eclass.sch.gr · ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ εδα 1 α ) 23 1. ¸ f...

23
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Σελίδα 1 από 23 1. ¸óôù óõíÜñôçóç f ðáñáãùãßóéìç óôï R, þóôå íá éó÷ýåé () () ( ) 0 dx x f x f 5 1 2000 = ò ¢ Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) 0 x f = ¢ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( ) 5 , 1 . 2. Δίνεται η συνάρτηση f με ( ) 1 x 1 x x f 2 - + = . α) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C της f, τον άξονα x x ¢ και τις ευθείες με εξισώσεις x=0 και x=t, t<0. â) Áí E(t) åßíáé ôï åìâáäüí áõôü, íá âñåßôå ôï ( ) t E m i l t ® . 3. i) Αν ò + = dx 1 x x 2 v v I με * N v Î , να αποδείξετε ότι ισχύει : 2 v 1 v v I I 1 v x - - - - = για κάθε 3 v ³ . ii) Íá õðïëïãßóåôå ôï ïëïêëÞñùìá 3 I . 4. Íá âñåßôå ôá áêñüôáôá ôçò óõíÜñôçóçò () ò - = x 1 dt t lnt 1 x f , x>0. 5. ¸óôù f óõíå÷Þò óôï [ ] 1 , 0 êáé ðáñáãùãßóéìç óôï ( ) 1 , 0 ìå ( ) 0 x f > ¢ , ( ) 0 0 f = êáé ( ) 1 1 f = . Áí éó÷ýåé () 3 1 dx x f 1 0 = ò , íá õðïëïãßóåôå ôï ïëïêëÞñùìá () ò - 1 0 dx x f 1 .

Transcript of eclass.sch.gr · ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ εδα 1 α ) 23 1. ¸ f...

Page 1: eclass.sch.gr · ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ εδα 1 α ) 23 1. ¸ f ðáñáãùã R, 0 f x f x dx 5 1 2000 ò ¢ = Να δείξετε Ҫτι η εξίσωση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

Σελίδα 1 από 23

1. ¸óôù óõíÜñôçóç f ðáñáãùãßóéìç óôï R, þóôå íá éó÷ýåé

( ) ( )( ) 0 dxxfxf51

2000=ò ¢

Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) 0xf =¢ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( )5,1 .

2. Δίνεται η συνάρτηση f με ( ) 1x1xxf

2

-+= .

α) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση C της f, τον άξονα xx¢ και τις ευθείες με εξισώσεις x=0 και x=t, t<0.

â) Áí E(t) åßíáé ôï åìâáäüí áõôü, íá âñåßôå ôï ( )tEmilt -¥®

.

3. i) Αν ò += dx

1xx2

v

vI με *NvÎ , να αποδείξετε ότι ισχύει :

2v

1v

v II1v

x-

-

--

= για κάθε 3v ³ .

ii) Íá õðïëïãßóåôå ôï ïëïêëÞñùìá 3I .

4. Íá âñåßôå ôá áêñüôáôá ôçò óõíÜñôçóçò ( ) ò-

= x1 dt

tlnt1xf , x>0.

5. ¸óôù f óõíå÷Þò óôï [ ]1,0 êáé ðáñáãùãßóéìç óôï ( )1,0 ìå

( ) 0xf >¢ , ( ) 00f = êáé ( ) 11f = . Áí éó÷ýåé ( )3

1dxxf1

0 =ò ,

íá õðïëïãßóåôå ôï ïëïêëÞñùìá ( )ò-1

0 dxxf 1.

Page 2: eclass.sch.gr · ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ εδα 1 α ) 23 1. ¸ f ðáñáãùã R, 0 f x f x dx 5 1 2000 ò ¢ = Να δείξετε Ҫτι η εξίσωση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

Σελίδα 2 από 23

6. i) Να δείξετε ότι 3xlnxx2 -> για κάθε x>1.

ii) Éó÷ýåé ( ) 2000dx3lnxx7030

2 >ò + .

7. Íá ðñïóäéïñßóåôå ôï ( )¥+Î ,2λ , þóôå ôï åìâáäüí ôïõ ÷ùñßïõ ðïõ ðåñéêëåßåôáé

áðü ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí ( )( )2

2

2xx4xxf

-

-= , ( ) 1xg -=

êáé ôéò åõèåßåò ìå åîéóþóåéò x=3 êáé x=ë+1, íá åßíáé 2 ô.ì.

8. ¸óôù ç óõíÜñôçóç RR:f ® ìå ( ) ò+

= x1 dt

t11xf

2.

Íá äåßîåôå üôé ( ) ( )52

2f4f172

<-< .

9. Έστω η συνάρτηση ( ) βxα1x1xxf

2+-

++

= , α και RβÎ .

i) Να βρείτε τα α και β, ώστε η γραφική παράσταση C της f να έχει οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y=0 καθώς το +¥®x .

ii) Óôç óõíÝ÷åéá, íá âñåßôå ôï åìâáäüí ôïõ ÷ùñßïõ ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôç C,

ôçí åõèåßá ìå åîßóùóç 1xy +-= êáé ôéò åõèåßåò ìå åîéóþóåéò x=0 êáé x=1.

10. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R με ( ) 10f = .

Αν ισχύει ( ) ( ) eλxeλdttf 2xfx0 -³-ò για κάθε RxÎ , να βρείτε :

i) την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο ( )1,0 .

ii) το ë, þóôå ç åöáðôïìÝíç íá åßíáé êÜèåôç óôçí åõèåßá 3xy e += .

Page 3: eclass.sch.gr · ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ εδα 1 α ) 23 1. ¸ f ðáñáãùã R, 0 f x f x dx 5 1 2000 ò ¢ = Να δείξετε Ҫτι η εξίσωση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

Σελίδα 3 από 23

11. ¸óôù óõíáñôÞóåéò f, g äýï öïñÝò ðáñáãùãßóéìåò óôï äéÜóôçìá

( )+¥0, ìå ( ) ( )2x

1xgxf -¢¢=¢¢ ãéá êÜèå x>0. Áí ( ) ( )1g1f = êáé

( ) ( )eg1ef += , íá âñåßôå ôï åìâáäüí ôïõ ÷ùñßïõ ðïõ ðåñéêëåßåôáé

áðü ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí f, g êáé ôéò åõèåßåò

ìå åîéóþóåéò x=1 , x=e.

12. Η συνάρτηση f είναι ορισμένη και συνεχής στο διάστημα [ ]2,0

και ισχύει ( ) 2xf < για κάθε [ ]2,0xÎ . Να αποδείξετε ότι :

i) ( ) 4dxxf20 <ò και

ii) ç åîßóùóç ( )ò=- x0 dttf23x Ý÷åé áêñéâþò ìßá ëýóç óôï ( )2,0 .

13. Íá âñåßôå ôç óõíÜñôçóç f ðïõ åßíáé ðáñáãùãßóéìç óôï R, üôáí éó÷ýåé

( ) ( )ò --+= x duuxfex2

1xf 0

2 u ãéá êÜèå RxÎ .

14. Δίνεται μια συνάρτηση f τέτοια, ώστε :

i) είναι ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f ¢¢ συνεχή,

ii) παρουσιάζει ακρότατο στο x=0 και

iii) η γραφική της παράσταση εφάπτεται του άξονα xx¢ στο x=1.

Íá âñåßôå ôï áêñüôáôï f(0), áí ( ) ( )( ) 1dxexfxf10

x =¢¢-ò - .

Page 4: eclass.sch.gr · ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ εδα 1 α ) 23 1. ¸ f ðáñáãùã R, 0 f x f x dx 5 1 2000 ò ¢ = Να δείξετε Ҫτι η εξίσωση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

Σελίδα 4 από 23

15. i) Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) ( ) xeβxαxf += . Να προσδιορίσετε τα α και RβÎ ,

ώστε ( ) ( ) xe2xxf -=¢ για κάθε RxÎ .

ii) Αν λ<2, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ( ) ( )ò -= 2λ dxe2xλI x

.

iii) Íá õðïëïãßóåôå ôï üñéï : ( )λmil Iλ -¥®

.

16. ¸óôù f, g óõíáñôÞóåéò óõíå÷åßò óôï R ãéá ôéò ïðïßåò éó÷ýåé

( ) ( ) 2dttg2xdttf x1

x1

2 -£- òò ãéá êÜèå RxÎ . Íá äåßîåôå üôé ç åîßóùóç

( ) ( ) 2xgxxfx3 += Ý÷åé ìßá ôïõëÜ÷éóôïí ñßæá óôï äéÜóôçìá ( )1,0 .

17. i) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) xeβxαxxf 2 -++= , RxÎ . Να βρείτε τους

πραγματικούς αριθμούς α και β, ώστε η γραφική της παράσταση να εφάπτεται

του άξονα xx¢ στο σημείο με τετμημένη 1x -= .

ii) ¸óôù üôé åßíáé ( ) ( ) xe1xxf 2 -+= . Íá õðïëïãßóåôå ôï åìâáäüí Å(ë)

ôïõ ÷ùñßïõ ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç C ôçò f,

ôïí Üîïíá xx¢ êáé ôéò åõèåßåò ìå åîéóþóåéò 1x -= êáé 1λ,λx >= .

Íá âñåßôå ôï üñéï : ( )λEmilλ +¥®

.

18. Íá õðïëïãßóåôå ôï ïëïêëÞñùìá ò+-

0 2 dx6xημ5xημ

xσυν.

19. ¸óôù f óõíÜñôçóç óõíå÷Þò óôï R ãéá ôçí ïðïßá éó÷ýåé

( ) 01xλdttf 2x x0e ³--ò+ ãéá êÜèå RxÎ . Íá âñåßôå ôïí ðñáãìáôéêü

áñéèìü ë, áí åßíáé ãíùóôü üôé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç C ôçò f äéÝñ÷åôáé

áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí.

Page 5: eclass.sch.gr · ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ εδα 1 α ) 23 1. ¸ f ðáñáãùã R, 0 f x f x dx 5 1 2000 ò ¢ = Να δείξετε Ҫτι η εξίσωση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

Σελίδα 5 από 23

20. Έστω C η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) 2xexf x1 -+= -.

i) Να δείξετε ότι η ευθεία 2xy:δ -= είναι ασύμπτωτη της C.

ii) Αν Α είναι σημείο της C με τετμημένη -1 και Β σημείο της (δ) με τετμημένη 0,

να δείξετε ότι η ΑΒ εφάπτεται της C στο σημείο Α.

iii) ¸óôù RλÎ , ë>1. Íá âñåßôå ôï åìâáäüí Å(ë) ôïõ ÷ùñßïõ ðïõ ðåñéêëåßåôáé

áðü ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç C ôçò f, ôçí åõèåßá (ä) êáé ôéò åõèåßåò

ìå åîéóþóåéò x=1 êáé x=ë.

Íá âñåßôå : α) Tï ( )λEmilλ +¥®

. β) Tïí áñéèìü ë , þóôå ( )21λE = .

21. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ò= 2x1xg ( )( )dtdttfxx

1ò , 1x ³ ,

όπου f συνεχής με ( ) 0xf > για κάθε 1x ³ .

i) Να δείξετε ότι ισχύει ( ) ( ) ( )ò-= x1 dttfx2xxg 2 , 1x ³ .

ii) Να μελετήσετε τη μονοτονία της g και να βρείτε τα ακρότατα.

iii) Áí ( ) 242g = , íá âñåßôå ôï åìâáäüí ôïõ ÷ùñßïõ ðïõ ðåñéêëåßåôáé

áðü ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç C ôçò f, ôïí Üîïíá xx¢ êáé ôéò åõèåßåò

ìå åîéóþóåéò x=1 êáé x=2.

22. Áí f óõíÜñôçóç óõíå÷Þò óôï R, íá âñåßôå ôïí ôýðï ôçò êáé ôï RαÎ ,

þóôå íá éó÷ýåé ( ) 2xxσυνdttfxα -=ò ãéá êÜèå RxÎ .

Page 6: eclass.sch.gr · ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ εδα 1 α ) 23 1. ¸ f ðáñáãùã R, 0 f x f x dx 5 1 2000 ò ¢ = Να δείξετε Ҫτι η εξίσωση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

Σελίδα 6 από 23

23. ¸óôù ç óõíÜñôçóç ( ) ( )ò+= 4x

x

2dttgxf , üðïõ g óõíÜñôçóç óõíå÷Þò óôï R.

Áí ç Cg äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï ( )10,A - , íá âñåßôå ôçí êëßóç ôçò fC óôï

óçìåßï ôçò ( )( )0f0,M .

24. Íá õðïëïãßóåôå ôï åìâáäüí ôïõ ÷ùñßïõ ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôç ãñáöéêÞ

ðáñÜóôáóç C ôçò óõíÜñôçóçò ( ) γxβxαxxf 23 +++= ,

ôïí Üîïíá xx¢ êáé ôéò åõèåßåò ìå åîéóþóåéò x= -1 êáé x=1,

üôáí ç f ðáñïõóéÜæåé áêñüôáôá óôéò èÝóåéò -1 êáé 1 , ìå ( ) 01f =- .

25. Έστω η συνάρτηση ( ) ò- += x2x 2

1 dt1txf 2 , x>0.

i) Να βρείτε την παράγωγο της f. ii) Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης

C της f στο σημείο 1x0 = .

iii) Íá ðñïóäéïñßóåôå ôï RλÎ , þóôå ç åõèåßá ìå åîßóùóç

3x67λ2y 2 +÷øö

çèæ -= íá åßíáé êÜèåôç óôçí åöáðôïìÝíç.

26. Έστω ò+

= 10 x

xv

v dx1e

eI , v NÎ .

i) Να υπολογίσετε το άθροισμα v1v II ++ , *NvÎ .

ii) Íá õðïëïãßóåôå ôá ïëïêëçñþìáôá I1, I I1 2+ êáé I2 .

27. Áí *Rγβ,α, Î ôÝôïéá, þóôå íá éó÷ýåé

( )( ) ( )( )ò +++=ò +++ 20

2410

24 dxγxβxαxσυν1dxγxβxαxσυν1 ,

νá äåßîåôå üôé ç åîßóùóç 0γβxαx2 =++ Ý÷åé ìßá ôïõëÜ÷éóôïí

ñßæá óôï äéÜóôçìá ( )2,1 .

Page 7: eclass.sch.gr · ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ εδα 1 α ) 23 1. ¸ f ðáñáãùã R, 0 f x f x dx 5 1 2000 ò ¢ = Να δείξετε Ҫτι η εξίσωση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

Σελίδα 7 από 23

28. Δίνεται η συνάρτηση ( )22x

13xxf += .

i) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης C της f.

ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C της f, την ευθεία με εξίσωση y=3x και τις ευθείες με εξισώσεις x=1 και x=λ, λ>1.

iii) Να υπολογίσετε το όριο : ( )λEmilλ +¥®

. (θΕΜΑ 1989)

29. Να βρείτε πολυωνυμική συνάρτηση f με ( ) γxβxαxf 3 ++= , RxÎ και α, β, γ

πραγματικούς αριθμούς, η οποία ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες : i) Η συνάρτηση f είναι περιττή.

ii) Η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο 1x0 = .

iii) Είναι ( ) 2dxxf20 =ò . (ΘΕΜΑ1992)

30. Η συνάρτηση g έχει συνεχή παράγωγο στο κλειστό διάστημα [ ]π0, και ( ) πeπg -= .

Αν ( ) ( )( ) 2dxexgxgπ0

x =¢+ò , να βρείτε την τιμή της συνάρτησης g στο σημείο x=0.

(ΘΕΜΑ 1992)

31. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) xe4xxf -+= , RxÎ . Να υπολογίσετε το εμβαδόν

του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C της f, τον άξονα xx¢ και τις ευθείες με εξισώσεις x= -1 , x=1. (ΘΕΜΑ 1992)

32. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 4x1

1xf4+

+= , x>0.

α) Να εξετάσετε τη μονοτονία της συνάρτησης f.

β) Να υπολογίσετε το όριο : ( )ò+

+¥®

1xx dttf

xmil . (ΘΕΜΑ 1993)

Page 8: eclass.sch.gr · ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ εδα 1 α ) 23 1. ¸ f ðáñáãùã R, 0 f x f x dx 5 1 2000 ò ¢ = Να δείξετε Ҫτι η εξίσωση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

Σελίδα 8 από 23

33. Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση RR:f ® για την οποία

ισχύει ( ) ( )xfeeedttfe xαxxα

t ---- --=ò για κάθε Rα,Rx ÎÎ . (ΘΕΜΑ 1993)

34. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 22xlnx =+ έχει μία μόνο ρίζα.

β) Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης ( )x2lnx2xxf -

= .

ã) Íá õðïëïãßóåôå ôï åìâáäüí ôïõ ÷ùñßïõ ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôç ãñáöéêÞ

ðáñÜóôáóç C ôçò f, ôéò åõèåßåò ìå åîéóþóåéò x=1 êáé x=4 êáé ôïí Üîïíá xx¢ .

35. α) Αν μια συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη και παραγωγίσιμη στο διάστημα [ ]β,α ,

να αποδείξετε ότι :

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

òò ---= βfαf

1βα dxxfαfαβfβdxxf .

β1) Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης ( ) 4xxxf 2 -+= , 2x ³ .

â2) Íá õðïëïãßóåôå ôï ïëïêëÞñùìá ò ÷øöç

èæ -+= 3

2 dx4xx 2I .

36. Έστω συνάρτηση f συνεχής, για την οποία ισχύει ( ) 2θημ23xdttfxλ --=ò

για κάθε RxÎ . i) Να βρείτε τις τιμές των *ZλÎ και ( )π0,θÎ .

ii) Íá äåßîåôå üôé ç f åßíáé óôáèåñÞ óôï R.

37. Áí ( ) 2xexf =¢¢ ãéá êÜèå RxÎ êáé éó÷ýïõí :

( ) 1xfmil0x

êáé ( ) 1xxfmil

x=

-¥®, íá âñåßôå ôïí ôýðï ôçò f.

Page 9: eclass.sch.gr · ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ εδα 1 α ) 23 1. ¸ f ðáñáãùã R, 0 f x f x dx 5 1 2000 ò ¢ = Να δείξετε Ҫτι η εξίσωση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

Σελίδα 9 από 23

38. Έστω η συνάρτηση ( )x

2lnxxxf += .

i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης C της f

στο σημείο ( )( )1f,1 αυτής.

ii) Να δείξετε ότι η εφαπτομένη βρίσκεται πάνω από τη C στο διάστημα [ ]e,1 .

iii) Íá õðïëïãßóåôå ôï åìâáäüí ôïõ ÷ùñßïõ ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôç C,

ôçí åõèåßá ìå åîßóùóç x=e êáé ôçí åöáðôïìÝíç.

39. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ò+

= lnx1 t

tdt

e1etxf , x>0.

i) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της f. ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή στο διάστημα ( ]0,1 .

40. ¸óôù óõíÜñôçóç f ðáñáãùãßóéìç óôï ( )¥+,0 ãéá ôçí ïðïßá éó÷ýåé

( ) ( ) ( )xfxe1xxf -×+=¢ . Áí ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f äéÝñ÷åôáé

áðü ôï óçìåßï ( )2,1M , íá âñåßôå ôïí ôýðï ôçò f .

41. Áí ãéá êÜèå RxÎ ç óõíÜñôçóç f åßíáé óõíå÷Þò êáé éó÷ýåé

( ) ( ) γxfβxfα =-+ ìå 0βα ¹+ , íá áðïäåßîåôå ότι : ( )βα

4 γdxxf2

2+

=ò -

42. i) Íá âñåßôå óõíÜñôçóç ( )xfy = ãéá ôçí ïðïßá éó÷ýåé ( ) ( ) xe2xxf +=¢ êáé ( ) 10f = .

ii) Íá õðïëïãßóåôå ôï åìâáäüí ôïõ ÷ùñßïõ ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôç ãñáöéêÞ

ðáñÜóôáóç C ôçò f, ôïõò Üîïíåò xx¢ , yy¢ êáé ôçí åõèåßá ìå åîßóùóç x=1.

Page 10: eclass.sch.gr · ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ εδα 1 α ) 23 1. ¸ f ðáñáãùã R, 0 f x f x dx 5 1 2000 ò ¢ = Να δείξετε Ҫτι η εξίσωση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

Σελίδα 10 από 23

43. i) Áí ãéá êÜèå [ )+¥Î 0,x åßíáé ( ) 0xf <¢ êáé ( ) ( )ò= x0 dttfxg ,

íá áðïäåßîåôå üôé ãéá êÜèå ( )+¥Î 0,x éó÷ýåé ( ) ( )xgxgx1 ¢> .

ii) Áí ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç C ôçò f Ý÷åé ïñéæüíôéá áóýìðôùôç

ôçí åõèåßá y=ê êáèþò ôï +¥®x , όπου κ>0 , íá äåßîåôå üôé éó÷ýåé:

( ) κdttfx

1 x0

xmil =ò ÷

øö

çèæ

+¥®.

44. ¸óôù f ìéá óõíÜñôçóç óõíå÷Þò óôï äéÜóôçìá [ ]0,1 ãéá ôçí ïðïßá éó÷ýåé

( ) 1dxxf2004 10 =ò . Íá äåßîåôå üôé õðÜñ÷åé (0,1)x0 Î ôÝôïéï,

þóôå íá éó÷ýåé ( ) 200300 xxf = .

45. Èåùñïýìå ôéò óõíå÷åßò óõíáñôÞóåéò [ ] R,10:gf, ® ìå ( ) 0xf <

êáé ( ) 0xg > ãéá êÜèå [ ]0,1xÎ . Íá äåßîåôå üôé õðÜñ÷åé Ýíá

áêñéâþò ( )0,1ξÎ ôÝôïéï, þóôå íá éó÷ýåé ( ) ( )ò=ò ξ1

ξ0 dttgdttf .

46. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) ( )( )ïî

ïíì

=

>= ò0xαν,0f

0xαν,dttfx1

xgx

0 ,

όπου f συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [ )¥+,0 . Να δείξετε ότι :

i) Η g είναι συνεχής στο 0x0 = .

ii) Áí ç f åßíáé ðáñáãùãßóéìç óôï 0x0 = ,ôüôå ç g åßíáé ðáñáãùãßóéìç óôï [ )¥+,0 .

Page 11: eclass.sch.gr · ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ εδα 1 α ) 23 1. ¸ f ðáñáãùã R, 0 f x f x dx 5 1 2000 ò ¢ = Να δείξετε Ҫτι η εξίσωση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

Σελίδα 11 από 23

47. ¸óôù ç óõíÜñôçóç ( ) ( )ò-= xα

x dttfexh , üðïõ f óõíÜñôçóç óõíå÷Þò

óôï äéÜóôçìá [ ]β,α (á>0), ãéá ôçí ïðïßá éó÷ýåé ( ) 0dxxfβα =ò .

Íá äåßîåôå üôé õðÜñ÷åé ( )βα,ξÎ ôÝôïéï, þóôå ( ) ( )ξfdxxfξα =ò .

48. Δίνεται η συνάρτηση ( ) xκxμxλxf 23 ++= , όπου λ, μ και RκÎ με λ>0,

που παρουσιάζει στη θέση 1 τοπικό ακρότατο και στη θέση 2 σημείο καμπής.

i) Να δείξετε ότι 6λμ -= και 9λκ = .

ii) Να βρείτε την τιμή του λ, όταν το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από

τη γραφική παράσταση C της f και τον άξονα xx¢ είναι 27 τ.μ.

49. ¸óôù f óõíÜñôçóç ðáñáãùãßóéìç óôï R ãéá ôçí ïðïßá éó÷ýåé ( ) ( )ò ÷

øö

çèæ += xf

0t dte2xf2

ãéá êÜèå RxÎ .Íá äåßîåôå üôé éó÷ýåé ( ) 0xf = ãéá êÜèå RxÎ .

50. ¸óôù óõíÜñôçóç f óõíå÷Þò óôï äéÜóôçìá [ ]1,0 ãéá ôçí ïðïßá

éó÷ýåé ( ) 1dxxf2 10 =ò . Íá äåßîåôå üôé õðÜñ÷åé ( )1,0x 0 Î ,

þóôå íá éó÷ýåé ( ) 00 xxf = .

51. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν :

i) ( ) ( ) xxfxf =+¢ για κάθε RxÎ και ii) ( ) 2xf0x

mil =®

.

Íá âñåßôå ôïí ôýðï ôçò f.

Page 12: eclass.sch.gr · ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ εδα 1 α ) 23 1. ¸ f ðáñáãùã R, 0 f x f x dx 5 1 2000 ò ¢ = Να δείξετε Ҫτι η εξίσωση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

Σελίδα 12 από 23

52. Θεωρούμε τη μη μηδενική συνάρτηση RR:f ® με τις ιδιότητες :

i) ( ) ( ) ( ) ( )yfx2fyxfyxf ×=-++ για κάθε Ryx, Î . ii) f συνεχής στο R. Να αποδείξετε ότι : á) ( ) 10f = , â) ç f åßíáé Üñôéá,

ã) ( ) ( )ò=ò -α0 dxxf2dxxfα

α , RαÎ .

53. Íá õðïëïãßóåôå ôï ïëïêëÞñùìá ( )ò+-

22 dx

1xgx1994

, áí ãíùñßæåôå üôé

ç óõíÜñôçóç g åßíáé óõíå÷Þò óôï äéÜóôçìá [ ]2,2- , ìå ( ) 0xg > êáé

( ) ( ) 1xgxg =-× ãéá êÜèå [ ]2,2x -Î .

54. Áí ç f åßíáé ðáñáãùãßóéìç óôï R êáé ( ) ( )ò= x0 dttfxxg , RxÎ , ôüôå

íá âñåßôå ôçí ôéìÞ ôçò g ¢¢ óôç èÝóç x=1, áí ( ) 9951f = êáé ( ) 61f =¢ .

Επίσης, αν για κάθε x>0 είναι ( ) 0xf > και ( )( ) 0xf 2 >¢

, τότε :

i) Να αποδείξετε ότι ( ) ( )1995g1996g ¢>¢ .

ii) Íá âñåßôå ôéò ôéìÝò ôïõ ê ìå 56κ > ãéá ôéò ïðïßåò éó÷ýåé ç éóüôçôá

( ) ( ) ( ) ( ) ( )65κf65κdttfκfκdttf 65κ0

22κ0

2--+ò=+ò -

.

55. Η συνάρτηση RR:f ® είναι παραγωγίσιμη και ισχύει ( ) 0xf >¢

για κάθε RxÎ . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) ( )ò -= βα dttxfxg , RxÎ ,

με α, β πραγματικούς αριθμούς, είναι παραγωγίσιμη και ότι

αν υπάρχει Rx0 Î με ( ) 0xg 0 =¢ , τότε ( ) 0xg = για κάθε RxÎ . (ΘΕΜΑ 1995)

Page 13: eclass.sch.gr · ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ εδα 1 α ) 23 1. ¸ f ðáñáãùã R, 0 f x f x dx 5 1 2000 ò ¢ = Να δείξετε Ҫτι η εξίσωση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

Σελίδα 13 από 23

56. Έστω f, g συναρτήσεις με συνεχείς παραγώγους στο R που ικανοποιούν τη σχέση

( ) ( ) ( ) x2 e x2xxgxf --=¢-¢ για κάθε RxÎ . Αν είναι ( ) ( )e1

1g1f += και οι γραφικές

παραστάσεις των f, g τέμνουν τον άξονα xx¢ στα σημεία με τετμημένες α, β αντίστοιχα,

όπου *Rβα, Î με α<β τότε : i) να αποδείξετε ότι η εξίσωση

0g(x)λf(x)κ =+ , *Rλ,κ Î με κλ>0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (α,β)

και ii) íá õðïëïãßóåôå ôï åìâáäüí ôïõ ÷ùñßïõ ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôéò ãñáöéêÝò

ðáñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí f, g êáé ôéò åõèåßåò ìå åîéóþóåéò x=0 êáé x=1.

57. Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, με 0<α<β,

τη συνεχή συνάρτηση ( ) R,0:f ®¥+ για την οποία ισχύει ( ) 0dttfβα =ò

και τη συνάρτηση ( ) ( )ò+= xα dttf

x

12xg , ( )¥+Î ,0x .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )βα,x0 Î τέτοιο, ώστε να ισχύουν :

i) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g στο σημείο ( )( )00 xg,x

να είναι παράλληλη στον άξονα xx¢ .

ii) ( ) ( )00 xf2xg += . (ΘΕΜΑ 1995)

58. Να βρείτε τη συνάρτηση R,:f2

π

2

π®- ÷

øö

çèæ

με συνεχή δεύτερη παράγωγο

για την οποία ισχύουν : ( ) 19950f = , ( ) 10f =¢ και

( ) ( )ò ¢+=ò ¢¢+ x0

x0 dttημtfxσυνdttσυνtf1 2

. (ΘΕΜΑ 1995)

Page 14: eclass.sch.gr · ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ εδα 1 α ) 23 1. ¸ f ðáñáãùã R, 0 f x f x dx 5 1 2000 ò ¢ = Να δείξετε Ҫτι η εξίσωση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

Σελίδα 14 από 23

59. Αν ( ) ( )ò=x

1 dttfxG , όπου ( ) ò=3t1 du

uetf

u και x>0, t>0, να βρείτε :

α) την ( )1G ¢¢ , β) το όριο : ( )

11x3xGx

0x

mil-+-¢¢

.

60. Η αξία μιας μηχανής που εκτυπώνει βιβλία μειώνεται με το χρόνο t, σύμφωνα

με τη συνάρτηση ( ) 1428t

-e

27A

tf

+

= , 0t ³ , όπου Α ένας θετικός αριθμός.

Ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους ( )tK , από την πώληση των βιβλίων που εκτυπώνει

η συγκεκριμένη μηχανή, δίνεται από τη συνάρτηση ( ) 7t-

4AtK e=¢ , 0t ³ και

υποθέτουμε ότι ( ) 00K = . Να βρείτε : i) Τη χρονική στιγμή κατά την οποία θα πρέπει να πουληθεί η μηχανή, έτσι ώστε

το συνολικό κέρδος ( )tP από τα βιβλία που πουλήθηκαν συν την αξία της μηχανής να γίνεται μέγιστο.

ii) Το μέγιστο κέρδος. (ΘΕΜΑ 1995)

61. Δίνεται συνάρτηση f με f ¢ συνεχή στο [ ]π,0 .

Αν ισχύουν : ( ) 0xf ³¢ για κάθε [ ]π,0xÎ , ( ) ( )( ) 2dxexfxfπ0

x =¢+ò και ( ) πe1πf = ,

να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C της f ¢ , τον άξονα xx¢ και τις ευθείες με εξισώσεις x=0 , x=π.

62. Αν είναι ( ) 13xxf -= και ( )( ) 1xημ96xxgf 2 +-=o για κάθε RxÎ ,

να βρείτε : i) τον τύπο της συνάρτησης g. ii) το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές

παραστάσεις των συναρτήσεων g και h, όπου ( )3

112xxh 2 +=

και τις ευθείες με εξισώσεις 4πx = και

4π5x = .

Page 15: eclass.sch.gr · ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ εδα 1 α ) 23 1. ¸ f ðáñáãùã R, 0 f x f x dx 5 1 2000 ò ¢ = Να δείξετε Ҫτι η εξίσωση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

Σελίδα 15 από 23

63. Να βρείτε συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f ¢¢ συνεχή για την οποία ισχύουν :

i) ( ) ( ) xdtetfdtetf x0

tx0

t =¢-¢¢ òò -- για κάθε RxÎ και

ii) η γραφική παράσταση C της f έχει στο σημείο ( )0,0 εφαπτομένη παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση 1xy += .

64. Αν είναι ( ) 12xxf -= και ( )( ) 2xxxfg -=o για κάθε RxÎ , να βρείτε : i) τον τύπο της συνάρτησης g.

ii) την εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης C της g στο σημείο ( )( )1g,1A -- . iii) το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C της g,

την εφαπτομένη (ε) και την ευθεία με εξίσωση x=1.

65. i) Αν είναι ( ) 1x3xxf 32 +-= για κάθε 0x ³ , να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. ii) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

iii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τις ευθείες με εξισώσεις y=1, x=1 και x=4.

66. Αν ( ) ( )ò= x1 duufxG , όπου ( ) ò= lnu

1 dtteuf και x>0, u>0, να βρείτε :

α) την ÷øö

çè梢

2πG και β) το όριο :

( )22x

xGx

0x

mil-+

¢¢

.

67. Θεωρούμε τη συνάρτηση f ορισμένη και συνεχή στο [ ]1,0 για την οποία ισχύει ( ) 1xf0 <<

για κάθε [ ]1,0xÎ . Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση ( ) ( ) 1dttf2xxg x0 --= ò , [ ]1,0xÎ .

Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) 0xg = έχει μοναδική λύση στο ( )1,0 .

68. Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [ ]e,1 και η συνάρτηση

( ) ( ) ( )ò-= x1 dttfxexg , [ ]e,1xÎ . Να δείξετε ότι :

i) η g είναι παραγωγίσιμη στο [ ]e,1 και να βρείτε την ( )xg¢ . ii) υπάρχει ( )e,1ξÎ τέτοιο, ώστε να ισχύει ( ) 0ξg =¢ .

iii) ( ) ( ) ( )ξfξedttfξ1 -=ò .

Page 16: eclass.sch.gr · ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ εδα 1 α ) 23 1. ¸ f ðáñáãùã R, 0 f x f x dx 5 1 2000 ò ¢ = Να δείξετε Ҫτι η εξίσωση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

Σελίδα 16 από 23

69. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει

( ) ( )ò -+= -+ x

0t

1xdttxfe

2exf .

i) Να βρείτε τη συνάρτηση f και να δείξετε ότι ( ) +¥=+¥®

xfx

mil .

ii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση

C της f, τον άξονα xx ¢ και τις ευθείες με εξισώσεις x=1 και x=2.

70. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g παραγωγίσιμες στο R για τις οποίες ισχύουν :

i) ( ) ( ) xexxgxf =¢-¢ για κάθε RxÎ και ii) ( ) ( )1g1f = .

α) Να δείξετε ότι είναι ( ) ( ) ( ) xe1xxgxf -+= , RxÎ . β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις

των συναρτήσεων f, g και την ευθεία με εξίσωση x=2.

71. Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [ ]1,0 με f ¢¢ συνεχή και ικανοποιεί

τις προϋποθέσεις του Θ. Rolle στο [ ]1,0 , να δείξετε ότι ισχύει ( ) ( )1fdxxfx10 ¢=ò ¢¢ .

72. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη στο R. Αν η f έχει σε κάθε σημείο RxÎ κλίση 2x1

2x+

και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο ( )0,0 , να βρείτε την f.

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ( ) ( )ò += dxxfxx3I , RxÎ .

73. α) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( )2x

12xxf += .

β) Να βρείτε το εμβαδόν ( )tE του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C της f, την ασύμπτωτη της C καθώς το -¥®x και τις ευθείες με εξισώσεις x=1 και x=t , t>1.

γ) Να βρείτε το όριο : ( )

2

2

t1ttE

tmil

+

-

+¥®.

Page 17: eclass.sch.gr · ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ εδα 1 α ) 23 1. ¸ f ðáñáãùã R, 0 f x f x dx 5 1 2000 ò ¢ = Να δείξετε Ҫτι η εξίσωση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

Σελίδα 17 από 23

74. Έστω f μια συνάρτηση συνεχής στο R για την οποία ισχύει ( ) tetft1 ££+ για κάθε RtÎ .

Να αποδείξετε ότι : α) ( ) 10f = , β) ( ) 10f =¢ και γ) ( )

2

1

x

xdttf

0x2

x0mil =

ò -

®.

75. Έστω η συνάρτηση ( ) xαx1xf 2 ++= .

α) Αν ( ) 3xxf

xmil =+¥®

, να βρείτε το RαÎ .

β) Για την τιμή του α που βρήκατε, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ( )ò=10 dxxfxI .

76. Έστω συνάρτηση f για την οποία ισχύουν : i) f συνεχής στο διάστημα [ ]1,0 ,

ii) ( ) 00f > και ( ) 0dxxf10 <ò .

Να αποδείξετε ότι :

α) Υπάρχει σημείο ( )1,0αÎ τέτοιο, ώστε ( ) 0αf < . β) Η εξίσωση ( ) 0xf = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,1).

77. i) Να αποδείξετε ότι 0xσυνxxημ ³- για κάθε úûù

êëéÎ

2π,0x .

ii) Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) 2xημxxf ++= και ( ) xσυνxxxg += . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές

παραστάσεις των f, g και τις ευθείες με εξισώσεις x=0 και 2πx = .

78. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [ ]2,0 . Αν ισχύει ( )( ) ( )( ) 0dxxfdxxf 21

10 <ò×ò ,

να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) 0xf = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ( )2,0 .

79. ΄Εστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα [ ]2,0 ,

για την οποία ισχύει ( ) ( )ò=ò 21

10 dxxfdxxf .

Να αποδείξετε ότι η f έχει ένα τουλάχιστον κρίσιμο σημείο.

Page 18: eclass.sch.gr · ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ εδα 1 α ) 23 1. ¸ f ðáñáãùã R, 0 f x f x dx 5 1 2000 ò ¢ = Να δείξετε Ҫτι η εξίσωση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

Σελίδα 18 από 23

80. i) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) lnxxf = , τους άξονες Ox, Oy και την ευθεία y=α, όπου α>0.

ii) Αν το α αυξάνεται με ρυθμό 2 μονάδες/sec, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του χωρίου Ω κατά τη χρονική στιγμή 0t που είναι α=e.

81. i) Να βρείτε το εμβαδόν Ε(Ω) του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις

των συναρτήσεων

( )x

lnx2xxf += και ( )

2xxg = και τις ευθείες με εξισώσεις x=1 και x=α>1.

ii) Να βρείτε το όριο : ( )

2αΩE

αmil+¥®

.

82. Να βρείτε συνάρτηση ( ) R,0:f ®¥+ τέτοια, ώστε να είναι ( )3x

2xf -=¢¢ για κάθε

( )¥+Î ,0x και της οποίας η γραφική παράσταση να έχει στο +¥ ασύμπτωτη την ευθεία (ε) με εξίσωση 43xy -= .

83. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [ ]1,0 με ( ) 1xf < για κάθε [ ]1,0xÎ . Να αποδείξετε ότι :

i) Είναι ( ) 1dttf10 <ò .

ii) Η εξίσωση ( )ò+=+ x0

2 dttf1xx έχει μοναδική ρίζα στο ( )1,0 .

84. Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f ¢¢ συνεχή, που παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στη θέση 2x0 = και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο ( )1,0A .

Αν ισχύει ( ) ( )( )38dxxf3xfx2

0 -=¢+¢¢ò , να υπολογίσετε το ( )2f . 85. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [ ]β,α και ισχύει ότι ( ) ( ) cxβαfxf =-++ για κάθε [ ]β,αxÎ , όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός.

Να αποδείξετε ότι :

( ) ( ) ( ) ( )( )βfαf2

αβ2

βαfαβdxxfβα +÷

øö

çèæ -

=÷øö

çèæ +

-=ò (ΘΕΜΑ 1996)

Page 19: eclass.sch.gr · ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ εδα 1 α ) 23 1. ¸ f ðáñáãùã R, 0 f x f x dx 5 1 2000 ò ¢ = Να δείξετε Ҫτι η εξίσωση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

Σελίδα 19 από 23

86. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) ( )ò -= x

0 dttgtxxf , όπου g συνάρτηση συνεχής στο R.

Να αποδείξετε ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και να

μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα, όταν ( ) 0xg ¹ για κάθε RxÎ . (ΘΕΜΑ 1996)

87. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) xλx1xf 2 ++= , RλÎ .

α) Να υπολογίσετε την τιμή του λ αν είναι γνωστό ότι ( ) 1xxf

xmil =+¥®

.

β) Για την τιμή του λ που βρήκατε παραπάνω, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

( )ò= 1

0 2dx

xf

xI . (ΘΕΜΑ 1996)

88. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R με f ¢ συνεχή τέτοια, ώστε

να είναι ( ) 00f = και ( ) 10f =¢ . Να βρείτε το όριο:

( )xημx

dttfxmil

x0

0x -

ò

®

89. Έστω συνάρτηση f με συνεχή παράγωγο στο R. Αν ( ) 0xf ¹¢ για κάθε RxÎ

και ( ) 10f -=¢ , να δείξετε ότι ισχύει: ( ) ( )ò>ò 52

41 dxxfdxxf .

90. i) Αν για κάθε ( ]0,x ¥-Î είναι ( ) 0xf >¢ και ( ) ( )ò= x

0 dttfxg ,

να αποδείξετε ότι για κάθε ( )0,x ¥-Î ισχύει ( ) ( )xgxxg ¢> .

ii) Αν επιπλέον ( ) 2010xfx

mil =-¥®

, να βρείτε το όριο : ( ) ÷øö

çèæ

ò×-¥®

x0 dttf

x

1

xmil .

Page 20: eclass.sch.gr · ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ εδα 1 α ) 23 1. ¸ f ðáñáãùã R, 0 f x f x dx 5 1 2000 ò ¢ = Να δείξετε Ҫτι η εξίσωση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

Σελίδα 20 από 23

91. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο R για την οποία ισχύει

( ) ( ) ( )( )ò ò=- x0

βα dtdxtfxf1xf για κάθε RxÎ .

Να αποδείξετε ότι: ( )( ) ( ) ( )αfβfdxxf2β

α -=ò .

92. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο R και παραγωγίσιμη στο 0

με ( ) 20010f =¢ . Αν είναι ( ) 00f = και ò =βα 2dxf(x) , να βρείτε το όριο:

( ) ( )( )1x

dtdxxftf

0x emil

2

x0

βα

-

ò ò

®.

93. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο úûù

êëé

2π,0 με ( )xf ¢ συνεχή, για την οποία ισχύουν :

( )2π0f = και ( ) πdxημxxf2

π

0 =ò . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον

÷øö

çèæÎ

2π,0x0 τέτοιο, ώστε να είναι ( ) 1xσυνxf 00 =×¢ .

94. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση ( ) R,0:f ®¥+ για την οποία ισχύει ( ) 0dttfβα =ò , όπου

0<α<β και έστω ( ) ( )ò×= xα dttfxxg , x>0. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον

( )β,αx0 Î τέτοιο, ώστε να ισχύουν: α) η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g

στο σημείο ( )( )00 xg,xM είναι παράλληλη στον άξονα xx¢ . β) ( ) ( ) 0xfxxg 0002 =×+ .

95. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) ( )xx3dttfxg 2x

1 ++= ò- , RxÎ όπου η f είναι

συνεχής και περιττή συνάρτηση και ισχύει ( ) 0xg ³ για κάθε RxÎ . Να αποδείξετε ότι:

α) ( ) 31f =- .

β) Η εξίσωση ( ) 1xxfx2 =-× έχει μία τουλάχιστον λύση στο ( )11,- .

Page 21: eclass.sch.gr · ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ εδα 1 α ) 23 1. ¸ f ðáñáãùã R, 0 f x f x dx 5 1 2000 ò ¢ = Να δείξετε Ҫτι η εξίσωση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

Σελίδα 21 από 23

96. Έστω συνεχής συνάρτηση f τέτοια ώστε να ισχύει

( ) ( )ò -= x1

tflnt dtet1xf για κάθε x>0.

α) Να βρείτε τον τύπο της f.

β) Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση

της f, την εφαπτομένη της στο σημείο ( )1,eA και τον άξονα xx¢ .

97. Έστω συνεχής συνάρτηση [ ] Rβ,α:f ® και ( )β,αcÎ τέτοιο ώστε να είναι:

( ) βdxxfcα =ò και ( ) αdxxfc

β =ò , όπου 0<α<β.

Να αποδείξετε ότι υπάρχουν: i) ( )β,αx1 Î τέτοιο ώστε ( ) 1xf 1 = .

ii) ( )β,αx 2 Î τέτοιο ώστε ( ) 2xα xdxxf2 =ò .

98. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ò-

= 1ln2 dt

t1tx

xfe

για 0x > και ( ) 00f = .

Να βρείτε την παράγωγο της f και να εξετάσετε τη μονοτονία της.

99. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [ ]e,0 . Να αποδείξετε ότι:

i) ( ) ( ) ( )( )òò -+= e0

e0 dxxefxf

21dxxf

ii) 2ee

0 dxxe2004x2004

x2004=ò -+

Page 22: eclass.sch.gr · ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ εδα 1 α ) 23 1. ¸ f ðáñáãùã R, 0 f x f x dx 5 1 2000 ò ¢ = Να δείξετε Ҫτι η εξίσωση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

Σελίδα 22 από 23

100. Έστω η συνεχής συνάρτηση f τέτοια ώστε να ισχύει

( )( )ò

=x0 dttf

exf για κάθε x<1. α) Να βρείτε τον τύπο της f.

β) Σε ποιο σημείο της γραφικής της παράστασης η εφαπτομένη (ε) είναι κάθετη στην ευθεία (δ) με εξίσωση 04y4x =++ ;

γ) Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την εφαπτομένη (ε) και τον άξονα yy¢ .

101. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ( )¥+,0 για την οποία ισχύει ( ) xxflnx1 ££+ για κάθε x>0. i) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 1x 0 = με ( ) 11f =¢ .

ii) Να βρείτε το όριο: ( )

( )2

2

1x lnx

34xxdttf2mil

x1 +-+ò

®.

102. Έστω f πραγματική συνάρτηση συνεχής στο R, τέτοια ώστε

να ισχύει ( ) 2xf ³ για κάθε RxÎ . Θεωρούμε τη συνάρτηση

( ) ( )ò-+-= -5xx0

2 2dttf15xxxg , RxÎ .

i) Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) 00g3g <- .

ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) 0xg = έχει μία μόνο ρίζα στο διάστημα ( )0,3- . (ΘΕΜΑ 1997)

103. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο R και παραγωγίσιμη στο 0x 0 = .

Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) ( )ò= 10 dttxftxg 2 όπου Rtx, Î .

Να αποδείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο R.

Page 23: eclass.sch.gr · ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ εδα 1 α ) 23 1. ¸ f ðáñáãùã R, 0 f x f x dx 5 1 2000 ò ¢ = Να δείξετε Ҫτι η εξίσωση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

Σελίδα 23 από 23

104. Έστω η συνάρτηση ( ) dtlnt1

xg2x

xò= , όπου 0<t<1.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της g και να μελετήσετε τη μονοτονία της.

β) Να υπολογίσετε το όριο : ( )xg0x

mil®

.

105. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ò=-2x

1xt dtlntxf e , όπου t , x > 0.

i) Να αποδείξετε ότι: α) ( ) ( ) ln2x2exfxf x ×=¢+ β) ( ) ( )x

e2xfxfx

+=¢¢ .

ii) Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) ( ) ( )( ) xexfxfxg -×¢¢+¢= . Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g, τον άξονα xx¢

και τις ευθείες 1x = και 21x = .

106. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο R

και ικανοποιούν τις σχέσεις : ( ) ( ) 4xgxf =¢¢-¢¢ για κάθε RxÎ , ( ) ( )1g1f ¢=¢ και ( ) ( )2g2f = , να βρείτε

i) τη συνάρτηση ( ) ( ) ( )xgxfxt -= , RxÎ . ii)το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g. (ΘΕΜΑ 1997

107. Έστω f πραγματική συνάρτηση ορισμένη στο R, που είναι δύο φορές

παραγωγίσιμη και ισχύει ( ) 0xf >¢¢ για κάθε RxÎ . Έστω Rβα, Î και α<β. Να αποδειχθεί ότι:

i) ( ) ( ) ( )( )αxβfαfxf -¢£- για κάθε [ ]β,αxÎ .

ii) ( ) ( )( ) ( )( )αβα2fαββfdxxf2 2βα -+-¢£ò . (ΘΕΜΑ 1997)