεν περιέχει κανένα κύκλο.

181

10. Συνεκτικό δένδρο (ή επικαλύπτον ή ζευγνύον). Είναι ένα δένδρο που έχει

όλες τις κορυφές και κάθε κορυφή συνδέεται µε κάποια ακµή. ∆ηλαδή, από

οποιαδήποτε κορυφή u µπορεί να φτάσει κανείς σε οποιαδήποτε άλλη κορυφή

v χωρίς επανάληψη κορυφών και ακµών, ή για κάθε ζευγάρι κορυφών u, v ∈

V, υπάρχει u–v µονοπάτι.

11. ∆άσος. Είναι µη συνεκτικό γράφηµα που αποτελείται από συνεκτικά

δένδρα.

Οι βασικές λύσεις του Π.Μ. συνδέονται µε το γράφηµα του Π.Μ µέσω του

Θεωρήµατος 1.

Θεώρηµα 1: Έστω B ⊆ S x D µια βασική λύση ενός Π.Μ. Τότε το

υπογράφηµα του γραφήµατος του Π.Μ. που προκύπτει εάν συµπεριληφθούν

µόνο οι ακµές (i, j) ∈ Β αποτελεί ένα συνεκτικό δένδρο.

Απόδειξη: Εάν xΒ είναι µια βασική λύση του Π.Μ., η x

Β πρέπει να είναι

µοναδική λύση του παρακάτω συστήµατος:

(i) ∑∈∈ BjiDj ),(:

jix = ai για i = 1, 2, .., m περιορισµός (8.2)

(ii) ∑∈∈ BjiDi ),(:

jix = bj για j = 1, 2, .., n περιορισµός (8.3)

(iii) xij = 0 για κάθε (i, j) ∉ Β

(δηλαδή οι περιορισµοί (8.2) και (8.3) περιέχουν µόνο τις βασικές µη

µηδενικές µεταβλητές).

Έστω ότι για κάποιο i ∈ S δεν υπάρχει j ώστε η xij να είναι βασική µεταβλητή

ή ισοδύναµα

j ∈ D: (i, j) ∈ B = ∅, τότε η ισότητα για αυτό το i γράφεται 0 = ai ≠ 0,

άτοπο.

Εποµένως όλες οι κορυφές i ∈ S συνδέονται µε τουλάχιστον µια ακµή (i, j) ∈

B (στον πίνακα του Π.Μ. υπάρχει τουλάχιστον µια µη κενή θέση σε κάθε

γραµµή).

Παρόµοια, όλες οι κορυφές j ∈ D συνδέονται µε τουλάχιστον µια ακµή (i, j) ∈

B (στον πίνακα του Π.Μ. υπάρχει τουλάχιστον µια µη κενή θέση σε κάθε

στήλη).

Εποµένως, κάθε κορυφή στο S ∪ D συνδέεται µε τουλάχιστον µια ακµή, όπως

απαιτείται για ένα συνεκτικό δένδρο. Έστω τώρα ότι υπάρχει ένας κύκλος i1-

j1-i2-j2-…-ik-jk-i1 στο γράφηµα µε κορυφές στο S ∪ D και ακµές που

αντιστοιχούν σε θέσεις βασικών µεταβλητών, όπου i1, i2, …, ik ⊆ S και j1,

182

j2,…, jk ⊆ D. Προφανώς, ο κύκλος αυτός πρέπει να έχει άρτιο αριθµό ακµών.

Συνεπώς, εάν επιλεγεί θ > 0, και τεθεί x'i1j1 = xBi1j1 + θ, x'j1i2 = xB

j1i2 – θ, x'i2j2 = xBi2j2

+ θ, …, x'ikjk = xBikjk + θ και x'jki1 = xB

jki1 – θ, τότε η x’ είναι επίσης λύση του

συστήµατος (i)-(iii). Αυτό είναι άτοπο γιατί έγινε η υπόθεση ότι η xΒ είναι

µοναδική λύση. Άρα, δεν υπάρχει κύκλος και το υπογράφηµα της βασικής

λύσης αποτελεί ένα συνεκτικό δένδρο.

Θεώρηµα 2: Έστω G = (V, E) ένα γράφηµα που είναι δένδρο και έστω E ≠ ∅.

Τότε υπάρχει µια κορυφή v ∈ V µε ακριβώς µια ακµή συνδεµένη µε αυτή.

Απόδειξη: Έστω i1 ∈ V µια κορυφή. Εάν η i1 έχει µόνο µια ακµή συνδεµένη

µε αυτή, ισχύει το θεώρηµα. Αλλοιώς, έστω ότι (i1, i2) είναι µια ακµή

συνδεµένη µε την κορυφή i2 ∈ V–i1. Εάν αυτή είναι η µόνη ακµή συνδεµένη

µε την i2, ισχύει το θεώρηµα. Αλλοιώς, έστω ότι η i2 είναι συνδεµένη µε την

κορυφή i3 ∈ V–i2. Εάν i3 = i1 υπάρχει κύκλος, εποµένως επειδή το γράφηµα

είναι δένδρο ισχύει i3 ≠ i1. Εάν η i3 είναι η µόνη ακµή συνδεµένη µε την i2,

ισχύει το θεώρηµα. Αλλοιώς, έστω ότι η i3 είναι συνδεµένη µε την κορυφή i4 ∈

V–i3, η οποία δεν µπορεί να είναι κάποια από τις προηγούµενες κορυφές,

γιατί δηµιουργείται κύκλος. Η διαδικασία σε κάποια κορυφή πρέπει να

τερµατιστεί, άρα θα προκύψει µια κορυφή µε ακριβώς µια ακµή συνδεµένη µε

αυτή.

Πόρισµα 1: Ένα δένδρο έχει πάντοτε µια κορυφή µε βαθµό 1.

Θεώρηµα 3: Έστω G = (V, E) ένα γράφηµα που είναι δένδρο. Τότε το

υπογράφηµα που προκύπτει εάν παραληφθεί µια ακµή G’ = (V, E-(i,j)) όπου

(i,j)∈E, είναι δένδρο.

Απόδειξη: Εάν το υπογράφηµα G’ έχει έναν κύκλο, τότε προφανώς και το G

έχει τον ίδιο κύκλο, οπότε δε θα ήταν δένδρο. Άρα και το G’ είναι δένδρο.

Πόρισµα 2: Συνδυάζοντας τα Θεωρήµατα 1, 2 και 3, προκύπτει ότι ο πίνακας

µιας βασικής λύσης ενός Π.Μ. έχει πάντοτε µια γραµµή ή µια στήλη µε µόνο

µια µη κενή θέση. Εάν διαγραφεί αυτή η γραµµή ή στήλη ο προκύπτων

πίνακας θα έχει πάλι µια γραµµή ή µια στήλη µε µόνο µια µη κενή θέση κοκ

µέχρι να διαγραφούν όλες οι γραµµές και στήλες.

Με βάση το Πόρισµα 2 µπορεί να ελέγχεται εάν µια εφικτή λύση είναι βασική

ως εξής:

Βήµα 1: διαγράφονται όλες οι γραµµές του πίνακα µεταφοράς µε µόνο µια µη

κενή θέση

183

1

2

3'

2'

1'

4 5'

34'

Βήµα 2: διαγράφονται όλες οι στήλες του πίνακα µεταφοράς µε µόνο µια µη

κενή θέση

Βήµα 3: επιστροφή στο Βήµα 1, µέχρι να µην υπάρχουν γραµµές και στήλες µε

µόνο µια µη κενή θέση. Εάν έχουν διαγραφεί όλες οι γραµµές και όλες οι

στήλες η λύση είναι βασική.

Θεώρηµα 4: Έστω G = (V, E) ένα γράφηµα που είναι συνεκτικό δένδρο. Τότε

ο αριθµός των ακµών είναι ίσος µε τον αριθµό των κορυφών µείον ένα

ή |E| = |V| -1.

Απόδειξη: Έστω i1 ∈ V µια κορυφή µε βαθµό 1. Θεωρείστε το συνεκτικό

δένδρο που προκύπτει από το G εάν παραληφθεί η κορυφή i1 και η ακµή που

συνδέεται µε αυτή. Το υπογράφηµα αυτό έχει επίσης µια κορυφή i2 ∈ V–i1

µε βαθµό 1. Εάν παραληφθεί η κορυφή i2 και η ακµή που συνδέεται µε αυτή,

προκύπτει πάλι ένα συνεκτικό δένδρο. Η διαδικασία µπορεί να συνεχιστεί έως

ότου αποµείνουν µόνο δύο κορυφές. Στο σηµείο αυτό θα έχουν αφαιρεθεί |V| -

2 κορυφές και |V| -2 ακµές. Επειδή το αποµένον υπογράφηµα µε τις δύο

κορυφές είναι συνεκτικό δένδρο, περιέχει µια ακµή, άρα |E| = |V| -1.

Πόρισµα 3: Συνδυάζοντας τα Θεωρήµατα 1 και 4, προκύπτει ότι µια βασική

λύση ενός Π.Μ.

(α) έχει ακριβώς m+n-1 βασικές µεταβλητές

(β) έχει τουλάχιστον µια µη κενή θέση σε κάθε γραµµή και σε κάθε στήλη του

πίνακα µεταφοράς

(γ) το υπογράφηµα που ορίζουν οι ακµές (i, j) ∈ Β αποτελεί ένα συνεκτικό

δένδρο.

Παράδειγµα 8.10 – Πίνακες Π.Μ. ως διµελή γραφήµατα

Στους επόµενους πίνακες Π.Μ. µε m = 4 και n =5 φαίνονται οι θέσεις και οι

τιµές των µεταβλητών τριών εφικτών λύσεων. Να εξεταστεί µέσω διµελών

γραφηµάτων εάν οι λύσεις αυτές είναι βασικές.

Ο αριθµός των βασικών µεταβλητών είναι m+n-1 = 8

17 3 20

6 9 15

4 18 10 32

13 12 25

17 10 18 23 24 92

184

1

2

3'

2'

1'

4 5'

34'

1

2

3'

2'

1'

4 5'

34'

(α) Η λύση έχει 9 > 8 µεταβλητές µε θετική τιµή, συνεπώς δεν είναι βασική.

Το γράφηµα που αντιστοιχεί στη µη βασική εφικτή λύση περιέχει τον κύκλο 2-

2’-3-4’-4-5’-2.

20 20

10 5 9 15

17 13 2 32

1 24 25

17 10 18 23 24 92

(β) Η λύση έχει 8 µεταβλητές µε θετική τιµή και έχει τουλάχιστον µια µη κενή

θέση σε κάθε γραµµή και σε κάθε στήλη του πίνακα. Το γράφηµα είναι

συνεκτικό δένδρο γιατί από οποιαδήποτε κορυφή u µπορεί να φτάσει κανείς σε

οποιαδήποτε άλλη κορυφή v χωρίς επανάληψη κορυφών και ακµών. Συνεπώς

η λύση είναι εφικτή και βασική.

17 3 20

15 0 15

10 22 32

1 24 25

17 10 18 23 24 92

(γ) Η λύση έχει 7 < 8 µεταβλητές µε θετική τιµή, συνεπώς είναι εκφυλισµένη

εάν τεθεί µια επιπλέον βασική µεταβλητή ίση µε 0. Η λύση έχει τουλάχιστον

µια µη κενή θέση σε κάθε γραµµή και σε κάθε στήλη του πίνακα. Το γράφηµα

που αντιστοιχεί στην εφικτή λύση δεν είναι συνεκτικό, γιατί από την κορυφή 1

δεν µπορεί να φτάσει κανείς στην κορυφή 2’. Το γράφηµα αποτελείται από τα

συνεκτικά δένδρα που ορίζονται από τα σύνολα κορυφών Χ = 1, 1’, 2, 3’ και

Υ = 3, 2’, 4’, 4, 5’ και συνεπώς είναι δάσος.

185

1

2

3'

2'

1'

4 5'

34'

1

2

3'

2'

1'

4 5'

34'

Εάν προστεθεί η επιπλέον βασική µεταβλητή x25 = 0 που αντιστοιχεί στην

ακµή 1-5’ το γράφηµα γίνεται συνεκτικό και η λύση είναι εφικτή, εκφυλισµένη

και βασική (γράφηµα αριστερά). Εάν προστεθεί η επιπλέον βασική µεταβλητή

x35 = 0 που αντιστοιχεί στην ακµή 3-5’ το γράφηµα παραµένει µη συνεκτικό

(γράφηµα δεξιά). Είναι προφανές ότι η επιπλέον βασική µεταβλητή xpq = 0

πρέπει να έχει p ∈ X και q ∈ Y.

8.6 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ

Το πρόβληµα ανάθεσης είναι µια ειδική περίπτωση του Π.Μ. στο οποίο

ισχύουν τα εξής:

Ένα σύνολο n ατόµων Ri (i = 1, 2, …, m) καλούνται να εκτελέσουν ένα

σύνολο n εργασιών Dj (j = 1, 2, …, n). Κάθε άτοµο µπορεί να αναλάβει µόνο

µια εργασία και κάθε εργασία εκτελείται από µόνο ένα άτοµο. Κάθε εργασία

εκτελείται ή δεν εκτελείται (δεν νοείται µερική εκτέλεση της εργασίας). Έστω

cij τo κόστος εκτέλεσης της εργασίας j από το άτοµο i. Στόχος είναι να

ανατεθούν στα άτοµα i οι εργασίες j ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό

κόστος.

Είναι σαφές ότι η βέλτιστη λύση είναι εκείνη που ελαχιστοποιεί το κόστος από

όλους τους συνδυασµούς άτοµο-έργο. Είναι εύκολο να αποδειχθεί µε

µαθηµατική επαγωγή ότι ο αριθµός των συνδυασµών είναι n! και εποµένως

είναι αδύνατον για µεγάλo n να επιλυθεί το πρόβληµα µε εξαντλητικό έλεγχο

όλων συνδυασµών. Απαιτείται λοιπόν λύση µε αλγοριθµική µέθοδο.

186

Η µαθηµατική διατύπωση του προβλήµατος έχει ως εξής:

min f = ∑∑= =

n

i

n

j1 1

cij xij (συνολικό κόστος)

(8.1)’

όπου xij = 0 εάν στο άτοµο i ανατίθεται η εργασία j και = 1 διαφορετικά

(δίτιµες µεταβλητές)

κάτω από ∑=

n

j 1

xij = 1 για i = 1, 2, .., n (8.2)’

∑=

n

i 1

xij = 1 για j = 1, 2, .., n (8.3)’

xij ∈ 0, 1 (8.4)’

Είναι προφανές ότι το παραπάνω είναι µια ειδική περίπτωση του Π.Μ. όπου ai

= 1, ∀i, bj = 1 ∀ j και xij ∈ 0, 1 και µπορεί να επιλυθεί µε τις ίδιες µεθόδους.

Παράδειγµα 8.11 – Ανάθεση έργων

Πρόκειται να ανατεθούν τρία έργα 1, 2 και 3 σε τρεις εταιρείες 1, 2, και 3.

Κάθε εταιρεία µπορεί να αναλάβει οποιοδήποτε έργο, αλλά λόγω διαφορετικής

εµπειρίας θα είναι πιο ικανή να εκτελέσει κάποιο από αυτά. Οι χρόνοι

εκτέλεσης σε µήνες από κάθε εταιρεία του κάθε έργου είναι γνωστοί και

φαίνονται στον πίνακα. Ζητείται να καθοριστεί σε ποια εταιρεία θα ανατεθεί

κάθε έργο ώστε να ελαχιστοποιείται ο συνολικός χρόνος εκτέλεσης των έργων.

Στα προβλήµα ανάθεσης υπάρχει εξ ορισµού ισοζύγιο.


ΠΡΟΣ

ΑΠO

Έργο 1 Έργο 2 Έργο 3 Περιορισµός

Παραγωγής

33 45 22 Εταιρεία 1

1 0 1


1 1


0 1 1


Ανάθεσης 1 1 1 3


οι εξής ποσότητες: x11 = 1, x22 = 1, και x33 = 1. Οι θετικές βασικές µεταβλητές

είναι 3 < 5, άρα η λύση είναι εκφυλισµένη και πρέπει να προστεθούν δύο

187

1

2

3'

2'

1'

3

1

2

3'

2'

1'

3

επιπλέον βασικές µεταβλητές ίσες µε 0. Η λύση έχει τουλάχιστον µια µη κενή

θέση σε κάθε γραµµή και σε κάθε στήλη του πίνακα. Το γράφηµα αριστερά

που αντιστοιχεί στην εφικτή λύση δεν είναι συνεκτικό, γιατί από την κορυφή 1

δεν µπορεί να φτάσει κανείς στην κορυφή 2’. Εάν προστεθούν οι επιπλέον

βασικές µεταβλητές x12 = 0 που αντιστοιχεί στην ακµή 1-2’ και x31 = 0 που

αντιστοιχεί στην ακµή 3-1’ το γράφηµα γίνεται συνεκτικό και η λύση είναι

εφικτή, εκφυλισµένη και βασική (γράφηµα δεξιά).

Συνολικό κόστος = 33 + 32 + 24 = 89


Γράφονται οι εξισώσεις (8.13) για τα µη κενά κελιά και θέτοντας u1 = 0,

υπολογίζονται οι πολλαπλασιαστές:

u1 + v1 = 33 ⇒ v1 = 33

u1 + v2 = 45 ⇒ v2 = 45

u2 + v2 = 32 ⇒ u2 = 32 - 45 = -13

u3 + v1 = 31 ⇒ u3 = 31 - 33 = -2

u3 + v3 = 24 ⇒ v3 = 24 – (-2) = 26

Για τις µη βασικές µεταβλητές, που αντιστοιχούν στα κενά (µη βασικές

µεταβλητές) κελιά του πίνακα, υπολογίζονται οι νέοι συντελεστές κόστους (ή

δείκτες βελτίωσης) από την εξίσωση (8.11):

c'13 = c13 – u1 – v3 = 22 – 0 - 26 = -4 < 0

c'21 = c21 – u2 – v1 = 28 – (-13) - 33 = 8

c'23 = c23 – u2 – v3 = 35 – (-13) - 26 = 22

c'32 = c32 – u3 – v2 = 36 – (-2) - 45 = -7 < 0

(Στο παρόν πρόβληµα είναι πολύ εύκολο να εντοπιστούν οι βρόγχοι για τα

κενά κελιά και να υπολογιστούν απευθείας οι δείκτες βελτίωσης:

c'13 = c13 - c11 + c31 – c33 = 22 – 33 + 31 - 24 = -4 < 0

c'21 = c21 – c22 + c12 – c11 = 28 – 32 + 45 - 33 = 8

c'23 = c23 – c22 + c12 – c11 + c31 – c33 = 35 – 32 + 45 – 33 + 31 - 24 = 22

c'32 = c32 – c12 + c11 – c31 = 36 – 45 + 33 - 31 = -7 < 0)

δείκτες βελτίωσης c'13 και c'32 είναι αρνητικοί, άρα η λύση δεν είναι βέλτιστη.

Η µη βασική µεταβλητή x32 µε τον πλέον αρνητικό δείκτη βελτίωσης δεν

188

µπορεί να εισέλθει στη βάση γιατί ο βρόγχος της ορίζεται από τα κελιά (3,2),

(1,2), (1,1), και (3,1). Στα (3,2) και (1,1) προστίθεται ποσότητα 1, ενώ από τα

(1,2) και (3,1) που είναι 0 αφαιρείται ποσότητα 1. Αυτό είναι άτοπο γιατί οι

µεταβλητές ∈ 0, 1. Η µη βασική µεταβλητή x13 µπορεί να εισέλθει στη

βάση γιατί ο βρόγχος της ορίζεται από τα κελιά (3,1), (1,1), (3,1), και (3,3).

Στα (1,3) και (3,1) που είναι 0 προστίθεται ποσότητα 1, ενώ από τα (1,1) και

(3,3) που είναι 1 αφαιρείται ποσότητα 1. ∆ιαµορφώνεται ο νέος πίνακας µε

νέες τιµές στις κορυφές του βρόγχου.

Συνολικό κόστος = 22 + 32 + 31 = 85

ΠΡΟΣ

ΑΠO

Έργο 1 Έργο 2 Έργο 3 Περιορισµός

Παραγωγής


0 0 1 1


1 1


1 0 1


Ανάθεσης 1 1 1 3

Οι θετικές βασικές µεταβλητές είναι 3 < 5, άρα η λύση είναι εκφυλισµένη και

πρέπει να προστεθούν δύο επιπλέον βασικές µεταβλητές ίσες µε 0. Η λύση έχει

τουλάχιστον µια µη κενή θέση σε κάθε γραµµή και σε κάθε στήλη του πίνακα.

Για να είναι το γράφηµα συνεκτικό και η λύση είναι εφικτή, εκφυλισµένη και

βασική τίθεται x11 = x12 = 0. Οι βρόγχοι για τις µη βασικές µεταβλητές (κενά

κελιά) είναι προφανείς. Οι µη βασικές µεταβλητές x22 και x32 δεν µπορεί να

γίνουν βασικές γιατί παραβιάζεται ο περιορισµός ότι οι µεταβλητές ∈ 0, 1.

Οι δείκτες βελτίωσης για τις x23 και x33 είναι θετικοί:

c'23 = c23 – c22 + c12 – c11 = 35 – 32 + 45 – 33 = 15

c'33 = c33 - c13 + c11 – c31 = 24 – 22 + 33 - 31 = 4

Άρα η λύση είναι βέλτιστη. Η Εταιρεία 1 αναλαµβάνει το Έργο 3, η 2 το 2 και

η 3 το 1 µε συνολικό κόστος 85 µήνες.

8.7 Η ΟΥΓΓΡΙΚΗ ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ

Η ουγγρική µέθοδος είναι ένας αλγόριθµος που αναπτύθηκε από Harold

Kuhn το 1955 για τη λύση του προβλήµατος ανάθεσης. Η µαθηµατική βάση

της µεθόδου είναι το εξής θεώρηµα:

189

Θεώρηµα: Έαν ένας αριθµός προστεθεί ή αφαιρεθεί από όλα τα στοιχεία

οποιασδήποτε γραµµής ή στήλης του πίνακα κόστους ενός προβλήµατος

ανάθεσης, τότε η λύση για το νέο πρόβληµα ανάθεσης είναι ίδια µε τη λύση

του αρχικού προβλήµατος ανάθεσης.

Η ουγγρική µέθοδος για την επίλυση του προβλήµατος ανάθεσης χρησιµοποιεί

διαδοχικά το θεώρηµα για έναν πίνακα κόστους n x n µε τα εξής βήµατα:

(σε κάθε βήµα αν ο ελάχιστος αριθµός των διαγραµµισµένων σειρών ή στηλών

που απαιτούνται για να καλύψουµε όλα τα 0 είναι ίσος µε τον αριθµό των

σειρών ή στηλών του πίνακα, τότε µπορεί να γίνει µια βέλτιστη ανάθεση).

Βήµα 1: Αφαιρούµε τον µικρότερο αριθµό σε κάθε σειρά από κάθε αριθµό

στην ίδια σειρά

Βήµα 2: Αφαιρούµε τον µικρότερο αριθµό > 0 σε κάθε στήλη από κάθε

αριθµό στην ίδια στήλη (µόνο για στήλες που δεν έχουν 0).

Βήµα 3: Αφαιρούµε τον µικρότερο αριθµό στα τετράγωνα που δεν είναι

διαγραµµισµένα από κάθε άλλο αριθµό σε αυτά τα τετράγωνα. Ο αριθµός

αυτός προστίθεται σε κάθε αριθµό που βρίσκεται σε κάθε τοµή

διαγραµµισµένων σειρών ή στηλών.

Παράδειγµα 8.12 – Ανάθεση έργων

Επίλυση του Παραδείγµατος 8.11 µε την ουγγρική µέθοδο.

Ο πίνακας κόστους του Παραδείγµατος 8.11 είναι:

33 45 22

28 32 35

31 36 24

Βήµα 1: Αφαιρούµε το 22 από κάθε αριθµό στην 1η σειρά, το 28 από κάθε

αριθµό στη 2η σειρά και το 24 από κάθε αριθµό στην 3η σειρά.

11 23 0

0 4 7

7 12 0

Ο ελάχιστος αριθµός των σειρών ή στηλών που απαιτούνται να

διαγραµµιστούν για να καλύψουµε όλα τα 0 είναι ίσος 2 < 3 (αριθµός των

σειρών ή στηλών του πίνακα), άρα δεν µπορεί να γίνει βέλτιστη ανάθεση.

Βήµα 2: Αφαιρούµε το 4 (µικρότερο αριθµός > 0 στη 2η στήλη) από κάθε

αριθµό στη 2η στήλη.

190

S1

S2

D3

D2

D1

[500]

[400]

[-400]

[-300]

[-200]

(10)

(20)(15)

(12)

(15)

(18)

11 19 0

0 0 7

7 8 0


διαγραµµιστούν για να καλύψουµε όλα τα 0 είναι ίσος 2 < 3 ), άρα δεν µπορεί

να γίνει βέλτιστη ανάθεση.

Βήµα 3: Αφαιρούµε το 7 (µικρότερος αριθµός στα τετράγωνα που δεν είναι

διαγραµµισµένα) από κάθε άλλο αριθµό σε αυτά τα τετράγωνα. Ο αριθµός

αυτός προστίθεται σε κάθε αριθµό που βρίσκεται σε κάθε τοµή

διαγραµµισµένων σειρών ή στηλών.

4 12 0

0 0 14

0 1 0


διαγραµµιστούν για να καλύψουµε όλα τα 0 είναι ίσος 3, άρα µπορεί να γίνει

βέλτιστη ανάθεση. Μηδέν σε κάποιο τετράγωνο (i, j) σηµαίνει ότι η Εταιρεία i

αναλαµβάνει το αντίστοιχο Έργο j. Στην 1η γραµµή υπάρχει ένα 0, άρα η

Εταιρεία 1 παίρνει το Έργο 3, από την 3η γραµµή προκύπτει ότι η Εταιρεία 3

παίρνει το Έργο 1, και τέλος από τη 2η γραµµή προκύπτει ότι η Εταιρεία 2

παίρνει το Έργο 2.


8.1 Στο παρακάτω διάγραµµα φαίνεται ένα πρόβληµα µεταφοράς σε µορφή

δικτύου. Οι πηγές συµβολίζονται µε S στα δεξιά και οι προορισµοί µε D στα

δεξιά. Τα επίπεδα κατανάλωσης και παραγωγής φαίνονται σε αγκύλες

[επίπεδο], και τα κόστη µεταφοράς σε παρενθέσεις (κόστος). Οι µη

πραγµατοποιήσιµες συνδέσεις δεν περιλαµβάνονται στο γράφηµα.

191

(α) Να διατυπωθεί ο πίνακας επίλυσης του προβλήµατος µεταφοράς µε τις

γραµµές να αντιστοιχούν στις πηγές και τις στήλες να αντιστοιχούν

στους προορισµούς.

(β) Να εφαρµοστεί η µέθοδος MODI για να βρεθεί η βέλτιστη λύση και να

υπολογιστεί το κόστος της.

8.2 Μια επιχείρηση κατατάσσει τους υπαλλήλους της στις κατηγορίες Κ-1, Κ-

2, Κ-3 και Κ-4 ανάλογα µε τα προσόντα τους, όπου στην Κ-1 είναι οι λιγότερο

και στην Κ-4 οι περισσότερο εξειδικευµένοι υπάλληλοι. Σήµερα η επιχείρηση

έχει 60 Κ-1, 50 Κ-2, 40 Κ-3 και 50 Κ-4 υπαλλήλους και επιθυµεί να βελτιώσει

τη συνολική ποιότητα των υπαλλήλων της µέσω ενός προγράµµατος

επιδότησης σπουδών µε το οποίο µπορεί κάθε υπάλληλος να ανέβει κατηγορία.

Η επιχείρηση θέτει σαν στόχο να έχει τελικά 20 Κ-1, 50 Κ-2, 50 Κ-3 και 80 Κ-

4 υπαλλήλους. Το κόστος του προγράµµατος (σε χιλιάδες ευρώ) για να

αλλάξει κατηγορία ένας υπάλληλος φαίνεται στον πίνακα.

Βελτίωση Κόστος κατάρτισης

Κ-1 Κ-4 12

Κ-1 Κ-3 7

Κ-1 Κ-2 3

Κ-2 Κ-3 8

Κ-2 Κ-4 5

Κ-3 Κ-4 6

Η επιχείρηση χρειάζεται να αποφασίσει πόσοι υπάλληλοι θα ανέβουν από κάθε

κατηγορία στις παραπάνω κατηγορίες ώστε να επιτύχει τον στόχο της µε

ελάχιστο κόστος.

(α) Να διατυπωθεί το πρόβληµα της εταιρείας σαν πρόβληµα µεταφοράς και

να διαµορφωθεί ο πίνακας για την επίλυσή του.

(β) Να βρεθεί µια αρχική βασική λύση µε τη µέθοδο της Β∆ γωνίας και να


(γ) Να βρεθεί µε τη µέθοδο Vogel µια αρχική βασική δυνατή λύση. Στη

συνέχεια να βρεθεί η βέλτιστη λύση µε τη µέθοδο MODI και να


8.3 Η Περιφέρεια διαθέτει τρία εκχιονιστικά στις αποθήκες Α, Β, και Γ και

πρέπει να µεταφέρει από ένα εκχιονιστικό σε κάθε σηµείο 1, 2 και 3. Το

κόστος µεταφοράς φαίνεται στον πίνακα.

1 2 3

Α 250 400 350

Β 400 600 350

Γ 200 400 250

192

Χρησιµοποιώντας την Ουγγρική µέθοδο να αποφασιστεί πως πρέπει να γίνει η

µεταφορά ώστε το κόστος να είναι ελάχιστο.

250 400 350

400 600 350

200 400 250

0 150 100

50 250 0

0 200 50

0 0 100

50 100 0

0 50 50

Το Α στο 2, το Β στο 3 και το Γ στο 1. Κόστος µεταφοράς = 950

8.4 Μια κατασκευαστική εταιρεία διαθέτει τέσσερις προωθητές 1, 2, 3, και 4

καθένα σε διαφορετική αποθήκη και πρέπει να µεταφέρει από έναν προωθητή

σε κάθε εροτάξιο Α, Β, Γ και ∆. Η απόσταση σε χιλιόµετρα µεταξύ των

αποθηκών και των εργοταξίων φαίνεται στον πίνακα.

Α Β Γ ∆

1 90 75 75 80

2 35 85 55 65

3 125 95 90 105

4 45 110 95 115

Χρησιµοποιώντας την Ουγγρική µέθοδο να αποφασιστεί πως πρέπει να γίνει η

µεταφορά ώστε η συνολική απόσταση µεταφοράςνα είναι ελάχιστη.

90 75 75 80

35 85 55 65

125 95 90 105

45 110 95 115

15 0 0 5

0 50 20 30

35 5 0 15

0 65 50 70

15 0 0 0

0 50 20 25

35 5 0 10

0 65 50 65

35 0 0 0

0 30 0 5

55 5 0 10

0 45 30 45

40 0 5 0

0 25 0 0

55 0 0 5

0 40 30 40

Ο 4 στο Α, ο 1 στο Β, ο 3 στο Γ και ο 2 στο ∆. Συνολική απόσταση = 275

Ο 4 στο Α, ο 1 στο ∆, ο 2 στο Γ και ο 3 στο Β. Συνολική απόσταση = 275

00 master document A v2 - Αποθετήριο Κάλλιπος: …...ΣΥΝ∆ΕΣΜΟΣ...

Documents

Transcript of 00 master document A v2 - Αποθετήριο Κάλλιπος: …...ΣΥΝ∆ΕΣΜΟΣ...