ΕΞΙΣΩΣΕΙΣΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΤΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΑΡΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Έρευνα‐ΠαρουσίασηΜπάμπης Δημητριάδης

ΜαθηματικόςΚέρκυρα 2012

1

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ

Πρωτεργάτες για τη μελέτη και τη λύση εξισώσεων ανωτέρου βαθμού είναι μεταξύ ξ ρ β μ μ ξάλλων, κυρίως οι εξής:

1 Scipione dal Ferro1. Scipione dal FerroΜπολόνια 1465 –Μπολόνια 1526

θ ή ή λόΚαθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Μπολόνια για πολλά χρόνια, βρήκε πρώτος τη λύση της εξίσωσης 3ου βαθμού

3 3ή 3 3ή 3 3ή p qp qx x x x 3 3ή p qp qx x x x 2

Οι σχετικές εργασίες ήταν γνωστές μόνο σεΟι σχετικές εργασίες ήταν γνωστές μόνο σε λίγους μαθητές του ή συγγενείς του και δ ύ λύ όδημοσιεύτηκαν πολύ αργότερα.

2. Niccolo Fontana ή Tartagliaή gΜπρέσια 1500 – Βενετία 1557Βρήκε τη λύση της εξίσωσης 3ου βαθμούΒρήκε τη λύση της εξίσωσης 3 βαθμού

ανεξάρτητα από τον dal Ferro και την ύθ C d όεμπιστεύθηκε στον Cardano με τον όρο να

μην την κάνει γνωστή.Έκανε πολλές εργασίες και στη γεωδαισία,

τη βλητική κ.λ.π.η β η ή3

3 Gerolamo Cardano3. Gerolamo Cardano.Παβία 1501 – Ρώμη 1576Σπούδασε σε Πανεπιστήμια της Β ΙταλίαςΣπούδασε σε Πανεπιστήμια της Β. Ιταλίας, από όπου και πήρε δίπλωμα Ιατρικής. Δίδαξε σε Πανεπιστήμια της περιοχής, ξ ήμ ης ρ χής,κυρίως Ιατρική.Σ` αυτόν οφείλεται η δημοσίευση του τύπου:

2 3 2 33 3q q p q q px 3 3

2 4 27 2 4 27q q p q q px

ο λεγόμενος τύπος του Cardano ή πιο σωστάτύπος των Tartaglia ‐ Cardanog

4

4. Ludovico Ferrariudo co e aΜπολόνια 1522 –Μπολόνια 1565Μαθητής και αργότερα συνεργάτης τουΜαθητής και αργότερα συνεργάτης του

Cardano, βρήκε τη λύση της εξίσωσης 4ουβ θ ύ β ήθ ξί 3ου β θ ύβαθμού με τη βοήθεια εξίσωσης 3ου βαθμού.

5. Paolo RuffiniΒαλεντάνο 1765– Modena 1822Βαλεντάνο 1765 Modena 1822Το 1799 απέδειξε ότι δεν υπάρχει μέθοδος ίλ ξί 5ου β θ ύ λλάεπίλυσης της εξίσωσης 5ου βαθμού, αλλά η

απόδειξή του αυτή δεν ήταν πλήρης.

5

6. Niels Abel 6 e s beΝησί Φίνεϊ κοντά Σταβάγκερ 1802

– Φρόλαντ 1829– Φρόλαντ 1829Ιδιοφυία στα Μαθηματικά απέδειξε σε ηλικία όλ 19 ώ ό ξί 5ου β θ ύ δμόλις 19 ετών ότι η εξίσωση 5ου βαθμού δεν

λύνεται. Πέθανε φτωχός και βασανισμένος από φυματίωση.

6

7. Evariste Galois Μπούργκ λα Ρεν 1811 – Παρίσι 1832Ιδιοφυία των Μαθηματικών, προσπάθησεΙδιοφυία των Μαθηματικών, προσπάθησε από 15 ετών και τελικά απέδειξε ανεξάρτητα από τον Abel με την περίφημη «θεωρίααπό τον Abel, με την περίφημη «θεωρία Galois» ότι εξισώσεις βαθμού μεγαλύτερου

ύ άτου 4ου δεν λύνονται γενικά.Σκοτώθηκε σε στημένη, όπως λένε, μονομαχία σε ηλικία 21 ετών περίπου.

7

Εξίσωση 3ου βαθμούΗ γενική μορφή εξίσωσης 3ου βαθμού με

έναν άγνωστο και πραγματικούς συντελεστέςέναν άγνωστο και πραγματικούς συντελεστές είναι: 3 2 0 (1)x x x

αν θέσουμε x y αν θέσουμε ,

3x y

η (1) ισοδυναμεί με την 3 0 (2)p qy y

όπου 2 32και .

3 3 27p q

3 3 278

Λύση της (2) όταν p•q0Λύση της (2) όταν p q 01. αν pq0 η (2) ισοδυναμεί με την

έ ί ίζ λή

3 0,y 0που έχει μία ρίζα τριπλή.

2. αν p 0q η (2) ισοδυναμεί με την1 0y

2 0,py y p q η ( ) μ μ η

που έχει τις ρίζες

,py y

0 p py y y που έχει τις ρίζες

Π ώ

1 2 30, , .p py y y

καιy yΠροφανώς οι είναι αντίθετες πραγματικές αν p<0

2 3καιy y

και αντίθετες φανταστικές αν p>0.

9

3. αν p0 q η (2) ισοδυναμεί με την (2)3 qy

με μορφές: 1 33

1 21 33.1 1, έχει τις ρίζες 1,2 2

iy y y

32 2 1 3,3 3 2 2

i iy 33 3 2 24 4i

y

y 23 3οι αριθμοί και είναι οι μη πραγματικές

i y

οι αριθμοί και είναι οι μη πραγματικές κυβικές ρίζες του 1

10

και μεταξύ τους υπάρχουν οι απλές σχέσεις :

3 3 2

μ ξ ς ρχ ς χ ς1+ 1, 1, 1, ,

2

, , , ,

1 1 3

21 1 3και2 2

i

3

3 3 3

3.2 , με > 0, έχει τις ρίζες : yy y y

3 3 3

1 2 33

, ,

3.3 , με < 0, έχει τις ρίζες :

y y yy

1

, μ , χ ς ρ ζ ς

yy 3 3 3

2 3, ,y y

11

Λύση της (2) όταν p•q 0Λύση της (2) όταν p q 0

Αν θέσουμε η (2) ισοδυναμεί με την3py z

32 3

μ η ( ) μ μ η3

+ 0 (3) εp

yz

z2 3w + w = 0 (3) με w. 27pq

q q

z

1 2Η (3) έχει τις ρίζες : w Δ , w Δ2 2q q

2 3

όπου Δ διακρίνουσα της (2) τότε4 27q p

3 31 2

4 27w (4) ή w (5).z z

12

1 2 1 2 1 23

3

I. αν Δ > 0 τότε w , w με w > w , w + w ,q

p

Â

31 2 1 2

31 2

w w οπότε 27w w27

w w

p p

1 231 2 1 2

31 23

αν w w 0 τότε 3 w w και

w w0 ό 3

p y zz

1 231 2 1 2

1 1 2

αν w w 0 τότε 3 w w και .

I . αν 0 και 0 w 0 καιw 0 και η (4) έχει

p

p q

y zz

1τις ρίζες : wz 3 3 31 2 1 3 1

31 2 3 3

, w , w οπότε η (2) έχει

w wίζ 0

z z

1 2 3 31 1 1 2

1

31 2

τις ρίζες : w w 0

w w

y zz

1 2 3 32 2 1 2

2

31 2

w ww w

w w

y zz

1 2 3 33 3 1 2 2

3

w ww wy z y

z

13

2 1 2

3 3 3

I . αν 0 και 0 w 0 καιw 0 και η (4) έχει

ίζ

p q > 3 3 3

1 1 2 1 3 1

3 31 1 2

τις ρίζες : w , w , w

οπότε η (2) έχει τις ρίζες : w w 0,

z z zy

1 1 2

3 3 3 32 1 2 3 1 2 2

οπότε η (2) έχει τις ρίζες : w w 0,

w w , w w

yy y y

3 1 2I . αν 0 w 0 w και η (2) έχει τις ρίζες :p 3 3 3 3w w w wy y 3 3 3 3

1 1 2 2 1 2

3 33 1 2 2

w w , w w ,

w w

y yy y

αν για να βρούμε τις τιμές του πάρουμε

έ ό (5) β ί ίδ ίζ (2)

yΠαρατήρηση :

τις τιμές του από την (5), βρίσκουμε τις ίδιες ρίζες για την (2). αν Δ > 0 η (2) έχει μια πρα

zΣυμπέρασμα : γματική ρίζα

ετερόσημη του και δύο μιγαδικές συζυγείς.q14

2

3

II. αν Δ 0, τότε 0 και θέτουμε 3 με > 0p p 3

3 2 31

οπότε 2 .II . αν 0η (2) ισοδυναμεί με την 3 2 0

qq y y

1

2

II . αν 0η (2) ισοδυναμεί με την 3 2 0

2 0 άρα έχει δύο πραγματικές ρίζες

q y yy y

1 2, διπλή και .

II 0 (2) δ ί

y y

3 2 33 2 0y y 2II . αν 0η (2) ισοδυναμείq

3 2 3

2

με την 3 2 0

2 0 άρα έχει δύο πραγματικές ρίζες

y yy y

1 2

2 0 άρα έχει δύο πραγματικές ρίζες, διπλή και .

y yy y

αν Δ 0 η (2) έχει δύο πραγματικές ρίζες

που ημία είναι διπλή

Συμπέρασμα :

που η μία είναι διπλή.15

2III. αν Δ < 0 τότε 3 με > 00 και θέτουμε p pq

3 33οπότε βρίσκουμε 2 2 1 1.

2qq

3Άρα υπάρχει γωνία 0, , με .2 2 2

q

3 3

Αν θέσουμε 2 η (2) ισοδυναμεί με την :

8 6

y

3 34 3 q 3 38 6 3 334 3

22 με

qq

Ä2 , με .Αν θέσουμε 3 με και 1,0,1 τότε

ÄÄ

26 2 23

23

16

1III . αν τότε 2 03 3

y

2

3 32III . αν τότε οπότε :

2 32 1III 3 2.1 III . 3

3 2 3 3

3 0.

3 3y

2.22 1 III . 3

3 2 3 3

3 2 3 3

3 ομόσημη του qy 3 ,ομόσημη του .3 3

qy

17

αν Δ 0 η (2) έχει τρεις πραγματικές ρίζες :Συμπέρασμα :

1 23

y

2

322 3

3 3 3y

3 3 322 3y

3 2 33 3 3

ομόσημη του q

y

ομόσημη του .q

18

Βοηθήματα1. Το βιβλίο του Ν. Μιχαλόπουλου, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Αθή 1955ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ – Αθήνα 19552. Ιστορία των Μαθηματικών του Loriaρ ημ3. Εγκυκλοπαίδειες: Ιταλική, Πάπυρος –

Λαρούς Μπριτάνικα Μεγάλη ΣοβιετικήΛαρούς –Μπριτάνικα, Μεγάλη Σοβιετική.4. Περιοδικά – εκδόσεις της Ε.Μ.Ε. 5. Σύγχρονη Έκθεση των στοιχειωδών

Μαθηματικών του Lucienne Felix –Μαθηματικών του Lucienne Felix –Αθήνα 1964

19

ΕΞΙΣΩΣΗ 4 ΒΑΘΜΟΥ

4 3 2

Η γενική μορφή της εξίσωσης 4 βαθμού με έναν άγνωστο και πραγματικούς συντελεστές είναι +α +β + γ δ 0 (1)x x x x

4 2

πραγματικούς συντελεστές είναι +α +β + γ δ 0 (1)ακαι αν ισοδυναμεί με την + +p q

x x x x

x y y y y

0 (2)r και αν ισοδυναμεί με την 4

p qx y y y y2

0 (2)

3αόπου βp

r

3

όπου β ,3

αβ α

p

2 4

αβ αγ ,2 8

αγ α β 3α

q

αγ α β 3αδ4 16 256

r

20

Για να αποφύγουμε τα πολλά γράμματα θεωρουμε ότι τα παρακάτω α β γ

Λύση της (2) Για να αποφύγουμε τα πολλά γράμματα θεωρουμε ότι τα παρακάτω α,β, γ είναι άσχετα με τους συντελεστές της (1) θεωρούμε την εξίσωση :

α βy γ α β γ α β γ α β γ 0 (3)y y y α βy γ α β γ α β γ α β γ 0 (3)που προφανώς έχει τις ρίζες :

α β γ α β γ α β γ α β γ

y y y

y y y y

1 2 3 4

24 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

α β γ, α β γ, α β γ, α β γΗ (3) μετά τις πράξεις ισοδυναμεί με την εξίσωση :

2 β 8 β β 4 β β 0 (4)

y y y y

4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 α β γ 8αβγ α β γ 4 α β β γ γ α 0 (4)

Θεωρούμ

y y y

2 2 2ε ότι οι εξισώσεις (2) και (4) ταυτίζονται οπότε 2 α β γ ,p

22 2 2 2 2 2 2 2 2

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

8αβγ, α β γ 4 α β β γ γ αq r

p q q p r

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 3

άρα α β γ , αβγ , α β γ , α β β γ γ α2 8 64 16 4

ό β ί ίζ ξί

p q q p r

2 22 0 (5)p p r q

2 2 2 3τότε τα α ,β , γ είναι ρίζες της εξίσωσης : w 2w w 0 (5)

2 16 4 64p p q

21

2 2 2

που λέγεται επιλύουσα της (2) και λύνοντάς την βρίσκουμε2 2 2

1 2 3 4

τα α ,β , γ και από αυτά τα α,β, γ οπότε και τις ρίζες, , , της (2).y y y y1 2 3 4

2 2 2

, , , ης ( )

Αφού α ,β , γ είναι ρίζες της (5), επομένως ένα τουλάχιστον

y y y y

θα είναι πραγμ2 2 2

ατικός αριθμός.Υπολογισμός των α,β, γ από τα α ,β , γ

22 2 2

Υπολογισμός των α,β, γ από τα α ,β , γ

Έχουμε α β γ 0, με αβγ οπότε έχουμεq q

Έχουμε α β γ 0, με αβγ οπότε έχουμε 64 8

τις περιπτώσεις :

22

2 2 2 2 2 2 2 2 2I. α > 0, β > 0, γ > 0 τότε α , β , γ με , , 0 οπότε α , β , γ .Επειδή τα α β γ παίζουν τον ίδιο ρόλο για τις ρίζες

1 2 3 4

Επειδή τα α, β, γ παίζουν τον ίδιο ρόλο για τις ρίζες, , , εκλέγουμε τα 2 από αυτά αυθαίρετα ως προςy y y y

το πρόσημο και βρίσκουμε το τρίτο από τη σχέση αβγ .8q

2 2 2 2 2 2 2 2 2

8II. α > 0, β < 0, γ < 0 τότε α , β , γ με , , 0 οπότε α , β , γ .

Η επιλογή των α β γ γίνεται όπως πρινi i

Η επιλογή των α, β, γ γίνεται όπως πριν.

23

2 2 2 2 2III. α > 0, β , γ μιγαδικοί συζυγείς τότε α , με 0

22 2γ β β γ β α , β ,i

2 2

2 2

γ με , , 0 και β ,i i Â

2 2γ . Η επιλογή των α, β, γ γίνεται όπως πριν.i

24

4 2

4 2

Να λυθεί η εξίσωση 3 6 0 (1)

Η (1) ί ή 0 3 6

10y y y

Παράδειγμα :4 2

2 23 2

Η (1) είναι της μορφής 0 με 3, 6

0 και έχει επιλύουσα την w w w 0

p q p q

p p r q

y y y r

r

3 2

0 και έχει επιλύουσα την w w w 0,2 16 4 64

3 31 9

r

3 23 31 9δηλαδή την w w w 0 (2).2 16 16

Πολλαπλασ

ιάζουμε τα μέλη της (2) με 64 οπότε η (2) ισοδυναμείΠολλαπλασ3 2

ιάζουμε τα μέλη της (2) με 64, οπότε η (2) ισοδυναμείμε την 64w 96w 124w 36 0

3 2

3 2

4w 6 4w 31 4w 36 0 και αν 4w ισοδυναμεί

με την 6 31 36 0 (3)

t

t t t

με την 6 31 36 0 (3).Δοκιμάζοντας για ακέραιες ρίζες βρίσκουμε την

t t t

1 1t

2 3και κατόπιν τις 9.t t 25

1 2 31 9και αφού w η (2) έχει τις ρίζες w , w w .

4 4 4t

2 2 2

4 4 41 9 1 3Δηλαδή α , β , γ , οπότε α , β , γ4 4 2 2

i i 4 4 2 23 3 3με αβγ και αν α , γ τότε αγ , άρα β

8 4 2 2 4q i i

8 4 2 2 4

άρα οι ρίζες της (1) είναι :

3i iy

13α β γ 2 ,

2 23

i i i

i i

23α β γ ,

2 23

i i i

i i

y

33α β γ 2 ,

2 23

i i i

i i

y

43α β γ

2 2i i i.y

26

ΤΕΛΟΣΤΕΛΟΣ

27