xe ταυτζεται με την Η εκθετικ συνρτηση
παργωγ της. Αυτ εναι η πηγ λων των ιδιοττων της και ο κριος λγος της τσο μεγλης σημασας που χει στις εφαρμογς.
R. Courant - H. Robbins
www.pe03.gr
Απ τα εξεταζμενα μαθματα, των πανελλαδικν εξετσεων, τα Μαθηματικ εναι αυτ που
σε μεγαλτερο βαθμ απ’ λα τα λλα, δεν μπορον να μπουν σε «καλοπια». λα τα υπλοιπα,
λλο λιγτερο και λλο περισστερο, αντιμετωπζονται με κατλληλη μεθοδολογα, τεχνσματα,
θματα sos, αποστθιση κτλ. μως, κατ παρδοξο τρπο, να συνεχς εξελισσμενο σνολο
διαδικασιν, μεθοδολογας και ασκησιολογας, χει «αυτοματοποισει» τη διδασκαλα των Μα-
θηματικν και αποτελε τον κριο τρπο προετοιμασας των μαθητν για τις πανελλαδικς εξε-
τσεις. Εναι μια «παιδαγωγικ-διδακτικ μθοδος» που εστιζει στην ολοκληρωτικ τυποποηση
του μαθματος. Το αποτλεσμα εναι, το μθημα των Μαθηματικν στο Λκειο να χει πρει μια
στερα φορμαλιστικ μορφ.
Για περισστερο απ να χρνο, πολλο μαθητς «κουρδζονται» για να λειτουργσουν σαν
κομπιουτερκια στις πανελλαδικς εξετσεις. Οι εκπαιδευτικο, χαμνοι και αυτο στη δνη των
πανελλαδικν, δεν νοιζονται να τους δεξουν τι πραγματικ συμβανει στον κσμο των Μαθη-
ματικν, προτιμντας να τους μθουν να λνουν, στω και χωρς να καταλαβανουν. Πολλο εξε-
ταζμενοι μπανουν στις αθουσες χωρς την παραμικρ μαθηματικ διασθηση και με ακατργα-
στη μαθηματικ σκψη. Υπολογζουν ρια και δεν γνωρζουν τι εναι ριο. Εφαρμζουν μηχανικ
το θερημα του Fermat και δεν γνωρζουν το βαθτερο νημ του. Υπολογζουν ορισμνα ολο-
κληρματα και δεν γνωρζουν τι εναι ορισμνο ολοκλρωμα κτλ. Ακμα και, σοι μαθητς χουν
καλλιεργσει στο παρελθν την απαρατητη μαθηματικ αντληψη, την παραμερζουν προτιμ-
ντας να μην ρισκρουν. Η μαθηματικ τους σκψη μσα στην χρονι «ξεφουσκνει», σως και
υποσυνεδητα, δνοντας την θση της στο «γιο δισκοπτηρο» της επλυσης. Οι «φρμουλες» δ-
νουν μια μεγαλτερη ασθηση σιγουρις στους μαθητς. Μια ασθηση που, μως, εναι εντελς
πλασματικ. Το σστημα αυτ οδηγε στην ισοπδωση των παιδαγωγικν αρχν, με αποτλεσμα
τη στρβλωση της σκψης των υποψηφων και την υποκατσταση της προσπθειας για ουσιαστι-
κ κατκτηση της γνσης με την προσπθεια επιτυχας σε κποιας μορφς τυπικς εξετσεις. Οι
δε συνπειες για το «μαθηματικ» τους μλλον, στω και αν επιτχουν στις εξετσεις, εναι κα-
ταλυτικς. Εναι φανερ τι η αντληψη αυτ ακολουθε τους φοιτητς τουλχιστον στην πρτη
περοδο της πανεπιστημιακς τους ζως.
Δημιουργικ «παιχνδι» με την ανιστητα: xe x 1 • Δημτριος Σπαθρας - Σχολικς Σμβουλος
2
λα τα παραπνω χουν δημιουργσει, χι μνο στους μαθητς αλλ και στην κοινωνα, την
εσφαλμνη εντπωση τι τσι εναι τα Μαθηματικ. Εναι, δηλαδ, να σνολο συνταγν και
καμπτων καννων και μεθοδολογιν, που σο περισστερο εντρυφσει ο μαθητς σ’ αυτς τ-
σο ικαντερος γνεται. Υπρχει, δηλαδ, μια διαδεδομνη αντληψη τι η συστηματικ ενασχ-
ληση των μαθητν με τη μεθοδολογα επλυσης ασκσεων καλλιεργε τη μαθηματικ ικαντητα.
Αυτ καθλου δεν αποδεικνει την απκτηση ουσιαστικς μαθηματικς παιδεας, αν δεν χει
προηγηθε βαθει κατανηση της αντστοιχης θεωρας (ορισμο των εννοιν, λογικ δομ και
αποδεξεις των προτσεων). Οι συνπειες της παραπνω στρεβλς θερησης εναι πολλς. Μια
απ αυτς εναι αυτ της δημιουργας ενς πλασματικο προφλ του καλο δασκλου των Μα-
θηματικν. χει δημιουργηθε η εσφαλμνη εντπωση τι, καλς δσκαλος των Μαθηματικν
εναι αυτς που διδσκει μετωπικ τις μεθοδολογες και χι αυτς που διδσκει διερευνητικ τις
ννοιες. σο για το δημσιο σχολεο, θλουν κ’ αυτ να γνει πως τα περισστερα φροντιστρια
(ευτυχς χι λα, υπρχουν και εξαιρσεις). Τελικ, ο εκπαιδευτικς του δημσιου σχολεου, ε-
γκλωβισμνος απ παντο, υποκπτει διδσκοντας και αυτς «φρμουλες» και «διαδικασες»,
με μοναδικ κρδος την αναγνριση απ μαθητς και γονες. Και φυσικ για σους εκπαιδευτι-
κος αντισταθον σε αυτ την κουλτορα, τους περιμνει η αμφισβτηση και η ντονη δυσαρ-
σκεια. Αν για παρδειγμα προσπαθσει κποιος να διδξει τον ορισμ του ορισμνου ολοκλη-
ρματος σχολαστικ και για σο χρνο προβλπεται απ το πργραμμα του δημσιου σχολεου,
ττε θα ακοσει απ λους με μια φων: «κριε αυτ δεν πφτει, χετε τποτα λλο να μας πε-
τε»; Το «ρεπερτριο» επομνως του δημσιου σχολεου στα Μαθηματικ το καθορζουν, σε κ-
ποιο βαθμ, εξωθεσμικο παργοντες και χι το διο το σχολεο με τις διαδικασες του.
Τα Μαθηματικ μως εκτς απ επιστμη εναι και τχνη, η δε διδασκαλα τους εναι μγιστη
τχνη. Υπ την ννοια αυτ εναι «παντοτιν ελεθερα» και δεν εναι δυνατν να υποδουλω-
θον και να ισοπεδωθον με ττοιο τρπο. Κθε χρνο νας μεγλος αριθμς μαθητν αποτυγ-
χνει, επειδ δεν μπορε να εφαρμσει την «ευλογημνη» μεθοδολογα. Αν σε κποια σκηση η
«συνταγ» εφαρμζεται διαφορετικ, ττε νας μαθητς που δεν χει μαθηματικ αντληψη δυ-
σκολεεται να βρει τον τρπο. ταν η σκηση δεν λνεται μσω της πεπατημνης, ττε ο μαθη-
ματικ απαδευτος μαθητς ξεμνει απ λσεις. Χνεται μσα στις ιδες του, αφο δεν χει μ-
θει να αντιλαμβνεται το πρβλημα, παρ μνο να το λνει.
Αν προσπαθσουμε να «καλουπσουμε» τα Μαθηματικ, ττε αυτ,
αργ γργορα, θα βρουν τον τρπο να βγουν απ’ το καλοπι.
Πρα μως απ τις εξετσεις και την αποτελεσματικτη-
τα χι των παραπνω μεθδων, οι μαθητς που ακολου-
θον αυτς τις πρακτικς δεν νιθουν τη χαρ της δημιουρ-
γικτητας και της αυτενργειας, γιατ δεν χουν ανακαλ-
ψει τις δικς τους δυνμεις. Δεν μαθανουν να προσπαθον
με συστηματικ διβασμα και κατανηση των εννοιν, αλ-
λ αναζητον εναλλακτικος δρμους για την επλυση ενς
προβλματος. Ποτ δεν θα καταλβουν τι εναι μθηση και
ποια εναι η μεγλη και αναντικατστατη χαρ της γνσης.
Ποτ δεν θα λατρψουν τα Μαθηματικ! Εδ ρχεται στο
νου μας αυτ που επε ο Ευκλεδης στον Πτολεμαο Α ταν
του ζτησε ναν πιο εκολο τρπο απ τα Στοιχεα του για
να μθει Γεωμετρα. Η απντηση του μεγλου μαθηματι-
κο ταν: «Δεν υπρχει βασιλικ οδς για τη Γεωμετρα».
Δημιουργικ «παιχνδι» με την ανιστητα: xe x 1 • Δημτριος Σπαθρας - Σχολικς Σμβουλος
3
διδασκαλα των Μαθηματικν
Η δημιουργικτητα και η δημιουργικ σκψη χουν αποτελσει αντικεμενο συστηματικν ε-
ρευνν και μελετν δη απ τη δεκαετα του 1950, ωστσο προβλματα και αντιπαραθσεις σε
,τι αφορ τον εννοιολογικ προσδιορισμ τους, εξακολουθον να υπρχουν ως σμερα. Γενικ
θα μποροσαμε να πομε τι:
• Δημιουργικτητα εναι η ικαντητα του ατμου να παργει φθονους και πρωττυπους τρ-
πους αντιμετπισης προβλημτων και οργνωσης υλικο.
• Με τον ρο δημιουργικ σκψη εννοομε τη σλληψη, επεξεργασα και πραγματοποηση μη
μονοδιστατων /και μη προβλψιμων, αρχικ, απαντσεων.
• Η δημιουργικ σκψη συνδεται κυρως με την αποκλνουσα σκψη.
Η αποκλνουσα σκψη, ωστσο, δεν λειτουργε αυθαρετα, αλλ αξιοποιε τις προπρχουσες
γνσεις υπακοοντας και σε σκοπος και σε κριτρια. Επιπλον, συνδει τα διφορα ερεθσματα
με μοναδικ τρπο, δημιουργε νες συνψεις και τα συνθτει. Η αποκλνουσα σκψη δεν λει-
τουργε ανταγωνιστικ σε σχση με τη συγκλνουσα, αλλ συμπληρωματικ.
• Συγκλνουσα Σκψη: Τι; Ποις; Που; Πτε;
• Αποκλνουσα Σκψη: Πς αλλις; Υπρχει λλη πρταση; Ποις εναι οι συνπειες;
Η επιστημονικ ρευνα χει αποδεξει τι βλτιστα μαθησιακ αποτελσματα επιτυγχνει ε-
κενο το σχολεο που καταφρνει να κερδζει καθημεριν το ενδιαφρον των μαθητν και των
μαθητριν, να ξυπν την περιργει τους, να τους εμπλκει ενεργ στην αναζτηση της γνσης,
δνοντς τους χρο για δημιουργικτητα και ανπτυξη πρωτοβουλιν, προωθντας την αναλυ-
τικ, συνθετικ και κριτικ τους σκψη. Προφανς αυτ εναι κτι που πρπει το σχολεο να το
επιδικει σε καθημεριν βση. μως η πεση για την ολοκλρωση της διδακτας λης, παγιδεει
τη διδακτικ πρξη σε πιο παραδοσιακ σχματα.
σο αφορ τη δημιουργικ διδασκαλα των Μαθηματικν μια πρταση για τη συγκρτηση
Μαθηματικν δραστηριοττων στο Λκειο, με στχο τη δημιουργικ μθηση και την ανπτυξη
διερευνητικς σκψης, θα μποροσε ενδεικτικ να εστιζεται στα παρακτω:
• Προβλματα που η επλυσ τους δεν βασζεται σε μια εξαρχς εντελς γνωστ μεθοδολογα.
• Εντητες συνεκτικν θεμτων που αναδεικνουν την ιδα των επεκτσεων και των διαδοχικν
γενικεσεων. Ττοιου τπου εντητες θα μποροσαν, για παρδειγμα, να χουν ως αφετηρα
κποιες βασικς σχολικς ασκσεις, την ιδα των οποων θα μποροσαμε να χρησιμοποισου-
με για την επλυση πιο σνθετων μαθηματικν προβλημτων.
• Προβλματα που η επλυσ τους δεν βασζεται στην απλ εφαρμογ γνσεων απ μια συγκε-
κριμνη μαθηματικ εντητα, αλλ προποθτει σνθεση γνσεων απ διαφορετικς περιο-
χς και αντικεμενα των σχολικν Μαθηματικν (λγεβρα, Γεωμετρα, Τριγωνομετρα), ενδε-
χομνως και κποιες απλς γνσεις Φυσικς.
• Προσεγγσεις που αναδεικνουν το ρλο της γεωμετρικς εποπτεας στη σλληψη μιας μαθη-
ματικς πρτασης εξαρχς, και χι ανακλουθα, ως συνθως, μετ την απδειξ της.
• Προσεγγσεις που αιτιολογον και αναδεικνουν την επιλογ περισσοτρων της μιας κατλλη-
λων συναρτσεων οι οποες μας οδηγον στην απντηση κποιων ερωτημτων της Ανλυσης.
Τα παραπνω εναι ενδεικτικ αφο υπρχουν πολλ λλα πεδα συγκρτησης δραστηριοτ-
των δημιουργικς μθησης με στχο τη βαθτερη κατανηση της θεωρας και των εφαρμογν.
Δημιουργικ «παιχνδι» με την ανιστητα: xe x 1 • Δημτριος Σπαθρας - Σχολικς Σμβουλος
4
Πρταση δημιουργικς διδασκαλας της Ανλυσης και ανπτυξης διερευνητικς σκψης
Μσα στην πεση για την ολοκλρωση της διδακτας λης των Μαθηματικν προσανατολι-
σμο της Γ’ τξης Ημερσιου ΓΕΛ, προτενουμε κποια διαλεμματα δημιουργικς διδασκαλας
με στχο τη μετβαση σε καθημερινς διδακτικς πρακτικς περισστερο μαθητοκεντρικς.
Η παροσα εργασα αποτελεται απ να σνολο συνεκτικν δραστηριοττων που αναδεικν-
ουν την ιδα των πολλαπλν αποδεξεων, των εφαρμογν, των επεκτσεων και των διαδοχικν
γενικεσεων. Αφετηρα εναι η γνωστ ανιστητα: « xe x 1 για κθε x », η οποα σμφωνα
με τις φετινς οδηγες, προτενεται να διδαχθε ως εφαρμογ και επομνως απ εδ και στο εξς
θα χρησιμοποιεται αναπδεικτα για τη λση ασκσεων.
Η προσγγισ μας αναδεικνει το ρλο της αριθμητικς και γεωμετρικς εποπτεας στη σλ-
ληψη μιας μαθηματικς πρτασης εξαρχς, και χι ανακλουθα, ως συνθως, μετ την απδειξ
της. Επσης, αναδεικνει την επιλογ περισσοτρων της μιας κατλληλων συναρτσεων οι οποες
μας οδηγον στην απντηση κποιων ερωτημτων της Ανλυσης με πολλος διαφορετικος
τρπους. Αναδεικνεται και υποστηρζεται τσι η ποψη τι η απδειξη μιας πρτασης ενς
ερωτματος δεν εναι πντα νας μονδρομος, αφο υπρχουν πολλο διαφορετικο δρμοι που
οδηγον στην απντηση.
Το λο εγχερημα μπορε να πρει τη μορφ ενς «project» και να εξελσσεται, καθς ανα-
πτσσονται οι διφορες ννοιες της Ανλυσης, μχρι το τλος της σχολικς λης. Αρκε λγος χρ-
νος σε κθε εντητα για να δνουμε στους μαθητς μας ερεθσματα στε να διερευνον και να
δημιουργον. Στα μικρ αυτ διαλεμματα οι εκπαιδευτικο θα διδσκουν δημιουργικ και θα
καθοδηγον τους μαθητς σε να «παιχνδι» δημιουργικς μθησης.
Το διδακτικ φελος απ μια ττοια συνεκτικ και δημιουργικ διαδικασα εναι πολ μεγλο.
Η διδακτικ αυτ πρταση δεν στοχεει μεσα στα «sos» και στα «κλειδι» της αντιμετπισης
των θεμτων των πανελλαδικν εξετσεων. Στοχεει στην ανπτυξη δημιουργικς μαθηματικς
σκψης, πολτιμης για την επιτυχα στις εξετσεις και χι μνο.
Λαμα, Ιανουριος 2018
Φθιτιδας και Ευρυτανας
Δημτριος Σπαθρας
Δημιουργικ «παιχνδι» με την ανιστητα: xe x 1 • Δημτριος Σπαθρας - Σχολικς Σμβουλος
5
Εισαγωγ
Η εγκκλιος με αρ. πρωτ. 163573/Δ2/02-10-2017 του ΥΠ.Π.Ε.Θ. που αφορ τη διαχεριση της
διδακτας-εξεταστας λης των Μαθηματικν Προσανατολισμο της τελευταας τξης του Γενι-
κο Λυκεου για το σχολικ τος 2017-2018, αναφρει τι, μετ την εφαρμογ 2 στη σελδα 148
του σχολικο βιβλου να διδαχθε ως εφαρμογ η πρταση: «Για κθε x εναι xe x 1 και
το σον ισχει μνο ταν x 0 ». Ως απδειξη προτενεται να δοθε η ακλουθη που εναι μμεση
συνπεια της εφαρμογς 2.
Ζητομενο:
Για κθε x εναι xe x 1 και το σον ισχει μνο ταν x 0 .
Απδειξη:
Για λους τους θετικος αριθμος x εναι lnx x 1 και το σον ισχει μνο ταν x 1 . Επομνως
και για τον θετικ xe χουμε: x x x
x
e x 1
Ευκαιρα για δημιουργικ διδασκαλα
Με αφορμ την παραπνω εφαρμογ, μας δνεται η δυναττητα να εκμεταλλευτομε την ευ-
καιρα για μια δημιουργικ διδακτικ προσγγιση του προβλματος της σγκρισης των αντστοι-
χων τιμν της υπερβατικς συνρτησης xy e και της αλγεβρικς y x 1 . Θτουμε αυτ το
πρβλημα στους μαθητς μας ως μια συνεχ δραστηριτητα σε μεγλο μρος της διδακτας λης
και τους καθοδηγομε σε να «παιχνδι» κατκτησης της μαθηματικς γνσης.
Στην αρχ κινητοποιομε τους μαθητς να προσεγγσουν το πρβλημα αριθμητικ, αλλ και
γεωμετρικ, στε να αναδειχθε ο ρλος της εποπτεας στη σλληψη μιας μαθηματικς πρτα-
σης εξαρχς, και χι ανακλουθα, ως συνθως, μετ την απδειξ της. Στη συνχεια, κατ την
πορεα της διδασκαλας συγκεκριμνων ενοττων, τους προτρπουμε να αποδεξουν την πρτα-
ση με πολλος τρπους κνοντας χρση της θεωρας της τρχουσας εντητας κθε φορ. τσι,
αναδεικνεται και υποστηρζεται η ποψη τι η απδειξη μιας πρτασης δεν εναι πντα νας
μονδρομος, αφο μπορε να γνει με περισστερους απ ναν τρπους. Τους προτρπουμε επ-
σης, καθοδηγντας τους πντα, να δημιουργσουν με βση αυτ την πρταση λλες παρεμφε-
ρες και πολλς φορς γνωστς προτσεις ασκσεις, αλλ και διαδοχικς γενικεσεις αυτς.
Δημιουργικ «παιχνδι» με την ανιστητα: xe x 1 • Δημτριος Σπαθρας - Σχολικς Σμβουλος
6
Δραστηριτητα
Σε κποια φση της διδασκαλας μας, πριν φτσουμε στο θερημα μσης τιμς του διαφορικο
λογισμο, θτουμε στους μαθητς μας τον προβληματισμ σχετικ με τη διταξη των τιμν των
συναρτσεων με τπους xf(x) e και g(x) x 1 για τις διφορες τιμς του x . Ζητμε να δι-
ερευνσουν το θμα αριθμητικ, μσω του υπολογισμο πολλν τιμν των συναρτσεων f και g,
αλλ και γεωμετρικ, μσω των γραφικν τους παραστσεων, χρησιμοποιντας ποιο λογισμικ
κρνουν κατλληλο σε κθε περπτωση.
Ενδεικτικ απντηση
βρσκουν τις αριθμητικς τιμς των συναρτ-
σεων xf(x) e , g(x) x 1 και xf(x) g(x) e x 1
για x 1, x 0,9, x 0,8, , x 0,9, x 1
πως φανεται στον παραπνω πνακα.
Παρατηρομε τι η διαφορ f(x) g(x) μηδε-
νζεται ταν x 0 , εν εναι θετικ σε κθε
λλη περπτωση. Βανει δε αυξανμενη κα-
θς το x απομακρνεται λο και περισστερο
εκατρωθεν του μηδενς.
τσι οι μαθητς εικζουν τι: xe x 1 , για κθε x
με την ιστητα να αληθεει μνο ταν x 0 .
Με να λογισμικ κατλληλο για τη δημιουρ-
γα γραφικν παραστσεων οι μαθητς σχε-
διζουν τις γραφικς παραστσεις των συ-
ναρτσεων xf(x) e , g(x) x 1 και f(x) g(x)
πως φανεται στο παραπνω σχμα.
Παρατηρομε τι η καμπλη που παριστνει
η συνρτηση xy e βρσκεται πνω απ την
ευθεα που παριστνει η συνρτηση y x 1 εκτς απ το σημεο (0,1) το οποο ανκει και
στις δο γραμμς.
τσι οι μαθητς εικζουν τι: xe x 1 , για κθε x
με την ιστητα να αληθεει μνο ταν x 0 .
Δημιουργικ «παιχνδι» με την ανιστητα: xe x 1 • Δημτριος Σπαθρας - Σχολικς Σμβουλος
7
Αποδεικνοντας τι: xe x 1 για κθε x , με χρση του Θ.Μ.Τ. διαφορικο λογισμο
Δραστηριτητα κατ τη διδασκαλα του Θ.Μ.Τ. της παραγρφου 2.5
Θτουμε στους μαθητς μας τη δραστηριτητα να αποδεξουν τι: xe x 1 για κθε x , με
σους διαφορετικος τρπους μπορον, χρησιμοποιντας το Θερημα Μσης Τιμς διαφορικο
λογισμο. Πτε αληθεει η ιστητα;
1η ενδεικτικ απντηση
στω η συνρτηση f με xf(x) e , x . Η f εναι παραγωγσιμη στο με xf (x) e .
• Αν x 0 , ττε η f ικανοποιε τις προποθσεις του Θ.Μ.Τ. στο διστημα [0,x] , οπτε υπρχει
ξ (0,x) ττοιο στε:
f (ξ) e x 0 x


μως 0 ξ x , ρα x
0 ξ x xe 1 e e 1 x e 1 e x 1
x

• Αν x 0 , ττε η f ικανοποιε τις προποθσεις του Θ.Μ.Τ. στο διστημα [x,0] , οπτε υπρχει
ξ (x,0) ττοιο στε:
f (ξ) e 0 x x


μως x ξ 0 , ρα x
ξ 0 x xe 1 e e 1 e 1 x e x 1
x
• Αν x 0 , ττε: 0e 0 1
Τελικ ισχει xe x 1 για κθε x . Η ιστητα αληθεει μνο ταν x 0 .
2η ενδεικτικ απντηση
στω η συνρτηση f με f(x) lnx , x (0, ) . Η f εναι παραγωγσιμη στο (0, ) με 1
f (x) x
• Αν x 0 , ττε εναι xe 1
Η f ικανοποιε τις προποθσεις του Θ.Μ.Τ. στο διστημα x[1,e ] (0, ) . Επομνως υπρχει xξ (1,e ) ττοιο στε:
x
e 1 ξ e 1


x
1 x 1 1 e 1 x e x 1
ξ e 1
• Αν x 0 , ττε εναι x0 e 1
Η f ικανοποιε τις προποθσεις του Θ.Μ.Τ. στο διστημα x[e ,1] (0, ) . Επομνως υπρχει xξ (e ,1) ττοιο στε:
x
1 e ξ e 1


x
1 x 1 1 x e 1 e x 1
ξ e 1
• Αν x 0 , ττε: 0e 0 1
Τελικ ισχει xe x 1 για κθε x . Η ιστητα αληθεει μνο ταν x 0 .
Δημιουργικ «παιχνδι» με την ανιστητα: xe x 1 • Δημτριος Σπαθρας - Σχολικς Σμβουλος
8
Ανιστητες που προκπτουν απ την ανιστητα: te t 1 , t
Δραστηριτητα μετ την απδειξη της ανιστητας: te t 1 , t
Αφο οι μαθητς μας χουν αποδεξει τι, te t 1 για κθε t , τους προτρπουμε να δημι-
ουργσουν και λλες ανιστητες με βση την παραπνω, αντικαθιστντας το t με κατλληλη
παρσταση του x.
1η ενδεικτικ απντηση
Θτουμε t λx , x και *λ . Ττε για κθε x χουμε:
λxe λx 1
2η ενδεικτικ απντηση
Θτουμε t x 1 , x . Ττε για κθε x χουμε:
x x 1
e
3η ενδεικτικ απντηση
x x
x x
xe 1 e
4η ενδεικτικ απντηση
2
2
2
e
5η ενδεικτικ απντηση
Θτουμε t lnx , x (0, ) . Ττε για κθε x (0, ) χουμε:
lnxe lnx 1 x lnx 1
lnx x 1
6η ενδεικτικ απντηση
Θτουμε t lnx , x (0, ) . Ττε για κθε x (0, ) χουμε:
lnx 1 e lnx 1 lnx 1
x 1
Η ιστητα αληθεει μνο ταν t 0 x 1 .
Δημιουργικ «παιχνδι» με την ανιστητα: xe x 1 • Δημτριος Σπαθρας - Σχολικς Σμβουλος
9
x ln
lnx 1
x e
8η ενδεικτικ απντηση
Θτουμε t ln(x 1) , x ( 1, ) . Ττε για κθε x ( 1, ) χουμε:
ln(x 1)
x 1
ln(x 1) x
e (x 1)
Η ιστητα αληθεει μνο ταν t 0 x 0 .
Αν α 0 ττοιος στε xα x 1 για κθε x , ττε η μοναδικ τιμ του α εναι α e ;
Δραστηριτητα κατ τη διδασκαλα του θεωρματος Fermat της παραγρφου 2.7
Οι μαθητς χουν αποδεξει τι xe x 1 για κθε x . Στο στδιο αυτ θτουμε στους μαθη-
τς τον εξς προβληματισμ:
«Αν α 0 ττοιος στε xα x 1 για κθε x , ττε η μοναδικ τιμ του α εναι α e ;»
Αρχικ τους προτρπουμε να δημιουργσουν μια εικασα προσεγγζοντας το θμα μσω των α-
ριθμητικν τιμν των συναρτσεων xy α x 1 και γραφικ μσω των γραφικν παραστσεων
των συναρτσεων xy α και y x 1 , χρησιμοποιντας λογισμικ. Στη συνχεια τους προτρ-
πουμε να αποδεξουν την εικασα αυτ.
Ενδεικτικ απντηση - Δημιουργα εικασας
Αριθμητικς τιμς των συναρτσεων xy α x 1 για διφορες τιμς του α
Στον παραπνω πνακα παρατηρομε τι, η συνρτηση xy e x 1 δεν παρνει αρνητικς τιμς.
Επομνως προκπτει η εικασα τι: «αν ισχει xα x 1 για κθε x , ττε α e ».
Δημιουργικ «παιχνδι» με την ανιστητα: xe x 1 • Δημτριος Σπαθρας - Σχολικς Σμβουλος
10
Γραφικς παραστσεις των συναρτσεων xy α για διφορες &t