ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ...

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Τι είναι η Θεωρία Κόμβων στα Μαθηματικά

Μια εισαγωγή σε HTML και Flash

ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Γ. ΠΑΝΑΓΙΔΗΣ

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Επιβλέποντες: Σοφία Λαμπροπούλου

Νικόλας Τράκας

ΑΘΗΝΑ 2008

Τι είναι η Θεωρία Κόμβων στα Μαθηματικά

Μια εισαγωγή σε HTML και Flash

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ

5

ΘΕΩΡΙΑ ΚΟΜΒΩΝ 7

ΙΣΟΤΟΠΙΑ ΣΤΟ ΧΩΡΟ 8

ΚΙΝΗΣΕΙΣ REIDEMEISTER

9

ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΚΟΜΒΩΝ - ΚΛΑΣΣΙΚΕΣ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ 11

ΤΡΙΧΡΩΜΑΤΙΣΙΜΟΤΗΤΑ 12

ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΙΑΣΤΑΥΡΩΣΕΩΝ 13

ΑΡΙΘΜΟΣ ΓΕΦΥΡΩΝ 14

ΑΡΙΘΜΟΣ ΛΥΣΕΩΣ

15

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΟΜΒΩΝ 17

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ DOWKER 18

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ BAR NATAN 21

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ CONWAY

22

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ 25

ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ALEXANDER 27

ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ JONES 29

ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ KAUFFMAN BRACKET 31

ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ HOMFLYPT

33

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 37

ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ 38

ΦΥΣΙΚΗ 39

ΒΙΟΛΟΓΙΑ 40

ΧΗΜΕΙΑ 41

3

ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ

42

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΚΟΜΒΩΝ

43

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΚΡΙΚΩΝ

47

ΓΛΩΣΣΑΡΙ

49

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

51

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ

53

ΚΩΔΙΚΑΣ HTML

55

ΚΩΔΙΚΑΣ FLASH 141

4

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αλήθεια, τι είναι η Θεωρία Κόμβων στα Μαθηματικά;

Αυτή η ερώτηση υπήρξε η ιδέα για τη δημιουργία αυτής της εργασίας. Το γενικό

πλαίσιο, είναι η παρουσίαση της Θεωρίας Κόμβων με τη χρήση των κωδικών

προγραμματισμού HTML και Flash.

Η εργασία αυτή εισάγει τον αναγνώστη στη Θεωρία Κόμβων και τις εφαρμογές της. Η

Θεωρία Κόμβων είναι αρκετά σημαντικός κλάδος της Τοπολογίας γιατί μέθoδοί της

χρησιμοποιούνται για την επίλυση προβλημάτων στη Φυσική, στη Χημεία, στη

Στατιστική Μηχανική κ.τ.λ.

Οι διάφορες έννοιες αναπτύσσονται όσο είναι δυνατό με απλό τρόπο. Στο τέλος δίνεται

και μέρος του κώδικα HTML και Flash ο οποίος χρησιμοποιήθηκε, γιατί η παράθεση

του πλήρους κώδικα θα καθιστούσε την εργασία υπερβολικά ογκώδη.

Αρχικά παρουσιάζονται οι έννοιες της ισοτοπίας και οι κινήσεις Reidemeister.

Έπειτα γίνεται αναφορά σε ιδιότητες – αναλλοίωτες κόμβων - στις οποίες στηρίζεται η

Θεωρία Κόμβων για την επίλυση του προβλήματος της ταξινόμησής τους. Πρώτα

ορίζονται κάποιες κλασικές αναλλοίωτες. Στη συνέχεια μελετώνται οι τρόποι

επικοινωνίας των κόμβων σε κάποιον τρίτο και ακολούθως ορίζονται οι πιο γνωστές

πολυωνυμικές αναλλοίωτες. Τέλος παρατίθενται μερικές εφαρμογές της Θεωρίας

Κόμβων στη Φυσική, στη Χημεία και στη Βιολογία, όπως και ευρετήριο κόμβων και

κρίκων για περαιτέρω μελέτη. Επιπλέον, μια σειρά από ασκήσεις πάνω στις βασικές

έννοιες και ιδιότητες της Θεωρίας Κόμβων.

5

ΘΕΩΡΙΑ ΚΟΜΒΩΝ Η Θεωρία Κόμβων είναι ένας κλάδος της Τοπολογίας που εξετάζει τους κόμβους και

τους κρίκους. Στην Τοπολογία, μια σφαίρα είναι όμοια με έναν κύβο. Η Τοπολογία δεν

εξετάζει τις γεωμετρικές ιδιότητες των αντικειμένων, όπως το μήκος και τις γωνίες,

αλλά τις ιδιότητες οι οποίες μένουν αναλλοίωτες ως προς την αλλαγή καμπυλότητας,

στρέψης και ως προς τις ελαστικές παραμορφώσεις.

Ο πιο απλός κόμβος είναι ο τετριμμένος. Ο αμέσως επόμενος είναι ο κόμβος trefoil και

η κατοπτρική του εικόνα, και μετά είναι ο κόμβος figure-8. Η κατοπτρική εικόνα ενός

κόμβου, είναι ο ίδιος κόμβος με αντίθετες διασταυρώσεις.

Σε όλη την ιστορία της Θεωρίας Κόμβων οι ερευνητές κράτησαν ζωντανή τη θεωρία,

βρίσκοντας χρησιμότητες της μελέτης τους. Από την ατομική θεωρία που προτάθηκε

από το Λόρδο Kelvin μέχρι την ανακάλυψη ενός μορίου DNA υπό τη μορφή κόμβου

trefoil, υπήρξε πάντα ένας σκοπός και μια έμπνευση για τη Θεωρία Κόμβων. Οι

εφαρμογές της σήμερα εκτείνονται από τη Στατιστική Μηχανική έως τη Χημεία και τη

Μοριακή Βιολογία.

7

ΙΣΟΤΟΠΙΑ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Ένας κόμβος είναι μια κλειστή, μονοδιάστατη και συνεχής μη τεμνόμενη καμπύλη στον

τρισδιάστατο χώρο. Από μια πιο μαθηματική σκοπιά, ένας κόμβος είναι η εικόνα ενός

ομοιομορφισμού που μεταφέρει έναν κύκλο στον τρισδιάστατο χώρο.

Ένας κρίκος με k συνιστώσες είναι η ομοιομορφική εικόνα k κύκλων στον

τρισδιάστατο χώρο. Κάθε κόμβος που απαρτίζει τον κρίκο ονομάζεται συνιστώσα του

κρίκου. Ένας κρίκος με μια μόνο συνιστώσα ονομάζεται κόμβος.

Δύο κόμβοι k1, k2 οι οποίοι μπορούν να μετασχηματιστούν ο ένας στον άλλο μέσω

ισοτοπίας ονομάζονται ισοτοπικοί. Μια ισοτοπία είναι μια συνεχής ελαστική

παραμόρφωση του χώρου (δηλαδή ένας ομοιομορφισμός του χώρου) που μεταφέρει τον

k1 στον k2.

Οποιοδήποτε σύνολο κόμβων που είναι ισοτοπικοί μεταξύ τους ανήκουν στην ίδια

ισοτοπική κλάση. Όταν λέμε κόμβος k εννοούμε ολόκληρη την κλάση ισοτοπίας του k.

Το κεντρικό πρόβλημα της Θεωρίας Κόμβων είναι η ταξινόμηση των κόμβων ως προς

την έννοια της ισοτοπίας, δηλαδή να βρεθούν όλοι οι διαφορετικοί τύποι κόμβων.

8

ΚΙΝΗΣΕΙΣ REIDEMEISTER Ένα σημαντικό βήμα στη μελέτη των κόμβων ως προς την έννοια της ισοτοπίας είναι η

αναπαράσταση των κόμβων από κανονικές προβολές τους στο επίπεδο, που

ονομάζονται διαγράμματα. Ένα διάγραμμα κόμβου σε κάθε διασταύρωση έχει την

πληροφορία "άνω" ή "κάτω". Ο Kurt Reidemeister κατάφερε να αποδείξει το 1935 πως

οποιαδήποτε ισοτοπική κίνηση ενός κόμβου στο χώρο μπορεί να επιτευχθεί στο επίπεδο

με μόνο τρεις βασικές κινήσεις. Αυτές έγιναν γνωστές ως κινήσεις Reidemeister.

Η πρώτη κίνηση Reidemeister συμβολίζεται με RI και απλά προσθέτει ή αφαιρεί μια

διασταύρωση μέσω μιας απλής αναδίπλωσης.

Η δεύτερη κίνηση Reidemeister συμβολίζεται με RII και προσθέτει ή αφαιρεί

ταυτόχρονα δύο διασταυρώσεις.

Η τρίτη κίνηση Reidemeister συμβολίζεται με RIII και μας επιτρέπει να μετακινήσουμε

ένα τμήμα του κόμβου από τη μια πλευρά μιας διασταύρωσης στην άλλη.

Δύο διαγράμματα κόμβων που διαφέρουν κατά κινήσεις Reidemeister θα λέγονται

επίσης ισοτοπικά.

9

ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΚΟΜΒΩΝ – ΚΛΑΣΣΙΚΕΣ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΚΟΜΒΩΝ Είναι πάρα πολύ δύσκολο να αποφανθούμε εάν δυο δεδομένοι κόμβοι είναι ισοτοπικοί

ή όχι. Γι' αυτό και το πρόβλημα της ταξινόμησης των κόμβων είναι ακόμα ένα ανοικτό

πρόβλημα των μαθηματικών. Στα δύο παρακάτω παραδείγματα οι κόμβοι που

απεικονίζονται είναι ισοτοπικοί με τον τετριμμένο (δείξτε το αυτό χρησιμοποιώντας

κινήσεις Reidemeister).

Έτσι, προσπαθούμε να κατασκευάσουμε αναλλοίωτες, δηλαδή συναρτήσεις από

κλάσεις ισοτοπίας κόμβων σε πολυώνυμα, αριθμούς κ.λ.π. Μια αναλλοίωτη είναι

ιδιότητα της ισοτοπικής κλάσης ενός κόμβου και όχι ενός διαγράμματός του. Εξ

ορισμού μια αναλλοίωτη κόμβων παίρνει την ίδια τιμή σε ισοτοπικούς κόμβους.

Ισοδύναμα, αν μια αναλλοίωτη πάρει διαφορετικές τιμές σε δύο κόμβους, τότε αυτοί οι

κόμβοι είναι μη ισοτοπικοί και άρα διαφορετικοί μεταξύ τους.

ΚΛΑΣΣΙΚΕΣ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΚΟΜΒΩΝ

Υπάρχουν αρκετές κλασσικές αναλλοίωτες κόμβων, αλλά εμείς θα ασχοληθούμε μόνο

με μερικές. Αυτές είναι η τριχρωματισιμότητα, ο αριθμός διασταυρώσεων (crossing

number), ο αριθμός γεφυρών (bridge number) και ο αριθμός λύσεως (unknotting

number).

Ο αριθμός διασταυρώσεων, ο αριθμός γεφυρών και ο αριθμός λύσεως ορίζονται στο

σύνολο όλων των διαγραμμάτων ενός κόμβου.

11

ΤΡΙΧΡΩΜΑΤΙΣΙΜΟΤΗΤΑ Μια κλασσική αναλλοίωτη είναι η τριχρωματισιμότητα. Ένας κόμβος λέγεται

τριχρωματίσιμος αν ένα διάγραμμα του μπορεί να χρωματιστεί με τρία διαφορετικά

χρώματα (όπως παρακάτω) έτσι ώστε να ικανοποιούνται τα ακόλουθα:

Κανόνας 1ος: Σε κάθε διασταύρωση είτε και τα τρία τμήματα του κόμβου έχουν

διαφορετικό χρώμα είτε όλα το ίδιο.

Κανόνας 2ος: Όλα τα χρώματα χρησιμοποιούνται για να χρωματιστεί ο κόμβος.

(Χρησιμοποιώντας κινήσεις Reidemeister δείξτε ότι κάθε διάγραμμα ενός

τριχρωματίσιμου κόμβου είναι τριχρωματίσιμο. Άρα η τριχρωματισιμότητα είναι

αναλλοίωτη ισοτοπίας.)

12

ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΙΑΣΤΑΥΡΩΣΕΩΝ O αριθμός διασταυρώσεων (crossing number) ενός κόμβου K, συμβολίζεται με c(K) και

είναι ο ελάχιστος αριθμός διασταυρώσεων στο πλήθος όλων των διαγραμμάτων του Κ.

Ένα διάγραμμα του K μπορεί να χαρακτηριστεί ως ελάχιστο διάγραμμα εάν και εφόσον

έχει μόνο c(K) διασταυρώσεις.

O αριθμός διασταυρώσεων είναι πολύ χρήσιμος στην ταξινόμηση των κόμβων.

Πράγματι, ένας κόμβος γενικά ταξινομείται με έναν αριθμό της μορφής CN και

αντιπροσωπεύει τον Nστο κόμβο με ελάχιστο αριθμό διασταυρώσεων C. Για παράδειγμα

ο κόμβος trefoil ταξινομείται σαν 31 γιατί έχει αριθμό διασταυρώσεων 3.

13

ΑΡΙΘΜΟΣ ΓΕΦΥΡΩΝ Μια γέφυρα σε ένα διάγραμμα ενός κόμβου είναι ένα μέγιστο τμήμα του διαγράμματος,

τέτοιο ώστε αν βαδίζει κανείς κατά μήκος του να βρίσκεται συνεχώς "πάνω". Ο

αριθμός γεφυρών (bridge number) ορίζεται παρόμοια με τον αριθμό διασταυρώσεων. Ο

αριθμός γεφυρών ενός κόμβου K συμβολίζεται με b(K) και αντιπροσωπεύει τον

ελάχιστο αριθμό γεφυρών στο πλήθος όλων των διαγραμμάτων του K.

Περιέργως, ο αριθμός γεφυρών μιας ισοτοπικής κλάσης διαγραμμάτων δεν διαφαίνεται

απαραίτητα από ένα ελάχιστο διάγραμμα της κλάσης. Παράδειγμα, ο αριθμός

διασταυρώσεων του κόμβου trefoil είναι 3 και το ελάχιστο διάγραμμα του κόμβου έχει

τρεις γέφυρες. Όμως ο αριθμός γεφυρών του κόμβου trefoil είναι 2.

Όταν b(U)=1, τότε ο U είναι ο τετριμμένος κόμβος. Aρα, και όπως έχει αποδειχθεί, για

να μην είναι ένας κόμβος K ο τετριμμένος θα πρέπει b(K)>1.

Οι κόμβοι και κρίκοι με 2 γέφυρες έχουν ταξινομηθεί από τον Schubert (1956) και είναι

γνωστοί ως ρητοί κόμβοι (2-bridge knots ή rational knots).

14

ΑΡΙΘΜΟΣ ΛΥΣΕΩΣ Ο αριθμός λύσεως (unknotting number) ενός κόμβου K συμβολίζεται με u(K) και

αντιπροσωπεύει τον ελάχιστο αριθμό διασταυρώσεων, στο πλήθος όλων των

διαγραμμάτων του K, που πρέπει να αλλάξουν για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος

κόμβος. Όπως ο αριθμός γεφυρών έτσι και ο αριθμός λύσεως δεν διαφαίνεται

απαραίτητα από ένα ελάχιστο διάγραμμα της κλάσης.

Παρακάτω έχουμε ένα διάγραμμα του κόμβου trefoil όπου έχουμε επιλέξει μια

διασταύρωση, ακολουθούμενο από το διάγραμμα με "αλλαγμένη" τη διασταύρωση.

Είναι εύκολο να παρατηρήσουμε πως με μια κίνηση RII και με μια κίνηση RI έχουμε

τον τετριμμένο κόμβο. Έτσι, ο αριθμός λύσεως του κόμβου trefoil είναι 1 αφού μόνο

μια διασταύρωση χρειάζεται να αλλάξει για να έχουμε τον τετριμμένο κόμβο.

Σημειώνεται ότι u(K) = 0 αν και μόνο αν K = ο τετριμμένος.

15

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΟΜΒΩΝ Ίσως το δυσκολότερο κομμάτι της Θεωρίας Κόμβων είναι η επικοινωνία ενός κόμβου

σε κάποιον τρίτο. Πώς δηλαδή να περιγράψουμε σε έναν άγνωστο έναν συγκεκριμένο

κόμβο χωρίς να τον μπερδέψουμε. Εδώ αναφέρουμε τρεις τρόπους, ίσως τους

απλούστερους: το συμβολισμό Dowker, το συμβολισμό Bar Natan και το συμβολισμό

Conway. Ένας τέταρτος τρόπος, πιο αλγεβρικός, είναι και η θεωρία των "κοτσίδων"

(braids).

17

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ DOWKER Αρχικά, για να συμβολίσουμε ένα διάγραμμα κόμβου με το συμβολισμό Dowker,

πρέπει να δώσουμε στον κόμβο προσανατολισμό. Τι εννοούμε με αυτό; Ορίζουμε

προσανατολισμό στον κόμβο βάζοντας ένα βέλος σε ένα σημείο του. Ακολούθως,

παίρνουμε μια διασταύρωση του διαγράμματος και της δίνουμε τον αριθμό 1. Έπειτα

προχωράμε κατά μήκος του κόμβου, σύμφωνα με την κατεύθυνση που έχουμε ορίσει,

αλλά ακολουθώντας το από κάτω τόξο της διασταύρωσης. Στην επόμενη διασταύρωση

που συναντάμε δίνουμε τον αριθμό 2. Προσέξτε ότι όταν επιστρέψουμε στο αρχικό

σημείο, σε κάθε διασταύρωση θα αντιστοιχούν δύο αριθμοί, ένας περιττός και ένας

άρτιος. Κατά τη διάρκεια της αντιστοίχισης των αριθμών, θεωρούμε θετικούς τους

άρτιους αριθμούς που αντιστοιχούμε εάν συναντάμε τη διασταύρωση στο από πάνω της

τόξο. Αντιθέτως εάν συναντάμε τη διασταύρωση στο από κάτω της τόξο, τότε

θεωρούμε τον άρτιο αριθμό αρνητικό. Όλοι οι περιττοί αριθμοί θεωρούνται θετικοί

όπου και αν τοποθετηθούν. Συνεχίζουμε έτσι όπως αναφέραμε πιο πάνω μέχρι να

φτάσουμε στο σημείο από όπου ξεκινήσαμε.

Παρακάτω έχουμε ένα κόμβο, ο οποίος μπορεί να περιγραφεί με το συμβολισμό

Dowker σαν ένα σύνολο από διατεταγμένες δυάδες <1,4>, <3,-6>, <5,10>, <7,-2>,

<9,8>. Εφόσον το πρώτο μέλος κάθε δυάδας είναι περιττός και δεν περιέχει

πληροφορίες για πρόσημα, μπορούμε να περιγράψουμε τον κόμβο πιο εύκολα με το

συμβολισμό Dowker ως <4, -6, 10, -2, 8>.

Η όλη διαδικασία είναι και αναστρέψιμη. Εάν μας δοθεί μια ακολουθία άρτιων

αριθμών, μπορούμε να κατασκευάσουμε έναν κόμβο. Όλες οι πληροφορίες που

χρειαζόμαστε βρίσκονται στο συμβολισμό Dowker. Μας λέει για τον αριθμό

διασταυρώσεων, πώς είναι συνδεδεμένες και ποιές είναι από πάνω και ποιές από κάτω.

Ας πούμε τώρα πως έχουμε μια ακολουθία από άρτιους αριθμούς η οποία

αντιπροσωπεύει την προβολή ενός κόμβου. Πώς σχεδιάζουμε τη συγκεκριμένη

18

προβολή; Ας πούμε πως έχουμε την ακολουθία 8 10 12 2 14 6 4. Αυτό

όπως αναφέραμε παραπάνω είναι η συντομία του

1 3 5 7 9 11 13

8 10 12 2 14 6 4

Εφόσον οι άρτιοι αριθμοί είναι θετικοί, ο κόμβος θα είναι εναλλασσόμενος. Ας

σχεδιάσουμε αυτόν τον κόμβο. Αρχίζουμε σχεδιάζοντας την πρώτη διασταύρωση,

δίνοντάς της τους αριθμούς 1 και 8. Επεκτείνουμε το τόξο του κόμβου που βρίσκεται

από κάτω στη διασταύρωση και σχεδιάζουμε την επόμενη διασταύρωση η οποία

αντιστοιχεί στο 2. Εφόσον το 2 είναι ζεύγος με το 7 βάζουμε στη διασταύρωση αυτή 2

και 7. Επειδή ο κόμβος είναι εναλλασσόμενος, ξέρουμε πως το τόξο στο οποίο

βρισκόμαστε πάει πάνω από τη συγκεκριμένη διασταύρωση. Προεκτείνουμε το τόξο

της διασταύρωσης 2 που πάει από πάνω και φτάνουμε στην επόμενη διασταύρωση,

όπου το τόξο αυτό γίνεται κάτω μέρος της διασταύρωσης την οποία ονομάζουμε 3 και

το οποίο είναι ζεύγος με το 10. Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο, μέχρι ο επόμενος

αριθμός που θα τοποθετήσουμε έχει ζεύγος έναν αριθμό που έχει ήδη τοποθετηθεί στον

κόμβο. Έτσι ξέρουμε πως ο κόμβος θα κάνει κύκλο για να περάσει από τη

συγκεκριμένη διασταύρωση. Εδώ έχουμε επιλογή να πάμε είτε από αριστερά είτε από

δεξιά για να κάνουμε τον κύκλο. Συνεχίζουμε κατά τον ίδιο τρόπο. Εάν κανένας από

τους αριθμούς που θα αντιστοιχίσουμε στην επόμενη διασταύρωση δεν έχει ήδη δοθεί,

τότε φτιάχνουμε μια νέα διασταύρωση. Εάν ένας αριθμός έχει τοποθετηθεί

προηγουμένως, τότε κάνουμε κύκλο ώστε να περάσει ο κόμβος από τη συγκεκριμένη

διασταύρωση. Συνεχίζοντας έτσι καταλήγουμε σε ένα διάγραμμα κόμβου, ο οποίος μας

έχει δοθεί με το συμβολισμό Dowker.

Όπως αναφέραμε παραπάνω, η διαδικασία είναι αναστρέψιμη, αλλά αυτό δεν είναι

πλήρως αληθές. Ο συμβολισμός Dowker δεν προσδιορίζει μονοσήμαντα τους

σύνθετους κόμβους αλλά ούτε και τις κατοπτρικές εικόνες κόμβων.

Ο συμβολισμός Dowker, επειδή χρησιμοποιεί μια απλή ακολουθία αριθμών, οδήγησε

στη χρήση υπολογιστή για το πρόβλημα της ταξινόμησης των κόμβων. Επίσης, ένα

19

ακόμα ενδιαφέρον κομμάτι του συμβολισμού Dowker είναι το γεγονός πως από την

ακολουθία των αριθμών μπορούμε να δούμε τετριμμένες διασταυρώσεις υπό τις

κινήσεις Reidemeister. Η διασταύρωση <8, 9> για παραδειγμα στον πρώτο κόμβο στον

οποίο αναφερόμαστε παραπάνω, μπορεί να απαλειφθεί με μια κίνηση RI. Αυτό θα

ισχύει πάντοτε όταν μια διασταύρωση έχει σαν όρισμα δύο διαδοχικούς αριθμούς.

20

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ BAR NATAN Ο συμβολισμός Bar Natan είναι σχετικά πρόσφατος και είναι ένας πολύ απλός τρόπος

για να επικοινωνήσουμε ένα διάγραμμα κόμβου. Σε κάθε διασταύρωση του

διαγράμματος δίνουμε τέσσερα σύμβολα:

έτσι ώστε, αν δύο τόξα δύο διαφορετικών διασταυρώσεων συνδέονται μεταξύ τους, να

παίρνουν το ίδιο σύμβολο. Έτσι, το διάγραμμα μπορεί να περιγραφεί δίνοντας μια

ακολουθία από τετράδες συμβόλων, από την οποία μπορεί και να ανακτηθεί.

21

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ CONWAY Μια διαπλοκή (tangle) είναι οποιαδήποτε περιοχή ενός διαγράμματος κόμβου η οποία

μπορεί να περιβληθεί από έναν κύκλο, έτσι ώστε ο κύκλος να διασταυρώνει τον κόμβο

σε τέσσερα σημεία. Δύο διαπλοκές είναι ισοτοπικές ή τοπολογικά ισοδύναμες εάν με

μια ακολουθία από κινήσεις Reidemeister μπορούμε από τη μια να έχουμε την άλλη,

πάντα υπό την προυπόθεση πως η διαπλοκή παραμένει μέσα στον κύκλο κατά τη

διάρκεια των κινήσεων Reidemeister.

Παρακάτω μπορούμε να δούμε κάποιες ειδικές περιπτώσεις. Ένα ζεύγος από μη

τεμνόμενες κάθετες γραμμές ονομάζεται [∞] διαπλοκή, ένα ζεύγος από μη τεμνόμενες

οριζόντιες γραμμές ονομάζεται [0] διαπλοκή και ένα ζεύγος από γραμμές οι οποίες

διασταυρώνονται 3 φορές ονομάζεται [-3] διαπλοκή. Εάν η περιστροφή ήταν

δεξιόστροφη αντί για αριστερόστροφη τότε θα ονομαζόταν [3] διαπλοκή.

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτόν το συμβολισμό για να χαρακτηρίσουμε πιο

περίπλοκες διαπλοκές. Για παράδειγμα παρακάτω έχουμε αρχικά μια [-3] διαπλοκή (α).

Μετά από μια ανάκλαση ως προς τη διακεκομμένη γραμμή παίρνουμε το επόμενο

διάγραμμα (β). Έπειτα περιστρέφουμε τα δύο δεξιά άκρα και παίρνουμε τη διαπλοκή

[-2, -3] (γ). Στη συνέχεια κάνουμε ακόμα μια ανάκλαση (δ). Όπως βλέπετε, πάντα

εργαζόμαστε στη δεξιά πλευρά της διαπλοκής. Στη συνέχεια περιστρέφουμε κατά την

αρνητική φορά τα δύο δεξιά άκρα 4 φορές (ε). Έτσι, το αποτέλεσμα έχει συμβολισμό

Conway [4, -2, -3].

22

Διαπλοκές που κατασκευάζονται με αυτόν τον τρόπο λέγονται ρητές διαπλοκές.

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους παραπάνω αριθμούς για να δημιουργήσουμε ένα

συνεχές κλάσμα. Δουλεύουμε με φορά από δεξιά προς τα αριστερά και έχουμε το εξής

συνεχές κλάσμα που σχετίζεται με το [4, -2, -3]:

4 + ( 1 / ( ( -2 ) + 1 / ( -3 ) ) )

Εάν το απλοποιήσουμε παίρνουμε το κλάσμα 25/7.

Ισχύει το ακόλουθο θεώρημα (Conway, 1970): Υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη και επί

αντιστοιχία ανάμεσα στις κλάσεις ισοτοπίας των ρητών διαπλοκών και στο σύνολο

QU∞.

23

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ Μια άλλη κατηγορία αναλλοίωτων κόμβων είναι οι πολυωνυμικές αναλλοίωτες.

Η ιδανική πολυωνυμική αναλλοίωτη κόμβων θα απέδιδε ένα διαφορετικό πολυώνυμο

για κάθε ισοτοπική κλάση. Οι περισσότερες πολυωνυμικές αναλλοίωτες είναι

βασισμένες σε σχέσεις skein. Εξαίρεση αποτελεί το πολυώνυμο Alexander το οποίο

είχε αρχικά οριστεί μέσω πινάκων. Όμως ένας άλλος μαθηματικός, ο John H. Conway

βρήκε έναν τρόπο για να υπολογίζει το πολυώνυμο Alexander με σχέσεις skein.

Το πολυώνυμο Alexander, το οποίο πήρε το όνομά του από το δημιουργό του James

Waddell Alexander II, είναι η παλαιότερη πολυωνυμική αναλλοίωτη. Το πολυώνυμο

Alexander βασίστηκε στο γεγονός πως δύο διαφορετικοί κόμβοι μπορούν να

διακριθούν μέσω γραμμικών χρωματικών πειραμάτων (π.χ τριχρωματισιμότητα).

Δυστυχώς δεν μπορούσε έτσι να διακρίνει έναν κόμβο από την κατοπτρική του εικόνα

και έτσι υπέθετε πως όλοι οι κόμβοι είναι αμφίχειροι. Το πολυώνυμο Alexander

δημοσιεύθηκε το 1928 και παρέμεινε για περισσότερες από 5 δεκαετίες η μόνη

πολυωνυμική αναλλοίωτη κόμβων.

Το 1984 ο Vaughan F. R. Jones κατασκεύασε μια νέα πολυωνυμική αναλλοίωτη, το

πολυώνυμο Jones. Το καταπληκτικό ήταν πως "ανακάλυψε" αυτό το πολυώνυμο όταν

πρόσεξε πως κάποιες εξισώσεις στη Θεωρία Κόμβων που αντιστοιχούν στην κίνηση

RIII ήταν παρόμοιες με εξισώσεις στη Θεωρία Αλγεβρικών Τελεστών, οι οποίες

σχετίζονταν με τη Στατιστική Μηχανική. Το πολυώνυμο Jones ήταν η πρώτη

αναλλοίωτη που έκανε χρήση της θεωρίας των "κοτσίδων". Για αυτή του την

ανακάλυψη, απονεμήθει στον Jones το βραβείο Fields. Η ανακάλυψη του πολυωνύμου

Jones ώθησε σε νέα θεαματικά αποτελέσματα στη Θεωρία Κόμβων και στην Τοπολογία

Χαμηλών Διαστάσεων.

Το 1985 ο L. H. Kauffman ανακάλυψε το δικό του πολυώνυμο το οποίο είναι συναφές

με το πολυώνυμο Jones, το πολυώνυμο bracket. Το πολυώνυμο bracket δεν είναι

αναλλοίωτη πλήρους ισοτοπίας αλλά είναι αναλλοίωτη κανονικής ισοτοπίας, δηλαδή

αναλλοίωτη ως προς τις κινήσεις RII και RIII. Ο Kauffman όμως βρήκε μια μαθηματική

έκφραση την οποία πολλαπλασιάζοντας την με το πολυώνυμο bracket ενός κόμβου

έπαιρνε το πολυώνυμο Jones του κόμβου.

25

Η ανακάλυψη του πολυωνύμου Jones ενθουσίασε τη μαθηματική κοινότητα σε βαθμό

που κατασκευάζονταν νέες πολυωνυμικές αναλλοίωτες πολύ γρήγορα. Στόχος της

εποχής ήταν να βρουν μια πολυωνυμική αναλλοίωτη η οποία θα γενίκευε το

πολυώνυμο Alexander και το πολυώνυμο Jones. Το πολυώνυμο HOMFLYPT ήταν μια

επιτυχημένη λύση η οποία δημοσιεύθηκε ταυτόχρονα από διαφορετικές ομάδες

μαθηματικών. Η εργασία δημοσιεύθηκε υπό τα ονόματα των Hoste, Ocneanu, Millett,

Freyd, Lickorish, Yetter, Przytycki και Traczyk. Το πολυώνυμο HOMFLYPT

ικανοποιεί σχέσεις skein όπως και το πολυώνυμο Jones και το πολυώνυμο Alexander,

όμως το καινούργιο πολυώνυμο χρησιμοποιεί δυο μεταβλητές σε αντίθεση με το

πολυώνυμο Alexander και το πολυώνυμο Jones, και για κατάλληλες τιμές εξιδεικεύεται

στο καθένα από αυτά.

26

ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ALEXANDER

ΙΣΤΟΡΙΚΑ Το πολυώνυμο Alexander ανακαλύφθηκε από τον James Waddell Alexander II το 1928

σαν μια γενίκευση των γραμμικών χρωματικών πειραμάτων (π.χ τριχρωματισιμότητα).

Σχεδιασμένο για να χρησιμοποιεί πίνακες, η αρχική του μορφή διαφέρει από τις πιο

πρόσφατες πολυωνυμικές αναλλοίωτες που ορίζονται μέσω σχέσεων skein. Τη δεκαετία

του 1960 όμως ο John Conway χρησιμοποίησε μια σχέση skein (γνωστή στον

Alexander), για να ορίσει το πολυώνυμο Alexander, γεφυρώνοντας έτσι το χάσμα

μεταξύ του πολυωνύμου Alexander και των ευρέως διαδεδομένων μεταγενέστερων

πολυωνυμικών αναλλοίωτων.

ΚΑΝΟΝΕΣ ΟΡΙΣΜΟΥ Το πρώτο βήμα για να υπολογίσουμε το πολυώνυμο Alexander ενός κόμβου, είναι να

σχεδιάσουμε ένα προσανατολισμένο διάγραμμα του κόμβου, όπως παρακάτω. Ένας

κόμβος με c διασταυρώσεις θα χωρίσει την προβολή σε c+2 περιοχές τις οποίες και

ονοματίζουμε. Στις περιοχές αυτές περιλαμβάνεται και η εξωτερική περιοχή του

κόμβου. Τώρα περνάμε στους υπολογισμούς.

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Το κυριότερο μέρος του πολυωνύμου Alexander είναι ο πίνακας. Ο πίνακας γράφεται

έχοντας στις σειρές του τους αριθμούς διασταυρώσεων και στις στήλες του τις περιοχές

με τις ονομασίες που τους έχουμε δώσει. Οι τιμές των στοιχείων σε αυτόν τον πίνακα

στη σειρά της διασταύρωσης γράφονται ως εξής.

27

Έπειτα, αφαιρούμε οποιεσδήποτε δυο στήλες που έχουν περιοχές που μοιράζονται το

ίδιο τόξο, αφήνοντας έτσι έναν c x c πίνακα. Το προκαταρτικό πολυώνυμο Alexander

είναι η ορίζουσα του πίνακα. Για να πάρουμε το τελικό πολυώνυμο Alexander, το t

βγαίνει σαν παράγοντας έξω και αφαιρείται όσο το δυνατό περισσότερες φορές.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Δυστυχώς το πολυώνυμο Alexander δεν είναι η ιδανική πολυωνυμική αναλλοίωτη. Για

παράδειγμα υπάρχουν πολλοί μη τετριμμένοι κόμβοι με πολυώνυμο Alexander = 1 = το

πολυώνυμο Alexander του τετριμμένου. Επίσης το πολυώνυμο Alexander δεν ξεχωρίζει

κόμβους από την κατοπτρική τους εικόνα. Ξεχωρίζει όμως μεταξύ διαφορετικών

ισοτοπικών κλάσεων με λιγότερες των 9 διασταυρώσεων. Επειδή ήταν η πρώτη

πολυωνυμική αναλλοίωτη, το πολυώνυμο Alexander είχε τα μειονεκτήματά του αλλά

του αξίζει μια μελέτη.

28

ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ JONES

ΙΣΤΟΡΙΚΑ Το πολυώνυμο Jones ανακαλύφθηκε το 1984 από τον Vaughan F. R. Jones. Σε αντίθεση

με το πολυώνυμο Alexander, το πολυώνυμο Jones μπορεί να διακρίνει ένα κόμβο από

την κατοπτρική του εικόνα. Το πολυώνυμο Jones είναι περίπου το ίδιο με το

πολυώνυμο Kauffman bracket όπως θα δούμε παρακάτω.

ΚΑΝΟΝΕΣ ΟΡΙΣΜΟΥ Το πολυώνυμο Jones δημιουργείται από ένα προσανατολισμένο διάγραμμα κόμβου

μέσω τριών βασικών κανόνων:

• Είναι ισοτοπική αναλλοίωτη

• VU(t) = 1

• t-1 · VL+(t) - t · VL-(t) = (t1/2 - t-1/2) · VL0(t)

Ο δεύτερος κανόνας λέει ότι το πολυώνυμο Jones για τον τετριμμένο κόμβο είναι η

μονάδα. Ο τρίτος κανόνας για τον υπολογισμό του πολυωνύμου Jones είναι οι σχέσεις

skein. Οι όροι VL+(t), VL-(t) και VL0(t) αντιστοιχούν στα πολυώνυμα τριών

διαγραμμάτων L+, L-, L0 τα οποία διαφέρουν μόνο κατά την περιοχή μιας

διασταύρωσης, όπως παρακάτω.

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Το πρώτο βήμα για να ξεκινήσουμε με τον υπολογισμό του πολυωνύμου Jones ενός

προσανατολισμένου κόμβου είναι η επιλογή μιας διασταύρωσης σε ένα διάγραμμα του

κόμβου την οποία επιλέγουμε είτε ως L+ είτε ως L-. Στο παράδειγμα του δεξιόστροφου

κόμβου trefoil έχουμε επιλέξει μια διασταύρωση L-.

29

Η σχέση skein τότε γίνεται:

VL-(t) = t-1 · VL+(t) / t - (t1/2 / t - t-1/2 / t) · VL0(t)

Η επιλεγμένη διασταύρωση αλλάζει στα άλλα δυο διαγράμματα L+ και L0. Στην

περίπτωση του L+ με μια κίνηση RII ακολουθούμενη από μια κίνηση RI οδηγούμαστε

στον τετριμμένο κόμβο. Έτσι η τιμή του VL+(t) γίνεται 1.

VL+(t) = 1

Στην περίπτωση του L0 οδηγούμαστε στον προσανατολισμένο κρίκο Hopf (Hopf link)

και μετά από πράξεις στο αποτέλεσμα:

VL0(t) = -t - t-1

Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στην αρχική σχέση skein παίρνουμε το τελικό

αποτέλεσμα για το πολυώνυμο Jones του δεξιόστροφου κόμβου trefoil.

VL(t) = t-1 + t-3 - t-4

ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Υπάρχει μη τετριμμένος κόμβος Κ με VK[t] = 1 ;

30

ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ KAUFFMAN BRACKET

ΙΣΤΟΡΙΚΑ Το 1985 ο L. H. Kauffman ανακάλυψε το δικό του πολυώνυμο το οποίο είναι συναφές

με το πολυώνυμο Jones, το πολυώνυμο bracket. Το πολυώνυμο bracket δεν είναι

αναλλοίωτη πλήρους ισοτοπίας αλλά είναι αναλλοίωτη κανονικής ισοτοπίας, δηλαδή

αναλλοίωτη ως προς τις κινήσεις RII και RIII. Ο Kauffman όμως βρήκε μια μαθηματική

έκφραση την οποία πολλαπλασιάζοντας την με το πολυώνυμο bracket ενός κόμβου

έπαιρνε το πολυώνυμο Jones του κόμβου.

ΚΑΝΟΝΕΣ ΟΡΙΣΜΟΥ Το πολυώνυμο bracket δημιουργείται από ένα μη προσανατολισμένο διάγραμμα

κόμβου. Το bracket για ένα διάγραμμα υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τους παρακάτω

τρεις κανόνες:

• < U > = 1

• < DU > = (A2 + A-2) · < D >

• < C > = A · < L > + A-1 · < R >

όπου το < U > συμβολίζει το bracket του τετριμμένου κόμβου, το DU αναφέρεται στον

διαχωρίσιμο κρίκο που αποτελείται από ένα διάγραμμα D και τον τετριμμένο κόμβο και

τα < D >, < L > και < R > αναφέρονται στα πολυώνυμα των διαγραμμάτων που

διαφέρουν μόνο στην περιοχή μιας διασταύρωσης όπως παρακάτω.

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Επειδή το πολυώνυμο bracket δεν είναι αναλλοίωτο ως προς την κίνηση RI η ιδέα με το

bracket είναι να αναλύσουμε έναν κόμβο σε ένα σύνολο από τετριμμένους κόμβους.

Επιλέγουμε μια διασταύρωση όπως παρακάτω.

31

Ο παραπάνω κόμβος αναλύεται όπως φαίνεται παρακάτω.

< D > = A · < L > + A-1 · < R >

Τώρα το L μπορεί να αναλυθεί παραπέρα.

< D > = A · (A · < LL > + A-1 · < LR >) + A-1 · < R >

Μετά από διεξοδική ανάλυση φτάνουμε στο ακόλουθο πολυώνυμο bracket για τον

αριστερόστροφο κόμβο trefoil.

< K > = A7 - A3 - A-5

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Εφ' όσον το πολυώνυμο bracket είναι μια αναλλοίωτη κανονικής ισοτοπίας, δεν

μπορούμε να απλοποιήσουμε σε ένα διάγραμμα τις κινήσεις RI. Αυτό οδηγεί σε

εξαντλητική ανάλυση των διαγραμμάτων. Όμως μπορεί να κατασκευαστεί αναλλοίωτη

και υπό την κίνηση RI μέσω του bracket με την παρακάτω εξίσωση.

f[L] = (-A)-3 · w(D) · < D >

Σ' αυτή την εξίσωση το w(D) είναι ο αριθμός συστροφής, (writhe) του κόμβου, δηλαδή

το άθροισμα όλων των προσήμων των διασταυρώσεων του D, αφότου έχουμε δώσει

στο D προσανατολισμό. Θέτοντας όπου Α το t-1/4 παίρνουμε f[L](t-1/4) = VL(t) δηλαδή

παίρνουμε το πολυώνυμο Jones.

32

ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ HOMFLYPT

ΙΣΤΟΡΙΚΑ Η δημοσίευση του πολυωνύμου Jones ενθουσίασε τη μαθηματική κοινότητα σε βαθμό

που δημιουργούνταν καινούργιες πολυωνυμικές αναλλοίωτες πολύ γρήγορα. Στόχος

της εποχής ήταν να βρουν μια πολυωνυμική αναλλοίωτη η οποία θα γενίκευε το

πολυώνυμο Alexander και το πολυώνυμο Jones. Το πολυώνυμο HOMFLYPT ήταν μια

επιτυχημένη λύση η οποία δημοσιεύθηκε ταυτόχρονα από διαφορετικές ομάδες

μαθηματικών. Η εργασία δημοσιεύθηκε υπό τα ονόματα των Hoste, Ocneanu, Millett,

Freyd, Lickorish, Yetter, Przytycki και Traczyk. Το πολυώνυμο HOMFLYPT

χρησιμοποιεί σχέσεις skein όπως και το πολυώνυμο Jones και το πολυώνυμο

Alexander, όμως το καινούργιο πολυώνυμο χρησιμοποιεί δυο μεταβλητές σε αντίθεση

με το πολυώνυμο Alexander και το πολυώνυμο Jones, και για κατάλληλες τιμές

εξιδεικεύεται στο καθένα από αυτά.

ΚΑΝΟΝΕΣ ΟΡΙΣΜΟΥ Το πολυώνυμο HOMFLYPΤ δημιουργείται από ένα προσανατολισμένο διάγραμμα

κόμβου όπως το παρακάτω.

Επίσης, το πολυώνυμο HOMFLYPΤ υπολογίζεται χρησιμοποιώντας σχέσεις skein

όπως και το πολυώνυμο Jones. Οι κανόνες του πολυωνύμου είναι οι εξής.

• P(L) είναι ισοτοπική αναλλοίωτη

• P(U) = 1

• l · P(L+) + l-1 · P(L-) + m · P(L0) = 0

με την ίδια σύμβαση για τα L+, L-, L0, όπως και στο πολυώνυμο Jones.

33

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Για να υπολογίσουμε το πολυώνυμο HOMFLYPT, επιλέγουμε μια διασταύρωση και

εφαρμόζουμε τη σχέση skein για τα πολυώνυμα των τριών διαφορετικών

διαγραμμάτων. Στο παρακάτω παράδειγμα έχουμε επιλέξει μια διασταύρωση τύπου L-.

Έτσι λύνουμε τη σχέση skein ως προς τον όρο P(L-).

P(L-) = -l · (l · P(L+) + m · P(L0))

Παρακάτω απεικονίζεται το διάγραμμα L+.

Λόγω του πρώτου κανόνα το διάγραμμα του κόμβου μπορεί να απλοποιηθεί όταν

φθάνουμε σε ισοτοπικό του τετριμμένου ή άλλων γνωστών κόμβων. Πράγματι, έτσι

μπορούμε να πάρουμε τον τετριμμένο κόμβο αν μετά από μια κίνηση RII

χρησιμοποιήσουμε μια κίνηση RI. Από το δεύτερο κανόνα το πολυώνυμο του

τετριμμένου κόμβου είναι 1, έτσι και η τιμή του P(L+) είναι 1.

P(L+) = 1

Στην περίπτωση του L0, με κάποια απλοποίηση του διαγράμματος οδηγούμαστε στον

κρίκο Hopf, και μετά από πράξεις οδηγούμαστε στο P(L0).

P(L0) = -lm + l3m-1 + lm-1

34

Αντικαθιστώντας τα αποτελέσματα στην αρχική σχέση skein παίρνουμε το τελικό

αποτέλεσμα για το πολυώνυμο HOMFLYPΤ του δεξιόστροφου κόμβου trefoil.

P(L) = l2m2 - 2 · l2 - l4

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Το πολυώνυμο HOMFLYPΤ είναι μια πιο γενική αναλλοίωτη, η οποία εξειδικεύεται

και στο πολυώνυμο Alexander και στο πολυώνυμο Jones.

35

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Η Θεωρία Κόμβων πρωτοαναπτύχθηκε με σκοπό να βρεί τις πρώτες της εφαρμογές στη

Χημεία. Ο Λόρδος Kelvin και η Χημεία έδωσαν το έναυσμα για να αναπτυχθεί η

Θεωρία Κόμβων τη δεκαετία του 1880. Ο Kelvin υπέθεσε πως όλο το σύμπαν

περιβαλόταν από μια ουσία, τον αιθέρα, και πως η ύλη μπορούσε να περιγραφεί σαν

κόμβοι μέσα στον αιθέρα. Όμως, όπως γνωρίζουμε σήμερα αυτό δεν είναι αληθές.

Αυτό που οδήγησε τη Θεωρία Κόμβων να γίνει ένας μεγάλος κλάδος των μαθηματικών

ήταν το πρόσφατο ενδιαφέρον.

Σήμερα, η Θεωρία Κόμβων έχει βρει πολλές εφαρμογές σε πολλούς τομείς. Εμείς θα

αναφερθούμε σε μερικούς παρακάτω.

37

ΘΕΩΡΙΑ ΚΟΜΒΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Η πρώτη, ίσως, εφαρμογή της Θεωρίας Κόμβων είναι στη Θεωρία Γραφημάτων.

Πράγματι, το 1983 οι Conway και Gordon απέδειξαν, χρησιμοποιώντας αναλλοίωτες

ισοτοπίας, ότι κάθε εμφύτευση του πλήρους γραφήματος Κ6 στο χώρο περιέχει έναν μη

τετριμμένο κρίκο και ότι κάθε εμφύτευση του πλήρους γραφήματος Κ7 στο χώρο

περιέχει έναν μη τετριμμένο κόμβο.

38

ΘΕΩΡΙΑ ΚΟΜΒΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗ Με την ανακάλυψη του πολυωνύμου Jones το 1984, ο ίδιος ο Jones ανακάλυψε επίσης

θεμελιώδεις σχέσεις ανάμεσα στη Θεωρία Κόμβων και στη Στατιστική Μηχανική. Η

Στατιστική Μηχανική μελετά μεγάλα συστήματα μορίων και εξετάζει τη συνολική

συμπεριφορά ενός συστήματος ως προς ιδιότητες όπως η θερμοκρασία, η ενέργεια, η

αλλαγή φάσεως κ.λ.π.

Πιο συγκεκριμένα, από μοντέλα αλληλλεπιδράσεων γειτονικών μορίων τα οποία

θεωρούνται ως κορυφές γραφημάτων, βρίσκεται η συνάρτηση διαμέρισης του

συστήματος, η οποία περιέχει τις παραπάνω πληροφορίες για το σύστημα.

Αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση διαμέρισης κάποιων μοντέλων σχετίζεται με

πολυώνυμα γραφημάτων τα οποία με τη σειρά τους σχετίζονται με αναλλοίωτες

κόμβων. Για παράδειγμα το μοντέλο Potts, που εξηγεί το λιώσιμο του πάγου, σχετίζεται

με το διχρωματικό πολυώνυμο για γραφήματα, το οποίο οδηγεί στο πολυώνυμο Jones

για κόμβους.

39

ΘΕΩΡΙΑ ΚΟΜΒΩΝ ΚΑΙ ΒΙΟΛΟΓΙΑ Η Μοριακή Βιολογία μελετά μεταξύ άλλων, το φαινόμενο της αναδιάταξης

(recombination) του DNA, κατά το οποίο κάποια ένζυμα, τα τοποϊσόμερα, δρουν στο

μόριο, κόβοντας τη διπλή έλικα, και τα τέσσερα ελεύθερα άκρα ξανακολλούν με

διαφορετικό τρόπο.

Αυτή η δράση των ενζύμων προκαλεί την εμφάνιση κόμβων στο DNA.

Η αναδιάταξη γίνεται σε ελάχιστο χρονικό διάστημα, γι' αυτό οι μοριακοί βιολόγοι

αναζητούν ένα θεωρητικό μοντέλο που να περιγράφει την ακριβή διαδικασία της

δράσης των ενζύμων. Ένα τέτοιο μοντέλο δόθηκε το 1989 από τους Ernst και Sumners

και βασίζεται στη θεωρία των ρητών διαπλοκών και στην ταξινόμηση των ρητών

κόμβων, εξηγώντας έτσι επιτυχώς ένα πείραμα πολλαπλής αναδιάταξης.

40

ΘΕΩΡΙΑ ΚΟΜΒΩΝ ΚΑΙ ΧΗΜΕΙΑ Η Θεωρία Κόμβων έχει βρει ενδιαφέρουσες εφαρμογές στην κατασκευή μορίων

εναντιομερών. Τα εναντιομερή είναι μια ειδική κατηγορία ισομερών, δηλαδή μορίων με

τον ίδιο μοριακό τύπο αλλά διαφορετική σύνδεση των ατόμων στο χώρο.

Συγκεκριμένα, δύο εναντιομερή είναι το ένα κατοπτρική εικόνα του άλλου. Αυτό

συνεπάγεται διαφορετικές φυσικές ιδιότητες των στοιχείων.

Οι χημικοί ενδιαφέρονται ιδιαίτερα να κατασκευάζουν εναντιομερή, προκειμένου να

βρίσκονται καινούργια υλικά με συγκεκριμένες ιδιότητες. Ένας τύπος εναντιομερών, τα

τοπολογικά εναντιομερή, είναι μόρια με μορφή κόμβου ή με μορφή κλίμακας Moebius.

Είναι πολύ σημαντικό για τους χημικούς να γνωρίζουν εάν ένα μόριο είναι αμφίχειρο,

δηλαδή ισοτοπικό με την κατοπτρική του εικόνα ή όχι. Αν δειχθεί με τοπολογικές

μεθόδους ότι ένα μόριο είναι αμφίχειρο, τότε μπορεί να αποφευχθεί η πολυδάπανη και

χρονοβόρα διαδικασία κατασκευής του εναντιομερούς του στο εργαστήριο. Για

παράδειγμα ο κόμβος figure-8 είναι αμφίχειρος ενώ ο κόμβος trefoil είναι μη

αμφίχειρος. Τέτοιες μέθοδοι έχουν δοθεί επιτυχώς από τον J. Simon, την E. Flapan κ.α.

(1986, 1987).

41

ΘΕΩΡΙΑ ΚΟΜΒΩΝ ΚΑΙ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ Η Τοπολογία Χαμηλών Διαστάσεων μελετά τρισδιάστατους χώρους

(προσανατολίσιμους, συνεκτικούς και συμπαγείς, χωρίς σύνορο) πέρα από τον γνωστό

Ευκλείδειο χώρο, που ονομάζονται 3-πολλαπλότητες (3-manifolds). Το πρόβλημα της

ταξινόμησης τους ως προς τη σχέση του ομοιομορφισμού είναι ένα από τα μεγάλα

προβλήματα των μαθηματικών (Εικασία Poincaré). Κάθε 3-πολλαπλότητα μπορεί να

κατασκευαστεί από έναν (τουλάχιστον) κόμβο μέσω της "τοπολογικής χειρουργικής".

Επιπλέον, δύο 3-πολλαπλότητες είναι ομοιομορφικοί χώροι αν και μόνον αν οι

αντίστοιχοι κόμβοι σχετίζονται μέσω ισοτοπίας και "κινήσεων Kirby". Έτσι, μια

αναλλοίωτη ισοτοπίας, αν μπορεί να γίνει αναλλοίωτη και κάτω από τις κινήσεις Kirby,

δίνει μια αναλλοίωτη 3-πολλαπλότητων. Αρα, το πρόβλημα της ταξινόμησης των

κόμβων σχετίζεται με το πρόβλημα της ταξινόμησης των 3-πολλαπλοτήτων.

42

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΚΟΜΒΩΝ Κόμβοι με 3 διασταυρώσεις

3_1 Κόμβοι με 4 διασταυρώσεις

4_1 Κόμβοι με 5 διασταυρώσεις

5_1 5_2 Κόμβοι με 6 διασταυρώσεις

6_1 6_2 6_3 Κόμβοι με 7 διασταυρώσεις

7_1 7_2 7_3 7_4 7_5 7_6 7_7 Κόμβοι με 8 διασταυρώσεις

8_1 8_2 8_3 8_4 8_5 8_6 8_7 8_8 8_9

8_10 8_11 8_12 8_13 8_14 8_15 8_16 8_17 8_18

8_19 8_20 8_21 Κόμβοι με 9 διασταυρώσεις

9_1 9_2 9_3 9_4 9_5 9_6 9_7 9_8 9_9

9_10 9_11 9_12 9_13 9_14 9_15 9_16 9_17 9_18

43

9_19 9_20 9_21 9_22 9_23 9_24 9_25 9_26 9_27

9_28 9_29 9_30 9_31 9_32 9_33 9_34 9_35 9_36

9_37 9_38 9_39 9_40 9_41 9_42 9_43 9_44 9_45

9_46 9_47 9_48 9_49 Κόμβοι με 10 διασταυρώσεις

10_1 10_2 10_3 10_4 10_5 10_6 10_7 10_8 10_9

10_10 10_11 10_12 10_13 10_14 10_15 10_16 10_17 10_18

10_19 10_20 10_21 10_22 10_23 10_24 10_25 10_26 10_27

10_28 10_29 10_30 10_31 10_32 10_33 10_34 10_35 10_36

10_37 10_38 10_39 10_40 10_41 10_42 10_43 10_44 10_45

10_46 10_47 10_48 10_49 10_50 10_51 10_52 10_53 10_54

10_55 10_56 10_57 10_58 10_59 10_60 10_61 10_62 10_63

10_64 10_65 10_66 10_67 10_68 10_69 10_70 10_71 10_72

10_73 10_74 10_75 10_76 10_77 10_78 10_79 10_80 10_81

44

10_82 10_83 10_84 10_85 10_86 10_87 10_88 10_89 10_90

10_91 10_92 10_93 10_94 10_95 10_96 10_97 10_98 10_99

10_100 10_101 10_102 10_103 10_104 10_105 10_106 10_107 10_108

10_109 10_110 10_111 10_112 10_113 10_114 10_115 10_116 10_117

10_118 10_119 10_120 10_121 10_122 10_123 10_124 10_125 10_126

10_127 10_128 10_129 10_130 10_131 10_132 10_133 10_134 10_135

10_136 10_137 10_138 10_139 10_140 10_141 10_142 10_143 10_144

10_145 10_146 10_147 10_148 10_149 10_150 10_151 10_152 10_153

10_154 10_155 10_156 10_157 10_158 10_159 10_160 10_161 10_162

10_163 10_164 10_165

45

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΚΡΙΚΩΝ Κρίκοι με 2 συνιστώσες

0.2.1 2.2.1 4.2.1 5.2.1 6.2.1 6.2.2 6.2.3 7.2.1 7.2.2

7.2.3 7.2.4 7.2.5 7.2.6 7.2.7 7.2.8 8.2.1 8.2.2 8.2.3

8.2.4 8.2.5 8.2.6 8.2.7 8.2.8 8.2.9 8.2.10 8.2.11 8.2.12

8.2.13 8.2.14 8.2.15 8.2.16 9.2.1 9.2.2 9.2.3 9.2.4 9.2.5

9.2.6 9.2.7 9.2.8 9.2.9 9.2.10 9.2.11 9.2.12 9.2.13 9.2.14

9.2.15 9.2.16 9.2.17 9.2.18 9.2.19 9.2.20 9.2.21 9.2.22 9.2.23

9.2.24 9.2.25 9.2.26 9.2.27 9.2.28 9.2.29 9.2.30 9.2.31 9.2.32

9.2.33 9.2.34 9.2.35 9.2.36 9.2.37 9.2.38 9.2.39 9.2.40 9.2.41

9.2.41 9.2.43 9.2.44 9.2.45 9.2.46 9.2.47 9.2.48 9.2.49 9.2.50

9.2.51 9.2.52 9.2.53 9.2.54 9.2.55 9.2.56 9.2.57 9.2.58 9.2.59

9.2.60 9.2.61 Κρίκοι με 3 συνιστώσες

0.3.1 6.3.1 6.3.2 6.3.3 7.3.1 8.3.1 8.3.2 8.3.3 8.3.4

8.3.5 8.3.6 8.3.7 8.3.8 8.3.9 8.3.10 9.3.1 9.3.2 9.3.3

47

9.3.4 9.3.5 9.3.6 9.3.7 9.3.8 9.3.9 9.3.10 9.3.11 9.3.12

9.3.13 9.3.14 9.3.15 9.3.16 9.3.17 9.3.18 9.3.19 9.3.20 9.3.21 Κρίκοι με 4 συνιστώσες

0.4.1 8.4.1 8.4.2 8.4.3 9.4.1 Κρίκοι με 5 συνιστώσες

0.5.1

48

ΓΛΩΣΣΑΡΙ Η Θεωρία Κόμβων είναι ο κλάδος της Τοπολογίας που μελετά τους κόμβους. Ένας

κόμβος ορίζεται ως η εικόνα ενός ομοιομορφισμού που μεταφέρει έναν κύκλο στον

τρισδιάστατο χώρο.

Ένας κόμβος είναι μια κλειστή, μονοδιάστατη και συνεχής μη τεμνόμενη καμπύλη στον

τρισδιάστατο χώρο. Από μια πιο μαθηματική σκοπιά, ένας κόμβος είναι η εικόνα ενός

ομοιομορφισμού που μεταφέρει έναν κύκλο στον τρισδιάστατο χώρο.

Ένας κρίκος με k συνιστώσες είναι η ομοιομορφική εικόνα k κύκλων στον

τρισδιάστατο χώρο. Κάθε κόμβος που απαρτίζει τον κρίκο ονομάζεται συνιστώσα του

κρίκου. Ένας κρίκος με μια μόνο συνιστώσα ονομάζεται κόμβος.

Τριχρωματισιμότητα είναι η ικανότητα να χρωματίσουμε έναν κόμβο με τρία

διαφορετικά χρώματα.

Ο αριθμός διασταυρώσεων ενός κόμβου Κ συμβολίζεται με c(K) και αντιπροσωπεύει

το μικρότερο αριθμό διασταυρώσεων στο πλήθος όλων των διαγραμμάτων του Κ.

Ο αριθμός γεφυρών ενός κόμβου K συμβολίζεται με b(K) και αντιπροσωπεύει τον

ελάχιστο αριθμό γεφυρών στο πλήθος όλων των διαγραμμάτων του Κ.

O αριθμός λύσεως ενός κόμβου Κ συμβολίζεται με u(K) και αντιπροσωπεύει τον

ελάχιστο αριθμό διασταυρώσεων που πρέπει να αλλάξουν για να δημιουργηθεί ο

τετριμμένος κόμβος, στο πλήθος όλων των διαγραμμάτων του Κ.

Μια σχέση skein (αναδρομική σχέση) είναι μια γραμμική σχέση ανάμεσα στις τιμές

μιας πολυωνυμικής αναλλοίωτης πάνω σε τρία διαγράμματα, τα οποία διαφέρουν

μεταξύ τους μόνο στην περιοχή μιας διασταύρωσης. Οι σχέσεις skein χρησιμοποιούνται

για τον υπολογισμό πολυωνυμικών αναλλοίωτων επαγωγικά.

Το πολυώνυμο Alexander ανακαλύφθηκε από τον James Waddell Alexander II το 1928

σαν μια γενίκευση των γραμμικών χρωματικών πειραμάτων (π.χ τριχρωματισιμότητα).

Σχεδιασμένο για να χρησιμοποιεί πίνακες, η αρχική του μορφή διαφέρει από τις πιο

πρόσφατες πολυωνυμικές αναλλοίωτες που ορίζονται μέσω σχέσεων skein. Τη δεκαετία

49

του 1960 όμως ο John Conway χρησιμοποίησε μια σχέση skein (γνωστή στον

Alexander), για να ορίσει το πολυώνυμο Alexander, γεφυρώνοντας έτσι το χάσμα

μεταξύ του πολυωνύμου Alexander και των ευρέως διαδεδομένων μεταγενέστερων

πολυωνυμικών αναλλοίωτων.

Το πολυώνυμο HOMFLYPT δημοσιεύθηκε ταυτόχρονα από διαφορετικές ομάδες

μαθηματικών. Το πολυώνυμο HOMFLYPT χρησιμοποιεί σχέσεις skein όπως και το

πολυώνυμο Jones και το πολυώνυμο Alexander, όμως το καινούργιο πολυώνυμο

χρησιμοποιεί δυο μεταβλητές σε αντίθεση με το πολυώνυμο Alexander και το

πολυώνυμο Jones, και για κατάλληλες τιμές εξιδεικεύεται στο καθένα από αυτά.

50

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Adams, Colin C. The Knot Book. New York: W. H. Freeman and Company, 1994.

Conway, J. H. 1970. On enumaration of knots and links, and some of their algebraic

properties. Computational Problems in Abstract Algebra, Proc. Conf. Oxford 1967:329-

358. Oxford: Pergamon.

Dowker, C. H., and M. B. Thistlethwaite. 1983. Classification of knot projections.

Topol. Appl. 16:19-31.

Gilbert, N. D. and T. Porter. Knots and Surfaces. New York: Oxford University Press,

1994.

Hocking, John G. and Gail S. Young. Topology. New York: Dover Publications, 1961.

James Robert Brown. Philosophy Of Mathematics, An Introduction To The World Of

Proofs And Pictures. Routledge, 1999.

Ochiai Laboratory's WEB Site. Available:

http://amadeus.ics.nara-wu.ac.jp/~ochiai/index.html

Table of Knot Invariants. Available:

http://www.indiana.edu/~knotinfo/

The KnotPlot Site by Robert G. Scharein. Available:

http://www.knotplot.com/

Weisstein, Eric W. Eric's Treasure Trove of Mathematics. Available:

http://www.astro.virginia.edu/~eww6n/math/

Wikipedia, The Free Encyclopedia. Available:

http://en.wikipedia.org/wiki/Main_Page

51

http://amadeus.ics.nara-wu.ac.jp/%7Eochiai/index.html

http://www.indiana.edu/%7Eknotinfo/

http://www.knotplot.com/

http://www.astro.virginia.edu/%7Eeww6n/math/

http://en.wikipedia.org/wiki/Main_Page

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαριστώ την οικογένειά μου, το Σάββα και την Άντρη.

Ευχαριστώ τους επιβλέποντες καθηγητές μου Ν. Τράκα που με τις παρατηρήσεις του

συντέλεσε στη βελτίωση της εργασίας και τη Σ. Λαμπροπούλου που χωρίς τη δική της

συμπαράσταση δεν θα ήταν δυνατή η εκπόνιση αυτής της εργασίας όπως επίσης και τον

καθηγητή της Εξεταστικής Επιτροπής μου Ν. Καδιανάκη.

53

ΚΩΔΙΚΑΣ HTML <html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title>Τι Είναι Η Θεωρία Κόμβων Στα Μαθηματικά</title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background="./images/3.png"> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=720> <tr> <td background="./images/head2.gif" colspan=3 width=720 height=80 align=right valign=top> </td> </tr> <tr> <td align=left> <font size=4>Κωνσταντίνος Παναγίδης </font> </td> <td align=right> <font size=4><strong>Σ</strong>χολή <strong>Ε</strong>φαρμοσμένων <strong>Μ</strong>αθηματικών<br>και <strong>Φ</strong>υσικών <strong>Ε</strong>πιστημών </font> </td> </tr> </table> <br> <font size=7 face="Times New Roman" align=center><b><a href="./files/page1.html">Τι είναι η Θεωρία Κόμβων<br>στα Μαθηματικά<br></font><br> <font size=6 face="Times New Roman" align=center> Μια εισαγωγή σε HTML και Flash</b></font></a> <br> <br> <object width="320" height="240"> <param name="movie" value="first_page_anim.swf"> <embed src="./animations/first_page_anim.swf" width="300" height="200"> </embed> </object> <br> <font size=6 face="Times New Roman" align=center><b>Διπλωματική Εργασία</b></font> <br>

55

<table width=90%> <tr> <td align="right">Best Viewed In 1280 x 800 </td> </tr> </table> </body> </html> <html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Πολυώνυμο Alexander </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=90%> <tr> <td align="center"><a href="javascript:window.close()"> Κλείσιμο </a> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Το <b><u>πολυώνυμο Alexander</u></b> ανακαλύφθηκε από τον James Waddell Alexander II το 1928 σαν μια γενίκευση των γραμμικών χρωματικών πειραμάτων (π.χ τριχρωματισιμότητα). Σχεδιασμένο για να χρησιμοποιεί πίνακες, η αρχική του μορφή διαφέρει από τις πιο πρόσφατες πολυωνυμικές αναλλοίωτες που ορίζονται μέσω <i>σχέσεων skein</i>. Τη δεκαετία του 1960 όμως ο John Conway χρησιμοποίησε μια <i>σχέση skein</i> (γνωστή στον Alexander), για να ορίσει το <i>πολυώνυμο Alexander</i>, γεφυρώνοντας έτσι το χάσμα μεταξύ του <i>πολυωνύμου Alexander</i> και των ευρέως διαδεδομένων μεταγενέστερων πολυωνυμικών αναλλοίωτων. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td>

56

</td> </tr> </table> </body> </html> <html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Bridge Number </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=90%> <tr> <td align="center"><a href="javascript:window.close()"> Κλείσιμο </a> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Ο <u><b>αριθμός γεφυρών</u></b> ενός κόμβου <i>K</i> συμβολίζεται με <i>b(K)</i> και αντιπροσωπεύει τον ελάχιστο αριθμό γεφυρών στο πλήθος όλων των διαγραμμάτων του Κ. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> </body> </html> <html> 

57

<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Crossing Number </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=90%> <tr> <td align="center"><a href="javascript:window.close()"> Κλείσιμο </a> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Ο <u><b>αριθμός διασταυρώσεων</u></b> ενός κόμβου Κ συμβολίζεται με <i>c(K)</i> και αντιπροσωπεύει το μικρότερο αριθμό διασταυρώσεων στο πλήθος όλων των διαγραμμάτων του Κ. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> </body> </html> <html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title>Τι Είναι Η Θεωρία Κόμβων Στα Μαθηματικά</title>

58

</head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/1.jpg> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=720> <tr> <td background="../images/emp.gif" colspan=3 width=720 height=70 align=right valign=top> </td> </tr> <tr> <td align=left><big><b>Κωνσταντίνος Παναγίδης</b></big> </td> <td align=left><big><b>A.M. 09102274</b></td> </td> <td align=right><big><b>Σ.Ε.Μ.Φ.Ε</b></big> </td> </tr> </table> </body> </html> <html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Πολυώνυμο HOMFLYPT </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=90%> <tr> <td align="center"><a href="javascript:window.close()"> Κλείσιμο </a> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Το <u><b>πολυώνυμο HOMFLYPT</u></b> δημοσιεύθηκε ταυτόχρονα από διαφορετικές ομάδες μαθηματικών. Το <i>πολυώνυμο HOMFLYPT</i> χρησιμοποιεί <i>σχέσεις skein</i> όπως και τo <i>πολυώνυμo Jones</i> και το <i>πολυώνυμο Alexander</i>, όμως το καινούργιο πολυώνυμο

59

χρησιμοποιεί δυο μεταβλητές σε αντίθεση με το <i>πολυώνυμο Alexander</i> και το <i>πολυώνυμο Jones</i>, και για κατάλληλες τιμές εξιδεικεύεται στο καθένα από αυτά. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> </body> </html> <html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Αναλλοίωτες Κόμβων </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <h1 align="center"><b><u> Αναλλοίωτες Κόμβων </u></b></h1> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Είναι πάρα πολύ δύσκολο να αποφανθούμε εάν δυο δεδομένοι κόμβοι είναι ισοτοπικοί ή όχι. Γι' αυτό και το πρόβλημα της ταξινόμησης των κόμβων είναι ακόμα ένα ανοικτό πρόβλημα των μαθηματικών. Στα δύο παρακάτω παραδείγματα οι κόμβοι που απεικονίζονται είναι ισοτοπικοί με τον τετριμμένο (δείξτε το αυτό χρησιμοποιώντας κινήσεις Reidemeister). </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr>

60

<td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td align=center><a href="../files/picture1.html" target="_blank"><img src="../images/picture1.png" onClick="popup = window.open('picture1.html', 'PopupPage', 'height=565,width=650,scrollbars=no,resizable=no'); return false" target="_blank" target="_blank" align="middle" width=80 height=80></a> </td> <td> </td> <td> </td> <td align=center><a href="../files/picture2.html" target="_blank"><img src="../images/picture2.png" onClick="popup = window.open('picture2.html', 'PopupPage', 'height=250,width=350,scrollbars=no,resizable=no'); return false" target="_blank" target="_blank" align="middle" width=80 height=80></a> </td> </tr> </table> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Έτσι, προσπαθούμε να κατασκευάσουμε αναλλοίωτες, δηλαδή συναρτήσεις από <i>κλάσεις ισοτοπίας</i> κόμβων σε κάποιο σύνολο τιμών (π.χ πολυώνυμα, αριθμοί κ.λ.π.) Μια <i>αναλλοίωτη</i> είναι ιδιότητα της ισοτοπικής κλάσης ενός κόμβου και όχι ενός διαγράμματός του. Εξ ορισμού μια αναλλοίωτη κόμβων παίρνει την ίδια τιμή σε ισοτοπικούς κόμβους. Ισοδύναμα, αν μια αναλλοίωτη πάρει διαφορετικές τιμές σε δύο κόμβους, τότε αυτοί οι κόμβοι είναι μη ισοτοπικοί και άρα διαφορετικοί μεταξύ τους. Αυτή ακριβώς η ιδιότητα των αναλλοίωτων βοηθάει στην ταξινόμηση των κόμβων. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <h2 align="center"><b><u> Κλασσικές Αναλλοίωτες Κόμβων </u></b></h2> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td>

61

</td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Υπάρχουν αρκετές κλασσικές αναλλοίωτες κόμβων, αλλά εμείς θα ασχοληθούμε μόνο με μερικές. Αυτές είναι η <a href="../files/tricolor_new.html" onClick="popup = window.open('tricolor_new.html', 'PopupPage', 'height=170,width=300,scrollbars=yes,resizable=yes'); return false" target="_blank">τριχρωματισιμότητα</a>, ο <a href="../files/crossing_new.html" onClick="popup = window.open('crossing_new.html', 'PopupPage', 'height=215,width=300,scrollbars=yes,resizable=yes'); return false" target="_blank">αριθμός διασταυρώσεων (crossing number)</a>, ο <a href="../files/bridge_new.html" onClick="popup = window.open('bridge_new.html', 'PopupPage', 'height=215,width=300,scrollbars=yes,resizable=yes'); return false" target="_blank">αριθμός γεφυρών (bridge number)</a> και ο <a href="../files/unknotting_new.html" onClick="popup = window.open('unknotting_new.html', 'PopupPage', 'height=250,width=300,scrollbars=yes,resizable=yes'); return false" target="_blank">αριθμός λύσεως (unknotting number)</a>. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Ο <i>αριθμός διασταυρώσεων</i>, ο <i>αριθμός γεφυρών</i> και ο <i>αριθμός λύσεως</i> ορίζονται στο σύνολο όλων των διαγραμμάτων ενός κόμβου. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td width=30%> </td> <td><a href="../files/info_ii.html" target="frame2">Προηγούμενη Ενότητα</a> </td> <td width=10%> </td>

62

<td><a href="../files/info_iii.html" target="frame2">Επόμενη Ενότητα</a> </td> <td width=30%> </td> </tr> </table> </body> </html> <html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Aριθμός Διασταυρώσεων (Crossing Number) </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <h1 align="center"><b><u> Aριθμός Διασταυρώσεων (Crossing Number) </u></b></h1> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>O <i>αριθμός διασταυρώσεων (crossing number)</i> ενός κόμβου <i>K</i>, συμβολίζεται με <i>c(K)</i> και είναι ο ελάχιστος αριθμός διασταυρώσεων στο πλήθος όλων των διαγραμμάτων του Κ. Ένα διάγραμμα του <i>K</i> μπορεί να χαρακτηριστεί ως ελάχιστο διάγραμμα εάν και εφόσον έχει μόνο <i>c(K)</i> διασταυρώσεις. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>O <i>αριθμός διασταυρώσεων</i> είναι πολύ χρήσιμος στην ταξινόμηση των κόμβων. Πράγματι, ένας κόμβος γενικά ταξινομείται με έναν αριθμό

63

της μορφής <i>C<sub>N</sub></i> και αντιπροσωπεύει τον <i>N<sup>στο</sup></i> κόμβο με ελάχιστο αριθμό διασταυρώσεων <i>C</i>. Για παράδειγμα ο κόμβος <i>trefoil</i> ταξινομείται σαν <i>3<sub>1</sub></i> γιατί έχει αριθμό διασταυρώσεων 3. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td width=30%> </td> <td><a href="../files/info_iii.html" target="frame2">Προηγούμενη Ενότητα</a> </td> <td width=10%> </td> <td><a href="../files/info1_iii.html" target="frame2">Επόμενη Ενότητα</a> </td> <td width=30%> </td> </tr> </table> </body> </html> <html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Αριθμός Γεφυρών (Bridge Number) </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <h1 align="center"><b><u> Αριθμός Γεφυρών (Bridge Number) </u></b></h1> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td>

64

</tr> <tr> <td> <font size=4>Μια <i>γέφυρα</i> σε ένα διάγραμμα ενός κόμβου είναι ένα μέγιστο τμήμα του διαγράμματος, τέτοιο ώστε αν βαδίζει κανείς κατά μήκος του να βρίσκεται συνεχώς "πάνω". Ο <i>αριθμός γεφυρών (bridge number)</i> ορίζεται παρόμοια με τον <i>αριθμό διασταυρώσεων</i>. Ο <i>αριθμός γεφυρών</i> ενός κόμβου <i>K</i> συμβολίζεται με <i>b(K)</i> και αντιπροσωπεύει τον ελάχιστο αριθμό <i>γεφυρών</i> στο πλήθος όλων των διαγραμμάτων του <i>K</i>. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Περιέργως, ο <i>αριθμός γεφυρών</i> μιας ισοτοπικής κλάσης διαγραμμάτων δεν διαφαίνεται απαραίτητα από ένα ελάχιστο διάγραμμα της κλάσης. Παράδειγμα, ο <i>αριθμός διασταυρώσεων</i> του κόμβου <i>trefoil</i> είναι 3 και το ελάχιστο διάγραμμα του κόμβου έχει τρεις <i>γέφυρες</i>. Όμως ο <i>αριθμός γεφυρών</i> του κόμβου <i>trefoil</i> είναι 2. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td align="center"><a href="../files/1_bridge.html" target="_blank"><img src="../images/2-bridge_trefoil.png" onClick="popup = window.open('1_bridge.html', 'PopupPage', 'height=500,width=650,scrollbars=no,resizable=no'); return false" target="_blank" target="_blank" align="middle" width=80 height=80></a> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr>

65

<td> <font size=4>Όταν <i>b(U)=1</i>, τότε ο <i>U</i> είναι ο τετριμμένος κόμβος. Aρα, και όπως έχει αποδειχθεί, για να μην είναι ένας κόμβος <i>K</i> ο τετριμμένος θα πρέπει <i>b(K)>1</i>. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Οι κόμβοι και κρίκοι με 2 <i>γέφυρες</i> έχουν ταξινομηθεί από τον Schubert (1956) και είναι γνωστοί ως <i>ρητοί κόμβοι</i> (<i>2-bridge knots</i> ή <i>rational knots</i>). </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td width=30%> </td> <td><a href="../files/info1_ii.html" target="frame2">Προηγούμενη Ενότητα</a> </td> <td width=10%> </td> <td><a href="../files/info1_iv.html" target="frame2">Επόμενη Ενότητα</a> </td> <td width=30%> </td> </tr> </table> </body> </html> <html>    

66

<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Αριθμός Λύσεως (Unknotting Number) </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <h1 align="center"><b><u> Αριθμός Λύσεως (Unknotting Number) </u></b></h1> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Ο <i>αριθμός λύσεως (unknotting number)</i> ενός κόμβου <i>K</i> συμβολίζεται με <i>u(K)</i> και αντιπροσωπεύει τον ελάχιστο αριθμό διασταυρώσεων, στο πλήθος όλων των διαγραμμάτων του <i>K</i>, που πρέπει να αλλάξουν για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος. Όπως ο <i>αριθμός γεφυρών</i> έτσι και ο <i>αριθμός λύσεως</i> δεν διαφαίνεται απαραίτητα από ένα ελάχιστο διάγραμμα της κλάσης. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Παρακάτω έχουμε ένα διάγραμμα του κόμβου <i>trefoil</i> όπου έχουμε επιλέξει μια διασταύρωση, ακολουθούμενο από το διάγραμμα με "αλλαγμένη" τη διασταύρωση. Είναι εύκολο να παρατηρήσουμε πως με μια κίνηση <b><i>R<sub>II</sub></i></b> και με μια κίνηση <b><i>R<sub>I</sub></i></b> έχουμε τον τετριμμένο κόμβο. Έτσι, ο <i>αριθμός λύσεως</i> του κόμβου <i>trefoil</i> είναι 1 αφού μόνο μια διασταύρωση χρειάζεται να αλλάξει για να έχουμε τον τετριμμένο κόμβο. Σημειώνεται ότι <i>u(K) = 0</i> αν και μόνο αν <i>K</i> = ο τετριμμένος. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td>

67

</td> </tr> </table> <table> <tr> <td width=30%> </td> <td align="left"><a href="../files/k3_1_1.html" target="_blank"><img src="../images/k3_1_2.png" width=90 height=90></a> </td> <td width=10%> </td> <td align="right"><a href="../files/k3_1_1.html" target="_blank"><img src="../images/k3_1_1.png" width=90 height=90></a> </td> <td width=30%> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td width=30%> </td> <td><a href="../files/info1_iii.html" target="frame2">Προηγούμενη Ενότητα</a> </td> <td width=10%> </td> <td><a href="../files/info2_i_a.html" target="frame2">Επόμενη Ενότητα</a> </td> <td width=30%> </td> </tr> </table> </body> </html> <html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Πολυωνυμικές Αναλλοίωτες </title>

68

</head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <h1 align="center"><b><u> Πολυωνυμικές Αναλλοίωτες </u></b></h1> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Μια άλλη κατηγορία αναλλοίωτων κόμβων είναι οι πολυωνυμικές αναλλοίωτες. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Η ιδανική πολυωνυμική αναλλοίωτη κόμβων θα απέδιδε ένα διαφορετικό πολυώνυμο για κάθε ισοτοπική κλάση. Οι περισσότερες πολυωνυμικές αναλλοίωτες είναι βασισμένες σε <a href="../files/skein.html" onClick="popup = window.open('skein.html', 'PopupPage', 'height=300,width=400,scrollbars=yes,resizable=yes'); return false" target="_blank">σχέσεις skein</a>. Εξαίρεση αποτελεί το <i>πολυώνυμο Alexander</i> το οποίο είχε αρχικά οριστεί μέσω πινάκων. Όμως ένας άλλος μαθηματικός, ο John H. Conway βρήκε έναν τρόπο για να υπολογίζει το <i>πολυώνυμο Alexander</i> με <i>σχέσεις skein</i>. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Το <a href="../files/alexander_pol.html" onClick="popup = window.open('alexander_pol.html', 'PopupPage', 'height=350,width=500,scrollbars=yes,resizable=yes'); return false" target="_blank">πολυώνυμο Alexander</a>, το οποίο πήρε το όνομά του από το δημιουργό του James Waddell Alexander II, είναι η παλαιότερη πολυωνυμική

69

αναλλοίωτη. Το <i>πολυώνυμο Alexander</i> βασίστηκε στο γεγονός πως δύο διαφορετικοί κόμβοι μπορούν να διακριθούν μέσω γραμμικών χρωματικών πειραμάτων (π.χ τριχρωματισιμότητα). Δυστυχώς δεν μπορούσε έτσι να διακρίνει έναν κόμβο από την κατοπτρική του εικόνα και έτσι υπέθετε πως όλοι οι κόμβοι είναι αμφίχειροι. Το <i>πολυώνυμο Alexander</i> δημοσιεύθηκε το 1928 και παρέμεινε για περισσότερες από 5 δεκαετίες η μόνη πολυωνυμική αναλλοίωτη κόμβων. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Το 1984 ο Vaughan F. R. Jones κατασκεύασε μια νέα πολυωνυμική αναλλοίωτη, το <i>πολυώνυμο Jones</i>. Το καταπληκτικό ήταν πως "ανακάλυψε" αυτό το πολυώνυμο όταν πρόσεξε πως κάποιες εξισώσεις στη <i>Θεωρία Κόμβων</i> που αντιστοιχούν στην κίνηση <b><i>R<sub>III</sub></i></b> ήταν παρόμοιες με εξισώσεις στη Θεωρία Αλγεβρικών Τελεστών, οι οποίες σχετίζονταν με τη Στατιστική Μηχανική. Το <i>πολυώνυμο Jones</i> ήταν η πρώτη αναλλοίωτη που έκανε χρήση της θεωρίας των "κοτσίδων". Για αυτή του την ανακάλυψη, απονεμήθει στον Jones το βραβείο Fields. Η ανακάλυψη του <i>πολυωνύμου Jones</i> ώθησε σε νέα θεαματικά αποτελέσματα στη Θεωρία Κόμβων και στην Τοπολογία Χαμηλών Διαστάσεων. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Το 1985 ο L. H. Kauffman ανακάλυψε το δικό του πολυώνυμο το οποίο είναι συναφές με το <i>πολυώνυμο Jones</i>, το <i>πολυώνυμο bracket</i>. Το <i>πολυώνυμο bracket</i> δεν είναι αναλλοίωτη πλήρους ισοτοπίας αλλά είναι αναλλοίωτη κανονικής ισοτοπίας, δηλαδή αναλλοίωτη ως προς τις κινήσεις <b><i>R<sub>ΙI</sub></i></b> και <b><i>R<sub>III</sub></i></b>. Ο Kauffman όμως βρήκε μια μαθηματική έκφραση την οποία πολλαπλασιάζοντάς την με το <i>πολυώνυμο bracket</i> ενός κόμβου έπαιρνε το <i>πολυώνυμο Jones</i> του κόμβου. </font> </td> </tr> <tr> <td>

70

</td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Η ανακάλυψη του <i>πολυωνύμου Jones</i> ενθουσίασε τη μαθηματική κοινότητα σε βαθμό που κατασκευάζονταν νέες πολυωνυμικές αναλλοίωτες πολύ γρήγορα. Στόχος της εποχής ήταν να βρουν μια πολυωνυμική αναλλοίωτη η οποία θα γενίκευε το <i>πολυώνυμο Alexander</i> και το <i>πολυώνυμο Jones</i>. Το <a href="../files/homflypt_pol.html" onClick="popup = window.open('homflypt_pol.html', 'PopupPage', 'height=275,width=500,scrollbars=yes,resizable=yes'); return false" target="_blank">πολυώνυμο HOMFLYPT</a> ήταν μια επιτυχημένη λύση η οποία δημοσιεύθηκε ταυτόχρονα από διαφορετικές ομάδες μαθηματικών. Η εργασία δημοσιεύθηκε υπό τα ονόματα των <b>H</b>oste, <b>O</b>cneanu, <b>M</b>illett, <b>F</b>reyd, <b>L</b>ickorish, <b>Y</b>etter, <b>P</b>rzytycki και <b>T</b>raczyk. Το <i>πολυώνυμο HOMFLYPT</i> ικανοποιεί <i>σχέσεις skein</i> όπως και τo <i>πολυώνυμo Jones</i> και το <i>πολυώνυμο Alexander</i>, όμως το καινούργιο πολυώνυμο χρησιμοποιεί δυο μεταβλητές σε αντίθεση με το <i>πολυώνυμο Alexander</i> και το <i>πολυώνυμο Jones</i>, και για κατάλληλες τιμές εξιδεικεύεται στο καθένα από αυτά. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td width=30%> </td> <td><a href="../files/info2_i_aii.html" target="frame2">Προηγούμενη Ενότητα</a> </td> <td width=10%> </td> <td><a href="../files/info2_ii.html" target="frame2">Επόμενη Ενότητα</a> </td> <td width=30%> </td> </tr> </table> </body> </html>

71

<html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Περιγραφή κόμβων </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <h1 align="center"><b><u> Περιγραφή κόμβων </u></b></h1> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Ίσως το δυσκολότερο κομμάτι της <i>Θεωρίας Κόμβων</i> είναι η επικοινωνία ενός κόμβου σε κάποιον τρίτο. Πώς δηλαδή να περιγράψουμε σε έναν άγνωστο έναν συγκεκριμένο κόμβο χωρίς να τον μπερδέψουμε. Εδώ αναφέρουμε τρεις τρόπους, ίσως τους απλούστερους: το <i>συμβολισμό Dowker</i>, το <i>συμβολισμό Bar Natan</i> και το <i>συμβολισμό Conway</i>. Ένας τέταρτος τρόπος, πιο αλγεβρικός, είναι και η θεωρία των "κοτσίδων" (braids). </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td width=30%> </td> <td><a href="../files/info1_iv.html" target="frame2">Προηγούμενη Ενότητα</a> </td> <td width=10%> </td> <td><a href="../files/info2_i_ai.html" target="frame2">Επόμενη Ενότητα</a> </td> <td width=30%> </td> </tr>

72

</table> </body> </html> <html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Συμβολισμός Dowker </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <h1 align="center"><b><u> Συμβολισμός Dowker </u></b></h1> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Αρχικά, για να συμβολίσουμε ένα διάγραμμα κόμβου με το <i>συμβολισμό Dowker</i>, πρέπει να δώσουμε στον κόμβο προσανατολισμό. Τι εννοούμε με αυτό; Ορίζουμε προσανατολισμό στον κόμβο βάζοντας ένα βέλος σε ένα σημείο του. Ακολούθως, παίρνουμε μια διασταύρωση του διαγράμματος και της δίνουμε τον αριθμό 1. Έπειτα προχωράμε κατά μήκος του κόμβου, σύμφωνα με την κατεύθυνση που έχουμε ορίσει, αλλά ακολουθώντας το από κάτω τόξο της διασταύρωσης. Στην επόμενη διασταύρωση που συναντάμε δίνουμε τον αριθμό 2. Προσέξτε ότι όταν επιστρέψουμε στο αρχικό σημείο, σε κάθε διασταύρωση θα αντιστοιχούν δύο αριθμοί, ένας περιττός και ένας άρτιος. Κατά τη διάρκεια της αντιστοίχισης των αριθμών, θεωρούμε θετικούς τους άρτιους αριθμούς που αντιστοιχούμε εάν συναντάμε τη διασταύρωση στο από πάνω της τόξο. Αντιθέτως εάν συναντάμε τη διασταύρωση στο από κάτω της τόξο, τότε θεωρούμε τον άρτιο αριθμό αρνητικό. Όλοι οι περιττοί αριθμοί θεωρούνται θετικοί όπου και αν τοποθετηθούν. Συνεχίζουμε έτσι όπως αναφέραμε πιο πάνω μέχρι να φτάσουμε στο σημείο από όπου ξεκινήσαμε. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Παρακάτω έχουμε ένα κόμβο, ο οποίος μπορεί να περιγραφεί με το <i>συμβολισμό Dowker</i> σαν ένα σύνολο από διατεταγμένες δυάδες <1,4>, <3,-6>,

73

<5,10>, <7,-2>, <9,8>. Εφόσον το πρώτο μέλος κάθε δυάδας είναι περιττός και δεν περιέχει πληροφορίες για πρόσημα, μπορούμε να περιγράψουμε τον κόμβο πιο εύκολα με το <i>συμβολισμό Dowker</i> ως <4, -6, 10, -2, 8>. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td align="center"><a href="../files/1_dowker.html" onClick="popup = window.open('1_dowker.html', 'PopupPage', 'height=550,width=515,scrollbars=no,resizable=no'); return false" target="_blank"><img src="../images/dowker_knot.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Η όλη διαδικασία είναι και αναστρέψιμη. Εάν μας δοθεί μια ακολουθία άρτιων αριθμών, μπορούμε να κατασκευάσουμε έναν κόμβο. Όλες οι πληροφορίες που χρειαζόμαστε βρίσκονται στο <i>συμβολισμό Dowker</i>. Μας λέει για τον <i>αριθμό διασταυρώσεων</i>, πώς είναι συνδεδεμένες και ποιές είναι από πάνω και ποιές από κάτω. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Ας πούμε τώρα πως έχουμε μια ακολουθία από άρτιους αριθμούς η οποία αντιπροσωπεύει την προβολή ενός κόμβου. Πώς σχεδιάζουμε τη συγκεκριμένη προβολή; Ας πούμε πως έχουμε την ακολουθία 8 10 12 2 14 6 4. Αυτό όπως αναφέραμε παραπάνω είναι η συντομία του </font> </td>

74

</tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=35%> <tr> <td align=right> <font size=4>1 </font> </td> <td align=right> <font size=4>3 </font> </td> <td align=right> <font size=4>5 </font> </td> <td align=right width=15%> <font size=4>7 </font> </td> <td align=right> <font size=4>9 </font> </td> <td align=right> <font size=4>11 </font> </td> <td align=right> <font size=4>13 </font> </td> </tr> <tr> <td align=right> <font size=4>8 </font> </td> <td align=right> <font size=4>10 </font> </td> <td align=right> <font size=4>12 </font> </td> <td align=right width=15%> <font size=4>2 </font> </td>

75

<td align=right> <font size=4>14 </font> </td> <td align=right> <font size=4>6 </font> </td> <td align=right> <font size=4>4 </font> </td> </tr> </table> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Εφόσον οι άρτιοι αριθμοί είναι θετικοί, ο κόμβος θα είναι εναλλασσόμενος. Ας σχεδιάσουμε αυτόν τον κόμβο. Αρχίζουμε σχεδιάζοντας την πρώτη διασταύρωση, δίνοντάς της τους αριθμούς 1 και 8. Επεκτείνουμε το τόξο του κόμβου που βρίσκεται από κάτω στη διασταύρωση και σχεδιάζουμε την επόμενη διασταύρωση η οποία αντιστοιχεί στο 2. Εφόσον το 2 είναι ζεύγος με το 7 βάζουμε στη διασταύρωση αυτή 2 και 7. Επειδή ο κόμβος είναι εναλλασσόμενος, ξέρουμε πως το τόξο στο οποίο βρισκόμαστε πάει πάνω από τη συγκεκριμένη διασταύρωση. Προεκτείνουμε το τόξο της διασταύρωσης 2 που πάει από πάνω και φτάνουμε στην επόμενη διασταύρωση, όπου το τόξο αυτό γίνεται κάτω μέρος της διασταύρωσης την οποία ονομάζουμε 3 και το οποίο είναι ζεύγος με το 10. Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο, μέχρι ο επόμενος αριθμός που θα τοποθετήσουμε έχει ζεύγος έναν αριθμό που έχει ήδη τοποθετηθεί στον κόμβο. Έτσι ξέρουμε πως ο κόμβος θα κάνει κύκλο για να περάσει από τη συγκεκριμένη διασταύρωση. Εδώ έχουμε επιλογή να πάμε είτε από αριστερά είτε από δεξιά για να κάνουμε τον κύκλο. Συνεχίζουμε κατά τον ίδιο τρόπο. Εάν κανένας από τους αριθμούς που θα αντιστοιχίσουμε στην επόμενη διασταύρωση δεν έχει ήδη δοθεί, τότε φτιάχνουμε μια νέα διασταύρωση. Εάν ένας αριθμός έχει τοποθετηθεί προηγουμένως, τότε κάνουμε κύκλο ώστε να περάσει ο κόμβος από τη συγκεκριμένη διασταύρωση. Συνεχίζοντας έτσι καταλήγουμε σε ένα διάγραμμα κόμβου, ο οποίος μας έχει δοθεί με το <i>συμβολισμό Dowker</i>. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td align="center"><a href="../files/1_dowker_1.html" onClick="popup = window.open('1_dowker_1.html', 'PopupPage', 'height=575,width=515,scrollbars=no,resizable=no'); return false"

76

target="_blank"><img src="../images/dowker_knot_1.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Όπως αναφέραμε παραπάνω, η διαδικασία είναι αναστρέψιμη, αλλά αυτό δεν είναι πλήρως αληθές. Ο <i>συμβολισμός Dowker</i> δεν προσδιορίζει μονοσήμαντα τους σύνθετους κόμβους αλλά ούτε και τις κατοπτρικές εικόνες κόμβων. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Ο <i>συμβολισμός Dowker</i>, επειδή χρησιμοποιεί μια απλή ακολουθία αριθμών, οδήγησε στη χρήση υπολογιστή για το πρόβλημα της ταξινόμησης των κόμβων. Επίσης, ένα ακόμα ενδιαφέρον κομμάτι του <i>συμβολισμού Dowker</i> είναι το γεγονός πως από την ακολουθία των αριθμών μπορούμε να δούμε τετριμμένες διασταυρώσεις υπό τις <i>κινήσεις Reidemeister</i>. Η διασταύρωση <8, 9> για παραδειγμα στον πρώτο κόμβο στον οποίο αναφερόμαστε παραπάνω, μπορεί να απαλειφθεί με μια κίνηση <b><i>R<sub>I</sub></i></b>. Αυτό θα ισχύει πάντοτε όταν μια διασταύρωση έχει σαν όρισμα δύο διαδοχικούς αριθμούς. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td width=30%> </td> <td><a href="../files/info2_i_a.html" target="frame2">Προηγούμενη Ενότητα</a> </td>

77

<td width=10%> </td> <td><a href="../files/info2_i_aiii.html" target="frame2">Επόμενη Ενότητα</a> </td> <td width=30%> </td> </tr> </table> </body> </html> <html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Συμβολισμός Conway </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <h1 align="center"><b><u> Συμβολισμός Conway </u></b></h1> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Μια <i>διαπλοκή (tangle)</i> είναι οποιαδήποτε περιοχή ενός διαγράμματος κόμβου η οποία μπορεί να περιβληθεί από έναν κύκλο, έτσι ώστε ο κύκλος να διασταυρώνει τον κόμβο σε τέσσερα σημεία. Δύο <i>διαπλοκές</i> είναι ισοτοπικές ή τοπολογικά ισοδύναμες εάν με μια ακολουθία από <i>κινήσεις Reidemeister</i> μπορούμε από τη μια να έχουμε την άλλη, πάντα υπό την προυπόθεση πως η <i>διαπλοκή</i> παραμένει μέσα στον κύκλο κατά τη διάρκεια των <i>κινήσεων Reidemeister</i>. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td align="center"><a href="../files/1_conway.html" target="_blank"><img src="../images/tangle.png" align="middle" width=80 height=80></a>

78

</td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Παρακάτω μπορούμε να δούμε κάποιες ειδικές περιπτώσεις. Ένα ζεύγος από μη τεμνόμενες κάθετες γραμμές ονομάζεται [<i> ∞ </i>] <i>διαπλοκή</i>, ένα ζεύγος από μη τεμνόμενες οριζόντιες γραμμές ονομάζεται [<i> 0 </i>] <i>διαπλοκή</i> και ένα ζεύγος από γραμμές οι οποίες διασταυρώνονται 3 φορές ονομάζεται [<i> -3 </i>] <i>διαπλοκή</i>. Εάν η περιστροφή ήταν δεξιόστροφη αντί για αριστερόστροφη τότε θα ονομαζόταν [<i> 3 </i>] <i>διαπλοκή</i>. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td align="center"><a href="../files/1_conway.html#special" target="_blank"><img src="../images/tangle_sp_1.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> <td> </td> <td align="center"><a href="../files/1_conway.html#special" target="_blank"><img src="../images/tangle_sp_2.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> <td> </td> <td align="center"><a href="../files/1_conway.html#special" target="_blank"><img src="../images/tangle_sp_3.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> </tr> <tr> <td align="center">[<i> ∞ </i>] <i>tangle</i> </td> <td> </td> <td align="center">[<i> 0 </i>] <i>tangle</i> </td> <td> </td> <td align="center">[<i> -3 </i>] <i>tangle</i>

79

</td> </tr> </table> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτόν το συμβολισμό για να χαρακτηρίσουμε πιο περίπλοκες <i>διαπλοκές</i>. Για παράδειγμα παρακάτω έχουμε αρχικά μια [<i> -3 </i>] διαπλοκή</i> (α). Μετά από μια ανάκλαση ως προς τη διακεκομμένη γραμμή παίρνουμε το επόμενο διάγραμμα (β). Έπειτα περιστρέφουμε τα δύο δεξιά άκρα και παίρνουμε τη <i>διαπλοκή</i> [ -2, -3 ] (γ). Στη συνέχεια κάνουμε ακόμα μια ανάκλαση (δ). Όπως βλέπετε, πάντα εργαζόμαστε στη δεξιά πλευρά της <i>διαπλοκής</i>. Στη συνέχεια περιστρέφουμε κατά την αρνητική φορά τα δύο δεξιά άκρα 4 φορές (ε). Έτσι, το αποτέλεσμα έχει <i>συμβολισμό Conway</i> [ 4, -2, -3 ]. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td align="center"><a href="../files/1_conway.html#symbol" target="_blank"><img src="../images/tangle_symb_1.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> <td> </td> <td align="center"><a href="../files/1_conway.html#symbol" target="_blank"><img src="../images/tangle_symb_2.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> <td> </td> <td align="center"><a href="../files/1_conway.html#symbol" target="_blank"><img src="../images/tangle_symb_3.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> <td> </td> <td align="center"><a href="../files/1_conway.html#symbol1" target="_blank"><img src="../images/tangle_symb_4.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> <td> </td> <td align="center"><a href="../files/1_conway.html#symbol1" target="_blank"><img src="../images/tangle_symb_5.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> </tr> <tr> <td align="center">(α)

80

</td> <td> </td> <td align="center">(β) </td> <td> </td> <td align="center">(γ) </td> <td> </td> <td align="center">(δ) </td> <td> </td> <td align="center">(ε) </td> </tr> </table> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Διαπλοκές που κατασκευάζονται με αυτόν τον τρόπο λέγονται <i>ρητές διαπλοκές</i>. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους παραπάνω αριθμούς για να δημιουργήσουμε ένα συνεχές κλάσμα. Δουλεύουμε με φορά από δεξιά προς τα αριστερά και έχουμε το εξής συνεχές κλάσμα που σχετίζεται με το [ 4, -2, -3 ]: </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td align="center"><font size=4>4 + ( 1 / ( ( -2 ) + 1 / ( -3 ) ) )</font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Εάν το απλοποιήσουμε παίρνουμε το κλάσμα 25/7. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td>

81

</tr> <tr> <td> <font size=4>Ισχύει το ακόλουθο θεώρημα (Conway, 1970): <i>Υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη και επί αντιστοιχία ανάμεσα στις κλάσεις ισοτοπίας των ρητών διαπλοκών και στο σύνολο QU∞.</i> </font> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td width=30%> </td> <td><a href="../files/info2_i_aiii.html" target="frame2">Προηγούμενη Ενότητα</a> </td> <td width=10%> </td> <td><a href="../files/info2_i.html" target="frame2">Επόμενη Ενότητα</a> </td> <td width=30%> </td> </tr> </table> </body> </html> <html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Συμβολισμός Bar Natan </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <h1 align="center"><b><u> Συμβολισμός Bar Natan </u></b></h1> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr>

82

<td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Ο <i>συμβολισμός Bar Natan</i> είναι σχετικά πρόσφατος και είναι ένας πολύ απλός τρόπος για να επικοινωνήσουμε ένα διάγραμμα κόμβου. Σε κάθε διασταύρωση του διαγράμματος δίνουμε τέσσερα σύμβολα: </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td align="center"><a href="../files/1_barnatan.html" onClick="popup = window.open('1_barnatan.html', 'PopupPage', 'height=450,width=515,scrollbars=no,resizable=no'); return false" target="_blank"><img src="../images/barnatan.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>έτσι ώστε, αν δύο τόξα δύο διαφορετικών διασταυρώσεων συνδέονται μεταξύ τους, να παίρνουν το ίδιο σύμβολο. Έτσι, το διάγραμμα μπορεί να περιγραφεί δίνοντας μια ακολουθία από τετράδες συμβόλων, από την οποία μπορεί και να ανακτηθεί. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table>

83

<tr> <td width=30%> </td> <td><a href="../files/info2_i_ai.html" target="frame2">Προηγούμενη Ενότητα</a> </td> <td width=10%> </td> <td><a href="../files/info2_i_aii.html" target="frame2">Επόμενη Ενότητα</a> </td> <td width=30%> </td> </tr> </table> </body> </html> <html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Πολυώνυμο Alexander </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <h1 align="center"><b><u> Πολυώνυμο Alexander </u></b></h1> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=6><b><a name="istorika">Ιστορικά</a></b> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Το <i>πολυώνυμο Alexander</i> ανακαλύφθηκε από τον James Waddell Alexander II το 1928 σαν μια γενίκευση των γραμμικών χρωματικών πειραμάτων (π.χ τριχρωματισιμότητα). Σχεδιασμένο για να χρησιμοποιεί πίνακες, η αρχική του μορφή διαφέρει από τις πιο πρόσφατες πολυωνυμικές αναλλοίωτες που

84

ορίζονται μέσω <i>σχέσεων skein</i>. Τη δεκαετία του 1960 όμως ο John Conway χρησιμοποίησε μια <i>σχέση skein</i> (γνωστή στον Alexander), για να ορίσει το <i>πολυώνυμο Alexander</i>, γεφυρώνοντας έτσι το χάσμα μεταξύ του <i>πολυωνύμου Alexander</i> και των ευρέως διαδεδομένων μεταγενέστερων πολυωνυμικών αναλλοίωτων. <font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=6><b><a name="proetoimasia">Κανόνες Ορισμού</a></b> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Το πρώτο βήμα για να υπολογίσουμε το <i>πολυώνυμο Alexander</i> ενός κόμβου, είναι να σχεδιάσουμε ένα προσανατολισμένο διάγραμμα του κόμβου, όπως παρακάτω. Ένας κόμβος με <i>c</i> διασταυρώσεις θα χωρίσει την προβολή σε <i>c+2</i> περιοχές τις οποίες και ονοματίζουμε. Στις περιοχές αυτές περιλαμβάνεται και η εξωτερική περιοχή του κόμβου. Τώρα περνάμε στους υπολογισμούς. <font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td align=center><a href="../files/k3_1_alex.html" target="_blank"><img src="../images/k3_1_alex_1.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> <td> </td> <td> </td>

85

<td> </td> <td align=center><a href="../files/k3_1_alex.html" target="_blank"><img src="../images/k3_1_alex_2.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> </tr> </table> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=6><b><a name="ipologismoi">Υπολογισμοί</a></b> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Το κυριότερο μέρος του <i>πολυωνύμου Alexander</i> είναι ο πίνακας. Ο πίνακας γράφεται έχοντας στις σειρές του τους αριθμούς διασταυρώσεων και στις στήλες του τις περιοχές με τις ονομασίες που τους έχουμε δώσει. Οι τιμές των στοιχείων σε αυτόν τον πίνακα στη σειρά της διασταύρωσης γράφονται ως εξής. <font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td align=center><a href="../files/1_alex.html" onClick="popup = window.open('1_alex.html', 'PopupPage', 'height=500,width=450,scrollbars=yes,resizable=yes'); return false" target="_blank"><img src="../images/1_alex.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> </tr> </table>

86

<table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Έπειτα, αφαιρούμε οποιεσδήποτε δυο στήλες που έχουν περιοχές που μοιράζονται το ίδιο τόξο, αφήνοντας έτσι έναν <i>c x c</i> πίνακα. Το προκαταρτικό <i>πολυώνυμο Alexander</i> είναι η ορίζουσα του πίνακα. Για να πάρουμε το τελικό <i>πολυώνυμο Alexander</i>, το <i>t</i> βγαίνει σαν παράγοντας έξω και αφαιρείται όσο το δυνατό περισσότερες φορές. <font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=6><b><a name="simperasma">Συμπέρασμα</a></b> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Δυστυχώς το <i>πολυώνυμο Alexander</i> δεν είναι η ιδανική πολυωνυμική αναλλοίωτη. Για παράδειγμα υπάρχουν πολλοί μη τετριμμένοι κόμβοι με <i>πολυώνυμο Alexander</i> = 1 = το <i>πολυώνυμο Alexander</i> του τετριμμένου. Επίσης το <i>πολυώνυμο Alexander</i> δεν ξεχωρίζει κόμβους από την κατοπτρική τους εικόνα. Ξεχωρίζει όμως μεταξύ διαφορετικών ισοτοπικών κλάσεων με λιγότερες των 9 διασταυρώσεων. Επειδή ήταν η πρώτη πολυωνυμική αναλλοίωτη, το <i>πολυώνυμο Alexander</i> είχε τα μειονεκτήματά του αλλά του αξίζει μια μελέτη. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr>

87

<td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td width=30%> </td> <td><a href="../files/info2_i.html" target="frame2">Προηγούμενη Ενότητα</a> </td> <td width=10%> </td> <td><a href="../files/info4_ii.html" target="frame2">Επόμενη Ενότητα</a> </td> <td width=30%> </td> </tr> </table> </body> </html> <html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Πολυώνυμο Kauffman bracket </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <h1 align="center"><b><u> Πολυώνυμο Kauffman bracket </u></b></h1> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=6><b><a name="istorika">Ιστορικά</a></b> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr>

88

<td> <font size=4>Το 1985 ο L. H. Kauffman ανακάλυψε το δικό του πολυώνυμο το οποίο είναι συναφές με το <i>πολυώνυμο Jones</i>, το <i>πολυώνυμο bracket</i>. Το <i>πολυώνυμο bracket</i> δεν είναι αναλλοίωτη πλήρους ισοτοπίας αλλά είναι αναλλοίωτη κανονικής ισοτοπίας, δηλαδή μόνο ως προς τις κινήσεις <b><i>R<sub>IΙ</sub></i></b> και <b><i>R<sub>IΙΙ</sub></i></b>. Ο Kauffman όμως βρήκε μια μαθηματική έκφραση την οποία πολλαπλασιάζοντάς την με το <i>πολυώνυμο bracket</i> ενός κόμβου έπαιρνε το <i>πολυώνυμο Jones</i> του κόμβου. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=6><b><a name="proetoimasia">Κανόνες Ορισμού</a></b> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Το <i>πολυώνυμο bracket</i> δημιουργείται από ένα μη προσανατολισμένο διάγραμμα κόμβου. Το bracket για ένα διάγραμμα υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τους παρακάτω τρεις κανόνες: </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>• <i>< U > = 1</i> </font> </td> </tr> <tr> <td>

89

</td> </tr> <tr> <td> <font size=4>• <i>< DU > = (A<sup>2</sup> + A<sup>-2</sup>) · < D ></i> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>• <i>< C > = A · < L > + A<sup>-1</sup> · < R ></i> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>όπου το <i>< U ></i> συμβολίζει το bracket του τετριμμένου κόμβου, το <i>DU</i> αναφέρεται στον διαχωρίσιμο κρίκο που αποτελείται από ένα διάγραμμα <i>D</i> και τον τετριμμένο κόμβο και τα <i>< D ></i>, <i>< L ></i> και <i>< R ></i> αναφέρονται στα πολυώνυμα των διαγραμμάτων που διαφέρουν μόνο στην περιοχή μιας διασταύρωσης όπως παρακάτω. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td align=center><a href="../files/1_kau.html" target="_blank"><img src="../images/1_kau_1.png" align="middle" width=80 height=80> </td> <td> </td> <td> </td> <td> </td> <td align=center><a href="../files/1_kau.html" target="_blank"><img src="../images/1_kau_2.png" align="middle" width=80 height=80> </td> <td> </td> <td>

90

</td> <td> </td> <td align=center><a href="../files/1_kau.html" target="_blank"><img src="../images/1_kau_3.png" align="middle" width=80 height=80> </td> </tr> </table> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=6><b><a name="ipologismoi">Υπολογισμοί</a></b> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Επειδή το <i>πολυώνυμο bracket</i> δεν είναι αναλλοίωτο ως προς την κίνηση <b><i>R<sub>I</sub></i></b> η ιδέα με το bracket είναι να αναλύσουμε έναν κόμβο σε ένα σύνολο από τετριμμένους κόμβους. Επιλέγουμε μια διασταύρωση όπως παρακάτω. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td align=center><a href="../files/1_kau_1.html" target="_blank"><img src="../images/k3_1_kau.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> </tr> <tr> <td> </td>

91

</tr> </table> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Τότε το διάγραμμα αναλύεται όπως φαίνεται παρακάτω. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td align=center><a href="../files/1_kau_1.html#k3_1_kau_1" target="_blank"><img src="../images/k3_1_kau_1.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> <td> </td> <td> </td> <td align=center><a href="../files/1_kau_1.html#k3_1_kau_2" target="_blank"><img src="../images/k3_1_kau_2.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td align="center"> <font size=4><i>< D > = A · < L > + A<sup>-1</sup> · < R ></i> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Τώρα το <i>L</i> μπορεί να αναλυθεί παραπέρα.

92

</font> </td> </tr> <tr> <td> </td> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td align=center><a href="../files/1_kau_1.html#k3_1_kau_3" target="_blank"><img src="../images/k3_1_kau_3.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> <td> </td> <td> </td> <td align=center><a href="../files/1_kau_1.html#k3_1_kau_4" target="_blank"><img src="../images/k3_1_kau_4.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td align="center"> <font size=4><i>< D > = A · (A · < L<sub>L</sub> > + A<sup>-1</sup> · < L<sub>R</sub> >) + A<sup>-1</sup> · < R ></i> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Μετά από διεξοδική ανάλυση φτάνουμε στο ακόλουθο <i>πολυώνυμο bracket</i> για τον αριστερόστροφο κόμβο <i>trefoil</i>. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td>

93

</tr> <tr> <td align="center"> <font size=4><i>< K > = A<sup>7</sup> - A<sup>3</sup> - A<sup>-5</sup> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=6><b><a name="simperasma">Συμπέρασμα</a></b> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Εφ' όσον το <i>πολυώνυμο bracket</i> είναι μια αναλλοίωτη κανονικής ισοτοπίας, δεν μπορούμε να απλοποιήσουμε σε ένα διάγραμμα τις κινήσεις <b><i>R<sub>I</sub></i></b>. Αυτό οδηγεί σε εξαντλητική ανάλυση των διαγραμμάτων. Όμως μπορεί να κατασκευαστεί αναλλοίωτη και υπό την κίνηση <b><i>R<sub>I</sub></i></b> μέσω του bracket με την παρακάτω εξίσωση. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td align="center"> <font size=4><i>f[L] = (-A)<sup>-3 · w(D)</sup> · < D ></i> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr>

94

<td> <font size=4>Σ' αυτή την εξίσωση το <i>w(D)</i> είναι ο <i>αριθμός συστροφής</i>, <i>(writhe)</i> του κόμβου, δηλαδή το άθροισμα όλων των προσήμων των διασταυρώσεων του <i>D</i>, αφότου έχουμε δώσει στο <i>D</i> προσανατολισμό. Θέτοντας όπου Α το <i>t<sup>-1/4</sup></i> παίρνουμε <i>f[L](t<sup>-1/4</sup>) = V<sub>L</sub>(t)</i> δηλαδή παίρνουμε το <i>πολυώνυμο Jones</i>. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td width=30%> </td> <td><a href="../files/info4_ii.html" target="frame2">Προηγούμενη Ενότητα</a> </td> <td width=10%> </td> <td><a href="../files/info5_ii.html" target="frame2">Επόμενη Ενότητα</a> </td> <td width=30%> </td> </tr> </table> </body> </html> <html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Πολυώνυμο Jones </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <h1 align="center"><b><u> Πολυώνυμο Jones </u></b></h1> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr>

95

<td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=6><b><a name="istorika">Ιστορικά</a></b> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Το <i>πολυώνυμο Jones</i> ανακαλύφθηκε το 1984 από τον Vaughan F. R. Jones. Σε αντίθεση με το <i>πολυώνυμο Alexander</i>, το <i>πολυώνυμο Jones</i> μπορεί να διακρίνει ένα κόμβο από την κατοπτρική του εικόνα. Το <i>πολυώνυμο Jones</i> είναι περίπου το ίδιο με το <i>πολυώνυμο Kauffman bracket</i> όπως θα δούμε παρακάτω. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=6><b><a name="proetoimasia">Κανόνες Ορισμού</a></b> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Το <i>πολυώνυμο Jones</i> δημιουργείται από ένα προσανατολισμένο διάγραμμα κόμβου μέσω τριών βασικών κανόνων: </font> </td> </tr> <tr> <td>

96

</td> </tr> <tr> <td> <font size=4>• Είναι αναλλοίωτη ισοτοπίας </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>• <i>V<sub>U</sub>(t) = 1</i> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>• <i>t<sup>-1</sup> · V<sub>L+</sub>(t) - t · V<sub>L-</sub>(t) = (t<sup>1/2</sup> - t<sup>-1/2</sup>) · V<sub>L0</sub>(t)</i> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Ο δεύτερος κανόνας λέει ότι το <i>πολυώνυμο Jones</i> για τον τετριμμένο κόμβο είναι η μονάδα. Ο τρίτος κανόνας για τον υπολογισμό του <i>πολυωνύμου Jones</i> είναι οι <i>σχέσεις skein</i>. Οι όροι <i>V<sub>L+</sub>(t)</i>, <i>V<sub>L-</sub>(t)</i> και <i>V<sub>L0</sub>(t)</i> αντιστοιχούν στα πολυώνυμα τριών διαγραμμάτων L+, L-, L0 τα οποία διαφέρουν μόνο κατά την περιοχή μιας διασταύρωσης, όπως παρακάτω. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td align=center><a href="../files/1_jones.html" target="_blank"><img src="../images/1_jones_1.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td>

97

<td> </td> <td> </td> <td> </td> <td align=center><a href="../files/1_jones.html" target="_blank"><img src="../images/1_jones_2.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> <td> </td> <td> </td> <td> </td> <td align=center><a href="../files/1_jones.html" target="_blank"><img src="../images/1_jones_3.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> </tr> </table> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=6><b><a name="ipologismoi">Υπολογισμοί</a></b> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Το πρώτο βήμα για να ξεκινήσουμε με τον υπολογισμό του <i>πολυωνύμου Jones</i> ενός προσανατολισμένου κόμβου είναι η επιλογή μιας διασταύρωσης σε ένα διάγραμμα του κόμβου την οποία επιλέγουμε είτε ως <i>L<sub>+</sub></i> είτε ως <i>L<sub>-</sub></i>. Στο παράδειγμα του δεξιόστροφου κόμβου <i>trefoil</i> έχουμε επιλέξει μια διασταύρωση <i>L<sub>-</sub></i>. </font> </td> </tr>

98

<tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td align=center><a href="../files/1_jones_1.html" target="_blank"><img src="../images/k3_1_jones.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td align="center"> <font size=4>Η <i>σχέση skein</i> τότε γίνεται:<br><i>V<sub>L-</sub>(t) = t<sup>-1</sup> · V<sub>L+</sub>(t) / t - (t<sup>1/2</sup> / t - t<sup>-1/2</sup> / t) · V<sub>L0</sub>(t) </i> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Η επιλεγμένη διασταύρωση αλλάζει στα άλλα δυο διαγράμματα <i>L<sub>+</sub></i> και <i>L<sub>0</sub></i>. Στην περίπτωση του <i>L<sub>+</sub></i> με μια κίνηση <b><i>R<sub>II</sub></i></b> ακολουθούμενη από μια κίνηση <b><i>R<sub>I</sub></i></b> οδηγούμαστε στον τετριμμένο κόμβο. Έτσι η τιμή του <i>V<sub>L+</sub>(t)</i> γίνεται <i>1</i>. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td align=center><a href="../files/1_jones_1.html#k3_1_jones_1" target="_blank"><img src="../images/k3_1_jones_1.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td>

99

</tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td align="center"> <font size=4><i>V<sub>L+</sub>(t) = 1</i> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Στην περίπτωση του <i>L<sub>0</sub></i> οδηγούμαστε στον προσανατολισμένο <i>κρίκο Hopf<i> (<i>Hopf link</i>) και μετά από πράξεις στο αποτέλεσμα: </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td align=center><a href="../files/1_jones_1.html#k3_1_jones_2" target="_blank"><img src="../images/k3_1_jones_2.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td align="center"> <font size=4><i>V<sub>L0</sub>(t) = -t - t<sup>-1</sup></i>

100

</font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στην αρχική <i>σχέση skein</i> παίρνουμε το τελικό αποτέλεσμα για το <i>πολυώνυμο Jones</i> του δεξιόστροφου κόμβου <i>trefoil</i>. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td align="center"> <font size=4><i>V<sub>L</sub>(t) = t<sup>-1</sup> + t<sup>-3</sup> - t<sup>-4</sup></i> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=6><b><a name="simperasma">Ανοικτό Πρόβλημα</a></b> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Υπάρχει μη τετριμμένος κόμβος <i>Κ</i> με <i>V<sub>K</sub>[t] = 1</i> ; </font> </td>

101

</tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td width=30%> </td> <td><a href="../files/info2_ii.html" target="frame2">Προηγούμενη Ενότητα</a> </td> <td width=10%> </td> <td><a href="../files/info3_ii.html" target="frame2">Επόμενη Ενότητα</a> </td> <td width=30%> </td> </tr> </table> </body> </html> <html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Πολυώνυμο HOMFLYPT </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <h1 align="center"><b><u> Πολυώνυμο HOMFLYPT </u></b></h1> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=6><b><a name="istorika">Ιστορικά</a></b> </font> </td>

102

</tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Η δημοσίευση του <i>πολυωνύμου Jones</i> ενθουσίασε τη μαθηματική κοινότητα σε βαθμό που δημιουργούνταν καινούργιες πολυωνυμικές αναλλοίωτες πολύ γρήγορα. Στόχος της εποχής ήταν να βρουν μια πολυωνυμική αναλλοίωτη η οποία θα γενίκευε το <i>πολυώνυμο Alexander</i> και το <i>πολυώνυμο Jones</i>. Το <i>πολυώνυμο HOMFLYPT</i> ήταν μια επιτυχημένη λύση η οποία δημοσιεύθηκε ταυτόχρονα από διαφορετικές ομάδες μαθηματικών. Η εργασία δημοσιεύθηκε υπό τα ονόματα των <b>H</b>oste, <b>O</b>cneanu, <b>M</b>illett, <b>F</b>reyd, <b>L</b>ickorish, <b>Y</b>etter, <b>P</b>rzytycki και <b>T</b>raczyk. Το <i>πολυώνυμο HOMFLYPT</i> χρησιμοποιεί <i>σχέσεις skein</i> όπως και τo <i>πολυώνυμo Jones</i> και το <i>πολυώνυμο Alexander</i>, όμως το καινούργιο πολυώνυμο χρησιμοποιεί δυο μεταβλητές σε αντίθεση με το <i>πολυώνυμο Alexander</i> και το <i>πολυώνυμο Jones</i>, και για κατάλληλες τιμές εξιδεικεύεται στο καθένα από αυτά. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=6><b><a name="proetoimasia">Κανόνες Ορισμού</a></b> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Το <i>πολυώνυμο HOMFLYPΤ</i> δημιουργείται από ένα προσανατολισμένο διάγραμμα κόμβου όπως το παρακάτω. </font> </td> </tr> <tr> <td>

103

</td> </tr> </table> <table> <tr> <td align=center><a href="../files/1_homfly.html" target="_blank"><img src="../images/k3_1_homfly.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Επίσης, το <i>πολυώνυμο HOMFLYPΤ</i> υπολογίζεται χρησιμοποιώντας <i>σχέσεις skein</i> όπως και το <i>πολυώνυμο Jones</i>. Οι κανόνες του πολυωνύμου είναι οι εξής. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>• <i> P(L)</i> είναι αναλλοίωτη ισοτοπίας </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>• <i> P(U) = 1</i> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td>

104

<font size=4>• <i> l · P(L<sub>+</sub>) + l<sup>-1</sup> · P(L<sub>-</sub>) + m · P(L<sub>0</sub>) = 0</i> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>με την ίδια σύμβαση για τα <i>L<sub>+</sub></i>, <i>L<sub>-</sub></i>, <i>L<sub>0</sub></i>, όπως και στο <i>πολυώνυμο Jones</i>. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td align=center><a href="../files/1_jones.html" target="_blank"><img src="../images/1_jones_1.png" align="middle" width=80 height=80> </td> <td> </td> <td> </td> <td> </td> <td align=center><a href="../files/1_jones.html" target="_blank"><img src="../images/1_jones_2.png" align="middle" width=80 height=80> </td> <td> </td> <td> </td> <td> </td> <td align=center><a href="../files/1_jones.html" target="_blank"><img src="../images/1_jones_3.png" align="middle" width=80 height=80> </td> </tr> </table> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td>

105

</tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=6><b><a name="ipologismoi">Υπολογισμοί</a></b> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Για να υπολογίσουμε το <i>πολυώνυμο HOMFLYPT</i>, επιλέγουμε μια διασταύρωση και εφαρμόζουμε τη <i>σχέση skein</i> για τα πολυώνυμα των τριών διαφορετικών διαγραμμάτων. Στο παρακάτω παράδειγμα έχουμε επιλέξει μια διασταύρωση τύπου <i>L<sub>-</sub></i>. Έτσι λύνουμε τη <i>σχέση skein</i> ως προς τον όρο <i>P(L<sub>-</sub>)</i>. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td align=center><a href="../files/1_homfly.html#k3_1_jones" target="_blank"><img src="../images/k3_1_jones.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td align="center"> <font size=4><i>P(L<sub>-</sub>) = -l · (l · P(L<sub>+</sub>) + m · P(L<sub>0</sub>))</i> </font> </td> </tr> <tr>

106

<td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Παρακάτω απεικονίζεται το διάγραμμα <i>L<sub>+</sub></i>. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td align=center><a href="../files/1_homfly.html#k3_1_jones_1" target="_blank"><img src="../images/k3_1_jones_1.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Λόγω του πρώτου κανόνα το διάγραμμα του κόμβου μπορεί να απλοποιηθεί όταν φθάνουμε σε ισοτοπικό του τετριμμένου ή άλλων γνωστών κόμβων. Πράγματι, έτσι μπορούμε να πάρουμε τον τετριμμένο κόμβο αν μετά από μια κίνηση <b><i>R<sub>II</sub></i></b> χρησιμοποιήσουμε μια κίνηση <b><i>R<sub>I</sub></i></b>. Από το δεύτερο κανόνα το πολυώνυμο του τετριμμένου κόμβου είναι <i>1</i>, έτσι και η τιμή του <i>P(L<sub>+</sub>)</i> είναι <i>1</i>. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td align=center><a href="../files/1_homfly.html#k3_1_homfly_1" target="_blank"><img src="../images/k3_1_homfly_1.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td>

107

</tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td align="center"> <font size=4><i>P(L<sub>+</sub>) = 1</i> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Στην περίπτωση του <i>L<sub>0</sub></i>, με κάποια απλοποίηση του διαγράμματος οδηγούμαστε στον <i>κρίκο Hopf</i>, και μετά από πράξεις οδηγούμαστε στο <i>P(L<sub>0</sub>)</i>. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td align=center><a href="../files/1_homfly.html#k3_1_jones_2" target="_blank"><img src="../images/k3_1_jones_2.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td align="center">

108

<font size=4><i>P(L<sub>0</sub>) = -lm + l<sup>3</sup>m<sup>-1</sup> + lm<sup>-1</sup></i> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Αντικαθιστώντας τα αποτελέσματα στην αρχική <i>σχέση skein</i> παίρνουμε το τελικό αποτέλεσμα για το <i>πολυώνυμο HOMFLYPΤ</i> του δεξιόστροφου κόμβου <i>trefoil</i>. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td align="center"> <font size=4><i>P(L) = l<sup>2</sup>m<sup>2</sup> - 2 · l<sup>2</sup> - l<sup>4</sup></i> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=6><b><a name="simperasma">Συμπέρασμα</a></b> </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td>

109

<font size=4>Το <i>πολυώνυμο HOMFLYPΤ</i> είναι μια πιο γενική αναλλοίωτη, η οποία εξειδικεύεται και στο <i>πολυώνυμο Alexander</i> και στο <i>πολυώνυμο Jones</i>. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td width=30%> </td> <td><a href="../files/info3_ii.html" target="frame2">Προηγούμενη Ενότητα</a> </td> <td width=10%> </td> <td><a href="../files/info6_i.html" target="frame2">Επόμενη Ενότητα</a> </td> <td width=30%> </td> </tr> </table> </body> </html> <html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Εφαρμογές </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <h1 align="center"><b><u> Εφαρμογές </u></b></h1> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr>

110

<tr> <td> <font size=4>Η <i>Θεωρία Κόμβων</i> πρωτοαναπτύχθηκε με σκοπό να βρεί τις πρώτες της εφαρμογές στη Χημεία. Ο Λόρδος Kelvin και η Χημεία έδωσαν το έναυσμα για να αναπτυχθεί η <i>Θεωρία Κόμβων</i> τη δεκαετία του 1880. Ο Kelvin υπέθεσε πως όλο το σύμπαν περιβαλόταν από μια ουσία, τον αιθέρα, και πως η ύλη μπορούσε να περιγραφεί σαν κόμβοι μέσα στον αιθέρα. Όμως, όπως γνωρίζουμε σήμερα αυτό δεν είναι αληθές. Αυτό που οδήγησε τη <i>Θεωρία Κόμβων</i> να γίνει ένας μεγάλος κλάδος των μαθηματικών ήταν το πρόσφατο ενδιαφέρον. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Σήμερα, η <i>Θεωρία Κόμβων</i> έχει βρει πολλές εφαρμογές σε πολλούς τομείς. Εμείς θα αναφερθούμε σε μερικούς παρακάτω. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td width=30%> </td> <td><a href="../files/info5_ii.html" target="frame2">Προηγούμενη Ενότητα</a> </td> <td width=10%> </td> <td><a href="../files/info6_ii.html" target="frame2">Επόμενη Ενότητα</a> </td> <td width=30%> </td> </tr> </table> </body> </html>

111

<html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Θεωρία Κόμβων και Γραφήματα </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <h1 align="center"><b><u> Θεωρία Κόμβων και Γραφήματα </u></b></h1> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Η πρώτη, ίσως, εφαρμογή της <i>Θεωρίας Κόμβων</i> είναι στη Θεωρία Γραφημάτων. Πράγματι, το 1983 οι Conway και Gordon απέδειξαν, χρησιμοποιώντας αναλλοίωτες ισοτοπίας, ότι κάθε εμφύτευση του πλήρους γραφήματος <i>Κ<sub>6</sub></i> στο χώρο περιέχει έναν μη τετριμμένο κρίκο και ότι κάθε εμφύτευση του πλήρους γραφήματος <i>Κ<sub>7</sub></i> στο χώρο περιέχει έναν μη τετριμμένο κόμβο. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td align="center"><a href="../files/info6_ii_i.html" onClick="popup = window.open('info6_ii_i.html', 'PopupPage', 'height=550,width=1000,scrollbars=yes,resizable=yes'); return false" target="_blank"><img src="../images/graph.bmp" width=80 height=80></a> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr>

112

<td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td width=30%> </td> <td><a href="../files/info6_i.html" target="frame2">Προηγούμενη Ενότητα</a> </td> <td width=10%> </td> <td><a href="../files/info6_iii.html" target="frame2">Επόμενη Ενότητα</a> </td> <td width=30%> </td> </tr> </table> </body> </html> <html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Θεωρία Κόμβων και Φυσική </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <h1 align="center"><b><u> Θεωρία Κόμβων και Φυσική </u></b></h1> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Με την ανακάλυψη του πολυωνύμου Jones το 1984, ο ίδιος ο Jones ανακάλυψε επίσης θεμελιώδεις σχέσεις ανάμεσα στη <i>Θεωρία Κόμβων</i> και στη Στατιστική Μηχανική. Η Στατιστική Μηχανική μελετά μεγάλα συστήματα μορίων και εξετάζει τη συνολική συμπεριφορά ενός συστήματος ως προς ιδιότητες όπως η θερμοκρασία, η ενέργεια, η αλλαγή φάσεως κ.λ.π. </font> </td> </tr> <tr>

113

<td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Πιο συγκεκριμένα, από μοντέλα αλληλλεπιδράσεων γειτονικών μορίων τα οποία θεωρούνται ως κορυφές γραφημάτων, βρίσκεται η συνάρτηση διαμέρισης του συστήματος, η οποία περιέχει τις παραπάνω πληροφορίες για το σύστημα. Αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση διαμέρισης κάποιων μοντέλων σχετίζεται με πολυώνυμα γραφημάτων τα οποία με τη σειρά τους σχετίζονται με αναλλοίωτες κόμβων. Για παράδειγμα το μοντέλο Potts, που εξηγεί το λιώσιμο του πάγου, σχετίζεται με το διχρωματικό πολυώνυμο για γραφήματα, το οποίο οδηγεί στο <i>πολυώνυμο Jones</i> για κόμβους. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td width=30%> </td> <td><a href="../files/info6_ii.html" target="frame2">Προηγούμενη Ενότητα</a> </td> <td width=10%> </td> <td><a href="../files/info6_iv.html" target="frame2">Επόμενη Ενότητα</a> </td> <td width=30%> </td> </tr> </table> </body> </html> <html>      

114

<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Θεωρία Κόμβων και Βιολογία </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <h1 align="center"><b><u> Θεωρία Κόμβων και Βιολογία </u></b></h1> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Η Μοριακή Βιολογία μελετά μεταξύ άλλων, το φαινόμενο της αναδιάταξης (recombination) του DNA, κατά το οποίο κάποια ένζυμα, τα τοποϊσόμερα, δρουν στο μόριο, κόβοντας τη διπλή έλικα, και τα τέσσερα ελεύθερα άκρα ξανακολλούν με διαφορετικό τρόπο. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td align=center><a href="../files/dnaknot.html" target="_blank"><img src="../images/dnaknot_1.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> <td> </td> <td><===> </td> <td> </td> <td align=center><a href="../files/dnaknot.html" target="_blank"><img src="../images/dnaknot_2.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td align=center><a href="../files/dnaknot.html#knot3" target="_blank"><img src="../images/dnaknot_3.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> <td> </td> <td><===>

115

</td> <td> </td> <td align=center><a href="../files/dnaknot.html#knot3" target="_blank"><img src="../images/dnaknot_4.png" align="middle" width=80 height=80></a> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> <font size=4>Αυτή η δράση των ενζύμων προκαλεί την εμφάνιση κόμβων στο DNA. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td align="center"><a href="../files/dnaknot_1.html" onClick="popup = window.open('dnaknot_1.html', 'PopupPage', 'height=400,width=350,scrollbars=yes,resizable=yes'); return false" target="_blank"><img src="../images/dnaknot.jpg" align="middle" width=80 height=80></a> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Η αναδιάταξη γίνεται σε ελάχιστο χρονικό διάστημα, γι' αυτό οι μοριακοί βιολόγοι αναζητούν ένα θεωρητικό μοντέλο που να περιγράφει την ακριβή διαδικασία της δράσης των ενζύμων. Ένα τέτοιο μοντέλο δόθηκε το 1989 από τους Ernst και Sumners και βασίζεται στη θεωρία των ρητών διαπλοκών και στην

116

ταξινόμηση των ρητών κόμβων, εξηγώντας έτσι επιτυχώς ένα πείραμα πολλαπλής αναδιάταξης. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td width=30%> </td> <td><a href="../files/info6_iii.html" target="frame2">Προηγούμενη Ενότητα</a> </td> <td width=10%> </td> <td><a href="../files/info6_v.html" target="frame2">Επόμενη Ενότητα</a> </td> <td width=30%> </td> </tr> </table> </body> </html> <html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Θεωρία Κόμβων και Χημεία </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <h1 align="center"><b><u> Θεωρία Κόμβων και Χημεία </u></b></h1> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr>

117

<td> <font size=4>Η <i>Θεωρία Κόμβων</i> έχει βρει ενδιαφέρουσες εφαρμογές στην κατασκευή μορίων εναντιομερών. Τα εναντιομερή είναι μια ειδική κατηγορία ισομερών, δηλαδή μορίων με τον ίδιο μοριακό τύπο αλλά διαφορετική σύνδεση των ατόμων στο χώρο. Συγκεκριμένα, δύο εναντιομερή είναι το ένα κατοπτρική εικόνα του άλλου. Αυτό συνεπάγεται διαφορετικές φυσικές ιδιότητες των στοιχείων. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Οι χημικοί ενδιαφέρονται ιδιαίτερα να κατασκευάζουν εναντιομερή, προκειμένου να βρίσκονται καινούργια υλικά με συγκεκριμένες ιδιότητες. Ένας τύπος εναντιομερών, τα τοπολογικά εναντιομερή, είναι μόρια με μορφή κόμβου ή με μορφή κλίμακας Moebius. Είναι πολύ σημαντικό για τους χημικούς να γνωρίζουν εάν ένα μόριο είναι αμφίχειρο, δηλαδή ισοτοπικό με την κατοπτρική του εικόνα ή όχι. Αν δειχθεί με τοπολογικές μεθόδους ότι ένα μόριο είναι αμφίχειρο, τότε μπορεί να αποφευχθεί η πολυδάπανη και χρονοβόρα διαδικασία κατασκευής του εναντιομερούς του στο εργαστήριο. Για παράδειγμα ο κόμβος <i>figure-8</i> είναι αμφίχειρος ενώ ο κόμβος <i>trefoil</i> είναι μη αμφίχειρος. Τέτοιες μέθοδοι έχουν δοθεί επιτυχώς από τον J. Simon, την E. Flapan κ.α. (1986, 1987). </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td width=30%> </td> <td> </td> <td width=10%><a href="../files/molecule.html" onClick="popup = window.open('molecule.html', 'PopupPage', 'height=500,width=500,scrollbars=no,resizable=no'); return false" target="_blank"><img src="../images/molecule.gif" width=80 height=80></a> </td> <td> </td>

118

<td width=30%> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td width=30%> </td> <td><a href="../files/info6_iv.html" target="frame2">Προηγούμενη Ενότητα</a> </td> <td width=10%> </td> <td><a href="../files/info6_vi.html" target="frame2">Επόμενη Ενότητα</a> </td> <td width=30%> </td> </tr> </table> </body> </html> <html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Θεωρία Κόμβων και Τρισδιάστατες Πολλαπλότητες </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <h1 align="center"><b><u> Θεωρία Κόμβων και Τρισδιάστατες Πολλαπλότητες </u></b></h1> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Η Τοπολογία Χαμηλών Διαστάσεων μελετά τρισδιάστατους χώρους (προσανατολίσιμους, συνεκτικούς και συμπαγείς, χωρίς σύνορο) πέρα από τον γνωστό

119

Ευκλείδειο χώρο, που ονομάζονται <i>3-πολλαπλότητες (3-manifolds</i>). Το πρόβλημα της ταξινόμησής τους ως προς τη σχέση του ομοιομορφισμού είναι ένα από τα μεγάλα προβλήματα των μαθηματικών (<i>Εικασία Poincaré</i>). Κάθε 3-πολλαπλότητα μπορεί να κατασκευαστεί από έναν (τουλάχιστον) κόμβο μέσω της "τοπολογικής χειρουργικής". Επιπλέον, δύο 3-πολλαπλότητες είναι ομοιομορφικοί χώροι αν και μόνον αν οι αντίστοιχοι κόμβοι σχετίζονται μέσω ισοτοπίας και "<i>κινήσεων Kirby</i>". Έτσι, μια αναλλοίωτη ισοτοπίας, αν μπορεί να γίνει αναλλοίωτη και κάτω από τις κινήσεις Kirby, δίνει μια αναλλοίωτη 3-πολλαπλότητων. Αρα, το πρόβλημα της ταξινόμησης των κόμβων σχετίζεται με το πρόβλημα της ταξινόμησης των 3-πολλαπλοτήτων. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td width=30%> </td> <td><a href="../files/info6_v.html" target="frame2">Προηγούμενη Ενότητα</a> </td> <td width=10%> </td> <td><a href="../files/info8_i.html" target="frame2">Επόμενη Ενότητα</a> </td> <td width=30%> </td> </tr> </table> </body> </html> <html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Θεωρία Κόμβων </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg>

120

<h1 align="center"><b><u> Θεωρία Κόμβων </u></b></h1> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Η <a href="../files/knot_theory.html" onClick="popup = window.open('knot_theory.html', 'PopupPage', 'height=250,width=300,scrollbars=yes,resizable=yes'); return false" target="_blank">Θεωρία Κόμβων</a> είναι ένας κλάδος της Τοπολογίας που εξετάζει τους <a href="../files/knots.html" onClick="popup = window.open('knots.html', 'PopupPage', 'height=275,width=300,scrollbars=yes,resizable=yes'); return false" target="_blank">κόμβους</a> και τους <a href="../files/links.html" onClick="popup = window.open('links.html', 'PopupPage', 'height=230,width=300,scrollbars=yes,resizable=yes'); return false" target="_blank">κρίκους</a>. Στην <i>Τοπολογία</i>, μια σφαίρα είναι όμοια με έναν κύβο. Η <i>Τοπολογία</i> δεν εξετάζει τις γεωμετρικές ιδιότητες των αντικειμένων, όπως το μήκος και τις γωνίες, αλλά τις ιδιότητες οι οποίες μένουν αναλλοίωτες ως προς την αλλαγή καμπυλότητας, στρέψης και ως προς τις ελαστικές παραμορφώσεις. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Ο πιο απλός κόμβος είναι ο <a href="../files/unknot_knot.html" onClick="popup = window.open('unknot_knot.html', 'PopupPage', 'height=500,width=500,scrollbars=no,resizable=no'); return false" target="_blank">τετριμμένος</a>. Ο αμέσως επόμενος είναι ο κόμβος <a href="../files/trefoil_knot.html" onClick="popup = window.open('trefoil_knot.html', 'PopupPage', 'height=500,width=500,scrollbars=no,resizable=no'); return false" target="_blank"><i>trefoil</i></a> και η κατοπτρική του εικόνα, και μετά είναι ο κόμβος <a href="../files/figure-8_knot.html" onClick="popup = window.open('figure-8_knot.html', 'PopupPage', 'height=500,width=500,scrollbars=no,resizable=no'); return false" target="_blank"><i>figure-8</i></a>. Η κατοπτρική εικόνα ενός κόμβου, είναι ο ίδιος κόμβος με αντίθετες διασταυρώσεις. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr>

121

<td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Σε όλη την ιστορία της <i>Θεωρίας Κόμβων</i> οι ερευνητές κράτησαν ζωντανή τη θεωρία, βρίσκοντας χρησιμότητες της μελέτης τους. Από την ατομική θεωρία που προτάθηκε από το Λόρδο Kelvin μέχρι την ανακάλυψη ενός μορίου DNA υπό τη μορφή κόμβου <i>trefoil</i>, υπήρξε πάντα ένας σκοπός και μια έμπνευση για τη <i>Θεωρία Κόμβων</i>. Οι εφαρμογές της σήμερα εκτείνονται από τη Στατιστική Μηχανική έως τη Χημεία και τη Μοριακή Βιολογία. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td width=40%> </td> <td width=15% align="center"><a href="../files/info_new.html" target="frame2">Επόμενη Ενότητα</a> </td> <td width=40%> </td> </tr> </table> </body> </html> <html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Κινήσεις Reidemeister </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <h1 align="center"><b><u> Κινήσεις Reidemeister </u></b></h1> <center>

122

<table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Ένα σημαντικό βήμα στη μελέτη των κόμβων ως προς την έννοια της ισοτοπίας είναι η αναπαράσταση των κόμβων από κανονικές προβολές τους στο επίπεδο, που ονομάζονται διαγράμματα. Ένα διάγραμμα κόμβου σε κάθε διασταύρωση έχει την πληροφορία "άνω" ή "κάτω". Ο Kurt Reidemeister κατάφερε να αποδείξει το 1935 πως οποιαδήποτε ισοτοπική κίνηση ενός κόμβου στο χώρο μπορεί να επιτευχθεί στο επίπεδο με μόνο τρεις βασικές κινήσεις. Αυτές έγιναν γνωστές ως <a href="../files/reidemeister_moves.html" onClick="popup = window.open('reidemeister_moves.html', 'PopupPage', 'height=650,width=650,scrollbars=yes,resizable=yes'); return false" target="_blank">κινήσεις Reidemeister</a>. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <td> <font size=4>Η <i>πρώτη κίνηση Reidemeister</i> συμβολίζεται με <b><i>R<sub>I</sub></i></b> και απλά προσθέτει ή αφαιρεί μια διασταύρωση μέσω μιας απλής αναδίπλωσης. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <td> <font size=4>Η <i>δεύτερη κίνηση Reidemeister</i> συμβολίζεται με <b><i>R<sub>II</sub></i></b> και προσθέτει ή αφαιρεί ταυτόχρονα δύο διασταυρώσεις. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr>

123

<tr> <td> </td> </tr> <td> <font size=4>Η <i>τρίτη κίνηση Reidemeister</i> συμβολίζεται με <b><i>R<sub>III</sub></i></b> και μας επιτρέπει να μετακινήσουμε ένα τμήμα του κόμβου από τη μια πλευρά μιας διασταύρωσης στην άλλη. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Δύο διαγράμματα κόμβων που διαφέρουν κατά κινήσεις Reidemeister θα λέγονται επίσης ισοτοπικά. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td width=30%> </td> <td><a href="../files/info_new.html" target="frame2">Προηγούμενη Ενότητα</a> </td> <td width=10%> </td> <td><a href="../files/info1_i.html" target="frame2">Επόμενη Ενότητα</a> </td> <td width=30%> </td> </tr> </table> </body> </html>

124

<html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Τριχρωματισιμότητα </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <h1 align="center"><b><u> Τριχρωματισιμότητα </u></b></h1> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Μια κλασσική αναλλοίωτη είναι η <i>τριχρωματισιμότητα</i>. Ένας κόμβος λέγεται τριχρωματίσιμος αν ένα διάγραμμα του μπορεί να χρωματιστεί με τρία διαφορετικά χρώματα (όπως παρακάτω) έτσι ώστε να ικανοποιούνται τα ακόλουθα: </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4><b><i>Κανόνας 1ος:</i></b> Σε κάθε διασταύρωση είτε και τα τρία τμήματα του κόμβου έχουν διαφορετικό χρώμα είτε όλα το ίδιο. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td>

125

<font size=4><b><i>Κανόνας 2ος:</i></b> Όλα τα χρώματα χρησιμοποιούνται για να χρωματιστεί ο κόμβος. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td align="center"><a href="../files/knot_tri.html" onClick="popup = window.open('knot_tri.html', 'PopupPage', 'height=550,width=550,scrollbars=no,resizable=no'); return false" target="_blank" target="_blank"><img src="../images/knot_tri_1.png" align="middle" width=80 height=80></a> ---> <a href="../files/knot_tri.html" target="_blank"><img src="../images/knot_tri_2.png" onClick="popup = window.open('knot_tri.html', 'PopupPage', 'height=550,width=550,scrollbars=no,resizable=no'); return false" target="_blank" target="_blank" align="middle" width=80 height=80></a> ---> <a href="../files/knot_tri.html" target="_blank"><img src="../images/knot_tri_3.png" onClick="popup = window.open('knot_tri.html', 'PopupPage', 'height=550,width=550,scrollbars=no,resizable=no'); return false" target="_blank" target="_blank" align="middle" width=80 height=80></a> ---> <a href="../files/knot_tri.html" target="_blank"><img src="../images/knot_tri_4.png" onClick="popup = window.open('knot_tri.html', 'PopupPage', 'height=550,width=550,scrollbars=no,resizable=no'); return false" target="_blank" target="_blank" align="middle" width=80 height=80></a> ---> <a href="../files/knot_tri.html" target="_blank"><img src="../images/knot_tri_5.png" onClick="popup = window.open('knot_tri.html', 'PopupPage', 'height=550,width=550,scrollbars=no,resizable=no'); return false" target="_blank" target="_blank" align="middle" width=80 height=80></a> </td> </tr> </table> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>(Χρησιμοποιώντας κινήσεις Reidemeister δείξτε ότι κάθε διάγραμμα ενός τριχρωματίσιμου κόμβου είναι τριχρωματίσιμο. Αρα η τριχρωματισιμότητα είναι αναλλοίωτη ισοτοπίας.)

126

</font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td width=30%> </td> <td><a href="../files/info1_i.html" target="frame2">Προηγούμενη Ενότητα</a> </td> <td width=10%> </td> <td><a href="../files/info1_ii.html" target="frame2">Επόμενη Ενότητα</a> </td> <td width=30%> </td> </tr> </table> </body> </html> <html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Ισοτοπία στο χώρο </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <h1 align="center"><b><u> Ισοτοπία στο χώρο </u></b></h1> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td>

127

<font size=4>Ένας <i>κόμβος</i> είναι μια κλειστή, μονοδιάστατη και συνεχής μη τεμνόμενη καμπύλη στον τρισδιάστατο χώρο. Από μια πιο μαθηματική σκοπιά, ένας κόμβος είναι η εικόνα ενός ομοιομορφισμού που μεταφέρει έναν κύκλο στον τρισδιάστατο χώρο. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Ένας <i>κρίκος</i> με <i>k</i> συνιστώσες είναι η ομοιομορφική εικόνα <i>k</i> κύκλων στον τρισδιάστατο χώρο. Κάθε κόμβος που απαρτίζει τον κρίκο ονομάζεται συνιστώσα του κρίκου. Ένας κρίκος με μια μόνο συνιστώσα ονομάζεται κόμβος. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Δύο κόμβοι <i>k<sub>1</sub></i>, <i>k<sub>2</sub></i> οι οποίοι μπορούν να μετασχηματιστούν ο ένας στον άλλο μέσω ισοτοπίας ονομάζονται <i>ισοτοπικοί</i>. Μια ισοτοπία είναι μια συνεχής ελαστική παραμόρφωση του χώρου (δηλαδή ένας ομοιομορφισμός του χώρου) που μεταφέρει τον <i>k<sub>1</sub></i> στον <i>k<sub>2</sub></i>. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr>

128

<td align=center><a href="../files/unknot_example.html" target="_blank"><img src="../images/unknot_ex.png" onClick="popup = window.open('unknot_example.html', 'PopupPage', 'height=500,width=650,scrollbars=no,resizable=no'); return false" target="_blank" target="_blank" align="middle" width=80 height=80></a> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=95%> <tr> <td> <font size=4>Οποιοδήποτε σύνολο κόμβων που είναι <i>ισοτοπικοί</i> μεταξύ τους ανήκουν στην ίδια <i>ισοτοπική κλάση</i>. Όταν λέμε κόμβος <i>k</i> εννοούμε ολόκληρη την κλάση ισοτοπίας του <i>k</i>. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Το κεντρικό πρόβλημα της <i>Θεωρίας Κόμβων</i> είναι η ταξινόμηση των κόμβων ως προς την έννοια της ισοτοπίας, δηλαδή να βρεθούν όλοι οι διαφορετικοί τύποι κόμβων. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table> <tr> <td width=30%> </td>

129

<td><a href="../files/info_i.html" target="frame2">Προηγούμενη Ενότητα</a> </td> <td width=10%> </td> <td><a href="../files/info_ii.html" target="frame2">Επόμενη Ενότητα</a> </td> <td width=30%> </td> </tr> </table> </body> </html> <html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Θεωρία Κόμβων </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=90%> <tr> <td align="center"><a href="javascript:window.close()"> Κλείσιμο </a> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Η <b><u>Θεωρία Κόμβων</u></b> είναι ο κλάδος της Τοπολογίας που μελετά τους κόμβους. Ένας κόμβος ορίζεται ως η εικόνα ενός ομοιομορφισμού που μεταφέρει έναν κύκλο στον τρισδιάστατο χώρο. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr>

130

</table> </body> </html> <html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Tricolorability </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0> <tr> <td align="center"><a href="javascript:window.close()"> Κλείσιμο </a> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <object width="450" height="500"> <param name="movie" value="tricolorability.swf"> <embed src="../animations/tricolorability.swf" width="420" height="500"> </embed> </object> <table> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> </body> </html> <html>    

131

<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Κόμβοι </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=90%> <tr> <td align="center"><a href="javascript:window.close()"> Κλείσιμο </a> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Ένας <b><u>κόμβος</u></b> είναι μια κλειστή, μονοδιάστατη και συνεχής μη τεμνόμενη καμπύλη στον τρισδιάστατο χώρο. Από μια πιο μαθηματική σκοπιά, ένας κόμβος είναι η εικόνα ενός ομοιομορφισμού που μεταφέρει έναν κύκλο στον τρισδιάστατο χώρο. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> </body> </html> <html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Κρίκοι </title> </head> <body>

132

<body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=90%> <tr> <td align="center"><a href="javascript:window.close()"> Κλείσιμο </a> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Ένας <b><u>κρίκος</u></b> με <i>k</i> συνιστώσες είναι η ομοιομορφική εικόνα <i>k</i> κύκλων στον τρισδιάστατο χώρο. Κάθε κόμβος που απαρτίζει τον κρίκο ονομάζεται συνιστώσα του κρίκου. Ένας κρίκος με μια μόνο συνιστώσα ονομάζεται κόμβος. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> </body> </html> <html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title>Τι Είναι Η Θεωρία Κόμβων Στα Μαθηματικά</title> </head> <frameset cols="18%,*"> <frame name="frame1" src="../files/periexomena.html"> <frameset rows="95,*"> <frame name="head1" src="../files/emp.html"> <frame name="frame2" src="../files/info_i.html"> </frameset> </frameset> </html>

133

<html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title>Περιεχόμενα</title> </head> <body> <body marginwidth=10 marginheight=20 topmargin=0 background=../images/1.jpg> <a href="../files/info_i.html" target="frame2"> Εισαγωγή στη Θεωρία Κόμβων </a> <ul type="i"> <li><a href="../files/info_new.html" target="frame2"> Ισοτοπία στο χώρο </a></li> <li><a href="../files/info_ii.html" target="frame2"> Κινήσεις Reidemeister </a></li> </ul> <hr width=100%> <a href="../files/info1_i.html" target="frame2"> Αναλλοίωτες Κόμβων - Κλασσικές Αναλλοίωτες Κόμβων </a> <ul type="i"> <li><a href="../files/info_iii.html" target="frame2"> Τριχρωματισιμότητα </a></li> <li><a href="../files/info1_ii.html" target="frame2"> Αριθμός Διασταυρώσεων (Crossing Number) </a></li> <li><a href="../files/info1_iii.html" target="frame2"> Αριθμός Γεφυρών (Bridge Number) </a></li> <li><a href="../files/info1_iv.html" target="frame2"> Αριθμός Λύσεως (Unknotting Number) </a></li> </ul> <hr width=100%> <a href="../files/info2_i_a.html" target="frame2"> Περιγραφή κόμβων </a> <ul type="i"> <li><a href="../files/info2_i_ai.html" target="frame2"> Συμβολισμός Dowker </a></li> <li><a href="../files/info2_i_aiii.html" target="frame2"> Συμβολισμός Bar Natan </a></li> <li><a href="../files/info2_i_aii.html" target="frame2"> Συμβολισμός Conway </a></li> </ul> <hr width=100%> <a href="../files/info2_i.html" target="frame2"> Πολυωνυμικές Αναλλοίωτες </a> <ul type="A"> <li><a href="../files/info2_ii.html" target="frame2"> Πολυώνυμο Alexander </a></li> <ol type="circle"> <li><a href="../files/info2_ii.html#istorika" target="frame2"> Ιστορικά </a></li> <li><a href="../files/info2_ii.html#proetoimasia" target="frame2"> Κανόνες Ορισμού </a></li> <li><a href="../files/info2_ii.html#ipologismoi" target="frame2"> Υπολογισμοί </a></li> <li><a href="../files/info2_ii.html#simperasma" target="frame2"> Συμπέρασμα </a></li> </ol>

134

<hr width=100%> <li><a href="../files/info4_ii.html" target="frame2"> Πολυώνυμο Jones </a></li> <ol type="circle"> <li><a href="../files/info4_ii.html#istorika" target="frame2"> Ιστορικά </a></li> <li><a href="../files/info4_ii.html#proetoimasia" target="frame2"> Κανόνες Ορισμού </a></li> <li><a href="../files/info4_ii.html#ipologismoi" target="frame2"> Υπολογισμοί </a></li> <li><a href="../files/info4_ii.html#simperasma" target="frame2"> Συμπέρασμα </a></li> </ol> <hr width=100%> <li><a href="../files/info3_ii.html" target="frame2"> Πολυώνυμο Kauffman bracket </a></li> <ol type="circle"> <li><a href="../files/info3_ii.html#istorika" target="frame2"> Ιστορικά </a></li> <li><a href="../files/info3_ii.html#proetoimasia" target="frame2"> Κανόνες Ορισμού </a></li> <li><a href="../files/info3_ii.html#ipologismoi" target="frame2"> Υπολογισμοί </a></li> <li><a href="../files/info3_ii.html#simperasma" target="frame2"> Συμπέρασμα </a></li> </ol> <hr width=100%> <li><a href="../files/info5_ii.html" target="frame2"> Πολυώνυμο Homflypt </a></li> <ol type="circle"> <li><a href="../files/info5_ii.html#istorika" target="frame2"> Ιστορικά </a></li> <li><a href="../files/info5_ii.html#proetoimasia" target="frame2"> Κανόνες Ορισμού </a></li> <li><a href="../files/info5_ii.html#ipologismoi" target="frame2"> Υπολογισμοί </a></li> <li><a href="../files/info5_ii.html#simperasma" target="frame2"> Συμπέρασμα </a></li> </ol> </ul> <hr width=100%> <a href="../files/info6_i.html" target="frame2"> Εφαρμογές </a> <ol type="circle"> <li><a href="../files/info6_ii.html" target="frame2"> Γραφήματα </a></li> <li><a href="../files/info6_iii.html" target="frame2"> Φυσική </a></li> <li><a href="../files/info6_iv.html" target="frame2"> Βιολογία </a></li> <li><a href="../files/info6_v.html" target="frame2"> Χημεία </a></li> <li><a href="../files/info6_vi.html" target="frame2"> Τρισδιάστατες Πολλαπλότητες </a></li> </ol> <hr width=100%> <a href="../files/info8_i.html" target="frame2"> Ευρετήριο κόμβων </a> <ol type="circle"> <li><a href="../files/info8_i.html#k3" target="frame2"> k3 </a></li> <li><a href="../files/info8_i.html#k4" target="frame2"> k4 </a></li> <li><a href="../files/info8_i.html#k5" target="frame2"> k5 </a></li> <li><a href="../files/info8_i.html#k6" target="frame2"> k6 </a></li> <li><a href="../files/info8_i.html#k7" target="frame2"> k7 </a></li> <li><a href="../files/info8_i.html#k8" target="frame2"> k8 </a></li>

135

<li><a href="../files/info8_i.html#k9" target="frame2"> k9 </a></li> <li><a href="../files/info8_i.html#k10" target="frame2"> k10 </a></li> </ol> <hr width=100%> <a href="../files/info9_i.html" target="frame2"> Ευρετήριο κρίκων </a> <ol type="circle"> <li><a href="../files/info9_i.html#l2" target="frame2"> l2 </a></li> <li><a href="../files/info9_i.html#l3" target="frame2"> l3 </a></li> <li><a href="../files/info9_i.html#l4" target="frame2"> l4 </a></li> <li><a href="../files/info9_i.html#l5" target="frame2"> l5 </a></li> </ol> <hr width=100%> <a href="../files/info10_i.html" target="frame2"> Ασκήσεις </a> <hr width=100%> <a href="../files/info7_i.html" target="frame2"> Βιβλιογραφία </a> </body> </html> <html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Κινησεις Reidemeister </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=90%> <tr> <td align="center"><a href="javascript:window.close()"> Κλείσιμο </a> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>Ο Kurt Reidemeister κατάφερε να αποδείξει το 1935 πως οποιαδήποτε ισοτοπική κίνηση ενός κόμβου στο χώρο μπορεί να επιτευχθεί στο επίπεδο με μόνο τρεις βασικές κινήσεις. Αυτές έγιναν γνωστές ως κινήσεις Reidemeister. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td>

136

</tr> <tr> <td> <font size=4>Παρακάτω είναι οι τρεις βασικές κινήσεις Reidemeister. Η πρώτη προσθέτει ή αφαιρεί μια διασταύρωση μέσω μιας απλής αναδίπλωσης. Η δεύτερη προσθέτει ή αφαιρεί ταυτόχρονα δύο διασταυρώσεις. Η τρίτη μας επιτρέπει να μετακινήσουμε ένα τμήμα του κόμβου από τη μια πλευρά μιας διαστάυρωσης στην άλλη. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td><a href="../files/reidemeister_move_1.html" target="_blank"><img src="../images/-reidemeister_move_1.png" align="middle" width=40 height=40> Πρώτη κίνηση Reidemeister </a> </td> </tr> <tr> <td align="right"><a href="../files/reidemeister_move_2.html" target="_blank"> Δεύτερη κίνηση Reidemeister <img src="../images/-reidemeister_move_2.png" align="middle" width=40 height=40></a> </td> </tr> <tr> <td><a href="../files/reidemeister_move_3.html" target="_blank"><img src="../images/-reidemeister_move_3.png" align="middle" width=40 height=40> Τρίτη κίνηση Reidemeister </a> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> </body> </html> <html>       

137

</tr> </table> </body> </html> <html>        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Τριχρωματισιμότητα </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=90%> <tr> <td align="center"><a href="javascript:window.close()"> Κλείσιμο </a> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4><b><u>Τριχρωματισιμότητα</u></b> είναι η ικανότητα να χρωματίσουμε έναν κόμβο με τρία διαφορετικά χρώματα. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> </body> </html> <html>   

139

<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=Windows-1253" /> <head> <title> Unknotting Number </title> </head> <body> <body marginwidth=0 marginheight=0 topmargin=0 background=../images/back.jpg> <center> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 width=90%> <tr> <td align="center"><a href="javascript:window.close()"> Κλείσιμο </a> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> <font size=4>O <u><b>αριθμός λύσεως</b></u> ενός κόμβου Κ συμβολίζεται με <i>u(K)</i> και αντιπροσωπεύει τον ελάχιστο αριθμό διασταυρώσεων που πρέπει να αλλάξουν για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος, στο πλήθος όλων των διαγραμμάτων του Κ. </font> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> </body> </html>

140

ΚΩΔΙΚΑΣ FLASH questions.fla main Actions for Frame 1 stop(); ΑΣΚΗΣΕΙΣ, (Times New Roman, 50 pts) Κωνσταντίνος Παναγίδης, (Times New Roman, 20 pts) Σ.Ε.Μ.Φ.Ε, (Times New Roman, 20 pts) Symbol 1 Actions for Symbol 1 on (release) correct = 0; total = 0; gotoAndPlay("question5", "play5"); question1 Actions for Frame 1 stop(); Actions for Frame 11 stop(); ΛΑΘΟΣ !!!, (Times New Roman, 70 pts) Symbol 5 Actions for Symbol 5 on (release) gotoAndPlay("question1", "play1"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question1", "xbutton12"); Ερώτηση 3, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 12 stop(); ΣΩΣΤΟ !!!, (Times New Roman, 70 pts) Symbol 6 Actions for Symbol 6 on (release) _root.play(); Symbol 4 Actions for Symbol 4 on (release) gotoAndPlay("question2", "play2"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question1", "xbutton13"); Ερώτηση 3, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 13

141

stop(); sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 3, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 14 stop(); sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 3, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 15 stop(); sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 3, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 16 stop(); Symbol 4 Actions for Symbol 4 on (release) gotoAndPlay("question2", "play2"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question1", "xbutton14"); Ερώτηση 3, (Times New Roman, 20 pts) Symbol 2 Actions for Symbol 2 on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question1", "incorrect1"); Symbol 3 Actions for Symbol 3 on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question1", "correct1"); ΝΑΙ, (Times New Roman, 30 pts) ΟΧΙ, (Times New Roman, 30 pts) Είναι ο κόμβος figure-8 τριχρωματίσιμος;, (Times New Roman, 30 pts) Actions for Frame 21 stop();

142

Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question1", "play1"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 22 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question1", "incorrect1"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 23 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question1", "correct1"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 24 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question1", "last11"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Ερώτηση 3, (Times New Roman, 20 pts) xbutton Actions for xbutton on (release)

143

gotoAndPlay("question1", "xbutton11"); question2 Actions for Frame 1 stop(); Actions for Frame 10 stop(); ΛΑΘΟΣ !!!, (Times New Roman, 70 pts) Symbol 5 Actions for Symbol 5 on (release) gotoAndPlay("question2", "play2"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question2", "xbutton22"); Ερώτηση 4α, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 16 stop(); ΛΑΘΟΣ !!!, (Times New Roman, 70 pts) Symbol 5 Actions for Symbol 5 on (release) gotoAndPlay("question2", "play2b"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question2", "xbutton24"); Ερώτηση 4β, (Times New Roman, 20 pts) ΣΩΣΤΟ !!!, (Times New Roman, 70 pts) Ερώτηση 4α, (Times New Roman, 20 pts) ΣΩΣΤΟ !!!, (Times New Roman, 70 pts) Ερώτηση 4α, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 13 stop(); Ποιά διασταύρωση πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) Ερώτηση 4β, (Times New Roman, 20 pts) 1b Actions for 1b on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question2", "incorrect2b"); 2b Actions for 2b on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question2", "incorrect2b");

144

3b Actions for 3b on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question2", "incorrect2b"); 4b Actions for 4b on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question2", "correct2b"); 5b Actions for 5b on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question2", "correct2c"); 6b Actions for 6b on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question2", "incorrect2b"); 7b Actions for 7b on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question2", "incorrect2b"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question2", "xbutton23"); Actions for Frame 20 stop(); Symbol 6 Actions for Symbol 6 on (release) _root.play(); Symbol 4 Actions for Symbol 4 on (release) gotoAndPlay("question4", "play4"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question2", "xbutton25");

145

ΣΩΣΤΟ !!! , (Times New Roman, 70 pts) Ερώτηση 4β, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 21 stop(); sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 4β, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 22 stop(); sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 4β, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 23 stop(); sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 4β, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 24 stop(); sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 4β, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 25 stop(); sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 4β, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 26 stop(); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question2", "xbutton26"); Symbol 4 Actions for Symbol 4 on (release) gotoAndPlay("question4", "play4");

146

Ερώτηση 4β, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 36 stop(); Symbol 6 Actions for Symbol 6 on (release) _root.play(); Symbol 4 Actions for Symbol 4 on (release) gotoAndPlay("question4", "play4"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question2", "xbutton27"); ΣΩΣΤΟ !!! , (Times New Roman, 70 pts) Ερώτηση 4β, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 37 stop(); sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 4β, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 38 stop(); sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 4β, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 39 stop(); sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 4β, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 40 stop(); sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 4β, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 41 stop();

147

sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 4β, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 42 stop(); Symbol 4 Actions for Symbol 4 on (release) gotoAndPlay("question4", "play4"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question2", "xbutton26"); Ερώτηση 4β, (Times New Roman, 20 pts) Symbol 2 Actions for Symbol 2 on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question2", "correct2"); Symbol 3 Actions for Symbol 3 on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question2", "incorrect2"); Symbol 7 Actions for Symbol 7 on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question2", "incorrect2"); Symbol 8 Actions for Symbol 8 on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question2", "incorrect2"); 1, (Times New Roman, 30 pts) 2, (Times New Roman, 30 pts) 3, (Times New Roman, 30 pts) 4, (Times New Roman, 30 pts) Ερώτηση 4α, (Times New Roman, 20 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question2", "xbutton21");

148

Actions for Frame 28 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question2", "play2"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 29 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question2", "incorrect2"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 30 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question2", "play2b"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 31 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question2", "incorrect2b"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 32 stop();

149

Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question2", "correct2b"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 33 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question2", "last21"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 34 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question2", "correct2c"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 35 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question2", "last22"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Ποιός είναι ο αριθμός λύσεως του κόμβου 72;, (Times New Roman, 30 pts), (Times New Roman, 30 pts) question3 Είναι ο κόμβος trefoil τριχρωματίσιμος;, (Times New Roman, 30 pts)

150

xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question3", "xbutton31"); Actions for Frame 10 stop(); ΛΑΘΟΣ !!!, (Times New Roman, 70 pts) Symbol 5 Actions for Symbol 5 on (release) gotoAndPlay("question3", "play3"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question3", "xbutton32"); Ερώτηση 2, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 11 stop(); ΣΩΣΤΟ !!!, (Times New Roman, 70 pts) Symbol 6 Actions for Symbol 6 on (release) _root.play(); Symbol 4 Actions for Symbol 4 on (release) gotoAndPlay("question1", "play1"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question3", "xbutton33"); Ερώτηση 2, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 12 stop(); sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 2, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 13 stop(); sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 2, (Times New Roman, 20 pts)

151

Actions for Frame 14 stop(); Symbol 4 Actions for Symbol 4 on (release) gotoAndPlay("question1", "play1"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question3", "xbutton34"); Ερώτηση 2, (Times New Roman, 20 pts) Symbol 2 Actions for Symbol 2 on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question3", "correct3"); Symbol 3 Actions for Symbol 3 on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question3", "incorrect3"); ΝΑΙ, (Times New Roman, 30 pts) ΟΧΙ, (Times New Roman, 30 pts) Ερώτηση 2, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 16 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question3", "play3"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 17 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question3", "incorrect3"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main");

152

Actions for Frame 18 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question3", "correct3"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 19 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question3", "last31"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 1 stop(); question4 Ερώτηση 5, (Times New Roman, 20 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question4", "xbutton41"); Actions for Frame 10 stop(); ΛΑΘΟΣ !!!, (Times New Roman, 70 pts) Symbol 5 Actions for Symbol 5 on (release) gotoAndPlay("question4", "play4"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question4", "xbutton42"); Ερώτηση 5, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 11 stop(); ΣΩΣΤΟ !!!, (Times New Roman, 70 pts) Symbol 6

153

Actions for Symbol 6 on (release) _root.play(); Symbol 4 Actions for Symbol 4 on (release) gotoAndPlay("question6", "play6"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question4", "xbutton43"); Ερώτηση 5, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 12 stop(); 1 διασταύρωση, (Times New Roman, 25 pts), (Times New Roman, 25 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 5, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 13 stop(); 2 διασταυρώσεις, (Times New Roman, 25 pts), (Times New Roman, 25 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 5, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 14 stop(); 3 διασταυρώσεις, (Times New Roman, 25 pts), (Times New Roman, 25 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 5, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 15 stop(); 4 διασταυρώσεις, (Times New Roman, 25 pts), (Times New Roman, 25 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 5, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 16 stop(); 5 διασταυρώσεις, (Times New Roman, 25 pts), (Times New Roman, 25 pts)

154

sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 5, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 17 stop(); 6 διασταυρώσεις, (Times New Roman, 25 pts), (Times New Roman, 25 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 5, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 18 stop(); 7 διασταυρώσεις, (Times New Roman, 25 pts), (Times New Roman, 25 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 5, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 19 stop(); 8 διασταυρώσεις, (Times New Roman, 25 pts), (Times New Roman, 25 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 5, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 20 stop(); 9 διασταυρώσεις, (Times New Roman, 25 pts), (Times New Roman, 25 pts) Symbol 4 Actions for Symbol 4 on (release) gotoAndPlay("question6", "play6"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question4", "xbutton44"); Ερώτηση 5, (Times New Roman, 20 pts) Symbol 2 Actions for Symbol 2 on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question4", "incorrect4"); Symbol 3

155

Actions for Symbol 3 on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question4", "correct4"); Symbol 7 Actions for Symbol 7 on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question4", "incorrect4"); Symbol 8 Actions for Symbol 8 on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question4", "incorrect4"); 8, (Times New Roman, 30 pts) 9, (Times New Roman, 30 pts) 10, (Times New Roman, 30 pts) 11, (Times New Roman, 30 pts) Πόσες διασταυρώσεις έχει ο παρακάτω κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) Actions for Frame 22 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question4", "play4"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 23 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question4", "incorrect4"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 24 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no

156

on (release) gotoAndPlay("question4", "correct4"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 25 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question4", "last41"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 1 stop(); question5 Πόσες διασταυρώσεις έχει ο παρακάτω κόμβος αν αφαιρέσουμε εκείνες των κινήσεων RI;, (Times New Roman, 22 pts), (Times New Roman, 22 pts), (Times New Roman, 22 pts) Symbol 2 Actions for Symbol 2 on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question5", "correct5"); Symbol 3 Actions for Symbol 3 on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question5", "incorrect5"); Symbol 7 Actions for Symbol 7 on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question5", "incorrect5"); Symbol 8 Actions for Symbol 8 on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question5", "incorrect5"); 10, (Times New Roman, 30 pts) 13, (Times New Roman, 30 pts)

157

15, (Times New Roman, 30 pts) 18, (Times New Roman, 30 pts) Actions for Frame 10 stop(); ΛΑΘΟΣ !!!, (Times New Roman, 70 pts) Symbol 5 Actions for Symbol 5 on (release) gotoAndPlay("question5", "play5"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question5", "xbutton52"); Ερώτηση 1, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 11 stop(); ΣΩΣΤΟ !!!, (Times New Roman, 70 pts) Symbol 6 Actions for Symbol 6 on (release) _root.play(); Symbol 4 Actions for Symbol 4 on (release) gotoAndPlay("question3", "play3"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question5", "xbutton53"); Ερώτηση 1, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 12 stop(); sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 1, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 13 stop(); Κίνηση RI, (Times New Roman, 25 pts), (Times New Roman, 25 pts), (Times New Roman, 25 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 1, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 14

158

stop(); sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 1, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 15 stop(); sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Κίνηση RI, (Times New Roman, 25 pts), (Times New Roman, 25 pts), (Times New Roman, 25 pts) Ερώτηση 1, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 16 stop(); sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 1, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 17 stop(); sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Κίνηση RI, (Times New Roman, 25 pts), (Times New Roman, 25 pts), (Times New Roman, 25 pts) Ερώτηση 1, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 18 stop(); sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 1, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 19 stop(); sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Κίνηση RI, (Times New Roman, 25 pts), (Times New Roman, 25 pts), (Times New Roman, 25 pts) Ερώτηση 1, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 20

159

stop(); sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 1, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 21 stop(); sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Κίνηση RI, (Times New Roman, 25 pts), (Times New Roman, 25 pts), (Times New Roman, 25 pts) Ερώτηση 1, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 22 stop(); sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 1, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 23 stop(); 1 διασταύρωση, (Times New Roman, 25 pts), (Times New Roman, 25 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 1, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 24 stop(); 2 διασταυρώσεις, (Times New Roman, 25 pts), (Times New Roman, 25 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 1, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 25 stop(); 3 διασταυρώσεις, (Times New Roman, 25 pts), (Times New Roman, 25 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 1, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 26 stop();

160

4 διασταυρώσεις, (Times New Roman, 25 pts), (Times New Roman, 25 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 1, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 27 stop(); 5 διασταυρώσεις, (Times New Roman, 25 pts), (Times New Roman, 25 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 1, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 28 stop(); 6 διασταυρώσεις, (Times New Roman, 25 pts), (Times New Roman, 25 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 1, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 29 stop(); 7 διασταυρώσεις, (Times New Roman, 25 pts), (Times New Roman, 25 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 1, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 30 stop(); 8 διασταυρώσεις, (Times New Roman, 25 pts), (Times New Roman, 25 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 1, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 31 stop(); 9 διασταυρώσεις, (Times New Roman, 25 pts), (Times New Roman, 25 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Ερώτηση 1, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 32 stop();

161

10 διασταυρώσεις, (Times New Roman, 25 pts), (Times New Roman, 25 pts) Symbol 4 Actions for Symbol 4 on (release) gotoAndPlay("question3", "play3"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question5", "xbutton54"); Ερώτηση 1, (Times New Roman, 20 pts) Ερώτηση 1, (Times New Roman, 20 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question5", "xbutton51"); Actions for Frame 34 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question5", "play5"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 35 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question5", "incorrect5"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 36 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question5", "correct5"); yes Actions for yes

162

on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 37 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question5", "last51"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 1 stop(); question6 Actions for Frame 10 stop(); Ερώτηση 5, (Times New Roman, 20 pts) ΛΑΘΟΣ !!!, (Times New Roman, 70 pts) Symbol 5 Actions for Symbol 5 on (release) gotoAndPlay("question6", "play6"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question6", "xbutton62"); Actions for Frame 11 stop(); Ερώτηση 6, (Times New Roman, 20 pts) ΣΩΣΤΟ !!!, (Times New Roman, 70 pts) Symbol 6 Actions for Symbol 6 on (release) _root.play(); Symbol 4 Actions for Symbol 4 on (release) gotoAndPlay("question7", "play7"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question6", "xbutton63"); Actions for Frame 12 stop();

163

Ερώτηση 6, (Times New Roman, 20 pts) -1 διαπλοκή, (Times New Roman, 25 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 13 stop(); Ερώτηση 6, (Times New Roman, 20 pts) -2 διαπλοκή, (Times New Roman, 25 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 14 stop(); Ερώτηση 6, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 15 stop(); Ερώτηση 6, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 16 stop(); Ερώτηση 6, (Times New Roman, 20 pts) 1 διαπλοκή, (Times New Roman, 25 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 17 stop(); Ερώτηση 6, (Times New Roman, 20 pts) 2 διαπλοκή, (Times New Roman, 25 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 18 stop(); Ερώτηση 6, (Times New Roman, 20 pts) 3 διαπλοκή, (Times New Roman, 25 pts)

164

sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 19 stop(); Ερώτηση 6, (Times New Roman, 20 pts) 3 -2 διαπλοκή, (Times New Roman, 25 pts) Symbol 4 Actions for Symbol 4 on (release) gotoAndPlay("question7", "play7"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question6", "xbutton64"); Symbol 2 Actions for Symbol 2 on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question6", "incorrect6"); Symbol 3 Actions for Symbol 3 on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question6", "incorrect6"); Symbol 7 Actions for Symbol 7 on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question6", "correct6"); Symbol 8 Actions for Symbol 8 on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question6", "incorrect6"); 3 2, (Times New Roman, 30 pts) 2 3, (Times New Roman, 30 pts) 3 -2, (Times New Roman, 30 pts) -2 3, (Times New Roman, 30 pts) Ερώτηση 6, (Times New Roman, 20 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question6", "xbutton61");

165

Τί συμβολισμό Conway έχει η παρακάτω διαπλοκή;, (Times New Roman, 30 pts) Actions for Frame 21 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question6", "play6"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 22 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question6", "incorrect6"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 23 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question6", "correct6"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 24 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question6", "last61"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 1

166

stop(); question7 Actions for Frame 10 stop(); Ερώτηση 7α, (Times New Roman, 20 pts) ΛΑΘΟΣ !!!, (Times New Roman, 70 pts) Symbol 5 Actions for Symbol 5 on (release) gotoAndPlay("question7", "play7"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question7", "xbutton72"); Actions for Frame 19 stop(); Ερώτηση 7β, (Times New Roman, 20 pts) ΛΑΘΟΣ !!!, (Times New Roman, 70 pts) Symbol 5 Actions for Symbol 5 on (release) gotoAndPlay("question7", "play7b"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question7", "xbutton74"); ΣΩΣΤΟ !!!, (Times New Roman, 70 pts) Ερώτηση 7α, (Times New Roman, 20 pts) ΣΩΣΤΟ !!!, (Times New Roman, 70 pts) Ερώτηση 7α, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 13 stop(); Ερώτηση 7β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιά διασταύρωση πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) 1 Actions for 1 on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question7", "incorrect7b"); 2 Actions for 2 on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question7", "incorrect7b"); 3 Actions for 3 on (release)

167

total = total + 1; gotoAndPlay("question7", "incorrect7b"); 4 Actions for 4 on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question7", "incorrect7b"); 5 Actions for 5 on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question7", "incorrect7b"); 6 Actions for 6 on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question7", "incorrect7b"); 7 Actions for 7 on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question7", "incorrect7b"); 8 Actions for 8 on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question7", "incorrect7b"); 9 Actions for 9 on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question7", "correct7b"); 10 Actions for 10 on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question7", "correct7c"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question7", "xbutton73"); Actions for Frame 31 stop();

168

xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question7", "xbutton75"); Symbol 6 Actions for Symbol 6 on (release) _root.play(); Symbol 4 Actions for Symbol 4 on (release) gotoAndPlay("question8", "play8"); Ερώτηση 7β, (Times New Roman, 20 pts) ΣΩΣΤΟ !!! , (Times New Roman, 70 pts) Actions for Frame 32 stop(); Ερώτηση 7β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 33 stop(); Ερώτηση 7β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 34 stop(); Ερώτηση 7β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 35 stop(); Ερώτηση 7β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 36 stop(); Ερώτηση 7β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex

169

on (release) _root.play(); Actions for Frame 37 stop(); Ερώτηση 7β, (Times New Roman, 20 pts) Symbol 4 Actions for Symbol 4 on (release) gotoAndPlay("question8", "play8"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question7", "xbutton76"); Actions for Frame 43 stop(); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question7", "xbutton77"); Symbol 6 Actions for Symbol 6 on (release) _root.play(); Symbol 4 Actions for Symbol 4 on (release) gotoAndPlay("question8", "play8"); Ερώτηση 7β, (Times New Roman, 20 pts) ΣΩΣΤΟ !!! , (Times New Roman, 70 pts) Actions for Frame 44 stop(); Ερώτηση 7β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 45 stop(); Ερώτηση 7β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 46 stop(); Ερώτηση 7β, (Times New Roman, 20 pts)

170

sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 47 stop(); Ερώτηση 7β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 48 stop(); Ερώτηση 7β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 49 stop(); Ερώτηση 7β, (Times New Roman, 20 pts) Symbol 4 Actions for Symbol 4 on (release) gotoAndPlay("question8", "play8"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question7", "xbutton78"); Symbol 2 Actions for Symbol 2 on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question7", "correct7"); Symbol 3 Actions for Symbol 3 on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question7", "incorrect7"); Symbol 7 Actions for Symbol 7 on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question7", "incorrect7"); Symbol 8

171

Actions for Symbol 8 on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question7", "incorrect7"); 1, (Times New Roman, 30 pts) 2, (Times New Roman, 30 pts) 3, (Times New Roman, 30 pts) 4, (Times New Roman, 30 pts) Ερώτηση 7α, (Times New Roman, 20 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question7", "xbutton71"); Ποιός είναι ο αριθμός λύσεως του παρακάτω κόμβου;, (Times New Roman, 30 pts) Actions for Frame 22 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question7", "play7"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 23 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question7", "incorrect7"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 24 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question7", "play7b"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main");

172

Actions for Frame 25 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question7", "incorrect7b"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 26 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question7", "correct7b"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 27 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question7", "last71"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 28 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question7", "correct7c"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 29

173

stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question7", "last72"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 1 stop(); question8 Actions for Frame 1 stop(); Actions for Frame 23 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question8", "play8"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 24 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question8", "incorrect8"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 25 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question8", "play8b"); yes Actions for yes on (release)

174

gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 26 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question8", "new1"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 27 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question8", "new2"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 28 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question8", "new3"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 29 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question8", "new4"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main");

175

Actions for Frame 30 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question8", "new5"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 31 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question8", "new6"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 32 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question8", "new7"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 33 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question8", "new8"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 34 stop();

176

Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question8", "correct81c1"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 35 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question8", "last81"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 36 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question8", "correct81c2"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 37 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question8", "last82"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 38 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton>

177

Actions for no on (release) gotoAndPlay("question8", "correct82c1"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 39 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question8", "last83"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 40 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question7", "play7"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 41 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question8", "last84"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 42 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release)

178

gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Symbol 2 Actions for Symbol 2 on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8"); Symbol 3 Actions for Symbol 3 on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "correct8"); Symbol 7 Actions for Symbol 7 on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8"); Symbol 8 Actions for Symbol 8 on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8"); 1, (Times New Roman, 30 pts) 2, (Times New Roman, 30 pts) 3, (Times New Roman, 30 pts) 4, (Times New Roman, 30 pts) Actions for Frame 10 stop(); Ερώτηση 8α, (Times New Roman, 20 pts) ΛΑΘΟΣ !!!, (Times New Roman, 70 pts) Symbol 5 Actions for Symbol 5 on (release) gotoAndPlay("question8", "play8"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton82"); Actions for Frame 83 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) ΛΑΘΟΣ !!!, (Times New Roman, 70 pts)

179

Symbol 5 Actions for Symbol 5 on (release) gotoAndPlay("question8", "play8b"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton820"); ΣΩΣΤΟ !!!, (Times New Roman, 70 pts) Ερώτηση 8α, (Times New Roman, 20 pts) ΣΩΣΤΟ !!!, (Times New Roman, 70 pts) Ερώτηση 8α, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 13 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton83"); 1c Actions for 1c on (release) gotoAndPlay("question8", "new1"); 2c Actions for 2c on (release) gotoAndPlay("question8", "new2"); 3c Actions for 3c on (release) gotoAndPlay("question8", "new3"); 4c Actions for 4c on (release) gotoAndPlay("question8", "new4"); 5c Actions for 5c on (release) gotoAndPlay("question8", "new5"); 6c Actions for 6c on (release) gotoAndPlay("question8", "new6");

180

7c Actions for 7c on (release) gotoAndPlay("question8", "new7"); 8c Actions for 8c on (release) gotoAndPlay("question8", "new8"); Actions for Frame 14 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton84"); 2c Actions for 2c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 3c Actions for 3c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 4c Actions for 4c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 5c Actions for 5c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 6c Actions for 6c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 7c Actions for 7c on (release) correct = correct + 1;

181

total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "correct81c1"); 8c Actions for 8c on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "correct81c2"); Actions for Frame 15 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton85"); 1c Actions for 1c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 3c Actions for 3c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 4c Actions for 4c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 5c Actions for 5c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 6c Actions for 6c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 7c Actions for 7c on (release) correct = correct + 1;

182

total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "correct82c1"); 8c Actions for 8c on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "correct82c2"); Actions for Frame 16 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton86"); 1c Actions for 1c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 2c Actions for 2c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 4c Actions for 4c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 5c Actions for 5c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 6c Actions for 6c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 7c Actions for 7c on (release) total = total + 1;

183

gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 8c Actions for 8c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); Actions for Frame 17 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton87"); 1c Actions for 1c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 2c Actions for 2c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 3c Actions for 3c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 5c Actions for 5c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 6c Actions for 6c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 7c Actions for 7c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b");

184

8c Actions for 8c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); Actions for Frame 18 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton88"); 1c Actions for 1c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 2c Actions for 2c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 3c Actions for 3c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 4c Actions for 4c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 6c Actions for 6c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 7c Actions for 7c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 8c Actions for 8c

185

on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); Actions for Frame 19 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton89"); 1c Actions for 1c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 2c Actions for 2c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 3c Actions for 3c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 4c Actions for 4c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 5c Actions for 5c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 7c Actions for 7c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 8c Actions for 8c on (release) total = total + 1;

186

gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); Actions for Frame 20 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton810"); 1c Actions for 1c on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "correct81c1"); 2c Actions for 2c on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "correct82c1"); 3c Actions for 3c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 4c Actions for 4c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 5c Actions for 5c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 6c Actions for 6c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 8c Actions for 8c on (release) total = total + 1;

187

gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); Actions for Frame 21 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton811"); 1c Actions for 1c on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "correct81c2"); 2c Actions for 2c on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "correct82c2"); 3c Actions for 3c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 4c Actions for 4c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 5c Actions for 5c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 6c Actions for 6c on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); 7c Actions for 7c on (release) total = total + 1;

188

gotoAndPlay("question8", "incorrect8b"); Actions for Frame 43 stop(); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton812"); ΣΩΣΤΟ !!! , (Times New Roman, 70 pts) Symbol 6 Actions for Symbol 6 on (release) _root.play(); Symbol 4 Actions for Symbol 4 on (release) gotoAndPlay("question9", "play9"); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 44 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 45 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 46 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 47 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 48

189

stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 49 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 50 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 51 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) Symbol 4 Actions for Symbol 4 on (release) gotoAndPlay("question9", "play9"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton813"); Actions for Frame 53 stop(); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton814"); ΣΩΣΤΟ !!! , (Times New Roman, 70 pts) Symbol 6 Actions for Symbol 6 on (release) _root.play(); Symbol 4 Actions for Symbol 4 on (release) gotoAndPlay("question9", "play9");

190

Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 54 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 55 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 56 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 57 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 58 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 59 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 60 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex

191

on (release) _root.play(); Actions for Frame 61 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) Symbol 4 Actions for Symbol 4 on (release) gotoAndPlay("question9", "play9"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton815"); Actions for Frame 63 stop(); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton816"); ΣΩΣΤΟ !!! , (Times New Roman, 70 pts) Symbol 6 Actions for Symbol 6 on (release) _root.play(); Symbol 4 Actions for Symbol 4 on (release) gotoAndPlay("question9", "play9"); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 64 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 65 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 66 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts)

192

sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 67 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 68 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 69 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 70 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 71 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) Symbol 4 Actions for Symbol 4 on (release) gotoAndPlay("question9", "play9"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton817"); Actions for Frame 73 stop(); xbutton Actions for xbutton

193

on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton818"); ΣΩΣΤΟ !!! , (Times New Roman, 70 pts) Symbol 6 Actions for Symbol 6 on (release) _root.play(); Symbol 4 Actions for Symbol 4 on (release) gotoAndPlay("question9", "play9"); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 74 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 75 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 76 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 77 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 78 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play();

194

Actions for Frame 79 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 80 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 81 stop(); Ερώτηση 8β, (Times New Roman, 20 pts) Symbol 4 Actions for Symbol 4 on (release) gotoAndPlay("question9", "play9"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton819"); Ερώτηση 8α, (Times New Roman, 20 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton81"); Ποιός είναι ο αριθμός λύσεως του παρακάτω κόμβου;, (Times New Roman, 30 pts) question9 Actions for Frame 193 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "play9"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 194 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts)

195

no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "incorrect9"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 195 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "play9b"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 196 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new91"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 197 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new92"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 198 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no

196

on (release) gotoAndPlay("question9", "new93"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 199 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new94"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 200 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new95"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 201 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new96"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 202 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new97");

197

yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 203 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new98"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 204 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new99"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 205 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new910"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 206 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new912"); yes

198

Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 207 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new913"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 208 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new914"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 209 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new915"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 210 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new916"); yes Actions for yes on (release)

199

gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 211 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new917"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 212 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new918"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 213 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new919"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 214 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new9110"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main");

200

Actions for Frame 215 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new923"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 216 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new924"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 217 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new925"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 218 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new926"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 219 stop();

201

Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new927"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 220 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new928"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 221 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new929"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 222 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new9210"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 223 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton>

202

Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new934"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 224 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new935"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 225 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new936"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 226 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new937"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 227 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release)

203

gotoAndPlay("question9", "new938"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 228 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new939"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 229 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new9310"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 230 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new945"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 231 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new946");

204

yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 232 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new947"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 233 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new948"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 234 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new949"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 235 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new9410"); yes Actions for yes

205

on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 236 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new956"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 237 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new957"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 238 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new958"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 239 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new959"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main");

206

Actions for Frame 240 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new9510"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 241 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new967"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 242 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new968"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 243 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new969"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 244

207

stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "play9610"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 245 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new978"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 246 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new979"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 247 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new9710"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 248 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts)

208

no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new989"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 249 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new9810"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 250 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "new9910"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 251 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 252 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no

209

on (release) gotoAndPlay("question9", "correct9178"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 253 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "last9178"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 254 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "correct9179"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 255 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "last9179"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 256 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "correct91710");

210

yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 257 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "last91710"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 258 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "correct9189"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 259 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "last9189"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 260 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "correct91810"); yes

211

Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 261 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "last91810"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 262 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "correct91910"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 263 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "last91910"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 264 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "correct9278"); yes Actions for yes on (release)

212

gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 265 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "last9278"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 266 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "correct9279"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 267 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "last9279"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 268 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "correct92710"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main");

213

Actions for Frame 269 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "last92710"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 270 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "correct9289"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 271 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "last9289"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 272 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "correct92810"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 273 stop();

214

Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "last92810"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 274 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "correct92910"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 275 stop(); Θέλετε να ξεκινήσετε ξανά;, (Times New Roman, 60 pts) no, <xbutton> Actions for no on (release) gotoAndPlay("question9", "last92910"); yes Actions for yes on (release) gotoAndPlay("main", "main"); Actions for Frame 10 stop(); Ερώτηση 9α, (Times New Roman, 20 pts) ΛΑΘΟΣ !!!, (Times New Roman, 70 pts) Symbol 5 Actions for Symbol 5 on (release) gotoAndPlay("question9", "play9"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton92"); Actions for Frame 79 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts)

215

ΛΑΘΟΣ !!!, (Times New Roman, 70 pts) Symbol 5 Actions for Symbol 5 on (release) gotoAndPlay("question9", "play9b"); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton959"); ΣΩΣΤΟ !!!, (Times New Roman, 70 pts) Ερώτηση 9α, (Times New Roman, 20 pts) ΣΩΣΤΟ !!!, (Times New Roman, 70 pts) Ερώτηση 9α, (Times New Roman, 20 pts) Actions for Frame 13 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton93"); 1d Actions for 1d on (release) gotoAndPlay("question9", "new91"); 2d Actions for 2d on (release) gotoAndPlay("question9", "new92"); 3d Actions for 3d on (release) gotoAndPlay("question9", "new93"); 4d Actions for 4d on (release) gotoAndPlay("question9", "new94"); 5d Actions for 5d on (release) gotoAndPlay("question9", "new95"); 6d Actions for 6d on (release) gotoAndPlay("question9", "new96");

216

7d Actions for 7d on (release) gotoAndPlay("question9", "new97"); 8d Actions for 8d on (release) gotoAndPlay("question9", "new98"); 9d Actions for 9d on (release) gotoAndPlay("question9", "new99"); 10d Actions for 10d on (release) gotoAndPlay("question9", "new910"); Actions for Frame 14 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton94"); 2d Actions for 2d on (release) gotoAndPlay("question9", "new912"); 3d Actions for 3d on (release) gotoAndPlay("question9", "new913"); 4d Actions for 4d on (release) gotoAndPlay("question9", "new914"); 5d Actions for 5d on (release) gotoAndPlay("question9", "new915"); 6d Actions for 6d on (release)

217

gotoAndPlay("question9", "new916"); 7d Actions for 7d on (release) gotoAndPlay("question9", "new917"); 8d Actions for 8d on (release) gotoAndPlay("question9", "new918"); 9d Actions for 9d on (release) gotoAndPlay("question9", "new919"); 10d Actions for 10d on (release) gotoAndPlay("question9", "new9110"); Actions for Frame 15 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton95"); 1d Actions for 1d on (release) gotoAndPlay("question9", "new912"); 3d Actions for 3d on (release) gotoAndPlay("question9", "new923"); 4d Actions for 4d on (release) gotoAndPlay("question9", "new924"); 5d Actions for 5d on (release) gotoAndPlay("question9", "new925"); 6d Actions for 6d

218

on (release) gotoAndPlay("question9", "new926"); 7d Actions for 7d on (release) gotoAndPlay("question9", "new927"); 8d Actions for 8d on (release) gotoAndPlay("question9", "new928"); 9d Actions for 9d on (release) gotoAndPlay("question9", "new929"); 10d Actions for 10d on (release) gotoAndPlay("question9", "new9210"); Actions for Frame 16 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton96"); 1d Actions for 1d on (release) gotoAndPlay("question9", "new913"); 2d Actions for 2d on (release) gotoAndPlay("question9", "new923"); 4d Actions for 4d on (release) gotoAndPlay("question9", "new934"); 5d Actions for 5d on (release) gotoAndPlay("question9", "new935"); 6d

219

Actions for 6d on (release) gotoAndPlay("question9", "new936"); 7d Actions for 7d on (release) gotoAndPlay("question9", "new937"); 8d Actions for 8d on (release) gotoAndPlay("question9", "new938"); 9d Actions for 9d on (release) gotoAndPlay("question9", "new939"); 10d Actions for 10d on (release) gotoAndPlay("question9", "new9310"); Actions for Frame 17 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton97"); 1d Actions for 1d on (release) gotoAndPlay("question9", "new914"); 2d Actions for 2d on (release) gotoAndPlay("question9", "new924"); 3d Actions for 3d on (release) gotoAndPlay("question9", "new934"); 5d Actions for 5d on (release) gotoAndPlay("question9", "new945");

220

6d Actions for 6d on (release) gotoAndPlay("question9", "new946"); 7d Actions for 7d on (release) gotoAndPlay("question9", "new947"); 8d Actions for 8d on (release) gotoAndPlay("question9", "new948"); 9d Actions for 9d on (release) gotoAndPlay("question9", "new949"); 10d Actions for 10d on (release) gotoAndPlay("question9", "new9410"); Actions for Frame 18 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton98"); 1d Actions for 1d on (release) gotoAndPlay("question9", "new915"); 2d Actions for 2d on (release) gotoAndPlay("question9", "new925"); 3d Actions for 3d on (release) gotoAndPlay("question9", "new935"); 4d Actions for 4d on (release) gotoAndPlay("question9", "new945");

221

6d Actions for 6d on (release) gotoAndPlay("question9", "new956"); 7d Actions for 7d on (release) gotoAndPlay("question9", "new957"); 8d Actions for 8d on (release) gotoAndPlay("question9", "new958"); 9d Actions for 9d on (release) gotoAndPlay("question9", "new959"); 10d Actions for 10d on (release) gotoAndPlay("question9", "new9510"); Actions for Frame 19 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton99"); 1d Actions for 1d on (release) gotoAndPlay("question9", "new916"); 2d Actions for 2d on (release) gotoAndPlay("question9", "new926"); 3d Actions for 3d on (release) gotoAndPlay("question9", "new936"); 4d Actions for 4d on (release)

222

gotoAndPlay("question9", "new946"); 5d Actions for 5d on (release) gotoAndPlay("question9", "new956"); 7d Actions for 7d on (release) gotoAndPlay("question9", "new967"); 8d Actions for 8d on (release) gotoAndPlay("question9", "new968"); 9d Actions for 9d on (release) gotoAndPlay("question9", "new969"); 10d Actions for 10d on (release) gotoAndPlay("question9", "new9610"); Actions for Frame 20 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton910"); 1d Actions for 1d on (release) gotoAndPlay("question9", "new917"); 2d Actions for 2d on (release) gotoAndPlay("question9", "new927"); 3d Actions for 3d on (release) gotoAndPlay("question9", "new937"); 4d Actions for 4d

223

on (release) gotoAndPlay("question9", "new947"); 5d Actions for 5d on (release) gotoAndPlay("question9", "new957"); 6d Actions for 6d on (release) gotoAndPlay("question9", "new967"); 8d Actions for 8d on (release) gotoAndPlay("question9", "new978"); 9d Actions for 9d on (release) gotoAndPlay("question9", "new979"); 10d Actions for 10d on (release) gotoAndPlay("question9", "new9710"); Actions for Frame 21 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton911"); 1d Actions for 1d on (release) gotoAndPlay("question9", "new918"); 2d Actions for 2d on (release) gotoAndPlay("question9", "new928"); 3d Actions for 3d on (release) gotoAndPlay("question9", "new938"); 4d

224

Actions for 4d on (release) gotoAndPlay("question9", "new948"); 5d Actions for 5d on (release) gotoAndPlay("question9", "new958"); 6d Actions for 6d on (release) gotoAndPlay("question9", "new968"); 7d Actions for 7d on (release) gotoAndPlay("question9", "new978"); 9d Actions for 9d on (release) gotoAndPlay("question9", "new989"); 10d Actions for 10d on (release) gotoAndPlay("question9", "new9810"); Actions for Frame 22 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton912"); 1d Actions for 1d on (release) gotoAndPlay("question9", "new919"); 2d Actions for 2d on (release) gotoAndPlay("question9", "new929"); 3d Actions for 3d on (release) gotoAndPlay("question9", "new939");

225

4d Actions for 4d on (release) gotoAndPlay("question9", "new949"); 5d Actions for 5d on (release) gotoAndPlay("question9", "new959"); 6d Actions for 6d on (release) gotoAndPlay("question9", "new969"); 7d Actions for 7d on (release) gotoAndPlay("question9", "new979"); 8d Actions for 8d on (release) gotoAndPlay("question9", "new989"); 10d Actions for 10d on (release) gotoAndPlay("question9", "new9910"); Actions for Frame 23 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton913"); 1d Actions for 1d on (release) gotoAndPlay("question9", "new9110"); 2d Actions for 2d on (release) gotoAndPlay("question9", "new9210"); 3d Actions for 3d on (release) gotoAndPlay("question9", "new9310");

226

4d Actions for 4d on (release) gotoAndPlay("question9", "new9410"); 5d Actions for 5d on (release) gotoAndPlay("question9", "new9510"); 6d Actions for 6d on (release) gotoAndPlay("question9", "new9610"); 7d Actions for 7d on (release) gotoAndPlay("question9", "new9710"); 8d Actions for 8d on (release) gotoAndPlay("question9", "new9810"); 9d Actions for 9d on (release) gotoAndPlay("question9", "new9910"); Actions for Frame 25 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton914"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d

227

Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d Actions for 8d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 9d Actions for 9d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 10d Actions for 10d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 26 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton915"); 2d Actions for 2d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release)

228

total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d Actions for 8d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 9d Actions for 9d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 10d Actions for 10d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 27 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton916"); 2d Actions for 2d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b");

229

3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d Actions for 8d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 9d Actions for 9d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 10d Actions for 10d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 28 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton917"); 2d

230

Actions for 2d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d Actions for 8d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 9d Actions for 9d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 10d Actions for 10d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 29 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton

231

on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton918"); 2d Actions for 2d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d Actions for 8d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 9d Actions for 9d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 10d Actions for 10d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 30 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts)

232

Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton919"); 2d Actions for 2d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d Actions for 8d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct9178"); 9d Actions for 9d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct9179"); 10d Actions for 10d on (release)

233

correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct91710"); Actions for Frame 31 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton920"); 2d Actions for 2d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct9178"); 9d Actions for 9d on (release)

234

correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct9189"); 10d Actions for 10d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct91810"); Actions for Frame 32 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton921"); 2d Actions for 2d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release)

235

correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct9179"); 8d Actions for 8d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct9189"); 10d Actions for 10d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct91910"); Actions for Frame 33 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton922"); 2d Actions for 2d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d Actions for 6d

236

on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct91710"); 8d Actions for 8d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct91810"); 9d Actions for 9d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct91910"); Actions for Frame 35 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton923"); 1d Actions for 1d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d

237

Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d Actions for 8d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 9d Actions for 9d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 10d Actions for 10d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 36 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton924"); 1d Actions for 1d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release)

238

total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d Actions for 8d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 9d Actions for 9d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 10d Actions for 10d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 37 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton925"); 1d Actions for 1d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b");

239

4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d Actions for 8d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 9d Actions for 9d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 10d Actions for 10d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 38 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton926"); 1d Actions for 1d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 3d

240

Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d Actions for 8d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 9d Actions for 9d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 10d Actions for 10d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 39 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton927"); 1d Actions for 1d on (release)

241

total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct9257"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d Actions for 8d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct9278"); 9d Actions for 9d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct9279"); 10d Actions for 10d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct92710"); Actions for Frame 40 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts)

242

xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton928"); 1d Actions for 1d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct9258"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct9278"); 9d Actions for 9d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct9289"); 10d Actions for 10d on (release) correct = correct + 1;

243

total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct92810"); Actions for Frame 41 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton929"); 1d Actions for 1d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct9259"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct9279"); 8d Actions for 8d on (release)

244

correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct9289"); 10d Actions for 10d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct92910"); Actions for Frame 42 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton930"); 1d Actions for 1d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release)

245

correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct92710"); 8d Actions for 8d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct92810"); 9d Actions for 9d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct92910"); Actions for Frame 44 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton931"); 1d Actions for 1d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 2d Actions for 2d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d

246

on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d Actions for 8d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 9d Actions for 9d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 10d Actions for 10d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 45 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton932"); 1d Actions for 1d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 2d Actions for 2d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1;

247

gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d Actions for 8d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 9d Actions for 9d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 10d Actions for 10d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 46 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton933"); 1d Actions for 1d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 2d Actions for 2d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b");

248

5d Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d Actions for 8d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 9d Actions for 9d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 10d Actions for 10d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 47 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton934"); 1d Actions for 1d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 2d Actions for 2d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d

249

on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d Actions for 8d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 9d Actions for 9d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 10d Actions for 10d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 48 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton935"); 1d Actions for 1d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 2d Actions for 2d on (release) total = total + 1;

250

gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 9d Actions for 9d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 10d Actions for 10d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 49 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton936"); 1d Actions for 1d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b");

251

2d Actions for 2d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d Actions for 8d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 10d Actions for 10d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 50 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton937"); 1d Actions for 1d

252

on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 2d Actions for 2d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d Actions for 8d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 9d Actions for 9d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 52 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release)

253

gotoAndPlay("question9", "xbutton938"); 1d Actions for 1d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 2d Actions for 2d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d Actions for 8d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 9d Actions for 9d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 10d Actions for 10d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 53 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts)

254

Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton939"); 1d Actions for 1d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 2d Actions for 2d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d Actions for 8d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 9d Actions for 9d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 10d Actions for 10d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b");

255

Actions for Frame 54 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton940"); 1d Actions for 1d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 2d Actions for 2d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d Actions for 8d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 9d Actions for 9d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 10d

256

Actions for 10d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 55 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton941"); 1d Actions for 1d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 2d Actions for 2d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 9d Actions for 9d on (release)

257

total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 10d Actions for 10d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 56 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton942"); 1d Actions for 1d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 2d Actions for 2d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b");

258

8d Actions for 8d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 10d Actions for 10d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 57 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton943"); 1d Actions for 1d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 2d Actions for 2d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d

259

Actions for 7d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d Actions for 8d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 9d Actions for 9d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 59 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton944"); 1d Actions for 1d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 2d Actions for 2d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release)

260

total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d Actions for 8d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 9d Actions for 9d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 10d Actions for 10d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 60 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton945"); 1d Actions for 1d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 2d Actions for 2d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b");

261

6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d Actions for 8d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 9d Actions for 9d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 10d Actions for 10d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 61 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton946"); 1d Actions for 1d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 2d Actions for 2d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d

262

Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 9d Actions for 9d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 10d Actions for 10d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 62 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton947"); 1d Actions for 1d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 2d Actions for 2d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 3d Actions for 3d on (release)

263

total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d Actions for 8d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 10d Actions for 10d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 63 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton948"); 1d Actions for 1d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 2d Actions for 2d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b");

264

3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d Actions for 8d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 9d Actions for 9d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 65 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton949"); 1d Actions for 1d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 2d

265

Actions for 2d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d Actions for 8d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 9d Actions for 9d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 10d Actions for 10d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 66 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton950"); 1d Actions for 1d on (release)

266

total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 2d Actions for 2d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 9d Actions for 9d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 10d Actions for 10d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 67 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton951");

267

1d Actions for 1d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 2d Actions for 2d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d Actions for 8d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 10d Actions for 10d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 68 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts)

268

xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton952"); 1d Actions for 1d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 2d Actions for 2d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d Actions for 8d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 9d Actions for 9d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 70

269

stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton953"); 1d Actions for 1d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct9178"); 2d Actions for 2d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct9278"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 9d Actions for 9d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 10d

270

Actions for 10d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 71 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton954"); 1d Actions for 1d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct9179"); 2d Actions for 2d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct9279"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d

271

Actions for 8d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 10d Actions for 10d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 72 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton955"); 1d Actions for 1d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct91710"); 2d Actions for 2d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct92710"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d

272

Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d Actions for 8d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 9d Actions for 9d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 74 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton956"); 1d Actions for 1d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct9189"); 2d Actions for 2d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct9289"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d

273

Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 10d Actions for 10d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 75 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton957"); 1d Actions for 1d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct91810"); 2d Actions for 2d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct92810"); 3d Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d

274

Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 9d Actions for 9d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 77 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) Ποιές διασταυρώσεις πρέπει να αλλάξουμε στο διάγραμμα για να δημιουργηθεί ο τετριμμένος κόμβος;, (Times New Roman, 30 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton958"); 1d Actions for 1d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct91910"); 2d Actions for 2d on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct92910"); 3d

275

Actions for 3d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 4d Actions for 4d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 5d Actions for 5d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 6d Actions for 6d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 7d Actions for 7d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); 8d Actions for 8d on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9b"); Actions for Frame 81 stop(); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton960"); ΣΩΣΤΟ !!! , (Times New Roman, 70 pts) Symbol 6 Actions for Symbol 6 on (release) _root.play(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) apotelesmata Actions for apotelesmata on (release) gotoAndPlay("results", "result");

276

Actions for Frame 82 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 83 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 84 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 85 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 86 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 87 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 88 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) xbutton Actions for xbutton on (release)

277

gotoAndPlay("question8", "xbutton961"); apotelesmata Actions for apotelesmata on (release) gotoAndPlay("results", "result"); Actions for Frame 90 stop(); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton962"); ΣΩΣΤΟ !!! , (Times New Roman, 70 pts) Symbol 6 Actions for Symbol 6 on (release) _root.play(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) apotelesmata Actions for apotelesmata on (release) gotoAndPlay("results", "result"); Actions for Frame 91 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 92 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 93 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 94 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex

278

Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 95 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 96 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 97 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton963"); apotelesmata Actions for apotelesmata on (release) gotoAndPlay("results", "result"); Actions for Frame 99 stop(); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton964"); ΣΩΣΤΟ !!! , (Times New Roman, 70 pts) Symbol 6 Actions for Symbol 6 on (release) _root.play(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) apotelesmata Actions for apotelesmata on (release) gotoAndPlay("results", "result"); Actions for Frame 100 stop();

279

Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 101 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 102 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 103 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 104 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 105 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 106 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play();

280

Actions for Frame 107 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton965"); apotelesmata Actions for apotelesmata on (release) gotoAndPlay("results", "result"); Actions for Frame 109 stop(); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton966"); ΣΩΣΤΟ !!! , (Times New Roman, 70 pts) Symbol 6 Actions for Symbol 6 on (release) _root.play(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) apotelesmata Actions for apotelesmata on (release) gotoAndPlay("results", "result"); Actions for Frame 110 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 111 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 112 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release)

281

_root.play(); Actions for Frame 113 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 114 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 115 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 116 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 117 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton967"); apotelesmata Actions for apotelesmata on (release) gotoAndPlay("results", "result"); Actions for Frame 119 stop(); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton968");

282

ΣΩΣΤΟ !!! , (Times New Roman, 70 pts) Symbol 6 Actions for Symbol 6 on (release) _root.play(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) apotelesmata Actions for apotelesmata on (release) gotoAndPlay("results", "result"); Actions for Frame 120 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 121 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 122 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 123 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 124 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 125 stop();

283

Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 126 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton969"); apotelesmata Actions for apotelesmata on (release) gotoAndPlay("results", "result"); Actions for Frame 128 stop(); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton970"); ΣΩΣΤΟ !!! , (Times New Roman, 70 pts) Symbol 6 Actions for Symbol 6 on (release) _root.play(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) apotelesmata Actions for apotelesmata on (release) gotoAndPlay("results", "result"); Actions for Frame 129 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 130 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play();

284

Actions for Frame 131 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 132 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 133 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 134 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 135 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton971"); apotelesmata Actions for apotelesmata on (release) gotoAndPlay("results", "result"); Actions for Frame 137 stop(); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton972"); ΣΩΣΤΟ !!! , (Times New Roman, 70 pts) Symbol 6

285

Actions for Symbol 6 on (release) _root.play(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) apotelesmata Actions for apotelesmata on (release) gotoAndPlay("results", "result"); Actions for Frame 138 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 139 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 140 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 141 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 142 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 143 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex

286

Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 144 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton973"); apotelesmata Actions for apotelesmata on (release) gotoAndPlay("results", "result"); Actions for Frame 146 stop(); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton974"); ΣΩΣΤΟ !!! , (Times New Roman, 70 pts) Symbol 6 Actions for Symbol 6 on (release) _root.play(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) apotelesmata Actions for apotelesmata on (release) gotoAndPlay("results", "result"); Actions for Frame 147 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 148 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 149 stop();

287

Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 150 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 151 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 152 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton975"); apotelesmata Actions for apotelesmata on (release) gotoAndPlay("results", "result"); Actions for Frame 154 stop(); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton976"); ΣΩΣΤΟ !!! , (Times New Roman, 70 pts) Symbol 6 Actions for Symbol 6 on (release) _root.play(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) apotelesmata Actions for apotelesmata on (release) gotoAndPlay("results", "result");

288

Actions for Frame 155 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 156 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 157 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 158 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 159 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 160 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 161 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release)

289

_root.play(); Actions for Frame 162 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton977"); apotelesmata Actions for apotelesmata on (release) gotoAndPlay("results", "result"); Actions for Frame 164 stop(); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton978"); ΣΩΣΤΟ !!! , (Times New Roman, 70 pts) Symbol 6 Actions for Symbol 6 on (release) _root.play(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) apotelesmata Actions for apotelesmata on (release) gotoAndPlay("results", "result"); Actions for Frame 165 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 166 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 167 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex

290

Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 168 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 169 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 170 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 171 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 172 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton979"); apotelesmata Actions for apotelesmata on (release) gotoAndPlay("results", "result"); Actions for Frame 174 stop(); xbutton Actions for xbutton on (release)

291

gotoAndPlay("question8", "xbutton980"); ΣΩΣΤΟ !!! , (Times New Roman, 70 pts) Symbol 6 Actions for Symbol 6 on (release) _root.play(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) apotelesmata Actions for apotelesmata on (release) gotoAndPlay("results", "result"); Actions for Frame 175 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 176 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 177 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 178 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 179 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play();

292

Actions for Frame 180 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 181 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton981"); apotelesmata Actions for apotelesmata on (release) gotoAndPlay("results", "result"); Actions for Frame 183 stop(); xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton982"); ΣΩΣΤΟ !!! , (Times New Roman, 70 pts) Symbol 6 Actions for Symbol 6 on (release) _root.play(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) apotelesmata Actions for apotelesmata on (release) gotoAndPlay("results", "result"); Actions for Frame 184 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 185 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release)

293

_root.play(); Actions for Frame 186 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 187 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 188 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 189 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) sinex Actions for sinex on (release) _root.play(); Actions for Frame 190 stop(); Ερώτηση 9β, (Times New Roman, 20 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question8", "xbutton983"); apotelesmata Actions for apotelesmata on (release) gotoAndPlay("results", "result"); Symbol 2 Actions for Symbol 2 on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9"); Symbol 3

294

Actions for Symbol 3 on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9"); Symbol 7 Actions for Symbol 7 on (release) correct = correct + 1; total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "correct9"); Symbol 8 Actions for Symbol 8 on (release) total = total + 1; gotoAndPlay("question9", "incorrect9"); 1, (Times New Roman, 30 pts) 2, (Times New Roman, 30 pts) 3, (Times New Roman, 30 pts) 4, (Times New Roman, 30 pts) Ερώτηση 9α, (Times New Roman, 20 pts) xbutton Actions for xbutton on (release) gotoAndPlay("question9", "xbutton91"); Ποιός είναι ο αριθμός λύσεως του παρακάτω κόμβου;, (Times New Roman, 30 pts) Actions for Frame 1 stop(); results Actions for Frame 1 percent = correct * 100 / total; percent = Math.floor(percent); if ((percent <= 100) and (percent >= 90)) apotel = "Άριστα!!!" if ((percent < 90) and (percent >= 70)) apotel = "Λίαν Καλώς" if ((percent < 70) and (percent >= 50)) apotel = "Καλώς" if (percent < 50) apotel = "Καθόλου Καλά" loader.text = "Έχετε κάνει "+total+" προσπάθειες και πετύχατε σε "+correct+" από αυτές. Το ποσοστό επιτυχίας σας είναι "+percent+"%"; loader1.text = apotel; stop(); Αποτελέσματα, (Times New Roman, 20 pts) (empty), <loader> repeat

295

Actions for repeat on (release) gotoAndPlay("main", "main"); (empty), <loader1>

296

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ...

Documents

Transcript of ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ...