Οικονομετρία

Πολυσυγγραμμικότητα

Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης

Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης

Μαθησιακοί Στόχοι

Γνώση και κατανόηση της έννοιας της

πολυσυγγραμμικότητας και των συνεπειών

της στα αποτελέσματα των εκτιμήσεων.

Γνώση και κατανόηση αλλά και ικανότητα

εφαρμογής των δυνατοτήτων και μεθόδων

ανίχνευσης της πολυσυγγραμμικότητας.

Γνώση και κατανόηση των δυνατοτήτων

επίλυσης του προβλήματος της

πολυσυγγραμμικότητας.

Το πρόβλημα 1/2

Μία από τις ανεξάρτητες μεταβλητές μπορεί να εκφραστεί

ως γραμμική συνάρτηση μιας ή περισσοτέρων εκ των

υπολοίπων ανεξάρτητων μεταβλητών.

Παραβιάζεται η σχετική υπόθεση.

Στην περίπτωση αυτή έχουμε Τέλεια

Πολυσυγγραμμικότητα

Ο όρος 1XX του YXXX

1̂ είναι αδύνατο

να υπολογιστεί αφού η ορίζουσα του XX

είναι μηδενική.

Το πρόβλημα 2/2

Πρόβλημα δημιουργεί όχι μόνο η τέλεια αλλά και η

υψηλή πολυσυγραμμικότητα.

Όταν δηλαδή μεταξύ μιας ανεξάρτητης μεταβλητής

και ενός γραμμικού μετασχηματισμού των υπολοίπων

υπάρχει υψηλός βαθμός συσχέτισης.

Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων δεν μπορεί

να διακρίνει με ακρίβεια τον ιδιαίτερο ρόλο των

μεταβλητών που συσχετίζονται.

Πρόκειται για ένα φαινόμενο που έχει να κάνει

περισσότερο με το συγκεκριμένο δείγμα και πολύ

λιγότερο με την θεωρητική σχέση των μεταβλητών.

Οι συνέπειες της πολυσυγραμμικότητας 1/3

Όλες οι επιθυμητές ιδιότητες των εκτιμητριών

(αμεροληψία, αποτελεσματικότητα, συνέπεια κ.λ.π.)

παραμένουν. Επίσης όλοι οι στατιστικοί έλεγχοι

ισχύουν.

Οι προβλέψεις δεν επηρεάζονται από την ύπαρξη

υψηλής πολυσυγραμμικότητας η οποία μπορεί σε

ορισμένες περιπτώσεις να έχει και θετική επίδραση.

Οι συνέπειες της πολυσυγραμμικότητας 2/3

Αυξάνει το μέγεθος των τυπικών σφαλμάτων των

εκτιμητριών και κατά συνέπεια μειώνει τις τιμές της

στατιστικής t στους ελέγχους.

Στην περίπτωση δύο

ανεξάρτητων μεταβλητών

2

1211

2

ˆ1

3ˆ

1 rXX

nuS

i

i

Οι συνέπειες της πολυσυγραμμικότητας 3/3

Μειώνεται η πιθανότητα οι εκτιμήσεις των

συντελεστών να είναι στατιστικά σημαντικοί.

Αυξάνεται η πιθανότητα οι εκτιμήσεις των

συντελεστών να έχουν μη αναμενόμενα πρόσημα.

Οι εκτιμήσεις δείχνουν μεγάλη ευαισθησία σε

διαφορετικές εξειδικεύσεις (προσθήκη ή αφαίρεση

μεταβλητών).

Η συνδιακύμανση των εκτιμητριών δύο μεταβλητών

με υψηλό συντελεστή συσχέτισης είναι μεγάλη και

δυσκολεύει την διάκριση των ιδιαίτερων ρόλων των

δύο μεταβλητών.

Ανίχνευση της πολυσυγραμμικότητας 1/7

Είναι πρακτικά απίθανος ο μηδενικός βαθμός συσχέτισης μεταξύ

δύο μεταβλητών.

Σκοπός είναι η ανίχνευση του βαθμού πολυσυγγραμμικότητας και

όχι η ύπαρξή της.

Ενδείξεις

Πολλοί συντελεστές οι οποίοι δεν διαφέρουν στατιστικά από το

μηδέν (χαμηλή τιμή της στατιστικής t ) αλλά συγχρόνως υψηλό

R2 .

Υψηλοί συντελεστές συσχέτισης μεταξύ ανεξαρτήτων

μεταβλητών (ικανή αλλά όχι αναγκαία προϋπόθεση).

Οι εκτιμήσεις των συντελεστών μεταβάλλονται δραστικά όταν

ανεξάρτητες μεταβλητές προσθέτονται ή αφαιρούνται.

Ανίχνευση της πολυσυγραμμικότητας 2/7

Έχουν διατυπωθεί σοβαρές αντιρρήσεις για τους στατιστικούς

ελέγχους πολυσυγραμμικότητας που έχουν αναπτυχθεί.

Δεν υπάρχει ομοφωνία για το αν είναι δυνατό να υπάρξουν τέτοιοι

έλεγχοι.

Μέθοδος VIF

Έστωiiii XXXY 3322110

Βήμα 1ο Εκτίμηση των συναρτήσεων Υπολογισμός των

iii XaXaaX 332211 2

1R

iii XaXaaX 331122 2

2R

iii XaXaaX 221133 2

3R

Ανίχνευση της πολυσυγραμμικότητας 3/7

Βήμα 2ο Υπολογισμός των

2

1

11

1ˆR

VIF

2

2

21

1ˆR

VIF

2

3

31

1ˆR

VIF

Όσο μεγαλύτερη η τιμή των VIF τόσο πιο σοβαρό το πρόβλημα

(πρακτικά VIF>5).

Ικανή αλλά όχι αναγκαία ένδειξη.

Ανίχνευση της πολυσυγραμμικότητας 4/7

Παράδειγμα: QA I PA PB PC

28 340,0 42,2 50,7 78,3

30 415,0 38,1 52,0 79,2

31 435,0 40,3 54,0 79,2

31 460,0 39,5 55,3 79,2

32 495,0 37,3 54,7 77,4

33 530,0 38,1 63,7 80,2

35 560,0 39,3 69,8 80,4

36 625,0 37,8 65,9 83,9

37 665,0 38,4 64,5 85,5

38 720,0 40,1 70,0 93,7

40 770,0 38,6 73,2 106,1

40 850,0 39,8 67,8 104,8

42 915,0 39,7 79,1 114,0

43 930,0 52,1 95,4 124,1

42 1020,0 48,9 94,2 127,6

42 1170,0 58,3 123,5 142,9

42 1350,0 57,9 129,9 143,6

44 1450,0 56,5 117,6 139,2

46 1575,0 63,7 130,9 165,5

49 1760,0 61,6 129,8 203,3

50 2000,0 58,9 128,0 219,6

51 2260,0 66,4 141,0 221,6

52 2480,0 70,4 168,2 232,6

Ανίχνευση της πολυσυγραμμικότητας 5/7

Παράδειγμα:

CBAA PPPIQ 083,0200,0532,0002,084,34ˆ

I PA PB PC

I 1.000 0,929 0,957 0,985

PA 1,000 0,970 0,928

PB 1,000 0,940

PC 1,000

46,38 974,0 0,419P-227,1084,057,16ˆ

30,30 967,0 0,252P-981,1041,065,16ˆ

60,19 949,0 0,115P310,0009,056,15ˆ

63,52 981,0 216,9646,7223,116,265ˆ

1

2

B

1

2

C

1

2

C

1

2

VIFRPIP

VIFRPIP

VIFRPIP

VIFRPPPI

AC

AB

BA

CBA

Ανίχνευση της πολυσυγραμμικότητας 6/7

Παράδειγμα:

)800,1()059,0()231,0()065,0()5,2654()0,451()9,2637(

174,1116,0716,1195,05,5131,2363,2751 AREADENSPOPINCGPFRBTR

921,02 R

AREA DENS FR GP INC POP

AREA 1,000 -0,227 0,262 -0,108 0,008 0,485

DENS 1,000 -0,141 0,455 0,459 0,636

FR 1,000 0,051 -0,075 0,015

GP 1,000 0,136 0,327

INC 1,000 0,335

POP 1,000

Ανίχνευση της πολυσυγραμμικότητας 7/7

AREADENSPOPINCGPFR 001,0000007,000007,0000006,0861,0065,0

125,1 111,0 1

2 VIFR

AREADENSPOPINCFRGP 00007,0000003,000001,0000002,0025,0902,0

312,1 238,0 2

2 VIFR

AREADENSPOPGPFRINC 891,3299,0287,09,31232,3048,17514

309,1 236,0 3

2 VIFR

AREADENSINCGPFRPOP 545,6211,0022,07,13562,2719,2145

848,5 829,0 4

2 VIFR

AREAPOPINCGPFRDENS 77,22190,3355,08,68651,4053,5233

208,5 808,0 5

2 VIFR

DENSPOPINCGPFRAREA 024,0107,0005,08,166025,620,237

861,3 741,0 6

2 VIFR

Λύσεις 1/2

Δεν υπάρχουν συγκεκριμένες λύσεις. Η εφευρετικότητα

συνήθως αναπτύσσεται με την εμπειρία.

Μερικές χρήσιμες συμβουλές

Αγνοήστε το θέμα τελείως αν δεν δημιουργεί

πρόβλημα. Κυρίως αν δεν επηρεάζει την

σημαντικότητα των συντελεστών.

Λύσεις 2/2

Ο μεγάλος αριθμός των ανεξάρτητων μεταβλητών (για

να είστε “μέσα”) δεν βοηθάει συνήθως. Μειώστε τον

αριθμό των ανεξάρτητων μεταβλητών, κυρίως αυτών

με t<1. Ελέγξτε όμως την επίδρασή τους.

Αυξήστε αν είναι δυνατό το μέγεθος του δείγματος.

Αλλάξτε τη μορφή της συνάρτησης (π.χ. κατά κεφαλή

χωρίς τον πληθυσμό, πρώτες διαφορές κ.λ.π).

Ελέγξτε όμως τις πιθανές επιπτώσεις.

Βιβλιογραφία

«ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. ΜΙΑ

ΝΕΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ»

(Τόμοι Α και Β)

J.M. Wooldridge

Εκδόσεις: Παπαζήση

«ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ»

(Τόμοι A & B)

Γεώργιος Κ. Χρήστου

Εκδόσεις: Gutenberg.

Βιβλιογραφία 2/2

Λέξεις – έννοιες κλειδιά

Πολυσυγγραμμικότητα, τέλεια

πολυσυγγραμμικότητα, ανίχνευση

πολυσυγγραμμικότητας, μεθοδος VIF.

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Commons.

Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδεια χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του

εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Γεωπονικού

Πανεπιστημίου Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 2014. Τμήμα Αγροτικής Οικονομίας και Ανάπτυξης, Λαζαρίδης Παναγιώτης, «Οικονομετρία». Έκδοση: 1.0. Αθήνα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://mediasrv.aua.gr/eclass/courses/OCDAERD102/

Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων, π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Η άδεια αυτή ανήκει στις άδειες που ακολουθούν τις προδιαγραφές του Oρισμού Ανοικτής Γνώσης [2], είναι ανοικτό πολιτιστικό έργο [3] και για το λόγο αυτό αποτελεί ανοικτό περιεχόμενο [4]. [1] http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/ [2] http://opendefinition.org/okd/ellinika/ [3] http://freedomdefined.org/Definition/El [4] http://opendefinition.org/buttons/

Σημείωμα Αδειοδότησης

Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.