Λυμένες Ασκήσεις Οπτικής v3 Φεβ2012

Φυλλάδιο ασκήσεων για το μάθημα Ηλεκτρομαγνητισμός – Οπτική (μέρος Β – Οπτική)

Δ. ΒΑΡΟΥΤΑΣ Ακαδ. Έτος 2007-08 Σελ 1 από 18

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ

ΟΠΤΙΚΗ

(ΜΕΡΟΣ Β – ΟΠΤΙΚΗ)

ΔΙΔΑΣΚΩΝ : ΔΗΜ. ΒΑΡΟΥΤΑΣ

Έκδοση 3η, Φεβ 2012

(Οι σημειώσεις αυτές προορίζονται για τους φοιτητές του Τμήματος Πληροφορικής και

Τηλεπικοινωνιών για το μάθημα του 3ου εξαμήνου Ηλεκτρομαγνητισμός – Οπτική και η αρχική

τους έκδοση προετοιμάστηκε από το διδάσκοντα με την πολύτιμη συνεργασία των κ. Ν.

Αβαριτσιώτη και Α. Θεοχαρίδη, Φυσικών, υποψηφίων διδακτόρων του Τμήματος. Η δεύτερη

έκδοση βασίσθηκε στις χρήσιμες παρατηρήσεις των φοιτητών του ακαδ. έτους 2007-08. Για τυχόν

παρατηρήσεις, διορθώσεις και προτάσεις , απευθυνθείτε στο διδάσκοντα.)



Προηγούμενες εκδόσεις

Έκδοση Ημερομηνία Παρατηρήσεις

1.0 Δεκ 2006 Αρχική έκδοση

2.0 Ιαν 2008 Διόρθωση της άσκησης 35-47

Προσθήκες των ασκήσεων 34-25, 34-43, 34-46

37-2, 37-3

38-11

3.0 Ιαν 2012 Προσθήκες των ασκήσεων: 35-53



ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ 34:ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ1

34-25 Μια φωτεινή ακτίνα διαδιδόμενη στον αέρα προσπίπτει σε μια κολώνα πάγου δ.δ.

n=1,31. Πόση είναι η μέγιστη γωνία θ για την οποία θα γίνει ολική εσωτερική ανάκλαση στην

κάθετη έδρα της κολώνας

(Προηγούμενη εκφώνηση στην 1

η έκδοση του φυλλαδίου: Με ποια γωνία πρέπει να πέσει παράλληλη δέσμη φωτός

στην βάση συμπαγούς γυάλινου κυλίνδρου, ώστε αυτή όταν φτάσει στην κυλινδρική επιφάνεια να υποστεί ολική

ανάκλαση;)

ΛΥΣΗ:

Είναι sinsin n .

Για να έχουμε ολική ανάκλαση πρέπει να

είναι: n

1)90sin(

ή n

1cos ή

2

2 1)sin1(

n

ή 22

2 1sin1

nn

ή 1)sin( 22 n

1sin 22 n και 1sin 2 n .

Άρα η μέγιστη γωνία είναι αυτή για την οποία 2

maxsin 1n

Εφαρμογή για n=1,31 . 2

maxsin (1,31) 1 0,846 Άρα max 57,8o

Συναφής Άσκηση 1. Βασική αρχή του κυματοδηγού ή οπτικής ίνας είναι να υπάρχει μια γωνία πρόσπτωσης

i τέτοια ώστε κάθε ακτίνα που

προσπίπτει στην είσοδό του με

max i να υφίσταται στο

εσωτερικό του κυματοδηγού

ολική ανάκλαση. Να αποδειχθεί

ότι για την γωνία max ισχύει:

2 2

max

1sin ( )co cl

o

n nn

όπου on είναι ο δείκτης

διάθλασης του αέρα. Το λεπτό

γυαλί του fiber ( con )

περιβάλλεται από ένα γυάλινο στρώμα ( cln ) χαμηλής πυκνότητας (cladding layer) απαραίτητο

για ολική ανάκλαση και διάδοση του φωτός στο fiber χωρίς απώλειες.

ΛΥΣΗ:

1 (Η αρίθμηση αντιστοιχεί στην αρίθμηση των προβλημάτων και ασκήσεων του βιβλίου ΦΥΣΙΚΗ, τομ. Β του

H.D.YOUNG, Εκδόσεις Παπαζήση, ISBN 960-02-1088-8, εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά)

δ

θ

90-δ

n

θi

θi

θc

ncl

no

nco



Για να διαδοθεί το φως χωρίς απώλειες στο εσωτερικό του κυματοδηγού πρέπει το φως να

υφίσταται ολική εσωτερική ανάκλαση στην διαχωριστική επιφάνεια fiber και cladding layer. Αυτό

σημαίνει ότι θα πρέπει να

είναι cn < fn και cf nn sin .

Η συνθήκη παριστά την εξίσωση ολικής ανάκλασης, όπου c είναι η γωνία πρόσπτωσης και στην

διαχωριστική επιφάνεια fiber και cladding layer.

Στην είσοδο του φωτός στο fiber ισχύει η σχέση:

rcoio nn sinsin

αλλά rc 2 cr cossin

άρα ccoioccoio nnnn 2222 cossincossin .

Ισχύει όμως: clcco

co

cl

c nnn

n sinsin και υψώνοντας στο τετράγωνο 222 sin clcco nn

Η σχέση αυτή σε συνδυασμό με την συνθήκη ολικής ανάκλασης δίνει:

iclcoccco nnn 222222 sincossin

ή 221sin clco

o

i nnn

,

[ 221clco

o

nnn

: ονομάζεται αριθμητικό άνοιγμα NA (Numerical Aperture) ]

άρα 22

max

1sin clco

o

nnn

.

Η σχέση αυτή δείχνει ότι για γωνίες πρόσπτωσης μικρότερες από max i είναι δυνατόν να

έχουμε ολική ανάκλαση και το κύμα να διαδοθεί χωρίς απώλειες.

34-43 Η γωνία πρόσπτωσης στο σχήμα έχει επιλεγεί με οδηγό τη συμμετρική πορεία του φωτός

δια του πρίσματος που έχει δδ n και θλαστική γωνία κορυφής Α. α) Δείξτε ότι η γωνία εκτροπής

δ (η γωνία μεταξύ της αρχικής και τελικής κατεύθυνσης της ακτίνας) δίνεται από την σχέση

sin sin2 2

A An

. (Όταν το φως διέρχεται ακολουθώντας συμμετρική πορεία όπως φαίνεται

στο σχήμα, η γωνία εκτροπής είναι ελάχιστη). β) Χρησιμοποιείστε το αποτέλεσμα του (α) για την

εύρεση της γωνίας εκτροπής για μια φωτεινή δέσμη που διαδίδεται ακολουθεί συμμετρική

πορεία σε πρίσμα με τρεις ίσες γωνίες (Α=60ο) και n=1,60. γ) Μια ύαλος ορισμένης σύστασης

έχει δδ 1,50 για το ερυθρό φως (700nm) και 1,52 για το ιώδες φως (400nm). Αν τα δυο αυτά

χρώματα διέρχονται συμμετρικά δια του πρίσματος κατά την περιγραφή του (α) και αν Α=60ο

βρείτε τη διαφορά μεταξύ των γωνιών εκτροπής για τα δυο αυτά χρώματα.

α) Έχουμε από το νόμο του Snell: sin sinn για την είσοδο του φωτός στο πρίσμα και

sin sinn για την έξοδο.

Η γωνία δ είναι εξωτερική στο τρίγωνο που σχηματίζουν οι προεκτάσεις των ακτίνων μέσα στο

πρίσμα. Αρα: 2( )



Επίσης 2

γιατί οι δυο γωνίες είναι κάθετες μεταξύ τους λόγω της συμμετρικής πορείας του

φωτός μέσα στο πρίσμα

Από τα παραπάνω έχουμε 2 2

Από την sin sinn με αντικατάσταση προκύπτει η σχέση που αναζητούμε:

sin sin2 2

A An

(1)

β) Έχουμε 60 60

sin sin sin 1,6sin 0,8 53,13 46,32 2 2 2 2

A A An

γ) με τον ίδιο τρόπο προκύπτει το ερυθρό από το ιώδες θα απέχουν κατά την έξοδό τους 1,7ο,

γεγονός που μας επιτρέπει να παρατηρούμε τα χρώματα της ίριδας σε ένα πέτασμα που μπορούμε

να τοποθετήσουμε μετά το πρίσμα.

34-46 Φως διαδιδόμενο στον αέρα προσπίπτει υπό γωνία στην επάνω επιφάνεια μιας

διαφανούς πλάκας, οι επιφάνειες της οποίας είναι επίπεδες και παράλληλες. Α) Δείξτε ότι

. Β) δείξτε ότι η ίδια σχέση

ισχύει και στην περίπτωση

περισσοτέρων διαφορετικών

παράλληλων πλακών, ανεξαρτήτων του

αριθμού τους. Γ) δείξτε ότι η εγκάρσια

μετατόπιση d της εξερχόμενης δέσμης

δίνεται από τη σχέση sin( )

cos( )d t

,

όπου t παριστάνει το πάχος της πλάκας.

Δ) Μια φωτεινή ακτίνα προσπίπτει υπό

γωνία 60ο στη μια επιφάνεια υάλινης

πλάκας πάχους 1,80 cm και δδ. 1,50. Να

βρείτε την εγκάρσια μετατόπιση, ως

προς την προσπίπτουσα ακτίνα, της αναδυόμενης ακτίνας.

Είναι προφανές ότι '

ως εντός εναλλάξ σε παράλληλες ευθείες. Επίσης από το νόμο του

Snell για την είσοδο και την έξοδο του φωτός έχουμε:

' 'sin sinn n (1)

και ' 'sin sinn n (2)

και αφού '

από (1) και (2) ' ' 'sin sin sin sinn n

Β) Είναι προφανές ότι η παραπάνω εξίσωση των νόμων του Snell για την είσοδο και την έξοδο του

φωτός, ισχύει για όλες τις περιπτώσεις παράλληλων πλακών και ανεξάρτητα από το πόσες είναι.

Γ) Ας ονομάσουμε α την απόσταση που διανύει το φως μέσα στη πλάκα. Εχουμε: 'sin( )d a (3)

Αλλά '

'cos

cos

t t a=

a

(4)

θ'β

n'

θβ

θα

θ'α

d

n

n

αt

θa-θ'β



Από (3) και (4) έχουμε την σχέση που αναζητούσαμε sin( )

cos( )d t

Δ) ' 'sin sin sin60 1,5 sin sin 0,577 35,26n n

Άρα sin( ) sin(60 35,26)

1,8 0,9cos( ) cos(35,26)

d t cm



ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ 35: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ

35-32. Ποιο είναι το μέγεθος του μικρότερου δυνατού κατακόρυφου επίπεδου κατόπτρου στο

οποίο ένας άνθρωπος ύψους h μπορεί να δει το είδωλο ολόκληρου του σώματός του;

ΛΥΣΗ:

ssss

011

hhs

sm

1

35-34. Αντικείμενο τοποθετείται μεταξύ δύο επίπεδων κατόπτρων που σχηματίζουν ορθή γωνία

μεταξύ τους. Η απόσταση του αντικειμένου απ’ το ένα κάτοπτρο είναι d1 και από το άλλο d2. a)

Πόσα είδωλα σχηματίζονται; Δείξτε σε διάγραμμα τις θέσεις των ειδώλων. b) Σχεδιάστε την

πορεία των ακτινών από το αντικείμενο ως τον οφθαλμό ενός παρατηρητή των ειδώλων.

ΛΥΣΗ:

P

P’1

P’2

P’3

Κάτοπτρο 1

Κάτοπτρο 2

h h’



35-38. Στην πλευρά του συνοδηγού του αυτοκινήτου σας έχει προσαρμοστεί ένα κυρτό

κάτοπτρο με απόλυτη τιμή ακτίνας καμπυλότητας 20,0cm. Ένα άλλο αυτοκίνητο βρίσκεται 8,0

m πίσω σας και είναι ορατό στο πλευρικό αυτό κάτοπτρο. Αν το δεύτερο αυτοκίνητο έχει ύψος

1,5 m, πόσο ύψος έχει το είδωλό του; (Αυτά τα κάτοπτρα φέρουν συνήθως ένα γραπτό μήνυμα

που προειδοποιεί τον οδηγό ότι τα αντικείμενα που κατοπτρίζονται σε αυτά βρίσκονται

πλησιέστερα από όσο φαίνονται ότι βρίσκονται, από την παρατήρηση του ειδώλου τους. Γιατί

συμβαίνει αυτό;)

ΛΥΣΗ:

1 1 1 2 1 2 10.1013

2

Rss s m

s s f R s R s s R

0.10130.0127

8

sm

s

0.0190h m h h m

Αν το αυτοκίνητο βρίσκεται τώρα σε απόσταση 3m από καθρέφτη του συνοδηγού:

0.10342

Rss s m

s R

Συνεπώς ο οδηγός και στις δυο περιπτώσεις δε μπορεί να καταλάβει την πραγματική απόσταση του

αυτοκινήτου από τον καθρέφτη.

35-45. Η διαμήκης μεγέθυνση ορίζεται ως m΄ = ds΄/ds. Συσχετίζει τη διαμήκη διάσταση μικρού

αντικειμένου με τη διαμήκη διάσταση του ειδώλου του. a) Για σφαιρικό κάτοπτρο, δείξτε m΄ = -

m2. Ποια η σημασία του ότι η m΄ είναι πάντα αρνητική; b) Ένα συρμάτινο πλαίσιο σε μορφή

μικρού κύβου 1,0 cm τοποθετείται με το κέντρο του πάνω στον άξονα κοίλου κατόπτρου που

έχει ακτίνα καμπυλότητας 40,0 cm. Κάθε πλευρά του κύβου είναι είτε παράλληλη είτε κάθετη

προς τον άξονα. Η πλησιέστερη προς το κάτοπτρο έδρα του κύβου απέχει από την κορυφή του

κατόπτρου 80,0 cm. Βρείτε: α) τη θέση του ειδώλου αυτής της έδρας, καθώς και της αντίθετης

προς αυτήν έδρας του κύβου. β) την εγκάρσια και τη διαμήκη μεγέθυνση

. γ) τις διαστάσεις κάθε

μιας από τις έξι έδρες του ειδώλου του κύβου.

ΛΥΣΗ:

a)

fss

111

fs

fss

fs

f

s

sm

ds

sdm

2

2

2

2 )()(

)(m

fs

f

fs

fsfsfm

b)

α) 1 1

1 1 1

s s f

1

1 1

1 1 1 1 6026.67cm

80 20 1600s

s s

2 2

1 1 1

s s f

2

2 2

1 1 1 1 6126.56cm

81 20 1620s

s s



β) 11

1

26.670.33

80

sm

s

2

1 1 0.11m m

22

2

26.560.3279

81

sm

s

2

2 2 0.1075m m

γ) 1 1 1 0.33ch m h h m

2 2 2 0.33ch m h h m

1 1 1 0.11x m x x cm

35-46. Ανατρέξτε στο προηγούμενο πρόβλημα 35-45. Δείξτε ότι η διαμήκης μεγέθυνση mγια

διάθλαση σε σφαιρική επιφάνεια δίνεται από την σχέση

2b

a

nm m

n

ΛΥΣΗ:

a b b an n n n

s s R

b a ab b a as n n n Rn n n n

s R s Rs

b

b a a

Rsns

s n n n R

2

2 2

b b a a b b a a b

b a a b a a

Rn s n n n R Rsn n n R n ndsm

ds s n n n R s n n n R

a

b

n sm

n s

a

b

nm

n

bR n

b a as n n n R

2 22

2

a

b a a

R nm

s n n n R

Άρα 2b

a

nm m

n

h'1h'2

x'1



35-47. Βρίσκεστε μέσα στο σταθμευμένο αυτοκίνητό σας και παρατηρείτε μια προπονούμενη

δρομέα, θιασώτρια του τζόγκινγκ, να πλησιάζει το πλευρικό κυρτό σας κάτοπτρο, που έχει

ακτίνα καμπυλότητας 2,00 m. Αν η δρομέας τρέχει με ταχύτητα 3,00 m/s, πόσο γρήγορα

φαίνεται ότι κινείται, όταν απέχει από το κάτοπτρο a) 10,0 m. b) 2,0 m;

ΛΥΣΗ:

Έχουμε ότι

fss

111

fs

fss

(1) και θα υπολογίσουμε την ταχύτητα του ειδώλου

'' s

ut

σαν

συνάρτηση της ταχύτητας του αντικειμένου s

ut

Από την (1) έχουμε: 2 2 2

2 2

( )( ) ( )

'( ) ( )

f sfs fs

s f s f fs f sf fs fu u u

t t s f s f

Υπενθυμίζουμε ότι s f

ms s f

. Άρα 2u m u ή σύμφωνα με την άσκηση 35-45 'u m u

όπου m΄ είναι η διαμήκης μεγέθυνση, η οποία είναι πάντοτε αρνητική και συνάρτηση της

απόσταση του αντικειμένου

Για το παράδειγμά μας f=-1 οπότε έχουμε

α)

21 3

' 3 0,0248 / s10 1 121

u m

β)

21 3

' 3 0,333 / s2 1 9

u m

35-48. Για διάθλαση σε σφαιρική επιφάνεια, η πρώτη εστιακή απόσταση f ορίζεται ως η τιμή

της s που αντιστοιχεί σε s΄= , όπως δείχνει και το Σχήμα 1. η δεύτερη εστιακή απόσταση f ΄

ορίζεται ως η τιμή της s΄ όταν s= , όπως δείχνει το Σχήμα 2.

α) αποδείξτε ότι ΄f

fn

n

b

a . β) Αποδείξτε ότι η γενική σχέση μεταξύ της απόστασης

αντικειμένου και της απόστασης ειδώλου είναι 1s΄

΄f

s

f.



ΛΥΣΗ:

R

nn

f

n aba και

R

nn

f

n abb

.

Συνδυάζοντας τις δύο αυτέ σχέσεις βρίσκουμε f

f

n

n

f

n

f

n

b

aab

.

cf

n

f

n

R

nn

s

n

s

n baabba

οπότε c

nf a και

c

nf b .

Ακόμη cs

n

s

n ba

και με αντικατάσταση από τα προηγούμενα προκύπτει: cs

fc

s

cf

.

Οπότε καταλήγουμε στην ζητούμενη σχέση: 1

s

f

s

f

35-53 Τρεις λεπτοί φακοί, ο καθένας με εστιακή απόσταση 20,0 cm, ευθυγραμμίζονται ώστε

να έχουν κοινό άξονα οι άμεσα γειτονικοί φακοί απέχουν μεταξύ τους 30,0 cm. Βρείτε τη θέση

του ειδώλου μικρού αντικειμένου που βρίσκεται πάνω στον άξονα 40,0 cm αριστερά του πρώτου

φακού. ΛΥΣΗ

Η απόσταση του ειδώλου S’ για το πρώτο φακό είναι:

Επειδή , το είδωλο σχηματίζεται δεξιά του φακού 1 και επειδή ο φακός 1 απέχει 30cm από

το φακό 2, το είδωλο από το φακό 1 σχηματίζεται 10 cm δεξιά του φακού 2.

Άρα το είδωλο αυτό αποτελεί φαναστικό αντικείμενο για το φακό 2, οποτε η απόσταση

αντικειμένου Ισχύει:

s = f s' =

s' = f 's =



Επειδή το είδωλο από το φακό 2 είναι πραγματικό και δεξιά του φακού, άρα βρίσκεται

– αριστερά του τρίτου φακού.

Αφού είναι αριστερά του τρίτου φακού αποτελεί πραγματικό αντικείμενο γι’αυτό, άρα

35-61. Ομοαξονικό κατοπτρικό σύστημα αποτελείται από ένα κυρτό και ένα κοίλο κάτοπτρο σε

απόσταση L=0,600m μεταξύ τους. Η ακτίνα καμπυλότητας κάθε κατόπτρου έχει απόλυτη τιμή

0,400m. Σε απόσταση x από το κοίλο κάτοπτρο τοποθετείται μία πηγή φωτός. α) Για ποία τιμή

του x οι ακτίνες από την πηγή που ανακλώνται πρώτα στο κυρτό και μετά στο κοίλο κάτοπτρο

θα προσπέσουν πάλι στην πηγή; β) Επαναλάβετε το (α), αλλά θεωρήστε ότι οι ακτίνες

επιστρέφουν στην πηγή αφού πρώτα ανακλαστούν στο κοίλο και μετά στο κυρτό κάτοπτρο.

ΛΥΣΗ:

a)

(Κάτοπτρο 1): 1 1 1

L x s f

1 1 3 5 15

0.6 0.6

x

s x x

0.6

5 4

xs

x

, 0s


L s x f

1 15

0.60.6

5 4

x x

x

1 15

3 2.4 0.6

5 4

x x x

x

5 4 15

4 3

x

x x

25 4 4 35

4 3

x x x

x x

2 25 3 20 15x x x

120.7236m

15 15 3 0x

x x

1

2

, ( )

0.2764m

x L

x

b)

xs’

L

Κάτοπτρο 1 Κάτοπτρο 2

xs’

L

Κάτοπτρο 2 Κάτοπτρο 1




x L s f


s L x f

... 0.2764mx

35-71. α) Για φακό εστιακής απόστασης f, βρείτε τη μικρότερη απόσταση μεταξύ αντικειμένου

και του πραγματικού του ειδώλου. β) Δώστε μια πρόχειρη γραφική παράσταση της απόστασης

του αντικειμένου από το πραγματικό είδωλο συναρτήσει της απόστασης του αντικειμένου από

τον φακό. Συμφωνεί η γραφική σας παράσταση με το αποτέλεσμα που βρήκατε στο α);

ΛΥΣΗ:

sfsfss

111111

fs

fss

ssdfs

fssd

222

2

21

fs

fs

fs

fsf

fs

fs

fs

fs

fs

f

s

d

22

2

2

222 222

fs

fss

fs

fss

fs

sfffsffss

s

d

fs

s

s

d

2

00

f

fffdd

2

min

22)2( fd 4min



Σύνθετα προβλήματα

35-72. Μια σφαιρική γυάλινη μάζα ακτίνας R και δείκτη διάθλασης 1,60 έχει επαργυρωθεί

εξωτερικά κατά το ένα ημισφαίριό της όπως φαίνεται και στο Σχήμα 1. ένα μικρό αντικείμενο

τοποθετείται στον άξονα συμμετρίας των δύο ημισφαιρίων και σε απόσταση 2R προς τα

αριστερά της κορυφής του μη επαργυρωμένου τμήματος. Βρείτε την θέση του τελικού ειδώλου

που σχηματίζεται αφού συμβούν όλες οι επιτρεπτές ανακλάσεις και διαθλάσεις.

s

2R

R

16R

ΛΥΣΗ:

Έχουμε R

nn

s

n

s

n abba

. Με αντικατάσταση από τα δεδομένα έχουμε

RsRRss

6,06,1

2

16,06,11

ή RsRsRRs

161,06,15,06,06,1

RsRRfss

21

14

12111

f

d

s

4f

2f



ή RsR

R

sRRs48,0

14

291

14

1212

RsRR

nn

s

n

s

n baab 6,06,1

)8,42(

1

ή RR

RR

RRsRsR 52.1

912.1

52,1

912.0

52,1

16,06,16,06,1

52,1

12

ή Rs 271.1

Άλλες Συναφείς Ασκήσεις 2. Δύο ομοαξονικοί φακοί με εστιακές αποστάσεις f1 και f2 αντίστοιχα, βρίσκονται σε

απόσταση μεταξύ τους d. Να προσδιοριστεί η θέση της εστίας τους συστήματος σε σχέση με τον

δεύτερο φακό.

ΛΥΣΗ:

Η εστία είναι η θέση στην οποία δέσμη ακτίνων παράλληλων με τον ΟΑ τον συναντούν αφού

περάσουν από το σύστημα. Η παράλληλη δέσμη ακτίνων μετά την διέλευσή της από τον φακό L1

συγκεντρώνεται στην εστία του Ε1 (είδωλο του Ε1) ως προς τον L2, ώστε να βρούμε σε ποιο σημείο

θα εστιάσουν οι ακτίνες μετά την έξοδό τους και από τον L2.

Είναι 1fds , Fs ' (απόσταση εστίας συστήματος από τον L2). Έτσι έχουμε:

21

111

fFfd

και 21

21

)(

)(

ffd

dffF

.

E1

L1 L2

E1

E΄2

E2

F



ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ 37: ΣΥΜΒΟΛΗ

37-2 Συμβολή ραδιοφωνικών κυμάτων. Δυο ραδιοφωνικές κεραίες Α και Β εκπέμπουν σε

φάση. Η κεραία Β είναι 110 μέτρα δεξιά της κεραίας Α. Θεωρήστε σημείο Q κατά μήκος της

προέκτασης της ευθείας, που συνδέει τις κεραίες και σε οριζόντια απόσταση 55 μέτρα από τα

δεξιά της κεραίας Β (Σχ. 37-17). Η συχνότητα και συνεπώς το μήκος κύματος των

εκπεμπόμενων κυμάτων είναι μεταβλητό. α) Ποιο είναι το μεγαλύτερο μήκος κύματος για το

οποίο θα υπάρξει αναιρετική συμβολή στο σημείο Q; β) Ποιο είναι το μεγαλύτερο μήκος

κύματος για το οποίο θα υπάρχει ενισχυτική συμβολή στο σημείο Q;

Α) Για να έχουμε αναιρετική συμβολή στο σημείο αυτό θα πρέπει η διαφορά δρόμου των δυο

κυμάτων που εκπέμπονται από τις κεραίες να είναι 1

( )2

m

Το κύμα από την πρώτη κεραία διανύει 165m ενώ το δεύτερο 55 μέτρα και συνεπώς η διαφορά

δρόμου είναι 110 m. Εξισώνουμε 1

( ) 1102

m και έχουμε: 110

1

2m

, όπου το m είναι

ακέραιος μεγαλύτερος ή ίσος το 0.

Έχουμε λοιπόν:

Για m=0 λ=220m

Για m=1 λ=73,3m, κ.ο.κ

Είναι προφανές ότι το μεγαλύτερο μήκος για να έχουμε αναιρετική συμβολή είναι το 220m

β) Για να έχουμε ενισχυτική συμβολή τότε

θα πρέπει η διαφορά δρόμου να είναι m

και συνεπώς 110

m . Το m=0 δεν μπορεί

να εφαρμοστεί οπότε για m=1 προκύπτει

λ=110m. Αυτό είναι και το μεγαλύτερο

μήκος κύματος για το οποίο έχουμε

ενισχυτική συμβολή.

37-3 Ένας ραδιοφωνικός σταθμός

βραχέων κυμάτων, που λειτουργεί σε

συχνότητα 7,50 MHz έχει δυο

πανομοιότυπες κεραίες που εκπέμπουν σε

φάση. Η κεραία Β είναι 110 μέτρα δεξιά

της κεραίες (Σχ. 37-17 του βιβλίου ή όπως παραπάνω). Θεωρήστε το σημείο P,μεταξύ των

κεραιών και κατά μήκος της ευθείας που τις συνδέει, σε μια οριζόντια απόσταση x προς τα

δεξιά της κεραίας Α. Για ποιες τιμές του x θα παρουσιαστεί ενισχυτική συμβολή στο σημείο P.

Όπως και στην προηγούμενη άσκηση, η συνθήκη για ενισχυτική συμβολή επιβάλλει η διαφορά

δρόμου των δύο κυμάτων να είναι , όπου το ν ακέραιος 0, 1, 2,...

Η διαφορά δρόμου των δυο κυμάτων είναι (110 )x x και αντιστοιχεί στο δρόμο του κύματος της

κεραίας Β και της κεραίας Α αντίστοιχα. Εξισώνουμε με τη συνθήκη για ενισχυτική συμβολή και

έχουμε:

55m110 m

x QP

A B



(110 ) 110 2 2 110 552

x x m x x x

σε μέτρα (1)

Επειδή η συχνότητα είναι 7,5 MHz, το μήκος κύματος είναι 8

2

6 1

3 10 /0,4 10 40

7,5 10

m sm

s

Άρα από την εξίσωση (1) έχουμε 40

55 55 202

vx

Για ν=0 έχουμε x=55m

Για ν=1, έχουμε x=35m ενώ για v=-1 έχουμε x=75m

Για ν=2, έχουμε x=15m ενώ για ν=-2 έχουμε x=95m

Για ν=3 έχουμε αρνητικές τιμές ενώ για v=-3 έχουμε x=115m αλλά είναι εκτός του διαστήματος.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ 38: ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ

38-11 Αριθμός κροσσών σε ένα μέγιστο περίθλασης. Στο Σχ. 38-11 το κεντρικό μέγιστο

περίθλασης περιέχει ακριβώς επτά κροσσούς συμβολής ενώ στη διάταξη αυτή 4da . (α) ποιος

πρέπει να είναι ο λόγος da

αν το κεντρικό μέγιστο περιέχει ακριβώς πέντε κροσσούς (β) στην

περίπτωση της σχέσης μηκών που βρήκατε στο (α) πόσοι κροσσοί περιέχονται στο πρώτο

μέγιστο περίθλασης που σχηματίζεται στη δεξιά ή στην αριστερή πλευρά μετά από το κεντρικό

μέγιστο;

(α) Η συνθήκη για μέγιστο περίθλασης (σκοτεινό κροσσό) δίνεται από τη σχέση sina m με

1, 2, 3,...m , ενώ για μέγιστο συμβολής sind n με 0, 1, 2, 3,...n

Διαιρώντας κατά μέλη της δυο εξισώσεις και απλοποιώντας το sinθ, έχουμε:

d n n

a m m

. Άρα στον πρώτο σκοτεινό κροσσό περίθλασης (δηλαδή για m=1), συνέπεσε ο n-

οστός φωτεινός κροσσός λόγω συμβολής και δεν εμφανίζεται ενώ εμφανίζονται όλοι οι υπόλοιποι

πριν από τον n-οστό. Άρα αφού φαίνονται πέντε φωτεινοί κροσσοί (αυτοί που αντιστοιχούν σε

0, 1 2n και είναι προφανές ότι ο επόμενος είναι αυτός για 3n . Άρα 3

31

d n

a m .

Είναι προφανές ότι για να περιλαμβάνονται επτά κροσσοί (όπως στην άσκηση 38-10) θα πρέπει να

ισχύει 4

41

d n

a m γιατί αυτοί που εμφανίζονται είναι αυτοί που αντιστοιχούν σε

0, 1, 2 3n και .

(β) Στο πρώτο μετά το κεντρικό μέγιστο περίθλασης (δηλαδή για 2m ) θέλω να βρω το n. Έχω

ότι 3 3d n

n ma m . Για το παράδειγμα μας λοιπόν το 6n , δηλαδή εκτός από τους

κροσσούς που αντιστοιχούν σε 3n και οι κροσσοί που αντιστοιχούν σε 6n , δεν

εμφανίζονται λόγω σκοτεινού κροσσού περίθλασης. Άρα αυτοί που φαίνονται είναι αυτοί που

αντιστοιχούν σε 4 5m . Άρα περιέχονται ΔΥΟ κροσσοί δεξιά και ΔΥΟ αριστερά. Άρα η

απάντηση στο ερώτημα είναι ΔΥΟ (2)



Άλλες Συναφείς Ασκήσεις

3. Δύο όμοιες και σύμφωνες σημειακές φωτεινές πηγές S1 και S2 έχουν την ίδια αρχική

φάση και βρίσκονται σε απόσταση d=5λ/2. Να περιγραφεί η εικόνα συμβολής που δημιουργείται

στο πέτασμα το οποίο είναι τοποθετημένο στην εστία φακού εστιακής απόστασης f=10cm.

ΛΥΣΗ:

Η διαφορά πορείας

ανάμεσα στις ακτίνες 1

και 2 είναι: sindL

και η αντίστοιχη

διαφορά φάσης θα είναι:

sin

2d .

Με την ίδια διαφορά

φάσης οδηγούνται οι δύο

ακτίνες μέσω του φακού

Φ εστιακής απόστασης

f , στο σημείο P του

εστιακού επιπέδου. Έχουμε μέγιστα όταν:

Nd 2sin

2

ή NNd

N5

2

25

sin

.

Επειδή 1sin το Ν λαμβάνει τις τιμές: 0, 1 , 2 .

Άρα 5

4,

5

2,0sin οπότε 53,23,0 .

Στο πέτασμα που βρίσκεται τοποθετημένο στην εστία Ε του φακού θα δημιουργηθούν 5 κηλίδες

συμβολής στις θέσεις tanfx δηλαδή cmcmx 3.13,37.4,0

1

2θ

S1

S2

P

E

ΠΦ

xθ

f

Λυμένες Ασκήσεις Οπτικής v3 Φεβ2012

Documents

Transcript of Λυμένες Ασκήσεις Οπτικής v3 Φεβ2012