![o µ } } } } v t r ] l } v d Z u } u Á ] Z d u µ r v v u ... · P U í î X ì u u } o v u Z Ç o ï U ñ r ] r r µ Ç o v Ì } ~ í X ò ñ P U ò X ó u u } o Á } Z u ] Æ µ](https://static.fdocument.org/doc/165x107/5f6c53a57d759449117c4206/o-v-t-r-l-v-d-z-u-u-z-d-u-r-v-v-u-p-u-x-u.jpg)
> r |:x r5 yv · 2015-09-21 · 0 y x Er x | :x r { > r |:x r5 yv H | r@r}{ r Er swx v r 4 (2) 20...
78
ΑƳƫƴƵƱƵƧƭƧƫƱ ƲΑƯƧƲƫƴƵƩƮƫƱ ƪƧƴƴΑƭƱƯƫƬƩƴ ΑƯƱƫΧƵΑ ΑƬΑƦƩƮΑƫƬΑ ƮΑƪƩƮΑƵΑ ΑƳƫƴƵƱƵƧƭƧƫƱ ƲΑƯƧƲƫƴƵƩƮƫƱ ƪƧƴƴΑƭƱƯƫƬƩƴ ΑƯƱƫΧƵΑ ΑƬΑƦƩƮΑƫƬΑ ƮΑƪƩƮΑƵΑ ΑƳƫƴƵƱƵƧƭƧƫƱ ƲΑƯƧƲƫƴƵƩƮƫƱ ƪƧƴƴΑƭƱƯƫƬƩƴ ΑƯƱƫΧƵΑ ΑƬΑƦƩƮΑƫƬΑ ƮΑƪƩƮΑƵΑ Ɂίʃος Ⱦαʌαʅʋɸʏάʃɻς Ɉʅήʅα ɀαθɻʅαʏιʃώʆ Ⱦʄασσιʃή Θɸωʌία ȵʄέɶχοʐ ȵʆόʏɻʏα 10: Αʄɶɸβʌιʃά ʃʌιʏήʌια ɸʐσʏάθɸιας
Transcript of > r |:x r5 yv · 2015-09-21 · 0 y x Er x | :x r { > r |:x r5 yv H | r@r}{ r Er swx v r 4 (2) 20...
Α
Α
Α
Α Χ Α
Α Α Α Α
Α Α Α
Α
Α
Α
Α Χ Α
Α Α Α Α
Α Α Α
Α
Α
Α
Α Χ Α
Α Α Α Α
Α Α Α
ί ος α α ά ς
ή α αθ α ι ώ
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ό α 10: Α β ι ά ι ή ια σ άθ ιας
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
ο α ό αι ι ό ι ό ό ι αι σ ά ι ς χ ήσ ς Creative Commons.
ια αι ι ό ι ό, ό ως ι ό ς, ο ό ι αι σ ά ο ύ ο ά ιας χ ήσ ς, ά ια χ ήσ ς α αφέ αι
ώς.
Ά ι ς Χ ήσ ς
2
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
ο α ό αι ι ό ι ό έχ ι α α χθ ί σ α αίσια ο αι ι ού έ ο ο ι άσ ο α.
ο έ ο «Α οι ά Α α αϊ ά αθή α α σ ο Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο σσα ο ί ς» έχ ι χ α ο ο ήσ ι ό ο α α ια ό φωσ ο αι ι ού ι ού.
ο έ ο ο οι ί αι σ ο αίσιο ο ιχ ι σια ού Π ο ά α ος « αί σ αι ια ίο άθ σ » αι σ χ α ο ο ί αι α ό ω αϊ ή Έ ωσ ω αϊ ό
οι ω ι ό α ίο αι α ό θ ι ούς ό ο ς.
Χ α ο ό σ
3
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Π ι χό α ό ας
ι ή ιο σ άθ ιας Routh-Hurwitz.
ι ή ιο σ άθ ιας Lienard – Chipart.
ια ιαφο ι ή οχή ο ι ίο Routh.
ώ α Kharitonov.
4
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
ο οί ό ας
Πα ο σίασ α β ι ώ ι ίω σ άθ ιας, σ α ο οία ί αι α α αί ύ σ ω ι ώ ός
ο ω ύ ο ο ι έ ο α α οφα θού ια ιοχή σ ο οία β ίσ ο αι.
έ ιασ α ι ώ ο ω ύ ω αι ί σ ω α α ά ω ι ίω .
5
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Edward John Routh (1831–1907)
6
Edward John Routh (1831–1907)
ι ό α 1
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
1 2s b s b 2
1 2 1 2b b b b s s
1 2 3s b s b s b 2 3
1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3( ) ( )b b b b b b b b b s b b b s s
2 2
1 2 3 3s b s b s b w
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3
2 2 2 3 4
1 2 1 3 2 3 3 3 1 2 3
( ) (2 )
( 2 2 ) ( 2 )
b b b b b w b b b b b b b b w b w s
b b b b b b b w s b b b s s
Α α αία σ θή ια α ί αι έ α ο ώ ο σ αθές
7
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Α α αία σ θή ια α ί αι έ α ο ώ ο σ αθές
Θ ώ α. Α ο ο ώ ο ί αι σ αθές, ό � > , � = , , … , . = + − + + , > .
8
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
ι ή ιο Routh
ία α α αία σ θή ια ύ α ι ώ σ ο α ισ ό ι α ι ό ί ο ός ο ω ύ ο = + − + + , >
ί αι � > .
ο έ ως ια α α αία σ θή ια α ί αι έ α σύσ α : �� + − � −� − + + = �� ++ − � −� − + +
ασ ω ι ά σ αθές ί αι � > .
9
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Πα ά ι α
άσ ι ο ο ού ο ι ίο , ο σύσ α : − + = −
ί αι ασ αθές ια ί � = − < .
10
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
�� � �− … ��− �− �− … ��− �− �− … ��− �− �− …
�
Πί α ας Routh
Έσ ω ο ο ώ ο = + − + + , >
χ α ί ω ο α α ά ω ί α α βάσ ι ω σ σ ώ ο ο ω ύ ο . Πί α ας Routh
11
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
�� � �− … ��− �− �− … ��− �− �− … ��− �− �− …
�
Θ ώ α Routh) (1)
χ α ί ω ο α α ά ω ί α α βάσ ι ω σ σ ώ ο ο ω ύ ο .
Πί α ας Routh
Θ ώ α (Routh) α ή αι α α αία σ θή έ οια ώσ ό ς οι ί ς
� o ο ω ύ ο α έχο α ι ό α α ι ό έ ος � � < )
ί αι: i. � >
ii. α σ οιχ ία ς ώ ς σ ή ς ο ί α α Routh ί αι α σ ώς θ ι ά.
12
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
�� � �− … ��− �− �− … ��− �− �− … ��− �− �− …
�
Θ ώ α Routh) (2)
χ α ί ω ο α α ά ω ί α α βάσ ι ω σ σ ώ ο ο ω ύ ο .
Πί α ας Routh
ίωσ : ο ήθος ς α α ής οσή ω σ ώ σ ή ο
ί α α Routh ί αι ίσο ο α ιθ ό ω ι ώ � ο
ο β ίσ ο αι σ ο ιό ι α ι ό ί ο
13
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Πα ά ι α 2 (1)
� � 0 � � �
14
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Πα ά ι α 2 (2)
15
� � 0
� −
= −
= −
=
� −
= −
=
−
=
� −
=
−
=
−
=
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Π ί ωσ
Π ί ωσ 1. α έ α ι ό σ ώ σ ή . Πα ά ι α : ί αι ο α α ά ω σύσ α
ό ο Η = + + + αι = .
ί αι ο α α ά ω σύσ α ασ ω ι ά σ αθές αι ή όχι αι ια ί;
16
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Πα ά ι α
ύσ : Y = = = − ⇒ = +
αι σ ώς = + + +
φα ό ω ο ι ή ιο Routh ια ο χα α ισ ι ό ο ώ ο � = + + +
17
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Πα ά ι α
� = + + +
Έχω ό ι � > .
Πί α ας Routh
Πα α ώ ό ι α ό ο ο έχω �� > , ώ σ ή έχ ι έ α σ οιχ ίο α ι ό αι σ ώς έχω ί ς σ ο ιό ι α ι ό ί ο. ο ήθος ω ι ώ ο β ίσ αι σ ο ιό ι α ι ό ί ο ί αι
ίσο ο ήθος ς α α ής οσή ω σ ώ σ ή α ή ύο. − . ο σύσ α ί αι ασ αθές.
18
� 1 1 � 1 10 � -9 0 � 10 0
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Πα ά ι α
ί αι ασ ω ι ά σ αθές ο α α ά ω σύσ α;
ά σ αφο άς ισ ού σ σ ή α ος:
19
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Πα ά ι α 4 (2)
20
� 1 31 0 � 1 1030 103 0 � −
= − −
= −
=
� − − −
= − −− − =
− − −
=
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Άσ σ
Άσ σ : ιο ήσ ο ί α α Routh ια ο α α ά ω ο ώ ο αι ο ο ίσ όσα ι ά ο β ίσ ο αι
σ ο ιό αι όσα σ ο α ισ ό ι α ι ό ί ο. � = + + + + + + +
Α ά σ : σ ο ιό ι α ι ό ί ο αι σ ο α ισ ό ι α ι ό ί ο.
21
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Π ί ωσ 2
Π ί ωσ . έχω έ α ι ό σ ώ σ ή . i. α ή ί ωσ ο α ασιά ω ο ο ώ ο
ο α ά ο α + ό ο > αι − ί αι ί α ο .
ή
ii. Α ι αθισ ώ ο έ α θ ι ό α ιθ ό αι σ χί ω έ σι ώσ α σ ώσω ο ί α α αι α ο ούθως αφή ω ο α ί ι σ ο έ αι έ χω α όσ α ω σ οιχ ίω ς ώ ς σ ή ς.
22
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
ί αι ο α α ά ω σύσ α
ό ο = + +9+ + + + αι = . α ασ ί ως ος σ άθ ια ο α α ά ω σύσ α .
ύσ : α ά ο ί ιο ό ο ο ο ού ο α ά ι α β ίσ ω σ ά σ αφο άς ο ισ ού σ σ ή α ος = + ++ + + + +
23
Πα ά ι α (1)
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Πα ά ι α (2)
ο χα α ισ ι ό ο ώ ο ο ισ ού σ σ ή α ος ί αι: = + + + + +
Πα α ώ � > .
Πί α ας Routh.
24
� 1 2 13 � 2 4 10 � 0 8 0 � � �
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Πα ά ι α (3)
Πα α ώ ό ι − = − ≠ αι σ ώς αί ω ο χα α ισ ι ό ο ώ ο: ′ = + + + + + += + + + + + + � = + + + + +
25
� 1 3 5 � 2 6 3 � 0 7/2 0 � � −�
3 0
� � − − �� −
0 0
� 3 0 0
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
� = + + + + +
26
Πα ά ι α
Label First Column =+ =- � 1 + + � 2 + + � 0 + - � � −�
- +
� � − − �� −
+ +
� 3 + +
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Πα ά ι α
+ − − + + + = Α s ί α ο ο ω ύ ο ό ο /s θα ί αι ί α ο ο ω ύ ο ο ο οίο έχ ι ο ς σ σ ές ο α α ά ω ο ω ύ ο α ά σ
α ίθ σ ι ά. Η α α ο ή ω ι ώ σ ο α ισ ό αι ίο ι α ι ό ί ο α α έ ι ί ια. + − − + + + =
+ − − + + − + − =
+ − + + − + =
ώς α ί α έ ο ο α άσ οφο ο ώ ο!
27
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
� = + + + + + D s = + + + + +
28
Πα ά ι α
− − − � + � − � + �
� 3 6 2 � 5 3 1 � 4.2 1.4 � . 1 � − . � 1
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Π ί ωσ
Π ί ωσ : ία α ή ι ή σ ο ί α α Routh.
Πί α ας Routh.
29
�� � �− … ��− �− �− … ��− … … …
� m− m− … � − 0 0 …
�
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Π ί ωσ (2)
Βή α χ α ί ω ο ο ώ ο = − + − − + − − +
Βή α 2 Πα α ω ί ω ο ο ώ ο ′ = − − + − − − + − − −+
Βή α 3 Α ό ο ς σ σ ές ο ′ ιο ώ − α ή. − − − − − − …
30
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Πα ά ι α (1)
= + + + + +
Πί α ας Routh.
31
�� � �− … ��− �− �− … ��− … … …
� m− m− … � − 0 0 …
�
Βή α χ α ί ω ο ο ώ ο = +
Βή α 2 Πα α ω ί ω ο ο ώ ο ′ =
Βή α 3 Α ό ο ς σ σ ές ο ′
ιο ώ α ή.
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Πα ά ι α 6 (2)
� = + + + + +
32
� 1 8 � 42 56 8 � 0 4 0 12 0 0 0 � 0 � 1/3 0 0 � 0 0 � = + + � = + +
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
ί αι ο α α ά ω σύσ α
ό ο = +− − αι = �. α ασ ί ια οι ς ι ές ο ο α α ά ω σύσ α ί αι σ αθές. ύσ : Η σ ά σ αφο άς ο ισ ού σ σ ή α ος ί αι = Η+ = ++ − + +
33
Πα ά ι α 7 (1)
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Πα ά ι α 7 (2)
ία α α αία σ θή ια α έχ ι ο χα α ισ ι ό ο ώ ο ο ί ς σ ο ιά ι α ι ό ί ο ί αι − >+ > ⇒ >> −
Πί α ας Routh +−+
α ή − >+ > ⇒ >> −
34
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Πα ά ι α 7 (3)
ο ό ο σύσ α ί αι σ αθές ια > . ια ι ή = έχω ο χα α ισ ι ό ο ώ ο = +
Ο ό ο σύσ α ο ί αι σ αθές σ ύ ο Μ ι ή έχ ι ύο ό ο ς ο α ό ας έ α σ ο φα ασ ι ό ά ο α.
35
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Πα ά ι α 8 (1)
= �+ + + � < � <
36
� 1 77 � 18 K � − �
� K
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Πα ά ι α 8 (2)
= �+ + + �
� =
� = + � = +
37
� 1 77 � 18 K � − �
� K
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Πα ά ι α 8 (3)
= �+ + + �
� =
Marginally stable
38
� 1 77 � 18 1386 � 0 36 � 1386
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Πα ά ι α 8 (4)
= �+ + + � + + = + +
� =
Marginally stable
39
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Άσ σ (1)
ω ίσ έ α α ι ό σύσ α ιας ισό ο αι ιας ό ο
ο ιέ αι α ό ο ό ο �� − =
a. α β θ ί σ ά σ αφο άς ο σ σ ή α ος ο . Α ο ούθως θ ω ίσ ο ισ ό σύσ α
40
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Άσ σ 2 (2)
ό ο = � + � � > . ια οι ς ι ές ο ί αι ο α α ά ω σύσ α ασ ω ι ά σ αθές;
b. α β ί βάσ ο ι ίο Routh ις ι ές ο ια ις ο οί ς ο ισ ό σύσ α ο σχή α ος ί αι
ασ ω ι ά σ αθές ό α α ίσ οιχα = � αι F = � + + .
c. Ποια σ έ ια έχ ι σ ο ύ ος ω ι ώ , ια ις ο οί ς ο σύσ α ί αι σ αθές, οσθή ι ώ σ
σ ά σ αφο άς β ό χο ο ισ ού σ σ ή α ος βάσ ι ο a αι b).
41
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Π όβ α
Π όβ α : ί ο α ιθ ό ω ό ω σ ο RHP, σ ο ΚHP, αι σ ο jω-ά ο α ια ο α ό ο θο σύσ α:
42
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Π όβ α
Π όβ α 2: ί ο α ιθ ό ω ό ω σ ο RHP, σ ο ΚHP, αι σ ο jω-ά ο α ια ο α ό ο θο σύσ α:
43
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Π όβ α (1)
Π όβ α 3: ί ο α ιθ ό ω ό ω σ ο RHP, σ ο ΚHP, αι σ ο jω-ά ο α ια ο α ό ο θο σύσ α: ι σ άσ α α ο ύ ο ια σ άθ ια ο
ισ ού σ σ ή α ος?
44
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Answer
Π όβ α (2)
Πο ώ ο
Location Even
(sixth-order)
Other
(second order)
Total
(eighth-order)
Right half-plane
ιό ι- ί ο 2 0 2
Left half-plane
Α ισ ό ι- ί ο 2 2 4
jω 2 0 2
45
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Π όβ α
Π όβ α 4: ια έ α σύσ α α ά ασ ς σ ά σ αφο άς = � ++ +
β ί ις ι ές ο � ια ις ο οί ς ο σύσ α ί αι σ αθές.
Α ά σ : < � < .
46
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Άσ σ 3 (1)
ί αι ο α α ά ω σύσ α . . . .
ό ο = + ℝ αι = + + ℝ
1. α β θ ί σ ά σ αφο άς ο α οι ού σ σ ή α ος . ί αι ο σύσ α ασ ω ι ά σ αθές, αι ή όχι αι ια ί;
2. α β ί βάσ ο ι ίο Routh ις ι ές ια ις ο οί ς ο ισ ό σύσ α ο σχή α ος ί αι
47
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Άσ σ (2)
ασ ω ι ά σ αθές ό α α ίσ οιχα = � αι = �+ ό ο σ ά σ αφο άς ο α οι ού σ σ ή α ος ο σχή α ος 3.
3. Ποια σ έ ια έχ ι σ ο ύ ος ω ι ώ , ια ις ο οί ς ο σύσ α ί αι σ αθές, οσθή ό ω σ
σ ά σ αφο άς β ό χο ο ισ ού σ σ ή α ος βάσ ι ω αι .
48
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Routh - Hurwitz
Edward John Routh (1831–1907)
ι ό α 2
Adolf Hurwitz (1859 –1919)
ι ό α
49
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
ι ή ιο Routh-Hurwitz
Έ α ο ώ ο = + − + + − +
ό ο οι σ σ ές � ί αι α α ι ές σ αθ ές, � = ,… , , θα έ ό ι ί αι σ αθές α αι ό ο ά ό ς οι ο ί ο σ ς Δ� ο
φαί ο αι α α ά ω ί αι θ ι ές. Δ = � > Δ = > …
Δ = ……… >
Οι ο ί ο σ ς Δ , Δ ,… , Δ ο ο ά ο αι ο ί ο σ ς Hurwitz.
50
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
� = + + + +
=
Δ = > , Δ = = > Δ = = >
Δ = = >
51
Πα ά ι α 9
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
χέσ ί α α Routh αι Hurwitz (1)
= + − − + − − + + + , ≠
=− − − …− − …− −− …− … � = ��� >
� = ��� > −
52
α έ ο ο ί α α αφαι ώ ας α ό ,4 … α ή
1 ,3 … α ή ο α ασιασ έ ί / − αι αί ο ο ί α α
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ 53
− − − …− − …− −− …− …
α έ ο ο ί α α αφαι ώ ας α ό 3 , 5 … α ή 2 , 4 … α ή ο α ασιασ έ ί − / − αι αί ο ο ί α α
χέσ ί α α Routh αι Hurwitz (2)
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
ο ο οίο θα α ο α ού ή α ο Routh α ός ο ί α ας ο ύ ι α ό ο ί α α Routh :
1) ια άφο ας α ή,
2) α ι ώ ας ις α ές ος α ιά έ σι ώσ α ώ α σ οιχ ία ο ς α β ίσ ο αι σ ύ ια ια ώ ιο αι
3) σ ώ ο ι ά ο α ω ι ό ί α α ά ς n.
54
χέσ ί α α Routh αι Hurwitz (3)
− − − − …− − − …− − …− − …− …−� = − − − …− − …− ……
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
χέσ ί α α Routh αι Hurwitz (4)
Οι ί α ς Routh αι Hur itz ί αι ισο ύ α οι. …� , � , … , �� = � …� , � , … , �� , � , � , … , �� = , ,… , = , ,… ,
55
1 3 5
1 1 1 3 1 5
1 1 1 1 1 3 1 1 5
1 1 1, , , ,
1 2 3
12 12 12, , , ,
12 13 14
123 123 123, , ,
123 124 125
n n n
n n n n n n
n n n n n n n n n
H a H a H a
H a b H a b H a b
H a b c H a b c H a b c
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
χέσ ί α α Routh αι Hurwitz (5)
56
1 3 5
1 3 5
1 3 5
1 1 1, , , ,
1 2 3
12 12 12
12 13 14,
1 1 1
1 1 1
123 123 123
123 124 125
12 12
12 12
n n n
n n n
n n n
a H a H a H
H H H
b b b
H H H
H H H
c c c
H H
12
12H
οιχ ία ί α α Routh �− = ∆ , �− = ∆∆ , �− = ∆∆ , …
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
ι ή ιο σ αθ ίας Lienard – Chipart (1)
Alfred-Marie Liénard (1869-1958)
ι ό α
57
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
ο έ ο ός ο ω ύ ο = + − + + − +
α � > , � = ,… , , ό οι α ό ο θ ς ο άσ ις ί αι ισο ύ α ς.
i. είναι ε σ αθές, ii. Δ > , Δ > , Δ > ,…
iii. Δ > , Δ > , Δ > ,…
58
ι ή ιο σ αθ ίας Lienard – Chipart (2)
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
ι ή ιο σ αθ ίας Lienard – Chipart (3)
� = + � − + +
Theorem 1: Necessary and sufficient conditions for to be stable
are that > , > , > , > ,…
and ∆ − > ,∆ − > , ∆ − > ,… ∆ > ∆ >
∆�=�−�−�−… �−…… �
59
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
ια ιαφο ι ή οχή ο ι ίο Routh (1)
ι ό α
ια ιαφο ι ή οχή ο ι ίο Routh
60
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
= + − + + − + = + − + = − + − +
= + =
61
1
2
1
r s
r s
ια ιαφο ι ή οχή ο ι ίο Routh (2)
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
ια ιαφο ι ή οχή ο ι ίο Routh (3) = − + − + = − + − +
= + = + +
=
62
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
ια ιαφο ι ή οχή ο ι ίο Routh (4)
= + + + ⋱ − +
Ό α α � ο ο ά ο αι ά ο α (atoms) ο ο ω ύ ο . ο ο ώ ο ί αι σ αθές α αι ό ο α α ά ο ά ο ί αι θ ι ά, α ή α αι ό ο α ισχύ ι � > , ∀� = ,… ,
63
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
4 3 22 4 4a s s s s s k
0
1
4 2 3 2
20
33
1
2
4 2 4 22
2 1 1
2 42 2 4 2
2
r sr s
ss s k s s s k
r s s s ks
s sr s s s
s k
3
12 4r s s s
4 2
04r s s s k
64
ια ιαφο ι ή οχή ο ι ίο Routh (5)
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
4 3 22 4 4a s s s s s k
1
2
3 2
1
22
2
2 4 2 4
4 11 1
22
4
r sr s
s s s s k k s
r s k ss s
s kr s s k
k s
2
22r s s k
3
12 4r s s s
65
ια ιαφο ι ή οχή ο ι ίο Routh (6)
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
4 3 22 4 4a s s s s s k
23
2
2
3
2 4
1
44
2
4
2 2
4 4
r sr s
s k k s k
r s ks s
kr s k s
k
ks
k
k
34r s k s
2
22r s s k
66
ια ιαφο ι ή οχή ο ι ίο Routh (7)
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
0
3
1
2
2
1 1
2 42
2
1 1
121
2
4
11
112
2
44
1
r ss
s sr s
s k
s
ss k
k s
s
kk
k
s
s
s
2 40 0
4
k
k k
0 4K
67
ια ιαφο ι ή οχή ο ι ίο Routh (8)
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Θ ώ α Kharitonov (1)
Kharitonov Vladimir Leonidovich
ι ό α
68
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Θ ώ α Kharitonov (2)
= + + + + , � ≤ � ≤ � . Ο ισ οβάθ ιος σ σ ής ί αι . , .
ο ο ώ ο ί αι σ αθές α αι ό ο α α α α ά ω ο ώ α ί αι σ αθή: = + + + + + + = + + + + + + = + + + + + + = + + + + + +
69
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Θ ώ α Kharitonov (3)
= { + − + + − + : � _� , � } Ο ισ οβάθ ιος σ σ ής ί αι . _ ,
ο ο ώ ο ί αι σ αθές α αι ό ο α α α α ά ω ο ώ α ί αι σ αθή:
70
1 2 4 5
1 0 1 2 3 4
n n n n na s a s a s a s a s a s
1 2 4 5
2 0 1 2 3 4
n n n n na s a s a s a s a s a s
1 2 4 5
3 0 1 2 3 4
n n n n na s a s a s a s a s a s
1 2 4 5
4 0 1 2 3 4
n n n n na s a s a s a s a s a s
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Θ ώ α Kharitonov (4)
= { + + + + : , , , ,, , . , , , }
α α α ά ω ο ώ α ί αι σ αθή αι σ ώς ο ιασ α ι ό ο ώ ο (interval polynomial) ί αι
σ αθές.
71
4 3 2
13 4 3 0.5a s s s s s
4 3 2
24 4 2 0.5a s s s s s
4 3 2
44 3 2 1a s s s s s
4 3 2
33 3 3 1a s s s s s
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
Βιβ ιο αφία
α ο ά ς Α. ., , Εισαγωγή σ η Μαθη α ι ή Θεωρία Σ σ η ά ω αι Ε έγχο , ό ος Α: ασι ή
ω ία έ χο , όσ ις ιό α.
https://en.wikipedia.org/wiki/Edward_Routh
http://annales.org/archives/x/lienard.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Adolf_Hurwitz
http://www.apmath.spbu.ru/en/staff/kharitonov/index.ht
ml
Li Qiu and Kemin Zhou, 2010, Introduction to Feedback
Control, Pearson Ed.
72
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
ίω α Χ ήσ ς Έ ω ί ω (1/2)
ο Έ ο α ό ά ι χ ήσ ω α ό ο θω έ ω :
ι ό ς/ χή α α/ ια ά α α/ ω ο αφί ς
ι ό α , 2: "Edward J Routh" by en:user:QueenAdelaide - English
Wikipedia here, original source http://www.gap-
system.org/~history/BigPictures/Routh.jpeg. Licensed under Public
Domain via Wikimedia Commons -
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Edward_J_Routh.jpg#/media/File
:Edward_J_Routh.jpg
ι ό α 3: "Adolf Hurwitz" by Unknown - MacTutor biography,
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Hurwitz.html.
Licensed under Public Domain via Wikimedia Commons -
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Adolf_Hurwitz.jpg#/media/File:A
dolf_Hurwitz.jpg
73
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
ίω α Χ ήσ ς Έ ω ί ω (2/2)
ι ό α : http://annales.org/archives/x/lienard.html
ι ό α 5: "Edward J Routh" by en:user:QueenAdelaide - English Wikipedia
here, original source http://www.gap-
system.org/~history/BigPictures/Routh.jpeg. Licensed under Public
Domain via Wikimedia Commons -
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Edward_J_Routh.jpg#/media/File
:Edward_J_Routh.jpg
ι ό α 6: http://www.apmath.spbu.ru/en/staff/kharitonov/index.html
74
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
ίω α Α αφο άς
Copyright Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο σσα ο ί ς, ι ό αος α α ά ς. « ασσι ή ω ία έ χο . ό α 10: Α β ι ά ι ή ια
σ άθ ιας». Έ οσ : 1.0. σσα ο ί .
ιαθέσι ο α ό ι α ή ι ύθ σ :
http://eclass.auth.gr/courses/OCRS432/
75
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
ο α ό ι ό ια ίθ αι ο ς ό ο ς ς ά ιας χ ήσ ς Creati e Commons
Α αφο ά - Πα ό οια ια ο ή [ ] ή α έσ , ι θ ής Έ οσ . αι ού αι α α ο ή έ α ί ω .χ. φω ο αφί ς, ια ά α α . . ., α ο οία
ιέχο αι σ α ό αι α ο οία α αφέ ο αι α ί ο ς ό ο ς χ ήσ ς ο ς σ ο « ίω α ήσ ς Έ ω ί ω ».
Ο ι αιούχος ο ί α α έχ ι σ ο α ιο όχο χω ισ ή ά ια α χ σι ο οι ί ο έ ο ια ο ι ή χ ήσ , φόσο α ό ο θ ί.
[1] http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/
ίω α Α ιο ό σ ς
76
Α ισ ο έ ιο Πα ισ ή ιο Θ σσα ο ί ς
ασσι ή Θ ω ία έ χο
ή α αθ α ι ώ
ια ή σ ιω ά ω
Ο οια ή ο α α α α ω ή ή ιασ ή ο ι ού θα έ ι α σ ι α βά ι:
ο ίω α Α αφο άς
ο ίω α Α ιο ό σ ς
ή ωσ ια ή σ ς ιω ά ω
ο ίω α ήσ ς Έ ω ί ω φόσο ά χ ι
α ί ο ς σ ο ό ο ς σ έσ ο ς.
77
Α
Α
Α
Α Χ Α
Α Α Α Α
Α Α Α
Α
Α
Α
Α Χ Α
Α Α Α Α
Α Α Α
Α
Α
Α
Α Χ Α
Α Α Α Α
Α Α Α
έ ος ό ας
ασία: Α ασ ασία . ο ιά ο
σσα ο ί , ι ι ό ά ο -2015
![RJS í ì ï r î î r& ry r/W ò ñ ~ î î u u E } v r/ o o µ u ... · RJS í ì ï r î î r& ry r/W ò ñ ~ î î u u E } v r/ o o µ u ] v v ] rs v o ^ Á ] Z 8Max. 1.8 28.5](https://static.fdocument.org/doc/165x107/5ec432e955c605173a3302d3/rjs-r-r-ry-rw-u-u-e-v-r-o-o-u-rjs-.jpg)
![N r G s · 2021. 1. 21. · G r r x s r ~t Z ( ] o Á ] Z } Á U 2 X 2 r 3 v U x X í ô9 ì. ^ : { s x s _ rs X s v' } P Z í ô ô ñ 4 { v r X X X G A { r v v x õ](https://static.fdocument.org/doc/165x107/6102738e79d2112f03059c6e/n-r-g-s-2021-1-21-g-r-r-x-s-r-t-z-o-z-u-2-x-2-r-3-v-u-x-x-.jpg)
![IPG Photonics Wobble Heads · D50-Wobbler Æ u o W P30-010595-V7A1 W ï ì r ì í ì ñ õ ñ t ñ ì t } o Á ] Z ] } } o } v } o o W ï ì r ì í ì ð õ ð t ñ ì t } o Á](https://static.fdocument.org/doc/165x107/5cf7b8e488c993e14d8d888f/ipg-photonics-wobble-heads-d50-wobbler-a-u-o-w-p30-010595-v7a1-w-i-i-r-i.jpg)
