ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ...

110
ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ : : : : « ΑΡΧΑΙΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ « ΑΡΧΑΙΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ « ΑΡΧΑΙΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ « ΑΡΧΑΙΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥΣ »

Transcript of ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ...

Page 1: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ : : : : « ΑΡΧΑΙΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ « ΑΡΧΑΙΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ « ΑΡΧΑΙΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ « ΑΡΧΑΙΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥΣΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥΣΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥΣΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥΣ »

Page 2: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-1-

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΕΛΙ∆ΑΣΕΛΙ∆ΑΣΕΛΙ∆ΑΣΕΛΙ∆Α

1.1.1.1. ΠΡΟΛΟΓΟΣΠΡΟΛΟΓΟΣΠΡΟΛΟΓΟΣΠΡΟΛΟΓΟΣ 3 2.2.2.2. ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ANAANAANAANA TOYTOYTOYTOYΣ ΑΙΩΝΕΣΣ ΑΙΩΝΕΣΣ ΑΙΩΝΕΣΣ ΑΙΩΝΕΣ 4 3.3.3.3. Τ Α ΜΑΘΗΜΑΤ ΙΚΑ ΣΤΟΥΣ ΣΟΥΜΕΡΙΟΥΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤ ΙΚΑ ΣΤΟΥΣ ΣΟΥΜΕΡΙΟΥΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤ ΙΚΑ ΣΤΟΥΣ ΣΟΥΜΕΡΙΟΥΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤ ΙΚΑ ΣΤΟΥΣ ΣΟΥΜΕΡΙΟΥΣ 1 1 4444.... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΑΖΤΕΚΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΑΓΙΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΑΖΤΕΚΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΑΓΙΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΑΖΤΕΚΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΑΓΙΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΑΖΤΕΚΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΑΓΙΑ 15 5555.... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΒΑΒΥΛΩΝΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΒΑΒΥΛΩΝΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΒΑΒΥΛΩΝΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΒΑΒΥΛΩΝΑ 16 6666.... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ 18 7777. . . . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ KINAKINAKINAKINA 20 8. ΑΑΑΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΚΙΝΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΚΙΝΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΚΙΝΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΚΙΝΑ --------ΚΙΝΕΖΙΚΚΙΝΕΖΙΚΚΙΝΕΖΙΚΚΙΝΕΖΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΙΜΕΝΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΙΜΕΝΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΙΜΕΝΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΙΜΕΝΑ 21 9999.... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΑΡΑΒΩΝΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΑΡΑΒΩΝΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΑΡΑΒΩΝΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΑΡΑΒΩΝ 22 10101010.... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ∆ΥΣΗΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ∆ΥΣΗΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ∆ΥΣΗΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ∆ΥΣΗ 23 11.11.11.11. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΙΝ∆ΙΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΙΝ∆ΙΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΙΝ∆ΙΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΙΝ∆ΙΑ 25 12.12.12.12. ΣΡΙΝΙΒΑΣΑ ΣΡΙΝΙΒΑΣΑ ΣΡΙΝΙΒΑΣΑ ΣΡΙΝΙΒΑΣΑ ΡΡΡΡΑΜΑΝΟΥΤΖΑΝΑΜΑΝΟΥΤΖΑΝΑΜΑΝΟΥΤΖΑΝΑΜΑΝΟΥΤΖΑΝ (1887(1887(1887(1887----1920) 1920) 1920) 1920) [Ο ΡΟΜΑΝΤΙΚΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ][Ο ΡΟΜΑΝΤΙΚΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ][Ο ΡΟΜΑΝΤΙΚΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ][Ο ΡΟΜΑΝΤΙΚΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ] 27 11113333. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑ∆Α∆Α∆Α∆Α 30 11114444.... ΘΑΛΗΣ ΘΑΛΗΣ ΘΑΛΗΣ ΘΑΛΗΣ ΟΟΟΟ ΜΙΛΗΣΙΟΣΜΙΛΗΣΙΟΣΜΙΛΗΣΙΟΣΜΙΛΗΣΙΟΣ 32 11115555.... ΑΝΑΞΙΜΑΝ∆ΡΟΣ Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣΑΝΑΞΙΜΑΝ∆ΡΟΣ Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣΑΝΑΞΙΜΑΝ∆ΡΟΣ Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣΑΝΑΞΙΜΑΝ∆ΡΟΣ Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣ 37 11116666.... ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Ο ΣΑΜΙΟΣΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Ο ΣΑΜΙΟΣΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Ο ΣΑΜΙΟΣΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Ο ΣΑΜΙΟΣ 39 11117777.... ΦΙΛΟΛΑΟΣ ΦΙΛΟΛΑΟΣ ΦΙΛΟΛΑΟΣ ΦΙΛΟΛΑΟΣ ΟΟΟΟ ΚΡΟΤΩΝΙΑΤΗΣΚΡΟΤΩΝΙΑΤΗΣΚΡΟΤΩΝΙΑΤΗΣΚΡΟΤΩΝΙΑΤΗΣ 47 11118888.... ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ ΟΟΟΟ ΧΙΟΣΧΙΟΣΧΙΟΣΧΙΟΣ 48 11119999.... ΟΙΝΟΙΝΟΙΝΟΙΝΟΠΙ∆ΗΣ ΟΠΙ∆ΗΣ ΟΠΙ∆ΗΣ ΟΠΙ∆ΗΣ ΟΟΟΟ ΧΙΟΣΧΙΟΣΧΙΟΣΧΙΟΣ 50 20202020.... ∆ΗΜΟΚΡΙΤΟΣ Ο ΑΒ∆ΗΡΙΤΗΣ ∆ΗΜΟΚΡΙΤΟΣ Ο ΑΒ∆ΗΡΙΤΗΣ ∆ΗΜΟΚΡΙΤΟΣ Ο ΑΒ∆ΗΡΙΤΗΣ ∆ΗΜΟΚΡΙΤΟΣ Ο ΑΒ∆ΗΡΙΤΗΣ 51 22221111. . . . ΑΡΧΥΤΑΣ Ο ΤΑΡΑΝΤΙΝΟΣΑΡΧΥΤΑΣ Ο ΤΑΡΑΝΤΙΝΟΣΑΡΧΥΤΑΣ Ο ΤΑΡΑΝΤΙΝΟΣΑΡΧΥΤΑΣ Ο ΤΑΡΑΝΤΙΝΟΣ 52 22222222.... ΠΛΑΤΩΝ Ο ΑΘΗΝΑΙΟΣΠΛΑΤΩΝ Ο ΑΘΗΝΑΙΟΣΠΛΑΤΩΝ Ο ΑΘΗΝΑΙΟΣΠΛΑΤΩΝ Ο ΑΘΗΝΑΙΟΣ 53 22223333.... ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ Ο ΑΘΗΝΑΙΟΣΘΕΑΙΤΗΤΟΣ Ο ΑΘΗΝΑΙΟΣΘΕΑΙΤΗΤΟΣ Ο ΑΘΗΝΑΙΟΣΘΕΑΙΤΗΤΟΣ Ο ΑΘΗΝΑΙΟΣ 55 22224444.... ΕΥ∆ΟΞΟΣ Ο ΚΝΙ∆ΙΟΣΕΥ∆ΟΞΟΣ Ο ΚΝΙ∆ΙΟΣΕΥ∆ΟΞΟΣ Ο ΚΝΙ∆ΙΟΣΕΥ∆ΟΞΟΣ Ο ΚΝΙ∆ΙΟΣ 56 22225555.... ΜΕΝΑΙΧΜΟΣ Ο ΠΡΟΚΟΝΝΗΣΙΟΣΜΕΝΑΙΧΜΟΣ Ο ΠΡΟΚΟΝΝΗΣΙΟΣΜΕΝΑΙΧΜΟΣ Ο ΠΡΟΚΟΝΝΗΣΙΟΣΜΕΝΑΙΧΜΟΣ Ο ΠΡΟΚΟΝΝΗΣΙΟΣ 61 22226666. . . . ΠΥΘΕΑΣ Ο ΜΑΣΣΑΛΙΩΤΗΣΠΥΘΕΑΣ Ο ΜΑΣΣΑΛΙΩΤΗΣΠΥΘΕΑΣ Ο ΜΑΣΣΑΛΙΩΤΗΣΠΥΘΕΑΣ Ο ΜΑΣΣΑΛΙΩΤΗΣ 62 22227777.... EΥΚΛΕEΥΚΛΕEΥΚΛΕEΥΚΛΕΙ∆ΗΣΙ∆ΗΣΙ∆ΗΣΙ∆ΗΣ 64 22228888.... ΑΡΙΣΤΑΡΧΟΣ Ο ΣΑΜΙΟΣΑΡΙΣΤΑΡΧΟΣ Ο ΣΑΜΙΟΣΑΡΙΣΤΑΡΧΟΣ Ο ΣΑΜΙΟΣΑΡΙΣΤΑΡΧΟΣ Ο ΣΑΜΙΟΣ 67 22229999. . . . ΑΡΧΙΜΗ∆ΗΣ Ο ΣΥΡΑΚΟΥΣΙΟΣΑΡΧΙΜΗ∆ΗΣ Ο ΣΥΡΑΚΟΥΣΙΟΣΑΡΧΙΜΗ∆ΗΣ Ο ΣΥΡΑΚΟΥΣΙΟΣΑΡΧΙΜΗ∆ΗΣ Ο ΣΥΡΑΚΟΥΣΙΟΣ 70 30303030.... ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΣ Ο ΚΥΡΗΝΑΙΟΣΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΣ Ο ΚΥΡΗΝΑΙΟΣΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΣ Ο ΚΥΡΗΝΑΙΟΣΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΣ Ο ΚΥΡΗΝΑΙΟΣ 74 33331111.... ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ Ο ΠΕΡΓΑΙΟΣΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ Ο ΠΕΡΓΑΙΟΣΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ Ο ΠΕΡΓΑΙΟΣΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ Ο ΠΕΡΓΑΙΟΣ 75 33332222.... ΝΙΚΟΜΗ∆ΗΣΝΙΚΟΜΗ∆ΗΣΝΙΚΟΜΗ∆ΗΣΝΙΚΟΜΗ∆ΗΣ 78 33333333.... ΙΠΠΑΡΧΟΣ Ο ΝΙΚΑΕΥΣΙΠΠΑΡΧΟΣ Ο ΝΙΚΑΕΥΣΙΠΠΑΡΧΟΣ Ο ΝΙΚΑΕΥΣΙΠΠΑΡΧΟΣ Ο ΝΙΚΑΕΥΣ 79 33334444.... ΠΟΣΕΙ∆ΩΝΙΟΣ Ο ΡΟ∆ΙΟΣΠΟΣΕΙ∆ΩΝΙΟΣ Ο ΡΟ∆ΙΟΣΠΟΣΕΙ∆ΩΝΙΟΣ Ο ΡΟ∆ΙΟΣΠΟΣΕΙ∆ΩΝΙΟΣ Ο ΡΟ∆ΙΟΣ 81

Page 3: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-2-

33335555.... ∆ΙΟΝΥΣΟ∆∆ΙΟΝΥΣΟ∆∆ΙΟΝΥΣΟ∆∆ΙΟΝΥΣΟ∆ΩΡΟΣ Ο ΜΗΛΙΟΣΩΡΟΣ Ο ΜΗΛΙΟΣΩΡΟΣ Ο ΜΗΛΙΟΣΩΡΟΣ Ο ΜΗΛΙΟΣ 83 33336666.... ∆ΙΟΚΛΗΣ Ο ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΕΥΣ∆ΙΟΚΛΗΣ Ο ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΕΥΣ∆ΙΟΚΛΗΣ Ο ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΕΥΣ∆ΙΟΚΛΗΣ Ο ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΕΥΣ 84 33337777.... ΗΡΩΝ Ο ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣΗΡΩΝ Ο ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣΗΡΩΝ Ο ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣΗΡΩΝ Ο ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣ 85 33338. 8. 8. 8. ΜΕΝΕΛΑΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣΜΕΝΕΛΑΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣΜΕΝΕΛΑΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣΜΕΝΕΛΑΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣ 88 33339999.... ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ Ο ΚΛΑΥ∆ΙΟΣΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ Ο ΚΛΑΥ∆ΙΟΣΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ Ο ΚΛΑΥ∆ΙΟΣΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ Ο ΚΛΑΥ∆ΙΟΣ 89 40404040. . . . ∆ΙΟΦΑΝΤΟΣ∆ΙΟΦΑΝΤΟΣ∆ΙΟΦΑΝΤΟΣ∆ΙΟΦΑΝΤΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣ 91 44441111.... ΠΑΠΠΟΣ Ο ΑΛΠΑΠΠΟΣ Ο ΑΛΠΑΠΠΟΣ Ο ΑΛΠΑΠΠΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣ 95 44442222.... ΥΠΑΤΙΑΥΠΑΤΙΑΥΠΑΤΙΑΥΠΑΤΙΑ Η ΘΕΩΝΟΣΗ ΘΕΩΝΟΣΗ ΘΕΩΝΟΣΗ ΘΕΩΝΟΣ 96 44443333. . . . ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΙΟ ΣΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΙΟ ΣΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΙΟ ΣΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΙΟ ΣΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ———— ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ 97 44444444.... ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΜΕ ΤΗΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΜΕ ΤΗΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΜΕ ΤΗΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΜΕ ΤΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΣΥΜΒΟΥΛΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΣΥΜΒΟΥΛΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΣΥΜΒΟΥΛΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΥΡΙΑ ΣΜΑΡΩ ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΟΥΚΥΡΙΑ ΣΜΑΡΩ ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΟΥΚΥΡΙΑ ΣΜΑΡΩ ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΟΥΚΥΡΙΑ ΣΜΑΡΩ ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΟΥ 102 44445555. . . . ∆ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΑΚΡΟΣΤΟΙΧΙ∆ΑΣ∆ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΑΚΡΟΣΤΟΙΧΙ∆ΑΣ∆ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΑΚΡΟΣΤΟΙΧΙ∆ΑΣ∆ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΑΚΡΟΣΤΟΙΧΙ∆ΑΣ 105 44446666.... ΕΠΙΛΟΓΟΣΕΠΙΛΟΓΟΣΕΠΙΛΟΓΟΣΕΠΙΛΟΓΟΣ 107

Page 4: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-3-

ΠΡΟΛΟΓΟΣΠΡΟΛΟΓΟΣΠΡΟΛΟΓΟΣΠΡΟΛΟΓΟΣ H επιλογή αυτού του θέµατος έγινε, διότι µας φάνηκε ενδιαφέρον να ασχοληθούµε µε την Ιστορία των Μαθηµατικών και συγκεκριµένα µε τους Αρχαίους Έλληνες Μαθηµατικούς . Η ενασχόληση µε αυτήν την εργασία είναι εποικοδοµητική, αφού µας προσφέρει γνώσεις για τα µαθηµατικά, τις οποίες µέχρι σήµερα δεν γνωρίζαµε και οι οποίες θα µας βοηθήσουν στην κατανόησή τους . Η επιλογή αυτής της ερευνητικής εργασίας µεταξύ πολλών άλλων έγινε , αφενός µεν, γιατί µας αρέσουν τα µαθηµατικά σαν επιστήµη και , αφετέρου δε , γιατί θελήσαµε να µάθουµε περισσότερα για τους προγόνους µας οι οποίοι µε το ανήσυχο πνεύµα τους και τη διαρκή αναζήτηση της ερµηνείας των φαινοµένων που συνέβαιναν γύρω τους ανακάλυψαν νόµους , θεωρήµατα, προτάσεις και γεωµετρικές κατασκευές τα οποία έχουν εφαρµογή και στους σηµερινούς νόµους επιστηµών όπως τα Μαθηµατικά , η Φυσική , η Μηχανική , η Αστρονοµία κ.ά . Η εργασία αυτή µας βοήθησε πολύ στο να αποκτήσουµε οµαδικό πνεύµα συνεργασίας µεταξύ µας και να ανταλλάξουµε απόψεις πάνω σε θέµατα που µας αφορούν . Ο διαχωρισµός της οµάδας σε επιµέρους υποοµάδες µας δηµιούργησε πνεύµα ευθύνης µε τη λήψη σηµαντικών αποφάσεων σε διαφορετικούς τοµείς έρευνας µε τη µορφή διαλόγου . Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α ΤΟΥ 1ΤΟΥ 1ΤΟΥ 1ΤΟΥ 1ΟΥΟΥΟΥΟΥ ΓΕ.Λ ΑΛΕΞ/ΠΟΛΗΣ ΓΕ.Λ ΑΛΕΞ/ΠΟΛΗΣ ΓΕ.Λ ΑΛΕΞ/ΠΟΛΗΣ ΓΕ.Λ ΑΛΕΞ/ΠΟΛΗΣ

Page 5: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-4-

ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ANAANAANAANA TOYTOYTOYTOYΣ ΑΙΩΝΕΣΣ ΑΙΩΝΕΣΣ ΑΙΩΝΕΣΣ ΑΙΩΝΕΣ

3000300030003000 ---- 2000 π.Χ2000 π.Χ2000 π.Χ2000 π.Χ

ΑίγυπτοςΑίγυπτοςΑίγυπτοςΑίγυπτος Εµφάνιση ιερογλυφικών αριθµώνΕµφάνιση ιερογλυφικών αριθµώνΕµφάνιση ιερογλυφικών αριθµώνΕµφάνιση ιερογλυφικών αριθµών

Κατασκευή πυραµίδωνΚατασκευή πυραµίδωνΚατασκευή πυραµίδωνΚατασκευή πυραµίδων

ΚίναΚίναΚίναΚίνα

Πραγµατεία ΜεταθέσεωνΠραγµατεία ΜεταθέσεωνΠραγµατεία ΜεταθέσεωνΠραγµατεία Μεταθέσεων Πραγµατεία αριΠραγµατεία αριΠραγµατεία αριΠραγµατεία αριθµητικής σε 9 κεφάλαιαθµητικής σε 9 κεφάλαιαθµητικής σε 9 κεφάλαιαθµητικής σε 9 κεφάλαια

( υπολογισµοί εµβαδών)( υπολογισµοί εµβαδών)( υπολογισµοί εµβαδών)( υπολογισµοί εµβαδών)

Προσέγγιση της τιµής του πΠροσέγγιση της τιµής του πΠροσέγγιση της τιµής του πΠροσέγγιση της τιµής του π

ΜεσοποταµίαΜεσοποταµίαΜεσοποταµίαΜεσοποταµία Εµφάνιση σφηνοειδούς γραφής των αριθµώνΕµφάνιση σφηνοειδούς γραφής των αριθµώνΕµφάνιση σφηνοειδούς γραφής των αριθµώνΕµφάνιση σφηνοειδούς γραφής των αριθµών

2000200020002000 ---- 1000 π.Χ1000 π.Χ1000 π.Χ1000 π.Χ

ΑίγυπτοςΑίγυπτοςΑίγυπτοςΑίγυπτος

Πάπυροι Rhind και ΜόσχαςΠάπυροι Rhind και ΜόσχαςΠάπυροι Rhind και ΜόσχαςΠάπυροι Rhind και Μόσχας Υπολογισµοί όγκων και εµβαδώνΥπολογισµοί όγκων και εµβαδώνΥπολογισµοί όγκων και εµβαδώνΥπολογισµοί όγκων και εµβαδών

ΜεσοποταµίαΜεσοποταµίαΜεσοποταµίαΜεσοποταµία

Υπολογισµοί εµβαδών Υπολογισµοί εµβαδών Υπολογισµοί εµβαδών Υπολογισµοί εµβαδών και "επίλυση" εξισώσεων β΄ και "επίλυση" εξισώσεων β΄ και "επίλυση" εξισώσεων β΄ και "επίλυση" εξισώσεων β΄ βαθµούβαθµούβαθµούβαθµού

1000100010001000 ---- 500 π.Χ500 π.Χ500 π.Χ500 π.Χ

ΕλλάδαΕλλάδαΕλλάδαΕλλάδα Θαλής. Έννοια απόδειξης, Αποδεικτική ΓεωµετρίαΘαλής. Έννοια απόδειξης, Αποδεικτική ΓεωµετρίαΘαλής. Έννοια απόδειξης, Αποδεικτική ΓεωµετρίαΘαλής. Έννοια απόδειξης, Αποδεικτική Γεωµετρία

Πυθαγόρας Πυθαγόρας Πυθαγόρας Πυθαγόρας ----Πυθαγόρειοι. Θεωρία Αριθµών, Πυθαγόρειοι. Θεωρία Αριθµών, Πυθαγόρειοι. Θεωρία Αριθµών, Πυθαγόρειοι. Θεωρία Αριθµών, γεωµετρία, µουσική κλίµακαγεωµετρία, µουσική κλίµακαγεωµετρία, µουσική κλίµακαγεωµετρία, µουσική κλίµακα

ΙνδίαΙνδίαΙνδίαΙνδία Υπολογισµός τετραγωνικών ριζώνΥπολογισµός τετραγωνικών ριζώνΥπολογισµός τετραγωνικών ριζώνΥπολογισµός τετραγωνικών ριζών

Page 6: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-5-

500 500 500 500 ---- 300 π.Χ300 π.Χ300 π.Χ300 π.Χ

ΕλλάδαΕλλάδαΕλλάδαΕλλάδα

ΟινΟινΟινΟινοπίδης ο Χίος: Γεωµετρίαοπίδης ο Χίος: Γεωµετρίαοπίδης ο Χίος: Γεωµετρίαοπίδης ο Χίος: Γεωµετρία Ιπποκράτης ο Χίος: ΤετραγωνισµόςΙπποκράτης ο Χίος: ΤετραγωνισµόςΙπποκράτης ο Χίος: ΤετραγωνισµόςΙπποκράτης ο Χίος: Τετραγωνισµός Ζήνων ο Ελεάτης: Παράδοξα κίνησης ( που Ζήνων ο Ελεάτης: Παράδοξα κίνησης ( που Ζήνων ο Ελεάτης: Παράδοξα κίνησης ( που Ζήνων ο Ελεάτης: Παράδοξα κίνησης ( που περικλείουν έννοιες συνέχειας και ορίου)περικλείουν έννοιες συνέχειας και ορίου)περικλείουν έννοιες συνέχειας και ορίου)περικλείουν έννοιες συνέχειας και ορίου) Λεύκιππος: Ατοµική θεωρίαΛεύκιππος: Ατοµική θεωρίαΛεύκιππος: Ατοµική θεωρίαΛεύκιππος: Ατοµική θεωρία Αντιφών: Μέθοδος εξάντλησηςΑντιφών: Μέθοδος εξάντλησηςΑντιφών: Μέθοδος εξάντλησηςΑντιφών: Μέθοδος εξάντλησης Ιππίας ο Ηλείος: ΤετραγωνισµόςΙππίας ο Ηλείος: ΤετραγωνισµόςΙππίας ο Ηλείος: ΤετραγωνισµόςΙππίας ο Ηλείος: Τετραγωνισµός Θεόδωρος ο Κηρυναίος: ΑσύµµετρουΘεόδωρος ο Κηρυναίος: ΑσύµµετρουΘεόδωρος ο Κηρυναίος: ΑσύµµετρουΘεόδωρος ο Κηρυναίος: Ασύµµετρους αριθµούςς αριθµούςς αριθµούςς αριθµούς ∆ηµόκριτος: Ατοµική Θεωρία, Γεωµετρία∆ηµόκριτος: Ατοµική Θεωρία, Γεωµετρία∆ηµόκριτος: Ατοµική Θεωρία, Γεωµετρία∆ηµόκριτος: Ατοµική Θεωρία, Γεωµετρία Αρχύτας: ΑναλογίεςΑρχύτας: ΑναλογίεςΑρχύτας: ΑναλογίεςΑρχύτας: Αναλογίες Πλάτων: Θεµελίωση ΜαθηµατικώνΠλάτων: Θεµελίωση ΜαθηµατικώνΠλάτων: Θεµελίωση ΜαθηµατικώνΠλάτων: Θεµελίωση Μαθηµατικών Θεαίτητος: ΓεωµετρίαΘεαίτητος: ΓεωµετρίαΘεαίτητος: ΓεωµετρίαΘεαίτητος: Γεωµετρία Εύδοξος: ΑναλογίεςΕύδοξος: ΑναλογίεςΕύδοξος: ΑναλογίεςΕύδοξος: Αναλογίες Μέναιχµος: ΚωνικέςΜέναιχµος: ΚωνικέςΜέναιχµος: ΚωνικέςΜέναιχµος: Κωνικές ∆εινόστρατος: Τετραγωνίζουσα∆εινόστρατος: Τετραγωνίζουσα∆εινόστρατος: Τετραγωνίζουσα∆εινόστρατος: Τετραγωνίζουσα Αριστοτέλης: ΛογικήΑριστοτέλης: ΛογικήΑριστοτέλης: ΛογικήΑριστοτέλης: Λογική Ευκλείδης: Στοιχεία, ∆εδοµένα, ΦαινόµεναΕυκλείδης: Στοιχεία, ∆εδοµένα, ΦαινόµεναΕυκλείδης: Στοιχεία, ∆εδοµένα, ΦαινόµεναΕυκλείδης: Στοιχεία, ∆εδοµένα, Φαινόµενα

300300300300 ---- 0000 π.Χπ.Χπ.Χπ.Χ

ΕλλάδαΕλλάδαΕλλάδαΕλλάδα

Αρίσταρχος: Πρώτη διατύπωση της θεωρίας του Αρίσταρχος: Πρώτη διατύπωση της θεωρίας του Αρίσταρχος: Πρώτη διατύπωση της θεωρίας του Αρίσταρχος: Πρώτη διατύπωση της θεωρίας του ηλιοκεντρικού συστήµατοςηλιοκεντρικού συστήµατοςηλιοκεντρικού συστήµατοςηλιοκεντρικού συστήµατος Ερατοσθένης: Πρώτοι αριθµοί, ΓεωδαισίαΕρατοσθένης: Πρώτοι αριθµοί, ΓεωδαισίαΕρατοσθένης: Πρώτοι αριθµοί, ΓεωδαισίαΕρατοσθένης: Πρώτοι αριθµοί, Γεωδαισία Απολλώνιος: ΚωνικέςΑπολλώνιος: ΚωνικέςΑπολλώνιος: ΚωνικέςΑπολλώνιος: Κωνικές Αρχιµήδης: Γεωµετρία, Αρχές απειροστικού Αρχιµήδης: Γεωµετρία, Αρχές απειροστικού Αρχιµήδης: Γεωµετρία, Αρχές απειροστικού Αρχιµήδης: Γεωµετρία, Αρχές απειροστικού λογισµού, Θεωρητική φυσική, Εφαρµογέςλογισµού, Θεωρητική φυσική, Εφαρµογέςλογισµού, Θεωρητική φυσική, Εφαρµογέςλογισµού, Θεωρητική φυσική, Εφαρµογές Ίππαρχος: Αστρονοµία, ΤριγωνοµΊππαρχος: Αστρονοµία, ΤριγωνοµΊππαρχος: Αστρονοµία, ΤριγωνοµΊππαρχος: Αστρονοµία, Τριγωνοµετρίαετρίαετρίαετρία Σωσιγένης: ∆ηµιουργία Ιουλιανού ηµερολογίουΣωσιγένης: ∆ηµιουργία Ιουλιανού ηµερολογίουΣωσιγένης: ∆ηµιουργία Ιουλιανού ηµερολογίουΣωσιγένης: ∆ηµιουργία Ιουλιανού ηµερολογίου

ΚίναΚίναΚίναΚίνα Τετραγωνικές, κυβικές ρίζες. Γραµµικές εξισώσειςΤετραγωνικές, κυβικές ρίζες. Γραµµικές εξισώσειςΤετραγωνικές, κυβικές ρίζες. Γραµµικές εξισώσειςΤετραγωνικές, κυβικές ρίζες. Γραµµικές εξισώσεις

Page 7: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-6-

0000 ---- 200 µ.Χ200 µ.Χ200 µ.Χ200 µ.Χ

ΕλλάδαΕλλάδαΕλλάδαΕλλάδα

Ήρων ο Αλεξανδρεύς: Γεωδαισία, Μαθηµατικά, Ήρων ο Αλεξανδρεύς: Γεωδαισία, Μαθηµατικά, Ήρων ο Αλεξανδρεύς: Γεωδαισία, Μαθηµατικά, Ήρων ο Αλεξανδρεύς: Γεωδαισία, Μαθηµατικά, ΕφαρµογέςΕφαρµογέςΕφαρµογέςΕφαρµογές Σερήνος: Κυλινδρικές τοµέςΣερήνος: Κυλινδρικές τοµέςΣερήνος: Κυλινδρικές τοµέςΣερήνος: Κυλινδρικές τοµές Νικόµαχος: Θεωρία ΑριθµώνΝικόµαχος: Θεωρία ΑριθµώνΝικόµαχος: Θεωρία ΑριθµώνΝικόµαχος: Θεωρία Αριθµών Θέων ο ΣΘέων ο ΣΘέων ο ΣΘέων ο Σµυρναίος: Θεωρία Αριθµώνµυρναίος: Θεωρία Αριθµώνµυρναίος: Θεωρία Αριθµώνµυρναίος: Θεωρία Αριθµών Κλαύδιος Πτολεµαίος: Αστρονοµία, Κλαύδιος Πτολεµαίος: Αστρονοµία, Κλαύδιος Πτολεµαίος: Αστρονοµία, Κλαύδιος Πτολεµαίος: Αστρονοµία, Τριγωνοµετρία, ΓεωδαισίαΤριγωνοµετρία, ΓεωδαισίαΤριγωνοµετρία, ΓεωδαισίαΤριγωνοµετρία, Γεωδαισία

ΚίναΚίναΚίναΚίνα Αστρονοµία, ΓεωµετρίαΑστρονοµία, ΓεωµετρίαΑστρονοµία, ΓεωµετρίαΑστρονοµία, Γεωµετρία

200200200200 ---- 400 µ.Χ400 µ.Χ400 µ.Χ400 µ.Χ

ΕλλάδαΕλλάδαΕλλάδαΕλλάδα

∆ιόφαντος: Άλγεβρα, Θεωρία Αριθµών∆ιόφαντος: Άλγεβρα, Θεωρία Αριθµών∆ιόφαντος: Άλγεβρα, Θεωρία Αριθµών∆ιόφαντος: Άλγεβρα, Θεωρία Αριθµών Πάππος: ΓεωµετρίαΠάππος: ΓεωµετρίαΠάππος: ΓεωµετρίαΠάππος: Γεωµετρία Ιαµβλίχος: Θεωρία ΑριθµώνΙαµβλίχος: Θεωρία ΑριθµώνΙαµβλίχος: Θεωρία ΑριθµώνΙαµβλίχος: Θεωρία Αριθµών Θέων ο Αλεξανδρεύς: ΓεωµετρίαΘέων ο Αλεξανδρεύς: ΓεωµετρίαΘέων ο Αλεξανδρεύς: ΓεωµετρίαΘέων ο Αλεξανδρεύς: Γεωµετρία

ΚίναΚίναΚίναΚίνα LLLLiu Hui: Τεχνικές µέτρησης. Αριθµητικήiu Hui: Τεχνικές µέτρησης. Αριθµητικήiu Hui: Τεχνικές µέτρησης. Αριθµητικήiu Hui: Τεχνικές µέτρησης. Αριθµητική

400400400400 ---- 800 µ.Χ800 µ.Χ800 µ.Χ800 µ.Χ

ΕλλάδαΕλλάδαΕλλάδαΕλλάδα Υπατία: Γεωµετρία, ΑστρονοµίαΥπατία: Γεωµετρία, ΑστρονοµίαΥπατία: Γεωµετρία, ΑστρονοµίαΥπατία: Γεωµετρία, Αστρονοµία Πρόκλος: ΓεωµετρίαΠρόκλος: ΓεωµετρίαΠρόκλος: ΓεωµετρίαΠρόκλος: Γεωµετρία

ΜεξικόΜεξικόΜεξικόΜεξικό Ανάπτυξη της αρίθµησης και αστρονοµίας των Ανάπτυξη της αρίθµησης και αστρονοµίας των Ανάπτυξη της αρίθµησης και αστρονοµίας των Ανάπτυξη της αρίθµησης και αστρονοµίας των

MayaMayaMayaMaya

Μέση Μέση Μέση Μέση ΑνατολήΑνατολήΑνατολήΑνατολή

Με τον Χαρούν αλ Ρασίντ , προστάτη των Με τον Χαρούν αλ Ρασίντ , προστάτη των Με τον Χαρούν αλ Ρασίντ , προστάτη των Με τον Χαρούν αλ Ρασίντ , προστάτη των Μαθηµατικών, (βασίλευσε 786Μαθηµατικών, (βασίλευσε 786Μαθηµατικών, (βασίλευσε 786Μαθηµατικών, (βασίλευσε 786----808080808) αρχίζει η 8) αρχίζει η 8) αρχίζει η 8) αρχίζει η αραβική εποχή, αµάλγαµα δύο κόσµων αραβική εποχή, αµάλγαµα δύο κόσµων αραβική εποχή, αµάλγαµα δύο κόσµων αραβική εποχή, αµάλγαµα δύο κόσµων (ελληνικού (ελληνικού (ελληνικού (ελληνικού ---- αραβικού)αραβικού)αραβικού)αραβικού)

ΙνδίαΙνδίαΙνδίαΙνδία

Aryabhata και ΤριγωνοµετρίαAryabhata και ΤριγωνοµετρίαAryabhata και ΤριγωνοµετρίαAryabhata και Τριγωνοµετρία Brahmagupta και απροσδιόριστη ανάλυση, Brahmagupta και απροσδιόριστη ανάλυση, Brahmagupta και απροσδιόριστη ανάλυση, Brahmagupta και απροσδιόριστη ανάλυση, ανάπτυξη του ινδοαραβικού συστήµατος ανάπτυξη του ινδοαραβικού συστήµατος ανάπτυξη του ινδοαραβικού συστήµατος ανάπτυξη του ινδοαραβικού συστήµατος αρίθµησηςαρίθµησηςαρίθµησηςαρίθµησης

ΙταλίαΙταλίαΙταλίαΙταλία Boethius: Γεωµετρία και Θεωρία ΑριθµώνBoethius: Γεωµετρία και Θεωρία ΑριθµώνBoethius: Γεωµετρία και Θεωρία ΑριθµώνBoethius: Γεωµετρία και Θεωρία Αριθµών

ΚίναΚίναΚίναΚίνα ΑριθµηΑριθµηΑριθµηΑριθµητική, Μέτρηση κύκλου, Εξισώσεις 3ου τική, Μέτρηση κύκλου, Εξισώσεις 3ου τική, Μέτρηση κύκλου, Εξισώσεις 3ου τική, Μέτρηση κύκλου, Εξισώσεις 3ου

βαθµού, Αστρονοµίαβαθµού, Αστρονοµίαβαθµού, Αστρονοµίαβαθµού, Αστρονοµία

Page 8: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-7-

800800800800 ---- 1000 µ.Χ1000 µ.Χ1000 µ.Χ1000 µ.Χ

Μέση Μέση Μέση Μέση

ΑνατολήΑνατολήΑνατολήΑνατολή

al Khowârismi: al Khowârismi: al Khowârismi: al Khowârismi: ΆλγεβραΆλγεβραΆλγεβραΆλγεβρα Honein ibn Ishâq: Honein ibn Ishâq: Honein ibn Ishâq: Honein ibn Ishâq: Ελληνικά ΜαθηµατικάΕλληνικά ΜαθηµατικάΕλληνικά ΜαθηµατικάΕλληνικά Μαθηµατικά Tâbt ibn Qurra: Tâbt ibn Qurra: Tâbt ibn Qurra: Tâbt ibn Qurra: Κωνικές, Ελληνικά ΜαθηµατικάΚωνικές, Ελληνικά ΜαθηµατικάΚωνικές, Ελληνικά ΜαθηµατικάΚωνικές, Ελληνικά Μαθηµατικά Abû Kâmil: Abû Kâmil: Abû Kâmil: Abû Kâmil: Γεωµετρία, ΆλγεβραΓεωµετρία, ΆλγεβραΓεωµετρία, ΆλγεβραΓεωµετρία, Άλγεβρα Al Nairizi: ΓεωµετρίαAl Nairizi: ΓεωµετρίαAl Nairizi: ΓεωµετρίαAl Nairizi: Γεωµετρία ΑβικένΑβικένΑβικένΑβικέννας: Γεωµετρία, Αριθµητικήνας: Γεωµετρία, Αριθµητικήνας: Γεωµετρία, Αριθµητικήνας: Γεωµετρία, Αριθµητική

ΙνδίαΙνδίαΙνδίαΙνδία Mahâvira: Mahâvira: Mahâvira: Mahâvira: Αριθµητική, ΆλγεβραΑριθµητική, ΆλγεβραΑριθµητική, ΆλγεβραΑριθµητική, Άλγεβρα

ΙσπανίαΙσπανίαΙσπανίαΙσπανία Gerbert (Sylvester II): ΑριθµητικήGerbert (Sylvester II): ΑριθµητικήGerbert (Sylvester II): ΑριθµητικήGerbert (Sylvester II): Αριθµητική

1000100010001000 ---- 1200 µ.Χ1200 µ.Χ1200 µ.Χ1200 µ.Χ

ΒυζάντιοΒυζάντιοΒυζάντιοΒυζάντιο Μιχαήλ Ψελλός: ΑστρονοµίαΜιχαήλ Ψελλός: ΑστρονοµίαΜιχαήλ Ψελλός: ΑστρονοµίαΜιχαήλ Ψελλός: Αστρονοµία

ΠερσίαΠερσίαΠερσίαΠερσία

Οµάρ Καγιάµ: Γεωµετρική λύση κυβικών Οµάρ Καγιάµ: Γεωµετρική λύση κυβικών Οµάρ Καγιάµ: Γεωµετρική λύση κυβικών Οµάρ Καγιάµ: Γεωµετρική λύση κυβικών εξισώσεων, αίτηµα των παραλλήλων, θεωρίεξισώσεων, αίτηµα των παραλλήλων, θεωρίεξισώσεων, αίτηµα των παραλλήλων, θεωρίεξισώσεων, αίτηµα των παραλλήλων, θεωρία α α α

αναλογιώναναλογιώναναλογιώναναλογιών

ΙνδίαΙνδίαΙνδίαΙνδία Al Biruni: Σφαιρική τριγωνοµετρίαAl Biruni: Σφαιρική τριγωνοµετρίαAl Biruni: Σφαιρική τριγωνοµετρίαAl Biruni: Σφαιρική τριγωνοµετρία

Bhâskara: Bhâskara: Bhâskara: Bhâskara: ΆλγεβραΆλγεβραΆλγεβραΆλγεβρα

ΙσπανίαΙσπανίαΙσπανίαΙσπανία

Αραβικά έργα µεταφράζονται σε λατινικάΑραβικά έργα µεταφράζονται σε λατινικάΑραβικά έργα µεταφράζονται σε λατινικάΑραβικά έργα µεταφράζονται σε λατινικά Abraham ben Ezra: ΣυνδυαστικήAbraham ben Ezra: ΣυνδυαστικήAbraham ben Ezra: ΣυνδυαστικήAbraham ben Ezra: Συνδυαστική

ΙταλίαΙταλίαΙταλίαΙταλία

Μεταφράσεις αραβικών έργων στα λατινικά Μεταφράσεις αραβικών έργων στα λατινικά Μεταφράσεις αραβικών έργων στα λατινικά Μεταφράσεις αραβικών έργων στα λατινικά (Πλάτων του Tivoli, Gerardo της Gremoma)(Πλάτων του Tivoli, Gerardo της Gremoma)(Πλάτων του Tivoli, Gerardo της Gremoma)(Πλάτων του Tivoli, Gerardo της Gremoma)

ΚίναΚίναΚίναΚίνα ΑριθµητικήΑριθµητικήΑριθµητικήΑριθµητική

Page 9: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-8-

1200120012001200 ---- 1400 µ.Χ1400 µ.Χ1400 µ.Χ1400 µ.Χ

ΑγγλίαΑγγλίαΑγγλίαΑγγλία

Μελέτη κίνησης, επιτάχυνσηςΜελέτη κίνησης, επιτάχυνσηςΜελέτη κίνησης, επιτάχυνσηςΜελέτη κίνησης, επιτάχυνσης CalculatoresCalculatoresCalculatoresCalculatores

ΒυζάντιοΒυζάντιοΒυζάντιοΒυζάντιο

Ιωάννης Παχυµέρης: Περί των τεσσάρων Ιωάννης Παχυµέρης: Περί των τεσσάρων Ιωάννης Παχυµέρης: Περί των τεσσάρων Ιωάννης Παχυµέρης: Περί των τεσσάρων µαθηµάτωνµαθηµάτωνµαθηµάτωνµαθηµάτων Παχυµερούς µεγάλου διδασκάλου: (Αριθµητική, Παχυµερούς µεγάλου διδασκάλου: (Αριθµητική, Παχυµερούς µεγάλου διδασκάλου: (Αριθµητική, Παχυµερούς µεγάλου διδασκάλου: (Αριθµητική, µουσική, Γεωµετρία, Αστρονοµία)µουσική, Γεωµετρία, Αστρονοµία)µουσική, Γεωµετρία, Αστρονοµία)µουσική, Γεωµετρία, Αστρονοµία) Μάξιµος Πλανούδης: ΘεωρΜάξιµος Πλανούδης: ΘεωρΜάξιµος Πλανούδης: ΘεωρΜάξιµος Πλανούδης: Θεωρία Αριθµώνία Αριθµώνία Αριθµώνία Αριθµών Εµµανουήλ Μοσχόπουλος: Μαγικά τετράγωναΕµµανουήλ Μοσχόπουλος: Μαγικά τετράγωναΕµµανουήλ Μοσχόπουλος: Μαγικά τετράγωναΕµµανουήλ Μοσχόπουλος: Μαγικά τετράγωνα Νικόλαος Ραβδάς: Αριθµητική, ΓεωµετρίαΝικόλαος Ραβδάς: Αριθµητική, ΓεωµετρίαΝικόλαος Ραβδάς: Αριθµητική, ΓεωµετρίαΝικόλαος Ραβδάς: Αριθµητική, Γεωµετρία

ΓαλλίαΓαλλίαΓαλλίαΓαλλία O Jordanus και προχωρηµένη ΆλγεβραO Jordanus και προχωρηµένη ΆλγεβραO Jordanus και προχωρηµένη ΆλγεβραO Jordanus και προχωρηµένη Άλγεβρα

ΙταλίαΙταλίαΙταλίαΙταλία Leonardo της Πίζας (FIbonacci): Άλγεβρα, Leonardo της Πίζας (FIbonacci): Άλγεβρα, Leonardo της Πίζας (FIbonacci): Άλγεβρα, Leonardo της Πίζας (FIbonacci): Άλγεβρα,

Αριθµητική, Γεωµετρία ( εισαγωγή αραβικών Αριθµητική, Γεωµετρία ( εισαγωγή αραβικών Αριθµητική, Γεωµετρία ( εισαγωγή αραβικών Αριθµητική, Γεωµετρία ( εισαγωγή αραβικών γνώσεων)γνώσεων)γνώσεων)γνώσεων)

ΚίναΚίναΚίναΚίνα Επίλυση πολΕπίλυση πολΕπίλυση πολΕπίλυση πολυωνυµικών εξισώσεωνυωνυµικών εξισώσεωνυωνυµικών εξισώσεωνυωνυµικών εξισώσεων

ΠερούΠερούΠερούΠερού Κίπους: ( κόµβοι σε σχοινιά ) για µέτρησηΚίπους: ( κόµβοι σε σχοινιά ) για µέτρησηΚίπους: ( κόµβοι σε σχοινιά ) για µέτρησηΚίπους: ( κόµβοι σε σχοινιά ) για µέτρηση

ΠερσίαΠερσίαΠερσίαΠερσία Nasir al Din Tusi και τριγωνοµετρίαNasir al Din Tusi και τριγωνοµετρίαNasir al Din Tusi και τριγωνοµετρίαNasir al Din Tusi και τριγωνοµετρία

1400140014001400 ---- 1600 µ.Χ1600 µ.Χ1600 µ.Χ1600 µ.Χ

ΑγγλίαΑγγλίαΑγγλίαΑγγλία ΤριγωνοµετρίαΤριγωνοµετρίαΤριγωνοµετρίαΤριγωνοµετρία

ΓαλλίαΓαλλίαΓαλλίαΓαλλία Ο Vieta και ο αλγεβρικός συµβολισµόςΟ Vieta και ο αλγεβρικός συµβολισµόςΟ Vieta και ο αλγεβρικός συµβολισµόςΟ Vieta και ο αλγεβρικός συµβολισµός

ΓερµανίαΓερµανίαΓερµανίαΓερµανία Reichenmeisters: Προοπτική (Durer)Reichenmeisters: Προοπτική (Durer)Reichenmeisters: Προοπτική (Durer)Reichenmeisters: Προοπτική (Durer)

ΙταλίαΙταλίαΙταλίαΙταλία Αλγεβρική επίλυση εξισώσεων 3ου βαθµού Αλγεβρική επίλυση εξισώσεων 3ου βαθµού Αλγεβρική επίλυση εξισώσεων 3ου βαθµού Αλγεβρική επίλυση εξισώσεων 3ου βαθµού (Ferrari, Tartaglia, Carnano ). Γεωµετρία, (Ferrari, Tartaglia, Carnano ). Γεωµετρία, (Ferrari, Tartaglia, Carnano ). Γεωµετρία, (Ferrari, Tartaglia, Carnano ). Γεωµετρία,

Γεωµετρική προοπτικήΓεωµετρική προοπτικήΓεωµετρική προοπτικήΓεωµετρική προοπτική

ΙνδίαΙνδίαΙνδίαΙνδία Υπολογισµοί ηµx , συνxΥπολογισµοί ηµx , συνxΥπολογισµοί ηµx , συνxΥπολογισµοί ηµx , συνx

Κάτω ΧώρεςΚάτω ΧώρεςΚάτω ΧώρεςΚάτω Χώρες Stevin και τα δεκαδικά κλάσµαταStevin και τα δεκαδικά κλάσµαταStevin και τα δεκαδικά κλάσµαταStevin και τα δεκαδικά κλάσµατα

ΠορτογαλίαΠορτογαλίαΠορτογαλίαΠορτογαλία N. Nuñez (N. Nuñez (N. Nuñez (N. Nuñez (Άλγεβρα, Γεωµετρία, Ναυσιπλοΐα)Άλγεβρα, Γεωµετρία, Ναυσιπλοΐα)Άλγεβρα, Γεωµετρία, Ναυσιπλοΐα)Άλγεβρα, Γεωµετρία, Ναυσιπλοΐα)

Page 10: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-9-

1600160016001600 ---- 1700 µ.Χ1700 µ.Χ1700 µ.Χ1700 µ.Χ

ΕυρώπηΕυρώπηΕυρώπηΕυρώπη

Kepler, Newton: Ουράνια µηχανικήKepler, Newton: Ουράνια µηχανικήKepler, Newton: Ουράνια µηχανικήKepler, Newton: Ουράνια µηχανική DescartesDescartesDescartesDescartes----Fermat: ∆ηµιουργία Αναλυτικής Fermat: ∆ηµιουργία Αναλυτικής Fermat: ∆ηµιουργία Αναλυτικής Fermat: ∆ηµιουργία Αναλυτικής ΓεωµετρίαςΓεωµετρίαςΓεωµετρίαςΓεωµετρίας Napier, Briggs: Ανακάλυψη λογαρίθµωνNapier, Briggs: Ανακάλυψη λογαρίθµωνNapier, Briggs: Ανακάλυψη λογαρίθµωνNapier, Briggs: Ανακάλυψη λογαρίθµων GirardGirardGirardGirard----Descartes: Θεωρία εξισώσεωνDescartes: Θεωρία εξισώσεωνDescartes: Θεωρία εξισώσεωνDescartes: Θεωρία εξισώσεων PascalPascalPascalPascal----Fermat: Θεωρία πιθανοτήτωνFermat: Θεωρία πιθανοτήτωνFermat: Θεωρία πιθανοτήτωνFermat: Θεωρία πιθανοτήτων FermatFermatFermatFermat----Pascal: Θεωρία ΑριθµώνPascal: Θεωρία ΑριθµώνPascal: Θεωρία ΑριθµώνPascal: Θεωρία Αριθµών PascalPascalPascalPascal----DesaDesaDesaDesargues: Προβολική Γεωµετρίαrgues: Προβολική Γεωµετρίαrgues: Προβολική Γεωµετρίαrgues: Προβολική Γεωµετρία NewtonNewtonNewtonNewton----Leibniz: ∆ηµιουργία απειροστικού Leibniz: ∆ηµιουργία απειροστικού Leibniz: ∆ηµιουργία απειροστικού Leibniz: ∆ηµιουργία απειροστικού λογισµούλογισµούλογισµούλογισµού Γαλιλαίος: Γεωµετρία, Αστρονοµία, ΜηχανικήΓαλιλαίος: Γεωµετρία, Αστρονοµία, ΜηχανικήΓαλιλαίος: Γεωµετρία, Αστρονοµία, ΜηχανικήΓαλιλαίος: Γεωµετρία, Αστρονοµία, Μηχανική Huygens: Γεωµετρία, Φυσική, Αστρονοµία, Huygens: Γεωµετρία, Φυσική, Αστρονοµία, Huygens: Γεωµετρία, Φυσική, Αστρονοµία, Huygens: Γεωµετρία, Φυσική, Αστρονοµία, Θεωρία πιθανοτήτων.Θεωρία πιθανοτήτων.Θεωρία πιθανοτήτων.Θεωρία πιθανοτήτων.

ΚίναΚίναΚίναΚίνα

Ο Mateo Ricci µεταφράζει τα στοιχεία του Ο Mateo Ricci µεταφράζει τα στοιχεία του Ο Mateo Ricci µεταφράζει τα στοιχεία του Ο Mateo Ricci µεταφράζει τα στοιχεία του Ευκλείδη στα κινέζικα.Ευκλείδη στα κινέζικα.Ευκλείδη στα κινέζικα.Ευκλείδη στα κινέζικα.

1111700 700 700 700 ---- 1800 µ.Χ1800 µ.Χ1800 µ.Χ1800 µ.Χ

Ανάπτυξη τεχνικής για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων (Ανάπτυξη τεχνικής για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων (Ανάπτυξη τεχνικής για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων (Ανάπτυξη τεχνικής για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων (EulerEulerEulerEuler, , , , DDDD`AlembertAlembertAlembertAlembert, , , ,

ClairautClairautClairautClairaut, , , , BernoulliBernoulliBernoulliBernoulli, , , , LagrangeLagrangeLagrangeLagrange) ) ) ) ---- Προσπάθεια αυστηρής θεµελίωσης του απειροστικού Προσπάθεια αυστηρής θεµελίωσης του απειροστικού Προσπάθεια αυστηρής θεµελίωσης του απειροστικού Προσπάθεια αυστηρής θεµελίωσης του απειροστικού

λογισµού (λογισµού (λογισµού (λογισµού (DDDD`AlembertAlembertAlembertAlembert, , , , EulerEulerEulerEuler, , , , LagrangeLagrangeLagrangeLagrange) ) ) ) ---- Θεωρία πιθανοτήτων (Θεωρία πιθανοτήτων (Θεωρία πιθανοτήτων (Θεωρία πιθανοτήτων (BernoulliBernoulliBernoulliBernoulli, , , , dededede MoivreMoivreMoivreMoivre, , , ,

BBBBayesayesayesayes, , , , LaplaceLaplaceLaplaceLaplace ) ) ) ) ---- EEEEπίλυση πολυωνυµικών εξισώσεων (πίλυση πολυωνυµικών εξισώσεων (πίλυση πολυωνυµικών εξισώσεων (πίλυση πολυωνυµικών εξισώσεων (LagrangeLagrangeLagrangeLagrange, , , , RuffiniRuffiniRuffiniRuffini) ) ) ) ----

Γεωµετρία: Μελέτη Καµπυλών (Γεωµετρία: Μελέτη Καµπυλών (Γεωµετρία: Μελέτη Καµπυλών (Γεωµετρία: Μελέτη Καµπυλών (EulerEulerEulerEuler, , , , ClairautClairautClairautClairaut, , , , MongeMongeMongeMonge, , , , DupinDupinDupinDupin))))----Λογισµός Λογισµός Λογισµός Λογισµός

Μεταβολών (Μεταβολών (Μεταβολών (Μεταβολών (EulerEulerEulerEuler, , , , LagrangeLagrangeLagrangeLagrange))))

1800 1800 1800 1800 ---- 1900 µ.Χ1900 µ.Χ1900 µ.Χ1900 µ.Χ

Αλγεβρική Θεωρία αριθµών Αλγεβρική Θεωρία αριθµών Αλγεβρική Θεωρία αριθµών Αλγεβρική Θεωρία αριθµών ---- Θεωρία Galois Θεωρία Galois Θεωρία Galois Θεωρία Galois ---- Οµάδες και Σώµατα Οµάδες και Σώµατα Οµάδες και Σώµατα Οµάδες και Σώµατα ---- QuaternQuaternQuaternQuaternions και ions και ions και ions και

οι µη µεταθετικές άλγεβρες οι µη µεταθετικές άλγεβρες οι µη µεταθετικές άλγεβρες οι µη µεταθετικές άλγεβρες ---- Θεωρία Πινάκων Θεωρία Πινάκων Θεωρία Πινάκων Θεωρία Πινάκων ---- Η αριθµητικοποίηση της ανάλυσης Η αριθµητικοποίηση της ανάλυσης Η αριθµητικοποίηση της ανάλυσης Η αριθµητικοποίηση της ανάλυσης ----

∆ιαφορική Γεωµετρία ∆ιαφορική Γεωµετρία ∆ιαφορική Γεωµετρία ∆ιαφορική Γεωµετρία ---- Μη Ευκλείδειες Γεωµετρίες Μη Ευκλείδειες Γεωµετρίες Μη Ευκλείδειες Γεωµετρίες Μη Ευκλείδειες Γεωµετρίες ---- Προβολική Γεωµετρία Προβολική Γεωµετρία Προβολική Γεωµετρία Προβολική Γεωµετρία ----

∆ιανυσµατική Ανάλυση ∆ιανυσµατική Ανάλυση ∆ιανυσµατική Ανάλυση ∆ιανυσµατική Ανάλυση ---- Θεµελίωση της Γεωµετρίας Θεµελίωση της Γεωµετρίας Θεµελίωση της Γεωµετρίας Θεµελίωση της Γεωµετρίας ---- Μαθηµατική Λογική Μαθηµατική Λογική Μαθηµατική Λογική Μαθηµατική Λογική ---- Θεωρία Θεωρία Θεωρία Θεωρία

πιθανοτήτων πιθανοτήτων πιθανοτήτων πιθανοτήτων ---- ΘεωρΘεωρΘεωρΘεωρία Συναρτήσεωνία Συναρτήσεωνία Συναρτήσεωνία Συναρτήσεων

Page 11: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-10-

1900 1900 1900 1900 ---- 2000 µ.Χ2000 µ.Χ2000 µ.Χ2000 µ.Χ

Θεωρία Συνόλων Θεωρία Συνόλων Θεωρία Συνόλων Θεωρία Συνόλων ---- Ανάπτυξη της ΤοπολογίαςΑνάπτυξη της ΤοπολογίαςΑνάπτυξη της ΤοπολογίαςΑνάπτυξη της Τοπολογίας----Αυστηρή Θεµελίωση της Θεωρίας Αυστηρή Θεµελίωση της Θεωρίας Αυστηρή Θεµελίωση της Θεωρίας Αυστηρή Θεµελίωση της Θεωρίας

Πιθανοτήτων Πιθανοτήτων Πιθανοτήτων Πιθανοτήτων ---- Επίδραση των Η/Υ στα Μαθηµατικά Επίδραση των Η/Υ στα Μαθηµατικά Επίδραση των Η/Υ στα Μαθηµατικά Επίδραση των Η/Υ στα Μαθηµατικά ---- Αλγεβροποίηση των Αλγεβροποίηση των Αλγεβροποίηση των Αλγεβροποίηση των

Μαθηµατικών Μαθηµατικών Μαθηµατικών Μαθηµατικών ---- Επίλυση ανοιχτών προβληµάτων (το τελευταίο θεώρηµα του Επίλυση ανοιχτών προβληµάτων (το τελευταίο θεώρηµα του Επίλυση ανοιχτών προβληµάτων (το τελευταίο θεώρηµα του Επίλυση ανοιχτών προβληµάτων (το τελευταίο θεώρηµα του

Fermat, το πρόβFermat, το πρόβFermat, το πρόβFermat, το πρόβληµα των 4 χρωµάτων) ληµα των 4 χρωµάτων) ληµα των 4 χρωµάτων) ληµα των 4 χρωµάτων) ---- Η γένεση της οµάδας N. Bourbaki Η γένεση της οµάδας N. Bourbaki Η γένεση της οµάδας N. Bourbaki Η γένεση της οµάδας N. Bourbaki ---- Η Η Η Η

δηµιουργία καινούριων κλάδων και θεωριών (συναρτησιακή ανάλυση, τανυστική δηµιουργία καινούριων κλάδων και θεωριών (συναρτησιακή ανάλυση, τανυστική δηµιουργία καινούριων κλάδων και θεωριών (συναρτησιακή ανάλυση, τανυστική δηµιουργία καινούριων κλάδων και θεωριών (συναρτησιακή ανάλυση, τανυστική

ανάλυση, ολική διαφορική γεωµετρία, κυβερνητική, θεωρία γραφηµάτων, θεωρία ανάλυση, ολική διαφορική γεωµετρία, κυβερνητική, θεωρία γραφηµάτων, θεωρία ανάλυση, ολική διαφορική γεωµετρία, κυβερνητική, θεωρία γραφηµάτων, θεωρία ανάλυση, ολική διαφορική γεωµετρία, κυβερνητική, θεωρία γραφηµάτων, θεωρία

κατηγοριών, θεωρία κατανοµών, θεωρία solitons κ.κατηγοριών, θεωρία κατανοµών, θεωρία solitons κ.κατηγοριών, θεωρία κατανοµών, θεωρία solitons κ.κατηγοριών, θεωρία κατανοµών, θεωρία solitons κ.α)α)α)α) ....

Page 12: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-11-

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟΥΣ ΣΟΥΜΕΡΙΟΥΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟΥΣ ΣΟΥΜΕΡΙΟΥΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟΥΣ ΣΟΥΜΕΡΙΟΥΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟΥΣ ΣΟΥΜΕΡΙΟΥΣ Ήδη απ' την 8η χιλιετία π.Χ. οι κάτοικοι της περιοχής που έµελλε να κατοικήσουν οι Σουµέριοι, χρησιµοποιούσαν ένα σύστηµα αριθµητικής καταγραφής βασισµένο σε µικρές πήλινες "µάρκες" (tokens), τουλάχιστον όσον αφορά στην καταµέτρηση γεωργικών προϊόντων. Στην εποχή που κατοικούν την περιοχή οι Σουµέριοι, τα µαθηµατικά φαίνονται να έχουν ένα καθαρά ωφελιµιστικό χαρακτήρα, εξυπηρετώντας τον σκοπό µιας "αναδιανεµητικής οικονοµίας" που ήταν υπό τη διεύθυνση του Ιερατείου. Βέβαια αυτό δεν αποκλείει τη κατοχή και χρήση γνώσεων στον τοµέα των Μαθηµατικών, σε πιο θεωρητικό επίπεδο και για µη-ωφελιµιστικούς σκοπούς, απ' τους ίδιους τους ιερείς, όπως ακριβώς φαίνεται ότι συνέβαινε µε κάθε είδος γνώσης. Η γνώση ήταν προνόµιο ενός κλειστού ιερατικού κύκλου στα πλαίσια των Μυστηρίων που άνθησαν και στη Μεσοποταµία. Μόνο οι πρακτικές όψεις κάθε επιστήµης (όπως η καταγραφή προϊόντων ή ο καταµερισµός της γης) εκλαϊκεύονταν. Αυτή είναι µια όψη που συχνά οι σύγχρονοι αρχαιολόγοι παραβλέπουν, θεωρώντας κάθε ανάπτυξη γνώσης, αποτέλεσµα υλιστικών και πρακτικών αναγκών και όχι εφαρµογή ενός θεωρητικού υπόβαθρου). Τα αρχαιολογικά ευρήµατα της Μεσοποταµίας που ήρθαν στο φως τους τελευταίους αιώνες, περιλάµβαναν αρκετά κείµενα (χαραγµένα πάνω σε πήλινες πινακίδες) που αφορούσαν στις γνώσεις των λαών της περιοχής για τα Μαθηµατικά. Η σφηνοειδής γραφή των πινακίδων αυτών αποκρυπτογραφήθηκε στα µέσα του 19ου αιώνα απ' τον γερµανό G.F. Grotefend (1775-1853) και τον άγγλο ταγµατάρχη H. Rawlinson (1810-1895) . Από τις περίπου µισό εκατοµµύριο πήλινες πινακίδες σφηνοειδούς γραφής που έχουν βγει στο φως σχεδόν 500 είναι αυτές που έχουν άµεσο µαθηµατικό ενδιαφέρον. Οι πινακίδες αυτές βρίσκονται σε συλλογές σε διάφορα µουσεία της Ευρώπης, των Η.Π.Α. , καθώς και στο Αρχαιολογικό Μουσείο της Βαγδάτης. Αργότερα, στα τέλη της δεκαετίας του 1930, τα µαθηµατικά αυτά κείµενα άρχισαν να αποκρυπτογραφούνται απ' τον αυστριακό Οttο Neugebauer (1899-1990), κορυφαίο ερευνητή των µαθηµατικών και της αστρονοµίας της Μεσοποταµίας. Αν και οι περισσότερες πινακίδες χρονολογούνται στην εποχή της Βαβυλωνιακής Αυτοκρατορίας, ωστόσο είναι γνωστό ότι οι γνώσεις της εποχής αυτής αποτελούν κληρονοµιά και µετεξέλιξη των σουµεριακών µαθηµατικών.

Page 13: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-12-

Φαίνεται λοιπόν ότι, βρισκόµαστε µπροστά σ' ένα υψηλό επίπεδο µαθηµατικών γνώσεων που βασίζεται σε ένα αριθµητικό σύστηµα µε βάση τον αριθµό 60, αν και στα "ψηφία" φαίνεται η πρακτικότητα του αριθµού 10. ∆ύο σύµβολα, η απλή κατακόρυφη σφήνα που παριστάνει τη µονάδα (1) και η διπλή σφήνα που παριστάνει τη δεκάδα (10), αποτελούν τα µοναδικά "ψηφία" του συστήµατος αυτού το όποιο ήταν θεσιακό, δηλ. η αξία ενός ή περισσότερων ψηφίων καθορίζονταν απ' τη θέση που αυτό κατείχε µέσα σ' ένα αριθµό. Οι αριθµοί απ' το 1 ως το 59 σχηµατίζονται µε συνδυασµό των δύο βασικών συµβόλων και αριθµοί απ' το 60 και πάνω γράφονται σαν δυνάµεις του 60. Αυτό είναι εύκολο να το κατανοήσουµε στο δικό µας δεκαδικό σύστηµα, το οποίο είναι επίσης θεσιακό. Για παράδειγµα στον αριθµό 1858, το πρώτο "8" αναφέρεται σε εκατοντάδες (102), ενώ το δεύτερο "8" σε µονάδες (100). Όµοια κάθε ψηφίο φανερώνει µια αξία πολλαπλάσια κάποιας δύναµης του δέκα (10), ανάλογα µε τη θέση που κατέχει µέσα σ' ένα αριθµό. Το ίδιο συµβαίνει µε τους σουµεριακούς αριθµούς, µόνο που η βάση είναι ο αριθµός 60. Μάλιστα ένα σύµβολο µπορεί να αναφέρεται και σε αρνητικές δυνάµεις του 60 (π.χ. 60-2 για το 1/600) οι οποίες χρησίµευαν όπως και σήµερα για της υποδιαιρέσεις της µονάδας, αλλά και στην τέλεση της πράξης της διαίρεσης (η διαίρεση α / β ισοδυναµούσε µε τον πολλαπλασιασµό α β-1). Μπορεί η χρήση ενός 60αδικού συστήµατος να φαντάζει σήµερα περίεργη, αλλά ας σκεφτούµε ότι οδήγησε τους Σουµέριους και αργότερα τους Βαβυλώνιους στη µέτρηση του χρόνου µε βάση κύκλους διαιρεµένους σε 60 µονάδες, τρόπο που χρησιµοποιούµε ακόµα και σήµερα (1 ώρα = 60 λεπτά = 3600 δευτ/πτα). Επίσης οδήγησε τους Σουµέριους στο να χωρίσουν τον κύκλο σε 3600 και κάθε µοίρα σε 60 λεπτά. Έτσι ο αριθµός 60 αποτελεί εδώ και 5.000 χρόνια τουλάχιστον τη βάση µέτρησης των κύκλων του Χώρου και του Χρόνου, δίνοντάς τους µια µυστηριακή βάση, αφού ο κύκλος θεωρούνταν τόσο απ' τους Σουµέριους ιερείς όσο και στα Ιερά Μαθηµατικά των Πυθαγορείων, σαν το σύµβολο του σύµπαντος και της ολοκλήρωσης της Ζωής. Άλλο χαρακτηριστικό του αριθµητικού συστήµατος είναι η έλλειψη υποδιαστολής, κάτι που γενικά θα µπορούσε να επιφέρει σύγχυση (π.χ. τα ψηφία 4321789 θα µπορούσαν να αναφέρονται στον αριθµό 4.321.789 αλλά και στον 43.217,89). Το πρόβληµα αυτό φαίνεται ότι παρακάµπτονταν απ' τα συµφραζόµενα στο κείµενο που περιέχονταν ο αριθµός. Επίσης παρείχε ευελιξία αφού στις αριθµητικές πράξεις όλοι οι αριθµοί αντιµετωπίζονται ως ακέραιοι .

Page 14: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-13-

(Το ίδιο συµβαίνει σήµερα µε τους δεκαδικούς αριθµούς . Ο πολλαπλασιασµός τους γίνεται σαν να είναι ακέραιοι αριθµοί και το µόνο που χρειάζεται είναι να τοποθετηθεί στο τέλος, µετά την εκτέλεση του πολλαπλασιασµού, η υποδιαστολή στην κατάλληλη θέση) . Το µόνο χαρακτηριστικό που φαντάζει σαν µειονέκτηµα είναι η έλλειψη συµβόλου για τον αριθµό "µηδέν" . Φανταστείτε τη σύγχυση που θα προέκυπτε σήµερα αν για να γράψουµε τον αριθµό δέκα, θα έπρεπε να σηµειώσουµε απλά "1". Το "1" θα µπορούσε να συµβολίζει µία µονάδα αλλά και µία δεκάδα, µία εκατοντάδα, µία χιλιάδα κ.ο.κ. Άλλο στοιχείο ήταν η χρήση κειµένων πινάκων για την αποφυγή µακροσκελών υπολογισµών (όπως ο σηµερινός πίνακας της προπαίδειας). Έχουν ανακαλυφθεί πίνακες αντίστροφων (χρήσιµοι στις διαιρέσεις), πίνακες τετραγώνων, κύβων και κυβικών ριζών, ακόµα και πίνακες µε τις τιµές των παραστάσεων της µορφής α2 + β3, για διάφορες τιµές των α και β. Μια τέτοια γνωστή πινακίδα είναι η "Plimptοn 322", η οποία περιέχει τις γνωστές "πυθαγόρειες τριάδες", δηλ. τριάδες αριθµών που ικανοποιούν τη σχέση β2 + γ2 = α2 , δηλ. τη σχέση που συνδέει τις κάθετες πλευρές και την υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου. Το ότι η χρήση των αριθµητικών µεθόδων δεν περιορίζονταν σε εµπορικούς και οικονοµικούς σκοπούς, αλλά προχωρούσε σε θεωρητικό επίπεδο µέσα από µια εκπαιδευτική διαδικασία, φαίνεται απ' την αρχαιολογική ανακάλυψη πολλών προβληµάτων που απαιτούν τη χρήση εξισώσεων για την επίλυσή τους. Χαρακτηριστικό είναι το παρακάτω πρόβληµα. Είναι ένα απ' τα 22 προβλήµατα που περιέχονται στην πινακίδα "YBC 4652" . "Βρήκα µια πέτρα. ∆εν τη ζύγισα. Αφαίρεσα το ένα έβδοµο. Πρόσθεσα το ένα ενδέκατο. Αφαίρεσα το ένα δέκατο τρίτο. Τη ζύγισα: 1 ma-na. Ποιο ήταν το αρχικό βάρος της πέτρας;" Η απάντηση στο πρόβληµα αυτό (1 ma-na, 9½ gin, 2½ se) θα προέκυπτε σήµερα µε την λύση της εξίσωσης : (x - x7 ) + 111 (x - x7 ) - 113 [111 (x - x7 )] = 1, όπου x είναι το αρχικό βάρος της πέτρας .

Page 15: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-14-

Η ΓεωµετρίαΗ ΓεωµετρίαΗ ΓεωµετρίαΗ Γεωµετρία

Η σουµεριακή γεωµετρία περιλάµβανε τον υπολογισµό των εµβαδών, όγκων και µετρικών σχέσεων σε τρίγωνα και τραπέζια. Γνώριζαν να υπολογίζουν το εµβαδόν του ορθογωνίου και του ορθογωνίου τριγώνου και απ' αυτά και άλλων σχηµάτων. Υπολόγιζαν επίσης σωστά τους όγκους πρισµάτων και κυλίνδρων. Για τους υπολογισµούς σε κύκλους και κυλίνδρους χρησιµοποιούσαν την προσέγγιση π = 3. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η πινακίδα "Plimptοn 322", δείχνει ότι µπορούσαν να υπολογίσουν την υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου µε όµοιο τρόπο µε το "Πυθαγόρειο θεώρηµα". Το ότι τα Μαθηµατικά και οι Γεωµετρία ήταν όχι µόνο θεωρητικές επιστήµες, αλλά εφαρµόσιµες και στην πράξη, αντικατοπτρίζεται στην Αρχιτεκτονική τους που ύψωσε κλιµακωτές πυραµίδες (ζιγκουράτ) και µεγαλοπρεπείς ναούς .

Page 16: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-15-

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΑΖΤΕΚΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΑΓΙΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΑΖΤΕΚΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΑΓΙΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΑΖΤΕΚΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΑΓΙΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΑΖΤΕΚΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΑΓΙΑ Πρόκειται για τον πολιτισµό των Ίνκας που θα είχε βέβαια να µας προσφέρει ένα σύνολο µαθηµατικών γνώσεων, αλλά, επειδή δεν υπάρχουν γραπτά µνηµεία, δεν είναι δυνατή η ανασύστασή τους. Καλύτερες πληροφορίες έχουµε για τα µαθηµατικά των Μάγια και για τους κληρονόµους του πολιτισµού τους, των Αζτέκων κι αυτό οφείλεται στη γραφή τους, πικτογραφική και ιερογλυφική, που τις συναντάµε στα µνηµεία και στα χειρόγραφα, που µπορούµε σήµερα ν' αποκρυπτογραφούµε. Όλη τους η προσπάθεια φαίνεται ότι στρεφόταν στον υπολογισµό του χρόνου, στο πρόβληµα της καθιέρωσης ηµερολόγιου και στην πρόβλεψη αστρονοµικών γεγονότων. Η πρώτη µέρα στο ηµερολόγιο των Αζτέκων ήταν η 12η Αυγούστου 3113 π.Χ. κι οι παρατηρήσεις τους αναφέρονται σε µια περίοδο τουλάχιστον 38 αιώνων.

Χρησιµοποιώντας σύµβολα όπως καρδιές, τόξα και χέρια, οι αρχαίοι Αζτέκοι χρησιµοποιούσαν ένα αριθµητικό σύστηµα πολύ πιο περίπλοκο από όσο θεωρούσαν οι επιστήµονες µέχρι σήµερα. Η αυτοκρατορία των Αζτέκων στο κεντρικό Μεξικό αποτελούσε πάντα σηµείο αναφοράς σε ότι αφορά την αρχιτεκτονική, τη µηχανική, την αστρονοµία αλλά και άλλα επιστηµονικά πεδία, ενώ η νέα έρευνα

επιβεβαιώνει ότι η αριθµητική ήταν κι αυτή ένα πεδίο ιδιαίτερα ανεπτυγµένο. Οι ερευνητές εξέτασαν εκατοντάδες σχέδια σε δύο χειρόγραφα που χρονολογούνται µεταξύ 1540 και 1544 τα οποία είχαν χρησιµοποιηθεί για να περιγράψουν αγροτικές ιδιοκτησίες των Αζτέκων στην αρχαία πόλη του Τεπετλαοζτόκ. Οι Αζτέκοι χρησιµοποιούσαν ένα σύστηµα που περιελάµβανε διάφορα σύµβολα σαν εναλλακτική στη χρήση κλασµάτων. Η έρευνα έδειξε ότι αυτά τα ιερογλυφικά ήταν µέρος της υπολογιστικής µεθόδου που χρησιµοποιούσαν για να προσδιορίσουν µία έκταση γης. Όπως εξηγεί η Μπάρµπαρα Γουίλιαµς, ερευνητής του πανεπιστηµίου του Γουισκόνσιν των ΗΠΑ, οι Αζτέκοι χρησιµοποιούσαν τις τέσσερις µαθηµατικές πράξεις της πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασµού και διαίρεσης. Όπως όµως σε όλες τις πρωτόγονες κοινωνίες, αυτές οι πράξεις ήταν αρκετές για τις ανάγκες τους . Το γεγονός ότι οι Αζτέκοι χρησιµοποιούσαν µαθηµατικά για τον προσδιορισµό εδαφικών περιοχών είναι γνωστό ήδη από το 1980, ωστόσο λίγα ήταν γνωστά για τη µέθοδο που χρησιµοποιούσαν. « Η νέα ανακάλυψη αυξάνει το βαθµό κατανόησης µας για τον αρχαίο αυτό πολιτισµό και µας δείχνει ότι επρόκειτο για µια λογικά δοµηµένη κοινωνία σε όλα τα κοινωνικά της στρώµατα » κατέληξε η Γουίλιαµς .

Page 17: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-16-

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΡΧΑΙΑ ΑΡΧΑΙΑ ΑΡΧΑΙΑ ΒΑΒΥΛΩΝΑΒΑΒΥΛΩΝΑΒΑΒΥΛΩΝΑΒΑΒΥΛΩΝΑ Για την επιστήµη η Βαβυλώνα ήταν µια πόλη που έφερε αλλαγή στον κόσµο. Η ίδια θεωρούσε τον εαυτό της «κοσµική πόλη» µε ιστορία ώς πίσω την 3η χιλιετία π.Χ. και διάρκεια ώς τον θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου, το 323 π.Χ. Η Βαβυλώνα ανήκει στη Μεσοποταµία και είναι µια εύφορη πεδιάδα µεταξύ των ποταµών Τίγρη και Ευφράτη. Η περιοχή είχε στο κέντρο της τον Σουµεριακό πολιτισµό, που άκµασε πριν από το 3.500 π.Χ.. Ήταν ένας προηγµένος πολιτισµός έχοντας οικοδόµηση των πόλεων, υποστήριξη των κατοίκων µε ταχυδροµική υπηρεσία. Το αριθµητικό σύστηµα που χρησιµοποιούν έχει βάση το 60. Περίπου το 2.300 π.Χ. οι Σηµίτες εισβάλλουν στο χώρο και οι δύο πολιτισµοί αναµειγνύονται. Οι Σηµίτες επινοούν τον άβακα ως εργαλείο για την καταµέτρηση και αναπτύσσουν κάπως αδέξια τις αριθµητικές µεθόδους µε προσθήκη της αφαίρεσης , του πολλαπλασιασµού και της διαίρεσης σε όλους τους φορείς στους οποίους συµµετέχουν. Το 1.700 π.Χ. έχουµε στοιχεία για τον υπολογισµό πυθαγόρειων τριάδων, καθώς και σύνθετων προβληµάτων που λύνονται µε τη χρήση µεθόδων γραµµικής άλγεβρας ή αρκετά σύνθετων εξισώσεων. 2.0002.0002.0002.000----538 π.Χ.538 π.Χ.538 π.Χ.538 π.Χ. Οι Βαβυλώνιοι έφτασαν σε υψηλό επίπεδο µαθηµατικής κουλτούρας, µεγαλύτερη των σύγχρονων Αιγυπτίων. Οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν τις τέσσερις πράξεις και τις ρίζες, λύνανε προβλήµατα πρώτου και δεύτερου βαθµού, υπολόγιζαν εµβαδόν ορθογωνίων τριγώνων, παραλληλόγραµµων, τραπεζίων καθώς και το εµβαδόν του κύκλου (π=3 αντί π=3,14) . Το αριθµητικό τους σύστηµα ήταν µη ψηφιακό, θεσιακό, χωρίς υποδιαστολή και χωρίς µηδέν. Υποστηρίζεται ότι γνωρίζανε και το δεκαδικό σύστηµα. Το εξηνταδικό σύστηµα των Βαβυλωνίων έχει επιβιώσει µέχρι σήµερα στο µέτρηµα του χρόνου. Έτσι π.Χ. όταν οι Βαβυλώνιοι ήθελαν να εκφράσουν τον αριθµό 75, έλεγαν «1,15», όπως κι εµείς σήµερα τα 75 λεπτά τα εκφράζουµε σαν 1 ώρα και 15 λεπτά.

Page 18: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-17-

Οι πρώτες παραστάσεις των αριθµών στη ΜεσοποταµίαΟι πρώτες παραστάσεις των αριθµών στη ΜεσοποταµίαΟι πρώτες παραστάσεις των αριθµών στη ΜεσοποταµίαΟι πρώτες παραστάσεις των αριθµών στη Μεσοποταµία

• Την περίοδο 2350-2200 π.Χ. δηµιουργήθηκε στη Μεσοποταµία η ακκαδική αυτοκρατορία και εισήγαγε δύο καινοτοµίες στον διοικητικό µηχανισµό:

• Την εσωτερική συνοχή των µονάδων µέτρησης.

• Την αντικατάσταση των κυκλικών ή κυκλοειδών παραστάσεων για τους αριθµούς µε σφηνοειδή χαρακτήρες.

Παραδείγµατα θεσιακής εξάρτησηΠαραδείγµατα θεσιακής εξάρτησηΠαραδείγµατα θεσιακής εξάρτησηΠαραδείγµατα θεσιακής εξάρτησηςςςς

48484848××××60²60²60²60²+20202020××××60606060+12121212

Page 19: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-18-

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ

Οι Αιγύπτιοι Αιγύπτιοι Αιγύπτιοι Αιγύπτιοι ήταν ο πρώτος λαός που ασχολήθηκε µε την µαθηµατική επιστήµη. Οι γνώσεις που κατείχαν ήταν απόρροια της αναγκαιότητας επίλυσης προβληµάτων που σχετίζονταν µε τις γεωργικές τους καλλιέργειες κατά µήκος του ποταµού Νείλου. Οι περισσότερες γνώσεις µας σε ότι αφορά τα Αιγυπτιακά µαθηµατικά, προέρχονται από δυο διάσηµους παπύρους, τον πάπυρο του Rhind που χρονολογείται περίπου το 1650 π.Χ. και του παπύρου της Μόσχας που χρονολογείται µεταξύ 2000π.Χ και 1800 π.Χ. Από αυτούς φαίνεται ότι οι Αιγύπτιοι κατείχαν αξιόλογες γνώσεις καθώς ασχολούνταν µε συγκεκριµένες περιπτώσεις αριθµητικών προβληµάτων (υπολογισµός όγκων, επίλυση εξισώσεων κ.ά.) χωρίς ωστόσο να φαίνεται ότι είχαν αναπτύξει γενικές µεθόδους επίλυσης προβληµάτων. Το σύστηµα αρίθµησης που χρησιµοποιείται στην αρχαία Αίγυπτο το δεκαδικό σύστηµα, γραπτός µέσα hieroglyphs και ιερατικός. Και τα δύο συστήµατα υπήρξαν από τουλάχιστον Πρόωρη δυναστική περίοδος. (Πρέπει να σηµειωθεί ότι το ιερατικό σύστηµα δεν διαφέρει από το ιερογλυφικό σύστηµα πέρα από µια χρήση της απλούστευσης δεσµοί για το γρήγορο γράψιµο.) Πάπυρος Rhind , είναι µια συλλογή 84 προβληµάτων που αντιγράφτηκε περίπου το 1650 π.Χ. από ένα πρωτότυπο του 1850 π.Χ. Ο µαθηµατικός πάπυρος Rhind γράφεται σε ιερατικό Πάπυρος της Μόσχας, γράφτηκε γύρω στο 1850 π.Χ. Είναι µια συλλογή 25 προβληµάτων. Ο δερµάτινος κύλινδρος, που γράφτηκε γύρω στο 1650 π.Χ. και περιέχει 26 αθροίσµατα µοναδιαίων κλασµάτων. Επίσης υπάρχει ο πάπυρος Kahun και ο πάπυρος του Βερολίνου, που είναι του 1850 π.Χ. περίπου και περιέχουν µαθηµατικές πράξεις .

Page 20: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-19-

Πάπυρος Πάπυρος Πάπυρος Πάπυρος RhindRhindRhindRhind Πάπυρος τηςΠάπυρος τηςΠάπυρος τηςΠάπυρος της ΜοσχαςΜοσχαςΜοσχαςΜοσχας

ΠΠρρόόββλληηµµαα 2266 ττοουυ ππάάππυυρροουυ RRhhiinndd : Μια ποσότητα και το τέταρτο µέρος αυτής κάνουν µαζί 15. Ποια είναι η ποσότητα; Έστω 4. Τότε το 4 και 1 (το τέταρτο µέρος του 4) κάνει 5 και όχι 15. Για να βρεθεί το σωστό, πρώτα υπολογίζεται η απόκλιση και σηµειώνεται ότι το 15 είναι τριπλάσιο του 5. Έτσι η διόρθωση της αρχικής ααυυθθααίίρρεεττηηςς ππααρρααδδοοχχήήςς γίνεται µε τριπλασιασµό της, 3 φορές το 4, δηλ. 12. ∆ιαπιστώνεται ότι αυτό είναι σωστό, γιατί 12 και 3 (το τέταρτο του 12) κάνει 15. Η µέθοδος αυτή, που χρησιµοποιήθηκε και σε µεταγενέστερες εποχές, ονοµάζεται: µµµµµµµµέέέέέέέέθθθθθθθθοοοοοοοοδδδδδδδδοοοοοοοοςςςςςςςς ττττττττηηηηηηηηςςςςςςςς ααααααααυυυυυυυυθθθθθθθθααααααααίίίίίίίίρρρρρρρρεεεεεεεεττττττττηηηηηηηηςςςςςςςς ππππππππααααααααρρρρρρρρααααααααδδδδδδδδοοοοοοοοχχχχχχχχήήήήήήήήςςςςςςςς ήήήή µµµµµµµµέέέέέέέέθθθθθθθθοοοοοοοοδδδδδδδδοοοοοοοοςςςςςςςς ττττττττηηηηηηηηςςςςςςςς λλλλλλλλααααααααννννννννθθθθθθθθαααααααασσσσσσσσµµµµµµµµέέέέέέέέννννννννηηηηηηηηςςςςςςςς θθθθθθθθέέέέέέέέσσσσσσσσηηηηηηηηςςςςςςςς.... Οι Έλληνες, που είχαν πάντοτε σχέσεις µε τους Αιγυπτίους, τους ονόµασαν «αρπεδονάπτες», από το όργανο που χρησιµοποιούσαν για τις µετρήσεις τους, την αρπεδόνη. Η αρπεδόνη ήταν ένα κλειστό κορδόνι µε κόµβους σε καθορισµένες θέσεις, που χώριζαν το σκοινί σε 12 ίσα τµήµατα µονάδες µήκους. Με αυτό οι «αρπεδονάπτες» (αυτοί που άπτονται τις αρπεδόνης) κατασκεύαζαν την ορθή γωνία. Είναι αξιοσηµείωτο ότι µε το ίδιο ουσιαστικά εργαλείο οι σηµερινοί οικοδόµοι «γωνιάζουν» τα οικόπεδα ή τα κτήρια που θέλουν να κατασκευάσουν σε σχήµα ορθογωνίου. Χρησιµοποιώντας 12 µέτρα ή 12 ίσα τµήµατα µιας κορδέλας φτιάχνουν ένα τρίγωνο µε πλευρές µέτρων 3, 4, 5, που προκύπτει ορθογώνιο έτσι εφαρµόζουν, χωρίς απαραίτητα να το ξέρουν, το Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Με αυτό τον τρόπο οι Αιγύπτιοι πρέπει να κατάλαβαν ότι ένα τρίγωνο 3-4-5 είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο και έτσι, πιθανώς, να κατέληξαν στο γεγονός ότι 32 + 42 = 52 .

Page 21: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-20-

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ KINAKINAKINAKINA 2222ooooςςςς---- 8888οςοςοςος ΑΙΩΝΑΣ ΜΑΙΩΝΑΣ ΜΑΙΩΝΑΣ ΜΑΙΩΝΑΣ Μ.... ΧΧΧΧ

Από τον 2ο µ. Χ. αιώνα και µέχρι τον 8ο στην Κίνα και στην Ινδία πραγµατοποιείται σηµαντική επιστηµονική πρόοδος. Την ίδια περίοδο την Ευρώπη µαστίζουν διάφορες θρησκευτικές και πολιτικές διαµάχες που λειτουργούν σαν τροχοπέδη τόσο στην εξέλιξη όσο και στην ελεύθερη διακίνηση των ιδεών. Την περίοδο λοιπόν αυτή η Κίνα και η Ινδία αναγορεύονται σε δύο από τα σπουδαιότερα κέντρα ανάπτυξης της Μαθηµατικής γνώσης. Είναι γνωστόν ότι τα Μαθηµατικά , και µαζί και οι υπόλοιπες επιστήµες,“άνθισαν” στην αρχαία Κίνα ήδη από τα πανάρχαια χρόνια. Παρότι λοιπόν οι Κινέζοι ήδη από το 1200 πΧ. περίπου είχαν πραγµατοποιήσει αρκετές έρευνες και είχαν προοδεύσει στα Μαθηµατικά, χρησιµοποιούσαν (και συνέχισαν να χρησιµοποιούν για 12 περίπου αιώνες µετά) την τιµή 3, σαν προσέγγιση για το π. Πληροφορίες για τα αρχαία Κινεζικά Μαθηµατικά παίρνουµε από το σύγγραµµα “Ιερόν βιβλίον της Αριθµητικής”, που γράφτηκε (όπως εικάζεται) από το 1100 πΧ περίπου, και µέχρι το 250 πΧ. Σ΄αυτό, τα διάφορα µαθηµατικά αποτελέσµατα δίνονται µε τη µορφή συµπερασµάτων, χωρίς την απιτούµενη απόδειξη ή αιτιολόγηση, γεγονός που πιθανόν σηµαίνει ότι κάποια από αυτά (ίσως) προστέθηκαν αργότερα κατά την περίοδο σχολιασµού ή αναδηµοσίευσης του συγγράµµατος. (Το έργο σχολιάστηκε την περίοδο από το 200 πΧ µέχρι το 250 µΧ. περίπου και αναδηµοσιεύθηκε γύρω στα 600 µΧ. Έτσι οι Κινέζοι άρχισαν να ασχολούνται σοβαρά µε τον τετραγωνισµό του κύκλου και τον προσδιορισµό του π µετά τον 1ο αιώνα µ. Χ. Στις αρχές λοιπόν του 1ο αιώνα µ. Χ , ο Κινέζος µαθηµατικός LiuLiuLiuLiu HsiaHsiaHsiaHsiaoooo,,,, προσέγγιζε το π µε την τιµή π=3,1547. Όµως επειδή δεν υπάρχουν καθόλου στοιχεία παραµένει παντελώς άγνωστη η µέθοδος που χρησιµοποίησε για να πάρει την τιµή αυτή. Οι πρώτες µαθηµατικές έννοιες των Κινέζων χρονολογούνται από πολύ παλιά. Ήδη απ' τον 13ο αιώνα π.Χ. οι Κινέζοι είχαν σύστηµα δεκαδικής αρίθµησης, ανάλογο µ' εκείνο που υπάρχει σήµερα κι απ' τον 3ο π.Χ. αιώνα οι Κινέζοι έδωσαν µια πρωτότυπη λύση του Πυθαγόρειου θεωρήµατος . Υπολόγισαν κατά προσέγγιση τον αριθµό π κι έλυσαν τις εξισώσεις του πρώτου βαθµού . Η χρήση όµως του µηδενός άρχισε τον 8ο αιώνα µ.Χ. και κατά το 12ο και 13ο αιώνα µ.Χ. η κινεζική άλγεβρα γνώρισε µεγάλη ανάπτυξη. Ύστερα όµως απ' την κατάκτηση των Μαντσού, τα µαθηµατικά τους περιορίζονται σ' ορισµένα πρακτικά θέµατα .

Page 22: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-21-

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΚΙΝΑΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΚΙΝΑΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΚΙΝΑΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΚΙΝΑ --------ΚΙΝΕΖΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΙΜΕΝΑ ΚΙΝΕΖΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΙΜΕΝΑ ΚΙΝΕΖΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΙΜΕΝΑ ΚΙΝΕΖΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΙΜΕΝΑ Η ιστορία των κινεζικών µαθηµατικών και οι µαθηµατικοί ήταν ως επί το πλείστον χαθεί ή καταστραφεί κατά τη διάρκεια των αιώνων. Για παράδειγµα, το δεσποτικό αυτοκράτορας Shih Huang-ti της Ch'in δυναστείας (221-207 π.Χ.) διέταξε το κάψιµο των βιβλίων στο 213 π.Χ. Οι µελετητές κατά την επόµενη περίοδο Χαν (206 π.Χ. έως 220 µ.Χ.) , για τη µεταγραφή της Κίνας λογοτεχνικών και scientifice παραδόσεις από τη µνήµη ή να παραµείνουν τµήµατα της κύλισης. Η γνώση της αστρονοµίας και σε άλλες περιοχές ήταν συχνά αποφάσεις που έχουν εκδοθεί από πατέρα σε γιο, και µόνο αργότερα καταγράφονται στα κείµενα. ∆υστυχώς, πολύ λίγα κείµενα αφιερωµένη στη µαθηµατική αστρονοµία έχουν επιζήσει. Ωστόσο, υπάρχουν διάφορες υπάρχουσες κινεζικές εφαρµόζονται µαθηµατικά κείµενα, τα οποία είναι συλλογές των προβληµάτων και των λύσεων που διοργανώθηκε σε κεφάλαια σύµφωνα µε τις πρακτικές εφαρµογές τους. Τα κείµενα αυτά αποδεικνύει ότι οι Κινέζοι ήταν οι πρώτοι της κοινωνίας των πολιτών να χρησιµοποιούν ορισµένες από τις πιο βασικές και προηγµένες µαθηµατικές αρχές και τις έννοιες που χρησιµοποιούνται στη σύγχρονη εποχή. ∆ύο από αυτά τα κείµενα είναι οι Chou Pei και Chiu Τσανγκ. Το παλαιότερο υπάρχοντα κινεζικά κείµενα που περιέχουν τυπικές µαθηµατικές θεωρίες που παρήχθησαν κατά τη διάρκεια της περιόδου Han. Η κλασική Αριθµητική του Γνώµων και την Εγκύκλιο Μονοπάτια του Ουρανού (Chou Pei Suan Ching) είναι χρονολογούνται πριν από τον 3ο αιώνα π.Χ. και περιέχει διάφορες σύγχρονες µαθηµατικές αρχές , όπως η εργασία µε κλάσµατα χρησιµοποιώντας έναν κοινό παρονοµαστή , καθώς και αποδείξεις πολλές γεωµετρικές θεωρίες . Το κείµενο περιέχει µια ακριβή διαδικασία της διαίρεσης για να ανακαλύψει την τετραγωνική ρίζα των αριθµών. Στην πραγµατικότητα, η Chou Pei παρουσιάζει η παλαιότερη γνωστή απόδειξη της δεξιάς γωνίας θεωρία τρίγωνο στην Hsuan-Πεµ διάγραµµα. Αυτή η θεωρία, commony γνωστό ως το "Πυθαγόρειο θεώρηµα", δείχνει ότι το άθροισµα των τετραγώνων των ποδιών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο µε το τετράγωνο της υποτείνουσας ή α 2 + β 2 =γ 2. Άλλες σηµαντικές κινεζικά κείµενα µαθηµατικά περιλαµβάνουν την Μαθηµατική Classic του Sun Tzu (Sun Tzu Suan Ching), γραµµένο µε τον 3ο αιώνα µ.Χ.., Και Οι ∆έκα Μαθηµατική Εγχειρίδια (Suanjing Shi Shu). Οι 13 κείµενο αιώνα, η λεπτοµερής ανάλυση των µαθηµατικών κανόνων στην Εννέα Κεφάλαια (Hsiang Chieh Chiu Chang Suan Fa) , απέδειξε τη θεωρία είναι γνωστή ως «τρίγωνο του Pascal" 300 χρόνια πριν τη γέννηση του Pascal .

Page 23: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-22-

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΤΩΝ ΤΩΝ ΤΩΝ ΑΡΑΒΩΝΑΡΑΒΩΝΑΡΑΒΩΝΑΡΑΒΩΝ

Στους Άραβες οφείλουµε το ότι στράφηκαν προς όλους τους πολιτισµούς κι ότι δηµιούργησαν απ' αυτούς µια σύνθεση, που µ' αυτή έγινε δυνατή η βάση για τη νέα ανάπτυξη της µαθηµατικής επιστήµης. Αναφέρουµε τώρα µερικούς Άραβες µαθηµατικούς κι αστρονόµους που λάµπρυναν τη Βαγδάτη και πρώτα ο Al Κharezmi, που θεωρείται πατέρας της ΄Αλγεβρας , ο Αbu Al Mafa, σχολιαστής του Ευκλείδη και του ∆ιοφάντη, που θεωρείται ένας απ' τους σκαπανείς της τριγωνοµετρίας και ο αστρονόµος Al Zargali, που διάπρεψε κατά τα τέλη του 11ου αιώνα. Αίτια της παρακµής της αραβικής επιστήµης είναι η κατάκτηση του ανατολικού αραβικού κράτους απ' τους Μογγόλους κι η τουρκική κατάκτηση. Επινόησαν την άλγεβρα και εφεύραν τα ψηφία της αριθµητικής που απ' αυτούς έχουν πάρει τ' όνοµά τους (αραβικά ψηφία) . Ο λέξη ΑΛΓΕΒΡΑ προέρχεται από τη λατινική Algebra η οποία µε τη σειρά της προέρχεται από την αραβική λέξη al-jabr. Η αραβική λέξη πρωτοεµφανίζεται στο - γραµµένο γύρω στα 825- έργο του µεγάλου άραβα µαθηµατικού al-Khwârizmi «Hisâb al-jabr w’ al- mugâbalah» ένας τίτλος που σε ελεύθερη απόδοση είναι « Επιστήµη της συνένωσης και της αντίθεσης» και η λέξη al-jabr ήταν για πολλά χρόνια συνώνυµο του «επιστήµη των εξισώσεων». Το αραβικό κείµενο έγινε γνωστό στην Ευρώπη από λατινικές µεταφράσεις . Από τη λέξη al-jabr γεννήθηκε ο λατινικός όρος Algebra που αποδόθηκε στα ελληνικά µε το «Άλγεβρα». Το 1857 βρέθηκε µια λατινική µετάφραση που άρχιζε µε το « Έχει πει ο Αλγορίθµι . . .». το όνοµα δηλαδή του αλ – Χαυαρίσµι έγινε « Αλγορίθµι » και από την παράφραση αυτή γεννήθηκε και η λέξη ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ που σηµαίνει «µια τυπική διαδικασία υπολογισµού µε συγκεκριµένο τρόπο» Το βιβλίο του alalalal----KhwarizmiKhwarizmiKhwarizmiKhwarizmi δεν χρησιµοποιεί τον σύγχρονο αλγεβρικό συµβολισµό ούτε και εξισώσεις. Το οτιδήποτε είναι γραµµένο µε λέξεις . ∆ιαπραγµατεύεται κυρίως εξισώσεις . Μελετά έξι διαφορετικούς τύπους εξισώσεων. Ωστόσο τα ισλαµικά µαθηµατικά δεν ασχολούνται µε ΑΡΝΗΤΙΚΟΥΣΑΡΝΗΤΙΚΟΥΣΑΡΝΗΤΙΚΟΥΣΑΡΝΗΤΙΚΟΥΣ αριθµούς. Στη δευτεροβάθµια λόγου χάρη εξίσωση οι αρνητικές ρίζες αγνοούνται. Το ίδιο όµως βιβλίο περιέχει και κανόνες Αριθµητικής που διαµορφώθηκαν µε τα ινδικά πρότυπα για την εκτέλεση πράξεων µε ινδικά ψηφία . Αναφέρεται επίσης σε τετραγωνικές και κυβικές ρίζες, σε κλάσµατα και στη µέθοδο των τριών. Στο βιβλίο του σχετικά µε τους υπολογισµούς Κιταµπ Αλ-γκιαµπρ παρουσίασε για πρώτη φορά την συστηµατική λύση της γραµµικής και δευτεροβάθµιας εξίσωσης. Θεωρείται ο «πατέρας» της άλγεβρας , τιµή την οποία µοιράζεται µε τον ∆ιόφαντο. Στον δωδέκατο αιώνα, οι λατινικές µεταφράσεις του έργου του στους Ινδικούς αριθµούς παρουσίασαν το δεκαδικό θεσιακό σύστηµα αριθµού στον ∆υτικό Κόσµο. Αναθεώρησε την « Γεωγραφία » του Πτολεµαίου και έγραψε για την αστρονοµία και την αστρολογία .

Page 24: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-23-

ΜΑΘΗΜΑΜΑΘΗΜΑΜΑΘΗΜΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ∆ΥΣΗΤΙΚΑ ΣΤΗ ∆ΥΣΗΤΙΚΑ ΣΤΗ ∆ΥΣΗΤΙΚΑ ΣΤΗ ∆ΥΣΗ

Πραγµατοποιείται µε τον Ζερµπέρ ντ Ώριγιάκ (960-1003 µ.Χ.) , που αργότερα έγινε πάπας µε το όνοµα Συλβέστρος Β' . Στο έργο του Ζερµπέρ επιδρά η αριθµητική των Αράβων, όσο για τη γεωµετρία, βρίσκεται σε πολύ χαµηλότερο βαθµό απ' τη γεωµετρία του Ευκλείδη . Στο δυτικό µεσαίωνα οι γεωµετρικές γνώσεις είναι πρακτικές. Οι ιδιότητες των διάφορων γεωµετρικών σχηµάτων αποδείχνονται εµπειρικά κι όχι µε λογικούς επαγωγικούς συλλογισµούς . Το έτος 1494 εκτυπώνεται στη Βενετία ένα πραγµατικά εκλαϊκευτικό µαθηµατικό έργο . Πρόκειται για το βιβλίο του Λουκά Πατσιόλι , που στο κείµενό του θ' αναφέρονται όλοι οι µεγάλοι αλγεβριστές του επόµενου αιώνα . Χάρη σ' αυτούς τους αλγεβριστές, όπως ο Σκιπίωνας νταλ Φέρρο, ο Νικόλαος Ταρτάλια, ο Ιερώνυµος Καρντάνο, ο Λουδοβίκος Φερράρι κι ο Ραφαήλ Μποµπέλι, τα µαθηµατικά αρχίζουν να αναπτύσσονται προς µια καινούρια κατεύθυνση . Η µαθηµατική έρευνα έχει τόσο πολύ ωριµάσει απ' την άποψη της σαφήνειας της σκέψης και του ελέγχου των πράξεων, ώστε το πρόβληµα της λύσης µιας αλγεβρικής εξίσωσης µπορεί να τεθεί στη γενικότητά του. Οι µαθηµατικοί ύστερα ασχολήθηκαν µε τις εξισώσεις 5ου βαθµού και τη λύση τους και µε το πώς µπορεί να τοποθετηθούν στις τετραγωνικές ρίζες οι αρνητικοί αριθµοί. Η µελέτη του τελευταίου βοήθησε στην ολοκλήρωση της µελέτης των µιγαδικών αριθµών. Ο Άµπελ, στη συνέχεια, απόδειξε ότι µια εξίσωση πέµπτου βαθµού δεν µπορεί να λυθεί µε τη βοήθεια των ριζικών. Το έργο του συνέχισε ο Γκάους στις αρχές του 19ου αιώνα. Στη Γαλλία ο Βιετ (1540-1603), ο Καρτέσιος (1595-1650) κι ο Φερµά (1601 -1665) υπήρξαν οι συνεχιστές του έργου των Ιταλών αλγεβριστών του 15ου αιώνα. Οι µαθηµατικοί αυτοί έδωσαν στον αλγεβρικό λογισµό την οριστική του µορφή κι αυτός υπάρχει µέχρι σήµερα όπως τον άφησαν, µε ορισµένες αλλαγές που έγιναν πολύ πρόσφατα. Στον Καρτέσιο και στον Φερµά οφείλουµε µια πολύ χρήσιµη ιδέα, δηλαδή τη δηµιουργία του συστήµατος των συντεταγµένων. Οι δυνατότητες που δίνει στα µαθηµατικά αυτή η ιδέα είναι τεράστιες . Αρχικά έκαναν τη γεωµετρία, από επιστήµη καθαρά των σχηµάτων, απλό πεδίο εφαρµογής της άλγεβρας και την ονόµασαν αναλυτική γεωµετρίααναλυτική γεωµετρίααναλυτική γεωµετρίααναλυτική γεωµετρία. Ο λογισµός αντικαθιστά τα λογικά συµπεράσµατα, που προέρχονται απ' τα αξιώµατα. Η µετάβαση απ' την επίπεδη αναλυτική γεωµετρία στη γεωµετρία του χώρου, πραγµατοποιήθηκε απ' τον Παράν (1666-1713).

Page 25: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-24-

Αυτή η γενίκευση δηµιούργησε την ιδέα του χώρου των "ν""ν""ν""ν" διαστάσεων, που έγινε έργο του Σλαίφλι (1814-1895). Αυτοί οι χώροι των "ν""ν""ν""ν" διαστάσεων πήραν την οριστική τους θέση στα µαθηµατικά, όταν η µαθηµατική έρευνα διάθετε αποτελεσµατικά µέτρα. Για τα σύγχρονα µαθηµατικά πρέπει να αναφέρουµε, σχετικά µε την άλγεβρα και την ανάλυση, ότι αναπτύχθηκαν δύο νέοι κλάδοι των µαθηµατικών κατά τον 19ο αιώνα. Πρόκειται για τη συµβολική λογική , µε τους Μπουλ (1815-1864) , Σραίντερ (1841-1902) και Φρέγκε (1848-1925) , που είχε την πρόθεση να υποτάξει την άσκηση της λογικής σ' ένα αλγεβρικό λογισµό και για τη θεωρία των συνόλων. Η άλγεβρα, η ανάλυση καθώς και η γεωµετρία χρησιµοποιούσαν συχνά τη θεωρία αυτή και προσπαθούσαν να τη γενικέψουν. Και η έννοια αυτή αποτέλεσε αντικείµενο ιδιαίτερων ερευνών. Πρώτος ο Γ. Κάντορ (1845-1918) θεµελίωσε µια γενική θεωρία των συνόλων, που ασχολιόταν ιδιαίτερα µε τα άπειρα σύνολα. Στη συνέχεια ο Μπρόουερ (1881), οι Γάλλοι Μπαιρ, Λεµπέγκ και Μπορέλ, ασχολήθηκαν µε τη θεωρία των συνόλων. Σε κάθε φιλοσοφία λοιπόν που αποβλέπει στην ακρίβεια των νοηµάτων και ιδιαίτερα σε ότι αφορά τις οδούς και τα µέσα της γνώσης, η ανάπτυξη των µαθηµατικών απ' τα αρχαία χρόνια µέχρι τις µέρες µας πρέπει να θεωρηθεί λαµπρό παράδειγµα.

Page 26: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-25-

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΙΝ∆ΙΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΙΝ∆ΙΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΙΝ∆ΙΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΙΝ∆ΙΑ

∆ιαπιστώθηκε ότι τα µαθηµατικά των Ινδιών πήραν τη µεγαλύτερη ανάπτυξή τους απ' τον 1ο µέχρι τον 8ο µ.Χ. αιώνα, δηλαδή κατά την κλασική εποχή των Ινδιών. Ήδη πριν απ' την περίοδο αυτή, υπήρξαν πνευµατικές ανταλλαγές µε τον ελληνικό κόσµο και πρέπει να θυµηθούµε ότι η εκστρατεία του Μεγάλου Αλέξανδρου έφερε τους Έλληνες µέχρι τον Ινδό ποταµό. Ο κόσµος οφείλει στους Ινδούς µαθηµατικούς τη θεµελιώδη ανακάλυψη του συστήµατος δεκαδικής αρίθµησης , που βασίζεται στη χρήση εννιά διακριτών ψηφίων και του µηδενός . Το σύστηµα αυτό επέµεναν να το αγνοούν οι Έλληνες , αλλά αργότερα διαδόθηκε στη ∆ύση από τους Άραβες . Το αριθµητικό αυτό σύστηµα βοήθησε σηµαντικά την όλη ανάπτυξη των µαθηµατικών. Οι αρχαιολογικές ανασκαφές στο Μοχένζο Ντάρο έφεραν στο φως στοιχεία ενός πολύ ανεπτυγµένου πολιτισµού στην Ινδία, την ίδια εποχή περίπου που οι Αιγύπτιοι έκτιζαν τις περίφηµες πυραµίδες τους . Η Ινδία όπως και η Αίγυπτος είχε τους δικούς της «αρπεδονάπτες» . Οι πρώτες γεωµετρικές γνώσεις βρίσκονται καταχωρηµένες στα Σουλβασούτρας, που ήταν παραρτήµατα των Βεδών, των θρησκευτικών βιβλίων των Ινδών. Τα Σουλβασούτρας δίνουν κανόνες για την ακριβή κατασκευή βωµών, που ήταν απαραίτητη προϋπόθεση για την επιτυχή έκβαση µιας θυσίας. Επειδή ο χρόνος σύνθεσης του έργου είναι δύσκολο να προσδιοριστεί, οι χρονολογίες που δίνονται από τους διάφορους µελετητές, έχουν µεγάλη απόκλιση που είναι µεταξύ του 800 π.Χ. και 200 µ.Χ. Παρ’ όλα αυτά µπορούµε να πούµε, ότι τα Σουλβασούτρας είναι τα αρχαιότερα κείµενα όπου ανιχνεύουµε τα πρώτα σπέρµατα µαθηµατικών γνώσεων στην Ινδία. Την περίοδο των Σουλβασούτρας διαδέχεται µια άλλη, αυτή των Σιδχάντων ή συστηµάτων αστρονοµίας. Στις Σιδχάντες που γράφτηκαν περίπου στα τέλη του 4ου µ.Χ. αιώνα, διακρίνονται σαφή σηµάδια ελληνικής επιρροής. Όµως οι Ινδοί καινοτοµούν σε σχέση µε τους Έλληνες , αντικαθιστώντας την συναρτησιακή σχέση µεταξύ χορδών και των αντίστοιχων επίκεντρων γωνιών τους, µε ηµιχορδές και αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες , δηλαδή µε ηµίτονα. Ακόµη και η λέξη ηµίτονο προέρχεται από την παραποιηµένη απόδοση της σανσκριτικής λέξης jyaardha, που σηµαίνει µισή χορδή . Η εισαγωγή αυτής της ηµιτονοειδούς συνάρτησης, είναι η βασική συνεισφορά των Σιδχάντων στην ιστορία των µαθηµατικών.

Page 27: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-26-

Το έτος 476 µ.Χ. που θεωρείται βασικά σαν το τέλος της Ρωµαϊκής Αυτοκρατορίας , γεννιέται στην Ινδία ο πρώτος σπουδαίος αστρονόµος , ο Αριαµπάτα. Είναι ο πρώτος Ινδός αστρονόµος που το έργο του περιέχει κεφάλαια µε καθαρά µαθηµατικό περιεχόµενο. Το έργο του που φέρει το όνοµα Αριαµπατίγια, είναι µια πραγµατεία αστρονοµικού κυρίως περιεχοµένου, περιέχει όµως κάποια κεφάλαια µε καθαρά µαθηµατικό περιεχόµενο και έτσι µας παρέχεται η δυνατότητα, να εκτιµήσουµε το επίπεδο των µαθηµατικών γνώσεων στην Ινδία κατά τον 6ο µ.Χ. Μετά τον Αριαµπάτα αρχίζουν να εµφανίζονται στην Ινδία σηµαντικοί µαθηµατικοί, µε µεγάλη προσφορά στα ινδικά µαθηµατικά. Ένα σηµαντικό επίτευγµα των Ινδών µαθηµατικών είναι και η λύση των ∆ιοφαντικών εξισώσεων. Ενώ ο ∆ιόφαντος και η Υπατία ασχολήθηκαν µε την εύρεση ρητών λύσεων των εξισώσεων αυτών, στα ινδικά έργα για πρώτη φορά αναζητούνται ακέραιες λύσεις τέτοιων εξισώσεων. Ένα άλλο αξιοσηµείωτο επίτευγµα του ινδικού λαού είναι τα εννιά σύµβολα αρίθµησης , τα γνωστά σε όλους µας « αραβικά ψηφία », τα οποία ονοµάσθηκαν έτσι, όχι γιατί προέρχονται από τους Άραβες , αλλά γιατί διαδόθηκαν και έγιναν γνωστά από αυτούς στον υπόλοιπο κόσµο. Η Ινδική παράδοση αποδίδει τα σύµβολα αυτά, στον « Αγαθοεργό ∆ηµιουργό του σύµπαντος » . Παρόµοιες πεποιθήσεις περί θεϊκής έµπνευσης ισχύουν άλλωστε και για τα πρωιµότερα ινδικά έργα . Πάντως σήµερα επικρατεί η αντίληψη ότι , αριθµητικά µας σύµβολα προέρχονται από τα δυτικο- αραβικά, που και αυτά µε τη σειρά τους κατάγονται από τα ινδικά ψηφία . Τα ινδικά ψηφία εµφανίζονται για πρώτη φορά, σε διάφορες επιγραφές που χρονολογούνται τον 3ο αιώνα π.Χ.

Page 28: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-27-

ΣΡΙΝΙΒΑΣΑ ΡΑΜΑΝΟΥΤΖΑΝ (1887ΣΡΙΝΙΒΑΣΑ ΡΑΜΑΝΟΥΤΖΑΝ (1887ΣΡΙΝΙΒΑΣΑ ΡΑΜΑΝΟΥΤΖΑΝ (1887ΣΡΙΝΙΒΑΣΑ ΡΑΜΑΝΟΥΤΖΑΝ (1887----1920) 1920) 1920) 1920) [Ο ΡΟΜΑΝΤΙΚΟΣ [Ο ΡΟΜΑΝΤΙΚΟΣ [Ο ΡΟΜΑΝΤΙΚΟΣ [Ο ΡΟΜΑΝΤΙΚΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ]ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ]ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ]ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ]

Ως άλλος Μότσαρτ, ο ινδός µαθηµατικός Σρινιβάσα Ραµανουτζάν (1887 -1920) άφησε πίσω του µια πλούσια σοδειά 4.000 πρωτότυπων θεωρηµάτων που µελετώνται ως σήµερα. Λιγότερο γνωστή είναι η µυθιστορηµατική ζωή του, που ξεκίνησε από ένα µικρό χωριό της Ινδίας και έλαµψε στο Κέιµπριτζ για να καταλήξει στην πνευµατική µοναξιά της αγαπηµένης του πατρίδας . Ενα από τα σηµαντικότερα πράγµατα στη ζωή του Μότσαρτ είναι το τεράστιο και πολύπλευρο έργο του που πραγµατοποιήθηκε σε σύντοµο χρόνο. Ο Μότσαρτ πέθανε σε ηλικία 35 χρόνων και άφησε πίσω του 600 έργα. Μεταξύ αυτών 41 συµφωνίες , 27 κοντσέρτα για πιάνο , 23 κουαρτέτα εγχόρδων , 17 σονάτες για πιάνο και επτά όπερες . Το αντίστοιχο παράδειγµα στην ιστορία των µαθηµατικών είναι ο αυτοδίδακτος ινδός µαθηµατικός Σρινιβάσα Ραµανουτζάν. Ο Ραµανουτζάν πέθανε σε ηλικία 33 χρόνων και άφησε πίσω του 4.000 πρωτότυπα θεωρήµατα τα οποία µελετώνται και ερευνώνται ως σήµερα. Ο δάσκαλος στο µικρό χωριό Εροντε της Ινδίας δίδασκε αριθµητική και µάλιστα την πράξη της διαίρεσης µε παραδείγµατα. Ρώτησε λοιπόν τους µαθητές πόσες µπανάνες αντιστοιχούν σε κάθε παιδί αν τρεις µπανάνες µοιραστούν σε τρία παιδιά. Οι µαθητές απάντησαν όλοι µαζί µία. Μετά έκανε την ίδια ερώτηση αν οι µπανάνες είναι 1.000 και τα παιδιά 1.000. Οι µαθητές απάντησαν και πάλι µία. Ξαφνικά ένας µαθητής ρώτησε τον δάσκαλο: Αν µηδέν µπανάνες µοιραστούν σε µηδέν παιδιά, πόσες αντιστοιχούν στο καθένα; Ολόκληρη η τάξη ξέσπασε σε γέλια θεωρώντας την ερώτηση ανόητη. Ο δάσκαλος όµως δεν γέλασε και αντιµετώπισε την ερώτηση σοβαρά. Στην ουσία ο µαθητής ρωτούσε για την έννοια του απείρου, µια έννοια που ταλαιπώρησε τους µαθηµατικούς για αιώνες ώσπου να αποδειχθεί ότι η διαίρεση του µηδενός µε το µηδέν δεν είναι µηδέν ή ένα, αλλά άπειρο. Ο µαθητής που έκανε την ερώτηση ήταν ο Σρινιβάσα Ραµανουτζάν. Ο Ραµανουτζάν γεννήθηκε το 1887 σε µια φτωχή οικογένεια βραχµάνων στο Εροντε της Ινδίας. Ο πατέρας του ήταν υπάλληλος σε ένα κατάστηµα υφασµάτων. Πήγε στο σχολείο σε ηλικία επτά ετών και έµεινε ως τα 16 του. Αρχισε να ασχολείται µε τα µαθηµατικά από µικρή ηλικία και ήταν λαµπρός µαθητής. H πραγµατική είσοδός του στον κόσµο των µαθηµατικών έγινε όταν έφτασε στα χέρια του το βιβλίο « Μια σύνοψη αποτελεσµάτων στα καθαρά και εφαρµοσµένα µαθηµατικά » του Τζωρτζ Καρ. Το βιβλίο περιείχε 6.000 θεωρήµατα τα οποία ο Ραµανουτζάν µελετούσε µε ενθουσιασµό και απεδείκνυε µε δικό του τρόπο. Ισχυριζόταν ότι η θεά Ναµακάι τον ενέπνεε στα όνειρά του µε µαθηµατικούς τύπους .

Page 29: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-28-

Με βάση τις πολύ καλές επιδόσεις του στο γυµνάσιο κέρδισε µια υποτροφία για το πανεπιστήµιο, όπου τα πράγµατα δεν εξελίχθηκαν καλά. Τα µαθηµατικά, που ήταν η µεγάλη του αγάπη , ήταν η αιτία της αποτυχίας του στο πανεπιστήµιο. Ο Ραµανουτζάν ασχολούνταν µόνο µε τα µαθηµατικά και αγνοούσε τα υπόλοιπα µαθήµατα. Απέτυχε στις εξετάσεις, έχασε την υποτροφία και δεν πήρε το πτυχίο του. Παντρεύτηκε στα 22 του αλλά δεν µπόρεσε να βρει δουλειά στο πανεπιστήµιο, παρά τις προσπάθειες επώνυµων Ινδών που είχαν εντυπωσιαστεί από τις ικανότητές του. Τελικά το 1912, σε ηλικία 25 ετών, βρήκε δουλειά στο Λιµενικό Ταµείο του Μαντράς. Οπως είναι φυσικό, η δουλειά του δεν τον ενδιέφερε καθόλου και όλον τον υπόλοιπο χρόνο ασχολούνταν µε τα µαθηµατικά. Εµενε ξάγρυπνος τις νύχτες παράγοντας και αποδεικνύοντας νέα θεωρήµατα στη θεωρία των αριθµών. H περίοδος αυτή της ζωής του µοιάζει µε την αντίστοιχη του Αϊνστάιν στο γραφείο ευρεσιτεχνιών της Ζυρίχης, όπου υπηρέτησε ως υπάλληλος . Εκείνη την περίοδο ο µεγάλος φυσικός συνέλαβε και δηµοσίευσε τις σηµαντικότερες εργασίες του χρησιµοποιώντας τον ελεύθερο χρόνο του. Ο προϊστάµενός του στο γραφείο διαπίστωσε το µεγάλο του ταλέντο στα µαθηµατικά και τον προέτρεψε να έλθει σε επικοινωνία µε τους βρετανούς µαθηµατικούς . Ο Ραµανουτζάν έστειλε το 1913 µια επιστολή στον πιο γνωστό βρετανό µαθηµατικό της εποχής, τον Τζ. Χάρντι . Όπως ανέφερε ο Χάρντι αργότερα, η επιστολή περιείχε 120 θεωρήµατα χωρίς απόδειξη . Μερικά από αυτά ήταν γνωστά, µερικά µπορούσαν να αποδειχθούν µε δυσκολία και µερικά ήταν εντελώς νέα και πρωτότυπα. Ο Χάρντι εντυπωσιάστηκε αναφέροντας πως δεν είχε δει ποτέ κάτι παρόµοιο στη ζωή του και αποφάσισε να καλέσει τον νεαρό Ινδό στο Κέιµπριτζ. Υστερα από δύσκολες προσπάθειες κατάφερε να φέρει τον Ραµανουτζάν στο Κέιµπριτζ το 1914. Ο Ραµανουτζάν και ο Χάρντι είχαν στενή συνεργασία. Ο Ραµανουτζάν είχε την τάση να επινοεί συνεχώς θεωρήµατα χωρίς να τα αποδεικνύει και ο Χάρντι προσπαθούσε να του διδάξει τη διαδικασία της απόδειξης , η οποία είναι η βάση των µαθηµατικών. H ζωή του στο Κέιµπριτζ ήταν δύσκολη, παρ' όλες τις προσπάθειες του Χάρντι να αισθάνεται άνετα στο ψυχρό περιβάλλον του πανεπιστηµίου. Το 1917 αρρώστησε και νοσηλεύτηκε πολλές φορές στο νοσοκοµείο. H µεγάλη του αγάπη και η ικανότητά του στη θεωρία των αριθµών φαίνεται από το εξής περιστατικό. Ο Χάρντι τον επισκέφθηκε κάποτε στο νοσοκοµείο και όταν τον συνάντησε του ανέφερε ότι το ταξί που τον µετέφερε είχε τον αριθµό 1729. Τότε ο Ραµανουτζάν απάντησε αµέσως ότι ο αριθµός αυτός είναι ο µικρότερος ακέραιος που µπορεί να αντιπροσωπευθεί µε το άθροισµα δύο κυβικών δυνάµεων κατά δύο τρόπους (1729=13+123=93+103). Λόγω της επιδείνωσης της υγείας του ο Ραµανουτζάν επέστρεψε στην Ινδία το 1919 και τον επόµενο χρόνο πέθανε.

Page 30: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-29-

Ο Ραµανουτζάν πήρε τελικά το πτυχίο του από το Κέιµπριτζ το 1916, ενώ το 1918 εκλέχθηκε εταίρος της Βασιλικής Εταιρείας του Λονδίνου και του Trinity College του Κέιµπριτζ . Κατά τη διάρκεια της πεντάχρονης παραµονής του εκεί δηµοσίευσε 21 εργασίες , αλλά άφησε και µεγάλο αδηµοσίευτο έργο σε σκόρπια τετράδια. Το 1976 , 56 χρόνια µετά τον θάνατό του , βρέθηκε στο Κέιµπριτζ ένα τετράδιο 138 σελίδων που περιείχε 600 θεωρήµατα. Πρόκειται για τη δουλειά που εκπόνησε στον έναν χρόνο που έζησε στην Ινδία πριν από τον θάνατό του. Ο Ραµανουτζάν, παρ' όλο που γνώριζε ότι έφθανε το τέλος, δούλευε συνεχώς ως τον θάνατό του. Ο καθηγητής Μπ. Μπερντ του Πανεπιστηµίου του Ιλινόι των ΗΠΑ, και οι συνεργάτες του ασχολήθηκαν επί δεκαετίες µε την ταξινόµηση και τη µελέτη του έργου του (4.000 θεωρήµατα) το οποίο δηµοσιεύτηκε σε πέντε τόµους από τον εκδοτικό οίκο Springer. Στο Πανεπιστήµιο του Μαντράς ιδρύθηκε προς τιµήν του το Ινστιτούτο Προχωρηµένων Σπουδών στα µαθηµατικά ενώ στo Avvai Kalai Kazhagam µουσείο. . Ο Ραµανουτζάν θεωρείται ο µεγαλύτερος µαθηµατικός της Ινδίας , καλύτερος από τον Χίλµπερτ, ισάξιος του Γκάους και του Οϊλερ, και η ζωή του αποτελεί την πλέον ροµαντική και συγκινητική ιστορία των σύγχρονων µαθηµατικών.

Page 31: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-30-

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΣΤΗΝ ΣΤΗΝ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΡΧΑΙΑ ΑΡΧΑΙΑ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑ∆ΑΕΛΛΑ∆ΑΕΛΛΑ∆ΑΕΛΛΑ∆Α Πάρα πολλοί ήταν οι Αρχαίοι Έλληνες που ασχολήθηκαν συστηµατικά µε τα µαθηµατικά και τέραστιο ήταν το έργο που άφησαν στις επόµενες γενιές ανθρώπων όχι µόνο στην Ελλάδα , αλλά και σ’ ολόκληρο τον κόσµο . Παραθέτουµε παρακάτω τους σηµαντικότερους από αυτούς , καθώς και τα πεδία των µαθηµατικών µε τα οποία κυρίως ασχολήθηκαν . Αρκεί να τονίσουµε ότι η “ Ευκλείδεια Γεωµετρία” , την οποία διδάσκονται οι µαθητές στα Ελληνικά σχολεία , είναι η µοναδική παγκοσµίως παραδεκτή θεµελίωση της Γεωµετρίας , παρότι πολλοί ξένοι µεταγεννέστεροι µαθηµατικοί προσπάθησαν να την καταρρίψουν .

• ΘΑΛΗΣ ΘΑΛΗΣ ΘΑΛΗΣ ΘΑΛΗΣ Ο Ο Ο Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣΜΙΛΗΣΙΟΣΜΙΛΗΣΙΟΣΜΙΛΗΣΙΟΣ (640-546 π.Χ.)

• ΑΝΑΞΙΜΑΝ∆ΑΝΑΞΙΜΑΝ∆ΑΝΑΞΙΜΑΝ∆ΑΝΑΞΙΜΑΝ∆ΡΟΣ ΡΟΣ ΡΟΣ ΡΟΣ Ο Ο Ο Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣΜΙΛΗΣΙΟΣΜΙΛΗΣΙΟΣΜΙΛΗΣΙΟΣ (611-546 π.Χ.)

• ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Ο Ο Ο Ο ΣΑΜΙΟΣΣΑΜΙΟΣΣΑΜΙΟΣΣΑΜΙΟΣ (580-500 π.Χ.)

• ΦΙΛΟΛΑΟΣ ΦΙΛΟΛΑΟΣ ΦΙΛΟΛΑΟΣ ΦΙΛΟΛΑΟΣ Ο Ο Ο Ο ΚΡΟΤΩΝΙΑΤΗΣΚΡΟΤΩΝΙΑΤΗΣΚΡΟΤΩΝΙΑΤΗΣΚΡΟΤΩΝΙΑΤΗΣ (480-400 π.Χ.)

• ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ Ο Ο Ο Ο ΧΙΟΣΧΙΟΣΧΙΟΣΧΙΟΣ (470-400 π.Χ.)

• ΟΙΝΟΠΙ∆ΗΣ ΟΙΝΟΠΙ∆ΗΣ ΟΙΝΟΠΙ∆ΗΣ ΟΙΝΟΠΙ∆ΗΣ Ο Ο Ο Ο ΧΙΟΣΧΙΟΣΧΙΟΣΧΙΟΣ (440 π.Χ άκµασε)

• ∆ΗΜΟΚΡΙΤΟΣ ∆ΗΜΟΚΡΙΤΟΣ ∆ΗΜΟΚΡΙΤΟΣ ∆ΗΜΟΚΡΙΤΟΣ Ο Ο Ο Ο ΑΒ∆ΗΡΙΤΗΣΑΒ∆ΗΡΙΤΗΣΑΒ∆ΗΡΙΤΗΣΑΒ∆ΗΡΙΤΗΣ (460-370 π.Χ.)

• ΑΡΧΥΤΑΣ ΑΡΧΥΤΑΣ ΑΡΧΥΤΑΣ ΑΡΧΥΤΑΣ Ο Ο Ο Ο ΤΑΡΑΝΤΙΝΟΣΤΑΡΑΝΤΙΝΟΣΤΑΡΑΝΤΙΝΟΣΤΑΡΑΝΤΙΝΟΣ (428-365 π.Χ.)

• ΠΛΑΤΩΝ ΠΛΑΤΩΝ ΠΛΑΤΩΝ ΠΛΑΤΩΝ ΟΟΟΟ ΑΘΗΝΑΙΟΣΑΘΗΝΑΙΟΣΑΘΗΝΑΙΟΣΑΘΗΝΑΙΟΣ (427-347 π.Χ.)

• ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ ΟΟΟΟ ΑΘΗΝΑΙΟΣΑΘΗΝΑΙΟΣΑΘΗΝΑΙΟΣΑΘΗΝΑΙΟΣ (417-369 π.Χ.)

• ΕΥ∆ΟΞΟΣ ΕΥ∆ΟΞΟΣ ΕΥ∆ΟΞΟΣ ΕΥ∆ΟΞΟΣ Ο Ο Ο Ο ΚΝΙ∆ΙΟΣΚΝΙ∆ΙΟΣΚΝΙ∆ΙΟΣΚΝΙ∆ΙΟΣ (407-354 π.Χ.)

• ΜΕΝΑΙΧΜΟΣ ΜΕΝΑΙΧΜΟΣ ΜΕΝΑΙΧΜΟΣ ΜΕΝΑΙΧΜΟΣ Ο Ο Ο Ο ΠΡΟΚΟΝΝΗΣΙΟΣΠΡΟΚΟΝΝΗΣΙΟΣΠΡΟΚΟΝΝΗΣΙΟΣΠΡΟΚΟΝΝΗΣΙΟΣ (375 π.Χ γέννηση)

• ΠΥΘΕΑΣ ΠΥΘΕΑΣ ΠΥΘΕΑΣ ΠΥΘΕΑΣ Ο Ο Ο Ο ΜΑΣΣΑΛΙΩΤΗΣΜΑΣΣΑΛΙΩΤΗΣΜΑΣΣΑΛΙΩΤΗΣΜΑΣΣΑΛΙΩΤΗΣ (330 π.Χ. άκµασε)

• ΕΥΚΛΕΙ∆ΗΣΕΥΚΛΕΙ∆ΗΣΕΥΚΛΕΙ∆ΗΣΕΥΚΛΕΙ∆ΗΣ (300 π.Χ. άκµασε)

• ΑΡΙΣΤΑΡΧΟΣ ΑΡΙΣΤΑΡΧΟΣ ΑΡΙΣΤΑΡΧΟΣ ΑΡΙΣΤΑΡΧΟΣ ΟΟΟΟ ΣΑΜΙΟΣΣΑΜΙΟΣΣΑΜΙΟΣΣΑΜΙΟΣ (320-250 π.Χ.)

Page 32: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-31-

• ΑΡΧΙΜΗ∆ΗΣ ΑΡΧΙΜΗ∆ΗΣ ΑΡΧΙΜΗ∆ΗΣ ΑΡΧΙΜΗ∆ΗΣ ΟΟΟΟ ΣΥΡΑΚΟΥΣΙΟΣΣΥΡΑΚΟΥΣΙΟΣΣΥΡΑΚΟΥΣΙΟΣΣΥΡΑΚΟΥΣΙΟΣ (287-212 π.Χ.)

• ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΣ ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΣ ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΣ ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΣ ΟΟΟΟ ΚΥΡΗΝΑΙΟΣΚΥΡΗΝΑΙΟΣΚΥΡΗΝΑΙΟΣΚΥΡΗΝΑΙΟΣ (276-194 π.Χ.)

• ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ ΟΟΟΟ ΠΕΡΓΑΙΟΣΠΕΡΓΑΙΟΣΠΕΡΓΑΙΟΣΠΕΡΓΑΙΟΣ (265-170 π.Χ.)

• ΝΙΚΟΜΗ∆ΗΣΝΙΚΟΜΗ∆ΗΣΝΙΚΟΜΗ∆ΗΣΝΙΚΟΜΗ∆ΗΣ (200 π.Χ. άκµασε)

• ΙΠΠΑΡΧΟΣ ΙΠΠΑΡΧΟΣ ΙΠΠΑΡΧΟΣ ΙΠΠΑΡΧΟΣ ΟΟΟΟ ΝΙΚΑΕΥΣΝΙΚΑΕΥΣΝΙΚΑΕΥΣΝΙΚΑΕΥΣ (190-120 π.Χ.)

• ΠΟΣΕΙ∆ΩΝΙΟΣ ΠΟΣΕΙ∆ΩΝΙΟΣ ΠΟΣΕΙ∆ΩΝΙΟΣ ΠΟΣΕΙ∆ΩΝΙΟΣ ΟΟΟΟ ΡΟ∆ΙΟΣΡΟ∆ΙΟΣΡΟ∆ΙΟΣΡΟ∆ΙΟΣ (135-51 π.Χ.)

• ∆ΙΟΝΥΣΟ∆ΩΡΟΣ ∆ΙΟΝΥΣΟ∆ΩΡΟΣ ∆ΙΟΝΥΣΟ∆ΩΡΟΣ ∆ΙΟΝΥΣΟ∆ΩΡΟΣ ΟΟΟΟ ΜΗΛΙΟΣΜΗΛΙΟΣΜΗΛΙΟΣΜΗΛΙΟΣ (2-1 αι. π.Χ.)

• ∆ΙΟΚΛΗΣ∆ΙΟΚΛΗΣ∆ΙΟΚΛΗΣ∆ΙΟΚΛΗΣ ΟΟΟΟ ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΕΥΣΑΛΕΞΑΝ∆ΡΕΥΣΑΛΕΞΑΝ∆ΡΕΥΣΑΛΕΞΑΝ∆ΡΕΥΣ (1 αι. π.Χ.)

• ΗΡΩΝ ΗΡΩΝ ΗΡΩΝ ΗΡΩΝ ΟΟΟΟ ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣ (1 αι. π.Χ. - 1 αι. µ.Χ.)

• ΜΕΝΕΛΑΟΣΜΕΝΕΛΑΟΣΜΕΝΕΛΑΟΣΜΕΝΕΛΑΟΣ ΟΟΟΟ ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣ (1-2 αι. µ.Χ.)

• ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ Ο Ο Ο Ο ΚΛΑΥ∆ΙΟΣΚΛΑΥ∆ΙΟΣΚΛΑΥ∆ΙΟΣΚΛΑΥ∆ΙΟΣ (100-178 µ.Χ.)

• ∆ΙΟΦΑΝΤΟΣ ∆ΙΟΦΑΝΤΟΣ ∆ΙΟΦΑΝΤΟΣ ∆ΙΟΦΑΝΤΟΣ ΟΟΟΟ ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣ (250 µ.Χ. άκµασε)

• ΠΑΠΠΟΣ ΠΑΠΠΟΣ ΠΑΠΠΟΣ ΠΑΠΠΟΣ ΟΟΟΟ ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣ (300 µ.Χ. άκµασε)

• ΥΠΑΤΙΑΥΠΑΤΙΑΥΠΑΤΙΑΥΠΑΤΙΑ Η Η Η Η ΘΕΩΝΟΣΘΕΩΝΟΣΘΕΩΝΟΣΘΕΩΝΟΣ (370-415 µ.Χ.)

Page 33: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-32-

ΘΘΘΘΑΛΗΣ ΑΛΗΣ ΑΛΗΣ ΑΛΗΣ ΟΟΟΟ ΜΙΛΗΣΙΟΣΜΙΛΗΣΙΟΣΜΙΛΗΣΙΟΣΜΙΛΗΣΙΟΣ Ο Θαλής ο Μιλήσιος ήταν προσωκρατικός φιλόσοφος, που δραστηριοποιήθηκε στις αρχές του 6ου αιώνα π.Χ. στη Μίλητο, ενώ θεωρείται ως ο Ιδρυτής της Ιωνικής σχολής, ή της σχολής της Μιλήτου, που θεωρείται µια εµβρυώδης µορφή υλιστικής σχολής . Γεννήθηκε το 624/623 π.Χ. Σε αυτή τη χρονολογία κατέληξαν οι ερευνητές µελετώντας τον Απολλόδωρο, ο οποίος αναφέρει ότι ο Θαλής σε ηλικία σαράντα ετών πρόβλεψε µια έκλειψη του Ήλιου που έγινε το Μάιο του 585 π.Χ. Ο Θαλής , πάντα σύµφωνα µε τους ισχυρισµούς του Απολλόδωρου, πέθανε το 547/546 π.Χ . Πληροφορίες λένε ότι δεν σπούδασε σε καµία σχολή ούτε µαθήτευσε σε κανένα δάσκαλο. Μόνο όταν ταξίδεψε στην Αίγυπτο και στην Βαβυλώνα , γνωρίζοντας από κοντά τους αρχαίους πολιτισµούς των λαών. Συναναστράφηκε µε διάφορους ιερείς – σοφούς της Αιγύπτου. Σε όλη τη διάρκεια της ζωής του παρέµεινε άγαµος και αφοσιωµένος στην θεωρητική και πρακτική ενασχόληση µε τη φιλοσοφία και τις άλλες επιστήµες . Ήταν µια πολύπλευρη προσωπικότητα. Ασχολήθηκε µε την αστρονοµία και τα µαθηµατικά, τη φυσική και την φιλοσοφία. Για τα επιστηµονικά του επιτεύγµατα λέγονται πολλά και είναι δύσκολο να ξεχωρίσει κανείς πόσα από αυτά δεν οφείλονται στον θρύλο που δηµιουργήθηκε γύρω από την προσωπικότητά του. Αναδείχτηκε σε οξυδερκή διανοητική και πολιτικά. Σε καίριες στιγµές παρενέβη στα πολιτικά πράγµατα, όπως όταν συνέστησε στους Μιλήσιους να µη συµµαχήσουν µε τον Κροίσο ή ότανσυµβούλευσε τις ιωνικές πόλεις να συµµαχήσουν µεταξύ τους για να αντιµετωπίσουν τους κοινούς πιθανούς εχθρούς . Του αποδίδεται το έργο Ναυτική Αστρολογία, αλλά θεωρείται µάλλον αµφίβολο αν το έγραψε ο ίδιος . Για την ανασύσταση της σκέψης του βασιζόµαστε αποκλειστικά σε µαρτυρίες . Η παράδοση κατατάσσει τον Θαλή µεταξύ των επτά σοφών και τον περιγράφει ως άνθρωπο µε πλατιές γνώσεις και µεγάλη επινοητικότητα . Το σηµαντικότερο είναι, ωστόσο, ότι µέσω της προβληµατικής του για την αρχή του κόσµου ανήγαγε τα πολλαπλά φαινόµενα του κόσµου σε µία απρόσωπη , µοναδική ή ενιαία αρχή, γεγονός που τον κατατάσσει δίκαια στη χορεία των φιλοσόφων.

Page 34: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-33-

Ο Θαλής είναι γνωστός και για την επιτυχηµένη πρόβλεψη της ηλιακής έκλειψης του 585. Ανακάλυψε τις τροπές (ηλιοστάσια), το ετερόφωτο της Σελήνης, καθώς και τον ηλεκτρισµό και τον µαγνητισµό, από τις ελκτικές ιδιότητες του ορυκτού µαγνητίτη και του ήλεκτρου (κεχριµπάρι), δίδαξε τον προσανατολισµό από τον αστερισµό της Μικράς Άρκτου, κατασκεύασε το περίφηµο « διαστηµόµετρο » για τον υπολογισµό των αποστάσεων των πλοίων από την ξηρά, υπολόγισε και το ύψος των πυραµίδων στην Αίγυπτο µετρώντας τον ίσκιο τους, τη στιγµή ακριβώς που ο δικός του ίσκιος ήταν ίσος µε το πραγµατικό του ύψος . Υπήρξε πάνω απ’ όλα βαθύς µελετητής και διδάσκαλος στο κατ’ εξοχήν « ιωνικό » φιλοσοφικό ζήτηµα, εκείνο δηλαδή της φυσικής συστάσεως του Συµ-Παντός Κόσµου . Πρώτος ο Θαλής αναζήτησε την αρχή των όντων όχι στον Θεό, αλλά σε κάποιο φυσικό είδος . Η προσπάθειά του Θαλή να εξηγήσει τη φύση και το πλήθος των φυσικών φαινοµένων, όχι πια µε το µύθο και τη θρησκεία, αλλά ορθολογικά, τον τοποθετεί ιστορικά στην πρώτη θέση της αρχαιοελληνικής φιλοσοφικής παραδόσεως. Στην κοσµολογία του φιλόσοφου σηµαντικό ρόλο παίζει το νερό (ύδωρ). Του αποδίδονται δύο κοσµολογικές απόψεις: « Η Γη έχει τη µορφή ενός κυκλικού δίσκου που στηρίζεται στο νερό » και την άποψη « Το νερό είναι η αρχή των πάντων». Η ζωτική δύναµη του νερού και η τεράστια σηµασία του στη φύση ήταν η αιτία που έκανε τον Θαλή να το ορίσει ως πρωταρχικό στοιχείο. Στην Ορφική µυθολογία βρίσκουµε το « Ύδωρ » και την « Ύλη » σαν τα πρωταρχικά στοιχεία δηµιουργίας της πρώτης ύλης του σύµπαντος . Η « Ύλη » δεν ορίζεται µε την σηµερινή επιστηµονική έννοια, αλλά αποτελεί µια µορφή κοσµικής ύλης . Το « Ύδωρ » (νερό) , ο αέρας είτε άλλο στοιχείο είναι κατά τους Προσωκρατικούς φιλοσόφους συνυφασµένο µε την ζωή , την ψυχή και τη δύναµη της φύσεως που κινεί τα πάντα (φύεσθαι) . Σύµφωνα µε τον Αριστοτέλη στο (Περί Ουρανού Β 13) ήταν η αρχαιότερη θεωρία που είχε διατυπωθεί και είχε παραδοθεί από τον Θαλή . Τούτη η άποψη φέρει ίχνη των οµηρικών και των ησιόδειων κοσµολογικών αντιλήψεων, ιδιαίτερα της εικόνας του Ωκεανού ποταµού που περιβάλλει την Γη και είναι πηγή όλων των υδάτων. Η ιδέα, όµως ότι κάτω από τη γη υπάρχουν νερά , στρέφει το ενδιαφέρον της έρευνας προς την πλευρά της Βαβυλωνιακής και της Αιγυπτιακής µυθολογίας και υποδεικνύει ως ένα βαθµό µια άµεση επαφή του Θαλή µε τις µυθολογίες της Εγγύς Ανατολής . Είτε θεωρούσε ότι το νερό εκτός από κοσµογονική αρχή συµµετέχει στη σύσταση του κόσµου είτε όχι, το σηµαντικό είναι ότι ο φιλόσοφος αφαιρεί από το νερό τη θεϊκή του ιδιότητα και το αναγνωρίζει µόνον ως φυσικό σώµα.

Page 35: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-34-

Όπως µας παραδίδει ο Αριστοτέλης στο Περί Ψυχής Α5 και Α3 ο Θαλής πίστευε πως ο κόσµος είναι γεµάτος θεούς (πάντα πλήρη θεών είναι) και ότι η ψυχή είναι κάτι το κινητικό (κινητικόν τι) . Πρόκειται ουσιαστικά για µια αρχαϊκή διατύπωση της θεωρίας του υλοζωισµού , σύµφωνα µε την οποία ο κόσµος είναι ζωντανός και έµψυχος , γεγονός που πιστοποιείται από την κινητικότητά του. Ο υλοζωισµός στην νεότερη έννοιά του θεωρεί ως δοµικό στοιχείο του κόσµου το φυσικό στοιχείο εννοώντας το ως έµβιο, ως οντότητα στην οποία η ύλη και η ενέργεια είναι αδιάσπαστα ενωµένες . Ο Θαλής , εκτός από φιλόσοφος , υπήρξε µεγάλος αστρονόµος και µαθηµατικός . Ο Ηράκλειτος γράφει: « Θαλής πρώτος αστρολογήσαι ». Ο Ηρόδοτος αναφέρει πώς ο Θαλής συνόδευσε τον Κροίσο σε εκστρατεία του και µε κατάλληλη διοχέτευση των νερών του ποταµού Αλύ διευκόλυνε τα στρατεύµατά του στη διάβαση τους . Ο Θαλής προείπε την έκλειψη ηλίου το 585 π.Χ., και έγραψε επικούς στίχους για τα ουράνια σώµατα. Ο ∆ιογένης Λαέρτιος γράφει για τον Θαλή στο 1o Βιβλίο του: « Κάποιοι λένε ότι πρώτος αυτός είπε πως οι ψυχές είναι αθάνατες. Ένας απ’ αυτούς είναι ο ποιητής Χοιρίλος. Πρώτος βρήκε την πορεία του ήλιου από ηλιοστάσιο σε ηλιοστάσιο και διατύπωσε την άποψη πως το µέγεθος του ήλιου και της σελήνης είναι ίσο µε τον ένα επτακοσιοστό της τροχιάς του. Πρώτος ονόµασε την τελευταία µέρα του µήνα τριακοστή και πρώτος, όπως λένε µερικοί, ασχολήθηκε µε τη φύση. Ως πολιτικός επίσης υπήρξε διαπρεπής. Όταν ο Κροίσος έστειλε πρέσβεις στους Μιλήσιους για να ζητήσει συµµαχία, ο Θαλής τους εµπόδισε. Πράγµα το οποίο µετά την επικράτηση του Κοίρου αποδείχτηκε σωτήριο για την πόλη. Πρωταρχική αιτία όλων θεωρούσε το νερό και για τη φύση έλεγε πως είναι έµψυχη και γεµάτη θεότητες. Λένε πως αυτός βρήκε τις εποχές του χρόνου και τον διαίρεσε σε τριακόσιες εξήντα πέντε µέρες ». Ο Πλάτων στον Θεαίτητο (174 α) περιγράφει την παρακάτω ιστορία για τον Θαλή: « Λέγεται ότι µία πνευµατώδης και νόστιµη Θρακιώτισσα υπηρέτρια πείραξε τον Θαλή, που καθώς παρατηρούσε τ’ άστρα και χάζευε προς τα πάνω έπεσε σ’ ένα πηγάδι, του είπε δηλαδή ότι τον έτρωγε η επιθυµία να µάθει τι βρίσκεται στον ουρανό, αλλά του ξέφυγε ό,τι βρισκόταν πίσω του και πλάι στα πόδια του».

Page 36: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-35-

Συνοπτικά, ο Θαλής στη ΑΑΑΑστρονοµίαστρονοµίαστρονοµίαστρονοµία: Ανακάλυψε (µε σκιοθηρικό γνώµονα) την ανισότητα των εξαµήνων (θερινού και

χειµερινού) . Μέτρησε τη διάρκεια του έτους (365 ηµέρες) . Μελέτησε τις τροπές και τις ισηµερίες του Ήλιου και ανέπτυξε µεθόδους

εντοπισµού των αντίστοιχων ηµερών µέσα στο έτος . Ανέπτυξε µέθοδο υλοποίησης στο έδαφος της ακριβούς διεύθυνσης Βορράς-Νότος . Πρόβλεψε µία έκλειψη Ηλίου (Μάιος 585 π.Χ.) . Έγραψε τα βιβλία « Περί Τροπής και Ισηµερίας » και « Ναυτική Αστρολογία ». ∆ιατύπωσε την άποψη ότι το σχήµα της Γης είναι σφαιρικό, καθώς και ότι τα

άστρα αποτελούνται από τα ίδια συστατικά µε τη Γη . Υπολόγισε τον λόγο της διαµέτρου του Ήλιου προς την φαινόµενη τροχιά του

γύρω από τη Γη, καθώς και της διαµέτρου της Σελήνης προς την τροχιά της γύρω από την Γη και τους βρήκε 1/720.

Ως µαθηµατικός ο Θαλής είναι γνωστός στη στοιχειώδη γεωµετρία από το οµώνυµο θεώρηµα για τα τµήµατα που αποτέµνονται από παράλληλες ευθείες του επιπέδου πάνω σε δύο άλλες ευθείες του και το ανάλογο του στη γεωµετρία του χώρου . Το θεώρηµα της γεωµετρίας πως οι γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες µεταξύ τους οφείλεται επίσης σ’ αυτόν. Η κυριότερη προσφορά του Θαλή στην επιστήµη των µαθηµατικών, αυτή ήταν η εισαγωγή της αποδείξεως , γεγονός που έφερε αλλαγή στον τρόπο του«σκέπτεσθαι» µέχρι εκείνη την εποχή . Συνοπτικά, ο Θαλής στη ΓεωµετρίαΓεωµετρίαΓεωµετρίαΓεωµετρία: Εισήγαγε την έννοια των παραλλήλων ευθειών . Εισήγαγε την έννοια των γωνιών και τα πρώτα τους θεωρήµατα . Μελέτησε τους Σκιοθηρικούς γνώµονες και τα τρίγωνά τους µε τις σκιές τους . Εισήγαγε την απόδειξη των γεωµετρικών προτάσεων, στηριγµένη σε ορισµούς ,

αξιώµατα και κοινές έννοιες της Λογικής . Ανακάλυψε κριτήρια ισότητας και οµοιότητας τριγώνων. Ανακάλυψε το οµώνυµό του, Θεώρηµα του Θαλή: « Όταν οι παράλληλες ευθείες

τέµνουν δύο άλλες ευθείες , τότε τα τµήµατα που ορίζονται στη µία είναι ανάλογα προς τα αντίστοιχα τµήµατα της άλλης . Κάθε παράλληλη προς µια πλευρά τριγώνου χωρίζει τις άλλες πλευρές του, σε ίσους λόγους . Όµως ισχύει και το αντίστροφο αν σε ένα τρίγωνο χωρίζει σε ίσους λόγους τις δυο πλευρές , τότε είναι παράλληλη στην τρίτη πλευρά » .

Ανακάλυψε το θεώρηµα της γωνίας της εγγεγραµµένης σε Ηµικύκλιο . Εκτιµάται ότι ανακάλυψε το θεώρηµα των τριών γωνιών τριγώνου .

Page 37: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-36-

Υπολόγισε µε όµοια τρίγωνα το Ύψος των Πυραµίδων (περί το 565 π.Χ.) . Υπολόγισε µε όµοια τρίγωνα την απόσταση πλοίου από το λιµάνι. Είναι ο πρώτος που παρατήρησε ότι ο µαγνήτης (Fe 0) ή επιτεταρτοξέιδιο του σιδήρου ασκεί ελκτικές δυνάµεις σε σιδερένια αντικείµενα . Οι ανακαλύψεις των ηλεκτρικών και µαγνητικών ιδιοτήτων ορισµένων υλικών, ώθησαν το Θαλή στη διατύπωση τηςθεωρίας ότι καθετί που υπάρχει στην φύση έχει ψυχή . Από την εξήγηση που έδωσε ότι οι ετήσιες (µελτέµια) προκαλούν τις πληµµύρες του ποταµού Νείλου, πιθανολογείται ότι πρέπει να ασχολήθηκε και µε τη µελέτη µετεωρολογικών φαινοµένων, χωρίς όµως να σωθούν οι παρατηρήσεις και οι µελέτες που έκανε. Όσον αφορά την φυσική, µε την παρατήρηση ότι το ήλεκτρο (κεχριµπάρι) όταν τρίβεται πάνω σε µάλλινο ρούχο , αποκτά την ιδιότητα να έλκει τρίχες µικρά φτερά κ.λ.π., ο Θαλής έθεσε τα θεµέλια του ηλεκτρισµού. Αρκετούς αιώνες µετά η παραγωγή ηλεκτρισµού µε τη χρήση της τριβής πραγµατοποιήθηκε µε τη βοήθεια των ηλεκτροστατικών µηχανών. Στο Θαλή οφείλετε και η ανακάλυψη του µαγνητισµού. Το σύνολο του έργου του προκάλεσε τον θαυµασµό όλων των Προσωκρατικών Φιλοσόφων, οι οποίοι από τον Θαλή και µετά θεωρούσαν υποχρέωσή τους να καταθέτουν γραπτά τις απόψεις τους, για τα τότε ερωτήµατα, σε έργα µε τον συνήθη τίτλο « Περί Φύσεως » . Έτσι από τον Θαλή και µετά όλοι οι Προσωκρατικοί Φιλόσοφοι χαρακτηρίστηκαν ως «Φυσικοί». Όταν τον ρωτούσαν γιατί δεν παντρεύεται έλεγε « ουδέπω καιρός », ενώ όταν πέρασαν τα χρόνια έλεγε « ουκέτι καιρός ». Ο Θαλής δεν ενδιαφερόταν για τα χρήµατα. Γι’ αυτό, οι φίλοι και συγγενείς του τον κορόιδευαν ότι τάχα δεν µπορούσε να πλουτίσει. Ο Θαλής, όµως, σαν άριστος µετεωρολόγος, προέβλεψε ότι εκείνη τη χρονιά θα είχαν οι ελαιώνες καλή σοδειά , ενοικίασε τη σοδειά της Μιλήτου και της Χίου κι όταν έφτασε η συγκοµιδή , κέρδισε πάρα πολλά χρήµατα και τότε µπόρεσε να πει: «Εµείς µπορούµε να κερδίσουµε ότι ώρα θέλουµε χρήµατα, αλλά προτιµούµε να ασχολούµαστε µε πιο σοβαρά πράγµατα». Κατά τον Έρµιππο ο Θαλής συνήθιζε να λέει: « Για τρία πράγµατα ευγνωµονώ την τύχη. Ότι γεννήθηκα πρώτα άνθρωπος και όχι θηρίο, δεύτερον άντρας και όχι γυναίκα και τρίτο, Έλληνας και όχι βάρβαρος » . Ο Θαλής πέθανε σε ηλικία 78 ετών, παρακολουθώντας αθλητικούς αγώνες εξαιτίας της ζέστης, της δίψας και της εξάντλησης. Στον τάφο του, οι συµπολίτες του Μιλήσιοι χάραξαν στον τάφο του το εξής επίγραµµα: « Ει ολίγον το δε σήµα, το δε κλέος ουρανόµηκες », δηλαδή « Ο χώρος µεν που πιάνει ο τάφος σου είναι µικρός, αλλά η δόξα σου εκτείνεται µέχρι τον ουρανό » .

Page 38: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-37-

ΑΝΑΞΙΜΑΝ∆ΡΟΣ Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣΑΝΑΞΙΜΑΝ∆ΡΟΣ Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣΑΝΑΞΙΜΑΝ∆ΡΟΣ Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣΑΝΑΞΙΜΑΝ∆ΡΟΣ Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣ Ο Αναξίµανδρος ήταν ο Έλληνας προσωκρατικός φιλόσοφος από τη Μίλητο (610 π.χ. - 546 π.χ.) . Υπάρχει ένα θέµα µε τις χρονολογία γέννησης και θανάτου του . Υπάρχει η άποψη πως γεννήθηκε στη Μίλητο το 547 π.χ. και άλλοι το 611 π.Χ . Σίγουρο είναι ότι ήταν γιός του Πραξιάδη και µαθητής του Θαλή . Ασχολήθηκε µε πολλές επιστήµες γεωγραφία, µαθηµατικά. και ιδιαίτερα µε την Αστρονοµία . Εξήγησε την δηµιουργία του κόσµου εκκινώντας από το άπειρο, το οποίο θεωρούσε την πρωταρχική υλική ουσία . Ήταν ο πρώτος φιλόσοφος που εισήγαγε τον όρο " αρχή " και πρέσβευε ότι το άπειρον δεν έχει αρχή , αλλά είναι η αρχή των πάντων είναι " αθάνατον και ανόλεθρον " , " περιέχει δε άπαντα και πάντα κυβερνά " . Θεωρούσε ότι από το άπειρο γεννιούνται και σε αυτό επιστρέφουν συνεχώς άπειροι κόσµοι . Ο Αναξίµανδρος είναι ο πρώτος που έκανε µία µεθοδική επιστηµονική προσπάθεια να εξηγήσει φιλοσοφικά όλες τις πτυχές της ανθρώπινης εµπειρίας εγκαταλείποντας τις µέχρι τότε µυθολογικές διατυπώσεις για την αρχή, τη γένεση και την φθορά των όντων . Από το άπειρο ξεχώρισε µια φλόγα και ο νεφελώδης αέρας . Στον πυρήνα του νεφελώµατος συµπυκνώθηκε η Γη , ενώ φλόγα έζωνε τον αέρα . Κατόπιν η πύρινη σφαίρα εξερράγη και διαλύθηκε σε κύκλους τυλιγµένους από νεφελώδη αέρα . Οι κύκλοι απλώθηκαν και σχηµάτισαν τα ουράνια σώµατα . Ο κόσµος ως Όλον έχει µορφή σφαίρας και στο κέντρο του πίστευε ότι είναι τοποθετηµένη η Γη , η οποία έχει κυλινδρική µορφή µε πλάτος τριπλάσιο από το µήκος , δεν στηρίζεται πουθενά και βρίσκεται στο κέντρο του σύµπαντος, απέχοντας ίσα από όλα τα σηµεία του , ενώ οι άνθρωποι κατοικούν στην επάνω επιφάνεια . Ακόµα , γνώριζε τη λόξωση της εκλειπτικής , ( Λόξωση της εκλειπτικής ονοµάζεται η γωνία 28 µοιρών που σχηµατίζει το επίπεδο της εκλειπτικής µε το επίπεδο του ουράνιου ισηµερινού. Οι 4 εποχές του έτους οφείλονται στη λόξωση της εκλειπτικής ) πίστευε ότι ο Ήλιος είναι 28 φορές µεγαλύτερος από τη Γη και διάπυρος , πως η Σελήνη είναι ετερόφωτο σώµα που φωτίζεται από τον Ήλιο , σε αντίθεση µε τους αστέρες που είναι αυτόφωτα σώµατα . Λέγεται, ότι εισήγαγε τη χρήση του γνώµονα στην αρχαία Ελλάδα και ότι κατασκεύασε χάρτη του γνωστού τότε κόσµου .

Page 39: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-38-

Επιπλέον είναι ο πρώτος Έλληνας φιλόσοφος που έγραψε τις πραγµατείες του σε πεζό λόγο (οι µέχρι τότε φιλόσοφοι έγραψαν σε στίχους) . Επίσης σ' αυτόν αποδίνεται ο όρος αρχή που καθιερώθηκε από τότε στη φιλοσοφική ορολογία . Ο Αναξίµανδρος λοιπόν είναι , από όσα ξέρουµε , ο πρώτος που προσπάθησε να εξηγήσει την προέλευση του ανθρώπου , γεγονός που µας οδηγεί στη σκέψη ότι ο φιλόσοφος είδε την γένεση του κόσµου και της ζωής ως µια ενιαία εξελικτική διαδικασία , που δεν απέχει πολύ από τη σύγχρονη εξελικτική θεωρία . Η θεωρία της εξελίξεως του ∆αρβίνου , είναι φανερό , πως βρίσκει σπερµατικά την αρχή της στην παραπάνω θεωρία του Αναξίµανδρου . Ο Αναξίµανδρος προσδιορίζει το άπειρον ως στοιχείο αγέννητο , άφθαρτο και αθάνατο . Το άπειρο δεν είναι µείγµα των υλικών στοιχείων ούτε άυλη νοητική αρχή: είναι ύλη που περιέχει τα πάντα . Από το άπειρο αποσπώνται οι αντίθετες ύλες " ψυχρόν " και " θερµόν " και από την ανάµιξή τους το νερό . Από το νερό προκύπτουν τα άλλα στοιχεία , η γη , ο αέρας και η φωτιά . Από τον αέρα και τη φωτιά σχηµατίζονται τα αστέρια που έχουν την λάµψη της φωτιάς και την ρυθµική κίνηση των ρευµάτων του αέρα . Θεωρούσε ότι η γη δε στηρίζεται πουθενά , αλλά αιωρείται ελεύθερη στο διάστηµα εξαιτίας δυνάµεων που ασκούνται πάνω της και αλληλοεξουδετερώνονται . Όσον αφορά το σχήµα της γης , έδωσε µια ενδιάµεση θεώρηση µεταξύ της θεωρίας του Θαλή - ότι η γη είναι δίσκος - και της θεωρίας των Πυθαγορείων - ότι η γη είναι σφαίρα - , ότι δηλαδή η γη είναι ένας ελλιπής κύλινδρος σε αναλογία µε το σχήµα µιας κολόνας . Η εικόνα του κόσµου για τον Αναξίµανδρο είναι βασισµένη σε µαθηµατικές έννοιες . Ο κόσµος ως Όλον έχει µορφή σφαίρας και στο κέντρο του είναι τοποθετηµένη η γη , που έχει µορφή κυλίνδρου και το πλάτος της είναι τριπλάσιο από το βάθος της . Η γη αιωρείται στο σύµπαν και δεν µεταβάλλει ποτέ τη θέση της - ούτε είναι ριζωµένη σε ένα στέρεο υπόβαθρο , όπως λέει η µυθική κοσµολογία . Εφόσον η γη είναι τοποθετηµένη στο κέντρο , έχει συµµετρική απόσταση από όλα στη σφαίρα του σύµπαντος . Ενώ η γη αιωρείται , ο ήλιος , η σελήνη και τα άστρα κινούνται κυκλικά. Ο κύκλος που διαγράφει ο ήλιος είναι είκοσι επτά φορές µεγαλύτερος από τη διάµετρο της γης , ο κύκλος της σελήνης δέκα οκτώ φορές και ο κύκλος των απλανών αστέρων εννέα φορές . Η ιδέα αυτής της µηχανικής ερµηνείας της κυκλικής αστρικής κινήσεως διασώζεται από τον Αέτιο και υπήρξε αποφασιστική στην ιστορία της αστρονοµίας . Ο Αναξίµανδρος διατύπωσε επίσης και µια πρώιµη εξελικτική θεωρία, βάσει της οποίας οι πρώτοι οργανισµοί γεννήθηκαν µέσα στο υγρό στοιχείο, όταν αυτό εξ αιτίας της ηλιακής θερµότητας εξατµίσθηκε. Αρχικά τα πρώτα ζώα ήταν περιτυλιγµένα µέσα σε ένα αγκαθωτό φλοιό. Έπειτα βγήκαν από το υγρό στοιχείο στην ξηρά και αφού έσπασαν τον αγκαθωτό φλοιό, άρχισαν να προσαρµόζονται στο καινούργιο περιβάλλον .

Page 40: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-39-

ΠΠΠΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Ο ΣΑΜΙΟΣΥΘΑΓΟΡΑΣ Ο ΣΑΜΙΟΣΥΘΑΓΟΡΑΣ Ο ΣΑΜΙΟΣΥΘΑΓΟΡΑΣ Ο ΣΑΜΙΟΣ

Ο Πυθαγόρας ο ΣΠυθαγόρας ο ΣΠυθαγόρας ο ΣΠυθαγόρας ο Σάάάάµιοςµιοςµιοςµιος , υπήρξε σηµαντικός Έλληνας φιλόσοφος , µαθηµατικός , γεωµέτρης και θεωρητικός της µουσικής . Είναι ο κατεξοχήν θεµελιωτής των ελληνικών µαθηµατικών και δηµιούργησε ένα άρτιο σύστηµα για την επιστήµη των ουρανίων σωµάτων, που κατοχύρωσε µε όλες τις σχετικές αριθµητικές και γεωµετρικές αποδείξεις . Γεννήθηκε σε χρονολογία που δεν µας είναι γνωστή , αλλά που εικάζεται πως είναι µεταξύ των ετών 580 - 572 π.Χ. και ως επικρατέστερος τόπος γεννήσεως παραδίδεται η νήσος Σάµος . Πέθανε στο Μεταπόντιον της Ιταλικής Λευκανίας σε µεγάλη ηλικία, περί το 500 - 490 π.Χ . Το αντικείµενο ενασχόλησης του Πυθαγόρα ήταν η καθοδήγηση µιας « εταιρείας ». Αυτή η εταιρεία ήταν µία µυστική , θρησκευτική κίνηση , που είχε αναπτύξει και έντονη πολιτική δραστηριότητα .

Οι Πυθαγόρειοι του 5ου αιώνα π.Χ συγκαταλέγονται στους πιο σηµαντικούς επιστήµονες του καιρού τους και ο Πυθαγόρας φαίνεται να ενδιαφερόταν ιδιαίτερα για την επιστήµη . Στο Πυθαγόρειο σύστηµα οι θρησκευτικοί και φιλοσοφικοί στόχοι είναι αλληλένδετοι . Από την εποχή του Doring έχει προβληθεί η σκέψη πως η ιδέα της κάθαρσης αποτελεί κλειδί για την κατανόηση της σχέσης θρησκείας και επιστήµης στον αρχικό Πυθαγορισµό . Η ιδέα της κάθαρσης δια της επιστήµης , απ΄ ό,τι είναι γνωστό , δεν αποδόθηκε στον Πυθαγόρα παρά µόνο από τον Ιάµβλιχο . Βέβαια ο Αριστόξενος , ο Ηρόδοτος , ο Εµπεδοκλής και ο Ίωνας από την Χίο αποκαλούν τον Πυθαγόρα: « πολυµαθή, ιστορικό και σοφιστή » . Γύρω από το χαρακτηρισµό του Πυθαγόρα ως « σοφιστή » επικρατεί διχογνωµία. Μερικοί στη λέξη σοφιστής δίνουν την έννοια « επιστήµονας » , σηµασιολόγηση που άλλοι απορρίπτουν. Η λέξη σοφιστής σύµφωνα µε τους Liddel και Scott αρχικά σήµαινε από τη µια αυτόν που κατείχε καλά την τέχνη του και από την άλλη τον φρόνιµο, τον συνετό . Αρχικά είχαν αποδοθεί στον Πυθαγόρα οι ιδιότητες του « σαµάνου » : του εκστασιαζόµενου , δηλαδή , µάγου και θεραπευτή , του θαυµατοποιού θεραπευτή. Ο Εκαταίος ο Αβδηρίτης και ο Αντικλείδης παρουσιάζουν τον Πυθαγόρα ως τον εισηγητή της γεωµετρίας στην Ελλάδα από την Αίγυπτο . Στον ίδιο τον Πυθαγόρα αποδίδονται οι βασικές ιδέες της « θεωρίας » του « κόσµου » και της « κάθαρσης » , ιδέες που συνέχουν τις δύο τάσεις της Πυθαγόρειας σχολής , την επιστηµονική και τη θρησκευτική .

Page 41: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-40-

O Αέτιος λέει πως ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που χρησιµοποίησε τη λέξη « κόσµος » , αποδίδοντάς της την έννοια της « του όλου περιοχής » . Την άποψη του Αετίου αµφισβητούν οι Kirk και Raven, υποστηρίζοντας πως ο Πυθαγόρας χρησιµοποιούσε τη λέξη « κόσµος » µε την έννοια της τάξης του σύµπαντος . Στοχαζόµενος την αρχή της τάξης , που αποκαλύπτεται ότι διέπει το σύµπαν και ρυθµίζει την κίνηση των ουράνιων σωµάτων, και εφαρµόζοντας την κοσµική τάξη στον εσωτερικό του κόσµο, ο άνθρωπος µπορεί προοδευτικά να αποκτήσει « αθανασία » . Μια πολύ σηµαντική ανακάλυψη που έκανε ο Πυθαγόρας είναι η αριθµητική ερµηνεία του σύµπαντος . Μετρώντας τα κατάλληλα µήκη της χορδής ενός µονόχορδου, διαπίστωσε πως τα σύµφωνα µουσικά διαστήµατα µπορεί να εκφρασθούν σε απλές αριθµητικές αναλογίες των τεσσάρων πρώτων ακεραίων αριθµών. Σ΄αυτόν αποδίδονται οι αριθµητικοί λόγοι της οκτάβας (2/1, δια πασών), της τέταρτης (4/3, δια τεσσάρων), της πέµπτης (3/2, δια πέντε) και του µείζονος τόνου (9/8 που είναι η διαφορά µεταξύ τέταρτης και πέµπτης) . Το ενδιαφέρον του Πυθαγόρα για τη µουσική αρµονία οδηγεί στη σκέψη σε αυτόν να αποδοθεί και η θεωρία της « Αρµονίας των Σφαιρών » . Επίσης έχουν αποδοθεί σε αυτόν διάφορες γεωµετρικές ανακαλύψεις µε γνωστότερο το οµώνυµό του θεώρηµα . Ορισµένοι αρχαίοι συγγραφείς απέδωσαν στον Πυθαγόρα την ανακάλυψη πως ο Εωσφόρος (Αυγερινός) και ο Έσπερος (Αποσπερίτης) είναι ένας και ο αυτός αστέρας της Αφροδίτης . Άλλοι απέδωσαν αυτήν την ανακάλυψη στον Παρµενίδη. Επειδή από παιδί ο Πυθαγόρας έδειχνε πως ήταν ικανός για κάθε σπουδή , ο Μνήσαρχος τον οδήγησε στην Τύρο και φρόντισε να µυηθεί στις διδασκαλίες των Χαλδαίων. Από εκεί ο Πυθαγόρας ήρθε ξανά στην Ιωνία και συναναστράφηκε αρχικά µε τον Φερεκύδη από τη Σύρο κι έπειτα µε τον Ερµοδάµαντα τον Κρεοφύλειο από την Σάµο . Όταν δε ο Μνήσαρχος απέπλευσε προς την Ιταλία , πήρε µαζί του τον νεαρό Πυθαγόρα στην Ιταλία , σύµφωνα µε την εκδοχή του Νεάνθη. Όµως, η επικρατέστερη εκδοχή µεταξύ των αρχαίων συγγραφέων, που παραδίδουν οι Απολλώνιος στο " Περί Πυθαγόρου " , Πορφύριος στο " Πυθαγόρου Βίος " και Ιάµβλιχος στο " Περί του Πυθαγορείου βίου " θέλει τον Μνήσαρχο όχι µόνον Σάµιο αλλά και απόγονο του Αγκαίου, του πρώτου αποικιστή της Σάµου . Λέγεται λοιπόν ότι ο Μνήσαρχος και η Πυθαΐς, οι γονείς του Πυθαγόρα , προέρχονταν από τον οίκο και την γενιά που δηµιουργήθηκε από τον Αγκαίο , τον ιδρυτή της αποικίας της Σάµου . Επειδή δε η ευγενική αυτή καταγωγή θρυλείτο µεταξύ των συµπολιτών του Πυθαγόρα, κάποιος Σάµιος ποιητής ισχυρίζεται ότι ο Πυθαγόρας ήταν γιος του Απόλλωνα και αναφέρει τα εξής σχετικά:

Page 42: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-41-

" Τον Πυθαγόρα , που εγέννησε από τον Απόλλωνα τον φίλο του ∆ιός , η Πυθαΐς , η οµορφότερη µεταξύ των Σαµίων " . Η φήµη αυτή επικράτησε για τον εξής λόγο: Όταν ο Μνήσαρχος βρέθηκε στους ∆ελφούς για εµπορικούς λόγους , µαζί µε την γυναίκα του που δε γνώριζε ακόµη ότι ήταν έγκυος , ζήτησε χρησµό από την Πυθία σχετικά µε το επικείµενο ταξίδι του προς την Συρία . Η Πυθία χρησµοδότησε ότι αυτός µεν θα δοκιµάσει µεγάλη ευχαρίστηση και θα αποκτήσει πολλά χρήµατα , η δε γυναίκα του ότι εγκυµονεί ήδη και πως θα γεννήσει παιδί που θα διαφέρει κατά την ωραιότητα και τη σοφία από όλους τους ανθρώπους και θα καταστεί πάρα πολύ ωφέλιµο στο ανθρώπινο γένος . Ο Μνήσαρχος κατανοώντας πως κάτι σπουδαίο και θεόσταλτο θα προέκυπτε, µετονόµασε µάλιστα την γυναίκα του από Παρθενίδα σε Πυθαΐδα µετά το χρησµό . Κατόπιν επιχείρησε το ταξίδι που σχεδίαζε έχοντας λάβει τόσο ευνοϊκή προτροπή, µε αποτέλεσµα όσο βρισκόταν στην φοινικική Σιδόνα να γεννήσει η Πυθαΐδα το γιο τους . Ο Μνήσαρχος ονόµασε το νεογέννητο Πυθαγόρα καθώς είχε προφητευτεί από τον Πύθιο Απόλλωνα . Πράγµατι ήταν γεγονός αδιαµφισβήτητο από τους αρχαίους ότι η ψυχή του Πυθαγόρα είχε αποσταλεί από την ανώτατη αρχή του Απόλλωνα, είτε επειδή ήταν συναφής είτε κατ' άλλον τρόπο συνδεδεµένη µε τον θεό. Η ίδια του η γέννηση και η ποικίλη σοφία της ψυχής του το αποδείκνυαν ολοφάνερα. Όταν ο Μνήσαρχος επέστρεψε στη Σάµο µε πολλά κέρδη και µεγάλη περιουσία, έχτισε ιερό του Πύθιου Απόλλωνα και πρόσεξε ιδιαίτερα την ανατροφή του παιδιού του, αναθέτοντάς την παράλληλα πότε στον Κρεώφυλο , πότε στον Φερεκύδη από τη Σύρο καθώς επίσης και σε ιερείς . Ο νεαρός Πυθαγόρας µεγάλωνε µε µεγάλη σεµνότητα και σωφροσύνη και έγινε όµορφος στην εµφάνιση πολύ περισσότερο από άλλους νέους. Απελάµβανε δε κάθε είδους σεβασµό ακόµη και από τους πολύ µεγαλύτερούς του σε ηλικία πολίτες . Όταν οµιλούσε µετέστρεφε τους πάντες µε το µέρος του και εφαίνετο αξιοθαύµαστος ώστε από τους πολλούς να βεβαιώνεται µε κάθε φυσικότητα πώς ήταν πράγµατι υιός του θεού Απόλλωνος. Ενθαρρυνόµενος από τις σχετικές αυτές δοξασίες και την παιδεία που έλαβε από βρέφος και από τη φυσική του οµορφιά, ακόµη περισσότερο κατέβαλλε προσπάθεια να αποδεικνύει τον εαυτό του άξιο των προτερηµάτων που τον διεκοσµούσαν. Όλα όσα έλεγε ή έπραττε τα έκανε µε µειλιχιότητα , δίχως να κυριεύεται ούτε από οργή, ούτε από ζήλεια , ούτε από εριστικότητα ούτε από άλλη διαταραχή ή επιπολαιότητα . Μεγάλη θρησκευτικότητα χαρακτήριζε τη συµπεριφορά του και ακολουθούσε ιδιαίτερα σηµαντικές δίαιτες, µε ισορροπία ψυχής και εγκράτεια σώµατος .

Page 43: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-42-

Με την προσωπικότητα και την ευφράδεια της οµιλίας του, κέρδισε τον θαυµασµό και την εκτίµηση όλων και κατέστη κοινωνός των διδασκαλιών των. Μάλιστα ο Θαλής διακρίνοντας την µεγάλη διαφορά του Πυθαγόρα εν συγκρίσει µε τους άλλους νέους , του παραστάθηκε µε ευχαρίστηση και του µετέδωσε όσες γνώσεις κατείχε, που ήταν δυνατόν να µεταδοθούν. Κοντά στον Θαλή ο Πυθαγόρας έλαβε την πρώτη του σοβαρή εκπαίδευση πάνω στα µαθηµατικά, τη γεωµετρία και όσα έχουν σχέση µε τους αριθµούς και τους υπολογισµούς . Ήταν ο Θαλής που προέτρεψε τον Πυθαγόρα να µεταβεί στην Αίγυπτο και να συναναστραφεί µε τους ιερείς της Μέµφιδος και της ∆ιοσπόλεως , από τους οποίους ο ίδιος ο Θαλής είχε λάβει πολλές γνώσεις , προλέγοντας πως εάν ο Πυθαγόρας ερχόταν σε επαφή µαζί τους , θα γινόταν θεϊκότερος και σοφότερος από όλους τους ανθρώπους . Ο νεαρός Πυθαγόρας έχοντας βελτιώσει τις διατροφικές του συνήθειες κοντά στον Θαλή , χρησιµοποιώντας µε άριστο µέτρο ελαφρές και ευκολοχώνευτες τροφές, δίχως υπερβολές στην οινοποσία, απέκτησε πολύ καλή υγεία, την ικανότητα να κοιµάται λίγο καθώς και διαύγεια και καθαρότητα ψυχής . Ακολουθώντας την προτροπή του διδασκάλου του, απέπλευσε προς την Σιδώνα θεωρώντας πως από εκεί θα µετέβαινε ευκολότερα προς την Αίγυπτο . Εκεί συνάντησε τους απογόνους του Μώχου, του φυσιολόγου-µάντη , και τους άλλους ιεροφάντες της Φοινίκης και µυήθηκε στα ιερά µυστήρια της Βύβλου και της Τύρου και εις τις τελετουργίες που ιερουργούνται σε πολλά µέρη της Συρίας . Όχι από λόγους δεισιδαιµονίας αλλά από µεγάλη επιθυµία και όρεξη για µάθηση, για να µην του διαφύγει κάτι αξιοσπούδαστο που υποκρύπτεται στα απόρρητα µυστήρια των Θεών και στις ιερές τελετές . Εκεί έµαθε πως τα περισσότερα τελετουργικά στοιχεία είναι " άποικα " , δηλαδή προέρχονται από αλλού και ότι κατάγονται από τα ιερά της Αιγύπτου . Έτσι, αποφάσισε να διαπλεύσει προς την Αίγυπτο ελπίζοντας ότι εκεί θα µετάσχει σε µυστήρια θειότερα και γνησιότερα . Ο Ιάµβλιχος διηγείται πως κατά το ταξίδι οι αιγύπτιοι ναύτες είχαν σκεφθεί να τον πουλήσουν διότι πίστευαν πως θα βγάλουν µεγάλο κερδος από την πώληση ενός τέτοιου νέου, όµως εντός ολίγων ηµερών άλλαξαν γνώµη βλέποντας την ασυνήθιστα ήρεµη και επιβλητική συµπεριφορά του Πυθαγόρα , καθώς και την µεγάλη του ικανότητα εγκράτειας στην τροφή το ποτό και τον ύπνο . Επιπλέον, το πλοίο φαινόταν να προχωρεί µε ευθύτητα και οµαλά , σαν να παραστεκόταν κάποιος θεός . Έτσι οι ναύτες πίστεψαν πώς είναι θείος δαίµονας και διήνυσαν το υπόλοιπο ταξίδι µε ευχάριση διάθεση, συµπεριφερόµενοι σεµνότερα προς τον φιλόσοφο, ώσπου το πλοίο έφθασε στα παράλια της Αιγύπτου δίχως να συναντήσει τρικυµία.

Page 44: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-43-

Αυτή την εκδοχή παραδίδει ο Ιάµβλιχος , ο Πορφύριος όµως γράφει ότι ο Πυθαγόρας για να µεταβή εις την Αίγυπτο εξασφάλισε συστατικές επιστολές από τον τύραννο της Σάµου Πολυκράτη για τον βασιλέα της Αιγύπτου Άµασι µε τον οποίο ο Πολυκράτης συνδεόταν µε δεσµούς φιλοξενίας , ώστε να µπορέσει να γίνει δεκτός από τους Αιγύπτιους ιερείς για να διδαχθεί . Όπως και να έχει, φαίνεται πως πρώτα ήλθε εις την Ηλιούπολη και από εκεί ταξίδεψε προς την Μέµφιδα και κατόπιν έφθασε εις την ∆ιόσπολη . Οι Αιγύπτιοι ιερείς για να δοκιµάσουν την αντοχή του τον υπέβαλλαν σε δύσκολα προστάγµατα εντελώς αντίθετα µε την ελληνική αγωγή , νοµίζοντας ότι ως ξένος δεν θα τα κατάφερνε στην σκληρή αιγυπτιακή ιερατική εκπαίδευση . Όµως ο Πυθαγόρας επιτέλεσε όλα τα προστάγµατα µε µεγάλη προθυµία και τόσο πολύ θαυµάστηκε που έλαβε την άδεια να θυσιάζει στους Θεούς και να παίρνει µέρος στις φροντίδες γι'αυτούς , προνόµιο που δεν αναφέρεται να παραχωρήθηκε σε κανέναν άλλο ξένο . Εκεί εντρύφησε ακόµη περισσότερο στη γεωµετρία και την αστρονοµία τελειοποιώντας τις γνώσεις του κι έφθασε στο απόγειο της µάθησης της επιστήµης των αριθµών και της µουσικής . Σύµφωνα µε τον Ιάµβλιχο ο Πυθαγόρας έµεινε 22 χρόνια στην Αίγυπτο και κατόπιν µεταφέρθηκε στη Βαβυλώνα , αιχµάλωτος από τους στρατιώτες του Καµβύση και ότι εκεί πέρασε ευχάριστα , συναναστρεφόµενος τους Μάγους , δηλαδή τους Πέρσες ιερείς και διδασκόµενος θεολογικά και αστρονοµικά θέµατα για άλλα δώδεκα έτη , επιστρέφοντας στη Σάµο άγων ήδη το πεντηκοστό έκτο έτος της ηλικίας του. Ο Πορφύριος όµως παραλαµβάνοντας την πληροφορία από τον Αριστόξενο αναφέρει πως ήταν περίπου 40 ετών όταν έφυγε από τη Σάµο για την Ιταλία. Όταν ο Πυθαγόρας επέστρεψε στη Σάµο, κατασκεύασε διδασκαλείο ηµικυκλικό που για αιώνες αργότερα διατηρήθηκε µε την ονοµασία « ηµικύκλιο του Πυθαγόρα » , στο οποίο οι Σάµιοι συσκέπτονταν για τα κοινά . Το λίγο διάστηµα που έµεινε στην πατρίδα του, ασχολήθηκε µε τη διδασκαλία κάποιων νέων, µεταξύ των οποίων ήταν ο Ευρυµένης ο Σάµιος , αθλητής που νίκησε πολλούς και µεγάλους αθλητές στους Ολυµπιακούς Αγώνες . Ενώ οι άλλοι αθλητές σύµφωνα ακόµη µε τον αρχαίο τρόπο τρέφονταν µε τυρί και σύκα , εκείνος υπακούοντας στον Πυθαγόρα έτρωγε καθηµερινά µια ορισµένη ποσότητα κρέατος , δυναµώνοντας το σώµα του. Ο δε Πυθαγόρας του σύστηνε να γυµνάζεται, αλλά να µην αποβλέπει στην νίκη ώστε να αποφεύγει τους φθόνους που αυτή επιφέρει. Φέρεται να δίδασκε την αρχή της Ύβρεως και της Νέµεσης και γι' αυτό επινόησε τη ∆ικαία Κούπα. Είχε φτιάξει µια κούπα εφαρµόζοντας τους νόµους της Φυσικής για να πίνει µε µέτρο το κρασί . Επίσης φέρεται να υποκίνησε την µάθηση της γεωµετρίαςγεωµετρίαςγεωµετρίαςγεωµετρίας σε έναν νέο µε το τέχνασµα να πληρώνει το νέο τρεις οβολούς για κάθε µάθηµα που παρακολουθούσε.

Page 45: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-44-

Όταν ο νέος είχε αντιληφθεί πλέον την υπεροχή των µαθηµατικώνµαθηµατικώνµαθηµατικώνµαθηµατικών και µε ευχαρίστηση τα µάθαινε, ο Πυθαγόρας προφασίστηκε αδυναµία καταβολής των τριών οβολών . Όπως το περίµενε, ο νέος αρνήθηκε να σταµατήσει τα µαθήµατα , δίχως να τον ενδιαφέρει πλέον ο µισθός . Τότε ο Πυθαγόρας προφασίστηκε πως έπρεπε να εργαστεί για τα αναγκαία και δεν είχε άλλο χρόνο διαθέσιµο για να τον διδάσκει , αλλά ο νέος τόσο πολύ είχε αγαπήσει τα µαθηµατικά που πρότεινε ο ίδιος µισθό τριών οβολών στον Πυθαγόρα για κάθε µάθηµα . Λέγεται πως ο νέος ήταν συνονόµατος του Πυθαγόρα (και υιός του Ερατοκλέους) και πως απέπλευσε µαζί µε το δάσκαλό του, όταν αυτός αποφάσισε να φύγει από την Σάµο . Ο Πυθαγόρας επιχειρούσε µε κάθε τρόπο να µεταδώσει στους συµπατριώτες του τα µαθήµατα των αριθµών καθώς και άλλες γνώσεις της πολύ πλούσιας παιδείας του . Όµως οι Σάµιοι δεν έδειξαν το απαιτούµενο ενδιαφέρουν ούτε και ακολούθησαν τις διδασκαλίες του στον τρόπο ζωής τους µε αποτέλεσµα ο Πυθαγόρας να παραιτηθεί εν τέλει από τις προσπάθειες διαπαιδαγώγησης τους . Τον θαύµαζαν βεβαίως και του προσέφεραν αξιώµατα και µάλιστα τον ανάγκαζαν να συµµετέχει σε όλες τις δηµόσιες λειτουργίες , ενώ η φήµη του τόσο είχε απλωθεί σε όλη την Ελλάδα που άλλοι µεγάλοι φιλόσοφοι επίσης ήλθαν εις την Σάµο , ζητώντας να τον συναντήσουν. Ο Πυθαγόρας διεπίστωσε ότι η συµµόρφωσή του προς τα πρόσθετα αυτά καθήκοντα προς την πατρίδα δυσχέραινε τη δυνατότητα να φιλοσοφεί . Επιπλέον η τυραννίδα του Πολυκράτους είχε πλέον επικρατήσει και ο φιλόσοφος την θεωρούσε εν µέρει υπεύθυνη για την αδιαφορία των Σαµίων προς τα µαθηµατικά και την φιλοσοφία . Θεωρώντας πως δεν είναι σωστό ένας άνδρας φιλόσοφος µε ελεύθερα φρονήµατα να ζει κάτω από ένα τέτοιο πολίτευµα , αποφάσισε να µετοικίσει προς την νότια Ιταλία - είχε δε την γνώµη πως πατρίδα του είναι η χώρα εκείνη όπου περισσότεροι άνθρωποι είναι δυνατόν να βρεθούν µε καλή διάθεση να µαθαίνουν. Όταν έφθασε εις την Ιταλία , πήγε πρώτα στον Κρότωνα , όπου έκανε µεγάλη εντύπωση στους εκεί κατοίκους . Ήταν ένας άνδρας µε µακρόχρονες περιπλανήσεις και εξαιρετικός από την ίδια του τη φύση , καλά προικισµένος από την τύχη , φιλελεύθερος στα φρονήµατα και µεγάλος , µε πολλή χάρη και ευπρέπεια στον λόγο και στο ήθος και σε όλα τα άλλα , µε αποτέλεσµα να γοητεύσει τους ανώτατους άρχοντες της πόλεως . Και αφού είπε πολλά καλά, κατά διαταγή των αρχόντων άρχισε να συµβουλεύει τους νέους . Μετά απ' αυτά , οι νέοι προσέρχονταν αθρόα κοντά στον Πυθαγόρα και ύστερα οι γυναίκες και έτσι ιδρύθηκε από αυτόν σύλλογος γυναικών. Η φήµη του µεγάλωσε ακόµη περισσότερο και απέκτησε πολλούς οπαδούς ακόµη και βασιλείς και δυνάστες από την γειτονική βάρβαρη χώρα .

Page 46: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-45-

Εκείνα που έλεγε στους µαθητές του δεν είναι γνωστά µε βεβαιότητα διότι υπήρχε σκόπιµη σιωπή. Κυρίως γινόταν γνωστά σε όλους πρώτον ότι η ψυχή είναι αθάνατη και έπειτα ότι η ψυχή µεταβιβάζεται σε άλλα γένη ζώων (µετενσάρκωση) . Επίσης δίδασκε ότι σε µερικές περιόδους εµφανίζονται πάλι εκείνα που υπήρξαν κάποτε , τίποτε νέο δεν υπάρχει και ότι όλα όσα γίνονται έµψυχα πρέπει να τα θεωρούµε σαν οµογενή . Αναφέρεται πως πρώτος ο Πυθαγόρας έφερε στην Ελλάδα αυτά τα δόγµατα . Με την πρώτη του δηµόσια οµιλία, ενώπιον του δήµου µετέστρεψε τους πάντες υπέρ του και όπως παραδίδει ο Νικόµαχος περισσότεροι από δύο χιλιάδες παρακολούθησαν τους λόγους του . Γοητεύτηκαν δε τόσο που δεν επέστρεψαν στις ιδιαίτερες πατρίδες τους αλλά µαζί µε τα παιδιά και τις γυναίκες τους έκτισαν ένα τεράστιο οίκηµα οµαδικής ακροάσεως , το Οµακοείον και ίδρυσαν την ονοµαζόµενη απ' όλους Μεγάλη Ελλάδα στην Ιταλία , γινόµενοι πολίτες της . Και αφού αποδέχθηκαν ορισµένους Νόµους και παραγγέλµατα απ' αυτόν σαν να ήταν θείες υποθήκες έξω από τις οποίες τίποτε δεν έκαναν, παρέµειναν µε οµόνοια µαζί µε το σύνολο των µαθητών επευφηµούµενοι και µακαριζόµενοι από όλους τους γύρω των. Τις δε περιουσίες τους έθεταν σε κοινή χρήση και συγκατέλεγαν τον Πυθαγόρα µεταξύ των Θεών. Γι' αυτό ένα απ' τα απόρρητα που παρεδόθησαν σ' αυτούς κατά τα µαθήµατα, είναι η λεγόµενη Τετρακτύς µε την οποία ορκίζονταν για όλα όσα ήθελαν να βεβαιώσουν επικαλούµενοι τον Πυθαγόρα σαν κάποιο θεό: Ού, µα τον αµετέραι γενεάι παραδόντα τετρακτύν, παγάν αενάου φύσεως ριζώµατ' έχουσαν . (Όχι, µα τον παραδόσαντα και στη δική µας γενεά την τετρακτύν, την πηγή αενάου φύσεως που ρίζες έχει) . Ο Πυθαγόρας για πολύ χρόνο , τόσο θαυµάσθηκε στην Ιταλία αυτός και οι µαθητές του, ώστε οι πόλεις να εµπιστεύονται την πολιτειακή διοίκηση σε Πυθαγορείους . Ύστερα όµως από πολλά έτη έγιναν αντικείµενο µεγάλου φθόνου και εξυφάνθηκε εναντίον τους η εξής συνωµοσία: Υπήρχε ένας άντρας από τον Κρότωνα, ο Κύλων, που παρότι καταγόταν από αριστοκρατική γενεά και διέθετε πλούτο µεγαλύτερο από των άλλων πολιτών, δεν διέθετε ευγενή χαρακτήρα αλλά ήταν φορτικός , βίαιος και τυρρανικός . Χρησιµοποιούσε τον κύκλο των φίλων του και την δύναµη του πλούτου του για να µπορεί να αδικεί και όντας άπληστος είχε την αξίωση να κατέχει οτιδήποτε του φαινόταν καλό . Αυτός λοιπόν πίστευε πως έπρεπε να γίνει µέτοχος και στην φιλοσοφία του Πυθαγόρα και να γίνει δεκτός µεταξύ των µαθητών . Προσήλθε στον Πυθαγόρα αυτοεπαινούµενος και επιθυµώντας να γίνει µαθητής του . Όµως ο Πυθαγόρας διακρίνοντας από τη φυσιογνωµία του ανδρός και από άλλα σηµάδια το ποιόν του, τον διέταξε αµέσως να φύγει και να επιστρέψει στις ασχολίες του .

Page 47: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-46-

Ο Κύλων το εξέλαβε ως µεγάλη προσβολή και οργίσθηκε πολύ. Συγκέντρωσε τους φίλους του , όπου κατηγόρησε τον Πυθαγόρα και µαζί τους άρχισε να προετοιµάζεται για να βλάψει αυτόν και τους µαθητές του . Φαίνεται πως υπήρχαν και πολιτικά αίτια όµως για το µίσος του Κύλωνος διότι ήθελε να µεταβάλει το πατροπαράδοτο πολίτευµα του Κρότωνος που όριζε ορισµένο αριθµό πολιτών µε το δικαίωµα να συµµετέχουν στην εκκλησία του δήµου (οι «χίλιοι») . Ο Κύλων ήθελε να συµµετέχουν όλοι , ώστε να µπορεί να εξαγοράζει πολιτική δύναµη , δωροδοκώντας πολλούς από εκείνους . Όµως, σε αυτά του τα σχέδια εναντιώθηκαν οι Πυθαγόρειοι Κροτωνιάτες Αλκίµαχος , ∆είναρχος , Μέτων και ∆ηµοκίδης . Υποβοηθούµενος από τον ρήτορα Νίνονα , που συνέγραψε βιβλίο που υποτίθεται πως περιείχε τις µυστικές διδασκαλίες των Πυθαγορείων, ο Κύλων έβαλε να αναγνώσουν το πλαστό σύγγραµµα και άρχισε να συκοφαντεί τους Πυθαγόρειους πως ετοιµάζουν τυραννίδα . Εντός ολίγων ηµερών µε δηµαγωγία και συκοφαντία ξεσήκωσε τον λαό εναντίον των Πυθαγορείων και ο ίδιος µε τους υποστηρικτές του επιτέθηκαν στους συντρόφους την ηµέρα που είχαν συγκεντρωθεί στην οικία του Μίλωνα. Ο Πυθαγόρας έλειπε σε ταξίδι προς την Σύρο , για να περιποιηθεί τον άρρωστο Φερεκύδη που υπήρξε δάσκαλός του . Επακολούθησε συµπλοκή κατά την οποία σκοτώθηκαν πολλοί από τους συντρόφους του Πυθαγόρα και πυρπόλησαν το οίκηµα . Μόνον ο Άρχιππος και ο Λύσις κατάφεραν να διαφύγουν µε κάποιο τρόπο. Ο Λύσις έφθασε εις την Θήβα όπου έζησε τον υπόλοιπο βίο του και µάλιστα συναναστράφηκε µε τον νεαρό τότε Επαµεινώνδα του οποίου έγινε και διδάσκαλος , µεταφυτεύοντας εκεί τα σπέρµατα της Πυθαγορείου φιλοσοφίας . Ο Πυθαγόρας µαζί µε τους υπόλοιπους διέφυγαν αρχικώς µεταβαίνοντας προς τους Λοκρούς . Οι εκεί πολίτες όµως φοβούµενοι πιθανό πόλεµο αρνήθηκαν να τους δεχθούν και αφού τους προµήθευσαν τα αναγκαία , ο Πυθαγόρας έπλευσε προς τον Τάραντα κι από εκεί προς το Μεταπόντιο . Εκεί λέγεται ότι τελείωσε τη ζωή του, αποσυρόµενος στο ιερό των Μουσών και παραµένοντας εκεί για σαράντα ηµέρες δίχως τροφή . Ο Αριστόξενος διηγείται πως σχεδόν όλοι έφυγαν από την Ιταλία εκτός από τον Αρχύτα τον Ταραντίνο και πως αρκετοί εξ αυτών συγκεντρώθηκαν εις το Ρήγιο , διαφυλάσσοντας τα παραδοσιακά ήθη και φιλοσοφία µέχρις ότου πέθαναν µε αξιοπρέπεια . « Οι Πυθαγόρειοι έδιωξαν απ' αυτούς , τους θρήνους , τα δάκρυα και κάθε τι παρόµοιο . Απείχαν κι από τις παρακλήσεις , τις ικεσίες και απ' όλες τις τέτοιου είδους δουλοπρεπείς κολακείες ». Ο Νικόµαχος γράφει πως οι διασκορπισµένοι Πυθαγόρειοι διατήρησαν ακέραια την φιλία µεταξύ των και απέφευγαν την επικοινωνία µε τους ανθρώπους . Φοβούµενοι µήπως εκλείψει το όνοµα της φιλοσοφίας από τους ανθρώπους και οι ίδιοι µισηθούν από τους Θεούς γι' αυτό , συνέταξαν κεφαλαιώδη υποµνήµατα µε τα συγγράµµατα των παλαιοτέρων και όσα θυµόντουσαν, ορκίζοντας τις γυναίκες και τους απογόνους τους .

Page 48: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-47-

ΦΙΛΟΛΑΟΣ ΦΙΛΟΛΑΟΣ ΦΙΛΟΛΑΟΣ ΦΙΛΟΛΑΟΣ ΟΟΟΟ ΚΡΟΤΩΝΙΑΤΗΣ ΚΡΟΤΩΝΙΑΤΗΣ ΚΡΟΤΩΝΙΑΤΗΣ ΚΡΟΤΩΝΙΑΤΗΣ 'Eζησε στο διάστηµα (480-400 π.Χ.) .

• Κορυφαίος Πυθαγόρειος των µέσων του 5 αι. π.Χ. , εποχής κατά την οποία διαλύθηκε βιαίως ο Πυθαγόρειος σύλλογος . Αναφέρεται ότι ο ίδιος έγραψε τρία βιβλία µε τα Πυθαγόρεια δόγµατα , τα οποία αγόρασε από τους απογόνους του ο Πλάτωνας . Από τα βιβλία αυτά έγιναν γνωστές οι απόψεις του συλλόγου συνολικά , και σ' αυτά µάλλον στηρίχτηκαν όλες οι αβέβαιες βιογραφίες του Πυθαγόρα .

• Η προσφορά του στα Μαθηµατικά βρίσκεται στο ότι: o Μελέτησε και διέσωσε τις µαθηµατικές αναλογίες της Πυθαγόρειας κλίµακας του 4-χορδου και της µουσικής κλίµακαςµουσικής κλίµακαςµουσικής κλίµακαςµουσικής κλίµακας της µεταγενέστερης 8-χορδης λύρας .

o Μέτρησε τις ταχύτητες των πλανητών και πρότεινε νέα διάταξη των πλανητών, αµφισβητώντας τη Γη - κέντρο και το δόγµα ότι ο 'Hλιος βρίσκεται στο µέσον της διάταξης των σωµάτων του Ουρανού , που πρότειναν οι πρώτοι Πυθαγόρειοι .

o Έδωσε το πρώτο µαθηµατικό µοντέλο της κίνησης των Πλανητών και του Ουρανού , µε τη µορφή 8 οµόκεντρων και συνεπίπεδων σφονδύλων (Πλάτων, "Πολιτεία" 375 π.Χ.) .

Page 49: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-48-

ΙΙΙΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ ΠΠΟΚΡΑΤΗΣ ΠΠΟΚΡΑΤΗΣ ΠΠΟΚΡΑΤΗΣ ΟΟΟΟ ΧΙΟΣΧΙΟΣΧΙΟΣΧΙΟΣ

Ο Ιπποκράτης ο ΧίοςΙπποκράτης ο ΧίοςΙπποκράτης ο ΧίοςΙπποκράτης ο Χίος ήταν αρχαίος Έλληνας µαθηµατικός , που διακρίθηκε στη Γεωµετρία και έζησε τον 5ο αιώνα π.Χ . (περίπου στο διάστηµα 470 - 410 π.Χ.) , ήταν δηλαδή σχεδόν σύγχρονος του Σωκράτη . Ο Ιπποκράτης γεννήθηκε στο νησί Χίος , όπου , καθώς µας πληροφορεί ο Αριστοτέλης στα « Ηθικά Ευδήµεια » , ήταν αρχικώς έµπορος ή εφοπλιστής . Απώλεσε την περιουσία του στο Βυζάντιο εξαιτίας απάτης των τελωνειακών υπαλλήλων (ή ληστεύθηκε από Αθηναίους πειρατές) και πήγε στην Αθήνα για δικαστική διεκδίκηση αποζηµιώσεως . Εκεί όµως εξελίχθηκε σε κορυφαίο µαθηµατικό . Ο Πλούταρχος στο έργο του Βίοι παράλληλοι (και συγκεκριµένα στον « Βίο του Σόλωνος ») αναφέρει τον Ιπποκράτη τον Χίο ως « µαθηµατικό και έµπορο » . Για την ιδιότητα του σπουδαίου µαθηµατικού γράφει και πάλι ο Αριστοτέλης στα Μετεωρολογικά του , όπου τον κατατάσσει ως ισάξιο των Αναξαγόρα , ∆ηµοκρίτου και των κορυφαίων πυθαγορίων φιλοσόφων . Αλλά και ο Πρόκλος χαρακτηρίζει τον Ιπποκράτη τον Χίο σπουδαίο µαθηµατικό και τον τοποθετεί στον κατάλογο των µαθηµατικών µετά τον Οινοπίδη . Στη Χίο, ο Ιπποκράτης ίσως να υπήρξε προσωπικά µαθητής του µαθηµατικού Οινοπίδη . Στην Αθήνα όµως άνοιξε ο ίδιος σχολή , στην οποία δίδασκε Γεωµετρία . Στο µαθηµατικό έργο του Ιπποκράτους πιθανώς υπάρχει και κάποια πυθαγόρεια επίδραση , καθώς η Χίος γειτονεύει µε τη Σάµο , την πατρίδα του Πυθαγόρα και κέντρο της πυθαγόρειας σκέψεως: ο Ιπποκράτης έχει χαρακτηρισθεί ως « παρα-πυθαγόρειος », ένας φιλοσοφικός « συνταξιδιώτης » των πυθαγόρειων στον κόσµο των ιδεών. Η «Εις άτοπον απαγωγή» (Reductio ad absurdum) ως µέθοδος µαθηµατικών αποδείξεων έχει αποδοθεί σε αυτόν. Στην Αθήνα ο Ιπποκράτης παρέµεινε µέχρι το τέλος της ζωής του και πέθανε εκεί . Το βασικό έργο ζωής του Ιπποκράτη του Χίου είναι ότι υπήρξε ο πρώτος στην Ιστορία της Επιστήµης που συνέγραψε µια συστηµατικά οργανωµένη πραγµατεία Γεωµετρίας , τα « Στοιχεία» (δηλαδή τα θεµελιώδη θεωρήµατα ή οι « δοµικοί λίθοι » της µαθηµατικής θεωρίας) . Αυτό ήταν ένα πολύ σηµαντικό βήµα προόδου επειδή από τότε και µετά οι µαθηµατικοί σε όλο τον αρχαίο κόσµο θα µπορούσαν να « χτίζουν » τις ιδέες τους πάνω σε ένα κοινό για όλους πλαίσιο βασικών εννοιών, µεθόδων και θεωρηµάτων, γεγονός που συνετέλεσε στην πρόοδο των Μαθηµατικών .

Page 50: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-49-

Μόνο ένα, αλλά διάσηµο, απόσπασµα των « Στοιχείων » του Ιπποκράτη (που δεν πρέπει να συγχέονται µε τα « Στοιχεία » του Ευκλείδη) διασώθηκε µέχρι τις ηµέρες µας , ενσωµατωµένο σε έργο τουΣιµπλίκιου . Σε αυτό το απόσπασµα υπολογίζεται το εµβαδό των σχηµάτων που είναι σήµερα γνωστά διεθνώς ως Μηνίσκοι του Μηνίσκοι του Μηνίσκοι του Μηνίσκοι του ΙπποκράτουςΙπποκράτουςΙπποκράτουςΙπποκράτους (ηµισεληνοειδή τµήµατα που περικλείονται από δύο κυκλικά τόξα) . Αυτό εντασσόταν τότε σε ένα ερευνητικό πρόγραµµα για την επίτευξη του « τετραγωνισµού του κύκλου» . Προφανώς η στρατηγική ήταν να υποδιαιρεθεί ένας κυκλικός δίσκος σε ηµισεληνοειδή µέρη: αν ήταν δυνατός ο υπολογισµός του εµβαδού του καθενός από αυτά τα µέρη , τότε το εµβαδό ολόκληρου του δίσκου θα µπορούσε να εξαχθεί . Μόλις το 1882 µ.Χ. αποδείχθηκε ότι αυτή η προσέγγιση δεν είχε ελπίδα επιτυχίας , επειδή ο συντελεστής π είναι ένας υπερβατικός αριθµός. Στον αιώνα µετά τον Ιπποκράτη , τουλάχιστον 4 άλλοι µαθηµατικοί συνέγραψαν τα δικά τους « Στοιχεία » , βελτιώνοντας σταθερά την ορολογία και τη λογική τους δοµή . Με αυτό τον τρόπο, η πρωτοπόρα δουλειά του Ιπποκράτη έθεσε τα θεµέλια και για τα « Στοιχεία » του Ευκλείδη (περ. 325 π.Χ.) , που παρέµεινε το πρότυπο εγχειρίδιο Γεωµετρίας µέχρι σχεδόν την εποχή µας . ∆ύο άλλες συνεισφορές του Ιπποκράτη αξίζει να σηµειωθούν . Ανεκάλυψε µια (άγνωστη σε εµάς) µέθοδο χειρισµού του προβλήµατος του « διπλασιασµού του κύβου » , δηλαδή του προβλήµατος της κατασκευής της κυβικής ρίζας του 2 . Αυτό ήταν το άλλο µεγάλο µαθηµατικό πρόβληµα της αρχαιότητας . Ο Ιπποκράτης επίσης επενόησε τη µέθοδο της µετατροπής ειδικότερων µαθηµατικών προβληµάτων σε ένα γενικότερο πρόβληµα που είναι ευκολότερο να επιλυθεί . Η λύση στο γενικότερο πρόβληµα δίνει τότε αυτοµάτως τη λύση του αρχικού προβλήµατος .

Page 51: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-50-

ΟΙΝΟΠΙ∆ΗΣ ΟΙΝΟΠΙ∆ΗΣ ΟΙΝΟΠΙ∆ΗΣ ΟΙΝΟΠΙ∆ΗΣ ΟΟΟΟ ΧΙΟΣ ΧΙΟΣ ΧΙΟΣ ΧΙΟΣ

'Eζησε και άκµασε περί το 440 π.Χ.. • Μαθηµατικός και αστρονόµος ο Οινοπίδης έγινε γνωστός κυρίως µε τις µελέτες και µετρήσεις του στην αστρονοµία .

• Συγκεκριµένα µαρτυρείται ότι στα µαθηµατικά: o Πρότεινε κάποιες γεωµετρικές κατασκευές , µε χάρακα και διαβήτη , µε γνωστότερη εκείνη της κατασκευής ευθείας καθέτου σε άλλη .

o ∆ιέθετε σκοπευτικό όργανο (∆ιόπτρα) µε τη βοήθεια της οποίας µέτρησε την κλίση του ζωδιακού κύκλκλίση του ζωδιακού κύκλκλίση του ζωδιακού κύκλκλίση του ζωδιακού κύκλουουουου ως προς τον Ισηµερινό (την βρήκε ίση µε το της περιφέρειας) . Η µέτρηση αυτή επιτρέπει την υπόθεση ότι η υποδιαίρεση του κύκλου σε 15 ίσα τόξα (Στοιχεία IV/16) είναι δική του κατασκευή , και η υλοποίησή της στο σκοπευτικό του όργανο .

o Πραγµατοποίησε µε νυχτερινές µετρήσεις την """" διάζωσηδιάζωσηδιάζωσηδιάζωση """" του ζωδιακού κύκλου (Θέων) . Με τον όρο " ∆ιάζωση " πιστεύεται ότι νοείται η χαρτογράφηση των ζωδιακών αστερισµών, η εικονογράφηση και ονοµασία τους , και µάλλον η υποδιαίρεση του ζωδιακού σε 12 ίσες περιοχές .

• ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΓΕΩΜΕΤΡΙΑΓΕΩΜΕΤΡΙΑΓΕΩΜΕΤΡΙΑ • Ενώ οι αστρονοµικές συνεισφορές του Οινοπίδη αφορούν κυρίως πρακτικά

θέµατα , αντιθέτως ως γεωµέτρης φαίνεται ότι υπήρξε µάλλον θεωρητικός και µεθοδολόγος , που είχε θέσει ως στόχο υψηλότερα πρότυπα θεωρητικής καθαρότητας για τη Γεωµετρία: Εισήγαγε τη διάκριση ανάµεσα σε θεωρήµατα και « προβλήµατα » , µε την έννοια ότι θεώρηµα είναι ένας θεωρητικός δοµικός λίθος που πρέπει να χρησιµεύει ως το θεµέλιο για παραπέρα ανάπτυξη της θεωρίας , ενώ ένα πρόβληµα είναι απλώς µια αποµονωµένη άσκηση χωρίς παραπέρα ανάπτυξη ή σηµασία .

• Ο Οινοπίδης επίσης φαίνεται ότι θέσπισε τον κανόνα ότι οι γεωµετρικές κατασκευές πρέπει να µη χρησιµοποιούν άλλα µέσα εκτός από τον κανόνα και τον διαβήτη . Το όνοµά του συνδέθηκε µε δύο συγκεκριµένες στοιχειώδεις γεωµετρικές κατασκευές: 1) Να αχθεί από δοσµένο σηµείο ευθεία γραµµή κάθετη προς άλλη , δοσµένη , ευθεία. 2) Σε δοσµένο σηµείο δοσµένης ευθείας γραµµής να κατασκευασθεί ορθή γωνία .

Page 52: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-51-

∆ΗΜΟΚΡΙΤΟΣ ∆ΗΜΟΚΡΙΤΟΣ ∆ΗΜΟΚΡΙΤΟΣ ∆ΗΜΟΚΡΙΤΟΣ ΟΟΟΟ ΑΒ∆ΗΡΙΤΗΣ ΑΒ∆ΗΡΙΤΗΣ ΑΒ∆ΗΡΙΤΗΣ ΑΒ∆ΗΡΙΤΗΣ

'Eζησε στο διάστηµα (460-370 π.Χ.) . • Μεγάλος φιλόσοφος και µαθηµατικός ταξίδεψε στον γνωστό τότε κόσµο και έγραψε πλήθος έργων ποικίλου περιεχοµένου . Αναφέρεται ένα πλήθος 60 περίπου έργων του , από τα οποία σώζονται περί τα 300 αποσπάσµατα . Εισηγητής , µαζί µε τον δάσκαλό του Λεύκιππο , της Ατοµικής θεωρίαςΑτοµικής θεωρίαςΑτοµικής θεωρίαςΑτοµικής θεωρίας , δέχτηκε ότι όλα στον κόσµο δηµιουργούνται από την ένωση µικρότατων υλικών µονάδων , των ΑτόµωνΑτόµωνΑτόµωνΑτόµων (που δεν µπορούν πλέον να τµηθούν) .

• Η προσφορά του στα µαθηµατικά ήταν µεγάλη , όπως βεβαιώνουν οι τίτλοι των αντίστοιχων έργων του . Το περιεχόµενό τους όµως µας είναι άγνωστο.

o Κύρια ΜαθηµατικάΜαθηµατικάΜαθηµατικάΜαθηµατικά του έργα ήταν τα: " Περί Γεωµετρίης " και " Γεωµετρών " . " Αριθµοί " . " Περί Αλόγων γραµµών και Νασιών α', σ " (Περί Ασυµµέτρων) . " Περί Γεωργίης ή Γεωµετρικόν " (Τοπογραφία) .

o Στην ΓεωµετρίαΓεωµετρίαΓεωµετρίαΓεωµετρία σηµαντικότατο θεωρείται το θεώρηµά του κατά το οποίο: " Κάθε κώνος έχει όγκο ίσο µε το τρίτο του περιγεγραµµένου του κυλίνδρου " (Στοιχεία 10/XII, Αρχιµήδης) .

o ΑστρονοµικάΑστρονοµικάΑστρονοµικάΑστρονοµικά του έργα: " Μέγας διάκοσµος " και " Ουρανογραφίη " (Σχέδιο του Ουρανού) . " Άµιλλα Κλεψύδρας (και Ουρανού) " (Χρονοµέτρηση Ουρανίων φαινοµένων) .

" Μέγας ενιαυτός ή Αστρονοµίη " και " Παράπηγµα " (Ηµερολόγιο). " Περί Πλανήτων " και " Αιτίαι Ουράνιαι " (Ουράνια φαινόµενα) . " Γεωγραφίη " και " Ωκεανού Περίπλους " .

• Τα πιο πάνω έργα, καθώς και άλλα ειδικότερου περιεχοµένου, δείχνουν την πολυµάθεια και το εύρος των ενδιαφερόντων του σοφού µας . Στην Αστρονοµία εκτός των άλλων:

o Ανακάλυψε ότι όλα τα νυχθήµερανυχθήµερανυχθήµερανυχθήµερα έχουν ίδια διάρκεια, και µέτρησε τη διάρκεια των µεγίστων ηµερών στην Μακεδονία (τις βρήκε ίσες µε τα 5/8 του σταθερού χρόνου του νυχθηµέρου) .

o Πρότεινε στο έργο του " Πολογραφίη " µέθοδο για τον σχεδιαστικό προσδιορισµό του αόρατου ουράνιου Πόλου , µε τη βοήθεια γεωµετρικής κατασκευής .

Page 53: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-52-

ΑΡΧΥΤΑΣ Ο ΤΑΡΑΝΤΙΝΟΣΑΡΧΥΤΑΣ Ο ΤΑΡΑΝΤΙΝΟΣΑΡΧΥΤΑΣ Ο ΤΑΡΑΝΤΙΝΟΣΑΡΧΥΤΑΣ Ο ΤΑΡΑΝΤΙΝΟΣ

Έζησε στο διάστηµα (428-365 π.Χ.) . Γενικά ο Αρχύτας θεωρείτο στην αρχαιότητα ως µεγάλος µετρητής (και υπολογιστής), µε µεγάλη προσφορά στους υπολογισµούς διαφόρων µεγεθών . Αναφέρονται δύο έργα του, το """" ΑρµονικόςΑρµονικόςΑρµονικόςΑρµονικός """" και το """" ∆ιατριβαί∆ιατριβαί∆ιατριβαί∆ιατριβαί """" , από τα οποία

σώζονται λίγα αποσπάσµατα . Στον Αρχύτα και στα τρία βιβλία του Φιλολάου (που αγόρασε ο Πλάτων) , οφείλεται η αρχαία γνώση των επιτευγµάτων . Αναφέρεται σαν ο τελευταίος των Πυθαγορείων. 'Hταν εξαιρετική προσωπικότητα του Τάραντα µε ξεχωριστές πολιτικές και µαθηµατικές ικανότητες . Θαυµάζεται ως Φιλόσοφος , Μαθηµατικός , Αστρονόµος και Μηχανικός . Υπήρξε δάσκαλος του Πλάτωνα (388 π.Χ.) και αργότερα και του Ευδόξου (365 π.Χ.) . Η προσφορά στα µαθηµατικά της εποχής του ήταν σηµαντικότατη . Συγκεκριµένα:

• Έλυσε πρώτος το ∆ήλιο πρόβληµα∆ήλιο πρόβληµα∆ήλιο πρόβληµα∆ήλιο πρόβληµα µε µια πολύ ωραία θεωρητική κατασκευή . Η λύση πρόκυπτε από την τοµή ενός ηµικυλίνδρου ενός ηµικώνου και µιας σπείρας (στερεό εκ περιστροφής κύκλου περί άξονα που δεν τον τέµνει) . • Ανέπτυξε τις µεθόδους της ΛογιστικήςΛογιστικήςΛογιστικήςΛογιστικής (µαθηµατικής τέχνης) , µε τηνανακάλυψη µιας ευφυέστατης µεθόδου υπολογισµού οποιωνδήποτε τετραγωνικών ριζώντετραγωνικών ριζώντετραγωνικών ριζώντετραγωνικών ριζών , στηριγµένης στην µουσική αναλογία ων Πυθαγορείων .

• Εφάρµοσε πρώτος τα µαθηµατικά στην επίλυση προβληµάτων της ΜηχανικήςΜηχανικήςΜηχανικήςΜηχανικής (µαθηµατικής τέχνης) .

• 'Eλυσε γεωµετρικά προβλήµατα µε τη βοήθεια κινητικής γεωµετρίαςκινητικής γεωµετρίαςκινητικής γεωµετρίαςκινητικής γεωµετρίας (οργάνων , των οποίων η κίνηση ενός στελέχους έδινε το ζητούµενο µήκος) . Είναι πιθανό η φερόµενη ως λύση του Πλάτωνος του ∆ηλίου προβλήµατος να είναι δική του ιδέα .

Page 54: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-53-

ΠΛΑΤΩΝ ΠΛΑΤΩΝ ΠΛΑΤΩΝ ΠΛΑΤΩΝ ΟΟΟΟ ΑΘΗΑΘΗΑΘΗΑΘΗΝΑΙΟΣΝΑΙΟΣΝΑΙΟΣΝΑΙΟΣ

'Eζησε στο διάστηµα (427-347 π.Χ.) . Αθηναίος φιλόσοφος, αριστοκρατικής καταγωγής, ίδρυσε και διεύθυνε το διασηµότερο πανεπιστήµιο του Ελληνισµού, την ΑκαδηµίαΑκαδηµίαΑκαδηµίαΑκαδηµία, για 40 περίπου χρόνια, µέχρι τον θάνατό του . Στα έργα αυτά γίνεται φανερή η Πυθαγόρεια τοποθέτησή του, και ο άκρατος

θαυµασµός του προς τα µαθηµατικά και ιδιαίτερα προς τη Γεωµετρία . • 'Eλυσε το ∆ήλιο πρόβληµα∆ήλιο πρόβληµα∆ήλιο πρόβληµα∆ήλιο πρόβληµα (διπλασιασµό του κύβου) µε κινητική γεωµετρία και κάποιο όργανο µε τη βοήθεια του οποίου προέκυπτε η λύση.

• Έδωσε γενική µορφή στην Αναλυτική µέθοδοΑναλυτική µέθοδοΑναλυτική µέθοδοΑναλυτική µέθοδο και συνέβαλε στην έρευνα των Γεωµετρικών τόπωνΓεωµετρικών τόπωνΓεωµετρικών τόπωνΓεωµετρικών τόπων.

Προσδιόρισε ένα πλήθος των Πυθαγορείων τριάδωνΠυθαγορείων τριάδωνΠυθαγορείων τριάδωνΠυθαγορείων τριάδων, δηλαδή των τριάδων ακεραίων αριθµών, που επαληθεύουν την ισότητα 2 2 2χ ψ ω+ = του Πυθαγορείου Θεωρήµατος.

Για τις τριάδες αυτές έδωσε την έκφραση µ, 2µ

4 και

2µ1

4+ , όπου µ άρτιος ( )µ 4≥ .

(Αποδίδεται στον Λεωδάµαντα τον Θάσιο) . Για τα πολυσυζητηµένα αστρονοµικά ζητήµατα της εποχής του (κίνηση του Ουρανού , θέση , σχήµα και κίνηση της γης) παρουσιάζει ξένες και θολά διατυπωµένες απόψεις (Φαίδων , Τίµαιος) , γεγονός που φανερώνει ότι δεν διέθετε προσωπική άποψη για το θέµα , και γενικά ότι δεν ήταν µαθηµατικός . Η κύρια λοιπόν συµβολή του στα µαθηµατικά βρίσκεται κυρίως στο ότι προέτρεπε τους µαθηµατικούς να ερευνούν καθολικές µαθηµατικές αλήθειες , και γενικά να καλλιεργούν τα µαθηµατικά , τα οποία θεωρούσε ότι διαθέτουν τεράστια εκπαιδευτική αξία . Η προτροπή αυτή φαίνεται , εκτός των άλλων , και στις απόψεις του ότι τα Μαθηµατικά είναι " δόσις θεών εις ανθρώπους " και ότι "οδηγούν έντονα την ψυχή προς το θείο " . Το αληθινό του όνοµα ήταν ΑριστοκλήςΑριστοκλήςΑριστοκλήςΑριστοκλής και τον αποκαλούσαν Πλάτωνα επειδή είχε πλατύ µέτωπο (κατ’ άλλους επειδή είχε πλατιούς ώµους) . Ο Πλάτων υπήρξε ο δεύτερος της µεγάλης τριάδας των Αρχαίων Ελλήνων σοφών – Σωκράτης Πλάτων και Αριστοτέλης – που έθεσαν σε συνάφεια ο ένας προς τον άλλον τα φιλοσοφικά θεµέλια του ∆υτικού πολιτισµού . Ήταν ο σπουδαιότερος µαθητής του Σωκράτη , ο κατεξοχήν ιδεαλιστής φιλόσοφος και θεµελιωτής της Πολιτικής Φιλοσοφίας παρόλο που απείχε της πολιτικής . Ταξίδεψε σε διάφορες χώρες της τότε µεγάλης Ελλάδας και στην Αίγυπτο για να διευρύνει τους πνευµατικούς του ορίζοντες . Γύρω στο 380 π.Χ. ιδρύει την οµώνυµη Ακαδηµία του στον σηµερινό Κολωνό , διότι θεωρούσε ότι ο γόνιµος διάλογος για να οικοδοµηθεί ορθότερα πρέπει να απέχει από τον θόρυβο της αγοράς και σε αντίθεση µε τον Σωκράτη που τον προτιµούσε δηµόσια .

Page 55: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-54-

Εξάλλου τα ερείπια που άφησε πίσω του ο Πελοποννησιακός πόλεµος στην Αθήνα απαιτούσαν µια νέα πολιτική θεώρηση των πραγµάτων . Την ίδια εποχή λειτουργούσε στην Αθήνα η σχολή του ρήτορα Ισοκράτη που δίδασκε επαγγέλµατα λαµβάνοντας χρήµατα . Η ακαδηµία του Πλάτωνα δίδασκε επιστήµη και φιλοσοφία χωρίς χρήµατα . Στην ακαδηµία , εκτός του Πλάτωνα δίδασκαν ο Θεαίτητος , ο Εύδοξος , ο Αριστοτέλης και άλλοι , ενώ µετά τον θάνατο του Πλάτωνα ανέλαβε διευθυντής ο ανιψιός του Σπεύσιππος ο Αθηναίος . Ο Αριστοτέλης κάποια στιγµή , αποχώρησε από την ακαδηµία και επιστρέφοντας από τη Μακεδονία , ίδρυσε τη δική του Σχολή , το Λύκειον . Ο ίδιος έχει µεγάλο συγγραφικό έργο και επιπρόσθετα έχουµε πολλά στοιχεία γι αυτόν από τον Αριστοτέλη, τον Ισοκράτη και τον ∆ιογένη τον Λαέρτιο. Ο Πλάτωνας ασχολήθηκε µε όλες σχεδόν τις πλευρές του ευρύτερου επιστητού της ανθρώπινης σκέψης και διανόησης . Σε ηλικία 18 ετών18 ετών18 ετών18 ετών γνώρισε τον 60606060----χρονο πια Σωκράτηχρονο πια Σωκράτηχρονο πια Σωκράτηχρονο πια Σωκράτη και γοητεύτηκε από την προσωπικότητα και την διδασκαλία του . Από το συνολικό του έργο σώζονται 36 έργα , τα οποία εκτός από την " Απολογία τΑπολογία τΑπολογία τΑπολογία του Σωκράτηου Σωκράτηου Σωκράτηου Σωκράτη " έχουν τη µορφή διαλόγου . Σε όλα εκτός των " Νόµων " τη συζήτηση διευθύνει ο Σωκράτης , ενώ ο τίτλος του καθενός είναι το όνοµα του σπουδαιότερου συνοµιλητή ή αφηγητή . Στα έργα αυτά γίνεται φανερή η Πυθαγόρεια τοποθέτησή του, και ο άκρατος θαυµασµός του προς τα µαθηµατικά και ιδιαίτερα προς τη Γεωµετρία. Η συµβολή της Ακαδηµίας στα µαθηµατικά του 4ου αι4ου αι4ου αι4ου αιώνα ώνα ώνα ώνα π.Χ. είναι σηµαντικότατη , ιδιαίτερα µε τα έργα των καθηγητών της Θεαίτητου , Μεναίχµου και Ευδόξου .

Page 56: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-55-

ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ Ο ΑΘΗΝΑΙΟΣΘΕΑΙΤΗΤΟΣ Ο ΑΘΗΝΑΙΟΣΘΕΑΙΤΗΤΟΣ Ο ΑΘΗΝΑΙΟΣΘΕΑΙΤΗΤΟΣ Ο ΑΘΗΝΑΙΟΣ • Έζησε στο διάστηµα 417-369 π.Χ.

Μαθητής του Πλάτωνα και αργότερα καθηγητής της Ακαδηµίας, συνέβαλε σηµαντικά στην ανάπτυξη των µαθηµατικών της σχολής, προ του Ευδόξου . Μετά τον πρόωρο θάνατό του, ο Πλάτωνας του αφιέρωσε τον διάλογο " Θεαίτητος " , στον οποίο φαίνεται ο θαυµασµός του ιδίου και της σχολής για το έργο του . Η συµβολή του στα Μαθηµατικά πιστεύεται ότι είναι η παρακάτω : * Είναι , κατά µεγάλο µέρος , ο συγγραφέας του 10ου βιβλίου των " Στοιχείων " , του Ευκλείδη, στο οποίο µελετά και παρουσιάζει την θεωρία των ασυµµέτρων µεγεθών , σε 115 προτάσεις . * Στον διάλογο "Θεαίτητος" φαίνεται να παρουσιάζει στον Σωκράτη και τον Θεόδωρο τον Κυρηναίο, τον δάσκαλο στα µαθηµατικά του Πλάτωνα, µία µέθοδο έκφρασης όλων των "δυνάµεων" (τετραγωνικών ριζών, 147D). Αυτή είναι πιθανό να είναι µία γενίκευση της Πυθαγόρειας µεθόδου των πλευρικών και διαµετρικών αριθµών . * Ανακάλυψε τα δύο κανονικά πολύεδρα, το 8-εδρο και το 20-εδρο (κατασκευή και µάλλον υπολογισµός τους) . Τα άλλα τρία , ο κύβος , το 4-εδρο και το 12-εδρο , ήταν ευρήµατα των Πυθαγορείων . Τα πέντε αυτά µοναδικά κανονικά πολύεδρα ονοµάστηκαν Πλατωνικά Πλατωνικά Πλατωνικά Πλατωνικά (Τίµαιος) ή ΕυκλείδειαΕυκλείδειαΕυκλείδειαΕυκλείδεια , λόγω της ένταξης και µελέτης τους στο 13ο βιβλίο των « Στοιχείων» . Ο διάλογος " Θεαίτητος " του Πλάτωνος είναι φανερό ότι είναι ένα αφιέρωµα στον µεγάλο µαθηµατικό και φίλο , και βέβαια είναι φανταστικό , αφού ο Σωκράτης είχε πεθάνει το 399 π.Χ. , όταν ο Θεαίτητος ήταν 18 ετών. ∆εν µπορεί όµως να ήταν φανταστική η παρουσίαση από τον Θεαίτητο της νέας µεθόδου έκφρασης των " δυνάµεων " , η οποία µάλλον θα παρουσιάστηκε γύρω στο 380 π.Χ. .

Page 57: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-56-

ΕΕΕΕΥ∆ΟΞΟΣ Ο ΚΝΙ∆ΙΟΣ Υ∆ΟΞΟΣ Ο ΚΝΙ∆ΙΟΣ Υ∆ΟΞΟΣ Ο ΚΝΙ∆ΙΟΣ Υ∆ΟΞΟΣ Ο ΚΝΙ∆ΙΟΣ Πρόκειται για µια εξαιρετική και πολύπλευρη φυσιογνωµία, που έζησε την ίδια εποχή µε τον Πλάτωνα (5 αι π.Χ.) . Στο πρόσωπό του συνδύαζε τις ιδιότητες του µαθηµατικού , του αστρονόµου , του γεωµέτρη , του γεωγράφου , του µηχανικού , του µετεωρολόγου , του νοµοθέτη , του γιατρού και φυσικά του φιλοσόφου . Γεννήθηκε στην Κνίδο της νοτιοδυτικής Μικρά Ασίας περίπου στο 408 π.Χ . Ο πατέρας του ήταν ο Αισχίνης , ο οποίος δεν είχε περιουσία , κι έτσι ο Εύδοξος µεγάλωσε µέσα στη φτώχεια . Καταγόταν από οικογένεια ιατρών και σπούδασε µαθηµατικά και ιατρική στην φηµισµένη Σχολή της Κνίδου . Αρχικά , ακολουθούσε τους συναδέλφους του , τους γιατρούς , στις περιοδείες τους . Έτσι , ταξίδεψε στη Μεγάλη Ελλάδα , όπου παρακολούθησε µαθήµατα από το διάσηµο πυθαγόρειο µαθηµατικό τον Αρχύτα τον Ταραντίνο και από το Φιλιστίωνα στη Σικελία . Κάποια στιγµή όµως , ένας πλούσιος γιατρός , ο Θεοµέδωνας , εντυπωσιασµένος από τις ικανότητές του , πλήρωσε για λογαριασµό του τα έξοδα του ώστε να µεταβεί στην Αθήνα για σπουδές στην Ακαδηµία του Πλάτωνα . Έτσι, σε ηλικία είκοσι τριών χρόνων βρέθηκε στον Πειραιά , όπου η ζωή ήταν πιο φτηνή και έτσι λόγω χρηµάτων διέµενε εκεί . Έτσι, καθηµερινά πήγαινε στην Αθήνα για να ακούσει τον Πλάτωνα και άλλους σωκρατικούς φιλοσόφους . Γυρίζοντας στην Κνίδο έφυγε µε το γιατρό Χρύσσιπο για την Αίγυπτο , εφοδιασµένος µε µια συστατική επιστολή του Αγησιλάου , για το Φαραώ Νεκτανεβώ. Αυτός τον έφερε σε επαφή µε το ιερατείο της Ηλιούπολης , όπου και µυήθηκε στη σοφία και την επιστήµη των Αιγυπτίων ιερέων . Εκεί σπούδασε µαθηµατικά , αστρονοµία , µηχανική , µουσική και ιατρική . Παρέµεινε στην Αίγυπτο για δεκαέξι µήνες και έγραψε το πρώτο του σηµαντικό έργο « Οκταετηρίδα » , το οποίο αναφερόταν σε ένα ηµερολόγιο βασισµένο σε ένα οκταετή κύκλο , προερχόµενο από τη µελέτη του πλανήτη Αφροδίτη . Από την Αίγυπτο έφερε γνώσεις αστρονοµίας και πρότεινε µια µεταρρύθµιση του ελληνικού ηµερολογίου η οποία συνάντησε µεγάλη επιτυχία και υποστήριξη . Μετά την επιστροφή του από την Αίγυπτο έµεινε λίγο καιρό κοντά στον Μαύσωλο , δυνάστη της Αλικαρνασσού . Στη συνέχεια , επέστρεψε στην Ελλάδα και ίδρυσε την περίφηµη Σχολή της ΚυζίκουΣχολή της ΚυζίκουΣχολή της ΚυζίκουΣχολή της Κυζίκου που του έδωσε µεγάλη φήµη και στην οποία δίδασκε φιλοσοφία , γεωµετρία , αριθµητική , γραµµατική , µουσική , ρητορική και γεωγραφία . Μετά από µερικά χρόνια , επέστρεψε στην Αθήνα ακολουθούµενος από µαθητές του , µεταφέροντας εκεί την έδρα της Σχολής του . Απέκτησε µεγάλη φήµη σε όλη την Ελλάδα ως νοµοθέτης και για κάποιο διάστηµα ανταγωνίστηκε ακόµα και τον Πλάτωνα .

Page 58: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-57-

Φαίνεται πως κάποια στιγµή πείστηκε από τον Πλάτωνα να διαλύσει τη Σχολή του Κυζίκου και να διδάξει στην Ακαδηµία του αστρονοµία , µαθηµατικά και ιατρική . Τέλος, επέστρεψε στην πατρίδα του όπου τον υποδέχτηκαν µε µεγάλες τιµές και φτιάχνει νόµους για την πατρίδα του . Ο Εύδοξος πέθανε το 335 π.Χ. Τα λίγα βιογραφικά του στοιχεία µας είναι γνωστά κυρίως από τα κείµενα του ∆ιογένη του Λαέρτιου καθώς και από τα έργα του έχουν µείνει µόνο κάποια λιγοστά αποσπάσµατα. Για το υπόλοιπο έργο του έχουµε πληροφορίες από τον Αρχιµήδη , τον Ερατοσθένη , τον Εύδηµο , τον Πρόκλο , τον Ευτόκιο και τον Βυζαντινό Ιωάννη τον Φιλόπονο . Ο Εύδοξος ο Κνίδιος ήταν µαθητής του Ευκλείδη . Η συνεισφορά του στην εξέλιξη των µαθηµατικών ήταν µεγάλη , πράγµα που παραδέχονται µεταγενέστεροι µαθηµατικοί όπως ο Αρχιµήδης . Πιο συγκεκριµένα , έγινε γνωστός για τη µέθοδο της εξάντλησης µέθοδο της εξάντλησης µέθοδο της εξάντλησης µέθοδο της εξάντλησης , την οποία εισήγαγε ο Ευκλείδης και επεξέτεινε αργότερα ο Αρχιµήδης . Με αυτή τη µέθοδο έδειξε ότι δεν είναι ανάγκη να υποθέσουµε την « ύπαρξη » απείρως µικρών ποσοτήτων, αλλά για τους σκοπούς των µαθηµατικών να µπορεί να φτάσει κάποιος σε ένα µέγεθος όσο µικρό θέλει , µε συνεχιζόµενη διαίρεση ενός δοθέντος µεγέθους . Επίσης, ο Εύδοξος χρησιµοποιώντας αυτή τη µέθοδο της εξάντλησης , δηλαδή , τη χρήση τύπων για τη µέτρηση τρισδιάστατων σχηµάτων , έδωσε για τον όγκο της πυραµίδας και του κώνου τέλειες αποδείξεις . Απέδειξε , δηλαδή , ότι οι όγκοι των πυραµίδων και των κώνων ισούνται µε το ένα τρίτο των όγκων των πρισµάτων και των κυλίνδρων, αντίστοιχα, που έχουν τις ίδιες βάσεις και τα ίδια ύψη . Επίσης, απέδειξε ότι τα εµβαδά δύο κύκλων είναι ανάλογα των τετραγώνων των διαµέτρων τους . Ο Εύδοξος και ο Αρχιµήδης θεωρούνται οι θεµελιωτές του ολοκληρωτικού λογισµού . ∆εν ήταν δυνατόν να επιχειρήσουν αποδείξεις θεωρηµάτων θεωρώντας το άπειρο ως κάτι συγκεκριµένο . Τα τελικά αποτελέσµατα των αποδείξεων τα λάµβαναν δια της εις άτοπον απαγωγής . Ο Εύδοξος , ακόµα , ανέπτυξε µια πρώιµη µέθοδο ολοκλήρωσης , για τη χρήση των αναλογιών στα προς επίλυση προβλήµατα . Ανακάλυψε , δηλαδή , τη θεωρία των αναλογιών . Αυτή η θεωρία επέτρεψε στον Εύδοξο να ασχοληθεί , µε τη βοήθεια ρητών προσεγγίσεων , µε µετρήσεις που συνεπάγονται άρρητους αριθµούς . Απέδειξε ότι οι άρρητοι αυτοί αριθµοί µπορούν να οριστούν µε τη βοήθεια κατάλληλων προσεγγίσεων ρητών και επέτρεψε στους µαθηµατικούς να χειριστούν τους άρρητους µε την ίδια αυστηρότητα µε τους ρητούς . Αυτή ήταν ουσιαστικά η αφετηρία µιας µοντέρνας θεωρίας των αρρήτων.

Page 59: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-58-

Επιπροσθέτως , ο Εύδοξος προώθησε σηµαντικά τη θεωρία των αριθµών πέρα από την πυθαγόρεια παράδοση , αποδεικνύοντας την ύπαρξη ασύµµετρων µεγεθών και επινοώντας διάφορες τεχνικές για τη µέτρηση καµπύλων επιφανειών . Χρησιµοποιώντας αυτές τις καµπύλες κατάφερε να λύσει το ∆ήλιο πρόβληµα , δηλαδή το πρόβληµα του διπλασιασµού του κύβου , το οποίο είχε χαρακτηριστεί ως άλυτο , επειδή η λύση του αποκλειστικά µε τη χρήση του κανόνα και του διαβήτη ήταν και παραµένει αδύνατη . Είναι γενικά παραδεκτό ότι ο Ευκλείδης χρησιµοποίησε το έργο του Ευδόξου στο κείµενο των « Στοιχείων » του και πιο συγκεκριµένα στα βιβλία V και ΧΙΙ και σε τµήµατα των βιβλίων VI , Χ και ΧΙΙΙ , πράγµα που αναφέρεται και από τους σχολιαστές του βιβλίου . Επίσης , είναι πολύ πιθανό η αξιωµατική µέθοδος του Ευκλείδη να αναπτύχθηκε αρχικά από τον Εύδοξο . Ο Εύδοξος ήταν και διάσηµος αστρονόµος . Η Σχολή που ίδρυσε στο Κύζικο άκµασε για πολύ καιρό και τα γραπτά του χρησίµευσαν για πρωτότυπο στη συλλογή « Μικρή Αστρονοµία » , που παρουσίαζε σε γεωµετρική µορφή το σύνολο των θεωρηµάτων που αναφέρονται στη σφαίρα και στην ηµερήσια περιστροφή . Πρώτος αυτός εφάρµοσε τη µέθοδο , που ακολούθησε ο Αρίσταρχος ο Σάµιος , για να υπολογίσει την απόσταση της Γης από τη Σελήνη και τον Ήλιο . Και το κυριότερο συνέλαβε την πρώτη γεωµετρική θεωρία για την κίνηση των πλανητών, χρησιµοποιώντας οµόκεντρες σφαίρες που περιστρέφονται η µια µέσα στην άλλη . Στο έργο του « Φαινόµενα και ∆ιοσηµία » περιέγραφε τους αστερισµούς του Ισηµερινού και των Τροπικών και έδωσε όνοµα στους σχηµατισµούς τους . Παράλληλα έδινε και οδηγίες προς τους γεωργούς , τους ποιµένες και τους ναυτιλλόµενους για την πρακτική χρησιµοποίηση των αστερισµών . Το σύγγραµµα αυτό δε διασώθηκε αλλά το γνωρίζουµε από σχόλια του Άρατου και του Ίππαρχου . Ο Εύδοξος άξια κατέκτησε τον τίτλο του πατέρα της ουράνιας µηχανικής , της επιστηµονικής αστρονοµικής παρατήρησης και της µαθηµατικής έρευνας καθώς ήταν γνώστης της σφαιρικής γεωµετρίας και χρησιµοποιούσε επιστηµονικές µεθόδους για την έρευνα µαθηµατικών και αστρονοµικών θεµάτων . Έτσι , απέδειξε τη σφαιρικότητα της γης και µάλλον πρώτος µέτρησε την περίµετρο της . Ακόµα , έγραψε αστρονοµία και γεωγραφία κατά το πρότυπο των οµηρικών επών καθώς και πραγµατείες νοµικού , πολιτικού και ιατρικού περιεχοµένου . Εκτός των άλλων ανέφερε ότι κάθε πλανήτης ακολουθεί τέσσερις διαφορετικές σφαίρες . Μία για την κίνηση της ηµέρας , µία για τη διαδροµή του ζωδιακού και δύο για τις ανώµαλες κινήσεις . Οπότε , έτσι , υπάρχουν είκοσι επτά σφαίρες συνολικά , είκοσι για τους πλανήτες , τρεις για τον Ήλιο , τρεις για τη Σελήνη και µία για τους απλανείς .

Page 60: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-59-

Ο Εύδοξος περιφρονούσε τις θεωρητικολογίες για το φυσικό σύµπαν που δεν µπορούσαν να επιβεβαιωθούν µε την παρατήρηση και την εµπειρία , γι’ αυτό και αφιερώθηκε µε µεγάλο ζήλο στην αποκάλυψη των µυστικών της φύσης . Μάλιστα µας είναι γνωστό ότι είχε πει: « Αν µπορούσα να πάω στον Ήλιο προκειµένου να βεβαιωθώ για το σχήµα του , το µέγεθός του και τη φύση του , τότε ευχαρίστως θα µοιραζόµουν την τύχη του Φαέθοντα (να λιώσει) , ως τότε δε θα µπορούσα να µαντέψω » . Το « Ένοπτρο » και το « Φαινόµενο » είναι δύο σηµαντικά έργα του τα οποία χρησιµοποίησε ο Άρατος σαν βάση για την περιγραφή του ουρανού . Επίσης , µετέφρασε τους « ∆ιαλόγους Νεκρών » από τα Αιγυπτιακά , αλλά έγραψε και µια πραγµατεία αστρονοµίας « Τέχνη Ευδόξου » , που βρέθηκε σε έναν πάπυρο του Λούβρου . Άλλα έργα του - που χάθηκαν - είναι « Αράχνη » που περιλαµβάνει τον καθορισµό της ώρας που κατάφερε να τελειοποιήσει , « Γης περίοδος » το οποίο θεωρείται το σπουδαιότερο έργο γεωγραφίας και « Περί Ταχών » στο οποίο εξηγείται η θεωρία των οµόκεντρων σφαιρών .

Καταλήγοντας ο Εύδοξος ανέλαβε να ερµηνεύσει µαθηµατικά τις κινήσεις των ουρανίων σωµάτων και προ παντός να ερµηνεύσει τις παρατηρούµενες ανωµαλίες , εξηγώντας αυτές ως αποτέλεσµα αρµονικών νόµων, ανέλαβε δηλαδή να διασώσει τα φαινόµενα µαθηµατικώς .

Page 61: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-60-

Οι τρεις µορφές της Ιπποπέδης του ΕυδόξουΙπποπέδης του ΕυδόξουΙπποπέδης του ΕυδόξουΙπποπέδης του Ευδόξου: η µορφή 3 , το ανεστραµµένο 8 είναι εκείνη µε την οποία ερµηνευόταν η φαινόµενη τροχιά των πλανητών . Σύµφωνα µε επιστηµονικές µελέτες ελλήνων και ξένων επιστηµόνων , ο µηχανισµός του υπολογιστή – εκτός των άλλων – αναπαριστά τις κινήσεις των πλανητών Ερµή και Αφροδίτης , µε όλες τις ιδιαιτερότητες των κινήσεών τους και υλοποιεί απολύτως τα πρώιµα θεωρητικά πρότυπα , που είχε αναπτύξει ο Εύδοξος. Ο Εύδοξος µε τα έργα του εξασφάλισε µια πολύ τιµητική θέση µεταξύ των µεγαλυτέρων µυηµένων σοφών της αρχαιότητας . Θεωρείται ένας από τους µεγαλοφυέστερους άνδρες της αρχαίας Ελλάδας και ο µεγαλύτερος Μαθηµατικός της κλασσικής αρχαιότητας , δεύτερος δε µεταξύ των αρχαίων Ελλήνων Μαθηµατικών µε πρώτο τον Αρχιµήδη .

Page 62: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-61-

ΜΕΝΑΙΧΜΟΣ ΜΕΝΑΙΧΜΟΣ ΜΕΝΑΙΧΜΟΣ ΜΕΝΑΙΧΜΟΣ ΟΟΟΟ ΠΡΟΚΟΝΝΗΣΙΟΣΠΡΟΚΟΝΝΗΣΙΟΣΠΡΟΚΟΝΝΗΣΙΟΣΠΡΟΚΟΝΝΗΣΙΟΣ Ο Μέναιχµος γεννήθηκε γύρω στο 375 π.Χ. στην Αλωπεκόννησο ή Προκόννησο της Προποντίδας και ήταν αδερφός του ∆εινόστρατου . Ήταν µαθητής του Ευδόξου στη σχολή της Κυζίκου . Έπειτα τον ακολούθησε στην Αθήνα , στην οποία µαθήτευσε στην Ακαδηµία του Πλάτωνα µε τον οποίο συνδέονταν φιλικά . Ακόµα υπήρξε δάσκαλος του Μ. Αλεξάνδρου στα µαθηµατικά . Αργότερα εξελίχθηκε σε έναν από τους σηµαντικότερους καθηγητές της Ακαδηµίας Πλάτωνα και έπειτα διευθυντής της σχολής της Κυζίκου . Ο Μέναιχµος θεωρείται ο πρώτος που ανακάλυψε και ξεχώρισε τις τρεις κωνικές τοµές (παραβολή, έλλειψη, υπερβολή) . Η αρχική ονοµασία των καµπύλων ήταν "Μεναίχµιος τριάς " ( = Τριάδες του Μεναίχµου ) , ονοµασία που έδωσε ο Ερατοσθένης προς τιµήν του . ∆εύτερη κορυφαία γεωµετρική προσφορά του Μέναιχµου στα Μαθηµατικά υπήρξε η καινούρια λύση που έδωσε στο ∆ήλιο πρόβληµα , µε τη βοήθεια των κωνικών τοµών . ∆εν γνωρίζουµε αν η µελέτη του ∆ηλίου προβλήµατος τον οδήγησε στις κωνικές ή αντίστροφα , πάντως είναι βέβαιο ότι οι λύσεις του στηρίχτηκαν στην αναγωγή που έκανε για το πρόβληµα ο Ιπποκράτης ο Χίος .

Page 63: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-62-

ΠΥΘΕΑΣ ΠΥΘΕΑΣ ΠΥΘΕΑΣ ΠΥΘΕΑΣ ΟΟΟΟ ΜΑΣΣΑΛΙΩΤΗΣΜΑΣΣΑΛΙΩΤΗΣΜΑΣΣΑΛΙΩΤΗΣΜΑΣΣΑΛΙΩΤΗΣ 'Άκµασε γύρω στο 330 π.Χ . . Ο Πυθέας ήταν αρχαίος Έλληνας Μαθηµατικός , θαλασσοπόρος και αστρονόµος που γεννήθηκε στη Μασσαλία κα έζησε κατά µτο δεύτερο µισό του 4ου αιώνα π.Χ . Έγινε ευρέως γνωστός µε το περίφηµο εξερευνητικό ταξίδι του στον βόρειο Ωκεανό . Το ταξίδι αυτό έγινε οργανωµένα µε πλήθος πλοίων και στόχο την εξερεύνηση των Βόρειων ακτών της Ευρώπης για κοιτάσµατα χαλκού και πετρελαίου και τη µέτρησή τους . Η εκτέλεση αυτού του πολύχρονου , πολυδάπανου και στρατηγικά σηµαντικού ταξιδιού εκτιµάται ότι χρηµατοδοτήθηκε από τον Μ. Αλέξανδρο . Την αποστολή αυτή ανέλαβε και πραγµατοποίησε µε επιτυχία ο Πυθέας . Κατά τη διάρκεια του ταξιδιού του απέδειξε ότι η Ευρώπη µέχρι την Βαλτική είναι περίβρεκτη , ότι η Βρετανία είναι νήσος και ακόµα ότι βόρειά της , σε έξι µέρες πλεύση , βρίσκεται η νήσος Θούλη σε απόσταση από τον πόλο της γης όσο η απόσταση του Τροπικού από τον Ισηµερινό (24°) . Το ηµερολόγιο και τις παρατηρήσεις του τις περιέλαβε στο έργο του " Περί του Ωκεανού " . Εκτός από το περίφηµο ταξίδι του η µαθηµατική του ανακάλυψη µε την οποία έγινε γνωστός στον Ελληνισµό ήταν εκείνη της µέτρησης του γεωγραφικού πλάτους ενός τόπου µε την µέτρηση του λόγου (Γνώµονα) : (Σκιά) το µεσηµέρι των Τροπών ή των Ισηµεριών . Η µέθοδος αυτή στηριζόταν στις παραδοχές ότι η γη είναι " σφαιροειδής " και ότι οι ακτίνες του Ηλίου φτάνουν σε όλα τα σηµεία της επιφανείας της γης " παράλληλα " οι οποίες διατυπώθηκαν από το Θαλή . Έτσι η γωνία φ προσδιοριζόταν από το ορθογώνιο τρίγωνο του γνώµονα προς την σκιά του , το µεσηµέρι µιας Ισηµερίας (ανάλογη µέτρηση γινόταν κατά τις Τροπές) . Με τη µέθοδο αυτή υπολόγισε το γεωγραφικό πλάτος της γενέτειράς του Μασσαλίας µε σχεδόν απόλυτη ακρίβεια . (Βρήκε τιµή που αντιστοιχεί σε 43°3' έναντι της πραγµατικής των 43°17') . Είναι πιθανό , µε τη βοήθεια των τριγώνων γνωµόνων και σκιάς , να υπολόγισε την περίµετρο της Γης , και να έδωσε την τιµή 300.000 σταδίων , την οποία αναφέρει ο Αρχιµήδης , χωρίς να δηλώνει την πατρότητά της .

Page 64: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-63-

Σηµαντική θεωρείται και η κατασκευή ∆ιόπτρας δικής του έµπνευσης µε την οποία πραγµατοποιούσε νυχτερινές και ηµερήσιες ουράνιες σκοπεύσεις . Με αυτήν πιστεύεται ότι έδωσε τα πλάτη των βορείων τόπων και κυρίως της Βρετανίας , µετρώντας το τροπικό ύψος του Ηλίου , γιατί δεν µπορούσε να έχει πάντοτε τον λόγο (Γνώµ.) : (Σκιά) , µάλλον λόγω συννεφιάς . Ήταν έµπειρος ναυτικός , είχε γνώσεις αστρονοµίας και µαθηµατικών και θεωρείται ο πρώτος Έλληνας που επισκέφθηκε και περιέγραψε τα βρετανικά νησιά . ∆εν ήταν λίγοι όµως αυτοί που δεν πίστεψαν στο έργο και τις ανακαλύψεις του . Μη έχοντας βγει ποτέ έξω από την Μεσόγειο δεν µπορούσαν να πιστέψουν στην ύπαρξη των µεγάλων παλιρροιών ύψους 11 µέτρων , στο χλιαρό θαλασσινό ποτάµι το οποίο άλλαζε σηµαντικά την ταχύτητα των πλοίων ανάλογα µε την φορά που αυτά έπλεαν, και ότι ο ήλιος έµενε στον ουρανό σχεδόν και τις 24 ώρες , όπως υποστήριξε και κατέγραψε ο ίδιος . Αρκετοί , µάλιστα , αµφισβήτησαν το ταξίδι του . Σήµερα , όµως έχει αποδειχθεί πως και το ταξίδι του ήταν πραγµατικό και οι παρατηρήσεις του αξιόλογες και σηµαντικές .

Page 65: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-64-

EΥΚΛΕΙ∆ΗΣEΥΚΛΕΙ∆ΗΣEΥΚΛΕΙ∆ΗΣEΥΚΛΕΙ∆ΗΣ Το όνοµα του Ευκλείδη είναι συνώνυµο µε την γεωµετρία . Τα «««« στοιχείαστοιχείαστοιχείαστοιχεία »»»» είναι ένα από τα πιο σηµαντικά έργα στην ιστορία των Μαθηµατικών . Έχουν χρησιµοποιηθεί σαν βάση για την γεωµετρική εκπαίδευση όλης της ∆ύσης για τα τελευταία 2000 χρόνια . ∆εν υπάρχουν πολλές αναφορές στη ζωή του Ευκλείδη . ∆εν ξέρουµε τις ακριβείς ηµεροµηνίες γέννησης και θανάτου του . Γεννήθηκε περίπου το 325 π.Χ. και πέθανε το 265 π.Χ . Αν και υπάρχουν αµφιβολίες λέγεται ότι µαθήτευσε στην ακαδηµία του Πλάτωνα και έµεινε εκεί µέχρις ότου ο Πτολεµαίος τον προσκάλεσε να διδάξει στο νέο του πανεπιστήµιο στην Αλεξάνδρεια . Εκεί ο Ευκλείδης ίδρυσε τη µαθηµατική σχολή του και έµεινε µέχρι το τέλος της ζωής του . Οι µέθοδοι διδασκαλίας του είχαν εµπνευστεί από αυτέςΟι µέθοδοι διδασκαλίας του είχαν εµπνευστεί από αυτέςΟι µέθοδοι διδασκαλίας του είχαν εµπνευστεί από αυτέςΟι µέθοδοι διδασκαλίας του είχαν εµπνευστεί από αυτές του Αρχιµήδητου Αρχιµήδητου Αρχιµήδητου Αρχιµήδη .... Είχε τη φήµη ότι ήταν δίκαιος , υποµονετικός , έντιµος και ευγενικός . Παρόλα αυτά ήταν και σαρκαστικός : Μια ιστορία λέει ότι ένας από τους σπουδαστές του παραπονέθηκε ότι δεν είχε κανένα κέρδος από τα µαθηµατικά που µάθαινε . Τότε ο Ευκλείδης κάλεσε γρήγορα στο σκλάβο του για να δώσει στο αγόρι ένα νόµισµα επειδή " έπρεπε να κερδίσει από αυτά που µαθαίνει " . Μια άλλη ιστορία λέει ότι ο Πτολεµαίος τον ρώτησε εάν υπάρχει κάποιος ευκολότερος τρόπος να µάθει γεωµετρία απ' ό,τι µε την εκµάθηση όλων των θεωρηµάτων . Ο Ευκλείδης απάντησε ότι « δεν υπάρχει βασιλικός δρόµος στη γεωµετρία » και έστειλε το βασιλιά στη µελέτη . Έργα του εκτός από τα στοιχείαΈργα του εκτός από τα στοιχείαΈργα του εκτός από τα στοιχείαΈργα του εκτός από τα στοιχεία :::: Άλλα έργα του εκτός από τα στοιχεία είναι τα «««« δεδοµέναδεδοµέναδεδοµέναδεδοµένα »»»» ,,,, τα «««« τµήµατα των τµήµατα των τµήµατα των τµήµατα των αριθµώναριθµώναριθµώναριθµών »,»,»,», τα «««« φαινόµεναφαινόµεναφαινόµεναφαινόµενα »»»» και τα «««« οπτικάοπτικάοπτικάοπτικά »»»» . Όλα είναι στα αρχαία Ελληνικά εκτός από τα « τµήµατα των αριθµών » που έχουν διατηρηθεί µόνο µέρη τους στα Αραβικά . Όλα έχουν την βασική δοµή των « στοιχείων » µε ορισµούς και αυστηρά αποδεδειγµένες προτάσεις. Τα « δεδοµένα » είναι άµεσα συσχετιζόµενα µε τα πρώτα τέσσερα βιβλία από τα στοιχεία καθώς αφορούν ορισµούς , αξιώµατα . Τα « τµήµατα των αριθµών » αποτελούνται από 36 προτάσεις – υποδείξεις για τον διαχωρισµό διάφορων σχηµάτων σε ένα ή δύο ίσα µέρη ή µε συγκεκριµένες αναλογίες . Τα φαινόµενα έχουν να κάνουν µε τα σφαιρικά σχήµατα και έχουν σα σκοπό να εξηγήσουν τις κινήσεις των πλανητών . Τα « οπτικά » είναι το πιο πρόσφατο διασωθείς . Στους ορισµούς του ακολουθεί την Πλατωνική παράδοση που λέει ότι η όραση προέρχεται από ιδιαίτερες ακτίνες που προέρχονται από το µάτι . Σχετίζει το µέγεθος των αντικειµένων µε την απόσταση και την γωνία θέασης .

Page 66: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-65-

Στα δεκατρία βιβλία των « Στοιχείων » ο Ευκλείδης παρουσιάζει όλη την στοιχειώδη Ελληνική γεωµετρική γνώση . Περιλαµβάνει θεωρήµατα και σύνταξη θεωρήµατα και σύνταξη θεωρήµατα και σύνταξη θεωρήµατα και σύνταξη της επίπεδης και στερεάς γεωµετρίαςτης επίπεδης και στερεάς γεωµετρίαςτης επίπεδης και στερεάς γεωµετρίαςτης επίπεδης και στερεάς γεωµετρίας , µαζί µε την θεωρία των αναλογιών, µαζί µε την θεωρία των αναλογιών, µαζί µε την θεωρία των αναλογιών, µαζί µε την θεωρία των αναλογιών , , , , συµµετριών, αριθµών και έναν τύπο γεωµετρικής άλγεβραςσυµµετριών, αριθµών και έναν τύπο γεωµετρικής άλγεβραςσυµµετριών, αριθµών και έναν τύπο γεωµετρικής άλγεβραςσυµµετριών, αριθµών και έναν τύπο γεωµετρικής άλγεβρας .... ∆εν ήταν ο µόνος που έγραψε στοιχεία γεωµετρίας . Υπήρχαν και άλλοι πριν από αυτόν όπως ο Ιπποκράτης από τη Χίο και άλλοι . Ωστόσο τα έργα του Ευκλείδη αναγνωρίστηκαν γρήγορα ως ανώτερα . ∆εν είναι γνωστό κατά πόσο όλα τα θεωρήµατα ήταν δικά του. Υπάρχουν επιρροές από τον ΘαλήΘαλήΘαλήΘαλή , τον Ιπποκράτη Ιπποκράτη Ιπποκράτη Ιπποκράτη και τον ΠυθαγόραΠυθαγόραΠυθαγόραΠυθαγόρα . Παρόλα αυτά η διαµόρφωση των στοιχείων είναι αποκλειστικά δική του . Κάθε τόµος απαριθµεί διάφορους ορισµούς και αξιώµατα που ακολουθούνται από τα θεωρήµατα , τα οποία ακολουθούνται από τις αποδείξεις . Κάθε δήλωση αποδείχθηκε , ανεξάρτητα αν είναι προφανής . Ο Ευκλείδης επέλεξε τα αξιώµατά του προσεκτικά , επιλέγοντας µόνο τις πιο βασικές και αυτονόητες προτάσεις ως βάση της εργασίας του . Πριν , οι άλλες σχολές είχαν ένα διαφορετικό σύνολο αξιωµάτων η κάθε µία . Μερικά από τα οποία ήταν πολύ αµφισβητήσιµα . Το έργο αυτό βοήθησε πολύ στο να τυποποιήσει τα Ελληνικά Μαθηµατικά . Όσον αφορά στο περιεχόµενο , κάλυψε την κλίµακα της αρχαίας σκέψης . Τα θέµατα περιλαµβάνουν: το πυθαγορικό θεώρηµα , αλγεβρικές ταυτότητες , κύκλοι , εφαπτοµένες , επίπεδη γεωµετρία , η θεωρία των αναλογιών , πρωταρχικοί αριθµοί , τέλειοι αριθµοί , ιδιότητες των θετικών ακέραιων αριθµών , των άρρητων αριθµών , των τρισδιάστατων αριθµών , των εγγραµµένων και περιγραµένων αριθµών , της κατασκευής των κανονικών στερεών κ.α. Ειδικά τα αξιοσηµείωτα θέµατα περιλαµβάνουν τη µέθοδο της απαγωγής σε άτοποµέθοδο της απαγωγής σε άτοποµέθοδο της απαγωγής σε άτοποµέθοδο της απαγωγής σε άτοπο , που χρησιµοποιήθηκαν από τον Αρχιµήδη στην εφεύρεση του ακέραιου εφεύρεση του ακέραιου εφεύρεση του ακέραιου εφεύρεση του ακέραιου υυυυπολογισµούπολογισµούπολογισµούπολογισµού , και της απόδειξης ότι το σύνολο όλων των πρωταρχικών αριθµών είναι άπειρο . " Τα στοιχεία " µεταφράστηκαν και σε Λατινικά και σε Αραβικά και αυτή είναι η πρώτη εργασία για να επιζήσουν , από τις καταστροφές που έγιναν αργότερα , όπως η καταστροφή της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας . Επειδή ήταν µακράν ανώτερο από οτιδήποτε προηγούµενο . Το πρώτο τυπωµένο αντίγραφο βγήκε το 1482 και ήταν το εγχειρίδιο γεωµετρίας τα λογικά θεµέλια από το 1700 . Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου ο Ευκλείδης ιδιαίτερα σεβαστός και τα « στοιχεία » θεωρήθηκαν µια από τις καλύτερες µαθηµατικές εργασίες όλων των χρόνων . Στα στοιχεία , υπάρχουν ελλιπείς περιοχές που συµπλήρωσαν οι επόµενοι µαθηµατικοί . Επιπλέον έχουν βρεθεί κάποιες αµφισβητήσιµες ιδέες . Οι πιο γνωστή είναι αυτά στο πέµπτο αξίωµα του , επίσης γνωστό ως παράλληλο αξίωµα .

Page 67: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-66-

Η πρόταση δηλώνει ότι για µια ευθεία γραµµή και ένα σηµείο έξω από τη γραµµή , υπάρχει µόνο µια γραµµή που περνά µέσω του σηµείου παράλληλη στην αρχική γραµµή . Ο Ευκλείδης δεν µπόρεσε να αποδείξει αυτήν την δήλωση και επειδή το χρειαζόταν για τις περαιτέρω αποδείξεις του , το υπέθεσε σαν αληθινό . Οι µελλοντικοί µαθηµατικοί δεν µπορούσαν να δεχτούν ότι µια τέτοια δήλωση δεν έχει αποδειχθεί και ξόδεψαν πολλά χρόνια ψάχνοντας την απόδειξη η οποία όµως δεν έχει βρεθεί µέχρι σήµερα . Εντούτοις , παρά αυτά τα προβλήµατα , ο Ευκλείδης κρατά τη διάκριση ως ένα από τα πρώτα πρόσωπα που προσπάθησαν να τυποποιήσουν τα µαθηµατικά και τα καθορίσουν επάνω σε ένα ίδρυµα των αποδείξεων . Η εργασία του ενέργησε ως αφετηρία για τις µελλοντικές γενεές .

Page 68: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-67-

ΑΡΙΣΤΑΡΧΟΣ ΑΡΙΣΤΑΡΧΟΣ ΑΡΙΣΤΑΡΧΟΣ ΑΡΙΣΤΑΡΧΟΣ ΟΟΟΟ ΣΑΜΙΟΣΣΑΜΙΟΣΣΑΜΙΟΣΣΑΜΙΟΣ

Ο 'Αρίσταρχος ο Σάµιος' (310 π.Χ. - περίπου 230 π.Χ.) ήταν Έλληνας αστρονόµος και µαθηµατικός , που γεννήθηκε στη Σάµο . Είναι ο πρώτος καταγεγραµµένος άνθρωπος ο οποίος πρότεινε ηλιοκεντρικό µοντέλο του Ηλιακού Συστήµατος, θέτοντας τον Ήλιο και όχι τη Γη, στο κέντρο του γνωστού Σύµπαντος (για το λόγο αυτό είναι συχνά γνωστός ως ο " Έλληνας Κοπέρνικος ") . Οι ιδέες του περί Αστρονοµίας δεν είχαν γίνει αρχικά αποδεκτές και θεωρήθηκαν κατώτερες από εκείνες του Αριστοτέλη και του Πτολεµαίου , έως ότου αναγεννήθηκαν επιτυχώς και αναπτύχθηκαν από τον Κοπέρνικο περίπου 2000 χρόνια µετά .

• Πρωτοπόρος µαθηµατικός και αστρονόµος έγινε γνωστός µε την ανακάλυψη και προβολή του ΗλιοκεντρισµούΗλιοκεντρισµούΗλιοκεντρισµούΗλιοκεντρισµού. Έζησε στην Αθήνα και σπούδασε στην περιπατητική σχολή του Αριστοτέλη , και αργότερα στην Αλεξάνδρεια . Αναφέρεται ότι περί το 280 π.Χ. µελέτησε το θερινό ηλιοστάσιο στην Αθήνα (Πτολεµαίος) .

Την Ηλιοκεντρική του θεωρία δεν γνωρίζουµε πως την ανακάλυψε αφού είναι αντίθετη προς τα φαινόµενα, ούτε σε πιο σύγγραµµά του την διατύπωσε . Μαρτυρείται όµως ότι γι' αυτήν καταδικάστηκε " επί ασεβεία " στην Αθήνα και έτσι αναγκάστηκε να φύγει στην Αλεξάνδρεια . Πριν από τον Αρίσταρχο πάντως είχε αµφισβητήσει τη Γη ως κέντρο ο Φιλόλαος , ο οποίος την είχε τοποθετήσει µαζί µε την Αντι-γη (Αντίχθων) να περιφέρεται γύρω από κάποιο πυρ . Η θεωρία του αυτή, της οποίας δεν σώθηκε απόδειξη , έλεγε ότι: " Η γη στρέφεται γύρω από τον άξονά της και γύρω από τον ακίνητο ήλιο , µαζί µε τους πλανήτες , µέσα στην Απέραντη σφαίρα των απλανών " (Πλούταρχος , Αρχιµήδης) .

Από τα έργα του Αρίσταρχου σώζεται µόνο µια µικρή πραγµατεία µε αστρονοµικούς υπολογισµούς και τον τίτλο """" Περί µεγεθών και αποστηµάτων Ηλίου και ΣελήνηςΠερί µεγεθών και αποστηµάτων Ηλίου και ΣελήνηςΠερί µεγεθών και αποστηµάτων Ηλίου και ΣελήνηςΠερί µεγεθών και αποστηµάτων Ηλίου και Σελήνης """" . Αυτή αναφέρεται στον Γεωκεντρισµό και µε κάποιες παραδοχές διδάσκει µεθόδους υπολογισµού των πιο πάνω αποστάσεων . Σηµαντική παρουσία στο έργο είναι το για πρώτη φορά εµφανιζόµενο ανισοτικόανισοτικόανισοτικόανισοτικό (τριγωνοµετρικό) θεώρηµα , µε τη βοήθεια της οποίας υπολογίζονται ανισοτικά οι λόγοι των προβληµάτων , που ο ίδιος θέτει . Το έργο αυτό σώθηκε , γιατί µαζί µε άλλα και υπό τον τίτλο " Μικρός Αστρονοµούµενος " εκδίδονταν και χρησιµοποιούνταν ως εισαγωγική γνώση για την κατανόηση της " Μαθηµατικής Σύνταξης " του Πτολεµαίου (Πάππος) .

Page 69: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-68-

ΗλιοκεντρισµόςΗλιοκεντρισµόςΗλιοκεντρισµόςΗλιοκεντρισµός : Η µοναδική εργασία του Αρίσταρχου η οποία έχει διασωθεί µέχρι σήµερα, « Περί µεγεθών και αποστηµάτων Ηλίου και Σελήνης » (Περί των µεγεθών και αποστάσεων του Ήλιου και της Σελήνης) , βασίζεται σε γεωκεντρικό µοντέλο . Παρόλα αυτά , γνωρίζουµε από διάφορες παραποµπές ότι ο Αρίσταρχος είχε γράψει ένα άλλο βιβλίο στο οποίο πρότεινε την εναλλακτική υπόθεση του ηλιοκεντρικού µοντέλου . Ο Αρχιµήδης έγραψε: « Συ βασιλιά Γέλων γνωρίζεις ότι ο κόσµος είναι το όνο?α που δίνουν οι περισσότεροι αστρονόµοι σε µία σφαίρα , που στο κέντρο της βρίσκεται η Γη και ότι η ακτίνα της σφαίρας αυτής είναι ίση προς την απόσταση µεταξύ του Ήλιου και της Γης . Αυτή είναι η εξήγηση την οποία δίνουν οι αστρονόµοι . Αλλά ο Αρίσταρχος έγραψε ένα βιβλίο , που περιέχει ορισµένες προτάσεις , από τις οποίες συµπεραίνεται ότι ο πραγµατικός κόσµος είναι πολύ µεγαλύτερος . Πιστεύεται ότι οι απλανείς αστέρες και ο Ήλιος είναι ακίνητοι , ότι η Γη κινείται γύρω από τον Ήλιο σε κυκλική τροχιά, που στο κέντρο της βρίσκεται ο Ήλιος . Ακόµη ότι η σφαίρα των απλανών αστέρων , που βρίσκεται στο ίδιο µε τον Ήλιο κέντρο , είναι τόσο µεγάλη , ώστε ο κύκλος γύρω από τον οποίο περιστρέφεται η Γη απέχει από τους απλανείς αστέρες , όσο απέχει το κέντρο µιας σφαίρας από την επιφάνεια της ... Ο Αρίσταρχος δηλαδή εννοεί το εξής : αφού πιστεύουµε ότι η Γη είναι , ας πούµε , το κέντρο του κόσµου , η σχέση της Γης προς εκείνο που ονοµάζουµε « κόσµο » είναι ίση προς τη σχέση της σφαίρας , που περιέχει τον κύκλο πάνω στον οποίο διατείνεται ότι περιστρέφεται η Γη , προς τη σφαίρα των απλανών αστέρων . » Ως εκ τούτου , ο Αρίσταρχος πίστευε ότι τα αστέρια βρίσκονται σε άπειρη απόσταση, και αυτό το θεωρούσε ως εξήγηση για την απουσία ορατής παράλλαξης , δηλαδή της παρατηρούµενης κίνησης των αστέρων καθώς η Γη κινείται γύρω από τον Ήλιο . Στην πραγµατικότητα τα αστέρια βρίσκονται πολύ πιο µακριά από όσο είχε υποτεθεί στην αρχαιότητα , το οποίο ερµηνεύει το γεγονός ότι η αστρική παράλλαξη είναι ανιχνεύσιµη µόνο µε τηλεσκόπια . Αλλά είχε υποτεθεί ότι το γεωκεντρικό µοντέλο ήταν µια απλούστερη και καλύτερη εξήγηση για την έλλειψη παράλλαξης . Ο Αρίσταρχος υπέθετε ότι ο ουρανός παραµένει ακίνητος και η Γη γυρίζει πάνω σε ένα επικλινή κύκλο, ενώ ταυτόχρονα περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της . Μέγεθος της ΣελήνηςΜέγεθος της ΣελήνηςΜέγεθος της ΣελήνηςΜέγεθος της Σελήνης Ο Αρίσταρχος παρατήρησε την κίνηση της Σελήνης διαµέσου της σκιάς της Γης κατά τη διάρκεια µιας έκλειψης Σελήνης . Εκτίµησε ότι η διάµετρος της Γης ήταν 3 φορές µεγαλύτερη από τη διάµετρο της Σελήνης . Χρησιµοποιώντας τον υπολογισµό του Ερατοσθένους ότι η περιφέρεια της Γης ήταν 42.000 χλµ. , συµπέρανε ότι η Σελήνη έχει περιφέρεια ίση µε 14.000 χλµ . Σήµερα, είναι γνωστό ότι η Σελήνη έχει περιφέρεια περίπου ίση µε 10.916 χλµ .

Page 70: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-69-

Απόσταση και Απόσταση και Απόσταση και Απόσταση και µέγεθος του Ήλιουµέγεθος του Ήλιουµέγεθος του Ήλιουµέγεθος του Ήλιου Μελέτη του Αρίσταρχου περί µεγέθους της γης, του ήλιου και της σελήνης (αντίγραφο του 10ου αι.) . Ο Αρίσταρχος παρατήρησε / υποστήριζε ότι ο Ήλιος , η Σελήνη και η Γη σχηµατίζουν σχεδόν µια ορθή γωνία τη στιγµή του πρώτου ή του τελευταίου τετάρτου της Σελήνης . Εκτίµησε ότι η γωνία ήταν 87° . Χρησιµοποιώντας σωστά τη Γεωµετρία , αλλά µε λανθασµένα στοιχεία παρατήρησης , ο Αρίσταρχος συµπέρανε ότι ο Ήλιος ήταν 20 φορές πιο µακριά από ό,τι η Σελήνη . Στην πραγµατικότητα ο Ήλιος είναι περίπου 390 φορές πιο µακριά . Εντόπισε ότι η Σελήνη και ο Ήλιος έχουν σχεδόν το ίδιο φαινόµενο µέγεθος από τη Γη και συµπέρανε ότι οι διάµετροί τους θα είναι ανάλογοι µε την απόστασή τους από τη Γη . Έτσι κατέληξε στο συµπέρασµα ότι ο Ήλιος είχε 20 φορές µεγαλύτερη διάµετρο από τη Σελήνη , κάτι που είναι υπολογιστικά λογικό και σωστό , αλλά επίσης λάθος (αφού στηρίζεται σε λάθος δεδοµένα) . Η εκτίµησή του όµως αυτή υποδεικνύει ότι ο Ήλιος είναι ξεκάθαρα µεγαλύτερος από τη Γη , κάτι που υποστηρίζει το ηλιοκεντρικό µοντέλο .

Page 71: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-70-

ΑΡΧΙΜΗ∆ΗΣ ΑΡΧΙΜΗ∆ΗΣ ΑΡΧΙΜΗ∆ΗΣ ΑΡΧΙΜΗ∆ΗΣ ΟΟΟΟ ΣΥΡΑΚΟΥΣΙΟΣ ΣΥΡΑΚΟΥΣΙΟΣ ΣΥΡΑΚΟΥΣΙΟΣ ΣΥΡΑΚΟΥΣΙΟΣ Ο Αρχιµήδης (287 π.Χ.-212 π.Χ.) ήταν ένας από τους µεγαλύτερους µαθηµατικούς , φυσικούς και µηχανικούς της αρχαιότητας . Γεννήθηκε , έζησε και πέθανε στις Συρακούσες , τη µεγάλη ελληνική αποικία της Σικελίας . Πατέρας του Αρχιµήδη ήταν ο αστρονόµος Φειδίας , ενώ συγγενής του ήταν και ο βασιλιάς των Συρακουσών, Ιέρων Α΄ . Παρ' όλο που καταγόταν από ευγενική γενιά , ο Αρχιµήδης αρνήθηκε να πάρει οποιοδήποτε αξίωµα , επιµένοντας να διαθέτει όλο του τον χρόνο στη σπουδή και τη µάθηση . Γι' αυτόν τον λόγο ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή µε τους Ερατοσθένη και ∆οσίθεο , ενώ ήταν φίλος και συµµαθητής του Κόνωνα του Σάµιου . Το έργο του Αρχιµήδη υπήρξε τεράστιο , τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά , και η ερευνητική µατιά του κάλυψε πολλούς τοµείς γεωµετρία , οπτική (κατοπτρική) , υδραυλική , µηχανική , αρχιτεκτονική και την πολιορκητική . Συνέδεσε το όνοµά του µε τη γένεση της µηχανικής στην αρχαία Ελλάδα , τη λύση περίφηµων µαθηµατικών προβληµάτων , καθώς και µε τις αµυντικές εφευρέσεις του που χρησιµοποιήθηκαν όταν οι Ρωµαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του , τις Συρακούσες. Ο Αρχιµήδης έγραψε τα πρώτα βιβλία για την επίπεδη γεωµετρία και στερεοµετρία, την αριθµητική και τα µαθηµατικά . Επίσης ανακάλυψε την αρχή του ειδικού βάρους και του µοχλού . Μία µέρα ο βασιλιάς παρήγγειλε στο µεγαλύτερο καλλιτέχνη των Συρακουσών να του φτιάξει µία κορώνα από καθαρό χρυσάφι . Όταν ο βασιλιάς πήρε την κορώνα , άρχισαν να διαδίδονται φήµες πως ο καλλιτέχνης τον είχε κοροϊδέψει, παίρνοντας ένα µέρος από το χρυσάφι και αντικαθιστώντας το µε άλλο µέταλλο . Ωστόσο, η τελειωµένη κορώνα είχε το ίδιο βάρος µε το χρυσάφι του βασιλιά . Ο βασιλιάς κάλεσε τότε τον Αρχιµήδη να εξετάσει το ζήτηµα . Στα πειράµατά του , ο Αρχιµήδης βρήκε τον νόµο του ειδικού βάρους . Ανακάλυψε πως όταν ένα στερεό σώµα µπει µέσα σε υγρό χάνει τόσο βάρος όσο είναι το βάρος του όγκου του νερού που εκτοπίζει . Ο Αρχιµήδης επινόησε το σύστηµα να παίρνει το ειδικό βάρος των στερεών σωµάτων. Ζύγιζε πρώτα το στερεό στον αέρα και έπειτα το ζύγιζε µέσα στο νερό . Και αφού το στερεό ζύγιζε λιγότερο µέσα στο νερό , αφαιρούσε το βάρος που είχε µέσα στο νερό από το βάρος που είχε στον αέρα . Τέλος , διαιρούσε το βάρος του στερεού σώµατος στον αέρα µε την απώλεια βάρους που είχε το σώµα µέσα στο νερό . Έµαθε έτσι , πως ένας δοσµένος όγκος από χρυσάφι ζυγίζει 19,3 φορές τον ίσο όγκο νερού .

Page 72: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-71-

Όµως, καθώς δεν µπόρεσε να προχωρήσει περισσότερο στο πρόβληµα της βασιλικής κορώνας , ο Αρχιµήδης σηκώθηκε να πάει στα λουτρά για να ξεκουραστεί . Εκεί βρήκε τη λύση . Μέσα στον ενθουσιασµό του βγήκε από το λουτρό γυµνός στο δρόµο φωνάζοντας « Εύρηκα! Εύρηκα! ». O Αρχιµήδης γύρισε στο σπίτι του , ζύγισε την κορώνα στον αέρα και ύστερα τη ζύγισε µέσα στο νερό . Με τη µέθοδο αυτή βρήκε το ειδικό βάρος της κορώνας . Το ειδικό βάρος της δεν ήταν 19,3. ∆εν µπορούσε, λοιπόν, η κορώνα να είναι από καθαρό χρυσάφι . Ο Αρχιµήδης απέδειξε πως ο καλλιτέχνης ήταν απατεώνας . Η αποκάλυψη ενός απατεώνα ήταν πολύ µικρή εξυπηρέτηση σε σύγκριση µε εκείνες που θα προσέφερε αργότερα ο Αρχιµήδης στο βασιλιά του . Όταν άρχισαν να κυκλοφορούν στις Συρακούσες φήµες πως οι Ρωµαίοι βάδιζαν εναντίον τους , ο Αρχιµήδης εξακολουθούσε τις µελέτες και τις εφευρέσεις . Σ' αυτήν την περίοδο και στο χώρο της εφαρµοσµένης µηχανικής , ο Αρχιµήδης επινόησε ιδιοφυείς µηχανές κάθε είδους . Εφηύρε τον ρωµαϊκό ζυγό (καντάρι) , το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρµονα κοχλία (έλιξ του Αρχιµήδους) , που ήταν ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίµευε για την άντληση νερού. Επίσης κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε µε µεγάλη ακρίβεια τις ώρες και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας . Όταν άρχισε η πολιορκία των Συρακουσών από τους Ρωµαίους , οι πολεµικές µηχανές του Αρχιµήδη αποδείχτηκαν εξαιρετικά χρήσιµες αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατµού) , καταπέλτες , άρπαγες (µηχανισµός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωµαϊκών εχθρικών πλοίων (µε παραβολικά ηλιακά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράµατα του µηχανικού Ιωάννη Σακκά , ο οποίος το 1973 απέδειξε τον τρόπο µε τον οποίο ο Αρχιµήδης έκαψε τον ρωµαϊκό στόλο) . Ωστόσο οι Ρωµαίοι όλο και πλησίαζαν . Ο Αρχιµήδης µισούσε τους εισβολείς αλλά δεν τους φοβότανε . Σύµφωνα µε την παράδοση , όταν η πόλη µετά από τριετή αντίσταση των Ελλήνων , κατελήφθη µε προδοσία, ένας Ρωµαίος στρατιώτης µπήκε µέσα στο σπίτι του Αρχιµήδη την ώρα που µελετούσε κάποιο γεωµετρικό πρόβληµα . Ο Αρχιµήδης είπε στον στρατιώτη να βγει έξω και να µη διαταράξει τη σκέψη του , λέγοντάς το περίφηµο « Μη µου τους κύκλους τάραττεΜη µου τους κύκλους τάραττεΜη µου τους κύκλους τάραττεΜη µου τους κύκλους τάραττε » . Όµως ο στρατιώτης έβγαλε το σπαθί του και τον σκότωσε . Ο Αρχιµήδης αγαπούσε τόσο πολύ την εργασία του « Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου » ώστε είπε ότι θα ήθελε όταν πεθάνει να χαραχτεί στον τάφο του το σχήµα µιας σφαίρας εγγεγραµµένης σε κύλινδρο . Ο κατακτητής Μάρκελλος είχε αναπτύξει τέτοιο θαυµασµό και εκτίµηση για τον Αρχιµήδη ως αντίπαλο , ώστε όταν έµαθε πως σκοτώθηκε , τον έθαψε µε µεγάλη µεγαλοπρέπεια και τελετές και έστησε στον τάφο του µια πέτρινη στήλη πάνω στην οποία ήταν σκαλισµένο το σχήµα που είχε ζητήσει ο Αρχιµήδης .

Page 73: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-72-

Πολλά χρόνια αργότερα , όταν ο Κικέρωνας επισκέφτηκε τις Συρακούσες σαν Ρωµαίος έφορος , κανείς δεν ήξερε να τον οδηγήσει στον τάφο του Αρχιµήδη . Μετά από πολλές έρευνες βρήκε την ταφόπετρα ανάµεσα σε ψηλούς βάτους και ξανάφτιαξε το έδαφος γύρω από τον τάφο . Με το πέρασµα του χρόνου όµως , ο τάφος παραµελήθηκε και όλα έδειχναν ότι µε την αύξηση της πόλης ο τάφος θα χανόταν οριστικά . Όµως το 1965 , σκάβοντας για τη θεµελίωση ενός νέου ξενοδοχείου στις Συρακούσες , ένας εκσκαφέας σήκωσε µία ταφόπετρα µε σκαλισµένο πάνω της το σχήµα µιας σφαίρας εγγεγραµµένης σε κύλινδρο σκαλισµένο . Έτσι ανακαλύφτηκε ο τάφος του Αρχιµήδη . Ο Αρχιµήδης επηρέασε σε µεγάλο βαθµό την ευρωπαϊκή επιστηµονική σκέψη , καθώς και τους Άραβες επιστήµονες , οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα Αραβικά , γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά , αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί . ∆ιασωθέντα συγγράµµατα∆ιασωθέντα συγγράµµατα∆ιασωθέντα συγγράµµατα∆ιασωθέντα συγγράµµατα : : : : Στα Βικιφθέγµατα υπάρχει υλικό σχετικό µε το άρθρο ΑρχιµήδηςΠερί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α' και β' .

• Κύκλου µέτρησις Σώζονται τρία θεωρήµατα .

• Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήµατα , 1 πόρισµα)

• Περί ελίκων (28 θεωρήµατα , 6 πορίσµατα)

• Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά Βιβλία α' και β' .

• Βιβλίο ληµµάτων

• Πρόβληµα Βοεικόν

• Κατασκευή πλευράς του περιγραφοµένου εις κύκλο επταγώνου

• Ωρολόγιον Αρχιµήδους (Σώζεται στα Αραβικά)

• Περί κύκλων εφαπτοµένων αλλήλων

• Αρχαί της Γεωµετρίας

• Ψαµµίτης

• Τετραγωνισµός παραβολής Πρόσφατα (2006) διαβάστηκαν από το Παλίµψηστο του Αρχιµήδη αποσπάσµατα από τα έργα που διασώθηκαν σε αυτό

• Οστοµάχιον

• Περί µηχανικών θεωρηµάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=µέθοδος)

• Περί των επιπλεόντων σωµάτων

• Οχουµένων (Υδροστατική επιπλεόντων σωµάτων)

Page 74: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-73-

Συγγράµµατα µη διασωθέντα (ή συγράµµατα µη αποκαλυφθέντα µέχρι σήµερα)

Αριθµητικά Βαρουλκός , Υδροσκοπίαι , Πνευµατική Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης) Περί τριγώνων Περί τετραπλεύρου Περί ζευγών Περί 13 ηµικανονικών πολυέδρων Ισοπεριµετικά Ισορροπίαι Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραµα στο Ν.Σ.) Περί Αρχιτεκτονικής Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόµετρα - Αραιόµετρα) Περί δροµοµέτρων (Οδόµετρα πλοίων) Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικά Κατοπρικά Περί παραλλήλων γραµµών Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρων Προοπτική Στοιχεία µηχανικών Πλινθίδες και Κύλινδροι Στοιχεία επί των στηρίξεων Σφαιροποιΐα

ΕφευρέσειςΕφευρέσειςΕφευρέσειςΕφευρέσεις o Αστρονοµική συσκευή o Βαρουλκός o Γερανοί (Αρπάγες) o Καταπέλτες o Κάτοπτρα o Κοχλίας ή έλιξ o Οδόµετρο (δροµόµετρο) o Πλανητάριον (σφαίρα) o Πολύσπαστον (Βαρούλκο), τρίσπαστο o Σίφων o Οστοµάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ) o Τηλεβόλον Αρχιµήδους o Χαριστίων (µοχλός) o Ωρολόγιο υδραυλικό

Page 75: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-74-

ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΣ ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΣ ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΣ ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΣ Ο Ο Ο Ο ΚΥΡΗΝΑΙΟΣΚΥΡΗΝΑΙΟΣΚΥΡΗΝΑΙΟΣΚΥΡΗΝΑΙΟΣ 'Eζησε στο διάστηµα (276-194 π.Χ.) Μαθηµατικός , Φυσικός , Γεωγράφος , Αστρονόµος , Ιστορικός και Φιλόλογος . Αν και ο Ερατοσθένης γεννήθηκε στην Κυρήνη (στη σηµερινή Λιβύη) , σπούδασε και αργότερα δίδαξε στην Αλεξάνδρεια , στο περίφηµο Μουσείο της . Από το 235 π.Χ. και επί 40 χρόνια διετέλεσε διευθυντής της περίφηµης βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας. Επιστήθιος φίλος του Αρχιµήδη διατηρούσε επαφή µαζί του και συµµετείχε στα γεωµετρικά ζητούµενα της εποχής του . Από τα ποικίλα έργα του δεν σώθηκε κανένα εκτός από λίγους τίτλους , όπως:

• """" ΧρονογραφίαιΧρονογραφίαιΧρονογραφίαιΧρονογραφίαι """" (9 βιβλία): Χρονολογική ταξινόµηση ανθρώπων και γεγονότων .

• """" ΓεωγραφικάΓεωγραφικάΓεωγραφικάΓεωγραφικά """" (3 βιβλία): Η Μαθηµατική γεωγραφία και η ιστορία της . • """" Περί της Αρχαίας κωµωδίαςΠερί της Αρχαίας κωµωδίαςΠερί της Αρχαίας κωµωδίαςΠερί της Αρχαίας κωµωδίας """" : Κριτική , ιστορία και χρονολόγηση . • """" ΚαταστερισµοίΚαταστερισµοίΚαταστερισµοίΚαταστερισµοί """" : Μελέτη των αστερισµών . • """" Περί ΜεσοτήτωνΠερί ΜεσοτήτωνΠερί ΜεσοτήτωνΠερί Μεσοτήτων """" : Μελέτη της Αριθµητικής Γεωµετρικής και Αρµονικής αναλογίας .

• Επινόησε και κατασκεύασε το περίφηµο όργανο """" ΜεσολάβιονΜεσολάβιονΜεσολάβιονΜεσολάβιον """" , µε τη βοήθεια του οποίου έλυε το ∆ήλιο πρόβληµα∆ήλιο πρόβληµα∆ήλιο πρόβληµα∆ήλιο πρόβληµα (διπλασιασµό του κύβου) , και ταυτόχρονα µπορούσε να παρεµβάλει ανάµεσα σε δύο δοσµένα ευθύγραµµα τµήµατα δύο µέσες αναλόγους , σε συνεχή αναλογία .

• Κατασκεύασε τον πρώτο παγκόσµιπαγκόσµιπαγκόσµιπαγκόσµιο µαθηµατικό χάρτηο µαθηµατικό χάρτηο µαθηµατικό χάρτηο µαθηµατικό χάρτη της τότε οικουµένης , την οποία σχεδίασε πάνω σε ένα πλέγµα καθέτων ευθειών (µεσηµβρινών και παραλλήλων κύκλων) .

• Αναφέρεται από τον Κλεοµήδη στο « Περί της κυκλικής κινήσεως των

ουρανίων σωµάτων » ότι γύρω στο 240 π.Χ. υπολόγισε την περιφέρεια της Γης

χρησιµοποιώντας το ύψος του Ηλίου κατά την εαρινή ισηµερία σε δύο

διαφορετικά γεωγραφικά σηµεία , που όµως βρίσκονταν στον ίδιο (περίπου)

µεσηµβρινό: κοντά στην Αλεξάνδρεια και στη νήσο Ελεφαντίνη και κοντά στη

Συήνη (σηµερινό Ασουάν, Αίγυπτος) . Ο Ερατοσθένης υπολόγισε την

περιφέρεια της Γης σε 252.000 στάδια . ∆εν ξέρουµε όµως την ακρίβεια της

µέτρησης , καθώς δεν ξέρουµε ποιο είδος σταδίου χρησιµοποίησε . Αν

χρησιµοποίησε το αττικό στάδιο (184,98 µέτρα) τότε υπολόγισε την περιφέρεια

σε 46.615 χιλιόµετρα . Αν χρησιµοποίησε το οδοιπορικό στάδιο (157,50 µέτρα)

τότε την υπολόγισε σε 39.690 χιλιόµετρα που είναι αρκετά καλός

υπολογισµός, µε δεδοµένο ότι σήµερα υπολογίζεται σε 40.007,86 χιλιόµετρα.

Page 76: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-75-

ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ ΟΟΟΟ ΠΕΡΓΑΙΟΣΠΕΡΓΑΙΟΣΠΕΡΓΑΙΟΣΠΕΡΓΑΙΟΣ Έζησε, κατά πάσα πιθανότητα, στο διάστηµα (265-170

π.Χ.) . • Μεγάλος µελετητής της γεωµετρίας έζησε, σπούδασε και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια. Καθηγητής του Μουσείου της πόλης του, θεωρείται σαν ο τρίτος µεγαλύτερος Μαθηµατικός µετά τον Αρχιµήδη και τον Ευκλείδη .

• Ο Απολλώνιος αν και κορυφαίος µελετητής του Μουσείου, αναφέρεται ως µαταιόδοξος και υπερόπτης. Από το πλήθος των έργων του ελάχιστα σεβάστηκε ο χρόνος µε κορυφαίο από αυτά τα """" ΚωνικάΚωνικάΚωνικάΚωνικά """" του .

Ενδεικτικός είναι ο κατάλογος των έργων του, που µνηµονεύτηκαν. Έργα του :

ΣώθηκανΣώθηκανΣώθηκανΣώθηκαν ΧάθηκανΧάθηκανΧάθηκανΧάθηκαν

Κωνικά (8 βιβλία) Περί χωρίου αποτοµής (2 βιβλία)

Περί λόγου αποτοµής (2 βιβλία) Περί επαφών (2 βιβλία)

Κατασκευή δύο µέσων αναλόγων Περί νεύσεων (2 βιβλία)

Σύγκριση 12/εδρου και 20/εδρου Επίπεδοι τόποι (2 βιβλία)

κωνικό ηλιακό ωρολόγιοκωνικό ηλιακό ωρολόγιοκωνικό ηλιακό ωρολόγιοκωνικό ηλιακό ωρολόγιο

Περί ατάκτων αλόγων

Ωκυτόκιο

Περί κοχλίου ή ελίκων

Η καθόλου πραγµατεία

Page 77: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-76-

Περί του πυρίου

Περί της κατασκευής υδραυλικού αρµονίου

Αστρονοµικό σύγγραµµα αγνώστου τίτλου

Θεωρία αριθµών

Περί λογιστικών

Αναλυόµενος τόπος

Κατασκευές ωρολογίων

Οπτική

∆ιωρισµένη τοµή

Τα Κωνικά είχαν διαιρεθεί σε οχτώ βιβλία , από τα οποία διασώζονται επτά , τα τέσσερα πρώτα στην ελληνική γλώσσα και τα τρία επόµενα σε αραβική µετάφραση (το όγδοο χάθηκε) . Τις κωνικές τοµέςκωνικές τοµέςκωνικές τοµέςκωνικές τοµές πρώτοι µελέτησαν οι Πυθαγόρειοι , σε συνέχεια η Ακαδηµία του Πλάτωνος και τέλος ο Ευκλείδης . Ο Απολλώνιος ανέπτυξε σηµαντικά την επιστηµονική έρευνα και ανακάλυψε πολλά νέα θεωρήµατα των κωνικών τοµών. Μεγάλη εκτίµηση για τον Απολλώνιο τρέφουν οι Γερµανοί κυρίως µαθηµατικοί , οι οποίοι τον θεωρούν θεµελιωτή της αναλυτικής και της προβολικής γεωµετρίας . Αλλά και στην αστρονοµία είχε κάνει σπουδαίες έρευνες ο Απολλώνιος . ∆εν µπορούµε όµως να καθορίσουµε τις έρευνες αυτές, γιατί από τα αστρονοµικά του συγγράµµατα δε διασώζεται τίποτε . Το έργο του Απολλώνιου ήταν µεγάλο , από αυτό διασώζονται: α)α)α)α) 7 7 7 7 Κωνικά βιβλία Κωνικά βιβλία Κωνικά βιβλία Κωνικά βιβλία β) Το θεώρηµαβ) Το θεώρηµαβ) Το θεώρηµαβ) Το θεώρηµα Ο κύκλος του Απολλώνιου , διασώθηκε από τους σχολιαστές του . Πολλά από τα θεωρήµατα που περιλαµβάνονται στα Κωνικά είναι , βέβαια , γνωστά στον Ευκλείδη , αλλά τα πιο πολλά έχουν διατυπωθεί για πρώτη φορά από τον Απολλώνιο .

Page 78: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-77-

Στην Αστρονοµία ο σοφός µας υπήρξε ο εισηγητής του γεωκεντρικού συστήµατος των " εκκέντρων κύκλων και επικύκλων " , για την ερµηνεία των κινήσεων του ουρανού κατά τρόπο σύµφωνο προς τις παρατηρήσεις . Το ∆ήλιο πρόβληµα αποτέλεσε αντικείµενο µελέτης του , το οποίο και το έλυσε µε τη βοήθεια της τοµής ενός κύκλου και µιας υπερβολής . Επίσης διατύπωσε σπουδαία θεωρήµατα κυρίως περί των κωνικών τοµών και ήταν ο πρώτος µαθηµατικός που χρησιµοποίησε τους όρους « κατηγµένη » ( σήµερα λέγεται τεταγµένη ) και « άξονας συντεταγµένων » . Έθεσε τις βάσεις της Αναλυτικής Γεωµετρίας γράφοντας σπουδαίες µαθηµατικές πραγµατείες από τις οποίες δυστυχώς µόνο µια σώθηκε κι αυτή όχι πλήρης φέρει δε τον τίτλο « κωνικάκωνικάκωνικάκωνικά » .

Page 79: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-78-

ΝΙΚΟΜΗ∆ΗΣ ΝΙΚΟΜΗ∆ΗΣ ΝΙΚΟΜΗ∆ΗΣ ΝΙΚΟΜΗ∆ΗΣ

'Aκµασε γύρω στο 200 π.Χ. Μαθηµατικός , αγνώστου καταγωγής ,

έγινε γνωστός από τις αναφορές του ΠάππουΠάππουΠάππουΠάππου και του ΠρόκλουΠρόκλουΠρόκλουΠρόκλου , από τις οποίες συνάγουµε ότι εκείνος ανακάλυψε την περίφηµη ΚογχοειδήΚογχοειδήΚογχοειδήΚογχοειδή (ή Κοχλοειδή) καµπύλη µε τη βοήθεια της οποίας έλυσε και το ∆ήλιο πρόβληµα∆ήλιο πρόβληµα∆ήλιο πρόβληµα∆ήλιο πρόβληµα και την ΤριχοτόµησηΤριχοτόµησηΤριχοτόµησηΤριχοτόµηση γωνίας . Για την χάραξη της καµπύλης ο Νικοµήδης ανακάλυψε και σχετικό όργανο , µε τη

βοήθεια του οποίου την σχεδίαζε µε συνεχή κίνηση (Ευτόκιος) .

Η Κογχοειδής καµπύληΗ Κογχοειδής καµπύληΗ Κογχοειδής καµπύληΗ Κογχοειδής καµπύλη

Έστω σταθερή ευθεία (ε) (βάση) σταθερό σηµείο Π (Πόλος) , εκτός της (ε) και σταθερό µήκος µ (διάστηµα) . Φέρουµε από το Π το σύνολο των ευθειών, που τέµνουν την (ε) σ' ένα σηµείο Β, και επάνω τους λαµβάνουµε τµήµατα ΒΝ= ΒΜ εκατέρωθεν της (ε) . Ο γεωµετρικός τόπος των Μ και Ν είναι οι δύο κλάδοι της Κογχοειδούς . Με τη βοήθεια της καµπύλης αυτής λύνεται και το ∆ήλιο και η Τριχοτόµηση και µάλιστα και µε τους δύο κλάδους της καµπύλης . Απλούστερη είναι η τριχοτόµηση του διπλανού σχήµατος.

'Eστω η γωνία ˆχ ψΟ . Γράφουµε τυχαία ευθεία ( )ε ψ⊥ Ο

και την Κογχοειδή µε πόλο Ο και διάστηµα µ=2.ΟΒ= ∆Γ. Αν τώρα φέρουµε την ( )εΒΓ ⊥ τότε η ΓΟ θα ορίζει

γωνία 1ˆ ˆψ = χ ψ3

ΓΟ Ο .

Ο Νικοµήδης για να λύσει το πρόβληµα της τριχοτόµησης της γωνίας και του τετραγωνισµού του κύβου επινόησε µια καµπύλη , την κογχοειδή την οποία παρουσιάζουµε παρακάτω στο πρόβληµα του διπλασιασµού του κύβου – η λύση του Νικοµήδη .

Page 80: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-79-

ΙΠΠΑΡΧΟΣ ΙΠΠΑΡΧΟΣ ΙΠΠΑΡΧΟΣ ΙΠΠΑΡΧΟΣ ΟΟΟΟ ΝΙΚΑΕΥΣ ΝΙΚΑΕΥΣ ΝΙΚΑΕΥΣ ΝΙΚΑΕΥΣ

Έζησε στο διάστηµα (190-120 π.Χ.) . Μεγάλος µαθηµατικός, γεωγράφος µετρητής και κυρίως Αστρονόµος . ∆ίδαξε και εκτέλεσε παρατηρήσεις ακριβείας στη Ρόδο και την Αλεξάνδρεια , µε όργανα , τα οποία ανακάλυψε ή βελτίωσε ο ίδιος . Παρότι δέσµιος του γεωκεντρικού συστήµατος , συνέβαλε εξαιρετικά στην µαθηµατικοποίηση της ελληνικής αστρονοµίας και στην ολοκλήρωση της µαθηµατικής Γεωγραφίας . Ενδεικτικοί είναι οι σωσµένοι τίτλοι µερικών από τα έργα του .

• """" Των Αράτου και Ευδόξου Φαινοµένων εξηγήσεως βιβλία γΤων Αράτου και Ευδόξου Φαινοµένων εξηγήσεως βιβλία γΤων Αράτου και Ευδόξου Φαινοµένων εξηγήσεως βιβλία γΤων Αράτου και Ευδόξου Φαινοµένων εξηγήσεως βιβλία γ " (σώθηκε)" (σώθηκε)" (σώθηκε)" (σώθηκε) . . . . • """" Εις Αστερισµούς ή περί των Απλανών...Εις Αστερισµούς ή περί των Απλανών...Εις Αστερισµούς ή περί των Απλανών...Εις Αστερισµούς ή περί των Απλανών... " (σώθηκε)" (σώθηκε)" (σώθηκε)" (σώθηκε) . . . . • """" Περί µεγεθών και αποστηµάτων Ηλίου και ΣελήνηςΠερί µεγεθών και αποστηµάτων Ηλίου και ΣελήνηςΠερί µεγεθών και αποστηµάτων Ηλίου και ΣελήνηςΠερί µεγεθών και αποστηµάτων Ηλίου και Σελήνης """" . . . . • """" Περί µηνιαίου χρόνουΠερί µηνιαίου χρόνουΠερί µηνιαίου χρόνουΠερί µηνιαίου χρόνου """" . . . . • """" Περί εµβολίµων µηνών τε και Περί εµβολίµων µηνών τε και Περί εµβολίµων µηνών τε και Περί εµβολίµων µηνών τε και ηµερώνηµερώνηµερώνηµερών """" . . . . • """" Παραλακτικών βιβλία δύοΠαραλακτικών βιβλία δύοΠαραλακτικών βιβλία δύοΠαραλακτικών βιβλία δύο """" . . . . • """" Περί της των ιβ ζωδίων αναφοράςΠερί της των ιβ ζωδίων αναφοράςΠερί της των ιβ ζωδίων αναφοράςΠερί της των ιβ ζωδίων αναφοράς """" . . . . • """" Περί της µεταπτώσεωςΠερί της µεταπτώσεωςΠερί της µεταπτώσεωςΠερί της µεταπτώσεως """" . . . . • """" Περί της των συνανατολών πραγµατείαςΠερί της των συνανατολών πραγµατείαςΠερί της των συνανατολών πραγµατείαςΠερί της των συνανατολών πραγµατείας """" . . . . • """" Περί εκλείψεων Ηλίου κατά τα επτά κλίµαταΠερί εκλείψεων Ηλίου κατά τα επτά κλίµαταΠερί εκλείψεων Ηλίου κατά τα επτά κλίµαταΠερί εκλείψεων Ηλίου κατά τα επτά κλίµατα """" . . . . • """" Περί της πραγµατείας της εν κύκλω ευθειών βιβλία ιβΠερί της πραγµατείας της εν κύκλω ευθειών βιβλία ιβΠερί της πραγµατείας της εν κύκλω ευθειών βιβλία ιβΠερί της πραγµατείας της εν κύκλω ευθειών βιβλία ιβ """" . . . . • """" Προς τον Ερατοσθένη και τα εν τη Γεωγραφία αυτού λεχθένταΠρος τον Ερατοσθένη και τα εν τη Γεωγραφία αυτού λεχθένταΠρος τον Ερατοσθένη και τα εν τη Γεωγραφία αυτού λεχθένταΠρος τον Ερατοσθένη και τα εν τη Γεωγραφία αυτού λεχθέντα """" . . . .

Από τα δύο σωσµένα έργα του και τους σχολιασµούς των υπολοίπων µαθαίνουµε ότι ο κορυφαίος αυτός αστρονόµος :

• Συνέταξε έναν πίνακα 1022 αστέρωνπίνακα 1022 αστέρωνπίνακα 1022 αστέρωνπίνακα 1022 αστέρων, ορατών από την Αλεξάνδρεια , και τα κατέταξε σε 49 αστερισµούς (21 Β, 16 Ν και 12 ζωδιακούς) και σε 6 µεγέθη λαµπρότητας .

• Εισήγαγε την υποδιαίρεση του κύκλουυποδιαίρεση του κύκλουυποδιαίρεση του κύκλουυποδιαίρεση του κύκλου σε 360° . • Συγκρότησε πίνακα χορδών κύκλουπίνακα χορδών κύκλουπίνακα χορδών κύκλουπίνακα χορδών κύκλου , στον οποίο έδινε τα µήκη των χορδών δοσµένου κύκλου (ίσως R=60) , συναρτήσει των επίκεντρων γωνιών τους (και ίσως ανά µισή µοίρα) (Πτολεµαίος) . Ο πίνακας αυτός είναι πιθανό να είναι πύκνωση αντίστοιχου πίνακα του Αρχιµήδη .

• Συγκρότησε πίνακα γεωγραφικών πλατώνπίνακα γεωγραφικών πλατώνπίνακα γεωγραφικών πλατώνπίνακα γεωγραφικών πλατών ανά 1° (700 στάδια) , τον οποίο συνόδευε µε τους λόγους του (γνώµονα) : (Σκιά) και τις διάρκειες των αντίστοιχων µεγίστων ηµερών .

Page 81: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-80-

Αναφέρεται ότι επινόησε όργανα ακριβείας και ότι εφάρµοσε ειδικές µεθόδους µετρήσεων και υπολογισµού . Τα κυριότερα όργανα δικής του έµπνευσης ήταν ο ΑστρολάβοςΑστρολάβοςΑστρολάβοςΑστρολάβος , η Τετραπήχυς ∆ιόπτραΤετραπήχυς ∆ιόπτραΤετραπήχυς ∆ιόπτραΤετραπήχυς ∆ιόπτρα και το ΜετεωροσκόπιΜετεωροσκόπιΜετεωροσκόπιΜετεωροσκόπιοοοο . Από τους υπολογισµούς του κυριότεροι είναι εκείνοι που έδωσαν:

• Την περίµετρο της Γηςπερίµετρο της Γηςπερίµετρο της Γηςπερίµετρο της Γης (252.000 στάδια) , η οποία µάλλον είναι στρογγυλοποίηση των τιµών του Αρχιµήδη και του Ερατοσθένη .

• Τη διάρκεια των σεληνιακών µηνώνδιάρκεια των σεληνιακών µηνώνδιάρκεια των σεληνιακών µηνώνδιάρκεια των σεληνιακών µηνών (29 ηµ. 31'50''8''') . • Τη διάρδιάρδιάρδιάρκεια του ενιαυτούκεια του ενιαυτούκεια του ενιαυτούκεια του ενιαυτού (έτους = 365,2466 ηµέρες, µε πραγµατ. 365,2422 ηµέρες) .

• Τη διάρκεια των εποχώνδιάρκεια των εποχώνδιάρκεια των εποχώνδιάρκεια των εποχών (Γεµίνος - 'Aνοιξη 94,5 ηµ., Καλ. 92,5 ηµ., Φθιν. 88+1/8 ηµ., Χειµ. 90+1/8 ηµ.) .

• Την εκκεντρότητα της γηςεκκεντρότητα της γηςεκκεντρότητα της γηςεκκεντρότητα της γης (1/24 µε πραγµατική την 1/60 του Ηλίου) . • Την ΜεΜεΜεΜετάπτωση των Ισηµεριώντάπτωση των Ισηµεριώντάπτωση των Ισηµεριώντάπτωση των Ισηµεριών , δηλαδή την αργή κίνηση του άξονα της γης . Την υπολόγισε ίση µε 48'' το έτος , µε πραγµατική την 50'',2 της µοίρας .

• Την απόσταση του Ηλίου και της Σελήνηςαπόσταση του Ηλίου και της Σελήνηςαπόσταση του Ηλίου και της Σελήνηςαπόσταση του Ηλίου και της Σελήνης (αντίστοιχα 1210121012101210 και 59595959 γήινες ακτίνες) . Μέσες πραγµατικές αντίστοιχες τιµές είναι οι: 23.50023.50023.50023.500 και 60606060 γήινες ακτίνες .

Το σύνολο των µεθόδων , των υπολογισµών και των ανακαλύψεων του Ιππάρχου , του διασηµότερου και µεγαλοφυέστερου των Ελλήνων αστρονόµων της αρχαιότητας, έγινε αιτία αυτός να θεωρείται ως ο ερευνητής εκείνος , που , αν και προσηλωµένος στον Γεωκεντρισµό , κατέστησε την αστρονοµία πραγµατική µαθηµατική επιστήµη .

Page 82: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-81-

ΠΠΠΠΟΣΕΙ∆ΩΝΙΟΣ ΟΣΕΙ∆ΩΝΙΟΣ ΟΣΕΙ∆ΩΝΙΟΣ ΟΣΕΙ∆ΩΝΙΟΣ Ο Ο Ο Ο ΡΟ∆ΙΟΣΡΟ∆ΙΟΣΡΟ∆ΙΟΣΡΟ∆ΙΟΣ

Ο Ποσειδώνιος ο ΡόδιοςΠοσειδώνιος ο ΡόδιοςΠοσειδώνιος ο ΡόδιοςΠοσειδώνιος ο Ρόδιος ή ο Απαµεύςο Απαµεύςο Απαµεύςο Απαµεύς (περ. 135 π.Χ. – 51 π.Χ.) ήταν Έλληνας πολυµαθής Στωικός φιλόσοφος , αστρονόµος , γεωγράφος , πολιτικός , ιστορικός και δάσκαλος που γεννήθηκε στην Απάµεια της Συρίας . Τον θεωρούσαν τον πολυµαθέστερο άνθρωπο του κόσµου για την εποχή του . Τίποτα από το τεράστιο έργο του δεν έχει σωθεί ως ολότητα σήµερα, αλλά µόνο αποσπάσµατα . Οι αντιλήψεις του για τη φυσικήΟι αντιλήψεις του για τη φυσικήΟι αντιλήψεις του για τη φυσικήΟι αντιλήψεις του για τη φυσική :::: Ο Ποσειδώνιος υπoστήριζε τη θεωρία της κοσµικής (συµπαντικής) « συµπαθείας » , της οργανικής διασυνδέσεως όλων των φαινοµένων στο Σύµπαν, από τον ουρανό ως τη Γη , ως ένα µέρος ενός λογικού σχεδιασµού που ένωνε την ανθρωπότητα µε όλα τα πράγµατα στο Σύµπαν , ακόµα και όσα ήταν χρονικά και χωρικά αποµακρυσµένα µεταξύ τους . Παρά το ότι ο δάσκαλός του Παναίτιος αµφισβητούσε τη µαντεία , ο Ποσειδώνιος χρησιµοποίησε τη θεωρία της κοσµικής συµπαθείας για να υποστηρίξει την πίστη του στη µαντεία (είτε την αστρολογική , είτε τα « προορατικά » όνειρα) ως ένα είδος επιστηµονικής προβλέψεως . Στην αστρονοµίαΣτην αστρονοµίαΣτην αστρονοµίαΣτην αστρονοµία :::: Αποσπάσµατα από το αστρονοµικό έργο του Ποσειδωνίου σώζονται µέσα από την πραγµατεία του Κλεοµήδη « Κυκλική θεωρία µετεώρων » , όπου το πρώτο κεφάλαιο του δεύτερου βιβλίου φαίνεται ότι έχει στο µεγαλύτερο µέρος του αντιγραφεί από τον Ποσειδώνιο . Ο Ποσειδώνιος πίστευε ότι ο Ήλιος εξέπεµπε µια « ζωτική δύναµη » που διαπερνούσε το Σύµπαν, ενώ προσπάθησε να µετρήσει την απόσταση και τις διαστάσεις του . Περί το 90 π.Χ. ο Ποσειδώνιος εξετίµησε την αστρονοµική µονάδα ως 9893 φορές την ακτίνα της Γης , που είναι περί το ήµισυ της πραγµατικής της τιµής . Ωστόσο, για τη διάµετρο του Ηλίου βρήκε µία τιµή µεγαλύτερη και ακριβέστερη από αυτές που πρότειναν άλλοι αρχαίοι Έλληνες αστρονόµοι , µεταξύ των οποίων και ο Αρίσταρχος ο Σάµιος . Ο Ποσειδώνιος έκανε επίσης ένα υπολογισµό της διαµέτρου και της αποστάσεωςτης Σελήνης .

Page 83: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-82-

Γνωρίζουµε επίσης ότι είχε κατασκευάσει ένα φορητό υπολογιστή των κινήσεων των ουράνιων σωµάτων , παρόµοιο µε τον Μηχανισµό των ΑντικυθήρωνΜηχανισµό των ΑντικυθήρωνΜηχανισµό των ΑντικυθήρωνΜηχανισµό των Αντικυθήρων όπως αυτός αποκαλύφθηκε µετά την πρόσφατη ανάλυση (2006-2008) , και ίσως τον ίδιο τον µηχανισµό αυτό , που χρονολογείται στην ίδια περίπου περίοδο . Σύµφωνα µε τον Κικέρωνα , το φορητό « πλανητάριο » του Ποσειδωνίου έδειχνε τις ηµερήσιες κινήσεις του Ηλίου, της Σελήνης και των 5 γνωστών τότε πλανητών . Ο Ποσειδώνιος µέτρησε την περιφέρεια της Γης µε βάση τη θέση του aστέρα Κανώπου . Καθώς εξηγεί ο Κλεοµήδης , ο Ποσειδώνιος παρατήρησε ότι ο Κάνωπος δεν ανέβαινε ποτέ πάνω από τον ορίζοντα στη Ρόδο , ενώ στην Αλεξάνδρεια τον είδε να ανεβαίνει µέχρι 7,5 µοίρες πάνω από τον ορίζοντα ... (το τόξο που αντιπροσωπεύει τη διαφορά του γεωγραφικού πλάτους των δύο τόπων είναι στην πραγµατικότητα ίσο µε 5 µοίρες και 14΄) . Ο Ποσειδώνιος εκτιµούσε ότι η Ρόδος απείχε 5000 στάδια και βρισκόταν ακριβώς βόρεια της Αλεξανδρείας , οπότε η διαφορά στο ύψος του αστέρα σήµαινε ότι αυτή η απόσταση ισούται µε το 1/48 της περιφέρειας της Γης . Ο υπολογισµός του εποµένως για την περιφέρεια της Γης έδωσε ως αποτέλεσµα 240.000 στάδια . Οι περισσότεροι ιστορικοί της Επιστήµης θεωρούν ότι το στάδιο που χρησιµοποιούσε ο Ποσειδώνιος ήταν ίσο µε 161 m , οπότε η τιµή αυτή αντιστοιχεί σε 38.600 χιλιόµετρα , πολύ κοντά στην πραγµατική τιµή της περιφέρειας που περνά από τους πόλους (40.074 χιλιόµετρα) .

Page 84: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-83-

∆ΙΟΝΥΣΟ∆ΩΡΟΣ ∆ΙΟΝΥΣΟ∆ΩΡΟΣ ∆ΙΟΝΥΣΟ∆ΩΡΟΣ ∆ΙΟΝΥΣΟ∆ΩΡΟΣ ΟΟΟΟ ΜΗΛΙΟΣΜΗΛΙΟΣΜΗΛΙΟΣΜΗΛΙΟΣ 'Eζησε στο διάστηµα 2-1 αι. π.Χ. , και µάλλον ήταν σύγχρονος του Ποσειδωνίου . Οι αναφορές σε αυτόν δείχνουν ότι ήταν γεωµέτρης , διάσηµος στο πανελλήνιο και ότι καταγόταν από τη Μήλο (Στράβων, Πλίνιος) . Γνωστά είναι δύο έργα του το """" ΣυµβολαίΣυµβολαίΣυµβολαίΣυµβολαί """" (αναφέρεται σε έρευνες του Αρχιµήδη) και το """" Περί ΣπείραςΠερί ΣπείραςΠερί ΣπείραςΠερί Σπείρας """" (Σαµπρέλλας) . Σήµερα, από το συνολικό µαθηµατικό του έργο, γνωρίζουµε δύο µόνο γεγονότα .

• Πρώτον, τη µέτρηση της περιµέτρου της Γηςπεριµέτρου της Γηςπεριµέτρου της Γηςπεριµέτρου της Γης . Συγκεκριµένα ο Πλίνιος αναφέρει ότι µετά το θάνατό του οι γυναίκες , που πήγαν να τελέσουν στον τάφο του τα καθιερωµένα , βρήκαν ένα γράµµα υπογεγραµµένο από τον ίδιο , που έλεγε ότι έφτασε στο κέντρο της γης και ότι αυτό απέχει από την επιφάνεια 42.000 στάδια42.000 στάδια42.000 στάδια42.000 στάδια (ακτίνα της γης-σφαίρας) . Ανεξάρτητα τώρα από τον θρύλο βλέπουµε ότι αυτός θεωρούσε την περίµετρο της γης ίση προς:

222 42.000 264.000

7Γ = ⋅ ⋅ = στάδια (Αρχιµήδης: 22

π 3,147

)

Η πραγµατική τιµή ήταν η Γ=252.000 στάδια (του Ιππάρχου) . • ∆εύτερο µαθηµατικό γεγονός είναι η έκφραση του όγκου και του εµβαδού µιας όγκου και του εµβαδού µιας όγκου και του εµβαδού µιας όγκου και του εµβαδού µιας

ΣπείραςΣπείραςΣπείραςΣπείρας . (Στερεό που προκύπτει από την περιστροφή ενός κύκλου γύρω από έναν άξονα που δεν την τέµνει) (Ήρωνος " Μετρικά " ΙΙ) . Πιστεύεται ότι αυτό έγινε µε τον τεµαχισµό της Σπείρας σε ίσες φέτες µε επίπεδα που περνούν από τον άξονά της . Οι φέτες αυτές , τοποθετηµένες η µία πάνω στην άλλη , κατ' αντίθετη φορά , σχηµατίζουν έναν " κίονα " , που ο όγκος και η επιφάνειά του προσεγγίζουν τα αντίστοιχα της Σπείρας , όσο πιο λεπτές είναι οι φέτες . Στο όριο όµως ο κίων αυτός θα γίνεται κύλινδρος µε βάση τον περιστρεφόµενο κύκλο και ύψος το µήκος της περιφέρειας που γράφει κατά την περιστροφή το κέντρο του . Έτσι ο όγκος: ΣΠV = 2πρΚΕ ⋅ και το εµβαδόν: ΣΠ = 2πR 2πρΕ ⋅ (Αρχιµήδης) .

Οι δύο σηµαντικές αυτές προτάσεις πρέπει να αποτέλεσαν αιώνες µετά την αιτία της ανακάλυψης των αντίστοιχων θεωρηµάτων του ΠάππουΠάππουΠάππουΠάππου (3-4 αι. µ.Χ.) , για τα στερεά εκ περιστροφής που παράγονται από ευθύγραµµα σχήµατα .

Page 85: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-84-

∆∆∆∆ΙΟΚΛΗΣ ΙΟΚΛΗΣ ΙΟΚΛΗΣ ΙΟΚΛΗΣ ΟΟΟΟ ΑΑΑΑΛΕΞΑΝ∆ΡΕΥΣΛΕΞΑΝ∆ΡΕΥΣΛΕΞΑΝ∆ΡΕΥΣΛΕΞΑΝ∆ΡΕΥΣ ∆ιοκλής ο Αλεξανδρεύς∆ιοκλής ο Αλεξανδρεύς∆ιοκλής ο Αλεξανδρεύς∆ιοκλής ο Αλεξανδρεύς (περ. 240 π.Χ. - περ. 180 π.Χ.) ήταν αρχαίος Έλληνας µαθηµατικός και γεωµέτρης . Ο ∆ιοκλής έζησε την εποχή του Απολλώνιου και άκµασε στο τέλος του 2ου αιώνα π.Χ. και την αρχή του 1ου αιώνα π.Χ. Έιναι ο πρώτος γνωστός επιστήµονας που απόδειξε την εστιακή ιδιότητα του παραβολικού κάτοπτρου . Χρησιµοποίησε τη γεωµετρική καµπύλη αποκαλούµενη κισσοειδές του ∆ιοκλή για να λύσει το πρόβληµα της ∆ήλου , όπως αναφέρει ο Πρόκλος στα σχόλιά του περί του Ευκλείδη και αποδόθηκε στον ∆ιοκλή από τον Γεµίνο . Αποσπάσµατα µιας εργασίας του ∆ιοκλή περί εστίασης των κατόπτρων διασώθηκαν στα σχόλια του Ευτόκιου γύρω από το σύγγραµµα του Αρχιµήδη « Περί Σφαίρας και κύλινδρου » Η εστίαση των κατόπτρων είχε µεγάλη επιρροή στους Άραβες µαθηµατικούς , ιδιαίτερα στον Αλαζηνό . Η πραγµατεία περιέχει δεκαέξι θεωρήµατα που αποδεικνύονται µε κωνικές τοµές . Ένα από τα αποσπάσµατα περιέχει τα θεωρήµατα επτά και οκτώ , τα οποία δίνουν λύση στο πρόβληµα της τοµής µιας σφαίρας και ένα επίπεδο έτσι ώστε οι προκύπτοντες δύο όγκοι να είναι σε µια δεδοµένη αναλογία . Το θεώρηµα δέκα δίνει λύση στο πρόβληµα του διπλασιασµού του κύβου και ισοδυναµεί µε την επίλυση µιας ορισµένης κυβικής εξίσωσης . Ένα άλλο απόσπασµα περιέχει τις προτάσεις ένδεκα και δώδεκα , που χρησιµοποιούνται κισσοειδή για να λύσουν το πρόβληµα της εύρεσης δύο µεσαίων αναλογιών ανάµεσα σε δύο µεγέθη . ∆εδοµένου ότι αυτή η πραγµατεία καλύπτει περισσότερα θέµατα από την εστίαση των κατόπτρων , ίσως το έργο « Περί εστίασης των Κατόπτρων » να είναι επακόλουθο τριών πιο σύντοµων εργασιών του ∆ιοκλή .

Page 86: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-85-

ΗΡΩΝ Ο ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣΗΡΩΝ Ο ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣΗΡΩΝ Ο ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣΗΡΩΝ Ο ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣ

Ο Ήρων της Αλεξάνδρειας έζησε περίπου το 100 µ.Χ. Ήταν µαθητής του Κτησίβιου και του Φίλωνα και εξελίχτηκε σ’ έναν από τους σηµαντικότερους και πιο γνωστούς µηχανικούς και µαθηµατικούς . Οι κατασκευές και οι αυτοµατισµοί του τον κάνουν να βρίσκεται ανάµεσα στις µεγαλύτερες και πιο σηµαντικές µορφές της επιστήµης στην αρχαιότητα και µάλιστα δικαίως θεωρείται από ορισµένους ως πνευµατικός πρόγονος του Λεονάρντο Ντα Βίντσι , ο οποίος φαίνεται να τον είχε µελετήσει διεξοδικά . Το τεράστιο έργο του αποτελείται από 16 πραγµατείες . Από αυτές έχουν διασωθεί ολόκληρες οι δέκα , οι τρεις είναι αποσπασµατικές και τρεις δεν διασώθηκαν . Μεγάλο µέρος του έργου του , κυρίως της Αυτοµατοποιητικής που αποτελείται από 39 χειρόγραφα και διασώθηκε ολόκληρο κατά τα ρωµαϊκά και βυζαντινά χρόνια , αξιοποιήθηκε από τους Άραβες αλλά και από τους µηχανικούς του µεσαίωνα στην Ευρώπη και µεταφράστηκε στα αραβικά , τα ιταλικά , τα γαλλικά και τα γερµανικά. Επίσης έγιναν πολλές προσπάθειες να κατασκευαστούν αυτόµατα θέατρα µε βάση τα σχέδια του Ήρωνα πάνω στην Αυτοµατοποιητική . Η σηµαντικότερη ίσως συµβολή του Ήρωνα στην επιστήµη είναι το έργο του « Πνευµατικά » , που αφορά στις εφαρµογές της ενέργειας του ατµού . Ο ίδιος κάνει αναφορές στα βιβλία του σε παλαιότερα συγγράµµατα σχετικά µε την ενέργεια του ατµού και µας δίνει παραδείγµατα αυτοκίνητων συστηµάτων . Τα παλαιότερα όµως κείµενα που έχουν διασωθεί ως πρωτότυπα και είναι σχετικά µε τις διάφορες εφαρµογές υδραυλικών και πνευµατικών αυτόµατων συστηµάτων είναι τα « Πνευµατικά » του Ήρωνα . Αυτό το έργο χωρίζεται σε δυο βιβλία και περιλαµβάνει 42 και 37 προτάσεις το καθένα αντίστοιχα . Στο πρώτο αναφέρονται διάφορα φαινόµενα τα οποία προκαλούνται από την υδροστατική και αεροστατική πίεση και από την αυξοµείωση της πίεσης των ατµών , ανάλογα µε την µεταβολή της θερµοκρασίας τους . Στο δεύτερο αναλύονται διάφοροι µηχανισµοί που λειτουργούν µε την πίεση των ατµών , που σίγουρα αποτέλεσαν τον προάγγελο των ατµοµηχανών του περασµένου αιώνα . Γενικά σε όλο το έργο των « Πνευµατικών » περιγράφονται διάφορες µηχανές αλλά και πιο σύνθετα συστήµατα , τα οποία κινούνται µε την πίεση νερού , ατµού και αέρα . Από τα 2 αυτά βιβλία φαίνονται οι απόψεις του Ήρωνα που αφορούν στη µη ύπαρξη του συνεχούς κενού στη φύση και στη συµπεριφορά των υγρών σε σχέση µε τη βαρύτητα . Επίσης φαίνεται ότι συνδυάζει δύο διαφορετικές σχολές σκέψης : τον ορθολογισµό του Αριστοτέλη , µε ολοκληρωµένα επιχειρήµατα και παρουσιάσεις , προκειµένου να εξηγήσει ή να τεκµηριώσει τις θεωρίες του , αλλά και τις σχεδόν δογµατικές αλλά σίγουρες υποθέσεις πάνω στη φύση των υγρών , θυµίζοντάς µας τον Αρχιµήδη .

Page 87: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-86-

Στα « Πνευµατικά » ο Ήρωνας περιγράφει 80 κατασκευές , στην πλειοψηφία τους διακοσµητικές . Μερικά παραδείγµατα αυτών των αυτόµατων µηχανισµών είναι: η αυτόµατη σπονδή , οι αυτόµατες πύλες ναού , η ύδραυλις , το γνωστό µουσικό όργανο , υπολείµµατα του οποίου έχουν βρεθεί , η σφαίρα του Αιόλου , που είναι ο πρόδροµος της ατµοµηχανής , η αυτόµατη κρήνη . Επίσης αξίζει να αναφέρουµε τα κλειστά συστήµατα ελέγχου , τα οποία ρύθµιζαν αυτόµατα τη λειτουργία τους , όπως είναι : ο αυτόµατος έλεγχος στάθµης υγρού , ο αυτόµατος έλεγχος ροής υγρού , ο αυτόµατος έλεγχος βάρους . Άλλο σηµαντικό έργο του είναι η « ∆ιόπτρα » , που αναφέρεται στη γεωδαισία και είναι ίσως από τα τελειότερα στο είδος του . Στο έργο αυτό περιγράφεται η κατασκευή του αντίστοιχου οµώνυµου οργάνου , η εξέλιξη του οποίου είναι ο σηµερινός θεοδόλιχος . Η Αυτοµατοποιητική είναι το αρχαιότερο κείµενο στο οποίο περιγράφονται αυτόµατα µηχανικά συστήµατα τα οποία µπορούν να εκτελέσουν προγραµµατισµένες κινήσεις . Σε αυτό το έργο , ο Ήρωνας περιγράφει τα µορφικά στοιχεία και αναλύει διεξοδικά τον τρόπο και την τέχνη κατασκευής αυτόµατων θεάτρων , τα οποία χωρίζει σε 2 κατηγορίες : το σταθερό (στατόν ) και το κινητό (υπάγον) . Όλες οι κινήσεις γίνονταν µε τη βοήθεια διαφόρων αντίβαρων , σχοινιών τυλιγµένων σε άξονες , τροχαλίες , τροχούς και έµβολα που έπαιρναν κίνηση από τη ροή υγρών ή την πίεση ατµού , αφού προηγουµένως είχαν λυθεί δύο βασικά προβλήµατα: του κινητήριου µηχανισµού και του προγραµµατισµού των κινήσεων, έτσι ώστε η όλη κατασκευή να είναι αισθητική αλλά και λειτουργική , για να µπορεί να παίξει θεατρικά έργα τα οποία πολλές φορές απαιτούσαν την εναλλαγή πολλών προσώπων µε διάφορες κινήσεις , σπονδές , άναµµα φωτιάς , ήχους διαφόρων ζώων , πτηνών και τυµπάνων , βροντές και κεραυνούς και ήχους εργαλείων ανάλογα µε τις κινήσεις των µηχανικών µορφών που έπαιρναν τη θέση των ηθοποιών . Σε ορισµένες περιπτώσεις τα έργα αυτά είχαν µέχρι 5 πράξεις . Όλη αυτή η αυτόµατη κατασκευή µπορούσε να κινηθεί και να καλύψει κάποια απόσταση πάνω σε κατάλληλες ράγιες και τροχούς . Για άλλη µια φορά ο Ήρωνας ο Αλεξανδρέας γίνεται προάγγελος των σηµερινών ψηφιακών ροµποτικών , αφού η ποικιλία και η πληθώρα των κινήσεων , ακόµα και ταυτόχρονων , ήταν µεγάλη: ευθύγραµµη πορεία µε επιστροφή , κυκλικές κινήσεις , κίνηση σε ορθογώνιο παραλληλόγραµµο , ελικοειδής κίνηση , ανεξάρτητη κίνηση 4 τροχών , αυτόµατο άναµµα φωτιάς , εκροές γάλακτος και κρασιού για σπονδές και πολλές άλλες κινήσεις και ήχοι .

Page 88: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-87-

Τα αυτόµατα του Ήρωνα εκτός από το υψηλό επίπεδο τεχνολογίας , τον προγραµµατισµό , τον έλεγχο της ενέργειας και τη λειτουργικότητά τους , ήταν και πραγµατικά έργα τέχνης, καλαισθησίας και αρµονίας , στοιχεία χαρακτηριστικά του αρχαιοελληνικού πνεύµατος . Η συµβολή του τόσο στην ανακάλυψη νέων τεχνολογικών επιτευγµάτων όσο και στη βελτίωση των ήδη υπαρχόντων ήταν πολύ σηµαντική .

Page 89: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-88-

ΜΕΝΕΛΑΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣΜΕΝΕΛΑΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣΜΕΝΕΛΑΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣΜΕΝΕΛΑΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣ

Μαθηµατικός και µετρητής αστρονόµος αναφέρεται ότι το 98 µ.Χ. έκανε αστρονοµικές παρατηρήσεις στην Ρώµη . Από τα γεωµετρικά και αστρονοµικά έργα του σώθηκε µόνο ένα µε θέµα του τη Σφαιρική γεωµετρία . Το έργο αυτό είναι προϊόν των εκτεταµένων ερευνών του Μενελάου , φέρει τον τίτλο " Σφαιρική " και σώθηκαν µόνο οι µεταφράσεις του στην Αραβική και Εβραϊκή . Συνοπτικά οι γνωστές µας προσφορές του Μενελάου στα αρχαία µαθηµατικά Συνοπτικά οι γνωστές µας προσφορές του Μενελάου στα αρχαία µαθηµατικά Συνοπτικά οι γνωστές µας προσφορές του Μενελάου στα αρχαία µαθηµατικά Συνοπτικά οι γνωστές µας προσφορές του Μενελάου στα αρχαία µαθηµατικά είναι:είναι:είναι:είναι: Το έργο " Σφαιρική " σε 3 βιβλία , µε περιεχόµενο : -- Το πρώτο θεµελιώνει την πρώτη µη Ευκλείδεια γεωµετρία , τη Σφαιρική , στην οποία πρωτεύοντα ρόλο παίζουν οι µέγιστοι κύκλοι σφαίρας , ενώ στην Ευκλείδεια γεωµετρία τον έπαιζαν οι ευθείες . Εδώ εισάγονται για πρώτη φορά στην επιστήµη τα σφαιρικά τρίγωνα και µελετώνται διάφορες προτάσεις ισότητας και ανισότητας των στοιχείων τους . -- Το δεύτερο είναι καθαρά αστρονοµικού περιεχοµένου . -- Το τρίτο θεµελιώνει τη Σφαιρική Τριγωνοµετρία . Στο έργο του αυτό ο Μενέλαος παρουσιάζει πολλές οµοιότητες και αντιστοιχίες των σφαιρικών τριγώνων µε τα επίπεδα , τονίζοντας τις εξαιρέσεις . Το περίφηµο Θεώρηµα τωνΘεώρηµα τωνΘεώρηµα τωνΘεώρηµα των διατεµνουσώνδιατεµνουσώνδιατεµνουσώνδιατεµνουσών , που φέρει το όνοµά του . Το θεώρηµα αυτό εµφανίζεται στα σφαιρικά τρίγωνα , ως σχέση χορδών των τόξων - πλευρών τους . Του θεωρήµατος αυτού ο Μενέλαος δίνει πολλές εφαρµογές . Εκτός αυτού όµως του θεωρήµατος , του οποίου το αντίστοιχο επίπεδο πιστεύεται ότι υπήρχε στα " Πορίσµατα " του Ευκλείδη , ο σοφός µας δίνει τα σφαιρικά θεωρήµατα των τόξων - διχοτόµων των τόξων - υψών και άλλα . Η συγκρότηση πινάκων χορδών κύκλου είναι η τρίτη γνωστή προσφορά του , αν και προϋπήρχε ο αντίστοιχος πίνακας του Ιππάρχου . Οι πίνακες αυτοί περιέχονται στο χαµένο έργο του " Περί υπολογισµού των χορδών κύκλου " σε 6 βιβλία , από το οποίο µάλλον άντλησε αργότερα ο Πτολεµαίος . Σήµερα ο Μενέλαος θεωρείται ως ο κύριος θεµελιωτής της σφαιρικής τριγωνοµετρίας , µε προσφορά του ένα έργο , τη " Σφαιρική " , το οποίο αποτελεί την τελική µορφή των προγενέστερων σφαιρικών, µε µία σχεδόν πλήρη αναλογία θεωρηµάτων προς τα αντίστοιχα της τότε γεωµετρίας του επιπέδου .

Page 90: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-89-

ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ Ο ΚΛΑΥ∆ΙΟΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ Ο ΚΛΑΥ∆ΙΟΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ Ο ΚΛΑΥ∆ΙΟΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ Ο ΚΛΑΥ∆ΙΟΣΣΣΣ

∆ιάσηµος µαθηµατικός , αστρονόµος και γεωγράφος έζησε και έδρασε στην Αλεξάνδρεια . Στο έργο του συνόψισε και παρουσίασε συστηµατικά τα επιτεύγµατα των προγενέστερων στους διάφορους τοµείς της επιστήµης , ελέγχοντας µεθόδους και µετρήσεις και προσθέτοντας δικά του συµπεράσµατα . Τα κύρια γνωστά µαθηµατικά έργα του είναι:

• Η Μαθηµατική ΣύνταξηΗ Μαθηµατική ΣύνταξηΗ Μαθηµατική ΣύνταξηΗ Μαθηµατική Σύνταξη. (13 βιβλία)

• Η Γεωγραφική ΥφήγησηΗ Γεωγραφική ΥφήγησηΗ Γεωγραφική ΥφήγησηΗ Γεωγραφική Υφήγηση. ( 8 βιβλία)

• ΑρµονικάΑρµονικάΑρµονικάΑρµονικά. ( 8 βιβλία)

• Οπτική πραγµατείαΟπτική πραγµατείαΟπτική πραγµατείαΟπτική πραγµατεία. ( σώθηκαν τα βιβλία 2-5)

Το κορυφαίο από τα έργα του είναι η Μαθηµατική Μαθηµατική Μαθηµατική Μαθηµατική ΣύνταξηΣύνταξηΣύνταξηΣύνταξη του (η Μεγίστη ή Al- Magest των Αράβων) , ένα τεράστιο ολοκληρωµένο έργο , µε όλες τις µέχρι τότε γνώσεις του Γεωκεντρισµού και των ουρανίων φαινοµένων . Το περιεχόµενο του έργου είναι η µελέτη του Ήλιου , της Σελήνης και των πλανητών , των αστέρων της Μετάπτωσης των ΙσηµεριώνΜετάπτωσης των ΙσηµεριώνΜετάπτωσης των ΙσηµεριώνΜετάπτωσης των Ισηµεριών και των εκλείψεων . Στο έργο αυτό κεντρική θέση κατέχει ο πίνακας χορδώνπίνακας χορδώνπίνακας χορδώνπίνακας χορδών , ο οποίος δίνει τα µήκη όλων των χορδών ενός κύκλου , ακτίνας R=60 , συναρτήσει της επίκεντρης γωνίας , και ανα 0,5 µοίρας . Ο πίνακας αυτός είναι ουσιαστικά ένας πίνακας ηµιτόνων σε κύκλο ακτίνας R=60 . Ο Πτολεµαίος εχει επισης αφήσει στην γεωµετρία 3 ή και περισσοτερα θεωρήµατα . Το λεγόµενο « θεώρηµα τού Πτολεµαίου » , που πιθανον ειναι το 1ο και σηµαντικοτερο θεωρηµα , αναφερει πως το γινόµενο των διανωνίων τετραπλεύρου εγγεγραµµένου µεσα σ’εναν κύκλο είναι ίσο µε το γινόµενο των απέναντι πλευρών του. Στην Μαθηµατικήν Σύνταξιν διατυπωνεται το θεώρηµα αυτό µε βαση το διπλανό σχήµα .

ΑΓ . Β∆ = ΑΒ . ∆Γ + Α∆ .ΒΓ

Page 91: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-90-

Ο Πτολεµαίος υπήρξε επίσης ένας καταξιωµένος γεωγράφος . Ασχολήθηκε συστηµατικά µε τη µαθηµατική γεωγραφία και συνέταξε ένα έργο ορόσηµο για τον προσδιορισµό των τόπων του τότε γνωστού κόσµου , καθώς και τη χαρτογράφησή του . Το δεύτερο µεγάλο έργο του είναι η ΓεωγΓεωγΓεωγΓεωγραφική Υφήγησηραφική Υφήγησηραφική Υφήγησηραφική Υφήγηση , µε περιεχόµενό του οδηγίες για σύνταξη γεωγραφικών χαρτών και έναν κατάλογο 8000 τοπωνυµιών µε τα γεωγραφικά πλάτη και µήκη τους . Το έργο εκτός απο τις διάφορες τοποθεσίες , απο τους καταρράκτες του Νείλου µέχρι τη βόρεια Ευρώπη και από την Ισπανία µέχρι την Κίνα , περιλαµβάνει και 27 χάρτες , εκ των οποίων ο ένας παγκόσµιος . Η συµβολή του στην αστρονοµία , ολοκληρώνεται µε την Τετράβιβλο Τετράβιβλο Τετράβιβλο Τετράβιβλο (Μαθηµατική - η Αποτελεσµατική - σύνταξις τετράβιβλος) , στην οποία παρουσιάζονται συνοπτικά οι επιδράσεις των πλανητών και των αστερισµών στην ανθρώπινη φύση . Συνέγραψε επίσης αποσπασµατικές πραγµατείες που περιγράφουν την κατασκευή ενός µετεωρολογικού ηµερολογίου , ενός ηλιακού ρολογιού και ενός πλανισφαίρειου. Επισης συνέγραψε µια σειρά έργων ιδιαίτερου ενδιαφέροντος , όπως η αρµονική και η οπτική , τα οποία τα πραγµατεύτηκε µε συστηµατικό τρόπο και τα παρουσίασε σε σχέση µε προηγούµενες µελέτες , τις αστρονοµικές γνώσεις και τις πεποιθήσεις του . Ο Πτολεµαίος κατάφερε να συνοψίσει και να παρουσιάσει πολλά θέµατα των προγενέστερων µαθηµατικών , και έτσι να τα διδάξει και να τα διαδώσει . Αυτά µαζί µε τα δικά του επιτεύγµατα , τον κατατάσουν µεταξύ των µεγάλων µελετητών των αρχαίων µαθηµατικών , αν και παρέµεινε πιο προσηλωµένος στο Γεωκεντρισµό . Το έργο του θεωρείται εξίσου σηµαντικό µε τα « Στοιχεία » του Ευκλείδη για την Γεωµετρία .

Page 92: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-91-

∆ΙΟΦΑΝΤΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣ∆ΙΟΦΑΝΤΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣ∆ΙΟΦΑΝΤΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣ∆ΙΟΦΑΝΤΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣ

Ο ∆ιόφαντος ο Αλεξανδρεύς ήταν Έλληνας µαθηµατικός του τρίτου αιώνα (περίπου 210 – 290) , ο οποίος έζησε στην Αλεξάνδρεια της ρωµαϊκής Αιγύπτου . Η Αριθµητικη είναι το κύριο έργο του ∆ιόφαντου και το πιο σηµαντικό έργο για την άλγεβρα στα ελληνικά µαθηµατικά . Πρόκειται για µια συλλογή από προβλήµατα αριθµητικές λύσεις των δύο ισοστατικών και υπερστατικών εξισώσεων . Από την αρχή δεκατρία βιβλία από τα οποία αποτελούνταν η Αριθµητική , µόνο έξι έχουν διασωθεί, αν και υπάρχουν µερικοί που πιστεύουν ότι διασόθηκαν και τέσσερα αραβικα βιβλία τα οποία τα ανακάλυψε το 1968 ο ∆ιόφαντος . Ορισµένα ∆ιοφαντικα προβλήµατα όπως η Αριθµητικη έχουν βρεθεί στις αραβικές πηγές . Μετά το θάνατο του ∆ιόφαντου , το Μεσαίωνα, άρχισε να σκορπίζεται µια σκιά στα µαθηµατικά και την επιστήµη και , προκαλώντας τις γνώσεις του ∆ιόφαντου και της Αριθµητικής , να χαθούν στην Ευρώπη για περίπου 1500 χρόνια . Η Sir Heath αναφέρεται στο έργο του ∆ιόφαντου της Αλεξάνδρειας , " Μετά την απώλεια της Αιγύπτου , το έργο του ∆ιόφαντου καιρό παρέµεινε σχεδόν άγνωστο στους Βυζαντινούς , ίσως ένα αντίγραφο µόνο επέζησε (η κριτική αναθεώρηση Ηπατιαν), το οποίο θεωρήθηκε από τον Michael Psellus και , ενδεχοµένως , από την σχολιάστροια σε Ιάµβλιχος , αλλά από τα οποία κανένα ίχνος δεν µπορεί να βρεθεί µετά από την άλωση της Κωνσταντινούπολης το 1204 ." Ίσως ο µόνος λόγος που µερικά από τα έργα του έχουν επιζήσει είναι ότι πολλοί Άραβες µελετητές µελέτησαν τα έργα του για να διατηρηθεί αυτή η γνώση για τις επόµενες γενιές . Το 1463 , ο Γερµανός µαθηµατικός Regiomontanus έγραψε: « Κανείς δεν έχει ακόµα µεταφράσει από τα ελληνικά στα λατινικά τα δεκατρία βιβλία του ∆ιόφαντου , στις οποίες το συνόλο της αριθµητικής βρίσκεται κρυµµένο .... " . Η πρώτη λατινική µετάφραση της Αριθµητικής ήταν από τον Bombelli που µετέφρασε ένα µεγάλο µέρος του έργου το 1570 , αλλά ποτέ δεν δόθηκε στη δηµοσιότητα . Ο Bombelli , ωστόσο , δανείζεται πολλά από τα προβλήµατα του ∆ιόφαντου για το βιβλίο , του Άλγεβρα . Η editio princeps των Αριθµητικών δηµοσιεύθηκε το 1575 , από τον Xylander . Η πιο διάσηµη λατινική µετάφραση της Αριθµητικης ήταν από τον Bachet το 1621 , η οποία ήταν η πρώτη µετάφραση της Αριθµητικης στη διάθεση του κοινού .

Page 93: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-92-

Το πρόβληµα II.8 στην Αριθµητική (έκδοση του 1670) , σχολιασµένο απο τον Fermat το οποίο έγινε το τελευταίο θεώρηµα του . Το 1621 έκδοση της Αριθµητικής από τον Bombelli κέρδισε τη φήµη του Pierre de Fermat και έγραψε ενα περίφηµο « τελευταίο θεώρηµα » του στο περιθώριο του αντιγράφου του:

« Αν ένας ακέραιος >η 2 , τότε η εξίσωση : η η ηα + β = γ δεν έχει λύσεις σε µη

µηδενικoύς ακεραίους α , β και γ . Έχω µια πραγµατικά θαυµάσια απόδειξη αυτής της πρότασης , που αυτό το περιθώριο είναι πολύ µικρό για να χωρέσει . " Απόδειξη του Φερµά δεν βρέθηκε ποτέ , και το πρόβληµα της εξεύρεσης µια απόδειξη για το θεώρηµα πήγε άλυτο εδώ και αιώνες . Μια απόδειξη βρέθηκε τελικά το 1994 , από τον Andrew Wiles αφού εργαζόταν σε αυτό για επτά χρόνια . Πιστεύεται ότι ο Fermat δεν είχε στην πραγµατικότητα την απόδειξη που ισχυριζόταν ότι είχε . Αν και το πρωτότυπο στο οποίο ο Fermat έγραψε αυτό έχει χαθεί σήµερα , ο γιος του Fermat επιµελήθηκε την επόµενη έκδοση του ∆ιόφαντου , που δηµοσιεύθηκε το 1670 . Ακόµα κι αν το κείµενο είναι διαφορετικά κατώτερο από την έκδοση 1621 , στους σχολιασµούς , συµπεριλαµβανοµένων του Φερµά το περίφηµο « τελευταίο θεώρηµα » του - τυπώθηκαν σε αυτή την έκδοση . Ο ∆ιόφαντος δεν έγραψε µόνο Αριθµητική , αλλά πολύ λίγα από άλλα έργα του έχουν διασωθεί . Έχει συγγράψει ένα σωλήνα , το " Περι πολυγωνικών Αριθµών " , και µια συλλογή από προτάσεις , που ονοµάζονται ΠορισµαταΠορισµαταΠορισµαταΠορισµατα . Ο ∆ιόφαντος ο ίδιος αναφέρεται σε ένα έργο το οποίο αποτελείται από µια συλλογή των ληµµάτων που ονοµάζεται ΠορισµαταΠορισµαταΠορισµαταΠορισµατα , αλλά αυτό το βιβλίο έχει εντελώς χαθεί . Πολλοί µελετητές και οι ερευνητές πιστεύουν ότι τα Πορίσµατα µπορεί να ήταν στην πραγµατικότητα ένα τµήµα που περιλαµβάνονται µέσα στην Αριθµητική ή µπορεί να ήταν το υπόλοιπο της Αριθµητικης . Παρά το γεγονός ότι τα Πορίσµατα χάθηκαν, τρία λήµµατα που περιέχονται σε Πορίσµατα είναι γνωστό γιατί ο ∆ιόφαντος αναφέρεται σ 'αυτά στην Αριθµητική . Ένα τέτοιο λήµµα είναι ότι η διαφορά των κύβων των δύο ρητών αριθµών είναι ίση µε το άθροισµα των κύβων των άλλων δύο ρητών αριθµών. Είναι, δεδοµένο ότι για κάθε αριθµούς α , β υπάρχουν αριθµοί γ και δ , έτσι ώστε να ισχύει : α β− =3 3 3 3γ + δ . Στους πολυγωνικούς αριθµούς και τα γεωµετρικά στοιχεία ο ∆ιόφαντος είναι επίσης γνωστό ότι έχει γραµµένο πολυγωνικό αριθµό . Θραύσµατα από ένα από τα βιβλία του ∆ιόφαντου σε πολυγωνικό αριθµό , ένα θέµα µεγάλου ενδιαφέροντος για τον Πυθαγόρα και τους οπαδούς του , έχει επιβιώσει . Ένα σωζόµενο έργο που ονοµάζεται Προκαταρκτικά στα γεωµετρικά στοιχείαΠροκαταρκτικά στα γεωµετρικά στοιχείαΠροκαταρκτικά στα γεωµετρικά στοιχείαΠροκαταρκτικά στα γεωµετρικά στοιχεία , που έχει αποδοθεί σε Ήρωας της Αλεξάνδρειας , έχει µελετηθεί πρόσφατα και προτείνεται να αποδίδεται στο ∆ιόφαντο της Αλεξάνδρειας που ήταν ένας Έλληνας µαθηµατικός .

Page 94: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-93-

Είναι µερικές φορές που αποκαλείται « ο πατέρας της Άλγεβρας » , ένας τίτλος που µοιράζεται µε Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi . Είναι συγγραφέας µιας σειράς κλασικών µαθηµατικών βιβλίων που ονοµάζεται , η Αριθµητική και εργάστηκε µε εξισώσεις οι οποίες ονοµάζονται τώρα ∆ιοφαντικες εξισώσεις , της µεθόδου για την επίλυση αυτών των προβληµάτων που καλείται τώρα ο ∆ιοφαντος να αναλύσει . Η µελέτη των ∆ιοφαντικων εξισώσεων είναι µια από τις κεντρικές περιοχές της θεωρίας των αριθµών . Ο ∆ιόφαντος συνέγραψε επίσης ένα σύστηµα « Περί Πολυγώνων Αριθµών » και µια συλλογή των προτάσεων που ονοµάζονται Πορίσµατα . Τα ευρήµατα και τα έργα του ∆ιόφαντου έχουν επηρεάσει σε µεγάλο βαθµό τα µαθηµατικά και προκάλεσαν πολλές άλλες ερωτήσεις που θα προκύψουν . Το πιο διάσηµο από αυτά είναι το τελευταίο θεώρηµα του Fermat . Το έργο του ∆ιόφαντου είχε µια µεγάλη επιρροή στην ιστορία . Εκδόσεις της Αριθµητικης άσκησαν βαθιά επίδραση στην ανάπτυξη της ;Aλγεβρας στην Ευρώπη στα τέλη της δεκαετίας δέκατο έκτο και µέσα από το δέκατο έβδοµο και τον δέκατο όγδοο αιώνα . Ο ∆ιόφαντος και τα έργα του έχουν επηρεάσει επίσης Αραβικά µαθηµατικά και ήταν µεγάλη φήµη µεταξύ των αραβικών µαθηµατικών . Το έργο του ∆ιόφαντου δηµιούργησε ένα ίδρυµα για την εργασία στην άλγεβρα και , στην πραγµατικότητα , ένα µεγάλο µέρος των προηγµένων µαθηµατικών βασίζεται στην άλγεβρα . Ο ∆ιόφαντος συχνά αποκαλείται « ο πατέρας της Άλγεβρας » γιατί συνέβαλε τα µέγιστα στην θεωρία αριθµών , τη µαθηµατική σηµειογραφία , και επειδή η Αριθµητική περιέχει την αρχαιότερη γνωστή χρήση του συνκόπτεται σηµειογραφία . Ωστόσο , φαίνεται ότι πολλές από τις µεθόδους για την επίλυση γραµµικών και τετραγωνικών εξισώσεων που χρησιµοποιούνται από ∆ιόφαντο να εχουν επιστρέψει στα βαβυλώνια µαθηµατικά . Σύµφωνα µε κάποιους ιστορικούς των µαθηµατικών , όπως ο Florian Cajori, ο ∆ιόφαντος πήρε την πρώτη γνώση της άλγεβρας από την Ινδία, αν και διαφωνούν άλλοι ιστορικοί . Ο ∆ιόφαντος έκανε σηµαντικές προόδους στην µαθηµατική σηµειογραφία . Ήταν ο πρώτος άνθρωπος που χρησιµοποίησε αλγεβρική σηµειογραφία και συµβολισµό . Ο ∆ιόφαντος εισήγαγε ένα αλγεβρικό συµβολισµό που χρησιµοποιεί ένα απλουστευµένο συµβολισµό για συχνές πράξεις , και µια συντοµογραφία για το άγνωστο και για τις εξουσίες του αγνώστου . Αν και ο ∆ιόφαντος έκανε σηµαντικές προόδους στον συµβολισµό , δεν είχε και πάλι τα απαραίτητα σύµβολα για να εκφράσουν τις πιο γενικές µεθόδους . Αυτό προκάλεσε το έργο του να ασχολείται περισσότερο µε συγκεκριµένα προβλήµατα και όχι µε γενικές καταστάσεις . Για παράδειγµα , ο ∆ιόφαντος δεν είχε σύµβολα για τη λειτουργία του πολλαπλασιασµού . Αυτό πιθανότατα έγινε τέτοιο από συντελεστές του για έχει πιο σαφής αριθµούς ή κλάσµατα , και τα αποτελέσµατα καταγράφονται , χωρίς να δείχνουν προηγούµενες εργασίες που οδήγησαν στο αποτέλεσµα .

Page 95: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-94-

Ορισµένοι από τους περιορισµούς της σηµειογραφίας του ∆ιόφαντου είναι ότι είχε µόνο συµβολισµό για ένα άγνωστο και , όταν τα προβλήµατα που εµπλέκονται περισσότερες από µία άγνωστες , ο ∆ιόφαντος ήταν µειωµένος στην έκφραση « πρώτο άγνωστο » , « δεύτερο άγνωστο » , κλπ. στις λέξεις . Εκείνος δεν είχε επίσης ένα σύµβολο για ένα γενικό αριθµό n . Σε περίπτωση που κάποιος θα γράψει : (12 + 6 n ) / ( 2n – 3) , ο ∆ιόφαντος πρέπει να καταφύγει σε κατασκευές όπως : ... έξι φορές ο αριθµός αυξήθηκε από δώδεκα , ο οποιος χωρίζεται από τη διαφορά µε την οποία η πλατεία του αριθµού υπερβαίνει τα τρία . Η Heath δήλωσε, ότι " ο ∆ιόφαντος προφανώς διατυπώνει εξισώσεις του , κατά τη συνήθη πορεία της γραφής , δηλαδή γράφτηκαν ευθεία , όπως είναι τα βήµατα της τις προτάσεις του Ευκλείδη , και να µην τεθεί σε ξεχωριστές γραµµές και για κάθε βήµα στη διαδικασία της απλοποίησης . "

Page 96: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-95-

ΠΠΠΠΑΠΠΟΣ ΑΠΠΟΣ ΑΠΠΟΣ ΑΠΠΟΣ ΟΟΟΟ ΑΑΑΑΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣΛΕΞΑΝ∆ΡΙΝΟΣ

Έζησε και άκµασε γύρω στο 300 µ.Χ . Μαθηµατικός του τέλους της Έλληνικής αρχαιότητας , ένοιωσε την ανάγκη λίγο πριν το σκοτάδι του µεσαίωνα να υποµνήσει έργα αρχαίων Έλληνων µαθηµατικών , µεταξύ των οποίων ο Ευκλείδης , ο ∆ιόδωρος ο Αλεξανδρινός και ο Πτολεµαίος . Κορυφαίο από τα έργα του υπήρξε το µε τίτλο " Μαθηµατική Συναγωγή " , σε 8 βιβλία , από τα οποία χάθηκαν το πρώτο και η αρχή του δευτέρου . Το περιεχόµενο του έργου αυτού ήταν θεωρήµατα , προβλήµατα και κατασκευές των περιφηµότερων Ελλήνων Μαθηµατικών της αρχαιότητας , µε θέµα τους ενδιαφέροντα ζητήµατα της τότε ανώτερης Γεωµετρίας ( ∆ιπλασιασµός του κύβου , τετραγωνισµός του κύκλου , κέντρο βάρους , γεωµετρικοί τόποι και άλλα) . Το έργο αυτό όµως δεν αποτελεί απλώς µία συλλογή σχολίων . Ο Πάππος , αναφερόµενος στα αρχαία ζητήµατα της Γεωµετρίας , κριτικάρει , διορθώνει και γενικεύει πολλές από τις προτάσεις των παλαιοτέρων γεωµετρών προσφέροντας ταυτόχρονα ένα τεράστιο όγκο ιστορικών και βιβλιογραφικών πληροφοριών . Οι περισσότερες πληροφορίες για τα χαµένα έργα των µεγάλων Έλλήνων Μαθηµατικών περιέχονται στο έργο αυτό , στο οποίο ο ίδιος προσθέτει µεγάλο πλήθος δικών του Ληµµάτων . Σηµαντικά τµήµατα του περιεχοµένου του είναι: -- Το περίφηµο θεώρηµα που φέρει το όνοµα του . Αυτό µάλλον αποτελεί γενίκευση µιας ιδέας του ∆ιονυσόδωρου του Μήλιου . -- Η θεωρία των Ισοπεριµέτρων σχηµάτων για τις σχέσεις που συνδέουν τα εµβαδά τους . -- Κατάλογος 33 έργων που αποτελούσαν τον λεγόµενο αναλυόµενο τόποαναλυόµενο τόποαναλυόµενο τόποαναλυόµενο τόπο . Στον κατάλογο αυτό περιέχονται έργα του Ευκλείδη , του Απολλώνιου, του Ερατοσθένη και άλλων . -- Οι καµπύλες που λύνουν τα τρία διάσηµα προβλήµατα της αρχαιότητας (∆ήλιο πρόβληµα , Τετραγωνισµός του κύκλου και Τριχοτόµηση γωνίας) . Αναφέρεται στην Έλικα του Αρχιµήδη και την Τετραγωνίζουσα του Ιππία , µε την βοήθεια των οποίων δίνονται γενικές λύσεις του προβλήµατος υποδιαίρεσης γωνίας σε ίσα µέρη . Η " Μαθηµατική Συναγωγή " του Πάππου αποτελεί τον επίλογο της Έλληνικής Γεωµετρίας , της οποίας νοιώθει ότι πλησιάζει το τέλος . Είναι µία αγωνιώδης ίσως προσπάθεια διατήρησης της επαφής µε το παρελθόν , το οποίο µε ασφαλή βήµατα χανόταν στο σκοτάδι του επερχόµενου µεσαίωνα .

Page 97: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-96-

ΥΠΑΤΙΑΥΠΑΤΙΑΥΠΑΤΙΑΥΠΑΤΙΑ Η ΘΕΩΝΟΣΗ ΘΕΩΝΟΣΗ ΘΕΩΝΟΣΗ ΘΕΩΝΟΣ

Η ΥπατίαΥπατίαΥπατίαΥπατία (370-415 µ.Χ.) υπήρξε Ελληνίδα νεοπλατωνική φιλόσοφος , αστρονόµος και µαθηµατικός . Έζησε και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια όπου και δολοφονήθηκε από όχλο που αποτελείτο από φανατικούς χριστιανούς . Κόρη του µαθηµατικού και αστρονόµου Θέωνα , έλαβε µε τις φροντίδες του πατέρα της την καλύτερη δυνατή εκπαίδευση και ταξίδεψε στην Αθήνα και στην Ιταλία . Στην Αθήνα παρακολούθησε µαθήµατα στη νεοπλατωνική σχολή του Πλούταρχου του Νεότερου και της κόρης του Ασκληπιγένειας , αλλά µαθήτευσε και κοντά στο Πρόκλο και τον Ιεροκλή . Επιστρέφοντας στην Αλεξάνδρεια , έγινε επικεφαλής της εκεί σχολής των Πλατωνιστών (400 µ.Χ.) , δίδαξε φιλοσοφία και µαθηµατικά και αποτέλεσε πόλο έλξης για τους διανοούµενους της εποχής , ενώ έκανε και εκτενή και ουσιώδη σχόλια στα µαθηµατικά έργα του ∆ιόφαντου και του Απολλώνιου . ∆υστυχώς παρότι η ίδια η Υπατία υπήρξε πολυγραφότατη κανένα από τα έργα της δεν σώζεται και έχουµε µόνο αναφορές για αυτά . Πολλοί από τους µαθητές της ανήκαν στους ανώτατους κύκλους της αριστοκρατίας της πόλης και έγιναν σηµαντικές προσωπικότητες , όπως ο επίσκοπος Κυρήνης Συνέσιος και ο έπαρχος της Αλεξανδρείας Ορέστης . Η ίδια επηρεάστηκε φιλοσοφικά από τους νεοπλατωνικούς Πλωτίνο και Ιάµβλιχο . Η Υπατία τελικά δολοφονήθηκε , σύµφωνα µε το Σωκράτη σχολαστικό , από µερίδα πλήθους χριστιανών οι οποίοι πίστευαν ότι ήταν υπαίτια για τη µη συµφιλίωση του επάρχου Ορέστη και του Επισκόπου Αλεξανδρείας Κύριλλου , οι οποίοι βρίσκονταν σε διένεξη και παρότι είχε πολλούς χριστιανούς φίλους . Ο φανατισµένος όχλος την ξεγύµνωσε, την κατέκοψε µε θραύσµατα αγγείων ή κοφτερά όστρακα και µετά έκαψαν τα σκορπισµένα και αιµόφυρτα µέλη της , πρακτική που ακολουθούσε ο όχλος της περιοχής και σε άλλες περιπτώσεις , όπως στην περίπτωση του Πατριάρχη Προτέριου . Ο αστεροειδής 238 Υπατία238 Υπατία238 Υπατία238 Υπατία , που ανακαλύφθηκε το 1884 , πήρε το όνοµά του από την ιστορική αυτή µορφή . Έργα της Υπατίας :

• Αριθµητικά του ∆ιόφαντου (σχόλια) • Σχόλια για τον Αστρονοµικό Κανόνα του Πτολεµαίου • Περί των Κωνικών του Απολλώνιου .

Page 98: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-97-

ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΙΟ ΣΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΙΟ ΣΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΙΟ ΣΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΙΟ ΣΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ———— ΣΥΜΠΕΡΑΣΣΥΜΠΕΡΑΣΣΥΜΠΕΡΑΣΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Φτιάξαµε ένα ερωτηµατολόγιο σχετικά µε το τί γνωρίζουν οι µαθητές της Α΄ Λυκείου του 1ου ΓΕ.Λ Αλεξ/πολης για τους Αρχαίους Έλληνες Μαθηµατικούς και τη σηµασία των επιτευγµάτων τους στη σύγχρονη εποχή ! Το παρακάτω ερωτηµατολόγιο είναι ενδεικτικό του πως οι σηµερινοί νέοι αντιµετωπίζουν ή εµβαθύνουν τις γνώσεις τους στα Μαθηµατικά !

ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ

ΑΓΟΡΙ ΚΟΡΙΤΣΙ

Το θέµα της εργασίας µας είναι :

« Ιστορία των Ιστορία των Ιστορία των Ιστορία των MMMMααααθηµατικώνθηµατικώνθηµατικώνθηµατικών ---- Αρχαίοι Έλληνες µαθηµατικοί και το έργο τουςΑρχαίοι Έλληνες µαθηµατικοί και το έργο τουςΑρχαίοι Έλληνες µαθηµατικοί και το έργο τουςΑρχαίοι Έλληνες µαθηµατικοί και το έργο τους »»»» ....

Θεωρείται το θέµα της εργασίας µας

Βαρετό Eνδιαφέρον Aσήµαντο Άγνωστο

Θα σας ενδιέφερε να αποκτήσετε γνώσεις για το έργο των Αρχαίων

Ελλήνων Μαθηµατικών ;

Πολύ Αρκετά Λίγο Καθόλου

Το να γνωρίζουν οι µαθητές την ιστορία των µαθηµατικών θα τους

βοηθήσει στην εκµάθηση και στην κατανόηση τους ;

Πιστεύω πως ναι ∆εν είµαι βέβαιος/α

∆εν γνωρίζω Καθόλου

Αντιµετωπίζετε τα Μαθηµατικά ως

α. ένα ευχάριστο και χρήσιµο µάθηµα

β. ένα µάθηµα που είµαι αναγκασµένος/η να διαβάσω

γ. ένα µάθηµα που θα ήθελα να ασχοληθώ περισσότερο

δ. ένα µάθηµα που δεν µε ενδιαφέρει καθόλου

Page 99: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-98-

Ποιόν θεωρείτε πιο σπουδαίο Μαθηµατικό της Αρχαιότητας ; Γιατί ;

Ποιοί είναι οι παράγοντες που εµποδίζουν τους σηµερινούς νέους να

ασχοληθούν σε βάθος µε τα Μαθηµατικά ;

Έλλειψη ελεύθερου χρόνου Νέα τεχνολογικά µέσα

Άγνοια για το αντικείµενο Η δυσκολία κατανόησής τους

Πιστεύετε ότι οι σηµερινοί νέοι µπορούν να ανακαλύψουν νέα

στοιχεία/προτάσεις στα Μαθηµατικά ;

Ίσως Καθόλου Ναι ∆ε γνωρίζω

Θα θέλατε κάποτε να ασχοληθείτε µε µια ερευνητικη εργασία παρόµοιου

θέµατος ;

Πολύ Aρκετά ∆εν ειµαι βέβαιος/α Καθόλου

Πιστεύετε ότι η προσπάθεια για ανακάλυψη νέων στοιχείων στα

Μαθηµατικά επιβραβεύεται την σηµερινή εποχή ;

Πολύ Αρκετά Λίγο Καθόλου Μαθητές Α΄ ΛυκείουΜαθητές Α΄ ΛυκείουΜαθητές Α΄ ΛυκείουΜαθητές Α΄ Λυκείου Της ερευνητικής εργασίας Της ερευνητικής εργασίας Της ερευνητικής εργασίας Της ερευνητικής εργασίας Του 1Του 1Του 1Του 1ουουουου ΓΕ.Λ Αλεξανδρούπολης ΓΕ.Λ Αλεξανδρούπολης ΓΕ.Λ Αλεξανδρούπολης ΓΕ.Λ Αλεξανδρούπολης

Page 100: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-99-

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

1111ηηηη ΕρώτησηΕρώτησηΕρώτησηΕρώτηση : : : :

Αγόρια Αγόρια Αγόρια Αγόρια : : : : Βαρετό Βαρετό Βαρετό Βαρετό 32,1% (18/56) , Ενδιαφέρον 60,7% (34/56) , 32,1% (18/56) , Ενδιαφέρον 60,7% (34/56) , 32,1% (18/56) , Ενδιαφέρον 60,7% (34/56) , 32,1% (18/56) , Ενδιαφέρον 60,7% (34/56) , Ασήµαντο 7,1% (4/56) , Άγνωστο 0% Ασήµαντο 7,1% (4/56) , Άγνωστο 0% Ασήµαντο 7,1% (4/56) , Άγνωστο 0% Ασήµαντο 7,1% (4/56) , Άγνωστο 0% ΚορίτσιαΚορίτσιαΚορίτσιαΚορίτσια : : : : Βαρετό 30,9Βαρετό 30,9Βαρετό 30,9Βαρετό 30,9% (21/68) , Ενδιαφέρον 55,9% (38/68) , % (21/68) , Ενδιαφέρον 55,9% (38/68) , % (21/68) , Ενδιαφέρον 55,9% (38/68) , % (21/68) , Ενδιαφέρον 55,9% (38/68) , Ασήµαντο 5,9% (4/68) , Άγνωστο 7,3% (5/68) Ασήµαντο 5,9% (4/68) , Άγνωστο 7,3% (5/68) Ασήµαντο 5,9% (4/68) , Άγνωστο 7,3% (5/68) Ασήµαντο 5,9% (4/68) , Άγνωστο 7,3% (5/68)

2222ηηηη ΕρώτησηΕρώτησηΕρώτησηΕρώτηση : : : :

Αγόρια Αγόρια Αγόρια Αγόρια :::: Πολύ 19,6% (11/56) , Αρκετά 28,6% (16/56) , Λίγο 39,Πολύ 19,6% (11/56) , Αρκετά 28,6% (16/56) , Λίγο 39,Πολύ 19,6% (11/56) , Αρκετά 28,6% (16/56) , Λίγο 39,Πολύ 19,6% (11/56) , Αρκετά 28,6% (16/56) , Λίγο 39,3333% (22/56) ,% (22/56) ,% (22/56) ,% (22/56) , Καθόλου Καθόλου Καθόλου Καθόλου 12,5% (7/56)12,5% (7/56)12,5% (7/56)12,5% (7/56) Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια : : : : Πολύ 13,2% (9/68) , Αρκετά 29,4% (20/68) , Λίγο 39,Πολύ 13,2% (9/68) , Αρκετά 29,4% (20/68) , Λίγο 39,Πολύ 13,2% (9/68) , Αρκετά 29,4% (20/68) , Λίγο 39,Πολύ 13,2% (9/68) , Αρκετά 29,4% (20/68) , Λίγο 39,7% (27/68) ,7% (27/68) ,7% (27/68) ,7% (27/68) , Καθόλου 17,7% (12/68)Καθόλου 17,7% (12/68)Καθόλου 17,7% (12/68)Καθόλου 17,7% (12/68)

3333ηηηη ΕρώτησηΕρώτησηΕρώτησηΕρώτηση : : : :

Αγόρια :Αγόρια :Αγόρια :Αγόρια : Πιστεύω πως ναι 46,4% (26/56) , ∆εν είµαι βέβαιος 35,8% (20/56) ,Πιστεύω πως ναι 46,4% (26/56) , ∆εν είµαι βέβαιος 35,8% (20/56) ,Πιστεύω πως ναι 46,4% (26/56) , ∆εν είµαι βέβαιος 35,8% (20/56) ,Πιστεύω πως ναι 46,4% (26/56) , ∆εν είµαι βέβαιος 35,8% (20/56) , ∆ε γνωρίζω 1,8% (1/56) , Καθόλου 16% (9/56)∆ε γνωρίζω 1,8% (1/56) , Καθόλου 16% (9/56)∆ε γνωρίζω 1,8% (1/56) , Καθόλου 16% (9/56)∆ε γνωρίζω 1,8% (1/56) , Καθόλου 16% (9/56) Κορίτσια :Κορίτσια :Κορίτσια :Κορίτσια : Πιστεύω πως ναι 41,Πιστεύω πως ναι 41,Πιστεύω πως ναι 41,Πιστεύω πως ναι 41,2222% (28/68) , ∆εν είµαι βέβαια 38,2% (26/68) ,% (28/68) , ∆εν είµαι βέβαια 38,2% (26/68) ,% (28/68) , ∆εν είµαι βέβαια 38,2% (26/68) ,% (28/68) , ∆εν είµαι βέβαια 38,2% (26/68) , ∆ε γνωρίζ∆ε γνωρίζ∆ε γνωρίζ∆ε γνωρίζω 8,8% (6/68) , Καθόλου 1ω 8,8% (6/68) , Καθόλου 1ω 8,8% (6/68) , Καθόλου 1ω 8,8% (6/68) , Καθόλου 11,81,81,81,8% (% (% (% (8888////68686868))))

4444ηηηη ΕρώτησηΕρώτησηΕρώτησηΕρώτηση : : : :

Αντιµετωπίζετε τα Μαθηµατικά ως Αντιµετωπίζετε τα Μαθηµατικά ως Αντιµετωπίζετε τα Μαθηµατικά ως Αντιµετωπίζετε τα Μαθηµατικά ως

α. ένα ευχάριστο και χρήσιµο µάθηµα α. ένα ευχάριστο και χρήσιµο µάθηµα α. ένα ευχάριστο και χρήσιµο µάθηµα α. ένα ευχάριστο και χρήσιµο µάθηµα

Αγόρια :Αγόρια :Αγόρια :Αγόρια : 44,44,44,44,7777% (25/56) % (25/56) % (25/56) % (25/56) , , , , KoKoKoKoρίτσιαρίτσιαρίτσιαρίτσια : : : : 35,3% (24/68)35,3% (24/68)35,3% (24/68)35,3% (24/68)

β. ένα µάθηµα που είµαι αναγκασµένος/η να διαβάσωβ. ένα µάθηµα που είµαι αναγκασµένος/η να διαβάσωβ. ένα µάθηµα που είµαι αναγκασµένος/η να διαβάσωβ. ένα µάθηµα που είµαι αναγκασµένος/η να διαβάσω

Αγόρια :Αγόρια :Αγόρια :Αγόρια : 12,5% (7/56) , 12,5% (7/56) , 12,5% (7/56) , 12,5% (7/56) , KoKoKoKoρίτρίτρίτρίτσια σια σια σια :::: 27,9% (19/68)27,9% (19/68)27,9% (19/68)27,9% (19/68)

γ. ένα µάθηµα που θα ήθελα να ασχοληθώ περισσότερογ. ένα µάθηµα που θα ήθελα να ασχοληθώ περισσότερογ. ένα µάθηµα που θα ήθελα να ασχοληθώ περισσότερογ. ένα µάθηµα που θα ήθελα να ασχοληθώ περισσότερο

Αγόρια : Αγόρια : Αγόρια : Αγόρια : 30,3% (17/56) , 30,3% (17/56) , 30,3% (17/56) , 30,3% (17/56) , KoKoKoKoρίτσια ρίτσια ρίτσια ρίτσια :::: 11,8% (8/68)11,8% (8/68)11,8% (8/68)11,8% (8/68)

δ. ένα µάθηµα που δεν µε ενδιαφέρει καθόλουδ. ένα µάθηµα που δεν µε ενδιαφέρει καθόλουδ. ένα µάθηµα που δεν µε ενδιαφέρει καθόλουδ. ένα µάθηµα που δεν µε ενδιαφέρει καθόλου

Αγόρια :Αγόρια :Αγόρια :Αγόρια : 12,5% (7/56) , 12,5% (7/56) , 12,5% (7/56) , 12,5% (7/56) , KoKoKoKoρίτσια ρίτσια ρίτσια ρίτσια :::: 25% (17/68)25% (17/68)25% (17/68)25% (17/68)

Page 101: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-100-

5555ηηηη ΕρώτησηΕρώτησηΕρώτησηΕρώτηση : : : : Πυθαγόρας Αγόρια Αγόρια Αγόρια Αγόρια :::: 25% (14/56) , Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια :::: 45,6% (31/68)

Ευκλείδης Αγόρια Αγόρια Αγόρια Αγόρια :::: 16% (9/56) , Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια :::: 26,5 (18/68)

Θαλής Αγόρια Αγόρια Αγόρια Αγόρια :::: 26,7% (15/56) , Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια :::: 14,7 % (10/68)

Αρχιµήδης ΑγόριαΑγόριαΑγόριαΑγόρια : : : : 0% , ΚορίτσιαΚορίτσιαΚορίτσιαΚορίτσια :::: 2,9% (2/68)

∆ε γνωρίζουν/∆εν απαντούν∆ε γνωρίζουν/∆εν απαντούν∆ε γνωρίζουν/∆εν απαντούν∆ε γνωρίζουν/∆εν απαντούν Αγόρια Αγόρια Αγόρια Αγόρια :::: 32,1% (18/56) , Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια :::: 10,3 (7/68)

Για ποιο λόγο επιλέξατε το συγκεκριµένο Για ποιο λόγο επιλέξατε το συγκεκριµένο Για ποιο λόγο επιλέξατε το συγκεκριµένο Για ποιο λόγο επιλέξατε το συγκεκριµένο µαµαµαµαθηµατικό; θηµατικό; θηµατικό; θηµατικό;

Για τη σηµερινή χρησιµότητα των θεωρηµάτων του

Αγόρια Αγόρια Αγόρια Αγόρια :::: 16% (9/56) , Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια :::: 14,7% (10/68)

Τον γνωρίζουν από το Θεώρηµα που ασχολήθηκε και απέδειξε

Αγόρια Αγόρια Αγόρια Αγόρια :::: 26,8% (15/56)26,8% (15/56)26,8% (15/56)26,8% (15/56) , , , , Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια :::: 29,4% (20/68)29,4% (20/68)29,4% (20/68)29,4% (20/68)

Ο συγκεκριµένος µαθηµατικός ασχολήθηκε τόσο µε τα Μαθηµατικά όσο και µεΟ συγκεκριµένος µαθηµατικός ασχολήθηκε τόσο µε τα Μαθηµατικά όσο και µεΟ συγκεκριµένος µαθηµατικός ασχολήθηκε τόσο µε τα Μαθηµατικά όσο και µεΟ συγκεκριµένος µαθηµατικός ασχολήθηκε τόσο µε τα Μαθηµατικά όσο και µε

την Αστρονοµία την Αστρονοµία την Αστρονοµία την Αστρονοµία

Αγόρια Αγόρια Αγόρια Αγόρια :::: 0% , 0% , 0% , 0% , Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια :::: 5,9% (4/68) 5,9% (4/68) 5,9% (4/68) 5,9% (4/68) ∆ε γνωρίζουν/ ∆εν απαντούν ∆ε γνωρίζουν/ ∆εν απαντούν ∆ε γνωρίζουν/ ∆εν απαντούν ∆ε γνωρίζουν/ ∆εν απαντούν Αγόρια Αγόρια Αγόρια Αγόρια :::: 57,1% (32/56)57,1% (32/56)57,1% (32/56)57,1% (32/56) , , , , Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια : : : : 50% (34/68)50% (34/68)50% (34/68)50% (34/68)

6666ηηηη ΕρώτησηΕρώτησηΕρώτησηΕρώτηση :::: ΈλλειΈλλειΈλλειΈλλειψη ελεύθερου χρόνου ψη ελεύθερου χρόνου ψη ελεύθερου χρόνου ψη ελεύθερου χρόνου : : : : ΑγόριαΑγόριαΑγόριαΑγόρια :::: 35,7% (20/56) , 35,7% (20/56) , 35,7% (20/56) , 35,7% (20/56) , Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια :::: 33,8% (23/68) 33,8% (23/68) 33,8% (23/68) 33,8% (23/68) Νέα τεχνολογικά µέσα Νέα τεχνολογικά µέσα Νέα τεχνολογικά µέσα Νέα τεχνολογικά µέσα :::: Αγόρια Αγόρια Αγόρια Αγόρια :::: 12,5% (7/56) , 12,5% (7/56) , 12,5% (7/56) , 12,5% (7/56) , Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια : : : : 7,3% (5/68) 7,3% (5/68) 7,3% (5/68) 7,3% (5/68) Αγνοια για το αντικείµενο Αγνοια για το αντικείµενο Αγνοια για το αντικείµενο Αγνοια για το αντικείµενο : : : : Αγόρια Αγόρια Αγόρια Αγόρια :::: 10,7% (6/56) , 10,7% (6/56) , 10,7% (6/56) , 10,7% (6/56) , Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια :::: 5,9% (4/68) 5,9% (4/68) 5,9% (4/68) 5,9% (4/68) Η δυσκολία κατανόησής τους Η δυσκολία κατανόησής τους Η δυσκολία κατανόησής τους Η δυσκολία κατανόησής τους : : : : ΑΑΑΑγόρια γόρια γόρια γόρια :::: 41% (23/56) 41% (23/56) 41% (23/56) 41% (23/56) , , , , Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια :::: 52,9% (36/68) 52,9% (36/68) 52,9% (36/68) 52,9% (36/68)

Page 102: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-101-

7777ηηηη ΕρώτησηΕρώτησηΕρώτησηΕρώτηση : : : :

Ίσως Ίσως Ίσως Ίσως Αγόρια Αγόρια Αγόρια Αγόρια :::: 33,9% (19/56) , 33,9% (19/56) , 33,9% (19/56) , 33,9% (19/56) , Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια :::: 44,1% (30/68) 44,1% (30/68) 44,1% (30/68) 44,1% (30/68) Καθόλου Καθόλου Καθόλου Καθόλου Αγόρια Αγόρια Αγόρια Αγόρια :::: 17,817,817,817,8% (10/56) , % (10/56) , % (10/56) , % (10/56) , Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια : : : : 14,7% (10/68)14,7% (10/68)14,7% (10/68)14,7% (10/68) Ναι Ναι Ναι Ναι Αγόρια Αγόρια Αγόρια Αγόρια :::: 39,3%39,3%39,3%39,3% (22/56) , (22/56) , (22/56) , (22/56) , Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια :::: 26,5% (18/68)26,5% (18/68)26,5% (18/68)26,5% (18/68) ∆ε γνωρίζω∆ε γνωρίζω∆ε γνωρίζω∆ε γνωρίζω Αγόρια Αγόρια Αγόρια Αγόρια :::: 8,9% (5/56) , 8,9% (5/56) , 8,9% (5/56) , 8,9% (5/56) , Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια : : : : 14,714,714,714,7% (10/68)% (10/68)% (10/68)% (10/68)

8888ηηηη ΕρώτησηΕρώτησηΕρώτησηΕρώτηση : : : :

ΠολύΠολύΠολύΠολύ Αγόρια Αγόρια Αγόρια Αγόρια :::: 16% (9/56) , 16% (9/56) , 16% (9/56) , 16% (9/56) , Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια :::: 10,3% (7/68) 10,3% (7/68) 10,3% (7/68) 10,3% (7/68) ΑρκετάΑρκετάΑρκετάΑρκετά Αγόρια Αγόρια Αγόρια Αγόρια :::: 28,6% (16/56) , 28,6% (16/56) , 28,6% (16/56) , 28,6% (16/56) , Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια :::: 30,9% (21/68)30,9% (21/68)30,9% (21/68)30,9% (21/68) ∆εν είµαι βέβαιος/α∆εν είµαι βέβαιος/α∆εν είµαι βέβαιος/α∆εν είµαι βέβαιος/α Αγόρια Αγόρια Αγόρια Αγόρια :::: 26,8% (15/56) , 26,8% (15/56) , 26,8% (15/56) , 26,8% (15/56) , Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια :::: 29,4% (20/68)29,4% (20/68)29,4% (20/68)29,4% (20/68) ΚαθόλοΚαθόλοΚαθόλοΚαθόλουυυυ Αγόρια Αγόρια Αγόρια Αγόρια :::: 28,6% (16/56) , 28,6% (16/56) , 28,6% (16/56) , 28,6% (16/56) , Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια :::: 29,4% (20/68)29,4% (20/68)29,4% (20/68)29,4% (20/68)

9999ηηηη ΕρώτησηΕρώτησηΕρώτησηΕρώτηση : : : :

ΠολύΠολύΠολύΠολύ Αγόρια Αγόρια Αγόρια Αγόρια :::: 17,8% (10/56) , 17,8% (10/56) , 17,8% (10/56) , 17,8% (10/56) , Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια :::: 22% (15/68) 22% (15/68) 22% (15/68) 22% (15/68) ΑρκετάΑρκετάΑρκετάΑρκετά Αγόρια Αγόρια Αγόρια Αγόρια :::: 32,1%32,1%32,1%32,1% (18/56) , (18/56) , (18/56) , (18/56) , Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια :::: 35,3% (24/68)35,3% (24/68)35,3% (24/68)35,3% (24/68) ΛίγοΛίγοΛίγοΛίγο Αγόρια Αγόρια Αγόρια Αγόρια :::: 25% (14/56) , 25% (14/56) , 25% (14/56) , 25% (14/56) , Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια :::: 33,8% (23/68)33,8% (23/68)33,8% (23/68)33,8% (23/68) ΚαθόλουΚαθόλουΚαθόλουΚαθόλου Αγόρια Αγόρια Αγόρια Αγόρια :::: 25252525% (14/56) , % (14/56) , % (14/56) , % (14/56) , Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια Κορίτσια : : : : 8,8% (6/68) 8,8% (6/68) 8,8% (6/68) 8,8% (6/68)

Page 103: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-102-

ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΜΕ ΤΗΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΜΕ ΤΗΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΜΕ ΤΗΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΜΕ ΤΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΣΥΜΒΟΥΛΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΣΥΜΒΟΥΛΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΣΥΜΒΟΥΛΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΥΡΙΑ ΣΜΑΡΩ ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΟΥΚΥΡΙΑ ΣΜΑΡΩ ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΟΥΚΥΡΙΑ ΣΜΑΡΩ ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΟΥΚΥΡΙΑ ΣΜΑΡΩ ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΟΥ Στα πλαίσια της έρευνας καλέσαµε τη σύµβουλο των Μαθηµατικών κυρία Σµάρω Αλεξάνδρου για να µας µιλήσει για τη συµβολή των Αρχαίων Ελλήνων Μαθηµατικών και του έργου τους στη σηµερινή εποχή . Της ζητήσαµε να κάνει µια σύγκριση των επιτευγµάτων των Μαθηµατικών της τότε εποχής , µε τους νέους της σύγχρονης εποχής µε τα ποικίλα τεχνολογικά µέσα που διαθέτουν! Η συζήτηση επεκτάθηκε και σε κοινωνικούς και παιδαγωγικούς παράγοντες της ψυχολογίας των νεαρών µαθητών, οι οποίοι τους εµποδίζουν την πνευµατική ανάπτυξη και καλλιέργεια! Σας παραθέτουµε παρακάτω µέρος του διαλόγου που κάναµε και τις ερωτήσεις που υποβάλαµε στη σύµβουλο , οι απαντήσεις της οποίας µας κράτησαν αµείωτο το ενδιαφέρον καθόλη τη διάρκεια της συνέντευξης ! ΕΡΏΤΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝΕΡΏΤΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝΕΡΏΤΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝΕΡΏΤΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝ :::: TTTTί σας παρότρυνε να ασχοληθείτε µε τα Μαθηµατικά ί σας παρότρυνε να ασχοληθείτε µε τα Μαθηµατικά ί σας παρότρυνε να ασχοληθείτε µε τα Μαθηµατικά ί σας παρότρυνε να ασχοληθείτε µε τα Μαθηµατικά ;;;; AAAAΠΑΝΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥΠΑΝΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥΠΑΝΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥΠΑΝΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥ :::: To κίνητρο µε τα Μαθηµατικά ήταν ότι θα είχα τη δυνατότητα να µάθω να σκέφτοµαι καλύτερα. Πήγα στο Πρακτικό Λύκειο γιατί οι µαθητές λέγανε ότι ο συγκεκριµένος καθηγητής µαθαίνει τους µαθητές να σκέφτονται! Αγαπούσα τα Μαθηµατικά και έπαιρνα ευχαρίστηση όταν σκεφτόµουν και έλυνα δύσκολα προβλήµατα! Στην εποχή µας εσείς δέχεστε περισσότερες πληροφορίες, αλλά δεν έχετε το χρόνο, ούτε έχετε συνηθίσει στις διαδικασίες να σκέφτεστε και να παίρνετε ευχαρίστηση από τη σκέψη . Εγώ βασικά ήθελα να σπουδάσω φιλοσοφία , ψυχολογία και µαθηµατικά . Επέλεξα τα Μαθηµατικά µε κριτήριο ότι µου έδιναν µια σιγουριά ότι υπάρχει µία και µονάδική λύση στις ερωτήσεις και στα προβλήµατα όπως ότι 2 + 2 = 4 , ενώ οι ερωτήσεις στην ψυχολογία δεχόταν ένα πλήθος απαντήσεων που η συνισταµένη τους προσέγγιζε τη λύση , κάτι που µου δηµιουργούσε ανασφάλεια! Τα µαθηµατικά σύµβολα και τις έννοιες τα αντιλαµβάνεται ο καθένας µε το δικό του τρόπο , όπου προβάλει τα αντικείµενα από τον εσωτερικό του κόσµο. Υπάρχει δηλαδή ένας ιδιωτικός κώδικας , όπου ο καθηγητής και ο µαθητής προβάλουν ένα διαφορετικό τµήµα του εαυτού τους µε δικές τους κάθε φορά σκέψεις και συναισθήµατα και ένας δηµόσιος κώδικας , όπου το άτοµο µπορεί µε τη βοήθεια των συµβόλων να επικοινωνεί µε τα άλλα άτοµα , διαµορφώνοντας ένα νόηµα ενός αριθµού που µπορεί να σηµαίνει κάτι γι’ αυτό!

Page 104: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-103-

ΕΡΏΤΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝΕΡΏΤΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝΕΡΏΤΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝΕΡΏΤΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝ :::: Ποιό Μαθηµατικό της Αρχαιότητας έχετε ξεχωρίσει για το έργο του και γιατίΠοιό Μαθηµατικό της Αρχαιότητας έχετε ξεχωρίσει για το έργο του και γιατίΠοιό Μαθηµατικό της Αρχαιότητας έχετε ξεχωρίσει για το έργο του και γιατίΠοιό Μαθηµατικό της Αρχαιότητας έχετε ξεχωρίσει για το έργο του και γιατί ;;;; AAAAΠΑΝΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥΠΑΝΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥΠΑΝΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥΠΑΝΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥ :::: Έχω ξεχωρίσει τον Πυθαγόρα γιατί έχει ασχοληθεί µε την έννοια του αριθµού, την οποία θεωρώ πολύ βασική έννοια για τη συγκρότηση της µαθηµατικής σκέψης και για την κατανόηση του κόσµου. Στη Σάµο υπάρχει ένα πολύ µεγάλο άγαλµα του Πυθαγόρα που στη βάση γράφει τη φράση : « το νόηµα του κόσµου είναι ο αριθµός 3 » . Για µένα αυτό ίσως συµβολίζει ότι το δυαδικό σύστηµα , καλό — κακό , που χρησιµοπούµε για να δώσουµε νόηµα στο αντί — κείµενο κόσµο δεν αρκεί και χρειάζεται να προχωρήσουµε σε µία Τρίτη διάσταση για να προσεγγίσουµε την αλήθεια . ΕΡΏΤΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝΕΡΏΤΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝΕΡΏΤΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝΕΡΏΤΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝ :::: Ήταν δύσκολη η πορεία σας για να γίνετε ΜαΉταν δύσκολη η πορεία σας για να γίνετε ΜαΉταν δύσκολη η πορεία σας για να γίνετε ΜαΉταν δύσκολη η πορεία σας για να γίνετε Μαθηµατικός θηµατικός θηµατικός θηµατικός ;;;; AAAAΠΑΝΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥΠΑΝΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥΠΑΝΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥΠΑΝΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥ :::: ∆εν ήταν δύσκολη η πορεία µου να γίνω Μαθηµατικός , γιατί αγαπούσα τα Μαθηµατικά από µικρή ηλικία και χαιρόµουν πολύ όταν έλυνα προβλήµατα Πρακτικής Αριθµητικής . Ακόµη µε βοήθησε ο πατέρας µου να κατανοήσω τα µαθηµατικά στο δηµοτικό ! ΕΡΏΤΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝΕΡΏΤΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝΕΡΏΤΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝΕΡΏΤΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝ :::: Πιστεύετε ότι αν βρισκόσασταν στην αρχαία εποχή θα γινόσασταν αποδεκτή ως Πιστεύετε ότι αν βρισκόσασταν στην αρχαία εποχή θα γινόσασταν αποδεκτή ως Πιστεύετε ότι αν βρισκόσασταν στην αρχαία εποχή θα γινόσασταν αποδεκτή ως Πιστεύετε ότι αν βρισκόσασταν στην αρχαία εποχή θα γινόσασταν αποδεκτή ως επιστήµονας από το ευρύ επιστήµονας από το ευρύ επιστήµονας από το ευρύ επιστήµονας από το ευρύ ανδρικό κοινό ανδρικό κοινό ανδρικό κοινό ανδρικό κοινό ;;;; AAAAΠΑΝΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥΠΑΝΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥΠΑΝΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥΠΑΝΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥ :::: ∆ε µπορώ να δώσω συγκεκριµένη απάντηση! Όταν όµως σπουδάζεις Μαθηµατικά κάνεις υπέρβαση του φύλου άνδρας – γυναίκα και τα αντιµετωπίζεις σαν ένα σκεπτόµενο άτοµο . Στο Πρακτικό Λύκειο ήµασταν λίγα κορίτσια και στο Πανεπιστήµιο ήµασταν πολύ λιγότερα τα κορίτσια . Έµαθα να µε αντιµετωπίζουν σαν άνθρωπο και όχι µέσα από το ρόλο κορίτσι — αγόρι . Η επίδοση αγοριών και κοριτσιών στα Μαθηµατικά έχει διαφοροποιήσεις ! Τα κορίτσια είναι πιο µεθοδικά, ∆ιαβάζουν περισσότερο στο σπίτι και στις µικρότερες τάξεις έχουν καλές επιδόσεις . Τα αγόρια µπορεί να έχουν καλύτερες επιδόσεις στις µεγαλύτερες τάξεις όταν χρειάζεται µεγαλύτερη αφαιρετική ικανότητα της σκέψης .

Page 105: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-104-

ΕΡΏΤΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝΕΡΏΤΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝΕΡΏΤΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝΕΡΏΤΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝ :::: Θα θέλατε να ανακαλύψετε έναν καινούργιο νόµο στα Μαθηµατικά , χρήσιµο για τα Θα θέλατε να ανακαλύψετε έναν καινούργιο νόµο στα Μαθηµατικά , χρήσιµο για τα Θα θέλατε να ανακαλύψετε έναν καινούργιο νόµο στα Μαθηµατικά , χρήσιµο για τα Θα θέλατε να ανακαλύψετε έναν καινούργιο νόµο στα Μαθηµατικά , χρήσιµο για τα επόµενα χρόνια της ανθρωπότητας επόµενα χρόνια της ανθρωπότητας επόµενα χρόνια της ανθρωπότητας επόµενα χρόνια της ανθρωπότητας ; ; ; ; Πόσο εύκολο ή δύσκολο το θεωρείτε αυτόΠόσο εύκολο ή δύσκολο το θεωρείτε αυτόΠόσο εύκολο ή δύσκολο το θεωρείτε αυτόΠόσο εύκολο ή δύσκολο το θεωρείτε αυτό ;;;; AAAAΠΑΝΠΑΝΠΑΝΠΑΝΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥ :::: Aυτό είναι µία καλή ιδέα. Αν είχα µία καλή έµπνευση θα ήταν κάτι που θα µε ενδιέφερε . Στην εποχή µας συνεχώς ανακαλύπτονται καινούργιες ιδέες στα Μαθηµατικά οι οποίες µπορεί να έχουνε εφαρµογή στην πραγµατικότητα ή όχι! ∆εν είναι εύκολο να κάνω κάτι τέτοιο γιατί δεν είναι µέσα στα επιστηµονικά µου ενδιαφέροντα . Εµένα µε ενδιαφέρει περισσότερο να επαναπροσδιορίσω τι είναι τα Μαθηµατικά στην εποχή µας , το πως συνδέονται οι µαθηµατικές έννοιες µε τον τρόπο αντίληψης των µαθητών και τη συναισθηµατική τους γλώσσα και πως µπορούν οι µαθητές να τα συνειδητοποιήσουν καλύτερα . ΕΡΏΤΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝΕΡΏΤΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝΕΡΏΤΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝΕΡΏΤΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝ :::: Ποιές συµβουλές θα δίνατε στους µαθητές για το πως θα αντιµετωπίσουν τα Ποιές συµβουλές θα δίνατε στους µαθητές για το πως θα αντιµετωπίσουν τα Ποιές συµβουλές θα δίνατε στους µαθητές για το πως θα αντιµετωπίσουν τα Ποιές συµβουλές θα δίνατε στους µαθητές για το πως θα αντιµετωπίσουν τα Μαθηµατικά ως µάθηµα ή ως τρόπο ζωής Μαθηµατικά ως µάθηµα ή ως τρόπο ζωής Μαθηµατικά ως µάθηµα ή ως τρόπο ζωής Μαθηµατικά ως µάθηµα ή ως τρόπο ζωής ;;;; AAAAΠΑΝΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥΠΑΝΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥΠΑΝΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥΠΑΝΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥ :::: Οι µαθητές µπορούν να αντιµετωπίσουν τα Μαθηµατικά και ως µάθηµα και ως τρόπο ζωής ! Ως µάθηµα γιατί πρέπει να κατανοήσουν µε τον καθηγητή τους τα Μαθηµατικά και στη συνέχεια να τα επεξεργαστούν µόνοι τους . Τα Μαθηµατικά πρέπει να τα µαθαίνουµε µαζί µε άλλους , αλλά και µόνοι µας . Το πιο σηµαντικό είναι όµως όταν τα µαθαίνουµε να κάνουµε µεταφορά της γνώσης από την πραγµατικότητα στο αφαιρετικό επίπεδο ! όταν κατανοήσουµε τα Μαθηµατικά ή µάθουµε να λύνουµε ένα πρόβληµα να µπορούµε να µεταφέρουµε αυτή τη γνώση στο να λύσουµε τα προσωπικά µας προβλήµατα και να διαµορφώσουµε καλύτερα την ποιότητα ζωής µας ! Συµπερασµατικά τα Μαθηµατικά µας δίνουν ευκαιρίες να µάθουµε να σκεφτόµαστε , βελτιώνουν τις συνθήκες διαβίωσής µας ! Οι µαθητές πρέπει να διαµορφώσουν δική τους άποψη για το πως θέλουν να διδάσκονται τα Μαθηµατικά ! Το πιο σηµαντικό είναι να συνδέσουν τη λογική , το συναίσθηµα και το πνεύµα στην προσωπική τους ζωή σαν τρία κλαδιά ενός δέντρου τα οποία βρίσκονται σε αρµονία . Το συναίσθηµα είναι κινητήρια δύναµη για να ενδιαφερθείτε να κατανοήσετε τα Μαθηµατικά !

Page 106: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-105-

∆ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΑΚΡΟΣΤΟΙΧΙ∆ΑΣ∆ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΑΚΡΟΣΤΟΙΧΙ∆ΑΣ∆ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΑΚΡΟΣΤΟΙΧΙ∆ΑΣ∆ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΑΚΡΟΣΤΟΙΧΙ∆ΑΣ 1. 1. 1. 1. -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- 2. 2. 2. 2. -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- 3. 3. 3. 3. -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- 4.4.4.4. -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- 5. 5. 5. 5. -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- 6. 6. 6. 6. -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- 7.7.7.7. -------- -------- -------- -------- -------- -------- --------

8.8.8.8. -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- 9.9.9.9. -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- 10.10.10.10. -------- -------- -------- -------- 11. 11. 11. 11. -------- -------- -------- 12.12.12.12. -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- 13. 13. 13. 13. -------- -------- -------- -------- -------- 14. 14. 14. 14. -------- -------- -------- -------- -------- 15.15.15.15. -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- 16.16.16.16. -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- 17. 17. 17. 17. -------- -------- -------- -------- -------- 18. 18. 18. 18. -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- 1. Κορυφαίος Μαθηµατικός και Αστρονόµος ο πρώτος που πρότεινε το ηλιοκεντρικό µοντέλο του Ηλιακού Συστήµατος . 2. Μαθηµατικός και Γεωγράφος ο οποίος υπολόγισε την περιφέρεια της Γης µε µεγάλη ακρίβεια. 3. Μαθηµατικός από τις Συρακούσες της Κάτω Ιταλίας . Είπε το περίφηµο: « Μη µου τους κύκλους τάραττε » . 4. Από τους γνωστότερους Μαθηµατικούς της αρχαιότητας , ο οποιός απέδειξε θεώρηµα που αναφέρεται στις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου . 5. Μαθηµατικός ο οποίος ανακάλυψε την περίφηµη Κογχοειδή καµπύλη µε τη βοήθεια της οποίας έλυσε και το ∆ήλιο πρόβληµα και την Τριχοτόµηση γωνίας. 6. Θεωρείται από πολλούς ειδικούς ως « ο πατέρας της Άλγεβρας » . 7. Θεωρείται από πολλούς ειδικούς ως « ο πατέρας της Αστρονοµίας » . 8. Μεγάλος φιλόσοφος και Μαθηµατικός εισηγητής της Ατοµικής θεωρίας .

Page 107: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-106-

9. Μεγάλος Μαθηµατικός γνωστός για την µελέτη του και απόδειξη θεωρηµάτων πάνω στις κωνικές τοµές . 10. Από τους µεγαλύτερος Μαθηµατικούς της Αρχαιότητας γνωστός για το θεώρηµα του που αναφέρεται σε αναλογίες που προκύπτουν, όταν παράλληλες ευθείες τέµνονται από άλλες ευθείες . 11. Ένας από τους σηµαντικότερους και πιο γνωστούς µηχανικούς και Μαθηµατικούς . Πολύ γνωστός τύπος του αναφέρεται στο εµβαδόν του τριγώνου . 12. ∆ίασηµος Μαθηµατικός , Αστρονόµος µε σηµαντική σύµβολή στη Γεωµετρία. Πολύ γνωστό του θεώρηµα, αναφερει πως το γινόµενο των διανωνίων τετραπλεύρου εγγεγραµµένου µεσα σ’εναν κύκλο είναι ίσο µε το γινόµενο των απέναντι πλευρών του . 13. Μεγάλη Ελληνίδα Μαθηµατικός και φιλόσοφος , η οποί έκανε και εκτενή και ουσιώδη σχόλια στα µαθηµατικά έργα του ∆ιόφαντου και του Απολλώνιου . 14. Αθηναίος φιλόσοφος , ο οποίος έλυσε το ∆ήλιο πρόβληµα και συνέβαλε στη µελέτη των Γεωµετρικών Τόπων . 15. Μαθηµατικός και Αστρονόµος , ο οποίος διέθετε διόπτρα µε τη βοήθεια της οποίας µέτρησε την κλίση του ζωδιακού κύκλου ως προς τον Ισηµερινό . 16. Είναι ο Θεµελιωτής της Γεωµετρίας , τα θεωρήµατά του διδάσκονται όχι µόνο στα Ελληνικά σχολεία, αλλά και παγκοσµίως . 17. Μαθηµατικός της νεότερης γενιάς των µεγάλων συναδέλφων του , του οποίο το έργο « Μαθηµατική Συναγωγή » περιείχε θεωρήµατα και προβλήµατα των περιφηµότερων Ελλήνων Μαθηµατικών της αρχαιότητας .... 18. Εξαίρετος Γεωµέτρης , ο πρώτος στην Ιστορία της Επιστήµης που συνέγραψε µια συστηµατικά οργανωµένη πραγµατεία Γεωµετρίας . Υπολόγισε το εµβαδό των Μηνίσκων, τα οποία είναι ηµισεληνοειδή τµήµατα που περικλείονται από δύο κυκλικά τόξα .

Να συµπληρώσετε την παραπάνω ακροστοιχίδα . ( Για βοήθεια σας δίνουµε στον παρακάτω πίνακα τα ζητούµενα ονόµατα των παραπάνω Μαθηµατικών σε τυχαία σειράτυχαία σειράτυχαία σειράτυχαία σειρά . )

Ποιές λέξεις σχηµατίζονται στα παραπάνω κουτάκια; ΛΥΣΗ ΛΥΣΗ ΛΥΣΗ ΛΥΣΗ : : : : ΑΑΑΑ----ΡΡΡΡ----ΧΧΧΧ----ΑΑΑΑ----ΙΙΙΙ----ΟΟΟΟ----Ι ΜΙ ΜΙ ΜΙ Μ----ΑΑΑΑ----ΘΘΘΘ----ΗΗΗΗ----ΜΜΜΜ----ΑΑΑΑ----ΤΤΤΤ----ΙΙΙΙ----ΚΚΚΚ----ΟΟΟΟ----Ι Ι Ι Ι

ΝΙΚΟΜΗ∆ΗΣΝΙΚΟΜΗ∆ΗΣΝΙΚΟΜΗ∆ΗΣΝΙΚΟΜΗ∆ΗΣ————ΥΠΑΤΙΑΥΠΑΤΙΑΥΠΑΤΙΑΥΠΑΤΙΑ————ΠΛΑΤΩΝΠΛΑΤΩΝΠΛΑΤΩΝΠΛΑΤΩΝ————ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ————ΘΑΛΗΣΘΑΛΗΣΘΑΛΗΣΘΑΛΗΣ————ΗΡΩΝΗΡΩΝΗΡΩΝΗΡΩΝ————ΑΡΧΙΜΗ∆ΗΣΑΡΧΙΜΗ∆ΗΣΑΡΧΙΜΗ∆ΗΣΑΡΧΙΜΗ∆ΗΣ————ΑΡΙΣΤΑΡΧΟΣΑΡΙΣΤΑΡΧΟΣΑΡΙΣΤΑΡΧΟΣΑΡΙΣΤΑΡΧΟΣ————ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ————ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ————ΙΠΠΑΡΧΟΣΙΠΠΑΡΧΟΣΙΠΠΑΡΧΟΣΙΠΠΑΡΧΟΣ————ΟΙΝΟΠΙ∆ΗΣΟΙΝΟΠΙ∆ΗΣΟΙΝΟΠΙ∆ΗΣΟΙΝΟΠΙ∆ΗΣ————∆ΙΟΦΑΝΤΟΣ∆ΙΟΦΑΝΤΟΣ∆ΙΟΦΑΝΤΟΣ∆ΙΟΦΑΝΤΟΣ————ΕΥΚΛΕΙ∆ΗΣΕΥΚΛΕΙ∆ΗΣΕΥΚΛΕΙ∆ΗΣΕΥΚΛΕΙ∆ΗΣ————ΠΑΠΠΟΣΠΑΠΠΟΣΠΑΠΠΟΣΠΑΠΠΟΣ————∆ΗΜΟΚΡΙΤΟΣ∆ΗΜΟΚΡΙΤΟΣ∆ΗΜΟΚΡΙΤΟΣ∆ΗΜΟΚΡΙΤΟΣ————ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΣΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΣΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΣΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΣ————ΠΠΠΠΥΘΑΓΟΡΑΣ ΥΘΑΓΟΡΑΣ ΥΘΑΓΟΡΑΣ ΥΘΑΓΟΡΑΣ

Page 108: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-107-

ΕΠΙΛΟΓΟΣΕΠΙΛΟΓΟΣΕΠΙΛΟΓΟΣΕΠΙΛΟΓΟΣ Τα οφέλη που αποκοµίσαµε από την εργασία µας σχετικά µε τα Μαθηµατικά στην Αρχαιότητα ήταν πολλά και σηµαντικά . Οι Αρχαίοι Έλληνες , αλλά και γενικότερα οι αρχαίοι λαοί και πολιτισµοί µας διδάσκουν ακόµη και σήµερα ότι το να µην επαναπαυόµαστε στα ήδη γνωστά αντικείµενα µελέτης , αλλά να αναζητούµε το άγνωστο, είναι ένας διαρκής αγώνας για κάλυτερη επιβίωση µε την ανακάλυψη νέων στοιχείων τεχνολογίας , τα οποία οποία κάνουν την ύπαρξη µας βιώσιµη . Η λύση των προβληµάτων της καθηµερινής µας ζωής είναι άµεσα συνδεδεµένη µε την αντίληψη και τη µεθοδικότητα των Αρχαίων Ελλήνων Μαθηµατικών . Υπάρχει ελπίδα για όλους εµάς κάποια στιγµή να γίνουµε και εµείς ερευνητές σε βάθος και να θεµελιώσουµε νέες σηµαντικές προτάσεις , οι οποίες µπορούν να γίνουν χρήσιµες σε βάθος χρόνου για τις επόµενες γενιές ανθρώπων . Μπορούµε και µεις να κλέψουµε λίγη από τη δόξα του Θαλή , του Πυθαγόρα , του Ευκλείδη και των υπολοίπων Αρχαίων αναζητητών της Μαθηµατικής αλήθειας . Η παρατήρηση , το πείραµα και η προσπάθεια πάντα κάπου καρποφορεί ύστερα από αρκετό καιρό βέβαια . Η καθηµερινότητα του ανθρώπου είναι άµεσα συνδεδεµένη µε τη γνώση για επίλυση των προβληµάτων που προκύπτουν , καθώς και τη δίψα του ανθρώπου να καταφέρει αυτό που θεωρητικά φαντάζει αδύνατο στη δηµιουργία και εκτέλεση . Η έρευνα για τους Αρχαίους Έλληνες Μαθηµατικούς που µας απασχόλησε το προηγούµενο χρονικό διάστηµα , µας οδήγησε στο συµπέρασµα πως η έρευνα σε βάθος εννοιών που θεωρούνται δεδοµένες θα µπορούσε να αποτελέσει ένα ακόµη λιθαράκι γνώσης για τις επόµενες γενιές ανθρώπων , που έχουν στα χέρια τους προηγµένο τεχνολογικά εξοπλισµό για να ανταπεξέλθουν σε κάθε δυνατή δοκιµασία!

Η ∆ΙΑΡΚΗΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ Η ∆ΙΑΡΚΗΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ Η ∆ΙΑΡΚΗΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ Η ∆ΙΑΡΚΗΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΚΤΗΣΗ ΤΗΣ ΚΟΡΥΦΗΣΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΚΤΗΣΗ ΤΗΣ ΚΟΡΥΦΗΣΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΚΤΗΣΗ ΤΗΣ ΚΟΡΥΦΗΣΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΚΤΗΣΗ ΤΗΣ ΚΟΡΥΦΗΣ ΘΑ ΣΤΕΦΘΕΙ ΚΑΠΟΙΑ ΣΤΙΓΜΗ ΣΤΟ ΘΑ ΣΤΕΦΘΕΙ ΚΑΠΟΙΑ ΣΤΙΓΜΗ ΣΤΟ ΘΑ ΣΤΕΦΘΕΙ ΚΑΠΟΙΑ ΣΤΙΓΜΗ ΣΤΟ ΘΑ ΣΤΕΦΘΕΙ ΚΑΠΟΙΑ ΣΤΙΓΜΗ ΣΤΟ ΜΕΛΛΟΝ ΜΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!!ΜΕΛΛΟΝ ΜΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!!ΜΕΛΛΟΝ ΜΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!!ΜΕΛΛΟΝ ΜΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!!

Page 109: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-108-

Η ΕΡΗ ΕΡΗ ΕΡΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α ΤΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α ΤΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α ΤΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α ΤΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟΥ ΤΟΥ ΤΟΥ ΤΟΥ 1111ΟΥΟΥΟΥΟΥ ΓΕ.Λ ΓΕ.Λ ΓΕ.Λ ΓΕ.Λ ΑΛΕΞ/ΠΟΛΗΣΑΛΕΞ/ΠΟΛΗΣΑΛΕΞ/ΠΟΛΗΣΑΛΕΞ/ΠΟΛΗΣ 1.1.1.1. ΒΟΓΙΑΤΖΗΣ ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΟΣΒΟΓΙΑΤΖΗΣ ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΟΣΒΟΓΙΑΤΖΗΣ ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΟΣΒΟΓΙΑΤΖΗΣ ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΟΣ 2. ΓΑΪΤΑΝΙ∆ΟΥ ΒΑΣΙΛΙΚΗ2. ΓΑΪΤΑΝΙ∆ΟΥ ΒΑΣΙΛΙΚΗ2. ΓΑΪΤΑΝΙ∆ΟΥ ΒΑΣΙΛΙΚΗ2. ΓΑΪΤΑΝΙ∆ΟΥ ΒΑΣΙΛΙΚΗ 3. ΓΕΡΑΝΤΙ∆ΗΣ Ε3. ΓΕΡΑΝΤΙ∆ΗΣ Ε3. ΓΕΡΑΝΤΙ∆ΗΣ Ε3. ΓΕΡΑΝΤΙ∆ΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣΛΕΥΘΕΡΙΟΣΛΕΥΘΕΡΙΟΣΛΕΥΘΕΡΙΟΣ 4. ΓΙΑΚΟΥΜΠΙ∆ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ4. ΓΙΑΚΟΥΜΠΙ∆ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ4. ΓΙΑΚΟΥΜΠΙ∆ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ4. ΓΙΑΚΟΥΜΠΙ∆ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ 5. ΚΟΠΕΛΛΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ5. ΚΟΠΕΛΛΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ5. ΚΟΠΕΛΛΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ5. ΚΟΠΕΛΛΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ 6. ΜΑΛΑΚΟΖΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ6. ΜΑΛΑΚΟΖΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ6. ΜΑΛΑΚΟΖΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ6. ΜΑΛΑΚΟΖΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 7. 7. 7. 7. ΜΑΡΓΑΡΙΤΙ∆ΗΣ ΙΣΙ∆ΩΡΟΣΜΑΡΓΑΡΙΤΙ∆ΗΣ ΙΣΙ∆ΩΡΟΣΜΑΡΓΑΡΙΤΙ∆ΗΣ ΙΣΙ∆ΩΡΟΣΜΑΡΓΑΡΙΤΙ∆ΗΣ ΙΣΙ∆ΩΡΟΣ 8. ΜΑΤΣΑ ΜΑΡΙΝΑ8. ΜΑΤΣΑ ΜΑΡΙΝΑ8. ΜΑΤΣΑ ΜΑΡΙΝΑ8. ΜΑΤΣΑ ΜΑΡΙΝΑ 9. ΜΠΟΥΦΙ∆ΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ9. ΜΠΟΥΦΙ∆ΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ9. ΜΠΟΥΦΙ∆ΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ9. ΜΠΟΥΦΙ∆ΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 10. ΠΑΠΑΖΟΓΛΟΥ ΑΝΝΑ10. ΠΑΠΑΖΟΓΛΟΥ ΑΝΝΑ10. ΠΑΠΑΖΟΓΛΟΥ ΑΝΝΑ10. ΠΑΠΑΖΟΓΛΟΥ ΑΝΝΑ 11. ΧΕΡΚΕΛΕΤΖΗ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ11. ΧΕΡΚΕΛΕΤΖΗ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ11. ΧΕΡΚΕΛΕΤΖΗ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ11. ΧΕΡΚΕΛΕΤΖΗ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ 12121212. ΓΙΑΡΕΝΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ . ΓΙΑΡΕΝΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ . ΓΙΑΡΕΝΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ . ΓΙΑΡΕΝΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ 13. ΕΥΘΥΜΙΑ∆ΟΥ ∆ΗΜΗΤΡΑ13. ΕΥΘΥΜΙΑ∆ΟΥ ∆ΗΜΗΤΡΑ13. ΕΥΘΥΜΙΑ∆ΟΥ ∆ΗΜΗΤΡΑ13. ΕΥΘΥΜΙΑ∆ΟΥ ∆ΗΜΗΤΡΑ 14. ΕΦΡΑΙΜΙ∆ΟΥ ΖΩΗ14. ΕΦΡΑΙΜΙ∆ΟΥ ΖΩΗ14. ΕΦΡΑΙΜΙ∆ΟΥ ΖΩΗ14. ΕΦΡΑΙΜΙ∆ΟΥ ΖΩΗ 15. ΖΙΩΓΑ ΜΑΓ∆ΑΛΗΝΗ15. ΖΙΩΓΑ ΜΑΓ∆ΑΛΗΝΗ15. ΖΙΩΓΑ ΜΑΓ∆ΑΛΗΝΗ15. ΖΙΩΓΑ ΜΑΓ∆ΑΛΗΝΗ 16. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΙ∆ΟΥ ΖΩΗ16. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΙ∆ΟΥ ΖΩΗ16. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΙ∆ΟΥ ΖΩΗ16. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΙ∆ΟΥ ΖΩΗ 17. ΚΑΡΑΜΠΟΥΝΑΡΙΩΤΗ ΜΑΡΙΑ 17. ΚΑΡΑΜΠΟΥΝΑΡΙΩΤΗ ΜΑΡΙΑ 17. ΚΑΡΑΜΠΟΥΝΑΡΙΩΤΗ ΜΑΡΙΑ 17. ΚΑΡΑΜΠΟΥΝΑΡΙΩΤΗ ΜΑΡΙΑ 18. ΜΑΡΤΟΝ ΕΛΙΣΑΒΕΤ18. ΜΑΡΤΟΝ ΕΛΙΣΑΒΕΤ18. ΜΑΡΤΟΝ ΕΛΙΣΑΒΕΤ18. ΜΑΡΤΟΝ ΕΛΙΣΑΒΕΤ 19. ΜΙΚΑΕΛΙΑΝ ΑΜΑΛΙΑ19. ΜΙΚΑΕΛΙΑΝ ΑΜΑΛΙΑ19. ΜΙΚΑΕΛΙΑΝ ΑΜΑΛΙΑ19. ΜΙΚΑΕΛΙΑΝ ΑΜΑΛΙΑ 20. ΤΕΝΤΕ ΘΑΛΕΙΑ 20. ΤΕΝΤΕ ΘΑΛΕΙΑ 20. ΤΕΝΤΕ ΘΑΛΕΙΑ 20. ΤΕΝΤΕ ΘΑΛΕΙΑ

Page 110: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ...1lyk-alexandr.evr.sch.gr/myFiles/myDocs/ergasia-pe.pdf · 2012-01-20 · Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α Η

Ιστορία των Μαθηµατικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί και το έργο τους ”

-109-