Χρήμα. Το διαγενεακό υπόδειγμα - unipi.gr...Το χρήμα...

Χρήμα. Το διαγενεακό υπόδειγμα

Ένας βασικό πρόβλημα το οποίο εμφανίζεται στις αχρήματες οικονομίες είναι η μη

σύμπτωση των καταναλωτικών αναγκών στις συναλλαγές. Στον αντιπραγματισμό, θα

πρέπει ταυτόχρονα να βρω έναν αντισυμβαλλόμενο ο οποίος θα διαθέτει για ανταλ-

λαγή το αγαθό το οποίο εγώ επιθυμώ να αποκτήσω ενώ ταυτόχρονα θα πρέπει να

επιθυμεί αυτός να αποκτήσει το αγαθό το οποίο εγώ διαθέτω. Η σύμπτωση των ανα-

γκών κατανάλωσης δεν είναι πάντα εφικτή δυσχεραίνοντας τις ανταλλαγές. Το χρήμα

(εμπορευματικό ή παραστατικό) διευκολύνει τις συναλλαγές, καθώς δεν απαιτείται η

ταυτόχρονη σύμπτωση των αναγκών και μειώνει σημαντικά τα συναλλακτικά κόστη

της ανταλλαγής. Στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε την μικροοικονομική θεμελίωση του

ρόλου που εξυπηρετεί το χρήμα, χρησιμοποιώντας ως αναλυτικό πλαίσιο το διαγενεακό

υπόδειγμα ή υπόδειγμα των επικαλυπτόμενων γενεών (overlapping gewnerations model).

Το διαγενεακό υπόδειγμα είναι ένα από τα πιο δημοφιλή δυναμικά υποδείγματα στη

σύγχρονη μακροοικονομική θεωρία, και μας επιτρέπει να εξηγήσουμε την ανάγκη που

εξυπηρετεί το χρήμα στις διαγενεακές συναλλαγές.

Το διαγενακό υπόδειγμα είναι ένα δυναμικό υπόδειγμα, στο οποίο οι καταναλωτές συμ-

μετέχουν για ένα πεπερασμένο πλήθος περιόδων, συγκεκριμένα υποθέτουμε ότι οι κατα-

ναλωτές ζουν για δύο περιόδους. Η πρώτη περίοδος αντιπροσωπεύει την παραγωγική

περίοδο της ζωής του στην οποία είναι παραγωγικός και έχει διαθέσιμο εισόδημα για

κατανάλωση. Η δεύτερη περίοδος αντιστοιχεί στην περίοδο που αποσύρεται (συνταξιο-

1

δοτείται) και δεν διαθέτει εισόδημα. Γενικότερα, ομαδοποιούμε τον βίο του καταναλωτή

σε δύο μεγάλες περιόδους ή γενεές. Στην οικονομία μας, υποθέτουμε ένα μοναδικό αγαθό

το οποίο δεν αποθηκεύεται , επομένως πρέπει να καταναλωθεί κατά την περίοδο στην

οποία είναι διαθέσιμο. Η υπόθεση ότι οι καταναλωτές δεν μπορούν να αποθηκεύσουν

ποσότητα αγαθού ώστε να την καταναλώσουν κατά την δεύτερη περίοδο της ζωής

τους, δημιουργεί την ανάγκη να προχωρήσουν στις απαραίτητες συναλλαγές οι οποίες

θα αποκαλύψουν το ρόλο του χρήματος στην οικονομία.

Περίοδος

τ t t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6 . . .

1 2 - - - - - - -

2 1 2 - - - - - -

3 - 1 2 - - - - -

4 - - 1 2 - - - -

5 - - - 1 2 - - -

...

Σχήμα 1: Η χρονική διάρθρωση των γενεών

Όπως παρατηρείτε στο παραπάνω σχήμα, υποθέτουμε ότι πάντα υπάρχουν δύο γενεές

οι οποίες συνυπάρχουν σε κάθε περίοδο. Κάθε καταναλωτής εντός της γενεάς έχει όμοια

χαρακτηριστικά και συναλλάσσεται με την άλλη γενεά. Για να εξασφαλίσουμε ότι σε

κάθε περίοδο υπάρχουν δύο γενεές να συνδιαλλαγούν υποθέτουμε ότι η πρώτη γενεά

”ζει” για μια μοναδική περίοδο.

Σε κάθε περίοδο t ”γεννιούνται” Nt νέοι καταναλωτές. Συνεπώς, την περίοδο t συνυ-

πάρχουν στην οικονομία 2 γενεές, Nt ”νέοι” και Nt−1 ”γέροι” καταναλωτές, αυτοί που

γεννήθηκαν την προηγούμενη περίοδο t − 1 και διαβιούν την δεύτερη και τελευταία

περίοδο της ζωής τους. Συνολικά, κατά την περίοδο t το σύνολο του πληθυσμού των

καταναλωτών είναι Nt +Nt−1.

Δ. Βολιώτης 2

Ο εισοδηματικός περιορισμός

Η κατανάλωση για τις δύο περιόδους περιγράφεται από το διάνυσμα (x1,t, x2,t+1). Ο

δείκτης υποδηλώνει την περίοδο της ζωής του καταναλωτή και την τρέχουσα περίοδο. Για

παράδειγμα, x1,t είναι η κατανάλωση για τον ”νέο”, την χρονική περίοδο t. Γενικότερα,

υποθέτουμε ότι οι καταναλωτές διατηρούν νεοκλασικές προτιμήσεις. Το πρόβλημα του

καταναλωτή περιγράφεται ως η διαχρονική κατανομή του εισοδήματος που κερδίζει κατά

την πρώτη περίοδο της ζωής του. Θυμηθείτε ότι οι καταναλωτές δεν διαθέτουν εισόδημα

κατά την ”ώριμη” περίοδο της ζωής τους, και πρέπει να μεταφέρουν εισόδημα στο μέλλον

όταν είναι ”νέοι”. Το χρήμα θα λειτουργήσει ως μέσο για την μεταφορά κατανάλωσης.

Αρχικά, ας εξετάσουμε το διαχρονικό εισοδηματικό περιορισμό του καταναλωτή. Ας

συμβολίσουμε με y το εισόδημα που διαθέτει ο καταναλωτής κατά την πρώτη περίοδο

της ζωής του, το οποίο εκφράζει την ποσότητα του αγαθού προς κατανάλωση. Εφόσον

υπάρχουν Nt πλήθος ”νέων” στην οικονομία κατά την περίοδο t, το συνολικό εισόδημα

είναι Nty. Το συνολικό εισόδημα πρέπει να εξυπηρετήσει τις καταναλωτικές ανάγκες του

συνόλου των καταναλωτών, καθώς οι ”γέροι” - όπως είπαμε- δεν διαθέτουν εισόδημα.

Αν κάθε ”νέος” καταναλώσει x1,t και κάθε γέρος x2,t, η συνολική ζήτηση θα είναι,

Ntx1,t +Nt−1x2,t,

και εφόσον η συνολική ζήτηση δεν πρέπει να υπερβαίνει την συνολική προσφορά,

Ntx1,t +Nt−1x2,t ≤ Nty.

Ως συνέχεια, υποθέτουμε την ειδική περίπτωση κατά την οποία ο πληθυσμός κάθε

περίοδο παραμένει σταθερός, δηλαδή Nt = Nt−1 = N . Τότε,

Nx1,t +Nx2,t ≤ Ny

x1,t + x2,t ≤ y


Αν επιπλέον υποθέσουμε ότι οι προτιμήσεις κατανάλωσης παραμένουν σταθερές τότε οι

”νέοι” σε κάθε περίοδο t θα επιλέγουν κατανάλωση x1,t = x1, και οι ”γέροι” κατανάλωση

x2,t = x2. Στη περίπτωση αυτή λέμε ότι έχουμε μία στάσιμη κατανομή κατανάλωσης.

Έπεται ότι,

x1 + x2 = y.

Στην στάσιμη κατανομή ο εισοδηματικός περιορισμός παίρνει την απλή μορφή,

Σχήμα 2: Βέλτιστα συμβόλαια για διαφορετικές τιμές p

Η κεντρική λύση του προβλήματος

Σε ένα περιβάλλον πλήρους πληροφόρησης είναι εφικτό να υπολογίσουμε την βέλτιστη

στάσιμη κατανομή κατανάλωσης, δηλαδή εκείνη που μεγιστοποιεί την διαχρονική ωφέλεια

όλων των γενεών. Η κατανομή που προκύπτει από το μαθηματικό πρόγραμμα του

κεντρικού σχεδιαστή είναι γνωστή ως ο ”χρυσός κανόνας” (golden rule).

Η ανακατανομή του εισοδήματος που προκύπτει από τον χρυσό κανόνα προϋποθέτει την


συναίνεση των καταναλωτών καθώς και την παντελή απουσία συναλλακτικού κόστους.

Επίσης, εμμέσως υποθέτει ότι οι καταναλωτές δεν είναι σε θέση μονομερώς να επηρεάσουν

την σχέση ανταλλαγής κατανάλωσης μεταξύ των δύο χρονικών περιόδων.

Ο κεντρικός σχεδιαστής, για να είναι σε θέση να υπολογίσει την βέλτιστη δέσμη κα-

τανάλωσης, οφείλει να γνωρίζει την συνάρτηση ωφέλειας του καταναλωτή U(x1, x2).

Στην συνέχεια υποθέτουμε ότι η διαχρονική συνάρτηση ωφέλειας των καταναλωτών

είναι διαχωρίσιμη ως προς τον χρόνο, δηλαδή,

U(x1, x2) = u(x1) + δu(x2),

οπου δ εκφράζει κάποιο συντελεστή προεξόφλησης.

Η συνθήκη βελτιστότητας που εξασφαλίζει τον χρυσό κανόνα είναι

ΟΛΥ = −MU1

MU2

= κλίση εισοδηματικού περιορισμού = −1.

Ας εξετάσουμε ως παράδειγμα την περίπτωση στην οποία όπου η συνάρτηση ωφέλειας

δίνεται από την

U(x1, x2) = ln(x1) + δ ln(x2).

Η οριακή ωφέλεια που απολαμβάνει ο καταναλωτής στις δύο περιόδους κατανάλωσης

είναι

MU1 =1

x1, MU2 =

δ

x2.

Συνεπώς, η συνθήκη βελτιστότητας παίρνει την μορφή

−δx1x2

= −1 ⇒ δx1 = x2

Μαζί με τον εισοδηματικό περιορισμό, έχουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων που θα μας

δώσει την ζήτηση για κατανάλωση

δx1 = x2

x1 + x2 = y


Η λύση του προβλήματος δίνει (x∗1, x∗2) = ( y

1+δ, δy1+δ

}.

Στην περίπτωση κατά την οποία έχουμε δ = 1, εύκολα ανάγεται ότι

x∗1 = x∗2 =y

2.

Παρότι μια κατανομή όπως αυτή που προτείνεται από τον χρυσό κανόνα είναι αμοιβαία

επωφελής, δεν εξασφαλίζεται ότι μπορεί να προκύψει σε ένα αποκεντρωμένο περιβάλλον.

Στην συνέχεια ορίζουμε την λύση όταν οι καταναλωτές αποφασίζουν μόνοι τους για

την κατανομή κατανάλωσης. Αναφερόμαστε δε σε αυτή την λύση του προβλήματος

ως η αποκεντρωμένη λύση. Στην πρώτη διατύπωση της αποκεντρωμένης λύσης δεν

θα χρησιμοποιήσουμε χρηματικές συναλλαγές. Αντ’ αυτών, θα προχωρήσουμε σε μια

”λογιστική” καταγραφή των συναλλαγών. Συγκεκριμένα, θα υποθέσουμε την ύπαρξη

ένος γενικού καθολικού, στο οποίο θα καταγράφονται λογιστικά όλες οι μεταβιβάσεις

κατανάλωσης.

”Λογιστική” ισορροπία

Υποθέτουμε ότι το σύνολο των διαγενεακών μεταβιβάσεων καταγράφονται σε ένα γενικό

καθολικό. Με αυτό τον τρόπο εξασφαλίζεται ότι κάποιος μεταβιβάσει κατανάλωση κατά

την πρώτη περίοδο της ζωής του, θα ανήκει στους δικαιούχους κατανάλωσης την δεύτερη

περίοδο. Μέσα από την αλληλουχία των γενεών, παρέχεται ο μηχανισμός με τον οποίο

οι καταναλωτές μπορούν να μεταφέρουν κατανάλωση στις επόμενες περιόδους (αποταμί-

ευση). Μεταφέροντας κατανάλωση στην μεγαλύτερη γενεά δημιουργείται μία απαίτηση

για μελλοντική κατανάλωση. Να επισημάνουμε ότι οι διαγενεακές συναλλαγές διατηρούν

εθελοντικό χαρακτήρα και δεν προκύπτει από μια μορφή κεντρικού σχεδιασμού, όπως

περιγράψαμε στην περίπτωση του κεντρικού σχεδιαστή, ενώ πάντα το προνόμιο της

πρωτοβουλίας ανήκει στους ”νέους” καταναλωτές.


Στο αποκεντρωμένο περιβάλλον μας, ορίζουμε με µt, την ποσότητα του αγαθού την

οποία ο ”νέος” καταναλωτής” αποφασίζει να μεταβιβάσει,

xt + µt ≤ y·

Όπως γίνεται προφανές στον εισοδηματικό περιορισμό, ένα μέρος του εισοδήματός του

θα επιλέξει να το καταναλώσει (xt) και το υπόλοιπο (µt) θα το μεταβιβάσει ώστε να

έχει την απαίτηση κατανάλωσης στην δεύτερη περίοδο της ζωής του. Αυτό που δεν

εξασφαλίζει ωστόσο είναι ότι θα λάβει την ίδια ποσότητα κατανάλωσης στο μέλλον.

Έστω ότι την επόμενη περίοδο (t + 1) ο καταναλωτής θα λάβει επίπεδο κατανάλωσης

λt+1,

x2,t+1 ≤ λt+1.

Βέβαια, ενώ μπορεί µt ̸= λt+1, στο γενικό καθολικό καταγράφεται το όνομα του κατα-

ναλωτή που μεταβιβάζει την κατανάλωση όσο και η ποσότητα μεταβίβασης. Περαιτέρω,

υποθέτουμε ότι υπάρχει μια ανταλλακτική ισοτιμία για την κατανάλωση μεταξύ των

δύο περιόδων,

ft+1 =λt+1

µt

.

Για παράδειγμα, αν η τρέχουσα ανταλλακτική ισοτιμία προκύπτει να είναι ft+1 = 1.2

και η καταγεγραμμένη μεταβίβαση του καταναλωτή είναι µt = 2, τότε η απαίτηση από

μέρους του υπολογίζεται να είναι λt+1 = ft+1 ·µt = 1.2 · 2 = 2.4 μονάδες κατανάλωσης.

Εφόσον οι δύο περιορισμοί θα πρέπει να ικανοποιούνται ισοτικά στο βέλτιστο, μπορούμε

εύκολα να ανάγουμε ότι λt+1 = ft+1 · µt και µt = λt+1/ft+1. Επομένως, ο περιορισμός

για την δεύτερη περίοδο μπορεί να ξαναγραφεί ως

x2,t+1 ≤ ft+1µt

και αντικαθιστώντας στον πρώτο περιορισμό, γίνεται

x1,t +x2,t+1

ft+1

≤ y


Η δεύτερη σχέση, όπως προκύπτει αποτυπώνει τον διαχρονικό εισοδηματικό περιορισμό

του καταναλωτή.

Η ανταλλακτική ισοτιμία κατανάλωσης μεταξύ των δύο περιόδων καθορίζεται από την

προσφορά αγαθού από τους ”νέους” καταναλωτές” και την ζήτηση των ”γέρων” κατα-

ναλωτών.

Από την πλευρά της προσφοράς, γνωρίζουμε ότι κάθε ”νέος” καταναλωτής προσφέρει

µt = y−x1,t. Για το σύνολο του πληθυσμού των ”νέων” Nt, η συνολική προσφορά είναι

Nt · (y − x1,t).

Απο την πλευρά της ζήτησης, κάθε ”γέρος” καταναλωτής ζητάει λt = ft · µt−1. Για

σύνολο πληθυσμού Nt−1 έχουμε συνολική ζήτηση

Nt−1 · ft · µt−1.

. Συνολικά,

Προσφορά ≡ Ζήτηση

Nt · (y − x1,t) = Nt−1 · ft · µt−1

από το οποίο προκύπτει

ft ≡Nt · (y − x1,t)

Nt−1 · µt−1

Αλλά, εφόσον, µt = y − x1,t τότε κατ’ αναλογία µt−1 = y − x1,t−1. Αντικαθιστώντας

παραπάνω λαμβάνουμε,

ft ≡Nt · (y − x1,t)

Nt−1 · (y − x1,t−1)

Μια ειδική περίπτωση είναι όταν υποθέσουμε ότι ο πληθυσμός παραμένει διαχρονικά

σταθερός, δηλαδή Nt = Nt−1, και υποθέτουμε στάσιμη ισορροπία, x1,t = x1,t−1. Τότε

ανάγεται εύκολα ότι

ft ≡N · (y − x)

N · (y − x)= 1.


Σε αυτή την περίπτωση, η ”Λογιστική” ισορροπία συμπίπτει με τον χρυσό κανόνα.

Η χρηματική οικονομία

Η ”Λογιστική” ισορροπία, αν και αποκεντρωμένης μορφής, απαιτεί ένα μηχανισμό κε-

ντρικής εκκαθάρισης μέσω της χρήσης ενός γενικού καθολικού. Ωστόσο, η ενχρήματη

ανταλλακτική οικονομία που συναντούμε κάνει χρήση χρήματος, και μάλιστα παραστα-

τικού χρήματος (fiat), το οποίο δεν έχει εσωτερική αξία, ή έστω είναι πάρα πολύ μικρή.

Για να δείξουμε πως καθίσταται λειτουργικό ένα τέτοιο υπόδειγμα, πρέπει να εξηγήσουμε

γιατί οι καταναλωτές δέχονται το χρήμα για το ρόλο που σχεδιάστηκε να εξυπηρετεί.

Το παραστατικό χρήμα εισάγεται στην οικονομία μέσω μιας θεσμικής αρχής (πχ., μια

κεντρική τράπεζα ή η κυβέρνηση). Υποθέστε ότι διοχετεύονται στην οικονομία μια πο-

σότητα M μονάδων χρήματος (ευρώ) σε ίσα μερίδια, σε όλους τους καταναλωτές της

πρώτης γενιάς του υποδείγματος μας. Επομένως, καθένας λαμβάνει M/N ευρώ.

Γενικά, σε ένα υπόδειγμα πεπερασμένου χρόνου, θα περίμενε κάποιος ότι το χρήμα

δεν θα είχε αξία για τους καταναλωτές. Συγκεκριμένα, οι καταναλωτές την τελευταία

περίοδο του υποδείγματος, θα κατείχαν χρήμα το οποίο θα είχε μηδενική αξία καθώς δεν

θα μπορούσαν να το ανταλλάξουν. Στο δυναμικό πλαίσιο μη πεπερασμένου χρονικού

ορίζοντα, υπάρχει πάντα μια επόμενη γενεά η οποία διατίθεται να χρησιμοποιήσει

το χρήμα. Μάλιστα, για συντελεστή προεξόφλησης κοντά στην μονάδα, μπορούμε να

βρούμε πάντα μια ισορροπία της ενχρήματης οικονομίας με θετική αξία του παραστατικού

χρήματος.

Στο πλαίσιο της ανάλυσής μας θεωρούμε δύο διαφορετικές τιμές για το χρήμα. Συμβολί-

ζουμε με pt (pt = €/μονάδα αγαθού) την χρηματική τιμή μίας μονάδας αγαθού. Επίσης

συμβολίζουμε με qt την ανταλλακτική αξία του χρήματος (qt = μονάδα αγαθού/€),

δηλαδή αν διαθέτουμε 1€πόση ποσότητα αγαθού αγοράζουμε. Επομένως, ενώ το pt εκ-


φράζει ευρώ, το qt εκφράζει ποσότητα αγαθού. Είναι προφανές, επομένως, ότι qt = 1/pt.

Για να αποκτήσει κάποιος ”νέος” καταναλωτής χρήμα πρέπει να το ανταλλάξει με κάποια

ποσότητα αγαθού. Μία πρώτη ερώτηση που πρέπει να απαντήσουμε είναι πόσο χρήμα

(mt) θα αποκτήσει ο καταναλωτής από την πώληση. Αν για να αποκτήσεις 1 ευρώ

πρέπει να ανταλλάξεις qt ποσότητα αγαθού, για να αποκτήσεις mt ευρώ πρέπει να

ανταλλάξεις mtqt ποσότητα αγαθού. Ο εισοδηματικός περιορισμός του καταναλωτή

κατά την πρώτη περίοδο της ζωής του είναι

x1,t + qtmt ≤ y.

Η ανταλλακτική αξία του χρήματος δεν μένει διαχρονικά σταθερή. Την επόμενη περίοδο,

με την ίδια ποσότητα χρήματος μπορούμε να αγοράσουμε περισσότερη ή λιγότερη ποσό-

τητα αγαθού. Αυτό θα εξαρτηθεί από την ανταλλακτική αξία του χρήματος την επόμενη

περίοδο qt+1. Αν επομένως ο καταναλωτής έχει αποκτήσει κατά την προηγούμενη περί-

οδο της ζωής του mt ευρώ, με σκοπό να τα χρησιμοποιήσει ώστε να αγοράσει αγαθά

στην δεύτερη περίοδο, τα αγαθά που μπορεί να αγοράσει είναι qt+1mt. Ο εισοδηματικός

περιορισμός του για την δεύτερη περίοδο της ζωής του γίνεται

x2,t+1 ≤ qt+1mt,

από τον οποίο προκύπτει

x2,t+1

qt+1

≤ mt.

Από την αντικατάστασή στον εισοδηματικό περιορισμό της πρώτης περιόδου, λαμβά-

νουμε τον διαχρονικό εισοδηματικό περιορισμό

x1,t +qtqt+1

x2,t+1 ≤ y.

Ο λόγοςqt+1

qtεκφράζει την ακαθάριστη απόδοση του χρήματος, δηλαδή την πραγματική

μεταβολή της ανταλλακτικής αξίας του χρήματος από περίοδο σε περίοδο. Παρατηρείστε


ότι η κλίση του διαχρονικού εισοδηματικού περιορισμού δίνεται από την αντίστροφη

ακαθάριστη απόδοση του παραστατικού χρήματος.

Στην συνέχεια υποθέτουμε ότι εφόσον οι προτιμήσεις των καταναλωτών και ο πληθυσμός

τους δεν μεταβάλλονται, η ζήτηση παραμένει διαχρονικά αμετάβλητη. Η ισορροπία του

δυναμικού υποδείγματος θα είναι η στάσιμη ισορροπία. Στην διαμόρφωση της ισορροπίας

βλέπουμε ότι η ακαθάριστη απόδοση του χρήματος διατελεί καθοριστικό ρόλο.

Συγκεκριμένα, καθοριστικό ρόλο στην διαμόρφωση της στάσιμης ισορροπίας διατελούν οι

προσδοκίες που διαμορφώνουν οι καταναλωτές για την ακαθάριστη απόδοση του χρήμα-

τος. Αν για παράδειγμα, δεν είναι σε θέση να προβλέψουν με ακρίβεια την ανταλλακτική

αξία του χρήματος για την επόμενη περίοδο (qt+1), οι νέοι καταναλωτές δεν γνωρίζουν

την διαθέσιμη κατανάλωση που θα έχουν την επόμενη περίοδο. Κατά συνέπεια δεν είναι

σε θέση να αποφασίσουν πιο είναι το βέλτιστο επίπεδο ”αποταμίευσης”, και είναι πιθανό

η απόφασή τους να είναι υποβέλτιστη. Είναι επομένως επιτακτικό να υποθέσουμε μια

μορφή ακριβούς πρόβλεψης της ανταλλακτικής αξίας του χρήματος (qt+1). Η υπόθεση

που εξασφαλίζει την ακριβή προβλεψιμότητα εδράζεται στις ορθολογικές προσδοκίες των

καταναλωτών.

Πως όμως διαμορφώνεται η ακαθάριστη απόδοση του παραστατικού χρήματος; Από τον

συσχετισμό των δυνάμεων της προσφοράς και της ζήτησης. Η ζήτηση του παραστατικού

χρήματος προσδιορίζεται από το επίπεδο των αγαθών που διαθέτουν οι καταναλωτές

προς πώληση, ήτοι από το επίπεδο της ”αποταμίευσής” τους. Στο επίπεδο του κατα-

ναλωτή, η ”αποταμίευσή¨ του δίνεται από το επίπεδο y − x1,t. Ο καταναλωτής είναι

διατεθειμένος να ανταλλάξει y − x1,t για χρήμα. Στο σύνολο της οικονομίας, η ζήτηση

είναι

Nt(y − x1,t).

Πάλι, από την πλευρά της προσφοράς, υποθέτουμε ότι η διαθέσιμη ποσότητα χρήματος

κατά την χρονική στιγμή t είναι Mt. Η αγοραστική αξία των Mt ευρώ είναι qtMt. Η


ισορροπία την περίοδο t είναι

Προσφορά ≡ Ζήτηση

qtMt = Nt(y − x1,t)

Όμοια, για την περίοδο t+ 1,

qt+1Mt+1 = Nt+1(y − x1,t+1)

Από τις δύο παραπάνω σχέσεις λαμβάνουμε

qt+1 =Nt+1(y − x1,t+1)

Mt+1

, qt =Nt(y − x1,t)

Mt

,

άρα

qt+1

qt=Nt+1(y − x1,t+1)

Mt+1

· Mt

Nt(y − x1,t)

Στην στάσιμη ισορροπία πρέπει να ισχύει x1,t = x1,t+1 = x1 τότε

qt+1

qt=Nt+1

Mt+1

· Mt

Nt

.

Παρατηρούμε ότι η ακαθάριστη απόδοση του παραστατικού χρήματος εξαρτάται ευθέως

από τον ρυθμό αύξησης του πληθυσμού Nt+1/Nt και αντιστρόφως από τον ρυθμό

αύξησης της προσφοράς χρήματος Mt+1/Mt. Όσο περισσότερο αυξάνεται ο πληθυσμός,

τόσο μεγαλύτερη είναι η συνολική ζήτηση για παραστατικό χρήμα και συνεπώς αυξάνεται

και η ανταλλακτική του αξία. Αντιθέτως, όσο περισσότερο χρήμα κυκλοφορεί στην

οικονομία, τόσο μικρότερη θα γίνεται η ανταλλακτική του αξία. Αν για παράδειγμα,ο

ρυθμός αύξησης του πληθυσμού στην οικονομία είναι Nt+1/Nt = 1.03 και ο ρυθμός

αύξησης της προσφοράς χρήματος είναι Mt+1/Mt = 1.02, αναμένουμε ότι η ακαθάριστη

απόδοση του παραστατικού χρήματος θα είναι μεγαλύτερη της μονάδος. Όντως,

qt+1

qt=Nt+1

Mt+1

· Mt

Nt

=1.03

1.02≃ 1.01


Στην ειδική περίπτωση κατά την οποία, τόσο ο πληθυσμός όσο και η προσφορά

χρήματος παραμένουν σταθερά διαχρονικά, τότε αναμένουμε ότι η ακαθάριστη απόδοση

του χρήματος θα είναι και αύτη διαχρονικά ίση με μονάδα

qt+1

qt=N ·MM ·N

= 1.

Στη συνέχεια υποθέτουμε ότι ο πληθυσμός στην οικονομία αυξάνεται διαχρονικά με

σταθερό ρυθμό n. Επομένως υποθέτουμε ότι ο πληθυσμός την περίοδο t + 1 δίνεται

από την σχέση Nt+1 = (1 + n)Nt. Όπως προηγουμένως, υποθέτουμε ότι η προσφορά

χρήματος στην οικονομία παραμένει σταθερή, δηλαδήMt−1 =Mt =M . Πόσο αναμένεται

να είναι

qt+1

qt=Nt+1

Nt

· Mt

Mt+1

=(1 + n)Nt

Nt

· MM

= 1 + n.

Γίνεται επομένως κατανοητό ότι η ανταλλακτική αξία του χρήματος θα αυξάνεται με

τον ρυθμό αύξησης του πληθυσμού. Εφόσον περισσότερος πληθυσμός χρησιμοποιεί στα-

θερή ποσότητα χρήματος, αναμένουμε ότι η μονάδα χρήματος θα αποκτήσει μεγαλύτερη

ανταλλακτική αξία. Το αντίστροφο αναμένουμε να συμβεί όταν αυξάνεται η προσφορά

χρήματος και ο πληθυσμός παραμένει σταθερός. Τότε αναμένουμε να αντιστοιχεί περισ-

σότερο χρήμα ανά καταναλωτή, επομένως η ανταλλακτική αξία του χρήματος θα φθίνει.

Αναφερόμαστε στην περίπτωση του πληθωρισμού.

Αύξηση της προσφοράς χρήματος

Θεωρείστε ότι η ποσότητα χρήματος στην οικονομία αυξάνεται με σταθερό ρυθμό g,

Mt = (1 + g) · Mt−1. Κάθε περίοδο το νέο χρήμα εισάγεται στην οικονομία με μια

εφάπαξ μεταβίβαση στους γέρους καταναλωτές. Έστω ότι κάθε καταναλωτής λαμβάνει

ως μεταβίβαση ψt €. Συνολικά, η ποσότητα χρήματος που θα εισαχθεί στην οικονομία

είναι Nt−1ψt.


Ας δούμε τώρα πως διαμορφώνεται ο εισοδηματικό περιορισμός του καταναλωτή. Όπως

πριν, για την πρώτη περίοδο έχουμε

x1,t + qtmt ≤ y.

Ωστόσο για την δεύτερη περίοδο της ζωής του, κάθε καταναλωτής λαμβάνει το επίδομα

ψt+1,

x2,t+1 ≤ qt+1mt + ψt+1.

Αν λύσουμε την τελευταία σχέση ως προς mt,

mt ≥1

qt+1

x2,t+1 −1

qt+1

ψt+1,

και αντικαταστήσουμε στον πρώτο περιορισμό, υπολογίζουμε εκ νέου τον διαχρονικό

εισοδηματικό περιορισμό,

x1,t +qtqt+1

x2,t+1 ≤ y +qtqt+1

ψt+1.

Ας δούμε όμως αν αυτή η αύξηση έχει επίδραση στην ακαθάριστη απόδοσή του παρα-

στατικού χρήματος. Όπως προηγουμένως,

qt+1

qt=Nt+1

Nt

· Mt

Mt+1

=N

N· Mt

(1 + g)Mt

=1

(1 + g).

Στην περίπτωση αυτή παρατηρούμε ότι ο ρυθμός αύξησης της προσφοράς χρήματος

επιδρά αντιστρόφως ανάλογα στην ανταλλακτική αξία του χρήματος. Όσο περισσότερο

αυξάνεται το παραστατικό χρήμα στην οικονομία, τόσο μικρότερη γίνεται η ακαθάριστη

απόδοση του χρήματος.

Σε αυτό το σημείο ας ανακαλέσουμε ότι η ανταλλακτική αξία του παραστατικού χρήματος

ορίζεται ως το αντίστροφο μέγεθος της αγοραίας τιμής, qt = 1/pt. Ως (ακαθάριστο)

πληθωρισμό ορίζουμε το μέγεθος που εκφράζεται ως

πληθωρισμός =pt+1

pt.


Έπεται ότι

pt+1

pt=

qtqt+1

= 1 + g.

Επομένως, ο πληθωρισμός αυξάνεται κατ’ αναλογία της αύξησης της προσφοράς χρήμα-

τος.

Αν πάλι έχουμε τις δύο περιπτώσεις ταυτόχρονα, δηλαδή αύξηση του πληθυσμού αλλά

και αύξηση της προσφοράς χρήματος, η οποία είναι η γενική μορφή για την ακαθάριστη

απόδοση του χρήματος, έχουμε

qt+1

qt=Nt+1

Nt

· Mt

Mt+1

=(1 + n)Nt

Nt

· Mt

(1 + g)Mt

=1 + n

1 + g.

Το χρηματικό υπόδειγμα με παραγωγή

Ως προέκταση του χρηματικού υποδείγματος υποθέτουμε ότι υπάρχει παραγωγή. Η

παραγωγή μας δίνει την δυνατότητα ενός εναλλακτικού τρόπου για τους καταναλωτές να

μεταφέρουν το εισόδημά τους διαχρονικά. Συμπληρωματικά, υποθέτουμε ότι θα υπάρχει

η δυνατότητα δανείων. Καθότι ο καταναλωτής δεν διαθέτει καθόλου εισόδημα την δεύτερη

περίοδο της ζωής του, θα μπορεί να μεταφέρει μέρος του εισοδήματός του από την πρώτη

περίοδο είτε πουλώντας αγαθά με αντάλλαγμα παραστατικό χρήμα ή επενδύοντας ένος

μέρος από το εισόδημά του το οποίο θα του αποφέρει προϊόν στην δεύτερη περίοδο, ή

ακόμη δανείζοντας μέρος του εισοδήματός του σε άλλους καταναλωτές (της ίδιας γενεάς).

Η παραγωγή εισάγεται στο υπόδειγμά μας θεωρώντας μια απλή γραμμική συνάρτηση

παραγωγής της μορφής f(k) = (1 + z)k, όπου k είναι η εισροή κεφαλαίου στην

παραγωγική διαδικασία. Δεν θεωρούμε κάποια άλλη μορφή παραγωγικού συντελεστή

στο υπόδειγμα. Αρχικά, θεωρώντας ότι η παραγωγή είναι ο μοναδικός τρόπος για τον

καταναλωτή ώστε να εξασφαλίσει εισόδημα στην δεύτερη περίοδο, αναμένουμε ότι κατά


την πρώτη περίοδο, ένα μέρος του εισοδήματός του θα το διαθέσει για ως επενδυτικό

κεφάλαιο k,

x1,t + kt ≤ y.

Κατά την δεύτερη περίοδο, η επένδυση αποδίδει f(kt) = (1 + z)kt μονάδες αγαθού,

x2,t+1 ≤ (1 + z)kt.

Ο διαχρονικός εισοδηματικός περιορισμός, επομένως, παίρνει την μορφή,

x1,t +x2,t+1

(1 + z)≤ y.

Εφόσον έχουμε ορίσει την οικονομία με παραγωγή, μπορούμε πλέον να την μετατρέψουμε

σε μια εγχρήματη οικονομία εισάγοντας παραστατικό χρήμα. Ένα σημαντικό θέμα που

εγείρεται είναι η πιθανότητα όλοι οι καταναλωτές να στραφούν σε εκείνη την ”αξία”

η οποία θα του εξασφαλίζει μεγαλύτερη πραγματική απόδοση, δηλαδή μεγαλύτερη

κατανάλωση στο μέλλον. Για να μπορούν οι δύο ”αξίες” δηλαδή το κεφάλαιο και το

χρήμα, να συνυπάρχουν, πρέπει η απόδοσή τους να είναι ίση, με άλλα λόγια

qt+1

qt=

1 + n

1 + g= 1 + z.

Εύκολα καταλαβαίνει κανείς ότι αν 1+n1+g

> 1 + z τότε η πώληση αγαθού κατά την

πρώτη περίοδο για παραστατικό χρήμα θα τους εξασφαλίσει μεγαλύτερο επίπεδο κατα-

νάλωσης στην δεύτερη περίοδο. Κανείς δεν θα επιλέξει να επενδύσει. Αν πάλι ισχύει το

αντίθετο, οι καταναλωτές θα επιλέξουν να επενδύσουν την ίση ποσότητα αγαθού ώστε

να εξασφαλίσουν περισσότερο αγαθό μέσω της παραγωγής. Κανείς καταναλωτής δεν θα

διακρατήσει χρήμα.

Μια σημαντική παρατήρηση που μπορούμε να κάνουμε στο σημείο αυτό είναι ότι η

παραπάνω σχέση - ο νόμος της μιας τιμής μεταξύ χρήματος και κεφαλαίου- προσφέρει

ένα πλαίσιο μέσα από το οποίο η μεταβολή της απόδοσης του χρήματος -μέσω της


νομισματικής πολιτικής- μπορεί να επηρεάσει την απόδοση του κεφαλαίου, και κατ’

επέκταση το επίπεδο των επενδύσεων.

Για να παρουσιάσουμε αυτή την αιτιακή σχέση στην γενικότητά της, θυμηθείτε ότι

χρησιμοποιήσαμε την γραμμική συνάρτηση παραγωγής f(k) = (1 + z)k, συνεπώς το

οριακό προϊόν του κεφαλαίου είναι f ′(k) = (1 + z). Η συνύπαρξη των δύο ”αξιών”

απαιτεί

1 + n

1 + g= f ′(k).

Καθώς το οριακό προϊόν του κεφαλαίου είναι πάντα σταθερό, αναμένουμε ότι και η

απόδοση του χρήματος θα είναι σταθερή. Ωστόσο, το αποτέλεσμα δεν θα είναι αυτό αν

η συνάρτηση παραγωγής συνδέεται με φθίνον οριακό προϊόν (πχ., μια συνάρτηση Cobb-

Douglas). Θεωρείστε ότι οι συναλλαγές μέσω χρήματος επιβάλλονται θεσμικά. Επομένως

αναμένουμε ότι μια μείωση της ακαθάριστης απόδοσης του χρήματος θα οδηγήσει μια

παροδική παραβίαση του νόμου της μιας τιμής, αλλά σταδιακά το κεφάλαιο θα προ-

σαρμοστεί ώστε να αποκατασταθεί η ισότητα. Μια μείωση στην ακαθάριστη απόδοση

του χρήματος από μια αύξηση της προσφοράς χρήματος (g), θα οδηγήσει σε μικρό-

τερο οριακό προϊόν του κεφαλαίου (f ′(k)). Το χαμηλότερο οριακό προϊόν αντιστοιχεί

σε ένα υψηλότερο επίπεδο παραγωγής. Το επιχείρημα δομείται ως εξής: Η μικρότερη

απόδοση του χρήματος θα οδηγήσει τους καταναλωτές να επενδύσουν περισσότερο στο

κεφάλαιο, έως του σημείου όπου το οριακό προϊόν του κεφαλαίου θα εξισωθεί πάλι

με το χαμηλότερο επίπεδο απόδοσης του χρήματος. Το φαινόμενο κατά το οποίο η

μείωση της απόδοσης του χρήματος (ή ισοδύναμα η αύξηση του πληθωρισμού) οδηγεί

σε αύξηση του προϊόντος (μεγέθυνση της οικονομίας) είναι γνωστό στην βιβλιογραφία

ως επίδραση του Tobin (Tobin effect), προς τιμήν του νομπελίστα James Tobin, ο οποίος

πρώτος επισήμανε την σχέση αυτή.

Προχωρώντας ένα βήμα ακόμη, επιτρέπουμε στους καταναλωτές να μπορούν να δανεί-

σουν και να δανειστούν αγαθά, για κάποιο εξωγενές επιτόκιο r > 0. Πάλι, για τέλεια


υποκατάστατες ”αξίες” θα πρέπει να ισχύει ο νόμος της μιας τιμής, δηλαδή

1 + n

1 + g= 1 + z = 1 + r.

Μία απαραίτητη διευκρίνιση είναι αν το δάνειο είναι σε ονομαστικούς ή πραγματικούς

όρους δηλαδή σε όρους χρήματος ή αγαθού. Στην περίπτωση που ο δανεισμός είναι

εκφρασμένος σε πραγματικούς όρους θα συμβολίζουμε την (πραγματική) απόδοση με

ρ > 0. Στην συνέχεια θα δείξουμε τον υπολογισμό της πραγματικής απόδοσης.

Ας ξεκινήσουμε την ανάλυσή μας με ένα δάνειο ονομαστικού ποσού c ευρώ. Ο πιστωτής

θα έχει να λαμβάνει την επόμενη περίοδο t+ 1 το ποσό (1 + r)c. Η τιμή του αγαθού

την περίοδο t + 1 θα είναι pt+1. Επομένως με το ποσό των (1 + r)c ευρώ θα είναι

σε θέση να αγοράσει(1+r)cpt+1

μονάδες αγαθού. Στην περίπτωση πάλι που ο πιστωτής

αποφάσιζε να μην προχωρήσει στον δανεισμό, θα μπορούσε κατά την πρώτη περίοδο

της ζωής του να αγοράσει cpt

μονάδες αγαθού.

Η πραγματική απόδοση του δανείου για τον πιστωτή είναι

(1 + ρ) =

(1+r)cpt+1

cpt

= (1 + r)ptpt+1

.

ή ισοδύναμα

(1 + r) = (1 + ρ)pt+1

pt.

Ο λόγος, pt+1/pt περιγράφει τον πληθωρισμό, επομένως γίνεται εύκολα κατανοητό ότι

η ονομαστική απόδοση του δανείου θα είναι η πραγματική σταθμισμένη με τον πληθω-

ρισμό.

Οι τράπεζες ως δημιουργοί ρευστότητας (ξανά)

Η παραδοχή ότι το χρήμα μπορεί να συνυπάρχει με άλλες ”αξίες”, όπως η επένδυση

σε κεφάλαιο και ο δανεισμός, προϋπόθετε ότι αυτές πρέπει να έχουν την ίδια ακριβώς


απόδοση (νόμος της μίας τιμής) διαφορετικά δεν θα μπορούσαν να συνυπάρχουν. Δύο

είναι οι λόγοι για τους οποίους ο νόμος της μιας τιμής μπορεί να παραβιάζεται. Είτε

το χρήμα και οι άλλες ανταγωνιστικές ”αξίες” έχουν διαφορετική ρευστότητα ή ενέχουν

διαφορετικό ρίσκο. Σε κάθε περίπτωση, οι ”αξίες” παύουν να λειτουργούν ως τέλεια υπο-

κατάστατα και διαφορετικές αποδόσεις δικαιολογούνται. Στην συνέχεια θα ασχοληθούμε

με το ρόλο που διαδραματίζει η ρευστότητα των ”αξιών”.

Θεωρείστε αρχικά την συνύπαρξη κεφαλαίου και χρήματος σε ένα διαγενεακό υπόδειγμα

με κύκλο ζωής τριών χρονικών περιόδων. Θα κάνουμε μια σειρά από απαραίτητες

παραδοχές

1. Το κεφάλαιο και το χρήμα θα έχουν θετική αξία στο υπόδειγμα

2. Η απόδοση του κεφαλαίου θα υπερβαίνει αυτή του χρήματος

3. Η ταχύτητα κυκλοφορίας του χρήματος θα είναι μεγαλύτερη αυτής του κεφαλαίου

Κάθε μονάδα αγαθού που επενδύεται αποδίδει σε δύο περιόδους X μονάδες αγαθού. Η

ποσότητα χρήματος παραμένει σταθερή, αλλά υποθέτουμε ότι κάθε περίοδο θα έχουμε

σταθερή αύξηση του πληθυσμού με ρυθμό n. Επομένως η απόδοση του χρήματος για

τις δύο περιόδους είναι

qt+2

qt+1

qt+1

qt= (1 + n)2.

Καθώς έχουμε υποθέσει ότι η απόδοση του κεφαλαίου θα ξεπερνά την απόαδοσή του

χρήματος, θα πρέπει να ισχύει

X > (1 + n)2.

Ας δούμε πως διαμορφώνεται ο διαχρονικός εισοδηματικός περιορισμός του καταναλωτή.

Ο καταναλωτής διαθέτει εισόδημα y κατά την πρώτη περίοδο της ζωής του και επιθυμεί

να μεταφέρει μέρος του εισοδήματός του στις επόμενες δύο περιόδους. Ωστόσο, όπως

επισημάναμε προηγουμένως, το κεφάλαιο δεν έχει καθόλου απόδοση κατά την πρώτη


περίοδο, επομένως για να μεταφέρει εισόδημα στην πρώτη περίοδο, μπορεί να χρησι-

μοποιήσει μόνο το χρήμα. Αντίθετα, καθώς το κεφάλαιο εμφανίζεται να έχει μεγαλύτερη

απόδοση από το χρήμα για την δεύτερη περίοδο, θα προτιμήσει να επενδύσει στο

κεφάλαιο για την δεύτερη περίοδο. Το γεγονός αυτό κάνει τις δύο ”αξίες” μη τέλεια

υποκαταστάσιμες μεταξύ τους. Συγκεκριμένα, για τη πρώτη περίοδο αναμένουμε ότι θα

ισχύει

x1,t + qtmt + kt ≤ y.

Ένα μέρος θα καταναλωθεί ενώ το υπολοιπόμενο θα επιμεριστεί σε απόκτηση χρήματος

και κεφαλαίου. Κατά την δεύτερη περίοδο έχουμε,

x2,t+1 ≤ qt+1mt.

Ο καταναλωτής χρησιμοποιεί το χρηματικό του απόθεμα ώστε να αποκτήσει αγαθό

κατά την δεύτερη περίοδο της ζωής του. Τέλος, κατά την τρίτη περίοδο

x3,t+2 ≤ Xkt.

Την τρίτη περίοδο, η επένδυση αποδίδει αγαθά, τα οποία καταναλώνονται κατά την

τρίτη περίοδο. Από τον δεύτερο περιορισμό έχουμεx2,t+1

qt+1≤ mt ενώ από τον τρίτο

x3,t+2

X≤ kt. Με αντικατάσταση στον πρώτο περιορισμό λαμβάνουμε

x1,t + qtx2,t+1

qt+1

+x3,t+2

X≤ y.

Η βέλτιστη κατανάλωση βρίσκεται στο σημείο όπου ο εισοδηματικός περιορισμός εφά-

πτεται της καμπύλης αδιαφορίας του καταναλωτή.

Μια πρώτη παρατήρηση που μπορούμε να κάνουμε είναι ότι το χρήμα καιο το κεφάλαιο

έχουν διαφορετική ρευστότητα. Το χρήμα είναι απόλυτα ρευστό καθώς η απόδοαή του

παραμένει σταθερή διαχρονικά (πχ., (1 + n) σε κάθε περίοδο). Αντίθετα, το κεφάλαιο

είναι λιγότερο ρευστό καθώς αποδίδει την τρίτη περίοδο, αλλά 0 την δεύτερη περίοδο,

σε περίπτωση πρόωρης ρευστοποίησής του.


Εισάγοντας μία τράπεζα

Στην συνέχεια, εισάγουμε μια τράπεζα στην οικονομία μας με το προνόμιο να μπορεί

να εκδίδει απλά χρεόγραφα (πχ., πιστοποιητικά κατάθεσης (cd)). Ο τραπεζίτης θα

εκμεταλλευτεί το εκδοτικό του προνόμιο ώστε να κερδοσκοπήσει από την διαφορά των

αποδόσεων των ”αξιών”.

Η ευκαιρία για αρμπιτράζ έχει ως εξής: Η τράπεζα εκδίδει τα πιστοποιητικά κατάθεσης

κατά την πρώτη περίοδο της ζωής των καταναλωτών. Τα πιστοποιητικά κατάθεσης, για

να είναι ανταγωνιστικά του χρήματος, οφείλουν να έχουν απόδοση τουλάχιστον όσο το

χρήμα, δηλαδή (1+n). Στην καλύτερη περίπτωση για την τράπεζα υποθέτουμε ότι έχουν

απόδοση (1+n) και επομένως η τράπεζα δανείζεται αγαθά. Τα αγαθά αυτά τα επενδύει

σε κεφάλαιο, το οποίο αποδίδει την τρίτη περίοδο. Για να είναι σε θέση να αποπληρώσει

η τράπεζα τους καταθέτες της, θα πρέπει την δεύτερη περίοδο να δανειστεί με τον ίδιο

τρόπο από τους νέους της δεύτερης γενιάς. Την τρίτη περίοδο, η επένδυση αποδίδει και

υπάρχουν πόροι για να αποπληρωθεί η δεύτερη έκδοση πιστοποιητικών καταθέσεων.

Συνολικά η τράπεζα θα πληρώσει για κάθε μονάδα πιστοποιητικού κατάθεσης, (1 +

n)(1 + n), ενώ εισπράττει από το κεφάλαιο X. Εφόσον, X > (1 + n)2 η τράπεζα θα

πραγματοποιήσει κέρδη από την διαφορά των αποδόσεων.

Εδώ παρατηρούμε ότι ενώ η τράπεζα πραγματοποιεί κέρδη διατελεί στην οικονομία

μια σημαντική υπηρεσία. Δημιουργεί ρευστότητα. Με την έκδοση μιας νέας ρευστής

αξίας, όπως τα πιστοποιητικά κατάθεσης -τα οποία είναι ανταλλάξιμα στην δευτερο-

γενή αγορά- επιτεύχθηκε η αύξηση των μέσων ανταλλαγής και αξίας, αυξάνοντας τις

επιλογές των καταναλωτών. Η περίπτωση αυτή της χρηματικής διαμεσολάβησης των

τραπεζών είναι γνωστή ως έκδοση εσωτερικού χρήματος. Η παρουσία της τράπεζας και

η δημιουργία χρεογράφων είναι ευεργετική και ως προς μια άλλη διάσταση. Αποτε-

λούν μια γέφυρα ρευστότητας, η οποία υπολείπεται από τις παραγωγικές επενδύσεις.

Η χρηματοοικονομική διαμεσολάβηση αποτελεί το όχημα για την έμμεση επένδυση στο


κεφάλαιο, καθώς οι καταναλωτές διακρατούσαν χρήμα για να μεταφέρουν εισόδημα στην

δεύτερη περίοδο της ζωής τους. Οι πόροι αυτοί πλέον είναι εφικτό να μεταφερθούν σε

παραγωγικές επενδύσεις μέσω των χρεογράφων.


Χρήμα. Το διαγενεακό υπόδειγμα - unipi.gr...Το χρήμα...

Documents

Transcript of Χρήμα. Το διαγενεακό υπόδειγμα - unipi.gr...Το χρήμα...