ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α - Eap frontistiria · 2018-09-06 · q...

ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 13 Ν. ΠΑΝΤΕΛΗ www.frontistiria-eap.gr e-mail: [email protected] Τηλ:210.93.24.450

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α

Επιχειρησιακά Μαθηματικά

(1)

ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2012

http://www.frontistiria-eap.gr/�

mailto:[email protected]�


2

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο

Συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής

Ορισμός : Συνάρτηση f μιας πραγματικής μεταβλητής λέγεται η διαδικασία με βάση την οποία σε κάθε στοιχείο x ενός συνόλου Α αντιστοιχούμε ακριβώς ένα στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β. Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και το σύνολο Β λέγεται σύνολο τιμών της συνάρτησης f και συμβολίζεται με f(Α).

( )f :Α Β x y f x→ → = Πρακτικά για μια συνάρτηση δίνεται μόνο ο τύπος της. Στην περίπτωση αυτή το πεδίο ορισμού Α το βρίσκουμε παίρνοντας υπ’ όψιν όλους τους δυνατούς περιορισμούς για τους οποίους έχει νόημα ο τύπος της συνάρτησης. Παράδειγμα Συνάρτηση κατανάλωσης. C = f(Y) = 100+30⋅Y Όπου C είναι η κατανάλωση και Υ το διαθέσιμο εισόδημα. Ως πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών μπορούμε εδώ να ορίσουμε τα σύνολα των δυνατών τιμών του διαθέσιμου εισοδήματος και κατανάλωσης αντίστοιχα. Την τιμές μίας συνάρτησης τις υπολογίζουμε αντικαθιστώντας στην θέση της μεταβλητής τους δοσμένους αριθμούς και εκτελώντας τις πράξεις. Παράδειγμα Υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης C = f(Y) = 100+30⋅Y για Y=10. Αντικαθιστούμε στον τύπο της συνάρτησης το Y με 10 και έχουμε: C = f(10) = 100+30⋅10 = 100 + 300 = 400




3

Εξίσωση πρώτου βαθμού.

Κάθε πρωτοβάθμια εξίσωση μετά από πράξεις μπορεί πάντα να φτάνει στην μορφή α

.x=β. Έτσι αν :

I. α 0≠ η εξίσωση έχει μία μοναδική λύση, την βxα

=

II. α=β=0 η εξίσωση αληθεύει για κάθε τιμή του x∈R (ταυτότητα , αόριστη) III. α=0 και β 0≠ η εξίσωση είναι αδύνατη Παράδειγμα Να λυθεί η εξίσωση ( ) ( ) ( )2 x 3 3 x 2 10 2 x 2 30 15x− − + + − + − = −

( ) ( ) ( )2 x 3 3 x 2 10 2 x 2 30 15x2x 6 3x 6 10 2x 4 30 15x2x 3x 2x 15x 30 4 10 6 612x 3612x 3612 12x 3

− − + + − + − = − ⇔

− − − + − − − = − ⇔− − + = + − + + ⇔

= ⇔

= ⇔

=

Γραμμικές και δευτεροβάθμιες συναρτήσεις . Ορισμός : Γραμμική συνάρτηση

Γενικά μια γραμμική συνάρτηση έχει την μορφή : y = f(x) = α⋅ x + β

Γεωμετρικά η παράμετρος β εκφράζει την θέση της ευθείας στο επίπεδο ενώ η παράμετρος α την κλίση της ευθείας σε σχέση με τον οριζόντιο άξονα Οx (συγκεκριμένα εκφράζει την εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζεται από τον άξονα Οx και την ευθεία). Κάθε συνάρτηση της μορφής f(x)=αx+β παριστάνει ευθεία και για την γραφική της παράσταση αρκούν δύο σημεία της. Έτσι κατασκευάζουμε τον πίνακα τιμών:

x 0 βα

−

y=f(x) β ο Θέτοντας διαδοχικά x=0 και y=0 έχουμε το πλεονέκτημα να γνωρίζουμε τα σημεία τομής με τους άξονες




4

Μία εξίσωση της μορφής ( )1 1y yα x x− = − είναι επίσης εξίσωση ευθείας,

όπου α η κλίσης της και ( )1 1x ,y ένα σημείο της.

Το γράφημα της ευθείας

Πιθανές γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης της ευθείας είναι:

ω

0y xα βα

= +>

ω

0y xα βα

= +<

y β=

Για να βρούμε την εξίσωση μίας ευθείας y = f(x) = α⋅ x + β χρειαζόμαστε: • Ένα σημείο της ( x1 ,y1 ) και την κλίση της α

ή Δύο σημεία της

Παράδειγμα Βρείτε την εξίσωση της ευθείας που έχει κλίση α=2 και περνάει από το σημείο (1, 3). Η εξίσωση της ευθείας έχει γενική μορφή y = α⋅ x + β. Οπότε αντικαθιστώντας τα δεδομένα μας έχουμε: y αx β 3 2 1 β 3 2 β β 2 3 β 1 β 1= + ⇔ = ⋅ + ⇔ = + ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = Άρα η ευθεία έχει εξίσωση y = 2⋅ x + 1 Παράδειγμα Βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνάει από τα σημεία (1, 2) και ( 4, -1 ). Πρώτα θα υπολογίσουμε την κλίση της ευθείας αντικαθιστώντας τα παραπάνω σημεία στο παρακάτω τύπο.

2 1

2 1

y y 1 2 3α 1x x 4 1 3

− − − −= = = = −

− −

Χρησιμοποιώντας ένα απο τα δοσμένα σημεία σχηματίζουμε την εξίσωση της ευθείας. (Δεν έχει σημασία ποιο από τα δύο σημεία θα επιλέξουμε)

( ) ( )1 1y yα x x y 2 1 x 1 y 2 x 1 y x 1 2 y x 3− = − ⇔ − = − − ⇔ − = − + ⇔ = − + + ⇔ = − + Για να βρούμε το σημείο τομής δύο ευθειών 1 1y α x β= + και 2 2y α x β= + εξισώνουμε τα δεύτερα μέλη των εξισώσεων, εφόσον τα πρώτα είναι ίσα, δηλαδή y, και έτσι δημιουργείτε μία εξίσωση με μόνο άγνωστο το x, την οποία λύνουμε.




5

Έτσι αφού βρήκαμε το x, το αντικαθιστούμε σε μία από τις αρχικές εξισώσεις ευθειών και βρίσκουμε και το y. Υπάρχει περίπτωση να μην έχουν κοινό σημείο, αν είναι παράλληλες. Παράδειγμα Να βρεθεί αλγεβρικά το σημείο τομής των ευθειών y = 2⋅ x + 1 και y x 3= − + . εξισώνουμε τα δεύτερα μέλη των εξισώσεων και ακολούθως έχουμε:

3x 2 22x 1 x 3 2x x 3 1 3x 2 x3 3 3

+ = − + ⇔ + = − ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Αντικαθιστούμε την τιμή του x, δηλαδή το 23

σε μία από τις αρχικές εξισώσεις και

υπολογίζουμε το y. Έτσι έχουμε: 2 2 9 7y x 3 33 3 3 3

= − + = − + = − + =

Άρα το κοινό σημείο των δύο ευθειών είναι 2 7,3 3

Ορισμός : Δευτεροβάθμιες συναρτήσεις

Η γενική μορφή της δευτεροβάθμιας συνάρτησης είναι: y = f(x) = α⋅x2 + β⋅x+γ Οι ρίζες της εξίσωσης x1 και x2 (δηλαδή οι λύσεις της f(x)=0) δίνονται από τον τύπο

2

1,2β β 4αγx

2α− ± −

= όπου α≠0

Εάν Δ =β2 - 4⋅α⋅γ < 0 οι ρίζες είναι μη πραγματικές Εάν Δ =β2 - 4⋅α⋅γ > 0 οι ρίζες είναι πραγματικές και διαφορετικές μεταξύ τους. Εάν Δ =β2 - 4⋅α⋅γ = 0 υπάρχει μια πραγματική ρίζα. Επίσης εάν α>0 τότε η συνάρτηση f είναι κυρτή και έχει ελάχιστο στο σημείο

β Δ(x,y) ( , )2α 4α

= − − .

Εάν α<0 τότε η συνάρτηση f είναι κοίλη και έχει μέγιστο στο σημείο β Δ(x,y) ( , )2α 4α

= − −




6

Παράδειγμα Εάν υποθέσουμε ότι η συνάρτηση ζήτησης του προϊόντος ενός μονοπωλητή είναι P = k−a⋅Q, όπου P είναι η τιμή του προϊόντος, Q η ποσότητα που ζητείται, και k, a θετικοί παράμετροι, τότε τα συνολικά έσοδα είναι: TR = P⋅Q = k⋅Q−a⋅Q2 μια συνάρτηση δευτέρου βαθμού.

Εάν η συνάρτηση κόστους είναι γραμμική TC = F+b⋅Q τότε και η συνάρτηση κερδών Π = TR−TC = −a⋅Q2 + (K−b)⋅Q − F είναι μια δευτεροβάθμια συνάρτηση ως προς την ποσότητα Q. Εάν −a<0 τότε η συνάρτηση κερδών μεγιστοποιείται όταν το επίπεδο παραγωγής είναι Q* = −b/2a = (K−b)/2a, και τα μέγιστα κέρδη είναι Π*= 2{(K b) / 4a} F− − Παράδειγμα Να λυθεί η εξίσωση 2x2 – 10x +12 =0 Έχουμε α = 2, β = -10 και γ = 12 Υπολογίζουμε την διακρίνουσα Δ

( )22Δ β 4αγ 10 4 2 12 100 96 4 2= − = − − ⋅ ⋅ = − = = Εφόσον Δ > 0 έχει δύο λύσεις. Από τον τύπο 2

1,2β β 4αγx

2α− ± −

= έχουμε:

( )2

1,2

10 2 12 310 2β β 4αγ 10 2 4 4x2α 2 2 4 10 2 8 2

4 4

+= =− − ±− ± − ±

= = = =⋅ −

= =

Άρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι 1 2x 3 και x 2= =




7

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔEΟ 13 Άσκηση 1 Οι συναρτήσεις προσφοράς ( SQ ) και ζήτησης ( DQ ) κάποιου αγαθού είναι:

3 8SQ P= + 42 2DQ P= − .

Να υπολογιστούν η τιμή και η ποσότητα του αγαθού σε κατάσταση ισορροπίας.

Λύση

Σε κατάσταση ισορροπίας έχουμε ότι S DQ Q= . Άρα:

S D34Q Q 3P 8 42 2P 3P 2P 42 8 5P 34 P P 6,85

= ⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Οπότε η τιμή του αγαθού σε κατάσταση ισορροπίας είναι P 6,8= Αντικαθιστώντας την τιμή στη συνάρτηση προσφοράς έχουμε:

3 8 3 6 8 8 20 4 8 28 4SQ P , , ,= + = ⋅ + = + = Άρα η ποσότητα του αγαθού σε κατάσταση ισορροπίας είναι SQ 28,4=

Άσκηση 2 I. Το μερίδιο αγοράς μιας εταιρείας (ως ποσοστό) κατά τον πρώτο χρόνο λειτουργίας της

είναι 12% ενώ κατά τον δέκατο χρόνο είναι 30%. Υπολογίσατε την εξίσωση της ευθείας γραμμής που συνδέει το μερίδιο αγοράς της εταιρείας με τον χρόνο λειτουργίας της.

II. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο (5,20) και έχει κλίση ίση με -2. Να βρεθούν, επίσης, τα σημεία στα οποία η ευθεία τέμνει τους άξονες Χ και Υ.

III. Να βρεθεί αλγεβρικά και διαγραμματικά το σημείο τομής των ευθειών που προκύπτουν από τα ερωτήματα Ι και ΙΙΙ.

Λύση

I) Έστω y το μερίδιο αγοράς της εταιρείας και x ο χρόνος λειτουργίας της. Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία ( ) ( )1 1x ,y 1 ,12= και ( ) ( )2 2x ,y 10 ,30= υπολογίζεται ακολούθως:

Η κλίση της ευθείας είναι 2 1

2 1

y y 30 12 18α 2x x 10 1 9

− −= = = =

− −

Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο ( ) ( )1 1x ,y 1 ,12= είναι

( ) ( )1 1y yα x x y 12 2 x 1 y 12 2x 2 y 2x 12 2 y 2x 10− = − ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = + − ⇔ = +

II) Η εξίσωση της ευθείας είναι ( ) ( )1 1y yα x x y 20 2 x 5 y 20 2x 10 y 2x 10 20 y 2x 30− = − ⇔ − = − − ⇔ − = − + ⇔ = − + + ⇔ = − +

για να βρούμε το σημείο τομής της ευθείας




8

a) με τον άξονα Y θέτουμε x=0 και υπολογίζουμε το y. y 2 0 30 30= − ⋅ + = Άρα το σημείο είναι (0 , 30)

b) με τον άξονα Χ θέτουμε y=0 και υπολογίζουμε το x 0 2 x 30 2x 30 x 15= − ⋅ + ⇔ = ⇔ = Άρα το σημείο είναι (15 , 0)

ΙΙΙ) Εξισώνουμε τα δεύτερα μέλη των εξισώσεων και ακολούθως έχουμε: 2x 10 2x 30 2x 2x 30 10 4x 20 x 5+ = − + ⇔ + = − ⇔ = ⇔ = αντικαθιστούμε την τιμή του x στην πρώτη εξίσωση, οπότε είναι y 2 5 10 10 10 20= ⋅ + = + = έτσι το σημείο είναι το ( 5, 20)

Άσκηση 3 Έστω η συνάρτηση 2 8 7y x x= − + . I. Για ποιες τιμές του x ισχύει 2 8 7 0x x− + = ;

II. Ποιες οι συντεταγμένες του μέγιστου ή ελαχίστου σημείου; Λύση

Ι. Έχουμε α = 1, β = -8 και γ = 7 Υπολογίζουμε την διακρίνουσα Δ

( )22Δ β 4αγ 8 4 1 7 64 28 36 6= − = − − ⋅ ⋅ = − = = Εφόσον Δ > 0 έχει δύο λύσεις. Από τον τύπο 2

1,2β β 4αγx

2α− ± −

= έχουμε:

( )2

1,2

8 6 14 78 6β β 4αγ 8 6 2 2x2α 2 1 2 8 6 2 1

2 2

+= =− − ±− ± − ±

= = = =⋅ −

= =

Άρα οι τιμές είναι 1 2x 7 και x 1= = ΙΙ. Επειδή α>0 η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο

( )β Δ 8 36(x,y) ( , ) , 4, 92α 4α 2 1 4 1

− → − − → − − → − ⋅ ⋅

Άσκηση 4 Έστω ότι μια υποθετική οικονομία χαρακτηρίζεται από τις ακόλουθες εξισώσεις:




9

100 0.60

5030 0.10

84 0.10100 0.05

d

d

C YY Y T FIT YG YF Y

= += − +

== − += += −

όπου C η συνάρτηση κατανάλωσης, dY το διαθέσιμο εισόδημα, Y το εισόδημα, T οι φόροι, F οι μεταβιβαστικές πληρωμές, I οι επενδύσεις, G οι κρατικές δαπάνες. Ι) Να υπολογιστεί το εισόδημα ισορροπίας. Υπόδειξη: Y C I G= + + . Λύση

Το εισόδημα ισορροπίας θα είναι :

( )( )

( )

dY C I G Y 100 O 6Y I 84 0 1YY 100 0 6 Y T F I 84 0 1Y

Y 100 0 6 Y 30 0 1Y 100 0 05Y I 84 0 1Y

Y 100 0 6 Y 30 0 1Y 100 0 05Y I 8

, , , ,

, , , ,

, , ,

= + + ⇔ = + + + +

⇔ = + − + + + +

⇔ = + − − + + − + + + ⇔ = + + − + − + +

( )4 0 1Y

Y 100 0 6 0 85Y 130 I 84 0 1YY 100 0 51Y 78 I 84 0 1YY 178 0 51Y 50 84 0 1YY 312 0 61YY 0 61Y 3

,

, , , , , , , , ,

+

⇔ = + + + + +

⇔ = + + + + +⇔ = + + + +⇔ = +⇔ − = 12

0 39Y 312Y 800

,

⇔ =⇔ =

Άσκηση 5 Μια οικονομία χαρακτηρίζεται από τις ακόλουθες συναρτήσεις: C = 600 + 0,40(Y - T) (1) T = 200 (2) I = 20 + 0,2Y (3) G = 100 (4) όπου: C η κατανάλωση, Y το πραγματικό εισόδημα, Τ τα πάγια φορολογικά έσοδα, Ι οι επενδύσεις και G οι δημόσιες δαπάνες. I. Υπολογίστε το πραγματικό εισόδημα ισορροπίας το οποίο δίνεται από την σχέση Y=Ε, όπου Ε είναι η επιθυμητή δαπάνη και δίνεται από την σχέση: E = C + I + G (5) II. Υπολογίστε εκ νέου το πραγματικό εισόδημα ισορροπίας αν οι δημόσιες δαπάνες

μειωθούν κατά 50 νομισματικές μονάδες. III. Αν στην οικονομία δεν υπήρχε δημόσιος τομέας, ποιο θα ήταν το πραγματικό

εισόδημα ισορροπίας; Υπόδειξη: Στην περίπτωση αυτή T=G=0.




10

Λύση I. Δεδομένου ότι το πραγματικό εισόδημα ισορροπίας δίνεται από τη σχέση Υ=Ε, όπου Ε=C+I+G, έχουμε ότι :

600 0,4( 200) 20 0,2 100600 0,4 80 20 0,2 100 640 0,60,6 640 (1 0,6) 640 0,4 640640 16000,4

Y C I G Y Y YY Y Y Y YY Y Y Y

Y Y

= + + ⇔ = + − + + + ⇔= + − + + + ⇔ = + ⇔− = ⇔ − = ⇔ = ⇔

= ⇔ =

II. Λαμβάνοντας υπόψη την μείωση των δημόσιων δαπανών κατά 50 μονάδες έχουμε ότι:

600 0,4( 200) 20 0,2 50600 0,4 80 20 0,2 50 590 0,60,6 590 (1 0,6) 590 0,4 590590 14750,4

Y C I G Y Y YY Y Y Y YY Y Y Y

Y Y

= + + ⇔ = + − + + + ⇔= + − + + + ⇔ = + ⇔− = ⇔ − = ⇔ = ⇔

= ⇔ =

ΙΙΙ. Αν στην οικονομία δεν υπήρχε δημόσιος τομέας, η συνθήκη ισορροπίας είναι Y=C+I εφόσον T=0 και G=0. Με βάση αυτή την συνθήκη έχουμε:

600 0.4* 20 0.2*620 0.6* 0.6* 620

620*(1 0.6) 620 0.4* 620 15500.4

Y Y YY Y Y Y

Y Y Y Y

= + + + ⇒= + ⇒ − = ⇒

− = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Άσκηση 6 Η συνάρτηση αποταμίευσης μιας οικονομίας είναι S=-20+0,25*Y. Οι επενδύσεις είναι I=50.

I. Υπολογίστε το εισόδημα ισορροπίας (Υ), την κατανάλωση (C) και την αποταμίευση (S). Υπόδειξη: Το εισόδημα ισορροπίας βρίσκεται από την συνθήκη ισορροπίας S=I. Ενώ χρησιμοποιώντας τη συνθήκη ισορροπίας Y=C+I βρίσκουμε την κατανάλωση.

II. Υπολογίσατε το εισόδημα ισορροπίας (Υ), την κατανάλωση (C) και την αποταμίευση (S) εάν οι επενδύσεις αυξηθούν κατά 10 νομισματικές μονάδες.

Λύση I. Το εισόδημα ισορροπίας βρίσκεται από την συνθήκη ισορροπίας S=I. Επομένως έχουμε:

7020 0.25* 50 0.25* 50 20 0.25* 70 2800.25

S I Y Y Y Y Y= ⇒ − + = ⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Χρησιμοποιώντας τη συνθήκη ισορροπίας Y=C+I έχουμε:

280 50 280 50 230Y C I C C C= + ⇒ = + ⇒ = − ⇒ =




11

Χρησιμοποιώντας τον τύπο S=-20+0,25*Y, η αποταμίευση ισούται με:

20 0.25* 20 0.25*280 20 70 50S Y S S S= − + ⇒ = − + ⇒ = − + ⇒ = ΙΙ. Το εισόδημα ισορροπίας βρίσκεται από την συνθήκη ισορροπίας S=I. Επομένως έχουμε:

80' 20 0.25* 60 0.25* 60 20 0.25* 80 3200.25

S I Y Y Y Y Y= ⇒ − + = ⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Χρησιμοποιώντας τη συνθήκη ισορροπίας Y=C+I’ έχουμε:

' 320 60 320 60 260Y C I C C C= + ⇒ = + ⇒ = − ⇒ = Χρησιμοποιώντας τον τύπο S=-20+0,25*Y, η αποταμίευση ισούται με:

20 0,25* 20 0,25*320 20 80 60S Y S S S= − + ⇒ = − + ⇒ = − + ⇒ = Άσκηση 7 Έστω ότι η συνάρτηση ζήτησης για το προϊόν μιας μονοπωλιακής επιχείρησης είναι

20 0,5P Q= − , ενώ η συνάρτηση του συνολικού κόστους που αντιμετωπίζει η επιχείρηση είναι 30 10TC Q= + . Να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις του συνολικού εσόδου (TR) και κέρδους (Π) του μονοπωλίου. Λύση Η συνάρτηση του συνολικού εσόδου είναι: 2(20 0.5 ) 20 0.5TR PQ Q Q Q Q= = − = − . Το κέρδος του μονοπωλίου είναι:

2 220 0,5 30 10 0,5 10 30TR TC Q Q Q Q QΠ = − = − − − ⇒ Π = − + − Άσκηση 8 I. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία (5,1) και (10, 2).

II. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο (10, 2) και έχει κλίση ίση με -0.2. Να βρεθεί επίσης το σημείο στο οποίο η ευθεία τέμνει τους άξονες Χ και Υ.

III. Να βρεθεί αλγεβρικά το σημείο τομής των ευθειών που προκύπτουν από τα ερωτήματα I και IΙ.

Λύση Ι. Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία 1 1( , ) (5, 1)x y = και

2 2( , ) (10, 2)x y = υπολογίζεται ως ακολούθως: Πρώτα υπολογίζεται η κλίση της ευθείας




12

χρησιμοποιώντας τον τύπο: 2 1

2 1

2 1 1 0,210 5 5

y yax x

− −= = = =

− −. Έπειτα υπολογίζεται η

εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο 1 1( , ) (5, 1)x y = και έχει κλίση 0,2α = :

( ) ( )1 1 1 0,2 5 0,2 1 1 0,2y y a x x y x y x y x− = − ⇒ − = − ⇒ = − + ⇒ = . ΙΙ. Η εξίσωση της ευθείας γραμμής που διέρχεται από το σημείο 1 1( , ) (10, 2)x y = και έχει κλίση 0,2α = − είναι:

( ) ( )1 1 2 0,2 10 0, 2 4y y a x x y x y x− = − ⇒ − = − − ⇒ = − + Η ευθεία 0,2 4y x= − + τέμνει τον άξονα y στο σημείο y=4 (διότι για x=0 το y=4) και τον άξονα x στο σημείο x=20 (διότι για y=0 έχουμε 0 0,2 4 0, 2 4 20x x x= − + ⇒ − = − ⇒ = ). ΙΙΙ. Η εξίσωση που προκύπτει από το ερώτημα Ι είναι y=0,2x, ενώ αυτή του ερωτήματος IΙείναι y=-0,2x+4. Αλγεβρικά το σημείο τομής μπορεί να υπολογιστεί λύνοντας την εξίσωση: 0, 2 0,2 4x x= − + Έχουμε 0,2 0,2 4 0,2 0,2 4 0,4 4 10x x x x x x= − + ⇔ + = ⇔ = ⇔ = Και η τιμή του y που αντιστοιχεί στο x=10 είναι y=0,2(10)=2 Άρα το σημείο τομής των ευθειών ειναι το ( 10, 2)

Άσκηση 9 Οι συναρτήσεις προσφοράς (Ps) και ζήτησης (Pd) κάποιου αγαθού είναι:

2 5 10s s sP Q Q= + + και

2 11 26d d dP Q Q= − + . Να υπολογιστούν η τιμή και η ποσότητα του αγαθού σε κατάσταση ισορροπίας. Λύση

Σε κατάσταση ισορροπίας ds PP = και s dQ Q Q= = . Οπότε έχουμε: 116162611105 22 =⇔=⇔+−=++⇔= QQQQQQPP ds

Άρα η ποσότητα του αγαθού σε κατάσταση ισορροπίας είναι 1=Q Αντικαθιστώντας την ποσότητα στην συνάρτηση προσφοράς έχουμε

( ) ( )22 5 10 1 5 1 10 1 5 10 16s s sP Q Q= + + = + + = + + = Άρα η τιμή του αγαθού σε κατάσταση ισορροπίας είναι 16=P Άσκηση 10 Η συνάρτηση συνολικού κόστους (TC) μιας επιχείρησης δίνεται από την εξίσωση,

3QTC = , όπου Q είναι η ποσότητα του αγαθού. Η συνάρτηση ζήτησης του αγαθού είναι QP −= 110 , όπου P είναι η τιμή του αγαθού.

Ι) Να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις του συνολικού εσόδου (TR) και κέρδους (Π) της επιχείρησης. ΙΙ) Υπολογίστε για ποιες ποσότητες αγαθού (Q) τα κέρδη της επιχείρησης είναι μηδέν.




13

Λύση Ι) Οι συναρτήσεις του συνολικού εσόδου (TR) και κέρδους (Π) είναι: ( ) 2110110 QQQQPQTR −=−==

( ) 3232 110110 QQQQQQTCTR −−=−−=−=Π ΙΙ) ( ) 011001100 232 =−−⇒=−−⇒=Π QQQQQQ Άρα μία λύση είναι Q=0 και η δευτεροβάθμια εξίσωση 0110 2 =−− QQ έχει λύσεις

( ) ( ) ( )( )( )

10220

221111

222

2211

2211

244011

121101411

24

21

22

2,1

=−−

=−−

=−=−=−+

=

−±

=−

+±=

−−−−±−−

=−±−

=

QQ

aacbbQ

Η αρνητική τιμή απορρίπτεται και συνεπώς οι ποσότητες που μηδενίζουν το κέρδος είναι Q=0 και Q=10. Άσκηση 11 Οι συναρτήσεις ολικών εσόδων R και ολικού κόστους C μιας εταιρίας, η οποία παράγει ένα συγκεκριμένο προϊόν, είναι 2( ) 847 2R Q Q Q= − και 2( ) 1225 115C Q Q Q= + + αντίστοιχα, όπου Q η ποσότητα παραγωγής του προϊόντος.

(i) Να προσδιοριστεί η ποσότητα Q παραγωγής του προϊόντος για την οποία μεγιστοποιούνται τα κέρδη της εταιρίας. ..................................................................... (30%)

(ii) Να προσδιοριστεί η ποσότητα Q παραγωγής του προϊόντος για την οποία ελαχιστοποιείται το μέσο κόστος της εταιρίας. (30%)

Να προσδιοριστεί η ποσότητα Q παραγωγής του προϊόντος για την οποία το μέσο

κόστος της εταιρίας ισούται με το οριακό κόστος. (40%)

Άσκηση 12 Η συνάρτηση ζήτησης ενός αγαθού ορίζεται ως εξής: QD = – P2 + 12P – 7, όπου QD η ποσότητα ζήτησης και Ρ η τιμή του προϊόντος.

α) Δεδομένου ότι η συνάρτηση ζήτησης είναι φθίνουσα, να ορισθεί το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών της συνάρτησης. β) Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. γ) Αν για το ίδιο αγαθό η συνάρτηση προσφοράς ορίζεται ως QS = P – 1, να υπολογισθεί το σημείο ισορροπίας στο οποίο η προσφερόμενη και η ζητούμενη ποσότητα είναι ίσες. δ) Υπολογίστε την οριακή μεταβολή της ζήτησης σε μια μεταβολή της τιμής στο σημείο ισορροπίας. (Δηλαδή την πρώτη παράγωγο) ε) Υπολογίστε τις ελαστικότητες προσφοράς και ζήτησης στο σημείο ισορροπίας.

(QD= QS)




14

Άσκηση 13 Μια επιχείρηση έχει σταθερό κόστος παραγωγής FC = 16 νομισματικές μονάδες. Η συνάρτηση οριακού κόστους για την επιχείρηση είναι MC(q) = 8q, όπου q η ποσότητα παραγωγής. α) Υπολογίστε τις συναρτήσεις συνολικού και μέσου κόστους της επιχείρησης. β) Σε ποια ποσότητα παραγωγής ελαχιστοποιείται το μέσο κόστος; Επιβεβαιώστε ότι πρόκειται για ελάχιστο. γ) Ας υποθέσουμε ότι η επιχείρηση αυτή αντιμετωπίζει καμπύλη ζήτησης της μορφής q=104-4p, όπου p η τιμή του προϊόντος. Βρείτε τη συνάρτηση συνολικών εσόδων της επιχείρησης, καθώς και τη συνάρτηση μέσων εσόδων, συναρτήσει του q. δ) Υπολογίστε για ποια ποσότητα παραγωγής η επιχείρηση μεγιστοποιεί τα συνολικά κέρδη της. Ποια είναι τα κέρδη της τότε; ε) Δείξτε ότι για την ποσότητα παραγωγής όπου το κέρδος μεγιστοποιείται, το οριακό κόστος είναι ίσο με το οριακό έσοδο. Να ερμηνευθεί το αποτέλεσμα αυτό. Άσκηση 14 Οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς ενός προϊόντος ως προς την τιμή p της μιας μονάδας δίνονται από τους τύπους

2( ) 1300 100 2d dQ Q p p p= = − +

και 2( ) 100 50s sQ Q p p p= = + − ,

αντίστοιχα. (i) Να προσδιορισθεί το (κοινό) πεδίο ορισμού των δύο συναρτήσεων, δεδομένου ότι η

συνάρτηση ζήτησης πρέπει να ικανοποιεί την οικονομική συνθήκη να είναι φθίνουσα ενώ η συνάρτηση προσφοράς αύξουσα.....(30%)

(ii) Να βρεθεί το σημείο ισορροπίας. ……..(30%) Άσκηση 15 α) Μια εταιρία έχει τις ακόλουθες συναρτήσεις οριακού κόστους και οριακού εσόδου, αντίστοιχα: MC = 10 – 4q - q 2 και MR = 50 – 7q - 2q 2 , όπου q η ποσότητα παραγωγής. Το σταθερό (πάγιο) κόστος είναι 10.800 χρηματικές μονάδες, ενώ δεν υπάρχουν σταθερά έσοδα. Να βρεθεί η ποσότητα που μεγιστοποιεί τα κέρδη της επιχείρησης. (50%) Άσκηση 16 (α) Η συνάρτηση του στιγμιαίου ρυθμού ροής εσόδων από την απασχόληση μιας μηχανής είναι R´(t) = - 275 9000t + όπου ο χρόνος t εκφράζεται σε έτη και τα έσοδα σε ευρώ. Σημειώνεται ότι για t = 0 τα έσοδα είναι μηδενικά. Με βάση τα στοιχεία αυτά:

(i) Nα βρεθεί η συνάρτηση εσόδων R (t) από την απασχόληση της μηχανής .................. (40%) (ii) Nα υπολογιστούν τα συνολικά έσοδα από την απασχόληση της μηχανής κατά 5 πρώτα

έτη της λειτουργίας της .................................................................................................. (30%)



ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α - Eap frontistiria · 2018-09-06 · q...

Documents

Transcript of ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α - Eap frontistiria · 2018-09-06 · q...