µ «Õ¬ã ß¿ ¬ ã¡ « ¬æ è - images-se-ed.com · สำรบัญ...

«‘∑¬æ—≤πè

μ—«Õ¬ã“ß¿“

¬„π‡≈ã¡

PAT 1 (10-58) 1.indd 1 13/12/2560 11:56:46 dummy 1

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

ตแตกขอสอบคณต PAT 1

กนตดนย วสทธสร

ฉบบพมพท 1 พมพครงแรก มกราคม 2561

สงวนสทธตามพระราชบญญตลขสทธ พ.ศ. 2537

หามท�าซ�า ดดแปลง คดลอก ลอกเลยน หรอน�าไปเผยแพรในสอทกประเภท ไมวาสวนใดสวนหนง

ของหนงสอเลมน ตลอดจนหามมใหสแกนหนงสอหรอคดลอกสวนใดสวนหนงเพอสรางฐานขอมล

อเลกทรอนกส นอกจากจะไดรบอนญาตเปนลายลกษณอกษรจากบรษทวทยพฒน จ�ากด

จดท�ารปเลม จดพมพ และจ�าหนายโดย

บรษทวทยพฒน จ�ำกด

52/103-104 ซอยรามค�าแหง 60/5 ถนนรามค�าแหง เขตบางกะป กรงเทพฯ 10240

โทรศพท 02 374 9915 โทรสาร 02 374 6495

E-mail: [email protected] Website: www.wphat.com

ส�านกพมพ วทยพฒน (www.facebook.com/wphat.edu)

ID: wphat.com

รำคำ 220 บำท

ขอมลทางบรรณานกรมของหอสมดแหงชาต

กนตดนย วสทธสร.

ตแตกขอสอบคณต PAT 1.--กรงเทพฯ: วทยพฒน, 2561.

392 หนา.

1. คณตศาสตร--ขอสอบและเฉลย. I. ชอเรอง.

510.76

ISBN 978-616-424-010-0

หากทานมขอตชม หรอค�าแนะน�าเกยวกบหนงสอหรอบรการของบรษทฯ กรณาสงจดหมายถงผจดการฝายลกคาสมพนธตามทอยดานบน หรอสงอเมลท [email protected] จกเปนพระคณยง

PAT 1 (10-58) 1.indd 2 14/12/2560 12:04:45 dummy 2

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

ค�ำน�ำ

การเปลยนแปลงระบบการสอบเขามหาวทยาลยเปนระบบ TCAS มวตถประสงคเพอใหการสอบ

มความเปนกลางมากขน นกเรยนไมตองใชเวลาเดนทางเพอไปสอบกบทางมหาวทยาลยโดยตรงหลายๆ

แหง นนหมายความวา ระบบการสอบในปจจบนจะเนนการใชขอสอบกลางทนกเรยนทกคนทวประเทศ

ท�าขอสอบชดเดยวกน

เดมท GAT/PAT เปนสนามสอบหนงทส�าคญอยแลว เพราะตองใชยนคะแนนในระบบแอดมชชน

ซงเปนการรบสมครทใหญทสดของนกเรยน การปรบมาเปนระบบ TCAS ท�าให GAT/PAT นนส�าคญ

ยงขนไปอก เพราะนอกจากแอดมชชนแลว ยงตองใชในการยนคะแนนรอบรบตรงรวม และอาจตองใช

ในรอบรบตรงอสระอกดวย

PAT 1 หรอวชาคณตศาสตรนนถอเปนหนงวชาทส�าคญ นอกจากจะใชในการสมครเขาคณะตางๆ

ในสายวทยาศาสตร เชน วศวกรรมศาสตร วทยาศาสตร เภสชศาสตร แลว ยงตองใชในการสมครเขา

คณะในสายอนอยางเชนบญชและสถาปตยกรรมศาสตรอกดวย

แตการท�าคะแนน PAT 1 นนไมงาย เปนททราบกนดวาคะแนนเฉลยของการสอบแตละครงอยท

ประมาณ 40-50 คะแนน จากคะแนนเตมถง 300 คะแนน แสดงใหเหนวาขอสอบ PAT 1 นนอยในระดบ

ทยากมาก แมในชดหลงๆ มาจะมการปรบแนวทางการออกขอสอบโดยเนนความเขาใจ เนนการวเคราะห

และลดขอสอบทตองใชการค�านวณทซบซอนลงกตาม แตคะแนนเฉลยกลบไมเพมขน แสดงวาการเตรยมตว

สอบของนกเรยนสวนใหญยงคงไมใชวธการทดนก

การเรยนรจากขอสอบเกาเปนวธหนงทมประสทธภาพ เพราะนอกจากชวยใหรแนวทางของ

ขอสอบแลว ยงสามารถเลอกศกษาทบทวนเฉพาะเนอหาทออกขอสอบจรงได หนงสอเลมนจงใชวธการสอน

จากขอสอบ มการเฉลยอยางเปนขนตอนและชดเจนเพอใหนกเรยนเขาใจถงทมาทไปในแตละขน รวาเหตใด

จงตองใชวธการนหรอสตรน

ทส�าคญในการเฉลยแตละขอยงมาพรอมการ ตโจทย กอนเรมเฉลยวาขอสอบขอดงกลาวบอกอะไร

เรามาบาง และสงเกตอยางไรวาควรใชวธการใดในการหาค�าตอบ อกทงยงม แผนการหาค�าตอบ โดยแสดง

flow chart ขนตอนการหาค�าตอบเพอใหเหนภาพรวมกอนเรมเฉลยจรง เพราะขอสอบ PAT 1 สวนใหญ

มขนตอนการหาค�าตอบทยาวและซบซอน ท�าใหเมอนกเรยนอานไปเรอยๆ แลวเกดความสบสน แผนภาพ

วธการหาค�าตอบจงเปนตวชวยทดในการท�าความเขาใจเฉลยของขอนนได

สดทายนผเขยนหวงวาหนงสอ ตแตกขอสอบคณต PAT 1 เลมนจะเปนประโยชนกบทงนกเรยน

ทตองการเตรยมตวสอบ PAT 1 และครอาจารยทใชในการเตรยมตวสอนนกเรยนดวย

กนตดนย วสทธสร (ครปอม)

PAT 1 (10-58) 1.indd 3 13/12/2560 11:56:46 dummy 1

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

สำรบญ

แนวขอสอบคณต PAT 1 ชดท 1 (ตลาคม 2558) 11

เฉลยค�ำตอบแนวขอสอบคณต PAT 1 ชดท 1 (ตลำคม 2558) 21

เฉลยวธคดแนวขอสอบคณต PAT 1 ชดท 1 (ตลำคม 2558) 22

แนวขอสอบคณต PAT 1 ชดท 2 (มนาคม 2559) 118

เฉลยค�ำตอบแนวขอสอบคณต PAT 1 ชดท 2 (มนำคม 2559) 128

เฉลยวธคดแนวขอสอบคณต PAT 1 ชดท 2 (มนำคม 2559) 129

แนวขอสอบคณต PAT 1 ชดท 3 (ตลาคม 2559) 215

เฉลยค�ำตอบแนวขอสอบคณต PAT 1 ชดท 3 (ตลำคม 2559) 225

เฉลยวธคดแนวขอสอบคณต PAT 1 ชดท 3 (ตลำคม 2559) 226

แนวขอสอบคณต PAT 1 ชดท 4 (มนาคม 2560) 303

เฉลยค�ำตอบแนวขอสอบคณต PAT 1 ชดท 4 (มนำคม 2560) 314

เฉลยวธคดแนวขอสอบคณต PAT 1 ชดท 4 (มนำคม 2560) 315

PAT 1 (10-58) 1.indd 4 13/12/2560 11:56:46 dummy 1

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

ชด

ขอสอ

บเซ

ตตร

รก-

ศาสต

รจ�า

นวน

จรง

เรขา

คณต

วเคร

าะหแ

ละภา

คตดก

รวย

ความ

สมพน

ธแล

ะฟงก

ชนเม

ทรกซ

เอ

กซโพ

เนน-

เช

ยลแล

ะลอ

การท

มตร

โกณ

มต

เวกเ

ตอร

จ�านว

น เช

งซอน

สถต

ล�าดบ

แล

ะอน

กรม

แคลค

ลสก�า

หนดก

าร

เชงเ

สนคว

าม

นาจะ

เปน

ทกษะ

และ

กระบ

วนกา

รรว

ม

ม.ค.

60

22

33

42

54

21

63

41

21

45

ต.ค.

59

22

43

42

34

21

54

52

2-

45

ม.ค.

59

22

44

32

54

21

53

51

2-

45

ต.ค.

58

22

23

32

44

21

54

51

23

45

ม.ค.

58

12

33

22

45

12

53

51

33

45

พ.ย.

57

23

23

12

55

12

53

51

32

45

เม.ย

. 57

12

23

32

35

21

54

51

33

45

ม.ค.

57

12

33

32

25

12

53

61

33

45

ม.ค.

56

22

23

62

55

21

44

51

51

50

ต.ค.

55

22

23

22

56

22

45

61

33

50

รวม

1721

2731

3120

4147

1714

4936

5111

2819

460

จ�ำนว

น ขอ

ทคำด

22

33

32

54

21

54

51

21

45

ตารางสถตขอสอบคณ

ต PAT 1 ยอนหลง 5 ป (10 ชด)

PAT 1 (10-58) 1.indd 5 11/12/2560 14:21:48 dummy 3

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

ค�ำแนะน�ำในกำรเตรยมตวสอบคณต PAT 1

แบงบทเรยนออกเปน 4 กลม ดงน

1. ออกเยอะ/งาย (เกบใหเรยบ)

บท ค�าแนะน�า ลกษณะขอสอบ

ระบบจ�ำนวนจรง กำรแกสมกำรและอสมกำร

แมจ�ำนวนขอสอบในบทน ไมเยอะมำก แตควำมรในกำรแกสมกำรและอสมกำรนนตองใชอยในขอสอบแทบทกขอ เพรำะไมวำจะเปนขอสอบเรองใดยอมตองแกสมกำรหรออสมกำรเพอหำค�ำตอบเสมอ บทนจงส�ำคญมำก

สมการ/อสมการตดสแควรรท ออกขอสอบทกชด ชดละ 1 ขอ และออกแนวเดมเสมอ มกเปนขอสอบแบบเตมค�ำตอบ 8 คะแนน ควรท�ำใหไดแบบชวรๆ จดทมกพลำดคอไมไดตรวจค�ำตอบ เรำตองตรวจค�ำตอบเสมอ

การด�าเนนการทวภาค (binary operation) ออกขอสอบทกชด ชดละ 1 ขอ ไมยำก ควรเกบคะแนนใหไดแบบชวรๆ เนนควำมรอบคอบในกำรค�ำนวณ

สมการ/อสมการคาสมบรณ ออกขอสอบแนนอน งำยบำงยำกบำงปะปนกนไป ใหสงเกตเอกภพสมพทธของแตละขอใหด สำมำรถใชเทคนคแทนคำหรอตรวจสอบค�ำตอบได เรวกวำกนเยอะ

ฟงกชนเอกซโพ- เนนเชยล

และฟงกชนลอกำรทม

บทส�ำคญในกำรท�ำคะแนน เพรำะออกเยอะมำก และไมยำกเลย ขอสอบสวนใหญเปนแนวแกสมกำร/อสมกำรเอกซโพเนน-เชยลและลอกำรทม ซงหลกกำรไมตำงกน ควรเกบคะแนนใหไดทกขอ

สมการ/อสมการเอกซโพเนนเชยล ออกแนวเดมๆตลอด มขอสอบแบบเตมค�ำตอบ 8 คะแนน 1 ขอแนนอน ทใชเทคนคกำรก�ำหนดตวแปรใหมขนมำชวยแกสมกำร/อสมกำรได

สมการ/อสมการลอการทม ออกแนวเดมๆเชนกน ส�ำคญทใชสมบตลอกำรทมใหเปน จดรปใหเปนลอกำรทมฐำนเดยวกนใหได แลวกถอดลอกำรทมออก แกสมกำร/อสมกำรพหนำมตอไดเลย

ระบบสมการ จะม 1 ขอเสมอทเปนระบบสมกำร 2 สมกำร อำจเปนเอกซโพเนน-เชยลทงค ลอกำรทมทงค หรอปนกนกได แตไมยำกอะไร

สถต เปนอกหนงบททชวยเพมคะแนนไดเยอะ เพรำะออก 5-6 ขอเลยทเดยว ลกษณะขอสอบเปนกำรค�ำนวณ จ�ำสตรใหได ใชสตรใหเปน หำมโดนหลอกเรองกลมประชำกร/กลมตวอยำงเดดขำด ทส�ำคญ คดเลขใหรอบคอบมำกๆ

ขอมลทไมแจกแจงความถ โจทยประเภทนอำจใหขอมลมำหลำยตว ตองเลอกใชสตรให ถกตอง ค�ำนวณใหแมนย�ำ วำงแผนกำรคดกอนลงมอท�ำเพรำะถำคดผดทำงอำจพำเรำวนวำยได

ขอมลแจกแจงความถ โจทยประเภทนมกออกไมยำกเพรำะขนตอนกำรค�ำนวณคอนขำงเยอะอยแลว ขนอยกบควำมรอบคอบในกำรค�ำนวณ

สมบตการกระจายของขอมล โจทยทมขอมล 2 ชด ใหเปรยบเทยบกำรกระจำยใครมำกใครนอยกวำกน แบบนออกทกชด มกใหพจำรณำขอ ก., ข. และ ค. ออกแนวเดมๆ ไมยำก และไมตองค�ำนวณอะไรมำกดวย

คามาตรฐาน/พนทใตโคง ออกตรงไปตรงมำ มกตองเชอมโยงควำมสมพนธระหวำงเปอรเซนไทลกบพนทใตโคงปกต โจทยไมซบซอนมำก และค�ำนวณไมเยอะเทำโจทยประเภทอนดวย

PAT 1 (10-58) 1.indd 6 20/11/2560 16:21:31

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡


ความสมพนธเชงฟงกชน ออก 1 ขอตอชดแนนอน ออกตรงๆ เพรำะขนตอนกำรค�ำนวณยำวอยแลว อำจใหขอมลมำแบบตรงๆบำง หรอตองคดเองบำง แตตองพยำยำมเกบคะแนนใหไดชวรๆ

2. ออกไมเยอะ/งาย (เกบบางเนอหาของบท)


เซต ออก 2 ขอแนนอน วเครำะห 1 ขอ และค�ำนวณจ�ำนวนสมำชกของเซตอก 1 ขอ ไมตองอำนทงบท เนนท�ำโจทยเยอะๆใหร แนวทำงและเทคนค เพรำะเนอหำทออกขอสอบจะเปนแนวเดมเสมอ

วเคราะหเซต โจทยถำมเกยวกบสบเซต กำรด�ำเนนกำรของเซต มกใหเรำพจำรณำขอ ก., ข. และ ค. เสมอ พยำยำมจ�ำสมบตกำรด�ำเนนกำรเซตใหได เพรำะมประโยชนในกำรพจำรณำมำก

หาจ�านวนสมาชกของเซต สวนใหญเปนโจทยสถำนกำรณ หำจ�ำนวนคน เนนวำดแผนภำพเซตชวยไดเยอะ

ตรรกศำสตร ออก 2 ขอเสมอ เปนโจทย พ จ ำ รณำค ำ คว ำมจ ร ง แ ล ะ สจนรนดร 1 ขอ และโจทยตวบง ปรมำณอก 1 ขอ อำจยำกกวำเซตแตมกออกขอสอบแนวเดมทกชด

คาความจรงและสจนรนดร โจทยออกตรงไปตรงมำ สวนใหญสำมำรถใชรปแบบประพจนทสมมลกนชวยใหท�ำโจทยงำยขนได

ตวบงปรมาณ มกตองแกสมกำร/อสมกำรควบคกนไป โดยเฉพำะแบบทมคำสมบรณดวย เทคนคคอใหสงเกตเอกภพสมพทธของโจทย บำงขออำจแทนคำไดเลยไมตองหำค�ำตอบตรงๆ บำงขอกชวยใหเรำถอดคำสมบรณได สวนกำรหำคำควำมจรงคงไมใชเรองยำก

เมทรกซ ออกไมเยอะ แตงำย เนนกำรค�ำนวณ คณเมทรกซใหเปน สมบตดเทอรมแนนตตองได กฎของครำเมอรตองร แค 3 อยำงนกสบำยแลว

การด�าเนนการเมทรกซ โจทยมกใหคณเมทรกซดวยกน อำจเปนเมทรกซ 2 × 2 บำง หรอ 3 × 3 บำง เนนควำมรอบคอบ

ดเทอรมแนนต กำรหำดเทอรมแนนตและสมบตดเทอรมแนนตตองแมน โจทยประเภทนจะค�ำนวณไมยำกเหมอนกำรคณ แตออกไดหลำกหลำยเพรำะสมบตมหลำยขอ และทมกลมกนแตขอสอบชอบออกคอดเทอร- มแนนตของ adj(A)

แกระบบสมการดวยเมทรกซ สวนใหญจะเปนกฎของครำเมอร โจทยจะไมใหเรำแกระบบสมกำรตรงๆ หรอถำแกตรงๆกไมถำมค�ำตอบทง 3 ตว สวนใหญเรำตองวเครำะหโจทยแลวเลอกใหถกวำจะใชเมทรกซ A1 A2 หรอ A3

เวกเตอร เนนออกโจทยแบบค�ำนวณ ทงผลคณเชงสเกลำรและผลคณเชงเวกเตอร และอกประเภทคอโจทยทถำมเกยวกบมมระหวำงเวกเตอรทประกอบกนเปนรปสำมเหลยม ตองระวงเพรำะโดนหลอกไดงำย

ผลคณเชงสเกลาร/ผลคณเชงเวกเตอร เนนกำรค�ำนวณ จดรปเวกเตอร และใชสตรหำขนำดของเวกเตอร โจทยประเภทนเกบคะแนนไดไมยำก แตตองแมนสตรและสมบตตำงๆ

เวกเตอรกบรปเรขาคณต เวกเตอร 3 เวกเตอรประกอบกนเปนรปสำมเหลยม ตองมองใหดวำมมระหวำงเวกเตอรคอมมไหน โจทยประเภทนอำจตองใชตรโกณรวมดวย

PAT 1 (10-58) 1.indd 7 20/11/2560 16:21:31

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡


จ�ำนวนเชงซอน ออกข อสอบแค ส วนง ำยสวนแรกๆของบท คอเนนกำรค�ำนวณเชงพชคณต สมบตตำงๆ คำสมบรณและคอนจเกตของจ�ำนวนเชงซอน ชวงหลงมำไมออกเกยวกบรปเชงขวเลย

จ�านวนเชงซอน พชคณต และสมบตตางๆ มกเปนสมกำรใหจดรปจ�ำนวนเชงซอนทง 2 ขำง แลวน�ำมำ เทำกนโดยเปรยบเทยบสวนจรงเทำกน และสวนจนตภำพเทำกน แลวคอยน�ำมำแกระบบสมกำรเพอหำค�ำตอบอกครง

ก�ำหนดกำร เชงเสน

ออกแนนอน 1 ขอ ตรงไป ตรงมำ เน นกำรค�ำนวณให รอบคอบ ตองแมนสมกำรเสนตรง และตองฝกหำจดตดกรำฟใหเรวดวย ไมเชนนนจะเสยเวลำ มำก

ก�าหนดการเชงเสน ชวงหลงจะไมออกเปนโจทยประยกตสกเทำไร หำกเปนโจทยหำคำสงสดหรอคำต�ำสดตรงๆ ควรท�ำไดแบบชวรๆ หำมพลำดเดดขำด โจทยอำจจะยำกขนมำหนอยโดยกำรปรบใหอสมกำรขอจ�ำกดหรอสมกำรจดประสงคตดตวแปร แตหลกกำรกไมตำงกน

3. ออกเยอะ/ยาก (เลอกเกบสวนทไมยากจนเกนไป)


ควำมสมพนธและฟงกชน

บทนสวนทงำยกงำยจรงๆ เชน โจทยใหหำโดเมนกบเรนจตรงๆ แนวนต องเกบคะแนนใหชวร แตโจทยทยำกๆ เชน คอมโพสทฟงกชนทไปผสมกบแคลคลส ตองเหลอไวท�ำทหลงเพรำะใชเวลำในกำรท�ำแตละขอเยอะมำก และซบซอน

โดเมนและเรนจ สวนใหญจะเปนฟงกชนแบบมสแควรรท เพยงแคน�ำสวนทอยในสแควรรทมำตงอสมกำรมำกกวำหรอเทำกบ 0 แลวแกอสมกำรกจบแลว ระวงหำกเปนเศษสวน ตวสวนจะตองไมเทำกบ 0

อนเวอรสและคอมโพสทฟงกชน โจทยประเภทนมกตองค�ำนวณหลำยตอ ตองแมนย�ำวธกำรและล�ำดบขนตอนใหดวำควรจะหำอนเวอรสกอนหรอคอมโพสทกอน ยงโจทยทผสมกบบทอนๆ เชน แคลคลส ตองระวงใหมำก น�ำวธกำรเขยนแผนกำรหำค�ำตอบเปน flow chart ไปประยกตใชชวยได

นยามฟงกชนใหมๆ ชวงหลงมกออกขอสอบทมนยำมฟงกชนใหมๆ หรอฟงกชนคอม-โพสทซอนหลำยๆชน ขอสอบประเภทนไมยำก แตตองคอยๆคดไป ทละขน พยำยำมเกบคะแนนสวนนใหได

แคลคลส บทส�ำคญเลย ออกเยอะมำก แตคอนขำงยำกเพรำะเปนบททเรยนตอน ม. 6 พอด จงออกขอสอบเยอะและยำกเปนพเศษ แตแคลคลสเปนบททเนนควำมเขำใจมำกกวำกำรจ�ำสตร ควำมยำกคออำนโจทยแลวตองตควำมใหไดวำสงทโจทยบอกเรำนนหมำยควำมวำอะไร โจทยบอกคำอะไรมำบำง

ลมตและความตอเนอง จะมโจทยหำลมตตรงๆเปนขอสอบแบบเตมค�ำตอบ 8 คะแนน 1 ขอเสมอ และชอบออกเปนฟงกชนทมเอกซโพเนนเชยลผสมอย เนนกำรจดรป ใชสมบตของเลขยกก�ำลง จดรปใหด ควรเกบคะแนนใหไดเพรำะเปนพำรททไมยำก

ดฟเฟอเรนเชยลและอนทเกรต สวนส�ำคญเพรำะออกขอสอบเยอะ และมกออกผสมกนทงดฟเฟอเรนเชยลและอนทเกรตเสมอ จดล�ำดบขนตอนใหดวำควรหำอะไรกอนหลง

PAT 1 (10-58) 1.indd 8 20/11/2560 16:21:31

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡


ประยกต พำรทยำกของแคลคลส ทยำกเพรำะโจทยจะไมบอกขอมลมำตรงๆ เรำตองแปลควำมหมำยเอง เชน คำวกฤต คำสงสด คำต�ำสดทโจทยบอกมำ หมำยควำมวำอยำงไรบำง หรอควำมชนของเสนโคงบอกอะไรเรำ หำกแปลควำมหมำยไดแลวกตองรอกวำ สงทโจทย ถำมนนควรดฟหรออนทเกรตหรอหำคำของอะไรกนแน ตองมควำมเขำใจสง บำงขอสำมำรถประยกตกำรวำดกรำฟชวยไดเยอะ

พนทปดลอมดวยเสนโคง โจทยประเภทนค�ำนวณคอนขำงเยอะ ตองรจกแบงชวงหำค�ำตอบใหด แตเปนสวนทไมยำกจนเกนไปนก เนนควำมรอบคอบ

ล�ำดบและอนกรม บททยำกไมตำงจำกแคลคลส เพรำะเรยนตอน ม. 6 เหมอนกน แตกเปนบททออกเยอะมำกๆ จะทงเลยคงไมได ชวงหลงๆมขอสอบทเปนแนว O-NET เขำมำ คอใชสตรล�ำดบจ�ำกดและอนกรมจ�ำกดค�ำนวณเทำนน ชวยใหงำยขนเยอะ

ล�าดบจ�ากดและอนกรมจ�ากด โจทยแนว O-NET แตไมไดงำยเหมอน O-NET คอใชควำมรเพยงแคล�ำดบและอนกรมทเรยนในคณตศำสตรพนฐำน มสตรแค ไมกสตร แตควำมซบซอนของขอสอบตองมำกกวำ O-NET แนนอน พำรทนควรท�ำใหได

อนกรมลเขา/ลออก ชวงหลงมโจทยทถำมเกยวกบอนกรมอนนตอยเสมอ พจำรณำวำ ลเขำหรอลออก โจทยถำมตรงๆ ไมซบซอน เปนพำรททนำเกบคะแนน

อนกรมอนนต โจทยอนกรมอนนตนำจะออกเยอะทสดของล�ำดบและอนกรม มหลำกหลำยมำก ทงใชสตรผลบวกอนนตตรงๆกม และโจทยทเปนอนกรมผสม ออกแนนอน 1-2 ขอ ขนตอนกำรคดมควำมซบซอนและยำวมำก เกบไวท�ำทหลงจะปลอดภยทสด

ฟงกชนตรโกณมตและกำรประยกต

บทปรำบเซยน นำจะเปนบททยำกทสดส�ำหรบใครหลำยๆคน แตเชนเดยวกบบทกอนหนำทออกเยอะไมแพกน จะมของำยใหเกบคะแนนเสมอ เชน สมกำรตรโกณมต สวนขอยำกๆทตองใชสตรจดรปเยอะๆ เกบไวทหลงดทสด

สตรตรโกณมต เปนสวนทตองใชเยอะมำก ในแตละขอมกตองใชหลำยสตรประกอบกน บำงขอท�ำไดหลำยวธ เลอกใชสตรใหถกตองจะงำยกวำ

สมการตรโกณมต พำรทงำยส�ำหรบบทน อำจตองใชสตรตรโกณชวยจดรปสมกำรบำง แตจะเปนสตรทไมยำกมำกนก เชน มมสองเทำ เมอแกสมกำรแลว สงทตองระวงพลำดคอดใหดวำโจทยก�ำหนดมมมำอยำงไร อยในควอดรนตใด

กฎเกยวกบรปสามเหลยม โจทยแนวนมกออกตรงๆ แตขนตอนกำรค�ำนวณซบซอน ใชสตรและตองจดรปเยอะมำก จดล�ำดบขนตอนกำรค�ำนวณใหดกจะเกบคะแนนไดไมยำกนก

อนเวอรสตรโกณมต พำรทนมควำมซบซอนตรงทตองใชสตรซอนไปซอนมำหลำยชน และตองถอด arc เพอหำค�ำตอบอก เพยงแตสตรทใชไมเยอะมำกนก เนนกำรค�ำนวณยำวๆ

PAT 1 (10-58) (03-59) 1-2 D4.indd 9 17/10/2560 16:06:21 dummy 2

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

4. ออกไมเยอะ/ยาก (เกบไวท�าทายสด)


ควำมนำจะเปน อ นท จ ร ง เ น อห ำบทน ไ ม ยำก แตมกสบสนกนวำตองหำอะไรบำง เงอนไขเปนอยำงไรบ ำง ค� ำนวณผดเลกน อยก ท�ำให ค�ำตอบผดได เลย แต ข อดคอออกข อสอบไม เยอะ อำจมเพยง 1-2 ข อเท ำนน

เรยงสบเปลยนและจดหม ควำมยำกของขอสอบประเภทนคอตองแบงกรณใหเปน แบงผดนดเดยวค�ำตอบกผดไดเลย ตรงไหนใชเรยงสบเปลยน ตรงไหนใช จดหม ดดๆ กำรหำจ�ำนวนเหตกำรณตองพจำรณำใหดวำมกขนตอน

โจทยเกยวกบจ�านวน โจทยแนวนมบำงเปนบำงชด สรำงจ�ำนวนกหลก เงอนไขเปนอยำงไร แตหลกกำรไมตำงกนกบกำรเรยงสบเปลยนและกำรจดหมคอตองแบงกรณใหด

เรขำคณต วเครำะหและภำคตดกรวย

บทนแมโจทยแบบฝกหดทวไปกยำกอยแลว มขนตอนทซบซอนและยำวทกขอ ยงมำเปนขอสอบ PAT 1 ยงยำก เปนบททนำเกบไวท�ำหลงสด

เรขาคณตวเคราะห ขอสอบชวงหลงมโจทยทเปนเรขำคณตเพยวๆเกยวกบเสนตรง ควำมชน มำออกอย บ อยครง เปนพำรททน ำเกบคะแนนกวำภำคตดกรวย ใชสตรหำควำมชน ระยะหำงใหเปน คอยๆคดเปน ขนตอนกจะท�ำไดไมยำกนก

ภาคตดกรวย สวนทยำกและคดแตละขอนำนมำกมกเปนภำคตดกรวย 2 รป ใหหำสวนประกอบวนไปวนมำ ถำเปนวงกลมกบพำรำโบลำจะไมยำกนก แตถำมวงรกบไฮเพอรโบลำเมอไร ควำมยำกจะเพมขนเยอะเพรำะเปนรปทมสวนประกอบและเงอนไขเยอะ แตตอใหเปนขอทไมยำก กตองใชเวลำในกำรท�ำมำก เกบไวท�ำทหลงดทสด

ทกษะและกระบวนกำร

ทำงคณตศำสตร

เมอกอนเปนขอสอบสวนทยำก เหมอนขอสอบแขงขน ไมตองใชควำมร คณตศำสตร ม. ปลำย สกเทำไร แตมควำมซบซอนและตองประยกตควำมร เอง ชวงหลงมำขอสอบสวนนงำยขนเยอะ มกเปนพนฐำนคณตศำสตรงำยๆ เชน ค�ำนวณอตรำสวน เปอรเซนต เปนตน

ขอสอบทไมเขาบทใดเลย หำกเจอขอสอบทไมเขำบทใดของ ม. ปลำย เลย ใหรไววำคอขอสอบวดทกษะและกระบวนกำรทำงคณตศำสตร หำกเปนขอสอบงำยๆทใหค�ำนวณพวกอตรำสวนหรอเปอรเซนต ใหรบเกบคะแนนทนท แตหำกเปนโจทยแปลกๆ ไมเคยเหนทไหนมำกอน แสดงวำมำแนวขอสอบแขงขน หำกเวลำเหลอคอยมำพยำยำมท�ำดกวำ

PAT 1 (10-58) (03-59) 1-2 D4.indd 10 17/10/2560 16:06:22 dummy 2

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

แนวขอสอบคณต PAT 1 ชดท 1 (ตลาคม 2558)

1. ก�ำหนดให ( ) ~( )p r p q∨ ∨↔ เปนประพจนทมคำควำมจรงเปนจรง ขอใดถกตอง

(1) ( )q ↔ ∨r p เปนจรง (2) ( ) ( )p r q p→ ∨ → เปนจรง

(3) ( ) ( )r q p q→ ∧ ∧ เปนจรง (4) ( ~ ) ( )r p q r→ ∨ ∧ เปนเทจ

(5) ( ) ( )~r q p r∧ ↔ → เปนจรง ตรรกศาสตร – งาย

2. ก�ำหนดให A, B และ C เปนเซตใดๆ โดยท A B C∩ ∪( )′ ∅ = เมอ A′ หมำยถงคอมพลเมนต

ของเซต B ถำ n(A) = 13, n(B) = 16, n(C) = 17, n(A ∪ B ∪ C) = 21 และ

n(A ∩ B) = n(B ∩ C) = n(A ∩ C) แลว ขอใดไมถกตอง

(1) n A B C( )∩ ∩ = 11 (2) n A B( )∩ = 12 (3) n A B( )′ ∩ = 4 (4) n A B C[( ) ]∪ ∩ = 13 (5) n A B C[( ) ]∪ ∩′ = 6 เซต – งาย

3. ก�ำหนดให A เปนเซตค�ำตอบของอสมกำร - - x 2 2 2< และ B เปนเซตค�ำตอบของอสมกำร 1

12 2

22xx

x x - +

- -

≥ แลว A ∩ B เปนสบเซตของชวงใดตอไปน

(1) ( ) ( )-3, 0 , ∪ 1 2 (2) ( ( )-2, 0] , ∪ 2 3 (3) ( )-2, 3 (4) ( )- , 4 1 (5) ( )- , 1 3 ระบบจ�านวนจรง การแกสมการและอสมการ – ปานกลาง

4. ขอใดคอคำของ (4 cos2 9 � - 3)(4 cos2 27 � - 3)(4 cos2 81 � - 3)(4 cos2 243 � - 3)

(1) 0 (2) 1

(3) 2 (4) tan 9 �

(5) cos 9 � ฟงกชนตรโกณมตและการประยกต – ปานกลาง

5. ถำ 2 2 1 2 = + cot ( cot )α α โดยท 0 2< <α π แลว คำของ ( sin )sec

cos1

22 +

α αα ตรงกบขอใด

(1) 1 (2) 2 (3) 3

(4) 4 (5) 5 ฟงกชนตรโกณมตและการประยกต – ยาก

6. คำของ cosec + arccot cosec arccot + +

2 22 3 2 2(arctan ) sec ar( ) cccos

35( ) ตรงกบขอใด

(1) 17572 (2) 205

72 (3) 22572

(4) 24572 (5) 295

72 ฟงกชนตรโกณมตและการประยกต – ยาก

PAT 1 (10-58) 1.indd 11 28/11/2560 16:53:58 dummy 6

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

12 ตแตกขอสอบคณต PAT 1

7. ก�ำหนดให A = arcsin cos π6( ) และ 0 2< <B π แลว

คำของ sin2 B + sin2 (A + B) + sin2 (2A + B) ตรงกบขอใด

(1) 0 (2) 1 (3) 32 (4) 3

2 2 - sin B

(5) 32 2 - cos B ฟงกชนตรโกณมตและการประยกต – ปานกลาง

8. ก�ำหนดให a และ b เปนจ�ำนวนจรงบวกทมำกกวำ 2 ซงสอดคลองกบสมกำร

log ( )a + b 2 = log log �( )a a b2 22 + - (log )(log )b a ba

2 = 1 + log b a

คำของ a2 + b2 เทำกบขอใด

(1) 33 (2) 42 (3) 56 (4) 61

(5) 79 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม – ปานกลาง

9. ก�ำหนดให R แทนเซตของจ�ำนวนจรง ควำมสมพนธในขอใดไมเปนฟงกชน

(1) r x y R R xy1 1 0 = {( , ) × - = ∈ } (2) r x y R R y x2 = {( , ) × = ∈ tan } (3) r x y R R x3

2 2 1 = = y + {( , ) × ∈ | } (4) r x y R R y x4 1 = {( , ) × = - ∈ }

(5) r x y R R x yy5

21 = , × = - ( � )∈{ }| ความสมพนธและฟงกชน – งาย

10. ก�ำหนดใหวงกลม C มสมกำรเปน x2 + y2 + ax - 6y - 12 = 0 เมอ a ≥ 0 โดยระยะทำง

จำกจดศนยกลำงของวงกลม C ไปยงเสนตรง 4x - 3y = 51 เทำกบ 12 หนวย ถำพำรำโบลำ

รปหนงมโฟกสอยทจดศนยกลำงของวงกลม C และม y = 9 เปนเสนไดเรกตรกซแลว สมกำรของ

พำรำโบลำรปนตรงกบขอใด

(1) x2 - 12y + 36 = 0 (2) x2 + 12y + 36 = 0

(3) x2 + 12y - 54 = 0 (4) x2 + 12y + 72 = 0

(5) x2 + 12y - 72 = 0 เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย – ยาก

11. ก�ำหนดใหพำรำโบลำรปหนงมสมกำร y2 - 4y - 40x - 156 = 0 โดยม V และ F เปนจดยอด

และโฟกส ตำมล�ำดบ ถำวงรรปหนงผำนจด (4, 6) และมโฟกสอยทจด V และจด F แลว สมกำร

ของวงรรปนตรงกบขอใด

(1) 4x2 + 9y2 + 8x - 36y + 140 = 0 (2) 4x2 + 9y2 + 8x + 36y - 140 = 0

(3) 4x2 + 9y2 - 8x - 36y - 140 = 0 (4) 9x2 + 4y2 - 36x - 8y - 180 = 0

(5) 9x2 + 4y2 + 36x - 8y + 180 = 0 เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย – ยาก

PAT 1 (10-58) 1.indd 12 28/11/2560 16:27:07 dummy 6

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

13แนวขอสอบคณต PAT 1 ชดท 1 (ตลาคม 2558)

12. ก�ำหนดใหเอกภพสมพทธคอเซตของจ�ำนวนตรรกยะ และก�ำหนดประโยคเปด

P(x) คอ 8x3 - 8x2 + 1 = 0

Q(x) คอ 8x4 - 8x2 + x + 1 = 0

R(x) คอ x3 + x2 > 0

พจำรณำขอควำมตอไปน

ก. ∃x[P(x) ∧ Q(x)] มคำควำมจรงเปนเทจ

ข. ∀x[Q(x) → R(x)] มคำควำมจรงเปนจรง

ค. ∀x[P(x) → R(x)] มคำควำมจรงเปนจรง

ขอใดถกตอง

(1) ก. ถกเพยงขอเดยว (2) ข. ถกเพยงขอเดยว (3) ค. ถกเพยงขอเดยว

(4) ถกทง ก., ข. และ ค. (5) ไมมขอใดถก ตรรกศาสตรและระบบจ�านวนจรง – ปานกลาง

13. คำของ limx x

xx→ 1

32

11 1 2

1- - - + ( ) เทำกบขอใดตอไปน

(1) 0 (2) 1 (3) 2

(4) 3 (5) 4 ลมตและความตอเนองของฟงกชน – ปานกลาง

14. ก�ำหนดให C เปนเสนโคงทมสมกำร y = 2 - x x + 1 เมอ x เปนจ�ำนวนจรง ถำ L เปนเสนตรง

ทสมผสกบเสนโคง C ทจด (0, 2) และให N เปนเสนตรงทตงฉำกกบเสนตรง L ทจด (0, 2)

แลว เสนตรง N ผำนจดใดตอไปน

(1) (1, 3) (2) (-1, 3) (3) (2, 5)

(4) (-2, 5) (5) (-3, 4) เรขาคณตวเคราะหและแคลคลส – ปานกลาง

15. ก�ำหนดให f เปนฟงกชนหนงตอหนง มโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจ�ำนวนจรง

โดยท f-1(x) = 31

xx - ส�ำหรบทกสมำชก x ในเรนจของ f


ก. 2 f′(4) + f(4) = -2 ข. f″(f(4)) = f(f″(4)) ค. f เปนฟงกชนลดบนชวง (0, 3)


(1) ก. และ ข. ถก แต ค. ผด (2) ก. และ ค. ถก แต ข. ผด

(3) ข. และ ค. ถก แต ก. ผด (4) ถกทง ก., ข. และ ค.

(5) ไมมขอใดถก แคลคลส – ปานกลาง

PAT 1 (10-58) 1.indd 13 7/12/2560 9:43:33 dummy 7

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡


16. ก�ำหนดให

A และ

B เปนเวกเตอรในระนำบ โดย

A i a j = + 18 และ

B i b j = + 9 เมอ

a และ b เปนจ�ำนวนจรง ถำ

A B = และเวกเตอร

B ท�ำมม 60 � กบเวกเตอร

A แลว

คำของ (a + b)2 เทำกบขอใด

(1) 8 (2) 25 (3) 81

(4) 243 (5) 324 เวกเตอร – ปานกลาง

17. ในกำรจดใหนกเรยน ม. ปลำย 4 คน และนกเรยน ม. ตน 4 คน มำยนเรยงเปนแถวหนำกระดำน

หนงแถว ควำมนำจะเปนทไมมนกเรยน ม. ปลำย สองคนใดยนตดกน หรอไมมนกเรยน ม. ตน

สองคนใดยนตดกน เทำกบขอใดตอไปน

(1) 170 (2) 1

35 (3) 435

(4) 17 (5) 2

7 ความนาจะเปน – ปานกลาง

18. ก�ำหนดให f และ g เปนฟงกชน โดยท

f xx x

x x( ),, =

- - 16 0

9 4≤>{ และ g x

x xx x( ) = + , - ,

2 34 3

<≥{


ก. ถำ ιx ≤ 0 แลว ( )( )g f x x = - - 16 4 ข. ถำ 4 6< ≤x แลว ( )( )g f x x = - 5 ค. ถำ x > 6 แลว ( )( )g f x x = - 11




(5) ไมมขอใดถก ความสมพนธและฟงกชน – งาย

19. ก�ำหนดให z เปนจ�ำนวนเชงซอนทสอดคลองกบสมกำร

( ) ( )( )1 9 73 12 4 - - - - + = - i i z

i iz z

เมอ z แทนสงยค (conjugate) ของ z และ i2 = -1


ก. - = z 7 1 ข. z i + = 3 8 ค. + = iz 1 7

PAT 1 (10-58) 1.indd 14 28/11/2560 16:27:11 dummy 6

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡


ขอใดตอไปนถกตอง



(5) ไมมขอใดถก จ�านวนเชงซอน – ปานกลาง

20. ก�ำหนดล�ำดบ an = n nn

⋅ 24

32 1 + เมอ n = 1, 2, 3, ... แลว อนกรม

nna

= 1

∞∑ เปนอนกรมทตรงกบ

ขอใด

(1) อนกรมลเขำ มผลบวกเทำกบ 1 (2) อนกรมลเขำ มผลบวกเทำกบ 34

(3) อนกรมลเขำ มผลบวกเทำกบ 12 (4) อนกรมลเขำ มผลบวกเทำกบ 1

4 (5) อนกรมลออก ล�าดบและอนกรม - ยาก

21. ก�ำหนดขอมลชดท 1 คอ x1 + 6, x2 + 6, x3 + 6, ..., x20 + 6 มคำเฉลยเลขคณตเปน 50

และสวนเบยงเบนมำตรฐำนเทำกบ 10 ขอมลชดท 2 คอ 2x1 + 6, 2x2 + 6, 2x3 + 6, ...,

2x20 + 6 จะมคำเฉลยเลขคณตและควำมแปรปรวนเทำกบขอใด

(1) คำเฉลยเลขคณต 94 และควำมแปรปรวน 400




(5) คำเฉลยเลขคณต 106 และควำมแปรปรวน 576 สถต – งาย

22. คะแนนสอบวชำคณตศำสตรของนกเรยนหองหนงมกำรแจกแจงปกต โดยสมประสทธกำรแปรผนของ

คะแนนสอบเทำกบ 25% และมนกเรยนรอยละ 15.87 ทสอบไดคะแนนมำกกวำ 90 คะแนน

ถำนำย ก เปนนกเรยนคนหนงในหองน สอบได 50.4 คะแนน คะแนนของเขำจะตรงกบต�ำแหนง

เปอรเซนไทลทเทำใด

ก�ำหนดพนทใตโคงปกตระหวำง 0 ถง z ดงน

z 0.4 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3

พนท 0.1554 0.3159 0.3413 0.3643 0.3849 0.4032

(1) 34.46 (2) 18.41 (3) 13.57

(4) 11.51 (5) 9.68 สถต – ปานกลาง

PAT 1 (10-58) 1.indd 15 28/11/2560 16:27:12 dummy 6

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡


23. ก�ำหนดล�ำดบ an = 1 2 2 2 23

2 32

+ + + + ... + nn เมอ n = 1, 2, 3, ... แลว

คำของ lim ( ... )n na a a a→∞ 1 2 3 + + + + เทำกบขอใดตอไปน

(1) 19 (2) 1

8 (3) 857

(4) 17 (5) 25

56 ล�าดบและอนกรม – ยาก

24. ก�ำหนดให I แทนเซตของจ�ำนวนเตม และ R แทนเซตของจ�ำนวนจรง

ถำ r x y R R y xx x = , × = +

- - + ( )∈ |2 3

5 3 1{ }และ A x I Dx r = { 2 | ∈ ∩ } แลว ผลบวกของสมำชกทงหมดในเซต A มคำเทำกบขอใดตอไปน

(1) 13 (2) 29 (3) 35

(4) 54 (5) 90 ความสมพนธและฟงกชน – งาย

25. ก�ำหนดอสมกำรขอจ�ำกด

x + 2y ≤ 4, x - y ≤ 1, x + y ≥ 1

เมอ x ≥ 0 และ y ≥ 0 แลว ภำยใตอสมกำรขอจ�ำกดเหลำน สมกำรจดประสงคในขอใดมคำสงสด

มำกทสด

(1) P = x + 2y (2) P = 3x + 2y (3) P = 2x + 3y

(4) P = x + 4y (5) P = 4x + y ก�าหนดการเชงเสน – ปานกลาง

26. ก�ำหนดเมทรกซ A = 1 33 1

และ Ba bc d =

เมอ a, b, c และ d เปนจ�ำนวนจรง

บวก โดยท abcd = 4 และ ad ≠ bc ถำ AB-1 = B-1A และ det (AtB) = -24 แลว

คำของ a + b + c + d เทำกบขอใด

(1) 5 (2) 6 (3) 7

(4) 8 (5) 9 เมทรกซ – ยาก

27. ก�ำหนดให a และ

b เปนเวกเตอรใดๆ ทไมใชเวกเตอรศนย


ก. ถำ a ขนำนกบ

b แลว - = -

a b a b

ข. ถำ + = +

a b a b2 2 2 แลว a ตงฉำกกบ

b

ค. ถำเวกเตอร

a b + ตงฉำกกบเวกเตอร

a b - แลว =

a b

PAT 1 (10-58) 1.indd 16 28/11/2560 16:27:15 dummy 6

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡





(5) ไมมขอใดถก เวกเตอร – ปานกลาง

28. ก�ำหนดให a, b, c, d และ e เปนจ�ำนวนจรงบวกทสอดคลองกบระบบสมกำร

a + b - 3 = b + c + 6 = c + d + 2 = d + e - 1 = e + a + 4


ก. c + e < b + d ข. c < b < e < d ค. a + d < b + c


(1) ก. ถกเพยงขอเดยว (2) ข. ถกเพยงขอเดยว

(3) ค. ถกเพยงขอเดยว (4) ถกทง ก., ข. และ ค.

(5) ผดทง ก., ข. และ ค. ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร – ปานกลาง

29. ก�ำหนดขอมลชดหนงดงตำรำงตอไปน

คะแนน จ�ำนวน

0-2 4

3-5 6

6-8 a

9-11 4

เมอ a เปนจ�ำนวนเตมบวก

ถำคำเฉลยเลขคณตของขอมลชดนมคำเทำกบ 5.5 แลว มธยฐำนของขอมลชดนเทำกบขอใดตอไปน

(1) 5.0 (2) 5.5 (3) 5.8

(4) 6.5 (5) ไมมขอใดถก สถต – งาย

30. จำกกำรส�ำรวจประชำกรของหมบำนแหงหนง ประกอบดวยเดกรอยละ 60 ของประชำกรทงหมดใน

หมบำนน และมอตรำสวนของจ�ำนวนเดกทมสำยตำผดปกตตอจ�ำนวนเดกทมสำยตำปกต เทำกบ

อตรำสวนของจ�ำนวนประชำกรในหมบำนนทมสำยตำผดปกตตอจ�ำนวนประชำกรในหมบำนนทม

สำยตำปกต

พจำรณำขอสรปเกยวกบจ�ำนวนประชำกรของหมบำนตอไปน

PAT 1 (10-58) 1.indd 17 28/11/2560 16:27:15 dummy 6

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡


ก. จ�ำนวนเดกทมสำยตำผดปกตมจ�ำนวน 1.5 เทำของจ�ำนวนผใหญทมสำยตำผดปกต

ข. จ�ำนวนผใหญทมสำยตำปกตมำกกวำจ�ำนวนเดกทมสำยตำปกต

ค. อตรำสวนของจ�ำนวนเดกทมสำยตำผดปกตตอจ�ำนวนเดกทงหมดในหมบำนน มำกกวำอตรำสวน

ของจ�ำนวนผใหญทมสำยตำผดปกตตอจ�ำนวนผใหญทงหมดในหมบำนน


(1) ก. ถกเพยงขอเดยว (2) ข. ถกเพยงขอเดยว

(3) ค. ถกเพยงขอเดยว (4) ถกทง ก., ข. และ ค.

(5) ผดทง ก., ข. และ ค. ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร – ยาก

31. ในกำรส�ำรวจควำมชอบเรยนวชำคณตศำสตร ภำษำไทย และภำษำองกฤษ ของนกเรยนกลมหนง

พบวำ มนกเรยนชอบเรยนวชำคณตศำสตร 130 คน

มนกเรยนชอบเรยนวชำภำษำไทย 90 คน

มนกเรยนชอบเรยนวชำภำษำองกฤษ 60 คน

และมนกเรยนชอบเรยนทงสำมวชำ 40 คน

ถำไมมนกเรยนคนใดเลยทไมชอบเรยนทงสำมวชำ นกเรยนกลมนมจ�ำนวนอยำงมำกกคน

เซต - ปานกลาง

32. ก�ำหนดให A คอเซตค�ำตอบของสมกำร

3 9 3 4( ) + + + x x = 3 34 4 + + + x x และ B x x A = - { }60 | ∈ แลว

จงหำผลบวกของสมำชกในเซต B ทกตว ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม – ยาก

33. ก�ำหนดให R แทนเซตของจ�ำนวนจรง ให f : R → R เปนฟงกชนทสำมำรถหำอนพนธได และ

สอดคลองกบ lim ( )xx x

f x→3

2 121 4 7 + - + - = และ 1 + f(x) ≥ 0 ส�ำหรบทกจ�ำนวนจรง x ถำ

เสนตรง 6x - y = 3 ตดกบกรำฟ y = f(x) ท x = 3 แลว คำของ f′(3) เทำกบเทำใด

แคลคลส – ยาก

34. ก�ำหนดใหฟงกชน f(x) = x x

ax b xx x

3

2

11 1

3 2 1

- + - +

,,,

<≤ <

≥

เมอ a และ b เปนจ�ำนวนจรง

ถำฟงกชน f ตอเนองส�ำหรบทกจ�ำนวนจรง x แลว φ

-

2

3∫ f x dx( ) เทำกบเทำใด

แคลคลส – ปานกลาง

PAT 1 (10-58) 1.indd 18 7/12/2560 9:43:34 dummy 7

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡


35. ก�ำหนดให a > 1 และ L(n) = log ( )3n an ส�ำหรบ n = 1, 2, 3, ...

ถำ 11

12

13

110 77L L L L( ) ( ) ( ) ( ) + + + ... + = แลว จงหำคำของ a

ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม, ล�าดบและอนกรม – ปานกลาง

36. ก�ำหนดให a และ b เปนจ�ำนวนจรงทสอดคลองกบ

1 02 1

3

ba

a a- = -15 แลว คำของ

3 2 2 34 22 0

+ + - -

aa b aa a

เทำกบเทำใด เมทรกซ – ปานกลาง

37. ก�ำหนดให {an} เปนล�ำดบเลขคณตของจ�ำนวนจรง โดยท

a1 + a3 + a5 + ... + a49 = a2 + a4 + a6 + ... + a50 = 2500

และ a100 = 100 คำของ a51 + a52 + a53 + ... + a100 เทำกบเทำใด

ล�าดบและอนกรม – ปานกลาง

38. ถำตองกำรสรำงจ�ำนวนหำหลกจำกเลขโดด 4, 5, 6 โดยทแตละหลกมตวเลขซ�ำกนได และจ�ำนวน

หำหลกนประกอบดวยเลข 4 อยำงนอย 1 หลก เลข 5 อยำงนอย 1 หลก และเลข 6 อยำงมำก

2 หลก จะสำมำรถสรำงจ�ำนวนหำหลกดงกลำวไดกวธ ความนาจะเปน – งาย

39. จำกกำรส�ำรวจปรมำณอำหำรเสรมทใชเลยงสตวชนดหนง จ�ำนวน 8 ตว ไดขอมลซงแสดงควำม

สมพนธระหวำงอำย (ป) ของสตวชนดน กบปรมำณอำหำรเสรม (กโลกรม) ทใชเลยงสตวดงกลำว

ปรำกฏผลดงน

อำย (ป): x x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

ปรมำณอำหำรเสรมตอสปดำห (กโลกรม): y

y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8

โดยท = , = , = , = , i=1 i=1 i=1

x y x yi i i i48 56 228 3808 8

28

2∑ ∑ ∑ i=1 i=1

= 8 8

300∑ ∑ x yi i σ

และ 3 = x1 < x2 < ... < x8 < 10

ควำมสมพนธระหวำงปรมำณอำหำรเสรมทใชเลยงสตวตอสปดำหกบอำยของสตวดงกลำวอยใน

รปแบบเสนตรง ถำสตวชนดนมอำย 6 ป จะตองใชปรมำณอำหำรเสรมทใชเลยงสตวตอสปดำห

ประมำณกกโลกรม สถต – งาย

PAT 1 (10-58) 1.indd 19 28/11/2560 16:27:17 dummy 6

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡


40. ถำ Ax2 + By2 + Dx + Ey = 41 เปนสมกำรของไฮเพอรโบลำรปหนง ซงมแกนตำมขวำงขนำน

กบแกน X มเสนตรง 2x - y + 1 = 0 เปนเสนก�ำกบเสนหนง และมจด (1 + 3 5 , 3) เปนโฟกส

จดหนงแลว คำของ A2 + B2 + D2 + E2 เทำกบเทำใด

เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย – ยาก

41. ก�ำหนดให S เปนเซตของคอนดบ (m, n) ซง m และ n เปนจ�ำนวนเตมบวกทสอดคลองกบสมกำร1 1 1

10m n - = แลว จงหำจ�ำนวนสมำชกของเซต S ทฤษฎจ�านวน – ยาก

42. ก�ำหนดให A เปนเซตของจ�ำนวนจรง x ทงหมดทสอดคลองกบอสมกำร

21 1 1x

x x x + + - - <

ถำ a เปนขอบเขตบนนอยสดของเซต A และ b เปนขอบเขตลำงมำกสดของเซต A แลว คำของ

b2 - a2 เทำกบเทำใด ระบบจ�านวนจรง การแกสมการและอสมการ – โหด

43. ก�ำหนดให A เปนเซตของคอนดบ (x, y) โดยท x และ y เปนจ�ำนวนจรงทสอดคลองกบสมกำร

ตอไปน 2 - + x y = 2

4 1642log x = 8 8 2 + log y

ให B x y x y A = + , 2 2 ( )∈{ } แลว คำมำกทสดของสมำชกในเซต B เทำกบเทำใด

ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม – ยาก

44. ขอมลตวอยำง 5 จ�ำนวน คอ x1, x2, x3, x4, x5 ม xi2

5224 =

i=1∑ σ และ

ι( )xi - x =

i=12

544∑

เมอ x คอคำเฉลยเลขคณตของกลมตวอยำงน และ x > 0

ก�ำหนดใหขอมลตวอยำง x1 + 2x2 , x2 + 2x3 , x3 + 2x4 , x4 + 2x5 , x5 + 2x1 มสวนเบยงเบน

มำตรฐำนเทำกบ 16 จงหำคำเฉลยเลขคณตของ x1x2 , x2x3 , x3x4 , x4x5 , x5x1 สถต – โหด

45. ก�ำหนดให S เปนเซตของจ�ำนวนสองหลก ab ทงหมด โดยท

ab + ba = 132 เมอ a, b ∈ {1, 2, 3, ..., 9} และ a ≠ b

ผลบวกทงหมดของสมำชกในเซต S มคำเทำใด ทฤษฎจ�านวน – ยาก

PAT 1 (10-58) 1.indd 20 7/12/2560 9:43:36 dummy 7

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

21��ล�ค�าตอบแนวขอสอบคณต PAT 1 ชดท 1 (ตลาคม 2558)

เฉลยค�ำตอบแนวขอสอบคณต PAT 1 ชดท 1 (ตลำคม 2558)

1 (2) 2 (5) 3 (3) 4 (2)

5 (4) 6 (4) 7 (3) 8 (2)

9 (3) 10 (5) 11 (3) 12 (3)

13 (1) 14 (1) 15 (2) 16 (4)

17 (3) 18 (4) 19 (2) 20 (3)

21 (1) 22 (4) 23 (5) 24 (4)

25 (5) 26 (2) 27 (3) 28 (1)

29 (2) 30 (1) 31 200 32 128

33 8 34 30.25 35 243 36 60

37 5000 38 160 39 7 40 117

41 4 42 0.5 43 2 44 76.2

45 396

PAT 1 (10-58) 1.indd 21 28/11/2560 16:27:19 dummy 6

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡


เฉลยวธคดแนวขอสอบคณต PAT 1 ชดท 1 (ตลาคม 2558)

1. ตอบ ตวเลอก (2)

ตโจทย 1) โจทยตองกำรใหตรวจสอบควำมถกตองของตวเลอกแตละขอ โดยใหคำควำมจรงของ

ประพจนประกอบมำ 1 ชด

2) เรำตองหำคำควำมจรงของทง p, q และ r จำกขอมลทโจทยก�ำหนดมำใหไดกอน จงจะ

สำมำรถน�ำไปตรวจสอบประพจนในแตละตวเลอกได

แผนการหาค�าตอบ

วธท�า

พจำรณำประพจนทโจทยก�ำหนด (p ∨ r) ↔ ~(p ∨ q) โดยเทยบกบตำรำงคำควำมจรงของ

ประพจนประกอบ (มสรปไวทำยขอ)

เกดจำก p r∨ ↔ ~( )p q∨ เปนจรง

กรณท 1 T ↔ T

หรอ กรณท 2 F ↔ F

แยกพจำรณำกรณท 1 (เปนจรงทงค)

เนองจำกประพจนหลง

~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q เปนจรง

เกดจำกกรณเดยวคอ T ∧ T

จะไดวำ p F≡ และ q F≡

จำกประพจนหนำ p ∨ r ≡ F ∨ r เปนจรง

เกดจำกกรณเดยวคอ F ∨ T

จะไดวำ r T≡

� �Start Finishพจารณา A ↔ B

ทโจทยใหเปนจรงสรปคาความจรง

ของ p, q, r

T ↔ T

F ↔ Fตรวจสอบตวเลอก

�

ประพจนทเชอมดวย ↔ (กตอเมอ) เปนจรงจะตองมความจรงเหมอนกน คอ เปนจรงทงค (กรณท 1) หรอเปนเทจทงค (กรณท 2)

เราเลอกประพจนหลงกอนเพราะสามารถเปลยน ∨ (หรอ) เปน ∧ (และ) ไดดวยกฎ เดอมอรแกน เพอท�าใหหาคาความจรงของ p, q ไดงาย

PAT 1 (10-58) 1.indd 22 28/11/2560 16:27:20 dummy 6

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

23��ล�วธคดแนวขอสอบคณต PAT 1 ชดท 1 (ตลาคม 2558)

พจำรณำกรณท 2 (เปนเทจทงค)

ประพจนแรก p ∨ r เปนเทจ

เกดจำกกรณเดยวคอ F ∨ F

จะไดวำ p F≡ และ r F≡

พจำรณำประพจนหลง ~( )p q∨ ≡ F เปนเทจ

กลบนเสธ p q∨ ≡ T

แทนคำควำมจรงของ p F q∨ ≡ T

จะไดวำ q ≡ T

สรปคำควำมจรงของ p, q, r

กรณท 1 p F≡ q F≡ r T≡

กรณท 2 p F≡ q T≡ r F≡

จำกทง 2 กรณ สรปไดวำ p เปนเทจเสมอ สวน q และ r มคำควำมจรงตรงขำมกน

ตรวจสอบตวเลอก

• ตวเลอก (1) ( )q ↔ ∨r p เปนจรง

เรำทรำบวำ q และ r มคำควำมจรงตรงขำมกน ดงนน q ↔ r ≡ F แนนอน

จะไดวำ (q ↔ r) ∨ p ≡ F ∨ F

≡ F

แตในตวเลอกบอกวำเปนจรง จงไมถกตอง

• ตวเลอก (2) ( ) ( )p r q p→ ∨ → เปนจรง

ลองแทนคำควำมจรง p ≡ F

(p → r) ∨ (q → p) ≡ (F → r) ∨ (q → F)

≡ T ∨ (q → F) ≡ T

ในตวเลอกบอกวำเปนจรง ดงนนตวเลอก (2) ถกตอง

• ตวเลอก (3) ( ) ( )r q p q→ ∧ ∧ เปนจรง


( ) ( )r q p q→ ∧ ∧ ≡ (r → q) ∧ (F ∧ q)

≡ (r → q) ∧ F ≡ F


เ ล อ ก พ จ า รณาประพจน แรกก อนเพราะเชอมกนดวย ∨ แลวเปนเทจตองเกดจาก F ∨ F เทานน

PAT 1 (10-58) 1.indd 23 28/11/2560 16:27:22 dummy 6

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡


• ตวเลอก (4) ( ~ ) ( )r p q r→ ∨ ∧ เปนเทจ


( ~ ) ( )r p q r→ ∨ ∧ ≡ (r → ~F) ∨ (q ∧ r)

≡ (r → T) ∨ (q ∧ r)

≡ T ∨ (q ∧ r) ≡ T

แตในตวเลอกบอกวำเปนเทจ จงไมถกตอง

• ตวเลอก (5) ( ) ( )r q p ~r∧ ↔ → เปนจรง


( ) ( )r q p ~r∧ ↔ → ≡ (r ∧ q) ↔ (F → ~r)

≡ (r ∧ q) ↔ T

แตเรำทรำบวำ q และ r มคำควำมจรงตรงขำมกน ดงนน r ∧ q ≡ F เพรำะตองม

ตวใดตวหนงเปนเทจ

ดงนน (r ∧ q) ↔ T ≡ F ↔ T ≡ F


หมายเหต กฎ/สตร/ทฤษฎทตองใช

ตารางคาความจรงของประพจนประกอบ

p q p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q

T T T T T T

T F F T F F

F T F T T F

F F F F T T


ตโจทย 1) จำกสมบต A ∩ B′ = A - B จะได A ∩ (B ∪ C)′ = A - (B ∪ C) ซงผลลพธเปน

เซตวำง แสดงวำเซต A ทงเซตตองอยใน B ∪ C จงลบกนแลวหำยหมด

2) เรำใชผลลพธนในกำรพจำรณำ A ∪ B ∪ C แลวน�ำไปเขำสตรยเนยนไดเลย

PAT 1 (10-58) 1.indd 24 28/11/2560 16:27:23 dummy 6

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

25��ล�วธคดแนวขอสอบคณต PAT 1 ชดท 1 (ตลาคม 2558)

แผนการหาค�าตอบ

วธท�า

พจำรณำ A B C∩∩ ∪∪( )′′ ∅∅ = จำกสมบตของอนเตอรเซกชน P ∩ Q′ = P - Q

จะไดวำ A ∩ (B ∪ C)′ = A - (B ∪ C) = ∅

แสดงวำสมำชกทกตวของ A อยใน B ∪ C ดวย

จงสรปไดวำ A ⊂ B ∪ C

พจำรณำสมำชก A B C∪∪ ∪∪

จำก A ⊂ B ∪ C แสดงวำ A ∪ B ∪ C = B ∪ C

ดงนน n(A ∪ B ∪ C) = n(B ∪ C) = 21

จำกสมบตของยเนยน n(B ∪ C) = n(B) + n(C) - n(B ∩ C)

แทนคำ 21 = 16 + 17 - n(B ∩ C)

จะไดวำ n(B ∩ C) = 12

ขอมลจำกโจทยสรปไดวำ n(A ∩ B) = n(B ∩ C) = n(A ∩ C) = 12


• ตวเลอก (1) n A B C( )∩ ∩ = 11จำกสตร n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(B ∩ C)

- n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

แทนคำ จะได

21 = 13 + 16 + 17 - 12 - 12 - 12 + n(A ∩ B ∩ C)

ดงนน n(A ∩ B ∩ C) = 11 ตวเลอก (1) ถกตอง

FinishStart

พจารณาA ∩ (B ∪ C)′ = ∅

พจารณาสมาชกA ∪ B ∪ C

หา n(A ∩ B), n(B ∩ C), n(A ∩ C)


�

�

�

ซงการลบกนแลวไดเซตวาง เชน P - Q = ∅ หมายความวา สมาชกทกตวใน P ซ�ากบใน Q ทงหมด P - Q จงกลายเปนเซตวาง

PAT 1 (10-58) 1.indd 25 28/11/2560 16:27:24 dummy 6

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡


• ตวเลอก (2) n A B( )∩ = 12 n(A ∩ B) = n(B ∩ C) = n(A ∩ C) = 12 ตวเลอก (2) ถกตอง

• ตวเลอก (3) n A B( )′ ∩ = 4จำก A′ ∩ B = B ∩ A′ = B - A

ดงนน n(A′ ∩ B) = n(B - A)

ซง n(B - A) = n(B) - n(B ∩ A)

แสดงวำ n(B - A) = 16 - 12 = 4 ตวเลอก (3) ถกตอง

• ตวเลอก (4) n A B C[( ) ]∪ ∩ = 13จำกควำมสมพนธ

n[(A ∪ B) ∪ C] = n(A ∪ B) + n(C) - n[(A ∪ B) ∩ C] ... (1)

เรำตองหำ n(A ∪ B) กอน

จำก n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

= 13 + 16 - 12 = 17

แทนคำในสมกำร (1) 21 = 17 + 17 - n[(A ∪ B) ∩ C]

จะไดวำ n[(A ∪ B) ∩ C] = 13 ตวเลอก (4) ถกตอง

• ตวเลอก (5) n A B C[( ) ]∪ ∩′ = 6จำกควำมสมพนธ (A ∪ B)′ ∩ C = C ∩ (A ∪ B)′ = C - (A ∪ B)

จะไดวำ n[(A ∪ B)′ ∩ C] = n[C - (A ∪ B)]

ซง n[C - (A ∪ B)] = n(C) - n[C ∩ (A ∪ B)]

จำกตวเลอก (4) เรำทรำบวำ n[(A ∪ B) ∩ C] = n[C ∩ (A ∪ B)] - 13

ดงนนแทนคำ n[C - (A ∪ B)] = n(C) - n[C ∩ (A ∪ B)]

= 17 - 13 = 4

ตวเลอก (5) ไมถกตอง


ตโจทย 1) อสมกำร A เปนอสมกำรคำสมบรณซอนกน ซงเรำสำมำรถถอดคำสมบรณจำกนอกเขำ

ขำงในไดโดยตรง

2) อสมกำร B นนสำมำรถจดใหอยในรปอสมกำรพหนำมแลวใชเสนจ�ำนวนพจำรณำไดเลย

PAT 1 (10-58) 1.indd 26 28/11/2560 16:27:25 dummy 6

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

µ «Õ¬ã ß¿ ¬ ã¡ « ¬æ è - images-se-ed.com · สำรบัญ...

Documents

Transcript of µ «Õ¬ã ß¿ ¬ ã¡ « ¬æ è - images-se-ed.com · สำรบัญ...