Υπολογιστική Τομογραφία Ακτίνων-Χ(X-ray Computed Tomography, CT)

Κωσταρίδου Ελένη

Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Ιατρικής Φυσικής

Εργαστήριο Ιατρικής Φυσικής, Τμήμα Ιατρικής, Πανεπιστήμιο Πατρών

Τελευταία ενημέρωση Μάρτιος 2014, Ε. Κωσταρίδου

1

Προβολική Απεικόνιση Ακτίνων X(ακτινογράφηση)

Στη προβολική απεικόνιση η εικόνα αναπαριστά την εξασθένηση της δέσμης ακτίνων X, που προέρχεται από την επιπροβολή της εξασθένησης, λόγω όλων των επί μέρους δομών (ιστών) κατά μήκος της διαδρομής της δέσμης στο σώμα του ασθενούς.

φιλμ (δισ-διάστατη αναλογική προβολική καταγραφή)

2

Η επιπροβολή αντιμετωπίζεται μέσω τρισδιάστατης απεικόνισης, βλ. εικόνα β.

Παράδειγμα τρισδιάστατης απεικόνισης θώρακος στην υπολογιστική τομογραφία ακτίνων Χ κατά μήκος των κύριων ανατομικών αξόνων. Δισδιάστατη απεικόνιση στα αντίστοιχα επίπεδα (εγκάρσιο,γ, στεφανιαίο, α, οβελιαίο, δ).

α β

γ δ

3-διάστατη απεικόνιση

3

Τομογραφική Απεικόνιση Ακτίνων Χ(Υπολογιστική Τομογραφία, CT)

Η παρέχει εικόνες τομώντου υπό εξέταση αντικειμένου (ανθρώπινο σώμα).

Βασικά χαρακτηριστικά:

• Εστιασμένη δέσμη ακτίνων-Χ

• Προβολές τομής

• Αλγόριθμος ανακατασκευής τομογραφικών εικόνων

Η τομή αποτελείται από διακριτά στοιχεία όγκου(ογκοστοιχεία, voxels).In-plane resolution: χωρική διακριτική ικανότητα στο επίπεδο x,y; Μέγεθος εικονοστοιχείου (Δx, Δy)Z-axis resolution: πάχος τομής (S)

4

x

Η τρισδιάστατη απεικόνιση προκύπτει ως αποτέλεσμα διαθέσιμης επαλληλίας τομών κατά μήκος του άξονα z

α β

γ δ

3-διάστατη απεικόνιση ως επαλληλία τομών

5

επαλληλία τομών

z

x

y

Γιατί CT;(α) τομογραφική εικόνα κεφαλής (εγκάρσια )

(β) προβολική εικόνα (οβελιαία)

Η τομογραφική εικόνα (α) αναπαριστά την εξασθένηση της δέσμης ακτίνων X που οφείλεται σε κάθε voxel μιας τομής. Η αντίθεση εικόνας καθορίζεται από τις

διαφορές των τιμών έντασης (τόνοι του γκρι) γειτονικών voxel.

Στη προβολική απεικόνιση (β), η αντίθεση εικόνας ορίζεται με τον ίδιο τρόπο, μόνο

που οι τιμές έντασης της εικόνας προκύπτουν από την επιπροβολή της εξασθένησης, λόγω όλων των επί μέρους voxel κατά μήκος τηςδιαδρομής της δέσμης (που συνήθως αντιστοιχούν και σε διαφορετικό είδος ιστού). 6

Τι μετράμε στο CT;

Στην αναλογική προβολική ακτινογράφηση μόνο η χωρική κατανομή της έντασης της δέσμης μετά την αλληλεπίδρασή της με το αντικείμενο μετράται: I(x,y).

Στην υπολογιστική τομογραφία εκτός της μέτρησης της έντασης της δέσμης μετά την αλληλεπίδρασή της με το αντικείμενο (I) μετράται και η ένταση της πρωτογενούς ακτινοβολίας I0, ώστε να υπολογισθεί η εξασθένησή της της δέσμης σε κάθε προβολή.

7

Γραμμικός συντελεστής εξασθένησης ακτινοβολίας Χ: υλικό/πάχος υλικού

Οι μηχανισμοί αλληλεπίδρασης φωτονίων Χ και ύλης σε επίπεδο ατόμου, είναι υπεύθυνοι για την μακροσκοπική εξασθένηση της έντασης της προσπίπτουσας ομοιόμορφης δέσμης στο προς απεικόνιση αντικείμενο.

NdxdN N

N

X

o

dxN

dN

0

XN

N

o

ln XoeNN

Ο γραμμικός συντελεστής εξασθένησης μ έχει μονάδες αντιστρόφου μήκους, και εκφράζει τη πιθανότητα εξασθένησης ενός φωτονίου Χ ανά μονάδα μήκους του υλικού. Στο εύρος ακτινοδιαγνωστικών ενεργειών (10-150 keV) οι μηχανισμοί που συμμετέχουν είναι το φωτοηλεκτρικό και σκέδαση Compton. 8

Μαζικός συντελεστής εξασθένησης (μ/ρ)

Το μ(Ζ,ρe,Ε) είναι συνάρτηση του ατομικού αριθμού Ζ , της πυκνότητας e-καθώς και της ενέργειας Ε της προσπίπτουσας δέσμης ακτίνων Χ σε αυτό.

Διαίρεση του μ με τη πυκνότητα παρέχει το μαζικό συντελεστή εξασθένησης με μονάδες

][

][ 2

m

l

Και το μ και το μ/ρ εκφράζουν τη συνολική πιθανότητα εξασθένησης, που οφείλεται σε όλες τις επιμέρους αλληλεπιδράσεις.

9

Υπολογισμός του συντελεστή γραμμικής εξασθένησης μ(x,y)

1. Ομοιογενές Αντικείμενο/Μονοχρωματική Δέσμη (ενιαίος συντελεστής εξασθένησης)

2. Ανομοιογενές Αντικείμενο/Μονοχρωματική Δέσμη: προϋποθέτει άθροισμα (ολοκλήρωμα) της επιμέρους εξασθένησης κατά μήκος των διαδρομών (di) των συστατικών του αντικειμένου (τοπικοί συντελεστές εξασθένησης μi).

3. Ανομοιογενές αντικείμενο/Πολυχρωματική Δέσμη??

Dual energy/Spectral CT

10

Single slice CT generations

11

Electron Beam CT(5th generation)

12

An electron beam is swept across a semicircular anode, ring which encloses the patient. It permits single scans in the range of 30 to 100 ms without mechanical motion.

13

Single Detector vs. Multi-detector CT

Single slice CT

4 slice MDCT

D: beam collimation/pitchd:detector row collimation/pitch

d:detector row collimationN: #detector rows

N

mm Dmm d

) () (

14

Sequence-axial mode:Circular motion of the tube for a specific z axis location. To increase the coverage of the z-axis the table has to be linearly moved at a new position for a new acquisition(step and shoot)

Hellical mode: Comination of the circular motion of the tube in the x, y plane with linear motion of the patient table at the same time, resulting in inceased coverage with important time savings (continuous acquisition mode)

Sequential vs. Hellical Data Acquisition CT

y

xz

15

Concepts of Hellical-MDCTPitch, p, of a helical scan: the ratio of the table translating distance per helical gantry rotation (s) to the thickness of the x-ray beam.

( / )

( )

s mm rotationp

D mm

( / )

( )

s mm rotationp

d mm

Single slice CT MDCT

16

Concepts of Hellical-MDCT: Z-axis resolution

Helical z sampling pattern: single slice CT (solid line). Helical z sampling pattern: single slice CT, exploiting 180 ° projection measurements periodicity (dashed line).Z-axis resolution: s and s/2 respectively.

Helical z sampling pattern: 4-slice MDCT (solid lines).Helical z sampling pattern: 4-slice CT, exploiting 180 ° projection measurements periodicity (dashed lines).β: rotation angle, z: sampling positions

ds

zz n )(2 00

17

)2

1( n

NZn

n: detector index (1, …,N: #detector rows)

Concepts of Hellical-MDCT: Z-axis resolution

Gantry angle β0 when table location is at z0

d: the gap of the solid helix, s=pd for the solid helix and s/2=p/2 x d, p: pitch

18

Concepts of Hellical-MDCT: optimal z-sampling

Το διάστημα μεταξύ ελίκων (solid and dashed) καθορίζει την αποδοτικότητα του αλγορίθμου παρεμβολής, και επομένως την ποιότητα εικόνας. Όσο πιο μικρό το μήκος του διαστήματος αυτού τόσο πιο αυξημένη η χωρική διακριτική ικανότητα στον άξονα Ζ.Το μήκος του διαστήματος αυτού εξαρτάται από p και d.

Uniform vs. Variable detector size (sampling)

19

Uniform size of detector elements.Non-uniform size of detector elements, enables efficient slice thicknesses, by combining detector signals.

20

Multidetrector row CT: “slice race”

CT image reconstruction

21

Γεωμετρία παράλληλης δέσμης(parallel-beam geometry)

Παράμετροι: θ, η γωνία που σχηματίζει η διεύθυνση της δέσμης ακτίνων X με τον άξονα y

r, η γραμμική απόσταση από την αρχή των αξόνων, σε διεύθυνση κάθετη προς τη διεύθυνση της δέσμηςI0, η αρχική ένταση της δέσμης

Προβολή (Ιθ (r), θ=0)

Εξασθένηση p(r)=-ln(Ι θ (r)/I0 ), θ=0

22

Τι μετράμε στο CT: Προβολή Εγκάρσιας Τομής του Αντικειμένου(Γεωμετρία παράλληλης δέσμης)

Απλή γεωμετρία μετατόπισης/στροφής λεπτής δέσμης για τη λήψη προβολών στην υπολογιστική τομογραφία.

23

r, θ Sampling - Ημιτονόγραμμα

Στην πράξη, η διακριτή δειγματοληψία, αντιστοιχεί σε γωνιακή λήψη προβολών με βήμα Δθ, και βήμα δειγματοληψίας ανά προβολή Δr, το οποίο αντιστοιχεί στο βήμα δειγματοληψίας (διατομή ή διάσταση στοιχείου) του ανιχνευτή.Ημιτονόγραμμα είναι η δισδιάστατη διακριτή συνάρτηση p(nΔr,mΔθ); Πίνακας Μ γραμμών και Ν στηλών.

Δr

Δθ

24

Ψηφιακό ομοίωμα Shepp-Logan Ημιτονόγραμμα - p(r,θ) του ομοιώματος Shepp-Logan

r, θ Sampling - Ημιτονόγραμμα

25

r Sampling (Δr) – Beam width (Δs)

προβολή

FT προβολήs

Πλάτος δέσμης

FT: πλάτος μετασχηματισμού Fourier, k, χωρική συχνότητα

FT δέσμης FTx e

Δειγματοληψίαανιχνευτή

Δείγματα του e

FT(i: signal)

Η συνθήκη για την αποφυγή της αλληλεπικάλυψης (του FT e) στnν j είναι:

e= a c

FT rnr (

2

sr

(όριο Nyquist)

sr

21

26

Πώς υπολογίζουμε μια τομογραφική εικόνα στο CT; Οπισθοπροβολή

(a) Ανακατασκευή Εικόνας από Προβολές: Ο Radon απέδειξε το 1917 ότι η δισ-διάστατη χωρική κατανομή μιας τομής

φυσικού αντικειμένου είναι δυνατόν να υπολογισθεί εάν είναι γνωστόςμεγάλος αριθμός επικαμπυλίων ολοκληρωμάτων (προβολών) του αντικειμένου.

(b-d) Οπισθοπροβολή με 2, 3 και πολλές προβολές.

27

Οπισθοπροβολή• Για κάθε προβολή pθ(r), ανάθεση των τιμών της σε όλα τα εικονοστοιχεία της

υπό ανακατασκευή τομογραφικής εικόνας, της ίδιας διέυθυνσης.• Επανάληψη του προηγούμενου βήματος, για όλες τις γωνίες θ. Οι τιμές των

προβολών αθροίζονται, στις συντεταγμένες στις οποίες συμπίπτουν.

28

Οπισθοπροβολή (2)

Επειδή οι τιμές δεν συμπίπτουν με τις διακριτές θέσεις των δειγμάτων nΔr του ανιχνευτή, απαιτείται παρεμβολή των τιμών μεταξύ γειτονικών δειγμάτων του ανιχνευτή.

29

0 0

0 0

αρχικοποίηση

back-project (4,6) at 00

0 0

0 0 back-project (1,5,4) at 450

64

4 6

4 6

5

5 11

9 10 7

3 8 14

16 17

5

13 16

19 22

τελική

1 2

3 4f(x,y)=

αρχική

back-project (3,7) at 900

back-project (3,5,2) at 1350

4

1

3

2

Οπισθοπροβολή(Παράδειγμα)

30

Ανακατασκευή στο πεδίο συχνοτήτων(Άμεση ανακατασκευή Fourier)

• Υπολογισμός του μονοδιάστατου μετασχηματισμού Fourier κάθε προβολής pθ(r):

• Χρήση του θεωρήματος της κεντρικής τομής (central slice theorem), το οποίο συσχετίζει το μονοδιάστατο μετασχηματισμό Fourier μιας προβολής του αντικειμένου υπό γωνία θ, Pθ(k), με το δισδιάστατο μετασχηματισμό Fourier της εικόνας (τομή αντικειμένου) σε πολικές συντεταγμένες P(k,θ).

• Απαιτείται παρεμβολή για τη μετατροπή των δειγμάτων P(k,θ) σε καρτεσιανές συντεταγμένες F(kx,ky) , η οποία εισάγει ψευδοεικόνες (artifacts).

• Υπολογισμός του αντίστροφου δισδιάστατου μετασχηματισμού Fourier για τον υπολογισμό της f(x,y).

31

Ανακατασκευή στο πεδίο συχνοτήτων(Central Slice Theorem)

Αντιστοιχία συμβόλων: P(x,θ) p(r,θ) F(u,θ) P(k,θ)

32

Ανακατασκευή στο πεδίο συχνοτήτων(Polar-to-Cartesian)

33

Απαιτείται παρεμβολή για τη μετατροπή των δειγμάτων P(k,θ) σε καρτεσιανές συντεταγμένες F(kx,ky)

Ανακατασκευή στο πεδίο συχνοτήτων(Filtered Backprojection)

• Για την αποφυγή του βήματος της παρεμβολής, χρησιμοποιείται ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier σε πολικές συντεταγμένες:

• Η συνάρτηση f(x,y) ανακατασκευάζεται με οπισθοπροβολή της p*(r,θ), που αντιστοιχεί στον αντίστροφο μονοδιάστατο μετασχηματισμό Fourier, ως προς k, της P*(k,θ).

34

• Φιλτράρισμα FT ημιτονογράμματος ή τροποποίηση ημιτονογράμματος με κατάλληλο πυρήνα συνέλιξης

• Οπισθοπροβολή φιλτραρισμένου ημιτονογράμματος

Η P*(k,θ) υπολογίζεται με πολλαπλασιασμό με τη συνάρτηση φίλτρου . Λόγω ισοδυναμίας των πράξεων της συνέλιξης και του πολλαπλασιασμού μεταξύ του πεδίου του χώρου (εικόνα τομής) και του πεδίου Fourier αυτής, η p*(r,θ) υπολογίζεται με συνέλιξη με κατάλληλλη συνάρτηση (πυρήνας συνέλιξης), που αντίστοιχεί στον αντίστροφο μονοδιάστατο μετασχηματισμό Fourier, της συνάρτησης φίλτρου.

k

Ανακατασκευή στο πεδίο συχνοτήτων(Filtered Backprojection)

35

Λόγω της διακριτής δειγματοληψίας η μέγιστη χωρική συχνότητα του φίλτρου , που ονομάζεται (Ram-Lak), καθορίζεται από:

rsk

2

11max

k

Ανακατασκευή στο πεδίο συχνοτήτων(Reconstruction Filter)

36

Ανακατασκευή στο πεδίο συχνοτήτων(Reconstruction Filter-Window)

Για τον περιορισμό της ενίσχυσης των υψηλών συχνοτήτων η συνάρτηση φίλτρου πολλαπλασιάζεται με συνάρτηση λείανσης (smoothing window):

Για α=0.54 και 0.5 παράθυρα Hamming και Hanning αντίστοιχα.

Hamming window(solid line) Hanning window(dashed line)

x Hamming window x Hanning window

k

k

k

37

Ανακατασκευή στο πεδίο συχνοτήτων(Reconstruction kernel)

Το φίλτρο ,που ονομάζεται (Ram-Lak), αντιστοιχεί μαθηματικά στη διαφορά δύο συναρτήσεων: τετραγωνικού και τριγωνικού παλμού. Ο αντίστροφοφος μετασχηματισμός Fourier αυτών αντιστοιχεί στη συνάρτηση πυρήνα συνέλιξης για την τροποποίηση (φιλτράρισμα) των προβολών:

k

Οπισθοπροβολή Συνέλιξη

38

Πυρήνες Συνέλιξης(Φιλτράρισμα Προβολών Hμιτονογράμματος)

Επιλογή του κατάλληλου πυρήνα λειαίνει (ομαλοποεί) ήοξύνει τις ακμές της ανακασκευασμένης εικόνας.

39

Φιλτραρισμένη οπισθοπροβολή(Παράδειγμα συνέλιξης)

2

1

2

11

h (m)

2

1

2

11

f (n)

64

64

2

1

2

11

64

2

1

2

11

64

2

1

2

11

64

1. Αναδίπλωση ή Αντικατοπτρισμός της h(m) γύρω από το δείγμα: h(-m).

2. Ολίσθηση της h(-m) από αριστερά προς τα δεξιά, με βήμα 1, και υπολογισμός του αθροίσματος των επιμέρους γινομένων ((κοινών όρων).

3. Το αποτέλεσμα της συνέλιξης (ακολουθία εξόδου) έχει: n +m-1=4 δείγματα.

2 41 3

back-projection

40

0 0

0 0

αρχικοποίηση

back-project (-2,1,4,-3)

at 00

0 0

0 0 back-project (-5/2,5,-5/2)

at 450

64

1 4

1 4

5

-3/2 9

6 3/2 7

3 -2 17/2

23/2 7

5

3 6

9 12

τελική

1 2

3 4f(x,y)=

αρχική

back-project (-3/2,-1/2,11/2,-7/2)

at 900

back-project (-5/2,5,-5/2)

at 1350

Φιλτραρισμένη οπισθοπροβολή(Παράδειγμα)

41

Αλγόριθμος φιλτραρισμένηςοπισθοπροβολής Εκκίνηση του αλγορίθμου ανακατασκευής (κενή εικόνα)

Χρήση απλής οπισθοπροβολής συνοδεύεται από ασάφεια εικόνας,λόγω της εξάπλωσης τοπικών τιμών εξασθένησης σε απομακρυσμένες θέσεις

Τροποποίηση της κάθε προβολής πριν την οπισθοπροβολή, με κατάλληλη μαθηματική συνάρτηση (πυρήνας συνέλιξης), που περιέχει θετικούς και αρνητικούς λωβούς μειώνει τη ασάφεια εικόνας.

42

Η φυσική σημασία του μ(x,y)

Ο μαζικός συντελεστής εξασθένησης διάφορων υλικών (στην παρένθεση ο ενεργός ατομικός τους αριθμός) συναρτήσει του μαζικού συντελεστή εξασθένησης του νερού. Η τιμή του «σχετικού» μαζικού συντελεστή εξασθένησης αυξάνει με αύξηση του ατομικού αριθμού.

),( ZE

doeII

][ 1L

43

Μαζικός συντελεστής εξασθένησης

πυκνότητα

γραμμικός συντελεστής εξασθένησης

Η κλίμακα Hounsfιeld

The Hounsfield Unit (HU) scale is a linear transformation of the linear attenuation coefficient measurement into one in which the radiodensity of distilled water (at standard pressure and temperature) is defined as zero HU, while the radiodensity of air at STP is defined as -1000 HU. For a material X with linear attenuation coefficient μX, the HU value is therefore given by:

44

1000x water

water air

HU

Where μwater and μair are the linear attenuation coefficientsof water and air, respectively.

Παρουσίαση εικόνας στο CT: Τεχνική Παραθύρου (window/level)

Η συνάρτηση παραθύρου αντιστοιχεί ένα τμήμα του εύρους τιμών μιας εικόνας (εύρος τιμών εισόδου) στο διαθέσιμο εύρος της οθόνης παρουσίασης (εύρος τιμών εξόδου):

Η κλίση καθορίζει το βαθμό ενίσχυσης.

max

max

min

min

,1

,1

,0

minmax

min r

rrL

rrL

rr

s rr

rr

82L

Παράμετροι: εύρος παραθύρου (window width), στάθμη (level),

minmaxrr

2minmax rr

45

Τεχνική Παραθύρου στο CT Θώρακος

46

Παράδειγμα Ανάλυσης Εκόνας σε MDCT Θώρακος:

Ποσοτική εκτίμηση τρισ-διάστατης έκτασης και σταδιοποίηση προτύτων διάχυτων αλλοιώσεων

διέχυτων προτύ

(eter

47

Προ-επεξεργασία: Αλγόριθμοι τμηματοποίησης πνευμονικών πεδίων και αγγειακού δέντρου

P. Korfiatis, C. Kalogeropoulou, A. Karahaliou, A. Kazantzi, S. Skiadopoulos, L. Costaridou, “Texture classification-based segmentation of lung affected by interstitial pneumonia in high-resolution CT”, Medical Physics; 2008 35(12): 5290-5302.

P. Korfiatis, C. Kalogeropoulou, A. Karahaliou, A. Kazantzi, L. Costaridou, “Vessel tree segmentation in presence of interstitial lung disease in MDCT”, IEEE Transactions on Information Technology in Biomedicine; 2011 15(2): 214-220.

48

Ταξινόμηση του πνευμονικού παρεγχύματος σε φυσιολογικό και 2 πρώτυπα παθολογίας (Interstitial Lung Disease, ILD)

P. Korfiatis, A. Karahaliou, C. Kalogeropoulou, A.Kazantzi, L. Costaridou, “Texture Based Identification and Characterization of Interstitial Pneumonia Patterns in Lung Multidetector CT”, IEEE Trans. Inform Tech. Biomed. ; 2010 14(3): 675-680.

49

Kazantzi L, Costaridou L, Skiadopoulos S, Korfiatis P, Karahaliou A Daoussis D, Andonopoulos A, Kalogeropoulou C. Automated 3D Ιnterstitial Lung Disease Εxtent Quantification: Performance Evaluation and Correlation to PFTs J Digit Imaging 2014 DOI 10.1007/s10278-013-9670-z

Βιβλιογραφία1. Hui Hu. Multi-slice helical CT: Scan and Reconstruction. Med .Phys. 26(1), 1999; 5-18.

2. Willi A. Kallender. Chapter 1: Principles of Computed Tomography. Computed Tomography. Publicis MDC Verlag, 2000, Munich, Germany.

3. David J.Goodenough, Chapter 8: Tomographic Imaging, In Handbook of Medical Imaging Vol.1. Physics and Psychophysics, Society of Photo-Optical Instrumentation Engineers, SPIE, Press, 2000,Bellingham, Washington, USA.

4. Mahadevappa Mahesh, The AAPM/RSNA Physics Tutorial for Residents: Search for Isotropic Resolution in CT from Conventional through Multiple-Row Detector. RadioGraphics 2002; 22:949–962

5. Dianna D. Cody, Mahadevappa Mahesh, AAPM/RSNA Physics Tutorial for Residents: Technologic Advances in Multidetector CT with Focus on Cardiac Imaging. RadioGraphics 2007; 27:1829–1837.

6. Flohr et al, Multi–Detector Row CT Systems and Image-Reconstruction Techniques. Radiology 2005; 235:756–773.

7. Paul Suetens. Chapter 3: X-ray Computed Tomography. Fundamentals of Medical Imaging. Cambridge University Press, second ed. 2009, New York, USA.

8. Willi A Kalender, X-ray computed tomography (Review). Phys. Med. Biol. 51 (2006) R29–R43.

9. Philippe Cattin, Computed Tomography: Principles of Medical Imaging, 2013.

50