Χ Χαραλάμπους...

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Εαρινό εξάμηνο 201225.04.12

Χ. ΧαραλάμπουςΑΠΘ


ΑΠΘ



ΑΠΘ


Nicolaus CopernicusΠολωνία (1473‐1543)

Η γη γυρίζει γύρω από τον ήλιο…(1514)

Βιβλία που τον σημάδεψαν (1492):

«Στοιχεία»Alfonsine Tables (θεωρία πλανητών)

Tabulae directionum του Regiomontanus (στην Σφαιρική αστρονομία)


ΑΠΘ


Stevin

(1548-1620)

Δεκαδικοί αριθμοί στη Δύση (1585)


ΑΠΘ


Johannes KeplerΓερμανία1571-1630

Γη και πλανήτες σεελλειπτική τροχιάγύρω από τον ήλιο. Τρεις Θεμελιώδεις νόμοι(1609 και 1619)


ΑΠΘ


1ος Νόμος: Η τροχιά των πλανητών είναι ελλειπτική με τονΉλιο να βρίσκεται στη μία εστία της έλλειψης.

2ος Νόμος: Η ακτίνα που ενώνει τον Ήλιο και τον κάθεπλανήτη διαγράφει σε ίσους χρόνους ίσα εμβαδά.

3ος Νόμος: Το τετράγωνο της περιόδου περιφοράς τουκάθε πλανήτη είναι ανάλογο με τον κύβο του μήκους τουμεγάλου ημιάξονα της έλλειψης που διαγράφει.

(πως μπορεί να κάνει κανείς μετρήσεις καιυπολογισμούς με τόσο μεγάλους αριθμούς? )


ΑΠΘ


Λογάριθμοι (λόγος+ αριθμοί)

Οι πρόδρομοι:

Αρχιμήδης και αρίθμηση με εκθέτες (Ψαμμίτη)

Πίνακες με δυνάμεις του 2

Κινητήρια δύναμη: υπολογισμοί στην Αστρονομία καιΝαυσιπλοία


ΑΠΘ


0 11 22 43 84 165 326 647 1288 2569 512

Ο Stifel (1544) συνέκρινε τις δύο σειρές (στήλες): το άθροισμα όρων στηναριθμητική σειρά αντιστοιχεί σε γινόμενο όρων της γεωμετρικής σειράς.

Ένας τέτοιος πίνακας με δυνάμεις του 2 δε μπορεί να χρησιμοποιηθείαποτελεσματικά για πολλαπλασιασμούς αφού οι δυνάμεις του 2 έχουν μεγάληαπόσταση μεταξύ τους.

16 * 32 αντίστοιχοι εκθέτες

4, 5

άθροισμα εκθετών 9,

αντίστοιχη δύναμη 512


ΑΠΘ


Αστρονομία: το 1593 Δανοί μαθηματικοί πρότειναν ναχρησιμοποιούνται τριγωνομετρικοί τύποι για να γίνονται οι υπολογισμοίευκολότερα. Πράγματι οι πολλαπλασιασμοί ανάγονται σε αθροίσειςκαι αφαιρέσεις (με χρήση εκτεταμένων πινάκων για ημίτονα καισυνημίτονα.)

π.χ. Ο τύπος sin α cos β= ½ sin (α+β) +1/2 sin(α-β)θα χρησιμοποιηθεί για το γινόμενο

0.17365 * 0.99027Από τους πίνακες:

0.17365=sin (10), 0.99027= cos (8)sin(18)=0.3092, sin (2)= 0.03490

άρα0.17365 * 0.99027 = ½ (0.3092 + 0.03490 )=0.17196

(το παράδειγμα είναι με χρήση τωρινών ορισμών για sin, cos αφού τότεsin ήταν το μισό της αντίστοιχης χορδής κύκλου με ακτίνα 10,000,000 )


ΑΠΘ


Θέμα παρουσίασης: Ιστορία της τριγωνομετρίας καιτης αστρονομίας.


ΑΠΘ


John Napier (1550–1617) ΣκωτίαΞεκίνησε τη μελέτη το1594.

Δημοσίευσε το 1614 το

Mirafici logarithmorumcanonis descriptio

Και το 1619

Mirafici logarithmorumcanonis constructio


ΑΠΘ


A DESCRIPTION

OF THE ADMIRABLETABLE OF LOGA‐

RITHMES:WITH A DECLARATION OFThe Most Plentifvl, Easy,

And Speedy Vse thereof in both kindesof Trigonometrie, as also in all Mathematicall calculations.

INVENTED ANF PVBLI‐SHED In Latin By That

Honorable John Nepair, Ba‐ron of Merchiston, and transtaled into

English by the late learned and famous Mathematician

Edward Wright

Mirifici logarithmorum canonis descriptio (1614).


ΑΠΘ


Αν

τότε L είναι ο λογάριθμος Napier του Ν(για ευκολία τον γράφουμε Nap log Ν)

Έτσι Nap log 10,000,000 = 0 ενώNap log 9,999,999=1


ΑΠΘ


αν a : b=c : d τότεNap log a – Nap log b = Nap log c – Nap log d.

Το πρώτο βιβλίο του Napier εκδόθηκε μετά από 20 χρόνια υπολογισμών: έδωσε τον πίνακα τωνλογαρίθμων για τους αριθμούς από το 5-10 εκατομμύρια.


ΑΠΘ



ΑΠΘ


Ο Briggs (1561-1630, Άγγλος) μετά από συνεννόηση με τονNapier κατασκεύασε πίνακες με βάση 10 έτσι ώστε log 1=0

σήμερα


ΑΠΘ


Έστω ευθύγραμμο τμήμα BY (μήκος r= 10,000,000= 107)

Έστω ημιευθεία AX. Τα P και Q ξεκινούν ταυτόχρονα από το Α και B.Η ταχύτητα του P παραμένει σταθερή, και ίση με 107.

Η ταχύτητα του Q όμως ελαττώνεται ανάλογα με την απόσταση του Q από την άλλη άκρη Y. Έστω ότι σε κάποιο χρόνο το P φτάνει στο C ενώ το Q φτάνει στο D. Τότε

O λογάριθμος του DY είναι το AC. Με άλλα λόγιαAC= Naplog DY

Ο επίσημος ορισμός τουNapier


ΑΠΘ


Να δείξετε ότι ο μηχανικός ορισμός του Napier αντιστοιχεί στον εκθετικό τύπο

Να βρείτε τη σχέση ανάμεσα στο λογάριθμο του Napier και στον φυσικό λογάριθμο.

Να χρησιμοποιήσετε πίνακα λογαρίθμων γιαπολλαπλασιασμό.


ΑΠΘ


Jobst Burgi (1552‐1632) Ελβετός

Η δουλειά του όμωςδημοσιεύτηκε 1620.Έδωσε πίνακες με23,027 στοιχεία,με λόγο1+10-4

Χ Χαραλάμπους...

Documents

Transcript of Χ Χαραλάμπους...