ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2...

115
∆ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ TENSEGRITY ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΑΝ∆ΡΙΤΣΟΥ ΕΥΑΝΘΙΑ

Transcript of ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2...

Page 1: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

∆ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ &

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ TENSEGRITY

ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

ΑΝ∆ΡΙΤΣΟΥ ΕΥΑΝΘΙΑ

Page 2: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

2

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ

ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ &ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

∆ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕ ΤΙΤΛΟ

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ TENSEGRITY ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

ΑΝ∆ΡΙΤΣΟΥ ΕΥΑΝΘΙΑ

Α.Μ. 511/2003002

ΤΡΙΜΕΛΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗ

Επιβλέπων καθηγητής: Παπανίκος Παρασκευάς

Μέλη Επιτροπής: Ν. Ζαχαρόπουλος, Ε. Σκουρµπούτης

Ερµούπολη – Σύρος, 2010

Page 3: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

3

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Ο όρος tensegrity προκύπτει από τη σύµπτυξη των αγγλικών λέξεων tension και

integrity και χαρακτηρίζει ένα συγκεκριµένο είδος δοµικού συστήµατος που αποκτά

και διατηρεί την ακεραιότητά του µέσω εφελκυστικών τάσεων. Η έννοια των

tensegrity συστηµάτων αναπτύχθηκε από τους Buckminster Fuller και Kenneth

Snelson τη δεκαετία του 1940 ενώ η πρώτη απλή σχετικά κατασκευή υλοποιήθηκε

πολλά χρόνια αργότερα. Ως κατασκευές είναι εντυπωσιακές, εύκαµπτες, ανθεκτικές,

και εξαιρετικά ενδιαφέρουσες λόγω του ότι στο σύνολό τους µοιάζουν µε σύµπλεγµα

αιωρούµενων ράβδων. Από αρχιτεκτονικής άποψης, παρουσιάζουν υψηλή αισθητική

και ο συνδυασµός της αισθητικής αυτής µε τα κατασκευαστικά πλεονεκτήµατα της

δοµής (µικρό βάρος, ευκολία συναρµολόγησης, αναδίπλωση, δυνατότητα

προσαρµογής αυτόµατου ελέγχου κ.α) εκτείνουν το ενδιαφέρουν και στους

υπόλοιπους κλάδους της Εφαρµοσµένης Μηχανικής. Η αντικειµενικά δύσκολης

αντίληψης γεωµετρία τους περιορίζει την ευρεία χρήση τους, ωστόσο πεδίο µελέτης,

έρευνας και εφαρµογής τους, πέραν της Αρχιτεκτονικής, αποτελεί ο ευρύτερος

κλάδος των Κατασκευών (αναφέρεται κυρίως σε έργα πολιτικού µηχανικού και στην

αεροδιαστηµική).

Σε επίπεδο βασικής έρευνας, υπάρχει µια ενδιαφέρουσα σύνδεση ανάµεσα στις δοµές

tensegrity και σε δοµές που συναντώνται στη φύση, όπως για παράδειγµα, οι

µοριακοί δεσµοί και η δοµή των πρωτεϊνών, µε πληθώρα σχετικών µελετών.

Επιπλέον, ερευνάται το κατά πόσο οι αρχές των tensegrities αποτελούν γενικότερες

αρχές που διέπουν τη δοµή βιολογικών υλικών, ώστε η κατανόησή τους να οδηγήσει

στη δηµιουργία νέων έξυπνων υλικών.

ΣΚΟΠΟΣ Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται ένα καινοτόµο δοµικό εφελκυστικό σύστηµα.

Οι εφελκυστικές δοµές γενικότερα παρουσιάζουν ιδιαίτερη µηχανική συµπεριφορά, η

οποία έχει ως αποτέλεσµα την υιοθέτηση διαφορετικών προσεγγίσεων κατά το

σχεδιασµό και τη µοντελοποίηση συγκριτικά µε τις συµβατικές δοµές. Σκοπός της

εργασίας είναι η λεπτοµερής µελέτη και περιγραφή του εφελκυστικού συστήµατος

tensegrity (σε θεωρητικό και πρακτικό επίπεδο) µέσα από ολοκληρωµένη έρευνα και

Page 4: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

4

η χρήση αναλυτικής σχεδιαστικής προσέγγισης για τη µοντελοποίηση και

πραγµατοποίηση στατικής ανάλυσης.

∆ΟΜΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η παρούσα εργασία χωρίζεται σε επτά κεφάλαια. Το πρώτο κεφάλαιο είναι

εισαγωγικό και αναφέρεται στις κατηγορίες των εφελκυστικών δοµών και την

ιδιαιτερότητά τους ως προς το σχεδιασµό, τη µοντελοποίηση και τη δοµική τους

ανάλυση. Στο δεύτερο κεφάλαιο εισάγεται επεξηγηµατικά η έννοια tensegrity έτσι

όπως εµφανίστηκε στα χρονικά της τέχνης και της επιστήµης και περιγράφονται οι

ιδιότητες των tensegrity συστηµάτων. Στο τρίτο κεφάλαιο περιγράφεται αναλυτικά

το tensegrity δοµικό σύστηµα, τα στοιχεία από τα οποία αποτελείται και ο τρόπος µε

τον οποίο τα στοιχεία αυτά αλληλεπιδρούν για την επίτευξη της δοµικής

ακεραιότητας.

Το τέταρτο και το πέµπτο κεφάλαιο αποτελούν τον πυρήνα της διπλωµατικής

εργασίας. Συγκεκριµένα, στο τέταρτο κεφάλαιο παρατίθεται πλήρης και αναλυτική

περιγραφή της σχεδιαστικής διαδικασίας των tensegrity συστηµάτων και των

µεθοδολογιών που αποσκοπούν στη γεωµετρική µοντελοποίησή τους µέσω

µαθηµατικών µοντέλων. Η διαδικασία αυτή αποτελεί το σηµαντικότερο βήµα στη

σχεδίαση ενός εφελκυστικού συστήµατος αφού µέσω αυτής υλοποιείται µια έγκυρη

δοµική ανάλυση και κατ’ επέκταση µια δοµικά ακέραιη κατασκευή. Το πέµπτο

κεφάλαιο αποτελεί το πρακτικό κοµµάτι της εργασίας. Βάσει ορισµένης

µεθοδολογίας για τη γεωµετρική µοντελοποίηση της βασικής tensegrity µονάδας,

πραγµατοποιείται στατική ανάλυσή της στο πρόγραµµα πεπερασµένων στοιχείων

ANSYS. Στο έκτο κεφάλαιο παρουσιάζονται όλα τα πεδία εφαρµογής tensegrity

συστηµάτων που έχουν υλοποιηθεί έως σήµερα. Τέλος, τα γενικά συµπεράσµατα της

εργασίας αναφέρονται στο έβδοµο κεφάλαιο.

Page 5: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

5

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ .................................................................................................................7

1.1 Εφελκυστικές ∆οµές ............................................................................................7 1.2 ∆οµική Ακεραιότητα (Structural Integrity) .........................................................9 1.3 Κατηγοριοποίηση εφελκυστικών δοµών ...........................................................10

1.3.1 Εφελκυστικές δοµές δυναµικής και γεωµετρικής γραµµικότητας .............11 1.3.2 Εφελκυστικές δοµές δυναµικής ή/και γεωµετρικής µη-γραµµικότητας....11 1.3.3 Εφελκυστικές δοµές υφάσµατος.................................................................14

2 TENSEGRITY..........................................................................................................19 2.1 Εισαγωγή ...........................................................................................................19 2.2 Τι είναι Τensegrity .............................................................................................20

2.2.1 Ορισµοί .......................................................................................................21 2.3 Ανασκόπηση: εφεύρεση και χρονική εξέλιξη....................................................22 2.4 Ιδιότητες tensegrity συστηµάτων.......................................................................24

3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ TENSEGRITY ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ......................................................28 3.1 Εισαγωγή ...........................................................................................................28 3.2 Στοιχεία και Υλικά.............................................................................................28

3.2.1 Ράβδοι .........................................................................................................29 3.2.2 Τένοντες ......................................................................................................29 3.2.3 Υλικά ..........................................................................................................29

3.3 ∆υνάµεις.............................................................................................................30 3.3.1 Προένταση (prestressability ή pretension)..................................................31

3.4 Αρχές λειτουργίας του συστήµατος tensegrity ..................................................31 3.4.1 ∆ιάταξη .......................................................................................................32 3.4.2 Ευστάθεια ...................................................................................................37 3.4.3 Ανταπόκριση σε καταπονήσεις...................................................................38 3.4.4 True και False Tensegrity ...........................................................................38

3.5 ∆οµική Ανάλυση συστήµατος ...........................................................................40 3.5.1 Κινηµατική και στατική απροσδιοριστία των tensegrity συστηµάτων .....42 3.5.2 Μη-γραµµικότητα και συµβιβασµοί..........................................................43 3.5.3 Στατική Ανάλυση........................................................................................44 3.5.4 ∆υναµική Ανάλυση....................................................................................46

4 ΣΧΕ∆ΙΑΣΜΟΣ TENSEGRITY ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ...................................................48 4.1 Εισαγωγή ...........................................................................................................48 4.2 Τοπολογία tensegrity συστηµάτων ....................................................................50

4.2.1 Σφαιρικά tensegrity συστήµατα ..................................................................50 4.2.2 Πρισµατικά tensegrity συστήµατα.............................................................53

4.3 Σύνδεση δοµικών στοιχείων και δοµικών µονάδων ..........................................55 4.3.1 Ανάρτηση ράβδων σε µονάδα ....................................................................55 4.3.2 Κατακόρυφη και οριζόντια ανάρτηση µονάδων.........................................55

4.4 Μέθοδοι Σχεδιαστικής Ανάλυσης Τensegrity συστηµάτων (Form-Finding) ...56 4.4.1 Μέθοδοι κινηµατικής προσέγγισης ............................................................58 4.4.2 Μέθοδοι στατικής προσέγγισης ..................................................................63 4.4.3 Σύνοψη διαδικασίας σχεδιαστικής ανάλυσης .............................................70

4.5 Έλεγχος σχήµατος..............................................................................................71

Page 6: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

6

4.5.1 Παθητική αναδίπλωση/ανάπτυξη ...............................................................73 4.5.2 Ενεργητική αναδίπλωση/ ανάπτυξη...........................................................74

4.6 Εισαγωγή αυτόµατου ελέγχου ...........................................................................75 5 ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ∆Ο ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ................................................................................................................78

5.1 Μέθοδος Πεπερασµένων Στοιχείων ..................................................................78 5.2 Ανάλυση τριγωνικού tensegrity πρίσµατος µε Η/Υ ..........................................79 5.3 Επίλυση µε το πρόγραµµα ANSYS...................................................................79

5.3.1 Εύρεση γεωµετρίας (form-finding).............................................................79 5.3.2 ∆εδοµένα επίλυσης .....................................................................................83 5.3.3 Επιβολή φορτίσεων και αποτελέσµατα ......................................................85

6 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ TENSEGRITY.................................................................................94 6.1 Εισαγωγή ...........................................................................................................94 6.2 Αρχιτεκτονική και Civil Engineering ...............................................................94

6.2.1 Θόλοι (domes).............................................................................................96 6.2.2 Οροφές και δικτυώµατα..............................................................................98 6.2.3 Αψίδες και υπόστεγα ..................................................................................99 6.2.4 Πυλώνες και πύργοι ..................................................................................100 6.2.5 Σύνοψη......................................................................................................101

6.3 Αεροδιαστηµική...............................................................................................102 6.4 Αναδιπλούµενες/Αναπτυσσόµενες δοµές (deployable structures) ..................104 6.5 Ενεργές δοµές (active structures)-Ανταποκρινόµενες δοµές (responsive)......108

7 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ...............................................................................................110 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ .......................................................................................................112

Page 7: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

7

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

1.1 Εφελκυστικές ∆οµές

Ο όρος εντατικές δοµές- εφελκυστικές δοµές (tension structures) καλύπτει ένα ευρύ

φάσµα δοµικών συστηµάτων, βασικό γνώρισµα των οποίων είναι η επίτευξη

συνολικής ακαµψίας και ισορροπίας µε δυνάµεις εφελκυσµού (ένταση). Βασικά

δοµικά στοιχεία των εντατικών δοµών είναι οι ράβδοι, οι δοκοί, τα καλώδια

(τένοντες) και οι µεµβράνες. Οι εφελκυστικές δυνάµεις σε µια εντατική δοµή

µεταφέρονται σε ολόκληρο το σύστηµα είτε µε το «τέντωµα» της µεµβράνης

(πολυδιάστατος τανυσµός), είτε µε τον εφελκυσµό των τενόντων (µονοδιάστατος

τανυσµός) και εξισορροπούνται µε τις θλιπτικές που εφαρµόζονται στα άκαµπτα

στοιχεία στήριξης του συστήµατος (ράβδοι, δοκοί, τοίχοι κλπ), καθιστώντας έτσι την

κατασκευή ακέραιη. Αξίζει να σηµειωθεί πως ιστορικά, η αξιοποίηση του

εφελκυσµού για την ισορροπία κατασκευών ξεκίνησε µε την χρήση καλωδίων

(σχοινί, συρµατόσχοινο, αλυσίδα, αρθρωτές ράβδοι, τένοντες κλπ) και πολύ αργότερα

αξιοποιήθηκαν τα υφάσµατα και οι µεµβράνες για την κατανοµή των εφελκυστικών

δυνάµεων [1].

Η επέκταση των εφαρµογών και των δυνατοτήτων πρωτοποριακών δοµικών

συστηµάτων όπως είναι οι εφελκυστικές δοµές, οφείλεται στην αυξανόµενη

ανάπτυξη της τεχνολογίας των υλικών και των κατασκευαστικών µεθόδων. Η

ανακάλυψη του χάλυβα και η ευρεία χρήση του µετά την πρώτη µαζική παραγωγή το

1851, έφερε νέα δεδοµένα στις κατασκευές. Η τεράστια αντοχή του σε εφελκυσµό

και θλίψη προσέφερε νέες δυνατότητες στις εφαρµογές και τις σχεδιαστικές ιδέες. Η

γέφυρα του Brooklyn είναι ένα από τα χαρακτηριστικότερα παραδείγµατα. Από το

1883 όπου ολοκληρώθηκε και µέχρι το 1903 θεωρούνταν η µακρύτερη κρεµαστή

γέφυρα στον κόσµο αποτελούµενη από καλώδια χάλυβα. Η ανέγερσή της

Page 8: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

8

σηµατοδότησε την έναρξη µιας νέας εποχής στο βιοµηχανικό σχεδιασµό και στις

κατασκευές όπου οι εφελκυστικές δυνάµεις θα αντικαθιστούσαν τις θλιπτικές και θα

έπαιζαν πρωταγωνιστικό ρόλο στην αντοχή, την ισορροπία και την ευστάθεια.

Τις τελευταίες δεκαετίες, σε συνδυασµό µε την εξέλιξη και την αύξηση των

δυνατοτήτων των ηλεκτρονικών υπολογιστών και του Computer Aided Design, έχουν

υλοποιηθεί πολυάριθµες εφαρµογές στην κατηγορία των εφελκυστικών δοµών,

εφήµερες ή µόνιµες, µικρής ή µεγάλης κλίµακας και σε πολλά πεδία Εφαρµοσµένης

Μηχανικής.

Υπάρχουν δύο βασικά είδη: οι εφελκυστικές δοµές µε σύστηµα (ή δίκτυο) τενόντων

(cable net structures) και οι εφελκυστικές δοµές υφάσµατος (fabric structures).

Χρησιµοποιούνται κυρίως στην Αρχιτεκτονική για την επικάλυψη επιφανειών

(µοντέρνα Αρχιτεκτονική), όµως λόγω του µικρού τους βάρους και της ικανότητάς

τους να αλλάζουν σχήµα, έχουν ενταχθεί δυναµικά στην κατηγορία των

αναδιπλούµενων/αναπτυσσόµενων δοµών (deployable structures), αλλά και των

ανταποκρινόµενων δοµών (responsive structures) λόγω της δυνατότητας εφαρµογής

αισθητήρων στους τένοντες για αυτόµατο/ενεργό έλεγχο (Civil Engineering, Space

Engineering, Industrial Engineering).

Ο σχεδιασµός των εφελκυστικών δοµών διαφέρει από το σχεδιασµό των

συµβατικών δοµών διότι παρουσιάζουν ιδιαίτερη µηχανική συµπεριφορά. Ως

κατασκευές: συνήθως απαιτούν προένταση, η κατανοµή των εξωτερικών φορτίσεων

µέσα στο σύστηµα είναι µη-γραµµική και επιδέχονται αλλοίωση στο σχήµα. Στις

εφελκυστικές δοµές η αλλοίωση του σχήµατος των εύκαµπτων στοιχείων είναι

αποτέλεσµα της διανοµής των φορτίσεων µέσα σε ολόκληρο το σύστηµα. Οι

οποιεσδήποτε µετατοπίσεις που προκύπτουν, πρέπει να λαµβάνονται υπόψη κατά το

σχεδιασµό και τη δοµική ανάλυση. Επίσης, οποιαδήποτε και αν είναι η φόρτιση που

δέχεται το σύστηµα, οι δυνάµεις αντίδρασης όλων των εύκαµπτων στοιχείων πρέπει

να είναι πάντα εφελκυστικές, δηλαδή να µην υπάρχει χαλάρωση στους τένοντες ή

ζάρες και πτυχώσεις στις µεµβράνες. Στη διατήρηση ενός µόνιµου ποσοστού

εφελκυστικής τάσης συµβάλλει η διαδικασία της προέντασης.

Page 9: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

9

Τέλος, όσον αφορά τη σχεδιαστική και κατασκευαστική διαδικασία, είναι ευθύνη του

µηχανικού να προσδιορίσει την µορφή του συστήµατος. Στο σχεδιασµό των

εφελκυστικών δοµών συναντάµε τον όρο form-finding, ο οποίος αφορά τη

διαδικασία εύρεσης κατάλληλου σχήµατος και διαστάσεων των δοµικών στοιχείων

που καθιστούν την κατασκευή υλοποιήσιµη βάσει των εφελκυστικών τάσεων που

υφίσταται. Η ιδιαιτερότητα των δοµών αυτών έγκειται στο ότι η µορφή τους

προκύπτει από τη δυναµική ισορροπία αντίθετων δυνάµεων (εφελκυσµός – θλίψη). Η

εύρεση του σχήµατος/µορφής αποτελεί πολύπλοκη διαδικασία, είναι αντικείµενο

µελέτης και έρευνας για τους µηχανικούς και διέπεται από µεθοδολογίες. Παρ’ όλο

που φυσικά µοντέλα είναι διαθέσιµα για τα πρώτα σχεδιαστικά επίπεδα, η διαδικασία

του form-finding, η ανάλυση των δυνάµεων και των µετατοπίσεων καθώς και η

προτυποποίηση, εκτελούνται πλέον από ηλεκτρονικούς υπολογιστές και

εξειδικευµένο software.

1.2 ∆οµική Ακεραιότητα (Structural Integrity)

∆οµική ακεραιότητα είναι ο όρος που αναφέρεται στην ιδιότητα ενός υφιστάµενου

δοµικού συστήµατος να είναι πλήρες, ολοκληρωµένο και δίχως ατέλειες. Η

αξιολόγηση της δοµικής ακεραιότητας είναι µια προσέγγιση για την εκτίµηση του

κατά πόσο ένα σύστηµα είναι ικανό να αντέχει σε πραγµατικές συνθήκες µε

ασφάλεια και αξιοπιστία σε όλη την προβλεπόµενη διάρκεια ζωής του. Η µελέτη της

δοµικής ακεραιότητας ενός συστήµατος αποτελεί εργαλείο για τον µηχανικό, διότι

αναλύει τη συµπεριφορά του συστήµατος και των στοιχείων του κάτω από φαινόµενα

όπως φόρτιση, καταπόνηση, παραµόρφωση, µετατόπιση, διάβρωση, θραύση.

Σε µεγάλο βαθµό η µελέτη της ∆οµικής Ακεραιότητας έχει βασιστεί στη

Θραυστοµηχανική και συνεπώς, αποτελεί παράδειγµα του πως η γνώση πάνω στην

επιστήµη και µηχανική των υλικών βρίσκει πρακτική εφαρµογή στο βιοµηχανικό

σχεδιασµό και τις τεχνολογικές του ανάγκες [2]. Η επιστήµη των υλικών αποτελεί τον

παράγοντα-κλειδί στην γενικότερη τεχνολογική εξέλιξη. Για παράδειγµα, η εισαγωγή

του δοµικού χάλυβα στη βιοµηχανία, συν όλων των υπόλοιπων πλεονεκτηµάτων

(ποιότητα κατασκευής, αντοχή, ασφάλεια, οικονοµία χρόνου και κόστους) οδήγησε

Page 10: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

10

σε νέες σχεδιαστικές και κατασκευαστικές ιδέες, ξεκινώντας από την υλοποίηση των

κρεµαστών γεφυρών τον 19ο αιώνα.

Για την ανάλυση της δοµικής ακεραιότητας χρησιµοποιούνται εµπειρικά και

µαθηµατικά µοντέλα, καθώς και εξειδικευµένες µέθοδοι µε συστήµατα ανίχνευσης

ατελειών. Το µαθηµατικό µοντέλο που χρησιµοποιείται στα περισσότερα

προγράµµατα δοµικών αναλύσεων είναι η Μέθοδος Πεπερασµένων Στοιχείων. Τα

πρωτόκολλα που διασφαλίζουν τη δοµική ακεραιότητα των συστηµάτων είναι διεθνή

και βρίσκονται σε συνεχή ανάπτυξη, ενσωµατώνοντας προηγµένες διαδικασίες

επιθεώρησης και τεχνικών ανάλυσης.

1.3 Κατηγοριοποίηση εφελκυστικών δοµών

Οι εφελκυστικές δοµές αναλύθηκαν διεξοδικά και υλοποιήθηκαν σε µεγάλες

κατασκευές µετά το δεύτερο µισό του 20ου αιώνα. Αν και οι πρώτες πρακτικές για τον

υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων των εφελκυόµενων δοµικών

στοιχείων είχαν αναπτυχθεί από τον 19ο αιώνα, µόνο από το 1960 κι ύστερα

σηµειώθηκαν µεγάλης κλίµακας και πολυπλοκότητας κατασκευές. Έκτοτε, οι

εφελκυστικές δοµές προωθήθηκαν ως καινοτοµία που προσφέρει κατασκευαστικά,

αισθητικά και οικονοµικά πλεονεκτήµατα από πολλούς µηχανικούς και αρχιτέκτονες:

Frei Otto, Eero Saarinen, Horst Berger, Matthew Nowicki, Jorg Schlaich, David

Geiger, Buckminster Fuller.

Η ταξινόµηση των εφελκυστικών δοµών σε κατηγορίες γίνεται βάσει της δυναµικής

τους συµπεριφοράς. Αυτό σηµαίνει πως κατηγοριοποιούνται ανάλογα µε την

πολυπλοκότητα της δυναµικής ανάλυσης των εφελκυόµενων δοµικών στοιχείων

(γραµµικότητα, µη-γραµµικότητα, και προένταση) και της γεωµετρίας τους. Έτσι

έχουµε τις εξής γενικές κατηγορίες:

Εφελκυστικές δοµές δυναµικής και γεωµετρικής γραµµικότητας

Εφελκυστικές δοµές δυναµικής ή γεωµετρικής µη-γραµµικότητας

Εφελκυστικές δοµές υφάσµατος (µεµβράνη)

Page 11: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

11

Η γεωµετρική µη-γραµµικότητα αναφέρεται στην αλλαγή του σχήµατος ολόκληρου

του συστήµατος καθώς αυτό εκτρέπεται από την αρχική του µορφή, λόγω

καταπόνησης. Όταν η αλλαγή αυτή απαιτεί τον υπολογισµό πολλών και

διαφορετικών παραµέτρων για να προσδιοριστεί, τότε µιλάµε για γεωµετρική µη-

γραµµικότητα.

1.3.1 Εφελκυστικές δοµές δυναµικής και γεωµετρικής γραµµικότητας

Στην κατηγορία αυτή εντάσσονται όλα τα γραµµικά δυναµικά συστήµατα µε απλή

γεωµετρία. Η ανάλυση των εφελκυστικών δυνάµεων καθώς και οι υπολογισµοί των

τάσεων και των παραµορφώσεων στα δοµικά τους στοιχεία δεν χαρακτηρίζονται από

µεγάλη πολυπλοκότητα. Οι δυνάµεις, οι καταπονήσεις και οι αποκρίσεις του

συστήµατος µπορούν να προσδιοριστούν µε κλασικά µαθηµατικά µοντέλα.

1.3.1.1 Κρεµαστές γέφυρες-καλωδιωτές γέφυρες (suspension bridges)

Στις καλωδιωτές γέφυρες δρουν κατακόρυφα φορτία στους πυλώνες και εφελκυστικά

φορτία στα καλώδια της γέφυρας που ουσιαστικά στηρίζουν το κατάστρωµα της

γέφυρας. Η ιδέα για τις καλωδιωτές γέφυρες προέρχεται από τις πρώτες κρεµαστές

γέφυρες που αποτελούνταν από σχοινί και ξύλο.

1.3.1.2 ∆ικτυώµατα-Καλωδιωτά δικτυώµατα (cable trusses-cable net)

Οι εφελκυστικές δυνάµεις ασκούνται πάνω σε ράβδους, οπότε αναφερόµαστε σε

δικτυώµατα, είτε σε καλώδια (τένοντες) οπότε αναφερόµαστε σε καλωδιωτά

δικτυώµατα. Η διαφορά ανάµεσα στα δύο είδη δικτυωµάτων είναι το δοµικό στοιχείο

εφελκυσµού. Οι ράβδοι και τα καλώδια επιδέχονται µόνο αξονικές φορτίσεις µε τη

διαφορά ότι οι πρώτες παίρνουν και εφελκυσµό και θλίψη, ενώ τα δεύτερα µόνο

εφελκυσµό.

1.3.2 Εφελκυστικές δοµές δυναµικής ή/και γεωµετρικής µη-

γραµµικότητας

Στην κατηγορία αυτή εντάσσονται όλα τα µη-γραµµικά δυναµικά συστήµατα που

ενδεχοµένως να έχουν και πολύπλοκη γεωµετρία, η οποία δυσχεραίνει τη δοµική

Page 12: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

12

ανάλυση και την προσοµοίωση. Η µη-γραµµική συµπεριφορά προκύπτει είτε λόγω

µη-γραµµικής απόκρισης του υλικού των στοιχείων, είτε λόγω γεωµετρικής µη-

γραµµικότητας (µεγάλες µετατοπίσεις). Η ανάλυση τέτοιων συστηµάτων συνοδεύεται

από εξειδικευµένο software διότι πρέπει να λαµβάνει υπόψη µία πληθώρα

παραµέτρων καθώς και συνθήκες απροσδιοριστίας. Από σχεδιαστικής άποψης

πρόκειται για καινοτόµα συστήµατα µε εντυπωσιακά σχήµατα και ιδιότητες.

1.3.2.1 Καλωδιωτές θολωτές κατασκευές (cable domes)

Ο όρος καλωδιωτή θολωτή κατασκευή µοιάζει οξύµωρος από τη στιγµή που το

καλώδιο είναι δοµικό στοιχείο που δρα σε εφελκυσµό, ενώ ο θόλος είναι κατασκευή

που ισορροπεί µε τη δράση θλιπτικών δυνάµεων. Η καλωδιωτή θολωτή κατασκευή

αποτελεί εφαρµογή της ιδέας των καλωδιωτών δικτυωµάτων σε γεωδαιτικούς

θόλους (geodesic domes). ∆οµικό στοιχείο εφελκυσµού µπορούν να είναι ράβδοι

αλλά συνήθως είναι προεντεταµένοι τένοντες που συνδέουν άκαµπτα στοιχεία. Το

σύστηµα είναι αυτό-ισορροπούµενο, ωστόσο πρόσθετα συστήµατα αγκίστρωσης µε

το έδαφος εξυπηρετούν στη διατήρηση της προέντασης µέσα στη δοµή.

Εικόνα 1. Cable dome

Η γεωµετρία του συστήµατος µπορεί να υποστεί παραµόρφωση γι’ αυτό και οι cable

domes βρίσκουν εφαρµογή σε αναδιπλούµενες, ελαφριές κατασκευές (πχ. σκηνές

igloo). Παρ’ όλα αυτά οι περισσότερες και πιο εξελιγµένες εφαρµογές τέτοιων

συστηµάτων αφορούν τη στέγαση, εφήµερη ή µόνιµη, µεγάλων εκτάσεων όπως

γήπεδα και στάδια. Σε τέτοιες εφαρµογές. τα εφελκυόµενα στοιχεία υποστηρίζονται

άµεσα ή έµµεσα από έναν άκαµπτο οριζόντιο δακτύλιο. Η γεωµετρία είναι τέτοια

ώστε οι θλιπτικές δυνάµεις δρουν περιφερειακά στον δακτύλιο και κάθετα ή πλαγίως

σε παρεµβαλλόµενες ράβδους και µαζί µε τα εφελκυόµενα στοιχεία συγκροτούν µια

καλωδιωτή κατασκευή – σκελετό. Ο σκελετός αυτός µπορεί να επικαλύπτεται από

Page 13: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

13

ύφασµα (µεµβράνη), το οποίο όµως δεν συνεισφέρει στην ακεραιότητα της δοµής. Η

περίπτωση που η µεµβράνη είναι το µέσο των εφελκυστικών δυνάµεων της δοµής

είναι ξεχωριστή και αναφέρεται παρακάτω.

1.3.2.2 Tensegrity δοµικά συστήµατα

Ο όρος tensegrity υποδηλώνει ακεραιότητα µέσω έντασης και προέρχεται από τη

σύµπτυξη των αγγλικών λέξεων tension (ένταση) και integrity (ακεραιότητα).

Χρησιµοποιούµε τον όρο tensegrity για να δηλώσουµε ένα πολύ συγκεκριµένο είδος

δοµής, το οποίο αποτελείται αποκλειστικά από εφελκυόµενους(προεντεταµένους)

τένοντες(καλώδια) και θλιβόµενες ράβδους.

Εικόνα 2. Tensegrity

Το άθροισµα των θλιπτικών δυνάµεων ισούται µε το άθροισµα των εφελκυστικών,

και έτσι η δοµή βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας.

1.3.2.3 Tensairity δοµικά συστήµατα

Ο όρος tensairity προέρχεται από τις αγγλικές λέξεις tension και air και υποδηλώνει

ένταση προκαλούµενη από αέρα. Τα tensairity συστήµατα αποτελούν νέο είδος

δοµικού συστήµατος, κύριο πλεονέκτηµα του οποίου είναι το χαµηλό βάρος. Η

βασική αρχή των tensairity συστηµάτων είναι η χρήση αέρα χαµηλής πίεσης

προκειµένου να ενισχύουν τη σταθερότητα των δοκών και να τις προστατεύουν από

Page 14: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

14

κάµψη. Η δοµή αποτελείται από µια δοκό µε ιδιότητες ίδιες µε αυτές µιας απλής

φουσκωτής δοκού (air beam) όπως: χαµηλό βάρος, συµπαγής όγκος, γρήγορη

ανέγερση, αλλά έχει την αντοχή και την ικανότητα κατανοµής των εξωτερικών

φορτίσεων µιας συµβατικής δοµικής δοκού. Τα tensairity συστήµατα βρίσκουν

εφαρµογή σε οροφές, στέγαστρα, εφήµερες κατασκευές και πεζογέφυρες.

Εικόνα 3. Tensairity

1.3.3 Εφελκυστικές δοµές υφάσµατος

Η χρήση υφάσµατος σε εφελκυσµό είναι µια ξεχωριστή προσθήκη σε ένα υφιστάµενο

δοµικό σύστηµα ή οικοδόµηµα, όχι µόνο γιατί παρέχει µια νέα µορφή αρχιτεκτονικού

σχεδιασµού, αλλά επειδή προσφέρει γρήγορη, οικονοµική και εντυπωσιακή

αναδιαµόρφωση. Πεδίο εφαρµογή τους είναι κυρίως η Αρχιτεκτονική, παράγοντες

όµως όπως η µόνωση του υφάσµατος για τη θερµική αποδοτικότητα του κτιρίου και η

προέντασή του για τη στατική και δυναµική συµπεριφορά ολόκληρης της δοµής,

προκαλούν το ενδιαφέρον περισσότερων τεχνολογικών κλάδων. Η τεχνολογία των

αρχιτεκτονικών υφασµάτων είναι τέτοια που τα καθιστά ικανά για εφαρµογές σε

µεγάλες επιφάνειες κάλυψης διασφαλίζοντας ταυτόχρονα την ισορροπία του

συστήµατος.

Page 15: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

15

Εικόνα 4. Εφελκυστική δοµή υφάσµατος

1.3.3.1 Εφελκυστικές δοµές προεντεταµένου υφάσµατος

Στην πράξη, όλες οι σύγχρονες εφαρµογές εφελκυστικών δοµών υφάσµατος

χρησιµοποιούν προεντεταµένο ύφασµα που εξασφαλίζει δοµική αντοχή και

ανθεκτικότητα. ∆ύο τύποι υφάσµατος χρησιµοποιούνται συνήθως: το PVDF/PVC

ύφασµα πολυεστέρα (πολυβινυλικό DeneFlouride) και το PTFE ύφασµα φίµπεργκλας

(PolyTetraFluoroEthylene). Οι ελαφριές δοµές συνήθως αποτελούνται από ύφασµα

το οποίο προ-συµπιέζεται στο κάτω στάδιο έντασης, από άκαµπτα δοµικά στοιχεία

και ενισχυτικά συστήµατα που απαιτούνται για να διατηρηθεί η µορφή έντασης των

δοµών. Υπάρχουν δύο χαρακτηριστικοί τύποι εφελκυστικών δοµών προεντεταµένου

υφάσµατος:

Anticlastic µε το διπλάσιο τµήµα στην αντίθετη κυρτότητα. Αυτός ο τύπος

συντέλεσε στη δηµιουργία πολλών ελεύθερων µορφών εφελκυστικών δοµών

Synclastic µε δύο διπλές κυρτότητες στην ίδια κατεύθυνση.

Page 16: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

16

Εικόνα 5. Προεντεταµένο ύφασµα

Τα γενικότερα χαρακτηριστικά των εφελκυστικών δοµών προεντεταµένου

υφάσµατος είναι:

Η ραφή και η καµπύλη στις δοµές υφάσµατος απεικονίζουν τις δυνάµεις

εφελκυσµού.

Στοιχεία έκθεσης, έδρασης και προέντασης παίζουν καταλυτικό ρόλο στο

τελικό αποτέλεσµα.

Σχεδιασµός γρήγορης εφαρµογής

Χαµηλό κόστος συντήρησης

1.3.3.2 Air - supported structures (pneumatic structures)

Οι Air - supported structures (δοµές που λειτουργούν µε αέρα), αποτελούν ένα

ξεχωριστό και ιδιαίτερο είδος εφελκυστικής δοµής. ∆εν απαιτούν προεντεταµένο

ύφασµα, ενώ ο εφελκυσµός επιτυγχάνεται µε την εκροή πεπιεσµένου αέρα στο

εσωτερικό της δοµής που καλύπτεται µε ύφασµα, συνήθως µεµβράνη. Τα άκαµπτα

δοµικά στοιχεία δεν βρίσκονται απαραιτήτως στο όριο (περιφέρεια) του συστήµατος,

αλλά οπουδήποτε στο εσωτερικό του, ανάλογα µε το τελικό επιθυµητό σχήµα.

Γνωρίζοντας ότι οι εφελκυστικές δοµές γενικότερα είναι ακέραιες από την

αλληλεπίδραση θλιπτικών και εφελκυστικών δυνάµεων που ασκούνται πάνω σε

άκαµπτα και ελαστικά στοιχεία αντίστοιχα, το ενδιαφέρον αυτών των δοµών είναι ότι

ο αέρας συγκαταλέγεται στις θλιπτικές δυνάµεις (θλίψη = συµπίεση).

Υπάρχουν δύο είδη air supported structures οι οποίες διαφέρουν εξ’ ολοκλήρου στον

τρόπο λειτουργίας τους.

Page 17: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

17

Πακτωµένες (ground anchored pneumatic structures). Στις περισσότερες

περιπτώσεις, χαµηλής πίεσης αέρας διοχετεύεται συνεχώς µεταξύ εδάφους και

υφασµάτινης ελαστικής επιφάνειας (µεµβράνη) έτσι ώστε αυτή να είναι

τεντωµένη στο βαθµό που να είναι ικανή να αντισταθµίζει τη βαρύτητά της και

εξωτερικές καταπονήσεις. Συνήθως, βοηθητικά καλώδια πλαισιώνουν τη δοµή

προκειµένου να αυξήσουν την αντοχή της, να µειώσουν τις ταλαντώσεις της

επιφάνειας και να διαµορφώσουν µια συνολική µορφολογική άποψη. Υπάρχουν

δύο τρόποι αγκίστρωσης: απευθείας στο έδαφος, οπότε χαµηλής πίεσης αέρας

και αραιής τοποθέτησης καλώδια συγκροτούν τη δοµή που είναι γερά

θεµελιωµένη υπό-εδαφικά. Ο δεύτερος τρόπος είναι αγκίστρωση σε άκαµπτα

συµπαγή δοµικά στοιχεία, όπως πχ. ένας χτιστός δακτύλιος. Η εφαρµογή αυτή

αφορά κυρίως οροφές (πχ. σε στάδια) και απαιτεί υψηλότερης πίεσης αέρα

καθώς και πυκνό-τοποθετηµένα καλώδια που να συγκρατούν την ελαστική

επιφάνεια.

Εικόνα 6. Air-supported structure

Υψηλής πίεσης αέρα ( high pressure pneumatic structures). Αυτό το είδος

δοµής αποτελείται εξ’ ολοκλήρου από µεµβράνη η οποία εγκλωβίζει

αεροστεγώς υψηλής πίεσης αέρα. Η διοχέτευση αέρα δεν είναι συνεχής, όπως

στην προηγούµενη περίπτωση. ∆εν απαιτείται πάκτωση ή άκαµπτα δοµικά

στοιχεία για την ακεραιότητά της και για το λόγο αυτό ο αέρας πρέπει να είναι

υψηλής πίεσης ώστε να καθιστά ολόκληρο το σύστηµα άκαµπτο και ανθεκτικό

σε εξωτερικές φορτίσεις. Αυτό δίνει στη δοµή το πλεονέκτηµα να είναι αυτό-

ισορροπούµενη και αναδιπλούµενη (εύκολη ανέγερση, αποθήκευση και

µεταφορά). Η πιο γνωστή εφαρµογή αυτού του τύπου είναι οι φουσκωτές

βάρκες. Ωστόσο, η εφαρµογή της δοµής είναι περιορισµένη εξαιτίας της µικρής

Page 18: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

18

αποδοτικότητας και της περιορισµένης λειτουργικότητάς της σε ευρύτερο

φάσµα κατασκευών. Ειδικά και δαπανηρά υλικά απαιτούνται για την ελαστική

µεµβράνη ώστε να αντέχει την υψηλή πίεση.

Οι air – supported structures συγκαταλέγονται και στην κατηγορία των

αναδιπλούµενων/αναπτυσσόµενων δοµών. Παρουσιάζουν µη-γραµµική δυναµική

συµπεριφορά και απαιτούν ξεχωριστή µελέτη. Είναι ανθεκτικές αλλά αστάθµητοι

παράγοντες όπως διακοπή παροχής αέρα ή µη επαρκής παροχή, τρύπηµα, σκίσιµο

µπορούν να οδηγήσουν στην κατάρρευση του συστήµατος.

Page 19: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

19

2 TENSEGRITY

2.1 Εισαγωγή

Η έννοια των tensegrity συστηµάτων αναπτύχθηκε από τους Buckminster Fuller και

Kenneth Snelson τη δεκαετία του 1940 ενώ η πρώτη απλή σχετικά κατασκευή

υλοποιήθηκε πολλά χρόνια αργότερα. Το κύριο γνώρισµά τους είναι ότι η βασική

δύναµη που καθιστά το σύστηµα ακέραιο είναι η ένταση(εφελκυσµός). Ως

κατασκευές είναι εντυπωσιακές, εύκαµπτες, ανθεκτικές, και εξαιρετικά

ενδιαφέρουσες λόγω του ότι στο σύνολό τους µοιάζουν µε σύµπλεγµα αιωρούµενων

ράβδων. Από αρχιτεκτονικής άποψης, παρουσιάζουν υψηλή αισθητική και ο

συνδυασµός της αισθητικής µε τα κατασκευαστικά πλεονεκτήµατα της δοµής ( µικρό

βάρος, ευκολία συναρµολόγησης, αναδίπλωση, δυνατότητα προσαρµογής αυτόµατου

ελέγχου) εκτείνουν το ενδιαφέρουν και στους υπόλοιπους κλάδους της Μηχανικής. Η

αντικειµενικά δύσκολης αντίληψης γεωµετρία τους περιορίζει τη χρήση τους, ωστόσο

πεδίο έρευνας και εφαρµογής τους πέραν της Αρχιτεκτονικής και των τεχνών,

αποτελεί ο ευρύτερος κλάδος του Structural Engineering (Civil engineering, Space

engineering).

Σε πιο θεωρητικό επίπεδο, υπάρχει µια ενδιαφέρουσα σύνδεση ανάµεσα στις δοµές

tensegrity και σε δοµές που συναντώνται στη φύση, όπως για παράδειγµα, οι

µοριακοί δεσµοί και η δοµή των πρωτεϊνών, µε πληθώρα σχετικών µελετών.

Επιπλέον, ερευνάται το κατά πόσο οι αρχές των tensegrities αποτελούν γενικότερες

αρχές που διέπουν τη δοµή βιολογικών υλικών, ώστε η κατανόησή τους να οδηγήσει

στη δηµιουργία νέων έξυπνων υλικών.

Page 20: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

20

2.2 Τι είναι Τensegrity

Ο όρος tensegrity χρησιµοποιήθηκε πρώτη φορά στην Αρχιτεκτονική και προέρχεται

από τη σύµπτυξη των αγγλικών λέξεων tension (ένταση) και integrity (ακεραιότητα).

Χρησιµοποιούµε τον όρο tensegrity για να δηλώσουµε ένα πολύ συγκεκριµένο είδος

δοµής, το οποίο αποτελείται αποκλειστικά από εφελκυόµενους (και απαραιτήτως

προεντεταµένους) τένοντες (καλώδια) και θλιβόµενες ράβδους. Συγκεκριµένα «µια

tensegrity δοµή υλοποιείται όταν µια οµάδα από διακριτά θλιβόµενα στελέχη αναρτάται

σε ένα συνεχές δίκτυο εφελκυόµενων τενόντων ώστε να δηµιουργηθεί µια ευσταθή και

ακέραιη κατασκευή στο χώρo» [3]. Το άθροισµα των θλιπτικών δυνάµεων ισούται µε

το άθροισµα των εφελκυστικών, και έτσι η δοµή βρίσκεται σε κατάσταση

ισορροπίας. Αυτό που είναι σηµαντικό να γίνει κατανοητό είναι ότι µια δοµή

tensegrity είναι και λειτουργεί ως ενιαίο σύστηµα.

Εικόνα 7. Art-Tensegrity

Στην παρούσα εργασία τα θλιβόµενα στελέχη (άκαµπτα στοιχεία) θα αναφέρονται ως

ράβδοι, ενώ τα εφελκυόµενα (εύκαµπτα στοιχεία) θα αναφέρονται ως τένοντες. Ο

όρος tensegrity θα παραµείνει όπως έχει λόγω της µη ύπαρξης κατάλληλης λέξης

στην ελληνική γλώσσα που να αποδίδει το νόηµά του. Αξίζει να σηµειωθεί ωστόσο

Page 21: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

21

πως οι tensegrity κατασκευές έχουν αναφερθεί στην ελληνική βιβλιογραφία ως

καλωδιωτά χωροδικτυώµατα [4], όρος αρκετά ικανοποιητικός και που υποδεικνύει

ότι αναφερόµαστε σε εντατικά δοµικά συστήµατα. Όσον αφορά τους διάφορους

ορισµούς, αυτοί δίνονται µε βάση την εµφανή επίδραση που έχουν οι τένοντες

πάνω στις ράβδους και όχι µε τη µαθηµατική περιγραφή του συστήµατος.

2.2.1 Ορισµοί

Από την επισκόπηση των ορισµών για την tensegrity δοµή σε όλη την έκταση της

βιβλιογραφίας, παρακάτω παρατίθενται οι πιο περιεκτικοί και επεξηγηµατικοί.

«Ο όρος Tensegrity περιγράφει µια δοµική-σχεσιακή αρχή κατά την οποία η συνολική

συµπεριφορά του συστήµατος εγγυάται το σχήµα του λόγω της πεπερασµένης, ευρείας

και συνεχούς έντασης, και όχι λόγω της ασυνεχούς και µεµονωµένης θλιπτικής δύναµης

που ασκείται πάνω στις ράβδους». Buckminster Fuller [5].

«Η παρούσα ευρεσιτεχνία αναφέρεται σε µια δοµή, και πιο ειδικά, σε µια καινοφανή

και βελτιωµένη δοµή προεντεταµένων µελών τα οποία τοποθετούνται ξεχωριστά είτε σε

συνθήκες εφελκυσµού είτε σε συνθήκες θλίψης, σχηµατίζοντας έτσι ένα πλέγµα όπου τα

θλιβόµενα µέλη(ράβδοι) βρίσκονται σε απόσταση µεταξύ τους, ενώ τα εφελκυόµενα

µέλη (καλώδια) είναι διασυνδεδεµένα και σχηµατίζουν τελικά ένα ενιαίο προεντεταµένο

δίκτυο» Kenneth Snelson [6].

«Ένα σύστηµα tensegrity είναι ένα σύστηµα βρισκόµενο σε µια ευσταθή και αυτό-

ισορροπούµενη κατάσταση, το οποίο αποτελείται από ένα ασυνεχές σύνολο στοιχείων

υπό θλίψη που βρίσκεται µέσα σε ένα συνεχές σύνολο στοιχείων υπό εφελκυσµό». Réné

Motro [7].

«Ένα σύστηµα tensegrity ορίζεται όταν µια οµάδα από διακριτά θλιβόµενα στελέχη

αναρτάται σε ένα συνεχές δίκτυο προεντεταµένων τενόντων, ώστε να δηµιουργηθεί µια

ευσταθής και ακέραιη κατασκευή στο χώρο» Anthony Pugh [3].

Ο ορισµός του Pugh κρίνεται ως ο πιο σαφής και βάσει αυτού θα γίνει η προσπάθεια

ολοκληρωµένης περιγραφή του tensegrity συστήµατος.

Page 22: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

22

2.3 Ανασκόπηση: εφεύρεση και χρονική εξέλιξη

Οι δοµές tensegrity αποτελούν µια σχετικά καινούρια και υπό εξέλιξη ακόµα

εφεύρεση. Οι πρώτες κατασκευές αφορούσαν τον καλλιτεχνικό τοµέα και δεν

αποσκοπούσαν στην πρακτική εφαρµογή τους στον ευρύτερο βιοµηχανικό

σχεδιασµό. Γρήγορα όµως αναδείχθηκαν πλεονεκτήµατα που προκάλεσαν το

ενδιαφέρον για µελέτη και ανάλυσή τους στην κατηγορία εφελκυστικών δοµικών

συστηµάτων.

Τα πρόσωπα που σχετίζονται µε την εφεύρεση των tensegrity δοµών (1948) είναι ο

Buckminster Fuller και ο Kenneth Snelson. Ο πρώτος, θεωρείται µεγάλη

προσωπικότητα στο χώρο της Αρχιτεκτονικής και της Μηχανικής γενικότερα, λόγω

της συµβολής του στη µελέτη και υλοποίηση καινοτόµων συστηµάτων. Αναφορικά,

επέκτεινε ένα διανυσµατικό σύστηµα της γεωµετρίας, την Ενεργητική - Συνεργητική

Γεωµετρία (Synergetics) που βασίζεται στο Πλατωνικό τετράεδρο, το οποίο παρέχει

τη µέγιστη δύναµη µε την ελάχιστη δοµή. Το έργο δε που τον έκανε διάσηµο και

αποτέλεσε επανάσταση στο χώρο της Μηχανικής, είναι ο Γεωδαιτικός Θόλος

(geodesic dome): πρόκειται για έναν τύπο δοµής διαµορφωµένο όπως µια σφαίρα.

Αυτή η δοµή αποτελείται από ένα σύνθετο σύµπλεγµα τριγώνων που διαµορφώνουν

µια κατά προσέγγιση σφαιρική επιφάνεια. Όσο πιο σύνθετο είναι το σύµπλεγµα των

τριγώνων, τόσο περισσότερο ο θόλος προσεγγίζει τη µορφή µιας αληθινής σφαίρας.

Τα Πλατωνικά στερεά και οι γεωδαιτικοί θόλοι σχετίζονται άµεσα µε τη µετέπειτα

εξέλιξη και µελέτη των tensegrity συστηµάτων.

Τα πρώτα µοντέλα tensegrity υλοποιούνταν µε αλλεπάλληλους πειραµατισµούς και

προσπάθειες, δίχως κάποια εκ των προτέρων στατική και δυναµική µελέτη. Ωστόσο,

η δηµιουργία εντυπωσιακών και ευάρµοστων σχηµάτων, το µικρό τους βάρος, η

υψηλή αντοχή και ευέλικτη ανταπόκριση σε καταπονήσεις, η µεγάλη

προσαρµοστικότητά τους σε όγκο και σχήµα και κυρίως το γεγονός ότι όλα αυτά

ήταν αποτέλεσµα της εναλλαγής εφελκυστικών τάσεων, έφερε στο προσκήνιο την

απαίτηση για λεπτοµερή µελέτη της µηχανικής τους συµπεριφοράς ούτως ώστε να

εισαχθούν δυναµικά στο βιοµηχανικό σχεδιασµό.

Page 23: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

23

Η ολοκληρωµένη µελέτη της µηχανικής συµπεριφοράς και γεωµετρίας ενός τέτοιου

καινοτόµου µη-γραµµικού δυναµικού συστήµατος θα ήταν αδύνατη χωρίς την

εφαρµογή σύγχρονων υπολογιστικών µεθόδων. Ακόµα περισσότερο, θα ήταν

αδύνατη χωρίς τη γνώση των µηχανικών ιδιοτήτων των υλικών. Παρ’ όλο που οι

tensegrity δοµές εµφανίστηκαν στα µέσα του 20ου αιώνα ως απλές κατασκευές,

υπάρχει βιβλιογραφία µόνο τα τελευταία 15 χρόνια που να παρέχει εκτεταµένη

πληροφορία σχετικά µε τη µαθηµατική µοντελοποίησή τους και µεθόδους

κατασκευής τους για βιοµηχανική χρήση. Αυτό µας οδηγεί στο συµπέρασµα ότι

υπάρχει άµεση συσχέτισή τους µε την τεχνολογική πρόοδο, την εξέλιξη στην

τεχνολογία των υλικών, των υπολογιστικών και κατασκευαστικών µεθόδων, των

ηλεκτρονικών υπολογιστών και του αυτοµατισµού που απώτερο σκοπό έχουν την

ικανοποίηση των αυξανόµενων απαιτήσεων του βιοµηχανικού σχεδιασµού και

παραγωγής.

Οι πρώτες γενικεύσεις προσανατολίστηκαν στον καθορισµό της τοπολογίας των

tensegrity συστηµάτων. Για πρώτη φορά, οι αυθαίρετες, καλλιτεχνικές µορφές

αιωρούµενων ράβδων κατηγοριοποιήθηκαν βάσει της τοπολογικής και κατ’ επέκταση

γεωµετρικής οµοιότητάς τους µε τα γνωστά πολύεδρα και πρίσµατα της

Στερεοµετρίας. Ενδεικτικά, οι πρώτες στατικές µελέτες πραγµατοποιήθηκαν στο

tensegrity-οκτάεδρο, το tensegrity-εικοσάεδρο, το tensegrity-κυβοκτάεδρο και το

εικοσιδωδεκάεδρο [3, 5]. Η τάση να υιοθετούν σφαιρική µορφή, οδήγησε στην

εφαρµογή της κατασκευαστικής λογικής των γεωδαιτικών θόλων πάνω σε tensegrity

συστήµατα. Αναλυτική επεξήγηση της τοπολογίας και γεωµετρίας tensegrity

παρατίθεται στο κεφάλαιο 4.

Το επόµενο στάδιο ήταν η µαθηµατική µοντελοποίηση των tensegrity συστηµάτων

προκειµένου να µπορεί να πραγµατοποιηθεί στατική και δυναµική ανάλυση. Κάτι

τέτοιο ήταν απαραίτητο από τη στιγµή που εισήχθησαν στη βιοµηχανική παραγωγή.

Ωστόσο η µαθηµατική µοντελοποίηση έπρεπε να βασιστεί σε εξειδικευµένα

µαθηµατικά µοντέλα λόγω της µη-γραµµικής δυναµικής συµπεριφοράς τους και η

δοµική ανάλυσή τους απαιτούσε την χρήση των αρχών της εφαρµοσµένης µηχανικής.

Η χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών για τα παραπάνω έγινε απαραίτητη. Έτσι, δεν

είναι παρά µετά το 1980 που δηµοσιεύτηκαν τα πρώτα άρθρα και διατριβές σχετικά

µε τη λεπτοµερή µηχανική συµπεριφορά των tensegrity συστηµάτων και ακόµα πιο

Page 24: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

24

πρόσφατα, οι πρώτες προσεγγίσεις για εφαρµογή αυτόµατου ελέγχου (που απαιτεί

πλήρη γνώση της δυναµικής απόκρισής τους).

Το µέλλον των tensegrity συστηµάτων είναι αναµφισβήτητα η αναδίπλωση και ο

αυτόµατος έλεγχος. Οι ιδιότητες που διαθέτουν προσφέρουν εξαιρετικό πεδίο

έρευνας για τη Ροµποτική. Τοµείς όπως η Αεροδιαστηµική και αυτός των Πολιτικών

Μηχανικών τρέφουν τεράστιο ενδιαφέρον για ενεργές δοµές που είναι ικανές να

διαχειρίζονται µικρά ποσά ενέργειας για την επίτευξη µεγάλων µετασχηµατισµών ή

την απόσβεση καταπονήσεων. Ξεκινώντας τυχαία από τον καλλιτεχνικό κλάδο, τα

tensegrity συστήµατα πολύ γρήγορα αναδείχτηκαν σε ενεργά δυναµικά συστήµατα

στρέφοντας την έρευνά τους πλέον προς αυτήν την κατεύθυνση.

Παρ’ όλο που το δύσκολο εγχείρηµα της δυναµικής ανάλυσης και σχεδίασης

αυτόµατου ελέγχου δεν αποτελεί αντικείµενο της παρούσας εργασίας, κρίνεται

απαραίτητο και ουσιώδες να επισηµανθεί η σηµασία του.

2.4 Ιδιότητες tensegrity συστηµάτων

Η ιδιαιτερότητα των tensegrity δοµών να επιτυγχάνουν την ισορροπία τους αυτόνοµα

(χωρίς πάκτωση, αγκίστρωση κλπ), να διατηρούν την ακεραιότητά τους µε τη

συνέργεια αντίθετων δυνάµεων και αντισυµβατικών γεωµετρικών διατάξεων,

αποτελεί πρόκληση για το βιοµηχανικό σχεδιασµό. Παρακάτω παρατίθενται οι

βασικές ιδιότητές τους έτσι όπως συγκεντρώθηκαν από τη βιβλιογραφική έρευνα.

2.4.1 Σταθερότητα λόγω εφελκυστικών τάσεων Η ακαµψία/ανθεκτικότητα µιας ράβδου ελαττώνεται καθώς αυτή φορτίζεται αξονικά

µε κάποια θλιπτική τάση. Οι ράβδοι γενικά δέχονται µόνο αξονικές φορτίσεις και

καθόλου επιφανειακές, δηλαδή δεν κάµπτονται. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα η

µονοδιάστατη συµπίεση που υφίστανται να επιδρά στο κέντρο της µάζας τους και

έτσι να αυξάνεται η διατοµή τους. Αντιθέτως, η ακαµψία/ανθεκτικότητα ενός τένοντα

αυξάνεται καθώς εφαρµόζεται πάνω του εφελκυστική τάση, ενώ η διατοµή του

ελαττώνεται. Στα περισσότερα υλικά, η αντοχή σε εφελκυστικές τάσεις είναι

µεγαλύτερη σε σχέση µε τις θλιπτικές. Έτσι, αυξάνοντας το πλήθος των εντεταµένων

Page 25: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

25

τενόντων µπορεί να επιτευχθεί µια µεγάλη τιµή στο λόγο ακαµψίας προς µάζα,

δηλαδή ικανοποιητική σταθερότητα του συστήµατος σε σχέση µε τη

χρησιµοποιούµενη ύλη.

2.4.2 Αποδοτικότητα Η γεωµετρία και η διάταξη των δοµικών στοιχείων παίζει κρίσιµο ρόλο στη συνολική

αντοχή των δοµικών συστηµάτων, από την πιο µικρή κλίµακα έως την πιο µεγάλη.

Ανέκαθεν οι άνθρωποι κατασκεύαζαν δοµές µε «ευθύγραµµη αρχιτεκτονική», τα

στοιχεία δηλαδή συνηθιζόταν να έχουν οριζόντια και κάθετη διάταξη για την

επίτευξη στατικότητας. Στην πορεία θεωρήθηκε ότι αυτή η τακτική δεν επιτυγχάνει

πάντα τη χρήση της ελάχιστης µάζας (υλικά) για την ικανοποίηση των απαιτήσεων

στατικότητας και ακαµψίας. Οι σύγχρονες κατασκευαστικές µέθοδοι και η

Εφαρµοσµένη Μηχανική απέδειξαν ότι η αντοχή µιας κατασκευής δεν προϋποθέτει

απαραιτήτως 1) η κατασκευή να είναι συµπαγής (solid) και 2) τα δοµικά της στοιχεία

να βρίσκονται µόνο σε οριζόντιο ή κάθετο προσανατολισµό. Υιοθετήθηκε τότε η

άποψη ότι τα υλικά, εκτός των άλλων, χρησιµεύουν για τη µεταφορά των δυνάµεων

µέσα σε µια δοµή, είναι δηλαδή οι φορείς των φορτίων.

Ο λόγος που τα tensegrity συστήµατα έχουν µεγάλη αποδοτικότητα είναι ότι:

χρησιµοποιούν επιµήκη δοµικά στοιχεία, διατεταγµένα προς όλες τις

κατευθύνσεις του τρισδιάστατου χώρου για την επίτευξη µεγάλης αντοχής µε

χρήση ελάχιστης µάζας

µπορούν να αντικαταστήσουν ένα δοµικό στοιχείο µε µια νέα, ολόκληρη

tensegrity µονάδα

είναι και ενεργειακά αποδοτικές, αφού υπάρχει απόθεµα ενέργειας στους

τένοντες µε τη µορφή εφελκυσµού και προέντασης. Αυτό αποτελεί τη

σηµαντικότερη ίσως ιδιότητά τους γιατί λόγω της αποθηκευµένης αυτής

εσωτερικής ενέργειας, µόνο µικρά ποσά εξωτερικής ενέργειας απαιτούνται για

την αναδίπλωση ή την ενεργοποίηση κίνησής τους (ιδιότητα που αφορά την

εφαρµογή αυτόµατου ελέγχου)

Page 26: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

26

2.4.3 Αναδίπλωση και Ανάπτυξη Τα άκαµπτα υλικά έχουν την τάση να µπορούν να υποµείνουν µόνο µικρές

µετατοπίσεις. Ωστόσο, η έλλειψη άµεσης ή µηχανολογικής σύνδεσης ανάµεσα στις

ράβδους των tensegrity συστηµάτων και το γεγονός ότι οι τένοντες επιτρέπουν την

κίνησή τους προς όλες τις κατευθύνσεις του τρισδιάστατου χώρου, επιτρέπει στις

ράβδους µεγάλες µετατοπίσεις. Αυτό καθιστά το σύστηµα ικανό να αναδιπλώνεται

και να αναπτύσσεται, να µεταφέρεται και να αποθηκεύεται, να συναρµολογείται και

να αποσυναρµολογείται µε µικρή δαπάνη ενέργειας. Η ιδιότητα της αναδίπλωσης

είναι πολύ σηµαντική και έχει ανάγει τα tensegrity συστήµατα σε ανταγωνιστικά

έναντι άλλων αναδιπλούµενων/αναπτυσσόµενων δοµών σε µεγάλη ποικιλία

εφαρµογών µε κυριότερη την Αεροδιαστηµική.

2.4.4 Ρύθµιση µηχανικής συµπεριφοράς του συστήµατος (tuning) Η παρουσία προέντασης στους τένοντες επιτρέπει την τροποποίηση της συνολικής

ακαµψίας του συστήµατος, δηλαδή µπορεί για παράδειγµα να ρυθµίσει τη συχνότητα

ταλάντωσης των τενόντων όταν εξωτερικές φορτίσεις επιδρούν στο σύστηµα. ∆οµές

που είναι σχεδιασµένες να υποστηρίζουν τέτοια ευελιξία εισάγονται δυναµικά στα

µηχανικά συστήµατα νέας γενιάς και κυρίως ενδιαφέρουν τον κλάδο των Πολιτικών

Μηχανικών (αντισεισµικές εφαρµογές).

2.4.5 Αξιόπιστη µοντελοποίηση Αν και από γεωµετρικής/δυναµικής άποψης η µοντελοποίηση των tensegrity

συστηµάτων αποτελεί πολύπλοκη διαδικασία, το αποτέλεσµα που προκύπτει

(µοντέλο) είναι αξιόπιστο διότι οι φορτίσεις που επιδρούν πάνω στα δοµικά στοιχεία

και πρέπει να ληφθούν υπόψη είναι µόνο αξονικές. Αυτό σηµαίνει ότι η

παραµόρφωση ενός στοιχείου πραγµατοποιείται σε µία µόνο διάσταση (πχ. οι

τένοντες επιµηκύνονται). Γενικά, στοιχεία που παραµορφώνονται σε µία διάσταση

είναι ευκολότερο να µοντελοποιηθούν σε σχέση µε στοιχεία που παραµορφώνονται

σε δύο ή τρεις διαστάσεις (κάµψη, στρέψη). Το ενδιαφέρον στα tensegrity συστήµατα

είναι ότι ενώ η συνολική δοµή µπορεί να καµφθεί ή να συστραφεί, κανένα από τα

δοµικά στοιχεία δεν υφίσταται κάµψη και στρέψη.

Page 27: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

27

2.4.6 Αξιόπιστος έλεγχος Η ιδιότητα αυτή είναι απόρροια της προηγούµενης. Συστήµατα που µπορούν να

µοντελοποιηθούν µε ακρίβεια, µπορούν και να ελεγχθούν µε ακρίβεια. Οι

γεωµετρικοί και µαθηµατικοί περιορισµοί για τα tensegrity συστήµατα είναι ίδιοι για

όλες τις κλίµακες και διαφέρουν µόνο τα µεγέθη τους. Επίσης, οι τένοντες µπορούν

να αναλάβουν ενεργό ρόλο και να εξυπηρετούν επιπλέον λειτουργίες. Ενδείκνυνται

για αισθητήρες (για καταµέτρηση έντασης ή µήκους), για ενεργοποιητές κίνησης, για

θερµοµόνωση, ηλεκτρική αγωγιµότητα κ.α.

2.4.7 Αναφορά στη Βιολογία Υπάρχει µια ενδιαφέρουσα, αλλά προς το παρόν σχετικά ασαφής, σύνδεση ανάµεσα

στον τρόπο που υφίστανται διάφοροι έµβιοι οργανισµοί, από το κύτταρο µέχρι το

ανθρώπινο σώµα, και στον τρόπο που υφίσταται η tensegrity δοµή (εφελκυσµός-

θλίψη, µύες-οστά-τένοντες). Αυτό έχει να κάνει µε τη συνύπαρξη αντίθετων

δυνάµεων που τελικά επιτυγχάνουν ισορροπία, συνέργεια και διατήρηση ενέργειας,

και όχι µε την οπτική, υλική διάταξη. Έρευνες πάνω στη βιοχηµεία, τη γενετική ή τη

φυσιολογία στρέφονται στη χρήση µηχανικών µοντέλων σε µια προσπάθεια να

κατανοήσουν τη µηχανική συµπεριφορά των κυττάρων [8-9]. Η tensegrity δοµή,

λόγω της ιδιαιτερότητάς της να είναι ακέραιη και αυτόνοµη µε τη συνεργεία

εύκαµπτων και άκαµπτων στοιχείων χρησιµοποιείται ολοένα και περισσότερο σε

αυτή την προσπάθεια µοντελοποίησης. Πιο θεωρητικές προσεγγίσεις θέλουν την

tensegrity δοµή να αποτελεί ανακάλυψη και όχι εφεύρεση, ότι δηλαδή η φυσική της

υπόσταση υπήρχε εγγενώς στη φύση.

Page 28: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

28

3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ TENSEGRITY ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

3.1 Εισαγωγή

«Σύστηµα είναι ένα σύνολο από στοιχεία τα οποία αλληλεπιδρούν σχηµατίζοντας ένα

ακέραιο σύνολο. Οι αλληλεπιδράσεις των επιµέρους στοιχείων ενός συστήµατος,

ανάµεσα σε όλα τα επίπεδά του, έχει ως αποτέλεσµα τον σχηµατισµό ενός συνόλου το

οποίο έχει ιδιότητες περισσότερες από το άθροισµα των ιδιοτήτων των επιµέρους

στοιχείων του. Τέλος, ως δοµή ορίζεται το πρότυπο(σχέδιο) βάσει του οποίου

συνδέονται τα στοιχεία ενός συστήµατος». [10]

Ένα σύστηµα tensegrity αποτελείται από ράβδους και τένοντες. Ράβδοι και τένοντες

σχηµατίζουν ένα συνεχές χωρικό δικτύωµα, χωρίς καµία ράβδος να έρχεται σε επαφή

µε άλλη ράβδο. Το συνεχές χωρικό δικτύωµα έχει την ιδιότητα να κατανέµει

αυτόµατα τις φορτίσεις που του επιβάλλονται, αξονικά στα επιµέρους στοιχεία του

συστήµατος. Τέλος, ένα σύστηµα tensegrity έχει φυσικά όρια, γεγονός που το

καθιστά ακέραιη οντότητα στον τρισδιάστατο χώρο.

3.2 Στοιχεία και Υλικά

Στοιχεία ενός tensegrity συστήµατος αποτελούν οι ράβδοι και οι τένοντες, και τα

σηµεία συνένωσής τους ονοµάζονται κόµβοι. Οι κόµβοι δεν έχουν µηχανολογική

υπόσταση στο παρόν προς ανάλυση σύστηµα. Σε µεγαλύτερης πολυπλοκότητας

συστήµατα (πχ. που απαιτούν αυτόµατο έλεγχο για αναδίπλωση και ενεργοποίηση

κίνησης, οι κόµβοι αποτελούν αντικείµενο προς µελέτη).

Page 29: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

29

3.2.1 Ράβδοι

Οι ράβδοι ως δοµικά στοιχεία έχουν τη µία διάσταση κατά πολύ µεγαλύτερη από τις

άλλες δύο και δέχονται µόνο αξονικές φορτίσεις, δηλαδή εφελκυσµό και θλίψη

(µονοδιάστατος εφελκυσµός και µονοδιάστατη συµπίεση αντίστοιχα). Οι ράβδοι των

tensegrity δοµών θεωρούνται άκαµπτες και δεν στρέφονται, δηλαδή δεν φέρουν

επιφανειακές φορτίσεις, και είναι τα στοιχεία που αντιπροσωπεύουν και

υποστηρίζουν τις θλιπτικές δυνάµεις του συστήµατος. Τα υλικά των ράβδων που

χρησιµοποιούνται στις περισσότερες tensegrity κατασκευές συνήθως είναι το

αλουµίνιο και ο ανοξείδωτος χάλυβας.

3.2.2 Τένοντες

Οι τένοντες είναι τα εύκαµπτα στοιχεία του συστήµατος. Ως δοµικά στοιχεία

δέχονται µόνο εφελκυσµό και συµβάλλουν στη σταθερότητα και ακαµψία µιας

κατασκευής µόνο όταν είναι εντεταµένοι. Όταν λέµε τένοντες εννοούµε σύρµατα,

συρµατόσχοινα, καλώδια και πιο σπάνια ράβδους που υπόκεινται σε εφελκυσµό για

την ανέγερση µιας δοµής. Απαριθµούν πολλές ιδιότητες και πλεονεκτήµατα: είναι

ελαστικοί και ανθεκτικοί και προσφέρουν ευελιξία, µπορούν να κινηθούν στον

τρισδιάστατο χώρο προς όλες τις κατευθύνσεις και σε οποιαδήποτε κλίση, έχουν

µεγάλη αντοχή στο βάρος και τη διάβρωση. Οι τένοντες των tensegrity δοµών

σχηµατίζουν το συνεχές δίκτυο έντασης πάνω στο οποίο στηρίζονται οι ράβδοι,

στραµµένες προς όλες τις κατευθύνσεις, και υποστηρίζουν τις εφελκυστικές δυνάµεις

του συστήµατος. Στην tensegrity δοµή οι τένοντες είναι προεντεταµένοι, δηλαδή

έχουν υποστεί εφελκυσµό εκ των προτέρων προκειµένου να αυξηθεί η ανθεκτικότητα

και η ελαστικότητά τους. Στους τένοντες βρίσκεται αποθηκευµένη η ενέργεια της

δοµής µε τη µορφή εφελκυστικής τάσης Τα υλικά των τενόντων που

χρησιµοποιούνται στις περισσότερες tensegrity κατασκευές συνήθως, όπως και στις

ράβδους, είναι το αλουµίνιο και ο ανοξείδωτος χάλυβας.

3.2.3 Υλικά

Η επιλογή των υλικών γίνεται µε βάση τις κατασκευαστικές απαιτήσεις, την

επιθυµητή συνολική µηχανική συµπεριφορά του συστήµατος, και το κόστος. Οι

µηχανικές ιδιότητες των χρησιµοποιούµενων υλικών συµβάλλουν καταλυτικά στη

συνολική συµπεριφορά του συστήµατος γι’ αυτό και πρέπει το υλικό να καθορίζεται

Page 30: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

30

κατά τη µοντελοποίηση (διαδικασία σχεδιασµού και ανάλυσης). Οι εφελκυστικές

δοµές απαιτούν µικρό συνολικό βάρος συνδυασµένο µε µεγάλη αντοχή. Το αλουµίνιο

είναι υλικό που προσφέρει αυτή τη δυνατότητα ενώ ταυτόχρονα έχει εξαιρετικές

µηχανικές ιδιότητες, µεγάλη αντοχή στο χρόνο και χαµηλό κόστος. Όσον αφορά το

χάλυβα, είναι το πιο διαδεδοµένο κατασκευαστικό υλικό. Ο ανοξείδωτος χάλυβας, σε

σύγκριση µε τον κοινό χάλυβα, εκτός από την πολύ υψηλότερη αντοχή στην

διάβρωση, παρουσιάζει επιπλέον και υψηλότερη µηχανική αντοχή. Στην παρούσα

εργασία το υλικό που έχει επιλεχθεί και για τα δύο δοµικά στοιχεία είναι ο χάλυβας.

3.3 ∆υνάµεις

Οι δυνάµεις που ενεργούν σε µία δοµή tensegrity προκειµένου να διατηρεί την

ακεραιότητά της είναι η θλίψη (µονοδιάστατη συµπίεση) και ο εφελκυσµός

(µονοδιάστατος τανυσµός). Εφελκυσµός και θλίψη δρουν συνεργικά στα δοµικά

συστήµατα. Η συνολική θλιπτική τάση στα tensegrity συστήµατα είναι ασυνεχής

διότι εφαρµόζεται µόνο πάνω στις ράβδους, οι οποίες ισορροπούν µεµονωµένα στο

τρισδιάστατο σύµπλεγµα χωρίς να ακουµπούν η µία την άλλη. Το έργο που

παράγουν οι θλιπτικές δυνάµεις πάνω στις ράβδους δεν είναι ορατό. Αντιθέτως, το

έργο που παράγουν οι εφελκυστικές πάνω στους τένοντες αλλά και σε ολόκληρο το

σύστηµα είναι ορατό. Η συνολική εφελκυστική τάση του συστήµατος είναι συνεχής,

δηλαδή οι τένοντες που εκτείνονται εντεταµένοι µεταξύ των άκρων των ράβδων

δηµιουργούν ένα ενιαίο δίκτυο έντασης, πάνω στο οποίο ισορροπούν οι ράβδοι. «Ένα

σύστηµα tensegrity είναι ένα σύστηµα βρισκόµενο σε µια ευσταθή και αυτό-

ισορροπούµενη κατάσταση, το οποίο αποτελείται από ένα ασυνεχές σύνολο στοιχείων

υπό θλίψη που βρίσκεται µέσα σε ένα συνεχές σύνολο στοιχείων υπό εφελκυσµό» [7].

Η διανοµή των δυνάµεων µέσα στο σύστηµα είναι µη γραµµική για αυτό

χρησιµοποιούνται Η/Υ για τη δυναµική και στατική ανάλυση. Ωστόσο το

διανυσµατικό άθροισµα των εφελκυστικών και θλιπτικών δυνάµεων είναι µηδέν κι

έτσι το σύστηµα ισορροπεί.

Page 31: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

31

3.3.1 Προένταση (prestressability ή pretension)

Για την επίτευξη τα ισορροπίας των tensegrity συστηµάτων γεννάται το εξής

ερώτηµα: κάτω από ποιες συνθήκες ένα tensegrity σύστηµα αποκτά µια

ισορροπούµενη και γερή µορφή µε όλους τους τένοντες τεντωµένους, χωρίς να

ενεργούν πάνω του εξωτερικές δυνάµεις και ροπές. Απάντηση σε αυτό το ερώτηµα

είναι η προένταση. Προένταση είναι η διαδικασία κατά την οποία ένα στερεό υλικό

υποβάλλεται σε τεχνητή καταπόνηση, ώστε να καταστεί ανθεκτικό σε µελλοντικές

χρήσεις. Στα tensegrity συστήµατα οι τένοντες υπόκεινται σε προένταση. Από

φυσικής άποψης, η ύπαρξη προέντασης στους τένοντες µειώνει το ποσό του έργου

που απαιτείται προκειµένου το σύστηµα να πάει από µια αρχική κατάσταση σε µια

τελική. Έτσι, κατά την τοποθέτηση ράβδων ή την αλλαγή θέσης τους στην

κατασκευή (µη ισορροπούµενη κατάσταση), οι κινητικές δυνάµεις που ενεργούν

στους τένοντες (απόσβεση, τριβή, ροπές) δεν παράγουν ορατό έργο και γίνονται

µηδενικές όταν η κατασκευή βρεθεί σε ισορροπία [11]. Η µόνη δύναµη που παράγει

ορατό έργο στην κατασκευή είναι ο εφελκυσµός στους τένοντες. Η µαθηµατική

επίλυση των εξισώσεων που εξηγούν τις συνθήκες προέντασης είναι πολύπλοκη διότι

απαιτεί τη λήψη πολλών και διαφορετικών παραµέτρων.[11-12].

3.4 Αρχές λειτουργίας του συστήµατος tensegrity

Βασική µονάδα των tensegrity κατασκευών είναι η µορφή Χ ή αλλιώς ο σκελετός του

χαρταετού, ο οποίος αποτελείται από δύο διασταυρούµενες θλιβόµενες ράβδους και

τέσσερις τένοντες. Η σταθερότητα της κατασκευής οφείλεται στην παρουσία των

τεσσάρων εφελκυόµενων τενόντων (απεικονίζονται µε πράσινο χρώµα στην εικόνα 1)

οι οποίοι συγκροτούν ένα συνεχές δίκτυο.

Page 32: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

32

Σχήµα 1. Απλοποιηµένες µορφές Χ ή σκελετός του χαρταετού

∆εν υπάρχει περιορισµός όσον αφορά τα µήκη των ράβδων, διότι η βασική

κατασκευαστική αρχή παραµένει η ίδια. Ανεξάρτητα από τη διανοµή των δυνάµεων,

ο εφελκυσµός και η θλίψη ποικίλουν καθώς οι αναλογίες αλλάζουν, πάντοτε όµως το

άθροισµα των θλιπτικών δυνάµεων θα ισούται µε το άθροισµα των εφελκυστικών.

3.4.1 ∆ιάταξη

Με βάση τον ορισµό των tensegrity του Pugh, η απλοποιηµένη µορφή Χ δεν πληροί

όλες τις προϋποθέσεις ώστε να µας δίνεται τελικά µια true tensegrity, δεδοµένου ότι

οι ράβδοι έρχονται σε επαφή, αποτελεί όµως ένα κατ’ αρχήν απλό και κατανοητό

παράδειγµα λειτουργίας των δυνάµεων στο σύστηµα. (σχήµα 2)

Σχήµα 2. Η Χ µονάδα και η διανοµή των δυνάµεων

Page 33: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

33

Ο αρχικά επίπεδος σχηµατισµός Χ µετατρέπεται σε πραγµατική tensegrity χωρική

κατασκευή (tensegrity prism) µε την εισαγωγή τρίτης ράβδου. Για λόγους

σταθερότητας και συνέχειας του δικτύου, ένας από τους αρχικούς τένοντες ή τένοντες

ακµής (πράσινο χρώµα) αντικαθίσταται από τέσσερις νέους (απεικονίζονται µε

κόκκινο χρώµα στο σχήµα 3). Αυτοί οι τέσσερις νέοι τένοντες λειτουργούν ως

τένοντες ανάρτησης για τη νέα ράβδο. Όµως η κατασκευή παραµένει ακόµα ασταθής.

Η σταθερότητα αποκαθίσταται µε την εισαγωγή δύο πρόσθετων τενόντων, τους

οποίους ονοµάζουµε τένοντες έλξης (µπλε χρώµα).

Σχήµα 3. Η βασική tensegrity µονάδα (tensegrity prism)

Πράσινο: αρχικοί τένοντες

Κόκκινο: τένοντες ανάρτησης τρίτης ράβδου

Μπλε: τένοντες έλξης τρίτης ράβδου

Όψη Κάτοψη

Σχήµα 4. Όψη και κάτοψη µιας βασικής tensegrity µονάδας (τριγωνικό πρίσµα)

Page 34: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

34

Οι τένοντες έλξης ξεκινούν από τα άκρα της νέας ράβδου και καταλήγουν στα άνω

άκρα των δύο αρχικών ράβδων. Εάν οι τένοντες προσδεθούν σε λάθος άκρα, οι

ράβδοι του συστήµατος έρχονται σε σταθερή επαφή µε αποτέλεσµα να µην επιτευχθεί

η επιθυµητή κατασκευή. Αποτελεί βασική προϋπόθεση για όλες τις tensegrity

κατασκευές όλοι οι τένοντες να είναι πλήρως τανυσµένοι.

Η κατασκευή του σχήµατος 3 και 4 είναι η απλούστερη tensegrity κατασκευή,

αποτελούµενη από τρεις ράβδους και εννέα τένοντες. Θυµίζει τριγωνικό πρίσµα του

οποίου η µία βάση έχει στραφεί σε σχέση µε την άλλη, προκαλώντας συστροφή της

παράπλευρης επιφάνειάς του. Η συστροφή αυτή είναι αναγκαία για τη σύνθεση

tensegrity κατασκευών και γίνεται είτε προς τα δεξιά, είτε προς τα αριστερά. Η

εισαγωγή µιας επιπλέον ράβδου θα µετατρέψει την τριγωνική βάση του παραπάνω

πρίσµατος σε τετράγωνο, µία ακόµη ράβδος θα την µετατρέψει σε πεντάγωνο και

ούτω καθεξής. Με αυτόν τον τρόπο είναι δυνατόν να αναπαράγουµε µια πιθανώς

άπειρη οικογένεια tensegrity πρισµάτων που να αντιστοιχούν σε γνωστά πρίσµατα

της στερεοµετρίας (σχήµα 5).

Σχήµα 5. Κατόψεις tensegrity πρισµάτων

Μπορούµε να δηµιουργήσουµε συνθετότερες tensegrity κατασκευές συνενώνοντας

δύο ή και περισσότερες Χ- µονάδες. Το ζεύγος των δύο Χ- µονάδων του σχήµατος 6

είναι το πρώτο στάδιο στη διαδικασία πρόσθεσης µονάδας µε µονάδα. Οι τένοντες

ανάρτησης είναι οι κόκκινοι, οι έλξης οι µπλε και οι ακµής οι πράσινοι. Ο κοινός

τένοντας ακµής των 2 Χ-µονάδων αντικαθίσταται από 4 τένοντες ανάρτησης οι

οποίοι δηµιουργούν ένα κλειστό κύκλωµα συνεχούς έντασης. Το νέο σύστηµα διαθέτει

τώρα τέσσερις ράβδους και δεκατέσσερις τένοντες. Κάθε τένοντας ακµής

οποιασδήποτε διαθέσιµης µονάδας προσφέρεται για την εισαγωγή µιας ακόµα Χ

µονάδας.

Page 35: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

35

Σχήµα 6. Συνένωση δύο Χ µονάδων

Κατά την ίδια λογική πραγµατοποιείται η συνένωση των tensegrity µονάδων. Κάθε

νέα µονάδα που τοποθετείται κατακόρυφα, είναι στραµµένη κατά γωνία ω (δεξιά ή

αριστερά) ως προς τον κεντρικό κατακόρυφο άξονα του συστήµατος, σχηµατίζοντας

τελικά µια ελικοειδή σύνθεση.

Σχήµα 7. Κατακόρυφη πρόσθεση tensegrity µονάδων

Page 36: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

36

Συνθετότερες tensegrity κατασκευές µπορούν να προκύψουν συνενώνοντας µε

αντίστοιχο τρόπο ένα ή περισσότερα tensegrity πρίσµατα. Εντυπωσιακή είναι επίσης

η σύνθεση κανονικών πολύεδρων (Πλατωνικά στερεά) χρησιµοποιώντας δοµή

tensegrity.

Tensegrity τετράεδρο Τensegrity οκτάεδρο

Σχήµα 8. Tensegrity πολύεδρα

Η πρώτη tensegrity κατασκευή από τον Kenneth Snelson απαρτιζόταν από δύο Χ

µονάδες, µε τη µία να αιωρείται πάνω από την άλλη. Υλοποίησε µε τον τρόπο αυτό

πολλές εντυπωσιακές κατασκευές χρησιµοποιώντας ως βασική µονάδα το σύστηµα

tensegrity τριών ράβδων. Αρκετοί µελετητές προχώρησαν στη γενίκευση της µεθόδου

του Snelson κατασκευάζοντας µοντέλα tensegrity, µε το συνδυασµό διαφορετικών

tensegrity πρισµάτων στην ίδια κατασκευή.

Εικόνα 8. Η πρώτη tensegrity κατασκευή Kenneth Snelson

Page 37: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

37

3.4.2 Ευστάθεια

Μπορούν να επιτευχθούν πολυάριθµες καταστάσεις ισορροπίας σε ένα tensegrity

σύστηµα, µικρής ή µεγάλης πολυπλοκότητας. Ωστόσο, µεγαλύτερη ευστάθεια

παρατηρείται όταν το συνεχές δίκτυο τενόντων µοιάζει να σχηµατίζει τρίγωνες

επιφάνειες µαζί µε τις ράβδους. Οι νοητές αυτές τριγωνικές επίπεδες επιφάνειες

σχηµατίζονται µε δύο τρόπους:

1. ∆ύο τένοντες ξεκινούν από το ένα άκρο µιας ράβδου και καταλήγουν στα δύο

άκρα µιας δεύτερης ράβδου αντίστοιχα

2. Τρεις τένοντες συνδέουν τα άκρα τριών ράβδων

1η περίπτωση

2η περίπτωση

Σχήµα 9. Τα δίκτυα τενόντων σχηµατίζουν τριγωνικές επίπεδες επιφάνειες

Όταν οι νοητές επίπεδες επιφάνειες που σχηµατίζουν οι τένοντες µε τις ράβδους είναι

τετράγωνες, πεντάγωνες κλπ, υπάρχει η τάση να διαταραχθεί η ισορροπία και να

αλλοιωθεί το σχήµα µε την εφαρµογή ακόµα και πολύ µικρών εξωτερικών

καταπονήσεων. Σε όλες τις κατασκευές tensegrity και σε οποιαδήποτε εφαρµογή,

σχεδόν όλα τα δίκτυα που δηµιουργούν οι τένοντες αν τα αποµονώσουµε θα

παρατηρήσουµε ότι σχηµατίζουν τρίγωνα. Στην πραγµατικότητα, µόνο στην

απλοποιηµένη µορφή του χαρταετού και στη βασική tensegrity µονάδα (κατ’

επέκταση σε όλες τις επαναλήψεις της Χ-µονάδας) µπορούν όλα τα δίκτυα να

σχηµατίζουν επίπεδες τρίγωνες επιφάνειες. Σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση η

ευστάθεια επιτυγχάνεται µε πρόσθετους βοηθητικούς τένοντες οι οποίοι έχουν

επιλεκτικές κατευθύνσεις προκειµένου να σχηµατίσουν τρίγωνα.

Page 38: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

38

3.4.3 Ανταπόκριση σε καταπονήσεις

Οι τένοντες έχουν έναν συγκεκριµένο βαθµό ελαστικότητας. Έτσι, ολόκληρο το

tensegrity σύστηµα είναι ελαστικό και η ευελιξία/ ακαµψία/ ισορροπία του εξαρτάται

αφενός από το βαθµό προέντασης των τενόντων και τα χαρακτηριστικά του υλικού

τους, κι αφετέρου από τη συνολική γεωµετρία του. Χάρη στην ελαστικότητα και την

προένταση των τενόντων, οι εξωτερικές καταπονήσεις που δέχεται ένα tensegrity

σύστηµα απορροφώνται διότι είτε αυτές διανέµονται σε ολόκληρο το σύστηµα, είτε

αποσβένονται αν πρόκειται για κραδασµούς. Μια εξωτερική καταπόνηση παράγει

ορατό έργο πάνω στο σύστηµα κι ύστερα απορροφάται, γι’ αυτό και οι δοµές

tensegrity εντάσσονται στην κατηγορία των ανταποκρινόµενων δοµών (responsive

structures) [13].

Το απλούστερο παράδειγµα ανταπόκρισης σε κάθετη καταπόνηση φαίνεται σε ένα

σύστηµα tensegrity όπου έχουµε προσθέσει κατακόρυφα Χ-µονάδες. Η ελαστικότητα

του συστήµατος (χάρη στην ελαστικότητα των τενόντων) το ωθεί σε µικρή

περιστροφή γύρω από τον κατακόρυφο άξονά του καθώς µειώνεται το συνολικό του

ύψος. Αν η κατακόρυφη διάταξη των Χ-µονάδων δηµιουργεί αριστερόστροφη

ελικοειδή µορφή, η περιστροφή κατά την καταπόνηση γίνεται προς τα δεξιά (και

αντίστροφα). Η επαναφορά στην αρχική θέση γίνεται µε τον αντίστροφο τρόπο. Η

φυσική απόκριση στην καταπόνηση µοιάζει µε αυτήν του ελατηρίου. (εικ.13)

3.4.4 True και False Tensegrity

Ορισµένες δυσκολίες στην πρακτική εφαρµογή tensegrity συστηµάτων σε

κατασκευές µεγάλης κυρίως κλίµακας είναι ο λόγος διαχωρισµού τους σε true/false.

Ένα σύστηµα ράβδων και τενόντων σχηµατίζει καθαρή δοµή tensegrity [7] όταν:

1. Όλα τα υπό θλίψη στοιχεία βρίσκονται µέσα στο σύστηµα, δηλαδή οι ράβδοι

ποτέ δεν είναι ακµές του νοητού στερεού που σχηµατίζεται. Αντιθέτως, το

φυσικό όριο του σχήµατος το δίνουν πάντα και από όλα τα σηµεία παρατήρησης

οι τένοντες.

2. Καµία ράβδος δεν αγγίζει άλλη ράβδο.

Page 39: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

39

3. Η θλίψη είναι ασυνεχής ενώ ο εφελκυσµός συνεχής

Όταν πληρούνται όλες οι παραπάνω προϋποθέσεις, τότε µιλάµε για true/pure

tensegrity. Ωστόσο υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενδέχεται να µην εφαρµόζεται µία

από τις προϋποθέσεις και πχ η θλίψη να είναι συνεχής ή οι ράβδοι να έρχονται σε

επαφή αλλά κατά τα άλλα η δοµή να διέπεται από τις αρχές της tensegrity. Οι

περιπτώσεις αυτές χαρακτηρίζονται ως false tensegrity και αφορούν µεγάλες

κατασκευές όπως πυλώνες ή θολωτές οροφές γηπέδων, στις οποίες γίνεται αναφορά

και στο κεφάλαιο των Εφαρµογών. Αξίζει να σηµειωθεί ότι η περίπτωση της

συνεχούς θλίψης παρουσιάζει ενδιαφέρον και εξηγείται ως εξής: οµάδες ράβδων

ενωµένων στα άκρα τους λαµβάνονται υπόψη ως ενιαίες τεθλασµένες ράβδοι, που δεν

ακουµπούν µεταξύ τους και συγκροτούν ακέραιο δοµικό σύστηµα µέσω της σύνδεσής

τους µε προεντεταµένους τένοντες (εικ.14).

Σχήµα 10. ∆ιαδικασία ανταπόκρισης σε κατακόρυφη δύναµη F

Page 40: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

40

Εικόνα 9. Περιπτώσεις συνεχούς θλίψης/ ενιαίων τεθλασµένων ράβδων

3.5 ∆οµική Ανάλυση συστήµατος

∆οµική ανάλυση ενός µηχανικού συστήµατος είναι η διαδικασία ανάλυσής του ως

προς τις δυνάµεις και τις µετατοπίσεις που ενεργούν πάνω του. Σκοπός αυτής της

διαδικασίας είναι η γνώση και η πρόβλεψη της συµπεριφοράς του συστήµατος σε

πραγµατικές συνθήκες καταπόνησης.

Απαιτείται η µετατροπή του συστήµατος σε ένα δοµικό µοντέλο: το σύστηµα

µοντελοποιείται µε µαθηµατικό τρόπο έτσι ώστε οι αποκρίσεις του να

προσδιορίζονται µε την αναλυτική, αριθµητική επίλυση εξισώσεων.

Η δοµική ανάλυση ενός µηχανικού συστήµατος εξετάζει τα εξής στοιχεία:

Το δοµικό µοντέλο

Τις φορτίσεις που δέχεται

Τις αποκρίσεις που δίνει βάσει των φορτίσεων που δέχεται

Η διαδικασία της δοµικής ανάλυσης σε σχέση µε τις υπόλοιπες διαδικασίες που

αφορούν το δοµικό σύστηµα απεικονίζεται στο παρακάτω διάγραµµα.

Page 41: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

41

Σχήµα 11. ∆ιαδικασία δοµικής ανάλυσης

Υπάρχουν διάφοροι τύποι δοµικών αναλύσεων για τα µηχανικά συστήµατα:

Στατική ανάλυση: χρησιµοποιείται για τον καθορισµό των µετατοπίσεων

(µετακινήσεις κόµβων), των εντατικών µεγεθών των µελών και τις αντιδράσεις

του συστήµατος κάτω από στατικές φορτίσεις. Η στατική ανάλυση µπορεί να

γραµµική ή µη-γραµµική. Στην περίπτωση των tensegrity συστηµάτων όπου

µπορούν να προκληθούν µεγάλες παραµορφώσεις, η συνολική ακαµψία

επιτυγχάνεται µε εφελκυστικές τάσεις και η δοµή µπορεί να υποστεί

ταλαντώσεις, η στατική ανάλυση είναι µη-γραµµική.

∆υναµική ανάλυση: χρησιµοποιείται για τον καθορισµό της δυναµικής

απόκρισης ενός συστήµατος. Η απόκριση αυτή σχετίζεται µε την κίνηση που

εκτελεί το σύστηµα υπό την επίδραση δυνάµεων. Στη δυναµική ανάλυση

λαµβάνεται υπόψη ο χρόνος (ρυθµός µεταβολής). Έτσι, προσδιορίζεται η

µεταβολή της κατάστασης του συστήµατος από µια αρχική σε µια τελική, ο

χρόνος απόσβεσης ταλαντώσεων, οι παραµορφώσεις, οι εσωτερικές τάσεις, οι

εξωτερικές φορτίσεις. Ο θεµελιώδης νόµος της κίνησης F ma=∑ είναι η

Page 42: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

42

βασική εξίσωση που επιλύεται. Η πολυπλοκότητα της δυναµικής ανάλυσης έχει

οδηγήσει στην υιοθέτηση προσεγγίσεων που µελετούν την απόκριση των

συστηµάτων από διάφορες σκοπιές. Η σηµασία της είναι τεράστια διότι

σχετίζεται άµεσα µε τον έλεγχο.

Ανάλυση κατάστασης (modal analysis): χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό

των φυσικών συχνοτήτων, δηλαδή των παλµικών κινήσεων που υφίσταται ή

απορροφά ένα σύστηµα, µέσα από τη µελέτη του σχήµατός του (κατάστασης).

Υπάρχουν διάφορες µέθοδοι ανάλυσης κατάστασης και αποτελούν προσέγγιση

δυναµικής ανάλυσης.

Φασµατική ανάλυση (spectrum analysis): το φάσµα συχνοτήτων από την

παραπάνω ανάλυση χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό των µετατοπίσεων και

των τάσεων που υφίστανται στο σύστηµα. Συνήθως εφαρµόζεται για τη µελέτη

απόκρισης του συστήµατος σε τυχαίες ή εξαρτώµενες του χρόνου φορτίσεις

(σεισµικές δονήσεις, αέρας, θαλάσσια κύµατα, ώθηση προκαλούµενη από

µηχανή, κινητήρες κλπ).

Αρµονική ανάλυση (harmonic analysis): µια επαναλαµβανόµενη, αρµονική

φόρτιση παράγει επαναλαµβανόµενες, αρµονικές αποκρίσεις σε ένα µηχανικό

σύστηµα. Η αρµονική ανάλυση επιλέγεται όταν θέλουµε να προβλέψουµε τη

δυναµική συµπεριφορά του συστήµατος ή να επαληθεύσουµε ότι είναι ικανό να

υποµείνει καταπονήσεις/ταλαντώσεις.

Ανάλυση λυγισµού (buckling analysis): χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό

των φορτίσεων που οδηγούν ένα σύστηµα στον λυγισµό και τελικά στην

αστάθεια. Πρόκειται για µια προσέγγιση µη-γραµµικής στατικής ανάλυσης που

δίνει ακριβή αποτελέσµατα και ενδείκνυται για το σχεδιασµό και την αποτίµηση

ενεργών δοµών.

3.5.1 Κινηµατική και στατική απροσδιοριστία των tensegrity

συστηµάτων

Οι tensegrity δοµές είναι µη-γραµµικά δυναµικά συστήµατα και είναι κινηµατικά και

στατικά απροσδιόριστες. Αυτό µε απλά λόγια σηµαίνει ότι είναι δύσκολο έως

ανέφικτο να προσδιορίσουµε ανά πάσα στιγµή την ακριβή θέση των ράβδων και τη

διεύθυνση των τάσεων, όπως επίσης και να καθορίσουµε την ακριβή συµπεριφορά

Page 43: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

43

τους όταν υφίστανται εξωτερικές φορτίσεις. Ένα tensegrity σύστηµα µπορεί να

αντιδράσει σε µια εξωτερική δύναµη µε δύο διαφορετικούς τρόπους: είτε να

διατηρήσει το αρχικό του σχήµα κατανέµοντας τη φόρτιση στο υπόλοιπο σύστηµα,

είτε να αλλάξει σχήµα. Αυτό που µένει ακαθόριστο είναι ποια από τις δύο

περιπτώσεις θα ακολουθήσει το σύστηµα, και στην περίπτωση της δεύτερης

απαιτούνται πολύπλοκες υπολογιστικές διαδικασίες ώστε να προσδιορίσουµε εκ των

προτέρων ποιο θα είναι το τελικό σχήµα στο οποίο θα κατασταλάξει [14-15].

3.5.2 Μη-γραµµικότητα και συµβιβασµοί

Τα µη γραµµικά δυναµικά συστήµατα, όπως είναι και τα tensegrity συστήµατα,

υπακούν µεν σε ντετερµινιστικούς νόµους, όµως µικρές ή τυχαίες αποκλίσεις (π.χ.

στον καθορισµό των αρχικών συνθηκών ή λόγω εξωτερικών επιδράσεων ή από

διαδικασίες στο εσωτερικό του συστήµατος) ενισχύονται κατά τέτοιο τρόπο, ώστε

από τη µια να µην είναι δυνατή η πρόβλεψη της ακριβούς εξέλιξης του συστήµατος,

και από την άλλη οδηγούν στο σχηµατισµό δοµών. Συνηθισµένη πρακτική για τη

µαθηµατική µοντελοποίηση δυναµικών συστηµάτων είναι η προσέγγιση των µη

γραµµικών φαινοµένων µε γραµµικά µοντέλα, προκειµένου να εφαρµοστούν οι

µεθοδολογίες φυσικής, άλγεβρας και γεωµετρίας που απαιτούνται σε στατικές και

δυναµικές αναλύσεις.

Τα µαθηµατικά µοντέλα που αναλύουν την εξέλιξη των δυναµικών συστηµάτων

χρησιµοποιούν τις προσεγγίσεις της Λαγκρανζιανής µηχανικής, όπου η κινητική και

η δυναµική ενέργεια εκφράζονται ως συναρτήσεις των µεταβλητών του συστήµατος.

Σε όλη την έκταση της βιβλιογραφίας, για την ανάλυση των tensegrity συστηµάτων,

υιοθετούνται κάποιοι συµβιβασµοί προκειµένου να µειωθεί ο αριθµός των

µεταβλητών και των παραµέτρων που αυξάνουν την πολυπλοκότητά της και

δυσχεραίνουν τη µαθηµατική µοντελοποίηση. Έτσι θεωρούµε ότι:

Οι τένοντες δεν έχουν µάζα

Οι τένοντες δεν υπόκεινται ποτέ σε θλίψη

Η ελαστικότητα των τενόντων είναι γραµµική

Page 44: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

44

Οι ράβδοι είναι άκαµπτες και αβαρείς και δεν περιστρέφονται ποτέ γύρω από

τον διαµήκη άξονά τους. Αυτό σηµαίνει ότι δεν επιδέχονται ροπή κάµψης και

στρέψης.

Οι ράβδοι είναι ισοµήκεις (αν και κατά την κατασκευή δεν υπάρχει

περιορισµός στα µήκη των ράβδων)

Οι ράβδοι αποτελούνται από οµογενές και ισότροπο υλικό, δηλαδή το υλικό

έχει τις ίδιες ιδιότητες παντού και προς όλες τις κατευθύνσεις.

Οι δυνάµεις βαρύτητας και τριβής παραλείπονται

3.5.3 Στατική Ανάλυση

Στατικότητα καλείται η κατάσταση του να είναι µια κατασκευή σταθερή και

άκαµπτη. Στην περίπτωση των tensegrity συστηµάτων ωστόσο, νέα ερωτήµατα

καλούνται να απαντηθούν, όπως το πώς επιτυγχάνεται η σταθερότητα και η ακαµψία

τους, πως κατασκευάζονται ή πώς µπορούµε να τα ελέγξουµε. Η στατικότητα των

tensegrity συστηµάτων αναλύεται ως προς την σταθερότητα και την ακαµψία τόσο

του συνόλου, όσο και των επιµέρους στοιχείων. Απαραίτητη προϋπόθεση για την

σταθερότητα και την ακαµψία των tensegrity συστηµάτων είναι η προένταση

(prestressability).

Για να µελετήσουµε την ακαµψία είτε του συνόλου, είτε των επιµέρους στοιχείων του

συστήµατος µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε διαφορετικές προσεγγίσεις, ανάλογα µε

τα δεδοµένα που µας δίνονται κάθε φορά. Οι προσεγγίσεις αυτές εστιάζουν είτε στη

σχετική κίνηση µεταξύ των στοιχείων του συστήµατος, είτε στις δυνάµεις που αυτό

δέχεται, είτε στις µεταβολές της ενέργειας (συνολικής ή σηµειακής)[14]. Σε

οποιαδήποτε προσέγγιση χρησιµοποιηθεί, η αποδεδειγµένη ακαµψία είναι το

επιθυµητό αποτέλεσµα για την κατοχύρωση της ευστάθειας και σταθερότητας του

συστήµατος.

Εποµένως, ως προς την κίνηση:

Ακαµψία σηµαίνει η απουσία σχετικής κίνησης µεταξύ των µελών της δοµής.

Πρακτικά αυτό µεταφράζεται ως ότι τα µήκη των τενόντων που οριοθετούν τη

δοµή παραµένουν σταθερά ύστερα από καταπόνηση.

Page 45: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

45

Εξετάζοντας τη συνολική µορφή του συστήµατος, λέµε ότι χαρακτηρίζεται

από ακαµψία αν η πριν την καταπόνηση και η µετά την καταπόνηση µορφή

του είναι όµοιες. Με άλλα λόγια η «διαδροµή» µεταξύ διαδοχικών µορφών

είναι µηδενική.

Η ισορροπία του σχήµατος, από µαθηµατικής άποψης χαρακτηρίζεται από τη

συνθήκη όλες οι παράγωγοι των εξισώσεων κίνησης να είναι µηδέν [14].

Ως προς τις δυνάµεις:

Ένα σύστηµα tensegrity θεωρείται στατικά σταθερό και άκαµπτο αν

οποιαδήποτε δύναµη ισορροπίας που ενεργεί πάνω σε αυτό µπορεί να

αναλυθεί. Όταν αυτό δεν συµβαίνει η ακαµψία του διακυβεύεται και είτε

χρειαζόµαστε υπολογιστικά συστήµατα ώστε να ενισχύσουµε τις δυνατότητες

µελέτης είτε πραγµατικά καταλήγουµε σε αρνητικό αποτέλεσµα.

Οι δυνάµεις ισορροπίας πρέπει να είναι κάθετες ως προς τις διευθύνσεις κατά

τις οποίες µπορεί να πραγµατοποιηθεί κάποια κίνηση και άρα αλλοίωση του

σχήµατος. Όταν λοιπόν είναι κάθετες µπορούν να οριστούν στο διανυσµατικό

χώρο και να αναλυθούν µε γραµµική άλγεβρα.

Ως προς την ενέργεια:

Είναι εφικτό να ορίσουµε µια συνάρτηση που να απεικονίζει την ενέργεια των

tensegrity συστηµάτων. Σε µια τέτοια συνάρτηση πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι

η ενέργεια ενός καλωδίου αυξάνεται όταν αυτό εφελκύεται και η ενέργεια

µιας ράβδου αυξάνεται όταν αυτή θλίβεται. Επίσης η προένταση υπολογίζεται

στη συνολική ενέργεια της δοµής.

Σε κάθε σηµείο µιας δοµής υπάρχει ένα ελάχιστο ποσό ενέργειας. Όταν η

δοµή είναι σταθερή και άκαµπτη, οποιαδήποτε ενεργειακή µεταβολή επιδρά

σε κάποιο γειτονικό σηµείο. Το ποσό της ενέργειας ενός σηµείου αντιστοιχεί

και σε µια διαφορετική µορφή της συνολικής δοµής.

Η προένταση των tensegrity συστηµάτων ευνοεί την επίτευξη σταθερότητας

και ακαµψίας µε την εφαρµογή τάσεων. Ωστόσο ένα σύστηµα tensegrity

διατηρεί την ευστάθεια και το σχήµα του για συγκεκριµένες τιµές προέντασης

(περίπου το 30% της συνολικής ικανότητας του τένοντα είναι η µέση τιµή

Page 46: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

46

προέντασης συνήθως). Η αύξηση της τιµής της προέντασης µπορεί να αυξήσει

τη σκληρότητα και την ευστάθεια της δοµής, µπορεί όµως και να οδηγήσει τη

δοµή σε κατάρρευση αν οι συντελεστές ανθεκτικότητας παραµείνουν

αµετάβλητοι.

3.5.4 ∆υναµική Ανάλυση

Η δυναµική ανάλυση των tensegrity συστηµάτων αφορά τον ποσοτικό υπολογισµό

των επιδράσεων των µεταβλητών εισόδου επί των µεταβλητών εξόδου και την

ανάλυση της µεταβατικής συµπεριφοράς του συστήµατος. Με άλλα λόγια µελετά το

πώς η δοµή συµπεριφέρεται όταν εκτίθεται σε εξωτερικές φορτίσεις, µέχρι να

αποσβέσει ενδεχόµενες ταλαντώσεις και να υιοθετήσει νέα κατάσταση ισορροπίας (η

οποία µπορεί να είναι ταυτόσηµη µε την αρχική). Αυτή η δυναµική συµπεριφορά

αναλύεται µε τη βοήθεια ενός µαθηµατικού µοντέλου (προτύπου) που συνήθως

αποτελείται από ένα σύστηµα διαφορικών και αλγεβρικών εξισώσεων (Lagrange).

Η αναλυτική και συνήθως αριθµητική επίλυση του δυναµικού µοντέλου tensegrity

επιτρέπει τη µελέτη της χρονικής απόκρισης από την αρχική στην τελική κατάσταση

ισορροπίας.

Για τη δυναµική ανάλυση των tensegrity συστηµάτων χρησιµοποιούνται οι αρχές της

Θεωρίας Ελέγχου. Γενικά, οι διάφορες µεταβλητές σε ένα δυναµικό σύστηµα

ταξινοµούνται σε µεταβλητές εισόδου, εξόδου και κατάστασης. Για τα tensegrity

συστήµατα έχουµε:

1. Mεταβλητές εισόδου: προσδιορίζουν την επίδραση του εξωτερικού

περιβάλλοντος πάνω στο δυναµικό σύστηµα και διακρίνονται σε

∆ιαταραχές

Ως διαταραχή λογαριάζεται οποιαδήποτε φόρτιση και ενεργειακή µεταβολή

λαµβάνει χώρα στα δοµικά στοιχεία του συστήµατος. ∆ιακρίνονται σε

µετρούµενες και µη µετρούµενες διαταραχές. Οι πρώτες µπορούν να µετρηθούν

και συνεπώς να αξιολογηθούν. Συνήθως οι τιµές τους καθορίζονται από τυχαίους

παράγοντες και καταστάσεις.

Page 47: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

47

Μεταβλητές ελέγχου ή χειρισµού

Πρόκειται για διαταραχές ίδιας φύσης µε τις παραπάνω, µόνο που οι τιµές τους

καθορίζονται από έναν χειριστή ή αναλογικό/ψηφιακό ελεγκτή.

2. Μεταβλητές εξόδου: προσδιορίζουν την επίδραση του συστήµατος στο

εξωτερικό περιβάλλον, δηλαδή το ορατό έργο που παράγει το σύστηµα µετά από

διαταραχές στα δοµικά του στοιχεία. Έτσι λοιπόν, ως µεταβλητές εξόδου

λογαριάζονται οι µετατοπίσεις των κόµβων, η ταχύτητα των κόµβων κατά τη

µετατόπιση, τα µεγέθη των τάσεων στους τένοντες, τα µήκη των τενόντων

(γεωµετρικές παραµορφώσεις), η συνολική προένταση της δοµής. Επίσης

διακρίνονται σε µετρούµενες και µη-µετρούµενες µεταβλητές.

3. Μεταβλητές κατάστασης: χρησιµοποιούνται για να περιγράψουν την εσωτερική

δυναµική κατάσταση του συστήµατος κατά την όλη διεργασία.

Σχήµα 12. ∆ιαδικασία δυναµικής ανάλυσης

Page 48: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

48

4 ΣΧΕ∆ΙΑΣΜΟΣ TENSEGRITY ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

4.1 Εισαγωγή

Ο σχεδιασµός των tensegrity συστηµάτων σχετίζεται άµεσα µε τη στατική και

δυναµική συµπεριφορά τους. Αυτό συµβαίνει διότι το πρόβληµα προσδιορισµού των

χαρακτηριστικών µεγεθών ενός tensegrity συστήµατος δεν είναι αµιγώς γεωµετρικό

από τη στιγµή που η µορφή του προκύπτει από τη δυναµική ισορροπία του συστήµατος

τενόντων-ράβδων.

Η µελέτη και σχεδίαση σταθερών γεωµετρικών διατάξεων αφορούν το στατικό

κοµµάτι του σχεδιασµού, ενώ η µελέτη και σχεδίαση συστηµάτων ελέγχου (έλεγχος

σχήµατος και αυτόµατος έλεγχος) αφορούν το δυναµικό µοντέλο του συστήµατος.

Οποιοδήποτε και αν είναι το πεδίο µελέτης και σχεδίασης, υπάρχουν συγκεκριµένες

µέθοδοι ανάλυσης και ανάπτυξης. Φυσικά το γεγονός ότι η tensegrity δοµή γενικά

είναι σύγχρονη ανακάλυψη, οι µέθοδοι ανάλυσής της σε όλα τα επίπεδα αποτελούν

επιµέρους αντικείµενο µελέτης και εξελίσσονται συνεχώς.

Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται λεπτοµερώς όλη η διαδικασία σχεδίασης του

στατικού µοντέλου των tensegrity συστηµάτων µέσα από µεθοδολογίες σχεδιαστικής

ανάλυσης, ενώ ακολουθεί συνοπτική περιγραφή των µεθόδων ανάπτυξης του

δυναµικού µοντέλου.

Η σχεδιαστική ανάλυση των tensegrity συστηµάτων αναφέρεται στη λεπτοµερή

περιγραφή και τον καθορισµό της τοπολογίας και της γεωµετρίας τους. Μία

υφιστάµενη tensegrity δοµή υπακούει σε συγκεκριµένους γεωµετρικούς αλλά και

στατικούς περιορισµούς. Η µη-γραµµική δυναµική συµπεριφορά τους απαιτεί την

εφαρµογή κατάλληλων µεθόδων για τη σχεδιαστική ανάλυση. Σκοπός της

Page 49: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

49

διαδικασίας σχεδίασης είναι η εύρεση της κατάλληλης γεωµετρίας η οποία πληρεί τις

προδιαγραφές συνολικής αντοχής και δυναµικής συµπεριφοράς, απόκρισης σε

εξωτερικές φορτίσεις, ακαµψίας των ράβδων και ελαστικότητας των τενόντων.

Αρκετές µεθοδολογίες σχεδίασης που έχουν αναλυθεί στη σχετική βιβλιογραφία

ξεκινούν από µια δοσµένη τοπολογία (συνήθως κανονικά πολύεδρα-Πλατωνικά

στερεά), προκειµένου να καταλήξουν σε µια επαρκώς ορισµένη tensegrity γεωµετρία

που να υπακούει ικανοποιητικά στους περιορισµούς και τις δυναµικές απαιτήσεις. Η

διαδικασία εύρεσης της κατάλληλης γεωµετρίας που διατηρεί και υποστηρίζει

τις δυνάµεις στο σύστηµα καθιστώντας το ακέραιο, ονοµάζεται διαδικασία

εύρεσης σχήµατος (form-finding) και είναι το σηµαντικότερο στάδιο της

συνολικής σχεδιαστικής διαδικασίας των tensegrity συστηµάτων. Επίσης

αποτελεί το αντικείµενο µελέτης µε τη µεγαλύτερη βιβλιογραφική έρευνα, σε σχέση

µε τα άλλα πεδία έρευνας tensegrity όπως η αναδίπλωση και ο αυτόµατος έλεγχος.

Σχήµα 13. Σχεδιασµός tensegrity συστηµάτων [16]

Page 50: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

50

4.2 Τοπολογία tensegrity συστηµάτων

Με τον όρο τοπολογία εννοούµε τη µελέτη των συνόλων στα οποία µπορεί να οριστεί

µια έννοια "κλειστότητας" έτσι ώστε να διακρίνεται η συνέχεια για οποιαδήποτε

συνάρτηση που ορίζεται σε αυτά. Είναι, δηλαδή ένα είδος γενικευµένης γεωµετρίας

αφού µελετώνται σχήµατα, ενώ δεν µελετώνται οι διαστάσεις. Η τοπολογία βασίζεται

στις έννοιες του τοπολογικού χώρου και του οµοιοµορφισµού. Τοπολογικούς χώρους

συναντάµε στη µαθηµατική ανάλυση, την άλγεβρα και την γεωµετρία. Στα tensegrity

συστήµατα µπορούµε να έχουµε διαφορετική γεωµετρία στην ίδια τοπολογία,

µεταβάλλοντας απλά τα µήκη των ράβδων.

Ήδη από τις πρώτες µελέτες των tensegrity δοµών, χρησιµοποιήθηκαν τα κανονικά

πολύεδρα της Ευκλείδειας Γεωµετρίας ως βάση για την εύρεση του σχήµατος των

tensegrity συστηµάτων [3]. Αυτή η εκτεταµένη µελέτη είχε ως αποτέλεσµα τη

δηµιουργία πολυάριθµων tensegrity σχηµάτων, µικρής και µεγάλης γεωµετρικής

πολυπλοκότητας. Η µεγάλη σχηµατική ποικιλία έχει ταξινοµηθεί στις εξής

κατηγορίες:

Σφαιρικά tensegrity

Πρισµατικά (ή κυλινδρικά) tensegrity

Star tensegrity

4.2.1 Σφαιρικά tensegrity συστήµατα

Μια tensegrity κατασκευή, για να είναι σφαιρική, θα πρέπει να παρουσιάζει

συµµετρία ως προς το κέντρο της. Η υλοποίηση τέτοιων κατασκευών «δανείζεται» τις

συµµετρίες κάποιων κανονικών πολυέδρων. Το απλούστερο, απόλυτα συµµετρικό,

σφαιρικό tensegrity είναι το tensegrity-οκτάεδρο γι’ αυτό και θα το

χρησιµοποιήσουµε ως παράδειγµα επεξήγησης (σχήµα 14).

Page 51: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

51

Σχήµα 14. Tensegrity- οκτάεδρο

Το σχήµα του δε θυµίζει σφαίρα, όµως αποκαλύπτει τον τρόπο µε τον οποίο

µπορούµε να εξάγουµε αντίστοιχα σφαιρικά tensegrity σχήµατα χρησιµοποιώντας τις

συµµετρίες διάφορων πολυέδρων.

Σχήµα 15. Σχέση συστήµατος tensegrity-οκτάεδρου και κανονικού οκτάεδρου

Στα σχήµατα 14 και 15 φαίνεται χαρακτηριστικά η σχέση µεταξύ των εδρών του

κανονικού οκταέδρου µε τις έδρες που σχηµατίζονται από τους τένοντες του

tensegrity οκταέδρου. Οι έδρες που σχηµατίζουν οι τένοντες (µπλε χρώµα) δεν

συνορεύουν, όπως οι πλευρές του κανονικού οκταέδρου, αλλά χωρίζονται από

τµήµατα µορφής διαµαντιού (κίτρινο χρώµα). Επίσης, όταν οι ακµές του οκταέδρου

προβληθούν κεντρικά στη νοητή σφαίρα που το περιγράφει, σχηµατίζουν 3µέγιστους

κύκλους τεµνόµενους ανά 2 υπό γωνία 90°. Τέλος, οι 6 ράβδοι του tensegrity

οκτάεδρου περιγράφονται ανά δύο από τους τρεις µέγιστους κύκλους.

Page 52: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

52

Χρησιµοποιήθηκε το παράδειγµα του οκτάεδρου διότι δηµιουργεί το πιο απλό και

απόλυτα συµµετρικό σφαιρικό tensegrity σύστηµα. Υπάρχουν και άλλα tensegrity

συστήµατα τα οποία προκύπτουν από τις συµµετρίες των µέγιστων κύκλων

διαφορετικών πολυέδρων [4]. Τα πολύεδρα αυτά θα πρέπει να πληρούν τις ακόλουθες

προϋποθέσεις:

Οι ακµές τους, όταν προβληθούν στην επιφάνεια της σφαίρας που τα

περιγράφει, να σχηµατίζουν µέγιστους κύκλους

Σε κάθε κορυφή του πολυέδρου να συντρέχουν ακριβώς 4 ακµές.

Γενικά, οι µέγιστοι (και µη, στα συνθετότερα πρίσµατα) κύκλοι που περιγράφουν τα

πολύεδρα είναι «κλειδιά» στον προσδιορισµό της µορφής ενός σφαιρικού tensegrity.

Ο αριθµός των ράβδων σχετίζεται άµεσα µε τον αριθµό των κύκλων που τις

περιγράφει.

Τα σφαιρικά tensegrity συστήµατα υποδιαιρούνται περαιτέρω σε 3 κατηγορίες

ανάλογα µε την εντύπωση που δηµιουργεί η µορφή τους [3]:

1 ∆ιαµάντι (diamond configuration): όπως στην περίπτωση του tensegrity-

οκτάεδρου, κάθε ράβδος αναπαριστά τη µέγιστη διαγώνιο ενός νοητού ρόµβου

που σχηµατίζεται από 4 τένοντες.

Σχήµα 16. Tensegrity-οκτάεδρο

µορφή διαµαντιού: µε πράσινο και ροζ διαγράφονται οι νοητοί ρόµβοι, µέγιστοι διαγώνιοι των

οποίων είναι οι ράβδοι

Page 53: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

53

2 Ακολουθία ράβδων (circuit configuration): ολιγοµελείς οµάδες ράβδων που

συγκλίνουν χωρίς να αγγίζονται µεταξύ τους, µοιάζουν να σχηµατίζουν νοητές

επιφάνειες (τρίγωνα ή ρόµβους συνήθως). Κατ’ αυτόν τον τρόπο συνήθως

κατασκευάζονται τα geodesic tensegrity συστήµατα.

Σχήµα 17. Circuit configuration tensegrity-οκτάεδρου

3 Zig-zag configuration: θεωρώντας τη µορφή του διαµαντιού, αν αλλάξει η

διάταξη των τενόντων κατά τρόπο τέτοιο που να σχηµατίζουν ανά 3 ένα «Ζ»,

έχουµε τη µορφή zig-zag. Η αλλαγή στη διάταξη των τενόντων πρέπει να είναι

τέτοια που να διατηρεί τη σταθερότητα του συστήµατος.

4.2.2 Πρισµατικά tensegrity συστήµατα

Στη Γεωµετρία πρίσµα ονοµάζεται το τρισδιάστατο γεωµετρικό σχήµα το οποίο

οριοθετείται από δύο παράλληλα ίδια πολύγωνα και οι υπόλοιπες πλευρές του είναι

ορθογώνια. Το πρίσµα προκύπτει από την εξώθηση της πολυγωνικής βάσης του κατά

ένα ύψος h.

Θεωρούµε ένα tensegrity πρίσµα που παραπέµπει σε κάποιο γνωστό πρίσµα της

Γεωµετρίας. Οι τένοντες αντιπροσωπεύουν τις ακµές του πρίσµατος, ενώ οι ράβδοι

συνενώνουν υπό κάποια κλίση τις κορυφές πλήθους ν της κάτω βάσης του πρίσµατος

µε αυτές της πάνω βάσης. Στην περίπτωση των tensegrity πρισµάτων, το πλήθος ν των

κορυφών µιας βάσης είναι ίσο µε το πλήθος των ράβδων. Οι κορυφές του tensegrity

πρίσµατος είναι κόµβοι. Υπάρχει µια γωνία περιστροφής θ (γύρω από έναν κεντρικό,

κατακόρυφο άξονα) της πάνω βάσης σε σχέση µε την κάτω, η οποία εξαρτάται από:

Page 54: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

54

το πλήθος ν των κορυφών µιας βάσης (ή αλλιώς ν = το πλήθος των γωνιών του

γεωµετρικού σχήµατος από το οποίο γεννάται το πρίσµα).

τη µετατόπιση των κορυφών της πάνω βάσης συγκριτικά µε την κάτω.

Σχήµα 18. τριγωνικό tensegrity πρίσµα και κάτοψη (ν=3)

ν=4 ν=5 ν=20

Σχήµα 19. ∆ιάφορα tensegrity πρίσµατα

Τα star tensegrities αποτελούν παράγωγα των σφαιρικών και των δισδιάστατων, υπό

την έννοια ότι σχηµατίζονται µε την προσθήκη «στρώσεων» συµπλεγµάτων

tensegrity (double layer systems). Στην έκταση της σχετικής βιβλιογραφίας λίγα

παραδείγµατα βρέθηκαν, διότι στην πράξη, τα είδη των σφαιρικών tensegrity

σχηµάτων είναι δυσδιάκριτα.

Τα κανονικά πολύεδρα λοιπόν αποτελούν τη βάση για την εύρεση της γεωµετρίας

tensegrity συστηµάτων. Ράβδοι και τένοντες αντιπροσωπεύουν ενίοτε τις ακµές των

πολυέδρων, τα σηµεία σύνδεσης τενόντων και ράβδων (κόµβοι) µοιάζουν µε

κορυφές, ενώ οι νοητές επιφάνειες που σχηµατίζει το σύµπλεγµά τους θυµίζουν τις

έδρες των πολυέδρων. Στην πράξη, οι tensegrity κατασκευές µπορούν να

υιοθετήσουν ακόµα πιο πολύπλοκα σχήµατα που προκύπτουν από το συνδυασµό, τη

σύνδεση και την παραλλαγή αναγνωρίσιµων µονάδων.

Page 55: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

55

4.3 Σύνδεση δοµικών στοιχείων και δοµικών µονάδων

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι σύνθεσης και σύνδεσης ενός tensegrity, καθένας από τους

οποίους αντιπροσωπεύει µια µεγάλη οικογένεια tensegrity κατασκευών. Σε πρώτο

στάδιο µας ενδιαφέρει το πώς αναρτώνται οι ράβδοι σε ένα δίκτυο τενόντων

δηµιουργώντας µια tensegrity µονάδα, ενώ σε δεύτερο στάδιο το πώς συνδέονται

µεταξύ τους δύο ή περισσότερες tensegrity µονάδες προς δηµιουργία συνθετότερου

συστήµατος.

4.3.1 Ανάρτηση ράβδων σε µονάδα

Στη βασική tensegrity µονάδα κάθε ράβδος αναρτάται από 6 τένοντες, 3 σε κάθε

άκρο της (κόµβος). Στο tensegrity οκτάεδρο, κάθε ράβδος αναρτάται από 8 τένοντες,

4 από τους οποίους την ωθούν προς το κέντρο του συστήµατος και 4 που την

εξωθούν µακριά από το κέντρο. Οι τένοντες που την εξωθούν από το κέντρο του

συστήµατος, προσδεµένοι ανά δύο σε άλλες ράβδους, ορίζουν δύο επίπεδα που

τέµνονται µεταξύ τους. Στην περίπτωση του t-οκταέδρου, κάθε ράβδος κείται στην

τοµή δύο τέτοιων επιπέδων. Η ισορροπία της ράβδου αποκαθίσταται από άλλους 4

τένοντες που την ωθούν στο κέντρο του συστήµατος, οι οποίοι ανά δύο µε τη σειρά

τους εξωθούν άλλες ράβδους µακριά, και ούτω καθεξής.

4.3.2 Κατακόρυφη και οριζόντια ανάρτηση µονάδων

Προσθέτοντας βασικές µονάδες κατά µήκος ενός κεντρικού άξονα (κατακόρυφου ή

οριζόντιου), αναρτάται ένας πυλώνας ή ιστός tensegrity γεωµετρίας. Κάθε δίκτυο

ακµαίων τενόντων µιας µονάδας προσφέρεται για την εισαγωγή νέας µονάδας. Η

σύνδεση κατ’ αυτόν τον τρόπο είναι εντυπωσιακή, αλλά σε πραγµατική εφαρµογή

πρέπει να λαµβάνονται υπόψη συνθήκες ακαµψίας και απόκρισης σε καταπονήσεις

λόγω ευάλωτου σε κάµψη σχήµατος.

4.3.3 Συµπλέγµατα Προσθέτοντας µονάδες tensegrity προς διαφορετικούς άξονες ή κατευθύνσεις

ταυτόχρονα, επιτυγχάνονται πρωτότυποι, εντυπωσιακοί συνδυασµοί, µεγαλύτερης

Page 56: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

56

ακαµψίας σε σχέση µε την προηγούµενη περίπτωση. Η δηµιουργία των

συµπλεγµάτων εξαρτάται από τον τρόπο που συνδέονται οι µονάδες µεταξύ τους.

Υπάρχουν δύο τρόποι:

εισαγωγή κόµβου σε τένοντα: ένας κόµβος µιας µονάδας χωρίζει σε δύο τµήµατα

έναν τένοντα άλλης µονάδας

εισαγωγή τένοντα σε τένοντα: δύο τένοντες καθένας από διαφορετική µονάδα

«δένονται» µεταξύ τους χωρίς την παρουσία ράβδου. Αυτό αποτελεί σπάνια

περίπτωση διότι είναι δύσκολο να µοντελοποιηθεί κατά τη διαδικασία

σχεδιασµού.

Μέχρι αυτό το σηµείο έχουν παρατεθεί λεπτοµερώς όλες οι βασικές πληροφορίες για

τον τρόπο που συγκροτείται ένα tensegrity σύστηµα, σε θεωρητικό επίπεδο. ∆όθηκαν

απλά παραδείγµατα µε περιγραφικό τρόπο προκειµένου να γίνει πιο κατανοητή η

αντικειµενικά πολύπλοκη γεωµετρία της δοµής. Ωστόσο, ο σχεδιασµός και η

κατασκευή των tensegrity συστηµάτων σχετίζεται άµεσα µε τη µελέτη και την

ανάλυση του πεδίου δυνάµεων µέσα στο οποίο αυτά υφίστανται. Έτσι κρίνεται

απαραίτητη η επισκόπηση και περιγραφή πρακτικών µεθόδων που υπολογίζουν

λεπτοµερώς τόσο τη γεωµετρία όσο και τις δυνάµεις που ενεργούν πάνω στα

συστήµατα.

4.4 Μέθοδοι Σχεδιαστικής Ανάλυσης Τensegrity συστηµάτων

(Form-Finding)

Η µελέτη και η εφαρµογή των tensegrity συστηµάτων σε πραγµατικές κατασκευές

βρίσκεται σε µια διαρκή ανάπτυξη κυρίως την τελευταία δεκαετία. Το ενδιαφέρον

γεννάται από το γεγονός ότι τα συστήµατα αυτά έχουν ιδιότητες που επιτρέπουν

στους µηχανικούς να εφαρµόσουν πάνω τους µεθόδους αναδίπλωσης και αυτόµατου

ελέγχου. Η δυνατότητα ένταξης των tensegrity συστηµάτων σε µια ευρύτερη

κατηγορία ενεργών δοµών και σε µια ειδικότερη, αναδιπλούµενων δοµών, αποτελεί

πρόκληση για την τεχνολογία και την εφαρµοσµένη µηχανική.

Για την υλοποίηση δυνατών κατασκευών απαιτείται σωστός σχεδιασµός. Το

σηµαντικότερο βήµα του σχεδιασµού ενός tensegrity συστήµατος είναι ο καθορισµός

Page 57: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

57

µιας γεωµετρικής διάταξης, η οποία ευθύνεται για τη διατήρηση της ισορροπίας του

µέσα από τη διανοµή των εσωτερικών δυνάµεων που δρουν σε αυτό. Αυτό είναι το

στάδιο ανάλυσης του σχεδιασµού το οποίο αναπτύσσεται µέσα από µεθοδολογίες

και που στην αγγλική βιβλιογραφία αναφέρεται ως form-finding.

Οι µέθοδοι ανάλυσης του σχεδιασµού tensegrity συστηµάτων στοχεύουν είτε στην

εύρεση µιας βέλτιστης διάταξης που να εξασφαλίζει ισορροπία και αντοχή, είτε στην

απόδειξη ότι µια δεδοµένη διάταξη είναι σταθερή. Πρόκειται για υπολογιστικές

µεθόδους που χρησιµοποιούν µαθηµατικά µοντέλα για την επίλυση του σχεδιαστικού

προβλήµατος και την επεξεργασία όλων των γεωµετρικών παραµέτρων και φυσικών

νόµων από τους οποίους διέπεται το σύστηµα [17-18].

∆εδοµένου ότι η tensegrity δοµή γενικότερα είναι σύγχρονη εφεύρεση, οι µέθοδοι

ανάλυσής της που βρέθηκαν στη σχετική βιβλιογραφία δεν είναι πολυάριθµες,

παρουσιάζουν όµως µια εξελικτική πορεία. Οι πρώτες µέθοδοι σχεδιαστικής

ανάλυσης [3, 6, 19] έδωσαν βάρος στη µελέτη της γεωµετρικής διάταξης,

υποστηρίζοντας ότι όσο πιο κοντά σε κανονικό πολύεδρο ή πρίσµα τείνει να µοιάζει

µια tensegrity κατασκευή, τόσο πιο ευσταθής είναι. Ωστόσο αποδείχτηκαν

ανεπαρκείς διότι το φυσικό µοντέλο tensegrity που προέκυπτε διάφερε πολύ από το

αντίστοιχο πολύεδρο ή πρίσµα, µε αποτέλεσµα οι µέθοδοι να µην µπορούν να

εξασφαλίσουν την ισορροπία του. Έτσι κρίθηκε αναγκαία η ανάπτυξη συνθετότερων

υπολογιστικών µεθόδων (αλγορίθµων).

Υπάρχουν 2 γενικές κατηγορίες: µέθοδοι κινηµατικής προσέγγισης και µέθοδοι

στατικής προσέγγισης. Η επιλογή µιας µεθόδου προκύπτει από την πολυπλοκότητα

του σχεδιαστικού προβλήµατος. Κάθε µέθοδος επίσης έχει πλεονεκτήµατα και

µειονεκτήµατα που σχετίζονται τόσο µε τη δυνατότητα επίλυσης προβληµάτων, όσο

και µε την προοπτική να µπορεί να γενικευτεί έτσι ώστε να προγραµµατίζεται.

Παρακάτω παρατίθενται 3 κινηµατικές µέθοδοι (Analytical Solutions, Non-linear

Programming, Dynamic Relaxation) και 3 από τις 4 στατικές (Analytical Solutions,

Force-Density Method, Energy Method, Reduced Coordinates) που εντοπίστηκαν σε

όλη την έκταση της βιβλιογραφίας. Πρέπει να σηµειωθεί ότι οι µέθοδοι αυτές

Page 58: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

58

αφορούν true tensegrity δοµές και έχουν πειραµατιστεί σε σχετικά µικρής κλίµακας

και έκτασης συστήµατα.

4.4.1 Μέθοδοι κινηµατικής προσέγγισης

Το κοινό χαρακτηριστικό των µεθόδων κινηµατικής προσέγγισης είναι ότι θεωρούν

το µήκος των τενόντων σταθερό, ενώ επιδιώκουν προοδευτική αύξηση του µήκους

των ράβδων µέχρι ένα ανώτατο όριο που να ικανοποιεί τις συνθήκες ισορροπίας του

συστήµατος. Εναλλακτικά, µπορούν να καταλήξουν στο ίδιο αποτέλεσµα

διατηρώντας το µήκος των ράβδων σταθερό και µειώνοντας το µήκος των τενόντων

µέχρι ένα κατώτατο όριο. Η προσέγγιση αυτή µιµείται κατά µία έννοια τον τρόπο µε

τον οποίο οι tensegrity κατασκευές υλοποιούνται στην πράξη, χωρίς απαραίτητα να

λαµβάνει υπόψη την προένταση των τενόντων.

4.4.1.1 Αναλυτικές Λύσεις (Analytical solutions)

Η µέθοδος αυτή χρησιµοποιεί τριγωνοµετρικές συναρτήσεις για την εύρεση των

συντεταγµένων όλων των σηµείων σύνδεσης τενόντων-ράβδων (κόµβων) καθώς και

για την εύρεση των µηκών των ράβδων. Είναι βολική για γεωµετρική ανάλυση

tensegrity πρισµάτων επειδή χαρακτηρίζονται από απλή συµµετρία και οι ράβδοι

είναι ισοµήκεις.

Ακολουθεί παράδειγµα εφαρµογής της µεθόδου, χρησιµοποιώντας την απλούστερη

tensegrity µονάδα, η οποία είναι ένα tensegrity τριγωνικό πρίσµα και αποτελείται

από ν =3 ράβδους, 9 τένοντες και 6 κόµβους.

Οι δύο τριγωνικές βάσεις του t- τριγωνικού πρίσµατος εγγράφονται σε δύο κύκλους

αντίστοιχα, ακτίνας R, έτσι ώστε να σχηµατίζεται ένας νοητός κύλινδρος ύψους H.

Page 59: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

59

κάτοψη

Σχήµα 20. Γεωµετρική απεικόνιση tensegrity-πρίσµατος

Κέντρο του κύκλου που περιγράφει την κάτω τριγωνική βάση είναι η αρχή των

αξόνων. Οι κόµβοι ανά τρεις είναι σηµεία των δύο κύκλων. Ξεκινώντας τον

υπολογισµό των συντεταγµένων ενός κόµβου της κάτω βάσης οδηγούµαστε στην

εύρεση των συντεταγµένων όλων των κόµβων. Απαραίτητη για τον υπολογισµό των

πάνω κόµβων είναι η γωνία 2 iπν

µεταξύ του κάτω άκρου µιας ράβδου και της

προβολής του πάνω άκρου της στον κάτω κύκλο, όπου i είναι ένας ακέραιος αριθµός

Page 60: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

60

µικρότερος του ν (i<ν) [20]. Στο σχήµα 20, τα τµήµατα 1-2, 1-4, 1-5 είναι τένοντες

και το 1-3 είναι ράβδος. Βάσει αυτών, οι συντεταγµένες των κόµβων κ1 έως κ6 είναι:

[ ][ ]2

3

4

5

6

1 ,0,0

cos , sin ,

2 2cos , sin ,

2 2cos , sin ,0

2 2cos , sin ,0

2 2cos , sin ,

k R

k R R H

i ik R R H

k R R

k R R

i ik R R H

θ θ

π πθ θν ν

π πν ν

π πν ν

π πθ θν ν

=

=

= + + = − = = − −

(4.1)

Παίρνοντας τα τετράγωνα των µηκών του τένοντα 1-2 και της ράβδου 1-3 έχουµε:

( )2 2 22 1 coscl R Hθ= − + (4.2)

2 2 222 1 cossil R Hπθ

ν = − + +

(4.3)

όπου lc το µήκος του τένοντα και ls το µήκος της ράβδου. Η (4.3) µε απλοποίηση και

αντικατάσταση γίνεται

2 2 24 sin sins ci il R lπ πθ

ν ν = + +

(4.4)

Για ένα ορισµένο µήκος τένοντα lc, το µήκος της ράβδου ls αυξάνεται έτσι ώστε η

γωνία περιστροφής µεταξύ των δύο βάσεων να είναι:

12

iθ πν

= −

(4.5)

Η µέθοδος των αναλυτικών λύσεων είναι αποτελεσµατική κυρίως για σχήµατα

συµµετρικής διάταξης και ισοµηκών ράβδων. Αν και απαιτεί ορθή αντίληψη της

γεωµετρίας και πολλούς τριγωνοµετρικούς υπολογισµούς, η λογική της παραµένει

Page 61: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

61

απλή. Είναι ακατάλληλη ωστόσο για το form-finding ασύµµετρων σχηµάτων, µε

ποικιλία µηκών λόγω των πολυάριθµων παραµέτρων που πρέπει να λαµβάνει υπόψη,

καθιστώντας την υπολογιστική διαδικασία ακόµη πιο δύσκολη και χρονοβόρα.

4.4.1.2 Μη- γραµµικός Προγραµµατισµός (Non-Linear Programming)

Πρόκειται για µια γενική µεθοδολογία η οποία αντιµετωπίζει τη διαδικασία του form-

finding ενός tensegrity ως ένα πρόβληµα βελτιστοποίησης. Εδώ, οι συντεταγµένες

των κόµβων είναι γνωστές. Μία ή περισσότερες ράβδοι επιµηκύνονται µέχρι ένα

µέγιστο µήκος που να επιτρέπει τη συγκρότηση ισορροπηµένου tensegrity σχήµατος.

Στην ουσία, οι ράβδοι είναι οι µεταβλητές του σχεδίου, δηλαδή ανεξάρτητες

ποσότητες που µεταβάλλονται για να επιτευχθεί το βέλτιστο σχέδιο. Ορίζονται

ανώτερα και κατώτερα όρια που χρησιµεύουν ως περιορισµοί στις µεταβλητές του

σχεδίου. Η γενική µορφή επίλυσης του προβλήµατος βελτιστοποίησης είναι η εξής:

Minimize ƒ ( x, y, z )

Subject to gi ( x, y, z ) = 0, for i=1, ..., n

Η ƒ( x, y, z ) είναι η αντικειµενική συνάρτηση, η τιµή της οποίας δίνει το µήκος της

ράβδου. Η αλλαγή των τιµών που αφορούν τις ράβδους οδηγεί στην αλλαγή της τιµής

της αντικειµενικής συνάρτησης.

Οι εξισώσεις gi( x, y, z ) = 0, for i=1, ..., n απεικονίζουν τα σταθερά µήκη των

τενόντων. Χρησιµεύουν ως περιορισµοί στις µεταβλητές σχεδίου και καθορίζουν το

εύρος τιµών για το µήκος της ράβδου. Εφαρµογή αυτής της µεθόδου

πραγµατοποιείται σε επίπεδο διδακτορικής διατριβής [21] πάνω σε tensegrity

τριγωνικό πρίσµα.

Το µεγάλο πλεονέκτηµα του Μη – Γραµµικού Προγραµµατισµού είναι ότι

υλοποιείται µε τυποποιηµένο software. Παρ’ όλα αυτά, όσο αυξάνει ο αριθµός των

δοµικών στοιχείων, τόσο αυξάνονται και οι περιορισµοί που πρέπει να τεθούν, έτσι η

µέθοδος αυτή δεν λειτουργεί ικανοποιητικά σε µεγάλα και πολύπλοκα tensegrity

συστήµατα. Επίσης, το γεγονός ότι στην ίδια τοπολογία µπορούµε να έχουµε

διαφορετικές tensegrity γεωµετρίες σηµαίνει ότι υπάρχουν όχι µόνο διαφορετικά

Page 62: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

62

µήκη ράβδων, αλλά και διαφορετικά επίπεδα προέντασης. Η αλλαγές στην

κατάσταση της προέντασης και ο έλεγχός τους είναι κάτι που αυτή η µέθοδος δεν

µπορεί να διαχειριστεί.

4.4.1.3 ∆υναµική Χαλάρωση (Dynamic Relaxation)

Η µέθοδος της ∆υναµικής Χαλάρωσης είναι µέθοδος πεπερασµένων στοιχείων και

είναι γενικά µια επαναληπτική διαδικασία που χρησιµοποιείται για την επίλυση

διαφορικών εξισώσεων. Για το λόγο αυτό έχει βρει εφαρµογή στη µελέτη της µη-

γραµµικής συµπεριφοράς κατασκευών. Η µέθοδος βασίζεται στη χρήση εξισώσεων

ισορροπίας, οι οποίες διατυπώνονται σε πεπερασµένη µορφή. Οι οριακές συνθήκες

επίσης διατυπώνονται ως διαφορές και εκφράζονται είτε ως σχέσεις µετατοπίσεων

είτε ως σχέσεις δυνάµεων κατά µήκος των άκρων της κατασκευής.

Λόγω της ικανοποιητικής εφαρµογής της µεθόδου σε πολλές εφελκυστικές δοµές,

εισήχθη από τον Motro [20] ως µεθοδολογία form-finding για τις tensegrity

κατασκευές. Η ισορροπία µιας υφιστάµενης tensegrity δοµής µε ορισµένο σχήµα

δίνεται από την ακόλουθη µη-οµογενή, διαφορική εξίσωση:

Mx+Dx+Kx=F (4.6)

Η (4.6) είναι η δυναµική εξίσωση του µηχανικού συστήµατος όπου Μ το µητρώο

µάζας, D το µητρώο απόσβεσης και Κ το µητρώο δυσκαµψίας του συστήµατος, ενώ

x , x τα διανύσµατα επιτάχυνσης και ταχύτητας αντίστοιχα και x η µετατόπιση από

την αρχική θέση. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι form-finding ανάλυσης µε τη µέθοδο

∆υναµικής Χαλάρωσης. Εδώ παρατίθεται αυτός που περιγράφεται στη διατριβή [21]:

Κάθε στοιχείο του συστήµατος µπορεί να περιγραφεί από τη σχέση:

0t t ke= + (4.7)

όπου t η αξονική φόρτιση που δέχεται το στοιχείο, e η επιµήκυνση του στοιχείου (αν

υπάρχει), 0t η τιµή της προέντασης (αν υπάρχει) και k µια σταθερά δυσκαµψίας.

Page 63: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

63

Σε κάθε τρέχουσα µορφή της δοµής χρησιµοποιούνται οι εξισώσεις ισορροπίας των

κόµβων για τον υπολογισµό των δυνάµεων. Το σύστηµα των εξισώσεων που

προκύπτει επιλύεται µε µεθόδους πεπερασµένων διαφορών. Οι συντελεστές του

µητρώου απόσβεσης έχουν συνήθως την ίδια τιµή, έτσι ώστε το σύστηµα να

συγκλίνει γρηγορότερα σε µια κατάσταση ισορροπίας.

Ένα από τα βασικά πλεονεκτήµατα της µεθόδου είναι ότι δεν απαιτούνται αρχικές

παραδοχές για το πεδίο των µετατοπίσεων κι έτσι διατηρείται η γενικότητα της

λύσης. Επίσης, είναι αποδοτική σε περιπτώσεις µε µικρό πλήθος κόµβων.

Μειονέκτηµά της αποτελεί το γεγονός ότι δύσκολα µπορεί να γενικεύσει έναν κώδικα

για την ανάπτυξη ολοκληρωµένου λογισµικού.

4.4.2 Μέθοδοι στατικής προσέγγισης

Το γενικό χαρακτηριστικό των µεθόδων στατικής προσέγγισης είναι ότι τείνουν να

ελαχιστοποιούν τη δυναµική ενέργεια του συστήµατος. Αυτό επιτυγχάνεται µε τη

δηµιουργία σχέσεων (συναρτήσεων) ανάµεσα σε ευσταθείς γεωµετρικές διατάξεις και

στις δυνάµεις που δρουν στα δοµικά στοιχεία.

4.4.2.1 Πυκνότητα ∆ύναµης (Force density method)

Στη φυσική η πυκνότητα δύναµης ορίζεται ως η δύναµη προς τη µονάδα όγκου. Η

µέθοδος της force density αρχικά χρησιµοποιήθηκε για τη σχεδιαστική ανάλυση

δικτυωµάτων και γενικότερα των εφελκυστικών δοµών. Από τη στιγµή που τα µέλη

των εφελκυστικών δοµών επιδέχονται αξονικές φορτίσεις, η συνολική διανοµή των

φορτίσεων αυτών σχετίζεται άµεσα µε το σχήµα του συστήµατος και την ισορροπία

του. Στα tensegrity συστήµατα, η µέθοδος force density µπορεί µέσα από µια

προοδευτική, υπολογιστική διαδικασία να βρίσκει τον κατάλληλο συνδυασµό

αξονικών φορτίσεων και γεωµετρίας που συγκροτεί ένα ισορροπούµενο σχήµα. Η

force density είναι µια µητρωική µέθοδος µελέτης και ανάλυσης διότι οι εξισώσεις

ισορροπίας εµφανίζονται µε τη µορφή πινάκων(µητρώα).

Το βασικό βήµα της µεθόδου είναι η µετατροπή των µη-γραµµικών εξισώσεων

ισορροπίας των κόµβων σε ένα σύνολο γραµµικών εξισώσεων. Οποιοδήποτε δοµικό

Page 64: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

64

στοιχείο (Α, Β) που συνδέει δύο κόµβους Α και Β, υφίσταται µια αξονική φόρτιση

,fΑ Β και έχει µήκος ,lΑ Β .

Οι εξισώσεις ισορροπίας ενός κόµβου i που συνδέεται στους κόµβους j και k είναι

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

, ,,

, ,

, ,,

, ,

, ,,

, ,

i j i k exti j i k i x

i j i k

i j i k exti j i k i y

i j i k

i j i k exti j i k i z

i j i k

f fx x x x fl lf fy y y y fl lf fz z z z fl l

− + − =

− + − =

− + − =

(4.8)

όπου, extf είναι οποιαδήποτε εξωτερική δύναµη δρα στον κόµβο. Οι παραπάνω

εξισώσεις είναι µη-γραµµικές διότι τα µήκη l των δοµικών στοιχείων είναι επίσης

συναρτήσεις συντεταγµένων. Οι εξισώσεις αποκτούν γραµµική µορφή µε την

εισαγωγή του λόγου της αξονικής φόρτισης του στοιχείου προς το µήκος του στοιχείου:

,,

,

fql

Α ΒΑ Β

Α Β

= (4.9)

Ο λόγος ,qΑ Β ονοµάζεται συντελεστής έντασης και η τιµή του πρέπει να είναι γνωστή

για την έναρξη του form-finding. Αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (4.9) στις (4.8)

έχουµε:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

, , ,

, , ,

, , ,

exti j i j i k i k i x

exti j i j i k i k i y

exti j i j i k i k i z

x x q x x q f

y y q y y q f

z z q z z q f

− + − =

− + − =

− + − = (4.10)

Πρέπει να σηµειωθεί ότι για κάθε τένοντα πάντα ισχύει , 0qΑ Β > . Στη συνέχεια η

µέθοδος εφαρµόζει τη χρήση πινάκων. Η τοπολογία µιας δοµής µε m στοιχεία και n

κόµβους περιγράφεται µε έναν m x n πίνακα TsC . Αν ένα στοιχείο a (τένοντας ή

Page 65: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

65

ράβδος) ενώνει τους κόµβους i και j, τότε η αντίστοιχη γραµµή του πίνακα TsC

παίρνει την τιµή 1 στη στήλη i και την τιµή -1 στη στήλη j. Όλες οι εξισώσεις ισορροπίας της δοµής µε m στοιχεία και n κόµβους µπορούν να γραφούν µε τη µορφή

πινάκων ως εξής:

fff

Ts S x

Ts S y

Ts S z

C QC xC QC yC QC z

===

(4.11)

όπου Q είναι ένας διαγώνιος πίνακας που περιέχει όλους τους συντελεστές έντασης,

x, y, z είναι οι πίνακες στήλης (διανύσµατα ) των συντεταγµένων των αξόνων x, y, z

αντίστοιχα, και x , y, zf f f είναι οι πίνακες στήλης (διανύσµατα) των εξωτερικών

δυνάµεων που δρουν στους κόµβους.

Ως εδώ τα παραπάνω είναι τα γενικά βήµατα της µεθόδου. Στην ανάλυση του form-

finding των tensegrity συστηµάτων, λόγω του ότι είναι αυτό-ισορροπούµενα, οι

εξωτερικές δυνάµεις στους κόµβους θεωρούνται µηδέν. Έτσι οι εξισώσεις της (4)

γίνονται

000

x

y

z

EEE

===

(4.12)

όπου TS SE C QC= .

Ο πίνακας Ε ονοµάζεται πίνακας ισορροπίας, αναπαριστά την ισορροπία των κόµβων

(στοιχεία του πίνακα είναι οι τιµές των µητρωικών εξισώσεων ισορροπίας των

κόµβων) και είναι ένας συµµετρικός, ν x ν πίνακας. Μπορεί να αναπτυχθεί απευθείας

από τους συντελεστές έντασης µε κάθε στοιχείο του Ε να δίνεται ως εξής:

Page 66: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

66

( ) ,,

0

k

k i

i ji j

q

E q≠

= −

(6 (4.13)

Λόγω του ότι στις tensegrity κατασκευές υπάρχουν ράβδοι για τις οποίες ισχύει

, 0A Bq < (στηρίζονται στο έδαφος και άρα υπάρχουν εξωτερικές φορτίσεις στους

κόµβους), ο υπολογισµός των στοιχείων του πίνακα Ε µπορεί να γίνει ακόµα πιο

πολύπλοκος. Πρακτικές εύρεσης των συντελεστών έντασης που να δίνουν στον

πίνακα τα κατάλληλα στοιχεία έχουν εφαρµοστεί [20-21].

Η µέθοδος force density θεωρείται η πιο ολοκληρωµένη για το form-finding

tensegrity κατασκευών και είναι αυτή που περισσότερο µελετάται και εφαρµόζεται ε

παραδείγµατα σε όλη την έκταση της βιβλιογραφίας πάνω στο σχεδιασµό tensegrity

συστηµάτων [17, 20-24]. Καθώς ο αριθµός των δοµικών στοιχείων αυξάνεται η

γεωµετρία γίνεται πιο δυσνόητη, όµως από τις µέχρι τώρα µεθόδους, είναι η πρώτη

που µπορεί να υποστηρίξει τον υπολογισµό συνθετότερων τοπολογιών. Αυτό

συµβαίνει γιατί η µητρωική ανάλυση που εφαρµόζει, διευκολύνει τον

προγραµµατισµό της µεθόδου (software). Υπάρχουν υπολογιστικοί αλγόριθµοι

µητρωικής ανάλυσης που επιτελούν βήµατα ίδια µε αυτά που ακολουθούνται σε

προγράµµατα πεπερασµένων στοιχείων.

4.4.2.2 Αναλυτικές λύσεις (analytical solutions-static)

Στη στατική προσέγγιση, όπως στην κινηµατική, η µέθοδος των αναλυτικών λύσεων

χρησιµοποιούν εξισώσεις ισορροπίας των κόµβων για την εύρεση ευσταθούς

διάταξης. Επειδή η µέθοδος χρησιµοποιείται για σφαιρικά και πρισµατικά tensegrities

µικρού ν, η συµµετρία διευκολύνει την εύρεση των εξισώσεων. Για τη δηµιουργία

ενός συστήµατος γραµµικών εξισώσεων ισορροπίας, η στατική προσέγγιση

αναλυτικών λύσεων χρησιµοποιεί την πυκνότητα ισχύος ,i jq ως µεταβλητή κάθε

στοιχείου που ενώνει δυο κόµβους i, j [20]. Ακολουθεί παράδειγµα εφαρµογής της

µεθόδου, βάσει του σχήµατος 20.

για i=j για i≠ j αν i και j δεν συνδέονται µεταξύ τους

Page 67: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

67

Στον κόµβο 1 καταλήγουν τα στοιχεία 1-2, 1-3, 1-4, 1-5. Για τους τένοντες 1-4, 1-5

ισχύει 14 15q q= λόγω συµµετρίας. Η ισορροπία του κόµβου 1 ως προς τον άξονα z

είναι:

12 13 0q H q H+ = (4.14)

και ως προς τον άξονα y είναι:

12 132sin sin 0iq R q R πθ θν

+ + =

(4.15)

Οι (4.14) και (4.15) δίνουν

122sin sin 0iq πθ θν

− + = (4.16)

Η επίλυση της (4.16) δίνει µία µοναδική τιµή στη γωνία θ για την οποία οι τένοντες

που καταλήγουν στον κόµβο 1 είναι τεντωµένοι και άρα όλοι οι τένοντες του

συστήµατος:

12

iθ πν

= −

(4.17)

Στη βιβλιογραφία, εφαρµογή της µεθόδου έχει υλοποιηθεί για πρισµατικά tensegrity

µε ν = 3, 4, 5, 6. Οι τιµές της γωνίας περιστροφής θ για τα αντίστοιχα πρίσµατα

δίνονται (σε µοίρες) στον παρακάτω πίνακα.

i ν 1 2 3 4 5

3 30 -30 _ _ _

4 45 0 -45 _ _

5 54 18 -18 -54 _

6 60 30 0 -30 -60

Πίνακας 1. Τιµές γωνίας θ

Page 68: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

68

4.4.2.3 Ενεργειακή Μέθοδος (Εnergy Μethod)

Η ενεργειακή προσέγγιση για την ανάλυση των tensegrity κατασκευών είναι

ενδιαφέρουσα διότι εξηγεί το γιατί η κατασκευή µπορεί να παραµείνει στο σύνολό

της «άκαµπτη». Οι τένοντες πάντα έχουν την τάση να διατάσσονται και να

ανασχηµατίζονται κατά τρόπο τέτοιο που να ελαχιστοποιεί τη συνολική ενέργεια του

συστήµατος. Γενικά, η θέση ισορροπίας των σωµάτων είναι και θέση ελάχιστης

ενέργειας και παρατηρείται παντού στη φύση ότι τα σώµατα τείνουν να καταλάβουν

τη θέση ισορροπίας τους εκεί που µπορούν να αποκτήσουν την ελάχιστη µηχανική

ενέργεια.

Η πρακτική της ενεργειακής µεθόδου για την εύρεση της κατάλληλης γεωµετρίας

µιας tensegrity κατασκευής µοιάζει µε αυτήν της force density διότι και εδώ

χρησιµοποιούνται µητρώα. Για τον ορισµό των σχέσεων και των συναρτήσεων

µεταξύ των στοιχείων, η µέθοδος βασίζεται στη Θεωρία Γράφων.

Ένα ανεικονικό tensegrity σύστηµα είναι ένα γράφηµα της µορφής T(V,E) όπου το

σύνολο των κορυφών V=1, 2,…,n είναι το σύνολο των κόµβων του συστήµατος

και το σύνολο των ακµών E= C S∪ =1, 2,…,e είναι η ένωση των επιµέρους

συνόλων των στοιχείων του συστήµατος, δηλαδή τενόντων (C) και ράβδων (S). Το

γράφηµα αυτό παρέχει τοπολογική πληροφορία για το σύστηµα [22].

Μια διάταξη µε n διατεταγµένα σηµεία σε έναν d-διάστατο χώρο µπορεί να γραφτεί

ως πίνακας γραµµής µε τη µορφή:

[ ]1 2 np p , p ,..., p T= (4.18)

Ορίζοντας µια τέτοια διάταξη για το ανεικονικό tensegrity σύστηµα του προσδίδουµε

και γεωµετρική πληροφορία αφού προσδιορίζονται τα µήκη των ακµών. Το tensegrity

σύστηµα T(p) είναι µια γραφική παράσταση, όπου τα n διατεταγµένα σηµεία είναι οι

κόµβοι του συστήµατος και κάθε ακµή (γραµµή) που τους συνδέει αναπαριστά ράβδο

ή τένοντα. Το µήκος των τενόντων δεν αυξάνεται και το µήκος των ράβδων δεν

ελαττώνεται. Προκύπτει λοιπόν ένας γεωµετρικός πίνακας, οι γραµµές του οποίου

Page 69: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

69

αντιπροσωπεύουν τα δοµικά στοιχεία του T(p), ενώ οι στήλες αντιπροσωπεύουν τους

κόµβους.

Ορίζοντας µια νέα διάταξη g της µορφής (4.18) για το tensegrity σύστηµα, το Τ(g)

είναι ταυτόσηµο του T(p) αν το ένα αποτελεί αποτέλεσµα ανασχηµατισµού του

άλλου. Τότε αυτό σηµαίνει ότι T(p) και Τ(g) έχουν την ίδια τοπολογία, ίσα µήκη

δοµικών στοιχείων αλλά διαφορετική γεωµετρική διάταξη µέσα στον d-διάστατο

χώρο [14, 25].

Από το σηµείο αυτό κι έπειτα, η µέθοδος ακολουθεί την πρακτική της force density.

Σκοπός είναι να αποδειχτεί ότι το σύστηµα στο σύνολό του είναι ευσταθές δηλαδή

άκαµπτο. Γνωρίζοντας ότι τα tensegrity συστήµατα υφίστανται σε µια κατάσταση

προέντασης, µπορούµε να ορίσουµε ένα βαθµωτό µέγεθος ,i jω που να δηλώνει την

εφαρµοσµένη τάση σε κάθε στοιχείο i-j. Η συνολική εφαρµοσµένη τάση ω στο T(p)

είναι εσωτερική τάση του συστήµατος αν σε κάθε κόµβο i ισχύει:

( ) 0ij j ij

p pω − =∑ (4.19)

όπου 0ijω ≥ για τους τένοντες και 0ijω ≤ για τις ράβδους. Η (4.19) είναι όµοια µε

την εξίσωση ισορροπίας ενός κόµβου i στον άξονα x σύµφωνα µε τη µέθοδο force

density ( εξισώσεις 4.10), εποµένως το ,i jω έχει ίδια µαθηµατική έννοια µε το ,i jq .

Η (4.19) είναι αναγκαία αλλά όχι ικανή συνθήκη για την ακαµψία µιας tensegrity

κατασκευής. Προκειµένου να διασφαλιστεί η ευστάθεια, πρέπει για µια ορισµένη

διάταξη p, η συνάρτηση της συνολικής δυναµικής ενέργειας του συστήµατος να

παρουσιάζει κάποιο τοπικό ελάχιστο. Για να επιτευχθεί αυτό, η συνολική ενέργεια

του συστήµατος σύµφωνα µε τον Connelly[25] δίνεται από τη συνάρτηση:

( ) ( )21E p2 ij j ip p

ijω = −

∑ (4.20)

Page 70: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

70

Η λογική είναι ότι όταν τα άκρα ενός στοιχείου, δηλαδή δύο κόµβοι µετατοπίζονται,

η ενέργεια µπορεί να εκφραστεί ως συνάρτηση του τετραγώνου της µετατόπισης. Η

(4.20) δίνει ένα τοπικό ελάχιστο, το οποίο αντιστοιχεί στο εναποµείναν µήκος του

δοµικού στοιχείου. Οι τένοντες, λόγω του ότι επιδέχονται µόνο εφελκυσµό έχουν

µηδενικό εναποµείναν µήκος, ενώ οι ράβδοι άπειρο.

Θεωρώντας ότι x

p yz

=

, η µητρωική µορφή της (4.20) είναι

T1E(p) p p2

Ω = Ω

(4.21)

όπου τα στοιχεία του πίνακα Ω δίνονται ως εξής:

( ),

0

ikk i

iji j

ω

ω≠

Ω = −

(4.22)

Από τις συναρτήσεις (4.21) και (4.22) προκύπτει ένα τοπικό ελάχιστο που εισάγεται

έπειτα στην (4.20). Η (4.22) είναι όµοια µε την (4.13). Έτσι µπορούµε να πούµε πως

η ενεργειακή µέθοδος επιβεβαιώνει την Force Density για το πώς µπορεί να

χρησιµοποιηθεί στην εύρεση ευσταθών µορφών των tensegrity κατασκευών. Όπως

και οι υπόλοιπες µέθοδοι, έχουν εφαρµοστεί σε µικρής πολυπλοκότητας συστήµατα

και κυρίως συµµετρικά.

4.4.3 Σύνοψη διαδικασίας σχεδιαστικής ανάλυσης

Οι σχεδιαστικές µέθοδοι ανάλυσης tensegrity συστηµάτων που λεπτοµερώς

περιγράφηκαν στο κεφάλαιο αυτό, χρησιµοποιούν παγιωµένες προσεγγίσεις για την

για i=j για i≠ j αν i και j δεν συνδέονται µεταξύ τους

Page 71: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

71

ανάλυση µηχανικών συστηµάτων πολλών παραµέτρων που παρουσιάζουν µη-

γραµµική δυναµική συµπεριφορά. Αντικείµενο περαιτέρω έρευνας πάνω στις

παραπάνω σχεδιαστικές µεθόδους αποτελεί το πώς η υπολογιστική διαδικασία µπορεί

να γενικευτεί για πιο πολύπλοκα συστήµατα δίνοντας έγκυρα αποτελέσµατα. Η

εφαρµογή συστηµάτων tensegrity σε ενεργές δοµές αποτελεί ένα πεδίο ολοένα

αυξανόµενου ενδιαφέροντος και απαιτεί µεγάλη ακρίβεια. Το γεγονός ότι η tensegrity

δοµή 1) είναι σχετικά καινούρια ανακάλυψη, 2) απαιτεί λήψη πολλών παραµέτρων

και 3) η υλοποίησή της υφίσταται σε ένα πλαίσιο ευρύτερης τεχνολογικής εξέλιξης,

συµβάλλει στη µικρής έκτασης πρακτική εφαρµογή της σε σχέση µε το µεγάλο εύρος

δυνατοτήτων της.

Η διαδικασία εύρεσης της κατάλληλης για την ισορροπία γεωµετρίας, µαζί µε το

σχεδιασµό της ολοκληρώνουν το στατικό µοντέλο του συστήµατος. Στα πλαίσια ενός

ολοκληρωµένου σχεδιασµού ωστόσο µελετάται και αναλύεται και το δυναµικό

µοντέλο ενός συστήµατος έτσι ώστε τελικά να υλοποιείται µια κατασκευή όχι µόνο

γερή, αλλά και εξελίξιµη.

4.5 Έλεγχος σχήµατος

Στο δυναµικό µοντέλο των tensegrity συστηµάτων αναφέρονται διαδικασίες ελέγχου

σχήµατος και αυτόµατου ελέγχου, δηλαδή διαδικασίες και εφαρµογές που

επωφελούνται από τη δυναµική συµπεριφορά της δοµής. Ο έλεγχος σχήµατος

σχετίζεται άµεσα µε την αναδίπλωση, ενώ ο αυτόµατος έλεγχος σχετίζεται άµεσα µε

την ανάδραση (feedback) που µπορεί να έχει ένα tensegrity σύστηµα σε µια σε µια

δεδοµένη ενέργεια. Οι διαδικασίες αναδίπλωσης και ελέγχου των tensegrity δοµών

οφείλουν να λαµβάνουν υπόψη πολυάριθµες παραµέτρους. Η µοντελοποίησή τους

γίνεται βάσει αλγορίθµων, µαθηµατικών υπολογισµών και προγραµµατισµού.

Ο έλεγχος σχήµατος των tensegrity συστηµάτων έχει να κάνει µε τον προσδιορισµό

της κίνησης που διαγράφουν τα δοµικά στοιχεία όταν τείνουν να αποκτήσουν νέα

διάταξη µέσα στο ν-διάστατο χώρο. Η γνώση της κίνησης που θα πραγµατοποιήσει

δίνει τη δυνατότητα πρόβλεψης της νέας κατάστασης ισορροπίας που θα υιοθετήσει

το σύστηµα. Για το λόγο αυτό, ο έλεγχος του σχήµατος σχετίζεται άµεσα µε την

Page 72: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

72

αναδίπλωση και ανάπτυξη της δοµής και µελετά τον τρόπο µε τον οποίο αυτή

αλλοιώνει και ανακτά το σχήµα της. Ο έλεγχος σχήµατος διεκπεραιώνεται µε

διαδικασίες εύρεσης και σχεδίασης διαδροµής (path-planning), δηλαδή διαδικασίες

που υποδεικνύουν την εφικτή, πραγµατοποιήσιµη –βάσει περιορισµών- τροχιά που

µπορεί να διαγράψει ένα σηµείο (κόµβος).

Για τον προσδιορισµό της τροχιάς εφαρµόζονται µεθοδολογίες που χρησιµοποιούν

αλγόριθµους και µαθηµατικά µοντέλα, συναρτήσεις κίνησης και ενέργειας. Στην

παρούσα εργασία παρατίθεται µόνο περιληπτική επισκόπηση των µεθόδων ελέγχου

σχήµατος, σε θεωρητικό επίπεδο χωρίς αναλυτική περιγραφή. Επίσης σηµειώνεται

ότι οι µέθοδοι βασίζονται στη γνώση της τοπολογίας και της γεωµετρίας µιας

tensegrity διάταξης που έχει προκύψει από την αναλυτική σχεδίαση εύρεσης

σχήµατος.

Υπάρχουν δύο βασικές οπτικές από τις οποίες εξετάζεται ο έλεγχος σχήµατος, η

παθητική αναδίπλωση (passive deployment) και η ενεργητική αναδίπλωση

(active deployment). Όπως στην εύρεση του σχήµατος, έτσι κι εδώ, οι µέθοδοι

εξετάζουν τον προβληµατικό χώρο µε προσεγγίσεις αναλυτικών λύσεων, κίνησης,

ενέργειας, επανάληψης και προσοµοίωσης [26-27]. Μέθοδοι και πειράµατα έχουν

αναπτυχθεί κυρίως πάνω σε συµµετρικά tensegrity συστήµατα, µικρής ή και

µεγαλύτερης πολυπλοκότητας (tensegrity πρίσµατα, πυλώνες, SVD).

Page 73: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

73

(α)

(β)

Σχήµα 21. (a) αναδίπλωση SVD (saddle,vertical,diagonal) tensegrity, (β) σύνθετου t-πρίσµατος

4.5.1 Παθητική αναδίπλωση/ανάπτυξη

Στην παθητική αναδίπλωση απαιτείται εφαρµογή εξωτερικών δυνάµεων προκειµένου

να προκληθεί µεταβολή στο σχήµα του συστήµατος. Μέσα από επαναληπτικές και

υπολογιστικές διαδικασίες έχει βρεθεί ότι αν π.χ ένα tensegrity πρίσµα υποστεί

εξωτερική φόρτιση, αρχικά ο όγκος του µειώνεται, αλλά µετά την αποµάκρυνση της

φόρτισης ανακτά το αρχικό του σχήµα, λόγω της δράσης των τενόντων (Αρχή

Ελάχιστης Ενέργειας). Η τροχιά που διαγράφει ένας κόµβος σε συµµετρικό tensegrity

απλής γεωµετρίας µπορεί να προβλεφθεί εύκολα.

Ο Motro [7] πρότεινε µια µέθοδο αναδίπλωσης η οποία εισάγει πεπερασµένους,

διακριτούς µηχανισµούς απόκρισης σε φόρτιση σε ένα tensegrity σύστηµα. Αυτό

γίνεται µε δύο τρόπους, ένας που ταξινοµείται στην παθητική κι ένας στην

ενεργητική αναδίπλωση. Στην παθητική αναδίπλωση η ενεργοποίηση του

µηχανισµού γίνεται µε τη διατάραξη (µείωση ή εξάλειψη) της εσωτερικής τάσης.

Αυτό γίνεται ως εξής: µειώνοντας την εσωτερική τάση από κάποιους τένοντες, οι

Page 74: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

74

περιορισµοί που σχετίζονται µε τη θέση και την ισορροπία των εµπλεκόµενων

κόµβων εξαλείφονται. Έτσι, εφαρµόζοντας κάποια εξωτερική φόρτιση στους

κόµβους αυτούς, το σύστηµα διπλώνεται και µπορεί να αναδιπλωθεί µε την

επαναφορά της εσωτερικής τάσης των τενόντων στο αρχικό της επίπεδο. Πρέπει να

σηµειωθεί ότι δεν υφίσταται διαδικασία εύρεσης διαδροµής που θα ακολουθήσει ο

κόµβος στο χώρο καθώς µας ενδιαφέρει µόνο η τελική και αρχική του θέση.

4.5.2 Ενεργητική αναδίπλωση/ ανάπτυξη

Η ενεργή αναδίπλωση πραγµατοποιείται µε κινητοποίηση (παρακίνηση, ώθηση-

actuation) µερικών ή όλων των δοµικών στοιχείων του συστήµατος. Αυτό

επιτυγχάνεται µε την εισαγωγή µηχανισµών κίνησης στα δοµικά στοιχεία και

πεπερασµένων µηχανισµών απόκρισης που, σε αντίθεση µε την παθητική

αναδίπλωση, δεν εξαρτώνται από την ύπαρξη ή µη της εσωτερικής τάσης. Εδώ

εισάγεται πλέον η έννοια της διαδικασίας εύρεσης διαδροµής (path-planning) για την

οποία διαφορετικές µέθοδοι και προσεγγίσεις εφαρµόζονται.

Υπάρχουν τρεις τρόποι εισαγωγής µηχανισµών στο σύστηµα που ενεργοποιούν την

κινητοποίησή του.

Εισαγωγή µηχανισµών στους τένοντες: για να υφίσταται µια tensegrity

κατασκευή ακέραιη, οι τένοντες πρέπει να είναι εντεταµένοι είτε διπλώνονται

είτε αναδιπλώνονται. Με τοποθέτηση µικρών µοτέρ στα άκρα ορισµένων

ράβδων, ενίοτε και δοκών, είναι δυνατό να αυξοµειώνεται το µήκος των

τενόντων ορίζοντας ως ενεργό µήκος αυτό που φαίνεται και ανενεργό το

υπόλοιπο.

Εισαγωγή µηχανισµών στις ράβδους: αν και σπάνιο, µιας και οι τένοντες

είναι αυτοί που κάνουν τη δοµή ευέλικτη, µε τη χρήση πτυσσόµενων ράβδων

µπορεί να προκληθεί κινητοποίηση του συστήµατος τόσο σε τοπικό όσο και σε

συνολικό επίπεδο.

Εισαγωγή µηχανισµών σε τένοντες και ράβδους: συνδυασµός των δύο

παραπάνω που εφαρµόζεται σε µεγάλης κλίµακας κατασκευές όπου

απαιτούνται µεγαλύτερα ποσά ενέργειας.

Page 75: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

75

Στα συµµετρικά tensegrity συστήµατα, η διαδικασία εύρεσης της ακολουθούµενης

διαδροµής είναι σχετικά απλή διότι οι παράµετροι δεν είναι υπεράριθµες και η τροχιά

που διαγράφουν οι κόµβοι υπό φόρτιση είναι προβλεπόµενη. Εδώ, η εφαρµογή

µεθόδων αναλυτικών λύσεων είναι ικανή να φέρει έγκυρα αποτελέσµατα.

Η κίνηση µεταξύ των κόµβων σε συµµετρικά συστήµατα, όπως και η θέση τους,

παρουσιάζει συµµετρία. Αυτό δίνει τη δυνατότητα εφαρµογής µεθόδων που µελετούν

την κίνηση για τον προσδιορισµό της επόµενης κατάστασης ισορροπίας που θα

υιοθετήσει το σύστηµα. Οι µέθοδοι αυτές επεµβαίνουν στην αυξοµείωση των µηκών

των στοιχείων αλλά δεν ορίζουν τη σχέση που συνδέει παραµέτρους θέσης,

απόστασης και ταχύτητας. Έτσι υστερούν στον καθορισµό όλων των πιθανών

γεωµετρικών διατάξεων.

Πιο εξελιγµένες µέθοδοι [26] που µελετούν την κίνηση στοχεύουν στην εύρεση των

σχέσεων που συνδέουν τις διαφορετικές παραµέτρους, προς σχηµατισµό

συναρτήσεων που ορίζουν τροχιές κόµβων. Η πολυπλοκότητα είναι αυξηµένη ακόµα

και σε απλές γεωµετρίες καθώς οι µεταβλητές των συναρτήσεων είναι πολλές και

πρόκειται για µεγέθη όπως κλίση µεταξύ ράβδων, γωνίες περιστροφής, αζιµούθιο,

χρόνος αναδίπλωσης, ο υπολογισµός των οποίων είναι δύσκολος.

Υπάρχουν µέθοδοι που βασίζονται σε επαναληπτικές διαδικασίες προκειµένου να

βρουν τη βέλτιστη διαδροµή που µπορεί να ακολουθήσει ένας κόµβος. Η λογική

που ακολουθούν είναι ότι ξεκινούν από µια αυθαίρετη διαδροµή και µέσα από την

επανάληψη και τον εντοπισµό λαθών προσαρµόζεται έτσι ώστε να ταιριάζει σε

οποιαδήποτε εµπεδωµένη διάταξη του πραγµατικού χώρου. Συνήθως

χρησιµοποιούνται πολυώνυµα ορισµένου βαθµού και οι παράγωγοί τους για τους

υπολογισµούς.

4.6 Εισαγωγή αυτόµατου ελέγχου

Ο αυτόµατος έλεγχος ασχολείται µε τη µελέτη της συµπεριφοράς δυναµικών

συστηµάτων. Τα µηχανικά συστήµατα που υφίστανται στη σύγχρονη τεχνολογία

περιλαµβάνουν πλήθος φυσικών µεγεθών όπως τάσεις, ρεύµα, µηχανικές και

Page 76: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

76

µετατοπίσεις, πίεση κλπ. Ένας από τους σκοπούς της Θεωρίας Ελέγχου είναι η

ανάπτυξη µεθόδων για τη µελέτη του ελέγχου της δυναµικής απόκρισης µιας

µεγάλης κατηγορίας µηχανικών συστηµάτων που υπόκεινται σε διεγέρσεις ή

διαταραχές.

Η εφαρµογή συστηµάτων ελέγχου στα tensegrity συστήµατα αποτελεί τελευταίο και

προαιρετικό στάδιο στη συνολική διαδικασία σχεδιασµού, αφού αφενός λαµβάνει

έτοιµη όλη τη γνώση για τη στατική και τη δυναµική συµπεριφορά από τα

προηγούµενα επίπεδα σχεδίασης, αφετέρου η προσαρµογή του δεν αφορά όλα τα

tensegrity συστήµατα. Εδώ, το ενδιαφέρον για εφαρµογή αυτόµατου ελέγχου πηγάζει

από το γεγονός ότι χρειάζονται µικρά ποσά ενέργειας ώστε µια tensegrity δοµή να

αλλάξει σχήµα. Αυτό συµβαίνει γιατί υπάρχει πληθώρα τενόντων, άρα µεγάλη

ελαστικότητα και γιατί οι κόµβοι µπορούν να πραγµατοποιούν κίνηση προς κάθε

κατεύθυνση στο χώρο. Η ιδιότητα αυτή των tensegrity συστηµάτων τα καθιστά

εξαιρετικά ενδιαφέρουσα περίπτωση για εντοπισµό και απόσβεση κραδασµών

(αντισεισµικές κατασκευές), ελεγχόµενο ανασχηµατισµό και αναδίπλωση και

ελεγχόµενη ανέγερση δοµών εκεί που η ανθρώπινη παρουσία είναι ανέφικτη

(αεροδιαστηµική). Έτσι παρατηρείται µια γενικότερη στροφή της έρευνας των

tensegrity συστηµάτων στην εφαρµογή και υποστήριξη αυτόµατου ελέγχου.

Το πεδίο του αυτόµατου ελέγχου στηρίζεται πάνω στη θεµελιώδη ιδέα της

ανατροφοδότησης ή βρόγχου ανάδρασης (feedback). Στα tensegrity συστήµατα η

συλλογή των παραµέτρων ανάδρασης γίνεται µε διάφορους τρόπους, δηλαδή

λαµβάνοντας υπόψη:

Μετατοπίσεις των κόµβων

∆υνάµεις στους κόµβους

Ολόκληρη ή µερική κατάσταση της δοµής, δηλαδή θέσεις κόµβων, ταχύτητα,

επιτάχυνση, χρόνος απόκρισης

Για να επιτευχθεί αυτόµατος έλεγχος σε ένα σύστηµα tensegrity απαιτείται η

προσαρµογή πάνω σε αυτό ενός µηχανοτρονικού συστήµατος. Το µηχανοτρονικό

σύστηµα αποτελείται από:

Μηχανισµούς κίνησης (ενεργοποιητές)

Μηχανισµούς ελέγχου (ελεγκτές)

Αισθητήρες

Page 77: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

77

Ένα ολοκληρωµένο σύστηµα µε αισθητήρες, µικροεπεξεργαστές και ελεγκτές έχει

σκοπό τη συλλογή των µετρηµένων µεταβλητών της επιβλέπουσας κατάστασης, την

ενεργοποίηση, την κανονικοποίηση και τον έλεγχο καθώς επίσης την επεξεργασία

των δεδοµένων σε κάποιον εξωτερικό υπολογιστή.

Για την επίτευξη της εφαρµογής αυτόµατου ελέγχου tensegrity συστηµάτων έχουν

προταθεί αρκετές µεθοδολογίες. Η αναλυτική παράθεσή τους θα ήταν δύσκολο

εγχείρηµα στην παρούσα διπλωµατική λόγω απαίτησης ειδικών γνώσεων.

Αναφέρονται ωστόσο περιληπτικά και σε θεωρητικό επίπεδο, για την ολοκληρωµένη

εικόνα του σχεδιασµού των tensegrity συστηµάτων.

Οι περισσότερες µέθοδοι ελέγχου για να µετρήσουν την απόδοση του συστήµατος

βασίζονται στη µελέτη των παλµικών κινήσεων που πραγµατοποιεί η δοµή όταν

υφίσταται φόρτιση ή πραγµατοποιεί κίνηση[19]. Για τον έλεγχο tensegrity δοµών οι

κόµβοι των οποίων µπορούν να υποστούν µεγάλες µετατοπίσεις, έχει προταθεί η

µέθοδος Βέλτιστου Στιγµιαίου Ελέγχου (Instantaneous Optimal Control), η οποία

γραµµικοποιεί το µη-γραµµικό δυναµικό µοντέλο της δοµής σε κάθε επανάληψη

(στιγµή). Οι πιθανότητες λάθους εκτίµησης της απόκρισης της δοµής ωστόσο

αποδεικνύεται ότι είναι αυξηµένες λόγω γραµµικοποίησης του δυναµικού µοντέλου.

Άλλες µέθοδοι επεµβαίνουν στην ποσότητα ενέργειας της δοµής, αυξάνοντας τους

συντελεστές απόσβεσης ενέργειας. Αυτό µπορεί να γίνεται είτε ξεχωριστά σε κάθε

τένοντα, είτε συνολικά στο σύστηµα [28]. Η πρώτη περίπτωση, αν και πιο απλή στην

υλοποίηση, δεν είναι το ίδιο αποδοτική όσο η δεύτερη στην απόσβεση των παλµικών

κινήσεων. Επίσης, στοχαστικές µέθοδοι έχουν εφαρµοστεί οι οποίες βασίζονται στη

µέθοδο ∆υναµικής Χαλάρωσης προκειµένου να επαληθεύσουν τη συµπεριφορά της

δοµής σε κάθε µια από τις λύσεις που προτείνουν [29].

Page 78: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

78

5 ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ∆Ο

ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

Στο κεφάλαιο αυτό υλοποιείται στατική ανάλυση της βασικής tensegrity µονάδας, του

τριγωνικού t-πρίσµατος χρησιµοποιώντας το πρόγραµµα ANSYS. Για την εύρεση της

γεωµετρίας χρησιµοποιήθηκε η Μέθοδος Αναλυτικών Λύσεων για την εύρεση των

συντεταγµένων των κόµβων, όπως ακριβώς έχει παρουσιαστεί στο προηγούµενο

κεφάλαιο. Ως αποτέλεσµα δίνονται τα µήκη των δοµικών στοιχείων. Τα αποτελέσµατα

της ανάλυσης είναι οι αντιδράσεις, οι παραµορφώσεις και οι δυνάµεις στα δοµικά

στοιχεία για συγκεκριµένες φορτίσεις και συνοριακές συνθήκες.

5.1 Μέθοδος Πεπερασµένων Στοιχείων

Η ΜΠΣ είναι µια προσεγγιστική µέθοδος επίλυσης κατασκευών. Βασίζεται στην

υποδιαίρεση και τη διάσπαση της συνολικής κατασκευής σε επιµέρους στοιχεία

πεπερασµένων διαστάσεων. Με άλλα λόγια ο αρχικός συνεχής φορέας (κατασκευή)

µετατρέπεται σε ένα ασυνεχές σύµπλεγµα πεπερασµένων στοιχείων προκειµένου να

επιλυθεί. Τα κοινά σηµεία µεταξύ των στοιχείων ονοµάζονται κόµβοι. Όσο πιο

λεπτοµερές είναι το µηχανικό/υπολογιστικό προσοµοίωµα, δηλαδή όσο περισσότερα

πεπερασµένα στοιχεία χρησιµοποιούνται για το σχεδιασµό του ασυνεχούς µοντέλου

υπολογισµού της πραγµατικής κατασκευής, τόσο πιο ακριβή µπορούν να θεωρηθούν

τα αποτελέσµατα που προκύπτουν. Απαραίτητη προϋπόθεση για την ακρίβεια των

αποτελεσµάτων είναι η ικανοποιητική περιγραφή της µηχανικής συµπεριφοράς των

χρησιµοποιούµενων στοιχείων.

Page 79: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

79

5.2 Ανάλυση τριγωνικού tensegrity πρίσµατος µε Η/Υ

Επιλέχθηκε η ανάλυση της βασικής tensegrity µονάδας προκειµένου να είναι πιο

διακριτή η τοπολογία καθώς και τα βήµατα εύρεσης της γεωµετρίας.

Χρησιµοποιώντας την απλούστερη tensegrity γεωµετρία διακρίνεται ξεκάθαρα και

κατανοητά η εναλλαγή της έντασης που διέπει τους τένοντες ανάλογα µε τις

φορτίσεις που επιβάλλονται στους κόµβους. Επίσης είναι ορατές οι µετατοπίσεις των

κόµβων και άρα η µεταβολή των µηκών των τενόντων µετά από τις φορτίσεις.

Για την εύρεση των συντεταγµένων εφαρµόστηκε η µέθοδος των αναλυτικών

λύσεων, έτσι όπως αυτή δίνεται µέσα από τις µεθοδολογίες του προηγούµενου

κεφαλαίου. Η µοντελοποίηση του τριγωνικού tensegrity πρίσµατος γίνεται στο

πρόγραµµα ANSYS. Η επιλογή του προγράµµατος έγινε λόγω του ότι είναι ένα

λογισµικό πακέτο πεπερασµένων στοιχείων, δέχεται γραφική εισαγωγή δεδοµένων,

υποστηρίζει γραµµική και µη-γραµµική ανάλυση σε 2 και 3 διαστάσεις και στη

βιβλιοθήκη στοιχείων του υπάρχουν στοιχεία που µπορούν να µοντελοποιήσουν

τένοντες.

5.3 Επίλυση µε το πρόγραµµα ANSYS

5.3.1 Εύρεση γεωµετρίας (form-finding)

Έχοντας προσδιορίσει την τοπολογία (τριγωνικό πρίσµα), πρώτο στάδιο στη

διαδικασία επίλυσης αποτελεί ο ορισµός της γεωµετρίας που θα έχει η κατασκευή.

Αυτό γίνεται µε την εύρεση των συντεταγµένων όλων των κόµβων, δηλαδή των 6

κορυφών του tensegrity τριγωνικού πρίσµατος.

Αποφασίστηκε η κατασκευή να είναι περιορισµένου όγκου και έτσι ο νοητός

κύλινδρος µέσα στον οποίο εγγράφεται έχει διάµετρο 30cm και ύψος 45cm. Ο

ορισµός των µεγεθών αυτών είναι απαραίτητος για την εύρεση των συντεταγµένων

και κατ’ επέκταση για τον προσδιορισµό των µηκών που θα πρέπει να έχουν οι

ράβδοι.

Page 80: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

80

Στο στάδιο αυτό, έγινε επιλογή της µεθόδου Αναλυτικών Λύσεων κινηµατικής

προσέγγισης (4.4.1.1) η οποία κατά µία έννοια µιµείται τον τρόπο µε τον οποίο οι

tensegrity κατασκευές υλοποιούνται στην πράξη, χωρίς απαραίτητα να λαµβάνει

υπόψη την προένταση των τενόντων. Η εύρεση των συντεταγµένων των κόµβων

πραγµατοποιήθηκε µε την επίλυση των τριγωνοµετρικών εξισώσεων (4.1)

Εκµεταλλευόµενοι τα στοιχεία του πίνακα 1 (κεφάλαιο 4) η γωνία θ µεταξύ της πάνω

και κάτω βάσης του πρίσµατος ως προς τον άξονα z ορίζεται 30 µοίρες και άρα i = 1

για λόγους ευκολίας.

Με τα δεδοµένα αυτά πραγµατοποιείται η στατική ανάλυση. Ωστόσο παρατίθενται

γραφικά (σχήµα 25) οι διαφοροποιηµένες γεωµετρίες για διαφορετικές γωνίες θ (0°,

45° και 60°) ούτως ώστε να γίνει οπτικά αντιληπτή η σηµασία της. Ο αριθµός i

παραµένει ίσος µε 1.

Σχήµα 22. Tensegrity πρίσµα προς µοντελοποίηση και ανάλυση

Page 81: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

81

Σχήµα 23. Κάτοψη

Βάσει ενός προσχεδίου κάτοψης του τριγωνικού tensegrity πρίσµατος (σχήµα..), στον

παρακάτω πίνακα παρατίθενται οι συντεταγµένες όλων των κόµβων έτσι όπως

εισήχθησαν στο ANSYS.

κόµβος x y z

1 150 0 0

2 130 75 450

3 -130 75 450

4 -75 -130 0

5 -75 130 0

6 0 -150 450

Πίνακας 2. Συντεταγµένες των κόµβων σε mm

Page 82: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

82

Από την εύρεση των συντεταγµένων των κόµβων προκύπτει αυτοµάτως ο

προσδιορισµός των µηκών όλων των δοµικών στοιχείων στη δεδοµένη κατάσταση

ισορροπίας. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται τα µήκη σε cm.

στοιχείο µήκος

1-3 53,53

5-6 53,53

4-2 53,53

1-4 25,99

4-5 26,00

5-1 25,99

2-3 26,00

3-6 25,99

6-2 25,99

1-2 45,66

4-6 45,66

3-5 45,66

Πίνακας 3. Μήκη δοµικών στοιχείων σε cm

Το µοντελοποιηµένο σύστηµα tensegrity µε τα µέχρι στιγµής δεδοµένα έχει την

οπτική µορφή που φαίνεται στο σχήµα 24. Συγχρόνως µοντελοποιήθηκαν και δοµές

για διαφορετική γωνία θ, όπως παρουσιάζεται στο σχήµα 25. Όσο µεγαλώνει η γωνία

θ τόσο µεγαλώνει και η κλίση των ράβδων σε σχέση µε τους οριζόντιους άξονες x και

y . Για θ = 60º και i = 1 οι ράβδοι περνούν από το ίδιο σηµείο γεγονός που καθιστά

αδύνατη την υλοποίηση tensegrity κατασκευής βασισµένης στο συγκεκριµένο

µοντέλο.

Page 83: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

83

κάτοψη όψη

Σχήµα 24. Μοντέλο ANSYS για θ=30º και i = 1

θ = 0 θ= 45 θ = 60

Σχήµα 25. Γεωµετρία tensegrity µοντέλου για διαφορετικές γωνίες θ

5.3.2 ∆εδοµένα επίλυσης

Η επιλογή των κατάλληλων στοιχείων παίζει καταλυτικό ρόλο στην εξαγωγή των

αποτελεσµάτων της επίλυσης. Κάθε στοιχείο που είναι διαθέσιµο στη βιβλιοθήκη

στοιχείων του ANSYS χαρακτηρίζεται από συγκεκριµένη µηχανική συµπεριφορά,

Page 84: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

84

και κάθε υλικό από µηχανικές ιδιότητες. Για τη µοντελοποίηση του τριγωνικού

tensegrity πρίσµατος χρησιµοποιήθηκαν δύο στοιχεία: το LINK8 για τη ράβδο και το

LINK10 για τον τένοντα. Επίσης τέθηκαν ορισµένοι περιορισµοί σε συγκεκριµένους

κόµβους προκειµένου να καταστεί δυνατή η επιβολή φορτίσεων.

5.3.2.1 Ράβδος Για τη µοντελοποίηση της ράβδου χρησιµοποιήθηκε το στοιχείο LINK8. Το 3-D αυτό

στοιχείο δέχεται µονοαξονικές φορτίσεις, δηλαδή εφελκυσµό και θλίψη

(µονοδιάστατο τανυσµό, µονοδιάστατη συµπίεση), ενώ δεν επιδέχεται καµία

επιφανειακή φόρτιση (δεν κάµπτεται και δεν συστρέφεται). Έχει τρεις βαθµούς

ελευθερίας σε κάθε κόµβο, που πρακτικά σηµαίνει ότι κάθε κόµβος µπορεί να

µετατοπιστεί και στους τρεις άξονες του συστήµατος συντεταγµένων. Κάθε ράβδος

ορίζεται από δύο κόµβους. Η διατοµή κάθε ράβδου ορίζεται 100mm2, το υλικό της

είναι χάλυβας µε µέτρο ελαστικότητας 200GPa και ο λόγος Poisson για το

συγκεκριµένο υλικό είναι 0,33.

5.3.2.2. Τένοντας Κατά όµοιο τρόπο, για τη µοντελοποίηση του τένοντα χρησιµοποιήθηκε το στοιχείο

LINK10. Είναι ένα 3-D στοιχείο και δέχεται µονοαξονικές φορτίσεις µε τη διαφορά

ότι υφίσταται είτε µόνο εφελκυσµό είτε µόνο θλίψη. Στην προκειµένη ανάλυση

χρησιµοποιήθηκε για να φέρει µόνο εφελκυστικές τάσεις. Αν η εφελκυστική τάση

που δρα πάνω του πάρει αρνητική τιµή, τότε το στοιχείο γίνεται ανενεργό. Επίσης,

έχει τρεις βαθµούς ελευθερίας σε κάθε κόµβο. Κάθε τένοντας ορίζεται από δύο

κόµβους. Η διατοµή κάθε τένοντα ορίζεται 5mm2, το υλικό του είναι χάλυβας µε

µέτρο ελαστικότητας 200GPa και ο λόγος Poisson για το συγκεκριµένο υλικό είναι

0,33.

Αυτό που πρέπει να σηµειωθεί είναι ότι κατά τη µοντελοποίηση, οι διατοµές των

ράβδων και των τενόντων δεν εµφανίζονται να είναι κυκλικές όπως θα θέλαµε να

εµφανίζεται το σύστηµα στην πραγµατικότητα. Αυτό συµβαίνει για πρακτικούς

λόγους του υπολογιστικού συστήµατος, ο σχεδιαστής δεν µπορεί να επέµβει σε αυτό

και δεν επηρεάζει την εγκυρότητα των αποτελεσµάτων.

Page 85: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

85

5.3.2.3 Περιορισµοί Γνωρίζουµε ότι ένα tensegrity πρίσµα είναι αυτό-ισορροπούµενο , δε χρειάζεται

δηλαδή να είναι αγκιστρωµένο ή πακτωµένο προκειµένου να ευσταθεί. Για να

µπορέσει όµως η δοµική ανάλυση στο ANSYS να δώσει αποτελέσµατα πρέπει να

οριστούν κάποιοι περιορισµοί όσον αφορά το πού στηρίζεται το σύστηµα που

αναλύεται. Για να επιτευχθεί αυτό, στο µοντέλο του σχήµατος 24 θέτουµε τον

περιορισµό ότι όλοι οι κόµβοι (1, 4, 5) της κάτω βάσης δεν µπορούν να

µετατοπιστούν στον άξονα z. Στα παραδείγµατα φόρτισης που ακολουθούν ο

περιορισµός αυτός ενισχύεται και διαφοροποιείται ανάλογα µε την κατεύθυνση της

φόρτισης: στην εφαρµογή κάθετης φόρτισης ο κόµβος 1 δεν µπορεί να µετατοπιστεί

ούτε στον x ούτε στον y, δηλαδή πακτώνεται, ενώ στην οριζόντια φόρτιση

πακτώνονται και οι τρεις κόµβοι.

5.3.3 Επιβολή φορτίσεων και αποτελέσµατα

Ακολουθεί ένα παράδειγµα εφαρµογής κάθετης φόρτισης και ένα οριζόντιας

φόρτισης στο tensegrity σύστηµα. Η επιλογή του κόµβου στον οποίο εφαρµόζεται η

φόρτιση είναι τυχαία. Τα αποτελέσµατα που µας δίνονται σε καθένα από τα

παραδείγµατα αφορούν:

τις δυνάµεις αντίδρασης του συστήµατος (Reaction Solution)

τις αξονικές τάσεις και παραµορφώσεις στα δοµικά στοιχεία (Element Solution)

τις µετατοπίσεις των κόµβων (Nodal Solution)

την παραµόρφωση του συνολικού σχήµατος (Displacement)

1ο παράδειγµα: εφαρµογή κάθετης δύναµης στον κόµβο 3 Εφαρµόζουµε µια δύναµη -100Ν πάνω στον άξονα z στον κόµβο 3. Ο κόµβος 1 είναι

πακτωµένος. Οι δυνάµεις αντίδρασης που υπολογίστηκαν παρουσιάζονται στον

πίνακα 4. Παρατηρούµε ότι το πρόγραµµα υπολογίζει τη συνολική αντίδραση

ακριβώς ίση και αντίθετη µε την επιβαλλόµενη φόρτιση. Στα σχήµατα 26-28

παρουσιάζονται οι δυνάµεις, οι τάσεις και οι παραµορφώσεις όλων των στοιχείων.

Παρατηρούµε ότι οι δυνάµεις στις ράβδους είναι αρνητικές ενώ στους τένοντες

θετικές.

Page 86: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

86

Οι µετατοπίσεις στους τρεις άξονες φαίνονται στον πίνακα 6, ενώ στον πίνακα 7

παρουσιάζονται οι παραµορφωµένες γεωµετρίες σε δύο όψεις µεγεθυσµένες επί 10..

κόµβος FX FY FZ

1 0 0 -24,45

3 0 0 91,07

5 0 0 33,38

άθροισµα 0 0 100,0

Πίνακας 4. ∆υνάµεις αντίδρασης του συστήµατος σε κάθετη φόρτιση 100Ν

Σχήµα 26. Γραφική απεικόνιση δυνάµεων

Page 87: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

87

Σχήµα 27. Γραφική απεικόνιση τάσεων

Σχήµα 28. Γραφική απεικόνιση παραµορφώσεων

Page 88: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

88

Πίνακας 6. DOF solution για F=-100N, άξονας z, κόµβος 3

Page 89: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

89

Πίνακας 7. Γραφική απεικόνιση µετατόπισης για φόρτιση στον άξονα z

2ο παράδειγµα: εφαρµογή οριζόντιας δύναµης στον κόµβο 3 Εφαρµόζουµε µια δύναµη -100Ν πάνω στον άξονα x στον κόµβο 3. Όλοι οι κόµβοι

της κάτω βάσης (1, 4, 5) είναι πακτωµένοι. Στα επόµενα σχήµατα και πίνακες

παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα της ανάλυσης. Οι ίδιες παρατηρήσεις µε το 1ο

παράδειγµα µπορούν να γίνουν. Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι το µοντέλο µπορεί να

προβλέψει πότε µια δοµή είναι tensegrity µε τη λογική ότι αυτο-ισορροπείται. Αν

αφαιρέσουµε συγκεκριµένους τένοντες, το µοντέλο δεν µπορεί να επιλυθεί αφού

υπολογίζονται πρακτικά άπειρες µετατοπίσεις µε την εφαρµογή της δύναµης.

Αφαιρώντας ή προσθέτοντας δοµικά στοιχεία µπορούµε να βρούµε τον ελάχιστο

απαιτούµενο αριθµό τους και να ελαχιστοποιήσουµε τη µάζα του συστήµατος.

κόµβος FX FY FZ

1 -684,44 -33,333 -200,00

3 392,22 -662,22 100,00

5 392,22 695,56 100,00

άθροισµα 100,0 0 0 Πίνακας 8. ∆υνάµεις αντίδρασης του συστήµατος σε οριζόντια φόρτιση 10Ν

Page 90: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

90

Σχήµα 29. Γραφική απεικόνιση δυνάµεων

Σχήµα 30 Γραφική απεικόνιση τάσεων

Page 91: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

91

Σχήµα 31. Γραφική απεικόνιση παραµορφώσεων

Page 92: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

92

Πίνακας 9. DOF solution για F=-100N, άξονας x, κόµβος 3

Page 93: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

93

Πίνακας 10. Γραφική απεικόνιση µετατοπίσεων για φόρτιση στον άξονα x

Page 94: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

94

6 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ TENSEGRITY

6.1 Εισαγωγή

Παρόλο που η tensegrity δοµή προήλθε από τον χώρο της τέχνης, πολύ σύντοµα

µελετήθηκε επιστηµονικά, αναπτύχθηκε και εφαρµόστηκε σε διάφορα άλλα πεδία. Ο

πρώτος κλάδος που ασχολήθηκε εκτεταµένα µε τις tensegrity δοµές ήταν αυτός των

Πολιτικών Μηχανικών (Civil Engineering) και η Αρχιτεκτονική [30-36], ενώ

ευρύ φάσµα µελέτης τους πλέον είναι το πεδίο της Αεροδιαστηµικής (space

engineering), λόγω της ικανότητάς τους να αναδιπλώνονται και να αναπτύσσονται

[21, 37]. Έτσι ξεκίνησε η ευρεία ανάπτυξή τους και εδραίωσή τους στην κατηγορία

των αναδιπλούµενων δοµών (deployable structures), όπου και συναντάµε πολλές

εφαρµογές [5, 21, 26, 38-39]. Τέλος, από τις αρχές περίπου της δεκαετίας του ’90, οι

tensegrity δοµές έχουν αρχίσει, σε πειραµατικό στάδιο, να βρίσκουν πεδίο εφαρµογής

στην κατηγορία των ενεργών δοµών (active structures), δηλαδή δοµών που χάρη

στις φυσικές ιδιότητές τους και στη δυνατότητα να αλλάζουν το σχήµα τους,

υποστηρίζουν αυτόµατο (ενεργό) έλεγχο.[40-43]

6.2 Αρχιτεκτονική και Civil Engineering

Στο πεδίο αυτό ποικίλες εφαρµογές και πολλά, διαφορετικά συστήµατα έχουν

αναπτυχθεί. Οι βασικότερες εφαρµογές που έχουν υλοποιηθεί αφορούν θολωτές

κατασκευές, οροφές και δικτυώµατα, αψίδες και υπόστεγα, ενώ ακολουθούν

αισθητικής κυρίως σηµασίας κατασκευές, και µόνο σε λίγες περιπτώσεις πρακτικές

από ενεργειακής άποψης (πύργοι και πυλώνες).

Page 95: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

95

Tower of Rostock (Γερµανία) Dubai Tower

Εικόνα 10. Πύργοι tensegrity

Kurilpa Bridge, Brisbane – Australia

Εικόνα 11. Πεζογέφυρα

Page 96: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

96

6.2.1 Θόλοι (domes)

Ο θόλος είναι ένα δοµικό σύστηµα που αποτελείται από µία ή περισσότερες στρώσεις

στοιχείων τα οποία σχηµατίζουν τόξα προς κάθε κατεύθυνση. Σχηµατικά, η επιφάνεια

ενός θόλου µοιάζει σαν ένα τµήµα µιας σφαίρας, οπότε είναι ηµισφαιρική, ωστόσο

µπορεί να είναι και ελλειψοειδής ή παραβολοειδής [35].

Για να κατανοήσουµε πώς µια δοµή tensegrity µπορεί να εφαρµοστεί σε έναν θόλο,

ας θεωρήσουµε ένα νοητό σφαιρικό πολύεδρο εγγεγραµµένο σε µια νοητή σφαίρα. Η

τοποθέτηση των ράβδων και των τενόντων είναι τέτοια που µοιάζουν να σχηµατίζουν

επιφάνειες µέσα στα όρια µιας νοητής σφαίρας. Κανένα στοιχείο της δοµής δεν είναι

καµπύλο, ούτε οι ράβδοι και φυσικά όχι οι τένοντες. Η αίσθηση της καµπυλότητας

προκύπτει όταν η κατασκευή είναι ολοκληρωµένη. Η ύπαρξη της καµπυλότητας

αποτελεί σηµαντικό παράγοντα για την ακαµψία των µελών και την ευστάθεια του

συστήµατος, καθώς σε όλο το εύρος της δοµής ασκούνται ισχυρές και αντίθετες

δυνάµεις που επιβάλλουν την ισορροπία του όλου συστήµατος.

Πρώτος ο Fuller πρότεινε και κατασκεύασε σε πειραµατικό στάδιο tensegrity

θολωτές κατασκευές. Θόλοι τέτοιου είδους χρησιµοποιούνται κυρίως για

διακοσµητικούς λόγους (φαντασµαγορικές οροφές σταδίων) , είτε πρακτικά για την

οριοθέτηση χώρου (καταλύµατα, αντίσκηνα υψηλών προδιαγραφών κλπ). Πρακτικά,

η πλειοψηφία των εφαρµογών tensegrity σε θόλους ανήκει στην κατηγορία της false

tensegrity λόγω της µεγάλης τους κλίµακας. Οι αναφορές εφαρµογών που

ακολουθούν αφορούν περιπτώσεις false tensegrity.

Ο Anthony Pugh, το 1976 πρότεινε την κατασκευή ενός θόλου όπου τα εφελκυόµενα

τµήµατα της δοµής θα αντικαθίσταντο από ενιαίο ελαστικό ύφασµα (µεµβράνη), το

οποίο θα είχε το ρόλο της συνεχούς και πολυδιάστατης εφελκυστικής τάσης και το

οποίο θα στερεωνόταν πάνω στα άκαµπτα στοιχεία της δοµής, δηµιουργώντας έτσι

ένα ευσταθές και ενιαίο σύστηµα [3]. Αργότερα, η ιδέα αυτή θα µετεξελισσόταν στη

γνωστή σε όλους σκηνή igloo.

Page 97: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

97

Εικόνα 12. Σκηνές igloo

Ένα άλλο είδος θολωτής εφαρµογής είναι οι Cable-Domes (ή Wire Wheel Domes),

την οποία εισήγαγε το 1986 ο David Geiger, εµπνευσµένος από τον Fuller [34]. Ο

Geiger χρησιµοποίησε τις αρχές tensegrity προκειµένου να σχεδιάσει την οροφή ενός

σταδίου, η οποία θα ήταν καλυµµένη µε µεµβράνη και θα ήταν οικονοµική όσο µια

air-supported δοµή. Στην tensegrity προσέγγιση του Geiger οι τένοντες και οι ράβδοι

της οροφής εκτείνονται ακτινικά, έτσι η ροή των δυνάµεων στις τρεις διαστάσεις

απλουστεύεται. Οι φορτίσεις µεταφέρονται από έναν κεντρικό δακτύλιο που

υπόκειται σε εφελκυστικές τάσεις, στον εξωτερικό δακτύλιο που υπόκειται σε

θλιπτικές (περίµετρος της οροφής),µέσω των ακτινών (ράβδοι και τένοντες). Αυτό

που αποτελεί «υπέρβαση» στη διάταξη αυτή σε σχέση µε αυτήν του Fuller είναι ότι

µε µικρότερο αριθµό ράβδων και µε λιγότερο πολύπλοκο δικτύωµα επιτυγχάνεται

ευστάθεια και ελαφριά καµπυλότητα η οποία συνεισφέρει στην αντιµετώπιση των

εξωτερικών φορτίσεων (αέρας, βροχή, χιόνι). Ο λόγος ωστόσο για τον οποίο και αυτή

η εφαρµογή συγκαταλέγεται στις false tensegrities είναι γιατί το όριο της δοµής είναι

θλιβόµενο στέλεχος (εξωτερικός δακτύλιος).

Fuller Geiger

Εικόνα 13. Τensegrity Domes

Page 98: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

98

6.2.2 Οροφές και δικτυώµατα

Οι αναφορές σε περιπτώσεις οροφών που χρησιµοποιούν καθαρά τις αρχές της

tensegrity είναι ελάχιστες, ενώ στην πλειοψηφία τους αποτελούν υποκατηγορία των

προαναφερθεισών θολωτών κατασκευών. Στην περίπτωση που δεν ανήκουν στην

κατηγορία των θόλων, οι tensegrity οροφές περνούν στην κατηγορία των

χωροδικτυωµάτων. Τα συµβατικά χωροδικτυώµατα αποτελούνται από ένα

σύµπλεγµα κόµβων και ράβδων που δηµιουργεί δύο επάλληλα δικτυώµατα τα οποία

συνδέονται µεταξύ τους µε διαγώνιες ράβδους. Στην περίπτωση των καλωδιωτών

χωροδικτυωµάτων (όπως αναφέρονται οι tensegrity δοµές στην ελληνική

βιβλιογραφία) το σύµπλεγµα των ράβδων καθώς και η σύνδεση των επάλληλων

δικτυωµάτων διατηρείται και υποστηρίζεται µέσω της έντασης προσφέροντας

µεγάλη ευελιξία για την δηµιουργία στεγάστρων µε πολύπλοκη µορφή. Η

δυνατότητα της αναδίπλωσης, συναρµολόγησης και αποσυναρµολόγησης, η

αποτελεσµατικότητα στη διασπορά των εξωτερικών φορτίσεων σε όλο το εύρος της

δοµής, η αυξανόµενη ανάγκη για χώρους µε τον λιγότερο αριθµό υποστυλωµάτων

και µεγάλων ανοιγµάτων, καθιστά τα tensegrity συστήµατα ικανά να στεγάζουν

επιφάνειες, µικρές ή µεγάλες, παρέχοντας υψηλή πάντα αισθητική.

Εικόνα 14. Οροφή tensegrity

Page 99: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

99

6.2.3 Αψίδες και υπόστεγα

Οι αψίδες ως αρχιτεκτονικές δοµές παρουσιάζουν εξαιρετικό ενδιαφέρον, από

κατασκευαστικής, τεχνικής και αισθητικής άποψης. Εξασφαλίζουν ένα τοξωτό σχήµα

και µεγάλο πλάτος µεταξύ των δύο στηριγµάτων. Η ισορροπία της δοµής επέρχεται

µε την ύπαρξη θλιπτικών και µόνο δυνάµεων, ενώ δεν έχουµε καθόλου ένταση.

Οποιαδήποτε δύναµη εφελκυσµού, συνάφειας ή στρέψης εφαρµοστεί στα στοιχεία

µιας αψίδας, µπορεί να ταράξει την ισορροπίας της. Οι αρχές της tensegrity βρίσκουν

πρόσφορο έδαφος στην περίπτωση των αψίδων διότι αναδεικνύουν προτερήµατα

που προκύπτουν από την αναδίπλωση, τη συναρµολόγηση, τη διευθέτηση των

εξωτερικών καταπονήσεων, την αυξηµένη ανθεκτικότητα και ευστάθεια όταν υπάρχει

καµπυλότητα. Η ένταση που διέπει τη δοµή δίνει το πλεονέκτηµα στην tensegrity

αψίδα να µπορεί να υποµείνει δυνάµεις στρέψης προκειµένου να αντισταθµίζει τυχόν

εξωτερικές καταπονήσεις. Παρόλο που οι αψιδωτές µορφές ευνοούν και

υποστηρίζουν την tensegrity ελάχιστες εφαρµογές έχουν πραγµατοποιηθεί. Σύµφωνα

µε τον Motro [7], έρευνες έχουν γίνει προκειµένου να κατασκευαστεί αψίδα

tensegrity η οποία θα έχει την ικανότητα να εκτιµά τη δύναµη του αέρα, µε την

απαραίτητη προσαρµογή αισθητήρων. Επίσης, αψίδες tensegrity έχουν

κατασκευαστεί για να χρησιµοποιηθούν ως στήριξη οροφών από µεµβράνη

(ραχοκοκαλιά).

Στην κατηγορία των υπόστεγων και στεγάστρων, συναντάµε κυρίως εφαρµογές false

tensegrity λόγω του ότι, είτε έχουµε θλιβόµενα στοιχεία στο όριο της κατασκευής,

είτε η ίδια η κατασκευή δεν είναι προεντεταµένη. Η ιδιότητα της αναδίπλωσης και η

ευκολία συναρµολόγησης και αποσυναρµολόγησης καθιστά τα συστήµατα tensegrity

εφαρµόσιµα σε εφήµερες και αναδιαµορφώσιµες κατασκευές όπως είναι τα

υπόστεγα, τα αντίσκηνα κλπ. Οικείο παράδειγµα είναι οι τέντες των τσίρκων και οι

σκηνές igloo για κάµπινγκ. Μεγαλύτερης κλίµακας κατασκευές τείνουν να

ενσωµατωθούν στην κατηγορία των Cable-Domes που αναφέρονται παραπάνω,

ωστόσο γνωστό παράδειγµα αποτελεί η Millennium Dome στο Λονδίνο.

Page 100: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

100

6.2.4 Πυλώνες και πύργοι

Όταν αναφερόµαστε σε «πύργους tensegrity, εννοούµε κυρίως κατασκευές

αισθητικής, καλλιτεχνικής σηµασίας και όχι τόσο σε κατασκευές που έχουν πρακτική

και πραγµατικά χρήσιµη εφαρµογή σε κάποιο πεδίο. Ο πρώτος και κύριος

συντελεστής στην ανάπτυξη των tensegrity sculptures είναι ο Snelson. Ήδη από τα

πρώτα χρόνια που οι αρχές της tensegrity δοµής είχαν ανακαλυφθεί και για τα

επόµενα 40 χρόνια, ο Snelson δηµιούργησε µια πληθώρα κατασκευών τέτοιου

είδους: 4-way tower(1963),Tetra Tower (2001),Needle Tower(1968),Needle Tower II

(1969), Penta Tower (2003) [6].

Tetra Tower Needle Tower Penta Tower

Εικόνα 15. Kenneth Snelson’s Towers

Παρόλο που ήταν σχεδόν σίγουρος για το ανέφικτο της εφαρµογής των εν λόγω

κατασκευών στην επίλυση υπαρκτών δυσκολιών σε διάφορα αρχιτεκτονικά πεδία, τα

σχέδιά του διέπονταν από εκτεταµένη µελέτη των µηχανικών ιδιοτήτων τους και των

πιθανών εφαρµογών τους [44].

Page 101: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

101

Ωστόσο, παρακάτω αναφέρονται µερικά παραδείγµατα στα οποία πλέον, οι tensegrity

towers, µέσα από τη γενικότερη εξέλιξη και ανάπτυξη της βασικής δοµής, και κυρίως

λόγω του ότι η ανέγερσή τους απαιτεί µικρά ποσά ενέργειας συγκριτικά µε άλλα

δοµικά συστήµατα, έχουν βρει εφαρµογή:

1. Αγωγοί φωτισµού: λόγω του ότι δεν απαιτείται απόλυτη στατικότητα και

ακινησία στους αγωγούς, αλλά υποµένουν ορισµένες µικρές κινήσεις ή

ταλαντώσεις, ένα tensegrity σύστηµα εξυπηρετεί ικανοποιητικά το πεδίο

αυτό.

2. Επικοινωνίες: σε συνθήκες όπου το όριο µιας εκτόπισης δεν είναι αυστηρό,

µπορούν να χρησιµοποιηθούν tensegrity towers προκειµένου να στηρίξουν

κεραίες, δέκτες, ποµπούς (ραδιοφωνικούς, τηλεοπτικούς, κινητής τηλεφωνίας)

κλπ.

3. Αιολικά πάρκα: παρόλο που µοιάζει ανέφικτο, έχουν γίνει διάφορες µελέτες

σχετικά µε την τοποθέτηση στροβιλοφόρων κινητήρων(τουρµπίνες) πάνω σε

βάσεις που έχουν µορφή tensegrity. Το µικρό βάρος της γεννήτριας

συνεισφέρει στη µείωση των ενεργειακών αποβλήτων τέτοιων

εγκαταστάσεων.

6.2.5 Σύνοψη

Η εφαρµογή tensegrity συστηµάτων σε θολωτές κατασκευές είναι πιο διαδεδοµένη σε

σχέση µε τα υπόλοιπα παραδείγµατα εφαρµογών που προαναφέρθηκαν στο πεδίο

αυτό. Αυτό συµβαίνει γιατί ο θόλος σαν σχήµα πληροί προϋποθέσεις στις οποίες τα

tensegrity συστήµατα µπορούν εκ φύσεως να προσαρµοστούν. Οι θόλοι γενικότερα

εσωκλείουν πολύ ελεύθερο χώρο δίχως την ύπαρξη υποστηριγµάτων, διατηρώντας

ταυτόχρονα την ισορροπία τους και υψηλή αντοχή σε εξωτερικές φορτίσεις όπως

είναι το βάρος από χιόνι, η δύναµη του αέρα, σεισµικές δονήσεις, µεταβολές της

θερµοκρασίας, καθώς και φορτίσεις κατά την ανέγερσή τους. Η αποδεδειγµένη

αντοχή και ανθεκτικότητα των tensegrity συστηµάτων τα καθιστά εφαρµόσιµα σε

θόλους και µάλιστα µε πολύ εντυπωσιακά αποτελέσµατα. Ωστόσο, το εύρος των

εφαρµογών της tensegrity δοµής είναι µικρό όσον αφορά την ποικιλία, και

περιορίζεται κυρίως σε κατασκευές που έχουν ρόλο προστατευτικό ή υποστηρικτικό.

Page 102: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

102

1. Κατασκευές µεγάλης κλίµακας που σκοπό έχουν την προστασία

πεπερασµένων χώρων όπως αρχαιολογικοί χώροι, γήπεδα, καλλιέργειες κλπ.

2. Αντίσκηνα και λοιπές λυόµενες κατασκευές που παρέχουν εφήµερη διαµονή ή

προστασία.

3. ∆οµές που λειτουργούν ως πλαίσια για περιβαλλοντικό έλεγχο ή µεταφορά

ενέργειας.

4. Αντισεισµικές κατασκευές (κτίρια, γέφυρες κλπ). Υπερδοµές για

διαστηµικούς σταθµούς.

5. Υπόστεγα και προστατευτικές κατασκευές (κιόσκια) προκειµένου να

στεγάζονται εκθέσεις, παραστάσεις και διάφορα πολιτιστικά δρώµενα, οµιλίες

κλπ.

6. Προστατευτικά (ηλιακά) διαφράγµατα σε ζωολογικούς κήπους και πάρκα.

7. Κατασκευές που κατακρατούν το βρόχινο νερό για πολλαπλές χρήσεις.

8. Πλέγµατα και πλαίσια για αναρριχητικά φυτά.

9. Οποιοδήποτε δοµικό σύστηµα, µικρής ή µεγάλης κλίµακας, που απαιτεί από

τη δοµή να αναδείξει την ιδιότητά της να αναδιπλώνεται.

6.3 Αεροδιαστηµική

Ο βασικός και κύριος λόγος για την εφαρµογή tensegrity συστηµάτων στο πεδίο του

Space Engineering, εκτός του µικρού τους βάρους, είναι η δυνατότητα αναδίπλωσης

και εφαρµογής αυτόµατου (ενεργού) ελέγχου. Άλλωστε, η επιστηµονική έρευνα πάνω

στο θέµα των αναδιπλούµενων/αναπτυσσόµενων δοµών σχετίζεται άµεσα µε τη

χρήση τους στο ∆ιάστηµα, όπου εκεί απαιτούνται µεγάλες δοµές για τις διαστηµικές

εγκαταστάσεις, οι οποίες δοµές όµως, ταυτόχρονα πρέπει να καταλαµβάνουν το

λιγότερο δυνατό χώρο κατά τη µεταφορά τους [39].

Τις τελευταίες τρεις δεκαετίες έχει σηµειωθεί σηµαντική πρόοδος στην έρευνα

σχετικά µε τη χρησιµοποιούµενη τεχνολογία στο ∆ιάστηµα. Παράλληλα

χρονολογικά, η ανακάλυψη των tensegrity δοµών ευνόησε την έρευνα αυτή, και

συντέλεσε στην ανάπτυξη καινοτοµιών. Το χαµηλό τους βάρος, η συναρµολόγηση

και αποσυναρµολόγηση, η αναδίπλωση που επιτυγχάνεται είτε µε µικρά ποσά

ενέργειας είτε εκούσια από την ίδια τη δοµή βάσει προγραµµατισµού (self-

Page 103: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

103

deployment) και τέλος, το γεγονός ότι η ευστάθειά τους δεν εξαρτάται από τη δύναµη

της βαρύτητας, καθιστούν τις tensegrity δοµές αξιοποιήσιµες στον τοµέα του Space

Engineering.

Στη βιοµηχανία του ∆ιαστήµατος τρεις είναι οι βασικές κατηγορίες όπου

χρησιµοποιούνται αναδιπλούµενα/αναπτυσσόµενα συστήµατα:

ιστοί που υποστηρίζουν τις δορυφορικές κεραίες (mast antenna)

δορυφορικές κεραίες (reflector antenna)

εξαρτήµατα διαστηµοπλοίων

πίνακες ηλιακών κυττάρων (solar arrays)

Εικόνα 16. Iστοί tensegrity (Buckminster Fuller)

Σε αυτές τις κατηγορίες συστηµάτων έχουν αρχίσει πλέον να ενσωµατώνονται οι

tensegrity δοµές. Ωστόσο, η tensegrity αποτελεί ακόµα νέο δεδοµένο όσον αφορά την

τεχνολογία και ενδεχόµενα σφάλµατα σε διαστηµικές εγκαταστάσεις επιφέρουν

τεράστιο οικονοµικό κόστος και είναι σχεδόν ανέφικτο να διορθωθούν. Μέχρι

σήµερα, εφαρµογές tensegrity συστηµάτων έχουν πραγµατοποιηθεί ανήκουν στην

κατηγορία των αναδιπλούµενων ιστών των δορυφορικών κεραιών και σε επιµέρους

τµήµατα διαστηµοπλοίων όπου είναι απαραίτητη η ύπαρξη εισελκόµενων

προσαρτηµάτων [39].

Page 104: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

104

Εικόνα 17. Deployable reflector antenna

6.4 Αναδιπλούµενες/Αναπτυσσόµενες δοµές (deployable

structures)

Το πεδίο µε το ευρύτερο φάσµα εφαρµογής των tensegrity συστηµάτων είναι αυτό

των αναδιπλούµενων/αναπτυσσόµενων δοµών. ∆οµές µε την ιδιότητα της

αναδίπλωσης µελετώνται και αναπτύσσονται ευρέως διότι τα πλεονεκτήµατά τους

είναι πολλαπλά και η εφαρµογή τους εκτείνεται σε πολλούς και διαφορετικούς τοµείς

: από το ∆ιάστηµα και την αεροναυπηγική, στη ροµποτική και τη µηχανική, την

Αρχιτεκτονική, τη διακοσµητική και την τέχνη.

Οι συµβατικές αναδιπλούµενες δοµές που έως τώρα έχουν χρησιµοποιηθεί,

αναµφισβήτητα «πάσχουν» σε ορισµένα κατασκευαστικά είτε λειτουργικά ζητήµατα.

Η ύπαρξη πολύπλοκων µηχανισµών, αυστηρών περιορισµών και φυσικών

δυσκολιών, πτυσσόµενων ή πρόσθετων/ αφαιρούµενων µελών, είναι µερικά από τα

ζητήµατα αυτά. Μια πολλά υποσχόµενη δοµή που ελαττώνει κατά πολύ αυτές τις

δυσχέρειες, είναι η tensegrity δοµή.

Οι δοµές tensegrity έχουν χαρακτηριστικά που τις καθιστούν ικανές όχι µόνο να

αναδιπλώνονται µε επιτυχία (επιθυµητό αποτέλεσµα µε την ελάχιστη δυνατή ενέργεια

και τον ελάχιστο δυνατό χρόνο), αλλά και να ευνοούν αφενός την τελειοποίηση νέων

µεθόδων αναδίπλωσης και, αφετέρου, την εφαρµογή αναδιπλούµενων συστηµάτων

εκεί που παλαιότερα ήταν δύσκολο έως ανέφικτο. Η ιδιότητα της αναδίπλωσης

οφείλεται στο γεγονός ότι αποτελούνται από δύο είδη στοιχείων που

Page 105: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

105

αντιπροσωπεύουν αντίθετες δυνάµεις, δεν υπάρχει µηχανολογική σύνδεση µεταξύ

τενόντων και ράβδων και στο ότι συγκροτούν ένα ισορροπούµενο σύστηµα χωρίς την

εφαρµογή εξωτερικών δυνάµεων, αρκεί τα ελαστικά µέλη να είναι προεντεταµένα. Το

γεγονός ότι µπορούν να υποστούν µεγάλες σχηµατικές παραµορφώσεις διατηρώντας

την ισορροπία τους σε κάθε νέα κατάσταση οδηγεί στην αναζήτηση ολοένα και πιο

εξελιγµένων µεθόδων αναδίπλωσης και φυσικά στην ολοένα αυξανόµενη ζήτησή

τους σε συστήµατα όπου η αναδίπλωση αποτελεί ταυτόχρονα απαίτηση και

πλεονέκτηµα.

Η χρήση των tensegrity δοµών ως αναδιπλούµενα συστήµατα εντοπίζεται σε όλα τα

πεδία εφαρµογής τους:

• Αρχιτεκτονική και Civil Engineering

• Βιοµηχανικό σχεδιασµό

• Space Engineering

• Έλεγχος σχήµατος

Μάλιστα, η ιδιότητα της αναδίπλωσης των tensegrity δοµών είναι τόσο σηµαντική

στην πράξη συγκριτικά µε τις υπόλοιπες ιδιότητές τους, που µπορούµε να πούµε πως

αποτελεί κύριο λόγο για την χρήση τους στα πεδία εφαρµογής τους.

Στην Αρχιτεκτονική η ανάγκη για αναδίπλωση προκύπτει συχνά, ιδιαίτερα σε

εφήµερες και µεταφέρσιµες κατασκευές. Το µικρό βάρος των tensegrity δοµών και η

ικανότητα διατήρησης ευστάθειας και ισορροπίας σε αρχικό, ενδιάµεσο και τελικό

σχήµα, τις καθιστούν σταδιακά περιζήτητες. Είναι γεγονός πως σε µεγάλης κλίµακας

κατασκευές, όπως οι οροφές σταδίων και µεγάλου όγκου θόλοι που αναφέραµε

παραπάνω, η αναδίπλωση αποτελεί πολύπλοκο ζήτηµα ή δεν χρησιµεύει καν. Εδώ

λοιπόν, τα αναδιπλούµενα συστήµατα εντοπίζονται σε στέγαστρα και υπόστεγα,

στηρίγµατα οροφών, σκηνές camping, προσαρµοζόµενα δικτυώµατα, κολώνες και

έργα τέχνης.

Στο βιοµηχανικό σχεδιασµό τα αναδιπλούµενα συστήµατα γνωρίζουν µεγάλη

άνθηση. Η ολοένα και µεγαλύτερη ανάγκη εξοικονόµησης χώρου και

µεταφερσιµότητας στρέφει την παραγωγή στο σχεδιασµό συστηµάτων που

Page 106: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

106

ικανοποιούν τις ανάγκες αυτές. Το πλεονέκτηµα των tensegrity συστηµάτων στο

πεδίο αυτό είναι ότι εκµεταλλεύονται τα υλικά από τα οποία είναι κατασκευασµένα

µε οικονοµικό τρόπο, µε την έννοια ότι µεγάλη αντοχή και ανθεκτικότητα µπορεί να

επιτευχθεί µε µικρή ποσότητα υλικού και δίχως πολυδάπανες κατασκευαστικές

διαδικασίες. Έπιπλα, κατασκευές εσωτερικών και εξωτερικών χώρων, οχήµατα,

αντικείµενα της καθηµερινής ζωής, φωτιστικά, παιχνίδια, και πολλά άλλα είναι

κάποια παραδείγµατα όπου υποστηρίζουν tensegrity συστήµατα και τις ιδιότητές

τους, είτε για πρακτικούς είτε για αισθητικούς λόγους.

Εικόνα 18. Tensegrity concepts

Page 107: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

107

Στο Space Engineering τα τελευταία 10 χρόνια έχουν ενταθεί οι έρευνες σχετικά µε

τη δυνατότητα εφαρµογής tensegrity όπου απαιτείται χρήση αναδιπλούµενων και

αναπτυσσόµενων κατασκευών. Το κυριότερο πεδίο µελέτης, ανάπτυξης και

εφαρµογής τέτοιων συστηµάτων γενικότερα, είναι το ∆ιάστηµα. Εκεί, οι περιορισµοί

όγκου και βάρους είναι αυστηροί, τα σφάλµατα δεν είναι επανορθώσιµα και ακριβής

προγραµµατισµός απαιτείται. Τα διαστηµόπλοια κατά την εκτόξευση πρέπει να έχουν

άλλη µορφή από αυτήν που διατηρούν όταν βρίσκονται σε τροχιά στο ∆ιάστηµα.

Επίσης, µηχανισµοί και ροµπότ πρέπει να καταλαµβάνουν όσο το δυνατόν µικρότερο

χώρο µέσα στα διαστηµόπλοια, αλλά ταυτόχρονα να µπορούν να ανακτήσουν τον

απαραίτητο όγκο και σχήµα τους ώστε να εκτελέσουν τις λειτουργίες τους στο

∆ιάστηµα. Τα πλεονεκτήµατα των tensegrity δοµών στις γήινες κλίµακες, το γεγονός

ότι η ευστάθειά τους δεν εξαρτάται από τη βαρύτητα και η αποθηκευµένη ενέργεια

που από τη φύση τους έχουν (προένταση), έστρεψαν την έρευνα στην ανάπτυξη και

προσαρµογή τους για εφαρµογή στο ∆ιάστηµα. Μια tensegrity δοµή µπορεί να έχει

πολλές ενδιάµεσες ισορροπούµενες µορφές πλην της αρχικής και της τελικής.

Παράλληλα, µε πολύ µικρά ποσά ενέργειας, λόγω της υπάρχουσας προέντασης, η

δοµή µπορεί να αναδιπλωθεί δίχως κάποιος εξωτερικός µηχανισµός να ενεργοποιήσει

τη διαδικασία αυτή. Λόγω των εντεταµένων καλωδίων η προσαρµογή αισθητήρων

και ενεργοποιητών κίνησης (actuators) είναι εφικτή και αποτελεσµατική. Τέλος, το

µικρό βάρος και η πολυµορφία των tensegrity δοµών συντελούν στο συνολικό

ενδιαφέρον και την αυξανόµενη επιστηµονική έρευνα που αφορά την εφαρµογή της

δοµής σε διαστηµικές εγκαταστάσεις και διαστηµόπλοια και τα εξαρτήµατά τους.

Όπως έχουµε ήδη προαναφέρει, δορυφορικές κεραίες, ιστοί στήριξης, ηλιακοί

πίνακες και εξαρτήµατα διαστηµικών οχηµάτων, είναι µερικά παραδείγµατα

εφαρµογών.

Έλεγχος Σχήµατος σε µια δοµή πραγµατοποιείται όταν µπορεί να σχεδιαστεί η

πορεία µετασχηµατισµού της και να προγραµµατιστεί η κίνηση ενός σηµείου από µια

θέση σε κάποια άλλη. Λόγω της ευέλικτης αναδίπλωσης και ανάπτυξης των

tensegrity συστηµάτων, διάφορες προσεγγίσεις ελέγχου σχήµατος εστίασαν σε αυτήν.

Εδώ, η αναδίπλωση µεταφράζεται σε αλλαγή σχήµατος. Η ένταση που διέπει τα

καλώδια προσφέρει εξαιρετικό πεδίο εφαρµογής αισθητήρων και ενεργοποιητών

κίνησης (ενεργή αναδίπλωση). Από τη στιγµή που µόνο µερικά µικρά ποσά ενέργειας

είναι ικανά να προκαλέσουν αλλαγές σχήµατος, οι tensegrity δοµές αποτελούν

Page 108: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

108

πρόσφορο έδαφος για εφαρµογή αυτόµατου ελέγχου σχήµατος και στον τοµέα αυτό

παρουσιάζουν εξαιρετικό ενδιαφέρον[43]. Εφαρµογές tensegrity που να

ενσωµατώνουν έλεγχο σχήµατος εντοπίζονται στην αεροναυπηγική και την

αεροδιαστηµική, σε περιπτώσεις που σχετίζονται άµεσα µε αναδίπλωση.

6.5 Ενεργές δοµές (active structures)-Ανταποκρινόµενες δοµές

(responsive)

Καλούµε ενεργή δοµή µια οποιαδήποτε δοµή µπορεί να µεταβάλλει το σχήµα ή τις

ιδιότητές της ως ανταπόκριση σε αλλαγές που λαµβάνουν χώρα στο εσωτερικό και

εξωτερικό της περιβάλλον. Για το λόγο αυτό, τις ονοµάζουµε και ανταποκρινόµενες

δοµές. Οι ενεργές δοµές χαρακτηρίζονται από γνωρίσµατα και ιδιότητες που

διαφέρουν από τις παραδοσιακές, συµβατικές δοµές. Το κυριότερο χαρακτηριστικό

τους είναι ότι δέχονται ως είσοδο κάποια κίνηση και κάποια δύναµη (ενέργεια),

έξοδος της οποίας είναι η αντίδραση του συστήµατος. Η αντίδραση αυτή έχει χρονική

διάρκεια (απόσβεση παλµικών κινήσεων, απορρόφηση ενέργειας κλπ) και επιθυµητό

αποτέλεσµα είναι η απόκτηση νέας ευσταθούς και ισορροπηµένης κατάστασης, ή µια

πληροφορία για την ενεργειακή µεταβολή της δυναµικής κατάστασης. Λόγω της

µικρής ποσότητας ενέργειας που απαιτείται ώστε να αλλάξει το σχήµα ενός tensegrity

συστήµατος, καθώς και η ύπαρξη της προέντασης που καθιστά τους τένοντες

άριστους αισθητήρες, οι tensegrities εµφανίζουν σηµαντικό πλεονέκτηµα ως προς τη

δυνατότητα εφαρµογής ενεργού ελέγχου [45]. Η στατική και κινηµατική

απροσδιοριστία τους ωστόσο αποτελεί µειονέκτηµα το οποίο καθυστέρησε τη στροφή

της µελέτης των tensegrities στον τοµέα αυτό, κι έτσι, δεν είναι παρά από τα µέσα της

δεκαετίας του ’90 που υπάρχει έρευνα πάνω στο ζήτηµα του ενεργού ελέγχου.

Μια ενεργής δοµή υφίσταται παράλληλα µε αυτόµατο έλεγχο και διαθέτει τρία

ακέραια στοιχεία που αλληλεπιδρούν µεταξύ τους. Αυτά είναι:

Οι αισθητήρες (sensors) : εντοπίζουν την φόρτιση και στέλνουν την απαραίτητη

πληροφορία στον επεξεργαστή

Page 109: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

109

Ένας επεξεργαστής (processor) : βάσει της πληροφορίας που δέχεται από τους

αισθητήρες υποδεικνύει συγκεκριµένης ενέργειας απόκριση στους µηχανισµούς

κίνησης.

Οι µηχανισµοί κίνησης/ενεργοποιητές (actuators) : εκτελούν τις εντολές που

δέχονται από τον επεξεργαστή.

Στις tensegrity δοµές οι προεντεταµένοι τένοντες λειτουργούν άριστα ως

ηλεκτρονικοί αισθητήρες, αφού αυτός είναι ο φυσικός τους ρόλος που διατηρεί τη

δοµή σε ισορροπία. Παράλληλα, οι ράβδοι µπορούν να ενσωµατώσουν µηχανισµούς

κίνησης οι οποίοι στην πλειοψηφία τους βάσει της βιβλιογραφίας αφορούν

µηχανισµούς που αυξοµειώνουν το µήκος των τενόντων (tendon control) [26]. Ο

επεξεργαστής είναι τµήµα του συστήµατος αλλά βρίσκεται εκτός των φυσικών ορίων

της δοµής.

Η ελεγχόµενη δυναµική συµπεριφορά των tensegrity συστηµάτων αποσκοπεί στην

εφαρµογή τους ως συστήµατα ανίχνευσης και απορρόφησης κραδασµών

(αντισεισµικές κατασκευές), αναδιπλούµενα και αναπτυσσόµενα συστήµατα δίχως

ανθρώπινη παρέµβαση (αεροδιαστηµικές εφαρµογές).

Page 110: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

110

7 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

Στα πλαίσια της παρούσας διπλωµατικής εργασίας έγινε εκτενής έρευνα και ανάλυση

πάνω στα καινοτόµα tensegrity συστήµατα. Τα συµπεράσµατα αυτής της µελέτης

είναι τα ακόλουθα:

Αν και πρωτοεµφανίστηκαν στο χώρο της τέχνης, πολύ σύντοµα τα

εντυπωσιακά συστήµατα αιωρούµενων ράβδων κέρδισαν το ενδιαφέρον των

µηχανικών σε βαθµό που να µελετηθούν και να εξελιχθούν ως µια νέα

τεχνολογική εφεύρεση. Η απόκτηση και διατήρηση ισορροπίας, ακαµψίας και

δοµικής ακεραιότητας µέσω εντεταµένων τενόντων ανέδειξαν ιδιότητες που

καθιστούν τα tensegrity συστήµατα κατάλληλα για εφαρµογές αναδίπλωσης και

αυτόµατου ελέγχου µε µικρά ποσά ενέργειας, τοµέας στον οποίο οι

κατασκευαστικές βιοµηχανίες στρέφουν ολοένα περισσότερο το ενδιαφέρον

τους.

Η αντίληψη της γεωµετρίας του τρισδιάστατου χώρου και η σχεδίαση

τρισδιάστατων µοντέλων σε Η/Υ είναι ένα απαραίτητο εργαλείο για την

κατανόηση της µορφής, της γεωµετρίας και της κίνησης των πολύπλοκων

αυτών δοµών.

Όσον αφορά τα χαρακτηριστικά µεγέθη ενός tensegrity, το πρόβληµα του

προσδιορισµού τους δεν είναι αµιγώς γεωµετρικό: η µορφή του προκύπτει από

τη στατική και δυναµική ισορροπία ράβδων-τενόντων. Εποµένως, υπάρχει

συνέργεια γεωµετρικών µεγεθών και δυνάµεων. Οι εφελκυσµοί στους τένοντες

λόγω προέντασης και οι θλίψεις στις ράβδους επηρεάζουν τη γεωµετρία και η

γεωµετρία επηρεάζεται και εξαρτάται από τις δυνάµεις.

Η στατική και δυναµική ανάλυση των συστηµάτων tensegrity µπορεί να

πραγµατοποιηθεί χρησιµοποιώντας κατάλληλα λογισµικά πακέτα, όπως τα

Page 111: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

111

προγράµµατα πεπερασµένων στοιχείων. Στη διπλωµατική εξετάστηκε η

δυνατότητα στατικής ανάλυσης ενός τυπικού τριγωνικού tensegrity πρίσµατος.

Η ανάλυση κατέστη δυνατή χρησιµοποιώντας κατάλληλα στοιχεία για την

µοντελοποίηση των ράβδων και των τενόντων και υπολογίστηκαν οι

παραµορφώσεις και οι δυνάµεις της κατασκευής.

Η σχεδιαστική διαδικασία και η επιλογή µεθόδου για τη µοντελοποίηση των

tensegrity συστηµάτων αποτελεί ιδιαίτερη περίπτωση σχεδιασµού εφελκυστικής

δοµής και είναι ένας τοµέας που εξελίσσεται και ενισχύεται συνεχώς µε νέες

τεχνολογίες και λογισµικά. Αυτό σηµαίνει πως όσο η τεχνολογία και η

επιστήµη, τόσο της Εφαρµοσµένης Μηχανικής όσο και των υλικών προχωράει,

οι µέθοδοι σχεδιασµού και µοντελοποίησης θα βελτιώνονται και κατ’ επέκταση

οι εφαρµογές θα εισχωρήσουν σε περισσότερες και πολυπλοκότερες

κατασκευές.

Ως κατασκευές δηµιουργούνται από βιοµηχανικά υλικά (µεταλλικοί σωλήνες,

συρµατόσχοινα και λοιπά εξαρτήµατα), ενώ απαιτούνται ελκυστήρες για κάθε

τένοντα, αφού καθένας από αυτούς πρέπει να είναι µόνιµα τανυσµένος.

Προσοχή θα πρέπει να δοθεί στους κόµβους· σκόπιµο θα ήταν να σχεδιαστεί

ειδική κεφαλή που θα προσαρτάται σταθερά στις ράβδους και θα επιτρέπει

εύκολη αγκύρωση των τενόντων.

Η διαδικασία κατασκευής απαιτεί ακριβή προκατασκευή των δοµικών

στοιχείων και την ανάγκη βοηθητικών κατασκευών για προσωρινή διάταξη των

στοιχείων, έως ότου η κατασκευή ολοκληρωθεί και καταστεί αυτοφερόµενη.

Page 112: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

112

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1. D. S Wakefield, “Engineering analysis on tension structures: theory and practice”, Engineering Structures 21, (1999) 680-690

2. F. Gutierrez-Solana, S. Cicero, “The knowledge and its application: Materials

Engineering and Structural Integrity”, Engineering Failure Analysis, 16 (2009) 2705-2720

3. A. Pugh, “An Introduction to Tensegrity”, Berkeley: University of California

Press, 1976

4. Ι. Τζουβαδάκης, Χ. Γούσης, «Η Γεωµετρία των Tensegrity Κατασκευών», Τεχνικά Χρονικά, Νοέµβριος - ∆εκέµβριος 2008

5. R. B. Fuller, “Tensegrity”, Portfolio and Art News, No 4, 1961

6. K. D. Snelson, “Continuous tension, Discontinuous compression structures”,

United States Patent 3169611, Feb. 1965

7. R. Motro, “Tensegrity: Structural Systems for the Future”, London: Kogan Page Science

8. H. Baudriller, B. Maurin, “Form-Finding of complex Tensegrity structures:

application to cell cytoskeleton modeling” C. R. Mechanique 334 (2006) 662-668

9. D. E. Ingber, “The Architecture of Life”, Scientific American Magazine,

January 1998

10. H. Willke, “Εισαγωγή στη Συστηµική Θεωρία”, εκδόσεις Κριτική

11. C. Sultan, M. Corless, R. E. Skelton, “The Prestressability problem of Tensegrity structures: some analytical solutions”, International Journal of Solids and Structures 38, (2001) 5223-5252

12. C. Sultan, R. E. Skelton, “Tensegrity structures: Prestressability

investigation”, International Journal of Space Structures, Vol. 18, No 1 (2003)

Page 113: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

113

13. S. Tristan d’ Estrée, “Shape control in responsive structures-current reasons and challenges”, 4th World Conference on Structural control and Monitoring

14. S. Hernandez Juan, Josep M. Mirats Tur, “Tensegrity Frameworks: Static

Analysis review”, Mechanism and Machine Theory 43 (2008) 859-881

15. H. Mukarami, “Static and Dynamic Analyses of Tensegrity Structures, Part II : Quasi-static Analysis”, International Journal of Solids and Structures 38 (2001) 3615-3629

16. J. M. Mirats Tur, S. Hernandez Juan, “Tensegrity Frameworks: Dynamic

Analysis review and open problems”, Mechanism and Machine Theory, 44, (2009), 1-18

17. M. Masic, Robert E. Skelton, Philip. E, Gill, “Algebraic tensegrity Form-

Finding”, International Journal of Solids and Structures 42 (2005) 4833-4858

18. M. Pagitz, J.M. Mirats Tur, “Finite element based form-finding algorithm for tensegrity structures”, International Journal of Solids and Structures 46 (2009) 3235-3240

19. R. B. Fuller, “Tensile –integrity Structures”, United States Patent, 3063521,

November 1962

20. V. N. Motro R. “Multiparametered form-finding method: application to tensegrity systems” International Journal of Space Structures, 14, (1999) 147-154

21. G. Tibert, “Deployable Tensegrity Structures for Space Applications”,

Doctoral Thesis, Royal Institute of Technology, Department of Mechanics, 2002

22. R. Conelly, M. Terrell, “Globally rigid symmetric tensegrities” Structural

Topology, 21 (1995), 59-78

23. J.Y.Zhang, M.Ohsaki, “Adaptive Force Density for form-finding problem of tensegrity structures”, International Journal of Solids and Structures 43 (2006) 5658-5673

24. G.G.Estrada, H-J. Bungartz, C.Mohrdieck, “Numerical form-finding of

tensegrity structures”, International Journal of Solids and Structures 43 (2006) 6855-6868

25. R. Connelly, “Rigidity and Energy”, Inventiones Mathimaticae 66, (1982) 11-

33

26. C. Sultan, R. Skelton, “Deployment of Tensegrity Structures”, International Journal of Solids and Structures 40 (2003) 4637-4657

Page 114: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

114

27. C. J. Gantes, J. J. Connor, Robert D. Logcher, Y. Rosenfeld, “Structural Analysis and Design of Deployable Structures”, Computers and Structures Vol 32, No ¾ pp.661-669,

28. W. L. Chan, D. Arbelaez, F. Bossens, R. E. Skelton, “Active Vibration

Control of a three-stage tensegrity structure”, SPIE 11th Annual International Symposium on Smart Structures and Materials

29. L. Rhode-Barbarigos, H. Jain, P. Kripakaran, F. C. Smith, “Design of

Tensegrity Structures using parametric analysis and stochastic search”, Engineering with Computers (2009)

30. P. Gustavo, F. C. Rodrigues, L.E. Moreira, E.V.M. Carrasco, M.Greco,

“Mechanical Behavior of a Tensegrity Dome”, Mechanics Research Communications 35 (2008) 460-465

31. Y. Chen, “Design of Structural Mechanisms”, Doctoral Thesis, Department of

Engineering Science, University of Oxford, 2003

32. G. Castro, M.ASCE and Matthys P. Levy, F.ASCE, Proceedings of the Eighth Conference of Computing in Civil Engineering and Georgraphic Information Systems Symposium, ASCE, “Analysis of the Georgia Dome Cable Roof”, Dallas, TX, June 7-9 1992

33. D. Rastorfer, “Structural Gymnastics for the Olympics”, Archtectural Record,

Sept 1988

34. S. W. Setzer, “ Raise High the Record Roof”, Engineeirng News Record, March 16, 1992

35. ZS Makowski, “Analysis, Design and Construction of Braced Domes”,

Granada Publishing Ltd, 1984

36. C. D. Friedman, M.Safavi, “Cable Dome Patent”, Architectural Record, Aug. 1959, pp.178-181

37. R. Motro, “Tensegrity Systems for Double-layer space structures”,

Proceedings of International Conference on the Design and Construction of Non-conventional Structures (Vol. 2) (1987)

38. J. S Zhao, F. Chu, Z. J. Feng, “The Mechanism Theory and Application of

Deployable Structures based on SLE”, Mechanism anad Machine Theory, 44 (2009) pp. 324-335

39. S. D. Guest, “Deployable Structures: Concepts and Analysis”, Doctoral

Thesis, University of Cambridge, 1994

Page 115: ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - University of the Aegeanextev.syros.aegean.gr/bsc/d28.pdf2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ

115

40. M. Ganesh Raja, S. Narayanan, “Simultaneous Optimization of Structure and Control of Smart Tensegrity Structures”, Journal of Intelligent Material Systems and Structures 20 (2009) 109-117

41. J. Rieffel, F. V. Cuevas, H. Lipson, “Automated Discovery and Optimization

of large irregular Tensegrity Structures”, Computers and Structures (2008)

42. B. Adam, F. C. Smith, “Tensegrity Active Control: Multiobjective Approach”, Journal of Computing in Civil Engineering Vol. 21, No 1, (2007)

43. B. Adam, F. C. Smith, “Active Tensegrity: A control framework for an

adaptive civil-engineering structure”, Computers and Structures 86 (2008)2215-2223

44. J. Schlaich, “Tension Structures for Solar Electricity Generation”, Engineering

Structures, 21, 1999, pp 658-668

45. A. G. Rovira, J. M. Mirats Tur, “Control and simulation of a tensegrity-based mobile robot”, Robotics and Autonomous Systems 57 (2009) 526 535

Άλλες πηγές www.kennethsnelson.net

www.tensionstructures.com/specification.htm