Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

280
 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ  Από τα Quarks  μέχρι το  Σύμπαν  Διδάσκων  Ε  .  Ν  . Οικονόμου  ΕΚΔΟΣΗ  2010

Transcript of Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 1/280

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ

ΕΠΣΤΗΜΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

Από τα Quarks μέχρι το Σύμπαν

Διδάσκων

Ε . Ν . Οικονόμου

ΕΚΔΟΣΗ 2010

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 2/280

ΔΙΟΡΘΩΤΕΑ:

α. α. αντί γράφε

1 Σελ. 17, γραμμή 9: το χώρο τον ομοιογενή

χώρο

2Σελ. 18, δύο γραμμές πάνω

από (2.10):- - (Ε3) 56

3 Σελ. 55, προσθήκη: đ Q≥ /đ Q T ≥

4Σελ. 85, στη σχέση μεταξύ

(Ε.7) και (Ε.8)2 3 2/3

5 Σελ. 199, γραμμή 10 2cε 2

/ cε

6 ΕΠΙΛΟΓΟΣ Η ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΗ

ΑΡΧΗ Η ΑΝΘΡΩΠΙΚΗ

ΑΡΧΗ

7 Σελ. Ι, γραμμή 6 κα Και

8 Σελ. Ι, γραμμή 25 Φύσης Φυσικής 9 Σελ ΙΧ, τελευταία γραμμή Fm m F

10 Σελ. XIV, πρώτη γραμμή 4108 4108Ω

11 Σελ. ΧV, γραμμές 5-9 Βλ. PowerPoint

presentation

12Σελ 15, γραμμή 6 από το

τέλος (2.6) (2.8)

13Σελ. 4, μετά το R. P.

FeynmanΙδέα

Ιδέα της Επιστήμης

14 Σελ. 16, υποσημείωση ( ) (2.8)

15 Σελ. 19, γραμμή 3 Ν φερμιόνια Ν όμοια φερμιόνια

16 Σελ. 20, γραμμή 9 Ν Ν ομοίων

17 Σελ. 25, γραμμή 8 παρουσιάσουμε παρουσιάσουμε

παρακάτω

18 Σελ. 56, γραμμές 2&4 (.10) (.9) (5.10) (5.9)

19Σελ., 13 γραμμή 5 από το

τέλος ότι….

Ότι οι νόμοι αυτοί

20 Σελ. 15, γραμμή 2 θέση θέση ενός σωματίου

432,4006 10G −= × ατομικές μονάδες

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 3/280

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΦΥΣΙΚΟΥΣ (I)

1. Έμφαση στη φυσική κατανόηση και στη φυσική ερμηνεία

Για κάθε νέο τύπο: Είναι λογικός;

Είναι διαστατικά σωστός;

Μπορώ να τον βγάλω με αυτά που ξέρω και δεν θα τα ξεχάσω ποτέ;

2. Πνευματική εγρήγορση κα σύνδεση με τον πραγματικό κόσμο

Γιατί η Γη, το Φεγγάρι, ο Ήλιος έχουν σχήμα σφαιρικό;

Γιατί υπάρχουν άσπρα και μαύρα σύννεφα;

Γιατί το ούζο θολώνει όταν του ρίξουμε νερό;

Ποια η αντίσταση του αέρα σ’ ένα αυτοκίνητο που τρέχει;

Ποια η ταχύτητα ενός συνήθους θαλάσσιου κύματος;

Ποια η ταχύτητα του ήχου στο νερό;

Γιατί έχουμε Πανσέληνο κάθε 29,53 ημέρες, ενώ η περίοδος της

Σελήνης γύρω από τη Γη είναι 27,32 μέρες;κλπ, κλπ, κλπ, κλπ ……

3.

Από διαστατική ανάλυση να βγάζω νέους τύπους

4. Έμφαση στα σημαντικά αντί στις τεχνικές λεπτομέρειες

5. Έμφαση στη πολιτιστική διάσταση της Επιστήμης

6. Αποκτήστε ένα βιβλιαράκι μαθηματικών τύπων – αποκτήστε άνεση στη

χρήση του. Αναπτύγματα συναρτήσεων: π.χ . 1 1 ...2

x x+ + +

7. Εξοικειωθείτε με τον Η/Υ και το Internet

8. Εβδομαδιαία μελέτηÆερωτήσεις στην τάξη ή στο γραφείο μου

9.

Πριν προσπαθήσετε να θυμηθείτε, προσπαθήστε να σκεφτείτε 10.

Στις ανά χείρας σημειώσεις υπάρχουν:

• Το αντικείμενο της Φύσης και τα βασικά επίπεδα οργάνωσης της

ύλης

• Οι τρείς κεντρικές ιδέες της Φυσικής

Ατομική δομή της Ύλης

Κυματοσωματιδιακός δυισμός

Ευσταθής ισορροπία και ελαχιστοποίηση ενέργειας

• Έννοιες και ορισμοί διαφόρων βασικών μεγεθών

• Η διαστατική ανάλυση (που απαιτεί σκέψη)

• Οι 25 περίπου βασικοί νόμοι της Φυσικής που μπορούν να

ταξινομηθούν σε τρείς ομάδες Υπερνόμοι

Νόμοι δυνάμεων

Νόμοι κίνησης

(και που πρέπει να μείνουν στη μνήμη όταν όλα τ’ άλλα

ξεχασθούν)

Τέλος, θα δείξουμε πώς προκύπτει η ιεραρχική δόμηση της ύλης από τα πιο

μικροσκοπικά συστατικά της μέχρι το Σύμπαν ολόκληρο και γιατί σε κάθε

κλίμακα οργάνωσης της ύλης οι ιδιότητες είναι αυτές που είναι. Θα

παρουσιάσουμε επίσης μερικά επίλεκτα παραδείγματα όπου απλοί υπολογισμοί

(με μαθηματικά λυκείου το πολύ) παρέχουν ποιοτικές αλλά και ημιποσοτικές

απαντήσεις σε εύλογα και σημαντικά ερωτήματα του πραγματικού Κόσμου

(φυσικού και ανθρωπογενούς).

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 4/280

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ (II)

Οδηγίες προς Φυσικούς ________________________________________ σελ i

Περιεχόμενα _________________________________________________ σελ ii

Πιν. Ι: Τα βασικά επίπεδα οργάνωσης της ύλης _____________________ σελ iii

Πιν. ΙΙ: Οι τρείς βασικές ιδέες ___________________________________ σελ iv

Πιν. ΙΙΙ: Τα γνωστά στοιχειώδη σωμάτια ___________________________ σελ v

Πιν. IV: Οι βασικές αλληλεπιδράσεις και τα σωμάτια φορείς τους _______ σελ vi

Πιν. V: Κυματοσωματιδιακός δυισμός _____________________________ σελ vii

Πιν. VI: Ο 1ος

και ο 2ος

νόμος ____________________________________ σελ viii

Πιν. VII: Έννοιες και ορισμοί ____________________________________ σελ ix

Πιν. VIII: Οι 25 βασικοί νόμοι ___________________________________ σελ xi

Πιν. ΙΧ: Διαστατική ανάλυση ____________________________________ σελ xiii

ΕΙΣΑΓΩΓH: ποιο είναι το αντικείμενο της Φυσικής __________________ σελ 1

ΜΕΡΟΣ 1ο: ΟΙ ΤΡΕΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΕΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Η ΑΤΟΜΙΚΗ ΙΔΕΑ ______________________________ σελ 4

1.1

Τα στοιχειώδη σωμάτια της ύλης σήμερα _______________________ σελ 5

1.2 Τα στοιχειώδη σωμάτια των δυνάμεων _________________________ σελ 8

1.3 Σχόλια πάνω στις παγκόσμιες σταθερές _________________________ σελ 11

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ο ΚΥΜΑΤΟΣΩΜΑΤΙΔΙΑΚΟΣ ΔΥΙΣΜΟΣ ___________ σελ 13

2.1 Αρχή απροσδιοριστίας (Heisenberg)___________________________ σελ 15

2.2 Απαγορευτική αρχή του Pauli________________________________ σελ 17

2.3 Κβάντωση και διακριτές στάθμες (Schrödinger)__________________ σελ 21

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΕΥΣΤΑΘΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ _____________________________________________ σελ 25

3.1 Θερμοδυναμική ____________________________________________ σελ 25

ΜΕΡΟΣ 2ο : ΤΑ ΝΟΗΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΣΥΝΟΨΗ ΕΝΝΟΙΩΝ ΚΑΙ ΝΟΜΩΝ.

ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ _____________________________________ σελ 32.4.1 Πόσο τελεσίδικο είναι το νοητικό πλαίσιο;_______________________ σελ 32

4.2 Διαστατική ανάλυση ________________________________________ σελ 33

( Το εμφανιζόμενο κενό στην αρίθμηση των σελίδων δεν σημαίνει ότι έχει

παραληφθεί κείμενο )

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΟΙ ΜΕΓΑΛΟΙ ΥΠΕΡΝΟΜΟΙ ______________________ σελ 46

5.1 Οι υπερνόμοι διατήρησης ____________________________________ σελ 46

5.2 Στατιστική Φυσική _________________________________________ σελ 54

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΝΟΜΟΙ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ _____________________ σελ 58

6.1 Βαρυτικό πεδίο ____________________________________________ σελ 58

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 5/280

6.2 Ηλεκτρομαγνητικό πεδίο _____________________________________ σελ 62

6.3 Ασθενείς αλληλεπιδράσεις ___________________________________ σελ 70

6.4 Ισχυρές αλληλεπιδράσεις ____________________________________ σελ 72

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΝΟΜΟΙ ΚΙΝΗΣΗΣ _______________________________ σελ 75

7.1 Η κλασική εικόνα __________________________________________ σελ 75

7.2 Η κβαντική αναδόμηση Ι _____________________________________ σελ 75

7.3 Η κβαντική αναδόμηση ΙΙ ____________________________________ σελ 78

ΕΠΙΛΟΓΟΣ ΜΕΡΏΝ 1ου

και 2ου

:

ΚΑΙ Ο ΜΑΚΡΟΚΟΣΜΟΣ ΕΙΝΑΙ ΚΒΑΝΤΙΚΟΣ ____________________ σελ 83

ΜΕΡΟΣ 3ο : ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ H ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΤΗΣ ΥΛΗΣ _______ σελ 87

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Από τα κουάρκ στα βαρυόνια και τα μεσόνια _______________ σελ 89

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Από τα νουκλεόνια στους πυρήνες ________________________ σελ 101

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10: Άτομα _____________________________________________ σελ 109

ΚΕΦΑΛΙΑΟ 11: Μόρια _____________________________________________ σελ 123

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Στερεά Ύλη _________________________________________ σελ 137

Παραρτήματα 1 και 2 στο κεφ. 12______________________________________ σελ 158

Εισαγωγή στα κεφ. 13 και 14__________________________________________ σελ 164

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13: Πλανήτες ___________________________(παλιές σημειώσεις) σελ 166

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14: Άστρα _____________________________ (παλιές σημειώσεις) σελ 175

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15: Μαύρες τρύπες, Κοσμολογία ____________________________ σελ 188

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 16: Ύλη και φώς (βλ . Στ. Τραχανά, Κβαντομηχανική, Νέα έκδοση 2005,

σελ . 703-756)______________________________________________________ σελ 215

ΜΕΡΟΣ 4ο : ΑΝΑΡΩΤΙΕΜΑΙ ΤΟ ΠΩΣ ΚΑΙ ΤΟ ΓΙΑΤΙ ΠΑΡΑΤΗΡΟΝΤΑΣ ΤΟΝ

ΚΟΣΜΟ __________________________________________________________ σελ 230

ΕΠΙΛΟΓΟΣ: Η ΑΝΘΡΩΠΙΚΗ ΑΡΧΗ __________________________________ σελ 254

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ___________________________________________________ σελ 262

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 6/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 7/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 8/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 9/280

VI

Πίνακας IV: ΟΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΑ ΣΩΜΑΤΙΑ-ΦΟΡΕΙΣ ΤΟΥΣ

ΣΩΜΑΤΙΟ HIGGS : Δεν έχει βρεθεί ακόμη (2010) 112 150 H GeV m GeV d d spin:0

*Τα γλοιόνια είναι πάντοτε παγιδευμένα όπως τα κουάρκ και δεν έχουν παρατηρηθεί ελεύθερα. Σημειώσ

χρωματικού φορτίου και αντιφορτίου (σε αντίθεση με τα φωτόνια που είναι ηλεκτρικά ουδέτερα). Το αποτέλεσίδια τα γλοιόνια είναι πηγές και αποδέκτες της ισχυρής αλληλεπίδρασης. Ένα ακόμη αποτέλεσμα είναι ότι η

ανάγκη το χρωματικό φορτίο του κουάρκ. Π.χ. ένα «κόκκινο ( ) R κουάρκ u μπορεί να γίνει «μπλε» ( ) B κου

απορροφώντας ένα γλοιόνιο BR . Αν λάβουμε υπόψη το χρωματικό φορτίο υπάρχουν οκτώ είδη γλοιονίων:

και ( 2 ) / 6 RR GG BB+ −

ΟΝΟΜΑ ΕΜΒΕΛΕΙΑ

( )m ΑΔΙΑΣΤΑΤΗ ΙΣΧΥΣ

ΣΩΜΑΤΙΟ ( ) A

ΦΟΡΕΑΣ ( )ΕΙΣ ΣΥΜΒΟΛΟ

ΜΑΖΑ

ΗΡΕΜΙΑΣ( ) McV

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ

ΒΑΡΥΤΗΤΑ ∞

2

39

/

5.9 10

G pa Gm c

= =

= ×

hΒαρυτόνιο − 0 0

ΗΛΕΚΤΡΟ-ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ

( ) HM

∞ (αλλά +και -)

2 1

137

ea

c=h

>

Φωτόνιο γ 0 0

ΑΣΘΕΝΗΣ (ΠΥΡΗΝΙΚΗ)

1810−

2

2

5

2

10

w

ww

mg

a c m

=h

>

Διανυσματικά μποζόνια

o

W

W

Z

+

80000

80000

91000

1

1

0

ΙΣΧΥΡΗ (ΠΥΡΗΝΙΚΗ)

1510−

2

1ss

ga

c=h

>

ή 15>

Γλοιόνια* g 0 0

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 10/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 11/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 12/280

IX

ΠΙΝΑΚΑΣ VII (IX)

ΕΝΝΟΙΕΣ & ΟΡΙΣΜΟΙ MONAΔΕΣ

ΜΗΚΟΣ,

ΧΡΟΝΟΣ, t

ΜΑΖΑ, m

Κυκλική Συχνότητα: 2 2t ω π πν ≡ = …………………………………..[ ] [ ]1 t ω =

Ταχύτητα: dt δ ≡υ r ………………………………………………….[ ] [ ] [ ]t υ =

Επιτάχυνση: /d dt ≡a υ ……………………………………………...[ ] [ ] [ ]2

a t =

Γωνιακή επιτάχυνση: /d dt ≡ω ω …………………………………….[ ] [ ]2

1 t ω =

Πυκνότητα μάζας: M dm dV ρ ≡ ………………………………...[ ] [ ] [ ]3 M m ρ =

Ορμή: r m= p υ …………………………………………………....[ ] [ ][ ] [ ] p m t =

Στροφορμή: = × L r p …………………………………………...[ ] [ ][ ] [ ]2

L m t =

Ενέργεια: o K E E E E Δ= + + …………………………………....[ ] [ ][ ] [ ]2 2

E m t =

Εσωτερική ενέργεια, o E U ≡

Κινητική ενέργεια, 21 2K E p m=

Δυναμική ενέργεια, E Δ

Έργο, W d = ⋅∫ F

Θερμότητα, Q

Θερμοκρασία, T : εμφανίζεται φυσικά ως Bk T ……………………….[ ] [ ] Bk T E =

Εντροπία ( ), B B I I

I

S k n U N k P nP= ΔΓ = − ∑ ……………….[ ] [ ] [ ] [ ] BS E T k = =

Χημικό δυναμικό ( ),S V

U N μ = ∂ ∂ ……………………………………..[ ] [ ] E μ =

Δύναμη, F …………………………………………....[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]2

F E m t = =

Πίεση P F A E V = = ………………………………….[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2 3

P F E = =

Ροπή Δύναμης ≡ × M r F ………………………………………….......[ ] [ ] M E =

Ηλεκτρικό φορτίο, q …………………………………………………….. [ ] *q =

Πυκνότητα ηλεκτρικού φορτίου q dq dV ρ = ……….................................[ ] [ ]3

/q

Ηλεκτρικό ρεύμα I dq dt ≡ …………………………………………..[ ] [ ] [ ] I q t =

Πυκνότητα Ηλεκτρικού ρεύματος I A≡ j …………....................[ ] [ ] [ ][ ]2

j q t =

Ηλεκτρικό πεδίο e q≡ F ∂ ………………………………………..[ ] [ ] [ ][ ] E q= ∂

ΗΕΔ, d ≡ ⋅∫ ∂

…………………………………………………..[ ] [ ] [ ]/ E qΗΕΔ =

Μαγνητικό πεδίο ( )m c q≡ B F υ

2 4 2 2o K o E E m c c p+ = +

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 13/280

X

ΠΙΝΑΚΑΣ VII (συνέχεια) (Χ)

ΕΝΝΟΙΕΣ & ΟΡΙΣΜΟΙ

Ροή πεδίου , Φ = ⋅∫∫dS A

Κυκλοφορία πεδίου , K = ⋅∫ d A

Πυκνότητα ροής του μεγέθους Α: A A A ρ = ⋅ j υ

Παράγωγα μεγέθη

Ροπή αδράνειας 2i i

i

I m ρ = ∑ (για κυκλικό δακτύλιο, σφαιρικό φλοιό)

Θερμοχωρητικότητα

dQ

C dT =

Μέτρα ελαστικότητας B , sμ ,P

B V V

∂⎛ ⎞= − ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

, [ ] [ ] B P=

Διπολική ροπή e p , [ ] [ ] [ ]e p q=

Ηλεκτρική αντίσταση, / R V I = , [ ] [ ]V = ΗΕΔ

Ειδική ηλεκτρική αντίσταση, e ρ : /e R A ρ = , 1/e eσ ρ = , [ ] [ ] [ ]e R ρ =

Χωρητικότητα, /eC q V =

Αυτεπαγωγή, /e B L I = Φ , BΦ ροή του B

Διηλεκτρική συνάρτηση, e Μαγνητική διαπερατότητα, μ

Επιφανειακή τάση, σ , [ ] [ ] [ ]2

/σ = Ε

Ιξώδες, η , [ ] [ ][ ]P t η =

Δείκτης διάθλασης, n μ = e

Πολωσιμότητα, /ea = p ε , [ ] [ ]3

a =

Επιδεκτικότητα χ , 1 4πχ = +e

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 14/280

XI

ΠΙΝΑΚΑΣ VΙII: ΟΙ 25 ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ (ΧΙ)

1. Διατήρηση στροφορμής L , απομονωμένου συστήματος ( i i

i

= × =∑ L r p I ω )

2 2i i M

i

I m dV ρ ρ ρ = Δ =∑ ∫

2. Διατήρηση ορμής, P , απομονωμένου συστήματος ( i

i

= ∑ P p , i im ι = p υ ,

( )2 2/ 1 /i oi im m cυ = −

3. Διατήρηση ενέργειας, E , απομονωμένου συστήματος o K E E E E Δ= + + ,

2 4 2 2 2o K oi i i

i i

E E m c c p m c+ = + =∑ ∑

1ος

νόμος: mdU đ Q đ W đ E = − +

4. Διατήρηση εσωτερικών χαρακτηριστικών (φορτίο, βαρυονικός αριθμός,

λεπτονικοί αριθμοί κ.α.) parity, time reversal5. Εντροπία και ο 2

ος νόμος

( ), , ... B N B I I

I

S k n U V k P nP = Γ = − ∑l l

đ S đ S +đ S εξ εσ = (όταν 0mđ E = ), όπου đ Q

đ S T

εξ = , 0đ S εσ ≥ [2ος

ΝΟΜΟΣ]

6. đ W = PdV κλπ, mđ E dN μ = και γενικεύσεις

7. I B E k T

I

e P

Z

= , 1 B E k T

I

Z e−= ∑ IMPORTANT

8. ( ) /

1

1i Bi k T n

e ε μ −= ±

, προϋποθέσεις ισχύος; IMPORTANT

9. G U PV TS H TS = + − ≡ − , mdG SdT VdP dE ≤ − + +

10. x΄ x= , y΄ y=

( ) z z t ο γ υ = − , ( )/ct ct z cο γ υ = − Lorentz

( )2

1/ 1 / cο γ υ = −

11.2m o

GmM

r = −F r ΓΘΣ και η ημι – Νευτώνεια εκδοχή της

12. ( ) HM q= + ×F E υ B , SI

13. Εξισώσεις Maxwell

1 1eQ

ο ο

ρ ε ε

Φ = ⇔ ∇ ⋅ = E E

K t t

φ ∂ ∂= − ⇔ ∇ × = −

∂ ∂ B

E

B E (SI)

0 0Φ = ⇔ ∇⋅ = B B

K I t t

ο ο ο ο ο ο

φ μ μ ε μ μ

∂ ∂= + ⇔ ∇ × = +

∂ ∂ E

B

E B j e

14.

1

cο ο ε μ = ,

1

ο μ = × S E B ,

21 1

2 2u ο ο ε μ = + E B , 2o c= × =

S

p E Be

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 15/280

XII

ΠΙΝΑΚΑΣ VΙII: ΟΙ 25 ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ (συνέχεια) (ΧΙΙ)

15. U udV n ω = =∫ h , dV n= =∫ P p k h ,U

L n

ω

= = h

16.d

dt =

pF (μη κβαντικός)

17. ε ω = h , = p k h ,2π

λ =k

18. ( )2 2 2 2

2 2 22V i

m t x y z

ψ ψ ψ ψ ψ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂− + + + =⎜ ⎟

∂∂ ∂ ∂⎝ ⎠r

hh (κβαντικός)

19.2

x x pΔ ⋅ Δ ≥ h

20.2

2 2 22 4 2 1/ 3

2 / 3 2 / 39,12 4,56 3 /

o

K o oc m c cpo

cm c m c c V

V m V ε

→∞≥ + − → →

h hh

21. Απαγορευτική αρχή του Pauli (για όμοια σωμάτια με ημιακέραιο σπιν)

22.

2 / 32

2,87 K

N E N

m V

⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

h ή

4 / 3

1/ 32,32 K

N E c

V ≥ h για

2om c cp

23. Αριθμός μονοσωματιδιακών καταστάσεων:

( )3

2

K VV

π

24. ( )3/ 2*

1/ 2

2 2

2

2

V m ρ ε ε

π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠h,

2 2 */ 2 K k m= he

25.2 2 / 3

/ E mV δ h : σύγκριση του E δ με Bk T ή ω h

Σύγκριση Bk T με κβάντο διέγερσης, έστω ω h .

Και ο μακρόκοσμος είναι κβαντικός

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 16/280

XIII

(XIII)

ΠΙΝΑΚΑΣ IX: ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Για οποιαδήποτε ιδιότητα, Α, ατόμων, μορίων, στερεών, υγρών σωμάτων, ο τύπος που δίνει την τιμή της έχει τη μορφή

α0

e 0 0 0 0

m T P cA A f , , , , , Z...

m T P

⎛ ⎞ω= ⎜ ⎟ω υ⎝ ⎠

, f μια συνάρτηση που δεν μπορεί να

προσδιοριστεί από διαστατική ανάλυση όπου το 0A ισούται με

0 eA α mμ ν ξΒ=

Τα μ, ν, ξ διαλεγμένα έτσι ώστε το 0A να έχει τις ίδιες μονάδες με το Α. Οι μονάδες

του είναι [ ] = [μάζα] [μήκος στο τετράγωνο]/ [χρόνο]

αΒ είναι η ακτίνα του Bohr: 10B 0,529Å 0,529 10 m−α = = ×

em είναι η μάζα του ηλεκτρονίου: 31em 9,1 10 Kg−= ×

α um mΒ= Α , BA είναι το ατομικό βάρος, BA A ← μαζικός αριθμός

u em 1823m

Από e, , em σύστημα μονάδων:

√ Μήκος:

2

Β 2e

α m e≡

2

0 2e

4

m e

πε

) 0,529Å=

√ Ενέργεια:

2 4e

0 2 2e Β

e m

m αε ≡ =

( )

4e2 2

0

e m

4πε

) 27,2eV=

Πυκνότητα:3 3e

0 3

m6,15 10 g / cm

α

Β

ρ = = ×

Χρόνος:

217e

00

m αt 2,42 10 s−Β= = = ×

ε

Γωνιακή συχνότητα:

1600 2

e4,13 10 rad /sm αΒ

εω = = = ×

√ Θερμοκρασία:

20

0 2B B e

T 27,2 11600 316000k k m αΒ

ε= = = × = Κ

√ Ταχύτητα: 00 e

α c

t m α 137Β

Β

υ = = =

√ Πίεση:

20

0 3 5Β e Β

P 294Mbar 290Matmα m α

ε= = = =

5 21bar 10 N / m= (Pascal)

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 17/280

XIV

ΠΙΝΑΚΑΣ IX: ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΉ ΑΝΑΛΥΣΗ (συνέχεια) (XIV)

Ηλεκτρική

αντίσταση: 0 2R 4108

e= =

Ειδική

ηλεκτρική

αντίσταση:

Β0 2

α 21,7 cme

ηλρ = μΩ ⋅

191eV 1,6 10 J−= ×

με ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ μπορούμε να βρούμε και άλλους τύπους, π.χ .

ταχύτητα θαλάσσιων κυμάτων •

συνολική ακτινοβολία (ανά μονάδα επιφάνειας) μέλανος σώματος

ΑΤΟΜΑ

Ακτίνα ατόμου α α Br f α= , α0,6 f 5d d

Πρώτο έργο ιονισμού ατόμων:2 2

αα α

α α B

e eI

r f α

η= η = , α

α

0,2 0,9f

ηd d

αI vs Z

αr vs Z

ΜΟΡΙΑ

Μήκος δεσμού: ( )α1 α2 α1 α2 Bd r r f f α+ = + εκτός He, Ne, Ar, Kr, Xe

Ενέργεια σύνδεσης ή ενέργεια διάσπασης δεσμού:2

B me

Ed

η

Κβάντο ταλαντωτικής ενέργειας: e0

α

m

mυ υ υε = ω η ε ,2

0B

e

αε = , 0,8 1,8υηd d

Κβάντο περιστροφικής ενέργειας ( )

2 2 2 2 2e B e

r 2 2 2 2Be Β α1 α2

m α e m 1

I α μd m α μd f f ε = =

μ +

2 2

0 2Β e B

e 27,2 eVα m α

ε ≡ = =

ΣΤΕΡΕΑ

Ορισμός sr : ( ) 3s

α

V4 /3 r

Nπ = , / s s B s s B f r a r f a≡ ⇒ =

Πυκνότητα: 3α BM 3

3 ss

m A2,675 gr /cm

4π f r 3

ρ = = , BA A [Γνωρίζοντας τα Μρ και ΒΑ

βρίσκουμε το sf ]

Γραφική παράσταση

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 18/280

XV

ΠΙΝΑΚΑΣ IX: ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΉ ΑΝΑΛΥΣΗ (συνέχεια) (XV)

Ενέργεια συνοχής:2

s s s s2 2 2e s s s

27.2 eV 625 Kcal, 1

ατομο molm r f f δΕ η = η η η

Υδροστατικό μέτρο ελαστικότητας 2s 5 5

e s s

177B c Mbar m r f

Διατμητικό μέτρο ελαστικότητας: s sBμ γ , s0,1 γ 1d d

s 5s

50Mbar

f μ

Ταχύτητα ήχου:5/6

e0 s

e s α s B

m 41 Kmα

m r m sf A

ζυ

(ζ σθένος για μέταλλα μόνο)

2e

D 0 D2 2 αe B s

m( ) k

mm α f ω = υ

, 8 1

Ds

4,57k 10 cm

f

−= ×

Μέγιστη συχνότητα ταλάντωσης ιόντων: 16 5/ 6 2D s B0,12 10 / f A rad / sω × × ζ

5/ 6 2D s B816 / f A meVω ζ

Θερμοκρασία Debye: 5/6 2 0D D B s B/ k 9500 / f A K Θ ≡ ω ζ

Όριο αστοχίας: sc 5

s

0,5

100 f

μτ

Εξάρτηση της ειδικής ηλεκτρικής αντίστασης σε μέταλλα και ημιαγωγούς από τη θερμοκρασία (τύποι και γραφική παράσταση)

ΥΓΡΑ

Θαλάσσια κύματα ( )3

2 k gkf kd

Μ

σω = +

ρ

( )f kd 1→ , kd 1

( )f kd kd→ , kd 1

( )f kd tanh kd=

2

w 0.074J/mσ = ,

( )2

1 2

2

nn nn A A΄

r σ

π

×

Αντίσταση ρευστού σε κίνηση στερεού

(α) 2α 1F c S= ρ υ , S, υ μεγάλα

(b) 2F cη = η υ (για σφαίρα F 6 R η = πη υ ), , υ μικρά

[ ] [ ][ ]s s2

t πΒ

η μ = γω

? , e2 2

αe

m( )

mm α f Β

ω =

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 19/280

XVI

ΠΙΝΑΚΑΣ IX: ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΉ ΑΝΑΛΥΣΗ (συνέχεια) (XVI)

ΠΛΑΝΗΤΕΣ, ΑΣΤΡΑ, ΚΑΙ ΑΣΤΡΙΚΑ ΠΤΩΜΑΤΑ

1. Ηλεκτροστατική ίση με βαρυτική σε ένα πλανήτη όταν

Σχέση μεταξύ μέγιστου δυνατού ύψους βουνού, H , και ακτίνας, R , ενός βραχώδους πλανήτη:

2.

Minimum αριθμός νουκλεονίων για να έχουμε άστρο 3/ 4 3/ 2256u

,mine G

NZ m2,5 2,5 10

A m ΄ 5ν⎛ ⎞ ⎛ ⎞α⎛ ⎞ Ν ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ α⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ü

3. Maximum αριθμος νουκλεονίων για σχηματισμό άστρου 3/ 2

59s,max

G

10 80N΄

ν⎛ ⎞α

Ν ≈⎜ ⎟α⎝ ⎠

ü

4. Μέγιστος αριθμός νουκλεονίων σ’ ένα λευκό νάνο 3/ 2

57,Ch

G

10,77 1,73 10 1,45N

΄ν

⎛ ⎞ Ν × ≈⎜ ⎟α

⎝ ⎠

ü

όριο Chanrasekhar

5. Αριθμός νουκλεονίων σ’ ένα αστέρι νετρονίων 3/ 2

,nG

10,75 2,5M

΄ ν

⎛ ⎞< Ν⎜ ⎟α⎝ ⎠

üd

n N80%

Nολ

= p N10%

Nολ

e N10%

Nολ

6. 57 30 N 1,2 10 M 1,9891 10 Kg× ⇔ × ü ü

3/ 2

2G

1 N

΄νσ

⎛ ⎞α⎜ ⎟αΑ ⎝ ⎠

, βάσει ενέργειας συνοχής

3/ 23/ 2

G

νι⎛ ⎞ζ α⎛ ⎞Α ⎜ ⎟⎜ ⎟Α α⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, σχεδόν πλήρης ιονισμός

51 N 0,5 10νσ ×

55 N 10νι

11 2RH 10 m 6R 10H R 10 m⇒ t

πλανήτες

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 20/280

XVII

ΠΙΝΑΚΑΣ IX: ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΉ ΑΝΑΛΥΣΗ (συνέχεια) (XVII)

ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ

1. Ακτινοβολία μέλανος σώματος

2.

Θερμοκρασία μαύρης τρύπας 3. Εντροπία μαύρης τρύπας 4. Ακτίνα ορίζοντος μαύρης τρύπας 5. Ακτινοβολία διπόλου 6. Σκέδαση Η/Μ από ηλεκτρόνιο 7. Σκέδαση Η/Μ από ουδέτερο σώμα 8. Επιδερμικό φαινόμενο σε αγωγούς 9. Χρόνος ζωής διεγερμένης κατάστασης 10. Ροή ρευστού (π.χ . νερού) σε σωλήνα 11. Ενεργός διατομή σκέδασης 12. Μέση ελεύθερη διαδρομή

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 21/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 22/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 23/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 24/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 25/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 26/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 27/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 28/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 29/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 30/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 31/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 32/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 33/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 34/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 35/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 36/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 37/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 38/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 39/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 40/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 41/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 42/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 43/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 44/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 45/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 46/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 47/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 48/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 49/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 50/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 51/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 52/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 53/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 54/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 55/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 56/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 57/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 58/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 59/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 60/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 61/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 62/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 63/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 64/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 65/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 66/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 67/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 68/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 69/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 70/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 71/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 72/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 73/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 74/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 75/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 76/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 77/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 78/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 79/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 80/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 81/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 82/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 83/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 84/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 85/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 86/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 87/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 88/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 89/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 90/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 91/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 92/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 93/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 94/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 95/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 96/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 97/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 98/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 99/280

88

χημική ή άλλη σύνθεση, κλπ. Π.χ . η ελαχιστοποίηση ως προς τον όγκο (για Τ=0)

οδηγεί στην ισότητα της απωστικής και της συνθλιπτικής πίεσης:

ε P P

V

U a

T

=⇒=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

=

0

0

(3)

αφού

0

ε

0

P ,==

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

∂−=⎟

⎞⎜⎝

∂−=

T

e

T

aa

V

U

V

U P (4)

(λόγω του 1ου

νόμου dU=TdS-PdV).

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 100/280

89

Κεφάλαιο 8

ΑΠΟ ΤΑ ΚΟΥΑΡΚ ΣΤΑ ΒΑΡΥΟΝΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΜΕΣΟΝΙΑ

8.1 Οι στοιχειώδεις διαδικασίες

(α) Εισαγωγικά σχόλια

Όπως φαίνεται από τα Σχ . 1.1, 1.2, 1.3, και τα Σχ .4.4, 4.5, οι φυσικές διαδικασίες

μπορούν να αναλυθούν σε στοιχειώδεις διαδικασίες όπου συντρέχουν σ’ ένα κόμβο

δύο γραμμές λεπτονίων (ή δύο γραμμές κουάρκ ) και μια γραμμή σωματίου-φορέα

δυνάμεων.

Σε κάθε στοιχειώδη κόμβο αλληλεπίδρασης διατηρούνται τα ακόλουθα μεγέθη:

• ορμή

• στροφορμή

• ηλεκτρικό φορτίο

• χρωματικό φορτίο (8.1)

• βαρυονικός αριθμός

• λεπτονικός αριθμός (χωριστά για κάθε μία από τις τρεις οικογένειες

λεπτονίων). Υπάρχουν σοβαρές ενδείξεις ότι είναι δυνατές διαδικασίες

όπου, π.χ . ένα l

v αλλάζει σε μ

v , πράγμα που σημαίνει ότι η

διατήρηση χωριστά του ηλεκτρονικού λεπτονικού αριθμού (ή του

μιονικού) παραβιάζεται σε πολύ μικρό βαθμό.

Ορισμένες αλληλεπιδράσεις (αλλά όχι όλες) διατηρούν επίσης και άλλα μεγέθη,

όπως είναι, π.χ . η ομοτιμία (parity). Στη συνέχεια, όταν εξετάσουμε μία-μία τις αλληλεπιδράσεις, θα αναφέρουμε κατά περίπτωση ποια επιπλέον μεγέθη

διατηρούνται.

Αξίζει να αναφέρουμε ότι η ενέργεια διατηρείται προφανώς σε κάθε φυσική

διαδικασία, όχι όμως κατ’ ανάγκη και σε κάθε στοιχειώδη κόμβο. Ο λόγος είναι ότι

κάθε στοιχειώδης διαδικασία διαρκεί ένα απειροελάχιστο χρονικό διάστημα Δt και

επομένως υπάρχει μια αβεβαιότητα ΔΕ στη συνολική διατήρηση της ενέργειας σε

κάθε στοιχειώδη κόμβο, όπου t E Δ≈Δ

/h σύμφωνα με την αρχή της απροσδιοριστίας

του Heisenberg.

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 101/280

90

Κλείνοντας αυτήν την εισαγωγή θα τονίσουμε την αξία και τη χρησιμότητα των

διαγραμμάτων, η οποία οφείλεται σε δύο κυρίως λόγους: (α) Τα διαγράμματα

παρέχουν μια πολύ εύκολη, άμεση, και εποπτική εικόνα για τις φυσικές διαδικασίες

που λαμβάνουν χώρα μεταξύ στοιχειωδών σωματίων (και της ύλης και των φορέων

δυνάμεων).

(β) Τα διαγράμματα παρέχουν επίσης τη δυνατότητα ποσοτικών υπολογισμών

ακολουθώντας ορισμένους κανόνες. Οι κανόνες αυτοί είναι αρκετά περίπλοκοι για να

τους παρουσιάσουμε σ’ αυτό το εισαγωγικό βιβλίο. Ο αναγνώστης όμως θα πρέπει να

γνωρίζει ότι με βάση τα διαγράμματα μπορεί κανείς να πετύχει ποσοτικά

αποτελέσματα και να τα συγκρίνει με πειραματικά δεδομένα.

(i) Ισχυρές αλληλεπιδράσεις μεταξύ κουάρκ με φορέα τα γλοιόνια

q

g

q

To παραπάνω σχήμα παριστά μια στοιχειώδη διαδικασία όπου ένα κουάρκ τύπου q

(q=u,d,c,s,t,b) εκπέμπει ή απορροφά ένα γλοιόνιο παραμένοντας το ίδιο κουάρκ q. Αν

αντιστρέψουμε τη φορά του χρόνου, το ίδιο διάγραμμα παριστά μια διαδικασία όπου

ένα αντικουάρκ bt scd uqq ,,,,,( = ) εκπέμπει ή απορροφά ένα γλοιόνιο παραμένοντας

το ίδιο αντικουάρκ q . Επίσης, αν η διεύθυνση του βέλους του χρόνου είναι οριζόντια

και με φορά από αριστερά προς τα δεξιά, το ίδιο διάγραμμα 8.1 παριστά τον

αφανισμό ενός ζεύγους κουάρκ q-αντικουάρκ q (q=u,d,c,s,t,b) με ταυτόχρονη

δημιουργία ενός γλοιονίου. Αν η φορά τους βέλους του χρόνου είναι από δεξιά προς

τα αριστερά, τότε το ίδιο διάγραμμα 8.1. μπορεί να ερμηνευθεί ως ο αφανισμός ενός γλοιονίου με ταυτόχρονη δημιουργία ενός ζεύγους κουάρκ – αντικουάρκ q-

q (q=u,d,c,s,t,b).

Θυμίζουμε στον αναγνώστη ότι κάθε κουάρκ q(q=u,d,c,s,t,b) φέρει χρωματικό

φορτίο που είναι τριών τύπων R, G, B.

Επίσης κάθε αντικουάρκ bt scd uqq ,,,,,( = ) φέρει αντιχρωματικό φορτίο που

είναι τριών τύπων: BG R ,, . Τέλος το κάθε γλοιόνιο φέρει ζεύγος χρωματικού-

αντιχρωματικού, φορτίου που είναι οκτώ τύπων:

t

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 102/280

91

)2(6

1),(

2

1,,,,,, B BGG R RGG R RG B R B BG RG B RG R −+− (8.2)

Σε κάθε κόμβο του Σχ . 8.1 διατηρείται το χρωματικό φορτίο. Π.χ ., αν το κουάρκ q

που προσέρχεται στον κόμβο, είναι τύπου R και το κουάρκ , που απομακρύνεται από τον κόμβο, είναι τύπου Β, τότε το γλοιόνιο που εκπέμπεται θα είναι τύπου B R (ή το

γλοιόνιο που απορροφάται θα είναι τύπου R B ) προκειμένου να διατηρηθεί το

χρωματικό φορτίο. Σημειώστε, ότι, λόγω του ότι τα γλοιόνια φέρουν χρωματικό

φορτίο – αντιφορτίο, το χρωματικό φορτίο του κάθε κουάρκ θα αλλάξει λόγω της

ισχυρής αλληλεπίδρασης, εάν το γλοιόνιο που εκπέμπεται ή απορροφάται είναι των

έξη πρώτων τύπων. Γλοιόνια των δύο τελευταίων τύπων αφήνουν αναλλοίωτο το

χρωματικό φορτίο του κουάρκ .

Τα γλοιόνια, επειδή φέρουν χρωματικό-αντιχρωματικό φορτίο, αλληλεπιδρούν

κατ’ ευθείαν μεταξύ τους όπως δείχνουν τα δύο στοιχειώδη διαγράμματα που

ακολουθούν.

g

g

g

Σχ . 8.2

g g

g g

Σχ .8.3

Οι ισχυρές αλληλεπιδράσεις διατηρούν σε κάθε κόμβο, πέραν των μεγεθών που

αναφέρονται στον κατάλογο (8.1), την συζυγία φορτίου (charge conjugation), «την

αντιστροφή του χρόνου», το λεγόμενο ισοτοπικό σπιν και την τρίτη προβολή του, και

αφού δεν αλλάζουν το είδος του quark, την παραδοξότητα, την charm, την

bottomness, topness.

άμεση αλληλεπίδραση

τριών γλοιονίων

άμεση αλληλεπίδραση

τεσσάρων γλοιονίων

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 103/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 104/280

93

κουάρκ και διατηρώντας το ηλεκτρικό του φορτίο (και το χρωματικό του φορτίο

προκειμένου για κουάρκ ).

lv

l :e, μ, τ l :e, μ, τ

Σχ . 8.6

Ένα λεπτόνιο l ( l =e, μ, τ) , μπορεί να εκπέμψει ένα διανυσματικό μποζόνιο W- ή

να απορροφήσει ένα διανυσματικό μποζόνιο W+

μετατρεπόμενο ταυτόχρονα στο

αντίστοιχο νετρίνο l

v . To συνολικό ηλεκτρικό φορτίο στον κόμβο διατηρείται.

Αντίστοιχη εικόνα ισχύει και για τα αντισωμάτια.

Σχ . 8.7

Ένα νετρίνο l

v (l :e, μ, τ) μπορεί να απορροφήσει ένα διανυσματικό μποζόνιο W-

ή να εκπέμψει ένα διανυσματικό μποζόνιο W+ και να μετατραπεί στο αντίστοιχο

λεπτόνιο l ( l=e, μ, τ).Το συνολικό ηλεκτρικό φορτίο στον κόμβο διατηρείται.

Αντίστοιχη εικόνα ισχύει και για τα αντισωμάτια.

d d

u u

Σχ . 8.8

Στο Σχ . 8.8 παρουσιάζεται η διαδικασία (μέσω ασθενών αλληλεπιδράσεων) όπου

ένα κουάρκ u μετατρέπεται σε κουάρκ d εκπέμποντας ένα διανυσματικό μποζόνιο W+

ή απορροφώντας ένα διανυσματικό μποζόνιο W-.

ll

W- W+

lv

ll

W-W

+

lvlv

W+ W-

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 105/280

94

Αντί του ζεύγους (u,d) μπορούμε να έχουμε στα παραπάνω διαγράμματα είτε το

ζεύγος (c,s) είτε το ζεύγος (t,b).

u u

d d

Σχ . 8.9

Στο Σχ . 8.9 παρουσιάζεται αντίστοιχη διαδικασία όπου ένα κουάρκ d μετατρέπεται

σε κουάρκ u, ή ένα κουάρκ s μετατρέπεται σε κουάρκ c, ή ένα κουάρκ b μετατρέπεται

σε κουάρκ t.

Σημειώστε ότι οι ασθενείς αλληλεπιδράσεις επιτρέπουν επίσης και αλλαγές του

τύπου των Σχ . 8.8 και 8.9 μεταξύ διαφορετικών οικογενειών κουάρκ . Π.χ ., στο Σχ . 8.8

το κουάρκ u, μπορεί να αντικατασταθεί από κουάρκ c ή κουάρκ t, ή, πχ . στο Σχ . 8.9το d μπορεί να αντικατασταθεί από το s,ή το b και το u από το t ή το c.

Παραδείγματα τέτοιων διαδικασιών παρουσιάζονται στο Σχ . 8.10.

Σημειώστε ότι σ’ όλα τα διαγράμματα των Σχ . 8.5 έως και 8.10, η φορά του

χρόνου μπορεί να αντιστραφεί και τα ίδια διαγράμματα μπορούν να περιγράψουν

διαδικασίες με αντισωμάτια (βάσει του κανόνα ότι γραμμές λεπτονίων ή κουάρκ με

βέλος αντίθετο της φοράς του χρόνου αντιστοιχούν με αντισωμάτια).

Εάν η διεύθυνση του βέλους του χρόνου γίνει οριζόντια τα αντίστοιχα

διαγράμματα περιγράφουν αφανισμό λεπτονίου-αντιλεπτονίου ή κουάρκ -αντικουάρκ

με δημιουργία διανυσματικού μποζονίου ή αφανισμό διανυσματικού μποζονίου με

δημιουργία ζεύγους σωματίου αντισωματίου.

W-W

+

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 106/280

95

d d

c t

2,0~1 s 06,0~21 s s

u c

s b

2,0~1 s 5,0~2 s

Σχ . 8.10 Στοιχειώδεις διαδικασίες όπου με εκπομπή διανυσματικών μποζονίων W+

ή W- έχουμε μετατροπές κουάρκ μεταξύ μελών διαφορετικών οικογενειών. Οι

στοιχειώδεις αυτές διαδικασίες έχουν μικρότερο πλάτος πιθανότητας να συμβούν

κατά ένα παράγοντα 2,01 ≈ s ( η πρώτη και η τρίτη ), ή 5,02 ≈ s ( η τέταρτη ) ή

06,021 ≈ s s ( η δεύτερη ). Σημειώστε ότι οι διαδικασίες αυτές δεν διατηρούν την ιδιότητα

του χαρίσματος ( η πρώτη ) ή του κορυφαίου ( η δεύτερη ) ή του παράξενου ( η τρίτη ) ή του

πυθμενικού ( η τέταρτη ).

Σημειώστε ότι οι ασθενείς αλληλεπιδράσεις επιτρέπουν στοιχειώδεις διαδικασίες

μεταξύ σωματίων – φορέων της ασθενούς αλληλεπίδρασης ή και φωτονίων όπως οι

εικονιζόμενες στο Σχ . 8.11

Ζο ±W ±W ±W Ζ

ο ±W Ζο

γ

Ζο ±W ±W ±W Ζ

ο ±W γ

γ

Zo

W+

W+

W-W-

±W γ

±W

Σχ . 8.11

±W

±W

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 107/280

96

8.2 Συνδυάζοντας τα κουάρκ

Είναι λογικό να αρχίσει κανείς τη διαδικασία σχηματισμού σύνθετων δομών της

ύλης ξεκινώντας από την ισχυρή αλληλεπίδραση που είναι δύο με τρεις τάξεις

μεγέθους ισχυρότερη από οποιαδήποτε άλλη. Όπως φαίνεται από τα στοιχειώδη διαγράμματα της προηγούμενης ενότητας μόνο τα κουάρκ (από τα σωμάτια ύλης)

είναι πηγές και αποδέκτες αυτής της αλληλεπίδρασης.

Προσπαθώντας να συνδυάσουμε κουάρκ για σχηματισμό συνθετότερων δομών

παρατηρούμε ότι ουσιαστικά υπάρχουν δύο μόνο είδη συνδυασμών. Είτε έχουμε ένα

ζεύγος κουάρκ -αντικουάρκ (οπότε το προκύπτον σωμάτιο ονομάζεται μεσόνιο) είτε

έχουμε τρία κουάρκ μαζί (οπότε το προκύπτον σύνθετο σωμάτιο ονομάζεται

βαρυόνιο). Τα μεσόνια και τα βαρυόνια ονομάζονται από κοινού αδρόνια (επειδή είναι πηγές και αποδέκτες της ισχυρής δύναμης, (αδρός≡ ισχυρός)).

Υπάρχουν πειστικά επιχειρήματα αλλά όχι ακόμη αυστηρή μαθηματική απόδειξη

ότι η θεωρία των Ισχυρών αλληλεπιδράσεων προβλέπει ότι οι μόνοι συνδυασμοί

κουάρκ ή / και γλοιονίων που μπορούν να υπάρξουν ελεύθεροι είναι άχρωμοι.

Επομένως είτε πρέπει να συνδυάσουμε κουάρκ -αντικουάρκ αντίθετων χρωμάτων για

να έχουμε άχρωμα μεσόνια ή να συνδυάσουμε τρία κουάρκ όλα διαφορετικών

χρωμάτων (RGB, θυμηθείτε τον «δίσκο του Νεύτωνα») έτσι ώστε να έχουμε άχρωμα βαρυόνια ή τέλος να έχουμε άχρωμους συνδυασμούς όπου συμμετέχουν γλοιόνια (με

ή χωρίς κουάρκ ). Άλλοι συνδυασμοί, π.χ . δύο κουάρκ ή τέσσερα κουάρκ θα δίνουν

σύνθετα σωμάτια με χρώμα, πράγμα που θα καταστρατηγούσε την αρχή της

αχρωμίας.∗

Θυμηθείτε ότι οι ισχυρές αλληλεπιδράσεις μεταξύ ζεύγους κουάρκ ή ζεύγους

κουάρκ – αντικουάρκ ή ζεύγους αντικουάρκ -αντικουάρκ μπορεί να προκύψουν είτε

ελκτικές είτε απωστικές ανάλογα του χρωματικού φορτίου των δύο μελών του ζεύγους (κατ’ αντιστοιχία με τις ηλεκτρικές αλληλεπιδράσεις που είναι ελκτικές

μεταξύ ετερωνύμων ηλεκτρικών φορτίων και απωστικές μεταξύ ομωνύμων). Η κύρια

διαφορά μεταξύ ισχυρών και ηλεκτρομαγνητικών αλληλεπιδράσεων είναι ότι οι

πρώτες είναι τόσο πολύ περίπλοκες (λόγω και των διαγραμμάτων στα Σχ . 8.2 και 8.3)

και τόσο ισχυρές ώστε ακριβείς υπολογισμοί της ολικής ενέργειας είναι πολύ

∗ Φυσικά θα μπορούσαμε να έχουμε έξη κουάρκ , κλπ. Αυτοί όμως οι άλλοι συνδυασμοί πιστεύουμε ότι έχουν πολύ μεγαλύτερη ενέργεια ώστε να μη συμφέρει να σχηματισθούν.

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 108/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 109/280

98

Πίν. 8.1: Μερικά από τα βαρυόνια που έχουν παρατηρηθεί και μελετηθεί

Όνομα/Σύμβολο

Σύνθεση Μάζα /me Μέγεθος (f)

Ηλεκτρικό

φορτίο

( e )

Μέσος

χρόνος

ζωής (s)

Κύρια

διαδικασία

αφανισμού

πρωτόνιο/p uud 1836,15 0,8 1 >1032y -

νετρόνιο/n udd 1838,68 0,8 0 889 → pe ev

Δ++ uuu 2411 - 2 5,5x10-24 → pπ+

Λο uds 2183 0 2,63x10-10 pπ-, nπ

ο

Σο uds 2334 0 6x10-20 → Λογ

Σ+ uus 2318 1 0,8 x10-10 → pπο, nπ+

Σ- dds 2343 -1 1,48 x10-10 →nπ-

Ξο uss 2573 0 2,9 x10-10 → Λ

ο πο

Ξ- dss 2586 -1 1,64 x10-10 → Λο π-

Ω- sss 3273 -1 0,82 x10-10 ΛοΚ -, Ξ

οπ -

Λc udc 4471 0 2,1x10-13

pK -

π+

Άσκηση: Διατυπώστε μέσω στοιχειωδών διαδικασιών τις κύριες φυσικές

διαδικασίες αφανισμού των βαρυονίων του Πιν. 8.1 Εξηγήστε την τάξη μεγέθους του

παρατηρούμενου μέσου χρόνου ζωής.

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 110/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 111/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 112/280

101

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9

ΑΠΟ ΤΑ ΝΟΥΚΛΕΟΝΙΑ ΣΤΟΥΣ ΠΥΡΗΝΕΣ

9.1 Η ολική πυρηνική ενέργεια

Θεωρήστε ότι έχουμε ένα πυρήνα που αποτελείται από Α νουκλεόνια. Υποθέτουμε

ότι από τα Α νουκλεόνια τα Ζ είναι πρωτόνια και τα υπόλοιπα Α-Ζ= Ν είναι νετρόνια.

Θέλουμε να υπολογίσουμε την ολική ενέργεια αυτού του πυρήνα, η οποία

αποτελείται από την ενέργεια ηρεμίας 22 c Nmc Zm n p + των νουκλεονίων (όταν είναι

απομονωμένα) συν την κινητική ενέργεια ΕΚ (βάσει των αρχών του Heisenberg και του Pauli) συν τη δυναμική ενέργεια ΕΔ. Η ποσότητα –(ΕΚ +ΕΔ), που είναι θετική,

ονομάζεται ενέργεια σύνδεσης και συμβολίζεται συνήθως με Β: Β=–(ΕΚ +ΕΔ). Άρα

2 2

p n E m c Zm c B

ολ = Ζ + − .

Ο όγκος του πυρήνα V είναι ανάλογος του γινομένου του όγκου, Vo, κάθε

νουκλεονίου επί τo ν αριθμό, Α, των νουκλεονίων.

V=αAVo (9.1)

όπου η σταθερά αναλογίας α είναι προφανώς μεγαλύτερη από τη μονάδα (αφού

μεταξύ των νουκλεονίων υπάρχει ακάλυπτος χώρος). Vo, ο όγκος του κάθε

νουκλεονίου, ισούται με Vo=(4π/3) 3

or , όπου η ακτίνα r o του κάθε νουκλεονίου είναι

ίση με 0,8f∗.

Η ακτίνα του πυρήνα R συνδέεται με τον όγκο V: V=(4π/3)R 3. Αντικαθιστώντας

τις παραπάνω εκφράσεις για το V και το Vo εις την (9.1) έχουμε ότι

R=α

1/3

r oA

1/3

(9.1΄)

Η εμπειρική τιμή του α1/3r o είναι 1,2f που αντιστοιχεί στην τιμή α=3,375. Η τιμή

του α, όπως και όλων των ελεύθερων παραμέτρων πρέπει να προκύψει θεωρητικά,

από την ελαχιστοποίηση της ολικής ενέργειας.

∗ 1f=1fm=10-15m

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 113/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 114/280

103

Απομένει να υπολογίσουμε την μίνιμουμ κινητική ενέργεια (που δεν πρέπει να τη

ξεχνάμε ποτέ). Βάσει του τύπου (6.2) έχουμε:

3/22

3/22

)(87,2)(87,2

V

N

m

N

V

Z

m

Z U

n p

K ′

+′

= hh

(9.4)

όπου V΄ είναι ο διαθέσιμος ∗ όγκος,

V΄ ).6,1()3/4()6,1)(3/4(6,1 333−=−=−= a Ar Ar Aar AV V oooo π π Αντικαθιστούμε

την έκφραση για το V΄ στην (9.4) και έχουμε:

3/2

3/53/5

2

0

2

3/2)6,1(

1,1

A

N Z

mr aU K

+

−=

h (9.4΄)

θεωρώντας ότι mmm n p =≈

. H ποσότητα (Z

5/3

+N

5/3

)/A

2/3

μπορεί να γραφεί

προσεγγιστικά στην πιο βολική μορφή:

])(

9

5[

2

1 2

3/23/2

3/53/5

A

Z N A

A

N Z −+≈

+ (9.4΄΄)

η οποία δείχνει ότι το ελάχιστο της κινητικής ενέργειας για σταθερό αριθμό

νουκλεονίων , επιτυγχάνεται όταν Ζ = Ν = Α /2.

Αντικαθιστώντας τις αριθμητικές τιμές για τα h , m, r o, α=3,375, ε≈11,3MeV στις

σχέσεις (9,2), (9,3΄), (9.4΄), (9.4΄΄), έχουμε το εξής αποτέλεσμα για την ενέργεια

σύνδεσης Β (σε MeV)

B=45,2A-17A2/3 (λόγω ισχυρής έλξης)

3/1

)1(71,0

A

Z Z −− (λόγω άπωσης Coulomb)

-30,6 A

A

Z N 2)(17

−−

(9.5)

∗ Ο όγκος που καταλαμβάνουν ίσες σφαίρες σε τυχαία διάταξη δεν μπορεί να είναι μικρότερος από

περίπου 1,6 φορές το άθροισμα των όγκων τους γιατί πάντοτε θα υπάρχουν τα διάκενα μεταξύ,σφαιρών που εφάπτονται. Ακόμη και εάν οι σφαίρες τοποθετηθούν σε περιοδική διάταξη και πάλι ο

όγκος θα είναι μεγαλύτερος ή ίσος του 1,35.

(λόγω κινητικής ενέργειας Heisenberg-Pauli)

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 115/280

104

όπου το δ είναι μια διόρθωση που οφείλεται στο ότι οι πυρήνες με Ζ και Ν άρτιο

αξιοποιούν πιο αποτελεσματικά τις ενεργειακές στάθμες σε σχέση με τους πυρήνες με

Ζ και Ν περιττό (όπως φαίνεται στο Σχ . 9.1). Οι πυρήνες με Α περιττό είναι σε

ενδιάμεση ενεργειακή κατάσταση. Η ποσότητα δ δίνεται από τον εμπειρικό τύπο

eV ΜΑ

=4/3

34δ όταν Ζ, Ν είναι άρτια

=0 όταν Α περιττός

4/3

34

A−= όταν Ζ, Ν είναι περιττά (9.6)

Συνδυάζοντας τον πρώτο όρο της ισχυρής έλξης με τον πρώτο όρο της κινητικής

ενέργειας καταλήγουμε στον τύπο:

Β=14,7 Α-17 Α2/3-0,71 MeV A

Z N

A

Z Z

)(17

)1( 2

3/1 δ +

−−

− (9.5΄)

Σχ . 9.1 Και οι δύο πυρήνες έχουν Α=14. Ο πυρήνας όμως Ζ =6 και Ν =8 έχει

περίπου την ίδια ενέργεια με τον πυρήνα με Ζ = Ν =7 παρόλο που ο δεύτερος κερδίζει

περίπου 5 Μ eV λόγω του ότι N=Z. Επομένως οι πυρήνες με Ζ , Ν άρτιους έχουν ένα

ενεργειακό πλεονέκτημα κατά δ έναντι αυτών με Α περιττό και κατά 2δ έναντι αυτών με

Ν , Ζ περιττούς

Ο τύπος (9.5΄) προέκυψε με βάση τη μάλλον στοιχειώδη ανάλυση της παρούσας

ενότητας. Στη βιβλιογραφία δίνεται ένας παρόμοιος τύπος, όπου οι συντελεστές

έχουν προσαρμοσθεί με βάση εμπειρικά δεδομένα. Ο τύπος αυτός είναι ακόλουθος:

MeV )(

69,23)1(

71,08,1775,152

3/1

3/2δ +

Α

Ζ− Ν−

Α

−−−=

Z Z A A B (9.5΄΄)

Εναλλακτικές τιμές αντιστοίχως: 15,5 16,8 0,72 23 3/ 434/ Aδ = .

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 116/280

105

Είναι εντυπωσιακό πόσο λίγο διαφέρει ο δικός μας τύπος (9.5΄) από τον

ημιεμπειρικό τύπο (9.5΄΄) (κυρίως στο συντελεστή του όρου ( Ν-Ζ)2/Α).

9.2 Ελαχιστοποιώντας την ολική ενέργεια

Έχοντας την ολική ενέργεια Ζm pc2+Nmnc

2-B μπορούμε να την

ελαχιστοποιήσουμε ως προς τις ελεύθερες παραμέτρους προκειμένου να

υπολογίσουμε τις ιδιότητες του κάθε πυρήνα. Οι ελεύθερες παράμετροι είναι οι εξής:

(α) Ο αριθμός των πρωτονίων, Ζ για δεδομένο Α, οπότε Ν=Α-Ζ. Ο αριθμός αυτός

είναι ελεύθερος, αφού λόγω των ασθενών αλληλεπιδράσεων νετρόνια μπορούν να

μετατραπούν σε πρωτόνια (βλέπε σχέση (4.18)) ή πρωτόνια να μετατραπούν σε

νετρόνια (Βλέπε σχέση (4.19) και (4.20)) ανάλογα με το ποια από τις δύο διαδικασίες

μειώνει την ολική ενέργεια.

(β) Ο αριθμός των νουκλεονίων Α μέσω διάσπασης του πυρήνα σε δύο ή

περισσότερα θραύσματα∗:

Α→Α1+Α2+... (9.6)

(γ) Το μέγεθος του πυρήνα, που χαρακτηρίζεται από την παράμετρο α, του τύπου

(9.1) ή (9.1΄). Για να υπολογίσουμε το α χρειαζόμαστε την εξάρτηση του ε, στον τύπο

(9.3΄), από το α. Αν δεχτούμε ότι MeV ad 87,06,2

/5.32/78 ≈−≈ε για d γύρω στα 2 f

προκύπτει η θεωρητική τιμή , 38,3≈a που συμπίπτει πρακτικά με την εμπειρική τιμή

α=3,375.

Για να ελαχιστοποιήσουμε ως προς Z την ολική ενέργεια υπό σταθερό Α, την

παραγωγίζουμε ως προς Z (αφού θέσουμε Ν=Α-Ζ και αφού παραλείψουμε για απλότητα τον όρο δ) και μηδενίζουμε την παράγωγο, οπότε προκύπτει το ποσοστό

των πρωτονίων ως συνάρτηση του Α:

3/2

3/1

015,02

/0075,00136,1

A

A

A

Z

+

+= ή

2 /3

1,01

2 0,015

Z

A A≈

+ (9.7)

Το ένα από τα δύο θραύσματα μπορεί να είναι ο πυρήνας του Ηλίου –4 με Α1=4, Ν1=Ζ1=2 επειδή για το μέγεθός του έχει πολύ χαμηλή ενέργεια. Έχουμε τότε την ακτινοβολία α. Άλλη περίπτωση είναι

η σχάση (για πολύ μεγάλους πυρήνες) όπου τα θραύσματα Α1, Α2 είναι παρόμοιου μεγέθους.

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 117/280

106

Από τον τύπο (9.7) προκύπτει ότι για τους μικρούς πυρήνες Ζ/Α≈ 0,5, δηλαδή ίσο

αριθμό πρωτονίων και νετρονίων. Ο φυσικός λόγος γι’ αυτό είναι ότι η κινητική

ενέργεια ευνοεί την επιλογή Ν=Ζ. Καθώς εξετάζουμε μεγαλύτερους πυρήνες

(μεγαλύτερο Α) ο όρος της άπωσης (Coulomb) (που είναι υπεύθυνος για τον

προσθετέο 0,015 Α2/3 στον παρανομαστή του τύπου (9.7) παίζει όλο και μεγαλύτερο

ρόλο ευνοώντας φυσικά όσο το δυνατόν λιγότερα πρωτόνια. Μ’ άλλα λόγια το

ποσοστό των πρωτονίων καθορίζεται από τον ανταγωνισμό της κινητικής ενέργειας

που ευνοεί Ν=Ζ=Α/2 και της ενέργειας Coulomb που ευνοεί Ν=Α, Ζ=0. Για μικρούς

πυρήνες κυριαρχεί η κινητική ενέργεια και έχουμε Ν≈Ζ. Για μεγάλους πυρήνες ο

ρόλος των απώσεων Coulomb έναντι της κινητικής ενέργειας αυξάνει επειδή οι

απώσεις αυτές είναι ανάλογες του 1/3 5/3( 1) / Z Z A A− ∝ , ενώ η κινητική ενέργεια είναι

ανάλογη του A . Ο λόγος 5/ 3/ 0,71 / 94,76( 2)C K

E E A Aδ δ Δ

= − κυμαίνεται από

0,0378 για το He-4 έως 0,29 για το U-238. Τα C

E δ Δ

και K

E δ είναι οι διαφορές

( / 2) ( 1)C C

E Z A E Z Δ Δ

= − = και ( 1) ( / 2) K K

E Z E Z A= − = αντιστοίχως.

Στο Σχ . 9.2 συγκρίνονται τα αποτελέσματα που προκύπτουν από τον τύπο (9.7) με

τα πειραματικά δεδομένα για διάφορους πυρήνες με Α περιττό (ώστε να είναι δ=0).

Είναι πράγματι εντυπωσιακό πόσο καλά συμφωνεί η απλοϊκή μας θεωρία με τα

πειραματικά δεδομένα

Σχήμα 9.2 Ο λόγος Ζ / Α , όπως δίνεται από τον τύπο (9.7) ( συνεχής γραμμή ) και

όπως προσδιορίζεται από το πείραμα για πυρήνες με Α περιττό ( ώστε να αποφευχθεί ο

ρόλος του όρου δ που δεν ελήφθη υπόψη στον τύπο (9.7) Leighton σελ. 548

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 118/280

107

Στο σχήμα 9.3 συγκρίνονται τα θεωρητικά αποτελέσματα (βάσει του τύπου (9.5΄΄)

και αφού γίνει η αντικατάσταση του Ζ και του Ν=Α-Ζ από τον τύπο (9.7) για την

ποσότητα∗

, -Β/Α, ως συνάρτηση του Α με τα πειραματικά δεδομένα για όλους τους πυρήνες

Σχ . 9.3 Η ποσότητα – Β / Α ως συνάρτηση του Α. Η συνεχής γραμμή είναι βάσει των

τύπων (9.5΄΄ ), (9.7) ( χωρίς τον όρο δ ) και τα σημεία είναι τα πειραματικά δεδομένα.

Παρατηρήστε ότι οι μικροί άρτιοι-άρτιοι πυρήνες ( και ιδίως το He4 ) έχουν αισθητά

χαμηλότερη τιμή του – Β / Α , λόγω του όρου δ ( Για το He4 , -B/A=-4.3 MeV ( χωρίς τον

όρο δ ), ενώ με τον όρο δ=34/47/4=3MeV η τιμή γίνεται – Β / Α=-7,3 MeV, δηλαδή , πολύ

κοντά στην πειραματική τιμή – Β / Α≈ -7,074 MeV

∗ Συνήθως στα περισσότερα βιβλία δίνεται η γραφική παράσταση του Β/Α και όχι του – Β/Α. Είναι,

νομίζω, προτιμότερο να σχεδιάζουμε το – Β/Α γιατί το – Β/Α δίνει ουσιαστικά την εικόνα της ολικής

ενέργειας ανά νουκλεόνιο, Uολ /Α (αφού )

2

mc -(B/A)≈

και συνδέει το ελάχιστο με τη μεγαλύτερη σταθερότητα. Δίνει επίσης πιο παραστατικά γιατί παίρνουμε ενέργεια από τη σύντηξη ή τη

σχάση.

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 119/280

108

9.3 Απαντώντας σε μερικές εύλογες ερωτήσεις

Η προηγούμενη ανάλυση μας επιτρέπει να δώσουμε απλές εξηγήσεις για

ορισμένες χαρακτηριστικές ιδιότητες των πυρήνων. Π.χ .

(1) Γιατί η καμπύλη του Σχ . 9.3 έχει το ελάχιστο της στους μικρομεσαίους

πυρήνες; Μ’ άλλα λόγια, γιατί οι πολύ μικροί και οι πολύ μεγάλοι πυρήνες

έχουν μικρότερη ενέργεια δέσμευσης ανά νουκλεόνιο σχετικά με τους

μικρομεσαίους;

(Υπόδειξη: Οι πολύ μικροί έχουν όλα τα νουκλεόνια στην επιφάνεια.

Για τους πολύ μεγάλους ο ρόλος της απωστικής ενέργειας

Coulomb είναι πιο σημαντικός . Γιατί ;)(2) Γιατί να μην υπάρχουν πυρήνες με Α μεγαλύτερο από 238;

(Υπόδειξη: Σκεφτείτε μήπως συμφέρει να υποστούν σχάση. Ποια είναι

η φυσική αιτία που ευνοεί τη σχάση των μεγάλων

πυρήνων; Μήπως οι απώσεις Coulomb;)

(3) Συμφέρει ενεργειακά να υποστούν σχάση όλοι οι πυρήνες με Α πάνω από

περίπου 100. Εντούτοις γιατί δεν υφίστανται σχάση;

(Υπόδειξη: Σκεφτείτε και εκτιμήστε το ενεργειακό φράγμα )

(4) Γιατί οι θυγατρικοί πυρήνες που προέρχονται από τη σχάση του Ουρανίου

είναι ραδιενεργοί τύπου β; (εκπέμπουν, δηλαδή, ένα ή περισσότερα

ηλεκτρόνια)

(Υπόδειξη: Σκεφτείτε αν έχουν περισσότερα νετρόνια από το

κανονικό , δηλαδή το βέλτιστο για το μέγεθος (5) του

θυγατρικού πυρήνα )

(5)

Γιατί η πρόσκρουση ενός νετρονίου ακόμη και μηδενικής ταχύτητας οδηγεί

σε σχάση τον πυρήνα του Ουρανίου 235; Γιατί δεν γίνεται το ίδιο με τον

πυρήνα του Ουρανίου 238; Με άλλα λόγια, γιατί το Ουράνιο 235 είναι

σχάσιμο ενώ το Ουράνιο 238 δεν είναι; (Το Ουράνιο 238 υφίσταται σχάση

εάν το νετρόνιο που θα το κτυπήσει έχει ενέργεια άνω του 1,5 MeV)

(Υπόδειξη: Συγκρίνετε το ενεργειακό φράγμα με την ενέργεια που

κερδίζει ο πυρήνας ενσωματώνοντας ένα νετρόνιο ).

Για πιο λεπτομερείς απαντήσεις βλ . το βιβλίο η Φυσική Σήμερα Τόμος ΙΙ, σελ . 79-84.

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 120/280

109

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10

ΑΤΟΜΑ

10.1Η θαυμαστή σταθερότητα των ατόμων

Αν τα άτομα ήταν πλανητικά συστήματα εν μικρογραφία που ακολουθούσαν τους

κλασικούς νόμους, ο χρόνος ζωής τους δεν θα ήταν μεγαλύτερος από κλάσμα του

εκατομμυριοστού του δευτερολέπτου! Τα ηλεκτρόνια περιστρεφόμενα γύρω από τον

πυρήνα θα εξέπεμπαν ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία, θα έχαναν κατά συνέπεια

ενέργεια και θα κατέληγαν σε κλάσμα του μικροδευτερολέπτου πάνω στον πυρήνα.

Αυτό όμως δεν γίνεται. Τα ηλεκτρόνια όχι μόνο δεν πέφτουν πάνω στον πυρήνα αλλά

διατηρούν με θαυμαστή σταθερότητα τα χαρακτηριστικά τους, παρόλο που

υφίστανται συνεχώς κρούσεις με άλλα άτομα ή με άλλα σωμάτια (κυρίως φωτόνια).

Τι τους προσδίδει αυτή τη σταθερότητα; Μα φυσικά η ύπαρξη μιας βέλτιστης

απόκρισης στις αντιφατικές εντολές της κβαντικής κινητικής ενέργειας και της

ελκτικής ενέργειας Coulomb. Η πρώτη εντέλλεται διάλυση, η δεύτερη σύνθλιψη και

το ηλεκτρόνιο (ή τα ηλεκτρόνια) επιλέγουν εκείνη την κινητική κατάσταση όπου η

απωστική πίεση της κινητικής ενέργειας εξισορροπείται από τη συνθλιπτική πίεση

της ηλεκτροστατικής αλληλεπίδρασης. Αυτή η κατάσταση ευσταθούς ισορροπίας

είναι μοναδική και οποιαδήποτε άλλη κατάσταση (μετασταθούς) ισορροπίας απέχει

ενεργειακά κατά ένα πεπερασμένο ποσό. Έτσι το άτομο είναι υποχρεωμένο να

επιστρέψει νομοτελειακά στη μοναδική κατάσταση ευσταθούς ισορροπίας.

10.2 Το άτομο του υδρογόνου

Το απλούστερο άτομο, το άτομο του υδρογόνου, αποτελείται από ένα πρωτόνιο

(που το θεωρούμε ακίνητο) και ένα ηλεκτρόνιο παγιδευμένο γύρω του λόγω της

ηλεκτρομαγνητικής αλληλεπίδρασης. Η ενέργεια του συστήματος αυτού αποτελείται

από την κβαντική κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου, 22 2/ mr h , όπου m είναι η

μάζα του ηλεκτρονίου και r είναι κατά μέσον όρο η απόσταση πρωτονίου-

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 121/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 122/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 123/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 124/280

113

Π ί ν α κ α ς 1 0 .

1

Γ ε ν ι κ ό

ς π ε ρ ι ο δ ι κ ό ς π ί ν α κ α ς τ ω ν

σ τ ο ι χ ε ί ω ν

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 125/280

114

10.3 Τα διεγερμένα τροχιακά και η γωνιακή τους εξάρτηση

Η μέθοδος της ελαχιστοποίησης της ολικής ενέργειας μας επιτρέπει να βρούμε

ορισμένα χαρακτηριστικά της θεμελιώδους κατάστασης, της κατάστασης, δηλαδή,

που αντιστοιχεί στην ελάχιστη ενέργεια . Όσο πολύτιμη και να είναι αυτή η γνώση, υπάρχουν πολλές περιπτώσεις που μας χρειάζονται πληροφορίες και για τις

διεγερμένες καταστάσεις. Π.χ ., όταν η θερμοκρασία επί τη σταθερά του Boltzman,

T k B , είναι συγκρίσιμη ή μεγαλύτερη από την ενεργειακή διαφορά μεταξύ της πρώτης

διεγερμένης κατάστασης και της θεμελιώδους, τότε, βάσει του τύπου (3.14), η

πιθανότητα διέγερσης του συστήματος είναι σημαντική και η εντροπία βάσει του

τύπου (3.15), θα εξαρτηθεί από τις ενέργειες των διεγερμένων καταστάσεων. Μια

άλλη περίπτωση που γνώση των διεγερμένων καταστάσεων είναι απαραίτητη εμφανίζεται όταν μελετάμε την αλληλεπίδραση της ύλης (σε όποια μορφή της) με το

ηλεκτρομαγνητικό πεδίο.

Αν και η μέθοδος της ελαχιστοποίησης της ενέργειας μπορεί να γενικευθεί ώστε

να καλύψει και διεγερμένες καταστάσεις, η γενίκευση αυτή απαιτεί αρκετές τεχνικές

γνώσεις για την εφαρμογή της ώστε να μην προσφέρεται για το επίπεδο αυτού του

βιβλίου. Αντίθετα με μάλλον στοιχειώδεις πράξεις μπορεί κανείς να αντλήσει κάποιες

πληροφορίες για τις διεγερμένες καταστάσεις από την εξίσωση του Schrodinger,(7.4), όταν η δυναμική ενέργεια έχει σφαιρική συμμετρία, όταν εξαρτάται, δηλαδή,

μόνο από την απόσταση, r, από την αρχή των αξόνων και όχι από τις γωνίες θ και φ

και προσδιορίζουν τον προσανατολισμό. Αυτή ακριβώς είναι η περίπτωση ενός

οποιουδήποτε ηλεκτρονίου που είναι παγιδευμένο στο πεδίο του πυρήνα (και των

άλλων ηλεκτρονίων) συμμετέχοντας στο σχηματισμό του όποιου ατόμου. Όταν η

δυναμική ενέργεια V(r) στη σχέση (7.4) έχει αυτή τη συμμετρία τότε η γωνιακή

εξάρτηση των διαφόρων τροχιακών (που περιγράφονται από την κυματοσυνάρτηση

ψ(r,θ,φ)) δεν εξαρτάται από τη μορφή ή τις τιμές του V(r). Μπορούμε λοιπόν να

διαλέξουμε έτσι το V(r) ώστε να έχουμε V(r)ψ( r )= t i ∂∂ /h οπότε η εξίσωση του

Schrodinger παίρνει την απλούστερη μορφή

02

2

2

2

2

2

=∂

∂+

∂+

z y x

ψ ψ ψ (10.4)

που είναι γνωστή ως εξίσωση του Laplace.Επαναλαμβάνουμε ότι η γωνιακή

εξάρτηση των λύσεων της (10.4) είναι η ίδια με τη γωνιακή εξάρτηση των λύσεων της

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 126/280

115

εξίσωσης του Schrodinger (7.4) όταν το V(r) είναι συνάρτηση μόνο του μέτρου

r r = . Αρκεί επομένως να βρούμε τις λύσεις της (10.4) που όπως θα δούμε αμέσως

είναι εύκολη δουλειά, και να αντλήσουμε από αυτές τη γωνιακή εξάρτηση των

λύσεων της εξίσωσης του Schrodinger. Μια λύση της (10.4) είναι προφανώς η

ψ=σταθ. Η λύση αυτή δεν έχει καμία γωνιακή (ή άλλη εξάρτηση).

Άρα υπάρχουν και λύσεις της εξίσωσης του Schrodinger που δεν έχουν

καμία γωνιακή εξάρτηση είναι , δηλαδή , σφαιρικά συμμετρικές . Οι λύσεις

αυτές ονομάζονται τύπου s και μπορεί να δείξει κανείς ότι αντιστοιχούν

σε στροφορμή μηδέν. ( Μια απεικόνιση τροχιακού τύπου s δίνεται στο Σχ .

5.2.)

Μια άλλη κατηγορία λύσεων της (10.4) είναι πολυώνυμα πρώτου βαθμού ως προς

x,y,z. Υπάρχουν τρεις ανεξάρτητες τέτοιες λύσεις: ψx=c1x, ψy=c2y, και ψz=c3z με

αντίστοιχη γωνιακή εξάρτηση:

sin/ 11 cr

xcr x ==ψ θcosφ (10.5α)

sin/ 22 cr

ycr y ==ψ θsinφ (10.5β)

33/ cr

z cr z ==ψ cosθ (10.5γ)

Επομένως υπάρχουν και τρεις κατηγορίες λύσεων της εξίσωσης του Schrodinger

που η γωνιακή τους εξάρτηση δίνεται από τις σχέσεις (10.5α), (10.5β) και (10.5γ). Οι

λύσεις αυτές αντιστοίχως ονομάζονται τροχιακά px, py και pz (Βλέπε το Σχ . 5.2 για

μια απεικόνιση του τροχιακού pz). Οι λύσεις (10.5) αντιστοιχούν σε μέτρο του

τετραγώνου της στροφορμής ίσο με )1(2+llh όπου 1=l . Υπάρχουν, δηλαδή, τρεις

ανεξάρτητες κατηγορίες λύσεων που αντιστοιχούν στην τιμή 1=l .

Μια τρίτη κατηγορία λύσεων είναι πολυώνυμα δευτέρου βαθμού∗ ως προς x, y,z.

Όχι όμως όλα τα πολυώνυμα. Υπάρχουν πέντε και μόνο πέντε ανεξάρτητα

πολυώνυμα που ικανοποιούν την εξίσωση (10.4), τα εξής: xyc xy 1=

∗ που περιέχουν όρους μόνο δευτέρου βαθμού

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 127/280

116

)(,, 22

432 22 y xc zxc yz c y x zx yz −===

−ψ ψ ψ και )( 22

522 z yc z y

−=−

ψ που έχουν την

ακόλουθη γωνιακή εξάρτηση

1

2

1

2 // cr xycr d xy xy ==≡ψ sin2θcosφsinφ (10.6α)

2

2

2

2 // cr yz cr d yz yz ==≡ψ sinθcosθsinφ (10.6β)

3

2

3

2 // cr zxcr d zx zx ==≡ψ sinθcosθcosφ (10.6γ)

4

2/2222 cr d y x y x

=≡−−

ψ sin2θ (cos2

φ-sin2φ) (10.6δ)

5

2/22

22 cr d z y

z y =≡

−−

ψ (sin2θ sin2φ- cos2θ) (10.6ε)

Οι παραπάνω πέντε ανεξάρτητες κατηγορίες λύσεων αντιστοιχούν σε μέτρο του

τετραγώνου της στροφορμής ίσο με )1(2+llh όπου 2=l και συμβολίζονται με το

γράμμα d, όπως φαίνεται στους τύπους (10.6). Υπάρχουν δηλαδή πέντε κατηγορίες

λύσεων που αντιστοιχούν σε 2=l .

Ο υπομονετικός και φιλότιμος αναγνώστης μπορεί δοκιμάζοντας να δείξει ότι

υπάρχουν επτά και μόνο επτά ανεξάρτητα πολυώνυμα τρίτου βαθμού∗που

ικανοποιούν την εξίσωση (10.4). Επομένως υπάρχουν επτά ανεξάρτητες κατηγορίες

λύσεων της εξίσωσης του Schrodinger, ή επτά ανεξάρτητα τροχιακά που αντιστοιχούν σε μέτρο του τετραγώνου της στροφορμής ίσο με )1(

2+llh με 3=l .

Τα τροχιακά αυτά συμβολίζονται με το γράμμα f και κάποιους δείκτες που

δηλώνουν ποιος από τους εφτά τύπους τροχιακών έχουμε.

Γενικότερα υπάρχουν 12 +l και μόνο 12 +l ανεξάρτητα πολυώνυμα βαθμού∗∗

l

που ικανοποιούν τη σχέση (10.4). Η γωνιακή εξάρτηση αυτών αντιστοιχεί σε μέτρο

του τετραγώνου της στροφορμής ίσο με )1(2

+llh .

Συμπερασματικά για να προσδιορίσουμε μονότροπα τη χωρική εξάρτηση ενός

τροχιακού σε σφαιρικά συμμετρικό δυναμικό, χρειαζόμαστε τρεις αριθμούς: τον l

(που προσδιορίζει το μέτρο της στροφορμής και παίρνει τιμές l =0,1,2,3,...), τον m

που παίρνει για κάθε l , 12 +l τιμές για να προσδιορίσει για ποιο από τα

12 +l τροχιακά που έχουν το ίδιο l μιλάμε, και ένα ακόμη αριθμό τον nr που

προσδιορίζει την ακτινική εξάρτηση του τροχιακού, την εξάρτησή του δηλαδή από

∗ που περιέχουν όρους μόνο τρίτου βαθμού ∗∗

που περιέχουν όρους βαθμού l και μόνο l (όχι κατώτερου βαθμού)

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 128/280

117

την απόσταση r. Ο nr παίρνει τιμές 0,1,2,3,... Αντί του ακτινικού αριθμού nr

εισάγουμε τον λεγόμενο κύριο κβαντικό αριθμό 1++≡ lr nn . O n για δεδομένο

l παίρνει τιμές 1+l , 2+l , 3+l ,...

Έχοντας χαρακτηρίσει μονότροπα τα τροχιακά των ηλεκτρονίων σ’ ένα άτομο

(από τους αριθμούς mn ,,l ) είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την διάταξη των

ενεργειακών τους σταθμών προκειμένου να τα εποικίσουμε με ηλεκτρόνια. Πράγματι,

για να βρούμε τη θεμελιώδη στάθμη ενός ατόμου με Ζ ηλεκτρόνια θα πρέπει να

τοποθετήσουμε δύο ηλεκτρόνια (ένα με σπιν πάνω και ένα με σπιν κάτω) σε κάθε

τροχιακό αρχίζοντας από το τροχιακό κατώτερης ενέργειας και προχωρώντας στα

αμέσως ανώτερα μέχρι εξαντλήσεως των ηλεκτρονίων. Έτσι, και την αρχή του Pauli

σεβόμαστε και την κατώτερη ολική ενέργεια επιτυγχάνουμε. Προκειμένου για το

άτομο του υδρογόνου η ενέργεια του κάθε τροχιακού mn ,,l εξαρτάται

ουσιαστικά μόνο από τον κύριο κβαντικό αριθμό n και μάλιστα με τον απλό τύπο

του Bohr:

2

, , 2 2 2

1 13,6eV

2n m

Bma n n

ε = − = −l

h (10.7)

Για τα άλλα όμως άτομα (που έχουν περισσότερα από ένα ηλεκτρόνια) η ενέργεια

του κάθε τροχιακού εξαρτάται εκτός από τον κύριο κβαντικό αριθμό n και από τον

κβαντικό αριθμό της στροφορμής l και μάλιστα με τέτοιο τρόπο ώστε

mnmn ,,,, ll ′> ε ε για l > l ΄ (10.8)

Μ’ άλλα λόγια για τον ίδιο κύριο κβαντικό αριθμό n το τροχιακό που έχει

μεγαλύτερο l έχει και μεγαλύτερη ενέργεια. Έτσι το np , ( 1=⇔ l p ) έχει υψηλότερη

ενέργεια από το )0( =⇔ l sns (αλλά σαφώς μικρότερη από το sn ,1+ ), το

nd ( )2=⇔ ld έχει υψηλότερη ενέργεια από το np και συγκρίσιμη ενέργεια με το

sn ,1+ το τροχιακό nf έχει υψηλότερη ενέργεια από το τροχιακό nd και μάλιστα

συγκρίσιμη με το τροχιακό sn ,2+ και το τροχιακό d n ,1+ . Επομένως τα τροχιακά

sn ,2+ d n ,1+ , nf είναι περίπου ισοενεργειακά παρόλο που διαφέρουν κατά 2 ή

μια μονάδα στον κύριο κβαντικό αριθμό, ο οποίος καθορίζει το ακτινικό μέγεθος του

τροχιακού. Το αποτέλεσμα είναι ότι τα τροχιακά d που έχουν περίπου την ίδια

ενέργεια με τα s έχουν μικρότερο κατά ένα τον κύριο κβαντικό αριθμό και επομένως

έχουν αρκετά μικρότερη ακτινική έκταση, από αυτήν των s και επομένως κείνται

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 129/280

118

σχεδόν εξ ολοκλήρου στο εσωτερικό τους. Τα δε ισοενεργειακά f έχουν ακόμη πιο

μικρή έκταση είναι ακόμη πιο εσωτερικά (όπως φαίνεται στο Σχ . 10.1 σελ . 120) και

γι’ αυτό δεν παίζουν σημαντικό ρόλο στη χημεία. Αυτός είναι ο λόγος που, π.χ ., τα

λανθανίδια (z=58 έως z=71) παρουσιάζονται στον περιοδικό πίνακα των στοιχείων εν είδει υποσημείωσης. Στον Πίν. 10.2 (σελ . 36) εικονίζονται σχηματικά οι ενεργειακές

στάθμες των διαφόρων τροχιακών mn ,,l . Ο πίνακας αυτός μας επιτρέπει να βρούμε

για τη θεμελιώδη κατάσταση κάθε ατόμου ∗ πώς κατανέμονται τα ηλεκτρόνια στα

διάφορα τροχιακά. Π.χ ., για το πυρίτιο (Si με Z=14) θα έχουμε κατά σειρά 2

ηλεκτρόνια στο τροχιακό 1s, 2 ηλεκτρόνια στο τροχιακό 2s,6 ηλεκτρόνια στα τρία

τροχιακά 2p, 2 ηλεκτρόνια στο τροχιακό 3s και τα τελευταία 2 ηλεκτρόνια σε κάποια

από τα τρία τροχιακά 3p. Η κατανομή αυτή συμβολίζεται ως εξής: 1s

2

2s

2

2p

6

3s

2

3p

2

. Η κατανομή των ηλεκτρονίων στα τροχιακά ατομικά, που αναφέρεται ως ηλεκτρονιακή

διάταξη, δίνεται για κάθε άτομο στον Πιν. 10.1. Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης

χρησιμοποιώντας τον Πιν. 10.2 μπορεί να βρει μόνος του την κατανομή των

ηλεκτρονίων στα διάφορα τροχιακά για κάθε άτομο (εκτός των μεταβατικών

στοιχείων, των λανθανιδίων και των ακτινιδίων, όπου οι ενεργειακές στάθμες των

sn ,1+ και nd εναλλάσσονται, όπως εναλλάσσονται και οι ενεργειακές στάθμες των

sn ,2+

των d n ,1+

και των nf τροχιακών).

Δύο σημεία αξίζουν ιδιαίτερης προσοχής: ο Πιν. 10.2 δείχνει ότι τα τροχιακά

χωρίζονται σε ομάδες (περίπου ισοενεργειακές) και κάθε ομάδα αντιστοιχεί σε μια

γραμμή στον περιοδικό πίνακα των στοιχείων. Π.χ ., η πρώτη ομάδα περιέχει ένα

τροχιακό, το 1s, και μπορεί να δεχτεί μέχρι δυο ηλεκτρόνια. η δεύτερη ομάδα περιέχει

τέσσερα τροχιακά (το 2s και τα τρία 2p) και μπορεί να δεχτεί μέχρι οκτώ ηλεκτρόνια

και αντιστοιχεί επομένως σε οκτώ στοιχεία, το ίδιο και η τρίτη. Στην τέταρτη ομάδα

που αντιστοιχεί στο n=4 προστίθενται και τα πέντε περίπου ισοενεργειακά τροχιακά 3d (που μπορούν να δεχτούν μέχρι 10 ηλεκτρόνια). Έτσι η τέταρτη ομάδα μπορεί να

δεχτεί μέχρι 18 ηλεκτρόνια και κατά συνέπεια η αντίστοιχη τέταρτη γραμμή του

περιοδικού πίνακα περιλαμβάνει 18 στοιχεία, το ίδιο και η πέμπτη. Η έκτη ομάδα

περιλαμβάνει το τροχιακό 6s, τα τρία τροχιακά 6p, τα πέντε τροχιακά 5d και τα επτά

∗ Λόγω του περίπου ισοενεργειακού των sn ,2+ d n ,1+ και nf δεν είναι προφανές

πώς καταλαμβάνονται οι στάθμες d n ,1+ και sn ,2+ στα μεταβατικά στοιχεία (Ζ=21-28, Ζ=39-46,

Ζ=57 και Ζ=72-78) και πώς καταλαμβάνονται οι στάθμες sn ,2+ , d n ,1+ , και nf στα

λανθανίδια (Ζ=58-71) και τα ακτινίδια (Ζ=90-103)

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 130/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 131/280

120

Σχ . 10.1 Σχηματική απεικόνιση των περίπου ισοενεργειακών τροχιακών 6s, 5d, 4f

που δείχνει ότι τα τροχιακά 5d βρίσκονται στο εσωτερικό του 6s και τα τροχιακά 4f στο

εσωτερικό των 5d. Έχει σχεδιασθεί και το τροχιακό 6p y που έχει περίπου την ίδια

έκταση με το 6s αλλά σαφώς υψηλότερη ενέργεια

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 132/280

121

Πίνακας 10.2 Ηλεκτρονιακές στάθμες μη υδρογονοειδών ατόμων. Από τον πίνακα

αυτόν έπεται η δομή του Περιοδικού Πίνακα των Στοιχείων ( ΠΠΣ ) που αποτελεί τη

βάση της Χημείας .

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 133/280

122

Σχηματική κατανομή των 20 ηλεκτρονίων του ατόμου του Ασβεστίου (Cα)

προκειμένου να τονισθεί ότι τα δύο ηλεκτρόνια που βρίσκονται στην εσωτερική

στάθμη 1s είναι πλησιέστερα στον πυρήνα από όλα τα άλλα ηλεκτρόνια με μεγάλη

πιθανότητα της τάξης του 95%. Άρα το καθένα τους αισθάνεται σχεδόν το πλήρες

φορτίο του πυρήνα (περίπου 0.95x20=19 e ) και την άπωση από το άλλο ηλεκτρόνιο

1s, ενώ δέχονται πρακτικά αμελητέα δύναμη από τα άλλα ηλεκτρόνια.. Αντίθετα, τα δύο ηλεκτρόνια που βρίσκονται στην κατάσταση 4s δέχονται μια δύναμη που

οφείλεται περίπου σε 20-18=2e από τον πυρήνα και τα εσωτερικά ηλεκτρόνια καθώς

και την αμοιβαία άπωσή τους .

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 134/280

123

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11

ΜΟΡΙΑ

2 2(0,8 1,6) / , / 27,2eVe a o o e Bvibration m m E E m aε ≈ ↔ = =h

2 2(0,5 1)( / ) /rotation e a o r m m E m d ε = ↔ = h

11.1 Η ενέργεια ενός συστήματος δύο ατόμων

Όταν δύο άτομα βρεθούν σχετικά κοντά το ένα στο άλλο, ασκείται κατ’ αρχάς μια

ελκτική δύναμη που είναι το αποτέλεσμα προσθαφαιρέσων ελκτικών και απωστικών

δυνάμεων Coulomb. Αντί να υπολογίσει κανείς αυτή τη δύναμη, είναι πιο χρήσιμο

και σχετικά πιο εύκολο να υπολογίσει την ολική ενέργεια των δύο ατόμων (που

βρίσκονται σε απόσταση d) μείον την ολική ενέργεια όταν ∞=d .

Στο Σχ . 11.1 εικονίζεται το αποτέλεσμα ενός τέτοιου υπολογισμού για το σύστημα

δύο ατόμων υδρογόνου. Για σχετικά μεγάλες αποστάσεις )( Bad d >> το ΔΕ είναι

αρνητικό και συμπεριφέρεται ως

ΔΕ(d)=-Α/d6, B

ad >> (11.1)

όπου η σταθερά Α ισούται με I r e a /c 44

1 , όπου c1 είναι αριθμητική σταθερά (για

το Η2 c1=3,25) r α είναι η ακτίνα του ατόμου και το Ι είναι το έργο ιονισμού. Εάν τα

δύο άτομα είναι διαφορετικά το Α ισούται με r I r r e /c 2

2

2

1

4 , όπου Ir = I1 I2/(I1+ I2).

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 135/280

124

Σχ . 11.1 Η ενέργεια )()( ∞−≡Δ λ λ oo E d E E ως συνάρτηση της απόστασης d μεταξύ

δύο ατόμων υδρογόνου

Αυτή η ασθενική αλληλεπίδραση Bad d A >>− ,/ 6 ονομάζεται αλληλεπίδραση

Van der Waals∗ και είναι ισοδύναμη με μια ελκτική δύναμη ίση με –(6Α/d

7) od .

Καθώς τα άτομα πλησιάζουν, φτάνουν τελικά σε μια απόσταση do όπου η ενέργεια

ΔΕ έχει ελάχιστο (για Η2, do=0,74A και ΔΕ(do)=-4,74eV).

Για τιμές του d μικρότερες του do και μειούμενες, το ΔΕ αυξάνεται πολύ γρήγορα

πράγμα που σημαίνει ότι ασκούνται ισχυρές απωστικές δυνάμεις. Έτσι καθώς δύο

ουδέτερα άτομα πλησιάζουν ασκείται κατ’ αρχάς ελκτική δύναμη μεταξύ τους μέχρι

μια απόσταση do όπου η δύναμη μηδενίζεται για μικρότερες αποστάσεις από do η

δύναμη γίνεται ισχυρά απωστική.

Βάσει της αρχής της ελαχιστοποίησης της ενέργειας το σύστημα των δύο ατόμων

θα ισορροπήσει για d=do και θα σχηματίσει ένα διατομικό μόριο. Όμως, λόγω της

αρχής της απροσδιοριστίας υπάρχουν μικρές διακυμάνσεις, δd, γύρω από την

απόσταση ισορροπίας do που οι χημικοί ονομάζουν μήκος του δεσμού)∗∗

. Ως

αποτέλεσμα των διακυμάνσεων εμφανίζεται μία αύξηση της ενέργειας ΔΕ(d=do) και

κατά συνέπεια μια μείωση κατά 2/h (όπου ω είναι η κυκλική συχνότητα

ταλάντωσης) της ενέργειας σύνδεσης, m E Δ , του μορίου: ω h2

1)( −Δ=Δ om d E E .

(Μπορείτε να αποδείξετε αυτή την τελευταία σχέση χρησιμοποιώντας την αρχή της

απροσδιοριστίας και την ελαχιστοποίηση της ολικής ενέργειας;)

∗ H αλληλεπίδραση Van der Waals οφείλεται σε διπολικές ροπές που επάγει το ένα άτομο στο

άλλο. Η αλληλεπίδραση δύο διπόλων είναι ανάλογη της διπολικής ροπής 1

p του ενός διπόλου επί τη

διπολική ροπή 2 p του άλλου και επί το αντίστροφο της τρίτης δύναμης της απόστασής τους d. Κατά

μέσο όρο όμως 021 == p p για ουδέτερα άτομα. Έτσι σε πρώτη τάξη η μέση τιμή της

ενέργειας αλληλεπίδρασης ΔΕ είναι μηδέν. Σε δεύτερη τάξη όμως έχουμε ότι το ΔΕ είναι ανάλογο

του2

1

22

1 ~ r e p του 2

2

22

2 ~ r e p και αντιστρόφως ανάλογο του d6 και μιας χαρακτηριστικής

ενέργειας που είναι της τάξεως του έργου ιονισμού. Άρα 6

2

2

2

1

4

Id

r r ce E

−=Δ

∗∗ Με άλλα λόγια η απόσταση d δεν είναι ακριβώς do γιατί αυτό θα σήμαινε ότι η σχετική κίνηση των δύο πυρήνων κατά τον άξονα που τους ενώνει θα ήταν μηδέν, πράγμα που θα παραβίαζε την αρχή

της απροσδιοριστίας δ 2/ pd h≥⋅δ d . Υπάρχουν επομένως μικρές διακυμάνσεις, δd, γύρω από την

τιμή do όπως φαίνεται στο Σχ . 11.1

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 136/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 137/280

126

είναι πλήρως συμπληρωμένα με αποτέλεσμα να μην προκύψει μείωση της ολικής

ενέργειας και να μη σχηματισθεί μόριο. Αντίθετα, εάν το καθένα από τα δύο αρχικά

ατομικά τροχιακά ήταν εν μέρει μόνο κατειλημμένο (με ένα ηλεκτρόνιο) (όπως, π.χ .

στο μόριο Να2 ή στο μόριο ΚΙ) τότε και τα δύο ηλεκτρόνια θα εποικίσουν το

κατώτερο μοριακό τροχιακό και επομένως θα προκύψει μια σαφής ενεργειακή

μείωση και κατά συνέπεια σχηματισμός διατομικού μορίου. Αυτές οι ιδέες μπορούν

να ποσοτικοποιηθούν ως εξής: Εάν 1φ και 2φ είναι τα ατομικά τροχιακά του ατόμου

1 και του ατόμου 2 με αντίστοιχες ενεργειακές στάθμες ε1 και ε2, (ε1≥ε2), τότε ένα

μοριακό τροχιακό, , όπου θα είναι απλωμένο και στο ένα άτομο και στο άλλο θα

έχει, στην απλούστερη δυνατή περίπτωση, την ακόλουθη μορφή∗:

2211 φ φ cc += (11.4)

όπου η ποσότητα )/(2

2

2

1

2

1 ccc + δίνει την πιθανότητα να είναι το ηλεκτρόνιο στο

άτομο 1 και η ποσότητα )/( 2

2

2

1

2

2 ccc + να είναι στο άτομο 2. Η ενέργεια του μοριακού

τροχιακού (όπως και κάθε άλλη παρατηρήσιμη ποσότητα) εξαρτάται διγραμμικά από

το ψ (δηλαδή εξαρτάται από ένα συνδυασμό της μορφής ψ∗Χψ). Χωρίς να

παρουσιάσουμε τα ενδιάμεσα βήματα θα δώσουμε το τελικό αποτέλεσμα για την

ενέργεια που αντιστοιχεί στο μοριακό τροχιακό ψ:

2

2

2

1

2212

2

21

2

1 2

cc

V cccc

+

++=

ε ε ε (11.5)

όπου ο όρος 2212 V cc προέρχεται από το «διπλάσιο γινόμενο» και η ποσότητα V2

(που έχει διαστάσεις ενέργειας) είναι τόσο μεγαλύτερη όσο μεγαλύτερη είναι η

επικάλυψη των ατομικών τροχιακών 1φ και 2φ . Όπως φαίνεται από τη σχέση (11.5), η

τιμή του ε εξαρτάται από το λόγο ∗∗

2 2 2

2 1/c c x≡ . Εφαρμόζοντας (για άλλη μια φορά)

∗ Η μορφή αυτή δικαιολογεί το όνομα γραμμικός συνδυασμός ατομικών τροχιακών για το μοριακό τροχιακό ψ.

∗∗ Αντί να διαιρέσουμε με 2

1c και μετά να παραγωγίσουμε ως προς 12 / cc x = , θα μπορούσαμε να

παραγωγίσουμε εξ αρχής ως προς 1c και και ως προς c2 και να θέσουμε τις μερικές αυτές παραγώγους

ίσες με μηδέν. Θα είχαμε τότε:

0]222[1

0)(

2)2())(22(

122112

2

2

1

2

2

2

1

12212

2

21

2

1

2

2

2

12211

1

=−++

=

=+

++−++=

cV cccc

cc

cV ccccccV cc

c

ε ε

ε ε ε ε

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 138/280

127

την αρχή ελαχιστοποίησης της ενέργειας, παραγωγίζουμε το ε ως προς x και θέτουμε

την παράγωγο ίση με μηδέν. Βρίσκουμε τότε (ορίζοντας το V3 ως τη θετική

ημιδιαφορά των ε1 και ε2, )02/)( 213 ≥−≡ ε ε V ότι

02 232

2 =−− V xV xV (11.6)

όπου 12 / cc x ≡ . Η εξίσωση (11.6) έχει δύο λύσεις: Η μία έχει ως εξής:

2

1

1

1

2

2

2

1

2

2

22

2

1

2 p

p

p a

cc

c

a

a

V

V

c

c x

+=

+⇒

+−== και

2

12

2

2

1

2

1 pa

cc

c −=

+ (11.7)

όπου

22

23

3

V V

V a

p+

≡ (11.8)

είναι εξ ορισμού ο δείκτης ιοντικότητας ή ετεροπολικότητας του δεσμού. Όταν

1→ pa ο δεσμός είναι σχεδόν 100% ιοντικός, ενώ όταν 0→ pa ο δεσμός είναι 100%

ομοιοπολικός. Η ενέργεια, ε, που αντιστοιχεί στη λύση (11.7) ισούται με

2

2

2

321

2V V +−

+=

ε ε ε (11.9)

και είναι προφανώς μικρότερη από την ατομική στάθμη ε2 (που εξ ορισμού ελήφθη ως η μικρότερη μεταξύ των ε1 και ε2). Άρα η λύση (11.7) δίνει το μοριακό

τροχιακό με την ελάχιστη ενέργεια που ονομάζεται δεσμικό μοριακό τροχιακό

(αφού ο σχηματισμός του χημικού δεσμού αντιστοιχεί σ’ αυτό το τροχιακό).

Η άλλη λύση της εξίσωσης (11.5) έχει ως εξής:

2

1,

1

12

2

2

1

2

2

22

2

1

2 p

p

p a

cc

c

a

a

V

V

c

c −=

+−

−= και

2

1

2

2

2

1

2

1 pa

cc

c +=

+ (11.10)

ή

0)(0 2211

1

=+−⇒=∂

∂V cc

cε ε

ε (11.6΄)

Όμοια:

0)(0 2122

2

=+−⇒=∂

∂V cc

cε ε

ε (11.6΄΄)

Για να έχει λύση διάφορη του μηδενός το σύστημα (11.6΄) και (11.6΄’) θα πρέπει (ε1-ε)(ε2-ε)-2

2V =0

από την οποία προκύπτει ότι το ε είναι ή αυτό που δίνεται από τη σχέση (11.9) ή αυτό που δίνεται από τη σχέση (11.11). Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του ε σε οποιαδήποτε από τις δύο σχέσεις (11.6΄) ή

(11.6΄΄)βρίσκουμε το λόγο c2/c1, όπως αυτός δίνεται στις σχέσεις (11.7) ή (11.10)

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 139/280

128

με ενέργεια ε ίση με

2

2

2

321

2V V ++

+=

ε ε ε (11.11)

και αντιστοιχεί στο μοριακό τροχιακό με την υψηλότερη ενέργεια∗

το οποίο ονομάζεται αντιδεσμικό μοριακό τροχιακό, λόγω του ότι δεν οδηγεί σε δημιουργία

χημικού δεσμού. Η ενεργειακή διαφορά των δύο μοριακών σταθμών ισούται με

2

2

2

32 V V + , που στην περίπτωση 100% ομοιοπολικού δεσμού γίνεται 22V . Η

ποσότητα 2

2

2

32 V V + δίνει στην παρούσα περίπτωση την ενεργειακή διαφορά μεταξύ

της θεμελιώδους κατάστασης του μορίου και της πρώτης διεγερμένης. Το ενεργειακό

κέρδος λόγω του σχηματισμού μορίου ισούται με .2)(22

2

2

321 V V +=+− ε ε ε Στη

πραγματικότητα το ενεργειακό κέρδος είναι σημαντικά μικρότερο (περίπου το μισό)

γιατί το να έλθουν τα δύο ηλεκτρόνια στο ίδιο μοριακό τροχιακό δημιουργεί μια

πρόσθετη απωστική ενέργεια Coulomb μεταξύ τους. Η πρόσθετη αυτή απωστική

ενέργεια για ομοιοπολικό δεσμό, είναι περίπου ίση με ,/ 33

2 d d V o όταν το d δεν

διαφέρει πολύ από το do. Εάν κανείς θελήσει να υπολογίσει αριθμητικές τιμές

προκειμένου να συγκρίνει τα θεωρητικά αποτελέσματα με τα πειραματικά δεδομένα

(και να ελέγξει έτσι την αξιοπιστία της θεωρίας και των σχετικών προσεγγίσεων) θα

πρέπει να γνωρίζει τις τιμές των V3 και V2. Οι τιμές του 2/)( 213 ε ε −≡V προκύπτουν

από τις τιμές των ε1, ε2 που έχουν υπολογισθεί για τα διάφορα άτομα και δίνονται σε

σχετικούς πίνακες ∗∗ Οι τιμές του V2, προκειμένου για τα εξώτερα κατειλημμένα (ή

ημικατειλημμένα) τροχιακά s και p, μπορούν να εκτιμηθούν από τους

προσεγγιστικούς τύπους του Harrison∗∗∗:

2

2

2md V

h

η = , od d ≈ (11.12)

όπου η είναι αριθμητικός παράγοντας, που εξαρτάται από το είδος και τον

προσανατολισμό των ατομικών τροχιακών και do είναι το μήκος του δεσμού.

∗ Η παραγώγιση της (11.5) δίνει και το ελάχιστο και το μέγιστο.

∗∗ Βλέπε, πχ . Τον Πιν. Ι στη σελιδα 157∗∗∗ Βλέπε Σχ .12.8 στη σελιδα 156

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 140/280

129

Σύνοψη

2 21 11 2 3 1 2 22 2

( ), ( ), /e

V V m d ε ε ε ε ε η = + = − = h

11.3 Υβριδισμός ατομικών τροχιακών

Συνήθως στο χημικό δεσμό δεν μετέχει ένα μόνο τροχιακό από κάθε άτομο, αλλά

περισσότερα. Επίσης δεν έχουμε μόνο διατομικά μόρια αλλά και πολυατομικά. Στη

γενική λοιπόν περίπτωση ένα μοριακό τροχιακό ψ είναι γραμμικός συνδυασμός

πολλών ατομικών τροχιακών

ia

a

ia

N

i

c ϕ ψ ∑∑=

=1

(11.13)

όπου φiα είναι το ατομικό τροχιακό τύπου α ( mna ,,l≡ ) του ατόμου υπ’ αρ. i

(i=1,...,N όπου Ν ο αριθμός των ατόμων στο υπό μελέτη μόριο). Μπορούμε και πάλι

να υπολογίσουμε την ενέργεια ε του μοριακού τροχιακού ψ (που θα είναι συνάρτηση

των διαφόρων cia) και να την ακροτατοποιήσουμε ως προς τις μεταβλητές cia. Θα

προκύψει τότε ένα σύστημα πρωτοβάθμιων εξισώσεων για τις ποσότητες cia (ανάλογο των εξισώσεων (11.6΄), (11.6΄΄)) που θα έχει τόσες λύσεις όσες και ο ολικός αριθμός

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 141/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 142/280

131

επικάλυψη ώστε να παράγουν μεγάλες τιμές του αντίστοιχου 2V και να οδηγήσουν

έτσι σε ελαχιστοποίηση της ολικής ενέργειας. Αυτές οι απαιτήσεις για τα τροχιακά

του κάθε ζεύγους ικανοποιούνται σε ορισμένες περιπτώσεις από τα ατομικά

τροχιακά. Π.χ ., για το μόριο Ν2 τα τροχιακά x p2 και y p2 και z p2 του κάθε ατόμου

μπορούν να φτιάξουν τρία ζεύγη μοριακών τροχιακών (1 x p και

2 x p , 1 y p και 2 y p , 1 z p

και 2 z p ) όπως φαίνεται στο Σχ . 11.2. Είναι φανερό από το σχήμα ότι το V2 που

αντιστοιχεί στο ζεύγος 1 x p και

2 x p θα είναι κατ’ απόλυτο τιμή αρκετά μεγαλύτερο

από το 2V που αντιστοιχεί στο ζεύγος 1 y p και 2 y p ή στο ζεύγος 1 z p και 2 z p .

Πράγματι, ο συντελεστής η στον τύπο (11.12) είναι ίσος με 2,22 για το ζεύγος 1 x p ,

2 x p και -0,63 για τα ζεύγη 1 y p , 2 y p και 1 z p , 2 z p .

Συνήθως δεν είμαστε τόσο τυχεροί ώστε η δημιουργία των σχεδόν ανεξάρτητων

ζευγών να είναι τόσο προφανής όσο στην περίπτωση του Ν2. Καταφεύγουμε τότε

στην ιδέα των υβριδικών ατομικών τροχιακών, τα οποία είναι κατάλληλος

γραμμικός συνδυασμός ατομικών τροχιακών του ίδιου ατόμου∗∗. Για παράδειγμα

θεωρήστε τα τροχιακά 2s και 2px του ατόμου του άνθρακα από τα οποία μπορούμε να

κατασκευάσουμε τα ισοβαρή υβριδικά τροχιακά 1

± sp όπως φαίνεται στο Σχ . 11.3.

∗∗ Είναι, δηλαδή, μια εύλογη προεπιλογή των πηλίκων oiaia cc / για κάθε άτομο i με βάση τα

κριτήρια που αναφέραμε πιο πάνω

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 143/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 144/280

133

Σχ . 11.4 Η δομή του C 2 H 2 όπως προκύπτει με τη βοήθεια των υβριδικών ατομικών

τροχιακών 1 sp του Ανθρακα. Μεταξύ των δύο ατόμων άνθρακα έχουμε τρία ζεύγη που

δημιουργούν τρία δεσμικά μοριακά τροχιακά: Το ζεύγος 1

1 χ ,2

2 χ , το ζεύγος 1 y p , 2 y p και

το ζεύγος 1 z p , 2 z p ( κάθετο στη σελίδα που δεν εικονίζεται ) .Το 2V που αντιστοιχεί

στο πρώτο ζεύγος είναι πολύ μεγαλύτερο ( 19,3=η ) από τα 2V των άλλων δύο

ζευγών. Έχουμε δύο ακόμη ζεύγη: Το 2

1 1, s χ μεταξύ του υδρογόνου αριστερά και του

υβριδικού 2

1 χ του ατόμου 1 του άνθρακα και το )1(

2+ sp ,s μεταξύ του υβριδικού )1(

+ sp του

ατόμου 2 του άνθρακα και του τροχιακού 1s του ατόμου του υδρογόνου δεξιά.

Εκτός από τα υβριδικά ατομικά τροχιακά )1( sp , αρκετά συχνά μας χρειάζονται τα

ατομικά υβριδικά )2(

sp και τα ατομικά υβριδικά )3(

sp . Τα πρώτα αποτελούνται από

το τροχιακό s και από δύο τροχιακά p (π.χ . το px, py) εξού και ο συμβολισμός 2 sp . Τα

τρία υβριδικά ατομικά τροχιακά 2 sp , που εικονίζονται στο Σχ . 11.4, είναι συνεπίπεδα

και σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία 120ο:

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 145/280

134

Σχ . 11.4 Τα τρία υβριδικά ατομικά τροχιακά sp(2) που σχηματίζονται από το

τροχιακό s και δύο από τα τροχιακά p ( τα p x και p y ), ( )1 1

23 s x p χ φ = + ,

2 1 1 3

23 2 s x y p p χ φ = − +

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, 3 1 1 3

23 2 s x y p p χ φ = − −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

. Η μέση ενέργεια , εh ,

κάθε υβριδικού )2( sp ισούται με )2( s ph ε ε ε += /3. Με κατάλληλο γραμμικό

συνδυασμό των τριών υβριδικών τροχιακών sp(2) του σχήματος , μπορούμε να

περιστρέψουμε και τα τρία τροχιακά διατηρώντας το συνεπίπεδο και τη γωνία των

120ο. Π . χ . η αλλαγή

p x→- p x και p y→- p y αντιστοιχεί σε στροφή κατά γωνία 180ο.

Τα υβριδικά sp(2) εμφανίζονται στη δομή, π.χ . του μεθυλενίου, C2H4 όπως φαίνεται

στο Σχ . 11.5.

Σχ . 11.5 Ta 12 ατομικά τροχιακά που συμμετέχουν στο σχηματισμό του μορίου C 2 H 4

χωρίζονται ( με τη βοήθεια των υβριδικών sp(2) των δύο ατόμων του άνθρακα ) σε έξη

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 146/280

135

σχεδόν ανεξάρτητα ζεύγη που το καθένα τους δημιουργεί ένα δεσμικό και ένα

αντιδεσμικό μοριακό τροχιακό. Το έκτο ζεύγος που εικονίζεται και αυτό στο σχήμα

αποτελείται από τα p z τροχιακά των δύο ατόμων άνθρακα.

Στα υβριδικά ατομικά τροχιακά sp

(3)

αναμιγνύονται ισοβαρώς το τροχιακό s και τα τρία τροχιακά p (τα px, το py και το pz).

Τα υβριδικά ατομικά τροχιακά sp(3) ενός ατόμου έχουν κατευθυντικότητα προς τις

τέσσερις κορυφές ενός κανονικού τετραέδρου (θεωρώντας ότι ο πυρήνας βρίσκεται

στο κέντρο βάρους του τετραέδρου), όπως φαίνεται στο Σχ . 11.6.

Σχ . 11.6 Τα τέσσερα υβριδικά ατομικά τροχιακά sp(3) με διευθύνσεις κατά τις

κορυφές κανονικού τετραέδρου. Οι άξονες των τροχιακών αυτών σχηματίζουν ανά δύο έξη ίσες γωνίες 109,47 ο. Η μέση ενέργεια εh , κάθε υβριδικού sp3 ισούται με

εh,=( ε s+3ε p )/4.

O αναγνώστης μπορεί εύκολα να δει ότι τα υβριδικά τροχιακά sp(3) είναι αυτά που

εμφανίζονται στο μόριο του μεθανίου CΗ4 ή στο μόριο του αιθυλενίου C2H6 ή στο

μόριο του σιλανίου SiH4 (Στον άνθρακα ο κύριος κβαντικός αριθμός είναι n=2, ενώ

στο πυρίτιο είναι n=3).

Θα κλείσουμε αυτήν την ενότητα με μια σημαντική παρατήρηση: Ο σχηματισμός

υβριδικών ατομικών τροχιακών κοστίζει ενέργεια. Στην περίπτωση των δύο

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 147/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 148/280

137

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12

ΣΤΕΡΕΑ ΥΛΗ Ι : ΜΟΝΤΕΛΟ JELLIUM

Τα βασικά χαρακτηριστικά της συμπυκνωμένης ύλης (δηλαδή των στερεών και

των υγρών) είναι η πυκνότητά της (που κυμαίνεται σε σχετικά στενά όρια από

περίπου 1 gr/cm3 μέχρι περίπo υ 20 gr /cm3 , παρόλο που η μάζα των ατόμων

κυμαίνεται από περίπου 1mu μέχρι περίπου∗ 238 mu) και το σχεδόν ασυμπίεστό της.

Το τελευταίο χαρακτηρίζεται από την ποσότητα Β, που ονομάζεται υδροστατικό

μέτρο ελαστικότητας, και ορίζεται ως το πηλίκο της πίεσης δP η οποία προκαλεί μια

σχετική μεταβολή του όγκου δV/V δια της απόλυτης τιμής του δV/V:

)/( V P V B ∂∂−= . Στην παραγώγιση κρατάμε είτε τη θερμοκρασία σταθερή, οπότε

γράφουμε ΒΤ είτε την εντροπία σταθερή, οπότε γράφουμε Bs. (Ισχύει γενικά

vT P S C BC B /= ). Τα ισότροπα στερεά χαρακτηρίζονται επίσης από την αντίσταση

που προβάλλουν σε διατμητικές τάσεις που τείνουν να αλλάξουν το σχήμα του

στερεού αλλά όχι τον όγκο. Η αντίσταση αυτή ποσοτικοποιείται από το λεγόμενο

διατμητικό μέτρο ελαστικότητας, που συμβολίζεται με το γράμμα, μ. Το μ είναι

συγκρίσιμο σε μέγεθος με το Β για σκληρά υλικά με τυπική τιμή μ/Β≈1/3 ( στο

Βηρύλιο ο λόγος μ/Β έχει τη μέγιστη τιμή ίση με 1,33).

Όπως αναφέραμε στο κεφ. 7 το στερεό σχηματίζεται από τον ανταγωνισμό της

ελκτικής ενέργειας Coulomb (που χαρακτηρίζεται πρωτίστως από το φορτίο του

πρωτονίου e) και της κβαντικής κινητικής ενέργειας των ηλεκτρονίων (που

χαρακτηρίζεται από τη σταθερά του Planck h και τη μάζα του ηλεκτρονίου, (m). Οι

τρεις βασικές σταθερές me ,, h ορίζουν ένα σύστημα μονάδων με χαρακτηριστικό

μήκος την ακτίνα του Bohr, Bα ( )/ 22 mea B h= ∗∗

, χαρακτηριστική ενέργεια το

λεγόμενο Hartree, 22/ Bo ma E h= , χαρακτηριστική πίεση την 523

// B Bo maa h=ε ,

χαρακτηριστική ταχύτητα την Bma/h , κ .ο.κ .∗∗ ∗

∗ Το mu είναι το 1/12 της μάζας του ατόμου του άνθρακα 12.

∗∗ Στο σύστημα SI το e2 πρέπει να αντικατασταθεί με το e

2/4πεο

∗∗∗ Εάν ο αναγνώστης επιθυμεί μπορεί να αντικαταστήσει το Bα με το 22 / meh ώστε να εκφράσει

όλες τις μονάδες συναρτήσει των me ,,h . Θα δούμε ότι αντί του e2 είναι βολικότερο να κρατήσουμε

το Bα

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 149/280

138

Συνήθως, αλλά όχι πάντα, τα άτομα ενός στερεού τοποθετούνται στο χώρο με ένα

περιοδικό τρόπο επαναλαμβάνοντας μια μονάδα που ονομάζεται μοναδιαία κυψελίδα.

Στη συνέχεια παρουσιάζουμε τρία συνήθη παραδείγματα μοναδιαίων κυψελίδων :

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 150/280

139

12.1 Διαστατική ανάλυση

Η απλούστερη προσέγγιση στις ιδιότητες των στερεών είναι η διαστατική ανάλυση

με βάση τις παγκόσμιες σταθερές me ,,h . Είδαμε ήδη ότι το μέγεθος των ατόμων και

το μήκος του δεσμού των μορίων είναι της τάξεως του Bα (αν και αρκετά

μεγαλύτερο, βλέπε σχέση (11.3)). Επομένως και το χαρακτηριστικό μήκος της δομής

των στερεών θα είναι της τάξεως του Bα (αφού ένα στερεό μπορεί να θεωρηθεί ως

ένα υπεργιγάντιο μόριο). Ένας τρόπος να ορίσουμε το χαρακτηριστικό μήκος, sr , της

δομής ενός στερεού είναι η ακτίνα μιας νοητής σφαίρας που έχει όγκο ίσο με τον

όγκο ανά άτομο, V/N, του στερεού. Μ’ άλλα λόγια το μήκος sr ορίζεται από τη σχέση

N

V r s =

3

3

4π (12.1)

όπου V είναι ο όγκος του στερεού και Ν ο συνολικός αριθμός των ατόμων που το

αποτελούν. Βάσει του ό,τι αναφέραμε προηγουμένως έχουμε ότι

55,1 ,)( ≤≤= f a Z f r B s (12.2)

Η πυκνότητα, ρM, του στερεού εκφράζεται εύκολα μέσο του sr

3

33/7,224,0

)/(cm gr

f

A

r

m

N V

m

V

Nm

V

M B

s

aaa M ≈==== ολ ρ (12.3)

όπου ΑΒ είναι το (μέσο) ατομικό βάρος των ατόμων που αποτελούν το στερεό

(ΑΒ ≈ Α και Α είναι ο μαζικός αριθμός του πυρήνα).

Για την ενέργεια σύνδεσης του στερεού ανά άτομο, N E E /ολ δ δ = , και για το

υδροστατικό μέτρο ελαστικότητας Β, θα δοκιμάσουμε το αποτέλεσμα της διαστατικής

ανάλυσης με την πρόσθετη αντικατάσταση B s B far a =→ .

2 2

2 2 2 2

1 27,2

s B

E eV m r ma f f

δ = = =h h

(12.4)

2 26

5 5 5 5

0,6 1750,6 10

s B

h B

m r ma f f ≈ = ≈ ×

h bar (12.5)

O αριθμητικός παράγοντας, 0,6, δεν προκύπτει φυσικά από τη διαστατική ανάλυση,

αλλά έχει τεθεί εκ των υστέρων για βελτίωση της ποσοτικής συμφωνίας με τα

πειραματικά δεδομένα.

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 151/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 152/280

141

από την πειραματική τιμή του n ρ των περισσοτέρων μετάλλων σε θερμοκρασία

Τ=300Κ όπως φαίνεται στον Πίν. 12.2

Πιν. 12.2 Ειδική ηλεκτρική αντίσταση μερικών μετάλλων σε θερμοκρασία Τ =300 Κ

Μέταλλο Li Na K Cs Cu Ag Au A l Mg Pb Zn

n ρ ( cm⋅Ω ) 9,55 4,93 7,47 21 1,73 1,63 2,27 2,73 4,51 21,3 6,1

Όμως η κατάσταση γίνεται πολύ χειρότερη για χαμηλές θερμοκρασίες μερικών

βαθμών Kelvin, όπου η ειδική ηλεκτρική αντίσταση, π.χ ., του χαλκού μπορεί να

μειωθεί σε 10-6

cm⋅Ω

δηλαδή να γίνει οκτώ τάξεις μεγέθους μικρότερη από την

εκτίμηση τη βασισμένη στη διαστατική ανάλυση. Αντίθετα σε μονωτές η ειδική

ηλεκτρική αντίσταση μπορεί να γίνει πρακτικά άπειρη (της τάξεως του 1025

cm⋅Ω ). Είναι φανερό ότι για ένα μέγεθος που οι τιμές του κυμαίνονται από στερεό

σε στερεό μέχρι και τριάντα τάξεις μεγέθους, η διαστατική ανάλυση είναι

καταδικασμένη να αποτύχει. Η ερμηνεία του γιατί η ειδική ηλεκτρική αντίσταση έχει

ένα τέτοιο τεράστιο εύρος τιμών και εξαρτάται τόσο πολύ από τη θερμοκρασία και

την καθαρότητα του στερεού ανάγεται και πάλι στην κβαντομηχανική, όπως θα

δείξουμε σε επόμενη ενότητα.

12.2 Το μοντέλο των ελεύθερων ηλεκτρονίων

Στην προηγούμενη ενότητα δείξαμε ότι η απλή διαστατική ανάλυση (βάσει των

σταθερών me ,,h και της αντικατάστασης B s B far a =⇒ δίνει τη σωστή τάξη μεγέθους

για πολλές (αλλά όχι για όλες) τις ποσότητες που χαρακτηρίζουν τη στερεά φάση.

Μάλιστα όταν χρησιμοποιήσαμε την πειραματική τιμή για το f η συμφωνία

διαστατικής εκτίμησης και πειραματικών δεδομένων έγινε πολύ καλή. Το ερώτημα

που τίθεται είναι εάν μπορούμε να υπολογίσουμε το f (ή το B s far = ) από πρώτες

∗ Η τιμή αυτή αντιστοιχεί σε μέση ελεύθερη διαδρομή των ηλεκτρονίων της τάξεως των

109Α=10cm! Ενώ η τιμή n ρ 100 cmμ ≈ Ω ⋅ της διαστατικής ανάλυσης αντιστοιχεί σε μέση ελεύθερη

διαδρομή περίπου 8A όσο, δηλαδή, θα περίμενε κανείς από ηλεκτρόνια που προχωρούν στο στερεό

συγκρουόμενα με άτομα που απέχουν μεταξύ τους μερικά Angstrom.

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 153/280

142

αρχές. Η απάντηση είναι καταφατική και μάλιστα αρκετά απλή και οικεία εάν

χρησιμοποιήσουμε το μοντέλο των ελεύθερων ηλεκτρονίων. Το μοντέλο αυτό θεωρέι

ότι κατά το σχηματισμό του στερεού αποκολλώνται από κάθε άτομο ζ ηλεκτρόνια

(όπου ζ είναι το χημικό σθένος) αφήνοντας πίσω ένα ιόν με φορτίο ζ e . Τα

ηλεκτρόνια που έχουν αποκολληθεί θεωρούμε ότι κινούνται σ’ όλο το στερεό

ελεύθερα, δηλαδή, σαν να μην υφίστανται καμία δύναμη. Για να βρούμε λοιπόν, το f

αρκεί να υπολογίσουμε την ολική ενέργεια του στερεού, που αποτελείται από την

κινητική ενέργεια των ηλεκτρονίων (η οποία, όπως έχουμε αναφέρει επανειλημμένως

είναι ανάλογη του 22 /1~/1 f r s και τη συνολική ενέργεια Coulomb μεταξύ ελευθέρων

ηλεκτρονίων-ελευθέρων ηλεκτρονίων, μεταξύ ιόντων-ιόντων και μεταξύ ελευθέρων

ηλεκτρονίων-ιόντων. Η συνολική δυναμική ενέργεια είναι ανάλογη του 1/r s~1/f αφού

πρόκειται για ενέργεια Coulomb. Έτσι η συνολική ενέργεια του στερεού (ανά άτομο)

δίνεται από ένα τύπο της μορφής∗:

2

2 2( )

B

U a

N f f ma

γ ′ ′= −

h (12.7)

Ελαχιστοποιώντας το U/N ως προς f έχουμε την τιμή ισορροπίας του

, 2 / f f a γ ′ ′= . Π.χ ., για το l A , όπου a′ =13,6 και γ ′ =9,03, το f προκύπτει ίσο με

3,01 ενώ η πειραματική τιμή είναι 2,99. Ακόμη και για το Si (όπου το μοντέλο των

ελεύθερων ηλεκτρονίων δεν είναι κατάλληλο) βρίσκουμε a′ =24,5, γ ′ =17,95 και

f =2,73 ενώ η πειραματική τιμή είναι 3,18. Από τον τύπο (12.7) μπορεί κανείς να

υπολογίσει το υδροστατικό μέτρο ελαστικότητας.∗ ∗

∗ Η ποσότητα a′ ισούται με 1,3ζ5/3+ηζ

2r c, και η ποσότητα γ ′ με 0,56ζ4/3+0,9ζ

2(βλέπε, Ε. Ν.

Οικονόμου, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, ΠΕΚ , Ηράκλειο, 1997, σελ .45-47). Στις περιπτώσεις αυτές το ζ είναι το σθένος του ατόμου, το r c είναι η ακτίνα του ιόντος διηρημένη με το αΒ, και το

η=0,4+0,5 1)/( 1 −− ζ ζ ζ o , όπου ζο είναι ο αριθμός των ηλεκτρονίων στον εξώτερο

ημισυμπληρωμένο υλικό του ατόμου και ζ1=1 για τις τρεις πρώτες γραμμές του περιοδικού πίνακα και

ζ1=6 για όλες τις γραμμές. Το c

r δεν πρέπει να συγχέεται με το r !

∗∗ Δείξτε πρώτα ότι 22 / V U V B ∂∂+= (για Τ=OK) και στη συνέχεια λάβετε υπόψη ότι

3~ f V ή

1/ 3 ~V f . Εφαρμόστε το αποτέλεσμα για το αλουμίνιο και για το πυρίτιο, όπου δώσαμε τις τιμές του

a′ και γ ′ . Αποτέλεσμα 5 2 5 5(1/ 6 )( / )( / ) 15,6 / Mbar e B B a f m a a f π ′ ′= =h

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 154/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 155/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 156/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 157/280

146

φορές∗ την ατομική απόσταση d. Γιατί όμως η ηλεκτρική αντίσταση δεν γίνεται

ακριβώς μηδέν, όπως θα περίμενε κανείς από λύσεις της μορφής (12.11α); Δύο είναι

οι λόγοι: Πρώτον στα πραγματικά στερεά υπάρχουν πάντα κάποιες ξένες προσμίξεις

και κάποια δομικά σφάλματα στην τοποθέτηση των ατόμων, που προκαλούν αποκλίσεις από την περιοδικότητα και επομένως καταστρέφουν εν μέρει την τέλεια

εποικοδομητική συμβολή και οδηγούν σε τριβές. Δεύτερον, σε τριβές επίσης οδηγεί

και το ότι τα άτομα ταλαντώνονται γύρω από τις θέσεις ισορροπίας προκαλώντας

έτσι αποκλίσεις από την περιοδικότητα. Το πλάτος των ταλαντώσεων αυτών αυξάνει

με τη θερμοκρασία και επομένως περιμένουμε ότι η ειδική ηλεκτρική αντίσταση των

μετάλλων να αυξάνει με τη θερμοκρασία και μάλιστα γραμμικά, όπως πράγματι

συμβαίνει∗∗

.

∗ Ο F. Bloch (που πρώτος συνέλαβε την ιδέα ότι η κυματική φύση των ηλεκτρονίων ερμηνεύει τις

τεράστιες τιμές του μήκους ελεύθερης διαδρομής) διηγήθηκε με τα εξής λόγια πώς οδηγήθηκε στην εξήγηση αυτή και στο ομώνυμο θεώρημά του:

«...Το γεγονός ότι η περιοδικότητα του κρυστάλλου θα ήταν ουσιαστικής σημασίας μου ήλθε

στο νου ανακαλώντας στη μνήμη μου μια επίδειξη στο μάθημα της στοιχειώδους φυσικής ,όπου πολλά ίδια και ομοίως συζευγμένα εκκρεμή ήσαν αναρτημένα από μια ράβδο με ίσες μεταξύ τους αποστάσεις και την κίνηση του ενός εκκρεμούς τη βλέπαμε να « μεταναστεύει»κατά μήκος της αλυσίδας από εκκρεμές σε εκκρεμές . Με τέτοιες ασαφείς ιδέες στο νου μου γύρισα στο νοικιασμένο δωμάτιό μου ένα βραδάκι στις αρχές Ιανουαρίου (1928) και έπιασα μολύβι και χαρτί ...»

Πιάστε, λοιπόν, και σεις μολύβι και χαρτί και λύστε – με βάση το νόμο του Νεύτωνα, F=mγ- το περιοδικό σύστημα των συζευγμένων εκκρεμών του σχήματος που ακολουθεί (Υποθέστε ότι το n=N+1 συμπίπτει με το n=1και το n=0 συμπίπτει με το n=N).

∗∗

Είναι εύλογο να θεωρήσουμε ότι η αντίσταση που προβάλλει το δονούμενο άτομο στη ροή των

ηλεκτρονίων είναι ανάλογη, της διατομής του λόγω μετακίνησης, δηλαδή ανάλογη του u2, όπου u είναι

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 158/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 159/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 160/280

149

Σχ . 12.2 Δημιουργία δύο ενεργειακών ζωνών σ ’ ένα μονοδιάστατο «στερεό» όμοιων ατόμων ( που

το καθένα τους έχει ένα ατομικό τροχιακό s και ένα p x ) τοποθετημένων περιοδικά. Υπάρχει μια μόνο τιμή

του d για την οποία κλείνει το χάσμα.

Για μεγάλες τιμές του d, δηλαδή μικρές τιμές των V2 δημιουργούνται δύο στενές

ενεργειακές ζώνες γύρω από το εs (με εύρος ίσο περίπου με ssV 24 ) και το p

ε (με

εύρος περίπου ίσο με ppV 24 ). Στη συνέχεια καθώς το d μικραίνει οι ενεργειακές

ζώνες διευρύνονται και το χάσμα κατά συνέπεια συρρικνώνεται μέχρι πλήρους

εξαφάνισης. Όμως αμέσως μετά το χάσμα εμφανίζεται πάλι. Τώρα όμως η κεντρική

ενέργεια των δύο ενεργειακών ζωνών είναι περίπου h s p V 22/)( ±+ ε ε , όπου V2h είναι

το V2 μεταξύ του υβριδικού )1(

+ sp ενός ατόμου και του υβριδικού )1(

− sp του ατόμου που

βρίσκεται στα δεξιά του. Μ’ άλλα λόγια, για μικρές τιμές του d, δηλαδή, για μεγάλες

τιμές του hV 2 σχετικά με το 2/)(1 s pV ε ε −= , οι ενεργειακές ζώνες σχηματίζονται

γύρω από το δεσμικό και το αντιδεσμικό μοριακό τροχιακό που δημιουργούν τα

υβριδικά τροχιακά )1(

+ sp και )1(

− sp δύο διαδοχικών ατόμων. Το εύρος της κάθε ζώνης

για μικρές τιμές του d είναι περίπου ίσο με 2V1: Βλέπουμε λοιπόν ότι οι ρόλοι του

V2h και V1 αντιστρέφονται:

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 161/280

150

Για hV 2 << 1V η απόσταση των κέντρων των δύο ενεργειακών ζωνών είναι 2V1 και

και το εύρος της κάθε μιας είναι περίπου ίσο με 24V . Για 1V << hV 2 η απόσταση των

κέντρων των δύο ενεργειακών ζωνών είναι ίση με 2 hV 2 και το εύρος της κάθε

ενεργειακής ζώνης είναι περίπου ίσο με 2V1. Η σημασία αυτών των παρατηρήσεων

έγκειται στο ότι γενικεύονται στις τρεις διαστάσεις (όπως θα δούμε αμέσως πιο κάτω)

και επομένως μας επιτρέπουν να εκτιμήσουμε το εύρος του χάσματος, Εg. Το Εg

καθορίζει καίριες ιδιότητες των ημιαγωγών και των μονωτών, όπως είναι η ηλεκτρική

συμπεριφορά, η διαφάνεια ή μη των ολικών αυτών, το χρώμα τους, κλπ.

Σημειώστε ότι εάν το κάθε άτομο του μονοδιάστατου μοντέλου μας έφερε δύο

ηλεκτρόνια (στο ατομικό τροχιακό s) και τα δύο και κανένα στο px) τότε τα 2 Ν

ηλεκτρόνια θα γέμιζαν ακριβώς και τα Ν τροχιακά της κάτω ενεργειακής ζώνης του

Σχ . 12.2 και θα άφηναν τελείως άδεια όλα τα Ν τροχιακά της πάνω ενεργειακής

ζώνης. Οπότε συμβαίνει αυτό έχουμε είτε ημιαγωγό (εάν το εύρος του χάσματος, Εg

είναι μικρότερο η περίπου ίσο με 3eV) είτε μονωτή (εάν το Εg>3eV)∗. Ο λόγος είναι

απλός: Για να υπάρξει ηλεκτρικό ρεύμα θα πρέπει η κατανομή ισορροπίας των

ηλεκτρονίων στα διάφορα τροχιακά του στερεού να τροποποιηθεί ως αποτέλεσμα της

επιβολής του ηλεκτρικού πεδίου. Όμως η τροποποίηση αυτή (στην περίπτωση που η ανώτερη κατειλημμένη ενεργειακή ζώνη είναι πλήρης) απαιτεί την ενεργειακή

μετακίνηση ηλεκτρονίων τουλάχιστον κατά Εg (πράγμα που δεν είναι εφικτό, όταν

g E >>k BT, εκτός εάν το ηλεκτρικό πεδίο είναι τόσο τεράστιο ώστε να οδηγήσει στη

διάσπαση του ημιαγωγού ή του μονωτή). Άρα το υλικό θα συμπεριφερθεί ως μονωτής

ή ημιαγωγός και η ειδική ηλεκτρική του αντίσταση θα έχει τη μορφή

~ exp( / 2 )q

n g BT E k T ρ με 5 / 2q ≈ .

To συμπέρασμα, λοιπόν, είναι ότι η κβαντομηχανική μας παρέχει ποιοτική και

ποσοτική ερμηνεία της ποικίλης ηλεκτρικής συμπεριφοράς των στερεών τόσο των

αγωγών όσο και των μονωτών.

Το Σχ . 12.3 είναι μια διδιάστατη απεικόνιση τριών ατόμων π.χ . Si με τα τέσσερα

τροχιακά 3 sp για κάθε ένα άτομο.

∗ Όταν το χάσμα γίνει μηδέν ή λίγο αρνητικό (που σημαίνει πολύ μικρή επικάλυψη των δύο ζωνών έχουμε ημιμεταλλική ηλεκτρική συμπεριφορά.

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 162/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 163/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 164/280

153

Σχ . 12.5 Σχηματισμός των ενεργειακών ζωνών ενός μονοστοιχειακού τετρασθενούς ημιαγωγού ( εν

προκειμένω του πυριτίου ) από μια διαδοχή βημάτων κάθε ένα από τα οποία προσεγγίζει όλο και

καλύτερα την πραγματικότητα. Μέχρι και το 4ο βήμα οι υπολογισμοί είναι εντελώς στοιχειώδεις . Από κει

και πέρα απαιτείται σταδιακή αύξηση της περιπλοκότητας των υπολογισμών. ( Το

4/)3( s ph ε ε ε += είναι η στάθμη του υβριδικού ατομικού τροχιακού )3( sp . Το hh V 2±ε είναι η

στάθμη του αντιδεσμικού και του δεσμικού μοριακού τροχιακού μεταξύ τροχιακών )3( sp που ανήκουν σε

γειτονικά άτομα ). Το χάσμα , Ε g , σύμφωνα με τον απλό αυτό υπολογισμό ισούται περίπ ου με

)(5,62

2

s p g md

E ε ε −−≈ h

.

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 165/280

154

Σχ . 12.6 Δεσμικά μοριακά τροχιακά ( α ) και ενεργειακές ζώνες (b) σε σύνθετο ημιαγωγό (GaAs).

Διακρίνονται (1) οι ατομικές στάθμες , s p

ε ε του ανιόντος (As) και του κατιόντος (Ga), (2)οι αντίστοιχες

υβριδικές , (3) οι δεσμικές και αντιδεσμικές μοριακές στάθμες και (4) η ζώνη σθένους ( που αποτελείται

από δύο υποζώνες ) και η ζώνη αγωγιμότητας σε διάφορες υπολογιστικές εκδοχές (5, 6, 7)

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 166/280

155

Τέλος στο Σχ . 12.7 δίνεται το είδος του στερεού που θα προκύψει ανάλογα με τις

τιμές των δεικτών πολικότητας, 2

3

2

33 / V V V a h p += , και μεταλλικότητας

2

3

2

21 / V V V a hm += .

Σχ . 12.7 «Φασικό» διάγραμμα στο επίπεδο α p , am των απλών τετρασθενών στοιχειακών στερεών και

των τετρασθενών ( κατά μέσο όρο ) ενώσεων.

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 167/280

156

Σχ . 12.8 Τα μη διαγώνια στοιχεία της Χαμιλτονιανής μεταξύ άμεσων γειτόνων δινονται από τον

γενικό τύπο 2 2

2/

eV m d η = h ,όπου το d είναι το μήκος του δεσμού και το η εξαρτάται από το είδος

των ατομικών τροχιακών ( , s p ) και τον προσανατολισμό του σχετικά με τη κατεύθυνση του δεσμού.

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 168/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 169/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 170/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 171/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 172/280

212 «Ã…¡√Ÿ√œ… I

13.9 ”˝ÌÔ¯Á

« ÍÒıÛÙ·ÎÎÈÍfi ‰ÔÏfi Ù˘Ì ÙÂÙÒ·ÛËÂÌ˛Ì ÁÏÈ·„˘„˛Ì (ÏÔÌÔÛÙÔȘÂÈ·Í˛Ì, fi IV-IV, fi ………-V, fi II-VI) ÂflÌ·È ÙÂÙҷ‰ÒÈÍfi Í·È ÛÙÁ Ï„‹ÎÁ ÎÂÈÔ¯Áˆfl· Ù˘ÌÂÒÈÙ˛ÛÂ˘Ì ·ÔÙÂÎÂflÙ·È ·¸ ‰˝Ô ıÔΛ„Ï·Ù· fcc ÏÂÙ·ÙÔÈÛϛ̷ ÙÔ ›Ì·˘Ú ÒÔÚ ÙÔ ‹ÎÎÔ Í·Ù‹ ÙÔ ‰È‹ÌıÛÏ· d

(0)1 = (1 1 1)(

a = 4) , ¸Ôı a ÂflÌ·È ÙÔ

ÏfiÍÔÚ ÙÁÚ ·ÍÏfiÚ ÙÁÚ ÏÔÌ·‰È·fl·Ú Íı‚ÈÍfiÚ Íı¯ÂÎfl‰·Ú. ¡¸ ÙÔ ”˜. 13.1Í·È ÙÁ „Ì˛ÛÁ ÙÔı ‰È·Ì˝ÛÏ·ÙÔÚ d

(0)1 Ò›ÂÈ Ì· ÏÔÒÂflÙ ̷ ‚ÒflÛÍÂÙ ٷ

Ù›ÛÛÂÒ· ‰È·Ì˝ÛÏ·Ù· Ôı ÂÌ˛ÌÔıÌ Í‹Ë ‹ÙÔÏÔ Ï ٷ Ù›ÛÛÂÒ· „ÂÈÙÔÌÈÍ‹ÙÔı. ’‹Ò˜ÔıÌ ‰˝Ô ‰È·ˆÔÒÂÙÈÍ›Ú Ù›ÙÔÈÂÚ ÙÂÙÒ‹‰ÂÚ Ôı ‰flÌÔÌÙ·È ·¸ ÙÔıÚ Ù˝ÔıÚ (13.1) Í·È (13.2).

‘· ı‚ÒȉÈÍ‹ ÙÒԘȷ͋s p

3 ÙÔı ·Ù¸ÏÔı Ôı ‚ÒflÛÍÂÙ·È ÛÙÁÌ ·Ò˜fi Ù˘Ì·Ó¸Ì˘Ì ‰flÌÔÌÙ·È ·¸ ÙÔıÚ Ù˝ÔıÚ:

(0)1 = 1

2

h

(0)s

+

(0)p

x

+

(0)p

y

+

(0)p

z

i

(13: 3·)

(0)2 =

1

2

h

(0)s

+

(0)p

x

;

(0)p

y

;

(0)p

z

i

(13: 3‚)

‘·

(0)3 Í·È

(0)4 ÒÔÍ˝ÙÔıÌ ·¸ ÙÔ

(0)2 Ï ÍıÍÎÈÍfi ÂÌ·Îη„fi Ù˘Ì ·ÒÌÁÙÈ-

Í˛Ì ÒÔÛfiÏ˘Ì ÏÂÙ·Ó˝ Ù˘Ì

(0)p

x

,

(0)p

y

Í·È

(0)p

z

.

√È· ÙÔ ‹ÙÔÏÔ Ôı ‚ÒflÛÍÂÙ·È ÛÙÁ Ë›ÛÁ (1 1 1)(a =

4) ›˜ÔıÏÂ:

(1)1 =

1

2

h

(1)s

;

(1)p

x

;

(1)p

y

;

(1)p

z

i

(13: 4·)

(1)2 = 1

2

h

(1)s

;

(1)p

x

+

(1)p

y

+

(1)p

z

i

(13: 4‚)

Í·È Ù·

(1)3 ,

(1)4 Ï ÍıÍÎÈÍfi ÂÌ·Îη„fi ÙÔı ÏÂflÔÌ ÏÂÙ·Ó˝ Ù˘Ì

(1)p

x

,

(1)p

y

Í·È

(1)p

z

.

« Â̛҄ÂÈ· ÙÔı ı‚ÒȉÈÍÔ˝ ÙÒԘȷÍÔ˝,

h

, ÈÛÔ˝Ù·È ÏÂ:

h

=

s

+ 3

p

4 (13

: 5)

‘Ô ÛÙÔȘÂflÔ ÙÔı flÌ·Í· ÙÁÚ ˜·ÏÈÎÙÔÌÈ·ÌfiÚ ÏÂÙ·Ó˝ ı‚ÒȉÈÍ˛Ì ÙÒÔ˜È·Í˛Ìs p

3 ÙÔı fl‰ÈÔı ·Ù¸ÏÔı ÈÛÔ˝Ù·È ÏÂ;

V 1 , ¸Ôı

V 1 =

p

;

s

4> 0 (13 : 7)

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 173/280

13.9 ”’Õœÿ« 213

‘Ô ÛÙÔȘÂflÔ ÙÔı flÌ·Í· ÙÁÚ ˜·ÏÈÎÙÔÌÈ·ÌfiÚ ÏÂÙ·Ó˝ Ù˘Ì ÎÁÛÈ›ÛÙÂÒ˘Ìı‚ÒȉÈͲÌ

s p

3 „ÂÈÙÔÌÈÍ˛Ì ·Ù¸Ï˘Ì ‰flÌÂÙ·È, Û˝Ïˆ˘Ì· Ï ÙÈÚ ÂÈÎÔ„›Ú ÙÔı

Harrison, ·¸ ÙÔÌ Ù˝Ô:

V 2h

=; 3 22

~

2

m d

2 (13: 8)

¸Ôı d ÂflÌ·È ÙÔ ÏfiÍÔÚ ÙÔı ‰ÂÛÏÔ˝, Ôı Ûı̉›ÂÙ·È Ï ÙÁÌ Î„ϷÙÈÍfiÛÙ·ËÂÒ‹ a ˘Ú ·ÍÔÎԽˢÚ: d =

p

3a =

4.

« Ê˛ÌÁ ·„˘„ÈϸÙÁÙ·Ú (∆¡) ‰ÁÏÈÔıÒ„ÂflÙ·È „˝Ò˘ ·¸ ÙÁÌ ·ÌÙȉÂÛÏÈÍfiÛÙ‹ËÏÁ

a

, ¸Ôı

a

=

h

+q

V

22 h

+ V

23 h

(13: 13)

Í·È Á Ê˛ÌÁ ÛË›ÌÔıÚ (∆”) „˝Ò˘ ·¸ ÙÁ ‰ÂÛÏÈÍfi ÛÙ‹ËÏÁ

b

=

h

;

q

V

22

h

+ V

23

h

(13: 12)

¸Ôı

h

= (

h A

+

h B

) = 2. ‘· ·ÌÙflÛÙÔȘ· ½ÒÁ ‰flÌÔÌÙ·È ·¸ ÙÈÚ ÔνÒÔÛ„„ÈÛÙÈÍ›Ú Û˜›ÛÂÈÚ,

W ∆¡ '

4j

H

A

a a

+H

B

a a

j

Í·ÈW ∆” '

4j

H

A

b b

+H

B

b b

j

(‚Λ ۘ›ÛÂÈÚ (13.21-.24)). ‘Ô ˜‹ÛÏ·, E

g

, ÏÂÙ·Ó˝ ∆¡ Í·È ∆” ÂflÌ·È ÙÁÚ Ù‹ÓÂ˘Ú ÙÔı

E

g

' 2

q

V

22 h

+ V

23 h

;

1

2j

p A

+

p B

;

s A

;

s B

j

= 2

q

V

22 h

+ V

23h

; (V 1

A

+ V 1B

)

(13: 33)

¸Ôı V 3h

= (

h A

;

h B

)= 2.

√È· ‰Â‰ÔÏ›ÌÔk ÔÒflÊÔÌÙ·È ÂÌ „›ÌÂÈ ÂÒÈÛÛ¸ÙÂÒÂÚ ÙÁÚ ÏÈ·Ú ÂÌÂÒ„›Ú Ï‹ÊÂÚ

·Ì‹ÎÔ„· Ï ÙÁ ‰È½ËıÌÛÁ Í·È ÙÔ ‰ÂflÍÙÁ n :

1

m

i n

1

~

2

@

2E

n

(k )

(@ k

i

)2 i

= 1 2 3 (13 : 35)

√È· ÁÏÈ·„˘„Ô˝Ú Ï·Ú Ẩȷˆ›ÒÔıÌ È‰È·ÈÙ›Ò˘Ú ÔÈ ÂÌÂÒ„›Ú Ï‹ÊÂÚ ÛÙÔ Í‹Ù˘›Ò·Ú ÙÁÚ ∆¡ Í·È ÛÙÔ ‹Ì˘ ›Ò·Ú ÙÁÚ ∆”.

œÈ ÔÛ¸ÙÁÙÂÚ Ôı ·Ô‰fl‰ÔıÏ ÛÙÈÚ Ô›Ú ( h ) (‰Áη‰fi ÛÙ· ÂÎÎÂflÔÌÙ·ÁÎÂÍÙÒ¸ÌÈ· ·¸ ÙÁ ∆”) Ûı̉›ÔÌÙ·È ˘Ú ÂÓfiÚ Ï ÙÈÚ ·ÌÙflÛÙÔȘÂÚ ÔÛ¸ÙÁÙÂÚ

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 174/280

214 «Ã…¡√Ÿ√œ… I

Ù˘Ì ÂÎÎÂȸÌÙ˘Ì ÁÎÂÍÙÒÔÌfl˘Ì ( e ):

s

h

= ; s

e

(13: 48)

k

h

=;

k

e

(13: 49)

e

h

=j

e j

(13: 50)

v

h

(k

h

) = v

e

( k

e

) (13 : 51)

E

h

(k

h

) =;

E

e

(k

e

) (13 : 52)

Ã›Û˘ Ù˘Ì Ô˛Ì ‰ÈÂıÍÔνÌÂÙ·È Í·È „flÌÂÙ·È ÈÔ ÔÈÍÂfl· Á ÏÂΛÙÁ ÙÁÚ ∆”.

« ‰ÈÁÎÂÍÙÒÈÍfi ÛıÌ‹ÒÙÁÛÁ, (1 ) , „È· !

L O

!

E

g

= ~

, ‰flÌÂÙ·È ÒÔÛ„-„ÈÛÙÈÍ‹ ·¸ ÙÁ Û˜›ÛÁ

(1 ) = 1 + 2 13

A

B

a

3c

d d d = a

B

(13: 58)

ÂÌ˛ „È· !

E

g

= ~

ÈÛ˜˝ÂÈ Ô Ù˝ÔÚ

(! ) = (1 )

!

2;

!

2L O

!

2;

!

2T O

(13: 65)

Ôı Ô‰Á„Âfl ÛÙÁ Û˜›ÛÁ Ù˘Ì LST:

(0) =

(

1

)!

2L O

!

2T O

(13: 66)

√È· ÏÔÌÔÛÙÔȘÂÈ·ÍÔ˝Ú ÁÏÈ·„˘„Ô˝Ú !

L O

=!

T O

Í·È (0) =

(

1

). √È· ÂÙÂÒÔ-ÔÎÈÍÔ˝Ú ÁÏÈ·„˘„Ô˝Ú !

2L O

= !

2T O

+ (4 q

2A

n

A

= (

1 )m

r

).

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 175/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 176/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 177/280

166

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13

ΠΛΑΝΗΤΕΣ

Οι πλανήτες είναι αστρικά σώματα αρκετά μεγάλης μάζας ώστε οι βαρυτικές

συνθλιπτικές πιέσεις στο εσωτερικό τους να είναι κάπως συγκρίσιμες με τις

ηλεκτροστατικές. Ως αποτέλεσμα αυτού του γεγονότος οι πλανήτες έχουν σχήμα

σφαιρικό∗. Υπάρχουν πλανήτες με σύσταση πετρώδη (όπως η Γη, ο Άρης, κλπ) και

πλανήτες που δεν αποτελούνται από στερεά ύλη (όπως ο Δίας, Κρόνος, κλπ.). Η

διαφορά οφείλεται στη χημική σύνθεση: Οι πρώτοι περιέχουν κυρίως πυρίτιο,

οξυγόνο και βαρύτερα στοιχεία, ενώ οι δεύτεροι αποτελούνται κυρίως από υδρογόνο

και κάποιο ποσοστό ηλίου. Στο Σχ . 13.1 δίνεται η εξάρτηση της πυκνότητας, ρ, της

πίεσης, P, και της επιτάχυνσης της βαρύτητας της Γης από την απόσταση r (από το

κέντρο της).

Σχ . 13.1 Η μεταβολή με την απόσταση r από το κέντρο της Γης της πυκνότητας , ρ ,

και της πίεσης P της επιτάχυνσης της βαρύτητας g(r )

∗ Η συνολική βαρυτική ενέργεια ενός σφαιρικού πλανήτη μάζας Μ και ακτίνας R ισούται με

RaGM /2− , όπου α αριθμητική σταθερά που εξαρτάται από το τι μορφή έχει η συνάρτηση της

πυκνότητας, )(r ρ . Για )(r ρ =σταθ= )3/4/( 3 Rπ Μ , α=0,6. Το ότι το σφαιρικό σχήμα

ελαχιστοποιεί την ολική βαρυτική ενέργεια φαίνεται αμέσως αν λάβουμε υπόψη μας ότι οποιοδήποτε άλλο σχήμα προκύπτει αν αφαιρέσουμε σταδιακά κάποια μάζα από μια περιοχή της σφαίρας και την προσθέσουμε σε μια άλλη. Αυτή η διαδικασία αυξάνει την απόσταση της μετακινηθείσης μάζας από το κέντρο της σφαίρας και επομένως αυξάνει την ολική βαρυτική ενέργεια. Επειδή η ηλεκτρική και η κινητική ενέργεια των σωματίων του πλανήτη δεν εξαρτώνται από το σχήμα (με την εξαίρεση ενός πολύ μικρού ποσοστού που συνδέεται με την επιφανειακή τάση) έπεται ότι και η ολική ενέργεια ελαχιστοποιείται για σφαιρικό σχήμα του πλανήτη. Η παραπάνω ανάλυση δημιουργεί συνήθως κάποια

εύλογα ερωτήματα: Αφού η βαρύτητα ευνοεί σχήμα σφαιρικό για τον πλανήτη, γιατί δεν κάνει το ίδιο και για τους αστεροειδής; Αφού η βαρύτητα ευνοεί σχήμα σφαιρικό γιατί δεν κάνει το ίδιο και η ηλεκτροστατική δύναμη; Τι είδους σχήμα ευνοεί η επιφανειακή τάση;

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 178/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 179/280

168

Σχ . 13.2 Η διαδικασία ισοπέδωσης ενός βουνού περνάει από καταστάσεις

υψηλότερης ενέργειας πριν καταλήξει στην τελική κατάσταση ελάχιστης ενέργειας

Όσο υψηλότερο το βουνό τόσο μικρότερος είναι ο ενεργειακός φράκτης μέχρι που

για κάποιο κρίσιμο ύψος, Η, ο ενεργειακός φράκτης μηδενίζεται και το βουνό

αυθόρμητα θα μειώσει το ύψος του λόγω πλαστικής ροής στη βάση του

Σχ . 13.3 Το βουνό θα βυθιστεί ( κατακόρυφα βέλη ) ή και θα διαχυθεί ( οριζόντια

βέλη ), όταν οι διατμητικές τάσεις στη βάση του λόγω βάρους υπερβούν την κρίσιμη

τάση πλαστικής ροής . Το αποτέλεσμα είναι να μειωθεί το ύψος του

όπως φαίνεται στο Σχ .13.3. Οι διατμητικές τάσεις είναι της τάξεως του βάρους του,

g SH g V B ρ ρ

3

1≈= , δια της επιφάνειας, S, στη βάση του. Η κρίσιμη τιμή πλαστικής

ροής, cτ , είναι περίπου 100 φορές μικρότερη από την ελαστική διατμητική σταθερά,

Ε

Ν

Ε

Ρ

Γ

Ε

Ι Α

κατάσταση

ύπαρξης του

βουνού

ενεργειακός

φράκτης

τελική κατάσταση

ισοπέδωσης του

βουνού

Η

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 180/280

169

μ, η οποία με τη σειρά της, όπως αναφέραμε στο κεφάλαιο 12, είναι γύρω στο Β/3.

Επομένως 300/ Bc ≈τ , όπου το Β δίνεται από τον τύπο 52 /6,0 imr h (βλέπε σχέση

12.5). Εξισώνοντας, λοιπόν τη διατμητική τάση στη βάση του βουνού με την κρίσιμη

τιμή πλαστικής ροής έχουμε:

5

2

300

6,0

3 imr

Hg hλ

ρ γ = (13.1)

όπου γ και λ είναι αριθμητικές σταθερές της τάξεως της μονάδας. Η πυκνότητα, ρ,

έχει ήδη υπολογισθεί στο κεφ. 12, )3/4/(3

sa r m π ρ = , όπου B s far = και η επιτάχυνση

της βαρύτητας, g, ισούται προφανώς με 3/4/)3/4(/ 232 RG R RG RGM ρ π π ρ == .

Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις αυτές στην σχέση (13.1) έχουμε τελικά (θέτοντας

3≈ f και 1/ ≈γ λ )

2 2

2 2 2 2

0,0750,025 0,075

G B a a B

RH e e f

a Gm Gm A

λ α

γ α = ≈ = (13.2)

236

2

/1,2538 10

/G u

a e c

a Gm c= = ×

h

h

που σημαίνει με λόγια ότι το γινόμενο RH διηρημένο με την ακτίνα του Bohr στο

τετράγωνο ισούται χοντρικά με το λόγο της ηλεκτροστατικής προς τη βαρυτική

δύναμη. Αν δεχτούμε ότι το μέσο ατομικό βάρος, ΑΒ, του βραχώδους πλανήτη είναι

περίπου 55 (όσο και της Γης) έχουμε, θέτοντας aa m Am B

= , την ακόλουθη

αριθμητική τιμή για το γινόμενο RH:

111087,0 +×≈ RH m2 (13.3)

που για τη Γη σημαίνει ότι δεν μπορεί να υπάρξουν βουνά με ύψος μεγαλύτερο των

13,6 περίπου χιλιομέτρων.

13.2 Θερμοκρασία ενός πλανήτη

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 181/280

170

Η ενεργός θερμοκρασία της «επιφάνειας»∗ ενός πλανήτη προσδιορίζεται εύκολα

από το συνολικό ενεργειακό ισοζύγιο στον πλανήτη: Η ισχύς, Q, που απορροφά ο

πλανήτης λόγω της ακτινοβολίας του κεντρικού άστρου (του Ήλιου στην περίπτωση

του δικού μας πλανητικού συστήματος) πρέπει να ισούται με την ισχύ, π, που ακτινοβολεί ο πλανήτης. Όπως εξηγήσαμε στον Επίλογο του πρώτου μέρους, σχέση

(Ε.3), η ποσότητα Lπ ισούται με 42

4 π σ π T R΄ όπου το σ είναι η σταθερά των Stefan-

Boltzmann και Τπ είναι η ζητούμενη ενεργός θερμοκρασία του πλανήτη. Απομένει να

υπολογίσουμε την ποσότητα Q. Η συνολική ισχής, α, που εκπέμπει το κεντρικό άστρο

ισούται με 424 aa T R σ π , όπου R α είναι η ακτίνα του κεντρικού άστρου και Τα η ενεργός

θερμοκρασία της «επιφάνειάς» του (για τον Ήλιο Τα≈5800Κ ). Η ισχύς, qo, που

δέχεται από το κεντρικό άστρο μια επιφάνεια μοναδιαίου εμβαδού τοποθετημένη

κάθετα στις ακτίνες του και σε απόσταση l ισούται με 24/ lπ ao Lq = , αφού από κάθε

ομόκεντρη με το κεντρικό άστρο σφαίρα ακτίνας l >R α περνάει η ίδια ισχύς Lα. (Για

την περίπτωση της Γης, 2/1360 mW qo = ). Επομένως ένας πλανήτης σε απόσταση l

από το κεντρικό άστρο δέχεται συνολικά ισχύ ίση με το oq επί τη διατομή πR 2 του

πλανήτη. Άρα η ισχύς που απορροφά, Q, ισούται με oq R AQ 2)1( ′−= π , όπου Α είναι

ο συντελεστής ανάκλασης (για τη Γη Α≈0,3).

Θέτοντας, λοιπόν το 24224/)4()1( lπ σ π π aa T R R AQ ′−= ίσο με το 42

4 π π σ π T R L ′=

βρίσκουμε

aa T

R AT

l2)1( 4/1

−=π (13.4)

Ο ευφυής κάτοικος ενός πλανήτη δεν χρειάζεται να γνωρίζει το R α του ήλιου του

και το l του δικού του πλανήτη προκειμένου να υπολογίσει την ενεργό θερμοκρασία

της «επιφάνειάς» του.

Πράγματι, εάν θ είναι η γωνία υπό την οποία φαίνεται το κεντρικό άστρο από τον

εν λόγω πλανήτη, έχουμε την εξής σχέση

22tan

θ θ ≈=

l

a R (13.5)

∗ Ως «επιφάνεια» νοείται το εμβαδόν μιας σφαίρας ακτίνας h R R΄ += που περιλαμβάνει και τον

κύριο όγκο της ατμόσφαιρας του πλανήτη. Ο λόγος h/R<0,01 και επομένως R ≈R.

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 182/280

171

Στην περίπτωση Γης- Ήλιου, θ≈32΄ (δηλαδή ο ήλιος φαίνεται υπό γωνία περίπου

μισής μοίρας) και επομένως R α/ l =(16/60)(π/180) ≈0,00465.

Θέτοντας Α≈0,3 και ΤΗ≈5800Κ , βρίσκουμε ότι η ενεργός θερμοκρασία

ακτινοβολίας της Γης ισούται με

Τ≈256Κ (13.6)

Η αντίστοιχη πειραματική τιμή είναι 254οΚ . Αν αυτή ήταν η μέση θερμοκρασία

της επιφάνειας στην ξηρά και στους ωκεανούς της Γης, το Η2Ο του πλανήτη μας θα

είχε τη μορφή πάγου και η ύπαρξη ζωής (τουλάχιστον με την παρούσα της μορφή)

κάθε άλλο παρά πιθανή θα ήταν. Ευτυχώς για μας, διατηρείται μια διαφορά

θερμοκρασίας μεταξύ των ανωτάτων στρωμάτων της τροπόσφαιρας ( ύψους περίπου

10km) όπου η θερμοκρασία είναι περίπου Τρ≈225 Κ των νεφών (σε ύψος γύρω στα 3

km συνήθως) όπου η θερμοκρασία είναι Τc=265 Κ και της επιφάνειας της Γης, όπου

η θερμοκρασία είναι περίπου Τg=290 Κ .

Οι διαφορές αυτές οφείλονται κατά κύριο λόγο στο φαινόμενο θερμοκηπίου χάρις

στο οποίο έχουμε στην επιφάνεια της Γης άφθονο νερό σε υγρή και όχι σε στερεά

μορφή.

Στο Σχ . 13.4 εικονίζεται η μέση θερμοκρασία στην ατμόσφαιρα της Γης ως

συνάρτηση του υψομέτρου Ζ από την επιφάνεια της θάλασσας∗.

Μια πιο προσεκτική ανάλυση της ακτινοβολίας της Γης απαιτεί την εισαγωγή

τριών θερμοκρασιών : g

T = μέση θερμοκρασία εδάφους,c

T = μέση θερμοκρασία

νεφών σε ύψος περίπου 3 km και pT = μέση θερμοκρασία τροπόσφαιρας σε ύψος

περίπου 10 km. Η μισή περίπου ενέργεια εκπέμπεται από την κορυφή της

τροπόσφαιρας και από ένα τέταρτο από τα σύννεφα και το έδαφος. Αρα

2 2 4 4 4 2 41 1 12 4 4(1 ) 4 [ ] 4o p c g eff q A R Q R T T T R T π πσ πσ ′ ′ ′− = = + + = (13.7)

Οι πειραματικές τιμές είναι οι εξής :

254K eff T = (που πρακτικά συμπίπτει με την τιμή 256 Κ που υπολογίσαμε),

∗ Η μεταβολή (πτώση) της θερμοκρασίας και της πίεσης της γήινης ατμόσφαιρας με το υψόμετρο

μπορεί να υπολογισθεί αρκετά ικανοποιητικά (για Ζ ≤ 10 km) αν δεχτούμε ότι η μεταβολή αυτή είναι ισεντροπική (δηλαδή ότι η εντροπία είναι ανεξάρτητη του υψομέτρου). Μπορείτε να κάνετε αυτόν τον

υπολογισμό;

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 183/280

172

65K, 25K, p g c g

T T T T ≈ − ≈ − (Οι σχέσεις αυτές προκύπτουν από το Σχ . 13.4.

Βλέπε επίσης το βιβλίο Στατιστική Φυσική του Ε. Ν. Οικονόμου, σελ . 36-38).

Αντικαθιστώντας τις τιμές , p cT T στην (13.7) βρίσκουμε ότι 290K g T ≈ .

Ο τύπος που δίνει την μεταβολή της θερμοκρασίας με το υψόμετρο z είναι

1( ) (0) (0) 9,77 (km), 12km

M g T z T z T z z

R

γ

γ

′−≈ − = − ≤ (13.8)

όπου 1.4, 28,96gr, 8,315J/mol×K M Rγ ′≈ = =

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 184/280

173

Σχ . 13.4 Μεταβολή της θερμοκρασίας της Γής με το υψόμετρο z .

13.3 Γιατί υπάρχουν άνεμοι στην ατμόσφαιρα των πλανητών; Πόση είναι η

μέση ταχύτητα των ανέμων;

Οι άνεμοι υπάρχουν επειδή η απορρόφηση της ηλιακής ενέργειας από ένα πλανήτη

είναι ανομοιόμορφη. Η ανομοιομορφία οφείλεται στο σφαιρικό σχήμα των πλανητών

(η περιοχή του ισημερινού απορροφά πολύ περισσότερο από όσο οι περιοχές των

T(K)

290

270

250

230

210

190

0 10 20 z(km)

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 185/280

174

πόλων) αλλά και στην εναλλαγή ημέρας- νύκτας λόγω περιστροφής του πλανήτη περί

τον άξονά του.

Έπειτα από πολύχρονες παρατηρήσεις στην ατμόσφαιρα της Γης αλλά και άλλων

πλανητών του ηλιακού μας συστήματος είχε βρεθεί ότι η μέση ταχύτητα , υ, των ανέμων σ’ ένα πλανήτη δίνεται από τον ακόλουθο περίπλοκο εμπειρικό τύπο:

2/12/14/116/716/1 −−= μ σ υ Rcqa p (13.9)

όπου α είναι αριθμητική σταθερά της τάξης της μονάδας (για τη Γη, α≈0,6), σ

είναι η σταθερά των Stefan-Boltzmann, q=qo(1-A/4, c p=C p/M είναι η ανά μονάδα

μάζας θερμοχωρητικότητα της ατμόσφαιρας, R η ακτίνα του πλανήτη και

μ=Μα/4πR 2, όπου Μα είναι η συνολική μάζα της ατμόσφαιρας του πλανήτη.

Αργότερα βρέθηκε ότι ο περίπλοκος εμπειρικός τύπος (13.9) προκύπτει θεωρητικά αν

εξισώσει κανείς την μέση κινητική ενέργεια της ατμόσφαιρας, 2

2

1υ a M με την

απορροφούμενη από τον πλανήτη ηλιακή ισχύ πολλαπλασιασμένη επί ένα

χαρακτηριστικό χρόνο, τπ, αποκατάστασης. Ο συντομότερος τέτοιος χρόνος σε

κλίμακα πλανητική είναι ο χρόνος που χρειάζεται ένα ηχητικό κύμα για να διασχίσει

την ημιπεριφέρεια του πλανήτη: c R ~/π τ π = , όπου c~ είναι η ταχύτητα του ήχου στην

ατμόσφαιρα του πλανήτη.

Καταλήξαμε, λοιπόν, στο συμπέρασμα ότι ο εμπειρικός τύπος (13.9) προκύπτει

από την απλή και εύλογη σχέση

π τ υ Qa M a )2(2

1 22= (13.10)

όπου το 2α2 είναι αριθμητικός παράγοντας της τάξεως της μονάδας. Μπορείτε να

εξάγεται τον τύπο (13.9) από τη σχέση (13.10);

Βιβλιογραφία

1. ALEXEY BYALKO, Παίρνοντας τη θερμοκρασία της Γης, Quantum, Μάρτιος-

Απρίλιος 1995, σελ . 4-9.

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 186/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 187/280

176

gr/cm! (Δηλαδή, όση η πυκνότητα της ύλης μέσα σ’ ένα πυρήνα). Ο αστέρας

νετρονίων είναι ένας υπεργιγάντιος πυρήνας που υπάρχει λόγω των βαρυτικών

δυνάμεων ακριβώς επειδή είναι τόσο υπεργιγάντιος.

Εάν η μάζα Μ είναι μεγαλύτερη από περίπου 2,5 ΜΗ δεν υπάρχει κατάσταση της ύλης ικανή να αντιμετωπίσει την βαρυτική κατάρρευση, η οποία συνεχίζεται χωρίς

όριο δημιουργώντας έτσι τη λεγόμενη μελανή οπή.

14.1 Λευκοί Νάνοι

Έστω ότι R είναι ακτίνα του λευκού νάνου (οπότε ο όγκος του είναι 3/4 3rRV π = )

και Μ= Νvmu η μάζα του, όπου Νv είναι ο συνολικός αριθμός νουκλεονίων. Εάν

υποθέσουμε ότι η πυκνότητα είναι η ίδια σ’ όλη την έκταση του λευκού νάνου (που

δεν είναι) τότε η μεν βαρυτική ενέργεια ισούται με

R

GM U B

2

5

3−= (14.1)

η δε κβαντική κινητική ενέργεια δίνεται από τον τύπο∗

3/2

2

3/587,2 V mU e

e

h

Ν=κ (14.2)

όπου Νe είναι ο συνολικός αριθμός ηλεκτρονίων. Ελαχιστοποιώντας το άθροισμα

BU U U += κ ολ , θέτοντας δηλαδή 0/ =∂∂ RU ολ έχουμε

3/13/5

23/5 1

)(68,3 M mGm N

N R

uev

e h=

Εάν είχαμε λάβει υπόψη μας ότι η πυκνότητα δεν είναι ίδια αλλά μειώνεται καθώς

κινούμαστε από το κέντρο του λευκού νάνου προς την επιφάνειά του, το αποτέλεσμα

θα ήταν παρόμοιο με μόνη τη διαφορά ότι ο αριθμητικός συντελεστής αντί να ήταν

3,68 θα ήταν 4,51:

3/13/5

23/5 1

)(51,4 M mGm N

N R

uev

e h= (14.3)

∗ Υποθέτουμε ότι οι κινητικές ενέργειες των ηλεκτρονίων δεν έχουν φτάσει σε σχετικιστικές τιμές.

Αν είχαν φτάσει, αντί της (2.9) θα έπρεπε να είχαμε ξεκινήσει από τον τύπο (2. 9′ ). Υποθέτουμε ακόμη ότι η θερμική ενέργεια (3/2) Nk BT είναι αμελητέα σε σύγκριση με την Uκ του τύπου (14.2),

πράγμα που ισχύει.

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 188/280

177

M mmG N

N RV

s

uev

e 1)(9,384

3

433

653 h

== π

(14.3΄)

Βλέπουμε ότι η σχέση όγκου-μάζας σ’ ένα λευκό νάνο, αντί να είναι V~M (όπως

είναι στη συνηθισμένη στερεά ή υγρή ύλη, όπου η ισορροπία επιτυγχάνεται εξισώνοντας την ηλεκτροστατική συνθλιπτική πίεση με την πίεση λόγω κβαντικής

κινητικής ενέργειας) είναι V~1/M, δηλαδή ο όγκος είναι αντιστρόφως ανάλογος της

ολικής μάζας και επομένως η πυκνότητα είναι ανάλογη του τετραγώνου της

συνολικής μάζας (λόγω του ότι η βαρυτική ενέργεια είναι ανάλογη του τετραγώνου

της μάζας δια της ακτίνας R).

Στην κατάσταση ισορροπίας (λαμβάνοντας υπόψη την αριθμητική διόρθωση λόγω

της μεταβολής της πυκνότητας∗

) έχουμε ότι

R

GM U B

2

7

6−= ,

R

GM U

2

7

3=κ ,

R

GM U

2

7

3−=ολ

(14.4)

όπου το R δίνεται από τον τύπο (14.3). Παρατηρήστε ότι ικανοποιούνται οι

σχέσεις κ ολ U U = και κ U U B 2= , σύμφωνα με ότι αναφέραμε στην ενότητα 10.2.

Από τις προηγούμενες σχέσεις έπεται ότι η μέση κινητική ενέργεια ανά

νουκλεόνιο Uκ / Νv αυξάνει ανάλογα με τη μάζα Μ στην 4/3 δύναμη. Επομένως καθώς

η μάζα αυξάνει οι ταχύτητες των ηλεκτρονίων θα γίνουν σχετικιστικές. Για να

διευκολύνουμε τις πράξεις θα θεωρήσουμε ότι είμαστε στο ακραίο σχετικιστικό όριο,

όπου Εκ =cp. Στην περίπτωση αυτή, ισχύει ο τύπος (2.9΄) που δίνει για Νe ηλεκτρόνια

R

N c N

V

N acU e

ee

3/43/1 ~)( h

h=κ (14.6)

όπου ο αριθμητικός παράγοντας α ισούται με 2,32 για ομοιόμορφη πυκνότητα.

Στην παρούσα περίπτωση τόσο η ολική κινητική ενέργεια όσο και δυναμική βαρυτική

ενέργεια είναι ανάλογες του 1/R: Uκ =A/R, UB=-Γ/R. Εάν Α>Γ κερδίζει η απωστική

πίεση και ο λευκός νάνος θα διασταλεί μέχρι να επανέλθει στη μη σχετικιστική

περίπτωση που εξετάσαμε προηγουμένως. Εάν, πάλι Γ>Α, ο λευκός νάνος θα

συρρικνωθεί μέχρι να γίνει αστέρας νετρονίων ή μελανή οπή. Όταν Α=Γ, έχουμε την

∗ Δεδομένου ότι η πυκνότητα στο κέντρο του λευκού νάνου είναι 5,99 φορές τη μέση πυκνότητα,δείξτε ότι η μέγιστη κινητική ενέργεια στο κέντρο ενός λευκού νάνου ισούται με

3/44

2

42)(3,0 e

e

vue F N

N N mmG E

h= (14.5)

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 189/280

178

ακραία περίπτωση ύπαρξης λευκού νάνου. Η σχέση Α=Γ είναι (θέτοντας, Γ=γGM2)

ισοδύναμη με την

23/43/1)4

3( oe GM N ac γ π

=h (14.7)

ή με την

2/3

2

22/32/1 )()()()4

3(

uv

e

u

ovo

Gm

c

N

N a

m

M N

h

γ π == (14.7΄)

Εάν η πυκνότητα ήταν η ίδια σ’ όλη την έκταση του λευκού νάνου ο λόγος α/γ θα

ήταν 2,32/0,6=3,867, ενώ για την πραγματική μεταβολή της πυκνότητας έχουμε ότι

α/γ=3,427. Χρησιμοποιώντας την τελευταία αυτή τιμή και επιλέγοντας Νe/Nv=1/2

έχουμε

2/3

2)(775,0

uu

ovo

Gm

c

m

M N

h== , Oριο Chandrasekhar (14.7΄΄)

Η αδιάστατη ποσότητα 2/ uGmch είναι περίπου ο λόγος της ισχυρής

αλληλεπίδρασης προς τη βαρυτική και ισούται με 1,718x1038:

38

210718,1 ×=

uGm

ch (14.8)

Υψώνοντας στην χαρακτηριστική δύναμη 3/2 και αντικαθιστώντας στην

(14.7΄΄) βρίσκουμε ότι 30109,2 ×≈o M kgr. Δεδομένου ότι η μάζα του Ήλιου

ισούται με ΜΗ=1,99x1030 kgr έχουμε ότι Μο/ΜΗ=1,45.

14.2 Ελάχιστο μέγεθος ενός ενεργού άστρου

Θεωρήστε ένα μεσοαστρικό νέφος ύλης σφαιρικού σχήματος μάζας Μ και

ακτίνας R , που αρχίζει να συμπυκνώνεται υπό την επίδραση της βαρύτητάς του.

Θεωρούμε ότι η διαδικασία συμπύκνωσης είναι αρκετά αργή ώστε τα σωμάτια της

ύλης συγκρουόμενα το ένα με το άλλο να φτάνουν σε μια προσωρινή ισορροπία

και να αποκτούν μια ενιαία θερμοκρασία Τ που αλλάζει φυσικά καθώς μειώνεται

σταδιακά το R . Όπως αναφέραμε στην ενότητα 10.2, η συνολική κινητική

ενέργεια των σωματίων είναι για κάθε τιμή του R ίση με μείον τη συνολική ολική

(κινητική και δυναμική) ενέργεια του συστήματος.

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 190/280

179

Θα εξετάσουμε τρία σενάρια του τι μπορεί να συμβεί καθώς η βαρύτητα

συμπιέζει την ύλη. Μόνο το τρίτο σενάριο είναι ρεαλιστικό. Εν τούτοις η εξέταση

των άλλων δύο διευκολύνει την κατανόηση του τι θα συμβεί στην

πραγματικότητα.

Σύμφωνα με το πρώτο σενάριο ο Κόσμος είναι κλασικός (όχι κβαντικός) και

δεν υπάρχουν πυρηνικές αλληλεπιδράσεις (ούτε ισχυρές, ούτε ασθενείς). Στο

Σχ .14.1α εικονίζεται το τι θα συνέβαινε σύμφωνα με το σενάριο αυτό. Η ακτίνα R

θα συρρικνωνόταν συνεχώς χωρίς όριο και μάλιστα με επιταχυνόμενο ρυθμό

(αφού η απώλεια ενέργειας θα ήταν ανάλογη του R 2T

4~1/R

2 λόγω του ότι

RGM T Nk B /)5

3()2/3(

2= ). Έτσι η ύλη θα κατέρρεε και θα κατέληγε σε μία

μελανή οπή∗. Μ’ άλλα λόγια όλο το Σύμπαν θα κατέρρεε σε μια ή περισσότερες

μελανές οπές σύμφωνα με αυτό το σενάριο.

Σχ . 14.1α. Σύμφωνα με το πρώτο σενάριο η ολική ενέργεια θα μειώνεται συνεχώς λόγω

ακτινοβολίας . Αυτό συνεπάγεται ότι η κινητική ενέργεια αυξάνει συνεχώς , ( μια και U κ = -U ολ ) πράγμα

που σημαίνει αύξηση της θερμοκρασίας ( αφού T Nk U B2

3=κ )

Το δεύτερο σενάριο ενσωματώνει ένα κύριο στοιχείο της φυσικής

πραγματικότητας; Το γεγονός ότι ο Κόσμος είναι κβαντικός. Πάσχει όμως από το

ότι οι ισχυρές και οι ασθενείς αλληλεπιδράσεις εξακολουθούν να θεωρούνται

απούσες. Η βασική διαφορά από το πρώτο σενάριο είναι ότι η σχέση κινητικής

∗ Μπορείτε να σκεφτείτε ποια αρχική συνθήκη μπορούσε να εμποδίσει την κατάρρευση σε μελανή

οπή στα πλαίσια του κλασικού σεναρίου;

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 191/280

180

ενέργειας Uκ και θερμοκρασίας δεν είναι η κλασική ( T Nk U B2

3=κ , Ν=Ne+(Nv/A),

όπου Nv/A=αριθμός πυρήνων),αλλά η κβαντική (βάσει του προσεγγιστικού τύπου)

22 )2

3()5

3( T vk E N U B F e +=κ , Z v

11+= (14.9)

Θέτοντας και πάλι τη συνθήκη ισορροπίας BU U U 2

1−=−= ολ κ βρίσκουμε ότι η

θερμοκρασία δίνεται από την ακόλουθη σχέση

2/12

22

422

]25

9

4[

2

3 F

e

B E R N

M GT vk −

′= γ

(14.10)

και επομένως μηδενίζεται όταν το υπόρριζο γίνει μηδέν (για ομοιόμορφη

πυκνότητα γ=0,6). Το υπόρριζο μηδενίζεται όταν η ακτίνα R γίνει ίση με R όπου

euv

e

mmGN

N R

22

3/522,2 h

γ = (14.11)

λαμβάνοντας υπόψη την (14.3).Επομένως αντί του Σχ . 14.1α θα έχουμε το 14.1β.

O λόγος /e

N N ν

ισούται με περίπου 1,35 για ενεργό άστρο και περίπου 2 για

λευκό νάνο.

Σχ . 14.1 β . Παρουσία κβαντικών φαινομένων και απουσία πυρηνικών αλληλεπιδράσεων το

σύστημα θα ακτινοβολήσει ενέργεια μέχρι να μηδενισθεί η θερμοκρασία του , οπότε θα ισορροπήσει σε ακτίνα R΄ =R τέτοια ώστε η πίεση λόγω της κβαντικής κινητικής ενέργειας των ηλεκτρονίων θα εξισορροπηθεί από τη συνθλιπτική πίεση της βαρύτητας . Το σημείο ισορροπίας , R΄ =R, είναι σημείο

ευσταθούς ισορροπίας γιατί η κινητική ενέργεια ( για Τ ≈ ΟΚ ) μεταβάλλεται πια ως 1/R΄ 2 , όπως δείχνουν τα βέλη

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 192/280

181

Η μέγιστη θερμοκρασία εμφανίζεται για R R 2=′ και ισούται με

B F k R E v

/)2(5

2όπου το R δίνεται από τον τύπο (14.11):

3/442

42

max )(06,0e

e

v

B

ue N N N

k mmG

vT

h= (14.12)

Ο τύπος (14.12) προέκυψε από τον (14.3) λαμβάνοντας υπόψη τον παράγοντα

2/5v και το ότι υπολογίσθηκε για R R 2=′ και όχι για R =R (πράγμα που θα

εισαγάγει ένα παράγοντα 0,5, αφού 2/1~ R E F ′ ).

Ας εξετάσουμε τώρα το τρίτο, το ρεαλιστικό, σενάριο, όπου έχει ενσωματωθεί

και η δυνατότητα πυρηνικών αντιδράσεων. Για να υπάρξει άστρο θα πρέπει να

τεθεί σε λειτουργία η σύντηξη ελαφρών πυρήνων, πράγμα που απαιτεί κινητικές

ενέργειες αρκετά υψηλές ώστε με τη βοήθεια και του κβαντικού φαινομένου

σήραγγας να υπερπηδηθεί ο ηλεκτροστατικός φράκτης δυναμικού. Η

θερμοκρασία, Τign, έναρξης της σύντηξης δύο πρωτονίων δίνεται από την

ακόλουθη σχέση∗

2

4

h

uign B

menT k = (14.13)

όπου λεπτομερείς υπολογισμοί δίνουν για το η περίπου την τιμή 0,1.

Για να υπάρξει λοιπόν άστρο θα πρέπει να αρχίσει η σύντηξη αρκετά πριν

φτάσουμε στη μέγιστη τιμή της θερμοκρασίας. Θα πρέπει δηλαδή

Τmax≥ΛΤing (14.14)

όπου Λ αρκετά μεγαλύτερο από τη μονάδα (π.χ . Λ≈2), όπως φαίνεται στο Σχ .

14.1γ. Αντικαθιστώντας στην (14.14) τις σχέσεις (14.12) και (14.13) έχουμε τελικά

2/3

3

22/3

3

224/3 )(6,0)()()06,0

(

ueuev

ev

mmG

e

mmG

e N N nv N ≈

Λ≥ (14.15)

∗ Η κινητική ενέργεια για τη σύντηξη δύο πρωτονίων θα πρέπει να εξαρτάται από το ηλεκτρικό

τους φορτίο e, από τη μάζα τους mu, και από τη σταθερά του Planck, h , αφού πρόκειται για το κβαντικό φαινόμενο σήραγγας. Από τις ποσότητες αυτές μόνο ένας συνδυασμός έχει διαστάσεις

ενέργειας, δηλαδή ο 24 /hume . Άρα η μέση κινητική ενέργεια για να αρχίσει η σύντηξη που ισούται

με (3/2)k BTign θα πρέπει να είναι ένα κλάσμα του 24 /hume . Επομένως η θερμοκρασία έναρξης της

πυρηνικής σύντηξης δίνεται από ένα τύπο της μορφής k BTign=24 /humne .

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 193/280

182

όπου ο αριθμητικός παράγοντας προέκυψε παίρνοντας Λ=2, n=0,1 και Νv=2 Νe και

v≈1.

Βλέπουμε λοιπόν ότι το ελάχιστο μέγεθος ενός άστρου προκύπτει από το λόγο της

ηλεκτροστατικής δύναμης προς τη βαρυτική δύναμη υψωμένο στη 3/2 δύναμη. Ο

λόγος 32 / uemmGe ισούται με 0,5354x1038 και επομένως ο ελάχιστος αριθμός

νουκλεονίων σ’ ένα ενεργό άστρο είναι περίπου ίσος με 0,25x1057 που αντιστοιχεί σε

μάζα 0,4x1030 kg, δηλαδή περίπου πέντε φορές μικρότερη από τη μάζα του Ηλίου.

Σχ . 14.1γ Στο παρόν σχήμα έχει προστεθεί η θερμοκρασία , Τ ign έναρξης των πυρηνικών

αντιδράσεων σύντηξης . Το άστρο θα βρει μια δυναμική ισορροπία όταν η απώλεια ενέργειας λόγω

ακτινοβολίας εξισωθεί με την προσφορά ενέργειας λόγω πυρηνικών αντιδράσεων. Η δυναμική αυτή

ισορροπία είναι ευσταθής : Εάν , π . χ . υπάρξει προς στιγμή μια υπερπροσφορά πυρηνικής ενέργειας , η

ολική ενέργεια θα αυξηθεί , το άστρο επομένως θα διασταλεί ( όπως δείχνει το βελάκι ), η κινητική

ενέργεια θα μειωθεί , η θερμοκρασία θα χαμηλώσει και επομένως οι πυρηνικές αντιδράσεις θα

επιβραδυνθούν και θα επανέλθει το άστρο στο σημείο ισορροπίας .

14.3 Μέγιστο μέγεθος ενός άστρου

Όσο μεγαλύτερη είναι η μάζα ενός ενεργού άστρου τόσο υψηλότερη είναι η

θερμοκρασία του. Για υψηλές όμως θερμοκρασίες παρεμβαίνουν στη συνθήκη

ισορροπίας και τα φωτόνια που μέχρι τώρα τα είχαμε ξεχάσει:

ΡΦ+ΡΚ =ΡΒ (14.16)

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 194/280

183

Η παραπάνω σχέση λέει απλά ότι η συνθλιπτική πίεση της βαρύτητας σ’ ένα

άστρο πρέπει να εξισορροπήσει το άθροισμα δύο απωστικών πιέσεων: της πίεσης

λόγω κινητικής ενέργειας των ηλεκτρονίων και των πυρήνων (που λάβαμε υπόψη μας

προηγουμένως) καθώς και της πίεσης που ασκούν τα φωτόνια (που μέχρι τώρα

θεωρήσαμε ότι είναι αμελητέα). Από τους τύπους (Ε.5) και (Ε.6) έχουμε ότι η πίεση

PΦ συνδέεται με την ενέργεια των φωτονίων, UΦ με τη σχέση

V

U P

3

Φ

Φ = (14.17α)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις τις σχέσεις T Nk V P B K = και T Nk U B K 2

3= έχουμε ότι

2

3 K K

U P V = (14.17β)

Η βαρυτική πίεση ΡΒ ισούται με V U B ∂∂− / . Δεδομένου 3/1/1~/1~ V RU B έχουμε

ότι

V

U P B

Β

=3

1 (14.17γ)

Αντικαθιστούμε στη σχέση (14.16) τις πιέσεις από τις σχέσεις (14.14α-γ) και

βρίσκουμε ότι

B K U U U =+Φ

2 (14.18)

Είναι φανερό ότι για πολύ υψηλές θερμοκρασίες η ενέργεια UΦ θα κυριαρχήσει

της 2UK (αφού η UΦ~Τ4, ενώ η UK είναι ανάλογη της θερμοκρασίας). Εάν όμως

συμβεί αυτό (UΦ>>2UK ), η (14.18) θα γίνει BU U ≈Φ

, πράγμα που σημαίνει ότι η

ολική ενέργεια θα μηδενισθεί (ή και θα γίνει θετική αν λάβουμε υπόψη και την

προσφορά πυρηνικής ενέργειας). Αλλά μηδενική (ή θετική) συνολική ενέργεια

σημαίνει ότι δεν υπάρχει ενεργειακό κέρδος με τη διατήρηση του άστρου και

επομένως συμφέρει ενεργειακά αν διαλυθεί. Το συμπέρασμα είναι ότι το άστρο θα

διαλυθεί ότ αν K U U Λ=Φ

όπου Λ αρκετά μεγαλύτερο της μονάδας .

Για διευκόλυνση των αλγεβρικών πράξεων θα ορίσουμε τα εξής:

∗ Εάν τα σωμάτια (ηλεκτρόνια και πυρήνες) έχουν σχετικιστικές ταχύτητες ο συντελεστής 2/3

μειώνεται και στο ακραίο σχετικιστικό όριο τείνει στην τιμή 1/3.

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 195/280

184

hc

T k x B≡

V

V

N aV N

Ra 3

33

3

4π =⇒≡

οπότε

T k N xaU Bv

333

45

4π =

Φ

A N

N T k N U

v

e Bv K

1,

2

3+== λ λ

3/52

vu

B N

a

GmU γ =

Από τη σχέση K U U Λ=Φ

έπεται ότι

3/1

3)

8

135( λ π

Λ=ax (14.19)

Θέτοντας στην (14.18) K U U Λ=Φ

βρίσκουμε

)2(3

2 3/22

Λ+=

λ

γ vu B

N GmT ak (14.20)

Διαιρώντας κατά μέλη τις (14.19) και (14.20) και λύνοντας ως προς Νv έχουμε

τελικά για τη μέγιστη επιτρεπτή τιμή του Νv:

2/3

2

2/3

22

2/1

3

2/3 )15

()(60)()8

135()

2

)2(3(

uuu

V Gm

c

Gm

c

Gm

c N

hhh≈≈

ΛΛ+=

π

λ

γ

λ (14.20)

Η αριθμητική τιμή προέκυψε επιλέγοντας Λ=5, λ =γ=1.

Σημειώστε ότι το ch15 είναι η τιμή που δίνεται για τη σταθερά σύζευξης της

ισχυρής αλληλεπίδρασης (αντί της ch ).

Επομένως ο μέγιστος αριθμός νουκλεονίων σ’ ένα ενεργό άστρο ισούται με το

λόγο της ισχυρής προς τη βαρυτική αλληλεπίδραση στη 3/2 δύναμη. Ο δε ελάχιστος

αριθμός νουκλεονίων σ’ ένα ενεργό άστρο ισούται με το λόγο της

ηλεκτρομαγνητικής προς τη βαρυτική αλληλεπίδραση στη 3/2 δύναμη.

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 196/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 197/280

186

ΕΝΕΡΓΑ ΑΣΤΡΑ ΤΗΣ ΚΥΡΙΑΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ

Τιμές για τον Ήλιο

Πίεση στο κέντρο τους: 2c

GM P

R ρ > 146 10×

Θερμοκρασία στο κέντρο τους: c c B

mT p

k ρ > 710 oΚ

Ακτίνα: 1,2

a R M a t~ 86,96 10 m×

Θερμοκρασία στην επιφάνεια: 1,2 E T M β β t~ 5800 ο Κ

Ισχύς ακτινοβολίας:

2 4 2 4

12 4 32

a E L R T M

a

β

β

+

+ >

~ ~

263,827 10 J s

×

Χρόνος ζωής:12

2 M

t M L

ζ

−~ ~

Η τελευταία σχέση δικαιολογείται από το ότι η διαθέσιμη προς ακτινοβολία

ενέργεια, o E , είναι αυτή των πυρηνικών αντιδράσεων που τελικά είναι ανάλογη

της αρχικής μάζας του άστρου. Εάν δεχθούμε ότι η ισχύς της ακτινοβολίας L είναι σταθερά στη διάρκεια παραμονής της στην κύρια ακολουθία, έχουμε

( ) o E t E Lt = −

οπότε

2,5

3,5

o E M t M

L M ζ

−= ~ ~

Στους παρακάτω τύπους ρ είναι η μέση πυκνότητα 3

/(4 /3) M R ρ π =

και m είναι το μέσο ατομικό βάρος 1,8m>

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 198/280

187

ΑΣΤΕΡΑΣ ΝΕΤΡΟΝΙΩΝ

80% Νετρόνια, 10% Πρωτόνια, 10% Ηλεκτρόνια

n p v N N N + =

0.9tot v

N N =

0,8

0,9n v N N =

0,1

0,9 p N N =

0,1

0,9e v N N =

4 / 3 4 / 3

4 / 31/ 3

0,8 0,12,32 2

0,9 0,9

K vU c N V

β ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

h

4 / 3 1/ 3 4 / 32, 23 / 1,75 / , 1, 265v vc N V cN R β β = = =h h

2 2v u

B

GN mU a

R= −

1/ 33

4

V R

π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 2

1/ 3

61, 612 , .

7

v u B

GN mU a a

V = − > Από K B

U U = ⇒

4 / 3 2 22, 23 1,612vcr u vcr c N a Gm N β =h

2 / 3

2

2,23

1,612vcr u

c

N a G m

β

=

h

3/ 23/ 2 3/ 22, 23 1

3,061,612

vcr vG

N N a a a

β β ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ü

>

Εάν δεχθούμε ότι ( )/ 1, 47a β > [‘όπως βρήκαμε για το λευκό νάνο, βλ. κείμενο

μετά τη σχέση (14,7’) τότε

5,45vcr v N N ü

>

Εάν / 1,03 β α > τότε

3,2vcr v N N ü

>

που είναι πιθανόν η σωστή τιμή.

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 199/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 200/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 201/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 202/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 203/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 204/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 205/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 206/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 207/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 208/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 209/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 210/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 211/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 212/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 213/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 214/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 215/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 216/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 217/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 218/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 219/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 220/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 221/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 222/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 223/280

208

3 0 pε + = (15.44)

ή

3 0Y ns DE DE λ ∈ + ∈ − ∈ =

ή

2Y ns DE λ ∈ = ∈ (15.44')

ή

1 13 3

742 2

26 DE

c c

R RΣ

′ ′= ∈ =

ή

0,56 R

= (15.44")

ή

7t = δις έτη για

0 R =&& (15.45)

ΕΛΕΓΧΟΙ:

(α) Γνωρίζουμε επίσης ότι για 380000t = έτη ( ) /1090 R t RΣ

= , ενώ η

παραπάνω σχέση δίνει ( ) / 1/1310 R t RΣ >

(β) Τέλος, είχαμε Y ns DE λ ∈ =∈ , .οταν 1 13 3

74

26 DE

c c

R RΣ

′ ′=∈ = , που

συνεπάγεται ότι Y ns DE λ ∈ =∈ όταν

9,4t = δις έτη

Βλέπε σχετικά το άρθρο του Scientific American ( Αμερικάνικη έκδοση)Febr. 2007, p.28 που δίνει το αντίστοιχο 9,25t = δις έτη

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 224/280

209

ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ ‘’ΣΗΜΕΡΑ’’ ( 13,7t > δις έτη)

Είδος Ύλης Είδος σωμάτιων Μάζα σωμάτιων ( )eV Αριθμός

σωμάτιων στο ορατό Σύμπαν

Ποσοστό στην ενέργεια του Σύμπαντος

Βαρυονική,ηλεκτρόνια

Πρωτόνια Νετρόνια

(όχι ελεύθερα)

910≈

800,86 10× 4,6% 0,1%±

Ελαφριά σκοτεινή μάζα

Νετρίνα 1` 8910 1%<

Βαριά σκοτεινή μάζα Υπερσυμμετρικά σωμάτια?1110 ? 785 10 ?× 23,3% 1,3%±

Η/Μ ακτινοβολία Φωτόνια 46,4 10−×

891,4 10× 0,005%

Σκοτεινή ενέργεια

?(Βαθμωτά σωμάτια?)

?32(10 ?)−

?122(10 ?)

72,1% 1,5%±

Ακτίνα του ορατού σύμπαντος 46 δις έτη φωτός 264,35 10m= ×

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 225/280

210

ΤΙΜΕΣ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ‘’ΣΗΜΕΡΑ’’ 13,7t ⇒ = δις έτη

1,02 0,01c

ρ

ρ = ± (15.46)

όπου c ρ είναι η μέση κρίσιμη πυκνότητα μάζας για να έχει το Σύμπαν Ευκλείδια γεωμετρία

2 26 33 / 8 1,034 10 /c H G Kg m ρ π −

Σ= = ×

6,18= μάζες πρωτονίου ανά 3

m (15.47)

όπου H Σ

είναι η σταθερά του Hubble ‘’σήμερα’’

17 1 1000, 24 10 0,742 0, 036

Km H s

sMpc

− −

Σ × = ±> (15.48)

28 34,17 10 / 0, 28 B Kg m ρ

−= × = μάζες πρωτονίου

3/ m (15.49)

264,35 10 R mΣ = × (15.50)

2,725 oKAM T K = (15.51)

13,73 0,12t Σ

= ± δις έτη (15.52)

9/ 1, 64 10 B N N φ ×> (15.53)

80 33,45 10V mΣ

= × (15.54)

/ 1089 Decoupling R RΣ

= (15.55)

379000 Decouplingt = έτη (15.56)

108 Mystart

t > (15.57)

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 226/280

211- A

“Best” Cosmological Parameters:Table 3 from Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations:

Preliminary Maps and Basic Results,C. L. Bennet et al. (2003), accepted by the Astrophysical Journal;available at

http://lambda.gsfc.nasa.gov/

Description Sympol Value +uncertainty -uncertainty

Total density tot Ω 1.02 0.02 0.02

Equation of state of quintessence w <-0.78 95%CL -

Dark energy densityΛ

Ω 0.73 0.04 0.04

Baryon density2

bhΩ 0.0224 0.0009 0.0009

Baryon density bΩ 0.044 0.004 0.004

Baryon density ( 3

cm−

) bn 2.5x10

-7 0.1x10

-7 0.1x10

-7

Matter density2

mhΩ 0.135 0.008 0.009

Matter density mΩ 0.27 0.04 0.04

Light neutrino density2

vhΩ <0.0076 95% CL -

CMB temperature ( )K a

cbmT 2.725 0.002 0.002

CMB Photon density3

( )cm− b

410.4 0.9 0.9

Baryon-to-photon ratio η 6.1x10-10

0.3x10-10

0.2x10-10

Baryon-to-photon ratio1

b m

−Ω Ω 0.17 0.01 0.01

Fluctuation amplitude in1

8h Mpc−

spheres 8σ 0.84 0.04 0.04

Low z− clusters abundance scaling0.5

g mσ Ω 0.44 0.04 0.05

Power spectrum normalization1

0(at 0.05 )k Mpc−

=c

A 0.833 0.086 0.083

Scalar spectral index1

0(at 0.05 )k Mpc−

=c s

n 0.93 0.03 0.03

Running index slope1

0(at 0.05 )k Mpc−

=c / ln

sdn d k -0.031 0.016 0.018

Tensor-to-scalar ratio1

0(at 0.05 )k Mpc−

= r <0.90 95% CL -

Redshift of decoupling dec z 1089 1 1

Thickness of decoupling (FWHM) dec zΔ 195 2 2

Hubble constant h 0.71 0.04 0.03

Age of universe (Gyr) 0t 13.7 0.2 0.2

Age at decoupling (kyr) dect 379 8 7

Age at reionization (Myr, 95% CL) r t 180 220 80

Decoupling time interval (kyr) dect Δ 118 3 2

Redshift of matter-energy equality eq z 3233 194 210

Reionization optical depth τ 0.17 0.04 0.04

Redshift of reionization (95% CL) r z 20 10 9

Sound horizon at decoupling (o

) Aθ 0.598 0.002 0.002

Angular size distance to decoupling (Gpc) Ad 14.0 0.2 0.3

Acoustic scaled

Al 301 1 1

Sound horizon at decoupling (Mpc)d s

r 147 2 2a

from COBE (Mather, J.C. et al, 1999, ApJ, 512, 511)

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 227/280

211- B

bderived from COBE (Mather, J. C. et al., 1999, ApJ, 512, 511)

( )1

( )

o o oa t

a t

λ λ λ

λ λ

= − = =≥

c700

eff l ≈

d

1

A Aπθ

≡l 1

A Aπθ

≡l

10 2 1 3 8 261.37 10 3.65 10 2.4 10 3.6 10 3 10 1.296 10

obs o R t c m= = × × × × × × × × × = ×

3 78 349.12 10

3obs obs

V R mπ

= = ×

h is the Hubble constant in units of 100 /Km s Mps⋅

78 780.25 9.12 10 2.28 10

b b obs N n V = = × × = ×

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 228/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 229/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 230/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 231/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 232/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 233/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 234/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 235/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 236/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 237/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 238/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 239/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 240/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 241/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 242/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 243/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 244/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 245/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 246/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 247/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 248/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 249/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 250/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 251/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 252/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 253/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 254/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 255/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 256/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 257/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 258/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 259/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 260/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 261/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 262/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 263/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 264/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 265/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 266/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 267/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 268/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 269/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 270/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 271/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 272/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 273/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 274/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 275/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 276/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 277/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 278/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 279/280

7/21/2019 Ελευθεριοσ Οικονομου - Απο Τα Quarqs Στο Συμπαν

http://slidepdf.com/reader/full/-quarqs- 280/280