Γραμματικόπουλος Χρήστος Παπαδόπουλος Γιώργος11

ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α’ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 § 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5

Παράλληλες ευθείες

ΤΕΜΝΟΥΣΑ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ Οι γωνίες α, δ, ζ, η λέγονται εντός Οι γωνίες β, γ, ε, θ λέγονται εκτός

Δύο γωνίες που βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της τέμνουσας ε3 λέγονται επί τα αυτά μέρη

Δύο γωνίες που βρίσκονται εκατέρωθεν της τέμνουσας ε3 λέγονταιεναλλάξ

ΘΕΩΡΗΜΑ I

Αν δύο ευθείες τέμνονται από τρίτη καισχηματίζουν εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τότεείναι παράλληλες.

ˆ ˆˆ ˆ 1 2

ω και φ εντός εναλλάξ ε // εκαι ω = φ

Σύντομα:

Απόδειξη :

Έστω ω = φ . Αν οι ευθείες ε1,ε2 τέμνονται σε σημείο Γ, ηεξωτερική γωνία φ του τριγώνουΑΒΓ θα είναι ίση με τηναπέναντι εσωτερική γωνία ω,που είναι άτοπο. Άρα ε1 // ε2

ΠΟΡΙΣΜΑ I

Αν δύο ευθείες τέμνονται από τρίτη καισχηματίζουν: εντός, εκτός επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες, ή εντός επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωματικέςτότε είναι παράλληλες.

ˆ ˆˆ ˆ 1 2

ω και φ εντός, εκτός επι τα αυτά ε // εκαι ω = φ

Σύντομα:

ˆ ˆˆ ˆ 1 20

ω και φ εντός επι τα αυτά ε // εκαι ω + φ = 180

Σύντομα:

ΠΟΡΙΣΜΑ ΙI

Δύο ευθείες κάθετες στην ίδιαευθεία, σε διαφορετικά σημεία της,είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Απόδειξη :

Πράγματι : ω = φ = 900.Άρα ε 1 // ε 2

1 31 2

2 3

ε ε ε // εε ε

Σύντομα:

Αίτημα παραλληλίας ή Ευκλείδειο αίτημα

Από σημείο εκτός ευθείας άγεται μόνο μίαπαράλληλη προς αυτή.

Από το σημείο Α εκτός τηςευθείας ε2 μπορώ νακατασκευάσω μόνο μίαπαράλληλη προς αυτή, την ε1.

ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ

Γραμματικόπουλος Χρήστος Παπαδόπουλος Γιώργος12

Ιδιότητες παραλλήλων ευθειών

Απόδειξη :

Αν ̂ και ̂ δεν είναι ίσες, φέρουμε την Αx ώστε ˆx = ̂ . Τότε επειδή αυτές είναι εντός εναλλάξκαι είναι ίσες, θα είναι Αx // ε2. Κατά συνέπεια θα υπάρχουν δύο παράλληλες προς την ε2 που είναιάτοπο. Άρα ̂ = ̂ .

Πρόταση I

Αν δύο ευθείες είναι παράλληλες και τέμνονται απότρίτη τότε σχηματίζουν εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. ˆ ˆ

ˆ ˆ1 2

ω και φ εντός εναλλάξ ω = φκαι ε // ε

Σύντομα:

ΠΟΡΙΣΜΑ

Αν δύο ευθείες είναι παράλληλες και τέμνονται από τρίτη τότεσχηματίζουν: εντός, εκτός επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες, και εντός επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωματικές

Πρόταση ΙI

Αν δύο διαφορετικές ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες προς τρίτηευθεία τότε θα είναι και μεταξύ τους παράλληλες.

ˆ ˆˆ ˆ

1 2

ω και φ εντός, εκτός επι τα αυτά ω = φκαι ε // ε

Σύντομα:

ˆ ˆˆ ˆ 0

1 2

ω και φ εντός επι τα αυτά ω + φ = 180και ε // ε

Σύντομα:

1 3 2 3 1 2ε / / ε ε / / ε ⇒ ε / / εκαι

Πρόταση ΙΙΙ

Αν δύο ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες και μίατρίτη ευθεία ε τέμνει την μία από αυτές τότε θατέμνει και την άλλη.

1 2 1 2ε / / ε ε ε ε εκαι τέμνει την ⇒ τέμνει την

Απόδειξη :

Αν η ε δεν έτεμνε την ε 2 θα ήτανε // ε 2 έτσι θα είχαμε από το Αδύο παράλληλες προς την ε 2πράγμα αδύνατο, άρα η ε τέμνειτην ε 2

ΠΟΡΙΣΜΑ

Αν μία ευθεία είναι κάθετη σε μία από δύο παράλληλες ευθείες, θαείναι κάθετη και στην άλλη.

1 2 1 2ε / / ε ε ⊥ ε ε εκαι ⇒

Δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, μία προς μία, είναι :

ίσες αν είναι και οι δύο οξείες ή αμβλείες, ενώ είναι :

παραπληρωματικές αν η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία.

ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ

ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ

Γραμματικόπουλος Χρήστος Παπαδόπουλος Γιώργος13

Αξιοσημείωτοι κύκλοι τριγώνου

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 § 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5

ΘΕΩΡΗΜΑ

Οι τρείς μεσοκάθετοι ενόςτριγώνου διέρχονται από το ίδιοσημείο, το οποίο είναι κέντροκύκλου που διέρχεται από τιςκορυφές του τριγώνου.

Απόδειξη :

Οι μεσοκάθετοι των ΒΓ και ΑΒτέμνονται στο Ο, αφού τέμνονται οικάθετες ευθείες τους ΑΒ και ΒΓ. Όμωςκάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενόςτμήματος ισαπέχει από τα άκρα του. ΆραΟΑ = ΟΒ και ΟΒ = ΟΓ, επομένως και ΟΑ= ΟΓ άρα και η ΟΜ μεσοκάθετος της ΑΓ.

ΘΕΩΡΗΜΑ

Οι διχοτόμοι των γωνιώνενός τριγώνου διέρχονται απότο ίδιο σημείο, το οποίο είναικέντρο κύκλου που εφάπτεταιστις τρεις πλευρές τουτριγώνου.

Απόδειξη :

Οι διχοτόμοι ΒΕ και ΓΖ τέμνονται στο Ι,αφού

Το Ι ως σημείο της διχοτόμου ισαπέχειαπό τις πλευρές των γωνιών Β και Γδηλ. ΙΘ=ΙΖ και ΙΘ=ΙΝ. Άρα αφούΙΖ=ΙΝ θα ισαπέχει από τις πλευρές τηςΓ. Άρα ΑΔ διχοτόμος της Α.

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 22 2

το Ο λέγεται περίκεντρο

το Ι λέγεται έκκεντρο

ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ

Γραμματικόπουλος Χρήστος Παπαδόπουλος Γιώργος14

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α’ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 § 4.6, 4.7, 4.8

Άθροισμα γωνιών τριγώνου

Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου

ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ

ΘΕΩΡΗΜΑ

Το άθροισμα των γωνιώνκάθε τριγώνου είναι 2 ορθές.

Απόδειξη :

Από μία κορυφή του τριγώνου π.χ. την Α,φέρουμε την ευθεία xy // ΒΓ. Τότε ˆ̂ ως εντός εναλλάξ τωνπαραλλήλων xy // ΒΓ με τέμνουσα την ΑΒ και ˆ̂ ως εντός εναλλάξ τωνπαραλλήλων xy // ΒΓ με τέμνουσα την ΑΓ Αλλά ˆˆ ˆ 2 έ

Άρα ˆ ˆ ˆ 2 έ

ΠΟΡΙΣΜΑ

Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των απέναντι εσωτερικών γωνιών τουτριγώνου. Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες, μία προς μία , έχουν και τις τρίτες γωνίες τους ίσες. Οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές. Κάθε γωνία ισόπλευρου τριγώνου είναι 600.

Δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες, μία προς μία, είναι :

ίσες αν είναι και οι δύο οξείες ή αμβλείες, ενώ είναι :

παραπληρωματικές αν η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία.

Το Άθροισμα των γωνιών κυρτού ν-γώνου είναι :

1 2 3 4 5 ... ( 2ν - 4 )ορθές

Το Άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κυρτού ν-γώνου

είναι : 4 ορθές

ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ

Γραμματικόπουλος Χρήστος Παπαδόπουλος Γιώργος15

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 § 4.6, 4.7, 4.8ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ

Γραμματικόπουλος Χρήστος Παπαδόπουλος Γιώργος16

ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ