ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ...

ΕΠΑΜΕΙΝΩΝΔΑΣ ΚΕΧΑΓΙΑΣ

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΟΜΑΔΩΝ

ΤΕΥΧΟΣ

1

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΟΜΑΔΩΝ ΜΕ ΕΜΦΑΣΗ

ΣΤΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Μπορεί να χρησιμοποιηθεί ελεύθερα για ιδιωτική χρήση Νώντας Κεχαγιάς Τμήμα Μαθηματικών

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων [email protected]

Τηλ. 26510-08276 • Fax 2651008273

mailto:[email protected]

Ν . Κ Ε Χ Α Γ Ι Α Σ

I I

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ...................................................................................................................................... 1

Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί ................................................................................................................. 1

Σχέσεις ............................................................................................................................................... 4 ............................................................................................................................................................. 11

ΠΡΑΞΕΙΣ-ΟΜΑΔΕΣ ...................................................................................................................... 12 ............................................................................................................................................................. 17

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΜΑΔΩΝ ........................................................................................... 18 ............................................................................................................................................................. 21

ΟΜΑΔΕΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ..................................................................................................... 22 ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ......................................................................................................... 22 ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΑΞΟΝΕΣ .................................................................................................................... 23 ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ ............................................................................................................................. 26 ΚΥΚΛΙΚΕΣ ΟΜΑΔΕΣ, ΤΑΞΗ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ....................................................................................................................... 30

............................................................................................................................................................. 35

ΥΠΟΟΜΑΔΕΣ ............................................................................................................................... 36 ............................................................................................................................................................. 44

ΕΥΘΕΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ................................................................................................................... 46 ............................................................................................................................................................. 49

ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΕΣ ΟΜΑΔΕΣ ......................................................................................................... 50 ............................................................................................................................................................. 58

ΣΥΜΠΛΟΚΑ .................................................................................................................................. 60 ............................................................................................................................................................. 66

ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΥΠΟΟΜΑΔΕΣ ..................................................................................................... 68 ............................................................................................................................................................. 78

ΟΜΑΔΑ ΠΗΛΙΚΟ ......................................................................................................................... 80 ............................................................................................................................................................. 84

ΟΜΟΜΟΡΦΙΣΜΟΙ ...................................................................................................................... 85 ............................................................................................................................................................. 92

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΟΜΟΜΟΡΦΙΣΜΩΝ ......................................................................................... 95 ........................................................................................................................................................... 104

ΔΙΑΣΠΑΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ..................................................... 105 ........................................................................................................................................................... 115

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤOΥ SYLOW ....................................................................................................... 117 ........................................................................................................................................................... 130

ΓΙΝΟΜΕΝΑ .................................................................................................................................. 131 ........................................................................................................................................................... 142

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΟΜΑΔΕΣ - ΕΛΕΥΘΕΡΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ & ΑΜΑΛΓΑΜΑΤΑ ΟΜΑΔΩΝ ........... 143

ΕΛΕΥΘΕΡΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ & ΑΜΑΛΓΑΜΑΤΑ ΟΜΑΔΩΝ ............................................................... 149

iii

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ............................................................................................................................................. 152

ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ - ΕΠΙΛΥΣΙΜΕΣ ΟΜΑΔΕΣ ................................................................... 153

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ .......................................................................................................................................... 161

Θ Ε Ω Ρ Ι Α Ο Μ Α Δ Ω Ν

1

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η θεωρία ομάδων αποτελεί ένα βασικό κλάδο της άλγεβρας με

σημαντικές εφαρμογές στην τοπολογία-γεωμετρία, μαθηματική φυσική αλλά και σε άλλους κλάδους εκτός των μαθηματικών. ‘Έχει το πλεονέκτημα, έναντι άλλων κλάδων, να μην χρειάζεται κάποιο συγκεκριμένο υπόβαθρο. Μπορεί κάποιος να αρχίσει τη μελέτη του χωρίς να πρέπει να φρεσκάρει τις γνώσεις του σε άλλες περιοχές των μαθηματικών. Παρόλα αυτά παρατηρείται δυσκολία από τους ενδιαφερόμενους μελετητές, κυρίως φοιτητές των τμημάτων της σχολής θετικών επιστημών. Και αυτό δεν είναι καθόλου περίεργο, μια που η μοναδική απαίτηση για την κατανόηση του αντικειμένου είναι επιδεξιότητα στην κατανόηση αφηρημένων εννοιών. Όλες οι έννοιες στη θεωρία ομάδων είναι αφηρημένες, γι’ αυτό το λόγο άλλωστε έχει και πολλές εφαρμογές σε ανομοιογενείς κλάδους.

Επειδή η εποχή μας κατακλύζεται από εικόνες, ο εγκέφαλός μας είναι εξαρτημένος από αυτές.

Όταν λοιπόν μελετάμε κάτι νέο, προσπαθούμε να το προσομοιάσουμε με κάτι γνωστό για το οποίο έχουμε κάποια σχετική εικόνα. Στην αφηρημένη θεωρία ομάδων αυτό δεν είναι εφικτό και χρειάζεται ιδιαίτερη προσπάθεια για την εξοικείωση με το αντικείμενο. Η προσπάθειά μας έχει σκοπό να βοηθήσει στην αντιμετώπιση αυτής της δυσκολίας. Θα προσπαθήσουμε με γλαφυρό τρόπο και δίνοντας παραδείγματα να βοηθήσουμε τον αναγνώστη προς αυτή την κατεύθυνση. Επίσης κατά τακτά διαστήματα θα εμπλουτίζεται είτε με ασκήσεις είτε με πιο αντιπροσωπευτικά παραδείγματα. Σκοπός μας είναι ο αναγνώστης να αισθανθεί άνετα με το αντικείμενο κατανοώντας το παράλληλα με την εξέλιξή του. Άλλωστε τα μαθηματικά εξελίσσονται μέσα από συγκεκριμένα φυσικά προβλήματα. Πέραν αυτού, η ύλη που καλύπτουμε είναι η συνήθης για ένα εισαγωγικό μάθημα στη θεωρία ομάδων. Η ισορροπία μεταξύ μαθηματικής αυστηρότητας και ενθαρρυντικής παιδαγωγικής προσέγγισης θα ωφελήσει, πιστεύουμε, τον άπειρο αναγνώστη να συνειδητοποιήσει ότι μπορεί να γίνει κυρίαρχος του αντικειμένου. Το βιβλίο αυτό χωρίζεται σε δύο μέρη, το πρώτο καλύπτει τις βασικές έννοιες και το δεύτερο τα βασικά εργαλεία για μια πιο βαθιά μελέτη στη θεωρία ομάδων.

Κεφάλαιο

0


2

Κάθε παρατήρηση, όχι μόνο από συναδέλφους, είναι καλοδεχούμενη και θα ωφελήσει αυτή

την προσπάθεια.

Νώντας Κεχαγιάς


«ΓΝΩΣΤΑ» ΣΥΝΟΛΑ

Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί

Όσο και αν φαίνεται παράξενο η μελέτη των φυσικών κρύβει πολλά μυστικά τα οποία ακόμη δεν έχουν αποκαλυφθεί.

Ο άνθρωπος είναι εξοικειωμένος με τους φυσικούς αριθμούς (natural numbers)

={0,1,2,3,...}

μιας και αποτελούν αναπόσπαστο μέρος της καθημερινής εμπειρίας. Η έννοια της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού αποτελεί ένα βίωμα του ανθρώπου, ίσως ισοδύναμο με αυτό του συντακτικού της μητρικής γλώσσας αλλά σίγουρα καθολικότερο μιας και δεν εξαρτάται από συγκεκριμένο γλωσσικό ιδίωμα. Χωρίς κάποιος να έχει μαθηματικές γνώσεις χρησιμοποιεί την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό εντελώς φυσιολογικά. Θεωρεί δεδομένο ότι προσθέτοντας ή και πολλαπλασιάζοντας φυσικούς αριθμούς θα πάρουμε πάλι κάποιον φυσικό αριθμό. Αυτό δεν συμβαίνει βέβαια αν αφαιρέσουμε ή διαιρέσουμε φυσικούς αριθμούς και από αυτήν την παρατήρηση αρχίζει η μελέτη της αλγεβρικής δομής ενός συνόλου. Δηλαδή η «Άλγεβρα».

Ανάγκες της καθημερινότητας (κυρίως του εμπορίου) οδήγησαν στη χρήση των αρνητικών

αριθμών. Τη ζημιά την περιγράφουμε με κάποιον αρνητικό. Ο συνηθισμένος άνθρωπος δεν κατανοεί εύκολα την έννοια του αρνητικού αριθμού, γιατί δεν είναι αριθμός που υπάρχει φυσιολογικά. Οι φυσικοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς ορίζουν τους ακεραίους (integers):

={0,±1,±2,±3,…}

Αν α είναι φυσικός, ο –α ορίζεται σαν εκείνος ο «αριθμός» ο οποίος όταν προστεθεί στον α δίνει 0.

Μέρος

1


2

Βλέπουμε λοιπόν ότι ο αρνητικός εξαρτάται άμεσα από την πράξη της πρόσθεσης. Η

μαθηματική κατασκευή του δεν είναι τόσο απλή, όπως θα δούμε παρακάτω. Είναι ο αντιπρόσωπος μιας κλάσης ισοδυναμίας! Πως θα μπορούσε κάποιος να το περιγράψει αυτό σε έναν άνθρωπο με βασική γνώση ή και στους μαθητές του Γυμνασίου; Είναι προφανής λοιπόν η ανάγκη να μελετήσουμε προσεκτικά τις πράξεις που ορίζονται πάνω σε ένα σύνολο.

Τι περισσότερο έχει το από το ; Οι ιδιότητες της πράξης της πρόσθεσης στο παρουσιάζουν μια υστέρηση. Η υστέρηση αυτή είναι ότι η πράξη της αφαίρεσης δεν μπορεί να ορισθεί στο . Από το 3 δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε το 5. Αυτό για να γίνει πρέπει να βρισκόμαστε στο σύνολο των ακεραίων . Βέβαια θα αναρωτηθεί κανείς, και είναι φυσιολογικό να το κάνει, τι σχέση έχει η αφαίρεση με την πρόσθεση. Όπως θα δούμε πιο κάτω το με την πρόσθεση δεν αποτελεί αυτό που μαθηματικά καλούμε ομάδα.

Η αφαίρεση δεν είναι τίποτα περισσότερο από την πρόσθεση του αντιθέτου.

Στο 3 προσθέτουμε το –5. Το τώρα με την πρόσθεση δεν παρουσιάζει κανένα πρόβλημα, αποτελεί ομάδα.

Ηανάγκη να περιγραφεί μέρος ενός πράγματος, δημιούργησε την ανάγκη των ρητών

(rationals):

={p/q | p, q , q 0}

Ο «αριθμός» p/q μπορεί να δημιουργηθεί με πρόσθεση q φορές του αριθμού 1/q. Άρα θα πρέπει να δημιουργήσουμε τον 1/q. Αυτός είναι ο αντίστροφος του q. Θα μπορούσαμε επίσης να πούμε ότι είναι η διαίρεση του 1 με τον q.

Αντίστροφος ενός ακεραίου αριθμού q είναι εκείνος ο «αριθμός» που όταν τον πολλαπλασιάζουμε με τον q δίνει τη μονάδα, 1.

Βλέπουμε λοιπόν και εδώ ότι ο νέος «αριθμός» που προσπαθούμε να δημιουργήσουμε εξαρτάται άμεσα από την πράξη. Εδώ η πράξη είναι ο πολλαπλασιασμός. Η μαθηματική κατασκευή του δεν είναι και αυτή τόσο απλή, θα το δούμε και αυτό πιο κάτω. Είναι ο αντιπρόσωπος μιας κλάσης ισοδυναμίας! Πως θα μπορούσε κάποιος να το περιγράψει και αυτό σε έναν συνηθισμένο άνθρωπο ή και στους μαθητές του Δημοτικού; Και όμως, αν κάποιος ρωτήσει ένα μαθητή του δημοτικού, τι σχέση έχει το 1/2 με το 2/4, θα το πει ότι είναι ισοδύναμα κλάσματα. Όχι ίσα.


3

Τι περισσότερο έχει το από το ; Όπως και στο , οι ιδιότητες της πράξης του

πολλαπλασιασμού στο παρουσιάζουν μια υστέρηση. Η υστέρηση αυτή είναι ότι η «πράξη» της διαίρεσης δεν μπορεί να ορισθεί στο -{0}. Δεν μπορούμε να διαιρέσουμε το 3 με το 5. Αυτό για να γίνει πρέπει να βρισκόμαστε στο σύνολο των ρητών . Όπως θα δούμε πιο κάτω

το -{0} με τον πολλαπλασιασμό δεν αποτελεί ομάδα.

Η διαίρεση δεν είναι τίποτα περισσότερο από τον πολλαπλασιασμό του αντιστρόφου.

Στο 3 πολλαπλασιάζουμε το 1/5. Το -{0} τώρα με τον πολλαπλασιασμό δεν παρουσιάζει

κανένα πρόβλημα, αποτελεί αυτό που θα λέμε ομάδα.

Άλλες ανάγκες, αναλυτικές-ορίου, δημιουργούν τους πραγματικούς αριθμούς (reals). Ανάγκες ριζών πολυωνύμων δημιουργούν τους μιγαδικούς (complex numbers). Θεωρητικά έχουμε τους ακόλουθους εγκλεισμούς:

Λέμε θεωρητικά γιατί το κάθε ένα από τα προηγούμενα σύνολα περιέχει διαφορετικό είδος στοιχείων! Κατά παραδοχή όμως ισχύουν οι προηγούμενοι εγκλεισμοί. Επίσης είναι σημαντικό ότι οι ιδιότητες, όποιες και αν είναι αυτές, που έχει το προηγούμενο σύνολο θα πρέπει να τις κληρονομεί και το επόμενο.


4

Σχέσεις

Πριν μελετήσουμε την έννοια της πράξης σε ένα σύνολο, θα αναφερθούμε σε σχέσεις

συνόλων. Η λέξη σχέση είναι διαδεδομένη μεταξύ των ανθρώπων. Ας δούμε πως μπορούμε μαθηματικά να μελετήσουμε σχέσεις.

1. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω Χ1, Χ2, Χ3, ..., Χκ σύνολα. Το καρτεσιανό γινόμενο (Cartesian product) Χ1xX2xX3x…xXk είναι το σύνολο όλων των διατεταγμένων κ-άδων (x1,…,xk). Εδώ xiXi για i=1,2,…,κ. .

Παράδειγμα. 1) Είναι γνωστό το καρτεσιανό γινόμενο k σαν διανυσματικός χώρος.

2) Αν Α={α,β} και Β={1, ∈ , ∆}, τότε ΑxB={(α,1),(α, ∈ ),(α, ∆ ),(β,1),(β,∈ ),(β, ∆)}.■

1. ΟΡΙΣΜΟΣ

Μια σχέση (relation) μεταξύ των συνόλων Χ1 καιΧ2 είναι ένα υποσύνολο Σ του καρτεσιανού γινομένου Χ1xX2.

Σ Χ1xX2

Αν (α,β) Σ, συνήθως γράφουμε αΣβ και λέμε ότι το στοιχείο α σχετίζεται με το β μέσω της σχέσης Σ.

Παράδειγμα. 1) Αν Α={α,β} και Β={1, ∈ , ∆}, τότε

ΑxB={(α,1),(α, ∈ ),(α, ∆ ),(β,1),(β,∈ ),(β, ∆)}. Σ={(α, ∈ ),(α, ∆ ),(β,1)}.

2) Αν Α={1,2} και Β={1,2,3}, ορίζουμε τη σχέση αΣβ ανν α-β=άρτιος.. Τότε Σ={(1,1),(1,3),(2,2)}.

3) Έστω Α=Β= , ορίζουμε τη σχέση αΣβ ανν ο α-β διαιρείται από το 3. Τότε

Σ={(0,0),(0, ±3),...,(1,4),(1,-2),...}={(3κ,3λ),(3κ+1,3λ-2),(3κ+2,3λ-1) | κ,λ }


5

4) Μια απεικόνιση φ: Χ1 → X2 είναι μια σχέση Σ Χ1xX2 ώστε για κάθε x1X1 υπάρχει

μοναδικό x2X2 με φ(x1)= x2, δηλαδή x1Σφ(x1). ■

2. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω σχέση Σ Χ1xX2, η αντίστροφη σχέση Σ-1Χ2xX1 ορίζεται σαν

x1Σx2 αν και μόνο αν x2 Σ-1x1.

Παρατηρούμε ότι η αντίστροφη σχέση ορίζεται για κάθε σχέση ενώ η αντίστροφη απεικόνιση δεν ορίζεται για κάθε απεικόνιση λόγω της μοναδικότητας που απαιτεί ο ορισμός της.

Παράδειγμα. Αν Α={1,2} και Β={1, 2,3}, ορίζουμε τη σχέση αΣβ ανν α-β=άρτιος.

Τότε Σ={(1,1),(1,3),(2,2)} και Σ-1 ={(1,1),(3,1),(2,2)}. ■

Από όλες τις σχέσεις, αυτές που έχουν ιδιαίτερη σημασία είναι αυτές που ικανοποιούν τις επόμενες ιδιότητες.

3. ΟΡΙΣΜΟΣ

Α) Μια σχέση Σ ΧxX καλείται ανακλαστική (reflexive), αν αΣα για κάθε α

Χ.

Β) Μια σχέση Σ ΧxX καλείται συμμετρική (symmetric), αν αΣβ τότε και

βΣα.

Γ) Μια σχέση Σ ΧxX καλείται μεταβατική (transitive), αν αΣβ και βΣγ

τότε και αΣγ.

Δ) Μια σχέση ΣΧxX καλείται σχέση ισοδυναμίας (equivalence relation),

αν ισχύουν οι τρεις προηγούμενες ιδιότητες.

Η σχέση ισοδυναμίας έχει ιδιαίτερη βαρύτητα όχι μόνο στα μαθηματικά. Στην καθημερινότητα χρησιμοποιούμε την έννοια των ισοδυνάμων οικονομιών, ανθρώπων, πραγμάτων κλπ. Αποτελεί την καλύτερη προσέγγιση της ισότητας.


6

Παράδειγμα. 1) Η σχέση ισότητας σε ένα σύνολο αποτελεί σχέση ισοδυναμίας.

2) Η σχέση Σ που δίνεται από αΣβ ανν ο α-β διαιρείται από τον φυσικό ν αποτελεί σχέση ισοδυναμίας. Η σχέση αυτή αποτελεί βασικό στοιχείο για αυτή τη μελέτη και θα την αντιμετωπίσουμε πολλές φορές. Αρκεί να δείξουμε ότι ισχύουν οι τρεις ιδιότητες.

Η ανακλαστική ισχύει γιατί α-α=0 και το 0 διαιρείται από οποιονδήποτε φυσικό.

Η συμμετρική ισχύει γιατί αν το α-β διαιρείται από το ν, τότε και το β-α=-(α-β) διαιρείται επίσης από το ν.

Τέλος η μεταβατική ισχύει επίσης, αφού αν α-β=κν (αυτό σημαίνει ότι διαιρείται από ν) και β-

γ=λν τότε α-γ=α-β+β-γ=(κ+λ)ν. ■

3) Στο σύνολο * * ορίζουμε τη σχέση Σ ως εξής. (κ,λ)Σ(μ,ν) ανν κ+ν=λ+μ. Εύκολα δείχνουμε ότι αυτή η σχέση αποτελεί σχέση ισοδυναμίας. Θα δούμε πιο κάτω ότι αυτή η σχέση

καθορίζει το σύνολο των ακεραίων .

4) Στο σύνολο x * ορίζουμε τη σχέση Σ ως εξής. (κ,λ)Σ(μ,ν) ανν κν=λμ. Ας δείξουμε ότι

αυτή η σχέση αποτελεί σχέση ισοδυναμίας. Η ανακλαστική ισχύει γιατί κλ=λκ (κ,λ)Σ(κ,λ).

Η συμμετρική ισχύει γιατί αν κν=λμ μλ=νκ. (κ,λ)Σ(μ,ν) (μ,ν)Σ(κ,λ).

Τέλος η μεταβατική ισχύει επίσης, αφού αν (κ,λ)Σ(μ,ν) και (μ,ν)Σ(π,ρ) κν=λμ και μρ=νπ. Άρα κνμρ=λμνπ κρ=λπ. Δηλαδή, (κ,λ)Σ(π,ρ).

Θα δούμε πιο κάτω ότι αυτή η σχέση καθορίζει το σύνολο των ρητών .

5) Έστω Α το σύνολο των φοιτητών ενός πανεπιστημιακού τμήματος. Στο Α ορίζουμε τη σχέση, ο φοιτητής α σχετίζεται με τον β, αν έχουν περάσει τον ίδιο αριθμό μαθημάτων. Η σχέση αυτή είναι σχέση ισοδυναμίας. ■

Η σχέση ισοδυναμίας ορίζεται σε ένα σύνολο. Ας δούμε τι κάνει στο σύνολο. Στο

προηγούμενο παράδειγμα των φοιτητών, το σύνολο Α χωρίζεται σε ξένα υποσύνολα. Κάθε ένα περιέχει τους φοιτητές που έχουν περάσει συγκεκριμένο αριθμό μαθημάτων. Α(0) κανένα μάθημα, Α(1) ένα μάθημα, Α(2) δύο μαθήματα, κλπ. Η ένωση αυτών των υποσυνόλων θα μας δώσει το Α και κάθε δυο τέτοια είναι ξένα μεταξύ τους. Αυτή η οικογένεια υποσυνόλων του Α αποτελεί αυτό που καλούμε διαμέριση (partition). Δηλαδή το Α σπάει σε κομμάτια. Μήπως όμως ισχύει και το ανάποδο, δηλαδή μια διαμέριση ορίζει μια σχέση ισοδυναμίας; Θα δούμε πως ναι. Ας δούμε όμως πρώτα τι ιδιότητες έχουν τα στοιχεία κάθε τέτοιου υποσυνόλου. Εφόσον


7

έχουν περάσει τον ίδιο αριθμό μαθημάτων θα είναι ισοδύναμοι μεταξύ τους. Εδώ χρειαζόμαστε έναν ορισμό.

4. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω μια σχέση ισοδυναμίας Σ στο Α. Για κάθε στοιχείο α του Α ορίζουμε το σύνολο αΣ={β | ώστε αΣβ}. Το υποσύνολο αυτό του Α καλείται κλάση ισοδυναμίας του στοιχείου α ως προς τη σχέση Σ.

Παράδειγμα. Στους ακεραίους ορίζουμε τη σχέση κΣλ ανν ο κ-λ διαιρείται από το ν.

Δηλαδή το κ σχετίζεται με το λ ανν αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρούνται με το ν. Το 1 και μν+1 είναι ισοδύναμα, άρα και το α με το μν+α για οποιοδήποτε μ και α μεταξύ μηδενός και ν-1.

Τώρα οι κλάσεις ισοδυναμίας είναι εύκολο να βρεθούν.

0Σ={λν | λ οποιοσδήποτε ακέραιος},

1Σ={λν+1 | λ οποιοσδήποτε ακέραιος},

2Σ={λν+2 | λ οποιοσδήποτε ακέραιος},

...,

(ν-1)Σ={λν+1 | λ οποιοσδήποτε ακέραιος}.

Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας συμβολίζεται με ν={0Σ , 1Σ ,..., (ν-1)Σ }.■

5. ΠΡΟΤΑΣΗ

Δυο κλάσεις ισοδυναμίας μιας σχέσης Σ στο Α είτε ταυτίζονται είτε είναι ξένες μεταξύ τους.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας είναι οι κλάσεις αΣ και βΣ. Έστω το στοιχείο γ να είναι κοινό στοιχείο τους. Δηλαδή αΣ βΣ . Ας είναι δαΣ και εβΣ. Τότε γΣδ και γΣε. Άρα από τη συμμετρική και μεταβατική ιδιότητα έχουμε δΣε. Οπότε κάθε στοιχείο της κλάσης αΣ σχετίζεται με κάθε

στοιχείο της βΣ. Τελικά αΣβΣ και βΣαΣ. ■


8

Παράδειγμα. Στους ακεραίους ορίζουμε τη σχέση κΣλ ανν ο κ-λ διαιρείται από το 3.

Δηλαδή το κ σχετίζεται με το λ ανν αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρούνται με το 3. Αυτή είναι η σχέση υπολοίπων mod3.

Ας πάρουμε ένα τυχαίο ακέραιο α, τότε

αΣ={β | αΣβ}= { β | 3|β-α}= { β | β-α=3κ , κ ακέραιος}=

{ β | β=3κ+α , κ ακέραιος}.

Αφού όταν ένας ακέραιος όταν διαιρείται από το 3 μπορεί να έχει τρία υπόλοιπα, 0 ή 1 ή 2, αυτή η σχέση ισοδυναμίας θα έχει τρεις κλάσεις.

0Σ ={ β | β=3κ , κ ακέραιος}={0, 3, 6, 9,…},

1Σ ={ β | β=3κ+1, κ ακέραιος}={1,4,7,…} {-2,-5,-8,…},

2Σ ={ β | β=3κ+2, κ ακέραιος}={2,5,8,…} {-1,-4,-7,…}.

Παρατηρούμε ότι κάθε ακέραιος ανήκει σε κάποια από τις τρεις προηγούμενες κλάσεις. =0Σ

1Σ 2Σ .

Επίσης κάθε στοιχείο μιας κλάσης μπορεί να αντιπροσωπεύσει την κλάση του.

0Σ=3Σ =-3Σ =… 1Σ=4Σ = -5Σ =… 2Σ =5Σ =-7Σ =…

Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας συμβολίζεται με

3={0Σ , 1Σ , 2Σ }.■

6. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω μια σχέση ισοδυναμίας Σ στο Α. Για κάθε στοιχείο α του Α ορίζεται η κλάση αΣ={β | ώστε αΣβ}. Κάθε στοιχείο β που ανήκει στην κλάση αΣ καλείται αναπαραστάτης (representative), και ισχύει αΣ = βΣ .


9

7. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω μια σχέση ισοδυναμίας Σ στο Α. Το σύνολο όλων των κλάσεων αΣ συμβολίζεται με Α/Σ και καλείται σύνολο πηλίκο (quotient set) του Α ως προς Σ.

Ο προηγούμενος ορισμός θα χρησιμοποιηθεί επανειλημμένα πιο κάτω.

Ας δώσουμε τώρα τον ορισμό της διαμέρισης.

8. ΟΡΙΣΜΟΣ

Μια διαμέριση ενός μη-κενού συνόλου Χ είναι μια οικογένεια μη-κενών υποσυνόλων Χ1, Χ2, Χ3, ..., Χκ ώστε να είναι όλα ξένα μεταξύ τους και η ένωση τους να δίνει το Χ.

Παράδειγμα. 1) Οι ακέραιοι διαμερίζονται σε άρτιους και περιττούς.

={2κ | κ ακέραιος} {2λ+1 |λ ακέραιος}

2) Η επόμενη διαμέριση την οποία έχουμε δει πιο πάνω και σαν σχέση ισοδυναμίας είναι σημαντική και θα τη μελετήσουμε επανειλημμένα.

={νκ | κ ακέραιος} {νκ+1 |κ ακέραιος} ... {νκ+κ-1 |κ ακέραιος}

Δηλαδή διαμερίζουμε τους ακεραίους ως προς τα υπόλοιπα της διαίρεσης με το ν.

ν={0Σ , 1Σ ,..., (ν-1)Σ }■

9. ΘΕΩΡΗΜΑ

Μια σχέση ισοδυναμίας σε ένα σύνολο Α ορίζει μια διαμέριση του Α και ανάποδα. Υπάρχει λοιπόν μια ένα προς ένα αντιστοιχία μεταξύ των σχέσεων ισοδυναμίας που ορίζονται στο Α και των διαμερίσεων του.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας έχουμε στο μυαλό μας το παράδειγμα με τους φοιτητές, θα μας βοηθήσει.


1 0

«» Έστω Σ μια σχέση ισοδυναμίας στο Α. Με Α(i) θα συμβολίσουμε τις κλάσεις ισοδυναμίας, όπου το i ανήκει σε κάποιο σύνολο Ι. Αυτό γιατί δεν ξέρουμε πόσες κλάσεις υπάρχουν, πεπερασμένες ή άπειρες. Αν i j, τότε από την προηγούμενη πρόταση Α(i) Α(j)= . Αρκεί να δείξουμε ότι η ένωση των υποσυνόλων Α(i) δίνει το Α. Αν αΑ, τότε ααΣ=Α(j) για κάποιο j. Δηλαδή η οικογένεια των υποσυνόλων Α(i) αποτελεί μια διαμέριση του Α.

«» Έστω μια διαμέριση του Α, {Α(i) | iI}. Ορίζουμε τη σχέση Σ στο Α ως εξής. αΣβ ανν υπάρχει δείκτης jΙ ώστε α, βΑ(j). Πρέπει να δείξουμε ότι ισχύουν οι τρεις ιδιότητες. Ανακλαστική, αν αΑ, τότε αΑ(j) για κάποιο j. Άρα αΣα. Συμμετρική, έστω αΣβ δηλαδή α, βΑ(j) για κάποιο j, τότε βΣα. Μεταβατική, έστω αΣβ και βΣγ δηλαδή α, βΑ(j) για κάποιο j και β, γΑ(κ) για κάποιο κ. Τότε Α(j)=Α(κ) αφού έχουν κοινό στοιχείο και φυσικά αΣγ. ■

Παράδειγμα. 1) Έστω Ѕ το «σύνολο» όλων των συνόλων. Ορίζουμε μια σχέση Σ ως εξής.

ΑΣΒ ανν υπάρχει μια 1-1 και επί απεικόνιση μεταξύ τους. Τότε η Σ είναι σχέση ισοδυναμίας γιατί η αντίστροφη και η σύνθεση 1-1 και επί απεικονίσεων είναι επίσης. Ας δούμε τώρα τις κλάσεις. Αν το σύνολο Α έχει πληθικό αριθμό κ, τότε ΑΣ={Β | |Β|=κ}. Δηλαδή όλα τα σύνολα με πληθικό αριθμό κ. Αν Α αριθμήσιμο, τότε η κλάση ΑΣ περιέχει όλα τα αριθμήσιμα. Αν Α υπεραριθμήσιμο, τότε η ΑΣ περιέχει κάποια, όχι όλα τα υπεραριθμήσιμα.

2) Μία απεικόνιση φ:A→B ορίζει μια σχέση Σ στο Α ως εξής, αΣγ αν και μόνο αν φ(α)=φ(γ) και η κλάση ισοδυναμίας ενός στοιχείου α του Α είναι το υποσύνολο φ-1(α). Προφανώς και μια σχέση ισοδυναμίας Σ στο Α ορίζει μια απεικόνιση φ από το Α στο σύνολο που περιέχει τις κλάσεις ισοδυναμίας της Σ. Β={αΣ |αΑ}και φ:A→B με φ(α)=αΣ. ■

Παρατήρηση. Δηλαδή ορίζονται τόσες σχέσεις ισοδυναμίας σε ένα σύνολο Α όσες και οι

διαμερίσεις του.


1 1

1) Εξετάστε ποιες από τις επόμενες σχέσεις Σ στους ακεραίους είναι σχέσεις ισοδυναμίας.

Α) αΣβ 0α-β.

Β) αΣβ |α|=|β|.

Γ) αΣβ |α-β|1.

2) Στο σύνολο Α={α,β,γ} βρείτε όλες τις σχέσεις ισοδυναμίας.

3) Στο σύνολο Α={α,β,γ,δ} βρείτε τη «μικρότερη» σχέση ισοδυναμίας Σ που περιέχει την Τ={(α,α),(α,β),(β,δ)}.

4) Στο σύνολο Α={α,β,γ,δ,ε} βρείτε τη σχέση ισοδυναμίας που καθορίζεται από τη διαμέριση {α} {β,γ} {δ,ε}.


1 2

ΠΡΑΞΕΙΣ-ΟΜΑΔΕΣ

Από τη ζωή μας είμαστε εξοικειωμένοι με την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό στους

ακεραίους ή στους ρητούς. Τι είναι μια πράξη και πόσες πράξεις μπορούν να ορισθούν σε ένα σύνολο;

10. ΟΡΙΣΜΟΣ

Μια πράξη (binary operation), □, σε ένα σύνολο Α είναι μια απεικόνιση □:AxA→A. Δηλαδή ένα ζεύγος στοιχείων του Α αντιστοιχίζεται σε ένα στοιχείο του Α. Γράφουμε α□β.

Επειδή (α,β) (β,α) μπορεί να έχουμε α□β β□α. Αν ισχύει ότι α□β=β□α για κάθε ζεύγος, η πράξη θα καλείται μεταθετική (commutative) ή αβελιανή (abelian).

Μια πράξη □ θα λέμε ότι είναι καλά ορισμένη (well defined), αν α□β είναι στοιχείο του Α για κάθε ζεύγος (α,β).

Παράδειγμα. 1) Η πράξη της αφαίρεσης - ορίζεται στο , -: x → με α-β. Δηλαδή

για οποιοδήποτε ζεύγος (α,β) το στοιχείο α-β είναι στοιχείο του . Η πράξη αυτή δεν είναι αβελιανή. 3-5 5-3.

2) Η αφαίρεση δεν ορίζεται στους φυσικούς. 3-5 .

3) Η διαίρεση δεν ορίζεται στους ακεραίους. ½ .

4) Η πράξη α□β=α2+β2+1 ορίζεται στα σύνολα , , , , .

5) Το γινόμενο των πινάκων στο σύνολο των nxn πινάκων δεν είναι μεταθετικό.

1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 0 1 0 1 2 1

6) Έστω Ω(Α) το δυναμοσύνολο του Α, δηλαδή το σύνολο όλων των υποσυνόλων του. Στο

Ω(Α) ορίζεται η πράξη της τομής :Ω(Α)xΩ(Α)→Ω(Α). Κ Λ. Η πράξη αυτή είναι αβελιανή

Κ Λ= Λ Κ. ■

Μια σημαντική ιδιότητα είναι η προσεταιριστικότητα.


1 3

11. ΟΡΙΣΜΟΣ

Μια πράξη □ σε ένα σύνολο Α καλείται προσεταιριστική (associative), αν ισχύει α□(β□γ)=(α□β) □γ για κάθε τριάδα α,β,γ.

Παράδειγμα. 1) Η πράξη της αφαίρεσης - ορίζεται στο , -: x → με α-β αλλά δεν

είναι προσεταιριστική. (1-2)-3 1-(2-3).

2) Η πράξη □: x → με τύπο α□β=2(α+β) είναι μεταθετική αλλά όχι προσεταιριστική.

Αν μια πράξη είναι προσεταιριστική, τότε εύκολα αποδεικνύεται ότι το γινόμενο ή άθροισμα, ανάλογα με την πράξη, δεν εξαρτάται από τη σειρά που θα την εφαρμόσουμε.

α□(β□(γ□(δ□ε)))=( α□(β□(γ□ δ)))□ε=...

3) Να βρεθούν τα a και b ώστε η πράξη □: x → , x□y=ax+by να είναι προσεταιριστική.

x□(y□z)= (x□ y)□z ⇒ ax+b(ay+bz) = a(ax+by)+bz Επειδή αυτή η σχέση ισχύει για κάθε x, y και z θα έχουμε. a=a2 , b=b2 . a=0,1 και b=0,1. Άρα x□y=x ή x□y=y ή x□y=x+y ή x□y=0.

4) Δίνεται το σύνολο Α={α,β,γ,δ}και μια πράξη □ στο Α η οποία περιγράφεται από το επόμενο πινακάκι.

□ α β γ δ

α α γ β δ

β γ α δ β

γ β δ α γ

δ δ β γ α

Εξετάστε αν είναι μεταθετική ή προσεταιριστική. Η μεταθετικότητα φαίνεται εύκολα γιατί ο πίνακας είναι συμμετρικός.

Το επόμενο παράδειγμα είναι πολύ σημαντικό γιατί συνδέει δυο έννοιες, την πράξη με τις σχέσεις ισοδυναμίας. Την ιδέα της απόδειξης θα την αντιμετωπίσουμε πολλές φορές.

5) Στο σύνολο με ={0Σ , 1Σ ,..., (ν-1)Σ} των κλάσεων ισοδυναμίας ως προς υπόλοιπα του ν,

modν, ορίζουμε πράξεις ως εξής.


1 4

αΣβΣ =γΣ ανν α+β-γ=κν (είναι πολλαπλάσιο του ν),

αΣβΣ =γΣ ανν αβ-γ=λν (είναι πολλαπλάσιο του ν).

Να δείξουμε ότι οι πράξεις αυτές είναι συμβιβαστές με τη σχέση ισοδυναμίας, και δεν εξαρτώνται από τον αντιπρόσωπο. Οπότε θα είναι καλά ορισμένες. Θα δείξουμε επί πλέον ότι

αΣβΣ =(α+β)Σ και αΣβΣ =(αβ)Σ

Έστω αΣ =γΣ και βΣ =δΣ , θα δείξουμε ότι αΣβΣ = γΣδΣ . Οι δύο πρώτες ισότητες δίνουν α-γ=κν και β-δ=λν. Άρα α+β-(γ+δ)=(κ+λ)ν, δηλαδή αυτό που θέλουμε.

Έστω αΣ =γΣ και βΣ =δΣ , θα δείξουμε ότι αΣβΣ = γΣδΣ . Οι δύο πρώτες ισότητες, όπως προηγουμένως, δίνουν α-γ=κν και β-δ=λν. Άρα

αγ-βδ =αγ-αδ+αδ-βδ=αλν+κνδ= (αλ+κδ)ν

Δηλαδή αυτό που θέλουμε.

αΣβΣ =(α+β)Σ ανν α+β-(α+β)=0 είναι πολλαπλάσιο του ν. Αλλά αυτό ισχύει. Το ίδιο και για το γινόμενο.

Στο σύνολο ν ορίσαμε δυο πράξεις, μια πρόσθεση και ένα γινόμενο. Προσοχή, οι πράξεις αυτές ορίστηκαν μεταξύ υποσυνόλων του !■

12. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω μια πράξη □ σε ένα σύνολο Α, □:AxA→A, και Σ μια σχέση ισοδυναμίας

στο Α. Η Σ θα καλείται δεξιά συμβιβαστή με την πράξη, αν αΣβ ⇒ α□γΣβ□γ για όλα τα α, β, γ.

Αντίστοιχα ορίζεται η αριστερά συμβιβαστή, αν ισχύει αΣβ ⇒ γ□αΣγ□β για κάθε τριάδα α, β, γ.

Μια πράξη θα καλείται συμβιβαστή, αν είναι δεξιά και αριστερά συμβιβαστή.

Γνωρίζουμε ότι οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού ορίζονται στους

φυσικούς αλλά δεν ορίζονται η αφαίρεση και η διαίρεση. Η αφαίρεση ορίζεται στους ακεραίους και η διαίρεση στους ρητούς (εκτός από το 0). Αμέσως θα δούμε με πιο τρόπο θα ξεχωρίζουμε αυτές τις ιδιαιτερότητες των ζευγών (σύνολο, πράξη).


1 5

13. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω μια πράξη □ σε ένα σύνολο Α, □:AxA→A. Το ζεύγος (Α, □) θα καλείται ημιομάδα (semigroup), αν η πράξη είναι προσεταιριστική.

Μια ημιομάδα θα καλείται μονοειδές (monoid), αν υπάρχει στοιχείο ε στο Α ώστε ε□α=α□ε=α για κάθε α.

Ένα μονοειδές για το οποίο ισχύει ότι, για κάθε α υπάρχει β με β□α=α□β=ε θα καλείται ομάδα (group). Αν επιπλέον η πράξη είναι και αβελιανή, τότε θα καλείται αβελιανή ομάδα (abelian group).

Παράδειγμα. 1) Τα ζεύγη ( ,+) και ( ,⋅) είναι μονοειδή.

2) Το ζεύγος ( ,+) είναι αβελιανή ομάδα.

3) Το ζεύγος ( ,⋅) είναι μονοειδές.

4) Τα ζεύγη ( ,+) και ( *,⋅) είναι αβελιανές ομάδες.

5) Το σύνολο των nxm πινάκων, M(nxm), με την πρόσθεση είναι αβελιανή ομάδα.

(M(nxm) ,+).

6) Το σύνολο των nxn πινάκων με τoν πολλαπλασιασμό είναι μονοειδές. (M(nxn) ,⋅).

7) Το ζεύγος ( *,⋅) είναι αβελιανή ομάδα.

8) Το ζεύγος ( ν, ) είναι αβελιανή ομάδα. Από την ιδιότητα της πράξης αΣβΣ =(α+β)Σ

βλέπουμε ότι η πράξη είναι προσεταιριστική (γιατί είναι στο ), αβελιανή (γιατί είναι στο ) και το 0Σ αποτελεί ουδέτερο στοιχείο. Για κάθε αΣ έχουμε ότι το (ν-α)Σ αποτελεί το αντίθετο του.

9) Το ζεύγος ( *

4 , ) είναι μονοειδές αλλά όχι ομάδα. Η προσεταιριστική και το ουδέτερο

στοιχείο προκύπτουν από την ιδιότητα της πράξης αΣβΣ =(αβ)Σ. Παρατηρούμε ότι το 2Σ δεν έχει αντίστροφο.

10) Το ζεύγος ( *

3 , ) είναι αβελιανή ομάδα. Αρκεί να δείξουμε ότι το 1Σ και το 2Σ έχουν

αντίστροφα. Τα αντίστροφα στοιχεία είναι ο εαυτός τους. 1Σ 1Σ =(1)Σ, 2Σ2Σ =(4)Σ= 1Σ. ■


1 6

ΠΑΡΑΔΟΧΗ. 1) Μια ομάδα θα συμβολίζεται με (Ο,∙), ενώ αν είναι αβελιανή με (Ο,+). Αυτό όμως δεν σημαίνει ότι αυτές οι πράξεις είναι οι συνηθισμένες πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού.

2) Τα στοιχεία του συνόλου ν θα τα συμβολίζουμε με a , δηλαδή {0 , 1, …, ( 1) }.

14. ΟΡΙΣΜΟΣ

Αν ένα σύνολο Α είναι εφοδιασμένο με δύο πράξεις και , ώστε να ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα (distributive law)

α (βγ)=(αβ) (αγ) και (αβ) γ=(αγ) (βγ)

για κάθε τριάδα α,β,γ αυτές θα καλούνται συμβιβαστές.

Παράδειγμα. Στις επόμενες τριάδες οι πράξεις είναι συμβιβαστές.

( ,+,⋅), ( ν ,+,⋅) ( ,+,⋅), ( ,+,⋅), ( ,+,⋅) και (M(nxn) ,+,⋅). ■


1 7

1) Εξετάστε αν η πράξη που δίνεται είναι καλά ορισμένη στο αντίστοιχο σύνολο.

Α) , α*β=α2β3.

Β) , α*β=α/(α2+β).

Γ) Α={1,2,3,-4}, α*β=|β|.

Δ) Α={1,2,3,4}, α*β=α+β.

Ε) *, α*β=|αβ|.

ΣΤ) Α={-1,1} με τον πολ/μό.

2) Εξετάστε αν η πράξη α*β=Ε.Κ.Π.(α,β) είναι καλά ορισμένη στο σύνολο .

3) Έστω τα σύνολα Α=0

| 0, ,0

aab a b

b

και Β=

0| 0, ,

0

ccd c d

d

. Εξετάστε

αν τα σύνολα Α, Β και Α Β είναι ομάδες με το γινόμενο των πινάκων.

4) Έστω το σύνολο Α= | 0, , ,0

a cab a b c

b

. Για ποιά a και b το Α είναι ομάδα με

τον πολλαπλασιασμό πινάκων; 5) Έστω ( , *) με την πράξη να ορίζεται ως εξής: Αν α=2κ, τότε α*β=α+β. Αν α=2κ+1, τότε α*β=α-β. Δείξτε ότι το ( , *) αποτελεί ομάδα.

6) Έστω Ο= * με την πράξη να ορίζεται ως εξής: (α,β)*(γ,δ)=(αγ,αδ+β). Δείξτε ότι το Ο είναι ομάδα. 7) Ορίστε μια πράξη στο Α={α,β} ώστε να αποτελεί ομάδα.

8) Δείξτε ότι το σύνολο των πραγματικών πινάκων a b

b a

με a2+b2>0, αποτελεί ομάδα

με το γινόμενο των πινάκων.

9) Να δείξετε ότι το σύνολο Ο= * με την πράξη (x1,y1)(x2,y2)=(x1x2,(y2+x1x2y1)/x1)

αποτελεί ομάδα.


1 8

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΜΑΔΩΝ

Η μελέτη των ομάδων ξεκινά από μια απλή ερώτηση, υπάρχει μοναδική λύση της εξίσωσης;

(1) a • x = b στο σύνολο που παίρνουν τιμές τα a και b;

Ας δούμε την πιο απλή μορφή πρώτα,

(2) 4x = 3

Η απάντηση εξαρτάται από τι είδους τιμές επιτρέπουμε να λαμβάνει το x. Ακέραιος δεν μπορεί

να είναι. Σίγουρα μπορεί να είναι ρητός x=3/4. Αλλά και ακέραιος mod5, x=2 .

Για την (1), θα πρέπει να γνωρίζουμε το σύνολο Ο στο οποίο θα αναζητήσουμε τη λύση και φυσικά την πράξη •. Αν το ζεύγος (Ο, •) είναι ομάδα, η (1) θα έχει σίγουρα μοναδική λύση όπως θα δούμε χωρίς να έχει καμία σημασία τι είδους στοιχεία έχει το Ο ή πως ακριβώς συμπεριφέρεται η πράξη. Και αυτό ακριβώς είναι η θεωρία ομάδων. Μελετάμε τις ιδιότητες χωρίς να περιοριζόμαστε στη φύση των αντικειμένων.

Αμέσως θα μελετήσουμε βασικές ιδιότητες των ομάδων. Αν τις αναγάγουμε στα γνωστά μας συστήματα, ακεραίους ή ρητούς, αυτές θα είναι προφανείς και πιθανόν να μην είμαστε σίγουροι για το τι πρέπει να αποδείξουμε! Αυτό συμβαίνει γιατί αυτές οι ιδιότητες θεωρούνται βίωμά μας και ως εκ τούτου θεωρούνται δεδομένες. Θα δούμε όμως ότι όχι μόνο δεν είναι δεδομένες, αλλά μερικές φορές και ιδιαίτερα έξυπνες ή και δύσκολες στην απόδειξή τους. ΠΡΟΣΟΧΗ Σε κάθε βήμα θα πρέπει να γνωρίζουμε ποιά ιδιότητα χρησιμοποιούμε. Αν δεν είμαστε σίγουροι, η απόδειξη κατά πάσα πιθανότητα θα είναι λάθος.

15. ΘΕΩΡΗΜΑ

1) Αν το (Ο,•) είναι ομάδα, το ουδέτερο ή μοναδιαίο (unit) στοιχείο ε είναι μοναδικό.

2) Αν το (Ο,•) είναι ομάδα, κάθε στοιχείο α έχει μοναδικό αντίθετο ή αντίστροφο (inverse). Συμβολίζεται με α-1 ή –α.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1) Έστω ότι υπάρχουν δύο ουδέτερα, ε και υ. Τότε θα πρέπει να ισχύει για κάθε στοιχείο α ότι α=α•ε=ε•α=α•υ=υ•α.

Θεωρούμε α=υ, τότε υ=υ•ε και για α=ε έχουμε ε=υ•ε. Άρα υ=ε.

2) Έστω ότι τα α έχει δύο αντίστροφα, α1 και α2. Δηλαδή ε=α•α1=α1•α= α•α2=α2•α. Ξεκινάμε από τη σχέση ε=α•α1=α1•α και πολλαπλασιάζουμε με α2.


1 9

ε•α2=(α1•α)•α2 ⇒ α2=α1•(α•α2) ⇒ α2=α1•ε ⇒ α2=α1

■

16. ΠΡΟΤΑΣΗ

1) Αν το (Ο,•) είναι ομάδα, για κάθε στοιχείο α ισχύει ότι

1

1a a

.

2) Αν το (Ο,•) είναι ομάδα, για κάθε στοιχείο α και β ισχύει ότι

1 1 1a a . Προσοχή, αν ο ομάδα είναι αβελιανή, τότε

1 1 1a a .

3) Σε μια ομάδα ισχύει η ιδιότητα της διαγραφής, α•β=γ•β ⇒ α=γ

και β•α=β•γ ⇒ α=γ.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1) Αρκεί να δείξουμε ότι ο αντίστροφος του α-1 είναι ο α. Εφόσον α-1 •α=ε και

α•α-1 =ε, ο αντίστροφος του α-1 είναι ο α. Άρα 1

1a a

. Εδώ χρησιμοποιήσαμε ότι ο

αντίστροφος είναι μοναδικός.

2) Αρκεί να δείξουμε ότι

1 1 1 1 1 1 1( )a a a a

Άρα ο αντίστροφος του a είναι ο 1 1a .

3) α•β=γ•β ⇒ (α•β) •β-1 =(γ•β)•β-1 ⇒ α•(β •β-1 )=γ•(β•β-1) ⇒ α•ε=γ•ε ⇒ α=γ. Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύουμε και την άλλη σχέση. ■

Το επόμενο θεώρημα μας λέει ότι ο ορισμός της ομάδας θα μπορούσε να ήταν λακωνικότερος (απλούστερος) αλλά δυσκολότερος στην εφαρμογή του.

Από αυτό το σημείο και κάτω δεν θα γράφουμε την πράξη, εκτός και αν υπάρχει περίπτωση σύγχυσης. Επίσης το ουδέτερο στοιχείο θα το συμβολίζουμε με 1 ή 0 αν η πράξη είναι αβελιανή.


2 0

17. ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω ότι το (Ο,•) είναι ημιομάδα. Αν υπάρχει ένα στοιχείο 1 ώστε να είναι δεξιό (αριστερό) ουδέτερο, α1=α για όλα τα α, και κάθε στοιχείο α έχει δεξιό (αριστερό) αντίστροφο β, αβ=1. Τότε το (Ο,•) είναι ομάδα.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αρκεί να δείξουμε ότι οι ιδιότητες αυτές ισχύουν και από αριστερά.

Ζητάμε λοιπόν 1α=α. Ας θεωρήσουμε ότι αυτό ισχύει ώστε να καταλήξουμε σε κάτι γνωστό. Γνωρίζουμε ότι για κάθε α υπάρχει β ώστε αβ=1.

1α=α ⇔ (1α)β=αβ ⇔ 1(αβ)=1 ⇔ 1•1=1 Αυτό όμως ισχύει. Άρα το ουδέτερο είναι δεξιό και αριστερό.

Πρέπει να δείξουμε ότι το δεξιό αντίστροφο είναι επίσης και αριστερό , βα=1. Για το στοιχείο β, σύμφωνα με την υπόθεση υπάρχει δεξιό αντίστροφο γ, δηλαδή βγ=1.

αβ=1 ⇔ (αβ)γ=1γ ⇔ α(βγ)=γ ⇔ α1=γ ⇔ α=γ

Δηλαδή βγ=1 ⇔ βα=1 . ■

Παράδειγμα. Στο σύνολο ορίζουμε την πράξη α∙β=α. Εύκολα δείχνουμε ότι η πράξη

είναι προσεταιριστική και το 1 είναι δεξιά μονάδα, α∙1=α. Επίσης το 1 είναι και αριστερό

αντίστροφο για κάθε ακέραιο, 1⋅α=α. Η πράξη αυτή όμως δεν έχει αριστερή μονάδα. ■


2 1

1) Έστω (Ο,*) ομάδα.

Α) Ο αβελιανή ανν (α*β)-1=α-1*β-1, για όλα τα στοιχεία της.

Β) Ο αβελιανή ανν (α*β)2=α2*β2, για όλα τα στοιχεία της.

Γ) Ο αβελιανή, αν α2=e, για κάθε στοιχεία της.

Δ) Αν α στοιχείο της Ο, τότε Ο={αβ | βΟ}.

2) Έστω (Ο,*) ημιομάδα με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Αν ισχύει η ιδιότητα της διαγραφής,

α*β=α*γ β=γ και β*α=γ*α β=γ για όλα τα στοιχεία της, τότε είναι ομάδα.

3) Έστω (Ο,*) ημιομάδα. Αν για κάθε α και β υπάρχει γ ώστε α*γ=β και δ ώστε δ*α=β, τότε είναι ομάδα.


2 2

ΟΜΑΔΕΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η έννοια της ομάδας προέκυψε από συγκεκριμένα γεωμετρικά προβλήματα. Τις συμμετρίες. Εδώ

θα αναφερθούμε μόνο σε συγκεκριμένες συμμετρίες του ισοπλεύρου τριγώνου και τετραγώνου, αλλά αυτές δεν εξαντλούν τις εφαρμογές σε άλλους κλάδους των μαθηματικών, φυσικής, τέχνης και αλλού.

Ας μελετήσουμε τις συμμετρίες του ισοπλεύρου τριγώνου. Δηλαδή όλες τις 1-1 και επί απεικονίσεις που διατηρούν την απόσταση. Αυτές θα είναι 1-1 και επί απεικονίσεις που απεικονίζουν τις κορυφές στις κορυφές. Αλλά όχι μόνο.

ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΣΤΡΟΦΕΣ

1 = ΤΑΥΤΟΤΙΚΗ

R = ΣΤΡΟΦΗ ΚΑΤΑ 120Ο


2 3

R’ = RR = ΣΤΡΟΦΗ ΚΑΤΑ 240Ο

ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΑΞΟΝΕΣ

V1

V2


2 4

V3

Ας δούμε τη δράση των συμμετριών στις κορυφές του τριγώνου.

R: (1,2,3) ⇾ (2,3,1)

R’: (1,2,3) ⇾ (3,1,2)

V1: (1,2,3) ⇾ (1,3,2)

V2: (1,2,3) ⇾ (3,2,1)

V3: (1,2,3) ⇾ (2,1,3) Όπως παρατηρήσαμε και προηγουμένως, η κάθε συμμετρία καθορίζεται από την εικόνα της τριάδας (1,2,3) στον εαυτό της και τίποτα περισσότερο. Το πρώτο στοιχείο έχει 3 επιλογές το δεύτερο 2 και το τρίτο 1. Άρα συνολικά 3∙2∙1=3!=6. Έστω G={1,R,R’,V1,V2,V3} το σύνολο των συμμετριών. Η σύνθεσή τους δίνεται από τον επόμενο πίνακα

1 R R’ V1 V2 V3

1 1 R R’ V1 V2 V3

R R R’ 1 V3 V1 V2

R’=R2 R’ 1 R V2 V3 V1

V1 V1 V2 V3 1 R R’

V2 V2 V3 V1 R’ 1 R

V3 V3 V1 V2 R R’ 1

To σύνολο G με την προηγούμενη πράξη γίνεται ομάδα και μάλιστα όχι αβελιανή. Παρατηρούμε ότι τα στοιχεία R και V1 δημιουργούν όλα τα υπόλοιπα. Τέτοιου είδους στοιχεία θα τα καλούμε γεννήτορες. Επίσης οι σχέσεις μεταξύ των στοιχείων είναι πολύ βασικές. ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΣΥΜΜΕΤΡΙΩΝ ΤΟΥ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ.

R-1=R’, (R’)-1=R, (V1)-1=V1, (V2)-1 = V2, (V3)-1 =V3, RV1 V1R, V3=RV1, V2= V1R

Βλέπουμε λοιπόν ότι οι ομάδες εμφανίζονται εντελώς φυσιολογικά μέσα από γεωμετρικές

ιδιότητες. Από την άλλη μεριά θα μπορούσε να δει κάποιος το προηγούμενο σύνολο με μια


2 5

πράξη όπως περιγράφεται στον προηγούμενο πίνακα χωρίς να γνωρίζει ότι τα στοιχεία αυτά αποτελούν συμμετρίες του τριγώνου. Για ποιό λόγο λοιπόν να περιοριστούμε στην υφή των στοιχείων του συνόλου και στον τρόπο με τον οποίο ορίστηκε η πράξη; Αρκεί να γνωρίζουμε την πράξη. Ας θυμηθούμε ότι στη γραμμική άλγεβρα όταν έχουμε ένα διανυσματικό χώρο V διάστασης n, δεν έχει σημασία αν τα στοιχεία του είναι διανύσματα ή πίνακες ή

απεικονίσεις. Θα είναι ισόμορφος με τον n . Ότι διανυσματικές ιδιότητες έχει ο n , τις ίδιες θα έχει και ο V. Το ίδιο ακριβώς ισχύει και στις ομάδες, όλα καθορίζονται από τη δομή και όχι από το είδος του συνόλου ή πως καθορίστηκε η πράξη.

Έστω Χ={1,2,3} και Σ3 το σύνολο όλων των 1-1 απεικονίσεων του Χ στον εαυτό του. Όπως είδαμε προηγουμένως, έχει 6 στοιχεία. Με τη σύνθεση το Σ3 εφοδιάζεται με μια πράξη, όπως και η G. Επειδή η σύνθεση απεικονίσεων είναι αφενός προσεταιριστική και αφετέρου κάθε 1-1 και επί απεικόνιση έχει αντίστροφη η οποία είναι επίσης 1-1 και επί, δηλαδή ανήκει στο Σ3, το Σ3 γίνεται ομάδα και δεν είναι άλλη από την G που μελετήσαμε προηγουμένως. Χάριν ευκολίας θα γράφουμε αντί για Rf και αντί για V1g . Ουσιαστικά έχουμε αποδείξει το επόμενο θεώρημα.

18. ΘΕΩΡΗΜΑ

Το σύνολο των 1-1 απεικονίσεων σε τρία στοιχεία με τη σύνθεση είναι ομάδα και συμβολίζεται Σ3={1, f, f2, g, fg, f2g}. H Σ3 γεννάται από δυο στοιχεία f και g τα οποία ικανοποιούν τις επόμενες ιδιότητες.

f3=1=g2=(fg)2=(f2g)2, fg gf, gf=f2g.

Η Σ3 είναι λοιπόν μια μη αβελιανή ομάδα με 6 στοιχεία. Από τις προηγούμενες σχέσεις βλέπουμε ότι δεν είναι και τόσο απλή-εύκολη. Αυτό οφείλεται στο ότι γεννάται από δύο γεννήτορες οι οποίοι συνδέονται μεταξύ τους με «περίεργες» σχέσεις. Ας αναρωτηθούμε ποια θα ήταν η πιο απλή-εύκολη ομάδα; Προφανώς αν γεννάται από ένα μόνο στοιχείο, θα είναι ευκολότερη. Αυτές οι ομάδες ονομάζονται κυκλικές όπως θα δούμε πιο κάτω.


2 6

ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ

ΣΤΡΟΦΕΣ

ΤΑΥΤΟΤΙΚΗ

1

x

ΣΤΡΟΦΗ ΚΑΤΑ 90Ο

R


R’=RR


R”=RRR


2 7

ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ Χ

H

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ Υ

V

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ

ΩΣ ΠΡΟΣ Χ=Υ

D

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ

ΩΣ ΠΡΟΣ Χ=-Υ

D’


2 8

Παρατηρούμε ότι ισχύουν οι επόμενες σχέσεις μεταξύ των συμμετριών.

D=RH, V=R2H, D’=R3H, RHHR

Ονομάζουμε D4 το σύνολο των συμμετριών του τετραγώνου D4={1,R,R’,R”,H,V,D,D’}.

Η σύνθεση των συμμετριών του τετραγώνου δίνεται από τον ακόλουθο πίνακα

1 R R’ R” H V D D’

1 1 R R’ R” H V D D’

R R R’ R” 1 D D’ V H

R’=R2 R’ R” 1 R V H D’ D

R”=R3 R” 1 R R’ D’ D H V

H H D’ V D 1 R’ R” R

V V D H D’ R’ 1 R R”

D D H D’ V R R” 1 R’

D’ D’ V D H R” R R’ 1

To σύνολο D4 με την προηγούμενη πράξη γίνεται ομάδα και καλείται διεδρική τάξης 8.

19. ΟΡΙΣΜΟΣ

Η ομάδα που δημιουργείται από τις συμμετρίες ενός κανονικού ν πολυγώνου καλείται διεδρική ομάδα (dihedral group) τάξης 2ν και συμβολίζεται με Dν.

Θα δούμε πιο κάτω ότι η Dν γεννάται από δυο στοιχεία, περιέχει 2ν στοιχεία και είναι υποομάδα της συμμετρικής ομάδας Σν.

20. ΛΗΜΜΑ

Κάθε σημείο ενός κανονικού πολυγώνου καθορίζεται από την απόστασή του από δύο διαδοχικές κορυφές.


2 9

21. ΠΡΟΤΑΣΗ

Η ομάδα Dν έχει τάξη 2ν.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1) Πρώτα θα δείξουμε ότι έχει το πολύ 2ν στοιχεία. Από το προηγούμενο λήμμα κάθε τέταια απεικόνιση θα καθορίζεται πλήρως από τις αποστάσεις από δύο διαδοχικές κορυφές Α και Β. Η Α έχει ω επιλογές ενώ η Β μόνο 2. Άρα έχουμε το αποτέλεσμα.

2 ) Υπάρχουν ν διαφορετικές στροφές και ν διαφορετικές συμμετρίες. . ■

22. ΘΕΩΡΗΜΑ

Η ομάδα Dν γεννάται από μια στροφή r και μια συμμετρία s ώστε rν=1=s2 και sris=r-i.


3 0

ΚΥΚΛΙΚΕΣ ΟΜΑΔΕΣ, ΤΑΞΗ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

Η πρώτη ομάδα που μελετήσαμε ήταν η ( ,+). Αυτή έχει άπειρα στοιχεία, είναι

αβελιανή και κυρίως έχει την ιδιότητα κάθε στοιχείο της α να δημιουργείται από το στοιχείο 1 το οποίο θα καλούμε γεννήτορα (generator)

1 ... 1a

a

Η ομάδα ( ν={0 ,1,…, ( 1) }, ) έχει ακριβώς τις ίδιες ιδιότητες με τη ( ,+) εκτός από το

ότι είναι πεπερασμένη. Εδώ ο γεννήτορας είναι το 1.

Η Σ3 δεν έχει αυτήν την ιδιότητα. Έχει το ίδιο πλήθος στοιχείων με την 6 αλλά διαφορετική

δομή-πράξη. Η 6 έχει απλούστερη δομή. Μπορούμε να τη δούμε και γεωμετρικά. Είναι το

σύνολο των στροφών κατά 60ο στο μοναδιαίο κύκλο με την πρόσθεση.

Στρ60 ={0ο, 60ο, 120ο , 180ο , 240ο, 300ο}.

Μπορούμε να αντιστοιχίσουμε τα στοιχεία της 6 με την Στρ60 ώστε η αντιστοιχία αυτή να

σέβεται την πράξη. 60 mod360o oa a και ( ) ( ) 60 mod360o oa b a b

0ο↔

60ο↔ 120ο↔

180ο↔

240ο↔ 300ο↔


3 1

Οι απλούστερες ομάδες είναι αυτές που παράγονται από ένα μόνο στοιχείο όπως η

( 6 , ).

23. ΟΡΙΣΜΟΣ

Μια ομάδα Ο καλείται κυκλική (cyclic), αν υπάρχει ένα στοιχείο της α ώστε κάθε άλλο στοιχείο της να είναι δύναμη ή άθροισμα αυτού, β=ακ ή β=κα για κάποιον ακέραιο κ. Ο α καλείται γεννήτορας και γράφουμε

Ο=<α>={ακ |κ ακέραιος }.

Παράδειγμα. Η Σ3 δεν είναι κυκλική όπως έχουμε δει αλλά ούτε και η ( ,+).

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν ήταν κυκλική, θα υπήρχε ρητός r/q (προφανώς r<q και πρώτοι μεταξύ τους)

και κάθε ρητός θα ήταν πολλαπλάσιο αυτού. Άρα θα είχαμε q r r

kq q

οπότε ( 1)q k r ,

αδύνατον αφού είναι πρώτοι μεταξύ τους. ■

24. ΟΡΙΣΜΟΣ

Μια ομάδα καλείται πεπερασμένης τάξης (of finite order), αν έχει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Διαφορετικά καλείται άπειρη (of infinite order).

Θα αποδείξουμε αμέσως στοιχειώδεις ιδιότητες.

25. ΠΡΟΤΑΣΗ

Έστω (Ο, •) είναι ομάδα και α στοιχείο της. Έστω κ και ν ακέραιοι, τότε ισχύει,

1) ακαν=ακ+ν

2) (α-1)κ=α-κ=(ακ)-1

3) (ακ)ν=ακν=(αν)κ.


3 2

ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1) Η απόδειξη στηρίζεται στην προσεταιριστική ιδιότητα και στην αα-1=1. Αν οι κ και ν είναι φυσικοί, τότε η σχέση είναι γνωστή από την προσεταιριστική ιδιότητα. Αν είναι και οι δύο αρνητικοί, πάλι χρησιμοποιούμε την προσεταιριστική και την (α-1)-κ=ακ. Υποθέτουμε ότι ο ένας (κ) είναι θετικός και ο άλλος (ν) αρνητικός με κ>-ν. Τότε

α(κ+ν)-ναν=ακ+να-ναν=ακ+ν1=ακ+ν.

2) Αν χρησιμοποιήσουμε το προηγούμενο θα έχουμε ακα-κ=1. Δηλαδή (ακ)-1=α-κ και ακ=(α-κ)-1.

Για κ θετικό θα έχουμε 1 1... k

k

a a a . Αν κ<0, τότε πάλι από το προηγούμενο θα έχουμε

(α-1)-κ (α-1 )κ=1 και (ακ )-1= (α-1 )κ .

3) Αν ν>0 χρησιμοποιούμε το 1) ν φορές. Αν είναι αρνητικό, τότε χρησιμοποιούμε πρώτα το 2) και μετά το 1). ■

Θα μελετήσουμε τώρα ένα περίεργο φαινόμενο που μπορεί να συμβαίνει μεταξύ των στοιχείων μιας ομάδας.

Παράδειγμα. 1) Η ομάδα Μ(2x2, ) των 2x2 πινάκων με την πρόσθεση είναι άπειρη αλλά

δεν είναι κυκλική, αφού ο πίνακας 0 0

0 n

δεν μπορεί να δημιουργηθεί με αθροίσματα του

πίνακα 0

0 0

n

. Επίσης δεν υπάρχει μη-μηδενικός ακέραιος κ ώστε κa b

c d

=0 0

0 0

για

0 0

0 0

a b

c d

.

2) Το σύνολο Μ(2x2) είναι εφοδιασμένο με γινόμενο αλλά δεν είναι ομάδα. Περιέχει όμως την πολλαπλασιαστική ομάδα GL(2, ). Δηλαδή όλους τους αντιστρέψιμους πίνακες. Είναι και

αυτή άπειρη ομάδα, αφού περιέχει τους πίνακες της μορφής 0

0 1

n

για όλους τους φυσικούς n.

Δεν υπάρχει όμως φυσικός κ ώστε 2 0 1 0

0 1 0 1

k

. Αλλά

21 0 1 0

0 1 0 1

. ■


3 3

Βλέπουμε λοιπόν ότι τα στοιχεία της GL(2, ) χωρίζονται σε δυο κατηγορίες, αυτά που οι

δυνάμεις τους δεν γίνονται ποτέ μονάδα, 1 0

0 1

, και αυτά που κάποια δύναμή τους είναι

μονάδα.

26. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω Ο ομάδα και α στοιχείο της. Το α θα έχει πεπερασμένη τάξη, αν υπάρχει φυσικός κ ώστε ακ=1. Διαφορετικά θα λέμε ότι έχει άπειρη τάξη. Ο μικρότερος φυσικός κ για τον οποίο ακ=1, θα καλείται τάξη (order) του α και θα γράφουμε ο(α)=κ. Διαφορετικά θα γράφουμε ο(α)=∞.

Η τάξη της Ο είναι ο πληθικός αριθμός του συνόλου Ο και συμβολίζεται με |Ο|.

27. ΠΡΟΤΑΣΗ

Έστω Ο ομάδα και α στοιχείο της.

1) ο(α)=ο(α-1).

2) Αν ο(α)=κ και αν=1, τότε το κ διαιρεί το ν.

3) Αν ο(α)=κ και ο μέγιστος κοινός διαιρέτης του κ και ν είναι λ, τότε ο(αν) = κ/λ. .

ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1) Έστω ο(α)=κ, τότε ακ=1 και (ακ)-1=(α-1)κ =1-1=1. Αν υπήρχε ν<κ ώστε

(α-1)ν =1, τότε πάλι από το προηγούμενο θεώρημα θα είχαμε (α-1)ν =(αν)-1 =1 και αν=1. Αδύνατον. Άρα ο(α-1)κ=κ.

Αν ο(α)=∞, τότε θα έχουμε επίσης ο(α-1)=∞. Διότι αν είχαμε ο(α-1)=κ, τότε επειδή (α-1)-1=α και ο((α-1))-1=κ. Δηλαδή ο(α)=κ.

2) Εφόσον αν=1, θα πρέπει κ<ν. Εφαρμόζοντας την Ευκλείδεια διαίρεση έχουμε, ν=πκ+υ. Εδώ 0υ<κ. Γράφουμε λοιπόν

αν=απκ+υ=(ακ)παυ=1αυ =αυ. Αλλά, αν=1. Άρα αυ=1. Αδύνατον εκτός αν υ=0. Δηλαδή ν=πκ .


3 4

3) Δίνεται ότι ΜΚΔ(κ, ν)=λ. Άρα ΜΚΔ(κ/λ, ν/λ)=1. Δηλαδή οι ακέραιοι κ/λ και ν/λ είναι πρώτοι μεταξύ τους. Θα χρησιμοποιήσουμε αυτές τις σχέσεις στους εκθέτες.

(ακ)ν/λ=(αν)κ/λ=1

Έστω μ>0 με μ<κ/λ και (αν)μ=1. Θα δείξουμε ότι ο κ/λ διαιρεί τον μ, άτοπο. Αφού ανμ=1, ο κ διαιρεί τον νμ. Άρα ο κ/λ διαιρεί τον νμ/λ. Επειδή όμως (ν/λ,κ/λ)=1 έχουμε ότι ο κ/λ διαιρεί τον μ. ■

28. ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω Ο κυκλική ομάδα και α γεννήτοράς της.

1) Αν ο(α)=∞, τότε ακ αλ για κ λ.

2) Αν ο(α)=ν, τότε ακ=αλ για κλmodν. Επίσης Ο={1,α,α2,α3,…,αν-1}.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1) Έστω ο(α)=∞ και κ λ. Αν είχαμε ακ=αλ, τότε θα είχαμε επίσης ακ-λ=1. Και η τάξη του α θα ήταν πεπερασμένη. Αδύνατον.

2) Σ’ αυτήν την περίπτωση η τάξη του α είναι ν. Αν έχουμε ακ=αλ, τότε θα είχαμε επίσης

ακ-λ=1. Και σύμφωνα με την προηγούμενη πρόταση, το ν διαιρεί το κ-λ. Το αντίστροφο είναι ακριβώς το ίδιο. Αν κ-λ=πν, τότε θα έχουμε επίσης ακ-λ=1. Δηλαδή ακ=αλ. Έστω κ>ν, τότε κ=πν+υ και ακ=απν+υ. Άρα θα έχουμε ακ=αυ . Δηλαδή

Ο={1,α,α2,α3,…,αν-1}.■

29. ΠΟΡΙΣΜΑ

Έστω Ο κυκλική ομάδα, τότε είναι και αβελιανή.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αφού η Ο είναι κυκλική, κάθε στοιχείο της γράφεται ακ για κάποιον ακέραιο κ. Θα πάρουμε δυο στοιχεία της και θα δείξουμε ότι μετατίθενται.

ακαλ=ακ+λ=αλ+κ=αλακ

■

Γνωρίζουμε ότι δεν ισχύει το αντίστροφο, η αβελιανή ομάδα ( ,+) δεν είναι κυκλική.


3 5

1) Έστω G ομάδα και α, β στοιχεία πεπερασμένης τάξης. Δείξτε ότι ο(αβα-1)=ο(β) και ο(αβ)= ο(βα). 2) Έστω G αβελιανή ομάδα και α, β στοιχεία πεπερασμένης τάξης ώστε (ο(α),ο(β))=1. Δείξτε ότι ο(αβ)=ο(α)ο(β). 3) Είναι η ομάδα ( , *) με πράξη α*β=α+β-1 κυκλική; 4) Δώστε παράδειγμα άπειρης ομάδας της οποίας κάθε στοιχείο έχει πεπερασμένη τάξη. 5) Αν η Ο είναι άπειρη κυκλική, τότε έχει μόνο δύο γεννήτορες. 6) Έστω α και β δυο μη τετριμμένα στοιχεία μιας ομάδας Ο. Αν ο(β)=2 και βαβ-1=α2, βρείτε την τάξη του α. 7) Αν η τάξη της Ο είναι άρτια τότε υπάρχει μη τετριμμένο στοιχείο α με τάξη 2.

8) Έστω

1

0 1 | , , , 2

0 0 1

p

a b

G c a b c p

. Δείξτε ότι κάθε στοιχείο της έχει τάξη το

πολύ p και να βρείτε την τάξη της. Ο p είναι πρώτος.

9) Στην GL(2, ) βρείτε την τάξη των στοιχείων 1 0 1 1

,0 1 0 1

και του γινομένου

τους. Κάντε το ίδιο για τα 1 1 1 1

,0 1 0 1

.

10) Για τα στοιχεία α, β και γ της ομάδας Ο ισχύουν οι σχέσεις α=βγ=γβ και βκ =1=γν με κ,ν φυσικούς πρώτους μεταξύ τους. Δείξτε οτι υπάρχουν πρώτοι μεταξύ τους μ και λ ώστε β=αμ και γ=αλ.


3 6

ΥΠΟΟΜΑΔΕΣ

Μέχρι τώρα μελετήσαμε σύνολα εφοδιασμένα με μια πράξη ώστε να ικανοποιούν τις

ιδιότητες της ομάδας. Ένα εύλογο ερώτημα είναι, αν κάποιες από αυτές συνδέονται μεταξύ τους ώστε το ένα σύνολο να είναι υποσύνολο του άλλου, , τότε συνδέονται μεταξύ τους σαν

ομάδες; Παραδείγματος χάριν το ( ,+) με το ( ,+). Αν περιορίσουμε την πρόσθεση του

να εφαρμόζεται μόνο στο υποσύνολό του , τότε δεν έχουμε τίποτα άλλο από τη γνωστή ομάδα ( ,+). Λέμε ότι η ( ,+ ) είναι υποομάδα της ( ,+). Σ’ αυτήν την ενότητα θα μελετήσουμε συνθήκες ώστε υποσύνολα ομάδων να αποτελούν ομάδες με την ίδια πράξη από μόνες τους.

Έστω (Ο,⋅) ομάδα και ΥΟ. Για να είναι το (Υ,∙) ομάδα, με την ίδια πράξη, πρώτα από όλα

θα πρέπει η πράξη να είναι καλά ορισμένη. Παραδείγματος χάριν, αν Υ={0,1,2}

βλέπουμε ότι η πράξη δεν είναι καλά ορισμένη, 1+2=3Υ. Ας υποθέσουμε ότι η πράξη είναι

καλά ορισμένη στο υποσύνολο Υ. Αν εφαρμόσουμε την πράξη σε τρία στοιχεία του Υ, α⋅β⋅γ, επειδή είναι και στοιχεία του Ο και η πράξη είναι προσεταιριστική, θα είναι αναγκαστικά

προσεταιριστική και στο Υ. Δηλαδή θα ισχύει (α⋅β)⋅γ=α⋅(β⋅γ) και στο σύνολο Υ. Αρκεί λοιπόν να εξετάσουμε την ύπαρξη του μοναδιαίου και του αντιθέτου-αντιστρόφου.

30. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω (Ο,⋅) ομάδα και Υ υποσύνολο του Ο. Το ζεύγος (Υ,⋅) θα καλείται υποομάδα (subgroup), αν αποτελεί ομάδα από μόνο του. Γράφουμε ΥΟ.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1) Οι θετικοί ρητοί με τον πολλαπλασιασμό ( ,⋅) αποτελούν

ομάδα όπως και οι ρητοί με την πρόσθεση ( ,+). Παρότι , δεν είναι η μια υποομάδα

της άλλης αφού έχουν διαφορετικές πράξεις.

2) Αν ΥΟ υποομάδα, θα περιέχει τουλάχιστον το μοναδιαίο στοιχείο 1. Δηλαδή 1Α. Το υποσύνολο Α={1} είναι η μικρότερη υποομάδα και την καλούμε τετριμμένη υποομάδα. Η αντίθετη ακραία περίπτωση είναι όταν Υ=Ο. Οποιαδήποτε άλλη περίπτωση θα ικανοποιεί τη σχέση {1}<Υ<Ο και θα καλείται γνήσια υποομάδα. ■

Θα δούμε αμέσως ένα κριτήριο σύμφωνα με το οποίο θα εξετάζουμε σύντομα αν ένα υποσύνολο αποτελεί υποομάδα.


3 7

31. ΠΡΟΤΑΣΗ

Έστω Ο ομάδα και Υ μη-κενό υποσύνολό της. Το Υ είναι υποομάδα αν και μόνο αν ισχύουν οι επόμενες συνθήκες.

1) Η πράξη να είναι καλά ορισμένη, για κάθε α και βΥ ισχύει ότι αβΥ.

2) Για κάθε α Υ ισχύει ότι α-1 Υ.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ «» Αν ΥΟ είναι υποομάδα, τότε οι δύο συνθήκες ικανοποιούνται.

«» Ας υποθέσουμε ότι ικανοποιούνται οι δύο συνθήκες και ας δείξουμε ότι είναι υποομάδα. Από την 1) η πράξη είναι καλά ορισμένη. Όπως σημειώσαμε πιο πάνω θα είναι και προσεταιριστική, διότι είναι και στην Ο. Από τη 2) γνωρίζουμε ότι ο αντίστροφος κάθε στοιχείου του Υ είναι επίσης στοιχείο του Υ. Αρκεί να δείξουμε ότι το Υ περιέχει και το μοναδιαίο. Εφόσον Υ . υπάρχει στοιχείο αΥ, άρα από τη συνθήκη 2) υπάρχει και το α-1 . Από τη συνθήκη 1) και το στοιχείο αα-1Υ. Δηλαδή 1Υ. Δείξαμε λοιπόν ότι αν ικανοποιούνται οι δύο συνθήκες το Υ είναι υποομάδα. ■

Παράδειγμα. 1) ( ,+) ( ,+) ( ,+) ( ,+).

2) Οι θετικοί ρητοί στους μη-μηδενικούς ρητούς. ( ,⋅) ( * ,⋅).

3) ( ,⋅) ( ,⋅) ( * ,⋅).

4) Έστω Ο ομάδα και α στοιχείο της. Το υποσύνολο Υ={ακ | κ ακέραιος} αποτελεί κυκλική υποομάδα της Ο. Η Ο δεν είναι απαραίτητα κυκλική.

5) Η ομάδα του Klein ορίζεται ως εξής. V={1,α,β,γ}με σχέσεις μεταξύ των στοιχείων,

α2=β2=γ2=1, αβ=βα=γ, βγ=γβ=α, αγ=γα=β

Ας βρούμε όλες τις γνήσιες υποομάδες της. <α>={1,α}, <β>={1,β}, <γ>={1,γ}.

6) Έστω GL(2, ) η γενική γραμμική ομάδα των 2x2 πινάκων στους πραγματικούς

(φυσικά με το γινόμενο) και Υ= | 00

a bac

c

το υποσύνολό της των άνω


3 8

τριγωνικών πινάκων. Επειδή 0 0 0

a b d e ad ae bf

c f cf

και acdf 0, η πράξη

στο Υ είναι καλά ορισμένη και μάλιστα

11 1

100

bca b a

ac

c

Υ.

Άρα Υ GL(2, ).

7) Έστω GL(2, ) η γενική γραμμική ομάδα των 2x2 πινάκων στους μιγαδικούς. Θα μελετήσουμε το υποσύνολο Q8={I, -I, J, -J, K, -K, L, -L}όπου

Ι=1 0

0 1

, J=0

0

i

i

, K=

0 1

1 0

, L=0

0

i

i

.

Αυτή είναι η ομάδα των μοναδιαίων τεταρτονίων Q8 . Κάνοντας πράξεις βλέπουμε ότι ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες

J2=K2=L2=-I, JK=L, KJ=-L, LJ=K, JL=-K, KL=J, LK=-J

Το υποσύνολο Q8 αποτελεί μη-αβελιανή υποομάδα με 8 στοιχεία η οποία γεννάται από το ζεύγος (J,K) ή (J,L) ή (K,L). Παρατηρούμε ότι τα στοιχεία J, K, L έχουν τάξη 4. Έχουμε μελετήσει και άλλη ομάδα μη-αβελιανή με 8 στοιχεία, την ομάδα των συμμετριών του τετραγώνου D4 . Αυτές έχουν μια ουσιώδη διαφορά. Η Q8 δεν έχει γεννήτορα τάξης 2 ενώ η ομάδα D4 έχει. ■

32. ΠΡΟΤΑΣΗ

Όλες οι υποομάδες της άπειρης κυκλικής ( ,+) είναι της μορφής ν για τους φυσικούς ν.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν Υ είναι υποομάδα, τότε θα έχει ένα μικρότερο θετικό στοιχείο ν. Αν δεν υπάρχει θα είναι η τετριμμένη. Εφόσον νΥ, και κάθε πολλαπλάσιό του ...

θα είναι

στοιχείο της. Άρα ν . Αν υπήρχε στοιχείο λ το οποίο δεν είναι πολλαπλάσιο του ν, τότε σύμφωνα με την Ευκλείδεια διαίρεση θα έχουμε, λ=πν+υ με 0<υ<ν. Επειδή υ=λ-πν και τα στοιχεία λ και πν είναι στοιχεία της υποομάδας Υ θα είναι και το υ σαν άθροισμα. Άρα η Υ περιέχει στοιχείο μικρότερο του ν. Άτοπο. ■

33. ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω Ο=<α> κυκλική ομάδα. Τότε κάθε υποομάδα της είναι επίσης κυκλική.


3 9

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω Υ μη τετριμμένη υποομάδα. Κάθε στοιχείο της θα είναι της μορφής ακ για κάποιον ακέραιο κ. Έστω ν ο μικρότερος φυσικός ώστε ανΥ. Θα δείξουμε ότι Υ=<αν>. Η απόδειξη μιμείται την προηγούμενη πρόταση. Εφόσον ανΥ θα πρέπει και κάθε δύναμη αυτού του στοιχείου να είναι στοιχείο της Υ, δηλαδή ακνΥ. Αν είχαμε αλΥ με λ=πν+υ για 0<υ<ν, τότε αυ=αλ-πν =αλα-πν Υ. Αυτό όμως αντιβαίνει στην υπόθεσή μας. ■

Παράδειγμα. Ας βρούμε τις γνήσιες υποομάδες της (4={0,1,2,3 }, ). Μπορούμε να

πάρουμε κάθε υποομάδα που γεννάται από ένα στοιχείο εκτός από τα 0 και 1. Είναι μόνο η

<2 >={0,2 } (το 2 διαιρεί το 4). Παρατηρούμε ότι 4=<1>=<3 > ( το 1 και 3 είναι πρώτοι

με το 4). Πιο κάτω θα δούμε ακριβώς πως θα βρίσκουμε τις υποομάδες μιας κυκλικής. ■

Μια πολύ σημαντική υποομάδα είναι το κέντρο μιας ομάδας.

34. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω (Ο,⋅) ομάδα. Το κέντρο (center) της O, Ζ(Ο), είναι το υποσύνολό της το οποίο αποτελείται από τα στοιχεία που μετατίθενται με κάθε στοιχείο της.

Ζ(Ο)={γΟ | γα=αγ για κάθε αΟ}

Το κέντρο είναι μη κενό γιατί περιέχει το μοναδιαίο, επίσης αν η Ο είναι αβελιανή τότε το κέντρο είναι εξορισμού όλη η ομάδα.

35. ΠΡΟΤΑΣΗ

Έστω (Ο,⋅) ομάδα. Το κέντρο (center) της O, Ζ(Ο), είναι υποομάδα της.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω α και β στοιχεία του κέντρου της, τότε γ(αβ)=(γα)β=(αγ)β=α(γβ)=α(βγ)=(αβ)γ. Άρα και το στοιχείο αβ ανήκει στο κέντρο. Θα δείξουμε ότι και το αντίστροφο του α ανήκει στο κέντρο. α-1γ=(γ-1α)-1=(αγ-1)-1=γα-1.

Παράδειγμα. Ας βρούμε το κέντρο της GL(2, ). Ας πάρουμε ένα τυχαίο στοιχείο

a c

b d

και ας υποθέσουμε ότι αυτό μετατίθεται με κάθε στοιχείο της ομάδας. Θα επιλέξουμε


4 0

κάποια στοιχεία τα οποία θα μας βοηθήσουν να βρούμε το κέντρο. Άρα μετατίθεται και με το 0 1

1 0

.

a c

b d

0 1

1 0

=0 1

1 0

a c

b d

b a

d c

=c d

a b

Άρα a=d και b=c. Το στοιχείο γίνεται a b

b a

. Θα μετατίθεται επίσης και με το 1 1

0 1

.

a b

b a

0 1

1 0

=0 1

1 0

a b

b a

a a b

b a b

=

a b a b

b a

Από την τελευταία σχέση των πινάκων έχουμε b=0. Το κέντρο λοιπόν αποτελείται από

στοιχεία της μορφής 0

0

a

a

με α 0. ■

Θα μελετήσουμε αμέσως μερικές βασικές ιδιότητες στις υποομάδες. Ξεκινάμε με μια ιδιότητα την οποία είδαμε ήδη στο παράδειγμα 7 μετά την πρόταση 28.

36. ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω Ο ομάδα και Υ πεπερασμένο υποσύνολό της. Αν το Υ είναι κλειστό ως προς την πράξη της Ο, τότε είναι υποομάδα της.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω Υ={α1,…,ακ }. Επειδή η πράξη είναι κλειστή αρκεί να δείξουμε ότι κάθε στοιχείο του έχει το αντίστροφο-αντίθετο του στο Υ. Ας πάρουμε το ακ και ας δείξουμε ότι (ακ)-

1Υ. Εφόσον η πράξη είναι κλειστή, αν πολλαπλασιάσουμε όλα τα στοιχεία του Υ με ένα στοιχείο θα πάρουμε πάλι το Υ. Δηλαδή πρώτα θα δείξουμε ότι

ακΥ=Υ {ακ α1,…,ακ ακ }=Υ.

Αυτό είναι ισοδύναμο με ακαi ακαj για i j. Διαφορετικά θα είχαμε (ακ)-1 ακαi=(ακ)-1 ακαj. Από το νόμο της διαγραφής, αi=αj . Άρα υπάρχει αi με ακαi=ακ. Το αi είναι το ουδέτερο στοιχείο. Επίσης, θα υπάρχει αj με ακαj =αi. Το ακ λοιπόν έχει αντίστροφο στο Υ. ■


4 1

Το επόμενο θεώρημα μελετά τις υποομάδες μιας κυκλικής.

37. ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω Ο=<α> κυκλική με ο(α)=ν.

1) Για οποιονδήποτε ακέραιο μ η ομάδα Ο έχει υποομάδα Υ τάξης μ αν και μόνο αν ο μ διαιρεί τον ν.

2) Αν ν=κμ, τότε η Ο έχει μοναδική υποομάδα τάξης μ.

3) <ατ>=<αυ> αν και μόνο αν (τ,ν)=(υ,ν).

ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1) «⇒» Έστω ΥΟ και Υ=<αλ > με |Υ|=μ και λ ελάχιστος φυσικός. Τότε (αλ)μ=αλμ=1 και φυσικά ο ν διαιρεί το λμ. Αν ο λ δεν διαιρεί το ν, τότε ν=κλ+υ με 0<υ<λ. Άρα

1=αν=ακλαυ⇒αυ=(αλ)-κ και αυΥ. Αυτό όμως είναι αδύνατον. Άρα ν=κλ. Με το ίδιο σκεπτικό έχουμε μ<ν=κλ και ν=πμ+τ με 0<τ<μ. Άρα νλ=πμλ+τλ με τλ<μλ. (αν)λ=((αλ)μ)π (αλ)τ. Άρα (αλ)τ=1 με τ<μ. Αυτό όμως είναι αδύνατον. Τελικά τ=0 και ν=πμ.

«⇦» Δηλαδή ν=μπ. Τότε η Υ=<απ> έχει τάξη μ. 2) Έστω Υ και Τ υποομάδες με την ίδια τάξη μ ώστε ν=μπ. Τότε πρέπει Υ=<ατ> και Τ=<αυ> με τ και υ όπως προηγουμένως. Αρκεί να δείξουμε ότι τ=υ. Γνωρίζουμε όμως ότι ο(ατ)=μ=ν/(ν,τ) και ο(αυ)=μ=ν/(ν,υ). Άρα πρέπει (ν,τ)=(ν,υ). Απομένει να δείξουμε ότι (ν,τ)=τ και (ν,υ)=υ. Έχουμε όμως δείξει ότι ν=τρ=υσ. Άρα (ν,τ)=τ και (ν,υ)=υ. Δηλαδή ατ=αυ και τελικά Υ=Τ. 3) Έστω ατ και αυ στοιχεία της Ο. Από το 2) έχουμε ότι

<ατ>=<αυ> |<ατ>|=|<αυ>| ο(ατ)=ο(αυ) (ν,τ)=(ν,υ). ■ Το επόμενο πόρισμα περιγράφει όλες τις υποομάδες μιας κυκλικής ομάδας.

38. ΠΟΡΙΣΜΑ

Αν Ο=<α> με τάξη ν και d1, d2, …, dk είναι όλοι οι διακεκριμένοι διαιρέτες του ν, τότε όλες οι διακεκριμένες υποομάδες της Ο είναι

1 2, ,..., kdd da a a .


4 2

Παράδειγμα. Ας βρούμε όλες τις υποομάδες της 12

=<1>. Οι διαιρέτες του 12 είναι

1,2,3,4,6, και 12. Άρα όλες οι υποομάδες είναι <1>, <2⋅1>, <3⋅1>, <4⋅1>, <6⋅1>,

και <12⋅1>. Δηλαδή, 12

=<1>, < 2 >, <3 >, < 4 >, <6 >, και < 0 >. Ας δούμε ποιες

υποομάδες ταυτίζονται. 12

=<1>=<5 >=< 7 >=<11>. < 4 >=<8 >. <3 >=<9 >. < 2

>=<10>. Το επόμενο σχήμα αποτελεί το πλέγμα (lattice) των υποομάδων της 12

.

Ας δούμε τώρα το αντίστοιχο θεώρημα για την άπειρη κυκλική ομάδα.

39. ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω Ο=<α> άπειρη κυκλική.

Τότε όλες οι υποομάδες της Ο είναι διακεκριμένες.

2 31 , , , ,...a a a

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας υποθέσουμε ότι <ακ>=<αμ> με κ<μ. Τότε θα είχαμε ακ=αλμ για κάποιον λ. Άρα αλμ-κ=1, οπότε λμ-κ=0 και κ>μ. Αδύνατον. ■

< >

< > < >

< > < >

< >

Το πλέγμα αυτό μας δείχνει ποιά υποομάδα είναι υποομάδα της άλλης. Παραδείγματος χάριν,

< > < > < > < >


4 3

Παράδειγμα. Ας βρούμε την τομή των υποομάδων 2 και 3 στην . Έστω α 2

3 , τότε α=2κ=3λ για κάποιους ακεραίους κα και λ. Το α λοιπόν διαιρείται και από το 2 και από το 3. Άρα διαιρείται και από το γινόμενό τους. Οπότε α=6μ. Έχουμε λοιπόν 2 3 6 . Φυσικά ισχύει και το ανάποδο. Άρα 2 3 =6 . Ας εξετάσουμε τώρα την ένωση, 2 3 . Αν η ένωση ήταν υποομάδα θα έπρεπε να ισχύει ότι το 2+3=5 είναι στοιχείο της. Αλλά 52 ούτε στο 3 . Άρα η ένωση δεν είναι υποομάδα. Υπάρχει αντίστοιχη ιδιότητα στους διανυσματικούς υποχώρους. ■

40. ΠΡΟΤΑΣΗ

Έστω Υ και Τ υποομάδες της ομάδας Ο.

1) Υ ΤΟ.

2) Υ ΤΟ αν και μόνο αν η μια υποομάδα είναι υποομάδα της άλλης.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1) Έστω α και β Υ Τ, τότε τα στοιχεία αυτά είναι και στοιχεία των Υ και Τ και το γινόμενο αβ θα είναι επίσης στοιχείο και των δύο. Άρα και της τομής. Πάλι από την ιδιότητα της υποομάδας θα έχουμε ότι και ο αντίστροφος α-1 θα είναι στοιχείο και των δύο. Η τομή λοιπόν ικανοποιεί τις δυο ιδιότητες της υποομάδας. 2) Αν ΥΤ, τότε Υ Τ=ΤΟ. Η αντίστροφη κατεύθυνση τώρα. Υποθέτουμε ότι υπάρχει αΤ-Υ και βΥ-Τ. Τότε το αβΤ Υ, αφού είναι υποομάδα. Δηλαδή αβΤ ή Υ. Έστω ότι αβΤ, επειδή αΤα α-1αβΤ. Αδύνατον γιατί βΤ. ■


4 4

1) Να δείξετε ότι τα σύνολα Α και Β αποτελούν ομάδες. Να βρείτε ένα ελάχιστο σύνολο γεννητόρων καθώς και σχέσεις μεταξύ τους. Επίσης να βρεθούν όλες οι υποομάδες τους. Τι παρατηρείτε;

Α=1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1

, , , , , , ,0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0

Β=

1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1

0 1 0 , 0 1 0 , 0 1 0 , 0 1 0 , 0 1 0 , 0 1 0 ,

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 1

0 1 0 , 0 1 0

1 0 0 1 0 0

2) Να δώσετε ένα παράδειγμα μιας μη-αβελιανής ομάδας της οποίας κάθε κύρια υποομάδα είναι κυκλική. 3) Να βρείτε όλες τις διακεκριμένες υποομάδες της

12 και να εξηγήσετε πλήρως την

απάντησή σας.

4) Βρείτε όλες τις υποομάδες της 2 4 και εξηγήστε γιατί δεν είναι κυκλική.

5) Έστω G=<α> κυκλική τάξης κ. Δείξτε ότι G=<αn> ανν (κ,n)=1. 6) Η Q8={I, -I, J, -J, K, -K, L, -L} είναι μη αβελιανή. Δείξτε ότι όλες οι κύριες υποομάδες της είναι κυκλικές. 7) Έστω οι υποομάδες ν και κ της . Πότε είναι η κ υποομάδα της ν ; 8) Κάθε υποομάδα μιας αβελιανής είναι αβελιανή. 9) Έστω Ο αβελιανή και Υ={α | αν=1 με α στοιχείο της Ο}. Δείξτε ότι η Υ είναι υποομάδα. 10) Αν Υ και Υ’ είναι υποομάδες μιας ομάδας, δείξτε ότι η ένωσή τους περιέχει τα αντίστροφα στοιχεία αλλά δεν είναι πάντα υποομάδα. 11) Δώστε παράδειγμα ενός υποσυνόλου μιας ομάδας το οποίο να είναι κλειστό ως προς την πράξη αλλά να μην είναι υποομάδα.


4 5

12) Δείξτε ότι μια ομάδα δεν μπορεί να είναι ένωση δυο κύριων υποομάδων της. Δώστε παράδειγμα ομάδας η οποία να είναι ένωση τριών κύριων υποομάδων της. 13) Έστω Ο πεπερασμένη ομάδα η οποία έχει μόνο μια κύρια υποομάδα. Δείξτε ότι είναι η τετριμμένη ή κυκλική τάξης πρώτου αριθμού. 14) Έστω Ο ομάδα και α στοιχείο της. Ορίζουμε το σύνολο Ζ(α)={βΟ, αβ=βα}. Δείξτε ότι το Ζ(α) είναι υποομάδα. 15) Έστω α στοιχείο μιας ομάδας και Υ υποομάδα της. Ορίζουμε το σύνολο αΥα-1={αβα-1|βΥ}. Δείξτε ότι το αΥα-1 είναι υποομάδα.

16) Έστω

1

0 1 | , ,

0 0 1

p

a b

G c a b c

. Να βρεθούν οι υποομάδες της. Ο p είναι πρώτος.

17) Να βρεθεί η τάξη της ομάδας O που γεννάται από τα στοιχεία α και β ώστε αβ2=β3α και βα3=α2β. (|O|=1 ).

18) Να βρεθεί η τάξη της ομάδας O που γεννάται από τα στοιχεία α και β ώστε ο(α)=3 και ο(β)=2=ο(αβ).

19) Να βρεθεί η τάξη της ομάδας O που γεννάται από τα στοιχεία α και β ώστε ο(α)=3=ο(αβ) =ο(βα) και ο(β)=2.

20) Έστω Ο ομάδα και α, β στοιχεία της ώστε αβ=βα. Αν ο(α)=κ και ο(β)=ν με (κ,ν)=1, τότε η υποομάδα Υ της Ο που γεννάται απο τα στοιχεία α και β είναι κυκλική. Βρείτε ένα γεννήτορά της.


4 6

ΕΥΘΕΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ

Σ’ αυτήν την ενότητα θα δούμε πως θα δημιουργήσουμε νέες «μεγαλύτερες» ομάδες από

γνωστές. Ο απλούστερος τρόπος είναι με τα ευθέα γινόμενα τα οποία έχουν μελετηθεί στη γραμμική άλγεβρα.

41. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω δύο ομάδες Ο και Η (όχι απαραίτητα διαφορετικές). Το ευθύ γινόμενό τους (direct product), ΟxH, αποτελείται από τα ζεύγη (α,β) με αΟ και βΗ.

ΟxH ={(α,β) | αΟ και βΗ }

Στο ΟxH ορίζουμε μια πράξη κατά συντεταγμένες με τη βοήθεια των πράξεων των ομάδων Ο και Η.

(α,β) (γ,δ)= (αγ,βδ) Η πράξη αυτή είναι προσεταιριστική, γιατί είναι στις Ο και Η. Δηλαδή,

((α,β)(γ,δ))(ε,ζ)=(αγ,βδ)(ε,ζ)=((αγ)ε,(βδ)ζ)=(α(γε),β(δζ))=(α,β)((γ,δ)(ε,ζ)) Επίσης το στοιχείο (1Ο,1Η) αποτελεί ουδέτερο στοιχείο.

(α,β) (1Ο,1Η) = (α,β)= (1Ο,1Η) (α,β) Επίσης κάθε στοιχείο (α,β) έχει αντίστροφο, (α-1 ,β-1 ). Άρα το ευθύ γινόμενο ΟxH αποτελεί ομάδα. Αν τώρα πάρουμε το ευθύ γινόμενο (ΟxH)xΖ, όπου Ζ ομάδα, θα είναι και αυτό ομάδα κατά τον ίδιο τρόπο. Με τον ίδιο τρόπο λοιπόν δείχνουμε ότι το καρτεσιανό γινόμενο περισσοτέρων ομάδων αποτελεί ομάδα.

Ο1 xΟ2 x Ο3 x…xΟκ.

Παράδειγμα. 1) Γνωρίζουμε πολύ καλά από τη γραμμική άλγεβρα ότι το καρτεσιανό

γινόμενο n με τη πρόσθεση αποτελεί ομάδα. Αυτή η πράξη είναι η συνήθης πρόσθεση διανυσμάτων. 2) Ας δούμε αντίστοιχο παράδειγμα με πεπερασμένες ομάδες. Έστω Ο=

2 2 με την

πρόσθεση (2 ,). Το σύνολο αυτό έχει τέσσερα στοιχεία

2 2 ={(0 ,0 ),( 0 ,1),(1,0 ),(1,1)}.

Η ομάδα αυτή δεν είναι κυκλική, γιατί κανένα στοιχείο δεν μπορεί να μας δώσει τα υπόλοιπα με την πρόσθεση. Κανένα στοιχείο δεν έχει τάξη τέσσερα.

( 0 ,1)+(0 ,1)=(0 ,0 ),(1,0 )+(1, 0 )=(0 , 0 ),(1,1)+(1,1)=(0 ,0 ). Κάθε μη μηδενικό στοιχείο έχει τάξη δύο. Επίσης είναι αβελιανή.


4 7

Αυτή η ομάδα λοιπόν είναι αβελιανή μη-κυκλική τάξης τέσσερα. 3) Ας δούμε το ίδιο για διαφορετικές ομάδες. Έστω Ο=

2 3 με την πρόσθεση. Η Ο έχει

τάξη 6. Θα δούμε αμέσως ότι αυτή, εν αντιθέσει με την προηγούμενη, είναι κυκλική! Αυτό το φαινόμενο θα το μελετήσουμε πιο κάτω.

2 3 ={(0 ,0 ),( 0 ,1),( 0 , 2 ),(1,0 ),(1,1),(1, 2 )}

(1,1)+(1,1)=(0 , 2 ),(1,1)+(0 , 2 )=(1, 0 ),(1,1)+(1,0 )=(0 ,1),(1,1)+(0 ,1)=(1, 2 ),

(1,1)+(1, 2 )=(0 ,0 )

Άρα 2 3 =<(1,1)>.

4) Σχετικά με τα δυο προηγούμενα παραδείγματα θα μελετήσουμε και τις υποομάδες τους. Οι γνήσιες υποομάδες τις

2 2 θα δίνονται από κάθε στοιχείο της, αφού κάθε μη

μηδενικό στοιχείο της έχει τάξη 2.

<( 0 ,0 )>, <( 0 ,1)>, <(1, 0 )>, <(1,1)> και 2 2 .

Ας δούμε τώρα την 2 3 . Αφού είναι κυκλική με τάξη έξι, αρκεί να πάρουμε τους

διαιρέτες.

<( 0 ,0 )>, <( 0 , 2 )>, <(1, 0 )> και <(1,1)>=2 3 .

Θα περίμενε κανείς ότι οι υποομάδες της ΟxH θα είναι της μορφής ΚxΛ με ΚΟ και Λ

Η. Παρατηρούμε όμως ότι στην 2 2 δεν είναι έτσι, <(1,1)>={(1,1), (0 ,0 )}. Και αυτή

η υποομάδα δεν γράφεται ΚxΛ με Κ2 και Λ

2. ■

Το επόμενο θεώρημα εξηγεί αυτό το φαινόμενο.

42. ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω Ο=Ο1 xΟ2 x Ο3 x…xΟκ καρτεσιανό γινόμενο ομάδων.

1) Αν αiOi για όλα τα 1 iκ και κάθε αi έχει πεπερασμένη τάξη, τότε ο((α1,α2,…, ακ )) είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των τάξεων ο(αi ).

ο((α1,α2,…, ακ ))=ΕΚΠ (ο(α1), ο(α2),…, ο(ακ ))

2) Έστω Oi =< αi> κυκλική για όλα τα 1 iκ και κάθε αi έχει πεπερασμένη τάξη. Τότε η Ο είναι κυκλική αν και μόνο αν οι μέγιστοι κοινοί διαιρέτες είναι ένα.

Ο κυκλική ⇔ ΜΚΔ(ο(αi), ο(αj))=1 για όλα τα i j.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1) Ισχύει εξ ορισμού ότι (α1,α2,…,ακ )ν= ((α1)ν ,(α2)ν ,…, (ακ )ν ). Άρα


4 8

(α1,α2,…, ακ )ν=(1,1,…,1) ανν το ν διαιρείται από όλα τα ο(αi ). Ο μικρότερος φυσικός που έχει αυτή την ιδιότητα είναι το ΕΚΠ. Δηλαδή η τάξη ο((α1,α2,…, ακ )) είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο όλων των ο(αi).

2) «⇒» Ας υποθέσουμε ότι Ο=<(α1,α2,…, ακ ) > είναι κυκλική. Τότε το κάθε αi θα πρέπει να γεννά την αντίστοιχη ομάδα Οi. Οπότε |Οi|= ο(αi ). Από το 1) όμως γνωρίζουμε ότι

ο((α1,α2,…, ακ))=ΕΚΠ(ο(α1), ο(α2),…, ο(ακ)). Επίσης, επειδή Ο=<(α1,α2,…, ακ)>, θα έχουμε

ο((α1,α2,…, ακ))=|Ο|=|Ο1| |Ο2|…|Οκ|. Άρα ΕΚΠ(|Ο1| ,|Ο2|,…,|Οκ|)= |Ο1| |Ο2|…|Οκ|. Όταν το ΕΚΠ κάποιων αριθμών είναι το γινόμενο τους, τότε αυτοί δεν έχουν κοινούς διαιρέτες. Αυτό μας δίνει

ΜΚΔ(ο(αi), ο(αj))=1 για όλα τα i j.

«⇦» Ας υποθέσουμε τώρα ότι οι τάξεις των επί μέρους κυκλικών δεν έχουν κοινούς διαιρέτες. ΜΚΔ(ο(αi), ο(αj))=1 για όλα τα i j. Άρα ΕΚΠ(|Ο1| ,|Ο2|,…,|Οκ|)= |Ο1| |Ο2|…|Οκ|. Με ο(αj)=|Οj|. Αλλά από το 1) έχουμε

ο((α1,α2,…, ακ ))=|Ο1| |Ο2|…|Οκ|=|Ο|. Οπότε το στοιχείο (α1,α2,…, ακ ) γεννά την Ο. ■ Ας δούμε τώρα μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα. 1) Στην 12

έχουμε ο(8 )=12

(8,12)=3 και στην

18 ο(15 )=

18

(15,18)=6.

Άρα στην 12 18 το στοιχείο (8 ,15 ) έχει τάξη το ΕΚΠ(3,6)=6.

2) Χρησιμοποιώντας το προηγούμενο θεώρημα βλέπουμε ότι οι ομάδες 14 15 και

8 9 5 είναι κυκλικές, εν αντιθέσει με τις 14 16 και

8 9 6 . ■

Αμέσως θα δούμε πότε το καρτεσιανό γινόμενο είναι αβελιανό.

43. ΠΡΟΤΑΣΗ

Έστω Ο=Ο1xΟ2xΟ3x…xΟκ καρτεσιανό γινόμενο ομάδων. Η Ο είναι αβελιανή αν και μόνο αν Oi αβελιανή για όλα τα 1 iκ.


4 9

1) Είναι η κυκλική; 2) Αν Α υποομάδα της ομάδας Ο και Β της Κ, δείξτε ότι το υποσύνολο ΑΒ είναι υποομάδα της ΟΚ. 3) Βρείτε μη αβελιανή ομάδα τάξης 16. Βρείτε ομάδα τάξης 81 ώστε κάθε μη τετριμμένο στοιχείο της να έχει τάξη 3. 4) Βρείτε όλες τις υποομάδες της

2 4 .

5) Έστω Ο και Κ περασμένες ομάδες. Δείξτε ότι αν η ΟΚ είναι κυκλική, τότε και οι δύο είναι κυκλικές και κάθε υποομάδα της ΟΚ είναι της μορφής ΑΒ με Α υποομάδα της Ο και Β της Κ. 6) Να δείξετε ότι η p p έχει 1+p κυκλικές υποομάδες τάξης p. Ο p είναι πρώτος.


5 0

ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΕΣ ΟΜΑΔΕΣ

Η συμμετρική ομάδα παίζει σημαντικό ρόλο στη θεωρία ομάδων αφού κάθε ομάδα

ταυτίζεται με κάποια υποομάδα κάποιας συμμετρικής ομάδας, όπως θα αποδείξουμε πιο κάτω. Αλλά ο ρόλος τους επεκτείνεται και σε άλλους κλάδους των μαθηματικών όπως στη γεωμετρία και τοπολογία. Έχουμε ήδη μελετήσει τη συμμετρική ομάδα σε τρία στοιχεία Σ3 καθώς και μια υποομάδα της Σ4, τη διεδρική D4. Οι συμμετρικές ομάδες άρχισαν να μελετούνται πριν την αφηρημένη μελέτη των ομάδων.

44. ΟΡΙΣΜΟΣ

Η συμμετρική ομάδα (symmetric group) σε ν στοιχεία Σν είναι το σύνολο των 1-1 απεικονίσεων του συνόλου {1,2,…,ν} στον εαυτό του.

Γνωρίζουμε ότι αν μια απεικόνιση σε ένα πεπερασμένο σύνολο είναι 1-1, τότε θα είναι και επί. Άρα αυτές οι απεικονίσεις είναι 1-1 και επί. Ο πληθικός αριθμός του Σν είναι ν!. Επί πλέον γνωρίζουμε ότι η σύνθεση δυο 1-1 και επί απεικονίσεων είναι επίσης 1-1 και επί. Άρα το Σν είναι ομάδα με τη σύνθεση και τάξη ν!. Κάθε στοιχείο α της Σν μεταθέτει τα στοιχεία 1,2,…,ν. Ένας συνήθης τρόπος αναπαράστασης των στοιχείων α είναι ο ακόλουθος.

1 2

(1) (2) ( )

Ας δούμε ένα παράδειγμα για τη σύνθεση δυο μεταθέσεων για ν=4. 1 2 3 4

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 43 2 4 1

2 4 1 3 3 2 4 1 1 4 3 2

1 4 3 2

Αρχίζουμε πάντα από το πρώτο στοιχείο της δεύτερης 13 και βρίσκουμε την εικόνα αυτού μέσω της πρώτης 31. Στη συγκεκριμένη σύνθεση λοιπόν, το 1 αντιστοιχίζεται στο 1. Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο με το 224 και τα υπόλοιπα στοιχεία. Όταν κάποιο στοιχείο απεικονίζεται στον εαυτό του συνήθως το παραλείπουμε. Αντί για

1 2 3 4

1 4 3 2

γράφουμε μόνο2 4

4 2

.


5 1

Ένας ακόμη πιο σύντομος τρόπος γραφής είναι η κατευθείαν αντιπαράθεση της εικόνας. 1 2 3 4

2 4 1 3

=(1,2,4,3). Το τελευταίο φυσικά απεικονίζεται στο πρώτο. 2 4

4 2

=(2,4).

Ο τρόπος αυτός καλείται αναπαράσταση σε μορφή κύκλου.

45. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω 1κν και {x1,x2,…,xk } {1,2,…,n}. Ο κ-κύκλος (x1,x2,…,xk) είναι η μετάθεση η οποία απεικονίζει x1x2, …, xκ-1xk και xκx1. Τα στοιχεία του υποσυνόλου {1,2,…,ν}-{x1,x2,…,xk} τα αφήνει αναλλοίωτα.

Το επόμενο σχήμα δικαιολογεί την ονομασία.

Ο ίδιος κύκλος μπορεί να γραφεί (xκ,x1,…,xκ-1) ή (xκ-1,xκ,…,xk-2) κ.λ.π. Ο ταυτοτικός κύκλος-μετάθεση γράφεται 1 ή (1) ή (2) ή οποιοδήποτε νούμερο θέλουμε. ΠΡΟΣΟΧΗ. Δεν είναι κάθε μετάθεση κύκλος, αλλά μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο κύκλων όπως θα δούμε.

46. ΟΡΙΣΜΟΣ

Δύο κύκλοι, κ και s>1, (x1,x2,…,xk) και (y1,y2,…,ys) καλούνται ξένοι αν

{x1,x2,…,xk} {y1,y2,…,ys} =∅

47. ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω α μετάθεση της Σν. Υπάρχουν κύκλοι α1, α2, …, ακ ξένοι μεταξύ τους ώστε α=α1α2…ακ.

X2

X1

Xκ

…


5 2

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω x1 {1,2,…,ν} και ορίζουμε το σύνολο {x1, x2=α(x1), x3=α(x2),…}. Το σύνολο αυτό είναι υποσύνολο του {1,2,…,ν}, άρα πεπερασμένο. Δηλαδή υπάρχει φυσικός r ώστε x1=α(xr). Οπότε δημιουργείται ένας κύκλος (x1,x2,…,xr)=α1 από την μετάθεση α. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε την α=α1β όπου β το μέρος της α το οποίο μεταθέτει το υποσύνολο {1,2,…,ν}-{x1, x2,…, xr}. Με τον ίδιο τρόπο επιλέγουμε ένα y1 {1,2,…,ν}-{x1, x2,…, xr} και ορίζουμε τον κύκλο α2=(y1,y2=β(y1),….). Η α τώρα γράφετε

α=α1α2γ Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο μετά από πεπερασμένα βήματα η α θα γραφεί σαν γινόμενο κύκλων ξένων μεταξύ τους.

α=α1α2…ακ ■

Παράδειγμα. Θα διασπάσουμε την επόμενη μετάθεση σε γινόμενο κύκλων ξένων

μεταξύ τους.

α=1 2 3 4 5 6 7 8

3 5 7 4 2 8 1 6

=(1,3,7) 2 4 5 6 8

5 4 2 8 6

=(1,3,7)(2,5)(6,8).

Παρατηρήστε ότι ξένοι κύκλοι μετατίθενται. ■ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ. Η παραγοντοποίηση μιας μετάθεσης σε γινόμενο ξένων κύκλων μοιάζει με την παραγοντοποίηση ενός φυσικού σε γινόμενο πρώτων.

48. ΠΟΡΙΣΜΑ

Κύκλοι ξένοι μεταξύ τους αντιμετατίθενται.

49. ΟΡΙΣΜΟΣ

Μια αντιμετάθεση είναι ένας 2-κύκλος.

Το επόμενο θεώρημα μας λέει ότι κάθε μετάθεση μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο αντιμεταθέσεων.

50. ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω α κύκλος της Σν, ν>1. Υπάρχουν αντιμεταθέσεις α1, α2, …, ακ ώστε α=α1α2…ακ.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω α=(x1,x2,…, xr), τότε α=(x1,x2,…, xr)= (x1, xr)(x1,xr-1 )…(x1,x2). ■


5 3

51. ΠΟΡΙΣΜΑ

Κάθε μετάθεση μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο αντιμεταθέσεων.

Παράδειγμα. Ένας κύκλος μπορεί να γραφεί με πολλούς τρόπους σαν γινόμενο

αντιμεταθέσεων. (1,3,7)=(1,7)(1,3)=(4,7)(1,7)(1,4)(1,3). Το πλήθος, όπως θα δείξουμε αμέσως, θα είναι αποκλειστικά άρτιο ή περιττό. ■

52. ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω α μετάθεση της Σν, ν>1. Η α είναι αποκλειστικά άρτια ή περιττή. Δηλαδή η αναπαράστασή της με αντιμεταθέσεις έχει πάντα άρτιο ή περιττό πλήθος αποκλειστικά.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ότι η α είναι ταυτόχρονα άρτια και περιττή, δηλαδή γράφεται με δυο τρόπους.

α=β1β2…βκ=γ1γ2…γλ

Εδώ ο κ είναι άρτιος και ο λ περιττός, επίσης οι βi και γj είναι αντιμεταθέσεις. Πολλαπλασιάζοντας με τις αντίστροφες, τις μεταφέρουμε όλες στο πρώτο μέλος.

β1β2…βκ (γλ)-1…(γ2)-1(γ1 )-1 =1 β1β2…βκγλ…γ2γ1=1

Άρα η ταυτοτική μετάθεση γράφεται σαν γινόμενο περιττού αριθμού αντιμεταθέσεων. Θα δείξουμε ότι αυτό είναι αδύνατο. Έστω σ= β1β2…βκ ένα γινόμενο αντιμεταθέσεων. Θα δείξουμε ότι ισχύει α) η σ δεν είναι η ταυτοτική ή β) η σ ισούται με το γινόμενο κ-2 αντιμεταθέσεων. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω μ {1,2,…,ν} ώστε αυτός ο αριθμός να εμφανίζεται σε κάποια αντιμετάθεση βi και η βj να είναι να είναι η πρώτη από τα δεξιά που εμφανίζεται το μ. Δηλαδή θα γράφεται βj =(μ,π). Αν j=1, τότε σ=(μ,π)β2…βκ. Επειδή σε καμία από τις άλλες δεν υπεισέρχεται το μ, δεν μπορεί και να απεικονισθεί στον εαυτό του όπως θα έπρεπε ώστε να είχαμε σ=1. Άρα σ 1. Αν j 1, τότε εξετάζουμε το βj-1. Υπάρχουν τέσσερες περιπτώσεις.

i) βj = βj-1=(μ,π). Άρα βj-1βj =1 και έχουμε το β). ii) βj-1 =(μ,ρ) με ρ π. Τότε βj-1βj = (μ,ρ)(μ,π)=(μ,π)(π,ρ). Κατορθώσαμε να

μεταφέρουμε το μ από τη θέση j στη θέση j-1. Συνεχίζοντας με αυτόν τον τρόπο είτε θα έχουμε το i) είτε το μ θα φθάσει στην πρώτη θέση οπότε ισχύει το α).


5 4

iii) βj-1=(π,ρ) με ρ μ. Τότε βj-1βj = (π,ρ)(μ,π)=(μ,ρ)(π,ρ). Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση το μ μεταφέρθηκε μια θέση προς τα αριστερά. Ισχύει λοιπόν πάλι ότι είπαμε στο προηγούμενο.

iv) βj-1=(ρ,υ) με ρ μ, π και υ μ, π. Τότε βj-1βj = (ρ,υ)(μ,π)=(μ,π)(ρ,υ). Ισχύει

λοιπόν πάλι ότι είπαμε στο προηγούμενο. ⋅ Ο ισχυρισμός μας λοιπόν απεδείχθη. Αν λοιπόν το κ είναι περιττός, είτε η σ δεν είναι η ταυτοτική είτε θα γράφεται σαν γινόμενο κ-2 αντιμεταθέσεων. Επαναλαμβάνοντας αυτή τη διαδικασία θα έχουμε μόνο μια αντιμετάθεση, επειδή το κ είναι περιττός. Δεν μπορεί λοιπόν να έχουμε ότι η σ=(ρ,υ) είναι η ταυτοτική, με ρ υ. ■

53. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω ν>1. Με Αν συμβολίζουμε το υποσύνολο της Σν το οποίο αποτελείται από όλες τις άρτιες μεταθέσεις. Το υποσύνολο αυτό καλείται εναλλάσσουσα (alternative) υποομάδα .

Το επόμενο θεώρημα αναφέρεται στις αλγεβρικές ιδιότητες του υποσυνόλου Αν. Θα δείξουμε ότι περιέχει ακριβώς τα μισά στοιχεία της συμμετρικής ομάδας. Κάτι το οποίο ακούγεται εντελώς φυσιολογικό.

54. ΘΕΩΡΗΜΑ

Ισχύει ότι η Αν είναι υποομάδα της Σν, με τάξη ν!/2.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Γνωρίζουμε ότι |Σν|=ν!. Το υποσύνολο Αν είναι πεπερασμένο και κλειστό ως προς την πράξη της ομάδας, άρα είναι υποομάδα της. Θα δείξουμε ότι περιέχει ακριβώς τα μισά στοιχεία της συμμετρικής ομάδας. Έστω η αντιμετάθεση α=(1,2) και

Αν={ β1, β2,…, βκ}. Τότε οι μεταθέσεις αβ1, αβ2, …, αβκ είναι διαφορετικές ( αν αβ1=αβ2, τότε β1=β2) και περιττές. Ας πάρουμε τώρα μια τυχαία περιττή γ. Η αγ θα είναι άρτια και θα ισούται με κάποια βi . Άρα αγ=βi και γ=αβi. Δηλαδή κάθε περιττή μετάθεση θα είναι της μορφής

αβ1, αβ2,…, αβκ και Σν={β1, β2,…, βκ} {αβ1, αβ2,…, αβκ}.

Αποδείξαμε λοιπόν το θεώρημα. ■

Παράδειγμα. Έχουμε ήδη μελετήσει την Σ3 και θα τη μελετήσουμε πάλι με

περισσότερη προσοχή. Σ3={ 1, (1,2,3), (1,3,2), (2,3), (1,2), (1,3) }


5 5

Έστω α=(1,2,3) και β=(2,3). Θα δείξουμε ότι τα στοιχεία της ομάδας είναι γινόμενα των α και β.

α2=(1,3,2), α3=1, β2=1, αβ=(1,2), α2β=(1,3) Σ3={ 1, α, α2, β, αβ, α2β}

Ας δούμε τώρα κάποιες πολύ σπουδαίες σχέσεις μεταξύ των στοιχείων. βα=(1,3)=α2β, βα2=αβ, (α2β)2=1=(αβ)2

Οι υποομάδες της Σ3 είναι οι επόμενες.

Επειδή η Α3 έχει τάξη 3 και υπάρχει μόνο μια υποομάδα τάξης 3, η <α>, θα έχουμε Α3=<α> και όλες οι άλλες είναι τάξης δύο. Γνωρίζουμε ότι η Σ3 δεν είναι αβελιανή και μάλιστα είναι η μικρότερη μη-αβελιανή, γιατί κάθε ομάδα τάξης 5 είναι αβελιανή. ■ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ. Κάθε συμμετρική ομάδα συμπεριφέρεται διαφορετικά, δηλαδή το προηγούμενο παράδειγμα περιγράφει μόνο τη Σ3.

Παράδειγμα. Ας δημιουργήσουμε το πλέγμα των υποομάδων της διεδρικής D4, το

σύνολο των συμμετριών του τετραγώνου D4={1,R,R’,R”,H,V,D,D’}. Χάριν ευκολίας καλούμε αR και βΗ. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα των συνθέσεων των συμμετριών του τετραγώνου έχουμε τις επόμενες σχέσεις μεταξύ των γεννητόρων.

α4=β2=1=D2=V2=(D’)2, αβ=D, α2β=V, α3β=D’, βαβ=α-1, (βαβ)i =α-i, βαiβ=α-i, βαi=α-iβ

<Σ3 >

<αβ> <β>

<1>

Το πλέγμα αυτό μας δείχνει ποιά υποομάδα είναι υποομάδα της άλλης.

<α> <α2β>


5 6

■ Στο προηγούμενο παράδειγμα κάθε στοιχείο της ομάδας δίνεται σαν πεπερασμένο γινόμενο από γεννήτορες και τους αντιστρόφους τους. Αυτή η παρατήρηση ισχύει γενικότερα όπως θα δούμε αμέσως.

55. ΠΡΟΤΑΣΗ

Έστω Χ υποσύνολο της ομάδας Ο. Υπάρχει μια υποομάδα Υ(Χ) της Ο με τα λιγότερα στοιχεία που περιέχει το Χ. Η υποομάδα Υ(Χ) αποτελείται από πεπερασμένα γινόμενα στοιχείων του Χ και των αντιστρόφων τους. Επαναλήψεις επιτρέπονται.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω Υ(Χ) η τομή όλων των υποομάδων της Ο που περιέχουν το Χ σαν υποσύνολο. Σαν τομή το Υ(Χ) είναι υποομάδα η οποία περιέχει το Χ και μάλιστα η μικρότερη υποομάδα. Αφού το Υ(Χ) περιέχει το Χ θα περιέχει και πεπερασμένα γινόμενα στοιχείων του Χ καθώς και αντιστρόφους. Αν ένα υποσύνολο Α(Χ) αποτελείται από όλα τα δυνατά πεπερασμένα γινόμενα στοιχείων του Χ και των αντιστρόφων τους, τότε είναι υποομάδα και περιέχει το Χ. Άρα Α(Χ)=Υ(Χ). ■

<D4>

<αβ>>

<β>

<α> <α2,β>

<α3β> <α2> <α2β>

<1>


5 7

56. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω ΧΟ και Υ(Χ) η τομή όλων των υποομάδων της Ο που περιέχουν το Χ. Η υποομάδα Υ(Χ) λέμε ότι γεννάται από το Χ και το Χ αποτελεί ένα σύνολο γεννητόρων της Υ(Χ). Γράφουμε Υ(Χ)=<Χ>.

Παράδειγμα 1) Η διεδρική ομάδα Dν η οποία αποτελείται από όλες τις συμμετρίες ενός

κανονικού ν-γώνου με κορυφές {1,2,…,ν}. Έστω αν η στροφή κατά γωνία 2π/ν γύρω από το κέντρο του πολυγώνου, αν(κ)=(κ+1)modν. Έστω βν η ανάκλαση ως προς την ευθεία που διέρχεται από την κορυφή 1 και το κέντρο του πολυγώνου, βν(κ)=(ν+2-κ)modν. Ισχύουν οι σχέσεις

(αν)ν= Ταυτοτική =(βν)2 και βνανβν=(αν)-1=(αν)ν-1.

Dν={e, αν, (αν)2,…, (αν)ν-1, βν, ανβν, (αν)2βν ,…, (αν)ν-1βν }

57. ΘΕΩΡΗΜΑ

Η τάξη ενός στοιχείου α της Σν ισούται με το Ε.Κ.Π. των μηκών των κύκλων στους οποίους αυτό διασπάται.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ότι α=α1α2…ακ. Γνωρίζουμε ότι ο(αi)=μήκος του αi και οι κύκλοι είναι ξένοι μεταξύ τους. Άρα αντιμετατίθενται. Σ’ αυτή την περίπτωση γνωρίζουμε ότι η τάξη του στοιχείου α ισούται με το Ε.Κ.Π. των τάξεων των στοιχείων αi. ■

58. ΠΡΟΤΑΣΗ

Η εναλλάσσουσα υποομάδα Αν με ν>2 γεννάται από κύκλους μήκους τρία.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Η Αν περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις. Αρκεί να δείξουμε ότι το γινόμενο δύο αντιμεταθέσεων γράφεται σαν γινόμενο 3-κύκλων. Αυτό φαίνεται από τον επόμενο τύπο.

, , , , ,

, , , , , , , , , , , , ,

1, , ,

i j j l i j l j k

i j k l i j j k j k k l i j k j k l i j k l

i j k l


5 8

1) Έστω οι μεταθέσεις σ=(1,4), τ=(1,4,3,5,6) και ρ=(2,3,6,4). Να βρεθούν οι τάξεις των στοιχείων στρτσ, στρ3 και ρ-1τ20 .

2) Έστω η συμμετρική ομάδα Σn με n . Να δείξετε ότι για κάθε φυσικό mn υπάρχει υποομάδα της Σn τάξης m!. 3) Έστω οι μεταθέσεις σ=(2,3), τ=(2,3,4,5,6) και ρ=(1,4,6,3). Να βρεθούν οι τάξεις των στοιχείων στρ, στρ2 και ρ-1τ22 . 4) Δείξτε ότι το υποσύνολο Η={1, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4) (1,4)(2,3)} είναι υποομάδα της Σ4. Με ποια ομάδα είναι ισόμορφη;

5) Εξετάστε αν η μετάθεση α=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

6 7 5 9 8 4 11 3 1 12 2 10

είναι άρτια και

να βρείτε την τάξη της. Να βρεθεί μετάθεση β ώστε η βα να έχει τάξη 5. 6) Δείξτε ότι δεν υπάρχει αΣ5 ώστε α(1,2,3)α-1=(1,2)(3,4,5). 7) Έστω α=(1,2) και β=(1,2,3,…,ν). Δείξτε ότι Α) βκαβ-κ=(κ+1,κ+2) για κ<ν-1. Β) (i,j)=(j,j-1)(j-1,j-2)…(i+2,i+1)(i,i+1)(i+1,i+2)…(j-2,j-1)(j-1,j) για i<j-1. Δηλαδή η Σν γεννάται από τα στοιχεία α και β. 8) Έστω ΚΤ το κανονικό τετράεδρο με κέντρο την αρχή των αξόνων και Τ3 η υποομάδα της SO(3) που αποτελείται απο τις ισομετρίες που απεικονίζουν το ΚΤ στον εαυτό του. Δείξτε ότι Τ3 Α4.

9) Αν α=

1 0 0

2 20 cos sin

2 20 sin cos

k k

k k

και β=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

, τότε η υποομάδα Υ της SO(3) που

γεννάται απο τα στοιχεία α και β είναι ισόμορφη με τη διεδρική Dk. 10) Έστω ότι η Σν δρα στο σύνολο {0,1,…,ν-1} το οποίο αναπαριστά τις κορυφές ενός κανονικού ν-γώνου. Έστω η υποομάδα Δ της Σν η οποία γεννάται από τα στοιχεία σ και τ τα οποία ορίζονται από τις σχέσεις σ: κ (κ+1)modν και τ: κ (ν-κ)modν. Δείξτε οτι η Δ είναι ισόμορφη με τη διεδρική ομάδα Dν.


5 9

11) Δείξτε ότι η Σ3 γεννάται από τις αντιμεταθέσεις (1,2) και (1,3) ενώ η Σ4 από τις (1,2), (1,3) και (1,4). Επίσης γεννάται και από (2,3,4) και (1,2).


6 0

ΣΥΜΠΛΟΚΑ

Έχουμε αποδείξει ότι κάθε διαιρέτης της τάξης μιας κυκλικής ομάδας ορίζει μια υποομάδα

της. Αυτό δεν ισχύει για κάθε ομάδα. Χρησιμοποιώντας την έννοια του συμπλόκου, θα αποδείξουμε ότι η τάξη μιας υποομάδας διαιρεί πάντα την τάξη της ομάδας.

Η έννοια του συμπλόκου, την οποία θα μελετήσουμε σ’ αυτή την ενότητα, εμφανίζεται στα μαθηματικά σε οποιαδήποτε περιοχή σχετίζεται με αλγεβρική δομή. Την έχουμε ήδη αντιμετωπίσει στις σχέσεις ισοδυναμίας. Θα την επαναλάβουμε έχοντας τώρα περισσότερες γνώσεις από τη θεωρία ομάδων.

Υπενθυμίζουμε ότι έχουμε αποδείξει ότι οι υποομάδες του είναι της μορφής ν ={0, ν, 2ν,…}= ν, για κάθε φυσικό ν.

Γνωρίζουμε ότι η κυκλική ομάδα ( 0,1,..., 1 , ) έχει ορισθεί από τη σχέση

ισοδυναμίας κλ ανν ο κ-λ διαιρείται από το ν.

Τα στοιχεία της ομάδας αυτής είναι οι αντίστοιχες κλάσεις ισοδυναμίας.

0 ={λν | λ οποιοσδήποτε ακέραιος},

1={λν+1 | λ οποιοσδήποτε ακέραιος},

2 ={λν+2 | λ οποιοσδήποτε ακέραιος},

...,

( 1) ={λν-1 | λ οποιοσδήποτε ακέραιος}.

Παρατηρούμε ότι τα προηγούμενα υποσύνολα δημιουργούνται από την υποομάδα ν και την πρόσθεση ενός στοιχείου 1 ή 2 ή … ή (ν-1). Τέτοιου είδους υποσύνολα καλούνται σύμπλοκα. Με απλά λόγια είναι σαν να μεταφέρουμε κάθε στοιχείο του υποσυνόλου τόσες θέσεις όσες λέει το συγκεκριμένο στοιχείο. Σαν μια παράλληλη μεταφορά.

59. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω Υ υποομάδα της Ο και αO. Το υποσύνολο

Υα={βα | για όλα τα βΥ}

καλείται δεξί σύμπλοκο (right coset) της Υ ως προς α.


6 1

Αντίστοιχα ορίζεται το αριστερό σύμπλοκο της Υ ως προς α

αΥ={αβ | για όλα τα βΥ}.

1) Παρατηρούμε ότι αν αΥ, τότε αΥ=Υ=Υα γιατί η Υ είναι υποομάδα.

2) Αν η Ο δεν είναι αβελιανή και αΥ, τότε αΥΥα εκτός από τετριμμένες περιπτώσεις.

Παράδειγμα. 1) Έστω ( ,+) και . Το δεξί σύμπλοκο, εδώ επειδή η ομάδα

είναι αβελιανή, ταυτίζεται με το αριστερό. +1

2 είναι τα σημεία της ευθείας που δίνονται

από τη μεταφορά όλων των ακεραίων κατά 1

2.

2) Έστω 2 3 ={( 0 ,0 ),( 0 ,1),( 0 , 2 ),(1,0 ),(1,1),(1, 2 )} και Υ={(0 ,0 ),(1,0 )}. Θα

βρούμε τα σύμπλοκα ως προς κάθε στοιχείο που δεν ανήκει στην Υ.

Υ+(0 ,1)={( 0 ,1),(1,1)}=Υ+(1,1)

Υ+(0 , 2 )={( 0 , 2 ),(1, 2 )}=Υ+(1, 2 )■ Ερχόμαστε τώρα στην πρόταση που συνδέει τα σύμπλοκα με τις σχέσεις ισοδυναμίας.

60. ΠΡΟΤΑΣΗ

Έστω Υ υποομάδα της Ο. Ορίζουμε τη σχέση

α Υβ αβ-1 Υ για όλα τα στοιχεία της Ο.

Η σχέση αυτή είναι σχέση ισοδυναμίας και οι κλάσεις ισοδυναμίας είναι ακριβώς τα δεξιά σύμπλοκα.

0 1 -2 -1 2


6 2

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Η απόδειξη είναι ακριβώς όπως στη σχέση modulo ν. Θα δείξουμε ότι ισχύουν οι τρεις ιδιότητες και μετά θα δείξουμε τις κλάσεις ισοδυναμίας.

ΑΥΤΟΠΑΘΗΣ. α Υα 1=αα-1 Υ . Ισχύει γιατί η Υ είναι υποομάδα.

ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗ. α Υβ αβ-1 Υ ⇔ (αβ-1)-1 Υ βα-1 Υ β Υα.

ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ. α Υβ και β Υγ αβ-1 Υ και βγ-1 Υ (αβ-1)(βγ-1)Υ αγ-1

Υ ⇔ α Υγ.

Έστω β α Υβ ⇔ βα-1 Υ β ή α ■

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Γνωρίζουμε ότι ο αναπαραστάτης μιας κλάσης δεν είναι μοναδικός,

αλλά οποιοδήποτε στοιχείο της κλάσης μπορεί να είναι αναπαραστάτης. Π. χ. 6 =0 6

=….

61. ΠΡΟΤΑΣΗ

Έστω Υ υποομάδα της Ο και α, β στοιχεία της.

1) Υα=Υβ βΥα αβ-1 Υ.

2) Υα=Υβ ή Υα Υβ= .

3) Αν ΥαΥβ, τότε |Υα|=|Υβ|.

4) Το πλήθος των διακεκριμένων δεξιών συμπλόκων ισούται με το πλήθος των αριστερών συμπλόκων.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Οι σχέσεις 1) και 2) είναι αποτελέσματα της σχέσης ισοδυναμίας Υ. Για την 3) ορίζουμε απεικόνιση

Φα : Y Υα. Με τύπο Φα(β)=βα. Η απεικόνιση αυτή είναι 1-1, διότι βα=γα β=γ. Επίσης είναι και επί, διότι Φα(β)=βα. Άρα το πεδίο ορισμού και τιμών έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό. Για την 4). Έστω R το σύνολο των δεξιών συμπλόκων και L των αριστερών. Ορίζουμε την απεικόνιση

Φ:RL. Με τύπο Φ(Υα)=(Υα)-1 =α-1Υ. Όπως προηγουμένως η Φ είναι 1-1 και επί. ■ Είδαμε λοιπόν ότι το πλήθος των συμπλόκων είναι το ίδιο. Αυτός ο αριθμός παίζει σημαντικό ρόλο όπως θα δούμε.


6 3

62. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω Υ υποομάδα της Ο. Το πλήθος των δεξιών ή αριστερών συμπλόκων της Υ στην Ο καλείται δείκτης της Υ στην Ο (index) και συμβολίζεται με [Ο:Υ].

Παράδειγμα. 1) ν , άρα [ :ν ]=ν.

2) Έστω η Ο=Σ3={ 1, α, α2, β, αβ, α2β} και Υ=<β>. Ας βρούμε τα σύμπλοκα της Υ. Υ=Υβ, Υα=Υα2β, Υα2=Υαβ. Δηλαδή ο δείκτης είναι [Ο:Υ]=3. 3) Έστω Ο=( ,+) και Υ= . Αν 0α<β<1, τότε +α +β. Άρα τα σύμπλοκα είναι της μορφής +α για 0α<1.

[ : ]=∞ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Γνωρίζουμε ότι |Υα|=|Υβ| για όλα τα α και β. Αν λοιπόν |Ο|<∞, τότε

|Ο|=[Ο:Υ]|Υ| και αυτό ισχύει για κάθε υποομάδα Υ. Επίσης κάθε στοιχείο γ θα ανήκει σε κάποιο σύμπλοκο

γ=υυ-1γ Υ(υ-1γ). Ο προηγούμενος τύπος ισχύει για πεπερασμένες ή άπειρες ομάδες. ■

Ουσιαστικά έχουμε αποδείξει το επόμενο σημαντικό θεώρημα.

63. ΘΕΩΡΗΜΑ (Lagrange)

Αν Ο είναι πεπερασμένη ομάδα, τότε η τάξη της διαιρείται από την τάξη κάθε υποομάδας της.

64. ΠΟΡΙΣΜΑ

Έστω ότι |Ο|=ν, τότε αν=1 για όλα τα στοιχεία της.


6 4

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω α τυχαίο στοιχείο της και ο(α)=κ. Έστω Υ=<α>, τότε |Υ|=κ και σύμφωνα με το θεώρημα του Lagrange, ν=[Ο:Υ]|Υ|=[Ο:Υ]κ. Άρα

αν=(ακ)[Ο:Y]=1.

■ Το επόμενο θεώρημα είναι εφαρμογή του προηγουμένου και χαρακτηρίζει τις πεπερασμένες ομάδες με τάξη πρώτο αριθμό.

65. ΘΕΩΡΗΜΑ

Αν Ο είναι πεπερασμένη ομάδα με τάξη πρώτο αριθμό, τότε είναι κυκλική και κάθε μη τετριμμένο στοιχείο της είναι γεννήτοράς της.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω |Ο|=π, πρώτος, και α, β στοιχεία της ώστε ακ β για όλα τα κ. Τότε η υποομάδα Υ=<β> διαιρεί την τάξη της Ο που είναι πρώτος. Αδύνατον. Άρα η Ο είναι κυκλική. Θα δείξουμε τώρα το δεύτερο μέρος. Αν <α><ακ> με 0<κ<ν, τότε η <ακ> αποτελεί μη τετριμμένη υποομάδα της Ο. Αυτό όμως δεν ισχύει όπως είδαμε στο πρώτο μέρος. ■

Παράδειγμα. 1) Έστω Ο=V={1,α,β,γ} η ομάδα του Klein με 1=α2=β2=γ2,

αβ=βα=γ, αγ=γα=β, βγ=γβ=α. Αν Υ=<α>, τότε [Ο:Y]=2 και τα σύμπλοκα είναι Υ και Υβ.

2) Έστω Ο= 12 και Υ=<4>. Τότε |Υ|=3 και υπάρχουν τέσσερα σύμπλοκα

Υ, Υ+1 , Υ+2 , Υ+3 . ■

66. ΠΡΟΤΑΣΗ

Κάθε ομάδα Ο με |Ο|5 είναι αβελιανή.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ότι |Ο|=1ή 2 ή 3 ή 5, τότε σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα είναι κυκλική. Έστω ότι |Ο|=4 και υποθέτουμε ότι δεν είναι κυκλική. Άρα δεν έχει στοιχείο τάξης τέσσερα. Θα έχει λοιπόν τουλάχιστον δυο στοιχεία α και β τάξης δύο. Αν είχαμε αβ=1, τότε α=β-1. Αδύνατον. Άρα αβ=γ και το γ θα πρέπει σύμφωνα με το θεώρημα του Lagrange να έχει τάξη δυο. Ήδη η ομάδα μας έχει τέσσερα στοιχεία. Άρα αβ=βα=γ. Για τον ίδιο λόγο έχουμε βγ=α=γβ και αγ=β=γα. Η Ο είναι αβελιανή και ισοδύναμη με την ομάδα του Klein. ■


6 5

Η τάξη της ομάδας του Klein παρότι διαιρείται με το τέσσερα, δεν έχει στοιχείο τάξης τέσσερα. Δηλαδή δεν ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος του Lagrange. Θα δούμε τώρα μερικές εφαρμογές του θεωρήματος του Lagrange στη θεωρία αριθμών. Γνωρίζουμε ότι το ν με την πρόσθεση αποτελεί κυκλική ομάδα ενώ με τον πολλαπλασιασμό όχι λόγω του ουδετέρου στοιχείου της πρόσθεσης. Αυτό δεν έχει

αντίστροφο. Προφανώς το 3 στο 6 –{0 } δεν έχει αντίστροφο. Αυτό το είδαμε όταν μελετήσαμε τις κλάσεις ισοδυναμίας. Αμέσως θα δούμε πότε θα είναι ομάδα.

67. ΘΕΩΡΗΜΑ

Ας θεωρήσουμε το ν –{0 }. Το σύνολο αυτό είναι ομάδα με τον πολλαπλασιασμό αν και μόνο αν ο φυσικός ν είναι πρώτος.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Γνωρίζουμε ότι το γινόμενο δίνεται από τη σχέση = . Άρα η

πράξη είναι προσεταιριστική (αφού είναι στο ) και υπάρχει ουδέτερο στοιχείο (1 ). Αρκεί να δείξουμε ότι κάθε στοιχείο έχει αντίστροφο.

=1 ⇔ αβ+κν=1 για κάποιο κ

Δηλαδή ο α και ο ν είναι πρώτοι μεταξύ τους, αλλά αυτό πρέπει να ισχύει για όλους τους ακεραίους μεταξύ 1 και ν. 1<α<ν. Επίσης ισχύει και το ανάποδο, γιατί κανένας μικρότερος του δεν τον διαιρεί. Οπότε είναι πρώτος. ■

68. ΘΕΩΡΗΜΑ (Fermat)

Έστω π πρώτος και α ακέραιος που δεν διαιρείται από τον π. Τότε ισχύει

απ-1 1(modπ)

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Γνωρίζουμε ότι η τάξη της ομάδας ( π )* είναι π-1. Σύμφωνα με το θεώρημα του Lagrange κάθε στοιχείο της σ’ αυτή τη δύναμη θα δίνει ένα.

απ-11(modπ) Έστω τώρα α>π. Διαιρούμε το α με το π. α=κπ+υ απ-1=(κπ+υ)π-1 = πλ+υπ-1 για κάποιον ακέραιο λ μετά το διωνυμικό ανάπτυγμα. Άρα έχουμε:

απ-1υπ-1 (modπ) 1(modπ). Γιατί 1 υ<π. ■

Παράδειγμα. 3722 (23+14)22 14221mod23.


6 6

Το θεώρημα του Fermat γενικεύεται από το θεώρημα του Euler, όπως θα δούμε αμέσως. Θα προσπαθήσουμε να ξεπεράσουμε τον περιορισμό το π να είναι πρώτος. Ας θυμηθούμε πρώτα τη συνάρτηση του Euler, φ(κ) είναι το πλήθος των μικρότερων φυσικών του κ που είναι πρώτοι με τον κ. Ας καλέσουμε Α το υποσύνολο του {1,2,…,κ-1}που περιέχει τους πρώτους με τον κ. Το υποσύνολο αυτό περιέχει το 1. Αν α και β είναι πρώτοι με τον κ, τότε και το γινόμενο τους αβ θα είναι πρώτο με τον κ. Πιθανόν το αβ να μην ανήκει στο Α. Ας εξετάσουμε το αβmodκ. Αν αβυmodκ, τότε αβ+κλ=υ και επειδή το αβ είναι πρώτος με τον κ, και ο υ θα είναι πρώτος με τον κ. Τώρα όμως ο υ είναι στοιχείο του Α. Δείξαμε λοιπόν ότι το Α είναι ομάδα με το γινόμενο modκ και έχει τάξη φ(κ). Κάθε στοιχείο του υψωμένο στη δύναμη φ(κ) θα δίνει 1modκ. Έστω α στοιχείο του Α, τότε

αφ(κ)1modκ. Το θεώρημα του Euler γενικεύει το προηγούμενο για κάθε ακέραιο α πρώτο με τον κ.

69. ΘΕΩΡΗΜΑ (Euler)

Έστω κ φυσικός και α ακέραιος πρώτος με τον κ. Τότε ισχύει

αφ(κ) 1(modκ).

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Η απόδειξη είναι ακριβώς η ίδια με το θεώρημα του Fermat. ■

70. ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω π πρώτος, τότε η ομάδα π –{0 } είναι κυκλική.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ότι η μέγιστη τάξη των στοιχείων της 𝛧𝜋∗ είναι ν. Ζητάμε ν=π-1.

Σίγουρα το ν διαιρεί το π-1. Θα δείξουμε ότι η τάξη κάθε στοιχείου διαιρεί το ν. Έστω ο(α)=ν και ο(β)=μ με τον μ να μην διαιρεί τον ν. Άρα το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των μ και ν [μ,ν] είναι μεγαύτερο του ν. Γνωρίζουμε ότι υπάρχουν φυσικοί κ και λ ώστε

ο(ακβλ)=[μ,ν]>ν. Αυτό όμως είναι αδύνατον γιατί το ν είναι η μέγιστη τάξη. Άρα κάθε τάξη διαιρεί τον ν.

Για κάθε γ∈𝛧𝜋∗ ισχύει γν=1. Επίσης γνωρίζουμε ότι γπ-1=1 για όλα τα στοιχεία της 𝛧𝜋

∗ . Αυτά τα στοιχεία είναι π-1 διαφορετικά μεταξύ τους. Η σχέση όμως γν=1 μας λέει ότι η

εξίσωση xν-1 έχει το πολύ ν ρίζες διαφορετικές μεταξύ τους. Άρα π-1≤ν και επίσης το ν διαιρεί το π-1. Τελικά ν=π-1 και υπάρχει στοιχείο τάξης π-1. ■


6 7

1) Έστω Υ υποομάδα της Ο. Ορίζουμε τη σχέση

α Υβ αβ-1 Υ για όλα τα στοιχεία της Ο. Δείξτε ότι η σχέση αυτή είναι σχέση ισοδυναμίας και οι κλάσεις ισοδυναμίας είναι ακριβώς τα δεξιά σύμπλοκα. 2) Βρείτε το δείκτη [Ο:Υ] και τα σύμπλοκα για Ο=

48 και Υ=<32>.

3) Έστω Ο={1, R=f, R’=f2, R”=f3, H=g, V=fg, D=f2g , D’=f3g } η διεδρική ομάδα σε τέσσερα στοιχεία και Υ={1,f2g }. Βρείτε όλα τα δεξιά και αριστερά σύμπλοκα της Υ στην Ο. 4) Βρείτε όλα τα δεξιά σύμπλοκα της Υ=<(1,1)> στην Ο=

2 4 .

5) Βρείτε τα σύμπλοκα στην Ο=

2 4 ως προς Υ={(0,0),(0,2)}.

6) Έστω η ομάδα

Β=

1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1

0 1 0 , 0 1 0 , 0 1 0 , 0 1 0 , 0 1 0 , 0 1 0 ,

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 1

0 1 0 , 0 1 0

1 0 0 1 0 0

Να βρεθούν τα σύμπλοκα ως προς την Η=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

.

7) Έστω Υ και Υ’Ο με |Υ|=5 και |Υ’|=12. Δείξτε ότι Υ Υ’=<1>. 8) Έστω π και κ πρώτοι διαφορετικοί και Ο ομάδα τάξης πκ. Δείξτε οτι κάθε κύρια υποομάδα της Ο είναι κυκλική. Είναι και η Ο κυκλική; 9) Υπάρχουν μόνο δυο ομάδες τάξης 6.


6 8

ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΥΠΟΟΜΑΔΕΣ

Σ’ αυτήν την ενότητα θα μελετήσουμε υποομάδες μιας ομάδας οι οποίες παρουσιάζουν

ιδιαίτερες ιδιότητες, αυτές θα ονομάζονται κανονικές. Είναι βολικό να γνωρίζουμε αν δύο υποομάδες είναι αλγεβρικά ισοδύναμες μεταξύ τους. Το σύνολο όλων των υποομάδων μιας ομάδας θα το χωρίσουμε σε κλάσεις ισοδυναμίας ως προς συζυγία, όπως θα δούμε αμέσως. Πιθανόν να φανεί παράξενο στον αναγνώστη, αλλά οι κλάσεις αυτές έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον στη γεωμετρία. Θα ξεκινήσουμε πρώτα από τα στοιχεία μιας ομάδας και μετά θα επεκταθούμε και στις υποομάδες.

71. ΟΡΙΣΜΟΣ

Το κέντρο (center) μιας ομάδας Ο συμβολίζεται με Ζ(Ο) και αποτελείται από όλα τα στοιχεία της Ο τα οποία αντιμετατίθενται με όλα τα στοιχεία της Ο.

Ζ(Ο)={α | αβ=βα βΟ}

72. ΛΗΜΜΑ

1) Το κέντρο μιας ομάδας είναι υποομάδα της.

2) Ο=Ζ(Ο) αν και μόνο αν η Ο είναι αβελιανή.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1) Έστω α και β δυο στοιχεία του κέντρου και γ τυχαίο της Ο, τότε (αβ)γ=α(βγ)=α(γβ)=(αγ)β=(γα)β=γ(αβ). Άρα το αβ είναι επίσης στοιχείο του Ζ(Ο). Έστω τώρα α στο κέντρο και β τυχαίο. Τότε αβ=βα και β-1α-1=α-1β-1. Άρα και το α-1 ανήκει στο κέντρο. 2) Αν η Ο είναι αβελιανή, τότε αβ=βα για όλα τα α και β. Άρα Ζ(Ο)=Ο. Έστω ότι Ζ(Ο)=Ο, τότε αβ=βα για όλα τα α και β της Ο. Άρα η Ο είναι αβελιανή. ■

Παράδειγμα. Ας βρούμε το κέντρο της Ο=GL(2, ). Έστω ένα τυχαίο στοιχείο του

κέντρου a b

c d

. Τότε θα πρέπει να ισχύει

a b

c d

0 1

1 0

=0 1

1 0

a b

c d

Άρα


6 9

b a

d c

=c d

a b

Δηλαδή a=d και b=c. Το τυχαίο στοιχείο του κέντρου έχει μορφή a b

b a

.

Επίσης θα ισχύει a b

b a

1 1

0 1

=1 1

0 1

a b

b a

a a b

b a b

=

a b a b

b a

Τελικά b=0 και a 0. ■ Εύκολα αποδεικνύεται η επόμενη πρόταση.

73. ΠΡΟΤΑΣΗ

Ζ(G1…Gn)=Ζ(G1)… Z(Gn) .

Παράδειγμα. 1) Ας βρούμε το κέντρο της Ο=Σ3 . Επειδή fg=gf2, Ζ(Σ3)={1}.

2) Ας βρούμε το κέντρο της Ο=D4 ={1, R, R2, R3, H, RH, R2H, R3H }. Επειδή RH=HR3, R2H=HR2, R3H=HR, Z(D4)={1, R2}.■

74. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω α στοιχείο της ομάδας Ο. Με Ζ(α)={βΟ | αβ=βα} θα συμβολίζουμε τον κεντροποιητή (centralizer) του α. Δηλαδή το υποσύνολο της Ο που περιέχει όλα τα στοιχεία β ώστε

αβ=βα

Το επόμενο λήμμα αποδεικνύεται με εφαρμογή των ορισμών.

75. ΛΗΜΜΑ

1) Ζ(α)Ο για όλα τα α της Ο.

2) Ζ(Ο) Ζ(α).

3) Αν η Ο είναι αβελιανή, τότε Ζ(α)=Ο για όλα τα α της Ο.


7 0

Παράδειγμα. 1) Ας βρούμε τους κεντροποιητές των στοιχείων της Ο=Σ3 . Επειδή

fg=gf2, Ζ(f)={1,f,f2} και Z(g)={1,g} ενώ Ζ(Σ3)={1}. 2) Ας κάνουμε το ίδιο για την Ο=D4 ={1, R, R2, R3, H, RH, R2H, R3H }. Επειδή RH=HR3, R2H=HR2, R3H=HR, έχουμε ότι Ζ(H)={1, R2, H, R2H } ενώ Z(D4)={1, R2}.■

76. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω α και β στοιχεία της ομάδας Ο. Τα α και β θα καλούνται συζυγή (conjugate), αν υπάρχει γ ώστε

α=γβγ-1

Ορίζουμε μια σχέση Σ στην ομάδα Ο ως εξής, αΣβ α και β είναι συζυγή.

77. ΛΗΜΜΑ

Η σχέση Σ όπως ορίστηκε προηγουμένως αποτελεί σχέση ισοδυναμίας.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θα δείξουμε ότι ισχύουν οι τρεις ιδιότητες. ΑΥΤΟΠΑΘΗΣ. αΣα α=1α1-1 για όλα τα α της Ο.

ΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ. Αν αΣβ α=γβγ-1 για κάποιο γ β=γ-1αγ ⇔ βΣα για όλα τα α και β. ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ. Αν αΣβ και βΣγ, τότε α=δβδ-1 και β=ζγζ-1. Άρα α=(δζ)γ(δζ)-1, αΣγ. ■ Αμέσως θα μελετήσουμε τις κλάσεις ισοδυναμίας.

78. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω α στοιχείο της ομάδας Ο. Η κλάση ισοδυναμίας του α ως προς τη προηγούμενη σχέση καλείται κλάση συζυγίας και αποτελείται από όλα τα στοιχεία β=γαγ-1 για όλα τα γ.

={ γαγ-1 | για όλα τα γ}


7 1

ΠΡΟΣΟΧΗ Γνωρίζουμε ότι συζυγή στοιχεία έχουν την ίδια τάξη. Αυτό βοηθάει στην εύρεση συζυγών στοιχείων.

Παράδειγμα. Έστω Ο=Σ3={ 1, α, α2, β, αβ, α2β}. Ας βρούμε τις κλάσεις συζυγίας.

Η τετριμμένη είναι αυτή που θα περιέχει το μοναδιαίο, {1}. Ας βρούμε όλα τα συζυγή του α. βαβ-1=α2, από τη σχέση α2β=βα. Κανένα άλλο στοιχείο δεν έχει τάξη τρία. Άρα η κλάση

αποτελείται από ={α, α2}. Τώρα το β. α2β=βα α(αβ)α-1=β αβΣβ. Επίσης α2β=βα

α2β=α2αβ(α2)-1 α2βΣαβ και αβΣβ. Άρα α2βΣβ. Και η κλάση δίνεται από ={β,

α2β, αβ}. Υπάρχουν λοιπόν τρεις κλάσεις. Η σχέση αυτή διαμερίζει την ομάδα Σ3

Σ3={1} {α, α2} {β, α2β, αβ} Γνωρίζουμε ότι Ζ(α)=<α> και Ζ(β)=<β> με |Ζ(α)|=3 και |Ζ(β)|=2. Αν πολλαπλασιάσουμε το πλήθος των στοιχείων της κλάσης του α επί την τάξη του κεντροποιητή του α, θα πάρουμε την τάξη της Σ3. Το ίδιο ισχύει και για το στοιχείο β. Φαίνεται λοιπόν ότι γενικά ισχύει η σχέση

[Σ3 : Ζ(α)]=| | ■

79. ΛΗΜΜΑ

Έστω Ο πεπερασμένη ομάδα και α τυχαίο στοιχείο της. Ο αριθμός των διακεκριμένων συζυγών στοιχείων του α στην Ο ή το πλήθος των στοιχείων της

κλάσης συζυγίας του α, δηλαδή | |, δίνεται από

[Ο : Z(α)].

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω γ και δ στοιχεία της Ο. Τότε γαγ-1=δαδ-1 αγ-1δ= γ-1δα γ-1δΖ(α) δΖ(α)= γΖ(α). Δηλαδή τα γ και δ ορίζουν το ίδιο συζυγές στοιχείο του α αν και μόνο αν ορίζουν το ίδιο αριστερό σύμπλοκο ως προς Ζ(α). Ορίζεται λοιπόν μια 1-1 απεικόνιση

γαγ-1 γΖ(α) μεταξύ συζυγών του α και αριστερών συμπλόκων του Ζ(α). Είναι γνωστό όμως ότι ο αριθμός των αριστερών συμπλόκων του α δίνεται από [Ο : Z(α)] και αυτός είναι ο αριθμός των διακεκριμένων συζυγών στοιχείων του α. ■ Το επόμενο θεώρημα έχει σημαντικές εφαρμογές.


7 2

80. ΘΕΩΡΗΜΑ (Η σχέση των κλάσεων συζυγίας )

Έστω Ο πεπερασμένη ομάδα και {α1, …, ακ} αντιπρόσωποι των κλάσεων συζυγίας που περιέχουν τουλάχιστον δύο στοιχεία. Τότε ισχύει ότι

|Ο|=|Ζ(Ο)|+[Ο: Z(α1)]+…+ [Ο: Z(ακ)].

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Από την υπόθεση έχουμε ότι | i |>1. Έστω τώρα {ακ+1, …, ακ+ν } όλα τα

στοιχεία για τα οποία ισχύει ότι | k i |=1. Δηλαδή η κλάση συζυγίας περιέχει μόνο τον εαυτό της. Γνωρίζουμε ότι

Ο= 1 … k 1k … k

Ισχύει όμως ότι | i |=[Ο : Z(ia )] για όλα τα i=1,…,κ. Και για τα υπόλοιπα στοιχεία

ισχύει ο ίδιος τύπος αλλά 1=| k i |=[Ο : Z(k ia

)]Z(k ia

)=Ο k ia Ζ(Ο). Άρα

{ακ+1, …, ακ+ν}=Ζ(Ο)

Ο= 1 … k {1ka } … {

ka }

|Ο|=[Ο: Z(α1)]+…+ [Ο: Z(ακ)]+|Ζ(Ο)| ■ Οι επόμενες προτάσεις έχουν σημαντικές εφαρμογές.

81. ΠΡΟΤΑΣΗ

Έστω (α1,…,ακ) κύκλος της Σν και σ τυχαία μετάθεση. Τότε ισχύει ότι

σ(α1,…,ακ)σ-1=(σ(α1),…,σ(ακ)).

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Προφανές.

82. ΘΕΩΡΗΜΑ

Κύκλοι ίσου μήκους στην Σν είναι συζυγείς.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω δύο κύκλοι (α1,…,ακ) και (β1,…,βκ). Επιλέγουμε μετάθεση σ με σ(αι)=βι και η σ απεικονίζει το σύνολο {1,…,ν}-{α1,…,ακ} στο {1,…,ν}-{β1,…,βκ}. Από την προηγούμενη πρόταση έχουμε το ζητούμενο. ■ Είδαμε ότι μια ομάδα Ο γράφεται σαν ξένη ένωση δεξιών ή αριστερών συμπλόκων ως προς κάποια υποομάδα Υ.


7 3

Ο=Υ Υα1 Υα2 … Υακ Τα στοιχεία α1, …., ακ δεν είναι μοναδικά αλλά είναι απλώς αναπαραστάτες.

Υα =Υβ βα-1Υ Ένα εύλογο ερώτημα είναι πότε συμβαίνει τα δεξιά σύμπλοκα να ταυτίζονται με τα αριστερά.

Υα=αΥ για όλα τα α α-1Υα=Υ για όλα τα α Αυτό σημαίνει ότι η υποομάδα Υ πρέπει να έχει ιδιαίτερες ιδιότητες. Αυτές οι υποομάδες καλούνται κανονικές.

83. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω Υ υποομάδα της ομάδας Ο. Η Υ καλείται κανονική (normal), αν για κάθε στοιχείο β της Υ και α της Ο ισχύει αβα-1Υ. Γράφουμε Υ Ο

Παρατηρούμε ότι ο ορισμός ζητά αΥα-1Υ για όλα τα στοιχεία α της Ο. Θα δούμε αμέσως ότι τελικά ισχύει αΥα-1=Υ. Πολλές φορές αυτή η συνθήκη απαιτείται σαν ορισμός παρότι αυτό είναι πιο περιοριστικό. ΠΡΟΣΟΧΗ Ο ορισμός δεν υπονοεί ότι αβα-1=β αβ=βα, αλλά ότι αβα-1=γ με γ στοιχείο της Υ.

84. ΠΡΟΤΑΣΗ

Έστω Υ υποομάδα της Ο, οι επόμενες προτάσεις είναι ισοδύναμες.

1) Η Υ είναι κανονική.

2) αΥα-1=Υ για όλα τα στοιχεία α.

3) αΥ=Υα για όλα τα στοιχεία α. Δηλαδή τα δεξιά σύμπλοκα ταυτίζονται με τα αριστερά.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θα δείξουμε ότι η 1) συνεπάγεται τη 2). Από τον ορισμό έχουμε ότι αΥα-1Υ. Αρκεί να δείξουμε και τον άλλο εγκλεισμό. Έστω β στοιχείο της Υ. Το β γράφεται

β=αα-1βαα-1 και καλούμε γ=α-1βα Το γ όμως είναι στοιχείο της Υ, οπότε είναι και το β=αγα-1. Άρα ΥαΥα-1. Οι σχέσεις 2) 3) 1) είναι προφανείς. ■

Παράδειγμα. 1) Έστω Ο=Σ3={ 1, α, α2, β, αβ, α2β}. και Υ=<β>. Ας βρούμε τα

σύμπλοκα της Υ. αΥ={α,αβ} και Υα={α,βα}={α,α2β}. Βλέπουμε ότι είναι διαφορετικά. Άρα η Υ δεν είναι κανονική.


7 4

Ας εξετάσουμε την Τ=<α> η οποία γνωρίζουμε ότι είναι η εναλλάσσουσα υποομάδα Α3 της Σ3. βΤ={β,βα,βα2}={β,α2β,αβ}=Τβ. Άρα Α3 Σ3. Και αυτό δεν είναι τυχαίο, θα δείξουμε ότι Αν Σν γενικά. 2) Έστω Τ και Υ ομάδες και ΤxY το ευθύ γινόμενο. Οι υποομάδες {1}xΥ και Τx{1} είναι κανονικές. Θα το δείξουμε για την πρώτη.

(α,β)(1,υ)(α-1,β-1)=(αα-1,βυβ-1)=(1,βυβ-1){1}xY.■

85. ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω Υ υποομάδα της Ο με δείκτη 2, [Ο:Y]=2. Τότε η Υ είναι κανονική.

Υ Ο

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θα δείξουμε ότι αΥ=Υα για όλα τα α. Επειδή ο δείκτης είναι 2 υπάρχει β 1 με

Ο=Υ Υβ Προφανώς βΥ, άρα

Ο=Υ βΥ Άρα θα ισχύει Υβ=βΥ. Έστω τώρα α τυχαίο στοιχείο. Αν το α δεν ανήκει στην Υ, θα έχουμε α=βυ=υ’β. Άρα αγα-1=βυγυ-1β-1 είναι στοιχείο της Υ. Δηλαδή αΥ=Υα. ■

86. ΠΟΡΙΣΜΑ

Η εναλλάσσουσα υποομάδα Αν της Σν έχει δείκτη 2 και είναι κανονική.

Αν Σν

Παράδειγμα. 1) Έστω Ο=Q8={I,-I,J,-J,K,-K,L,-L}. Γνωρίζουμε ότι τα στοιχεία J,

K, L έχουν τάξη τέσσερα. Άρα οι υποομάδες <J>, <K>, <L> είναι κανονικές. Επίσης κανονικές είναι και οι <Ι> και <-Ι>. 2) Έστω Κν η υποομάδα της διεδρικής Dν={e, αν, (αν)2,…, (αν)ν-1, βν, ανβν, (αν)2βν ,…, (αν)ν-1βν } η οποία γεννάται απο το στοιχείο αν. Η Κν είναι κανονική ενώ αυτή που γεννάται από το βν δεν είναι κανονική. Η σχέση στην ομάδα δίνει (αν)-1 βν αν=( αν)ν-2 βν. ■


7 5

87. ΠΡΟΤΑΣΗ

Έστω Υ υποομάδα της Ο, τότε το σύνολο αΥα-1 είναι υποομάδα της Ο για όλα τα στοιχεία α και |αΥα-1|=|Υ|.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θα πάρουμε δυο στοιχεία από το σύνολο και θα δείξουμε ότι το γινόμενό τους είναι επίσης στοιχείο του συνόλου, οπότε το σύνολο θα είναι κλειστό ως προς την πράξη. (αυα-1)( αυ’α-1)=αυυ’α-1 . Επίσης (αυα-1)-1=αυ-1α-1. Άρα το σύνολο αυτό είναι υποομάδα. Θα ορίσουμε τώρα μια 1-1 και επί απεικόνιση από το Υ στο αΥα-1.

Έστω Φ:YαΥα-1 με τύπο φ(β)=αβα-1. Επειδή η Φ είναι 1-1 και επί, το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών θα έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό. ■

88. ΠΟΡΙΣΜΑ

Εάν η υποομάδα Υ της Ο έχει την ιδιότητα καμία άλλη υποομάδα της Ο να έχει την ίδιο πληθικό αριθμό, τότε αυτή είναι κανονική.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Από το προηγούμενο |αΥα-1|=|Υ| και το σύνολο αΥα-1 είναι υποομάδα. Άρα αΥα-1=Υ. Δηλαδή Υ Ο. ■

Παράδειγμα. 1) Έστω Ο=Α4, όλες οι άρτιες μεταθέσεις σε τέσσερα στοιχεία, και

Υ={1, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)}. Το υποσύνολο Υ είναι κλειστό ως προς την πράξη και πεπερασμένο, άρα είναι υποομάδα της Α4. Θα δείξουμε ότι είναι κανονική. Η Υ είναι ισοδύναμη με την ομάδα του Klein αφού έχει τάξη τέσσερα και τα μη-τετριμμένα στοιχεία της έχουν τάξη δυο. Επίσης η Α4 έχει τάξη 12. Άρα υπάρχουν τρία σύμπλοκα. Η Α4 δεν περιέχει αντιμεταθέσεις, αλλά περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις τάξης δύο, και περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις τάξης τρία οι οποίες είναι οκτώ.

Α4=Υ {(1,2,3), (1,3,2), (1,2,4), (1,4,2), (1,3,4), (1,4,3), (2,3,4), (2,4,3)}. Κάθε στοιχείο του υποσυνόλου Α4-Υ έχει τάξη τρία και δεν μπορεί να περιέχεται σε υποομάδα τάξης τέσσερα. Άρα η Υ είναι μοναδική τάξης τέσσερα και σύμφωνα με το προηγούμενο είναι κανονική.

Υ Α4 Σ4 2) Έστω (α1,α2,...,ακ) ένας κύκλος της Σν και σ μετάθεση, τότε ισχύει ότι

σ(α1,α2,...,ακ)σ-1 = (σ(α1), σ(α2), ...,σ(ακ)).

3) Η D4 έχει πέντε κλάσεις συζυγίας: {1}, {R2}, {H,R2H}, {R,R3}, {RH, R3H}.


7 6

4) Η Q8 έχει πέντε κλάσεις συζυγίας {1}, {-1}, {I,-i}, {j,-j}, {k,-k}. 5) Η D4 έχει 8 υποομάδες και 5 κλάσεις συζυγίας <1>, <H>, <RH>, <R>, <R2>, <R2, H>, <R2, RH>, D4. ■

89. ΟΡΙΣΜΟΣ

Μία ομάδα Ο καλείται απλή, αν οι μόνες κανονικές υποομάδες που περιέχει είναι η τετριμμένη και ο εαυτός της.

Οι απλές ομάδες είναι σημαντικές γιατί κάθε πεπερασμένη ομάδα μπορεί να δημιουργηθεί από απλές, όπως θα δούμε πιο κάτω. Ενώ μια απλή δεν μπορεί να δημιουργηθεί από απλούστερες. Μία κυκλική με τάξη πρώτο αριθμό είναι απλή. Οι υποομάδες Α2 και Α3 είναι απλές.

90. ΠΡΟΤΑΣΗ

Οι εναλλάσσουσες υποομάδες Αν είναι απλές για ν>4.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας υποθέσουμε ότι η Αν περιέχει κανονική υποομάδα Υ. Θα δείξουμε ότι η Υ περιέχει έναν 3-κύκλο και μετά ότι περιέχει όλους τους 3-κύκλους. Τελικά θα ταυτίζεται με την Αν. Έστω σ στοιχείο της Υ το οποίο δεν είναι 3-κύκλος. Θα κατασκευάσουμε ένα άλλο στοιχείο τ της Υ το οποίο αφήνει περισσότερα στοιχεία του συνόλου {1,2,...,ν} αναλλοίωτα από το σ. Αν το τ δεν είναι 3-κύκλος επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία μέχρι να φθάσουμε σε 3-κύκλο. Εκφράζουμε το σ σαν γινόμενο κύκλων ξένων μεταξύ τους οι οποίοι φυσικά αντιμετατίθενται. Δύο περιπτώσεις υπάρχουν. Το σ περιέχει έναν κύκλο μήκους μεγαλυτέρου ή ίσου του 3 ή είναι γινόμενο αντιμεταθέσεων. 1) σ=(α1,α2,α3,...,αρ)π2...πκ. Εδώ ρ>3. Διαφορετικά ανάγεται σ’ αυτή την περίπτωση. 2) σ=(α1,α2)(α3,α4)π3...πκ. 1) Το σ μεταθέτει εκτός από τα α1, α2 και α3 και τα στοιχεία α4 και α5. Διότι σ (α1,α2,α3) ή (α1,α2,α3,α4). Έστω γ=(α1,α2,α3). Η μετάθεση γσγ-1 είναι στοιχείο της Υ και η τ= γσγ-1 σ-1 είναι επίσης στοιχείο της Υ και αφήνει το α3 αναλλοίωτο εκτός από τα στοιχεία που αφήνει η σ. 2) Έστω γ=(α1,α2,α3). Όπως και στο 1) η μετάθεση γσγ-1 είναι στοιχείο της Υ και δίνεται από


7 7

γ(α1,α2)(α3,α4)γ-1(α3,α4) (α1,α2)σ = (α1,α2,α3) (α1,α2)(α3,α4) (α1,α3,α2) (α3,α4) (α1,α2)σ = (α1,α3)(α2,α4)σ. Έστω τ= γσγ-1 σ-1, τότε η τ=(α1,α3)(α2,α4) είναι στοιχείο της Υ και αφήνει το στοιχείο α5 αναλλοίωτο. Τώρα θα δείξουμε ότι η Υ περιέχει όλους τους κύκλους μήκους 3, άρα ταυτίζεται με την Αν. Έστω τ=(α1,α2,α3) ένας κύκλος μήκους 3 στην Υ και σ=(α4,α5,α6) στην Αν. Ισχύει ότι

(α1,α2,α3)= (α5,α2,α6,α3,α4,α1) (α4,α5,α6) (α4,α3,α6,α2,α5,α1) Αν η μετάθεση (α5,α2,α6,α3,α4,α1) είναι στοιχείο της Αν, τότε και η σ είναι στοιχείο της Υ. Αν όχι, τότε υπάρχει αντιμετάθεση γ ξένη προς την σ και το στοιχείο (α5,α2,α6,α3,α4,α1)γ είναι στοιχείο της Αν. Επίσης ισχύει ότι

σ=γσγ-1=γ(α4,α3,α6,α2,α5,α1)τ(α5,α2,α6,α3,α4,α1)γ Άρα η σ είναι επίσης στοιχείο της Υ. ■


7 8

1) Δείξτε ότι η SL(2, ) είναι κανονική υποομάδα της GL(2, ).

2) Έστω U(2, )={0

a c

b

|ab 0} η υποομάδα της GL(2, ). Είναι κανονική;

3) Αν Υ υποομάδα της Ο και Η κανονική υποομάδα, τότε Υ Η Y. 4) Αν Υ υποομάδα της Ο και Η κανονική υποομάδα, τότε ΗΥ={αβ|αΗ και βΥ}Ο. 5) Έστω Ο ομάδα και Υ υποομάδα δείκτη 2. Κάθε στοιχείο α της Ο έχει την ιδιότητα α2

Υ. 6) Έστω Υ υποομάδα της Ο και Ν(Υ)={α|αΥα-1=Υ }. Το Ν(Υ) καλείται η κανονικοποιούσα της Υ στην Ο. Δείξτε ότι η Ν(Υ) είναι υποομάδα και μάλιστα Υ Ν(Υ). Αν Η υποομάδα ώστε Υ Η, τότε ΗΝ(Υ).

7) Δείξτε ότι το σύνολο Κ={

1 0

0 1 0

0 0 1

b

| b } είναι κανονική υποομάδα της UT(3)= {

1

0 1

0 0 1

a b

c

| a, b, c }.

8) Έστω Κν η υποομάδα της UT(3)= {

1

0 1

0 0 1

a b

c

| a, b, c } που γεννάται από τα

στοιχεία α=

1 1 0

0 1 0

0 0 1

, β=

1 0 0

0 1

0 0 1

και γ=

1 0 1

0 1 0

0 0 1

. Δείξτε ότι αβα-1β-1=γν, αγ=γα και

βγ=γβ. Τότε <γ> Κν. 9) Έστω Η Ο και |Η|=2, τότε ΗΖ(O). 10) Αν Υ και Η κανονικές υποομάδες της Ο και Υ Η={1}, τότε αβ=βα για όλα τα α της Υ και β της Η. 11) Πόσες κανονικές υποομάδες τάξης 4 έχει η διεδρική D4. 12) Δείξτε ότι η ομάδα D4/Z(D4) έχει τάξη 4. Ποια ομάδα είναι αυτή;


7 9

13) Αν η ομάδα Ο/Ζ(Ο) είναι κυκλική, τότε η Ο είναι αβελιανή. 14) Έστω η ομάδα

Β=

1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1

0 1 0 , 0 1 0 , 0 1 0 , 0 1 0 , 0 1 0 , 0 1 0 ,

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 1

0 1 0 , 0 1 0

1 0 0 1 0 0

Να βρεθούν οι κλάσεις συζυγίας και οι κανονικές υποομάδες της. 15) Δείξτε ότι κάθε υποομάδα της Q8 είναι κανονική. 16) Δείξτε ότι η διεδρική ομάδα Dν έχει κανονική υποομάδα κυκλική τάξης ν.

17) Έστω Ο=GL2( ) και Υ=1

|0 1

. Δείξτε ότι ΥΟ αλλά όχι κανονική.

Εξετάστε το στοιχείο 5 0

0 1

.

18) Έστω ν=ν1+…+νκ μια διαμέριση του φυσικού ν. Να δείξετε ότι το γινόμενο 1

!i

διαιρεί το ν!. 19) Έστω Η υποομάδα μιας ομάδας Ο. Να δείξετε οτι η μικρότερη κανονική υποομάδα της Ο που περιέχει την Η δίνεται από την υποομάδα που γεννάται από το σύνολο

1

a OaHa

.

20) Έστω Η υποομάδα μιας ομάδας Ο. Να δείξετε οτι η μεγαλύτερη κανονική υποομάδα

της Ο που περιέχεται στην Η δίνεται από την υποομάδα 1

a OaHa

.


8 0

ΟΜΑΔΑ ΠΗΛΙΚΟ

Σ’ αυτήν την ενότητα θα ορίσουμε νέες ομάδες με τη χρήση κανονικών υποομάδων. Αν

η Υ είναι κανονική στην Ο, τότε το σύνολο των συμπλόκων αποκτά, με φυσιολογικό τρόπο, δομή ομάδας όπως θα δούμε αμέσως.

91. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω Υ κανονική υποομάδα της ομάδας Ο. Με Ο/Υ θα συμβολίζουμε το σύνολο των δεξιών συμπλόκων ως προς Υ το οποίο αποτελείται από όλα τα στοιχεία Υα για όλα τα α.

Ο/Υ={ Υα | για όλα τα α}

Ορίζουμε μια πράξη στο Ο/Υ ως εξής.

Υα Υβ=Υαβ

Αφού η Υ είναι κανονική τα δεξιά και τα αριστερά σύμπλοκα ταυτίζονται. Για να είναι καλά ορισμένη αυτή η πράξη, θα πρέπει να μην εξαρτάται από τους αντιπροσώπους. Δηλαδή, αν Υα=Υα’ και Υβ=Υβ’, τότε θα πρέπει

Υαβ=Υα’β’ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν Υα=Υα’, τότε α’α-1Υ. Επίσης Υβ=Υβ’, β’β-1 Υ. Αρκεί να δείξουμε ότι

α’β’β-1α-1Υ α’β’β-1 (α’)-1α’ α-1Υ [α’(β’β-1)(α’)-1]α’α-1 Υ Επειδή η Υ είναι κανονική έχουμε ότι [α’(β’β-1)(α’)-1] Υ και α’α-1Υ. Άρα

[α’(β’β-1)(α’)-1]α’α-1 Υ Δηλαδή αυτό που θέλαμε να δείξουμε. Οπότε η πράξη είναι καλά ορισμένη. ■ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η πράξη αυτή ορίστηκε μεταξύ υποσυνόλων! Και φυσικά μας θυμίζει τις πράξεις στο ν . Στην αρχή φαίνεται περίεργο να έχουμε πράξεις μεταξύ υποσυνόλων, αλλά όπως έχουμε προαναφέρει δεν έχουν σημασία τα στοιχεία του συνόλου αλλά η αλγεβρική δομή (πράξη) που δέχεται το σύνολο. Δεν ορίζεται η πράξη, αν η Υ δεν είναι κανονική.


8 1

92. ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω Υ κανονική υποομάδα της Ο, τότε το σύνολο Ο/Y εφοδιασμένο με την προηγούμενη πράξη αποτελεί ομάδα.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θα πρέπει να δείξουμε τις τρεις ιδιότητες της ομάδας.

ΠΡΟΣΕΤΑΙΡΙΣΤΙΚΗ. (Υα Υβ) Υγ=Υα (Υβ Υγ) Υαβ Υγ=Υα Υβγ Υ(αβ)γ=Υα(βγ) Υαβγ=Υαβγ. ΟΥΔΕΤΕΡΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ. Το ουδέτερο στοιχείο είναι το υποσύνολο Υ=Υ1=Υυ για κάθε υ στοιχείο του Υ. Πρέπει να δείξουμε ότι Υα Υ=Υα=Υ Υα, αλλά Υα Υ=ΥαΥ1=Υα1=Υα και Υ Υα=Υ1 Υα=Υ1α=Υα. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ-ΑΝΤΙΘΕΤΟ. Το αντίστροφο του Υα είναι το Υα-1, αφού Υα Υα-1 =Υαα-

1=Υ1=Υ. Αλλά όχι μόνο αυτό: αν Υα-1=Υβ, τότε ΥαΥβ=Υ. ■

93. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω Υ κανονική υποομάδα της ομάδας Ο. Η ομάδα Ο/Υ καλείται ομάδα πηλίκο (quotient group) της Ο ως προς Υ.

94. ΠΟΡΙΣΜΑ

Έστω Υ κανονική υποομάδα της Ο, τότε |Ο/Υ|=[Ο:Υ].

Παράδειγμα. 1) Έστω Ο={1,α,β,γ} η ομάδα του Klein και Υ=<α>. Επειδή η Ο

είναι αβελιανή η Υ είναι κανονική. Άρα ορίζεται η Ο/Υ και έχει τάξη [Ο,Υ]=2. Τα στοιχεία της Ο/Υ είναι Υ και Υβ=Υγ. Ας δούμε τώρα και την πράξη. Υβ Υβ=Υβ2=Υ1=Υ. Η ομάδα Ο/Υ είναι ισοδύναμη με την ομάδα 2. 2) Έστω Ο=Σ3={ 1, α, α2, β, αβ, α2β} και Υ=Α3=<α>. Η ομάδα πηλίκο Ο/Υ έχει τάξη

2 και περιέχει τα στοιχεία Υ και Υβ=Υαβ=Υα2β. Η πράξη δίνεται από Υβ Υβ=Υ και η ομάδα αυτή είναι ισοδύναμη με την ομάδα 2. 3) Έστω Ο=Q8={I,-I,J,-J,K,-K,L,-L} και Υ={Ι,-Ι}. Εύκολα βλέπουμε ότι η Υ είναι κανονική γιατί αποτελείται από τον ταυτοτικό και τον αντίθετο του ταυτοτικού πίνακα. Η ομάδα πηλίκο Ο/Υ={Υ, ΥJ, YK, YL} έχει τάξη 4 και θα πρέπει να είναι ισοδύναμη με την

4 ή με την ομάδα του Klein. Ας δούμε ποια από τις δυο είναι. Αν έχει στοιχείο τάξης τέσσερα θα είναι η πρώτη.

(YJ)2=YJ2=Y(-I)=Y και (YΚ)2=YΚ2=Y(-I)=Y και (YL)2=YL2=Y(-I)=Y Άρα είναι η ομάδα του Klein.


8 2

4) Έστω Ο= και Υ=<ν>=ν . Τότε η Ο/Υ έχει ν στοιχεία, Υ, Υ+1, …, Υ+(ν-1). Η πράξη δίνεται από (Υ+κ) (Υ+λ)=Υ+(κ+λ)modν. ■ Θα δώσουμε τώρα μια εφαρμογή της ομάδας πηλίκο και ένα μερικό αντίστροφο του θεωρήματος του Lagrange.

95. ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω Ο πεπερασμένη αβελιανή ομάδα ώστε ο πρώτος π να διαιρεί την τάξη της. Τότε η Ο έχει υποομάδα τάξης π.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θα χρησιμοποιήσουμε επαγωγή στην τάξη της Ο. Αν η Ο έχει τάξη ένα δύο ή τρία, τότε η πρόταση είναι προφανής. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι η πρόταση ισχύει για όλες τις αβελιανές ομάδες τάξης μικρότερης του κ. Έστω α ένα μη τετριμμένο στοιχείο της Ο και Υ η υποομάδα που γεννάται από το α, Υ=<α>. Αν Υ=Ο, τότε η Ο είναι κυκλική και η πρόταση γνωρίζουμε ότι ισχύει. Διαφορετικά η Υ δεν ταυτίζεται με την Ο και είναι κυκλική, άρα κανονική. Ορίζεται λοιπόν η ομάδα πηλίκο Ο/Υ και η τάξη της είναι |Ο|/|Υ|. Οι ομάδες Υ και Ο/Υ έχουν τάξη μικρότερη από κ και η υπόθεση της επαγωγής ισχύει. Επειδή ο πρώτος π διαιρεί την τάξη της Ο, θα διαιρεί την τάξη της Υ ή της Ο/Υ. Αν ο π διαιρεί την τάξη της Υ, θα έχει υποομάδα Υ’ τάξης π. Άρα Υ’ΥΟ. Αν ο π διαιρεί την τάξη της Ο/Υ, επειδή είναι και αβελιανή, θα υπάρχει υποομάδα τάξης π. Αυτή η υποομάδα, επειδή έχει τάξη πρώτο θα είναι κυκλική. Ας υποθέσουμε ότι ο γεννήτορας της είναι Υα. Η τάξη του στοιχείου Υα στην Ο/Υ είναι π. (Υα)π=Υ Υαπ=Υ απ Υ και η τάξη του στοιχείου απ διαιρεί την τάξη της Υ. Άρα το στοιχείο α θα έχει τάξη πλ, για κάποιο λ. Αυτό όμως μας δίνει ότι το στοιχείο αλ θα έχει τάξη π. Η κυκλική υποομάδα <αλ> είναι η ζητούμενη. ■ Αν η Ο δεν είναι αβελιανή και ο π δεν είναι πρώτος, τότε το θεώρημα δεν ισχύει. Θα δούμε όμως ότι ισχύει, αν ισχύει μια από τις υποθέσεις.

96. ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω Ο πεπερασμένη ομάδα ώστε ο πρώτος π να διαιρεί την τάξη της. Τότε η Ο έχει υποομάδα τάξης π.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω |Ο|=ν=πμ. Θα χρησιμοποιήσουμε επαγωγή στον μ. Αν μ=1, τότε η Ο είναι κυκλική τάξης π. Έστω Η γνήσια υποομάδα της Ο με ([Ο:Η],π)=1, τότε ο π διαιρεί την τάξη της Η. Άρα η Η έχει στοιχείο τάξης π. Έστω ότι για κάθε γνήσια υποομάδα Η ισχύει ότι ([Ο:Η],π)=π. Επειδή το ν είναι άθροισμα πληθικών αριθμών για την κάθε κλάση συζυγίας, γνωρίζουμε ότι


8 3

ν=ν1+…+νκ με νi=[O:Z(αi)]. Επίσης το ν διαιρείται από το π και το π διαιρεί τα νi για όλα τα i. Άρα ο π διαιρεί την τάξη του κέντρου της Ο. Αλλά το κέντρο είναι αβελιανή υποομάδα, οπότε έχει στοιχείο τάξης π. ■


8 4

1) Αν Η είναι κανονική υποομάδα της Ο και α στοιχείο της Ο, τότε η τάξη του στοιχείου Ηα στην Ο/Η διαιρεί την τάξη του α. 2) Αν Ο πεπερασμένη ομάδα και Η κανονική τάξης 7 με [Ο:Η]=20, τότε κάθε στοιχείο της Ο τάξης 7 ανήκει στην Η. 3) Δείξτε ότι κάθε στοιχείο της / έχει περασμένη τάξη.

4) Αν Ο αβελιανή και Υ υποομάδα της, τότε και η Ο/Υ είναι αβελιανή. 5) Έστω Ο ομάδα. Η υποομάδα μεταθέτης Ο’ της Ο είναι η μικρότερη υποομάδα της Ο η οποία περιέχει όλα τα στοιχεία της μορφής αβα-1β-1 τα οποία ονομάζονται μεταθέτες. Α) Δείξτε ότι η Ο’ αποτελείται από όλα τα στοιχεία της Ο τα οποία μπορούν να γραφούν σαν γινόμενο μεταθετών. Β) Αν Ο’ΥΟ, τότε Υ Ο και Ο’ Ο. Γ) Δείξτε ότι η Ο/Ο’ είναι αβελιανή. Δ) Δείξτε ότι αν Υ Ο ώστε Ο/Υ αβελιανή, τότε Ο’Υ. 6) Έστω Η={1, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)} η υποομάδα της Σ4 που μελετήσαμε στην άσκηση 4 της ενότητας των συμμετρικών ομάδων. Δείξτε ότι Σ4/Η Σ3. 7) Έστω η ομάδα

Β=

1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1

0 1 0 , 0 1 0 , 0 1 0 , 0 1 0 , 0 1 0 , 0 1 0 ,

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 1

0 1 0 , 0 1 0

1 0 0 1 0 0

Και η υποομάδα της Η=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

. Να περιγράψετε το γινόμενο της Β/Η. Τι

παρατηρείτε;


8 5

ΟΜΟΜΟΡΦΙΣΜΟΙ

Μπορούμε να μελετήσουμε μια ομάδα Ο με το να μελετήσουμε τη σχέση της με άλλες

ομάδες. Ένας τρόπος να γίνει αυτό είναι η μελέτη απεικονίσεων οι οποίες σέβονται την αλγεβρική δομή από την ομάδα Ο σε άλλες γνωστές. Τέτοιου είδους απεικονίσεις ονομάζονται ομομορφισμοί.

97. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω Ο και Υ ομάδες και φ:OΥ απεικόνιση. Η φ καλείται ομομορφισμός,, αν ισχύει

φ(αβ)=φ(α)φ(β) για όλα τα α και β.

Το γινόμενο αβ είναι ορισμένο στην Ο ενώ το φ(α)φ(β) στην Υ. Δηλαδή μπορεί να έχουμε δυο διαφορετικές πράξεις.

98. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω φ:OΥ ομομορφισμός.

1) Αν η φ είναι 1-1, θα καλείται μονομορφισμός.

2) Αν η φ είναι επί, θα καλείται επιμορφισμός.

3) Αν η φ είναι 1-1 και επί, θα καλείται ισομορφισμός. Τότε γράφουμε Ο Υ και λέμε ότι οι ομάδες είναι ισόμορφες μεταξύ τους.

4) Αν Υ=Ο και η φ είναι ισομορφισμός, τότε θα καλείται αυτομορφισμός.

Όταν δυο ομάδες είναι ισόμορφες μεταξύ τους, τότε έχουν την ίδια αλγεβρική δομή και διαφέρουν μόνο κατά το είδος των στοιχείων.

Παράδειγμα. 1) Έστω φ:ΟΟ με τύπο φ(α)=1 (η τετριμμένη) για όλα τα στοιχεία,

τότε η φ είναι ομομορφισμός. φ(αβ)=1=1 1=φ(α)φ(β). 2) Έστω φ:ΟΟ με τύπο φ(α)=α (η ταυτοτική) για όλα τα στοιχεία, τότε η φ είναι ισομορφισμός. 3) Η φ: με τύπο φ(α)=3α είναι μονομορφισμός.

φ(α+β)=3(α+β)=3α+3β=φ(α)+φ(β) και φ(α)=φ(β) 3α=3β α=β


8 6

4) Η φ: με τύπο φ(α)=αmodν είναι επιμορφισμός. Είναι προφανές ότι είναι επί.

Θα δείξουμε ότι είναι και ομομορφισμός. φ(α+β)=(α+β)modν=αmodν+βmodν=φ(α)+φ(β)

5) Έστω Ο={1,α,β,γ} η ομάδα του Klein και φ:ΟΟ με τύπο φ(α)=φ(1)=1 και φ(β)=φ(γ)=α. Η φ είναι ομομορφισμός. φ(αβ)=φ(γ)=α=1α=φ(α)φ(β), φ(βγ)=φ(α)=1=α2=φ(β)φ(γ), και φ(γγ)=φ(1)=1=α2=φ(γ)φ(γ).

6) Η φ:GL(2, ) * με τύπο φa b

c d

=ad-cb είναι ομομορφισμός. Παρατηρούμε ότι η

φ είναι η ορίζουσα του πίνακα και ικανοποιεί την ιδιότητα φ(ΑΒ)=|Α||Β|.

7) Η φ: με τύπο φ(x)=ex είναι ισομορφισμός. φ(x+y) =ex+y=exey=φ(x)φ(y). Γνωρίζουμε από τον απειροστικό λογισμό ότι είναι 1-1 και επί. 8) Η φ:Σν 2

με τύπο φ(σ)=0, αν η σ είναι άρτια μετάθεση, και φ(σ)=1 αν είναι περιττή.

Η φ είναι ένας σημαντικός επιμορφισμός. φ(στ)=φ(σ)φ(τ) όπως φαίνεται εξετάζοντας όλες (τέσσερες) περιπτώσεις. ■

99. ΠΡΟΤΑΣΗ

Έστω φ:OΥ και ψ:ΥΤ ομομορφισμοί.

1) Τότε η σύνθεση ψφ είναι επίσης ομομορφισμός.

2) Αν οι φ και ψ είναι ισομορφισμοί, τότε είναι και η σύνθεση ψφ.

3) Αν η φ είναι ισομορφισμός, τότε και η αντίστροφη απεικόνιση φ-1 :ΥΟ είναι επίσης ισομορφισμός.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1) ψφ(αβ)=ψ(φ(αβ))=ψ(φ(α)φ(β))=ψ(φ(α))ψ(φ(β))=ψφ(α)ψφ(β). 2) Από το προηγούμενο η ψφ είναι ομομορφισμός και αφού είναι και οι δύο 1-1 και επί, θα είναι και η σύνθεση τους. 3) Εφόσον η φ είναι 1-1 και επί, ορίζεται η φ-1 η οποία είναι και αυτή 1-1 και επί. Αρκεί να δείξουμε ότι είναι ομομορφισμός. Έστω x, y στοιχεία της Υ, άρα θα υπάρχουν α και β στην Ο ώστε φ(α)=x και φ(β)=y . Πρέπει να δείξουμε ότι

φ-1(xy)=φ-1(x)φ-1(y) φ-1(φ(α)φ(β))=φ-1φ(α) φ-1φ(β) φ-1(φ(αβ))=αβ αβ=αβ. Αλλά αυτή η σχέση ισχύει. ■ Επειδή ο ισομορφισμός είναι σχέση ισοδυναμίας, διαμερίζει την κατηγορία των ομάδων σε κλάσεις ισοδυναμίας. Η κάθε κλάση περιέχει όλες τις ομάδες οι οποίες είναι ισόμορφες μεταξύ τους. Όλες αυτές που ανήκουν στην ίδια κλάση μπορεί να διαφέρουν σαν σύνολα


8 7

αλλά έχουν την ίδια αλγεβρική δομή. Αλγεβρικά λοιπόν μπορούμε να πούμε ότι ταυτίζονται μεταξύ τους. Οπότε αρκεί να μελετήσουμε μόνο μια από όλες αυτές. Τον αντιπρόσωπό τους. Ήδη έχουμε χρησιμοποιήσει την έννοια του ισομορφισμού, κατά κάποιον τρόπο, όταν λέγαμε ότι δυο ομάδες είναι ισοδύναμες μεταξύ τους. Παραδείγματος χάρη, κάθε κυκλική ομάδα τάξης ν είναι ισοδύναμη με την . Ας δούμε τον ισομορφισμό μεταξύ τους.

Φ: <α>

Με τύπο Φ(α)=1. Φ(α2)=Φ(α)+Φ(α)= 1+1= 2 . Γενικά Φ(ακ)= k . Η Φ είναι

ομομορφισμός: Φ(ακαλ)= Φ(ακ+λ)= k = k + = Φ(ακ)+ Φ(αλ), 1-1 και επί. Επίσης χρησιμοποιήσαμε και την αντίστροφη έννοια. Για να μην είναι ισόμορφες δυο ομάδες αρκεί η μια να έχει μια ιδιότητα την οποία δεν έχει η άλλη. Παραδείγματος χάρη, η

4 έχει στοιχείο τάξης τέσσερα αλλά η ομάδα του Klein δεν έχει. Άρα δεν είναι

ισόμορφες.

100. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω Ο ομάδα και φ:ΟΟ ισομορφισμός, ο φ καλείται αυτομορφισμός (automorphism). Το σύνολο των αυτομορφισμών της Ο συμβολίζεται με Aut(O).

101. ΠΟΡΙΣΜΑ

Το σύνολο Aut(O) αποτελεί ομάδα.

102. ΛΗΜΜΑ

Για κάθε στοιχείο α της ομάδας Ο ορίζουμε την απεικόνιση α:ΟΟ με τύπο α(β)=αβα-1. Η α είναι ισομορφισμός και καλείται εσωτερικός αυτομορφισμός της Ο (inner automorphism). Το σύνολο των εσωτερικών αυτομορφισμών της Ο συμβολίζεται με Inn(O) και αποτελεί κανονική υποομάδα της Aut(O).

Παράδειγμα. 1) Έστω φ: 4 4

αυτομορφισμός. Θα πρέπει λοιπόν ένας

γεννήτορας της 4

να απεικονίζεται σε γεννήτορα. Οι γεννήτορες της 4

είναι το 1 και 3.

Άρα Aut(4

) 2.


8 8

103. ΠΟΡΙΣΜΑ

Αν ο p είναι πρώτος, Aut( p ) 1p .

104. ΠΟΡΙΣΜΑ

Έστω Ο κυκλική τάξης ν, η Ο είναι ισόμορφη με την .

Με τον ίδιο τρόπο που ορίσαμε τον ισομορφισμό για την προηγούμενη περίπτωση δείχνουμε και την επόμενη πρόταση.

105. ΠΟΡΙΣΜΑ

Έστω Ο κυκλική άπειρης τάξης, η Ο είναι ισόμορφη με τη .

Θα μελετήσουμε αμέσως διάφορες βασικές ιδιότητες των ομομορφισμών.

106. ΠΡΟΤΑΣΗ


1) φ(1Ο)=1Υ.

2) φ(ακ)=(φ(α))κ.

3) Αν η τάξη του α είναι ν, τότε η τάξη του φ(α) διαιρεί το ν.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1) 1O1O=1O φ(1O1O)=φ(1O) φ(1O)2 =φ(1O) πολλαπλασιάζοντας με τον αντίστροφο του φ(1O) έχουμε φ(1O)=1Υ. 2) Θα εφαρμόσουμε επαγωγή στο κ. Για κ=1 ισχύει. Υποθέτουμε ότι ισχύει για κ-1 και θα το δείξουμε για κ.

φ(ακ )=φ(ακ-1+1)=φ(ακ-1)φ(α)=φ(α)κ-1φ(α)=φ(α)κ Έστω τώρα κ<0. κ=-(-κ) και –κ>0. Οπότε εφαρμόζουμε το προηγούμενο για –κ.

1Υ=φ(1Ο)=φ(ακα-κ)=φ(ακ)φ(α)-κ Άρα ο αντίστροφος του φ(ακ) είναι ο φ(α)-κ. Δηλαδή φ(ακ)=(φ(α)-κ)-1 φ(ακ)=φ(α)κ. Και η πρόταση ισχύει για κάθε ακέραιο κ . 3) αν=1Ο φ(αν)=φ(1Ο)=1Υ φ(α)ν=1Υ. Άρα η τάξη του φ(α) διαιρεί το ν. ■


8 9

107. ΠΟΡΙΣΜΑ

Έστω φ:OΥ ισομορφισμός.

1) ο(α)=ο(φ(α)) για όλα τα στοιχεία της Ο.

2) |Ο|=|Υ|.

3) Η Ο είναι αβελιανή αν και μόνο αν η Υ είναι.

Παράδειγμα. 1) Έστω φ: 8 4

. Ας βρούμε όλους τους ομομορφισμούς.

Προφανώς ο φ δεν μπορεί να είναι ισομορφισμός. Επειδή οι ομάδες είναι κυκλικές αρκεί να βρούμε την εικόνα ενός γεννήτορα της πρώτης. φ(1mod8)=αmod4. Η τάξη του γεννήτορα είναι οκτώ και η τάξη του α πρέπει να διαιρεί το οκτώ και το τέσσερα. Οι διαιρέτες είναι 1, 2, και 4. Άρα α=0mod4, 2mod4, 1mod4 ή 3mod4. Οι πιθανοί ομομορφισμοί είναι φ(1mod8)= 0mod4, 2mod4, 1mod4 ή 3mod4. 2) Έστω φ:

5 5. Ας βρούμε όλους τους αυτομορφισμούς. Επειδή η

5 είναι κυκλική,

θα πρέπει η φ να απεικονίζει γεννήτορα σε γεννήτορα. Οι γεννήτορες της 5 είναι 1, 2 , 3 ,

4 . Οι πιθανοί αυτομορφισμοί είναι φ(1)=είναι 1 ή 2 ή 3 ή 4 .

3) Γνωρίζουμε ότι ( , +) ( , ). Θα δούμε ότι δεν ισχύει το ίδιο μεταξύ ( ,+) και ( , ). Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ισομορφισμός φ: . Τότε θα υπήρχε ρητός α

ώστε φ(α)=3. Άρα φ(2α/2)=φ(α/2)2 φ(α/2)= 3 . Αδύνατον.

4) ( * , ) GL(2, ) γιατί η πρώτη είναι αβελιανή ενώ η δεύτερη δεν είναι. ■

108. ΠΡΟΤΑΣΗ


1) Αν ΤΟ, τότε φ(Τ) Υ.

2) Αν ΣΥ, τότε φ-1(Σ) Ο.

φ-1(Σ)={α | αΟ και φ(α)Σ}

3) Αν Σ Υ, τότε φ-1(Σ) Ο.

4) Υποθέτουμε ότι η φ είναι επιμορφισμός. Αν Τ Ο, τότε φ(Τ) Υ.


9 0

ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1) Αρκεί να δείξουμε ότι φ(Τ) είναι μη κενό και κλειστό ως προς την πράξη και τον αντίστροφο. 1Τ, άρα φ(1) φ(Τ). Έστω x=φ(α) και y=φ(β) στοιχεία του φ(Τ), τότε xy=φ(α)φ(β)=φ(αβ) φ(Τ). Επίσης, αν x=φ(α) είναι στοιχείο του φ(Τ), τότε x-1=φ(α)-1=φ(α-1) είναι επίσης στοιχείο του φ(Τ). Άρα φ(Τ) Υ. 2) Όπως προηγουμένως θα δείξουμε ότι το φ-1(Σ) είναι μη κενό και κλειστό ως προς την πράξη και τον αντίστροφο. 1 φ-1(Σ), άρα είναι μη κενό. Αν α και β ανήκουν στο φ-1(Σ), τότε φ(α) και φ(β) ανήκουν στο Σ το οποίο είναι υποομάδα. Άρα θα ανήκει και το γινόμενο φ(α)φ(β)=φ(αβ). Αυτό σημαίνει ότι αβ φ-1(Σ). Αν τώρα α φ-1(Σ) φ(α) Σ και φ(α)-1Σ και φ(α-1) Σ. Οπότε α-1 φ-1(Σ). 3) Από το προηγούμενο φ-1(Σ) Ο, θα δείξουμε ότι είναι κανονική. Έστω α φ-1(Σ) και β τυχαίο στοιχείο, πρέπει να ισχύει ότι βαβ-1 φ-1(Σ). Αυτό είναι ισοδύναμο με το φ(βαβ-1) Σ. Αλλά φ(βαβ-1)=φ(β)φ(α)φ(β)-1. Επειδή φ(α) Σ και η Σ είναι κανονική έχουμε ότι φ(β)φ(α)φ(β)-1Σ και βαβ-1 φ-1(Σ). 4) Έστω αΤ και x τυχαίο στο Υ. Πρέπει να δείξουμε ότι xφ(α)x-1φ(Τ). Επειδή η φ είναι επί, θα υπάρχει βΟ ώστε φ(β)=x. Τώρα η προηγούμενη σχέση γίνεται xφ(α)x-1=φ(β)φ(α)φ(β-1)=φ(βαβ-1). Το στοιχείο βαβ-1 ανήκει στην Τ γιατί είναι κανονική, άρα φ(βαβ-1) φ(Τ) δηλαδή xφ(α)x-1φ(Τ). ■ Ας δώσουμε ένα αντιπαράδειγμα του τελευταίου όταν η φ δεν είναι επί.

Παράδειγμα. Έστω η φ: 2 Σ3={ 1, α, α2, β, αβ, α2β} με τύπο φ(1)=β. Η φ είναι

ομομορφισμός και μάλιστα μονομορφισμός αλλά όχι επιμορφισμός. Η 2 είναι κανονική

στον εαυτό της, αλλά φ(2)=<β> και αυτή δεν είναι κανονική στην Σ3. ■

109. ΠΟΡΙΣΜΑ

Έστω φ:OΥ ομομορφισμός, τότε η εικόνα της φ, Im(φ), είναι υποομάδα της Υ.

Αμέσως θα αποδείξουμε το περίφημο θεώρημα του Cayley, το οποίο ανάγει τη μελέτη των ομάδων στη μελέτη των συμμετρικών ομάδων. Στη πράξη όμως η εφαρμογή του είναι πολύ περιορισμένη λόγω της πολυπλοκότητας των συμμετρικών ομάδων.

110. ΘΕΩΡΗΜΑ (Cayley)

Έστω Ο ομάδα, τότε η Ο είναι ισόμορφη με κάποια υποομάδα κάποιας συμμετρικής ομάδας.


9 1

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θεωρούμε τη συμμετρική ομάδα ΣΟ στο σύνολο Ο. Δηλαδή όλες τις 1-1 και επί απεικονίσεις του συνόλου Ο. Θα ορίσουμε μια 1-1 απεικόνιση από την Ο στην ΣΟ.

Φ:ΟΣΟ Για κάθε α η εικόνα Φ(α) πρέπει να είναι μια 1-1 και επί απεικόνιση του Ο στον εαυτό του. Ορίζουμε την Φ(α):OO με τύπο Φ(α)(β)=αβ για όλα τα β της Ο. Θα δείξουμε ότι η Φ(α) είναι 1-1 και επί. Αν Φ(α)(β)=Φ(α)(γ), τότε αβ=αγ και β=γ. Άρα είναι 1-1. Αν δΟ, τότε Φ(α)(α-1δ)=δ. Άρα είναι και επί. Τώρα θα δείξουμε ότι η Φ είναι μονομορφισμός. Αν Φ(α)=Φ(β), τότε Φ(α)(1)=Φ(β)(1) α1=β1 α=β. Δηλαδή είναι 1-1. Απέμεινε να δείξουμε ότι είναι ομομορφισμός. Θα βρούμε την εικόνα του Φ(αβ) σε ένα τυχαίο στοιχείο γ. Φ(αβ)(γ)=(αβ)(γ)=α(βγ)=α(Φ(β)(γ))=Φ(α)(Φ(β)(γ))=Φ(α)Φ(β)(γ). Δηλαδή είναι και ομομορφισμός. ■


9 2

1) Δίνεται η απεικόνιση 4: (2, )GL με τύπο

0(1)

0 1

i

και ( ) 1 1n

n n .

Δείξτε ότι είναι μονομορφισμός ομάδων.


1 0(1)

0 1

και ( ) 1 1n

n n .

Δείξτε ότι είναι ομομορφισμός ομάδων και βρείτε τον πυρήνα.


2 0(1)

0 1

και ( ) 1 1n

n n .

Δείξτε ότι δεν είναι ομομορφισμός ομάδων. 4) Βρείτε όλους τους ομομορφισμούς ομάδων μεταξύ των

4 και

3 και εξηγήστε τη

μέθοδό σας. 5) α) Έστω Ο(3) το σύνολο όλων των ορθογωνίων 3x3 πινάκων. Ο πίνακας Α είναι ορθογώνιος αν και μόνο αν ΑΑt=I. Δείξτε ότι η Ο(3) είναι ομάδα με το γινόμενο των πινάκων. Με SO(3) συμβολίζουμε τους ορθογωνίους πίνακες με ορίζουσα ένα.

β) Έστω Α=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

και Β=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

. Δείξτε ότι η ομάδα Υ που γεννάται από τα

στοιχεία Α και Β είναι αβελιανή υποομάδα της SO(3) και Υ2 2 .

6) Έστω α=

1 0 0

0 cos(2 / ) sin(2 / )

0 sin(2 / ) cos(2 / )

k k

k k

και β=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

, τότε η υποομάδα

Υ=<α,β> της SO(3) έχει τάξη 2κ και είναι ισόμορφη με την διεδρική Dk. 7) Έστω οι ομάδες Α=

1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1, , , , , , ,

0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0

και


9 3

Β=

1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1

0 1 0 , 0 1 0 , 0 1 0 , 0 1 0 , 0 1 0 , 0 1 0 ,

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 1

0 1 0 , 0 1 0

1 0 0 1 0 0

Να δείξετε ότι είναι ισόμορφες.

8) Δίνεται ο ομομορφισμός 4: (2, )D GL με τύπο 4

0 1( )

1 0

, 4

1 0( )

0 1

.


9) Δίνεται η απεικόνιση 4: (2, )D GL με τύπο 4

0 1( )

1 0

, 4

1 0( )

0 1

.

Δείξτε ότι δεν μπορεί να είναι ομομορφισμός ομάδων.


0 1 0

(1,2) 1 0 0

0 0 1

,

0 0 1

(1,3) 0 1 0

1 0 0

.



0 1 0 0

1 0 0 0(1,2)

0 0 1 0

0 0 0 1

,

0 0 1 0

0 1 0 0(1,3)

1 0 0 0

0 0 0 1

και

0 0 0 1

0 1 0 0(1,4)

0 0 1 0

1 0 0 0

. Δείξτε ότι είναι μονομορφισμός ομάδων.

12) Να δείξετε ότι Σ3 2 2GL .

16) Έστω Q8 η ομάδα των μοναδιαίων τεταρτονίων. Να δείξετε ότι Aut(Q8) Σ4 και Inn(Q8) V4 η ομάδα του Klein. 17) Aut(Σν)= Inn(Σν).


9 4

18) Για κ=1,…,ν ορίστε εμφυτεύσεις {1,…,ν-1} k{1,…,ν}. Για κάθε κ η φκ επάγει ομομορφισμούς ομάδων

θκ: Σν-1 Σν

Ορίστε απεικονίσεις χκ: Σν Σν-1 ώστε το επόμενο διάγραμμα να είναι μεταθετό

( )

1,..., 1 1,...,

( )

1,..., 1 1,...,

k

a k

k a a

Όπου α μετάθεση της Σν. Δείξτε ότι ισχύει χα(κ)(β).χκ(α)=χκ(βα) με α και β μεταθέσεις. 19) Να ορίσετε ομομορφισμό ομάδων

2,3 2 3 6: .

Γενικεύστε , :n m n m nm .


9 5

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΟΜΟΜΟΡΦΙΣΜΩΝ

Σ’ αυτήν την ενότητα θα δούμε ότι οι ομομορφισμοί και οι κανονικές υποομάδες σχετίζονται

άμεσα. Μια κανονική υποομάδα προκύπτει από κάποιον ομομορφισμό και ανάποδα.

Έστω Υ Ο, ζητάμε έναν ομομορφισμό Φ από την Ο ο οποίος θα μας δώσει την Υ. Φ:Ο;;;

Πρέπει πρώτα να βρούμε την ομάδα ;;; η οποία θα σχετίζεται με την Υ. Κάποιος πιθανόν να έβαζε την Υ στη ζητούμενη ομάδα, αλλά γιατί να υπάρχει επιμορφισμός Φ:ΟΥ ; Η υποομάδα Υ είναι κανονική, άρα ορίζεται η ομάδα πηλίκο Ο/Υ και φυσικά και ο επιμορφισμός Φ:ΟΟ/Υ. Με τύπο Φ(α)=Υα. Θα δείξουμε ότι είναι ομομορφισμός.

Φ(αβ)=Υαβ=ΥαΥβ=Φ(α)Φ(β) Απομένει να δούμε πως σχετίζεται η Φ με την Υ. Το ουδέτερο της Ο/Υ είναι το σύμπλοκο Υ. Ας βρούμε τα στοιχεία της Ο τα οποία απεικονίζονται στο ουδέτερο της Ο/Υ.

Φ(α)=Υ Υα=Υ αΥ Τα στοιχεία λοιπόν της Ο που απεικονίζονται στο ουδέτερο της Ο/Υ είναι ακριβώς τα στοιχεία της Υ. Ας δούμε τώρα το αντίστροφο πρόβλημα. Αν δοθεί ένας ομομορφισμός

Φ:ΟΚ υπάρχει κανονική υποομάδα της Ο που να καθορίζεται πλήρως από τη Φ; Η απάντηση είναι ναι και καθορίζεται από τα στοιχεία της Ο που απεικονίζονται στο ουδέτερο της Κ.

111. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω Ο και Κ ομάδες και φ:OΚ ομομορφισμός. Ο πυρήνας (kernel) της φ είναι το υποσύνολο

Ker(φ)=φ-1(1Κ) ={α | φ(α)=1Κ }.

Δηλαδή ο πυρήνας αποτελείται από όλα εκείνα τα στοιχεία τα οποία δεν προσφέρουν τίποτα στην εικόνα. Από την άλλη μεριά δεν μπορούν και να αγνοηθούν. Θα δούμε πιο κάτω στο πρώτο θεώρημα ισομορφισμών ότι μπορεί να τροποποιηθεί η φ (χωρίς να αλλοιωθεί ουσιαστικά) ώστε όλος ο πυρήνας να θεωρηθεί σαν ένα στοιχείο! Στην προηγούμενη ενότητα αποδείξαμε ότι αν Σ Κ και φ:OΚ ομομορφισμός, τότε φ-1 (Σ) Ο. Η επόμενη πρόταση είναι εφαρμογή για Σ={1}.


9 6

112. ΠΡΟΤΑΣΗ

Έστω φ:OΚ ομομορφισμός. Τότε ο πυρήνας, ker(φ), είναι κανονική υποομάδα της Ο. ker(φ) Ο

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θα δείξουμε πρώτα ότι ο πυρήνας είναι υποομάδα. (Γνωρίζουμε από την προηγούμενη ενότητα ότι η φ-1({1}) είναι υποομάδα της Ο, διότι το σύνολο {1} είναι υποομάδα της Κ.) Αν α και β είναι στοιχεία του πυρήνα, τότε φ(αβ)=φ(α)φ(β)=1. Άρα αβ ker(φ). Αν α ker(φ), τότε φ(α)=1 και φ(α)-1=1 φ(α-1)=1 α-1 ker(φ). Έστω τώρα α ker(φ) και β Ο. Πρέπει να δείξουμε ότι βαβ-1 ker(φ). φ(βαβ-1)=φ(β)φ(α)φ(β-1)=φ(β)φ(β)-1=1. Άρα βαβ-1 ker(φ). ■ Την επόμενη πρόταση τη γνωρίζουμε από τις γραμμικές απεικονίσεις.

113. ΠΡΟΤΑΣΗ

Έστω φ:OΚ ομομορφισμός. Τότε ο φ είναι μονομορφισμός αν και μόνο αν ο πυρήνας περιέχει μόνο το ουδέτερο στοιχείο.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ότι ο φ είναι μονομορφισμός και α στοιχείο του πυρήνα. Φ(α)=1=φ(1). Άρα α=1. Έστω ότι ker(φ)={1}. Αν φ(α)=φ(β) φ(αβ-1)=1 αβ-1ker(φ)={1} αβ-1=1 α=β. ■ Ας δούμε τώρα μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα. 1) Έστω η φ: GL(2, ) ( * , ) με τύπο φ(Α)=|Α|. Ο πυρήνας της

φ αποτελείται από όλους τους πίνακες με ορίζουσα 1. Αυτή η υποομάδα είναι η ειδική γραμμική υποομάδα, SL(2, ). Γενικά ισχύει ότι η ειδική γραμμική υποομάδα είναι κανονική υποομάδα της γενικής.

SL(2, ) GL(2, ) 2) Έστω Ο=Q8={±I, ±K, ±J, ±L}και Y={±I}. Η ομάδα Ο/Υ έχει τάξη τέσσερα και επειδή δεν είναι κυκλική θα είναι ισόμορφη με την ομάδα του Klein V.

φ: ΟΟ/Υ V={1,α,β,γ} με τύπο φ(±Ι)=Υ=1, φ(±Κ)=ΥΚ=α, φ(±J)=YJ=β, φ(±L)=YL=γ. 3) Έστω φ: Σ3Σ3/Υ, όπου Υ=<α> με τύπο φ(γ)=Υγ. Η ομάδα Σ3/Υ έχει τάξη δύο και είναι ισόμορφη με την

2.

φ(1)=φ(α)=φ(α2)=Υ και φ(β)=φ(αβ)=φ(α2β)=Υβ


9 7

4) Έστω φ: Σν 2 με τύπο φ(σ)=0, αν η σ είναι άρτια μετάθεση και 1, αν είναι περιττή. Ο

πυρήνας της φ περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις, ker(φ)=Αν Σν. Αυτή την ιδιότητα της εναλλάσσουσας την έχουμε δει προηγουμένως. ■ Προχωρούμε αμέσως στη διατύπωση και απόδειξη του πρώτου θεωρήματος ισομορφισμών.

114. ΘΕΩΡΗΜΑ Πρώτο θεώρημα ισομορφισμών

Έστω φ:OΚ επιμορφισμός. Τότε υπάρχει ισομορφισμός μεταξύ Ο/ker(φ) και Κ.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Χρησιμοποιώντας τον επιμορφισμό φ, θα ορίσουμε έναν ισομορφισμό

μεταξύ της Ο/ker(φ) και Κ. Ας συμβολίσουμε τον πυρήνα με Υ= ker(φ). Ορίζουμε την

: Ο/Υ Κ

Με τύπο (Υα)=φ(α). Πρώτα θα δείξουμε ότι είναι καλά ορισμένη, ανεξάρτητη από τον

αντιπρόσωπο. Αν Υα=Υβ, τότε βα-1Υ. Άρα φ(βα-1)=1 και φ(β)φ(α-1)=1 φ(α)=φ(β)

(α)= (β). Αμέσως θα δείξουμε ότι είναι ομομορφισμός.

(ΥαΥβ)= (Υαβ)=φ(αβ)=φ(α)φ(β)= (Υα) (Υβ)

Το κύριο μέρος του θεωρήματος είναι ότι η είναι 1-1. Αρκεί να δείξουμε ότι ο πυρήνας

της περιέχει μόνο το 1. Αν (Υα)=1 φ(α)=1 αΥ, άρα Υα=Υ και ker( )={Υ}.

Απομένει να δείξουμε ότι η είναι επί. Αν xΚ, τότε υπάρχει αΟ ώστε φ(α)=x

(Υα)= x. Άρα είναι και επιμορφισμός.

Αν με π συμβολίσουμε τη φυσική απεικόνιση π:ΟΟ/Υ (π(α)=Υα), τότε η

περιγράφεται από το επόμενο μεταθετικό διάγραμμα φ= π.

/

O K

O Y

■

115. ΠΟΡΙΣΜΑ

Έστω φ:OΚ ομομορφισμός. Τότε Ο/ker(φ) φ(Ο).


9 8

Παράδειγμα. 1) Έστω φ: με τύπο φ(κ)=κmodν. Η φ είναι επιμορφισμός με

πυρήνα ν . Άρα

/ν .

2) Έστω φ:GL(2, )( * , ) με τύπο φ(Α)=|Α|. Η φ είναι επιμορφισμός. Για κάθε μη μηδενικό πραγματικό α υπάρχει πίνακας Α ώστε

Α=0

0 1

a

και φ(Α)=α.

Άρα ker(φ)=SL(2, ) GL(2, ) και * GL(2, )/ SL(2, ).

3) Γνωρίζουμε ότι μπορούμε να ταυτίσουμε ένα σημείο (α,β) του επιπέδου με τον μιγαδικό αριθμό α+βi. Με S1 θα συμβολίσουμε τους μιγαδικούς με μήκος 1. Το σύνολο S1 αποτελεί

πολλαπλασιαστική υποομάδα της πολλαπλασιαστικής ομάδας * , S1* . Όταν

πολλαπλασιάζουμε δυο μιγαδικούς με μήκος ένα το γινόμενο θα έχει πάλι μήκος ένα. Γνωρίζουμε ότι κάθε μιγαδικός α+βi μπορεί να παρασταθεί με την τριγωνομετρική μορφή

ρ(συνα+iημα), όπου ρ είναι το μήκος του 2 2 και α το όρισμά του.

Θα δείξουμε ότι S1 / .

Ορίζουμε την απεικόνιση φ: * με τύπο φ(α)=συν2πα+iημ2πα. Εξ ορισμού ο μιγαδικός συν2πα+iημ2πα έχει μήκος ένα. Άρα φ( )=S1. Θα δείξουμε ότι είναι ομομορφισμός και θα βρούμε τον πυρήνα. φ(α+β)= συν2π(α+β)+iημ2π(α+β)=( συν2πα+iημ2πα)( συν2πβ+iημ2πβ)=φ(α)φ(β) Αν φ(α)=1, τότε συν2πα+iημ2πα=1 και ο πραγματικός α θα είναι ακέραιος. Δηλαδή

ker(φ). Αλλά και φ(ν)=1. Άρα ker(φ) . ■ Επανερχόμαστε στη Γενίκευση του θεωρήματος του Cayley.

116. ΠΡΟΤΑΣΗ (Γενίκευση του θεωρήματος του Cayley)

Έστω Υ υποομάδα της ομάδας Ο και Χ το σύνολο των συμπλόκων της Υ στην Ο. Υπάρχει κανονική υποομάδα Π Ο ώστε ΠΥ και η Ο/Π είναι ισόμορφη με κάποια υποομάδα της συμμετρικής ομάδας ΣΧ. Δηλαδή της συμμετρικής ομάδας στο σύνολο Χ.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θεωρούμε την απεικόνιση φ:ΟΣΧ με τύπο φ(α)(Υγ)=Υγα-1

για κάθε αΟ και ΥγΧ. Θα δείξουμε ότι η φ είναι ομομορφισμός, φ(αβ)(Υγ)=Υγ(αβ)-1 =Υγβ-1α-1 =φ(α)(Υγβ-1)=φ(α)φ(β)(Υγ).


9 9

Τώρα θα υπολογίσουμε τον πυρήνα της φ ο οποίος είναι κανονική υποομάδα. Έστω Π=ker(φ) και αΠ. φ(α)=1Χ, δηλαδή φ(α) είναι η ταυτοτική μετάθεση.

Φ(α)Υ=Υ Υα-1=Υ αΥ. Άρα ΠΥ. Το ζητούμενο δίνεται από το πρώτο θεώρημα ισομορφισμών. ■ Οι επόμενες προτάσεις είναι πορίσματα της προηγούμενης γενίκευσης και θα χρησιμοποιηθούν στις αποδείξεις των θεωρημάτων του Sylow στην επόμενη ενότητα.

117. ΠΡΟΤΑΣΗ

Έστω |Ο|=10 και ΥΟ με |Υ|=2 ώστε να μην είναι κανονική. Τότε η Ο είναι ισόμορφη με κάποια υποομάδα της Σ5.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Η Ο έχει 5 σύμπλοκα ως προς την Υ. Το γενικευμένο θεώρημα του Cayley μας δηλώνει ότι υπάρχει υποομάδα Π<Υ με Ο/Π να είναι ισόμορφη με κάποια υποομάδα της Σ5, αλλά Π={1}. ■

118. ΠΡΟΤΑΣΗ

Έστω Ο ομάδα και Υ υποομάδα δείκτη ν. Υπάρχει κανονική υποομάδα Π ώστε ΠΥ και ο δείκτης [Ο:Π] διαιρεί το ν!.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Το γενικευμένο θεώρημα του Cayley μας δηλώνει ότι υπάρχει κανονική υποομάδα ΠΥ με Ο/Π να είναι ισόμορφη με κάποια υποομάδα της Σν. Άρα ο δείκτης [Ο:Π]=|Ο/Π| διαιρεί την τάξη της Σν. ■

119. ΠΡΟΤΑΣΗ

Έστω Ο πεπερασμένη και π ο μικρότερος πρώτος ο οποίος διαιρεί την τάξη της Ο. Έστω ΥΟ με [Ο:Υ]=π, τότε Υ Ο.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Το γενικευμένο θεώρημα του Cayley μας δηλώνει ότι υπάρχει κανονική υποομάδα ΠΥ με Ο/Π να είναι ισόμορφη με κάποια υποομάδα της Σπ. Άρα η τάξη της Ο/Π διαιρεί τον π!. Επειδή ΠΥ, η τάξη |Υ| διαιρείται από την |Π|. Δηλαδή, |Π|∙π!=|Ο|∙λ και |Υ|=κ∙|Π| |Υ|∙π!=|Ο|∙κ∙κ’ (π-1)!=κ∙κ¨ Άρα ο ακέραιος κ|Π| διαιρεί τον |Ο| με κπ-1. Αδύνατον, τελικά Υ=Π και Υ Ο. ■


1 0 0

Αν υπάρχει ισομορφισμός μεταξύ δυο ομάδων Ο και Κ, τότε κάθε υποομάδα της Ο μεταφέρεται σε κάποια υποομάδα της Κ και ανάποδα. Επίσης οι κανονικές υποομάδες μεταφέρονται σε κανονικές και ανάποδα. Το ερώτημα τώρα είναι αν παρόμοια ιδιότητα έχει και ένας τυχαίος ομομορφισμός. Ο τετριμμένος ομομορφισμός ο οποίος απεικονίζει κάθε στοιχείο στο ουδέτερο, δεν μπορεί να διαχωρίσει καμία υποομάδα. Για οποιονδήποτε ομομορφισμό φ, αν μια υποομάδα Υ περιέχεται από τον πυρήνα της φ, τότε η εικόνα της, φ(Υ), είναι η τετριμμένη υποομάδα της Κ. Δηλαδή όλες αυτές οι υποομάδες απεικονίζονται στη τετριμμένη υποομάδα {1Κ}. Το επόμενο σημαντικό θεώρημα περιγράφει την απάντηση σ’ αυτό το ερώτημα.

120. ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω φ:OΚ επιμορφισμός. Τότε υπάρχει μια 1-1 αντιστοιχία μεταξύ των υποομάδων της Κ και εκείνων των υποομάδων της Ο που περιέχουν τον πυρήνα. Η αντιστοιχία δίνεται από

Υ φ(Υ)

Υ Ο φ(Υ) Κ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω Υ υποομάδα με ker(φ) Υ. Θα δείξουμε ότι ισχύει φ-1(φ(Υ))=Υ. Ας δούμε πρώτα τη σχέση Υ φ-1(φ(Υ)). Αν αΥ, τότε φ(α) φ(Υ) και αφ-1(φ(Υ)). Ας δούμε τώρα τον αντίστροφο εγκλεισμό φ-1(φ(Υ))Υ. Έστω αφ-1(φ(Υ)), τότε φ(α)φ(Υ) και φ(α)=φ(β) για κάποιο βΥ.

φ(α)=φ(β) φ(α)φ(β)-1=1 φ(αβ-1)=1 αβ-1Υ αΥβ=Υ αΥ Άρα φ-1(φ(Υ)) Υ. Ας συμβολίσουμε τις υποομάδες της Ο που περιέχουν τον πυρήνα της φ με У(φ) και με К τις υποομάδες της Κ. Ορίζουμε την απεικόνιση

Φ: У(φ)К. Με τύπο Φ(Υ)=φ(Υ). Θα δείξουμε ότι είναι 1-1. Έστω Φ(Υ)= Φ(Τ), τότε

Φ(Υ)= Φ(Τ) φ(Υ)=φ(Τ) φ-1(φ(Υ))= φ-1(φ(Τ)) Υ=Τ. Αν τώρα έχουμε ότι ΛΚ, τότε φ-1(Λ) Ο και ker(φ) φ-1(Λ). Άρα

Φ(φ-1(Λ))= φ(φ-1(Λ))=Λ. Η Φ λοιπόν έχει τις ζητούμενες ιδιότητες. Ας υποθέσουμε τώρα ότι Υ Ο, τότε φ(Υ) Κ. Επιπλέον, αν φ(Υ) Κ, τότε φ-1(φ(Υ)) Ο και Υ= φ-1(φ(Υ)) Ο. ■ Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα. Έστω φ: Σ3Σ3/Υ, όπου Υ=<α> με τύπο φ(γ)=Υγ. Η ομάδα Σ3/Υ

έχει τάξη δύο και είναι ισόμορφη με την 2.


1 0 1

φ(1)=φ(α)=φ(α2)=Υ και φ(β)=φ(αβ)=φ(α2β)=Υβ Οι υποομάδες της Σ3 που περιέχουν τον πυρήνα είναι δύο. Ο πυρήνας Υ και η Σ3. Η αντιστοιχία μέσω της φ αναγνωρίζει μόνο αυτές τις υποομάδες. Αλλά η Σ3 έχει και άλλες οι οποίες αγνοούνται μέσω της φ. Αυτές είναι οι <β>, <αβ>, και <α2β>. ■ Θα προχωρήσουμε στο δεύτερο θεώρημα ισομορφισμού το οποίο μοιάζει με την «απλοποίηση» ρητών! Πρώτα όμως χρειαζόμαστε κάποιες βασικές έννοιες.

121. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω Υ και Τ υποομάδες της Ο τότε ορίζουμε το σύνολο

ΥΤ={αβ | για όλα τα α της Υ και β της Τ}.

Το πρώτο ερώτημα που γεννάται μετά από αυτόν τον ορισμό είναι πότε το σύνολο αυτό είναι υποομάδα. Δεν είναι πάντα όπως θα δούμε.

122. ΛΗΜΜΑ

Έστω Υ και Τ υποομάδες της Ο και Τ Ο, τότε το σύνολο ΥΤ είναι υποομάδα και Τ ΥΤ.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω α και γ στοιχεία της Υ και β και δ της Τ. Πρέπει να δείξουμε ότι το στοιχείο αβγδ είναι στοιχείο της ΥΤ. Το στοιχείο γ-1βγ είναι στοιχείο της Τ, γ-1βγ=ε βγ=γε και αβγδ=αγεδ. Αλλά αγ είναι στοιχείο της Υ και εδ της Τ. Θα δείξουμε τώρα ότι το αντίστροφο του αβ είναι στοιχείο της ΥΤ. (αβ)-1=β-1α-1 και αβα-1=ε γιατί η Τ είναι κανονική. Άρα αβ=εα (αβ)-1=α-1ε-1 ΥΤ. Θα δείξουμε τώρα ότι Τ ΥΤ. Αλλά Τ Ο και ΥΤΟ, άρα θα ισχύει ότι Τ ΥΤ. ■

123. ΘΕΩΡΗΜΑ Δεύτερο θεώρημα ισομορφισμών

Έστω Υ και Τ υποομάδες της Ο και T Ο, τότε

υπάρχει ισομορφισμός μεταξύ Υ/(Υ Τ) και ΥΤ/Τ.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Χρησιμοποιώντας ρητούς αντί για υποομάδες, θα είχαμε ρπ/π=ρ. Όταν όμως αποκόπτουμε μια υποομάδα, θα αποκοπεί και ότι κοινό υπάρχει μεταξύ τους. Γι’ αυτό το λόγο μένει το μέρος Υ/(Υ Τ). Ας δούμε τώρα την απόδειξη. Πρώτα θα δείξουμε ότι (Υ Τ) Υ. Έστω αΥ και β(Υ Τ), τότε αβα-1Τ και


1 0 2

αβα-1Υ. Άρα αβα-1 (Υ Τ). Θα ορίσουμε έναν επιμορφισμό από την Υ στην ΥΤ/Τ και θα δείξουμε ότι ο πυρήνας είναι (Υ Τ). Ορίζουμε

φ: Υ ΥΤ/Τ με τύπο φ(α)=Τα. Η φ είναι καλά ορισμένη, γιατί αΥΤ. Η φ είναι ομομορφισμός, φ(αγ)=Ταγ=ΤαΤγ=φ(α)φ(γ). Είναι επί, αν ΤαβΥΤ/Τ, τότε αβ=εα με εΤ, επειδή Τ ΥΤ. Οπότε Ταβ=Τεα=Τα=φ(α). Απομένει να βρούμε τον πυρήνα. Αν φ(α)=Τ αΤ και αΥ α Υ Τ. Άρα ker(φ)= Υ Τ. ■ Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα.

Παράδειγμα. Έστω Ο= , Υ=6 , και Τ=8 . Το δεύτερο θεώρημα ισομορφισμών

μας λέει ότι 6 6 8

6 8 8

Δηλαδή 6 2

24 8 ■

124. ΠΡΟΤΑΣΗ

Έστω Υ και Τ υποομάδες της πεπερασμένης ομάδας Ο και Τ Ο, τότε η τάξη της ΥΤ δίνεται από

|ΥΤ|=(|Υ||Τ|)/|Υ Τ|.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή το σύνολο ΥΤ είναι υποομάδα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το προηγούμενο θεώρημα,

Y YT

Y T T .

Άρα Y YT

Y T T .

Και από αυτό έχουμε το αποτέλεσμα. ■ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Χρησιμοποιώντας διαφορετική μέθοδο μπορούμε να δείξουμε ότι το προηγούμενο ισχύει ακόμη και αν η Τ δεν είναι κανονική, οπότε το σύνολο ΥΤ δεν είναι υποομάδα. ■ Το τρίτο θεώρημα ισομορφισμού δηλώνει ότι τα πηλίκα των υποομάδων συμπεριφέρονται σαν πηλίκα ρητών κάτω από κάποιες προϋποθέσεις.


1 0 3

125. ΘΕΩΡΗΜΑ (Τρίτο θεώρημα ισομορφισμών)

Έστω Υ και Τ κανονικές υποομάδες της Ο ώστε Υ Τ, τότε

υπάρχει ισομορφισμός μεταξύ (Ο/Υ)/(Τ/Υ) και Ο/Τ.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Πρώτα θα δείξουμε ότι το σύνολο Τ/Υ είναι υποσύνολο του Ο/Υ και μάλιστα κανονική υποομάδα.

Τ/Υ={Υβ | βΤ} {Υα |αΟ}=Ο/Υ

β, γΤ ΥβΥγ=ΥβγΤ/Υ και (Υβ)-1=β-1Υ=Υβ-1, γιατί β-1Υβ=Υ β-1Υ=Υβ-1 Θα δείξουμε την κανονικότητα. Αν αΟ και βΤ, τότε (Υα)(Υβ)(Υα)-1=Υαβα-1 Τ/Υ γιατί αβα-1Τα μιας και η Τ είναι κανονική. Επειδή (Τ/Υ) (Ο/Υ), ορίζεται η ομάδα (Ο/Υ)/(Τ/Υ) τις οποίας τα στοιχεία έχουν μορφή

(Τ/Υ)Υα με αΟ και η πράξη δίνεται από (Τ/Υ)Υα∙(Τ/Υ)Υβ=(Τ/Υ)(ΥαΥβ)=(Τ/Υ)Υαβ.

Θα δείξουμε το ζητούμενο ισομορφισμό χρησιμοποιώντας το πρώτο θεώρημα ισομορφισμών. Θα ορίσουμε επιμορφισμό και θα βρούμε τον πυρήνα του. Ορίζουμε την απεικόνιση

φ: Ο/ΥΟ/Τ με τύπο φ(Υα)=Τα για όλα τα στοιχεία α της Ο. Πρώτα πρέπει να δείξουμε ότι η φ είναι καλά ορισμένη (ανεξάρτητη από τον αντιπρόσωπο). Αν λοιπόν Υα=Υβ βα-1Υ, πρέπει να δείξουμε ότι Τα=Τβ βα-1Τ. Αλλά ΥΤ. Άρα η φ είναι καλά ορισμένη. Η φ είναι ομομορφισμός.

φ(ΥαΥβ)=φ(Υαβ)=Ταβ=ΤαΤβ=φ(Υα)φ(Υβ) Προφανώς είναι επιμορφισμός. Απομένει να βρούμε τον πυρήνα. Έστω φ(Υα)=Τ Τα=Τ αΤα Υα (Τ/Υ). Άρα ker(φ) (Τ/Υ). Θα δείξουμε και το ανάποδο. Αν αΤα, τότε φ(Υα)=Τα=Τ. Δηλαδή (Τ/Υ) ker(φ). Από το πρώτο θεώρημα ισομορφισμού έχουμε το ζητούμενο ισομορφισμό. ■

Παράδειγμα. Έστω Ο= , Υ=6 , και Τ=2 . Το προηγούμενο θεώρημα

ισομορφισμών μας λέει ότι / 6

2 / 6 2 .

Η τάξη της 2 /6 είναι τρία και η τάξη της /6 είναι έξι. Ο δείκτης [ /6 : 2 /6 ]=2.

Όσο είναι και η τάξη της /2 . ■


1 0 4

1) Έστω φ:GK επιμορφισμός ομάδων ώστε η Κ να είναι αβελιανή. Δείξτε ότι αν Η είναι

υποομάδα της G η οποία περιέχει τον πυρήνα, τότε η Η είναι κανονική. 2) Έστω G μια ομάδα τάξης pq με p και q διαφορετικούς πρώτους ώστε να διαθέτει μια ακριβώς υποομάδα Η τάξης p και μια ακριβώς υποομάδα Κ τάξης q.

α) Να δείξετε ότι ΗΚ={e} και G=HK.

β) Να δείξετε ότι H G, K G και ότι ισχύει hk=kh hH και kK.

γ) Να δείξετε ότι η G είναι κυκλική τάξης pq και ισόμορφη με το ευθύ γινόμενο HxK.

3) Έστω 1 2G G επιμορφισμός ομάδων.

α) Αν η G1 είναι κυκλική τότε και η G2 είναι επίσης.

β) Να δοθεί παράδειγμα ενός επιμορφισμού, ώστε G2 κυκλική και G1 μη-κυκλική.

4) Έστω 1 2G G ένας ομομορφισμός ομάδων και a

1G με ο(a)=m< . Να δείξετε ότι

ο(φ(a))< και η τάξη ο(φ(a)) διαιρεί την ο(a). β) Να προσδιοριστούν όλοι οι ομομορφισμοί ομάδων από την (

8,+) στην (

6,+).

5) Δείξτε ότι δεν υπάρχει ισομορφισμός μεταξύ των (,+) και (+,∙).

6) Έστω η ομάδα Ο= 2 με την πρόσθεση και η υποομάδα της Υ={(α,3α)|α πραγματικός}. Να δείξετε ότι η ομάδα Ο/Υ είναι ισόμορφη με την .

105

ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑΔΕΣ

ΔΙΑΣΠΑΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑΔΩΝ

Είδαμε ότι τα ευθέα γινόμενα αβελιανών ομάδων είναι αβελιανές ομάδες. Με τη βοήθεια των

ευθέων γινομένων κατασκευάσαμε νέες ομάδες. Σ’ αυτήν την ενότητα θα μελετήσουμε την ανάποδη διαδικασία. Θα δούμε ότι κάθε πεπερασμένη αβελιανή ομάδα είναι ισόμορφη με το ευθύ γινόμενο κυκλικών ομάδων. Το παρότι είναι άπειρη αβελιανή ομάδα είναι πεπερασμένα γεννώμενη, γεννάται από ένα γεννήτορα. Υπάρχουν λοιπόν άπειρες αβελιανές ομάδες οι οποίες είναι πεπερασμένα γεννώμενες. Παρόμοια πρόταση ισχύει και για αυτές τις ομάδες, όπως θα δούμε πιο κάτω.

Όταν μιλάμε για αβελιανές ομάδες η πράξη συμβολίζεται με + και το ουδέτερο με 0. Επίσης τα ευθέα γινόμενα γίνονται αθροίσματα.

Πότε μια ομάδα Ο θα είναι ισόμορφη με το ευθύ γινόμενο δυο υποομάδων της Υ και Σ;

Η απλή περίπτωση είναι η ΥxΣ. Βέβαια δεν ισχύει ότι Υ, Σ ΥxΣ, γιατί αυτά είναι διαφορετικά σύνολα. Αλλά υπάρχουν υποομάδες Υ*=Υx{1Σ} και Σ* ={1Υ}xΣ ώστε

Υ≅Υ*, Σ≅Σ* και ΥxΣ≅Υ*Σ*.

Επίσης ισχύει ότι Υ*, Σ* ΥxΣ και Υ* Σ* ={1Υx1Σ}.

126. ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω Υ και Σ κανονικές υποομάδες της Ο ώστε ΥΣ=Ο και Υ Σ={1}, τότε

Ο≅ΥxΣ.

Μέρος

2


1 0 6

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Η σχέση ΥΣ=Ο μας λέει ότι κάθε στοιχείο α της Ο γράφεται σαν γινόμενο α=βγ με β στη Υ και γ στην Σ. Θα δείξουμε ότι η αναπαράσταση είναι μοναδική, δηλαδή κάθε στοιχείο γράφεται μοναδικά α=βγ. Αυτό θα βγει από την άλλη υπόθεση Υ Σ={1}. Αν βγ=δε,

τότε δ-1β=εγ-1 και δ, β Υ. Άρα δ-1β=1⇔ β=δ και για τον ίδιο λόγο γ=ε. Ας πάρουμε τώρα το στοιχείο γβ το οποίο είναι στοιχείο της Ο, αφού δίνεται από γινόμενο δυο στοιχείων της. Μέχρι τώρα δεν έχουμε χρησιμοποιήσει την κανονικότητα. Άρα γβ=δε για δ στη Υ και ε στην Σ. Τότε

β-1γβ=β-1δε και β-1γβ=γ’. Άρα γ’= β-1δε και λόγο μοναδικότητας β-1δ=1 ⇔ β=δ και γ=ε. Τελικά γβ=βγ. Αυτό δεν σημαίνει ότι η Ο είναι αβελιανή, απλώς τα στοιχεία μεταξύ των Υ και Σ αντιμετατίθενται, αλλά δεν γνωρίζουμε αν η Υ είναι αβελιανή. Θα ορίσουμε τώρα τον

ισομορφισμό φ: ΥxΣΟ με τύπο

φ(β,γ)=βγ.

Η φ είναι επί από τη σχέση Ο=ΥΣ και 1-1 από τη μοναδικότητα της αναπαράστασης. Αρκεί να δείξουμε ότι είναι ομομορφισμός. φ[(β,γ)(δ,ε)]=φ(βδ,γε)=βδγε=βγδε=φ(β,γ)φ(δ,ε). ■

Παράδειγμα. 1) Έστω Ο={1,α,β,γ} η ομάδα του Klein και Υ={1,α}, Σ={1,β}. Τότε

Ο≅ΥxΣ και Υ≅2, Σ≅

2.

2) Έστω Ο=<α> η κυκλική τάξης ο(α)=πρ με (π,ρ)=1. Οι υποομάδες Υ=<απ> και η Σ=<αρ> είναι προφανώς κανονικές με τάξεις ρ και π αντίστοιχα. Επειδή οι φυσικοί π και ρ είναι πρώτοι μεταξύ τους η τομή τους είναι το ουδέτερο στοιχείο Υ Σ={1}. Επίσης

|Υ||Σ|=ρπ=|Ο|. Άρα Ο=ΥΣ και σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα Ο≅ΥxΣ. Επειδή

Ο≅ και Υ≅ , Σ≅ έχουμε ≅ x

■

Το τελευταίο παράδειγμα είναι το αντίστροφο του γνωστού θεωρήματος, ότι το γινόμενο x

είναι ισόμορφο με κυκλική ομάδα τάξης πρ. Θα δούμε ότι αυτό γενικεύεται για τις

αβελιανές ομάδες.

127. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω O ομάδα και π πρώτος.

1) Η Ο καλείται τάξης δύναμης του π, αν |Ο|=πκ για κάποιο φυσικό κ.

2) Η Ο καλείται π-ομάδα, αν η τάξη κάθε στοιχείου της είναι δύναμη του π.

Η επόμενη πρόταση ταυτίζει τις δυο προηγούμενες έννοιες του ορισμού για αβελιανές ομάδες.

107

128. ΠΡΟΤΑΣΗ

Μια πεπερασμένη αβελιανή ομάδα Ο είναι τάξης δύναμης του π αν και μόνο αν είναι π-ομάδα.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ (⇒)Έστω |Ο|=πκ. Τότε η τάξη κάθε στοιχείου της διαιρεί τον πκ. Άρα ο(α)=πλ

για λκ. (⇦) Έστω τώρα ότι |Ο|=πκρ με (π,ρ)=1. Έστω ν πρώτος διαιρέτης του ρ. Από γνωστό θεώρημα υπάρχει υποομάδα Υ της Ο με τάξη ν. Επειδή ο ν είναι πρώτος, αυτή πρέπει να είναι κυκλική με στοιχείο τάξης ν. Αλλά αυτό είναι αδύνατο από την υπόθεση. Άρα |Ο|=πκ. ■

Η προηγούμενη πρόταση ισχύει και για μη-αβελιανές ομάδες, όπως θα δούμε στην επόμενη ενότητα.

Είμαστε έτοιμοι να εκφράσουμε το πιο σημαντικό θεώρημα των περασμένων αβελιανών ομάδων. Η απόδειξη στηρίζεται σε ομάδες πηλίκα και επαγωγή. Το σπουδαιότερο μέρος της απόδειξης είναι η συσχέτιση της ομάδας με μια πεπερασμένη ακολουθία ακεραίων, τους αναλλοίωτους της ομάδας όπως καλούνται. Αφού ορισθούν αυτές οι ακολουθίες θα εκφρασθεί και το θεώρημα. Πριν την απόδειξη η οποία θα δοθεί στο τέλος της ενότητας, θα εκφρασθούν διάφορα πορίσματα για να εκτιμήσουμε τη δυναμική του θεωρήματος.

129. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω ν φυσικός. Μια διαμέριση του ν είναι μια φθίνουσα πεπερασμένη ακολουθία φυσικών

νκ … ν1 ώστε νκ+…+ν1=ν.

Με δ(ν) θα συμβολίσουμε τον αριθμό των διαμερίσεων του ν.

Παράδειγμα. Για ν=1 έχουμε δ(1)=1.

Για ν=2, δ(2)=2 γιατί υπάρχουν μόνο δυο διαμερίσεις, 1+1 και 2.

Για ν=3, δ(3)=3, 1+1+1, 1+2, 3.

Για ν=4, δ(4)=5, 1+1+1+1, 1+1+2, 1+3, 2+2, 4.■

Μια ομάδα τάξης 4=22 είναι ισόμορφη με κάποια από τις 4 ή

2x

2. Αν μια αβελιανή ομάδα

έχει τάξη πν για κάποιο πρώτο π, θα περίμενε κανείς να είναι ισόμορφη, όπως και στο παράδειγμα, με κάποια


1 0 8

1x

2x…x

k

Όπου νκ … ν1 διαμέριση του ν. Θα δούμε ότι αυτό είναι αληθές.

Ας δούμε τώρα την περίπτωση που η αβελινή δεν είναι π-ομάδα, δηλαδή

|Ο|= 1 2

1 2 ... k

k

με π1, …, πκ διαφορετικούς πρώτους. Αν δοθούν οι φυσικοί (ν1,…νκ) και διαμερίσουμε τον κάθε έναν, υπάρχουν δ(ν1)δ(ν2)…δ(νκ) διαμερίσεις. Θα δούμε ότι κάθε αβελιανή Ο θα σχετίζεται με κάποια διαμέριση της ακολουθίας (ν1,…νκ) με μοναδικό τρόπο. Η διαμέριση αυτή θα καλείται αναλλοίωτος της ομάδας Ο.

130. ΘΕΩΡΗΜΑ (Θεμελιώδες θεώρημα πεπερασμένων αβελιανών ομάδων)

Έστω Ο πεπερασμένη μη-τετριμμένη αβελιανή ομάδα. Η Ο είναι ισόμορφη με το ευθύ γινόμενο πεπερασμένου πλήθους μη-τετριμμένων κυκλικών ομάδων τάξης δύναμης πρώτου (όχι απαραίτητα του ίδιου πρώτου). Οι δυνάμεις αυτές καθορίζονται μονοσήμαντα από την Ο. Οι πρώτοι που εμφανίζονται στις τάξεις των κυκλικών ομάδων είναι διαιρέτες της τάξης της Ο. Για κάθε τέτοιο πρώτο π, οι τάξεις των αντίστοιχων π-κυκλικών ομάδων που εμφανίζονται στη διάσπαση έχουν μορφή

1 2 ... k .

Με 1 2 ... kv να είναι η μέγιστη δύναμη του π που διαιρεί την |Ο|. Κάθε άλλη

διάσπαση της Ο θα ικανοποιεί την ίδια σχέση.

Για κάθε πρώτο που διαιρεί την |Ο| οι δυνάμεις 1 2 ... k καλούνται

αναλλοίωτοι της Ο.

Ο1

1

x2

2

x…xm

m

Παράδειγμα 1) Ας βρούμε όλες τις αβελιανές ομάδες Ο τάξης |Ο|=36=2232. Θα βρούμε

πρώτα όλες τις διαμερίσεις των εκθετών. δ(2)=2, 1+1 και 2. δ(2)δ(2)=4, (2, 2), (2, 1+1), (1+1, 2), (1+1, 1+1). Οι πιθανές ισόμορφες ομάδες είναι

(2, 2), 4x

9

(2, 1+1), 4x

3x

3

(1+1, 2), 2x

2x

9

109

(1+1, 1+1), 2x

2x

3x

3

Και η 36

είναι αβελιανή και δεν την έχουμε συμπεριλάβει, γιατί γνωρίζουμε ότι είναι ισόμορφη

με την 4x

9.

2) Ας αντιμετωπίσουμε το προηγούμενο παράδειγμα για |Ο|=600=23∙3∙52. Οι διαμερίσεις

των εκθετών είναι:

δ(1)=1, 1. δ(2)=2, 1+1 και 2. δ(3)=3, 1+1+1, 1+2, 3. δ(1)δ(2)δ(3)=6.

(3, 1, 2), 8x

3x

25

600

(3, 1, (1+1)) 8x

3x

5x

5

5x

120

((2+1), 1, 2) 4x

2x

3x

25

2x

300

((2+1), 1, (1+1)) 4x

2x

3x

5 x

5

10x

60

((1+1+1), 1, 2) 2x

2 x

2x

3x

25

2x

2x

150

((1+1+1), 1, (1+1)) 2x

2 x

2x

3x

5 x

5

2x

10x

30

3) Ας βρούμε ποια είναι ισόμορφη με την 600

η οποία είναι κυκλική. Θα πρέπει να βρούμε

ποια από τις προηγούμενες είναι κυκλική. Η 8x

3x

25 είναι η μόνη κυκλική. Άρα

600≅

8x

3x

25. Θα πρέπει επίσης να πούμε ότι αυτή η ομάδα εμφανίζεται και με άλλους τρόπους,

όπως 600≅

8x

3x

25≅

24x

25≅

8x

75≅

3x 200 . ■

131. ΠΟΡΙΣΜΑ

Έστω Ο και Σ πεπερασμένες αβελιανές ομάδες. Οι Ο και Σ είναι ισόμορφες αν και μόνο αν έχουν τις ίδιες αναλλοίωτους.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ (⇦)Ας υποθέσουμε ότι έχουν τις ίδιες αναλλοίωτους. Τότε θα είναι ισόμορφες με

ευθέα γινόμενα κυκλικών ομάδων με το ίδιο πλήθος και την ίδια τάξη. Άρα Ο≅Σ. (⇒)Αφού θα είναι ισόμορφες με γινόμενα κυκλικών και ισόμορφες μεταξύ τους, θα είναι και οι επιμέρους κυκλικές ισόμορφες μεταξύ τους. Άρα θα έχουν τις ίδιες αναλλοίωτους.

Ο1x…xΟκ≅Ο≅Σ

■


1 1 0

132. ΠΟΡΙΣΜΑ

Έστω π πρώτος και ν φυσικός, τότε ο αριθμός των μη-ισόμορφων αβελιανών

ομάδων τάξης πν είναι δ(ν). Αν μ= 1 2

1 2 ... k

k

με πi διακεκριμένους πρώτους,

τότε ο αριθμός των μη-ισόμορφων αβελιανών ομάδων τάξης μ είναι δ(ν1)δ(ν2)…δ(νκ).

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Με κάθε διαμέριση νκ …ν1 του ν σχετίζεται η αβελιανή ομάδα

1x 2

x…x k

Οι ομάδες που σχετίζονται με διαφορετικές διαμερίσεις είναι μη-ισόμορφες γιατί έχουν διαφορετικές αναλλοίωτους. Άρα υπάρχουν δ(ν) μη-ισόμορφες αβελιανές ομάδες τάξης πν. Από την άλλη μεριά, κάθε αβελιανή ομάδα τάξης πν είναι ισόμορφη με κάποια που σχετίζεται με την αντίστοιχη διαμέριση.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι μ= 1 2

1 2 ... k

k

. Θα εφαρμόσουμε επαγωγή στο κ. Για κ=1, η πρόταση

μόλις αποδείχθηκε. Θα το αποδείξουμε για κ=2 και αυτό θα είναι το επαγωγικό βήμα. Έστω

|Ο|=μ= 1 2

1 2

. Από το θεώρημα γνωρίζουμε ότι Ο≅ΑxΒ με |Α|= 1

1

και |Β|= 2

2

.

Προφανώς οι κυκλικές ομάδες που χρησιμοποιούνται στη διάσπαση των Α και Β δεν είναι ισόμορφες μεταξύ τους. Άρα υπάρχουν δ(μ)=δ(ν1)δ(ν2) μη ισόμορφες διασπάσεις. Γενικά υπάρχουν δ(ν)= δ(ν1)δ(ν2)…δ(νκ). ■

133. ΠΟΡΙΣΜΑ (Αντίστροφο του θεωρήματος του Lagrange)

Έστω Ο αβελιανή ομάδα τάξης ν και μ διαιρέτης του. Τότε υπάρχει υποομάδα της Ο τάξης μ.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Από το θεμελιώδες θεώρημα έχουμε Ο≅Ο1x…xΟκ. Οι ομάδες της διάσπασης

είναι κυκλικές τάξης i

i

. Οι πρώτοι πi δεν είναι απαραίτητα διαφορετικοί (κοιτάξτε το

παράδειγμα μετά από το κύριο θεώρημα). Πρέπει βέβαια να ισχύει ότι ν= 1 2

1 2 ... k

k

. Αφού

το μ διαιρεί το ν, θα έχουμε μ= 1 2

1 2 ... k

k

με λiνi. Το αντίστοιχο θεώρημα για το ευθύ γινόμενο

κυκλικών εγγυάται ότι για κάθε i υπάρχει υποομάδα Υi της Οi με τάξη i

i

. Άρα η Υ=Υ1x…xΥκ

είναι υποομάδα της Ο1x…xΟκ τάξης μ. Αφού Ο≅Ο1x…xΟκ, θα υπάρχει υποομάδα Υ’ της Ο

με Υ’≅Υ. ■

Το επόμενο λήμμα θα χρησιμοποιηθεί στην απόδειξη του κυρίου θεωρήματος.

134. ΛΗΜΜΑ

111

Έστω Ο αβελιανή με |Ο|=μν και (μ,ν)=1. Αν Α={αΟ | αμ =1} και Β={β

Ο |βν =1}, τότε Ο≅ΑxΒ.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Από την πρώτη πρόταση αυτής της ενότητας, αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ=Ο και Α Β={1}, αφού είναι κανονικές σαν υποομάδες αβελιανής. Επειδή ο ΜΚΔ των μ και ν είναι 1, έχουμε ότι υπάρχουν ακέραιοι κ και λ ώστε κν+λμ=1. Έστω γΟ, τότε

γ=γκν+λμ=γκνγλμ.

Επειδή η τάξη της Ο είναι μν έχουμε ότι (γκν)μ=(γμν)κ=1=(γλμ)ν=(γμν)λ. Άρα (γκν) Α και

(γλμ) Β. Δηλαδή γΑΒ. Αν τώρα γΑ Β, θα έχουμε γ=γκν+λμ=γκνγλμ =1∙1=1. Άρα Α

Β={1}. ■

Τώρα θα δώσουμε την απόδειξη του θεμελιώδους θεωρήματος.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΜΕΛΙΩΔΟΥΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑΔΩΝ.

Η απόδειξη δίμεται σε τρία μέρη και υπάρχει στο βιβλίο του M. Hall The theory of groups.

1ο μέρος. Κάθε πεπερασμένη αβελιανή ομάδα είναι ισόμορφη με ένα γινόμενο π-αβελιανών

ομάδων, τάξης i

i

.

2ο μέρος. Κάθε πεπερασμένη π-αβελιανή ομάδα είναι ισόμορφη με ένα γινόμενο κυκλικών ομάδων τάξης δύναμης του π.

3ο μέρος.Η διάσπαση μιας πεπερασμένης αβελιανής ομάδας είναι μοναδική.

1ο μέρος. Έστω |Ο|= 1 2

1 2 ... k

k

με πi διακεκριμένους πρώτους. Καλούμε

Ο(πi)={αΟ | i

ia

=1}. Τότε από το προηγούμενο λήμμα, εφαρμόζοντας επαγωγή στο κ,

έχουμε ότι τα Ο(πi) είναι υποομάδες τάξης δύναμης πρώτου και

Ο≅ Ο(πi)x…x Ο(πk).

2ο μέρος. Η απόδειξη αυτού του βήματος θα γίνει με επαγωγή στον εκθέτη κ της τάξης πκ της π-αβελιανής ομάδας. Το ζητούμενο είναι να δείξουμε ότι η Ο είναι ισόμορφη με ένα γινόμενο κυκλικών ομάδων τάξης δύναμης του π. Ας υποθέσουμε ότι ο ισχυρισμός είναι αληθής για κάθε π-αβελιανή ομάδα τάξης μικρότερης από πκ. Θέλουμε να βρούμε ένα στοιχείο α 1 και μια

υποομάδα Υ της Ο ώστε Ο <α>xY. Αυτό θα έχει σαν αποτέλεσμα, λόγο της υπόθεσης της επαγωγής, |Υ|<|Ο| και να μπορούμε να διασπάσουμε την Υ. Επίσης η Α=<α> είναι από μόνη της κυκλική τάξης δύναμης του π.

Αν λοιπόν η Υ υπάρχει, τότε από το θεώρημα ισομορφισμού και την υπόθεση της επαγωγής θα έχουμε ότι


1 1 2

Υ ≅ Ο/<α> ≅ <β1>x<β2>x…x<βμ>.

Όπου ο(βi)= i

i

για κάποιους φυσικούς λi. Θα υπάρχουν λοιπόν σύμπλοκα Αβ1=<α>β1, …,

Αβμ=<α>βμ στην Ο/<α> ώστε κάθε στοιχείο της Ο/Α να έχει μοναδική αναπαράσταση:

1

1

rA 2

2

rA …

r

A

με 0ri< i

i

. (Σχέση 1)

Η τελευταία πρόταση (την οποία θα αποδείξουμε λίγο πιο κάτω) υπονοεί ότι πρέπει να βρούμε αντιπροσώπους βi για τα σύμπλοκα Αβi ώστε ο(βi)=ο(Αβi) (ας μη ξεχνάμε ότι το σύμπλοκο Αβi είναι στοιχείο της ομάδας Ο/Α, άρα έχει τάξη). Αν λοιπόν αποδείξουμε τη σχέση 1, θα έχουμε

Υ={ 1

1

r 2

2

r …

r

| 0ri< i

i

}.

Και αυτή η υποομάδα Υ θα είναι η ζητούμενη ώστε Ο=ΑxΥ. Αυτό θα είναι αληθές, αν δείξουμε ότι Ο=ΑΥ και Α Υ={1}. Θα δείξουμε αυτές τις δυο σχέσεις αμέσως και μετά τη σχέση 1.

Έστω λοιπόν δΟ, τότε από τη σχέση 1 έχουμε

Αδ= 1

1

rA 2

2

rA …

r

A

=Α 1

1

r 2

2

r …

r

=Αβ.

Με βΥ. Άρα δβ-1Α ή δβ-1=γ με γ στοιχείο της Α.

Τώρα θα δείξουμε ότι Α Υ={1}. Έστω δ στοιχείο της τομής. Τότε θα γράφεται

δ= 1

1

r 2

2

r …

r

με 0ri< i

i

.

Στην ομάδα πηλίκο Ο/Α θα πρέπει να ισχύει

Α=Αδ=Α 1

1

r 2

2

r …

r

= 1

1

rA 2

2

rA …

r

A

.

Αλλά Α=Α1= 0

1A 0

2A … 0

A και λόγο της μοναδικότητας θα έχουμε ri=0. Δηλαδή

δ= 0

1 0

2 … 0

=1.

Τώρα θα αποδείξουμε τη σχέση 1.

Ζητάμε λοιπόν αναπαραστάτες βi με τάξη ο(βi)=ο(Αβi)= i

i

. Αν το σύμπλοκο Αγ (για μας

είναι το Αβi) έχει τάξη πρ, A

=Α, τότε

=δΑ και ο(γ)=zπρ για κάποιο φυσικό z. Αρκεί

λοιπόν να βρούμε έναν αναπαραστάτη του οποίου η πρ δύναμη να δίνει 1. Η σχέση

=δ

Α δίνει

=αν για κάποιο ν<ο(α). Ας υποθέσουμε ότι ν= zπρ για κάποιο ακέραιο z, τότε θα

είχαμε

= za

⇔ za

=1.

113

Τώρα το στοιχείο γα-z γίνεται αναπαραστάτης του συμπλόκου Αγ και θα είχαμε βρει το ζητούμενο.

Υποθέτουμε ότι η δύναμη πω είναι η μεγαλύτερη που διαιρεί τον ν. Πρέπει να δείξουμε ότι ρ

ω. Η σχέση

=αν θα μας βοηθήσει να μελετήσουμε τις τάξεις αυτών των στοιχείων. Ας

είναι ο(α)=πi και ο(γ)=πj. Επειδή η δύναμη πρ διαιρεί την τάξη ο(γ), έχουμε ρ j και επειδή ν<ο(α) θα έχουμε ω<i. Τώρα έχουμε

ο(

)= ,

j jj

j

ο(αν)= , ,

i i ii

i i

.

Άρα j = i και j-ρ=i-ω ⇔ ω=ρ+i-j. Αρκεί να δείξουμε οτι j i ή ο(α)=ο(γ). (Σχέση 2)

Ας υπενθυμίσουμε ότι το α δεν έχει επιλεγεί με κάποιο συγκεκριμένο τρόπο. Επιλέγουμε λοιπόν το α ώστε

ο(α)ο(γ) για όλα τα γΟ.

Τώρα η ζητούμενη σχέση 2 ισχύει. Και εδώ τελειώνει η απόδειξη του δευτέρου βήματος.

3ο μέρος. Για μια διάσπαση Ο≅ Ο1x…xΟκ κυκλικών ομάδων τάξης δύναμης πρώτου, έχουμε |Ο|=| Ο1|…|Οκ|, οπότε οι πρώτοι που υπεισέρχονται είναι αυτοί ακριβώς που διαιρούν την τάξη |Ο|. Για κάθε τέτοιο πρώτο π, το γινόμενο των κυκλικών Οi (οι οποίες είναι τάξης δύναμης του π) είναι ισόμορφο με την υποομάδα της Ο που αποτελείται από εκείνα τα στοιχεία με τάξη δύναμη του π.

Για να αποδείξουμε τη μοναδικότητα, αρκεί να το δείξουμε για την περίπτωση πεπερασμένης π-ομάδας. Οπότε θα ισχύει για κάθε πρώτο που διαιρεί την τάξη της. Ας υποθέσουμε ότι

<β1>x<β2>x…x<βμ> <γ1>x<γ2>x…x<γλ>. (Σχέση 3)

Όπου ο(βi)= i με 1ρμ …ρ2 ρ1 και ο(γj)= j με 1ωλ …ω2 ω1.

Εφαρμόζουμε επαγωγή στην τάξη αυτών των γινομένων. Αν η τάξη αυτή είναι π, τότε <β>=<γ>. Υποθέτουμε ότι ισχύει για γινόμενα τάξης μικρότερης του πτ. Χρησιμοποιούμε έναν ισομορφισμό στη σχέση 3 ο οποίος υψώνει κάθε γεννήτορα στην π. Από τη σχέση 3 μέσο αυτού του ισομορφισμού παίρνουμε το εξής

< (β1)π>x<(β2)π>x…x<(βi’)π> <(γ1)π>x<(γ2)π>x…x<(γj’)π>.

Εδώ i’ είναι το μεγαλύτερο i ώστε ρi ≧2 και το ίδιο για τον j’.

Τα νέα γινόμενα έχουν μικρότερη τάξη από την αρχική, γιατί οι υποομάδες <(βi)π> έχουν τάξη 1i και αντίστοιχα οι <(γj)π>. Από την υπόθεση της επαγωγής έχουμε ότι


1 1 4

i’=j’ και ρ1-1=ω1-1, …, ρi’-1=ωj’-1.

Άρα ρ1=ω1, …, ρi’=ωj’. Αρκεί τώρα να δείξουμε ότι ο αριθμός των δεικτών με ρi=1 ισούται με αυτόν για ωj=1. Ισοδύναμα

μ–i’ =λ-j’.

Αλλά από την τάξη των ομάδων στη σχέση 3 έχουμε

1 … 'i 'i = i … 'j 'j .

Και αυτή η σχέση μας δίνει το ζητούμενο i’=j’.

Και εδώ τελειώνει η απόδειξη του θεωρήματος. ■

Το προηγούμενο θεώρημα γενικεύεται ως εξής.

135. ΘΕΩΡΗΜΑ Θεμελιώδες θεώρημα των πεπερασμένα γεννώμενων αβελιανών ομάδων

Έστω Ο πεπερασμένα γεννώμενη μη-τετριμμένη αβελιανή ομάδα. Η Ο είναι ισόμορφη με το ευθύ γινόμενο πεπερασμένου πλήθους μη-τετριμμένων κυκλικών ομάδων τάξης δύναμης πρώτου (όχι απαραίτητα του ίδιου πρώτου) και

πεπερασμένου πλήθους αντιγράφων της ομάδας . Οι δυνάμεις αυτές καθορίζονται μονοσήμαντα από την Ο όπως επίσης και ο αριθμός των αντιγράφων του .

Ο 11

x2

2

x…xk

k

x x…x

Χωρίς απόδειξη.

115

1) Εάν ο πρώτος π διαιρεί την |Ο|, τότε η Ο περιέχει στοιχείο τάξης π.

2) Κάθε ομάδα τάξης 2π με π περιττό πρώτο είναι κυκλική ή διεδρική.

3) Κάθε μη τετριμμένη πεπερασμένη π-ομάδα έχει μη τετριμμένο κέντρο.

4) Κάθε ομάδα τάξης πν έχει κανονικές υποομάδες τάξης πκ για κν.

5) Έστω ΥΖ(Ο) ώστε η Ο/Υ να είναι κυκλική. Τότε η Ο είναι αβελιανή.

6) Κάθε ομάδα τάξης π2 είναι αβελιανή και ισόμορφη με την 2 ή x .


1 1 6

117

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤOΥ SYLOW

Σ’ αυτή την ενότητα υποθέτουμε ότι όλες οι ομάδες είναι πεπερασμένες. Το αντικείμενο της

μελέτης μας είναι το αντίστροφο του θεωρήματος του Lagrange και απαντήθηκε από τον Sylow. Δηλαδή αν ο ν διαιρεί την τάξη της ομάδας, τότε υπάρχει υποομάδα τάξης ν; Στην προηγούμενη ενότητα είδαμε ότι το αντίστροφο ισχύει για αβελιανές ομάδες. Επίσης γνωρίζουμε ότι δεν ισχύει για κάθε ομάδα.

ΕΡΩΤΗΜΑ. Κάτω από ποιες συνθήκες, αν ο ν διαιρεί την τάξη της Ο, υπάρχει υποομάδα τάξης ν;

Έχουμε αποδείξει ότι η εναλλάσσουσα Α4 η οποία έχει τάξη 12 δεν έχει υποομάδα τάξης 6. Από την άλλη μεριά έχει υποομάδες τάξης 2, 3 και 4. Κάποιες από αυτές είναι οι

<(1,2)(3,4)>, <(1,2,3)>, <1, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)>.

Γιατί δεν υπάρχει υποομάδα τάξης 6; Μήπως επειδή είναι γινόμενο δύο διαφορετικών πρώτων;

Πράγματι, θα δείξουμε ότι αν ο π είναι πρώτος και ο πν διαιρεί την |Ο|, τότε υπάρχει υποομάδα Υ τάξης πν. Αυτό είναι το βασικό θεώρημα του Sylow το οποίο θα αποδείξουμε σ’ αυτήν την ενότητα. Η απόδειξη στηρίζεται στις κλάσεις συζυγίας των υποομάδων μιας ομάδας.

Υπενθυμίζουμε ότι δυο υποομάδες Υ και Π είναι συζυγείς, αν υπάρχει α στην Ο ώστε Υ=αΠα-1 .

Αν η Υ είναι κανονική, τότε Υ=αΥα-1 για όλα τα α.

Οι υποομάδες αΥα-1 έχουν όλες την ίδια τάξη ίση με |Υ|.

Η συζυγία αποτελεί σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο των υποομάδων μιας ομάδας. Άρα το σύνολο των υποομάδων χωρίζεται σε κλάσεις ισοδυναμίας ως προς τη συζυγία.

Έστω Υ υποομάδα της Ο. Θα βρούμε τη μεγαλύτερη υποομάδα της Ο η οποία έχει την Υ κανονική.

136. ΟΡΙΣΜΟΣ

Η κανονικοποιούσα της Υ (normalizer) στην Ο είναι το σύνολο

ΝΟ(Υ)={αΟ | αΥα-1=Υ }.

137. ΠΟΡΙΣΜΑ

Ισχύει ότι Υ ΝΟ(Υ) Ο.


1 1 8

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αρκεί να δείξουμε ότι η κανονικοποιούσα είναι υποομάδα της Ο. Αν α και β είναι στοιχεία της, τότε αβΥ(αβ)-1=αβΥβ-1α-1=αΥα-1=Υ. Άρα το αβ είναι επίσης στοιχείο της. Αν το α είναι στοιχείο της, τότε και το α-1 είναι επίσης. ■

138. ΠΟΡΙΣΜΑ

Έστω Υ υποομάδα της Ο. Ο αριθμός των συζυγών υποομάδων αΥα-1 της Υ δίνεται από το δείκτη [Ο: ΝΟ(Υ)].

Παράδειγμα. Έστω Ο= Σ3={ 1, α, α2, β, αβ, α2β} και Υ=<α>. Γνωρίζουμε ότι Υ Ο

και άρα ΝΟ(Υ)=Υ. Αν Π=<β>, η Π δεν είναι κανονική και ΝΟ(Π)≨Ο. Επειδή η κανονικοποιούσα περιέχει την Π, η τάξη της θα διαιρείται από το 2 και θα διαιρεί το 6. Αφού δεν είναι 6, θα είναι 2. Άρα Π= ΝΟ(Π).

139. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω π πρώτος ώστε ο πν να διαιρεί την τάξη της ομάδας Ο αλλά ο πν+1 να μην την διαιρεί, τότε οποιαδήποτε υποομάδα τάξης πν καλείται π-Sylow υποομάδα της Ο.

Πρώτα θα εκφράσουμε τα θεωρήματα του Sylow, μετά θα παρουσιάσουμε κάποιες εφαρμογές τους, και τέλος θα προχωρήσουμε στις αποδείξεις τους. Οι αποδείξεις είναι από το βιβλίο του T. Hungerford, Algebra.

140. ΘΕΩΡΗΜΑ Πρώτο θεώρημα του Sylow

Έστω π πρώτος και Ο ομάδα.

Α) Αν ο π είναι πρώτος ώστε ο πκ να διαιρεί την τάξη της ομάδας Ο, τότε υπάρχει υποομάδα Υ τάξης πκ. Συγκεκριμένα υπάρχει π-Sylow υποομάδα της Ο.

Β) Έστω Π μια π-Sylow υποομάδα της Ο. Αν Υ είναι οποιαδήποτε υποομάδα τάξης πκ στην Ο, τότε υπάρχει αΟ, ώστε ΥαΠα-1. Συγκεκριμένα η Υ είναι υποομάδα κάποιας π-Sylow υποομάδας της Ο.

Παράδειγμα. Έστω Ο=Α4 η εναλλάσσουσα σε τέσσερα στοιχεία η οποία έχει τάξη 12.

Μια 2-Sylow υποομάδα της θα έχει τάξη 4. Η επόμενη είναι μια τέτοια.

119

Π={1, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)}

Κάθε στοιχείο α της Π έχει τάξη 2 και είναι άρτια μετάθεση. Ας βρούμε τώρα τις άρτιες μεταθέσεις τάξης 3. Θα είναι όλοι οι 3-κύκλοι:

B={(1,2,3), (1,3,2), (1,2,4), (1,4,2), (1,3,4), (1,4,3), (2,3,4), (2,4,3)}.

Τα στοιχεία του συνόλου Π Β είναι δώδεκα όσα και τα στοιχεία της Ο. Άρα

Ο=Π Β.

Παρατηρούμε ότι η μόνη υποομάδα τάξης 4 στην Ο είναι η Π. Άρα είναι κανονική και είναι η μοναδική 2-Sylow υποομάδα της Ο. Επίσης το πρώτο θεώρημα δηλώνει ότι κάθε υποομάδα τάξης 2 ή 4 περιέχεται από την Π.

141. ΘΕΩΡΗΜΑ Δεύτερο θεώρημα του Sylow

Όλες οι π-Sylow υποομάδες της Ο είναι συζυγείς μεταξύ τους. Μια π-Sylow υποομάδα της Ο είναι κανονική αν και μόνο αν είναι μοναδική.

142. ΘΕΩΡΗΜΑ (Τρίτο θεώρημα του Sylow)

Έστω Π μια π-Sylow υποομάδα της Ο. Ο αριθμός των π-Sylow υποομάδων της Ο δίνεται από το δείκτη [Ο:ΝΟ(Π)]. Ο αριθμός αυτός διαιρεί την τάξη της Ο και έχει μορφή 1+λπ για κάποιο φυσικό λ.

Η απόδειξη των θεωρημάτων θα δοθεί αφού μελετήσουμε μερικά παραδείγματα και εφαρμογές.

Παράδειγμα. Έστω Ο=Α4 η εναλλάσσουσα σε τέσσερα στοιχεία η οποία έχει τάξη 12.

Έστω Υ μια 3-Sylow υποομάδα της Ο. Αυτή θα έχει τάξη 3. Το πλήθος αυτών των υποομάδων θα είναι [Ο:ΝΟ(Υ)]. Δηλαδή κάποιος από τους αριθμούς 12, 6, 4, 3, 2 ή 1. Επειδή η κανονικοποιούσα ΝΟ(Υ) περιέχει την Υ, θα πρέπει ο αριθμός αυτός να είναι της μορφής πολλαπλάσιο του 3. Άρα υπάρχουν τρεις περιπτώσεις, [Ο:ΝΟ(Υ)]= 4 ή 2 ή 1. Από το τρίτο θεώρημα όμως γνωρίζουμε ότι το πλήθος των 3-Sylow υποομάδων της Ο θα έχει μορφή 1+3λ. Τελικά θα είναι 4 ή 1. Δεν μπορεί να είναι 1, γιατί τότε θα υπήρχε μόνο μια υποομάδα τάξης 3 το οποίο δεν αληθεύει. Οπότε

[Ο:ΝΟ(Υ)]=4

Κ=<(1,2,3)> ή <(1,2,4)> ή <(1,3,4)> ή <(2,3,4)>. ■


1 2 0

Θα δούμε αμέσως μια εφαρμογή στις π-ομάδες.

143. ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω O πεπερασμένη ομάδα και π πρώτος. Η Ο είναι π-ομάδα αν και μόνο αν |Ο|=πκ για κάποιο φυσικό κ.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ «⇦» Αν |Ο|=πκ, τότε κάθε στοιχείο της Ο έχει τάξη δύναμη του π, οπότε είναι π-ομάδα.

«⇒» Ας υποθέσουμε ότι |Ο| πκ, τότε υπάρχει πρώτος ρ π ώστε ρ||Ο|. Άρα η Ο έχει υποομάδα τάξης ρ και θα είναι κυκλική. Θα υπάρχει λοιπόν στοιχείο τάξης ρ. Αδύνατον. ■

144. ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω O ομάδα τάξης ρπ με ρ και π πρώτοι, π<ρ. Αν ο π δεν διαιρεί τον ρ-1, τότε η Ο είναι κυκλική.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας είναι Π και Υ π-Sylow και ρ-Sylow υποομάδες της Ο αντίστοιχα. Ο αριθμός των π-Sylow υποομάδων δίνεται από [Ο:ΝΟ(Π)] και ο δείκτης [Ο:Π]=[Ο:ΝΟ(Π)][ΝΟ(Π):Π] ο οποίος είναι ρ μας λέει ότι [Ο:ΝΟ(Π)]=ρ ή 1. Το τρίτο θεώρημα όμως δηλώνει ότι [Ο:ΝΟ(Π)]=1+πκ=ρ ή 1. Αν είχαμε ότι 1+πκ=ρ, τότε πκ=ρ-1 το οποίο είναι αδύνατον. Τελικά [Ο:ΝΟ(Π)]=1 και υπάρχει μόνο μια π-Sylow υποομάδα η οποία θα είναι κανονική και κυκλική τάξης π από το δεύτερο θεώρημα. Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο βλέπουμε ότι υπάρχει μόνο μια ρ-Sylow υποομάδα Υ η οποία θα είναι και αυτή κανονική και κυκλική τάξης ρ. Θα έχουμε λοιπόν Π Υ={1}. Άρα ΠΥΟ με|ΠΥ|=|Π||Υ|=πρ=|Ο|. Τελικά Ο=ΠΥ με Π και Υ

κυκλικές, (π,ρ)=1. Αυτό σημαίνει ότι και η Ο είναι κυκλική τάξης πρ, Ο≅ΠxY. ■

Παράδειγμα. 1) Η απλούστερη εφαρμογή του προηγουμένου Θεωρήματος είναι η

ακόλουθη. Έστω Ο με τάξη 35. Τότε η Ο είναι κυκλική και Ο≅ 5 7 .

2) Η απλούστερη αντιστροφή του προηγουμένου Θεωρήματος είναι η ακόλουθη. Η Σ3 έχει

τάξη 6=2∙3 με 2|3-1 και δεν είναι κυκλική.

3) Έστω Ο με τάξη 28. Θα δείξουμε ότι έχει γνήσια μη-τριμμένη κανονική υποομάδα. Οι υποομάδες της θα έχουν τάξη 2, 4 ή7. Έστω Π μια 7-Sylow υποομάδα. Όλες αυτές θα είναι [Ο:ΝΟ(Π)]=1+7κ και 4=[Ο:Π]=[Ο:ΝΟ(Π)][ΝΟ(Π):Π]. Άρα ο αριθμός [Ο:ΝΟ(Π)]=1+7κ διαιρεί το 4. Θα είναι λοιπόν [Ο:ΝΟ(Π)]=1. Θα είναι λοιπόν μια και κανονική. Επίσης αν και η

2-Sylow Υ είναι μια και ισχύει Υ∩Π={1}. Άρα Ο=ΥΠ και Ο≅ℤ28 ή ℤ2 ×ℤ14.

4) Στο ίδιο μοτίβο όπως και το προηγούμενο παράδειγμα έχουμε. Να βρεθούν όλες οι ομάδες τάξης 1225=5272. Η ομάδα Ο θα πρέπει να έχει Sylow υποομάδες τάξης 25 και 49. Έστω Υ και

121

Π υποομάδες τάξης 25 και 49 αντίστοιχα. Οι 5-Sylow υποομάδες είναι σε πλήθος 1+5κ και αυτός

ο αριθμός διαιρεί το 49. Άρα υπάρχει μόνο μια τέτοια και είναι κανονική. Υ Ο.

Οι 7-Sylow υποομάδες είναι σε πλήθος 1+7κ και αυτός ο αριθμός διαιρεί το 25. Υπάρχει λοιπόν

μόνο μια και θα είναι κανονική, Π Ο. Επειδή (25,49)=1, Υ Π={1}, Ο=ΥΠ. Κάθε ομάδα

τάξης π2 είναι αβελιανή, οπότε Υ και Π είναι αβελιανές. Άρα και η Ο≅ΥxΠ είναι αβελιανή. Από το θεώρημα των περασμένων αβελιανών ομάδων έχουμε

Ο≅ 25 49 , 25 7 7 , 5 5 49 , ή 5 5 7 7 .

5) Μια ουσιαστική εφορμογή των Θεωρημάτων του Sylow από το βιβλίο του Burnside είναι η εξής. Να βρεθούν όλες οι ομάδες τάξης 30=2∙3∙5. Η ομάδα Ο θα πρέπει να έχει Sylow υποομάδες τάξης 2, 3 και 5. Έστω Υ, Χ και Π υποομάδες τάξης 2, 3 και 5 αντίστοιχα. Οι 5-Sylow υποομάδες είναι σε πλήθος 1+5κ και αυτός ο αριθμός διαιρεί το 6. Θα υπάρχουν μια ή έξι τέτοιες. Αντίστοιχα για τις 3-Sylow υποομάδες, ο αριθμός αυτός είναι 1 ή 10.

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν 6 5-Sylow υποομάδες και 10 3-Sylow υποομάδες. Κάθε στοιχείο μιας 5-Sylow υποομάδας θα έχει τάξη 1 ή 5 και τάξη 1 έχει μόνο το ταυτοτικό. Άρα κάθε τέτοια υποομάδα έχει 4 μη-τετριμμένα στοιχεία τάξης 5. Επίσης η τομή δυο τέτοιων υποομάδων είναι

η τετριμμένη. Η Ο λοιπόν θα έχει 4∙6=24 τέτοια στοιχεία τάξης 5.

Θα κάνουμε το ίδιο για τις 3-Sylow υποομάδες. Για τον ίδιο λόγο υπάρχουν 2∙10=20 μη-τετριμμένα διαφορετικά στοιχεία τάξης 3. Μέχρι τώρα βρήκαμε 24+20+1>30 διαφορετικά στοιχεία. Αδύνατον.

Υπάρχει λοιπόν μόνο μια 5-Sylow υποομάδα ή μόνο μια 3-Sylow υποομάδα και αυτή θα είναι κανονική. Ας πάρουμε την Π. Τότε το σύνολο ΧΠ είναι υποομάδα τάξης 15. Επειδή η τάξη της Χ είναι 3 και δεν διαιρεί την τάξη της Π μείον ένα, 5-1=4, η ΧΠ είναι κυκλική. Υπάρχει λοιπόν στοιχείο α τάξης 15. Επιπλέον η ΧΠ έχει δείκτη 2 και είναι κανονική. Αν η Υ γεννάται από το β, Υ=<β>, τότε η Ο γεννάται από τα στοιχεία α και β.

Η κανονικότητα ΧΠ Ο, δίνει ότι υπάρχει ακέραιος κ ώστε

βαβ-1=ακ.

Αν υπολογιστεί ο ακέραιος κ, τότε η Ο θα έχει καθοριστεί πλήρως. Ας υπολογίσουμε τις τάξεις.

ο(βαβ-1)=ο(α)=15 ⇒ ο(ακ)=15 ⇒ 15=15/(κ,15) ⇒

κ=1,2,4,7,8,11,13,14. Σχέση 1

Επίσης το β έχει τάξη 2, άρα

α=β(βαβ-1)β-1 =βακβ-1=( βακβ-1)κ= (ακ)κ ⇒ 2 1k

=1.

Δηλαδή ο ακέραιος κ2-1 διαιρείται από το 15. Σχέση 2

Ας υπολογίσουμε τους ακεραίους κ ώστε να ισχύουν οι σχέσεις 1 και 2.


1 2 2

κ=1, 4, 11, ή 14.

Υπάρχουν λοιπόν το πολύ τέσσερες μη-ισόμορφες ομάδες τάξης 30. Ας δούμε ποιες μπορεί να είναι αυτές.

Επειδή οι φυσικοί 2, 3, και 5 είναι πρώτοι μεταξύ τους, υπάρχει μια αβελιανή ισόμορφη με την

30 .

Αν η Ο έχει μόνο μια 5-Sylow υποομάδα, θα έχουμε Ο 5 O με |Ο΄|=6 και η Ο΄ θα

είναι μη-αβελιανή. Άρα η Ο΄ θα είναι ισόμορφη με τη Σ3. Ο 5 3 .

Αν η Ο έχει μόνο μια 3-Sylow υποομάδα, θα έχουμε Ο 3 'O με |Ο΄|=10 και η Ο΄ θα

είναι μη-αβελιανή. Άρα η Ο΄ θα είναι ισόμορφη με τη D5. Ο 3 5D .

Και η τέταρτη περίπτωση είναι η D15. Όλες είναι μη-ισόμορφες, διότι έχουν κέντρα με τάξεις 30, 5, 3, 1 αντίστοιχα. ■

123

Ο επόμενος πίνακας δίνει το πλήθος μη-ισόμορφων ομάδων με την αντίστοιχη τάξη.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

1 1 1 2 1 2 1 5 2 2 1 5 1 2 1 14 1 5 1 5 2

Βλέπε http://opensourcemath.org/gap/small_groups.html

Order 1 and all prime orders (1 group: 1 abelian, 0 nonabelian)

Order 4 (2 groups: 2 abelian, 0 nonabelian)

C4, the cyclic group of order 4. V = C2 x C2 (the Klein four group) = symmetries of a rectangle.


C6=C2 x C3 S3, the symmetric group of degree 3 = all permutations on three objects, under composition.


C8 C4 x C2 C2 x C2 x C2 D4, the dihedral group of degree 4, or octic group.


C9 C3 x C3


C10 D5


C12 C6 x C2 A4, the alternating group of degree 4, consisting of the even permutations in S4.

D6 Isomorphic to S3 x C2 = D3 x C2

The dicyclic group T of order 12. T is the semidirect product of C3 by C4 by the map g : C4 -> Aut(C3) given by g(k) = ak, where a is the automorphism a(x) = -x.


C14

D7

Order 15 (1 group: 1 abelian, 0 nonabelian)

http://opensourcemath.org/gap/small_groups.html


1 2 4


C16

C8 x C2 C4 x C4 C4 x C2 x C2 C2 x C2 x C2 x C2 D8 D4 x C2 Q x C2, where Q is the quaternion group The quasihedral (or semihedral) group of order 16, with presentation <s,t; s8 = t2 = 1, st = ts3 >

The modular group of order 16, with presentation <s,t; s8 = t2 = 1, st = ts5 >

Reference: Weinstein, Examples of Groups, pp. 120-123.

The group G with presentation < s,t; s4 = t4 = 1, st = ts3 >

Reference: Weinstein, pp. 124--128.

The group with presentation <a,b,c; a4 = b2 = c2 = 1, cbca2b = 1, bab = a, cac = a>

The group G4,4 with presentation <s,t; s4 = t4 = 1, stst = 1, ts3 = st3 > The generalized quaternion group of order 16 with presentation <s,t; s8 = 1, s4 = t2, sts = t >


C18 C6 x C3 D9 S3 x C3 The semidirect product of C3 x C3 with C2.

This has the presentation <x,y,z; x2 = y3 = z3 = 1, yz = zy, yxy = x, zxz = x>


C20 C10 x C2 D10 The semidirect product of C5 by C4 which has the presentation <s,t; s4 = t5 = 1, tst = s>

125

The Frobenius group of order 20, with presentation <s,t; s4 = t5 = 1, ts = st2>

This is the Galois group of x5 -2 over the rationals, and can be represented as the subgroup of S5 generated by (2, 3, 5, 4) and (1, 2, 3, 4, 5).


C21 <a,b; a3 = b7 = 1, ba = ab2> This is the Frobenius group of order 21, which can be represented

as the subgroup of S7 generated by (2, 3, 5)(4, 7, 6) and (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), and is the Galois group of x7 - 14x5 + 56x3 -56x + 22 over the rationals (ref: Dummit & Foote, p.557).


C22 D11


C24 C2 x C12 C2 x C2 x C6 S4 S3 x C4 S3 x C2 x C2 D4 x C3 Q x C3 A4 x C2 T x C2 Five more nonabelian groups of order 24

Reference: Burnside, pp. 157--161.


1 2 6

Θα χρειαστούμε τα επόμενα λήμματα στην απόδειξη των θεωρημάτων του Sylow.

145. ΛΗΜΜΑ

Έστω Π μια π-Sylow υποομάδα της Ο και Υ μια άλλη τάξης πκ. Υπάρχει

υποομάδα Π’=αΠα-1 για κάποιο στοιχείο α ώστε ΥΝΟ(Π’).

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας πάρουμε όλες τις συζυγείς υποομάδες της Π στην Ο, Π1, Π2, …, Πμ. Θα δείξουμε ότι υπάρχει δείκτης i ώστε να ισχύει η ζητούμενη σχέση, ΥΝΟ(Πi).

Αυτή η σχέση είναι ισοδύναμη με την επόμενη.

[Υ:Υ ΝΟ(Πi)]=1

Ο αριθμός [Υ:Υ ΝΟ(Πi)] διαιρεί την τάξη της Υ, |Υ|=πκ. Άρα θα είναι της μορφής 1, π, π2, …, πκ. Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι δεν διαιρείται από τον π, τότε θα είναι το 1. Η υποομάδα Υ

ΝΟ(Πi) περιέχει όλα τα στοιχεία της Υ για τα οποία ισχύει βΠiβ-1=Πi. Το πλήθος των στοιχείων

της Υ για τα οποία ισχύει βΠiβ-1 Πi θα είναι ο δείκτης [Υ:Υ ΝΟ(Πi)].

Θα ορίσουμε μια σχέση ισοδυναμίας Σ στο σύνολο { Π1, Π2, …, Πμ } ως εξής,

Πi Σ Πj ⇔ υπάρχει βΥ με βΠiβ-1=Πj

Η κλάση ισοδυναμίας μιας υποομάδας Πi θα περιέχει [Υ:Υ ΝΟ(Πi)] στοιχεία. Τα στοιχεία όλων των κλάσεων αθροίζουν στο μ, δηλαδή όλα τα στοιχεία του { Π1, Π2, …, Πμ }. Αν κάθε δείκτης

[Υ:Υ ΝΟ(Πi)] διαιρείται από το π, τότε και ο μ διαιρείται από το π. Αλλά επίσης ισχύει

μ=[Ο:ΝΟ(Π)] και [Ο:Π]= [Ο:ΝΟ(Π)] [ΝΟ(Π):Π]

Άρα και ο δείκτης [Ο:Π] διαιρείται από το π. Αυτό όμως δεν είναι δυνατόν γιατί η Π είναι μια

π-Sylow υποομάδα. Άρα ΥΝΟ(Πi). ■

146. ΛΗΜΜΑ (*)

Έστω Π μια π-Sylow υποομάδα της Ο και Υ μια άλλη τάξης πκ. Αν Π’ π-Sylow

υποομάδα ώστε ΥΝΟ(Π’), τότε ΥΠ’.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας υποθέσουμε ότι ΥΠ’, τότε η υποομάδα Υ Π’<Υ θα έχει τάξη πλ για

κάποιο λ<κ. Επίσης γνωρίζουμε ότι Π’ ΝΟ(Π’), άρα η υποομάδα ΥΠ’ θα είναι υποομάδα της ΝΟ(Π’) και θα βρούμε την τάξη της.

|ΥΠ’|=(|Υ|∙|Π’|)/|Υ Π’|=(πκπν)/πλ = πνπκ-λ > πν

Αλλά οι υποομάδες Π’ και Π είναι π-Sylow υποομάδες και δεν είναι δυνατόν να ισχύει |ΥΠ’|>πν. ■

127

147. ΛΗΜΜΑ (**)

Έστω Ο ομάδα και Κ και Λ υποομάδες. Ο αριθμός των διακεκριμένων συζυγών υποομάδων της Λ από στοιχεία της Κ είναι [Κ:Κ ΝΟ(Λ)]. Συγκεκριμένα, ο αριθμός των διακεκριμένων συζυγών υποομάδων της Λ στην Ο είναι [Ο:ΝΟ(Λ)].

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν αΚ και αΛα-1=Λ, τότε αΝΟ(Λ). Άρα κάθε α στοιχείο της Κ ΝΟ(Λ) δίνει την Λ=αΛα-1. Έστω λ=[Κ:Κ ΝΟ(Λ)]. Αν ισχύει η επόμενη σχέση

Κ= (α1Κ ΝΟ(Λ)) … (αλΚ ΝΟ(Λ))

θα έχουμε ότι αiΛαi-1 Λ για αi Κ ΝΟ(Λ). Αν τώρα ισχύει αiΛαi

-1= αjΛαj-1, τότε

αj-1αiΚ ΝΟ(Λ) και αiΚ ΝΟ(Λ) =αjΚ ΝΟ(Λ). Δηλαδή θα δίνουν το ίδιο σύμπλοκο.

Έχουμε λοιπόν το ζητούμενο. ■

Τώρα θα προχωρήσουμε στην απόδειξη του θεμελιώδους θεωρήματος.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟΥ ΠΡΩΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ SYLOW.

Α) Θα εφαρμόσουμε επαγωγή στην τάξη της Ο.

Αν |Ο|=2, τότε Ο 2 και η πρόταση ισχύει.

Ας υποθέσουμε ότι το θεώρημα ισχύει για κάθε ομάδα τάξης μικρότερης της |Ο| και ο ακέραιος πκ διαιρεί τον ακέραιο |Ο|.

Έστω Υ≨Ο ώστε ο δείκτης [Ο:Υ] να μην διαιρείται από τον π, τότε ο πκ διαιρεί την τάξη της Υ και από την υπόθεση της επαγωγής θα υπάρχει υποομάδα τάξης πκ η οποία θα είναι και υποομάδα της Ο.

Στην ίδια περίπτωση υποθέτουμε ότι ο π διαιρεί το δείκτη [Ο:Υ] για κάθε Υ≨Ο. Γνωρίζουμε ότι

|Ο|=|Ζ(Ο)|+ [O:Ζ( α1)] + [O:Ζ(α2)] + … + [O:Ζ(αk)].

Εδώ τα αi είναι αναπαραστάτες των κλάσεων ισοδυναμίας των στοιχείων της Ο ώστε κάθε κλάση να έχει τουλάχιστον δυο στοιχεία και Ζ(αi)={βΟ | βαi =αiβ} είναι ο κεντροποιητής του στοιχείου αi.

Κάθε υποομάδα Ζ(αi) είναι γνήσια υποομάδα, εφόσον αi Ζ(Ο). άρα κάθε όρος [Ο:Ζ(αi)] στο προηγούμενο άθροισμα διαιρείται από τον π. Επειδή όμως και η τάξη της Ο διαιρείται από τον π, και η τάξη της Ζ(Ο) θα διαιρείται επίσης από τον π.

Η υποομάδα Ζ(Ο) είναι πεπερασμένη αβελιανή, οπότε θα έχει υποομάδα Α τάξης π. Έχουμε

λοιπόν Α Ζ(Ο) Ο, και ορίζεται η ομάδα πηλίκο Ο/Α η οποία έχει τάξη |Ο|/π. Αν τώρα ο πκ διαιρεί την τάξη της Ο, τότε ο πκ-1 διαιρεί την τάξη της Ο/Α. Από την υπόθεση της επαγωγής υπάρχει υποομάδα Κ της Ο/Α τάξης πκ-1.


1 2 8

Ας πάρουμε τη φυσική απεικόνιση

φ: ΟΟ/Α

Επειδή ΚΟ/Α η υποομάδα φ-1(Κ) είναι υποομάδα της Ο. Άρα η υποομάδα φ-1(Κ)/Α είναι ισόμορφη με την Κ και η φ-1(Κ) θα έχει τάξη πκ. Το πρώτο μέρος του θεωρήματος αποδείχθηκε.

Β) Το δεύτερο μέρος δίνεται από το λήμμα (*). ■

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟΥ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ SYLOW.

Έστω Κ και Η π-Sylow υποομάδες της Ο. Από το δεύτερο μέρος του πρώτου θεωρήματος

υπάρχει αΟ με ΚαΗα-1. Αλλά οι υποομάδες Κ, Η, και αΗα-1 έχουν την ίδια τάξη. Άρα Κ=αΗα-1 και είναι συζυγείς.

Έστω τώρα Η Ο και Η π-Sylow υποομάδα. Κάθε άλλη θα είναι συζυγής με αυτήν, οπότε ΚαΗα-1=Η. Δηλαδή είναι μοναδική. Αν όμως η Η είναι μοναδική, τότε θα είναι και κανονική. ■

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟΥ ΤΡΙΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ SYLOW.

Έστω Η μια π-Sylow υποομάδα. Ο αριθμός των π-Sylow υποομάδων δίνεται από τον αριθμό των συζυγών υποομάδων προς την Η, από το δεύτερο θεώρημα. Το πλήθος αυτό δίνεται από το δείκτη [Ο:Κ ΝΟ(Η)]=κ. Έστω ότι αυτές είναι οι Η1, …, Ηκ. Πρέπει να δείξουμε ότι κ=1+πλ.

Ας πάρουμε την Η1 και να βρούμε τις διακεκριμένες συζυγείς προς αυτήν. Ο αριθμός αυτός, σύμφωνα με το λήμμα (**), δίνεται από

κ=[Η1:Η1 ΝΟ(Η1)]+…+ [Η1:Η1 ΝΟ(Ηκ)].

Ο πρώτος δείκτης είναι 1. Γενικά κάθε δείκτης στο προηγούμενο άθροισμα είναι 1 ή διαιρείται από τον π. Θα δείξουμε ότι κανένας άλλος δεν είναι 1. Αν [Η1:Η1 ΝΟ(Ηi)]=1, τότε Η1ΝΟ(Ηi).

Από το λήμμα (*) θα ισχύει Η1Ηi. Αυτές όμως οι υποομάδες έχουν την ίδια τάξη. Άρα Η1=Ηi. Αυτό δηλώνει ότι κ=1+πλ για κάποιο λ. ■

Παράδειγμα. Έστω η διεδρική ομάδα O=D4={1,f,f2,f3,g,fg,f2g,f3g} με gfk=f-kg. Ας είναι

Κ=<f> και Λ=<g>. Η κανονικοποιούσα NO(Λ) της Λ περιέχει την Λ, αλλά περιέχει και το

στοιχείο f2, επειδή gf2g-1=f2 ⇔ gf2=f2g .

Άρα το σύνολο {1, f2, g, f2g }ΝΟ(Λ). Γνωρίζουμε ότι η Λ δεν είναι κανονική. Επιπλέον

fgf-1=fgf3=gf3f3=gf2. Η τάξη της ΝΟ(Λ) θα είναι 2, 4, ή 8. Επειδή η Λ δεν είναι κανονική και

ΝΟ(Λ)≨D4, θα έχει τάξη 4. Έχουμε λοιπόν

ΝΟ(Λ)= {1, f2, g, f2g } και [Κ:Κ ΝΟ(Λ)=[<f>:<f2>]=2.

Υπάρχουν λοιπόν δυο συζυγείς με την Λ με στοιχεία της Κ.

<g>=1<g>1=f2<g>f2 και <f2g>=f<g>f-1=f3<g>f-3 ■

129

148. ΠΡΟΤΑΣΗ

Έστω Ο ομάδα, |Ο|=πκμ με π πρώτος και (π,μ)=1. Αν Ρ είναι μια Sylow π-υποομάδατης Ο και Η κανονική τάξης πλν με (π,ν)=1, τότε |Ρ Η|=πλ και |ΡΗ/Η|=πκ-λ.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Γνωρίζουμε ότι η ΡΗ είναι υποομάδα της Ο και η Η είναι κανονική στην ΡΗ.

Επίσης η Ρ Η είναι κανονική στην Ρ και από το Θεώρημα ισομορφισμών έχουμε ΡΗ/Η ≅ Ρ/(Ρ Η). Επειδή η Ρ είναι υποομάδα της ΡΗ από το Θεώρημα Lagrange έχουμε ότι |ΡΗ|=πκα. Επίσης η |Η| διαιρεί την |ΡΗ|, άρα |ΡΗ/Η|=πκβ για κάποιο φυσικό β με

(π,β)=1. Επειδή η τάξη της Ρ/(Ρ Η) είναι δύναμη του π και ΡΗ/Η ≅ Ρ/(Ρ Η) έχουμε

ότι β=1. Άρα |ΡΗ/Η| = |Ρ/(Ρ Η)| = πκ-λ και |(Ρ Η)|=πλ.


1 3 0

1) Αν η Ο έχει τάξη 135 είναι ευθύ γινόμενο.

2) Η Dπ με π πρώτος. έχει υποομάδα τάξης π και είναι κανονική.

3) H A4 έχει υποομάδα τάξης 4 και τέσσερες τάξης 3.

4) Υπάρχουν απλές ομάδες τάξης 312;

5) Έστω Η Ο με |Ο|< και ([Ο:H],π)=1 με π πρώτος.. Τότε η Η περιέχει κάθε π-υποομάδα Sylow της Ο.

6) Έστω Η Ο με |Η|=πκ και π πρώτος.. Τότε η Η περιέχεται από κάθε π-υποομάδα Sylow της Ο.

7) Έστω |Ο|=π2ρ με π και ρ πρώτοι διαφορετικοί. Τότε η Ο περιέχει μια γνήσια κανονική μη-τετριμμένη υποομάδα.

8) Έστω π πρώτος με π<ν. Τότε μια π-υποομάδα Sylow της Σν έχει τάξη πκ με

κ=

+ 2

+ 3

+...

Εδώ i

συμβολίζει το ακέραιο μέρος του i

.

131

ΓΙΝΟΜΕΝΑ

Κάθε πραγματικός αριθμός, r, γράφεται μοναδικά

r=|r| ή -|r|.

Άρα η πολλαπλασιαστική ομάδα των πραγματικών, * , είναι ισόμορφη με το γινόμενο δυο υποομάδων της, την και {-1,1}. Αυτό το γινόμενο θα το καλέσουμε ευθύ. Ας δούμε τώρα την Ο=Σ3={ 1, α, α2, β, αβ, α2β}. Η υποομάδα της Υ=<α> είναι κανονική στην Ο και αν Π=<β>, τότε Ο=ΥΠ=ΠΥ. Δεν είναι ισόμορφη με το ευθύ γινόμενο των υποομάδων της, αλλά είναι ισόμορφη με το ημιευθύ γινόμενο που θα ορίσουμε πιο κάτω.

149. ΟΡΙΣΜΟΣ

Η ομάδα Ο καλείται εσωτερικό ευθύ γινόμενο (internal product) των υποομάδων της Η και Κ εάν

H, Κ Ο, Ο=ΗΚ και Η Κ={1}.

Το γινόμενο αυτό συμβολίζεται με Ο=ΗΚ.

150. ΘΕΩΡΗΜΑ

Οι επόμενες προτάσεις είναι ισοδύναμες.

1) Ο=ΗΚ.

2) αβ=βα για όλα τα αΗ και βΚ. Κάθε στοιχείο γ της Ο γράφεται μοναδικά

γ=αβ με αΗ και βΚ.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1)⇒2). Έστω αβ=βα ⇔ αβα-1β-1=1. Αλλά Κ Ο, άρα αβα-1Κ και αβα-1β-1

Κ.

Για το ίδιο λόγο αβα-1β-1Η, οπότε αβα-1β-1

Η Κ={1}. Αρκεί τώρα να δείξουμε ότι αν γ=αβ, τότε αυτός ο τρόπος γραφής του γ είναι μοναδικός. Αν είχαμε γ=αβ=δζ, τότε

α-1δ=βζ-1Η Κ={1}⇒ α=δ και β=ζ.

2)1). Πρέπει να δείξουμε ότι οι υποομάδες Η και Κ είναι κανονικές. Έστω τυχαίο γ της Ο το

οποίο γράφεται μοναδικά, γ=αβ. Έστω τώρα γδγ-1=αβδ(αβ)-1 με δΗ, εδώ θα

χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα αβ=βα, γδγ-1=αβδ(αβ)-1=αβδβ-1α-1=αδββ-1α-1=αδα-1Η. Άρα

η Η είναι κανονική. Για τον ίδιο λόγο και η Κ είναι κανονική.

Απομένει να δείξουμε ότι Η Κ={1}. Αν γΗ Κ, τότε γ=γ1ΗΚ και γ=1γΗΚ. Λόγο της μοναδικότητας έχουμε ότι γ=1. ■


1 3 2

Η επόμενη πρόταση είναι προφανής.

151. ΠΡΟΤΑΣΗ

Έστω Ο=ΗxΚ και Η’={(α,1) | αΗ} και Κ’={(1,β) | βΚ}. Τότε ισχύουν οι επόμενες σχέσεις.

1) Η’ Η, Κ’ Κ.

2) Η’ Ο, Κ’ Ο.

3) Ο=Η’Κ’ και Η’ Κ’={(1,1)}.

4) Ο=Η’Κ’.

Ο ορισμός του ευθέως γινομένου γενικεύεται για περισσότερους όρους.

152. ΟΡΙΣΜΟΣ

Η ομάδα Ο καλείται εσωτερικό ευθύ γινόμενο των υποομάδων της Ηi iI εάν

Hi Ο,

Η ομάδα Ο γεννάται από τις υποομάδες Ηi και

Ηi < υποομάδα που γεννάται από τις υπόλοιπες >={1}, iI.

Το γινόμενο αυτό καλείται και ευθύ άθροισμα και συμβολίζεται με Ο=⊕𝑖∈𝐼Hi.

Σημειώνουμε ότι αυτό το γινόμενο δεν περιέχει ακολουθίες στοιχείων από τις Ηi. Αντιθέτως περιέχει πεπερασμένου πλήθους γινόμενα στοιχείων από τις Ηi. Και η πράξη ορίζεται μεταξύ πεπερασμένου πλήθους πεπερασμένων γινομένων.

153. ΘΕΩΡΗΜΑ

Οι επόμενες προτάσεις είναι ισοδύναμες.

1) Ο=⊕𝑖∈𝐼Hi.

2) Αν i j, τότε αiβj =βjαi για όλα τα αiΗi και βjHj. Κάθε στοιχείο γ της Ο γράφεται μοναδικά

1 2 ki i i με j ji iH και j ti i για j t.

133

154. ΟΡΙΣΜΟΣ

Η ομάδα Ο καλείται εξωτερικό ευθύ γινόμενο (external product) των ομάδων Ηi iI εάν είναι το καρτεσιανό γινόμενο αυτών

i I iO X H .

Τα στοιχεία της δίνονται σαν όροι ακολουθίας και η πράξη ορίζεται κατά συντεταγμένη.

Αν το Ι είναι άπειρο, το εσωτερικό ευθύ γινόμενο και το εξωτερικό ευθύ γινόμενο δεν είναι ισοδύναμα. Φυσικά καμία ομάδα Ηi δεν είναι τετριμμένη.

Αν η Ο είναι το εσωτερικό γινόμενο δυο υποομάδων της, τότε καθορίζεται πλήρως από τις υποομάδες Η και Κ. Αν υποθέσουμε ότι μόνο μια από αυτές είναι κανονική, η Η, τότε η Ο δεν καθορίζεται πλήρως όπως θα δούμε αμέσως.

155. ΟΡΙΣΜΟΣ

Η ομάδα Ο καλείται ημιευθύ γινόμενο (semi direct product) των υποομάδων της Η και Κ εάν

H Ο, Ο=ΗΚ και Η Κ={1}.

Παρατηρήσεις. 1) Επειδή Η Κ={1}, ισχύει ότι Κ=Ο/Η.

2) Αν αΗ και βΚ, δεν ισχύει ότι αβ=βα αλλά βα=α’β’ με α’Η και β’Κ. Αν φυσικά αβ=α’β’, τότε α=α’ και β=β’. 3) Οι ισομετρίες (στροφές σύνθεση μεταφορές) στον Ευκλέιδειο χώρο αποτελούν ημιευθύ γινόμενο. Γνωρίζουμε ότι το σύνολο των αυτομορφισμών μιας ομάδας Ο αποτελεί ομάδα με τη σύνθεση και συμβολίζεται Aut(O). Κάθε στοιχείο α της Ο ορίζει έναν αυτομορφισμό ως προς συζυγία

τα : Ο Ο με τύπο τα(β)=αβα-1. Αυτού του είδους οι αυτομορφισμοί καλούνται εσωτερικοί και συμβολίζονται με Inn(O). Διαφορετικά καλούνται εξωτερικοί και συμβολίζονται με Out(O). Ισχύει ότι

Inn(O) Aut(O). Ορίζεται λοιπόν ένας ομομορφισμός

Φ : Ο Aut(O) με τύπο Φ(α)(β)=τα(β)=αβα-1. Ο πυρήνας του Φ είναι το κέντρο της Ο, ker(Φ)=Ζ(Ο). Άρα Ο/Ζ(Ο) Inn(O). Αν βέβαια η Ο είναι αβελιανή, τότε Ο=Ζ(Ο) και κάθε μη-τετριμμένος αυτομορφισμός είναι εξωτερικός.


1 3 4

Παράδειγμα. Έστω Ο= 2 x 2 . Η Ο μπορεί να θεωρηθεί σαν διανυσματικός χώρος

διάστασης δύο πάνω από το σώμα 2 με την πρόσθεση. Άρα Aut(O) GL(2, 2 ). Η GL(2, 2

) έχει τάξη 6. Επίσης γνωρίζουμε ότι υπάρχουν μόνο δυο μη-ισόμορφες ομάδες τάξης 6. Μια

αβελιανή η 3 x 2 και μια μη-αβελιανή η Σ3. Άρα Aut(O) Σ3. Εύκολα δείχνουμε ότι Aut(Σ3)

Σ3.

156. ΠΡΟΤΑΣΗ

Έστω Ο το ημιευθύ γινόμενο των Η και Κ, τότε

1) Η απεικόνιση φ: KAut(H) με τύπο φ(β)(α)=βαβ-1 για κάθε αΗ και βΚ είναι ομομορφισμός.

2) Κάθε στοιχείο γ της Ο έχει μοναδική αναπαράσταση γ=αβ με αΗ και βΚ.

3) Το γινόμενο δίνεται από (α,β)(δ,ζ) |αφ(β)(δ)βζ.

Εδώ χρησιμοποιούμε το ζεύγος (α,β) αντί του στοιχείου αβ για να τονίσουμε τον τρόπο με τον οποίο δίνεται το γινόμενο.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1) Αφού Η Ο, ο εσωτερικός αυτομορφισμός δίνει τη φ(β) και η φ είναι ομομορφισμός.

2) Είναι αποτέλεσμα του ορισμού.

3) αφ(β)(δ)βζ=αβδβ-1βζ=αβδζ=(α,β)(δ,ζ). ■

Αν Ο ομάδα και Η, Κ υποομάσες ώστε Ο=ΗΚ με μοναδική αναπαράσταση, τότε υπάρχει μια 1-1 και επί απεικόνιση Ψ: O→HxK. Το ερώτημα που τίθεται είναι αν αυτή η απεικόνιση γίνεται ομομορφισμός με κάποια δομή ομάδας στο καρτεσιανιό γινόμενο HxK. Στην περίπτωση που οι υποομάδες είναι τυχαίες, τότε το ερώτημα είναι πολύ γενικό. Αν όμως υποθέσουμε ότι η μία είναι κανονική, τότε μπορεί να υπάρξει μέθοδος αντιμετώπισης. Ουσιαστικά ζητάμε έναν τρόπο ώστε το γινόμενο βα να γράφεται α’β’ με α και α’ στοιχεία της Η και β και β’ στοιχεία της Κ. Προφανώς η περίπτωση βα=αβ δίνει το ευθύ γινόμενο. Διαφορετικά έχουμε μια δράση των στοιχείων της Κ στα στοιχεία της Η. Με απλά λόγια έναν ομομορφισμό φ: K→Αut(H) και το βα γίνεται φ(β)(α)β.

Ας εφαρμόσουμε το προηγούμενο στην Σ3.

Παράδειγμα. Έστω Ο=Σ3={1, f, f2, g, fg, f2g}. Η υποομάδα της Η=<f> είναι ισόμορφη

με την 3 και η Κ=<g> με την 2 . Οι αυτομορφισμοί της Η αποτελούνται από τον

τετριμμένο και αυτόν που απεικονίζει το f στο f2. Δηλαδή είναι ισόμορφοι με την 2 .

135

Ας πάρουμε πρώτα την απεικόνιση φ να είναι η ταυτοτική και ας δούμε πως διαμορφώνεται το γινόμενο.

(figt)(fjgs)=fiφ(gt)(fj)gtgs=fifjgt+s=fi+jgt+s .

Δηλαδή όταν η φ είναι η ταυτοτική, τότε το γινόμενο ταυτίζεται με το γινόμενο του εξωτερικού γινομένου των Η και Κ. Άρα η ομάδα είναι

HxK 3 x 2 .

Ας πάρουμε τώρα την περίπτωση φ(g)(f )=f2 και ας μελετήσουμε το γινόμενο.

(fg)(fg)=fφ(g)(f)gg=ff2g2=1

(fg)(f2g)=fφ(g)(f2)gg=ffg2=f2

(f2g)(fg)=f2φ(g)(f)gg=f2f2g2=f

(f2g)(f2g)=f2φ(g)(f2)gg=f2fg2=1

(f1)(fg)=fφ(1)(f)g= f2g

(f2g)(f1)=f2φ(g)(f)g=f2f2g=fg

Δεν είναι τίποτα περισσότερο από το γινόμενο της Σ3, άλλωστε υπάρχουν μόνο δυο ομάδες τάξης 6, όπως γνωρίζουμε. ■

Θα χρησιμοποιήσουμε τώρα την φ για να ορίσουμε γινόμενο στο σύνολο των ζευγών (α,β)

με αΗ και βΚ.

157. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω Η και Κ ομάδες μαζί με έναν ομομορφισμό φ: Κ Aut(Η). Στο σύνολο HxK ορίζουμε μια πράξη ως εξής

(α,β)(δ,ζ)=(αφ(β)(δ),βζ).

158. ΘΕΩΡΗΜΑ

Το σύνολο ΗxK με την προηγούμενη πράξη αποτελεί ομάδα Ο την οποία

συμβολίζουμε με Ο=ΗxφK. Επιπλέον ισχύει ότι Η’ Ο και Κ’ Ο/Η’. Όπου

Η’={(α,1)|αΗ} και Κ’={(1,β)|βΚ}.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θα δώσουμε την απόδειξη με λεπτομέρειες ώστε να υπάρξει εξοικείωση με το νέο γινόμενο.


1 3 6

Ας δούμε πρώτα τα ουδέτερα στοιχεία.

(1,1)(δ,ζ)=(φ(1)(δ),ζ)=(δ,ζ)

(α,β)(1,1)=(αφ(β)(1),β)=(α,β).

Θα δείξουμε ότι το (φ(β-1)(α-1),β-1) είναι το αντίστροφο του (α,β).

(α,β) (φ(β-1)(α-1),β-1)= (αφ(β)(φ(β-1)(α-1)), ββ-1)= (αφ(1)(α-1),1)=(1,1)

(φ(β-1)(α-1),β-1)(α,β)= (φ(β-1)(α-1)φ(β-1)(α),β-1),ββ-1)= (φ(β-1)(αα-1),1)= (φ(β-1)(1),1)=(1,1)

Απομένει η προσεταιριστικότητα.

(α,β)((δ,ζ)(η,θ))=(α,β)(δφ(ζ)(η),ζθ)=(αφ(β)( δφ(ζ)(η),β(ζθ))=(α(φ(β)(δ)φ(β)φ(ζ)(η)),βζθ)=

(α(φ(β)(δφ(βζ)(η),βζθ)=(α(φ(β)(δ)φ(β)φ(ζ)(η)),βζθ)= (αφ(β)(δ)φ(βζ)(η),βζθ)=

(α(φ(β)(δ), αδ)(η,θ)=((α,β)(δ,ζ))(η,θ)

Θα δείξουμε τώρα ότι Η’ Ο.

(α,β) (δ,1)(φ(β-1)(α-1),β-1)=(αφ(β)(δ),β)(φ(β-1)(α-1),β-1)=(αφ(β)(δ)φ(β)(φ(β-1)(α-1)),ββ-1)=

(αφ(β)(δ)α-1,1)Η’

Η σχέση Κ’ Ο/Η’ είναι προφανής. ■

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Το προηγούμενο θεώρημα μας λέει ότι η Ο είναι ημιευθύ γινόμενο των Η’ και Κ’. Σ’ αυτήν την περίπτωση λέμε ότι η Ο διασπάται πάνω από την Η’. Προφανώς η διάσπαση εξαρτάται από τις Η, Κ και τον φ.

Ας δούμε άλλη μια εφαρμογή του ημιευθέος γινομένου.

Έστω Η ομάδα και Κ Aut(H) με φ=1. Το ημιευθύ γινόμενο Ηx1Aut(H) Ηοl(Η) είναι το ολόμορφο της Η. Το ολόμορφο ορίζεται σαν η κανονικοποιούσα της δεξιάς κανονικής αναπαράστασης της Η, R(H), στη συμμετρική ομάδα ΣΗ

Hol(H)=NΣ(R(H)).

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Το ημιευθύ γινόμενο είναι μέρος ενός σημαντικού προβλήματος της θεωρίας ομάδων:

Έστω Η και Κ ομάδες, υπάρχει ομάδα Ο ώστε Η Ο και Κ Ο/Η; Και αν υπάρχουν τέτοιες ομάδες, πόσες μη-ισοδύναμες υπάρχουν;

Η απλούστερη περίπτωση ανάγεται στις απλές ομάδες. Π.χ. Η= p και Κ= q με p και q

πρώτους. ■

Ας μελετήσουμε ένα τρόπο να αντιμετωπίσουμε αυτό το πρόβλημα.

137

Εφόσον Η Ο, για κάθε αΟ η απεικόνιση τα:ΗΗ με τύπο τα(η)=αηα-1 είναι

αυτομορφισμός και μάλιστα ισχύει ταβ=τατβAut(Η) για όλα τα α και β στην Ο. Ορίζεται λοιπόν η απεικόνιση

φ: ΟAut(Η).

με τύπο φ(α)=τα η οποία είναι ομομορφισμός. Ο περιορισμός της φ στην Η δίνει εσωτερικούς αυτομορφισμούς της Η. Αν αΗ, τότε η απεικόνιση τα δεν είναι απαραίτητα εσωτερικός

αυτομορφισμός. Ας δούμε ένα παράδειγμα. Έστω Η= p , επειδή η p είναι κυκλική δεν έχει

εσωτερικούς αυτομορφισμούς, Inn( p )={1}. Δηλαδή Aut( p )=Out( p ) και μάλιστα Aut(

p ) 1p .

Παράδειγμα. Έστω Η= 7 και Κ= 3 . Τότε | Aut( 7 )|=φ(7)=6 (συνάρτηση του

Euler) και Aut( 7 ) C6 και ας βρούμε ένα γεννήτορα της Aut( 7 ). Το 3 γεννά την ( 7 )*

και ο πολλαπλασιασμός επί 3mod7 δίνει γεννήτορα της Aut( 7 ):

x3: 7 7 n 3nmod7.

Ο αυτομορφισμός x32 : 7 7 x2: 7 7 δηλαδή n 9nmod7 2nmod7 έχει τάξη 3.

Υπάρχει λοιπόν ομομορφισμός από τη 3 στην Aut( 7 ) ο οποίος απεικονίζει το γεννήτορα

της 3 στον αυτομορφισμό 2nmod7.

Έστω φ: 3 Aut( 7 ) με τύπο φ(1)= 2mod7. Η απεικόνιση φ είναι ομομορφισμός ομάδων

και μαζί με τις 3 και 7 δίνουν με τη βοήθεια του ημιευθέος γινομένου μια επέκταση

Ο= 7 xφ 3 .■

159. ΛΗΜΜΑ

Έστω ομομορφισμός φ: ΟΚ και Η Ο, Υ Κ ώστε φ(Η)Υ. Τότε ο φ

επάγει ομομορφισμό ως εξής

: Ο/Η Κ/Υ.


1 3 8

160. ΠΟΡΙΣΜΑ

Έστω Η Ο και ο ομομορφισμός φ: ΟAut(Η). Τότε ο φ επάγει ομομορφισμό ως εξής

: Ο/Η Aut(Η)/Inn(Η) Out(Η).

Για λόγους συντόμευσης και επειδή δεν υπάρχει πρόβλημα παρανόησης, θα γράφουμε Ο=ΗxφΚ και θα θεωρούμε ότι οι ομάδες Η και Κ είναι υποομάδες της Ο. Δηλαδή θα ταυτίζουμε τις Η και Κ με τις Η’ και Κ’ αντίστοιχα.

161. ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω ομομορφισμός φ: ΚAut(Η). Υπάρχει ομάδα Ο=ΗxφΚ με Η Ο και Κ Ο/Η. Επίσης ο επαγόμενος ομομορφισμός φ

: ΚOut(Η)

είναι η σύνθεση μέσω της προβολής π: Aut(Η) Out(Η).

Παράδειγμα. 1) Θεωρούμε τις κυκλικές 2 ≅C2=<g> και n ≅Cn=<f> σαν

πολλαπλασιαστικές ομάδες. Έστω η απεικόνιση φ: C2 Aut(Cn) με τύπο φ(1)=1 και φ(g)=ψ με

ψ(α)=α-1 για όλα τα α Cn. Η επαγόμενη επέκταση Cn Ο= Cn xφ C2 C2 δίνει Ο Dn τη διεδρική ομάδα τάξης 2n. Ας το δούμε αναλυτικά. Χρησιμοποιούμε την αναπαράσταση της Dn. Θα βρούμε το γινόμενο:

(fk,g)(fl,g)=(fkφ(g)(fl),gg)=(fkf-l,1)=fk-l.

Στην Dn με τους γνωστούς γεννήτορες f και g και τις γνωστές σχέσεις έχουμε

fk gflg= fkf-l=fk-l.

2) Θα δείξουμε ότι υπάρχει ομάδα Ο τάξης 12 μη-αβελιανή, μη-ισόμορφη με την Α4. Γνωρίζουμε ότι η Ο έχει υποομάδες τάξης 4 και 3 αντίστοιχα. Ας είναι αυτές οι C4 και C3. Υποθέτουμε ότι η C3 είναι κανονική. Σύμφωνα με το Θεώρημα του Sylow η Ο δεν είναι

ισόμορφη με την Α4 η οποία έχει 4 συζυγείς υποομάδες τάξης 3. Έστω φ: C4 Aut(C3) C2 με τύπο φ(β)(α)=α2. Εδώ θεωρούμε ότι η C4 είναι πολλαπλασιαστική με γεννήτορα το β και η C3 με γεννήτορα το α. Τώρα η Ο= C3 xφC4 ικανοποιεί τις απαιτήσεις και γεννάται από τα στοιχεία α και β με σχέσεις α3=1, β4=1 και

(α,β)(α,β-1)=(αφ(β)(α),ββ-1)=(αα2,1)=(1,1)=1.

Δηλαδή αβαβ-1=1. ■

139

3) Έστω Ο με τάξη 28. Γνωρίζουμε ότι έχει γνήσια μη-τριμμένη κανονική υποομάδα. Υπάρχουν δύο μη τετριμμένα ημιευθέα γινόμενα, η διεδρικκή τάξης 28 (C7 xφC4) και η C7xφ(C2xC2) . Θα μελετήσουμε τώρα κριτήρια ώστε δυο ημιευθέα γινόμενα να είναι ισόμορφα.

162. ΠΡΟΤΑΣΗ

Έστω Ο=ΗxφK και Ο=Ηxφ’K ώστε να υπάρχει f Aut(Η) με

φ’(β)=f(φ(β)(f-1)) για όλα τα βΚ.

Τότε η απεικόνιση ψ: ΗxφKΗxφ’K με τύπο ψ(α,β)=(f(α),β) με αΗ είναι ισομορφισμός.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω (α,β) ΗxφK και ψ(α,β)=(f(α),β). Τότε ψ(α,β) ψ(α΄,β΄)=(f(α),β) (f(α΄),β΄)=(f(α)φ’(β)(f(α΄)),ββ΄)=

=(f(α)(f(φ(β)(f-1)( f(α΄)),ββ΄)=(f(α)f(φ(β)(α΄)),ββ΄)

Αλλά ψ(α,β) ψ(α΄,β΄)= ψ(αφ(β)(α΄),ββ΄)=(f(α)f(φ(β)(α΄)),ββ΄)

Ο ψ λοιπόν είναι ομομορφισμός και η απεικόνιση (α,β) (f-1(α),β)

είναι επίσης ομομορφισμός αντίστροφος του ψ. Άρα είναι ισομορφισμός. ■

163. ΠΟΡΙΣΜΑ

Αν φ=φ’f με f Aut(Κ), τότε η απεικόνιση

ψ: ΗxφKΗxφ’K με τύπο ψ(α,β)=(α,f(β))

είναι ισομορφισμός.

Θα αναφερθούμε τώρα σε βασικές έννοιες από τις επεκτάσεις ομάδων.

164. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω οι ομάδες 1, Η, Ο, και Κ. Η ακολουθία

1 Η i Ο K 1

καλείται σύντομη ακριβής ακολουθία ομάδων αν ο i είναι μονομορφισμός, ο π επιμορφισμός και ισχύει ότι ker(π)=Im(i).

Σε μια ακριβή ακολουθία η υποομάδα i(H) είναι κανονική στην Ο και συνήθως ταυτίζεται


1 4 0

με την Η. Επίσης Ο/i(Η) Κ. Μια ακριβής ακολουθία καλείται και μια επέκταση των Η και Κ. Ένα ημιευθύ γινόμενο Ο= ΗxφK ορίζει μια ακριβή ακολουθία

1 Η i Ο=ΗxφK K 1

η οποία ικανοποιεί μια επιπλέον ιδιότητα. Υπάρχει απεικόνιση υ: KΟ=ΗxφK με πυ=1 την ταυτοτική στην Κ ή ισοδύναμα υπάρχει Κ΄ υποομάδα της Ο ώστε Κ΄ Κ. Η απεικόνιση υ καλείται section. Οι ακολουθίες μ’ αυτήν την έξτρα ιδιότητα καλούνται διασπώμενες σύντομες ακριβείς ακολουθίες. Μία ακολουθία ομάδων

Ο1 1 Ο2 → 2

…. → 1 Ον καλείται ακριβής, αν Imφi=Kerφi+1.

Παράδειγμα. 1) Κάθε ημιευθύ γινόμενο ορίζει διασπώμενη ακολουθία.

2) Η ακριβής ακολουθία

0 2 2 4 mod2 2 0

δεν είναι διασπώμενη.

Παράδειγμα. 1) Έστω η απεικόνιση φ: 2 Aut(Cn) με τύπο φ(0)=1 και φ(1)=ψ με

ψ(α)=α-1 για όλα τα α Cn. Η επαγόμενη επέκταση Cn Ο= Cnxφ 2 2 δίνει Ο Dn τη

διεδρική ομάδα τάξης 2n.

2) Η συμμετρική ομάδα Σν=Ανxφ 2 .

1 Αν → Σν → 2 0.

3) Η άπειρη διεδρική ομάδα D∞=ℤxφ 2 η οποία είναι το ελεύθερο γινόμενο 2 * 2 .

0 ℤ → D∞→ 2 0.

Ένας άλλος τρόπος να δούμε την ίδια ομάδα είναι μέσω της αφινικής ομάδας A(n,ℝ) η οποία αποτελείται από τους μετασχηματισμούς

141

g:ℝn → ℝn με τύπο g(u)=Au+w.

Εδώ ο Α είναι στοιχείο της GL(n,ℝn).

1 ℝn → A(n,ℝ) 𝑓→ GL(n,ℝn) 1.

Εδώ η f «ξεχνά» το κομμάτι της μεταφοράς.

Ισχύει ότι D∞≡ A(n,ℤ). ■

Αναφέρουμε χωρίς απόδειξη ένα κριτήριο για διασπώμενες επεκτάσεις ομάδων.

165. ΘΕΩΡΗΜΑ (Schur - Zassenhaus)

Μια επέκταση πεπερασμένων ομάδων Η και Κ είναι διασπώμενη, εάν οι τάξεις τους είναι σχετικά πρώτες μεταξύ τους.


1 4 2

1) Δείξτε ότι Σν Ανxφ 2 .

2) Η ομάδα των τεταρτονίων δεν είναι ημιευθύ γινόμενο.

3) Έστω π πρώτος, τότε η 2 δεν είναι ημιευθύ γινόμενο.

4) Έστω Ο=GL(2,A) όπου Α οποιοδήποτε σώμα. Έστω Τ η υποομάδα των άνω

τριγωνικών πινάκων 0

, Δ η υποομάδα των διαγώνιων πινάκων

0

0

και Υ η

υποομάδα των άνω τριγωνικών πινάκων 1

0 1

. Δείξτε ότι Υ Τ, Τ=ΥΔ και Υ Δ={

1 0

0 1

}.

5) Έστω Ο η ομάδα των τετερτονίων. Δείξτε ότι Aut(O) Σ4.

143

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΟΜΑΔΕΣ - ΕΛΕΥΘΕΡΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ &

ΑΜΑΛΓΑΜΑΤΑ ΟΜΑΔΩΝ

Μία ομάδα περιγράφεται από το σύνολο των γεννητόρων της και το σύνολο των σχέσεων

μεταξύ τους. Ένα συνηθισμένο ερώτημα στη θεωρία ομάδων είναι το εξής. Ένα γινόμενο γεννητόρων ισούται με το ταυτοτικό στοιχείο; Αυτό το ερώτημα είναι το γνωστό «word problem» το οποίο στη γενικότητά του είναι αναπάντητο. Θα μελετήσουμε το πρόβλημα αυτό από τη σκοπιά των ελεύθερων ομάδων δηλαδή των ομάδων για τις οποίες το σύνολο των σχέσεων είναι το κενό σύνολο. Δηλαδή η μοναδική σχέση την οποία δεχόμαστε είναι ότι το γινόμενο ενός στοιχείου και του αντιστρόφου είναι το μοναδιαίο στοιχείο. Το απλόυστερο παράδειγμα τέτοιας ομάδας είναι οι ακέραιοι. Οι εφαρμογές τους είναι πολλές και ξεφεύγουν από τη μαθηματική επιστήμη.

Γενικεύοντας τις ελεύθερες ομάδες θα ασχοληθούμε με τα ελεύθερα γινόμενα ομάδων τα οποία αποτελούν ειδική περίπτωση γινομένων αμαλγαμάτων ομάδων. Όπως και τα ελευθέρα γινόμενα έχουν μελετηθεί κυρίως λόγω των εφαρμογών τους στις ομοτοπικές ομάδες τοπολογικών χώρων. Η πρωταρχική ομάδα ενός τοπολογικού χώρου ο οποίος δημιουργείται από την «κόλληση» δύο τοπολογικών χώρων ως προς κοινό τοπολογικό υπόχωρο δίνεται σαν αμάλγαμα των αρχικών πρωταρχικών ομάδων σύμφωνα με το θεώρημα Siefert – van Kampen.

Θα δείξουμε ότι κάθε ομάδα είναι πηλίκο κάποιας ελεύθερης ομάδας και ότι κάθε υποομάδα μιας ελεύθερης ομάδας είναι επίσης ελεύθερη. Τo γνωστό θεώρημα Nielsen-Schrier.

Θα ξεκινήσουμε με τον καθολικό ορισμό ο οποίος δεν δίνει πληροφορίες για την κατασκευή μιας ελεύθερης ομάδας και θα επανέλθουμε στο πως κατασκευάζεται μια ελεύθερη ομάδα.

166. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω Ε(Χ) ομάδα και Χ υποσύνολό της. Η Ε(Χ) καλείται ελεύθερη ομάδα αν

δοθείσης απεικόνισης φ:Χ→Ο, όπου Ο ομάδα, υπάρχει μοναδικός ομομορφισμός

φ*:Ε(Χ)→Ο

ο οποίος επεκτείνει την φ.

Αν για Ο χρησιμοποιήσουμε την Ε(Χ) και για φ τον εγκλεισμό, τότε ο φ* είναι ο ταυτοτικός ομομορφισμός. Το σύνολο Χ καλείται βάση της Ε(Χ) και ο αριθμός |Χ| διάσταση της ελεύθερης ομάδας. Για τους ακεραίους μια βάση είναι η {1} και η διάσταση είναι 1.

Ο προηγούμενος ορισμός αναγκάζει την Ε(Χ) να μην έχει σχέσεις μεταξύ των γεννητόρων της.

Παραδείγματος χάριν, αν είχαμε x, y ∈X και xkym=1E, τότε σίγουρα θα μπορούσαμε να βρούμε

μια ομάδα Ο (π.χ. κυκλική τάξης k+m+1) ώστε (φ(x))k(φ(y))m≠1Ο. Τότε μια επέκταση φ* θα έδινε

1Ο=φ*(1Ε)= φ*(xkym)= (φ*(x))k (φ*(y))m=(φ(x))k (φ(y))m≠1Ο.


1 4 4

Η απαίτηση ότι ο φ* είναι μοναδικός μας εγγυάται ότι η Ε(Χ) γεννάται από το Χ.

167. ΠΡΟΤΑΣΗ

Αν το Χ αποτελεί βάση για την ελεύθερη ομάδα Ε, τότε το Χ γεννά την Ε.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας υποθέσουμε ότι Υ είναι η υποομάδα της Ε η οποία γεννάται από το Χ και

i:X→Y ο εγκλεισμός. Τότε υπάρχει μοναδικός ομομορφισμός φ:Ε→Υ ο οποίος επεκτείνει

τον i. Έστω τώρα ο φυσικός εγκλεισμός iY:Υ→Ε και iYφ|Χ ο περιορισμός της σύνθεσης στον Χ. Αλλά η iYφ|X =iYi είναι επέκταση της iYi και η επέκταση αυτή είναι η ταυτοτική από τη μοναδικότητα. Άρα Ε=Υ. ■

168. ΠΡΟΤΑΣΗ

Αν το Χ αποτελεί βάση για την ελεύθερη ομάδα Ε(Χ) και Υ για τη Ε(Υ), τότε η Ε(Χ) είναι ισόμορφη με την Ε(Υ) αν και μόνο αν |Χ|=|Υ|.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω |Χ|=|Υ|, τότε υπάρχουν απεικονίσεις f1:X→Y και f1-1:Y→X.

Επομένως έχουμε f1:X→Y↪E(Υ) και f1-1:Y→X↪E(Χ). Άρα υπάρχουν μοναδικοί

ομομορφισμοί φ1:Ε(Χ)→Ε(Υ) και φ2:Ε(Υ)→Ε(Χ). Δηλαδή φ2φ1|Χ=1Χ. Από τη μοναδικότητα θα έχουμε φ2φ1=1Ε και φ1φ2 =1Ε’.

Έστω τώρα ότι η Ε(Χ) και η Ε(Υ) είναι ισόμορφες ελεύθερες ομάδες. Το σύνολο των

ομομορφισμών από την Ε(Χ) στη 2 δίνεται από Hom(Ε(Χ), 2 ). Αντίστοιχα ορίζεται το

σύνολο Hom(Ε(Υ), 2 ). Από τον ισομορφισμό θα έχουμε ότι αυτά τα δύο σύνολα έχουν τον

ίδιο πληθικό αριθμό. Άρα υπάρχουν 2|Χ| ακριβώς απεικονίσεις μεταξύ Ε(Χ) και . Δηλαδή 2|Χ|=2|Υ| και |Χ|=|Υ|. ■

Έστω Χ={x1, x2, …} ένα σύνολο. Θα κατασκευάσουμε την ελεύθερη ομάδα με βάση το Χ. Θεωρούμε τα στοιχεία του Χ σαν σύμβολα και με Χ-1 συμβολίζουμε το σύνολο που περιέχει τα σύμβολα

Χ-1={ x1-1, x2

-1, …}.

Με Λ(Χ) συμβολίζουμε τη συλλογή όλων των πεπερασμένων συνδυασμών στοιχείων από το

Χ∪Χ-1. Τα στοιχεία από το Λ(Χ) καλούνται λέξεις. Αν w∈Λ(Χ) ορίζουμε το μήκος της λέξης

με |w| και είναι το πλήθος των στοιχείων του Χ∪Χ-1 τα οποία δημιουργούν τη λέξη .

Αν w= a1a2…an με ai ∈Χ∪Χ-1, τότε |w|=n.

Σημειώνουμε ότι τα ai δεν είναι απαραίτητα διακεκριμένα. Ορίζεται επίσης και η κενή λέξη με μήκος μηδέν.

145

169. ΟΡΙΣΜΟΣ

Μια λέξη w= a1a2…an με ai ∈Χ∪Χ-1 καλείται αναγμένη, αν ai+1 ≠ai-1 για όλα τα i.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω Χ={α, β} και Χ-1{α-1, β-1}. Η λέξη

w=β2αβ-3β2α-2β5

δεν είναι αναγμένη. Αναγμένη είναι η w=β2αβ-1α-2β5.

Αν δοθεί μια λέξη αφαιρούμε όλα τα ζεύγη μορφής ai ai-1 ώστε αυτή να γίνει αναγμένη. Αυστηρά

θα λέμε ότι ένας στοιχειώδης μετασχηματισμός μιας λέξης είναι η πρόσθεση ή αφαίρεση ενός ζεύγους ai ai

-1 από αυτήν. Θα λέμε ότι δυο λέξεις είναι ισοδύναμες αν η μια προέρχεται από την άλλη με στοιχειώδη μετασχηματισμό. Προφανώς η σχέση αυτή στο Λ(Χ) είναι σχέση ισοδυναμίας.

170. ΛΗΜΜΑ

Κάθε κλάση ισοδυναμίας της προηγούμενης σχέσης περιέχει ακριβώς μια ελαττωμένη λέξη.

Με [w] θα συμβολίζουμε την κλάση ισοδυναμίας της λέξης w με αναπαραστάτη την αναγμένη λέξη. Έστω E το σύνολο όλων των αναγμένων λέξεων μαζί με την κενή λέξη. Ορίζουμε μια πράξη ως εξής.

([w1],[w2])↦ [w1][w2]= [w1w2]

Δηλαδή θεωρούμε την κλάση ισοδυναμίας της λέξης w1w2 και γράφουμε την αντίστοιχη αναγμένη λέξη. Η πράξη αυτή είναι καλά ορισμένη, ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα, υπάρχει το ουδέτερο στοιχείο που είναι η κενή λέξη και η αντίθετη της w= a1a2…an είναι η

w-1=aν-1 aν-1

-1…a1-1. Οπότε η Ε γίνεται ομάδα. Θα δείξουμε ότι η Ε είναι ελεύθερη ομάδα.

171. ΘΕΩΡΗΜΑ

Το σύνολο Ε των κλάσεων ισοδυναμίας της προηγούμενης σχέσης στο Λ(Χ) με πράξη την παράθεση αποτελεί ελεύθερη ομάδα με βάση το Χ.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω Ο ομάδα και φ:Χ→Ο μια απεικόνιση. Ορίζουμε την φ*:Ε→Ο με

φ*( )=1Ο, φ*(ai)= φ(ai), φ*(ai-1)= φ(ai

-1) με ai∈X και φ*([a1a2…an])= φ*(a1) φ*(a2)… φ*(an).

Η φ* είναι μοναδική επέκταση της φ και θα δείξουμε ότι είναι ομομορφισμός ομάδων.


1 4 6

φ*([a1a2…an][b1b2…bk])= φ*([a1a2…an]) φ*([b1b2…bk]).

Έχουμε ότι φ*([a1a2…an][b1b2…bk])= φ*([a1a2…anb1b2…bk]). Αν an=b1-1, τότε

[a1a2…anb1b2…bk]= [a1a2…an-1b2…bk]) και συνεχίζουμε έως ότου καταλήξουμε σε ελαττωμένη λέξη [a1a2…aibn-i+1 …bk] ή την κενή λέξη.

φ*([a1a2…an][b1b2…bk])= φ*([a1a2…aibn-i+1 …bk])= φ*(a1) φ*(a2)… φ*(an) φ*(b1) φ*(b2)… φ*(bk). ■

Το σύνολο Χ μπορεί να έχει οποιοδήποτε πληθικό αριθμό. Οπότε υπάρχει και η αντίστοιχη ελεύθερη ομάδα.

172. ΘΕΩΡΗΜΑ

Κάθε ομάδα Ο είναι πηλίκο κάποιας ελεύθερης ομάδας.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω Υ το σύνολο των γεννητόρων της Ο και Χ ένα άλλο σύνολο ώστε |Υ|=|Χ|. Με Ε(Χ) συμβολίζουμε την αντίστοιχη ελεύθερη ομάδα. Υπάρχει επί απεικόνιση

φ:Χ→Υ↪Ο και επομένως μοναδική επέκταση ομάδων φ* :Ε(Χ)→Ο. Επειδή η φ* είναι επί του συνόλου των γεννητόρων της Ο θα είναι και επιμορφισμός. Από το πρώτο θεώρημα ισομορφισμών έχουμε το ζητούμενο. ■

Αμέσως θα αποδείξουμε το θεώρημα Nielsen-Schrier.

173. ΘΕΩΡΗΜΑ (Nielsen-Schrier)

Κάθε υποομάδα Κ ελεύθερης ομάδας Ε(Χ) είναι επίσης ελεύθερη ομάδα.

Θα πρέπει να βρούμε υποσύνολο Γ⊆Χ και να δείξουμε ότι η Κ είναι επίσης ελέυθερη στο Γ. Από

το αξίωμα της καλής διάταξης υπάρχει γραμμική διάταξη «<» στο Χ∪Χ-1 ώστε να είναι καλά διατεταγμένο. Η διάταξη αυτή επεκτείνεται και στην Ε(Χ).

174. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω αναγμένες λέξεις w= a1a2…an και v= b1b2…bk με ai, bj ∈Χ∪Χ-1. Ορίζουμε μια διάταξη «<» στην E(X) ως εξής. Αν n<k, τότε w<v. Αν n=k, τότε w<v αν και μόνο αν ai <bi για το μικρότερο i ώστε ai ≠bi. Η κενή λέξη είναι μικρότερη από όλες τις αναγμένες.

147

175. ΛΗΜΜΑ

Έστω w=a1a2…an να είναι μια αναγμένη λέξη και n>1. Αν v€Ε(Χ) και v< a1a2…an-1, τότε van<w.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν |v|<n-1, τότε |van|<n. Υποθέτουμε ότι |v|=n-1 και v< a1a2…an-1, άρα υπάρχει δείκτης i με 1≤i≤n-1 ώστε η v να διαφέρει στο i γράμμα από την a1a2…an-1. v=a1a2…ai-1bi…bn-1<a1a2…an-1. Δηλαδή bi<ai και έχουμε ότι van<w. ■

176. ΠΟΡΙΣΜΑ

Έστω Υ⊆Χ, τότε υπάρχει μονομορφισμός ομάδων φ*:Ε(Υ)→Ε(Χ).

Πριν προχωρήσουμε στην απόδειξη θα δώσουμε κάποιους απαραίτητους ορισμούς και θα αποδείξουμε κάποια λήμματα απαραίτητα για την απόδειξη του θεωρήματος Nielsen-Schrier. Ας αρχίσουμε με την έννοια του εγκάρσιου συνόλου κάποιας υποομάδας.

177. ΟΡΙΣΜΟΣ

1) Έστω Κ υποομάδα της ελεύθερης ομάδας Ε(Χ). Ένα υποσύνολο Β της Ε(Χ) καλείται δεξί εγκάρσιο υποσύνολο για την Κ, αν αποτελείται από ακριβώς ένα στοιχείο από κάθε δεξί σύμπλοκο της Κ.

2) Ένα υποσύνολο Υ της Ε(Χ) θα λάμε ότι έχει την ιδιότηα Schrier, για όλες τις μη τετριμμένες λέξεις w= a1a2…an θα ισχύει ότι αν w€Υ τότε a1a2…an-1 €Υ.

3) Ένα εγκάρσιο υποσύνολο το οποίο ικανοποιεί την ιδιότητα Schrier θα καλείται Schrier εγκάρσιο υποσύνολο.

178. ΛΗΜΜΑ

Κάθε Κ υποομάδα της ελεύθερης ομάδας Ε(Χ) έχει ένα Schrier εγκάρσιο υποσύνολο το οποίο δημιουργείται επιλέγοντας ένα ελάχιστο στοιχείο από κάθε δεξί σύμπλοκο της Κ.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω Β ένα εγκάρσιο υποσύνολο το οποίο περιέχει ένα ελάχιστο στοιχείο από κάθε σύμπλοκο. Θα δείξουμε ότι το Β είναι ένα Schrier εγκάρσιο υποσύνολο. Έστω ότι η λέξη a1a2…an-1 δεν ανήκει στο Β, τότε θα δείξουμε ότι ούτε η w= a1a2…an ανήκει στο Β. Αν λοιπόν η a1a2…an-1 δεν ανήκει στο Β, τότε υπάρχει ένα v€Ka1a2…an-1 ώστε v<w για όλες τις λέξεις w€ Ka1a2…an-1. Από τον ορισμό της v έχουμε v< a1a2…an-1 και van<a1a2…an.

Αλλά Kv=Ka1a2…an-1 και a1a2…an-1=vh. Άρα a1a2…an=vhan και Kvan =Ka1a2…an. Υπάρχει

λοιπόν στοιχείο μικρότερο του a1a2…an στο σύμπλοκο, οπότε a1a2…an ∉Β. ■


1 4 8

179. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω Β ένα Schrier εγκάρσιο υποσύνολο για την υποομάδα Κ της ελεύθερης

ομάδας Ε(Χ) και w€Ε(Χ). Συμβολίζουμε με �̅�το μοναδικό στοιχείο της τομής Kw∩B.

180. ΛΗΜΜΑ

Έστω w€Ε(Χ) και Β ένα Schrier εγκάρσιο υποσύνολο για την υποομάδα Κ.

Ισχύουν τα εξής. α) �̅̅� = �̅�. β) �̅� = 𝒘 αν και μόνο αν w€B. γ) 𝒗𝒙̅̅̅̅ 𝒙−𝟏̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝒗 για x€X και v€B.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Το α) και β) είναι αποτέλεσμα του ορισμού. Για το γ) ισχύει ότι 𝐾𝑣𝑥 = 𝐾𝑣𝑥̅̅ ̅

και Kv=Kvx-1, άρα 𝑣𝑥̅̅ ̅𝑥−1̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑣. ■

181. ΛΗΜΜΑ

Έστω Β όπως προηγουμένως, τότε το σύνολο Α={𝒗𝒙(𝒗𝒙̅̅̅̅ )−𝟏 με v€Β και x€X} γεννά την υποομάδα Κ.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Πρώτα θα δείξουμε ότι το Α είναι υποσύνολο του Κ. Το στοιχείο 𝑣𝑥̅̅ ̅ ανήκει

σε κάποιο σύμπλοκο. Άρα 𝑣𝑥̅̅ ̅=vxh με h€K και vxK=𝑣𝑥̅̅ ̅K. Τότε h=vx(𝑣𝑥̅̅ ̅)-1€K. Έστω

k=x1…xn με xi€X. Ορίζουμε στοιχεία vi επαγωγικά ως εξής v1= η κενή λέξη, και vi+1=𝑣𝑖𝑥𝑖̅̅ ̅̅ ̅ με 1≤i≤n.

Έστω ai=vixi(vi+1)-1=vixi(𝑣𝑖𝑥𝑖̅̅ ̅̅ ̅)-1 τότε ai€A και a1…an=v1 x1…xn (vn+1)-1=h(vn+1)-1.

Άρα (vn+1)-1=h-1 a1…an€K και vn+1€K. Αλλά (vn+1)-1€B και B∩K={κενή λέξη}. Οπότε το (vn+1) είναι η κενή λέξη και το h είναι γινόμενο στοιχείων του Α. ■

182. ΛΗΜΜΑ

Έστω Β και Α όπως προηγουμένως. Έστω το σύνολο Γ={𝒗𝒙(𝒗𝒙̅̅̅̅ )−𝟏 με v€Β,

x€X και vx∉B}, �̅�={𝒗𝒙(𝒗𝒙̅̅̅̅ )−𝟏 με v€Β, x€X-1 και vx∉B}, και Γ-1={a-1, a€Γ},

τότε �̅�=Γ-1 και Α-{κενή λέξη}=Γ∪Γ-1.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω x€X∪X-1 και v∈B, τότε μπορούμε να γράψουμε

149

(vx(𝑣 𝑥̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )-1)-1= (𝑣 𝑥̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )x-1v-1=(𝑣 𝑥̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )x-1v-1(𝑣𝑥̅̅ ̅𝑥−1̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )-1.

Από προηγούμενο λήμμα έχουμε ότι

vx∉B, vx≠𝑣𝑥̅̅ ̅, v≠𝑣𝑥̅̅ ̅𝑥−1, 𝑣𝑥̅̅ ̅𝑥−1̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ≠𝑣𝑥̅̅ ̅x-1 𝑣𝑥̅̅ ̅x-1∉B.

Αν x€Χ, τότε Γ-1⊆𝛤 και αν x€X-1 τότε 𝛤⊆ Γ-1. ■

Με βάση τα προηγούμενα λήμματα προχωράμε στην απόδειξη του θεωρήματος.

Θα δείξουμε ότι το Γ αποτελεί βάση για την Κ. Από τα προηγούμενα λήμματα το Γ γεννά την Κ. Αρκεί να μην υπάρχει σχέση μεταξύ των γινομένων στοιχείων του Γ. Έστω w να είναι

w= a1…an με ai=vixi(𝑣𝑖𝑥𝑖̅̅ ̅̅ ̅)-1. Αλλά σ’ αυτό το γινόμενο υπάρχουν στοιχεία τα οποία δεν αναιρούνται μεταξύ τους και|w|>0. Οπότε η w δεν είναι η τετριμμένη λέξη. Άρα το Γ ικανοποιεί το κριτήριο ώστε να αποτελεί βάση για μια ελεύθερη ομάδα. ■

Η προηγούμενη απόδειξη μπορεί να γίνει με χρήση καλυπτικών χώρων σε γράφους.

ΕΛΕΥΘΕΡΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ & ΑΜΑΛΓΑΜΑΤΑ ΟΜΑΔΩΝ Σαν εφαρμογή των ελεύθερων ομάδων θα μελετήσουμε τα ελεύθερα γινόμενα ομάδων και τα αμαλγάματα ομάδων. Αυτά τα γινόμενα έχουν εφαρμογή στις ομοτοπικές ομάδες τοπολογικών χώρων όπως ήδη έχουμε αναφέρει..

Οι συλλογές που θα μελετήσουμε θα είναι το πολύ αριθμήσιμες.

Γνωρίζουμε ότι αν δοθεί μια συλλογή ομάδων {Οi, i€I} και ζητάται μια ομάδα Ο ώστε Ο i≤O, υπάρχουν δύο γνωστές

κατασκευές για την Ο. Η πρώτη δίνεται από το ευθύ άθροισμα, ⊕𝑖∈𝐼 𝑂𝑖 , και η δεύτερη από το ευθύ γινόμενο

∏𝑖∈𝐼𝑂𝑖∈𝐼. Το κοινό χαρακτηριστικό αυτών είναι η αντιμεταθετικότητα μεταξύ των στοιχείων διαφορετικών ομάδων. Αν ζητήσουμε να μην ισχύει αυτή η ιδιότητα. τότε μιλάμε για το ελεύθερο γινόμενο των Oi το οποίο συμβολίζεται με

∗𝑖∈𝐼 𝑂𝑖 .

183. ΟΡΙΣΜΟΣ

Το ελεύθερο γινόμενο των ομάδων {Οi, i€I} ορίζεται ως εξής. Για κάθε i€I έστω ένα ζεύγος γεννητόρων (Γι,Σι) και σχέσεων μεταξύ τους για την Οi,. Με Γ

συμβολίζουμε την ξένη ένωση ∐𝒊∈𝑰𝜞𝒊. Για κάθε i€I ορίζεται ο μονομορφισμός

ελεύθερων ομάδων Ε(Γi)↪ Ε(Γ) και με Σ συμβολίζουμε τις εικόνες των Σi στην

ελεύθερη ομάδα Ε(Γ) (Σi ⊆E(Γi)). Έστω <Σ> να είναι η κανονική υποομάδα της Ε(Γ) η οποία γεννάται από το Σ. Ορίζουμε το ελεύθερο γινόμενο των {Οi, i€I} να είναι το πηλίκο Ε(Γ)/<Σ>.

∗𝑖∈𝐼 𝑂𝑖 . := Ε(Γ)/<Σ>

Οι φυσικοί μονομορφισμοί Οi↪ ∗𝑖∈𝐼 𝑂𝑖 .καθορίζονται από τον μονομορφισμό ελεύθερων ομάδων

Ε(Γi)↪Ε(Γ) και τον επιμορφισμό Ε(Γi) ↠Oi.


1 5 0

Από τον ορισμό φαίνεται ότι το ελεύθερο γινόμενο ∗𝑖∈𝐼 𝑂𝑖 εξαρτάται από τα ζεύγη (Γ i, Σi ), θα δούμε ότι αυτό δεν αληθεύει. Τα ελεύθερα γινόμενα όπως και οι ελεύθερες ομάδες ικανοποιούν μια καθολική ιδιότητα η οποία περιγράφεται στην επόμενη πρόταση.

184. ΠΡΟΤΑΣΗ

Έστω Ο ομάδα και ομομορφισμός φ: ∗i∈I Oi. → O. Οι επαγόμενοι φυσικοί

ομομορφισμοί φi :Oi. →∗i∈I Oi. → O επάγουν μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία

Φ:Hom( ∗𝑖∈𝐼 𝑂𝑖 ., O) → ⨅𝑖∈𝐼Hom(𝑂𝑖 ., O).

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θα ορίσουμε μια απεικόνιση Ψ:⨅𝑖∈𝐼Hom(𝑂𝑖 ., O) → Hom( ∗𝑖∈𝐼 𝑂𝑖 ., O) η οποία θα αποτελεί αντίστροφη της της Φ.

Η οικογένεια {φi:Oi →O, i€I} δίνει μια οικογένεια ομομορφισμών {φi* :Ε(Γi ) →O, i€I } μέσω της σύνθεσης Ε(Γi )

→Οi →O της οποίας ο πυρήνας περιέχει τις σχέσεις Σi της Οi . Κατά συνέπεια ορίζεται ομομορφισμός Ε(Γ)→Ο μέσω των Ε(Γi ) →O του οποίου ο πυρήνας περιέχει όλες τις σχέσεις Σi , οπότε εφόσων είναι και κανονική υποομάδα θα περιέχει και την κανονική <Σ>. Ορίζεται λοιπόν ο επαγόμενος ομομορφισμός Ε(Γ)→Ο.

Άρα Ψ({φi })=φ και Φ(φ)={φi }. ■

185. ΠΟΡΙΣΜΑ

Έστω η οικογένεια {Oi , i€I} και δύο οικογένειες γεννητόρων και σχέσεων αυτών {(Γi , Σi, ) i€I} και {(Γi ‘, Σi,’ ) i€I}. Τότε τα αντίστοιχα ελευθέρα γινόμενα είναι ισόμορφα μεταξύ τους.

Θα προχωρήσουμε στα γινόμενα αμαλγαμάτων περιοριζόμενοι σε αμαλγάματα μεταξύ δύο μόνο ομάδων. Έστω ότι δίνονται τρεις ομάδες και δυο ομομορφισμοί ομάδων.

φ1:H→O1, φ2:H→O2

186. ΟΡΙΣΜΟΣ

Το γινόμενο αμάλγαμα, Ο1*ΗΟ2, ορίζεται ως εξής. Έστω Ν η κανονική υποομάδα του ελευθέρου γινομένου Ο1*Ο2 η οποία γεννάται από όλα τα στοιχεία φ1(h)φ2(h-1) για όλα τα h της Η, τότε

Ο1*ΗΟ2:= Ο1*Ο2/N.

Προφανώς το ελεύθερο γινόμενο αποτελεί ειδική περίπτωση του γινομένου αμαλγάματος για Η την τετριμμένη ομάδα.

Θα κλείσουμε την ενότητα με μια περιγραφή των ομομορφισμών ομάδων από ένα γινόμενο αμάλγαμα σε μια ομάδα. Ουσιαστικά μια καθολική ιδιότητα την οποία ικανοποιούν αυτά τα γινόμενα.

151

187. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω Ο ομάδα και ομάδες και ομομορφισμοί όπως προηγουμένως. Ορίζουμε το «γινόμενο»

Hom(O1., O) xHHom(O2., O)={(f1, f2)€ Hom(O1., O) xHom(O2., O) με φ1f1=φ2f2}.

Το προηγούμενο «γινόμενο» προέρχεται από τις ινώδεις δέσμες τωνχώρων ταξινόμησης.

188. ΠΡΟΤΑΣΗ

Υπάρχει ισομορφισμός μεταξύ των ομάδων

Hom(Ο1*ΗΟ2, O) και Hom(O1., O)xHHom(O2., O).

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Η ομάδα Hom(Ο1*ΗΟ2, O) είναι υποομάδα της Hom(Ο1*Ο2, O). Τα στοιχεία της Hom(Ο1*ΗΟ2, O) έχουν την ιδιότητα να είναι τετριμμένοι ομομορφισμοί όταν περιορίζονται στην κανονική υποομάδα Ν. Δηλαδή φ€Hom(Ο1*ΗΟ2, O) αν και μόνο αν φ(φ1(h)φ2(h)-1)=1 για όλα τα h€H. Επίσης η Hom(O1., O)xHHom(O2., O) είναι υποομάδα του καρτεσιανού γινομένου Hom(O1., O)xHom(O2., O) η οποία περιγράφεται από όλα τα στοιχεία για τα οποία ισχύει φ(φ1(h))=φ(φ2(h) για όλα τα h€H. Άρα υπάρχει μια ένα προς ένα και επί αντιστοιχία μεταξύ των προηγουμένων ομάδων. ■


1 5 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1) Να δείξετε ότι η ℤ2 ∗ ℤ2 είναι άπειρη ομάδα.

2) Να δείξετε ότι η ℤ2 ×𝜑 ℤ2 είναι ισόμορφη με την ℤ ∗ ℤ2. Εδώ φ€Aut(ℤ2).

3) Να δείξετε ότι η ℤ4 ∗ℤ2ℤ6 είναι ισόμορφη με την 𝑆𝐿(2, ℤ). Jean-Pierre Serre, Trees,

Springer-Verlag, 2003.

4) Να δείξετε ότι η ℤ2 ∗ ℤ3 είναι ισόμορφη με την 𝑃𝑆𝐿(2, ℤ). Amer. Mathematical Monthly 100, 1993, 385-386. Προσοχή ο ορισμός του β(ζ) θα πρέπει να είναι 1-1/ζ και όχι -1/ζ.

153

ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ - ΕΠΙΛΥΣΙΜΕΣ ΟΜΑΔΕΣ

Γνωρίζουμε ότι μια ομάδα Ο είναι απλή, αν οι μόνες κανονικές υποομάδες της είναι ο

εαυτός της και η τετριμμένη. Προφανώς μια απλή ομάδα δεν μπορεί να δοθεί σαν ημιευθύ γινόμενο υποομάδων της. Το πρώτο βήμα προς την ταξινόμηση των ομάδων είναι η ταξινόμηση των απλών ομάδων, το οποίο έχει γίνει για τις πεπερασμένες. Αν δοθούν τώρα δυο απλές ομάδες Η και Κ, πόσες μη-ισόμορφες επεκτάσεις μεταξύ των Η και Κ υπάρχουν; Με αυτό το σημαντικό πρόβλημα (και όχι μόνο για απλές ομάδες) ασχολείται ο κλάδος της συνομολογίας ομάδων. Η απάντηση εξαρτάται από το κέντρο της Η και τη δράση της Κ στο κέντρο. Η βασική μελέτη καθιερώθηκε από τους S. Eilenberg και S. MacLane το 1945. Κάθε μη-απλή ομάδα Ο έχει μια κανονική υποομάδα Η και ένα πηλίκο Κ=Ο/Η το οποίο είναι απλή ομάδα. Η Η τώρα θα είναι απλή ή όχι, οπότε θα έχει και αυτή ένα απλό πηλίκο και η διαδικασία αυτή με τα πηλίκα θα τερματιστεί, αν η Ο είναι πεπερασμένη. Σ’ αυτήν την ενότητα θα μελετήσουμε αυτή τη διαδικασία.

189. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω μια ομάδα Ο και μια πεπερασμένη ακολουθία υποομάδων της Ο=Α0, Α1,

…, Αν=1 ώστε Ακ Ακ-1

1=Αν Αν-1 ... Α1 Α0=Ο.

Η ακολουθία αυτή καλείται κανονική σειρά της Ο.

Δεν ισχύει πάντα ότι Ακ Ο. Επίσης ζητάμε Ακ≠Ακ-1.

Παράδειγμα. 1 Α3 Σ3.. ■

Μια κανονική σειρά δεν αποτελεί διάσπαση της ομάδας, αλλά διύλισή της. Αν μια ομάδα είναι ευθύ γινόμενο, τότε υπάρχει η προφανής σειρά.

Το πλήθος των υποομάδων καλείται μήκος της σειράς και τα πηλίκα Ακ/Ακ+1 πηλίκα της σειράς. Πάντα υπάρχει η τετριμμένη κανονική σειρά 1 Ο.

190. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω μια ομάδα Ο και δυο κανονικές σειρές της. Αυτές θα καλούνται ισόμορφες, αν έχουν το ίδιο μήκος και υπάρχει αντιστοιχία μεταξύ των πηλίκων τους ώστε αντίστοιχα πηλίκα να είναι ισόμορφα.

1=Αν Αν-1 ... Α1 Α0=Ο

1=Βμ Βμ-1 ... Β1 Β0=Ο


1 5 4

Παράδειγμα. Έστω Ο= 6 . Και Α=<2>, Β=<3>. Υπάρχουν δυο σειρές 1

Α Ο και 1 Β Ο. Επίσης Ο/Α Β/1 και Ο/Β Α/1. ■

Αν ένα πηλίκο Ακ-1/Ακ δεν είναι απλή ομάδα, τότε περιλεχει γνήσια κανονική υποομάδα

Ν/Ακ με Ακ<Ν<Ακ-1. Επειδή Ν/Ακ ⊲Ακ-1 /Ακ έχουμε Ακ⊲Ν⊲Ακ-1. Σ’ αυτήν την περίπτωση έχουμε μια καλύτερη διύλιση της Ο.

191. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω μια ομάδα Ο και δυο κανονικές σειρές της. Η δεύτερη θα καλείται εκλέπτυνση της πρώτης, αν μν και κάθε υποομάδα της πρώτης συμπίπτει με κάποια υποομάδα της δεύτερης.

1=Αν Αν-1 ... Α1 Α0=Ο

1=Βμ Βμ-1 ... Β1 Β0=Ο

192. ΘΕΩΡΗΜΑ (Schreier)

Δυο κανονικές σειρές της Ο έχουν ισόμορφες εκλεπτύνσεις.

Μια εκλέπτυνση θα καλείται γνήσια, αν έχει μεγαλύτερο μήκος από την αρχική.

193. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω μια ομάδα Ο και μια κανονική σειρά της ώστε να μην έχει γνήσια εκλέπτυνση. Αυτή θα καλείται συνθετική σειρά της Ο.

194. ΘΕΩΡΗΜΑ

Κάθε πεπερασμένη ομάδα έχει συνθετικές σειρές. Τα αντίστοιχα πηλίκα μιας συνθετικής σειράς μιας πεπερασμένης αβελιανής ομάδας έχουν τάξη πρώτο αριθμό.

Η ομάδα δεν έχει συνθετική σειρά.

Παράδειγμα. 1) Γνωρίζουμε ότι για ν μεγαλύτερο του 4, η Σν έχει μόνο τρεις κανονικές

υποομάδες: 1, Αν και Σν . Άρα έχει μοναδική συνθετική σειρά 1 Αν Σν.

155

2) Θα βρούμε τις συνθετικές σειρές της 24 =<1>. Οι γνήσιες υποομάδες της είναι οι

διαιρέτες του 24. Α12 =<2>, Α8 =<3>, Α6 =<4>, Α4 =<6>, Α3 =<8>, Α2 =<12> και η 1. Οι συνθετικές σειρές της είναι οι εξής.

1 Α2 Α4 Α12 24

1 Α3 Α6 Α12 24

1 Α2 Α6 Α12 24

1 Α2 Α4 Α8 24

Άλλες κανονικές σειρές θα προκύψουν, αν από τις προηγούμενες παραλείψουμε κάποιους όρους.

3) Μια συνθετική σειρά της Σ4 είναι

1 <(1,2)(3,4)> {1, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4) (1,4)(2,3)} Α4 Σ4. ■

195. ΠΡΟΤΑΣΗ

Έστω μια ομάδα Ο και μια κανονική σειρά της

1=Αν Αν-1 ... Α1 Α0=Ο

Τα επόμενα είναι ισοδύναμα.

1) Η σειρά είναι συνθετική.

2) Οι ομάδες Ακ/Ακ+1 είναι απλές.

3) Η Ακ+1 είναι μέγιστη κανονική υποομάδα της Ακ.

196. ΘΕΩΡΗΜΑ (Jordan- Holder)

Δυο συνθετικές σειρές της Ο είναι ισόμορφες.

Το προηγούμενο Θεώρημα μας υπενθυμίζει την πρωτογενή ανάλυση των φυσικών αριθμών. Μάλιστα, η πρωτογενής ανάλυση των φυσικών μπορεί να αντιμετωπισθεί σαν περίπτωση του

προηγουμένου Θεωρήματος. Πάρτε έναν φυσικό ν και βρείτε δύο συνθετικές σειρές της ℤν και συγκρίνετέ τες. Αν μια αβελιανή ομάδα έχει συνθετική σειρά, τότε πρέπει να είναι πεπερασμένη. Επίσης, αν μια ομάδα έχει συνθετική σειρά, δεν είναι σίγουρο ότι και κάθε υποομάδα της έχει επίσης. Αυτή η παρατήρηση εγείρει το ερώτημα «πως συμπεριφέρονται οι κανονικές σειρές ως προς


1 5 6

τις βασικές διεργασίες που έχουμε στις ομάδες». Δηλαδή σχετικά με υποομάδες, ή πηλίκα ομάδων.

197. ΟΡΙΣΜΟΣ

Μια ομάδα Ο καλείται επιλύσιμη, αν έχει κανονική σειρά της οποίας όλα τα πηλίκα είναι αβελιανές ομάδες. Μια τέτοια σειρά καλείται επίσης επιλύσιμη.

Με απλά λόγια μια ομάδα είναι επιλύσιμη, αν μπορεί να δημιουργηθεί από επεκτάσεις αβελιανών ομάδων. Το πώς είναι ένα μεγάλο πρόβλημα στη Θεωρία Ομάδων. Γνωρίζουμε ότι μια αβελιανή ομάδα είναι απλή αν και μόνο αν είναι κυκλική πεπερασμένης πρώτης τάξης. Άρα μια ομάδα είναι επιλύσιμη αν και μόνο αν μια συνθετική σειρά της έχει πηλίκα κυκλικές ομάδες πρώτης τάξης. Εδώ υποθέτουμε ότι υπάρχει η συνθετική σειρά. Η έννοια της επιλυσιμότητας προέρχεται από τη Θεωρία του Galois. Πολυώνυμα στο

δακτύλιο ℚ[x] έχουν ρίζες που μπορούν να περιγραφούν με ριζικά, όταν η αντίστοιχη ομάδα Galois είναι επιλύσιμη με την προηγούμενη έννοια.

Παράδειγμα. 1) Γνωρίζουμε ότι για ν μεγαλύτερο του 4, η Σν δεν είναι επιλύσιμη γιατί έχει

μοναδική συνθετική σειρά 1 Αν Σν. και το πηλίκο Αν/1 είναι απλή μη-αβελιανή.

2) Οι αβελιανές είναι επιλύσιμες.

3) Η σειρά 1 Α3 Σ3. είναι επιλύσιμος.

4) Η σειρά της Σ4 είναι επιλύσιμος

1 <(1,2)(3,4)> {1, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4) (1,4)(2,3)} Α4 Σ4.

5) Ας μελετήσουμε τη διεδρική D4=< αiβ | α4=β2=1 και βαiβ=α-i > . Γνωρίσουμε ότι υπάρχουν τρεις υποομάδες τάξης τέσσερα και πέντε τάξης δυο. Οι συνθετικές σειρές είναι οι επόμενες.

1 <α2> <α> D4

1 <α> <α2,β> D4

1 <β> <α2,β> D4

1 <α2β> <α2,β> D4

1 <α2> <α2,αβ> D4

1 <αβ> <α2,αβ> D4

1 <α3β> <α2,αβ> D4

157

6) Ας δούμε το ίδιο πρόβλημα για την Dπ με π πρώτος. Επειδή έχει τάξη 2π, υπάρχουν υποομάδες τάξης 2 και π. Για π>2, το θεώρημα του Sylow δηλώνει υπάρχει μόνο μια υποομάδα τάξης π και είναι κανονική. Αυτή είναι η <α>. Ενώ υπάρχουν πολλές υποομάδες τάξης 2. Υπάρχει λοιπόν μια συνθετική σειρά 1 <α> Dπ. ■

198. ΘΕΩΡΗΜΑ (Feit - Thompson)

Κάθε ομάδα περιττής τάξης είναι επιλύσιμη.

Παράδειγμα. 1) Η η διεδρική Dν=< αiβ | αν=β2=1 και βαiβ=α-i > είναι επιλύσιμη. Η

<α> είναι κανονική δείκτη 2 . Άρα η σειρά 1 <α> Dν. είναι επιλύσιμη. 2) Αν η Ο έχει τάξη πρ με π και ρ διακεκριμένους πρώτους, τότε είναι επιλύσιμη. Έστω π>ρ. Από το θεώρημα του Sylow αυτή που έχει τάξη π είναι κανονική δείκτη ρ. Άρα η Ο/Υ είναι κυκλική και η σειρά 1 Υ Ο. είναι επιλύσιμη. ■

199. ΠΡΟΤΑΣΗ

Κάθε υποομάδα και κάθε πηλίκο επιλύσιμης ομάδας είναι επίσης επιλύσιμα.

200. ΠΟΡΙΣΜΑ

Μια πεπερασμένη π-ομάδα είναι επιλύσιμη.

Μια ομάδα Ο είναι αβελιανή αν και μόνο αν Ζ(Ο)=Ο. Επίσης, αν Υ≤Ζ(Ο), τότε η Υ είναι κανονική στην Ο. Θα αναφερθούμε τώρα στις ανώτερες και κατώτερες κεντρικές σειρές. Έστω Ο ομάδα και Ζ(Ο) το κέντρο της. Τότε το κέντρο της Ο/Ζ(Ο) είναι της μορφής Ζ2(Ο)/Ζ(Ο) με Ζ2(Ο) κάποια κανονική υποομάδα της Ο η οποία περιέχει την Ζ(Ο). Με αυτόν τον τρόπο ορίζεται η ακολουθία υποομάδων

1=Ζ0(Ο)Ζ1(Ο)=Ζ(Ο) Ζ2(Ο) …Ζκ(Ο) … Αν έχει ορισθεί η κανονική Ζκ(Ο), τότε ορίζεται η κανονική Ζκ+1(Ο) με Ζκ+1(Ο)/Ζκ(Ο) να είναι το κέντρο της Ο/Ζκ(Ο). Η ακολουθία αυτή καλείται ανώτερη κεντρική σειρά της Ο. Οι όροι της ακολουθίας αυτής έχουν ιδιαίτερες ιδιότητες. Σε μέρος της βιβλιογραφίας, η ανώτερη κεντρική σειρά ορίζεται σαν γενίκευση του ορισμού που χρησιμοποιήσαμε. Επειδή η ανώτερη κεντρική σειρά και η παράγωγος, που θα ορισθεί πιο κάτω, συνδέονται άμεσα με το κέντρο και το μεταθέτη μιάς ομάδας αντίστοιχα, δεν χάνουμε τίποτα αν περιοριστούμε στον προηγούμενο ορισμό. Το κέντρο και ο μεταθέτης μίας ομάδας είναι δυικές έννοιες.

201. ΟΡΙΣΜΟΣ

Μια ομάδα Ο καλείται μηδενοδύναμη , αν υπάρχει κ ώστε Ζκ(Ο)=Ο.


1 5 8

Ο μικρότερος κ για τον οποίο ισχύει η προηγούμενη ιδιότητα καλείται κλάση μηδενοδυναμίας της Ο.

202. ΠΡΟΤΑΣΗ

Κάθε μηδενοδύναμη ομάδα είναι επιλύσιμη.

203. ΠΟΡΙΣΜΑ

Μια πεπερασμένη π-ομάδα είναι μηδενοδύναμη.

204. ΘΕΩΡΗΜΑ

Κάθε πεπερασμένη ομάδα είναι μηδενοδύναμη αν και μόνο αν είναι το ευθύ γινόμενο των Sylow υποομάδων της.

Παράδειγμα. Η ομάδα τάξης 1225 είναι ευθύ γινόμενο.

Αντίστοιχα ορίζεται η παράγωγος σειρά της Ο. Οι όροι της ακολουθίας ορίζονται μέσω των μεταθετών.

205. ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω α και β στοιχεία της ομάδας Ο. Το στοιχείο [α,β]=α-1β-1αβ καλείται μεταθέτης των α και β. Ισχύει ότι

αβ=βα[α,β]

Η υποομάδα της Ο που γεννάται από όλους τους μεταθέτες της Ο καλείται παράγωγος υποομάδα και συμβολίζεται με Ο΄ ή [Ο,Ο]

Ο΄=<[α,β] | α,βΟ>=[Ο,Ο].

Ισχύει ότι [α,β]=1αβ=βα. Άρα η Ο είναι αβελιανή αν και μόνο αν Ο΄=1.

206. ΠΡΟΤΑΣΗ

Η παράγωγος υποομάδα της Ο είναι η μικρότερη κανονική υποομάδα της Ο ώστε το πηλίκο Ο/[Ο,Ο] να είναι αβελιανή.

Αν Υ Ο και το πηλίκο Ο/Υ είναι αβελιανή, τότε [Ο,Ο] Υ.

159

Αν [Ο,Ο] Υ, τότε Υ Ο και το πηλίκο Ο/Υ είναι αβελιανή.

Παράδειγμα. Γνωρίζουμε ότι για ν μεγαλύτερο του 4, η Σν δεν είναι επιλύσιμη γιατί έχει

μοναδική συνθετική σειρά. Η Αν Σν είναι η μικρότερη κανονική ώστε το πηλίκο Σν/Αν είναι αβελιανή. ■

Κατά τον ίδιο τρόπο ορίζεται η δεύτερη παράγωγος υποομάδα Ο΄΄=[Ο΄,Ο΄]=Ο(2) και η τρίτη Ο(3) και λοιπά. Ορίζεται λοιπόν μια φθίνουσα ακολουθία υποομάδων η οποία καλείται παράγωγος σειρά.

Ο= Ο(0) Ο(1)… Ο(κ)…

207. ΠΡΟΤΑΣΗ

Ισχύουν οι επόμενες σχέσεις.

[α,β]-1=[β,α], [α,βγ]=[α,γ][α,β][α,β,γ], [αβ,γ]=[α,γ][α,γ,β][β,γ].

Αν αβ=β-1αβ, τότε αβ=α[α,β], [αβ,[β,γ]][βγ,[γ,α]][αγ,[α,β]]=1.

Αν Η Ο και ΥΟ , τότε το σύνολο [Η,Υ]={[α,β] | αΗ και βΥ} είναι υποομάδα.

Αν Η Ο και Υ Ο , τότε το σύνολο [Η,Υ] είναι κανονική υποομάδα.

Αν Η, Υ και Τ είναι κανονικές υποομάδες της Ο, τότε

[Η,[Υ,Τ]] [Υ,[Τ,Η]][Τ,[Η,Υ]].

208. ΠΡΟΤΑΣΗ

Μια ομάδα Ο είναι επιλύσιμη αν και μόνο αν υπάρχει κ ώστε Ο(κ) =1.

Παράδειγμα. 1) Αν η Ο έχει τάξη 135 είναι μηδενοδύναμη. 135=5*33. Από το θεώρημα

του Sylow η υποομάδα Υ τάξης 5 είναι κανονική. Για το ίδιο λόγο υπάρχει μόνο μια κανονική υποομάδα Η τάξης 33. Επειδή η τομή των Υ και Η είναι η τετριμμένη υποομάδα, η Ο είναι ευθύ γινόμενο και άρα μηδενοδύναμη.


1 6 0

2) Η η διεδρική Dν=< αiβ | αν=β2=1 και βαiβ=α-i > είναι επιλύσιμη. Η <α> είναι κανονική δείκτη 2 . Άρα κάθε στοιχείο γ της Ο ανήκει σε ένα από τα δυο σύμπλοκα <α> ή

<α>β. Επίσης και η <α2> Dν είναι κανονική και η Dν /<α2> είναι αβελιανή. Ισχύει ότι ο

μεταθέτης [α,β]=α-2, και [Dν ,Dν]= <α2>. Με τον ίδιο τρόπο δείχνουμε ότι (Dν)(κ)= <12k

> . Μια κατώτερη κεντρική σειρά δίνεται από

Dν (Dν)(1)= <α>… (Dν)(κ)= <12k

>…

Η Dν είναι μηδενοδύναμη, αν 2k

=1. Δηλαδή ν=2λ για κάποιο λ. ■

161

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ

Aut(O), 91

Cayley, 95, 102

D4, 29, 40, 53, 59

Euler, 69

Feit - Thompson, 155

Fermat, 68, 69

Jordan- Holder, 153

Klein, 39, 67, 68, 79, 85, 86, 90, 91, 100

Lagrange, 66, 67, 68, 86

M(nxn), 16, 17

modν, 15

S1, 102

Schreier, 152

Schur - Zassenhaus, 149

section, 147

αβελιανή, 13, 16, 17, 20, 25, 26, 31, 36, 40, 41, 49, 50, 58,

64, 67, 68, 85, 86, 93

αβελιανή ομάδα, 16

ακέραιοι, 1

ακέραιοι μοντουλο ν, 7

ακριβής ακολουθία, 147

ανακλαστική, 5

αναλλοίωτος, 113

αναπαραστάτης, 9

αντιμετάθεση, 55

αντίστροφη σχέση, 5

ανώτερη κεντρική σειρά, 155

απεικόνιση, 5, 10, 13, 26, 53, 65, 79, 89, 90, 95, 101, 102,

104, 107

απλή, 80

άρτια, 56, 57, 90, 101

αυτομορφισμός, 89, 91

γενική γραμμική, 40

γεννήτορα, 31, 40, 93

γεννήτορας, 31, 32, 86

δείκτης, 10, 66, 78, 108

Δεύτερο θεώρημα ισομορφισμών, 106

διαμέριση, 7, 9, 10

διασπώμενες ακριβείς ακολουθίες, 147

διάσταση της ελεύθερης ομάδας, 121

διεδρική, 29, 53, 60, 62

ελαττωμένη, 123

ελεύθερη ομάδα, 121

εναλλάσσουσα, 57, 78

εξωτερικό ευθύ γινόμενο, 141

επιλύσιμη, 154

επιμορφισμός, 89, 90, 94, 99, 101, 102, 104, 108, 126, 127,

134

εσωτερικό ευθύ γινόμενο, 139

εσωτερικός αυτομορφισμός, 91

ευθύ γινόμενό, 49

ημιευθύ γινόμενο, 141, 143

ημιομάδα, 16

ισομορφισμός, 89, 90, 93, 101, 104, 106, 107

καλά ορισμένη, 13

κανονική, 77, 78, 79, 80, 84, 85, 86, 94, 99, 100, 105, 107

κανονική σειρά, 151

κανονικοποιούσα, 82, 125

καρτεσιανό γινόμενο, 4, 49, 50, 51

κέντρο, 41, 42, 72

κέντρο της GL(2,), 42

κεντροποιητή, 73

κλάση, 9

κλάση ισοδυναμίας, 7, 10, 74

κυκλική, 32, 33, 34, 35, 36, 39, 41, 43, 45, 49, 50, 51, 63,

67, 68, 86, 91, 92, 93, 100

κύκλος, 54

λέξεις, 122

Μ(2x2,), 34

μεταβατική, 5

μεταθέτης, 88, 156

μεταθετική, 13

μηδενοδύναμη, 156

μοναδιαίων τεταρτονίων, 40

μονοειδές, 16

μονομορφισμός, 89, 94, 95, 100

ολόμορφο, 144

ομάδα, 2, 3, 16, 17, 19, 20, 21, 25, 26, 29, 30, 31, 32, 33, 34,

35, 36, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 49, 50, 51, 53, 58, 63, 64,

66, 67, 68, 69, 74, 76, 79, 85, 86, 89, 90, 91, 95, 99, 100,

101, 102, 105, 107

ομάδα πηλίκο, 85

ομομορφισμός, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 99, 100, 101, 102,

104, 106, 107

παράγωγος σειρά, 156

παράγωγος υποομάδα, 156

περιττή, 56, 57, 90, 101

πλέγμα, 44, 59

π-ομάδα, 111, 128

πράξη, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 25, 26, 29, 31, 38,

39, 40, 43, 49, 57, 68, 79, 84, 85, 86, 94, 95, 107

προσεταιριστική, 14

Πρώτο θεώρημα ισομορφισμών, 101, 126, 127, 134, 135, 137

πυρήνας, 99, 100, 101, 105, 106

ρητοί, 2

Σ3, 26, 31, 32, 53, 58, 66, 75, 78, 85, 94, 101, 105, 126, 139,

142

συζυγή, 74, 75

συμβιβαστή, 16

ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ, 23

ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ, 27

συμμετρική, 5

συμμετρική ομάδα, 53

σύμπλοκο, 64, 66, 99

συνθετική σειρά, 152

σύνολο πηλίκο, 9

σχέση, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 15, 20, 33, 38, 42, 63, 64,

65, 68, 70, 74, 75, 89, 90, 94, 104

σχέση ισοδυναμίας, 6, 7, 10, 65, 70, 74

τάξη, 33, 34, 36, 40, 43, 44, 49, 50, 51, 53, 57, 58, 63, 66,

67, 68, 69, 75, 78, 79, 80, 85, 86, 92, 93, 100, 101, 105,

106, 108

τεταρτόνια, 40

Τρίτο θεώρημα ισομορφισμών, 107, 110, 113, 119

υποομάδα, 29, 38, 39, 40, 41, 43, 45, 46, 50, 53, 57, 58, 60,

63, 64, 65, 66, 67, 70, 76, 77, 78, 79, 80, 84, 85, 86, 94, 95,

99, 100, 102, 103, 104, 105, 106, 107

φυσικοί, 1

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ...

Documents

Transcript of ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ...