ΝΑΤΑΛΙΑ ΚΟΛΟΚΟΤΡΩΝΗ

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΓΙΑ ΤΟΥΣ ΥΠΟΨΗΦΙΟΥΣ ΤΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΤΟΥ Α.Σ.Ε.Π.

ΚΑΙΤΟΥΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΟΥΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΙΟΥΝΙΟΣ 2006

© Copyright Ναταλία Κολοκοτρώνη Ιούνιος 2006Απαγορεύεται η αναδημοσίευση με οποιονδήποτε τρόπο, καθώς και η μετάφραση, διασκευή ή περιληπτική αναπαραγωγή του παρόντος έργου στο σύνολό του ή σε τμήμα αυτού, χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα (ν. 2121/1993 άρθ.51,18 και διεθνής σύμβαση Βέρνης-Παρισιού /ν.100/1975).

1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑΠρόλογος της συγγραφέως.......................................................................4Εισαγωγή...................................................................................................7

ΠΡΩΤΟ ΜΕΡΟΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1η 1.1. Βασικές Γνώσεις - Προαπαιτούμενα................................................91.2. Το Σχέδιο Μαθήματος.................................................................25 Διαγώνισμα 1.........................................................................................46

ΕΝΟΤΗΤΑ 2η 2.1. Η Ευθεία στο Καρτεσιανό Επίπεδο ...............................................472.2. Γραμμικά Συστήματα 2 2.............................................................52Διαγώνισμα 2..........................................................................................64

ΕΝΟΤΗΤΑ 3η 3.1. Διανύσματα...................................................................................653.2. Μιγαδικοί Αριθμοί.........................................................................69Διαγώνισμα 3..........................................................................................78

ΕΝΟΤΗΤΑ 4η 4.1. Εξίσωση Β΄ Βαθμού με Έναν Άγνωστο..........................................794.2. Τετραγωνική Ρίζα Αριθμού..........................................................81 4.3. Κωνικές Τομές στο Καρτεσιανό Επίπεδο.......................................83Διαγώνισμα 4..........................................................................................96

ΕΝΟΤΗΤΑ 5η 5.1. Απόλυτη Τιμή Αριθμού.................................................................97 5.2. Πολυώνυμα....................................................................................995.3. Τριγωνομετρία............................................................................102Διαγώνισμα 5.......................................................................................111

ΕΝΟΤΗΤΑ 6η 6.1. Όριο Συνάρτησης........................................................................1126.2. Συνέχεια Συνάρτησης..................................................................1136.3. Γενικές Παρατηρήσεις ...............................................................117Διαγώνισμα 6.......................................................................................122

ΕΝΟΤΗΤΑ 7η

7.1. Παράγωγος.................................................................................1237.2. Ολοκλήρωμα...............................................................................130Διαγώνισμα 7........................................................................................136

ΕΝΟΤΗΤΑ 8η 8.1. Πιθανότητες..............................................................................137 8.2. Στατιστική..................................................................................140Διαγώνισμα 8.......................................................................................145

2

ΕΝΟΤΗΤΑ 9η 9.1. Ευκλείδεια Γεωμετρία Α΄ Λυκείου..............................................146 9.2. Ευκλείδεια Γεωμετρία Β΄ Λυκείου ..............................................151Διαγώνισμα 9.......................................................................................161

ΕΝΟΤΗΤΑ 10η 10.1 Ακολουθίες-Πρόοδοι...................................................................16210.2. Εκθετική και Λογαριθμική συνάρτηση.......................................164 10.3. Θεωρία Αριθμών.........................................................................166Διαγώνισμα 10.....................................................................................167

Επαναληπτικά Διαγωνίσματα................................................................168

ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣΦύλλα Εργασίας, Μεθοδολογίας, Αξιολόγησης.....................................174

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ............................................................................202ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ - ΠΗΓΕΣ..........................................................................208

3

ΠPΟΛΟΓΟΣ ΤΗΣ ΣΥΓΓΡΑΦΕΩΣΤο 1998 αλλάζει ο τρόπος πρόσληψης των εκπαιδευτικών στη Δημόσια

Εκπαίδευση. Το 2002 συντάσσεται το νέο Αναλυτικό Πρόγραμμα για την Υποχρεωτική Εκπαίδευση, το γνωστό ως Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγραμμάτων Σπουδών (Δ.Ε.Π.Π.Σ.) ενώ οι ανάγκες της ελληνικής κοινωνίας για την παροχή ουσιαστικής, ποιοτικής και αποτελεσματικής μαθηματικής παιδείας στο Σχολείο, είναι πιο επιτακτικές από ποτέ άλλοτε.

Η ενασχόληση όλα τα προηγούμενα χρόνια με τις γραπτές εξετάσεις των Εκπαιδευτικών, αλλά και με τη διδακτική πράξη καθεαυτή, οδήγησε στη σύνταξη του παρόντος ‘‘εγχειριδίου’’, το οποίο απευθύνεται σε όλους τους συναδέλφους Μαθηματικούς οι οποίοι ασχολούνται ή θέλουν να ασχοληθούν με τη δευτεροβάθμια μαθηματική εκπαίδευση. Συγκεκριμένα, το βιβλίο αυτό, στοχεύει στα εξής:1. Για τον αδιόριστο Μαθηματικό με ελάχιστη έως καθόλου εκπαιδευτική

εμπειρία:να τον εφοδιάσει σε σύντομο χρονικό διάστημα με τις βασικές εκείνες

γνώσεις που θα τον καταστήσουν μάχιμο για τις εξετάσεις του Ιανουαρίου 2007. Συγκεκριμένα, να τον ‘ξεναγήσει’ σύντομα στα περιεχόμενα και τις διδακτικές μεθόδους που περιέχονται στα σχολικά βιβλία (ενότητες, απ’ τα οποία, θα κληθεί να παρουσιάσει), και να τον εξοικειώσει με τον τρόπο γραφής (ορολογία, δομή και σύνταξη) ενός σχεδίου μαθήματος.

να τον φέρει σε σύντομο χρονικό διάστημα σ’ επαφή με τη διδακτέα ύλη των Μαθηματικών της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης τόσο σε βάθος όσο και σε έκταση, μέσα από διδακτικές παρατηρήσεις οι οποίες στοχεύουν στο να ξεκαθαρίσουν ορισμένα πεπλεγμένα σημεία μέσα στα σχολικά εγχειρίδια, προετοιμάζοντάς τον επί της ουσίας για το διδακτικό του έργο, στο Δημόσιο ή τον Ιδιωτικό τομέα.

να του παρουσιάσει έναν τρόπο σκέψης και προσέγγισης των Μαθηματικών της Μέσης Εκπαίδευσης σε σχέση με τη διδακτική πράξη, ο οποίος, ελπίζω πως, θα τον βοηθήσει να ανταποκριθεί σε οποιοδήποτε σύστημα αξιολόγησης για το διορισμό των εκπαιδευτικών στο μέλλον.

2. Για τον πιο έμπειρο, μάχιμο, στο Δημόσιο ή τον Ιδιωτικό τομέα, Μαθηματικό:

να συμπληρώσει, πιθανόν, τις υπάρχουσες διδακτικές απόψεις και παρατηρήσεις αναφορικά με τα Μαθηματικά της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης, να τον εφοδιάσει με ορισμένες ακόμα ιδέες και μεθόδους και τεχνικές, για το πώς μπορεί να εμπλουτίσει τη διδακτική του πρακτική, εναρμονιζόμενες με τις σύγχρονες επιταγές της Γενικής Διδακτικής, της Ψυχολογίας και της Παιδαγωγικής, χωρίς να τον ταλαιπωρήσει με στείρες θεωρητικές γνώσεις, και ίσως

να δώσει ορισμένες απαντήσεις σε πιθανές ερωτήσεις.Αποτελείται από δύο μέρη:Το ΠΡΩΤΟ ΜΕΡΟΣ περιλαμβάνει δέκα ενότητες:

Η 1η ενότητα είναι εισαγωγικού χαρακτήρα, παρέχει τα απολύτως αναγκαία, (ή αλλιώς, τα προαπαιτούμενα) προκειμένου το βιβλίο να καταστεί αυτόνομο από διδακτικής πλευράς. Έτσι, το περιεχόμενο εστιάζει σε εκείνες τις ψυχοπαιδαγωγικές θεωρίες, τις διδακτικές στρατηγικές, μεθόδους και τεχνικές, οι οποίες προσιδιάζουν στη σύγχρονη και διαχρονική σχολική μαθηματική εκπαίδευση, σε συνάρτηση

4

με το ‘πνεύμα και το γράμμα’ τόσο του ισχύοντος Αναλυτικού Προγράμματος όσο και του Δ.Ε.Π.Π.Σ. για το Γυμνάσιο. Ακολούθως, παρουσιάζεται και αναλύεται η έννοια του Σχεδίου Μαθήματος, και ειδικότερα οι βασικές παράμετροι τις οποίες θα πρέπει να λαμβάνουμε υπ’ όψη κατά το σχεδιασμό της διδασκαλίας μας. Στο τέλος της ενότητας παρατίθεται ένα διαγώνισμα για τους συναδέλφους οι οποίοι είναι υποψήφιοι στο γραπτό διαγωνισμό των Εκπαιδευτικών.

Στις ενότητες 2-10 παρουσιάζεται συνοπτικά η διδακτέα ύλη των σχολικών βιβλίων, με άξονα τη θεματική ενότητα, δεδομένου ότι οι περισσότερες μαθηματικές έννοιες των σχολικών Μαθηματικών παρουσιάζονται σε περισσότερες από μία τάξεις. Έγινε προσπάθεια να αναδειχθούν τόσο η συνέχεια της διδακτέας ύλης ανά τις τάξεις, όσο και οι επιμέρους σχέσεις μεταξύ των μαθηματικών-διδακτικών ενοτήτων και εννοιών, ώστε να ξεκαθαριστεί το τοπίο των προηγουμένων και προαπαιτούμενων γνώσεων, οι οποίες αποτελούν βασική παράμετρο στον προγραμματισμό της διδασκαλίας μας. Ο τρόπος θεώρησης των επιμέρους γνωστικών ενοτήτων στο πλαίσιο των ευρύτερων ενοτήτων στην ίδια ή/και στις επόμενες σχολικές τάξεις, είναι εναρμονισμένος και με τις απαιτήσεις των εξετάσεων του Μαρτίου 2005, για μεσο- και μακρο-σχεδιασμό της διδασκαλίας. Επίσης παρατίθενται ορισμένες χρήσιμες διδακτικές παρατηρήσεις (που προέκυψαν από την επεξεργασία, στο μέτρο του δυνατού, του περιεχομένου των σχολικών βιβλίων) οι οποίες στοχεύουν να φωτίσουν ορισμένα σημεία -‘παγίδες’ για τους μαθητές, αλλά και για εμάς τους ίδιους, ενώ στο τέλος κάθε ενότητας παρατίθενται έτοιμα σχέδια μαθήματος και ένα προτεινόμενο διαγώνισμα για περαιτέρω εξάσκηση των υποψηφίων.

Το ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ περιέχει επιπλέον φύλλα εργασίας, συνοπτικής οργάνωσης της ύλης, και μεθοδολογίας.

Στο τέλος παρατίθενται ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ σχετικά με τις οδηγίες του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου (Π.Ι.) για τη διδακτέα ύλη.

Ο γενικός στόχος του βιβλίου αυτού, για δυνατότητα άμεσης και πρακτικής αξιοποίησης των περιεχομένων του, ελπίζουμε πως καθιστά προφανή και σαφή το λόγο για τον οποίο αποφύγαμε στην 1η (θεωρητικού χαρακτήρα) ενότητα να προβούμε σε συγκεκριμένους ορισμούς των όρων της Γενικής Διδακτικής και των Ψυχοπαιδαγωγικών, που χρησιμοποιούμε. Πιστεύουμε, πως η έννοια του κάθε όρου μπορεί να προσδιοριστεί πλήρως μέσα από τη χρήση και την εφαρμογή της, την οποία πρωτίστως υπηρετούμε.

Ελπίζω πως ο κάθε συνάδελφος-αναγνώστης θα βρει κάτι χρήσιμο και ενδιαφέρον μέσα στις σελίδες που ακολουθούν.

Ζητώ, εκ των προτέρων συγγνώμη για πιθανές ατέλειες. Είναι αυτονόητο πως κάθε καλοπροαίρετη παρατήρηση από μέρους σας για το οτιδήποτε, όσο ασήμαντο και αν φαίνεται, είναι όχι απλά ευπρόσδεκτη, αλλά επιβεβλημένη.

Θέλω να ευχαριστήσω όλους όσους πίστεψαν σ’ αυτήν την προσπάθεια, και ιδιαίτερα τους γονείς μου.

Εύχομαι καλή επιτυχία σε κάθε σας προσπάθεια, και καλή επαγγελματική σταδιοδρομία.

η συγγραφέας,Ναταλία Κολοκοτρώνη

5

στον πατέρα μου για την ανεκτίμητη πνευματική του προσφορά

6

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η Ειδική Διδακτική ενός γνωστικού αντικειμένου αποτελεί το συγκερασμό των πορισμάτων της Γενικής Διδακτικής και της Ψυχοπαιδαγωγικής με τη φιλοσοφία και το περιεχόμενο του συγκεκριμένου γνωστικού αντικειμένου, με στόχο τον αποτελεσματικό σχεδιασμό της διδακτικής διαδικασίας, και λαμβάνοντας υπ’ όψη το εκάστοτε χωροχρονικό και θεσμικό πλαίσιο, καθώς και το ειδικό κοινό στο οποίο απευθύνεται. Επομένως είναι μια ζωντανή επιστήμη.

Εμείς θα δούμε τη Διδακτική των Μαθηματικών στην ‘εφαρμοσμένη’ της διάσταση, μέσα στα συγκεκριμένα σχολικά-θεσμικά πλαίσια της χώρας μας, πράγμα που σημαίνει ότι δεν θα προβούμε σε μια εκτεταμένη θεωρητική παρουσίαση και ανάλυση των συναφών1 εννοιών. Έτσι, για εμάς, η Ειδική Διδακτική των Μαθηματικών (ή απλά Διδακτική των Μαθηματικών) αποτελεί την εφαρμογή των πορισμάτων της Γενικής Διδακτικής και της Ψυχοπαιδαγωγικής στα Σχολικά Μαθηματικά της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης της χώρας μας, σε σχέση με το Αναλυτικό Πρόγραμμα (ισχύον και νέο) που έχει συντάξει το Υπουργείο Παιδείας, και σε σχέση με τα ισχύοντα2 σχολικά βιβλία (του Ο.Ε.Δ.Β.).

1 της Διδακτικής, Ψυχολογίας και της Παιδαγωγικής2 από το διδακτικό έτος 2007-2008 θα τεθεί, πιθανόν, σε κυκλοφορία το νέο σχολικό εγχειρίδιο της Α΄ Γυμνασίου, σύμφωνα με το νέο Α.Π. (Δ.Ε.Π.Π.Σ. και Α.Π.Σ. για την Υποχρεωτική Εκπαίδευση), του οποίου τα περιεχόμενα, η σκοπο-στοχοθεσία και η προτεινόμενη μεθοδολογία ήταν ήδη γνωστά και ελήφθησαν υπ’ όψη, κατά τη συγγραφή του παρόντος βιβλίου, αναφορικά με όλες τις τάξεις του Γυμνασίου. Από την άλλη πλευρά, ελήφθη υπ’ όψη και το μέχρι τώρα ισχύον (έτος 2005-2006) σχολικό βιβλίο της Α΄ Γυμνασίου, δεδομένου του ότι οι προηγούμενες γνώσεις των μαθητών, οι οποίοι τις επόμενες σχολικές χρονιές θα φοιτήσουν από τη Β΄ Γυμνασίου έως και τη Γ΄ Λυκείου, είναι δομημένες με βάση την ύλη του ισχύοντος βιβλίου της Α΄ Γυμνασίου.

7

ΠΡΩΤΟ ΜΕΡΟΣ

8

ΕΝΟΤΗΤΑ 11.1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ - ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ

Συνυφασμένες με την έννοια της εκπαιδευτικής διαδικασίας είναι οι αλληλοσυμπληρούμενες έννοιες της διδασκαλίας και της μάθησης. Για πολλά χρόνια ως διδασκαλία εθεωρείτο η ‘μετάδοση’ της γνώσης από τον πομπό-δάσκαλο στον παθητικό δέκτη-μαθητή, και ως μάθηση η έξωθεν απόκτηση της γνώσης. Οι σύγχρονοι ερευνητές υποστηρίζουν πως η μάθηση είναι η διαδικασία1 που συντελείται στον εσωτερικό κόσμο του μαθητή και που έχει ως αποτέλεσμα τη μόνιμη τροποποίηση της συμπεριφοράς του ή και της προσωπικότητάς του, ενώ διδασκαλία είναι ένα σύνολο από προγραμματισμένες και σκόπιμες ενέργειες, που γίνονται με πρωτεργάτη τον δάσκαλο και συνεργάτη το μαθητή, σκοπός των οποίων είναι, όχι μόνο η κατάκτηση της γνώσης από το μαθητή, αλλά και η απόκτηση των δυνατοτήτων που θα τον καταστήσουν ικανό να ανταποκριθεί στις συνθήκες της ζωής (Κασσωτάκης – Φλουρής 1981).

1.1.1. ΘΕΩΡΙΕΣ ΜΑΘΗΣΗΣΟι σχετικές με την έννοια της μάθησης θεωρίες μπορούν να

ταξινομηθούν στις εξής γενικότερες κατηγορίες:Συμπεριφοριστικές θεωρίες

Α. Τι πρεσβεύουν: Θεωρούν τη μάθηση περισσότερο ως μια αντανακλαστική διαδικασία, με κίνητρα μάλλον εξωτερικά (την επιδοκιμασία ή την αποφυγή αποδοκιμασίας) και ξένα προς το αντικείμενο καθεαυτό της μάθησης. Συγκεκριμένα, η γνώση προέρχεται αποκλειστικά από το περιβάλλον, και ως αποτέλεσμα μάθησης θεωρείται η επανάληψη της ίδιας αντίδρασης στο ίδιο ερέθισμα. Σε μια πιο εξελιγμένη θεώρηση μπορούμε να πούμε πως είναι μια διαδικασία προσαρμογής στις διαρκώς μεταβαλλόμενες απαιτήσεις του περιβάλλοντος.

Β. Κυριότεροι εκπρόσωποι: Pavlov, Watson, Skinner, ThorndikeΓ. Συμπεριφορισμός (ή Μπιχεβιορισμός) και Μαθηματικά: Αυτό το

είδος μάθησης προσιδιάζει στις μικρότερες ηλικίες (π.χ.) στους μαθητές του Δημοτικού, αλλά και σ’ αυτούς του Γυμνασίου, στους οποίους (σύμφωνα με τη θεωρία του Piaget) η αφαιρετική σκέψη και επομένως η ικανότητα για γενικεύσεις βρίσκεται σε ένα αρχικό στάδιο. Επομένως, η πορεία μάθησης είναι κυρίως επαγωγική και εμπειρική (μέσω του παραδείγματος), δηλαδή απ’ το ειδικό στο ειδικό και στο γενικό, αλλά διαισθητικά και όχι αποδεικτικά. Οι συμπεριφοριστικές θεωρίες συνιστούν την υποδιαίρεση ενός γνωστικού αντικειμένου σε επιμέρους, τα οποία μαθαίνονται διαδοχικά χωρίς να απαιτείται η τελική σύλληψη του ‘‘όλου’’ απ’ το μαθητή (σε αντίθεση με τη Θεωρία της Μορφής, την οποία θα δούμε στη συνέχεια). Επίσης, έτσι συνήθως μαθαίνει ο μαθητής τους διαφόρους αλγορίθμους σε οποιαδήποτε ηλικία, ή ακόμα, ‘‘απομνημονεύει’’ πολύπλοκους τύπους ή τυπολόγια για τις εξετάσεις. Επομένως η συμπεριφοριστική μάθηση σχετίζεται περισσότερο με την απομνημόνευση.

1 Τον ίδιο όρο χρησιμοποιούμε και για το αποτέλεσμα της μάθησης, γι’ αυτό είναι καλύτερα όταν αναφερόμαστε στη μάθηση ως διαδικασία, να χρησιμοποιούμε τη φράση: «μαθησιακή διαδικασία».

9

Γνωστικιστικές θεωρίες, Εποικοδομητισμός, Θεωρία της ΜορφήςΑ. Τι πρεσβεύουν: Οι Γνωστικιστικές θεωρίες δίνουν έμφαση στην

κατανόηση, την οποία θεωρούν ως μια διαδικασία εσωτερίκευσης της γνώσης. Έτσι, τα κίνητρα (πρέπει να) είναι εσωτερικά και να σχετίζονται με την ικανοποίηση που λαμβάνει ο μαθητής όταν ‘κατακτά’ τη γνώση. Ο Εποικοδομητισμός εστιάζει στον τρόπο με τον οποίο γίνεται αυτή η εσωτερίκευση, και θεωρεί πως ο κάθε άνθρωπος διαμορφώνει νοητικά σχήματα (ή δομές) στα οποία προσπαθεί να εντάξει κάθε καινούργια γνώση (ή εμπειρία). Αυτή η ένταξη γίνεται άλλοτε περισσότερο και άλλοτε λιγότερο ‘ομαλά’, ανάλογα με το βαθμό στον οποίο χρειάζεται να τροποποιηθούν τα υπάρχοντα νοητικά σχήματα προκειμένου να μπορέσει να ενταχθεί σε αυτά η καινούργια γνώση. Σύμφωνα με τη Θεωρία της Μορφής ή Gestalt (=μορφή) για να μπορέσει να ενσωματώσει ο μαθητής μια καινούργια γνώση θα πρέπει να μπορεί να τη συλλάβει ως έννοια εξ ολοκλήρου, δηλαδή ως ολότητα.

Β. Κυριότεροι εκπρόσωποι: Piaget, Bruner, Vygotsky, Ausubel, Γ. Γνωστικισμός, Εποικοδομητισμός (ή Κονστρουκτιβισμός ή

Κατασκευαστική θεωρία της Μάθησης), Θεωρία της Μορφής (ή gestalt) και Μαθηματικά: Ο συνδυασμός των θεωριών αυτών ανταποκρίνεται ιδιαίτερα στη μάθηση των Μαθηματικών. Συγκεκριμένα, ο Γνωστικισμός ως θεωρία μάθησης ανταποκρίνεται όπου τίθεται θέμα κατανόησης και όχι απομνημόνευσης. Ο Εποικοδομητισμός σχετίζεται με την αξιωματική θεμελίωση αυτόνομων μαθηματικών θεωριών και επομένως προσιδιάζει (αναφορικά με τα σχολικά Μαθηματικά) στις μαθηματικές ενότητες που είτε παρουσιάζονται πλήρεις και αυτοτελείς με την εσωτερική τους θεμελίωση και δομή ως αυτή έχει (όπως είναι η θεωρία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας) είτε παρουσιάζεται ένα μόνο ‘μέρος’ τους αλλά αυτόνομο, με την έννοια ότι θεμελιώνεται και συνέχεται εσωτερικά με βάσει την απόδειξη, πράγμα που συμβαίνει σε όλες τις ενότητες των βιβλίων κυρίως του Λυκείου. Ο Εποικοδομητισμός σχετίζεται με τη μάθηση απ’ το ειδικό στο ειδικό (εύρεση αναλογιών) και από το απλό στο σύνθετο (σύνθεση) με την έννοια του ότι η γνώση δομείται στο μυαλό του μαθητή καθώς αυτός ανακαλύπτει τις σχέσεις (αναλογίες, ομοιότητες και διαφορές) μεταξύ των επιμέρους εννοιών. Η ‘τελική’ σύλληψη του ‘‘όλου’’ μπορεί να αποτελεί είτε το αποτέλεσμα της προαναφερθείσας διαδικασίας, είτε της ‘άπαξ’ και a priori σύλληψης μιας έννοιας η ενός συστήματος εννοιών (διαισθητική μάθηση). Η αναγωγική διαδικασία, (δηλαδή η αναγωγή του μέρους στο όλο), αλλά και η παραγωγική διαδικασία (ανάλυση του όλου στα επιμέρους) προϋποθέτουν την οικοδόμηση ή τη σύλληψη του όλου. Αυτές οι θεωρίες επαληθεύονται κάθε φορά που τίθεται θέμα κατανόησης και όχι απομνημόνευσης ή απλής πληροφόρησης, και προκειμένου να βοηθήσουμε έναν μαθητή να οικοδομήσει μια μαθηματική έννοια στο μυαλό του, μπορούμε να του δώσουμε παραδείγματα εφαρμογής της συγκεκριμένης έννοιας σε άλλα μαθήματα, ή στην καθημερινή ζωή, δηλαδή επιμέρους εκφράσεις και εκφάνσεις οι οποίες αντικατοπτρίζουν τις επιμέρους ιδιότητες της συγκεκριμένης έννοιας. Κοινωνικογνωστικές θεωρίες μάθησης

Α. Τι πρεσβεύουν: Δίνουν έμφαση στην επίδραση του κοινωνικού περιβάλλοντος πάνω στη μαθησιακή διαδικασία. Έτσι, ο μαθητής μαθαίνει καλύτερα όταν η ‘πηγή’ της γνώσης έχει κοινωνικό κύρος, ή όταν το γνωστικό αντικείμενο καθεαυτό θεωρείται σημαντικό και αξιόλογο από τον κοινωνικό του περίγυρο (μαθητική ομάδα, εξωσχολική

10

ομάδα συνομηλίκων, τοπική κοινωνία, Μ.Μ.Ε.). Η μάθηση σχετίζεται με τα πρότυπα που έχουμε διαμορφώσει μέσα στην κοινωνία που ζούμε. Σ’ αυτό το σημείο γίνεται φανερό πως η μάθηση σχετίζεται με την κοινωνική προσαρμογή.

Β. Κυριότερος εκπρόσωπος: BanduraΓ. Κοινωνικογνωστικές θεωρίες και Μαθηματικά: Όλοι όσοι έχουν

μικρότερη ή μεγαλύτερη διδακτική εμπειρία θα έχουν διαπιστώσει πως οι μαθητές προδιατίθενται θετικά σε ενότητες (και αντίστοιχα κεφάλαια στα σχολικά βιβλία) τις οποίες βλέπουν να εφαρμόζονται περισσότερο ή πιο άμεσα γύρω τους, και που ίσως θεωρούν ότι θα τους χρησιμεύσουν περισσότερο στην εκτός και μετά το Σχολείο ζωή τους, όπως είναι, για παράδειγμα, η Στατιστική1. Δεν είναι τυχαίο ότι ο Μαθηματικός κλάδος της Στατιστικής θεωρείται ιδιαίτερα επίκαιρος αφού οι Στατιστικολόγοι εμφανίζονται συχνά-πυκνά στα Μ.Μ.Ε. προβάλλοντας τα αποτελέσματα κοινωνικών ή πολιτικών ερευνών. Στον αντίποδα βρίσκονται ενότητες περισσότερο (φαινομενικά τουλάχιστον) θεωρητικές όπως η Τριγωνομετρία, η Θεωρία των Αριθμών ή η Ευκλείδεια Γεωμετρία, παρ’ όλο που η τελευταία ερμηνεύει τις ιδιότητες του άμεσου (‘ευκλείδειου’) χώρου που μας περιβάλλει και τον τρόπο που αντιλαμβανόμαστε το χώρο αυτό. Για παράδειγμα, το ότι η ευθεία διαδρομή είναι η συντομότερη για να μεταβούμε από έναν τόπο σε έναν άλλο, ή το ότι η έννοια της συμμετρίας έχει να κάνει με την καθημερινότητά μας, από την ένδυσή μας, μέχρι την αίσθηση της ισορροπίας που νιώθουμε σε ένα χώρο, είναι κάποιες από τις απαντήσεις που μπορούμε να δίνουμε στους μαθητές μας κάθε φορά που μας ρωτούν «σε τι θα μου χρησιμεύσει η Ευκλείδεια Γεωμετρία;». Επίσης, η χρήση της ομοιότητας μάς χρησιμεύει στον υπολογισμό μεγάλων αποστάσεων, ενώ οι Αρχιτέκτονες, οι Τοπογράφοι αλλά και οι Μηχανικοί που ασχολούνται με το σχεδιασμό, χρησιμοποιούν αρκετές φορές την Ευκλείδεια (και όχι μόνο) Γεωμετρία. Από την άλλη πλευρά, οι θεωρητικές μαθηματικές ενότητες ασκούν το μαθητή στη χρήση της Λογικής και ειδικότερα στη σωστή διατύπωση λογικών συλλογισμών και στην τεκμηρίωση θέσεων, ικανότητες που θα του χρησιμεύσουν και στην, εκτός και μετά το Σχολείο, κοινωνία. Έτσι, προκειμένου να γίνει από έναν μαθητή αποδεκτή μια γνώση, πρέπει να τον πείσουμε για την επικαιρότητα και τη χρησιμότητά της, δηλαδή για το πού και το πώς εφαρμόζεται στη σύγχρονη ανθρώπινη δραστηριότητα.Παρατήρηση:

Η ταξινόμηση των διαφόρων ερευνητών ψυχολόγων στις παραπάνω κατηγορίες έγινε για λόγους συστηματοποίησης. Κάθε θεωρία απλώς δίνει έμφαση σε ένα συγκεκριμένο είδος μάθησης, χωρίς να αποκλείει κατ’ ανάγκην τα υπόλοιπα. Έτσι, μπορούμε να θεωρήσουμε τις παραπάνω επιμέρους θεωρίες ως αλληλο-συμπληρούμενες, με την έννοια ότι μπορεί να επαληθεύονται σε κάθε μαθησιακή διαδικασία, άλλη περισσότερο κι άλλη λιγότερο, ανάλογα με το εκάστοτε ειδικό αντικείμενο μάθησης, με την ηλικία και το ψυχοπνευματικό επίπεδο του κάθε μαθητή. Πολλοί ερευνητές, ανάμεσά τους και ο Gagné, έχουν υποστηρίξει τη σύνθεση των παραπάνω θεωριών.

Συμπερασματικά μπορούμε να πούμε πως η μάθηση είναι μια (επι)κοινωνι(α)κή διαδικασία η οποία λαμβάνει χώρα με τη διάδραση ανάμεσα στα ‘δίπολα’ που σχηματίζουν ανά δύο οι επικοινωνιακές

1 Προέρχεται από τη λατινική λέξη «status» (=κράτος, κατεστημένο), η οποία , με τη σειρά της, προέρχεται από το ελληνικό ρήμα «ίστημι» (=στέκομαι, σταθεροποιούμαι, εξ ου και το «ίσταμαι» που λέμε και σήμερα).

11

μονάδες: μαθητής, δάσκαλος, ομάδα μαθητών της τάξης, σχολική κοινότητα, γονείς, εξωσχολική κοινωνία κ.ά..1.1.2. Εκπαιδευτικό Σύστημα και Αναλυτικό Πρόγραμμα (Α.Π.) Σύμφωνα με τον Φλουρή1 η εκπαίδευση αποτελεί για την κάθε χώρα το μέσο, προκειμένου να πραγματοποιήσει τον κοινωνικό της προγραμματισμό και την ικανοποίηση των εθνικών της αναγκών. Συνήθως, προτεραιότητα της χώρας αποτελεί η προετοιμασία και η επιλογή του απαραίτητου ειδικευμένου εργατικού δυναμικού για την ικανοποίηση των κοινωνικο-οικονομικών αναγκών, καθώς και η ευρύτερη πολιτιστική ανάπτυξη των ατόμων. Αυτές οι επιδιώξεις (που συνήθως αποτελούν το βασικό σκοπό της αγωγής της χώρας, για τον οποίο θα μιλήσουμε στη συνέχεια), εκφράζονται μέσα από τους εκπαιδευτικούς θεσμούς που διέπουν την όλη οργάνωση και λειτουργία του εκπαιδευτικού συστήματος της κάθε χώρας. Το θεσμικό πλαίσιο λειτουργίας της όλης εκπαιδευτικής διαδικασίας ονομάζεται Αναλυτικό Πρόγραμμα (Α.Π.), στην κεντρική θέση του οποίου βρίσκεται ο γενικός σκοπός που εκφράζει το ιδεώδες της αγωγής της χώρας. Ο γενικός εκπαιδευτικός σκοπός κάθε χώρας, που συνήθως διατυπώνεται στο Σύνταγμά της, αποτελεί μέρος της εκπαιδευτικής της πολιτικής, και προσδιορίζει την όλη φιλοσοφική θεμελίωση και ιδεολογική κατεύθυνση της παιδείας της χώρας. Η εκπαίδευση, θα πρέπει όχι μόνο να παρέχει γνώσεις, αλλά να στοχεύει στην τροποποίηση της συμπεριφοράς των εκπαιδευομένων, και στο να αναπτύξει σ’ αυτούς εκείνες τις ικανότητες και τις δεξιότητες που θα τους βοηθήσουν να ενταχθούν και να λειτουργήσουν αποτελεσματικά μέσα στο κοινωνικό σύνολο, καθώς και να το επηρεάσουν ανάλογα (Φλουρής 1992). Στην Ελλάδα, από το ιδεώδες της αγωγής («ελεύθεροι και υπεύθυνοι πολίτες») που διαγράφει το Σύνταγμα (άρθρο 16, § 2) και τους ειδικούς σκοπούς της εκπαίδευσης που καθορίζει ο Νόμος 1566/85, προκύπτει ότι η εκπαίδευση αποβλέπει: α) στην ολοκλήρωση της προσωπικότητας του ατόμου, και β) στην αγωγή του ατόμου ως μέλους της κοινωνίας 2. Τα βασικά δομικά στοιχεία ενός Α.Π. είναι: Το περιεχόμενο (μορφωτικά αγαθά), η μεθοδολογία (διδακτικές μέθοδοι και μορφές, συμπεριλαμβανομένων των διδακτικών μέσων και υλικών), οι γενικότεροι ή ειδικότεροι στόχοι που επιδιώκουμε να επιτύχουμε μέσω του περιεχομένου και της μεθοδολογίας, καθώς και ο τρόπος αξιολόγησης (η οποία, για τους Tyler και Gagné, αποτελεί «ένα είδος ελέγχου της εσωτερίκευσης των παρεχόμενων μορφωτικών αγαθών, όπως δεξιότητες, ικανότητες, γνώσεις, στάσεις, ιδέες, αξίες, αντιλήψεις και άλλα»).

Το ισχύον Α.Π., σύμφωνα με πολλούς ερευνητές, δίνει μεγάλη έμφαση στους διδακτικούς σκοπούς και στόχους, καθώς και στη διαπίστωση του επιπέδου επίτευξής τους, δηλαδή στην αξιολόγηση. Τα περιεχόμενα θεωρούνται περισσότερο ως μέσα επίτευξης των στόχων, όπως και η διδακτική μεθοδολογία. Αντίθετα, το νέο Α.Π. υπό το πρίσμα του Δ.Ε.Π.Π.Σ.3 δίνει εξίσου μεγάλη έμφαση σε καινοτόμες διδακτικές μεθόδους και μέσα, όπως οι Νέες Τεχνολογίες, η μέθοδος project, αλλά

1 1992, σ. 13.2 Το ακριβές κείμενο είναι: «Η παιδεία αποτελεί βασική αποστολή του Κράτους και έχει σκοπό την ηθική, πνευματική, επαγγελματική και φυσική αγωγή των Ελλήνων, την ανάπτυξη της εθνικής και θρησκευτικής συνείδησης και τη διάπλασή τους σε ελεύθερους και υπεύθυνους πολίτες.» 3 Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγραμμάτων Σπουδών για την Υποχρεωτική (το τονίζουμε) Εκπαίδευση (βλ. § 1.2.4.)

12

και στην Επίλυση Προβλήματος, μια μέθοδος που κατά κανόνα εφαρμόζεται στα Μαθηματικά. Οι ειδικοί εκπαιδευτικοί σκοποί και στόχοι γενικά απορρέουν από τον γενικό σκοπό της παιδείας της χώρας και αποτελούν τη ‘‘σπονδυλική στήλη’’ της εκπαιδευτικής διαδικασίας. Αποτελούν τα κριτήρια και τη βάση για τον προσδιορισμό και την επιλογή του περιεχομένου, των διδακτικών μεθόδων, των τρόπων αξιολόγησης και όλων των άλλων μεταβλητών της διδακτικής πράξης (Tyler 1949). Μέσα από τους εκπαιδευτικούς σκοπούς (όπως προαναφέρθηκε ότι συμβαίνει και για τον γενικό στόχο) διαφαίνεται ολόκληρη η ιδεολογία και η φιλοσοφία εκείνων που κάθε φορά ασκούν την εξουσία, η παράδοση της κάθε χώρας, καθώς και οι ανάγκες της κοινωνικο-οικονομικής ανάπτυξης τις οποίες καλείται η εκπαίδευση να ικανοποιήσει (Dewey 1915), σύμφωνα με τη θεωρία της «κοινωνικής αποτελεσματικότητας»1. Κατά τον καθορισμό των ειδικότερων εκπαιδευτικών σκοπών της κάθε βαθμίδας καταβάλλεται προσπάθεια να υπάρχει συνέχεια, συνέπεια και αλληλοσυμπλήρωση, και επιδιώκεται αυτοί οι στόχοι να οργανώνονται με συνοχή σε μια λογική και συνεπή δομή (Φλουρής 1992, Βρεττός-Καψάλης 1997). Όσον αφορά τις πηγές (και τις αντίστοιχες διαδικασίες) από τις οποίες μπορούν να αντληθούν οι στόχοι και τα περιεχόμενα του Α.Π., είναι: α) τα ενδιαφέροντα, οι ανάγκες και οι ψυχοσωματικές προϋποθέσεις του παιδιού, β) οι αξίες, οι επιδιώξεις και οι προοπτικές της κοινωνίας, και γ) οι δυνατότητες και τα όρια των επιστημονικών κλάδων (Φλουρής 1992). Με αυτόν τον τρόπο εξυπηρετείται το ‘‘άνοιγμα του σχολείου στην κοινωνία’’, αρχή που συμπυκνώνει τη φιλοσοφία του Dewey. Αυτό προϋποθέτει μια διαρκή έρευνα αξιολόγησης αναγκών (needs assessment, Kaufman 1976), με αποτέλεσμα την εκτίμηση του ‘‘τι υπάρχει’’ σε σύγκριση με το ‘‘τι πρέπει να υπάρχει’’. Στην περίπτωσή μας οι γενικοί και ειδικοί (ανά παράγραφο του σχολικού εγχειριδίου) σκοποί και στόχοι αποτυπώνονται στο έντυπο του Α.Π. καθώς και στα έντυπα με τις οδηγίες του Π.Ι.2, ενώ ο τρόπος παρουσίασης της ύλης στα σχολικά εγχειρίδια υποδεικνύει έμμεσα τη στοχοθεσία. (Για παράδειγμα, αν η απόδειξη μιας πρότασης συμπεριλαμβάνεται στο σχολικό βιβλίο και στη διδακτέα ύλη, τότε στην αντίστοιχη διδακτέα ενότητα θα πρέπει να θέσουμε ως στόχο –εκτός των άλλων- το να είναι σε θέση οι μαθητές –με το πέρας της διαδικασίας- να αποδεικνύουν τη συγκεκριμένη πρόταση. Αν πάλι η απόδειξη είναι εκτός διδακτέας ύλης, αλλά εμείς θεωρούμε σημαντικό να τη συμπεριλάβουμε στο μάθημά μας3 –και είμαστε σε θέση να τεκμηριώσουμε το γιατί 4-, τότε δεν θα πρέπει να θέσουμε τον προαναφερθέντα στόχο, αφού η αποδεικτική διαδικασία αποτελεί πλέον μέσο παρουσίασης, και όχι αυτοσκοπό.)

1 Υπέρ της συμφωνίας των εκπαιδευτικών σκοπών με τις κοινωνικές ανάγκες, μέσω της προαναφερθείσας μεθόδου, τάσσεται και ο Gagné.2 Παιδαγωγικό Ινστιτούτο3 Είτε πριν από την πρόταση (οπότε η απόδειξη λειτουργεί ως διαδικασία κατασκευής της πρότασης –προπαρασκευή-) είτε μετά (προκειμένου οι μαθητές να πεισθούν για την ισχύ της, οπότε μιλάμε για την ανάλυση και τη συσχέτισή της με το όλο γνωστικό ‘οικοδόμημα’ -επεξεργασία-). 4 Αυτό φαίνεται αναγκαίο σε ορισμένες περιπτώσεις, όπου η ‘φύση’ της συγκεκριμένης πρότασης δεν αφήνει περιθώρια, ούτε για επαγωγική προσέγγιση μέσα από έναν ικανό αριθμό συγκεκριμένων περιπτώσεων, ούτε για ‘μορφολογική’ αναγωγή στα προηγούμενα. (Χαρακτηριστικό παράδειγμα, αποτελούν οι αποδείξεις / κατασκευές των εξισώσεων της Έλλειψης και της Υπερβολής στο καρτεσιανό επίπεδο στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης της Β΄ Λυκείου, καθώς και των εφαπτόμενών τους.)

13

Τα περιεχόμενα (ως ευρύτεροι τομείς του επιστητού1, ή/και ως συγκεκριμένες γνώσεις και δεξιότητες) επιλέγονται με τρόπο ώστε να υπηρετούνται μέσω αυτών οι γενικοί και ειδικοί εκπαιδευτικοί σκοποί και στόχοι. Στην περίπτωσή μας τα περιεχόμενα είναι συγκεκριμένα, και αποτυπώνονται: 1. σε αδρές γραμμές στο έντυπο του Α.Π. και στις έντυπες οδηγίες του Π.Ι., και 2. λεπτομερώς στα σχολικά εγχειρίδια. Η επικρατέστερη έννοια του όρου «αξιολόγηση», στα πλαίσια της σχολικής πράξης, είναι η (τελική) διαδικασία αποτίμησης του βαθμού επίτευξης των στόχων, επομένως η αξιολόγηση συνυφαίνεται με τη στοχοθεσία, αλλά και με τη μεθοδολογία2. 1.1.3. Το ισχύον Α.Π. των Μαθηματικών:

Το ισχύον Α.Π. χαρακτηρίζεται από τη ‘σπειροειδή’ διάταξη της ύλης η οποία βασίζεται στη θεωρία του Bruner, σύμφωνα με την οποία κάθε μαθητής μπορεί να μάθει οτιδήποτε, αρκεί η διδακτική διαδικασία να είναι προσαρμοσμένη στην ψυχοπνευματική του ηλικία και να έχει αφομοιώσει τις προαπαιτούμενες γνώσεις. Αυτό συμβαίνει γιατί ο μαθητής βρίσκεται σε κατάσταση διαρκούς ψυχοπνευματικής εξέλιξης, οπότε, κάθε φορά που επανερχόμαστε στο ίδιο θέμα μπορούμε να το παρουσιάσουμε με έναν μεγαλύτερο βαθμό αφαίρεσης. Σύμφωνα με τη θεωρία για τη ‘‘ζώνη επικείμενης ανάπτυξης’’ του Vygotsky (η οποία παραπέμπει στα λεγόμενα του Bruner), ο μαθητής είναι διαρκώς σε θέση να μάθει κάτι πιο δύσκολο από το ‘προβλεπόμενο’, αρκεί να τον υποβοηθήσουμε κατάλληλα. Βέβαια, η άποψη αυτή είχε και έχει και τους επικριτές της. Γι’ αυτό, αν συγκρίνουμε τα ισχύοντα σχολικά βιβλία με παλαιότερα, θα διαπιστώσουμε πως έχουν αφαιρεθεί κεφάλαια, ή έχει διαφοροποιηθεί ο τρόπος με τον οποίο παρουσιάζονται ορισμένες έννοιες, γιατί πιθανόν διαπιστώθηκε πως η πλειοψηφία των μαθητών δυσκολευόταν περισσότερο από όσο χρειαζόταν.

Αποτέλεσμα της σπειροειδούς διάταξης (όσον αφορά τα Μαθηματικά της Β΄ Βαθμίδας) είναι ότι όλες οι μαθηματικές έννοιες και ενότητες που υπάρχουν στα βιβλία του Γυμνασίου, υπάρχουν και στα βιβλία του Λυκείου, με διαφορές στον τρόπο παρουσίασης στα σχολικά εγχειρίδια (ως προς την έκταση και το βάθος ανάπτυξης), διότι ανάλογα με την τάξη (και επομένως με την αντίστοιχη ηλικία) διαφοροποιείται και η σκοπο-στοχοθεσία.

Ο Μαθηματικός που θέλει να είναι αξιοπρεπώς προετοιμασμένος για να διδάξει αλλά και για αντιμετωπίσει το Διαγωνισμό του Α.Σ.Ε.Π. καλό θα είναι να μελετήσει τα εξής: 1. Τα περιεχόμενα της διδασκαλίας όπως αυτά εμπεριέχονται στα σχολικά βιβλία του Ο.Ε.Δ.Β. των έξι συνολικά τάξεων της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Δηλαδή, τι διδάσκεται σε κάθε τάξη.2. Τη σκοπο-στοχοθεσία, από το γενικό σκοπό της Αγωγής (που αφορά όλα τα μαθήματα) μέχρι τους συγκεκριμένους σκοπούς και στόχους της κάθε επιμέρους διδακτικής ενότητας3, όπως αυτή διατυπώνεται στο (ισχύον/παλιό) Α.Π., στο Δ.Ε.Π.Π.Σ. και τα νέα Α.Π.Σ.4

1 Επιστήμη, Τεχνολογία, Τέχνη και γενικότερα κάθε οργανωμένο σύνολο γνώσεων, αξιών και δεξιοτήτων.2 Περισσότερα για την αξιολόγηση στα πλαίσια της μαθησιακής διαδικασίας θα δούμε στην παράγραφο 1.2.3 Τα περιεχόμενα μαζί με τους στόχους (και όχι μόνα τους) αποτελούν τη διδακτέα ύλη, διότι οι στόχοι αποτελούν το μέτρο του βαθμού εμβάθυνσης σε κάθε μαθηματική έννοια ή ενότητα, ανάλογα με την τάξη στην οποία διδάσκεται η συγκεκριμένη έννοια ή ενότητα. 4 Αναλυτικά Προγράμματα Σπουδών

14

3. Την προτεινόμενη διδακτική μεθοδολογία, αναφορικά με το (παλιό) Α.Π., το Δ.Ε.Π.Π.Σ. και τα νέα Α.Π.Σ.4. Τους προτεινόμενους τρόπους αξιολόγησης όπως αυτοί διατυπώνονται στο (παλιό) Α.Π., στο Δ.Ε.Π.Π.Σ. και τα νέα Α.Π.Σ.5. Το νέο Α.Π. του Δημοτικού σε αδρές γραμμές, προκειμένου να είναι σε θέση να αντιμετωπίσει με επιτυχία το θέμα της μετάβασης των μαθητών από το δημοτικό στο Γυμνάσιο, τουλάχιστον αναφορικά με τη διδακτική του αποστολή.6. Τη διδακτέα ύλη (που συνήθως είναι γνήσιο υποσύνολο της συνολικής σχολικής ύλης), σύμφωνα με τις οδηγίες του Π.Ι..7. Τα σχολικά εγχειρίδια της Φυσικής, της Χημείας, της Βιολογίας, της Γεωγραφίας, της Πληροφορικής και της Οικονομίας, αναφορικά με το πώς εφαρμόζονται τα Μαθηματικά, προκειμένου να μπορεί να οργανώσει την εισαγωγή (αφόρμηση) του μαθήματός του και να δώσει διαθεματικές 1

προεκτάσεις.1.1.4. Το Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγραμμάτων Σπουδών

(Δ.Ε.Π.Π.Σ.)Μετά από πολλές ζυμώσεις, έρευνες και συζητήσεις, η Ελληνική

Πολιτεία, στα πλαίσια μιας προσπάθειας για μια ευρύτερη εκπαιδευτική μεταρρύθμιση, το Φθινόπωρο του 2002 συνέταξε το Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγραμμάτων Σπουδών και τα Αναλυτικά Προγραμμάτων Σπουδών (Δ.Ε.Π.Π.Σ. και Α.Π.Σ.) για την Υποχρεωτική Εκπαίδευση2.

Αν και από τη δευτεροβάθμια εκπαίδευση το Δ.Ε.Π.Π.Σ. αφορά μόνο το Γυμνάσιο, καλό θα ήταν να δούμε τη διάσταση της διαθεματικότητας στα Μαθηματικά και στο Λύκειο.

Στο Δ.Ε.Π.Π.Σ. αναφέρεται ότι το σχολείο είναι ένας βασικός κοινωνικός θεσμός που καλείται να συμβάλει στην διαμόρφωση της προσωπικότητας του μαθητή, μέσω της ικανοποίησης των νοητικών και συναισθηματικών αναγκών και ενδιαφερόντων του. παράλληλα θα πρέπει να αναπτύξει και να καλλιεργήσει στο μαθητή εκείνες τις νοητικές, συναισθηματικές, ψυχοκινητικές και κοινωνικές δεξιότητες που θα τον βοηθήσουν να ενταχθεί αλλά και να μπορεί να αναπροσαρμόζεται σε ένα ρευστό και διαρκώς μεταβαλλόμενο κοινωνικο-πολιτισμικό περιβάλλον. Από την άλλη πλευρά, η αποδοχή κοινών αξιών μπορεί να συμβάλει αποτελεσματικά στην καλλιέργεια πνεύματος συνεργασίας μεταξύ των μαθητών έτσι ώστε να διαμορφωθεί ένα «ισχυρό σχολικό παιδαγωγικό περιβάλλον». Με αυτόν τρόπο καλλιεργούνται στους μαθητές οι δημοκρατικές αρχές που αποτελούν τους στυλοβάτες της κοινωνίας μας. Ειδικότερα, κρίνεται σκόπιμο να προωθηθούν:α) Η ανάπτυξη της αυτοαντίληψης, της κριτικής και διαλεκτικής ικανότητας, η επίτευξη συναισθηματικής σταθερότητας, και η ανάπτυξη πνεύματος συνεργασίας και συλλογικότητας, μέσω της θετικής διάθεσης για συνεργασία και αυτενέργεια. β) Η δια βίου αγωγή, η διαρκής ανανέωση των γνώσεων και των δεξιοτήτων.γ) Η ανάπτυξη της κριτικής στάσης και ικανότητας απέναντι στις νέες τεχνολογίες της πληροφορίας και της επικοινωνίας.δ) Η καλλιέργεια κοινών στάσεων και αξιών και η παροχή ίσων ευκαιριών, με σκοπό την διατήρηση της κοινωνικής συνοχής.

1 Για την έννοια της «διαθεματικότητας» δες στις επόμενες παραγράφους.2 Το οποίο, όπως προαναφέραμε, τίθεται σε εφαρμογή από το σχολικό έτος 2006-2007.

15

Οι κύριοι άξονες της προτεινόμενης στα πλαίσια του Δ.Ε.Π.Π.Σ. εκπαιδευτικής προσπάθειας, εναρμονισμένοι με το γενικό εκπαιδευτικό προσανατολισμό της Ευρωπαϊκής Ένωσης, και όπως αυτοί διατυπώνονται στο πρωτότυπο κείμενο, είναι: η παροχή γενικής παιδείας, η καλλιέργεια των δεξιοτήτων του μαθητή και η ανάδειξη των ενδιαφερόντων του, η εξασφάλιση ίσων ευκαιριών και δυνατοτήτων μάθησης, η ενίσχυση της πολιτισμικής και γλωσσικής ταυτότητας στο πλαίσιο μιας πολύ-πολιτισμικής κοινωνίας, η ευαισθητοποίηση για την αναγκαιότητα προστασίας του φυσικού περιβάλλοντος και η υιοθέτηση αναλόγων προτύπων συμπεριφοράς, η προετοιμασία για την αξιοποίηση των νέων τεχνολογιών πληροφόρησης και επικοινωνίας, η φυσική, ψυχική και κοινωνική ανάπτυξη, η ευαισθητοποίηση σε θέματα ανθρωπίνων δικαιωμάτων και παγκόσμιας ειρήνης, και η διασφάλιση της ανθρώπινης αξιοπρέπειας. Ειδικότερα:

Η γενική παιδεία στοχεύει στην ισόρροπη κατανομή των ανθρωπιστικών / κοινωνικών και των θετικών / τεχνολογικών γνωστικών αντικειμένων μέσα στο σχολικό χρόνο. Μεταξύ άλλων, η ανάδειξη, ανάπτυξη και καλλιέργεια ικανοτήτων, όπως της κριτικής σκέψης, της έκφρασης σκέψεων και απόψεων, της συνεργασίας, της λήψης αποφάσεων μέσα από το φίλτρο της υπευθυνότητας, καθώς και δεξιοτήτων πνευματικών, κοινωνικών και επικοινωνιακών, αποτελεί εξίσου βασικό στόχο της παροχής γενικής παιδείας.

Αναφορικά με τις δεξιότητες, βασική επιδίωξη του σχολείου, σύμφωνα με το Δ.Ε.Π.Π.Σ., θα πρέπει να είναι το να μάθει το μαθητή «πώς να μαθαίνει», αλλά και «πώς να πράττει», δηλαδή πώς να θέτει σε δημιουργική εφαρμογή τις γνώσεις και τις δεξιότητες που αποκτά στο σχολείο. Επιπλέον η ανάδειξη και αξιοποίηση των ενδιαφερόντων και κλίσεων του μαθητή μέσα στο σχολείο και κατ’ επέκταση στο ευρύτερο κοινωνικό περιβάλλον (σχολικός επαγγελματικός προσανατολισμός που στοχεύει στη σύνδεση του σχολείου με την αγορά εργασίας) συμβάλλει στην ευημερία τόσο του ατόμου όσο και του συνόλου.

Ο άνθρωπος ως βιολογική και ψυχική ενότητα, θα πρέπει να αναπτύσσει ισόρροπα την προσωπικότητά του, προκειμένου να εξασφαλίζει την ποιότητα της ζωής του. Έτσι, το σχολείο θα πρέπει να φροντίζει για την ομαλή και ισορροπημένη ανάπτυξη του ψυχικού τομέα (γνωστικός-συναισθηματικός και ψυχική υγεία / ευεξία), του βιολογικού (φυσική κατάσταση και σωματική ευεξία), αλλά και της συνεργασίας των δύο αυτών, δηλαδή του ψυχοκινητικού τομέα.

1.1.5. Η Διαθεματικότητα Στην προηγούμενη παράγραφο παρουσιάσαμε συνοπτικά τις γενικές

αρχές της εκπαίδευσης, σύμφωνα με το Δ.Ε.Π.Π.Σ., και κάναμε μια σύντομη ανάλυση σε ορισμένες από αυτές. Όπως έχουμε προαναφέρει, από τις γενικές αρχές προκύπτουν στη συνέχεια οι επιμέρους σκοποί και στόχοι οι οποίοι πραγματώνονται μέσω των κατάλληλων περιεχομένων και διδακτικών μεθόδων. Αναφορικά, λοιπόν με τη δομή του Δ.Ε.Π.Π.Σ., προωθείται η διαθεματικότητα (‘‘Διαθεματικό’’) που αντιπροσωπεύει τον οριζόντιο άξονα ανάπτυξης της ύλης, ενώ η μονοδιάστατη ανάπτυξη ενός γνωστικού πεδίου (‘‘Ενιαίο’’) μέσω του αντίστοιχου μαθήματος, αντιπροσωπεύει τον κατακόρυφο άξονα. Η διαθεματικότητα, ουσιαστικά αποτελεί τον φορέα της οριζόντιας διασύνδεσης των Α.Π.Σ. των επιμέρους γνωστικών αντικειμένων, η οποία προϋποθέτει την οργάνωση

16

των Α.Π.Σ. έτσι ώστε να αναδεικνύονται οι μακροέννοιες και να «εξασφαλίζεται η επεξεργασία θεμάτων από πολλές οπτικές γωνίες, ώστε αυτά να φωτίζονται πολυπρισματικά». Η έννοια της ‘‘διαθεματικότητας’’ διαφέρει από αυτήν της ‘‘διεπιστημονικότητας’’. Η πρώτη εμπεριέχει τη διάσταση της εφαρμογής, δηλαδή την αναζήτηση των επιμέρους γνωστικών διαστάσεων ενός συγκεκριμένου φαινομένου που είναι αντιληπτό με τις αισθήσεις μας. Η δεύτερη, αφορά περισσότερο γενικά και θεωρητικά φαινόμενα. Φυσικά, στα πλαίσια της σχολικής διδακτικής πράξης όπου εκτός των άλλων, επιδιώκεται η σύνδεση της ‘‘αφηρημένης’’ και θεωρητικής γνώσης με την καθημερινή ζωή και απτή πραγματικότητα, η έννοια της ‘‘διαθεματικότητας’’ είναι αυτή που μας αφορά κυρίως. Επομένως, στα πλαίσια της διδακτικής σχολικής πράξης, η επίλυση προβλήματος μπορεί να λειτουργήσει ως μέσο ενός διαθεματικού-ολικού τρόπου οικοδόμησης της γνώσης1. Σύμφωνα με τον Bruner (1973), σχεδόν κάθε γεγονός της καθημερινής ζωής, τα οποία ο μαθητής καλείται να μελετήσει ως ένα σύνολο από δεδομένα, και να ανακαλύψει τις επιμέρους διαστάσεις, έχει το χαρακτήρα μιας υποδομής, η οποία αν κατανοηθεί, οδηγεί σε γνώσεις πέρα από αυτά τα δεδομένα. Σ’ αυτήν την άποψη βλέπουμε μια συσχέτιση της μελέτης / επίλυσης προβλήματος με τη διαθεματικότητα, τη μεταβίβαση της μάθησης και τον Εποικοδομητισμό. Με την έννοια της διαθεματικότητας συνυφαίνεται και η έννοια του ‘‘συστήματος’’. Στα πλαίσια, λοιπόν, της συστημικής προσέγγισης της γνώσης, όλες τελικά, οι γνωστικές περιοχές σχετίζονται μεταξύ τους, αφού κάθε γνωστική περιοχή μελετάει μια πλευρά του κόσμου μας, ο οποίος είναι ενιαίος. Ο Vygotsky (1988) συνδέει την έννοια του συστήματος με τον Εποικοδομητισμό, υποστηρίζοντας πως «το σύστημα και η συνειδητότητα που συνδέεται με αυτό δεν εισάγεται από ‘τα έξω’ στη σφαίρα των παιδικών εννοιών». Η αντίληψη, από τον μαθητή της συνολικής εικόνας της πραγματικότητας, ευνοείται από την διαθεματική παρουσίαση των γνώσεων μέσα στο σχολείο, και σαν τρόπος σκέψης βοηθάει το μαθητή και στην μετά το Σχολείο ζωή του. Έτσι και τα Μαθηματικά πρέπει να τα δούμε και υπό το πρίσμα της διαθεματικότητας, με την έννοια αφ’ ενός της σχέσης τους με τα άλλα μαθήματα, αφ’ ετέρου της εφαρμοσιμότητάς τους στην εκτός και μετά το Σχολείο ζωή. 1.1.6. Η Επίλυση Προβλήματος Η έννοια του προβλήματος:

Πρόκειται για μια έννοια η οποία ‘κατάγεται’ από το χώρο των μαθηματικών, αλλά ‘ταξιδεύει’ σε όλους τους τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας. επομένως μπορούμε να μιλάμε για μία διαθεματική έννοια. Ο Δ. Καραγεώργος 2 λέει χαρακτηριστικά: «Η επίλυση προβλημάτων … αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο στη διδασκαλία των μαθηματικών. Με άλλα λόγια, η γνώση γενικά και ιδιαίτερα η μαθηματική γνώση αναπτύσσεται μέσα από την αναζήτηση λύσεων σε προβλήματα, η τεκμηρίωση των οποίων [λύσεων] γίνεται κατ’ αρχήν σε ένα διαισθητικό 3

και εμπειρικό επίπεδο, και στη συνέχεια στη βάση μιας αποδεικτικής διαδικασίας. Αξίζει να σημειωθεί ότι η ιστορία των μαθηματικών αποτελεί μια εξαιρετικά πλούσια πηγή άντλησης τέτοιων προβλημάτων.

1 Κολοκοτρώνη Ναταλία (2005)2 2000, σ.50.3 Για τη διαισθητική μάθηση δες και στον J. Hadamard (1995).

17

Για τη μαθηματική εκπαίδευση η πραγματικότητα αποτελεί συγχρόνως πεδίο αναφοράς και εφαρμογής των μαθηματικών εννοιών και δομών 1». Πρέπει να διασαφηνίσουμε πως υπάρχει διαφορά ανάμεσα στις έννοιες του προβλήματος και της άσκησης. Η ‘‘άσκηση’’ είναι μια απλή εφαρμογή ενός τύπου ή μιας αλγοριθμικής διαδικασίας (π.χ. η επίλυση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης) στην ίδια γνωστική περιοχή 2. Ο όρος ‘‘πρόβλημα’’ αφορά τη χάραξη μιας γνωστικής στρατηγικής (cognitive strategy, Bruner 1971) 3, από την κατάλληλη επιλογή και το συνδυασμό ενός συνόλου τύπων ή αλγορίθμων, έως τη δημιουργία μιας ‘πρωτότυπης’ διαδικασίας ή την ‘ανακάλυψη’ της λύσης, μέσα στην ίδια ή σε άλλη γνωστική περιοχή4. Η έννοια της επίλυσης προβλήματος:

Τη διαδικασία μετάβασης από τη διαπίστωση του προβλήματος στη λύση του την ονομάζουμε ‘‘επίλυση’’ του προβλήματος. Συνήθως η πρώτη δυσκολία που συναντά ο μαθητής με τη ‘θέαση’ της εκφώνησης ενός προβλήματος είναι η αποκωδικοποίηση, δηλαδή η ερμηνεία των γραμματικών συμβόλων. Γι αυτό θα πρέπει πρώτα να γίνει ανάλυση του προβλήματος, δηλαδή διαχωρισμός των δεδομένων απ’ τα ζητούμενα, περαιτέρω ανάλυση των δεδομένων και των ζητουμένων (χωριστά), δηλαδή αναγωγή στα ήδη γνωστά, σχηματική ή αναλυτική (αλγεβρική) αναπαράσταση ή μετασχηματισμός αυτών, κτλ. Ακολουθεί η σύνθεση των επιμέρους, προκειμένου ο μαθητής είτε να ‘οικοδομήσει’ (σταδιακά), είτε να ‘ανακαλύψει’ τη λύση. Είναι αυτονόητη η αναγκαιότητα για την ορθή διατύπωση του προβλήματος που δίνεται προς επίλυση, διότι η παραμικρή ασάφεια ή έλλειψη μπορεί να αποπροσανατολίσει το μαθητή. Αντίστοιχα, στην περίπτωση που η διατύπωση του προβλήματος πρέπει να γίνει από τον ίδιο το μαθητή, είναι σημαντικό να τον βοηθήσουμε να κατανοήσει την αναγκαιότητα της αυστηρής μαθηματικής διατύπωσης.

Για το Δ.Ε.Π.Π.Σ.5 η ικανότητα της επίλυσης προβλημάτων αποτελεί μία από τις σύνθετες ικανότητες και δεξιότητες, οι οποίες μπορούν να καλλιεργηθούν μέσα από περισσότερα (από ένα) γνωστικά αντικείμενα. Επιπλέον, η επίλυση προβλήματος (ως ‘σύνθετη’ ικανότητα) προϋποθέτει αλλά και προάγεται μέσα από την καλλιέργεια των απαραίτητων δεξιοτήτων και στρατηγικών σχεδιασμού, ελέγχου, ανατροφοδότησης και διορθωτικής παρέμβασης.1.1.7. Οι μαθησιακές δυσκολίες

Η σύγχρονη Ψυχοπαιδαγωγική έχει επαρκώς ερευνήσει (και συνεχίζει να ερευνά) το φαινόμενο αυτό. Όσον αφορά τα Μαθηματικά, έχει παρατηρηθεί ότι πολλοί μαθητές με δυσλεξία ή άλλες μαθησιακές δυσκολίες, ενώ δυσκολεύονται στη χρήση των μαθηματικών συμβόλων (τόσο ως προς την αποκωδικοποίησή τους όσο και στη χρήση τους προκειμένου να εκφράσουν τη σκέψη τους και να ‘οικοδομήσουν’ μια έννοια στο μυαλό τους), πολλές φορές παρουσιάζουν μία αξιοθαύμαστη 1 Αυτό το τελευταίο, ουσιαστικά αποτελεί αναφορά στη διαθεματική διάσταση των Μαθηματικών. 2 και αντιστοιχεί κυρίως στο στάδιο «Κατανόηση» του ταξινομικού μοντέλου της ομάδας του Bloom (για την οποία δες σε υποσημείωση της § 1.1.13. του βιβλίου αυτού)3 Επιπλέον ο Bruner κάνει λόγο για την ‘‘ανακαλυπτική μάθηση’’ (discovery learning, 1961) ως μέσο, προκειμένου ο μαθητής να μάθει να αυτοδιδάσκεται, έτσι ώστε να αναπτύξει τη δική του ‘‘γνωστική στρατηγική’’.4 διαδικασίες οι οποίες επαληθεύουν την επίτευξη διδακτικών στόχων, οι οποίοι αντιστοιχούν στις κατηγορίες «Ανάλυση», «Σύνθεση», «Εφαρμογή», «Αξιολόγηση» του ταξινομικού μοντέλου της ομάδας του Bloom5 τ. Α΄, σ. 12

18

ικανότητα στην ‘ολική’ σύλληψη μιας έννοιας. Ειδικά στους κλάδους της Γεωμετρίας και της Ανάλυσης, όπου υπάρχει και η δυνατότητα της εποπτείας μέσω των σχημάτων, είναι σε θέση να κατανοήσουν και να περιγράψουν ένα μαθηματικό φαινόμενο πιο εύκολα μέσα από τα κατάλληλα σχήματα (αρχή της εποπτείας), παρά μέσα από αλγεβρικές παραστάσεις. Χαρακτηριστική είναι η περίπτωση μαθητών που μπορούν να υπολογίσουν απ’ ευθείας και γρήγορα το όριο μιας συνάρτησης, ενώ όταν τους ζητηθεί να το ‘υπολογίσουν’ σταδιακά καταγράφοντας τους επιμέρους μετασχηματισμούς (απλοποιήσεις κτλ.) του τύπου, σπάνια τα καταφέρνουν. Φαίνεται πως σ’ αυτές τις περιπτώσεις η ‘‘ανακαλυπτική μάθηση’’ έχει τον πρωτεύοντα ρόλο.1.2.8. Οι Νέες Τεχνολογίες (Ν.Τ.) Τα Μαθηματικά εκτός από γνωστικό αντικείμενο, είναι και μέσο σκέψης και συλλογισμού, αξιολόγησης, επεξεργασίας και ταξινόμησης των προσλαμβανουσών πληροφοριών, οργάνωσης αυτών των πληροφοριών σε ένα νοητικό δόμημα1 (στο οποίο διαρκώς προσαρμόζονται οι νέες πληροφορίες, και αντιστρόφως2), με προσωρινά καταληκτική3 λειτουργία την εξαγωγή συμπερασμάτων4. Επιπλέον, η έννοια της διατύπωσης ενός προβλήματος, της λογικής επεξεργασίας των δεδομένων του (ανάλυση και συστηματική επανασύνθεση αυτών), και της αξιοποίησης των (εξωτερικών του προβλήματος) δεδομένων, με σκοπό την επίλυσή του, εμπίπτουν στη Μαθηματική Λογική, και αποτελούν την τομή (κοινό κομμάτι) των Μαθηματικών με την Πληροφορική5. Επομένως, η διδασκαλία των Μαθηματικών δεν στοχεύει μόνο στην οικοδόμηση των μαθηματικών εννοιών στο μυαλό του μαθητή, αλλά και στην άσκηση της κριτικής σκέψης, και φυσικά στην ανάπτυξη των κατάλληλων νοητικών και ψυχοκινητικών δεξιοτήτων, οι οποίες θα αναδεικνύουν την πρακτική εφαρμογή των γνώσεων και θα επιτρέπουν στους μαθητές να προβαίνουν σε επιστημονικές διερευνήσεις και επιλύσεις προβλημάτων. Από την άλλη πλευρά, η Πληροφορική ασχολείται με τη διαχείριση της πληροφορίας και, μέσω της χρήσης των λογικομαθηματικών κανόνων (εργονομία της σκέψης), με τη μετατροπή της ‘‘πληροφορίας’’ σε αξιοποιήσιμα στοιχεία, δηλαδή ‘‘δεδομένα’’. Μέχρι εδώ, βρισκόμαστε στο επιστημονικό πεδίο που μοιράζονται από κοινού η Πληροφορική με τα Μαθηματικά. Αυτό που καθιστά την Πληροφορική αυτόνομη γνωστική περιοχή, είναι ότι η διαχείριση της πληροφορίας γίνεται μέσω του Η/Υ. Έτσι, διαδικασίες, όπως της ανάλυσης ενός προβλήματος με σκοπό τη διατύπωσή του σε γλώσσα προγραμματισμού, της κατασκευής μιας γλώσσας προγραμματισμού, της δημιουργίας ενός λογισμικού ή μιας εφαρμογής, καθώς και πολλές άλλες, εμπίπτουν στη

1 Εδώ γίνεται φανερή η στενή σχέση μεταξύ της θεωρίας του Εποικοδομητισμού και των Μαθηματικών (ως τρόπου οργάνωσης της σκέψης).2 Και το οποίο, θέλουμε να πιστεύουμε, πως είναι οργανωμένο σε γενικές αρχές, επιμέρους αρχές (οι οποίες πηγάζουν από τις γενικές) κτλ. Αν και, όταν αυτό συμβαίνει στο μυαλό μας, θεωρούμε ότι οι σκέψεις μας είναι ‘‘τακτοποιημένες’’ (τουλάχιστον στιγμιαία, δηλαδή μέχρι κάποιο νέο στοιχείο που θα προκύψει, προκαλέσει μια μικρή ή μεγαλύτερη αναδιάταξη κοκ.). 3 Γιατί, ουσιαστικά, η όλη διαδικασία είναι κυκλική, άρα άνευ τέλους.4 Στο σημείο αυτό γίνεται φανερή η εμπλοκή του αξιακού συστήματος, βάσει του οποίου αξιολογούμε, και παίρνουμε αποφάσεις. Οι αξίες σχετίζονται με τον συναισθηματικό τομέα, και επομένως διαπιστώνουμε πόσο στενή είναι η σχέση μεταξύ γνωστικού και συναισθηματικού τομέα. 5 Κολοκοτρώνη Ναταλία (2005)

19

θεματολογία της Πληροφορικής. Επομένως οι Ν.Τ., ως απτή εφαρμογή των Μαθηματικών, αποτελούν τη βασική γέφυρα με την οποία η μαθησιακή διαδικασία μεταβαίνει από τη θεωρία στην πράξη, από το Σχολείο στην Κοινωνία και από τη θεωρητική αυτονομία των Μαθηματικών στη Διαθεματικότητα. Μια άλλη πτυχή των Ν.Τ. είναι τα διερευνητικά εκπαιδευτικά λογισμικά οικοδόμησης της γνώσης από το μαθητή, μέσω της ταξινόμησης και του συνδυασμού των γνωστικών πληροφοριών που παρέχονται από ποικίλες ενδοσχολικές και εξωσχολικές πηγές, στα πλαίσια του σχολικού μαθήματος και με την καθοδήγηση και στήριξή του από τον εκπαιδευτικό. Η διαδραστική και ανατροφοδοτική σχέση μεταξύ του μαθητή και του Η/Υ (μέσω του λογισμικού) δημιουργεί τις προϋποθέσεις για ενεργητική μάθηση, ενώ οι δυνατότητες δυναμικής αναπαράστασης μαθηματικών φαινομένων υπηρετούν τη διδακτική αρχή της εποπτείας με μεγάλη αποτελεσματικότητα. Έτσι, παρέχουν τόσο στους μαθητές όσο και στον δάσκαλο δυνατότητες δημιουργίας μαθησιακών καταστάσεων με τρόπους που δεν παρέχουν τα συνήθη διδακτικά μέσα (πίνακας και κιμωλίες, χαρτί και μολύβι).

Μία ακόμα όψη των Ν.Τ. στην εκπαίδευση, είναι η χρήση τους ως διδακτικά μέσα, και συγκεκριμένα ως ψηφιακά πολυμέσα. Ορισμένες φορές, ένας μόνο Η/Υ και ένας κατοπτρικός προβολέας (projector) είναι αρκετά για την παρουσίαση ενός μαθηματικού φαινομένου σε ‘εξέλιξη’ (όπως, για παράδειγμα, πώς μεταβάλλεται το σχήμα της έλλειψης με

εξίσωση 1, για τις διάφορες τιμές του λόγου ). Φυσικά,

αναφερόμαστε στη υποκατάσταση του ‘στατικού’ διδακτικού μέσου πίνακας-κιμωλία, και προφανώς σ’ αυτήν την περίπτωση ο εκπαιδευτικός μπορεί να χρησιμοποιήσει οποιοδήποτε κατάλληλο λογισμικό, χωρίς να είναι αναγκαίο να μπορούν να το χειρίζονται και οι μαθητές. Είναι προφανές ότι μια τέτοια διαδικασία δε θα πρέπει να μονοπωλήσει τη φάση της παρουσίασης ή της επεξεργασίας της αντίστοιχης έννοιας.

Από τα παραπάνω γίνεται φανερή η διδακτική και μαθησιακή προσφορά των εκπαιδευτικών Ν.Τ. ιδιαίτερα σε μαθητές με κινητικά ή άλλα προβλήματα, καθώς αφ’ ενός οι δυνατότητες άμεσης και εποπτικής παρουσίασης των μαθηματικών φαινομένων και αφετέρου ο τρόπος χρήσης τους, που δεν απαιτεί σύνθετες ψυχοκινητικές ικανότητες, παρέχουν άνετη πρόσβαση στη γνώση και διευκολύνουν τους μαθητές στην έκφραση των σκέψεών τους.

1.1.9. Ο ρόλος του Λυκείου σήμεραΓενικοί και ειδικοί στόχοι του Λυκείου:

Η Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση παρέχεται, σύμφωνα με το Νόμο, σε δύο κύκλους. Ο πρώτος καλύπτεται από τα Γυμνάσια και ο δεύτερος από τα Λύκεια και την τεχνική εκπαίδευση.

Ο σκοπός και των δύο κύκλων είναι κοινός: η ολόπλευρη και αρμονική ανάπτυξη των διανοητικών και ψυχοσωματικών δυνάμεων των μαθητών, με προσδόκιμο αποτέλεσμα την ολοκλήρωση της προσωπικότητάς τους και τη δημιουργική επιβίωσή τους στο κοινωνικό σύνολο.

Ειδικότερα, στο Λύκειο επιδιώκεται η ολοκλήρωση των σκοπών της Εκπαίδευσης. Το Ενιαίο Λύκειο βοηθά τους μαθητές να κατανοήσουν βαθύτερα την κοινωνική πραγματικότητα και τη διαλεκτική τους σχέση με αυτήν, να κάνουν σωστές επιλογές για τις περαιτέρω σπουδές και την

20

επαγγελματική τους αποκατάσταση, ώστε να συμβάλλουν στην οικονομική, πολιτική και πολιτιστική ανάπτυξη της χώρας μας.

Στο Ενιαίο Λύκειο οι βασικοί, επιδιωκόμενοι στόχοι, για τους μαθητές, είναι:1. να συνειδητοποιήσουν τις βαθύτερες πανανθρώπινες αξίες και να κατανοήσουν τη σπουδαιότητα του δημοκρατικού ήθους, μέσα από συλλογικές δραστηριότητες,2. να αναπτύξουν την κριτική τους ικανότητα με ουσιαστική γνώση του περιβάλλοντος αλλά και με αυτογνωσία, ώστε ν’ αντιμετωπίσουν δημιουργικά τη ζωή, την επιστήμη, την τέχνη, τον ελληνικό και εν γένει παγκόσμιο πολιτισμό, καλλιεργώντας το σωστό ιστορικό και αισθητικό κριτήριο, και τέλος3. να εμπεδώσουν τις ψυχοκινητικές κλίσεις και ικανότητές τους μέσα από αθλητικές δραστηριότητες που αναβαθμίζουν την ποιότητα της ζωής τους.Ο ρόλος του Λυκείου σήμερα:

Μπορούμε να πούμε πως το Λύκειο με τη σημερινή δομή του, λειτουργεί προπαρασκευαστικά για τους μαθητές ώστε αυτοί να μπορούν να επιλέγουν, σύμφωνα με τις δεξιότητες και τις κλίσεις τους, το επάγγελμα που θα ασκήσουν. Μολονότι είναι πιθανό οι επιλογές τους αυτές να μην είναι μόνιμες, ωστόσο το Λύκειο προϊδεάζει τους υποψήφιους σπουδαστές για τα υπάρχοντα επιστημονικά πεδία στα οποία δύνανται να κατευθυνθούν, και για τη βαρύτητα των μαθημάτων που προαπαιτούνται για τις Σχολές στις οποίες μπορεί να φοιτήσουν. Το σύγχρονο Λύκειο ενημερώνει τους μαθητές για τις δυνατότητες που παρέχει η αγορά εργασίας, μολονότι αυτό δεν είναι ο κύριος στόχος του. Άλλωστε το Λύκειο οφείλει να διαμορφώνει σωστά κριτήρια επιλογής, και όχι αυτή καθαυτή την επιλογή, αλλά ούτε και την κατανομή των μαθητών στην αγορά εργασίας. Με την αξιολόγηση της μαθητικής επίδοσης εθίζει εξ απαλών ονύχων το νεαρό άτομο στη σημασία της δημιουργικής παραγωγής και προσφοράς έργου, καθώς και στην αποτίμηση και επιβράβευση του μόχθου και του προϊόντος αυτού (Β. Παναγιωτοπούλου). Εκπαιδεύει και επιδιώκει να πείσει το νέο πως ό,τι προσφέρεται πρέπει να αμείβεται, και πως η αμοιβή, ως αναγνώριση, με τη σειρά της πρέπει να λειτουργεί ως κίνητρο για περαιτέρω προσπάθεια. Στον βαθμό που το σύγχρονο Λύκειο βρίσκεται σε ευθεία ανταπόκριση με την Κοινωνία, και δεν λειτουργεί ως αποστειρωμένη μονάδα εντατικής θεραπείας της γνώσης και των μαθητών μέσω αυτής, μπορεί να θεμελιώσει σωστά την οικονομική και κοινωνική πραγματικότητα, προς όφελος των επερχόμενων γενεών.

Το Λύκειο, εν κατακλείδι, ως ασφαλής και θεσμικά κατοχυρωμένη μήτρα στήριξης της προσωπικότητας του μελλοντικού ενεργού και κριτικά σκεπτόμενου πολίτη, ανοίγει παράθυρα προοπτικής για την αυριανή κοινωνία. Μπορεί και πρέπει να λειτουργεί μέσα σε κλίμα αισιοδοξίας, με οδηγό την καταφατική και όχι την αρνητική στάση απέναντι στη ζωή και τις διαχρονικές αξίες. Με άλλα λόγια, το Λύκειο αποτελεί θεμελιώδη σταθμό στη ζωή του εφήβου, γιατί αυτή είναι και η κρίσιμη ηλικία του ανθρώπου, που σημαδεύει και καθορίζει ισόβια την προσωπικότητα και τη ζωή του.

Επομένως θα πρέπει να δούμε τα σχολικά Μαθηματικά και υπό το πρίσμα της άμεσης εφαρμογής τους στη μελλοντική επαγγελματική δραστηριότητα των μαθητών.1.1.10. Τα (συνήθως εξωσχολικά) ενδιαφέροντα των μαθητών

21

Τα πρότυπα των νέων της εφηβείας βρίσκονται μέσα στην ομάδα των συνομηλίκων, μέσα στην οποία αναπτύσσονται και καλλιεργούνται, πολλές φορές, και τα εξωσχολικά τους ενδιαφέροντα.

Ισχυρή επίδραση στις εξωσχολικές δραστηριότητες ασκεί η τηλεόραση, καθώς αποτελεί κοινό σημείο αναφοράς της ομάδας των συνομηλίκων. Επομένως, η τηλεόραση ως ένας σημαντικός παράγοντας διαμόρφωσης του συλλογικού ασυνειδήτου, παρέχει ποικιλία προτύπων, θετικών ή αρνητικών, τα οποία επηρεάζουν σημαντικά τη μάθηση (κοινωνικογνωστική θεωρία μάθησης). Έτσι, η θέση των Μαθηματικών ως αποδεκτής ή μη κουλτούρας, στην τηλεόραση, επηρεάζει τον τρόπο που οι μαθητές βλέπουν τα Μαθηματικά. Παράλληλα η ορθή ή μη χρήση των Μαθηματικών στις τηλεοπτικές εκπομπές μπορεί να αποτελέσει θέμα προβληματισμού και αφόρμηση για την έναρξη της μαθησιακής διαδικασίας στην τάξη. Μικρότερη (προς το παρόν) σε πληθυσμό παιδιών επιρροή, αλλά δραστικότερη όσον αφορά την τη διαμόρφωση της προσωπικότητας (μέσω των παρεχόμενων προτύπων και των προσλαμβανουσών, από το παιδί, παραστάσεων) και του κοσμοειδώλου ενός παιδιού, ασκεί το διαδίκτυο.

Από την άλλη πλευρά, τα σύγχρονα τεχνολογικά / ψηφιακά επιτεύγματα (ο Η/Υ, τα ηλεκτρονικά παιχνίδια, η κινητή τηλεφωνία και γενικά η τεχνολογία των επικοινωνιών κ.ά.), η ενασχόληση με τα οποία απασχολεί μία από τις βασικές εξωσχολικές δραστηριότητες των περισσότερων μαθητών, έχουν τις ‘ρίζες’ τους στην εφαρμογή των Μαθηματικών (Λογική, Άλγεβρα Boole, Γεωμετρία κ.ά.), μια πληροφορία που μπορεί να βοηθήσει στο να αποκτήσουν οι μαθητές μια πιο θετική στάση απέναντι στα Μαθηματικά.

Γενικότερα, η σύνδεση των Μαθηματικών με την εξωσχολική (‘καθημερινή’) ζωή και τα ενδιαφέροντα των μαθητών κινητοποιεί συναισθηματικά τους μαθητές (θεωρία κινήτρων) και τους προετοιμάζει για το μαθησιακό γεγονός.1.1.11. Η σύνδεση του Σχολείου με την Κοινωνία:

Όπως είδαμε πιο πάνω, μια από τις βασικές επιδιώξεις του κράτους, είναι η διαμόρφωση ελεύθερων και υπεύθυνων πολιτών ικανών να ανταποκριθούν στις ανάγκες της σύγχρονης κοινωνίας. Αυτό, όπως αντιλαμβανόμαστε, προϋποθέτει αφ’ ενός την κοινωνικοποίηση του μαθητή (αντικείμενο μελέτης και έρευνας της Ψυχοπαιδαγωγικής και της Κοινωνιολογίας) και αφ’ ετέρου τη σύνδεση των μορφωτικών αγαθών με τις ανάγκες του ατόμου ως μέλους της κοινωνίας. Έτσι, θα πρέπει να αξιολογήσουμε κάθε μαθηματική ενότητα μέσα στα σχολικά εγχειρίδια, αναφορικά και με την προσφορά της στην ανάπτυξη του μαθητή ως κοινωνικού μέλους. Επιπλέον, πρέπει να δούμε τα Μαθηματικά τόσο ως πολιτισμικό προϊόν1, όσο και ως μοχλό ανάπτυξης του πολιτισμού. Με άλλα λόγια, να δούμε τα σχολικά Μαθηματικά υπό το πρίσμα της προσφοράς τους στο κοινωνικό σύνολο, και στην αναβάθμιση της ποιότητας ζωής.1.1.12. Οι διδακτικές θεωρίες των Bruner, Vygotsky

Κρίνεται σκόπιμο τόσο κατά τη σύνταξη, όσο και κατά την εφαρμογή του Σχεδίου Μαθήματος να λαμβάνουμε υπ’ όψη τις θεωρίες αυτές, οι οποίες, σύμφωνα με τους περισσότερους σύγχρονους ερευνητές ερμηνεύουν το μαθησιακό φαινόμενο, κατά μείζονα λόγο στο χώρο της

1 Δηλαδή ως προϊόν της διαλεκτικής σχέσης των ανθρώπων, πράγμα που ενισχύει την επικοινωνιακή διάσταση της μάθησης.

22

μαθηματικής παιδείας. Ειδικά στην περίπτωση του σχεδίου μαθήματος, ο Εποικοδομητισμός ερμηνεύει τη σημαντικότητα της ανάκλησης των προηγούμενων γνώσεων. Για τις θεωρίες αυτές έχουμε ήδη κάνει μια μικρή αναφορά σε προηγούμενες παραγράφους, δεδομένου του ότι η αναλυτική παρουσίασή τους βρίσκεται έξω από τη στοχοθεσία αυτού του βιβλίου. 1.1.13. Η ψυχοπνευματική ηλικία του μαθητή

(σε σχέση με τη γενετική-εξελικτική θεωρία του Piaget):Λαμβάνοντας υπ’ όψη την ηλικία του μαθητή και τις αντίστοιχες

ψυχοπνευματικές ιδιότητες και ικανότητες, επιλέγουμε το είδος και το επίπεδο δυσκολίας των στόχων που θέτουμε, καθώς και τις διδακτικές μεθόδους και τεχνικές, πάντα σε σχέση με την ιδιαίτερη φύση του προσφερόμενου μορφωτικού αγαθού. Για παράδειγμα η έννοια του διδάσκεται στη Β΄ Γυμνασίου, στην Α΄ Λυκείου στην Άλγεβρα, αλλά και έμμεσα στη Β΄ Λυκείου (στη Γεωμετρία). Οι διδακτικοί στόχοι όμως διαφοροποιούνται σε κάθε τάξη, προσαρμοζόμενοι στο αντίστοιχο πνευματικό επίπεδο ετοιμότητας των μαθητών της κάθε τάξης. Έτσι, ο μαθητής της Β΄ Γυμνασίου δεν είναι σε θέση να κατανοήσει γιατί ο είναι άρρητος, ακόμα και αν μάθει να το λέει1. Έτσι, προκειμένου να ‘δώσουμε’ στους μαθητές την έννοια του αριθμού , αναφορικά με το ταξινομικό στοχοθετικό μοντέλο της ομάδας του Bloom για τους γνωστικούς στόχους2, θα επιλέξουμε να στοχεύσουμε από την (απλή) γνώση έως και την ικανότητα για αξιολόγηση, ανάλογα με το αν οι μαθητές μας ανήκουν στη Β΄ Γυμνασίου, την Α΄ ή τη Β΄ Λυκείου, κτλ. Στο σημείο αυτό επανερχόμαστε στην αναγκαιότητα παράλληλης μελέτης του Α.Π., κατά τη σύνταξη ενός σχεδίου μαθήματος. 1.1.14. Οι διδακτικές αρχές της ανακάλυψης, της εποπτείας,

της βιωματικότητας, της αυτενέργειας

1 Στο ισχύον (2006-2007) σχολικό βιβλίο στη σελίδα 109 αναφέρεται χαρακτηριστικά: «Σε μεγαλύτερη τάξη θα μάθουμε ότι δεν υπάρχει ρητός αριθμός που να είναι ίσος με .»2 1. Γνώση: Είναι η κατά κάποιο τρόπο ‘‘επιφανειακή’’ γνώση. Ειδικότερα, είναι η ικανότητα αναγνώρισης «συγκεκριμένων γεγονότων και γενικεύσεων, μεθόδων και διαδικασιών, ενός πλαισίου, δομής ή τάξης», όπως αυτά πρωτοπαρουσιάστηκαν, καθώς και η ικανότητα ανάκλησής τους, στη μορφή, βέβαια, με την οποία έγιναν γνωστά. 2. Κατανόηση: Το επόμενο σε βάθος νοητικό στάδιο. Ο μαθητής μπορεί να αναγνωρίσει κάτι που έχει ‘‘κατανοήσει’’ όταν αυτό του ανακοινωθεί και επίσης μπορεί να ‘‘εφαρμόσει’’ αυτή τη γνώση με τη μορφή που την πρωτογνώρισε, χωρίς να την επεξεργαστεί (ανάλυση, αφαίρεση, συσχέτιση) περαιτέρω. 3. Εφαρμογή: Η ικανότητα εφαρμογής του γενικού και αφηρημένου σε ειδικές και συγκεκριμένες περιπτώσεις. Δεν εννοείται η μηχανιστική εφαρμογή και μάλιστα υπό την καθοδήγηση κάποιου ο οποίος υποδεικνύει ακριβώς τι πρέπει να γίνει. Για παράδειγμα, η εφαρμογή ενός τύπου, υπό την καθοδήγηση του εκπαιδευτικού, για τον υπολογισμό ενός μεγέθους στη Φυσική, θα ενταχθεί στην προηγούμενη κατηγορία. Σ’ αυτό το στάδιο εμπεριέχεται ‘μια δόση’ πρωτοβουλίας και δημιουργικότητας από πλευράς του μαθητή. 4. Ανάλυση: Η ικανότητα να ανακαλύπτει / διακρίνει / ξεχωρίζει ο μαθητής τα μέρη ενός όλου (μιας έννοιας, μιας διαδικασίας), να ανακαλύπτει τις σχέσεις σε ένα σύστημα κ.ά. 5. Σύνθεση: Η αντίστροφη, της ανάλυσης, ικανότητα. να μπορεί ο μαθητής να συνθέτει τα δεδομένα σε μια ολότητα. Εδώ κατατάσσονται και σύνθετες ικανότητες όπως διαίσθηση, δημιουργικότητα, συγκλίνουσα αλλά και αποκλίνουσα σκέψη. 6. Αξιολόγηση: Ουσιαστικά πρόκειται για την κριτική ικανότητα. Είναι η «χρήση κανόνων», δηλαδή κριτηρίων εσωτερικών ή εξωτερικών, από το μαθητή, προκειμένου να προβαίνει σε εκτιμήσεις, κρίσεις και συγκρίσεις, και να μπορεί να αποφαίνεται για το ‘‘ορθό’’ ή το ‘‘λανθασμένο’’ κτλ.

23

Οι ερευνητές της Ψυχοπαιδαγωγικής έχουν τεκμηριώσει τη θέση των αρχών αυτών στη διδακτική πράξη. Η εποπτεία στα Μαθηματικά, σχετίζεται με τη χρήση σχημάτων, γραφικών παραστάσεων και άλλων συμβολικών αναπαραστάσεων (όπως είναι, για παράδειγμα, το «σχήμα Horner») και τη χρήση κατάλληλων εποπτικών μέσων και υλικών (χρωματιστές κιμωλίες, γεωμετρικά όργανα, γεωμετρικά στερεά από χαρτόνι ή σύρμα, εκπαιδευτικά λογισμικά, ψηφιακά πολυμέσα παρουσίασης κ.ά.). Η βιωματικότητα έχει εξέχουσα θέση σε κάθε δραστηριότητα μάθησης και ιδιαίτερα στην απόκτηση ψυχοκινητικών δεξιοτήτων, οι οποίες συνοδεύουν αντίστοιχες ‘ψυχογνωστικές’ διαδικασίες, όπως είναι η μέτρηση, η κατασκευή σχημάτων κ.ά. Όσο για την ανακάλυψη, έχουμε ήδη τονίσει σε προηγούμενη παράγραφο την ιδιαίτερή της θέση στη διαδικασία επίλυσης προβλήματος, αλλά και γενικότερα, στην ‘άπαξ’ σύλληψη μιας έννοιας (ως ολότητας). Τέλος, η αυτενέργεια σχετίζεται άμεσα με τη βιωματικότητα και αποτελεί ζητούμενο της διδακτικής πράξης, αφού ο μαθητής (πρέπει να) βρίσκεται στο κέντρο της μαθησιακής διαδικασίας.

24

1.2. ΤΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣΌπως είδαμε στην προηγούμενη παράγραφο, η μάθηση είναι μια

διαδικασία που συντελείται στον εσωτερικό κόσμο του μαθητή υπό την καθοδήγηση του εκπαιδευτικού. Με άλλα λόγια, ο εκπαιδευτικός είναι ο ‘καταλύτης’ της σχέσης ανάμεσα στο μαθητή και το γνωστικό αντικείμενο. Πρώτ’ απ’ όλα θα πρέπει να καθορίσει τους διδακτικούς στόχους για τη συγκεκριμένη ενότητα που καλείται να παρουσιάσει, οι οποίοι πρακτικά απορρέουν άμεσα από τον τρόπο παρουσίασης της ενότητας αυτής στο σχολικό εγχειρίδιο, σε συνδυασμό, βέβαια, με τις αντίστοιχες οδηγίες στο έντυπο του Α.Π. και στο έντυπο των οδηγιών του Π.Ι. Έτσι, θα πρέπει να επιλέγει τις διδακτικές μεθόδους σε συνάρτηση τόσο με το συγκεκριμένο μαθητικό κοινό (τάξη / ηλικία / ψυχοπνευματικό επίπεδο) όσο και με τη συγκεκριμένη έννοια ή ενότητα που έχει να παρουσιάσει (στα πλαίσια, βεβαίως, του σχολικού εγχειριδίου, το οποίο απεικονίζει το Α.Π., όχι μόνο ως προς τα περιεχόμενα, αλλά και ως προς τη στοχοθεσία και τη μεθοδολογία). Παράλληλα θα πρέπει να επιλέξει και τη μορφή διδασκαλίας, η οποία ουσιαστικά δεν είναι τίποτα περισσότερο από τη μορφή της σχέσης δασκάλου-μαθητή, και μαθητή-μαθητή. Έτσι, ο σχεδιασμός της διδακτικής πορείας που θα ακολουθήσει ο διδάσκων μέσα στην τάξη πρέπει να αποτελεί βασικό μέλημά του. Επομένως, το σχέδιο μαθήματος δεν είναι τίποτα άλλο παρά ο εκ των προτέρων σχεδιασμός της διδακτικής πορείας1.

Η υπάρχουσα βιβλιογραφία βρίθει από μελέτες σχετικές με την έννοια και τα είδη του σχεδίου μαθήματος. Στη δική μας περίπτωση θα ασχοληθούμε με το πενταμερές και το τριμερές σχέδιο μαθήματος (καθώς και με ορισμένες παραλλαγές αυτών, τις οποίες θα δούμε μέσα από συγκεκριμένα παραδείγματα), μια συνοπτική παρουσίαση των οποίων θα κάνουμε στη συνέχεια.

1.2.1. Το πενταμερές σχέδιο μαθήματοςΤο πενταμερές σχέδιο μαθήματος αποτελείται από τις εξής φάσεις:

Προπαρασκευή, Παρουσίαση, Επεξεργασία, Εφαρμογή, Αξιολόγηση.Συγκεκριμένα:

1. Προπαρασκευή: (5΄- 10΄)Στο ξεκίνημα της διαδικασίας μεριμνούμε για τη συναισθηματική

κινητοποίηση (παρώθηση) των μαθητών μέσω των κατάλληλων κινήτρων. Έτσι, η αφόρμηση μπορεί να γίνει με τη βοήθεια ενός προβλήματος το οποίο εμπλέκει την έννοια, την οποία θέλουμε να παρουσιάσουμε, με τα ατομικά ενδιαφέροντα και τις εξωσχολικές δραστηριότητες των μαθητών. Στη συνέχεια, παράλληλα ή εναλλακτικά προς το προηγούμενο, επιδιώκουμε τη νοητική κινητοποίηση με την ανάκληση των προηγουμένων γνώσεων. Σ’ αυτό το σημείο βολιδοσκοπούμε τις προηγούμενες γνώσεις των μαθητών και την επάρκεια των

1 Αυτό αφορά στον «μικρο-σχεδιασμό», δηλαδή σε επίπεδο μιας διδακτικής ώρας. Επίσης υπάρχει ο «μεσο-σχεδιασμός» που αφορά μια ευρύτερη διδακτική ενότητα (π.χ. ένα κεφάλαιο ή μια εκτεταμένη παράγραφος) η οποία απαιτεί για την παρουσίασή της περισσότερες από μία διδακτικές ώρες, καθώς και ο «μακρο-σχεδιασμός», έννοια η οποία αναφέρεται στο σχεδιασμό για την παρουσίαση τόσο του μαθήματος στα πλαίσια όλης της διδακτικής χρονιάς, όσο και μιας ενότητας σε σχέση με τις απαιτήσεις της επόμενης σχολικής χρονιάς.

25

προαπαιτούμενων, προκειμένου να οικοδομηθούν πάνω σ’ αυτές οι νέες 1. Επομένως προετοιμάζουμε ‘το έδαφος’ για τη σύνδεση με τα επόμενα2.

Η παραπάνω διαδικασία μπορεί να πραγματοποιηθεί με τη μορφή των ερωταποκρίσεων και του κατευθυνόμενου διαλόγου, ή της κατευθυνόμενης ανακάλυψης με τη χρήση κατάλληλων φύλλων εργασίας που θα προετοιμάζουν την εισαγωγή στις νέες γνώσεις οι οποίες θα παρουσιαστούν στην επόμενη φάση.2. Παρουσίαση: (περίπου 10΄)

Σ’ αυτή τη φάση γίνεται η παρουσίαση των νέων εννοιών. Συγκεκριμένα, αν στην προηγούμενη φάση είχαμε προετοιμάσει τους μαθητές (με παραδείγματα) για τη νέα έννοια (ορισμός μιας έννοιας ή θέση ενός θεωρήματος), ή ενός νέου αλγορίθμου (π.χ. του σχήματος Horner), τότε αυτή η φάση ξεκινά με την ‘‘ανακοίνωση’’ της νέας έννοιας που ‘μόλις’ παρήχθη. Το ίδιο συμβαίνει, αν στη φάση της προπαρασκευής, είχαμε επιλέξει τη σταδιακή οικοδόμηση / κατασκευή / παραγωγή / σύνθεση των νέων (συνήθως θεωρημάτων) με τη βοήθεια των προηγουμένων. Πρόκειται για τη μόνη από τις πέντε φάσεις στην οποία μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την επεξηγηματική-μετωπική ή την επιδεικτική–μετωπική μορφή διδασκαλίας, ανάλογα βέβαια με τη φύση της παραδοτέας διδακτικής ενότητας. Εν τούτοις, όταν η διδακτέα ενότητα το καθιστά εφικτό, καλό θα είναι να αξιοποιήσουμε τη μορφή της καθοδηγούμενης διδασκαλίας είτε με φύλλα εργασίας σε άτομα ή μικρές ομάδες, είτε με καθοδηγούμενο διάλογο μεταξύ δασκάλου και μαθητών, είτε με διαδοχική συμμετοχή μαθητών στην παρουσίαση στον πίνακα, υπό την καθοδήγηση του δασκάλου. 3. Επεξεργασία: (10΄+)

Ο εκπαιδευτικός, με τη χρήση κατάλληλων παραδειγμάτων, βοηθά τους μαθητές να επεξεργαστούν περαιτέρω τις νέες έννοιες, και μέσω ανάλυσης, συσχέτισης με τα προηγούμενα και επανασύνθεσης, να εξάγουν πορίσματα και να ανακαλύψουν / παράγουν / διατυπώσουν θεωρητικές εφαρμογές της νέας έννοιας (ορισμού ή θεωρήματος).

Η εργασία αυτή μπορεί να γίνει με τη μορφή της Σωκρατικής μαιευτικής, ή με φύλλα εργασίας.4. Εφαρμογή: (10΄)1 (Εφ’ όσον, βέβαια, αυτό είναι εφικτό στα πλαίσια της διδακτέας ύλης όπως αυτή δομείται στο σχολικό εγχειρίδιο.) Για παράδειγμα, όταν προηγείται η απόδειξη ενός θεωρήματος από το ίδιο το θεώρημα, τότε αυτή λειτουργεί προπαρασκευαστικά, με τη έννοια ότι αξιοποιούνται τα προηγούμενα, με τη βοήθεια των οποίων συντίθεται / παράγεται / κατασκευάζεται / οικοδομείται το συγκεκριμένο θεώρημα. Αν επιλέξουμε να παρουσιάσουμε το θεώρημα πριν την απόδειξή του, τότε θα πρέπει να προετοιμάσουμε τους μαθητές με συγκεκριμένες (ειδικές) περιπτώσεις, μέσα από τη συγκριτική παρατήρηση των οποίων θα ‘συλλάβουν’ την έννοιά του. Η απόδειξη στη συνέχεια είναι μέρος της επεξεργασίας αυτού του θεωρήματος, καθώς επιδιώκουμε να βρούμε, εκ των υστέρων, τη σχέση του με τα προηγούμενα, προκειμένου βέβαια να το τεκμηριώσουμε θεωρητικά, όχι μόνο για την ‘επιστημονική πληρότητα’ της μαθηματικής θεωρίας, αλλά κυρίως για να αποκτήσει ο μαθητής την πεποίθηση για την καθολική ισχύ του θεωρήματος. Αν δεν περιλαμβάνεται η απόδειξη στο σχολικό βιβλίο, τότε ακολουθούμε τη δεύτερη προαναφερθείσα διαδικασία, δηλαδή χρησιμοποιούμε πολλές ειδικές περιπτώσεις, μέσα από τις οποίες ο μαθητής οικοδομεί επαγωγικά (αλλά όχι αποδεικτικά) την έννοια του θεωρήματος. Η απόκτηση, από το μαθητή, της πεποίθησης για την αλήθεια του θεωρήματος σ’ αυτήν την περίπτωση επιτυγχάνεται με το ικανό πλήθος των υποπεριπτώσεων που παρουσιάσαμε και οι οποίες, έχουμε φροντίσει ώστε να είναι κατά το δυνατόν αντιπροσωπευτικότερες (δηλαδή να καλύπτουν όλο το εύρος της έννοιας του θεωρήματος). Η τελευταία διδακτική προσέγγιση υιοθετείται κατά κανόνα στο Γυμνάσιο. 2 Με αυτόν τον τρόπο επιτυγχάνεται έμμεσα μια σύντομη αξιολόγηση της επίτευξης των στόχων του προηγούμενου μαθήματος, η οποία λειτουργεί ως διαμορφωτική αξιολόγηση για την παρουσίαση της νέας διδακτικής ενότητας.

26

Μέσα από απλές εφαρμογές των όσων παρουσιάστηκαν στις προηγούμενες φάσεις, ή συνθετότερες ασκήσεις και προβλήματα επιδιώκεται η εφαρμογή των νέων γνώσεων σε παρόμοιες ή συνθετότερες καταστάσεις. 5. Αξιολόγηση (-Επέκταση): (10΄+)

Οι μαθητές, ανάλογα με τη φύση της συγκεκριμένης ενότητας, θα προβούν στη διατύπωση μιας περίληψης (αυτό προϋποθέτει / αξιοποιεί / ασκεί1 την αφαιρετική και την κριτική ικανότητα των μαθητών να αντιλαμβάνονται το γενικό πλάνο2, τα πιο ουσιώδη), και στη διατύπωση εντυπώσεων (συνολική αξιολόγηση του μαθήματος από τους μαθητές). Η συγκεκριμένη διαδικασία προσιδιάζει περισσότερο στη διδακτική διαδικασία του Γυμνασίου. Κατ’ ανάλογο τρόπο μπορούμε να ενθαρρύνουμε / καθοδηγήσουμε τους μαθητές ώστε να οργανώσουν τις ασκήσεις που παρουσιάστηκαν στη φάση της «Εφαρμογής», σε γενικότερες κατηγορίες και σχήματα (‘παραγωγή’ μεθοδολογίας). Ακόμα, ενδείκνυται η διαδικασία επίλυσης ενός σύνθετου προβλήματος (σε επίπεδο της ομάδας της σχολικής τάξης, με καθοδήγηση από το δάσκαλο αρχικά, και ελεύθερη συζήτηση στη συνέχεια), μέσα από την επεξεργασία του οποίου οι μαθητές θα αξιολογήσουν τη σημαντικότητα των νέων εννοιών μέσα από τις εφαρμογές τους στα άλλα σχολικά μαθήματα (διαθεματικές προεκτάσεις) ή/και στην εκτός του σχολείου ζωή (σύνδεση Σχολείου-Κοινωνίας). Μέσα από τέτοιες προεκτάσεις επιδιώκουμε να οικοδομήσει / οργανώσει / αναπτύξει ο μαθητής έναν ευρύτερο τρόπο σκέψης για την κριτική επεξεργασία και αξιολόγηση των γεγονότων και φαινομένων του φυσικού και κοινωνικού του περιβάλλοντος3. Με αυτόν τον τρόπο τον βοηθάμε να αναπτύξει θετική στάση απέναντι στα Μαθηματικά, αφού πλέον παύει να τα αντιμετωπίζει ως ‘στεγνές’, αφηρημένες, χωρίς νόημα -και άρα ‘άχρηστες’- γνώσεις, αλλά τα εντάσσει ως εργαλεία ή ως αλήθειες στην κοσμοθεωρία του.

Εναλλακτικά, με τη βοήθεια ενός φύλλου εργασίας (με μία ερώτηση ανοικτού και δύο-τρεις ερωτήσεις κλειστού τύπου) μπορούμε να αξιολογήσουμε την επίτευξη των διδακτικών στόχων 4 από τους μαθητές . Ο τελευταίος τρόπος αξιολόγησης προϋποθέτει τουλάχιστον 15 διαθέσιμα λεπτά της ώρας, ώστε να μπορέσουμε να διαθέσουμε τα τελευταία 5 λεπτά στο να συζητήσουμε τις σωστές απαντήσεις με τους μαθητές μας (οι οποίοι έχουν έτσι την ευκαιρία να προβούν σε αυτοαξιολόγηση), προκειμένου η Αξιολόγηση, ως φάση της διδακτικής διαδικασίας, να αποτελεί οργανικό τμήμα της όλης διαδικασίας. Σε διαφορετική περίπτωση (δηλαδή όταν οι μαθητές παραδίδουν τα απαντημένα φύλλα με τη λήξη της διδακτικής ώρας), η διδακτική ώρα λήγει, αφήνοντας τόσο τους μαθητές, όσο και εμάς τους ίδιους με μια συγκεχυμένη αντίληψη για το επίπεδο επίτευξης των στόχων μάθησης.

Τέλος, αν έχουμε να παρουσιάσουμε μια ενότητα σε περισσότερες από μία διδακτικές ώρες, τότε μπορούμε να δώσουμε ένα θέμα για κατ’ οίκον εργασία των μαθητών μας («επέκταση»), τα αποτελέσματα της οποίας μπορούν να αποτελέσουν την αφόρμηση για την εκκίνηση της επόμενης διδακτικής ώρας. Σ’ αυτό το σημείο κρίνεται σκόπιμο να αναφέρουμε πως ο τρόπος τον οποίο επιλέγουμε για να ‘κλείσουμε’ τη διδακτική ώρα εξαρτάται επίσης και από το αν, και σε ποιο βαθμό 1 και παράλληλα μας δίνει τη δυνατότητα να αξιολογήσουμε2 “The big picture”3 Αξιολόγηση κατά Βlοοm.4 που είχαν τεθεί κατά το σχεδιασμό της διδασκαλίας

27

θεωρούμε τη συγκεκριμένη διδακτέα υποενότητα (και αντίστοιχη διδακτική ώρα) στα πλαίσια της ευρύτερης ενότητας (και αντίστοιχου αριθμού διδακτικών ωρών) 1. Έτσι, μπορούμε να οργανώσουμε τη διεξαγωγή της φάσης αυτής και με προοπτική ενότητας ή κεφαλαίου. Άλλωστε καμία μαθηματική ενότητα δεν ολοκληρώνεται μέσα σε μια μόνο διδακτική ώρα. Με άλλα λόγια, η διδακτική ενότητα της μίας διδακτικής ώρας είναι αυτοτελής και αυτόνομη, αλλά όχι ανεξάρτητη.

Παρατηρήσεις: Οι προτεινόμενοι χρόνοι είναι ενδεικτικοί. Οι φάσεις 2-3 αποτελούν την καθαυτή διδακτική και μαθησιακή διαδικασία, επομένως ο διδάσκων, ανάλογα με τις ιδιαίτερες συνθήκες της τάξης μπορεί να τροποποιήσει τους επιμέρους χρόνους, Η 2η φάση αποτελεί ουσιαστική συνέχεια της 1ης, ως εκ τούτου και εδώ οι σχετικοί χρόνοι μπορούν να επαναπροσδιοριστούν. Η 1η φάση είναι πολύ σημαντική, γιατί από αυτήν εξαρτάται η επιτυχία της υπόλοιπης διαδικασίας. Γι’ αυτό ορισμένες φορές είναι προτιμότερο να αφιερώνουμε λίγο περισσότερο χρόνο, προκειμένου να εισαχθούν ‘ομαλά’ οι μαθητές στην όλη διαδικασία, παρά να βιαζόμαστε να ‘ξεμπερδέψουμε’ για να παραδώσουμε τη νέα ύλη. Οι γνωστικές διαδικασίες της ανάλυσης και της σύνθεσης λαμβάνουν χώρα στον εσωτερικό κόσμο του μαθητή πολλές φορές κατά τη διάρκεια της μαθησιακής διαδικασίας, από τη φάση της «Προπαρασκευής» έως και τη φάση της «Αξιολόγησης», με περισσότερη ένταση στη φάση της «Επεξεργασίας» και της «Εφαρμογής» των νέων γνώσεων. Αυτό συμβαίνει, γιατί η κατασκευή νοητικών σχημάτων είναι μια δυναμική διαδικασία χωρίς αρχή και τέλος, παρά μόνο με προσωρινές παύσεις. Για το λόγο αυτό αποφύγαμε τους χαρακτηρισμούς «ανάλυση», «σύνθεση», «γενίκευση», «οργάνωση» ή «ταξινόμηση» που χρησιμοποιούν άλλοι ερευνητές προκειμένου να ονομάσουν κάποιες από τις φάσεις της πενταμερούς διδακτικής διαδικασίας.

1 Ορισμένοι ερευνητές κάνουν λόγο για τη «δραστηριότητα κλεισίματος», η οποία οριοθετεί την αυτοτέλεια και σηματοδοτεί τη λήξη της διδακτικής ώρας. Επειδή στον προηγούμενο διαγωνισμό (Μάρτιος 2005) τα θέματα ήταν τέτοια που απαιτούσαν μεσο-και μακρο-σχεδιασμό καλό θα ήταν να θεωρούμε κάθε διδακτική ώρα τόσο ως αυτοτελή όσο και ως σχετιζόμενη με την αμέσως επόμενη στο οποίο στοχεύει η «Επέκταση». Η «Επέκταση» μπορεί να λάβει χώρα και μέσα στην τάξη, στα πλαίσια του προβλεπόμενου διδακτικού χρόνου. Ως «επέκταση» εκλαμβάνονται και οι προτεινόμενες ασκήσεις «για το σπίτι».

28

1.2.2. Το τριμερές σχέδιο μαθήματοςΜιλώντας για τριμερές σχέδιο, εννοούμε καθένα από τα εξής:Α. Το τριμερές σχέδιο μαθήματος που αποτελείται από τις εξής φάσεις: Προπαρασκευή, Παρουσίαση / Επεξεργασία, Εφαρμογή /Αξιολόγηση.Σ’ αυτήν την περίπτωση, έχουμε απόλυτη αντιστοιχία με το πενταμερές, με τη μόνη διαφορά ότι η φύση της ενότητας είναι τέτοια που δεν μπορούν να διαχωριστούν σαφώς μεταξύ τους ορισμένες φάσεις. Ειδικά για το τρίτο μέρος (Εφαρμογή / Αξιολόγηση) μπορούμε να πούμε ότι έχουμε συνδυασμό Εφαρμογής και Αξιολόγησης1. Συγκεκριμένα, μέσα από κατάλληλα επιλεγμένες εφαρμογές οι μαθητές: προβαίνουν σε οργάνωση της νέας γνώσης σε γενικότερα σχήματα ‘‘παράγουν μεθοδολογία’’ αποφαίνονται για την πρακτικότητα μιας μεθόδου / πρακτικής έναντι μιας άλλης αξιολογούν την πολυδιαστατικότητα των Μαθηματικών διαπιστώνουν την ολότητα / διαθεματικότητα της γνώσηςΒ. Το σχέδιο που βασίζεται στη μεθοδολογία επίλυσης προβλήματος, και ενδείκνυται ιδιαίτερα για την περίπτωση όπου η ‘νέα’ γνώση δεν μπορεί (στα πλαίσια του Α.Π. και του σχολικού εγχειριδίου) να οικοδομηθεί πάνω στην προηγούμενη γνώση. Συγκεκριμένα έχουμε:1. Προπαρασκευή: (10΄)

Τίθεται στους μαθητές ένα ερώτημα, ή ένα πρόβλημα από τη σφαίρα αντιληπτικότητάς τους, το οποίο θα ανασύρει απ’ τη μνήμη τους τα προηγούμενα, καθώς και οποιαδήποτε εξωσχολική γνώση που φαίνεται να μπορεί να αξιοποιηθεί. Η καθοδηγούμενη ανάδειξη της ‘αδυναμίας’ να αντιμετωπιστεί το ζήτημα με τα ήδη γνωστά, δημιουργεί στους μαθητές την αναγκαιότητα να οριστεί / τεθεί το καινούργιο, πράγμα που θα γίνει στην επόμενη φάση. Μέσα από την ανάλυση του ερωτήματος προκύπτουν ως αιτήματα οι ιδιότητες της νέας έννοιας που πρέπει να οριστεί, ή οι υποθέσεις του νέου θεωρήματος (αν πρόκειται για θεώρημα). Έτσι, οι μαθητές είναι προετοιμασμένοι για τη νέα γνώση, αφού μάλιστα έχουν ήδη αρχίσει να συμμετέχουν στη ‘δημιουργία’ της. 2. Παρουσίαση / Επεξεργασία (15΄-20΄)

Παρουσιάζουμε το νέο. Συγκεκριμένα, αν πρόκειται για νέα έννοια, δίνουμε τον ορισμό της, και είναι ένα θεώρημα, το διατυπώνουμε σε μαθηματική γλώσσα, αξιοποιώντας τη συζήτηση με τους μαθητές μας η οποία προηγήθηκε. Οι μαθητές με την καθοδήγησή μας και μέσα από κατάλληλες δραστηριότητες επεξεργάζονται τη νέα έννοια (είτε θεωρητικά, παράγοντας της ιδιότητές της2, είτε με τη βοήθεια αντιπροσωπευτικών υποπεριπτώσεών της3). Αν πρόκειται για θεώρημα, προβαίνουν στην επαλήθευση τόσο της ορθότητάς του (μέσα από την απόδειξή του)4 όσο και της αναγκαιότητας των προϋποθέσεων /συνθηκών εφαρμογής του (μέσα από αντιπαραδείγματα).

Με άλλα λόγια, η «Παρουσίαση» είναι η αποκάλυψη της μαθηματικής δομής του προβλήματος και η διατύπωσή του ως γενικού νόμου (γενίκευση). Παράλληλα γίνεται και η επεξεργασία του καινούργιου, αφού η αποστασιοποίηση απ’ το συγκεκριμένο ‘πραγματικό’ μέρος του προβλήματος σημαίνει / προϋποθέτει εκτός των άλλων την αφαίρεση και

1 Περισσότερα δες στην Παρατήρηση 3. της παραγράφου 1.2.3.2 βάθος της έννοιας3 πλάτος της έννοιας4 Άλλες φορές η επαλήθευση γίνεται εποπτικά / διαισθητικά, με τη χρήση κατάλληλης οπτικής αναπαράστασης (π.χ. Θεώρημα Βοlzαnο, Θεώρημα Rοlle κ.ά.)

29

την ανάλυση, με άλλα λόγια τη σύλληψη και τη συγκρότηση της νέας έννοιας. 3. Εφαρμογή /Αξιολόγηση (15΄-20΄)

Μέσα από απλές ασκήσεις οι μαθητές εφαρμόζουν τα προϊόντα της «Επεξεργασίας» και έτσι εμπεδώνουν τη νέα έννοια.

Στη συνέχεια επανερχόμαστε στο αρχικό πρόβλημα, προκειμένου να το αντιμετωπίσουμε ως εφαρμογή της νέας γνώσης. Έτσι οι μαθητές ανακαλύπτουν τις προεκτάσεις και τις δυνατότητες εφαρμογής της νέας γνώσης στο χώρο απ’ τον οποίο προέκυψε το αρχικό πρόβλημα (ένα άλλο μάθημα, μια εξωσχολική δραστηριότητα), οπότε και αξιολογούν την πολυδιαστατικότητα των Μαθηματικών.

Παρατηρήσεις: Τόσο η πρώτη όσο και η δεύτερη φάση μπορεί να πραγματοποιηθεί και με τη Σωκρατική μαιευτική μέθοδο (εξέλιξη της μεθόδου των ερωταποκρίσεων), που αν και αποτελεί μετωπική μορφή διδασκαλίας, καθιστά το μαθητή πρωτεργάτη της μάθησής του. Ορισμένοι ερευνητές ορίζουν τα στάδια της τριμερούς πορείας ως εξής: 1. Παρουσίαση: παρουσίαση της νέας διδακτέας ενότητας, 2. Επεξεργασία: σύνδεση με τα προηγούμενα / οικοδόμηση πάνω στα προηγούμενα, εμβάθυνση (ανάλυση), 3. Έκφραση: γενίκευση των συμπερασμάτων, ανακεφαλαίωση, σύνοψη και εφαρμογές. Το ‘αδύνατο’ σημείο σ’ αυτό το διδακτικό σχήμα είναι ότι φαίνεται, πως οι μαθητές εισάγονται κάπως ‘απότομα’ στο καινούργιο, δηλαδή δε διαφαίνεται κάποια συναισθηματική ή νοητική προπαρασκευή.

30

1.2.3. Γενικές Παρατηρήσεις1. Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε (αν δεν διαθέτουμε αρκετή εμπειρία) προκειμένου να συντάξουμε ένα σχέδιο μαθήματος για μια δεδομένη διδακτική ενότητα, είναι να μελετήσουμε τους αντίστοιχους διδακτικούς σκοπούς και στόχους από το Α.Π., με τη βοήθεια των οποίων θα ορίσουμε τους δικούς μας σκοπούς και στόχους, τους οποίους θα συμπεριλάβουμε στην καταγραφή του σχεδίου. Πολύ σύντομα θα φτάσουμε στο σημείο να μπορούμε να ορίζουμε από μόνοι μας τους διδακτικούς σκοπούς και στόχους.

Σύμφωνα με το στοχοθετικό-ταξινομικό μοντέλο της ομάδας του Bloom, οι γενικοί και ειδικοί εκπαιδευτικοί σκοποί και στόχοι ταξινομούνται σε γνωστικούς, συναισθηματικούς και ψυχοκινητικούς, και ιεραρχούνται από τον πιο απλό στον πιο σύνθετο, όπως είδαμε σε προηγούμενη παράγραφο ειδικά για τους γνωστικούς στόχους. Καλό θα είναι να λάβουμε υπ’ όψη και αυτή τη διάσταση στη σύνταξη ενός σχεδίου μαθήματος.2. Θα πρέπει να προσδιορίσουμε επακριβώς την πορεία, το συνδυασμό μεθόδων και μορφών διδασκαλίας, τα διδακτικά μέσα και υλικά, και να τα καταγράψουμε στο σχεδιασμό μας.3. Αρκετές φορές, με τη βοήθεια ορισμένων πιο σύνθετων εφαρμογών (ή ενός συνόλου εφαρμογών) οι μαθητές εξάγουν περαιτέρω συμπεράσματα για τις νέες έννοιες. Αυτό σημαίνει ότι η «Επεξεργασία» επεκτείνεται στη φάση της «Εφαρμογής»1. Άλλες, πάλι φορές, μια σύνθετη (ή διαθεματική) εφαρμογή / επέκταση αποτελεί αφορμή ώστε οι μαθητές να οργανώσουν σε γενικότερα και ευρύτερα σχήματα τη νέα γνώση, σε σχέση με προηγούμενες γνώσεις του ίδιου ή / και άλλου κεφαλαίου / κλάδου Μαθηματικών, της ίδιας ή προηγούμενης τάξης (ή και σε σχέση με άλλα μαθήματα). Μια τέτοια δραστηριότητα βοηθάει το μαθητή να ανάξει τις επιμέρους γνώσεις σε ένα ευρύτερο σύστημα μαθηματικής σκέψης (‘‘αξιακό σύστημα’’ επεξεργασίας και αξιολόγησης των δεδομένων του περιβάλλοντος κόσμου), πράγμα που μας παραπέμπει στην αξιολόγηση κατά Βlοοm. Δηλαδή, η ίδια μαθησιακή διαδικασία, ανάλογα με το πού στοχεύουμε μπορεί να εντάσσεται στη φάση της «Εφαρμογής» ή της «Αξιολόγησης». Επομένως, παρ’ όλο που οι φάσεις (ως ψυχοπνευματικές διαδικασίες απ’ τις οποίες ‘διέρχεται’ ο μαθητής στα πλαίσια της διδακτικής ώρας) είναι πάντοτε οι προαναφερθείσες πέντε (εξ ου και «πενταμερές» σχέδιο), πολλές φορές μπορούν να ‘‘συμπτύσσονται’’ ανά δύο διαδοχικές, εφ’ όσον μια δραστηριότητα (ή μια δομή δραστηριοτήτων) δίνει στο μαθητή την ευκαιρία να επιτελέσει περισσότερες από μία αντίστοιχες πνευματικές δραστηριότητες. Απόρροια των προηγουμένων είναι ότι, ο εκπαιδευτικός για μια δεδομένη διδακτική ενότητα μπορεί να σχεδιάσει με περισσότερους από έναν τρόπους την παρουσίασή της, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι μόνο ο ένας τρόπους από αυτούς είναι ο σωστός. 4. Πολλές φορές, λόγω χρονικών ή παιδαγωγικών περιορισμών (π.χ. η κούραση των μαθητών) ένα μέρος από την τελευταία φάση πραγματοποιείται με την κατ’ οίκον μελέτη του μαθητή. Αυτό μπορούμε να το αξιοποιήσουμε υπέρ του μαθητή και υπέρ της προαγωγής της σχολικής διαδικασίας, αν το θέμα που δίνουμε για περαιτέρω επεξεργασία προετοιμάζει το γνωστικό ‘έδαφος’ για τα επόμενα2, αφού, όπως έχουμε 1 Δες παρακάτω, στην ίδια ενότητα, το σχέδιο μαθήματος για τις «Ανισώσεις».2 Δες και πιο πάνω, τα σχετικά με τη φάση «Αξιολόγηση» του πενταμερούς, καθώς και πιο κάτω, την Παρατήρηση 4.

31

προαναφέρει, οι ‘νέες γνώσεις’ του ‘παρόντος’ μαθήματος είναι συνήθως οι προαπαιτούμενες του επόμενου. Έτσι, στην αρχή της επόμενης διδακτικής ώρας, με την επεξεργασία του θέματος που είχαμε δώσει την προηγούμενη φορά επιτυγχάνουμε αποτελεσματικότερα τη γνωστική και συναισθηματική προπαρασκευή των μαθητών.5. Η αξιολόγηση είναι μία δυναμική διαδικασία, η οποία λαμβάνει χώρα καθ’ όλη τη διάρκεια της διδακτικής πορείας, άλλες φορές περισσότερο και άλλες φορές λιγότερο συνειδητά από τον εκπαιδευτικό. Όπως έχουμε προαναφέρει, στα πλαίσια της διδακτικής ώρας (την οποία θεωρούμε ως ‘‘διδακτική μονάδα’’) ξεκινάει ως διαγνωστική (αρχική) στη φάση της ανάκλησης των προηγουμένων (όπου ταυτόχρονα ο εκπαιδευτικός διαπιστώνει το βαθμό επάρκειας των προαπαιτούμενων γνώσεων των μαθητών), συνεχίζει ως διαμορφωτική-ανατροφοδοτική (ενδιάμεση) στη διάρκεια της παρουσίασης και της επεξεργασίας (με τον επαναπροσδιορισμό και την προσαρμογή της δράσης του εκπαιδευτικού στις εκάστοτε παραμέτρους της σχολικής περίστασης, δεδομένου του ότι οι μαθητές είναι ζωντανά όντα με ανάγκες, ελεύθερη βούληση, πνευματικά και συναισθηματικά όρια κοπώσεως, και όχι ανδροειδή), ενώ εξελίσσεται σε τελική στο τελευταίο στάδιο της διδακτικής πορείας, και στοχεύει στη διαπίστωση του βαθμού επίτευξης των στόχων από τους μαθητές. Τέλος, υφίσταται και η μετα-αξιολόγηση η οποία αφορά σε άλλο επίπεδο θεώρησης. Για παράδειγμα, η επεξεργασία την οποία κάνουμε νοερά μετά το πέρας του μαθήματος για να συμπεράνουμε το «τι πήγε ή δεν πήγε καλά και γιατί», είναι μια περίπτωση μετα-αξιολόγησης 1. Γενικά για την Εκπαιδευτική Αξιολόγηση έχουν ειπωθεί πολλά και θα μπορούσαμε να πούμε ακόμη περισσότερα, το οποίο όμως θα μας παρέτρεπε από τον αρχικό μας στόχο για ‘πρακτική’ αντιμετώπιση της Ειδικής Διδακτικής των Μαθηματικών. Στη σύνταξη του σχεδίου μαθήματος συνηθίζουμε να αναφερόμαστε μόνο στην τελική αξιολόγηση, ως την τελευταία διδακτική φάση. Ειδικότερα: Η επέκταση της έννοιας της «τελικής αξιολόγησης» στην αξιολόγηση της χρησιμότητας της νέας γνώσης από τους μαθητές, κάτι που τους βοηθάει να δίνουν μόνοι τους απαντήσεις στη γνωστή ερώτηση: «Σε τι χρησιμεύουν τα Μαθηματικά;». Ας σκεφτούμε πως ο σημαντικότερος λόγος που αρκετοί μαθητές αποστρέφονται τα Μαθηματικά είναι η μη ανάδειξη της εφαρμοσιμότητάς τους άμεσα ή έμμεσα στη ζωή τους, εντός (στα υπόλοιπα μαθήματα) ή εκτός Σχολείου. Αν, λοιπόν, θέλουμε πραγματικά οι μαθητές να αποκτήσουν θετική στάση απέναντι στα Μαθηματικά, πρέπει να προσπαθήσουμε να αναδείξουμε τις πολλαπλές εφαρμογές τους. (Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα παρατίθεται σε σχέδιο μαθήματος αναφορικά με τη διδασκαλία της αλγεβρικής επίλυσης γραμμικών 2 2 συστημάτων στη Γ΄ Γυμνασίου2.) Στην περίπτωση που επιλέξουμε να προβούμε σε αξιολόγηση με συνδυασμό ερωτήσεων ανοικτού και κλειστού τύπου (φύλλο αξιολόγησης), το γεγονός ότι οι στόχοι που θέτουμε είναι ιεραρχημένοι3,

1 Σ’ αυτήν την περίπτωση μπορούμε να την ονομάσουμε και συνολική αξιολόγηση, αν και η ακριβής ερμηνεία του όρου «συνολική αξιολόγηση» στη Θεωρία της Εκπαιδευτικής Αξιολόγησης (αλλά και στη γενικότερη Θεωρία της Αξιολόγησης) δεν είναι ακριβώς η ίδια.2 Δες στο τέλος της Ενότητας 2 του παρόντος.3 Δες την τελευταία υποσημείωση της §1.1.13.

32

μας ‘υποχρεώνει’ οι ερωτήσεις αξιολόγησης που δίνουμε να έχουν μια αντίστοιχη ιεράρχηση (να είναι ‘‘κλιμακούμενης δυσκολίας’’)4.6. Τέλος ας μην ξεχνάμε, πως η σχολική τάξη είναι ένας ζωντανός οργανισμός, και επομένως δεν μπορούμε να σταθμίσουμε όλες τις παραμέτρους της διδασκαλίας εκ των προτέρων, ούτε να προβλέψουμε πώς θα εξελιχθεί το μάθημά μας. Με άλλα λόγια, η διδασκαλία είναι μια μη ντετερμινιστική διαδικασία, ως εκ τούτου δεν μπορεί να τυποποιηθεί. Με το σχεδιασμό του μαθήματός μας στοχεύουμε στη διαχείριση της αβεβαιότητας, στο μέγιστο δυνατό βαθμό, προκειμένου να ελαχιστοποιήσουμε τη πιθανότητα πρόκλησης ανεπιθύμητων ‘παράπλευρων’ γεγονότων τα οποία θα απομακρύνουν τη μαθητική κοινότητα από τους διδακτικούς (και παιδαγωγικούς) στόχους. Ο βαθμός επίτευξης της τήρησης του χρονοδιαγράμματος που έχουμε φτιάξει, εξαρτάται από τη συγκεκριμένη μαθητική ομάδα, την εμπειρία μας, και άλλες παραμέτρους. Η διαχείριση της διδακτικής διαδικασίας στο εκάστοτε πλαίσιο (σχολική περίσταση), είναι, σε κάθε περίπτωση, το ζητούμενο για τον εκπαιδευτικό. Έτσι, για παράδειγμα, όταν συντάσσουμε ένα σχέδιο μαθήματος πρέπει να εκτιμήσουμε και το χρονικό διάστημα στο οποίο θα λάβει χώρα μια επιμέρους μαθησιακή δραστηριότητα. Η ιδανική μορφή διδασκαλίας ίσως, θα ήταν αυτή στην οποία ο μαθητής θα ανακάλυπτε, κατά τρόπο φυσικό, τα πάντα από την αρχή. Αυτό όμως σημαίνει πως θα πρέπει να ‘ξανα-ανακαλύψει’ την επιστήμη από την αρχή, δηλαδή να διατρέξει χρονικά μια περίοδο εκατονταετιών μέσα σε λίγες διδακτικές ώρες (Α. Κολοκοτρώνης). Αυτό, φυσικά, δεν μπορεί να γίνει για πολλούς λόγους, γι αυτό το λόγο προσανατολιζόμαστε στην καθοδηγούμενη μορφή διδασκαλίας (καθοδηγούμενη αυτενέργεια και ανακάλυψη), έτσι ώστε να ‘επιταχύνουμε’ τις διαδικασία μάθησης, προς όφελος πάντα του μαθητή. Η εργασία των μαθητών σε ομάδες, προσκομίζει, εκτός του χρονικού κέρδους, μέγιστο παιδαγωγικό όφελος, καθώς μέσα από αυτή τη διαδικασία καλλιεργούνται οι επικοινωνιακές δεξιότητες, και η δημοκρατική συνείδηση των μαθητών. Θα πρέπει όμως να διατηρούμε τον έλεγχο της μαθησιακής διαδικασίας και να διαχειριζόμαστε σωστά το διατιθέμενο χρόνο, διότι, πολύ απλά, είναι προκαθορισμένος. Για όλους τους παραπάνω λόγους, επομένως, είναι αναγκαίο να οργανώνουμε εκ των προτέρων το μάθημά μας. Σε κάθε περίπτωση, οι προτεινόμενες πορείες μαθήματος δεν αποτελούν αυτοσκοπούς, και δεν στοχεύουν στη δέσμευση αλλά στην απελευθέρωση του δασκάλου, των μαθητών και της μαθησιακής διαδικασίας, με απώτερο σκοπό την πλήρωση των ανθρωπιστικών εκπαιδευτικών σκοπών και στόχων. Τέλος, ας έχουμε υπ’ όψη ότι μιλάμε για «σχέδιο» μαθήματος, και όχι για εικονική «αναπαράσταση» διδασκαλίας.

4 Αυτό γίνεται και για παιδαγωγικούς-ανθρωπιστικούς λόγους, δηλαδή, για να μπορούν όλοι οι μαθητές να ανταποκριθούν σε κάποιο βαθμό («αυτοενίσχυση»).

33

Α΄ Γυμνασίου, Απόσταση δύο σημείων Μέσο ευθυγράμμου τμήματος

Τάξη: Α΄ ΓυμνασίουΗμερομηνία:………………Χρονική διάρκεια: 1 διδακτική ώρα (45΄)Ώρα:…………Ενότητα: Απόσταση δύο σημείων - Μέσο ευθυγράμμου τμήματος Στόχοι: 1. Να κατανοήσουν οι μαθητές την έννοια της απόστασης δύο

σημείων, ως το ‘‘συντομότερο δρόμο’’ που συνδέει τα δύο σημεία.2. Να κατανοήσουν ότι η απόσταση δύο σημείων ισούται με το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος που ορίζουν.3. Να μπορούν να υπολογίζουν την απόσταση δύο σημείων.4. Να μπορούν να βρίσκουν το μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος με υποδεκάμετρο ή με δίπλωση.5. Να μάθουν τι σημαίνει «ίσα» και τι «άνισα» ευθύγραμμα τμήματα.6. Να κατανοήσουν ότι το μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι ένα σημείο που χωρίζει το ευθύγραμμο τμήμα άλλα δύο ίσα μεταξύ τους.7. Να μπορούν να συγκρίνουν δύο ευθύγραμμα τμήματα με υποδεκάμετρο, διαφανές χαρτί ή διαβήτη.8. Να κατανοήσουν ότι «ίσα» ευθύγραμμα τμήματα σημαίνει «ισομήκη» και όχι ταυτόσημα.

Προαπαιτούμενες γνώσεις, ικανότητες, δεξιότητες: Ευθύγραμμο τμήμα, Μέτρηση.Πορεία: Πενταμερής, με συνεπτυγμένα τα στάδια «Επεξεργασία» και «Εφαρμογή».Μέθοδος: Εμπειρική / Βιωματική, Επαγωγική.Μορφή: Καθοδηγούμενη αυτενέργεια με φύλλα εργασίας, Στοιχεία επιδεικτικής διδασκαλίας, Συνδυασμός μαθητοκεντρικής και ομαδο-συνεργατικής διδασκαλίας. Διδακτικά μέσα: Υποδεκάμετρο μέτρου, Φύλλα εργασίας, Χαρτί ‘μιλιμετρέ’, Υποδεκάμετρο, Χαρτί ‘διαφανές’, Διαβήτης, Πίνακας-κιμωλίες, Χάρτης, Χιλιομετρικός οδηγός.

Σχέδιο Μαθήματος:1. Προπαρασκευή (10΄)

Σηκώνουμε δύο μαθητές Α και Β στον ελεύθερο χώρο μπροστά από τον πίνακα, και τους τοποθετούμε σε απόσταση 2-3 μέτρων μεταξύ τους. Ζητάμε από το μαθητή Α να πάει στο μαθητή Β ακολουθώντας τη συντομότερη διαδρομή. Μετά του ζητάμε να χαράξει με κιμωλία στο δάπεδο τη διαδρομή που ακολούθησε. Οι μαθητές σε επίπεδο τάξης παρατηρούν ότι σχεδιάστηκε (προσεγγιστικά) ένα ευθύγραμμο τμήμα με ‘‘άκρα’’ τα ‘‘σημεία’’ στα οποία στέκονταν αρχικά οι μαθητές Α και Β. Μ’ αυτή τη διαδικασία στοχεύουμε στο να κατανοήσουν τη έννοια της «απόστασης» δύο σημείων. Στη συνέχεια ζητάμε από το μαθητή Β να μετρήσει αυτήν την απόσταση, προκειμένου να προετοιμάσουμε τους μαθητές για τη συσχέτιση των εννοιών «απόσταση» και «μήκος».

Χωρίζουμε τους μαθητές σε μικρές ομάδες (ανά θρανίο ή ανά δυο θρανία), και τους δίνουμε φύλλα χαρτιού μιλιμετρέ με έτοιμα (σχεδιασμένα) ευθύγραμμα τμήματα, των οποίων τα άκρα έχουμε

34

συμβολίσει με κεφαλαία ελληνικά γράμματα (Α, Β, Γ, κ.ο.κ.) και εκ των οποίων δύο είναι ίσα μεταξύ τους, και τους ζητάμε να βρουν τα μήκη τους. Κάνουμε το ίδιο με φύλλα εργασίας συνήθους χαρτιού και τους ζητάμε να υπολογίσουν τα μήκη τους με υποδεκάμετρο (ατομικά ή ομαδικά). (Ανάκληση των προηγουμένων). 2. Παρουσίαση (15΄)

Λέμε στους μαθητές μας ότι το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος π.χ. ΑΒ, δηλαδή ο αριθμός που βρήκαν ονομάζεται και «απόσταση των σημείων Α και Β».

Στη συνέχεια, οι μαθητές σε μικρές ομάδες καλούνται να ‘‘χωρίσουν το ΑΒ στη μέση’’, αρχικά χωρίς καθοδήγηση (αφήνοντας τους κάποια περιθώρια αυτενέργειας προκειμένου να ασκήσουν τη δημιουργικότητά τους) στη συνέχεια με παρουσίαση (επίδειξη) από το διδάσκοντα: α) με δίπλωση, β) με υποδεκάμετρο, γ) με ‘μιλιμετρέ’ χαρτί.

Ονομάζουμε Μ το σημείο που ορίστηκε με αυτόν τον τρόπο, και λέμε ότι ονομάζεται «μέσον του ΑΒ».

Οι μαθητές με την καθοδήγησή μας μετράν τα μήκη των ΑΜ και ΜΒ με υποδεκάμετρο και τα βρίσκουν ίσα. Έτσι διαπιστώνουν ότι το μέσον ενός ευθυγράμμου τμήματος ‘‘χωρίζει’’ το ευθύγραμμο τμήμα σε δύο άλλα «ίσα» μεταξύ τους. Γενικεύουμε λέγοντας ότι δύο ευθύγραμμα τμήματα που έχουν ίσα μήκη ονομάζονται «ίσα», διαφορετικά, ονομάζονται «άνισα», φέροντας ως παραδείγματα ευθύγραμμα τμήματα από το αρχικό φύλλο εργασίας.

Στη συνέχεια υποδεικνύουμε στον πίνακα και τη μέθοδο σύγκρισης ευθυγράμμων τμημάτων με το διαβήτη.

3. Επεξεργασία / Εφαρμογή (15΄)Δίνουμε στους μαθητές φύλλα εργασίας με τέσσερα ευθύγραμμα

τμήματα και υπό την καθοδήγησή μας προβαίνουν σε συγκρίσεις με το διαβήτη και με το υποδεκάμετρο, πρώτα ατομικά, μετά σε μικρές ομάδες και στη συνέχεια ανακοινώνουν τα αποτελέσματα σε επίπεδο τάξης.

α) Σε ένα άλλο φύλλο χαρτιού με δεδομένο ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ζητάμε να σχεδιάσουν ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ με μήκος το μισό του ΑΒ με τη βοήθεια υποδεκάμετρου για τη μέτρηση και διαβήτη για τη ‘μεταφορά’ του μισού, παρεμβαίνοντας όπου χρειάζεται προκειμένου να βεβαιωθούμε ότι ο κάθε μαθητής είναι σε θέση να χρησιμοποιήσει το διαβήτη για τη σύγκριση και τη μεταφορά.

β) Δίνουμε στους μαθητές μας ένα φύλλο λευκού χαρτιού με ένα σημείο Α και τους ζητάμε να βρουν σημεία που να απέχουν από το Α αποστάσεις ίσες π.χ. με 2cm, 3,7cm υποδεικνύοντάς τους να εργαστούν αρχικά σε ατομικό επίπεδο και στη συνέχεια σε μικρές ομάδες. Μετά από ορισμένα λεπτά καλούμε έναν μαθητή στον πίνακα, με τη βοήθεια του οποίου ολοκληρώνεται η δραστηριότητα σε επίπεδο τάξης.4. (Εφαρμογή) Αξιολόγηση (5΄)

Με τη βοήθεια ενός χάρτη (μιας φωτοτυπημένης σελίδας) και της κλίμακας οι μαθητές υπολογίζουν την πραγματική (σε ευθεία γραμμή) απόσταση δύο πόλεων (π.χ. Αθήνας-Θεσσαλονίκης) και τη συγκρίνουν με την οδική απόσταση (από κάποιον χιλιομετρικό οδηγό). Προβληματίζονται και αποφαίνονται γιατί βρίσκουν διαφορετικούς αριθμούς. Μέσα από αυτή τη δραστηριότητα οι μαθητές (με την καθοδήγησή μας) προβαίνουν στην διαπίστωση της αξίας των νέων μαθηματικών γνώσεων μέσα από την

35

διαθεματική (Γεωγραφία) εφαρμογή τους σε απλά φαινόμενα της καθημερινότητας.

36

Α΄ Γυμνασίου, Μέτρηση γωνιών

Τάξη: Α΄ ΓυμνασίουΗμερομηνία:………………Χρονική διάρκεια: 1 διδακτική ώρα (45΄)Ώρα:…………Ενότητα: Μέτρηση γωνιών Στόχοι: 1. Να μπορούν να μετρούν μια γωνία με μοιρογνωμόνιο.

2. Να γνωρίζουν σε μοίρες το μέτρο της ορθής, της ευθείας και της πλήρους γωνίας.3. Να μπορούν να κατασκευάζουν μια γωνία με τη χρήση μοιρογνωμονίου.4. Να μπορούν να σχεδιάζουν τη διχοτόμο μιας γωνίας.5. Να μπορούν να κατασκευάσουν τρίγωνο αν τους δοθούν δυο πλευρές και η περιεχόμενη γωνία.6. Να μπορούν να κατασκευάσουν τρίγωνο αν τους δοθεί μια πλευρά και οι προσκείμενες γωνίες.

Προαπαιτούμενες γνώσεις, ικανότητες, δεξιότητες: Η έννοια της γωνίας, Είδη γωνιών, Ευθύγραμμα τμήματα (κατασκευή, μέτρηση).Πορεία: Πενταμερής.Μέθοδος: Βιωματική, Επαγωγική.Μορφή: Καθοδηγούμενη αυτενέργεια με ερωταποκρίσεις, Στοιχεία επιδεικτικού και επεξηγηματικού μονολόγου, Μαθητοκεντρική και ομαδοσυνεργατική διδασκαλία με φύλλα εργασίας, Ελεύθερος διάλογος σε επίπεδο τάξης.Διδακτικά μέσα: Πίνακας-κιμωλίες, Φύλλα εργασίας, Μοιρογνωμόνιο.

Σχέδιο Μαθήματος:

1. Προπαρασκευή (5΄)Φέρνουμε τους μαθητές σε κατάσταση μάθησης, μέσα από την

ανάκληση των προηγούμενων γνώσεων (με τη βοήθεια ερωταποκρίσεων) για τις γωνίες και τα είδη τους, τα οποία στη συνέχεια καταγράφουμε στον πίνακα.2. Παρουσίαση (10΄)

Με τη βοήθεια της ορθής γωνίας, την οποία σχεδιάζουμε στον πίνακα, εισάγουμε την έννοια της «μοίρας» ως μονάδας μέτρησης γωνίας.

Επιδεικνύουμε το μοιρογνωμόνιο, μέσω του οποίου εισάγουμε την έννοια της «μέτρησης γωνίας», και υποδεικνύουμε σε επίπεδο τάξης τον τρόπο χειρισμού του μοιρογνωμονίου για τη μέτρηση αλλά και τη «σύγκριση» γωνιών.

Χωρίζουμε τους μαθητές σε μικρές ομάδες, τους δίνουμε φύλλο εργασίας με μία ευθεία και μία πλήρη γωνία και τους ζητάμε να βρουν πόσες μοίρες έχει η κάθε μία, προτρέποντάς τους να ακολουθήσουν δύο τρόπους: πρώτα μετρώντας με το μοιρογνωμόνιο, και έπειτα χωρίζοντάς τις σε ορθές.

Με τη βοήθεια ενός μοιρογνωμονίου παρουσιάζουμε στους μαθητές τη διαδικασία κατασκευής μιας γωνίας π.χ. 50ο, και της διχοτόμου της, εισάγοντας έτσι την έννοια της «διχοτόμου» μιας γωνίας.

37

3. Επεξεργασία-Εμπέδωση (10΄)Δίνουμε στους μαθητές φύλλο εργασίας προκειμένου να

επεξεργαστούν τις νέες γνώσεις και να εμπεδώσουν τις δεξιότητες μέτρησης και κατασκευής γωνίας, εργαζόμενοι πρώτα ατομικά και μετά σε μικρές ομάδες (για επαλήθευση). Το φύλλο περιέχει τις εξής δραστηριότητες:α) Έχουμε σχεδιάσει 4-5 (κυρτές) γωνίες, τις οποίες οι μαθητές καλούνται να μετρήσουν. Με κατάλληλη προεπιλογή των γωνιών οι μαθητές θα οδηγηθούν στο συμπέρασμα ότι οι οξείες γωνίες έχουν μέτρο μικρότερο των 90ο, ενώ οι αμβλείες μεγαλύτερο.β) Τους ζητάμε να σχεδιάσουν μια τυχαία νέα γωνία, της οποίας θα φέρουν τη διχοτόμο. Η δραστηριότητα αυτή θα δημιουργήσει τις προϋποθέσεις για τη δημιουργία συζήτησης με θέμα την ακρίβεια της κατασκευής με το μοιρογνωμόνιο, έτσι ώστε να μπορέσουμε να κάνουμε μια μικρή νύξη για τη μέθοδο της γεωμετρικής κατασκευής, που όμως είναι πολύ σύνθετη και γι’ αυτό θα τη μάθουν σε άλλη τάξη.4. Εφαρμογή (15΄)

Καθοδηγούμε επαγωγικά τους μαθητές (προφορικά ή με φύλλο εργασίας) να κατασκευάσουν (σε ατομικό επίπεδο) ένα τρίγωνο με

=45ο, ΑΒ=3cm και ΑΓ=4cm, και ένα τρίγωνο με ΑΒ=3,5cm, =37ο

και =60ο. Στη συνέχεια προσέρχεται ένας μαθητής στον πίνακα να παρουσιάσει τη διαδικασία. Η παρουσίαση θα αποτελέσει έναυσμα για δημιουργική συζήτηση και επίλυση αποριών σε επίπεδο τάξης.

Θέτουμε στους μαθητές το πρόβλημα κατασκευής γωνίας 250ο, να το αντιμετωπίσουν σε μικρές ομάδες. Ανάλογα με την εξέλιξη της διαδικασίας επίλυσης παρεμβαίνουμε όπου και αν χρειάζεται, και αφού παρουσιάσουν κάποια πρόοδο καλούμε ένα μαθητή (ή μια ομάδα) στον πίνακα να παρουσιάσει την εργασία της ομάδας του. 5. Αξιολόγηση (5΄)

Οι μαθητές προβαίνουν σε σύνοψη και αξιολόγηση των όσων παρουσιάστηκαν στο μάθημα (τι τους εντυπωσίασε, τι τους δυσκόλεψε κτλ.).

38

Β΄ Γυμνασίου, Ανισώσεις

Τάξη: Β΄ ΓυμνασίουΗμερομηνία:………………Χρονική διάρκεια: 1 διδακτική ώρα (45΄)Ώρα:…………Ενότητα: Ανισώσεις (πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο) Στόχοι: 1. Να μπορούν οι μαθητές να λύνουν αλγεβρικά μια ανίσωση

(πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο). Συγκεκριμένα, να μπορούν να εφαρμόζουν τις ιδιότητες των ανισοτήτων στην επίλυση των ανισώσεων.2. Να μπορούν να παριστάνουν τις λύσεις της ανίσωσης στον άξονα (γραφική επίλυση ανίσωσης).3. Να μπορούν να επιλύουν απλά καθημερινά προβλήματα με τη χρήση των ανισώσεων.4. Να κατανοήσουν τη χρησιμότητα των ανισώσεων για την επίλυση προβλημάτων της καθημερινότητας, και μέσα από αυτό να αξιολογήσουν γενικότερα την αξία των μαθηματικών (χρησιμότητα και πολυδιαστατικότητα).

Προαπαιτούμενες γνώσεις, ικανότητες, δεξιότητες: Επίλυση εξισώσεων και εφαρμογές (να συμβολίζουν τα δεδομένα ενός προβλήματος με εξίσωση, να μπορούν να επιλύουν μια εξίσωση), Παράσταση των (ρητών) αριθμών σε άξονα, Πρόσθεση και αφαίρεση (ρητών) αριθμών, Πολλαπλασιασμός και διαίρεση μεταξύ ομόσημων και ετερόσημων αριθμών, Ιδιότητες των πράξεων, Σύγκριση αριθμών.Πορεία: Πενταμερής, με συνεπτυγμένα τα στάδια της Επεξεργασίας και της εφαρμογής.Μέθοδος: Επίλυση προβλήματος, Επαγωγική, Αναλυτική-Συνθετική.Μορφή: Καθοδηγούμενη αυτενέργεια με στοιχεία επεξηγηματικού μονολόγου, εργασία σε ατομικό επίπεδο σε συνδυασμό με ομαδοσυνεργατική διδασκαλία, ερωταποκρίσεις και καθοδηγούμενος διάλογος σε επίπεδο τάξης.Διδακτικά μέσα: Πίνακας-κιμωλίες, Φύλλα εργασίας.

Σχέδιο Μαθήματος:

1. Προπαρασκευή (10΄)Προκειμένου να επιτύχουμε τη συναισθηματική κινητοποίηση των

μαθητών μας τους θέτουμε στους μαθητές ένα πρόβλημα από την καθημερινότητα: Για μια ώρα ομιλίας με καρτοκινητό τηλέφωνο ο χρήστης χρεώνεται με 2,5€. Πόσες ώρες μπορεί να μιλήσει αν βάλει μια κάρτα των 20€; Με την καθοδήγησή μας οι μαθητές ανακαλούν στη μνήμη τους όσα ήδη γνωρίζουν για τις εξισώσεις και καταγράφουν την εξίσωση 20=2,5.χ. Οι μαθητές επιλύουν την εξίσωση και βρίσκουν χ=8. Κάνουμε την εξής επέκταση στο πρόβλημα: Έστω ότι βάλαμε μια κάρτα των 15€. Μέχρι πόσες (το πολύ) ώρες μπορούμε να μιλήσουμε; Με την καθοδήγησή μας οι μαθητές καταγράφουν την εξίσωση 15=2,5.χ και βρίσκουν πόσες ώρες ακριβώς μπορούν. Επαγωγικά οδηγούνται στο συμπέρασμα ότι μπορούν να μιλήσουν έως 6 ώρες. Άρα χ<6. Με τις κατάλληλες πράξεις από την τελευταία ανίσωση συνθέτουμε την 15>2,5.χ. Κάνουμε την αντίστροφη πορεία, δηλαδή ξεκινάμε από το 15>2,5.χ και καταλήγουμε στο χ<6. Παριστάνουμε γραφικά (σε άξονα) τις λύσεις της ανίσωσης.

39

2. Παρουσίαση (5΄)Στον πίνακα γράφουμε μια-δυο ακόμα ανισώσεις (π.χ. 3χ>5, χ+7<6.

2χ-3<6, 4-7χ 5) και γενικεύουμε λέγοντας ότι σχέσεις σαν κι αυτές ονομάζονται «ανισώσεις», και η διαδικασία ‘εύρεσης’ του χ (υποδεικνύοντας τη διαδικασία από το 15>2,5.χ στο χ<6) ονομάζεται «επίλυση» της ανίσωσης.3. Επεξεργασία / Εφαρμογή (15΄)

Δίνουμε στους μαθητές φύλλο εργασίας με ανισώσεις σαν αυτές (ή και τις ίδιες) που παρουσιάσαμε στον πίνακα. Οι μαθητές εργάζονται ατομικά και τους καθοδηγούμε όπου χρειάζεται, προκειμένου να τις επιλύσουν αλγεβρικά και γραφικά. Στη συνέχεια καλούμε δυο-τρεις μαθητές στον πίνακα, να παρουσιάσουν τον τρόπο εργασίας τους. Μέσα από αυτήν τη διαδικασία και με τη δική μας παρέμβαση (κατάλληλες ερωτήσεις, επεξήγηση κτλ.) οι μαθητές (σε επίπεδο τάξης) διαπιστώνουν τις ιδιότητες των ανισοτήτων (προσθαφαίρεση και στα δυο μέλη του ίδιου αριθμού, ή πολλαπλασιασμός / διαίρεση και των δύο μελών με θετικό ή αρνητικό αριθμό), τις οποίες διατυπώνουν και λεκτικά. Επίσης, οι μαθητές διαπιστώνουν τις ομοιότητες και τις διαφορές στη διαδικασία επίλυσης μεταξύ εξισώσεων και ανισώσεων (π.χ. ότι στην προσθαφαίρεση όπως και στον πολλαπλασιασμό με θετικό αριθμό δεν υπάρχει διαφορά, ενώ στον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση με αρνητικό αλλάζει η φορά της ανίσωσης).

Ανάλογα με το βαθμό κόπωσης των μαθητών και τη δυναμική του συνόλου τους, μπορούμε να δώσουμε ανισώσεις όπως: 2,5-3χ -2,5+10χ,

χ- >3χ+1, 5-4(2-χ)<5(χ-2)+5, 4-3χ<3(2-χ) (αόριστη), 2(3-χ)<5-2χ (αδύνατη) κτλ. τις οποίες, καλούμε τους μαθητές να τις επιλύουν αλγεβρικά και γραφικά. 4.Αξιολόγηση/Επέκταση (15΄)

Συμπληρώνουμε το αρχικό πρόβλημα ως εξής: Αν όταν αγοράσαμε την κάρτα των 15€ είχαμε ήδη 2€ στο λογαριασμό μας, ποιος θα ήταν ο μέγιστος και ποιος ο ελάχιστος χρόνος ομιλίας; Οι μαθητές καταγράφουν τις εξισώσεις 2<2,5χ και 17>2,5χ, και τις επιλύουν σε επίπεδο τάξης (μέσα, δηλαδή, στα πλαίσια της μαθητικής ομάδας.) Μέσα από αυτή τη διαδικασία είμαστε σε θέση να αξιολογήσουμε το βαθμό επίτευξης όλων των στόχων που είχαμε θέσει αρχικά, μέσα από τη διαδικασία των ερωταποκρίσεων, η οποία δίνει τη δυνατότητα στους μαθητές να διαπιστώσουν και να διατυπώσουν τις απορίες τους –αυτοαξιολόγηση-, ούτως ώστε, τόσο αυτοί όσο και εμείς, με το πέρας της διδακτικής ώρας, να έχουμε αποκτήσει ολοκληρωμένη άποψη για τα αποτελέσματα της μαθησιακής διαδικασίας. Επιπλέον, μπορούμε να διαπιστώσουμε και τη συνθετική ικανότητα των μαθητών. Τέλος, αυτή η διαδικασία μπορεί να λειτουργήσει ως ‘‘προπαρασκευή’’ για την εισαγωγή της έννοιας του συστήματος ανισώσεων, το οποίο οι μαθητές θα διδαχθούν στο επόμενο μάθημα.

40

Β΄ Γυμνασίου, Το Πυθαγόρειο Θεώρημα

Τάξη: Β΄ ΓυμνασίουΗμερομηνία:………………Χρονική διάρκεια: 1 διδακτική ώρα (45΄)Ώρα:…………Ενότητα: Το Πυθαγόρειο ΘεώρημαΣτόχοι: 1. Οι μαθητές να μπορούν να διατυπώνουν λεκτικά και

συμβολικά (εν αναφορά με δεδομένο σχήμα) το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

2. Να μπορούν να εφαρμόζουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα για να υπολογίζουν πλευρά ορθογωνίου τριγώνου, αν είναι γνωστές οι άλλες δύο.

Προαπαιτούμενες γνώσεις: Τετράγωνο, Είδη τριγώνων, Εμβαδά, Ιδιότητες αλγεβρικών ισοτήτων.

Πορεία: ΠενταμερήςΜέθοδος: Βιωματική / Ανακαλυπτική, Επαγωγική, Αποδεικτική.Μορφή: Καθοδηγούμενη διδασκαλία, Ομαδοσυνεργατική διδασκαλία, Ατομική εργασία. Διδακτικά μέσα: Φύλλα εργασίας, Ψαλίδι, Πίνακας-κιμωλίες.

Σχέδιο Μαθήματος:1. Προπαρασκευή (10΄)

Δίνουμε στους μαθητές από ένα φύλλο εργασίας με τα σχήματα: γ β β γ

α γ γ α γ γ β α β γ α β β α β γ α β β γ β γ

εξηγώντας τους ότι έχουμε σχεδιάσει τετράγωνα και ορθογώνια τρίγωνα. Οι μαθητές ‘υπολογίζουν’ τα εμβαδά όλων των τριγώνων και των τετραγώνων, και με την καθοδήγησή μας οδηγούνται επαγωγικά στη σχέση α2 = β2 + γ2. 2. Παρουσίαση (12΄)Ζητάμε από τους μαθητές να κόψουν τα κομμάτια των δυο παραπάνω σχημάτων, ώστε να σχηματίσουν το διπλανό σχήμα, το οποίο έχουμε ήδη σχεδιάσει στον πίνακα, και τους εξηγούμε ότι τα σχεδιασμένα τετράπλευρα είναι

τετράγωνα.

41

γ α β

Με την κατάλληλη καθοδήγηση οι μαθητές ανακαλύπτουν τη σχέση ανάμεσα σ’ αυτό το σχήμα και στην ισότητα α2=β2+γ2, και προβαίνουν στη λεκτική διατύπωση αυτής της σχέσης, ως σχέσης των πλευρών α, β, γ ενός ορθογωνίου τριγώνου. Γράφουμε τη διατύπωση αυτή στον πίνακα και λέμε στους μαθητές μας πως αυτή η σχέση ονομάζεται «Πυθαγόρειο Θεώρημα», κάνοντας μια σύντομη αναφορά στον Πυθαγόρα και τη συμβολή του στην ανάπτυξη των Μαθηματικών.

3. Επεξεργασία (10΄)Δίνουμε στους μαθητές φύλλο εργασίας με ορθογώνια τρίγωνα με

διάφορους συμβολισμούς π.χ ΑΒΓ, ΚΛΜ (ή και με τα μικρά γράμματα των πλευρών), και ζητάμε απ’ τους μαθητές να γράψουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα σε κάθε περίπτωση.

Οι μαθητές με τη βοήθειά μας επιλύουν την ισότητα α2=β2+γ2 ως προς β2 και ως προς γ2. Η διαδικασία αυτή μπορεί να γίνει σε μικρές ομάδες, και στη συνέχεια θα προσέλθει ένας ή περισσότεροι μαθητές στον πίνακα για να παρουσιάσουν την εργασία τους. Ακολούθως, δίνουμε φύλλο εργασίας με ορθογώνια τρίγωνα στα οποία αναγράφονται τα μήκη των δυο πλευρών και είναι ζητούμενο το μήκος της τρίτης πλευράς. Εννοείται πως η τετραγωνική ρίζα αριθμού δεν είναι ακόμα γνωστή, γι’ αυτό κρίνεται σκόπιμο να δώσουμε αριθμούς όπως, π.χ. α=5, β=4, γ=3 ή α=17, β=8 γ=15. Οι μαθητές πάλι μπορούν να εργαστούν αρχικά σε ομάδες και έπειτα να ανακοινώσουν τα συμπεράσματά τους σε επίπεδο τάξης. 4. Εφαρμογή (10΄)

Δίνουμε στους μαθητές φύλλο εργασίας με τα σχήματα:

και τους ζητάμε να υπολογίσουν το χ και το y σε κάθε περίπτωση. 5. Αξιολόγηση (5΄)

Οι μαθητές καλούνται να γράψουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα αναφορικά με δύο-τρία δεδομένα σχήματα. Επίσης προβαίνουν σε προφορική και γραπτή διατύπωση του Πυθαγορείου Θεωρήματος.

y 15 χ

5 χ 5 9 Ε=153 9 3 3

Γ΄ Γυμνασίου, Αξιοσημείωτες ταυτότητες

Τάξη: Β΄ ΓυμνασίουΗμερομηνία:………………Χρονική διάρκεια: 1 διδακτική ώρα (45΄)Ώρα:…………Ενότητα: Ταυτότητες-Αξιοσημείωτες ταυτότητεςΣτόχοι: 1. Να γνωρίζουν οι μαθητές τι είναι η «(αλγεβρική) ταυτότητα».

2. Να κατανοήσουν ότι η ταυτότητα δεν είναι τίποτα περισσότερο από την ισότητα ανάμεσα στο πρώτο και το τελευταίο μέλος μιας διαδικασίας αλγεβρικών μετασχηματισμών (μέσα από εκτέλεση πολλαπλασιασμών και με την εφαρμογή της επιμεριστικής ιδιότητας καταλήγουν από μορφή γινομένων / δυνάμεων σε μορφή αθροίσματος ομοίων μονωνύμων (αναγωγή ομοίων όρων). Η αντίστροφη διαδικασία προϋποθέτει την παραγοντοποίηση, και παρουσιάζεται στο επόμενο μάθημα.)3. Να γνωρίζουν τη διαδικασία ‘‘κατασκευής’’ ορισμένων χαρακτηριστικών («αξιοσημείωτων») ταυτοτήτων.4. Να γνωρίζουν τις αξιοσημείωτες ταυτότητες και να μπορούν να τις αποδεικνύουν.5. Να μπορούν να εφαρμόζουν τις ταυτότητες σε πιο σύνθετες ασκήσεις.

Προαπαιτούμενες γνώσεις: Μονώνυμα και αναγωγή ομοίων όρων, Πολυώνυμα, πράξεις και ιδιότητες των πράξεων (επιμεριστική).

Πορεία: Τριμερής.Μέθοδος: Βιωματική / Ανακαλυπτική, Παραγωγική / Συνθετική,. Μορφή: Καθοδηγούμενη διδασκαλία με φύλλα εργασίας, Ομαδοσυνεργατική διδασκαλία με στοιχεία διαλόγου σε επίπεδο τάξης.Διδακτικά μέσα: Φύλλα εργασίας, Πίνακας-κιμωλίες.

Σχέδιο Μαθήματος:

1. Προπαρασκευή (10΄)Δίνουμε στους μαθητές φύλλο εργασίας με γινόμενα, όπως

2χ(χ-ψ), α2 (α+3β), (χ-ψ)2, (α+β)(α-β) για να εκτελέσουν τις πράξεις (‘‘να βρουν τα αναπτύγματα’’) εφαρμόζοντας τα ως τώρα γνωστά. Εργάζονται ατομικά ή σε μικρές ομάδες, και στη συνέχεια καλούμε μαθητές στον πίνακα για να παρουσιάσουν την εργασία τους.2. Παρουσίαση / Επεξεργασία (25΄)

Με βάση τα αναπτύγματα αυτά δίνουμε την έννοια και τον ορισμό της αλγεβρικής «ταυτότητας», ως μιας ισότητας που περιέχει μεταβλητές … και επαληθεύεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών. Συγκεκριμένα, οι μαθητές οδηγούνται μόνοι τους σ’ αυτό το συμπέρασμα, θέτοντας διάφορες τιμές της επιλογής τους στα χ και ψ, ή στα α και β.

Χωρίζουμε τους μαθητές σε πέντε ομάδες από δύο υποομάδες η κάθε μία, και δίνουμε στις υποομάδες κάθε ομάδας μία από τις παραστάσεις: (α+β)2, (α-β)2, (α+β)(α-β), (α+β)3, (α-β)3 για να εκτελέσουν τις πράξεις. Οι μαθητές εργάζονται στα πλαίσια αρχικά της υποομάδας και ακολούθως της ομάδας. Στη συνέχεια προσέρχεται στον πίνακα ένας μαθητής από κάθε ομάδα και παρουσιάζει την εργασία της ομάδας του. Μέσα από αυτή τη διαδικασία η ομάδα της τάξης καταλήγει στις αντίστοιχες ταυτότητες, τις

οποίες ονομάζουμε «αξιοσημείωτες», και εξηγούμε το λόγο αυτού του χαρακτηρισμού. Επίσης τους λέμε πως η προηγούμενη διαδικασία ήταν και η «απόδειξη» αυτών των ταυτοτήτων.

Στη συνέχεια δίνουμε στους μαθητές από ένα φύλλο με έναν πίνακα, όπως:

α β (α+β)2 α2+β2 (α-β)2 α2-β2 (α+β)3 α3+β3 (α-β)3 α3-β3

4 3-3 1-2 -5

και τους προτρέπουμε να τον συμπληρώσουν. Μέσα από την παραπάνω διαδικασία οι μαθητές διαπιστώνουν / επαληθεύουν ότι (α+β)2 α2+β2 κτλ.3. Εφαρμογή /Αξιολόγηση (10΄)

Μέσα από κατάλληλα παραδείγματα και εφαρμογές των αξιοσημείωτων ταυτοτήτων (π.χ. να υπολογίσουν την αριθμητική τιμή της παράστασης α2+β2 όταν α+β=5 και αβ=6), οι μαθητές επαληθεύουν τη χρησιμότητά τους στην απλοποίηση αλγεβρικών μετασχηματισμών και υπολογισμών. Εφ’ όσον οι συνθήκες (χρονικές, παιδαγωγικές) το επιτρέπουν, μπορούμε να κάνουμε μία νύξη για την αντίστροφη πορεία (την παραγοντοποίηση), π.χ. α2-β2= …=(α+β)(α-β), προετοιμάζοντας τους μαθητές για το επόμενο μάθημα.

ΠαρατήρησηΈνα από τα συχνά λάθη των μαθητών είναι π.χ. το να θεωρούν πως

ισχύει: (α-β)2 = α2-β2 . Αυτό οφείλεται εν μέρει στην τάση που έχουμε όλοι, και κατά μείζονα λόγο οι μαθητές, να ‘γραμμικοποιούμε’ τις αλγεβρικές σχέσεις, αλλά και στη λεκτική ή και οπτική σύγχυση μεταξύ των δύο ταυτοτήτων «τετράγωνο διαφοράς» και «διαφορά τετραγώνων». Γι αυτό το λόγο τους δίνουμε τον ανωτέρω πίνακα. Με ανάλογο τρόπο (και αρκετά ζεύγη τιμών για τα α και β) μπορεί να γίνει και η ‘ανακάλυψη’ των αξιοσημείωτων ταυτοτήτων από τους μαθητές (επαγωγική / ανακαλυπτική μέθοδος). Σ’ αυτήν την περίπτωση η αλγεβρική μετάβαση από το πρώτο στο δεύτερο μέλος της ταυτότητας έπεται στα πλαίσια του μαθήματος, και αποτελεί την απόδειξη της ταυτότητας (αποδεικτική μέθοδος).

Επίσης, συχνά οι μαθητές συγχέουν μεταξύ τους τις αξιοσημείωτες ταυτότητες ‘‘διαφορά (ή άθροισμα) κύβων’’ και ‘‘κύβος της διαφοράς (ή του αθροίσματος)’’. Και πάλι μπορούμε να ενεργήσουμε όπως στην προηγούμενη περίπτωση, αλλά αυτό δεν αρκεί. Εφ’ όσον τελικά στοχεύουμε όχι μόνο στην πρόληψη / διόρθωση ενδεχόμενου λάθους αλλά και στη δυνατότητα, από πλευράς των μαθητών, άμεσης (και με σωστό) τρόπο αναγνώρισης (σε δεδομένη αλγεβρική παράσταση) ή καταγραφής της κάθε ταυτότητας, μπορούμε να τους παρουσιάσουμε τις ταυτότητες σε μια λίγο διαφορετική μορφή και διάταξη από αυτή που έχει το βιβλίο, η οποία θα τους δώσει τη δυνατότητα να προβούν σε οπτική-μορφολογική σύγκριση των ταυτοτήτων και να ανακαλύψουν (πιθανώς με την καθοδήγησή μας) αναλογίες, ομοιότητες, και αντιστοιχίες, διαμορφώνοντας έτσι τους δικούς τους μνημονοτεχνικούς κανόνες, που γι’ αυτό το λόγο δύσκολα θα ξεχάσουν:

(α+β)(α-β) =α2- β2

(α β)2 =α2 2αβ+β2

(α β)3 =α3 3α2β+3αβ2 β3

(α+β)(α αβ+β)=α3 β3

α2 - β2 = (α+β)(α-β)α3 β3 = (α+β)(α αβ+β)α2 2αβ + β2 = (α β)(α β)α3 3α2β+3αβ2 β3 = (α β)2(α β)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1

Να ετοιμάσετε ένα σχέδιο μαθήματος μιας διδακτικής ώρας για κάθε μία από τις παρακάτω ενότητες:1. Επιμεριστική ιδιότητα 2. Άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου,για τους μαθητές της Α΄ Γυμνασίου.

(προτεινόμενος χρόνος: 2 ώρες)

ΕΝΟΤΗΤΑ 2

2.1. Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ2.1.1. ΓυμνάσιοΑ΄ Γυμνασίου

Η πρώτη νύξη, αναφορικά με τα σχολικά εγχειρίδια για την ευθεία σε καρτεσιανό επίπεδο γίνεται στα μαθηματικά της Α΄ Γυμνασίου, στο κεφάλαιο 4-Ανάλογα ποσά, όπου έχουμε και την πρώτη αναφορά στην έννοια των αναλόγων ποσών και εισάγεται η σχέση y=αχ, χωρίς όμως να γίνεται αναφορά στον όρο «συνάρτηση» και επομένως η ευθεία δεν παρουσιάζεται σαν «γραφική παράσταση» συνάρτησης, αλλά σαν ευθεία που ενώνει τα σημεία με τις αντίστοιχες συντεταγμένες (χ, y).Β΄ Γυμνασίου

Στη Β΄ Γυμνασίου έχουμε εισαγωγή του όρου «συνάρτηση» στο κεφάλαιο 5-Συναρτήσεις, και τα ανάλογα ποσά σχετίζονται με τη συνάρτηση y=αχ, οπότε η ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων παρουσιάζεται πλέον ως η «γραφική παράσταση» της συνάρτησης y=αχ. Σε επόμενη παράγραφο στο ίδιο κεφάλαιο παρουσιάζεται η «γραμμική» συνάρτηση y=αχ+β σαν γενικευμένη περίπτωση της y=αχ (επαγωγικά), μέσα από την έννοια των αναλόγων ποσών και την προσθήκη της σταθεράς β, ενώ η αντίστοιχη γραφική παράσταση προκύπτει ως παράλληλη μετατόπιση της ευθείας y=αχ. Μέσα από τις προτεινόμενες ασκήσεις εισάγεται ‘αθόρυβα’ και μέσα από την διαδικασία επίλυσης προβλήματος η επίλυση συστήματος 2 2, ως εύρεση του σημείου τομής δύο ευθειών. Στο κεφάλαιο 4-Τριγωνομετρία εισάγονται οι έννοιες «εφαπτομένη γωνίας» και «κλίση ευθείας» και σχετίζονται μεταξύ τους, αλλά δεν συνδέονται με το συμβολισμό y=αχ+β. Γ΄ Γυμνασίου

Στη Γ΄ Γυμνασίου στο κεφάλαιο 3-Εξισώσεις εισάγεται η έννοια της «εξίσωσης (πρώτου βαθμού) με δύο αγνώστους» ή αλλιώς «γραμμική εξίσωση» αχ+βy=γ και γίνεται μια νύξη στην αντίστοιχη ευθεία, με την έννοια ότι «οι λύσεις (ως διατεταγμένα ζεύγη και ως σημεία) της γραμμικής εξίσωσης αχ+βy=γ βρίσκονται στην ίδια ευθεία». Στο κεφάλαιο 4-Συναρτήσεις γίνεται πάλι αναφορά στη συνάρτηση y=αχ+β (ως επανάληψη από την Β΄ Γυμνασίου με κάποιες προεκτάσεις), ενώ εισάγεται η έννοια της εξίσωσης μιας ευθείας («η ευθεία με εξίσωση y=αχ+β»). Μέσα από παραδείγματα παρουσιάζονται οι ευθείες που είναι παράλληλες στους άξονες, ενώ γίνεται αναφορά στο ότι «Η χ=3 δεν είναι συνάρτηση, γιατί…». Η συγκεκριμένη παράγραφος κλείνει με τη γενίκευση (πάντα επαγωγικά, μέσω παραδειγμάτων) ότι «κάθε εξίσωση της μορφής αχ+βy=γ παριστάνει μια ευθεία».

Ενδιαφέρον παρουσιάζει ο τρόπος με τον οποίο εισάγεται ‘αθόρυβα’ και ανεπίσημα η έννοια του συντελεστή διεύθυνσης της y=αχ+β ως ο (αλγεβρικός) συντελεστής α του χ, όχι στις παραγράφους που αναφέρονται στην ευθεία, αλλά στο κεφάλαιο 8, διότι προκύπτει ως ‘αναγκαιότητα’ προκειμένου να δοθεί η έννοια του αδύνατου συστήματος, μέσα από τη διαπίστωση της παραλληλίας των αντίστοιχων ευθειών1. Επίσης είναι σημαντικό να μελετήσουμε προσεκτικά το περιεχόμενο της παραγράφου 4.2 του σχολικού εγχειριδίου, που εκ πρώτης αναγνώσεως, είναι πιθανό να μας δοθεί η εντύπωση ότι, αφ’ ενός δίνει την έννοια της «γωνίας ευθείας με τον 1 Δες στη σελίδα 223 του σχολικού εγχειριδίου.

χ΄χ» (μόνο, βέβαια για την περίπτωση της y=αχ), αφ’ ετέρου ότι προσπαθεί να εισάγει επαγωγικά, μέσα από μελέτη περίπτωσης, την έννοια του συντελεστή διεύθυνσης ευθείας ως εφαπτομένης της προαναφερθείσας γωνίας. Πράγματι, δίνεται η έννοια (αλλά όχι και ο μαθηματικός ορισμός) της «γωνίας ευθείας με τον χ΄χ» (επαναλαμβάνουμε, μόνο για την περίπτωση της y=αχ), αλλά δεν γίνεται καμιά αναφορά στην έννοια του συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας, παρ’ όλο γίνεται αναφορά στην εφαπτομένη αυτής της γωνίας. Θεωρούμε πως θα μπορούσε να αξιοποιηθεί αυτή η παράγραφος προκειμένου να δώσουμε και την έννοια και τον ορισμό του συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας, ώστε να μπορούμε να μιλήσουμε με περισσότερη ‘άνεση’ για την παραλληλία και την ταύτιση δύο ευθειών στο καρτεσιανό επίπεδο, ώστε να μπορούμε να μιλήσουμε στους μαθητές μας, στο κεφάλαιο 8, για τα αδύνατα και τα αόριστα συστήματα, με περισσότερη ευκολία,

Στο κεφάλαιο 8-Συστήματα γραμμικών εξισώσεων και ανισώσεων, παρουσιάζεται ο όρος «σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δυο αγνώστους», και εισάγεται η επίλυση ως διερεύνηση ύπαρξης κοινών σημείων των αντίστοιχων ευθειών στο καρτεσιανό επίπεδο μέσα από το σχεδιασμό των ευθειών αυτών («γραφική επίλυση»), ενώ στο τέλος της ενότητας προτείνεται η εύρεση της εξίσωσης μιας ευθείας που διέρχεται από γνωστά σημεία, ως εφαρμογή του συστήματος εξισώσεων1.2.1.2. ΛύκειοΑ΄ ΛυκείουΆλγεβρα

Στο κεφάλαιο 2-Συναρτήσεις η ευθεία με εξίσωση y=αχ+β παρουσιάζεται ως γραφική παράσταση της συνάρτησης f(χ)=αχ+β (εισαγωγή νέου συμβολισμού), και προστίθενται περισσότερες ιδιότητες της ευθείας, όπως η γωνία ω που σχηματίζει με τον άξονα χ΄χ, ο «συντελεστής διεύθυνσης» α της ευθείας, όπου ορίζεται ως ο αλγεβρικός συντελεστής του χ στην εξίσωση y=αχ+β, και όχι ως η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η αντίστοιχη ευθεία με τον χ΄χ. Μέσα από συγκεκριμένες περιπτώσεις (μελέτη περίπτωσης) αναδεικνύεται η σχέση α=εφω, της οποίας η απόδειξη αναφέρεται πως θα γίνει στη Β΄ Λυκείου2. Επίσης παρατίθεται και αποδεικνύεται η σχέση των συντελεστών διεύθυνσης μεταξύ δύο παράλληλων καθώς και μεταξύ δυο κάθετων ευθειών 3. Η y=αχ παρουσιάζεται ως γραφική παράσταση της f(χ)=αχ και αυτή με τη σειρά της ως ειδική περίπτωση της f(χ)=αχ+β για β=0 (παραγωγική προσέγγιση). Δεν αναφέρεται ότι η μορφή y=αχ+β δεν δίνει όλες τις ευθείες του επιπέδου, αφού δεν μπορεί να πάρει τη μορφή χ=σταθερά, αφού η κατακόρυφη ευθεία (χ=χο) δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης. Βέβαια, στην αρχή της παραγράφου 2.4.-Η συνάρτηση f(χ)=αχ+β υπάρχει μια υποπαράγραφος στην οποία ορίζεται η «γωνία ευθείας με τον άξονα χ΄χ». Συγκεκριμένα αναφέρονται δυο περιπτώσεις: 1. η ευθεία ε να τέμνει τον άξονα χ΄χ και παρατίθεται ένα σχήμα με μια ‘πλάγια’ ευθεία, ενώ λέει για τη γωνία ω «είναι φανερό ότι 0ο<ω<180ο» πράγμα που σημαίνει ότι θεωρεί την ευθεία γενικά και όχι ως γραφική παράσταση συνάρτησης (σε αντίθεση με τον τίτλο της

1 Περισσότερα δες στην §2.2.1 του παρόντος.2 Δες παρακάτω.3 Τονίζουμε ότι ο λόγος περί συντελεστή διεύθυνσης ευθείας αναφέρεται στις μη κατακόρυφες ευθείες, δηλαδή σ’ εκείνες που αποτελούν γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων.

παραγράφου) αφού αν ω=90ο τότε η ε δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης. 2. η ευθεία ε να είναι παράλληλη προς τον χ΄χ, και παρατίθεται ένα αντίστοιχο σχήμα. Βλέπουμε λοιπόν ότι η αρχική προσέγγιση της ευθείας είναι αναλυτικογεωμετρική, αλλά στη συνέχεια δεν γίνεται ιδιαίτερη μνεία στην περίπτωση που ω=90ο προκειμένου να τονιστεί στους μαθητές ότι εξαιρείται από την περαιτέρω μελέτη, στα πλαίσια της συγκεκριμένης παραγράφου.

Στο κεφάλαιο 3-Συστήματα γραμμικών εξισώσεων δίνεται η γενική μορφή εξίσωσης ευθείας «αχ+βy=γ» 1 με τη συνθήκη α 0 ή β 0 (με τη χρήση παραδείγματος και όχι με κάποια γενική απόδειξη, η οποία γίνεται στη Β΄ Λυκείου). Όμως δε γίνεται σύνδεση με την παράγραφο 2.4., οπότε εναπόκειται στην πρωτοβουλία και ευθύνη του εκπαιδευτικού να προβεί στη διάκριση των ευθειών στο επίπεδο, εν αναφορά με την ύπαρξη ή μη του συντελεστή διεύθυνσης.

Αξίζει να σημειωθεί πως η προτεινόμενη απ’ το Π.Ι. πορεία διδασκαλίας κατά τη διάρκεια του έτους αναφορικά με τις διδακτικές ενότητες δεν συμπίπτει με αυτήν του σχολικού εγχειριδίου2. Έτσι, για παράδειγμα, το 2ο κεφάλαιο (των συναρτήσεων) διδάσκεται μετά από τις παραγράφους 4.1-4.3. ο οποίες αναφέρονται στις εξισώσεις και τα προβλήματα 2ου βαθμού.Β΄ ΛυκείουΜαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Ένα ολόκληρο κεφάλαιο, το 2ο, είναι αφιερωμένο στην Ευθεία στο Επίπεδο. Αξιοσημείωτο είναι το γεγονός ότι στην αρχή του κεφαλαίου αυτού γίνεται μια μικρή εισαγωγή στην Αναλυτική Γεωμετρία, παρ’ όλο που η εισαγωγή στο χώρο της Αναλυτικής Γεωμετρίας, για τη Β΄ Λυκείου, έχει γίνει ήδη απ’ το κεφάλαιο 1-Διανύσματα (και συγκεκριμένα από την παράγραφο 1.4.), ενώ γενικά η εισαγωγή στην Αναλυτική Γεωμετρία έχει ήδη γίνει από την Α΄ Γυμνασίου μέσα από την παράσταση σημείου με διατεταγμένο ζεύγος αριθμών στο καρτεσιανό επίπεδο, καθώς και με την έννοια της γωνίας ευθείας με τον άξονα χ΄χ΄(δες ανωτέρω). Αναφορικά με το συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας έχουμε τα εξής:

Ορίζεται ως η εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα χ΄χ 3, εφ’ όσον βέβαια ω 90ο . Αποδεικνύεται ότι ισούται με το συντελεστή διεύθυνσης ενός διανύσματος παράλληλου στην ευθεία. Συγκεκριμένα, ο συντελεστής διεύθυνσης ενός διανύσματος =(χ,y) ορίζεται, αν χ 0, ως το πηλίκο και με τη βοήθεια της Τριγωνομετρίας («θεωρείται γνωστό») έχουμε ότι εφω= , όπου ω=«γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα χ΄χ».

1 Ας έχουμε υπ’ όψη ότι σε μια τάξη 25-28 μαθητών μπορεί να έχουμε έναν ή και περισσότερους δυσλεξικούς μαθητές. Αυτό σημαίνει ότι θα πρέπει να επιμεληθούμε για το ευανάγνωστο των γραμμάτων μας τόσο στον πίνακα, όσο και στα φύλλα εργασίας. Για ένα δυσλεξικό μαθητή, το «y» εύκολα συγχέεται με το «γ» στις περισσότερες γραμματοσειρές των κειμενογράφων στον Η/Υ.2 Δες στο Παράρτημα 2.3 Προσοχή! Ο συντελεστής διεύθυνσης (μη κατακόρυφου) διανύσματος έχει ήδη οριστεί στο προηγούμενο κεφάλαιο των Μαθηματικών Κατεύθυνσης (δες και Ενότητα 3 του παρόντος), όχι ως η εφαπτομένη της γωνίας του διανύσματος, αλλά ως το πηλίκο της τεταγμένης προς την τετμημένη του διανύσματος.

Αποδεικνύεται (από το προηγούμενο) ότι ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας υπολογίζεται αν γνωρίζουμε δυο σημεία (συντεταγμένες) της. Αποδεικνύεται (από τα παραπάνω) ότι η εξίσωση ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης λ, η οποία διέρχεται από ένα σημείο (χΟ, yΟ) δίνεται από τον τύπο y-yΟ=λ(χ-χΟ), που μπορεί ισοδυνάμως να γραφεί y=λχ+yΟ-λχΟ, δηλαδή να πάρει τη μορφή y = αχ + β 1. Για την περίπτωση που η ευθεία είναι κατακόρυφη, άρα δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας, η εξίσωση έχει τη μορφή χ=χΟ, όπου χΟ είναι η τετμημένη ενός οποιουδήποτε σημείου της.

Στη συνέχεια παρουσιάζεται η γενική μορφή μιας εξίσωσης:Αχ + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 (1)

και αποδεικνύεται ότι: Κάθε ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο μπορεί να γραφεί στη μορφή (1). Κάθε εξίσωση της μορφής (1) παριστάνει ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο.

Παράλληλα, η μορφή (1) δημιουργεί τις προϋποθέσεις για την εισαγωγή της έννοιας «οικογένεια ευθειών» και μας βοηθάει να δούμε την Αχ+Βy+Γ=0 σαν ειδική περίπτωση της Αχ2+Βy2+Γχ+Δχ+Ε=0, η οποία παρουσιάζεται στην παράγραφο 3.5., που, όμως, δεν περιλαμβάνεται στη διδακτέα ύλη. Οι συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών είναι διατυπωμένες σε σχέση με τους συντελεστές διεύθυνσης αυτών, επομένως αφορούν μόνο ευθείες για τις οποίες ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης. Αυτό πρέπει να το επισημάνουμε, σε αντιδιαστολή με το σχολικό βιβλίο, το οποίο υιοθετεί τη μαθηματική-συμβολική καταγραφή των ισοδυναμιών «ε1//ε2 λ1λ2» και «ε1 ε2 λ1λ2=-1» σε πλαίσιο με φόντο, εντός του οποίου δεν περιλαμβάνεται η συνθήκη περί ύπαρξης των συντελεστών διεύθυνσης.

Ως εφαρμογή της εξίσωσης της ευθείας προκύπτουν οι τύποι που δίνουν την απόσταση σημείου (με γνωστές συντεταγμένες) από ευθεία (με γνωστή εξίσωση), και το εμβαδόν τριγώνου (αν είναι γνωστές οι συντεταγμένες δύο μη αντίθετων διανυσμάτων, από τα έξι τα οποία ορίζουν συνολικά ανά δύο οι κορυφές του). Οι αποδείξεις των παραπάνω τύπων είναι εκτός διδακτέας ύλης.

Στο κεφάλαιο 3-Κωνικές Τομές η ευθεία εμφανίζεται ως εφαπτομένη σε κωνική τομή, οπότε εμπλουτίζεται η τυπολογία της μορφής της, καθώς ανάλογα με το είδος της Κωνικής Τομής στην οποία εφάπτεται αποκτά και διαφορετική μορφή. Επιπλέον, ειδικά στην περίπτωση της Παραβολής υπάρχει μία αξιοσημείωτη ευθεία, (χαρακτηριστική για κάθε Παραβολή) η «διευθετούσα» η οποία είναι οριζόντια (y=yο) ή κατακόρυφη (χ=χο), ανάλογα με τον προσανατολισμό του άξονα συμμετρίας της Παραβολής, και της οποίας ο τύπος είναι συνάρτηση των παραμέτρων της εξίσωσης της Παραβολής. Επίσης, η Υπερβολή (δύο κλάδοι) έχει δύο χαρακτηριστικές ευθείες, τις «ασύμπτωτες», οι οποίες διέρχονται πάντα από την αρχή των αξόνων και είναι συμμετρικές ως προς αυτούς (y= cx), και των οποίων ο τύπος είναι συνάρτηση των παραμέτρων της εξίσωσης της Υπερβολής. Γ΄ Λυκείου

Στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης η ευθεία αποκτά τους εξής ρόλους:1 Επομένως, ο συντελεστής διεύθυνσης ευθείας στο καρτεσιανό επίπεδο ορίζεται διαφορετικά απ’ ό,τι ορίστηκε στην Α΄ Λυκείου, οπότε δεν τίθεται ζήτημα απόδειξης της σχέσης α=εφω (ζήτημα που είχε τεθεί στο σχολικό εγχειρίδιο Άλγεβρας της Α΄, όπως είδαμε παραπάνω) αφού στη Β΄ Λυκείου αυτή η σχέση είναι ο ορισμός!

της «εφαπτομένης» ευθείας σε παραγωγίσιμη καμπύλη (γραφική παράσταση παραγωγίσιμης συνάρτησης f), της «ασύμπτωτης» ευθείας σε καμπύλη.

Στην πρώτη περίπτωση ο συντελεστής διεύθυνσης (προκειμένου για μη κατακόρυφες εφαπτόμενες) ταυτίζεται με τον παράγωγο αριθμό της συνάρτησης f στο σημείο επαφής, πράγμα που καθιστά προφανή τον τρόπο εύρεσης της εξίσωσης της εφαπτομένης. Χαρακτηριστική είναι η περίπτωση της κατακόρυφης εφαπτομένης, που ορίζεται στα σημεία χο στα

οποία f συνεχής και = , και που έχει εξίσωση χ=χο, που

όμως είναι εκτός διδακτέας ύλης.Στη δεύτερη περίπτωση οι σταθερές του τύπου της ευθείας δίνονται

ως όρια σχετιζόμενα με τη συνάρτηση f.Η έννοια της ευθείας ως εφαπτομένης παραγωγίσιμης καμπύλης

υπάρχει και στο κεφάλαιο 1-Διαφορικός Λογισμός των Μαθηματικών Γενικής Παιδείας.

2.2. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 2.2.1. ΓυμνάσιοΒ΄ Γυμνασίου

Όπως είδαμε στην προηγούμενη παράγραφο, η πρώτη αναφορά στην έννοια του συστήματος γίνεται στη Β΄ Γυμνασίου μέσα από τις προτεινόμενες εφαρμογές και ασκήσεις του σχολικού εγχειριδίου, κυρίως μέσα από τη διαδικασία επίλυσης προβλήματος. Ο όρος «σύστημα εξισώσεων» δεν αναφέρεται.Γ΄ Γυμνασίου

Ο όρος «σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δυο αγνώστους», εισάγεται στο κεφάλαιο 8-Συστήματα γραμμικών εξισώσεων και ανισώσεων. Συγκεκριμένα, η επίλυση εισάγεται ως «γραφική επίλυση» δηλαδή ως διερεύνηση ύπαρξης κοινών σημείων των αντίστοιχων ευθειών στο καρτεσιανό επίπεδο, μέσα από συγκεκριμένα παραδείγματα. (Ας μην ξεχνάμε πως η επαγωγική, μέσω του παραδείγματος, διδακτική προσέγγιση έχει πρωτεύοντα ρόλο στα Μαθηματικά του Γυμνασίου.) Στη συνέχεια, παρουσιάζεται η αλγεβρική επίλυση συστήματος, με τη μέθοδο της «αντικατάστασης» και τη μέθοδο των «αντιθέτων συντελεστών», πάλι μέσα από συγκεκριμένα παραδείγματα, ενώ παρουσιάζεται και η διαδικασία της «επαλήθευσης» (που, βέβαια, αφορά μόνο την περίπτωση της ύπαρξης μοναδικής λύσης).

Όπως αναφέραμε και στον πρόλογο, το γεγονός ότι τα σχολικά εγχειρίδια του Γυμνασίου θ’ αλλάξουν, πιθανόν, από το επόμενο διδακτικό έτος (2007-2008) δεν σημαίνει ότι δεν αξίζει να ασχοληθούμε με τα έως τούδε (Δεκέμβριος 2006) ισχύοντα, διότι όποιος κληθεί να διδάξει τα γραμμικά συστήματα (και όχι μόνο) σε μαθητές της Α΄ Λυκείου το έτος 2007-2008, θα πρέπει να γνωρίζει τί σχετικό με αυτά έχουν διδαχθεί αυτοί οι μαθητές στο Γυμνάσιο, και αυτό έχει συμβεί με το ισχύον σχολικό εγχειρίδιο. Αν δούμε, λοιπόν με λίγη περισσότερη προσοχή τον τρόπο παρουσίασης των συστημάτων στη Γ΄ Γυμνασίου θα παρατηρήσουμε τα εξής: Η αρχική παρουσίαση της αχ+βy=γ ως γενικής μορφής εξίσωσης ευθείας στο καρτεσιανό επίπεδο (απαραίτητη προϋπόθεση για την εισαγωγή των γραμμικών συστημάτων, αφού η y=αχ+β δεν περιλαμβάνει τις κατακόρυφες ευθείες) δεν γίνεται ως γενίκευση της y=αχ+β (γνωστής, ήδη, από τη Β΄ Γυμνασίου) αλλά ανεξάρτητα από αυτήν. Συγκεκριμένα, παρουσιάζεται στο κεφάλαιο 3-Εξισώσεις ως περίπτωση εξίσωσης 1ου

βαθμού (δηλαδή ως εξίσωση 1ου βαθμού με δύο αγνώστους) και μάλιστα αναφέρεται ότι «οι λύσεις της γραμμικής εξίσωσης αχ+βy=γ, βρίσκονται στην ίδια ευθεία»1, ενώ δεν αναφέρεται ότι κάθε ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο παριστάνεται από μία εξίσωση της μορφής αχ+βy=γ. Στο κεφάλαιο 4-Συναρτήσεις μετά από την αναφορά στην y=αχ+β ως εξίσωσης της γραφικής παράστασης της αντίστοιχης συνάρτησης2, και την παρουσίαση της χ=σταθερά ως ευθείας που δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης3, 1 επομένως έχουμε γεωμετρική-γραφική και όχι αλγεβρική προσέγγιση και επίλυση, δοθέντος του ότι η προσέγγιση των εξισώσεων 1ου βαθμού με έναν άγνωστο, 2ου βαθμού με έναν άγνωστο, καθώς και των κλασματικών με έναν άγνωστο, στο ίδιο κεφάλαιο, αντιμετωπίζονται αλγεβρικά και μόνο.2 υπενθυμίζουμε ότι δεν χρησιμοποιείται ο συμβολισμός f(χ) που παραπέμπει στη συνολοθεωρητική προσέγγιση της έννοιας της συνάρτησης –ως σχέσης ανάμεσα στα στοιχεία δυο συνόλων- , αλλά υιοθετείται μια περισσότερο εποπτική / γραφική / γεωμετρική προσέγγιση –ως ευθείας στο καρτεσιανό επίπεδο-.3 συγκεκριμένα αναφέρεται το εξής: «Η χ=3 δεν είναι συνάρτηση…».

το σχολικό εγχειρίδιο επανέρχεται στην αχ+βy=γ, επαναλαμβάνοντας (με άλλη διατύπωση τώρα) ότι κάθε εξίσωση της μορφής αχ+βy=γ παριστάνει μια ευθεία. Στο κεφάλαιο 8-Συστήματα γραμμικών εξισώσεων και ανισώσεων η έννοια του γραμμικού 2 2 συστήματος με μοναδική λύση, επιδιώκεται να οικοδομηθεί μέσα από την αναγκαιότητα επίλυσης ενός σχετικού προβλήματος, αλγεβρικού (άρα ‘αφηρημένου’) όμως, και όχι από την καθημερινότητα, όπως ίσως θα αναμέναμε. Αντίθετα, η οικοδόμηση της έννοιας του αδύνατου γραμμικού 2 2 συστήματος δεν επιδιώκεται μέσα από μια ‘προβληματική κατάσταση’ αλλά με την άμεση (αν όχι απότομη) θέση ενός ζεύγους γραμμικών εξισώσεων με δυο αγνώστους και μέσα από τη διαπίστωση ότι οι αντίστοιχες ευθείες είναι παράλληλες (γραφική επίλυση). Ανάλογη είναι και η παρουσίαση της έννοιας του αόριστου γραμμικού 2 2 συστήματος. Αναφορικά με την αλγεβρική επίλυση των γραμμικών 2 2 συστημάτων, δίδεται βαρύτητα αποκλειστικά στη περίπτωση της μοναδικής λύσης. Αυτό σημαίνει πως θα πρέπει να ενθαρρύνουμε τους μαθητές να επιλύουν κατ’ αρχήν ένα σύστημα γραφικά, διότι ξεκινώντας αλγεβρικά, δεν θα είναι σε θέση να βγάλουν συμπεράσματα για την περίπτωση που το σύστημα που έχουν να λύσουν είναι αδύνατο ή αόριστο (οπότε θα πελαγοδρομούν και θα απογοητεύονται), αφού το σχολικό βιβλίο με την αλγεβρική μέθοδο, τόσο της αντικατάστασης, όσο και των αντιθέτων συντελεστών, δεν επιλύει αόριστα ούτε αδύνατα συστήματα. Όσο για τα συμπεράσματα μέσω της σύγκρισης των συντελεστών του χ και των σταθερών όρων στις δύο εξισώσεις του συστήματος έχουν γραφικό / γεωμετρικό έρεισμα. Και πάλι όμως, όταν εμείς δίνουμε στους μαθητές ένα σύστημα προς επίλυση, δεν μπορούμε να περιμένουμε από τους μαθητές να παρατηρήσουν ότι π.χ. οι συντελεστές του χ στις δύο εξισώσεις είναι ίσοι ή όχι, παρά μόνο αν τους καθοδηγούμε κατά περίπτωση ή άπαξ εξ αρχής. 2.2.2. ΛύκειοΑ’ Λυκείου

Το κεφάλαιο 3-Συστήματα γραμμικών εξισώσεων σύμφωνα με τις οδηγίες του Π.Ι. ακολουθεί την παράγραφο 2.4. - Η συνάρτηση f(χ)=αχ+β, και το συμπληρώνει, αφού εισάγει τη γενική μορφή ευθείας: αχ+βy=γ, με α0 ή β 0. Γίνεται στη συνέχεια μια επανάληψη (από τη Γ΄ Γυμνασίου) των

αλγεβρικών μεθόδων επίλυσης των γραμμικών συστημάτων 2 2 με μοναδική λύση, με παράλληλη γραφική επίλυση. Αμέσως μετά γίνεται αναφορά στο αδύνατο σύστημα, και για πρώτη φορά δίνεται αλγεβρικός τρόπος επίλυσης. Συγκεκριμένα, επιλύουμε ένα συγκεκριμένο σύστημα με τη μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών, και καταλήγουμε στη μορφή:

0χ+0y = «μη μηδενική σταθερά»το οποίο, προφανώς, είναι άτοπο. Βέβαια, δεν δίνεται ορισμός του αδύνατου συστήματος (και φυσικά δεν θα μπορούσε να αποτελεί ορισμό η πρόταση «ένα γραμμικό σύστημα 2 2 λέγεται αδύνατο, αν, εφαρμόζοντας τη μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών, καταλήγουμε σε άτοπο). Έτσι, λοιπόν, μένει ‘μετέωρο’ το ζήτημα, τι γίνεται αν ένας μαθητής επιλέξει τη μέθοδο της αντικατάστασης (δοθέντος του ότι εμείς γνωρίζουμε από πριν τι είδους σύστημα του δώσαμε να επιλύσει, ενώ εκείνος όχι), δηλαδή σε τι θα πρέπει να καταλήξει για να αποφανθεί για το αν το σύστημα είναι αδύνατο ή όχι. Προκειμένου, λοιπόν να βοηθήσουμε το μαθητή να ξεκαθαρίσει το τοπίο της διαδικασίας της αλγεβρικής επίλυσης, καλό είναι πρώτα εμείς1 και μετά 1 στην κατ’ οίκον προετοιμασία μας

εκείνος να λύσει ένα (αδύνατο) σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης, και να συγκρίνει τα συμπεράσματα με εκείνα στα οποία καταλήγει με την άλλη μέθοδο. Ανάλογη θα πρέπει να είναι η αντιμετώπιση της αλγεβρικής επίλυσης του αόριστου συστήματος, για το οποίο, όπως μπορούμε να παρατηρήσουμε, δεν γίνεται αλγεβρική, αλλά μόνο γραφική επίλυση. Συγκεκριμένα, επιλύουμε και τις δυο εξισώσεις ως προς y 1 και συγκρίνουμε τους συντελεστές διεύθυνσης και τους σταθερούς όρους. Φυσικά, αυτή η διαδικασία δεν εμπίπτει σε καμιά από τις δύο γνωστές αλγεβρικές μεθόδους επίλυσης (παρ’ όλο που, στους ‘παλαιότερους’ από εμάς θυμίζει τη «μέθοδο της συγκρίσεως», ως αλγεβρικής επίλυσης ενός γραμμικού συστήματος 22)2. Και αυτή η διαδικασία γίνεται με μελέτη περίπτωσης 3. (Βέβαια, ο τρόπος με τον οποίο παρουσιάζεται η επίλυση του αόριστου και του αδύνατου συστήματος προετοιμάζει το έδαφος για την παρουσίαση και τη γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου επίλυσης με τη μέθοδο των οριζουσών, που θα λάβει χώρα στην επόμενη παράγραφο του σχολικού βιβλίου. Ακολούθως παρουσιάζεται η έννοια των «ισοδύναμων συστημάτων» και του «γραμμικού συνδυασμού» δύο εξισώσεων.

Στην επόμενη παράγραφο εισάγεται η γενικευμένη-συμβολική μορφή του συστήματος 2 2 και παρουσιάζεται η ‘θεωρητική’ επίλυση-διερεύνησή του, ενώ εισάγεται και ο όρος «ορίζουσα (του συστήματος και γενικά)». Εδώ, πρέπει να αναφέρουμε ότι η απόδειξη των τύπων διερεύνησης στο σχολικό βιβλίο γίνεται αλγεβρικά, αλλά βάσει των οδηγιών του Π.Ι. πρέπει να παραλείψουμε αυτήν την απόδειξη4 και να δώσουμε τη γεωμετρική ερμηνεία της διερεύνησης. Αναφέρουμε ενδεικτικά, ότι η τιμή της παράστασης α1β2 - α2β1 ‘ορίζει’5 το είδος του συστήματος ως προς τις λύσεις του. Συγκεκριμένα, για το:

{α1χ+β1y=γ1 και α2χ+β2y=γ2 / β1 0 β2}

{y= χ+ και y= χ+ } έχουμε:

o α1β2-α2β1=0 … = οι συντελεστές διεύθυνσης των

ευθειών είναι ίσοι, άρα οι ευθείες είναι ή παράλληλες (αν επιπλέον οι σταθεροί όροι είναι διάφοροι μεταξύ τους, δηλαδή β2γ1-β1γ2 0), ή συμπίπτουν (αν οι σταθεροί όροι είναι ίσοι), δηλαδή το σύστημα είναι αδύνατο ή αόριστο (αντίστοιχα).

1 Και τι γίνεται αν η μία εξίσωση δεν έχει; Προφανώς πρέπει να συμπεριλάβουμε και μια τέτοια περίπτωση στην παρουσίασή μας.2 βέβαια, το ‘έδαφος’ για την επίλυση της κάθε μιας εξίσωσης ως προς y, έχει προετοιμαστεί από τη μελέτη τη, 3 ο όρος «παράδειγμα» χρησιμοποιείται, πολλές φορές καταχρηστικά, για να δηλώσει την έννοια της «μελέτης περίπτωσης». Η μελέτη περίπτωσης στο διδακτικό πλαίσιο αφορά τη διερευνητική επαγωγική προσέγγιση, μέσω ενδείξεων (δηλαδή η γενίκευση γίνεται εμπειρικά, είτε προβούμε εκ των υστέρων σε απόδειξη είτε όχι), επομένως προηγείται της διατύπωσης ενός γενικού συμπεράσματος. Αντίθετα, το παράδειγμα έπεται μιας γενικής πρότασης (παράδειγμα τινός) ως συνειδητοποιημένης υποπερίπτωσης της πρότασης αυτής.4 η οποία πράγματι, ως καθαρά αλγεβρική, είναι ανιαρή για τους μαθητές, αφού τα κριτήρια της διερεύνησης κατά τη διεξαγωγή της δεν προκύπτουν εύλογα.5 εξ ού και «Ορίζουσα του συστήματος». Ο συμβολισμός D προέρχεται από τη λέξη Determinant (Determine=(Προσ)διορίζω). (Διαθεματική προέκταση με το μάθημα της ξένης γλώσσας).

o αν α1β2-α2β1 0 … οι συντελεστές διεύθυνσης των

ευθειών δεν είναι ίσοι, τότε οι ευθείες τέμνονται, δηλαδή το σύστημα έχει μοναδική λύση.Βεβαίως η παραπάνω διαδικασία δεν είναι πλήρης, αφού έγιναν κάποιες παραδοχές ως προς τις τιμές των συντελεστών του y. Οι επιπλέον περιπτώσεις, μπορούν να εξεταστούν με κατάλληλα παραδείγματα. Η επόμενη παράγραφος έχει τίτλο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με περισσότερους από δυο αγνώστους, αλλά παρουσιάζονται τόσο στη θεωρία όσο και στις ασκήσεις μόνο συστήματα 3 3. Συγκεκριμένα, προτείνεται η μέθοδος της «απαλοιφής» η οποία οδηγεί σε «κλιμακωτό σύστημα», ή η απαλοιφή του ενός αγνώστου από τις δύο εκ των εξισώσεων και η μέθοδος των οριζουσών για το γραμμικό 2 2 που προέκυψε. Τέλος, μέσα από τις προτεινόμενες ασκήσεις δίνονται συστήματα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους, μη γραμμικά, τα οποία προσφέρονται για επανάληψη των διδαχθέντων σε προηγούμενα κεφάλαια.Γ΄ Λυκείου

Το κεφάλαιο 1-Πίνακες-Γραμμικά Συστήματα των Μαθηματικών Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης είναι εδώ και πολλά χρόνια εκτός διδακτέας ύλης. Είναι όμως ενδιαφέρων ο τρόπος με τον οποίο συνδέεται η έννοια του γραμμικού μ ν συστήματος με τους πίνακες, μέσω του συμβολισμού και του αλγόριθμου επίλυσης «μέθοδος απαλοιφής του Gauss». Εισάγεται, επίσης, η έννοια του «ομογενούς» και του «συμβιβαστού» συστήματος, ενώ διατυπώνεται (ως παρατήρηση μέσα από τα παραδείγματα που παρατίθενται) η πρόταση «ένα μ ν γραμμικό σύστημα είναι αδύνατο, ή έχει μοναδική λύση, ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων». Στη συνέχεια δίνεται επαγωγικά η έννοια της ορίζουσας ν ν (ν 3) πίνακα, και παρουσιάζεται ο γενικός τύπος υπολογισμού της. Τέλος, παρουσιάζεται η μέθοδος του Cramer για την επίλυση των ν ν γραμμικών συστημάτων, η οποία προτείνεται για επίλυση συστημάτων με ν=2 ή ν=3, καθώς και για θεωρητικά θέματα, λόγων των χρονοβόρων αριθμητικών υπολογισμών στην περίπτωση που ν>3. Για τα μ ν (μ ν) και τα ν ν με ν>3 συνίσταται ο αλγόριθμος του Gauss.

Α΄ Γυμνασίου, Η έννοια των αναλόγων ποσώνΤάξη: Α΄ ΓυμνασίουΗμερομηνία:………………Χρονική διάρκεια: 1 διδακτική ώρα (45΄)Ώρα:…………Ενότητα: Η έννοια των αναλόγων ποσών

Στόχοι: 1. Να κατανοήσουν οι μαθητές την έννοια των αναλόγων ποσών.2. Να μπορούν να διακρίνουν αλγεβρικά αν δυο ποσά είναι ανάλογα.3. Να μπορούν να διαπιστώνουν γραφικά αν δυο ποσά είναι ανάλογα.

Προαπαιτούμενες έννοιες: Μεταβλητή, Πολλαπλάσια φυσικού αριθμού, Σύγκριση κλασμάτων, Παράσταση σημείων στο επίπεδο, Μέτρηση μήκους και εμβαδού.Πορεία: Πενταμερής.Μέθοδος: Εμπειρική / Ανακαλυπτική, Επαγωγική.Μορφή: Καθοδηγούμενη ανακάλυψη με φύλλα εργασίας, Ομαδοσυνεργατική με στοιχεία μετωπικής διδασκαλίας Διδακτικά μέσα: Φύλλα εργασίας, Τετραγωνισμένο (ή ‘μιλιμετρέ’) χαρτί, Πίνακας-κιμωλίες.

Σχέδιο Μαθήματος:1. Προπαρασκευή (10΄)

Δίνουμε στους μαθητές σε ένα φύλλο εργασίας τέσσερα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με βάση 3 και ύψη 1, 2, 3 και 5 αντίστοιχα, και τους ζητάμε να μετρήσουν τις διαστάσεις τους και κατόπιν να υπολογίσουν τα εμβαδά τους. Στη συνέχεια, σε μικρές ομάδες σχηματίζουν τον πίνακα αντιστοίχων τιμών και τα αντίστοιχα ζεύγη (1,3), (2,6), (3,9) και (5,15), και παριστάνουν τα σημεία αυτά σε σύστημα αξόνων σε ‘μιλιμετρέ’ χαρτί. Στη συνέχεια τους ζητάμε να συγκρίνουν τα κλάσματα , , , (ή να κάνουν τις διαιρέσεις).2. Παρουσίαση (10΄)

Με τη δική μας καθοδήγηση οι μαθητές διαπιστώνουν ότι: Όλα τα γινόμενα που δίνουν τα εμβαδά, έχουν παράγοντα το 3. Για σταθερή (δεδομένη) βάση, «όσο αυξάνεται το ύψος, τόσο αυξάνεται και το εμβαδόν». Λέμε στους μαθητές μας ότι σ’ αυτήν την περίπτωση έχουμε μια σχέση αναλογίας, δηλαδή, το εμβαδόν και το ύψος λέγονται «ποσά ανάλογα», και εισάγουμε το συμβολισμό y = αχ, εξηγώντας τι παριστάνουν τα y, α και χ στη συγκεκριμένη περίπτωση. Τα σημεία βρίσκονται πάνω σε ευθεία. Γενικεύουμε λέγοντάς τους ότι τα ζεύγη τιμών που παίρνουν δυο ανάλογα ποσά ανήκουν πάντα πάνω σε μια ευθεία. Δηλαδή ότι όταν ισχύει η αλγεβρική σχέση της αναλογίας, ισχύει και η γεωμετρική σχέση της ‘συνευθειακότητας’. Τα παραπάνω κλάσματα που τους δώσαμε για σύγκριση είναι ίσα μεταξύ τους και ίσα με το 3.

3. Επεξεργασία-Εμπέδωση (10΄) Αφού χωρίσουμε πάλι τους μαθητές σε μικρές ομάδες τους δίνουμε

φύλλα εργασίας με τρεις πίνακες τιμών δύο αναλόγων ποσών χ και y: Έναν πίνακα κοινό σε όλες τις ομάδες, έναν πίνακα διαφορετικό σε κάθε ομάδα αλλά με το ίδιο α, και έναν πίνακα διαφορετικό σε κάθε ομάδα και με διαφορετικό α, και ζητάμε σε κάθε περίπτωση το α. 4. Εφαρμογή (10΄)

Δίνουμε στους μαθητές έναν πίνακα τιμών να συμπληρώσουν τις τιμές των (αναλόγων μεγεθών) χ και y, χωρίς να τους δώσουμε το α, (το οποίο μπορούν να βρουν εύκολα από δύο αντίστοιχες τιμές των χ και y που έχουμε φροντίσει να είναι συμπληρωμένες) και τους ζητάμε τη γραφική απεικόνιση των ζευγών (χ, y). Ακολούθως τους δίνουμε δυο-τρία επιπλέον ζεύγη τιμών, και τους ζητάμε να ελέγξουν αν τα αντίστοιχα σημεία ανήκουν στην ευθεία y = αχ.

Στη συνέχεια τους δίνουμε έναν πίνακα τιμών μη αναλόγων ποσών και τους ζητάμε να διαπιστώσουν αν είναι ανάλογα. Τους παροτρύνουμε και τους καθοδηγούμε να χρησιμοποιήσουν και τους δύο τρόπους.

Σ’ αυτή τη φάση μπορούμε, ανάλογα με τις δυνατότητες των μαθητών μας, να δώσουμε και δεκαδικές τιμές στα χ και y, ή ακόμα και στο α.

Ανάλογα με το χρόνο που έχουμε τελικά στη διάθεσή μας, και το βαθμό κόπωσης των μαθητών, το συγκεκριμένο στάδιο μπορεί να πραγματοποιηθεί είτε με φύλλα εργασίας, είτε με μετωπική μορφή διδασκαλίας με τη βοήθεια του πίνακα, και τη μέθοδο των ερωταποκρίσεων.5. Αξιολόγηση (5΄)

Ζητάμε από τους μαθητές να διατυπώσουν την έννοια των αναλόγων ποσών, όπως την κατάλαβαν. Τους δίνουμε συγκεκριμένα παραδείγματα από την καθημερινή ζωή, όπως το βάρος σε κιλά ενός προϊόντος σε σχέση με την τιμή του ή το ύψος ενός ανθρώπου σε σχέση με το βάρος του, και ζητάμε να αξιολογήσουν αν πρόκειται κάθε φορά για ποσά ανάλογα ή όχι. Επίσης, μπορούμε να δώσουμε μια διαθεματική προέκταση μέσα από το μάθημα της Γεωγραφίας, θέτοντάς τους (ακόμα και ως για εργασία για το σπίτι) αν τα ποσά ‘‘έκταση’’ και ‘‘πληθυσμός’’ μιας χώρας είναι μεταξύ τους ανάλογα, ή προετοιμάζοντάς τους για επόμενη ενότητα με την έννοια της κλίμακας, μέσα από τη μελέτη ενός χάρτη.

Β΄ Λυκείου - Εξίσωση Ευθείας(Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης)

Τάξη: Β΄ ΛυκείουΗμερομηνία:………………Χρονική διάρκεια: 1 διδακτική ώρα (45΄)Ώρα:…………Ενότητα: Εξίσωση ΕυθείαςΣτόχοι: 1. Να μπορούν να βρίσκουν την εξίσωση μιας ευθείας όταν

γνωρίζουν ένα σημείο της και το συντελεστή διεύθυνσης. Ειδικότερα:o Να κατανοήσουν τη σχέση μεταξύ συντελεστή διεύθυνσης

διανύσματος και συντελεστή διεύθυνσης ευθείας.o Να μπορούν να χρησιμοποιούν την έννοια του συντελεστή

διεύθυνσης διανύσματος για να μπορούν να βρουν τον αντίστοιχο μιας ευθείας. Συγκεκριμένα, να μπορούν να βρουν το συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας από δύο σημεία αυτής.

2. Να μπορούν να βρίσκουν την εξίσωση μιας ευθείας όταν γνωρίζουν δύο σημεία της.3. Να κατανοήσουν ότι το σύνολο των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Α(χΟ, yΟ) αποτελείται από την κατακόρυφη ευθεία χ = χΟ και από τις ευθείες y - yΟ = λ(χΟ - yΟ), λ R.

Προαπαιτούμενες γνώσεις: Συντελεστής διεύθυνσης διανύσματος και ευθείας, μορφές εξισώσεων ευθείας με ή χωρίς συντελεστή διεύθυνσης (από την Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου). Πορεία: Πενταμερής με συνεπτυγμένα τα στάδια Παρουσίαση και Επεξεργασία.Μέθοδος: Επαγωγική και Παραγωγική (Σύνθεση-Ανάλυση)Μορφή: Καθοδηγούμενη διδασκαλία με ερωταποκρίσεις, φύλλα εργασίας, και κατευθυνόμενο διάλογο, Εργασία σε ομάδες και ατομική (μετωπική) παρουσίαση από μαθητές. Διδακτικά μέσα: Φύλλα εργασίας, Πίνακας-κιμωλίες, Φύλλα αξιολόγησης.

Σχέδιο Μαθήματος:

1. Ανάκληση προηγουμένων / Σύνδεση με επόμενα (8΄)Με κατευθυνόμενο διάλογο οι μαθητές διαπιστώνουν πως μια μη

κατακόρυφη ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο μπορεί να προσδιοριστεί από ένα σημείο και τη διεύθυνσή της (δηλαδή από το συντελεστή διεύθυνσης). Μέσα από τη συσχέτιση της γωνίας διανύσματος με τον χ΄χ, με τη γωνία (παράλληλης στο διάνυσμα αυτό) ευθείας με τον χ΄χ, και με τη χρήση της Τριγωνομετρίας, οι μαθητές θα οδηγηθούν επαγωγικά στο συμπέρασμα ότι μια μη κατακόρυφη ευθεία και ένα διάνυσμα παράλληλο σ’ αυτή έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης, οπότε θα διαπιστώσουν πως αν είναι γνωστά δυο σημεία μιας ευθείας μπορούμε να βρούμε το συντελεστή διεύθυνσης αυτής. Βοηθάμε τους μαθητές στην παραπάνω συλλογιστική διαδικασία, υπενθυμίζοντάς τους όπου και αν χρειαστεί τα εξής (προηγούμενες γνώσεις): Δυο σημεία ορίζουν τη θέση μιας ευθείας, άρα μια

«διεύθυνση». Δύο σημεία ορίζουν δύο αντίθετα μεταξύ τους

διανύσματα, και δυο αντίθετα διανύσματα, μη κάθετα στον χ΄χ, έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης.

Οι έννοιες «κλίση ευθείας», «εφαπτομένη γωνίας (με τον χ΄χ) ευθείας», «συντελεστής διεύθυνσης ευθείας» είναι ταυτόσημες.

Τα διανύσματα που είναι κάθετα στον χ΄χ δεν έχουν συντελεστή διεύθυνσης.

Γωνίες με διαφορά π έχουν την ίδια εφαπτομένη. Οι κατακόρυφες (κάθετες στον άξονα χ΄χ) ευθείες δεν

έχουν συντελεστή διεύθυνσης και γι’ αυτό δεν δίνονται από τη μορφή y=αχ+β.

2. Παρουσίαση νέων / Επεξεργασία (15΄)Δίνουμε στους μαθητές ένα φύλλο εργασίας με δύο προβλήματα:

1. Στο πρώτο καλούνται να βρουν την εξίσωση ευθείας ε με (δεδομένο) το συντελεστή διεύθυνσης λ και (δεδομένο) σημείο Α(χΟ, yΟ) που ανήκει σ’ αυτήν. Οι μαθητές με την καθοδήγησή μας διαπιστώνουν πως από το Α διέρχονται άπειρες ευθείες, αλλά μόνο μία από αυτές έχει τη δεδομένη διεύθυνση. Τους βοηθάμε να κατανοήσουν πως προκειμένου να εμφανίσουμε τις μεταβλητές χ και y στην εξίσωση της ζητούμενης ευθείας πρέπει να θεωρήσουμε ένα ‘τυχόν’ (μεταβλητό) σημείο Μ(χ, y) αυτής. Οι μαθητές διαπιστώνουν πως τα Α, Μ ορίζουν το διάνυσμα =(χ-χο, y-yο), και πως λ

= λ (αφού ε// , κτλ. ). Οπότε οδηγούνται στη σχέση y - yο = λ(χ - χο) (1), η οποία είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για να ανήκει το σημείο Μ(χ, y) στην ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης λ και που διέρχεται από το Α(χΟ, yΟ), αφού με πράξεις διαπιστώσουν ότι και το Α(χΟ, yΟ) επαληθεύει την (1). 2. Στο δεύτερο πρόβλημα οι μαθητές καλούνται να βρουν την εξίσωση ευθείας η οποία διέρχεται από δύο (δεδομένα) σημεία Α(χ1,y1), Β(χ2,y2). Τους καλούμε να εργαστούν σε ομάδες και τους καθοδηγούμε να σκεφτούν όπως και πριν. Όταν διαπιστώσουμε πρόοδο στην εργασία τους, καλούμε έναν-δυο μαθητές στον πίνακα για να παρουσιάσουν την εργασία των ομάδων τους. Με αφορμή την παρουσίαση θα μας δοθεί η ευκαιρία να τονίσουμε ότι η περίπτωση χ1=χ2 θα πρέπει να αντιμετωπίζεται χωριστά. 3. Εφαρμογή (10΄)

Χωρίζουμε τους μαθητές σε μικρές ομάδες και τους δίνουμε φύλλα εργασίας με ένα πρόβλημα, το οποίο έχει δύο σκέλη. Δίνουμε τις συντεταγμένες τριών μη συνευθειακών (δεδομένο) σημείων στο επίπεδο. Στο πρώτο σκέλος ζητάμε να βρουν τις εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου που σχηματίζουν τα σημεία αυτά. Στο δεύτερο σκέλος ζητάμε από τους μαθητές να βρουν την εξίσωση του ενός από τα ύψη, ή της μιας από τις διαμέσους ή της μιας από τις μεσοκαθέτους του τριγώνου (κατανέμουμε τα φύλλα στις ομάδες, έτσι ώστε κάθε ομάδα να έχει μόνο το ένα από τα τρία προβλήματα του δεύτερου σκέλους). Όταν η εργασία των μαθητών στα πλαίσια των ομάδων προχωρήσει αρκετά, καλούμε τρεις μαθητές στον πίνακα, να παρουσιάσουν την εργασία τους.

4. Αξιολόγηση (12΄) Μπορούμε να δώσουμε στους μαθητές ένα φύλλο αξιολόγησης με ερωτήσεις ανοικτού και κλειστού τύπου, όπως π.χ. μια ερώτηση ανοικτού τύπου μέσω της οποίας καλούνται να βρουν τις εξισώσεις των διχοτόμων των χ y και χ΄ y, μια ερώτηση πολλαπλής επιλογής για την τιμή της γωνίας που σχηματίζει μια ευθεία με τον χ΄χ με δεδομένη την εξίσωσή της και τρεις ερωτήσεις σωστού λάθους, όπως: 1. Το σύνολο των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Α(χΟ, yΟ) αποτελείται από τις ευθείες με εξισώσεις y-yΟ = λ(χ-χΟ), λ R (Λάθος), 2. Η ευθεία με εξίσωση 2y+χ-1=0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα =(-6,3) (Σωστό), 3. Η ευθεία που είναι κάθετη στην διχοτόμο της γωνίας χ y (στο αντίστοιχο καρτεσιανό επίπεδο) και διέρχεται από το σημείο Α(4,-3) έχει εξίσωση y+χ-1=0 (Λάθος).

A΄ Λυκείου - Συστήματα 2 γραμμικών εξισώσεων με 2 αγνώστους(Άλγεβρα)

Τάξη: Α΄ ΛυκείουΗμερομηνία:………………Χρονική διάρκεια: 1 διδακτική ώρα (45΄)Ώρα:…………Ενότητα: Συστήματα δύο γραμμικών εξισώσεων με δυο αγνώστουςΣτόχοι: 1. Να είναι σε θέση οι μαθητές να επιλύουν αλγεβρικά ένα

γραμμικό σύστημα με δύο αγνώστους. Συγκεκριμένα:o Να μπορούν να επιλύουν ένα γραμμικό σύστημα 2 2 με τη

μέθοδο της αντικατάστασης.o Να μπορούν να επιλύουν ένα γραμμικό σύστημα 2 2 με τη

μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών.2. Να μπορούν να επιλύουν γραφικά ένα γραμμικό σύστημα δύο αγνώστων.3. Να μπορούν να χρησιμοποιούν τα γραμμικά συστήματα 2 2 για την επίλυση προβλημάτων της καθημερινότητας.4. Να κατανοήσουν τη σημασία των γραμμικών συστημάτων 2 2 ως μοντέλου επεξεργασίας δεδομένων του περιβάλλοντα κόσμου.

Προηγούμενες γνώσεις: Η συγκεκριμένη ενότητα ορίζεται απ’ το Α.Π. ως «επαναληπτική» της αντίστοιχης της Γ΄ Γυμνασίου, ενώ θεωρούνται δεδομένα όλα όσα έχουν ήδη μάθει οι μαθητές για την εξίσωση ευθείας στην παράγραφο 2.4. του ίδιου (ισχύοντος) σχολικού βιβλίου. Πορεία: Πενταμερής με συνεπτυγμένα τα στάδια της Εφαρμογής και της Αξιολόγησης. Μέθοδος: Εμπειρική / Επαγωγική και Παραγωγική.Μορφή: Καθοδηγούμενη διδασκαλία με καθοδηγούμενο διάλογο και φύλλα εργασίας, Εργασία σε ομάδες. Διδακτικά μέσα: Φύλλα εργασίας, Πίνακας-κιμωλίες.

Σχέδιο Μαθήματος:

1. Ανάκληση προηγουμένων / Σύνδεση με επόμενα (7΄)Σ’ αυτό το στάδιο φροντίζουμε με ερωταποκρίσεις και με τη χρήση

του πίνακα να διαπιστώσουμε το επίπεδο των προηγούμενων γνώσεων των μαθητών, και να καλύψουμε πιθανές ελλείψεις. Συγκεκριμένα οι μαθητές θα πρέπει να θυμηθούν τα εξής: Ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία αν και μόνο αν οι συντεταγμένες του

επαληθεύουν την εξίσωσή της. Πώς σχεδιάζουμε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο όταν μας δίνουν

την εξίσωσή της. Τα είδη των ευθειών σε αντιστοιχία με τη μορφή των εξισώσεων,

δηλαδή η μορφή y=αχ+β (1) που περιλαμβάνει και τις οριζόντιες για α=0, και η μορφή χ=χΟ που δεν δίνεται από την (1).Οι μαθητές συνδυάζοντας τα προηγούμενα συμπεραίνουν ότι ως

γενική μορφή εξίσωσης θα θεωρούμε την αχ+βy=γ, με α 0 ή β 0, αφού δίνει όλες τις ευθείες.

2. Παρουσίαση νέων / Σύνδεση με προηγούμενα (18΄)Χωρίζουμε τους μαθητές σε μικρές ομάδες, και τους δίνουμε φύλλα

εργασίας με ένα γραμμικό σύστημα 2 2, στο ένα τρίτο των οποίων (ομάδων) το σύστημα έχει μοναδική λύση, στο δεύτερο τρίτο είναι αδύνατο, και στο άλλο τρίτο αόριστο. Οι μαθητές εργαζόμενοι στις αντίστοιχες ομάδες, και με τη δική μας καθοδήγηση, αν και όσο χρειάζεται επιλύουν το σύστημα: 1. αλγεβρικά (με τη μέθοδο της αντικατάστασης ή τη μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών) και 2. γραφικά.

Μετά από 5-8 λεπτά, καλούμε τρεις μαθητές στον πίνακα (έναν για κάθε σύστημα) να παρουσιάσουν την εργασία των ομάδων τους.3. Επεξεργασία (10΄)

Τρεις άλλοι μαθητές (ένας για κάθε σύστημα, που έχει λύσει αλγεβρικά το σύστημα με την άλλη από τις δυο μεθόδους) προσέρχονται στον πίνακα, με τη βοήθεια των οποίων οι μαθητές σε επίπεδο τάξης διαπιστώνουν ότι και οι δυο αλγεβρικές μέθοδοι επίλυσης δίνουν τα ίδια αποτελέσματα.4. Εφαρμογή/Αξιολόγηση (10΄)

Δίνουμε στους μαθητές ένα φύλλο εργασίας με ένα πρόβλημα για την επίλυση του οποίου οι μαθητές πρέπει να κατασκευάσουν και να λύσουν ένα γραμμικό σύστημα 2 2. Για παράδειγμα, δύο αδέρφια ο Α και ο Β έχουν και οι δυο μαζί δέκα μολύβια, και ο Α έχει διπλάσιο αριθμό μολυβιών από τον Β. Οι μαθητές μετά από μια πιθανή πρώτη νοερή επεξεργασία διατυπώνουν την άποψη ότι αυτό δεν γίνεται. Κατασκευάζουν το αντίστοιχο σύστημα και διαπιστώνουν ότι έχει μοναδική λύση, άρα δεν είναι αδύνατο. Προκύπτει συζήτηση μεταξύ των μαθητών, και τους βοηθάμε να συνειδητοποιήσουν ότι η νοητή διαδικασία στην οποία προέβησαν αρχικά ήταν η επίλυση του συστήματος, η οποία τους έδωσε ένα αποτέλεσμα, άρα το σύστημα από αλγεβρικής πλευράς δεν ήταν αδύνατο. Το αποτέλεσμα όμως ήταν αδύνατο για το πραγματικό μέρος του προβλήματος, αφού δεν έχει νόημα το « μολύβια». Έτσι, το λάθος βρίσκεται στα αρχικά δεδομένα του (‘πραγματικού’) προβλήματος. Με άλλα λόγια, η οργάνωση των δεδομένων σε σύστημα και η επίλυσή του μας χρησίμευσε στην αξιολόγηση της ορθότητας των στοιχείων που είχαμε αρχικά, και συγκεκριμένα, μας βοήθησε να συμπεράνουμε ότι είχαμε λανθασμένες πληροφορίες. Εναλλακτικά μπορούμε να τους δώσουμε ένα πρόβλημα από τη Φυσική της Α΄ Λυκείου, όπου δύο φυσικά μεγέθη σχετίζονται μεταξύ τους με ένα σύστημα 2 2, προκειμένου να δώσουμε μια διαθεματική διάσταση.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΜε το παραπάνω πρόβλημα έχουμε τη δυνατότητα να αξιολογήσουμε

και το βαθμό επίτευξης όλων των στόχων τους οποίους θέσαμε, από τον πιο απλό έως τον πιο σύνθετο, αλλά όχι απαραίτητα με την ίδια σειρά. Έτσι, πρώτα διαπιστώνουμε το βαθμό στον οποίο οι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιήσουν τα συστήματα για να επιλύσουν (ορισμένα) προβλήματα της καθημερινότητας. Στη συνέχεια ελέγχουμε την ικανότητα των μαθητών να επιλύσουν αλγεβρικά (ή και γραφικά αν το ζητήσουμε) ένα δεδομένο σύστημα. Στη συνέχεια, μέσα από τη διάκριση μεταξύ «μαθηματικής» και «πρακτικώς δυνατής (εναρμονισμένης με τα δεδομένα του ‘‘πραγματικού’’ προβλήματος)» λύσης, διαπιστώνουμε αν και σε ποιο βαθμό έχουν ‘‘υιοθετήσει’’ την έννοια του συστήματος ως μοντέλου επεξεργασίας

δεδομένων (και εκτίμησης της ορθότητάς τους) από τον περιβάλλοντα κόσμο («Αξιολόγηση» κατά Βlοοm). Αυτός ο τύπος αξιολόγησης απαιτεί τη διαλεκτική μορφή διδασκαλίας, και συγκεκριμένα τη σωκρατική διαλεκτική μέθοδο, διότι τελικά αυτό στο οποίο στοχεύουμε είναι να οδηγήσουμε τους μαθητές μας στην εξαγωγή αξιολογικών κρίσεων και χρήσιμων συμπερασμάτων. Προφανώς μια τέτοια μορφή αξιολόγησης δε προσφέρεται για τη βαθμολόγηση των μαθητών, αφού κάτι τέτοιο θα απαιτούσε λεπτομερή ανάλυση του προβλήματος σε επιμέρους ερωτήματα. Ένας τέτοιος, όμως, κατακερματισμός θα αναιρούσε το στοιχείο της γνωστικής έκπληξης που περιέχει για τους μαθητές.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2

1. Να ετοιμάσετε μία δίωρη (2 45΄) πορεία διδασκαλίας για την παρουσίαση της ευθείας (συντελεστής διεύθυνσης και εξίσωση) για τους μαθητές της Β΄ Λυκείου.

2. Να παρουσιάσετε τη διερεύνηση και την επίλυση συστημάτων με τη χρήση οριζουσών στην Α΄ Λυκείου, στα πλαίσια μίας διδακτικής ώρας.

(προτεινόμενος χρόνος 3 ώρες)

ΕΝΟΤΗΤΑ 33.1. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

3.1.1. ΓυμνάσιοΓ΄ Γυμνασίου

Η πρώτη παρουσίαση των διανυσμάτων στα σχολικά εγχειρίδια των Μαθηματικών της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης γίνεται στη Γ΄ Γυμνασίου, και συγκεκριμένα στο κεφάλαιο 9 το οποίο ασχολείται αποκλειστικά με αυτά, αλλά βρίσκεται εκτός διδακτέας ύλης.3.1.2. ΛύκειοΒ΄ ΛυκείουΜαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Όσον αφορά το μάθημα των Μαθηματικών1, η πρώτη επαφή των μαθητών με το διάνυσμα ως μαθηματική οντότητα γίνεται στη Β΄ Λυκείου. Συγκεκριμένα, το διάνυσμα παρουσιάζεται: Αρχικά ως προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με:

«αρχή (Α)» και «πέρας (Β)» (δηλαδή ως διατεταγμένο ζεύγος σημείων)

«διεύθυνση», «φορά» και «μέτρο» (η διεύθυνση και η φορά χαρακτηρίζονται μαζί ως «κατεύθυνση»),

δηλαδή ως αντικείμενο μελέτης του Διανυσματικού Λογισμού (με τις ανάλογες ιδιότητες). Σύμφωνα με τις οδηγίες του Π.Ι., η αναφορά στην έννοια του «ελεύθερου διανύσματος (που παραπέμπει στις κλάσεις ισοδυναμίας)» πρέπει ν’ αποφευχθεί. Έπειτα ως ένα διατεταγμένο ζεύγος αριθμών στο καρτεσιανό επίπεδο (μέσα από την έκφρασή του ως διανυσματικό άθροισμα των μοναδιαίων στους άξονες διανυσμάτων πολλαπλασιασμένων με κατάλληλους αριθμούς), δηλαδή ως αντικείμενο μελέτης της Αναλυτικής Γεωμετρίας, με τις ανάλογες ιδιότητες και προεκτάσεις.

Πιο συγκεκριμένα, με τη διανυσματική μορφή παρουσιάζονται κατ’ αρχήν και ορίζονται οι παρακάτω έννοιες, ιδιότητες και πράξεις:o μηδενικό διάνυσμα (παράγραφος 1.1-Η έννοια του διανύσματος) o μέτρο διανύσματος (παράγραφος 1.1)o παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα διανύσματα (παράγραφος 1.1)o ίσα, αντίθετα διανύσματα (παράγραφος 1.1)o γωνία δύο διανυσμάτων (παράγραφος 1.1)o πρόσθεση2-αφαίρεση (και ιδιότητες) διανυσμάτων (παράγραφος 1.2-

Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσμάτων)o διάνυσμα θέσεως (διανυσματική ακτίνα) (παράγραφος 1.2)o ιδιότητες του μέτρου αθροίσματος διανυσμάτων

(«τριγωνική ανισότητα») (παράγραφος 1.2)o πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα (παράγραφος 1.3-

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα)o γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων (παράγραφος 1.3)1 Στο μάθημα της Φυσικής στην Α΄ Λυκείου οι μαθητές μαθαίνουν για τα μονόμετρα και τα διανυσματικά μεγέθη (ταχύτητα, επιτάχυνση, δύναμη κτλ.), μέσα από τα οποία έρχονται σε επαφή με την έννοια του διανύσματος, μόνο όμως μέσα από συγκεκριμένες φυσικές εφαρμογές του, και για ορισμένες από τις ιδιότητές του. (Για την ακρίβεια ασχολούνται μόνο με τη ‘‘διανυσματική’’ μορφή και όχι με την αναλυτική.) Περισσότερα δες στην Παρατήρηση 1 της §3.1.3.2 Η διαδικασία της πρόσθεσης δύο διανυσμάτων είναι γνωστή στους μαθητές από το μάθημα της Φυσικής, ως «κανόνας του παραλληλογράμμου».

o συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων (παράγραφος 1.3)o διανυσματική ακτίνα μέσου τμήματος (παράγραφος 1.3)o εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων (παράγραφος 1.5-Εσωτερικό

γινόμενο διανυσμάτων)o προβολή διανύσματος σε διάνυσμα (παράγραφος 1.5)Με την αναλυτική μορφή (αφού οριστεί) τυγχάνουν επεξεργασίας, και καταγράφονται-συμπληρώνονται, στην παράγραφο 1.4–Συντεταγμένες στο επίπεδο, οι εξής έννοιες, ιδιότητες, και πράξεις:o μέτρο διανύσματοςo ίσα, αντίθετα διανύσματαo γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτωνo άθροισμα-διαφορά διανυσμάτωνo διανυσματική ακτίνα μέσου τμήματοςo μέτρο διανύσματοςo ορίζουσα διανυσμάτων (προφανώς δεν έχει νόημα αν τα διανύσματα δεν είναι καταγεγραμμένα στην αναλυτική τους μορφή)o συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων, ως εφαρμογή του αναλυτικού

τρόπου διατύπωσης της συνθήκης και της έννοιας της ορίζουσας διανυσμάτων

o γωνία διανύσματος με τον χ΄χo συντελεστής διεύθυνσης διανύσματος1 (ορίζεται, μόνο όταν το διάνυσμα δεν είναι κάθετο στον χ΄χ, ως το πηλίκο της τεταγμένης προς την τετμημένη του διανύσματοςo συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων, ως εφαρμογή της έννοιας του συντελεστή διεύθυνσηςΓ΄ Λυκείου

Στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης και συγκεκριμένα στο Α΄ Μέρος - κεφάλαιο 2 (Άλγεβρα) – Μιγαδικοί Αριθμοί το διάνυσμα επανέρχεται ως «διανυσματική ακτίνα» και ως διατεταγμένο ζεύγος: =(α, β), ισοδύναμη μορφή του μιγαδικού αριθμού z=α+βi, οπότε ο Αλγεβρικός Λογισμός των Μιγαδικών (αριθμός z=α+βi) σχετίζεται με το Διανυσματικό Λογισμό (διάνυσμα ) και την Αναλυτική Γεωμετρία (διατεταγμένο ζεύγος (α, β)).

3.1.3. Παρατηρήσεις1. Ουσιαστικά, η έννοια του διανύσματος εισάγεται στους μαθητές από τις διανυσματικές οντότητες της Φυσικής της Α΄ Λυκείου. Αυτό έχει ένα διδακτικό πλεονέκτημα και ένα διδακτικό μειονέκτημα. Το πλεονέκτημα είναι ότι με αυτόν τον τρόπο επιτυγχάνεται η εισαγωγή της έννοιας από προβλήματα της ‘καθημερινής’ ζωής, με την έννοια ότι η δύναμη, η ταχύτητα κτλ. είναι ‘οντότητες’ οι οποίες υπάρχουν μέσα σε κάθε μας δραστηριότητα. Επιπλέον η διαθεματική προέκταση της έννοιας του διανύσματος είναι προφανής και μπορεί να αξιοποιηθεί σε κάθε μαθησιακή δραστηριότητα (και σε κάθε σχέδιο μαθήματος) από το διδάσκοντα. Το προτεινόμενο διδακτικό μοντέλο της εμπειρικής / βιωματικής εισαγωγής μιας έννοιας μέχρι την αναλυτικοσυνθετική επεξεργασία και αφαιρετική 1 Θα μπορούσε να έχει έννοια και στην περίπτωση της διανυσματικής μορφής του διανύσματος, αν οριζόταν ως η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει το διάνυσμα (ο φορέας του) με δεδομένη (αρχικά προσδιορισμένη) ευθεία, εφ’ όσον βέβαια το διάνυσμα δεν είναι κάθετο στην ευθεία. Άλλωστε αυτή είναι και η έννοια του συντελεστή διεύθυνσης ενός διανύσματος στο καρτεσιανό επίπεδο, όπου το ρόλο της δεδομένης ευθείας διαδραματίζει ο άξονας χ΄χ.

σύλληψή της ακολουθείται πιστά σε επίπεδο Α.Π., τουλάχιστον σε ό,τι αφορά τα διανύσματα. Το μειονέκτημα είναι ότι οι περισσότεροι μαθητές δυσκολεύονται ιδιαίτερα να αποσυνδέσουν τη έννοια του διανύσματος από τη δύναμη ή την ταχύτητα και να την οικοδομήσουν στο μυαλό τους σαν μια αυτόνομη μαθηματική οντότητα. Έτσι, ακόμα και στην ηλικία των 16 χρόνων, όπου η αφαιρετική ικανότητα έχει αναπτυχθεί ικανοποιητικά, η οικοδόμηση της ‘διανυσματικής θεωρίας’ στο μυαλό των μαθητών είναι μια δύσκολη υπόθεση. Βέβαια συντρέχουν και άλλοι λόγοι γι’ αυτό, αλλά μια περαιτέρω επιστημολογική ανάλυση βρίσκεται έξω από τους στόχους του συγκεκριμένου βιβλίου.2. Η ταυτότητα του διανύσματος (στο επίπεδο) περιλαμβάνει πάντοτε τρία στοιχεία. Ακόμα και η θεώρηση του ως διατεταγμένου ζεύγους σημείων (Α,Β)1 περιέχει τρεις πληροφορίες: 1. το σημείο Α, 2. το σημείο Β, 3. το ποιο από τα δυο σημεία θεωρώ πρώτο (διάταξη).3. Η υποπαράγραφος της παραγράφου 1.2, με τίτλο Διάνυσμα θέσεως ουσιαστικά ‘προετοιμάζει’ για την εισαγωγή του καρτεσιανού συστήματος, με αρχή το σημείο Ο(0,0).4. Ο συντελεστής διεύθυνσης διανύσματος ορίζεται, μόνο όταν το διάνυσμα δεν είναι κάθετο στον χ΄χ, ως το πηλίκο της τεταγμένης προς την τετμημένη του διανύσματος. Άμεσο πόρισμα του ορισμού είναι το ότι ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος ισούται με την εφαπτομένη της γωνίας την οποία το διάνυσμα σχηματίζει με τον χ΄χ.5. Η συνθήκη παραλληλίας η οποία προκύπτει ως εφαρμογή της έννοιας του συντελεστή διεύθυνσης αφορά μόνο διανύσματα για τα οποία ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης, επομένως αποτελεί ικανή, αλλά όχι αναγκαία συνθήκη παραλληλίας (σε αντίθεση με τις προηγούμενες δύο, οι οποίες αφορούν και τα κάθετα στον χ΄χ διανύσματα). Άρα, προϋπόθεση για την εφαρμογή της συγκεκριμένης συνθήκης παραλληλίας διανυσμάτων αποτελεί η ύπαρξη των συντελεστών διεύθυνσης 2.

6. Ο συμβολικός τρόπος γραφής ο οποίος αναφέρεται στο σχολικό

εγχειρίδιο (παράγραφος 1.3-Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα) ως εναλλακτικός τρόπος γραφής του , θεωρούμε ότι είναι αδόκιμος, ως διδακτικά ασύνδετος με τα όσα αναφέρονται στη συγκεκριμένη παράγραφο (παραπέμπει στην πράξη της διαίρεσης διανύσματος με αριθμό, η οποία δεν έχει οριστεί, εκτός αν εξυπονοείται ο διδακτικός στόχος περί εντάξεως της διαίρεσης ως υποπερίπτωσης του πολλαπλασιασμού, μόνο που εδώ έχουμε να κάνουμε με εξωτερικές πράξεις3 και πρέπει να είμαστε πολύ προσεκτικοί).7. Πρέπει να βοηθήσουμε τους μαθητές μας να συνειδητοποιήσουν ότι το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι πραγματικός αριθμός. Ένας τρόπος είναι να τους θέσουμε τον προβληματισμό για το ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα. Θα τους (καθ)οδηγήσουμε στη διαπίστωση ότι δεν έχει νόημα καταρχήν, και επομένως δεν ορίζεται το εσωτερικό γινόμενο τριών διανυσμάτων. 8. Επίσης, στο εσωτερικό γινόμενο έχουμε:

1 καταχρηστικός συμβολισμός2 κάτι, που το σχολικό εγχειρίδιο δεν επισημαίνει στη συμβολική-μαθηματική και εντός πλαισίου διατύπωση (δες στο σχετικό σχολικό εγχειρίδιο, σελίδα 38). 3 πρόκειται για το βαθμωτό πολλαπλασιασμό μεταξύ στοιχείων ενός σώματος και ενός διανυσματικού χώρου (πάνω σ’ αυτό το σώμα).

=0 = ή =Ένας τρόπος για να το παρατηρήσουν αυτό οι μαθητές, είναι να τους

δώσουμε δυο μη μηδενικά (και κάθετα μεταξύ τους) διανύσματα σε αναλυτική μορφή, προκειμένου να υπολογίσουν το εσωτερικό τους γινόμενο από την αναλυτική του μορφή. Στο Δεύτερο Μέρος παρατίθεται ένας τρόπος για το πώς μπορούμε να βρούμε δυο μη μηδενικά διανύσματα, σε αναλυτική μορφή, που να είναι κάθετα μεταξύ τους.

Ένας άλλος τρόπος είναι να χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου, προκειμένου οι μαθητές να διαπιστώσουν διαδοχικά ότι:

=0 .συν( , )=0 =0 ή =0 ή συν( , )=0 = ή = ή συν( , )=0 κτλ.

3.2. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ3.2.1. ΛύκειοΓ΄ Λυκείου

Οι Μιγαδικοί Αριθμοί έχουν τρεις συμβολικές μορφές (αριθμοί, διατεταγμένα ζεύγη, διανύσματα1) και απασχολούν τρεις αντίστοιχους μαθηματικούς κλάδους (Άλγεβρα, Αναλυτική Γεωμετρία, Διανυσματικός Λογισμός). Ως εκ τούτου, σε κάθε αλγεβρική πράξη μεταξύ δύο μιγαδικών αντιστοιχεί μία αναλυτική και μία διανυσματική. Συγκεκριμένα (αναφορικά, πάντα, με το σχολικό εγχειρίδιο) οι διανυσματικές πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης διανυσματικών ακτινών χαρακτηρίζονται ως «γεωμετρικές ερμηνείες» των αντίστοιχων αναλυτικών πράξεων μεταξύ των μιγαδικών αριθμών. Όσες ιδιότητες παρουσιάζονται με τη μορφή z αφορούν την καθαυτή αλγεβρική υπόσταση των μιγαδικών, ενώ οι ιδιότητες που βασίζονται στη μορφή α+βi αφορούν την αναλυτική υπόσταση των μιγαδικών. Η μορφή α+βi εκλαμβάνεται ως «αναλυτική», διότι η αναφορά στα α και β (πραγματικό και φανταστικό μέρος αντίστοιχα) και η διάκρισή τους σημαίνει ότι εκλαμβάνονται ως δύο (διατεταγμένοι) πραγματικοί αριθμοί. Αυτό γίνεται φανερό ιδιαίτερα στον ορισμό της ισότητας δύο μιγαδικών, η οποία ανάγεται στην ισότητα των αντιστοίχων μερών και ομοιάζει περισσότερο με την ισότητα (α1, β1) = (α2, β2). Πράγματι, η αλγεβρική ισότητα z1=z2 δεν είναι ‘λειτουργική’ (με την έννοια της εφαρμοσιμότητάς της στην επίλυση ασκήσεων) ενώ το αντίθετο συμβαίνει με την αντίστοιχη αναλυτική α1=α2 και β1=β2 (όταν α1+β1i = α2+β2i). Αμιγώς αλγεβρικές ιδιότητες δεν υπάρχουν, αφού ακόμα και = ,

2 = .z οι οποίες, ενώ φαίνεται ότι διατυπώνονται μόνο μέσα από το συμβολισμό «z», εμπεριέχουν την πληροφορία του τρόπου με τον οποίο ορίστηκε ο (δηλαδή σε σχέση με τα α και β), και της σχέσης του με τον z. Είναι προφανές ότι οι z και δεν είναι ανεξάρτητοι, μεταξύ τους, μιγαδικοί αριθμοί. Άλλωστε, και η απόδειξη αυτών των ιδιοτήτων γίνεται μέσα από την ισοδύναμη αναλυτική έκφρασή τους. Τα παραπάνω αποδεικνύουν ότι οι τρεις οντολογικές υποστάσεις του μιγαδικού, άρα και οι αντίστοιχες μορφές, δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, αφού αφορούν στην ίδια μαθηματική οντότητα, αλλά και ούτε είναι ‘στο χέρι’ μας να επιλέγουμε αυθαίρετα και εκ των προτέρων μία από τις τρεις μορφές, προκειμένου να αποδείξουμε μια ιδιότητα. Αυτό καθορίζεται κάθε φορά από τα δεδομένα και τα ζητούμενα της συγκεκριμένης άσκησης, και το πόσο γρήγορα θα αντιληφθούμε τη μορφή του μιγαδικού που θα μας διευκολύνει στην επίλυση εξαρτάται και από την εμπειρία μας.

Αν λάβουμε υπ’ όψη και την τριγωνομετρική μορφή του μιγαδικού αριθμού (συνδυασμός Αναλυτικής Γεωμετρίας –καρτεσιανών και πολικών συντεταγμένων- και Τριγωνομετρίας) τότε έχουμε ακόμα περισσότερα εφόδια για την αντιμετώπιση μιας άσκησης. Τα τελευταία χρόνια η τριγωνομετρική μορφή του μιγαδικού αριθμού (παράγραφος 2.4.) είναι εκτός διδακτέας, ύλης για τους μαθητές.

Ιδιαίτερη έμφαση δίδεται στην έννοια του μέτρου του μιγαδικού αριθμού (και στις ιδιότητές του), η οποία βρίσκει πολλές εφαρμογές σε γεωμετρικές ασκήσεις - συνδυασμούς των μιγαδικών αριθμών με την Αναλυτική Γεωμετρία (κεφάλαια 2-Ευθεία στο Επίπεδο και 3-Κωνικές Τομές) των Μαθηματικών Κατεύθυνσης της Β΄ Λυκείου.

1 σύμφωνα και με τα όσα αναφέραμε στην προηγούμενη παράγραφο

Ιδιάζουσα είναι η περίπτωση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης με πραγματικούς συντελεστές, η οποία μέσα στο C δεν είναι ποτέ αδύνατη, αφού κάθε μιγαδικός αριθμός, επομένως και κάθε αρνητικός πραγματικός έχει τετραγωνική ρίζα στο C (Δ<0 Δ=- =i2( )2= (i )2 = ( i )2

= i ), ενώ η επίλυση στο C πολυωνυμικών εξισώσεων βαθμού >2 με πραγματικούς συντελεστές (παράγραφος 2.5.-Πολυωνυμικές εξισώσεις στο C) είναι εκτός διδακτέας (άρα και εξεταστέας) ύλης για τους μαθητές.

Αξιοσημείωτο είναι πως, μέσα από ‘προχωρημένες’ («Γενικές») ασκήσεις στο τέλος του κεφαλαίου εισάγεται η έννοια της μιγαδικής συνάρτησης με μεταβλητές z και , η οποία ουσιαστικά αποτελεί συνάρτηση απ’ το R2 στο R2 , αν γράψουμε τους z και στη μορφή χ+iy και χ-iy, αντίστοιχα. Εννοείται πως οι μαθητές δεν έχουν διδαχθεί τέτοιες μορφές συναρτήσεων, οπότε δεν κρίνεται σκόπιμο να χρησιμοποιήσουμε την αντίστοιχη ορολογία.

Τα παραπάνω, καλό είναι να λαμβάνονται υπ’ όψη κατά το σχεδιασμό της διδασκαλίας μας, με δεδομένο το ότι η δυναμική της τάξης πρέπει να είναι ο βασικός παράγοντας που θα καθορίσει το επίπεδο κατανόησης στο οποίο θα στοχεύουμε κάθε φορά1. Έτσι, κάποιοι μαθητές είναι ήδη σε θέση να κατανοήσουν την ισοδυναμία μεταξύ των τριών μορφών των μιγαδικών αριθμών και γίνονται πιο αποτελεσματικοί στην επίτευξη των μαθησιακών στόχων όταν γνωρίζουν τη ‘συνολική εικόνα’, ενώ κάποιοι άλλοι δεν έχουν ακόμα φτάσει σ’ εκείνο το ψυχοπνευματικό επίπεδο το οποίο θα τους επιτρέψει να αντιμετωπίσουν μια ακαδημαϊκού τύπου εμβάθυνση στη θεωρία των Μιγαδικών Αριθμών. Παρ’ όλ’ αυτά η εισαγωγή του αντίστοιχου κεφαλαίου στο σχολικό εγχειρίδιο είναι ακαδημαϊκού τύπου (ιστορική-επιστημολογική) προσέγγιση διότι αφορά στην ‘αναγκαιότητα’ κατασκευής του «συνόλου» C. Φυσικά δεν αναφέρεται ο όρο «σώμα», καθώς εδώ και πολλά χρόνια η θεωρία των Αλγεβρικών Δομών δεν περιλαμβάνεται στα σχολικά εγχειρίδια.

3.2.2. Παρατηρήσεις1. Η γεωμετρική ερμηνεία του πολλαπλασιασμού ενός μιγαδικού z1 με τον μιγαδικό z2 είναι ότι ο z1 (ως διανυσματική ακτίνα) υφίσταται μεταβολή του 1 και προκειμένου να είμαστε προετοιμασμένοι για πιθανές ερωτήσεις των μαθητών, οι οποίες πολλές φορές βγαίνουν έξω από τα πλαίσια των σχολικών Μαθηματικών, και αγγίζουν τα όρια της επιστημολογίας και της ακαδημαϊκού τύπου προσέγγισης (κάτι που, βέβαια, οι μαθητές δεν το γνωρίζουν). Για παράδειγμα, θα πρέπει να είμαστε προετοιμασμένοι για να απαντήσουμε στο εξής πιθανό ερώτημα: «Ο πολλαπλασιασμός των Μιγαδικών δεν έχει αντίστοιχη γεωμετρική (διανυσματική) αναπαράσταση; Αν όχι, γιατί, και αν ναι, γιατί αυτή δεν παρατίθεται στο σχολικό βιβλίο, όπως, αντίθετα, συμβαίνει με την πρόσθεση και την αφαίρεση;». Και φυσικά, θα πρέπει να τονίσουμε στους μαθητές μας ότι το γινόμενο δύο μιγαδικών αριθμών δεν αντιστοιχεί στο εσωτερικό γινόμενο των αντίστοιχων διανυσμάτων. Άλλο πιθανό ερώτημα: «Γιατί, ενώ για τις πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης και του πολλαπλασιασμού αναφέρονται στο σχολικό βιβλίο οι αντίστοιχοι όροι, δεν γίνεται το ίδιο με τη διαίρεση, και αντί του όρου ‘‘διαίρεση’’ γίνεται χρήση του όρου ‘‘πηλίκο’’;». Τέτοιου είδους ερωτήματα θα πρέπει να μας προβληματίζουν όταν θέλουμε να διδάξουμε, και αυτό είναι το αντικείμενο της εφαρμοσμένης Ειδικής Διδακτικής. Επίσης, το πόσο ικανοί είμαστε στην επίλυση ασκήσεων με μιγαδικούς αφορά την κατάρτισή μας στο Γνωστικό Αντικείμενο. Το πώς θα μάθουν οι μαθητές μας να λύνουν οι ίδιοι μια άσκηση, και το πώς θα τους εξηγήσουμε στη δική τους ‘γλώσσα’ και με τις δικές τους γνώσεις τον τρόπο με τον οποίο εμείς οι ίδιοι σκεφτήκαμε για να τη λύσουμε, είναι αντικείμενο της (εφαρμοσμένης) Ειδικής Διδακτικής.

μέτρου του, το οποίο πολλαπλασιάζεται με , και στρέφεται κατά γωνία ίση με Argz2. Ανάλογη είναι η γεωμετρική ερμηνεία της διαίρεσης δυο μιγαδικών αριθμών. Τα παραπάνω απορρέουν από την τριγωνομετρική (σε πολικές συντεταγμένες) μορφή ενός μιγαδικού (που είναι εκτός διδακτέας ύλης, όπως προείπαμε).2. Ο κύκλος και η μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος στο καρτεσιανό επίπεδο, ως γεωμετρικοί τόποι μιγαδικών, μπορούν να θεωρηθούν ως εφαρμογές της έννοιας «μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών»1.

1 ? Δες την παράγραφο 2.3 του σχολικού εγχειριδίου (1ο Μέρος-Άλγεβρα).

Β΄ Λυκείου - Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων(Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης)

Τάξη: Β΄ ΛυκείουΧρονική διάρκεια: 2 διδακτικές ώρες (2 45΄)

1η ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΩΡΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ

Ενότητα:Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων (έννοια, ορισμός και ιδιότητες)Στόχοι: 1.Οι μαθητές πρέπει να κατανοήσουν την έννοια του εσωτερικού

γινομένου.2. Να είναι ικανοί να διατυπώνουν τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου.3. Να διαπιστώσουν τις ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου, οι οποίες άμεσα προκύπτουν από τον ορισμό, και να μπορούν να τις αποδεικνύουν.4. Να μπορούν να χρησιμοποιούν τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου σε ασκήσεις.

Προηγούμενες γνώσεις: Γωνία διανυσμάτων, Μέτρο διανύσματος.Πορεία: ΤριμερήςΜέθοδος: Μελέτη περίπτωσης, Επαγωγική, Παραγωγική.Μορφή: Καθοδηγούμενη αυτενέργεια με φύλλα εργασίας σε συνδυασμό με κατευθυνόμενο διάλογο και εργασία σε ομάδες.Διδακτικά μέσα: Σχολικό εγχειρίδιο Φυσικής Α΄ Λυκείου, Φύλλα εργασίας, Πίνακας-κιμωλίες.

Σχέδιο Μαθήματος:1. Αφόρμηση (5΄)

Επωφελούμενοι απ’ το γεγονός ότι η έννοια του εσωτερικού γινομένου διανυσμάτων είναι έμμεσα γνωστή στους μαθητές από τη Φυσική, εισάγουμε ένα απλό πρόβλημα στο οποίο θέλουμε να υπολογίσουμε το παραγόμενο έργο (W) από μια δύναμη όταν μετατοπίζει (όχι απαραίτητα κατά τη διεύθυνσή της) ένα υλικό σημείο Ο κατά διάστημα μήκους S = (OA).

Ο S ΑΟι μαθητές γράφουν τον τύπο W= F S συνφ και με την καθοδήγησή μας διαπιστώνουν ότι S= , F= , φ= ), οπότε ξαναγράφουν τον

προηγούμενο τύπο με τη μορφή: W= . .συν ).

2. Παρουσίαση νέων / Σύνδεση με προηγούμενα /Επεξεργασία (25΄)Σ’ αυτό το σημείο ονομάζουμε (ορίζουμε) την παραπάνω έκφραση ως

«εσωτερικό γινόμενο» των διανυσμάτων της δύναμης και της μετατόπισης.Γενικεύουμε, δίνοντας τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου για δύο

διανύσματα και : = .συν( , ) (1). Οι μαθητές μέσα από

κατευθυνόμενο διάλογο συμπεραίνουν πως ο τύπος (1) δεν καλύπτει την περίπτωση όπου ένα τουλάχιστον από τα και είναι το μηδενικό διάνυσμα. Έτσι, συμπληρώνουμε τον ορισμό για αυτήν την περίπτωση.

Οι μαθητές καθοδηγούμενοι, και με την εφαρμογή του ορισμού διαπιστώνουν την αντιμεταθετική ιδιότητα του εσωτερικού γινομένου, και τις ιδιότητες:o =0o =o =-o 2 = 2

3. Εφαρμογή (15΄)

Δίνουμε στους μαθητές φύλλα εργασίας με διανύσματα όπως =(2,2),

=(0,-3), =( , ), =( , - ) και οι μαθητές, αφού τα παραστήσουν στο επίπεδο, υπολογίζουν τα εσωτερικά γινόμενα αυτών των διανυσμάτων (ανά δύο) με τη βοήθεια του ορισμού, δεδομένου ότι εύκολα μπορούν να βρουν τις γωνίες τους (γεωμετρικά). Οι μαθητές μας εργάζονται σε μικρές ομάδες, και στη συνέχεια με κατάλληλες ερωτήσεις, οι οποίες οδηγούν σε συζήτηση σε επίπεδο τάξης, καταλήγουν σε ορθά συμπεράσματα.

2η ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΩΡΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ

Ενότητα:Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων (αναλυτική έκφραση και ιδιότητες)

Στόχοι: 1. Οι μαθητές να μπορούν να συμπεραίνουν από το εσωτερικό γινόμενο δυο διανυσμάτων αν είναι μεταξύ τους κάθετα ή παράλληλα (ομόρροπα ή αντίρροπα).2. Να διαπιστώσουν και να μπορούν να αποδεικνύουν τις ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου. 3. Να κατανοήσουν ότι το εσωτερικό γινόμενο δεν έχει την ιδιότητα της διαγραφής.4. Να διαπιστώσουν την πρακτική αξία της αναλυτικής έκφρασης του εσωτερικού γινομένου, έναντι της διανυσματικής (ορισμός).

Προηγούμενες γνώσεις: Ορισμός του εσωτερικού γινομένου και ιδιότητες που προκύπτουν άμεσα από αυτόν, Νόμος των Συνημιτόνων, Πρόσθεση διανυσμάτων, Γινόμενο αριθμού με διάνυσμα, Συντελεστής διεύθυνσης διανύσματος.Πορεία: ΠενταμερήςΜέθοδος: Επίλυση προβλήματος, Μελέτη περίπτωσης, Επαγωγική, Παραγωγική, Χρήση αντιπαραδείγματος.Μορφή:Καθοδηγούμενη διδασκαλία με φύλλα εργασίας και κατευθυνόμενο διάλογο σε επίπεδο τάξης, Εργασία σε ομάδες και ατομικά, Στοιχεία μετωπικής διδασκαλίας.Διδακτικά μέσα: Φύλλα εργασίας, Πίνακας-κιμωλίες.

Σχέδιο Μαθήματος:1. Αφόρμηση (5΄)

Δίνουμε στους μαθητές ένα φύλλο εργασίας με δύο διανύσματα όπως: =(1,2), =(3,1) και τους ζητάμε να υπολογίσουν το εσωτερικό γινόμενο

με τη βοήθεια του ορισμού, αλλά διαπιστώνουν ότι δεν είναι εύκολο να βρουν τη γωνία τους. Με την καθοδήγησή μας διαπιστώνουν πως μπορούν να βρουν τη γωνία αν εφαρμόσουν το Νόμο των Συνημιτόνων στο κατάλληλο τρίγωνο.2. Παρουσίαση νέων / Σύνδεση με προηγούμενα (10΄)

Γενικεύουμε, λέγοντάς τους πως με τη βοήθεια του Νόμου των Συνημιτόνων μπορούμε να βρούμε μία άλλη έκφραση του εσωτερικού γινομένου δύο οποιωνδήποτε διανυσμάτων =(χ1,y1), =(χ2, y2), με τη βοήθεια της οποίας θα μπορούμε να υπολογίζουμε το εσωτερικό γινόμενο μόνο από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων. Με τη βοήθεια ενός σχήματος, όπως:

το οποίο παρουσιάζουμε στον πίνακα, και την εφαρμογή του Νόμου των Συνημιτόνων, οι μαθητές, μέσα από κατευθυνόμενο διάλογο, οδηγούνται επαγωγικά στη σχέση:

=χ1χ2+y1y2

Επισημαίνουμε στους μαθητές ότι ο συγκεκριμένος τύπος προέκυψε από το τρίγωνο που σχημάτισαν δύο (μη μηδενικά διανύσματα), και τους θέτουμε τον προβληματισμό αν ισχύει και στην περίπτωση που τουλάχιστον το ένα από τα δύο διανύσματα είναι το μηδενικό. Τους καθοδηγούμε να ελέγξουν αν επαληθεύεται και από μηδενικά διανύσματα. Οι μαθητές διαπιστώνουν ότι ισχύει και σ’ αυτήν την περίπτωση.3. Επεξεργασία (15΄)

Χωρίζουμε τους μαθητές σε μικρές ομάδες και τους δίνουμε φύλλα εργασίας, στα οποία αναγράφονται ορισμένα συγκεκριμένα (με γνωστές συντεταγμένες) διανύσματα, και τους καθοδηγούμε να ‘ανακαλύψουν’ την πιθανότητα ισχύος ορισμένων ιδιοτήτων (η διαδικασία ανακάλυψης μπορεί να γίνει με πίνακα, του οποίου την πρώτη στήλη έχουμε συμπληρώσει με τα διανύσματα, και την πρώτη γραμμή με τα μέλη από τις ισότητες των ιδιοτήτων τις οποίες επιδιώκουμε να ανακαλύψουν οι μαθητές):o Επιμεριστικήo (λ ) = (λ ) = λ ( )

o λ . λ =-1, εφ’ όσον ορίζονται τα λ , λ .Αφού προχωρήσει αυτή η διαδικασία σε ικανοποιητικό βαθμό, και οι μαθητές έχουν ανακαλύψει τις ιδιότητες, τους ζητάμε να προσπαθήσουν να τις αποδείξουν, καθοδηγώντας τους να χρησιμοποιήσουν την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου.4. Εφαρμογή (10΄)

Δίνουμε στους μαθητές φύλλα εργασίας με 3-4 συγκεκριμένα μη μηδενικά διανύσματα, και τους θέτουμε, σε επίπεδο τάξης τον

y Β(χ2 ,y 2)

Ο χ Α(χ1,y 1)

προβληματισμό για το αν ισχύει η ιδιότητα της διαγραφής στο εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Τους προτρέπουμε, εργαζόμενοι σε ομάδες, να υπολογίσουν τα εσωτερικά γινόμενα των διανυσμάτων αυτών, εφαρμόζοντας την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου. Οι μαθητές διαπιστώνουν ότι για δύο από αυτά τα διανύσματα με ισχύει

(όπου ένα άλλο η μηδενικό διάνυσμα), και έτσι συμπεραίνουν ότι τελικά δεν ισχύει η ιδιότητα (ή νόμος) της διαγραφής, ενώ μάς δίνεται η ευκαιρία να τους μιλήσουμε για τη μέθοδο του ‘‘αντιπαραδείγματος’’.

5.Αξιολόγηση (10΄) Δίνουμε στους μαθητές ένα φύλλο με διανύσματα σε αναλυτική μορφή,

και τους καλούμε να αποφανθούν για τα ζεύγη των καθέτων, ομόρροπων ή αντίρροπων διανυσμάτων που ενδεχομένως υπάρχουν. Οι μαθητές εργάζονται σε ομάδες, και αξιολογούν την πρακτική αξία της αναλυτικής έκφρασης του εσωτερικού γινομένου, διαπιστώνοντας πως πλεονεκτεί έναντι του ορισμού. Παράλληλα, μάς δίδεται η δυνατότητα να αξιολογήσουμε το επίπεδο επίτευξης των διδακτικών στόχων.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΜπορούμε να θέσουμε το ερώτημα περί νόμου διαγραφής στην

τελευταία φάση, ως επέκταση / προετοιμασία για το επόμενο μάθημα («προβολή διανύσματος σε διάνυσμα»), μέσα από το οποίο προκύπτει ένα ‘γενικό’ αντιπαράδειγμα για το νόμο της διαγραφής.

Γ΄ Λυκείου - Δύναμη μιγαδικού αριθμού(Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης)

Τάξη: Γ΄ ΛυκείουΗμερομηνία:………………Χρονική διάρκεια: 1 διδακτική ώρα (45΄)Ώρα:…………Ενότητα: Δύναμη Μιγαδικού (με εκθέτη ακέραιο)Στόχοι: 1. Να μπορούν οι μαθητές να υπολογίζουν τη ν-οστή δύναμη

ενός μιγαδικού αριθμού z = α+βi, εφαρμόζοντας επαγωγικά την πράξη του πολλαπλασιασμού.2. Να κατανοήσουν ότι οι ιδιότητες των δυνάμεων (με εκθέτη ακέραιο) καθώς και οι αξιοσημείωτες αλγεβρικές ταυτότητες που γνωρίζουν για τους πραγματικούς ισχύουν και για τους μιγαδικούς. 3. Να κατανοήσουν ότι οι ν-οστές δυνάμεις του i επαναλαμβάνονται.4. Να μπορούν να αποδεικνύουν τον τύπο που δίνει τη ν-οστή δύναμη του i.5. Να μπορούν να εφαρμόζουν τον παραπάνω τύπο για να υπολογίζουν τη ν-οστή δύναμη του i.6. Να είναι σε θέση να εφαρμόζουν τις ιδιότητες των δυνάμεων του i και γενικά των μιγαδικών, προκειμένου να υπολογίζουν και να απλοποιούν ανάλογες αλγεβρικές παραστάσεις.

Προηγούμενες γνώσεις: Δύναμη πραγματικού αριθμού, Ιδιότητες δυνάμεων πραγματικών αριθμών, Αξιοσημείωτες αλγεβρικές ταυτότητες πραγματικών μεταβλητών, Πράξεις μεταξύ μιγαδικών, Ευκλείδεια διαίρεση (θετικών ακεραίων). Πορεία: ΤριμερήςΜέθοδος: Επαγωγική-Παραγωγική.Μορφή: Καθοδηγούμενη αυτενέργεια με φύλλα εργασίας σε συνδυασμό με κατευθυνόμενο διάλογο σε επίπεδο τάξης, Εργασία σε ομάδες, Εξατομικευμένη εργασία.Διδακτικά μέσα: Φύλλα εργασίας, Σχολικό εγχειρίδιο Άλγεβρας της Α΄ Λυκείου, Πίνακας-κιμωλίες.

Σχέδιο Μαθήματος:1. Παρουσίαση / Ανάκληση προηγουμένων (15΄)

Δίνουμε στους μαθητές ένα φύλλο εργασίας, με έναν-δυο μιγαδικούς αριθμούς, και τους ζητάμε να υπολογίσουν τα γινόμενα z.z και z.z.z, ενώ παράλληλα εισάγουμε το συμβολισμό της δύναμης μιγαδικού, λέγοντας πως αποτελεί επέκταση του αντίστοιχου συμβολισμού για τους πραγματικούς. Με τη βοήθεια ενός άλλου φύλλου εργασίας οι μαθητές επαληθεύουν (με παραδείγματα) τις ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη ακέραιο, αντιπαραβάλοντάς τις με τις αντίστοιχες των πραγματικών που βρίσκονται στο βιβλίο της Α΄ Λυκείου. Οι μαθητές ανακαλούν στη μνήμη τους τις αξιοσημείωτες ταυτότητες (για πραγματικούς αριθμούς) και τις αποδείξεις τους με τη βοήθεια του σχολικού βιβλίου της Α΄ Λυκείου, και με την καθοδήγησή μας διαπιστώνουν ότι οι αποδείξεις τους βασίζονταν πάνω στις πράξεις μεταξύ μιγαδικών και τις ιδιότητες των πράξεων αυτών. Για του λόγου το αληθές ζητάμε από τους μαθητές να ‘‘υπολογίσουν’’ το (z1+z2)2, οπότε καταλήγουν στη ισοδύναμη μορφή z12+2z1z2 +z22.

2. Επεξεργασία (15΄)Χωρίζουμε τους μαθητές σε μικρές ομάδες και τους μοιράζουμε φύλλα

εργασίας, στα οποία οι μαθητές καλούνται να υπολογίσουν τις δυνάμεις i1, i2,…, i9 . Διαπιστώνουν πως επαναλαμβάνονται οι ίδιες τιμές ‘ανά τέσσερα’. Έτσι προκύπτει το θέμα των πολλαπλασίων του 4, και το ζητούμενο είναι πλέον να γραφούν όλοι οι εκθέτες του i ως πολλαπλάσια του 4 συν ‘ό,τι περισσεύει’. Μ’ αυτόν τον τρόπο εισάγεται η χρήση της ευκλείδειας διαίρεσης του εκθέτη ν με το 4. Επαγωγικά οι μαθητές καταλήγουν στις τέσσερις περιπτώσεις, ανάλογα με τα δυνατά υπόλοιπα της διαίρεσης.

Οι μαθητές καλούνται βασιζόμενοι στις ιδιότητες των δυνάμεων να υπολογίσουν μερικές δυνάμεις όπως i 16, i41, i46, i1023. Επίσης μπορούμε να τους δώσουμε παραστάσεις όπως (2+3i)2, (1-i)2 προκειμένου, να τις μετασχηματίσουν στη μορφή α+βi, χρησιμοποιώντας τις αντίστοιχες ταυτότητες.3. Εφαρμογή/Αξιολόγηση (15΄)

Οι μαθητές υπολογίζουν παραστάσεις όπως αυτές των ασκήσεων 8. Α΄ Ομάδας σ.95 και 3. Β΄ Ομάδας σ.96 του σχολικού βιβλίου. Εποπτεύουμε την πορεία επίλυσης, διαπιστώνουμε τις ιδιαίτερες δυσκολίες κάθε μαθητή χωριστά (καθοδηγούμε αν το κρίνουμε αναγκαίο), και ταυτόχρονα αξιολογούμε το βαθμό επίτευξης των στόχων, μέσα από την πορεία των μαθητών.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3

1. Να παρουσιάσετε στα πλαίσια μιας διδακτικής ώρας την έννοια του συντελεστή διεύθυνσης διανύσματος. 2. Να κάνετε μια τρίωρη παρουσίαση (τρία ωριαία σχέδια μαθήματος) για την έννοια και τις ιδιότητες (αλγεβρικές και γεωμετρικές) του μέτρου μιγαδικού αριθμού.

(προτεινόμενος χρόνος 3 ώρες)

ΕΝΟΤΗΤΑ 44.1. ΕΞΙΣΩΣΗ Β΄ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ4.1.1. Γυμνάσιο

Α΄ ΓυμνασίουΌσο παράξενο κι αν φαίνεται, η πρώτη επαφή των μαθητών με τη

δευτεροβάθμια εξίσωση γίνεται μέσα από την «προπαίδεια» και μια ερώτηση όπως: «Ποιος είναι ο αριθμός που αν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του θα μας δώσει 9;». Για τους μαθητές του Δημοτικού και της Α΄ Γυμνασίου η απάντηση βρίσκεται στην προπαίδεια.Β΄ Γυμνασίου

Για τους μαθητές της Β΄ Γυμνασίου, από το κεφάλαιο 3-Οι Πραγματικοί Αριθμοί και μετά, η απάντηση είναι θέμα υπολογισμού της «τετραγωνικής ρίζας» του πραγματικού αριθμού 9. Ουσιαστικά σ’ αυτήν την τάξη εισάγεται η μορφή αχ2+βχ+γ=0, για α=1 και β=0, και ειδικότερα μέσω παραδείγματος (όπως κατά κανόνα γίνεται στο Γυμνάσιο) για γ=-25. Συγκεκριμένα, με αφορμή το Πυθαγόρειο Θεώρημα το οποίο προηγείται (προηγούμενη παράγραφος) και μια ‘προβληματική’ κατάσταση, κατά την οποία θέλουμε να υπολογίσουμε την υποτείνουσα (μήκους) χ ενός ορθογωνίου τριγώνου, με κάθετες πλευρές (με μήκη) 3cm και 4cm, προκύπτει η «εξίσωση» χ2 = 25. Επειδή οι μαθητές γνωρίζουν ήδη τους αρνητικούς (ρητούς) αριθμούς βρίσκουν χ= 5, οπότε ο διδάσκων είναι υποχρεωμένος να θέσει θέμα ορισμού της «τετραγωνικής ρίζας θετικού αριθμού» ως τον «θετικό» αριθμό που αν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του θα δώσει π.χ. 25. Ακολουθεί η εισαγωγή του συμβόλου κτλ. (Βέβαια η επιλογή του γεωμετρικού προβλήματος για την εισαγωγή της τετραγωνικής ρίζας δεν είναι τυχαία, αφού συμπίπτει με την ιστορική προέλευση/σύλληψη της έννοιάς της.) Φυσικά δεν δίδεται ο όρος «εξίσωση δευτέρου βαθμού με έναν άγνωστο», και κατά μείζονα λόγω δεν δίνεται η γενική μορφή, ούτε ο αλγόριθμος επίλυσης. Η επίλυση της εξίσωσης γίνεται μέσω του εμπειρικού υπολογισμού (με δοκιμές, με πίνακα κτλ.) της τετραγωνικής ρίζας ενός αριθμού.Γ΄ Γυμνασίου Η μορφή αχ2+βχ+γ=0, α 0 και ο όρος «εξίσωση 2ου βαθμού» και εισάγεται στη Γ΄ Γυμνασίου επαγωγικά ως προς τη μορφή, μέσα από ορισμένα προβλήματα, οι αντίστοιχες εξισώσεις των οποίων επιλύονται με παραγοντοποίηση (που οι μαθητές έχουν ήδη διδαχθεί). Επίσης, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου αποδεικνύεται ο τύπος επίλυσής της, χωρίς να αναφέρεται ότι πρέπει β2-4αγ>0 (!) και χωρίς να εισάγεται ο όρος «διακρίνουσα». (Είναι πιθανό, ο τρόπος διατύπωσης και παρουσίασης του σχολικού εγχειριδίου στις αντίστοιχες σελίδες να δημιουργήσει στους μαθητές την εντύπωση ότι πάντα μια εξίσωση δεύτερου βαθμού με έναν άγνωστο έχει δύο λύσεις). Δηλαδή δεν τίθεται θέμα διερεύνησης, και η περίπτωση της «αδύνατης» εξίσωσης δίδεται μέσα από ένα παράδειγμα, στο οποίο προκύπτει β2-4αγ=-56<0, δεδομένου ότι οι μαθητές γνωρίζουν πως δεν ορίζεται η τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού.

4.1.2. ΛύκειοΑ΄ Λυκείου

Η εξίσωση δευτέρου βαθμού βρίσκεται στο κεφάλαιο 4-Εξισώσεις-ανισώσεις δευτέρου βαθμού και σύμφωνα με τις οδηγίες του Π.Ι., διδάσκεται αμέσως μετά το κεφάλαιο 1-Οι πραγματικοί αριθμοί, και συγκεκριμένα αμέσως μετά την παράγραφο 1.7.-Ρίζες πραγματικών αριθμών. Παρουσιάζεται πάλι η διαδικασία μετασχηματισμού του τύπου αχ2+βχ+γ=0 με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου, αλλά στο σημείο

2 = τίθεται β2 - 4αγ=Δ, και γίνεται η διερεύνηση, ενώ το Δ

ονομάζεται «διακρίνουσα1» και οι λύσεις ονομάζονται και «ρίζες». Στη συνέχεια δίδονται, με απόδειξη, οι τύποι Vieta, και παρουσιάζονται εξισώσεις οι οποίες (με κατάλληλους μετασχηματισμούς) ανάγονται σε εξισώσεις 2ου βαθμού.

Μετά από μια ‘παλινδρόμηση’ στο κεφάλαιο 2-Συναρτήσεις (χωρίς την παράγραφο 2.5.-Μελέτη συνάρτησης), και στο κεφάλαιο 3-Συστήματα γραμμικών εξισώσεων επανερχόμαστε στο κεφάλαιο 4, και συγκεκριμένα στην επίλυση (μη γραμμικών) συστημάτων τα οποία ανάγονται σε εξισώσεις 2ου βαθμού. Στη συνέχεια η διδακτική πορεία κατευθύνεται στην παράγραφο 2.5. και ακολούθως πάλι στο κεφάλαιο και την παράγραφο 4.4.-Η συνάρτηση f(χ)=αχ2+βχ+γ, α 0, όπου γίνεται σύνδεση με την αντίστοιχη εξίσωση, προσδιορίζεται ο όρος τριώνυμο, και εφαρμόζονται όλα τα γνωστά για την εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 στη μελέτη της γραφικής παράστασης της f, η οποία με τη σειρά της οδηγεί στην επίλυση της αντίστοιχης ανίσωσης.

1 Ονομάζεται «Διακρίνουσα», διότι το αποτέλεσμα της σύγκρισής της με το μηδέν αποτελεί κριτήριο «διάκρισης» των εξισώσεων δεύτερου βαθμού ως προς το σύνολο λύσεών τους. Αυτός είναι και ο λόγος που το σχολικό εγχειρίδιο της Γ΄ Γυμνασίου δεν υιοθετεί τον όρο «διακρίνουσα» (άρα ούτε και τον αντίστοιχο συμβολισμό), καθώς, όπως προαναφέραμε, δεν υιοθετεί τη διαδικασία της διερεύνησης.

4.2. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΚΑΙ ν-ΟΣΤΗ ΡΙΖΑ ΑΡΙΘΜΟΥ4.2.1. ΓυμνάσιοΑ΄ Γυμνασίου

Όπως είδαμε σε προηγούμενη παράγραφο, η έννοια της τετραγωνικής ρίζας (θετικού πραγματικού αριθμού) υποφώσκει στους μαθητές της Α΄ Γυμνασίου μόνο για τους φυσικούς αριθμούς που μπορούν να γραφούν ως τετράγωνα φυσικών (τέλεια τετράγωνα). Συγκεκριμένα, οι μαθητές μαθαίνουν πως «το α2 λέγεται τετράγωνο (ή δεύτερη δύναμη) του α». Β΄ Γυμνασίου

Ο ορισμός της τετραγωνικής ρίζας εισάγεται στην παράγραφο 3.2.-Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού μέσα από την ανάγκη επίλυσης μιας εξίσωσης όπως η χ2=25, δηλαδή ως τετραγωνική ρίζα τελείου τετραγώνου, και γενικεύεται με τον ορισμό (και το γνωστό συμβολισμό) για όλους τους θετικούς (ρητούς) αριθμούς. Βέβαια, παρ’ όλο που είναι από την Α΄ Γυμνασίου γνωστή η ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, δεν χρησιμοποιείται για την εύρεση της τετραγωνικής ρίζας μεγάλων φυσικών αριθμών, ενώ χρησιμοποιούνται οι πίνακες τετραγώνων και τετραγωνικών ριζών (που βρίσκονται στο τέλος του σχολικού βιβλίου) ή η μέθοδος των δοκιμών. Επίσης δεν δίνονται οι ιδιότητες των τετραγωνικών ριζών. Στη συνέχεια, με την βοήθεια του και τη διαδικασία προσεγγίσεώς του (με δεκαδικούς) εισάγεται εμπειρικά η έννοια του αρρήτου αριθμού, ενώ η περαιτέρω εμβάθυνση στην έννοια του αρρήτου παραπέμπεται «σε μεγαλύτερη τάξη»1. Στη συνέχεια δίδεται έμμεσα ο ορισμός του αρρήτου ως «κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός». Επιπλέον αναφέρεται πως οι τετραγωνικές ρίζες αριθμών που δεν είναι τετράγωνα φυσικού είναι άρρητοι, ενώ τονίζεται πως υπάρχουν και άρρητοι οι οποίοι δεν είναι τετραγωνικές ρίζες. Τέλος δίδεται ο τρόπος χρήσης των πινάκων για την προσέγγιση των (άρρητων) τετραγωνικών ριζών.Γ΄ Γυμνασίου

Στην παράγραφο 1.3.-Ρίζες δίδεται μέσα από παραδείγματα η ιδιότητα = , καθώς και οι ιδιότητες για το γινόμενο και το πηλίκο ριζών, μαζί

με τις αποδείξεις τους, ενώ σημειώνεται πως + . Οι ασκήσεις είναι υπολογιστικού χαρακτήρα, χωρίς μεταβλητές.

4.2.2. ΛύκειοΑ΄ Λυκείου

Στην παράγραφο 1.7.-Ρίζες πραγματικών αριθμών, αναφέρεται ο ορισμός και ο συμβολισμός της τετραγωνικής ρίζας «μη αρνητικού αριθμού», και υπενθυμίζονται οι γνωστές από το Γυμνάσιο ιδιότητες. Στη συνέχεια και μέσα από ένα γεωμετρικό παράδειγμα εισάγεται η έννοια της «ν-οστής ρίζας μη αρνητικού αριθμού», οι αντίστοιχες ιδιότητες και οι αποδείξεις τους. Η εξίσωση χν = α (ν φυσικός, α πραγματικός) και η διερεύνησή της (χωρίς αποδείξεις αλλά εμπειρικά-διαισθητικά) ακολουθεί ως εφαρμογή της έννοιας και των ιδιοτήτων της ν-οστής ρίζας. Η ποικιλία των ασκήσεων διευρύνεται σε ασκήσεις μετασχηματισμού παραστάσεων με ρίζες, τόσο με αριθμούς, όσο και με μεταβλητές, με ισότητες και ανισότητες, απόλυτες τιμές και ταυτότητες, ό,τι, δηλαδή, έχει προηγηθεί στη διδακτέα ύλη του ίδιου κεφαλαίου. Φυσικά, δεν χρησιμοποιούνται πλέον πίνακες, αλλά ο ‘‘υπολογισμός’’ ρίζας ενός ρητού αριθμού νοείται ως η

1 Το ακριβές απόσπασμα από το σχολικό εγχειρίδιο είναι «Σε μεγαλύτερη τάξη θα μάθουμε ότι δεν υπάρχει ρητός αριθμός που να είναι ίσος με ».

εφαρμογή των κατάλληλων αλγεβρικών ιδιοτήτων προκειμένου να καταλήξουμε σε μια μορφή η οποία δεν θα απλοποιείται περαιτέρω. Για παράδειγμα:

= =2.7 = 14 .Τέλος, μέσα από τη ρίζα της μορφής (με α 0, ν και κ θετικοί

ακέραιοι) ουσιαστικά επεκτείνεται η έννοια της δύναμης, σε δύναμη με εκθέτη θετικό (και όχι μόνο) ρητό, αλλά δεν χρησιμοποιείται ο συμβολισμός

(σε μια εκ των προηγουμένων εκδόσεων του σχολικού εγχειριδίου αυτός ο συμβολισμός δινόταν στην τελευταία σελίδα της θεωρίας της παραγράφου 1.7.) Β΄ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ( Άλγεβρα)

Στη Β΄ Λυκείου, και στο κεφάλαιο 4-Εκθετική και Λογαριθμική συνάρτηση, ουσιαστικά ‘ολοκληρώνεται’ η θεωρία για τις ρίζες μη αρνητικών (πραγματικών) αριθμών, μέσα από τη γενίκευση της έννοιας της δύναμης. Έτσι, δίδεται η μορφή (με α 0, κ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος), ως άλλος τρόπος γραφής της .Γ΄ Λυκείου Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Όπως γνωρίζουμε το αίτημα για επίλυση της χ2+1=0 οδήγησε στην επέκταση του σώματος R και την ‘κατασκευή’ του σώματος C, μέσα στο οποίο η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 επιλύεται πάντοτε (δηλαδή ακόμα και όταν Δ<0) και επομένως ορίζεται η τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού. Επίσης ορίζεται η ν-οστή ρίζα κάθε μιγαδικού αριθμού, και συγκεκριμένα κάθε μιγαδικός αριθμός έχει ακριβώς ν (διαφορετικές) ν-οστές ρίζες 1.

1 Στην παράγραφο 2.5.- Πολυωνυμικές εξισώσεις στο C του σχολικού εγχειριδίου. Δες § 3.2. του παρόντος βιβλίου.

4.3. ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΣΤΟ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ4.3.1. ΓυμνάσιοΒ΄ Γυμνασίου

Η υπερβολή είναι η πρώτη κωνική τομή με την οποία έρχονται οι μαθητές σε επαφή, μέσα από την έννοια των «αντιστρόφως αναλόγων ποσών», και της «συνάρτησης» y= . Η «γραφική παράσταση» αυτής της συνάρτησης ονομάζεται «υπερβολή». Η παρουσίαση ξεκινάει με ένα παράδειγμα με χ>0 και α>0, και σταδιακά, μέσα από λυμένα παραδείγματα και προτεινόμενες ασκήσεις, επεκτείνεται σε εξισώσεις υπερβολών με χ<0 και α<0, ενώ δεν γίνεται αναφορά στους ασυμπτώτους (άξονες) της υπερβολής.Γ΄ Γυμνασίου

Η «παραβολή» δίδεται ως η «γραφική παράσταση» της συνάρτησης y=αχ2+βχ+γ , με α 0 («τετραγωνική συνάρτηση»). Συγκεκριμένα η παρουσίαση ξεκινάει με ένα παράδειγμα από τη γραφική παράσταση της y=αχ2, και τη μελέτη της («άξονας συμμετρίας», «κορυφή», θέση ως προς τον χ΄χ για α>0 και α<0, «συμμετρικές παραβολές» ως προς τον άξονα χ΄χ). Στη συνέχεια, και μέσα από την γραφική παράσταση της y=2χ2-4χ-6 εισάγεται η γενική μορφή y=αχ2+βχ+γ, με α>0 ή α<0, ενώ το θέμα της μετατόπισης γραφικών παραστάσεων και μετασχηματισμού των τύπων των αντίστοιχων γραφικών παραστάσεων δεν θίγεται άμεσα αλλά δίδεται με παράδειγμα μέσα από τη σύγκριση με διαφανές χαρτί1.

Η υπερβολή παρουσιάζεται περισσότερο ως επανάληψη των ήδη γνωστών από τη Β΄ Γυμνασίου, ενώ εισάγεται εμπειρικά η έννοια των «ασυμπτώτων» αξόνων.

Να σημειώσουμε πως σε καμία τάξη του Γυμνασίου δεν γίνεται αναφορά στον όρο ‘‘κωνικές τομές’’.4.3.1. ΛύκειοΑ΄ Λυκείου Άλγεβρα

Στο κεφάλαιο 2-Συναρτήσεις (παράγραφος 2.5.) επεκτείνεται (σε σχέση με τη Γ΄ Γυμνασίου) η μελέτη της παραβολής ως γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(χ)=αχ2+βχ+γ, με α 0, με επαγωγικό τρόπο, ως εξής: Στην αρχή γίνεται η μελέτη της f(χ)=χ2, μέσω της οποίας παρουσιάζονται οι έννοιες «άρτια», «γνησίως αύξουσα», «γνησίως φθίνουσα», «γνησίως μονότονη» συνάρτηση και «ελάχιστο» συνάρτησης, καθώς και οι αντίστοιχοι ορισμοί. Ακολούθως παρουσιάζεται η f(χ)=-χ2, με τη βοήθεια της οποίας παρουσιάζονται οι έννοιες «αντίθετες συναρτήσεις», «μέγιστο» και «ακρότατα» συνάρτησης. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η γενικότερη μορφή f(χ)=αχ2 με κορυφή το (0, 0) και άξονα συμμετρίας τον y΄y. Η μελέτη της γενικής μορφή της συνάρτησης f(χ)=αχ2+βχ+γ, με α 0, δίδεται στις παραγράφους 4.4.-4.5. όπου η y=αχ2+βχ+γ παρουσιάζεται ως κατάλληλη μετατόπιση της y=αχ2. Δίδονται οι ορισμοί της «μετατόπισης» γραφικής παράστασης, και ο αλγόριθμος μετασχηματισμού της f(χ)=αχ2+βχ+γ στην ισοδύναμη μορφή f(χ)=α(χ+ )2- , μέσω της οποίας γίνεται και η λεπτομερέ-στερη μελέτη της καμπύλης.

1 «…η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=2χ2-4χ-6 συμπίπτει με την παραβολή y=2χ 2.»

Στο κεφάλαιο 2-Συναρτήσεις (παράγραφος 2.5., αμέσως μετά την συνάρτηση f(χ)=αχ2 γίνεται εκτενέστερη (αναφορικά με τη Γ΄ Γυμνασίου) μελέτη της υπερβολής ως γραφικής παράστασης της f(χ)= , α 0. Επίσης δίνεται εμπειρικά (με πίνακα τιμών και όχι φυσικά μέσα από τον υπολογισμό ορίου) η έννοια της κατακόρυφης και οριζόντιας ασύμπτωτης, ενώ αποδεικνύεται ότι η ευθεία με εξίσωση y=χ είναι άξονας συμμετρίας της υπερβολής. Η πορεία που ακολουθείται από το σχολικό εγχειρίδιο είναι αν άλογη με αυτήν της παραβολής. Συγκεκριμένα, η μελέτη της υπερβολής γίνεται κυρίως με την f(χ)= (με τη βοήθεια της οποίας, ως παραδείγματος, δίδονται οι έννοιες της «περιττής» συνάρτησης, της «οριζόντιας ασύμπτωτης» και «κατακόρυφης ασύμπτωτης») και συνεχίζεται με την g(x)= για την οποία ισχύει g(x)=-f(χ), το οποίο γεωμετρικά σημαίνει πως «η Cg είναι συμμετρική της Cf ως προς τον άξονα χ΄χ». Στη συνέχεια, τα παραπάνω γενικεύονται μέσα από την υπόδειξη: «Αν εργαστούμε και για τη συνάρτηση f(χ)= όπως εργαστήκαμε για τις

συναρτήσεις f(χ)= και g(x)= , καταλήγουμε στα … γενικότερα συμπεράσματα.»Β΄ ΛυκείουΜαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Ο κύκλος, η παραβολή, η έλλειψη και η υπερβολή μελετώνται στο κεφάλαιο 3-Κωνικές Τομές των Μαθηματικών Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης στο θεωρητικό πλαίσιο της Αναλυτικής Γεωμετρίας, πράγμα που σημαίνει ότι εξετάζονται ως καμπύλες του καρτεσιανού επιπέδου με εξισώσεις της μορφής f(χ,y)=0 1. Επομένως μια τέτοια καμπύλη δεν είναι απαραίτητα (εξ ολοκλήρου) γραφική παράσταση συνάρτησης g: R R, το οποίο πρακτικά σημαίνει ότι η εξίσωσή της δεν επιλύεται (μονοσήμαντα) ως προς y. Αυτή είναι και μια βασική διαφορά μεταξύ Αναλυτικής Γεωμετρίας και Ανάλυσης. Συγκεκριμένα:

ΚΥΚΛΟΣ: Στην παράγραφο 3.1 δίδεται, με γεωμετρική (Ευκλείδειας Γεωμετρίας) διαδικασία, η εξίσωση κύκλου με κέντρο (0,0) και ακτίνα ρ, δηλαδή η χ2 + y2 = ρ2. Ακολουθεί η απόδειξη και η παρουσίαση των παραμετρικών εξισώσεων κύκλου (οι οποίες τα τελευταία χρόνια είναι εκτός διδακτέας ύλης, σύμφωνα με τις οδηγίες του Π.Ι.). Στη συνέχεια, με συνδυασμό Ευκλείδειας Γεωμετρίας (η εφαπτομένη σ’ ένα σημείο του κύκλου είναι κάθετη στην αντίστοιχη ακτίνα), Διανυσματικού Λογισμού και Αναλυτικής Γεωμετρίας (εσωτερικό γινόμενο καθέτων διανυσμάτων ίσο με μηδέν) δίδεται η εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας κύκλου με κέντρο (0,0) σε σημείο του (χ1, y1) ε: χχ1+yy1 =ρ2 . Τέλος μέσα από την έννοια της απόστασης σημείων και την αναλυτική έκφρασή της γενικεύεται η εξίσωση του κύκλου για την περίπτωση που το κέντρο του είναι οποιοδήποτε σημείο του καρτεσιανού επιπέδου. Συγκεκριμένα δίνεται η εξίσωση: (χ-χο)2+(y-yο)2=ρ2 (1) για κύκλο κέντρου Κ(χο ,yο) και ακτίνας ρ, και η εξίσωση χ2+y2+Αχ+Βy+γ=0 με Α2+Β2-4Γ>0 (2) για κύκλο κέντρου Κ(- , - ) και

1 Εννοείται πως ο συγκεκριμένος συμβολισμός δεν υιοθετείται απ’ το σχολικό εγχειρίδιο, αφού οι συναρτήσεις δύο μεταβλητών δεν διδάσκονται.

ακτίνας ρ= . Ενδιαφέρον παρουσιάζει η απόδειξη για το ότι οι

παραπάνω εξισώσεις είναι ισοδύναμες, καθώς και το ότι δεν δίδεται η εξίσωση της εφαπτομένης κύκλου στην περίπτωση που το κέντρο του δεν είναι το (0,0). Συγκεκριμένα, μέσα από λυμένα παραδείγματα και εφαρμογές υποδεικνύεται η εξής πορεία για την εύρεση της εφαπτομένης: Στην περίπτωση της μορφής (1) ακολουθείται η ίδια πορεία που ακολουθήθηκε για την εύρεση της εξίσωσης της εφαπτομένης του κύκλου με κέντρο (0,0), ενώ στην περίπτωση της μορφής (2) προηγείται ο μετασχηματισμός της στην ισοδύναμη μορφή (1).

ΠΑΡΑΒΟΛΗ: Πρώτα δίδεται ο γεωμετρικός ορισμός της παραβολής (ως γεωμετρικού τόπου) ο οποίος συμπεριλαμβάνει τις έννοιες της «εστίας» και της «διευθετούσας», μέσα απ’ τον οποίο προκύπτει επαγωγικά (συνθετικά) η εξίσωση (αναλυτική έκφραση) της παραβολής y2 χ με εστία Ε( ,0)

και διευθετούσα δ: χ=- . Ακολούθως παρουσιάζεται η άλλη μορφή

εξίσωσης παραβολής χ2 y με εστία Ε(0, ) και διευθετούσα δ: y=- ,

που αποτελεί τη γραφική παράσταση της f(χ)=αχ2, με α= , και αμέσως μετά γίνεται αναφορά στον άξονα συμμετρίας μιας παραβολής. Η διαδικασία που ακολουθείται για την εύρεση της εξίσωσης της παραβολής είναι εκτός διδακτέας ύλης. Στη συνέχεια δίδεται η εξίσωση εφαπτομένης της παραβολής y2 χ στο σημείο της (χ1, y1), ε: yy1=p(χ+χ1), με μια διαδικασία που αποτελεί συνδυασμό της Αναλυτικής Γεωμετρίας με την έννοια του ορίου (‘‘οριακή θέση ευθείας’’), η οποία (διαδικασία) βρίσκεται εκτός διδακτέας ύλης. Με ανάλογο τρόπο προκύπτει και η χχ1=p(y+y1), ως εξίσωση εφαπτομένης της χ2 y στο (χ1,y1). Ακολουθεί η παρουσίαση της γεωμετρικής «ανακλαστικής» ιδιότητας της παραβολής, η απόδειξη της οποίας είναι εκτός διδακτέας ύλης για τους μαθητές. Εκτός διδακτέας ύλης είναι και η «πολική ευθεία σημείου ως προς παραβολή» που αναφέρεται σε σχόλιο εφαρμογής. Αξίζει να σημειωθεί ότι, σε αντίθεση με τον κύκλο, δεν παρουσιάζεται η γενική εξίσωση παραβολής δηλαδή με οριζόντια ή κατακόρυφη μετατόπιση. Με άλλα λόγια ασχολούμαστε μόνο με τις παραβολές που έχουν κορυφή (0,0) και άξονα συμμετρίας τον χ΄χ ή τον y΄y.

ΕΛΛΕΙΨΗ: Με αντίστοιχο, με την παραβολή, τρόπο παρουσιάζεται και η έλλειψη με «εστίες» Ε και Ε΄, ενώ ενδιαφέρον παρουσιάζει ο πρακτικός τρόπος κατασκευής της (με ένα κομμάτι ‘‘φελιζόλ’’, σχοινί, δυο καρφιά και ένα μολύβι). Στη συνέχεια δίδονται οι εξισώσεις της έλλειψης με σταθερό άθροισμα 2α, εστίες Ε΄ και Ε΄, εστιακή απόσταση 2γ=(ΕΕ΄). Αν θεωρήσουμε σύστημα συντεταγμένων με κέντρο Ο(0,0) το μέσον του ΕΕ΄, ως άξονα χ΄χ το φορέα του ΕΕ΄ και ως άξονα y΄y την κάθετη ευθεία στην χ΄χ στο σημείο

Ο, τότε η εξίσωση της έλλειψης είναι η 2

2

2

2

y 1 (β= ), ενώ αν

θεωρήσουμε ως άξονα y΄y το φορέα του ΕΕ΄, τότε η ίδια (γεωμετρικά1)

έλλειψη έχει εξίσωση 1 (β= ). Η διαδικασία απόδειξης της

εξίσωσης είναι εκτός διδακτέας ύλης. Στη συνέχεια δίδεται ο ορισμός της

1 για τα ίδια α και γ

«εκκεντρότητας έλλειψης» (ε= <1) και η γεωμετρική του έννοια, που

προκύπτει μέσα από τον τύπο = . Ακολούθως, παρουσιάζονται οι παραμετρικές εξισώσεις της έλλειψης, που όμως βρίσκονται εκτός διδακτέας ύλης. Η εξίσωση εφαπτομένης έλλειψης σε σημείο (χ1, y1) (

1 ή 1) δίδεται χωρίς απόδειξη. Τέλος γίνεται αναφορά

στην «ανακλαστική» ιδιότητα της έλλειψης, και σε δυο πολύ σημαντικές εφαρμογές της.

ΥΠΕΡΒΟΛΗ: Με ανάλογο τρόπο παρουσιάζεται και η υπερβολή με 2α=«σταθερή απόλυτη τιμή της διαφοράς» των αποστάσεων των σημείων

της υπερβολής από τις εστίες της, Ε και Ε΄, και γ= d(Ε΄,Ε), 1 ή

1, όπου β= . Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι εξισώσεις των

ασυμπτώτων ευθειών της υπερβολής (y= χ για την 1, y= χ

για την 1) με απόδειξη, και δίδεται ένας πρακτικός κανόνας

εύρεσης των εξισώσεων των ασυμπτώτων για μια οποιαδήποτε παραβολή. Ανάλογα με την έλλειψη έχουμε την εκκεντρότητα και της υπερβολής (ε>1), την εξίσωση εφαπτομένης και την ανακλαστική ιδιότητα.

Η παράγραφος 3.5- Η εξίσωση Αχ2+Βy2+Γχ+Δχ+Ε=0, όπως προείπαμε, είναι εκτός διδακτέας ύλης.

ΠαρατήρησηΑξίζει να σημειωθεί ότι, σε αντίθεση με τον κύκλο, δεν παρουσιάζεται η

γενική εξίσωση παραβολής, έλλειψης ή υπερβολής δηλαδή με οριζόντια/κατακόρυφη μετατόπιση ή στροφή (που, βέβαια για τον κύκλο δεν έχει νόημα). Με άλλα λόγια ασχολούμαστε μόνο με τις παραβολές, τις ελλείψεις και τις υπερβολές που έχουν κορυφή / κέντρο συμμετρίας (ανάλογα με την κωνική τομή) την αρχή των αξόνων (0,0) και άξονα συμμετρίας τον χ΄χ ή / και τον y΄y.

Α΄ Λυκείου - Άθροισμα και γινόμενο ριζών(Άλγεβρα)

Τάξη: Α΄ ΛυκείουΗμερομηνία:………………Χρονική διάρκεια: 1 διδακτική ώρα (45΄)Ώρα:…………Ενότητα: Άθροισμα και γινόμενο ριζών (εξίσωσης δευτέρου βαθμού με έναν άγνωστο)Στόχοι: 1. Οι μαθητές πρέπει να είναι ικανοί να αποδεικνύουν τους τύπους

για το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης δευτέρου βαθμού (τύποι Vieta).2. Να διαπιστώσουν ότι οι τύποι αυτοί επαληθεύονται και στην περίπτωση που Δ=0.

3. Να κατανοήσουν πως οι τύποι Vieta δεν μπορούν να εφαρμοστούν όταν Δ<0.4. Να μπορούν να κατασκευάζουν μια εξίσωση 2ου βαθμού από το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της.5. Να μπορούν να εφαρμόζουν τους τύπους Vieta για να επιλύουν ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους, όπως: χ+y=α και χy=β.6. Να μπορούν να επιλύουν απλές θεωρητικές ασκήσεις με τη χρήση των τύπων Vieta.

Προηγούμενες γνώσεις: Επίλυση εξίσωσης 2ου βαθμού (με έναν άγνωστο).Πορεία: ΠενταμερήςΜέθοδος: Μελέτη περίπτωσης (χρήση παραδείγματος), Γενίκευση- Επαγωγή-Παραγωγή.Μορφή: Καθοδηγούμενη αυτενέργεια με φύλλα εργασίας, Σωκρατική διαλεκτική σε επίπεδο τάξης και εργασία σε ομάδες, Μετωπική παρουσίαση από μαθητή. Διδακτικά μέσα: Φύλλα εργασίας, Πίνακας-κιμωλίες.

Σχέδιο Μαθήματος:

1. Παρουσίαση / Ανάκληση προηγουμένων (5΄)Σε κατάλληλα φύλλα εργασίας με συγκεκριμένες οδηγίες οι μαθητές:

επιλύουν μία εξίσωση δευτέρου βαθμού αχ2+βχ+γ=0 (α 0) (1) με θετική διακρίνουσα και α 1, π.χ. την 2χ2+4χ–6=0.

επιλύουν την (ισοδύναμη με αυτή) εξίσωση χ2+ χ+ =0 (2), και επαληθεύουν τις λύσεις, χ1=1 και χ2 =-3,

υπολογίζουν τα χ1+χ2 και χ1χ2 και διαπιστώνουν ότι: χ1+χ2 = - και χ1χ2 = .

2. Παρουσίαση (10΄) Με τη βοήθεια της σωκρατικής διαλεκτικής οι μαθητές προβαίνουν

στα διαδοχικά βήματα της αποδεικτικής διαδικασίας και διαπιστώνουν ότι σε κάθε περίπτωση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης με θετική διακρίνουσα ισχύουν οι τύποι χ1+χ2 = - και χ1χ2 = .

Στη συνέχεια θέτουμε τους συμβολισμούς S = χ1+χ2 και P= χ1χ2. Οι μαθητές μετασχηματίζουν διαδοχικά την εξίσωση της μορφής (1)

στη (2) και τελικά στην χ2 – S χ + Ρ = 0. Με την καθοδήγησή μας οι

μαθητές κατασκευάζουν την εξίσωση με S=-2 και Ρ=-3 και διαπιστώνουν ότι προκύπτει η αρχική (μορφή (2)).

Από τα παραπάνω οι μαθητές συμπεραίνουν ότι μπορούμε να κατασκευάσουμε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού με θετική διακρίνουσα όταν γνωρίζουμε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της, αλλά και αντιστρόφως μπορούμε να υπολογίσουμε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης με Δ 0 από τους συντελεστές της.3. Επεξεργασία (8’ )

Οι μαθητές εργάζονται σε μικρές ομάδες και διαπιστώνουν πως οι τύποι Vieta επαληθεύονται και στην περίπτωση μιας εξίσωσης με μηδενική διακρίνουσα, π.χ. της χ2+6χ+9=0.

Με την καθοδήγησή μας οι μαθητές επαληθεύουν την απόδειξη για χ1 = χ2.4. Εφαρμογή (15’ )

Δίνουμε στους μαθητές φύλλα εργασίας με τις ακόλουθες δραστηριότητες: να βρουν τα χ1+χ2 και χ1χ2 για τις εξισώσεις:

χ2+χ-2=0, 2χ2+3χ+1=0, αφού πρώτα επαληθεύσουν για την κάθε μία ότι η διακρίνουσα δεν είναι αρνητική.

να φτιάξουν την εξίσωση με χ1 =-1 και χ2 = , και στη συνέχεια να επαληθεύσουν (υπολογίζοντας τη διακρίνουσα κτλ.) ότι έχει ως ρίζες τους αριθμούς -1 και .

να βρουν την τιμή του λ ώστε η εξίσωση χ2 –(λ+1)χ–1=0 να έχει δυο ρίζες αντίθετες.

Οι μαθητές εργάζονται σε ομάδες και τους καθοδηγούμε μόνο όταν το κρίνουμε ως αναγκαίο. Εφ’ όσον διαπιστώσουμε κάποια πρόοδο στην εργασία των μαθητών, καλούμε έναν-δυο μαθητές στον πίνακα. οι οποίοι παρουσιάζουν τον τρόπο εργασίας των ομάδων τους.5. Αξιολόγηση (7΄)

Ζητάμε από τους μαθητές να κατασκευάσουν την εξίσωση με S= και

Ρ=- και στη συνέχεια να λύσουν το σύστημα των εξισώσεων χ+y= και

χy=- . Με αυτή τη δραστηριότητα επιδιώκουμε να αξιολογήσουμε την κριτική ικανότητα των μαθητών, αλλά και απλούστερες γνωστικές και γνωστικές-ψυχοκινητικές ικανότητες και δεξιότητες εν αναφορά με τους στόχους που ετέθησαν,

Β΄ Λυκείου – Κύκλος και Εφαπτομένη κύκλου(Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης)

Τάξη: Β΄ ΛυκείουΕνότητα: Κύκλος και Εφαπτομένη κύκλου

1η ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΩΡΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣΗμερομηνία:………………Χρονική διάρκεια: 1 διδακτική ώρα Ώρα:…………Ενότητα: Εξίσωση κύκλου με κέντρο (0,0) και ακτίνα ρ και εξίσωση

ΕφαπτομένηςΣτόχοι: 1. Να μπορούν οι μαθητές να αποδεικνύουν ότι η εξίσωση κύκλου

με κέντρο (0,0) και ακτίνα ρ είναι η χ2 +y2 = ρ2.2. Να μπορούν από την εξίσωση ενός κύκλου και με δεδομένη τη μια συντεταγμένη ενός σημείου του να βρίσκουν την άλλη.3. Να μπορούν να αποδεικνύουν ότι η εξίσωση της εφαπτομένης ενός κύκλου κέντρου (0,0) και ακτίνας ρ, στο σημείο του είναι χχ1+yy1 = ρ2.4. Να είναι ικανοί να βρίσκουν την ακτίνα ενός κύκλου από την εξίσωσή του.5. Να μπορούν να βρίσκουν την εξίσωση ενός κύκλου κέντρου (0,0) και δεδομένης ακτίνας ρ.6. Να είναι σε θέση να κατασκευάζουν την εξίσωση της εφαπτομένης κύκλου σε σημείο του με γνωστές συντεταγμένες.7. Να συνδυάζουν με τις νέες γνώσεις και να εφαρμόζουν τις γνώσεις τους για την εξίσωση ευθείας σε απλές εφαρμογές με τις εφαπτόμενες του κύκλου.

Προηγούμενες γνώσεις: Κύκλος (Ευκλείδεια Γεωμετρία), Καρτεσιανό επίπεδο, Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων. Πορεία: ΤριμερήςΜέθοδος: Επαγωγική (Σύνθεση)-Παραγωγική (Ανάλυση).Μορφή:Καθοδηγούμενη ανακάλυψη με φύλλα εργασίας, Σωκρατική διαλεκτική με στοιχεία επεξηγηματικού μονολόγου και εργασία σε ομάδες.Διδακτικά μέσα: Φύλλα εργασίας, Πίνακας-κιμωλίες.

Σχέδιο Μαθήματος:

1. Παρουσίαση / Ανάκληση προηγουμένων (12΄)Δίνουμε στους μαθητές φύλλο εργασίας με το σχήμα α). Οι μαθητές με

συνεργασία σε επίπεδο τάξης ανακαλούν τον ορισμό του κύκλου (απ’ τη Γεωμετρία της Α΄ Λυκείου), ο οποίος αποτελεί αναγκαία και ικανή συνθήκη για να ανήκει ένα σημείο σε κύκλο με δεδομένο κέντρο και ακτίνα. Εκφράζουν τον ορισμό αναλυτικά (με αλγεβρικά σύμβολα και σχέσεις) και εργαζόμενοι σε μικρές ομάδες καταλήγουν στη σχέση χ2 +y2 = ρ2 (1).

M(x, y) A(χ1,y1)

ρ M(x, y) ρ Ο O

α) β)

Στη συνέχεια οι μαθητές ανακαλούν στη μνήμη τους (πάλι απ’ τη Γεωμετρία της Α΄ Λυκείου) την ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε μια ευθεία να είναι εφαπτομένη σε έναν κύκλο. Με τη βοήθεια του σχήματος β) ενός άλλου φύλλου εργασίας με και με την καθοδήγησή μας, εκφράζουν διανυσματικά τη σχέση αυτή ( =0), στη συνέχεια αναλυτικά (με τις αντικαταστάσεις =(χ1,y1) και =(χ-χ1,y-y1), οπότε καταλήγουν στη σχέση χχ1+yy1=ρ2 (2). 2. Επεξεργασία (18΄)

Συνοψίζουμε και ερμηνεύουμε την προηγούμενη διαδικασία εξηγώντας στους μαθητές πως, ξεκινώντας με δεδομένο ένα σημείο που ανήκει στον κύκλο με κέντρο (0,0) και ακτίνα ρ καταλήξαμε στη σχέση (1). Δηλαδή έχουμε αποδείξει πως αν ένα σημείο με συντεταγμένες (χ,y) ανήκει σε κύκλο με κέντρο (0,0) και ακτίνα ρ τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν τη σχέση χ2 + y2 = ρ2. Για να μπορέσουμε να πούμε πως η σχέση αυτή αποτελεί την εξίσωση αυτού του κύκλου πρέπει να αποδείξουμε και το αντίστροφο, δηλαδή ότι αν οι συντεταγμένες (χ,y) ενός σημείου επαληθεύουν μία σχέση της μορφής χ2+y2 =α με α>0, τότε το σημείο αυτό ανήκει σε κύκλο με κέντρο (0,0) και ακτίνα (=ρ). Η απόδειξη βασίζεται στο αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος, με τη βοήθεια του οποίου και με την καθοδήγησή μας οι μαθητές διαπιστώνουν ότι κάθε σημείο του οποίου οι συντεταγμένες (χ,y) επαληθεύουν αυτήν την εξίσωση μπορεί να θεωρηθεί ως το ένα άκρο της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου (μήκους ) με κάθετες πλευρές και , με το άλλο άκρο της υποτείνουσας να ταυτίζεται με την αρχή των αξόνων Ο(0,0). Έτσι, όλα αυτά τα σημεία ισαπέχουν (απόσταση ) από το Ο(0,0), το οποίο, βάσει του γεωμετρικού ορισμού του κύκλου, σημαίνει ότι ανήκουν στον κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα .

Για το αντίστροφο, προκειμένου για την εξίσωση της εφαπτομένης και μέσα από την καθοδήγησή μας διαπιστώνουν ότι η διαδικασία ισχύει και προς την αντίστροφη κατεύθυνση, αφού οι διαδοχικές σχέσεις ανά δύο είναι ισοδύναμες μεταξύ τους.

Με την καθοδήγησή μας οι μαθητές διαπιστώνουν την οπτική ομοιότητα των αντίστοιχων εξισώσεων κύκλου και εφαπτομένης, και πώς μπορούν πρακτικά με δεδομένο τον κύκλο και το σημείο επαφής να βρίσκουν τον τύπο της εφαπτομένης του.

3. Εφαρμογή (15΄)Δίνουμε στους μαθητές φύλλο εργασίας με τις εξής δραστηριότητες:

o Να βρουν την εξίσωση του κύκλου C1 με κέντρο (0,0) και ακτίνα .o Να βρουν την ακτίνα του κύκλου C2 με εξίσωση χ2+y2 =5.o Για τον κύκλο C2 να βρουν τις εξισώσεις των εφαπτόμενων τους ε1, ε2.

στα σημεία Α(0, ), Β(- ,0) αντίστοιχα, καθώς και στα σημεία με τετμημένη χ=1.

o Να βρουν την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου C2 που είναι κάθετη στην ε1.

2η ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΩΡΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ

Ημερομηνία:………………Χρονική διάρκεια: 1 διδακτική ώραΏρα:…………Ενότητα: Εξίσωση κύκλου με κέντρο Κ(χο ,yο) και ακτίνα ρ.Στόχοι: 1. Να μπορούν να αποδεικνύουν ότι η εξίσωση του κύκλου με

κέντρο Κ(χο ,yο) και ακτίνα ρ είναι (χ-χο)2+(y-yο)2=ρ2. 2. Να μπορούν να βρίσκουν τη εξίσωση κύκλου με κέντρο Κ(χο,yο) και ακτίνα ρ.3. Να είναι σε θέση να βρίσκουν την εξίσωση της εφαπτομένης ενός τέτοιου κύκλου σε δοθέν σημείο του.4. Να μπορούν να βρίσκουν τις εξισώσεις των εφαπτόμενων ενός κύκλου που διέρχονται από σημείο εκτός κύκλου.5 Να μπορούν να επαληθεύουν με τα κατάλληλα σχήματα τις λύσεις των ασκήσεων με κύκλο και εφαπτόμενες.

Προηγούμενες γνώσεις: Συντεταγμένες διανύσματος, Απόσταση σημείων στο καρτεσιανό επίπεδο. Πορεία: Πενταμερής με συνεπτυγμένα τα στάδια της Επεξεργασίας και της Εφαρμογής.Μέθοδος: Επαγωγική (Σύνθεση)-Παραγωγική (Ανάλυση).Μορφή:Καθοδηγούμενη αυτενέργεια με φύλλα εργασίας σε συνδυασμό με κατευθυνόμενο διάλογο σε επίπεδο τάξης και εργασία σε ομάδες.Διδακτικά μέσα: Φύλλα εργασίας, Πίνακας-κιμωλίες.

Σχέδιο Μαθήματος:

1.Ανάκληση προηγουμένων / Σύνδεση με επόμενα (8΄)Μέσα από κατάλληλες ερωτήσεις, οι μαθητές ανακαλούν στη μνήμη

τους τη διαδικασία εύρεσης της εξίσωσης κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ, η οποία βασιζόταν στο γεωμετρικό ορισμό του κύκλου, και άρα μπορεί να εφαρμοστεί και στη γενικότερη περίπτωση κύκλου με κέντρο Κ(χο ,yο) και ακτίνα ρ. Έτσι, δίνουμε στους μαθητές ένα φύλλο εργασίας με το παρακάτω σχήμα:

Κ(χο ,yο) ρ Μ(χ, y)

και με τη χρήση του γεωμετρικού ορισμού του κύκλου συμπεραίνουν ότι για να ανήκει ένα σημείο Μ(χ, y) στον κύκλο με κέντρο Κ(χο ,yο) και ακτίνα ρ πρέπει και αρκεί:

=ρ … (χ-χο )2 +(y-yο)2 = ρ2 (3). 2. Παρουσίαση νέων / Σύνδεση με προηγούμενα (10΄)

Διαπιστώνουν πως έχουν βρει την εξίσωση του κύκλου με κέντρο Κ(χο ,yο) και ακτίνα ρ, την οποία έχουν και αποδείξει.

Στη συνέχεια οι μαθητές εργαζόμενοι σε ένα φύλλο εργασίας με ένα σχήμα όπως: Α(χ1,y1)

Μ(χ, y) ρ

Κ(χο ,yο)

και με τη βοήθειά μας καταλήγουν (με ανάλογο τρόπο, όπως στην αντίστοιχη περίπτωση του προηγούμενου μαθήματος) στην εξίσωση εφαπτομένης του κύκλου σε σημείο του Α(χ1,y1):

(χ-χο )( χ1-χο ) + (y-yο)( y1-yο) = ρ2 (4)

3. Επεξεργασία / Εφαρμογή (22΄)Δίνουμε στους μαθητές φύλλο εργασίας με τις εξής δραστηριότητες:

o Να βρουν την εξίσωση του κύκλου C1 με κέντρο (1,2) και ακτίνα .o Να βρουν τις εξισώσεις των εφαπτόμενων του C1 οι οποίες διέρχονται

από τα σημεία (1, ) και (-1,0). Εδώ, είναι πιθανό να χρειαστεί η καθοδήγησή μας, αφού το (-1,0) είναι σημείο εξωτερικό του κύκλου.

o Να αποδείξουν ότι η ευθεία με εξίσωση χ- y+2(1+ )=0 είναι εφαπτομένη του κύκλου C1 και να βρουν το σημείο επαφής.

Οι μαθητές εργάζονται αρχικά σε ομάδες με την υπόδειξη να κάνουν και σχήματα, και στη συνέχεια προσέρχονται ένας – δυο στον πίνακα, οι οποίοι παρουσιάζουν τον τρόπο σκέψης και εργασίας τους. Με αφορμή αυτήν την παρουσίαση όλοι οι μαθητές διατυπώνουν τις απορίες τους, οι οποίες γίνονται αντικείμενα επεξεργασίας απ’ την ομάδα της τάξης και δίνονται οι απαντήσεις.4. Αξιολόγηση (5΄)

Δίνουμε στους μαθητές ένα φύλλο με την εξίσωση του κύκλου στη μορφή (1), και τους ζητάμε να εκτελέσουν τις πράξεις και να κάνουν αναγωγή ομοίων όρων, προετοιμάζοντας το ‘έδαφος’ για το επόμενο μάθημα.

3η ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΩΡΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ

Ημερομηνία:………………Χρονική διάρκεια: 1 διδακτική ώρα Ώρα:…………Ενότητα: Εξίσωση της μορφής χ2 +y2+Αχ+Βy+Γ=0 με Α2+Β2-4Γ>0.Στόχοι: 1. Να μπορούν οι μαθητές να αποδεικνύουν ότι η εξίσωση

χ2+y2+Αχ+Βy+Γ=0 με Α2+Β2-4Γ>0 παριστάνει κύκλο με κέντρο Κ(-

, - ) και ακτίνα ρ=

2. Να μπορούν να μετασχηματίζουν μια εξίσωση της μορφής:(χ-χο)2+(y-yο)2=ρ2

σε εξίσωση της μορφής:χ2 +y2+Αχ+Βy+Γ=0,

και αντιστρόφως.3. Να μπορούν να αποφαίνονται για το πότε μια εξίσωση της μορφής χ2 +y2+Αχ+Βy+Γ=0 παριστάνει κύκλο.4. Να είναι σε θέση βρίσκουν το κέντρο και την ακτίνα ενός κύκλου με εξίσωση χ2 +y2+Αχ+Βy+Γ=0, με Α2+Β2-4Γ>0.

Προηγούμενες γνώσεις: Εξίσωση κύκλου, Αλγεβρικές πράξεις (ταυτότητες, αναγωγή ομοίων όρων) Πορεία: Τριμερής, με διαχωρισμένα τα στάδια της Εφαρμογής και της Αξιολόγησης.Μέθοδος: Σύνθεση-Ανάλυση.Μορφή:Παρουσίαση από μαθητή, Σωκρατική διαλεκτική με στοιχεία μονολόγου, Συζήτηση σε επίπεδο τάξης και εργασία σε ομάδες.Διδακτικά μέσα: Φύλλα εργασίας, Πίνακας-κιμωλίες.

Σχέδιο Μαθήματος:

1. Παρουσίαση / Σύνθεση (8΄)Η μαθησιακή διαδικασία αφορμάται από την τελευταία δραστηριότητα

του τελευταίου σταδίου του προηγούμενου μαθήματος. Συγκεκριμένα ένας μαθητής προσέρχεται στον πίνακα και εκτελώντας τις πράξεις στην εξίσωση (1) καταλήγει στην ισοδύναμη μορφή:

χ 2 +y2-2χοχ-2yοy+χο2+yο2 –ρ2=0 Με τη βοήθειά μας οι μαθητές παρατηρούν ότι αφού τα χο , yο και είναι

σταθερές η παραπάνω εξίσωση μπορεί να γραφεί στη μορφή:χ2+y2+Αχ+Βy+Γ=0 (5), με Α=-2χο, Β=-2yο και Γ=χο2+yο2–ρ2 Έτσι οι μαθητές συμπεραίνουν πως μια εξίσωση κύκλου μπορεί να γραφεί στη μορφή (5).2. Επεξεργασία / Ανάλυση (15΄)

Ένας άλλος μαθητής προσέρχεται στον πίνακα, με τη βοήθεια του οποίου γράφουμε τις σχέσεις χο = - yο =- , απ’ όπου παίρνουμε χο2 =

και yο2 = , απ’ τα οποία, σε συνδυασμό με τις παραπάνω σχέσεις

προκύπτει ότι ρ2 = (6), το οποίο προφανώς είναι θετικό, αφού η (5) προέκυψε από εξίσωση κύκλου.

Μέσα από τη σωκρατική διαλεκτική οι μαθητές συμπεραίνουν πως για την αντίστροφη πορεία, δηλαδή για να μπορούμε να πούμε πως μια εξίσωση της μορφής (5) παριστάνει κύκλο θα πρέπει να ικανοποιείται η σχέση (6) το οποίο προϋποθέτει να ισχύει Α2 + Β2 - 4Γ > 0. Επομένως οι μαθητές συμπεραίνουν πως το αντίστροφο (δηλαδή μια εξίσωση της μορφής (5) να παριστάνει κύκλο) ισχύει υπό συνθήκη, δηλαδή εφ’ όσον οι συντελεστές της εξίσωσης (5) επαληθεύουν τη σχέση Α2 + Β2 –4Γ>0.

Στη συνέχεια οι μαθητές εύκολα οδηγούνται στο συμπέρασμα πως σ’ αυτήν την περίπτωση το κέντρο του κύκλου έχει συντεταγμένες

χο=- και yο=- , και ακτίνα ρ= .

Τέλος, με συζήτηση σε επίπεδο τάξης, οι μαθητές συμπεραίνουν ότι αν:o Α2 + Β2 - 4Γ = 0, τότε ρ2=0, δηλαδή ρ=0, που σημαίνει ότι έχουμε ένα

σημείο. o Α2 + Β2 - 4Γ < 0, τότε ρ2<0 που είναι άτοπο, το οποίο γεωμετρικά

σημαίνει πως δεν υπάρχει σημείο του επιπέδου το οποίο να επαληθεύει μια τέτοια εξίσωση.

3. Εφαρμογή (10΄)Δίνουμε στους μαθητές ένα φύλλο εργασίας με μια εξίσωση της

μορφής (5) (που να παριστάνει κύκλο) και τους ζητάμε: να εξετάσουν αν παριστάνει κύκλο, και αν ναι, να βρουν την ακτίνα

και τις συντεταγμένες του κέντρου του. να μετασχηματίσουν την εξίσωση αυτή στη μορφή (3) (βλ. 2η

διδακτική ώρα). 4. Αξιολόγηση (7΄)

Οι μαθητές μέσα από κριτική (συν)ολική θεώρηση των προηγουμένων καταλήγουν στα εξής συμπεράσματα: Οι τύποι (3) και (4) περιλαμβάνουν και την περίπτωση χο=0=yο,

δηλαδή είναι γενικότερες των (1) και (2) αντίστοιχα. Ο κύκλος με εξίσωση (χ-χο)2 +(y-yο)2 = ρ2 προκύπτει από τον

χ2 + y2 = ρ2 (για το ίδιο ρ) με κατάλληλη μετατόπιση. Για να μπορούμε να αποφανθούμε ότι μια εξίσωση της μορφής (5)

παριστάνει κύκλο θα πρέπει κάνοντας πράξεις να επαληθεύσουμε ότι Α2 + Β2 – 4Γ > 0.

Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης ενός κύκλου που «διέρχεται από το σημείο (χ1,y1) θα πρέπει πρώτα να εξετάσουμε αν αυτό ανήκει στον κύκλο ή όχι. Αν ανήκει στον κύκλο θα βρούμε μια ευθεία, αν είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου θα βρούμε δύο, και αν είναι εσωτερικό, καμία.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4

1. Να κάνετε μια τρίωρη παρουσίαση (τρία ωριαία σχέδια μαθήματος) για την έννοια και τις ιδιότητες των ριζών των πραγματικών αριθμών.

2. Να σχεδιάσετε τη διδακτική σας πορεία προκειμένου να παρουσιάσετε σε μία διδακτική ώρα την επίλυση της ανίσωσης δευτέρου βαθμού με έναν άγνωστο, σε σχέση με το πρόσημο των τιμών της συνάρτησης f(χ)=αχ2+βχ+γ με α 0.

(προτεινόμενος χρόνος 2 ώρες και 30 λεπτά)

ΕΝΟΤΗΤΑ 55.1. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΑΡΙΘΜΟΥ

5.1.1. ΓυμνάσιοΑ΄ Γυμνασίου

Στο τελευταίο κεφάλαιο 8-Οι ρητοί αριθμοί πρωτοεισάγονται τυπικά οι αρνητικοί (ρητοί) αριθμοί και η απόλυτη τιμή. Συνήθως όμως το κεφάλαιο αυτό δεν διδάσκεται λόγω χρονικού περιορισμού.Β΄ Γυμνασίου

Έτσι, οι μαθητές έρχονται σε πρώτη επαφή με την έννοια της απόλυτης τιμής αριθμού στη Β΄ Γυμνασίου, στο κεφάλαιο 1- Οι ρητοί αριθμοί. Ο ορισμός της απόλυτης τιμής αριθμού δίδεται γεωμετρικά ως «η απόσταση του σημείου, που παριστάνει αυτόν τον αριθμό πάνω στον άξονα από την αρχή του άξονα, το Ο». Επίσης δίδεται και ο γνωστός συμβολισμός, ενώ παρουσιάζεται και ένας πρακτικός κανόνας υπολογισμού της απόλυτης τιμής σύμφωνα με τον οποίο βρίσκουμε την απόλυτη τιμή ενός αριθμού «παραλείποντας το πρόσημο». Μέσω της απόλυτης τιμής δίδεται και η έννοια των αντιθέτων αριθμών, ενώ δεν παρουσιάζονται οι ιδιότητες της απόλυτης τιμής. Τέλος η τυποποιημένη μορφή (γνωστή από την Α΄ Γυμνασίου) παρουσιάζεται με νέο συμβολισμό ο οποίος περιλαμβάνει το σύμβολο της απόλυτης τιμής1. Γ΄ Γυμνασίου

Ούτε στη Γ΄ Γυμνασίου δίδονται οι ιδιότητες (των πράξεων) της απόλυτης τιμής. Η μόνη επέκταση που γίνεται είναι ότι εξετάζεται η τυποποιημένη μορφή και αρνητικών αριθμών, οπότε η έννοια της απόλυτης τιμής παίρνει ‘σάρκα και οστά’ μέσα από τη χρήση της στο συμβολισμό και την απόδοση της έννοιας της τυποποιημένης μορφής (ρητού) αριθμού, καθώς και σε σχέση με την τετραγωνική ρίζα. Μια γεωμετρική εφαρμογή της απόλυτης τιμής δίδεται στην παράγραφο 7.2.-Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας.5.1.2. ΛύκειοΑ΄ ΛυκείουΆλγεβρα

Εδώ έχουμε την ολοκλήρωση του αλγεβρικού λογισμού της απόλυτης τιμής. Συγκεκριμένα, δίνεται ο ορισμός της απόλυτης τιμής, από τον οποίο προκύπτουν άμεσα ορισμένες ιδιότητες, μία εκ των οποίων δίνει άμεσα τη λύση της εξίσωσης =θ ,θ>0 (οι περιπτώσεις θ=0 και θ<0 δεν αναφέρονται, αλλά προκύπτουν άμεσα από τον ορισμό της απόλυτης τιμής και αποτελούν τμήμα της εξεταστέας ύλης). Επίσης επιλύονται οι ανισώσεις <θ ( θ) και >θ ( θ) με θ>0 (οι περιπτώσεις θ=0 και θ<0 επίσης δεν αναφέρονται, αλλά προκύπτουν από τον ορισμό της απόλυτης τιμής και αποτελούν τμήμα της εξεταστέας ύλης). Ειδικά για την απόδειξη της <θ -θ<χ<θ (με θ>0) οι οδηγίες του Π.Ι. προτείνουν να γίνει πρώτα γεωμετρικά και στη συνέχεια αλγεβρικά, με έναν τρόπο διαφορετικό από αυτόν του σχολικού εγχειριδίου. Η απόδειξη της >θχ<-θ ή χ>θ προτείνεται «να δοθεί ως άσκηση και [άρα] να εξαιρεθεί από την εξεταστέα ύλη». Άλλος τρόπος απόδειξης προτείνεται και για την = . Αναφορικά με τη γνωστή μας τριγωνική ανισότητα:1 το οποίο πρακτικά μάλλον δε χρειάζεται αφού δεν περιλαμβάνεται η τυποποιημένη μορφή αρνητικού αριθμού, τόσο στα λυμένα παραδείγματα, όσο και στις προτεινόμενες ασκήσεις.

δεν αναφέρεται ως «τριγωνική ανισότητα». στο βιβλίο παρουσιάζεται ως με απόδειξη, αλλά

οι οδηγίες του Π.Ι. συνιστούν να παρουσιαστεί ως (1), χωρίς απόδειξη, αλλά «να διαπιστωθεί με παραδείγματα»,

και να εξεταστούν οι ειδικές περιπτώσεις που ισχύουν οι ισότητες και ο γνήσιες ανισότητες.

δεν αποτελεί, από πλευράς Α.Π., διδακτικό στόχο για τη σχέση (1) να συνδυαστεί με την τριγωνική ανισότητα που οι μαθητές, σχεδόν συγχρόνως, διδάσκονται στο μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Επίσης, δίδεται ο ορισμός της απόστασης δύο αριθμών, d(α,β)= .

Τέλος, εξαιρούνται από τη διδακτέα ύλη οι ασκήσεις της Β΄ Ομάδας στη σ.43, ενώ δίδεται ιδιαίτερη έμφαση (αναφορικά με την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων) στη «γεωμετρική επίλυση».Β΄ ΛυκείουΜαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Η απόλυτη τιμή εμφανίζεται και ως «μέτρο διανύσματος», οπότε έχουμε συνδυασμό των αλγεβρικών με τις διανυσματικές ιδιότητες, όπως, για παράδειγμα, ότι ‘‘αντίθετα διανύσματα έχουν ίσα μέτρα’’. Γ΄ ΛυκείουΜαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης έχουμε την έννοια του «μέτρου μιγαδικού αριθμού», μέσα από το μέτρο της αντίστοιχης διανυσματικής ακτίνας. Οι γνωστές ιδιότητες των απολύτων τιμών πραγματικών αριθμών ισχύουν και για τα μέτρα των μιγαδικών αριθμών, ενώ από το συνδυασμό των (αλγεβρικών) ιδιοτήτων της απόλυτης τιμής με τις ιδιότητες των μιγαδικών αριθμών (μέσα από τις αντίστοιχες, πάντα γεωμετρικές-διανυσματικές ιδιότητες), προκύπτουν τα εξής: = και .

Τέλος, είναι αυτονόητο πως το μέτρο μιγαδικού αριθμού με μηδενικό φανταστικό μέρος ισούται με την απόλυτη τιμή του αντίστοιχου πραγματικού αριθμού.

5.2. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Πρέπει να διευκρινίσουμε πως αναφερόμαστε στα πολυώνυμα μιας

μεταβλητής, βαθμού 2, με συντελεστές από το R.5.2.1. ΓυμνάσιοΒ΄ Γυμνασίου

Η πρώτη επαφή των μαθητών με τα πολυώνυμα γίνεται στην παράγραφο 3.2.-Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού1. Φυσικά η εύρεση της τετραγωνικής ρίζας δεν γίνεται με τη διαδικασία της παραγοντοποίησης, ούτε αναφέρεται ο όρος «πολυώνυμο».Γ΄ Γυμνασίου

Στη Γ΄ Γυμνασίου έχουμε την εισαγωγή των όρων «μονώνυμο» και «πολυώνυμο» στο κεφάλαιο 2-Αλγεβρικές παραστάσεις, ενώ οι έννοιές τους εξάγονται εμπειρικά / επαγωγικά, μέσα από συγκεκριμένες περιπτώσεις και χωρίς αυστηρούς ορισμούς. (Βέβαια, μια τέτοια διδακτική προσέγγιση αφήνει περιθώρια για παρερμηνείες). Η «παραγοντοποίηση» των πολυωνύμων παρουσιάζεται στην παράγραφο 2.5. Συγκεκριμένα, μέσα από τη μελέτη ειδικών περιπτώσεων οι μαθητές γνωρίζουν τις βασικές περιπτώσεις παραγοντοποίησης, οι οποίες είναι: η εξαγωγή «κοινού παράγοντα», η «ομαδοποίηση», και οι εφαρμογές των αξιοσημείωτων ταυτοτήτων. Επιπλέον δίδεται ο ορισμός του «τριωνύμου», και η μέθοδος παραγοντοποίησής του μέσω της ταυτότητας χ2+(α+β)χ+αβ=(χ+α)(χ+β) και «με δοκιμές», χωρίς να γίνεται αναφορά στην αντίστοιχη εξίσωση (δοθέντος του ότι αυτή παρουσιάζεται σε επόμενο κεφάλαιο) και χωρίς να τίθεται η συνθήκη Δ 0 προκειμένου να γίνεται η παραγοντοποίηση (πράγμα που αφήνει περιθώρια δημιουργίας της εσφαλμένης αντίληψης ότι όλα τα τριώνυμα μπορούν να παραγοντοποιηθούν). Η επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, που παρουσιάζεται στην παράγραφο 3.3. δεν συνδέεται με την παραγοντοποίηση του τριωνύμου.5.2.2. ΛύκειοΑ΄ ΛυκείουΆλγεβρα

Στην παράγραφο 1.3.-Η εξίσωση: αχ+β=0 του σχολικού εγχειριδίου η παραγοντοποίηση χρησιμοποιείται πρώτη φορά για την επίλυση πολυωνυμικών (βαθμού >2), οι οποίες παρουσιάζονται ως εφαρμογές της εξίσωσης αχ+β=0, μέσα από συγκεκριμένα παραδείγματα. Υποδεικνύεται, δηλαδή, με έμμεσο τρόπο ότι για να επιλύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση βαθμού >2 πρέπει να μετασχηματίσουμε το 1ο μέλος της (στο οποίο έχουμε μεταφέρει όλους τους -μη μηδενικούς- παράγοντες) σε γινόμενο πρωτοβάθμιων ή/και δευτεροβάθμιων όρων, οπότε η επίλυση της ανάγεται στην επίλυση πρωτοβάθμιων ή/και δευτεροβάθμιων εξισώσεων2, με την εφαρμογή της αλγεβρικής ιδιότητας αβ=0 α=0 είτε β=0.

Το ζήτημα της παραγοντοποίησης του τριωνύμου (2ου βαθμού) τίθεται πλέον ολοκληρωμένο (δηλαδή με τη συνθήκη Δ 0 και την εύρεση των «ριζών» του) στην παράγραφο 4.4.-Η συνάρτηση f(χ)=αχ2+βχ+γ, α 0. Ουσιαστικά σ΄ αυτό τα σημείο γίνεται η σύνδεση μεταξύ επίλυσης δευτεροβάθμιας εξίσωσης και παραγοντοποίησης του αντίστοιχου 1 Δες στην §4.2. του παρόντος συγγράμματος. 2 Προς το παρόν δεν γίνεται λόγος για το κριτήριο του προσήμου της διακρίνουσας ενός τριωνύμου προκειμένου να μπορούμε να αποφανθούμε αν παραγοντοποιείται ή όχι, αλλά προς το παρόν δεν χρειάζεται, αφού οι μαθητές γνωρίζουν τη μέθοδο επίλυσης της δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Επιπλέον μια κατηγορία τριωνύμων παραγοντοποιούνται με την εφαρμογή της κατάλληλης ταυτότητας.

τριωνύμου Η επόμενη παράγραφος (4.5.- Πρόσημο των τιμών της συνάρτησης f(χ)=αχ2+βχ+γ), περιλαμβάνει την επίλυση πολυωνυμικών (και ρητών, οι οποίες ως γνωστό ανάγονται σε πολυωνυμικές) ανισώσεων. Συγκεκριμένα, η επίλυση μιας πολυωνυμικής ανίσωσης ανάγεται, με παραγοντοποίηση, σε επίλυση συστήματος (ή συστημάτων) ανισώσεων πρώτου ή / και δευτέρου βαθμού, μέσω της ιδιότητας αβ 0 {α 0 και β0} ή {α 0 και β 0}.Β΄ ΛυκείουΆλγεβρα

Το σχολικό εγχειρίδιο της Άλγεβρας (Μαθηματικά Γενικής Παιδείας) της Β΄ Λυκείου περιλαμβάνει ένα ολόκληρο κεφάλαιο (2-Πολυώνυμα-Πολυωνυμικές εξισώσεις) στη μελέτη των πολυωνύμων μιας (πραγματικής) μεταβλητής με συντελεστές πραγματικούς1, και συγκεκριμένα στην παραγοντοποίηση των πολυωνύμων, με απώτερο σκοπό την επίλυση των (αντίστοιχων) πολυωνυμικών εξισώσεων. Εισάγονται οι ορισμοί των εννοιών «μονώνυμο» και «πολυώνυμο» (αλλά δεν περιλαμβάνουν την αναφορά στο «βαθμό», του οποίου ο ορισμός δίνεται πιο κάτω, μέσα από την έννοια του μηδενικού πολυωνύμου (!)) και οι σχετιζόμενοι με αυτά όροι και αντίστοιχες έννοιες («όροι πολυωνύμου», «συντελεστές», «σταθερό» και «μηδενικό» πολυώνυμο). Προφανώς το μονώνυμο δεν ορίζεται ως ειδική περίπτωση πολυωνύμου. Επιπλέον δίδεται η έννοια και ο ορισμός της «ισότητας» πολυωνύμων. Η έννοια της «ρίζας» πολυωνύμου είναι ήδη γνωστή από την Α΄ Λυκείου, ενώ οι πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης και του πολλαπλασιασμού μεταξύ πολυωνύμων είναι γνωστές απ’ τη Γ΄ Γυμνασίου. Ως ‘νέα γνώση’ παρουσιάζονται2 δυο ιδιότητες αναφορικά με τον βαθμό του πολυωνύμου το οποίο προκύπτει ως γινόμενο δύο άλλων.

Στη συνέχεια παρουσιάζεται η έννοια της «(Ευκλείδειας) διαίρεσης πολυωνύμων3», ως γενίκευσης της, γνωστής από το Γυμνάσιο, Ευκλείδειας διαίρεσης μεταξύ θετικών ακεραίων αριθμών. Δίδεται το σχετικό θεώρημα («ταυτότητα της διαίρεσης»), χωρίς απόδειξη, και παρουσιάζεται ο αντίστοιχος αλγόριθμος, με τη βοήθεια ενός παραδείγματος στο οποίο διαιρέτης είναι πολυώνυμο πρώτου βαθμού (χ-ρ). Ακολουθούν δύο θεωρήματα για το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου με πολυώνυμο της μορφής χ-ρ, μαζί με τις αποδείξεις τους και η παρουσίαση του Σχήματος Horner μέσα από ένα παράδειγμα. Στη συνέχεια δίδεται η έννοια και ο ορισμός της «πολυωνυμικής εξίσωσης», και το «Θεώρημα των ακεραίων ριζών» (μαζί με την απόδειξή του) το οποίο αποτελεί, σε ορισμένες περιπτώσεις, ένα καλό μαθηματικό ‘εργαλείο’ για την εξεύρεση ριζών. Η υποπαράγραφος «προσδιορισμός ρίζας με προσέγγιση» (προπομπός του Θεωρήματος του Βοlzαnο) είναι εκτός διδακτέας ύλης. (Βέβαια, με τη βοήθεια κατάλληλου λογισμικού σχεδιασμού καμπυλών, μπορούμε συμπληρωματικά και κατά περίπτωση να ‘δώσουμε’ στους μαθητές κάποια παραδείγματα γραφικών παραστάσεων πολυωνύμων, μέσα από τις οποίες μπορούμε να επαληθεύσουμε γραφικά τις ρίζες που έχουμε βρει αλγεβρικά4.) Τέλος παρουσιάζονται ορισμένες μορφές μη πολυωνυμικών

1 αν και το θεώρημα ακεραίων ριζών –το ισχυρότερο ‘εργαλείο’ για την επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων- μπορεί να εφαρμοστεί μόνο σε εξισώσεις με ρητούς συντελεστές (η διατύπωσή του αφορά στην περίπτωση που οι συντελεστές είναι ακέραιοι, αλλά γνωρίζουμε πως κάθε εξίσωση με ρητούς συντελεστές μπορεί να μετασχηματιστεί σε μια ισοδύναμη με ακεραίους). 2 εμπειρικά, με αναφορά στην ύπαρξη απόδειξης η οποία δεν περιλαμβάνεται3 στη συνέχεια δίδεται έμφαση στην περίπτωση που ο διαιρέτης είναι πολυώνυμο πρώτου βαθμού (και ειδικά της μορφής χ-ρ).

εξισώσεων και ανισώσεων (ρητών ή αρρήτων), οι οποίες μπορούν να μετασχηματιστούν σε πολυωνυμικές1. Γ΄ ΛυκείουΜαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Στη Γ΄ Λυκείου έχουμε επέκταση των πολυωνύμων στο C, τόσο ως προς τους συντελεστές όσο και ως προς τις ρίζες. Έτσι, το τριώνυμο (με πραγματικούς συντελεστές) παραγοντοποιείται πάντοτε στο C, και έχει ή δύο πραγματικές ρίζες (Δ>0), ή μια διπλή πραγματική ρίζα (Δ=0) ή δύο συζυγείς ‘γνήσια’ μιγαδικές2. Αξιοσημείωτο είναι το γεγονός ότι οι τύποι Vieta εξακολουθούν να ισχύουν. Ακόμα μελετώνται οι πολυωνυμικές εξισώσεις βαθμού 3 με πραγματικούς συντελεστές και λύσεις στο C, ενώ από τις πολυωνυμικές με συντελεστές στο C εξετάζεται μόνο η περίπτωση zv=a (με a C) η οποία δίνει ουσιαστικά τις ν-οστές μιγαδικές ρίζες μιγαδικού αριθμού. Οι τελευταίες δύο αυτές περιπτώσεις τα τελευταία χρόνια εξαιρούνται από τη διδακτέα ύλη των μαθητών.

4 δοθέντος του ότι το σχολικό βιβλίο αντιμετωπίζει τα πολυώνυμα ως αλγεβρικές παραστάσεις (ίσως λίγο και ως στοιχεία διανυσματικού χώρου) παρά ως συναρτήσεις. Αυτή, η (δεύτερη) προσέγγιση θα γίνει στα Μαθηματικά της Γ΄ Λυκείου, μέσα από τη διαδικασία μελέτης συνάρτησης, με την εφαρμογή του Διαφορικού Λογισμού. 1 όχι πάντα ισοδύναμες (βλ. σχολικό εγχειρίδιο, παράδειγμα 2, σ.82) 2 Δες στην §3.2. του παρόντος συγγράμματος.

5.3. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΒ΄ Γυμνασίου

Τα πρώτα στοιχεία Τριγωνομετρίας τα συναντάμε στη Β΄ Γυμνασίου στο κεφάλαιο 4-Τριγωνομετρία. Στην αρχή του κεφαλαίου δίδεται η έννοια του «λόγου ευθυγράμμων τμημάτων». Στη συνέχεια παρουσιάζεται η «εφαπτομένη» οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου και η «κλίση» ευθείας, ενώ δίδεται εμπειρικά ο τρόπος μεταβολής της εφαπτομένης σε σχέση με τη μεταβολή της γωνίας. Ακολούθως δίδονται οι ορισμοί του ημιτόνου και του συνημιτόνου οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου, ο τρόπος μεταβολής τους καθώς μεταβάλλεται η γωνία, καθώς και οι ιδιότητες 0<ημω<1 και 0<συνω<1. Οι υπολογισμοί του ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης στις ασκήσεις γίνονται βάσει των τύπων και με δεδομένες τις αντίστοιχες πλευρές των (ορθογωνίων) τριγώνων. Με εφαρμογή του Πυθαγορείου Θεωρήματος σε κατάλληλα τρίγωνα, υπολογίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 30ο, 45ο και 60ο, ενώ παρουσιάζεται ο τρόπος εύρεσης των τριγωνομετρικών αριθμών άλλων γωνιών με τη βοήθεια των τριγωνομετρικών πινάκων. Εφαρμογές της Τριγωνομετρίας, καθώς και ο ορισμός του αριθμού π (εκτός διδακτέας ύλης) δίνονται στα κεφάλαια 8 και 9.Γ΄ Γυμνασίου

Στην αρχή του κεφαλαίου 7-Τριγωνομετρία γίνεται μια σύντομη ανασκόπηση των ήδη γνωστών από την προηγούμενη τάξη, ενώ αποδεικνύονται οι τύποι ημ(90ο-ω)=συνω και συν(90ο-ω)=ημω. Στη συνέχεια γενικεύεται η έννοια του ημιτόνου, του συνημιτόνου και της εφαπτομένης, σε οποιαδήποτε γωνία, μέσω του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων, ενώ δίδονται και οι ιδιότητες -1 συνω 1 και -1 ημω 1, με τρόπο ημι-εμπειρικό/αποδεικτικό. Στην επόμενη παράγραφο δίνεται μια γεωμετρική απόδειξη των τύπων που δίνουν τις σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών παραπληρωματικών γωνιών. Στη συνέχεια αποδεικνύονται οι τριγωνομετρικές ταυτότητες1 εφω= και ημ2ω+συν2ω=1. Τέλος, αποδεικνύονται ο νόμος των ημιτόνων2 και ο νόμος των συνημιτόνων. Α΄ ΛυκείουΆλγεβρα

Το κεφάλαιο 5-Τριγωνομετρία στο σχολικό εγχειρίδιο της Άλγεβρας αρχίζει με μια σύντομη επανάληψη των ήδη γνωστών από τη Γ΄ Γυμνασίου, ενώ οι ορισμοί των τριγωνομετρικών αριθμών επεκτείνονται σε γωνίες μεγαλύτερες των 360ο 3, καθώς και σε γωνίες αρνητικές, και δίδεται η έννοια του «τριγωνομετρικού κύκλου». Το καρτεσιανό επίπεδο του τριγωνομετρικού κύκλου στη συνέχεια ‘εμπλουτίζεται’ με τους άξονες των εφαπτόμενων και των συνεφαπτόμενων, ενώ δίδεται η έννοια του ακτινίου. Επαναλαμβάνονται οι δύο γνωστές από Γυμνάσιο τριγωνομετρικές ταυτότητες, οι οποίες συμπληρώνονται με την εφω.σφω=1. Μέσα από λυμένα παραδείγματα δίδονται ακόμα οι ταυτότητες που εκφράζουν το ημίτονο και το συνημίτονο σε σχέση με την εφαπτομένη. Στη συνέχεια γίνεται αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο, καθώς δίδονται (και αποδεικνύονται γεωμετρικά) οι τύποι που συνδέουν τους τριγωνομετρικούς

1 αν και δεν χρησιμοποιείται αυτή η ορολογία2 ο οποίος εισάγεται μέσα από μια προβληματική κατάσταση3 Και αποδεικνύεται ότι γωνίες με διαφορά 360ο έχουν ίσους τριγωνομετρικούς αριθμούς.

αριθμούς γωνιών αντίθετων, παραπληρωμα-τικών, με διαφορά 180ο και συμπληρωματικών1. Αξίζει να σημειωθεί ότι ενώ το συγκεκριμένο κεφάλαιο τυπικά περιλαμβάνεται στη διδακτέα ύλη της Α΄ Λυκείου, διδάσκεται κατά κανόνα στην αρχή της Β΄ Λυκείου λόγω έλλειψης διδακτικού χρόνου, κάτι το οποίο προβλέπεται από το Π.Ι., σύμφωνα με οδηγία του οποίου (για τη Β΄) «το αργότερο μέχρι 10 Οκτωβρίου θα πρέπει να έχει ολοκληρωθεί η διδασκαλία της ύλης της Άλγεβρας Α΄ Ενιαίου Λυκείου». Β΄ ΛυκείουΆλγεβρα

Το κεφάλαιο 1-Τριγωνομετρία του βιβλίου της Άλγεβρας της Β΄ Λυκείου αρχίζει με την έννοια και τον ορισμό της περιοδικής συνάρτησης, και συνεχίζει με τη μελέτη (με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου) και κατασκευή των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων ημχ, συνχ και εφχ 2. Επίσης γίνεται μια αναφορά στη γενικότερη μορφή f(χ)=ρημωχ, η οποία εμπεδώνεται μέσα από τις αντίστοιχες προτεινόμενες ασκήσεις. Με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων αυτών των συναρτήσεων, του τριγωνομετρικού κύκλου, και των τύπων που συνδέουν: 1. τα ημίτονα παραπληρωματικών γωνιών, 2. τα συνημίτονα αντιθέτων γωνιών και 3. τις εφαπτόμενες γωνιών με διαφορά 180ο, προκύπτουν οι αντίστοιχοι τύποι επίλυσης των εξισώσεων: 1. ημχ=α, 2. συνχ=α και 3. εφχ=α. Στη συνέχεια αποδεικνύονται οι τύποι για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του αθροίσματος και της διαφοράς γωνιών, ως εφαρμογές των οποίων προκύπτουν και οι αντίστοιχοι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας 2α. Εδώ αποδεικνύονται και οι λεγόμενοι τύποι ‘‘αποτετραγωνισμού’’. Η παράγραφος που αναφέρεται στους τύπους ‘‘μετασχηματισμού γινομένου σε άθροισμα’’ βρίσκεται εκτός διδακτέας ύλης. Ακολουθεί η παρουσίαση της συνάρτησης f(χ)=αημχ+βσυνχ η οποία μετασχηματίζεται στη μορφή f(χ)=ρημ(χ+φ) για κατάλληλα ρ>0 και φ R (συγκεκριμένα, ρ= , συνφ= και ημφ= ) της οποίας γίνεται μελέτη. Εδώ ουσιαστικά εισάγεται η έννοια της «διαφοράς φάσης» που είναι πολύ σημαντική στη Φυσική, όπως πολύ σημαντικές είναι γενικότερα οι εφαρμογές των ‘‘ημιτονοειδών’’ συναρτήσεων. Το κεφάλαιο κλείνει με την επίλυση τριγώνου που είναι εκτός διδακτέας ύλης.

1 Ειδικά για τα ημίτονα και τα συνημίτονα συμπληρωματικών και παραπληρωματικών γωνιών έχει γίνει λόγος και στο Γυμνάσιο, ενώ η απόδειξη των τύπων για τα ημίτονα και τα συνημίτονα των συμπληρωματικών γωνιών διαφέρει από εκείνη του Γυμνασίου. 2 και ουσιαστικά γενικεύεται η έννοια του τριγωνομετρικού αριθμού «γωνίας» σε τριγωνομετρικό ‘αριθμό’ «πραγματικού αριθμού». Η ‘μεταπήδηση’ από το καρτεσιανό σύστημα του τριγωνομετρικού κύκλου στο καρτεσιανό σύστημα γραφικής απεικόνισης μιας συνάρτησης, οντολογικά έχει να κάνει με την ‘ευθειοποίηση’ του κύκλου, με την έννοια του ότι κάθε σημείο του κύκλου μέσω της ‘επαναληπτικής’ διαγραφής του αντιστοιχεί σε άπειρα το πλήθος σημεία του άξονα χ΄χ τα οποία ανά δύο διαδοχικά απέχουν μεταξύ τους 2π. Έτσι, το ίδιο σύμβολο ‘‘ χ ’’ στο καρτεσιανό επίπεδο του τριγωνομετρικού κύκλου παριστάνει το συνημίτονο γωνίας, ενώ στο καρτεσιανό επίπεδο της γραφικής παράστασης y=συνχ παριστάνει τη ‘γωνία’. Αυτό είναι κάτι που αποδεδειγμένα οι μαθητές δυσκολεύονται να κατανοήσουν ή καλύτερα να ‘οικειοποιηθούν’, ιδιαίτερα όταν δεν διευκρινίζεται σαφώς και ρητώς.

Α΄ Λυκείου – Οι ανισώσεις <α και >α, με α R(Άλγεβρα)

Τάξη: Α΄ ΛυκείουΗμερομηνία:………………Χρονική διάρκεια: 1 διδακτική ώρα (45΄)Ώρα:…………Ενότητα: Οι ανισώσεις <α και >α, με α RΣτόχοι: 1. Να κατανοήσουν οι μαθητές τη γεωμετρική σημασία των

σχέσεων <θ και >θ με θ2. Να μπορούν να επιλύουν ανισώσεις αυτής της μορφής.3. Να μπορούν να αποδεικνύουν τον τύπο επίλυσης των

ανισώσεων αυτών.Προαπαιτούμενες γνώσεις: Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού,

Εξισώσεις της μορφής =α, Ανισότητες και ανισώσεις της μορφής χ<α και χ>α.

Πορεία: ΤριμερήςΜέθοδος: Εποπτική / Εμπειρική, Αποδεικτική / Επίλυση προβλήματος.Μορφή: Καθοδηγούμενος διάλογος με στοιχεία ερμηνευτικού μονολόγου, Εργασία σε ομάδες, Συζήτηση (μεταξύ των μαθητών) σε επίπεδο τάξης.Διδακτικά μέσα: Πίνακας-κιμωλίες, Χαρτί-μολύβι, Φύλλα εργασίας

Σχέδιο Μαθήματος:

1. Προπαρασκευή / Σύνδεση με τα προηγούμενα (5΄) Με τη βοήθεια του παρακάτω σχήματος (το οποίο γράφουμε στον

πίνακα) οι μαθητές ανακαλούν στη μνήμη τους τη γεωμετρική έννοια της απόλυτης τιμής και την γεωμετρική επίλυση της εξίσωσης =θ (θ>0).

- -θ θ +Με τη μέθοδο των ερωταποκρίσεων οι μαθητές διατυπώνουν το

συμπέρασμα ότι «αν ένας αριθμός χ βρίσκεται μεταξύ των σημείων (με τετμημένες) –θ και θ, δηλαδή χ (-θ, θ), τότε απέχει από το 0 λιγότερο απ’ ό,τι απέχει απ’ το 0 το θ». Εκφράζουν αυτό το συμπέρασμα χρησιμοποιώντας τη (γεωμετρική) έννοια της απόλυτης τιμής, δηλαδή χ(-θ, θ) ( < = =θ ) <θ. Με ανάλογο τρόπο διατυπώνουν το αντίστροφο συμπέρασμα, δηλαδή ότι αν για αριθμό χ ισχύει <θ, τότε χ(-θ, θ). Συνδυάζοντας τα παραπάνω συμπεράσματα καταλήγουν στη διατύπωση της ισοδυναμίας:

<θ χ (-θ, θ), ή <θ -θ<χ<θ (1).2. Παρουσίαση (10΄)

Αφού εξηγήσουμε στους μαθητές ότι μέσα από την προηγούμενη δραστηριότητα έλυσαν γεωμετρικά την ανίσωση <θ, τους θέτουμε το πρόβλημα της αλγεβρικής απόδειξης της ισοδυναμίας (1), δηλαδή μέσα από τη χρήση των αλγεβρικών ιδιοτήτων της απόλυτης τιμής. Οι μαθητές εργάζονται σε ομάδες. Προσπαθούν να εφαρμόσουν την ιδιότητα {α 0

=α και α<0 =-α}, και όταν η εργασία τους εξελιχθεί σε ικανοποιητικό βαθμό, προσέρχεται ένας μαθητής για να παρουσιάσει την εργασία του στον πίνακα. 3. Επεξεργασία (7΄)

Θέτουμε στους μαθητές τον προβληματισμό για την επίλυση της ανίσωσης >θ, οι οποίοι δίνουν τη λύση χ<-θ ή χ>θ ως γεωμετρική ερμηνεία. Με ανάλογο τρόπο επεκτείνονται στην επίλυση των θ και

θ με θ>0. Οι μαθητές διαπιστώνουν ότι σε κάθε μια από τις παραπάνω περιπτώσεις ο άξονας των πραγματικών αριθμών ‘διαμερίζεται’ σε τρία διαστήματα από δύο αντίθετους μεταξύ τους αριθμούς, και ότι κάθε ανίσωση τέτοιας μορφής ανάγεται σε απλές (χωρίς απόλυτη τιμή) ανισώσεις.3. Εφαρμογή (15΄)

Δίνουμε στους μαθητές μας ένα φύλλο εργασίας με ανισώσεις όπως:<3, 3, 4, 2 -1> .

Αρχικά εργάζονται σε ομάδες και στη συνέχεια προσέρχονται στον πίνακα για να παρουσιάσουν τον τρόπο εργασίας τους.4. Αξιολόγηση /Επέκταση(8΄)

Θέτουμε στους μαθητές σε επίπεδο τάξης τον προβληματισμό για τη μέθοδο επίλυσης ανισώσεων όπως: -1, , . Μέσα από αυτή τη διαδικασία αξιολογούμε το επίπεδο κριτικής και συνθετικής ικανότητας των μαθητών, για την αντιμετώπιση στερεοτύπων, αφού θα πρέπει να συνδυάσουν την έννοια της απόλυτης τιμής ως απόστασης, άρα ως μη αρνητικού αριθμού.

Α΄ Λυκείου–Η συνάρτηση f(χ)=αχ2+βχ+γ: Μορφές του τριωνύμου(Άλγεβρα)

Τάξη: Α΄ ΛυκείουΗμερομηνία:………………Χρονική διάρκεια: 1 διδακτική ώρα (45΄)Ώρα:…………Ενότητα: Η συνάρτηση f(χ)=αχ2+βχ+γ - Μορφές του τριωνύμουΣτόχοι: 1. Οι μαθητές να γνωρίζουν πότε παραγοντοποιείται ένα

τριώνυμο.2. Να μπορούν να παραγοντοποιούν ένα τριώνυμο.3. Να μπορούν να αποδεικνύουν ότι ένα τριώνυμο

παραγοντοποιείται όταν Δ 0, και ότι δεν παραγοντοποιείται όταν Δ<0.

4. Να μπορούν να εφαρμόζουν την παραγοντοποίηση τριωνύμου στην απόδειξη ταυτοτήτων και στην απλοποίηση κλασματικών παραστάσεων.

Προαπαιτούμενες γνώσεις: Λύση της εξίσωσης αχ2+βχ+γ=0, Έννοια της συνάρτησης, Ταυτότητα: «διαφορά τετραγώνων».

Πορεία: ΤριμερήςΜέθοδος: Επαγωγή-Σύνθεση / Παραγωγή-Ανάλυση, Θέση-Επίλυση προβλήματος.Μορφή: Καθοδηγούμενος διάλογος, συζήτηση (μεταξύ των μαθητών) σε επίπεδο τάξης, Καθοδηγούμενη ανακάλυψη, Εργασία σε ομάδες. Διδακτικά μέσα: Πίνακας-Κιμωλίες, Φύλλα Εργασίας

Σχέδιο Μαθήματος:

1. Σύνδεση με τα προηγούμενα / Σύνθεση / Παρουσίαση (10΄)Οι μαθητές για τη «συνάρτηση» y=αχ2+βχ+γ γνωρίζουν ήδη από τη

Γ΄ Γυμνασίου. Ο συμβολισμός f(χ) αντί του y έχει εισαχθεί στο κεφάλαιο 2-Συναρτήσεις της Α΄ Λυκείου, στο οποίο ο μαθητής συναντά την ειδική περίπτωση f(χ)=αχ2 , αναφορικά με τις συναρτήσεις 2ου βαθμού, αλλά η συμβολική έκφραση f(χ)= αχ2+βχ+γ δίνεται για πρώτη φορά σ’ αυτήν την ενότητα.

Σύμφωνα με τις οδηγίες του Π.Ι. για την πορεία / διάταξη παρουσίασης της διδακτέας ύλης, έχουν μεσολαβήσει περίπου 20 διδακτικές ώρες (10 διδακτικές εβδομάδες) από τότε που παρουσιάστηκε στους μαθητές η επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης και ο μετασχηματισμός της στη

μορφή (χ+ )2 = με τη μέθοδο της «συμπλήρωσης του

τετραγώνου», μικρή ‘παραλλαγή’ της οποίας αποτελεί το μαθησιακό αντικείμενο αυτής της ενότητας. Είναι, επομένως πολύ σημαντικό να βοηθήσουμε τους μαθητές μας να επαναφέρουν στη μνήμη τους αυτή τη διαδικασία.

Οι μαθητές με την κατάλληλη καθοδήγηση (ερωταποκρίσεις, καθοδηγούμενο διάλογο) ανακαλούν στη μνήμη τους τη διαδικασία συμπλήρωσης του τετραγώνου για τη δευτεροβάθμια εξίσωση, την οποία εκτελούν, με τις εξής διαφορές: 1. κάνουν όλες τις πράξεις στο 1ο μέλος και 2. δεν εφαρμόζουν την ιδιότητα της διαγραφής για να απαλείψουν τον παράγοντα α, καταλήγουν στο συμπέρασμα:

αχ2+βχ+γ=0 α[(χ+ - ]=0.

Συνδυάζοντας τα παραπάνω οι μαθητές οδηγούνται στο λογικό

συμπέρασμα: αχ2+βχ+γ= α[(χ+ )2 - ] . Με δεδομένο το ότι η έννοια της συνάρτησης και ο συμβολισμός «f(χ)»

έχει ήδη δοθεί σε προηγούμενο κεφάλαιο, ορίζουμε τη συνάρτηση f(χ)=αχ2+βχ+γ με α 0, και δίνουμε τον όρο «τριώνυμο (2ου βαθμού)», ενώ από κοινού συμπεραίνουμε πως:

f(χ) = α[(χ+ )2 - ] (1)2. Παρουσίαση / Ανάλυση / Επεξεργασία (17΄)

Σ’ αυτό το σημείο δηλώνουμε στους μαθητές μας πως στοχεύουμε στην παραγοντοποίηση του τριωνύμου, δηλαδή της f(χ), οπότε οι μαθητές κατανοούν το λόγο για τον οποίο προηγήθηκαν οι αλγεβρικοί μετασχηματισμοί. Οι μαθητές προβληματίζονται και διατυπώνουν απόψεις (και εφ’ όσον χρειαστεί παρεμβαίνουμε), έως ότου ανακαλύψουν πως μπορούμε να εφαρμόσουμε την ταυτότητα «διαφορά τετραγώνων» με την προϋπόθεση ότι το μπορεί να γραφεί ως ‘τέλειο’ τετράγωνο. Επαγωγικά καταλήγουν στο συμπέρασμα ότι αυτό μπορεί να επιτευχθεί εφ’ όσον το Δ μπορεί να γραφεί ως τέλειο τετράγωνο (Δ=( )2), άρα μόνο αν Δ

0. Έτσι, αβίαστα προκύπτει το συμπέρασμα ότι πρέπει να ‘‘διακρίνουμε περιπτώσεις’’ για την (1).

Με τη βοήθεια ορισμένων μαθητών οι οποίοι προσέρχονται διαδοχικά στον πίνακα, η τάξη προβαίνει στη διαδικασία της διερεύνησης και στη γραπτή διατύπωση αυτής της διαδικασίας καθώς και των τελικών συμπερασμάτων της. 3. Εφαρμογή / Αξιολόγηση (18΄)

Οι μαθητές καλούνται να εφαρμόσουν τα τελικά αυτά συμπεράσματα μέσα από κατάλληλες εφαρμογές. Συγκεκριμένα μπορούμε να τους δώσουμε ένα φύλλο εργασίας με συγκεκριμένα τριώνυμα ή πολυώνυμα (3χ2+3χ-6, 4χ2-4χ+1, χ2-χ+1, (χ2+2)(χ2-2)) προκειμένου να κάνουν όσες παραγοντοποιήσεις μπορούν. Σε ένα άλλο φύλλο εργασίας οι μαθητές καλούνται να απλοποιήσουν μια ρητή αλγεβρική παράσταση με κλασματικούς όρους τριώνυμα. Εργάζονται σε μικρές ομάδες, και στη συνέχεια προσέρχονται ένας-δυο μαθητές για να παρουσιάσουν την εργασία τους. Επίσης μπορούμε να τους δώσουμε να αποδείξουν την (τυπικά γνωστή από τη παράγραφο 1.2.-Δυνάμεις) ταυτότητα χ2+(α+β)χ+αβ=(χ+α)(χ+β), υποδεικνύοντάς τους να παραγοντοποιήσουν το 1ο μέλος, με υπολογισμό της διακρίνουσας. Με την καθοδήγησή μας, οι μαθητές διαπιστώνουν ότι η συγκεκριμένη ταυτότητα μπορεί να προκύψει και από την έκφραση του τριωνύμου σε συνάρτηση με το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών του, συνδέοντας τη νέα γνώση με τους τύπους του Vieta.

Β΄ Γυμνασίου - Ημίτονο οξείας γωνίας

Τάξη: Β΄ ΓυμνασίουΗμερομηνία:………………Χρονική διάρκεια: 1 διδακτική ώρα (45΄)Ώρα:…………Ενότητα: Ημίτονο οξείας γωνίαςΣτόχοι: 1. Οι μαθητές να μπορούν να υπολογίζουν το ημίτονο οξείας

γωνίας τριγώνου όταν δίνονται οι πλευρές του.2. Να μπορούν να κατασκευάζουν μια οξεία γωνία της οποίας

δίνεται το ημίτονο.3. Να γνωρίζουν πώς μεταβάλλεται το ημίτονο μιας γωνίας όταν

μεταβάλλεται η γωνία. 4. Να μπορούν να υπολογίζουν με τη βοήθεια του ημιτόνου

διάφορες αποστάσεις.Προαπαιτούμενες γνώσεις: Λόγος ευθυγράμμων τμημάτων, Είδη

τριγώνων, Σύγκριση κλασμάτων (ανάλογα ποσά), Πράξεις μεταξύ ρητών.

Πορεία: Πενταμερής.Μέθοδος: Επίλυση προβλήματος, Βιωματική / Εμπειρική, Επαγωγική. Μορφή: Καθοδηγούμενη ανακάλυψη με φύλλα εργασίας και ερωταποκρίσεις, Ομαδοσυνεργατική διδασκαλία με στοιχεία διαλόγου σε επίπεδο τάξης.Διδακτικά μέσα: Πίνακας-κιμωλίες, Φύλλα εργασίας, Χαρτί ‘μιλιμετρέ’.

Σχέδιο Μαθήματος:1. Προπαρασκευή (8΄)

Η προηγούμενη (στο σχολικό βιβλίο) διδακτική ενότητα αφορούσε τη εφαπτομένη (οξείας γωνίας), και τις εφαρμογές της. Κινητοποιούμε τους μαθητές θέτοντάς τους ένα πρόβλημα το οποίο δεν μπορεί να αντιμετωπιστεί ως εφαρμογή της εφαπτομένης, ενώ μπορεί με τη χρήση του ημιτόνου. Για παράδειγμα, μπορούμε να τους θέσουμε τον εξής προβληματισμό:

Β

Α Γ

Τρεις άνθρωποι, ο Α, ο Β και ο Γ βρίσκονται στα αντίστοιχα σημεία του σχήματος, έτσι ώστε =90ο . Οι Β και Γ βρίσκονται στη μια όχθη του ποταμού, ενώ ο Α στην άλλη. Το ζητούμενο είναι να φτιάξουν μια γέφυρα, αλλά δεν γνωρίζουν την απόσταση ΑΒ. Όμως οι και μπορούν να μετρήσουν τη ΒΓ και ο Γ μπορεί να μετρήσει τη γωνία . Με αυτά τα δεδομένα μήπως μπορούμε να υπολογίσουμε την απόσταση ΑΒ; Οι μαθητές σε επίπεδο τάξης, διαπιστώνουν ότι δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εφαπτομένη.

2. Παρουσίαση (12΄)Δίνουμε στους μαθητές φύλλα μιλιμετρέ με ένα σχήμα σαν το

ακόλουθο:

Γ

Ε Η Ι

Α Δ Ζ Θ Β

Για την οικονομία του χρόνου αλλά και για παιδαγωγικούς λόγους έχουμε φροντίσει ώστε οι αποστάσεις ΑΓ, ΔΕ, ΖΗ, ΘΙ, ΒΕ, ΒΕ, ΒΗ και ΒΙ να υπολογίζονται εύκολα από το σχήμα. Οι μαθητές με τη δική μας προτροπή υπολογίζουν προβαίνουν σε υπολογισμούς και διαπιστώνουν ότι: =

= = =α (ένας συγκεκριμένος αριθμός)Λέμε στους μαθητές ότι αυτός ο σταθερός λόγος ονομάζεται

«ημίτονο» της γωνίας ω, και δίνουμε το συμβολισμό ημω=α. Στη συνέχεια με τη βοήθεια ενός ορθογωνίου τριγώνου (που

σχεδιάζουμε) στον πίνακα γενικεύουμε, και παρουσιάζουμε τον τύπο:ημω=

Σ’ αυτό το σημείο κάνουμε λόγο για τους τριγωνομετρικούς πίνακες με τη βοήθεια των οποίων, όταν γνωρίζουμε τη γωνία, μπορούμε να βρούμε το ημίτονό της. Δίνουμε ένα παράδειγμα σ’ αυτό, ‘‘προετοιμάζοντας το έδαφος’’ για το επόμενο μάθημα.

3. Επεξεργασία (8΄) Οι μαθητές οδηγούνται στα εξής δύο συμπεράσματα:

α) 0<ημω<1, επαγωγικά από τις ιδιότητες των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου, καιβ) όταν αυξάνεται μία οξεία γωνία αυξάνεται και το ημίτονό της, επαγωγικά με τη βοήθεια ενός σχήματος1 όπως:

1 Το οποίο παρέχει μια πρώτη και ‘αθόρυβη’ εισαγωγή του μαθητή στην έννοια του τριγωνομετρικού κύκλου, που θα δει επίσημα σε μεγαλύτερη τάξη.

ρ ρ ρ ρ

Ο ρ

4. Εφαρμογή (12΄)Δίνουμε στους μαθητές δύο φύλλα εργασίας:

α) ένα με τα εξής σχήματα:

Γ Γ 8 Α

10 6 10

Α Β Βγια να υπολογίσουν το ημίτονο της και της σε κάθε περίπτωση,

β) και ένα με τον τύπο ημω= , για να σχεδιάσουν μία γωνία ω με αυτήν την ιδιότητα.

Οι μαθητές εργάζονται αρχικά σε μικρές ομάδες και στη συνέχεια προσέρχονται δυο-τρεις από αυτούς στον πίνακα για να παρουσιάσουν την εργασία τους.

5. Αξιολόγηση (5΄)Επανερχόμαστε στο αρχικό πρόβλημα, και με τη βοήθειά μας οι

μαθητές ξεχωρίζουν τα δεδομένα απ’ τα ζητούμενα, τα συσχετίζουν με τον τύπο του ημιτόνου, και συμπεραίνουν το πώς μπορούν να αξιοποιήσουν αυτόν τον τύπο για να υπολογίσουν τελικά την απόσταση (ΑΒ). Με αφορμή αυτό το πρόβλημα οι μαθητές αξιολογούν τη χρησιμότητα της έννοιας του ημιτόνου στην καθημερινή ζωή.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5

1. Να σχεδιάσετε τη διδακτική σας πορεία προκειμένου να παρουσιάσετε σε δυο διδακτικές ώρες τις συναρτήσεις ημχ, συνχ και εφχ.

2. Να παρουσιάσετε: τη διαίρεση πολυωνύμων την επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων(μιας πραγματικής μεταβλητής με συντελεστές πραγματικούς αριθμούς) σε μαθητές Λυκείου, στα πλαίσια δύο διδακτικών ωρών

(προτεινόμενος χρόνος 3 ώρες)

ΕΝΟΤΗΤΑ 6

6.1. ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ6.1.1. ΓυμνάσιοΓ΄ Γυμνασίου

Στην §4.1.1. του παρόντος είχαμε πει ότι στο σχολικό εγχειρίδιο των Μαθηματικών της Γ΄ Γυμνασίου εισάγεται εμπειρικά η έννοια των ασυμπτώτων αξόνων της υπερβολής. Σ’ αυτό το σημείο θεωρούμε πως γίνεται η πρώτη ουσιαστική νύξη στην έννοια του ορίου1.6.1.2. ΛύκειοΑ΄ ΛυκείουΆλγεβρα

Κάτι ανάλογο συμβαίνει κατά τη μελέτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(χ)= , στο σχολικό εγχειρίδιο της Άλγεβρας της Α΄ Λυκείου2. Εδώ έχουμε μια πιο ξεκάθαρη εισαγωγή στην έννοια του ορίου, και μάλιστα του πλευρικού, με πιο αυστηρή χρήση της μαθηματικής γλώσσας.Β΄ ΛυκείουΜαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Η έννοια της ασύμπτωτης ευθείας της υπερβολής στο κεφάλαιο 3-Κωνικές Τομές του σχολικού εγχειριδίου Μαθηματικών Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, δίνει και πάλι αφορμή για μια γεωμετρική-διαισθητική απόδοση της έννοιας του ορίου, με ημι-αυστηρή μαθηματική ορολογία («αυξάνει απεριόριστα», «τείνει»). Μια περισσότερο ‘αναλυτική-αλγεβρική’ περίπτωση έχουμε στην παρουσίαση της έννοιας της εκκεντρότητας της έλλειψης αλλά και της υπερβολής. Όπως συγκεκριμένα αναφέρεται (π.χ.) στην περίπτωση της έλλειψης έχουμε τον ορισμό της εκκεντρότητας ε= , ο οποίος μέσα από αντικαταστάσεις και αλγεβρικούς μετασχηματισμούς (διότι τα μεγέθη γ, α δεν είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους) δίνει: = , απ’ όπου προκύπτει ότι «όσο μεγαλώνει η

εκκεντρότητα τόσο μικραίνει ο λόγος …»3 .Άλγεβρα

Όπως θα δούμε και σε επόμενη ενότητα του παρόντος, η δύναμη (θετικού πραγματικού) αριθμού με άρρητο εκθέτη αφ’ ενός, και ο αριθμός e αφ’ ετέρου, εισάγονται ως όρια ακολουθιών στο κεφάλαιο 4.-Εκθετική και Λογαριθμική συνάρτηση.Γ΄ ΛυκείουΜαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

1 Το ακριβές απόσπασμα είναι: «Παρατηρούμε ότι οι κλάδοι της υπερβολής ‘‘πλησιάζουν’’ τους άξονες.»2 διατυπώνονται οι εξής διαπιστώσεις αναφορικά με τους αντίστοιχους πίνακες

τιμών: «…καθώς ο χ τείνει προς το 0 από αριστερά ο τείνει προς το - » και:

«παρατηρούμε ότι καθώς ο χ τείνει προς το + ο τείνει προς το 0…» παράγραφος

2.5.-Μελέτη συνάρτησης, σ.87.3 σ.105

Η έννοια του ορίου, που, όπως είδαμε, έχει ήδη εισαχθεί ‘αθόρυβα’ αλλά ουσιαστικά σε προηγούμενες τάξεις μέσα από την εποπτεία των γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων, κάνει την εμφάνισή της στη Γ΄ Λυκείου, πάλι μέσα από την μελέτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης. Συγκεκριμένα στην παράγραφο 1.4.-Όριο συνάρτησης στο χο R, παρουσιάζεται πρώτα η έννοια του ορίου f(χ) με χο R και f(χ) R, καθώς και των αντιστοίχων πλευρικών ορίων, διαισθητικά-εποπτικά, με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης και όχι με αυστηρό μαθηματικό ορισμό. Στη συνέχεια η ύπαρξη των πλευρικών ορίων παρουσιάζεται ως ικανή και αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη του f(χ) R. Ο λεγόμενος ‘εψιλοντικός’ ορισμός του ορίου που παρατίθεται αμέσως μετά, είναι εκτός διδακτέας ύλης. Είναι, όμως, πολύ σημαντικό να τονιστεί στους μαθητές ότι η έννοια του ορίου για μια συνάρτηση f στο χο προϋποθέτει η f να ορίζεται «όσο κοντά θέλουμε» στο χο (‘πέριξ’ του χο), δηλαδή (τουλάχιστον) σ’ ένα σύνολο της μορφής (α, χο) (χο, β), ή (χο, β), ή (α,χο) χωρίς να είναι απαραίτητο να ορίζεται και στο ίδιο το χο1. Στο τέλος της παραγράφου αυτής παρατίθενται χωρίς αποδείξεις τα όρια της ταυτοτικής και της σταθερής συνάρτησης. Χωρίς απόδειξη παρατίθενται, επίσης, οι γνωστές ιδιότητες2 των ορίων, στην επόμενη παράγραφο. Με αποδείξεις παρατίθενται τα όρια του μονωνύμου, της πολυωνυμικής και της ρητής συνάρτησης. Ακολουθεί το «κριτήριο παρεμβολής» (χωρίς απόδειξη) για το οποίο δίνεται μια εποπτική-γεωμετρική ερμηνεία, και η απόδειξη του ότι =0, με εφαρμογή του κριτηρίου παρεμβολής. Στη συνέχεια έχουμε τα τριγωνομετρικά όρια, καθώς και τα =1 και =0, ο υπολογισμός των οποίων γίνεται με εφαρμογή του κριτηρίου παρεμβολής. Στο τέλος της παραγράφου δίδεται ο τύπος για τον υπολογισμό του ορίου σύνθετης συνάρτησης. Στην επόμενη παράγραφο παρουσιάζεται η περίπτωση χο R και f(χ)= , πάλι με γεωμετρικό-εποπτικό τρόπο, ενώ οι μαθηματικοί ορισμοί είναι εκτός διδακτέας ύλης. Οι ανάλογες ιδιότητες δίδονται χωρίς αποδείξεις, ενώ εύκολα, με βάση τα πλευρικά όρια, αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση της μορφής f(χ)= με ν N δεν έχει όριο στο 0. Επίσης παρατίθεται πινακάκι με τις «απροσδιόριστες μορφές» και δύο σχετικά παραδείγματα. Στην παράγραφο 1.7. εξετάζονται οι περιπτώσεις χο= 3

και f(χ) R {+ , - }. Η εισαγωγή της έννοιας ενός τέτοιου ορίου δίδεται, όπως πάντα, εμπειρικά μέσα από τη γραφική παράσταση συνάρτησης, ενώ χωρίς αποδείξεις παρατίθενται τα όρια συναρτήσεων οι 1 και φυσικά χωρίς να είναι απαραίτητο, αν ορίζεται στο χο, να είναι το όριο της f ίσο με την τιμή της στο χο. Φυσικά αυτό θα εμπεδωθεί περισσότερο παρακάτω, όταν θα συνδυαστεί και με την έννοια της συνέχειας.2 για το άθροισμα, τα γινόμενο, το πηλίκο, την απόλυτη τιμή και τη ρίζα3 Χρησιμοποιήσαμε αυτόν το συμβολισμό μόνο για την ομοιομορφία της παρουσίασης της ύλης στα πλαίσια αυτού του συγγράμματος. Αυτό το επισημαίνουμε γιατί εμμέσως πλην σαφώς υιοθετείται από το σχολικό βιβλίο η χρήση του συμβόλου χο ως όριο του χ μόνο όταν χο R. Έτσι, είναι καλό να το έχουμε αυτό στο μυαλό μας, προκειμένου να μη δημιουργηθεί σύγχυση στους μαθητές.

οποίες ορίζονται σε διαστήματα της μορφής (α, + ) ή/και (- , β), όπως είναι το μονώνυμο, η πολυωνυμική, η ρητή, η εκθετική και η λογαριθμική. Η παράγραφος τελειώνει με το πεπερασμένο όριο ακολουθίας, για το οποίο όμως δεν υπάρχουν αντίστοιχες προτεινόμενες ασκήσεις, ενώ η μόνη αναφορά που γίνεται είναι στις οδηγίες του Π.Ι.: «(Οι μαθητές πρέπει) να γνωρίζουν την έννοια της ακολουθίας και την έννοια του ορίου της ακολουθίας».

Η γενική οδηγία τόσο του Υπ.Ε.Π.Θ. όσο και του Π.Ι. αναφορικά με την ενότητα που αφορά στα όρια, είναι να μη δοθεί έμφαση στην «ασκησιολογία» καθώς η έννοια του ορίου ουσιαστικά θεωρείται εισαγωγική στην έννοια της «συνέχειας».

Αξίζει να σημειώσουμε πως σε επόμενο κεφάλαιο και με την εφαρμογή της έννοιας της παραγώγου συνάρτησης, θα συναντήσουμε τον κανόνα De L’ Hospital, με τη βοήθεια του οποίου, από κει και πέρα, θα μπορούμε να υπολογίζουμε όρια απροσδιορίστων μορφών, που δύσκολα επιλύονται με άλλες μεθόδους.Γ΄ ΛυκείουΜαθηματικά Γενικής Παιδείας

Για τα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας, το όριο, και συγκεκριμένα ο υπολογισμός του, χρησιμεύει στον υπολογισμό της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο (ως στιγμιαίου ρυθμού μεταβολής ενός οικονομικού ή φυσικού μεγέθους) δεδομένου του πρακτικού προσανατολισμού του μαθήματος ως μάθημα «γενικής παιδείας» της Γ΄ Λυκείου. Ως εκ τούτου το σχολικό εγχειρίδιο αφιερώνει μόνο μια υποπαράγραφο1 στο όριο συνάρτησης, και αναφέρεται μόνο στην περίπτωση χο R και f(χ) R, παραθέτοντας και τις σχετικές ιδιότητες, ενώ δεν γίνεται αναφορά στα πλευρικά όρια. Στην ίδια υποπαράγραφο παρουσιάζεται συνοπτικά η έννοια της «συνέχειας» συνάρτησης.

1 της παραγράφου 1.1.-Συναρτήσεις του κεφαλαίου 1-Διαφορικός Λογισμός

6.2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ6.2.1. ΓυμνάσιοΒ΄ Γυμνασίου

Το ότι μπορούμε να ενώσουμε τα πεπερασμένα σημεία που βρίσκουμε από τα αντίστοιχα ζεύγη τιμών μιας συνάρτησης με συνεχόμενη γραμμή και να έχουμε έτσι όλη την αντίστοιχη γραφική παράσταση, μας το επιτρέπει το γεγονός ότι η συνάρτηση είναι κατ’ αρχήν συνεχής (και παραγωγίσιμη, ως προς το ‘λείο’ της καμπύλης). Στη Β΄ Γυμνασίου1, όμως είναι λογικό πως δεν μπορεί να διδαχθεί η έννοια της ‘‘συνέχειας’’. Ως εκ τούτου το γεγονός της σύλληψης του ‘ενιαίου’ σχήματος της καμπύλης 2 και η διαδικασία σχεδιασμού της από ένα σύνολο πεπερασμένου πλήθους σημείων αποτελεί, από πλευράς των μαθητών, προϊόν διαισθητικής προσέγγισης.Γ΄ Γυμνασίου

Στη Γ΄ Γυμνασίου το σχολικό εγχειρίδιο κάνει ένα ακόμα βήμα προς αυτήν την κατεύθυνση χρησιμοποιώντας τη φράση «… τα ενώνουμε με μια συνεχή γραμμή» αναφερόμενο στην κατασκευή της γραφικής παράστασης συνάρτησης. Δεν υπάρχει αμφιβολία πως η γεωμετρική έννοια της ‘‘συνέχειας’’ μπορεί να εμπεδωθεί στους μαθητές με αυτόν τον τρόπο. Για τον αναλυτικό, όμως, και μέσω του ορίου ορισμό της συνέχειας είναι πολύ νωρίς.6.2.2. ΛύκειοΑ΄ και Β΄ Λυκείου

Οι μαθητές έχουν εξοικειωθεί, πλέον, με την έννοια της ‘‘συνεχούς καμπύλης’’ στο καρτεσιανό επίπεδο, στο οποίο επικουρεί κα το γεγονός ότι αρχίζουν και εμπεδώνουν όλο και περισσότερο το ‘συνεχές’ της πραγματικής ευθείας, μέσα από τη μελέτη των ιδιοτήτων των πραγματικών αριθμών στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου, αλλά και μέσα από τη μελέτη των γραφικών παραστάσεων της εκθετικής και της λογαριθμικής συνάρτησης στην Άλγεβρα της Β΄ Λυκείου.Γ΄ ΛυκείουΜαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Η γεωμετρική αντίληψη για την έννοια της συνεχούς καμπύλης, την οποία έχουν ήδη οι μαθητές από τις προηγούμενες τάξεις, αποτελεί το εφαλτήριο για το σχολικό εγχειρίδιο, προκειμένου να δώσει την έννοια της συνεχούς συνάρτησης, αφού η συνάρτηση είναι συνεχής εκεί που και η γραφική της παράσταση είναι συνεχής. Αυτό είναι και το κατάλληλο σημείο για να παρουσιαστούν τα είδη της ασυνέχειας, μέσα από κατάλληλες γραφικές παραστάσεις.

Θεωρώντας δεδομένο ότι οι μαθητές έχουν κατανοήσει ή μπορούν να κατανοήσουν την διαδικασία υπολογισμού του ορίου μιας συνάρτησης στο χο, ως μελέτη της συμπεριφοράς των τιμών της ‘‘κοντά’’ στο χο, καθώς και το τι πληροφορίες μπορεί να δώσει αυτό για τη μορφή της γραφικής παράστασης στο σημείο με τετμημένη χο, προβαίνουμε στη διατύπωση του ορισμού της συνέχειας συνάρτησης σε σημείο του πεδίου ορισμού της. Από κει και πέρα τα πάντα γίνονται πιο εύκολα για τους μαθητές, αφού αυτό που έχουν να κάνουν, συνηθέστερα, είναι να υπολογίζουν όρια (συνήθως πλευρικά) και μέσα από αυτή τη διαδικασία να μπορούν να μελετούν μια συνάρτηση ως προς τη συνέχεια σε οποιοδήποτε σημείο του πεδίου ορισμού της. Είναι φανερό πως, σ’ αυτό το σημείο, έχουμε την 1 παράγραφος 5.2.- Γραφική παράσταση συνάρτησης, του σχολικού εγχειριδίου, παράδειγμα σ.157-158. 2 Χαρακτηριστική περίπτωση επαλήθευσης της θεωρίας gestalt.

περίπτωση που χο R και f(χ) R {+ , - }. Με τη βοήθεια του ορισμού της συνάρτησης αποδεικνύεται εύκολα ότι οι πολυωνυμικές, οι ρητές καθώς και οι ημχ και συνχ είναι συνεχείς (στο πεδίο ορισμού τους 1). Χωρίς απόδειξη τίθεται ότι και οι αχ και logαχ είναι συνεχείς (στο πεδίο ορισμού τους). Ως συνέπεια του (σημειακού) ορισμού της συνέχειας και των ιδιοτήτων των ορίων, προκύπτει ότι το άθροισμα, το γινόμενο, το πηλίκο, η απόλυτη τιμή, η ρίζα και η σύνθεση συνεχών συναρτήσεων είναι επίσης συνεχείς συναρτήσεις. Ακολουθεί ο ορισμός της συνέχειας σε ανοικτό και κλειστό διάστημα2, και αμέσως μετά το Θεώρημα του Bolzano (Θ.B.), χωρίς απόδειξη, αλλά με την πολύ σημαντική γεωμετρική του ερμηνεία. Το Θεώρημα του Bolzano έχει μια, επίσης πολύ σημαντική εφαρμογή στη μελέτη του προσήμου (συνεχούς) συνάρτησης σε διάστημα. Στη συνέχεια παρουσιάζεται το Θεώρημα των Ενδιαμέσων Τιμών (Θ.Ε.Τ.): 1. ως γενίκευση του Θ.Β., 2. με την απόδειξή του (η οποία βασίζεται στο Θ.Β.) , 3. με ένα πόρισμα για την εικόνα ενός διαστήματος μέσα από συνεχή συνάρτηση. Το κεφάλαιο κλείνει με το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής («μεγίστου και ελαχίστου» λεγόταν παλαιότερα), και με ένα ακόμα θεώρημα . ο συνδυασμός των τελευταίων θεωρημάτων δίνει ένα πολύ καλό ‘εργαλείο’ για την εύρεση του συνόλου τιμών μιας συνάρτησης ορισμένης σε διάστημα. Γ΄ ΛυκείουΜαθηματικά Γενικής Παιδείας

Η έννοια της συνέχειας δίδεται ιδιαίτερα συνοπτικά στην ίδια υποπαράγραφο με την έννοια του ορίου (όπως έχουμε προαναφέρει στην §6.1.2. του παρόντος).

1 Έχει ήδη αναφερθεί ότι μια συνάρτηση που είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της θα λέγεται «συνεχής».2 Σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο, η συνάρτηση του σχήματος 63.β) (σελίδα191) είναι συνεχής στο [α, β], και επειδή είναι συνεχής και αριστερά του α, έστω στο (γ, α), καθώς και δεξιά του β, έστω στο (β, δ), τότε είναι συνεχής και στην ένωση των διαστημάτων αυτών, άρα σε όλο το (γ, δ) (α, β), επομένως και στο α και στο β (!)(;).

6.3. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1. Όπως είπαμε, η συνέχεια ορίζεται μέσω της έννοιας του ορίου. Αυτό δίνει τη δυνατότητα στους μαθητές, προκειμένου να υπολογίσουν το όριο στο χο μιας συνάρτησης f για την οποία γνωρίζουν εκ των προτέρων ότι είναι συνεχής (όπως συμβαίνει με όλες τις γνωστές συναρτήσεις), να θέτουν χ=χο στον τύπο της και να εκτελούν τις πράξεις. 2. Οι μαθητές πρέπει να κατανοήσουν ότι το όριο μιας συνάρτησης δεν είναι εξ ορισμού τιμή της συνάρτησης (όταν αυτό συμβαίνει, προκύπτει ως αποτέλεσμα μιας επιπλέον ιδιότητας της συνάρτησης, της συνέχειας, και όχι ως αποτέλεσμα της έννοιας του ορίου1). Έτσι το «όριο» είναι το ‘σημείο στο οποίο κατευθύνονται’ οι τιμές μιας συνάρτησης.3. Σε συνδυασμό με τα προηγούμενα, οι μαθητές πρέπει να κατανοήσουν ότι το να θέτουμε χ=χο στον τύπο της f, χωρίς να γνωρίζουμε από πριν αν η f είναι συνεχής στο χο, για να βρούμε το όριό της είναι μια ‘διαισθητική’ και όχι μια ‘αλγεβρική’ διαδικασία, αρχικής διερεύνησης και όχι υπολογισμού, την οποία δικαιούμαστε να κάνουμε άτυπα. Έτσι, για παράδειγμα, για να πούμε ότι

= , έχουμε ήδη κάνει νοερά την αντικατάσταση χ=0, απ’ την οποία

προέκυψε το ‘κλάσμα’ που διαισθητικά αντιλαμβανόμαστε ότι ‘ισούται’

με . Και γνωρίζουμε καλά ότι αυτή είναι η διαδικασία στην οποία προβαίνουμε τόσο εμείς όσο και οι μαθητές μας κάθε φορά που έχουμε να υπολογίσουμε ένα όριο, όσο και αν δεν το παραδεχόμαστε επίσημα. Σ’ αυτό το σημείο προκύπτουν αβίαστα δύο συμπεράσματα και δύο ερωτήματα: Η διαισθητική μάθηση είναι θεμελιώδους σημασίας στα Μαθηματικά και ιδιαίτερα στην Ανάλυση. Η διαισθητική μάθηση είναι τυπικά υποβαθμισμένη, γιατί δεν βασίζεται στη λογικομαθηματική απόδειξη. Ποια είναι η τυπική λογικομαθηματική διαδικασία απόδειξης του ότι

= ;

Μήπως, με το ‘να παίζουμε το παιχνίδι του κλέφτη κι αστυνόμου’ με τους μαθητές μας και μάλιστα πάνω σε έννοιες και διαδικασίες απ’ τις οποίες κρίνεται ο βαθμός τους στις Πανελλαδικές εξετάσεις και (ίσως) και το μέλλον τους, άθελά μας ουσιαστικά ακυρώνουμε το διδακτικό συμβόλαιο μαθητή-εκπαιδευτικού; Βέβαια οι περισσότεροι από εμάς θα απαντήσουμε πως η μεθοδολογία που απουσιάζει από τα σχολικά εγχειρίδια δίδεται στους μαθητές υπό τη μορφή σημειώσεων του καθηγητή. Όμως, η απορία του μαθητή: «γιατί το σχολικό βιβλίο δεν γράφει αυτά που απαιτούνται για να μπορούμε να λύνουμε τις ασκήσεις μας;» περιμένει ακόμα απάντηση, γιατί ο μαθητής της Γ΄ Λυκείου δεν μπορεί να καταλάβει τι εννοούμε όταν λέμε ότι «είμαστε κατά του εξετασιοκεντρικού προσανατολισμού του σχολείου κι ως εκ τούτου το σχολείο δεν πρέπει να είναι παρασκευαστήριο των μαθητών για τις εξετάσεις». Και ίσως τέτοιου είδους αντιφάσεις είναι που θέτουν τα θεμέλια της αμφισβήτησης του θεσμού του Σχολείου στους μαθητές και στην Κοινωνία. Μία πρόταση, που θα μπορούσαμε να κάνουμε για την άρση μεταξύ της απόστασης ‘διδαχθέντων’ και ζητουμένων, είναι να παρατίθενται μεθοδολογικές παρατηρήσεις στο τέλος του βιβλίου, ως παράρτημα. 1 Το οποίο πρακτικά σημαίνει ότι, εφ’ όσον οι μαθητές έχουν διδαχθεί τη συνέχεια, και γνωρίζουν για μια συνάρτηση ότι είναι συνεχής σ’ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε μπορούν να υπολογίζουν το όριο σ’ αυτό το σημείο, θέτοντας στον τύπο της συνάρτησης όπου χ, αυτήν την τιμή.

4. Αναφορικά με τις πράξεις μεταξύ των , πρέπει να τονίσουμε στους μαθητές μας πως εδώ το πρόσημο «+» δεν μπορεί να παραλείπεται.5. Πολλές φορές οι μαθητές μας, συγχέουν (υποσυνείδητα μεν, που όμως τους δημιουργεί πολλά προβλήματα στη διαδικασία επίλυσης ασκήσεων) την έννοια της απροσδιόριστης μορφής με τη μη ύπαρξη ορίου. Συγκεκριμένα, νομίζουν ότι το να καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή σημαίνει πως έχουμε αποδείξει ότι δεν υπάρχει το όριο. Πρέπει να μεριμνήσουμε για τη διόρθωση μιας πιθανής τέτοιας παρανόησης μέσα από κατάλληλα παραδείγματα. 6. Ορισμένες φορές οι μαθητές συγχέουν τις φράσεις (για το όριο) «δεν υπάρχει» και «δεν είναι (πραγματικός) αριθμός», ίσως γιατί πολλές φορές χρησιμοποιούμε την ‘αμφισβητούμενη’ διατύπωση «δεν υπάρχει στο R». Έτσι όταν οι μαθητές ακούν «δεν υπάρχει» καταλαβαίνουν ότι «δεν υπάρχει στο R», θεωρώντας ότι δεν το είπαμε ως ευκόλως εννοούμενο, ή από αφηρημάδα. Γι΄ αυτό κρίνεται ιδιαίτερα σημαντικό να τους τονίσουμε πως όταν λέμε ότι «το όριο υπάρχει» θα εννοούμε ότι «είναι στοιχείο του R {+ , - }». Ομοίως οι φράσεις «συγκλίνει», «δεν συγκλίνει» και «αποκλίνει» πρέπει να ‘οριστούν καλώς’ μέσα στην τάξη πριν από τη χρήση τους.7. Είναι πολύ σημαντικό να καταλάβουν οι μαθητές ότι για να μπορέσουμε να εφαρμόσουμε ιδιότητες όπως:

[f(x) g(x)]= f(x) g(x), [f(x)g(x)]= f(x) g(x) κτλ. θα

πρέπει πρώτα να έχουμε εξασφαλίσει την ύπαρξη των f(x) και g(x). Γι’ αυτό πρέπει να δώσουμε κατάλληλα παραδείγματα στα οποία θα υπάρχει π.χ. το [f(x)g(x)], αλλά δεν θα υπάρχουν τα f(x) και g(x). Ως παράδειγμα

αναφέρουμε τις συναρτήσεις f(x)= και g(x)= , για τις οποίες

ισχύει [f(x)g(x)]= , αλλά τα f(x) και g(x) δεν ορίζονται.8. Αναφορικά με τη διαδικασία υπολογισμού ενός ορίου ρητής συνάρτησης, είναι γνωστό πως, πριν από οτιδήποτε άλλο, πρέπει να γίνουν οι απαιτούμενες παραγοντοποιήσεις και απλοποιήσεις. Αυτό μέσα από κατάλληλα παραδείγματα αποδεικνύεται πολύ χρήσιμο, τόσο στην άρση της απροσδιοριστίας σε ορισμένες περιπτώσεις, όσο στο πόσο μας διευκολύνει στη λήψη της απόφασης για το αν θα πάρουμε πλευρικά όρια στο χο R (βλ. παρατήρηση 10.). Είναι όμως πολύ σημαντικό να βοηθήσουμε τους μαθητές μας ώστε να διακρίνουν την περίπτωση που το ζητούμενο είναι να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης. Στην περίπτωση του πεδίου ορισμού, αυτό το βρίσκουμε πριν από οποιαδήποτε παρέμβαση πάνω στον τύπο της συνάρτησης. 9. Ένα άλλο λεπτό σημείο (που κατά κάποιον τρόπο σχετίζεται με το περιεχόμενο της προηγούμενης παρατήρησης) είναι ότι, σε αντίθεση με τη μελέτη μιας συνάρτησης ως προς την ύπαρξη ή όχι του ορίου της στο χο, για να μελετήσουμε τη συνέχεια ή μη της συνάρτησης σε ένα χο θα πρέπει αυτό να είναι υποχρεωτικά σημείο του πεδίου ορισμού της.10. Ένας πρακτικός κανόνας για να μπορούν οι μαθητές να διακρίνουν πότε θα παίρνουν πλευρικά όρια, στην περίπτωση που το χο δεν είναι σημείο αλλαγής τύπου, είναι η περίπτωση κλασματικών συναρτήσεων (εφ’ όσον έχουν γίνει όλες οι δυνατές απλοποιήσεις) όταν ο παρονομαστής αλλάζει πρόσημο

εκατέρωθεν του χο 1. Αν αλλάζει και ο αριθμητής πρόσημο εκατέρωθεν του χο, τότε προφανώς δεν έχουν γίνει όλες οι δυνατές απλοποιήσεις.

1 Αυτό συμβαίνει λόγω του Θεωρήματος Bolzano, που όμως δεν έχει ακόμα διδαχθεί, οπότε προς το παρόν δεν μπορεί να ερμηνευθεί, παρά μόνο εποπτικά.

Γ΄ Λυκείου – Το Θεώρημα Bolzano(Μαθηματικά θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης)

Τάξη: Γ΄ ΛυκείουΗμερομηνία:………………Χρονική διάρκεια: 1 διδακτική ώρα (45΄)Ώρα:…………Ενότητα: Το Θεώρημα Bolzano (Θ.Β.)Στόχοι: 1. Οι μαθητές να κατανοήσουν τη γεωμετρική ερμηνεία του Θ.Β.

2. Να μπορούν να διατυπώνουν το Θ.Β.3. Να μπορούν να χρησιμοποιούν το Θ.Β. για να αποδεικνύουν ότι

μια συνεχής συνάρτηση σε διάστημα διατηρεί πρόσημο σ’ αυτό.

4. Να είναι σε θέση να εφαρμόζουν το Θ.Β. σε ασκήσεις.Προαπαιτούμενες γνώσεις: Η γεωμετρική (εποπτική) έννοια της

συνέχειας, Γραφική παράσταση συνάρτησης (ρίζες συνάρτησης κτλ.).

Πορεία: Πενταμερής με συνεπτυγμένα τα στάδια Εφαρμογή και Αξιολόγηση.Μέθοδος: Διαισθητική ανακάλυψη, Παραγωγή-Ανάλυση.Μορφή: Καθοδηγούμενη ανακάλυψη, Εργασία σε ομάδες, Ερωταποκρίσεις με στοιχεία επεξηγηματικού μονολόγου.Διδακτικά μέσα: Χαρτί-μολύβι, Πίνακας-Κιμωλίες, Λογισμικό σχεδιασμού καμπυλών.

Σχέδιο Μαθήματος:1. Προπαρασκευή (10΄)

Βασιζόμενοι στην εποπτική αντίληψη για την έννοια της συνέχειας, την οποία έχουν ήδη αποκτήσει οι μαθητές, τους προτρέπουμε να σχεδιάσουν μια γραφική παράσταση συνεχούς συνάρτησης (μια συνεχή γραμμή στο καρτεσιανό επίπεδο που να μην έχει δυο σημεία με κοινή τετμημένη) για την οποία να υπάρχουν δύο σημεία Μ(α, f(α)), Ν(β, f(β)) που να βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα χ΄χ. Εργάζονται σε μικρές ομάδες και προσέρχονται δυο μαθητές από διαφορετικές ομάδες στον πίνακα για να παρουσιάσουν τα σχέδια στα οποία κατέληξαν οι ομάδες τους. Μετά από σύντομη συζήτηση σε επίπεδο τάξης προκύπτει ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης μπορεί να είναι κάπως έτσι:

y Ν y Μ

α β β χ α χ

Μ Ν σχήμα 1. σχήμα 2.

Εναλλακτικά, οι μαθητές μπορούν να σχεδιάσουν τις καμπύλες με τη βοήθεια κατάλληλου εκπαιδευτικού λογισμικού.

2. Παρουσίαση (5΄) Οι μαθητές διατυπώνουν τη σκέψη που τους οδήγησε στην κατασκευή

των σχημάτων, δηλαδή πως αφού η γραμμή είναι συνεχής θα πρέπει να τέμνει κάπου (τουλάχιστον σ’ ένα σημείο) τον άξονα, μεταξύ των α, β, το οποίο ισοδυναμεί με το ότι η συνάρτηση έχει (τουλάχιστον) μία ρίζα μέσα στο (α, β). Με τη καθοδήγησή μας συνοψίζουν τα δεδομένα και το συμπέρασμα και τα διατυπώνουν σε ‘μαθηματική - αναλυτική’ γλώσσα:

«Αν η f[α,β] R είναι συνεχής και f(α)f(β)<0, τότε χο (α, β): f(χο)=0.»

Δίνουμε την πατρότητα της πρότασης αυτής, βάσει της οποίας παίρνει και το όνομά της «Θεώρημα Bolzano». Οφείλουμε να τους διευκρινίσουμε πως η προηγούμενη διαδικασία δεν αποτελεί (αυστηρή) μαθηματική απόδειξη, αλλά βάσιμη διαισθητική ένδειξη, και πως η απόδειξη παραλείπεται διότι απαιτεί ανώτερα μαθηματικά.3. Επεξεργασία (5΄)

Με κατευθυνόμενο διάλογο, και ερωταποκρίσεις οι μαθητές διαπιστώνουν πως μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών μιας συνεχούς συνάρτησης οι τιμές της συνάρτησης διατηρούν σταθερό πρόσημο.

4. Εφαρμογή / Αξιολόγηση (25΄)

Οι μαθητές εμπεδώνουν το Θ.Β. και τις εφαρμογές του, μέσα από κατάλληλα παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων όπως κάποιες από τις ασκήσεις 6. σ.198, 9.ι),ιν), 4. (σ.199), 5.β), 6.ι), 7. (σ.200).

Οι μαθητές μέσα από τις προηγούμενες ασκήσεις διαπιστώνουν ότι το Θ.Β. αποτελεί ένα καλό μαθηματικό ‘εργαλείο’ για την επίλυση όχι μόνο εξισώσεων αλλά και ανισώσεων.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6

Να προτείνετε έναν τρόπο παρουσίασης και αξιολόγησης του Θεωρήματος των Ενδιαμέσων Τιμών και του Θεωρήματος Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής, στα πλαίσια δύο διδακτικών ωρών. Να σχεδιάσετε χωριστά ένα φύλλο εργασίας, για την παρουσίαση του ενός από τα θεωρήματα αυτά και ένα φύλλο αξιολόγησης με μία άσκηση ή πρόβλημα (ερώτημα ανοικτού τύπου) και οκτώ ερωτήσεις κλειστού τύπου (δύο Συμπλήρωσης Κενού, τέσσερις Σωστού-Λάθους, μία Πολλαπλής Επιλογής, και μία Αντιστοίχισης) για συνολική αξιολόγηση των μαθητών.

(προτεινόμενος χρόνος 2 ώρες και 30 λεπτά)

ΕΝΟΤΗΤΑ 77.1. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7.1.1. ΓυμνάσιοΒ΄ και Γ΄ Γυμνασίου

Την έννοια της ‘λείας’ καμπύλης οι μαθητές την έχουν ως ένα βαθμό, ήδη απ’ το Γυμνάσιο, και συγκεκριμένα από τη Β΄ και τη Γ΄ Γυμνασίου, διότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων που συναντούν είναι όλες παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους.

Ένας άλλος τρόπος προσέγγισης της έννοιας αυτής είναι η θεώρησή της ως «ρυθμού μεταβολής» της αριθμητικής τιμής μιας φυσικής οντότητας, όπως, για παράδειγμα, είναι το μέτρο της ταχύτητας. Έχει, λοιπόν, ενδιαφέρον ο τρόπος με τον οποίο εισάγονται ο έννοιες της ταχύτητας και της επιτάχυνσης στο Γυμνάσιο. Βέβαια, τις έννοιες της ταχύτητας1 και της επιτάχυνσης (ή της επιβράδυνσης) οι μαθητές τις έχουν ήδη οικοδομήσει εμπειρικά από την καθημερινή τους δραστηριότητα, και μάλιστα από πολύ μικρή ηλικία, και φυσικά στο Γυμνάσιο δεν χρησιμοποιείται ο συμβολισμός του Leibniz. 7.1.2. ΛύκειοΑ΄ και Β΄ Λυκείου

Στην Α΄ Λυκείου οι μαθητές έρχονται σε επαφή και με γραφικές παραστάσεις μη παραγωγίσιμων συναρτήσεων, όπως π.χ. αυτή με τύπο f(χ)= , αλλά αυτή είναι μια ιδιότητα την οποία δεν εξετάζουν όταν κάνουν τη μελέτη μιας συνάρτησης, καθώς δεν γνωρίζουν τυπικά, σ’ αυτή τη φάση, την έννοια της παραγώγου. Ανάλογο είναι το σκηνικό στη Β΄ Λυκείου. Συγκεκριμένα, οι μαθητές έρχονται σε επαφή με τις γραφικές παραστάσεις της εκθετικής και της λογαριθμικής συνάρτησης, στην Άλγεβρα (Γενικής Παιδείας) οι οποίες, όπως εμείς γνωρίζουμε, είναι παραγωγίσιμες. Αυτός είναι ο γεωμετρικός τρόπος προσέγγισης της έννοιας της παραγωγισιμότητας.

Όσον αφορά το μάθημα της Φυσικής, στο εισαγωγικό κεφάλαιο του σχολικού εγχειριδίου της Α΄ Λυκείου επιχειρείται με συγκεκριμένα παραδείγματα να δοθεί η έννοια του «ρυθμού μεταβολής» ενός φυσικού μεγέθους Φ σε σχέση με το χρόνο t ως το πηλίκο των αντίστοιχων μεταβολών: . Με αυτόν το συμβολισμό εισάγονται οι έννοιες (του μέτρου) της «ταχύτητας» στην ομαλή (υ=σταθερό) ευθύγραμμη κίνηση και (του μέτρου) της «επιτάχυνσης» στην ομαλά επιταχυνόμενη (α=σταθερό) ευθύγραμμη κίνηση. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση της «στιγμιαίας ταχύτητας» (που αντικατοπτρίζει τον στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης του ‘‘διαστήματος’’, δηλαδή τον παράγωγο αριθμό), η οποία δίδεται διαισθητικά μέσα από ένα παράδειγμα, στο οποίο εξυπονοείται ότι υ(t)= .

1 Να σημειωθεί ότι αναφερόμαστε στην ευθύγραμμη κίνηση και στο μέτρο της ταχύτητας (σταθερό ή όχι).

Γ΄ ΛυκείουΜαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Από τα παραπάνω γίνεται αντιληπτό ότι οι μαθητές στη Γ΄ Λυκείου έχουν ήδη μια νοητική υποδομή ώστε να μπορούν να αντιληφθούν την έννοια, αφ’ ενός του «παραγώγου αριθμού» ενός αριθμητικού μεγέθους ως το στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής αυτού του μεγέθους και αφ΄ ετέρου της «παραγωγίσιμης» συνάρτησης, ως εκείνης η οποία έχει λεία γραφική παράσταση.

Πράγματι, το σχολικό βιβλίο στην εισαγωγική παράγραφο 2.1. του Διαφορικού Λογισμού χρησιμοποιεί και τις δύο αυτές προσεγγίσεις, δηλαδή την αναλυτική και τη γεωμετρική. Συγκεκριμένα, η αναλυτική έννοια του παραγώγου αριθμού δίδεται με το παράδειγμα της στιγμιαίας ταχύτητας1

ως υ(t)= , ενώ η γεωμετρική ιδιότητα μπορεί να διατυπωθεί

ως ‘‘η οριακή τιμή της κλίσης μιας τέμνουσας της καμπύλης, η οποία τείνει να γίνει εφαπτομένη στην καμπύλη (σ’ ένα από τα δύο σημεία τομής)’’. Δηλαδή η έννοια της παραγωγισιμότητας μιας συνάρτησης f σ’ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της συνδέεται άμεσα με την ύπαρξη της εφαπτομένης ευθείας στο αντίστοιχο σημείο της γραφικής παράστασης,

μέσα από τον εξής ορισμό: Αν Α(χο, f(χο)) σημείο της Cf και

=λ R, τότε η ευθεία που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ονομάζεται «εφαπτομένη» της Cf στο Α. Ο ορισμός αυτός συνενώνει την αναλυτική και τη γεωμετρική έκφραση του παραγώγου αριθμού2. Με αυτόν τον τρόπο επεκτείνεται ο ορισμός της εφαπτομένης 3. Ακολούθως δίνεται η έννοια της «παραγωγισιμότητας (συνάρτησης) σε σημείο» και «της παραγώγου (ή παραγώγου αριθμού) σε σημείο». Η κατακόρυφη εφαπτομένη βρίσκεται εκτός διδακτέας ύλης. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η ύπαρξη της συνέχειας σε σημείο (στοιχείο) του πεδίου ορισμού συνάρτησης ως αναγκαία συνθήκη παραγωγισιμότητας στο ίδιο σημείο.

Στην επόμενη παράγραφο επεκτείνεται η έννοια της παραγωγι-σιμότητας στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης, και συγκεκριμένα σε ανοικτό ή κλειστό διάστημα. Μέσα από αυτήν την επέκταση εισάγεται η 1 και χρησιμοποιείται ο όρος «ρυθμός αλλαγής», ενώ σε επόμενη παράγραφο το σχολικό βιβλίο θα χρησιμοποιήσει τον όρο «ρυθμός μεταβολής» για την ίδια έννοια. 2 Άλλωστε, η κλίση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f σ’ ένα σημείο χο, μπορεί να θεωρηθεί ως ο ρυθμός μεταβολής των τιμών της f ως προς τις τιμές του χ στο χο, παρ’ όλο που η μεταβλητή χ δεν παριστάνει χρόνο. Γενικότερα η έννοια του ‘‘χ τείνοντος στο χο’’ δεν εξυπονοεί κάποια μετακίνηση του χ, αλλά τη θεώρηση ότι το χ παίρνει διαδοχικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές στο διάστημα κοντά στο χο. Βέβαια, πώς είναι δυνατόν να εννοήσει ο άνθρωπος ένα μαθηματικό ‘φαινόμενο’, αν υποσυνείδητα δεν θεωρεί μια χρονική εξέλιξη;3 Μέσα από την ανάδειξη της ανεπάρκειας ενός ορισμού ο οποίος συνδέει την έννοια και την ύπαρξη εφαπτομένης καμπύλης, ως της ευθείας που έχει ένα κοινό σημείο με την καμπύλη. Ανεπάρκεια για τρεις λόγους: 1. γιατί ήδη, από τις κωνικές τομές, μόνο για τον κύκλο και την έλλειψη μπορεί να σταθεί αυτός ο ορισμός (για τις υπόλοιπες η ευθεία με ένα μόνο κοινό σημείο μπορεί να είναι τέμνουσα) 2. αυτός ο ορισμός δεν μπορεί να συμπεριλάβει την περίπτωση που η καμπύλη είναι η ίδια ευθεία (δεν θα είχε καμιά εφαπτομένη με αυτόν τον ορισμό), και 3. γιατί δεν μπορούμε να επεκταθούμε σε άλλες γραμμές (με αναλυτικούς τύπους-γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων, διότι η ίδια ευθεία μπορεί να είναι εφαπτομένη σ’ ένα σημείο και τέμνουσα σ’ ένα άλλο), παρά μόνο αν θεωρήσουμε την εφαπτομένη σε ‘‘τοπική’’ διάσταση. Είναι προφανές ότι η έννοια της εφαπτομένης (τοπικής ή ολικής) μιας καμπύλης έχει να κάνει με την έννοια της «κυρτότητας (τοπικής ή ολικής)» της καμπύλης.

έννοια της «παραγώγου συνάρτησης», και με τη βοήθεια του ‘οριακού’ ορισμού της παραγώγου σε σημείο, αποδεικνύεται η παραγωγισιμότητα (στο αντίστοιχο πεδίο ορισμού) και δίδεται ο τύπος της παραγώγου συνάρτησης των βασικών συναρτήσεων: c, χ, χv, (χ 0), ημχ και συνχ, ενώ για τις ex (χ R), lnχ (χ>0) δεν παρατίθεται η απόδειξη.

Στη συνέχεια, πάλι μέσα από τον ‘οριακό’ ορισμό, αποδεικνύεται ότι το άθροισμα (και η διαφορά), το γινόμενο1 και το πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση, και προκύπτουν οι αντίστοιχοι κανόνες παραγώγισης. Ως πορίσματα των παραπάνω προκύπτει η παραγωγισιμότητα και οι αντίστοιχοι κανόνες παραγώγισης των συναρτήσεων: cf, χ-v (ν N*-{1}, χ R*), εφχ και σφχ. Η παραγωγισιμότητα της σύνθετης συνάρτησης (παραγωγισίμων συναρτήσεων), καθώς και ο αντίστοιχος κανόνας παραγώγισης δίνονται με τη βοήθεια ενός παραδείγματος και χωρίς απόδειξη. Με τη βοήθεια του κανόνα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης (και την κατάλληλη αλλαγή μεταβλητής σε κάθε περίπτωση) προκύπτουν οι κανόνες παραγώγισης για τις συναρτήσεις: χα ( χ (0, ), α R-Z), αχ (x R, α>0), ln (χ R*).

Η επόμενη παράγραφος του σχολικού βιβλίου ασχολείται εξ ολοκλήρου με το «ρυθμό μεταβολής» φυσικών και οικονομικών αριθμητικών μεγεθών, δηλαδή με εφαρμογές των παραγώγων.

Στη συνέχεια έχουμε το «Θεώρημα του Rolle (Θ.R.)» και το «Θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.) (του Διαφορικού Λογισμού2)», για την παρουσίαση των οποίων ακολουθείται η επαγωγική διδακτική προσέγγιση, δηλαδή το Θ.Μ.Τ. παρουσιάζεται ως γενίκευση του Θ.R.(επαγωγή), ενώ αναφέρεται και το αντίστροφο, δηλαδή ότι το Θ.R. αποτελεί ειδική περίπτωση του Θ.Μ.Τ. (αναγωγή του –ειδικού-Θ.R. στο –γενικό- Θ.Μ.Τ.). Την επαγωγική διδακτική προσέγγιση ευνοεί το γεγονός ότι το Θ.Μ.Τ. μπορεί να αποδειχτεί με τη βοήθεια του Θ.R. (παρά το γεγονός ότι δεν παρατίθενται οι αποδείξεις). Ιδιαίτερη σημασία έχει η γεωμετρική ερμηνεία των θεωρημάτων αυτών, αλλά και η εφαρμογή τους στην επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων.

Μεγάλη σημασία έχουν τα θεωρήματα-πορίσματα του Θ.Μ.Τ.3 ως προς τα συμπεράσματα τα οποία προκύπτουν: α) για μια συνάρτηση με μηδενική παράγωγο, β) για δυο συναρτήσεις με ίσες παραγώγους και γ) για τη μονοτονία μιας συνάρτησης από το πρόσημο της παραγώγου (Θεώρημα Μονοτονίας). Κοινή υπόθεση σε όλα τα παραπάνω είναι: 1. οι συναρτήσεις να είναι συνεχείς σε διάστημα, 2. η παραγωγισιμότητα και οι κατά περίπτωση ιδιότητες της παραγώγου να ισχύουν στο εσωτερικό του διαστήματος, ενώ το εκάστοτε συμπέρασμα ισχύει για όλο το διάστημα. Με τη βοήθεια αντιπαραδειγμάτων αποδεικνύεται ότι τα πορίσματα α) και β) δεν ισχύουν σε ένωση διαστημάτων, και ότι δεν ισχύει το αντίστροφο του γ).

Είναι φανερό ότι με το γ) πόρισμα έχει ήδη ξεκινήσει η μελέτη συνάρτησης (και αντίστοιχης γραφικής παράστασης). Έτσι, στη συνέχεια, με τη βοήθεια της εποπτείας που παρέχει μια γραφική παράσταση, δίδονται οι ορισμοί των «τοπικών ακροτάτων (τ.α.) (μεγίστου και ελαχίστου)» και «ολικών ακροτάτων (μεγίστου και ελαχίστου)4». Επίσης παρατίθενται και 1 Η απόδειξη είναι εκτός διδακτέας ύλης.2 Η διευκρίνιση γίνεται διότι υπάρχει συνώνυμο θεώρημα και στον Ολοκληρω(μα)τικό Λογισμό, αν και το τελευταίο βρίσκεται εκτός διδακτέας ύλης.3 Παρατίθενται με τις αποδείξεις τους.4 Αν και ο ορισμός του τοπικού μεγίστου (τοπικού ελαχίστου) δεν προϋποθέτει τη συνέχεια της συνάρτησης στο σημείο αυτό, εν τούτοις τα σχήματα του βιβλίου δεν

κάποιες χρήσιμες παρατηρήσεις για τα τοπικά και ολικά ακρότατα. Το «Θεώρημα του Fermat (Θ.F.)»1, αμέσως μετά, μας δίνει μια αναγκαία συνθήκη για να έχει τοπικό ακρότατο, μια συνάρτηση, σ’ ένα εσωτερικό σημείο του διαστήματος ορισμού της, το οποίο σημαίνει ότι τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος ορισμού μιας συνάρτησης, στα οποία η παράγωγος (ορίζεται και) είναι ίση με μηδέν αποτελούν θέσεις πιθανών ακροτάτων. Με εποπτική προσέγγιση προκύπτουν άλλες δυο κατηγορίες σημείων ως θέσεις πιθανών ακροτάτων (τα άκρα του διαστήματος, αν η συνάρτηση ορίζεται σ’ αυτά, και τα εσωτερικά σημεία στα οποία δεν ορίζεται η παράγωγος). Προσοχή! «Κρίσιμα» ονομάζονται τα εσωτερικά σημεία πιθανών ακροτάτων. Έτσι προκύπτει ένα θεώρημα-κριτήριο για την ύπαρξη ακροτάτων σε κρίσιμα σημεία (με την προϋπόθεση ότι αν σ’ ένα τέτοιο δεν ορίζεται η παράγωγος, να είναι η συνάρτηση συνεχής). Στο ίδιο θεώρημα δίδεται ένα κριτήριο για τη μονοτονία συνάρτησης σε ανοικτό διάστημα με τη βοήθεια του προσήμου της παραγώγου, στην περίπτωση που η παράγωγος δεν ορίζεται σ’ ένα εσωτερικό σημείο, εφ’ όσον όμως η συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο αυτό. Με άλλα λόγια επεκτείνεται το κριτήριο του προσήμου της παραγώγου για τη μονοτονία συνάρτησης, από την περίπτωση που η παράγωγος ορίζεται σε όλο το εσωτερικό του διαστήματος, στην περίπτωση που η παράγωγος δεν ορίζεται σε ένα εσωτερικό σημείο, στο οποίο, όμως, η συνάρτηση είναι συνεχής. Η απόδειξη αυτού του θεωρήματος είναι εκτός διδακτέας ύλης.

Ακολουθεί η παρουσίαση ενός αλγορίθμου για την εύρεση του ολικού ελαχίστου και του ολικού μεγίστου μιας συνεχούς συνάρτησης ορισμένης σε κλειστό διάστημα2, εφ’ όσον δεν είναι γνησίως μονότονη σ’ αυτό (γιατί αυτήν την περίπτωση την έχουμε ήδη δει στο προηγούμενο κεφάλαιο). Το κριτήριο της δεύτερης παραγώγου για την εύρεση των τοπικών μεγίστων και ελαχίστων, το οποίο ακολουθεί, είναι εκτός διδακτέας ύλης.

Στην επόμενη παράγραφο δίδονται η έννοια και οι ορισμοί της «κυρτής (στρέφει τα κοίλα άνω)» και «κοίλης (στρέφει τα κοίλα κάτω)» συνάρτησης (συνεχούς σε διάστημα Δ και παραγωγίσιμης στο εσωτερικό του Δ) με τη βοήθεια της μονοτονίας της παραγώγου της. Άμεση συνέπεια του ορισμού είναι ένα θεώρημα-κριτήριο για την ‘κυρτότητα’ μιας συνάρτησης από το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου της, που προκύπτει από το Θεώρημα Μονοτονίας, αν όπου f θέσουμε f΄ και όπου f΄ θέσουμε f΄΄. Με άλλα λόγια ό,τι είναι η f΄για την f, είναι η f΄΄ για την f΄. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η γεωμετρική σημασία της ‘κυρτότητας’ (και της ‘κοιλότητας’), αναφορικά με τη σχετική θέση γραφικής παράστασης και εφαπτομένης. Ακολουθεί η παρουσίαση της έννοιας του «σημείου καμπής (σ.κ.)»3, και ένα αντίστοιχο, με το Θεώρημα του Fermat, θεώρημα μέσα από τις αντιστοιχίες: f f΄, f΄ f΄΄ , σημείο καμπής της f τοπικό ακρότατο της f΄. Με αυτήν τη λογική προκύπτουν τα «σημεία πιθανών σημείων καμπής», ενώ αποκλείονται τα άκρα του διαστήματος, γιατί εξ ορισμού το σημείο καμπής πρέπει να είναι εσωτερικό σημείο του

περιλαμβάνουν μια περίπτωση στην οποία το σημείο τοπικού ακροτάτου να είναι και σημείο ασυνέχειας.1 Παρατίθεται με την απόδειξή του.2 Το ότι μια συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε κλειστό διάστημα παίρνει μέγιστο και ελάχιστο σ’ αυτό το γνωρίζουμε από το προηγούμενο κεφάλαιο.3 την οποία πρέπει να δώσουμε μόνο μέσα από παραδείγματα. Ο αυστηρός μαθηματικός ορισμός είναι εκτός ύλης, διότι η μόνη περίπτωση να μην ορίζεται η f΄σε ένα εσωτερικό σημείο χο ενός διαστήματος και να ορίζεται η εφαπτομένη ευθεία στο χο είναι να υπάρχει κατακόρυφη εφαπτομένη εκεί, η οποία, όπως προείπαμε, είναι εκτός ύλης.

διαστήματος ορισμού της f, ενώ για το ακρότατο δεν υπάρχει τέτοιο περιορισμός. Βέβαια τίθεται εύλογα το εξής ερώτημα: δεδομένου ότι το σ.κ. της f είναι τ.α. για την f΄, γιατί να μην μπορεί η f΄ να πάρει τ.α. στα άκρα του πεδίου ορισμού της; Η απάντηση είναι ότι θα πρέπει η f΄, να είναι συνεχής στα άκρα, άρα, καταρχήν, να ορίζεται, εκεί το οποίο όμως δεν το έχουμε θέσει ως προϋπόθεση για την f. Έτσι αν η f΄, δεν (μας ενδιαφέρει αν) ορίζεται στα άκρα, δεν μπορούμε να μιλάμε και για τ.α. της f΄ στα άκρα. Φυσικά αυτή είναι μια ‘λειτουργική’ απάντηση, ικανοποιητική μόνο μέσα στα πλαίσια του σχολικού μαθήματος. Μια περαιτέρω επιστημολογική εμβάθυνση στο συγκεκριμένο ζήτημα βρίσκεται έξω από τους στόχους του συγκεκριμένου βιβλίου. Τέλος, παρατίθεται μία πρόταση ως κριτήριο για την εύρεση των σημείων καμπής μιας συνάρτησης, η οποία όμως μέσα στα σχολικά πλαίσια μπορεί να αποτελέσει και τον λειτουργικό ορισμό του σημείου καμπής.

Η επόμενη παράγραφος ασχολείται με τις «ασύμπτωτες (κατακόρυφες, οριζόντιες και πλάγιες) ευθείες» (αν και όταν υπάρχουν), γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων. Φυσικά η έννοιά τους εισάγεται εποπτικά-διαισθητικά μέσα από συγκεκριμένα παραδείγματα1. Προφανώς, και σύμφωνα με αυτά που γνωρίζουμε ήδη για την εξίσωση ευθείας στο καρτεσιανό επίπεδο, οι πλάγιες και οι οριζόντιες ασύμπτωτες δίδονται από τον ίδιο τύπο εξίσωσης. Στη συνέχεια δίδεται ένας πρακτικός κανόνας για το πώς θα γνωρίζουμε αν και πού θα διερευνήσουμε την ύπαρξη ασύμπτωτης ευθείας. Τέλος δίδεται, χωρίς απόδειξη, ο ιδιαίτερα χρήσιμος κανόνας De L’ Hospital 2.

Η τελευταία παράγραφος του κεφαλαίου αφορά στη μελέτη συνάρτησης και τη χάραξη της γραφικής παράστασης, οπότε όλα τα προηγούμενα εφαρμόζονται με τον κατάλληλο τρόπο προκειμένου να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης με τη μέγιστη δυνατή ακρίβεια.

1 Ουσιαστικά δεν πρόκειται για νέες έννοιες. Όπως έχουμε προαναφέρει, οι μαθητές σε προηγούμενες τάξεις έχουν ήδη έρθει σε επαφή με την έννοια αλλά και τον όρο «ασύμπτωτη» ευθεία.23 Η έννοια του κανόνα De L’ Hospital έχει να κάνει με το λόγο των ρυθμών μεταβολής δυο συναρτήσεων, προκειμένου να μπορούμε να δούμε ποια από τις δυο ‘μηδενίζεται’ ή ‘απειρίζεται’ πιο γρήγορα, οπότε και το αντίστοιχο όριο θα είναι 0 ή (+ή -).

Γ΄ ΛυκείουΜαθηματικά Γενικής Παιδείας

Τα Μαθηματικά της Γενικής παιδείας στοχεύουν κυρίως στο να αποκτήσουν οι μαθητές εκείνες τις γνώσεις και τις δεξιότητες τις οποίες θα μπορέσουν να χρησιμοποιήσουν και μετά το σχολείο, δεδομένου ότι απευθύνονται σε μαθητές οι οποίοι ίσως δεν τρέφουν ιδιαίτερη ‘αγάπη’ για τα Μαθηματικά, αλλά που σίγουρα θέλουν να γίνουν αποτελεσματικοί και ικανοί στις επαγγελματικές τους υποχρεώσεις αφ’ ενός, και να αποκτήσουν τα απαραίτητα μαθηματικά ‘εργαλεία’ για το σχολικό μάθημα της Φυσικής Γενικής Παιδείας αφ’ ετέρου. Με αυτό το κριτήριο έγινε όχι μόνο η επιλογή της διδακτέας ύλης, αλλά και ο τρόπος παρουσίασής της. Έτσι, σε ό,τι αφορά την έννοια της παραγώγου, έχουμε μια περισσότερο εφαρμοσμένη και πρακτική προσέγγιση. Σε γενικές γραμμές έχουμε τις εξής διαφορές σε σχέση με την αντίστοιχη ενότητα των Μαθηματικών Κατεύθυνσης: Η εισαγωγή εστιάζει στο παράδειγμα της ταχύτητας, και στις έννοιες της στιγμιαίας και της μέσης ταχύτητας, οι οποίες παραπέμπουν στο μάθημα της Φυσικής. Για τον σημειακό ορισμό της παραγώγου χρησιμοποιείται το σύμβολο

του .

Χρησιμοποιείται συχνά ο όρος «ρυθμός μεταβολής» για να δηλώσει την παράγωγο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο. Η παρουσίαση των κανόνων παραγώγισης των βασικών συναρτήσεων, του αθροίσματος, του γινομένου και του πηλίκου συναρτήσεων δεν γίνεται με ιδιαίτερη αυστηρότητα. Για παράδειγμα δεν γίνεται αναφορά στα πεδία ορισμού των συναρτήσεων, όπως δεν αναφέρεται το πού ανήκουν οι διάφορες παράμετροι. Ορισμένες αποδείξεις δίδονται με παράδειγμα, ενώ κάποιες παραλείπονται. Επίσης δεν αναφέρονται οι περιπτώσεις των χα ( χ

(0, ), α R-Z), αχ (x R, α>0), ln (χ R*). Εκτός από τους κανόνες παραγώγισης, παρουσιάζονται τα κριτήρια της πρώτης και της δεύτερης παραγώγου για την εύρεση της μονοτονίας και των ακροτάτων. Οι ασκήσεις είναι σχετικά απλές, ελάχιστες είναι θεωρητικές, ενώ δίδεται ιδιαίτερη έμφαση στην εφαρμογή των παραγώγων για επίλυση προβλημάτων κυρίως από τη Φυσική, καθώς και για μοντελοποίηση και επίλυση προβλημάτων (ακροτάτων) από την Οικονομία με συναρτήσεις διακριτών μεταβλητών.7.1.3. Παρατηρήσεις1. Όπως εύκολα μπορεί να διαπιστώσει κανείς, η εποπτική-διαισθητική προσέγγιση με τη βοήθεια παραδειγμάτων, είναι ίσως η πιο αποτελεσματική μέθοδος εισαγωγής των μαθητών στις έννοιες του Διαφορικού Λογισμού, διότι κάθε αναλυτική1 έννοια και ιδιότητα μιας συνάρτησης έχει την αντίστοιχη γεωμετρική. Αυτό το έχουμε διαπιστώσει και στα μαθηματικά προηγούμενων τάξεων, και είναι αναμενόμενο, απ’ τη στιγμή που κάθε σημείο του επιπέδου αντιστοιχεί σε ένα ζεύγος αριθμών, και απ’ τη στιγμή που ασχολούμαστε με καμπύλες του καρτεσιανού επιπέδου οι οποίες έχουν και αναλυτική έκφραση. Ίσως να μη συνέβαινε το ίδιο με τυχαία σημειοσύνολα του καρτεσιανού επιπέδου.2. Η εξαίρεση της κατακόρυφης εφαπτομένης από τη διδακτέα ύλη σημαίνει πως για τους μαθητές η παραγωγισιμότητα ταυτίζεται με την ύπαρξη

1 ? Με την έννοια της «Ανάλυσης» ως Μαθηματικού κλάδου.

εφαπτομένης. Έτσι, εξαιρούνται από τη μελέτη τους τα σημεία καμπής στα οποία η εφαπτομένη είναι κατακόρυφη. Αυτό καλύπτεται από οδηγία του Π.Ι., σύμφωνα με την οποία θα πρέπει να ασχοληθούμε με συναρτήσεις τουλάχιστον δυο φορές παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους. 2. Οι αντιστοιχίες: f f΄, f΄ f΄΄ , σ.κ. της f τ.α. της f΄ στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης, έχει μεγάλη πρακτική σημασία, προκειμένου οι μαθητές να εμπεδώσουν πιο εύκολα ορισμένες ιδιότητες. Άλλωστε η (ελεγχόμενη) εύρεση αναλογιών από τους μαθητές συχνά οδηγεί σε γενικεύσεις, οι οποίες ακόμα και αν στερούνται θεωρητικού υποβάθρου1, διευκολύνουν πολλές φορές τους μαθητές στη δημιουργία στέρεων και κυρίως μακρόβιων νοητικών δομημάτων, το οποίο είναι και το ζητούμενο. Αυτό πρακτικά σημαίνει πως πιο εύκολα θα αφομοιώσει ένας μαθητής τα αντίστοιχα θεωρήματα αν διαπιστώσει τις αντιστοιχίες που υπάρχουν, παρά αν τα αντιμετωπίσει ως τελείως ανεξάρτητες προτάσεις. Άλλωστε, μην ξεχνάμε πως ένας από τους γενικούς σκοπούς της παροχής της μαθηματικής παιδείας είναι η εξοικείωση των μαθητών με τις διαδικασίες της ανάλυσης, της αφαίρεσης, της γενίκευσης, με απώτερο σκοπό την καλλιέργεια της κριτικής σκέψης. 3. Η ευρεία εφαρμογή της έννοιας της παραγώγου ως ρυθμού μεταβολής μιας ποσότητας σε σχέση με το χρόνο, μας δίνει τη δυνατότητα να εμπλουτίσουμε τη διδασκαλία μας εμπλέκοντας κατάλληλες ενότητες από άλλα σχολικά μαθήματα (διαθεματικότητα), αλλά και να συνδέσουμε το Σχολείο με την ‘καθημερινή’ ζωή και την εκτός του Σχολείου κοινωνία.4. Οι συνήθεις ‘φυσικές’ συναρτήσεις είναι ‘καλώς συμπεριφερόμενες’, δηλαδή ορισμένες ‘παντού’, συνεχείς, παραγωγίσιμες κτλ. Το ίδιο ισχύει για τις αντίστοιχες (συνεχείς, παραγωγίσιμες κτλ.) προσεγγίσεις των ‘βιολογικών’ και ‘οικονομικών’ συναρτήσεων. Αυτός είναι ο βασικός λόγος για τον οποίο στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γίνονται οι απλουστεύσεις (αναφορικά με τις θεωρητικού τύπου διερευνήσεις), που αναφέραμε στην προηγούμενη παράγραφο.

1 με την έννοια ότι δεν φτάσαμε στο σημείο να ανακαλύψουμε ή να τεκμηριώσουμε την ύπαρξη ενός τέτοιου, ή με την έννοια ότι πρόκειται απλώς για μορφολογικές αναλογίες

7.2. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΛύκειοΓ΄ ΛυκείουΜαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Το σχολικό βιβλίο ξεκινάει με την έννοια της «αρχικής συνάρτησης» ή «παράγουσας», την οποία εισάγει μέσα από τρία προβλήματα η αντιμετώπιση των οποίων οδηγεί σε διαδικασία «αντίστροφη της παραγώγισης». Συγκεκριμένα, ζητάμε να προσδιορίσουμε τη θέση ενός κινητού από την ταχύτητα, την ταχύτητα από την επιτάχυνση, τον πλήθος των βακτηριδίων από το ρυθμό αυξήσεώς τους. Το κοινό χαρακτηριστικό και των τριών προβλημάτων οδηγεί στο αίτημα για θεώρηση μιας συνάρτησης f (ορισμένης σε διάστημα Δ) ως παράγωγο μιας άλλης F (αρχικής), δηλαδή f =F΄, και το πρόβλημα πλέον ανάγεται στην εύρεση της F όταν είναι γνωστή η F΄, και δίδεται ο αντίστοιχος ορισμός, σύμφωνα με τον οποίο:

F΄(χ) = f(χ) (στο Δ) F «αρχική (ή παράγουσα)» της f Σ’ αυτό το σημείο γεννώνται τα εξής ερωτήματα: Ο ορισμός εμπεριέχει ένα αίτημα: δοθείσης F, την ύπαρξη μιας f έτσι ώστε F΄= f, ανεξάρτητα από το αν υπάρχει ή όχι μια τέτοια f. Άρα ο ορισμός από μόνος του δεν μας εξασφαλίζει την ύπαρξη της παράγουσας. Έτσι, αν μεν πρόκειται για ‘πραγματικό’ πρόβλημα, τότε είμαστε σίγουροι για την ύπαρξη της παράγουσας, αφού αυτή προϋπήρξε. Επίσης, αν μάς δώσουν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση F, την παραγωγίσουμε και βρούμε την f, και στη συνέχεια μας ζητήσουν την αρχική της f, τότε προφανώς αυτή είναι η F. Τι γίνεται όμως στην περίπτωση που μας ζητήσουν απ’ ευθείας την παράγουσα μιας f (της οποίας δεν γνωρίζουμε το ιστορικό); Υπάρχει; Σε ποιες περιπτώσεις (με ποιο κριτήριο) μπορούμε να εξασφαλίσουμε την ύπαρξη; Ο ορισμός αφήνει ανοικτό το ενδεχόμενο να υπάρχουν (όταν υπάρχουν) περισσότερες από μία παράγουσες.

Μια απάντηση στο πρώτο ερώτημα δίδεται από μία υποσημείωση, σύμφωνα με την οποία «αποδεικνύεται ότι κάθε συνεχής συνάρτηση σε διάστημα Δ έχει παράγουσα στο διάστημα αυτό». Βέβαια πρόκειται για ικανή συνθήκη, δηλαδή:

f συνεχής (στο Δ) f = F΄ (στο Δ) για κάποια F.Έτσι, δεν γνωρίζουμε1 τι γίνεται αν η f δεν είναι συνεχής. Είναι πιθανό να υπάρχουν και μη συνεχείς f οι οποίες να έχουν παράγουσα; Το σίγουρο είναι ότι:

f = F΄ (στο Δ) για κάποια F f συνεχής (στο Δ)άρα η παράγωγος μιας συνάρτησης δεν είναι πάντα συνεχής.

Η απάντηση στο δεύτερο ερώτημα προκύπτει απ’ το ότι c΄=0, και δίδεται αμέσως μετά με τη βοήθεια παραδείγματος, και την παρουσίαση ενός θεωρήματος. Προσοχή! Το θεώρημα αυτό δεν εξασφαλίζει την ύπαρξη παράγουσας, αλλά με δεδομένη την ύπαρξη μίας παράγουσας εξασφαλίζει την ύπαρξη και άλλων (άπειρων το πλήθος), και μάλιστα δίνει και τη σχέση που έχουν όλες αυτές μεταξύ τους.

1 στο πλαίσιο των σχολικών Μαθηματικών

Αφού λοιπόν έχουμε αποδείξει ότι αν υπάρχει μία παράγουσα, τότε υπάρχουν και άλλες2, ορίζουμε το σύνολο των παραγουσών μιας συνάρτησης ως «αόριστο ολοκλήρωμα», το συμβολίζουμε και δίνουμε την ισότητα:

(με c R) (1)Βέβαια εδώ υπάρχει ένα οντολογικό ‘λάθος’, διότι ορίσαμε το ως σύνολο συναρτήσεων, ενώ το F(x)+c είναι συνάρτηση και όχι σύνολο (συναρτήσεων). Το σωστότερο θα ήταν να γράψουμε:

= { F:Δ R με F΄(χ)=f(χ)}, ήαν F:Δ R με F΄(χ)=f(χ) στο Δ, τότε

={ G:Δ R με G(χ)=F(χ)+c, c R }.Προφανώς το ‘λάθος’ είναι σκοπούμενο, διότι η (1) είναι μια λειτουργική ισότητα, με την έννοια ότι σ’ αυτήν τη μορφή μπορούμε να κάνουμε τους απαραίτητους ολοκληρωτικούς μετασχηματισμούς, προκειμένου να βρούμε την F. Έτσι, μπορούμε κατά σύμβαση, με το σύμβολο να εννοούμε μία οποιαδήποτε παράγουσα της f, οπότε το σύμβολο ( )΄ έχει νόημα, και έτσι, από τη σχέση (1). και τον ορισμό της παράγουσας προκύπτουν: ( )΄= (F(χ)+c)΄= F΄(χ) = f(χ). Άρα:

( )΄= f(χ) (2) = =F(χ)+c. Άρα:

= F(χ)+c (με c R) (3)Από τις σχέσεις (1) και (3) προκύπτει ότι = (με δεδομένο ότι F΄(χ)= f(χ) ). Από αυτό επάγεται μια ιδιότητα η οποία δεν αναφέρεται στο σχολικό εγχειρίδιο, αλλά χρησιμοποιείται ευρύτατα στην επίλυση των ασκήσεων:

f (χ) = g(χ) (στο Δ) = (στο Δ) Η διαδικασία εύρεσης του αορίστου ολοκληρώματος μιας συνάρτησης ορίζεται ως «ολοκλήρωση», και (προσδι)ορίζεται ως η «αντίστροφη πορεία της παραγώγισης». Αυτό μας δίνει το δικαίωμα να διατυπώσουμε τα εξής υποφαινόμενα: F παραγωγίσιμη F ΄ ολοκληρώσιμη Η παράγουσα F (μιας συνάρτησης f ) είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση. Η παράγωγος f (μιας συνάρτησης F) είναι ολοκληρώσιμη συνάρτηση. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με (

)΄=f(χ). Οι συναρτήσεις ( )΄ (=F΄(χ)=f(χ)) και

= (F΄(χ)+c = f(χ)+c) (όταν υπάρχουν) είναι ολοκληρώσιμες.

Από την (3), αν κάνουμε αλλαγή συμβόλων, προκύπτει η: = f(χ)+c (με c R) (4)

Με τη βοήθεια των (2) και (4) προκύπτει ότι:2 μια κλάση παραγουσών

= ( )΄+c (με c R) (5)και έτσι ερμηνεύεται το γιατί:

( )΄ (6)

Συνοψίζοντας τα παραπάνω, με δεδομένη την: F΄(χ) = f(χ)

έχουμε τις ισότητες: = = F(χ)+c = ( )΄+c = f(χ)+c ( )΄=F΄(χ)=f(χ)

Τα παραπάνω, αν και δεν διατυπώνονται αναλυτικά στο σχολικό εγχειρίδιο, είναι ιδιαίτερα σημαντικά τόσο για να μπορέσουν οι μαθητές να κατανοήσουν τις εμπλεκόμενες έννοιες, όσο και για την επίλυση των θεωρητικών ασκήσεων.

Από το γεγονός ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη διαδικασία της παραγώγισης, προκύπτουν οι γνωστοί τύποι των αόριστων ολοκληρωμάτων καθώς και η γραμμικότητα του τελεστή ολοκλήρωσης.

Στην επόμενη παράγραφο του σχολικού εγχειριδίου της Γ΄ Λυκείου παρουσιάζονται οι δύο μέθοδοι ολοκλήρωσης: «κατά παράγοντες» (μαζί με συγκεκριμένες εφαρμογές) και «με αντικατάσταση». Οι αποδείξεις και των δυο αυτών μεθόδων συνήθως βρίσκονται εκτός διδακτέας ύλης, το ίδιο και η παράγραφος 3.3. που αφορά τις διαφορικές εξισώσεις.

Στην παράγραφο 3.4. έχουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα, που προκύπτει από την αναγκαιότητα υπολογισμού του εμβαδού του χωρίου του επιπέδου, το οποίο περικλείεται από τη γραφική παράσταση μιας συγκεκριμένης συνάρτησης f, του άξονα χ΄χ και δύο κατακόρυφων ευθειών («παραβολικό χωρίο») εντός των οποίων η f παίρνει τιμές θετικές. Στην αρχή υπολογίζεται το κάτω και το άνω άθροισμα (δεν χρησιμοποιούνται αυτοί οι όροι, αλλά η έννοιά τους δίδεται με τη βοήθεια των αντιστοίχων σχημάτων), τα οποία λόγω της αρχικής επιλογής του τύπου της f υπολογίζονται εύκολα. Δεν αναφέρεται ο όρος ‘‘ακολουθία’’, ενώ και ο υπολογισμός των ορίων του άνω και κάτω αθροίσματος γίνεται διαισθητικά χωρίς πολλές επεξηγήσεις, αφού οι μαθητές δεν έχουν διδαχθεί εκτενώς τις ακολουθίες. Επίσης χρησιμοποιείται η έννοια και η αντίστοιχη ιδιότητα των ‘‘ισοσυγκλινουσών’’ ακολουθιών, πάλι διαισθητικά, προκειμένου να τεκμαρθεί ότι το όριο του ενδιαμέσου αθροίσματος ισούται με το κοινό όριο του κάτω και άνω αθροίσματος. Έτσι, και με δεδομένο ότι το κάτω και το άνω άθροισμα συγκλίνουν στο εμβαδόν του παραβολικού χωρίου, προκύπτει ότι κάθε ενδιάμεσο άθροισμα (ανεξαρτήτως διαμέρισης) συγκλίνει στο εμβαδόν του παραβολικού χωρίου. Στη συνέχεια γενικεύεται η έννοια του ενδιαμέσου αθροίσματος για συνεχή συνάρτηση που μέσα στο διάστημα ολοκλήρωσης παίρνει και αρνητικές τιμές. Έτσι, προκύπτει η έννοια του «ορισμένου ολοκληρώματος» μιας συνεχούς συνάρτησης f στο διάστημα [α, β], ως όριο του (οποιουδήποτε) αθροίσματος Riemann αυτής, και επεκτείνεται στις περιπτώσεις που α>β και α=β. Από τον ορισμό του εμβαδού παραβολικού χωρίου (ως ορίου ενός οποιουδήποτε ενδιαμέσου αθροίσματος συνεχούς συνάρτησης με θετικές τιμές) και τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος (ως ορίου ενός ενδιαμέσου αθροίσματος

συνεχούς συνάρτησης με θετικές ή/και αρνητικές τιμές), προκύπτει εύλογα ότι:

f (χ) 0 0.Ακολουθούν οι γνωστές ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος χωρίς τις αποδείξεις τους. Σ’ αυτό το σημείο πρέπει να θυμηθούμε πως μέχρι στιγμής, η ύπαρξη του αορίστου ολοκληρώματος μιας συνάρτησης f δεν προϋποθέτει τη συνέχεια αυτής (με άλλα λόγια, η παράγωγος F = f ΄ μιας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε συνεχής, ενώ, όπως οι μαθητές θα δουν παρακάτω, μια συνεχής συνάρτηση είναι πάντα παράγωγος μιας άλλης συνάρτησης), ενώ η ύπαρξη του ορισμένου ολοκληρώματος της f (σε κλειστό διάστημα) προϋποθέτει τη συνέχεια της συνάρτησης. Είναι πολύ σημαντικό να βοηθήσουμε τους μαθητές μας να κάνουν αυτή τη διάκριση, παρ’ όλο που δεν είναι εύκολο να κατανοήσουν πώς μπορεί η παράγωγος μιας συνάρτησης να μην είναι συνεχής.

Η παράγραφος 3.5. ξεκινά με ένα θεώρημα (χωρίς την απόδειξή του), το οποίο περιλαμβάνει τα εξής: Για μια συνεχή συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ, και για δεδομένο (‘σταθεροποιημένο’) α Δ ορίζουμε τη συνάρτηση , με πεδίο ορισμού το Δ. Η ύπαρξη αυτής της συνάρτησης εξασφαλίζεται απ’ τον τρόπο με τον οποίο ορίστηκε. Συγκεκριμένα, η τιμή της σ’ ένα χο είναι το ορισμένο ολοκλήρωμα , το οποίο υπάρχει, αφού η f είναι συνεχής στο [α, χο] (αν χο >α) ή στο [χο, α] (αν χο<α), ενώ όπως είδαμε, το συγκεκριμένο αόριστο ολοκλήρωμα ορίζεται και για χο=α. Η συνάρτηση αυτή είναι μια παράγουσα της f , οπότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το σύμβολο F 1 (το οποίο οι μαθητές έχουν συνδέσει2 με την έννοια της παράγουσας). Δηλαδή:

F (χ) = Άρα: ( )΄ = f (χ) για κάθε χ Δ (και προφανώς για κάθε α Δ).

Στη συνέχεια έχουμε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού, (μαζί με την απόδειξή του, ο οποία αφορμάται από το προηγούμενο θεώρημα, τον ορισμό και τις ιδιότητες της παράγουσας), το οποίο συνδέει τις έννοιες της παράγουσας, του αορίστου ολοκληρώματος (ως σχέση μεταξύ παραγουσών) και του ορισμένου ολοκληρώματος. Συγκεκριμένα, «το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης (στο [α, β]) ισούται με τη διαφορά της τιμής μιας οποιασδήποτε παράγουσάς της στο άνω άκρο ολοκλήρωσης ( f(β) ) μείον την τιμή της στο κάτω άκρο ολοκλήρωσης ( f (α) )». Ακολουθούν οι γνωστές δύο μέθοδοι ολοκλήρωσης, που είχαμε δει και στην περίπτωση του αορίστου ολοκληρώματος. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση της αλλαγής μεταβλητής, δεδομένου ότι αλλάζουν και τα άκρα ολοκλήρωσης, κάτι που έχουμε ευθύνη να εξηγήσουμε και να τονίσουμε στους μαθητές μας.

Το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Ολοκληρωτικού Λογισμού είναι εκτός διδακτέας ύλης.

1 Ίσως θα ήταν πιο σωστός ο συμβολισμός Fα, διότι για κάθε α Δ έχουμε και άλλη συνάρτηση.2 μια περίπτωση του συμπεριφοριστικού «νόμου της συνάφειας»

Το κεφάλαιο κλείνει με την επέκταση της έννοιας του παραβολικού χωρίου, σε χωρίο που ορίζεται: από τις γραφικές παραστάσεις δύο (συνεχών) συναρτήσεων (και δυο κατακόρυφες ευθείες), οι οποίες μπορεί να έχουν σημεία τομής με τετμημένες εντός του διαστήματος ολοκλήρωσης. από τη γραφική παράσταση μια (συνεχούς) συνάρτησης που παίρνει και αρνητικές τιμές, δηλαδή που, μαζί με τον άξονα των χ (και πιθανόν, μαζί με δυο κατακόρυφες ευθείες) ορίζει χωρίο εντός του 3ου ή και του 4ου

τεταρτημορίου.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 71. Να δώσετε την έννοια και τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης f στο χο, ως ρυθμού μεταβολής του y=f(χ) ως προς το χ, όταν χ=χο, στα πλαίσια μιας διδακτικής ώρας.

2. Να παρουσιάσετε σε δύο διδακτικές ώρες το Θεώρημα του Fermat, και να δώσετε τον τρόπο με τον οποίο μπορούν να βρεθούν τα ακρότατα μιας συνάρτησης.

3. Να μελετήσετε το παρακάτω φύλλο αξιολόγησης για τους μαθητές, και στη συνέχεια να το σχολιάσετε, απαντώντας στις ερωτήσεις που ακολουθούν:

ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣΣτο παρακάτω σχήμα δίδεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f. Με

τη βοήθεια του σχήματος αυτού, να απαντήσετε στις ερωτήσεις που ακολουθούν (δίδεται ότι f(x)= f(x)=+ και f(x) =- ):

ο ο

ο ο •

Ο α χ1 χ2 χ3 χ4 χ5 χ6 χ7 χ8 χ9 β

1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να τη μελετήσετε ως προς τη συνέχεια σ’ αυτό.

2. α. Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο χ2. Σ Λ

β. Η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο χ4. Σ Λγ. Το χ6 είναι σημείο τοπικού ελαχίστου. Σ Λδ. Η χ=α είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf στο α. Σ Λε. Η f είναι παραγωγίσιμη στο χ9. Σ Λ

3. Το σύνολο τιμών της f είναι το:Α. (f(α), f(β)] Β. R Γ. [f(χ5), f(χ9)] Δ. (0, + )

4. Δίδεται η πρόταση: «Αν η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο χ1 και τοπικό μέγιστο στο χ2 και είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [χ1, χ2], τότε υπάρχει ξ (χ1, χ2) στο οποίο η f παρουσιάζει σημείο καμπής.» Να ελέγξετε την ορθότητα της πρότασης αυτής.

Καλύπτει όλο το εύρος των εννοιών που αφορούν στη «μελέτη συνάρτησης»; Καλύπτει όλο το εύρος «δυσκολίας» (από μικρής δυσκολίας για τους αδύνατους μαθητή, έως αυξημένης δυσκολίας για τους πιο δυνατούς;) Μήπως περιλαμβάνει κάτι εκτός διδακτέας ύλης, το οποίο, κατά πάσα πιθανότητα, δεν το έχετε συμπεριλάβει στη διδασκαλία σας; Τι έχετε να πείτε ως προς το ερώτημα 2.ε.; Είναι ‘καλώς ορισμένο’; Σε πιο βαθμό θεωρείτε ότι επαρκεί το σχήμα για να αποδώσει τις αναλυτικές ιδιότητες (περί ορίου, συνέχειας, παραγωγισιμότητας, ύπαρξης ακροτάτων και σημείων καμπής, κυρτότητας, ύπαρξης ασυμπτώτων κτλ.);

(προτεινόμενος χρόνος 3 ώρες και 30 λεπτά)

ΕΝΟΤΗΤΑ 88.1. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

8.1.1. ΓυμνάσιοΒ΄ Γυμνασίου

Το 6ο κεφάλαιο περιέχει ορισμένα βασικά στοιχεία και έννοιες της Περιγραφικής Στατιστικής, όπως εικονογράμματα, ραβδογράμματα, κυκλικά διαγράμματα, χρονογράμματα, πληθυσμός, δείγμα, στατιστικά δεδομένα (ή παρατηρήσεις, ή μετρήσεις), κατανομή συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων (διακριτών μεταβλητών), επικρατούσα τιμή, ομαδοποίηση (με κλάσεις ίσου πλάτους) και κατανομή των στατιστικών δεδομένων (διακριτών και συνεχών μεταβλητών), ιστογράμματα, μέση τιμή (διακριτών και ομαδοποιημένων / συνεχών μεταβλητών), διάμεσος (διακριτών μεταβλητών με περιττό πλήθος παρατηρήσεων). Το κεφάλαιο αυτό είναι εκτός διδακτέας ύλης.Γ΄ Γυμνασίου

Το Π.Ι. συνιστά πριν από τη διδασκαλία του κεφαλαίου 5-Στατιστική, να καλυφθεί η ύλη της Β΄ Γυμνασίου η οποία δεν διδάχτηκε. Έτσι, στην πρώτη παράγραφο γίνεται μια σύντομη επανάληψη, ενώ δίνονται και οι ιδιότητες: 1. «Η σχετική συχνότητα μπορεί να πάρει τιμή από 0 έως 1.» και 2. «Το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων μιας κατανομής ισούται με 1.», καθώς και ο τύπος = . Επιπλέον, δίδεται ο τρόπος εύρεσης της διαμέσου για άρτιο πλήθος παρατηρήσεων (διακριτής μεταβλητής), ενώ μέσα από ένα παράδειγμα δίδεται η γεωμετρική ερμηνεία των τιμών των συχνοτήτων στο ιστόγραμμα. Η «μέση τιμή» και η «διάμεσος» χαρακτηρίζονται ως «μέτρα θέσης». Επίσης δίδεται η έννοια της «καμπύλης συχνοτήτων» (όχι ως γραφική παράσταση κατανομής συνεχούς μεταβλητής, αλλά) ως προσέγγιση ιστογράμματος στην περίπτωση που έχουμε πολλές μετρήσεις και μεγάλο πλήθος κλάσεων) και του «πολυγώνου συχνοτήτων», ενώ παρουσιάζεται και η «κανονική κατανομή». Στη συνέχεια δίδεται η έννοια της «αθροιστικής κατανομής» με τις αντίστοιχες ιδιότητες. Τέλος, παρουσιάζονται τα «μέτρα (ή παράμετροι) διασποράς» μιας κατανομής, δηλαδή το «εύρος» και η «τυπική απόκλιση»1.

8.1.2. ΛύκειοΓ΄ ΛυκείουΜαθηματικά Γενικής Παιδείας

Το κεφάλαιο 2-Στατιστική ξεκινά με μια εκτενή εισαγωγή στον μαθηματικό κλάδο της Στατιστικής. Συγκεκριμένα, γίνεται αναφορά σε ιστορικά στοιχεία, δίδεται ένας ορισμός και γίνεται διάκριση μεταξύ Περιγραφικής και Επαγωγικής Στατιστικής. Επίσης, παρουσιάζονται οι εφαρμογές της σε άλλους τομείς του Επιστητού (εφαρμοσμένες επιστήμες και τεχνολογία) καθώς και σε δραστηριότητες της σύγχρονης ζωής.

Η παράγραφος 2.1.- Βασικές Έννοιες περιέχει αυτό που δηλώνει και το όνομά της. Συγκεκριμένα, και μέσα από παραδείγματα, παρουσιάζονται:

οι έννοιες του «πληθυσμού» και της «μεταβλητής» τα ήδη των μεταβλητών: 1. Ποιοτικές (ή κατηγορικές) που

είναι πάντα διακριτές, 2. Ποσοτικές (2.α. διακριτές, 2.β. συνεχείς)

1 Στην επόμενη παράγραφο του ίδιου κεφαλαίου του σχολικού βιβλίου εισάγεται η έννοια της πιθανότητας, την οποία όμως θα εξετάσουμε στην §8.2. του παρόντος συγγράμματος.

οι έννοιες της «απογραφής» (ως διαδικασίας συλλογής των στατιστικών δεδομένων) και του «(αντιπροσωπευτικού) δείγματος».Στις επόμενες δύο παραγράφους (που είναι και οι τελευταίες εντός

διδακτέας ύλης) παρουσιάζονται τα στατιστικά δεδομένα και τα μέτρα θέσης και διασποράς. Συγκεκριμένα:

οι στατιστικοί πίνακες, και ειδικότερα:Για μη ομαδοποιημένα δεδομένα:

οι πίνακες κατανομής συχνοτήτων, η συχνότητα, η σχετική συχνότητα, η κατανομή συχνοτήτων, η κατανομή σχετικών συχνοτήτων

η αθροιστική συχνότητα και η αθροιστική σχετική συχνότητα

η γραφική παράσταση της κατανομής συχνοτήτων με ραβδόγραμμα (συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων), το διάγραμμα (συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων), το πολύγωνο (συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων), το κυκλικό διάγραμμα (συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων), σημειόγραμμα (συχνοτήτων), το χρονόγραμμα1

τα μέτρα θέσης: η μέση τιμή ( ), ο σταθμικός (ή σταθμισμένος αριθμητικός) μέσος2, η διάμεσος (δ)

τα μέτρα διασποράς: το εύρος (R), η διακύμανση ή διασπορά (s2), η τυπική απόκλιση (s) μαζί με την περίπτωση της κανονικής κατανομής, ο συντελεστής μεταβολής ή μεταβλητότητας (CV).

Για ομαδοποιημένα δεδομένα: η ομαδοποίηση των παρατηρήσεων3, οι κλάσεις (με έναν

κανόνα για την επιλογή του αριθμού των κλάσεων σε σχέση με το μέγεθος του δείγματος), τα όρια των κλάσεων, οι κεντρικές τιμές, το πλάτος των κλάσεων σε σχέση με το εύρος του δείγματος, η συχνότητα της κλάσης.

η γραφική παράσταση της (ομαδοποιημένης) κατανομής με ιστόγραμμα (συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων) μαζί με την αντίστοιχη γεωμετρική ερμηνεία, και με πολύγωνο (συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων)

τα μέτρα θέσης: η μέση τιμή ( ), η διάμεσος (δ) 4

τα μέτρα διασποράς: το εύρος (R), η διακύμανση ή διασπορά (s2), η τυπική απόκλιση (s) μαζί με την περίπτωση της κανονικής κατανομής, ο συντελεστής μεταβολής ή μεταβλητότητας (CV)

η καμπύλη συχνοτήτων. 8.1.3. Παρατηρήσεις1. Η εισαγωγή και η επεξεργασία όλων των εννοιών γίνεται μέσα από το παράδειγμα και την εμπειρία, δεδομένου του ότι η φύση της Στατιστικής όχι απλώς επιτρέπει, αλλά επιβάλλει την εμπειρική διδακτική προσέγγιση5.2. Ο βασικός επιδιωκόμενος διδακτικός στόχος στη Στατιστική της Γ΄ Λυκείου είναι να αποκτήσουν οι μαθητές τις κατάλληλες δεξιότητες 1 Ο όρος ‘‘χρονοδιάγραμμα’’, ίσως είναι πιο δόκιμος.2 Τον λέμε και ‘‘ζυγισμένο μέσο όρο’’.3 Για κλάσεις ίσου πλάτους. Η ομαδοποίηση με κλάσεις άνισου πλάτους βρίσκεται εκτός διδακτέας ύλης.4 Ο υπολογισμός της γίνεται με γεωμετρικό τρόπο.5 Χωρίς αυτό να σημαίνει πως η Στατιστική ως θεωρία στερείται θεωρητικού υποβάθρου, ή θεωρητικού-επιστημονικού τρόπου οργάνωσης και έρευνας.

χειρισμού των τύπων και των αλγορίθμων υπολογισμού, στόχος που αφορά αρκετά τον ψυχοκινητικό τομέα. 3. Παρ’ όλο που γίνεται αναφορά σε συνεχείς μεταβλητές, δεν δίνεται ιδιαίτερη έμφαση σε ανάλογες περιπτώσεις. 4. Η ‘‘καμπύλη’’ μιας κατανομής είναι ουσιαστικά η ‘πλησιέστερη’ λεία1

καμπύλη στο πολύγωνο συχνοτήτων. (Με αυτή τη θεώρηση επιτυγχάνουμε τη ‘συνεχοποίηση’ του διακριτού). Επομένως όταν λέμε ότι «μια κατανομή είναι κανονική» δεν εννοούμε απαραίτητα ότι έχουμε συνεχή μεταβλητή.5. Η ομαδοποίηση των δεδομένων δεν γίνεται μόνο στη περίπτωση των διακριτών μεταβλητών (για μεγάλο πλήθος δεδομένων), αλλά και στην περίπτωση των συνεχών μεταβλητών, όπου με αυτόν τον τρόπο ουσιαστικά επιτυγχάνουμε τη ‘διακριτοποίηση’ του συνεχούς, χάρη στο οποίο κερδίζουμε σε χρόνο αλλά χάνουμε σε ακρίβεια. Αντίστροφα, όσο μικραίνει το πλάτος και αυξάνεται το πλήθος των κλάσεων (όσο λεπταίνει η διαμέριση) ‘τείνουμε’ στο συνεχές, οπότε κερδίζουμε σε ακρίβεια, αλλά χάνουμε σε χρόνο επεξεργασίας2. Κάτι ανάλογο συμβαίνει και στην περίπτωση της ομαδοποίησης σε διακριτές μεταβλητές.6. Τα μέτρα διασποράς μάς δίνουν μια σαφέστερη εικόνα (σε σχέση με τα μέτρα θέσεως) για έναν πληθυσμό, καθώς και συγκριτικά συμπεράσματα για δυο διαφορετικούς πληθυσμούς.7. Όταν ο πληθυσμός έχει σχετικά μικρό πλήθος ατόμων (μετρήσεων) δεν έχει νόημα να επιλέξουμε δείγμα, αλλά χρησιμοποιούμε ως δείγμα τον ίδιο τον πληθυσμό. 8. Οι τύποι των μέτρων θέσεως και διασποράς οι οποίοι περιλαμβάνουν ως ανεξάρτητες μεταβλητές 3 τις μετρήσεις (χi) για τις ομαδοποιημένες κατανομές, προκύπτουν από τους αντίστοιχους για τις διακριτές, με τη διαφορά πως με χi συμβολίζουμε όχι τις μετρήσεις, αλλά τις κεντρικές τιμές των κλάσεων.

1 γραφική παράσταση παραγωγίσιμης συνάρτησης2 εφ’ όσον δεν κάνουμε ολοκλήρωση3 Η μεταβλητή χ (ως συγκεκριμένη μετρήσιμη ή κατηγοριοποιήσιμη ιδιότητα) μιας κατανομής είναι μοναδική, αλλά οι διακεκριμένες τιμές, χi, αυτής της (διακριτής) μεταβλητής, αποτελούν ανεξάρτητες (μεταξύ τους) μεταβλητές αναφορικά με τους στατιστικούς τύπους στους οποίους εμφανίζονται.

8.2. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣΗ έννοια της πιθανότητας ενυπάρχει σε κάθε άνθρωπο, και μάλιστα από

μικρή ηλικία, γιατί σχετίζεται με την ανάγκη μας για πρόγνωση, και επομένως ‘διαποτίζει’ την καθημερινότητά μας.

Η ανάπτυξη του κλάδου των Πιθανοτήτων ακολουθεί χρονικά την αντίστοιχη της Στατιστικής, για δύο βασικούς λόγους, δύο εκ των οποίων είναι: 1. Η θεωρία των Πιθανοτήτων οικοδομείται σε ανώτερα Μαθηματικά (Θεωρία Συνόλων, Θεωρία Μέτρου κτλ.) θεωρίες οι οποίες αναπτύχθηκαν πολύ αργότερα από την εμπειρική στατιστική καταμέτρηση / καταγραφή που έλαβε χώρα σε παλαιότερες κοινωνίες, 2. Ο άνθρωπος (ως ον και ως είδος) αρχίζει από την παρατήρηση, συνεχίζει με το πείραμα (δοκιμή), αν διαπιστώσει κάποια ‘κανονικότητα’ γενικεύει, και, εφ’ όσον μπορεί, αποδεικνύει βάσει συλλογισμών1. Έτσι, πρώτα π.χ. έριξε ένα νόμισμα αρκετές φορές, διαπίστωσε ότι οι μισές ρίψεις είχαν ως αποτέλεσμα ‘‘κορώνα’’ και υπόλοιπες ‘‘γράμματα’’, και στη συνέχεια σκέφτηκε ότι ‘από εδώ και πέρα’ αν ρίξει μια φορά το νόμισμα έχει πενήντα τοις εκατό πιθανότητα να φέρει κορώνα και πενήντα τοις εκατό να φέρει γράμματα. Δηλαδή το ‘‘αποτέλεσμα’’ γίνεται ‘‘ενδεχόμενο’’. Άρα, η Στατιστική μέτρηση μπορεί να δώσει πληροφορίες για την πρόγνωση, επομένως η Στατιστική τροφοδοτεί, κατά κάποιο τρόπο, τις Πιθανότητες. Βέβαια, οι Πιθανότητες αποτελούν, πλέον, αυτόνομο μαθηματικό κλάδο, ενώ ορισμένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι το θεωρητικό υπόβαθρο της θεωρίας της Στατιστικής είναι η θεωρία των Πιθανοτήτων.

8.2.1. ΛύκειοΓ΄ ΛυκείουΜαθηματικά Γενικής Παιδείας

Το κεφάλαιο 3-Πιθανότητες αρχίζει με μια μικρή εισαγωγή στην ιστορία του κλάδου των Πιθανοτήτων. Στη συνέχεια δίδονται οι έννοιες του «πειράματος τύχης» σε αντιδιαστολή με το «αιτιοκρατικό» πείραμα, του «δειγματικού χώρου», του «ενδεχομένου» («απλό» και «σύνθετο», «βέβαιο» και «αδύνατο») των πράξεων μεταξύ ενδεχομένων και των «ασυμβίβαστων» ενδεχομένων. Μέχρι εδώ έχουμε εφαρμογή της Θεωρίας Συνόλων 2. Συγκεκριμένα: Ο «δειγματικός χώρος» είναι το ‘‘σύνολο αναφοράς’’. Τα στοιχεία του συνόλου αναφοράς (του δειγματικού χώρου) είναι τα «(πιθανά) αποτελέσματα (ή απλά ενδεχόμενα)». Το «ενδεχόμενο» είναι ένα υποσύνολο του συνόλου αναφοράς. Το «βέβαιο» ενδεχόμενο είναι ο ίδιος ο χώρος αναφοράς (το ‘μέγιστο’ υποσύνολο). Το «αδύνατο» ενδεχόμενο είναι το κενό σύνολο (που όπως γνωρίζουμε είναι υποσύνολο του συνόλου αναφοράς). Αν Α, Β είναι δύο «συμπληρωματικά» ενδεχόμενα, τότε Β=Α΄(«συμπλήρωμα») και Α=Β΄. Οι πράξεις μεταξύ ενδεχομένων είναι οι πράξεις των αντιστοίχων συνόλων.

Στη συνέχεια (παράγραφος 3.2. - Έννοια της Πιθανότητας) παρουσιάζεται ο ‘‘κλασικός’’ ορισμός της «πιθανότητας» (μέσα από ένα συγκεκριμένο παράδειγμα επαναλαμβανομένου πειράματος τύχης), ο

1 Πρόκειται για την επαγωγική προσέγγιση.2 στοιχεία της οποίας γνωρίζουν οι μαθητές από την Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου

οποίος βασίζεται στην έννοια της «σχετικής συχνότητας» και στον εμπειρικό νόμο της «στατιστικής ομαλότητας» (ή των «μεγάλων αριθμών»)1. Η αντίφαση εδώ, είναι ότι προηγείται η έννοια των «ισοπίθανων» ενδεχομένων του ορισμού της «πιθανότητας». Αυτό, από την άλλη, μας υπενθυμίζει ότι ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας αφορά μόνο την περίπτωση των ισοπίθανων ενδεχομένων.

Για τους παραπάνω (και όχι μόνο) λόγους δίδεται ο ‘‘αξιωματικός’’ ορισμός της πιθανότητας2, ο οποίος, για δεδομένο δειγματικό χώρο Ω={ω1,ω2,…,ων}, εμπεριέχει τις εξής ιδιότητες: 0 Ρ(ωi) 1, για i=1,…,ν Ρ(ω1)+Ρ(ω2)+…+Ρ(ων)=1 Ρ({ω1,…,ωκ})=Ρ(ω1)+…+Ρ(ωκ), με κ ν 3

Ρ(ø)=0απόρροια των οποίων είναι και η: Ρ(Α)+Ρ(Α΄)=1Επίσης, γίνεται και μια νύξη στον τρόπο υπολογισμού της πιθανότητας ενός ενδεχομένου ως ορίου της σχετικής του συχνότητας.

Στη συνέχεια δίδονται οι ιδιότητες των πράξεων (μαζί με τις αποδείξεις) μεταξύ των πιθανοτήτων των ενδεχομένων: Α Β=ø Ρ(Α Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) («απλός προσθετικός νόμος»)Αυτή η ιδιότητα γενικεύεται και για περισσότερα, ανά δύο ασυμβίβαστα, ενδεχόμενα. Ρ(Α΄)=1-Ρ(Α) Ρ(Α Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α Β) («προσθετικός νόμος») Α Β Ρ(Α) Ρ(Β) Οι αποδείξεις των παραπάνω ιδιοτήτων βασίζονται και στους δύο ορισμούς της πιθανότητας, καθώς και στις ιδιότητες των συνόλων4.

Στην επόμενη παράγραφο παρατίθενται στοιχεία από τη Συνδυαστική, η οποία αποτελεί αυτόνομο μαθηματικό (αλγεβρικό) κλάδο, αλλά ταυτόχρονα είναι ένα πολύ χρήσιμο ‘εργαλείο’ για το χειρισμό των πειραμάτων τύχης και το λογισμό των πιθανοτήτων, ειδικά στις περιπτώσεις όπου «η απευθείας απαρίθμηση των στοιχείων του δειγματικού χώρου … είναι δύσκολη ή πρακτικά αδύνατη». Συγκεκριμένα, δίδεται η «βασική αρχή της απαρίθμησης», οι έννοιες των «διατάξεων», των «μεταθέσεων» και των «συνδυασμών». Επίσης εισάγεται η έννοια και το αντίστοιχο σύμβολο του «ν παραγοντικού», ενώ ερμηνεύεται5 και η ισότητα 0!=1.

Η έννοια της «δεσμευμένης» πιθανότητας (που αφορά την περίπτωση όπου ένα ενδεχόμενο πραγματοποιείται και πλέον ‘δεσμεύει’, αιτιακά, ένα άλλο), καθώς και οι έννοιες των «εξαρτημένων» και «ανεξάρτητων» δεδομένων βρίσκονται εκτός διδακτέας ύλης.

1 Πρόκειται για εμπειρικό νόμο που επαληθεύεται θεωρητικά, και που εμπεριέχει την έννοια του ορίου μιας ακολουθίας. Είναι φανερό ότι ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας βασίζεται στην εμπειρική-επαγωγική προσέγγιση, δηλαδή, στη στατιστική μέτρηση.2 Με τη βοήθεια του οποίου η θεωρία των Πιθανοτήτων αυτονομείται από τη Στατιστική θεωρία.3 Επειδή οι μαθητές δεν είναι εξοικειωμένοι με τη συνολοθεωρία, η συγκεκριμένη ιδιότητα διατυπώνεται λίγο διαφορετικά στο σχολικό βιβλίο.4 Η πιθανότητα με τον αξιωματικό ορισμό αποτελεί, σε γενικές γραμμές, μια ‘μετρική’ μέσα στο σύνολο «δειγματικός χώρος», δηλαδή οντολογικά ανάγεται στη μαθηματική θεωρία «μέτρου», η οποία αποτελεί και το θεωρητικό υπόβαθρο (της αξιωματικής θεμελίωσης) της θεωρίας των Πιθανοτήτων.5 Διά ‘‘αιτήματος’’, εάν θέσουμε στον τύπο των διατάξεων ν ανά κ, όπου κ το ν (οπότε έτσι έχουμε το πλήθος των μεταθέσεων των ν).

8.2.2. Παρατηρήσεις1. Ο «κλασικός» ορισμός της «πιθανότητας» αντιστοιχεί στη εμπειρική-επαγωγική διδακτική προσέγγιση (και στη θεώρηση των Πιθανοτήτων ως ‘συνέχεια’ της Στατιστικής), ενώ ο «αξιωματικός» ορισμός της «πιθανότητας» αντιστοιχεί στην αποδεικτική-απαγωγική διδακτική προσέγγιση (και στη θεώρηση της Στατιστικής ως ‘εφαρμογής’ της θεωρίας των Πιθανοτήτων).2. Η «μετάθεση των ν» ορίζεται ως ειδική περίπτωση «διάταξης των ν ανά κ», για κ=ν. Έχουμε δηλαδή απαγωγική και όχι επαγωγική προσέγγιση.3. Οι «διατάξεις» των ν ανά κ είναι διατεταγμένες κ-άδες (το οποίο, δεν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο, αλλά μπορούμε να το παρουσιάσουμε στους μαθητές, προκειμένου να κατανοήσουν καλύτερα την έννοια της «διάταξης» και να την αντιδιαστείλουν από εκείνη του «συνδυασμού») ενώ οι «συνδυασμοί» των ν ανά κ είναι σύνολα με κ στοιχεία. (Αυτό αναφέρεται στο σχολικό.) Επίσης, είναι σημαντικό για τους μαθητές μας να κατανοήσουν ότι στην περίπτωση των συνδυασμών δεν έχει νόημα να έχουμε το ίδιο στοιχείο πάνω από μία φορά, λόγω της έννοιας του συνόλου. Όσο για την περίπτωση των διατάξεων αυτό έχει νόημα (αφού τα στοιχεία μιας διατεταγμένης κ-άδας μπορούν να είναι ίσα μεταξύ τους) αλλά στα πλαίσια του μαθήματος αυτού θεωρούμε μόνο τις διατάξεις με διαφορετικά ανά δύο τα στοιχεία τους.4. Ο (αλγεβρικός) λογισμός στη Συνδυαστική άλγεβρα μέσω των

συμβόλων ανάγεται σε λογισμό κλασμάτων με όρους γινόμενα

παραγοντικών, και τελικά σε πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις θετικών ακεραίων.

Γ΄ Λυκείου-Μέση Τιμή / Σταθμικός Μέσος(Μαθηματικά Γενικής Παιδείας-Στατιστική)

Τάξη: Γ΄ ΛυκείουΗμερομηνία:………………Χρονική διάρκεια: 1 διδακτική ώρα (45΄)Ώρα:…………Ενότητα: Μέση Τιμή / Σταθμικός ΜέσοςΣτόχοι: 1. Οι μαθητές πρέπει να μπορούν να υπολογίζουν τη μέση τιμή

ενός δείγματος με σχετικά ‘λίγες’ παρατηρήσεις.2. Να μπορούν να μπορούν να υπολογίζουν τη μέση τιμή ενός

πληθυσμού με ομαδοποιημένες παρατηρήσεις.3. Να κατανοήσουν ότι ο τύπος που δίνει το σταθμικό μέσο ενός

δείγματος είναι επέκταση της μέσης τιμής ενός δείγματος (ή πληθυσμού) όταν οι διακεκριμένες τιμές των παρατηρήσεων πολλαπλασιάζονται με κάποιο θετικό ρητό συντελεστή.

Προαπαιτούμενες γνώσεις: Έννοια και χρήση στατιστικών πινάκων (πληθυσμός, δείγμα, απαρίθμηση δεδομένων, ομαδοποίηση δεδομένων, συχνότητα και σχετική συχνότητα μέτρησης κτλ.). Θεωρούμε ότι οι μαθητές είναι εξοικειωμένοι τόσο με την έννοια της Στατιστικής Έρευνας, όσο και με την έννοια του μέσου όρου (από τις προσλαμβάνουσες παραστάσεις της εξωσχολικής τους ζωής, και κυρίως από τα Μ.Μ.Ε.).Πορεία: Τριμερής.Μέθοδος: Εμπειρική / Ανακαλυπτική, Επαγωγική. Μορφή: Καθοδηγούμενη ανακάλυψη με φύλλα εργασίας, Ομαδο-συνεργατική διδασκαλία με στοιχεία επιδεικτικού μονολόγου, Διάλογος σε επίπεδο τάξης.Διδακτικά μέσα: Φύλλα εργασίας, Πίνακας-κιμωλίες.

Σχέδιο Μαθήματος:

1. Προπαρασκευή / Ανάκληση των προηγουμένων /Παρουσίαση (10΄)Επειδή η έννοια του μέσου όρου αναμένουμε να είναι λίγο-πολύ

γνωστή στους μαθητές (για παράδειγμα, υπολογίζουν μόνοι τους το βαθμό του τετραμήνου), μπορούμε να ξεκινήσουμε από τη διερεύνηση των υπαρχουσών γνώσεων των μαθητών μας αναφορικά με την έννοια του μέσου όρου, με ένα παράδειγμα της καθημερινότητας, όπως π.χ. ο βαθμός τους ή κάτι πιο ‘ανώδυνο’. Έτσι, διαπιστώνουν πως όταν υπάρχουν σχετικά λίγες μετρήσεις, διαφορετικές ανά δύο μεταξύ τους, τότε η μέση τιμή δεν είναι τίποτα περισσότερο από το γνωστό μέσο όρο.

Συμβολίζουμε με χi τις μετρήσεις του παραδείγματος της προηγούμενης φάσης, και δίνουμε τον ορισμό της «μέσης τιμής» παρουσιάζοντας τον τύπο:

= (= ) (1).

2. Επεξεργασία / Επέκταση (20΄)Δίνουμε στους μαθητές ένα φύλλο εργασίας με 15-20 δεδομένα, τα

οποία δεν είναι όλα διαφορετικά μεταξύ τους, και τους ζητάμε να βρουν τη μέση τιμή. Οι μαθητές εργάζονται σε μικρές ομάδες, και μετά (πιθανόν) από τη δική μας καθοδήγηση διαπιστώνουν πως μπορούμε να γράψουμε λίγο διαφορετικά τον προηγούμενο τύπο της μέσης τιμής, δηλαδή ως εξής:

= (2)όπου κ είναι το πλήθος των διακεκριμένων (διαφορετικών ανά δύο) μετρήσεων, νi είναι η συχνότητα της κάθε μιας από τις διακεκριμένες

μετρήσεις, και προφανώς ν= . Στη συνέχεια οι μαθητές παρατηρούν ότι

αν διασπάσουν το κλάσμα της σχέσης (2), θα προκύψει η ισοδύναμη έκφραση:

=f1χ1+…+ fκχκ= (3)

Με ανάλογο τρόπο (ένα φύλλο εργασίας με ήδη ομαδοποιημένα δεδομένα μιας διακριτής ή και μιας συνεχούς συνάρτησης) οι μαθητές βρίσκουν τον τύπο της μέσης τιμής στην περίπτωση των ομαδοποιημένων δεδομένων, εφ’ όσον, με την αρωγή μας, κατανοήσουν την έννοια της κεντρικής τιμή της κλάσης, η οποία ‘υποκαθιστά’ την έννοια του δεδομένου (της μέτρησης).

Με τη βοήθεια του τρόπου με τον οποίο εξάγεται ο ‘‘βαθμός πρόσβασης’’ για τους μαθητές της Γ΄ Λυκείου οι μαθητές κατανοούν την έννοια του «σταθμικού μέσου»3. Εφαρμογή /Αξιολόγηση (15΄)

Οι μαθητές διαπιστώνουν πως ο τύπος που δίνει το σταθμικό μέσο (ή αλλιώς ζυγισμένο μέσο όρο) αποτελεί ‘επέκταση’ του τύπου της μέσης τιμής ομαδοποιημένων δεδομένων. Συγκεκριμένα, διαπιστώνουν πως πρόκειται μορφολογικά για τον ίδιο τύπο, με τη διαφορά ότι οι συχνότητες νi μπορούν να πάρουν και (θετικές) ρητές τιμές.

Δίνουμε στους μαθητές φύλλο με δύο πίνακες δεδομένων, έναν με μη ομαδοποιημένα δεδομένα, και έναν με ομαδοποιημένα δεδομένα, προκειμένου να υπολογίσουν τη μέση τιμή σε κάθε περίπτωση.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 81. Να ετοιμάσετε μια δίωρη παρουσίαση της έννοιας της πιθανότητας για μαθητές Λυκείου.

2. Να ετοιμάσετε μια δίωρη παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας κατανομής για μαθητές Λυκείου.

(προτεινόμενος χρόνος 3 ώρες)

ΕΝΟΤΗΤΑ 99.1. ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ

9.1.1. Γιατί αυτό το μάθημα είναι τόσο ‘ιδιαίτερο’Με το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στην Α΄ Λυκείου οι

μαθητές έρχονται για πρώτη φορά σε επαφή με την έννοια της ολοκληρωμένης (αξιωματικά θεμελιωμένης) μαθηματικής θεωρίας. Αυτό συνεπάγεται μια διαφορετική διδακτική και μαθησιακή προσέγγιση από αυτή την οποία είχαν έως τώρα οικειοποιηθεί οι μαθητές και οι εκπαιδευτικοί. Αυτή είναι και η ειδοποιός διαφορά μεταξύ των Μαθηματικών του Λυκείου και του Γυμνασίου: Συγκεκριμένα, στο Γυμνάσιο έχουμε τον επαγωγικό τρόπο εξαγωγής συμπεράσματος, με την έννοια των πειραματικών ενδείξεων (από μετρήσεις ή υπολογισμούς μέσω παραδειγμάτων) οι οποίες μας οδηγούν στη διατύπωση μιας υπόθεσης, η οποία όμως σε πολύ λίγες περιπτώσεις επαληθεύεται μέσα από την απόδειξη. Αντίθετα, στο Λύκειο δίνουμε περισσότερη σημασία στην αποδεικτική διαδικασία, αφού, σύμφωνα με τους ερευνητές η αφαιρετική ικανότητα (βασική προϋπόθεση για τη γενίκευση) στην ηλικία των 15-16 ετών βρίσκεται σε ικανοποιητικά επίπεδα για την κατανόηση της αναγκαιότητας της αποδεικτικής διαδικασίας. Βέβαια, ακόμα και στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου πολλές αποδείξεις παραλείπονται, ενώ τα επιμέρους κεφάλαια αποτελούν περιεχόμενα διαφορετικών μαθηματικών κλάδων, και όχι μια ενιαία μαθηματική θεωρία, όπως συμβαίνει με την Ευκλείδεια Γεωμετρία. Αυτός είναι και ο βασικός λόγος για τον οποίο οι μαθητές δυσκολεύονται (κατά γενική ομολογία) με το συγκεκριμένο μάθημα. Συγκεκριμένα:

Οι μαθητές θα πρέπει να συνειδητοποιήσουν όχι μόνο την ενότητα της θεωρίας, αλλά και ότι, ουσιαστικά είναι οι ίδιοι τώρα που, αφ’ ενός ανακαλύπτουν τις γεωμετρικές (του ευκλείδειου χώρου) ιδιότητες με τρόπο φυσικό (δηλαδή ως αποτέλεσμα της διαισθητικής αντίληψης), και αφ’ ετέρου τεκμηριώνουν την αλήθεια (ως γενίκευσης) αυτών των ανακαλύψεων μέσα από τη συλλογιστική διαδικασία, η οποία ακολουθεί τους κανόνες της λογικ(ομαθηματικ)ής σκέψης (επαγωγή, ανάλυση, σύνθεση κτλ.) και μέσω της οποίας ‘συμπλέκονται’ σταδιακά, από τα αξιώματα και τα αιτήματα (θεμελιώδεις ιδιότητες των απλών γεωμετρικών εννοιών) έως και τα πιο σύνθετα θεωρήματα, ανάλογα με τη φάση της ‘παραγωγής’. Με άλλα λόγια, όλα τα επιμέρους της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αποτελούν μια ολότητα, η αντίληψη της οποίας όμως, πρέπει να οικοδομηθεί σταδιακά στο μυαλό του μαθητή, βάσει της διάταξης της ύλης στο σχολικό βιβλίο και του προβλεπόμενου χρονοδιαγράμματος. Σε επίπεδο διδακτικής πράξης αυτό σημαίνει ότι, κατά τη διδακτική πορεία του μαθήματος μέσα στο σχολικό έτος, και προκειμένου οι μαθητές να επιλύσουν μία άσκηση, θα πρέπει να χρησιμοποιούν, στη συλλογιστική πορεία της απόδειξης, μόνο τα όσα περιέχονται στην αντίστοιχη διδακτέα ύλη, και όχι ‘τα παρακάτω’, ακόμα και αν τους είναι γνωστά είτε από το Γυμνάσιο, είτε από άλλο μάθημα, είτε από κάποια εξωσχολική πηγή. Αυτό έχει μεγάλη διδακτική και παιδαγωγική σημασία, διότι μόνο έτσι οι μαθητές θα αισθανθούν πραγματικά ότι οι ίδιοι παράγουν / ανακαλύπτουν / κατασκευάζουν τη γνώση, και επομένως θα είναι λογικό να πορεύονται κάθε φορά με τα εργαλεία τα οποία έχουν μέχρι τότε διαθέσιμα. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι το εξής: Οι μαθητές ήδη απ’ την Α΄ Γυμνασίου γνωρίζουν ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180ο

(παράγραφος 6.9. του σχολικού εγχειριδίου), και μάλιστα η απόδειξη αυτής της ιδιότητας είναι μία από τις ελάχιστες αποδείξεις που περιλαμβάνονται στα Γυμνασιακά Μαθηματικά. Όμως στην Α΄ Λυκείου δεν θα μπορέσουν να χρησιμοποιήσουν αυτή την ιδιότητα, παρά μόνο μετά την απόδειξή της, η οποία γίνεται στην παράγραφο 4.6. Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει σταδιακή οικοδόμηση (και παρουσίαση της θεωρίας στο σχολικό βιβλίο), με τέτοιο τρόπο ώστε η συγκεκριμένη ιδιότητα δεν μπορεί να κατασκευαστεί / αποδειχθεί νωρίτερα, το οποίο σημαίνει ότι είναι σαν να μην τη γνωρίζουμε, μέχρι τη στιγμή που είμαστε θέση να την κατασκευάσουμε (άρα να την αποδείξουμε). Απόρροια αυτού του γεγονότος είναι ότι η γενίκευση του κριτηρίου Γ-Π-Γ σε κριτήριο με μία πλευρά και δυο οποιεσδήποτε (αντίστοιχες) γωνίες ίσες, μπορεί να αποδειχθεί (άρα και να εφαρμοστεί) μετά την παράγραφο 4.6. Σ’ αυτό το γεγονός οφείλεται μια κατηγορία συνήθων λαθών των μαθητών, οι οποίοι δεν μπορούν (και όχι άδικα) να κατανοήσουν «γιατί να μην μπορούν να χρησιμοποιήσουν ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180ο (ή δύο ορθές), αφού το γνωρίζουν ήδη». Έτσι λοιπόν, όλο το βάρος της ευθύνης πέφτει επάνω στον εκπαιδευτικό, ο οποίος θα πρέπει να μπορέσει να βοηθήσει τους μαθητές να κατανοήσουν την έννοια της ‘‘αξιωματικής θεμελίωσης’’ μιας θεωρίας. Από την άλλη πλευρά, ορισμένες φορές, και εμείς οι ίδιοι διαπράττουμε το λάθος να δίνουμε στους μαθητές μας να επιλύσουν μια άσκηση για την οποία απαιτείται η χρήση προτάσεων που ακόμα δεν μπορούν να αποδειχτούν.

Μία δεύτερη παράμετρος, όχι όμως ανεξάρτητη από την προηγούμενη, είναι η απόδειξη καθαυτή. Αν λάβουμε υπ’ όψη το γεγονός ότι οι ασκήσεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι κατά κανόνα θεωρητικές (ουσιαστικά η κάθε μία είναι και ένα θεώρημα) και όχι υπολογιστικές ή ‘μετρητικές’, ο μαθητής καλείται ουσιαστικά να «αποδείξει» και όχι να «επιλύσει». Αυτό σημαίνει πως το «ζητούμενο» για το μαθητή δεν είναι να βρει το συμπέρασμα καθαυτό, αφού είναι ήδη γνωστό, αλλά να πορευτεί λογικά από τα δεδομένα της εκφώνησης (υπόθεση), και με την κατάλληλη χρήση των ήδη γνωστών -αποδεδειγμένων- από τη ΄θεωρία’ προτάσεων, μέχρι το συμπέρασμα.

Το προηγούμενο, σε συνδυασμό με το ότι δεν υπάρχουν στην Ευκλείδεια Γεωμετρία ‘αλγόριθμοι επίλυσης’ δημιουργεί στο μαθητή το αίσθημα της ανασφάλειας, αφού κάθε φορά θα πρέπει σε πρώτη φάση να «ανακαλύπτει» ή να υποθέτει την αποδεικτική πορεία και στη συνέχεια να επαληθεύει (να αποδεικνύει) τόσο την ορθότητα της υπόθεσής του όσο και την καταλληλότητα αυτής για τη συγκεκριμένη άσκηση. Σ’ αυτό το σημείο προκύπτει η αναγκαιότητα διατύπωσης κάποιων γενικών διδακτικών παρατηρήσεων και προτάσεων οι οποίες είναι σύμφωνες με τις κοινά αποδεκτές διδακτικές και ψυχοπαιδαγωγικές προσεγγίσεις της εποχής μας.9.1.2. Παρατηρήσεις1. Παρ’ όλο που δεν μπορούμε να αποκλείσουμε την αναγκαιότητα της κατ’ αρχήν ανακαλυπτικής προσέγγισης σε ορισμένες ασκήσεις, ο συνδυασμός της συνθετικής πορείας (τι μπορούμε να αποδείξουμε από τα πρωτογενή δεδομένα της εκφώνησης –υπόθεση- μαζί με άλλες γνωστές προτάσεις) με την αναλυτική πορεία (τι προκύπτει ως αναγκαία συνθήκη από / για το συμπέρασμα), αποφέρει συνήθως αποτέλεσμα, και τούτο διότι κάπου οι δυο αυτές πορείες συναντώνται1, και όταν συμβαίνει αυτό έχουμε επιτύχει το σκοπό μας. Έτσι, η καθοδηγούμενη ανακάλυψη είναι μία από τις πλέον 1 ή ανακαλύπτουμε το ‘συνδετικό κρίκο’

ενδεδειγμένες διδακτικές προσεγγίσεις στην περίπτωση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.2. Το αριστοτελικό σχήμα «θέση αντίθεση σύνθεση» προϋποθέτει την επικοινωνιακή διάσταση της μάθησης, και σε διδακτικό επίπεδο πραγματώνεται με τη συνεργατική επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων, τόσο μέσα σε μικρές ομάδες, όσο και σε επίπεδο τάξης.3. Πολύ σημαντικό είναι να βοηθήσουμε τους μαθητές μας να γεφυρώσουν τη νοητή απόσταση που χωρίζει τη ‘θεωρία’ από τις ‘ασκήσεις’. Όπως προαναφέραμε, αυτά τα δύο είναι αλληλένδετα, αφού και οι ίδιες οι ασκήσεις είναι θεωρήματα. Έτσι, αναφορικά με την αποδεικτική πορεία μιας πρότασης (‘θεωρία’), στο βαθμό που αυτή προκύπτει από προηγούμενες προτάσεις, ο μαθητής με την κατάλληλη καθοδήγηση μπορεί να την ‘παράγει’ εξαρχής. Αυτή η προσέγγιση, δηλαδή το να ανακαλύψει (ή να συνθέσει) ο ίδιος ο μαθητής την απόδειξη έχει ως αποτέλεσμα την απομυθοποίηση της δυσκολίας, διότι τον βοηθάει να αισθανθεί αυτοπεποίθηση ως ‘κατασκευαστής’ του οικοδομήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, αφού κατάφερε κάτι που μέχρι τώρα νόμιζε πως μόνο οι ηρωοποιημένοι Μαθηματικοί της αρχαιότητας μπορούσαν να πράξουν. Βεβαίως υπάρχουν ορισμένες αποδείξεις (κυρίως στο κεφάλαιο 3) οι οποίες τίθενται εκτός διδακτέας ή και εξεταστέας ύλης, διότι βασίζονται σε γεωμετρικά αξιώματα και αιτήματα τα οποία για παιδαγωγικο-διδακτικούς λόγους δεν περιλαμβάνονται στη διδακτέα ύλη. 4. Επίσης, μπορούμε να οργανώσουμε περισσότερο την ύλη (σε επίπεδο επανάληψης), δίνοντας στους μαθητές κάποια μεθοδολογία ή (ακόμα καλύτερα) βοηθώντας τους μαθητές μας να ανακαλύψουν οι ίδιοι κάποια κοινά στοιχεία σε ορισμένες ασκήσεις τις οποίες έχουμε δώσει ως επίλυση, οπότε με αυτόν τον τρόπο προκύπτει ένας ‘κατάλογος’ από ‘κομβικές’ απλές ασκήσεις, συνδυασμός των οποίων παράγει τις πιο σύνθετες. Μέσα από μια ανάλογη διαδικασία οι ίδιοι οι μαθητές μπορούν να οργανώσουν ένα μεγάλο αριθμό ασκήσεων σε επιμέρους κατηγορίες, όπως, για παράδειγμα, όλες οι ασκήσεις που αναφέρονται στην απόδειξη του ότι «ίσα τρίγωνα, έχουν και τα αντίστοιχα δευτερεύοντα στοιχεία1 τους ίσα» ή «σε ισοσκελές τρίγωνο τα αντίστοιχα δευτερεύοντα στοιχεία που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές είναι ίσα». Με αυτόν τον τρόπο οι μαθητές ασκούν την συνθετική και αναλυτική τους ικανότητα, και προβαίνουν σε γενικεύσεις οι οποίες τους βοηθούν να οικοδομούν, να ταξινομούν και να επεξεργάζονται πιο αποτελεσματικά τη γεωμετρική γνώση.5. Μία άλλη πολύ σημαντική παράμετρος που θα πρέπει να λαμβάνουμε υπ’ όψη είναι η έννοια «ευθύ και αντίστροφο». Ως έννοια θα πρέπει να την παρουσιάζουμε στους μαθητές σε κάθε περίπτωση που εμφανίζεται. Συγκεκριμένα, πολλά θεωρήματα διατυπώνονται ευθέως και αντιστρόφως, άλλες φορές ενιαία, άλλες φορές στην ίδια παράγραφο, αλλά χωριστά, άλλες σε διαφορετικές παραγράφους για λόγους που έχουν να κάνουν με την οικονομία της θεμελίωσης-οικοδόμησης της θεωρίας, για την οποία έχουμε ήδη μιλήσει. 6. Με το πέρας της διδασκαλίας του κεφαλαίου 4-Παράλληλες Ευθείες ουσιαστικά ολοκληρώνεται η ‘νέα’ γνώση, αφού η μελέτη τόσο των παραλληλογράμμων όσο και των τραπεζίων στηρίζεται πάνω στη μελέτη των παραλλήλων ευθειών (και στις ισότητες των τριγώνων). Αυτό, πρέπει να βοηθήσουμε τους μαθητές μας να το διαπιστώνουν, με κάθε ευκαιρία, και προφανώς στο συγκεκριμένο κεφάλαιο πραγματοποιείται η ουσιαστική

1 Διάμεσοι, Διχοτόμοι, Ύψη, Μεσοκάθετοι.

εμπέδωση των προηγουμένων εννοιών και διαδικασιών από τους μαθητές μέσα από την εφαρμογή τους σε πιο σύνθετες περιπτώσεις1.7. Οι τρεις προηγούμενες παρατηρήσεις δίνουν στην έννοια της ‘‘επανάληψης’’ 2 μια πιο ουσιαστική διάσταση. Συγκεκριμένα, ως επανάληψη δεν θα πρέπει να θεωρείται η γραμμική (με τη σειρά διάταξης στις σελίδες) διαδικασία ανάγνωσης του βιβλίου, αλλά η οργάνωση της γνώσης σε γενικότερα σχήματα, μέσα από την ανάδειξη των σχέσεων των επιμέρους προτάσεων. Αυτό ασκεί την κριτική σκέψη και αντίληψη των μαθητών και την ικανότητά τους για εμπεριστατωμένες γενικεύσεις στα κοινωνικά και άλλα φαινόμενα της εκτός και μετά το σχολείο ζωής.8. Το σχήμα στη Γεωμετρία αποτελεί το ‘ Α και το Ω’ για την επίλυση μιας άσκησης, διότι, χωρίς να αποτελεί απόδειξη από μόνο του, κατευθύνει τη σκέψη του μαθητή προς μια σωστή κατεύθυνση. Το σχήμα δεν αποτελεί την αναπαράσταση των δεδομένων ενός προβλήματος, αλλά την ίδια τη γεωμετρική πραγματικότητα την οποία περιγράφουν τα λεκτικά (ή αλγεβρικά) δεδομένα της εκφώνησης. Η ικανότητα της a priori σύλληψης ενός σχήματος ή της λύσης ενός προβλήματος μέσα από αυτό αφ’ ενός σχετίζεται με την ανακαλυπτική ή διαισθητική μάθηση και επαληθεύει τη θεωρία του ‘‘όλου’’, και αφ’ ετέρου αποτελεί μια σύνθετη, κυρίως γνωστικού τύπου, ικανότητα σε επίπεδο αξιολόγησης3. Ο σχεδιασμός ενός σχήματος είναι μια ψυχοκινητική δραστηριότητα και η απόκτηση ή η καλλιέργεια της αντίστοιχης δεξιότητας αποτελεί βασικό διδακτικό στόχο. Αξίζει να σημειωθεί η περίπτωση δυσλεκτικών μαθητών οι οποίοι αντιλαμβάνονται και επιλύουν διαισθητικά ένα πρόβλημα με τη βοήθεια του σχήματος και μόνο, ενώ δυσκολεύονται ιδιαίτερα στη λογική και αναλυτική διατύπωση της πορείας επίλυσης. Για τη σημασία του σχήματος έχουν γραφεί πολλά και θα μπορούσαμε να πούμε ακόμα περισσότερα, πράγμα που, όμως, δεν είναι μέσα στους σκοπούς αυτού του βιβλίου. Παρ’ όλ’ αυτά, υπάρχουν ορισμένα σημεία που πρέπει να τονίσουμε, όπως ότι: το σχήμα υποδεικνύει, αλλά η ύπαρξή του δεν επαληθεύει. Έτσι, για παράδειγμα, το ότι τρία σημεία είναι συνευθειακά δεν «βγαίνει κατ’ ευθείαν, αφού φαίνεται στο σχήμα». Γι’ αυτό δεν σχεδιάζουμε εξ’ αρχής τη γραμμή που τα ενώνει ως ευθεία, αλλά ως ελαφρά τεθλασμένη (στο ‘ενδιάμεσο’ σημείο) προκειμένου να διευκολύνουμε τους μαθητές μας. Μπορεί ως ‘τυχαίο’ τρίγωνο να παίρνουμε ένα οξυγώνιο και σκαλήνο, όμως υπάρχουν και περιπτώσεις ασκήσεων στις οποίες θα πρέπει να διακρίνουμε περιπτώσεις ως προς το είδος του τριγώνου. Αυτό ισχύει κυρίως στη Β΄ Λυκείου, όπου το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του έχει μεγάλη σημασία, προκειμένου να μπορούμε να εφαρμόζουμε σωστά το (γενικευμένο) Πυθαγόρειο Θεώρημα4. Έτσι, αν η εκφώνηση δεν υποδεικνύει το είδος του τριγώνου, οι μαθητές θα πρέπει να εξετάζουν χωριστά και τις τρεις περιπτώσεις. Όπως προαναφέραμε, οι μαθητές μας πρέπει να αποκτήσουν τις κατάλληλες ψυχοκινητικές ιδιότητες κατασκευής ενός σχήματος, το οποίο

1 Για παράδειγμα, το παραλληλόγραμμο αποτελείται από δύο ζεύγη παράλληλων ευθειών, και αν φέρουμε μία διαγώνιο έχουμε δύο ίσα τρίγωνα.2 η διδακτικο-παιδαγωγική αξία της οποίας θα μπορούσε από μόνη της να αποτελέσει το περιεχόμενο ενός βιβλίου 3 με την έννοια που η ομάδα του Βlοοm έχει δώσει, στο αντίστοιχο ταξινομικό μοντέλο (βλ. §1.1.13. του παρόντος συγγράμματος)4 Άλλη μία περίπτωση δυσκολίας για τους μαθητές , οι οποίοι δεν είναι εύκολο απ’ τη μια στιγμή στην άλλη να κατανοήσουν (αν όχι να συνηθίσουν) το ότι αυτό που αποτελούσε ‘τυχαίο’ όλα τα προηγούμενα χρόνια, στη Β΄ Λυκείου αποτελεί μία εκ των περιπτώσεων.

μπορεί να επιτευχθεί μάλλον αποκλειστικά με χαρτί και μολύβι και μέσα από τη διαδικασία δοκιμής και λάθους, με δεδομένη, βέβαια την ικανότητα εικονικής αναπαράστασης στο μυαλό τους (φαντασία). Σ’ αυτό το σημείο γίνεται φανερή η μεγάλη διδακτική προσφορά των κατάλληλων λογισμικών, κυρίως όμως σε επίπεδο υποβοήθησης της φαντασίας. Φυσικά, η απόκτηση των προαναφερθέντων ψυχοκινητικών ιδιοτήτων επιτυγχάνεται πρωτίστως με την ατομική προσπάθεια σχεδιασμού, καθώς το χέρι οδηγεί το μολύβι στο χαρτί, μετά από την αντίστοιχη εντολή του εγκεφάλου, γιατί, με αυτόν τον τρόπο η σχέση μυαλού-χεριού είναι αμεσότερη απ’ ό,τι είναι με τη χρήση του λογισμικού. 9.1.3. Το πρόβλημα ‘κάλυψης της ύλης’ της Α΄ Λυκείου

Όσοι έχουν μια μικρή έστω εμπειρία από τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας της Α΄ Λυκείου θα γνωρίζουν ότι, ενώ τυπικά, εντός διδακτέας ύλης βρίσκονται τα οκτώ πρώτα κεφάλαια του (κοινού για Α΄ και Β΄ Λυκείου) σχολικού εγχειριδίου, στην πράξη επιτυγχάνεται κατά κανόνα, η πραγματοποίηση της διδασκαλίας μόνο των πέντε πρώτων, και στην καλύτερη περίπτωση ενός μέρους του έκτου. Αυτό συνεπάγεται την αναγκαιότητα ολοκλήρωσης της ύλης των υπόλόιπων δύο-τριών κεφαλαίων στην αρχή της νέας σχολικής χρονιάς, και «το αργότερο ως τις 15 Οκτωβρίου», σύμφωνα με τις οδηγίες του Π.Ι. Μία ‘συμβιβαστική’ λύση θα ήταν να μπορούμε να επιτύχουμε τη διδασκαλία τουλάχιστον των έξι πρώτων κεφαλαίων, αφού, έτσι κι αλλιώς στο κεφάλαιο 7 αλλάζει το σκηνικό της Γεωμετρίας με την εισαγωγή της έννοιας του λόγου ευθυγράμμων τμημάτων, που αποτελεί και την εισαγωγή στη Μετρική Γεωμετρία. Η ολοκλήρωση της διδασκαλίας και του έκτου κεφαλαίου στην Α΄ Λυκείου, προϋποθέτει μια διδακτική προσέγγιση των προηγούμενων κεφαλαίων με τρόπο πιο συνοπτικό, πιο αφαιρετικό και πιθανόν με διαφορετική οργάνωση, και ίσως πιο αποτελεσματικό σε σχέση με το σχολικό εγχειρίδιο. Τα σχετικά φύλλα μεθοδολογίας και εργασίας που παρατίθενται στην §9.3. καθώς και στο ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ του βιβλίου αποτελούν κάποιες διδακτικές προτάσεις η εφαρμογή των οποίων στοχεύει είτε σε μια συνοπτική παρουσίαση ορισμένων εννοιών, ιδιοτήτων και θεωρημάτων, είτε σε μια συγκεντρωτική επανάληψη συγκεκριμένων διδακτικών ενοτήτων, με απώτερο σκοπό το κέρδος του διδακτικού χρόνου και την κατά το δυνατό αντιμετώπιση ορισμένων συνήθων μαθητικών παρανοήσεων. Επίσης παρατίθεται και μία διδακτική πρόταση συνοπτικής παρουσίασης των βασικότερων σημείων του κεφαλαίου 6 (του σχολικού εγχειριδίου) μέσα σε δύο διδακτικές ώρες.

9.2. ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ9.2.1. Το πρόβλημα ‘κάλυψης της ύλης’ της Α΄ Λυκείου

Τυπικά, η διδακτέα ύλη της Β΄ Λυκείου περιλαμβάνει τα κεφάλαια 9-11. Στην πράξη, και μέσα σε διάστημα ενός μήνα οι εκπαιδευτικοί καλούνται να καλύψουν τρία κεφάλαια επιπλέον, τα οποία δεν κατέστη χρονικά εφικτό να διδαχθούν στην Α΄ Λυκείου, αλλά που είναι πολύ σημαντικά για τα επόμενα. Συνήθως, από την (πρώτη) μέρα που ανοίγουν τα σχολεία (γύρω στις 12 Σεπτεμβρίου) μέχρι να συνταχθεί και να εφαρμοστεί το οριστικό εβδομαδιαίο πρόγραμμα μαθημάτων (και για λόγους, η εξέταση των οποίων βρίσκεται εκτός του συγκεκριμένου βιβλίου) μεσολαβεί ένα χρονικό διάστημα τουλάχιστον μιας εβδομάδας, με αποτέλεσμα να μειώνονται οι προβλεπόμενες για το μάθημα της Γεωμετρίας διδακτικές ώρες, εντός των οποίων προβλέπεται να τακτοποιηθούν οι εκκρεμότητες της Α΄ Λυκείου. Γενικότερα, οι πρώτες διδακτικές ώρες μιας σχολικής χρονιάς αντιστοιχούν στην προπαρασκευαστική φάση μιας διδακτικής ώρας (και για λόγους που καλείται να διερευνήσει η Ψυχοπαιδαγωγική) δεν είναι ιδιαίτερα ‘παραγωγικές’. Το αποτέλεσμα είναι ότι στην πράξη, ο προβλεπόμενος διδακτικός χρόνος για τα κεφάλαια 6-8, δεν επαρκεί. Έτσι προκύπτει η αναγκαιότητα για μια όσο το δυνατόν πιο συνοπτική και περιεκτική παρουσίαση των συγκεκριμένων εννοιών, πράγμα που περιορίζει ή και εκμηδενίζει τη δυνατότητα του εκπαιδευτικού για χρήση ποικιλίας διδακτικών μεθόδων, διαφορετικά θα πρέπει ο μαθητής να επιβαρυνθεί με υπερβολική κατ’ οίκον εργασία, κάτι που καθόλου δεν το θέλουμε.

Από την άλλη πλευρά, όπως έχει παρατηρηθεί, η επιφανειακή, χάριν συντομίας, παρουσίαση των συγκεκριμένων κεφαλαίων συνεπάγεται πολλές μαθησιακές ελλείψεις στους μαθητές, το οποίο ερμηνεύει σε μεγάλο ποσοστό τη μεγάλη δυσκολία που πολλοί μαθητές συναντούν στη Γεωμετρία της Β΄. Αξιοσημείωτο είναι το γεγονός ότι, πολλοί εκπαιδευτικοί είναι απρόθυμοι να αναλάβουν το συγκεκριμένο μάθημα (της Γεωμετρίας της Β΄ Λυκείου), έχοντας επίγνωση του βάθους των νοημάτων που εμπεριέχει σε σχέση με τις λίγες προβλεπόμενες διδακτικές ώρες, ενώ άλλοι το θεωρούν απλή υπόθεση παρασυρόμενοι από τον μικρό αριθμό σελίδων του σχολικού βιβλίου. Το τελευταίο αποτελεί πολλές φορές παγίδα και για τους ίδιους τους μαθητές, όχι μόνο γιατί μέσα στην ‘ύλη’ περιλαμβάνονται και οι ασκήσεις μαζί με τις λύσεις τους (στις οποίες λαμβάνει χώρα το μεγαλύτερο μέρος της επεξεργασίας των εννοιών), αλλά και γιατί οι έννοιες είναι ιδιαίτερα ‘πυκνές’ και περιεκτικές. Έτσι, αν συμπεριλάβουμε τις απαραίτητες επεξηγήσεις και διασυνδέσεις με όλη την προηγούμενη (της Α΄ Λυκείου) ύλη1 (πράγμα απαραίτητο αν θέλουμε να αντιμετωπίσουμε τη Γεωμετρία στην πραγματική της διάσταση) θα μπορούσαμε να γράψουμε έναν ολόκληρο τόμο. Σ’ αυτό το σημείο μπορούμε να δώσουμε άλλη μία αιτία για την οποία οι μαθητές δυσκολεύονται στη Γεωμετρία της Β΄ Λυκείου: τα (πιθανά) διδακτικά κενά από την Α΄. Γι’ αυτό αξίζει τον κόπο πριν από την εισαγωγή στην ύλη της Β΄ Λυκείου να αφιερώσουμε μία διδακτική ώρα προκειμένου να βοηθήσουμε τους μαθητές μας να ανακαλέσουν στη μνήμη τους τις βασικότερες (ή πιο ‘χρήσιμες’) προτάσεις.

Από τα παραπάνω προκύπτει η αναγκαιότητα να σκεφτούμε πώς θα οργανώσουμε το μάθημά μας κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο ούτως ώστε να μπορέσουμε να καλύψουμε τα βασικότερα2 σημεία αυτής της ύλης, μέσα στο προβλεπόμενο χρονικό διάστημα. Για το κεφάλαιο 6 παρουσιάσαμε μια

1 Η ύλη ‘αυξάνεται’ κυρίως ποιοτικά.2 Με κριτήριο το πόσο απαραίτητα είναι για την ύλη των επόμενων κεφαλαίων (9-11).

διδακτική πρόταση στην §9.2.3. Για τα κεφάλαια 7-8 έχουμε να κάνουμε τις εξής προτάσεις:1. Η βασική νεοεισαγόμενη έννοια είναι αυτή του «λόγου ευθυγράμμων τμημάτων». Βέβαια, οι μαθητές έχουν ξανασυναντήσει αυτήν την έννοια μέσα από την Τριγωνομετρία (και τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου), αλλά δεν χρειάστηκε να την επεξεργαστούν περαιτέρω1. Επίσης και οι σχέσεις: ΘΜ= ΑΜ και ΔΕ= ΒΓ στα παρακάτω αντίστοιχα σχήματα εμπεριέχουν την έννοια της ‘αλγεβρικής’ σύγκρισης (μηκών) ευθυγράμμων τμημάτων.

A A V Θ Δ Ε V V V

Β Μ Γ Β Γ

Αυτό που κάνει τη διαφορά στη Β΄ Λυκείου (με την εισαγωγή, δηλαδή, της έννοιας του λόγου ευθυγράμμων τμημάτων) είναι πως οι προηγούμενες σχέσεις μπορούν πλέον να γραφούν αντίστοιχα:

= και = .Οι μαθητές μας δεν είναι εξοικειωμένοι με μια τέτοια μορφή, και αυτό

που τους ξαφνιάζει περισσότερο είναι που ‘τολμάμε’ να ‘διαιρέσουμε ευθύγραμμα τμήματα’. Αυτό είναι και το πιο κρίσιμο σημείο από διδακτικής πλευράς. Πρέπει να καταστήσουμε σαφές στους μαθητές μας ότι δεν διαιρούμε ευθύγραμμα τμήματα μεταξύ τους, γιατί κάτι τέτοιο δεν θα είχε νόημα, αλλά «μήκη ευθυγράμμων τμημάτων», άρα θετικούς αριθμούς, και μάλιστα μη μηδενικούς, αφού θα θεωρούμε πάντα μη μηδενικά ευθύγραμμα τμήματα, πράγμα που σημαίνει ότι δεν θα χρειαστεί να κάνουν διερεύνηση ως προς τον παρονομαστή2, όπως κάνουν σε όλους τους άλλους μαθηματικούς κλάδους. Δεν θα πρέπει να επιμείνουμε στη θεωρητική υπόσταση της έννοιας του λόγου ευθυγράμμων τμημάτων, αλλά στο να εξοικειωθούν ο μαθητές με την αντίστοιχη μορφή, και να τη θεωρήσουν ως λόγο (πηλίκο) δύο θετικών αριθμών. Αυτή η θεώρηση επιτρέπει στους μαθητές να εκτελούν με ευχέρεια όλες τις επιτρεπόμενες (αυτές που έχουν νόημα στη Γεωμετρία) αλγεβρικές πράξεις, όπου τα α, β, γ, δ παριστάνουν μήκη ευθυγράμμων τμημάτων, άρα γνήσια θετικούς αριθμούς: α=β ακ = βκ (ύψωση σε ακέραιο –αλλά και σε ρητό- εκθέτη)

αγ=βδ (πολλ/σμός κατά μέλη)

1 Στην πραγματικότητα η έννοια και οι ορισμοί των τριγωνομετρικών αριθμών προέκυψαν από τις μετρικές σχέσεις (ομοιότητα κτλ.).2 Σε πολύ συγκεκριμένες περιπτώσεις, και μόνο σε στάδιο επεξεργασίας μιας άσκησης, το να θεωρήσουν το ευθύγραμμο τμήμα του παρονομαστή ως μηδενικό αποτελεί αποτέλεσμα του να συμπέσουν δυο σημεία. Αυτό είναι μια άλλη περίπτωση που θα εξετάζεται ανεξάρτητα κάθε φορά.

α=β και γ=δ = (διαίρεση κατά μέλη) κτλ. α γ=β δ (προσθαφαίρεση κατά μέλη)

α<β ακ < βκ , κ ρητός (αφού α>0 και β>0) α<β γα<γβ (αφού α, β, γ είναι μήκη ευθυγράμμων τμημάτων)

αγ<βδ (πολλ/σμός κατά μέλη) α<β και γ<δ

α+γ<β+δ (πρόσθεση κατά μέλη)

Φυσικά, θα πρέπει να υπενθυμίσουμε στους μαθητές τις ιδιότητες των αναλογιών, τις οποίες δεν θα πρέπει να θεωρούμε δεδομένο ότι τις θυμούνται ή ότι τις έχουν κατανοήσει.

Στη συνέχεια θα δώσουμε την έννοια «διαίρεσης ευθυγράμμου τμήματος εσωτερικά και εξωτερικά σε δεδομένο λόγο», χωρίς λεπτομέρειες και χωρίς τύπους, με ένα σχήμα όπως το αντίστοιχο του βιβλίου, και θα αναφέρουμε την ειδική περίπτωση που ο εσωτερικός λόγος ισούται με τον εξωτερικό («συζυγή αρμονικά», «αρμονική τετράδα»).

Προτείνεται να δοθούν στους μαθητές για επίλυση μέσα στην τάξη οι 1.-3. Ερ. Κατ. σ.150 και 2.-3. Εμπ. σ.151 του σχολικού βιβλίου. Τα παραπάνω μπορούν να ‘καλυφθούν’ μέσα σε δύο διδακτικές ώρες.2. Το «Θεώρημα του Θαλή (Θ.Θ.)» και η «ομοιότητα των τριγώνων» μπορούν να αποτελέσουν μία ενιαία διδακτική ενότητα η παρουσίαση της οποίας μπορεί να γίνει μέσα σε τέσσερις διδακτικές ώρες, ως εξής:

Την 1η ώρα θα παρουσιάσουμε το Θ.Θ. (χωρίς την απόδειξή του) αξιοποιώντας το γεγονός ότι οι μαθητές γνωρίζουν ήδη μία υποπερίπτωσή του από την Α΄ Λυκείου. Στη συνέχεια θα δώσουμε στους μαθητές ένα φύλλο εργασίας με σχήματα όπως:

ε1 //ε2 //ε3 ε1 //ε2 ΔΕ // ΒΓ

ε1 ε1 ε2 Δ Ε ε2 ε3 Β Γ

α) β) γ)προκειμένου να διατυπώσουν το Θ.Θ. σε κάθε περίπτωση. Με αφορμή τα σχήματα β) και γ) θα μεταβούμε στο θεώρημα σύμφωνα με το οποίο η αναλογία επεκτείνεται και στις τρίτες πλευρές των τριγώνων (το οποίο αποτελεί μια πολύ καλή εφαρμογή του Θ.Θ.), κάτι που οι μαθητές μας θα συμπεράνουν με την καθοδήγησή μας. Με αυτόν τον τρόπο μεταβαίνουμε στην «ομοιότητα των τριγώνων», στο «λόγο ομοιότητας», και στα αντίστοιχα τρία «κριτήρια», τα οποία οι μαθητές αντιλαμβάνονται διαισθητικά. Με τον ίδιο τρόπο αντιλαμβάνονται ότι, όταν δύο τρίγωνα είναι όμοια, τα αντίστοιχα δευτερεύοντα στοιχεία τους έχουν τον ίδιο λόγο αναλογίας.

Τη 2η διδακτική ώρα, μετά από ανάκληση των προηγουμένων οι μαθητές δραστηριοποιούνται μέσα από εφαρμογές και ασκήσεις όπως: 1. Κατ., 1., 2.ι), 4., 7. Εμπ. σ.156 και 1.-3. Κατ. σ.177, του σχολικού βιβλίου.

Την 3η διδακτική ώρα οι μαθητές με την καθοδήγησή μας και μέσα από κατάλληλα σχήματα και δραστηριότητες θα ανακαλύψουν (διαισθητικά) ότι

ισχύει και το αντίστροφο του Θ.Θ., με τη βοήθεια του οποίου θα προβούν στην επίλυση των ερωτήσεων Κατ. 2.-3. σ. 156.

Την 4η διδακτική ώρα με αφορμή τις ασκήσεις 4.,6. Κατ. σ.177, 5.ι),ιι)-6. Εμπ. σ.178 οι μαθητές συνειδητοποιούν ότι υπάρχουν ‘μορφολογικά’ και άλλες περιπτώσεις ομοίων τριγώνων, εκτός, δηλαδή, από τις προαναφερθείσες περιπτώσεις α), β) και γ), στις οποίες δεν εφαρμόζεται το Θ.Θ. Ειδικά η άσκηση 5. Εμπ. σ.178 (και σε συνδυασμό με την 4. Εμπ. σ.87) αποτελεί ένα ουσιαστικό μέρος της παραγράφου 9.2. (του 9ου κεφαλαίου) και έτσι προετοιμάζει τους μαθητές για τα επόμενα, ενώ και οι 4.,6. Κατ. σ.177 μπορούν να λειτουργήσουν προπαρασκευαστικά για την παρουσίαση των μετρικών σχέσεων σε κύκλο η οποία θα λάβει (επίσημα) χώρα στο τέλος του 9ου κεφαλαίου. Τέλος, γενικεύουμε την έννοια της ομοιότητας στα ν-γωνα. 3. Μέσα σε δύο διδακτικές ώρες μπορούμε να ‘δώσουμε’ τα «Θεωρήματα εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου τριγώνου», με τις αποδείξεις (χωρίς αναφορά στους τύπους οι οποίοι δίνουν τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων στα οποία οι διχοτόμοι διαιρούν την απέναντι πλευρά, συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου), καθώς και το αντίστροφο του θεωρήματος της εσωτερικής διχοτόμου, ενώ οι μαθητές μπορούν να προβούν στην επίλυση των ασκήσεων 1.-2. Κατ. σ.162, 1.-4., 6. Εμπ. σ.163.9.2.1. Παρατηρήσεις1. Έχει παρατηρηθεί ότι η έννοια της «(ορθής) προβολής» πλευράς τριγώνου σε άλλη πλευρά (του ίδιου τριγώνου), και γενικότερα της προβολής ευθυγράμμου τμήματος σε ευθύγραμμο τμήμα, δεν έχει εμπεδωθεί επαρκώς στους περισσότερους μαθητές όταν ξεκινούν τη φοίτησή τους στη Β΄ Λυκείου. Αυτό το γεγονός ερμηνεύει σε μεγάλο ποσοστό τη δυσκολία που συναντούν οι μαθητές στην κατανόηση και κυρίως στην εφαρμογή του Γ.Π.Θ. Κρίνεται λοιπόν σκόπιμο να αφιερώσουμε λίγο παραπάνω χρόνο στους μαθητές μας, προκειμένου να εξοικειωθούν με την έννοια της προβολής ώστε να μπορούν να τη βρίσκουν με ευκολία σε όλες τις περιπτώσεις (τρεις προβολές για κάθε είδος τριγώνου). Αυτή η διαδικασία θα ωφελήσει τους μαθητές στην κατανόηση της προβολής της διαμέσου τριγώνου στην απέναντι πλευρά (2ο Θεώρημα Διαμέσων), αλλά και της προβολής διανύσματος σε διάνυσμα (αναφορικά με το αντίστοιχο θεώρημα), στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης1. Στο ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ αυτού του βιβλίου παρατίθεται ένα φύλλο εργασίας με μια πρόταση για την εμπέδωση της έννοιας της προβολής πλευράς τριγώνου σε άλλη πλευρά του ίδιου τριγώνου, με την πρόταση, το φύλλο αυτό να δοθεί στους μαθητές πριν από οποιαδήποτε νύξη στο Π.Θ. 2. Όπως αναφέραμε και στην §9.2.2. του παρόντος, με την εισαγωγή του Γενικευμένου Πυθαγορείου Θεωρήματος (Γ.Π.Θ.) η έννοια του ‘τυχαίου’ τριγώνου διαφοροποιείται, και ο μαθητής θα πρέπει να σχεδιάζει το είδος του τριγώνου που υποδεικνύεται άμεσα ή έμμεσα (π.χ. από τα μήκη των πλευρών του) από την εκφώνηση, και αν δεν υπάρχει καμία ένδειξη θα πρέπει να θεωρήσει και τις τρεις περιπτώσεις (οξυγώνιο, ορθογώνιο, αμβλυγώνιο). Στο ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ του βιβλίου παρατίθενται φύλλα εργασίας και μεθοδικής παρουσίασης του Γ.Π.Θ. Ο εκπαιδευτικός ανάλογα με τη δυναμική της τάξης μπορεί να χρησιμοποιήσει τα συγκεκριμένα φύλλα όπως είναι ή να τα αξιοποιήσει στο πλαίσιο μιας καθοδηγούμενης ανακαλυπτικής πορείας από τους μαθητές του, δημιουργώντας ερωτήσεις συμπλήρωσης κενού. 1 Προφανώς αυτό αφορά τους μαθητές της συγκεκριμένης κατεύθυνσης.

3. Από το 7ο κεφάλαιο (με την εισαγωγή της έννοιας του λόγου ευθυγράμμων τμημάτων) και μετά, η Γεωμετρία αποκτά μια περισσότερο αλγεβρική μορφή. Η εναλλαγή μεταξύ αλγεβρικής και γεωμετρικής αντιμετώπισης ενός προβλήματος κατά την επίλυσή του, είναι μία διαπίστωση στην οποία θα πρέπει να οδηγούμε τους μαθητές μας, με κάθε ευκαιρία. Έτσι, σε ένα γεωμετρικό πρόβλημα (της Μετρικής Γεωμετρίας) ξεκινάμε, συνήθως από μία γεωμετρική ιδιότητα (υπόθεση) την οποία ‘μεταφράζουμε’ σε αλγεβρική γλώσσα (ή το αντίστροφο). Ανάλογα με το αν το ζητούμενο είναι διατυπωμένο γεωμετρικά ή αλγεβρικά, εκτελούμε τους κατάλληλους αλγεβρικούς μετασχηματισμούς και αξιοποιούμε τις κατάλληλες γεωμετρικές ιδιότητες, προκειμένου να καταλήξουμε στο συμπέρασμα. Κατά την προσπάθειά μας προκειμένου να συνδυάσουμε αλγεβρικά δύο ή περισσότερες σχέσεις προκειμένου να καταλήξουμε σ’ αυτήν του συμπεράσματος, προς στιγμήν μπορούμε να ‘ξεχάσουμε’ ότι αναφερόμαστε σε γεωμετρικό πρόβλημα, και να αφοσιωθούμε στα του αλγεβρικού λογισμού. 4. Ο λόγος δύο ευθυγράμμων τμημάτων είναι αριθμός πραγματικός και θετικός. Για λόγους ιστορικούς, που όμως έχουν να κάνουν με την έννοιά του, αν είναι ρητός θα πρέπει να τον αφήνουμε σε ‘ανάγωγη’ κλασματική μορφή και όχι σε δεκαδική, ενώ αν είναι άρρητος σε καμία περίπτωση δεν θα πρέπει να τον αντικαταστήσουμε με μια προσέγγιση. Ειδικά στην περίπτωση κατά την οποία μετά από υπολογισμούς προκύπτει κλασματική μορφή με παρονομαστή άρρητο, θα πρέπει να εκτελέσουμε τους κατάλληλους μετασχηματισμούς ούτως ώστε να προκύψει ρητός παρονομαστής (π.χ. =…= ). 5. Η ορθή διατύπωση του 2ου Θεωρήματος των Διαμέσων (2ο Θ.Δ.) είναι: «Η απόλυτη τιμή της διαφοράς των τετραγώνων δυο πλευρών ενός τριγώνου ισούται με το διπλάσιο γινόμενο της τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαμέσου στην πλευρά αυτή.» Αν παραλείψουμε τη φράση «η απόλυτη τιμή της» υπάρχει περίπτωση να έχουμε μια ισότητα με το πρώτο μέλος αρνητικό και το δεύτερο θετικό.6. Ένας από τους βασικούς διδακτικούς στόχους κατά την παρουσίαση της έννοιας της ομοιότητας είναι να μπορούν οι μαθητές να γράφουν (σωστά) τις σχέσεις αναλογίας οι οποίες προκύπτουν από την ομοιότητα δύο τριγώνων, πράγμα όχι τόσο εύκολο στην περίπτωση που δεν εφαρμόζεται το Θ.Θ. Στο ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ του βιβλίου παρατίθεται ένας πρακτικός κανόνας με τη βοήθεια του οποίου οι μαθητές μπορούν να βρίσκουν εύκολα τις σχέσεις αναλογίας, στην περίπτωση του κριτηρίου των δύο ίσων γωνιών.7. Η ομοιότητα δύο τριγώνων σε ορισμένες περιπτώσεις συνεπάγεται την εγγραψιμότητα ενός τετραπλεύρου (σχ. β και δ) και αντιστρόφως (σχ. α και γ).

Β Ρ Α Α Ρ

Β Γ Γ

Δ

Δ

α) ΑΒΓΔ εγγεγραμμένο β) ΡΑ. ΡΒ =ΡΓ.ΡΔ ΑΒΓΔ εγγράψιμο ΑΒΓΔ εγγράψιμο

ΡΑ.ΡΒ = ΡΓ.ΡΔ Δ

Α Α Δ

Ρ Ρ

Β Β Γ Γ

γ) ΑΒΓΔ εγγεγραμμένο δ) ΡΑ.ΡΓ =ΡΒ.ΡΔ ΑΒΓΔ εγγράψιμο ΑΒΓΔ εγγράψιμο

ΡΑ.ΡΓ = ΡΒ.ΡΔ 8. Οι εφαρμογές 1. και 2. της παραγράφου 9.7.-Τέμνουσες κύκλου είναι οι αντίστροφες προτάσεις του Θεωρήματος Τεμνουσών (Θ.Τ) σ.199 και του Θεωρήματος Τέμνουσας-Εφαπτομένης (Θ.Τ.Ε.) σ.200, αντίστοιχα. 9. Μια διαισθητική προσέγγιση του Θ.Τ.Ε. είναι να το παρουσιάσουμε σαν ειδική περίπτωση του Θ.Τ. όταν, δηλαδή, η μία τέμνουσα ‘γίνεται’ εφαπτόμενη, οπότε τα αντίστοιχα σημεία τομής συμπίπτουν. Βέβαια θα πρέπει να εξηγήσουμε στους μαθητές ότι αυτό δεν αποτελεί απόδειξη του Θ.Τ.Ε. στα πλαίσια αυτού του μαθήματος. 10. Στα επόμενα δύο κεφάλαια (10-Εμβαδά και 11-Μέτρηση Κύκλου) γίνεται εκτενής χρήση των προτάσεων που παρουσιάστηκαν στα προηγούμενα κεφάλαια, και έχει παρατηρηθεί ότι η σε βάθος επεξεργασία των προηγουμένων εννοιών δημιουργεί ένα καλό νοητικό δόμημα στο μυαλό του μαθητή, με αποτέλεσμα να μην αντιμετωπίζει ιδιαίτερες δυσκολίες στα συγκεκριμένα κεφάλαια.11. Πιο συγκεκριμένα, για το κεφάλαιο 10-Εμβαδά έχουμε: Έχει, μεν, τον τίτλο Εμβαδά, αλλά αναφέρεται μόνο στα εμβαδά ευθυγράμμων (κυρτών) σχημάτων, με έμφαση στο τρίγωνο. Οι μέχρι ‘τώρα’ γνωστοί τύποι εμβαδού τριγώνου αυξάνονται, και μάλιστα, κάποιοι από αυτούς δημιουργούν τις προϋποθέσεις για τη συσχέτιση του τριγώνου με τον αντίστοιχο εγγεγραμμένο ή περιγεγραμμένο κύκλο, ενώ ο τύπος που δίνει το εμβαδόν του τριγώνου, από τα μήκη των δυο πλευρών του και το συνημίτονο της περιεχόμενης γωνίας, θα ‘ γεφυρώσει’, στη συνέχεια, τρίγωνα όμοια μεταξύ τους. Τους τύπους που δίνουν το εμβαδόν ενός τριγώνου δεν θα πρέπει να τους αντιμετωπίζουμε αποκλειστικά ως τύπους υπολογισμού εμβαδού, διότι, κατά κανόνα αξιοποιούνται ως τύποι συσχέτισης όλων των εμπλεκομένων γεωμετρικών μεγεθών, προκειμένου να μπορούμε, τόσο να υπολογίζουμε οποιοδήποτε από αυτά τα μεγέθη (και όχι μόνο το εμβαδό ενός τριγώνου), όσο και να παράγουμε / αποδεικνύουμε χρήσιμες ταυτότητες (όπως, π.χ., ο Νόμος των Ημιτόνων1). Αυτό θα φανεί ιδιαίτερα

1 Άλλη μια αφορμή για να μην ξεχνάμε πως τα θεμέλια της Τριγωνομετρίας (=μέτρηση τριγώνου) βρίσκονται στη Μετρική (Ευκλείδεια) Γεωμετρία, παρ’ ότι στα σχολικά Μαθηματικά του Λυκείου τα αντίστοιχα κεφάλαια περιέχονται στα βιβλία της Άλγεβρας.

στην περίπτωση που θέλουμε να συσχετίσουμε όμοια τρίγωνα, ή ένα τρίγωνο με τον εγγεγραμμένο ή τον περιγεγραμμένο κύκλο του (όπως προαναφέρθηκε). Από το σχολικό βιβλίο υιοθετείται ο όρος «ισοδύναμα», εναλλακτικά του «ισεμβαδικά», για τα τρίγωνα που έχουν ίσα εμβαδά. Θεωρούμε ότι η χρήση του δημιουργεί προϋποθέσεις σύγχυσης για τους μαθητές, γιατί παραπέμπει στο «όμοια», και καλό είναι να αποφεύγεται. Το γεγονός ότι, όμοια τρίγωνα έχουν ‘ανάλογα’ εμβαδά με συντελεστή αναλογίας το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας, σε συνδυασμό με το ότι, όμοια τρίγωνα έχουν ανάλογα όλα τα δευτερεύοντα στοιχεία τους (ύψη, διάμεσοι κτλ.), θέτει τις προϋποθέσεις για την κατασκευή ενός μεγάλου πλήθους ασκήσεων. Η παράγραφος 10.5-(Εμβαδόν και ομοιότητα)Λόγος εμβαδών όμοιων τριγώνων ασχολείται και με τρίγωνα μη όμοια μεταξύ τους (π.χ οι εφαρμογές 1. και 2.(ι) στη σελίδα 223, όπως και η άσκηση 3. Εμπ. κ.ά., στη σελίδα 224), ισεμβαδικά ή μη. Αυτό πρέπει να το προσέξουμε αν θέλουμε να αποτρέψουμε τους μαθητές μας από τη λανθασμένη και στερεοτυπική άποψη (την πιθανότητα διαμόρφωσης της οποίας ενισχύει ο τίτλος της παραγράφου), ότι όταν ασχολούμαστε με τα εμβαδά δύο τριγώνων αυτά πρέπει να είναι όμοια. Καλό θα ήταν να επισημάνουμε ότι δυο κύκλοι είναι πάντοτε όμοιοι μεταξύ τους, με λόγο αναλογίας το πηλίκο των ακτινών τους, σε συνδυασμό με το ότι δύο κανονικά ν-γωνα (με το ίδιο ν) είναι όμοια μεταξύ τους.12. Τέλος, αναφορικά με το κεφάλαιο 11-Μέτρηση Κύκλου έχουμε τα εξής: Το πρώτο μέρος αφιερώνεται στα κανονικά πολύγωνα, τόσο γιατί η μελέτη των ιδιοτήτων του γίνεται μέσα από τη μελέτη των ιδιοτήτων των αντίστοιχων εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κανονικών ν-γώνων (κυρίως για ν=3, ω=4 και ν=6), τόσο γιατί η εύρεση των τύπων, που δίνουν το μήκος και το εμβαδόν ενός κύκλου, γίνεται μέσα από την προσέγγισή του με ακολουθία κανονικών ν-γώνων («μέθοδος της εξάντλησης»). Σ’ αυτό το κεφάλαιο γίνεται η ‘ολοκλήρωση’ της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στο επίπεδο, ως εκ τούτου σύνθετες εφαρμογές θα βοηθήσουν τους μαθητές να αποκτήσουν την αίσθηση της ολότητας της θεωρίας αυτής. Ενδεικτικά αναφέρουμε ότι τα στοιχεία των αξιοσημείωτων (χαρακτηριστικών) κύκλων του τριγώνου σχετίζονται με τα στοιχεία των αντίστοιχων τριγώνων (μεταξύ άλλων και) μέσα από τους τύπους οι οποίοι δίνουν τα εμβαδά τους.

Α΄ Λυκείου - κεφάλαιο 6: Εγγεγραμμένα Σχήματα (Ευκλείδεια Γεωμετρία)Συνοπτική παρουσίαση1

1η ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΩΡΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ

1. Παρουσίαση / Σύνδεση με τα προηγούμενα (15΄)Οι μαθητές ανακαλούν στη μνήμη τους τα στοιχεία του κύκλου που

ήδη γνωρίζουν από προηγούμενα κεφάλαια. Παρουσιάζουμε τις έννοιες της «εγγεγραμμένης γωνίας» και την έννοια της «γωνίας χορδής και εφαπτομένης» και καθοδηγούμε τους μαθητές ώστε να τις συνδέσουν με τα υπόλοιπα στοιχεία του κύκλου. Συγκεκριμένα, οι μαθητές διαπιστώνουν (με τη βοήθεια σχημάτων που οι ίδιοι κατασκευάζουν), αναφορικά με δύο σημεία Α και Β πάνω σε κύκλο κέντρου Ο, τα εξής:A. Αν Α και Β είναι μη αντιδιαμετρικά:

1. Σε δυο μη αντιδιαμετρικά σημεία Α και Β ενός κύκλου αντιστοιχούν: μία χορδή ένα απόστημα δύο τόξα ένα κυρτό και ένα μη κυρτό (με άθροισμα 360ο) δύο επίκεντρες γωνίες, μία κυρτή και μία μη κυρτή (με άθροισμα 360ο) ένα σύνολο (κλάση) εγγεγραμμένων γωνιών, οι οποίες έχουν τις κορυφές τους στο μη κυρτό τόξο και οι οποίες, όπως ‘φαίνεται’2, είναι οξείες ένα σύνολο εγγεγραμμένων γωνιών, οι οποίες έχουν τις κορυφές τους στο κυρτό τόξο και οι οποίες, όπως ‘φαίνεται’3, είναι αμβλείες δύο εφαπτόμενες ευθείες στον κύκλο δύο γωνίες χορδής και εφαπτομένης (ανά δυο παραπληρωματικές) σε κάθε ένα από τα σημεία Α και Β.2. Σε κάθε επίκεντρη γωνία Α Β αντιστοιχούν: μια χορδή ένα τόξο άπειρες το πλήθος εγγεγραμμένες δύο γωνίες χορδής και εφαπτομένης (μία σε καθ’ ένα από τα Α και Β), οι οποίες είναι ίσες μεταξύ τους, και μάλιστα οξείες αν η επίκεντρη είναι κυρτή, και αμβλείες αν η επίκεντρη είναι μη κυρτή.

Β. Τα αντίστοιχα συμπεράσματα στην περίπτωση που τα Α και Β είναι αντιδιαμετρικά.Γ. Τα αντίστοιχα συμπεράσματα στην ειδική (‘τετριμμένη’) περίπτωση όπου τα Α και Β ταυτίζονται.

1 Το συγκεκριμένο σχέδιο μαθήματος, από διδακτικομεθοδολογικής πλευράς, βασίζεται στην σωκρατική μαιευτική, ενώ για την οικονομία του χρόνου έχει μεγιστοποιηθεί η καθοδήγηση του δασκάλου. Η ομαδοσυνεργατική μέθοδος για τους ίδιους λόγους παραλείπεται. Επομένως δεν αποτελεί, από παιδαγωγικής πλευράς, την ιδανική παρουσίαση και δε συνίσταται ως συστηματικός τρόπος παρουσίασης της ύλης. Εφαρμόζεται κατ’ εξαίρεση μόνο στην περίπτωση που δεν επαρκεί ο διδακτικός χρόνος, προκειμένου να ολοκληρωθεί η παρουσίαση και του 6ου

κεφαλαίου στην Α΄ ( ή τη Β΄) Λυκείου.2 Αποδεικνύεται εύκολα, αν έχουμε περίσσια διδακτικού χρόνου, διαφορετικά μπορούμε να το δώσουμε για κατ’ οίκον εργασία.3 Όπ.π.

2. Επεξεργασία (20΄)Με την καθοδήγηση του εκπαιδευτικού και τη χρήση της σωκρατικής

μεθόδου οι μαθητές καταλήγουν στα εξής πρώτα δύο συμπεράσματα: μια εγγεγραμμένη γωνία είναι η μισή της αντίστοιχης επίκεντρης, η γωνία χορδής και εφαπτομένης ισούται με την αντίστοιχη εγγεγραμμένη,και στα επόμενα πορίσματα: όλες οι εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο (ή σε ίσα τόξα του ίδιου κύκλου ή ίσων κύκλων) είναι ίσες μεταξύ τους, η γωνία χορδής και εφαπτομένης ισούται με τη μισή της αντίστοιχης επίκεντρης, οι εγγεγραμμένες γωνίες, οι οποίες έχουν τις κορυφές τους στο μη κυρτό τόξο (στο οποίο βαίνουν) είναι οξείες, οι εγγεγραμμένες γωνίες, οι οποίες έχουν τις κορυφές τους στο κυρτό τόξο (στο οποίο βαίνουν) είναι αμβλείες.3. Εφαρμογή (10΄)

Δίνονται στους μαθητές φύλλα εργασίας με σχήματα όπως αυτά των ασκήσεων εμπέδωσης 1.-5., για άμεση εφαρμογή των προηγουμένων συμπερασμάτων, και κατ΄ οίκον εργασία.

2η ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΩΡΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ1. Παρουσίαση / σύνδεση με τα προηγούμενα (10΄)

Οι μαθητές ανακαλούν στη μνήμη τους (μετά από δική μας νύξη) την έννοια του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου. Με τη μέθοδο των ερωταποκρίσεων οι μαθητές συμπεραίνουν ότι η έννοια του περιγεγραμμένου κύκλου θα μπορούσε να επεκταθεί και σε τετράπλευρο, και τους δίνουμε τον ορισμό του «εγγεγραμμένου τετραπλεύρου». Μέσα από κατάλληλα παραδείγματα (πλάγιο παραλληλόγραμμο, μη ισοσκελές τραπέζιο) οι μαθητές διαπιστώνουν (διαισθητικά) πως δεν μπορούν να καταστούν όλα τα τετράπλευρα εγγεγραμμένα. Σ’ αυτό το σημείο τούς δίνουμε τον ορισμό του «εγγράψιμου τετραπλεύρου», και τους ζητάμε να διευκρινίσουν τη διαφορά μεταξύ «εγγεγραμμένου» και «εγγράψιμου», αξιοποιώντας τις γνώσεις τους από το μάθημα των Νέων και των Αρχαίων Ελληνικών (διαθεματική διάσταση).2. Επεξεργασία / Οικοδόμηση πάνω στα προηγούμενα (25΄)

Οι μαθητές διαπιστώνουν ότι στις περιπτώσεις του πλάγιου παραλληλογράμμου και του μη ισοσκελούς τραπεζίου οι απέναντι γωνίες δεν είναι ανά δύο παραπληρωματικές. Έτσι οδηγούνται στην υπόθεση μήπως πρέπει να ισχύει το αντίθετο προκειμένου να είναι ένα τετράπλευρο εγγράψιμο, ή ακόμα και το αντίστροφο. Με την καθοδήγησή μας και τη χρήση των ιδιοτήτων των εγγεγραμμένων γωνιών συμπεραίνουν ότι η παραπληρωματικότητα δύο απέναντι γωνιών είναι κριτήριο εγγραψιμότητας αλλά και αντιστρόφως, δηλαδή ιδιότητα του εγγεγραμμένου (και του εγγράψιμου, αφού κάθε εγγράψιμο μπορεί να καταστεί εγγεγραμμένο).

Στη συνέχεια δίνουμε την έννοια του «να φαίνεται ένα ευθύγραμμο τμήμα υπό γωνία φ», μέσα από το παράδειγμα των θέσεων ενός κινηματογράφου (με αυτόν τον τρόπο ανανεώνουμε το ενδιαφέρον των μαθητών), και κάνοντας χρήση των ιδιοτήτων των εγγεγραμμένων γωνιών. Επαγωγικά οι μαθητές διαπιστώνουν πως ικανή συνθήκη προκειμένου να μπορεί ένα τετράπλευρο να εγγραφεί σε κύκλο, είναι μία πλευρά του να «φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες», και αντιστρόφως, δηλαδή όταν ένα τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο, τότε κάθε πλευρά του φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες.

Με τη βοήθεια της πρώτης ιδιότητας οι μαθητές συμπεραίνουν ότι σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο κάθε (εσωτερική) γωνία του ισούται με την απέναντι εξωτερική του. Κατ’ ανάλογο τρόπο εξάγουν συμπέρασμα και για το αντίστοιχο κριτήριο.3. Εφαρμογή (10΄)

Οι μαθητές αποδεικνύουν ότι ένα παραλληλόγραμμο είναι εγγράψιμο αν και μόνο αν είναι ορθογώνιο, και ότι ένα τραπέζιο είναι εγγράψιμο αν και μόνο αν είναι ισοσκελές.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 91. Να ετοιμάσετε μια τρίωρη παρουσίαση για τα Παραλληλόγραμμα και τις εφαρμογές τους στα Τρίγωνα, σε μαθητές Λυκείου.

2. Να παρουσιάσετε το Γενικευμένο Πυθαγόρειο Θεώρημα στα πλαίσια δύο διδακτικών ωρών σε μαθητές Λυκείου.

(προτεινόμενος χρόνος: 3 ώρες)

ΕΝΟΤΗΤΑ 1010.1. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-ΠΡΟΟΔΟΙ

10.1.1. ΛύκειοΒ΄ ΛυκείουΆλγεβρα

Το κεφάλαιο 3-Πρόοδοι του σχολικού βιβλίου ξεκινάει με τις Ακολουθίες. Η έννοια της «ακολουθίας» δίδεται με τη βοήθεια ενός παραδείγματος από το χώρο της Οικονομικής, και συγκεκριμένα με ένα πρόβλημα (ανα)τοκισμού. Με αυτόν τον τρόπο εισάγεται η έννοια του «όρου» της ακολουθίας. Οι ακολουθίες αναδρομικού τύπου είναι συνήθως εκτός διδακτέας ύλης1. Το ίδιο ισχύει και για τη γραφική παράσταση ακολουθίας.

Στην επόμενη παράγραφο παρουσιάζεται η «αριθμητική πρόοδος» ως ειδική περίπτωση ακολουθίας, μέσω συγκεκριμένου μαθηματικού παραδείγματος, και δίδονται οι έννοιες της «διαφοράς» και του «αριθμητικού μέσου», καθώς και οι τύποι υπολογισμού του ν-οστού2 όρου και του «αθροίσματος των ν πρώτων όρων»3 μιας αριθμητικής προόδου.

Η παρουσίαση της «γεωμετρικής προόδου» γίνεται με ανάλογο (με της αριθμητικής προόδου) τρόπο, ενώ (σε αντίθεση με την αριθμητική πρόοδο) τίθεται η συνθήκη α1 0 ως απαραίτητη προϋπόθεση για την ύπαρξη της γεωμετρικής προόδου.

Οι παράγραφοι 3.4.-Ανατοκισμός-Ίσες καταθέσεις-Χρεωλυσία και 3.5.-Άθροισμα απείρων όρων γεωμετρικής προόδου βρίσκονται εκτός διδακτέας ύληςΓεωμετρία

Την έννοια της ακολουθίας (και του ορίου της) την βλέπουμε και στις παραγράφους 11.5.-Μήκος Τόξου και 11.6.-Προσέγγιση του εμβαδού κύκλου με κανονικά πολύγωνα, όπου θεωρούνται ακολουθίες κανονικών πολυγώνων, των οποίων οι περίμετροι προσεγγίζουν τον κύκλο. Έτσι προκύπτουν αντίστοιχες αριθμητικές (με θετικούς πραγματικούς όρους) ακολουθίες, των περιμέτρων και των εμβαδών των κανονικών πολυγώνων αντιστοίχως, τα όρια των οποίων δίνουν την περίμετρο και το εμβαδόν του κύκλου (συναρτήσει της ακτίνας) αντιστοίχως. Γ΄ ΛυκείουΜαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Στην παράγραφο 1.7-Όρια Συνάρτησης στο Άπειρο (του Β΄ Μέρους –Ανάλυση- του σχολικού εγχειριδίου) έχουμε μια πολύ σύντομη αναφορά στις έννοιες της ακολουθίας και του ορίου ακολουθίας, αλλά δεν υπάρχουν αντίστοιχες προτεινόμενες (άλυτες) ασκήσεις4.

Με τη βοήθεια του ορίου κατάλληλης ακολουθίας δίδεται και ή έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος, στην παράγραφο 3.4.-Ορισμένο Ολοκλήρωμα, παρ’ όλο που δεν αναφέρεται ο όρος «ακολουθία»5. 10.1.2. Παρατηρήσεις1. Οι έννοιες της αριθμητικής και της γεωμετρικής προόδου ενυπάρχουν σε διάφορα γεγονότα και δραστηριότητες της καθημερινότητας, ενώ ειδικά

1 Παρά το ότι η αριθμητική και η γεωμετρική πρόοδος έχουν και αναδρομικούς τύπους.2 Το σχολικό βιβλίο χρησιμοποιεί τις εκφράσεις «νιοστός» και «νος».3 Η απόδειξη του τύπου βρίσκεται εκτός διδακτέας ύλης.4 Δες σχετική αναφορά και στην § 6.1.2. του παρόντος βιβλίου.

5 Δες σχετική αναφορά και στην § 7.2. του παρόντος.

η γεωμετρική πρόοδος αποτελεί ‘εργαλείο’ μελέτης και πρόγνωσης εξελικτικών διαδικασιών της Βιολογίας (όπως είναι, για παράδειγμα, η αύξηση ή η μείωση βιολογικών ‘‘πληθυσμών’’) της Φυσικής, κ.ά. Αυτό υποδηλώνει αφ’ ενός τη διαθεματική διάσταση αυτών των εννοιών, αφ’ ετέρου την σύνδεση του σχολείου με την κοινωνία (ιδιωτική και επαγγελματική ζωή) μέσω αυτών των εννοιών. Έτσι, αναφορικά με τη σύνταξη ενός σχεδίου μαθήματος, η αφόρμηση μπορεί να γίνει με ένα παράδειγμα από την εξωσχολική (‘καθημερινή’) ζωή, ενώ στάδιο της εφαρμογής μπορούμε να δώσουμε μια διαθεματική προέκταση, και φυσικά στο στάδιο της Αξιολόγησης (με την ευρύτερη έννοια του όρου) οι μαθητές προβαίνουν στη διαπίστωση της ευρείας εφαρμογής των εννοιών-μοντέλων της αριθμητικής και της γεωμετρικής προόδου.2. Μπορούμε, να αναφερθούμε στην κοινώς χρησιμοποιούμενη έκφραση «αυξάνεται με γεωμετρική πρόοδο», με την οποία συνήθως εννοούμε «αυξάνεται ραγδαία», και την οποία χρησιμοποιούμε εμφαντικά για να αποδώσουμε το μέγεθος της ταχύτητας με την οποία εξελίσσεται ένα (συνήθως) κοινωνικό φαινόμενο. Διευκρινίζουμε ότι σ’ αυτήν την περίπτωση η συγκεκριμένη φράση χρησιμοποιείται ‘καταχρηστικά’ (αφού δεν διαπιστώσαμε αν πράγματι είναι γεωμετρική πρόοδος με τον τρόπο που την ορίσαμε στα Μαθηματικά), και ότι ο λόγος που γίνεται αυτό είναι ότι, οι όροι μιας γεωμετρικής προόδου με α1>0 και λ>0, λόγω της πολλαπλασιαστικής ιδιότητας, αυξάνονται πολύ πιο ‘γρήγορα’ απ’ ό,τι οι όροι της αντίστοιχης (με τον ίδιο πρώτο όρο και διαφορά ω=λ) αριθμητικής προόδου. 3. Απόρροια των πολλών εφαρμογών της αριθμητικής και της γεωμετρικής προόδου είναι η σημασία η οποία δίδεται (τόσο από πλευράς παρουσίασης στο σχολικό εγχειρίδιο, όσο και από τις οδηγίες του Π.Ι.) στην επίλυση των ασκήσεων, έναντι μιας περαιτέρω θεωρητικής επεξεργασίας αυτών των εννοιών.

10.2. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ10.2.1. ΛύκειοΒ΄ ΛυκείουΜαθηματικά Γενικής Παιδείας ( Άλγεβρα)

Αν και η έννοια της δύναμης έχει εισαχθεί από το Γυμνάσιο, η ουσιαστική επέκταση του εκθέτη σε ρητές τιμές αρχίζει από την Ά Λυκείου1

συνεχίζει στη Β΄ Λυκείου, όπου και ολοκληρώνεται με την παρουσίαση της δύναμης με άρρητο εκθέτη, ως «όριο» ή «προσέγγιση» με τους όρους κατάλληλης ακολουθίας δυνάμεων με ρητούς εκθέτες. Στη συνέχεια παρουσιάζεται μέσω παραδειγμάτων ο τρόπος υπολογισμού δυνάμεων με άρρητο εκθέτη με τη βοήθεια ‘‘επιστημονικών υπολογιστών τσέπης’’. Ακολούθως παρουσιάζονται οι γνωστές ιδιότητες των δυνάμεων.

Η εκθετική συνάρτηση με τύπο α x, α>0, α και πεδίο ορισμού όλο το R, προκύπτει ως αποτέλεσμα της προαναφερθείσας επέκτασης του εκθέτη δύναμης, από ακέραιο σε ρητό και άρρητο. Ακολουθεί η μελέτη και η χάραξη της γραφικής παράστασης (στην αρχή με συγκεκριμένη συνάρτηση και πίνακα τιμών) της α x για 0<α<1 και για α>1, ενώ με τη βοήθεια παραδείγματος διαπιστώνεται ότι οι γραφικές παραστάσεις των αx και ( )x

είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα y΄y. Επίσης, με αφορμή το ότι η εκθετική συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, γίνεται νύξη στην έννοια της εκθετικής εξίσωσης και στον τρόπο επίλυσής της. Με τη βοήθεια λυμένων παραδειγμάτων παρουσιάζεται ο τρόπος επίλυσης εκθετικών εξισώσεων και συστημάτων. Στη συνέχεια εισάγεται ο αριθμός e με εμπειρικό-προσεγγιστικό τρόπο, ως όριο ακολουθίας. Τέλος, παρουσιάζεται η «εκθετική συνάρτηση με βάση τον e» ή αλλιώς «εκθετική» και ο «νόμος της εκθετικής μεταβολής (αύξησης και απόσβεσης)», ο οποίος έχει πληθώρα εφαρμογών σε άλλους επιστημονικούς χώρους.

Στην επόμενη παράγραφο ορίζεται ο λογάριθμος θετικού αριθμού θ με βάση α (α>0, α ) ως λύση της (εκθετικής) εξίσωσης αx=θ. Δηλαδή εισάγεται η ισοδυναμία:

χ = logαθ αx=θ (1)απ’ την οποία προκύπτουν εύκολα οι ισότητες: logααx =χ= αlοgαχ

logα1=0 logαα=1Στη συνέχεια παρουσιάζονται και αποδεικνύονται οι ιδιότητες των λογαρίθμων, οι οποίες ουσιαστικά προκύπτουν την ισοδυναμία μεταξύ μιας ‘λογαριθμικής ισότητας’ με μια εκθετική, λόγω της (1). Ακολουθεί ειδική αναφορά στην περίπτωση των «δεκαδικών» και των «φυσικών (ή νεπερείων») λογαρίθμων, καθώς και του τρόπου με τον οποίο μπορούμε να τους υπολογίσουμε με τη βοήθεια επιστημονικού υπολογιστή τσέπης. Τέλος, δίδεται ο τύπος αλλαγής βάσης, ενώ η απόδειξή του είναι εκτός διδακτέας ύλης.

Στην τελευταία παράγραφο του κεφαλαίου 4. εισάγεται η έννοια της λογαριθμικής συνάρτησης, και γίνεται η μελέτη και η χάραξη της γραφικής παράστασης αυτής, ενώ από τη σχέση (1) προκύπτει το συμπέρασμα ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων αx και logαχ είναι συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο των γωνιών χ y και χ΄ y΄. Τέλος, με ανάλογο τρόπο

1 Δες §4.2.2. του παρόντος.

παρουσιάζεται η λογαριθμική εξίσωση, η οποία ανάγεται στην αντίστοιχη εκθετική.Γ΄ ΛυκείουΜαθηματικά θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Η εκθετική και η λογαριθμική συνάρτηση μελετώνται εκτενέστερα στη Γ΄ Λυκείου, όπου1 παρουσιάζονται ως συναρτήσεις αντίστροφες μεταξύ τους, συνεχείς και παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους.10.2.2. Παρατηρήσεις1. Σύμφωνα με τις οδηγίες του Π.Ι. οι πρέπει να δοθεί έμφαση στις περιπτώσεις των εκθετικών συναρτήσεων με βάση e και 10, των δεκαδικών και φυσικών λογαρίθμων και των αντιστοίχων λογαριθμικών συναρτήσεων. Ειδικά στην περίπτωση των λογαρίθμων και των λογαριθμικών συναρτήσεων οι μαθητές πρέπει να ασχοληθούν μόνο με ασκήσεις οι οποίες αφορούν στη δεκαδική και στη νεπέρεια βάση.2. Όπως προαναφέραμε, ο νόμος της εκθετικής μεταβολής βρίσκει πολλές εφαρμογές στη Φυσική, τη Βιολογία, την Οικονομία κ.α. Στις ειδικές εκείνες περιπτώσεις όπου οι (φυσικές, βιολογικές, οικονομικές) οντότητες παίρνουν διακριτές τιμές, η αντίστοιχη εκθετική συνάρτηση (μeλx) και ο νόμος της εκθετικής μεταβολής λειτουργεί ως μοντέλο το οποίο προσεγγίζει ικανοποιητικά το αντίστοιχο φαινόμενο2. Βέβαια οι μαθητές της Β΄ Λυκείου δεν έχουν διδαχθεί επίσημα την έννοια της «συνεχούς συνάρτησης», αλλά την έννοια της ‘συνεχόμενης γραμμής’ την έχουν οικοδομήσει διαισθητικά-εποπτικά, και πρέπει να είμαστε προετοιμασμένοι για σχετικές απορίες των μαθητών μας. Από την άλλη πλευρά, θα πρέπει, κατά τον προγραμματισμό της διδασκαλίας να λαμβάνουμε υπ’ όψη τις προαναφερθείσες εφαρμογές τόσο για τη σύνδεση του σχολείου με την κοινωνία, όσο και για τη διαθεματική προέκταση και διασύνδεση των αντίστοιχων σχολικών μαθημάτων. 3. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η θεώρηση της εκθετικής συνάρτησης, στην περίπτωση του νόμου της εκθετικής μεταβολής (eλx) ως γενίκευση της έννοιας της γεωμετρικής προόδου με λόγο eλ, όταν το χ παίρνει τιμές θετικών ακεραίων (ή με λόγο , όταν το χ παίρνει τιμές αρνητικών ακεραίων).

1 αναφέρεται ότι αποδεικνύεται εκτός βιβλίου2 Δες και σχετική παρατήρηση στην § 7.1.3. του παρόντος.

10.3. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝΗ Θεωρία των Αριθμών αφορά τις ιδιότητες των φυσικών (θετικών

ακεραίων) αριθμών1.10.3.1. Γυμνάσιο

Τα πρώτα στοιχεία της Θεωρίας των Αριθμών στα σχολικά Μαθηματικά τα έχουμε στο Δημοτικό με την προπαίδεια, και στη συνέχεια, στο Γυμνάσιο, με την έννοια του πολλαπλασίου και του διαιρέτη φυσικού αριθμού, τους πρώτους και τους σύνθετους αριθμούς, την ανάλυση (φυσικού αριθμού) σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, τους χαρακτήρες διαιρετότητας, την Ευκλείδεια διαίρεση, την έννοια των ίσων και των αναγώγων κλασμάτων, τις δυνάμεις, τις ρίζες και τις ιδιότητές τους, το Πυθαγόρειο θεώρημα (ως αλγεβρική σχέση μεταξύ των τετραγώνων τριών φυσικών αριθμών), κ.α. Φυσικά, η παρουσίαση στο Γυμνάσιο είναι κυρίως περιγραφική χωρίς θεωρητική αυστηρότητα, διότι στοχεύει κυρίως στη χρήση των διδαχθέντων, δηλαδή στην εφαρμογή.10.3.2. Λύκειο

Η Θεωρία των Αριθμών ως αλγεβρικός λογισμός διαχέει τις αλγεβρικές πράξεις σε κάθε μαθηματικό κλάδο, ενώ οι μετρικές σχέσεις (ευθυγράμμων τμημάτων) στην Ευκλείδεια Γεωμετρία έχουν άμεση σχέση (και κοινή ιστορική προέλευση) με τη διαιρετότητα. Ιδιαίτερη αναφορά, όμως, στη Θεωρία των Αριθμών, γίνεται στα:Μαθηματικά θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Συγκεκριμένα, στο ομώνυμο κεφάλαιο 4. του σχολικού εγχειριδίου, αρχικά παρατίθεται μια μικρή ιστορική εισαγωγή, προκειμένου να παρουσιαστεί η μέθοδος της «Μαθηματικής (ή τελείας) Επαγωγής» ως η σημαντικότερη μέθοδος (έρευνας) και απόδειξης των ιδιοτήτων των θετικών ακεραίων αριθμών. Στη συνέχεια παρατίθεται η «Αρχή της Μαθηματικής Επαγωγής», και με τη βοήθεια δύο αντιπαραδειγμάτων φαίνεται η σημασία καθενός από τα δύο βήματα της μαθηματικής επαγωγής. Με τη βοήθεια της μαθηματικής απαγωγής αποδεικνύεται ο τύπος:

1+2+3+…+ν= 2

καθώς και η ανισότητα Bernoulli.Στην επόμενη παράγραφο παρουσιάζεται το θεώρημα της Ευκλείδειας

Διαίρεσης (μεταξύ θετικών ακεραίων) με την απόδειξή του (η οποία βρίσκεται εκτός διδακτέας ύλης)3 καθώς και η γενίκευσή του για την περίπτωση της διαίρεσης και αρνητικών ακεραίων. Ιδιαίτερη έμφαση δίδεται στις ιδιότητες των αρτίων και των περιττών φυσικών αριθμών.

Ακολούθως δίδεται η έννοια της διαιρετότητας (αρχικά με ορισμένα ιστορικά στοιχεία, και στη συνέχεια) με τον ορισμό και τις ιδιότητες, οι οποίες αφορούν όλους τους ακεραίους, και οι οποίες αποδεικνύονται εύκολα.

1 πράγμα που διατυπώνεται και στην αντίστοιχη εισαγωγή του σχολικού βιβλίου, αν και ορισμένες ιδιότητες επεκτείνονται και στους αρνητικούς ακεραίους (στο σχολικό) 2 Φυσικά, οι μαθητές μπορούν να αποδείξουν αυτόν τον τύπο με τη βοήθεια της έννοιας της αριθμητικής προόδου. Υπάρχουν όμως ισότητες, και κυρίως ανισότητες, που δύσκολα μπορούν να αποδειχθούν με τρόπο άλλο πλην της μαθηματικής επαγωγής, τουλάχιστον για τα δεδομένα της Β΄ Λυκείου.3 Είναι ήδη γνωστό από την Α΄ Γυμνασίου, αλλά αλλάζει (‘αυστηροποιείται’) η διατύπωση τόσο ως προς το ύφος, τόσο και ως προς την ουσία, καθώς εδώ πλέον το υπόλοιπο και το πηλίκο αναφέρονται ως «μοναδικά» για κάθε ζεύγος θετικών ακεραίων.

Οι παράγραφοι 4.4.-4.7. είναι εκτός διδακτέας ύλης. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 10

1. Να προετοιμάσετε την παρουσίαση της εκθετικής συνάρτησης και του νόμου της εκθετικής μεταβολής σε δύο διδακτικές ώρες.

2. Να παρουσιάσετε στα πλαίσια δύο διδακτικών ωρών την έννοια της διαιρετότητας σε μαθητές Λυκείου.

(προτεινόμενος χρόνος: 2 ώρες και 30 λεπτά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες

θέματα: ισοδύναμα

ΘΕΜΑ 1 ο Να παρουσιάσετε: τη διαίρεση πολυωνύμων την επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων(μιας πραγματικής μεταβλητής με συντελεστές πραγματικούς αριθμούς) σε μαθητές Λυκείου, στα πλαίσια δυο διδακτικών ωρών.

ΘΕΜΑ 2 ο Να σχεδιάσετε την παρουσίαση των Κριτηρίων Ισότητας των Τριγώνων σε μαθητές Λυκείου, ώστε να καλύπτονται δυο ωριαία μαθήματα. Να ετοιμάσετε επιπλέον ένα φύλλο με μια άσκηση, μια ερώτηση συμπλήρωσης κενού, τέσσερις ερωτήσεις τύπου «σωστό-λάθος», δυο ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής και μια ερώτηση αντιστοίχισης, για κατ’ οίκον εργασία των μαθητών.

ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ - ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ - Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Προηγούμενα (προδιδαχθέντα):Το προηγούμενο μάθημα αφορούσε την έννοια του πολυωνύμου (ως αλγεβρική παράσταση), την οποία οι μαθητές έχουν οικοδομήσει στο μυαλό τους σταδιακά από προηγούμενες τάξεις:Στη Γ΄ Γυμνασίου γνώρισαν τους όρους «μονώνυμο» και «πολυώνυμο» -πολλών, μεταβλητών και χωρίς τους ‘αυστηρούς’ μαθηματικούς ορισμούς-, καθώς και τη διαδικασία της παραγοντοποίησης. Στην ίδια τάξη γνώρισαν και έλυσαν εξισώσεις της μορφής αχ2+βχ+γ=0 (α0), με έμφαση στην περίπτωση β2-4αγ>0 (δεν χρησιμοποιήθηκε ο όρος «διακρίνουσα» διότι παραπέμπει σε αυστηρή μαθηματική αντιμετώπιση / διερεύνηση) χωρίς να αξιοποιήσουν την παραγοντοποίηση (τουλάχιστον όσον αφορά το σχολικό εγχειρίδιο) και γνώρισαν τη συνάρτηση y=αχ2+βχ+γ

(μελέτησαν της γραφική της παράσταση), χωρίς να τη συσχετίσουν με την αντίστοιχη εξίσωση. Στην Α΄ Λυκείου (1ο Κεφάλαιο – Άλγεβρα) οι μαθητές εκλήθησαν να επιλύσουν συγκεκριμένες πολυωνυμικές εξισώσεις με τη διαδικασία της παραγοντοποίησης, η οποία ήταν εύκολη / προφανής, είτε διότι αρκούσε η απ’ ευθείας εφαρμογή των γνωστών αξιοσημείωτων ταυτοτήτων, είτε διότι οι εξισώσεις, ήταν ήδη σε «ημιπαραγοντοποιημένη» μορφή η οποία ‘‘υποδείκνυε’’ τη διαδικασία που έπρεπε να ακολουθηθεί. Επίσης (2ο και 4ο

Κεφάλαιο) ασχολήθηκαν ιδιαίτερα με τη συνάρτηση f(χ)=αχ2+βχ+γ, (α 0) και συνέδεσαν την επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων (και ανισώσεων) με το πρόσημο της αχ2+βχ+γ (α 0).Συγκεκριμένες γνώσεις: Έννοια και ορισμός του πολυωνύμου μιας πραγματικής μεταβλητής με πραγματικούς συντελεστές (μεταβλητή, συντελεστές, σταθερός όρος, βαθμός, ισότητα πολυωνύμων, σταθερό και μηδενικό πολυώνυμο, αριθμητική τιμή πολυωνύμου).Έννοια και αλγόριθμος επίλυσης εξίσωσης πρώτου ή δεύτερου βαθμού με έναν άγνωστο.Παραγοντοποίηση.Διαιρετότητα θετικών ακεραίων (ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και Ευκλείδεια διαίρεση) από το Γυμνάσιο.Ιδιότητα: α1.α2. . .αν=0 τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες α1, α2,. . ., αν

ίσος με 0.

Γενικοί Διδακτικοί Στόχοι:1. Να συνδέσουν οι μαθητές την έννοια του πολυωνύμου με την έννοια της

αντίστοιχης πολυωνυμικής εξίσωσης, δηλαδή να κατανοήσουν την «πολυωνυμική εξίσωση» ως το αίτημα να πάρει το αντίστοιχο πολυώνυμο την τιμή 0, αν και για ποια-ες τιμή-ές του χ μπορεί να γίνει αυτό. Επίσης, να κάνουν τις απαραίτητες αντιστοιχίσεις σε έννοιες και όρους (π.χ. «ρίζα πολυωνύμου» με «ρίζα εξίσωσης») και να κατανοήσουν πως η παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου αποσκοπεί κυρίως στη επίλυση της αντίστοιχης πολυωνυμικής εξίσωσης.

2. Μέσα από τη ‘‘γνωστή’’, από προηγούμενες τάξεις έννοια και διαδικασία της παραγοντοποίησης, να κατανοήσουν την έννοια της διαιρετότητας μεταξύ των πολυωνύμων, ως επέκταση της έννοιας της διαιρετότητας μεταξύ των θετικών ακεραίων αριθμών. Επιπλέον, να κατανοήσουν πως η «διαιρετότητα» και η «διαίρεση» είναι έννοιες σχετικές αλλά όχι ταυτόσημες («διαιρετότητα» είναι η ιδιότητα του «διαιρείν» και «διαιρείσθαι», ενώ «διαίρεση» είναι διαδικασία.)

3. Να είναι ικανοί να επιλύουν πολυωνυμικές εξισώσεις βαθμού 3, στο πλαίσιο των διδαχθέντων.

Ειδικοί Διδακτικοί Στόχοι (όχι απαραίτητα με αυτή την σειρά):1. Να κατανοήσουν οι μαθητές πως η παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου

είναι η ανάλυσή του σε γινόμενο πολυωνύμων πρώτου ή / και δεύτερου –με αρνητική διακρίνουσα- βαθμού.

2. Να μάθουν ότι για κάθε πολυώνυμο υπάρχει μια πολυωνυμική εξίσωση, δηλαδή το αίτημα να πάρει το αντίστοιχο πολυώνυμο την αριθμητική τιμή

0, αν και για ποια-ες τιμή-ές του χ μπορεί να γίνει αυτό. Συγκεκριμένα να μάθουν πως «ρίζες» μιας πολυωνυμικής εξίσωσης είναι οι «ρίζες» του αντίστοιχου πολυωνύμου, και πως για c r-{0,1}, τα πολυώνυμα ανχν +αν-

1χν-1 +…+ α1χ+α0 και χν + χν-1 +…+ χ+ δεν είναι ίσα αλλά

ισοδύναμα, το ίδιο και οι αντίστοιχες εξισώσεις.3. Μέσα από την ιδιότητα «α1.α2. . .αν=0 τουλάχιστον ένας από τους

παράγοντες α1, α2,. . .,αν ίσος με 0» να κατανοήσουν πως η διαδικασία επίλυσης μιας πολυωνυμικής εξίσωσης ανάγεται στην παραγοντοποίσηση του αντίστοιχου πολυωνύμου.

4. Να κατανοήσουν ότι η παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου αντιστοιχεί στην ανάλυση ενός φυσικού αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

5. Να κατανοήσουν ότι υπάρχει αντίστοιχη (με τους φυσικούς αριθμούς) διαδικασία ευκλείδειας διαίρεσης μεταξύ δύο πολυωνύμων.

6. Να μάθουν την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης δύο πολυωνύμων, και να εξοικειωθούν με την αντίστοιχη διατύπωση και ορολογία.

7. Να κατανοήσουν ότι μια έκφραση της μορφής Ρ(χ)=Q(χ)Π(χ)+Τ(χ) δεν απεικονίζει απαραίτητα την ευκλείδεια διαίρεση μεταξύ των πολυωνύμων Ρ(χ) και Q(χ), ή Ρ(χ) και Π(χ).

8. Να γνωρίζουν τον αλγόριθμο της παραπάνω διαίρεσης (να μπορούν να διαιρούν δύο πολυώνυμα), με έμφαση στην περίπτωση που ο διαιρέτης είναι πρώτου βαθμού (σχήμα Ηοrner).

9. Να κατανοήσουν ότι αν ένα πολυώνυμο Ρ(χ) διαιρείται (ακριβώς) με ένα πολυώνυμο δ(χ), και ρ ρίζα του δ(χ), τότε ρ ρίζα και του Ρ(χ).

10. Να κατανοήσουν ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(χ) με ένα πολυώνυμο πρώτου βαθμού δ(χ), είναι ένα σταθερό πολυώνυμο (μια σταθερά), ίσο με την τιμή του ρίζα Ρ(χ) στη ρίζα του δ(χ). (Θεωρείται εμπεδωμένο από τους μαθητές ότι μια εξίσωση πρώτου βαθμού ως προς χ –άρα με μη μηδενικό συντελεστή του χ– έχει πάντα μοναδική λύση.)

11.Να διαπιστώσουν / κατανοήσουν ότι οι παρακάτω εκφράσεις είναι ισοδύναμες: Η τιμή του πολυωνύμου Ρ(χ) για χ=ρ είναι μηδέν. Ο αριθμός ρ είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(χ). Ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης Ρ(χ)=0. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(χ) διά του (χ-ρ) είναι μηδέν. Η διαίρεση του Ρ(χ) διά του (χ-ρ) είναι τελεία. Το Ρ(χ) διαιρείται (ακριβώς) με το (χ-ρ). Το (χ-ρ) είναι παράγοντας του Ρ(χ). Υπάρχει πολυώνυμο Π(χ) με βαθμό κατά ένα μικρότερο από τον βαθμό

του Ρ(χ), έτσι ώστε: Ρ(χ)=Π(χ)(χ-ρ).12.Να μάθουν το θεώρημα των ακεραίων ριζών, να το κατανοήσουν, να

μπορούν να το αποδείξουν και να το εφαρμόζουν. Να κατανοήσουν πως το συγκεκριμένο θεώρημα αποτελεί αναγκαία και όχι ικανή συνθήκη ύπαρξης ρίζας, δηλαδή ότι δεν ισχύει το αντίστροφο.

13.Με τη βοήθεια του 2. να είναι σε θέση να εφαρμόζουν το θεώρημα των ακεραίων ριζών και σε πολυώνυμα / πολυωνυμικές εξισώσεις με ρητούς συντελεστές (μέσα από το μετασχηματισμό της εξίσωσης στην ισοδύναμή

της με ακεραίους συντελεστές, με τη βοήθεια του Ε.Κ.Π. των παρονομαστών των ρητών συντελεστών).

14.Να μπορούν να εφαρμόζουν τα προηγούμενα στην παραγοντοποίηση πολυωνύμων, προκειμένου να είναι σε θέση να επιλύουν τις αντίστοιχες πολυωνυμικές εξισώσεις.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες

θέματα: ισοδύναμα

ΘΕΜΑ 1 ο Να σχεδιάσετε τη διδακτική σας πορεία προκειμένου να παρουσιάσετε: τη διερεύνηση και επίλυση της εξίσωσης αχ2+βχ+γ=0, α 0, χ R το πρόσημο των τιμών του τριωνύμου αχ2+βχ+γ, α 0, χ R την επίλυση πολυωνυμικών ανισώσεων μιας μεταβλητής χ R,

με συντελεστές από το R,σε τρεις διδακτικές ώρες, σε μαθητές Λυκείου.

ΘΕΜΑ 2 ο Να δώσετε την έννοια της Πιθανότητας σε μαθητές Λυκείου, σε δυο διδακτικές ώρες.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες

θέματα: ισοδύναμα

ΘΕΜΑ 1 ο Να παρουσιάσετε τις Κωνικές Τομές (ορισμός, εξίσωση και ιδιότητες) σε μαθητές Λυκείου, στα πλαίσια τριών διδακτικών ωρών.

ΘΕΜΑ 2 ο Να ετοιμάσετε μια τρίωρη παρουσίαση για τον Τριγωνομετρικό Κύκλο, τις Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις και τις Τριγωνομετρικές Εξισώσεις, για μαθητές Λυκείου.

ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ

Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΑΛΓΕΒΡΑΦύλλο αξιολόγησης στις §1.2-1.5

ΘΕΜΑ 1ο

α) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω αξιοσημείωτες ταυτότητες:

1. (α + β)2 =………………………………………

2. α2 - β2 =………………………………………και να τις εφαρμόσετε κατάλληλα, προκειμένου να κάνετε τις ακόλουθες παραγοντοποιήσεις:

3. x2 + 6x + 9 =…………………………………………………………………………………

4. x2 – 4 =……………………………………………………………………………………….

Μονάδες 4

β) Να βάλετε σε κύκλο ένα από τα γράμματα Α., Β., Γ. ή Δ. κάθε φορά, έτσι ώστε να συμπληρωθεί σωστά κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις:1. Η εξίσωση λx = λ-1 ,(λ R), είναι αόριστη για:

Α. λ=1 Β. λ=-1 Γ. λ=0 Δ. κανένα από τα Α., Β., Γ.2. Η εξίσωση λ(λ-2)x = λ για λ=3 έχει λύση:

Α. x=1 Β. x= Γ. x=0 Δ. x=2 .3. Το σύστημα των ανισώσεων x και x > 0 έχει σύνολο λύσεων το

διάστημα: Α. [0 , 2) Β. (0 , 2] Γ. (0 , + ) Δ. (- , 2].

Μονάδες 3γ) Δίπλα από κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις να σημειώσετε το

γράμμα ‘‘Σ’’ ή το γράμμα ‘‘Λ’’, αν θεωρείτε ότι η πρόταση είναι Σωστή ή Λανθασμένη, αντίστοιχα:

1. α>β –α>-β ,όπου α,β R .2. α<β 2α<3β ,όπου α,β R .3. Η εξίσωση έχει λύση x=1.

Μονάδες 3

ΘΕΜΑ 2ο

Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 2x(x - 2) + (x - 2)2 + x2 - 4 = 0

Μονάδες 5β)

Μονάδες 5

Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Εισαγωγική δραστηριότητα στα Τρίγωνα

Ονοματεπώνυμο……………………………………………………………………………….Ημερομηνία……………………………………………………………………………………...

Η στήλη Α περιέχει τα είδη των τριγώνων ως προς τις πλευρές και η στήλη Β τα είδη των τριγώνων ως προς τις γωνίες. Με βάση αυτά που ήδη γνωρίζετε από το Γυμνάσιο, να βρείτε όλους τους δυνατούς συνδυασμούς, προσπαθώντας να κατασκευάσετε τα αντίστοιχα τρίγωνα.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β1. Σκαληνό 1. Οξυγώνιο2. Ισοσκελές 2. Ορθογώνιο3. Ισόπλευρο 3. Αμβλυγώνιο

Α.1. – Β.1. Α.1. – Β.2. Α.1. – Β.3. Υπάρχει; Υπάρχει; Υπάρχει;

Α.2. – Β.1. Α.2. – Β.2. Α.3. – Β.3. Υπάρχει; Υπάρχει; Υπάρχει;

Α.3. – Β.1. Α.3. – Β.2. Α.3. – Β.3. Υπάρχει; Υπάρχει; Υπάρχει;

Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Εισαγωγική δραστηριότητα στα Κριτήρια Ορθογωνίων Τριγώνων

Ονοματεπώνυμο……………………………………………………………………………….Ημερομηνία……………………………………………………………………………………... Με τη βοήθεια των κριτηρίων ισότητας των τριγώνων, που ήδη γνωρίζετε, προσπαθήστε να απαντήσετε στο αν τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι μεταξύ τους ίσα, σε κάθε μια περίπτωση χωριστά:

1. Β Ε

Α Γ Δ Ζ

2. Β Ε

Α Γ Δ Ζ

3. Β Ε

Α Γ Δ Ζ

4. Β Ε

Α Γ Δ Ζ

Κατασκευάστε μια ορθή γωνία χ ψ, και μια ημιευθεία Οζ εξωτερική της χ ψ, έτσι ώστε η ζ ψ να είναι οξεία.

Θεωρείστε ένα τυχαίο σημείο Α (εκτός του Ο) στην ημιευθεία Οψ. Μπορείτε να φέρετε κάθετο ευθύγραμμο τμήμα από το Α στην Οζ; Πόσα τέτοια υπάρχουν; Ονομάστε Β την προβολή του Α στην Οζ.

Πάρετε στην Οχ ευθύγραμμο τμήμα Οχ ίσο με ΑΒ.Συγκρίνετε τα τρίγωνα ΟΑΓ και ΟΑΒ. Τι παρατηρείτε; Να τεκμηριώσετε

την απάντησή σας1.

Με τη βοήθεια των προηγουμένων συμπερασμάτων, τι μπορείτε να πείτε για τα κριτήρια ισότητας των τριγώνων στην περίπτωση που αυτά είναι ορθογώνια (δηλαδή που έχουν δύο γωνίες ίσες και μάλιστα ορθές); Συγκεκριμένα:

1. Έχει νόημα το κριτήριο Π-Π-Π;

2. Υπάρχει κριτήριο ισότητας μόνο για τα ορθογώνια τρίγωνα; Ποιο και γιατί;

3. Πώς θα μπορούσατε να ομαδοποιήσετε τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων, προκειμένου να τα διατυπώσετε πιο συνοπτικά;

1 Για να δοθεί πλήρης απάντηση, κανονικά θα πρέπει να έχουν διδαχθεί και οι ανισοτικές σχέσεις πλευρών-γωνιών τριγώνου, και συγκεκριμένα το ότι η υποτείνουσα είναι η μεγαλύτερη πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου. Επομένως έχουμε δύο επιλογές: να δώσουμε το φύλλο, ή με την περάτωση και των ανισοτικών σχέσεων, ή με την περάτωση των κριτηρίων ισότητας, εφ’ όσον οι μαθητές γνωρίζουν ήδη (από το Γυμνάσιο το ότι η υποτείνουσα είναι η μεγαλύτερη πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου) και δεδομένου του ότι πρόκειται για ένα αποτελεσματικό (αντι)παράδειγμα, προκειμένου οι μαθητές να κατανοήσουν γιατί στα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων πρέπει οι (αντίστοιχες) ίσες πλευρές να είναι ομόλογες. Είναι αυτονόητο ότι κάθε τι ήδη γνωστό στους μαθητές, ακόμα και αν δεν μπορεί να ληφθεί υπ’ όψη στη διαδικασία του αποδεικτικού συλλογισμού, μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο προπαρασκευαστικό στάδιο του μαθήματος για τη διαισθητική ανακάλυψη. (Προκειμένου για τη δεύτερη επιλογή να συνεκτιμήσετε και το περιεχόμενο της §9.1.1. του παρόντος.)

Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΦύλλα εργασίας, μελέτης και μεθοδολογίας στα Παραλληλόγραμμα

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΟρισμός:

(Κυρτό) τετράπλευρο με (όλες) τις απέναντι πλευρές ανά δύο παράλληλες

Ιδιότητες (τί ισχύει σε ένα παραλληλόγραμμο):

Απέναντι πλευρές ίσες (Ιδιότητα (i)/97 ) Απέναντι πλευρές παράλληλες ( Πόρισμα του Ορισμού ) Απέναντι γωνίες ίσες (Ιδιότητα (ii)/97 ) Διαδοχικές γωνίες (ανά δύο) παραπληρωματικές (Πόρισμα του

Ορισμού) Διαγώνιοι διχοτομούνται (Ιδιότητα (iii)/97 ) Διχοτόμοι (δύο) απέναντι γωνιών παράλληλες (Να αποδειχθεί) * Διχοτόμοι (δύο) διαδοχικών γωνιών κάθετες (Να αποδειχθεί)* Σημείο τομής διαγωνίων κέντρο συμμετρίας ( ΠΟΡΙΣΜΑ Ι/98 )

Όχι ιδιότητες (τι δεν ισχύει πάντα σε ένα παραλληλόγραμμο):

Πλευρές όχι (όλες) ίσες ( Αν ναι, τότε ρόμβος ) Γωνίες όχι (όλες) ίσες ( Αν ναι, τότε ορθογώνιο ) Διαγώνιοι όχι ίσες ( Αν ναι, τότε ορθογώνιο ) Διαγώνιοι όχι διχοτόμοι των γωνιών ( Αν ναι, τότε ρόμβος ) Διαγώνιοι δεν τέμνονται κάθετα ( Αν ναι, τότε ρόμβος ) Διαγώνιοι όχι άξονες συμμετρίας ( Αν ναι, τότε ρόμβος ) Ύψη όχι ίσα (Αν ναι, τότε ρόμβος) ( Άσκ. Εμπ. 4./103 ) Όχι εγγράψιμο σε κύκλο (Αν ναι, τότε ορθογώνιο) (κεφάλαιο 6)

Κριτήρια (τί αρκεί ώστε ένα τετράπλευρο να είναι παραλληλόγραμμο):

(Όλες οι) απέναντι πλευρές ανά δύο ίσες (Κριτήριο (i)/98 ) (Όλες οι) απέναντι πλευρές ανά δύο παράλληλες Δύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες ( Κριτήριο (ii)/98 ) (Όλες οι) απέναντι γωνίες ανά δύο ίσες (Κριτήριο (iii)/98 ) Διαδοχικές γωνίες, σε δύο διαδοχικά ζεύγη, παραπληρωματικές (Ερ.

Κατ. 5.(ii) /99) * Διαγώνιοι διχοτομούνται ( Κριτήριο (iv)/98 ) (Όλες οι) απέναντι διχοτόμοι παράλληλες (Να αποδειχθεί) * (Όλες οι) απέναντι διχοτόμοι κάθετες (Να αποδειχθεί)* Σημείο τομής διαγωνίων κέντρο συμμετρίας (Να αποδειχθεί) *

Όχι κριτήρια (τι δεν αρκεί ώστε ένα τετράπλευρο να είναι παραλληλόγραμμο):

Δύο απέναντι πλευρές ίσες Δύο απέναντι πλευρές παράλληλες Δύο απέναντι γωνίες ίσες Δύο διαδοχικές γωνίες παραπληρωματικές Δύο απέναντι διχοτόμοι παράλληλες Δύο διαδοχικές διχοτόμοι κάθετες

*Μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε άσκηση, μόνο με την απόδειξή του.

ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ

Ορισμός: Παραλληλόγραμμο με μία γωνία ορθή.

Ιδιότητες (τί ισχύει σε ένα ορθογώνιο):

Όλες οι ιδιότητες του παραλληλογράμμου Διαγώνιοι ίσες (σ.100 ) Όλες οι γωνίες ίσες Όλες οι γωνίες ορθές Μεσοκάθετοι των πλευρών, άξονες συμμετρίας (Να αποδειχθεί)* Εγγράψιμο σε κύκλο (κεφάλαιο 6) Απέναντι γωνίες (ανά δύο) παραπληρωματικές (Να αποδειχθεί)*

Όχι ιδιότητες (τι δεν ισχύει πάντα σε ένα ορθογώνιο):

Πλευρές όχι (όλες) ίσες** Διαγώνιοι όχι διχοτόμοι των γωνιών** Διαγώνιοι δεν τέμνονται κάθετα** Διαγώνιοι όχι άξονες συμμετρίας** Ύψη όχι ίσα**

Κριτήρια (τί αρκεί ώστε ένα παραλληλόγραμμο να είναι τετράγωνο):

Μία γωνία ορθή ( Ορισμός, Κριτήριο (i)/101) Διαγώνιοι ίσες (Κριτήριο (ii)/101) Δύο διαδοχικές γωνίες ίσες (Να αποδειχθεί) * Δύο απέναντι γωνίες παραπληρωματικές (Να αποδειχθεί)* Μεσοκάθετοι, άξονες συμμετρίας (Να αποδειχθεί)* Εγγράψιμο σε κύκλο (κεφάλαιο 6)

(τί αρκεί ώστε ένα τετράπλευρο να είναι ορθογώνιο): Τρεις γωνίες ορθές (κριτήριο (iii) /101) Όλες οι γωνίες ίσες (κριτήριο (iv) /101)

Όχι κριτήρια (τι δεν αρκεί ώστε ένα παραλληλόγραμμο να είναι ορθογώνιο):

Μεσοκάθετος μιας (μόνο) πλευράς, άξονας συμμετρίας(τι δεν αρκεί ώστε ένα τετράπλευρο να είναι ορθογώνιο):

Τρεις γωνίες ίσες Δύο γωνίες ορθές Διαγώνιοι ίσες

* Μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε άσκηση, μόνο με την απόδειξή του.**Αν ναι, τότε είναι ρόμβος.

ΡΟΜΒΟΣΟρισμός:

Παραλληλόγραμμο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες.

Ιδιότητες(τί ισχύει σε έναν ρόμβο):

Όλες οι ιδιότητες του παραλληλογράμμου Όλες οι πλευρές ίσες Διαγώνιοι κάθετες μεταξύ τους (Ιδιότητα (i) /101) Οι διαγώνιοι διχοτομούν τις γωνίες (Ιδιότητα (ii)/101) Ύψη ίσα (Άσκ. Εμπ.4./103) Διαγώνιοι άξονες συμμετρίας (Να αποδειχθεί)*

Όχι ιδιότητες (τι δεν ισχύει πάντα σε έναν ρόμβο):

Διαγώνιοι όχι ίσες ** Γωνίες όχι (όλες) ίσες ** Γωνίες όχι ορθές ** Απέναντι γωνίες (ανά δύο) όχι παραπληρωματικές ** Μεσοκάθετοι των πλευρών όχι άξονες συμμετρίας ** Εγγράψιμο σε κύκλο **

Κριτήρια (τί αρκεί ώστε ένα παραλληλόγραμμο να είναι ρόμβος):

Δυο διαδοχικές πλευρές ίσες (Ορισμός, Κριτήριο) Διαγώνιοι κάθετες μεταξύ τους (Κριτήριο (iii) /102) Μία διαγώνιος διχοτομεί μια γωνία (Κριτήριο (iv) /102) Ίσα ύψη (Άσκ. Εμπ. 4./103) Διαγώνιοι άξονες συμμετρίας (Να αποδειχθεί)*

(τί αρκεί ώστε ένα τετράπλευρο να είναι ρόμβος): Όλες οι πλευρές ίσες (Κριτήριο (i) /102)

Όχι κριτήρια (τι δεν αρκεί ώστε ένα παραλληλόγραμμο να είναι ρόμβος):

Μία διαγώνιος άξονας συμμετρίας (τι δεν αρκεί ώστε ένα τετράπλευρο να είναι ρόμβος):

Δύο διαδοχικές πλευρές ίσες Διαγώνιοι κάθετες Μία διαγώνιος διχοτομεί μια γωνία

* Μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε άσκηση, μόνο με την απόδειξή του.**Αν ναι, τότε είναι ορθογώνιο.

ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΟρισμός:

Παραλληλόγραμμο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος.

Ιδιότητες (τί ισχύει σε ένα τετράγωνο): Όλες οι ιδιότητες του ορθογωνίου Όλες οι ιδιότητες του ρόμβου

Κριτήρια (τί αρκεί ώστε ένα παραλληλόγραμμο να είναι τετράγωνο): Μία γωνία ορθή ( Ορισμός, Κριτήριο (i)/101 ) Διαγώνιοι ίσες ( Κριτήριο (ii)/101 ) Δύο διαδοχικές γωνίες ίσες (Να αποδειχθεί)* Δύο απέναντι γωνίες παραπληρωματικές (Να αποδειχθεί)* Μεσοκάθετοι, άξονες συμμετρίας (Να αποδειχθεί)*

* Μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε άσκηση, μόνο με την απόδειξή του.

Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Επαναληπτικό φύλλο αξιολόγησης στις Παράλληλες Ευθείες και στα Παραλληλόγραμμα

1. Να συμπληρώσετε τα κενά, αν ισχύει ΑΒ//ΓΔ και για τα δύο σχήματα.

Α Β Α Β φ ω Ε 60ο Γ φ φ ΔΓ φ Δ

σχήμα 1. σχήμα 2.

φ=……… φ=………..ω=………..

2. Να εξετάσετε αν το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο: Α Β

Δ Γ

3. Αν σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ ισχύει ΑΒ=2ΑΔ, να δείξετε ότι:α) η διχοτόμος της διέρχεται από το μέσον, Μ, της ΔΓ.β) αν Ν είναι το μέσον της ΑΒ, τότε το τετράπλευρο ΑΝΜΔ είναι ρόμβος.

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΦύλλο εργασίας στην Ομοιότητα Τριγώνων

Το παρακάτω σχεδιάγραμμα αναπαριστά τον τρόπο καταγραφής των

σχέσεων αναλογίας μεταξύ των πλευρών δύο ομοίων τριγώνων (ΑΒΓ και ΔΕΖ στα οποία υποθέτουμε ότι = , = , = ) με τη βοήθεια ενός πίνακα 2 3. Τα στοιχεία του πίνακα είναι όλες οι πλευρές των δύο τριγώνων. Η κατανομή στις γραμμές γίνεται με κριτήριο το τρίγωνο, ενώ η κατανομή στις στήλες γίνεται με κριτήριο το ποιες πλευρές (μία από κάθε τρίγωνο) βρίσκεται απέναντι από την αντίστοιχη γωνία του ζεύγους των ίσων γωνιών. Φυσικά δε χρειάζεται να μιλήσουμε στους μαθητές για την έννοια του πίνακα. Αρκεί να κατανοήσουν τον αλγόριθμο συμπλήρωσης των στοιχείων. Προφανώς, η επιλογή διάταξης των ζευγών των ίσων γωνιών (αριστερά, μέση, δεξιά) και των τριγώνων (πάνω, κάτω) γίνεται με τυχαίο τρόπο.

= = =

σχήμα 1.

Τις πρώτες φορές καθοδηγούμε τους μαθητές να συμπληρώσουν τον πίνακα:

γωνίες = = =

τρίγωνα

ΑΒΓ ΒΓ ΑΓ ΑΒ

ΔΕΖ ΕΖ ΔΖ ΕΔ

σχήμα 2.

Μετά από δύο ή τρεις φορές ατομικής προσπάθειας ο μαθητής μπορεί να μεταβεί στη χρήση του σχήματος 1. και να επιτυγχάνει μεγαλύτερη ταχύτητα στη συμπλήρωση.

Εννοείται ότι, της κατασκευής ενός τέτοιου σχήματος από το μαθητή, προηγείται η διαπίστωση της ομοιότητας και η εύρεση των ίσων γωνιών στα δύο τρίγωνα.

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Φύλλο εργασίας στις Προβολές πλευρών τριγώνου1

Να φέρετε τα ύψη ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ του τριγώνου ΑΒΓ σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις και να συμπληρώσετε τα κενά.

1. ΑΒΓ οξυγώνιο: τρεις γωνίες οξείες Β

στην ΑΒ στην ΑΓ στην ΒΓ

ΖΑ = …………….

ΕΑ = προβΑΓΑΒ ΔΒ = ……………

ΖΒ =……………..

ΕΓ = προβΑΓΒΓ ΔΓ = …………….

ΑΒ = ΖΑ+ΖΒ = προβΑΒΑΓ+ προβΑΒΒΓ Α Ε Γ

ΑΓ =………..…=……………………………..

ΒΓ =………..…=……………………………..

2. ΑΒΓ ορθογώνιο: μία γωνία ορθή, δύο γωνίες οξείες . Β

στην ΑΒ στην ΑΓ στην ΒΓ

προβΑΒΑΓ = 0 προβΑΓΑΒ =….. προβΒΓΑΒ =…..

προβΑΒΒΓ =…. προβΑΓΒΓ =…… προβΒΓΑΓ =…… Α Γ ΒΓ = ΒΔ + ΒΓ =………………………………….

3. ΑΒΓ αμβλυγώνιο: μία γωνία αμβλεία, δύο γωνίες οξείες (έστω Α>90ο) Β

1 Μπορεί να δοθεί ως εισαγωγική δραστηριότητα στο Π.Θ.

στην ΑΒ στην ΑΓ στην ΒΓ

ΖΑ = .……………

ΕΑ = …………….

ΔΒ = …………….

ΖΒ = .……………

ΕΓ = …………….

ΔΓ = ……………..

ΑΒ = ΖΒ - ΖΑ = προβΑΒΒΓ - προβΑΒΑΓ Α Γ

ΑΓ =………....=……………………………...

ΒΓ =…………=……………………………...

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Φύλλα εργασίας και μεθοδολογίας στο Γενικευμένο Πυθαγόρειο Θεώρημα

1. Γενικευμένο Π.Θ.

Να συμπληρώσετε τα κενά 1:

<90ο ΒΓ2 = ΑΒ2+ΑΓ2 2.ΑΒ.προβΑΒΑΓ (ή …………………...)

>90o + ( α2 = γ2+ β2 2.γ.προβγβ (ή ……..…………… )

<90ο ΑΓ2 =………….. ……………………. (ή …….…………….)

>90o + (……………………………………………………………………….)

<90ο - ……=………….. ……………………… (ή ………………….)

>90ο +

(………………………………………………..……………………)

1 Αναφορικά με συγκεκριμένα σχήματα που θα τους δώσουμε μαζί, ή που θα υπάρχουν ήδη στον πίνακα από κάποια άλλη δραστηριότητα.

2. Πόρισμα – ‘‘ Άλλη ’’ διατύπωση του Γ.Π.Θ.:

< < α2 = β2+γ2 = 90ο > > Παρατήρηση: Το Γενικευμένο Πυθαγόρειο Θεώρημα (Γ.Π.Θ.) (με την παραπάνω μορφή) αποτελεί κριτήριο για το είδος μιας (κάθε) γωνίας ενός τριγώνου, και κατά συνέπεια, κριτήριο για το είδος ενός τριγώνου (ως προς τις γωνίες του, δηλαδή αν είναι οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο). Δες το παράδειγμα σ. 191 του σχολικού βιβλίου. ΠΡΟΣΟΧΗ! Για να δείξω ότι ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο, αρκεί να δείξω ότι μία γωνία του, είναι ορθή ή αμβλεία (αντίστοιχα). Για να δείξω, όμως ότι ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο, πρέπει να δείξω ότι όλες οι γωνίες του είναι οξείες (είτε για κάθε μία χωριστά, είτε αποδεικνύοντας ότι η μεγαλύτερη γωνία του είναι οξεία. Σημείωση: Η μεγαλύτερη γωνία ενός τριγώνου είναι αυτή που βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά, και αντιστρόφως. Βλέπε Θεώρημα §3.11 σελίδα 54, του σχολικού βιβλίου).

187

3. Πόρισμα - Νόμος Συνημιτόνων:(Άσκηση 3 Εμπ./194)

α2 = β2+ γ2 -2.β.γ.συνβ2 = …………………………….γ2 = …………………………….

Ο Νόμος των Συνημιτόνων προκύπτει από το Γ.Π.Θ. σε συνδυασμό με το ότι οι παραπληρωματικές γωνίες έχουν αντίθετα συνημίτονα, σε συνδυασμό δηλαδή με τη γνωστή, από την τριγωνομετρία, σχέση:

συν(π-χ)=-συνχΣυγκεκριμένα: στο τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε το ύψος ΒΕ. Έτσι, σχηματίζεται το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΕ: Όταν <90ο (τρίγωνο ΑΒΕ, 1ο σχήμα της σελίδας του φύλλου με τις προβολές) έχουμε:

συν = = προββγ=γ.συν (1)Στο ίδιο σχήμα από το Γ.Π.Θ. στο ΑΒΓ έχουμε:

α2 = γ2+ β2 -2.β.προββγ (2)Αντικαθιστώντας στην (2) το προββγ από την (2) έχουμε:

………………………………………… Όταν >90ο (τρίγωνο ΑΒΕ, 3ο σχήμα της σελίδας του φύλλου με τις προβολές) έχουμε:

συνΒ Ε = = προββγ=γ.συνΒ Ε (1)Στο ίδιο σχήμα από το Γ.Π.Θ. στο ΑΒΓ έχουμε:

α2 = ………………………………….. (2)Αντικαθιστώντας στην (1) το προββγ από την (2) έχουμε:

α2 = γ2+ β2 +2.β.γ.συνΒ Ε = γ2+ β2 +…….(-συνΒ Γ) == ………………………………………….. = γ2+ β2 -2.β.γ.συν

188

4. Πόρισμα – Τύποι υπολογισμού υψών τριγώνου: (όταν είναι γνωστές οι πλευρές του, π.χ. άσκηση 2 Εμπ./194):υα =

υβ = . 2

υγ =

όπου (‘‘ημιπερίμετρος’’ του τριγώνου)

5. Παρατηρήσεις για επεξεργασία - Ερωτήσεις Κατανόησης: Γενικά σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι: προββα προβαβ.

Πότε ισχύει η ισότητα; Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι α.προβαγ = γ. προβγα. Γιατί; Όταν ΑΒΓ ορθογώνιο με =90ο (άρα β γ), τότε υβ = γ και υγ = β. Το Π.Θ. επαληθεύεται στο Γ.Π.Θ., και στον Νόμο των Συνημιτόνων

(συν90ο=0).

189

Δ Α

Β

ΕΓ

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Φύλλο αξιολόγησης στο Κεφάλαιο 9.(Προβλεπόμενος χρόνος 60΄)

ΘΕΜΑ 1ο

ΘΕΜΑ 2ο

ΣΧΗΜΑ 1 1111

ΣΧΗΜΑ 2

Β

Ο Α Ρ

Β Ε

5 χ χ 2

Γ Δ

Μ

Α Β

190

Ι) Να αποδείξεις το Πυθαγόρειο Θεώρημα. (15 μονάδες)

ΙΙ) 1. Αν ΑΒΓΔ εγγράψιμο τετράπλευρο και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του, τότε ΟΑ . ΟΒ = ΟΓ . ΟΔ. Σ Λ

2. Αν α, β, γ μήκη πλευρών τριγώνου ΑΒΓ, τότε: α2<β2+γ2 β2<α2+γ2 και γ2<α2+β2 .

Σ Λ

3. Στο Σχήμα 1., όπου τα ΑΔ και ΑΕ είναι τα εφαπτόμενα τμήματα από το σημείο Α στον κύκλο, ισχύει ΑΒ . ΑΓ = ΑΔ . ΑΕ. Σ Λ

4. Στο Σχήμα 2., όπου Ο είναι το κέντρο του κύκλου και ΡΕ εφαπτόμενο σε αυτόν τμήμα, ισχύει ΡΑ . ΡΒ = ΟΡ2 – ΟΕ2. Σ Λ

5. Στο Σχήμα 2. (όπου Ο είναι το κέντρο του κύκλου και ΡΕ εφαπτόμενο σε αυτόν τμήμα) αν επιπλέον ισχύει ότι ΑΡ=ρ (ακτίνα του κύκλου), τότε ΡΕ2=:

Α. 3ρ2 Β. 4ρ2 Γ. 5ρ2 Δ. 9ρ2

6. Στο Σχήμα 3. ισχύει:Α. χ=3 Β. χ=4 Γ. χ= Δ. χ=5

7. Αν τρίγωνο ΑΒΓ έχει α=3, β=5, και Γ=120ο, τότε η πλευρά γ ισούται με:

Α. 4 Β. 7 Γ. 8 Δ. 11

(35 μονάδες)

Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με =90ο, το ΑΔ είναι ύψος του και η ΑΜ διάμεσός του. Αν ΑΓ = 6 και ΑΒ = 8, 1. Να υπολογίσεις τα:

α) ΒΓ β) ΑΜ γ) ΓΔ δ) ΑΔ ε) ΔΜ(30 μονάδες)

2. Να υπολογίσεις τα ύψη του τριγώνου ΑΜΒ. (20 μονάδες)

ΣΧΗΜΑ 3

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΑΛΓΕΒΡΑ

Φύλλο μεθοδολογίας στις «ημιτονοειδείς» συναρτήσεις

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΔΙΑΣΤΗΜΑ ΜΕΛΕΤΗΣ

μιας περιόδουΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

‘‘ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ’’ της ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ

ως προς εκείνη της ημχ1. ημχ [0, 2π) [-1, 1] ________

2. ημ(ωχ) ω 0 [0, 2π/|ω|) [-1, 1] ‘‘συμπίεση’’, αν |ω|>1

‘‘έκταση’’ , αν |ω|<1

3. ημ(χ +c1) [0, 2π) ή[-|c1|, 2π-|c1|) [-1, 1]

‘‘μετατόπιση’’ κατά c1 προς τα: δεξιά, αν c1<0 αριστερά, αν c1>0

4. ρημχ ρ>0 [0, 2π) [-ρ, ρ] ελάττωση ‘‘ύψους’’, αν 0<ρ<1

αύξηση ‘‘ύψους’’, αν ρ>1

5. ημχ + c2 [0, 2π)[-1-|c2|, 1-|c2|] αν c2<0[-1+|c2|, 1+|c2|] αν c2>0

‘‘μετατόπιση’’ κατά c2 προς τα: κάτω, αν c2<0 πάνω, αν c2>0

6. -ημχ [0, 2π) [-1, 1]συμμετρική με τη γραφική παράσταση της ημχ, ως προς τον άξονα χχ΄

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ- ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ:

1. Για ω<0, έχουμε: |ω|=-ω ω=-|ω|, άρα:ημ(ωχ) = ημ(-|ω|χ) = -ημ(|ω|χ), και επομένως έχουμε συνδυασμό των περιπτώσεων 2. και 6. του πίνακα. Π.χ. ημ(-3χ) = -ημ(3χ).

2. Για c1= , έχουμε: ημ(χ+ ) = ημ( - +χ) = ημ[ -( -χ)] = ημ( -χ) = συνχ, άρα:

ημ(χ+ )=συνχ. Επομένως μπορούμε να πούμε ότι η γραφική παράσταση της συνχ

‘‘προκύπτει’’ από τη ‘‘μετατόπιση’’ της γραφικής παράστασης της ημχ κατά προς τ’

αριστερά. (Περίπτωση 3. του πίνακα, για c= >0.)

3. Μπορούμε να έχουμε οποιονδήποτε συνδυασμό των 6 περιπτώσεων του πίνακα. Π.χ. η f(χ)=3ημ( , έχει: περίοδο 2π/ω=4π (ω=1/2>1, άρα η γραφική

παράσταση έχει ‘‘πλατύνει’’*), σύνολο τιμών [-ρ+|c2|, ρ+|c2|] = [-3+2, 3+2]=[-1, 5] (ρ=3>1, άρα η γραφική παράσταση έχει ‘‘μακρύνει’’*) (c2=2>0), και γραφική παράσταση ‘‘μετατοπισμένη’’* κατά π/4 δεξιά (c1=-π/4<0) και κατά 2 προς τα πάνω (c2=2>0).

*σε σχέση με τη γραφική παράσταση της ημχ.

191

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΑΛΓΕΒΡΑ

Φύλλο αξιολόγησης στην Τριγωνομετρία(προβλεπόμενος χρόνος: 60΄- 90΄)

ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του αθροίσματος δύο γωνιών, με μέτρα

α και β, δίδεται από τον τύπο:εφ(α+β) =

Μονάδες 15Β. Να επιλέξετε ένα από τα γράμματα Α, Β, Γ ή Δ, έτσι ώστε να

συμπληρωθεί σωστά κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις:1. Η συνάρτηση f(χ) = 3ημ(2χ) έχει σύνολο τιμών το:

Α. [-1 , 1] Β. [-2 , 2] Γ. [-3 , 3] Δ. [-6 , 6] 2. Η συνάρτηση f(χ) = ημ(3χ + ) είναι περιοδική με περίοδο:

Α. Β. Γ. 2π Δ. 6π Μονάδες 10

Γ. Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή ως Λανθασμένη (Λ), γράφοντας μπροστά από αυτήν το αντίστοιχο γράμμα.1. Η συνάρτηση f(χ)= είναι περιοδική με περίοδο 2π.2. Το σημείο με συντεταγμένες (0,0) ανήκει στη γραφική παράσταση

κάθε μιας από τις συναρτήσεις: f(χ)=ημχ, g(χ)=ημ(χ+2π) και h(χ)=2ημχ.

3. Το πεδίο ορισμού της εφχ είναι το (- , ).

4. Το σύνολο λύσεων της εξίσωσης ημ( -χ) = 1 ταυτίζεται με το σύνολο λύσεων της εξίσωσης συνχ=1.

5. Για δυο γωνίες με μέτρα α και β ισχύει η σχέση:συν(α-β) = συνα συνβ – ημα ημβ

Μονάδες 25

ΘΕΜΑ 2 Ο Α. Να λύσετε την εξίσωση (1 - συνχ)(2συν2χ + 3συνχ - 5) = 0.

Μονάδες 25Β. 1. Να απλοποιήσετε την παράσταση:

συν(3χ)συν(-2χ) - ημ(3χ)ημ(-2χ)Μονάδες 10

2. Να λύσετε την εξίσωση: συν(3χ)συν(-2χ) - ημ(3χ)ημ(-2χ) = - , στο [0,2π).

Μονάδες 15

192

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΑΛΓΕΒΡΑ

Φύλλο αξιολόγησης στην Τριγωνομετρία(προβλεπόμενος χρόνος: 45΄- 60΄)

1. Δίπλα από κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις να σημειώσετε το γράμμα ‘‘Σ’’ ή το γράμμα ‘‘Λ’’, αν θεωρείτε ότι η πρόταση είναι Σωστή ή Λανθασμένη, αντίστοιχα:α) Ισχύει ημω= , για κάθε γωνία ω.

Μονάδα 1β) Αν ημω=- και συνω= , τότε εφω=- και σφω=- .

Μονάδα 1 γ) Αν συνχ 0, τότε εφ2χ+1= .

Μονάδα 1δ) Αν χ=κπ+ (κ Z), τότε ημ2χ + συν2χ = (ημχ + συνχ)2 .

Μονάδα 1ε) Υπάρχει γωνία ω με ημω=1 και συνω=-1.

Μονάδα 1

2. Να αποδείξετε ότι: εφ2α - ημ2α = εφ2α ημ2α.Μονάδες 5

3. Να υπολογίσετε την παράσταση: ημ2(720ο + χ) + συν2(540ο - χ).

Μονάδες 54. Να επιλέξετε τη μία από τις α), β):

α) Να αποδείξετε ότι: [συν(-χ) ημ( -χ) – ημχ ημ(χ-π)]2005 = εφ( ).

β) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει γωνία χ τέτοια ώστε:ημ2χ - 5ημχ + 6 = 0.

193

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Πώς μπορούμε να βρούμε δυο μη μηδενικά διανύσματα με εσωτερικό γινόμενο ίσο με 0

(ως αντιπαράδειγμα για την απόδειξη του =0 = ή = )

0 = 12-12 = 2.6- 4.3 = 2.6 + 4(-3) = (2, 4) (6, -3)= 6.2 + (-4)3 = (6,-4) (2, 3)

Πώς μπορούμε να βρούμε τρία μη μηδενικά διανύσματα , , με = και

(ως αντιπαράδειγμα, προκειμένου να δείξουμε ότι δεν ισχύει ο νόμος της διαγραφής στο εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων)

1. Σε διανυσματική μορφή:Θεωρούμε ένα τυχαίο αρχικό διάνυσμα με μέτρο 1 (χάριν ευκολίας),

και ένα διάνυσμα με μέτρο 2 και γωνία ( , )= . Προφανώς = .

Ζητάμε τώρα ένα διάνυσμα για το οποίο = . Αν η γωνία ( , )

ισούται, λόγου χάριν, με , τότε θα πρέπει = = συν( , ), και

επειδή =1 (όπως είχαμε προεπιλέξει) πρέπει = , οπότε =2 . Επομένως, μπορούμε να δώσουμε στους μαθητές μας ένα έτοιμο φύλλο

εργασίας με τα παρακάτω, και να τους ζητήσουμε να υπολογίσουν τα και (με τη βοήθεια του ορισμού). Θα βρουν = , ενώ είναι φανερό ότι .

194

=1, =2, =2 ω

φ φ= , ω=

2. Σε αναλυτική μορφή:Έστω τα =(κ, λ), =(χ, y) και =(φ, ω) με:

(κ, λ) (χ, y) = (κ, λ) (φ, ω)Διαλέγω κ=1 και λ=2:

(1, 2) (χ, y) = (1, 2) (φ, ω) χ + 2ψ = φ + 2ω

Έστω χ+2ψ=20=φ+2ω. Με δοκιμές βρίσκουμε ότι:4 + 2.8 = 20 = 10 + 2.5

δηλαδή (χ, y)=(4, 8) και (φ, ω)=(10, 5).Πράγματι:

(1, 2) (4, 8) = (1, 2) (10, 5) Άρα, τα =(1, 2), =(4,8) και =(10,5) ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες. Ανάλογα οργανώνουμε την αντίστοιχη δραστηριότητα.

195

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ ΥΠΕΡΒΟΛΗΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΩΝΙΚΗΣ ΤΟΜΗΣ

χ2 +y2 =ρ2

(χ-χο)2+(y-yο)2=ρ2

χ2 +y2+Αχ+Βy+γ=0(Α2+Β2-4Γ>0)

χ2 y ή

y2 χ

(p>0)

2

2

2

2

y 1

ή

1

2

2

2

2

y 1

ή

1

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

χχ1+yy1 =ρ2

(χ-χο )(χ1-χο )+(y-yο)(y1-yο)=ρ2 yy1=p(χ+χ1)1 ή

1

1 ή

1

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑΚέντρο

(συμμετρίας)Ο(0,0) ΔΕΝ ΕΧΕΙ (0,0) (0,0)

ΕστίεςΟ(0,0)(χο ,yο)

Ε( ,0) ή

Ε(0, )

Ε΄(-γ,0) και Ε(γ,0)

ή Ε΄(0,-γ)

και Ε(0,γ)

Ε΄(-γ,0) και Ε(γ,0)

ή Ε΄(0,-γ)

και Ε(0,γ)

Κορυφές όλα τα σημεία λόγω κεντρικής συμμετρίας (0,0)

Α(α,0),Α΄(-α,0), Β(0,β),Β΄(0,-β)

ήΑ(0,α), Α΄(0,-α), Β(β,0),Β΄(-β,0)

Α(α,0), Α΄(-α,0), ή

Α(0,α), Α΄(0,-α)

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣΆξονες

συμμετρίαςόλες οι ευθείες που

διέρχονται από το κέντρο του

χ=0ή

y=0

χ=0και y=0

χ=0και y=0

Διευθετούσα ΔΕΝ ΕΧΕΙ

y=-ή

χ=- .ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΔΕΝ ΕΧΕΙ

Ασύμπτωτοι ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΔΕΝ ΕΧΕΙ

y= χ ή

y= χ

196

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ ΥΠΕΡΒΟΛΗΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΣΤΑΘΕΡΕΣ

ρ (ακτίνα)ρ

ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΔΕΝ ΕΧΕΙ

p (παράμετρος παραβολής) ΔΕΝ ΕΧΕΙ p 0 ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΔΕΝ ΕΧΕΙ

α>0 (α=ρ) ΔΕΝ ΕΧΕΙ

ημιάθροισματων αποστάσεων ενός σημειου της έλλειψης από τις

εστίες της (μεγάλος άξονας)

μισό της απόλυτης τιμής της διαφοράς

των αποστάσεων ενός σημείου

της υπερβολής από της εστίες

της

γ>0 (γ= = =0) ΔΕΝ ΕΧΕΙ

ημιαπόσταση εστιών

γ=

γ<α

ημιαπόσταση εστιών

γ=

γ>α

β>0 (β=ρ) ΔΕΝ ΕΧΕΙβ=

β<α(μικρός άξονας)

β=

ε= (ε= = =0) ΔΕΝ ΕΧΕΙ ε<1 ε>1

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ ΔΕΝ ΕΧΕΙ

ΑΝΑΚΛΑΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΔΕΝ ΕΧΕΙ Η απόδειξη

εκτός ύληςΔεν έχει απόδειξη

Παρατηρήσεις1. Ο κύκλος μπορεί να θεωρηθεί ως έλλειψη με:

α=β (οπότε ρ=α=β) εκκεντρότητα ε=0 συμπίπτουσες εστίες εστιακή απόσταση 2γ=0

2. Η υπερβολή με α=β ονομάζεται ισοσκελής.3. Η παραβολή με p>0 βρίσκεται στο 1ο-2ο (χ2 y) ή 1ο-4ο (y2 χ)

τεταρτημόριο, ενώ με p<0 βρίσκεται στο 3ο-4ο ή 2ο-3ο τεταρτημόριο (αντίστοιχα).

197

Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Φύλλο μεθοδολογίας για τις ασκήσεις στα «όρια»

Απροσδιόριστες μορφές:

, 0.( ), ( )+( ), ( )-( ),

Μη απροσδιόριστες μορφές:

, c >0 , c >0

= = , c <0 , c <0

= = = =

, c>0 , c>0

= =

, c<0 , c<0

= = = =

( )+( )= ( )+( )=

( ).( )=( ).( )= ( ). ( )=

, c>0 , c>0c . ( ) = c . ( ) =

, c<0 , c<0

198

Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Εισαγωγική δραστηριότητα στην «(α)συνέχεια»

Να παρατηρήσετε τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων ως προς τη ‘συμπεριφορά’ τους στο χο (f(xo)) και ‘κοντά’ στο χο ( f(x) και

f(x)), και να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά.

κ κ •λ ο λ ο ο

κ λ ο

χο χο χο 1) 2) 3)

κ ● κ κ λ ο

χο χο χο

4) 5) 6)

χο κ κ κ

χο χο 7) 8) 9)

199

1) f(x)=λ και f(x)=λ άρα f(x)=λ R,

f(xo)=κ λ, άρα f(x) f(xo).2)...........................................................................................................................................................................................................................3)...........................................................................................................................................................................................................................4)...........................................................................................................................................................................................................................5)...........................................................................................................................................................................................................................6)...........................................................................................................................................................................................................................

200

Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣΦύλλο μεθοδολογίας για τις ασκήσεις στη «συνέχεια»

f συνεχής στο χο f(χ) = f(χο) (και f ορισμένη στο χο )

f συνεχής στο χο f ορισμένη στο χο

f(χ)

f(χ)

f(χ) = f(χο) ΠΡΟΣΟΧΗ !! f(χ) f συνεχής στο χο

f(χ)= f ασυνεχής στο χο

Αν στο χο η f δεν είναι ορισμένη, δεν μπορούμε να μιλήσουμε για συνέχεια ή μη της f στο χο. (Βλ. άσκ.1/197 σχολικού.)

f / (α, β) συνεχής f συνεχής σε κάθε χο (α, β)

f(χ) και f(χ)

f ((α, β)) = ( f(χ), f(χ))

f ((α, β)) = ( f(χ), f(χ))ΠΡΟΣΟΧΗ !! f / (α, β) συνεχής f(χ)

f(χ)

f / [α, β] συνεχής f /(α, β) συνεχής και f(α)= f(χ) και f(β)= f(χ)

χο (α, β): f(χο) = 0 (Θ. Bolzano)

αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β), χο (α, β): f(χο) = η

(Θ. Ενδιαμέσων Τιμών) f ([α, β]) = [m, M]

m= ελάχιστο (minimum)Μ = μέγιστο (Μaximum)

(Θ. Μεγίστου-Ελαχίστου)

f ([α, β]) = [f(α), f(β)] f ([α, β]) = [f(β), f(α)]

201

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ (‘‘ΥΛΗ’’)

(βάσει των οδηγιών του Π.Ι.)

Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μαθηματικά (4 ώρες / εβδομάδα)Κεφάλαι

οΜέγιστος

αριθμός ωρών Εκτός διδακτέας ύλης Παρατηρήσεις

1ο 16 §1.212ο 10 Η §2.17 να γίνει με ευρώ’’.3ο 204ο 75ο 146ο 157ο 108ο 10

Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μαθηματικά (4 ώρες / εβδομάδα)Κεφάλαι

οΜέγιστος

αριθμός ωρών Εκτός διδακτέας ύλης Παρατηρήσεις

1ο 23 Εφαρμογή 1/61. Πρόβλημα β),γ)/59.

2ο 14 Παράδειγμα 5/81. Άσκηση 25/84.

3ο 94ο 105ο 13 Εφ. 2/154. Άσκ. 7/156

7ο 7Οι ασκήσεις θεωρητικού

χαρακτήρα, όπως 8,9,10/243 και 7,8/252.

8ο 15 §8.4§8.5: Ο υπολογισμός του π

Η απόδειξη της §8.2 εκτός εξεταστέας ύλης.

9ο 14

Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μαθηματικά (4 ώρες / εβδομάδα)Κεφάλαι

οΜέγιστος

αριθμός ωρών Εκτός διδακτέας ύλης Παρατηρήσεις

1ο 11 ΄Ασκ. 5,9/32 Άσκ. 7/332ο 22

3ο 11 Η απόδειξη της § 3.3 εκτός εξεταστέας ύλης.

4ο 9 Μετά την §4.6 να γίνουν οι §8.1-8.2

5ο 106ο 14 Εφ. 2/169, Εφ. 1/1757ο 12 Ασκ. 8-11/2088ο 7 §8.310ο 4

202

Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Άλγεβρα (2 ώρες / εβδομάδα)

Κεφάλαιο

Μέγιστος αριθμός ωρών

Εκτός διδακτέας ύλης Παρατηρήσεις

1ο 18

Εφ. (ιν) /13.Ασκ. Β΄/16.Ταυτότητα με το ανάπτυγμα του αν-βν.Εφ. 1(ιιι)/18, 3(ι)/19.Ασκ. 2,3 Β΄/ 28.Παράδ. 1/31, Παράδ. 4/33.Ασκ. 6,8 Α΄/36, 2,3 Β΄/37.Απόδειξη της:

.Ασκ. Β΄/43.

Η απόδειξη της: >θ χ<-θ ή χ>θ

εκτός εξεταστέας ύλης (να δοθεί ως άσκηση).Να διαπιστωθεί με παραδείγματα η

και να εξεταστεί με παραδείγματα πότε ισχύουν οι ισότητες και οι γνήσιες ανισότητες.

2ο 11

Υποπαράγραφος: «Ευθείες κάθετες»/75.Παράδ. 4/76.Ασκ. 1(ιι), 1(ιιι), 3 Β΄/78.Ασκ. 2 Α΄/92.Ασκ. Β΄/94.

3ο 5

Ασκ. 6 Α΄ και 1 Β΄/109.Ασκ 1,2 Β΄/114.

§3.2: Να δοθεί μόνο ο πίνακας διερεύνησης και να τονιστεί η γεωμετρική ερμηνεία κάθε συμπεράσματος, αφού πρώτα οριστούν οι ορίζουσες Dx, Dy, D.

4ο 14

Παράδ. 2(ιι)/119.Ασκ. Β΄/122.Παράδ. 1/123.Ασκ. 1(ιιι), 1(ιν), 4(ιι), 4(ιιι),

5, 6 Α΄ και Β΄/124-125.Ασκ. Β΄/152.

5ο 6

Γεωμετρία (3 ώρες / εβδομάδα έως 21 Ιανουαρίου, 2 ώρες / εβδομάδα κατόπιν)

Κεφάλαιο Αριθμός ωρών Εκτός διδακτέας ύλης Παρατηρήσεις

1ο 1

2ο 4-5 Επαναληπτικός χαρακτήρας

203

3ο 16-18

Αποδείξεις Θεωρημάτων:των § 3.2-3.5,

Ι και ΙΙ της § 3.6,της § 3.10,

των §3.12-3.14.Εφαρμογή 4/56.Σύνθετα Θέματα:

/48, 2-/58.

Γενικές Ασκήσεις.

4ο 6-7

Απόδειξη Θεωρήματος IV της § 4.2.

Σύνθετα Θέματα: 1,3,4/83,3-6/88.

Γενικές Ασκήσεις.

5ο 12-14

Απόδειξη Θεωρήματος της § 5.8.

Σύνθετα Θέματα:1,4,5/1001-2/104,

2,4, 6-8/1113-5/115

Γενικές Ασκήσεις.

6ο 5-6

Περίπτωση ιι) Απόδειξης Θεωρήματος της § 6.2.

Εφ. 2/126.§ 6.4.Απόδειξη Θεωρήματος

της § 6.6.Εφ. 3/133.Προβλ. 1,2,4/135-138.Σύνθετα Θέματα:

2-3/130,/134, /140.

Γενικές Ασκήσεις.

7ο 5-6

Απόδειξη Θ.Θ. της § 7.7.§ 7.9.Σύνθετα Θέματα /157, /163.Γενικές Ασκήσεις.

§ 7.1 - 7.6 περιληπτικά μέσα από Ερωτήσεις Κατ. και Ασκήσεις Εμπ., να μην απαιτηθεί απομνημόνευση των τύπων /149-150.

8ο 4

Αποδείξεις Θεωρημάτων:ΙΙ και ΙΙΙ της § 8.2.

Εφ. 1/174, 3/176.Σύνθετα Θέματα /178.Γενικές Ασκήσεις.

204

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Άλγεβρα (2 ώρες / εβδομάδα)

Κεφάλαιο

Μέγιστος αριθμός ωρών

Εκτός διδακτέας ύλης Παρατηρήσεις

1ο 17 § 1.5, § 1.7.

2ο 12

Ασκ. 1,2,4,5 Β΄/73.Υποπαράγραφος:

«Προσδιορισμός ρίζας με προσέγγιση»/76.

Δεν είναι σκόπιμη η επέκταση σε δύσκολες θεωρητικές ασκήσεις και σε μορφές εξισώσεων (όπως αντίστροφες εξισώσεις διτετράγωνες, με ριζικά).

3ο 10 Ασκ Β΄/93.§ 3.4-3.5.

4ο 12

Απόδειξη του τύπου αλλαγής βάσης λογαρίθμων /138.Ασκ./140-142 σχετικές με λογαρίθμους με βάση του 10 και του e.

Η διδασκαλία της § 4.3 να περιοριστεί στις λογαριθμικές συναρτήσεις με βάσεις 10 και του e.

Γεωμετρία (2 ώρες / εβδομάδα)Κεφάλαι

οΜέγιστος

αριθμός ωρών Εκτός διδακτέας ύλης

9ο 10Αποδείξεις: Θεωρήματος ΙΙ και Εφαρμογής 2 της §9.4.§ 9.6. Σύνθετα Θέματα: 4,6/186, /194, 4-5/199, 3-4/204.

10ο 7Απόδειξη τύπου (ιιι)/219. § 10.6.Σύνθετα Θέματα: 1,5/218, 1-2/221, /225.

11ο 8Αποδείξεις Θεωρημάτων της § 11.2.Εφ. 2,3/240-241.Σύνθετα Θέματα: 1/237, 2-3 /238, /242, 2/245, 4/251.

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (3 ώρες / εβδομάδα)Κεφάλαι

οΜέγιστος

αριθμός ωρών Εκτός διδακτέας ύλης

1ο 22 Εφαρμογές 1,2/25-26.

2ο 10 Αποδείξεις τύπων:απόστασης σημείου από ευθεία, εμβαδού τριγώνου.

3ο 25

Αποδείξεις εξισώσεων:παραβολής, έλλειψης, υπερβολής,

εφαπτομένης παραβολής, ασυμπτώτων υπερβολής.Παραμετρικές εξισώσεις κύκλου, έλλειψης.Εφαρμογές: 1/96, /107, 2/110.§ 3.5.

4ο 18 Ασκ.: Β΄/140, 3-4 Α΄/144, 2 Β΄/145, 5 και 7 Β΄/150.§ 4.4-4.7.

205

Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας (2 ώρες / εβδομάδα)

Κεφάλαιο

Μέγιστος αριθμός ωρών

Εκτός διδακτέας ύλης

1ο 15

2ο 16

Υποπαράγραφοι: ’’Κλάσεις Άνισου Πλάτους’’ / 74 ‘’Εκατοστημόρια’’/89‘’Επικρατούσα τιμή’’/90-91‘’Ενδοτεταρτημοριακό Εύρος’’/92

(καθώς και οι αντίστοιχες εφαρμογές και ασκήσεις).§ 2.4-2.5.

3ο 19 § 3.4

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (5 ώρες / εβδομάδα)

ΚεφάλαιοΜέγιστος αριθμός ωρών

Εκτός διδακτέας ύλης Παρατηρήσεις

2ο / Μέρος Α΄ 12 § 2.4.-2.5

1ο / Μέρος Β΄ 24

«Η διδασκαλία του ορίου δεν αποτελεί αυτοσκοπό αλλά στοχεύει στην προετοιμασία για την εισαγωγή στις έννοιες της παραγώγου και του ολοκληρώματος…Να αποφεύγεται η άσκοπη ασκησιολογία και η λύση ασκήσεων με τη βοήθεια του ορίου

συνάρτησης στο χ0 R Ο προσδι-ορισμός του ορίου συνάρτησης πρέπει να γίνεται με εφαρμογή των ιδιοτήτων των ορίων. ΄Ορια τα οποία υπολογίζονται ευκολότερα με τον κανόνα De L’ Hospital να διδαχτούν αργότερα.»

2ο / Μέρος Β΄ 35

Υποπαράγραφος:‘’Κατακόρυφη Εφαπτομένη’’.Απόδειξη θεωρήματος/262.Κριτήριο Δεύτερης Παραγώγου.

«Η μελέτη των κυρτών, κοίλων και σημείων καμπής να περιοριστεί σε σε συνεχείς συναρτήσεις που είναι δυο, τουλάχιστον, φορές παραγωγίσιμες σε κάθε εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού τους.»

3ο / Μέρος Β΄ 32 §3.3 και §3.6

206

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 2ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΠΟΡΕΙΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ(βάσει των οδηγιών του Π.Ι.)

ΕΥΡΥΤΕΡΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΕΝΟΤΗΤΑ

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ ΣΧ. ΒΙΒΛΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΙΔ. ΩΡΩΝ

Α.1 1.1 2Α.2 1.2 2

Α.3, Α.4 1.3 5Α.5 1.4 2Α.6 1.5 1Β.1 1.6 3Β.2 1.7 3Β.3 4.1 2Β.4 4.2 1Β.5 4.3

χωρίς τα συστήματα

1

Γ.1 2.1 1Γ.2 2.2 2Γ.3 2.3 2Γ.4 2.4 24.1 3.1 2Δ,2 3.2 1Δ.3 3.3 2Δ.4 4.3

τα συστήματα2

Ε.1 2.5 4Ε.2 4.4 4

Ε.3, Ε.4 4.5 4ΣΤ.1 5.1 2ΣΤ.2 5.2 2ΣΤ.3 5.3 2

207

Βιβλιογραφία

Ausubel D.P. (1968), Educational Psychology: A cognitive View, Holt, Rinehart and Winston, New York.

Bloom B.S. - Krathwohl D.R. (1986a), Ταξινομία Διδακτικών Στόχων τ.Α΄: Γνωστικός τομέας, μτφ. Αλ. Λαμπράκη-Παγανού, Κώδικας, Αθήνα

Bloom B.S.-Krathwohl D.R. (1986b), Ταξινομία Διδακτικών Στόχων τ.Β΄:Συναι-σθηματικός τομέας, μτφ. Αλ. Λαμπράκη-Παγανού, Κώδικας, Αθήνα.

Bruner J.S. (1961), “The Act of Discovery”: Harvard Educational Review, 31, winter, σ.σ. 21-32.

Bruner J.S. (1962), Η Διαδικασία της Παιδείας, μτφ. Χρ.Κληρίδης, Καραβίας, Αθήνα.

Bruner J.S. (1971), The Relevance of Education, Norton, New York.Bruner J.S. (1973), Relevanz der Erziehung, Otto Maier, Ravensburg.Dewey J. (1915), The School and Society, Rev. Edit., University of Chicago Press,

Chicago.Driver R. - Oldham V. (1976), A Constructivist Approach to Curriculum Development

on Science, London, The Falmer Press. Duckworth E. (1964), ‘‘Piaget rediscovered’’: R.E. Ripple & V.N. Rockcastle.Fraleigh B. J. (1994), Εισαγωγή στην Άλγεβρα, μτφ.: Αποστόλης Γιαννόπουλος,

επιστημονική επιμέλεια: Νίκος Μαρμαρίδης, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο.

Gagné R.M. (1970), The Conditions of Learning, 2d ed., Holt, Rinehart and Winston, New York.

Gagné R.M. (1973), Expectations for School Learning, Phi Delta Kapa Monograph, Bloomington, Phi Delta Kapa, Indiana.

Gagné R.M. (1975a), “Taxonomic Problems of Educational Systems”: W.T. Singleton & P. Spurgeon Measurement of Human Resources. Taylor and Francis, σ. σ. 13-23.

Gagné R.M. (1975b), Essentials of Learning for Instruction, Hinsdale, III, Dryden Press.

Gagné R.M. (1977a), The Conditions of Learning, 3d ed., Holt, Rinehart and Winston, New York.

Gagné R.M. (1977b), “Discovering Educational Goals”: A.E.R.A. Annual Meeting, April.

Gagné R.M. (1977c), ‘‘Instructional Programs”: M.H.Marx & M.E.Bunch, Fundamentals and Applications of Learning, Macmillan, New York.

Hadamard J. (1995), Η Ψυχολογία της Επινόησης στα Μαθηματικά, μτφ. Στ.Ζαχαρίου, εκδ. Κάτοπτρο, Αθήνα.

Hilbert D. (1995), Θεμέλια της Γεωμετρίας, μτφ. Στρατής Παπαδόπουλος, Τροχαλία, Αθήνα.

Jensen B. - Schack K. (1997), The Action Competence Approach in Environmental Education, Environmental Education Research, 3(2).

Kaufman R.A. (1976), Needs Assessment: what it is and how to do it, Ca: University Consortium on Instructional Development and Technology, San Diego.

Krathwohl D.R. – Bloom B.S. – Masia B.B. (1964), Taxonomy of Educational Objectives, Handbook I: Cognitive Domain, Mckay, New York.

Krathwohl D.R. – Bloom B.S. – Masia B.B. (1964), Taxonomy of Educational Objectives, Handbook II: Affective Domain, Mckay, New York.

Mager R.(1985), Διδακτικοί στόχοι και διδασκαλία, μτφ. Ι.Βρεττός, Κυριακίδη, Θεσσαλονίκη.

Maslow A.H.(1970), Motivation and Personality, 2d ed., Harper and Row, NewYork.Paivio A.(1971), Imagery and Verbal Processes, Holt, Rinehart and Winston, New

York.Piaget J. (1979), Pschychologie et Pedagogie, μτφ. Α. Βερβερίδης, Αθήνα.

208

Rotman J. (1999), Θεωρία Galois, σειρά: Πανεπιστημιακά Μαθηματικά Κείμενα, μετάφραση και επιστημονική επιμέλεια σειράς: Νίκος Μαρμαρίδης, Leader Books, Αθήνα.

Smith G.(1992), Education and the Environment, Learning to Live with Limits, State University of New York Press, New York.

Struik J. D. (1966), Συνοπτική Ιστορία των Μαθηματικών, μτφ. Άννα Φερεντίνου-Νικολακοπούλου, Β΄ έκδοση, σειρά:Σύγχρονη Φιλοσοφική Βιβλιοθήκη υπό Ε. Ι. Μπιτσάκη, Δαίδαλος - Ι. Ζαχαρόπουλος, Αθήνα.

Taba H,(1962), Curriculum Development, Theory and Practice, Harcourt, New York.Triandis H.C.(1971), Attitudes and Attitude Changes, Wiley, New York. Tyler R.W. (1949), Basic Principles for Curriculum and Instruction, University of

Chicago Press, Chicago.UNESCO (1994), Οδηγός Εκπαιδευτικού για τη Διδασκαλία των Φυσικών Επιστημών

στο Δημοτικό και στο Γυμνάσιο, Αθήνα. Vygotsky L. (1988), Σκέψη και Γλώσσα, Γνώση, Αθήνα.Westphalen K. (1982), Αναμόρφωση των Αναλυτικών Προγραμμάτων, μτφ. Ι.

Πυργιωτάκη, Θεσσαλονίκη.

Αλαχιώτης Σ.Ν. (2004), «Για ένα σύγχρονο Εκπαιδευτικό σύστημα: Η Διαθεματικότητα και η Ευέλικτη Ζώνη Αλλάζουν την Παιδεία και Αναβαθμίζουν την Ποιότητα της Εκπαίδευσης», Ιστοσελίδα Π.Ι. (pi-schools.gr).

Αναπολιτάνος Α. Δ. (1985), Εισαγωγή στη Φιλοσοφία των Μαθηματικών, Γ΄ έκδοση, Νεφέλη, Αθήνα.

Βρεττός Γ.E. - Καψάλης Αχ.Γ. (1997), Αναλυτικό Πρόγραμμα : σχεδιασμός-αξιολόγηση-αναμόρφωση, Ελληνικά Γράμματα, Αθήνα.

Δανασσής-Αφεντάκης Αντ. K. (2000), Εισαγωγή στην Παιδαγωγική, τ. Α΄, τ.Β΄, Αθήνα.

Δημητρόπουλος Γ. Ε. (2002), Εκπαιδευτική Αξιολόγηση: Η Αξιολόγηση της Εκπαίδευσης και του Εκπαιδευτικού Έργου, εκδ. Γρηγόρη, Αθήνα.

Θεοφυλλίδης Χ. (1987), Η Διαθεματική Προσέγγιση της Διδασκαλίας, Λευκωσία.Καραγεώργος Δ. (2000), Το Πρόβλημα και η Επίλυσή του: Μια Διδακτική

Προσέγγιση, εκδ. Σαβάλλα, Αθήνα.Καραγεώργος Δ. (2004), Διδακτική Μεθοδολογία-Παιδαγωγικά Θέματα, εκδ.

Σαβάλλα, Αθήνα.Καρακώστας Λ. Γ. (1996), Πραγματική Ανάλυση, Τυπογραφείο Πανεπιστημίου

Ιωαννίνων, Ιωάννινα.Κασσωτάκης Μ. και Φλουρής Γ. (1981), Μάθηση και Διδασκαλία. τ.Α΄, Αλκυών.Κατσάρας Κ. Αθ., Στοιχεία Συναρτησιακής Αναλύσεως, Τυπογραφείο Πανεπιστημίου

Ιωαννίνων, Ιωάννινα.Κόκκοτας Π. (1997), Σύγχρονες Προσεγγίσεις στη Διδασκαλία των Φυσικών

Επιστημών: Η Εποικοδομητική Προσέγγιση της Διδασκαλίας και της Μάθησης, Αθήνα.

Κόκκοτας Π.-Πηλιούρας Π. (2003), «Η διαθεματικότητα στο πλαίσιο των Φυσικών επιστημών στην υποχρεωτική εκπαίδευση», στο Διαθεματικότητα και Εκπαίδευση: Διδακτικές Εφαρμογές Στην Προσχολική, την Πρωτοβάθμια και τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Πρακτικά 8ου Τριήμερου Επιμορφωτικού Συνεδρίου, εκδ. Πατάκη, Αθήνα.

Κολλιάδης Εμμ. (2002), Θεωρίες Μάθησης και Εκπαιδευτική Πράξη, τ.Δ΄, Αθήνα.Κολοκοτρώνη Ν. (2003), «Το Μάθημα της Μελέτης του Περιβάλλοντος στο

Δημοτικό, στο Δ.Ε.Π.Π.Σ.: Στοχοθεσία, και πόσο αυτή υπηρετεί την Ισόρροπη Ανάπτυξη του Γνωστικού, του Συναισθηματικού και του

209

Ψυχοκινητικού Τομέα», Π.Μ.Σ.: «Θεωρία, Πράξη και Αξιολόγηση του Εκπαιδευτικού Έργου», Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Σχολή φιλοσοφική, Τμήμα Φ.Π.Ψ., Τομέας Παιδαγωγικής.

Κολοκοτρώνη Ν. (2005), «Η Περιβαλλοντική Διάχυση στο Δ.Ε.Π.Π.Σ. και στα Α.Π.Σ. των Μαθημάτων Θετικής Κατεύθυνσης της ΣΤ΄ Δημοτικού», Π.Μ.Σ.: «Θεωρία, Πράξη και Αξιολόγηση του Εκπαιδευτικού Έργου», Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Σχολή φιλοσοφική, Τμήμα Φ.Π.Ψ., Τομέας Παιδαγωγικής.

Κουτρουφιώτης Δ. (1994), Διαφορική Γεωμετρία, Γ. Δούβαλης-Ε.Αποστόλου, Ιωάννινα.

Κουτσούμπας Χρ. (2004), Διδακτική Προσέγγιση των Ήπιων Μορφών Ενέργειας με το Παραδοσιακό και το Εποικοδομητικό Πρότυπο, Διδακτορική Διατριβή, Πανεπιστήμιο Αθηνών, Σχολή Φιλοσοφική, Τμήμα Φ.Π.Ψ., Τομέας Παιδαγωγικής.

Λάκκης Κ.(1991), Θεωρία Αριθμών, Θεσσαλονίκη.Λουκέρης Δ. (2000), Το μάθημα ‘‘Μελέτη του Περιβάλλοντος’’ υπό το πρίσμα της

Περιβαλλοντικής Εκπαίδευσης, Διδακτορική Διατριβή, Πανεπιστήμιο Αθηνών, Σχολή Φιλοσοφική, Τμήμα Φ.Π.Ψ., Τομέας Παιδαγωγικής.

Λουκέρης Δ., «Αξιολόγηση της Διαθεματικής Διάστασης των νέων Αναλυτικών Προγραμμάτων Σπουδών. Η περίπτωση του μαθήματος της Μελέτης του περιβάλλοντος», Αθήνα.

Μαρμαρινός Ι.Γ.(2000), Το Σχολικό Πρόγραμμα, Αθήνα.Ματσαγγούρας Η (2000), Στρατηγικές Διδασκαλίας, Gutenberg, Αθήνα.Μπασέτας Κ. (2002), Ψυχολογία της Μάθησης, Ατραπός, Αθήνα.Ξωχέλλης Π. (1981), Θέματα εκπαιδευτικής μεταρρύθμισης, Δίπτυχο, Αθήνα. Ντούγιας Κ.Σ. (1998), Απειροστικός Λογισμός 1 και 2, Τυπογραφείο Πανεπιστημίου

Ιωαννίνων, Ιωάννινα.Παμουκτσόγλου Α., «Η Αξιολόγηση στο Ολοήμερο Σχολείο: Φάκελος του Μαθητή

και Αξιολόγηση των Προγραμμάτων Σπουδών», Ιστοσελίδα του Π.Ι. (pi-schools.gr).

Παπαϊωάννου Τ. (1993), Εισαγωγή στις Πιθανότητες και τη Στατιστική, Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, Ιωάννινα.

Παρασκευόπουλος Ι.Ν. (1993), Μεθοδολογία Επιστημονικής Έρευνας, εκδ. Γρηγόρη, Αθήνα.

Πατρώνης Τ. - Σπανός Δ. (1996), Σύγχρονες Θεωρήσεις και Έρευνες στη Μαθηματική Παιδεία, Γ.Α. Πνευματικός, Αθήνα.

Ρήγας Δ. Θ. (2002), Θεωρία και Τεχνική της Διδασκαλίας, Εκδόσεις Γενναδείου Σχολής, Αθήνα.

Σαλβαράς Γ. (2003), «Διεπιστημονικότητα, διαθεματικότητα στα προγράμματα σπουδών: Θεωρητική θεώρηση και θεμελίωση» στο Διαθεματικότητα και Εκπαίδευση: Διδακτικές Εφαρμογές Στην Προσχολική, την Πρωτοβάθμια και τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Πρακτικά 8ου Τριήμερου Επιμορφωτικού Συνεδρίου, εκδ. Πατάκη, Αθήνα.

Σκοπέτος Δ. (2001), Η Διδασκαλία των Μαθηματικών, Ελλοπία, Αθήνα.Σταυρακάκης Γ. (1999), «Φύση και Επιστημονικός Λόγος στις Νεωτερικές

Κοινωνίες: Το Επιχείρημα της Κατασκευής», στο: Φύση Κοινωνία Επιστήμη στην Εποχή των ‘‘Τρελών Αγελάδων’’. Διακινδύνευση και Αβεβαιότητα, επιμέλεια Λ. Λουλούδης - Β. Γεωργιάδου - Γ. Σταυρακάκης, Νεφέλη, Αθήνα.

Τσαμάτος Χρ. Π.(1996), Εισαγωγή στην Τοπολογία, Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, Ιωάννινα.

Τσιμπουράκης Δ. (1985), Η Γεωμετρία και οι Εργάτες της στην Αρχαία Ελλάδα, Alien, Αθήνα.

Φλουρής Γ.Σ. (1983), Αναλυτικά Προγράμματα για μια Νέα Εποχή στην Εκπαίδευση, Γρηγόρης, Αθήνα.

Φλουρής Γ.Σ. (1992), Η Αρχιτεκτονική της Διδασκαλίας και η Διαδικασία της Μάθησης, εκδ. Γρηγόρης, Αθήνα.

Φουντοπούλου Μ.Ζ. (2001), Μάθηση και Διδασκαλία, τ. Α΄, εκδ. Καστανιώτη, Αθήνα.

210

Χασάνης Κ. Θ. (1998), Σημειώσεις Κλασσικής Διαφορικής Γεωμετρίας, Ιωάννινα.

Πηγές

Υπ.Ε.Π.Θ. και Π.Ι., Σχολικά εγχειρίδια των Μαθηματικών για τις τάξεις του Γυμνασίου και του Λυκείου, Ο.Ε.Δ.Β., Αθήνα.

Υπ.Ε.Π.Θ. και Π.Ι., (2004), Η Γη μας, ΣΤ΄ Δημοτικού, Ο.Ε.Δ.Β. Αθήνα.Υπ.Ε.Π.Θ. και Π.Ι., (2004), Τα Μαθηματικά μου, ΣΤ΄ Δημοτικού, έκδ. ΚΑ΄, Ο.Ε.Δ.Β.

Αθήνα.Υπ.Ε.Π.Θ. και Π.Ι., (2003), Ερευνώ και Ανακαλύπτω, ΣΤ΄ Δημοτικού, Ο.Ε.Δ.Β. Αθήνα.Υπ.Ε.Π.Θ. και Π.Ι., Οδηγίες για τη διδακτέα ύλη και τη διδασκαλία των Μαθημάτων

στο Γυμνάσιο και το Λύκειο, τ.Β΄, τ. Γ΄, Ο.Ε.Δ.Β., Αθήνα.Υπ.Ε.Π.Θ. και Π.Ι. (2002), Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγραμμάτων Σπουδών

(Δ.Ε.Π.Π.Σ.) και Αναλυτικών Προγραμμάτων Σπουδών (Α.Π.Σ.) Υποχρεωτικής Εκπαίδευσης, Αθήνα, Ιστοσελίδα Π.Ι. (pi-schools.gr).

Υπ.Ε.Π.Θ. και Π.Ι. (2002), Οδηγός Σχεδίων Εργασίας για τον Εκπαιδευτικό (Πολυθεματικό Βιβλίο, Ευέλικτη Ζώνη, Διαθεματικότητα), Αθήνα, Ιστοσελίδα Π.Ι. (pi-schools.gr).

Υπ.Ε.Π.Θ. και Π.Ι.: (2001), Οδηγός για την Εφαρμογή της Ευέλικτης Ζώνης των Καινοτόμων Δράσεων (Βιβλίο για τον Καθηγητή), Αθήνα, και Ιστοσελίδα Π.Ι. (pi-schools.gr).

Φ.Ε.Κ. 1342 (1999), τεύχος Β΄, Εθνικό Τυπογραφείο, Ιστοσελίδα (et.. gr).

211