Δ. ΔΕΛΗΚΑΡΑΟΓΛΟΥ, ΤΕΠΑΚ, ΠΟΜ 338

Γεωδαισία IV

Μάθημα Εαρινού 6ου Εξαμήνου, Ακαδ. Έτος 2011-12ΤΕΠΑΚ, Τμ. Πολιτικών Μηχ./Τοπογράφων Μηχ. Και Μηχ. Γεωπληροφορικής

Διδάσκων μαθήματος:Δημήτρης ΔεληκαράογλουΕπισκ. Καθ.,Αναπλ. Καθ., ΣΑΤΜ, ΕΜΠ

ddeli@mail.ntua.gr

Δ. ΔΕΛΗΚΑΡΑΟΓΛΟΥ, ΤΕΠΑΚ, ΠΟΜ 338

Περιεχόμενα σημερινού/αυριανού μαθήματος

Σύνδεση με το προηγούμενο μάθημα καιγεωμετρικά στοιχεία του ελλειψοειδούς εκ περιστροφήςΑζιμούθιο και μήκη τόξων στο ελλειψοειδέςΓραμμές και σχήματα στο ελλειψοειδές

Γεωδαισιακές γραμμέςΓεωδαισιακά τρίγωνα, τετράπλευρα, …Εμβαδά

Βασικές έννοιες για τα προβλήματα γεωδαιτικής μεταφοράς συντεταγμένων από σημείο σε σημείο

Γεωδαιτικές συντεταγμένες φ, λ, hσχετίζονται με ένα πεπλατυσμένο

ελλειψοειδές εκ περιστροφής

• Παράμετροι σχήματος ελλειψοειδούς: a, b ή a, e• a, b = ημιάξονες της γενεσιουργού έλλειψης (περιστροφή γύρω από τον άξονα b),

• e = εκκεντρότητα2 2

2

a bea−

=

φν

22 sin1 e

a

−=

2/322

2

)sin1(

)1(

φρ

e

ea

−

−=

• ν = ακτίνα καμπυλότητας της κάθετηςστο μεσημβρινό επίπεδο τομής στο P0(κάθετη προβολή του P στοελλειψοειδές)

• ρ = ακτίνα καμπυλότητας της μεσημβρινής έλλειψης

Γεωδαιτικές συντεταγμένες

λ

φ

h

a

b

P

0P

2x

3x 1er2e

r3er

O

καμπύλη h

καμπύλη φ

καμπύλη λ Συντεταγμένες στο ελλειψοειδές αναφοράς

• φ = γεωδαιτικό πλάτος≠ σφαιρικό (γεωγραφικό) πλάτος φ

• λ = γεωδαιτικό μήκος =σφαιρικό (γεωγραφικό) μήκος

• h = γεωμετρικό ύψος(κατά μήκος της καθέτουστο ΕκΠ

ΕκΠ = Ελλειψοειδές Αναφοράς(Ελλειψοειδές εκ περιστροφής)

Γεωδαιτικές συντεταγμένες

Μεσημβρινήέλλειψη

ΟΤ=QP cosφ=(v+h) cosφ

x=OT cosλ=(v+h) cosφ cosλy=OT sinλ=(v+h) cosφ sinλ

VP = QPo – QV + PoP == ν - e2 ν + h = ν(1- e2) + h

QV = e2 ν

QP = ν + hQPo= ν

z=VP sinφ=[v(1-e2)+h] sinφ

φ

h

ab

P

0P

O

Q

T

R

V

z

v

e2 v

Γεωδαιτικές συντεταγμένες

ΟΤ=QP cosφ=(v+h) cosφ

x=OT cosλ=(v+h) cosφ cosλy=OT sinλ=(v+h) cosφ sinλ

VP = QPo – QV + PoP == ν - e2 ν + h = ν(1- e2) + h

QV = e2 ν

QP = ν + hQPo= ν

z=VP sinφ=[v(1-e2)+h] sinφ

λφ

h

b

P

0P

Oρx

y

z

γεωδαιτικό datum = σύστημα αναφοράς + παράμέτροι ελλειψοειδούς a και b (έννοια ευρύτερη από το σύστημα αναφοράς)

γεωδαιτικό datum = σύστημα αναφοράς + παράμέτροι ελλειψοειδούς a και b (έννοια ευρύτερη από το σύστημα αναφοράς)

Σχέση καρτεσιανών και γεωδαιτικών συντεταγμένων

mxx hhehe

hh

+=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−++

= 022 sin

sincoscoscos

sin)1(sincoscoscos

sin])1([sincos)(coscos)(

φλφλφ

φνλφνλφν

φνλφνλφν

x0 = καρτεσιανές συντεταγμένες της προβολήςP0 του σημείου P πάνω στο ελλειψοειδές αναφοράς

x0

P0

P

mh

m = μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στο ελλειψοειδές αναφοράς στο σημείο P0

0 h= +x x m

Η μετατροπή (x,y,z) (φ,λ,h) απαιτείεπίλυση για φ, h με διαδοχικές

προσεγγίσεις

Γεωδαιτικό αζιμούθιο

• Αζιμούθιο: είναι μία απότις γωνίες πουχρησιμοποιούμε για ναπεριγράψουμε τη θέσηενός αντικειμένου στοντρισδιάστατο χώρο: π.χ., στην επιφάνεια τηςΓης ή στον ουρανό

• Χρησιμοποιείται για τονπροσδιορισμό μιαςθέσης στην αστρονομία, στην πλοήγηση, στηγεωδαισία και σε άλλεςεφαρμογές

Αστρονομικό αζιμούθιο

• Στην αστρονομία: η δίεδρη γωνία που σχηματίζεται ανάμεσαστο κάθετο επίπεδο και στο μεσημβρινό ενός τόπου– Το αζιμούθιο (Αz) μαζί με τη ζενιθία απόσταση (ζ) ενός αστεριούαποτελούν τις οριζόντιες συντεταγμένες του

• Στη γεωδαισία: η δίεδρη γωνίαπου σχηματίζεται από τομεσημβρινό ενός τόπου καιαπό το κατακόρυφο επίπεδοπου περνά από το σημείοαυτό

Αζιμούθιο στην πλοήγηση

• Στην πλοήγηση: το τόξο τουορίζοντα πουμετριέταιδεξιόστροφάαπό 0ο-360ο καιχρησιμεύει γιατοναστρονομικόπροσδιορισμότου στίγματοςενός κινούμενου αντικειμένου, οχήματος, σκάφους, …

A

λφφφλ

cossintancossintan

121 −=A

• π.χ. στην σφαίρα: από το σημείο (φ1,λ=0) στο σημείο (φ2,λ)

Γεωδαιτικό αζιμούθιο• Στο ελλειψοειδές: η δίεδρη

γωνία που σχηματίζεταιαπότο μεσημβρινό ενόςσημείου στο ελλειψοειδές, και απότο κατακόρυφο επίπεδοπου περνά από το σημείοαυτό και ένα άλλο σημείο ενδιαφέροντος (την προβολή της πλευράς ΡΤ στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς)Μετριέται δεξιόστροφα από το γεωδαιτικό Βορρά, από 0ο-360ο ή 0g-400g

http://www.ngs.noaa.gov/cgi-bin/Inv_Fwd/inverse2.prl

• Μηχανήυπολογισμού αζιμουθίου (NGS, US National Geodetic Survey)

Άλλες ακτίνες καμπυλότητας στο ελλειψοειδές

• Οποιαδήποτε άλλη κάθετη τομή στο ελλειψοειδές, ονομάζεται κάθετη τομή σε τυχαίο αζιμούθιο Α πάνω στο ελλειψοειδές με ακτίνα καμπυλότητας RΑ

• Εκτός από τη μεσημβρινή και την κύρια κάθετη τομή σε ένα σημείο στο ελλειψοειδές …

Ακτίνα καμπυλότητας κάθετης τομής σε αζιμούθιο Α ?

Τομή σε αζιμούθιο Α

ΜεσημβρινήΜεσημβρινήτομήτομή

ΚύριαΚύριακάθετη κάθετη τομήτομή

• ρ – καμπυλότητα στοιχείου της μεσημβρινής τομής αζιμούθιου Α

0

AARA 22 sincos ρν

νρ

+=

καμπυλότητα Gauss και η μέση καμπυλότητα

T είναι κανονικό σημείο(regular point) στην

επιφάνεια Φ εάν υπάρχει έναμοναδικό εφαπτόμενοεπίπεδο t στο σημείο T

S είναι μη-κανονικό σημείο(singular point) στην επιφάνεια Φεάν υπάρχουν δύο ή περισσότεραεφαπτόμενα επίπεδα ή κώνοι στο

σημείο S

S

S

H καμπυλότητα Gauss και η μέση καμπυλότηταδεν ορίζονται σε μη-κανονικά σημεία.

Θεώρημα Meusnier

• Κάθε επίπεδο που δενπεριέχει την κάθετο στοελλειψοειδές είναι έναπλάγιο επίπεδο.

• Κάθε παράλληλος κύκλοςστο ελλειψοειδές είναιειδική περίπτωση μιαςτέτοιας τομής με έναπλάγιο επίπεδο

• Η ακτίνα καμπυλότηταςμιας πλάγιας τομής τουελλειψοειδούς σε τυχόνσημείο προσδιορίζεται μεβάση το περιώνυμοθεώρημα του (Jean Baptiste) Meusnier

Θεώρημα Meusnier• Σχετίζει την ακτίνα καμπυλότητα rt μιας καμπύλης K στο σημείο Τ μιας επιφάνειας με την ακτίνα καμπυλότητας Rt της κύριας καθέτου τομής, όταν οι δύο καμπύλες έχουν κοινή εφαπτομένη t στο Τ.

• Στην περίπτωση του ελλειψοειδούς, η εν λόγω καμπύλη είναι ο παράλληλος κύκλος σε γεωδαιτικό πλάτος φ μεακτίνα

r = ν sinθ

r = ν cosφr = ν cosφ

Άλλες καμπυλότητες στο ελλειψοειδές ε.π.

• ρG: ακτίνα Gauss, η ακτίνα καμπυλότητας της εγγύτατης σφαίρας στο ελλειψοειδές στο σημείο Ρ

κm: μέση καμπυλότητα, ο μέσος όρος των καμπυλοτήτων της μ.τ. και της κ.κ.τ. στο ελλειψοειδές στο σημείο Ρ ρm

νρρνρ

κκ =→= G1

21

)(2vm +

=ρ

νρρ

Άλλες καμπυλότητες στο ελλειψοειδές ε.π.• RG: η μέση τιμή των ακτίνων καμπυλότητας RA, όταναυτές υπολογίζονται για όλα τα αζιμούθια Α στο σημείοΡ RG = √(ρ ν)

ν

ρRG

2/122 )sin1( φν

e

α

−=

RG=

Επιφάνεια και όγκος του ελλειψοειδούς

Βέλτιστη ‘σφαίρα’ για ένα ελλειψοειδές ε.π.• Ο υπολογισμός μιας ‘βέλτιστης σφαίρας’ για όλο τοελλειψοειδές θα πρέπει να γίνει με βάση κάποια κριτήρια

Ανάλογα, θα έχουμε, διάφορες ακτίνες της γήινηςσφαίρας

• Σφαίρα με ακτίνα τη μέση τιμή των (a,a,b)

• Σφαίρα με επιφάνεια ίση με την επιφάνεια του ελλειψοειδούς

• Σφαίρα με όγκο ίσο με τον όγκο του ελλειψοειδούς

• Σφαίρα της οποίας το ¼ της περιφέρειας είναι ίσο με το μήκος του τεταρτημόριου της γενεσιουργού έλλειψης

Μήκη μεσημβρινών τόξων στο ε.ε.π.• Ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα στο ελλειψοειδές: Ο υπολογισμός του μήκους δSφ τόξου μεσημβρινού (μεσημβρινής έλλειψης), με χαρακτηριστική εφαρμογή τον υπολογισμό προβολικών συντεταγμένων συναρτήσει των ελλειψοειδών.

δSφ

• Εάν το στοιχειώδες τόξο δSφ είναι μικρού μήκουςΜ (< 10km): μπορεί να θεωρηθεί ως τόξο κύκλουμε ακτίνα ρm Μ = ρm δφ

Μήκη μεσημβρινών τόξων στο ε.ε.π.

δφΜ

• Στη γενική περίπτωση Μ (> 10km):

ΑΒφφφ

φΒΑ ΜΜφρφρφρΜφρ ΑΒΒ

Α

−=−==→= ∫∫∫ 00dddddM

Μήκη των μεσημβρινών τόξων από τον ισημερινό

στα σημεία Α, Β

• Το ελλειπτικό επικαμπύλιο ολοκλήρωμα, συνήθως αναπτύσσεται σε σειρά …

Μήκη μεσημβρινών τόξων στο ε.ε.π.

• Τα μήκη τόξων μεσημβρινού πλάτους 1ο αυξάνουν από τον ισημερινό προς τους πόλους

δφΜ

ΑΒφφ

ΜΜφρφρ ΑΒ −=− ∫∫ 00dd

~0.03 mm

Μήκη μεσημβρινών τόξων στο ε.ε.π.

δφΜ

ΑΒφφ

ΜΜφρφρ ΑΒ −=− ∫∫ 00dd

M

• ή περιλαμβάνοντας και τους όρους τάξης e10

Μήκη μεσημβρινών τόξων στο ε.ε.π.

δφΜ

ΑΒφφ

ΜΜφρφρ ΑΒ −=− ∫∫ 00dd

• ή κρατώντας μόνο τους όρους μέχρι τάξης e6

Μήκη μεσημβρινών τόξων στο ε.ε.π.

δφΜ

ΑΒφφ

ΜΜφρφρ ΑΒ −=− ∫∫ 00dd

• η διαδικασία Helmert χρησιμοποιεί ακόμα λιγότερους όρους

Μ

Μήκη μεσημβρινών τόξων στο ε.ε.π.

δφΜ

ΑΒφφ

ΜΜφρφρ ΑΒ −=− ∫∫ 00dd

• η διαδικασία Helmert σεεναλλακτική μορφή από τους Jordan, Eggert και Kneissl(1958)

Μ

Μήκη μεσημβρινών τόξων στο ε.ε.π.

δφΜ

ΑΒφφ

ΜΜφρφρ ΑΒ −=− ∫∫ 00dd

• η διαδικασία Helmert σεεναλλακτική μορφή από τον Rapp (1982)

Μ

Υπολογισμοί: από μήκη μεσημβρινών τόξων φ

• Η διαδικασία χρειάζεται γιατον υπολογισμό απόσυντεταγμένες (Ε, Ν) τηςΜερκατορικής προβολής σε συντεταγμένες (φ, λ)

Ενδιαφέρον παρουσιάζει και τοαντίστροφο πρόβλημα, δηλαδή ότανδίνεται το μήκος Μ τόξου μεσημβρινού με αφετηρία έναν γνωστό παράλληλο(φ1 = γνωστό) και ζητείται το πλάτος φ2στο οποίο αντιστοιχεί το γνωστό μήκοςτόξου M.

Mφ1

φ2

Υπολογισμοί: από μήκη μεσημβρινών τόξων φ

• Μια συνήθης διαδικασία χρησιμοποιεί σχέσεις που δεν απαιτούν επαναλήψεις και που μπορούν να προκύψουν από τη γνωστή στα μαθηματικά μεθοδολογία της αντιστροφής μια σειράς

• Το μέσο μήκος τόξου μεσημβρινούγεωδαιτικού πλάτους 1 rad

GΜσ = σε rad• Η βοηθητική

ποσότητα

φ=90ο

Μήκος ενός τετάρτου του μεσημβρινού

Υπολογισμοί: από μήκη μεσημβρινών τόξων φ

• Για τον υπολογισμό της τιμής του φ πουαντιστοιχεί σε μια τιμή του σ, η προηγούμενηαριθμοσειρά πρέπει να αναστραφεί

Υπολογισμοί: από μήκη μεσημβρινών τόξων φ

• Αλλιώς, εναλλακτικά μπορεί να χρησιμοποιηθεί η συνήθηςεπαναληπτική διαδικασία Newton-Rampson

• φn, φn+1 … διαδοχικές επαναληπτικές τιμές• Τιμή εκκίνησης: φ1 = M/a f(φ1), f'(φ1), φ2

– φ2, f(φ1), f'(φ1) φ3 … 1,2,3,… αριθμός επανάληψηςΜετά από κάθε επανάληψη ελέγχεται η διαφορά στο φ (κατά απόλυτη τιμή) μεταξύ τηςτρέχουσας και της προηγούμενης επανάληψης, η οποία αν ικανοποιεί το όριο σύγκλισηςπου έχουμε θέσει, π.χ. να είναι μικρότερη από 0´´.00005, τότε έχει επιτευχθεί η σύγκλισηκαι η ζητούμενη λύση. Για τον ελληνικό χώρο τρεις επαναλήψεις είναι συνήθως αρκετές.

Μήκη τόξων παραλλήλων στο ε.ε.π.

• Απλούστερη διαδικασία• L = r Δλ, Δλ = λ2 - λ1

Δλ

L

r = ν cosφr = ν cosφ

Ακτίναπαράλληλου

κύκλου

Ακτίναπαράλληλου

κύκλου

0.000 km111.694 km90°

28.902 km111.618 km75°

55.800 km111.412 km60°

78.847 km111.132 km45°

96.486 km110.852 km30°

107.551 km110.649 km15°

111.320 km110.574 km0°

Δλ1Δφ1φΠαράδειγμα: Μεταβολή μήκους τόξων μεσημβρινού στα σημεία φ±0.5ο

και παραλλήλου μήκους 1ο

Εμβαδόν τραπεζίου στο ελλειψοειδές• Το εμβαδόν ενός στοιχειώδους τραπεζίου από τα τόξαδύο παραλλήλων & δύο μεσημβρινών μπορεί ναυπολογιστεί ως επίπεδη παραλληλόγραμμη επιφάνεια

φ + δφ

φ

λ

λ + δλdSφ = Ε1/2 δφ

dSλ = G1/2 δλ

Εμβαδόν τραπεζίου στο ελλειψοειδές

• Το εμβαδόν ενός στοιχειώδους τραπεζίουαπό τα τόξα δύοπαραλλήλων & δύομεσημβρινών μπορεί ναυπολογιστεί ως επίπεδηπαραλληλόγραμμηεπιφάνεια

Εμβαδόν τραπεζίου στο ελλειψοειδές

• Το εμβαδόν dA ενός στοιχειώδους τραπεζίου από τατμήματα τόξων δύο παραλλήλων & δύο μεσημβρινών μπορείνα υπολογιστεί ως επίπεδη παραλληλόγραμμη επιφάνεια

φ + δφ

φ

λ

λ + δλdSλ = Ε1/2 δφ

dSφ = G1/2 δλ ρ ν

φ + δφ

φ

λ

λ + δλdSλ = Ε1/2 δφ

dSφ = G1/2 δλ ρ ν

μεταξύ δύο παραλλήλων πλάτους dφ

)sin1(cos2cos2 222 φφφπφφνρπδφφφ edbddA −==+

… και το εμβαδόν ζώνης του ελλειψοειδούς

)sin1(cos2cos2 222 φφφπφφνρπδφφφ edbddA −==+

και αναπτύσσοντας τους όρους των δυνάμεωντου sinφ σε αριθμοσειρές ….

μεταξύ δύο παραλλήλων πλάτους dφ

… και το εμβαδόν ζώνης του ελλειψοειδούς … και το εμβαδόν ζώνης του ελλειψοειδούςμεταξύ δύο παραλλήλων πλάτους dφ

… και τέλος, το εμβαδόν τραπεζίου μεταξύ δύο παραλλήλων κατά dφ και δύο μεσημβρινών κατά dλ≡ Αζώνης(dφ) dλ / 2π

Εργαλεία υπολογισμού στο Διαδίκτυο

• http://www.movable-type.co.uk/scripts/latlong.html– Calculate distance, bearing and more between Latitude/Longitude

points (ισχύει για υπολογισμούς στη σφαίρα, δηλ. μικρές αποστάσεις μεταξύ σημείων)

• http://www.movable-type.co.uk/scripts/latlong-vincenty-direct.html• http://www.movable-type.co.uk/scripts/latlong-vincenty.html

– Vincenty's Direct formula and Inverse formula – Για το ευθύ και το αντίστροφο πρόβλημα γεωδαιτικής μεταφοράς

• http://geographiclib.sourceforge.net/cgi-bin/Geod– Online geodesic calculations using the Geod utility. – Χρησιμοποιεί μόνο το ελλειψοειδές WGS84, και για σημεία με μεταξύ τους απόσταση μέχρι 15 ναυτικά μίλια (περίπου 24 km)

• http://www.ngs.noaa.gov/cgi-bin/Inv_Fwd/forward2.prl • http://www.ngs.noaa.gov/cgi-bin/Inv_Fwd/inverse2.prl

– Το ευθύ και το αντίστροφο πρόβλημα γεωδαιτικής μεταφοράς

Γραμμές και σχήματα στο ελλειψοειδές

Αναγκαιότητα• Οι μετρήσεις μας (μήκη, γωνίες) γίνονται πάνω στη γήινη επιφάνεια προκειμένου να ορισθούν γεωμετρικά σχήματα ενδιαφέροντος (τρίγωνα, τετράπλευρα, πολύπλευρα, οδεύσεις, …)

• Πρέπει να αναχθούν κατάλληλα στο ελλειψοειδές προκειμένου να γίνονται σε αυτό οι αναγκαίοι γεωδαιτικοί υπολογισμοί.

• Συνεπώς απαιτείται να προσδιορίζονται οι ελλειψοειδείς γραμμές που θα σχηματίζουν τα αντίστοιχα σχήματα στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς

Γραμμές και σχήματα στο ελλειψοειδές

Γεωδαισιακά ενδιαφέρουσες γραμμές

• Μεταξύ δύο σημείων στο ελλειψοειδές διέρχονται άπειρες ελλειψοειδείς γραμμές

• Απαραίτητο να επιλεχθούν εκείνες που

είτε γιατί υλοποιούνται έπειτα από αναγωγές των μετρήσεων που γίνονται στη γήινη επιφάνειαΕίτε γιατί έχουν χαρακτηριστικές και γεωδαιτικά χρήσιμες μαθηματικές ιδιότητεςΚάθετη τομή στο ελλειψοειδέςΓεωδαισιακή γραμμή

Κάθετες τομές στο ελλειψοειδές

και γεωδαισιακές γραμμές

Τομές του ελλειψοειδούς από τα επίπεδα Ρ1Ρ1’ και το Ρ2’ & Ρ2Ρ2’ και το Ρ1’

Η γεωδαισιακή γραμμήπεριελίσσεται συνεχώς στοελλειψοειδές χωρίς ναεφάπτεται ποτέ στο ίδιοσημείοπ.χ. οι γεωδαιτικοί θόλοι

Δίκτυο γεωδαισιακών γραμμών

σε γεωδαιτικό σφαιρικό θόλο

Οι γεωδαισιακές γραμμέςδιασταυρώνονται γιανα σχηματίσουντριγωνικά στοιχείαπου έχουν τοπικήακαμψία διανομήτων τάσεων σε όλητη δομή του κελύφους.

Spaceship Earth: Walt Disney World

Κάθετες τομές στο ελλειψοειδές ε.π.

• Ρ1, Ρ2 στη γήινη επιφάνεια• Ρ1', Ρ2 ' τα ίχνη τους στο ε.ε.π.• Εάν φ1≠φ2 και λ1≠λ2 οι κάθετεςΡ1Ρ1' και Ρ2Ρ2' είναι ασύμβατες μεταξύ τους (δηλ. μη παράλληλες)

• Ρ1Ρ1' και Ρ2' ορίζουν την 1η κάθετητομή Ρ1'Ρ2' (τμήμα έλλειψης)

• Ρ2Ρ2' και Ρ1' ορίζουν την 2η κάθετητομή Ρ2'Ρ1'

Αποδεικνύεται, με ικανοποιητικήακρίβεια, ότι

• το μήκος των δύο καθέτων τομώνείναι ίδιο, και

• θ1=θ2

Κάθετες τομές στο ελλειψοειδές ε.π.

Παράδειγμα: έξι κάθετες τομές μεταξύ τριών σημείων Α, Β και Γ, ανά δύο αντίστροφες ανά δύο σημεία, το ζητούμενο είναι να οδηγηθούμε σε μία και μόνο γραμμή ώστε τα να υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία.

Κάθετες τομές στο ελλειψοειδές ε.π.

• Γεωδαισιακήγραμμή S12: συνδέει αμφιμονο-σήμαντα τα Ρ1, Ρ2

Γραμμήμικρότερου μήκους

Οι γεωδαισιακές γραμμές είναι αέναες• Σχέση του

Clairaut

• Αmax=90o rmin, φmax

• Αmin = 270o rmin, φ=- φmax

φ=0ο rmin=a

Οι γεωδαισιακές γραμμές ορίζονται είτε από το φmax, είτε από το Αισημ

Ορίζεται εγγύτατο επίπεδο που περιέχει την κάθετο στην επιφάνεια (καθετότητα του πρωτεύοντος άξονα του οργάνου)

Χάραξη μιας γεωδαισιακής γραμμής στο ελλειψοειδές

Υλοποίηση γεωδαισιακών γραμμών• ‘Θεοδόλιχο πάνω στο ελλειψοειδές’, κατακορυφωμένο κατά την κάθετο στο ελλειψοειδές

• Αναστροφή / περιστροφή του τηλεσκοπίου και σκοπεύοντας στο προηγούμενο σημείο

Για τις ελεύθερες ώρες σας – δύο εξαιρετικά βιβλία

Βασιζόμενος στα κείμενα των Γάλλωνχαρτογράφων και ακολουθώντας τα ίχνη της

Ισαμπέλ Γκοντέν, ο Ρόμπερτ Γουίτακερ υφαίνειμια συναρπαστική ιστορία γεμάτη περιπέτειες,

μηχανορραφίες και επιστημονικά επιτεύγματα …με φόντο τη «σπουδαιότερη επιστημονική

αποστολή στον κόσμο – τη μέτρηση του τόξου μεσημβρινού στο Περού και τον Ισημερινό».

Αναφερόμενο στις προσπάθειες των Γάλλων αστρονόμων Jean-Baptiste-Joseph Delambre και Pierre-François-André Méchain να μετρήσουν το τόξο του μεσημβρινού από Δουνκέρκη στο Παρίσικαι τη Βαρκελώνη