Το Πρόβλημα Μεταφοράςtsantas/DownLoadFiles/OR...• Το πρόβλημα...

1

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

• Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς

παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο

δυνατό κόστος.

• Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

προγραμματισμού με ειδική δομή.

• Για την επίλυσή του έχουν αναπτυχθεί αποτελεσματικές τεχνικές

(παραλλαγές της μεθόδου Simplex).

• Το πρόβλημα ήταν γνωστό από το 1941 (Hitchcock, 1941) και

ως π.γ.π. θεμελιώθηκε και λύθηκε από τον Dantzig το 1951.

• Ως ειδική περίπτωση του προβλήματος μεταφοράς μπορούν να

θεωρηθούν μια μεγάλη σειρά πρακτικών προβλημάτων, που δεν

αναφέρονται στις μεταφορές, και για το λόγο αυτό η μέθοδος

επίλυσής του είναι ένα σπουδαίο εργαλείο για την εν γένει

Επιχειρησιακή Έρευνα.

• Ανήκει στην κατηγορία των προβλημάτων δικτυωτής ανάλυσης.

2

Παράδειγμα 1

Κάποιος γεωργικός συνεταιρισμός της Κρήτης έχει στις τρεις αποθή-

κες του 35, 50 και 40 τόνους πορτοκαλιών. Τέσσερις λαχαναγορές της

χώρας θέλουν να αγοράσουν 45, 20, 30 και 30 τόνους πορτοκαλιών

αντίστοιχα. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται το κόστος μεταφοράς

(χ.μ. ανά τόνο) από τις τρεις αποθήκες Α1, Α2, Α3 στις τέσσερις

λαχαναγορές Λ1, Λ2, Λ3, Λ4 :

Προς

Από

Λ1 Λ2 Λ3 Λ4

ΠΡΟΣΦΟΡΑ

Α1 800 600 1000 900 35

Α2 900 1200 1300 700 50

Α3 1400 900 1600 500 40

ΖΗΤΗΣΗ 45 20 30 30

Το πρόβλημα είναι τώρα να προσδιορίσουμε πως θα γίνει η μεταφορά

από τις αποθήκες στις λαχαναγορές έτσι ώστε το συνολικό κόστος

μεταφοράς να είναι ελάχιστο.

3

Το παραπάνω πρόβλημα εύκολα μπορούμε να το γενικεύσουμε. Σε m

σταθμούς προέλευσης S1, S2, ..., Sm υπάρχει ένα προϊόν σε ποσότητες s1,

s2, ..., sm αντίστοιχα. Το προϊόν πρέπει να μεταφερθεί σε n σταθμούς

προορισμού D1, D2, ..., Dn, που έχουν ανάγκη από d1, d2, ..., dn ποσότητες

αντίστοιχα. Αν το κόστος μεταφοράς μιας μονάδας του προϊόντος από τον

Si σταθμό προέλευσης στον Dj σταθμό προορισμού είναι cij χρηματικές

μονάδες, επιζητούμε να προσδιορίσουμε την ποσότητα xij που πρέπει

μεταφέρεται ανάμεσα σ’ αυτές τις θέσεις ώστε να ελαχιστοποιείται το

συνολικό κόστος μεταφοράς και συγχρόνως να ικανοποιούνται οι ανάγ-

κες όλων των σταθμών προορισμού.

minimize z c xij ijj

n

i

m

===∑∑

11

με τους περιορισμούς

∑=

=≤n

jiij misx

1

...,,2,1 (προσφορά)

∑=

=≥m

ijij njdx

1

...,,2,1 (ζήτηση)

xij ≥ 0 για όλα τα i, j

4

Το πρόβλημα μεταφοράς είναι πρόβλημα δικτυωτής ανάλυσης

Πίνακας προβλήματος μεταφοράς (παρουσιάζει με εύχρηστο τρόπο τα στοιχεία του προβλήματος και

ταυτόχρονα διευκολύνει τις πράξεις της μεθόδου επίλυσης)

5

Δίκτυο και πίνακας προβλήματος μεταφοράς για το παράδειγμα 1

6

Αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη λύσης στο πρόβλημα μεταφοράς είναι το σύνολο των διαθέσιμων ποσοτήτων να ισούται με το σύνολο των απαιτούμενων:

s di jj

n

i

m

===∑∑

11

(ισορροπημένο πρόβλημα μεταφοράς)

Στην περίπτωση αυτή, όλοι οι περιορισμοί είναι ισότητες:

minimize z c xij ijj

n

i

m

===∑∑

11

με τους περιορισμούς

∑=

==n

jiij misx

1

...,,2,1 (προσφορά)

∑=

==m

ijij njdx

1

...,,2,1 (ζήτηση)

xij ≥ 0 για όλα τα i, j

Κάθε βασική εφικτή λύση του πρότυπου μεταφοράς (ισορροπημένο πρόβλημα),

έχει ακριβώς m+n-1 βασικές μεταβλητές, δηλαδή το πολύ m+n-1 μεταβλητές

xij είναι θετικές, ενώ οι υπόλοιπες έχουν τιμή 0.

Μη εκφυλισμένη λύση: ακριβώς m+n-1 θετικές μεταβλητές.

Εκφυλισμένη λύση: οι θετικές μεταβλητές είναι λιγότερες από m+n-1.

7

Ανάπτυξη του συστήματος των περιορισμών:

• Όλοι οι συντελεστές των μεταβλητών xij στους περιορισμούς είναι 0 ή 1, ενώ κάθε μία από αυτές εμφανίζεται με συντελεστή 1 σε δύο ακριβώς από τους περιορισμούς, σ’ αυτόν που αντιστοιχεί στον σταθμό παραγωγής Si και σ’ εκείνον που αντιστοιχεί στον σταθμό προορισμού Dj.

• Κάθε π.γ.π. που προσαρμόζεται σ’ αυτή την ειδική διαμόρφωση είναι πρόβλημα μεταφοράς, άσχετα από το φυσικό του πλαίσιο.

8

Ιδιόμορφες καταστάσεις Αν η προσφορά είναι μεγαλύτερη από τη ζήτηση, αν δηλαδή

s dii

m

jj

n

= =∑ ∑

1 1

τότε εισάγουμε έναν εικονικό σταθμό προορισμού Dn+1 ο οποίος απαιτεί ποσό-

τητα ίση με

d s dn ii

m

jj

n

+= =

= −∑ ∑11 1

Το κόστος μεταφοράς cin+1 (i=1, 2, ..., m) εξαρτάται από το συγκεκριμένο κάθε

φορά πρόβλημα. Αν π.χ. οι επιπλέον ποσότητες μπορούν να παραμείνουν

στους αντίστοιχους σταθμούς προέλευσης χωρίς επιπλέον κόστος τότε cin+1 = 0

Αν όμως υπάρχουν αποθήκευτρα, τότε cin+1 είναι ακριβώς αυτά τα ποσά.

Αν η προσφορά είναι μικρότερη από τη ζήτηση, αν δηλαδή

s dii

m

jj

n

= =∑ ∑

1 1≺

τότε εισάγουμε έναν εικονικό σταθμό προέλευσης Sm+1 ο οποίος παράγει πο-

σότητα ίση με

s d sm jj

n

ii

m

+= =

= −∑ ∑11 1

Το υποθετικό κόστος μεταφοράς cm+1j εξαρτάται πάλι από το συγκεκριμένο

κάθε φορά πρόβλημα. Για παράδειγμα cm+1j μπορεί να είναι η αποζημίωση που

δίνεται στο σταθμό προορισμού Dj για τη μη αποστολή μιας από τις dj μονάδες

του προϊόντος που ζητήθηκαν αρχικά.

9

Στις πιο πολλές εφαρμογές οι διαθέσιμες και απαιτούμενες ποσότητες si και dj

έχουν ακέραιες τιμές πράγμα που σημαίνει ότι και οι ποσότητες που μεταφέ-

ρονται (τα xij δηλαδή) πρέπει να είναι ακέραιοι αριθμοί. Ευτυχώς, η δομή του

προτύπου είναι τέτοια που αν το πρόβλημα έχει κάποια εφικτή λύση θα έχει

και βέλτιστη ακέραια λύση. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι οι συντε-

λεστές των μεταβλητών στους περιορισμούς είναι ίσοι με 1 ή 0.

Αν δεν υπάρχει μέσο μεταφοράς από ένα σταθμό παραγωγής Si στον Dj

σταθμό προορισμού, για να φέρουμε το πρόβλημα στη μορφή επίλυσής του

υποθέτουμε ότι υπάρχει μεν μέσο μεταφοράς αλλά το αντίστοιχο κόστος cij

είναι Μ, όπου Μ αυθαίρετα μεγάλος θετικός αριθμός. Αφού ζητάμε το ελάχι-

στο κόστος, αν στην άριστη λύση του προβλήματος είναι xij > 0, τότε το πρό-

βλημα δεν έχει στην πραγματικότητα εφικτές λύσεις.

Υπάρχουν προβλήματα μεταφοράς στα οποία ενδιαφερόμαστε να βρούμε τη

λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση. Αφού

( ) ,minmaxi ji j∑∑∑∑ −−= ijijijij xcxc

σε μια τέτοια περίπτωση, εφαρμόζουμε τη διαδικασία με κόστος ijij cc −=′ .

Το πρότυπο γραμμικού προγραμματισμού για το πρόβλημα μεταφοράς μπορεί

να χειριστεί και τις περιπτώσεις στις οποίες υπάρχουν για κάποια διαδρομή

είτε περιορισμοί χωρητικότητας του μεταφερόμενου υλικού ijij Lx ≤ , είτε πε-

ριορισμοί ελάχιστου υποχρεωτικού φορτίου ijij Mx ≥ .

10

Διαδικασία επίλυσης του προβλήματος μεταφοράς

1ο Βήμα: Εντοπισμός μια αρχικής βασικής εφικτής λύσης 2ο Βήμα: Πρόκειται για την άριστη λύση;

ΕΑΝ ΝΑΙ, τέλος ΕΑΝ ΟΧΙ, πήγαινε στο 3ο Βήμα 3ο Βήμα: Εντοπισμός μιας καλύτερης λύσης. Πήγαινε στο 2ο Βήμα.

11

Εύρεση μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης Όπως και στο γενικό γραμμικό πρότυπο έτσι και στο πρόβλημα μεταφοράς το

πρώτο βήμα στην εύρεση της βέλτιστης λύσης του είναι η ύπαρξη μιας αρχι-

κής μη εκφυλισμένης βασικής εφικτής λύσης.

Λόγω της ειδικής μορφής του συστήματος των περιορισμών του προβλήματος

έχουν προταθεί αρκετές απλές σχετικά τεχνικές για την εύρεση μιας βασικής

εφικτής λύσης του.

Η μέθοδος Vogel αν και υπολογιστικά επίπονη, δίνει μια αρχική βασική εφι-

κτή λύση που (συνήθως) χρειάζεται έναν μικρό αριθμό βελτιώσεων/επαναλή-

ψεων για να καταλήξει στην άριστη.

Η κεντρική ιδέα της μεθόδου είναι να επιβάλλεται μια ποινή όταν δεν χρησιμο-

ποιούμε το δρομολόγιο με το μικρότερο κόστος.

Για να την υπολογίσουμε προσθέτουμε στο tableau του προβλήματος μεταφο-

ράς μια ακόμη στήλη και μία γραμμή. Σ’ αυτές γράφουμε τη διαφορά των δύο

πιο μικρών στοιχείων κόστους της κάθε στήλης και γραμμής του tableau.

Προσδιορίζουμε στη συνέχεια τη μεγαλύτερη διαφορά που υπάρχει (για γραμ-

μές και στήλες). Στο κελί της συγκεκριμένης στήλης ή γραμμής με το μικρότε-

ρο κόστος μεταφοράς εκχωρούμε όσες δυνατό περισσότερες μονάδες προϊόν-

τος επιτρέπεται από την αντίστοιχη προσφορά και ζήτηση :

xij = minsi, dj

Αν ικανοποιείται σταθμός προέλευσης, τότε το dj θα πρέπει να μειωθεί κατά si.

Αν ικανοποιείται σταθμός προορισμού, τότε το si πρέπει να μειωθεί κατά dj. Το

σταθμό που ικανοποιήσαμε δεν τον παίρνουμε υπόψη στη συνέχεια που επανα-

λαμβάνουμε την ίδια διαδικασία.

12

100 300 300 200

200 800

x11

600

x12

1000

x13

900

x14

35

200

900

x21

1200

x22

1300

x23

700

x24

50

400

1400

x31

900

x32

1600

x33

500

x34

40

45 20 30 30

Η μεγαλύτερη διαφορά είναι 400 και στην αντίστοιχη γραμμή το μικρότερο

κόστος είναι το c34=500. Επομένως θέτουμε

x34 = min(40, 30) = 30. Τότε x14 = x24 = 0

Συνεχίζουμε με το επόμενο tableau του προβλήματος μεταφοράς που σχημα-

τίζεται από το προηγούμενο αφού πρώτα διαγράψουμε την τέταρτη στήλη:

100 300 300

200 800

x11

600

x12

1000

x13

35

300

900

x21

1200

x22

1300

x23

50

500

1400

x31

900

x32

1600

x33

10

45 20 30



x32 = min(10, 20) = 10. Τότε x31 = x33 = 0

13


τίζεται από το προηγούμενο αφού πρώτα διαγράψουμε την τρίτη γραμμή:

100 600 300

200 800

x11

600

x12

1000

x13

35

400

900

x21

1200

x22

1300

x23

50

45 10 30

Η μεγαλύτερη διαφορά είναι 600 και στην αντίστοιχη στήλη το μικρότερο


x12 = min(35, 10) = 10. Τότε x22 = 0 Συνεχίζουμε με το επόμενο tableau του προβλήματος μεταφοράς που σχημα-

τίζεται από το προηγούμενο αφού πρώτα διαγράψουμε την δεύτερη στήλη:

100 300

200 800

x11

1000

x13

25

400

900

x21

1300

x23

50

45 30



x21 = min(50, 45) = 45. Τότε x11 = 0

14


τίζεται από το προηγούμενο αφού πρώτα διαγράψουμε την πρώτη στήλη:

1000

x13

25

1300

x23

5

30

από το οποίο ορίζονται μονοσήμαντα οι τιμές των υπόλοιπων μεταβλητών:

x13 = 25, x23 = 5

Επομένως η βασική εφικτή λύση που βρήκαμε είναι η

Λ1 Λ2 Λ3 Λ4

A1 800

0

600

10

1000

25

900

0

35

A2

900

45

1200

0

1300

5

700

0

50

A3

1400

0

900

10

1600

0

500

30

40

45 20 30 30

15

Χάρη συντομίας, μπορούμε να καταγράψουμε όλες τις εκχωρήσεις σε ένα μόνο tableau :

100 300 100 600 300 100 300 300 100 300 300 200 Ζήτηση (si)

200

200

200

200800

600

10

1000

25

900

35

35

35

25

25

400

300

300

200

900

45

1200

1300

5

700

50

50

50

50

5

500

400

1400

900

10

1600

500

30

40

10

0

Προσφορά (dj) 45 45 45 45 0

20 20 10 0

30 30 30 30 30

30 0

16

Το πρόβλημα της μεταφοράς

είναι ένα π.γ.π. με m+n περιορισμούς και m×n μεταβλητές. Υπολογιστικά απαγορευτική η χρήση της Simplex. Η ειδική μορφή των περιορισμών του προβλήματος επέτρεψε την ανάπτυξη μιας ιδιαίτερα αποτελεσματικής παραλλαγής της μεθόδου Simplex,

τη διαδικασία ανακατανομής των εκχωρήσεων (ΜΟDI)

για την εύρεση της βέλτιστης λύσης του.

∑∑= =

=m

i

n

jijij xc

1 1

zminimize

κάτω από τους περιορισμούς

∑=

==n

iiij misx

1

,,2,1 …

∑=

==m

jjij njdx

1

,,2,1 …

18

Αρχικά χρειαζόμαστε μια βασική (μη εκφυλισμένη) βασική εφικτή λύση. Ας θεωρήσουμε την

Λ1 Λ2 Λ3 Λ4

A1

800

35

600

0

1000

0

900

0

35

A2

900

10

1200

20

1300

20

700

0

50

A3

1400

0

900

0

1600

10

500

30

40

45 20 30 30

Η λύση είναι μη εκφυλισμένη αφού έχει ακριβώς 3+4-1=6 θετικές συνιστώσες Το αντίστοιχο κόστος μεταφοράς είναι R0=118,000. Σχηματίζουμε τις εξισώσεις u v ci j ij+ = για τις βασικές μεταβλητές x11, x21,

x22, x23, x33 και x34. Τότε έχουμε

u1+v1 = 800u2+v1 = 900u2+v2 = 1200u2+v3 = 1300u3+v3 = 1600u3+v4 = 500

που για u1=0 δίνουν διαδοχικά v1=800, u2=100, v2=1100, v3=1200, u3=400, v4=100

19

Τοποθετούμε στη συνέχεια τις τιμές των ui και vj που υπολογίσαμε στο tableau

vu

800 1100 1200 100

0

800

35

600

1000

900

35

100

900

10

1200

20

1300

20

700

50

400

1400

900

1600

10

500

30

40

45 20 30 30

και υπολογίζουμε τις διαφορές δij=ui+vj-cij που αντιστοιχούν στις μη βασικές μεταβλητές:

δ12=u1+v2-c12 = 0+1100-600=500 δ24=u2+v4-c24 = 100+100-700=-500 δ13=u1+v3-c13 = 0+1200-1000=200 δ31=u3+v1-c31 = 400+800-1400=-200 δ14=u1+v4-c14 = 0+100-900=-800 δ32=u3+v2-c32 = 400+1100-900=600

Γράφουμε τις τιμές αυτές στην πάνω αριστερή γωνία των αντίστοιχ τετραγών

vu

800 1100 1200 100

0

800

35

500 600

200 1000

-800 900

35

100

900

10

1200

20

1300

20

-500 700

50

400

-200 1400

600 900

1600

10

500

30

40

45 20 30 30

Αφού υπάρχουν θετικές διαφορές δij η λύση δεν είναι άριστη.

20

Διαλέγουμε να μπει στη βάση η μεταβλ. με τo μεγαλύτερο κόστος ευκαιρίας:

max : max , ,δ δ δij ij 0 500 200 600 600 32= = =

δηλαδή τη μεταβλητή x32. Στη μεταβλητή αυτή δίνουμε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή έστω +θ. Αν όμως x32=+θ πρέπει να έχουμε x33=10-θ ώστε να ικανοποιείται ο περιορι-σμός δυναμικότητας της 3ης γραμμής. Ανάλογα θα πρέπει x23=20+θ (3η στήλη), x22=20-θ (2η γραμμή). Ο κλειστός βρόχος σημειώνεται με γραμμή στο tableau του προβλήματος μεταφοράς,

vu

800 1100 1200 100

0

800

35

500 600

200 1000

-800 900

35

100

900

10

1200 -

20-θ

1300 +

20+θ

-500 700

50

400

-200 1400

600 900 +

θ

1600 -

10-θ

500

30

40

45 20 30 30

Για να είναι εφικτή και η νέα λύση θα πρέπει η τιμή του θ να είναι τέτοια ώστε καμία από τις βασικές μεταβλητές να μην παίρνει αρνητική τιμή:

ϑ = =min ,10 20 10

21

Η λύση που έχουμε τώρα είναι η

Λ1 Λ2 Λ3 Λ4

A1 800

35

600

0

1000

0

900

0

35

A2

900

10

1200

10

1300

30

700

0

50

A3

1400

0

900

10

1600

0

500

30

40

45 20 30 30

κι έχει κόστος μεταφοράς R1 = 112,000 (=R0-θδ32). Ολοκληρώθηκε μια πλήρη εκτέλεση της διαδικασίας MODI. Θα πρέπει να ελέγξουμε αν η νέα βασική εφικτή λύση είναι η άριστη. Βρίσκουμε και πάλι τα δυναμικά ui και vj καθώς επίσης και τις διαφορές δij. Το νέο tableau είναι τότε το εξής:

vu

800 1100 1200 700

0

800

35

500 600

200 1000

-200 900

35

100

900

10

1200

10

1300

30

100 700

50

-200

-800 1400

900

10

-600 1600

500

30

40

45 20 30 30

Αφού υπάρχουν θετικές διαφορές δij η λύση δεν είναι άριστη.

22

Διαλέγουμε να μπει στη βάση η μεταβλ. με τη μεγαλύτερο κόστος ευκαιρίας:

max : max , ,δ δ δij ij 0 500 200 100 500 12= = =

Επομένως πρέπει να συνδέσουμε το τετράγωνο (1,2) με τα βασικά τετράγωνα (2,2), (2,1), (1,1) θέτοντας διαδοχικά + και -.

vu

800 1100 1200 700

0

800 -

35-θ

500 600 +

θ

200 1000

-200 900

35

100

900 +

10+θ

1200 -

10-θ

1300

30

100 700

50

-200

-800 1400

900

10

-600 1600

500

30

40

45 20 30 30

Η ελάχιστη τιμή των xij των τετραγώνων που έχουν - είναι η: ϑ = =min ,10 35 10

Έτσι η νέα βασική εφικτή λύση του προβλήματος δίνεται στο tableau :

Λ1 Λ2 Λ3 Λ4

A1 800

25

600

10

1000

0

900

0

35

A2

900

20

1200

0

1300

30

700

0

50

A3

1400

0

900

10

1600

0

500

30

40

45 20 30 30

Το νέο κόστος μεταφοράς ανέρχεται σε R2 = 107,000 (=R1-θδ12).

23

Θα πρέπει να ελέγξουμε πάλι αν η νέα βασική εφικτή λύση είναι η άριστη. Βρίσκουμε και πάλι τα δυναμικά ui και vj καθώς επίσης και τις διαφορές δij. Το νέο tableau είναι τότε το εξής:

vu

800 600 1200 200

0

800

25

600

10

200 1000

-700 900

35

100

900

20

-500 1200

1300

30

-400 700

50

300

-300 1400

900

10

-100 1600

500

30

40

45 20 30 30

Εδώ όλες οι διαφορές δij είναι μη θετικές εκτός από την δ13=200>0. Άρα η λύση δεν είναι η άριστη. Βρίσκουμε μια νέα βασική εφικτή λύση κάνοντας βασική τη μεταβλητή x13. Εν συνεχεία συνδέουμε το τετράγωνο (1,3) με τα βασικά τετράγωνα (2,3), (2,1), (1,1) θέτοντας διαδοχικά + και -:

vu

800 600 1200 200

0

800 -

25

500 600

10

200 1000 +

0

-700 900

0

35

100

900 +

20

-500 1200

0

1300 -

30

-400 700

0

50

300

-300 1400

0

900

10

-100 1600

0

500

30

40

45 20 30 30

Η ελάχιστη τιμή xij των τετραγώνων που έχουν - είναι η ϑ = =min ,30 25 25 και

οδηγεί στη λύση

24

Λ1 Λ2 Λ3 Λ4

A1 800

0

600

10

1000

25

900

0

35

A2

900

45

1200

0

1300

5

700

0

50

A3

1400

0

900

10

1600

0

500

30

40

45 20 30 30

με κόστος μεταφοράς R3 = 102,000 (=R2-θδ13). Αυτή είναι η βέλτιστη (όλες οι διαφορές δij είναι ≤0)

vu

600 600 1000 200

0

-200 800

600

10

1000

25

-700 900

35

300

900

45

-300 1200

1300

5

-200 700

50

300

-500 1400

900

10

-300 1600

500

30

40

45 20 30 30 (Αξιοσημείωτο είναι ότι τη λύση αυτή την προσδιoρίσαμε ως αρχική λύση του προβλήματος με τη μέθοδο Vogel).

25

Επισημάνσεις • Οι τιμές των δij που εμφανίζονται στα κενά κελιά του βέλτιστου tableau μεταφοράς, αντιστοιχούν στην επιβάρυνση για το συνολικό κόστος, αν μια μονάδα του προϊόντος μεταφερθεί μ’ αυτό τον τρόπο.

• Ο προσδιορισμός του μονοπατιού ανακατανομής είναι το πιο δύσκολο στάδιο στην επίλυση του προβλήματος μεταφοράς: ο βρόχος που δημιουρ-γείται δεν είναι πάντοτε εμφανής, κι ούτε φυσικά δημιουργείται από τέσσερα κελιά όπως στο παράδειγμα που αναπτύξαμε. Για την εύρεσή του έχουν αναπτυχθεί ιδιαίτεροι, αποκλειστικοί αλγόριθμοι. Σ’ ένα tableau μικρού με-γέθους όμως, μπορούμε να εντοπίσουμε αυτό το μονοπάτι με μια διαδικασία της μορφής «δοκιμής και λάθους».

• Αν στο tableau της άριστης λύσης του προβλήματος μεταφοράς υπάρχει μη βασικό τετράγωνο (i, j) με δij=0, τότε το πρόβλημα έχει εναλλακτική άριστη λύση που βρίσκεται κάνοντας βασικό το τετράγωνο (i, j).

• Εκφυλισμένες λύσεις.

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας

26

ΤΤοο ππρρόόββλληημμαα μμεεττααφφοορράάςς ττηηςς εεττααιιρρεείίααςς ««ΜΜαακκεεδδοοννιικκήή»»

Παράγει ένα αναψυκτικό ευρείας κατανάλωσης

Το προϊόν παράγεται σε τρεις παραγωγικές μονάδες

Μεγάλες ποσότητες αποστέλλονται μία φορά την εβδομάδα σε

τέσσερις πόλεις - κέντρα διανομής ανά την Ελλάδα

Το σχετικό κόστος μεταφοράς ανά κιβώτιο εξαρτάται από την

απόσταση, το χρόνο, τα απαραίτητα καύσιμα, το κόστος ασφάλισης,

τη συντήρηση οχημάτων, τις αμοιβές του προσωπικού κλπ


27

Μοναδιαία κόστη μεταφοράς

Εργοστάσια: πηγές, προελεύσεις (προσφορά)

Πόλεις: προορισμοί (ζήτηση)


28

Εύρεση μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης (Vogel)

Συνολικό κόστος μεταφοράς = 6,800


29

Εύρεση των τιμών ui, vj και δij

vu

8 5 5 6

0

-2 10

5

200

5

150

0 6

350

1

9

50

-1 7

6

200

7

200

450

-3

5

400

-7 9

-4 6

-2 5

400

450 200 350 200

Συνολικό κόστος = 6,800 μονάδες = άριστη (δij ≤ 0 ∀ i, j) Υπάρχει εναλλακτική βέλτιστη λύση (δ14 = 0)


30

Εντοπισμός εναλλακτικής άριστης λύσης

v

u

-2 10

5

200

5 -

150

0 6 +

350

9

50

-1 7

6 +

200

7 -

200

450

5

400

-7 9

-4 6

-2 5

400

450 200 350 200

Βασική πρέπει να γίνει η μεταβλητή x14


31

Εναλλακτική άριστη λύση

v

u

10

5

200

5

0

6

150

350

9

50

7

6

350

7

50

450

5

400

9

6

5

400

450 200 350 200


32

Μη ισορροπημένα προβλήματα

α) Η συνολική ζήτηση ξεπερνά τη συνολική προσφορά προσθήκη

εικονικής προέλευσης (προσφοράς δηλαδή σειράς)

β) Η συνολική προσφορά ξεπερνά τη συνολική ζήτηση προσθήκη

εικονικού προορισμού (εικονικής ζήτησης δηλαδή στήλης)


33

Αύξηση της προσφοράς του Ε1 στα 400 κιβώτια (+50)

Π1 Π2 Π3 Π4 Εικονική Ε1

10

5

200

5

200

6

0

400

Ε2

9

50

7

6

150

7

200

0

50

450

Ε3

5

400

9

6

5

0

400

450 200 350 200 50 Η αρχική λύση (που βρέθηκε με τη μέθοδο του Vogel) είναι η βέλτιστη Συνολικό κόστος μεταφοράς = 6,750

Όχι κατ’ ανάγκη Εξαρτάται από το πρόβλημα


34

Αύξηση της ζήτησης του Π1 στα 500 κιβώτια (+50)

Π1 Π2 Π3 Π4 Ε1

10

5

200

5

150

6

350

Ε2

9

50

7

6

200

7

200

450

Ε3

5

400

9

6

5

400

Εικονική

0

50

0

0

0

50

500 200 350 200 Η αρχική λύση (που βρέθηκε με τη μέθοδο του Vogel) είναι η βέλτιστη Συνολικό κόστος μεταφοράς = 6,800

Όχι κατ’ ανάγκη Εξαρτάται από το πρόβλημα


35

Εκφυλισμένες λύσεις

• Κάποια βασική μεταβλητή έχει μηδενική τιμή.

• Οι μη μηδενικές είναι λιγότερες από n+m-1

• Προκαλεί πρόβλημα στη διαδικασία ανακατανομής των εκχω-

ρήσεων κατά την επίλυση

• Τοποθετούμε μία μηδενική εκχώρηση στην κατάλληλη θέση για

να χρησιμοποιηθεί στη συνέχεια ως βασική μεταβλητή όπως οι

υπόλοιπες βασικές.


36

Υπάρχουν δύο περιπτώσεις κατά τις οποίες μπορεί να εμφανιστεί εκφυλισμένη λύση. 1. Κατά την κατάρτιση του αρχικού πίνακα μεταφοράς (εύρεση

αρχικής λύσης), όταν η προσφορά και η ζήτηση σε κάποιο στάδιο

εκχώρησης είναι ίσες.

2. Στη διαδικασία ανακατανομής των εκχωρήσεων του κύριου

τμήματος της μεθόδου μεταφοράς όταν προκύπτει ισοβάθμιση

στην επιλογή του εξερχόμενου κελιού.


37

Περίπτωση 1. Η ζήτηση της πόλης Π2=350 και της Π3= 200.

Εύρεση μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης (Vogel)

4 2 1 1

0 10

x11

5

x12

5

x13

6

x14

350

1

9

x21

7

x22

6

x23

7

x24

450

0

5

x31

9

x32

6

x33

5

x34

400

450 350 200 200

Η μεγαλύτερη διαφορά είναι 4 και στην αντίστοιχη στήλη το μικρότερο κόστος

είναι το c31=5. Επομένως θέτουμε

x31 = min(450, 400) = 400. Τότε x32 = x33 = x34 = 0


38

Συνεχίζουμε με το επόμενο tableau του προβλήματος μεταφοράς που σχη-

ματίζεται από το προηγούμενο αφού πρώτα διαγράψουμε την τρίτη γραμμή:

1 2 1 1

0 10

x11

5

x12

5

x13

6

x14

350

1

9

x21

7

x22

6

x23

7

x24

450

50 350 200 200

Η μεγαλύτερη διαφορά είναι 2 και στην αντίστοιχη στήλη το μικρότερο κόστος

είναι το c12=5. Επομένως θέτουμε

x12 = min(350, 350) = 350. Τότε x11 = x13 = x14 = 0 αλλά και x22 =0 (προφανώς για τη συνέχεια βρίσκουμε ότι x21 = 50, x23 = 200, x24 = 200)


39

Ο πίνακας μεταφοράς με τη μηδενική βασική μεταβλητή

Π1 Π2 Π3 Π4 Ε1

10

5

350

5

6

350

Ε2

9

50

7

0*

6

200

7

200

450

Ε3

5

400

9

6

5

400

450 350 200 200

Υπάρχουν 5 θετικά στοιχεία αντί των αναμενόμενων 3 + 4 - 1 = 6 (συνεχίζουμε ως το στοιχείο x22 να ήταν θετικό –βασική μεταβλητή–) Η λύση που έχουμε είναι η βέλτιστη.


40

Περίπτωση 2. Μείωση της προσφοράς Ε3 κατά 100 (Ε3= 300)

Εύρεση μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης (όχι με Vogel)


41

Τρίτη επανάληψη της MODI

v 10 5 4 10

u Π1 Π2 Π3 Π4

0 Ε1

10 -

250

5 +

100

5

6

350

2

Ε2

9

7 -

100

6

350

7 +

450

-5

Ε3

5 +

200

9

6

5 -

100

300

-10

Εικονική

0

0

0

0

100

100

450 200 350 200

Η ελάχιστη τιμή των xij των τετραγώνων που έχουν - είναι η: min 100, 250, 100 100ϑ = =

κι αντιστοιχεί στα κελιά (2, 2) και (3, 4)

δ24 = 5


42

Ο πίνακας μεταφοράς μετά την τρίτη επανάληψη

Π1 Π2 Π3 Π4 Ε1

10

150

5

200

5

6

350

Ε2

9

7

0*

6

350

7

100

450

Ε3

5

300

9

6

5

300

Εικονική

0

0

0

0

100

100

450 200 350 200

Υπάρχουν 6 θετικά στοιχεία αντί των αναμενόμενων 4 + 4 - 1 = 7 (συνεχίζουμε ως το στοιχείο x22 να ήταν θετικό –βασική μεταβλητή–)


43

Βέλτιστη λύση του προβλήματος

Π1 Π2 Π3 Π4 Ε1

10

5

200

5

150

6

350

Ε2

9

50

7

6

200

7

200

450

Ε3

5

300

9

6

5

300

Εικονική

0

100

0

0

0

100

450 200 350 200


44

Προβλήματα μεγιστοποίησης

• εφαρμόζουμε τη διαδικασία με κόστος ijij cc −=′ .

• ή

⇒ μετατροπή του κριτηρίου επιλογής εισερχομένου κελιού:

επιλέγεται εκείνο με το μικρότερο από τα αρνητικά δij, και

⇒ μετατροπή του κριτήριου αριστότητας: η διαδικασία ολο-

κληρώνεται όταν όλα τα δij είναι ≥ 0.


45

Παράδειγμα 2

Η βιομηχανική επιχείρηση “Ultracom” παράγει προϊόντα υψηλής τεχνολογίας. Η ζήτηση για τα προϊόντα της είναι μεγάλη, ιδιαίτερα για την οικογένεια των επεξεργαστών 500ZZX που εγκαθίστανται σε βιομηχανικούς servers.

Θέλει να καταρτίσει ένα γενικό πρόγραμμα παραγωγής για την οικογένεια προϊόντων 500ΖΖΧ, για τους πρώτους τρεις μήνες του έτους. Η ζήτηση, σύμφωνα με τις παραγγελίες που έχουν εξασφαλιστεί και τις προβλέψεις του τμήματος μάρκετινγκ, αναμένεται να είναι, για τους μήνες Ιανουάριο, Φεβρουάριο και Μάρτιο, 50, 70 και 80 χιλιάδες τεμάχια αντιστοίχως.


46

Δεδομένα άσκησης συνέχεια Παραγωγική δυναμικότητα = 50000 τεμάχια το μήνα Αρχικό απόθεμα = 40000 τεμάχια. Υπεργολάβος = 25000 τεμάχια (Ιανουάριο και Μάρτιο μόνο) Διατήρηση αποθεμάτων δυνατή Ικανοποίηση ζήτησης άμεση Τελικό απόθεμα = 5000 τεμάχια. Κόστος πρώτων υλών, εργασίας, διανομής και όλα τα υπόλοιπα στοιχεία κόστους για κάθε επεξεργαστή είναι συνολικά 6000χμ για τους μήνες Ιανουάριο και Μάρτιο.

Το Φεβρουάριο, το κόστος αναμένεται να μειωθεί κατά 20% Κόστος διατήρησης αποθέματος 200χμ ανά τεμάχιο ανά περίοδο Οι επεξεργαστές που αγοράζονται από τον υπεργολάβο κοστίζουν στον επιχείρηση 10% επιπλέον.

Να εντοπίσετε το πρόβλημα της εταιρείας να το διαμορφώσετε ως πρόβλημα μεταφοράς και να το λύσετε.


47

Εύρεση μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης (όχι με τη Vogel)

δ63 = 4


48

z =9580000


49

z =9540000

δ14 = 4


50

z =9520000 βέλτιστη

51

Ανάλυση Ευαισθησίας για το πρόβλημα μεταφοράς Αυτή είναι η βέλτιστη του 1ου παραδείγματος

vu

600 600 1000 200

0

-200 800

600

10

1000

25

-700 900

35

300

900

45

-300 1200

1300

5

-200 700

50

300

-500 1400

900

10

-300 1600

500

30

40

45 20 30 30 Συνολικό κόστος μεταφοράς R = 102000 Θα μελετήσουμε την επίδραση στη βέλτιστη λύση από μεταβολές

• στο κόστος cij κάποιου κελιού • στις παραμέτρους si / dj

52

Μεταβολές στο κόστος cij Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

• το κελί (i, j) είναι μη βασικό (xij = 0) • το κελί (i, j) είναι βασικό (xij > 0)

Αναζητάμε ένα διάστημα τιμών για το cij, ώστε η τρέχουσα βέλτιστη λύση να παραμείνει βέλτιστη.

53

Μεταβολές στο κόστος cij 1η περίπτωση: το κελί (i, j) είναι μη βασικό (xij = 0) ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΑΡΙΣΤΟΤΗΤΑΣ του cij Οι τιμές των ui, vj δεν μεταβάλλονται. Μεταβάλλεται όμως η τιμή του δij:

ij i i ijˆ ˆδ u +v -c=

όπου ijc η νέα τιμή για το κόστος μεταφοράς στο κελί (i, j).

Π.χ. έστω ότι μεταβάλλεται το κόστος μεταφοράς c11 στο κελί (1, 1). Ας είναι 11 11c =c +Δ (=800+Δ) . Τότε

11 1 1 11ˆ ˆ (0 600) (800 ) 200u v cδ = + − = + − + Δ = − −Δ

Συνεπώς, η παρούσα λύση παραμένει η βέλτιστη εάν 11δ 0≤ , δηλ εάν

-200-Δ ≤ 0 → Δ ≥ -200 → c11 ≥ 600 Γενικά, για τιμές του cij στο διάστημα [ui + vj, ∞), η βέλτιστη λύση παραμένει αμετάβλητη. Αυτό είναι το διάστημα αριστότητας του cij. Για τιμές του c11 έξω από αυτό το διάστημα, η τρέχουσα λύση παύει να είναι η βέλτιστη. Τότε η διαδικασία συνεχίζεται με εισερχόμενο κελί το (1, 1).

54

Μεταβολές στο κόστος cij 2η περίπτωση: το κελί (i, j) είναι βασικό (xij > 0) Μεταβάλλονται οι τιμές των ui, vj και δij:

ij i i ijˆ ˆˆ ˆδ u +v -c=

Οπότε, εάν ijδ 0≤ " (i, j) η παρούσα λύση παραμένει η βέλτιστη. Διαφορετικά

συνεχίζουμε τον αλγόριθμο κατά τα γνωστά. Π.χ. έστω ότι μεταβάλλεται το κόστος μεταφοράς c13 στο κελί (1, 3) κι έχουμε

13 13c =c +Δ (=1000+Δ) . Για τον υπολογισμό των ui, vj λύνουμε το σύστημα:

u1 + v2 = 600 u1 + v3 = 1000 + Δ u2 + v1 = 900 u2 + v3 = 1300 u3 + v2 = 900 u3 + v4 = 500 Για u1 = 0 έχουμε u2 = 300 – Δ, u3 = 300, v1 = 600 + Δ, v2 = 600, v3 = 1000 + Δ, v4 = 200. Για να παραμείνει βέλτιστη η παρούσα λύση θα πρέπει ijδ 0≤ " (i, j),

δηλ: 11 1 1 11δ u +v -c 200 0= = Δ − ≤ 14 1 4 14δ u +v -c 700= = −

22 2 2 22δ u +v -c 300 0= = − −Δ ≤

24 2 4 24δ u +v -c 200 0= = − −Δ ≤

31 3 1 31δ u +v -c 500 0= = − + Δ ≤

33 3 3 33δ u +v -c 300 0= = Δ − ≤

Συνεπώς, για -200 ≤ Δ ≤ 200 → 1000-200 = 800 ≤ c11 ≤ 1000+200 = 1200 η παρούσα λύση εξακολουθεί να είναι η βέλτιστη.

55

Μεταβολές στις παραμέτρους si / dj Λόγω της φύσης του προβλήματος μεταφοράς, η μεταβολή μιας μόνο εκ των παραμέτρων si, dj δεν είναι δυνατή. Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις:

• οι ποσότητες sp, dq γίνονται αντίστοιχα sp+Δ, dq+Δ (αύξηση της ζήτησης του Dq κατά Δ και ανάλογη αύξηση της προσφοράς του Sp)

• οι ποσότητες st, sr γίνονται αντίστοιχα st+Δ, sr-Δ (αύξηση της προσφοράς του St κατά Δ και ανάλογη μείωση της προσφοράς του Sr)

• οι ποσότητες df, dg γίνονται αντίστοιχα df+Δ, dg-Δ (αύξηση της ζήτησης του Df κατά Δ και ανάλογη μείωση της ζήτησης του Dg).

Αναζητάμε ένα διάστημα τιμών της ποσότητας Δ, ώστε η τρέχουσα βάση να παραμείνει η ίδια (: βασικά να είναι τα ίδια κελιά)

56

Μεταβολές στις παραμέτρους si / dj 1η περίπτωση: οι ποσότητες sp, dq γίνονται αντίστοιχα sp+Δ, dq+Δ Ξεκινάμε με μια προσαρμογή +Δ σ’ ένα από τα βασικά κελιά της p-γραμμής και συνεχίζουμε με διαδοχικές –Δ, +Δ προσαρμογές. Τελειώνουμε με +Δ σε κάποιο από τα βασικά κελιά της q-στήλης. Προφανώς εάν το κελί (p, q) είναι βασικό, αρκεί μόνο μια προσαρμογή +Δ στο συγκεκριμένο κελί. Π.χ. s2 = 50+Δ, d2 = 20+Δ

vu

600 600 100 200

0

-200 800

600

10+Δ

1000

25-Δ

-700 900

35

300

900

45

-300 1200

1300

5+Δ

-200 700

50+Δ

300

-500 1400

900

10

-1200 1600

500

30

40

45 20+Δ 30 30 Αν η νέα λύση είναι εφικτή, τότε θα είναι η βέλτιστη λύση του νέου προβλή-ματος. Αρκεί επομένως 10+Δ, 25-Δ, 5+Δ ≥ 0 ή ισοδύναμα -5 ≤ Δ ≤ 25. Το συνολικό κόστος μεταφοράς ισούται με 102000+900Δ κι άρα ο ρυθμός μεταβολής της τιμής ανά μονάδα μεταβολής του Δ στο διάστημα [-5, 25] είναι 900 (= u2 + v2).

57

Μεταβολές στις παραμέτρους si / dj 2η περίπτωση: οι ποσότητες st, sr γίνονται αντίστοιχα st+Δ, sr-Δ Ξεκινάμε με μια προσαρμογή +Δ σ’ ένα από τα βασικά κελιά της t-γραμμής και συνεχίζουμε με διαδοχικές –Δ, +Δ προσαρμογές. Τελειώνουμε με -Δ σε κάποιο από τα βασικά κελιά της r-γραμμής. Ο ρυθμός μεταβολής του συνολικού κόστους μεταφοράς είναι ut - ur Μεταβολές στις παραμέτρους si / dj 3η περίπτωση: οι ποσότητες df, dg γίνονται αντίστοιχα df+Δ, dg-Δ Ξεκινάμε με μια προσαρμογή +Δ σ’ ένα από τα βασικά κελιά της f-στήλης και συνεχίζουμε με διαδοχικές –Δ, +Δ προσαρμογές. Τελειώνουμε με -Δ σε κάποιο από τα βασικά κελιά της g-στήλης. Ο ρυθμός μεταβολής του συνολικού κόστους μεταφοράς είναι vf – vg

58

Το πρόβλημα «εκχώρησης» • ανάθεση εκτέλεσης εργασιών σε άτομα (: ένα άτομο μία μόνο εργασία).

• πλήθος ατόμων ίσο με πλήθος εργασιών (αλλιώς …). • εντοπισμός της ιδανικής αντιστοίχισης (: εκχώρησης). • σύνηθες κριτήριο η ελαχιστοποίηση κόστους (χρόνου, κλπ) ή η μεγιστοποίηση κέρδους (ικανοποίησης, κλπ)

• ειδική περίπτωση του προβλήματος μεταφοράς, όπου η ζήτηση και προσφορά είναι μονάδες:

o για ένα πρόβλημα με m εργασίες που πρέπει να εκτε-λεστούν από m άτομα, υπάρχουν m! δυνατά σενάρια διεκπεραίωσης.

o στη λύση υπάρχουν m κελιά με τιμή 1 και m-1 με τιμή 0. o εκφυλισμένες λύσεις.

• ο Ουγγρικός Αλγόριθμος.

59

Παράδειγμα 3 Μια οικοδομική εταιρεία χρησιμοποιεί τέσσερα συνεργεία για να φέρει σε πέρας έναν ίσο αριθμό έχουν αναληφθεί. Κάθε συνεργείο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για οποιοδήποτε έργο, όχι όμως εξίσου ικανοποιητικά: Χρόνος 1ο έργο 2ο έργο 3ο έργο 4ο έργο 1ο συνεργείο 14 5 8 7 2ο συνεργείο 2 12 6 5 3ο συνεργείο 7 8 3 9 4ο συνεργείο 2 4 6 10 Ζητούμενο είναι η εκχώρηση σε κάθε συνεργείο ενός εκ των έργων σε τρόπο ώστε ο συνολικός χρόνος απασχόλησης να είναι ο ελάχιστος δυνατός. Βέλτιστη λύση (με συνολικό χρόνο ίσο με 15): 1ο συνεργείο 2ο έργο 2ο συνεργείο 4ο έργο 3ο συνεργείο 3ο έργο 4ο συνεργείο 1ο έργο

Το Πρόβλημα Μεταφοράςtsantas/DownLoadFiles/OR...• Το πρόβλημα...

Documents

Transcript of Το Πρόβλημα Μεταφοράςtsantas/DownLoadFiles/OR...• Το πρόβλημα...