ΔιακριτάΜαθηματικά...

Click here to load reader

  • date post

    29-Aug-2019
  • Category

    Documents

  • view

    213
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of ΔιακριτάΜαθηματικά...

  • Διακριτά Μαθηματικά

    Σημειώσεις

    Χρηστος Α. Αθανασιαδης

    Τμημα Μαθηματικων

    Πανεπιστημιο Αθηνων

    Εαρινο Εξαμηνο 2018

  • 2

  • Περιεχόμενα

    1 Στοιχειώδης συνδυαστική απαρίθμησης 7 1.1 Πληθικός αριθμός . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Βασικές αρχές απαρίθμησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Εφαρμογές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.3.1 Αναδιατάξεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 Υποσύνολα και συνδυασμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.3 Συνθέσεις ακεραίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.4 Συνδυασμοί με επανάληψη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    1.4 Η αρχή εγκλεισμού-αποκλεισμού . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.1 Επί απεικονίσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4.2 Αναδιατάξεις χωρίς σταθερά σημεία . . . . . . . . . . . . . . . 23

    1.5 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2 Απεικονίσεις, διαμερίσεις συνόλων και μερικές διατάξεις 43 2.1 Η αρχή του περιστερώνα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2 Διαμερίσεις συνόλων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3 Μερικές διατάξεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4 Αλυσίδες και αντιαλυσίδες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.5 Το Θεώρημα του Sperner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.6 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    3 Γραφήματα 69 3.1 Η έννοια του γραφήματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2 Περίπατοι και συνεκτικότητα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3 Δένδρα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    3.3.1 Ορισμοί και ιδιότητες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.3.2 Το Θεώρημα Cayley–Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.3.3 Δένδρα με ρίζα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    3.4 Χρωματισμοί και ταιριάσματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.4.1 Ο χρωματικός αριθμός . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.4.2 Διμερή γραφήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.4.3 Το Θεώρημα του Γάμου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    3.5 Το χρωματικό πολυώνυμο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    3

  • 4

    3.6 Επίπεδα γραφήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.7 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    4 Γεννήτριες Συναρτήσεις 125 4.1 Ορισμοί και παραδείγματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

    4.1.1 Οι αριθμοί Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.1.2 Τυπικές δυναμοσειρές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.1.3 Συνθέσεις ακεραίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

    4.2 Διαμερίσεις ακεραίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.3 Εκθετικές γεννήτριες συναρτήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.4 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

  • Πρόλογος

    Οι σημειώσεις αυτές απευθύνονται κυρίως σε φοιτητές και φοιτήτριες τμημάτων μαθη- ματικών που δεν έχουν εξειδικευμένες γνώσεις σε διακριτά μαθηματικά. Στόχος τους είναι να εξοικειώσουν τους αναγνώστες αυτούς με δομές των διακριτών και συνδυαστι- κών μαθηματικών που θα φανούν χρήσιμες στην περαιτέρω μελέτη των μαθηματικών και των εφαρμογών τους και να τους βοηθήσουν να αφομοιώσουν τις ανάλογες με- θόδους και να αναπτύξουν τη συνδυαστική τους σκέψη. Τα προαπαιτούμενα είναι ελάχιστα, γεγονός που καθιστά τις σημειώσεις κατάλληλες για ένα ευρύτερο φάσμα αναγνωστών (το οποίο περιλαμβάνει και κάποιους μαθητές και μαθήτριες Λυκείου) με ενδιαφέρον στα μαθηματικά.

    Η ύλη που καλύπτεται είναι συγκρίσιμη με εκείνη που συναντά κανείς σε εισαγωγι- κά μαθήματα διάρκειας ενός εξαμήνου με τίτλο «Διακριτά Μαθηματικά», ή «Συνδυα- στική και Θεωρία Γραφημάτων», σε διεθνή προπτυχιακά προγράμματα σπουδών. Η επιλογή της θεματολογίας έχει στόχο να καλύψει κάποια από τα κενά στην (σχετικά φτωχή) ελληνική βιβλιογραφία σε διακριτά μαθηματικά και φυσικά αντανακλά και τα ενδιαφέροντα και τις προτιμήσεις του συγγραφέα. ΄Εχει γίνει προσπάθεια για το στυλ των σημειώσεων να είναι χαλαρό και ευχάριστο.

    Αναπόσπαστο κομμάτι των σημειώσεων είναι οι ασκήσεις που δίνονται στο τέλος κάθε κεφαλαίου, η σκοπιμότητα και προέλευση των οποίων ποικίλλει. Κάποιες από αυτές (όπως οι Ασκήσεις 13, 14, 16 και 24 του Κεφαλαίου 2 και οι Ασκήσεις 8, 15, 16 και 18 του Κεφαλαίου 3) αποτελούν τμήματα θεωρίας που έχουν δοθεί σε μορφή ά- σκησης, έτσι ώστε να μην υπερβεί το μέγεθος των σημειώσεων κάποια λογικά όρια και ταυτόχρονα να έχουν τη δυνατότητα να επεκτείνουν τις γνώσεις τους οι αναγνώστες που το επιθυμούν. Κάποιες άλλες έχουν παρθεί από σχετικά συγγράμματα [6, 11, 14], άλλες έχουν παρθεί από το μάθημα «Combinatorial Analysis» που είχε διδάξει στο ΜΙΤ ο James Propp το εαρινό εξάμηνο του 1992, άλλες αποτελούν παραλλαγές από προβλήματα που τέθηκαν σε μαθηματικούς διαγωνισμούς ή από αποτελέσματα σε ε- ρευνητικά άρθρα και αρκετές αποτελούν εμπνεύσεις του συγγραφέα και δύσκολα θα βρεθούν αλλού στη διεθνή βιβλιογραφία. Σε κάθε περίπτωση, ο αναγνώστης ενθαρ- ρύνεται να προσπαθήσει να λύσει ο ίδιος τις ασκήσεις, αρχίζοντας από τις πιο απλές και βαίνοντας προς τις δυσκολότερες, πριν συμβουλευθεί τις προτεινόμενες λύσεις.

    5

  • 6

    Προαπαιτούμενα

    Θεωρούμε γνωστές στοιχειώδεις έννοιες της θεωρίας συνόλων, όπως τις έννοιες του εγκλεισμού συνόλων A ⊆ B, της ένωσης, της τομής και του καρτεσιανού γινομένου (πεπερασμένου πλήθους) συνόλων, καθώς και την έννοια της απεικόνισης συνόλων και εκείνης της σύνθεσης απεικονίσεων. Θεωρούμε επίσης γνωστές βασικές ιδιότητες των φυσικών, ακεραίων, ρητών και πραγματικών αριθμών και της φυσικής διάταξης στα σύνολα αυτά. Στο παράρτημα που δίνεται στο τέλος των σημειώσεων υπενθυμί- ζουμε την αρχή της πεπερασμένης μαθηματικής επαγωγής καθώς και την έννοια της διαιρετότητας στο σύνολο των ακεραίων, η οποία περιστασιακά θα μας φανεί χρήσιμη.

    Συμβολισμοί

    Θα χρησιμοποιήσουμε τους εξής συμβολισμούς:

    ∅: το κενό σύνολο N = {0, 1, 2, . . .}: το σύνολο των φυσικών αριθμών Z: το σύνολο τ