1

Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α

0. ΠΡΟΛΟΓΟ.

H Πξνζπάζεηα ηνπ Δπθιείδε λα πεξηγξάςεη ηηο βαζηθέο έλλνηεο ηεο

Γεσκεηξίαο ( εκείν, επζεία, επίπεδν) δελ ραξαθηεξίζηεθε θαη απφ κεγάιε

επηηπρία , ζπλέβαιε φκσο απνθαζηζηηθά ζηελ γεληθή παξαδνρή φηη ζηηο

επηζηήκεο (:άξα θαη ζηα Μαζεκαηηθά, θαη ηδηαίηεξα ζηελ Γεσκεηξία) ζεκαζία

έρεη θπξίσο ε γλώζε ησλ ζρέζεσλ κεηαμύ ησλ ελλνηώλ θαη φρη ε απζηεξή

πεξηγξαθή ησλ ελλνηώλ θαζ' εαπηέο. (:πεξηγξαθή πνπ δελ είλαη πάληα

επηηπρήο, αλ αξθεζζνχκε ζε ήδε εηζαρζείζεο πξσηαξρηθέο έλλνηεο).

Δηζη ε ζεκειίσζε κηάο ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ επηηπγράλεηαη κε ηελ εηζαγσγή ελφο

ΘΔΜΔΛΗΧΓΟΤ ΑΞΗΧΜΑΣΗΚΟΤ ΤΣΖΜΑΣΟ [: δειαδή κε ηελ παξαδνρή

ελνο ζπλφινπ πξνηάζεσλ (: ΑΞΗΧΜΑΣΧΝ [είηε ΑΗΣΖΜΑΣΧΝ ζηελ νξνινγία

ηνπ Δπθιείδε , βιέπε θαη πηφ θάησ] .) ηελ αιήζεηα ησλ νπνίσλ δερφκεζα ρσ-

ξίο απηέο λα έρνπλ ππνζηεί θακκία δηαδηθαζία απφδεημεο].

Πεξαηηέξσ, ε αλάπηπμε κηάο ηέηνηαο Γεσκεηξίαο δελ είλαη παξά ν εκπινπηη-

ζκφο κε λέεο Πξνηάζεηο, νη νπνίεο φκσο πξέπεη λα ππνζηνχλ ηελ δηαδηθαζία

ηεο απφδεημεο θαί ε παξάζεζε φισλ απηψλ ησλ Πξνηάζεσλ πξέπεη λα δηαζ-

θαιίδεη ηελ απφδεημή ηνπο απν ηηο πξνεγνχκελεο θαη , άξα , ηελ νπζηαζηηθή

(: ηειηθή ) αλαγσγή ηνπο ζην αξρηθφ ζχζηεκα αμησκάησλ]. Δδψ πξέπεη λα επη-

ζεκάλνπκε φηη έλα ζχλνιν πξνηάζεσλ γηά λα είλαη απνδεθηφ σο έλα

ΘΔΜΔΛΗΧΓE ΑΞΗΧΜΑΣΗΚΟ ΤΣΖΜΑ

[θαηάιιειν γηά ηελ ζεκειίσζε κηάο Γεσκεηξίαο] πξέπεη λα ηθαλνπνηεί θάπνηεο

ραξαθηεξηζηηθέο ηδηφηεηεο . Μέ άιια ιφγηα πξέπεη λα είλαη :

(Α) Οηθνλνκηθό :

Νά πεξηέρεη δειαδή ην ειάρηζην δπλαηφ πιήζνο (αλεμαξηήησλ κεηαμχ ηνπο)

αμησκάησλ. (Ζ απαίηεζε ηεο αλεμαξηεζίαο δηαζθαιίδεη φηη θαλέλα απφ απηά

δελ πξνθχπηεη απφ ηα ππφινηπα θαηφπηλ θάπνηαο απνδεηθηηθήο δηαδηθαζίαο).

2

(Β) Πιήξεο :

Σν ζχλνιν φισλ ησλ πξνηάζεσλ ηεο Γεσκεηξίαο πνπ ζέινπκε λα εηζαρζεί

πξέπεη λα αλάγεηαη ηειηθά ζηα αξρηθά αμηώκαηα, κε ρξήζε θάπνη-

αο απνδεηθηηθήο δηαδηθαζίαο δειαδή κίαο αιιεινπρίαο ινγηθώλ

ζπλεπαγσγψλ, βαζηζκέλσλ ζηελ ΑΡΗΣΟΣΔΛΔΗΑ ΛΟΓΗΚΖ. [ Δδψ αλαθέξνπ-

κε νηη ν ΠΛΑΣΧΝΑ , (ην εξγν ηνπ νπνίνπ ζεσξείηαη ζεκειηώδεο γηά ηνλ

δπηηθό πνιηηηζκό), δηαηχπσζε ηελ έλλνηα ηεο ηξηκεξνχο ςπρήο θαη ήηαλ κε

ηελ ζεηξά ηνπ καζεηήο ηνπ ΧΚΡΑΣΖ (469 - 399 πρ.), ζεκειησηή ηεο

επαγσγηθήο θαη καηεπηηθήο κεζφδνπ, ν νπνίνο νξηζηηθνπνίεζε ηελ

αλζξσπνθεληξηθή ζεώξεζε ηνπ θόζκνπ.

Δμ άιινπ Ο ΑΡΗΣΟΣΔΛΖ (: ν νπνίνο ππεξμε καζεηήο ηνπ ΠΛΑΣΧΝΑ θαη

δηδάζθαινο ηνπ Μ. ΑΛΔΞΑΝΓΡΟΤ). Θεσξείηαη σο

ν κεγαιύηεξνο θηιόζνθνο όισλ ησλ επνρώλ

.(: καδί κε ηνλ ΠΛΑΣΧΝΑ θαη ηνλ σθξάηε ,ζα ιέγακε εκείο αλεπηθύιαθηα) .

[Ο ΘΑΛΖ ζεσξείηαη ν πξψηνο (θηιφζνθνο θαη καζεκαηηθφο) πνπ εηζήγαγε

θαί εθήξκνζε ηελ έλλνηα ηεο καζεκαηηθήο απόδεημεο.(Βιέπε θαη παξαθάησ)]

(Γ) πκβηβαζηό :

Νά κήλ νδεγεί ζε αληηθάζεηο : Κάζε ζρέζε πνπ πξνηείλεηαη πξέπεη λα κπν-

ξεί λα ειεγρζεί θαη λα θξηζεί είηε σο αιεζήο είηε σο ςεπδήο [νπσζδήπνηε έλα

απφ ηα δχν, θαη πνηέ θαη ηα δχν καδί !].

Δηζεγεηέο αμησκαηηθώλ ζπζηεκάησλ γηα ηελ Δπθιείδηα Γεσκεηξία, ππήξ-

μαλ θαη νη επφκελνη :

(Η).ΔΤΚΛΔΗΓΖ : Ο Δπθιείδεο έδεζε πεξί ην 300 πρ. θαη είλαη ν ζπγγξαθέαο

ηνπ κλεκεηψδνπο έξγνπ :

" ΣΟΗΥΔΗΑ "

Πξφθεηηαη γηά έλα ζχλνιν απφ 13 Βηβιία ζηα νπνία ν Δπθιείδεο πεξηέιαβε ην

κεγαιχηεξν κέξνο ηεο κέρξη ηφηε καζεκαηηθήο γλψζεο θαί ζεσξείηαη ζαλ κία

κεγάιε θαηάθηεζε ηνπ αλζξσπίλνπ πλεχκαηνο. (Σα ‘’ηνηρεία’’ είλαη, κεηά ηελ

ΑΓΗΑ ΓΡΑΦΖ, ην πηφ πνιπηππσκέλν έξγν) .

3

Σν Αμησκαηηθφ ζχζηεκα πνπ εηζεγήζεθε ν Δπθιείδεο ζηα "ζηνηρεία" ηνπ πεξη-

ιακβάλεη θαη ην πεξίθεκν " 5ν Αμίσκα" (: γλσζηφ θαη σο

αμίσκα ηεο παξαιιειίαο),

θαη κία απιή δηαηχπσζή ηνπ εηλαη θαη ε επφκελε :

"Από ζεκείν Μ, εθηόο επζείαο ε επξηζθόκελν δηέξρεηαη

αθξηβώο κία επζεία ε' παξάιιειε ηεο ε "

[Οζεο γεσκεηξίεο πεξηιακβάλνπλ ην παξαπάλσ πξφηαζε ζην αμησκαηηθφ

ηνπο ζχζηεκα είλαη αθξηβψο απηέο πνπ νλνκάδνπκε

ΔΤΚΛΔΗΓΗΔ ΓΔΧΜΔΣΡΗΔ ,

ζε αληηδηαζηνιή κε ηηο

Μ Ζ Δ Τ Κ Λ Δ Η Γ Η Δ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Δ

νη νπνίεο δελ ην πηνζεηνχλ (Σελ παξαπάλσ νξνινγία είρε πηνζεηήζεη θαη ν

Carl Friedrich Gauss (1777 - 1860)) .

Πξφθεηηαη γηά ηηο ιεγφκελεο ειιεηπηηθή θαη ηήλ ππεξβνιηθή Γεσκεηξία (βι.θαη

πηφ θάησ)]

(ΗΗ).DAVID HILBERT : (1862 - 1943):

Σν αμησκαηηθφ ζχζηεκα ηνπ Hilbert πεξηιακβάλεη κελ έλαλ κεγαιχηεξν αξηζκφ

αμησκάησλ αιιά εηλαη πνιχ θνληά ζ΄ απηφ ηνπ Δπθιείδε. Δίλαη ζρεηηθά απιφ

θαη ζεσξνχκε φηη είλαη θαη πιήξεο.

(ΗΗΗ) GEORGE DAVID BIRCHOFF : (1844 - 1944) .

(IV) JULIUS WILHELM RICHARD DEDEKINND : (1831 - 1916) .

Υξήζηκεο παξαηεξήζεηο :

(1) Δλψ επί 20 ζρεδφλ αηψλεο ζεκαληηθνί καζεκαηηθνί φπσο :

(α) ν λενπιαησληθφο Πξόθινο ν Λύθηνο [ή Γηάδνρνο (410 - 485 κρ.)] ,

(β) ν Giovanni Gerolamo Saccheri (1667 - 1733) ,

(γ) ν John Wallis (1616 - 1703)

(δ) Αdrien Mari Legendre (1752 - 1833) θ.α.,

4

πξνζπαζνχζαλ λα απνδείμνπλ φηη ην αμίσκα ηεο παξαιιειίαο δελ είλαη παξά

έλα ζεψξεκα, θάπνηνη άιινη ζθέθζεθαλ φηη ίζσο ηέηνηα απφδεημε δελ πξφθεη-

ηαη λα ππάξμεη πνηέ. Με άιια ιφγηα ζθέθζεθαλ φηη

ε Πξόηαζε ηεο παξαιιειίαο ηζρύεη κόλν ζαλ έλα αλεμάξηεην αίηεκα .

Δηζη :

(Α) Ο Ούγγξνο Janos Bolyai (1802 - 1860) θαί (αλεμάξηεηα )

(Β) Ο Ρώζζνο Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1793 - 1856)

ίδξπζαλ ηελ : ππεξβνιηθή Γεσκεηξία

ελψ ν Γεξκαλόο Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866)

ίδξπζε ηελ :

ειιεηπηηθή Γεσκεηξία .

Αληί ηνπ 5νπ αμηψκαηνο ,ζηηο Γεσκεηξίεο απηέο ,έρνπκε αληίζηνηρα ηίο επφκε-

λεο πξνηάζεηο :

(Α) Τπεξβνιηθή Γεσκεηξία :

" Από ζεκείν Μ, εθηόο επζείαο ε επξηζθόκελν δηέξρνληαη άπεηξεο

επζείεο παξάιιειεο πξνο ηελ ε

(Β) Διιεηπηηθή Γεσκεηξία :

" Από ζεκείν Μ, εθηόο επζείαο ε επξηζθόκελν, δελ δηέξρεηαη θακκία

επζεία ε' παξάιιειε ηεο ε "

ρεηηθά έρνπκε θαη΄αξρήλ φηη :

H Πξνβνιηθή Γεσκεηξία είλαη κία Διιεηπηηθή Γεσκεηξία.

H Αλαιπηηθή Γεσκεηξία είλαη κία Δπθιείδηα Γεσκεηξία.

Ζ δηθαίσζε γηά ηηο λέεο απηέο Γεσκεηξίεο (πνπ ηαπηφρξνλα απνηέιεζε θαη ηελ

επηβεβαίσζε κηάο λέαο θαηάθηεζεο γηά ηελ καζεκαηηθή ζθέςε) ήιζε απφ ηνλ

Eugenio Beltrami (1835 -1900) ν νπνίνο ην 1866 δεκνζίεπζε εξγαζίεο ηνπ

γηά ηηο κε Δπθιείδηεο Γεσκεηξίεο ζηηο νπνίεο ζπκπεξηέιαβε θαη ηελ απφδεημε

ηνπ ηζρπξηζκνχ φηη :

ην 5ν αμίσκα είλαη αλεμάξηεην ησλ ππνινίπσλ.

[εκείσζε : Ο Gauss ππήξμε άηπρνο πνπ δελ ζέιεζε λα δεκνζηεχζεη απνηε-

ιέζκαηά ηνπ ζρεηηθά κε ηελ ππεξβνιηθή Γεσκεηξία ( θξίλνληαο αθαηάιιειε

ηελ ζηηγκή λα εκπιαθεί ζε δηακάρεο κε ηνπο πηζηνχο ηεο πεπνίζεζεο φηη

5

H Γεσκεηξία ηνπ ύκπαληνο είλαη ε Δπθιείδεηα.

(: Δλαο απφ απηνχο ήηαλ θαη ν KANT.) ήκεξα δερφκαζηε φηη ην ζχκπαλ είλαη

ηνπηθά Δπθιείδεην)].

Απφ ηνχο

αδηακθηζβήηεηνπο ζεκειησηέο θαη πξσηεξγάηεο

ηεο ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ζάλ επηζηήκεο [αιιά θαη γεληθφηεξα ησλ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΧΝ

(θιάδνο ησλ νπνίσλ εηλαη ε ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ)] , ζεσξείηαη

ν Θ Α Λ Ζ [ : ν Μηιήζηνο]

(: έλαο απφ ηνχο 7 ζνθνύο : 7νο – 6νο αηψλαο πρ.). Γηφηη κε ηελ επηλφεζε θαη

εθαξκνγή ηεο δηαδηθαζίαο ηεο α π ό δ ε η μ ε ο

έδσζε ζηήλ Γεσκεηξία ηελ κνξθή επηζηήκεο

(δειαδή κίαο πλεπκαηηθήο αλαδήηεζεο).

Με βάζε ηελ έλλνηα πνπ ζήκεξα νλνκάδνπκε

νκνηόηεηα ζρεκάησλ - Θεώξεκα ηνπ Θαιή,

θαηάθεξε :

(η) λα ππνινγίζεη κε αθξίβεηα ην ύςνο ησλ Ππξακίδσλ

[ρσξίο απ΄επζείαο κέηξεζε].

Δπίζεο θαηάθεξε :

(ηη). λα πξνβιέςεη ηελ έθιεηςε ηνπ ειίνπ

(θαζηζηάκελνο έθηνηε [κεηαμχ ησλ ζπγρξφλσλ ηνπ θαη φρη κφλνλ] πξόζσπν

κπζηθώλ δηαζηάζεσλ).

(2). Σελ ίδηα πεξίπνπ επνρή (6νο πρ. Αηψλαο) ν ΠΤΘΑΓΟΡΑ [ : ν άκηνο]

θαη νη καζεηέο ηνπ [ : Ππζαγόξεηνη] ίδξπζαλ ηελ πεξίθεκε

Π Τ Θ Α Γ Ο Ρ Δ Η Α Υ Ο Λ Ζ

θαιιηεξγψληαο ηελ θηινζνθία ,ηελ αξηζκεηηθή θαη (γεληθφηεξα) ηα Μαζεκαηηθά

(άξα θαη ηελ Γεσκεηξία) ηζρπξηδόκελνη όηη

Α Δ Η Ο Θ Δ Ο Ο Μ Δ Γ Α Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Δ Η.

(ιέγεηαη φηη ζηελ είζνδν ηνπ ζηεγαζκέλνπ ρψξνπ φπνπ καδεχνληαλ γηα ηηο

Μαζεκαηηθέο ηνπο δξαζηεξηφηεηεο θαη αιιεινελεκεξψζεηο είραλ αλαγξάςεη

ηελ θξάζε

Ο Τ Γ Δ Η Α Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Ζ Σ Ο Δ Η Ζ Σ Χ ).

[Οη Ππζαγφξεηνη πίζηεπαλ ζηελ χπαξμε ζπκκεηξίαο θαη αξκνλίαο κέζα ζην

ΤΜΠΑΝ θαη έηζη αλαγλψξηδαλ θαη δίδαζθαλ ηελ χπαξμε

6

Γ ε σ κ ε η ξ η θ ή ο δ ν κ ή ο

ζ ΄ απηφ. Πεξαηηέξσ ζεσξνχζαλ φηη ε δνκή απηή ζπλδέεηαη κε (θάπνην) άξξε-

ην (Θετθφ βέβαηα) ζρέδην δεκηνπξγίαο ην νπνίν κπνξεί λα γίλεη αληηιεπηφ θαη

πξνζηηφ γηα κειέηε [απφ ηφλ άλζξσπν]

κόλν θαηά πξνζέγγηζηλ θαη κόλν κε ηελ βνήζεηα ησλ αξηζκώλ.

Σν πεξίθεκν Ππζαγόξεην Θεώξεκα απνδείρζεθε γεσκεηξηθά (:δειαδή κε

βάζε ηελ ζπλζεηηθή άπνςε : κε θαζαξά γεσκεηξηθέο κεζφδνπο : ρσξίο ρξήζε

ηεο άιγεβξαο [ ηελ νπνία επέηξεπε φκσο ε ιεγφκελε αλαιπηηθή άπνςε]).

Φπζηθά ην Θεψξεκα απηφ

ζπλέβαιε ζηελ αλαθάιπςε ησλ αζζύκεηξσλ αξηζκώλ

(ε χπαξμε ησλ νπνίσλ , φκσο, δελ ήηαλ ζπκβηβαζηή κε ηηο γεληθφηεξεο δνμα-

ζίεο ησλ Ππζαγνξείσλ θαη νδήγεζε νπζηαζηηθά ζηελ ζηαδηαθή παξαθκή ηεο

ζρνιήο ηνπο).

Αο ζεκεησζεί εδψ φηη ππήξραλ ηξηβέο κεηαμχ ησλ νπαδψλ ησλ δχν παξα-

πάλσ απφςεσλ, [ζπλζεηηθήο θαη αλαιπηηθήο]. Φπζηθά ε άπνςε γηά ηελ απφ-

θπγή ρξήζεο ηεο Αιγέβξαο ζηελ αλάπηπμε ηεο Γεσκεηξίαο αλ γίλεη δεθηή

αθαηξεί απφ ηνπο ίδηνπο ηνχο Γεσκέηξεο έλα ηζρπξφ εξγαιείν αλάπηπμεο ηνχ

θιάδνπ ηεο Γεσκεηξίαο. [Δμ άιινπ είλαη βέβαην , ζήκεξα φζν πνηέ άιινηε , φηη

ηα καζεκαηηθά απνηεινχλ κία εληαία επηζηήκε] .

Ο (: κεγάινο ΄Διιελαο ηξαγηθόο πνηεηήο ΑΗΥΤΛΟ ζέινληαο λα ηνλίζεη ηελ

ζεκειηώδε ζπκβνιή ησλ αξηζκώλ ζηελ αέλαε βειηίσζε ηνπ αλζξψπηλνπ

πνιηηηζκνχ δηαηχπσζε ηελ θξάζε – νκνινγία :

αξηζκόλ , έμνρνλ ζνθηζκάησλ

ήκεξα [ : επνρή ησλ θνκπηνχηεξ] έρεη θαηαζηεί ζπλείδεζε φηη

(i) θάζε επζεία ε κπνξεί λα ηαπηηζζεί

κε ην ζώκα ℝ ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ

(ii) C ≡ ℝ x ℝ ( : ζώκα ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ )

[ πνπ ηαπηίδεηαη κε ην επίπεδν ] , φπσο επίζεο νη

(iii) ℝ 3 ≡ ℝ x ℝ x ℝ (: κε ηνλ ηξηζδηάζηαην ρώξν)

(iv) ℝ 4 ≡ (ℝ x ℝ x ℝ )x ℝ (: κε ηνλ ρσξνρξόλν)

Ο ΚΑΡΣΔΗΟ (: Rene Descartes : (1596 – 1650), [ ζηήλ πξνζπάζεηά

ηνπ λα βξεί κία νξζνινγηθή κέζνδν πξνζέγγηζεο ηεο αιήζεηαο]

εηζεγήζεθε θαη ρξεζηκνπνίεζε ηα ζπζηήκαηα ζπληεηαγκέλσλ ,

7

επηζθξαγίδνληαο έηζη ηελ αλάγθε γηά ηελ

ζύλδεζε ηεο άιγεβξαο κε ηελ θιαζζηθή Γεσκεηξία .

Γη απηφ θαη ζεσξείηαη σο δεκηνπξγόο ηεο Αλαιπηηθήο Γεσκεηξίαο , κε

ζπλδεκηνπξγνύο ηνπο

Pieree de Fermat (:1601 – 1665).θαη ηνλ Blaise Pascal (1623 – 1662).

ρεηηθά κε ηελ ζπκβνιή ηνπ Fermat ππάξρεη κία επηζηνιή ηνπ Pascal

πξφο ηνλ Fermat ζηήλ νπνία ηνπ δειψλεη φηη ηνλ ζεσξεί ζάλ

Έλαλ από ηνύο κεγαιύηεξνπο Γεσκέηξεο ηεο Δπξώπεο

[ Απηή ε εμνκνιφγεζε ηνπ Pascal ζ΄έλαλ θαη΄εμνρήλ αξηζκνζεσξεηηθό καο

επηβάιιεη λα ηνλίζνπκε εληνλφηεξα ηελ Γεσκεηξηθή πθή πνπ θξχβεηαη κέζα

ζηελ

αιγεβξηθή δόκεζε ηνπ ζώκαηνο ℝ ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ.

Δπνκέλσο νη δχν δνκέο αιιεινθαιχπηνληαη θαη αιιεινηξνθνδνηνχληαη εηο

φθεινο νινθιήξνπ ηνπ Μαζεκαηηθνχ νηθνδνκήκαηνο.

πγθεθαιαηψλνληαο πξέπεη λα πνχκε φηη ε αλάδεημε ηεο Αλαιπηηθήο

Γεσκεηξίαο ζε έλα ηζρπξφηαην Μαζεκαηηθφ εξγαιείν [απφ ηνπο Descartes

,Fermat , Pascal ] καδί κε ηελ Νεπηώλεηα κεραληθή [ISAAK NEWTON :

1642 – 1727] θαη ηηο κεζόδνπο ηνπ Απεηξνζηηθνύ Λνγηζκνύ άλνημαλ λένπο

νξίδνληεο γηα ηελ κειέηε θαη ηελ θαηαλόεζε ηνπ ΤΜΠΑΝΣΟ .

(3). O Δύδνμνο (435 – 355 πρ.) έγξαςε ην έξγν

Γεσκεηξηθνί ιόγνη .

[ Σν φηη ην έξγν απηφ είλαη εμόρσο ζπνπδαίν πξνθχπηεη θαη απφ ην γεγνλφο

φηη ν Δπθιείδεο ην πεξηέιαβε ζηα «ηνηρεία».]

(4). Οπσο είπακε θαη πηφ πάλσ ε ηδέα γηά ηελ ζχδεπμε ηεο Αξηζκεηηθήο

(άξα θαη ηεο άιγεβξαο) κε ηελ Γεσκεηξία μεθίλεζε κε ηνπο Ππζαγφξεηνπο (5νο

πρ. αηψλαο).Ζ ηδέα απηή πξνσζήζεθε θαη απφ ηνλ Πάππν (: ζχγρξνλν ηνπ

Δπθιείδε πεξί ην 300 πρ.) ν νπνίνο άθεζε ζεκαληηθφ ζπγγξαθηθφ έξγν κε

ηνλ ηίηιν

πλαγσγή

ην έξγν απηφ ν Πάππνο δηέζσζε θαη ην έξγν πνιιψλ αθφκε ζπγγξαθέσλ.

(5). Καηά γεληθήλ εθηίκεζε

8

ε κ ε γ α ι χ η ε ξ ε καζεκαηηθή θαη επηζηεκνληθή κ ν ξ θ ή ηεο αξραηφηεηνο

είλαη ν

ΑΡΥΗΜΖΓΖ., (287 – 212 πρ.)

ελώ ν

ΑΠΟΛΛΧΝΗΟ (260 – 200πρ.)

είλαη ν ηειεπηαίνο κεγάινο Γεσκέηξεο ηεο Διιεληζηηθήο πεξηόδνπ .

( : ζάλαηνο ηνπ ΜΔΓΑΛΟΤ ΑΛΔΞΑΝΓΡΟΤ (356-323 πρ.) έσο θαη ηελ επηθξά-

ηεζε ησλ ΡΧΜΑΗΧΝ ην έηνο 10 κρ.]).

ηα επηηεχγκαηα ηνπ Αξρηκήδε πεξηιακβάλεηαη ν

ππνινγηζκφο ηνπ αξηζκνχ π : π = 3,14159.....

Δπίζεο ζηήλ πξνζπάζεηά ηνπ λα ππνινγίζεη ην

κέηξν εθ πεξηζηξνθήο ζρεκάησλ

[: εκβαδόλ επηθαλεηώλ θαη όγθν ζηεξεώλ ], πιεζίαζε πνιχ ηηο ζχγρξνλέο

καο κεζφδνπο ηνπ Οινθιεξσηηθνχ Λνγηζκνχ [Αξα κπνξεί λα ζεσξεζεί σο ν

παηέξαο ησλ κεζόδσλ απηώλ]. Παξνηκηψδεο είλαη εμ άιινπ ε θξάζε ηνπ

Δ Τ Ρ Ζ Κ Α

πνπ αθνξά ηνλ λόκν ηεο άλσζεο. Πξφζθαηεο ηζρπξέο ελδείμεηο απνδίδνπλ

ζηνλ Αξρηκήδε θαη ηελ επηλφεζε ηνπ κεραληζκνύ ησλ Αληηθπζήξσλ. Πξφ-

θεηηαη γηα έλαλ κπζηεξηψδε κεραληζκφ πνπ εηθάδεηαη φηη πξννξηδφηαλ γηα θξί-

ζηκνπο ππνινγηζκνύο πξνζδηνξηκνύ ζέζεσλ [ : θαη φρη κφλνλ,ελδερνκε-

λσο ] επί ηε βάζεη θάπνησλ δεδνκέλσλ παξακέηξσλ] Δίλαη εθπιεθηηθφ φηη

αθφκε θαη χζηεξα απφ ηφζεο [ : πνιπεηείο ] κειέηεο δελ είλαη αθφκε θαηαλνε-

ηφο ν κεραληζκφο ιεηηνπξγίαο ηεο πεξίθεκεο απηήο ζπζθεπήο [θαη απηφ δείρ-

λεη ην κεγαιεηψδεο ηεο επηλφεζεο ηνπ Αξρηκήδε θαη ησλ ζπλεξγαηψλ ηνπ]

(6). Σν νθηάηνκν έξγν ηνπ Απνιιώληνπ έρεη ηνλ ηίηιν

Κ Χ Ν Ο Τ Σ Ο Μ Α Η

θαη [ : δηθαίσο] ζεσξείηαη σο ε

ΑΠΑΡΥΖ ΣΖ ΠΡΟΒΟΛΗΚΖ ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ.

[Αιιά επίζεο θαη ελφο απφ ηα θαίξηα θεθάιαηα ηεο Αλαιπηηθήο Γεσκεηξίαο.

Γηφηη αθξηβψο νη θσληθέο ηνκέο είλαη (:θεληξηθέο) πξνβνιέο θάπνηαο βάζεσο

ηνπ θψλνπ ζε δεδνκέλν επίπεδν (σο πξνο θέληξν πξνβνιήο ηελ θνξπθή

Ο ηνπ θψλνπ)].

9

(7) [ρεηηθά κε ηελ κειέηε ηνπ ζχκπαληνο νθείινπκε λα αλαθέξνπκε θαη

ηνπο επφκελνπο ( : αξραίνπο) Διιελεο αζηξνλφκνπο :

(Α) ΑΡΗΣΑΡΥΟ ν άκηνο (310 – 230 πρ.πεξίπνπ) : Πξσηνπφξνο ζηελ

Αζηξνλνκία, ζεσξνχκελνο σο ν

πξόδξνκνο ηνπ Ηιηνθεληξηθνύ ζπζηήκαηνο.

Δπίζεο ππνιφγηζε (ρσξίο κεγάιε αθξίβεηα φκσο) ηελ ζρέζε [ : ιφγν ] ησλ

απνζηάζεσλ Γήο – Ηιίνπ θαη Γήο – ειήλεο θαζψο θαη ηνλ ινγν ησλ δηακέ-

ηξσλ Γήο – ειήλεο.

(Β). ΔΡΑΣΟΘΔΝΖ (275-195 πρ.) : Μέηξεζε κε επθπέζηαην ηξφπν ηελ

δηάκεηξν ηεο Γήο. [Δίλαη επίζεο γλσζηφ ην ηέρλαζκά ηνπ γηα ηελ δηαινγή ησλ

πξψησλ αξηζκψλ :

Κόζθηλν ηνπ Δξαηνζζέλε ].

(Γ). ΗΠΠΑΡΥΟ (2νο πρ. Αηψλαο). Τπνιφγηζε ηηο απνζηάζεηο ηνπ Ζιίνπ θαη

ηεο ειήλεο απφ ηελ Γή. Δπίζεο ηα κεγέζε απηψλ. Γη' απηφ θαη ζεσξείηαη σο ν

ζεκειησηήο ηεο ηξηγσλνκεηξίαο.

(Γ). ΠΣΟΛΔΜΑΗΟ Κιαχδηνο (138 -180 κρ. ): Αιεμαλδξηλφο Αζηξνλφκνο

[αιιά θαη Μαζεκαηηθφο-Γεσκέηξεο].ην έξγν ηνπ, γλσζηφ σο Αικαγέζηε,

αλαπηχζζεη κία Γεσθεληξηθή θνζκνινγηθή ζεσξία. Δπίζεο ζην έξγν ηνπ :

Απισζηο επηθαλείαο

Αλαθέξεηαη ζηελ

κειέηε πξνβνιώλ γηα ηελ θαηαζθεπή ραξηώλ.

(8). Σηο πην ξηδνζπαζηηθέο αληηιήςεηο γηα ηελ Γεσκεηξία δηαηχπσζε ν

Georg Fridrich Bernard Riemann (1826 - 1866) ,

Βιέπε θαη πην πάλσ). Δηζήγαγε ηελ έλλνηα ηνπ θακππισκέλνπ ρψξνπ (: απ-

ζαηξέηνπ δηαζηάζεσο) ηνλ νπνίν ζεψξεζε ηνπηθά Δπθιείδεην. ( : θάζε ζεκείν

ηνπ έρεη κία [ηνπιάρηζηνλ] Δπθιείδεηα πεξηνρή). Δηζη δηαηχπσζε ηελ έλλνηα

Σεο πνιιαπιόηεηνο ( : manifold) ,ε νπνία έπαημε ηεξάζηην ξφιν ζηελ

ζύγρξνλε εμέιημε ησλ Μαζεκαηηθψλ.

Πξνο ζηηγκήλ θάλεθε φηη ε Γεσκεηξία ηνπ Riemann απνηειεί ην αλαγθαίν

ππφβαζξν γηα ηελ δηαηχπσζε , κειέηε θαη εμέιημε ηεο

ζ ε σ ξ ί α ο η ε ο ζ ρ ε η η θ ό η ε η ν ο

( : δειαδή ηεο πεξηγξαθήο ηνπ καθξόθνζκνπ). Δηζη βιέπνπκε ηνλ Albert

Einstein (1878 – 1955) λα αθηεξψλεη 10 ρξφληα γηα ηελ κειέηε ηεο ζεσξίαο

10

ησλ manifold [ : ‘νπνπ γίλεηαη ηαχηηζε ηεο έλλνηαο ηεο θακππιόηεηαο (ε

νπνία είλαη κία Γεσκεηξηθή έλλνηα) κε εθείλελ ηεο βαξύηεηαο ( πνπ είλαη κία

ηδηόηεηα ηεο ύιεο θαη άξα κία θπζηθή ηδηόηεηα-έλλνηα-κέγεζνο)].

Γηαπηζηψλνληαο φκσο φηη πξνέθπςαλ αληηθάζεηο πξφο ηελ θβαληηθή ζεσξία

[ : πνπ κειεηά ηνλ κηθξφθνζκν ] πεξηήιζε ζε βαζχηαην πξνβιεκαηηζκφ.

Δηδηθφηεξα ζα ιέγακε φηη ν Einstein δελ κπνξνχζε ( ‘φπσο ήηαλ θπζηθφ) λα

παξαβιέςεη

φηη νη θπζηθνί λφκνη έρνπλ θαζνιηθή ηζρχ

θαη εηζη ηειηθά παξαδέρζεθε φηη

νθείινπκε λα επηλνήζνπκε

έλαλ αιγεβξηθό ηξόπν γηά λα πεξηγξάςνπκε ην ύκπαλ

εληζρχνληαο έηζη απνθαζηζηηθά ηελ αλάγθε παξαδνρήο κηάο νπζηψδνπο ζπ-

ζρέηηζεο ησλ δχν θιάδσλ εηο φθεινο ηεο γεληθφηεξεο πξνφδνπ ησλ Μαζεκα-

ηηθψλ θαη ησλ εθαξκνγψλ ηνπο ζηηο επηζηήκεο γεληθφηεξα.

Δηζη ν κεγάινο ζηόρνο ηεο ζύγρξνλεο επηζηήκεο είλαη ε επηλφεζε

ελφο πιαηζίνπ (:κνληέιινπ ) πνπ

ζα ελνπνηεί ηελ γεληθή ζρεηηθόηεηα κε ηελ θβαληηθή ζεσξία .

[ίγνπξα φκσο ε Γεσκεηξία (: φπσο ρξεζηκνπνηείηαη ζηελ ζεσξία βαζκίδνο

{ : Gauge theory}, ζηελ ζεσξία ησλ ππεξρνξδώλ {: string theory } θιπ.) ζα

παίδεη θαη πάιη θπξίαξρν ξόιν].

(9). Απφ ηα παξαπάλσ βιέπνπκε φηη ε άιγεβξα ( : θαη ηα κνληέιια ηεο)

είλαη έλα ηζρπξφ εξγαιείν γηα ηελ κειέηε θαη ηεο Γεσκεηξίαο. Καηά ηνχο ρξφ-

λνπο ηεο παξαθκήο ηνπ Διιεληθνχ θαη ηνπ Ρσκαηθνχ πνιηηηζκνχ επήιζε θαη

παξαθκή ζηελ αλάπηπμε ηεο Γεσκεηξίαο. Δίλαη φκσο Θεηηθή εμέιημε φηη ζηνπο

αλαηνιηθνχο ιανχο (θαη ηδηαίηεξα ζηνπο Αξαβεο )

ήθκαζε ε αξηζκεηηθή θαη ε άιγεβξα

ηφζν θαηά ηνλ κεζαίσλα φζν θαη θαηά ηελ αλαγέλλεζε].Πξάγκαηη ε άιγεβξα

(κε αθνξκή ηελ πξαγκαηνπνίεζε ππνινγηζκψλ πξνο επίιπζε ηξερνπζψλ

αλαγθψλ) θαηφξζσζε [κε ηνπο επέιηθηνπο ζπκβνιηζκνχο ηεο] λα νδεγήζεη

ζηελ επίιπζε εμηζψζεσλ αιιά θαη άιισλ δχζθνισλ πξνβιεκάησλ ηεο κερα-

ληθήο θαη ηεο αζηξνλνκίαο.

11

Αθξηβψο φκσο ε αλάγθε γηά ζπζηεκαηηθφηεξε κειέηε αιιά θαη αλάπηπμε

ηεο αζηξνλνκίαο , ηεο κεραληθήο θαη ηεο νπξάληαο κεραληθήο

θαηέζηεζε αλαγθαία ηελ παξνπζία ηεο Γεσκεηξίαο ηνπ ρσξνρξόλνπ

( : εκαληηθφ ξφιν εδψ δηαδξακάηηζε ν Isaak Newton ( 1642-1727 )

[ : ν νπνίνο πξνρψξεζε ζηελ δηαηχπσζε ηνπ λόκνπ ηεο βαξύηεηαο])

Δηζη ε Γεσκεηξία μαλαήιζε επηηαθηηθά ζην πξνζθήλην θαη έθηνηε εκθαλίζηε-

θε ζεηξά νιφθιεξε απφ καζεκαηηθνχο πνπ ζπλέβαιαλ απνθαζηζηηθά ζηελ α-

λαβάζκηζε [ επνκέλσο θαη ζηελ ξαγδαία αλάπηπμε] ηεο Γεσκεηξίαο. Μεηαμχ

απηψλ είλαη θαη νη ( : βιέπε θαη παξαπάλσ.)

Pascal , Pieree de Fermat , Rene Descartes

Μεηαγελέζηεξα πηνζεηήζεθε ε ζεκειηψδεο ηδέα λα ραξαθηεξηζζεί κία Γεσκε-

ηξία [: θη΄απηφ είλαη κία άιιε ηζρπξή αλάδεημε ηνπ εληαίνπ ηεο καζεκαηηθήο

επηζηήκεο ] απφ ηελ αληίζηνηρε

νκάδα ησλ κεηαζρεκαηηζκώλ

πνπ δηαηεξνύλ αλαιινίσηεο ηηο βαζηθέο ηδηόηεηέο ηεο. Δδψ ζπνπδαία

ζεσξείηαη ε ζπκβνιή ησλ

Sophus Lie (1842-1899) ,

Henrie Poincare (1854-1912), [ θαη ηδηαίηεξα ηνπ ]

Christian Felix Klein (1849-1925).

Δπνκέλσο κπνξνχκε βάζηκα λα ζεσξνχκε νηη ήηαλ απνθαζηζηηθήο ζεκαζίαο

γηα ηελ κειέηε ηνπ ζχκπαληνο ε ζπκβνιή ησλ καζεκαηηθώλ

Δίλαη γεγνλφο φκσο φηη

(η) θάπνηεο θηινζνθηθέο ηδέεο [θπξίσο ηνπ Immanuel Cant (1724-1804) ]

πεξί ηνπ ρσξνρξφλνπ ], ζε ζπλδπαζκφ κε ηηο

(ηη) ζεσξίεο ηνπ Νεύησλα θαη αθφκε ε

(ηηη) απζαηξεζία ζηελ επηινγή ηεο αξρήο ηνπ ζπζηήκαηνο ζπληεηαγκέλσλ

[ : ψζηε λα είλαη πην εχρξεζηε ζηνλ εθάζηνηε παξαηεξεηή] [ : αξρή ηνπ

ζπζηήκαηνο αλαθνξάο ζηελ νξνινγία ηεο θπζηθήο] νδήγεζαλ ζε κία αηειή

αληίιεςε ηνπ θπζηθνχ θφζκνπ απφ ηνλ άλζξσπν [δηφηη ηνπ εδξαίσλαλ ηελ

πεπνίζεζε φηη ε Γεσκεηξία ηνπ θφζκνπ καο είλαη ε Δπθιείδηα] . Δλ ηνχηνηο

ζεσξνχκε φηη ε

Δπθιείδηα Γεσκεηξία θαη ε Νεπηώλεηα κεραληθή

12

ππήξμαλ γηά 250 πεξίπνπ ρξφληα ηθαλνπνηεηηθά εξγαιεία ζηελ κειέηε ηνπ

ζπκπαληνο].Ο Einstein ζεψξεζε ηειηθά αλεπαξθή θαη ηελ ζεσξία ησλ πνι-

ιαπινηήησλ (πνπ πξνυπνζέηεη ηελ ηνπηθή Δπθιεηδηφηεηα ηνπ ρψξνπ),απνθαη-

λφκελνο νξηζηηθά φηη κάιινλ

ρξεηαδόκαζηε έλαλ αιγεβξηθό ηξόπν πεξηγξαθήο ηνπ ζύκπαληνο.

(Δξώηεκα : Μήπσο νπζηαζηηθά θαιεί ηνπο εξεπλεηέο λα επηλνήζνπλ θαη λα

πξνηείλνπλ κνληέια κεηαπησηηθψο κεηαβαιιφκελα καδί κε ηηο κεηαβνιέο θαη

κεηαπηψζεηο ησλ [ελεξγεηαθψλ θαη πιηθψλ ] ππνζέησλ πνπ πιεξνπλ ην

ζχκπαλ ( : φπσο είλαη πρ. νη δηαθφξσλ εηδψλ εθξήμεηο), πξνζζέηνληαο θάζε

θνξά έλα επηπιένλ (κεηαβαιιφκελν;;) πιήζνο αλεμαξηήησλ κεηαβιεηψλ ; ).

Οπνηα θη αλ είλαη ε απάληεζε, ε παξνπζία θαη ζπκβνιή ηεο Γεσκεηξίαο ζηελ

κειέηε ηνπ ζχκπαληνο ζα είλαη κάιινλ εκθαλήο. [Γηφηη ηα νπξάληα ζψκαηα

είλαη ζρήκαηα θαη άξα αληηθείκελα Γεσκεηξηθήο κειέηεο].

Δδψ ζα πξέπεη λα αλαθέξνπκε θαη ηήλ ζπκβνιή ηεο

Γ ξ α κ κ η θ ή ο Γ ε σ κ ε η ξ ί α ο.

Πξάγκαηη ε Γξακκηθή Γεσκεηξία ρξεζηκνπνηψληαο ηηο έλλνηεο ηνπ ζπζρε-

ηηζκέλνπ ρψξνπ θαη ηεο δξάζεσο κειεηά είηε ην 𝔼 𝒙𝔼 (φπνπ είλαη ν ππφ

κειέηελ ρψξνο) είηε ην 𝑮𝒙 𝔼 (φπνπ 𝑮 είλαη κία ππννκάδα ηνπ 𝑨𝒖𝒕(𝔼)

,[δειαδή ηήο νκάδαο φισλ ησλ 1-1 θαη επί απεηθνλίζεσλ ηνπ 𝔼 ζηνλ εαπηφ

ηνπ]).

Δηζη δεκηνπξγνχληαη 1-1 θαη επί απεηθνλίζεηο πνπ νπζηαζηηθά ζπλδένπλ

κεηαμχ ηνπο ηα δηάθνξα ζπζηήκαηα ζπληεηαγκέλσλ [ψζηε επθνιφηεξα λα

κπνξνχλ παξαηεξεηέο λα αιιειναλαγάγνπλ ηα απνηειέζκαηα ησλ

παξαηεξήζεψλ ηνπο ν έλαο ζηνλ άιινλ (εμνπδεηεξψλνληαο έηζη ην

κεηνλέθηεκα ηεο απζαηξεζίαο ζηελ επηινγή ηεο αξρήο ηνπ ζπζηήκαηνο

αλαθνξάο,θαη επηηξέπνληαο ηελ απνηειεζκαηηθόηεξε ζπλεξγαζία κεηαμχ

παξαηεξεηψλ πνπ ρξεζηκνπνηνχλ ζπζηήκαηα κε δηαθνξεηηθή αξρή )] .

13

ΚΔΦΑΛΑΗΟ 1

§ 1.1 Αμηώκαηα-Πξνηάζεηο επζεηώλ, επηπέδσλ

πζηήκαηα πληεηαγκέλσλ - Γόκεζε ηνπ 𝔼

χκθσλα κε ηα παξαπάλσ έλα βαζηθφ ζέκα ηεο ππφ κειέηελ Αλαιπηηθήο

Γεσκεηξίαο είλαη θαη ε εύξεζε ηππνινγίνπ πνπ ζα ζπλδέεη κεηαμχ ηνπο ηα

δηάθνξα ζπζηήκαηα αλαθνξάο [ζπληεηαγκέλσλ ] θαη ζα επηηξέπεη ηελ κεηά-

βαζε απφ ην έλα ζηα άιια.

πκπεξαζκαηηθά ζα ιέγακε φηη ν εθνδηαζκφο ηνπ θπζηθνχ ζεκεηνρψξνπ 𝔼

κε έλα ηξηδηάζηαην ζχζηεκα ζπληεηαγκέλσλ (Οxςz) [ : κε αξρή Ο θαη ζεηη-

θνχο εκηάμνλεο Οx ,Oς ,Οz] ηζνδπλακεί κε [: πξνππνζέηεη] ηελ ηζρχ [θαη πα-

ξαδνρή] ησλ ζεκειησδψλ αμησκάησλ ηεο Δπθιείδεηαο Γεσκεηξίαο πεξί

ζεκείσλ , επζεηψλ ,επηπέδσλ θαζψο θαη ην ζεκειηώδεο αμίσκα ηεο ηαύηηζεο

(*) ε ℝ ⇒ 𝔼 ℝ 3

[:ηνπ Δπθιεηδείνπ ρψξνπ ℝ με μία τυχούσα ευθεία ε θαη ηελ ζπλεπαγφκελε

απφ απηήλ ηαχηηζε ηνπ θπζηθνχ ζεκεηνρψξνπ 𝔼 με ηνλ ηξηζδηάζηαην Δπθιεί-

δην ρψξν ℝ 3 .

εκείσζε . Όπσο παξαηεξήζακε θαη ζηνλ πξφινγν θάζε απφπεηξα πεξη-

γξαθήο ηεο επζείαο κε άιιεο καζεκαηηθέο έλλνηεο πξσηαξρηθφηεξεο απφ απ-

ηήλ νδεγείηαη ζε απνηπρία.[ : ν ίδηνο ν Δπθιείδεο δελ θαηφξζσζε λα επηηχρεη

ζ΄απηφ ηνπ ην εγρείξεκα]. Oη θπξηφηεξεο πξνηάζεηο πνπ ηζρχνπλ ζρεηηθά κε ην

επίπεδν θαη ηελ επζεία ζηελ Δπθιείδεηα Γεσκεηξία [ θαη δερφκαζηε ζηελ ζεκε-

ιίσζε ηεο Αλαιπηηθήο Γεσκεηξίαο] είλαη νη επφκελεο :

(1).[Αμίσκα] Γηα θάζε δεχγνο (A,B) δηαθνξεηηθώλ κεηαμύ ηνπο ζεκείσλ ηνπ

𝔼 ππάξρεη αθξηβώο κία επζεία πνπ ηα πεξηέρεη από θνηλνύ. Θέηνπκε γηα

14

ηελ επζεία απηήλ [ηνπο ηζνδχλακνπο ζπκβνιηζκνχο] :

(**) ꜫ(Α,Β) ε(Α,Β) εΑΒ ꜫΑΒ

[ε κνλαδηθή θνηλή επζεία ησλ ζεκείσλ Α,Β ηνπ 𝔼 , Α≠Β]

εκείσζε 1α. (η). Κάζε ζεκείν Ρ ηνπ 𝔼 νξίδεη κε θάζε άιιν ζεκείν Ρ΄≠ Ρ ηνπ

𝔼 κία επζεία ꜫ(Ρ,Ρ΄) .Οιεο απηέο νη επζείεο πεξηέρνπλ ην Ρ θαη ζπκβνιίδνληαη

κε J(Ρ). [ Σν J(Ρ) ζα νλνκάδεηαη :

«ε δέζκε όισλ ησλ επζεηώλ ηνπ Ρ» ] .

Δπίζεο κπνξνχκε λα ιέκε φηη

ην J(Ρ) είλαη κία πιήξεο δέζκε επζεηώλ ηνπ 𝔼

(ηη).Δίλαη άκεζα θαλεξφ φηη νη επζείεο ηεο J(Ρ) ζαξψλνπλ ηνλ (ρψξν) 𝔼, κε ηελ

έλλνηα φηη θάζε ζεκείν ηνπ 𝔼 είλαη ζε θάπνηα απφ απηέο ηηο επζείεο.

(ηηη). Ζ αληηζηνηρία

Ρ ⇄ J(Ρ)

ζεκείσλ θαη δεζκψλ ηνπ 𝔼 είλαη 1-1 θαη επί.

Σα ζεκεία ρΜ , ςΜ , zΜ [ θνξπθέο ηνπ παξαιιειεπηπέδνπ Π(Μ) , ηνπ ζεκείνπ

Μ , επί ησλ αμφλσλ x΄x ,ς΄ς , z΄z αληίζηνηρα] θαζνξίδνπλ ηηο ζπληεηαγκέλεο

ηνπ ζεκείνπ Μ ζην ζχζηεκα (Οxςz) [φηαλ νη επζείεο ηνπ (Οxςz)) γίλνπλ

Δπθιείδεηεο] ( Βι. θαη ζρήκα 3α) .

(2).[Αμίσκα] Δπίπεδν Π, είλαη θάζε ππνζχλνιν ηνπ 𝔼 ην νπνίν :

(2-α) πεξηέρεη ηνπιάρηζηνλ ηξία κε ζπλεπζεηαθά ζεκεία Α,Β,Γ ηνπ 𝔼 .

(δηαθνξεηηθά ,πξνθαλψο, κεηαμχ ηνπο)

(2-β) γηα θάζε δχν δηαθνξεηηθά ηνπ ζεκεία Ρ,Γ, πεξηέρεη θαη όια ηα ζεκεία

ηεο επζείαο ꜫ(Ρ,Γ) πνπ ηα δχν απηά ζεκεία νξίδνπλ.

(2-γ). Κάζε άιιν ππνζχλνιν Π΄ ηνπ 𝔼 πνπ πεξηέρεη ηα ίδηα σο άλσ ζεκεία

Α,Β, Γ θαη έρεη ηελ ηδηφηεηα (2-β) , πεξηέρεη ην Π θαη :

(γ-1) είηε ζπκπίπηεη κε απηφ είηε ,

(γ-2) αλ έρεη έζησ θαη έλα ζεκείν Ε ηνπ 𝔼 , πνπ δελ αλήθεη ζην Π, ηφηε πεξηέ-

ρεη θαη ηνλ φιν ρψξν 𝔼

(3) [Αμίσκα-νξηζκνί].(3α). Γχν δηαθνξεηηθέο κεηαμύ ηνπο επζείεο ε, μ ηνπ 𝔼

ζα ιέγνληαη ζπλεπίπεδεο εάλ ππάξρεη επίπεδν Π πνπ πεξηέρεη φια ηα ζεκεία

ηνπο [ άξα θαη ηηο επζείεο απηέο πλαθψο έρνπκε :

15

(3β).Γχν δηαθνξεηηθέο ζπλεπίπεδεο επζείεο ε , μ ηνπ 𝔼 , ζα ιέγνληαη

(3β-1) ηεκλόκελεο εάλ έρνπλ [ αθξηβψο ] έλα θνηλό ζεκείν , εΛμ,

(3β-2) παξάιιειεο εάλ δελ έρνπλ θαλέλα θνηλφ ζεκείν.

(3β-3) Γχν δηαθνξεηηθέο επζείεο κε θνηλφ ζεκείν είλαη ζπλεπίπεδεο.

(3β-4) Γχν δηαθνξεηηθέο παξάιιειεο επζείεο είλαη ζπλεπίπεδεο.

(3)΄ Οπνηαδήπνηε επζεία ηνπ 𝔼 νξίδεηαη σο

παξάιιειε πξνο ηνλ εαπηό ηεο.

εκείσζε : (η) Σξία [είηε πεξηζζφηεξα] ζεκεία είλαη ζπλεπζεηαθά εάλ ππάξ-

ρεη επζεία ηνπ 𝔼 πνπ ηα πεξηέρεη]

(ηη) Γχν [είηε πεξηζζφηεξεο] επζείεο είλαη ζπλεπίπεδεο εάλ ππάξρεη επί-

πεδν ηνπ 𝔼 πνπ ηηο πεξηέρεη]

(ηηη).Θεσξνχκε φηη θάζε επζεία ε ελφο επηπέδνπ Π δηακεξίδεη ηα ζεκεία ηνπ Π

ζε ζε δχν μέλα κεηαμχ ηνπο ππνζχλνια [ : αλνηθηά εκηεπίπεδα ηνπ Π κε

(θνηλή) αθκή ηελ επζεία ε . Σα αληίζηνηρα θιεηζηά εκηεπίπεδα πεξηέρνπλ

θαη ηα ζεκεία ηεο ε , (ηα νπνία,επνκέλσο, απνηεινχλ θαη ηελ ηνκή ηνπο)] .

Οξηζκόο(3α). Αζύκβαηεο επζείεο ζα ιέγνληαη δχν κε ζπλεπίπεδεο

επζείεο ηνπ ρψξνπ 𝔼 . Δίλαη άκεζν φηη :

16

(*) δύν αζύκβαηεο επζείεο δελ έρνπλ θαλέλα θνηλό ζεκείν

(4) [Αμίσκα]. ηνλ ρψξν 𝔼 ππάξρνπλ ηνπιάρηζηνλ 4 ( : δηαθνξεηηθά) κε

ζπλεπίπεδα ζεκεία.

[ : Δπνκέλσο ,εμ νξηζκνχ, ν ρψξνο 𝔼 είλαη γλήζην ππεξζχλνιν νπνηνπδήπν-

ηε επηπέδνπ ηνπ]

(5)[Αμίσκα (Δπθιείδεην αίηεκα)].

Αλ θάπνηα επζεία ε ηνπ θπζηθνύ ζεκεηνρώξνπ 𝔼

δεν πεξηέρεη δνζέλ ζεκείν Μ απηνύ , ηόηε

αθξηβώο κία επζεία ε΄ ηνπ 𝔼 είλαη παξάιιειε ζηελ ε θαη πεξηέρεη ην Μ.

ρόιηα (5α). χκθσλα κε ηνλ νξηζκφ ηεο παξαιιειίαο επζεηψλ ηνπ 𝔼 , ζεσ-

ξνχκε φηη

Τπάξρνπλ ζπλεπίπεδεο επζείεο πνπ δελ έρνπλ θαλέλα θνηλό ζεκείν,

[θαη απηή νπζηαζηηθά είλαη ε βαζύηεξε ζεκαζία ηνπ Δπθιεηδείνπ αηηήκαηνο ]

[ Ζ δπλαηφηεηα ράξαμεο παξαιιήισλ επζεηψλ απφ νπνηνδήπνηε ζεκείν ζε

νπνηαδήπνηε επζεία επηηξέπεη ηνλ ηζνρσξηζκφ ελφο επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο

ΟΑ ꜫ(Ο,Α) , ζε νζαδήπνηε ίζα κέξε ζέινπκε . [βιέπε θαη επφκελα] . αλ

17

ζπλέπεηα έρνπκε θαη ηελ δπλαηφηεηα λα Δπθιεηδεηνπνηήζνπκε κία νπνηαδή-

πνηε επζεία ε ηνπ 𝔼 [βι, θαη ζρήκα 2 ] θαη πεξαηηέξσ λα ρσξίδνπκε επζχ-

γξακκα ηκήκαηα ζε κέξε αλάινγα [ : Θεώξεκα ηνπ Θαιή.Βιέπε θαη ζρήκαηα

6 , 7 , 8 , ζειίδεο 26 , 27, 30 αληίζηνηρα.].

(6). (Πόξηζκα). Δάλ Γχν επίπεδα Π , Ρ

(η) πεξηέρνπλ απφ θνηλνχ κία νπνηαδήπνηε επζεία θαη έλα νπνηνδήπνηε ζεκείν

πνπ δελ πεξηέρεηαη ζηελ επζεία απηή , είηε ηξία κε ζπλεπζεηαθά ζεκεία

(ηη) . είηε πεξηέρνπλ απφ θνηλνχ :

(α) δχν νπνηεζδήπνηε ηεκλφκελεο επζείεο

(β) δχν νπνηεζδήπνηε δηαθνξεηηθέο παξάιιειεο επζείεο ηφηε :

(*) Π = Ρ.

7). Δάλ Π είλαη νπνηνδήπνηε επίπεδν ηφηε ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα ζεκείν

(ηνπ ρψξνπ 𝔼 πνπ δελ αλήθεη ζην επηπεδν απηφ.[ Με άιια ιφγηα ν ρψξνο δελ

ζπκπίπηεη κε θαλέλα επίπεδν ] .

(7)΄ Δάλ ζεσξήζνπκε φηη ν θπζηθφο ζεκεηνρψξνο 𝔼 είλαη γλήζην ππνζχλνιν

θάπνηνπ ζπλφινπ 𝔼^ πνπ ηθαλνπνηεί φιεο ηηο πξνεγνχκελεο πξνηάζεηο ηφηε :

18

(8). Αλ έρνπκε έλα ζεκείν Μ ηνπ 𝔼^ πνπ δελ αλήθεη ζην 𝔼 θαη έλα ζεκείν

Ν ηνπ 𝔼 [ άξα Μ≠Ν ] ηφηε ε επζεία

ꜫ ꜫ(Μ,Ν) ε(Μ,Ν) εΜΝ ꜫΜΝ

ζα έρεη κε ηνλ ρψξν καο 𝔼 θνηλφ κφλν ην ζεκείν Ν. Με άιια ιφγηα ε ꜫ ζα

ηξππάεη ηνλ ρψξν καο 𝔼 ζε έλα αθξηβψο ζεκείν θαη ηα ππφινηπα ζεκεία ηεο

ζα είλαη φια εθηφο ηνπ 𝔼 θαη άξα [: αόξαηα]

«αόξαηα γηα θάζε παξαηεξεηή εγθισβηζκέλν κέζα ζηνλ 𝔼 »

εκείσζε . Ζ θαηαζθεπή ηνπ Π΄//Π [πνπ πεξηέρεη ην ζεκείν ΜΠ] επηηπγ-

ράλεηαη πρ. κε ηελ ράξαμε δχν επζεηψλ παξαιιήισλ πξνο δεδνκέλεο δηαθν-

ξεηηθέο [: άξα ηεκλφκελεο] επζείεο ηνπ Π πνπ λα πεξηέρνπλ ην ζεκείν Μ .

(8)΄΄.[Βι. θαη ρ. 3].

Θεσξνχκε ηψξα επίπεδν Π , ζεκεία Μ , Ν : MΠ , ΝΠ , θαη δχν δηαθν-

ξεηηθέο επζείεο ε , μ ≠ ε ηνπ Π πνπ πεξηέρνπλ ην Ν. Σν Μ δελ πεξηέρεηαη ζηηο ε

, μ {γηαηί ? } θαη ην πεξηέρνπλ αθξηβψο δχν επζείεο ε΄, μ΄ παξάιιειεο ζηηο ε , μ

αληίζηνηρα [ άξα ε ≠ μ ] . Σν επίπεδν Π΄ πνπ πεξηέρεη ηηο ε΄,μ΄ είλαη παξάιιειν

19

ζην Π . ( : Δπθιείδεηα Γεσκεηξία . Βι. θαη ρ. 3). Δηζη πξνθχπηεη ε πξφηαζε

ηνπ ρήκαηνο 3 θαη ζαλ πφξηζκα απηήο :

(8-1) Γηα θάζε ζεκείν Μ ηνπ 𝔼 ππάξρνπλ ηξία αθξηβώο επίπεδα,

(παξάιιεια αλά έλ ζηα ζπληεηαγκέλα επίπεδα) ,πνπ πεξηέρνπλ ην Μ

(8-2). Καζέλα απφ ηα ηξία επίπεδα ηνπ Μ ηέκλεη ηνπο δχν κφλνλ άμνλεο

[θαζέλαλ ζε αθξηβψο έλα ζεκείν ] ελψ κε ηνλ ηξίην είλαη παξάιιειν [εθηφο αλ

ηνλ πεξηέρεη , νπφηε ζα πξέπεη λα ζπκπίπηεη κε ην αληίζηνηρν ζπληεηαγκέλν

επίπεδν , ζην νπνίν είλαη παξάιιειν]. Δίλαη θαλεξφ φηη ην Π(Μ) πεξηθιείεηαη

απφ ηα επίπεδα ηνπ Μ θαη απφ ηα ηξία ζπληεηαγκέλα επίπεδα .

Δπίζεο είλαη άκεζα θαλεξφ φηη ην Π(Μ) εθθπιίδεηαη ζε παξαιιειφγξακν αλ

ην Μ είλαη ζε θάπνην ζπλη/λν επίπεδν , ζε επζχγξακκν ηκήκα ,αλ ην Μ είλαη

ζε θάπνηνλ άμνλα , θαη ζε έλα ζεκείν ,αλ ην Μ είλαη ε αξρή Ο.

(8.3) . Δπεηδή ζπκβνιίδνπκε κε xΟς , xΟz, ςΟz ηα επίπεδα ζπλη/λσλ ,ζα

ζέηνπκε Π(Μxς) , Π(Μxz), Π(Μςz) γηά ηα αληίζηνηρα επίπεδα ηνπ Μ .

[Γέο θαη ζρεηηθά ζρήκαηα πην θάησ.]

(9). χκθσλα κε ηελ πξνεγνχκελε πεξηγξαθή κέζα ζηνλ [ ηνπιάρηζηνλ ηε-

ηξαδηάζηαην] ρψξν 𝔼^ ν γλσζηφο ζε καο ρψξνο 𝔼 είλαη θινηώδεο αληηθεί-

κελν ην νπνίν νη εμσηεξηθέο πξνο απηόλ επζείεο ηνπ 𝔼^ [ δειαδή επζείεο

πνπ δελ πεξηέρνληαη ζηνλ 𝔼 θαη άξα είλαη ,γηα καο,νη εμσηεξηθέο επζείεο ηνπ

ρψξνπ καο] ζπλαληνύλ ζε έλα ην πνιύ ζεκείν .

(10). Δπ΄επθαηξία ηεο πεξηγξαθήο ελφο ππεξρψξνπ 𝔼^ ηνπ 𝔼 πξέπεη λα ηνλί-

ζνπκε φηη απηφο ζα πξέπεη λα βξίζθεηαη ζε 1-1 θαη επί, αληηζηνηρία κε θάπνηνλ

απφ ηνπο Δπθιείδεηνπο ρψξνπο ℝ4 , ℝ5 , ℝ6,…κε ηελ βνήζεηα θάπνηνπ ζπζηή-

καηνο ζπληεηαγκέλσλ (Οxςzθζ…..) κε ζεηηθνχο εκηάμνλεο ηηο εκηεπζείεο Οx,

Oς , Oz , Οθ , Οζ , θιπ. [θάζε έλαο απφ απηνχο ηνπο εκηάμνλεο είλαη εμσ απφ

ηνλ ρψξν πνπ παξάγνπλ νη ππφινηπνη θαη κνλαδηθφ θνηλφ ηνπ ζεκείν κε απ-

ηνχο είλαη ην Ο. Βι. θαη ρ. 1].

(11). Σν Δπθιείδεην αίηεκα έρεη ζαλ ζπλέπεηα ηελ δηαηχπσζε αληηζηνίρσλ

πξνηάζεσλ παξαιιειίαο θαη γηα επίπεδα [ θαη ζε ρψξνπο κεγαιχηεξσλ

δηαζηάζεσλ : θαη ζε ηεηξαδηάζηαηα θιπ. [ : Έσο ππνρψξνπο 𝔼΄ ζπλδηαζηά-

ζεσο έλα. Γειαδή ζε ππνρψξνπο πνπ ηνπο ππνιείπεηαη κφλν έλα κνλνδηά-

ζηαην (επζεία ε) γηα λα δεκηνπξγήζνπλ νιφθιεξν ηνλ ρψξν κε ηελ έλλνηα φηη:

20

νη παξάιιειεο πξνο ηελ επζεία ε απφ ηα ζεκεία ηνπ 𝔼΄ ζαξψλνπλ (πεξηέ-

ρνπλ) φια ηα ζεκεία ηνπ ρψξνπ] .

(11α). Ζ ρξήζε ηνπ παξαιιειεπηπέδνπ Π(Μ) κπνξεί λα αληηθαηαζηαζεί απφ

κία ακεζφηεξε αμηνπνίεζε ηνπ (8). : Θεσξνχκε Μ΄ ζην π(ρΟς) θαη ζεκεία

Μρ΄,Μς΄ ,Μz΄ ζηνπο άμνλεο ρρ΄ , ςς΄ , z΄z αληίζηνηρα ψζηε

(11-1). ε(Μ΄,Μρ΄) // ςς΄ , z΄z , ε(Μ΄,Μς΄ ) // x΄x ,θαη ε(Μz΄,Μ΄) // ε(Ο,Μ΄).

Σφηε ηα Μρ΄, Μς΄, Μz΄, νξίδνπλ ζηνπο άμνλεο ηηο ζπληεηαγκέλεο xΜ , ςΜ , zΜ

ηνπ Μ [φπσο θαη νη ηνκέο ηνπ Π(Μ) κε ηνπο άμνλεο.Βιέπε ζρεηηθά.]

(12) .Ο θάζε άμνλαο γίλεηαη Δπθιείδηα επζεία.[ : δειαδή ηαπηίδεηαη κε ην ζψ-

κα ℝ ησλ πξαγκαηηθψλ αξηζκψλ , (βι. ρ. 2 γηα ηελ πεξηγξαθή ηεο Δπθιεηδην-

πνίεζεο ησλ Δπζεηψλ.

ηα ζπλήζε Δπθιείδεηα ζπζηήκαηα νη κνλάδεο ησλ α-μφλσλ αληηζηνηρνχλ ζην

ίδην άλνηγκα ηνπ δηαβήηε, ελψ ζηα ειιεηπηηθά επηιέγνπκε απζαηξέησο

δηαθνξεηηθά αλνίγκαηα ηνπ δηαβήηε.(δηφηη ζηελ Διιεηπηηθή Γεσκεηξία ε

κεηξηθή ζθαίξα είλαη έλα απζαίξεην ειιεηςνεηδέο,θαη άξα ν αληίζηνηρνο

θχθινο [δειαδή ε ηνκή ηνπ ειιεηςνεηδνχο κε νπνηνδήπνηε απφ ηα

ζπληεηαγκέλα επίπεδα] ίζσο λα είλαη θάπνηα έιιεηςε.)

21

(12α). Πξνβνιέο επζπγξάκκσλ ηκεκάησλ επηπέδνπ Π ζε άμνλα ηνπ Π.

(13). ηνλ ηξηδηάζηαην θπζηθφ ζεκεηνρψξν θάζε άμνλαο αληηζηνηρίδεηαη [ ξεηά

εμ αξρήο] ζε θαζεκία απφ ηηο κεηαβιεηέο x,ς,z θαη παίξλνπλ ηφηε ζρεηηθψο

θαη ηα νλφκαηα : άμνλαο ησλ x , ησλ ς , ησλ z [ είηε θαη άμνλαο x΄x ,ς΄ς ,

z΄z αληίζηνηρα].ε ρψξνπο κεγαιχηεξεο δηάζηαζεο πξνζηίζεληαη επί πιένλ

άμνλεο [ ππνηίζεηαη θάζε λένο άμνλαο πξέπεη λα πεξηέρεη επίζεο ην Ο αιιά

θαη λα είλαη έμσ από ηνλ ρώξν πνπ παξάγνπλ φινη καδί νη πξνεγνχκελνη].

Μία ζεκαληηθή παξαηήξεζε εδψ είλαη φηη ε αληηζηνηρία ησλ ζεκείσλ Μ ηνπ

𝔼 κε ηα παξαιιειεπίπεδα Π(Μ) είλαη 1-1 θαη επί :

(13*) 𝔼 M ⇄ Π(Μ) : 1-1 , επί

(14). Ζ Δπθιεηδεηνπνίεζε ησλ αμόλσλ ζηνλ [ηξηζδηάζηαην θπζηθό] ζεκεη-

νρψξν 𝔼 αληηζηνηρεί ζηα ζεκεία xΜ , ςΜ , zΜ [ ηεο ηνκήο ησλ αμφλσλ από

ηηο παξάιιειεο πξνο ηα ζπληεηαγκέλα επίπεδα έδξεο ηνπ Π(Μ) ] , κία

ηξηάδα αξηζκψλ [δειαδή ζηνηρείν ηνπ ℝ 3] ηελ νπνία ζα ζπκβνιίδνπκε επίζεο

κε (xΜ , ςΜ , zΜ) θαη αληηζηνηρίδνπκε απηήλ ζην ζεκείν Μ ( θαη νκνίσο γηα θάζε

άιιν ζεκείν ηνπ 𝔼 ) . ΄Οπσο θαη ζηελ (13*) ,έρνπκε φηη θαη

22

(14- 1) Η αληηζηνηρία απηή είλαη 1-1 θαη επί

Όπσο θαίλεηαη θαη ζην ρ.3α ,Με δεδνκέλα ηα ζεκεία A = xM ,B = ςM θαη

Γ = zM ,ησλ αμφλσλ x΄x ,ς΄ς , z΄z αληίζηνηρα [ηα νπνία θαζσξίδνληαη πιήξσο

απφ κία δεδνκέλε ηξηάδα (θ,ι,κ) αξηζκψλ , ζηνηρείν ηνπ ℝ3 (αλ έρεη πξνεγεζεί

θάπνηα Δπθιεηδεηνπνίεζε ησλ ηξηψλ αμφλσλ ηνπ (Οxςz)) θαη κε βάζε πάιη

ην αμίσκα ηεο παξαιιειίαο [θαη ηηο απφ απηφ πξνθχπηνπζεο πξνηάζεηο γηα

ηελ παξαιιειία επηπέδσλ θαη άιισλ ζρεκάησλ] ηα αληίζηνηρα πξνο ηα ζπλ-

ηεηαγκέλα επίπεδα ,παξάιιεια επίπεδα πνπ άγνληαη απφ ηα A = xM ,B = ςM

θαη Γ=zM έρνπλ έλα κνλαδηθφ θνηλφ ζεκείν Μ ηνπ νπνίνπ ην παξαιιειπί -

πεδν Π(Μ) αληηζηνηρεί ζηνπο άμνλεο σο ηξηάδα ζπληεηαγκέλσλ ηνπ Μ ηελ αξ-

ρηθή ηξηάδα (θ,ι,κ).Βι. ζρεηηθά επίζεο ην ρ. 3α).

Θέηνπκε T γηα ηελ αληηζηνηρία ησλ ζεκείσλ Μ ηνπ 𝔼 κε ηα παξ/δα Π(Μ) :

(14-2) T : 𝔼 M ⇄ Π(M) , Μ𝔼

ηα επφκελα ζα ρξεζηκνπνηνχκε ηελ έθθξαζε :

(14-3) Δπθιεηδεηνπνίεζε ηνπ 𝔼 απφ ην θαξηεζηαλν ζχζηεκα

(14-3)΄ (Ο,x΄x ,ς΄ς , z΄z) (Οxςz)

23

[κε βάζε ηηο ηδηφηεηεο ηνπ φινπ ζρήκαηνο ζηελ Δπθιείδηα Γεσκεηξία]. Ζ

παξαπάλσ Δπθιεηδεηνπνίεζε ηνπ 𝔼 έρεη ζαλ ζπλέπεηα ηελ ηαχηηζε ηνπ 𝔼 κε

ηνλ ℝ3 θαηά ηξφπν ψζηε ζε θάζε δηαηεηαγκέλν δεχγνο (Α,Β) ηνπ 𝔼x𝔼 = 𝔼2 λα

αληηζηνηρίδεηαη ην δηάλπζκα (ηνπ ℝ3) ησλ δηαθνξψλ (xΒ-xΑ ,ςΒ- ςΑ , zΒ-zΑ) ζαλ

δηάλπζκα ζπληεηαγκέλσλ ηνπ ειεπζέξνπ [αιιά θαη ηνπ εθαξκνζηνύ ,βιέ-

πε θαη παξαηήξεζε (14α).] δηαλχζκαηνο πνπ νξίδεηαη απφ ην δηαηεηαγκέλν

δεχγνο (Α,Β).

(15). Σψξα νθείινπκε λα νξίζνπκε έλαλ βαζκσηφ πνιιαπιαζηαζκφ πνπ λα

εθθξάδεη πηζηά ηνλ αληίζηνηρν βαζκσηφ πνιιαπιαζηαζκφ ησλ Δπθιεηδείσλ

ρψξσλ ℝκ , κ = 1,2,3,4,……

(14α).Παξαηήξεζε. χκθσλα κε ηηο πξνεγνχκελεο δηαπηζηψζεηο , εθηηκήζεηο

θαη εθθξάζεηο πξνθχπηεη κία αμηνζεκείσηε δπλαηφηεηα νξηζκνχ θάπνηαο ρξή-

ζηκεο απεηθφληζεο Φ ηνπ 𝔼2 = 𝔼x𝔼 ζηνλ Δπθιείδην ρψξν ℝ3 [πνπ πξνθχπ-

πηεη απφ ηελ παξνπζία ηνπ ζπζηήκαηνο (Οxςz) ] :

(14 - 3) η Φ : 𝔼2 = 𝔼x𝔼 → ℝ3 : Φ(Α,Β) (xΒ-xΑ ,ςΒ- ςΑ , zΒ-zΑ)

Ζ παξαπάλσ απεηθφληζε :

(η) θαζηζηά ηψξα πην εκθαλή ηελ :

24

ηθαλόηεηα ηνπ θάζε δεύγνπο (Α,Β)

λα ζεσξεζεί ζαλ έλα δηάλπζκα .

(ηη). Ζ παξνπζία ηεο αθαίξεζεο ,ζε ζπλδπαζκφ κε ηελ ηαχηηζε Σ ηεο (14-2)

νξίδνπλ ηηο

Δπθιεηδεηνπνηήζεηο ΦΑ , Α 𝔼 , ηεο Φ

[Γέο θαη ζρέζε [15-3] πην θάησ]

ην ζεκείν απηφ νξίδνπκε σο ειεύζεξν δηάλπζκα ηνπ 𝔼 αληίζηνηρν ην (Α,Β)

[ : είηε θαη ειεχζεξν δηάλπζκα ηνπ (Α,Β)] ην ζχλνιν φισλ ησλ εθαξκνζηψλ

δηαλπζκάησλ ηνπ 𝔼 κε άθξα νπνηνδήπνηε δεχγνο (Γ,Γ) ηνπ 𝔼2 ηζνδχλακν

ηνπ (Α,Β) , φπνπ ε ηζνδπλακία ησλ δεπγψλ νξίδεηαη απφ ηελ ζρέζε :

(*) (Α,Β) (Γ,Γ)⇔Φ(Α,Β)=Φ(Γ,Γ) ⇔(xΒ-xΑ,ςΒ-ςΑ,zΒ-zΑ) = (xΓ-xΓ,ςΓ-ςΓ,zΓ-zΓ) .

[ Ζ ηζνδπλακία ησλ δεπγψλ κπνξεί [θαηά ηξφπνλ ηζνδχλακν ] λα νξηζζεί θαη

κε ηελ επίθιεζε ηεο παξαιιειίαο : ηεο κελ επζείαο ꜫ(Α,Β) κε ηελ ꜫ(Γ,Γ) ηεο

δε επζείαο ꜫ(Α,Γ) κε ηελ ꜫ(Β,Γ),φηαλ Α≠Β ,Γ≠Γ θαη απφ ηελ απαίηεζε Γ=Γ

φηαλ Α=Β , φπνπ ην θάζε (Α , Α) αληηζηνηρεί ζην κεδεληθφ δηάλπζκα (0,0,0)].

(14-4) (Α,Β) (Γ,Γ) ⇔ ꜫ(Α,Β) // ꜫ(Γ,Γ) θαη ꜫ(Α,Γ) // ꜫ(Β,Γ) : Α≠Β ,Γ≠Γ

25

(14-4α) (Α,Α) (Β,Β) Α , Β 𝔼

(14β) Παξαηήξεζε : (1). ε πεξίπησζε πνπ ηα ζεκεία Α,Β,Γ,Γ είλαη ζπλεπ-

ζεηαθά ε ζρέζε ηζνδπλακίαο [ κε ρξήζε ηεο παξαιιειίαο] πξέπεη λα πεξηγξα-

θεί σο εμήο :

(14-4β) ΑΒ = ΓΓ θαη ΑΓ = ΒΓ ⇔ επζεία ε : Α,Β,Γ,Γ ε

(2). Δίλαη εχθνιν ηψξα λα δηαπηζηψζνπκε φηη νΗ δχν ζρέζεηο ηζνδπλακίαο πνπ

νξίδνληαη απφ ηελ (*) θαη ηηο ζρέζεηο (14-4) , (14-4α) , (14-4β) , ζπκπίπηνπλ.

(2-α).Απφ ηελ ζπλήζε Δπθιείδεηα Γεσκεηξία γλσξίδνπκε φηη δχν επζείεο ε,μ

ηνπ 𝔼 πνπ είλαη θάζεηεο ζην ίδην επίπεδν , είλαη παξάιιειεο [είηε ζπκπίπ-

ηνπλ ,βιέπε θαη ζρήκα 5β , φπνπ έρνπκε θέξεη ηηο επζείεο ε ,μ λα είλαη θάζεηεο

ζην επίπεδν Π , ζηα ζεκεία Α , Β απηνχ αληίζηνηρα].

(2-α)΄ μ , ε 𝔼 επζείεο , Π 𝔼 επίπεδν : μ ≠ ε , μ ⊥ Π ε // μ

Πξάγκαηη, αλ ε ε δελ είλαη παξάιιειε ζηελ μ ηφηε κία άιιε επζεία , έζησ μ΄

ε(Α,Α΄) ε(Α,σ) ≠ ε, ζα είλαη ε παξάιιειε ζηελ μ [απφ ην ζεκείν Α ηνπ Π]

: ε ≠ μ΄//μ .

Δζησ

(α) Π΄ είλαη ην [ : κνλαδηθφ ! ] επίπεδν ησλ επζεηψλ μ΄,ε : Π΄ Π(μ΄,ε)

(β) ε΄ ΠΠ΄ ε επζεία ηνκήο ησλ Π,Π΄ ,

26

(γ). ε ε(Β,Β΄) ε επζεία ηνπ Π πνπ πεξηέρεη ην ζεκείν Α θαη είλαη παξάιιειε

ζηελ ε΄ , ηφηε ε ⊥ μ [ δηφηη ε μ είλαη θάζεηε ζην Π θαη ε επζεία ε είλαη κία

επζεία ηνπ Π].

(γ-1) ε΄⊥μ΄ , [ δηφηη ε ⊥μ θαη ε΄// ε , μ΄//μ θαη άξα ε γσλία ησλ μ΄, ε΄ είλαη ίζε

κε ηελ νξζή γσλία ησλ μ , ε ].

(γ-2) ην επίπεδν Π΄ Π(μ΄,ε) πνπ πεξηέρεη θαη ηελ επζεία ε΄ έρνπλ αρζεί

δχν επζείεο ε , μ΄ θάζεηεο πξνο ηελ επζεία ε΄ ηνπ Π΄,ζην ζεκείν Α ηεο ε΄.

Απηφ φκσο είλαη άηνπν απφ ηελ ζηνηρεηψδε Δπθιείδηα Γεσκεηξία .

Δπνκέλσο :

Ζ ππφζεζε φηη ε ε δελ είλαη παξάιιειε ζηελ μ νδεγεί ζε αληίθαζε θαη θαηά

ζπλέπεηα είλαη ςεπδήο. Αξα πξέπεη θαη΄αλάγθελ μ//ε.

(3). Δίλαη άκεζα θαλεξφ απφ ηα πξνεγνχκελα φηη ε αληηζηνηρία :

(3-α) Μ Π(Μ) , Μ 𝔼

ζεκείσλ θαη παξαιιειεπηπέδσλ είλαη 1-1 θαη επί θαη νξίδεη κία λέα αληηζηνη-

ρία :

(3-β) Μ 𝛰𝛭 (xΜ , ςΜ , zΜ) ℝ3 , Μ 𝔼

Πνπ επίζεο είλαη 1-1 θαη επί.

Καη έηζη έρνπκε κία νπζηαζηθφηεξε ηαχηηζε ηνπ 𝔼 με ην ℝ3 :

(3-γ) ηΟ : 𝔼 ℝ3 : Μ ηΟ(M) ≔ 𝛰𝛭 , Μ 𝔼

Δπνκέλσο νη ζρέζεηο (14-3) θαη (3-γ) νδεγνχλ ζηελ επφκελε έθθξαζε ηεο η :

(3-δ) η : 𝔼2 → ℝ3 : η(Α,Β) 𝛢𝛣 𝛰𝛣 - 𝛰𝛢 = (xΒ-xΑ,ςΒ- ςΑ ,zΒ-zΑ) , Α,Β 𝔼

Ο ζπλήζεο ζπκβνιηζκφο ησλ θιάζεσλ νπνηαζδήπνηε ζρέζεσο ηζνδπλακίαο

κέζα ζε ηπραίν ζχλνιν Υ είλαη :

(*)΄΄ [(Α,Β)] { (Γ,Γ) Υ2 = ΥxX : (Α,Β)] (Γ,Γ) }.

Δδψ ζα ζέηνπκε 𝛢𝛣 γηα ηελ θιάζε απηή ηνπ (Α,Β) θαη επίζεο ζα ζέηνπκε 𝛢𝛣

γηά ην δηάλπζκα ζπληεηαγκέλσλ ηνπ δεχγνπο (Α,Β) αιιά θαη νιφθιεξεο ηεο

θιάζεσο 𝛢𝛣 ηελ νπνία ζα νλνκάδνπκε ζην εμήο θαη ειεύζεξν δηάλπζκα

ηνπ ζεκεηνρψξνπ 𝔼 [κε άθξα ηα σημεία Α,Β ηνπ 𝔼 [ηα νπνία σζαχησο ζα

νλνκάδνπκε : αξρήλ θαη ηέινο αληίζηνηρα ησλ 𝛢𝛣 , θαη (A,B)]

(**). 𝛢𝛣 {(Γ,Γ) 𝔼2 : (Α, Β) (Γ,Γ)} , 𝛢𝛣 (xΒ- xΑ , ςΒ- ςΑ , zΒ-zΑ) , Α,Β 𝔼.

27

ρεηηθά κε ηηο απεηθνλίζεηο η , ηΑ , έρνπκε ηψξα ηελ επφκελε :

Πξόηαζε (14-γ). Ζ απεηθφληζε (3-δ) , η : η(Α,Β) 𝛢𝛣 𝛰𝛣 - 𝛰𝛢 , Α,Β 𝔼

ηθαλνπνηεί ηηο επφκελεο δχν ηδηφηεηεο :

(-1) 𝛢𝛣 + 𝛣𝛤 + 𝛤𝛢 = (0,0,0) , Α , Β , Γ 𝔼

(Σ-1)΄ 𝛢𝛢 = 0 (0,0,0) , 𝛢𝛣 = - 𝛣𝛢 , 𝛢𝛣 = 𝛢𝛤 + 𝛤𝛣 , Α , Β , Γ 𝔼

(-2) ηΑ : 𝔼 → ℝ3 : ηΑ (Β) = η(Α,Β) 𝛢𝛣

είλαη 1-1 θαη επί , γηα φια ηα Α 𝔼 .

[ΟΗ παξαπάλσ , απεηθνλίζεηο ηΑ ,νλνκάδνληαη : κεξηθέο απεηθνλίζεηο ηεο η].

Απόδεημε. (1) 𝛢𝛣 + 𝛣𝛤 + 𝛤𝛢 = 𝛰𝛣 - 𝛰𝛢 + 𝛰𝛤 - 𝛰𝛣 + 𝛰𝛢 - 𝛰𝛤 = (0,0,0).

Aξα , ηδηαίηεξα

(1-α) γηά Α=Β=Γ έρνπκε 𝛢𝛢 + 𝛢𝛢 + 𝛢𝛢 = 0 ⇔ 3𝛢𝛢 = 0 ⇔ 𝛢𝛢 = 0 ,

(1-β) γηά Β=Γ έρνπκε 𝛢𝛣 + 𝛣𝛣 + 𝛣𝛢 = 0 ⇔ 𝛢𝛣 + 𝛣𝛢 = 0 ⇔ 𝛢𝛣 = - 𝛣𝛢 .

(1-γ) Απφ (-1) έρνπκε 𝛢𝛣 = - 𝛣𝛤 - 𝛤𝛢 = 𝛢𝛤 + 𝛤𝛣 , Α , Β , Γ 𝔼 . .

(2). Δζησ Α 𝔼 . ηπρφλ. Σφηε

(2-α) εάλ ηΑ(Β) = ηΑ(Γ) , γηα θάπνηα Β , Γ𝔼 . Ηζνδχλακα έρνπκε : 𝛢𝛣 =

𝛢𝛤 = 𝛢𝛣 + 𝛣𝛤 ⇔ 𝛣𝛤 = 0 ⇔ 𝛣𝛰 + 𝛰𝛤 = 0

⇔ 𝛰𝛤 = - 𝛣𝛰 = 𝛰𝛣 ⇔ Β = Γ. Αξα ε ηΑ είλαη 1-1.

(2-β). Δάλ σ = (α,β,γ)ℝ3 θαη Β 𝔼 .: (xΒ , ςΒ , zΒ ) = (xΑ+α , ςΑ+β , zΑ+γ) ,

28

ηφηε : ηΑ(Β) = 𝛢𝛣 = (xΒ- xΑ , ςΒ- ςΑ , zΒ-zΑ) =

= (xΑ + α - xΑ, ςΑ + β - ςΑ , zΑ + γ - zΑ) = ( α , β , γ) = σ .

Δπνκέλσο ε ηΑ είλαη θαη επί ηνπ ℝ3 θαη ε απφδεημε είλαη πιήξεο

ηα επφκελα ζα ζπκβνιίδνπκε κε ℰ(𝔼) ην ζχλνιν ησλ ειεπζέξσλ δηαλπζκά-

ησλ ηνπ 𝔼.

(**)΄ ℰ(𝔼) { 𝛢𝛣 : A,B 𝔼 }

[Δάλ έλα ζεκείν Γ ηεο επζείαο ꜫ(Α,Β) δελ είλαη ζηελ η(Α,Β) ιέκε φηη ην (Α,Γ)

, αιιά θαη ην 𝛢𝛤 είλαη αληίξξνπν πξνο ηα (Α,Β) , 𝛢𝛣 ,ελψ νξίδεηαη σο

νκόξξνπν πξνο ηα (Α,Β) , 𝛢𝛣 , εάλ ην Γ είλαη ζηελ ε(Α,Β). Δπνκέλσο φηαλ

ηα (Α,Β) ,(Α,Γ) είλαη νκφξξνπα, [: αληίξξνπα] ζα ζέηνπκε ζπληνκφηεξα :

(*) ε(Α,Β) = ε(Α,Γ) , [ ε(Α,Β) = ε(Γ,Α) ]

ηελ δηεχζπλζε δ(Α,Β) νπνηαζδήπνηε επζείαο ꜫ(Α,Β) ζπκπεξηιακβάλνπκε

θαη φιεο ηηο επζείεο θ ηνπ 𝔼 πνπ είλαη παξάιιειεο πξνο ηελ ꜫ(Α,Β) , δηφηη

επάλσ ζε παξάιιειεο επζείεο ε ζχγθξηζε ησλ επζπγξάκκσλ ηκεκάησλ ηνπο

γίλεηαη κε ηνλ δηαβήηε ζε νπνηαδήπνηε Γεσκεηξία ].

Δπίζεο ν ιφγνο επζπγξάκκσλ ηκεκάησλ ΑΒ , ΓΓ πνπ είλαη παξάιιεια

κεηαμχ ηνπο , νξίδεηαη ίζνο κε ηνλ ιφγν ησλ κέηξσλ ηνπο ,αξθεί λα έρνπλ

κεηξεζεί κε ηελ ίδηα κνλάδα [ ε νπνία πξνθαλψο είλαη έλα επζχγξακκν ηκήκα

παξάιιειν πξνο ηελ ( : θνηλή ) δηεχζπλζε ησλ επζεηψλ ηα ηκήκαηα ησλ νπνί

σλ πξννξίδεηαη λα κεηξήζεη.] . Σψξα κπνξνχκε λα δηαηππψζνπκε ην

επφκελν ( : δνκηθφ) Θεψξεκα :

29

(14.5). Θεκειηώδεο Θεώξεκα δόκεζεο ηνπ ζπλόινπ ℰ(𝔼).

Γηά θάζε δεχγνο 𝛢𝛣 , 𝛤𝛥 ειεπζέξσλ δηαλπζκάησλ ηνπ 𝔼 (: ζηνηρείσλ ηνπ

ℰ(𝔼),πξαγκαηηθνχο αξηζκνχο ι,κ ,θαη ζεκείν Κ ηνπ 𝔼, ππάξρεη αθξηβώο έλα

ζεκείν Λ :

(14.5α). 𝛫𝛬 = ι𝛢𝛣 + κ𝛤𝛥 .

Απόδεημε . Με κία απιή εξκελεία ησλ ζπκβφισλ , αληηθαηάζηαζε θαη εθηέιε-

ζε ησλ πξάμεσλ , βιέπνπκε φηη ε (14.5α) , είλαη ηζνδύλακε ηεο ζρέζεσο :

(14.5β). (xΛ,ςΛ,zΛ) =

=(ιxΒ +κxΓ+xΚ-ιxΑ - κxΓ,ι ςΒ + κ ςΓ + ςΚ-ιςΑ - κςΓ, ιΕΒ +κΕΓ +ΕΚ - ιΕΑ–κΕΓ).

Δίλαη άκεζα θαλεξφ φηη ην ζηνηρείν (xΛ,ςΛ,zΛ) ℝ3 είλαη κνλνζήκαληα

θαζσξηζκέλν απφ ην δεχηεξν κέινο ηεο (14.5α) θαη επνκέλσο θαζνξίδεη ,

[ κνλνζήκαληα επίζεο ] , έλα ζεκείν Λ ηνπ 𝔼 , πνπ είλαη θαη ην δεηνχκελν.

[ : άκεζε απφδεημε , απφ ηελ ηζνδπλακία ησλ δχν ηειεπηαίσλ ζρέζεσλ ] .

Δίλαη άκεζα θαλεξφ ηψξα φηη κπνξνχκε λα νξίζνπκε ηελ δηαλπζκαηηθή

δνκή ηνπ ζπλφινπ ℰ(𝔼) ησλ ειεπζέξσλ δηαλπζκάησλ κε κία απιή ηζφηεηα ,

βαζηζκέλε ζηελ (14.5α) :

(14.5γ). ι 𝛢𝛣 + κ 𝛤𝛥 𝛫𝛬 ⇔ 𝛫𝛬 = ι𝛢𝛣 + κ𝛤𝛥 , ι,κℝ3,Α,Β,Γ,Γ,Κ 𝔼

(15). (α). Οινθιεξψλνληαο ηελ εηζαγσγή κηάο ρξήζηκεο ,γηα ηηο εθθξάζεηο

30

καο, νξνινγίαο [ θαη επηδηψθνληαο κία ζαθέζηεξε

νξηνζέηεζε ηεο ζπκβνιήο ηεο θιαζζηθήο Δπθιείδηαο

Γεσκεηξίαο ζηελ ίδξπζε θαη πεξηγξαθή ηεο Αλαιπηηθήο Γεσκεηξίαο

ζα νλνκάδνπκε :

(15.1) Σελ επζεία ꜫ(Α,Β) : «δηεύζπλζε ησλ (Α,Β) , 𝛢𝛣 »

(15-2). Σελ εκηεπζεία ε(Α,Β) : «θνξά ησλ (Α,Β) , 𝛢𝛣 » .

(15-3). Οη παξάιιειεο επζείεο νξίδνληαη λα έρνπλ ηελ ίδηα δηεχζπλζε :

Δηζη νξίδνπκε ηνλ βαζκσηφ πνιιαπιαζηαζκφ [ ζηα εθαξκνζηά φζν θαη ζηα

ειεχζεξα δηαλχζκαηα , νξίδνληαο , ζαλ γηλφκελν έλα δηάλπζκα ηεο ηδίαο δηεχ-

ζπλζεο [ζχκθσλα κε ηηο επφκελεο ζρέζεηο φπνπ ηα Α,Β,Γ είλαη ζπλεπζ/θά : ]

(15.4) ι(Α,Β) = (Α,Γ) ⇔ ι(ΑΒ) =ΑΓ θαη ε(Α,Β)= ε(Α,Γ) φηαλ ι>0,

(15.5) ι(Α,Β) = (Α,Γ) ⇔ (-ι)(ΑΒ)=ΑΓ θαη ε(Β,Α)= ε(Α,Γ) φηαλ ι

31

« Δάλ Ορ = ε(Ο,ρ) είλαη εκηεπζεία ηνπ 𝔼 ( κε αξρή ην ζεκείν Ο) θαη Δ , Ε 𝔼

δχν δηαθνξεηηθά ζεκεία ηνπ 𝔼 ψζηε ε(Ο,ρ) // ꜫ(Δ,Ε) ηφηε γηα θάζε ζεηηθφ

πξαγκαηηθφ αξηζκφ ι > 0 νξίδεηαη αθξηβψο έλα ζεκείν Ρ Ρι ηεο ε(Ο,ρ)

πνπ ηθαλνπνηεί ηελ ζρέζε :

(15.6). ΟΡ = ιΑΒ »

Δπνκέλσο ε παξαπάλσ ζρέζε (15.2α) είλαη [ εμ νξηζκνχ ] ηζνδχλακε ηεο

(15.7) 𝛰𝛲

𝛢𝛣 = ι

(*). εκείσζε (15-α) : Λφγνη επζπγξάκκσλ ηκεκάησλ [φπσο ζηελ (16α),

(16β),πην θάησ] πεξηγξάθνληαη ζην έξγν ηνπ Δπδόμνπ [ πεξί γεσκεηξηθώλ

ιόγσλ , βιέπε θαη ζει. 7)] ], ην νπνίν ν Δπθιείδεο πεξηέιαβε ζηα «ηνηρεία».

Οη παξαπάλσ ηζνδχλακεο δηαηππψζεηο νδεγνχλ νπζηαζηηθά ζην ζεκειηώδεο

καζεκαηηθό αμίσκα ηαχηηζεο ηνπ ζψκαηνο ℝ κε ηελ επζεία ηεο Δπθιείδηαο

Γεσκεηξίαο [ : γηα ηελ δεκηνπξγία ηεο επζείαο ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ,

( : δειαδή ηεο ιεγφκελεο Δπθιείδεηνπνηεκέλεο επζείαο).].

32

(Σν αμίσκα απηφ απνηειεί ζπγθεξαζκφ πξνεγνχκελσλ αμησκάησλ, [ ζρεηηθά

κε ηνπο Γεσκεηξηθνχο ιφγνπο κε ηνπο νπνίνπο , εθηφο απφ ηνλ Δχδνμν αζρν-

ιήζεθαλ επίζεο θαη άιινη αμηφινγνη καζεκαηηθνί επί καθξφλ.[Γεο θαη ζρέζεηο

πηφ πάλσ.]

[Δίλαη άκεζα θαλεξφ φηη ην παξαπάλσ αμίσκα νδεγεί ζηελ Δπθιεηδηνπνίεζε

ηεο νπνηαζδήπνηε επζείαο ε [παξαιιήινπ ηεο ꜫ(Α,Β)] κε κνλαδηαίν κήθνο

εθείλν ηνπ ΑΒ [είηε θαη νπνηνπδήπνηε άιινπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΜΝ

παξαιιήινπ πξνο ηελ ε. Δηζη ε επηινγή ησλ (δηαθνξεηηθψλ) ζεκείσλ Ο , Μ

γηα ηηο ζέζεηο ησλ αξηζκψλ 0 θαη 1 , ζηελ ꜫ(Α,Β) [ είηε ηελ ꜫ(Μ,Ν) ] είλαη απζαί-

ξεηε .]

χκθσλα κε ηελ παξαπάλσ νξνινγία ηα ηζνδχλακα δεχγε νξίδνπλ δηαλχ-

ζκαηα [: εθαξκνζηά θαη ειεχζεξα ] κε ηελ ίδηα δηεύζπλζε θαη ηελ ίδηα θνξά .

[15-3]. Οη κεξηθέο απεηθνλίζεηο ΦΑ , Α 𝔼 , ηεο πην πάλσ Φ είλαη νη

αληίζηνηρεο αξηζκεηηθέο απεηθνλίζεηο ηεο απεηθφληζεο Σ (14.2) :

(15-8) ηΑ ΦΑ : 𝔼 → ℝ3 : ΦΑ (Β) Φ(Α,Β) (xΒ-xΑ ,ςΒ- ςΑ , zΒ-zΑ) , Α 𝔼

(β).Δλαο ηξφπνο νξηζκνχ ηνπ αζξνίζκαηνο είλαη , κε βάζε ηελ ηζνδπλακία

ησλ δεπγψλ ηνπ 𝔼 [ πνπ νξίδεηαη θαη κε ρξήζε ηεο παξαιιειίαο επζεηψλ ] :

𝛢𝛣 + 𝛢𝛤 = 𝛢𝛥 ⇔ (Α, Β) (Γ,Γ) ⇔ (Α, Γ) (Β,Γ)

(15.9) ⇔ [ ꜫ(Α,Β) // ꜫ(Γ,Γ) θαη ꜫ(Α,Γ) // ꜫ(Β,Γ) ]

𝛢΄𝛣΄ + 𝛢΄𝛤΄ = 𝛢΄𝛥΄ ⇔ (Α΄, Β΄) (Γ΄,Γ΄) ⇔ (Α΄, Γ΄) (Β΄,Γ΄)

(Α΄, Β΄) (Α,Β) , (Α΄, Γ΄) (Α,Γ) ⇒ (Α΄, Γ΄) (Α,Γ) ⇔ 𝛢𝛥 = 𝛢΄𝛥΄

[ην ρήκα 4 θαίλεηαη φηη αλ νη πξνζζεηένη αληηζηνηρνχλ ζε ηζνδχλακα δεχγε

ηφηε θαη ηα αζξνίζκαηα αληηζηνηρνχλ επίζεο ζε ηζνδχλακα δεχγε] :

Με βάζε φια ηα παξαπάλσ κπνξνχκε λα ζπκπεξάλνπκε [ γηα ηελ δηαδηθα-

ζία θαηαζθεπήο ηνπ αζξνίζκαηνο δχν δηαλπζκάησλ ] φηη :

(1). Αλ έρνπλ ηελ ίδηα αξρή ηφηε ην άζξνηζκά ηνπο θαηαζθεπάδεηαη κε ηελ ίδηα

αξρή ελψ ε ηνκή ησλ παξαιιήισλ πξνο απηά επζεηψλ απφ ηα πέξαηα ησλ

δχν πξνζζεηέσλ , νξίδεη ην πέξαο ηνπ αζξνίζκαηνο. Δπνκέλσο κπνξνχκε λα

νξίζνπκε ην άζξνηζκα δχν ηπραίσλ ηέηνησλ δηαλπζκάησλ , ζαλ ην άζξνηζκα

δχν ηζνδπλάκσλ πξνο απηά δηαλπζκάησλ πνπ έρνπλ θνηλή αξρή . Με άιια

ιφγηα γηα λα βξνχκε ην άζξνηζκα δχν ηπραίσλ δηαλπζκάησλ :

θαηαζθεπάzνπκε ην άζξνηζκα δύν ηζνδπλάκσλ ηνπο δηαλπζκάησλ

33

πνπ έρνπλ θνηλή αξρή [: ηελ νπνία αξρή , επνκέλσο , κπνξνχκε λα επηιέμνπ-

κε ζε φπνην ζεκείν ζέινπκε !].

[Υξεζηκνπνηψληαο ηηο παξαιιειίεο θαη ηα ίζα ζρήκαηα πνπ πξνθχπηνπλ ,

είλαη εχθνιν λα δείμνπκε ηψξα φηη :

ηα δεύγε ησλ πεξάησλ ησλ δηαθόξσλ αζξνηζκάησλ

πνπ πξνθύπηνπλ από ηηο πξνζζέζεηο ηζνδπλάκσλ

πξνζζεηέσλ , είλαη κεηαμύ ηνπο ηζνδύλακα ,θαη επνκέλσο

νξίδνπλ ην ίδην ειεύζεξν δηάλπζκα.

(2). Αλ ηα δηαλχζκαηα [ νπζηαζηηθά νη εθπξφζσπνη ηεο θιάζεσο ηζνδπλακίαο]

δελ έρνπλ ηελ ίδηα αξρή , ηφηε θαηαζθεπάδνπκε ηζνδχλακα πξνο απηά κε

θνηλήλ αξρή θαη αθνινπζνχκε ηελ πξνεγνχκελε δηαδηθαζία .ην ζρήκα 4 ,

απφ ηα πέξαηα Β θαη Γ ησλ πξνζζεηέσλ 𝛢𝛣 , 𝛢𝛤 ,φέρουμε ηηο παξάιιειεο

επζείεο : ꜫ(Γ,Γ) // ꜫ(Α,Β) θαη ꜫ(Β,Γ) // ꜫ(Α,Γ) πνπ ηέκλνληαη ζην ζεκείν

Γ ην νπνίν είλαη ην πέξαο ηνπ αζξνίζκαηνο 𝛢𝛥 ησλ ειεχζεξσλ δηαλπζκάησλ

𝛢𝛣 , 𝛢𝛤 . [βιέπε θαη ζρεηηθφ ζεψξεκα].

(3). Γηα ηνλ νξηζκφ ηνπ βαζκσηνχ πνιιαπιαζηαζκνχ :

34

(3-α) αμηνπνηνχκε ηελ δηαπίζησζε φηη ζε όιεο ηεο επζείεο κηάο δηεχζπλζεο :

ε ζύγθξηζε ησλ επζπγξάκκσλ ηκεκάησλ γίλεηαη κε ηνλ δηαβήηε .

(3-β). Πξέπεη ν βαζκσηφο πνι/ζκφο λα ζπκθσλεί επίζεο κε εθείλνλ ησλ Δπ-

θιεηδείσλ ρψξσλ ℝκ [ πνπ εθθξάδεη ηελ αξρή ηεο αλαινγηθόηεηνο ] .

Δηζη γίλεηαη θαλεξφ φηη πξέπεη λα ελεξγνπνηεζεί ην Θεώξεκα ηνπ Θαιή .

.[Βιέπε θαη Πξφινγν]. Πξέπεη λα θάλνπκε κία επαξθψο αθξηβή αλαθνξά γηα

ηνλ ηζνρσξηζκφ επζπγξάκκσλ ηκεκάησλ απφ δέζκε παξαιιήισλ επζεηώλ

ηνπ επηπέδνπ φζν θαη απφ δέζκε παξαιιήισλ επηπέδσλ. [ : ηελ γξακκηθή

Γεσκεηξία ην Θεψξεκα ηζνρσξηζκνχ ,αιιά θαη ην γεληθεπκέλν Θεώξεκα ηνπ

Θαιή, ηζρχεη θαη ζε ρψξνπο απζαίξεηεο δηάζηαζεο , γηα

δέζκε παξαιιήισλ ππεξεπηπέδσλ.

Βιέπε