ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Τι είναι η Θεωρία Κόμβων στα Μαθηματικά

Μια εισαγωγή σε HTML και Flash

ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Γ. ΠΑΝΑΓΙΔΗΣ

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Επιβλέποντες: Σοφία Λαμπροπούλου

Νικόλας Τράκας

ΑΘΗΝΑ 2008

Τι είναι η Θεωρία Κόμβων στα Μαθηματικά

Μια εισαγωγή σε HTML και Flash

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ

5

ΘΕΩΡΙΑ ΚΟΜΒΩΝ 7

ΙΣΟΤΟΠΙΑ ΣΤΟ ΧΩΡΟ 8

ΚΙΝΗΣΕΙΣ REIDEMEISTER

9

ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΚΟΜΒΩΝ - ΚΛΑΣΣΙΚΕΣ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ 11

ΤΡΙΧΡΩΜΑΤΙΣΙΜΟΤΗΤΑ 12

ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΙΑΣΤΑΥΡΩΣΕΩΝ 13

ΑΡΙΘΜΟΣ ΓΕΦΥΡΩΝ 14

ΑΡΙΘΜΟΣ ΛΥΣΕΩΣ

15

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΟΜΒΩΝ 17

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ DOWKER 18

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ BAR NATAN 21

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ CONWAY

22

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ 25

ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ALEXANDER 27

ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ JONES 29

ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ KAUFFMAN BRACKET 31

ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ HOMFLYPT

33

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 37

ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ 38

ΦΥΣΙΚΗ 39

ΒΙΟΛΟΓΙΑ 40

ΧΗΜΕΙΑ 41

3

ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ

42

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΚΟΜΒΩΝ

43

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΚΡΙΚΩΝ

47

ΓΛΩΣΣΑΡΙ

49

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

51

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ

53

ΚΩΔΙΚΑΣ HTML

55

ΚΩΔΙΚΑΣ FLASH 141

4

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αλήθεια, τι είναι η Θεωρία Κόμβων στα Μαθηματικά;

Αυτή η ερώτηση υπήρξε η ιδέα για τη δημιουργία αυτής της εργασίας. Το γενικό

πλαίσιο, είναι η παρουσίαση της Θεωρίας Κόμβων με τη χρήση των κωδικών

προγραμματισμού HTML και Flash.

Η εργασία αυτή εισάγει τον αναγνώστη στη Θεωρία Κόμβων και τις εφαρμογές της. Η

Θεωρία Κόμβων είναι αρκετά σημαντικός κλάδος της Τοπολογίας γιατί μέθoδοί της

χρησιμοποιούνται για την επίλυση προβλημάτων στη Φυσική, στη Χημεία, στη

Στατιστική Μηχανική κ.τ.λ.

Οι διάφορες έννοιες αναπτύσσονται όσο είναι δυνατό με απλό τρόπο. Στο τέλος δίνεται

και μέρος του κώδικα HTML και Flash ο οποίος χρησιμοποιήθηκε, γιατί η παράθεση

του πλήρους κώδικα θα καθιστούσε την εργασία υπερβολικά ογκώδη.

Αρχικά παρουσιάζονται οι έννοιες της ισοτοπίας και οι κινήσεις Reidemeister.

Έπειτα γίνεται αναφορά σε ιδιότητες – αναλλοίωτες κόμβων - στις οποίες στηρίζεται η

Θεωρία Κόμβων για την επίλυση του προβλήματος της ταξινόμησής τους. Πρώτα

ορίζονται κάποιες κλασικές αναλλοίωτες. Στη συνέχεια μελετώνται οι τρόποι

επικοινωνίας των κόμβων σε κάποιον τρίτο και ακολούθως ορίζονται οι πιο γνωστές

πολυωνυμικές αναλλοίωτες. Τέλος παρατίθενται μερικές εφαρμογές της Θεωρίας

Κόμβων στη Φυσική, στη Χημεία και στη Βιολογία, όπως και ευρετήριο κόμβων και

κρίκων για περαιτέρω μελέτη. Επιπλέον, μια σειρά από ασκήσεις πάνω στις βασικές

έννοιες και ιδιότητες της Θεωρίας Κόμβων.

5

6

ΘΕΩΡΙΑ ΚΟΜΒΩΝ Η Θεωρία Κόμβων είναι ένας κλάδος της Τοπολογίας που εξετάζει τους κόμβους και

τους κρίκους. Στην Τοπολογία, μια σφαίρα είναι όμοια με έναν κύβο. Η Τοπολογία δεν

εξετάζει τις γεωμετρικές ιδιότητες των αντικειμένων, όπως το μήκος και τις γωνίες,

αλλά τις ιδιότητες οι οποίες μένουν αναλλοίωτες ως προς την αλλαγή καμπυλότητας,

στρέψης και ως προς τις ελαστικές παραμορφώσεις.

Ο πιο απλός κόμβος είναι ο τετριμμένος. Ο αμέσως επόμενος είναι ο κόμβος trefoil και

η κατοπτρική του εικόνα, και μετά είναι ο κόμβος figure-8. Η κατοπτρική εικόνα ενός

κόμβου, είναι ο ίδιος κόμβος με αντίθετες διασταυρώσεις.

Σε όλη την ιστορία της Θεωρίας Κόμβων οι ερευνητές κράτησαν ζωντανή τη θεωρία,

βρίσκοντας χρησιμότητες της μελέτης τους. Από την ατομική θεωρία που προτάθηκε

από το Λόρδο Kelvin μέχρι την ανακάλυψη ενός μορίου DNA υπό τη μορφή κόμβου

trefoil, υπήρξε πάντα ένας σκοπός και μια έμπνευση για τη Θεωρία Κόμβων. Οι

εφαρμογές της σήμερα εκτείνονται από τη Στατιστική Μηχανική έως τη Χημεία και τη

Μοριακή Βιολογία.

7

ΙΣΟΤΟΠΙΑ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Ένας κόμβος είναι μια κλειστή, μονοδιάστατη και συνεχής μη τεμνόμενη καμπύλη στον

τρισδιάστατο χώρο. Από μια πιο μαθηματική σκοπιά, ένας κόμβος είναι η εικόνα ενός

ομοιομορφισμού που μεταφέρει έναν κύκλο στον τρισδιάστατο χώρο.

Ένας κρίκος με k συνιστώσες είναι η ομοιομορφική εικόνα k κύκλων στον

τρισδιάστατο χώρο. Κάθε κόμβος που απαρτίζει τον κρίκο ονομάζεται συνιστώσα του

κρίκου. Ένας κρίκος με μια μόνο συνιστώσα ονομάζεται κόμβος.

Δύο κόμβοι k1, k2 οι οποίοι μπορούν να μετασχηματιστούν ο ένας στον άλλο μέσω

ισοτοπίας ονομάζονται ισοτοπικοί. Μια ισοτοπία είναι μια συνεχής ελαστική

παραμόρφωση του χώρου (δηλαδή ένας ομοιομορφισμός του χώρου) που μεταφέρει τον

k1 στον k2.

Οποιοδήποτε σύνολο κόμβων που είναι ισοτοπικοί μεταξύ τους ανήκουν στην ίδια

ισοτοπική κλάση. Όταν λέμε κόμβος k εννοούμε ολόκληρη την κλάση ισοτοπίας του k.

Το κεντρικό πρόβλημα της Θεωρίας Κόμβων είναι η ταξινόμηση των κόμβων ως προς

την έννοια της ισοτοπίας, δηλαδή να βρεθούν όλοι οι διαφορετικοί τύποι κόμβων.

8

ΚΙΝΗΣΕΙΣ REIDEMEISTER Ένα σημαντικό βήμα στη μελέτη των κόμβων ως προς την έννοια της ισοτοπίας είναι η

αναπαράσταση των κόμβων από κανονικές προβολές τους στο επίπεδο, που

ονομάζονται διαγράμματα. Ένα διάγραμμα κόμβου σε κάθε διασταύρωση έχει την

πληροφορία "άνω" ή "κάτω". Ο Kurt Reidemeister κατάφερε να αποδείξει το 1935 πως

οποιαδήποτε ισοτοπική κίνηση ενός κόμβου στο χώρο μπορεί να επιτευχθεί στο επίπεδο

με μόνο τρεις βασικές κινήσεις. Αυτές έγιναν γνωστές ως κινήσεις Reidemeister.

Η πρώτη κίνηση Reidemeister συμβολίζεται με RI και απλά προσθέτει ή αφαιρεί μια

διασταύρωση μέσω μιας απλής αναδίπλωσης.

Η δεύτερη κίνηση Reidemeister συμβολίζεται με RII και προσθέτει ή αφαιρεί

ταυτόχρονα δύο διασταυρώσεις.

Η τρίτη κίνηση Reidemeister συμβολίζεται με RIII και μας επιτρέπει να μετακινήσουμε

ένα τμήμα του κόμβου από τη μια πλευρά μιας διασταύρωσης στην άλλη.

Δύο διαγράμματα κόμβων που διαφέρουν κατά κινήσεις Reidemeister θα λέγονται

επίσης ισοτοπικά.

9

10

ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΚΟΜΒΩΝ – ΚΛΑΣΣΙΚΕΣ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΚΟΜΒΩΝ Είναι πάρα πολύ δύσκολο να αποφανθούμε εάν δυο δεδομένοι κόμβοι είναι ισοτοπικοί

ή όχι. Γι' αυτό και το πρόβλημα της ταξινόμησης των κόμβων είναι ακόμα ένα ανοικτό

πρόβλημα των μαθηματικών. Στα δύο παρακάτω παραδείγματα οι κόμβοι που

απεικονίζονται είναι ισοτοπικοί με τον τετριμμένο (δείξτε το αυτό χρησιμοποιώντας

κινήσεις Reidemeister).

Έτσι, προσπαθούμε να κατασκευάσουμε αναλλοίωτες, δηλαδή συναρτήσεις από

κλάσεις ισοτοπίας κόμβων σε πολυώνυμα, αριθμούς κ.λ.π. Μια αναλλοίωτη είναι

ιδιότητα της ισοτοπικής κλάσης ενός κόμβου και όχι ενός διαγράμματός του. Εξ

ορισμού μια αναλλοίωτη κόμβων παίρνει την ίδια τιμή σε ισοτοπικούς κόμβους.

Ισοδύναμα, αν μια αναλλοίωτη πάρει διαφορετικές τιμές σε δύο κόμβους, τότε αυτοί οι

κόμβοι είναι μη ισοτοπικοί και άρα διαφορετικοί μεταξύ τους.

ΚΛΑΣΣΙΚΕΣ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΚΟΜΒΩΝ

Υπάρχουν αρκετές κλασσικές αναλλοίωτες κόμβων, αλλά εμείς θα ασχοληθούμε μόνο

με μερικές. Αυτές είναι η τριχρωματισιμότητα, ο αριθμός διασταυρώσεων (crossing

number), ο αριθμός γεφυρών (bridge number) και ο αριθμός λύσεως (unknotting

number).

Ο αριθμός διασταυρώσεων, ο αριθμός γεφυρών και ο αριθμός λύσεως ορίζονται στο

σύνολο όλων των διαγραμμάτων ενός κόμβου.

11

ΤΡΙΧΡΩΜΑΤΙΣΙΜΟΤΗΤΑ Μια κλασσική αναλλοίωτη είναι η τριχρωματισιμότητα. Ένας κόμβος λέγεται

τριχρωματίσιμος αν ένα διάγραμμα του μπορεί να χρωματιστεί με τρία διαφορετικά

χρώματα (όπως παρακάτω) έτσι ώστε να ικανοποιούνται τα ακόλουθα:

Κανόνας 1ος: Σε κάθε διασταύρωση είτε και τα τρία τμήματα του κόμβου έχουν

διαφορετικό χρώμα είτε όλα το ίδιο.

Κανόνας 2ος: Όλα τα χρώματα χρησιμοποιούνται για να χρωματιστεί ο κόμβος.

(Χρησιμοποιώντας κινήσεις Reidemeister δείξτε ότι κάθε διάγραμμα ενός

τριχρωματίσιμου κόμβου είναι τριχρωματίσιμο. Άρα η τριχρωματισιμότητα είναι

αναλλοίωτη ισοτοπίας.)

12

ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΙΑΣΤΑΥΡΩΣΕΩΝ O αριθμός διασταυρώσεων (crossing number) ενός κόμβου K, συμβολίζεται με c(K) και

είναι ο ελάχιστος αριθμός διασταυρώσεων στο πλήθος όλων των διαγραμμάτων του Κ.

Ένα διάγραμμα του K μπορεί να χαρακτηριστεί ως ελάχιστο διάγραμμα εάν και εφόσον

έχει μόνο c(K) διασταυρώσεις.

O αριθμός διασταυρώσεων είναι πολύ χρήσιμος στην ταξινόμηση των κόμβων.

Πράγματι, ένας κόμβος γενικά ταξινομείται με έναν αριθμό της μορφής CN και

αντιπροσωπεύει τον Nστο κόμβο με ελάχιστο αριθμό διασταυρώσεων C. Για παράδειγμα

ο κόμβος trefoil ταξινομείται σαν 31 γιατί έχει αριθμό διασταυρώσεων 3.

13

ΑΡΙΘΜΟΣ ΓΕΦΥΡΩΝ Μια γέφυρα σε ένα διάγραμμα ενός κόμβου είναι ένα μέγιστο τμήμα του διαγράμματος,

τέτοιο ώστε αν βαδίζει κανείς κατά μήκος του να βρίσκεται συνεχώς "πάνω". Ο

αριθμός γεφυρών (bridge number) ορίζεται παρόμοια με τον αριθμό διασταυρώσεων. Ο

αριθμός γεφυρών ενός κόμβου K συμβολίζεται με b(K) και αντιπροσωπεύει τον

ελάχιστο αριθμό γεφυρών στο πλήθος όλων των διαγραμμάτων του K.

Περιέργως, ο αριθμός γεφυρών μιας ισοτοπικής κλάσης διαγραμμάτων δεν διαφαίνεται

απαραίτητα από ένα ελάχιστο διάγραμμα της κλάσης. Παράδειγμα, ο αριθμός

διασταυρώσεων του κόμβου trefoil είναι 3 και το ελάχιστο διάγραμμα του κόμβου έχει

τρεις γέφυρες. Όμως ο αριθμός γεφυρών του κόμβου trefoil είναι 2.

Όταν b(U)=1, τότε ο U είναι ο τετριμμένος κόμβος. Aρα, και όπως έχει αποδειχθεί, για

να μην είναι ένας κόμβος K ο τετριμμένος θα πρέπει b(K)>1.

Οι κόμβοι και κρίκοι με 2 γέφυρες έχουν ταξινομηθεί από τον Schubert (1956) και είναι

γνωστοί ως ρητοί κόμβοι (2-bridge knots ή rational knots).

14

ΑΡΙΘΜΟΣ ΛΥΣΕΩΣ Ο αριθμός λύσεως (unknotting number) ενός κόμβου K συμβολίζεται με u(K) και

αντιπροσωπεύει τον ελάχιστο αριθμό διασταυρώσεων, στο πλήθος όλων των

διαγραμμάτων του K, που πρέπει να αλλάξουν για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος

κόμβος. Όπως ο αριθμός γεφυρών έτσι και ο αριθμός λύσεως δεν διαφαίνεται

απαραίτητα από ένα ελάχιστο διάγραμμα της κλάσης.

Παρακάτω έχουμε ένα διάγραμμα του κόμβου trefoil όπου έχουμε επιλέξει μια

διασταύρωση, ακολουθούμενο από το διάγραμμα με "αλλαγμένη" τη διασταύρωση.

Είναι εύκολο να παρατηρήσουμε πως με μια κίνηση RII και με μια κίνηση RI έχουμε

τον τετριμμένο κόμβο. Έτσι, ο αριθμός λύσεως του κόμβου trefoil είναι 1 αφού μόνο

μια διασταύρωση χρειάζεται να αλλάξει για να έχουμε τον τετριμμένο κόμβο.

Σημειώνεται ότι u(K) = 0 αν και μόνο αν K = ο τετριμμένος.

15

16

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΟΜΒΩΝ Ίσως το δυσκολότερο κομμάτι της Θεωρίας Κόμβων είναι η επικοινωνία ενός κόμβου

σε κάποιον τρίτο. Πώς δηλαδή να περιγράψουμε σε έναν άγνωστο έναν συγκεκριμένο

κόμβο χωρίς να τον μπερδέψουμε. Εδώ αναφέρουμε τρεις τρόπους, ίσως τους

απλούστερους: το συμβολισμό Dowker, το συμβολισμό Bar Natan και το συμβολισμό

Conway. Ένας τέταρτος τρόπος, πιο αλγεβρικός, είναι και η θεωρία των "κοτσίδων"

(braids).

17

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ DOWKER Αρχικά, για να συμβολίσουμε ένα διάγραμμα κόμβου με το συμβολισμό Dowker,

πρέπει να δώσουμε στον κόμβο προσανατολισμό. Τι εννοούμε με αυτό; Ορίζουμε

προσανατολισμό στον κόμβο βάζοντας ένα βέλος σε ένα σημείο του. Ακολούθως,

παίρνουμε μια διασταύρωση του διαγράμματος και της δίνουμε τον αριθμό 1. Έπειτα

προχωράμε κατά μήκος του κόμβου, σύμφωνα με την κατεύθυνση που έχουμε ορίσει,

αλλά ακολουθώντας το από κάτω τόξο της διασταύρωσης. Στην επόμενη διασταύρωση

που συναντάμε δίνουμε τον αριθμό 2. Προσέξτε ότι όταν επιστρέψουμε στο αρχικό

σημείο, σε κάθε διασταύρωση θα αντιστοιχούν δύο αριθμοί, ένας περιττός και ένας

άρτιος. Κατά τη διάρκεια της αντιστοίχισης των αριθμών, θεωρούμε θετικούς τους

άρτιους αριθμούς που αντιστοιχούμε εάν συναντάμε τη διασταύρωση στο από πάνω της

τόξο. Αντιθέτως εάν συναντάμε τη διασταύρωση στο από κάτω της τόξο, τότε

θεωρούμε τον άρτιο αριθμό αρνητικό. Όλοι οι περιττοί αριθμοί θεωρούνται θετικοί

όπου και αν τοποθετηθούν. Συνεχίζουμε έτσι όπως αναφέραμε πιο πάνω μέχρι να

φτάσουμε στο σημείο από όπου ξεκινήσαμε.

Παρακάτω έχουμε ένα κόμβο, ο οποίος μπορεί να περιγραφεί με το συμβολισμό

Dowker σαν ένα σύνολο από διατεταγμένες δυάδες {, , , ,

}. Εφόσον το πρώτο μέλος κάθε δυάδας είναι περιττός και δεν περιέχει

πληροφορίες για πρόσημα, μπορούμε να περιγράψουμε τον κόμβο πιο εύκολα με το

συμβολισμό Dowker ως .

Η όλη διαδικασία είναι και αναστρέψιμη. Εάν μας δοθεί μια ακολουθία άρτιων

αριθμών, μπορούμε να κατασκευάσουμε έναν κόμβο. Όλες οι πληροφορίες που

χρειαζόμαστε βρίσκονται στο συμβολισμό Dowker. Μας λέει για τον αριθμό

διασταυρώσεων, πώς είναι συνδεδεμένες και ποιές είναι από πάνω και ποιές από κάτω.

Ας πούμε τώρα πως έχουμε μια ακολουθία από άρτιους αριθμούς η οποία

αντιπροσωπεύει την προβολή ενός κόμβου. Πώς σχεδιάζουμε τη συγκεκριμένη

18

προβολή; Ας πούμε πως έχουμε την ακολουθία 8 10 12 2 14 6 4. Αυτό

όπως αναφέραμε παραπάνω είναι η συντομία του

1 3 5 7 9 11 13

8 10 12 2 14 6 4

Εφόσον οι άρτιοι αριθμοί είναι θετικοί, ο κόμβος θα είναι εναλλασσόμενος. Ας

σχεδιάσουμε αυτόν τον κόμβο. Αρχίζουμε σχεδιάζοντας την πρώτη διασταύρωση,

δίνοντάς της τους αριθμούς 1 και 8. Επεκτείνουμε το τόξο του κόμβου που βρίσκεται

από κάτω στη διασταύρωση και σχεδιάζουμε την επόμενη διασταύρωση η οποία

αντιστοιχεί στο 2. Εφόσον το 2 είναι ζεύγος με το 7 βάζουμε στη διασταύρωση αυτή 2

και 7. Επειδή ο κόμβος είναι εναλλασσόμενος, ξέρουμε πως το τόξο στο οποίο

βρισκόμαστε πάει πάνω από τη συγκεκριμένη διασταύρωση. Προεκτείνουμε το τόξο

της διασταύρωσης 2 που πάει από πάνω και φτάνουμε στην επόμενη διασταύρωση,

όπου το τόξο αυτό γίνεται κάτω μέρος της διασταύρωσης την οποία ονομάζουμε 3 και

το οποίο είναι ζεύγος με το 10. Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο, μέχρι ο επόμενος

αριθμός που θα τοποθετήσουμε έχει ζεύγος έναν αριθμό που έχει ήδη τοποθετηθεί στον

κόμβο. Έτσι ξέρουμε πως ο κόμβος θα κάνει κύκλο για να περάσει από τη

συγκεκριμένη διασταύρωση. Εδώ έχουμε επιλογή να πάμε είτε από αριστερά είτε από

δεξιά για να κάνουμε τον κύκλο. Συνεχίζουμε κατά τον ίδιο τρόπο. Εάν κανένας από

τους αριθμούς που θα αντιστοιχίσουμε στην επόμενη διασταύρωση δεν έχει ήδη δοθεί,

τότε φτιάχνουμε μια νέα διασταύρωση. Εάν ένας αριθμός έχει τοποθετηθεί

προηγουμένως, τότε κάνουμε κύκλο ώστε να περάσει ο κόμβος από τη συγκεκριμένη

διασταύρωση. Συνεχίζοντας έτσι καταλήγουμε σε ένα διάγραμμα κόμβου, ο οποίος μας

έχει δοθεί με το συμβολισμό Dowker.

Όπως αναφέραμε παραπάνω, η διαδικασία είναι αναστρέψιμη, αλλά αυτό δεν είναι

πλήρως αληθές. Ο συμβολισμός Dowker δεν προσδιορίζει μονοσήμαντα τους

σύνθετους κόμβους αλλά ούτε και τις κατοπτρικές εικόνες κόμβων.

Ο συμβολισμός Dowker, επειδή χρησιμοποιεί μια απλή ακολουθία αριθμών, οδήγησε

στη χρήση υπολογιστή για το πρόβλημα της ταξινόμησης των κόμβων. Επίσης, ένα

19

ακόμα ενδιαφέρον κομμάτι του συμβολισμού Dowker είναι το γεγονός πως από την

ακολουθία των αριθμών μπορούμε να δούμε τετριμμένες διασταυρώσεις υπό τις

κινήσεις Reidemeister. Η διασταύρωση για παραδειγμα στον πρώτο κόμβο στον

οποίο αναφερόμαστε παραπάνω, μπορεί να απαλειφθεί με μια κίνηση RI. Αυτό θα

ισχύει πάντοτε όταν μια διασταύρωση έχει σαν όρισμα δύο διαδοχικούς αριθμούς.

20

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ BAR NATAN Ο συμβολισμός Bar Natan είναι σχετικά πρόσφατος και είναι ένας πολύ απλός τρόπος

για να επικοινωνήσουμε ένα διάγραμμα κόμβου. Σε κάθε διασταύρωση του

διαγράμματος δίνουμε τέσσερα σύμβολα:

έτσι ώστε, αν δύο τόξα δύο διαφορετικών διασταυρώσεων συνδέονται μεταξύ τους, να

παίρνουν το ίδιο σύμβολο. Έτσι, το διάγραμμα μπορεί να περιγραφεί δίνοντας μια

ακολουθία από τετράδες συμβόλων, από την οποία μπορεί και να ανακτηθεί.

21

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ CONWAY Μια διαπλοκή (tangle) είναι οποιαδήποτε περιοχή ενός διαγράμματος κόμβου η οποία

μπορεί να περιβληθεί από έναν κύκλο, έτσι ώστε ο κύκλος να διασταυρώνει τον κόμβο

σε τέσσερα σημεία. Δύο διαπλοκές είναι ισοτοπικές ή τοπολογικά ισοδύναμες εάν με

μια ακολουθία από κινήσεις Reidemeister μπορούμε από τη μια να έχουμε την άλλη,

πάντα υπό την προυπόθεση πως η διαπλοκή παραμένει μέσα στον κύκλο κατά τη

διάρκεια των κινήσεων Reidemeister.

Παρακάτω μπορούμε να δούμε κάποιες ειδικές περιπτώσεις. Ένα ζεύγος από μη

τεμνόμενες κάθετες γραμμές ονομάζεται [∞] διαπλοκή, ένα ζεύγος από μη τεμνόμενες

οριζόντιες γραμμές ονομάζεται [0] διαπλοκή και ένα ζεύγος από γραμμές οι οποίες

διασταυρώνονται 3 φορές ονομάζεται [-3] διαπλοκή. Εάν η περιστροφή ήταν

δεξιόστροφη αντί για αριστερόστροφη τότε θα ονομαζόταν [3] διαπλοκή.

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτόν το συμβολισμό για να χαρακτηρίσουμε πιο

περίπλοκες διαπλοκές. Για παράδειγμα παρακάτω έχουμε αρχικά μια [-3] διαπλοκή (α).

Μετά από μια ανάκλαση ως προς τη διακεκομμένη γραμμή παίρνουμε το επόμενο

διάγραμμα (β). Έπειτα περιστρέφουμε τα δύο δεξιά άκρα και παίρνουμε τη διαπλοκή

[-2, -3] (γ). Στη συνέχεια κάνουμε ακόμα μια ανάκλαση (δ). Όπως βλέπετε, πάντα

εργαζόμαστε στη δεξιά πλευρά της διαπλοκής. Στη συνέχεια περιστρέφουμε κατά την

αρνητική φορά τα δύο δεξιά άκρα 4 φορές (ε). Έτσι, το αποτέλεσμα έχει συμβολισμό

Conway [4, -2, -3].

22

Διαπλοκές που κατασκευάζονται με αυτόν τον τρόπο λέγονται ρητές διαπλοκές.

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους παραπάνω αριθμούς για να δημιουργήσουμε ένα

συνεχές κλάσμα. Δουλεύουμε με φορά από δεξιά προς τα αριστερά και έχουμε το εξής

συνεχές κλάσμα που σχετίζεται με το [4, -2, -3]:

4 + ( 1 / ( ( -2 ) + 1 / ( -3 ) ) )

Εάν το απλοποιήσουμε παίρνουμε το κλάσμα 25/7.

Ισχύει το ακόλουθο θεώρημα (Conway, 1970): Υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη και επί

αντιστοιχία ανάμεσα στις κλάσεις ισοτοπίας των ρητών διαπλοκών και στο σύνολο

QU{∞}.

23

24

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ Μια άλλη κατηγορία αναλλοίωτων κόμβων είναι οι πολυωνυμικές αναλλοίωτες.

Η ιδανική πολυωνυμική αναλλοίωτη κόμβων θα απέδιδε ένα διαφορετικό πολυώνυμο

για κάθε ισοτοπική κλάση. Οι περισσότερες πολυωνυμικές αναλλοίωτες είναι

βασισμένες σε σχέσεις skein. Εξαίρεση αποτελεί το πολυώνυμο Alexander το οποίο

είχε αρχικά οριστεί μέσω πινάκων. Όμως ένας άλλος μαθηματικός, ο John H. Conway

βρήκε έναν τρόπο για να υπολογίζει το πολυώνυμο Alexander με σχέσεις skein.

Το πολυώνυμο Alexander, το οποίο πήρε το όνομά του από το δημιουργό του James

Waddell Alexander II, είναι η παλαιότερη πολυωνυμική αναλλοίωτη. Το πολυώνυμο

Alexander βασίστηκε στο γεγονός πως δύο διαφορετικοί κόμβοι μπορούν να

διακριθούν μέσω γραμμικών χρωματικών πειραμάτων (π.χ τριχρωματισιμότητα).

Δυστυχώς δεν μπορούσε έτσι να διακρίνει έναν κόμβο από την κατοπτρική του εικόνα

και έτσι υπέθετε πως όλοι οι κόμβοι είναι αμφίχειροι. Το πολυώνυμο Alexander

δημοσιεύθηκε το 1928 και παρέμεινε για περισσότερες από 5 δεκαετίες η μόνη

πολυωνυμική αναλλοίωτη κόμβων.

Το 1984 ο Vaughan F. R. Jones κατασκεύασε μια νέα πολυωνυμική αναλλοίωτη, το

πολυώνυμο Jones. Το καταπληκτικό ήταν πως "ανακάλυψε" αυτό το πολυώνυμο όταν

πρόσεξε πως κάποιες εξισώσεις στη Θεωρία Κόμβων που αντιστοιχούν στην κίνηση

RIII ήταν παρόμοιες με εξισώσεις στη Θεωρία Αλγεβρικών Τελεστών, οι οποίες

σχετίζονταν με τη Στατιστική Μηχανική. Το πολυώνυμο Jones ήταν η πρώτη

αναλλοίωτη που έκανε χρήση της θεωρίας των "κοτσίδων". Για αυτή του την

ανακάλυψη, απονεμήθει στον Jones το βραβείο Fields. Η ανακάλυψη του πολυωνύμου

Jones ώθησε σε νέα θεαματικά αποτελέσματα στη Θεωρία Κόμβων και στην Τοπολογία

Χαμηλών Διαστάσεων.

Το 1985 ο L. H. Kauffman ανακάλυψε το δικό του πολυώνυμο το οποίο είναι συναφές

με το πολυώνυμο Jones, το πολυώνυμο bracket. Το πολυώνυμο bracket δεν είναι

αναλλοίωτη πλήρους ισοτοπίας αλλά είναι αναλλοίωτη κανονικής ισοτοπίας, δηλαδή

αναλλοίωτη ως προς τις κινήσεις RII και RIII. Ο Kauffman όμως βρήκε μια μαθηματική

έκφραση την οποία πολλαπλασιάζοντας την με το πολυώνυμο bracket ενός κόμβου

έπαιρνε το πολυώνυμο Jones του κόμβου.

25

Η ανακάλυψη του πολυωνύμου Jones ενθουσίασε τη μαθηματική κοινότητα σε βαθμό

που κατασκευάζονταν νέες πολυωνυμικές αναλλοίωτες πολύ γρήγορα. Στόχος της

εποχής ήταν να βρουν μια πολυωνυμική αναλλοίωτη η οποία θα γενίκευε το

πολυώνυμο Alexander και το πολυώνυμο Jones. Το πολυώνυμο HOMFLYPT ήταν μια

επιτυχημένη λύση η οποία δημοσιεύθηκε ταυτόχρονα από διαφορετικές ομάδες

μαθηματικών. Η εργασία δημοσιεύθηκε υπό τα ονόματα των Hoste, Ocneanu, Millett,

Freyd, Lickorish, Yetter, Przytycki και Traczyk. Το πολυώνυμο HOMFLYPT

ικανοποιεί σχέσεις skein όπως και το πολυώνυμο Jones και το πολυώνυμο Alexander,

όμως το καινούργιο πολυώνυμο χρησιμοποιεί δυο μεταβλητές σε αντίθεση με το

πολυώνυμο Alexander και το πολυώνυμο Jones, και για κατάλληλες τιμές εξιδεικεύεται

στο καθένα από αυτά.

26

ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ALEXANDER

ΙΣΤΟΡΙΚΑ Το πολυώνυμο Alexander ανακαλύφθηκε από τον James Waddell Alexander II το 1928

σαν μια γενίκευση των γραμμικών χρωματικών πειραμάτων (π.χ τριχρωματισιμότητα).

Σχεδιασμένο για να χρησιμοποιεί πίνακες, η αρχική του μορφή διαφέρει από τις πιο

πρόσφατες πολυωνυμικές αναλλοίωτες που ορίζονται μέσω σχέσεων skein. Τη δεκαετία

του 1960 όμως ο John Conway χρησιμοποίησε μια σχέση skein (γνωστή στον

Alexander), για να ορίσει το πολυώνυμο Alexander, γεφυρώνοντας έτσι το χάσμα

μεταξύ του πολυωνύμου Alexander και των ευρέως διαδεδομένων μεταγενέστερων

πολυωνυμικών αναλλοίωτων.

ΚΑΝΟΝΕΣ ΟΡΙΣΜΟΥ Το πρώτο βήμα για να υπολογίσουμε το πολυώνυμο Alexander ενός κόμβου, είναι να

σχεδιάσουμε ένα προσανατολισμένο διάγραμμα του κόμβου, όπως παρακάτω. Ένας

κόμβος με c διασταυρώσεις θα χωρίσει την προβολή σε c+2 περιοχές τις οποίες και

ονοματίζουμε. Στις περιοχές αυτές περιλαμβάνεται και η εξωτερική περιοχή του

κόμβου. Τώρα περνάμε στους υπολογισμούς.

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Το κυριότερο μέρος του πολυωνύμου Alexander είναι ο πίνακας. Ο πίνακας γράφεται

έχοντας στις σειρές του τους αριθμούς διασταυρώσεων και στις στήλες του τις περιοχές

με τις ονομασίες που τους έχουμε δώσει. Οι τιμές των στοιχείων σε αυτόν τον πίνακα

στη σειρά της διασταύρωσης γράφονται ως εξής.

27

Έπειτα, αφαιρούμε οποιεσδήποτε δυο στήλες που έχουν περιοχές που μοιράζονται το

ίδιο τόξο, αφήνοντας έτσι έναν c x c πίνακα. Το προκαταρτικό πολυώνυμο Alexander

είναι η ορίζουσα του πίνακα. Για να πάρουμε το τελικό πολυώνυμο Alexander, το t

βγαίνει σαν παράγοντας έξω και αφαιρείται όσο το δυνατό περισσότερες φορές.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Δυστυχώς το πολυώνυμο Alexander δεν είναι η ιδανική πολυωνυμική αναλλοίωτη. Για

παράδειγμα υπάρχουν πολλοί μη τετριμμένοι κόμβοι με πολυώνυμο Alexander = 1 = το

πολυώνυμο Alexander του τετριμμένου. Επίσης το πολυώνυμο Alexander δεν ξεχωρίζει

κόμβους από την κατοπτρική τους εικόνα. Ξεχωρίζει όμως μεταξύ διαφορετικών

ισοτοπικών κλάσεων με λιγότερες των 9 διασταυρώσεων. Επειδή ήταν η πρώτη

πολυωνυμική αναλλοίωτη, το πολυώνυμο Alexander είχε τα μειονεκτήματά του αλλά

του αξίζει μια μελέτη.

28

ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ JONES

ΙΣΤΟΡΙΚΑ Το πολυώνυμο Jones ανακαλύφθηκε το 1984 από τον Vaughan F. R. Jones. Σε αντίθεση

με το πολυώνυμο Alexander, το πολυώνυμο Jones μπορεί να διακρίνει ένα κόμβο από

την κατοπτρική του εικόνα. Το πολυώνυμο Jones είναι περίπου το ίδιο με το

πολυώνυμο Kauffman bracket όπως θα δούμε παρακάτω.

ΚΑΝΟΝΕΣ ΟΡΙΣΜΟΥ Το πολυώνυμο Jones δημιουργείται από ένα προσανατολισμένο διάγραμμα κόμβου

μέσω τριών βασικών κανόνων:

• Είναι ισοτοπική αναλλοίωτη

• VU(t) = 1

• t-1 · VL+(t) - t · VL-(t) = (t1/2 - t-1/2) · VL0(t)

Ο δεύτερος κανόνας λέει ότι το πολυώνυμο Jones για τον τετριμμένο κόμβο είναι η

μονάδα. Ο τρίτος κανόνας για τον υπολογισμό του πολυωνύμου Jones είναι οι σχέσεις

skein. Οι όροι VL+(t), VL-(t) και VL0(t) αντιστοιχούν στα πολυώνυμα τριών

διαγραμμάτων L+, L-, L0 τα οποία διαφέρουν μόνο κατά την περιοχή μιας

διασταύρωσης, όπως παρακάτω.

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Το πρώτο βήμα για να ξεκινήσουμε με τον υπολογισμό του πολυωνύμου Jones ενός

προσανατολισμένου κόμβου είναι η επιλογή μιας διασταύρωσης σε ένα διάγραμμα του

κόμβου την οποία επιλέγουμε είτε ως L+ είτε ως L-. Στο παράδειγμα του δεξιόστροφου

κόμβου trefoil έχουμε επιλέξει μια διασταύρωση L-.

29

Η σχέση skein τότε γίνεται:

VL-(t) = t-1 · VL+(t) / t - (t1/2 / t - t-1/2 / t) · VL0(t)

Η επιλεγμένη διασταύρωση αλλάζει στα άλλα δυο διαγράμματα L+ και L0. Στην

περίπτωση του L+ με μια κίνηση RII ακολουθούμενη από μια κίνηση RI οδηγούμαστε

στον τετριμμένο κόμβο. Έτσι η τιμή του VL+(t) γίνεται 1.

VL+(t) = 1

Στην περίπτωση του L0 οδηγούμαστε στον προσανατολισμένο κρίκο Hopf (Hopf link)

και μετά από πράξεις στο αποτέλεσμα:

VL0(t) = -t - t-1

Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στην αρχική σχέση skein παίρνουμε το τελικό

αποτέλεσμα για το πολυώνυμο Jones του δεξιόστροφου κόμβου trefoil.

VL(t) = t-1 + t-3 - t-4

ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Υπάρχει μη τετριμμένος κόμβος Κ με VK[t] = 1 ;

30

ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ KAUFFMAN BRACKET

ΙΣΤΟΡΙΚΑ Το 1985 ο L. H. Kauffman ανακάλυψε το δικό του πολυώνυμο το οποίο είναι συναφές

με το πολυώνυμο Jones, το πολυώνυμο bracket. Το πολυώνυμο bracket δεν είναι

αναλλοίωτη πλήρους ισοτοπίας αλλά είναι αναλλοίωτη κανονικής ισοτοπίας, δηλαδή

αναλλοίωτη ως προς τις κινήσεις RII και RIII. Ο Kauffman όμως βρήκε μια μαθηματική

έκφραση την οποία πολλαπλασιάζοντας την με το πολυώνυμο bracket ενός κόμβου

έπαιρνε το πολυώνυμο Jones του κόμβου.

ΚΑΝΟΝΕΣ ΟΡΙΣΜΟΥ Το πολυώνυμο bracket δημιουργείται από ένα μη προσανατολισμένο διάγραμμα

κόμβου. Το bracket για ένα διάγραμμα υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τους παρακάτω

τρεις κανόνες:

• < U > = 1

• < DU > = (A2 + A-2) · < D >

• < C > = A · < L > + A-1 · < R >

όπου το < U > συμβολίζει το bracket του τετριμμένου κόμβου, το DU αναφέρεται στον

διαχωρίσιμο κρίκο που αποτελείται από ένα διάγραμμα D και τον τετριμμένο κόμβο και

τα < D >, < L > και < R > αναφέρονται στα πολυώνυμα των διαγραμμάτων που

διαφέρουν μόνο στην περιοχή μιας διασταύρωσης όπως παρακάτω.

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Επειδή το πολυώνυμο bracket δεν είναι αναλλοίωτο ως προς την κίνηση RI η ιδέα με το

bracket είναι να αναλύσουμε έναν κόμβο σε ένα σύνολο από τετριμμένους κόμβους.

Επιλέγουμε μια διασταύρωση όπως παρακάτω.

31

Ο παραπάνω κόμβος αναλύεται όπως φαίνεται παρακάτω.

< D > = A · < L > + A-1 · < R >

Τώρα το L μπορεί να αναλυθεί παραπέρα.

< D > = A · (A · < LL > + A-1 · < LR >) + A-1 · < R >

Μετά από διεξοδική ανάλυση φτάνουμε στο ακόλουθο πολυώνυμο bracket για τον

αριστερόστροφο κόμβο trefoil.

< K > = A7 - A3 - A-5

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Εφ' όσον το πολυώνυμο bracket είναι μια αναλλοίωτη κανονικής ισοτοπίας, δεν

μπορούμε να απλοποιήσουμε σε ένα διάγραμμα τις κινήσεις RI. Αυτό οδηγεί σε

εξαντλητική ανάλυση των διαγραμμάτων. Όμως μπορεί να κατασκευαστεί αναλλοίωτη

και υπό την κίνηση RI μέσω του bracket με την παρακάτω εξίσωση.

f[L] = (-A)-3 · w(D) · < D >

Σ' αυτή την εξίσωση το w(D) είναι ο αριθμός συστροφής, (writhe) του κόμβου, δηλαδή

το άθροισμα όλων των προσήμων των διασταυρώσεων του D, αφότου έχουμε δώσει

στο D προσανατολισμό. Θέτοντας όπου Α το t-1/4 παίρνουμε f[L](t-1/4) = VL(t) δηλαδή

παίρνουμε το πολυώνυμο Jones.

32

ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ HOMFLYPT

ΙΣΤΟΡΙΚΑ Η δημοσίευση του πολυωνύμου Jones ενθουσίασε τη μαθηματική κοινότητα σε βαθμό

που δημιουργούνταν καινούργιες πολυωνυμικές αναλλοίωτες πολύ γρήγορα. Στόχος

της εποχής ήταν να βρουν μια πολυωνυμική αναλλοίωτη η οποία θα γενίκευε το

πολυώνυμο Alexander και το πολυώνυμο Jones. Το πολυώνυμο HOMFLYPT ήταν μια

επιτυχημένη λύση η οποία δημοσιεύθηκε ταυτόχρονα από διαφορετικές ομάδες

μαθηματικών. Η εργασία δημοσιεύθηκε υπό τα ονόματα των Hoste, Ocneanu, Millett,

Freyd, Lickorish, Yetter, Przytycki και Traczyk. Το πολυώνυμο HOMFLYPT

χρησιμοποιεί σχέσεις skein όπως και το πολυώνυμο Jones και το πολυώνυμο

Alexander, όμως το καινούργιο πολυώνυμο χρησιμοποιεί δυο μεταβλητές σε αντίθεση

με το πολυώνυμο Alexander και το πολυώνυμο Jones, και για κατάλληλες τιμές

εξιδεικεύεται στο καθένα από αυτά.

ΚΑΝΟΝΕΣ ΟΡΙΣΜΟΥ Το πολυώνυμο HOMFLYPΤ δημιουργείται από ένα προσανατολισμένο διάγραμμα

κόμβου όπως το παρακάτω.

Επίσης, το πολυώνυμο HOMFLYPΤ υπολογίζεται χρησιμοποιώντας σχέσεις skein

όπως και το πολυώνυμο Jones. Οι κανόνες του πολυωνύμου είναι οι εξής.

• P(L) είναι ισοτοπική αναλλοίωτη

• P(U) = 1

• l · P(L+) + l-1 · P(L-) + m · P(L0) = 0

με την ίδια σύμβαση για τα L+, L-, L0, όπως και στο πολυώνυμο Jones.

33

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Για να υπολογίσουμε το πολυώνυμο HOMFLYPT, επιλέγουμε μια διασταύρωση και

εφαρμόζουμε τη σχέση skein για τα πολυώνυμα των τριών διαφορετικών

διαγραμμάτων. Στο παρακάτω παράδειγμα έχουμε επιλέξει μια διασταύρωση τύπου L-.

Έτσι λύνουμε τη σχέση skein ως προς τον όρο P(L-).

P(L-) = -l · (l · P(L+) + m · P(L0))

Παρακάτω απεικονίζεται το διάγραμμα L+.

Λόγω του πρώτου κανόνα το διάγραμμα του κόμβου μπορεί να απλοποιηθεί όταν

φθάνουμε σε ισοτοπικό του τετριμμένου ή άλλων γνωστών κόμβων. Πράγματι, έτσι

μπορούμε να πάρουμε τον τετριμμένο κόμβο αν μετά από μια κίνηση RII

χρησιμοποιήσουμε μια κίνηση RI. Από το δεύτερο κανόνα το πολυώνυμο του

τετριμμένου κόμβου είναι 1, έτσι και η τιμή του P(L+) είναι 1.

P(L+) = 1

Στην περίπτωση του L0, με κάποια απλοποίηση του διαγράμματος οδηγούμαστε στον

κρίκο Hopf, και μετά από πράξεις οδηγούμαστε στο P(L0).

P(L0) = -lm + l3m-1 + lm-1

34

Αντικαθιστώντας τα αποτελέσματα στην αρχική σχέση skein παίρνουμε το τελικό

αποτέλεσμα για το πολυώνυμο HOMFLYPΤ του δεξιόστροφου κόμβου trefoil.

P(L) = l2m2 - 2 · l2 - l4

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Το πολυώνυμο HOMFLYPΤ είναι μια πιο γενική αναλλοίωτη, η οποία εξειδικεύεται

και στο πολυώνυμο Alexander και στο πολυώνυμο Jones.

35

36

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Η Θεωρία Κόμβων πρωτοαναπτύχθηκε με σκοπό να βρεί τις πρώτες της εφαρμογές στη

Χημεία. Ο Λόρδος Kelvin και η Χημεία έδωσαν το έναυσμα για να αναπτυχθεί η

Θεωρία Κόμβων τη δεκαετία του 1880. Ο Kelvin υπέθεσε πως όλο το σύμπαν

περιβαλόταν από μια ουσία, τον αιθέρα, και πως η ύλη μπορούσε να περιγραφεί σαν

κόμβοι μέσα στον αιθέρα. Όμως, όπως γνωρίζουμε σήμερα αυτό δεν είναι αληθές.

Αυτό που οδήγησε τη Θεωρία Κόμβων να γίνει ένας μεγάλος κλάδος των μαθηματικών

ήταν το πρόσφατο ενδιαφέρον.

Σήμερα, η Θεωρία Κόμβων έχει βρει πολλές εφαρμογές σε πολλούς τομείς. Εμείς θα

αναφερθούμε σε μερικούς παρακάτω.

37

ΘΕΩΡΙΑ ΚΟΜΒΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Η πρώτη, ίσως, εφαρμογή της Θεωρίας Κόμβων είναι στη Θεωρία Γραφημάτων.

Πράγματι, το 1983 οι Conway και Gordon απέδειξαν, χρησιμοποιώντας αναλλοίωτες

ισοτοπίας, ότι κάθε εμφύτευση του πλήρους γραφήματος Κ6 στο χώρο περιέχει έναν μη

τετριμμένο κρίκο και ότι κάθε εμφύτευση του πλήρους γραφήματος Κ7 στο χώρο

περιέχει έναν μη τετριμμένο κόμβο.

38

ΘΕΩΡΙΑ ΚΟΜΒΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗ Με την ανακάλυψη του πολυωνύμου Jones το 1984, ο ίδιος ο Jones ανακάλυψε επίσης

θεμελιώδεις σχέσεις ανάμεσα στη Θεωρία Κόμβων και στη Στατιστική Μηχανική. Η

Στατιστική Μηχανική μελετά μεγάλα συστήματα μορίων και εξετάζει τη συνολική

συμπεριφορά ενός συστήματος ως προς ιδιότητες όπως η θερμοκρασία, η ενέργεια, η

αλλαγή φάσεως κ.λ.π.

Πιο συγκεκριμένα, από μοντέλα αλληλλεπιδράσεων γειτονικών μορίων τα οποία

θεωρούνται ως κορυφές γραφημάτων, βρίσκεται η συνάρτηση διαμέρισης του

συστήματος, η οποία περιέχει τις παραπάνω πληροφορίες για το σύστημα.

Αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση διαμέρισης κάποιων μοντέλων σχετίζεται με

πολυώνυμα γραφημάτων τα οποία με τη σειρά τους σχετίζονται με αναλλοίωτες

κόμβων. Για παράδειγμα το μοντέλο Potts, που εξηγεί το λιώσιμο του πάγου, σχετίζεται

με το διχρωματικό πολυώνυμο για γραφήματα, το οποίο οδηγεί στο πολυώνυμο Jones

για κόμβους.

39

ΘΕΩΡΙΑ ΚΟΜΒΩΝ ΚΑΙ ΒΙΟΛΟΓΙΑ Η Μοριακή Βιολογία μελετά μεταξύ άλλων, το φαινόμενο της αναδιάταξης

(recombination) του DNA, κατά το οποίο κάποια ένζυμα, τα τοποϊσόμερα, δρουν στο

μόριο, κόβοντας τη διπλή έλικα, και τα τέσσερα ελεύθερα άκρα ξανακολλούν με

διαφορετικό τρόπο.

Αυτή η δράση των ενζύμων προκαλεί την εμφάνιση κόμβων στο DNA.

Η αναδιάταξη γίνεται σε ελάχιστο χρονικό διάστημα, γι' αυτό οι μοριακοί βιολόγοι

αναζητούν ένα θεωρητικό μοντέλο που να περιγράφει την ακριβή διαδικασία της

δράσης των ενζύμων. Ένα τέτοιο μοντέλο δόθηκε το 1989 από τους Ernst και Sumners

και βασίζεται στη θεωρία των ρητών διαπλοκών και στην ταξινόμηση των ρητών

κόμβων, εξηγώντας έτσι επιτυχώς ένα πείραμα πολλαπλής αναδιάταξης.

40

ΘΕΩΡΙΑ ΚΟΜΒΩΝ ΚΑΙ ΧΗΜΕΙΑ Η Θεωρία Κόμβων έχει βρει ενδιαφέρουσες εφαρμογές στην κατασκευή μορίων

εναντιομερών. Τα εναντιομερή είναι μια ειδική κατηγορία ισομερών, δηλαδή μορίων με

τον ίδιο μοριακό τύπο αλλά διαφορετική σύνδεση των ατόμων στο χώρο.

Συγκεκριμένα, δύο εναντιομερή είναι το ένα κατοπτρική εικόνα του άλλου. Αυτό

συνεπάγεται διαφορετικές φυσικές ιδιότητες των στοιχείων.

Οι χημικοί ενδιαφέρονται ιδιαίτερα να κατασκευάζουν εναντιομερή, προκειμένου να

βρίσκονται καινούργια υλικά με συγκεκριμένες ιδιότητες. Ένας τύπος εναντιομερών, τα

τοπολογικά εναντιομερή, είναι μόρια με μορφή κόμβου ή με μορφή κλίμακας Moebius.

Είναι πολύ σημαντικό για τους χημικούς να γνωρίζουν εάν ένα μόριο είναι αμφίχειρο,

δηλαδή ισοτοπικό με την κατοπτρική του εικόνα ή όχι. Αν δειχθεί με τοπολογικές

μεθόδους ότι ένα μόριο είναι αμφίχειρο, τότε μπορεί να αποφευχθεί η πολυδάπανη και

χρονοβόρα διαδικασία κατασκευής του εναντιομερούς του στο εργαστήριο. Για

παράδειγμα ο κόμβος figure-8 είναι αμφίχειρος ενώ ο κόμβος trefoil είναι μη

αμφίχειρος. Τέτοιες μέθοδοι έχουν δοθεί επιτυχώς από τον J. Simon, την E. Flapan κ.α.

(1986, 1987).

41

ΘΕΩΡΙΑ ΚΟΜΒΩΝ ΚΑΙ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ Η Τοπολογία Χαμηλών Διαστάσεων μελετά τρισδιάστατους χώρους

(προσανατολίσιμους, συνεκτικούς και συμπαγείς, χωρίς σύνορο) πέρα από τον γνωστό

Ευκλείδειο χώρο, που ονομάζονται 3-πολλαπλότητες (3-manifolds). Το πρόβλημα της

ταξινόμησης τους ως προς τη σχέση του ομοιομορφισμού είναι ένα από τα μεγάλα

προβλήματα των μαθηματικών (Εικασία Poincaré). Κάθε 3-πολλαπλότητα μπορεί να

κατασκευαστεί από έναν (τουλάχιστον) κόμβο μέσω της "τοπολογικής χειρουργικής".

Επιπλέον, δύο 3-πολλαπλότητες είναι ομοιομορφικοί χώροι αν και μόνον αν οι

αντίστοιχοι κόμβοι σχετίζονται μέσω ισοτοπίας και "κινήσεων Kirby". Έτσι, μια

αναλλοίωτη ισοτοπίας, αν μπορεί να γίνει αναλλοίωτη και κάτω από τις κινήσεις Kirby,

δίνει μια αναλλοίωτη 3-πολλαπλότητων. Αρα, το πρόβλημα της ταξινόμησης των

κόμβων σχετίζεται με το πρόβλημα της ταξινόμησης των 3-πολλαπλοτήτων.

42

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΚΟΜΒΩΝ Κόμβοι με 3 διασταυρώσεις

3_1 Κόμβοι με 4 διασταυρώσεις

4_1 Κόμβοι με 5 διασταυρώσεις

5_1 5_2 Κόμβοι με 6 διασταυρώσεις

6_1 6_2 6_3 Κόμβοι με 7 διασταυρώσεις

7_1 7_2 7_3 7_4 7_5 7_6 7_7 Κόμβοι με 8 διασταυρώσεις

8_1 8_2 8_3 8_4 8_5 8_6 8_7 8_8 8_9

8_10 8_11 8_12 8_13 8_14 8_15 8_16 8_17 8_18

8_19 8_20 8_21 Κόμβοι με 9 διασταυρώσεις

9_1 9_2 9_3 9_4 9_5 9_6 9_7 9_8 9_9

9_10 9_11 9_12 9_13 9_14 9_15 9_16 9_17 9_18

43

9_19 9_20 9_21 9_22 9_23 9_24 9_25 9_26 9_27

9_28 9_29 9_30 9_31 9_32 9_33 9_34 9_35 9_36

9_37 9_38 9_39 9_40 9_41 9_42 9_43 9_44 9_45

9_46 9_47 9_48 9_49 Κόμβοι με 10 διασταυρώσεις

10_1 10_2 10_3 10_4 10_5 10_6 10_7 10_8 10_9

10_10 10_11 10_12 10_13 10_14 10_15 10_16 10_17 10_18

10_19 10_20 10_21 10_22 10_23 10_24 10_25 10_26 10_27

10_28 10_29 10_30 10_31 10_32 10_33 10_34 10_35 10_36

10_37 10_38 10_39 10_40 10_41 10_42 10_43 10_44 10_45

10_46 10_47 10_48 10_49 10_50 10_51 10_52 10_53 10_54

10_55 10_56 10_57 10_58 10_59 10_60 10_61 10_62 10_63

10_64 10_65 10_66 10_67 10_68 10_69 10_70 10_71 10_72

10_73 10_74 10_75 10_76 10_77 10_78 10_79 10_80 10_81

44

10_82 10_83 10_84 10_85 10_86 10_87 10_88 10_89 10_90

10_91 10_92 10_93 10_94 10_95 10_96 10_97 10_98 10_99

10_100 10_101 10_102 10_103 10_104 10_105 10_106 10_107 10_108

10_109 10_110 10_111 10_112 10_113 10_114 10_115 10_116 10_117

10_118 10_119 10_120 10_121 10_122 10_123 10_124 10_125 10_126

10_127 10_128 10_129 10_130 10_131 10_132 10_133 10_134 10_135

10_136 10_137 10_138 10_139 10_140 10_141 10_142 10_143 10_144

10_145 10_146 10_147 10_148 10_149 10_150 10_151 10_152 10_153

10_154 10_155 10_156 10_157 10_158 10_159 10_160 10_161 10_162

10_163 10_164 10_165

45

46

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΚΡΙΚΩΝ Κρίκοι με 2 συνιστώσες

0.2.1 2.2.1 4.2.1 5.2.1 6.2.1 6.2.2 6.2.3 7.2.1 7.2.2

7.2.3 7.2.4 7.2.5 7.2.6 7.2.7 7.2.8 8.2.1 8.2.2 8.2.3

8.2.4 8.2.5 8.2.6 8.2.7 8.2.8 8.2.9 8.2.10 8.2.11 8.2.12

8.2.13 8.2.14 8.2.15 8.2.16 9.2.1 9.2.2 9.2.3 9.2.4 9.2.5

9.2.6 9.2.7 9.2.8 9.2.9 9.2.10 9.2.11 9.2.12 9.2.13 9.2.14

9.2.15 9.2.16 9.2.17 9.2.18 9.2.19 9.2.20 9.2.21 9.2.22 9.2.23

9.2.24 9.2.25 9.2.26 9.2.27 9.2.28 9.2.29 9.2.30 9.2.31 9.2.32

9.2.33 9.2.34 9.2.35 9.2.36 9.2.37 9.2.38 9.2.39 9.2.40 9.2.41

9.2.41 9.2.43 9.2.44 9.2.45 9.2.46 9.2.47 9.2.48 9.2.49 9.2.50

9.2.51 9.2.52 9.2.53 9.2.54 9.2.55 9.2.56 9.2.57 9.2.58 9.2.59

9.2.60 9.2.61 Κρίκοι με 3 συνιστώσες

0.3.1 6.3.1 6.3.2 6.3.3 7.3.1 8.3.1 8.3.2 8.3.3 8.3.4

8.3.5 8.3.6 8.3.7 8.3.8 8.3.9 8.3.10 9.3.1 9.3.2 9.3.3

47

9.3.4 9.3.5 9.3.6 9.3.7 9.3.8 9.3.9 9.3.10 9.3.11 9.3.12

9.3.13 9.3.14 9.3.15 9.3.16 9.3.17 9.3.18 9.3.19 9.3.20 9.3.21 Κρίκοι με 4 συνιστώσες

0.4.1 8.4.1 8.4.2 8.4.3 9.4.1 Κρίκοι με 5 συνιστώσες

0.5.1

48

ΓΛΩΣΣΑΡΙ Η Θεωρία Κόμβων είναι ο κλάδος της Τοπολογίας που μελετά τους κόμβους. Ένας

κόμβος ορίζεται ως η εικόνα ενός ομοιομορφισμού που μεταφέρει έναν κύκλο στον

τρισδιάστατο χώρο.

Ένας κόμβος είναι μια κλειστή, μονοδιάστατη και συνεχής μη τεμνόμενη καμπύλη στον

τρισδιάστατο χώρο. Από μια πιο μαθηματική σκοπιά, ένας κόμβος είναι η εικόνα ενός

ομοιομορφισμού που μεταφέρει έναν κύκλο στον τρισδιάστατο χώρο.

Ένας κρίκος με k συνιστώσες είναι η ομοιομορφική εικόνα k κύκλων στον

τρισδιάστατο χώρο. Κάθε κόμβος που απαρτίζει τον κρίκο ονομάζεται συνιστώσα του

κρίκου. Ένας κρίκος με μια μόνο συνιστώσα ονομάζεται κόμβος.

Τριχρωματισιμότητα είναι η ικανότητα να χρωματίσουμε έναν κόμβο με τρία

διαφορετικά χρώματα.

Ο αριθμός διασταυρώσεων ενός κόμβου Κ συμβολίζεται με c(K) και αντιπροσωπεύει

το μικρότερο αριθμό διασταυρώσεων στο πλήθος όλων των διαγραμμάτων του Κ.

Ο αριθμός γεφυρών ενός κόμβου K συμβολίζεται με b(K) και αντιπροσωπεύει τον

ελάχιστο αριθμό γεφυρών στο πλήθος όλων των διαγραμμάτων του Κ.

O αριθμός λύσεως ενός κόμβου Κ συμβολίζεται με u(K) και αντιπροσωπεύει τον

ελάχιστο αριθμό διασταυρώσεων που πρέπει να αλλάξουν για να δημιουργηθεί ο

τετριμμένος κόμβος, στο πλήθος όλων των διαγραμμάτων του Κ.

Μια σχέση skein (αναδρομική σχέση) είναι μια γραμμική σχέση ανάμεσα στις τιμές

μιας πολυωνυμικής αναλλοίωτης πάνω σε τρία διαγράμματα, τα οποία διαφέρουν

μεταξύ τους μόνο στην περιοχή μιας διασταύρωσης. Οι σχέσεις skein χρησιμοποιούνται

για τον υπολογισμό πολυωνυμικών αναλλοίωτων επαγωγικά.

Το πολυώνυμο Alexander ανακαλύφθηκε από τον James Waddell Alexander II το 1928

σαν μια γενίκευση των γραμμικών χρωματικών πειραμάτων (π.χ τριχρωματισιμότητα).

Σχεδιασμένο για να χρησιμοποιεί πίνακες, η αρχική του μορφή διαφέρει από τις πιο

πρόσφατες πολυωνυμικές αναλλοίωτες που ορίζονται μέσω σχέσεων skein. Τη δεκαετία

49

του 1960 όμως ο John Conway χρησιμοποίησε μια σχέση skein (γνωστή στον

Alexander), για να ορίσει το πολυώνυμο Alexander, γεφυρώνοντας έτσι το χάσμα

μεταξύ του πολυωνύμου Alexander και των ευρέως διαδεδομένων μεταγενέστερων

πολυωνυμικών αναλλοίωτων.

Το πολυώνυμο HOMFLYPT δημοσιεύθηκε ταυτόχρονα από διαφορετικές ομάδες

μαθηματικών. Το πολυώνυμο HOMFLYPT χρησιμοποιεί σχέσεις skein όπως και το

πολυώνυμο Jones και το πολυώνυμο Alexander, όμως το καινούργιο πολυώνυμο

χρησιμοποιεί δυο μεταβλητές σε αντίθεση με το πολυώνυμο Alexander και το

πολυώνυμο Jones, και για κατάλληλες τιμές εξιδεικεύεται στο καθένα από αυτά.

50

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Adams, Colin C. The Knot Book. New York: W. H. Freeman and Company, 1994.

Conway, J. H. 1970. On enumaration of knots and links, and some of their algebraic

properties. Computational Problems in Abstract Algebra, Proc. Conf. Oxford 1967:329-

358. Oxford: Pergamon.

Dowker, C. H., and M. B. Thistlethwaite. 1983. Classification of knot projections.

Topol. Appl. 16:19-31.

Gilbert, N. D. and T. Porter. Knots and Surfaces. New York: Oxford University Press,

1994.

Hocking, John G. and Gail S. Young. Topology. New York: Dover Publications, 1961.

James Robert Brown. Philosophy Of Mathematics, An Introduction To The World Of

Proofs And Pictures. Routledge, 1999.

Ochiai Laboratory's WEB Site. Available:

http://amadeus.ics.nara-wu.ac.jp/~ochiai/index.html

Table of Knot Invariants. Available:

http://www.indiana.edu/~knotinfo/

The KnotPlot Site by Robert G. Scharein. Available:

http://www.knotplot.com/

Weisstein, Eric W. Eric's Treasure Trove of Mathematics. Available:

http://www.astro.virginia.edu/~eww6n/math/

Wikipedia, The Free Encyclopedia. Available:

http://en.wikipedia.org/wiki/Main_Page

51

http://amadeus.ics.nara-wu.ac.jp/%7Eochiai/index.htmlhttp://www.indiana.edu/%7Eknotinfo/http://www.knotplot.com/http://www.astro.virginia.edu/%7Eeww6n/math/http://en.wikipedia.org/wiki/Main_Page

52

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαριστώ την οικογένειά μου, το Σάββα και την Άντρη.

Ευχαριστώ τους επιβλέποντες καθηγητές μου Ν. Τράκα που με τις παρατηρήσεις του

συντέλεσε στη βελτίωση της εργασίας και τη Σ. Λαμπροπούλου που χωρίς τη δική της

συμπαράσταση δεν θα ήταν δυνατή η εκπόνιση αυτής της εργασίας όπως επίσης και τον

καθηγητή της Εξεταστικής Επιτροπής μου Ν. Καδιανάκη.

53

54

ΚΩΔΙΚΑΣ HTML Τι Είναι Η Θεωρία Κόμβων Στα Μαθηματικά Κωνσταντίνος Παναγίδης Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών
και Φυσικών Επιστημών
Τι είναι η Θεωρία Κόμβων
στα Μαθηματικά

Μια εισαγωγή σε HTML και Flash


Διπλωματική Εργασία

55

Best Viewed In 1280 x 800 Πολυώνυμο Alexander Κλείσιμο   Το πολυώνυμο Alexander ανακαλύφθηκε από τον James Waddell Alexander II το 1928 σαν μια γενίκευση των γραμμικών χρωματικών πειραμάτων (π.χ τριχρωματισιμότητα). Σχεδιασμένο για να χρησιμοποιεί πίνακες, η αρχική του μορφή διαφέρει από τις πιο πρόσφατες πολυωνυμικές αναλλοίωτες που ορίζονται μέσω σχέσεων skein. Τη δεκαετία του 1960 όμως ο John Conway χρησιμοποίησε μια σχέση skein (γνωστή στον Alexander), για να ορίσει το πολυώνυμο Alexander, γεφυρώνοντας έτσι το χάσμα μεταξύ του πολυωνύμου Alexander και των ευρέως διαδεδομένων μεταγενέστερων πολυωνυμικών αναλλοίωτων.    

56

Bridge Number Κλείσιμο   Ο αριθμός γεφυρών ενός κόμβου K συμβολίζεται με b(K) και αντιπροσωπεύει τον ελάχιστο αριθμό γεφυρών στο πλήθος όλων των διαγραμμάτων του Κ.    

57

Crossing Number Κλείσιμο   Ο αριθμός διασταυρώσεων ενός κόμβου Κ συμβολίζεται με c(K) και αντιπροσωπεύει το μικρότερο αριθμό διασταυρώσεων στο πλήθος όλων των διαγραμμάτων του Κ.     Τι Είναι Η Θεωρία Κόμβων Στα Μαθηματικά

58

Κωνσταντίνος Παναγίδης A.M. 09102274 Σ.Ε.Μ.Φ.Ε Πολυώνυμο HOMFLYPT Κλείσιμο   Το πολυώνυμο HOMFLYPT δημοσιεύθηκε ταυτόχρονα από διαφορετικές ομάδες μαθηματικών. Το πολυώνυμο HOMFLYPT χρησιμοποιεί σχέσεις skein όπως και τo πολυώνυμo Jones και το πολυώνυμο Alexander, όμως το καινούργιο πολυώνυμο

59

χρησιμοποιεί δυο μεταβλητές σε αντίθεση με το πολυώνυμο Alexander και το πολυώνυμο Jones, και για κατάλληλες τιμές εξιδεικεύεται στο καθένα από αυτά.     Αναλλοίωτες Κόμβων Αναλλοίωτες Κόμβων   Είναι πάρα πολύ δύσκολο να αποφανθούμε εάν δυο δεδομένοι κόμβοι είναι ισοτοπικοί ή όχι. Γι' αυτό και το πρόβλημα της ταξινόμησης των κόμβων είναι ακόμα ένα ανοικτό πρόβλημα των μαθηματικών. Στα δύο παρακάτω παραδείγματα οι κόμβοι που απεικονίζονται είναι ισοτοπικοί με τον τετριμμένο (δείξτε το αυτό χρησιμοποιώντας κινήσεις Reidemeister).  

60

          Έτσι, προσπαθούμε να κατασκευάσουμε αναλλοίωτες, δηλαδή συναρτήσεις από κλάσεις ισοτοπίας κόμβων σε κάποιο σύνολο τιμών (π.χ πολυώνυμα, αριθμοί κ.λ.π.) Μια αναλλοίωτη είναι ιδιότητα της ισοτοπικής κλάσης ενός κόμβου και όχι ενός διαγράμματός του. Εξ ορισμού μια αναλλοίωτη κόμβων παίρνει την ίδια τιμή σε ισοτοπικούς κόμβους. Ισοδύναμα, αν μια αναλλοίωτη πάρει διαφορετικές τιμές σε δύο κόμβους, τότε αυτοί οι κόμβοι είναι μη ισοτοπικοί και άρα διαφορετικοί μεταξύ τους. Αυτή ακριβώς η ιδιότητα των αναλλοίωτων βοηθάει στην ταξινόμηση των κόμβων.   Κλασσικές Αναλλοίωτες Κόμβων  

61

Υπάρχουν αρκετές κλασσικές αναλλοίωτες κόμβων, αλλά εμείς θα ασχοληθούμε μόνο με μερικές. Αυτές είναι η τριχρωματισιμότητα, ο αριθμός διασταυρώσεων (crossing number), ο αριθμός γεφυρών (bridge number) και ο αριθμός λύσεως (unknotting number).     Ο αριθμός διασταυρώσεων, ο αριθμός γεφυρών και ο αριθμός λύσεως ορίζονται στο σύνολο όλων των διαγραμμάτων ενός κόμβου.     Προηγούμενη Ενότητα

62

Επόμενη Ενότητα Aριθμός Διασταυρώσεων (Crossing Number) Aριθμός Διασταυρώσεων (Crossing Number)   O αριθμός διασταυρώσεων (crossing number) ενός κόμβου K, συμβολίζεται με c(K) και είναι ο ελάχιστος αριθμός διασταυρώσεων στο πλήθος όλων των διαγραμμάτων του Κ. Ένα διάγραμμα του K μπορεί να χαρακτηριστεί ως ελάχιστο διάγραμμα εάν και εφόσον έχει μόνο c(K) διασταυρώσεις.     O αριθμός διασταυρώσεων είναι πολύ χρήσιμος στην ταξινόμηση των κόμβων. Πράγματι, ένας κόμβος γενικά ταξινομείται με έναν αριθμό

63

της μορφής CN και αντιπροσωπεύει τον Nστο κόμβο με ελάχιστο αριθμό διασταυρώσεων C. Για παράδειγμα ο κόμβος trefoil ταξινομείται σαν 31 γιατί έχει αριθμό διασταυρώσεων 3.     Προηγούμενη Ενότητα Επόμενη Ενότητα Αριθμός Γεφυρών (Bridge Number) Αριθμός Γεφυρών (Bridge Number)  

64

Μια γέφυρα σε ένα διάγραμμα ενός κόμβου είναι ένα μέγιστο τμήμα του διαγράμματος, τέτοιο ώστε αν βαδίζει κανείς κατά μήκος του να βρίσκεται συνεχώς "πάνω". Ο αριθμός γεφυρών (bridge number) ορίζεται παρόμοια με τον αριθμό διασταυρώσεων. Ο αριθμός γεφυρών ενός κόμβου K συμβολίζεται με b(K) και αντιπροσωπεύει τον ελάχιστο αριθμό γεφυρών στο πλήθος όλων των διαγραμμάτων του K.     Περιέργως, ο αριθμός γεφυρών μιας ισοτοπικής κλάσης διαγραμμάτων δεν διαφαίνεται απαραίτητα από ένα ελάχιστο διάγραμμα της κλάσης. Παράδειγμα, ο αριθμός διασταυρώσεων του κόμβου trefoil είναι 3 και το ελάχιστο διάγραμμα του κόμβου έχει τρεις γέφυρες. Όμως ο αριθμός γεφυρών του κόμβου trefoil είναι 2.      

65

Όταν b(U)=1, τότε ο U είναι ο τετριμμένος κόμβος. Aρα, και όπως έχει αποδειχθεί, για να μην είναι ένας κόμβος K ο τετριμμένος θα πρέπει b(K)>1.     Οι κόμβοι και κρίκοι με 2 γέφυρες έχουν ταξινομηθεί από τον Schubert (1956) και είναι γνωστοί ως ρητοί κόμβοι (2-bridge knots ή rational knots).   Προηγούμενη Ενότητα Επόμενη Ενότητα

66

Αριθμός Λύσεως (Unknotting Number) Αριθμός Λύσεως (Unknotting Number)   Ο αριθμός λύσεως (unknotting number) ενός κόμβου K συμβολίζεται με u(K) και αντιπροσωπεύει τον ελάχιστο αριθμό διασταυρώσεων, στο πλήθος όλων των διαγραμμάτων του K, που πρέπει να αλλάξουν για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος. Όπως ο αριθμός γεφυρών έτσι και ο αριθμός λύσεως δεν διαφαίνεται απαραίτητα από ένα ελάχιστο διάγραμμα της κλάσης.     Παρακάτω έχουμε ένα διάγραμμα του κόμβου trefoil όπου έχουμε επιλέξει μια διασταύρωση, ακολουθούμενο από το διάγραμμα με "αλλαγμένη" τη διασταύρωση. Είναι εύκολο να παρατηρήσουμε πως με μια κίνηση RII και με μια κίνηση RI έχουμε τον τετριμμένο κόμβο. Έτσι, ο αριθμός λύσεως του κόμβου trefoil είναι 1 αφού μόνο μια διασταύρωση χρειάζεται να αλλάξει για να έχουμε τον τετριμμένο κόμβο. Σημειώνεται ότι u(K) = 0 αν και μόνο αν K = ο τετριμμένος.    

67

    Προηγούμενη Ενότητα Επόμενη Ενότητα Πολυωνυμικές Αναλλοίωτες

68

Πολυωνυμικές Αναλλοίωτες   Μια άλλη κατηγορία αναλλοίωτων κόμβων είναι οι πολυωνυμικές αναλλοίωτες.     Η ιδανική πολυωνυμική αναλλοίωτη κόμβων θα απέδιδε ένα διαφορετικό πολυώνυμο για κάθε ισοτοπική κλάση. Οι περισσότερες πολυωνυμικές αναλλοίωτες είναι βασισμένες σε σχέσεις skein. Εξαίρεση αποτελεί το πολυώνυμο Alexander το οποίο είχε αρχικά οριστεί μέσω πινάκων. Όμως ένας άλλος μαθηματικός, ο John H. Conway βρήκε έναν τρόπο για να υπολογίζει το πολυώνυμο Alexander με σχέσεις skein.     Το πολυώνυμο Alexander, το οποίο πήρε το όνομά του από το δημιουργό του James Waddell Alexander II, είναι η παλαιότερη πολυωνυμική

69

αναλλοίωτη. Το πολυώνυμο Alexander βασίστηκε στο γεγονός πως δύο διαφορετικοί κόμβοι μπορούν να διακριθούν μέσω γραμμικών χρωματικών πειραμάτων (π.χ τριχρωματισιμότητα). Δυστυχώς δεν μπορούσε έτσι να διακρίνει έναν κόμβο από την κατοπτρική του εικόνα και έτσι υπέθετε πως όλοι οι κόμβοι είναι αμφίχειροι. Το πολυώνυμο Alexander δημοσιεύθηκε το 1928 και παρέμεινε για περισσότερες από 5 δεκαετίες η μόνη πολυωνυμική αναλλοίωτη κόμβων.     Το 1984 ο Vaughan F. R. Jones κατασκεύασε μια νέα πολυωνυμική αναλλοίωτη, το πολυώνυμο Jones. Το καταπληκτικό ήταν πως "ανακάλυψε" αυτό το πολυώνυμο όταν πρόσεξε πως κάποιες εξισώσεις στη Θεωρία Κόμβων που αντιστοιχούν στην κίνηση RIII ήταν παρόμοιες με εξισώσεις στη Θεωρία Αλγεβρικών Τελεστών, οι οποίες σχετίζονταν με τη Στατιστική Μηχανική. Το πολυώνυμο Jones ήταν η πρώτη αναλλοίωτη που έκανε χρήση της θεωρίας των "κοτσίδων". Για αυτή του την ανακάλυψη, απονεμήθει στον Jones το βραβείο Fields. Η ανακάλυψη του πολυωνύμου Jones ώθησε σε νέα θεαματικά αποτελέσματα στη Θεωρία Κόμβων και στην Τοπολογία Χαμηλών Διαστάσεων.     Το 1985 ο L. H. Kauffman ανακάλυψε το δικό του πολυώνυμο το οποίο είναι συναφές με το πολυώνυμο Jones, το πολυώνυμο bracket. Το πολυώνυμο bracket δεν είναι αναλλοίωτη πλήρους ισοτοπίας αλλά είναι αναλλοίωτη κανονικής ισοτοπίας, δηλαδή αναλλοίωτη ως προς τις κινήσεις RΙI και RIII. Ο Kauffman όμως βρήκε μια μαθηματική έκφραση την οποία πολλαπλασιάζοντάς την με το πολυώνυμο bracket ενός κόμβου έπαιρνε το πολυώνυμο Jones του κόμβου.  

70

  Η ανακάλυψη του πολυωνύμου Jones ενθουσίασε τη μαθηματική κοινότητα σε βαθμό που κατασκευάζονταν νέες πολυωνυμικές αναλλοίωτες πολύ γρήγορα. Στόχος της εποχής ήταν να βρουν μια πολυωνυμική αναλλοίωτη η οποία θα γενίκευε το πολυώνυμο Alexander και το πολυώνυμο Jones. Το πολυώνυμο HOMFLYPT ήταν μια επιτυχημένη λύση η οποία δημοσιεύθηκε ταυτόχρονα από διαφορετικές ομάδες μαθηματικών. Η εργασία δημοσιεύθηκε υπό τα ονόματα των Hoste, Ocneanu, Millett, Freyd, Lickorish, Yetter, Przytycki και Traczyk. Το πολυώνυμο HOMFLYPT ικανοποιεί σχέσεις skein όπως και τo πολυώνυμo Jones και το πολυώνυμο Alexander, όμως το καινούργιο πολυώνυμο χρησιμοποιεί δυο μεταβλητές σε αντίθεση με το πολυώνυμο Alexander και το πολυώνυμο Jones, και για κατάλληλες τιμές εξιδεικεύεται στο καθένα από αυτά.     Προηγούμενη Ενότητα Επόμενη Ενότητα

71

Περιγραφή κόμβων Περιγραφή κόμβων   Ίσως το δυσκολότερο κομμάτι της Θεωρίας Κόμβων είναι η επικοινωνία ενός κόμβου σε κάποιον τρίτο. Πώς δηλαδή να περιγράψουμε σε έναν