Χ Χαραλάμπους...

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Εαρινό εξάμηνο 201221.03.12

Χ. ΧαραλάμπουςΑΠΘ


ΑΠΘ


Αρχιμήδης 287 π.Χ. ‐ 212 π.Χ.


ΑΠΘ


Domenico Fetti 1620


ΑΠΘ


Fields medal προτομή, κύβος+κύλινδρος


ΑΠΘ


Fields medal: 1936, 1950 και κάθε 4 χρόνια (15.000 καναδέζικα δολάρια)

Abel prize: Νορβηγία, από το 2003, κάθε χρόνο, (περίπου 1 εκατομμύριο δολάρια)

Chern’s prize: International Mathematical Union (IMU) κάθε 4 χρόνια, (250.000 αμερικάνικα δολάρια)


ΑΠΘ



ΑΠΘ


Εύρηκα, Εύρηκα(η ιστορία με το χρυσό και το στέμμα του Ιέρωνα)

Το στέμμα έχει το σωστό βάρος: όσο το χρυσό που δόθηκε για να φτιαχτεί. Είναιόμως ολοκάθαρο χρυσό? Έχει το σωστό όγκο? Πως μπορούμε να υπολογίσουμετον όγκο του στέμματος?


ΑΠΘ


Κάθε σώμα που βυθίζεται μέσα σ΄ ένα υγρό χάνειτόσο από το βάρος του, όσο το βάρος του υγρούπου εκτοπίζει. (Αρχή του Αρχιμήδη στηνυδροστατική)

Το βάρος του υγρού που εκτοπίζεται είναιανάλογο του όγκου του.

Ο όγκος του υγρού που εκτοπίζεται είναι ίσος μετον όγκο του σώματος που είναι βυθισμένο.

Έτσι βυθίζοντας σώματα σε υγρό μπορούμε ναυπολογίσουμε τον όγκο τους.


ΑΠΘ


Η έλικα του Αρχιμήδη

Για την άρδευση στηνΑίγυπτο


ΑΠΘ


Εφαρμοσμένη μηχανική

Άρπαγας


ΑΠΘ


Giulio Parigi (1571-1635) ~1600

Κάτοπτρα τουΑρχιμήδη


ΑΠΘ



ΑΠΘ


ΠείραματουΣακκά1973

(ανάφλεξη?)


ΑΠΘ


Το πλανητάριο του Αρχιμήδη: έβρισκε ταυτόχρονα την θέση ήλιου, σελήνης και 6 πλανητών(σύμφωνα με τον Κικέρωνα, Cicero Marcus Tullius, 106-43 π.Χ) οδοντωτός τροχός?

ΜηχανισμόςΤων Αντικυθήρων(στηρίζεται στο πλανητάριο?


ΑΠΘ


Ο Θάνατος του Αρχιμήδη«Μη μου τους κύκλους τάραττε»


ΑΠΘ


Ciceron Decouvrant le Tombeau d'Archimede,by the French painter Pierre Henri de Valenciennes (1750-1819)


ΑΠΘ


Τάφος του Αρχιμήδη: Η σφαίρα και ο κύλινδορς

Πλούταρχος, Βίοι Παράλληλοι Μάρκελλος45-120 μ.χ

Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς γεγονὼςλέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶνσυγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴνἐπιστήσωσι τῷ τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντατὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον, ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦπεριέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸπεριεχόμενον.

Ο όγκος της σφαίραςείναι τα 2/3 του όγκουτου κυλίνδρου


ΑΠΘ


Εργα του Αρχιμήδη(έχουν βρεθεί)"Περί σφαίρας και κυλίνδρου" Βιβλίο α' και β' "Κύκλου μέτρησις" Σώζονται τρία θεωρήματα. "Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων" (32 θεωρήματα, 1 πόρισμα) "Περί ελίκων" (28 θεωρήματα, 6 πορίσματα) "Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά" Βιβλ α' και β'. "Βιβλίο λημμάτων" "Πρόβλημα Βοεικόν" "Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνου" "Ωρολόγιον Αρχιμήδους" (Σώζεται στα αραβικά) "Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλων" "Αρχαί της Γεωμετρίας" «Ψαμμίτης" "Τετραγωνισμός παραβολής" Πρόσφατα διαβάστηκαν από το Παλίμψηστο αποσπάσματα από τα έργα που διασώθηκαν σε αυτό:«Οστομάχιο»«Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος» (=μέθοδος)«Περί των επιπλεόντων σωμάτων" «Οχουμένων" (Υδροστατική επιπλεόντων σωμάτων)


ΑΠΘ


Έργα του Αρχιμήδη που δεν έχουν ακόμα βρεθεί:

"Αριθμητικά" "Βαρουλκός, Υδροσκοπίαι, Πνευματική" "Επισίδια Βιβλία" (Μάλλον περί στατιστικής ‐Τζέτζης) "Περί τριγώνων" "Περί τετραπλεύρου" "Περί ζευγών" "Περί 13 ημικανονικών πολυέδρων" "Ισοπεριμετικά" "Ισορροπίαι" "Καύσις δια κατόπτρων" "Περί Αρχιτεκτονικής" "Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα ‐ Αραιόμετρα) "Περί δρομομέτρων" (Οδόμετρα πλοίων) "Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικά" "Κατοπρικά" "Περί παραλλήλων γραμμών" "Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρων" "Προοπτική" "Στοιχεία μηχανικών" "Πλινθίδες και Κύλινδροι" "Στοιχεία επί των στηρίξεων" "Σφαιροποιΐα"


ΑΠΘ


«Οστομάχιον»: η μάχη των οστών(σχημάτων)


ΑΠΘ


ΟΨαμμίτης ("Άμμου Καταμέτρης")

Η αρχή

Το τέλος


ΑΠΘ


ΟΨαμμίτης ("Άμμου Καταμέτρης")

το σύνολο των στοιχειωδών σωματιδίων(πρωτονίων και ηλεκτρονίων) σε όλο το σύμπανυπολογίζεται κάπου ανάμεσα στο 10 εις την 70 και10 εις την 85,

Η τελική εκτίμηση του Αρχιμήδη δίνει άνω όριο 10εις την 64 κόκκων σε ένα σύμπαν πλήρες άμμου.

(Θεωρία του Αρίσταρχου για ένα ηλιοκεντρικόσύστημα)


ΑΠΘ


=9999 =10,000 Μυριάς

=9,999 x 10,000+9,999=99,990,000+9,999=99,999,999=

-1

.

Μυριάς μυριάδων


ΑΠΘ


Η περίμετρος της γης είναι μικρότερη των 300 μυριάδων στάδια (~5·105

km.)

Ο ήλιος είναι μικρότερος των 30 φορές τη Σελήνη

Η γωνιακή διάμετρος του Ήλιου από τη Γη μεγαλύτερη 1/200 ορθήςγωνίας

Άρα η διάμετρος του σύμπαντος (καθορίζεται από τη τροχιά της Γης γύρωαπό τον ήλιο) είναι το πολύ 1014 στάδια.

Αρκούν 1063 κόκκοι άμμου

Σύστημα αρίθμησης του Αρχιμήδη του επιτρέπει να φτάσει έως


ΑΠΘ


Βοεικό πρόβλημα και εξίσωση PellΣε ένα ποίημα που αποδίδεται στον Αριστοτέλη και πουεστάλη ως επιστολή στον Ερατοσθένη.

Να βρεθεί το πλήθος των βοών του (θεού) Ηλίου.

Αγελάδες και ταύροι 8 χρωμάτων συνολικά, πουικανοποιούν γραμμικό σύστημα με 7 εξισώσεις καθώς καιάλλες δύο συνθήκες (κάποιο άθροισμα να είναιτετράγωνο και κάποιο άλλο να είναι τρίγωνο).


ΑΠΘ


Οι 7 εξισώσεις δίνουν τις εξής λύσεις:10,366,482 t7, 460,514 t7,358,060 t4, 149, 387 t7, 026, 360 t4, 893,246 t3, 515,820 t5, 439,213 t


ΑΠΘ


Οι άλλες δύο οδηγούν σε μία εξίσωση Pell:

Η απάντηση είναι αριθμός με περισσότερα από 200,000 ψηφία (1880Amthor)!Δόθηκε το 1965 με χρήση δύο υπολογιστών IBM.( Η μέθοδος επίλυσης εξισώσεων Pell με συνεχή κλάσματα βρέθηκε από τονLagrange το 1780).

Ο Αρχιμήδης είχε χρησιμοποιήσει εξισώσεις Pell για τη προσέγγιση τηςτετραγωνικής ρίζας του 3. Στη Δύση εμφανίζεται και πάλι τον 16ο αιώνααπό τον Fermat.


ΑΠΘ


Λογισμός και Αρχιμήδης: η μέθοδος της εξάντλησης"Τετραγωνισμός παραβολής"

Το εμβαδόν ανάμεσα στην παραβολή και τέμνουσαισούται τα 4/3 του αντίστοιχου τριγώνου

Στο βιβλίο του ο Αρχιμήδης δίνειδύο αποδείξεις: μία βασισμένη στις αρχές της μηχανικήςκαιμία γεωμετρική.


ΑΠΘ


Στη γεωμετρική απόδειξη ο Αρχιμήδης δείχνει ότι το εμβαδόν τουπράσινου τριγώνου είναι ίσο με το 1/8 του εμβαδού του μπλε τριγώνου Ακαι ούτω καθεξής.

Ξεκινά με το μπλε τρίγωνο και προσθέτει συνεχόμενα καινούρια τρίγωναανάμεσα σε αυτά που υπάρχουν και τη παραβολή για να βρει διαδοχικάσυνολικά εμβαδάA, A + A/4 , A + A/4 + A/16 , A + A/4 + A/16 + A/64 , ...

Το εμβαδόν που μας ενδιαφέρει είναι:


ΑΠΘ


A (1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + …)= A 4/3

Σήμερα

Αρχιμήδης

Το σύνολο των εμβαδών των μωβ τετραγώνων της εικόνας αντιστοιχούνστο άθροισμα 1/ 4 + 1/16 + …Σε κάθε μωβ τετράγωνα αντιστοιχούν άλλα δύο ίσα κίτρινα τετράγωνα.Άρα το παραπάνω άθροισμα είναι ίσο με το 1/ 3 του εμβαδού του τετραγώνουμε πλευρά 1 δηλ. ίσο με 1/3.


ΑΠΘ


Βιβλίο 1, περί επιπέδων ισορροπιών

ΤΑ ΜΕΓΕΘΕΑ ΙΣΟΡΡΟΠΕΟΝΤΙ ΑΠΟ ΜΑΚΕΩΝ ΑΝΤΙΠΕΠΟΝΘΟΤΩΣΤΟΝ ΑΥΤΟΝ ΛΟΓΟΝ ΕΧΟΝΤΩΝ ΤΟΙΣ ΒΑΡΕΣΙΝ.

Τα μεγέθη Γ, Δ θα έρθουν σε ισορροπία ως προς το Ε όταν οι αποστάσεις τουςαπό το Ε, δηλ. ΒΕ, ΑΕ ικανοποιούν σχέση αντιστρόφως ανάλογες με το βάροςτους:

Γ:Δ=AΕ: BE

Δος μοι πα στω και τα γαν κινάσω

ΤΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΝ ΒΑΡΟΣ ΠΡΟΣ ΤΟ ΚΙΝΟΥΝ, ΤΟ ΜΗΚΟΣ ΠΡΟΣ ΤΟ ΜΗΚΟΣ ΑΝΤΙΠΕΠΟΝΘΕΝ.

Χ Χαραλάμπους...

Documents

Transcript of Χ Χαραλάμπους...