ΑΝΑΛΥΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ 2Ο …Ταξινόμηση των...

31
Ανάλυση Κυκλωμάτων Σήματα Σήματα Φώτης Πλέσσας [email protected] Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Transcript of ΑΝΑΛΥΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ 2Ο …Ταξινόμηση των...

Ανάλυση Κυκλωμάτων

ΣήματαΣήματα

Φώτης Πλέσσας

[email protected]

Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

ΕισαγωγήΕισαγωγή

ΓιαΓια τηντην ανάλυσηανάλυση τωντων ηλεκτρικώνηλεκτρικών κυκλωμάτωνκυκλωμάτων μαζίμαζί μεμε τηντην

μαθηματικήμαθηματική περιγραφήπεριγραφή τωντων ηλεκτρικώνηλεκτρικών στοιχείωνστοιχείων

απαιτείταιαπαιτείται καικαι ηη μαθηματικήμαθηματική περιγραφήπεριγραφή τωντων διεγέρσεωνδιεγέρσεων

καικαι τωντων μεταβλητώνμεταβλητών τωντων κυκλωμάτων,κυκλωμάτων, πουπου είναιείναι οιοι τάσειςτάσεις

καικαι τατα ρεύματαρεύματα.. ΟιΟι τάσειςτάσεις καικαι τατα ρεύματαρεύματα είναιείναι φυσικέςφυσικές

ποσότητεςποσότητες.. ΟιΟι φυσικέςφυσικές ποσότητεςποσότητες περιγράφονταιπεριγράφονται μεμε

μαθηματικέςμαθηματικές συναρτήσεις,συναρτήσεις, πουπου λέγονταιλέγονται σήματασήματα ((signalsignal)) ήή

κυματομορφέςκυματομορφές ((waveformwaveform))..

2

Ταξινόμηση των σημάτων (1/3)Ταξινόμηση των σημάτων (1/3)

ΑνάλογαΑνάλογα μεμε τιςτις ιδιότητέςιδιότητές τουςτους τατα σήματασήματα κατατάσσονταικατατάσσονται σεσε διάφορεςδιάφορες κατηγορίεςκατηγορίες.. ΟιΟι

πιοπιο σημαντικέςσημαντικές κατηγορίεςκατηγορίες σημάτωνσημάτων είναιείναι::

ΣήματαΣήματα συνεχούςσυνεχούς χρόνουχρόνου ((continuouscontinuous--timetime signalsignal)).. ΤαΤα σήματασήματα αυτάαυτά είναιείναι συναρτήσειςσυναρτήσεις μεμε

πεδίοπεδίο ορισμούορισμού όλαόλα τατα σημείασημεία ενόςενός διαστήματοςδιαστήματος..

ΣήματαΣήματα διακριτούδιακριτού χρόνουχρόνου ((discretediscrete--timetime signalsignal)).. ΤαΤα σήματασήματα αυτάαυτά έχουνέχουν πεδίοπεδίο ορισμούορισμού έναένα

σύνολοσύνολο ακεραίωνακεραίων..

Ταξινόμηση των σημάτων (2/3)Ταξινόμηση των σημάτων (2/3)

ΤυχαίαΤυχαία σήματασήματα ((randomrandom signalsignal)).. ΕίναιΕίναι τατα σήματασήματα (συνεχούς(συνεχούς ήή διακριτούδιακριτού χρόνου)χρόνου) πουπου δενδεν

είναιείναι δυνατόδυνατό νανα προσδιοριστούνπροσδιοριστούν μεμε ακρίβειαακρίβεια πρινπριν συμβούνσυμβούν.. ΤαΤα τυχαίατυχαία σήματασήματα υπακούουνυπακούουν σεσε

νόμουςνόμους πουπου δενδεν είναιείναι επακριβώςεπακριβώς γνωστοίγνωστοί..

ΠροσδιοριστικάΠροσδιοριστικά σήματασήματα ((deterministicdeterministic signalsignal)).. ΕίναιΕίναι τατα σήματασήματα (συνεχούς(συνεχούς ήή διακριτούδιακριτού

χρόνου)χρόνου) πουπου μπορούνμπορούν νανα περιγραφούνπεριγραφούν μεμε ακρίβειαακρίβεια ανάανά πάσαπάσα χρονικήχρονική στιγμήστιγμή.. ΤαΤα

προσδιοριστικάπροσδιοριστικά σήματασήματα υπακούουνυπακούουν σεσε γνωστούςγνωστούς νόμουςνόμους..

Ταξινόμηση των σημάτων (3/3)Ταξινόμηση των σημάτων (3/3)

ΤαΤα προσδιοριστικάπροσδιοριστικά σήματασήματα διακρίνονταιδιακρίνονται σεσε χρονικάχρονικά αμετάβλητααμετάβλητα καικαι χρονικάχρονικά

μεταβαλλόμεναμεταβαλλόμενα σήματασήματα.. ΤαΤα χρονικάχρονικά μεταβαλλόμεναμεταβαλλόμενα σήματασήματα διακρίνονταιδιακρίνονται σεσε

περιοδικάπεριοδικά καικαι απεριοδικάαπεριοδικά σήματασήματα.. ΠεριοδικάΠεριοδικά σήματασήματα ((periodicperiodic signalsignal)) είναιείναι τατα

σήματασήματα πουπου επαναλαμβάνονταιεπαναλαμβάνονται σεσε σταθεράσταθερά χρονικάχρονικά διαστήματα,διαστήματα, πουπου λέγονταιλέγονται

περίοδοιπερίοδοι τωντων σημάτωνσημάτων.. ΑπεριοδικάΑπεριοδικά σήματασήματα ((aperiodicaperiodic signalsignal)) είναιείναι τατα σήματασήματα τατα

οποίαοποία δενδεν είναιείναι περιοδικάπεριοδικά.. ΤαΤα απεριοδικάαπεριοδικά σήματασήματα μπορούνμπορούν νανα θεωρηθούνθεωρηθούν ωςως

περιοδικάπεριοδικά σήματασήματα μεμε άπειρηάπειρη περίοδοπερίοδο επανάληψηςεπανάληψης..

Περιοδικά ΣήματαΠεριοδικά Σήματα

ΈναΈνα σήμασήμα λέγεταιλέγεται περιοδικό,περιοδικό, ότανόταν επαναλαμβάνεταιεπαναλαμβάνεται σεσε σταθεράσταθερά χρονικάχρονικά

διαστήματαδιαστήματα.. ΑναλυτικάΑναλυτικά έναένα σήμασήμα x(t)x(t) είναιείναι περιοδικό,περιοδικό, ότανόταν

x(t)x(t) = = xx((tt++nTnT) , ) , nn = = 0, 1, 2, …0, 1, 2, …

ΗΗ ποσότηταποσότητα ΤΤ λέγεταιλέγεται περίοδοςπερίοδος ((periodperiod)) τουτου σήματος,σήματος, ενώενώ ηη ποσότηταποσότητα

λέγεταιλέγεται συχνότητασυχνότητα ((frequencyfrequency)) τουτου σήματοςσήματος.. Τέλος,Τέλος, τοτο μέγεθοςμέγεθος

λέγεταιλέγεται γωνιακήγωνιακή συχνότητασυχνότητα ((angularangular frequencyfrequency)) τουτου σήματοςσήματος.. ΜονάδαΜονάδα μέτρησηςμέτρησης

τηςτης περιόδουπεριόδου είναιείναι τοτο δευτερόλεπτοδευτερόλεπτο (s),(s), τηςτης συχνότηταςσυχνότητας τοτο HzHz (=(=11/s)/s) καικαι τηςτης

γωνιακήςγωνιακής συχνότηταςσυχνότητας τοτο radrad/s/s..

2πω 2π f

T

1fT

Ημιτονοειδές ΣήμαΗμιτονοειδές Σήμα

Η αναλυτική έκφραση ενός ημιτονοειδούς σήματος είναιΗ αναλυτική έκφραση ενός ημιτονοειδούς σήματος είναι::

Οι ποσότητες Οι ποσότητες ΑΑmm, , ωtωt ±± φ φ και και φφ λέγονται πλάτος, γωνία φάσης και λέγονται πλάτος, γωνία φάσης και

αρχική φάση αντίστοιχα. Η ποσότητα αρχική φάση αντίστοιχα. Η ποσότητα ΑΑpp--pp λέγεται πλάτος από λέγεται πλάτος από

κορυφή σε κορυφή (κορυφή σε κορυφή (peakpeak--toto--peakpeak).).

mx( t ) A συν( nωt φ).

ΜονάδαΜονάδα μέτρησηςμέτρησης τηςτης αρχικήςαρχικής φάσηςφάσης είναιείναι τοτο ακτίνιοακτίνιο ((radrad))..

ΗΗ αρχικήαρχική φάσηφάση εκφράζειεκφράζει μιαμια χρονικήχρονική καθυστέρηση,καθυστέρηση, θετικήθετική

ήή αρνητική,αρνητική, καικαι δείχνειδείχνει κατάκατά πόσοπόσο τοτο σήμασήμα AAmmσυν(συν(ωωtt ±± φφ ))

προηγείταιπροηγείται ήή έπεταιέπεται τουτου σήματοςσήματος AAmmσυν(συν(ωωtt ±± φφ )).. ΗΗ αρχικήαρχική

φάσηφάση καικαι ηη χρονικήχρονική καθυστέρησηκαθυστέρηση συνδέονταισυνδέονται μεμε τητη σχέσησχέση

φφ==ωτωτ όπουόπου ττ ηη χρονικήχρονική καθυστέρησηκαθυστέρηση.. Αν,Αν, αντίαντί τηςτης αρχικήςαρχικής

φάσηςφάσης φφ,, χρησιμοποιηθείχρησιμοποιηθεί ηη χρονικήχρονική καθυστέρηση,καθυστέρηση, τότετότε ηη

έκφρασηέκφραση τουτου ημιτονοειδούςημιτονοειδούς σήματοςσήματος γίνεταιγίνεται AAmmσυν(συν(ωωtt ±± ωτωτ))..

Περιοδικά μη ημιτονοειδή σήματαΠεριοδικά μη ημιτονοειδή σήματα

ΤαΤα περιοδικάπεριοδικά μημη ημιτονοειδήημιτονοειδή σήματασήματα μπορούνμπορούν νανα αναλυθούναναλυθούν σεσε έναένα άθροισμαάθροισμα

ημιτονοειδώνημιτονοειδών σημάτωνσημάτων μεμε άπειρουςάπειρους όρουςόρους.. ΤοΤο άθροισμαάθροισμα αυτόαυτό είναιείναι γνωστόγνωστό ωςως σειράσειρά

FourierFourier καικαι δίνεταιδίνεται απόαπό τηντην έκφρασηέκφραση::

m0 mn ο n

n 1

x( t ) A A συν( nω t φ )

ΗΗ γωνιακήγωνιακή συχνότητασυχνότητα ωωoo είναιείναι ηη γωνιακήγωνιακή συχνότητασυχνότητα τουτου περιοδικούπεριοδικού σήματοςσήματος καικαι

λέγεταιλέγεται βασικήβασική ήή θεμελιώδηςθεμελιώδης συχνότητασυχνότητα.. ΗΗ συχνότητασυχνότητα nωnωoo λέγεταιλέγεται nn--οστήοστή αρμονικήαρμονική

συχνότητασυχνότητα ήή απλάαπλά nn--οστήοστή αρμονικήαρμονική.. ΤοΤο AAmnmn παριστάπαριστά τοτο πλάτοςπλάτος τηςτης nn--οστήςοστής

αρμονικήςαρμονικής..

Μέση τιμή σήματοςΜέση τιμή σήματος ΗΗ μέσημέση τιμήτιμή ((averageaverage,, meanmean valuevalue)) ενόςενός περιοδικούπεριοδικού σήματοςσήματος x(t)x(t) μεμε

περίοδοπερίοδο ΤΤ ορίζεταιορίζεται απόαπό τητη σχέσησχέση::

.

T

0

1x( t ) x( τ )dτ

T

ΕίναιΕίναι τοτο προσημασμένοπροσημασμένο εμβαδόνεμβαδόν πουπου

περικλείειπερικλείει μιαμια περίοδοςπερίοδος τουτου σήματοςσήματος.. ΗΗ

μέσημέση τιμήτιμή ενόςενός σήματοςσήματος εκφράζειεκφράζει τητη

χρονικάχρονικά αμετάβλητηαμετάβλητη (συνεχή)(συνεχή) συνιστώσασυνιστώσα

τουτου σήματοςσήματος.. ΣτηΣτη σειράσειρά FourierFourier ηη μέσημέση

τιμήτιμή τουτου σήματοςσήματος δίνεταιδίνεται απόαπό τοντον όροόρο

AAmm00..

ΣτηνΣτην περίπτωσηπερίπτωση τωντων απεριοδικώναπεριοδικών σημάτων,σημάτων,

επειδήεπειδή αυτάαυτά τατα σήματασήματα θεωρείταιθεωρείται ότιότι έχουνέχουν

άπειρηάπειρη περίοδο,περίοδο, ηη μέσημέση τιμήτιμή ορίζεταιορίζεται απόαπό τηντην::

T

0T

1x( t ) im x( τ )dτ

T

Ενεργός τιμή σήματοςΕνεργός τιμή σήματος

ΗΗ ενεργόςενεργός τιμήτιμή ((rootroot meanmean squaresquare valuevalue,, rmsrms)) ορίζεταιορίζεται ωςως ηη

τετραγωνικήτετραγωνική ρίζαρίζα τουτου μέσουμέσου τετραγώνουτετραγώνου τουτου σήματοςσήματος::

.

T2

rms0

1X x ( τ )dτ

T

ΗΗ ενεργόςενεργός τιμήτιμή είναιείναι μέτρομέτρο τηςτης ισχύοςισχύος πουπου μεταφέρειμεταφέρει τοτο σήμασήμα.. ΌτανΌταν τοτο

περιοδικόπεριοδικό σήμασήμα εκφράζεταιεκφράζεται μεμε σειράσειρά FourierFourier,, αποδεικνύεταιαποδεικνύεται ότιότι ηη

ενεργόςενεργός τιμήτιμή τουτου δίνεταιδίνεται απόαπό τητη σχέσησχέση::

2 2 2 2rms m0 m1 m2 mn

1X A ( A A A )

2

ΣτηνΣτην περίπτωσηπερίπτωση τωντων απεριοδικώναπεριοδικών σημάτων,σημάτων, επειδήεπειδή αυτάαυτά τατα σήματασήματα

θεωρείταιθεωρείται ότιότι έχουνέχουν άπειρηάπειρη περίοδο,περίοδο, ηη ενεργόςενεργός τιμήτιμή ορίζεταιορίζεται απόαπό τηντην::

T2

rms0T

1X im x ( τ )dτ

T

ΠαραδείγματαΠαραδείγματα

1.1. ΝαΝα βρεθείβρεθεί ηη μέσημέση καικαι ηη ενεργόςενεργός τιμήτιμή τουτου

ημιτονοειδούςημιτονοειδούς σήματοςσήματος x(t)x(t) == AAmmσυνωtσυνωt

2.2. ΝαΝα βρεθείβρεθεί ηη μέσημέση καικαι ηη ενεργόςενεργός τιμήτιμή

πριονωτούπριονωτού σήματοςσήματος μεμε πλάτοςπλάτος ΑΑmm καικαι

περίοδοπερίοδο ΤΤ

ΤαΤα σήματασήματα δοκιμήςδοκιμής ((testtest signalsignalss)) είναιείναι

σήματασήματα πουπου παράγονταιπαράγονται εύκολαεύκολα στοστο

εργαστήριοεργαστήριο καικαι χρησιμοποιούνταιχρησιμοποιούνται γιαγια τοντον

έλεγχοέλεγχο τηςτης απόκρισηςαπόκρισης τωντων κυκλωμάτωνκυκλωμάτων καικαι

τωντων διάφορωνδιάφορων φυσικώνφυσικών συστημάτωνσυστημάτων

γενικότεραγενικότερα..

Σήματα δοκιμήςΣήματα δοκιμής

ΗΗ μοναδιαίαμοναδιαία συνάρτησησυνάρτηση βήματοςβήματος

ορίζεταιορίζεται απόαπό τηντην::

Μοναδιαία συνάρτηση βήματοςΜοναδιαία συνάρτηση βήματος

(unit step function)(unit step function)

0 t 0u( t )

1 t 0

Μοναδιαία κλίση και μοναδιαία Μοναδιαία κλίση και μοναδιαία

παραβολήπαραβολή

Η μοναδιαία κλίση ορίζεται από την: Η μοναδιαία κλίση ορίζεται από την:

Η μοναδιαία παραβολή ορίζεται από την:Η μοναδιαία παραβολή ορίζεται από την:

0 t 0r( t )

t t 0

2

0 t 0a( t )

t t 0

ΟΟ ορθογώνιοςορθογώνιος παλμόςπαλμός ήή απλάαπλά παλμόςπαλμός ορίζεταιορίζεται

απόαπό τητη σχέσησχέση::

Ορθογώνιος ΠαλμόςΟρθογώνιος Παλμός

((rectangular pulse)rectangular pulse)

0 t 0

1p( t ) 0 t Δ

Δ

0 t Δ

Μοναδιαία ώση (1/2)Μοναδιαία ώση (1/2)

ΗΗ παράγωγοςπαράγωγος τηςτης μοναδιαίαςμοναδιαίας συνάρτησηςσυνάρτησης βήματοςβήματος καικαι λέγεταιλέγεται

μοναδιαίαμοναδιαία ώσηώση ήή συνάρτησησυνάρτηση δέλταδέλτα τουτου DiracDirac ((unitunit impulseimpulse functionfunction))..

ΗΗ μοναδιαίαμοναδιαία ώσηώση είναιείναι μιαμια συνάρτησησυνάρτηση πουπου είναιείναι παντούπαντού μηδένμηδέν εκτόςεκτός απόαπό

τοτο σημείοσημείο tt == 00.. ΣτοΣτο σημείοσημείο αυτόαυτό τοτο ύψοςύψος τηςτης είναιείναι άπειρο,άπειρο, αλλάαλλά τοτο

εμβαδόνεμβαδόν τηςτης είναιείναι ίσοίσο μεμε τητη μονάδαμονάδα.. ΗΗ μοναδιαίαμοναδιαία ώσηώση ορίζεταιορίζεται απόαπό τοτο

ολοκλήρωμαολοκλήρωμα::

0

0δ( t )dt 1

Μοναδιαία ώση (2/2)Μοναδιαία ώση (2/2)

ΜιαΜια σημαντικήσημαντική ιδιότηταιδιότητα τηςτης συνάρτησηςσυνάρτησης δ(t)δ(t) είναιείναι ηη

ιδιότηταιδιότητα μετατόπισηςμετατόπισης ήή δειγματοληψίαςδειγματοληψίας ((shiftingshifting,,

samplingsampling propertyproperty)).. ΣύμφωναΣύμφωνα μεμε αυτήναυτήν τηντην ιδιότητα,ιδιότητα, αναν

f(t)f(t) είναιείναι συνεχήςσυνεχής συνάρτηση,συνάρτηση, τότετότε::

f ( t )δ( t )dt f (0 )

ΤαΤα εκθετικάεκθετικά σήματασήματα παρουσιάζουνπαρουσιάζουν πολύπολύ μεγάλομεγάλο ενδιαφέρον,ενδιαφέρον, επειδήεπειδή

συνδέονταισυνδέονται στενάστενά μεμε τητη δυναμικήδυναμική συμπεριφοράσυμπεριφορά τωντων φυσικώνφυσικών

συστημάτωνσυστημάτων.. ΗΗ γενικήγενική αναλυτικήαναλυτική έκφρασηέκφραση τουτου εκθετικούεκθετικού σήματοςσήματος

είναιείναι::

Εκθετικά σήματαΕκθετικά σήματα

stmx( t ) A e

όπουόπου οο εκθέτηςεκθέτης ss είναιείναι γενικάγενικά μιγαδικόςμιγαδικός αριθμόςαριθμός..

ΤοΤο εκθετικόεκθετικό σήμασήμα μπορείμπορεί νανα περιγράψειπεριγράψει πολλάπολλά σήματασήματα ειδικήςειδικής μορφήςμορφής.. ΑνάλογαΑνάλογα μεμε

τητη μαθηματικήμαθηματική υπόστασηυπόσταση τουτου εκθέτηεκθέτη s,s, τοτο εκθετικόεκθετικό σήμασήμα περιγράφειπεριγράφει τοτο χρονικάχρονικά

αμετάβλητοαμετάβλητο σήμα,σήμα, τηντην εκθετικήεκθετική αύξησηαύξηση καικαι απόσβεση,απόσβεση, τοτο ημιτονοειδέςημιτονοειδές σήμα,σήμα, τηντην

αποσβεννύμενηαποσβεννύμενη ήή φθίνουσαφθίνουσα ταλάντωσηταλάντωση καικαι τηντην αύξουσααύξουσα ταλάντωσηταλάντωση..

ΌτανΌταν οο εκθέτηςεκθέτης ss είναιείναι πραγματικόςπραγματικός αριθμόςαριθμός ((ss == σσ),), τοτο εκθετικόεκθετικό σήμασήμα

είναιείναι μιαμια εκθετικήεκθετική αύξησηαύξηση ((σσ >> 00)) ήή εκθετικήεκθετική απόσβεσηαπόσβεση ((σσ << 00))..

Εκθετική απόσβεση, εκθετική αύξηση Εκθετική απόσβεση, εκθετική αύξηση

και συνεχές σήμακαι συνεχές σήμα

ΗΗ εκθετικήεκθετική αύξησηαύξηση περιγράφειπεριγράφει πολλάπολλά

φυσικάφυσικά φαινόμενα,φαινόμενα, κυρίωςκυρίως ασταθήασταθή..

Αντίθετα,Αντίθετα, ηη εκθετικήεκθετική απόσβεσηαπόσβεση περιγράφειπεριγράφει

συνήθωςσυνήθως ευσταθήευσταθή φυσικάφυσικά φαινόμενα,φαινόμενα,

δηλαδήδηλαδή φαινόμεναφαινόμενα πουπου ελέγχονταιελέγχονται.. ΑνΑν σσ ==

00,, ηη εκθετικήεκθετική αύξησηαύξηση καικαι ηη εκθετικήεκθετική

απόσβεσηαπόσβεση γίνονταιγίνονται τοτο χρονικάχρονικά αμετάβλητοαμετάβλητο

σήμασήμα (συνεχές(συνεχές σήμα)σήμα) μεμε πλάτοςπλάτος ΑΑmm..

Ημιτονοειδές Σήμα (1/4)Ημιτονοειδές Σήμα (1/4)

ΌτανΌταν οο εκθέτηςεκθέτης ss είναιείναι φανταστικόςφανταστικός αριθμόςαριθμός ((σσ == ±± jjωω),), όπουόπου jj είναιείναι ηη

φανταστικήφανταστική μονάδα,μονάδα, τοτο εκθετικόεκθετικό σήμασήμα περιγράφειπεριγράφει τοτο ημιτονοειδέςημιτονοειδές σήμασήμα..

ΣεΣε αυτήναυτήν τηντην περίπτωσηπερίπτωση τοτο εκθετικόεκθετικό σήμασήμα έχειέχει τητη μορφήμορφή::

ΣύμφωναΣύμφωνα μεμε τοντον τύποτύπο τουτου EulerEuler::

jωtmx( t ) A e

jωte συνωt jημωt

jωtm m mx( t ) A e A συνωt jA ημωt οπότεοπότε::

ΈναΈνα τέτοιοτέτοιο σήμα,σήμα, επειδήεπειδή είναιείναι μιγαδικήμιγαδική ποσότητα,ποσότητα, δενδεν έχειέχει φυσικήφυσική

υπόστασηυπόσταση.. ΦυσικήΦυσική υπόστασηυπόσταση έχουνέχουν μόνονμόνον τοτο πραγματικόπραγματικό καικαι τοτο

φανταστικόφανταστικό τουτου μέροςμέρος:: jωtm mRe{ x( t )} Re{ A e } A συνωt

jωtm mIm{ x( t )} Im{ A e } A ημωt

Ημιτονοειδές Σήμα (2/4)Ημιτονοειδές Σήμα (2/4)

ΣτηΣτη γενικότερηγενικότερη περίπτωσηπερίπτωση τοτο εκθετικόεκθετικό σήμασήμα μεμε φανταστικόφανταστικό εκθέτηεκθέτη έχειέχει

τητη μορφήμορφή::

μεμε μέτρομέτρο::

καικαι όρισμαόρισμα::

j(ωt φ )m m mx( t ) A e A συν(ωt φ) jA ημ(ωt φ)

2 2 2 2j(ωt φ )m m m mx( t ) A e A συν (ωt φ) A ημ (ωt φ) A

1 1Im{ x( t )} ημ(ωt φ )arg( x( t )) εφ εφ (ωt φ )

Re{ x( t )} συν(ωt φ )

KάθεKάθε μιγαδικήμιγαδική ποσότηταποσότητα μπορείμπορεί νανα παρασταθείπαρασταθεί μεμε έναένα διάνυσμα,διάνυσμα, τουτου

οποίουοποίου ηη γενικήγενική συμβολικήσυμβολική έκφρασηέκφραση είναιείναι::

x( t ) arg( x( t )) X

Ημιτονοειδές Σήμα (3/4)Ημιτονοειδές Σήμα (3/4)

ΌπωςΌπως φαίνεταιφαίνεται στοστο σχήμα,σχήμα, τοτο διάνυσμαδιάνυσμα έχειέχει μέτρομέτρο AAmm καικαι σχηματίζεισχηματίζει μεμε

τοντον πραγματικόπραγματικό άξοναάξονα γωνίαγωνία ίσηίση μεμε ωtωt ++ φφ.. ΗΗ πολικήπολική τουτου έκφρασηέκφραση είναιείναι::

ΛόγωΛόγω τηςτης περιστροφήςπεριστροφής του,του, τοτο διάνυσμαδιάνυσμα XX λέγεταιλέγεται

στρεφόμενοστρεφόμενο διάνυσμαδιάνυσμα ((phasorphasor)).. ΕπειδήΕπειδή τοτο πέραςπέρας

τουτου στρεφόμενουστρεφόμενου διανύσματοςδιανύσματος διαγράφειδιαγράφει ένανέναν

κύκλο,κύκλο, λέγεταιλέγεται καικαι κυκλικόκυκλικό διάνυσμαδιάνυσμα ((circularcircular

vectorvector)).. ΗΗ θετικήθετική φοράφορά περιστροφήςπεριστροφής είναιείναι αντίθετηαντίθετη

τηςτης φοράςφοράς περιστροφήςπεριστροφής τωντων δεικτώνδεικτών τουτου ρολογιούρολογιού

mA (ωt φ) X

Ημιτονοειδές Σήμα (4/4)Ημιτονοειδές Σήμα (4/4)

ΓνωρίζουμεΓνωρίζουμε ότιότι::

ΠροσθέτουμεΠροσθέτουμε καικαι αφαιρούμεαφαιρούμε

κατάκατά μέλημέλη οπότεοπότε::

jωte συνωt jημωt

άραάρα:: καικαι:: jωtσυνωt jημωt e jωtσυνωt jημωt e

1

2

jωt jωtσυνωt ( e e )

1

2

jωt jωtημωt ( e e )j

καικαι::

ΔιαπιστώνουμεΔιαπιστώνουμε ότιότι τατα ημιτονοειδήημιτονοειδή σήματασήματα είναιείναι ηη

επαλληλίαεπαλληλία ενόςενός στρεφόμενουστρεφόμενου διανύσματοςδιανύσματος καικαι τουτου

συζυγούςσυζυγούς στρεφόμενουστρεφόμενου διανύσματοςδιανύσματος.. ΕίναιΕίναι προφανέςπροφανές

ότιότι τοτο συζυγέςσυζυγές ενόςενός στρεφόμενουστρεφόμενου διανύσματοςδιανύσματος

περιστρέφεταιπεριστρέφεται μεμε τηντην αντίθετηαντίθετη φοράφορά..

ΣτηΣτη γενικότερηγενικότερη περίπτωσηπερίπτωση οο εκθέτηςεκθέτης ss είναιείναι μιγαδικόςμιγαδικός αριθμόςαριθμός ((ss == σσ ±± jωjω)) καικαι τοτο εκθετικόεκθετικό σήμασήμα παριστάπαριστά φθίνουσεςφθίνουσες ταλαντώσειςταλαντώσεις ((σσ << 00)) ήή αύξουσεςαύξουσες ταλαντώσειςταλαντώσεις ((σσ >> 00)).. ΤοΤο εκθετικόεκθετικό σήμασήμα μεμε μιγαδικόμιγαδικό εκθέτηεκθέτη έχειέχει τητη μορφήμορφή::

Φθίνουσα και αύξουσα ταλάντωση (1/3)Φθίνουσα και αύξουσα ταλάντωση (1/3)

ΧρησιμοποιώνταςΧρησιμοποιώντας τοντον τύποτύπο τουτου EulerEuler προκύπτειπροκύπτει ότιότι::

( σ jω )tmx( t ) A e

σt jωt σtm mx( t ) A e e A e (συνωt jημωt )

μεμε μέτρομέτρο::

καικαι όρισμαόρισμα::

2 2σt σtm mx( t ) A e συν ωt ημ ωt A e

1 Im{ x( t )}arg( x( t )) εφ ωt

Re{ x( t )}

ΗΗ πολικήπολική έκφρασηέκφραση αυτούαυτού τουτου διανύσματοςδιανύσματος είναιείναι::

Φθίνουσα και αύξουσα ταλάντωση (2/3)Φθίνουσα και αύξουσα ταλάντωση (2/3)

ΑνΑν σσ << 00,, τοτο πλάτοςπλάτος τουτου διανύσματοςδιανύσματος φθίνειφθίνει μεμε τοντον χρόνο,χρόνο, ενώ,ενώ, αναν σσ >> 00,, τοτο πλάτοςπλάτος τουτου διανύσματοςδιανύσματος αυξάνειαυξάνει μεμε τοντον χρόνοχρόνο

σtmA e ωt X

ΌπωςΌπως φαίνεταιφαίνεται στοστο σχήμα,σχήμα, τοτο πέραςπέρας τουτου στρεφόμενουστρεφόμενου διανύσματοςδιανύσματος διαγράφειδιαγράφει στοστο μιγαδικόμιγαδικό επίπεδοεπίπεδο μιαμια σπειροειδήσπειροειδή τροχιάτροχιά.. ΗΗ σπειροειδήςσπειροειδής τροχιάτροχιά είναιείναι συγκλίνουσα,συγκλίνουσα, ότανόταν σσ << 00,, καικαι αποκλίνουσα,αποκλίνουσα, ότανόταν σσ >> 00.. ΤοΤο διάνυσμαδιάνυσμα αυτό,αυτό, εξαιτίαςεξαιτίας τηςτης σπειροειδούςσπειροειδούς κίνησηςκίνησης τουτου πέρατόςπέρατός του,του, λέγεταιλέγεται σπειροειδέςσπειροειδές διάνυσμαδιάνυσμα ((spiralspiral vectorvector)).. ΕίναιΕίναι προφανέςπροφανές ότιότι τατα κυκλικάκυκλικά διανύσματα,διανύσματα, δηλαδήδηλαδή τατα στρεφόμεναστρεφόμενα διανύσματαδιανύσματα μεμε σταθερόσταθερό πλάτος,πλάτος, είναιείναι ειδικήειδική περίπτωσηπερίπτωση τωντων σπειροειδώνσπειροειδών διανυσμάτων,διανυσμάτων, ότανόταν σσ == 00.. ΣταΣτα επόμενα,επόμενα, ότανόταν αναφερόμαστεαναφερόμαστε σεσε στρεφόμεναστρεφόμενα διανύσματα,διανύσματα, εννοούμεεννοούμε τατα κυκλικάκυκλικά διανύσματαδιανύσματα..

Φθίνουσα και αύξουσα ταλάντωση (3/3)Φθίνουσα και αύξουσα ταλάντωση (3/3)

ΌπωςΌπως είναιείναι γνωστό,γνωστό, οο εκθέτηςεκθέτης τηςτης μαθηματικήςμαθηματικής έκφρασηςέκφρασης μιαςμιας φυσικήςφυσικής ποσότηταςποσότητας είναιείναι αδιάστατοαδιάστατο μέγεθοςμέγεθος.. Έτσι,Έτσι, απόαπό τητη γενικήγενική μορφήμορφή τουτου εκθετικούεκθετικού σήματοςσήματος::

Μιγαδική Συχνότητα (1/2)Μιγαδική Συχνότητα (1/2)

συμπεραίνουμεσυμπεραίνουμε ότιότι οιοι ποσότητεςποσότητες σσ καικαι ωω πρέπειπρέπει νανα έχουνέχουν διαστάσειςδιαστάσεις συχνότηταςσυχνότητας (t(t--11)).. ΗΗ ποσότηταποσότητα ωω είναιείναι ηη γνωστήγνωστή γωνιακήγωνιακή συχνότητασυχνότητα καικαι μετριέταιμετριέται σεσε radrad/s,/s, ενώενώ ηη ποσότηταποσότητα σσ λέγεταιλέγεται νεπέρειανεπέρεια συχνότητασυχνότητα.. Ανάλογα,Ανάλογα, μιγαδικόςμιγαδικός εκθέτηςεκθέτης τουτου εκθετικούεκθετικού σήματοςσήματος ονομάζεταιονομάζεται μιγαδικήμιγαδική συχνότητασυχνότητα ((complexcomplex frequencyfrequency))..

( σ jω )t σt jωtm mx( t ) A e A e e

ΘέτονταςΘέτοντας ωω==00,, προκύπτειπροκύπτει::

Μιγαδική Συχνότητα (2/2)Μιγαδική Συχνότητα (2/2)

ΕπειδήΕπειδή οο νεπέρειοςνεπέρειος λογάριθμοςλογάριθμος είναιείναι αδιάστατοαδιάστατο μέγεθος,μέγεθος, όπωςόπως καικαι τοτο

ακτίνιοακτίνιο ((radrad),), απόαπό τηντην παραπάνωπαραπάνω εξίσωσηεξίσωση συμπεραίνουμεσυμπεραίνουμε ότιότι τοτο σσ θαθα

μετρηθείμετρηθεί μεμε μονάδαμονάδα "κάποια"κάποια ποσότητα"/sποσότητα"/s.. ΑυτήΑυτή ηη "κάποια"κάποια ποσότητα",ποσότητα",

δηλαδήδηλαδή ηη αδιάστατηαδιάστατη ποσότηταποσότητα lnln(x(t)/Am)(x(t)/Am),, ονομάζεταιονομάζεται neperneper,, οπότεοπότε ηη

νεπέρειανεπέρεια συχνότητασυχνότητα μετριέταιμετριέται σεσε neperneper/s/s.. ΑπόΑπό τατα παραπάνωπαραπάνω προκύπτειπροκύπτει

ότιότι ηη μιγαδικήμιγαδική συχνότητασυχνότητα εκφράζεταιεκφράζεται ωςως::

μιγαδική συχνότητα = μιγαδική συχνότητα = νεπέρειανεπέρεια συχνότητα συχνότητα ±± j(γωνιακή συχνότητα)j(γωνιακή συχνότητα)

ΗΗ νεπέρειανεπέρεια συχνότητασυχνότητα αναφέρεταιαναφέρεται στηνστην απόσβεσηαπόσβεση ήή στηνστην ενίσχυσηενίσχυση τουτου

σήματος,σήματος, ενώενώ ηη γωνιακήγωνιακή συχνότητασυχνότητα στηνστην περιοδικήπεριοδική τουτου επανάληψηεπανάληψη..

m

x( t )n

t A

Η σημασία του εκθετικού σήματος Η σημασία του εκθετικού σήματος

(1/2)(1/2)

ΑπόΑπό τηντην εξέτασηεξέταση τουτου εκθετικούεκθετικού σήματοςσήματος διαπιστώσαμεδιαπιστώσαμε

ότιότι αυτόαυτό μπορείμπορεί νανα περιγράψειπεριγράψει αρκετάαρκετά χρήσιμαχρήσιμα

σήματα,σήματα, ανάλογαανάλογα μεμε τητη μαθηματικήμαθηματική υπόστασηυπόσταση τουτου

εκθέτηεκθέτη ss.. Επιπλέον,Επιπλέον, τοτο εκθετικόεκθετικό σήμασήμα αποτελείαποτελεί φυσικήφυσική

εκδήλωσηεκδήλωση όλωνόλων τωντων γραμμικώνγραμμικών φυσικώνφυσικών συστημάτωνσυστημάτων

καικαι απόαπό τητη μορφήμορφή τουτου είναιείναι δυνατόδυνατό νανα προκύψουνπροκύψουν

ποιοτικάποιοτικά καικαι ποσοτικάποσοτικά συμπεράσματασυμπεράσματα γιαγια τητη δομήδομή καικαι

τητη συμπεριφοράσυμπεριφορά αυτώναυτών τωντων φυσικώνφυσικών συστημάτωνσυστημάτων..

Η σημασία του εκθετικού σήματος Η σημασία του εκθετικού σήματος

(2/2)(2/2)

ΗΗ σημασίασημασία τουτου εκθετικούεκθετικού σήματοςσήματος αυξάνειαυξάνει καικαι απόαπό τοτο γεγονόςγεγονός

ότιότι σχεδόνσχεδόν κάθεκάθε σήμασήμα μπορείμπορεί νανα αναλυθείαναλυθεί σεσε άθροισμαάθροισμα

εκθετικώνεκθετικών σημάτωνσημάτων.. ΗΗ ανάλυσηανάλυση οποιουδήποτεοποιουδήποτε σήματοςσήματος σεσε

άθροισμαάθροισμα εκθετικώνεκθετικών σημάτωνσημάτων επιτυγχάνεταιεπιτυγχάνεται μεμε τητη σειράσειρά

FourierFourier καικαι τοντον μετασχηματισμόμετασχηματισμό LaplaceLaplace..

Τέλος,Τέλος, μεμε μιαμια σημαντικήσημαντική ιδιότηταιδιότητα τουτου εκθετικούεκθετικού σήματος,σήματος, είναιείναι

ότιότι τοτο εκθετικόεκθετικό σήμασήμα διατηρείδιατηρεί τητη μορφήμορφή τουτου κατάκατά τητη διαφόρισηδιαφόριση

καικαι τηντην ολοκλήρωσηολοκλήρωση ωςως προςπρος τοντον χρόνοχρόνο..

Ερωτήσεις / Απορίες ;Ερωτήσεις / Απορίες ;