ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΡΑΛΙΜΝΙΟΥ Σχολική Χρονιά 2013 – 2014

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α΄ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

1. Δίνεται η εξίσωση ( ) α) Να λυθεί η εξίσωση ( ) , όταν λ = 7 β) Για ποια τιμή του λ, η εξίσωση ( ) είναι αδύνατη;

2. Να λύσετε την ανίσωση ( ) ( ) γράφοντας την απάντησή σας σε μορφή

διαστήματος.

3. Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί που ικανοποιούν την ανίσωση

4. Να λύσετε το σύστημα: x + y – z = –2

x + 2y + z = 6 2x – y +3z = 5

5. Να λύσετε και να διερευνήσετε το σύστημα για τις διάφορες τιμές του , .

6. Με βάση την πιο κάτω γραφική παράσταση

i. να γράψετε ένα σύστημα αδύνατο.

ii. να γράψετε ένα σύστημα τριών εξισώσεων με δύο αγνώστους που να είναι συμβιβαστό.

iii. να γράψετε την λύση του συστήματος σε κάθε περίπτωση

ΣΥΣΤΗΜΑ ΛΥΣΗ

2x – y = 5 x + y = -2

x – y = 6 3x + y = 10

7. Στο διπλανό σύστημα αξόνων δίνεται η γραφική λύση του

συστήματος:

3 3

8

α) αν η λύση του συστήματος είναι (2,α), να υπολογίσετε τα α και β.

β) αν στο σύστημα προστεθεί η εξίσωση 9 , ποια τιμή

πρέπει να έχει το γ, ώστε το νέο σύστημα τριών εξισώσεων να είναι

συμβιβαστό;

8. Να βρείτε τις αριθμητικές τιμές των κ και λ ώστε το πιο κάτω σύστημα έχει άπειρες λύσεις .

(2 3) 7

2 3 14

x y

x y

9. Αν , να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών βρίσκονται οι παραστάσεις: α) 3χ-ψ β) 3χψ

10. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις

) √ ) √

) √

) √√

11. Να αποδείξετε ότι: (√ √ )(√ √ √ )

12. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις

)

)

)

) √(

)

) ( )

13. Να λύσετε την εξίσωση: 5 1 2x 14. Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ.

α) Να βρεθούν:

i) ημΒ=

ii) εφΓ =

iii) συνΒ=

β) Να αποδείξετε ότι εφΒ = √

15. Να βρείτε το ύψος ΑΒ του τοίχου αν ξέρετε ότι ΒΓ = 8m

600

Β

Α

Γ

16. Έστω Β η γωνία που σχηματίζει μια πίστα του σκι με το οριζόντιο επίπεδο. Αν ένας σκιέρ βρίσκεται σε σημείο Γ ύψους ΑΓ = 155 m από το έδαφος και θα διανύσει απόσταση 220 m μέχρι να φτάσει στο έδαφος, να βρεθεί η γωνία Β.

17. Το τελεφερίκ ενός χιονοδρομικού κέντρου, αναχωρεί από

υψόμετρο 1.500m και φτάνει στον προορισμό του σε 10 λεπτά. Κινείται με ταχύτητα 3m\s. Το συρματόσχοινο του τελεφερίκ σχηματίζει με το οριζόντιο επίπεδο γωνία 30°. Να βρεθεί το υψόμετρο του σημείου τερματισμού.

18. Αν

με να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης

19. Δίνεται η παράσταση α) Να δείξετε ότι Α=

β) Να λυθεί η εξίσωση Α =

, αν .

20. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες.

21. Να αποδείξετε τις ταυτότητες :

α)

2

11

β) 1

22. Δίνεται ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με διαστάσεις =3 𝑐𝑚, =5 𝑐𝑚 και =8 𝑐𝑚. Να υπολογίσετε τον όγκο του παραλληλεπιπέδου.

23. Δίνεται κύλινδρος με ακτίνα βάσης 5cm. Αν το ύψος του κυλίνδρου είναι τριπλάσιο της ακτίνας της βάσης του, να υπολογίσετε τον όγκο του κυλίνδρου.

24. Nα βρείτε πόσα χρήματα θα χρειαστούμε, για να βάψουμε μία σφαιρική δεξαμενή διαμέτρου δ = 20 m, αν το ένα κιλό χρώμα κοστίζει 8 € και καλύπτει επιφάνεια 4 .

25. Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας ενός κώνου είναι 144π cm2 και το εμβαδόν της βάσης του 64π cm

2.

Να βρείτε: (α) Το ύψος του κώνου, (β) Τον όγκο του κώνου.

α) Αν και τότε

β)

γ) (

)

δ) Υπάρχει γωνιά χ για την οποία

και

ε) Η τελική πλευρά της γωνίας με μέτρο

βρίσκεται στο 3

ο

τεταρτημόριο

στ) Η μέγιστη τιμή της παράστασης για όλες τις πραγματικές τιμές του χ είναι το 3

26. Κανονική τετραγωνική πυραμίδα έχει εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας 260𝑐𝑚 και παράπλευρο ύψος 13𝑐𝑚. Να υπολογίσετε τον όγκο της πυραμίδας.

27. Μια δεξαμενή σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου μήκους 8 m και πλάτους 2π m περιέχει νερό του οποίου η στάθμη ανέρχεται στα 5 m. Βυθίζουμε πλήρως μέσα στο νερό της δεξαμενής ένα κυλινδρικό στερεό με ακτίνα βάσης 2 m και ύψος 4 m. Να βρείτε πόσα μέτρα θα ανέβει η στάθμη του νερού μέσα στη δεξαμενή.

28. Δίνονται οι κύκλοι (Κ,5cm) και (Λ,9cm). Να βρείτε την θέση των δύο κύκλων αν α) ΚΛ= 14cm και β) ΚΛ= 6cm.

29. Να υπολογίσετε τις τιμές του χ σε καθεμία από τις περιπτώσεις. Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας.

30. Δίνονται οι κύκλοι (Κ, 8 cm) και (Λ, α cm). Αν ΚΛ=12cm, να υπολογίσετε την τιμή ή τις τιμές του α έτσι ώστε οι κύκλοι i)να είναι εξωτερικοί και ii) να τέμνονται.

31. Να υπολογίσετε τις άγνωστες γωνίες (α, β , γ , δ ) στο πιο κάτω σχήμα, αν Κ είναι το κέντρο του κύκλου.

32. Σε κύκλο (Κ,ρ) φέρουμε χορδή ΑΓ και την εφαπτομένη ΑΒ. Η διχοτόμος της γωνίας ΓΑΒ τέμνει τον κύκλο στο σημείο Δ. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ισοσκελές.

33. Να κατασκευάσετε ένα τραπέζιο με τις 4 κορυφές του να είναι σημεία κύκλου. Τι είδους τραπέζιο έχετε κατασκευάσει; ( Να δικαιολογήσετε πλήρως την απάντησή σας).

34. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από το σημείο (−3, 4) και σχηματίζει γωνία 135° με τον άξονα των τετμημένων.

35. Να υπολογίσετε την τιμή της παραμέτρου , αν η ευθεία με εξίσωση2𝑥 − ( + 1)𝑦 − 6 = 0 σχηματίζει με τον άξονα των τετμημένων γωνία 45°.

36. Να υπολογίσετε την απόσταση μεταξύ των σημείων και 𝛣 στις πιο κάτω περιπτώσεις: (α) (−1,2), 𝛣(3,4) και (β) (−2,3), 𝛣(4,3).

37. Το 𝛭(1,3) είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος 𝛤𝛥. Αν 𝛤(−2,7), να βρείτε τις συντεταγμένες του 𝛥. 32. Δίνονται τα σημεία (3,6), 𝛣(7,2) και 𝛤(3, −2).

(α) Να δείξετε ότι το τρίγωνο 𝛣𝛤 είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. (β) Να βρείτε την εξίσωση της διαμέσου 𝛭.

33. Δίνεται κύκλος με κέντρο 𝛫(4 , 0). Αν το σημείο (0 , 3) είναι σημείο του κύκλου, να βρείτε: (α) Την εξίσωση της διαμέτρου 𝛣 του κύκλου. (β) Την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο 𝛣.

34. Να βρείτε τις πιθανές τιμές του κ, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) ( )

χ

500

χ 480

530

x

750

840

x

270

χ 300

να είναι παραβολή που να παρουσιάζει μέγιστο. 35. Για ποιά τιμή του η συνάρτηση ( ) έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία 𝑥 = −1

και ελάχιστη τιμή το 8; 36. Δίνεται η συνάρτηση ( )

(α) Να μετασχηματίσετε τη συνάρτηση στη μορφή ( ) ( ) (όπου , ακέραιοι). (β) Να κατασκευάσετε τη γραφική της παράσταση. (γ) Να αναφέρετε τον άξονα συμμετρίας της και την κορυφή της.

37. Δίνεται η γραφική παράσταση της παραβολής

( ) Να βρείτε: (α) Το Π.Ο. και το Π.Τ. (β) Την τιμή του (γ) Τον άξονα συμμετρίας (δ) Την κορυφή της παραβολής

38. Να λύσετε την εξίσωση

39. Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

( ) που βλέπετε δίπλα να βρείτε:

α) Τις ρίζες της εξίσωσης

β) Την τιμή του

γ) Τις λύσεις της ανίσωσης

40. Αν η εξίσωση έχει ρίζες να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης ( )( )

41. Να λυθούν οι ανισώσεις )

) ( )( ) 42. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες.

43. Να απλοποιηθεί το κλάσμα: 22 5 3

2 3

x x

x x

44. Δίνεται η εξίσωση 2 5 6 0x x . Να σχηματίσετε εξίσωση 2ου

βαθμού που να έχει ρίζες και

45. Για ποίες τιμές του το τριώνυμο ( ) διατηρεί σταθερό το πρόσημο του για κάθε

46. Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 . Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β.

α) Η εξίσωση έχει γινόμενο ριζών -2.

β) Αν η εξίσωση έχει ρίζες αντίστροφές.

γ) Η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.

δ) Αν η εξίσωση έχει 𝛥 έχει δύο θετικές ρίζες.

47. Να βρείτε το Π.Ο της συνάρτησης √

Στο διπλανό σχήμα . Να υπολογίσετε τα ευθύγραμμα

τμήματα ΟΓ και ΕΖ.

48. Αν οι κύκλοι του σχήματος έχουν το ίδιο κέντρο Κ, να δείξετε ότι ΑΒ//ΓΔ.

49. Ευθεία ε είναι παράλληλη στην πλευρά ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ και τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία ∆ και Ε. Από το Γ φέρνουμε παράλληλη στη

ΒΕ που τέμνει την ευθεία ΑΒ στο Ζ, να δείξετε ότι:

.

50. Στο διπλανό σχήμα ΑΒ=5cm, ΑΓ=12cm και ΓΔ=6cm.

i) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΓΔΕ και ΑΒΓ είναι όμοια. ii) Να υπολογίσετε τα χ και y. iii) Να βρείτε το λόγο των εμβαδών των δύο τριγώνων.

51. Δίνεται κύκλος (Κ, ρ) και σημείο Α του κύκλου. Από το Α φέρουμε κάθετη ΑΔ σε διάμετρο ΒΓ του κύκλου. Να αποδείξετε ότι (ΑΓ)

2 = (ΒΓ) ∙ (ΔΓ)

52. Πάνω στην προέκταση της κοινής χορδής δύο τεμνόμενων κύκλων παίρνουμε ένα σημείο 𝛴. Από το 𝛴 φέρουμε εφαπτόμενα τμήματα 𝛴 και 𝛴𝛣 προς τους δύο κύκλους. Να αποδείξετε ότι 𝛴 = 𝛴𝛣.

53. Ένας κύκλος (𝛰, ) διέρχεται από το Κέντρο κύκλου(𝛫, 𝑅). Αν η εφαπτομένη του κύκλου(𝛫, 𝑅) σε ένα σημείο του 𝛭 τέμνει τον κύκλο (𝑂, ) σε σημεία και 𝛣, να δείξετε ότι το γινόμενο (𝛫 ) ∙ (𝛫𝛣) είναι σταθερό.

54. Σε ένα Λύκειο υπάρχουν 500 μαθητές. Η ′ τάξη του Λυκείου έχει 180 μαθητές με Μέσο Όρο ηλικίας 15,5 χρόνια, ενώ η 𝛣′ τάξη έχει 190 μαθητές με Μέσο Όρο ηλικίας 16,7 χρόνια. Οι υπόλοιποι μαθητές της Γ΄ Λυκείου έχουν Μέσο Όρο ηλικίας 17,6 χρόνια. Να υπολογίσετε τον Μέσο Όρο ηλικίας όλων των μαθητών του σχολείου.

55. Στο πιο κάτω πίνακα φαίνεται ο αριθμός των τερμάτων που πέτυχαν 16 βασικοί ποδοσφαιριστές μιας ομάδας.

Τέρματα

0 1 2 3 4 5

Αριθμός ποδοσφαιριστών

1 5 6 2 1 1

Να βρεθεί η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση του αριθμού των τερμάτων που πέτυχαν οι 16 βασικοί ποδοσφαιριστές της ομάδας.

56. Η βαθμολογία 15 μαθητών σε ένα διαγώνισμα ήταν: 8, 15, 12, 20, 11, 13, 17, 19, 20, 9, 10, 10, 15, 13, 14. Να υπολογίσετε (α) Τα τρία βασικά μέτρα θέσης (μέση τιμή, διάμεσο, επικρατούσα τιμή) (β) Το 1ο και το 3ο τεταρτημόριο 𝑄1, 𝑄3 και (γ) Το εύρος, την Τυπική Απόκλιση και τον συντελεστή μεταβολής.